В ПОМОЩЬ ПРЕПОДАВАТЕЛЮ ПТУ

Г. Г. Левитас

СОВРЕМЕННЫЙ УРОК МАТЕМАТИКИ

МЕТОДЫ ПРЕПОДАВАНИЯ

Г. Г. Левитас

СОВРЕМЕННЫЙ УРОК МАТЕМАТИКИ

МЕТОДЫ ПРЕПОДАВАНИЯ

Одобрено Государственным комитетом СССР по народному образованию в качестве методического пособия для профессионально-технических училищ

Москва

«Высшая школа» 1989

ББК 74.262 Л36

Рецензенты:

Беденко Н.К. (канд. пед. наук, преподаватель средней школы); Жижченко Г.И. (зав. учебной частью ПТУ № 49 г. Жуковского)

Левитас Г.Г.

Л36 Современный урок математики — методы преподавания: Метод, пособие для преп. ПТУ. - М.: Высш. шк., 1989. - 88 с: ил. ISBN 5-06-000400-7

В книге содержатся советы преподавателю математики ПТУ: как построить урок математики, чтобы основная работа по усвоению материала протекала в классе (а не в домашних условиях). Показаны пути интенсификации времени урока. Рассмотрены технические вопросы построения каждого этапа занятий в классе, объяснения нового материала, его закрепления и контроля.

4306010500 -289

Л-n„- 167-89 ББК 74.269

052 (01)-89 373 7

ISBN 5-06-000400-7 © Издательство ”Высшая школа”, 1989

Предисловие

Счастлив педагог, владеющий классом, нашедший методику, соответствующую его личности, разработавший свою систему преподавания. О таких говорят: творческий работник. И призывают остальных работать творчески. Но как научиться работать творчески — не говорят. И не случайно: творчеству научить нельзя. Научить можно навыкам, ремеслу, мастерству. Тому мастерству, на котором может произрасти и творчество. Есть, например, опыт Г.С. Альтшулера. Он создал в Азербайджане школу рационализаторов. В ней инженеры обучались фантазировать на заданную тему, находить далекие ассоциации. Но основой обучения в этой школе явилось изучение патентного фонда. Ученики Г.С. Альтшулера изучали имеющийся опыт изобретений и на нем обучались творчеству. Не все они становились творцами — творчеству можно обучаться, но нельзя гарантировать результат, можно ему учить, но нельзя научить. Но знатоками, мастерами стали все ученики Г.С. Альтшулера.

Мы не будем здесь говорить о творчестве, а будем говорить о мастерстве - о том, чему можно и научить, и научиться. Ведь чтобы овладеть классом, чтобы успешно преподавать математику, нужно именно мастерство. Мастер это кто? Это - человек, стабильно добивающийся высоких результатов труда. Мастер-педагог всегда (почти всегда!) добивается высокой дисциплины во время изложения материала; не-мастер иногда добивается, иногда — нет. Мастер-педагог всегда (почти всегда!) добивается запланированного им уровня знаний в данной группе учащихся; не-мастер иногда добивается, иногда - нет. Мастер-педагог работает уверенно, верно видит недостатки своей работы и находит пути их исправления; не-мастер часто ошибается в оценке своего труда и склонен искать причины недочетов не в себе, а в учащихся, в обстоятельствах, от него не зависящих. Обычно жалобы не-мастера сводятся к следующим:

1) ОНИ НЕ УЧАТ;

2) ОНИ НЕ ПОМНЯТ ПРОЙДЕННОГО (вариант: ЧЕМУ ИХ ТОЛЬКО В ШКОЛЕ УЧИЛИ!) ;

3) ОНИ НЕ УМЕЮТ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ;

4) ОНИ НЕВНИМАТЕЛЬНЫ И НЕДИСЦИПЛИНИРОВАННЫ;

5) ОНИ НИЧЕГО НЕ ПОНИМАЮТ;

6) НЕВОЗМОЖНО ВСЕ УСПЕТЬ ЗА 45 МИНУТ.

И ведь все это действительно бывает: и учат не всегда, и урок бывает тесен. Только учитель-мастер умеет со всем этим справиться. Как? Каждый по-своему. Ведь мастерству не учат ни в пединститутах, ни в институтах усовершенствования. И каждый сам справляется со ”своими трудностями” (как принято стало выражаться в последнее время).

Здесь уже все зависит от творческих возможностей педагога. ”Не-творческие” вообще не справляются, ”творческие” создают свои системы обучения: система Шаталова, система Лысенковой, система Хазанкина. Но эти системы широко не распространяются, хотя книги о них издаются большими тиражами: вышли книга Лысенковой и книги Шаталова. Причина, конечно, в том, что система Шаталова создана Шаталовым для Шаталова, система Лысенковой — для Лысенковой. Мы можем что-то из них использовать, но целиком — не получится. Слишком сказывается на каждой из них индивидуальность автора. И снова мы возвращаемся к тому же: обучать педагога не ”творчеству”, а ремеслу, мастерству. Мы не научим давать блестящие уроки (это — искусство!). Но вести преподавание так, чтобы не возникало вышеупомянутых жалоб на ”них”, — этому мы постараемся научить. Ведь нетерпимо такое положение, при котором у неопытного преподавателя усваивают программу около 20% учащихся, а у опытного — тоже не более 75%. Нетерпимо положение, когда преподаватель математики тратит колоссальную энергию, время и нервы и все-таки не может обучить всех.

Правда, есть такие теоретики, которые считают, что преподавать может лишь особо одаренный человек. Если это так, то непонятно, на что они рассчитывают — эти теоретики. В стране около 3 млн. педагогов, и не могут они все быть высоко одаренными. А как следует обученными - могут быть. Разговоры об одаренности преподавателей (так же, как о желании учиться — у учащихся) снимают с этих теоретиков всякую ответственность за состояние просвещения: что можно сделать, если педагог - неодаренный (или если учащиеся не хотят учиться) ! Остается смириться с этим и только проверять, правильно ли ведется документация. В частности, разве можно допустить нарушение педагогом примерного планирования? Нет! Иначе нечего будет и проверять! Так разговоры о творчестве приводят к мелочной и беззастенчивой опеке и регламентации. Крайности всегда ведь сходятся, хотя и в несобственных точках.

Говорить в этой книге мы будем об уроках в ПТУ. Во-первых, потому, что методика преподавания математики в ПТУ разработана не столь подробно, как школьная, а, во-вторых, потому, что преподавание математики в ПТУ отличается дополнительными (по сравнению со школой) трудностями. В общеобразовательной школе знание математики дает ученику широту выбора будущей профессии. А в ПТУ профессия уже выбрана, и часто такая, для которой математика в полном объеме действующей программы не так необходима.

Чем же мы можем увлечь учащихся ПТУ нематематических специальностей? Главным образом — красотой предмета, радостью его познания. Но радость познания возможна, лишь если есть само познание. Как выйти из этого круга? Мы постараемся рассказать об этом конкретно, отвечая на те самые вопросы: что делать, если не учат? если не помнят пройденного? если не умеют решать задачи? если невнимательны? если не понимают излагаемого материала? как все успевать на уроке?

И сразу слышатся возражения: ”А разве этого достаточно? Здесь перечислены проблемы дидактические; а как быть с воспитательными аспектами урока математики?”

Да, о воспитании как таковом мы говорить не будем. Не позволяет объем книги. Да к тому же проблемы воспитания рассмотрены в имеющейся литературе достаточно полно. Они остаются неизменными в своих основных чертах на всем протяжении существования советской школы. Необходимые уточнения вносятся в них нашей партией и разрабатываются в трудах советских педагогов. Почти не изменяются и способы воспитания в процессе преподавания математики. Отмеченные еще А.Я. Хинчиным возможности уроков математики в воспитании культуры мысли, честности, справедливости, настойчивости, мужества, патриотизма срабатывают и в наши дни в тех случаях, когда само обучение математике протекает эффективно для каждого учащегося. Однако если обучение ведется не на должном уровне, то воспитательная сила уроков математики резко ослабевает. Например, если преподаватель начинает урок с заявления: ”Сегодня мы научимся решать логарифмические уравнения”, то к концу урока он должен добиться, чтобы все учащиеся этому научились. В противном случае воспитательный эффект урока будет отрицательным, так как получится урок нарушения обещания, невыполнения плана, причем это будет характеризовать в глазах учащегося стиль работы советского учреждения — ПТУ.

Но можно ли требовать стопроцентного выполнения плана в обучении? Можно, раз педагоги добивались и добиваются его. Деятельность Л.Н. Толстого в Яснополянской школе, а также таких наших современников, как Шаталов, Лысенкова, Хазанкин, доказывает теорему существования такого обучения. Нам остается только разработать конкретные пути его исполнения. Ведь раз они могли и могут, значит, нет необучаемых, а есть только такие учащиеся, которых мы не научились учить. Решая наши проблемы, мы будем опираться на стремление каждого человека, каждого учащегося к знаниям. Это стремление может оказаться подорванным в процессе предыдущего обучения, при котором учащийся ”понял”, что математика - предмет скучный и лично ему недоступный. Но мы будем создавать для нашего учащегося такую обстановку, в которой он убедится, что был неправ, что математика и интересна, и понятна ему. Для этого нам, конечно, придется не на словах, а на деле вникать в психологию учащегося, учиться понимать его состояние на уроке математики в целом и на отдельных этапах урока. И еще придется внимательно разобраться в специфике математики как учебного предмета.

Методическая литература наполнена описанием различных тем курса математики. И обычно в ней рассказывается, каковы отличия каждой данной темы, какими особенными приемами нужно ее преподавать. Может быть, поэтому у учащихся не возникает представления о математике как о единой науке, состоящей из подобных друг другу частей. А между тем это именно так. Все здание математики состоит из аксиом,

определений, теорем, алгоритмов и методов решения задач. Общие методы математики — это и есть ее особенность, отличающая нашу науку от других наук. Если к этому добавить требование строить методы преподавания аналогично тому, как строятся методы самой науки, мы получим вывод: нужно стремиться не к разнообразию методов и форм преподавания, а к такому их единообразию, в котором раскрывалось бы единообразие построения самой науки. Чтобы, столкнувшись с новым определением, с новой теоремой, учащийся не замирал перед ними в нерешительности, а рассуждал бы так: ”А, так это же еще одно определение. С определениями я работать умею”. В основе наших предложений — однотипность методики, ее составленность из одинаковых частей. Эти части — этапы формирования умственных действий, открытые советскими психологами Л.С. Выготским, А.Н. Леонтьевым, П.Я. Гальпериным, Н.Ф. Талызиной и их учениками и последователями. Только поняв и приняв те способы, которыми можно отразить в преподавании математики ее единообразие, преподаватель сможет затем расцветить свою работу особенностями каждого фрагмента ее материала. Только освоив навыки и приемы, характерные для преподавания математики в целом, можно осуществить на этой базе подлинное творчество в нашем трудном деле — в обучении математике.

Но ”голыми руками” наших проблем не решить. Чтобы управлять работой нескольких десятков учащихся, нужны специальные средства обучения. Мы предлагаем использовать те их виды, которые прочно прижились на уроках математики. Это настенные таблицы, тексты математических диктантов и некоторые другие. При этом мы пользуемся разработками, сделанными нами совместно с другими сотрудниками лаборатории математики НИИ школьного оборудования и технических средств обучения Академии педагогических наук СССР. Когда в тексте автор говорит ”мы” — это значит, что он обращается к читателю от имени всего коллектива этой лаборатории.

– ”А они не учат!”

”Не учат” — это очень распространенная жалоба преподавателей математики на учащихся. Ее слышишь всюду: и в бытовых разговорах (”Не та нынче молодежь пошла!”), и на педагогических советах (”Нужны какие-то меры!”), и на родительских собраниях (”Вы уж за ними следите!”), и на классных часах (”Вот она, ваша сознательность!”), и, конечно же, на самих уроках (”Сейчас возьму и вызову тех, кто не выучил, я вас насквозь вижу!”).

И ведь действительно — не учат. Ну, не все, конечно, но, увы, многие. А кто систематически учит? Почти никто. И проистекают из этого разные неприятности.

Неприятность первая: не учат — не знают. Это то самое, на что жалуются учителя. И правда: ведь учитель задает учить то, что надо знать. А они не учат.

Неприятность вторая: из-за того, что ”они не учат”, происходит поляризация класса. Ведь ”не знают, так как не учат” слабые учащиеся, все более погрязая в своем невежестве.

Неприятность третья: учащиеся привыкают халтурить, являться на работу не подготовленными к работе, привыкают не выполнять прямых заданий и тем не менее... успевать, т.е. получать положительные оценки. Это воспитывает убежденность в том, что можно жить, не утруждая себя, не готовясь к завтрашнему дню, не выполняя полученных заданий. Какого это готовит производственника и насколько расходится с духом нашего времени, — кажется, ясно.

Неприятность четвертая: учащиеся видят нашу беспомощность перед халтурой, а в конце концов воспринимают как халтуру и нашу деятельность: не все наши обязанности мы выполняем на производстве, даже из тех, которые обещаем выполнить. От этого более чем от чего-нибудь другого падает наш авторитет в глазах учащихся: обещаем обучить всех, а не выполняем этого.

Неприятность пятая: не учат и срывают все наши помыслы о трудовом воспитании, об обучении самостоятельной работе, самостоятельному добыванию знаний. А от нас требуется приобщать учащихся к работе с книгой и другими источниками знаний. Мы стараемся — даем специализированные домашние задания (выявить главное, составить план, конспект и т.д.), надеемся приобщить к анализу текста, а они — не учат.

Неприятность шестая: не учат и заставляют тратить время урока на выявление тех, кто не учил. А времени и так мало!

Неприятность седьмая: не учат и снимают с преподавателя всякую ответственность за результаты преподавания. Какие могут быть результаты, если они не учат!

Но давайте подумаем, а что было бы, если бы они учили: если бы каждый учащийся всегда выполнял все домашние задания. Вместо перечисленных неприятностей возникли бы другие неувязки. Назовем хотя бы три из них.

Неувязка первая: ни на что другое наших учащихся не хватало бы.

Давно подсчитано, что на выполнение всех задаваемых домашних заданий требуется все время, проводимое ими вне стен ПТУ. Ни о каком домашнем труде в помощь родителям, ни о каких посещениях театра, занятиях спортом, встречах с друзьями, чтении художественной, политической и другой литературы — ни о чем этом и речи быть не могло бы, по крайней мере, для большинства учащихся.

Неувязка вторая: резко ухудшилось бы состояние здоровья нашей молодежи. Искривление позвоночника, ухудшение зрения, психические расстройства, вызванные недосыпанием, - неоправданно высокая цена даже за глубокие и прочные знания по математике.

Неувязка третья: никакого времени не хватило бы на проверку всего заданного и сделанного. Вместе с тем мы даже представить себе не можем, чтобы выполненная работа оставалась непроверенной. Учащийся должен знать, что если он получил задание, то проверка выполнения обязательно произойдет. Гадание (”вызовут — не вызовут”), вылавливание преподавателем нерадивых — это не метод налаживания правильных производственных отношений между преподавателем и учащимися, не метод установления рабочей атмосферы, не метод обучения. В этом что-то не от работы, а от борьбы. Да и не стыдно ли взрослому человеку, окончившему институт, знающему и психологию, и жизнь, демонстрировать свое умение поймать провинившегося ”по глазам”? И не оказывается ли результатом такой охоты умение ”честно” глядеть в глаза при любых обстоятельствах?

Конечно, эти неувязки возникают не от любых домашних заданий, а лишь от очень трудоемких, которые, к сожалению, характерны именно для математики и в школе, и в ПТУ. Нам неизвестны какие-либо приказы и распоряжения, нормирующие объем домашних заданий для учащихся ПТУ. Но для школьников такие нормативы давно разработаны. Из них вытекает, что нельзя задавать на дом работу по математике более чем на 20—25 мин за каждый аудиторный час. Заметьте, речь идет не о сильных учащихся, а обо всех: даже и слабые учащиеся должны успевать выполнить наше задание за 20—25 мин (ведь не только отличников надо оберегать от сколиозов и нервных стрессов!). А что может успеть слабый учащийся за эти минуты? Прямо скажем, немного.

Да и вообще, зачем они нужны - домашние задания?

Говорят, что, во-первых, они нужны, чтобы учащиеся тренировались дома, во-вторых, что домашние задания — способ приобщения учащихся к труду. Но ведь известно: тренировки дома могут протекать неправильно, нерациональными приемами, приводить к потерям, а не к приобретениям. А трудовое воспитание? Здесь вообще что-то не так. Разве мы, взрослые люди, получаем в своей нормальной взрослой жизни домашние

задания? Рабочий после смены свободен от производственных дел. То же можно сказать и о любом человеке. Исключение составляем разве что мы — педагоги. Но наш рабочий день за преподавательским столом короче нормального рабочего дня А рабочий день учащегося в стенах ПТУ приблизительно равен тому, который установлен для трудящихся этого возраста. А, кроме того, свою профессию мы выбирали сами. Если говорить о подготовке наших учащихся к нормальной трудовой деятельности, то следует иметь в виду полноценную работу в условиях производства и полноценный отдых от нее в домашних условиях.

Конечно, и взрослые люди дома не только отдыхают или работают по хозяйству, но иногда и готовятся к завтрашнему рабочему дню. Но эта подготовка не есть выполнение чьего-либо ”домашнего задания”. Она — следствие понимания того, что предстоит человеку делать завтра. Он знает, какая работа его ожидает, и готовится к ней при необходимости. Поэтому лучшая форма домашнего задания — предупреждение о завтрашней работе. Например, преподаватель говорит: ”Завтра я буду спрашивать, как дифференцировать тригонометрические функции. Будут задания, аналогичные № 653-658”. И каждый учащийся решит для себя, готов ли он к такой работе, а при необходимости прорешает указанные задачи. И преподаватель назавтра не будет проверять, сделаны ли № 653-658, а будет требовать знаний.

Получается то, что мы считаем самой лучшей формой домашнего задания: необязательное домашнее задание.

От обязательных домашних заданий мы вовсе не отказываемся, но предъявляем к ним следующие требования:

1) краткость (не более чем на 20—25 мин для слабого ученика за каждый урок) ;

2) неответственный характер (чтобы от невыполнения задания учащийся не переставал быть способным усвоить следующий урок);

3) проверяемость.

Отсюда следует, что к задаванию на дом теоретического материала следует подходить очень осторожно. А тогда претензия ”они не учат” потеряет смысл.

Впрочем, бывает необходимо дать на дом выучить тот или иной материал. Но в таком случае должно действовать требование 3 — о проверяемости задания. Если вы задали повторить или выучить заново формулы, то учащиеся должны знать, что будет письменный опрос по этим формулам. Если задан целый пункт для самостоятельного изучения, то учащиеся должны знать, что у них будет опрошен (по памяти!) конспект этого пункта (его план, схема и т.д.).

Еще лучше, когда изучение теоретического материала происходит прямо в аудитории. Но для этого учащиеся должны обладать определенной суммой общеучебных навыков, дисциплиной учебного труда. Поэтому начинать нужно с простых и понятных заданий — выучить конспект.

Сама эта идея - давать всем для выучивания не материал учебника, а конспект — принадлежит известному учителю В.Ф. Шаталову.

Однако конспекты В.Ф. Шаталова — это конспекты не учебника, а его собственных лекций и бесед. Мы же считаем, что необходимо давать конспекты текстов учебника и назавтра требовать воспроизведения этих конспектов на память. Вот, например, учащиеся слушают рассказ о решении простейших тригонометрических уравнений. Преподаватель выписывает на доске самые разные сведения: тут и решение конкретных уравнений, и доказательство формул. Но можно считать, что главным, подлежащим запоминанию, здесь является не весь материал, а лишь сами формулы

с добавлением (или без него) формул для решения уравнений в особых случаях:

Этот-то материал и выписывается в особом месте доски, обводится рамкой и объявляется конспектом пункта учебника. Завтра учащиеся должны будут воспроизвести этот конспект на чистом листе бумаги. К таким заданиям учащиеся относятся хорошо. Ведь совершенно ясно, что именно задано. Ясны и способы выполнения задания, и способы его проверки. Важно и то, что если выучишь, - неминуемо получишь пятерку. Учащийся чувствует обязательность поощрения при выполнении задания и неотвратимость наказания при его невыполнении (впрочем, например, В.Ф. Шаталов не ставит двоек за несданные конспекты, а организует их сдачу в дополнительное время).

Один или несколько учащихся воспроизводят конспект для последующей демонстрации. Это делается на скрытой части распашной доски, или на полиэтиленовом листе для последующего показа через графопроектор, или на переносной доске. Вначале, когда В.Ф. Шаталов не имел таких приспособлений, он просто пересаживал всех учащихся спиной к доске, и они не видели работы вызванных к доске, пока не сдавали свои конспекты. Как только все напишут конспекты и сдадут их, демонстрируется конспект вызванного. Учащиеся критически рассматривают его, делают замечания, а затем вызванный рассказывает по конспекту материал учебника. Здесь возможна такая шкала оценок:

— вызванный фактически ограничился чтением конспекта — ”3”;

— вызванный рассказал материал учебника, не обращаясь к конспекту на доске, - ”4”;

- вызванный рассказал материал учебника, явно связывая его с конспектом на доске, - ”5”.

Конечно, максимальной для всех будет польза от рассказа в третьем из перечисленных случаев. Как добиться, чтобы вызванный к доске хорошо отвечал? Очень просто: назначать его накануне. Вначале нужно назначать наиболее добросовестных и ответственных учащихся. Да, да! Не наиболее сильных, а наиболее добросовестных. Если им не хватает умения разобраться в материале, нужно провести с ними индивидуальную работу и добиться высокого качества изложения. Если же назначенный учащийся не выучил материал и не предупредил преподавателя, то его следует осудить как человека, на которого нельзя положиться, и не давать ему подобных поручений до той поры, пока он вновь не заслужит утраченного доверия.

При таком подходе вызов к доске перестает быть наказанием и вообще несчастьем. Вызов становится почетным делом.

А как же остальные? - спрашивают нас. Они ведь вообще учить не будут, зная, что их не вызовут. Ну, во-первых, мы против педагогики угроз (учить под угрозой вызова). Во-вторых, все учат самое главное -конспект. В-третьих, нужно поощрять деятельное слушание ответа, с дополнениями и исправлениями, которое возможно лишь при прочтений учебника. А, в-четвертых, такая работа должна вестись недолгое время, пока учащиеся не привыкнут к мысли: на уроках математики нужно работать. После этого следует переходить к изучению всего материала на уроках.

Изучение материала на уроках можно проводить, например, так. На первом уроке, посвященном изучению некоторого вопроса программы (пункта учебника или объединения нескольких пунктов), преподаватель рассказал новый материал и провел его первоначальное закрепление. Перед глазами учащихся на доске остался конспект материала, и учащиеся поучились решать задачи основных типов, опираясь на этот конспект. Преподаватель закончил урок советом прочитать изложенный пункт учебника и прорешать такие-то задачи из учебника (именно так: это не обязательное задание, но если кто-либо его выполнит, ему будет легче на следующем уроке).

На втором уроке преподаватель объявляет, что сейчас будет происходить самостоятельное изучение материала. На доске выписываются вопросы, на которые должны ответить учащиеся в результате прочтения учебника, и номера (те самые, названные вчера) упражнений, которые нужно прорешать. Деятельность учащихся будет состоять в следующем:

1) чтение материала учебника;

2) подготовка к ответам на вопросы, записанные на доске;

3) ответы соседу на вопросы, записанные на доске;

4) заслушивание ответов соседа на те же вопросы;

5) совместное с соседом решение упражнений, указанных на доске;

6) совместный с соседом ответ преподавателю или другим учащимся на вопросы и разъяснение им способа решения упражнений.

Этот урок (мы называем его уроком общения, так как самая главная его особенность — то, что учащиеся общаются между собой в процессе изучения и сдачи материала) протекает так. Учащиеся рассаживаются парами, выбирая себе наиболее удобных напарников для совместной работы. Желательно, чтобы учащиеся, имеющие одинаковые знания, садились вместе. Это позволяет организовать их работу на равных, без деления класса на ведущих и ведомых, на ”учителей” и ”учащихся”, на ”глупых” и ”умных”. Мы думаем, что такие роли более соответствуют нашим воспитательным задачам. А кроме того, мы не уверены, что в классе ровно половина таких учащихся, которым полезно быть ”учениками”, и ровно половина ”учителей”.

В начале урока преподаватель свободен. Он наблюдает за тем, чтобы все учащиеся включились в работу, особо внимателен к слабым парам учащихся. Как только первая пара подготовится, преподаватель спрашивает ее. При этом он одновременно инструктирует учащихся, как опрашивать других. (Ведь если эти люди ответят хорошо, они становятся ассистентами и опрашивают других учащихся). После этого преподаватель опрашивает еще одну пару учащихся. Дальнейший опрос ведут только ассистенты. Желательно, чтобы один и тот же человек (преподаватель или ассистент) не опрашивал более двух пар. Преподаватель вносит в журнал без перепроверки оценки, выставленные ассистентами. Учащиеся, получившие хорошие оценки у ассистентов, также становятся ассистентами. Освободившиеся от работы учащиеся (ассистенты, опросившие две пары, а также учащиеся, опрошенные, но не ставшие ассистентами) получают задание, выписываемое на доске. Полезно давать его как домашнее, тогда учащиеся будут более охотно выполнять его в аудитории.

Не сразу уроки общения становятся привычной формой работы. Первые два-три урока могут пройти неудачно: не все учащиеся будут опрошены. Но не нужно смущаться этим обстоятельством. В случае необходимости можно провести повторный урок, чтобы закончить опрос. Если же осталось опросить двух-трех человек, это можно сделать вне урока, в частности, поручив опрос ассистентам.

Отметим важную роль конспекта на уроке общения. Конспект (созданный на прошлом уроке) должен находиться на доске и помогать учащимся строить свои ответы.

Итак, мы рекомендуем не сетовать на то, что ”они не учат”, а по-другому организовать изучение теоретического материала:

— пока учащиеся не привыкли работать самостоятельно, — давать для домашнего выучивания конспект новою материала и спрашивать его на следующем уроке;

— по мере привыкания учащихся к самостоятельной работе проводить изучение теории на уроках общения.

– ”А они не знают старый материал!”

Учащиеся не знают старого — это плохо. Плохо по любому предмету, а особенно по математике. Для изучения математики надо знать многое из пройденного ранее. Если же говорить о решении задач и доказательстве теорем, то тут вообще невозможно сказать, когда и что именно может натолкнуть человека на открытие решения, позволит понять доказательство. Так что для изучения нового нужно знать вообще все изученное.

Недаром называют математику гимнастикой ума. Как в спорте для получения любого результата необходимо общее физическое развитие, так и в математике для продвижения в любом вопросе нужно общее математическое развитие.

Например, известно, что слабые учащиеся затрудняются в дифференцировании функций, даже имея все формулы перед глазами. В чем тут дело? - в неумении подставить вместо обозначений функций в формулах конкретные функции, данные в примере. Умению подставлять учат с начальной школы, а целенаправленно учат — с 4 класса. Но — не научили. И учащийся не справляется с примерами из математического анализа. То же, хотя и в разной степени, относится к любому математическому материалу. Поэтому естественно указание, имеющееся во всех методических руководствах: повторять старое. Но как именно? Вот об этом нам придется говорить специально.

Существуют разные мнения об организации повторения. Одни считают, что повторять нужно в логике нового материала: повторять лишь тот старый материал, который нужен для изучения нового. (Зачем, мол, повторять то, что не понадобится!) Другие считают, что при таком повторении разрушается логика построения математической науки, так как из старого выхватывается необходимое на сегодня, часто с нарушением последовательности появления этого старого материала в здании математики. А ведь учащиеся не помнят, как вводился старый материал, вот и получается у них извращенное представление об этом. Сторонники первого направления договариваются до того, что повторять надо только в связи с новым. Сторонники второй точки зрения часто требуют, чтобы на уроке было фактически две темы: изучаемая и повторяемая. По-видимому, верный путь лежит посередине. Нужно серьезно повторять старое в связи с введением нового, а кроме того, на отдельных уроках повторять его систематически. В итоге можно добиться того, чтобы учащиеся получали правильное представление о пройденном и чтобы при этом каждый урок имел все же одну, а не две темы. Иначе ведь из-за повторения мы не успеем как следует пройти новый материал и обречем себя на муки с его повторением — ну чем не Тришкин кафтан!

Что же это за повторение в связи с новым материалом? Приведем пример. Знакомя учащихся с интегрированием, преподаватель неминуемо обращается к правилам дифференцирования функций. Часто он делает это, составляя таблицу первообразных, аналогичную той, что дана в учебнике (табл. 1). Считается, что когда такая таблица возникает на доске, то учащиеся припоминают правила дифференцирования. На самом же деле что-либо припоминают только сильные учащиеся. Остальные же ничего не припоминают и не повторяют. Даже если таблица производных находится перед глазами этих учащихся, они могут так и не повторить формулу: воспоминания туманны, а работы с таблицей производных нет. Работа есть с таблицей первообразных. Ее-то и штудируют в это время учащиеся.

Таблица 1

Функция

Общий вид первообразной

На наш взгляд, более правильно - вообще не составлять таблицы первообразных, а находить первообразные по таблице производных (табл. 2).

Таблица 2

Понадобилось найти первообразную косинуса - ищем косинус в строке таблицы производных: ведь первообразная косинуса — это функция, производная которой — косинус. При такой работе формулы дифференцирования повторяются на деле.

Не происходит и нарушения логики изложения пройденного материала, так как учащиеся видят перед собой этот материал в системе: формулы в таблице даны в последовательности их изучения.

Существенно, что такая работа требует изготовления таблицы, вывешиваемой в аудитории. Ясно, что лучше всего, если эта таблица изготовляется на I курсе, при изучении производных. Тогда ее появление на II курсе воспринимается действительно как повторение пройденного. Наличие такой таблицы сильно облегчает подготовку и проведение занятий, связанных с обеими операциями анализа: и с дифференцированием, и с интегрированием.

Можно считать, что настенные таблицы - важное средство преодоления забывания старого материала.

Мы часто говорим о психологии. Но вот известный всем психологам, да и вообще всем людям факт: материальные предметы, вещи помогают вспомнить старое. Старые мелодии напоминают юность, ее аромат, ее события. Старые вещи, реликвии напоминают прошлое и потому так ценятся людьми. Почему же мы, преподаватели, так редко пользуемся этим свойством человека: легче вспоминать в присутствии материальных свидетелей прожитого? Таблица производных была полезна и на I курсе. Она выступала как олицетворение системы знаний. А на II курсе она живо напоминает эти знания. Отсюда простой совет: окружать преподавание такими пособиями (настенные таблицы и др. средства обучения) , которые помогут повторить материал.

Хорошо преподавателям химии: все основное в их науке заключено в трех таблицах: периодическая система, ряд активности металлов и ряд растворимости солей.

Нам, математикам, не удастся на нескольких таблицах даже просто выписать все необходимые учащимся формулы. А ведь нужны еще и таблицы квадратов, и таблицы простых чисел, и многое другое. В распоряжении преподавателя математики должны быть все настенные таблицы, выпускаемые издательством ”Просвещение” для школы. Например, если учащиеся плохо владеют действиями с десятичными дробями, то можно использовать таблицу из серии для 4 класса (рис. 1) или аналогичную ей самодельную таблицу. Повесив ее на боковой стене кабинета, следует каждую ошибку, сделанную учащимися при действиях с десятичными дробями, исправлять, опираясь на таблицу. ”Вы неверно перемножили эти дроби, — говорит преподаватель. — Посмотрите на таблицу, найдите на ней соответствующий пример и исправьте ошибку”. Такая работа эффективнее обычных упреков и призывов вспомнить правило.

Журнал ”Математика в школе” опубликовал (см. № 6, 1984 г. и № 4, 1986 г.) таблицы по действующим учебникам алгебры для 6 и 7 классов. Многие из них полезны для повторения пройденного в ПТУ.

ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ

Рис. 1

Таблицы по алгебре для 8 класса мы приводим на рис. 2—5. Советуем в преподавании геометрии повторять материал, используя настенные таблицы для 6—8 класса, изданные массовым тиражом.

Квадратное уравнение

Дискриминант

Теорема Виета

Рис. 2

График квадратичной функции

Рис. 3

Решение неравенств

Рис. 4

В программе I курса ПТУ специальные часы отведены для повторения. Нужно добиться, чтобы на этих уроках работали все учащиеся и притом каждый работал в свою силу. Сделать это можно по-разному. В качестве одного из методов предлагаем следующий.

Выделив из всего пройденного материала наиболее важные темы, отводим на каждую по одному уроку. Например, по алгебре можно остановиться на таких темах для повторения:

Степени и корни

Рис.5

1. Рациональные числа и действия над ними.

2. Формулы сокращенного умножения.

3. Алгебраические дроби.

4. Степени и корни.

5. Функции и графики.

Каждый из этих уроков повторения проводим по следующей схеме.

Начинается урок с математического диктанта. Диктант проводится в два варианта. Сразу по его окончании листки отбираются, а по копиям, полученным в рабочих тетрадях (диктант пишется под копирку), проводится проверка результатов. Преподаватель сообщает верные ответы, учащиеся делают необходимые пометки, а затем учащиеся сообщают, у кого из них все ответы верные. Таких учащихся обычно набирается немного. Преподаватель тут же проверяет их работы. В случае, если все действительно верно, учащемуся ставится пятерка. Остальные диктанты не проверяются.

Учащиеся, не получившие пятерок за диктанты, продолжают работать над темой урока. Преподаватель повторяет с ними материал и способы решения задач, а в конце урока дает небольшую самостоятельную работу. Те учащиеся, которые успевают сделать ее до конца занятия, сдают работу. Преподаватель сразу просматривает ее и в случае, если решение совершенно правильно, ставит учащемуся четверку. Остальные учащиеся доделывают ту же работу дома. Назавтра они сдают эту домашнюю работу. Если работа выполнена качественно, учащийся получает за урок оценку ”три”. В противном случае он сдает этот материал дополнительно.

В этой схеме нам кажется привлекательной дифференциация работы. В частности, учащиеся, получившие пятерку (т.е. сразу показавшие знание материала), освобождаются от ненужной для них работы по решению дополнительных задач. Преподаватель дает им для решения задания повышенной трудности, либо использует их как своих ассистентов для помощи слабым учащимся. Учащиеся, получившие четверку или пятерку (т.е. показавшие знание материала в течение урока), освобождаются от домашней работы.

Материалы для проведения уроков повторения по вышеупомянутым темам — это тексты математических диктантов, таблицы, упражнения для подготовки к самостоятельной работе, тексты заданий для самостоятельной работы. Приведем тексты математических диктантов по каждой теме. Мы даем их в двух вариантах. Первый вариант печатается здесь полностью, а разночтения для второго варианта указаны нами в квадратных скобках. При записи диктантов на магнитофоне, а также при чтении их в классе самим преподавателем каждый вопрос повторяется дважды (через слово ”повторяю”). Никаких пауз между вопросами делать не следует. Времени, когда повторяется вопрос и когда читается вопрос другого варианта, вполне достаточно для записи ответа.

Устную подачу заданий бывает нужно сопровождать записями и чертежами на доске. Это относится к случаям, когда диктуются сложные

числовые и буквенные выражения, а также к диктантам по геометрии. Однако злоупотреблять записями не следует: важно вырабатывать умение слушать, воспринимать задание на слух.

Первые задания первого диктанта мы даем в краткой и в полной записи.

Разумеется, эти тексты имеют ориентировочный характер. Их можно варьировать и по трудности, и по типам заданий.

ДИКТАНТ 1

Рациональные числа и действия над ними

1. Запишите числа 8, -0,3, 0, 2 —, тг, 7 [0, -Зу, °>6> -П, 6» \Д1 Подчеркните рациональные числа одной чертой, натуральные числа - двумя чертами.

Вариант 1

Задание 1. Запишите числа -8, -0,3, 0, 2 — , я, 7. Подчеркните рациональные числа одной чертой, натуральные числа - двумя чертами. Повторяю.

Запишите числа -8, -0,3, 2 —, я, 7. Подчеркните рациональные числа одной чертой, натуральные числа - двумя чертами.

Вариант 2

Задание 1. Запишите числа 0, -3-, 0,6, -17, 6, у/Т. Подчеркните рациональные числа одной чертой, натуральные числа - двумя чертами. Повторяю. Запишите числа 0, -3 у, 0,6, -17, 6, у/3. Подчеркните рациональные числа одной чертой, натуральные числа - двумя чертами.

2. Сравните дроби

3. Найдите сумму дробей

4. Найдите частное дробей

5. Найдите сумму десятичных дробей -72,8 и 3,94 [-4,94 и 49,3].

6. Найдите произведение десятичных дробей -2,8 и -0,03 [3,7 и -0,03].

7. Найдите отношение десятичных дробей 2,89 и -1,7 [-4,41 и -2,1].

8. Начертите координатную прямую и отметьте на ней числа 0, 1, -2, 1,5 и-1,5 [0,1,-3,0,5, -2,5].

ДИКТАНТ 2

Формулы сокращенного умножения

1. Представьте в виде многочлена стандартного вида произведение разности Ъа-Sb [суммы 2х + Ъу] и суммы 5Ь + За [разности Зу-2х].

2. Представьте в виде многочлена стандартного вида квадрат двучлена Зх2-5у [2а-1Ь21

3. Найдите значение выражения 201 [301 ].

4. Разложите на множители многочлен 4а*2 - 9у6 [9у8 - Ab2].

5. Найдите значение выражения 1192 - 1092 [2232 - 1232].

6. Представьте многочлен а2 - \0аЬ + 25Ь2 [49х2 + 14ху + у2) в виде квадрата двучлена.

7. Представьте в виде многочлена стандартного вида произведение суммы x и V [разности а - Ь] и неполного квадрата разности х и у [суммы а + Ь].

8. Разложите на множители многочлен 8х3 + 27 [27с3 - 8].

ДИКТАНТ 3

Алгебраические дроби

1. Какие значения переменной являются допустимыми для выражения

2. Запишите дробь с числителем и сократите ее.

3. Сложите дроби

4. Найдите частное дробей

ДИКТАНТ 4

Степени и корни

1. Упростите выражение ais • а2 [х14 : х2].

2. Упростите выражение (23)30 [(З2)20).

3. Упростите выражение Ь16 : Ь4 [у5 • у ].

4. Запишите в виде степени К/у3 [ \jan ].

5. Запишите в виде корня a [b ].

6. Извлеките возможно большее целое, число из-под знака радикала n/24 К/27].

7. Запишите в виде корня 5 <J2 (3 \J5 ].

8. Упростите \/3\Л I V\/7 ]

ДИКТАНТ 5

Функции и графики

Посмотрите на график (для первого варианта на клетчатой доске вычерчивается заранее график, изображенный на рис. 6, а, для второго варианта -график на рис. 6, б) и ответьте на вопросы.

1. Какова область определения данной функции?

2. Какова область значений данной функции?

3. В какой точке график пересекает ось ординат?

4. В каких точках график пересекает ось абсцисс?

5. При каких значениях независимой переменной функция положительна отрицательна] ?

6. При каких значениях независимой переменной функция убывает [ возрастает] ?

7. Постройте график функции у = 2х - 4 [у = -2х + 2].

8. Постройте график у - х2 - 1 \у = х2 - х].

Рис.6

Настенные таблицы к этим пяти урокам повторения приведены на рис. 1, 5, 7, 8 и 9.

ДЕЙСТВИЯ С ДРОБЯМИ

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ

Рис.7

Действительные числа

Рис.8

Формулы сокращенного умножения

Рис.9

Данные таблицы следует вывешивать в кабинете всякий раз, когда будет необходимо вспомнить снова этот материал.

Кажется излишним приводить здесь задания для проведения самостоятельной работы. Мы считаем, что они должны быть однотипными с заданиями диктантов, однако могут отличаться от них по сложности преобразований. Самостоятельная работа проводится по вариантам. В каждом варианте удобно иметь по пять заданий. Первые четыре задания из пяти — элементарные (на уровне обязательного минимума, опубликованного в журнале ”Математика в школе”, № 2 и 3, 1985). Пятое задание - более сложное. В зависимости от уровня знаний учащихся преподаватель может требовать для получения оценки ”четыре” решения только первых четырех заданий, либо решения всех пяти заданий.

В заключение нашего разговора о повторении остановимся еще на одной ситуации, часто возникающей в преподавании математики. Вдруг выяснилось, что учащиеся плохо знают какой-либо важный материал (например, не умеют или плохо умеют читать графики). В таком случае мы не видим необходимости устраивать какое-то дополнительное обучение, а считаем целесообразным постоянно включать вопросы по этому материалу в ту ”умственную гимнастику”, с которой многие преподаватели начинают свои уроки. Скажем, можно вывесить в классе таблицу ”Графики линейных функций” (рис. 10) и каждый раз в диктант включать такие вопросы:

— Посмотрите на таблицу и укажите, на каком рисунке дана возрастающая функция с положительным корнем (учащиеся указывают номер графика на рисунке 10).

- Посмотрите на таблицу и укажите, на каком рисунке дана функция у = ах 4- Ъ с положительным Ъ и нулевым я? И т.д.

Существенно, что приведенная таблица не содержит никаких подсказок. Она лишь предоставляет материал для разнообразных вопросов о линейной функции. Точно так же можно использовать аналогичные таблицы с квадратичными функциями (рис. 11,12).

Графики линейных функций и=ах+Ь

Рис. 10

Очень важно, чтобы учащиеся хорошо помнили значения тригонометрических функций углов 30, 45 и 60°. Этому помогает совсем простенькая таблица, приведенная на рис. 13. На ней не указаны значения этих функций, однако можно быстро их найти. Преподаватель, имеющий на стене такую таблицу, может каждый раз, когда учащийся забудет, чему равен, скажем, tg 30°, задать ему такие вопросы:

— По какой таблице, висящей в кабинете, можно найти tg 30°?

— Какой треугольник (первый или второй, левый или правый, синий или красный — в зависимости от того, как начерчены таблица) нужно использовать?

— Отношением каких отрезков является тангенс острого угла прямоугольного треугольника?

— Выпишите необходимое отношение.

Нам приходилось пользоваться этой таблицей в разных аудиториях — от школы рабочей молодежи до математических классов. И всюду она

Графики квадратичных функций

Рис. 11

Графики квадратичных функций

Рис. 12

приносила учащимся большую пользу: находя то или иное забытое значение функции, они невольно вспоминали теоретический материал.

Таким образом, проблему ”они не помнят старое” мы считаем разрешимой и предлагаем три основных рецепта ее решения: повторительные уроки в начале курса; математические диктанты в течение года (математическая разминка), включающие необходимые вопросы; настенные таблицы, на которых зафиксирован необходимый материал.

Рис. 13

– ”А они не умеют решать задачи!”

Это очень распространенная жалоба. И это очень распространенный факт. Умению решать задачи всегда придавалось большое значение. Во многих вузах экзамены по математике вообще только письменные. Альтернатива ”подготовлен — не подготовлен”, ”знает — не знает” решается не опросом, включающим теоретический материал, а работой, состоящей исключительно из задач. И в этом есть свой резон: человек, решающий задачу, проявляет не просто знание теории, но и умение ее применить. А кроме того, он демонстрирует умение разобраться в условиях задачи и выбрать тот теоретический материал, который нужен для ее решения. Правда, при этом не проверяется понимание строения теоретической дисциплины, ее логики, не проверяется знание доказательств теорем. Но сейчас мы говорим не об этом. Мы лишь отмечаем важность умения решать задачи.

Однако что это такое - умение решать задачи? Это прежде всего умение осознать ее условия. В этом смысле задачи можно разделить на три группы.

К первой группе мы отнесем те задачи, в тексте которых даны прямые указания о требуемых действиях: выразите в радиальной мере угол 330°; с помощью микрокалькулятора найдите aresin (-0,73);

исследуйте функцию у - х + — и постройте ее график; решите уравнение За2 + 85л: + 82 = 0; постройте сечение куба плоскостью, проходящей через вершины, указанные на данном чертеже,— все это примеры задач с прямым указанием пути решения. Разумеется, чтобы решить любую из этих задач, нужно знать соответствующий материал. Но если учащийся этот материал знает, то решение каждой из этих задач - дело

техники. Ведь в учебниках математики прямо написано, как решать такие задачи. В их условиях нет ни одного слова, ни одной ситуации, которые не отражались бы явно в соответствующих разделах курса. Чтобы решать такие задачи, нужно лишь знать теоретический материал.

То, что многие учащиеся не умеют решать даже таких задач, говорит лишь о незнании теории. Поэтому вместо жалоб: ”не умеют решать” нужно поместить в поле зрения учащихся необходимый теоретический материал и показывать, как им пользоваться при решении задач прежде всего этой, первой группы. Если решаются однотипные задачи, то такая мера не только естественна, но и общепринята. Если же решаются задачи из разных частей курса, то предлагаемая мера еще более необходима. Ведь перед глазами учащихся оказывается тогда большое число разнообразных фактов, соотношений, правил, из которых нужно выбирать те или иные, нужные для решения сначала первой задачи, потом второй и т.д.

Лучше всего, если необходимый материал предстанет перед учащимися не в виде надписей на доске, а в настенных таблицах. Планомерный поиск необходимого материала на таблицах по существу моделирует поиск нужного материала вообще. И если материал этот найден, то осталось осуществить подстановку - и задача решена.

Ко второй группе задач мы относим задачи, требующие применения нескольких разнородных фрагментов теории. Иногда это задачи со звездочкой (см., например, задачу 25* из учебника ”Алгебра и начала анализа 9-10”, 1986). Но бывают в этой группе и нетрудные задачи. Их решение организуется так же, как и решение задач первой группы. Но только при поиске необходимого теоретического материала преподаватель должен проявить еще больше внимание к учащимся, объясняя, что одного необходимого фрагмента одной необходимой таблицы здесь недостаточно. Еще лучше показывать, как именно срабатывает этот фрагмент и чего не хватает. Такой анализ подводит к овладению умением решать задачи третьей группы.

Задачи третьей группы — это задачи, о содержании которых в учебниках не говорится. Для их решения нужно еще перевести их тексты на язык учебника - смоделировать условия. К таким задачам прежде всего относятся текстовые задачи. Это задачи, решаемые с помощью уравнений, задачи на нахождение наибольших и наименьших значений и многие другие. Главное, чего трудно добиться от учащихся, - отчетливое понимание самого текста, самого условия задачи. Приходится констатировать, что учащиеся ПТУ, решающие задачи о наименьших и наибольших значениях функций, недалеко ушли от четвероклассников, решающих задачи с помощью уравнений.

В четвертом классе мы дали такую задачу: ”На двух полках 100 книг, причем на верхней книг в 4 раза меньше, чем на нижней. Сколько книг на нижней полке?” Тем учащимся, которые не смогли решить эту задачу, мы предложили угадать ответ. Догадки были самые нелепые: 25 книг, 20 книг. Дети, по существу, не видели ситуацию, о которой говорится в задаче.

Но разве не то же наблюдается при решении задач на максимум и минимум? Попросите учащихся, не умеющих решить задачу о максимальной площади прямоугольника, вписанного в данную окружность, угадать ответ. Как правило, догадка будет нелепой.

Как же поступает преподаватель, видя, что учащийся не умеет приступить к решению текстовой задачи? Он просит нарисовать, изобразить наглядно ситуацию, представленную в тексте. Для задач на максимум и минимум такой естественной ”картинкой” является график. Вообще желательно каждую такую задачу сопровождать эскизом графика исследуемой функции.

Приведенная классификация задач на три группы помогает организовать обучение решению задач. Мы добиваемся умения решать задачи первой группы, организуя поиск необходимого теоретического материала. Затем мы добиваемся умения решать задачи второй группы, усложняя этот поиск. Наконец, при решении задач третьей группы мы учим моделировать ситуацию, используя чертежи, а также схемы и другие наглядные средства.

Такой четкий путь: от умения решать задачи первой группы к умению решать задачи третьей группы - можно реализовать лишь в индивидуальном обучении (что и делают некоторые репетиторы, давая вначале только задачи первой группы и оставляя на конец курса задачи текстовые). Но при обучении всего класса мы сталкиваемся с необходимостью одновременно, вперемежку решать задачи разных групп. Тем более важно иметь для этого все необходимое: предусмотреть нужные настенные таблицы с материалом, о котором пойдет речь в задачах, с графиками, которые понадобятся при решении задач на максимум и минимум, и т.д. Важно заранее продумывать, какие чертежи, рисунки, схемы будут создаваться, если встретятся затруднения в решении задач.

Приведенные советы имеют весьма приблизительный и общий характер. Подробным и глубоким исследованиям о том, что такое математическая задача и как учить ее решать, посвящено много работ советских и зарубежных авторов. Все они сходятся на том, что необходима большая и разносторонняя практика решения задач с опорой на необходимые ориентиры. При этом желательно обсуждать пути решения задач при активном участии каждого учащегося.

Организовать такое обсуждение в классе можно по-разному. Но при этом нужно учитывать, что каждый учащийся решает задачу в своем темпе, а иногда и своим способом. Если же каждая задача обсуждается у доски, то это может приводить к простому переписыванию ее решения частью учащихся. Правда, известная московская учительница С.Н. Лысенкова практикует именно такое решение задач, когда его ведет сам учитель либо сильный ученик. Но она работает в начальной школе. Для старшеклассников и для учащихся ПТУ требуется уже другой уровень самостоятельности.

Поэтому мы считаем фронтальные методы решения задач недостаточно эффективными. Они хороши лишь при разъяснении новых мето-

дов решения задач (т.е. нового теоретического материала), но не при самом решении.

Индивидуальная работа также не вполне соответствует указанным целям. Ведь если каждый учащийся будет работать индивидуально, то как организовать обсуждение решения? Кажущийся простым выход из положения, когда после индивидуального решения следует фронтальное обсуждение, малопригоден: некоторые учащиеся во время индивидуальной работы бездельничают, а во время фронтальной - списывают решение с доски.

Но кроме фронтальных и индивидуальных методов известны методы коллективной работы. Коллективная работа отличается тем, что учащиеся работают не только сами по себе и не только с учителем, но и друг с другом. Среди различных форм коллективной работы наиболее просто организовать работу в парах. Это форма, органично соответствующая распределению учащихся в классе, по двое за столом. Вместе с тем у этой формы, как оказывается, большие возможности: учащиеся могут сотрудничать, помогать друг другу в работе, контролировать работу друг друга. Работа в парах имеет большое воспитательное значение. Снимается антагонизм между требованиями к учащимся в жизни и на уроках (в жизни: помогайте друг другу; а на уроке: не помогайте друг другу в жизни: стремитесь к общению, а на уроке: не общайтесь). Учащиеся привыкают к сотрудничеству, заинтересовываются успехами товарища.

Деление на пары можно производить по-разному: на пары учащихся с разными и с одинаковыми функциями. Пара с разными функциями — это пара типа ”учитель — ученик”. Один учащийся объявляется ведущим, другой — ведомым. Пара учащихся с одинаковыми функциями — это пара типа ”сотрудник — сотрудник”. Расскажем о наиболее простых и в то же время весьма эффективных вариантах работы с тем и другим способами деления учащихся на пары, о том, как используются эти способы для обучения решению задач.

При делении на пары с одинаковыми функциями требуется, чтобы силы учащихся, образующих пару, были примерно одинаковыми. Преподаватель рассаживает учащихся по этому принципу. (Надо сказать, что обычно они и сами рассаживаются именно так, поэтому пересаживать приходится небольшое число учащихся.) После этого преподаватель выписывает на доске задание. Обычно это номера задач из учебника. Преподаватель разъясняет, что и как будет оцениваться в этой работе, дает необходимые указания, быть может, выписывает на доске нужные формулы и т.д. Он предупреждает, что задачи нужно решать совместными усилиями обоих учащихся, сидящих за одним столом. Учащиеся приступают к работе. Учитель обходит класс, помогая самым слабым.

Как только какая-либо пара подготовится, преподаватель опрашивает ее. Конечно, дозировать задание нужно так, чтобы самые сильные пары успели закончить работу за 15—20 мин до конца урока. Во время опроса преподаватель проверяет наличие решения всех задач в тетрадях

обоих учащихся. Каждый учащийся рассказывает о решении хотя бы одной из задач. Важно, чтобы пары, опрашиваемые преподавателем, хорошо поняли, что именно важно в решении. Это существенно потому, что хорошо ответившие учащиеся сами становятся ассистентами преподавателя и начинают опрашивать других. Словом, урок идет так же, как урок общения по теоретическому материалу. Имеются, однако, некоторые различия в их построении. Ведь если некоторые пары справятся не со всеми заданиями, то ничего страшного в этом нет. Можно и объявить заранее, что те, кто решит все задачи, получат пять, а кто не решит одной задачи, - четыре, а кто не решит двух задач, - получает три. Это облегчает проверку результатов. Скажем, за пять минут до конца урока можно просто обойти всех еще не ответивших учащихся и оценить те задачи, которые они успели решить (в таком обходе принимают участие ассистенты).

Описанный урок весьма удобен для организации тренировочного решения задач. Мы считаем, что он может быть использован как наиболее массовая форма тренировки.

Но бывают ситуации, когда работа на равных внутри пары не дает должного эффекта. Это происходит тогда, когда учащиеся не овладели еще новым для них приемом решения задач. Тогда нужно рассадить их по принципу ”сильный - слабый”, считая задачей ”сильных” обучение ”слабых”. Это можно сделать, например, так.

На доске выписываются номера задач, которые нужно решать (именно так: не решить, а решать). Все учащиеся приступают к работе, каждый в своей тетради решает первую задачу. Решение каждой задачи обсуждается в паре отдельно. После урока преподаватель отбирает работы для проверки. Если выясняется, что ”сильный” решил больше задач, чем ”его слабый”, более чем на одну, он получает неудовлетворительную оценку: ведь это значит, что он решал задачи сам, не объясняя соседу.

В такие (гетерогенные) пары рассаживаются не все учащиеся (где взять ровно половину сильных и ровно половину слабых?), а именно самые сильные с самыми слабыми. Остальные же работают в гомогенных парах (равные с равными).

При работе с классом важно следить за отстающими, т.е. за теми учащимися, которые по разным причинам запаздывают в приобретении навыков работы по математике. Обычно говорят, что они ”тянут класс назад”. Эту фразу можно понимать так: понижают показатели. Но такая трактовка нас попросту не интересует. Другое дело, что работа с ними на уроке задерживает общее движение. При общем нашем отрицательном отношении к домашним заданиям мы считаем необходимым давать таким учащимся индивидуальные домашние задания. Эти задания, разумеется, должны быть небольшими по объему (о нормах затрат времени на домашнюю работу мы уже говорили - она не должна превышать 20-25 мин в день). Задания должны быть тренировочными: одна-две легкие задачи ежедневно. Важно, чтобы все такие работы сдавались преподавателю для специальной проверки. Тогда не будет сомнений и гада-

ний ”спросят — не спросят, проверят — не проверят”, и учащийся будет твердо знать: то, что ему задано, будет проверено.

Итак, обучение решению задач — это многоплановый процесс. Здесь важно организовать работу по привлечению теоретического материала и поиску его, по моделированию текстовых задач, наладить совместную деятельность учащихся в классе и (в необходимых случаях) наладить выполнение домашних заданий отдельными учащимися.

– ”А они ничего не понимают!”

И эта жалоба — очень распространенная. Преподаватель излагает материал, а глаза у учащихся — пустые. Он просит решить задачу, а учащиеся не могут понять даже условий. Он показывает решение, а учащиеся не в состоянии его продолжить, ну прямо-таки ни с какого места. Как быть?

Прежде всего ясно, что данная проблема имеет ключевое значение. Если непонятно, о чем говорится на уроке, то о каком же обучении может идти речь вообще?

Но что такое понимать? Понимать можно с различной глубиной. Даже фразу ”дважды два четыре” учащийся и преподаватель математики понимают не с одинаковой глубиной (например, преподаватель знает, что ”2 • 2 = 4” — теорема в аксиоматике Пеано, в то время как ”3 + 1 = 4” -определение числа 4; учащиеся же обычно этого не знают). Тем более это относится к фактам, изучаемым в курсах математического анализа или стереометрии.

Из всех толкований слова ”понимать” наиболее полезным кажется такое: ”понять — это привыкнуть и научиться пользоваться”. Мы и его сократим: понять — это привыкнуть пользоваться, и в таком виде будем толковать это важное для нас слово.

Сидя на уроке и слушая объяснение нового материала, учащиеся часто не успевают ни привыкнуть к изложенному понятию или свойству, ни научиться им пользоваться. Ибо очень часто преподаватель рассказывает материал в лекционной, монологической манере, нанизывая все новые и новые детали на еще не усвоенное или на усвоенное не до конца. К такому изложению призывают даже некоторые методисты и методические руководства: излагайте, мол, материал монологически, чтобы ваши вопросы не нарушили логики изложения. Однако в изложении даже самых кратких пунктов и параграфов курса математики ПТУ обязательно встречается несколько взаимно связанных, вытекающих друг из друга мыслей. И для того чтобы быть готовым к восприятию новой мысли, учащийся должен овладеть (привыкнуть пользоваться) всеми предыдущими. Ведь обычно новая мысль базируется на ранее

высказанных, сама является применением, использованием их. Отсюда вытекает естественное требование: перед высказыванием новой мысли создать у учащихся если не привычку, то хоть некоторый опыт использования ранее высказанных мыслей. Необходимо отказаться от монологической формы изложения как от вредной, создающей лишь иллюзию внешнего благополучия, и максимально стремиться к эвристической беседе в процессе изложения нового материала. Перед переходом к (п + 1)-му кванту материала нужно организовать работу с п-м квантом.

Чтобы последняя фраза не оказалась пустой, нужно договориться,

1) что считать квантом материала;

2) что значит ”работа” с таким квантом.

Курсы алгебры и начал анализа и стереометрии состоят из аксиом, определений, теорем и методов (алгоритмов) решения задач. Если добиться понимания этих основных составляющих курса, то будет решена проблема понимания курса в целом. Отсюда получается, что квантом нового материала должна считаться каждая аксиома, либо теорема, либо определение, либо вновь сообщаемый метод решения задач. Если, например, необходимо изложить несколько теорем, относящихся к той или иной проблеме, то можно охарактеризовать их в целом, в системе, в начале изложения или в конце его, но сами теоремы излагать по одной, переходя к следующей лишь после отработки предыдущей.

Итак, если учащиеся обнаруживают непонимание нового материала, то нужно переходить к его изложению квантами: теорема — отработка — теорема — отработка — определение — отработка и т.д.

В курсе стереометрии такое членение материала выглядит совершенно естественно. В частности, вопросы, имеющиеся в конце параграфа учебника, позволяют легко квантовать содержащийся в нем материал. Но то же относится и к курсу алгебры и начал анализа. И хотя определения и теоремы в нем не всегда выделены и названы именно этими словами, нам нужно их выделить. И опять-таки мы можем опереться в этой работе на вопросы, имеющиеся в учебнике в концах глав. Объем книжки не позволяет углубиться в описание доводов, приводящих к тому или иному квантованию материала. Поэтому мы просто приведем его результаты. Разумеется, не всегда они покажутся бесспорными. Быть может, кто-нибудь из преподавателей расклассифицирует какой-нибудь пункт учебника иначе, чем мы. Все же надеемся, что в качестве отправной точки для работы наша классификация окажется полезной. Итак, перечислим пункты учебника и входящие в них определения, теоремы, алгоритмы.

Определения обозначим буквой О, теоремы — буквой Т, алгоритмы -- Ал с указанием номера внутри данного пункта. Необязательный для изучения материал мы опускаем.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА

Oi. Радиан. 02. Единичная окружность. 03. Синус. 04. Косинус. 05. Тангенс. 06. Котангенс. 07. Линия тангенсов. Ti. Область определения синуса. Т2. Область определения косинуса. Т3. Область значений синуса. Т4. Область значений косинуса. Т5. Область определения тангенса. Тб. Область определения котангенса. Т7. Область значений тангенса. Т8. Область значений котангенса. Og. Синусоида. 09. Тангенсоида.

ФУНКЦИЯ

Oi. Функция. 02. D(f). О3. E(f). О4. График функции. 05. Возрастающая функция. 06. Убывающая функция. 07. Четная функция. 08. Нечетная функция. TV Симметрия графика четной функции относительно оси ординат. Т2. Симметрия графика нечетной функции относительно начала координат.

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ

Oi. Точка минимума. 02. Точка максимума. Оз. Экстремум. Ajii. Схема исследования функции.

ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Oi. Периодическая функция. Ti. Наименьший положительный период синуса и косинуса. Т2. Наименьший положительный период тангенса и котангенса.

АРКСИНУС, АРККОСИНУС И АРКТАНГЕНС

Ti. Теорема о корне. Oi. Арксинус. 02. Арккосинус. 03. Арктангенс.

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ

Ох. Предел функции в точке.

ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ

Oi. Приращение аргумента.

02. Приращение функции. Тх. Геометрический смысл отношения приращений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Oi. Производная функции в точке.

ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

Oi. Непрерывная функция. TV Непрерывность дифференцируемой функции. Т2. Свойство непрерывных функций. Ani. Алгоритм решения неравенств методом интервалов.

КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

0\. Определение касательной к графику функции. TV Уравнение касательной. Т2. Теорема Лагранжа.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

ПРОИЗВОДНАЯ В ФИЗИКЕ И ТЕХНИКЕ Oi. Мгновенная скорость. 02. Ускорение.

ПРИЗНАК ВОЗРАСТАНИЯ (УБЫВАНИЯ) ФУНКЦИИ

Ti. Достаточное условие возрастания функции. Т2. Достаточное условие убывания функции. Алх. Алгоритм исследования монотонности.

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ, ЕЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ

Oi. Критические точки. Тх. Теорема Ферма. Т2. Признак максимума функции. Т3. Признак минимума функции.

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

Ал1. Схема исследования функции на возрастание и экстремум.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Ал1. Способ отыскания наибольшего и наименьшего значения функции.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Oi. Вторая производная. 02. Гармоническое колебание. Тх. Решение уравнения гармонических колебаний.

Из таких же ”кирпичиков” состоит и курс стереометрии. Кроме трех аксиом во введении к курсу (аксиомы Сх, С2 и С3) он состоит из определений, теорем и методов (алгоритмов) решения задач. Поскольку в учебнике геометрии эти предложения так и называются определениями и теоремами (лишь иногда вместо слова ”теорема” говорится слово ”свойство”), то мы позволим себе не перечислять их здесь.

Так вот. Для того чтобы ”они понимали” излагаемый материал, нужно прежде всего работать над его структурированием. На доске должен появляться не только план изложения (состоящий из перечисления входящих в него определений, теорем, алгоритмов, аксиом), но и краткая запись самих этих предложений или их наглядная интерпретация.

Большие затруднения у преподавателей и учащихся вызывает изучение тригонометрии. В частности, пункт 1 учебника содержит наибольшее число определений и теорем. Если бы позволяло время, нужно было бы каждое из этих предложений подвергнуть специальной обработке. Такой отработке подвергнуто в учебнике определение радиана: даны формулы перевода градусной меры в радиальную и обратно. Но уже следующее определение — единичной окружности — остается без отработки. Ее можно было бы организовать, предложив учащимся такие задания:

1. При каком условии любую данную окружность можно считать единичной?

2. Чему равна длина единичной окружности?

3. Чему равна длина половины единичной окружности?

4. Чему равна длина четверти единичное окружности?

5. Чему равны длины дуг с концами в отмеченных точках единичной окружности? (Дается рисунок на доске.)

Каждый раз нужно требовать развернутого ответа, начинающегося словами: ”Так как радиус единичной окружности равен единице длины, ...”.

Отрабатывая определение синуса и косинуса, нужно решать две взаимно обратные задачи: вычисление синуса (косинуса) по значению угла и определение угла (данной четверти) по значению функции. Собственно, речь идет не о вычислении, а о нахождении приближенных значений на таблице (рис. 14). Каждое такое действие должно сопровождаться объяснением: ”Так как синус (косинус) - это. . .”. Указанные задания должны быть совершенно понятны учащимся перед введением тангенса. Иначе произойдет то, что называется ”они не понимают”. В частности, должно быть отработано определение линии тангенсов через отработку алгоритма нахождения тангенса данного угла и угла по данному тангенсу.

Если указанная работа проделана, то теоремы этого пункта доказываются легко и никакого непонимания не вызывают.

Значения тригонометрических функций

Рис. 14

Важным условием отработки является фиксация каждого определения и каждой теоремы. Без такой фиксации невозможно добиться осознания проделанной работы. Мы рискуем тогда, что учащиеся, даже решившие поставленные перед ними задания, забудут, что именно они уже сделали. Фиксировать определения желательно всегда в одной и той же форме:

(термин) «*■ (необходимые и достаточные условия).

Фиксировать теоремы также желательно в одинаковой форме: (условие) -> (заключение).

Мы намеренно не пользуемся здесь логическими символами эквивалентности (о) и импликации (=>), так как не всегда удобно выписывать эти предложения как связи между высказываниями. Используемые нами односторонние и двусторонние стрелки имеют смысл общеупотребительных слов ”означает то же самое” и ”приводит к”. Вот записи в краткой форме предложений из первого пункта учебника.

01. (Радиан) (Дуга в 1 радиус).

02. (Единичная окружность) (Окружность радиусом 1).

03. (Синус числа а) (Ордината точки а единичной окружности).

04. (Косинус числа а) (Абсцисса точки а единичной окружности).

05. (Тангенс числа а) (Отношение синуса а к косинусу а).

06. (Котангенс числа а) (Отношение косинуса а к синусу а).

07. (Линия тангенса) (Координатная прямая, касательная к единичной окружности в крайней правой точке, имеющая в этой точке начало, положительное направление вверх и единичный отрезок, равный радиусу).

Ti. (/ - синус) -+(D(f) = R). И т.д.

Ясно, что не всегда такая форма удобна. Более того, одни преподаватели считают эту форму в некоторых случаях удобной, а другие в тех же случаях неудобной. Например, последнюю строчку многие предпочтут записать иначе : D (sin) = R, или даже (что менее точно) : х G Я Мы не настаиваем на обязательном внедрении вышеприведенных записей во всей их полноте. Но отметим, что желательно все теоремы записывать одинаково, выделяя в них всегда условие и заключение. То же относится к записи определений. Применяя одинаковые записи этих видов математических предложений, мы учим анализировать математические тексты, конспектировать их.

Мы не случайно сказали, что все эти предложения проходят лишь при наличии времени. Именно на первый пункт учебника такого времени нет. Поэтому преподаватель будет вынужден часть работы провести в более быстром темпе, чем следовало бы. Но тогда тем более необходимо воспользоваться таблицами (рис. 14, 15), на которых отмечены, зафиксированы, обозначены все необходимые элементы этого материала. К сожалению, учащиеся из-за недостатка времени не проводят сами все необходимые действия, но те действия, которые осуществляет на их глазах преподаватель, будут выполняться с опорой на наглядное изображение.

ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Рис. 15

Заметим, что сказанное об отсутствии времени на отработку относится только к первому, повторительному разделу курса алгебры и начал анализа. Уже начиная с пункта 3 (Функция) необходимо фиксировать на доске все предложения курса. И все их отрабатывать. Это делает материал не только понятным, но и усваиваемым прямо на уроке. Вместо того чтобы решать на уроке задачи ”по образцу”, не умея сослаться на теорию (ибо она еще не усвоена и, значит, не может служить опорой), - вместо этого учащиеся будут решать задачи, опираясь на теорию, записанную на доске. Приводим конспекты всего материала, не считая их, конечно, единственно возможными.

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

I курс

ФУНКЦИЯ

0\. (Функция) +> (Однозначное соответствие).

02. (Р (/))** (область определения функции /).

03. (Е (/)) ++ (Область значений функции /).

04. (График у = / (*)) *+ (Множество всех точек (х; f (х) ).

05. (/(*) возрастает) ~ ((дсх <х2)~></(*i)</(*2))). Об (fix) убывает) ~((*i < х2) - (f(Xl) > f(x2))).

О7. (/(х) - четная) **• (D (f) симметрична относительно 0 и /4-х) = /(х) для всех x(ED (/)).

Ое- (fix) - нечетная) <-►(/) (/) симметрична относительно 0 и f (-х) = -/(х) для всех x е£> (/))•

Ti. (/(*) - четная) -* (График /(*) симметричен относительно 0.у) (рис. 16). Т2. (f(x) - нечетная) -* (График f(x) симметричен относительно 0) (рис. 17).

Рис. 16 Рис. 17

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ

01. (xq - точка минимума/(*)) ** (/(*) > f (х0) для всех х вблизи xq).

02. (х0 - точка максимума /(*)) ** (/(х) < /(*о) для всех х вблизи х0). Оз- (хо - точка экстремума)** (х0 - точка максимума ИЛИ xq - точка минимума).

Ал1- Исследовать функцию / - значит:

1) найти D (О и E(f);

2) определить, является ли / четной или нечетной;

3) найти точки пересечения графика / с осями координат;

4) найти промежутки знакопостоянства;

5) найти промежутки возрастания и промежутки убывания;

6) найти точки экстремума;

7) определить, как изменяются значения функции при неограниченном возрастании I x I ;

8) построить график или его эскиз.

ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Oi. (fix) - периодическая с периодом Т Ф 0) *+ (если хе D (/), то и (х ± 71) G е£> (/) И fix + T)=f(x) для всех х t=D (f) ).

Ti. Число 2я - наименьший положительный период синуса и косинуса.

Т2. Число л- - наименьший положительный период тангенса и котангенса.

АРКСИНУС, АРККОСИНУС И АРКТАНГЕНС

Т\. if возрастает (или убывает) на J) -> (Уравнение f(x) = а не может иметь на / более одного корня).

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Рис. 18

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

Рис. 19

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ

0\. Пусть для любого h > О можно найти такое число к, что при \ х - а \ < к выполняется неравенство I /(*) - L \ < к Тогда говорят, что функция / стремится к пределу L при х, стремящемся к а, и пишут:

ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ

0\. (ах - приращение аргумента в точке jc0) ** (ах = х - *о).

О2. (A/(jc) - приращение функции, вызываемое приращением аргумента

Д*)~(Д/(х) = /(хо + Д*) -/С*о)>-

Tj. (Д/ - приращение функции, вызываемое приращением аргумента Ах)-+

Рис. 20

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Д/(*о)

Oi. (Существует lim -) ** (Функция / - дифференцируема в точке х0; число /' (xq) = lim - - производная f (х) в х0).

Теоремы 1-3 записываются, как на с. 36.

ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

Теоремы 1-4 записываются, как на с. 37.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема 1 записывается, как на с. 37.

ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Теоремы 1-4 записываются, как на с. 37.

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

Oi. (f (х) непрерывна в точке а) ( lim /(х) = / (а)).

Ti. (f(x) дифференцируема в точке а) -* (f(x) непрерывна в а). Тг. (f непрерывна на / Ф О на Т) -*• (f сохраняет знак на I). Ал1- Для решения неравенства/> 0 (или/< 0) достаточно:

1) найти промежутки непрерывности /, на которых / не обращается в нуль;

2) определить знак / на каждом из этих промежутков;

3) выписать промежутки, на которых функция имеет требуемый знак.

КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

0\. (/ - касательная к графику у = /(х) в точке *о) 0 - прямая, проходящая через (xq; /(xq)) с угловым коэффициентом /' (х0)).

Tj. (/ - касательная к графику у = f(x) в точке х0) (/ имеет уравнение у =/(*о) +/' (*о) С* - *<>))•

Т2. if (х) дифференцируема на (а, Ь) и непрерывна на [а, Ь])-+ (на (а, Ъ) найдется такая точка с, что

(рис.21).

Рис. 21

Рис. 22

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Теоремы 1-3 записываются, как на с. 37 (рис. 22).

ПРОИЗВОДНАЯ В ФИЗИКЕ И ТЕХНИКЕ

ПРИЗНАК ВОЗРАСТАНИЯ (УБЫВАНИЯ) ФУНКЦИИ

Ti. (/' (х0) > 0) -> (/ возрастает в точке х0). Тг. (/' (*о) < 0) -* (/ убьшает в точке xq) (рис. 23).

Ал1. Чтобы найти промежутки возрастания и промежутки убывания функции /(х), достаточно исследовать промежутки знакопостоянства функции /'(*)• Обычно это делают методом интервалов.

Рис.23

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ, ЕЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ

0\. (*о - критическая точка функции /(х)) ** (xq elD (f) И if (х0) не существует ИЛИ /'(*о) = 0)).

Ti. (*о - точка экстремума/(*) И существует/' (х0)) if' (*о) - 0).

Тг. (/ непрерывна в х0 И /' (х) > 0 левее xq И /' (х) < 0 правее Хо) (*о -точка максимума функции /).

Тз. if непрерывна в х0 И /' (х) < 0 левее х0 И /' (х) > 0 правее х0) (х0 -точка минимума функции /) (рис. 24).

В точках *i и х5 /' не существует.

В точках *2, хз, хл и*6 / =0.

*ь *2» *3. *4, *5> *б - критические точки.

jc!, jc2, *4, *б - точки экстремума.

Рис. 24

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

Записывается таблица, аналогичная таблице на с. 119 учебника, или даже именно эта таблица.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Выписывается текст со с. 122 учебника: ”Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее”.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Oi.<re*o»'=r(*o).

02. Гармоническое колебание - движение, описываемое функцией / (Г), удовлетворяющей уравнению /” (Г) = -и>2/ (Г).

Tl. Z” (г) = -w2/(0 равносильно /(Г) = = A cos (wf + ip), где Л - амплитуда колебания, oj - угловая частота колебания^ ^ -начальная фаза колебания (рис. 25).

Рис 25

СТЕРЕОМЕТРИЯ

I курс

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

Все теоремы планиметрии верны в любой плоскости

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Рис. 26

НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ АКСИОМ СТЕРЕОМЕТРИИ

14.1. {В & а) -> (Существует единственная а, проходящая через а и В) (рис. 27).

14.2. (А g а, £ G а) -> (ЛЯ С а) (рис. 28).

14.3. (Л £ £С) -+ (Существует единственная а, проходящая через Л, Я, С) (рис. 29)

Рис.27 Рис.29

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

{а II Ь) ++ (а и Ъ лежат в одной плоскости и не пересекаются) (рис. 30). {а скрещивается с Ь) ** {а и Ъ не лежат в одной плоскости) (рис. 31).

15.1. (А фа) - (Существует единственная />, параллельная а и проходящая через А).

15.2. (а II Ь\\с)-> {а ii с) (рис. 32).

Рис. 30 Рис. 31 Рис. 32

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

(а ii а) -► (û и а не пересекаются) (рис. 33).

15.3. См. рис. 34:

Рис. 33 Рис 34

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

(а II ß) ++ (а и ß не пересекаются) (рис. 35). 15.4. См. рис. 36:

Рис. 35 Рис. 36

15.5. (A G а) - (Существует единственная ß, проходящая через А и параллельная а) (рис. 37).

15.6. См. рис. 38:

15.7. См. рис. 39:

Рис.37 Ри^38 И*0'39

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ

См. рис. 40. При параллельном проецировании AB переходит в А 'В' (или в М) ; (а II Ъ) переходят в (а' II Ь') (или в А и В, или в с) ;

Рис. 40

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ

(a ±b)++(anb пересекаются; L (ab) = 90°). 16.1. См. рис. 41:

Рис. 41

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

См. рис. 42: V

Рис. 42

16.2. См. рис. 43:

16.4. См. рис. 44:

Рис. 43

Рис. 44

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ

См. рис. 45 :

Отрезок AB -перпендикуляр к а, В - его основание, длина А В - расстояние от А до а, А С - наклонная ко, С - ее основание, ВС - проекция AB на а

16.5. Теорема о трех перпендикулярах (рис. 46) :

Рис.45

Рис. 46

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

См. рис. 47 :

16.6. См. рис. 48:

16.7. См. рис. 49:

Рис. 47

Рис.48 Рис. 49

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

См. рис. 50:

См. рис. 51 :

Рис.50 Рис.51

ВВЕДЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Рис. 52

Рис.53

Л (х, у, z) - точка с координатами х. у. z (оис. 52) :

(рис.53);

середина отрезка А\А2.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР В ПРОСТРАНСТВЕ

1. Симметрия относительно точки ^

прямой > - движения.

плоскости] Прямая а переходит в прямую а . Луч / переходит в луч /'.

Отрезок Ь переходит в отрезок V, причем Ь' = Ь. Плоскость а переходит в плоскость а (рис. 54).

Рис 54 Рис. 55

параллельный перенос - движение (рис. 55). {а переходит в а') -*■ (а' II а). А переводится в А' единственным переносом. Композиция переносов - параллельный перенос.

3. Гомотетия - преобразование подобия.

УГЛЫ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ И ПЛОСКОСТЯМИ

См. рис. 56.

см. рис. 57:

Рис 56

Рис.57

См. рис. 58.

угол между а и ß]

ПЛОЩАДЬ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ МНОГОУГОЛЬНИКА

См. рис. 59:

F - ортогональная проекция F на а,(£^, = Sp cos а.)

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

См. рис. 60:

скалярное произведение.

Рис. 58

Рис.59

Рис. 60

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

плоскость, перпендикулярная вектору

Отметим некоторые особенности предлагаемых конспектов. Прежде всего они довольно разнообразны по форме. Подавляющее большинст-

во определений и теорем записаны в канонической форме, что позволяет добиться лучшего понимания строения этих предложений. Вместе с тем в некоторых случаях определения и теоремы записаны совсем иначе. С одной стороны, это облегчило их запись, с другой — показывает учащимся, что при записи определений и теорем можно отклоняться от канона. Все же конечной целью составления конспектов является обучение конспектировать.

Далее, весьма на разном уровне строгости и научности составлены конспекты. Это происходит по разным причинам. Ведь сборник конспектов - не учебник и не справочник по математике, а скорее — сборник ориентиров, пользуясь которыми учащийся легче найдет, как применить теорию к решению задач. Советуем преподавателю не копировать наши конспекты, а лишь отправляться от них в своей работе. Обязательным мы полагаем лишь одно — давать конспекты на доске, включая в них весь значимый материал, и требовать от учащихся их копирования в своих тетрадях.

Когда учащиеся научатся сами конспектировать материал (у разных коллективов учащихся это умение наступает не одновременно), можно будет перейти к самостоятельной работе над учебником, к самостоятельному конспектированию. Если учащийся сам законспектирует некоторый пункт учебника, — это будет значить, что он его понял.

– ”А они невнимательны на уроке!”

На невнимательность учащихся жалуются многие преподаватели. Некоторые из них даже считают, что это — специфическая особенность нынешних молодых людей (”Когда мы учились, . . .”). Другие, наоборот, утверждают, что у них на уроке учащиеся всегда внимательны. При этом преподаватель иногда считает, что внимание учащихся на его уроке — заслуга преподавателя.

Никогда мы с моими товарищами не забудем случая, происшедшего с очень опытной учительницей математики. Мы присутствовали на одном ее уроке и обратили внимание на мальчиков, игравших в ”морской бой” во время объяснения нового материала. После урока мы спросили учителя, все ли ученики, по ее мнению, слушали ее рассказ. ”У меня всегда все внимательны”, - ответила она, даже чуть обидевшись. Предъявление ”бланков” игры, подаренных нам учениками, оказало на нее ошеломляющее действие. Спустя два года после этого случая она вспомнила о нем как о суровом уроке для нее самой.

Абсолютным вниманием учащихся, вероятно, не может похвастать ни один преподаватель. Даже внешние проявления внимания не всегда

надежны. Автор этих строк во время своего урока попросил как-то внимательно глядевшую на него ученицу пояснить трудное место в рассказе. ”Простите, я не слышала”. - ”О чем же Вы думали?” - ”О другой теореме”.

Только в очень редких случаях, когда материал особенно интересен всем и каждому, можно ручаться, что нас слушают все. Здесь срабатывает непроизвольное внимание.

Но одним непроизвольным вниманием удовлетвориться нельзя. Нужно воспитывать в человеке внимательность к делу как черту характера.

Что же такое внимательность? Что такое внимание?

В 1974 г. издательство МГУ выпустило книгу П.Я. Гальперина и С.Л. Кабыльницкой ”Экспериментальное формирование внимания”. Ее полезно прочитать каждому педагогу. В книге доказывается, что внимательность можно формировать действительно как черту личности, и показано, как именно это можно сделать. Авторы смотрят на внимание не как на характеристику действия (”он внимательно слушает” — значит, действие состоит в слушании, а не в проявлении внимания; внимание — лишь характеристика действия слушания, как, например, громкость — характеристика действия пения в словах ”он громко поет”). Авторы рассматривают внимание как самостоятельное действие (”он внимательно слушает” — значит для них, что он слушает и в то же время производит еще некоторое параллельное действие). Это действие — свернутый, автоматизированный самоконтроль. Внимательно слушающий одновременно контролирует процесс восприятия услышанного. Приняв эту точку зрения на внимание, П.Я. Гальперин и С.Л. Кабыльницкая решили научить невнимательных детей такому самоконтролю, т.е. сделать этих детей внимательными. О ходе и результатах этого обучения рассказано в книге.

Хорошо бы, конечно, и нам обучить вниманию наших слушателей — учащихся. Но на это, как правило, ни у нас, ни у них времени нет. Поэтому нужно подумать, нельзя ли учить вниманию прямо на уроке. Можно, если приучать учащихся не просто слушать, а конспектировать услышанное, не просто писать, а контролировать написанное, не просто говорить, а контролировать сказанное.

Внимание — это не просто контроль своих действий, а контроль автоматизированный.

Но для того чтобы добиться автоматизированных умений, нужно вначале организовать выполнение соответствующих действий в явной, материальной, видимой форме. Чтобы контроль своей деятельности стал привычкой, нужно вначале добиться контроля явного, в видимой и слышимой форме, если хотите, — контролируемого контроля.

Учащийся слушает фразу: ”Сегодня мы повторим действия над рациональными числами”. Контролирует ли он восприятие получаемой информации? Если да, то он внимателен. Да это и видно: учащийся, который контролирует услышанное, даже выглядит по-особому. Он сосредо-

точен - ведь ему приходится все время расшифровывать услышанное. В этой фразе встретились два термина, нуждающиеся в понимании: что это за ”действия” и что такое ”рациональные числа”. И если преподаватель вслед за этой фразой спросит, какие же действия над числами известны учащимся и какие числа называются рациональными, то он будет прав. Прав не только потому, что необходимо актуализировать эти знания, чтобы идти вперед. Прав еще и потому, что он тем самым обучает ставить вопросы к каждой фразе. А контроль (и самоконтроль) состоит именно в постановке вопроса и получении ответа на него.

Нужно, чтобы каждую минуту урока учащийся имел задание, знал, что ему требуется делать. Речь идет не об указаниях ”слушать”, ”сидеть тихо”, а об учебных заданиях.

Как вы добиваетесь хорошей дисциплины? — спрашиваем мы у лучших педагогов. И обычно слышим: через организацию самостоятельной работы. Чуть с дисциплиной непорядок, — советуют они, - дайте учащимся самостоятельную работу.

Сказанное относится и к моменту изложения нового материала, когда, казалось бы, самостоятельной работы не организуешь. Зато можно организовать (с помощью вопросов всему классу) активное восприятие материала.

Ведь как и когда задают вопросы неопытные преподаватели? Они задают их, когда кто-либо нарушил дисциплину. ”Иванов, встаньте и ответьте. . .”. И весь класс знает, что причина вопроса — желание уличить Иванова. Ответит Иванов невпопад — и это даст повод для выговора. Ответит правильно — будет неудобно преподавателю. Но главное даже не это. Вопросы, которые рождаются в такой ситуации, — не всегда самые продуманные. Нужно идти по другому пути. Вопросы нужно готовить заранее и не для того, чтобы пресечь нарушение дисциплины, а для того, чтобы обеспечить необходимый самоконтроль учащихся, необходимую их активность.

Вторая проблема - кому задавать эти вопросы. Задавать их нарушителю дисциплины (явному или потенциальному) нет смысла. Он ведь может не ответить, и начнется процесс, не имеющий отношения к правильному обучению, — процесс выяснения, почему он не ответил. Задавать вопрос отличникам тоже нехорошо. Остальные не будут даже слушать вопросов, а не то что думать над ответами. Выход один - задавать вопрос всем.

Но часто преподаватель так и делает, а спрашивает ответ у поднявших руку. Значит, учащийся, не желающий (скажем, ленящийся) думать, может в разговоре не участвовать. Нет, если вопрос задан всем, то и отвечать должны все. Вот если мы так организуем объяснение материала, что во время его будут даваться задания всему классу и работать над этими заданиями будет весь класс, то внимание во время объяснения будет обеспечено.

Но как же добиться, чтобы весь класс отвечал на вопросы учителя? Некоторые преподаватели осуществляют это, пользуясь различными

контролирующими устройствами. Скажем, автоматизированный класс АМК-1 позволяет учащемуся выбирать любой из пяти (или из десяти) ответов и сообщать его преподавателю. Готовить программируемые материалы для такой работы бывает готов не каждый преподаватель. Поэтому неудивительно, что преподаватели, имеющие такой класс, пользуются только двумя какими-нибудь символами, скажем, ”1” и ”2”. Задавая вопрос, они просят ответить на него ”да”, выбирая ответ ”1”, или ”нет”, выбирая ответ ”2”. Такая система дает очень много. Ответов ”да” или ”нет” требуют такие вопросы, как

— Положительно ли это число?

— Является ли это число корнем этого уравнения?

— Четная ли эта функция?

— Периодическая ли это функция?

— Верно ли решена задача?

— Есть ли у вас замечания по данному ответу?

— Есть ли у вас вопросы?

Но от такого использования АМК-1 недалеко до простого голосования. Зачем нажимать кнопку, когда можно просто руку поднять? В том-то и дело, что не поднять руку и ответить ”нет” — это не одно и то же. Не поднимает руку и тот, кто не отвечает вообще. Однако найден простой выход: голосование двумя руками.

Делается это так. На доске пишется: ”да — нет” и для любого вопроса ”да” обозначается поднятием левой руки (”да” написано левее, и ошибиться невозможно); а ”нет” — поднятием правой руки. Вы задаете любой из вышеперечисленных вопросов, и учащиеся одновременно поднимают левую или правую руку. А если кто-нибудь не поднимает руки — значит, он не думал или не знает ответа. В любом из этих случаев упрек ему будет вполне уместен и будет правильно расценен классом.

Еще одна важная деталь. Нужно, чтобы поднятие руки следовало за фиксацией ответа. Поэтому на вопрос ”Четная ли эта функция?” лучше не спрашивать сразу поднятия рук, а вначале попросить записать ответ. На это уйдут секунды. Зато потом мы скажем: ”Кто написал ”да”, — левая рука, ”нет” — правая”, — и получим более точную картину понимания материала. Ответы будут продуманными.

Надо сказать, что этот нехитрый прием не сразу берется преподавателями на вооружение. Но как только он освоен, никаких жалоб на невнимательность уже не слышно. Учащиеся получают настоящее воспитание внимания.

Приведем фрагмент возможного диалога учителя с классом при повторении рациональных чисел и действий над ними.

Преподаватель: Сегодня мы повторяем действия с рациональными числами. Кто помнит, какие числа являются рациональными?

Учащийся: . . .

Преподаватель: Кто считает ответ вполне правильным, поднимите левую руку, кто нет - правую (учащиеся поднимают руки). Вы подняли правую руку. Почему? (Ответ). Итак, рациональные числа - это (дается определение). Запиши-

те, является ли рациональным число 0,17, да или нет. (Пауза). Кто записал ”да”, поднимите левую руку, кто ”нет” - правую. Вы подняли левую руку. Объясните ответ. (Ответ). Кто считает ответ правильным, а кто неправильным?

Конечно, такую работу можно проводить при объяснении любого материала. Не следует, однако, думать, что мы рекомендуем этот прием использовать всегда. Нет, не всегда, а тогда, когда есть опасность, что данный класс будет слушать невнимательно. Если же внимание налажено, то ничто не мешает использовать и обычные приемы, например, спрашивать тех, кто поднял руку. Но как только наметилось невнимание, нужно сразу же переходить на прием ”да — нет”:

1. Запишите, да или нет.

2. Поднимите левую руку, если ответ ”да”, правую, если ”нет”. Или:

1. Каково ваше мнение (отвечает кто-либо один) ?

2. Кто с ответом согласен, поднимите левую руку, кто не согласен, -правую.

Ну а какими именно должны быть сами вопросы, — это довольно ясно. При изучении теорем мы спрашиваем, каково условие теоремы, каково ее заключение. Но чтобы ответить на этот вопрос, человек должен либо уже знать текст теоремы наизусть, либо видеть ее перед глазами. Поэтому хорошей последовательностью вопросов, с которых начинается изучение теоремы, будет такая:

1. Вы услышали текст теоремы. Кто может, глядя на ее текст в учебнике, выделить условие теоремы? (Отвечает желающий).

2. Кто согласен, а кто не согласен? (Голосование ”да — нет”).

3. Кто может, глядя в текст учебника, кратко записать условие? (Желающий у доски).

4. Ваше согласие? (Голосование ”да - нет”).

Далее - та же работа с заключением теоремы, в результате чего теорема появляется на доске в виде, предусмотренном конспектом. Совершенно так же ведется работа с определениями.

Таким образом, получается весьма целеустремленное преподавание. Мы при подготовке к урокам строим конспект, соответствующий материалу учебника, а затем - систему вопросов, соответствующих конспекту.

Ясно, что когда в конспекте (в учебнике!) имеются алгоритмы решения задач, вопросы будут связаны именно с этим: алгоритм членится на составляющие, и преподаватель проверяет степень усвоения каждой его части.

Обеспечение внимания к нашим действиям должно сопровождаться внимательным отношением к самим учащимся. О важности его мы все наслышаны. Однако не все мы представляем, до какой степени важно учащемуся наше внимание. Даже не обязательна оценка по пятибальной системе, а хотя бы только внимание. Это было доказано однажды весьма интересным экспериментом. Школьный учитель математики получил такое указание: рассадить класс на три ряда, разделив его на три при-

близительно одинаковые по силам группы, а затем дать всем одно и то же задание. В процессе работы учитель должен был подойти к каждому ученику первого ряда и хотя бы раз за что-нибудь его похвалить (например, ученик до середины урока еще не приступил к работе, а учитель должен был похвалить его за аккуратно написанное число). Учитель также должен был подойти к каждому ученику второго ряда и хотя за что-нибудь сделать ему сердитое замечание (например, ученик прекрасно решил все задачи, а учитель должен сделать ему замечание за неаккуратность) . К третьему же ряду учитель не должен был подходить совсем. Гипотеза состояла в том, что, наверное, лучше всех справится с работой первый, обласканный ряд, а хуже всех - второй, обруганный. Но гипотеза подтвердилась только в первой своей части. Первый ряд действительно справился с заданием лучше всех. А вот худшие показатели были не у второго, а у третьего ряда. Невнимание, проявленное к третьему ряду, оказалось более тяжелым наказанием, чем даже упреки, обращенные ко второму ряду.

Предлагаемая методика объяснения как раз и включает в себя внимательное отношение ко всем учащимся. Пусть мы спрашиваем не каждого. Но интересуемся мнением каждого. И каждый, имеющий особое мнение, будет спрошен.

Еще одна ситуация, при которой требуется внимание класса, - ответ учащегося у доски. Об этом мы уже говорили. Если заранее назначать выступающих и при этом задавать всем готовить конспекты, то и на этом этапе можно добиться внимания класса. Это тем более верно, если при объяснении приводится вышеописанная работа, приучающая класс быть вообще более внимательным.

Говоря о внимательности, мы должны отметить необходимость учить работе с двумя основными источниками знаний: с книгой и устной речью. Внимание при восприятии визуальной и звуковой информации, конечно, составляет важную часть общеучебных навыков. До сих пор мы говорили о восприятии написанного слова (книга, конспект на доске). Важно воспитывать умение воспринимать и звучащее слово. Ведь будущему рабочему придется учиться, если не в вузе, то на курсах повышения квалификации, в университетах научных знаний, университетах культуры и т.д. И эта учеба неминуемо связана со слушанием лекций. Простейшим приемом такого обучения являются математические диктанты, о которых мы уже говорили выше.

Составление математического диктанта должно опираться на конспект (т.е. на материал учебника). Диктанты включают в себя все наиболее важные проблемы, охваченные конспектом. Но их особенность в том, что они требуют кратких ответов на вопрос. Мы приведем здесь примерные тексты диктантов по всем пунктам учебника. Снова даем полностью лишь первый вариант, а в квадратных скобках - разночтения второго варианта.

Разумеется, приводимые здесь тексты математических диктантов мы не считаем обязательными. Во-первых, они не включают тренировоч-

ных вопросов по пройденному материалу, о чем мы говорили выше. Преподаватель составит такие вопросы сам, учитывая особенности своего класса. Во-вторых, по некоторым пунктам (например, по п. 23 учебника ”Алгебра и начала анализа”) мы не составили диктантов, сочтя, что для их контроля должны быть применены задания, требующие длинных выкладок и не умещающиеся в рамки диктанта. Однако, возможно, что кто-либо из преподавателей составит диктанты и к этим пунктам.

ДИКТАНТ 1

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА

1. Выразите в радианной мере угол 270° [-180° J.

2. Выразите в градусной мере угол [—— ).

3. Выразите в радианной мере угол 180° [ -90° ].

4. Выразите в градусной мере величину угла я [-я].

5. Чему равен синус угла 30° [-j ]?

6. Чему равен косинус угла -7 [30° J?

7. Положителен или отрицателен синус 100° (косинус 100° 1?

8. При каких a' sin х = 0 [cosa=1]?

ДИКТАНТ 2

ФОРМУЛЫ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

1. Закончите предложение: ”sin х + cos х = . . [”tg jc ctg х = . . ,”].

2. Известно, что sin* = 3/5, cosa = 4/5 [sin а = 0,8, cos а = 0,6]. Чему равен tg а?

3. Закончите предложение: ”tgA ctg а = . . (”sin а + cos а = . . .”].

4. Известен ctg a (tgA]. По какой формуле можно найти sin a [cosa]?

5. Известен sin a [cosa]. по какой формуле можно найти cosa [sin а]?

6. У каких углов синус положителен [косинус равен нулю]?

7. У каких углов косинус отрицателен [тангенс положителен]?

8. У каких углов тангенс равен нулю [синус отрицателен ]?

ДИКТАНТ 3

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

1. В каких четвертях тангенс положителен (косинус отрицателен]?

2. В каких четвертях синус отрицателен [тангенс положителен]?

3. В каких четвертях косинус положителен [синус отрицателен]?

4. Закончите предложение:

5. Закончите предложение:

6. Закончите предложение:

7. Закончите предложение:

8. Закончите предложение:

ДИКТАНТ 4 ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

1. Закончите предложение:

2. Закончите предложение:

3. Запишите формулу синуса [косинуса] двойного угла.

4. Закончите предложение:

5. Запишите формулу суммы косинусов [разности синусов].

6. Запишите формулу суммы синусов [разности косинусов].

7. При каких л* tg V отрицателен [cos х положителен]?

8. При каких x sin л* отрицателен [sin х положителен]?

ДИКТАНТ 5

ФУНКЦИЯ

1. Запишите обозначение области определения функции / [области значений функции g\.

2. Какова область определения функции

3. Какова область определения функции

4. Пусть Xi < х2. Сравните и f(x2), если /(jc) - возрастающая [убывающая] функция.

5. Функция у = f (х) [g(x)\ имеет симметричную область определения. Какое равенство нужно доказать, чтобы установить ее нечетность [четность]?

6. Является ли четной или нечетной функция у - tg х \у- cos х ]?

7. Является ли четной или нечетной функция у = -у- [у = \ х |3 ]?

8. Постройте график у = \х I [у - - \х I].

ДИКТАНТ 6

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

1. Какова область определения функции у = y/Sx - 4 [у = ~ ^ ~ ]?

2. Является ли четной или нечетной функция у = 5х4 [у = 2дс3]?

3. Найдите точку пересечения графика функции у-х - 5х + 6 [у = 2х + 8] с осью ординат [абсцисс].

4. Найдите точку пересечения графика функции у = Зх + 15 [у = х + 4- 7х - 9] с осью абсцисс [ординат].

5. Какие неравенства надо решить, чтобы найти промежутки знакопостоянства функции у-х - х [у = х - 2х ]?

6. Укажите точки экстремума функции f[g] на рис. 61.

7. Как ведет себя при больших по модулю значениях аргумента функция у= - + х [у=— + *]?

8. Начертите эскиз графика у-х [у = х ].

Рис.61

ДИКТАНТ 7

ПЕРИОДИЧНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1. f M \S (*)I - периодическая функция с периодом 8 [6J. Запишите вытекающее отсюда равенство.

2. Каков наименьший положительный период функции у = tg* [у = COSA]?

3. Является ли число 3 периодом синуса (котангенса)?

4. Каков наименьший положительный период функции у - 5 + cos* [у =6 - sin л-J?

5. Каков наименьший положительный период функции у = sin Зх [у =

6. Каков наименьший положительный период функции у - cos — [у = = sin 4л”|?

7. Начертите эскиз графика у = — s'inx [у = sin— х ].

ДИКТАНТ 8

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

у = sin x, у = cos x, у = tg x

1. Какова область определения (значений J синуса?

2. Какова область значений [определения] тангенса?

3. Является ли функция у = cos * [у = tg х] четной или нечетной?

4. Каков наименьший положительный период функции у = cos х (^ = sinx]?

5. Укажите нули функции у = sin х [у = cos х].

6. Укажите промежутки, на которых синус положителен [косинус отрицателен ].

7. Укажите промежутки возрастания косинуса [убывания синуса].

8. Укажите точки экстремума синуса [косинуса]. Какие из них - точки максимума, какие - точки минимума?

ДИКТАНТ 9

АРКСИНУС, АРККОСИНУС, АРКТАНГЕНС

1. Какова область определения арксинуса [арккосинуса!?

2. Какова область значений арккосинуса [арктангенса]?

3. Является ли арктангенс [арксинус] возрастающей или убывающей функцией?

4. Решите уравнение aresin х = О [arecos х = 0].

5. Решите уравнение arecos х = я [arctg х = - — ].

6. Решите уравнение arctg х = - — [arcsinх - - — J.

7. Чему равен arcsin 0 [arecos я] ?

8. Чему равен arecos

ДИКТАНТ 10

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Решите уравнения:

ДИКТАНТ 11

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

Решение неравенства:

ДИКТАНТ 12

ДИКТАНТ 13

ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ

1. хо = 4, x = 3,8. Найдите Ах [xq = 6, х = 5,7].

2.£(x) = 2jc + 3 [f(x) = lx- 1),х0 = = 1,2. Найдите Ag [Д/].

3./(д:) = х2 [#(*)=-], х0 = 2,х = 2,1. Найдите Д/ [А?].

4. Выразите приращение функции f[g) через х0 и Дх 2 *

5.#(х) = — [х ], Ах> О [< 0]. Какой знак имеет Agi

6. Что можно сказать о функции /, если при любом xq и при любом положительном Ах приращение А/отрицательно [положительно]?

7. Нарисуйте график какой-нибудь функции /, выберите х0 и Ах и изобразите Af. Каков геометрический смысл отношения ?

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ

1. Какова точность приближенного значения числа 2/3, равного 0,67 [тг=3,14]?

2. Значения х приближаются к числу 3 [2]. К какому числу приближаются при этом значения функции х2 [~]?

3. Запишите: предел /(*) [#(*)] при х, стремящемся к нулю [единице], равен 7 [3].

4. Закончите предложение: lim (f(x) + g (jc)) = .. . [lim (f(x)-g (x)) =

5. Закончите предложение: lim (f(x) • g (x)) = ... [если lim g (x) Ф 0,

то hm —— = ... J. x-+a gW

6. Закончите предложение: если lim (x) Ф 0, то lim - = . ..

7. Вычислите предел функции у =-7 \у-х - 2] при х -+ 0.

8. Найдите с точностью до ОД у/Т [у/5].

ДИКТАНТ 14

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1. Напишите формулу для вычисления производной функции /(f) |# (л)] в точке fo [*о ]•

2. Чему равна производная функция у = кх + С [у - С ]?

3. Чему равна производная функции у - х [у - 2х + 3]?

4. Чему равна производная функции у = С [у = кх + С ]?

5. Чему равна производная функции у = -л: + 4 [у = jc]?

6. Продифференцируйте функцию v = 6 - 7л: [у = 5 - х].

7, Продифференцируйте функцию у =

8. Продифференцируйте функцию у =

ДИКТАНТ 15

ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

1. Запишите формулу дифференцирования суммы [произведения] функций.

2. Запишите формулу дифференцирования частного [степени].

3. Запишите формулу дифференцирования произведения [суммы].

4. Запишите формулу дифференцирования степени [частного].

5. Найдите производную функцию

6. Продифференцируйте функцию

7. Найдите производную функции

8. Найдите производную функции

ДИКТАНТ 16

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

1. Напишите формулу дифференцирования функции /(#(*)) I/(//(*))).

2. Найдите производную функции

3. Найдите производную функции

4. Найдите производную функции

5. Найдите производную функции

6. Продифференцируйте функцию

7. Продифференцируйте функцию

8. Продифференцируйте функцию

ДИКТАНТ 17

ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Продифференцируйте функции :

ДИКТАНТ 18

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

1. Запишите решение неравенства /(jc) > О [g (jc) < 0] для функции f[g), график которой дан на рис. 62.

2. Запишите решение неравенства t (х) < 0 \v(x)> 0] (рис. 62).

3. Начертите эскиз графика функции у = (х - 1) (дг + 2) (х - 3) [у = = (х + IM* - 2)Сх + 3)1.

4. Начертите эскиз графика функции у = (jc + 5) (х - 4) [>> = = (jt - 2) (jc + З)2].

5. Одинаковые ли решения имеют неравенства- > 0 и (jc - 5) (х + 1 ) >

> 0 Ux + 7) (jc - 4) > 0 и - > 0]?

6. Одинаковые ли решения имеют неравенства (л* - 1) > 0 и л* - 1 > 0 [(jc - З)2 > 0 и (jc - З)4 > 0]?

7. Решите методом интервалов неравенство (х - 3) (х + 5) < 0 [Ос - l)(jc + 2)>0].

Рис. 62

ДИКТАНТ 19

КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

1. Напишите уравнение касательной к графику функции у = ^ (а) в точке с абсциссой 2 |напишите уравнение Лагранжа для функции к (*), непрерывной на отрезке [Ь; с\ |.

2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции у-х3 \У - X41 в точке с абсциссой 1 [ -1 ].

3. В какой точке касательная к графику у = х горизонтальна \у - cos *]?

4. В какой точке касательная к графику у = sin х [у = л*4] горизонтальна?

5. Напишите уравнение Лагранжа для функции g(x), непрерывной на отрезке Cxi; х2) [напишите уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой 4].

6. Касательная к графику у - -х \х ] проведена в ГУ четверти [во II четверти]. Под каким углом, острым или тупым, наклонена она к оси абсцисс?

ДИКТАНТ 20

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ, ЕЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ

1. Закончите предложение: ”Если /' (х) > 0 [< 0] в каждой точке интервала J, то. .

2. Сформулируйте теорему Ферма. [С помощью какой теоремы доказывается достаточный признак возрастания функции?]

3. Всякая ли критическая точка является точкой экстремума? [Всякая ли точка экстремума является критической точкой?]

4. Должна ли точка экстремума принадлежать области определения функции [области определения производной функции]?

5. Всякая ли точка экстремума является критической точкой? [Всякая ли критическая точка является точкой экстремума?]

6. Должна ли критическая точка принадлежать области определения производной функции [области определения функции]?

7. С помощью какой теоремы доказывается достаточный признак убывания функции? [Сформулируйте теорему Ферма.]

Диктанты для I курса по стереометрии рассчитаны на использование кратких названий аксиом (Ci, С2, С3) и теорем (14.1 и т.д.). Не подумайте, однако, что мы считаем нужным выучивать эти названия (или, лучше сказать, - обозначения). Просто мы предлагаем проводить математические диктанты по стереометрии при наличии в классе необходимых таблиц. На таблицах даются чертеж к теореме или аксиоме и ее цифровое и буквенное обозначение. Сам же текст не дается вовсе или дается мелким шрифтом. Например, таблица к аксиоме Ci занимает лист писчей бумаги, а в ее углу на пишущей машинке отпечатан текст этой аксиомы. С ученических мест текст не виден. Но чертеж позволяет учащемуся, знакомому с аксиомой, узнать ее и правильно прочесть, припомнить ее обозначение.

ДИКТАНТ 1

1. Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве? [Сформулируйте аксиому CiJ

2. Верны ли в стереометрии аксиомы и теоремы планиметрии? [Сформулируйте аксиому C2.I

3. Сформулируйте аксиому Ci ic3j.

4. Сформулируйте аксиому С2. |Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве?]

5. Сформулируйте аксиому С3. [Верны ли в стереометрии аксиомы и теоремы планиметрии?]

ДИКТАНТ 2

1. Запишите условие теоремы 14.1. [14.2].

2. Запишите заключение теоремы 14.1 [14.2].

3. Запишите условие теоремы 14.2 [14.3].

4. Запишите заключение теоремы 14.2 [14.3].

5. Запишите условие теоремы 14.3 [14.1 ].

6. Запишите заключение теоремы 14.3 [14.1].

7. Как может быть расположена прямая относительно плоскости? [Сколько может быть общих точек у прямой и плоскости?]

ДИКТАНТ 3

ДИКТАНТ 4

1. Какие прямая и плоскость называются параллельными? [Сформулируйте условие теоремы 15.3.]

2. Какие возможны случаи взаимного расположения прямой и плоскости? [Сформулируйте заключение теоремы 15.3.]

3. Сформулируйте условие теоремы 15.3. [Какие прямая и плоскость называются параллельными?]

4. Сформулируйте заключение теоремы 15.3. [Какие возможны случаи взаимного расположения прямой и плоскости?]

ДИКТАНТ 5

1. Какие плоскости называются параллельными? [Сформулируйте условие теоремы 15.4.]

2. Какие возможны случаи взаимного расположения двух плоскостей? [Сформулируйте заключение теоремы 15.4.]

3. Сформулируйте условие теоремы 15.4 [15.5].

4. Сформулируйте заключение теоремы 15.4 [15.5].

5. Сформулируйте условие теоремы 15.5 [15.6].

6. Сформулируйте заключение теоремы 15.5 [15.6].

7. Сформулируйте условие теоремы 15.6 [15.7].

8. Сформулируйте заключение теоремы 15.6 [15.7].

9. Сформулируйте условие теоремы 15.7. [Какие плоскости назьвзаются параллельными? ]

10. Сформулируйте заключение теоремы [15.7]. [Какие возможны случаи взаимного расположения двух плоскостей?]

1. Какие прямые называются параллельными? [Сформулируйте условие теоремы 15.1.]

2. Какие прямые называются скрещивающимися? [Сформулируйте заключение теоремы 15.1.]

3. Сформулируйте условие теоремы 15.1 [15.2].

4. Сформулируйте заключение теоремы 15.1 [15.2].

5. Сформулируйте условие теоремы 15.2. [Какие прямые называются параллельными? ]

6. Сформулируйте заключение теоремы 15.2 [Какие прямые называются скрещивающимися? ]

ДИКТАНТ 6

1. В какую фигуру проецируется параллелограмм [трапеция]?

2. В какую фигуру проецируется ромб [прямоугольник ]?

3. В какую фигуру проецируется квадрат [точка]?

4. В какую фигуру проецируется прямой угол [прямая]?

5. В какую фигуру проецируется плоскость [параллелограмм]?

ДИКТАНТ 7

1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными? [Сформулируйте условие теоремы 16.1.]

2. Прямая а перпендикулярна прямым Ъ и с. Что можно сказать о взаимном расположении прямых Ь и с? [Сформулируйте заключение теоремы 16.1.]

3. Сформулируйте условие теоремы 16.1. [Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?]

4. Сформулируйте заключение теоремы 16.1. [Прямая а перпендикулярна прямой Ь, а прямая Ъ перпендикулярна прямой с. Что можно сказать о взаимном расположении прямых а и cl]

ДИКТАНТ 8

1. Дайте определение прямой, перпендикулярной плоскости. [Сформулируйте условие теоремы 16.2.]

2. Сколько прямых, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную точку? [Сформулируйте заключение теоремы 16.2.]

3. Сформулируйте условие теоремы 16.2 [16.3].

4. Сформулируйте заключение теоремы 16.2 [16.3].

5. Сформулируйте условие теоремы 16.3 [16.4].

6. Сформулируйте заключение теоремы 16.3 [16.4].

7. Сформулируйте условие теоремы 16.4. [Дайте определение прямой, перпендикулярной плоскости.]

8. Сформулируйте заключение теоремы 16.4. [Сколько плоскостей, перпендикулярных данной прямой, можно провести через данную точку?]

ДИКТАНТ 9

1. Дайте определение перпендикуляра к плоскости. [Сформулируйте условие теоремы 16.5 - прямой теоремы.]

2. Дайте определение наклонной к плоскости. [Сформулируйте заключение теоремы 16.5 - прямой теоремы.]

3. Дайте определение проекции наклонной [перпендикуляра к плоскости].

4. Сформулируйте условие теоремы 16.5 - обратной теоремы. [Дайте определение наклонной к плоскости.]

5. Сформулируйте заключение теоремы 16.5 - обратной теоремы. [Дайте определение проекции наклонной.]

ДИКТАНТ 10

1. Дайте определение перпендикулярных плоскостей. [Сформулируйте условие теоремы 16.6.]

2. Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную точку? [Сформулируйте заключение теоремы 16.6.]

3. Сформулируйте условие теоремы 16.6 [16.7].

4. Сформулируйте заключение теоремы 16.6 [16.7].

5. Сформулируйте условие теоремы 16.7. [Дайте определение перпендикулярных плоскостей.]

6. Сформулируйте заключение теоремы 16.7. [Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную точку?]

ДИКТАНТ 11

1. Дайте определение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых. [Сколько общих перпендикуляров имеют две скрещивающиеся прямые? ]

2. Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми? [Чему равно расстояние между скрещивающимися прямыми?]

ДИКТАНТ 12

1. Какие прямые называются пересекающимися [параллельными?]

2. Какие прямые называются скрещивающимися [пересекающимися?]

3. Какие прямые называются параллельными [скрещивающимися]?

4. Дайте определение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых. [Сколько общих перпендикуляров имеют две скрещивающиеся прямые? ]

5. Что называется расстоянием между двумя скрещивающимися [параллельными] прямыми?

6. Чему равно расстояние между скрещивающимися прямыми? [Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?]

7. Что называется расстоянием между параллельными прямыми? [Чему равно расстояние между скрещивающимися прямыми? ]

8. Чему равно расстояние между скрещивающимися прямыми, проходящими через плоскости противоположных граней единичного куба? [В каких пределах может меняться расстояние между параллельными прямыми, проходящими через плоскости противоположных граней единичного куба?]

ДИКТАНТ 13

1. Каково взаимное расположение координатной оси у и координатной плоскости xz [х и ху]1

2. Каково взаимное расположение координатной оси х и координатной плоскости xz [уихгУ!

3. Точка А [В] лежит на прямой х [у] и удалена от начала координат на 4 [5] единиц. Какими могут быть координаты точки А [/?]? Укажите все возможности.

4. На каком расстоянии от плоскости ху находится точка с координатами (3,-5,-4) [(0,2,-1)]?

5. Найдите середину отрезка, концы которого имеют координаты (5,7,9) и (-5, 7, -9) [ (-4, 6, -2) и (-4, -6, 2) ].

6. Найдите длину того же отрезка.

ДИКТАНТ 14

1. Каковы координаты точки, симметричной точке А (2, 4, 8) относительно координатной плоскости ху [yz]t

2. Каковы координаты точки, симметричной точке В (1, 3, 5) [С(2, 4, 6) ] относительно начала координат?

3. Каковы координаты точки, симметричной точке £(7, 7, 7) [^(0,1, -1) относительно прямой z?

4. При параллельном переносе точка А (3,7,0) перешла в точку А \ (2,4,0). В какую точку при этом же параллельном переносе перейдет точка В (0, 0, 4) [С(0, 3, 0) ]?

5. При гомотетии относительно начала координат А (1, 2, 4) [В (4, 2, 1) ] перешла в точку С (-2, у, z). Чему равны у и z?

ДИКТАНТ 15

1. Чему равен угол между двумя пересекающимися прямыми [параллельными прямыми ]?

2. Чему равен угол между скрещивающимися прямыми [пересекающимися прямыми ]?

3. Чему равен угол между параллельными прямыми [перпендикулярными прямыми]?

4. Чему равен угол между перпендикулярными [скрещивающимися] прямыми?

5. Чему равен угол между прямой и пересекающей ее плоскостью [и параллельной ей плоскостью]?

6. Чему равен угол между параллельными плоскостями [пересекающимися плоскостями]?

ДИКТАНТ 16

1. Что называется ортогональной проекцией фигуры на плоскость? [В какую фигуру может ортогонально спроектироваться параллелограмм?]

2. В какую фигуру может ортогонально спроектироваться трапеция? [Может ли ортогональная проекция отрезка быть длиннее этого отрезка?]

3. Сформулируйте теорему 17.1. [В какую фигуру может ортогонально спроектироваться трапеция? ]

4. Может ли ортогональная проекция отрезка быть длиннее этого отрезка? [Сформулируйте теорему 17.1.]

5. Фигура площадью 12 см2 [8 см2] лежит в плоскости, наклоненной к плоскости проекций на угол 30° [45°]. Чему равна проекция этой фигуры на эту плоскость?

ДИКТАНТ 17

1. Что такое модуль вектора? [Какие векторы называются одинаково направленными? ]

2. Какие векторы называются противоположно направленными? [Какие векторы называются равными? ]

3. Каковы координаты вектора с началом в точке (6, 4, -1) и с концом в точке (-1, 4, 6) [ (3, 2, -5) и (-5, 2, 3) ]?

4. Какие векторы называются равными? [Что такое модуль вектора?]

5. Найдите сумму векторов д(-2, -3, -4) и Ь(2, -3, 4) [jc ( 1, -4, -5) и/(3,4,-5)].

6. Найдите произведение числа -2 [-3] на вектор а (2, -7,1) [Ь (4, 3, -10) ].

7. Найдите координаты вектора, противоположного вектору ?(4, 5, 6) $(7,8,9)].

8. Найдите скалярное произведение векторов 1, -2) и у(1, 0, 3) [а (1,31,2) и?(-1,0, -3) ].

Диктанты, данные здесь, мы не считаем единственно возможными. Преподаватель будет менять их, добавляя вопросы тренировочного характера, исключая излишне легкие и излишне трудные вопросы, словом, приспосабливая их к своему классу, да и к самому себе, к своим вкусам и убеждениям. Одно нам ясно: без диктантов труднее справиться с проблемой воспитания внимания, а значит, диктанты нужны. Они заменяют необязательную ”разминку” в начале урока серьезной работой всеобщего характера.

Так как же строить урок?

Вот уже несколько столетий урок был и остается основной формой обучения и в школах, и в техникумах, и в ПТУ. Из этого факта иногда делаются излишне широкие выводы: урок признают основной единицей учебного времени, от урока требуют дидактической завершенности, требуют, чтобы каждый урок чему-то научил от начала до конца. Это отражается и в планировании. Даже если какая-нибудь тема рассчитана на 2-3 урока, планируют, какой ее кусок будет изучен на первом, какой на втором, какой на третьем уроке.

Между тем ясно, что

1) разрыв темы на части вообще нежелателен и

2) на одном уроке все равно нельзя досконально изучить даже малую часть темы.

Так что на жалобу ”на одном уроке все успеть нельзя” мы реагируем не советом, как все же этого добиться, а советом и не пытаться все успеть на одном уроке.

Имеет смысл планировать и строить не отдельные уроки, а их циклы.

Производственный цикл — это период времени с момента запуска первой операции производственного процесса до получения готового продукта. Учебный цикл - это период времени с момента начала учебного процесса до получения готового знания, иначе говоря — время полноценного изучения некоторой законченной порции материала.

Разумеется, неудобно проводить и рассчитывать цикл на полурока или на 5 i урока. Удобно, если учебный цикл будет охватывать целое число уроков. Но само это число может быть различным.

Во время учебного цикла работа распределяется между тремя основными этапами: 1) изложение всего нового теоретического материала, 2) закрепление всего этого материала, 3) контроль знаний. Такое деление согласуется как с существующей практикой преподавания, так и с теорией обучения.

Обучение, собственно, и должно состоять в правильном чередовании объяснения, закрепления и контроля. Ясно, что чистого объяснения (без закрепления и без контроля во время него) почти не бывает. Точно так же правильно организованное закрепление содержит в себе элементы объяснения (пояснения того, что не понято) и контроля (или самоконтроля). Да и контроль обычно бывает пронизан элементами объяснения и закрепления. И тем не менее на каждом этапе урока всегда можно выделить, к какому основному из этих трех направлений деятельности он принадлежит.

Можно долго анализировать различные варианты чередования указанных ”трех китов”, на которых покоится и из которых состоит все преподавание, каждый урок. Однако сделать это - значит проанализировать просто всю теорию и практику преподавания математики. Мы не имеем на это ни места, ни времени. Мы поступим иначе: предложим свой вариант построения учебного цикла, отвечающий вышевысказанным требованиям к обучению при всеобуче. А преподаватель, дочитавший эту книгу до конца, будет решать, в какой мере ему полезно то, что он в ней увидел.

Начнем с описания двухурочного цикла. Итак, на некоторую тему (параграф, пункт учебника) мы отвели два урока. За это время нам надо опросить всех по предыдущему материалу, чтобы выявить готовность к изучению нового, затем рассказать новый материал, затем провести его первоначальное закрепление, затем опросить по нему всех учащихся, затем потренироваться в решении задач, наконец, провести итоговую самостоятельную работу. Рекомендуем такое планирование учебного времени.

1. В начале первого урока цикла проводим математический диктант и, если видим, что учащиеся не справились с важными для нас вопросами диктанта, проводим дополнительное повторение. Диктант проводим в два варианта (лучше всего — в записи на два голоса), через копирку, сразу после диктанта сообщаем ответы и выясняем успешность работы. Средняя продолжительность самого диктанта — 7 мин, а вместе с проверкой — 10 мин.

2. Изложение нового методом беседы с классом. В процессе изложения на доске выстраивается и переносится в тетради учащихся конспект нового материала, задаются вопросы по конспекту с записью кратких ответов и использованием вышеописанного приема ”да—нет” либо контролирующего устройства. Объяснение должно быть предельно кратким и в то же время содержать в себе эталоны выполнения всех основных типовых заданий по данному материалу. Собственно целью объяснения и должно быть не какое-то отвлеченное ”сообщение знаний”, а указание новых методов решения задач или методов решения новых задач. Объяснение не должно продолжаться более 15 мин.

3. Первоначальное закрепление нового материала. Оно происходит путем решения типовых задач по образцам, данным во время объяснения и записанным на доске или настенной таблице. Важно, чтобы каждый шаг решения явно обосновывался ссылками на конспект. Особенно это необходимо при разборе ошибок, допускаемых учащимися. Основной целью закрепления является обучение навыку использования теоретического материала при решении задач. На этот этап отводится 20 мин.

4. Домашним заданием является изучение и выучивание конспекта, а для некоторых специально названных учащихся — изучение соответствующего текста учебника и подготовка к ответу по этому тексту.

5. Второй урок начинается с опроса по домашнему заданию. Все учащиеся воспроизводят конспекты на чистых листах бумаги, по памяти. Преподаватель может при этом напомнить, о чем говорится в конспекте, но и это совершенно не обязательно. Преподаватель может потребовать заменить примеры, имевшиеся в конспекте, другими примерами. Учащиеся, предупрежденные накануне, вызываются для ответа у доски. Если в кабинете есть распашная доска, то они готовят конспекты на скрытых полях. В противном случае необходимо иметь в кабинете графопроектор (кодоскоп) или переносную доску. После того как все учащиеся сдадут листы с конспектами, слово предоставляется вызванным учащимся. Они демонстрируют свои конспекты. После обсуждения этих конспектов и (при необходимости) их исправления вызванные рассказывают новый материал, обязательно опираясь на написанный конспект. На всю описанную работу должно уходить около 10—15 мин.

6. Преподаватель проводит несколько тренировочных упражнений, готовя класс к самостоятельной работе.

7. Проводится самостоятельная работа по вариантам.

Ясно, что двухурочный цикл, как и любая система организации учебной работы, имеет свои положительные и отрицательные стороны. Положительными его свойствами являются обеспечение всеобщей работы учащихся и высокий уровень управления их работой со стороны преподавателя. Отрицательными свойствами — сравнительно малая самостоятельность учащихся и малое время, выделяемое на решение задач. Поэтому двухурочный цикл не может рассматриваться как основная форма работы в ПТУ. Это скорее - подготовительная работа, пригодная, пока учащиеся еще не научились самостоятельно работать на уроке.

Важно и то, что двухурочный цикл пригоден для сравнительно простых тем курса, на которые не требуется много времени.

Мы предлагаем использовать двухурочные циклы в начале курса алгебры и начал анализа, а затем, по прошествии примерно месяца работы, перейти к трехурочным циклам.

В трехурочном цикле первый урок - это по-прежнему урок объяснения нового, третий — урок самостоятельной работы. Но между ними вставляется урок общения (см. с. 12). Таким образом мы добиваемся, чтобы каждый учащийся не просто выучил и сдал конспект, а проработал весь теоретический материал учебника. Опишем кратко трехурочный цикл.

1. В начале первого урока проводится математический диктант — 10 мин.

2. Проводится объяснение материала. При этом на доске преподавателем выписывается конспект, который переносится в тетради учащимися, — 15 мин.

3. Проводится первоначальное закрепление — решаются типовые задания с опорой на конспект (или на настенные таблицы с ранее изученным материалом) — 20 мин.

4. Второй урок проводится при наличии на доске конспекта, вопросов к изложенной теме и номеров упражнений, которые нужно прорешать. Учащиеся рассаживаются равносильными парами, изучают материал по учебнику и рассказывают его друг другу. Они совместно решают требуемые упражнения и сигнализируют о своей готовности к ответу.

5. Преподаватель опрашивает первые две пары подготовившихся учащихся. При этом он дает им образец того, как нужно спрашивать данный материал.

6. Опрошенные, хорошо ответившие учащиеся опрашивают остальных, также по парам. Преподаватель ставит в журнал оценки и указывает, кто из хорошо ответивших учащихся будет опрашивать вновь подготовившуюся пару. Освободившиеся от работы учащиеся (ответившие удовлетворительно, но не на ”4” или ”5”, а также опросившие по две пары учащихся) приступают к выполнению домашнего задания — упражнений, номера которых выписываются на доске. Если не все учащиеся опрошены, то их следует опросить во внеурочное время (быть может, используя для этого других учащихся в качестве помощников

преподавателя), а если таких слишком много — повторить урок общения, на котором продолжить и закончить опрос.

7. Заключительный урок трехурочного цикла начинается подготовкой к самостоятельной работе — 15 мин.

8. Завершается трехурочный цикл самостоятельной работой по вариантам (30 мин).

На трехурочном цикле работа учащихся менее управляема, они гораздо более самостоятельны. Однако и на нем может быть недостаточным время, отведенное на тренировочные упражнения. После проведения нескольких трехурочных циклов мы советуем начать использовать многоурочные циклы, включающие в себя первый урок — урок объяснения, последний урок — урок самостоятельной работы, а между ними один или несколько уроков общения и один или несколько уроков решения задач.

Рекомендуем уроки решения задач организовать также в парах.

Как уже говорилось, на таком уроке учащиеся рассаживаются равносильными парами. На доске выписываются номера задач для решения и объявляется, что все нерешенные задачи остаются на дом. Каждая пара учащихся решает задачи, советуясь между собой. Можно даже при их ответе не учитывать задачи, имеющиеся лишь в одной из двух тетрадей.

В течение урока учащиеся, сделавшие все задание, отвечают учителю и получают оценки. Их нужно ”догрузить” задачами повышенной трудности (они имеются в конце учебника или могут быть взяты из журнала ”Квант” и другой литературы).

За 5 мин до конца урока преподаватель вместе с уже ответившими учащимися совершает обход класса и выставляет оценки за результаты каждой пары учащихся (в простейшем случае - за количество решенных задач).

Так организованные уроки решения задач вместе с уроками общения позволяют добиться важных результатов. Они учат работать в коллективе (в простейших коллективах — в парах, но и не только в них, так как при опросе общаются между собой представители разных пар), задают ритм учебной деятельности, обеспечивают возможность для каждого учащегося воспользоваться консультацией сначала своего соседа, а затем и более сведущего человека, вплоть до преподавателя, который вполне свободен для таких консультаций прямо на уроке.

В примерном планировании, которое мы приводим ниже, указана рекомендуемая схема каждого цикла, а не только число часов. Буквой И обозначен урок изложения нового, буквой С - урок самостоятельной работы, О — урок общения, Р — урок решения задач. Самый длинный, шестиурочный цикл, отводимый нами на изучение пунктов 25—28 (ис следование функций с помощью производной), строится так : И + О + О + + Р + Р + С, т.е. состоит из одного урока объяснения нового, двух уроков общения, двух уроков решения задач и урока самостоятельной работы.

Попробуйте провести такой шестиурочный цикл с классом, неприученным к серьезной работе на уроке. Первый урок еще как-нибудь пройдет, хотя диктант будут писать не все, а результаты его будут плохими. Хотя конспект переписывать в тетради будут не все и на закреплении в конце урока тоже кое-кто будет бездельничать, а кое-кто - стараться списать решения, а не делать их самостоятельно.

Но следующие уроки вряд ли будут эффективными. Если же начать учебный год с уроков повторения по той методике, которая описана нами в гл. 2, то мы быстро приучим учащихся к общей мысли, что на уроке математики надо работать, и, в частности, к умению работать во время математического диктанта (кто хорошо напишет, получает ”5” и освобождается от дальнейшего контроля) и к умению работать во время самостоятельной работы по вариантам (кто хорошо выполнит, получает ”4” и освобождается от домашней работы).

Получившие указанные первоначальные навыки учащиеся подготовлены к работе в ритме двухурочного цикла, которые мы и планируем на первые четыре темы курса. Итоги изучения проверяются в контрольной работе № 1. Затем проводятся подряд три трехурочных цикла, в процессе которых учащиеся начинают привыкать к работе в парах, к взаимному опросу, к самостоятельному изучению теории во время уроков. А далее чередуются, в зависимости от характера учебного материала, трех- и четырехурочные циклы. Две темы проводятся на пяти- и шестиурочном циклах.

Такое планирование позволяет проводить после каждой контрольной работы ее анализ (в планировании мы отводим на каждую работу по два часа) и оставляет несколько часов в резерве.

В дополнение к сказанному следует ответить еще на один важный вопрос: что делать, если методика не срабатывает? Преподаватель старается, проводит диктанты, выписывает конспекты, делает все, как требуется, а ”они” ничего не усваивают. Возможно ли такое?

Возможно, причем по разным причинам. Первая — преподаватель проводит работу формально, отступая от рекомендаций в принципиальном, не видя главного — работают ли каждую минуту все учащиеся. Вторая причина - слабая подготовка учащихся. Нужно прежде всего верить, что все получится, что неспособных знать математику хотя бы на ”3” - просто нет. Но кроме этого нужно быстро реагировать на каждый неуспех.

О дополнительных занятиях мы здесь не говорили. Но дополнительные задания в таких случаях очень нужны. Советуем оформлять такие задания письменно, иногда даже в виде писем к родителям о самом задании, о формах его выполнения, о требуемой мере самостоятельности, о сроках. Если такие задания будут сравнительно редкими и оформляться вот так торжественно, то вероятность их выполнения существенно повысится.

Но это - если редко. Если же класс очень слабый, то и меры нужны коллективные.

Скажем, провели мы учебный цикл. Самостоятельная работа написана плохо. Что делать? Переходить к следующей теме?

На этот вопрос однозначно не ответишь. Иногда — да, переходить. Если тема была не очень важная, если она еще будет повторена в других темах и нет опасности, что нынешнее незнание окажется существенной помехой для дальнейшего.

Но так бывает очень редко. Почти всегда нужно добиваться хороших знаний по теме у всех учащихся. Как поступить в этом случае?

Попробуйте провести урок не в гомогенных (одинаковых по силе), а в гетерогенных парах: посадите учащихся по принципу ”сильный - слабый”. Сильный — это не вообще сильный, с сиянием вокруг лба, а просто получивший за самостоятельную работу ”4” или ”5”. Слабый — это тоже не вообще слабый, достойный всяческого поношения человек, а просто получивший за последнюю работу ”2”. Остальные — ”троечники” — пусть сидят в гомогенных парах. И дайте задание, аналогичное проведенной самостоятельной работе. Пусть сильные учат слабых, а средние потренируются. (Если ”сильных” мало, можно посадить одного сильного с несколькими слабыми, например, переставляя столы; можно даже рассадить всех учащихся группами по вариантам написанной ими самостоятельной работы и дать каждой паре одного ассистента.) Порядок работы таков: ”сильный” начинает с того, что решает первую задачу в своей тетради, а затем добивается, чтобы ”слабые” также решили, поняли эту задачу. ”Выскакивать вперед” слабые имеют право, а сильный - нет. Основное его внимание должно быть направлено не на свою работу, а на работу подопечных. Работы сдаются преподавателю для домашней проверки. Преподаватель уделяет особое внимание тому, как выполняли сильные вышеописанное указание. Затем самостоятельная работа повторяется с переменой вариантов. Ее пишут те, кто получил за нее ”2”, а также те, кто желает улучшить свой результат. Остальные в это время решают дополнительные задания, каждый свое (либо по вариантам), с тем чтобы не общаться на уроке и не мешать другим.

В только что описанной методике все не так, как в основных наших советах. Но главное — осталось: работают — все.

Это — очень характерный пример отступления от требований в мелочах, с сохранением основного. Для того чтобы работать так, недостаточно быть образованным и творческим преподавателем. Нужно, чтобы в плоть и в кровь вошло сознание: можно и нужно строить уроки в расчете не на свою активность, а на активность, на действия учащихся. Чтобы на вопрос, что будет у Вас на уроке, преподаватель отвечал бы не ”я сделаю то-то”, а ”учащиеся будут делать то-то”.

Приводим обещанное планирование по материалу I курса. Вначале подробно дается примерное планирование курса алгебры и начал анализа.

В первой графе - содержание уроков (номера пунктов и контрольных работ). Во второй графе — число часов с указанием в скобках строения цикла.

Содержание работы

Число часов

Содержание работы

Число часов

Повторение

5

п. 13

4 (И+О+Р+С)

п. 1

2 (И+С)

К.р. № 3

2

п. 2а

2 (И+С)

п. 14

3 (И+О+С)

п. 26

2 (И+С)

пп. 15-17

4 (И+О+Р+С)

п. 2в

2 (И+С)

п. 18

3 (И+О+С)

К.р. № 1

2

п. 19

3 (И+О+С)

п. 3

3 (И+О+С)

п. 20

4 (И+О+Р+С)

п. 4

3 (И+О+С)

К.р. № 4

2

п. 5

3 (И+О+С)

п. 21

3 (И+О+С)

пл. 6-9

4 (И+О+Р+С)

пп. 22-24

5 (И+О+О+Р+С)

К.р. № 2

2

пп. 25-28

6 (И+О+О+Р+Р+С)

п. 10

4 (И+О+Р+С)

п. 29

3 (И+О+С)

п. 11

4 (И+О+О+С)

К.р. №5

2

п. 12

3 (И+О+С)

Итого

85

Относительно планирования курса стереометрии ограничимся следующими рекомендациями:

1) начать курс с 4—5 уроков повторения по методике, описанной нами на с. 19;

2) провести один трехурочный цикл по вступительному разделу учебника (первая страница стереометрии с материалом об аксиомах);

3) остальные 16 разделов курса давать четырехурочными циклами по схеме И + О + Р + С;

4) на контрольные работы отводить по 2 часа, так же как и по алгебре: первый урок - сама работа, второй урок - ее анализ.

Характерной особенностью наших рекомендаций о планировании является типизация уроков. Мы рассматриваем как наиболее распространенные уроки всего семи типов: И, О, Р, С, урок повторения, урок контрольной работы и урок анализа контрольной работы. Это позволяет значительно упростить подготовку преподавателя к уроку, оставляя больше времени на проверку работ учащихся. Из чего состоит эта подготовка?

При подготовке к уроку изложения нового материала преподаватель использует текст математического диктанта (см. с. 61-76), конспект (см. с. 42-54), настенные таблицы (рис. 1-5 и др.), определяет, какие упражнения нужны по учебнику для закрепления материала.

При подготовке к уроку общения преподаватель использует вопросы учебника (к главам - по учебнику алгебры, к параграфам - по учебнику геометрии), а также упражнения из учебника.

При подготовке к уроку решения задач используются упражнения из учебника.

При подготовке к уроку самостоятельной работы используются дидактические материалы, либо самодельные брошюры (см. с. 85), либо упражнения учебника.

При подготовке к уроку повторения используются таблицы, диктанты (см., в частности, с. 20-22), дидактические материалы.

При подготовке к контрольной работе используются дидактические материалы или рекомендации журнала ”Математика в школе”.

При подготовке к анализу контрольной работы используются таблицы и упражнения учебника.

Наладить такую работу намного легче в условиях хорошего кабинета математики. Чтобы облегчить подготовку и проведение уроков по рассматриваемой здесь методике, кабинет должен отвечать определенным требованиям.

1. Для проведения изложения нового материала, для опроса и для заданий классу нужно иметь хорошую классную доску.

2. Для тех же целей нужно иметь графопроектор.

3. Необходимо иметь приспособления для хранения и для демонстрации настенных таблиц.

4. Для записи и проведения математических диктантов нужен магнитофон.

5. Для изложения некоторых тем нужны объемные модели (это особенно касается стереометрии).

6. Для хранения аппаратуры и моделей нужны шкафы.

7. Для проведения самостоятельных и контрольных работ, а также для дополнительных заданий учащимся нужны карточки и брошюры с индивидуальными заданиями.

8. Весьма желательно использовать при объяснении и такие средства обучения, как диафильмы, а при организации фронтального решения задач и для некоторых других целей - диапозитивы. Для этой цели кабинет должен быть снабжен экраном (тот же, что и для графопроектора), диапроектором и затемнением.

Остановимся на некоторых из этих требований.

КЛАССНАЯ ДОСКА

Мы считаем наиболее удачной распашную доску (с откидными полями). Она очень удобна для опроса учащихся по конспекту (см. с. 78). Кроме того, на ней удобно иметь такую информацию, как, например, ответы к диктантам, к самостоятельным и контрольным работам. Одно из полей этой доски желательно сделать магнитным, другое должно быть расчерчено на клетки. Клетки можно сделать самостоятельно. Для этого не следует пользоваться краской. Нужно просто расчертить доску слесарной чертилкой по линейке на квадраты 50x50 мм. Получатся тонкие царапины, которые быстро забьются мелом, так что в результате образуется тонкая и долговечная сетка.

ГРАФОПРОЕКТОР

Все функции классной доски выполнимы и графопроектором. На нем можно проводить и такие демонстрации, которые невозможны на доске (см. ”Математика в школе”, статьи В.Г.Болтянского [5]). К сожалению, графопроектор может выходить из строя. Кроме того, его не рекомендуется держать постоянно включенным. Так что он все же не полностью заменяет классную доску. Правильным является сочетание хорошей доски и графопроектора.

ПРИСПОСОБЛЕНИЯ ДЛЯ ТАБЛИЦ

Настенные таблицы, купленные в учколлекторе или самодельные, должны наклеиваться на картон (а лучше - на ткань) или, в крайнем случае, проклеиваться по краям (отгибаются полоски шириной 1-2 см с каждого края; в сгиб вклеивается нить). В таблицах желательно сделать отверстия для подвески по верхнему краю и укрепить их пистонами (аналогичными пистонам в обуви для шнурков). Отверстия делаются на одном и том же расстоянии друг от друга (удобно - через 300 мм). На таких же расстояниях укрепляются крючки по всему верхнему краю доски, по правой и по задней стенам кабинета (в местах, свободных от шкафов). Это позволяет быстро укрепить таблицу, снять ее, перевернуть (т.е. убрать из поля зрения класса). Для долговременного хранения настенных таблиц служат ящики под доской. Если в таблицах сделаны отверстия через 300 мм, то в ящиках должны иметься длинные штыри для таблиц на таких же расстояниях друг от друга.

МОДЕЛИ

Преподаватель должен следить за поступлениями в учколлекторы. Но приходится делать модели и своими руками, используя помощь учащихся и их родителей. Так, модели для уроков стереометрии могут быть изготовлены в порядке самооборудования. Это могут быть куски картона, на которые с одной стороны налеплен слой пластилина. В комплект пособия входят спицы, изображающие прямые, а также тонкие листы пенопласта - изображения плоскостей. Наличие одной такой демонстрационной модели и двух десятков раздаточных моделей позволяет демонстрировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

В кабинете нужно иметь классные чертежные инструменты. Если есть магнитная доска, то желательно изготовить магнитные держатели, врезав на клею керамические магниты с оборотной стороны классной линейки, угольников и транспортира. Полезно изготовить и демонстрационные шаблоны парабол {у -X1 ,у - — , у - 2х2 и у = Ъх2 при единичном отрезке 50 мм).

БРОШЮРЫ И КАРТОЧКИ С ЗАДАНИЯМИ

Карточки удобны для проведения контрольных работ и для выдачи дополнительных заданий особо сильным и особо слабым учащимся. Это карточки с текстами задач, а также с номерами упражнений из учебника.

Для проведения самостоятельных работ удобнее брошюры с заданиями по вариантам. Они получаются из дидактических материалов, выпускаемых издательством ”Просвещение”. Если преподаватель по каким-либо причинам сам составляет задания для самостоятельных работ, то и в этом случае рекомендуем оформлять их в виде брошюр (тетрадей) [6].

Мы остановились здесь на специфических требованиях к кабинету математики, делающих его удобным для приведения в действие описанной здесь методической системы. Но это не значит, что мы не придаем значения таким сторонам оформления кабинета, как его эстетичность, возможность демонстрации работ учащихся, возможность концентрации необходимой библиотечки и для преподавателя, и для учащихся. В хорошо оборудованном, красиво оформленном кабинете работать и приятнее, и удобнее.

Заботами о воспитании молодежи пронизано наше общество. Но как вести это воспитание в школе и в ПТУ - пока не очень ясно. Одни говорят, что нужно развивать самоуправление, другие — что нужно организовать досуг, третьи — что все дело в строгой организации, четвертые — что все дело в любви к детям. Нам кажется, что прежде всего нужно делать так, чтобы молодежи, обучающейся в школах и в ПТУ, было хорошо на уроках. Нужно, чтобы они с удовольствием шли на наши уроки, ожидая от них не тоски и мучения, не скуки и безделья, а дела, бодрости, результатов. Если учащемуся будет хорошо на уроках, то меньше будет возникать вопросов ”легко ли быть молодым?” Ведь молодым, и вообще всем, должно быть не ”легко”, а трудно и интересно, и прежде всего в работе — в учебе. А для этого нужно организовать их всеобщую деятельность на уроках.

Рекомендуемая литература

1. Арутюнян Е.Б. и др. Самодельное оборудование на уроках математики. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1980.

2. Бабанский Ю.К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса (Методические основы). - М.: Просвещение, 1982.

3. Болтянский ВТ. и др. Оборудование кабинета математики. - М.: Просвещение, 1981.

4. Цейтлин Н.Е. Изготовление учебных пособий в школе. Справочная книга учителя. - М.: Просвещение, 1969.

5. Болтянский В.Г. Применение кодоскопа на уроках математики//Математика в школе. 1971. № 6.

6. Левитас Г. Г. Об оформлении материалов с индивидуальными заданиями// Математика в школе. 1975. № 3.

7. Арутюнян Е.Б., Глазков Ю.А., Левитас Г.Г. О преподавании математики с помощью печатных и звуковых средств обучения // Математика в школе. 1984. №4.

8. Арутюнян К.Б., Глазков Ю.А., Левитас Г.Г. Взаимообучение школьников на уроках математики // Математика в школе. 1988. №4.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие................................ 3

- ”А они не учат!”............................ 7

- ”А они не знают старый материал!”.............. 13

- ”А они не умеют решать задачи!”................ 28

- ”А они ничего не понимают!”.................. 33

- ”А они невнимательны на уроке!”............... 55

Так как же строить урок?....................... 76

Рекомендуемая литература...................... 87

Учебное издание

Левитас Герман Григорьевич

СОВРЕМЕННЫЙ УРОК МАТЕМАТИКИ -МЕТОДЫ ПРЕПОДАВАНИЯ

Зав. редакцией Е.С. Гридасова. Редактор Г.Н. Чернышева. Мл. редактор Г.В. Вятоха. Технический редактор Е.Ю. Рыбина. Корректор В.В. Кожуткина. Оператор В.А. Фетисова.

ИБ№8012

Изд. № ФМ-936. Сдано в набор 20.12.88. Подл, в печать 04.04.89. Формат 60х88/16. Бум. офс. № 2. Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная. Объем 5,39 усл. печ. л. 5,64 усл. кр.-отт. 5,40 уч.-изд. л. Тираж 25 ООО экз. Зак. № 243 7. Цена 15 коп.

Издательство ”Высшая школа”, 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., Д. 29/14.

Набрано на наборно-пишущих машинах издательства

Отпечатано в Московской типографии № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129041, Москва, Б. Переяславская ул., 46.