Л. Ш. ЛЕВЕНБЕРГ

РИСУНКИ, СХЕМЫ И ЧЕРТЕЖИ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Л. Ш. ЛЕВЕНБЕРГ

РИСУНКИ, СХЕМЫ И ЧЕРТЕЖИ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ

Под редакцией М. И. Моро

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1978

51(07) Л35

Издательство «Просвещение», 1978 г.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время не приходится доказывать эффективность и действенность той перестройки начального обучения, которая произошла в нашей стране.

Не ограничивая задачи начального обучения математике выработкой вычислительных и измерительных навыков, современный начальный курс математики предполагает вооружение учащихся знанием некоторых элементов теории, формирование у них умения самостоятельно учиться, выполнять посильные обобщения, овладевать не только конкретным, но и абстрактным материалом. На это именно и нацеливает современная программа математики, в которой явно выражено повышение теоретического уровня обучения.

Усиление роли теории в начальном курсе математики потребовало пересмотра не только содержания и методов обучения, но и характера содержания методики использования различных средств наглядности. Долгое время считалось, что наглядность особенно важна на первоначальных этапах усвоения для создания чувственной основы формирования обобщений, а по мере развития абстрактного мышления необходимость в ней постепенно снимается. Применительно, например, к задачам это означало требование полной предметной наглядности с демонстрацией и самого действия задачи, на следующем этапе без демонстрации действий, после чего полная предметная наглядность заменяется частичной, и, наконец, когда созданы преддосылки для формирования абстрактных понятий и операций, наглядность совсем исчезает.

Как видим, наглядность рассматривалась в качестве временной опоры для развития абстрактного мышления.

Конечно, обобщения и абстракции должны покоиться на прочной чувственной основе. Однако наглядность нужна и в дальнейшем, но уже для другой цели — для развития более

сложных форм конкретного мышления, так как у младшего школьника не только абстрактное, но и конкретное мышление развито в ограниченной степени.

«Увеличение удельного веса теоретических знаний в курсе, усиление роли самостоятельных обобщений школьников, — пишут Н. А. Менчинская и М. И. Моро, — при их усвоении ни в коей мере не означает, что ослаблено внимание к развитию конкретного мышления. Напротив, приобретает большое значение развитие сложных форм конкретного мышления, а именно мышления в пространственных образах. С этим связано широкое использование новых, более сложных обобщенных форм наглядности. Наряду с предметной наглядностью в практике учителей теперь широко используется наглядность схематическая (этому способствуют и учебники). Младшие школьники приобретают умения не только читать простейшие чертежи, но и самостоятельно их строить»1. В соответствии с этим перед учителем возникает важная задача — сформировать у школьников умения оперировать пространственными образами, читать и строить графические схемы, чертежи. Последнее приобретает особое значение при политехнической направленности образования.

Роль схематической наглядности (и вообще средств наглядности) в начальном обучении, таким образом, определяется не только задачей развития абстрактного мышления, но и задачей формирования конкретного мышления (от его простых к более сложным формам).

Следующие соображения позволят читателю осознать смысл, назначение, особенности использования графических изображений при обучении младших школьников математике:

1. Использование графических изображений при формировании математических понятий способствует сознательному и прочному усвоению. Благодаря им математические связи и зависимости приобретают для учеников наглядный смысл, а в процессе их использования происходит углубление, закрепление и развитие математического мышления учащихся.

2. Как известно, в практике обучения мы нередко сталкиваемся с тем, что люди в процессе выполнения заданий (особенно в процессе решения задач) стремятся избежать трудностей, избежать активных мыслительных усилий. Одна из основных причин здесь кроется в том, что они не подготовлены к абстрактному мышлению.

Рисунки, схемы и чертежи не только помогают учащимся в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают активно мыслить, искать наиболее рацио-

1 Менчинская Н. А., Моро М. И. Психолого-педагогические основы перехода на 3-летнее начальное обучение.— В кн.: Научно-практические итоги перехода начального образования на новое содержание обучения и воспитания. Под ред. А. М. Пышкало. М., 1975, с. 41.

нальные пути решения задач, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умением применять их. Как известно, эти условия необходимы для того, чтобы обучение носило развивающий характер.

Графические изображения, используемые для постановки познавательных задач, наглядно представляя соотношения между данными и искомыми величинами, помогают ученикам схватить смысл проблемной ситуации, а затем и найти возможный путь решения.

3. Обучение в начальных классах теснейшим образом связано с воспитанием. Соблюдение точности и аккуратности при выполнении рисунков, схем и чертежей, помимо учебного, имеет важнейшее воспитательное значение. Важно при этом, что уже в начальных классах взаимосвязь обучающих и воспитывающих функций учебной работы может быть показана самим ученикам. Аккуратно выполненные графические изображения в значительной степени способствуют эстетическому воспитанию детей: заставляют любоваться неожиданным, остроумным графическим решением задачи, стимулируют поиски рациональных путей решения, снижают утомляемость, повышают, воспитывают внимание. И наоборот, грубый чертеж мешает увидеть скрытые в условии задачи закономерности, на которых основано решение.

4. Использование графических изображений создает лучшие условия для управления учебным процессом. Это объясняется закономерностями как психологического, так и педагогического плана.

В психологии выделяют внутренние и внешние (сенсорно-двигательные) действия. На необходимость рассмотрения внешних и внутренних действий во взаимосвязи указывалось в целом ряде психологических исследований (А. П. Леонтьева, П. Я. Гальперина; Н. Ф. Талызиной; Т. И. Шамовой). Существуют две группы внешних действий: а) внешние действия, непосредственно связанные с материальными объектами; б) внешние действия, непосредственно не связанные с материальными объектами (заполнение таблиц, вычерчивание схем, чертежей и т. д.).

Этот вид действия является итоговым результатом внутренних действий. Иначе этот вид действия называют внешними ответными действиями (термин Т. И. Шамовой). Поэтому они, по словам Т. И. Шамовой, «будучи выражены вовне, позволяют проконтролировать итог, а во многих случаях и ход познавательной деятельности учащихся, организованно мобилизуют их на совершение внутренних действий»1.

Это обстоятельство имеет особое значение для классно-урочной системы. Ведь наблюдать одновременно за умственной

1 Шамова Т. И. Организация познавательных действий учащихся в условиях проблемного обучения (автореферат). М, 1966, с. 16.

работой 30—40 учеников, находящихся в классе, учителю трудно: графические изображения, исполняемые учениками, позволяют ему судить, хорошо протекает эта работа или нет, кому нужно прийти на помощь и т. д. В дальнейшем изложении (в связи с раскрытием содержательной стороны методики) на конкретном материале будет показано, что графические изображения вообще служат хорошим и удобным средством для организации коллективной и индивидуальной (дифференцированной) самостоятельной работы учащихся, быстродействующим средством для проверки знаний учащихся. Не случайно поэтому некоторые формы графической проверки знаний учащихся (например, графические диктанты) прочно вошли в практику работы целого ряда школ.

5. Как известно, основными видами работ, которые выполняются на уроках математики, являются:

а) устные вычисления;

б) письменные вычисления и решение задач;

в) графические упражнения.

Повседневный опыт и наблюдения показали, что при устных вычислениях примерно через 8—10 минут работы кривая ошибок резко поднимается вверх. Это особенно видно при наблюдении за детьми с неустойчивым вниманием. Объясняется это тем, что при устных вычислениях детям приходится держать в памяти числа, производить над ними действия.

Наблюдения за письменными вычислениями детей, а также анализ их контрольных работ показывает, что примерно через 12—15 минут работы наблюдается значительное повышение количества ошибок.

Графические упражнения требуют меньшей умственной напряженности, чем устные и письменные вычисления, и потому дети утомляются значительно меньше. С этой точки зрения весьма важно правильное чередование видов учебной работы.

Графические упражнения, соединяя «работу головы и рук», являются необходимым видом активной учебной деятельности младших школьников и должны быть одним из составных компонентов учебной работы, органически продолжающей устные и письменные вычисления или решение задач.

6. Советская школа трудовая и политехническая. Поэтому учащиеся, изучая основы наук, должны учиться видеть их связь с жизнью, с практикой, должны учиться применять свои знания для решения прикладных задач.

Выработка у школьников графических навыков в условиях политехнического обучения приобретает особо важное значение как при изучении математики, так и в трудовом обучении и изучении ряда смежных с математикой предметов.

7. Уже из того, что было сказано, видно, какое значение имеет использование графических изображений для успешного изучения самого курса математики. Можно привести еще ряд

доводов в их пользу, в частности для пропедевтики введения понятия функциональной зависимости, для развития функционального мышления учащихся.

Давая возможность найти приближенное решение многих задач школьного курса математики, графические изображения помогают нейтрализовать противоречие между высоким научно-теоретическим уровнем обучения и его доступностью для всех детей, между высоким уровнем математических абстракций и неразвитостью абстрактно-понятийного мышления младших школьников.

В дальнейшем будет показано, что решение различных математических задач доступно уже в начальных классах при помощи графического метода. Еще не владея соответствующими знаниями (в области алгебры, геометрии, тригонометрии), ученики I—III классов могут находить графическим способом и решения некоторых задач, которые решаются в старших классах.

8. В тесной связи с предыдущим пунктом находится утверждение о значении использования графических упражнений для развития математического мышления младших школьников.

В дополнение к тому, что уже говорилось выше, укажем на возможность активизации усвоения учениками навыков самоконтроля. Действительно, правильно построенные графические модели условий задач позволяют ученикам во многих случаях сделать прикидку ожидаемого ответа, графическую проверку правильности решения задачи, решаемой аналитическим способом.

Можно далее указать, что рисунки, схемы и чертежи создают большие возможности для активизации учебной работы по наблюдению, сравнению, обобщению и применению логических форм и мыслительных операций.

В методической литературе рекомендуется предлагать учащимся особые развивающие упражнения в виде задач с несформулированным вопросом; с недостающими или лишними данными и пр. Правильно построенные графические модели помогают организовать соответствующую работу, так как наглядно иллюстрируют то, что известно и что нужно определить; на таких моделях легче увидеть, каких именно данных недостает (или какие данные являются лишними) для того, чтобы, используя нужную зависимость, решить ту или иную задачу.

Многообразные возможности для использования графических изображений не оставлены без внимания в методической литературе по начальной математике.

В методике начальной математики уделяется большое внимание использованию различных средств наглядности, в том числе графических изображений (рисунков, схем и чертежей).

В школьной практике графические изображения получили самое широкое распространение. Но чаще всего они строятся на

доске самим учителем или под его руководством учеником. Между тем программа начального курса математики ориентирует на то, чтобы младшие школьники приобрели умения самостоятельно строить и читать простейшие схемы и чертежи с целью облегчения поисков пути решения предложенной задачи.

Как добиться того, чтобы ученики овладели соответствующими умениями? Нужно ли с этой целью выполнять графическую иллюстрацию каждой из решаемых задач? Нельзя, отвечая на эти вопросы, впадать в крайности. Необходимо соблюдение разумной меры в использовании графических изображений.

Цель данной книги — на основе анализа передового опыта помочь учителю повысить эффективность использования графических изображений при обучении младших школьников начальной математике. В ней раскрывается методика использования рисунков и чертежей при формировании понятия числа, действий над числами, при решении задач как арифметическим, так и алгебраическим способом; в классной и внеклассной работе с детьми и направлена она на повышение познавательного уровня учебной работы и усиление ее развивающего действия. Предлагаемая методика была разработана автором и в течение ряда лет проверялась в практике работы многих учителей УзССР. Всем им автор выражает глубокую признательность.

Автор приносит искреннюю благодарность А. М. Пышкало, Р. А. Хабибу, Г. В. Бельтюковой, В. С. Кравченко, Н. А. Дерибас, А. А. Кирюшкиной, оказавшим своими ценными советами большую помощь в работе над усовершенствованием книги и заранее благодарит всех, кто пожелает дать свои замечания по содержанию этой работы.

Глава I

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

В методической литературе по математике различают: 1) предметную наглядность: предметы окружающей обстановки (карандаши, тетради, счетные палочки, желуди и т. п.); модели предметов; картинки с изображением предметов: фруктов, овощей, животных и т. п.; 2) графическую (условную) наглядность: схематические рисунки, чертежи и т. п.

Предметная наглядность играет большую роль в обогащении чувственного опыта ребенка, при формировании соответствующих конкретных представлений.

Однако излишне долгое использование предметной наглядности приводит к искусственной задержке развития у детей абстрактного мышления. Поэтому, как это не раз отмечалось в методической литературе, важно обеспечить постепенный, но своевременный переход от использования одних видов наглядности к другим — от более конкретных к менее конкретным.

Проиллюстрируем на примере одной и той же задачи процесс построения рисунка, условного рисунка, чертежа и схематического чертежа.

Задача. Катя пришила 3 пуговицы, а мама на 2 пуговицы больше. Сколько пуговиц пришила мама?

Решая задачу, ученики рисуют сначала на одной строке 3 пуговицы, которые пришила Катя. Обращаясь далее к тексту задачи, выясняют, что мама пришила на 2 пуговицы больше, т. е. столько же пуговиц (на другой строке рисуют 3 пуговицы) да еще 2 (рисуют на второй строке еще 2 пуговицы) (рис. 1).

При изображении этой задачи с помощью условного рисунка можно вместо пуговиц рисовать, например, кружки (рис. 2), делая тем самым первый шаг к использованию более отвлеченной наглядности,

Рис. 1,

Рис. 2. Рис. 3, Рис. 4.

Для изображения условия рассматриваемой задачи с помощью чертежа примем длину одной клетки тетради за одну пуговицу. Тогда 3 пуговицы, которые пришила Катя, изобразятся отрезком длиной 3 клетки. Числу же пуговиц, которые пришила мама, будут соответствовать отрезки длиной 3 клетки и еще 2 клетки (рис. 3).

Для построения схематического чертежа изобразим с помощью любого отрезка число пуговиц, которые пришила Катя. Тогда число пуговиц, которые пришила мама, изобразится отрезком, большим первого на некоторую часть, условно обозначающую 2 пуговицы (рис. 4).

Из приведенных примеров видно, что при графическом изображении задачи предметный рисунок, условный рисунок и чертеж представляют собой три последовательные ступени постепенного перехода от конкретного к абстрактному. Отличает их именно это. Вместе с тем все три вида изображений объединяет одна важная особенность — и предметный рисунок, и условный рисунок, и чертеж дают возможность найти ответ на вопрос задачи, не выполняя арифметических действий над числами, а используя лишь операцию счета. Это объясняется тем, что во всех этих случаях графически изображаются не только те отношения между данными и искомым, которые описаны в задаче, но и сами числовые данные и искомое.

При построении же схематического чертежа графически изображаются только отношения между данными и искомым, а численное их значение изображается условно и записывается с помощью цифр. Найти искомое в этом случае становится возможным, лишь выполнив те или иные арифметические действия над указанными на чертеже числами. Так же поступают и при изображении условия задачи с помощью схематического рисунка, на котором числовые значения данных в задаче величин обозначаются с помощью цифр, а искомое обозначается условно вопросительным знаком.

Особенности рассмотренных видов графических изображений диктуют и последовательность ознакомления с ними учащихся, обеспечивающую постепенный переход от легкого к трудному, от конкретного к абстрактному.

В I классе при графическом изображении задач используются

главным образом рисунки — сначала предметные, затем условные и схематические. Чертежи здесь встречаются лишь в тех случаях, когда в задаче речь идет об увеличении, уменьшении или разностном сравнении двух отрезков. В этих случаях чертеж выполняется в соответствии с условием задачи и по существу не отличается от рисунка.

С условным графическим изображением задачи в виде чертежа или схематического чертежа дети знакомятся во II классе. Однако при рассмотрении задач новых видов часто оказывается более полезным использовать рисунки. Таким образом, во II—III классах находят себе применение все рассмотренные выше виды графических изображений.

Опыт показывает, что построение графической модели задачи в I классе лучше проводить в основном под руководством учителя, а начиная со II класса — с большей долей самостоятельности учащихся.

В соответствующей работе можно выделить несколько стадий:

1. Графическая модель задачи строится по наводящим вопросам учителя и выполняется одновременно на доске и в тетрадях.

2. Под руководством учителя предварительно (в ходе анализа задачи) выясняется, с помощью каких геометрических фигур и как должна строиться графическая модель задачи. Рисунок (чертеж) на доске не выполняется. Дети проводят эту работу самостоятельно (в классе или дома).

3. На третьей стадии учитель указывает лишь, с помощью каких геометрических фигур целесообразно изобразить данные и искомое задачи, а дети сами выполняют соответствующий рисунок или чертеж.

4. Наконец, на четвертой стадии ученики вполне самостоятельно строят графическую модель задачи.

Постепенное нарастание трудностей, преодоление их по частям делает работу на каждом из этих этапов посильной для учащихся.

Наблюдения показали, что в последнее время в связи с переходом школ на работу по новым программам на уроках математики в начальных классах шире стала использоваться схематическая наглядность, однако чаще всего, какая бы ни была задача— легкая или трудная, графическое изображение ее выполняется на доске учителем или под его руководством учеником. Здесь видно влияние старых традиций. На практике это приводит к тому, что многие ученики так и не овладевают умением самостоятельно построить чертеж или рисунок, помогающий решить задачу. Это подтверждается данными проверочных работ, проводившихся нами в разные периоды времени и в разных школах. Многие ученики II—III классов не могли самостоятельно построить чертеж к несложной задаче, аналогичной тем, которые решались в классе под руководством учителя.

Наблюдения показали также, что некоторые учителя схематическую наглядность используют лишь при рассмотрении довольно сложных задач. В таких условиях, не овладев соответствующими умениями на примере простых и несложных составных задач, дети, естественно, оказываются не в состоянии самостоятельно справиться с этой работой и учителю приходится самому выполнять чертеж или схематический рисунок.

Язык математики — это язык символов, условных знаков, схем, чертежей, диаграмм и графиков. И как всякий язык, по справедливому замечанию А. А. Столяра, он «должен специально изучаться, чтобы стать понятным. Только в этом случае символическая наглядность будет эффективным средством обучения»1.

Опыт работы, который будет описан ниже, показал, что, для того чтобы учащиеся овладели «символическим языком наглядности» и научились самостоятельно пользоваться им, нужна длительная и кропотливая работа. Начиная с первых дней обучения детей в школе в системе текущих упражнений, при решении постепенно усложняющихся задач должна предусматриваться работа, в процессе выполнения которой у детей будет постепенно накапливаться словарь для перевода обычного текста и аналитических выражений на язык графических изображений и обратно.

Только в этом случае графические изображения смогут стать эффективным средством обучения решению задач.

Из сказанного выше, однако, вовсе не следует, что при решении каждой задачи обязательно нужно выполнять графическую иллюстрацию. Графическая иллюстрация является вспомогательным средством, и ее использование ни в коем случае не должно вести к ослаблению требований к умению решать задачи с помощью логических рассуждений, проводимых и без опоры на непосредственное зрительное восприятие рисунка, схемы, чертежа.

Остановимся теперь коротко на вопросе о выборе наиболее подходящей для каждого конкретного случая формы графической иллюстрации задачи. Отметим, что нельзя дать каких-либо общих предписаний, пригодных для построения графической модели любой из предложенных задач. Нередко к одной и той же задаче графические иллюстрации могут быть даны самым различным способом. Поэтому, задача учителя состоит в том, чтобы постоянно руководить этой работой, тщательно продумывать наиболее рациональные формы построения графической модели, стремясь таким образом выработать у учащихся известное чутье, подсказывающее им выбор наиболее удачной иллюстрации.

И все же можно попытаться сформулировать хотя бы неко-

1 Столяр А. А. Педагогика математики. Минск, «Высшая школа», 1969, с. 73.

торые общие рекомендации относительно построения графических моделей задач. Графическая модель должна помочь в установлении связей и зависимостей между величинами, входящими в задачу. Поэтому, приступая к построению графической модели, нужно геометрические образы, изображающие данные и искомое, располагать так, чтобы достаточно ясно выступали зависимости между рассматриваемыми в задаче величинами.

Проиллюстрируем сказанное примерами.

Схематические рисунки и чертежи с наибольшей эффективностью могут быть использованы при иллюстрации задач, в которых даны отношения значений величин (больше, меньше, столько же). В этом случае, чтобы графическая модель наглядно иллюстрировала отношения значений величин, геометрические образы, например отрезки, изображающие данные и искомые числа, как правило, нужно располагать один под другим.

Другой пример. В методике издавна установлена большая практическая эффективность схематического изображения в «отрезках» соответствующих жизненных ситуаций, описанных в задачах на движение. Принято, в частности, изображать отрезком расстояние, пройденное движущимся телом, точкой на отрезке и соответствующей буквой, черточкой или флажком место (пункт) отправления, встречи, прибытия и т. п. Направление же движения, один из существенных элементов условия задачи на движение, принято изображать стрелкой. При схематическом изображении таких задач в «отрезках» полезно соблюдать примерное соотношение их длин в зависимости от пройденных (в частности, до встречи) расстояний и скоростей, т. е. большее расстояние изображать большим отрезком и т. п.

Рассмотрим теперь один из возможных приемов работы с использованием графических изображений.

Многие из представленных в книге графических изображений использовались в описываемом нами опыте в работе с карточками. Такие карточки (получившие название карточек с печатной основой) полезны для организации коллективной и индивидуальной (дифференцированной) самостоятельной работы учащихся. Особенно важно использовать их при формировании у первоклассников навыков самостоятельной работы, а также в индивидуальной работе с теми учениками, которым для осознанного и прочного усвоения тех или иных понятий требуется дополнительная конкретизация. Таким ученикам можно, например, предлагать карточки, в которых наряду с текстом задачи представлена и соответствующая графическая иллюстрация, помогающая решить задачу.

Для того чтобы карточки можно было многократно использовать, в них для записи ответа вырезается окошко (на приводимых ниже рисунках оно ограничено черными линиями). Решение задачи ученики записывают на листе клетчатой бумаги, на который и накладывается соответствующая карточка.

Рис. 5.

Поясним это на примере карточки, представленной на рисунке 5. Приложив карточку к листу тетради в нужном месте, ученик в части листа, ограниченном рамкой, выполняет задание (на рисунке показана клетчатая разлиновка тетради). На рисунке 6 приведена карточка, на которой дано другое упражнение, логически дополняющее первое.

Работая с первой карточкой, дети по данной графической модели составляют аналитическое выражение, а работая со второй карточкой — наоборот. При этом дети учатся переходить от конкретного к абстрактному и от абстрактного к конкретному.

Как показал опыт работы, использование таких карточек и индивидуальная работа с ними в значительной степени способствуют развитию как конкретного, так и абстрактного мышления учащихся.

В дальнейшем мы рассмотрим еще несколько образцов подобных карточек.

Для организации общеклассной работы с использованием графических изображений необходимо, чтобы часть доски была разграфлена в клетку. Если на классной доске разлиновки нет, то нужна клетчатая переносная доска меньшего формата.

Рис. 6.

Глава II

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА И ПРИ ОЗНАКОМЛЕНИИ С ДЕЙСТВИЯМИ НАД ЧИСЛАМИ

Наглядное иллюстрирование изучаемого материала начинается с первых же дней обучения математике. Использование наглядности при этом связывается с осуществлением тех задач, которые ставятся в подготовительный период программой обучения математике в I классе:

а) с отработкой умения вести счет;

б) с уяснением детьми отношений «больше», «меньше», «столько же»;

в) со сравнением двух множеств предметов и выяснением того, на сколько в одной из сравниваемых групп больше предметов, чем в другой; с уравниванием двух неравных совокупностей;

г) с уточнением пространственных представлений и др.

Наглядный материал при этом подбирается так, чтобы облегчить переход от более конкретных его форм к более абстрактным. В первые дни занятий внимание детей концентрируется прежде всего на предметах из окружающей обстановки (окна, парты и т. д.). В это же время для организации коллективной и индивидуальной работы используются и более мелкие предметы (карандаши, тетради и т. п.), а также дидактический материал (счетные палочки, счеты, кружки, кубики и т. п.). Дети считают их, устанавливают взаимно-однозначное соответствие между элементами двух множеств и др.

Первый шаг в направлении к абстрагированию — замена реальных предметов их плоскостными изображениями: предметными картинками, выставленными на наборном полотне: предметами, изображенными на картинках в учебнике; сюжетными картинками с прорезями, в которые вставляются отдельные вырезанные из картона изображения.

Следующий шаг к абстрагированию — изображение предметов с помощью простейших рисунков. Дети упражняются в самостоятельном рисовании заданного числа предметов (три флажка, два яблока, один огурец и т. п.).

Для организации самостоятельной работы учащихся упражнения по изображению предметов с помощью рисунков целесообразно предлагать на отдельных карточках. В частности, можно использовать те карточки-задания, которые изданы в последние годы массовым тиражом1.

Для того чтобы подобные карточки можно было многократно использовать, им целесообразно придать вид перфокарт. На рисунке 7 представлена одна из таких карточек.

При проведении подобных упражнений необходимо подробно объяснить детям, как выполнять рисунки, показать на доске приемы выполнения простейших рисунков.

Наряду с выполнением в тетрадях несложных рисунков уже в этот период следует познакомить детей с изображением чисел в виде фигур, составленных из равных квадратов и кубов. Располагая равные квадраты на парте, можно составить разные фигуры. Из них особое внимание надо обратить на прямоугольники, составленные из квадратов (клеток), расположенных в один ряд (полоску).

Составленные таким образом полоски могут быть использованы не только при изучении геометрического материала, но и служат в дальнейшем для иллюстрации чисел и действий над ними; для иллюстрации ряда задач; проведения различных логических упражнений.

На уроках подготовительного периода можно предложить детям упражнения такого рода:

1. Обведите две клетки так, как показано на рисунке 8. Объясните, какие клетки вы обвели. (Обвели две клетки, которые находятся в одной строке. Эти две клетки не имеют обшей стороны.)

2. Обведите две клетки так, чтобы они не имели общей стороны и были расположены в одном столбце.

3. Обведите в тетради две клетки так, как показано на рисунке 9. Объясните, какие клетки вы обвели. (Обвели две клетки,

Рис. 7.

1 См.: Моро М. И. Карточки с арифметическими задачами для I класса. М., «Просвещение», 1976, с. 9—13; Павлов И. Д. Дидактический материал по арифметике для I класса. М., «Просвещение», 1971, с. 15—19.

Рис. 8. Рис. 9. Рис. 10.

которые имеют общую сторону.) Покажите общую сторону обведенных клеток. Как расположены клетки: строкой или столбиком?

4. Подсчитайте по рисунку 10:

а) Сколько обведено клеток, имеющих общие стороны?

б) Сколько обведено клеток, не имеющих общих сторон?

в) Как расположены клетки, не имеющие общих сторон? (В одном столбце.)

г) Как расположены клетки, имеющие общие стороны? (В одной строке.)

д) Сосчитайте клетки, расположенные в одном столбце сначала сверху вниз, а затем снизу вверх.

е) Сосчитайте клетки, расположенные в одной строке сначала слева направо, затем справа налево. (Могут ли здесь получиться разные ответы?)

При выполнении упражнений, подобных упражнениям 1—4, дети учатся работать в тетради, приобретая умения выделять на странице тетради отдельные клетки, вертикальные и горизонтальные ряды клеток, учатся распределять свое внимание: одновременно следить за тем, чтобы не потерять строку, и за тем, чтобы было обведено, например, заданное число клеток.

5. Нарисуйте в одной строке столько клеток, имеющих общие стороны, сколько окон в классе, ножек у стола и т. п.

Контрольные задания: подсчитайте, сколько окон в классе. Проверьте, столько ли вы обвели клеток. Подсчитайте, сколько ножек у стола. Проверьте, столько ли вы обвели клеток.

При выполнении упражнений, подобных 5, кроме полезной практики установления взаимно-однозначного соответствия, осуществляется важная работа по замене одних предметов другими, причем те и другие имеют некоторые общие свойства (например, вместо 3 окон рассматриваем 3 клетки). Это фактически уже графическое моделирование.

Интересно, что такое раннее введение предметных и графических моделей не вызывает затруднений у детей. И это не столь уж удивительно: ведь в дошкольном возрасте в играх и других своих самостоятельных занятиях дети сами охотно фантазируют, заменяя одни предметы другими. Стул или палка служат у них

лошадью, сами они обращаются во взрослых, поочередно «моделируя» самые различные сферы трудовой деятельности.

Пожалуй, никто, как дети, не умеют так решительно, без оглядки абстрагироваться от ненужных им свойств предмета-модели, заменяющего нужный объект (деньги заменяются бумагой или листьями деревьев, товары представлены камешками, изделиями из земли и т. д.).

Кроме того, сам учебный материал (натуральные числа) также вводится при помощи сравнения различных реальных множеств одинаковой численности предметов и установления их общего свойства.

Все это и создает благоприятные условия для усвоения первоклассниками на первых же уроках математики идеи математического моделирования: замены объектов их моделями, в некоторых отношениях представляющими эти объекты.

6. По рисунку 11 определите:

а) Сколько клеток в верхней строке?

б) Сколько клеток в нижней строке?

в) Где больше обведено клеток: вверху или внизу?

г) На сколько больше обведено клеток в верхней строке, чем в нижней?

д) На сколько меньше обведено клеток в нижней строке, чем в верхней?

При выполнении данного упражнения дети осознают соотношение: если в одном ряду обведено клеток на одну больше, чем в другом, то, значит, в другом ряду обведено клеток на одну меньше, чем в первом ряду.

Полезно выполнять и обратные задания по отношению к предыдущему— равные группы делать неравными (в учебнике даются с этой целью задания вида: что надо сделать, чтобы в верхнем ряду стало больше квадратиков, чем в нижнем? И т. п.).

7. Обведите в тетради в одной строке пять клеток, имеющих общие стороны, пятую клетку раскрасьте. Сколько осталось нераскрашенных клеток?

8. Обведите в тетради шесть клеток и раскрасьте их в одинаковые цвета: а) каждую пару; б) каждую тройку.

Примечание. Упражнения 7—8 служат подготовкой к рассмотрению сложения и вычитания в пределах 10.

На данном этапе обучения имеется возможность увеличить число указанных выше упражнений за счет использования межпредметных связей. Так, на уроках письма можно предложить, например, нарисовать в тетради столько же палочек, сколько их нарисовано на доске (или сколько клеток в данной полоске) и т. п.

Первой темой в программе по математике для I класса является нумерация чисел первого десятка. При работе над этой темой задача учителя состоит в том, чтобы отработать у детей на-

Рис. 11.

Рис. 12.

выки счета, сформировать у них представления о первых десяти числах, выработать умение устанавливать соответствие между числом, его названием и обозначением печатной и письменной цифрами, ознакомить учеников с некоторыми свойствами натурального ряда чисел. Наглядность, используемая при работе над этой темой, должна, во-первых, отвечать тем специфическим задачам, которые решаются на каждом этапе работы над нумерацией, и, во-вторых, ее использование должно отвечать принципу перехода от конкретного к абстрактному.

При ознакомлении с первыми числами натурального ряда дети должны сначала иметь дело с предметами окружающей обстановки и их изображениями.

Затем от использования предметной наглядности (натуральной и образной) постепенно должен быть осуществлен переход к использованию более отвлеченных ее форм, несущих некоторую условность. С этой целью любые предметы, о которых идет речь, изображаются с помощью геометрических фигур: кружков, квадратов и др.

Приведем упражнения, которые могут предлагаться детям при изучении нумерации чисел первого десятка и выполнение которых связано с использованием геометрических образов.

1. Выполните упражнения по образцам (рис. 12).

2. Обведите в тетради 5 клеток, а потом еще 1. Шестую клетку закрасьте. Составьте пример, показывающий, как можно получить число 6.

3. Обведите столбики квадратов так, чтобы сначала был 1 квадрат, потом 2, 3,..., 10 (рис. 13). Под каждым столбиком напишите соответствующее число.

При выполнении задания дети должны сосчитать клетки, вспомнить изученные ранее числа и записать их с помощью цифр.

Рис. 13.

Полученная в результате выполнения этого задания числовая лесенка не только наглядно показывает последовательность чисел, способ их образования, но и дает возможность рассмотреть с опорой на наглядность все те вопросы, которые связаны с изучением нумерации. Сошлемся на примеры вопросов, приводимых М. И. Моро и А. М. Пышкало, которые могут быть поставлены перед детьми при ознакомлении с числами 8, 9 и ответить на которые им поможет числовая лесенка: «Посмотрите на столбик, изображающий число 5. Сравните это число с предыдущим. На сколько 5 больше, чем предыдущее число (4)? Посмотрите на следующий столбик. Какое число он иллюстрирует, на сколько 6 больше, чем 5? Как можно получить число, следующее за числом 6? за числом 7? Какое это будет число? На сколько 8 больше, чем 7? На сколько 7 меньше, чем 8? Какое число идет при счете за числом 8? Как его можно получить? На сколько 9 больше, чем 8? Между какими числами находится в ряду число 8? и т. п.»1.

4. Раскрашивая полоски, изобразите получение чисел 3, 4, 5 (см. образец для случая получения числа 4 на рис. 14).

Может возникнуть вопрос: где взять время на вычерчивание и раскрашивание полосок? Хотелось бы ответить словами известного русского методиста С. И. Шохор-Троцкого: «Учитель, у которого хватило мужества и умения оставить путь отвлеченных, требующих большого и часто непосильного для усилия воображения рассуждений и вступить на простой путь геометрического истолкования некоторых арифметических представлений, никогда об этом не пожалеет и никогда этого последнего пути не оставит»2.

Упражнения, подобные представленным выше, могут использоваться для самостоятельной работы как в классе, так и дома.

Наряду с прямоугольными полосками при изучении чисел второго пятка можно уже начинать работу, связанную с черчением отрезков заданной длины и измерением данных отрезков (см. образец карточек на рис. 15).

Рис. 14.

Рис. 15.

1 Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в I—III классах. М., «Просвещение», 1975, с. 117.

2 Шохор-Троцкий С. И. Методика арифметики. Ч. I. Спб., 1903, с. 287.

При изучении второй темы (в разделе «Десяток») «Сложение и вычитание» для ознакомления детей с соответствующими вычислительными приемами также используется «предметный дидактический материал» (палочки, кружки и др.). Однако здесь предметную наглядность рекомендуется использовать несколько иначе, с тем чтобы иллюстрация не давала возможности найти ответ с помощью счета.

В методическом пособии к учебнику математики для I класса хорошо описано применение такой неполной предметной наглядности при объяснении приема вычисления для случая а+2. Приведем соответствующие выдержки из этого пособия.

«Вызванный к доске мальчик показывает 4 гриба (картинки), найденные на первой поляне, и кладет их в корзину (нарисованную на обычном почтовом конверте), а затем показывает еще 2 гриба, найденные на второй поляне. Учитель ставит вопрос: «Подумайте, как можно прибавить эти 2 гриба (показывает) к тем 4, которые уже лежат в корзинке?» Затем демонстрирует, что можно сначала к 4 прибавить 1. Тогда в корзине станет (4+ +1 =5) 5 грибов, а потом прибавить еще 1. Сколько теперь грибов в корзине? (5+1=6.) Делается вывод: чтобы прибавить 2, можно прибавить сначала 1, а потом к полученному числу прибавить еще 1»1.

В это же время должна продолжаться работа по использованию более отвлеченных форм наглядности, в частности прямоугольных полосок и отрезков. При этом в данный период особенно полезно соединение графической наглядности с цифровой записью.

Приведем образцы упражнений по указанной теме.

1. Выполнить действия (по образцам), используя рисунок 16 и рассматривая вначале верхнюю строчку, затем следующую и т. д. — до самой нижней. Сколько всего записей (вместе с образцом) у вас получится слева? справа?

Всей предшествующей работой дети подготовлены к выполнению данного упражнения. Набор полосок фактически заменя-

Рис. 16.

1 Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Математика в I классе. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1973, с. 92.

Рис. 17.

ет здесь инструкцию для выполнения самостоятельной вычислительной работы, а также счетный материал. Выполнение таких упражнений помогает подвести учащихся к обобщению: если прибавить к какому-либо числу 1, то получится число, следующее при счете за данным числом, если вычесть из какого-либо числа 1, то получится число, которое встречается при счете непосредственно перед данным.

2. Выполнить действия (по образцам), используя рисунок 17.

При выполнении данного упражнения и ряда подобных проводится работа по обобщению знаний учащихся и составлению упорядоченных столбиков примеров (случай а+2).

3. Выполнить задание по образцу, используя рисунок 18.

Упражнения, аналогичные приведенным, можно предлагать ученикам и при рассмотрении последующих случаев сложения и вычитания (вида а±3, а±4 и т. д.). Такая работа должна проводиться и с отрезками.

При подготовке учеников к графическому изображению задач «в отрезках» необходимо сформировать у них в соответствии с программными требованиями четкие представления об отрезках, об их сравнении, о длине отрезков, об увеличении и уменьшении длин отрезков. Мы не станем приводить здесь соответствующих упражнений, так как они достаточно полно представлены в учебнике математики для I класса. Кроме того, ряд из них будет рассмотрен в дальнейшем в связи с описанием подготовительной работы по обучению детей изображению условия задачи в «отрезках».

Для того чтобы добиться

Рис. 18.

лучшего понимания детьми имеющегося соответствия между числом и геометрическим образом, мы использовали (и весьма эффективно) так называемые графические диктанты. Методика проведения графических диктантов такова: учитель диктует или записывает вопросы (примеры, задачи), а ученики у себя в тетрадях изображают ответы графически.

Приведем ряд упражнений на формирование понятия числа и действий над числами, которые могут выполняться учениками первых классов в форме графического диктанта:

1. Нарисуйте три флажка (пять треугольников).

2. Нарисуйте столько кружков, сколько указано на этой карточке (учитель показывает карточку с цифрой 2, 3, 4 и др.).

3. Нарисуйте на одной строке четыре кружка, а под ними на другой строке столько же квадратиков.

4. Нарисуйте пять треугольников. Из них несколько закрасьте красным карандашом. Запишите, сколько треугольников закрашенных и сколько незакрашенных.

5. Обведите в тетради шесть клеток. Обведите еще одну клетку. Эту седьмую клетку закрасьте. Запишите пример, показывающий, как можно получить число 7.

6. Нарисуйте, как можно разложить четыре кружка на две группы (различными способами). Сколько всего таких рисунков?

7. Изобразите графически число, предшествующее числу 4.

8. Изобразите графически соседей числа 6 (числа 8 и др.).

9. Изобразите графически сравниваемые числа: 5>4; 3=3.

10. Сделайте рисунок по каждому примеру:

3+1 1+3 5—1 7+2

Примечание. При выполнении упражнений 7—10 желательно, чтобы дети по своей инициативе выполняли различные рисунки. Так, при выполнении упражнения 7 один ученик нарисует, например, три яблока, другой — три пуговицы и т. п. При выполнении упражнения 10 один ученик нарисует три кружка и один кружок и запишет под ними решение: 3+1 = 4. Другой ученик этот же пример проиллюстрирует прямоугольными полосками, третий — отрезками и т. п.

Вопрос об использовании наглядности при изучении нумерации, сложения и вычитания в пределах 100 достаточно полно освещен в методической литературе и не вызывает значительных трудностей. Большего внимания заслуживает этот вопрос по отношению к действиям умножения и деления.

Следуя принципу постепенного и последовательного перехода от конкретного к абстрактному, на первых порах знакомства с действиями умножения и деления надо, очевидно, использовать предметную наглядность, затем соответствующие картинки учебника математики для II класса и лишь после этого переходить к использованию наглядности в виде геометрических образов.

Рис. 19. Рис. 20.

Изучаемое во II классе умножение рассматривается как нахождение суммы одинаковых слагаемых. Ученикам нужно показать, что иллюстрируя сложение равных чисел, полоски (треугольники, кружочки и др.)» изображающие графически слагаемые, удобнее располагать не в один ряд, а одну под другой.

Например, наряду с такой формой изображения, как на рисунке 19, показывается и такая, как на рисунке 20. Выясняется, что первый множитель указывает на число клеток в каждой строке, а второй множитель — на число таких строк.

Приведем еще ряд упражнений, которые полезно предлагать ученикам II класса при изучении умножения и деления. Отметим, что эти упражнения служат и целям подготовки к графическому изображению текстовых задач, при решении которых находи г применение умножение или деление.

1. Составьте по рисунку 21 примеры на умножение.

2. Нарисуйте соответствующее число кружков (треугольников, флажков и т. п.) по данным примерам:

3. Подсчитайте, сколько всего клеток в каждом из прямоугольников. Решение запишите сначала сложением, а затем умножением по образцу (рис. 22).

4. Используя образец (рис. 23), изобразите примеры с помощью прямоугольников, разбитых на квадраты. Вычислите результаты, заменяя сложение умножением.

5. Составьте по рисунку 24 примеры на сложение и умножение. Выясните, чем похожи и чем отличаются эти примеры.

6. Нарисуйте соответствующее число квадратов (треугольников, кружков и т. п.) по данным примерам:

Найдите результаты и сравните примеры.

7. Составьте по рисунку 25 примеры на умножение и деление.

8. По каждому из рисунков составьте один пример на умножение и два примера на деление (рис. 26).

Рис. 21.

Рис. 22,

Рис. 23.

Рис. 24.

Рис. 25.

Рис. 26.

9. Выполните рисунки по каждому примеру: 15:3; 16:2 и т. п.

Выполняя подобные задания, учащиеся овладевают умением соотносить теоретические знания и практические действия, что создает основу для уверенного применения приобретенных знаний и умений в разнообразных условиях.

Примечание. Упражнения 8 и 9 направлены на подготовку учеников к нахождению результата деления на основе знания соответствующих случаев умножения, на подготовку к выводу правила о нахождении неизвестного множителя.

Мы рассмотрели некоторые вопросы, связанные с использованием графических изображений при формировании понятия числа и действий над числами. Причем более детально остановились на их использовании при изучении чисел первого десятка и первоначальном ознакомлении с каждым из четырех арифметических действий. Графические изображения с успехом могут быть применены и в дальнейшем, при изучении свойств арифметических действий; приемов вычислений, основанных на этих свойствах; при раскрытии взаимосвязей и зависимости между компонентами и результатами арифметических действий. Приведем некоторые примеры:

1. Взаимосвязь между компонентами и результатом действия сложения раскрывается на основе практических действий со счетным материалом и с помощью графических изображений. Сначала используются иллюстрации такого вида, как представленная на рисунке 27. Рассматривая рисунок, ученики устанавливают соответствующую взаимосвязь: 4+2 = 6; 6—2 = 4; 6—4 = = 2.

Далее предлагается, например, упражнение вида: нарисовать полоски, используя данные таблицы:

Слагаемое

5

4

8

3

Слагаемое

3

2

4

4

2

6

Сумма

9

7

Рис. 27, Рис. 28.

Раскрасить полоски по образцу, записать решения примеров (рис. 28).

Приведенный образец показывает, как нужно арифметические выражения переводить на символический язык наглядности. Так, по образцу видно, что первое слагаемое (5) иллюстрируют нераскрашенные клетки, второе (3) — раскрашенные, а сумму (8) — все обведенные клетки.

Рассматривая числовые данные второго столбика таблицы и сопоставляя их с образцом, дети рассуждают примерно так: сумма равна 9, поэтому обведено 9 клеток; второе слагаемое равно 2, поэтому раскрашено 2 клетки. Неизвестному первому слагаемому соответствует число нераскрашенных клеток. Считаем, сколько их (7). По аналогии выполняются иллюстрации для всех остальных случаев, представленных в таблице.

При выполнении задания таким образом мысль детей все время будет переключаться от геометрического образа к числу и от числа к геометрическому образу.

2. В учебнике математики для II класса, в различных методиках и пособиях переместительное свойство произведения поясняется наглядно, с использованием рядов клеток, кружков, пуговиц, звездочек и т. п. Например, ученики чертят прямоугольник, разбивают его на квадраты (рис. 29). Предлагается узнать двумя способами, сколько всего квадратов получилось (5-3=15 и 3.5=15). Затем, сравнивая полученные примеры, выясняют, чем они похожи (множители одинаковые, произведения равны) и чем отличаются (множители поменялись местами). После выполнения нескольких аналогичных заданий ученики самостоятельно формулируют свойство: от перестановки множителей произведение не изменяется.

3. Для ознакомления учащихся с различными способами умножения суммы на число можно использовать иллюстрацию, показанную на рисунке 30. Пользуясь рисунком, ученики выясняют, что в каждом ряду всего (3+2) кружков, а рядов 4. В четырех рядах всего (3+2) -4 кружков. Опираясь на этот же рисунок, ученики могут отыскать и другой способ решения: сначала узнают, сколько белых кружков (3-4), потом — сколько черных кружков (2-4), наконец, сколько всего кружков (3-4+2-4).

Рис. 29. Рис 30,

Параллельно с разбором каждого из этих способов решения выполняются и соответствующие записи:

(3+2).4 = 5-4 = 20; (3+2) -4 = 3.4+2.4=12+8 = 20.

Сравнив результаты, полученные при решении примера разными способами, ученики замечают, что они одинаковы.

Используя тот же рисунок 30, можно провести объяснение свойств деления суммы на число. В частности, рисунок помогает нахождению двух различных способов деления суммы чисел 12 и 8 на число 4. Опираясь на рисунок, выясняем, что всего кружков 20 (12 белых и 8 черных). Делим эти 20 кружков на 4 равные части. Каждая из равных частей будет содержать 5 кружков.

Запись, соответствующая рассмотренному способу решения, будет иметь вид: (12+8) : 4 = 20: 4 = 5. Рисунок дает возможность проиллюстрировать и второй способ решения: сначала делятся поровну на 4 равные части 12 белых кружков (в каждой из равных частей их оказывается по 3), затем — 8 черных кружков (в каждой из равных частей их оказывается по 2), а потом выясняется, сколько всего белых и черных кружков содержится в каждой из четырех равных частей. Запись, соответствующая этому способу решения, будет такой: (12+8) : 4=12 : 4+8 : 4 = 3+2 = 5.

4. Иллюстрацию умножения двузначного числа на однозначное, например 12 на 3, можно связать с нахождением числа квадратов в прямоугольнике, составленном из трех полосок, в каждой из которых 12 квадратов.

Число 12 состоит из десятка и двух единиц. На этом основании прямоугольник можно разделить на два прямоугольника: в одном 3 полоски по 10 квадратов, а в другом 3 полоски по 2 квадрата. Чтобы найти число квадратов во всем прямоугольнике, нужно найти число квадратов в каждой его части и полученные числа сложить (рис. 31). Запись: 12-3= (10+2)-3= 10-3+2.3 = = 36.

Это же графическое изображение может быть использовано и для иллюстрации приема деления двузначного числа (36) на однозначное (3). С этой целью можно предложить ученикам 36 клеток, которые содержит прямоугольник, разделить на 3 равные части так: сначала 30 клеток, а затем 6 клеток, т. е.

Рис. 31 Рис. 32.

Рис. 33. Рис. 34.

5. Изменение результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов можно проиллюстрировать с помощью рядов клеток, с использованием отрезков и др.

Например, пусть даны два одинаковых отрезка длиной 5 см каждый. Увеличим первый отрезок на 3 см, а второй — на 4 см. Дети наглядно убеждаются, в каком случае сумма больше и на сколько больше (рис. 32).

Изменение разности в зависимости от изменения вычитаемого (или уменьшаемого) также можно иллюстрировать на отрезках. Возьмем два равных отрезка, например по 8 см. Один из отрезков уменьшим на 5 см, а другой — на 3 см (рис. 33). Дети наглядно убеждаются, что с увеличением вычитаемого (при постоянном уменьшаемом) разность уменьшается. Используя же отрезки разной длины, например в 7 см и 9 см (уменьшаемое — переменная величина), детям можно продемонстрировать, что с увеличением уменьшаемого (при неизменном вычитаемом) разность увеличивается (рис. 34).

Для иллюстрации изменения произведения можно использовать прямоугольники, разбитые на клетки (рис. 35). Прямоугольник I изображает произведение чисел 5 и 3. Увеличим первый множитель в 2 раза, а второй оставим без изменения: (5-2)-3 и изобразим новое произведение прямоугольником II. Сравнивая случаи I и II, легко заметить, что прямоугольник II содержит 2 раза по стольку квадратов, сколько их в прямоугольнике I.

Изменение частного можно иллюстрировать отрезками. Например, частное 12 : 3 можно изобразить отрезком длиной 12 см, разделенным на 3 равные части. Уменьшим делимое в 2 раза, а делитель оставим без изменения. Изобразим новое частное (рис. 36). Видим, что частное уменьшилось в 2 раза.

Аналогичным образом можно иллюстрировать и другие случаи изменения частного.

Рис. 35. Рис. 36.

Глава III

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

§ 1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ

Простые задачи занимают большое место в начальном курсе математики. Они служат одним из средств раскрытия смысла арифметических действий, связей, существующих между ними, взаимосвязей между компонентами и результатами действий; уяснения отношений, выраженных словами «больше (меньше) на ...», «больше (меньше) в ...» и др.

Вместе с тем овладение умением уверенно решать простые задачи является основой, без которой нельзя приступать к рассмотрению составных задач.

Обучая детей решению простых задач, необходимо уделять специальное внимание формированию у них таких общих умений, как умение отделить известное от неизвестного, установить связь между данными и искомым, перевести словесное выражение этой связи, нашедшее отражение в тексте задачи, на язык математики.

Графическое изображение числовых данных и искомого, связывающих их отношений, является, как уже отмечалось выше, весьма эффективным приемом, облегчающим осуществление такого «перевода». Уже поэтому при обучении решению простых задач важно этот прием использовать. Кроме того, следует помнить, что, только познакомив детей на примере простых задач с основными видами графических изображений, помогающих раскрыть связь между данными и искомым, можно подготовить их к самостоятельному использованию рисунков и чертежей в качестве важного средства, облегчающего поиски пути решения составной задачи.

Этим целям и должна быть подчинена работа по использованию различных видов наглядности при работе над простыми за-

дачами. Задачи рассмотрим в той последовательности, которая представлена в программе и реализована в действующих стабильных учебниках1.

Задачи на нахождение суммы и остатка

Работа над этими видами задач начинается с первых же уроков математики и вначале носит характер практических упражнений, в ходе которых дети, имея дело с реальными предметами окружающей действительности, выполняют соответствующие операции над множествами: объединяют данные множества или удаляют часть данного множества. От практических действий с предметами дети постепенно переходят к рассмотрению операций над множествами предметов, изображенных на рисунке. Такого рода задания широко представлены в учебнике математики для I класса.

При решении задач по представлению полезно перейти к зарисовке условий задач в тетрадях. При этом рисование предметов, о которых говорится в задаче (флажки, яблоки, огурцы и т. п.), выступает в качестве средства, помогающего детям воспроизвести содержание задачи, представить образно это содержание. Например, решая задачу: «Сережа нарисовал 4 флажка, а потом еще 1 флажок. Сколько всего флажков нарисовал Сережа?», ученики могут нарисовать сначала 4 флажка и чуть поодаль еще 1 флажок, а затем подсчитать число флажков и записать решение (или показать ответ с помощью сигнальной карточки).

Как показывает опыт, уже на этапе изучения чисел первого десятка можно при решении задач рассматриваемых видов использовать и более отвлеченную, условную наглядность. Например, вместо 5 яблок, о которых говорится в задаче, ученик нарисует 5 кружков, 3 книги изобразит 3 квадратами и т. п.

Покажем, как нами проводилась работа по выполнению таких условных рисунков при решении первых арифметических задач— задач на нахождение суммы.

1 Исключение здесь составят простые задачи на нахождение доли величины и искомого значения величины по доле, а также задачи, раскрывающие взаимосвязь между компонентами и результатами арифметических действий. Задачи на уяснение понятия доли исключаются по той причине, что вопрос об использовании наглядности при их решении освещен в методической литературе достаточно полно. Некоторые из простых задач на раскрытие взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий будут рассмотрены нами ниже в связи с описанием алгебраического способа их решения (см. § 4, с. 102—103),

Рассмотрим задачу: «У Коли 5 книг, а у Саши 2 книги. Сколько книг у Коли и Саши вместе?»

Ученики анализируют задачу (т. е. выясняют, что известно и что неизвестно), выполняя одновременно с анализом соответствующие зарисовки: «О чем говорится в задаче? (О том, что у Коли и Саши были книги.) Что известно про книги, которые были у Коли? (У Коли было 5 книг.) Обведите столько клеток, сколько книг было у Коли, и закрасьте их. (Ученики обводят в тетрадях 5 клеток и закрашивают их.) Что известно про книги, которые были у Саши? (У Саши было 2 книги.)

Обведите столько клеток, сколько книг было у Саши. (Ученики на той же строке обводят еще 2 клетки.) О чем спрашивается в задаче? (Сколько книг было у Коли и Саши вместе?) Обозначьте это. (Ученики рисуют объединяющую скобку и ставят под ней знак вопроса, рис. 37.)»

В выполненной иллюстрации важную роль играет условный знак — объединяющая скобка (на первых порах дуга или прямая черточка), указывающая на необходимость объединения элементов двух данных множеств.

Благодаря схематичности изображения количественные отношения выступают здесь с большей отчетливостью, что позволяет сосредоточить на них внимание детей и найти решение: 5+2 = 7.

Для проверки понимания выполненного рисунка полезно ставить контрольные вопросы вида: «Что изображают 5 раскрашенных клеток? (Число книг, которые были у Коли.) Что изображают 2 нераскрашенные клетки? (Число книг, которые были у Саши.) На что указывает объединяющая скобка (прямая черта, дуга)? (Нужно узнать, сколько всего книг у Коли и Саши, сколько всего клеток обведено.)»

Подобные контрольные вопросы — важное звено в работе учеников по овладению приемами графического изображения задачи.

Необходимо, чтобы такие вопросы задавал не только учитель ученикам, но и сами ученики друг другу. Умение сформулировать контрольные вопросы характеризует уровень понимания детьми сути дела.

Рассмотрим теперь задачу на нахождение остатка: «У Мити было 7 шаров. Подул ветер, и 2 шара улетели. Сколько шаров осталось у Мити?»

Иллюстрация выполняется одновременно с анализом задачи, так как только в этом случае она будет действенным средством, оказывающим реальную помощь в деле обучения детей самостоятельному решению задач: «Что известно про шары, которые были у Мити? (У Мити было 7 шаров.) Нарисуйте столько кружков, сколько шаров было у Мити. (Ученики самостоя-

Рис. 37.

тельно выполняют задание.) Что еще известно в задаче? (Подул ветер, и 2 шара улетели.) Перечеркните столько кружков, сколько шаров улетело. (Ученики выполняют задание.) О чем спрашивается в задаче? (Сколько шаров осталось у Мити.) Покажите эти шары на рисунке 38; обозначьте скобкой, о каких шарах спрашивается в задаче».

Учитель показывает, как, пользуясь выполненным рисунком, подсчитать ответ и записать решение: 7—2 = 5.

При изучении нумерации чисел первого десятка основной способ нахождения результата — счет предметов. Поэтому при обучении решению задач на нахождение суммы и остатка выполнение рисунка по задаче (предметного или условного) — необходимое условие их решения. Уже после сообщения учителем текста задачи подобные рисунки могут выполняться детьми самостоятельно. Эти рисунки могут выступать и как средство проверки самостоятельного решения задачи.

Отметим, что при самостоятельном выполнении рисунка по задаче следует рекомендовать ученикам все время контролировать себя, сопоставляя рисунок с тем, о чем говорится в задаче, и при надобности вносить нужные поправки.

После того как ученики научатся решать задачи на нахождение суммы и остатка, опираясь на знание соответствующих случаев сложения и вычитания, графическое изображение таких задач может выступать и как эффективное средство проверки правильности решения задачи арифметическим способом. Покажем это на примере такой задачи: «На одной тарелке 3 яблока, а на другой — 2. Сколько всего яблок на двух тарелках?» После арифметического решения задачи ученикам предлагается сделать рисунок по задаче: «Нарисуйте на одной строке столько кружков, сколько яблок на одной тарелке; нарисуйте чуть подальше на этой же строке столько кружков, сколько яблок на второй тарелке. Сосчитайте, сколько всего кружков вы нарисовали. Посмотрите ответ задачи: такое ли число у вас получилось?»

Известно, что ученики нередко ассоциируют сложение со словами «принесли», «прилетели», «купили» и т. п., а вычитание — со словами «унесли», «убежали», «улетели», «потеряли» и т. п. и руководствуются этими словами при выборе действия для решения задачи, что зачастую приводит к ошибкам. Для преодоления этого нежелательного явления в тексты задач вносится известное разнообразие, которое должно способствовать предупреждению шаблонного подхода при выборе действия. Так, ученикам предлагаются задачи, в которых фигурируют слова «убежали», «вынули», «улетели» и т. п., но которые решаются действием сложения. Например, в методической лите-

Рис. 38.

ратуре1 рекомендуется предлагать для сравнения пары таких задач:

1) В коробке было 4 карандаша. Мальчик положил в нее еще 2 карандаша. Сколько всего карандашей стало в коробке?

2) Из коробки вынули сначала 4 карандаша, а потом 2 карандаша. Сколько всего карандашей вынули из коробки?

Во второй задаче выбор действия затруднен тем, что описанные в задаче жизненные действия («вынули», «еще вынули») в сознании детей связываются с действием вычитания. Здесь требуется большое внимание к анализу текста задачи. Выполняя одновременно с анализом задачи ее зарисовку (вместо карандашей можно рисовать палочки), дети убеждаются, что как для первой, так и для второй задачи получаем одно и то же графическое изображение. Это помогает им понять, что обе задачи имеют одну и ту же математическую сущность, решаются одним и тем же действием — сложением.

Опыт показывает, что затруднения в выборе действия возникают при решении задач такого вида: «Когда сожгли 6 поленьев, то осталось еще 3 полена. Сколько всего было поленьев?» Трудность решения вызывается тем, что определение числа предметов, часть из которых уже уничтожена, реже встречается в опыте ребенка, чем подсчет существующих предметов. Преодолеть эти трудности тоже поможет рисунок.

Разбирая задачу, учитель предлагает детям нарисовать столько палочек, сколько поленьев было сожжено (6 палочек). Эти палочки перечеркиваются, чтобы показать, что поленья сожгли. Затем дети рисуют столько палочек, сколько осталось поленьев (3 палочки). Обратив внимание детей на то, что в задаче спрашивается, сколько всего было поленьев, учитель просит показать на рисунке все те поленья, которые были сначала (дети показывают все нарисованные палочки). После этого на рисунке с помощью объединяющей скобки и знака вопроса обозначается, что же нужно узнать (рис. 39).

С опорой на такой рисунок задача решается легко.

Задачи на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц

Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц вводятся сразу же после задач на нахождение суммы и остатка. Подготовка к рассмотрению простейших задач этого вида ведется задолго до их введения. Она заключается в установлении соотношений: если прибавить к данной группе предметов один или несколько предметов, то это приводит к увеличению первоначального числа предметов, а если же вычесть — то к

1 См.: Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в I—III классах. М., «Просвещение», 1975, с. 95.

уменьшению. Соотношения эти устанавливаются с помощью различного наглядного материала. Оперируя дидактическим материалом, дети выполняют практические упражнения вида: «Положите 3 квадрата, придвиньте к ним еще 1 квадрат. Сколько стало квадратов? (4.) Как узнали? (К 3 прибавили 1, получили 4.) Больше или меньше стало квадратов? (Больше: прибавили 1, стало больше на 1.)» Затем можно перейти к работе с сюжетными картинками (и, в частности, с рисунками, представленными в учебнике математики для I класса). С помощью картинок разбираются те же вопросы, что и при использовании дидактического материала. На этом же этапе обучения, при решении готовых задач, целесообразно переходить к использованию условных рисунков.

Покажем, как может быть проведена соответствующая работа на примере такой задачи: «В автобусе было 7 пассажиров. После остановки число пассажиров увеличилось на 2. Сколько пассажиров стало в автобусе после остановки?»

Рисунок выполняется по ходу разбора задачи: «Сколько пассажиров было в автобусе до остановки? (Было 7 пассажиров.) Зарисуем задачу. Вместо каждого пассажира будем рисовать кружок. Сколько кружков надо нарисовать, чтобы показать, сколько пассажиров было в автобусе до остановки? (7 кружков.) Рисуйте. (Дети рисуют 7 кружков.) Что сказано в задаче о числе пассажиров в автобусе после остановки? (После остановки число пассажиров увеличилось на 2.) Как это понять: больше стало пассажиров после остановки или меньше? (Пассажиров стало больше.) На сколько больше стало пассажиров? (На 2.) Сколько же кружков еще надо нарисовать, чтобы показать, сколько стало в автобусе пассажиров после остановки? (Надо нарисовать еще 2 кружка.) Нарисуйте их и покажите на своем рисунке, что же нужно узнать». Дети рисуют еще 2 кружка, скобку, объединяющую все нарисованные кружки, и ставят под ней вопросительный знак. Решение задачи по рисунку дети выполняют самостоятельно.

Так же может быть проведена иллюстрация и в том случае, когда рассматривается задача на уменьшение данного числа на несколько единиц. В этом случае придется только воспользоваться приемом перечеркивания соответствующего числа принятых условных изображений.

С первых же дней обучения начиналась подготовительная работа к введению более трудных задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, в которых сравниваются два множества предметов. В ходе практических упражнений дети учились устанавливать взаимно-однозначное соответствие между элементами двух множеств предметов, выяснили, в каком из двух

Рис 39.

сравниваемых множеств больше предметов, а в каком — меньше и т. п. Ряд таких упражнений был представлен в предыдущей главе (см., например, упражнение 6 на с. 18 настоящей книги). Напомним, что их выполнение связывалось с формированием умения изображать заданные отношения графически, что служит прямой подготовкой к иллюстрации текстовых задач.

Перед введением задач рассматриваемого вида приобретенные детьми ранее знания надо оживить путем выполнения ряда заданий с опорой на те же средства наглядности, которые были и раньше.

Начав с использования дидактического материала, можно сразу же перейти к работе с картинками, с помощью которых дети сравнивают два множества предметов. Составление задач по картинкам в данном случае отличается известным своеобразием. Вот что пишет по этому поводу М. И. Моро: «Действительно, попробуем дать иллюстрацию, составленную с использованием полной предметной наглядности. Например, на рисунке изображены 2 пучка морковки, в одном — 6 морковок, а в другом — 4. Для того чтобы составить по такой картинке задачу на увеличение (или уменьшение) на несколько единиц, ученику пришлось бы выяснить, на сколько морковок в одном пучке больше, чем в другом, но решать задачи на разностное сравнение он еще не умеет. Поэтому при схематической записи условий задач этого вида разностное отношение между искомым и данным должно быть дано в своем числовом выражении, а не наглядно. Вместе с тем для решения подобных задач очень важно иметь ясное представление о том, что значит «больше», «дороже», «шире» и т. п.

В связи с этим особенно большое значение приобретает здесь не составление задачи по картинке, а зарисовка условия готовой задачи»1.

Для иллюстрации эффективности зарисовки условий задачи с целью выяснения смысла увеличения и уменьшения на несколько единиц используем пример из опыта учительницы М. А. Бобрищевой. Ее опыт А. С. Пчелко описывает так:

«Учимся мы увеличивать и уменьшать число на несколько единиц. Решаем задачу-картинку про грибы. Задаю вопрос; «Сколько белых грибов нашли Ваня с Машей?» Быстро поднимаются руки, спрашивают: «Сколько нашел Ваня? Сколько нашла Маша?»

Даю одинаковое количество: Ваня — 4 и Маша — 4.

«Ой, поровну! Ой, одинаково!» — слышишь заключение, а это и была намеченная цель.

Дома рисуют задачи-картинки «поровну», а завтра друг другу картинки показывают, задачи задают.

1 Моро М. И. Наглядные пособия по арифметике для I класса. М., Изд. АПН РСФСР, 1962, с. 73.

От задач «поровну» легкий переход к задачам «больше на столько-то» и «меньше на столько-то».

Каждому ученику даю лист бумаги, разделенный вертикально пополам: «Одна половина будет твоя. Другая, придумай сам, чья она будет? На одной половине нарисуй 3 (чего угодно), а на другой — на 2 больше».

Договариваемся, кто что будет рисовать (карандаши, вишни, флажки и т. д.).

Рисуют разное, а задание одно: «3 и на 2 больше».

Тут ли не радость, когда видишь, что рисуют почти все правильно: сначала поровну на обеих половинках, а потом... потом после ценнейшего раздумья решают: «А теперь еще 2, лишних 2, больше на 2!»

И рядом или чуть поодаль рисуют еще 2 лишних.

На последующих уроках делаем естественный вывод: если у Маши карандашей на 2 больше, чем у Вовы, то значит, у Вовы на 2 меньше, чем у Маши. Я выше тебя, значит, ты ниже меня. И т. д.

Объясняя «меньше на столько-то», даю всем задание рисовать елочки: «7 и на 3 меньше».

Опять нарисовали сначала поровну, а потом задумались. Некоторые к одной семерке пририсовали еще 3 елочки, и у них стало 10. «Тут на 3 больше, а здесь на 3 меньше», — объясняют они. Но такое действие не отвечает заданию: надо «7 и на 3 меньше», а не «10 и на 3 меньше». «Вы, ребята, сделали правильно, когда нарисовали 7 и 7. А отчего бы могло стать здесь елочек на 3 меньше?»

— Сломало ветром!

— Спилили на дрова!

— Засохли! И т. д.

«Ну, так продолжайте работу дальше... Значит, трех уже нет, а у вас все стоят». И... догадались многие: закрыли 3 рукой! Первого сообразившего мы позвали к доске. Он нарисовал елочки по 7 штук на двух сторонах. Потом закрыл 3, и перед глазами предстало всем 7 елочек и на 3 меньше. Действие ответило заданию: от 7 отнять 3. Мы сейчас же перевели это действие на язык арифметической записи:

7-3=4.

Ценю я этот метод за то, что ученик работал и запомнил головой то, что ясно, отчетливо слышали уши, запомнил руками, когда рисовал; запомнил глазами, когда ими проверял»1.

От простейших предметных рисунков легко осуществить переход к рисункам условным. Покажем это на примере такой задачи: «На одной полке 6 книг, а на другой — на 3 книги больше.

1 Пчелко А. С. О преподавании арифметики в начальной школе. М., Изд. АПН РСФСР, 1949, с. 35—37.

Рис. 40.

Сколько книг на второй полке?» Рисунок, как и обычно, возникает по ходу анализа задачи. «Пусть клетка изображает книгу. Как изобразить в этом случае, что на первой полке 6 книг? (В виде 6 клеток.)» Обращаясь к тексту задачи, выясняем, что на второй полке книг столько же (обводятся ниже, через строчку, 6 клеток) да еще 3 (обводятся на второй строчке еще 3 клетки). Задача фактически решена графически, поскольку выполненный условный рисунок отображает число предметов, содержащихся в сравниваемых множествах. При этом возникает опасность, что ответ на вопрос задачи будет найден простым пересчетом числа клеток, изображенных на второй строке. Поэтому при решении следующих задач нужно переходить к использованию частичной наглядности, находить результат путем вычисления и лишь затем иллюстрировать его на рисунке. Выполняя последнее задание, ученики обводят на первой строке 6 клеток, а затем рассуждают так: «На второй строке надо обвести столько клеток, сколько на первой и еще 3. К 6 прибавить 3, получится 9. На второй строке надо обвести 9 клеток» (рис. 40).

Дальнейшая работа состоит в том, чтобы научить детей изображать условия таких задач (а в дальнейшем и задач других видов) в «отрезках».

Предпосылкой иллюстрации текстовых задач с помощью «отрезков» служит решение представленных в учебнике математики для I класса задач геометрического содержания. Так, вначале дети учатся чертить отрезки заданной длины по линейке, затем выполняют задания на увеличение или уменьшение данного отрезка и, наконец, решают с помощью чертежа задачи на сравнение отрезков.

Методика соответствующей работы хорошо описана в современных методических руководствах1 и в методических указаниях к учебнику2. Нам же важно показать, как применяются соответствующие умения при изображении «в отрезках» условий текстовых сюжетных задач. Первый вопрос, который возникает в этой связи: на примере каких задач рассматриваемого вида лучше начать знакомство с изображением их условий «в отрезках»? Как известно, вначале решаются такие задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, в которых фигурируют термины «больше», «меньше», и только после этого переходят к

1 См.: Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в I—III классах. М., «Просвещение», 1975; Пышкало А. М. Методика обучения элементам геометрии в начальных классах. М., «Просвещение», 1965.

2 См.: Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Математика в I классе. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1973.

решению задач, в которых увеличение или уменьшение на несколько единиц выражается терминами «длиннее», «короче», «выше», «ниже» и т. п. Эти задачи более всего подходят для обучения детей построению графических иллюстраций «в отрезках».

Рассмотрим задачу: «Высота яблони 6 м. Береза выше яблони на 3 м. Найти высоту березы». Работу над задачей можно начать с сопоставления картинки и схематического чертежа, причем целесообразно использовать такую иллюстрацию (рис. 41), которая создает возможность проследить выражение одних и тех же соотношений в двух различных планах: конкретно-предметном (рисунки яблони и березы) и обобщенно-абстрактном (высота яблони и березы изображены с помощью отрезков).

Рассуждения при переходе от использования более конкретной наглядности к менее конкретной могут быть примерно такими: «Рядом с яблоней изображен отрезок. Этот отрезок условно приняли за высоту яблони и рядом написали, что он изображает 6 м. Известна ли высота березы? (Нет.) А что известно? Береза на 3 м выше яблони.) Как вы это понимаете? (Береза такой же высоты, что и яблоня, да еще 3 м.) Правильно. Поэтому рядом с березой сначала начертили отрезок, который соответствует высоте яблони, а затем продолжили его на такой отрезок, который условно соответствует 3 м».

Знакомство с иллюстрацией условий задач с помощью схематических чертежей можно продолжить на задачах, условия которых связаны с мерами длины. Например: «У Кости было 2 куска проволоки: первый длиной 5 м, а второй на 2 м короче. Какой длины был второй кусок проволоки?»

Рассуждения при построении схематического чертежа: «С помощью произвольного отрезка изобразим длину первого куска проволоки и надпишем над ним, что он равен 5 м. Так как второй кусок проволоки короче первого на 2 м, то ниже, под первым отрезком (через строчку) начертим сначала отрезок, равный ему (начала отрезков должны находиться на одном уровне), а затем от правого его конца отложим влево отрезок, условно изображающий 2 м. Надпишем над этой частью второго отрезка, что она изображает 2 м, а над остальной частью поставим знак «?», так как она иллюстрирует искомое» (рис. 42). В дальнейшем

Рис. 41. Яблоня. Береза.

Рис. 42. Рис. 43. Рис. 44.

Рис. 45.

условия подобных задач можно изображать так, как показано на рисунках 43 и 44. Существенно, чтобы в конечном счете ученики научились строить подобные схематические чертежи самостоятельно.

Обучение детей изображению условий текстовых задач в отрезках с помощью чертежа, выполненного в заданном масштабе, начинается во II классе.

Рассмотрим задачу: «У папы было 2 электрошнура: один длиной 6 м, а второй на 3 м длиннее. Какой длины второй шнур?»

Для построения чертежа примем длину одной клетки ученической тетради за 1 м, тогда электрошнур длиной 6 м изобразится отрезком длиной 6 клеток тетради. Длине второго электрошнура, очевидно, будет соответствовать отрезок длиной 6 клеток, увеличенный на отрезок длиной 3 клетки (рис. 45).

В том случае, если данные задачи не связаны с мерами длины, построение чертежа осуществляется аналогичным образом. Например: «С первого огорода накопали 8 мешков картофеля, а со второго на 2 мешка меньше. Сколько накопали мешков картофеля со второго огорода?» Договоримся, что один мешок картофеля будем изображать отрезком, длина которого равна длине одной клетки ученической тетради. Для того чтобы изобразить при помощи отрезка 8 мешков картофеля, надо начертить отрезок, равный по длине восьми клеткам тетради. Так как с другого огорода накопали на 2 мешка меньше, то под первым отрезком (через строчку) чертим второй отрезок, равный первому, и отделяем на нем часть, равную двум клеткам. Напишем над этой частью «2 меш.», а над остальной частью поставим «?», так она иллюстрирует искомое (рис.46).

Следует отметить, что на отрезке, изображающем неизвестное (условно), лучше не делать отметок, отделяющих единичные отрезки.

В том случае, если подобные задачи содержат большие числовые данные (с такими числовыми данными ученики впервые встречаются при изучении темы «Сотня»), предпочтение следует отдавать схематическим чертежам, не связанным с определенным масштабом.

С большими трудностями дети сталкиваются при встрече с задачами на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц, выраженными в косвенной форме. При обучении решению подобных задач важно научить детей устанавливать

Рис. 46.

в какой из совокупностей, о которых идет речь в задаче, больше предметов, а в какой — меньше, какое число нужно узнать: большее или меньшее. Разобраться в этих вопросах поможет использование наглядного материала. Отвечая на вопросы о том, в каком порядке и как использовать различные виды наглядности при введении таких задач, М. И. Моро и А. М. Пышкало пишут: «Сначала это могут быть демонстрации, связанные с использованием дидактического материала того вида, которые приводились при сравнении двух множеств предметов с первых уроков математики, затем — рисунок, чертеж, краткая запись»1.

Далее, авторы на примере задачи: «На столе 8 чашек, их на 3 больше, чем стаканов. Сколько стаканов на столе?» — показывают, как выполнять рисунок, а в дальнейшем и графическую схему в отрезках. Приведем соответствующие выдержки из цитируемой книги.

«По ходу разбора задачи будем выполнять рисунок так: нарисуем в ряд 8 чашек, а затем ниже, под каждой чашкой по 1 стакану. Получим, что стаканов столько же, сколько чашек. Но в задаче сказано, что чашек должно быть на 3 больше. Всего должно быть 8 чашек (как и изображено на рисунке). Значит, их трогать нельзя, а чтобы их оказалось на 3 больше, чем стаканов, нужно «убрать» 3 стакана (на рисунке можно перечеркнуть 3 изображения стаканов). Такая иллюстрация помогает оживить в сознании детей уже известные им соотношения: а) если в одном из сравниваемых множеств на сколько предметов больше, то в другом — их на столько же меньше, т. е. если чашек на 3 больше, значит, стаканов на 3 меньше; б) чтобы стаканов стало на 3 меньше, чем чашек, нужно взять столько же стаканов, сколько и чашек, без 3. Отсюда уже естественно вытекает и запись решения:

8—3 = 5 (ст.)»2.

Построение схематического чертежа к этой же задаче комментируется так: «изобразим с помощью произвольного отрезка число чашек, напишем над ним, что он изображает «8 ч.», начертим ниже равный ему отрезок, который должен условно изображать столько же стаканов. Обращаясь к тексту задачи, вспоминаем, что 8 чашек — это на 3 больше, чем стаканов. Значит, верхний отрезок должен быть больше, а нижний, изображающий число стаканов, — меньше. Отделяем на нижнем отрезке часть его, иллюстрирующую «лишние» 3 стакана, и надписываем над ней «3 шт.». Над остальной частью отрезка можно поставить знак «?», так как она иллюстрирует искомое»3.

1 Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в I—III классах. М., «Просвещение», 1975, с. 165.

2 Там же, с. 165—166.

3 Там же, с. 166.

Описанное выше использование рисунков, схематических чертежей и чертежей при решении задач на увеличение (или уменьшение) числа на несколько единиц (выраженных как в прямой, так и косвенной форме) помогает наглядному представлению данных и искомого, связей и зависимостей между соответствующими величинами и тем самым облегчает выбор нужного действия.

Задачи на разностное сравнение

Основное назначение наглядности при знакомстве с задачами на разностное сравнение — обосновать выбор действия при их решении. Начинать работу рекомендуется с использования демонстрационного, а затем и индивидуального счетного материала1. В первом случае работу с демонстрационным материалом проводит сам учитель, привлекая к ней на отдельных этапах учащихся; во втором случае, хотя ученики и выполняют работу самостоятельно, организовать, а главное, проверить результаты этой работы трудно.

Эффективной организации самостоятельной работы способствует проведение практических работ графического характера. Например, учитель предлагает детям нарисовать в тетрадях один столбик (или строчку) в 6 клеток и рядом другой — в 4 клетки.

Устанавливается, что в первом столбике клеток обведено больше, чем во втором. Ставится вопрос: «На сколько больше обведено клеток в первом столбике, чем во втором?» Учитель предлагает задание: «Будем раскрашивать клетки: одну клетку в первом столбике и одну во втором, потом еще одну клетку в первом столбике и еще одну во втором столбике и т. д. (раскрашиваем до тех пор, пока во втором столбике не будут раскрашены все клетки)». Далее работа может проводиться в форме математического диктанта. Ставятся вопросы: «Сколько клеток раскрасили в первом столбике? (Ученики показывают карточку с цифрой 4.) А во втором? (Ученики снова показывают цифру и говорят: тоже 4, столько же, сколько в первом.) Сколько осталось нераскрашенных клеток в первом столбике? (Показывается карточка с цифрой 2.) На сколько же больше клеток в первом столбике, чем во втором? (Показывается карточка с цифрой 2.) Сколько всего клеток в первом столбике? (Показывается карточка с цифрой 6.) Сколько раскрасили? (Показывается карточка с цифрой 4.) Как получили 2 нераскрашенные клетки? (Из 6 вычли 4.) Запишите это в тетрадях. (Запись: 6—4=2.)»

1 Методика проведения работы с демонстрационным и индивидуальным счетным материалом подробно описана в пособии М. И. Моро, М. А. Бантовой, Г. В. Бельтюковой «Математика в I классе» (М., «Просвещение», 1973, с. 160—161) и в ряде других пособий.

Контрольный вопрос: что показывает число 2? (В первом столбике на 2 клетки больше, чем во втором, а во втором — на 2 клетки меньше, чем в первом.)

Практические работы, подобные приведенной выше, служат и целям подготовки к изображению условий рассматриваемых задач с помощью условных рисунков. К схематическому изображению можно приступить при рассмотрении первых же текстовых задач. Например, при разборе задачи: «В саду росло б кустов малины и 9 кустов смородины. На сколько больше кустов смородины росло в саду?» — можно предложить детям зарисовать ее условие, изображая, скажем, кусты малины кружками (6), а смородины — треугольниками (9). Полученный условный рисунок используется для обоснования выбора действия при решении этой задачи: «Чтобы узнать, на сколько больше треугольников, чем кружков, надо из всех треугольников вычесть столько треугольников, сколько нарисовано кружков». Схематический рисунок не только иллюстрирует данные задачи, но и позволяет наглядно показать, что кружков на 3 меньше, чем треугольников. Чтобы уравнять число кружков с числом треугольников, надо недостающее число кружков отметить точками (рис. 47).

При решении приведенной выше задачи (а также при работе с дидактическим материалом) ученики находят разность простым пересчетом предметов, так как рисунок, отображая число предметов, фактически заключает решение. Необходимость в таком использовании рисунков отпадает тогда, когда дети научатся решать подобные задачи на основе сформированного уже обобщения, в соответствии с которым, чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее.

В дальнейшем решение таких задач с помощью рисунков и чертежей можно применять в целях преодоления встречающихся у некоторых учеников затруднений, а также для проверки правильности решения задачи арифметическим способом. Так, после арифметического решения задачи: «Васе 9 лет, а Кате 7. На сколько лет Вася старше Кати?» — можно в целях проверки правильности решения предложить ученикам решить задачу графически, с помощью чертежа. Рассуждения при построении чертежа к рассматриваемой задаче могут быть примерно такими: «Условимся изображать один год отрезком, длина которого равна длине одной клетки ученической тетради. Для того чтобы изобразить возраст Васи, отложим на прямой отрезок, по длине равный длине 9 клеток. Для изображения возраста Кати под первым отрезком (на одном с ним уровне) откладываем на прямой отрезок, равный по длине 7 клеткам тетради. Проведем через конец вто-

Рис. 47.

рого отрезка вертикальную пунктирную линию так, чтобы она пересекала первый отрезок. Правая часть первого отрезка, отсеченная вертикальной линией (две клетки тетради), представляет собой графический ответ задачи» (рис. 48).

Разумеется, что проверять таким способом решение каждой задачи на разностное сравнение вовсе не обязательно. Следует обратить внимание на то, что схематический чертеж для иллюстрации задач на разностное сравнение использовать нельзя. В самом деле, в любой задаче рассматриваемого вида речь идет о сравнении двух заданных чисел — о выяснении того, на сколько одно из этих чисел больше (или меньше) другого. Если мы каждое из данных чисел изобразим, скажем, отрезком произвольной длины, то это не только не облегчит, но может даже затруднить понимание смысла задачи. Иллюстрация (будь то рисунок или чертеж) должна в данном случае точно отображать те числа, которые подлежат сравнению. Это может быть сделано в форме предметного или схематического рисунка и с помощью выполненного в определенном масштабе чертежа. При этом (как и во всех случаях иллюстрации задач, связанных с рассмотрением отношений «больше» и «меньше») важно, чтобы графическое изображение облегчало выполнение требуемого сравнения. Например, на рисунке множества предметов, иллюстрирующие числовые данные задачи, должны быть представлены так, чтобы установление взаимно-однозначного соответствия между их элементами легко было выполнить, образуя пары на глаз (см., например, выполненные с соблюдением этого требования рис. 47 и др.).

То же относится и к чертежу, который должен, как и рисунок, не только отображать числовые данные, но и помогать раскрытию отношения между данными числами (см., например, рис. 48 и др.).

Задачи, раскрывающие конкретный смысл действий умножения и деления

Конкретный смысл действия умножения раскрывается при решении задач на нахождение суммы одинаковых слагаемых (произведения). Наглядность, используемая при решении таких задач, помогает детям осознать, какое же слагаемое повторяется в каждом конкретном случае и сколько раз. Сначала подбираются такие задачи, условия которых легко показать наглядно с помощью простейшего рисунка. С этой целью можно использовать, например, задачи, имеющиеся в учебнике математики для II класса (№ 157, с. 31): «Зарисуй условие задачи и реши ее:

Рис. 48.

Рис. 49.

1) На каждой тарелке 5 яблок. Сколько яблок на трех тарелках?

2) В каждой коробке 10 яиц. Сколько яиц в двух коробках?»

Такие задачи, очевидно, можно иллюстрировать и с помощью условного рисунка (например, яблоки заменять кружочками).

В дальнейшем вводятся такие задачи, иллюстрация которых с помощью предметного рисунка затрудняется. Здесь на передний план выступает иллюстрация с помощью условного рисунка или чертежа. Например, решается задача: «В буфет привезли 3 ящика апельсинов по 9 кг в каждом. Сколько килограммов апельсинов привезли?»

Рассуждения при построении схематического чертежа: «Если изобразить 1 кг в виде клетки ученической тетради, то число килограммов апельсинов в одном ящике изобразится в виде прямоугольной полоски, содержащей 9 клеток, а в трех таких ящиках — в виде трех таких полосок, каждая из которых содержит по 9 клеток»1. При этом полоски, изображающие геометрические образы слагаемых, удобнее располагать не в один ряд, а одну под другой. В этом случае образуется прямоугольник, составленный из трех одинаковых полосок (рис. 49). Чтобы помочь осознанию того, какое слагаемое повторяется в каждом конкретном случае и сколько раз, полезно верхнюю полоску заштриховать.

Контрольные вопросы к выполненному чертежу:

Что изображает каждая прямоугольная полоска? (Ящик с апельсинами.)

Сколько всего таких прямоугольных полосок? (3.)

По скольку клеток в каждой прямоугольной полоске? (По 9 клеток.)

Что изображает каждая клетка? (1 кг.)

Далее в беседе с учащимися устанавливается, что для ответа на вопрос задачи нужно 9 кг (т. е. число килограммов апельсинов в одном ящике) повторить слагаемым 3 раза, т. е. столько раз, сколько всего ящиков.

Запись решения: 9-3 = 27 (кг).

Конкретный смысл действия деления раскрывается при решении задач на деление по содержанию и на равные части.

Как известно, в течение всех 30 уроков, отводимых на подготовку к составлению и изучению таблиц умножения, все задачи на деление решаются с опорой на наглядность. Основное на-

1 Следует отметить, что при схематическом изображении условий этой и других подобных задач в целях экономии времени ученики могут вычерчивать только контур прямоугольника, не обводя его внутренних клеток, так как задача решается на листах тетради, разлинованной в клетку.

значение наглядности на данном этапе — демонстрация самого процесса деления по содержанию и на равные части. С этой целью используются дидактический материал, предметные и условные рисунки.

Наблюдения, проведенные Н. В. Меленцовой и М. И. Моро, показывают, что при коллективной работе с дидактическим материалом организовать наглядное решение довольно легко, «но тогда, когда задача или примеры на деление решаются детьми самостоятельно, трудно и организовать, и тем более проверить такую работу»1. Авторы пишут, что, по их наблюдению, «лучше всего это получилось у учителей, которые для иллюстрации деления на равные части и деления по содержанию использовали не дидактический материал (как это делалось в I классе), а условный, схематический рисунок. Рисунок можно использовать и при коллективном, и при самостоятельном решении задач и примеров на деление»2.

Начать работу по графическому изображению условий рассматриваемых задач целесообразно с задач практического содержания, подобных следующим:

1. Задача на деление числа по содержанию: «Ученику надо обвести 6 клеток, по 2 клетки в каждом ряду. Сколько получится рядов?»

Рассуждение: «Обведем 2 клетки в I ряду, обведем еще 2 клетки во II ряду. Всего обвели 4 клетки; обведем еще 2 клетки в III ряду, все 6 клеток заняли 3 ряда, по 2 клетки в каждом». В результате получается чертеж прямоугольника, у которого общее число клеток (6) —делимое, число клеток в одном ряду (2) —делитель, а искомое число рядов (3) —частное (рис. 50).

После выполнения чертежа полезно задать контрольные вопросы: сколько всего клеток обвели? По скольку клеток обводили в каждом ряду? Сколько получилось рядов? Ответы на вопросы ученики могут демонстрировать с помощью цифровых сигнальных карточек. Далее записывается решение и ответ:

6:2 = 3. Ответ. 3 ряда.

2. Задача на деление числа на равные части: «Ученику надо обвести 6 клеток так, чтобы получилось 2 равных ряда. По скольку клеток надо обвести в каждом ряду?»

Рассуждение: «Обведем по одной клетке в каждом ряду, всего 2 клетки, затем еще по одной клетке в каждом ряду, всего 4 клетки, и, наконец, еще по одной клетке в каждом ряду, всего 6 клеток». В результате получается предыдущий чертеж прямоугольника, но перевернутый на 90° (рис. 51).

1 Меленцова Н. В., Моро М. И. Изучение умножения и деления во II классе. — В кн.: Математика в I—III классах. М., «Просвещение», 1971, с. 36.

2 Там же, с. 36.

Рис. 50. Рис. 51.

По построенной графической модели задаются вопросы: всели клетки обвели? В скольких рядах обводили клетки? По скольку клеток обвели в каждом ряду? Записывается решение и ответ:

6:2 = 3. Ответ, по 3 клетки.

При таком использовании графических изображений явно выступает связь двух видов деления друг с другом (в каждой части будет по столько клеток, сколько раз по 2 клетки содержится в 6 клетках) и связь их с умножением.

От рассмотрения представленных выше задач можно переходить к таким задачам, условия которых близки жизненной практике детей и содержание которых легко представимо с помощью схематических рисунков. Ряд таких задач имеется в учебнике математики для II класса1, в «Карточках с математическими заданиями для 2-го класса»2 и в других пособиях.

Проследим процесс построения схематических рисунков на примерах таких задач:

1. 8 птиц нужно разместить в клетках по 2 птицы в каждой клетке. Сколько потребуется клеток, чтобы разместить всех птиц?

Предлагается решить задачу, рисуя вместо каждой птицы треугольник, а вместо каждой клетки — квадрат.

Рассуждение: «В каждую клетку нужно разместить по 2 птицы. Рисуем 2 треугольника и «размещаем» их в первый квадрат; рисуем чуть поодаль еще 2 треугольника и «размещаем» их во второй квадрат, всего 4 птицы в двух клетках; рисуем еще 2 треугольника и «размещаем» их в третий квадрат, всего 6 птиц в трех клетках; рисуем еще 2 треугольника и «размещаем» их в четвертый квадрат, всего 8 птиц в четырех клетках» (рис. 52).

Полученный условный рисунок наглядно иллюстрирует и решение, и ответ задачи:

8:2=4. Ответ. 4 клетки.

2. 9 цветков расставили в 3 вазочки поровну. Сколько цветков поставили в каждую вазочку?

Рис 52.

1 См.: Моро М. И., Бантова М. А. Математика, 2, изд. 9-е. М., «Просвещение», 1977, с. 33, № 169; с. 37, № 200 и др.

2 См.: Моро М. И., Меленцова Н. В. Карточки с математическими заданиями для 2-го класса, изд. 4-е. М., «Просвещение», 1977, с. 51—53, 63—65.

Рис. 53. Рис. 54.

Предлагается решить задачу, рисуя вместо каждого цветка палочку, а вместо каждой вазочки — прямоугольник.

Рассуждение: «9 цветков надо расставить в 3 вазочки поровну. Рисуем 3 прямоугольника и «расставляем» в каждом из них по одной палочке, всего 3 палочки. Расставляем в каждый из трех прямоугольников еще по одной палочке, всего 6 палочек; и, наконец, расставляем в каждый из трех прямоугольников еще по одной палочке, всего 9 палочек». Полученный схематический рисунок (рис. 53) наглядно иллюстрирует решение:

9:3 = 3. Ответ, по 3 цветка.

Такие рисунки можно использовать и при коллективном, и при самостоятельном решении задач на деление.

Далее надо осуществить переход от использования схематических рисунков к изображению условий таких задач в отрезках.

Можно рассмотреть такую задачу: «Полено длиной 30 см надо распилить на 3 равные части. Чему будет равна длина каждой части?» Здесь можно использовать иллюстрацию, которая представлена на рисунке 54. Такая иллюстрация позволяет осуществить плавный переход от использования более конкретной наглядности (рисунка полена, разделенного пунктирными линиями на 3 равные части) к менее конкретной, к изображению условия задачи в «отрезках»: полено изображается в виде отрезка, а места разрезов — черточками на отрезке.

Рассмотрим еще задачу: «Из 12 м ткани в мастерской сшили несколько платьев, расходуя на каждое по 3 м ткани. Сколько платьев получилось из этого куска ткани?» Построим по ней чертеж, изображая 1 м ткани с помощью отрезка, длина которого равна длине одной клетки ученической тетради. Тогда, чтобы изобразить графически 12 м ткани, надо отложить на прямой отрезок, по длине равный 12 клеткам тетради, отделяя при этом единичные отрезки небольшими черточками. Затем проводятся примерно такие рассуждения: «Отмечу на построенном отрезке черточкой (размером чуть побольше тех черточек, которые отделяют единичные отрезки) сначала 3 м, потом еще 3 м, всего 6 м, затем еще 3 м, всего 9 м, и, наконец, еще 3 м, всего 12 м» (рис. 55).

Задача решена графически, так как чертеж наглядно иллюстрирует и решение, и ответ задачи: 12 : 3 = 4 (пл.).

Приведенный выше материал показывает, что рисунки и чертежи используются не только для иллюстрации условий задач,

Рис. 55.

Рис. 56.

но и как средство их графического решения. Необходимость в таком использовании рисунков и чертежей отпадает только тогда, когда дети смогут решать задачи на деление, опираясь на знание соответствующих случаев табличного умножения и знание связи между делением и умножением. В дальнейшем графический способ решения таких задач может выступать как средство преодоления затруднений, с которыми встречаются некоторые ученики, как средство проверки правильности решения задачи арифметическим способом.

Однако и здесь графический способ решения не всегда должен только сопутствовать арифметическому. При решении некоторых задач, особенно задач с практическим содержанием, графический способ решения может выступать на передний план. Рассмотрим, например, одну из таких задач, которая представлена в учебнике математики II класса: «Для настилки полов в комнате привезли 24 доски. Какова длина комнаты, если в 1 м укладывалось 4 доски?» Начнем решать задачу графическим способом, с помощью схематического рисунка. С этой целью изобразим доску в виде узкой прямоугольной полоски. Число же досок, которые надо уложить в 1 м, изобразится в виде прямоугольника, содержащего 4 узкие прямоугольные полоски (рис. 56). Далее прерываем наглядное решение и уступаем место рассуждениям: «В 1 м укладываются 4 доски, чтобы определить длину комнаты, надо узнать, сколько раз число 4 содержится в числе 24. Для этого надо 24 разделить на 4. Получится 6». Затем правильность проведенных рассуждений можно проверить путем продолжения графического решения задачи, которое наглядно представлено на рисунке 56. Суть его, как видим, состоит в продолжении «укладывания» досок (пока не получится 24 доски). По полученному рисунку простым подсчетом можно узнать, сколько метров составляет длина комнаты.

Задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз

Первое знакомство с отношением «больше в несколько раз» дается с использованием предметной наглядности. Оперируя дидактическим материалом (кружками, палочками, тетра-

Рис. 57.

дями, карандашами и т. п.), ученики под руководством учителя выполняют упражнения вида: «Положите слева 3 кружка, а справа 2 раза по 3 квадрата». Учитель поясняет: «Квадратов в 2 раза больше, чем кружков, а кружков в 2 раза меньше, чем квадратов».

От оперирования дидактическим материалом можно перейти к выполнению практических упражнений (сначала под руководством учителя, а затем и самостоятельно) вида: «Обведите карандашом на одной строке 4 клетки, а на другой строке 3 раза по 4 клетки, т. е. в 4 раза больше клеток; нарисуйте 5 треугольников, а под ними в 2 раза больше треугольников и т. п.».

При решении первых текстовых задач в течение нескольких уроков нужно требовать от детей выполнения предметных и схематических рисунков. С этой целью подбираются такие задачи, содержание которых легко показать с помощью рисунка. Ряд таких задач представлен в учебнике по математике для II класса (с. 68, № 370, 375 и др.), в «Карточках с математическими заданиями для 2-го класса»1 и в других источниках.

Рассмотрим одну из таких задач: «Второклассники сделали для октябрят 3 прямоугольных флажка, а треугольных в 2 раза больше. Сколько треугольных флажков сделали второклассники?» Предметный рисунок (рис. 57) наглядно иллюстрирует как решение, так и ответ задачи: 3-2 = 6 (фл.).

Этапы использования наглядности при первоначальном знакомстве с задачами на уменьшение числа в несколько раз те же, что и для задач на увеличение числа в несколько раз: работа с дидактическим материалом, с картинками учебника, зарисовка условий задач.

Дети уже знают, что если одно число больше другого в несколько раз, то второе число меньше первого во столько же раз. Это служит основой для разъяснения способа решения задач на уменьшение числа в несколько раз; определяет особенности использования наглядности. Так, если при рассмотрении задач на увеличение числа в несколько раз наглядность использовалась для иллюстрации и решения, и ответа (рис. 57), то при решении задач на уменьшение числа в несколько раз сначала на основе рассуждений находится искомый результат и лишь затем он изображается графически. Таким образом, рисунок здесь не помогает решению, а может использоваться лишь для проверки его правильности.

Работу по решению задач на уменьшение числа в несколько

1 См.: Моро М. И., Меленцова Н. В. Карточки с математическими заданиями для 2-го класса, изд. 4-е. М, «Просвещение», 1977, с. 79, 81.

раз можно начать с выполнения практических упражнении, подобных следующему: «Обведите карандашом на одной строке 8 клеток, а на другой — в 4 раза меньше. (Ученики обводят на одной строке 8 клеток.) На другой строке надо обвести в 4 раза меньше клеток. Если на второй строке надо обвести в 4 раза меньше клеток, то что можно сказать о числе клеток в первой строке? (Их будет в 4 раза больше.) Значит, на первой строке обведено 4 раза по стольку клеток, сколько их должно быть обведено на второй строке. Как же узнать, сколько клеток надо обвести во втором ряду? (Надо 8 клеток разделить на 4 равные части, получится по 2 клетки в каждой части.) Разделите клетки (отделяется, например, черточками каждая пара клеток). На второй строке обведите 2 клетки».

Аналогичные рассуждения имеют место и при изображении условий задач с помощью рисунка. Рассмотрим, например, задачу № 382 (2) из учебника математики II класса: «Юннаты вырастили 10 цыплят, а утят в 5 раз меньше, чем цыплят. Сколько утят вырастили юннаты?» «Условимся,—говорит учитель,—вместо цыплят рисовать кружки, а вместо утят — треугольники». Ученики рисуют 10 кружков, а затем рассуждают так: «Чтобы треугольников было в 5 раз меньше, надо, чтобы кружков было в 5 раз больше. Значит, кружков 5 раз по стольку, сколько надо нарисовать треугольников. Чтобы узнать, сколько надо нарисовать треугольников, надо 10 кружков разделить на 5 равных частей. В каждой части получим по 2 кружка. Нарисуем на второй строке 2 треугольника. Рассмотрев рисунок (рис. 58), легко убедимся, что треугольников действительно в 5 раз меньше, чем кружков».

Следующий шаг в работе по использованию наглядности при решении задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз — это изображение условий таких задач в «отрезках».

Начать можно с решения представленных в учебнике математики II класса задач геометрического содержания вида: «Начерти 2 отрезка: один длиной 4 см, а другой в 3 раза длиннее. Чему равна длина второго отрезка?»

Знакомство с иллюстрацией условий сюжетных текстовых задач с помощью «отрезков» целесообразно начать с использования таких иллюстраций, на которых представлены одновременно и рисунки предметов, и их условные изображения (отрезки). Рассмотрим, например, задачу: «Высота яблони 4 м. Сосна выше яблони в 4 раза. Найти высоту сосны». Ее можно иллюстрировать так, как показано на рисунке 59.

Переход от рисунка к изображению условия рассматриваемой задачи в «отрезках» осуществляется примерно так: «Рядом с яблоней изображен отрезок, который условно приняли за высоту яблони. Известна ли высота сосны? (Нет.) А что известно про высоту сосны?

Рис. 58.

Рис. 59. Яблоня. Сосна.

(Сосна выше яблони в 4 раза.) Правильно. Поэтому рядом с сосной изображен второй отрезок, длина которого в 4 раза больше длины первого отрезка».

При иллюстрации сюжетных задач в большинстве случаев целесообразнее использовать схематические чертежи. Во-первых, построить их гораздо легче, чем чертеж (особенно для задач с большими числовыми данными), во-вторых, при выборе детьми нужного действия схематические чертежи делают рассматриваемые при решении таких задач отношения более наглядными, в-третьих, возможность найти результат с помощью счета, который возникает при выполнении чертежа в определенном масштабе, полезна только для проверки решения, но не помогает в выборе арифметического действия, необходимого для решения задачи арифметическим способом.

Процесс построения схематических чертежей проиллюстрируем на примере следующих задач.

1. Сыну 8 лет. Отец в 4 раза старше сына. Сколько лет отцу? Рассуждаем примерно так: «Сыну 8 лет. Пусть возрасту сына соответствует какой-либо отрезок произвольной длины. Так как отец старше сына в 4 раза, то, чтобы изобразить с помощью отрезка возраст отца, надо отложить на прямой последовательно 4 таких же отрезка, как первый» (рис. 60).

2. В мастерской изготовили 50 парт, а столов в 5 раз меньше, чем парт. Сколько столов изготовили в мастерской?» Чертим произвольный отрезок и договариваемся, что он изображает общее число парт (50). Так как число столов в 5 раз меньше, чем парт, то начертим второй отрезок, соответствующий числу столов. Первый отрезок делим (на глаз) на 5 равных частей и под ним чертим второй отрезок, равный одной из полученных частей (рис. 61).

При иллюстрации задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз, выраженных в косвенной форме, проводятся аналогичные рассуждения. Необходимо только предварительно оживить в сознании детей усвоенное ими ранее соотношение:

Рис. 60. Рис. 61.

если первое число в несколько раз больше (меньше) второго, то второе во столько же раз меньше (больше) первого.

Задачи на кратное сравнение чисел

Знания, приобретенные детьми при решении задач на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз, служат основой для введения задач на кратное сравнение. Наглядность при ознакомлении с решением задач этого вида помогает детям уяснить смысл кратного отношения, выраженного словами «во столько-то раз больше», «во столько-то раз меньше». В методике рекомендуется начать работу с использования дидактического материала: «На наборное полотно выставляется 3 квадрата. Учитель спрашивает ученика, сколько квадратов на наборном полотне, и предлагает взять треугольников в 2 раза больше. Ученик должен объяснить, почему он взял 6 треугольников. (В 2 раза больше, значит, 2 раза по 3.)

Затем учитель берет 12 треугольников и спрашивает, как узнать, во сколько раз треугольников больше, чем квадратов. Выясняется, что для этого нужно узнать, сколько раз взяли по 3 треугольника. Не давая детям возможности решить задачу практически, учитель спрашивает, как же узнать, сколько раз по 3 надо взять, чтобы получилось 12. Каким действием это можно узнать? Дети отвечают и решают задачу. После этого учитель выставляет на полотне 12 треугольников, разбирая их по 3. Чтобы получить 12, надо взять по 3 четыре раза. Во сколько же раз 12 больше, чем 3? (В 4 раза.) А во сколько раз 3 меньше, чем 12? (Тоже в 4 раза.)»1

В дальнейшем (после того как будет сделан вывод, как узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого), в случаях затруднения или же в целях проверки правильности решения задачи арифметическим способом можно решать рассматриваемые задачи графически, с помощью рисунков и чертежей, выполненных в определенном масштабе.

Приведем несколько примеров.

1. У брата 3 художественные открытки, а у сестры — 12. Во сколько раз больше открыток у сестры, чем у брата?

После решения задачи арифметическим способом (12:3 = 4) детям предлагается сделать к этой задаче рисунок, изображая каждую открытку прямоугольником: на одной строке они нарисуют 3 прямоугольника, а через строчку— 12 прямоугольников.

«Сосчитайте, сколько раз по 3 прямоугольника надо взять, чтобы получилось 12 прямоугольников?» (Нарисованные в нижнем ряду 12 прямоугольников ученики разделят черточками на группы по 3 прямоугольника в каждом.)

1 Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в I—III классах. М., «Просвещение», 1975, с. 200.

«Посмотрите ответ задачи: такое ли число у вас получилось?»

Такие дополнительные задания особенно полезно предлагать слабоуспевающим ученикам.

2. Красная лента имеет длину 9 м, а желтая 3 м. Во сколько раз красная лента длиннее желтой?

Для графического решения задачи с помощью чертежа примем длину одной клетки ученической тетради за 1 м.

Тогда длине красной ленты будет соответствовать отрезок, состоящий из 9 единичных отрезков, а длине синей ленты — отрезок, состоящий из трех единичных отрезков. Далее «укладываем» меньший отрезок на большем, делая на нем соответствующие отметки с помощью черточек, побольше тех, которые отделяют единичные отрезки (рис. 62). Арифметический и графический способы решения сравниваются и устанавливается, что ответ получился один и тот же.

Надо отметить, что нельзя изображать числовые данные в задачах на кратное и на разностное сравнение чисел в виде двух отрезков произвольной длины. Однако при иллюстрации задач на кратное сравнение оказывается полезным следующий прием построения чертежа: меньшее из сравниваемых чисел изображается отрезком произвольной длины (над ним записывается соответствующее число); для изображения большего из сравниваемых чисел на параллельной прямой последовательно откладываются отрезки, равные данному. Откладывая каждый новый отрезок, ученик должен всякий раз подсчитывать, какое число изображает весь полученный отрезок. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено число, данное в задаче. На рисунке 63 показана соответствующая иллюстрация для случая кратного сравнения чисел 24 и 6.

Приведенная иллюстрация представляет собой чертеж, выполненный в определенном масштабе (он задан меньшим отрезком и числом 6). Такой чертеж открывает возможность найти ответ на вопрос задачи с помощью счета. В рассмотренном случае для получения искомого достаточно посчитать, сколько отрезков, изображающих число 6, содержится в отрезке, изображающем число 24 (их 4, и из этого следует, что число 6 в 4 раза меньше числа 24, а число 24 в 4 раза больше, чем 6).

Описанный способ построения чертежа особенно полезен в тех случаях, когда задача требует сравнения больших чисел.

Рис. 62.

Рис. 63.

Остановимся теперь коротко на рассмотрении вопроса об использовании графических изображений для сравнения простых задач, их обобщения и систематизации.

Объяснительная записка к программе по математике указывает, что система в подборе простых задач и «расположения их во времени построена с таким расчетом, чтобы обеспечить наиболее благоприятные условия для сопоставления, сравнения, противопоставления задач, сходных в том или ином отношении (а поэтому смешиваемых детьми), а также задач взаимно-обратных. При этом имеется в виду, что в процессе упражнений дети все время будут встречаться с задачами различных видов. Это исключит возможность выработки вредных штампов в решении задач; дети с самого начала будут поставлены перед необходимостью каждый раз производить основательный анализ задачи, прежде чем выбрать то или иное действие для ее решения»1.

Сравнение простых задач различных видов проводится в целях выяснения сходства или различия в их условиях, в способе их решения. Для осознания сходства, а также для разграничения близких понятий, сходных в том или ином отношении задач, большую пользу может принести предметная или графическая наглядность. На целесообразность ее использования в этих целях учителя издавна ориентирует учебно-методическая литература. Так, в работе Г. Б. Поляка «Преподавание арифметики в начальной школе» находим следующую общую рекомендацию: «Геометрические образы полезно применять при решении многих видов простых задач, в частности когда требуется разграничить близкие понятия, например увеличение или уменьшение на несколько единиц и в несколько раз, разностное и кратное сравнение, деление на части и по содержанию»2.

При решении простых задач ученикам рекомендуется предлагать для сравнения пары задач. Вот некоторые из таких пар:

1. На ветке сидели 5 птичек. Прилетели еще 2 птички. Сколько птичек стало на ветке?

На ветке сидели 5 птичек. 2 птички улетели. Сколько птичек осталось на ветке?

2. Коля нашел в лесу 8 орехов, а Петя — на 2 ореха меньше. Сколько орехов нашел Петя?

Коля нашел в лесу 8 орехов, а Петя — на 2 ореха больше. Сколько орехов нашел Петя?

3. Два мальчика расчищали дорожки. Один мальчик расчистил 5 м, а другой — на 3 м больше. Какой длины дорожку расчистил второй мальчик?

1 Программа восьмилетней школы. Начальные классы (I—III). М., «Просвещение», 1976, с. 39.

2 Поляк Г. Б. Преподавание арифметики в начальной школе. М., Учпедгиз, 1959, с. 296.

Рис. 64.

Рис. 65. Рис. 66.

Один мальчик расчистил 5 м дорожки, а другой — в 3 раза больше. Какой длины дорожку расчистил другой мальчик?

Первая пара задач — задачи на нахождение суммы и остатка. В задачах дан сходный сюжет, одни и те же числа. Осознанию различия в способах решения этих задач помогут схематические рисунки (рис. 64).

Аналогичным образом, представив графически условия задач каждой из следующих пар, ученики легко заметят, чем вызваны различия в их решении.

После того как дети осмыслят решение простых задач и научатся иллюстрировать их, можно предлагать им и задания творческого характера. Пусть, например, ученикам предложена для решения задача на увеличение числа на несколько единиц: «Первая «звездочка» собрала 9 книг, а вторая — на 3 книги больше. Сколько книг собрала вторая «звездочка»?» Ученики иллюстрируют ее с помощью схематического чертежа (см. рис. 65), записывают решение: 9+3=12 (кн.). После решения задачи учитель последовательно вносит изменения в иллюстрации (рис. 66, 67, 68, 69, 70), а учащимся предлагает внести соответствующие изменения в условие задачи.

В соответствии с новыми схематическими чертежами ученики составят такие задачи:

1. Первая «звездочка» собрала 9 книг; а вторая — на 3 книги меньше. Сколько книг собрала вторая «звездочка»? (Рис. 66.)

2. Первая «звездочка» собрала 9 книг, а вторая — в 3 раза больше. Сколько книг собрала вторая «звездочка»? (Рис. 67.)

3. Первая «звездочка» собрала 9 книг, а вторая — в 3 раза меньше. Сколько книг собрала вторая «звездочка»? (Рис. 68.)

4. Первая «звездочка» собрала 9 книг, а вторая — 6 книг. На сколько больше книг собрала первая «звездочка», чем вторая? (Рис. 69.)

Рис. 67. Рис. 68.

Рис. 69. Рис. 70.

5. Первая «звездочка» собрала 9 книг, а вторая — 3 книги. Во сколько раз больше книг собрала первая «звездочка», чем вторая? (Рис. 70.)

После решения задач открывается большой простор для выявления сходства и различия между ними.

Описанная работа по преобразованию и сравнению задач может быть проведена и несколько по-другому. После решения задачи учитель изменяет знак арифметического действия в ее решении (9—3, 9-3, 9:3), а учащимся предлагает внести соответствующие изменения в условие и графическую иллюстрацию задачи. Затем задачи сравниваются.

Научив детей правильно выбирать действие в задаче, учитель должен начать работу и по подведению детей к обобщению, выясняя при этом, какие задачи решаются тем или иным действием. В объяснительной записке к программе по математике по этому поводу говорится, что «Большое значение при рассмотрении задач имеет намеченная программой обобщающая работа. Начало работы относится уже к рассмотрению простых задач, так как при их решении предлагается составлять выражение или уравнение.

Поскольку по одному и тому же выражению (например, 3+ +5) может быть составлен ряд задач различного конкретного содержания, с самого начала обращается внимание на общность, существующую между всеми задачами такого вида»1.

Рисунки и чертежи, выражающие математическую сущность задачи, могут быть с успехом использованы при систематизации и обобщении знаний учащихся о простых задачах. Так, например, ученикам можно предложить проиллюстрировать чертежом задачу, которая решается так: 3-4=12 (дер.), и сформулировать

1 Программа восьмилетней школы. Начальные классы (I—III). М., «Просвещение», 1976, с. 39.

Рис. 71.

ее. Возможные варианты графического изображения представлены на рисунке 71. Опираясь на решение и возможные варианты графической модели задач, ученики могут составить, например, задачи, решаемые действием умножения:

1. В каждом ряду надо посадить 3 дерева. Сколько деревьев можно посадить на 4 таких рядах? (Задача на нахождение суммы одинаковых слагаемых.)

2. В одном ряду посадили 3 дерева, а в другом — в 4 раза больше деревьев. Сколько деревьев посадили во втором ряду?

В одном ряду посадили 3 дерева, что в 4 раза меньше числа деревьев, посаженных в другом ряду. Сколько деревьев посадили в другом ряду?

Последние две задачи являются задачами на увеличение числа в несколько раз (выраженные в прямой и в косвенной формах).

3. Ученики II класса посадили 3 дерева, что составляет -i- всех деревьев, которые надо посадить. Сколько всего деревьев надо посадить ученикам II класса? (Задача на нахождение числа по доле.)

Аналогичным образом графические модели могут быть использованы и при обобщении простых задач, решаемых другими действиями (сложением, вычитанием, делением).

§ 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ СОСТАВНЫХ ЗАДАЧ

Составные задачи, как и простые, иллюстрируются с помощью реальных предметов, рисунков и чертежей (в том числе и схематических). При этом, очевидно, должен быть соблюден принцип постепенного и своевременного перехода от более конкретных форм наглядности к менее конкретным.

Обратимся к первым составным задачам, содержащим простые задачи на уменьшение числа на несколько единиц и нахождение суммы. Известно, что при решении подобных задач ученикам трудно осознать необходимость выполнения двух действий. Для преодоления этих трудностей рекомендуется осуществлять инсценировку, позволяющую наглядно демонстрировать оба действия, использовать рисунки и схемы. Напомним, как авторы

Рис. 72.

учебника рекомендуют иллюстрировать задачу № 57 из учебника математики для I класса: «В первой коробке 6 карандашей, а во второй — на 2 карандаша меньше. Сколько всего карандашей в двух коробках?».

«Рассказывая условие задачи, учитель показывает, сколько карандашей в первой коробке (6); показывает вторую, закрытую коробку и говорит, что в ней на 2 карандаша меньше. Формулируя вопрос, учитель одну коробку придвигает к другой. Затем дети повторяют задачу по вопросам учителя, а учитель походу работы выполняет схематический рисунок на доске: «Что известно про первую коробку? (На рисунке первой коробки появляется число 6 к.) Известно ли, сколько карандашей было во второй коробке? (На второй коробке ставится вопросительный знак.) Что известно про карандаши во второй коробке? (Запись под рисунком «на 2 к. меньше».) О чем спрашивается в задаче? (Обе коробки объединяются фигурной скобкой, и под ней ставится вопросительный знак.) Когда рисунок готов (рис. 72), учащиеся повторяют по нему задачу, поясняя, что обозначает каждое число и каков вопрос задачи»1.

Практика показывает, что детям особенно трудно осознать необходимость выполнения двух действий в задачах, содержащих простые задачи на увеличение числа на несколько единиц и нахождение суммы. Дети нередко при решении задач этого вида (с двумя сложениями) выполняют только одно действие. Предупреждению таких ошибок способствует использование наглядности. Рассмотрим, для примера, задачу: «На одной полке 8 книг, на другой — на 3 книги больше. Сколько книг на двух полках вместе?» Для иллюстрации условия задачи можно выполнить условный рисунок.

В ходе работы проводятся примерно такие рассуждения: «О чем говорится в задаче? (О книгах.) О скольких полках идет речь в задаче? (О двух.) Запишем это».

Один из учеников у доски, а остальные на местах производят такую запись: j II п.

«Что известно про книги на первой полке? (На первой полке 8 книг.) Пусть одна клетка изображает одну книгу. Как изобразить в этом случае, что на первой полке 8 книг? (В виде полоски из 8 клеток.) Изобразите это. Известно ли, сколько книг на второй полке? (Нет.) Что известно про книги на второй полке? (На

1 Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Математика в I классе. Пособие для учителя. М., «Просвещение», 1973, с. 199.

второй полке книг на 3 больше, чем на первой.) Как это понять: «на 3 больше, чем на первой»? (Столько же, сколько на первой, и еще 3.) Изобразите это графически».

Ученики (через строку от изображения числа книг на первой полке) обводят сначала столько же клеток, сколько их в верхней полоске, а затем еще 3 клетки.

«О чем спрашивается в задаче? (Сколько книг на двух полках вместе?) Как это обозначить? (Фигурной скобкой и вопросительным знаком.)»

В результате в тетрадях учеников появляется схематический рисунок задачи (рис. 73). Такой схематический рисунок служит средством предупреждения ошибок, наглядной опорой при разборе задачи. Опираясь на выполненный рисунок, можно провести разбор задачи примерно так: «Знаем ли мы, сколько книг на первой полке? На второй? Можно ли сразу (одним действием) узнать, сколько всего книг на двух полках? (Нет.) Почему нельзя? (Неизвестно, сколько книг на второй полке.) Можно ли сразу узнать, сколько книг на второй полке? (Можно.) Что для этого нужно сделать? (Нужно к 8 прибавить 3.) Почему? (Потому что в задаче сказано, что на второй полке на 3 книги больше, чем на первой. Значит, на ней столько же книг, сколько на первой (8), и еще 3.) Что узнаем, если к 8 прибавим 3? (Сколько книг на второй полке.) Можно ли теперь узнать, сколько книг на двух полках вместе? (Да.) Что для этого нужно сделать? (Сложить число книг на первой и число книг на второй полке.) Ответим мы тогда на главный вопрос задачи? (Да.)»

При решении первых же составных задач рисунки могут выступать не только как средство иллюстрации условий задач, но и как средство их графического решения (или как средство проверки правильности решения задачи арифметическим способом). Приведем несколько примеров:

1. В классе висело 7 картин. Повесили еще 2 картины, а затем 4 картины сняли. Сколько картин осталось висеть в классе?

Может быть предложено такое задание: «Нарисуйте столько прямоугольников, сколько картин висело в классе. Рядом (чуть поодаль) нарисуйте столько прямоугольников, сколько еще повесили картин. Перечеркните столько прямоугольников, сколько сняли картин, сосчитайте, сколько прямоугольников осталось неперечеркнутыми. Какой ответ можно дать на вопрос задачи? Задача решена графически, без выполнения арифметических действий над данными числами».

2. В классе 6 электрических лампочек, в коридоре на 2 лампочки больше, чем в классе, а в зале столько лампочек, сколько в классе и коридоре вместе. Сколько лампочек в зале?

Рис. 73.

После арифметического решения задачи: 6+(6+2) = 14 (шт.) ученикам предлагается задание: «Нарисуйте на одной строке столько кружков, сколько лампочек было в классе, на другой — столько кружков, сколько лампочек было в классе, и еще 2 (так как в коридоре лампочек было на 2 больше, чем в классе). Сосчитайте, сколько кружков на этих двух строчках вместе. Посмотрите ответ задачи: такое ли число у вас получилось?»

Графическое решение задач не только служит средством проверки правильности решения, но и помогает осознанию сущности арифметического способа решения.

От иллюстрации составных задач с помощью рисунков надо перейти к изображению данных в задаче чисел, отношений и искомого в «отрезках».

Знакомство с иллюстрацией задач в «отрезках» целесообразно начать с таких задач, данные которых выражены в мерах длины. В этом случае изображение данных и искомого в виде отрезков будет понятнее детям.

Рассмотрим, например, процесс построения схемы в «отрезках» к такой задаче: «У Кости было 2 куска проволоки: один длиной 5 м, а другой на 2 м длиннее. Найти длину двух кусков проволоки».

«О чем говорится в задаче? (О проволоке.) О скольких кусках проволоки идет речь в задаче? (О двух кусках.) Запишем это».

Производится такая запись:

I. II.

«Что известно про длину первого куска проволоки? (Первый кусок проволоки был длиной 5 м.) Изобразим с помощью произвольного отрезка длину первого куска проволоки и надпишем над ним, что он изображает 5 м. Что еще известно в задаче? (Второй кусок проволоки на 2 м длиннее первого.) Под первым отрезком начертим второй отрезок длиннее первого. Отметим ту часть отрезка, которая изображает 2 м. Надпишем над этой частью отрезка «2 м».

Затем учитель задает ученикам еще несколько вопросов: «Что неизвестно в задаче? Как это обозначить?»

В результате такого анализа появляется представленный на рисунке 74 схематический чертеж.

Для графического решения той же задачи можно выполнить чертеж, приняв, например, длину стороны клетки тетради за 1 м. Тогда длине первого куска проволоки (5 м) будет соответствовать отрезок длиной 5 клеток, а длине второго куска проволоки — отрезок в 5+2 (клеток). Для обозначения неизвестного отрезки, соответствующие длине каждого из кусков проволоки, объединяют фигурной скобкой и чуть поодаль от нее ставят вопросительный знак (рис. 75).

Рис. 74. Рис. 75.

При решении подобных задач из раздела «Сотня» ученики нередко встречаются с большими числовыми данными. В этом случае при изображении условий задач в «отрезках» предпочтение следует, конечно, отдавать схематическому чертежу.

Выше в целях иллюстрации с помощью «отрезков» условий составных задач, содержащих простые задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц и нахождение суммы, использовались 2 отрезка неравной длины, расположенных один под другим. Однако иллюстрировать условия такого вида задач можно и с помощью отрезков, расположенных на одной прямой. Все зависит от жизненной ситуации, описанной в задаче. Например, условие задачи: «Поезд вышел из пункта А в пункт В. До остановки в пункте С он прошел 34 км, а после остановки — на 16 км больше. Какой путь прошел поезд от пункта А до пункта В?» — целесообразно иллюстрировать так, как показано на рисунке 76.

Рассмотрим ход построения этого схематического чертежа. Сначала отложим на прямой отрезок АС (произвольной длины), отметим с помощью дуги и надписи, что он изображает путь, пройденный поездом до остановки, который равен 34 км. Отметим на чертеже стрелкой направление движения поезда, а остановку вертикальной черточкой с флажком. Затем, снова обратившись к условию задачи, выясним, что после остановки поезд прошел в том же направлении на 16 км больше, чем до остановки, а это значит, что после остановки он прошел столько же, сколько до остановки, да еще 16 км. Покажем это на чертеже, отложив отрезок CD, равный отрезку ЛС, и отрезок DB, изображающий 16 км. С помощью дуг и записей обозначим, какое расстояние изображает отрезок CD и какое — отрезок DB. Предлагаем детям показать на чертеже весь путь, пройденный поездом (он изображен отрезком AB), путь, пройденный до остановки (отрезок ЛС), и путь, пройденный после остановки (отрезок СВ). Выясняем, известно ли из условия задачи, сколько километров прошел поезд после остановки (нет), и обозначаем это на чертеже скобкой и вопросительным знаком. Спрашиваем, можно ли узнать, чему равен

Рис 76.

путь от С до В, и как это сделать, как после этого узнать расстояние от А до В.

Несколько иначе будет строиться чертеж в том случае, когда в задаче идет речь о движении двух тел в противоположных направлениях. На рисунке 77 приведен такой схематический чертеж, иллюстрирующий задачу № 104 из учебника математики для III класса: «Две моторные лодки отошли от одной пристани в противоположных направлениях. Одна из них прошла 38 км, а другая — на 5 км больше. На каком расстоянии оказались лодки одна от другой?»

Рассмотрим теперь, как строятся и как используются графические изображения при поиске решения составных задач других видов.

I. Составные задачи, содержащие простые задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц.

Рассмотрим, например, задачу № 54 из учебника математики для II класса: «Нина наша 23 желудя, Катя — на 6 желудей больше, чем Нина, а Оля — на 9 желудей меньше, чем Катя. Сколько желудей нашла Оля?»

Дети читают задачу. Затем под руководством учителя строят схематический чертеж, повторяя одновременно задачу.

«О ком идет речь в задаче? (О Нине, Кате и Оле.) Запишем это кратко. Что известно про число желудей, которые нашла Нина? (Нина нашла 23 желудя.) Изобразим с помощью отрезка произвольной длины число желудей, которые нашла Нина, и надпишем, что этот отрезок изображает 23 желудя. Известно ли, сколько желудей нашла Катя? (Нет.) Что известно про желуди, которые нашла Катя? (Катя нашла на 6 желудей больше, чем Нина.) Ниже, под первым отрезком (через строчку), начертим отрезок, равный ему, и продолжим его, чтобы показать, что Катя нашла на 6 желудей больше, чем Нина. Надпишем над отрезком, изображающим 6 желудей, «6 жел.». Что известно про желуди, которые нашла Оля? (Оля нашла на 9 желудей меньше, чем Катя.) Что значит «на 9 желудей меньше»? (Это значит «столько же без 9»).

Начертим под вторым отрезком третий, такой же длины, а затем отделим от него часть, которая будет изображать 9 желудей. Эта часть должна быть несколько больше отрезка, с помощью которого мы изображали 6 желудей. Поскольку эта часть третьего отрезка показывает отсутствующие желуди (если бы Оля нашла еще 9 желудей, то у нее было бы их столько же, сколько у Кати, но она их не нашла), то покажем эту часть отрезка пунктиром (если чертеж выполняется на доске, то это легко сделать, если же в тетради, то пунктирную линию можно провести поверх начерченного отрезка, рис. 78).

Рис. 77.

Рис. 78.

Обозначим, что эта часть третьего отрезка изображает 9 желудей. Над остальной частью его поставим знак «?», так как она изображает искомое число».

Когда схематический чертеж готов, ученики повторяют по нему задачу, поясняя, что обозначает каждое число и каков вопрос задачи. Полученная схема разгружает учеников от восприятия несущественных для решения особенностей условий, наглядно отражает данные, вопрос задачи и связи между ними. Благодаря ей связи и зависимости между величинами, входящими в задачу, становятся обозримыми, в буквальном смысле наблюдаемыми. Их легче изучать, объяснять ученикам.

Опираясь при разборе рассматриваемой задачи на выполненный схематический чертеж, нетрудно установить, что непосредственно связаны между собой два числа: 23 желудя и 6 желудей. Рассмотрев чертеж, дети определяют, что ответ на промежуточный вопрос: «Сколько желудей нашла Катя?» — можно найти действием сложения: 23 + 6 = 29 (жел.). Обосновав ответ на вопрос о том, для чего надо узнавать, сколько желудей нашла Катя, дети снова обращаются к графическому изображению и устанавливают, что числа 29 желудей и 9 желудей также связаны между собой. Выбрав эти числа, определяют, что ответ на главный вопрос: «Сколько желудей нашла Оля?» — можно найти действием вычитания: 29—9=20 (жел.).

II. Составные задачи, содержащие две простые задачи на нахождение суммы, в условиях которых фигурируют слова «отрезали», «осталось».

При решении составных задач рассматриваемого вида чертеж также помогает разобраться в зависимостях, существующих между данными и искомым задачи, помогает выбору каждого из действий.

Рассмотрим, например, задачу № 88 из учебника математики II класса: «От куска ленты девочка отрезала 6 дм и еще 7 дм. После этого у нее осталось 9 дм. Какой длины был кусок ленты?»

Графическое изображение этой задачи в «отрезках» может быть введено через сопоставление с представленной на странице 15 учебника картинкой: вместо каждого куска ленты вычерчиваются 3 произвольных, но неравных отрезка. Затем отрезки объединяют фигурной скобкой и поодаль от нее ставят вопросительный знак (рис. 79).

Схематический чертеж к этой задаче может быть выполнен и иначе, если все 3 отрезка будут последовательно отложены на одной прямой (рис. 80). (Все 3 отрезка в данном случае про-

Рис. 79. Рис. 80.

иззольной длины, но при их вычерчивании отмечается, что второй должен быть немного больше первого, а третий — больше второго.) По такому чертежу можно предложить детям показать, какой длины была вся лента; часть ленты, которую девочка отрезала (полезно отметить соответствующий отрезок дугой и вопросительным знаком); оставшаяся часть ленты. После этого детям легко будет ответить на такие вопросы: можно ли сразу узнать, сколько дециметров ленты отрезали? Каким действием? Можно ли теперь узнать длину всей ленты? Каким действием?

III. Составные задачи, решаемые двумя действиями, одно из которых — умножение.

С подобными задачами ученики II класса впервые встречаются в период подготовки к составлению и изучению таблиц умножения. Рассмотрим задачу № 280 из учебника математики II класса: «Ваня собрал летом коллекцию бабочек: в трех коробках у него было по 6 бабочек и в одной коробке — 4 бабочки. Сколько всего бабочек было у Вани?» В учебнике на странице 47 дан предметный рисунок к этой задаче, но его легко заменить схематическим, изобразив каждую из коробок с помощью прямоугольника, а бабочку в виде треугольника (рис. 81).

Схематический рисунок поможет детям ответить на вопросы, которые будут заданы им при разборе задачи: «Можно ли сразу (одним действием) узнать, сколько всего бабочек было у Вани? Почему нельзя? Можно ли сразу узнать, сколько всего бабочек было в первых трех коробках? Что для этого нужно сделать? Почему? Что узнаем, если 6 умножим на 3? Можно ли теперь узнать, сколько всего бабочек было у Вани? Что для этого нужно сделать? Ответим ли мы тогда на главный вопрос задачи?» Такого рода схематические рисунки можно использовать и при разборе других задач того же вида.

Рис. 81.

Рис. 82.

В дальнейшем для иллюстрация условий задач рассматриваемого вида можно использовать геометрические образы в виде прямоугольных полосок, отрезков. Так, для иллюстрации условия задачи: «В детском саду перед сном расставили кроватки: 4 ряда по 5 кроваток и в пятом ряду еще 3 кроватки. Сколько всего кроваток расставили?»— можно изобразить кроватку условно в виде клетки ученической тетради. Тогда количество кроваток, которые расставили в одном из четырех рядов, изобразится в виде прямоугольной полоски, содержащей 5 клеток, а в четырех рядах — в виде прямоугольника, состоящего из четырех таких полосок. Количество же кроваток, которые расставили в пятом ряду, изобразится в виде прямоугольной полоски, содержащей 3 клетки (рис. 82). Такое графическое изображение может служить и средством наглядной иллюстрации условий, и средством графического решения (или графической проверки), так как она наглядно иллюстрирует и решение, и ответ задачи:

5-4 + 3 = 23 (кр.).

При рассмотрении же задачи № 351 из того же учебника: «От куска ситца отрезали двум покупателям по 8 м, после этого в куске осталось 7 м ситца. Сколько метров ситца было в куске?», условие которой связано с мерами длины, можно перейти к иллюстрации с помощью отрезков. С этой целью куски ситца, которые отрезали двум покупателям, изображаются двумя равными отрезками, расположенными один под другим. Количество же ситца, которое осталось, изобразится с помощью третьего отрезка, который должен быть несколько меньше каждого из первых двух отрезков. Для обозначения неизвестного вводится фигурная скобка и знак «?» (рис. 83). Соответствующие отрезки могут быть отложены последовательно и на одной прямой. Тогда схематический чертеж к рассматриваемой задаче примет такой вид, как на рисунке 84.

IV. Составные задачи, содержащие простые задачи на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз и на нахождение суммы.

Рис. 83. Рис. 84.

Первые задачи рассматриваемого вида лучше иллюстрировать рисунками (предметными и схематическими), а затем схематическими чертежами и чертежами, выполненными в определенном масштабе. Так, при рассмотрении задачи № 419 в учебнике математики для II класса показано, как может быть выполнена иллюстрация с помощью рисунка и чертежа.

Процесс построения схематического чертежа проиллюстрируем на примере задачи № 420 из учебника математики для II класса: «С горы на санках каталось 18 ребят, а на лыжах — в 3 раза меньше, чем на санках. Сколько всего ребят каталось с горы?»

Чертим отрезок произвольной длины и договариваемся, что он изображает число ребят, которые катались на санках (18). Так как на лыжах каталось в 3 раза меньше ребят, то, чтобы изобразить их число, делим первый отрезок на три равные части (на глаз) и ниже (под первым отрезком) чертим второй отрезок, равный одной из образовавшихся частей. Далее с помощью фигурной скобки и вопросительного знака обозначается неизвестное (рис. 85).

Такой схематический чертеж помогает выявить связи между данными, между искомым и данными и тем самым помогает найти решение задачи:

18+18:3 = 24 (чел.).

V. Составные задачи, содержащие простые задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц и в несколько раз.

Рассмотрим задачу: «Чемпион школы по шашкам выиграл в турнире 12 партий, проиграл в 4 раза меньше и свел вничью на 2 партии больше, чем проиграл. Сколько партий он свел вничью?»

Для построения схематического чертежа изобразим каким-либо отрезком число партий, которые выиграл чемпион школы. Тогда число партий, которые чемпион проиграл, изобразится отрезком, в 4 раза меньшим первого, а число партий, которые он свел вничью, отрезком, большим второго на часть, изображающую число 2 (рис. 86).

Схема поможет ответить на вопросы, которые будут заданы при разборе задачи: «В задаче сказано, что чемпион школы по шашкам выиграл в турнире 12 партий, а проиграл в 4 раза

Рис. 85. Рис. 86.

меньше. Что узнаем по этим данным и как узнаем? Нужно ли это узнавать? Известно, что вничью чемпион свел на 2 партии больше, чем проиграл, а мы узнали, сколько партий он проиграл. Что можно теперь узнать по этим данным? Как можно узнать? Ответим ли мы тогда на главный вопрос задачи?»

VI. Составные задачи на нахождение суммы двух произведений.

Рассмотрим задачу: «Ученики II класса в каждом из четырех рядов вырыли по 6 ямок для деревьев, а ученики I класса в каждом из трех рядов вырыли по 7 ямок. Сколько ямок для деревьев вырыли ученики I и II классов вместе?»

Введем условное обозначение. Изобразим ямку в виде клетки ученической тетради. В процессе анализа задачи выполняется и соответствующая иллюстрация: «О чем говорится в задаче? (Ученики I и II классов рыли ямки для деревьев.) Что известно в задаче? (Ученики II класса в каждом из четырех рядов вырыли по 6 ямок для деревьев.) Изобразите это графически. (Ученики вычерчивают прямоугольник, состоящий из 4 прямоугольных полосок, каждая из которых содержит 6 клеток.) Что еще известно в задаче? (Ученики I класса в каждом из трех рядов вырыли по 7 ямок для деревьев.) Изобразите это графически. (Ученики к первому прямоугольнику пририсовывают второй прямоугольник, состоящий из трех прямоугольных полосок, каждая из которых содержит 7 клеток.)»

Далее ставятся вопросы: «Что спрашивается в задаче? Как это обозначить?»

В результате появляется графическое изображение задачи, представленное на рисунке 87.

Графическая модель не только наглядно иллюстрирует каждое действие (помогая тем самым осознать их сущность), но и подтверждает решение:

6.4 + 7-3 = 45 (ям.).

В качестве подготовки к использованию такой схематической иллюстрации можно сначала предложить детям изобразить каждую ямку кружком так, чтобы каждый кружок располагался в центре клетки тетради. Это поможет осуществить переход к изображению, приведенному на рисунке 87.

VII. Составные задачи, содержащие простые задачи на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз и на разностное сравнение.

Рассмотрим задачу № 912 из учебника математики для II класса: «В прошлом году в заповеднике заготовили на зиму 14 стогов сена для подкормки лосей, а в этом году — в 3 раза

Рис. 87.

Рис. 88.

больше стогов. На сколько больше стогов сена заготовили в этом году, чем з прошлом?»

Если изобразить число стогов, которое заготовили на зиму в прошлом году, при помощи отрезка (произвольной длины), то число стогов, которые заготовили на зиму в этом году, изобразится тремя такими же отрезками. После обозначения неизвестного схематический чертеж будет иметь вид, представленный на рисунке 88.

Разбор задачи с опорой на приведенную схему: «Можно ли сразу (одним действием) узнать, на сколько больше стогоз сена заготовили в этом году, чем в прошлом? (Нет.) Почему нельзя? (Неизвестно, сколько стогов сена заготовили в этом году.) Можно ли сразу узнать, сколько стогов сена заготовили в этом году? (Можно.) Что для этого нужно сделать? (Нужно 14 умножить на 3)».

Далее ставятся вопросы: «Почему? Можно ли теперь узнать, на сколько больше стогов сена заготовили в этом году, чем в прошлом? Что для этого нужно сделать? Ответим ли тогда на главный вопрос задачи?» Затем составляется план и записывается решение: 14-3—14 = 28 (ст.).

VIII. Задачи, которые решаются способом приведения к единице.

Рассмотрение первой составной задачи, решаемой способом прямого приведения к единице, лучше начать с использования так называемого предметно-аналитического рисунка1. При этом условие задачи иллюстрируется реальными предметами (или их изображениями), но сгруппированными и расположенными так, что это облегчает установление связей между данными и искомым. Например, на нижней планке наборного полотна учитель устанавливает 5 авиаконвертов, говоря: «Надо подсчитать, сколько стоят эти 5 авиаконвертов. (В одном ряду с авиаконвертами, несколько поодаль, ставится разрезная карточка со знаком «?».) Почему мы не можем решить эту задачу? (Не знаем, сколько стоит один авиаконверт.)»

Учитель устанавливает на верхней планке 2 авиаконверта, а над карточкой со знаком «?» ставит «14 коп.». Формулируется задача: «Два авиаконверта стоят 14 коп. Сколько стоят 5 таких конвертов?»

Разбор задачи с опорой на наглядность: «Посмотрим на верхнюю планку полотна: зная, что за 2 авиаконверта уплатили 14 коп., мы можем узнать цену одного авиаконверта. Нужно ли это? Да, так как, узнав цену одного авиаконверта, мы

1 По терминологии М. Э. Боцмановой (см.: Боцманова М. Э. О формах графической наглядности в обучении решению задач. Доклады АПН РСФСР, 1960, № 5).

Рис. 89.

сможем узнать стоимость 5 таких же авиаконвертов, что и спрашивается в задаче».

Наглядность помогает проведению разбора и в направлении от вопроса к данным: «Посмотрим на нижнюю планку полотна. Нам нужно узнать стоимость 5 авиаконвертов. Для этого нужно знать цену одного конверта. Цена одного конверта неизвестна, но мы знаем стоимость двух авиаконвертов (переходим к рассмотрению верхней планки полотна), а зная стоимость (14 коп.) и количество (2 конверта), можно найти цену конверта. Узнав цену одного конверта и умножив ее на количество конвертов (5), найдем стоимость 5 авиаконвертов».

После проведения разбора (в той или иной форме) намечают план решения: ученики рассказывают, что нужно узнать сначала, что потом, и записывают решение.

Для иллюстрации подобных задач могут использоваться схематические рисунки. Для рассмотренной выше задачи он будет иметь вид, представленный на рисунке 89.

В дальнейшем при рассмотрении такого вида задач можно будет ограничиться краткой записью:

2 к. —14 коп. 5 к.-?

Первая задача, решаемая способом обратного приведения к единице, представлена в учебнике II класса под № 526: «Два одинаковых карандаша стоят 8 коп. Сколько таких карандашей можно купить на 32 коп.?» В учебнике к этой задаче дана иллюстрация (рис. 90).

Этот предметно-аналитический рисунок иллюстрирует связь между такими данными задачи, как 2 карандаша и 8 коп. Однако связь между этими данными и 32 коп. рисунком не отражается. Искомое изображено на нем тоже в такой форме, которая не раскрывает его связи с данными. Если мы захотим эти связи изобразить графически, то такое изображение (рисунок, чертеж или схема) будет давать фактически графическое решение задачи. Действительно, после того как мы узнали, например, в приведенной выше задаче, что карандаш стоит 4 коп., остается изобразить графически, сколько раз по 4 содержится в 32. Графическое решение задачи будет выглядеть так, как это показано на рисунке 91.

Отрезок, изображающий 32 коп., должен быть получен в результате последовательного откладывания равных отрезков, изображающих 4 коп. Число карандашей, которые могут быть куплены на 32 коп., может быть определено по этой схеме с по-

Рис. 90.

Рис. 91.

мощью счета: достаточно пересчитать число отрезков, которые пришлось отложить, чтобы «набрать» 32 коп.

Рассмотрим другую задачу: «На 3 халата пошло 9 м материи. Сколько халатов можно сшить из 12 м такой материи?» Для графического решения задачи примем за 1 м длину одной клетки ученической тетради. Тогда 9 м материи графически изобразятся в виде отрезка, состоящего из 9 единичных отрезков. Чтобы узнать, сколько материи пошло на один халат, разделим этот отрезок на 3 равные части. Каждая часть будет содержать 3 единичных отрезка, т. е. 3 м. Дальнейшее графическое решение задачи показывает (рис. 92), что из 12 м материи можно сшить 4 халата. В данном случае мы выполнили чертеж в определенном масштабе, который дает возможность получить ответ с помощью счета.

Обратная задача: «На 4 халата пошло 12 м материи. Сколько халатов можно сшить из 9 м такой материи?»

Графическое решение задачи представлено на рисунке 93.

Наряду с задачами разобранного выше вида в учебнике III класса предлагаются задачи на нахождение четвертого пропорционального, которые не могут быть решены способом приведения к единице. Например задача № 500: «У портнихи из каждых 10 м ситца получалось по 3 рубашки. Сколько таких рубашек она может сшить из 50 м ситца?» Рассуждение, которое должно быть проведено для решения такой задачи, сводится к следующему: «Из каждых 10 м получалось по 3 рубашки. Сколько раз по 10 м содержится в 50 м? (50:10 = 5 (раз).) Столько раз получалось по 3 рубашки. Чтобы узнать, сколько всего рубашек получилось из 50 м, достаточно 3 умножить на 5. (3-5=15 (рубашек).)» Это рассуждение легко провести, если воспользоваться схематическим чертежом (рис. 94).

На приведенном схематическом чертеже отрезок произвольной длины изображает 10 м. Откладываем последовательно

Рис. 92. Рис. 93.

Рис. 94.

один за другим столько таких отрезков, сколько нужно, чтобы получить отрезок, изображающий 50 м. Обращаем внимание детей на то, что каждый из этих отрезков изображает 3 рубашки, а потому для ответа на вопрос задачи достаточно взять по 3 рубашки столько раз, сколько раз по 10 м содержится в 50 м. Решение задачи запишется так:

3-(50:10) =3-5= 15 (рубашек).

При первоначальном знакомстве с такими задачами полезно воспользоваться предметно-аналитическим рисунком, а затем перейти от него к выполнению схематического чертежа (рисунок к этой задаче дан на с. 101 учебника).

Рассмотрим задачу вида: «Два одинаковых бублика стоят 12 коп. Сколько денег надо уплатить за 6 таких же бубликов?» (Рис. 95.)

При разборе задачи такой рисунок помогает ученикам выяснить, что за 6 бубликов надо заплатить столько раз по 12 коп., сколько раз по 2 содержится в 6.

В результате такого разбора намечается план решения (узнаем сначала, сколько раз по 2 содержится в 6, а затем узнаем стоимость 6 бубликов) и записывается решение:

12-(6:2) =36 (коп.).

В этой задаче даны небольшие числа, и предметы, о которых в ней говорится, легко изобразить графически. Поэтому в этом случае для иллюстрации удобно воспользоваться именно предметно-аналитическим рисунком. В других случаях больше подойдет схематический рисунок или чертеж (тоже схематический или выполненный в масштабе). Например, к задаче № 499 из учебника математики для III класса: «Перед уборкой урожая в совхозе на каждые 10 комбайнов подготовлено 16 комбайнеров. Сколько всего комбайнеров подготовлено в совхозе, если уборкой урожая будут заняты 40 комбайнов?» — может быть составлен схематический рисунок, на котором каждый комбайн изображен кружком (рис. 96).

Рис. 95.

Рис. 96. Рис. 97.

По этому рисунку хорошо видно, что если на каждые 10 комбайнов (изображенных кружками) приходится 16 комбайнеров, то всего потребуется (16-4) комбайнеров, так как 40 комбайнов содержат 4 раза по 10 комбайнов.

Приведенный схематический рисунок нагляден, но выполнение его связано с трудоемкой работой (надо нарисовать 50 кружков!). Если дети достаточно подготовлены к восприятию схематического чертежа, то в этом случае лучше использовать именно его (рис. 97).

Можно над каждым отрезком записать, что он изображает 10 комбайнов, а под ним—16 комбайнеров, но можно этого и не делать, а соответствующие пояснения дать устно. Выполнение такого схематического чертежа займет меньше времени, а нужные связи, отношения между данными и искомым предстают на нем достаточно отчетливо.

IX. Задачи на пропорциональное деление.

Основное назначение различных видов наглядности (картинок, рисунков, схем и чертежей) при ознакомлении с задачами на пропорциональное деление состоит в том, чтобы способствовать лучшему пониманию учениками содержания, зависимостей между величинами, входящими в эти задачи, способствовать выбору и обоснованию каждого действия.

В методической литературе рекомендуется предпослать введению данного вида задач подготовительные задачи, решаемые двумя действиями, например: «В первый раз купили 3 одинаковые чашки, а во второй раз — 2 такие же чашки. За все чашки заплатили 2 руб. 50 коп. Сколько стоит одна чашка?» Условие этой задачи иллюстрируется с помощью картинки (рис. 98) или схематического рисунка (например, чашка изображается в виде кружка). После решения этой задачи вопрос ее изменяется так, чтобы получилась задача на пропорциональное деление: «В пер-

Рис 98. Сколько стоит одна чашка?

вый раз купили 3 одинаковые чашки, а во второй раз — 2 такие же чашки. За все чашки заплатили 2 руб. 50 коп. Сколько денег заплатили в первый раз и сколько — во второй?» При этом графическое изображение облегчает ученикам понимание сходства и различия прежней и новой задач, облегчает решение новой задачи.

В процессе решения задачи рисунок используется для выяснения каждого действия:

1) 3+2 = 5 (чаш.); 2) 250:5=50 (коп.); 3) 50-3=150 (коп.); 4) 50-2= 100 (коп.).

В процессе решения целесообразно дополнять рисунок путем нанесения на него некоторых из полученных промежуточных результатов. Так, после нахождения цены чашки (250:5 = = 50) полученное число (50 коп.) обозначается на рисунке. С этой целью достаточно над каждой из первых чашек, купленных в первый и во второй раз, надписать (или прикрепить) число 50 с соответствующим наименованием. Это поможет детям лучше понять последующие действия.

Как и в других рассмотренных ранее случаях, иллюстрацию подобных задач с помощью предметно-аналитического рисунка выполнить не всегда легко. Если предметы, о которых идет речь в задаче, трудно изобразить, то рисунок можно выполнить схематично. Например, в рассмотренной выше задаче вместо чашек можно было нарисовать, скажем, соответствующее число квадратиков. Для третьеклассников, уже овладевших этим приемом условного изображения, это ничего не изменило бы. Несколько труднее воспринимается в таких случаях схематическое изображение данных и искомого с помощью отрезков. Для задач рассматриваемого вида схематический чертеж можно выполнить до конца, в сущности, только в процессе решения. Покажем это на примере задачи № 613 из учебника математики для III класса. «Из двух кусков шелка сшили 18 одинаковых занавесок. В первом куске было 30 м шелка, во втором — 24 м. Сколько занавесок сшили из каждого куска?» Условие этой задачи можно иллюстрировать схематическим чертежом так, как это показано на рисунке 99 или 100.

Второй чертеж в большей мере поможет детям понять, что 18 занавесок получилось из обоих кусков. По этому чертежу легче выяснить, как узнать, сколько метров материи расходовали на каждую занавеску, что для этого надо знать (сначала

Рис. 99 Рис. 100.

надо узнать, сколько всего материи в обоих кусках, а затем полученное число разделить на 18). Понимание этого облегчается тем, что на схеме один и тот же отрезок изображает и (30 + 24) м шелка, и 18 занавесок. Как правило, дальнейшие рассуждения при решении задачи уже не вызывают у детей затруднений. Они могут ответить на вопрос о том, как узнать, сколько занавесок получилось, например, из первого куска, без дополнительных построений. Если же это потребуется, то можно продолжить работу по чертежу так: «Мы узнали, что на 18 занавесок пошло 30 + 24 = 54 (м), после этого определили, что на одну занавеску расходовали по 54:18 = 3 (м). Как теперь показать это на чертеже? На сколько равных частей нужно разделить отрезок, изображающий 30 м, чтобы в каждой части было по 3 м? (На 10 равных частей.) Сколько таких отрезков уложится в отрезке, изображающем 24 м? (24:3 = 8.)». Дополнив соответствующим образом схематический чертеж, получим графическое решение задачи. Отметим, что на схематическом чертеже, где используются отрезки произвольной длины, это сделать труднее, чем с помощью чертежа, выполненного в масштабе.

Рассмотрим теперь такую задачу: «Пешеход прошел до остановки 8 км, а после остановки—12 км и шел все время с одинаковой скоростью. Всего он был в пути 5 ч. Сколько часов пешеход был в пути до и после остановки в отдельности?»

Примем за 1 км длину одной клетки ученической тетради.

Графическое решение задачи представлено на рисунке 101. После нахождения длины всего пути (8+12 = 20), пройденного пешеходом, отрезок прямой, соответствующий 20 км, делится на 5 равных частей, и определяется, сколько раз полученные 4 км содержатся в 8 и 12 км.

Ответ. До остановки пешеход был в пути 2 ч, а после остановки — 3 ч.

X. Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

Выявлению связей и зависимостей, существующих между величинами задачи, осознанию существенной особенности задач рассматриваемого вида способствует использование наглядности.

Рассмотрим задачу: «С первого огорода собрали 3 одинаковых ящика огурцов, а со второго — 5 таких же ящиков, причем со второго огорода собрали на 50 кг огурцов больше, чем с первого. Сколько килограммов огурцов собрали с каждого огорода?»

Рис. 101.

Рис. 102. Рис. 103.

Для схематического изображения условий задачи можно каждый ящик с огурцами изобразить в виде квадрата (рис. 102). Схематический рисунок этой задачи (и других задач этого вида) позволяет наглядно убедиться, что со второго огорода собрали на 50 кг огурцов больше только потому, что число ящиков с огурцами, собранными с этого участка, на 2 больше, чем с первого.

Главное при решении — понять, что в этих 2 ящиках и было 50 кг. После установления этого решение задачи не вызовет затруднений у учащихся.

Так же как и при рассмотрении задач на пропорциональное деление, в ходе решения задач рассматриваемого вида можно дополнять схематический рисунок, отмечая на нем некоторые из промежуточных результатов. В частности, после нахождения массы ящика с огурцами (50:2 = 25) полученное число (25 кг) полезно обозначить на схеме. Это поможет детям лучше понять последующие действия.

Для того чтобы научить детей изображать условия рассматриваемых задач с помощью схемы в «отрезках», целесообразно первыми брать задачи, условия которых связаны с мерами длины, например: «Два покупателя купили материи по одинаковой цене: первый — 4 м, второй — 6 м. Второй покупатель заплатил на 10 руб. больше. Сколько денег заплатил каждый покупатель?» Решение задачи можно изобразить с помощью двух произвольных, неравных отрезков (рис. 103).

Чертежи, применяемые при решении подобных задач, могут быть использованы не только в целях иллюстрации их условий, но и для графического решения. Рассмотрим, например, задачу: «Пешеход прошел в первый день 12 км, а во второй день — 18 км и шел все время с одинаковой скоростью. Во второй день он шел на 2 ч больше, чем в первый. Сколько часов пешеход шел в каждый из этих дней?»

Примем за 1 км длину одной клетки ученической тетради. Тогда путь, пройденденный пешеходом в первый день, изобразится отрезком, со-

Рис. 104.

стоящим из 12 единичных отрезков, а путь, пройденный во второй день,— отрезком, состоящим из 18 таких же единичных отрезков. На втором отрезке отделяется часть, равная разности обоих отрезков (18—12=6). Эта разность (6 км) делится на 2 равные части. Получается 3 км. Первый отрезок, а затем и второй отрезок разбиваются на части по 3 км, чтобы узнать, сколько раз по 3 км содержится в 12 км и в 18 км (или сколько часов пешеход шел в каждый из двух дней). Графическое решение задачи представлено на рисунке 104.

Поиск решения и целого ряда других видов задач, представленных в учебниках для начальных классов и в сборниках арифметических задач, значительно облегчается, если при этом использовать рисунки, схемы или чертежи. Убедиться в этом позволит материал, представленный в этом и следующих параграфах этой главы. Рассмотрим еще несколько более трудных задач из курса II и III классов, чтобы показать, какой из видов иллюстрации лучше выбрать в каждом конкретном случае.

Задача 1. За две одинаковые тетради для рисования заплатили 24 коп., а за одну такую же тетрадь для рисования и карандаш заплатили 15 коп. Сколько стоит карандаш?

Для иллюстрации условия задачи с помощью, например, схематического рисунка можно тетрадь для рисования изобразить в виде прямоугольника, а карандаш — в виде палочки (рис. 105). Рассматривая два рисунка (I и II) в сопоставлении, ученики говорят, что сначала по первому рисунку можно узнать цену тетради для рисования (24:2=12). Соответствующая запись делается на рисунке (на каждой тетради записывается ее цена). Узнав цену тетради, дети обращаются ко второму рисунку, и опираясь на него, рассуждают примерно так: «Теперь можно узнать цену карандаша. За тетрадь и карандаш заплатили 15 коп. Цена тетради 12 коп. Чтобы узнать цену карандаша, надо из 15 вычесть 12».

Опираясь на рисунок, разбор задачи можно вести и от вопроса к числовым данным. С этой целью, рассматривая второй рисунок в сопоставлении с первым, можно рассуждать примерно так: «Чтобы узнать цену карандаша, надо знать, сколько стоил он вместе с тетрадью для рисования (это известно) и сколько стоила тетрадь для рисования (это неизвестно). Как узнать цену тетради для рисования? Есть ли для этого необходимые данные?» Далее обращается внимание детей на первый рисунок и цена тетради узнается из сопоставления данных о числе тетрадей (2) и общей их стоимости (24 коп.).

Рис. 105.

Задача 2. Володя и Дима взяли в библиотеке по книге. В первый же день они прочитали поровну страниц. После этого Володе осталось еще читать 25 страниц, а Диме — 30 страниц. Сколько страниц в книге Димы, если в книге Володи 40 страниц? «О чем говорится в задаче? (О том, что Володя и Дима взяли в библиотеке по книге.) Что известно про число страниц, которые Дима и Володя прочитали в первый день? (В первый день они прочитали поровну страниц.) Изобразим это графически с помощью отрезков. (Ученики чертят один под другим два произвольных, но равных отрезка.) Что известно про число страниц, которые осталось прочитать каждому из мальчиков? (Володе осталось еще читать 25 страниц, а Диме — 30 страниц.) Изобразим это графически».

Ученики продолжают первый отрезок на отрезок, условно изображающий 25 страниц, а второй — на отрезок, изображающий 30 страниц.

«Что еще известно в задаче? (В книге Володи 40 страниц.) Обозначим это на схеме. Что спрашивается в задаче? Обозначим это на рисунке.» (Рис. 106.)

Осуществляя разбор задачи от числовых данных к искомому, устанавливаем, опираясь на верхнюю часть схематического чертежа, что узнать, сколько страниц прочитал Володя в первый день, можно действием вычитания: 40 — 25 (с). Задается контрольный вопрос: «Нужно ли это узнавать, приблизит ли это нас к ответу на вопрос задачи?» (Нужно.) Узнав, сколько страниц прочитал в первый день Володя, мы тем самым узнаем, сколько страниц прочитал в первый день и Дима, так как в первый день они прочитали поровну (иллюстрируется чертежом). Узнав, сколько страниц прочитал в первый день Дима (40—25), и зная, сколько страниц ему еще осталось прочитать (30), сможем ответить на главный вопрос задачи. Далее, опираясь на нижнюю часть чертежа, определяем, что можно узнать, сколько страниц в книге Димы, действием сложения (40—25) + +30 = 45 (с).

Задача 3 (№ 205 из учебника математики III класса). В двух хранилищах было 1000 ц картофеля. Когда из каждого хранилища взяли картофеля поровну, в одном из них осталось 345 ц, в другом — 389 ц. Сколько килограммов картофеля взяли из каждого хранилища?

Изобразим количество картофеля, которое взяли из каждого хранилища, при помощи двух произвольных, но равных отрезков. Продолжим первый из них на часть, условно соответствующую 345 ц, а второй— на часть, условно соответст-

Рис. 106.

вующую 389 ц. Каждый из вновь образовавшихся отрезков будет изображать количество картофеля, которое было соответственно в первом и во втором хранилищах. Затем оба отрезка объединяют фигурной скобкой и чуть поодаль от нее пишут «1000 ц» (рис. 107).

Рассуждения при решении задачи с опорой на схему: «Из каждого хранилища взяли картофеля поровну. Поэтому, чтобы узнать, сколько килограммов картофеля взяли из хранилища, достаточно узнать, сколько всего центнеров картофеля взяли из двух хранилищ вместе. А для этого надо знать, сколько всего центнеров картофеля было в двух хранилищах и сколько всего картофеля осталось. Сколько центнеров картофеля было в двух хранилищах, известно, а сколько всего картофеля осталось, можно узнать, так как известно, сколько центнеров картофеля осталось в каждом из них в отдельности». Затем проговаривается план (сначала узнаем, сколько всего центнеров картофеля осталось в двух хранилищах; затем — сколько всего центнеров картофеля взяли из двух хранилищ и, наконец, сколько центнеров картофеля взяли из каждого хранилища) и записывается решение:

1) 345 + 389 = 734 (ц)—осталось в двух хранилищах;

2) 1000—734 = 266 (ц)—взяли из двух хранилищ;

3) 266:2=133 (ц)—взяли из каждого хранилища.

Ответ. 133 ц.

Задача 4. Пионеры отправились в поход. После того как они прошли 13 км, им до половины пути осталось пройти 4 км. Сколько всего километров надо было пройти пионерам?

Изобразим путь в 13 км каким-либо отрезком и продолжим его на часть, соответствующую 4 км. Вновь образовавшийся отрезок условно соответствует половине всего пути, который надо пройти пионерам. Всему пути, очевидно, будут соответствовать два таких отрезка (рис. 108). Опираясь на схематический чертеж, дети рассуждают примерно так: «13 км и 4 км — это половина пути. А весь путь складывается из двух половин, значит, весь путь будет:

(13+4)-2 = 34 (км). Ответ. 34 км».

Задача 5. Длина одной улицы 1200 м. Когда вторую улицу продолжили на 200 м, то длина ее стала вдвое больше, чем длина первой улицы. Какова была длина второй улицы первоначально? На сколько теперь вторая улица длиннее первой?

Рис. 107.

Рис. 108.

Рис. 109.

Изобразим длину первой улицы произвольным отрезком, тогда длина второй улицы после ее продолжения на 200 м, будет изображаться отрезком, в 2 раза большим первого, а чтобы изобразить первоначальную длину второй улицы, надо этот отрезок уменьшить на 200 м (рис. 109).

По такому схематическому чертежу становится ясным, какими арифметическими действиями находится первоначальная длина второй улицы: 1200-2—200 = 2200 (м). Выполненный чертеж позволяет также наглядно убедиться, что теперь вторая улица длиннее первой на 1200 м.

Подчеркнем, что графические упражнения, связанные с иллюстрированием условий задач, не являются самоцелью. Эти упражнения служат подготовкой учащихся к рассмотрению многообразных математических вопросов и задач и дают хороший материал для развития мышления младших школьников.

Рассмотренные примеры заданий, связанные с иллюстрированием текста данной задачи, могут быть охарактеризованы такой схемой: условие задачи — геометрический образ — аналитическое решение (ученики читают и анализируют задачу, строят графическое изображение и записывают решение).

Наряду с такими заданиями полезны и упражнения, которые строятся по схеме: геометрический образ — условие задачи — аналитическое решение (по данной графической модели ученики составляют задачу и записывают решение).

Выше уже были рассмотрены и некоторые задания, которые выполняются по схеме: условие задачи — аналитическое решение— геометрический образ (по данному условию задачи ученики записывают ее решение и затем графически проверяют правильность аналитического решения).

Наконец, возможен и такой путь: аналитическое решение — условие задачи — геометрический образ (учитель записывает на доске решение задачи, ученики по решению составляют задачу и иллюстрируют ее условие графически).

Приведем примеры упражнений каждого из этих видов:

1. Изобразить условие задачи графически и решить ее: «На школьном стадионе пионеры в первый день расчистили 45 м беговой дорожки, во второй — на 6 м меньше, чем в первый, а в третий — на 8 м больше, чем во второй. Сколько метров дорожки расчистили пионеры в третий день?»

Одновременно с анализом условия задачи строится графическая модель (рис. 110).

Решение. (45-6)+8 = 39+8 = 47 (м).

Ответ. В третий день расчистили 47 м дорожки.

Рис. 110. Рис. 111.

2. Составить задачу по чертежу (рис. 111) и решить ее.

При составлении задачи по чертежу нужно подробно провести анализ графической модели, т. е. рассмотреть, как выражены данные и искомое, как показана связь между ними, как понимать каждое условное обозначение.

«О чем говорится в задаче? (О пальто, плащах и куртках.) Где продают эти вещи? (В магазинах одежды.) Что изображает верхний отрезок? (Число проданных пальто.) Известно ли количество проданных пальто? (Да. В магазине продали 12 пальто.) Что изображает второй отрезок? (Число проданных плащей.) Известно ли, сколько продали плащей? (Нет.) А что известно в задаче про проданные плащи? (Плащей продали в 2 раза больше, чем пальто.) Что изображает третий отрезок? (Число проданных курток.) Известно ли, сколько продали курток? (Нет.) А что известно в задаче о проданных куртках? (Курток продали на 3 шт. больше, чем плащей.) Что требуется узнать в задаче? (Сколько продали курток.) Как это отображено в задаче? (Поставлен знак «?».) Какую можно составить задачу?

«В магазине одежды продали 12 пальто, плащей — в 2 раза больше, чем пальто, а курток — на 3 штуки больше, чем плащей. Сколько продали курток?»

Решение. 12-2+3 = 27 (к.) Ответ. Продали 27 курток.

При выполнении подобных заданий ученики начинают лучше и быстрее разбираться в математической структуре задачи, учатся «читать» зависимости, скрытые в схемах и чертежах. Такая форма заданий должна широко использоваться при выполнении самостоятельной работы по карточкам. В этих целях нужно использовать карточки с математическими заданиями, изданные в последние годы массовым тиражом, в некоторых из них даны аналогичные схемы1.

3. Решить задачу и проверить ее решение графически: «У Кати было 10 открыток. 4 открытки она отдала для школь-

1 См.: Моро М. И., Меленцова Н. В. Карточки с математическими заданиями для 2-го класса, изд. 4-е. М., «Просвещение», 1977, с. 205, 207, 209.

Рис. 112.

ной стенгазеты. 3 открытки подарила подруге. Сколько открыток осталось у Кати?»

После арифметического решения задачи:

ученикам предлагается задание: «Нарисуйте столько прямоугольников, сколько открыток было у Кати. Перечеркните сначала столько прямоугольников, сколько открыток отдала Катя для школьной стенгазеты, а потом еще столько, сколько открыток она подарила подруге. Сосчитайте, сколько прямоугольников осталось не перечеркнутыми. Посмотрите ответ задачи. Такое ли число у вас получилось? (Рис. 112.) 4. Составьте задачу по ее решению:

Изобразите условие задачи графически.

По данному решению можно составить, например, такую задачу: «С горы на санках каталось 20 детей, а на лыжах в 2 раза меньше, чем на санках. Сколько всего детей каталось с горы?»

Схематический чертеж к задаче представлен на рисунке 113.

Работа над этим упражнением может быть продолжена, причем ей может быть придан творческий характер. Так, после выполнения упражнения, учитель изменяет знак, например, первого действия (20-2; 20 + 2; 20—2), а ученикам предлагает внести соответствующие изменения в условие задачи и выполнить новый схематический чертеж.

1. С горы на санках каталось 20 детей, а на лыжах в 2 раза больше, чем на санках. Сколько всего детей каталось с горы? (Рис. 114.)

2. С горы на санках каталось 20 детей, а на лыжах на 2 человека больше, чем на санках. Сколько всего детей каталось с горы? (Рис. 115.)

3. С горы на санках каталось 20 детей, а на лыжах на 2 человека меньше, чем на санках. Сколько всего детей каталось с горы? (Рис. 116.)

Затем задачи сравниваются. Выполненные схематические чертежи помогают осознанию их сходства и различия.

Работа по преобразованию данной задачи может быть проведена и по-другому. Можно, например, изменить знак второго действия (заменив, например, сложение вычитанием), а детям предложить внести изменения в условие и графическую модель

Рис. 113. Рис. 114.

Рис. 115. Рис. 116.

задачи или же можно предложить детям изменить вопрос задачи так, чтобы она решалась одним действием, и т. д. Функция схемы остается при этом та же, она помогает находить черты сходства и различия данной и новых задач.

В психолого-педагогической литературе неоднократно указывалось на ценность рассмотрения задач с несформулированным вопросом; с недостающими или лишними данными; неприведенных задач; задач, сформулированных в косвенной форме; задач, допускающих различные способы решения. Графическая модель таких задач, построенная на основе углубленного анализа скрытых зависимостей, помогает распознаванию особенностей этих задач.

Рассмотрим несколько таких задач (которые еще встретятся нам в последующих параграфах данной главы):

Задача 1 (с несформулированными вопросами).

Два спортсмена соревнуются в беге на 1 км. В то время как один из них пробежал 850 м, другой пробежал 825 м. Поставьте все возможные вопросы к данному условию и решите соответствующие задачи.

Одновременно с анализом строим и схематический чертеж (рис. 117). Опираясь на схему, выясняем, что известны значения отрезков AD, AB, АС и неизвестны значения отрезков BD, CD, ВС. Чтобы узнать значения каждого из неизвестных отрезков, ученики формулируют такие вопросы.

Сколько метров осталось пробежать первому спортсмену? второму спортсмену? Которому из спортсменов осталось пробежать больше и на сколько больше?

Задача 2 (с лишними данными).

Пионеры помогали колхозу в уборке картофеля. В первый день они собрали 40 корзин картофеля, во второй день — на 10 корзин больше, чем в первый. В третий день они собрали 35 корзин картофеля. Всего за три дня пионеры собрали 125 корзин картофеля. Сколько корзин картофеля пионеры собрали во второй день? (Рис. 118.)

Графическая иллюстрация условия задачи позволяет наглядно убедиться, что числовые данные 35 и 125 являются лишними. Ученики изменяют условие задачи так, чтобы в ней остались только те числа, которые необходимы для решения.

Рис, 117,

Рис. 118.

После решения задачи ученикам можно предложить такие задания:

1) Какие числа должны сохраниться в условии задачи, если вопрос ее будет такой: «Сколько корзин картофеля собрали пионеры за три дня?»

2) Измените условие задачи так, чтобы к нему можно было поставить вопрос: «Сколько корзин картофеля собрали пионеры в третий день?»

Ответить на поставленные вопросы ученикам поможет схематический чертеж.

§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ РАЗЛИЧНЫМИ СПОСОБАМИ

В методической и психологической литературе описываются различные виды работы над решенной задачей. При этом важность решения задачи другим (другими) способом (если это возможно) особо подчеркивается в целом ряде методических пособий и статей.

В объяснительной записке к программе по математике для I—III классов указано, что большое значение имеет «умение решать задачу различными способами», дана рекомендация: «Следует стремиться к тому, чтобы учащиеся отдавали себе отчет в возможности различных способов решения некоторых задач и сознательно выбирали наиболее рациональный из известных им способов»1.

Решение задач различными способами способствует развитию логического мышления и математических способностей учащихся, воспитывает у них настойчивость и упорство на пути преодоления трудностей, встречающихся в поиске решения задач.

Эффективным средством отыскания различных способов решения задачи является графическая иллюстрация ее условия.

Очень важно, говорится в одном из пособий для учителей, «обучать учащихся тому, как отыскивать различные варианты решения. Большую роль здесь должны играть наглядные иллюстрации способов решения»2.

1 Программа восьмилетней школы. Начальные классы (I—III). М., «Просвещение», 1976, с. 40.

2 Мостовой А. И. Повышение эффективности преподавания математики. М, Учпедгиз, 1962, с. 47.

Почему графические иллюстрации играют важную роль при обучении школьников различным способам решения задачи? Как известно, в любой задаче существуют связи и зависимости между величинами, и решение задач по существу является средством изучения и познания этих связей и зависимостей.

Строя графические модели задач, мы освобождаем учеников от восприятия несущественных особенностей условий, представляем существенные в наглядной, удобоусвояемой форме и тем самым помогаем детям установить все возможные связи и зависимости между величинами, что, в свою очередь, облегчает детям нахождение различных способов решения.

Возможность решения некоторых задач разными способами основана на различных свойствах арифметических действий или вытекающих из них правил, например правил прибавления числа к сумме и суммы к числу, вычитания числа из суммы и суммы из числа, правил умножения и деления суммы на число и т. д. «Задачи такого рода, — пишут М. И. Моро и А. М. Пышкало,— помогают детям не только осознать смысл рассматриваемых свойств, но и увидеть, в каких случаях они могут найти применение. Знание этих свойств, рассмотрение соответствующих различных способов решения текстовых задач открывает также возможность поставить вопрос о том, какой из возможных способов решения является более целесообразным (простым, легким)1.

Приведем несколько примеров решения таких задач и покажем, как при этом графические иллюстрации облегчают нахождение путей решения их различными способами.

Начнем, например, с задач, основное назначение которых — углубление знаний различных способов вычитания числа из суммы. Рассмотрим задачу: «У девочки было 4 красных и 3 синих шара. Подул ветер, и 2 шара улетели. Сколько шаров осталось у девочки?» Для схематического изображения условия задачи рисуем 4 красных и 3 синих кружка (кружок изображает шар).

Выясняем, что в задаче не сказано, какие именно шары улетели, но, зная, сколько всего было шаров (а это легко узнать, сложив 4 и 3) и сколько улетело (2), можно узнать, сколько шаров осталось. Получаем I способ решения задачи:

(4 + 3)-2 = 7-2 = 5 (шт.). Далее говорим, что могли улететь 2 красных или 2 синих шара.

Для того чтобы натолкнуть детей на различные способы решения задачи, закрываем (например, с помощью полоски

1 Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в I—III классах. М., «Просвещение», 1975, с. 98.

Рис. 119. Рис. 120.

бумаги) сначала 2 красных кружка, затем 2 синих (рис. 119). В соответствии с этим получаем 2 новых способа решения задачи:

II способ. (4-2)+3=5 (шт.).

III способ. 4+(3—2)=5 (шт.).

Решение задачи может быть выполнено учениками по вариантам, причем каждый ученик решает задачу одним из приведенных выше способов (с опорой на соответствующую иллюстрацию). При проверке способы решения сравниваются и делается соответствующий вывод.

Обратимся теперь к задачам, решение которых связано с рассмотрением различных способов вычитания суммы из числа. Рассмотрим задачу: «В куске было 32 м ткани. От него отрезали сначала 6 м, а потом еще 8 м ткани. Сколько метров ткани осталось в куске?»

Изобразим длину всего куска ткани в виде отрезка произвольной длины. Выделим на нем последовательно две части (одну — меньшую, другую — большую), условно соответствующие 6 м и 8 м. Над оставшейся частью отрезка ставим знак «?», так как эта часть изображает искомое число (рис. 120).

Схематический чертеж помогает осознанию различных способов решения задачи.

Сначала рассуждаем примерно так: «Чтобы узнать, сколько метров ткани осталось, надо узнать, сколько всего метров ткани отрезали (иллюстрируется с помощью чертежа), а потом полученное число вычесть из 32 (также иллюстрируется)». Ученики придут к такому способу решения задачи:

32—(6+8) = 18 (м).

Затем, рассуждая (с опорой на графическое изображение) примерно так: «Чтобы ответить на вопрос задачи, можно из 32 м вычесть сначала 6 м, потом из полученного числа вычесть 8 м», ученики придут ко второму способу решения задачи:

(32—6)—8=18 (м).

Учитель предлагает сравнить решения и сказать, почему получились одинаковые ответы.

Для закрепления свойства умножения суммы на число можно предложить решить различными способами такую задачу: «Ученики I класса посадили 4 ряда яблонь, по 3 в

Рис. 121.

каждом, а ученики II класса — 4 ряда яблонь по 7 в каждом. Сколько всего деревьев посадили ученики I и II классов? Для наглядного изображения условия задачи будем, например, яблони, посаженные учениками I класса, изображать в виде кружков, а яблони, посаженные учениками II класса,— в виде крестиков. Тогда условие рассматриваемой задачи изобразится так, как показано на рисунке 121, а. Наглядно изобразить условие данной задачи можно и по-другому. Так, если изобразить яблоню в виде клетки ученической тетради, то число яблонь, посаженных учениками I класса, изобразится в виде прямоугольника, состоящего из 4 прямоугольных полосок, каждая из которых содержит 3 клетки; а число яблонь, посаженных учениками II класса, — в виде прямоугольника, состоящего также из 4 прямоугольных полосок, но каждая из которых содержит уже 7 клеток. Границу прямоугольников целесообразно при этом выделить (см. рис. 121,6).

После того как схематическое изображение в той или иной форме построено, полезно вызвать ученика для того, чтобы он показал по схеме, что известно из условия задачи и что нужно узнать.

Для разбора I способа решения можно провести примерно такие рассуждения, опираясь при этом на выполненный рисунок или чертеж: «Нам нужно узнать общее число яблонь, посаженных учениками I и II классов; а для этого нужно знать, сколько яблонь посадили ученики I и II классов в отдельности. Сколько яблонь посадили ученики I класса, можно узнать, так как мы знаем, что они посадили 4 ряда яблонь, по 3 в каждом. Можно также узнать, сколько яблонь посадили ученики II класса, так как мы знаем, что они посадили 4 ряда, по 7 яблонь в каждом».

Затем составляется план и записывается решение: 3-4 + 7-4 = 40 (ябл.).

При решении задачи II способом (опираясь на графическое изображение) рассуждаем так: «Нам нужно узнать общее число яблонь, посаженных учениками I и II классов, а для этого нужно знать, сколько всего яблонь посадили ученики обоих классов в одном ряду и общее число рядов. Из условия задачи известно, что яблони посажены в 4 ряда, а сколько всего посадили яблонь ученики обоих классов в одном ряду, неиз-

вестно, но это можно узнать, так как известно, сколько в отдельности яблонь в одном ряду посадили ученики I и II классов».

Далее проговаривается план и записывается решение: (3 + 7)-4 = 40 (ябл.). Способы решения сравнивают и устанавливают, что сумму на число умножили разными способами.

Как показал опыт, работа, связанная с построением различных графических изображений к одной и той же задаче, целесообразна (когда это представляется возможным), так как она помогает установить, какая из иллюстраций дает наиболее рациональный способ решения задачи.

Приведем пример задачи на движение, решение которой двумя способами способствует осознанию свойства умножения суммы на число: «Две лодки отошли одновременно навстречу друг другу от двух пристаней и встретились через 4 ч. Одна лодка проходила в час 15 км, другая—10 км. Найти расстояние между пристанями».

На рисунке 122 представлен один из вариантов схематического чертежа.

В соответствии с выполненной иллюстрацией способ решения задачи становится очевидным:

15-4+10.4 = 60 + 40=100 (км).

На рисунке 123 представлен второй вариант схематического чертежа к той же задаче.

Здесь ясно подчеркивается факт сближения лодок в каждый час на одно и то же расстояние, равное сумме (15+10). Отсюда и II способ решения:

Рис. 122.

Рис. 123в

Рис. 124.

С рассмотрением различных способов умножения суммы на число связано и решение задач на нахождение периметра прямоугольника (такие задачи широко представлены в учебниках для II и III классов), а также решение некоторых других видов задач геометрического содержания. Вот пример одной из таких задач, которая может быть предложена для решения ученикам третьих классов: «Найти площадь участка, состоящего из двух прямоугольных участков». (Рис. 124.)

Здесь чертеж, являясь составной частью условия, облегчает нахождение следующих способов решения задачи.

I способ: (500+300)-400 = 320 000 (кв. м).

II способ: 500-400+300-400=320 000 (кв. м).

Выше были рассмотрены задачи, различные способы решения которых основаны на изучаемых в начальных классах свойствах арифметических действий, но различными способами могут быть решены задачи других видов.

Рассмотрим для примера задачу № 712 из учебника математики для II класса: «В магазин привезли 12 ящиков с яблоками, по 8 кг в каждом. До обеденного перерыва было продано 9 ящиков. Сколько килограммов яблок осталось продать после обеденного перерыва?»

При решении этой задачи, как это отмечается в методических указаниях к учебнику, «дети должны будут разобраться в различных способах решения, основанных на правиле умножения числа на разность двух чисел. С этим правилом они незнакомы, ознакомление с ним не предусмотрено программой. Цель работы над задачей № 712 состоит не в том, чтобы рассматривать умножение числа на разность, а в том, чтобы показать детям возможность решения различными способами и некоторых других задач, а не только тех видов, которые им уже известны»1.

По ходу анализа задачи строим схематический чертеж.

«О чем говорится в задаче? (В магазин привезли ящики с яблоками.) Будем изображать каждый ящик квадратом. Сколько ящиков с яблоками привезли в магазин? (12 ящиков.)

1 Моро М. И., Бантова М. А. Математика во 2 классе. Пособие для учителя. М, «Просвещение», 1976, с. 119.

Рис. 125.

Рисуем 12 квадратов. Сколько килограммов яблок было в каждом ящике? (По 8 кг в каждом.) Запишем это. (Внутри каждого квадрата или над ним записываем «8 кг».) Что еще сказано в задаче? (До обеда продали 9 ящиков.) Отделим на схеме эти 9 ящиков. Что нужно узнать? (Сколько килограммов яблок продали после обеда?) Покажите на схеме те ящики, которые продали после обеда, отметьте, что надо узнать» (рис. 125).

По схеме легко рассмотреть различные способы решения:

I. Узнаем сначала, сколько килограммов яблок было во всех ящиках (8-12), затем — сколько яблок продали до обеда (8-9) и, наконец, сколько килограммов яблок было продано после обеда:

8-12-8.9 = 24 (кг).

II. Узнаем сначала, сколько ящиков было продано после обеда (12 — 9), а затем — сколько в них было килограммов яблок:

8-(12-9) =24 (кг).

Чтобы чертеж давал графическое решение задачи, он может быть выполнен иначе.

«Условимся, что одному килограмму яблок соответствует клетка ученической тетради. Спрашиваем, как графически изобразить ящик с яблоками? (В виде прямоугольной полоски, содержащей 8 клеток.) А как изобразить графически 12 ящиков с яблоками? (В виде прямоугольника, состоящего из 12 равных прямоугольных полосок, каждая из которых содержит 8 клеток.) Изобразите это. Что еще известно в задаче? (До обеденного перерыва было продано 9 ящиков.)»

Выясняется, что до обеда было продано 9 ящиков из 12 привезенных и что в каждом из них тоже по 8 кг яблок, а затем эти ящики изображаются графически. С этой целью ученики отсчитывают в прямоугольнике, содержащем 12 равных прямоугольных полосок, 9 полосок, начиная с первой сверху полоски.

«О чем спрашивается в задаче? (Сколько килограммов яблок осталось продать после обеденного перерыва.)»

Рис. 126.

Окончательный вид чертежа представлен на рисунке 126.

Такая иллюстрация дает возможность рассмотреть различные способы решения.

Сначала можно узнать, сколько всего клеток (килограммов яблок) содержат 12 прямоугольных полосок (12 ящиков) и 9 прямоугольных полосок (9 ящиков), а затем из общего числа клеток, содержащихся в 12 полосках, вычесть число клеток, содержащихся в 9 полосках. А можно сначала из 12 прямоугольных полосок вычесть 9 полосок и далее узнать, сколько клеток содержит оставшееся число (3) полосок.

После такого разбора ученики смогут самостоятельно объяснить два способа решения задачи, которые приведены в учебнике.

Обратимся теперь к задачам, решение которых направлено на раскрытие сочетательного закона умножения. Рассмотрим, например, такую задачу: «В зоомагазин привезли клетки с птицами. Клетки разместили в трех рядах, по 5 клеток в каждом. В каждой клетке находится 2 птички. Сколько всего птичек в клетках?»

Условимся изображать клетку в виде прямоугольника, а птичку в виде треугольника (рис. 127).

Узнать общее число птичек можно двумя способами.

I способ. Узнаем, сколько птичек в клетках, находящихся в одном ряду. В одной клетке находится 2 птички, а в ряду 5 клеток. Значит, в них находится 5-2 (пт.). Клетки расположены в трех рядах, значит, всего будет (5-2)-3 (пт.).

II способ. Узнаем сначала, сколько всего клеток. В одном ряду их 5, а таких рядов 3, значит, всего 5-3 (кл.). В каждой клетке находится по 2 птички, значит, всего будет (5-3).2 (пт.).

Рассмотрим несколько задач, решение которых различными способами направлено на закрепление и обобщение понятия зависимости между компонентами и результатами арифметических действий. Так, правило изменения разности в зависимости от изменения вычитаемого может быть применено при решении двумя способами задач, подобных примерно следующей: «Для кроликов юннаты заготовили 1300 кг корнеплодов и столь-

Рис. 127.

Рис. 128.

ко же килограммов картофеля. За полгода израсходовали корнеплодов 790 кг, а картофеля— на 186 кг меньше. Сколько килограммов корнеплодов и картофеля осталось?»

Изобразим с помощью произвольного отрезка то количество корнеплодов (1300 кг), которое юннаты заготовили для кроликов. Так как картофеля заготовили в том же количестве, что и корнеплодов, то ниже (под первым отрезком) чертим второй отрезок, равный первому. Затем на каждом из отрезков выделяем части (на первом — большую, а на втором — меньшую), условно соответствующие израсходованному за полгода количеству корнеплодов (790) и картофеля (790—186). Над оставшимися частями каждого из отрезков ставим знак «?», так как они изображают неизвестные числа (рис. 128). Задача сначала решается тремя действиями:

1) Корнеплодов осталось: 1300 — 790 = 510 (кг).

2) Картофеля израсходовали: 790—186 = 604 (кг).

3) Картофеля осталось: 1300-604 = 696 (кг).

Выбор каждого из этих действий облегчает выполненный схематический чертеж.

Решив задачу I способом, учитель обращает внимание учеников на первую строку решения: 1300 — 790 = 510, в которой общее количество заготовленных корнеплодов (1300 кг)—это уменьшаемое, количество израсходованных корнеплодов (790 кг) — вычитаемое, оставшееся количество корнеплодов (510 кг) — разность.

В задаче сказано, что картофеля заготовили столько же, сколько корнеплодов, а израсходовали на 186 кг меньше. Значит, количество оставшегося картофеля будет на 186 кг больше (вывод подтверждается наглядно схематическим чертежом). Отсюда вытекает план решения задачи II способом: узнаем сначала, сколько осталось корнеплодов, а затем — количество оставшегося картофеля.

Решение

1) Корнеплодов осталось: 1300 — 790 = 510 (кг).

2) Картофеля осталось: 510+186 = 696 (кг).

Знания об изменении произведения в зависимости от изменения одного из множителей могут быть применены при решении задач, подобных следующей: «Ученики II класса в каждом из трех рядов вырыли по 4 ямки. Ученики III класса вырыли по такому же количеству ямок в рядах, число которых в 2 раза

Рис. 129.

больше. Сколько ямок вырыли ученики III класса?»

Если изобразить ямку в виде клетки ученической тетради, то тогда количество ямок, которые вырыли ученики II класса, в одном ряду изобразится в виде прямоугольной полоски, содержащей 4 клетки, а в трех рядах — в виде прямоугольника, состоящего из трех таких равных полосок (I). Количество же ямок, которые вырыли ученики III класса, изобразится в виде прямоугольника (II), содержащего 2 раза по 3 прямоугольные полоски, в каждой из которых — 4 клетки (рис. 129). Задача решается сначала так:

Нетрудно убедиться, что выполненный чертеж наглядно иллюстрирует каждое действие.

Решив задачу I способом, учитель обращает внимание учеников на то, что в задаче сказано, что ученики III класса рыли ямки в рядах, число которых в 2 раза больше, значит, и их общее количество будет в 2 раза больше (чертеж наглядно убеждает в этом). Поэтому задачу можно решить иначе: узнаем сначала, сколько ямок вырыли ученики II класса, а затем — сколько ямок вырыли ученики III класса.

Решение

Рассмотрим графические изображения и различные способы решения еще некоторых видов задач из курса II и III классов. Начнем с составных задач, включающих простые задачи на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц, например: «Ученики принесли на утренник шары. Красных шаров было 20, голубых — на 6 больше, а желтых — на 4 больше, чем голубых. Сколько желтых шаров принесли ученики?»

Графическое изображение задачи представлено на рисунке 130. Количественные отношения между величинами выступают здесь достаточно ясно, а отсюда с большой очевидностью вытекает I способ решения задачи:

Рис 130.

При решении задачи I способом сравнение величин производится в таком порядке: вторая величина сравнивается с первой, а третья — со второй.

Для того чтобы у учеников при решении подобных задач не появилась тенденция выполнять привычный синтез, не производя исчерпывающего анализа, рекомендуется разнообразить содержание таких задач в том отношении, чтобы в них, например, третья величина сравнивалась не со второй а с первой1. Можно такое сравнение производить и не изменяя содержания задачи. С этой целью при решении рассматриваемой задачи II способом можно рассуждать примерно так: «Так как голубых шаров на 6 больше, чем красных, а желтых — на 4 больше, чем голубых, то чтобы узнать, на сколько желтых шаров больше, чем красных, надо к 6 прибавить 4». Дальнейшее решение уже не вызовет затруднений у учащихся:

Рассуждения при обосновании выбора первого действия (6 + 4) будут для детей достаточно сложными, если не подкрепить их соответствующим показом на выполненном схематическом чертеже: на отрезке, условно изображающем число желтых шаров, от его начала отделяется сначала часть, соответетвующая числу красных шаров (20), а затем часть, соответствующая 6 шарам (часть же, соответствующая 4 шарам, уже была отделена ранее, при построении схемы). Тогда дети наглядно убедятся, что желтых шаров столько же, сколько красных (20), да еще (6 + 4) шара, т. е. что желтых шаров больше, чем красных, на 6+4 (ш.).

Аналогичные рассуждения могут быть проведены при решении двумя способами составных задач, включающих две простые задачи на уменьшение числа на несколько единиц. Например, задача: «В словарике Оля записала 30 слов, Ира — на 5 слов меньше, чем Оля, а Володя — на 3 слова меньше, чем Ира. Сколько слов записал Володя?» (рис. 131)—может быть решена такими двумя способами:

I способ. (30-5)-3 = 22 (сл.).

II способ. 30-(5 + 3)=22 (сл.).

1 См.: Менчинская Н. А., Моро М. И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике а начальных классах. М., «Просвещение», 1965, с. 144—145.

Мы рассмотрели решение различными способами составных задач, включающих простые задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц.

Определенный интерес представляет решение различными способами и составных задач, включающих простые задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз.

Приведем несколько примеров.

1. В один магазин привезли 35 детских велосипедов, а в другой — в 2 раза больше, чем в первый, а в третий — в 3 раза больше, чем во второй. Сколько велосипедов привезли в третий магазин?

Схематический чертеж (рис. 132) помогает детям отыскать решение задачи:

(35-2).3 = 210 (вел.). Ответ. 210 велосипедов.

Таким способом решается задача во II классе. В III классе после ознакомления с сочетательным законом умножения подобную задачу можно решить и другим способом. Сначала нужно узнать, во сколько раз больше привезли велосипедов в третий магазин, чем в первый. Обосновать выбор соответствующего действия можно путем дополнительных построений на схематическом чертеже: каждую из трех равных частей, составляющих отрезок, который изображает число велосипедов, привезенных в третий магазин, делим на две равные части. Всего таких равных частей станет: 3-2 = 6. При этом наглядно иллюстрируем не только действие, но и результат действия: нижний отрезок больше верхнего отрезка в 6 раз. Дальнейшее решение становится ясным: 35-(3-2) =210 (вел.).

2. Я видел в зоопарке крокодилов, медведей и обезьян. Крокодилов было 2, медведей — в 3 раза больше, чем крокодилов, и в 2 раза меньше, чем обезьян. Что можно узнать, используя эти сведения (рис. 133)?

Сформулируем некоторые из возможных вопросов и приведем соответствующие решения:

а) Сколько обезьян было в зоопарке?

Рис. 131.

Рис. 132.

(23).2=12 (об.). Ответ. 12 обезьян.

Наглядность, наличие конкретной опоры при рассуждениях, связанных с решением задачи, помогут увеличить число учащихся, которые найдут требуемое решение самостоятельно. Кроме того, этот схематический чертеж помогает найти и обосновать правильность II способа решения:

2- (32) = 12 (об.), б) Во сколько раз крокодилов меньше, чем обезьян?

I способ. 1) 2-3 = 6 (мед.);

2) 6-2=12 (об.);

3) 12:2 = 6. Ответ. В 6 раз.

II способ становится гораздо «прозрачнее», если обратиться к графическому изображению задачи: 3-2 = 6. Этот способ решения намного рациональнее первого (вместо трех действий выполняется одно действие).

Приведем еще несколько задач, графические изображения которых облегчают нахождение различных способов их решения и выбор более рационального решения.

1. На складе было 706 мешков муки. Потом привезли с мельницы еще 138 мешков, а 604 мешка отправили в пекарню. Сколько мешков муки осталось на складе?

Для построения схематического чертежа задачи изобразим число мешков муки, которые были на складе, каким-либо отрезком. Затем продолжим его на часть, условно соответствующую числу мешков муки (138), которые привезли с мельницы, и от конца вновь образовавшегося отрезка отделяем часть, условно соответствующую числу мешков муки, которые отправили в пекарню. Под оставшейся частью ставим знак «?», так как она иллюстрирует искомое (рис. 134).

Опираясь на схематический чертеж, ученики могут рассуждать по-разному, что приведет к различным способам решения задачи.

Рис. 133.

Рис. 134

Рис 135,

Можно рассуждать, например, так: «На складе было 706 мешков муки. После того как на склад привезли с мельницы еще 138 мешков с мукой, то всего на складе стало 706+138 = = 844 (меш.). Когда же 604 мешка отправили в пекарню, то на складе осталось 844—604 = 240 (меш.)».

А можно рассуждать по-другому: «В пекарню отправили 604—138 = 466 (меш.) из числа тех, что были на складе. Значит, на складе осталось 706—466 = 240 (меш.)».

2. На один котел требуется 127 кг угля в час, а на другой— на 37 кг больше. Сколько угля нужно для двух котлов на 3 ч?

В состав этой задачи входит простая задача на увеличение числа на несколько единиц. Условие простой задачи такого вида обычно изображают с помощью, например, двух отрезков, расположенных один под другим. Если пойти по такому пути изображения условия задачи, то окончательный вид схематического чертежа будет такой, как на рисунке 135. Такая графическая иллюстрация в какой-то степени облегчает нахождение первого способа решения задачи. Для того чтобы наглядно представить все возможные зависимости, существующие между величинами задачи, и тем самым облегчить ученикам нахождение различных способов решения, целесообразно условие задачи схематично изобразить с помощью чертежа так, как показано на рисунке 136.

I способ II способ

Как при решении задачи I способом, так и при решении ее II способом, сначала надо узнать, сколько требуется угля на 1 ч второму котлу. Далее рассуждения ведутся по-разному. Можно рассуждать так: «Узнаем, сколько требуется угля для первого котла на 3 ч, затем для второго котла на 3 ч, и полученные произведения сложим. А можно рассуждать и по-другому: узнаем сна-

Рис. 136.

Рис. 137.

чала, сколько требуется угля для двух котлов на 1 ч, а затем — сколько требуется угля для двух котлов на 3 ч.

Сравнивая способы решения, ученики убеждаются, что II способ является более рациональным. 3. Три мальчика нашли вместе 110 грибов. Первый и второй нашли вместе 79 грибов, второй и третий — 66 грибов. Сколько грибов нашел второй мальчик?

При решении таких задач многие ученики «не могут себе представить, суммы каких чисел здесь сопоставляются, и поэтому, если решение не подкреплено иллюстрацией, не могут понять даже выполненного решения. Если же, рассматривая эту задачу, ученики сделают к ней иллюстрацию, то она сразу становится понятной для каждого ученика»1.

Для иллюстрации воспользуемся схематическим чертежом (рис. 137).

Выполняя чертеж, рассуждаем так: «110 грибов — грибы, которые нашли все три мальчика. Это сумма трех слагаемых. Изобразим ее с помощью отрезков произвольной длины, отложенных последовательно на одной прямой.

Первый из отложенных отрезков будет условно изображать число грибов, найденных первым мальчиком, второй — число грибов, найденных вторым, а третий отрезок — число грибов, найденных третьим мальчиком. Обозначим на схематическом чертеже то, что известно из условия задачи: все трое нашли 110 грибов; первый и второй вместе — 79 грибов, а второй и третий вместе — 66 грибов. Отметим искомое — число грибов, найденных вторым мальчиком.

По чертежу можно объяснить следующие два способа решения.

I способ. 79—(110—66) =35 (гр.).

II способ. 66—(110—79) =35 (гр.)».

Несколько сложнее найти третий возможный способ решения.

Чтобы объяснить его детям, полезно изменить чертеж так, как показано на рисунке 138.

Из рассмотрения схема-

Рис. 138.

1 Свечников А. А. Решение математических задач в I—III классах. М., «Просвещение», 1976, с. 64.

Рис. 139.

тического чертежа видно, что число грибов, найденных вторым мальчиком, можно узнать, если из суммы (79 + 66) вычесть 110. Получаем:

III способ. (79+66) —110 = 35 (гр.).

4. (№ 1056 из учебника математики III кл.). С трех участков собрали 2307 ц зерна. Известно, что со второго участка собрано 695 ц. Если же сложить вместе то, что собрано со второго и третьего участков, то получится 1433 ц. Сколько зерна собрано с первого и сколько с третьего участка?

Эта задача несколько отличается от рассмотренной выше. Здесь известна сумма трех слагаемых, сумма двух слагаемых и одно из них, а требуется найти два других слагаемых.

Для построения схематического чертежа (рис. 139) изобразим с помощью трех отрезков (AM, MN, NK) количество зерна, собранного соответственно с первого, второго и третьего участков.

Обозначим данные и искомые. Выполненный чертеж облегчит нахождение следующих способов решения задачи:

I способ.

II способ.

III способ.

Сравнивая способы решения, видим, что самым рациональным из них является III способ.

Умения решать задачи, подобные задачам 3 и 4, могут быть применены и при решении некоторых задач геометрического содержания, например:

Рис. 140.

5. Найти площадь прямоугольника BCFK (рис. 140) по следующим данным:

площадь AMND = 48 кв.см; площадь ACFD = 29 кв.см; площадь BMNK = 25 кв.см.

I способ

1) 48—29=19 (кв.см)—площадь CMNF;

2) 25—19= 6 (кв. см)—площадь BCFK.

II способ

1) 48—25 = 23 (кв. см)—площадь ABKD\

2) 29—23= 6 (кв. см)—площадь BCFK.

III способ

1) 29+25 = 54 (кв.см)—сумма площадей ACFD и BMNK;

2) 54—48= 6 (кв.см)—площадь BCFK.

§ 4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ СПОСОБОМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

Программа по математике предусматривает обучение детей решению некоторых задач путем составления уравнения.

Действенную помощь в овладении алгебраическим способом решения задач может оказать их графическое изображение. Обладая свойством наглядности, они (графические изображения) помогают правильно представить данные и искомые, выделить в условии задачи связи и отношения, позволяют составить уравнение. Следует обратить внимание и еще на одну особенность графических иллюстраций, о которой А. И. Волхонский в свое время писал так: «При применении графической иллюстрации некоторый отрезок представляет собой неизвестное число, но мы оперируем с ним так же, как с отрезками, изображающими известные числа. Это очень сближает графический метод с алгебраическим методом, с методом уравнений»1.

Графические модели не могут сразу выступить в качестве эффективного средства, облегчающего решение относительно сложной задачи алгебраическим способом. Этому должна предшествовать подготовительная работа, которая начинается с I класса.

Ряд ценных упражнений (выполняемых с опорой на соответствующие графические изображения) в составлении ра-

1 Волхонский А. И. О графическом решении арифметических задач.— «Математика в школе», 1951, № 1, с. 46.

Рис. 141.

венств, в замене неравенств равенствами могут быть предложены детям в связи с изучением вопроса о взаимосвязи между компонентами и результатами действий сложения и вычитания.

Например, детям предлагается графическое изображение, иллюстрирующее отношение 3+4 = 7 (рис. 141). Требуется:

1. Заполнить пропуски в следующих записях так, чтобы полученные равенства были верными:

2. В соответствии с наглядной иллюстрацией учитель записывает, например, неравенство 7>3, а ученики должны установить, как следует изменить правую (левую) его часть, чтобы уравнять ее с левой (правой):

3. Затем учитель предлагает запись такого вида:

Дети должны заполнить пропуски так, чтобы получились верные равенства.

4. И наконец, детям предлагается продолжить такие записи (используя тот же схематический чертеж):

При выполнении этого задания ученики рассуждают так: «3 — это одно из слагаемых, его мы получим, если из суммы вычтем другое слагаемое».

Во II классе в связи с введением буквы как символа переменной величины и с обозначением геометрических фигур заглавными буквами латинского алфавита можно предлагать ученикам упражнения, аналогичные приведенным выше, но уже с использованием буквенной символики.

1. Сколько всего отрезков на каждом из рисунков? (Рис. 142.)

В результате выполнения подобных упражнений выясняется, что один и тот же отрезок может либо представлять собой самостоятельную часть прямой, либо входить как составная часть в другие отрезки. Выясняется, например, что отрезок AD (рис. 142) состоит из пяти частей, причем, например, отрезок CD, являясь самостоятельной частью прямой, вместе с тем по отношению к отрезку AD составляет его часть: AC + CD — = AD.

Рис. 142.

Рис. 143.

2. Используя данную графическую модель (рис. 143), закончить следующие записи:

В соответствии с приведенным схематическим чертежом (рис. 143) учитель записывает, например, неравенство СВ>АС, ученики самостоятельно составляют следующие равенства:

Учитель записывает одну из величин, указывая при этом, с какой другой величиной и с помощью какого знака надо связать данную величину:

Учитель записывает одну из величин и указывает, с какой другой величиной надо продолжить запись так, чтобы получилось верное равенство:

И наконец, учитель предлагает закончить запись такого вида:

Дети должны сами, пользуясь схематическим чертежом, выразить данную величину через другие (АВ = АС-\-СВ, АС = =АВ—СВ и т. п.).

Выше были представлены лишь те подготовительные упражнения по формированию умения составлять равенство, выполнение которых облегчает графическая иллюстрация.

В учебниках математики для I—III классов и в методической литературе приводится ряд других важных и нужных для использования в этих целях упражнений. Их рассмотрение выходит за рамки интересующего нас вопроса.

Умения составлять равенства закрепляются на этапе решения простых задач, в частности задач на нахождение неизвестного компонента действия сложения или вычитания, задач, связанных с понятием разности или отношения. Приведем графические иллюстрации и решения некоторых из таких задач.

1. (№ 32 (2), с. 60 учебника математики II кл.). Когда к резиновому шлангу длиной 12 м присоединили второй шланг, то получили шланг длиной 20 м. Какой длины шланг присоединили?

Для построения схематического чертежа задачи изобразим с помощью произвольного отрезка общую длину двух шлангов и напишем под ним, что он изображает 20 м. На построенном отрезке выделяем (начиная с левого его конца) часть, условно соответствующую длине первого шланга, и над этой частью за-

Рис. 144. Рис. 145.

писываем «12 м». Оставшаяся часть отрезка будет условно изображать длину второго шланга. Так как длина второго шланга неизвестна, то она принимается за неизвестное и над соответствующим отрезком ставится знак «?» (рис. 144).

Опираясь на выполненный чертеж, устанавливаем, что число 20 представляет собой сумму двух слагаемых, одно из которых— 12, другое — X. Так как число 20 и сумма чисел 12+х выражают одно и то же число метров и изображаются на чертеже одним и тем же отрезком, то можно составить уравнение: 12+л; = 20.

2. (№ 387 (1) из учебника математики II кл.). В пруду плавало 8 гусей, а уток — в 2 раза меньше. Сколько уток плавало в пруду?

В соответствии со схематическим чертежом (рис. 145) проводятся примерно такие рассуждения: «Уток — х, их в 2 раза меньше, чем гусей. Значит, гусей в 2 раза больше, чем х\ если по X взять 2 раза, то получится 8 (х-2 = 8)».

По условию рассматриваемой задачи, опираясь на схему, некоторые ученики могут составить и другие уравнения: # = 8:2; 8:х = 2.

При проверке целесообразно рассмотреть все возможные варианты уравнений.

3. (№ 78 из учебника математики III кл.). Задуманное число больше 20 на 15. Найди задуманное число.

Задачу можно иллюстрировать схематическим чертежом так, как показано на рисунке 146.

Опираясь на графическую иллюстрацию, ученики легко составят следующие уравнения: х — 20=15; х—15 = 20; x = 20-f-+ 15.

Остановимся теперь на рассмотрении вопроса об использовании графических изображений при решении составных задач способом составления уравнения.

Начнем с задач, в которых требуется найти неизвестное слагаемое, неизвестное уменьшаемое или вычитаемое. Графическая модель таких задач приводит к необходимости рассмотрения отношений частей и целого и тем самым, как будет показано ниже, способствует овладению учениками обобщенным, алгебраическим способом их решения.

Рис. 146.

Рис. 147.

1. (№ 285 (1) из учебника математики III кл.). На строительстве работало 3 крана, 8 экскаваторов и несколько самосвалов — всего 25 машин. Сколько самосвалов работало на строительстве?

Отложим на прямой последовательно, один за другим, три отрезка произвольной длины, условно изображающие соответственно число кранов, экскаваторов и самосвалов, работавших на строительстве. Отметим на полученном чертеже данные задачи, затем обозначим буквой х (или знаком «?») число самосвалов, которые работали на стройке, и надпишем эту букву над отрезком, условно изображающим число самосвалов (рис. 147).

Рассматривая схематический чертеж, видим, что 25 есть сумма трех слагаемых, одно из которых — 3, другое — 8, третье— х. Так как число 25 и сумма чисел 3+8+х выражают одно и то же число машин, изображаемое на схеме одним и тем же отрезком, то можно составить уравнение: 3+8+x = 25.

Как видим, графическая иллюстрация помогает получить наглядное представление о всех членах уравнения и открывает путь для составления уравнения.

2. Ремонт пути между станциями А и В железной дороги производится двумя бригадами рабочих, которые двигались навстречу друг другу. Одна бригада прошла 30 км, другая — 26 км пути. Какой участок пути еще нужно отремонтировать, если расстояние от А до В составляет 80 км?

Изобразим расстояние между станциями каким-либо отрезком AB и запишем под ним «80 км». От левого его конца (А) отделим отрезок АС, условно изображающий 30 км, и надпишем над ним это число; от правого его конца (В) отделим отрезок BD, условно изображающий 26 км, и надпишем над ним это число. Тогда образовавшийся отрезок CD будет, очевидно, изображать искомое число. Надпишем над этим отрезком х (или знак «?») (рис. 148).

Рассматривая графическую иллюстрацию, ученики выясняют, что отрезок AB — целое, а отрезки Л С, CD и DB — составляющие его части; выясняют, что отрезок AB и сумма отрезков AC, CD и DB выражают одно и то же расстояние. Поэтому 80 является суммой слагаемых 30+26+л:, можно составить уравнение:

Опираясь на графическую модель, можно составить и такие уравнения:

Рис. 148.

3. (№ 532 из учебника математики III кл.). В мешке было 45 кг моркови. 3 дня из мешка брали моркови поровну, после чего в нем осталось 33 кг. Сколько килограммов моркови брали из мешка каждый день?

Изобразим то количество моркови, которое было в мешке, с помощью какого-либо отрезка AB. Выделим на отрезке AB (начиная с правого его конца В) часть ВС, условно соответствующую 33 кг, и надпишем над ней эго число. Образовавшуюся при этом еще одну часть (АС) отрезка AB (которая условно изображает израсходованное количество моркови) делим на 3 равные части, каждая из которых будет условно изображать неизвестное количество килограммов моркови, которое брали из мешка каждый день.

Обозначим X то количество килограммов моркови, которое брали из мешка каждый день, и надпишем эту букву над одним из равных отрезков (рис. 149). Если каждый день из мешка брали х кг моркови, то за 3 дня взяли 3-х (кг) моркови. Надпишем это выражение над отрезком АС. Вернувшись к условию задачи и обращаясь далее к графической иллюстрации, большинство учеников составят уравнение: 45—3-х = 33. Может оказаться, что некоторые учащиеся при решении задачи предложат и другие уравнения: 3-я+33 = 45 или 3-л; = 45—33.

Обратимся теперь к задачам на движение. Графическое изображение условия задач на движение (так же как и рассмотренных выше) способствует овладению учащимися обобщенным алгебраическим способом их решения. Правда, при решении некоторых задач на движение могут получиться уравнения более сложных видов, чем те, которые решаются в начальных классах. Задачи, по которым составляются уравнения и решение которых трудно для младших школьников, лучше решать арифметически. При арифметическом решении графические изображения могут быть использованы с таким же успехом, как и при алгебраическом.

Рассмотрим составные задачи на движение одного тела, в которых находится одна из величин — скорость, расстояние или время — в зависимости от двух других. Например: «Мотоциклист был в пути 4 ч, после чего ему осталось проехать 72 км. С какой скоростью ехал мотоциклист, если весь путь составляет 216 км?»

Отложим на прямой последовательно, один за другим, 4 равных отрезка (произвольной длины), каждый из которых будет условно изображать

Рис. 149.

Рис. 150.

путь, пройденный мотоциклистом за один из первых четырех часов его поездки. От конца последнего из этих отрезков, точки С (рис. 150), отложим в том же направлении еще один отрезок произвольной длины, который будет условно изображать 72 км (оставшийся путь мотоциклиста). Обозначим на чертеже данные: весь путь (AB)—216 км; оставшаяся часть пути (СВ) — 72 км.

В задаче требуется определить скорость движения мотоциклиста. Приняв скорость мотоциклиста за х км в час, указываем стрелкой на схематическом чертеже направление движения мотоциклиста и над стрелкой делаем запись «х км в час».

Начинаем разбор задачи: «Если в час мотоциклист проходил X км, то за 4 ч он пройдет 4-х (км). Выражение 4»л: (км) надписывается над отрезком АС».

Рассматривая далее графическую иллюстрацию, ученики выясняют, что отрезок AB и сумма отрезков АС и СВ выражают одно и то же расстояние. Поэтому 216 является суммой слагаемых (4-х)-f72.

Составляем уравнение: 4-л;+72 = 216. По схеме без труда можно составить еще два уравнения:

Графические иллюстрации полезно использовать и при решении алгебраическим способом некоторых задач, в условии которых дано отношение равенства, с использованием таких выражений, как «денег поровну», «расстояние одинаковое» и т. д.

Рассмотрим несколько таких задач:

1. (№ 279 из учебника математики III кл.). Петя и Лида, имея денег поровну, покупают письменные принадлежности. Когда Петя уплатил за свою покупку 28 коп., то у него осталось 14 коп. У Лиды после покупки осталось только 9 коп. Сколько копеек уплатила за свою покупку Лида?

Так как у Пети и Лиды денег было поровну, то чертим один под другим два произвольных, но равных отрезка. Первый из них будет условно изображать число денег у Пети, второй — у Лиды. Первый отрезок делим на две неравные части, большая из которых будет условно изображать истраченную Петей часть денег (28 коп.), а меньшая — оставшуюся у него часть денег (14 коп.). Над большей частью надписываем «28 коп.», над меньшей — «14 коп.). Второй отрезок, условно изображающий количе-

Рис. 151.

ство денег у Лиды, также делится на две неравные части. Над меньшей из них надписывается «9 коп.», а над большей — «#» (или знак «?»), обозначающий неизвестное количество денег, которые Лида уплатила за покупку (рис. 151).

Графическая схема наглядно иллюстрирует отношение равенства, и дети, опираясь на нее, смогут самостоятельно составить уравнение: #+9=28+14.

2. (№ 367 из учебника математики III кл.). Теплоход, двигаясь со скоростью 30 км в час, прошел путь между двумя пристанями за 4 ч. На обратном пути он прошел то же расстояние за 5 ч. С какой скоростью шел теплоход на обратном пути?

Графическая иллюстрация задачи представлена на рисунке 152. Рассматривая ее, ученики наглядно убедятся в том, что расстояние гуда и обратно (AB и В А) одинаковое, и с большей долей самостоятельности составят уравнение: #-5 = 30-4.

Графические изображения облегчают поиск алгебраического способа решения и таких задач, в условиях которых дано отношение неравенства («больше или меньше на...», «больше или меньше в...»). Ряд таких задач представлен в учебнике математики для III класса. Рассмотрим задачу № 667: «На станции стояли пассажирский и товарный поезда. Когда к товарному поезду прицепили еще 2 вагона, в нем стало в 3 раза больше вагонов, чем в пассажирском. В пассажирском поезде было 10 вагонов. Сколько вагонов было в товарном поезде?»

Изобразим число пассажирских вагонов произвольным отрезком, тогда число вагонов в товарном поезде после присоединения к нему двух вагонов будет изображать отрезок, который в 3 раза больше первого, а чтобы изобразить число товарных вагонов до того, как к ним прицепили 2 вагона, надо этот отрезок уменьшить (рис. 153).

Если за неизвестное принять число вагонов, которые были в товарном поезде до присоединения двух вагонов, то получим уравнение: (#+2): 10 = 3 — или его вариант: (#+2):3=10. Составлению, например, уравнения (#+2): 10=3 будут предшествовать такие рассуждения, которые могут быть проведены с опорой на графическую схему: «Обозначим число вагонов, которые были в товарном поезде, буквой х (или знаком «?»). После того как число товарных вагонов увеличили на 2, их стало #+2. В задаче сказано, что их стало в 3 раза больше, чем пас-

Рис. 152. Рис. 153.

сажирских вагонов, которых было 10. Запишем это в виде уравнения: (лЧ-2) . 10=3».

Все приведенные в этом параграфе задачи могут, конечно, решаться и арифметическим способом, и схематический чертеж будет при этом не менее полезен.

Интересно, используя один и тот же чертеж, предложить детям решить задачу с помощью составления уравнения, а затем ту же задачу решить арифметически, с записью отдельных действий, с тем чтобы сопоставить оба эти подхода к решению.

§ 5. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ

При решении задач геометрического содержания арифметическим методом мы, выполняя соответствующие вычисления, получаем числовое значение искомой величины. Геометрический чертеж при этом, являясь частью условия задачи, способствует лучшему наглядному представлению.

Однако специалистам самых различных профессий приходится производить вычисления, решая практические вопросы, и при этом перед ними встает задача — получить тот же результат более коротким путем и с меньшими трудностями. Эта задача во многих случаях успешно решается, если пользоваться методом получения решения с помощью геометрических построений и измерения полученных отрезков, площадей и т. п.

В связи с введением начального курса математики значительно расширен объем и содержание изучаемого в начальных классах геометрического материала, ученики приобретают простейшие навыки работы с циркулем и линейкой, а это в свою очередь создает благоприятные возможности для внедрения в практику начальных классов решения некоторых простейших задач геометрического содержания графическим способом (иногда параллельно с решением их арифметическим способом). Для графического решения важно, чтобы отрезки вычерчивались в натуральную величину.

Приведем графическое решение некоторых задач геометрического содержания (в книге чертежи уменьшены).

Задача 1. Отрезок длиной 5 см уменьшили на 2 см. Чему равна длина полученного отрезка?

Проведем прямую линию и отложим на ней с помощью линейки отрезок длиной 5 см. От правого его конца отложим влево отрезок длиной 2 см. Измерим вновь полученный отрезок и надпишем над ним, чему равна его длина. Задача решена (рис. 154).

Как видим, в этом случае решение получено не на основе вычислений (5—2=3), а графически, путем измерения. При графическом решении задачи нет надобности,

Рис. 154.

чтобы дети производили вычисления и соответствующие записи (5—2 = 3). Правда, по требованию учителя правильность произведенного измерения может быть проверена на основе вычислений. В том же случае, когда решение на основе вычислений выступает на передний план, графический способ может служить эффективным средством проверки правильности произведенного вычисления (выполнив решение задачи с помощью вычислений, ученики проверяют затем полученный ответ измерением).

Задача 2. Начерти два отрезка: один длиной 3 см, другой на 2 см длиннее. Чему равна длина второго отрезка?

Ученики вычерчивают отрезок длиной 3 см, а ниже — отрезок такой же длины. Затем увеличивают второй отрезок, продолжая его на 2 см. Полученный при этом отрезок измеряют и над ним записывают, чему равна его длина. Задача решена.

Аналогично (без вычислений) на основе построения чертежа и проведения необходимых измерений могут быть решены такие задачи, как, например:

«Начерти два отрезка: один длиной 8 см, другой — 5 см. На сколько сантиметров второй отрезок короче первого?»

«Начерти два отрезка: один длиной 4 см, а другой в 3 раза длиннее. Чему равна длина второго отрезка?»

Овладев описанным приемом решения приведенных выше задач, ученики без особого труда смогут решать графически и задачи, подобные следующим:

а) Начерти три отрезка: первый длиной 12 см, второй на 4 см короче первого, а третий на 3 см длиннее второго. Чему равна длина третьего отрезка?

б) Начерти три отрезка: длина первого 8 см, второй на 4 см длиннее первого, а третий в 2 раза короче второго. Найди длину третьего отрезка.

в) Начерти три отрезка так, чтобы первый был длиной 8 см, второй в 2 раза короче, а длина третьего была равна сумме длин двух первых. Какой будет длина третьего отрезка?

Достоинства графического способа решения геометрических задач перед арифметическим особенно выступают в тех случаях, когда данные задачи представлены графически. В сборниках задач и упражнений, а также в учебниках для начальных классов имеется ряд таких задач, данные которых представлены графически, и тем самым возникают возможности их графического решения, которые, к сожалению, зачастую учителями не используются.

Задача 1. Измерить отрезок. Начерти отрезок на 2 см длиннее, чем данный (рис. 155).

Рис. 155.

Рис. 156.

Рис. 157.

Задачу можно решить так: измерить длину отрезка, представленного графически. В результате измерения получим, что его длина 3 см. Для того чтобы найти длину искомого отрезка, к 3 см прибавим 2 см и получим 5 см. В тетради вычерчивается отрезок длиной 5 см.

Ответ задачи можно получить и по-другому. На прямой линии с помощью циркуля или линейки строим отрезок, равный данному отрезку, и от конца этого отрезка откладываем отрезок длиной 2 см, получим графический ответ задачи. Измерив получившийся отрезок, можем найти его числовое значение.

Задача 2. Найти длину ломаной ABCD (рис. 156,а). Длину ломаной можно найти двумя способами.

I способ. Узнать длину каждого отрезка и сложить полученные числа.

II способ. Начертить прямую линию. С помощью циркуля откладывать на этой прямой одно звено ломаной за другим (рис. 156,6).

Отрезок AD — графический ответ задачи. Измерив этот отрезок, найдем длину ломаной линии.

Задача 3. Вычислить периметры данных многоугольников (рис. 157).

Периметр многоугольника (треугольника, четырехугольника) можно найти двумя способами.

I способ. Можно измерить непосредственно каждый отрезок и сложить полученные числа.

II способ. Можно измерить периметр многоугольника путем переноса каждой стороны, взятой циркулем, на прямую линию, одну за другой, и последующего измерения линейкой отрезка, представляющего собой сумму всех сторон многоугольника.

На внеклассных занятиях по математике подобным же образом можно ознакомить детей с графическим решением и более трудных задач геометрического содержания.

§ 6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА ВНЕКЛАССНЫХ ЗАНЯТИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ

Содержанием внеклассной работы по математике могут быть разнообразные задачи на смекалку, логические задачи, задачи повышенной трудности. На примерах ряда задач можно со всей убедительностью показать высокую практическую эффектив-

Рис. 158.

ность графических изображений как опоры для осознанных мыслительных действий.

Наблюдения показали, что осознание практической эффективности графических изображений при решении задач во внеклассной работе в свою очередь способствует пробуждению у учащихся интереса и потребности в их использовании при решении задач з классе.

Приведем ряд задач на смекалку и логических задач, при решении которых видимый эффект дает опора на графическое их изображение.

Начнем с простых задач.

1. Если из одной коробки переложить в другую 8 карандашей, то в обеих коробках станет карандашей поровну. На сколько в первой коробке больше карандашей, чем во второй? (Рис. 158.)

Графическая иллюстрация задачи облегчает нахождение решения: 8+8=16 (кар.).

Ответ. В первой коробке на 16 карандашей больше, чем во второй.

2. Петя дал младшему брату половину своих яблок и еще одно яблоко, и у него не осталось ни одного яблока. Сколько яблок было у Пети?

Графическая схема (рис. 159) позволяет наглядно убедиться, что у Пети было 1 -2 = 2 (ябл.).

3. За коробку цветных карандашей заплатили 14 коп. и еще половину стоимости этой коробки. Сколько стоила коробка цветных карандашей?

Графическая схема (рис. 160) аналогична предыдущей (см. рис. 159). Решение задачи будет иметь вид: 14-2 = 28 (коп.). Ответ. Коробка цветных карандашей стоила 28 коп.

4. Расстояние по железной дороге от г. М. до г. С. на 463 км больше, чем от г. С. до г. Н., но на 29 км меньше, чем от г. Н. до г. И. На сколько километров расстояние от г. С. до г. Н. меньше, чем от г. Н. до г. И.? (Рис. 161.)

После перевода условия задачи на язык наглядности решение задачи не вызовет затруднений у учащихся: 463 + + 29 = 492 (км).

Ответ. Расстояние от г. С. до г. Н. на 492 км меньше, чем от г. Н. до г. И.

Рис. 159. Рис. 160.

Рис. 161.

Приведем условия еще нескольких задач примерно такого же типа, как задача 4, и соответствующие им схематические чертежи:

а) Масса 3 бурых медведей на 240 кг больше, чем масса 3 тигров, и на 80 кг меньше, чем масса 4 тигров. Определите массу тигра (рис. 162).

Решение. 240+80=320 (кг). Ответ. Масса тигра 320 кг.

б) В беге на дальнюю дистанцию Иванов опередил Козлова на 378 м. Козлов опередил Быстрова на 163 м. На сколько метров отстал Быстрое от Иванова? (Рис. 163.)

Решение. 378+163 = 541 (м).

Ответ. Быстров отстал от Иванова на 541 м.

в) Из холодильника отправили 17 т рыбы. Сколько тонн рыбы надо привезти в холодильник, чтобы в нем стало на 8 т рыбы больше, чем раньше? (Рис. 164.)

Решение. 17 + 8 = 25 (т).

Ответ. В холодильник надо привезти 25 т рыбы.

5. У Миши на 2 шара больше, чем у Пети. Сколько шаров у Миши, если их у него в 2 раза больше, чем у Пети? (Рис. 165.)

Графическая схема позволяет выяснить, что 2 шара — это половина шаров, имеющихся у Миши. Отсюда становится ясным и решение:

2-2 = 4 (шара).

Ответ. У Миши 4 шара.

6. У одного мальчика было цветных карандашей вдвое больше, чем у другого. Когда он купил еще 4 цветных карандаша, то у него стало цветных карандашей в 3 раза больше. Сколько цветных карандашей было у каждого первоначально? (Рис. 166.)

Рис. 162. Рис. 163.

Рис. 164. Рис. 165.

Опора на графическую схему приводит к следующим выводам:

1) у второго мальчика было 4 цветных карандаша;

2) у первого мальчика было 4-2 = 8 (кар.).

7. На тарелке лежали яблоки. Старшая сестра взяла половину яблок, а младшая — половину остатка и еще 2 яблока, после чего яблок на тарелке не осталось. Сколько яблок было на тарелке? (Рис. 167.)

Опора на графическую схему позволяет ученикам начальных классов легко решить задачу, так как иллюстрация наглядно показывает, что 2 яблока — это — часть всех яблок, лежащих на тарелке. Отсюда становится ясным и решение:

2-4 = 8 (ябл.).

Ответ. На тарелке было 8 яблок.

8. В первый день туристы прошли -у всего намеченного пути, во второй день--j- остатка; и после этого им осталось пройти 12 км. Чему равен весь путь, намеченный туристами? (Рис. 168.) ,

Графическая схема помогает выяснить, что 12 км — это — часть всего пути. Весь же путь, намеченный туристами, будет равен: 12-2 = 24 (км).

Приведем еще несколько задач, которые можно предлагать

Рис. 166.

Рис. 167.

Рис. 168.

Рис. 169. Рис. 170.

ученикам для решения с использованием схематического чертежа:

9. Если к -i- моих денег прибавить 80 коп., то получится -j- моих денег. Сколько у меня денег?

10. Пионеры отправились в туристский поход по местам партизанских боев. В первый день они прошли -g- часть всего намеченного пути, и оказалось, что им надо еще пройти на 12 км больше, чем прошли в первый день. Найти длину всего маршрута.

Приведенные выше задачи могут служить материалом для различных видов внеклассной работы. Некоторые из них, например задачи 1—3, могут быть использованы во внеклассной работе с учениками II класса, а остальные — с учениками III класса.

Рассмотрим теперь несколько составных задач, которые могут быть предложены в основном учащимся III класса.

1. У мальчика было несколько груш. Он решил их разделить между двумя своими сестрами. Младшей сестре он дал половину своих груш и еще одну грушу, а старшей сестре — остальные 2 груши. Сколько груш было у мальчика? (Рис. 169.)

Графическая схема помогает выяснить, что половину всех груш, которые были у мальчика, составляют: 2+1=3 (груши). Дальнейшее решение ясно: всего у мальчика было 3-2 = 6 (груш).

2. Сколько уток у юннатов?

«Сколько уток выращивает ваш юннатский кружок?» — спросили у Бори. Боря ответил: «Когда из инкубатора мы возьмем столько, сколько есть сейчас, и еще 2 уточки, то будет 100 уток. А сколько их у нас сейчас, подсчитайте сами». Сколько уток сейчас у юннатов? (Рис. 170.)

Рис. 171. Рис. 172.

Рис. 173.

Графическая схема помогает выяснить, что у юннатов было (100—2): 2=49 (уток).

3. У двух рыбаков спросили: «Сколько рыбы в ваших корзинах?» — «В моей корзине половина того, что в корзине у него, да еще 10», — ответил первый. «А у меня в корзине столько, сколько у него, да еще 20»,— сказал второй.

Я сосчитал. Посчитайте теперь вы!

Графическая схема представлена на рисунке 171. Она позволяет выяснить, что у второго рыбака в корзине половина той рыбы, которая есть, да еще 20+10 = 30 (рыб). Дальнейшее решение ясно: в корзине второго рыбака 30-2 = 60 (рыб), а в корзине первого 30+10 = 40 (рыб).

4. Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили, какова ее масса, рыбак ответил: «Масса хвоста 1 кг, масса головы такая же, как масса хвоста и половины туловища, а масса туловища такая, как масса головы и хвоста вместе».

Графическое изображение условия данной задачи значительно облегчает решение (рис. 172).

5. На станции стояли 2 состава товарных вагонов (одинаковой длины). В одном составе было на 12 вагонов больше, чем в другом. Когда от каждого состава отцепили по 4 вагона, то длина первого состава оказалась в 2 раза больше длины второго состава. Сколько вагонов было в каждом составе? (Рис. 173.) Изобразим отрезками число вагонов в каждом составе.

Графическая схема позволяет убедиться, что, после того как от каждого отрезка отделили часть, изображающую отцепленные 4 вагона, получилось 3 равных отрезка, каждый из которых изображает 12 вагонов. Становится ясным, что первоначально во втором составе было 12 + 4=16 (ваг.), а в первом составе 16+12 = 28 (ваг.).

6. Задача-шутка.

Миша и Ваня собирали грибы.

Рис. 174.

Рис. 175.

— Сколько у тебя грибов, — спросил Миша, — полдесятка будет?

Ваня ответил:

— Возьми половину моих грибов, а мне дай гриб, тогда у меня будет полдесятка.

— А у тебя сколько грибов?— спросил Ваня.

Миша ответил:

— Отними половину моих грибов да еще гриб, тогда у меня еще останется полдесятка.

Сколько грибов собрали оба мальчика вместе?

Задача состоит из двух самостоятельных задач: «о грибах Вани» и «о грибах Миши».

Графическая схема задачи «о грибах Вани» представлена в верхней части рисунка 174. Анализ ее приводит к следующему решению:

(5-1)-2=8 (гр.).

В нижней части рисунка 174 представлена графическая схема задачи «о грибах Миши»». Решение задачи будет иметь вид:

(5+1).2=12 (гр.).

Всего Миша и Ваня собрали 8+12 = 20 (гр.).

7. Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? — спросил ее мул. — Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей». Сколько мешков несла лошадь и сколько нес мул? (Рис. 175.)

Из второй части условия задачи, которую наглядно иллюстрирует графическая схема, видно, что у мула было на 2 мешка больше, чем у лошади. Опираясь на графическую схему, выясняем также, что если бы лошадь отдала один мешок мулу, то у мула стало бы на 4 мешка больше, или по условию в 2 раза больше, чем у лошади. Отсюда следует, что у лошади осталось бы 4 мешка, а у мула — 8. Становится ясным и ответ задачи: лошадь несла 5 мешков, а мул — 7.

Представленную на рисунке 175 графическую схему можно использовать для разбора с ее помощью других задач такого же типа. Приведем условия некоторых из такого типа задач.

а) Древняя задача о пастухах.

Два пастуха встретились, и один сказал другому: «Дай мне одну овцу, и у меня будет тогда вдвое больше, чем у тебя». В ответ на это другой сказал: «Отдай мне одну овцу из своих и тогда у нас будет поровну». Сколько овец у каждого из них?

б) Сколько яблок?

— Дай мне яблоко, и у меня будет вдвое больше, чем у тебя, — сказал один мальчик другому.

— Это несправедливо. Лучше ты дай мне яблоко, тогда у нас будет поровну, — ответил его товарищ.

Можете ли вы сказать, сколько у каждого мальчика было яблок?

Предметом рассмотрения во внеклассной работе по математике могут быть и различные способы решения задач, эффективным средством отыскания решения которых служат графические изображения. Работа по решению задач различными способами может проводиться в разнообразных формах:

а) графическое изображение задачи и ее решение выполняются на кружковых занятиях;

б) в стенгазете, выпускаемой кружком, периодически помещаются задачи с требованием графически иллюстрировать условия и решить каждую из задач различными способами;

в) задачи с требованием иллюстрировать и решить их различными способами предлагаются на математических утренниках, на школьных олимпиадах и т. п.

Для внеклассной работы в начале учебного года следует отбирать ряд задач, над решением которых кружковцы будут работать в течение всего учебного года.

Тексты некоторых из этих задач можно записывать на листе бумаги под красочным заголовком конкурса: «Кто найдет наибольшее число решений?» — и вывешивать в школе на видном месте. По мере того как будут поступать отдельные интересные решения, с ними надо знакомить всех учащихся. Полезным оказывается вывешивание образцов всех найденных решений одной из конкурсных задач.

Приведем некоторые из подобных задач и образцы возможных их решений.

1. На соревнованиях один мальчик пробежал 320 м, другой— на 130 м больше первого, третий — на 180 м меньше того, что пробежал первый и второй вместе. Сколько метров пробежал третий мальчик? (Рис. 176.)

1 способ. II способ.

Рис. 176.

Ill способ. IV способ.

2. На одной полке 50 книг, на другой 40 книг. С первой полки сняли 12 книг, а на другую добавили 11 книг. На которой полке книг стало больше и на сколько? (Рис. 177.)

I способ. II способ.

III способ.

IV способ. V способ.

3. Найди площадь прямоугольника BCFK по данным, представленным на рисунке 178.

I способ.

II способ.

III способ.

IV способ.

Рис. 177. Рис. 178.

2) 25—18=7 (см)—длина стороны FE;

3) 7-4 = 28 (кв. см)—площадь прямоугольника CDEF;

4) 40 — 28=12 (кв. см)—площадь прямоугольника BCFK.

V способ. 1) 18-4 = 72 (кв. см)—площадь прямоугольника ACFM;

2) 25—10=15 (см)—длина стороны МК;

3) 15-4 = 60 (кв. см)—площадь прямоугольника АВКМ;

4) 72 — 60= 12 (кв. см)—площадь прямоугольника BCFK.

VI способ. 1) 25-4=100 (кв. см)—площадь прямоугольника ADEM;

2) 18-4 = 72 (кв. см)—площадь прямоугольника ACFM;

3) 10-4 = 40 (кв. см.) —площадь прямоугольника BDEK;

1) 100 — 40 = 60 (кв. см)—площадь прямоугольника АВКМ;

5) 72 — 60=12 (кв. см)—площадь прямоугольника BCFK.

VII способ. 1) 25-4=100 (кв. см)—площадь прямоугольника ADEM;

2) 18-4 = 72 (кв. см)—площадь прямоугольника ACFM;

3) 10-4 = 40 (кв. см)—площадь прямоугольника BDEK;

4) 100 — 72 = 28 (кв. см)—площадь прямоугольника CDEF;

5) 40 — 28=12 (кв. см)—площадь прямоугольника BCFK.

VIII способ, 1) 25-4=100 (кв. см)—площадь прямоугольника ADEM;

2) 18-4 = 72 (кв. см)—площадь прямоугольника ACFM;

3) 10-4 = 40 (кв. см)—площадь прямоугольника BDEK;

4) 72 + 40=112 (кв. см)—сумма площадей ACFM и BDEK;

5) 112—100=12 (кв. см)—площадь прямоугольника BCFK.

Приведем ряд задач на смекалку (предназначенных в основном для внеклассных занятий с учениками I и II классов), способствующих развитию логического мышления и решение (или правильность решения) которых полезно связывать с использованием геометрических образов:

Рис. 179.

1. Летели журавли клином (т. е. строй журавлей образовывал некоторый угол). Четыре журавля на одной стороне клина да четыре на другой — всего семь журавлей. Как это вышло? Решить задачу графически, рисуя вместо журавлей треугольники (решение на рис. 179).

2. Дети посадили 3 одинаковых ряда по 5 саженцев в каждом. Всего они посадили 13 саженцев. Покажите на рисунке, изображая деревья в виде точек, как они могли это сделать (рис. 180).

3. Летела стая гусей. Один впереди и два позади, один позади и два впереди, один между двумя и три в ряд. Сколько летело гусей? Решите задачу графически, приняв за гуся, например, отрезок произвольной длины (см. рис. 181).

4. Длина бревна 6 м. В 1 мин пильщики отпиливают по 1 м. За сколько минут они распилят все бревно? Тот, кто поторопится и ответит «6 мин», ошибся. Проверьте с помощью чертежа, правильно ли вы решили задачу (рис. 182).

5. Электропоезд состоит из 7 вагонов. Два мальчика решили поехать вместе в четвертом вагоне. Один мальчик сел в четвертый вагон от начала, другой — в четвертый вагон от конца. В один ли вагон они сели? Проверьте с помощью рисунка, правильно ли вы решили задачу (рис. 183).

6. Электропоезд состоит из 10 вагонов, Вова сел в пятый вагон от начала поезда, а Юра — в пятый вагон от конца. В одном ли вагоне едут мальчики? Проверьте с помощью рисунка, правильно ли вы решили задачу (рис. 184).

7. Расставьте 8 стульев у четырех стен комнаты так, чтобы у каждой стены стояло по 3 стула (рис 185). Расставьте 9, потом 10, затем 11 стульев у четырех стен комнаты, чтобы у каждой стены стояло по 3 стула. Покажите решение каждой из задач на рисунке, изображая стулья в виде квадратиков или прямоугольников.

8. Чтобы распилить доску на несколько частей, ученик сделал на ней 6 отметок карандашом. Эти отметки отделяют одну часть доски от другой. На сколько частей ученик распилит

Рис 180. Рис. 181. Рис. 182.

Рис. 183.

Рис. 184. Рис. 185.

доску? Решите задачу графически, изобразив доску в виде отрезка произвольной длины (рис. 186).

9. Для утренней зарядки дети выстроились в линейку на расстоянии 1 м друг от друга. Вся линейка растянулась на 11 м. Сколько было детей? Проверьте правильность решения графически, изображая учеников с помощью вертикальных отрезков одинаковой длины и приняв расстояние в 1 см за 1 м (рис. 187).

Во внеклассной работе «Интересно показать детям, как почти любую арифметическую задачу, которую они решают в классе с помощью действий над числами, можно решить геометрически, без выполнения арифметических действий. Пусть они увидят, что иногда такой подход приводит к усложнению работы, а иногда дает возможность легко и просто решить и такую задачу, которую арифметически они еще решить не могут вообще»1.

Приведем для примера графическое решение такой задачи: «Библиотеке нужно переплести 1800 книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 3 дня, а вторая — за 6 дней. За сколько дней переплетут все книги мастерские, если они будут работать одновременно?»

Решение задачи арифметическим способом: 1) 1800:3= = 600 (кн.); 2) 1800:6 = 300 (кн.); 3) 600 + 300 = 900 (кн.); 4) 1800 : 900=2 (дн.).

С помощью схематического чертежа задача может быть решена без выполнения каких-либо вычислений (см. рис. 188).

Подобным же образом можно познакомить учеников с использованием графических изображений при решении и более

Рис. 186. Рис. 187.

1 Моро М. И., Пышкало А. М. Методика обучения математике в I—III классах. М., «Просвещение», 1975, с, 50.

Рис. 188.

трудных задач (в том числе и таких, которые арифметически или алгебраически ученики начальных классов не могут решить). Приведем некоторые задачи, которые можно предложить ученикам III класса в процессе внеклассной работы. 1. В 3 ч стенные часы отбивают 3 удара за 12 сек. За сколько секунд эти часы отобьют 7 ударов в 7 ч вечера?

После решения задач с пропорциональными величинами многие ученики быстро получают напрашивающийся, но ошибочный ответ: 12:3-7=28 (сек).

Графическая схема (рис. 189) наглядно (без особых пояснений учителя) разъясняет причину допущенной ошибки. Оказывается, ответ зависит здесь от числа промежутков между ударами (а их на 1 меньше, чем самих ударов). Правильный ответ:

1) 3-1 = 2 (уд.); 3) 7-1 = 6 (уд.);

2) 12:2 = 6 (сек); 4) 6-6 = 36 (сек).

Вполне понятной и обоснованной для детей выглядит теперь рекомендация учителя использовать графическую схему при решении задачи (для нахождения решения или хотя бы для проверки ответа, найденного арифметическим путем).

Графическая схема поможет отыскать подвох и в ряде других классических задач на смекалку. Приведем некоторые из таких задач:

а) «Вот вам 3 пилюли, — сказал доктор. — Принимайте по одной через каждый час». Вы покорно соглашаетесь. На сколько часов вам хватит прописанных доктором пилюль? (На 2 ч.)

б) Вдоль беговой дорожки расставлены столбы на одинаковом расстоянии друг от друга. Бегун на дальние дистанции начал свой бег от первого столба и через 5 мин был у шестого столба. Через сколько минут после начала бега он будет у двенадцатого столба, если будет бежать с той же скоростью? (Через 11 мин.)

в) В одном ряду лежат 8 камешков на расстоянии 2 см один от другого, в другом ряду—15 камешков на расстоянии

Рис. 189.

Рис. 190.

1 см от другого. Какой ряд длиннее? (Ряды одинаковой длины.)

г) Одна сторона школьного огорода 48 м. По этой стороне поставили забор из досок, причем через каждые 4 м ставили столб. Сколько столбов пошло на этот забор?

Э. Г. Якуба так описывает результаты, полученные при решении этой задачи учащимися: «Ответ при решении задачи все дали один и тот же—12 столбов, забывая о первом столбе, который не учитывался при делении 48 м на 4 м. Все были удивлены, что при решении такой легкой задачи они не получили правильного ответа (13 столбов)»1.

Очевидно, что действенную помощь в выявлении и устранении подобных ошибок окажет построение графической схемы.

2. Пионервожатый привел на пришкольный участок 32 пионера и поручил пионеру-бригадиру распределить их на работу. Через некоторое время бригадир доложил пионервожатому, что он -g- всех ребят определил на прополку, --на устройство новых грядок и -g- —на разные другие работы.

— Молодец, — сказал пионервожатый, — ты всех распределил правильно!

Как узнал пионервожатый, что бригадир распределил на работу всех ребят?

На рисунке 190 представлена графическая схема, которая дает ответ на вопрос. После решения этой задачи полезно предложить ученикам изменить условие, заменив, например, число 32 числом 40. Ученики выполняют новую графическую схему и убеждаются в том, что решение не зависит от общего числа пионеров, которые работали на пришкольном участке.

Приведем условия еще нескольких задач на дроби, графическое изображение которых аналогично приведенному выше.

а) Сколько грибов в корзине?

Коля с товарищами ходил в лес за грибами. Придя из леса, он поставил корзину в сенях. Только вошел в дом, а сестра и говорит: «Покажи, много ли грибов набрал?»

Коля подумал немного и стал рассказывать: «Набрали мы много. Но при разборе оказалось, что -g- несъедобных, их набрал маленький Петя, -у- часть всех грибов была изъедена червями — все эти грибы мы выбросили, -g- всех грибов мы свари-

1 Якуба Э. Г. Внеклассная работа по математике. — «Начальная школа», 1969, № 6, с. 51.

Рис. 191.

ли в котелке и съели. А что осталось в корзине, догадайся сама».

Сестра быстро сообразила, что корзина пуста. Как она это узнала, не заглянув в корзину? б) Мама дала Зое денег, чтобы она в школьном буфете купила завтрак. Когда Зоя вернулась из школы, то перед мамой отчиталась: всех денег я истратила на булочку, -g- нa чай, a -g--на конфеты». Сколько денег осталось у Зои?

3. На две птицефермы привезли по одинаковому количеству зерна. На первой птицеферме расходовали ежедневно 3 кг зерна, а на другой — 4 кг, поэтому на второй птицеферме запаса зерна хватило на 1 день меньше, чем на первой. На сколько дней хватило запаса зерна на каждой птицеферме?

Для ее решения построим чертеж, изображающий условно 1 кг одной клеткой тетради (рис. 191). По этой иллюстрации легко найти ответ: на первой птицеферме запаса зерна хватило на 4 дня, а на второй — на 3 дня.

Приведем теперь для примера графическое решение одной из задач геометрического содержания, решить которую путем вычислений ученики начальных классов не могут, так как у них не хватает для этого знаний: «Начертите прямоугольный треугольник, у которого стороны, образующие прямой угол, равны 4 см и 3 см. Найдите периметр треугольника».

Решение такого вида задач с помощью выполнения чертежа и измерений способствует синтезу различных видов деятельности, а именно:

а) формированию и закреплению навыков построения прямого угла на нелинованной бумаге (для того чтобы начертить прямоугольный треугольник, надо предварительно построить прямой угол);

б) закреплению навыков построения отрезков, равных данным отрезкам (после того как прямой угол построен, на сторонах, образующих прямой угол, откладываются отрезки длиной 4 см и 3 см);

в) закреплению навыков измерения отрезков (измеряется длина отрезка, полученного в результате соединения концов отрезков длиной 4 см и 3 см);

г) закреплению вычислительных навыков учащихся (нахождение суммы длин трех сторон треугольника, т. е. вычисление периметра прямоугольного треугольника).

Итак, мы показали, что использование рисунков, схем и чертежей в начальном курсе математики создает хорошие предпосылки для развития как конкретного, так и абстрактного мышления учащихся; обеспечивает более глубокие математические связи между арифметическим, алгебраическим и геометрическим материалом начального курса; позволяет ускорить формирование у младших школьников умений и навыков выполнять различные практические упражнения; повышает у детей интерес к изучению математики, что способствует успешности выполнения всей учебной работы.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . ,...................... 3

Глава I. Общие вопросы использования графических изображений при обучении математике младших школьников .... 9

Глава II. Использование графических изображений при формировании понятия числа и при ознакомлении с действиями над числами.................. 15

Глава III. Использование графических изображений при обучении решению текстовых задач..... . . . . . 30

§ 1. Использование графических изображений при решении простых задач .............. —

§ 2. Использование графических изображений при решении некоторых составных задач ...... . . 58

§ 3. Использование графических изображений при решении задач различными способами...... . . 84

§ 4. Использование графических изображений при решении задач способом составления уравнения ...... 100

§ 5. Графическое решение некоторых задач геометрического содержания............... 108

§ 6. Использование графических изображений при решении текстовых задач на внеклассных занятиях по математике ................... 110

ИБ № 4068

Леонтий Шмулевич Левенберг

РИСУНКИ, СХЕМЫ И ЧЕРТЕЖИ

в начальном курсе математики

Редактор Л. А. Сидорова Художник Б. Л. Николаев Художественный редактор Е. Н. Карасик Технический редактор Л. М. Дербикова Корректор Л. А. Козлова

Сдано в набор 09.12.77 г. Подписано к печати 31.07.78 г. 60X90713. Бумага тип. № 2. Гарнит. литерат., высокая печать. Условн. л. 8,0. Уч.-изд. л. 8,00. Тираж 100000 экз. Заказ № 9019. Цена 20 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Областная типография управления издательств, полиграфии и книжной торговли Ивановского облисполкома, г. Иваново-8, ул. Типографская, 6.

Левенберг Л. Ш.

Л35 Рисунки, схемы и чертежи в начальном курсе математики. Из опыта работы, Под ред. М. И. Моро. М., «Просвещение», 1978. 126 с.

В книге даны методические указания к использованию рисунков, схем и чертежей при формировании понятия числа, действий над числами при решении задач как арифметическим, так и алгебраическим способом.