К. Ф. ЛЕБЕДИНЦЕВ

ВВЕДЕНИЕ В СОВРЕМЕННУЮ МЕТОДИКУ МАТЕМАТИКИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО УКРАИНЫ

К. Ф. ЛЕБЕДИНЦЕВ

ВВЕДЕНИЕ В СОВРЕМЕННУЮ МЕТОДИКУ МАТЕМАТИКИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО УКРАИНЫ

1925

Трест „Киев—Печать“, 7-ая типо-лит., ул. Горовнца, 20.

р. у. п. № 4630. З. № 110-10.000.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Было время, когда за методикой математики почти не признавалось права на существование. Тогда многие верили в то, что достаточно изучить математику в об'еме университетского курса, чтобы тем самым стать подготовленным для обучения арифметике, алгебре и геометрии детей и юношей—от порога средней школы до дверей высшей. Только для начального обучения вероятность подобного вывода ставилась под сомнение, и признавались необходимыми как методика начальной арифметики, так и ознакомление с нею для будущих учителей. Эти времена прошли и назад не вернутся, и теперь все признают, что обладание знанием—это одно, а уменье передавать это знание, в особенности детям и юношам— совершенно другое, что знать свою науку будущему учителю, конечно, необходимо, но кроме этого нужно еще владеть ключом к разуму и сердцу своих воспитанников, и кто не владеет этим даром от природы, тот должен его искать в современной педагогике и методике. Но в настоящее время довольно распространено мнение, что это умение передавать знания и развивать навыки—нечто вроде практической сноровки, которой будущий учитель может обучиться главным образом практически же, т. е. наблюдая работу опытных педагогов, а затем и сам работая под их руководством с детьми в школе. Сторонники этого мнения не придают большого значения педагогике и в особенности методике, считая их «теорией», которая хорошему и способному педагогу не нужна, а неспособного все равно ничему не научит.

Это довольно распространенное заблуждение основано, конечно, на недостаточном знакомстве с характером и сущностью педагогической работы. Ведь, относительно подготовки врачей никто не решится утверждать, что будущему врачу достаточно понаблюдать, как лечат больных опытные врачи, потом попрактиковаться в уходе за больными и подготовке хирургических инструментов для операций, а после этого переходить к вполне самостоятельной практике. Всякий понимает, что перед этим и наряду с этим будущему врачу необходимо предварительное и обстоятельное изучение человеческого тела и методов воздействия на него при различных условиях, нормальных и ненормальных, т. е. «теории» медицинского дела. Так и в деле воспитания и образования подростающих поколений хорошая практика без хорошей теории невозможна, и дело педагогики-науки и методики-теории уловить, изучить и всячески выяснить сущность того, в чем заключается секрет педагогики-искусства, т. е. искусства передавать детям знания, развивать в них те или

иные навыка и вообще так или иначе воздействовать в желаемом направлении на детскую душу.

В настоящем «Введении» (и имеющих последовать за ним «Основах современной методики математики») я развиваю мысль, что в деле обучения математике центральной осью и неот'емлемым условием успешной педагогической работы является конкретно-индуктивный метод из которого с неизбежной последовательностью развиваются и выводятся, как частные случаи, все последние педагогические достижения—методы лабораторный, трудовой и т. д. Другой основной идеей настоящего труда является обоснование методики на данных современной психологии, педологии и экспериментальной дидактики: в настоящее время методика математики не может быть собранием рецептов и догматических указаний, как следует вести себя учителю при проработке того или иного пункта программы, а должна быть научно-обоснованной системой положений, которые бы ясно указывали педагогу основную линию его работы и ориентировали бы его в способах достижения намеченной цели, но вместе с тем предоставляли бы ему достаточно свободы для практического творчества в рамках его школы.

Первый отдел данного «Введения» посвящен рассмотрению самых общих и основных вопросов методики математики: о цели, программе и методе работы по математике в современной школе. Во втором отделе рассматриваются данные педологии о развитии первоначальных числовых и геометрических представлений у ребенка и на основании этого материала устанавливаются основные принципы математической работы с детьми дошкольного возраста. Считаю нужным оговориться здесь, что «дошкольный» возраст обозначает у меня просто возраст детей от 4 до 8 лет, независимо от того, живут ли они в детском доме или семье и посещают ли детский сад или нет. Ориентироваться же в только что указанных вопросах современному работнику социального воспитания необходимо, тем более, что в настоящее время методы «дошкольной» работы пролагают себе путь и в младшие группы школы. В конце книги дается указатель литературы по вопросам, в ней разбираемым.

Настоящая работа выполнена мною как очередная работа по научно-исследовательской кафедре педологии в Киеве, и доложена в заседании кафедры в марте 1924 г.

Продолжение настоящего труда («Основы современной методики математики») должно охватить собою методы школьной работы по математике от начала обучения до высшей школы. Оно будет выходить отдельными частями по мере их подготовки к печати.

К. Лебединцев.

ОТДЕЛ I.

Цели, программа и метод обучения математике в трудовой школе.

Глава I.

Понятие о задачах методики математики.

Из личного опыта и рассказов наших сверстников и знакомых мы знаем, что бывают учителя, у которых дети учатся математике неохотно и с трудом, плохо ее понимают и не выучиваются как следует вычислять и решать задачи; у других же учителей дети учатся той же математике без больших усилий и с интересом, и усваивают ее сознательно и хорошо. А случается и так, что дети, которые уже потеряли охоту к занятиям по математике и считались недостаточно способными к этому предмету, потом, перейдя к другому учителю, обнаруживают и способности, и любовь к математическим знаниям.

Отчего это так бывает?

Разумеется, оттого, что не все учителя одинаково хорошо умеют обучать детей, т. е. помогать им приобретать должные познания и навыки; один применяет такие приемы обучения, которые делают математику ясной и доступной детям и способны приохотить детей к занятиям счислением и измерением; другой этих приемов не знает или не умеет ими пользоваться, и оттого у него дело обучения плохо ладится.

Методика математики и имеет целью выяснить, какие способы обучения необходимы для того, чтобы учащие с;я понимали и усваивали математику возможно лучше и с наименьшей затратой усилий. Но для того, чтобы мы могли разобраться в этом вопросе, мы должны дать себе отчет в том, зачем изучается математика в школе и чему учить на уроках, ей посвященных; а после этого нам легче будет вникнуть и в то, как учить детей математике.

Глава II.

Цели обучения математике.

Мы знаем, что в повседневной жизни нам часто приходится выполнять различные расчеты и измерения; напр., при всякой покупке мы должны уметь расчитать, сколько придется заплатить за покупаемый товар, сколько получить сдачи; имея запас хлеба или другой еды, мы должны уметь расчитать, на сколько дней нам хватит этого запаса, или как разделить этот запас между несколькими едоками; если нам нужно сшить платье, мы должны знать, сколько на него пойдет ситцу, сукна или другой материи и во что обойдется нам эта материя, пуговицы и т. д.; если нужно оклеить обоями комнату, надо уметь измерить площадь стен и высчитать, сколько понадобится кусков обоев, сколько это будет стоить и т. д. А для всего этого нам нужно уметь считать и производить вычисления над целыми и дробными числами, нужно уметь измерять длину, вес, время, площади и об'емы—одним словом, надо иметь целый ряд познаний и умений, которые мы можем приобрести только с помощью изучения математики. Ясно, что всему этому надо научиться в школе, и поэтому одна из целей, ради которых мы учимся математике и обучаем ей своих детей, есть цель практическая—приобрести те сведения и навыки, которые необходимы для расчетов, встречающихся нам в повседневной жизни.

Но этим не исчерпывается задача обучения математике в школе Учась выполнять разного рода вычисления и измерения, мы устанавливаем те или иные правила действий, свойства чисел или фигур, приемы измерений и т. д., и применяем эти правила и выводы к решению задач и других вопросов повседневной жизни; вместе с тем мы постоянно даем себе отчет в том, почему данное вычисление нужно произвести так, а не иначе, почему данную задачу нужно решить напр. умножением, а не другим действием, почему напр. всякий треугольник составляет половину прямоугольника с тем же основанием и высотой и т. д. При этом мы постоянно выполняем те или иные рассуждения и незаметно для себя приучаемся рассуждать точно и правильно, потому что какая-нибудь неточность или ошибка в рассуждении или вычислении сейчас же даст себя знать и может быть нами обнаружена и исправлена. Таким образом, изучение математики вырабатывает у нас привычку правильно мыслить, и вот другая цель, ради которой изучается математика в школе— цель общеобразовательная: помочь учащимся развить у себя привычку к правильным суждениям, умозаключениям и выводам.

Итак обучение математике в школе имеет двоякую цель — практическую и общеобразовательную: с одной

стороны—научить детей выполнять вычисления и измерения, которые необходимы для расчетов, встречающихся в повседневной жизни; с другой стороны—помочь им выработать привычку правильно мыслить, т. е. составлять правильные суждения, умозаключения и выводы.

Необходимо однако отдать себе отчет в том, в какой мере и при каких условиях изучение математики может помочь детям научиться правильно мыслить. Можем ли мы ожидать, что, обучаясь математике и привыкая составлять правильные суждения и выводы в области математики, учащиеся приобретают вместе с тем способность правильно рассуждать и во всех других областях знания и жизни? Или, быть может, эта привычка к правильному мышлению обнаружится у них только в некоторых других областях? Посмотрим, что говорят нам по этому вопросу повседневные наблюдения и данные психологии.

Мы знаем, что есть дети, которые с успехом обучаются математике и в то же время оказываются малоспособными в других областях знания; есть знаменитые счетчики, которые с поразительной быстротой и искусством выполняют очень сложные вычисления, и в то же время не проявляют выдающихся способностей в других отношениях, даже иногда являются людьми малообразованными1); есть, наконец, выдающиеся и даже гениальные математики, которые за пределами своей специальности не обнаруживают превосходства над людьми среднего уровня2). Наоборот, встречаются люди, не обнаруживающие особенных способностей или склонности к математике, но в других отношениях даровитые и выдающиеся3). Все эти обстоятельства заставляют нас заключить, что изучение математики и развитие в области математики может и не сопровождаться всесторонним умственным развитием, и, значит, развивающее влияние математики может в других областях знания и жизни сказываться очень неравномерно или не проявляться вовсе.

Посмотрим теперь, что известно по интересующему нас вопросу в психологии. Мы не имеем правда, прямых опытов, которые позволили бы нам заключить о влиянии обучения математике на умственное развитие; но все же современная психология дает некоторые основания думать, что упражнение какой-либо нашей способности в одной области может сопровождаться развитием этой способности и в других областях.

1) См., напр., сведения о знаменитых счетчиках Диаманди и Иноди, помещенные в брошюре Челпанова „О памяти и мнемонике“ (СПБ. 1900 г., стр. 106—113) и в книге Гольденберга „Беседы по счислению“ (Саратов 1906 г., посмертное изд. под ред. Волковского, стр. 77—83).

2) Напр. Ньютон, один из наиболее гениальных математиков и физиков всех времен, в других областях науки и жизни был человеком среднего уровня, будучи же членом парламента, не проявил себя в качестве общественного деятеля.

3) Таковы, напр., известные наши писатели—Короленко и Надсон.

Так, напр., известный немецкий психолог Мейман, производя опыты над памятью и запоминанием, нашел, что упражнение в заучивании бессмысленных слогов сопровождается усилением памяти не только на бессмысленные слоги, но также некоторым усилением всех других видов памяти, причем это «сопутствующее упражнение» более всего сказывалось на видах памяти, родственных с данным, напр. на памяти на отдельные буквы, цифры, вообще при усвоении материала запоминаемого более или менее механически; на остальных же видах памяти «сопутствующее упражнение» сказывалось в меньшей и меньшей мере. При этом Мейман прибавляет, что это явление—сопутствующее упражнение родственных видов деятельности—«есть вероятно общее психофизическое явление, так как мы наблюдаем его во всех психических и физических функциях». (Мейман, «Лекции по экспериментальной педагогике», т. III, стр.237—241; или же последнее немецкое издание тех же лекций 1922 года, т. III, стр. 137—146).

Основываясь на этом, мы можем считать вероятным, что изучение математики сопровождается развитием не только «математического» мышления, но и других видов мышления, более или менее родственных ему.

Что же это за виды мышления?

В математических рассуждениях мы чаще всего встречаемся с умозаключениями, с дедукцией; поэтому мы можем ожидать, что изучение математики отразится более или менее благоприятно на развитии дедуктивного мышления; что же касается индуктивного мышления, то на его развитии изучение математики должно сказаться в значительно меньшей мере, потому что в математике индукция (вывод общего свойства или правила из частных случаев) требует сравнительно небольшого числа простых наблюдений, в других же областях знания и жизни она должна опираться на гораздо более многочисленные и сложные наблюдения и опыты.

А кроме того и самый процесс умозаключения и вообще дедуктивного мышления не может считаться простым психическим актом, всегда тождественным во всевозможных случаях. Постараемся уяснить себе это на следующих примерах.

Пусть школьник решает задачу: «Поезд железной дороги проходит 35 верст в каждый час; сколько верст пройдет он за 12 часов?». Пусть он рассуждает при этом так: «в первый час поезд пройдет 35 верст, во второй еще 35 верст, в третий еще 35 верст и т. д.; чтобы узнать, сколько верст он пройдет за все 12 часов, нужно 35 умножить на 12». Если бы школьник мог облечь свою мысль в форму полного умозаключения, то он должен был бы выразиться примерно так: «если в задаче приходится складывать несколько одинаковых чисел, то такая задача

решается умножением; в этой задаче приходится складывать» 12 раз по 35, значит нужно 35 умножить на 12». Чтобы наш школьник действительно мог построить свое умозаключение, даже в той упрощенной форме, как сказано выше (и как обыкновенно выражаются при решении задач),—для этого необходимы два обстоятельства: во-первых, он должен заметить, что в данной задаче приходится складывать 12 одинаковых чисел, каждое из которых есть 35; во-вторых, он должен помнить из предыдущего своего опыта, что задачи, в которых приходится складывать одинаковые числа, решаются умножением,—иначе говоря, у него в памяти должны сохраниться сходные прошлые переживания, состоящие в выполнении процесса сложения одинаковых чисел и последующей замене этого вычисления сокращенным приемом—умножением.

С этим умозаключением сравним другое. Пусть тот же школьник в летний день соображает: «сегодня очень жарко, и тучи собираются; пожалуй, будет гроза». Если бы он и здесь мог выразить свою мысль в форме полного умозаключения, то сказал бы приблизительно так: «если в летний день особенно жарко и притом собираются тучи, то можно ожидать грозы; сейчас очень жарко и тучи собираются; поэтому вероятно, что сегодня будет гроза». Чтобы подобное умозаключение (хотя и в неполной форме, как это обыкновенно бывает) могло действительно сложиться в уме нашего школьника, необходимы опять две психологические предпосылки: во-первых, он должен заметить, что сегодня более жарко, чем обыкновенно в летние дни, и притом на небе собираются тучи; во-вторых, он должен помнить из предыдущих своих наблюдений, что в подобные дни бывает гроза, т. е. в его памяти должны сохраниться прошлые переживания, когда восприятия жаркого дня и скопляющихся туч сменялись бы впечатлениями последующей грозы.

Возьмем и третье умозаключение того же школьника, в таком роде: «был звонок; пора идти в класс». Чтобы такое умозаключение пришло на ум нашему школьнику, он должен, во-первых, услышать звонок; во-вторых, он должен помнить, что звонок во время перерыва между занятиями есть призыв собираться в класс для работы,—т. е. в его психике должен сохраниться и ряд прошлых переживаний, когда восприятие звонка сменялось бы впечатлениями начавшегося урока.

И вообще, чтобы в нашем уме могло возникнуть какое-нибудь умозаключение, необходимы всякий раз те же две психологические предпосылки; во-первых, мы должны установить какой-либо определенный факт (как, напр., в предыдущих умозаключениях: наличность ряда равных слагаемых, или наличность духоты в воздухе и туч на небе, или факт раздавшегося звонка); во-вторых, мы должны иметь в прошлом переживания, во время которых восприятие фактов, похожих на данный, было бы связано с рядом других постоянных впечатлений.

Эти впечатления, появляясь в нашем сознании по ассоциации с установленным нами фактом, и обусловливают, таким образом, возможность последующего умозаключения.

Но для установления определенного факта необходимо всякий раз предварительное наблюдение, или самонаблюдение, т. е. такой психический процесс, который совершается через посредство различных органов чувств и различных сторон нашей психической жизни, да и ассоциации, которые необходимы для возникновения умозаключения, могут относиться к совершенно различным областям представлений. Поэтому с психологической точки зрения мы не можем считать различные умозаключения за тождественные процессы, и не все виды дедуктивного мышления можем считать одинаково родственными друг другу. А отсюда вытекает важный вывод, что не все виды дедуктивного мышления могут подвергаться влиянию сопутствующего упражнения от изучения математики. Можно, напр., ожидать, что изучение математики облегчит нам составление правильных суждений в области физики, техники или астрономии, наконец статистики, но надеяться на то, что человек, изучивший математику, тем самым приобретет сметливость и сообразительность во всех областях жизни и знания, можно было бы в столь же малой степени, как ожидать, что искусный игрок в шахматы должен быть непременно хорошим полководцем1).

1) Московский педагог Ланков в своей книге „Математика в трудовой школе“ (изд. кн-ва „Работник Просвещения“, 1923 г., стр. 7—8) пытается оспаривать эти мои рассуждения, излагавшиеся и в предыдущих моих трудах, но в пользу своего мнения приводит только ссылки на книги: Лая „Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических опытов“ (изд. 1910 г., стр. 197—205) и Юнга „Как преподавать математику“ (вып. I, стр. 30). Между тем Лай на указанных страницах доказывает лишь ту мысль, что знание чисел и действий над ними должно быть связано с умением применять его к предметам и явлениям окружающего мира; „благодаря этому— говорит Лай на стр. 205,—знание счисления расширяется, углубляется, укрепляется и становится знанием действительно предметного счисления“; к этому он прибавляет: „последнее же имеет весьма большое значение, как в деле развития умственных способностей, так и в практической жизни“ —но никаких доказа, тельств этой последней мысли (о влиянии счисления на развитие умственных способностей) у Лая нет, так как этого вопроса он и вовсе не рассматривает. Что же касается Юнга, то он доказывает лишь то, что пути логического мышления, применяющиеся в математике, могут иметь место и в других областях-довольно далеких от математики; но ни Юнг, ни Лай, ни Ланков не ставят даже вопроса о том, можно ли считать процессы умозаключений, имеющих место в математике, психологически тождественными с процессами умозаключений, совершающихся в других областях знания. А поскольку последнее не доказано (и даже, как видно из предыдущего изложения, нужно считать доказанным обратное), то и все возражение т. Ланкова падает. Впрочем, на той же стр. 8, в окончательном выводе из своего рассуждения он высказывает (без указания источника) мою же собственную мысль о том, что влияние математики на умственное развитие детей находится в прямой зависимости от материала, которым мы пользуемся при обучении, и что последний должен иметь тесную связь со всевозможными явлениями окружающей действительности (см. мою книгу „Математика в народной школе“, изд. журн. „Народный Учитель“, Москва, 1918 г., стр. 12—13).

Развитое математическое мышление, с точки зрения общепедагогической, есть хотя и весьма важный, но специальный навык; а общее умственное развитие может быть приобретено только более или менее равномерной работой в различных областях знания.

Из всего изложенного можно сделать важные педагогические выводы. То влияние, которое может оказывать обучение счислению и вообще математике на умственное развитие детей, находится в прямой зависимости от материала, которым мы пользуемся при обучении: если в учебном материале будут преобладать (как это было в старой школе) отвлеченные упражнения в действиях и хитроумные задачи с условиями, лишенными внутренней связи и по существу далекими от жизни, то упражняя учащихся на таком материале, мы, может быть, и выработаем у них формальные навыки в вычислениях и пожалуй, изощрим их ум для разгадывания разных ребусов и головоломок, но отнюдь не сделаем их более способными к правильному мышлению в жизни или какой-либо области знания. Если же мы хотим, чтобы обучение математике, кроме своей непосредственной практической задачи, дало толчок и умственному развитию детей, и притом возможно более широкому, то мы должны так подбирать учебный материал, чтобы он имел прямую и тесную связь о всевозможными явлениями окружающей жизни; только при этом условии в уме учащихся может образоваться тот запас представлений и подбор ассоциаций, на которые будет опираться их дальнейшее мышление.

Таким образом, приходится признать, что общеобразовательная цель обучения математике — возможное содействие умственному развитию детей — совершенно не может быть отделяема от практической цели — сообщения им известных познаний и навыков, необходимых для жизни. Преследуя эту практическую цель, разрешая с учащимися вопросы математического характера, возникающие из жизни и с нею связанные, и помогая детям вырабатывать и усваивать необходимые для этого приемы вычислений и измерений, мы тем самым разовьем, насколько это вообще возможно, и умственные их способности,—конечно, при одном непременном условии: если метод обучения будет способствовать сознательному, а не механическому усвоению учебного материала.

Глава III.

Программа математики в современной трудовой школе.

Рассмотрим теперь, какой круг познаний и навыков из области математики мы должны считать необходимым для современной трудовой школы,—иначе говоря, как должна быть построена программа курса

математики, чтобы школа могла удовлетворить в этом отношении требованиям современной жизни.

В дореволюционные времена, при трехлетнем курсе начальной школы» практическая цель обучения математике сводилась к одному: научить детей четырем действиям над целыми числами и решению соответствующих задач. Знакомство с дробями вводилось лишь в самых ограниченных размерах—поскольку без него нельзя обойтись в простейших повседневных расчетах. Знакомство с мерами сводилось по большей части к упражнениям и задачам с составными именованными числами, выработка же навыков измерительного характера не входила в задачи обучения в начальной школе1). Да и трудно было задаваться более широкими целями при ограниченности времени, имевшегося в распоряжении учителя, и при необходимости (в условиях жизни дореволюционной школы) обращать усиленное внимание на подготовку к окончательному экзамену учащихся последнего года обучения, нередко в ущерб образовательным задачам школы.

Такие размеры математики и в дореволюционную эпоху были недостаточны, а тем более нельзя ограничиваться такими рамками теперь. Те расчеты, с которыми неизбежно встречается ребенок из трудящейся сельской или городской среды в своей семье, школе, детском коллективе или окружающей жизни, не ограничиваются только вычислением стоимости покупок на базаре или подведением итога приходо-расходной книги; тут может понадобиться уменье определить размеры того или иного участка земли, подсчитать количество семян, необходимым для его засева; определить величину или стоимость запасов продуктов, необходимых для прокормления семьи или детского коллектива на определенный срок; определить выгодность или убыточность той или иной статьи домашнего хозяйства; подсчитать размеры той или иной постройки или ее ремонта, количество или вес нужных для этого бревен, досок или кирпича, железа для крыши; выразить в процентах и изобразить диаграммою те или иные статистические данные из жизни семьи, детского коллектива или села, го-

1) Вот как определялись размеры курса арифметики в программе для начальных училищ министерства народного просвещения, изданной в 1897 г. и действовавшей до революции 1917 года:

1-й год. Счет прямой и обратный до 100. Четыре действия в пределе первых двух десятков. Знакомство с цифрами и знаками действий. Указание—на примерах—основных арифметических понятий (прибавить, отнять, повторить, сколько раз содержится, разделить, на сколько больше или меньше, во сколько раз больше или меньше). Римская нумерация до XX.

2-й год. Нумерация и четыре действия в пределе 100 и 1000. Объяснение арифметических выражений: сложение, вычитание, умножение, деление. Разностное и кратное сравнение чисел. Увеличение и уменьшение в 10, в 100 раз и т.д. Ознакомление с наиболее употребительными, русскими мерами. Решение задач, устно и письменно, соответствующих курсу. Знакомство с долями.

3-й год. Нумерация и четыре действия над числами любой величины и поверка действий. Действия над составными именованными числами. Простейшие вычисления с долями. Решение устных и письменных задач.

рода; подсчитать обороты кооператива и распределение взносов между членами его, и т. п. А для всего этого необходимо знакомство с действиями не только над целыми числами, но и над дробями, простыми и десятичными, и с простейшими процентными вычислениями; необходимы навыки в производстве элементарных измерений длины, веса, в вычислении различных площадей и об'емов, а следовательно нужно знакомство и с важнейшими геометрическими формами и элементарными свойствами фигур и тел; необходимо при этом практическое ознакомление и с новыми нашими мерами—метрическими, которые отчасти уже проникли в наш житейский обиход, а в недалеком будущем должны стать единственною употребительною системою мер. Эти сведения и навыки должны лечь в основу программы математики младшей ступени современной трудовой школы— ее первых четырех лет обучения, которые в ближайшее время, повидимому, и явятся первой ступенью образования, доступной и обязательной для широких кругов пролетарского населения. При этом ясно, что знакомство с мерами и дробями, а также приобретение измерительных навыков и сведений геометрического характера не может изучаться в виде обособленного отдела, а должно быть распределено по всему школьному курсу, начиная с первого года, и притом в тесной связи с арифметикой целых чисел. Только при этом условии обучение математике будет опираться на те числовые и измерительные соотношения, которые окружают ребенка в его повседневной жизни, и даст ему возможность применять вырабатываемые навыки и усваиваемые сведения к решению разного рода математических вопросов, возникающих из жизни. Следует заметить также, что в связи с изучением мер, календаря и нумерации необходимо ввести в программу и некоторые доступные детям сведения исторического характера—о том, как произошли и развивались изучаемые цифры, меры и измерения, потому что только это даст возможность детям уяснить себе, что изучаемая ими наука есть плод напряженной мысли и коллективной работы многих поколений человечества.

На основании вышеизложенного, программа занятий по математике для первых четырех лет трудовой школы может быть построена по такому образцу:1).

1-й год. Программа. Все действия над числами первых двух десятков. Круглые десятки первой сотни. Нумерация чисел первой сотни. Сложение и вычитание в пределе первой сотни.

Простейшие дроби (напр., половина, четверть, восьмая и составляемые из них дроби); вычисления над ними, выполняемые наглядно.

Ознакомление с важнейшими мерами и выполнение простейших измерений длины, веса и времени. Ознакомление с наиболее употребительными деньгами, с показаниями часов и термометра.

1) Здесь приведена (с небольшими изменениями) программа, составленная автором по поручению Киевского Губнаробраза и отпечатанная последним в книге: „План работ в семилетней трудовой школе“ (Киев, 1922 г.).

Наглядное ознакомление с геометрическими телами и фигурами, наиболее встречающимися в окружающей обстановке (шар, куб, круг, квадрат, треугольник).

Решение задач на все усвоенные отделы.

Занятия, которые могут дать материал для разработки указанных вопросов. Детские игры—домино, лото с числовыми фигурами, цифровое лото; разные игры, связанные с выбрасыванием очков на кубиках и соответствующим передвижением игрушечных фигур по циферблату («скачки с препятствиями», «катанье с горы», «кошки и мышки», и т. п.); игры в мяч, кегли, городки, игры с камешками; игра в лавочку, почту и т. д.

Задачи, связанные с школьной и детской жизнью, экскурсиями и прогулкам и—подсчет детей в классе, подсчет тетрадей, карандашей, перьев, листов бумаги, которые нужно раздать или собрать, тарелок, стаканов, ложек, которые необходимо приготовить для еды, подсчет кубиков и кирпичиков в детских постройках; подсчет собранных цветов, огурцов, яблок, грибов и т. п.; измерение длины и ширины комнаты, двора; измерение роста детей; взвешивание небольших порций хлеба, картофеля и т. п., деление на равные части небольшого хлеба, яблока, листа бумаги и т. д.

Изготовление игрушек и простейших наглядных пособий—изготовление домино, лото, марок и примерных денег для лавочки, предметов для примерной покупки и продажи при игре в лавочку, изготовление числовых фигур, ручных счетов, наглядных таблиц сложения и умножения, мер длины, циферблата для часов (из картона), стенного календаря и т. п.

Математические развлечения—игры со спичками и палочками, магические квадраты, задачи-загадки, задачи-шутки и т. п.

Беседы исторического характер а—о том, как считали первобытные люди и дикари.

2-й год. Программа. Умножение и деление в пределе первой сотни. Нумерация и четыре действия в пределе первой тысячи.

Расширение сведений о дробях (доли и дроби с наиболее употребительными знаменателями в пределе первых двух десятков, например: треть, шестая, двенадцатая доля, пятая, десятая и т. п.). Преобразования таких дробей и вычисления с ними по соображению.

Меры длины, веса, времени, стоимости. Меры сыпучих тел и жидкостей, бумаги. Название дней недели и месяцев, число дней в году и в каждом месяце.

Наши старые (национальные) меры и новые (метрические); важнейшие соотношения между ними.

Расширение знакомства с геометрическими телами и фигурами, встречающимися в окружающей жизни (куб, прямоугольная призма, квадрат, прямоугольник; углы; прямые линии, пересекающиеся и параллельные, горизонтальные и вертикальные, перпендикулярные и наклонные). Измерение простейших прямоугольных площадей.

Выполнение соответствующих курсу измерений. Задачи на все пройденные отделы.

Занятия, которые могут дать материал для разработки и усвоения указанных вопросов. Детские

игры—игра в лавочку с ведением примерной приходо-расходной книги; некоторые подвижные игры—кегли, чехарда, игра в мяч и т. п.

Задачи, связанные со школьной и детской жизнью— простейшие расчеты хозяйственного характера по школе, школьному саду, огороду; подобные же расчеты из домашней жизни детей; подсчет расходов по устройству экскурсии или детского праздника; измерение роста, веса и мускульной силы детей; различные меры длины, веса, сыпучих и жидких тел, связанные с хозяйственными надобностями школы и детей; наблюдение над температурой воздуха; простейшие случаи измерения скорости езды и ходьбы.

Изготовление простейших наглядных пособий— таблицы умножения, образцов мер, календаря и т. д.

Математические развлечения—игры со спичками и палочками, магические квадраты, задачи-загадки и шутки; интересные запоминания числа дней в месяцах—«по кулаку», или таблицы умножения—на пальцах и т. п.

Беседы исторического характера—о происхождении мер.

3-й год. Программа. Нумерация и четыре действия с целыми числами (преимущественно в пределе миллиона).

Простые дроби с наиболее употребительными знаменателями в пределе первой сотни; преобразование этих дробей (по соображению), их сложение и вычитание, умножение и деление на целое число.

Простейшие десятичные дроби (десятые, сотые, тысячные доли и составляемые из них дроби). Способы записи их, сложение и вычитание, умножение и деление на целое число (кроме случая бесконечного деления). Понятие о проценте. Устные преобразования несложных десятичных дробей в простые и наоборот.

Метрическая система мер. Календарь; старый и новый стиль.

Более систематическое ознакомление (на моделях и предметах окружающей обстановки) с важнейшими геометрическими телами и их частями: призма, пирамида, шар, цилиндр, конус; плоская и кривая поверхность, прямая и кривая линия; треугольник, круг, окружность, диаметр, радиус. Измерение площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма, многоугольника. Измерение об'емов, ограниченных прямоугольными стенками. Квадратные и кубические меры.

Упражнения в соответствующих курсу измерениях и задачи на все пройденное.

Занятия, дающие материал для упражнений по указанным вопросам. Задачи, связанные со школьной и детской жизнью—подсчеты хозяйственного характера по школе, школьному саду и огороду; подобные же расчеты из домашней жизни детей; измерение площади пола, двора, грядок, сада и огорода, в связи с подсчетом количества семян или рассады, необходимых для обсеменения, или с вычислением количества краски, досок, обоев, необходимых для ремонта; определение об'ема комнаты в связи с вычислением количества воздуха, которое приходится на каждого учащегося; подсчет дров, сложенных в поленицу, или кирпичей, сложенных в столбец; вычерчивание плана классной комнаты, двора, сада, участка земли и т. п.

Работы из бумаги, картона, дерева и глины—изготовление тетрадей, коробок, ящиков; изготовление модели классной

комнаты, школьного или иного здания, изготовление моделей геометрических тел (призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара); приготовление елочных украшений, фонариков, ведерок, горшечков и т. п.

Изготовление учебных пособи й—линейки, наугольника, отвеса, ватерпаса и пользование ими при картонажных, чертежных и землемерных работах.

Простейшие метеорологические наблюдения—над температурою, количеством осадков, числом ясных и дождливых дней, с вычислением средней температуры или среднего количества осадков, и с вычерчиванием соответствующих диаграмм и график.

Математические развлечен и я—задачи-загадки и шутки, особенно интересные случаи вычислений, отгадывание задуманных чисел, складывание интересных фигур из бумаги и т. п.

Беседы по истории математики—о происхождении метрической системы мер, о календарях разных народов, о старом и новом стиле и т. д.

4-й год. Программа. Нумерация и четыре действия над числами любой величины.

Завершение и систематизация сведений о дробях; четыре действия над простыми и десятичными дробями. Процентные вычисления. Расширение и систематизация сведений об измерении длин, поверхностей и об'емов (измерение площадей правильных многоугольников, длины окружности и площади круга, поверхностей и об'емов прямой призмы и цилиндра, а в случае наличности времени—и иных геометрических тел). Сведения об измерении углов. Простейшие измерения на местности.

Решение задач на все отделы, в том числе и выполнение расчетов из области сельского хозяйства, строительной практики, кооперативного дела и т. п.

Занятия, дающие материал для более подробной разработки программы.

Задачи из школьной и домашней жизни детей, а также из области сельского и городского хозяйства, природоведения и географии—подсчеты хозяйственного характера из школьной и домашней обстановки детей; расчеты, связанные с постройкой дома, устройством колодца, пасеки, разведением домашних животных и птиц, с работой на огороде, лугу, в поле, с лесным хозяйством и лесной промышленностью; подсчеты, связанные с устройством отопления, водопровода, канализации, с освещением и уборкой улиц и т. д.; подсчеты, связанные с разными ремеслами и работами в мастерских, фабрик и заводов; подсчеты из практики кооперативов, статистические подсчеты (с процентными вычислениями) из жизни деревни, города, школы, государства; подсчеты, связанные с жизнью растений и животных, с хозяйством и жизнью других стран и т. п.; измерение площади различных участков различной формы, с'емка и вычерчивание планов: подсчет железа, необходимого для покрытия крыши, для сооружения водосточной трубы, ведра; измерение толщины дерева по его обхвату и обратно; измерение вместимости различных ящиков, посуды различной формы, бака или бассейна для воды и т. п.; измерение вышины дерева с помощью картонного треугольника (пря-

моугольного и равнобедренного) или с помощью палки, равной росту измеряющего и т. п.

Работы из бумаги, картона, дерева и глины—вырезывание и складывание геометрических фигур, изготовление моделей геометрических тел, моделей несложных построек; изготовление игрушек, елочных украшений, фонариков, посуды и т. п.

Изготовление наглядных пособи й—линейки, треугольника, циркуля, ватерпаса, эккера, палетки с мензулою и пользование ими при картонажных, строительных и землемерных работах.

Простейшие метеорологические и астрономические наблюдени я—над температурою, осадками, высотою солнца, точками его восхода и захода и т. п.

Математические развлечения—интересные случаи вычислений; рассчеты, приводящие к неожиданно большим числам, как, напр., прогрессия размножения каких-либо растений, насекомых, животных; задачи про распространение слухов, про пшеничные зерна на шахматной доске (легенда про изобретателя шахматной игры), подсчеты распространения света от неподвижных звезд до земли; подсчет суммы членов натурального ряда чисел, ряда четных чисел и т. п.

Беседы по истории математики—о возникновении и развитии наших цифр и нумерации, о счислении дробей у наших предков и вообще у древних народов, о возникновении десятичных дробей и т. п.

Такою приблизительно должна быть программа математики для первых четырех лет обучения; школа же семилетка, ясно, может и должна ставить себе более широкие задачи, в связи с большим развитием психических сил детей и с большей сложностью вопросов, которые у них будут возникать. Здесь придется иметь в виду не только математику обыденной жизни, но и вопросы математического характера, связанные с практическим землемерием, с техникой, естествознанием, физикой, астрономией; интересы учащихся или практические их потребности могут поставить их перед необходимостью произвести с'емку плана, измерение расстояния до недоступной точки, изучить устройство и работу того или иного станка, машины; исследовать строение кристаллов, законы плавания тел, расширения тел от тепла, законы падения тел, изменения силы звука или света и т. д. Для решения подобных вопросов понадобится прежде всего расширение арифметической техники—упрощенные и приближенные вычисления, знакомство с вычислением степеней и корней; понадобится знакомство с алгеброю—элементы буквенного исчисления, изучение уравнений первой и второй степени, знакомство с методами изучения простейшей функциональной зависимости величины и ее графического изображения; понадобится изучение ряда геометрических соотношений, как, напр., подобие фигур, Пифагорова теорема и основанные на ней числовые зависимости между элементами треугольника и других фигур, знакомство с правильными многогранниками; наконец, понадо-

бятся начатки тригонометрии с приложением к простейшим случаям решения треугольников. Сообразно этому, программа старших групп школы— семилетки может быть построена по образцу следующей:

5-й год. Программа. Употребление букв для обозначения чисел и решения арифметических задач с помощью линейных уравнений с одним и двумя неизвестными. Возведение в степень и извлечение корня в связи с решением соответствующих геометрических и арифметических задач. Простейшие способы возведения в степень и извлечения квадратного корня.

Пропорциональные величины и решение соответствующих задач упрощенными и сокращенными способами. Простейшие сведения о равенстве и подобии фигур. С'емка планов. Диаграммы и графики; наглядное изображение пропорциональных величин. Числовая и геометрическая зависимость между сторонами прямоугольного треугольника (Пифагорова теорема) и задачи, относящиеся к ней.

Отрицательные числа и их наглядное изображение.

Простейшие приближенные вычисления.

Дополнение и систематизация сведений об измерении площадей и об'емов.

Измерения, решение задач и выполнение расчетов по всему пройденному курсу.

Занятия, дающие материал для более детального усвоения программы.

Задачи из различных областей знания и жизни— см. предыдущий год.

Сверх того расчеты по школьной смете, по заведыванию школьной столовой, составление проектов школьных завтраков в связи с гигиеническими нормами питания и данными о составе продуктов, составление статистических таблиц и диаграмм; изготовление график и диаграмм, иллюстрирующих жизнь школы, развитие различных отраслей местного хозяйства, государственного хозяйства и т. п.

Семка планов, вычисление площадей земельных участков, простейшие геометрические измерения при распланировке сада, огорода, поля, проведении дорог и т. д. Измерение высоты дерева по его тени или с помощью угломерного инструмента и т. д.

Составление температурных и железнодорожных график; графическое решение вопросов, связанных с движением.

Занятия по ручному труду и изготовлению наглядных пособий—см. предыдущий год.

Наблюдения — кроме указанных для предыдущего года, наблюдения над движением солнца, луны и звезд с помощью элементарного угломерного инструмента.

Математические развлечения и беседы по истории математики—см. предыдущий год; кроме того, задачи исторического содержания из какого либо старинного руководства по математике; беседы про способы измерения площадей у древних народов; египетский треугольник; исторические сведения о Пифагоре и Пифагоровой теореме; различные приемы наглядного доказательства Пифагоровой теоремы, известные еще в древности; задачи индусов, китайцев, греков и др., связанные с этой теоремой; история начальной алгебры и вопроса об отрицательных числах, и т п.

6-й год. Программа. Уравнения первой степени с одним или несколькими неизвестными, в связи с изучением необходимых для этого алгебраических преобразований; функции первого порядка вида у = ах и у-^ах-\-Ь и их графическое изображение.

Основные свойства простейших геометрических форм (треугольник, параллелограмм, ромб, квадрат, трапеция, круг; куб, призма прямая и наклонная, пирамида), в связи с изучением необходимых для этого сведений о взаимном положении плоскостей и прямых линий. Вычисление площадей и об'емов указанных форм. Подобие фигур и пропорциональность их сторон. Пропорциональность между углами и дугами.

Занятия, дающие материал для разработки указанной программы.

Исследования и задачи из области физики и окружающей жизни—исследование процессов равномерного изменения (различные случаи равномерного движения, растяжение резиновой трубки под влиянием подвешенного к ней груза, расширение тел от теплоты (линейное) и т. п.); определение плотности тел, теплоемкости, скрытой теплоты и т. п.; вычерчивание график, связанных с процессами равномерного движения и вообще равномерного изменения—графики температурные, железнодорожные и др.

Простейшие геодезические измерения — см. предыдущий год.

Наблюдения метеорологические и астрономические—те же, что и ранее.

Занятия по ручному труду и изготовлению наглядных пособий—плотничные и столярные работы, требующие применения уровня, ватерпаса и отвеса; работы из жести—изготовление посуды, ящиков и т. п., изготовление моделей геометрических тел—сплошных из дерева или пустых из картона и жести и т. п.

Математические развлечения и беседы по истории математик и—простейшие парадоксы геометрического характера (обман зрения: 64-65; прямой угол равен тупому; из всякой точки можно провести к данной прямой два перпендикуляра; окружность может иметь два центра; через точку вне прямой можно провести к ней две различных параллельных линии и т. п.), истолкование алгебраических формул, в которых делителем является нуль, и парадоксы, с этим связанные.

Символические обозначения и уравнения у египтян, индусов, геометрическая алгебра греков. Развитие современных алгебраических обозначений. Декарт—творец графического метода исследования.

Наглядное восприятие и логическое обоснование геометрических истин. Логическое построение системы геометрии у греков.

7-й год. Программа. Квадратные уравнения, в связи с изучением необходимых для них алгебраических преобразований. Понятие об иррациональном и мнимом числе. Функции второго порядка вида у = ах2 и у = — ; их графики; графическое решение квадратных уравнений. Простейшие уравнения и функции высших степеней.

Пифагорова теорема и основанные на ней числовые соотношения между элементами треугольника и других фигур и тел. Пра-

вильные многоугольники и многогранники. Золотое деление. Площади подобных фигур и об'емы подобных многогранников. Приближенное вычисление длины окружности и площади круга, поверхностей и об'емов круглых тел. Конические сечения (эллипс, парабола, гипербола) и их основные свойства.

Понятие об основных тригонометрических величинах острого угла (синус, косинус, тангенс, котангенс). Важнейшие соотношения между тригонометрическими величинами одного и того же угла и разных углов. Решение прямоугольных треугольников при помощи натуральных таблиц.

Тригонометрические величины тупого угла и простейшие случаи решения косоугольных треугольников. Приложение сведений из тригонометрии к решению простейших вопросов из геодезии, физики и астрономии.

Тригонометрические величины, как функции угла, и их графическое изображение.

Занятия, дающие материал для разработки указанной программы.

Исследования и задачи из области физики и окружающей жизни—исследование движения тела по наклонной плоскости, по желобу, свободного падения и вообще равноускоренного движения: исследование связи между об'емом газа и давлением (закон Бойль-Мариота), и вообще задачи, приводящие к установлению обратной пропорциональности; изучение оптических стекол; изменение силы света в зависимости от расстояния; изучение отражения и преломления света и т. п.

Вычерчивание график, связанных с процессами равноускоренного движения и с другими указанными физическими процессами.

Практические приемы вычисления тригонометрических функций.

Простейшие геодезические и астрономические измерения — определение высоты доступного или недоступного предмета (дерева, башни, здания); определение расстояния до недоступной точки или между двумя недоступными точками (напр., определение расстояния до дерева на другом берегу реки или расстояния между двумя деревьями на другом берегу реки); определение высоты облака по его отражению в озере; вычисление (приблизительное) величины земного радиуса по углу понижения горизонта и т. п.

Занятия по ручному труду и изготовлению наглядных пособий —см. предыдущий год.

Математические развлечения и беседы по истории математик и—парадоксы, связанные с возвышением в степень и извлечением корня (доказательство, что 2=3 и вообще все числа равны между собой; неразрешимые уравнения и т. п.).

Расширение исторических сведений о Пифагоровой теореме; Пифагоровы числа. Понятие о теореме Ферма. Знаменитые исторические задачи древности: трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга. Исторические сведения о конических сечениях. Законы Кеплера. Сведения по истории тригонометрии у индусов, греков и арабов; происхождение тригонометрических терминов в связи с наглядным изображением тригонометрических величин.

Само собою разумеется, что предлагаемая здесь программа является лишь примерной, определяющей общее направление работы по математике и приблизительный об'ем достижений для отдельных ступеней; на практике всегда приходится считаться только с общим духом программы, а отдельные вопросы изменять, переносить из одного года в другой и даже вовсе выпускать, в зависимости от способности и подготовки учащихся, продолжительности учебного года и других особенностей данной школы.

ГЛАВА IV.

Метод обучения математике.

В стародавние времена обучение математике состояло в том, что учащиеся со слов учителя (или по книге) заучивали на память приемы вычислений и определения действий и вообще математических понятий. Так. напр., первое русское печатное руководство по математике—«Арифметика» Магницкого, появившееся в 1703 году—содержит только определения действий и изложение приемов вычислений и решения задач, без каких либо пояснений, почему надо поступать так, а не иначе. И нередко в ней встречаются указания на необходимость вытвердить на память то или иное правило или таблицу; напр., о таблице умножения говорится: «... ко умноженію потребно есть последующую таблицу толь твердо въ памяти имѣти, яко да коеждо число, съ коимждо умноживъ, безъ всякого медленія рѣчію сказати, или написати, якоже 2жды 2 есть 4, или 2жды 3 есть 6 и Зжды 3 есть 9, и прочая»; а в заключение приводятся такие нравоучительные стихи:

«Аще кто не твердить

таблицы, и гордитъ,—

Не можетъ познати

числомъ что множати.

И во всей науки

несвободъ отъ муки.

Колико ни учить,

туне ся удручить.

И въ пользу не будетъ,

аще ю забудет».

Этот способ обучения—метод механического усвоения— применялся у нас в старину в значительном большинстве школ и держался даже до 60-х годов XIX века1).

Всем, однако, известно, к чему он приводил: учащиеся хотя и запоминали в конце концов приемы вычислений, но помнили их не очень

1) См., напр., книгу Е. Стрельцова: „Из 25-летней практики сельского учителя. Часть первая. Сельская школа 1849—1864 г“.

твердо и не понимали их смысла, а потому и не умели решать самых простых задач из обыденной жизни; да и самое обучение арифметике становилось для них очень тяжелым, трудным и неинтересным; считалось даже признанным, что научиться арифметике могут только те дети, которые имеют к ней особое природное дарование.

Однако, уже и тогда находились педагоги, которые сознавали, что причина этих плохих успехов в математике, да и в других областях знания заключается не в неспособности детей, а в самом методе обучения.

Так, напр., еще в 1810 г. министерство народного просвещения издало циркуляр, в котором указывалось следующее: «Усмотрено, что во многих училищах преподаются науки без всякого внимания к пользе учащихся, что учителя стараются более обременять, нежели изощрять память их, и вместо развивания рассудка постепенным ходом, притупляют оный, заставляя выучивать наизусть от слова до слова то, из чего ученик должен удерживать одну только мысль и доказывать, что понимает ее, собственными, хотя бы и несвязными, но не книжными выражениями...» и на основании этого предлагалось: «1) чтобы при определении учителей требовано было от них знание методы учения не механической, но способствующей к действительному обогащению ума полезными и нужными истинами; 2) чтобы предписано было директорам и смотрителям училищ иметь неослабный надзор за учителями, дабы в облегчение себя не затрудняли детей одним только вытверживанием наизусть уроков, но приводили бы их легким, простым образом к пониманию всего им преподаваемого, останавливаясь на каждом слове, сколько-нибудь для них непонятном, и объясняя оные удобовразумительным для их лет способом».

А впоследствии в таком же смысле высказался П. С. Гурьев, первый русский методист-математик, который в 1839 г. выпустил в свет «Руководство к преподаванию арифметики малолетним детям», значительно опередившее современные ему приемы обучения; в другом своем сочинени «Практическая арифметика» (вышедшем в 1860 г.), он говорит по этому поводу так:

«Дети четыре, пять лет сряду учатся в школах арифметике, твердят бесперестанно одно и то же, а все-таки большая часть учащихся, по окончании столь долговременного курса, не только не усваивает ее себе, как бы следовало, но еще, наконец, получает отвращение и от ней, и от всей математики. Между тем при ином изложении и заблаговременном возбуждении самостоятельности в учащихся, нет сомнения, та же самая наука отнюдь не показалась бы им столь тяжелою и скучною; ибо они скоро убедились бы, что все, о чем в ней говорится, есть только дальнейшее развитие того, что они сами уже делали и делают без всякого постороннего посредства»1).

1) П. С. Гурьев. Практическая арифметика, I, стр. XI—XII (3-е издание).

Эти педагоги, стремясь по возможности улучшить обучение и сделать его более интересным и менее трудным для детей, стали добиваться прежде всего, чтобы учащиеся понимали приемы вычислений, определения и свойства действий и прочие математические истины, которым они обучаются. Они считали, что понимание изучаемых приемов и правил, во первых, облегчает детям их усвоение и запоминание, во вторых, делает это усвоение более прочным и надежным, и, наконец, облегчая обучение, вызывает и интерес к занятиям математикой. В этом они были, конечно, вполне правы, и теперь уже никто не сомневается, что сознательное восприятие изучаемого есть первый шаг успешного усвоения; современные психологи (напр., Эбинггауз) установили даже при помощи опытов, что сознательное усвоение требует приблизительно в 10 раз меньшей затраты усилий, чем чисто механическое запоминание.

Таким образом, старому методу механического запоминания был противопоставлен метод сознательного усвоения: учащиеся при этом методе должны были сначала понять сущность того или иного определения, обоснование того или иного правила, а потом уже усваивать понятый и осознанный ими материал. Но какими же путями можно достигнуть сознательного усвоения детьми математических истин? Мы увидим, что таких путей может быть два, и постараемся уяснить сущность их на следующих примерах.

Пусть нужно об'яснить учащимся, что такое арифметическая прогрессия. Учитель может сделать это так: сначала сообщить им общее определение: «арифметическая прогрессия—это ряд чисел, в котором каждое следующее больше или меньше предыдущего на одно и то же число», а затем пояснить это частными примерами—«напр., такой ряд: 4, 7, 10, 13, 16...; или такой: 20, 18, 16, 14, 12,....». Или же он может вместо этого повести с учащимися следующий разговор: «напишите такие ряды чисел:

«Не замечаете-ли вы какой нибудь особенности чисел первого ряда?» (Каждое следующее число больше предыдущего на 3). «А во втором ряду?» (Каждое следующее число больше предыдущего на 4). «А в третьем?» (Каждое следующе число меньше предыдущего на 2). «Напишите еще сами какой нибудь ряд чисел в этом роде» (3, 6, 9, 12, 15 и т. д.).—«Вот такие ряды чисел и называются арифметическими прогрессиями. Как же сказать вообще, что такое арифметическая прогрессия?» (Это ряд чисел, в котором каждое следующее больше или меньше предыдущего на одно и то же число).

Пусть еще нужно об'яснить учащимся, чему равняется сумма углов треугольника. Учитель может сразу изложить учащимся общее доказа-

тельство: «Докажем, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Для это начертим какой нибудь треугольник ABC (рис. 1) и около его вершины В, при сторонах AB и СВ, отложим вне треугольника углы АВМ и CBN, соответственно равные углам А и С нашего треугольника* Тогда сумму трех углов нашего треугольника (А, В и С) можно заменить суммою трех углов при точке В (ABM, ABC и CBN).

Рассмотрим, чему будет равна эта последняя сумма. Заметим сначала, что прямая линия ВМ будет параллельна стороне треугольника АС, так как у них внутренние накрест лежащие углы (А и АВМ) равны. Точно также и линия BN будет параллельна АС, так как у них внутренние накрест лежащие углы (С и CBN) равны. Но через одну и ту же точку (В) можно провести только одну прямую линию, параллельную данной линии АС; поэтому обе линии ВМ и BN должны лежать на одной прямой. А если так, то сумму трех углов при точке В можно превратить в сумму двух смежных (напр., МВС и CBN), значит, она равна двум прямым углам. Итак, сумма трех углов нашего треугольника равна двум прямым углам, что и требовалось доказать».

Но можно подойти к вопросу и иначе. Учитель может повести с учащимися такой разговор: «Вырежьте из бумаги какой нибудь треугольник. Оторвите у него два угла и приложите их вершинами к третьему. Как расположены теперь крайние стороны этих углов?» (На одной прямой линии). «Значит, чему равна сумма всех трех углов треугольника?» (Сумме двух смежных, или двум прямым углам).

Для учащихся младшего возраста этого и достаточно, им уже очевидно, что из трех углов треугольника можно образовать сумму двух смежных, или два прямых угла; у старших же учащихся, которые чувствуют необходимость логического обоснования выполняемых рассуждений, может возникнуть сомнение, действительно ли крайние стороны данных углов должны лежать на одной прямой линии.

Тогда учитель предложит им разобраться в этом вопросе так: «Начертите треугольник, который вы имели перед тем (ABC—рис.1), а около его вершины (В) нарисуйте углы, которые вы оторвали и приложили к ней (АВМ и CBN). Что вы знаете про углы А и АВМ?» (Они равны). А какое положение занимают эти углы относительно линий ВМ и АС и пересекающей их стороны AB?» (Они внутренние накрест лежащие). «Что же можно теперь сказать относительно линий ВМ и АС?» (Они должны

Рис. 1.

быть параллельны). «Теперь рассмотрите углы С и CBN. Что вы можете сказать по поводу их?» (Они внутренние накрест лежащие при линиях BN и АС, и притом равны; значит линия BN также параллельна АС). А через точку В сколько может проходить линий, параллельных АС?» (Только одна). «Какой же вывод относительно линий ВМ и BN?» (Они должны лежать на одной прямой).

Пусть, наконец, нужно выяснить учащимся, что такое умножение на дробь и как оно производится. Учитель может и здесь начать с общего определения: «Пусть мы должны умножить 5 на —. Умножить на дробь—это значит из множимого составить новое число так, как множитель составлен из единицы; но множитель — составлен из единицы так- взята единица, разделена на 4 равных части и таких частей взято 3; так мы должны поступить и с данным числом 5—разделить его на 4 равных части и взять таких частей 3. Но если мы 5 разделим на 4 части, то будем иметь это число мы должны взять 3 раза и получим Итак мы нашли, что 5. — = — ; сравнивая теперь полученный результат с данными числами, можем установить такое правило: чтобы умножить (целое) число на дробь, достаточно разделить это число на знаменателя дроби и полученное умножить на числителя.»

Но возможен и здесь другой подход. Учитель начинает с решения задачи, по смыслу которой требуется найти часть от данного числа, напр., предлагает такую задачу: «Пешеход проходит 5 верст в час. Сколько верст пройдет он при этом за — часа?» Учащиеся решают эту задачу, конечно, двумя действиями: сначала узнают, сколько верст пройдет пешеход за одну четверть часа , а затем—сколько верст он пройдет за 3 четверти часа

Когда задача таким образом решена и оба действия записаны, то дальше ведется такой разговор: «Сколько действий вы затратили на решение этой задачи?» (Два).

«А если бы вместо дробного числа часов было целое, напр., 3 часа— как бы вы решили задачу?» (5.3= 15). «Сколько понадобилось действий и каких?» (Одно—умножение). «Посмотрим теперь, нельзя ли и нашу задачу решить и записать в одном действии. Сообразим, что мы сначала сделали с данным числом 5?» (Разделили его на 4, или нашли от него одну четверть). «А потом что сделали с этой четвертью?» (Взяли ее 3

раза). «Значит, какую же часть мы взяли от данного числа 5?» (Три четверти). «И чему равнялись эти три четверти от 5?» (ç^J- «Запишите это так: от 5 взять —л--будет ^Д. Припомните теперь—каким действием вы решали эту задачу, когда вместо дробного числа часов имели целое (3)?» (Умножением—мы множили 5 на 3). «Так вот заметьте: вместо того, чтобы сказать «от 5 взять-^-»—мы будем говорить и в этом случае: «умножить на -^-». Как тогда можно будет записать решение нашей задачи?» ^5 умножить на будет или знаками: 5. = .

«Запишите это. Итак, что значит умножить 5 на (От 5 взять 4-, или иначе: от 5 найти одну четверть и взять ее 3 раза). «А что будет значить—12 умножить на ~7» (От 12-ти найти ~ , иначе говоря— от 12-ти найти 4~ и взять ее 5 раз).» «Высчитайте это». (От 12 найти ---будет 2; взять 5 раз—будет 10). «Запишите еще: 10. — . Что это значит?» (От 10-ти найти —, или же: от 10 найти — и взять ее 7 раз).

«Вычислите это» (От 10 найти 1 восьмую—будет — ; взять это 7 раз— будет или 8 иначе 8 -^Д «Скажите теперь вообще, что значит умножить на дробь?» (Умножить на дробь—это значит от данного числа найти указанную часть, или иначе: от данного числа найти такую долю, которая обозначена знаменателем дроби, и повторить ее столько раз, сколько единиц в числителе дроби).

Теперь ясно, что учащиеся уже поняли, что значит умножить на дробь и как выполнить самое умножение; если же учитель захочет, чтобы они установили и самое правило, то он поведет разговор так: «Посмотрим, как мы выполняли умножение на дробь. В первом примере мы множили 5 на — и получили — ; какие действия мы при этом выполняли над числом 5?» (Делили 5 на 4, т е. на знаменателя дроби, а полученное множили на 3—на числителя дроби). «Во втором примере мы множили 12

на что мы делали при этом с числом 12?» (Делили его на 6—на знаменателя дроби, и множили полученное на 5—на числителя дроби). «А в третьем примере мы множили 10 на-0-; что делали при этом с числом 10?» (Делили его на 8—на знаменателя дроби, и множили полученное на 7—на числителя дроби). «Значит, как можно вообще умножить число на дробь?» («Нужно это число разделить на знаменателя дроби и полученное помножить на числителя») и т. д.

Из примеров, которые мы тут рассмотрели, видно, что для выяснения учащимся какого либо нового понятия, правила или вообще неизвестной им до той поры математической истины, возможен один из двух методов. Первый из них состоит в том, что учитель сообщает учащимся общее определение, общий вывод или доказательство данной математической истины, а учащиеся, усвоив со слов учителя сущность этого общего определения, правила или истины, уясняют ее себе затем более подробно и обстоятельно на частных случаях и практических приложениях; это абстрактно-дедуктивный метод, метод перехода от общих отвлеченных положений к частным примерам и конкретным приложениям. В противоположность ему, другой—конкретно-индуктивный метод заключается в том, что всякое новое понятие, правило или истина уясняются учащимися сперва на конкретных, надлежащим образом подобранных, частных примерах, задачах или образцах, и только тогда, когда учащиеся на этих конкретных примерах уяснят себе сущность данного понятия или истины, они сами, под руководством учителя, составляют общее определение, вывод или правило.

Абстрактно-дедуктивный метод стал появляться у нас с конца XVIII века, и был в большом распространении в нашей школе, особенно средней, начиная с 60-х годов XIX века и до революции 1905 г.; яркими образчиками этого метода являются всем известные руководства Евтушевского, Малинина, Киселева и другие им подобные (да и после 1905 года этот метод не сразу вышел из употребления; в целом ряде школ он продолжал применяться до наших дней — до октябрьской революции 1917 г. и последовавшей после нее реформы школы в трудовую). В ту пору на математику в школе смотрели преимущественно, как на орудие общего умственного развития учащихся и полагали, что этой цели можно достигнуть главным образом при помощи логически обоснованного изложения математической теории. Так, в объяснительной записке к программе математики для гимназий 1890 г. находим такие мысли: «Математика, как наука точная и отвлеченная, представляя изучающим ее простое и потому удобное средство к правильному развитию мышления, составляет одну из основ общего образования... При преподавании математики должно быть

обращено существенное внимание на основательное и строго-систематическое изучение теоретического курса ее; практические же упражнения должны служить, во первых, к разъяснению теории, во вторых, к приобретению навыка в вычислениях... Производство арифметических действий будет сознательно только тогда, когда оно основано на точных определениях этих действий и на некоторых принципах. Принципы эти должны быть доказываемы, а не предлагаемы догматически.»

Абстрактно-дедуктивный метод преподавания и находился в полном соответствии с этими основными мыслями; изучение математики сводилось при нем к усвоению, со слов учителя, общих определений, правил и теорем, только после чего уже имело место приложение отвлеченно-теоретических познаний к задачам и другим упражнениям.

Абстрактно-дедуктивный метод обладает, на первый взгляд, одним внешним преимуществом: именно, при нем учителю приходится затрачивать меньше времени на выяснение сущности того или иного математического понятия или истины. Но это кажущееся преимущество сопряжено с целым рядом весьма серьезных недостатков.

Во 1-х, при этом методе определения тех или иных понятий даются, как мы видели, сразу в готовом, законченном виде, и лишь затем разъясняются на частных примерах. Между тем, такой способ изложения отнюдь не способствует сознательному и отчетливому усвоению определяемых понятий учащимися. Пусть, напр., учитель начинает излагать учение о корнях с общего определения: «корнем какой либо степени из данного числа называется такое число, которое будучи возвышено в указанную степень, дает в результате первоначально данное число». Очевидно, что в психике учащихся, которые выслушают это определение, может при этом происходить двоякий процесс: либо они представят себе какое-нибудь вполне определенное число и другое, которое после возвышения в степень даст в результате первое, напр., 25 = 5 . 5 или 8 = 2.2.2; либо они не смогут сразу подобрать подобного примера и будут представлять себе только слова, перед этим произнесенные учителем, не вкладывая в них никакого определенного содержания. Без сомнения, чаще всего будет иметь место этот последний случай, так как новые определения даются при абстрактно-дедуктивном методе изложения как раз тогда, когда учащиеся только приступают к изучению данного вопроса и, естественно, не могут еще самостоятельно подыскать подходящих примеров. Если при этом учитель не укажет сам такой пример, то все его дальнейшее изложение можно считать потерянным для учащихся: не имея отчетливого представления о корне, они не в состоянии будут сознательно усвоить ни одного из его свойств, и в лучшем случае механически заучат определения и доказательства; но такое знание, разумеется, не имеет никакой цены. И даже в том случае, если учитель, формулировав общее определение, постарается сейчас же привести

учащимся подходящий конкретный пример, — даже и в этом случае то время, которое ушло на предварительное изложение этого определения, нужно считать затраченным бесцельно и бесполезно: все равно надлежащее представление о корне могло сложиться у значительного большинства учащихся только после разбора этого примера.

Во 2-х, при абстрактно-дедуктивном методе логические доказательства математических истин сообщаются, как мы видели выше, также в готовом и законченном виде, так что учащиеся, выслушивая доказательство, не могут уяснить себе, зачем нужно провести ту или другую линию на чертеже, выполнить то или иное преобразование формулы, и только по привычке доверять авторитету учителя предполагают, что в ходе доказательства это зачем нибудь да пригодится. И когда ученик, воспроизводя доказательство, усвоенное со слов учителя или по учебнику, говорит: «рассмотрим треугольники ABC и DEF» и т. д., то он делает это не в силу сознания логической необходимости рассмотреть именно эти треугольники для доказательства теоремы, а просто он помнит, что рассмотрение этих треугольников или проведение такой то линии на чертеже есть исходная точка для дальнейших рассуждений и выводов. И нередки были случаи, когда учащиеся, повидимому усвоившие доказательство данной математической истины, оказывались в безвыходном положении, если им переменить чертеж, из которого они привыкли исходить, или дать непривычное для них обозначение общей формулы. А случалось и так, что учащийся усвоит доказательство теоремы и может его последовательно изложить, но совершенно не представляет себе конкретного содержания этой теоремы: в практике старой школы бывало, что учащийся, доказав по всем правилам логики теорему: «площади подобных треугольников относятся, как квадраты соответствующих сторон», становился втупик перед вопросом: «что сделается с площадью треугольника, если каждую сторону его увеличить в три раза?»

В 3-х, абстрактно-дедуктивный метод совершенно не считался с тем, чувствуют ли учащиеся потребность в логическом обосновании математических истин и способны ли они воспринять данный ряд рассуждений и уловить между ними связь. Эта потребность и способность сознательно пользоваться рядом умозаключений возникает у учащихся довольно поздно; по данным Меймана, совпадающим и с данными непосредственного школьного опыта, приблизительно лишь на 14 году жизни учащиеся «оказываются в состоянии видеть связь между выполняемыми умозаключениями и понимать их»1). Кроме того, потребность в логическом обосновании и систематизации какой-нибудь группы математических истин, напр., геоме-

1) Мейман. Лекции по экспериментальной педагогике, том I, стр. 228—229, (изд. 1910 г.).

трии, может возникнуть у учащихся только тогда, когда у них есть уже некоторый запас фактических сведений из этой области—знание некоторых свойств геометрических фигур; между тем при абстрактно - дедуктивном методе учащиеся знакомились с логическими доказательствами геометрических истин сразу и непосредственно, не имея почти никаких предварительных сведений и обобщений о свойствах геометрических тел, фигур и линий, и наряду с этим должны были усваивать доказательства и таких истин, справедливость которых им представлялась совершенно очевидной, напр., что «все прямые углы равны между собой» или «из данной точки на прямую можно опустить только один перпендикуляр». Все это, конечно, приводило к тому, что учащиеся усваивали одну внешнюю сторону доказательства, не получая надлежащего представления о существенных свойствах изучаемых фигур и не отдавая себе отчета, зачем нужно доказывать ту или иную истину.

В 4-х, при абстрактно-дедуктивном методе различного рода условия и соглашения, вводимые в математику, напр., при постепенном расширении понятия о числе устанавливаются обыкновенно без должной мотивировки, без достаточного выяснения того, зачем именно вводится это соглашение или условие. Так, напр., ознакомление с понятием об отрицательном числе сводилось приблизительно к такому рассуждению: «условимся разность между меньшим и большим числом считать равною избытку большего числа над меньшим, взятому со знаком минус впереди, напр., 7—10 = — 3, и подобные числа будем называть отрицательными; тогда можно будет вычислять значение разности а—Ь при любых значениях а и 6.» Ясно, что при таком подходе отрицательное число должно было представляться учащимся чем то странным и непостижимым. Дело в том, что учащиеся привыкли представлять себе число, как символ, который выражает значение той или иной величины, вообще нечто реальное; напр., для учеников понятен смысл числа 10, потому что с этим числом может быть связано представление о десяти пальцах, десяти яблоках и т. п.; понятно для них и число —, потому что с ним связывается представление о трех четвертях листа бумаги, трех четвертях часа и т. п.; но как могут они усвоить смысл числа—3, если ему не соответствует никакого предмета или явления, свойства которого можно выразить при помощи этого числа? Только убедившись в том, что существует группа величин взаимно-противоположных, как отрезки, отсчитываемые вправо и влево, вверх и вниз; температура, считаемая выше и ниже нуля, прибыль и убыток, прирост и убыль населения и т. п., и что свойства этих величин могут быть с удобством выражены при помощи отрицательных чисел, учащиеся поймут, что числа эти появились на свет не по странному капризу какого-либо из ученых математиков, а в силу необходимости решать целый

ряд задач на эти противоположные величины и выражать их соотношения и зависимость. Одна же фор*мальная мотивировка, что при введении этих чисел можно вычислять значения формулы а — Ь и в случае, когда а меньше Ь, для них, конечно, неубедительна.

Еще хуже обстоит дело тогда, когда какое либо из подобных условий вводится совершенно без объяснений—чисто догматически, напр., когда учитель говорит учащимся: «Условимся произведением двух дробей называть такую дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель—произведению знаменателей». Такое определение вполне допустимо с чисто научной стороны, но идет целиком вразрез с элементарными требованиями педагогики, потому что оставляет без ответа естественный и законный вопрос учащегося, почему же устанавливается именно это условие, а не какое нибудь иное. И только выяснение смысла данного действия на основе целесообразно подобранных задач, одним словом, только обращение к конкретно-индуктивному методу может, как мы видели выше, дать нам ключ к правильному разрешению этого вопроса.

Далее, в 5-х, еще один серьезный недостаток абстрактно-дедуктивного метода заключается в том, что при нем по необходимости учащиеся только пассивно воспринимают те истины, которые им сообщает учитель, но сами не ведут никакой активной работы, направленной к постепенному открытию, уяснению и установлению этих истин. Раз все новые определения, истины и доказательства формулирует учитель уже в готовом виде, то учащимся остается только внимательно выслушать об'яснения учителя и усвоить их с его слов или по учебнику; активность они могут проявить уже только при решении задач, когда усвоят тот или иной отдел математической теории. Таким образом, абстрактно-дедуктивный метод есть вместе с тем метод пассивного усвоения, который может вырабатывать лишь подражательные навыки; в противоположность этому конкретно-индуктивный метод есть метод активной работы, при нем учащиеся ничего не получают в готовом виде, но сами, под руководством учителя, устанавливают определенные свойства чисел или геометрических фигур, составляют те или иные определения и доказательства, выводят правила действий или формулы, одним словом, как бы наново открывают математические истины и изобретают приемы вычисления и решения задач.

Наконец, в 6-х, необходимо отметить, что при абстрактно-дедуктивном методе школьная математика являлась крайне отвлеченной наукой, совершенно оторванной от какой бы то ни было связи с жизненными явлениями. Если пересмотреть задачники, употреблявшиеся в нашей дореволюционной школе, то можно изумиться, с одной стороны, обилию чисто отвлеченных упражнений с числами и формулами, с другой стороны, в задачах, взятых как будто из жизни, найти не мало примеров резкого

расхождения с действительностью. Вот, напр., две типичных задачи на «составные именованные числа»:

«У медника было 7 пуд. 5 фунт. 31 лот 1 зол. 48 долей меди; из V3 части ее он сделал несколько самоваров весом по 11 ф. 29 лот. 30 долей каждый, а из остальной меди—несколько кастрюль, причем на каждую из них пошло по 5 фун. 30 лот. 1 зол. 93 доли. Сколько тех и других вещей изготовил медник»?

«Необходимо вымостить два шоссе: одно длиною в 142 версты 4 саж. 2 фут. 7 дюймов, а другое—в 73 версты 3 саж. 5 фут. 10 дюймов. На сколько первое шоссе длиннее второго»?

Разумеется, любопытно было бы знать, на каких весах медник мог взвесить семь с лишним пудов меди с точностью до одной доли, или какими измерительными приборами ухитрились измерить длину шоссе почти в полтораста верст с точностью до одного дюйма; но любопытнее всего, что эти задачи-не анекдот, а факт из нашей недавней школьной практики, и взяты они из задачников, имевших большое распространение в дореволюционной школе—первая из задачника Борисова и Сатарова (вып. III, 12-е изд. 1911 г., стр. 50, № 252), а вторая из сборника Соколова и Сахарова «Новый арифметический задачник для городских и сельских начальных народных школ» (ч. III, изд. 1912 г., стр. 45, № 267).

А в задачниках для старших классов средней школы можно было найти настоящие перлы.

Вот, напр., условие задачи №370 из сборника Ипатова, появившегося в свет в 1910 г.:

«Нанят слуга с условием платить ему за каждый следующий месяц больше предыдущего на 80 копеек; когда истек тот месяц, за который он получил 16 руб. 50 коп., то он рассчитал, что те же деньги за все прослуженное время он мог бы заработать раньше на число месяцев, логарифм которого при основании 20'4 равен 1 (6), если бы ему каждый месяц платили столько рублей, сколько единиц в члене разложения бинома содержащем первую степень х, при х = 0,1. Когда слуга сделал этот рассчет»?

А вот еще задача № 3053 из задачника Тихомирова «Примеры и задачи по начальной алгебре», вышедшего в 1909 г. седьмым изданием:

«В тот момент, когда поезд поднялся на вершину длинного под'ема, последний вагон оторвался и начал спускаться назад, пробегая в первую секунду 5 аршин, во вторую 15 арш., в третью 25 арш. и т. д. В конце 12-й минуты вагон достиг нижней точки подтема и разбился. Какова была скорость (его) в последнюю секунду»? В этой последней задаче как будто бы нет ничего несообразного. Но если произвести вычисление согласно условию, то оказывается, во 1-х,

что в последнюю секунду вагон должен был пролететь расстояние около 5 верст (7195 аршин; это число дано и в списке ответов, что исключает возможность предполагать опечатку в условии); во 2-х, что весь под'ем, с которого скатился этот вагон в течение 12 минут, имел в длину 1728 верст, т. е. был немногим короче, чем расстояние от Ленинграда до Одессы; в 3-х, что под'ем этот, если считать его за наклонную плоскость, представлял крутую гору с уклоном не менее 46 градусов, а в вышину должен был превосходить самые высокие горы, имеющиеся на земной поверхности, приблизительно в полтораста раз. Остается лишь вообразить себе, насколько прочным должно было быть то препятствие, о которое в конце концов разбился этот вагон, мчавшийся с такой головокружительной быстротой.

Конечно, такого рода задачи, выходящие из ряда вон по своей несообразности, были исключениями даже в практике старой школы. Но эти исключения хорошо характеризуют ту систему, на почве которой они выросли. Полная оторванность математики от жизни и интересов учащихся, огромное количество чисто формальных упражнений и задач отвлеченного характера, полное расхождение с действительностью даже в таких примерах, которые как будто взяты из окружающей жизни, и наряду с этим необычайно сухое, формальное и отвлеченное изложение теоретических истин математики—все это типично для старой дореволюционной школы с ее абстрактно-дедуктивным методом преподавания.

И неудивительно, что именно этот метод, который не считался ни с данными психологии, ни с интересами учащихся, был причиною того, что математика в старой школе иногда даже весьма способным и развитым юношам казалась какою-то странной деятельностью ума, внушающей уважение своей бесспорной логичностью, но в то же время порождающей недоумение своей явной бесцельностью и бесполезностью. «Алгебра—это ряд каких то странных логических фокусов»—так выразил свое представление об алгебре, сложившееся у него под влиянием школьного преподования, один ученик дореволюционной средней школы в сравнительно недавнее время (см. статью А. Шапошникова «Кризис современного преподавания алгебры» в журнале «Педагогический Сборник» за март 1908 г.). А известный критик Писарев в своей статье «Наша университетская наука», появившейся в свет в 1863 году, вспоминая преподавание математики в современной ему гимназии, высказался еще красочнее: «У нас математика есть не что иное, как собрание сочинений Боско и Пинетти1); это ряд удивительных фокусов, придуманных бог знает зачем и бог знает какой эквилибристикой человеческого мышления». Эти мнения можно было бы, пожалуй, счесть за насмешку, если бы они принадлежали лицам,

1) Боско и Пинетти—два знаменитых фокусника тех времен.

плохо справлявшимся с школьной премудростью, но тот юноша, о котором говорится в статье Шапошникова, был вдумчивым и даровитым учеником, а Писарев, как известно, кончил гимназию с медалью, да и впоследствии до конца своей жизни приписывал математике огромное образовательное и даже воспитательное значение.

Из всего вышеизложенного ясно, что для современной школы может быть пригоден лишь конкретно-индуктивный метод, метод изучения математических истин на конкретных задачах и образцах из окружающей жизни, связанный с активной работой учащихся и самостоятельными их обобщениями и выводами под руководством учителя. Этот метод, во 1-х, обеспечивает лучшее понимание и усвоение учащимися изучаемого материала; при нем, как мы видели, учитель не дает готовых определений; вместо этого учащиеся знакомятся с данным понятием или истиной на конкретных образцах, подмечают их существенные свойства и затем уже сами доходят до формулировки данного понятия, правила или свойства. Сторонники старой школы обычно возражали тут, что обращение к наглядности может помешать выработке отвлеченных математических понятий, так как случайные признаки рассматриваемого об'екта могут в глазах учащихся сойти за существенные. Но совершенно ясно, что дело учителя так подобрать конкретный пример, чтобы на первый план в нем выступали именно важные, существенные признаки данного понятия, и именно на эти признаки и обратить внимание учащихся. Кроме того, по взглядам современной психологии, в нашем сознании не существует общих понятий, как представлений только о существенных признаках той или иной вещи; наоборот, самый процесс отвлечения может происходить только в рамках конкретного: когда мы думаем, например, о шаре вообще, мы представляем себе шар вполне определенных размеров в определенном положении, но направляем наше внимание лишь на существенные свойства данного шара и по этой именно причине представление об одном определенном шаре играет для нас роль родового образа. Другими словами, как говорит Гефдинг в своей книге «Очерки психологии, основанной на опыте» (стр. 167),—«мы имеем типические индивидуальные представления и общие представления только в том смысле, что мы можем выбрать примеры или заместителей целой группы восприятий и в состоянии сосредоточить внимание на известных определенных частях или свойствах, которые (в более или менее измененном виде) можно снова встретить во всех сходных восприятиях... Искусство отвлечения основывается преимущественно на способности сосредоточить внимание указанным образом».

Во 2-х, конкретно-индуктивный метод дает возможность всякую математическую истину представить в такой форме, что понимание ее делается доступным и детям младшего возраста, которые не могут еще усваивать отвлеченных логических доказательств, да и не чувствуют потребности в них.

Так, например, детям, которые знакомятся с арифметикой целых чисел, совершенно недоступно логическое доказательство переместительного закона умножения; но заметить на ряде частных примеров, что 4 X ? = 7 X 4, 8Х6 = 6Х8, 3X12 = 12X3 и т. д., вообще, что «от перемены порядка сомножителей произведение не меняется»—это не только посильно для детей, но именно таким путем дети с 9—10-летнего возраста и усваивают это свойство умножения и пользуются им при вычислениях, даже еще не умея формулировать его словами вполне точно. Точно также и логическое доказательство геометрических истин недоступно учащимся на младшей ступени обучения; но, например, вырезать из бумаги модель равнобедренного треугольника и убедиться путем ее перегибания в том, что высота этого треугольника делит угол между равными сторонами пополам, что углы, лежащие против равных сторон, равны; убедиться подобным же образом на модели, что треугольник составляет половину прямоугольника с тем же основанием и высотою, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке, что сумма углов треугольника равна двум прямым—это не только посильно детям младшего возраста, но и вообще знакомство со свойствами геометрических фигур и тел может происходить на этой ступени обучения исключительно конкретно-индуктивным путем—при помощи изучения предметов окружающей обстановки, вырезывания, склеивания и вылепливания моделей геометрических фигур и тел, изготовления чертежей и т. п.; путем таких непосредственных восприятий (зрительных и осязательных) дети знакомятся со свойствами и особенностями куба, призмы, цилиндра, шара, прямоугольника, треугольника, различных углов и линий, переходя от частных случаев к общим заключениям и выводам. Сторонники старой школы и тут высказывали опасение, что наглядное восприятие может подорвать в глазах учащихся достоверность математических истин: вместо вполне точных и логически обоснованных они будут казаться детям лишь приблизительно верными, на подобие выводов естествознания. Однако, они упускали при при этом из виду, что для детей и подростков, которые только приступают к изучению математики, наивысшая степень убедительности дается не логическим умозаключением, а непосредственным восприятием данной истины или свойства, и лишь впоследствии, достигнув возраста 14—15 лет, они начинают критически относиться к показаниям своих чувств и искать иного, более устойчивого обоснования воспринимаемых истин. Тут то и наступает время перейти от чисто конкретного восприятия математических истин к их логическому обоснованию и систематизации; это будет уже вполне уместно и своевременно, так как у учащихся есть уже достаточный запас конкретных представлений, которые можно обобщать и систематизировать, и есть потребность проверить логическими умозаключениями те истины, которые раньше казались для них бесспор-

ными и очевидными. Но даже и на этой старшей ступени конкретно-индуктивный метод не теряет своего значения: при усвоении какой либо существенно новой истины и тут целесообразнее всего предоставить учащимся сначала открыть эту истину на частных примерах и лишь затем перейти к ее общему доказательству.

В 3-х, конкретно-индуктивный метод дает возможность учащимся вместо усвоения в готовом виде логических доказательств самим составлять такие доказательства под руководством учителя и на основании воспринятого уже конкретного содержания данной истины. Так, напр., одно из довольно трудных доказательств—общее доказательство Пифагоровой теоремы—учащиеся смогут самостоятельно составить, если сначала вырежут из бумаги модель фигуры, состоящей из двух квадратов, построенных на катетах треугольника (см. рис. 2), а затем отрежут от нее треугольники 1 и 2, переложат их на места 3 и 4 и таким образом из прежней фигуры получат квадрат, построенный на гипотенузе. Эта модель помогает им усвоить основную идею доказательства; а затем им остается только построить соотвествующий чертеж и проанализировать: 1) почему треугольники 1, 2, 3 и 4 должны быть все равны; 2) что нужно доказать относительно четыреугольника, составленного из фигуры 5 и треугольников 3 и 4; 3) как доказать, что все его стороны равны, а все углы прямые. Произведя под руководством учителя этот анализ, учащиеся смогут уже построить и последовательно изложить и все доказательство.

В 4-х, только конкретно-индуктивный метод позволяет учащимся уяснить себе, зачем вводятся в математику различные условия и соглашения, напр., то или иное расширение понятия о числе или смысла действий. Так, напр., введение отрицательных чисел выполняется на основе какой либо целесообразно подобранной задачи, напр., такой: «Гребец от'ехал в лодке в правую сторону от пристани, против течения реки, и проплыл а метр.; затем перестал грести, и течение снесло его назад на Ь метр. На каком расстоянии от пристани он теперь находится»? Сначала учащиеся иллюстрируют эту задачу при помощи схематического чертежа (полагая, конечно, что л>6), и составляют формулу решения задачи X — а = 6, где X обозначает искомое расстояние. Затем они определяют числовое значение ответа при каких либо частных значениях а и 1>, удовлетворяющих данному заданию (напр. при а = 45, 6 = 20). После этого учитель задает такие значения а и 6, чтобы а было меньше Ъ (напр., а = 30, 6 = 38), и предлагает учащимся попробовать решить задачу по

Рис. 2.

той же формуле. Когда они убеждаются, что при этом приходится из меньшего числа вычитать большее (.г = 30 — 38), то учитель ставит им вопрос, становится ли самая задача при данных значениях а и b невозможною или нет. Конечно, учащимся ясно, что задача своего смысла не теряет и дает вполне определенный ответ: гребец находится в 8 метр, влево от пристани. После одного-двух таких частных примеров им нетрудно будет составить и общую формулу х = Ъ— а, пригодную для решения задачи при а<6. Тогда учитель обращает их внимание на то, что неудобно решать одну и ту же задачу по двум различным формулам, да еще указывать каждый раз направление, в котором должно отсчитывать данное число метров от пристани; вместе с тем он указывает, что этого можно избежать, если ввести некоторые условия, а именно: во 1-х, направление расстояний «вправо» и «влево» выражать знаками -(-и —, поставленными перед числом; во 2-х, в тех случаях, когда приходится из меньшего числа вычитать большее, производить вычитание наоборот, писать полученное число со знаком минус впереди и называть этот результат разностью данных чисел. Само собою разумеется, что условия эти излагаются сперва применительно к частным примерам, а потом уже формулируются так, как здесь указано. Когда учащиеся освоятся с этими условиями, они легко заметят, что при этом оказывается возможным решать задачу по одной и той же формуле х — а— Ь независимо от того, будет ли уменьшаемое больше вычитаемого или наоборот.

Разбор еще двух или трех таких общих задач убеждает учащихся в том, что отрицательное число выражает значение величины, протовоположной той, которая выражается в этом же вопросе числами положительными, и что введение в алгебру отрицательных чисел позволяет упрощать и обобщать решение задач и других вопросов.

Подобным же образом следует поступать, как мы видели выше, и при расширении понятия о действиях, напр., при установлении смысла умножения на дробное число или на отрицательное число и т. д.

В 5-х, как мы могли убедиться и в предыдущем изложении, конкретно-индуктивный метод основан на постоянной активной работе учащихся: они сами, под руководством учителя, устанавливают определенные свойства чисел или геометрических фигур, выводят формулы или правила вычислений, составляют те или иные определения или доказательства, иначе говоря, как бы заново изобретают математику (см. стр. 23—27); и при этом им приходится выполнять не одну лишь отвлеченную работу ума, но и ряд работ динамического характера, вовлекающих в дело различные органы чувств: они постоянно должны измерять, взвешивать, вырезывать, склеивать, лепить, рисовать самые разнообразные предметы, и на основе такого разностороннего и активного восприятия вещей улавливать их свойства и законы. Как мы знаем из психологии и из повседневных наблюде-

нии, это и вполне соответствует склонностям ребенка, и делает его восприятия более яркими и разносторонними, и повышает у него интерес к изучению математики.

Наконец, в 6-х, конкретно-индуктивный метод, построенный на переходе от реальных, непосредственно наблюдаемых учащимися вещей к умозаключениям и выводам, влечет за собой необходимость все обучение математике построить на неразрывной связи между знанием и жизнью и видеть в математике прежде всего не гимнастику ума, а орудие для познания окружающего мира, для изучения функциональной зависимости величин, нами в этом мире наблюдаемых. Математика на основе конкретно-индуктивного метода—это символический язык, на котором мы можем наиболее просто, сжато и точно выражать законы природы—функциональные соотношения воспринимаемых нами вещей; а обладая этим познанием, мы прилагаем затем эти законы к решению самых разнообразных вопросов науки и практики. Математика, таким образом, перестает быть самодовлеющей целью логических умозаключений; изучение ее неизбежно завершается рядом приложений к естествознанию, физике, технике, географии, обществоведению и знакомство с этими приложениями помогает учащимся оценить ту огромную роль, которую играла и играет математика в культурной жизни человечества, то место, которое она занимает в современной технике и в борьбе человека с природой. Сущность конкретно-индуктивного метода выражается таким образом в немногих словах: самостоятельное установление математических законов при помощи изучения конкретных фактов, и приложение этих законов к решению разных вопросов, которые ставит человеку жизнь. И ясно, что только при этих условиях изучение математики является драгоценным вкладом в образование подростающих поколений.

Первые попытки конкретно-индуктивного метода в обучении математике возникли давно, еще тогда, когда в школах было в ходу чисто механическое заучивание. Так, мы видели (стр. 22), что еще Гурьев в 1860 г. в своей книге «Практическая арифметика» (да и в более ранних своих работах) указывал на необходимость «заблаговременного возбуждения самостоятельности в учащихся» и полагал, что при надлежащем преподавании они скоро убедились бы, что все, о чем в ней (науке) говорится, есть только дальнейшее развитие того, что они уже давно делали и делают без всякого постороннего посредства». Начало же и постепенное развитие основ этого метода было дано Шохор-Троцким в ряде его трудов по обучению математике, начиная с 80-х годов прошлого столетия1); правда, Шохор-Троцкий называет его «методом целесообраз-

1) Важнейшие из этих трудов:

Методика арифметики, с приложением сборника упражнений для учащихся. 1886 г. (впоследстие переиздавалась неоднократно в переработанном и дополненном виде).

ных задач» и применяет только для младшей ступени обучения математике, но по существу это есть тот же конкретно-индуктивный метод. До революции 1905 года эти идеи не имели большого распространения, после же 1905 г., в связи с начавшимся движением к реформе обучения и воспитания, а также и под влиянием педагогических идей Запада, конкретно-индуктивный метод начинает находить себе все более сторонников; в 1910 г. тот же Шохор-Троцкий дает ему обстоятельное обоснование в статье: «Начальная математика. Методы первоначального обучения» (в издании «Педагогическая Академия в очерках и монографиях», т. II., ч. I). Психологическое обоснование и характеристику конкретно-индуктивного метода, как такового (с выяснением его роли и на старших ступенях обучения), дал также и автор настоящего труда в своей статье: «Программа и метод преподавания алгебры в средней школе» (журнал «Педагогический сборник,» СПБ. 1910 г.) и в книге: «Метод обучения математике в старой и новой школе» (Москва, 1914 г.)

Конкретно-индуктивный метод, как известно, может быть осуществлен в двух различных направлениях, сущность которых и будет сейчас выяснена.

В тех образцах применения конкретно-индуктивного метода, которые были рассмотрены выше, ход работы сводится к следующему: учитель задает учащимся какую либо задачу, или работу (напр., изготовление геометрической фигуры), и на основании подобных работ или задач учащиеся устанавливают то или иное математическое понятие, или свойство геометрической фигуры, или правило действия. Так, напр., чтобы научить детей измерять площадь прямоугольника, учитель предлагает им взять лист бумаги или вырезать из бумаги прямоугольник определенной длины и ширины (выраженной целым числом вершков, сантиметров или других единиц), разметить каждую сторону этого прямоугольника на отдельные единицы длины, затем разграфить или же просто перегибанием бумаги разделить весь этот прямоугольник на квадратные клетки, и, наконец, сосчитать, сколько этих квадратных единиц вмещает в себе весь прямоугольник и сообразить, как получается это число из данных, выражающих длину и ширину. Точно также, чтобы научить детей умножению или делению, учитель задает им ряд задач, подобранных в такой последовательности, чтобы дети уяснили себе и смысл действия, и приемы вычислений и приобрели мало - по - малу навык в выполнении этих действий, и т. д.

Во всех этих случаях выбор самой работы и постановка для разрешения того или иного математического вопроса исходит от учителя, а он

Цель и средства преподавания низшей математики с точки зрения требований общего образования. 1892 г.

Наглядность и наглядные пособия при обучении арифметике. 1904 г. Геометрия на задачах. 1908—09 г.

ставит на очередь ту или иную работу просто потому, что имеет в виду выяснить детям очередной вопрос программы: способы умножения или деления в области первой сотни, измерение площади прямоугольника, понятие об умножении на дробь и т. п. Почин здесь исходит всецело от учителя, а целью работы является выяснение данного математического вопроса, независимо от того, какая при этом работа будет произведена: решение ли арифметической задачи, рисование чертежа, вырезывание или вылепливание какой-нибудь геометрической модели, или с'емка плана. Этот вид конкретно - индуктивного метода принято называть лабораторным вследствие того, что в основе его лежит определенная работа учащихся, связанная нередко с ручным трудом и эта работа служит основанием для последующих наблюдений и выводов (название «лабораторный метод» вошло у нас в употребление после 1905 г., в связи с применением ручного труда в области обучения геометрии).

Но можно подойти к вопросу и иначе. В жизни школы и детского коллектива бывает не мало моментов, когда разрешение того или иного вопроса математического характера необходимо для удовлетворения текущих потребностей учащихся или всего коллектива, и математическая задача ставится таким образом не учителем, а самой жизнью детей или той среды, в которой он являются активными участниками. И можно так поставить обучение, чтобы именно эти моменты использовать для выяснения детям той или иной математической истины или приема вычислений, или для выработки у них того или иного математического навыка. Так, напр., нередко бывает нужно раздать детям тетради, карандаши или перья по одному или по несколько и для этого подсчитать, сколько всего налицо детей, сколько понадобится раздать им тетрадей или других вещей, взять соответствующее количество их из ящика или полки и произвести самую раздачу. Все это могут выполнить в подходящих случаях и сами дети, и активное участие в этой работе будет для них прекрасным и естественным упражнением в пересчитывании предметов и в простейших арифметических действиях. «Вот вам нужно раздать тетради,—говорит учитель детям.—Посчитай, Митя, сколько вас всех» (26). «А ты, Ваня, сосчитай, сколько есть тетрадей на полке» (18). «Дай их сюда на стол. А ты, Маруся, скажи, хватит ли этого на всех» (Нет). «Сколько нужно еще взять тетрадей, чтобы хватило всем». (8). «Пойди, возьми их из шкапа и положи на стол. Теперь ты, Катя, раздай всем по тетради», и т. п.

Подобное же подсчитывание необходимо, когда детям приходится накрывать на стол к еде и считать, сколько поставлено или нужно поставить на стол тарелок, стаканов, ложек, сколько нужно столов, чтобы за ними разместились все дети и т. п.; этот момент может быть использован или непосредственно (напр., руководителем детского дома, летней колонии), или во время занятий для составления и решения соответствую-

щих жизненных задач. «Вот, нам нужно накрыть столы к завтраку. Как узнать, сколько понадобится столов?» (Нужно сосчитать, сколько всего детей, и сколько может сесть за каждым столом). «Сосчитай, Петя, сколько сегодня детей во всех трех группах» (В первой—27, да во второй 35—итого 62; в третьей—31, а всего 93). «А ты, Ксения, скажи, сколько можно посадить детей за каждым столом». (12). «Сколько же нам нужно столов?» (Если поставить 7 столов, то за ними сядет всего детей 84; да еще останется 9— для них понадобится восьмой стол; а всего 8). «Теперь скажи ты, Митя, сколько нужно поставить тарелок?» (93). «А сколько всего в шкапу?» (66). «Сколько нужно еще принести из кухни?» (27), и т. п.

Детские игры, как лото, домино, игры в мяч, городки, кегли, различные игры, связанные с выбрасыванием чисел на кубиках и с передвижением игрушечных фигур по циферблату, могут также служить превосходным материалом для упражнений в счете и действиях; особенно благоприятными являются в этом отношении те игры, в которые можно вовлечь сразу целую группу детей. Вот, напр., игра «катанье с горы»; игрушечный циферблат представляет ряд больших клеток с написанными в них последовательными числами 1—100; в некоторых клетках нарисованы картинки, изображающие различные моменты катанья с горы на санках. Играющие бросают пару кубиков и передвигают своих игрушечных детей на столько клеток вперед по циферблату, сколько выпало на кубиках; выигрывает тот, чья куколка первая достигнет цифры 100. Игра осложняется побочными правилами: некоторые клетки, в связи с изображенной на них картинкой, считаются счастливыми или несчастливыми, и попавший на них передвигается вперед или назад на определенное число шагов. Игра эта связана с непрерывными вычислениями в области сотни: напр., куколка Вера стояла на цифре 37, выброшено 9—она передвигается на 46; клетка 46 оказывается несчастливой: нужно идти назад на 7 клеток—Вера отходит на 39; другая куколка Наташа стояла на цифре 28, выброшено 6—она передвигается на 34; эта клетка счастливая—Наташа передвигается еще вперед на 8 клеток и стоит теперь на 42. Чтобы вовлечь в игру побольше детей, можно составить из них две, три группы, каждая из которых имеет свою куколку, а бросают кубики и считают все поочередно. Цифры, нумерация, сложение и вычитание в сотне усваивается с помощью подобной игры незаметно.

В дальнейшем задачи, возникающие из жизни, приводят и к более сложным понятиям арифметики. Напр., в четвертой группе из 39 учащихся пришли в школу 34, а в третьей из 43—37; дети желают найти, в какой группе присутствовало на занятиях сравнительно большее число учащихся. Ясно, что в четвертой группе было налицо ~ всего ее со-

става, а в третьей ~ ; сравнить эти два числа непосредственно довольно неудобно, поэтому учитель предлагает детям выразить ту и другую дробь в сотых долях; непосредственным делением дети находят, что в первой дроби 87 сотых, во второй 86; ясно, что в четвертой группе посещаемость класса немного больше. Эта задача может таким образом служить поводом к установлению понятия о проценте; учителю остается только добавить, что сотую долю в подобных расчетах принято называть процентом и обозначать знаком %.

Подобным же образом в процессе детской жизни и детского труда возникают и вопросы геометрического характера. Напр., чтобы склеить коробку или ведерко, детям нужно ознакомиться с развертками призмы или цилиндра, с вычерчиванием прямоугольника и круга; чтобы рассчитать, сколько пойдет цветной бумаги на оклейку коробки, или сколько нужно обоев на оклейку стены, им нужно знать, как измеряется площадь прямоугольника; измерение величины грядок в саду или участков земли на огороде приводит к необходимости вычислять площади прямоугольника, треугольника, трапеции и т. д.

При такой постановке дела обучение математике основывается прежде всего на тех вычислениях и измерениях, которые непосредственно вызываются текущими потребностями жизни учащихся и их коллектива, а также и на тех задачах и вопросах, которые имеют реальную связь с их интересами, трудом и окружающей их обстановкою. Это трудовой метод обучения, провозглашенный у нас после октябрьской революции 1917 года и являющейся основой современного обучения математике. Его главное отличие от лабораторнаго метода в том, что инициатива в постановке на очередь того или иного математического вопроса перестает уже быть исключительным делом учителя, а в значительной мере переходит в руки самих учащихся; кроме того и самый вопрос математический изучается не сам по себе, не как самоцель, а как средство для разрешения определенной практической задачи, связанной с жизнью и трудом учащихся и окружающей их среды; и этим устанавливается непосредственная, ощущаемая самими учащимися связь между математическими знаниями и жизнью.

Моменты приложения трудового метода при обучении математике могут быть чрезвычайно разнообразны. Ежедневно в жизни семьи или детского дома приходится рассчитывать, сколько необходимо приобресть или выдать для продовольствия членов коллектива хлеба, молока, яиц, сахару или других продуктов в лавке или на базаре, во что обойдется продовольствие семьи или детского дома в день, неделю, месяц и т. д., сколько заготовить дров или воды для приготовления пищи на день, или сколько всего пойдет дров или воды для приготовления еды, для стирки

белья за тот или иной промежуток времени. Кроме арифметических подсчетов с целыми числами и простейшими дробями тут возникает и необходимость взвешивания, причем большая часть работы под силу самим детям, как, напр., взвешивание порций хлеба в 1/2 Ф« или XU Ф*, взвешивание не очень больших порций сахару, крупы, картофеля и т. д. Целый ряд подобных подсчетов связан и с чисто учебной жизнью школы—сколько понадобится иметь для данного класса и для всей школы чернил, мелу, бумаги для письма, рисования, или ручных работ, глины для лепки, досок для мастерской и т. п., и во что обойдется приобретение этих материалов.

Работа в школьном саду и огороде также связана с целым рядом подсчетов и измерений: необходимо бывает, напр., измерить длину, ширину или площадь той или иной грядки, участка земли, подсчитать стоимость семян или рассады; сосчитать количество собранных огурцов, груш, яблок, взвесить то или иное количество картофеля, бураков, ягод, вычислить урожайность той или иной грядки, размер всхожести семян, продолжительность проростания или созревания того или иного растения и т. д.

Ремонт школьного помещения вызывает необходимость определить, сколько нужно, напр., обоев на оклейку той или иной стены или комнаты, досок для настилки пола, железа для крыши или водосточной трубы; сколько будет стоить побелка потолка, окраска пола или крыши, вставка целых стекол взамен разбитых и т. п., и тут снова приходится иметь дело не только с вычислениями, но и с измерением длины и площадей различных форм. Обследование школьного помещения с гигиенической точки зрения выдвигает необходимость определить отношение площади окон к площади пола в классной комнате, измерить количество воздуха, приходящееся на одного ученика, а для этого нужно уметь определять об'ем (вместимость) помещения.

С различными подсчетами связано устройство какой либо экскурсии или школьного праздника, организация школьного кооператива, а также и детские игры, как было указано выше. Игры со спичками и палочками пробуждают интерес к построению и изучению геометрических фигур, а работы из картона, дерева, лепка и гончарные работы приводят к изготовлению коробок, ящиков, пеналов, горшечков, посуды различной формы и могут быть самым тесным образом связаны с изучением геометрических тел и изготовлением их моделей.

Переходы из дома в школу и наоборот, а также экскурсии и прогулки могут привести к мысли об измерении продолжительности того или иного путешествия или скорости ходьбы пешком, езды верхом, на трамвае, на пароходе, автомобиле, железной дороге и т. д.; во время экскурсий и прогулок учащимся неоднократно представляется повод изучить те или иные геометрические формы или поставить вопрос об измерении высоты дерева, здания, башни, о расстоянии до недоступной точки

и т. д. Смена будних и праздничных дней, смена времен года приводят к ближайшему ознакомлению с названиями дней недели и месяцев, вообще с календарем, а простейшие наблюдения над погодой—к измерению температуры в различные часы дня, с записью результатов наблюдений над температурой и с вычерчиванием температурных график.

Болезнь кого либо из учащихся также дает повод к измерению температуры тела и вычерчиванию соответствующей медицинской графики, а периодические измерения роста, веса тела и мускульной силы учащихся дают повод к изготовлению наглядных диаграмм, выражающих сравнительный рост, вес или силу учащихся данной группы, или дающих графическое изображение того, как изменялись рост, вес или сила одного и того же учащегося на протяжении месяца, года или другого срока.

Богатейший материал для разных вычислений и иллюстраций при помощи диаграмм и график дают также разные статистические сведения, связанные со школой—состав учащихся по полу, возрасту, распределение по группам, посещаемость занятий, успешность и т. п., а затем статистика деревни, города, округа, губернии и всего государства—состав населения по возрасту, полу, национальности, социальному положению, роду занятий; статистика различных отраслей народного хозяйства и происходящих в нем изменений, и т. д.

В старшем возрасте учащихся потребность в приобретении тех или иных математических знаний возникает в связи с изучением различных вопросов физики, естествознания, техники, геодезии и астрономии.

Так, напр., расширение тел от теплоты, вычисление коэффициента расширения, теплоемкости того или иного тела, скрытой теплоты таяния требуют знакомства с решением линейных уравнений и с необходимыми для этого алгебраическими преобразованиями Исследование падения тел, изучения изменения силы света и свойств оптических стекол приводят к изучению квадратной функции, к решению физических вопросов с помощью квадратных уравнений. Приближенное вычисление результатов физических формул приводит к необходимости пользования простейшими таблицами логарифмов; измерения на местности, с'емка планов и простейшая триангуляция требуют знакомства с основами тригонометрии и пользования тригонометрическими таблицами, равным образом и изучение преломления света требует знакомства с понятием о синусе угла. Измерение кривых поверхностей и об'емов, ограниченных ими, а также вопрос о скорости и ускорении неравномерного движения требует предварительного ознакомления с понятием о бесконечно-малой величине, о пределе, вообще знакомства с элементами высшей математики; того же требует изучение работы машин или вопросов электротехники, и т. д.

Таким образом видно, что в трудовой школе найдется достаточно поводов для усвоения тех или иных математических познаний, непосред-

ственно связанных или с текущей жизнью и потребностями школы и учащихся, или с изучением окружающей обстановки— природы, жизни и труда людей.

Очевидно, что трудовой метод обучения имеет преимущество перед лабораторным: во 1-х, он делает для учащихся ясной и непосредственно ощутимой связь между знанием и жизнью—самое изучение того или иного вопроса математики ставится на очередь тогда, когда решение этого вопроса необходимо для практической цели, для удовлетворения той или иной потребности; во 2-х, он заставляет учащихся быть активными и самодеятельными не только в разрешении поставленной задачи, но и в самой ее постановке; в 3-х, он необычайно повышает интерес учащихся к изучению математики, потому что для них ясно всякий раз, зачем нужно разрешение данного математического вопроса и что они должны выполнить, чтобы к разрешению его подойти вплотную.

Противники трудового метода высказывали по поводу его такое опасение: если мы будем ограничиваться в трудовой школе разработкой только тех вопросов математики, которые возникнут в процессе жизни и труда данной группы учащихся, или вообще так или иначе, быть может случайно, попадут в круг их интересов, то не отразится ли такой метод изучения самым неблагоприятным образом на результатах всей образовательной работы, не окажутся ли математические знания и навыки учащихся слишком разрозненными, случайными и несистематическими, а они сами бессильными перед разрешением других практических задач, не встречавшихся им дотоле?

Но дело в том, что мы вовсе не думаем все обучение математике свести к решению только тех практических задач, которые возникают в связи с текущими потребностями детской жизни или с необходимостью осветить те или иные вопросы физики и техники. Если, напр., кто желает научиться хорошо стрелять из ружья, то он не будет учиться этому только в процессе охоты или в минуту нападения грабителей; наоборот, он постарается выучиться стрелять заблаговременно, чтобы на охоте или в момент обороны не рисковать бесцельной затратой энергии и не подвергаться напрасной опасности. И если кто желает научиться хорошо ездить на велосипеде, хотя бы с чисто практическими целями, то он не станет садиться на велосипед только тогда, когда ему нужно спешно попасть в какое-нибудь место по служебным делам; он сначала постарается приобресть необходимую тренировку, чтобы в случае надобности ехать уверенно и быстро, а не колесить из стороны в сторону с риском напрасной потери времени и с опасностью для целости машины.

Точно также, если мы желаем, чтобы дети научились сознательно, быстро и изящно выполнять математические вычисления, мы не можем полагаться на то, что все необходимые для этого навыки они приобре-

тут в процессе решения практических задач, которые выдвигаются текущей жизнью школы: мы всегда рискуем, что некоторые навыки будут приобретены детьми не в полной мере, а другие разовьются позднее и с большею затратою энергии, чем в том случае, когда мы специально об этом позаботимся. Всем, напр., известно, что жизненная практика чаще требует выполнения прямых арифметических действий—сложения и умножения, чем обратных—вычитания и деления. И если мы ограничим арифметическую практику детей только этими вычислениями, то может оказаться, что у них слабо будет развита техника обратных действий, которые при том являются более трудными для выполнения. Помочь делу в подобных случаях можно только специальным подбором задач и упражнений, согласованных с интересами детей и их психологией; на то и существует школа и школьная наука, чтобы «сокращать нам опыты быстротекущей жизни».

Поэтому в общеобразовательной школе трудовые процессы и практические задачи, которые возникают на почве необходимости удовлетворения текущих потребностей детского коллектива, будут служить нам основою и исходной точкой для возбуждения интереса к математическим знаниям и к условию тех или иных приемов вычисления и измерения; но для усовершенствования в этих приемах и навыках и для углубления и систематизации математических знаний неизбежно придется уделять время и специальным задачам и упражнениям чисто математического характера, хотя эти задачи и упражнения и будут, конечно, согласованы с интересами детей и их психологией, а по содержанию своему не должны стоять в противоречии с реальными условиями жизни, окружающей школу.

Под конец своей школьной работы учащиеся трудовой школы должны, между прочим, приобресть и определенный запас знаний и навыков математического характера, и школа должна отдавать себе полный отчет в том, какой минимум знаний и навыков является желательным и возможным в конце каждой ступени обучения. Без сомнения, этот образовательный минимум математических знаний и умений и пути к его достижению должны вырабатываться в соответствии с требованиями жизни и в согласии с особенностями психологии учащихся данной ступени; и разумеется, тот или иной план и программу работ математического характера нельзя предлагать всем школам без различия к обязательному исполнению со всеми подробностями и в наперед установленном порядке; но руководящие идеи этой работы и ее общие контуры должны быть намечены ясно, иначе школа перестанет быть трудовою школою

Трудовой метод обучения математике может иметь двоякий уклон, в зависимости от того, как мы используем трудовые процессы и практические задания текущей жизни для общих целей школьной работы. Пусть

напр., группа воспитанников детского дома или летней колонии отправляется в соседний лес за дровами и за шишками для самовара. Эту экскурсию мы можем, между прочим, использовать и для обучения математике; в связи с ней естественно возникают, напр., такие задачи: сколько всего собрано шишек (по весу), на сколько времени может хватить этого запаса шишек для самовара; как определить возраст срубленного дерева по кольцам древесины; как высчитать толщину растущего дерева по его обхвату; как измерить высоту дерева (по длине его тени или другими способами); как подсчитать, сколько приблизительно получится дров из срубленного дерева; сколько нужно срубить деревьев, чтобы запасти определенное количество дров для варки пищи или для отопления и т. п. Если поставить себе целью использовать эту экскурсию, а также и ряд других подходящих моментов, для обучения математике, как таковой, то это будет предметное обучение, хотя и по трудовому методу; но мы можем поставить себе более широкую цель—путем таких экскурсий ознакомить детей с лесом в его целом, с лесом, как определенной областью жизни, и изучить этот «уголок жизни» более или менее всесторонне, уяснить его роль в природе и его значение для хозяйственной жизни человека. При таком обучении лес, как цельный уголок жизни, окажется на некоторое время тем центром, который объединит около себя чуть не все школьные «предметы» и даст могучие толчки для активной, интересной образовательной работы в самых различных направлениях. Здесь прежде всего возникнут вопросы: какие деревья, кустарники и травы растут в лесу и как они живут; какие живут в лесу звери, птицы, насекомые и как складывается их жизнь в данной обстановке; какое влияние имеет лес на климат окружающей местности, на характер рек, по берегам которых он растет; какие настроения переживает человек во время пребывания в лесу; что дает лес человеку для удовлетворения тех или иных его хозяйственных потребностей; как должно быть поставлено лесное хозяйство, чтобы лес был использован с наибольшей выгодой для государства; что вырабатывается из дерева, каким образом, на каких заводах и фабриках; как разрабатывались наши лесные богатства при дореволюционном капиталистическом строе и теперь и т. д. Ясно, что здесь около изучения леса об'единяются и ботаника, и зоология, и физика с физической географией, и элементарная технология, и культуроведение, и обществоведение, и математика с ее разнообразными подсчетами и измерениями; найдется видное место и родному языку с литературой, и изобразительным искусствам: ведь, кроме научного изучения леса дети выразят свои переживания во время пребывания в лесу в ряде рассказов, повестей, может быть даже лирических стихотворений, песен, изобразят этот самый лес, его отдельные уголки, деревья, травы и его обитателей в картинках, рисунках и на моделях; перечитают и те произведения художественной литературы, в которых

отразилась жизнь леса, поставят, быть может, и какую нибудь драматизацию жизни леса и человека в лесу. При такой постановке обучения данный уголок жизни—лес представится учащимся, как цельный комплекс явлений, изучаемый с самых разнообразных точек зрения; знания, почерпнутые ими из разных наук, окажутся органически связанными в одно цельное, многогранное представление. Это — комплексное обучение, которое и стремится осуществить современная трудовая школа; его задача— сделать основным предметом изучения для детей самую жизнь, жизнь природы и социальной среды, окружающей ребенка, а отдельные дисциплины—естествознание, физика, математика—становятся при этом средствами для всестороннего изучения этой жизни и отдельных ее уголков с различных точек зрения.

Вот еще образец комплекса: в связи с вопросом о шитье и починке одежды учащиеся изучают работу и устройство швейной машины. Тут возникает такой ряд вопросов: из каких частей состоит машина и для чего предназначается каждая часть; как образуется шов; каким образом прилагаемая к машине движущая сила передается работающим частям; какова зависимость между скоростью вращения и количеством стежков; при каких условиях работа на швейной машине является наиболее продуктивной; сколько идет времени на изготовление определенного количества белья или одежды и во сколько раз работа на машине продуктивнее ручной работы; как работают в настоящее время швейные мастерские, машиностроительные заводы; как организована швейная и машиностроительная промышленность теперь и в дореволюционное время при капиталистичеслом строе; как была изобретена швейная машина и почему ее изобретение было использовано главным образом владельцами фабрик и мастерских, а не рабочими, и т. п. При разборе этих вопросов и здесь около одного центрального явления—швейной машины и шитья на ней—об'единяются и элементы машиноведения, и механика, и математика (геометрические соотношения и арифметические расчеты), и рисование с черчением, и родной язык (писание сочинений и чтение соответствующей литературы), и история культуры, и обществоведение; и здесь эти отдельные области знания являются не самодовлеющими учебными предметами, а средствами для всестороннего изучения данного уголка жизни,

Комплексное обучение, конечно, создает значительно более благоприятную почву для успешной работы по математике, чем предметное обучение. Во 1-х, при нем гораздо ярче проявляется связь между математикой и другими областями знания и жизни, и в психике учащихся возникает ряд ассоциаций, связывающих математические законы с явлениями природы и социальной среды,—а мы видели в свое время (стр. 38), что лишь при этом условии обучение математике может не только обогатить ум учащихся практически ценными познаниями, но и оказать благоприят-

ное влияние на их умственное развитие. Во 2-х, в условиях комплексного обучения математика предстает перед учащимся не как самодовлеющая дисциплина, а как могучее орудие миропонимания, как средство познать окружающую природу и социальную среду с точки зрения меры и числа и использовать это познание для удовлетворения потребностей человека и организованного коллектива трудящихся.

По поводу комплексного обучения возникает тот же вопрос, который ставился и относительно трудового метода вообще, а именно: можно ли уложить весь процесс изучения математики (или другой области знания) целиком в рамки комплексного обучения, не уделяя некоторого времени и специально-математическим задачам и упражнениям? Ответ ясен— из тех соображений, которые были выставлены выше, математические навыки не могут быть усвоены исключительно между делом, в процессе решения тех практических задач, которые связаны с изучением того или другого данного комплекса; во всяком случае, мы рискуем, что некоторые из этих навыков не разовьются своевременно и в должной мере, и во избежание этого мы неизбежно должны в некоторые моменты школьной работы сосредоточивать внимание учащихся и на чисто математическом материале для выработки определенных навыков, необходимых в дальнейшем. Вообще мы представляем себе процесс школьной работы в виде ряда целесообразно подобранных комплексов, но при переходе от одного «куска жизни» к следующему придется закреплять в сознании и памяти учащихся те технические навыки, которые вытекают из данного комплекса и необходимы для подхода к следующему—в том числе и навыки математического характера; комплексное обучение будет таким образом чередоваться с предметным, как трудовой метод—с лабораторным.

Принято думать, что комплексное обучение свойственно главным образом младшей ступени обучения, а не старшей, где возникает необходимость полного обособления учебных дисциплин. С этим нельзя вполне согласиться. На младшей ступени обучения комплексная работа легче осуществима, потому что всю образовательную работу ведет один учитель и он вполне свободно может ее сосредоточивать на определенном «куске жизни» и затем переходить к углублению и разработке отдельных его сторон; да и возраст таков, что один учитель может еще быть энциклопедистом, способным удовлетворять образовательные запросы этих детей. На старшей же ступени комплексное обучение также возможно, но оно требует уже согласованной (аккордной) работы нескольких учителей, и потому встречается с более значительными практическими трудностями; но это уже вопрос техники, а не принципа.

Подведем теперь итоги всему сказанному о методах обучения математике в современной школе. Их наглядно иллюстрирует схема на стр. 50. Метод механической зубрежки, господствовавший в старину, привел к тре-

бованию сознательности усвоения; в поисках последнего были открыты две дороги: одна привела к абстрактно-дедуктивному методу старой «словесной» школы, другая к конкретно-индуктивному методу—исходному пункту и основанию современной «жизненной» школы. Из этого пункта исходят два пути; один—это путь «лабораторного» метода—«школа действия» при активном руководстве учителя; другой—это «трудовой» метод—от практических задач, возникающих в процессе удовлетворения жизненных потребностей, к построению теоретического звания. И трудовой принцип дает начало двум дорогам: к изучению данного предмета по трудовому методу, или к изучению «кусков жизни», цельных «комплексов» жизненных явлений, при котором математика (как и другие дисциплины) становится орудием познания жизни и управления жизнью. Так в современной школе ребенок, а затем юноша— учится на основе жизни создавать математическое (и всякое другое) знание, а овладевши им — снова прилагать к изучению окружающей природы и к разумному устроению жизни человеческого коллектива. И только при этих условиях школьная наука действительно «сокращает нам опыт быстротекущей жизни».

В заключение необходимо рассмотреть еще один вопрос, который ежедневно может возникнуть у современного педагога, а именно: остаются ли в силе наши выводы относительно метода обучения и в том случае, когда занятия в школе (напр., в старших ее группах) организованы не по обычной классной системе, а по Дальтонскому лабораторному плану?

Как известно, существенное отличие Дальтонского плана от классной системы состоит в том, что учитель занимается со всей своей группой только изредка,—главным образом в начале занятий, когда он об'ясняет очередное задание для самостоятельной работы, и в конце, когда подводятся итоги по выполнению этого задания; в остальное же время учащиеся работают самостоятельно, группами или в одиночку, обраща-

Рис. 3. Схема развития метода обучения математике (от старой школы до современной).

ясь к учителю за отдельными указаниями тогда, когда чувствуют в этом необходимость. Однако, основная задача учителя при этом не изменяется; он попрежнему должен добиться того, чтобы учащиеся, пользуясь его указаниями и выполняя очередную работу задания, самостоятельно доходили до установления и уразумения математических истин и приобретали навыки прилагать их к решению жизненных вопросов. А путь к этому, как мы видели выше, заключается в конкретно-индуктивном методе с его дальнейшими разветвлениями; этим методом все равно придется идти учителю и при очередной работе с отдельными учащимися, и в особенности при составлении и об'яснении своих общих заданий; удачная формулировка задания это основное условие успешности работы при занятиях по Дальтонскому плану, и только конкретно-индуктивный метод может помочь учителю правильно разрешить эту свою основную задачу.

Вот, напр., каково может быть задание для очередной самостоятельной работы на тему: «Пифагорова теорема»: «1) Нарисуйте (на клеточной сантиметровой бумаге) прямоугольный треугольник, один катет которого 3 см., а другой 4 см. и измерьте его гипотенузу.

Постройте квадрат, сторона которого равнялась бы гипотенузе, этого треугольника. Сколько кв. см. содержит его площадь? Сравните теперь площадь первого квадрата (построенного на гипотенузе) и площадь других, взятых вместе. Какое заключение можете вы вывести?

2) Проделайте то же самое с прямоугольным треугольником, у которого катеты 5 и 12 см., и выведите заключение.

3) Проделайте то же самое с прямоугольным треугольником, у которого катеты 8 и 15 см., и выведите заключение.

4) Проверьте теперь, справедливо ли ваше заключение для всякого прямоугольного треугольника.

Для этого сделайте так: Начертите (на обыкновенной бумаге или картоне) какой хотите прямоугольный треугольник, постройте квадрат на его большем катете, а рядом с ним пристройте квадрат, сторона которого равна меньшему катету (как показано на рисунке).

Вырежьте теперь фигуру, состоящую из двух квадратов, отрежьте от нее данный треугольник (обозначенный на рисунке цифрою 1), наложите его на оставшуюся фигуру в положение 2, отрежьте от нее треугольник 2 и приложите один из отрезанных треугольников к оставшейся фигуре так, чтобы его прямой угол вошел в прямоугольную впадину этой фигуры, а меньший катет совпал с равной ему стороной той же фигуры; потом приложите к по-

Рис. 4.

лученной фигуре второй треугольник таким же образом. Какую фигуру получили вы после этого? Какое заключение можно из этого вывести?

Затем постройте два квадрата, стороны которых были бы равны: у первого—большему катету, а у второго—меньшему катету треугольника. Определите площади каждого из них в кв. см.

5) Теперь докажите справедливость вашего заключения на чертеже.

Нарисуйте на бумаге ваш основной треугольник (1) и фигуру из двух квадратов, построенных на его катетах, как показано на прежнем рисунке; правый конец треугольника 1 соедините с правым верхним углом меньшего квадрата, а полученный треугольник назовите цифрою 2. Затем продолжьте правую сторону большего квадрата на длину меньшего катета, и конец полученной линии соедините с ближайшими вершинами обоих квадратов. Образовавшиеся при этом прямоугольные треугольники назовите цифрами 3 и 4, а среднюю часть фигуры (около которой расположены треугольники 1, 2, 3 и 4)—цифрою 5. Обозначьте буквами вершины всех квадратов и треугольников.

Сравните теперь треугольники 1, 2, 3 и 4—нет ли у них равных частей? Что вы можете сказать относительно этих треугольников?

Рассмотрите затем четыреугольник, составленный из фигуры 5 и треугольников 3 и 4. Нет ли у него равных частей? Что вы можете сказать окончательно про этот четыреугольник?

Из каких частей состоит площадь только что рассмотренного четыреугольника? А площадь фигуры, образованной двумя квадратами, построенными на катетах треугольника? Какое заключение можете вы сделать относительно этих двух площадей?

Как выразить окончательно полученный вывод о площадях квадратов, построенных на гипотенузе и на катетах?

Назовите буквами длину гипотенузы и каждого из катетов и запишите полученный вывод в виде алгебраической формулы. Нельзя ли еще по иному выразить смысл полученной формулы?

6) Прочтите теперь главу о Пифагоровой теореме по руководству (указать соответствующие места из курса геометрии).

Знаете ли вы, кто такой был Пифагор? Прочтите о Пифагоре в книгах по истории математики и общей истории (указать соответствующие книги).

7) Примените выведенную теорему к решению таких задач (указать соответствующие задачи на вычисление, построение и решение уравнений)».

Таким образом, основной метод обучения и в этом случае, собственно говоря, не меняется; изменяется только внешняя обстановка его применения, но не сущность.

ОТДЕЛ II.

Современные педагогические исследования в области вопросов, связанных с методикой начальной математики.

Глава V.

Развитие числовых и геометрических представлений у ребенка в дошкольном возрасте.

До последнего времени методика математики, не только у нас, но и в других странах, шла вперед и развивалась чисто эмпирическим путем: отдельные талантливые педагоги, скорее чутьем, чем на основании положительных данных, находили удачные приемы для раз'яснения учащимся тех или иных понятий, для сообщения им тех или иных навыков; эти приемы связывались в более или менее стройную систему, сообразно общим педагогическим воззрениям их изобретателя, и подвергались проверке в его личной учебной практике; другие же педагоги либо воспринимали эти приемы на веру, поддаваясь авторитету творца данной системы, либо оценивали достоинство применяемых приемов на основании общих результатов своей учебной деятельности. Такой путь развития методики имел, конечно, свои ценные стороны, потому что приемы обучения создавались не без связи со школьной жизнью; но он был сопряжен и с существенными недостатками, так как по общим результатам обучения нельзя еще было судить, насколько целесообразен тот или иной отдельный прием, то или иное расположение учебного материала или наглядное пособие; и личный опыт одного учителя не мог служить достаточным контролем для личного опыта других, даже не мог быть сравниваем с личным опытом других педагогов. Поэтому за последнее время укрепилось убеждение, что и методика математики, подобно другим отраслям педагогической науки, должно исходить из данных, добытых точным наблюдением и опытом, доступным всестороннему контролю и проверке; иначе говоря, методика математики должна строиться на

данных педологии (науки о развитии ребенка) и для установления своих истин и выводов должна, в помощь и на смену чисто-эмпирическому методу, привлечь метод экспериментальный. Вот почему, приступая к построению современной методики математики, мы должны предварительно ознакомиться с педологическими и экспериментально-дидактическими исследованиями, на которые нам придется опираться в дальнейшем.

Первым и одним из важнейших вопросов, который нам необходимо выяснить, является вопрос о том, как возникают и развиваются у ребенка его первые представления о числе и форме предметов; ясно, что изучив ход развития числовых и геометрических представлений у ребенка в дошкольном возрасте и зная, какие условия способствуют этому развитию или тормозят его, мы можем правильно и уверенно руководить его математической работой не только в дошкольный период, но и в первые годы школьного обучения.

Сначала мы постараемся выяснить, под влиянием каких обстоятельств образуются у ребенка его первые числовые представления. На этот счет мнения современных психологов сильно расходятся: одни полагают, что первые числовые представления складываются у детей под влиянием пересчитывания однородных предметов, т. е. последовательного их восприятия, с называнием при этом соответствующих имен числового ряда—один, два, три, четыре, пять и т. д.; другие думают, что первые представления о числе возникают при одновременном восприятии небольших групп однородных предметов. Представителем первого мнения является Мейман; в последнем издании его «Лекций по экспериментальной педагогике» говорится определенно: «По этому вопросу исследования дают нам три факта: 1) что числовые представления ребенка по сравнению с прочими его представлениями возникают относительно поздно; 2) что они развиваются на основе пересчитывания предметов; 3) что они сначала имеют определенный характер конкретных индивидуальных представлений количества предметов или явлений»1). В противоположность этому, Лай на основании своих наблюдений над детьми приходит к заключению, что «на первой ступени развития счет является производным от числа, а не наоборот»2) и думает, что первые числовые представления возникают путем непосредственного восприятия вещей, объединенных в небольшие группы.

Вопрос этот может быть решен, конечно, только путем систематических наблюдений над детьми дошкольного возраста и в моей книге «Развитие числовых представлений у ребенка в раннем детстве» (Киев,

1) См. немецкое издание „Лекций“ Меймана 1922 г., т. III, стр. 638; подобное же утверждение повторяется и далее, на стр. 614.

2) См. Лай, „Руководство к первоначальному обучению арифметике“, стр. 41 изд. 5-е, Москва, 1916 г.).

1923 г.) я изложил те выводы, к которым пришел на основании своих наблюдений. Выводы эти противоположны мнению Меймана; я полагаю, что понятие о первых числах до 5 включительно ребенок приобретает без посредства сосчитывания, путем непосредственного восприятия зрением, а отчасти и осязанием, групп однородных предметов, находящихся вокруг (стр. 20—21).

В пользу такого заключения говорят следующие обстоятельства. Во 1-х, числовые представления нередко возникают у детей не в порядке числового ряда, и представление единицы не является при этом первым и наиболее простым. Так, напр., старшая моя дочь Люся сознательно освоилась с числом «два» в возрасте 1 г. 7 м. и даже верно назвала по одному разу три предмета (1;81)) и четыре предмета (1;10), и только после этого обнаружила знакомство с числом «один» также и вторая моя дочь Леночка приобретала первые числовые представления не в порядке числового ряда—сначала «два», потом «один» (1;7); а моя младшая дочь Люля в возрасте 2 лет сознательно и правильно назвала число пальцев на своей руке («пять»), не зная еще чисел «три» -и «четыре» («Развитие числовых представлений», стр. 20). Сходную картину дают и наблюдения Лая: сын его Вернер обнаружил первое представление о числе «два» в возрасте 1 г. 10 мес; затем на третьем году освоился с-понятиями «два», и «много» и только в самом конце третьего года обнаружил знакомство с числом «один» (Лай, «Руководство к первоначальному обучению арифметике», стр. 27—30). Также и в книге Левоневского «Мой ребенок» (изд. Богдановой, Птгр. 1914 г., стр. 194—195) сообщается, что мальчик Дима, за которым велись систематические наблюдения, стал правильно употреблять слово «два» на третьем году (2;5), а затем уже на четвертом—слова «один, «одна» (3;3), «четыре» и «пять» 3;4). Очевидно, что такой порядок возникновения числовых представлений указывает на появление их без помощи сосчитывания.

Во 2-х, дети часто обнаруживают правильные и отчетливые представления о числах 2—5, не умея еще считать в этих пределах, и научатся счету лишь спустя более или менее продолжительный промежуток времени. Так, напр., Люся на третьем году жизни уже неоднократно называла три и даже четыре предмета без сосчитывания; и только после этого обнаружила первые удачные попытки счета предметов до трех (2;3) и до четырех (2;5); также и первый правильный счет до пяти (3;5) был выполнен ею только тогда, когда она знала уже, что у нее на руке пять пальцев и несколько раз определяла численность пяти предметов, воспринимая их группами (3-}-2, З-f-l + 1); но еще и после этого случа-

1) Запись вроде 1;8 означает возраст: 1 год 8 месяцев.

лось, что она пересчитывала четыре или пять предметов так: «один, два, три, один», или: «один, два, три, двенадцать, восемнадцать». Также и Леночка на четвертом году жизни успела уже твердо освоиться с числом «три» и сознательно применяла и слово «четыре», но счет предметов в тех же пределах ей еще не давался; вместо него получалось беспорядочное называние числительных имен вроде: «один,два, пять, восемь» («Развитие числовых представлений», стр. 21—22). Подобным образом и сын Лая Вернер на пятом году жизни сознательно и правильно употреблял слова «три» и «четыре», не умея еще считать от 1 до 4 (Лай, стр. 32—34).

В 3-х, первоначальное употребление детьми слов «два», «три», «четыре», «пять»—связано с восприятием таких предметов окружающего мира, которые при своей полной однородности резко выделяются из ряда других предметов и образуют естественные группы, привлекающие внимание. Так, напр., у моих детей упоминание о числе «два» было связано с восприятием пары рук, ног, глаз, шариков, кубиков, пуговок, ламп, подушек и т. п.; «три»—с восприятием подушек, картинок, пуговиц, бабок из песку; «четыре»—с восприятием числа ног у медведя (игрушечного), у собаки, коровы, лошади, стола, стула; «пять»—с пальцами руки, и т. п. («Развитие числовых представлений» стр., 22). Также и у сына Лая Вернера восприятие числа 2 было связано с парою сосок, пряников, рук, ушей; восприятие 4-х—с ножками стула (Лай, стр. 27—301)).

В 4-х, восприятие числа возможно не только без счета, но и без употребления числительных, путем непосредственного сравнения групп предметов и установления между ними взаимно-однозначного соответствия. Так, напр., Люся на четвертом году, еще не умея считать до 5, нашла, что на веточке дикого винограда столько же листиков, сколько у нее пальцев на руке; в другой раз, не называя числа, поставила на стол четыре пальца своей руки и сказала, что у лошади столько ног («Развитие числовых представлений», стр. 28). Подобным же образом сын Лая Вернер в возрасте около 4 лет мог установить соответствие между четырьмя кубиками и квадратною группою из четырех точек, не умея еще правильно назвать соответствующего числа или пересчитать кубики (Лай, стр. 312)).

1) Интересно сопоставить с этим и тот факт, что названия первых пяти чисел у дикарей и первобытных народов нередко обозначают группы предметов, постоянно встречающихся вместе в окружающей обстановке. Так, слово „один“ обозначает иначе луну, два“- глаза, руки, ноги, крылья; „три“— ногу страуса с 3 пальцами, „четыре“—ногу птицы с 4 пальцами, „пять“-—руку человека с 5 пальцами и т. п (см. книгу Кенэнта „The Number Concept“, цитируемую у Лая, стр. 12).

2) И здесь следует указать для сопоставления, что есть дикари, не имеющие в своем языке числительных имен; но тем не менее они обладают числовыми представлениями, так как в случае надобности показывают требуемое количество на пальцах, прибавляя при этом: вот столько (Лай, стр. 24).

Правда, можно было бы возразить по поводу всего изложенного, что не у всех детей развитие числовых представлений идет по пути, указанному выше; в педологической литературе отмечены случаи, когда в языке ребенка первым из числительных имен появлялось слово «один» или «раз» в связи с попытками пересчитать какие-либо предметы. Так, наприм., в книге Рыбникова «Язык ребенка» (Москва, 1920 г.) упоминается, что мальчик Адя Рыбников впервые в возрасте 1 г. 6 мес. при восхождении на лестницу пересчитывал ступеньки «ать-ать-ать» (раз-раз-раз... стр. 14); в книге Соколова «Жизнь ребенка» (Москва 1918 г.) упоминается, что мальчик Боря (1;5) считает пальцы на своей руке, шаги, стулья—«тат, тат, тат» (раз-раз-раз); также и В. Штерн в своей книге «Психология раннего детства до шестилетнего возраста» (Птгр., 1922 г.) высказывается в том смысле, что числовые представления ребенка возникают на почве распознавания в окружающей обстановке сходных предметов и образования в силу этого «множественных» представлений. «В тесной связи с этими логическими достижениями», говорит Штерн (стр. 200—201), «находится деятельность счета. Действительный счет (каковым, разумеется, нельзя назвать бессмысленное повторение чисел) устанавливается вместе с сознательным помещением рядом одинаковых об'ектов. Если двухлетний ребенок имеет перед собою несколько яблок или несколько чурбашек, он констатирует последовательное повторение совпадающих впечатлений посредством повторения одинаковых слов, напр.: один, один, один или еще один, еще один и т. п. Никогда не случалось наблюдать, чтобы таким образом сопоставлялось неоднородное; значит, здесь, действительно происходит образование множественных понятий. Затем, при маленьких количествах, на место этих одинаковых слов медленно выступает ряд числительных, посредством которых каждому экземпляру как бы указывается определенное место. Но ребенок все еще цепляется за единичные об'екты; ему стоит большого труда уразуметь, что последнее названное число есть в то же время связующее общее обозначение для всех перечисленных экземпляров; главное (количественное) число, выражающее родовое понятие, развивается, таким образом, позднее порядкового, которое есть множественное понятие». И далее приводится пример из жизни дочери Штерна Гильды (3 ; 7): «когда ей протягивают пять пальцев и спрашивают, сколько пальцев, она говорит: «сейчас сосчитаю», и считает правильно от 1 до 5. Если тотчас затем спросить: «так сколько же пальцев?»—она начинает считать снова и так несколько раз подряд. Последний палец для нее пятый, но совокупность еще не означает для нее суммы пять».

Ясно, однако, что в подобных примерах мы имеем дело не с восприятием числа и даже не с восприятием совокупности предметов, а только с последовательным восприятием однородных вещей; «считая» какие-либо вещи и произнося при этом «один, один, один», ребенок обнаруживает

только знание слова «один» или «раз», но не знакомство с числом один, а самый акт «пересчитывания» является у него чисто внешним подражанием взрослым людям; даже усвоив правильную последовательность слов: «один, два, три, четыре, пять», ребенок может не иметь еще надлежащего представления о числе «пять», как это показывает случай с Гильдою Штерн и другие аналогичные (см. «Развитие числовых представлений», стр. 22, примеч. 1). Восприятие числа имеет место на этой ступени развития только тогда, когда ребенок может охватить и воспринять группу предметов, как целое, а затем уже обратить внимание и на отдельные элементы этой группы.

Таким именно путем—от группы, как целого, к ее отдельным единицам—и идет, как я думаю, у ребенка восприятие определенного множества и развитие первых представлений о числе. Ребенок видит, напр., свои руки, протягивает их матери, слышит, как она говорит: «дай мне ручки! две ручки!», и в то же время рассматривает и каждую руку в отдельности и получает впечатление, что «две руки»—все равно, что «рука и рука», или «рука» и другая рука». Понятно при этом, почему представление двух нередко является первым числовым представлением ребенка (даже раньше представления неопределенного множества): в окружающей обстановке имеется немало природных пар, напр.: руки, ноги, глаза, сапоги, крылья птицы и т. п., кроме того при непосредственном восприятии группы из двух предметов достаточно уловить одно сходство между этими предметами, а при таком же восприятии неопределенного множества нужно уловить то же сходство более одного раза; представление двух является при этих условиях психологически наиболее простым.

В дальнейшем представление двух влечет за собою возникновение представлений «много» и «один», так как ребенок в своем повседневном опыте сталкивается с необходимостью различать группы в два предмета от группы, содержащих более, чем два предмета, а также воспринимать отдельно каждый предмет пары. Понятие «много» обозначает у него на первых порах, собственно говоря, «два—и еще», т. е. из группы в несколько предметов, воспринимаемой как целое, он выделяет сначала два предмета, а потом видит, что кроме двух есть еще подобный предмет или предметы, и это представление «два—и еще» ассоциируются у него со словом «много». Представление же единицы возникает у ребенка, повидимому, тогда, когда ему приходится обращать внимание на один предмет из какой-либо привычной пары (или группы), наприм., когда вместо двух башмаков имеется на лицо только один, когда у кого-нибудь из окружающих завязан или закрыт один глаз, видна только одна рука, ножка стула и т. п.

Подобным же образом возникают у ребенка и представления о числах 3—5. Ребенок видит какую-либо группу из трех предметов (напр. три

яйца) и слышит, что взрослые называют это «три»; сам же он различает тут, на основании своих предыдущих восприятий, «два и один», и это содержание ассоциируется у него со словом «три». Точно также ребенок видит группы из четырех предметов (напр., ноги у кошки, у лошади, у стула), и сам воспринимает такую группу, как «два и два», а в то же время слышит, что взрослые называют это «четыре», и научается и сам употреблению слова «четыре». Так как природные четверки в виде совокупности двух пар (ноги лошади, коровы, стула, стола, углы у комнаты, ящика и т. п.) встречаются в окружающей ребенка обстановке чаще, чем тройки, то этим об'ясняется, почему ребенок может иногда быть знакомым с понятием «четыре», не зная еще трех. Представление пяти возникает, естественно, в связи с восприятием пальцев руки, причем ребенок видит здесь, положим, «три и два», а слышит от взрослых, что здесь «пять пальцев», и научается потом воспринимать -пять, как группу пальцев руки, или нечто похожее на нее, или же как три и два («Развитие числовых представлений», стр. 24—26).

Таким путем возникают у ребенка—под влиянием восприятия групп однородных предметов и разложения их на отдельные составные части— представления об отдельных числах в пределе 1—5; но считать в этих пределах он в это время еще не умеет: вместо счета у него получается беспорядочное называние числительных имен, и даже если он случайно и усвоит правильную последовательность числового ряда, то это не обусловливает еще сознательного восприятия «пересчитанной» группы предметов, как совокупности, как некоторого числа. Отчего это так? Да оттого, что последовательный счет, который можем выполнять мы, взрослые, и восприятие числа, как результата подсчитывания отдельных единиц—это для ребенка в данную пору слишком сложная и отвлеченная функция, гораздо более сложная, чем, напр., восприятие двух пар ног у собаки или установление соответствия между пальцами руки и листиками на веточке какого-либо растения. Когда мы, взрослые, говорим, напр., что на тарелке лежит пять яиц, мы этим утверждаем, что множество яиц, находящихся на тарелке, можно пересчитать словами: «одно, два, три, четыре, пять»,—т. е. привести это множество яиц во взаимно-однозначное соответствие с известным нам постоянным рядом символов: «один, два, три, четыре, пять»— каждый из которых означает множество, получаемое из предыдущего путем присоединения еще одного предмета («три»—все равно, что «два и один» «четыре»—«три и один» и т. д.). Но когда ребенок 3—4 лет говорит, что на тарелке пять яиц, то он утверждает этим только, что их «три и два»? или что их столько, сколько у него пальцев на руке; а чтобы быть в состоянии их пересчитать, он должен был бы знать из предыдущего, что «три»—это «два и один», «четыре»—«три и один», а «пять»—«четыре и один», и должен еще знать, что последовательным присоединением единиц

он может образовать группы, известные ему под названием «два», «три», «четыре», «пять». А этого знания как раз и не хватает ребенку в данном возрасте; он представляет себе «четыре» обычно, как «два и два», а «пять»—как «три» и «два», и пока он не узнает, что четыре есть в то же время «три и один», а «пять»—«четыре и один», и не научится составлять три из двух и одного, четыре—из трех и одного и т. д.,—до тех пор сознательный и правильный счет для него невозможен.

А между тем потребность в счете дает себя знать, так как предметы, подлежащие исчислению, не всегда образуют группу, которую можно охватить глазом с одного разу или разложить на меньшие; а исчисление предметов, воспринимаемых последовательно, или же последовательных явлений во времени—и вовсе невозможно без счета. Вот почему вскоре после сформирования первых конкретных числовых представлений в области чисел 1—5, ребенок начинает учиться считать, т. е. от восприятия числа, как группы предметов, и разложения этой группы на меньшие и на отдельные единицы переходит к составлению числа из единиц и к расположению известных ему чисел в ряд по возрастающей величине: «один, два, три, четыре, пять». Делает он это, опять же, подражая взрослым, которые считают, напр., огурцы, яйца, грибы, ступеньки лестницы при подтеме, выливаемые ведра воды, удары часов и т. п.; но так как взрослые считают не всегда достаточно медленно и не заботятся о том, чтобы отсчитанные уже предметы отделять от неотсчитанных, то ему не сразу удается уловить последовательность чисел и заметить, что каждой присоединяемой единице соответствует новое число. Счет до трех идет у него сравнительно благополучно, так как он давно уже знает, что три— это два и один; но что после трех следует четыре,—т. е. что «три и один» образуют знакомую ему уже группу «четыре» или «два и два»— это дается ему не сразу и не без труда, так как отсчитанные четыре предмета не всегда образуют группу, удобную для непосредственного восприятия. И только тогда, когда он при помощи зрительных, а отчасти и осязательных восприятий прочно усвоит соотношения: «три и один—четыре», «четыре и один—пять» и научится быстро оценивать формируемые им при присоединении единиц группы предметов последовательными числами: «два, три, четыре, пять»—он овладевает наконец рядом чисел 1—5, как счетным рядом, и становится способным прилагать счет к оценке численности любых предметов и явлений. Счет на этой стадии развития является таким образом не источником новых числовых представлений, а средством углубления, расширения и приведения в систему уже имеющихся числовых представлений.

В дальнейшем оценка численности той или иной группы предметов или явлений идет обоими путями: и с помощью непосредственного вос-

приятия численности единиц в группе, и путем сосчитывания. Непосредственное восприятие числа имеет место при небольших группах предметов, которые ребенку нетрудно охватить глазом с одного раза; поэтому оно имеет место во всех случаях при восприятии двух предметов, сильно преобладает при трех, а при четырех или пяти уже начинает уступать свое место сосчитыванию; последнее применяется в тех случаях, когда приходится воспринимать какие-либо предметы или явления последовательно, или когда непосредственное восприятие числа затруднено в виду неоднородности данных предметов или их неудобного расположения, или, наконец, в силу их многочисленности.

Попытки применить счет к более многочисленным группам предметов ведут уже теперь к тому, что дальнейший счет становится средством расширения известного ребенку числового ряда и создания новых числовых представлений. В самом деле, последовательное формирование чисел при счете помощью присоединения единиц привело ребенка к уразумению того, что три и один— четыре, четыре и один—пять; естественно, что в случае надобности дальнейшего расширения он образует за этим группы: пять и один—шесть, шесть и один—семь, и т. д. Названия чисел он узнает от взрослых, к которым обращается с вопросами, а отчасти припоминает и сам, так как в качестве слов без содержания они были ему известны и раньше. Числовой ряд, известный ребенку, таким образом быстро расширяется до 10 и далее (до 15—20), и ребенок сознательно и большею частью без ошибок выполняет счет в этих пределах (ошибки в сосчитывании возникают лишь от того, что ребенок, заторопившись, пропускает те или иные считаемые предметы, или, наоборот, некоторые сосчитает по два раза).

Развитие числовых представлений у ребенка проходит, таким образом, три основных этапа: 1) образование отдельных конкретных числовых представлений в области чисел 1—5 при помощи непосредственного восприятия групп однородных предметов и разложения этих групп на меньшие и на отдельные единицы; 2) об'единение этих числовых представлений в числовой ряд, при помощи восприятия групп предметов, составляемых последовательным присоединении единиц, и выработка на этой почве уменья выполнять счет (конкретный) в пределах 1—5; 3) расширение известного ребенку числового ряда и числовых представлений до 10-ти и далее (до 15—20) при помощи конкретного счета.

Возможны, конечно, и уклонения от указанного нормального хода развития числовых представлений у детей. Бывает, что ребенок, подражая взрослым, усвоит внешнюю сторону процесса счета и даже правильную последовательность числительных имен до известного предела, в то время, когда конкретных числовых представлений у него в этих пределах еще нет; тогда получается явление, отмеченное Штерном (см. выше стр. 57):

«пересчитывая» какие-либо предметы, напр., свои пальцы, словами: «один, два, три, четыре, пять»—ребенок относит эти слова к отдельным последовательным предметам, а не к их совокупностям, образуемым последовательным прибавлением единицы, и в результате «счета» не может сказать, сколько же всего имеется предметов. И только тогда, когда он поймет, что слова: два, три, четыре и т. д. означают не отдельные предметы, а образуемые из них совокупности—только тогда у него образуются соответственные конкретные числовые представления, и он становится способным сознательно выполнять счет тех или иных вещей и таким образом находит их численность. Преждевременное усвоение внешней стороны счета может, таким образом, задержать надлежащее развитие числовых представлений у ребенка.

Как было указано выше, ребенок вначале знает только конкретное число; то или иное число связано у него с определенной группой данных конкретных веще й—шариков, кубиков, пальцев и т. д. (Штерн в своей «Психологии раннего детства», стр. 201, приводит пример мальчика, который на вопрос деда: «сколько у меня пальцев?»—отвечал: «этого я не знаю, я могу считать только свои пальцы»); но мало-по-малу способность ребенка к отвлечению растет, и он научается замечать сходство и между не вполне однородными вещами, напр., соображает, что курица и утка—это две птицы, что мальчик и две девочки—это трое детей, и, наконец, доходит до сознания, что можно пересчитывать или вообще численно выразить всякие вещи, именно как вещи, воспринимаемые одновременно или последовательно; так, напр., Люся (3 ; 7) говорила, что ее мишка, коробка и шарик—это «три вещи», а Леночка (2; 11) заявляла, что она сама, ее медвеженок и кукла—это трое («Развитие числовых представлений», стр. 37); также и сын Лая Вернер (4; 10) утверждал, что «часы и лампа—два» (Лай, стр. 34); и под влиянием подобных случаев, когда ребенок численно воспринимает неоднородные вещи, у него складывается представление о числе, как числе каких угодно вещей. Это не значит, что представление о числе перестает быть уже связанным с наглядными образами; наоборот, ребенок может представлять себе число «три», как совокупность трех шариков или трех пальцев, или как совокупность слуховых образов: «один, два, три»—но он понимает уже, что каждый из этих пальцев или шариков может быть заменен любой другой вещью, и всех вещей будет все-таки три. Так ведь и мы, взрослые, если думаем о числе «три» и представляем себе не цифру 3 и не слово «три», а число, как таковое—непременно воображаем его себе в виде трех кружков, точек, черточек или иных вещей, или наконец в виде последовательно произносимых числительных: «один, два, три»—но это наглядное представление является для нас в то же время символом или заместителем всех возможных «троек» на свете. Подобное представление о числе вырабаты-

вается у ребенка окончательно уже тогда, когда он овладевает первыми числами не только путем непосредственною восприятия, но и с помощью счета,—так как восприятие совокупности неоднородных вещей обычно требует предварительного пересчитывания; признаком того, что ребенок уже владеет представлением об отвлеченном числе, является выражение им суждений о числах без упоминания единиц, напр., «четыре больше, чем два», «три и три будет шесть», и т. п.

В каком возрасте обнаруживаются у ребенка первые числовые представления и когда он овладевает вполне числовым рядом 1—5 или 1—10— это мы можем пока указать лишь приблизительно, так как точных наблюдений в этой области произведено сравнительно не много, и между отдельными детьми замечаются большие индивидуальные различия, очевидно, в зависимости от влияния окружающей среды. По моим наблюдениям, первые числовые представления («два», «один» и. «много») могут возникнуть у ребенка уже во второй половине второго года (в возрасте от IV2 до 2 лет—см. «Развитие числовых представлений», стр. 20); представления же о числах 1—5, а также и уменье считать в этих пределах, могут развиться у него ко второй половине четвертого года (возраст от 31/2 ДО 4 лет). С этими данными более или менее совпадают указания Монтессори, которая говорит, что «дети трех лет уже умеют считать до двух или трех, когда поступают в наши школы» (Монтессори, «Дом ребенка», стр. 294); также и Мейман полагает, что четырехлетний ребенок способен сосчитать 4 монеты, и что с четвертого года начинается более быстрое развитие понимание числа («Лекции», т. Ill, изд. 1922 г., стр. 639). Наиболее обстоятельные данные по этому вопросу находим в статье Бекмана «Развитие числовых навыков у детей от 2 до 6 лет» («Die Entwicklung der Zahlleistung bei 2 bis 6-jährigen Kindern», в журнале «Zeitschrift für angewandte Psychologie» 1923, № 1—2); автор этой статьи обследовал числовые представления у 465 детей из детских домов и садов в указанном возрасте, предлагая им подать определенное число кубиков, шариков и т. д. или ответить на вопрос, сколько перед ними имеется подобных вещей, и на основании результатов этих опытов, нашел, что правильное представление числа 2 (т. е. уменье выполнить указанное задание относительно двух вещей) обнаружили в возрасте 2 лет всего 30% обследованных им детей, в возрасте 3 лет—70%, 4 лет—90%, 5 и 6 лет—все 100%; представление о числе 3: в возрасте 3 лет—20%, 4 лет—63%, 5 лет—82% и 6 лет—96%; представление о числе 4 : в возрасте 3 лет—4%, 4 лет—39%, 5 лет—64% и 6 лет—92%; представление о числе 5: в возрасте 4 лет—17%, 5 лет—45%, 6 лет—74%; таким образом в среднем ребенок приобретает правильные представления о числах 1—5 приблизительно к возрасту в 5 лет; при этом Бекман указывает, что наибольший прирост числовых навыков у детей падает на вто-

рую половину четвертого года (возраст от 3l/s до 4 лет); кроме того он обследовал и типы воспроизведения числа: он обнаружил, что имеются дети-«счетчики», которые образуют заданную им группу кубиков или др. вещей путем составления по одному; затем дети-«интуитивисты», которые— сразу и уверенно, или же после некоторого размышления—ставят целиком заданную группу кубиков, и дети-«групповики», которые образуют данную группу кубиков по частям (2-f-l, 2-J-2, 3 + 2). В этом отношении им было обследовано 385 детей из указанного ранее числа, и оказалось, что в возрасте 3—З1/* лет к типу «счетчиков» принадлежало 58% всех детей, а к типу «не-счетчиков»—42%; в возрасте 4 лет «счетчиков» было 57%, «не-счетчиков»—43%; в возрасте 5 лет—39% и 61 °/©; в возрасте 6 лет—480/о и 52%. Любопытно еще замечание Бекмана, что единица лишь у немно!их детей указанного возраста имеет характер числа; при показывании одною предмета на вопрос «сколько» дети нередко затруднялись отвечать или отвечали: 3, 6, 8, 4; на предложение: «подай мне один» (кубик), многие подавали 3, 4 и более, в то время, как требование: «дай мне один кубик» (с ударением на слове «кубик») выполнялось теми же детьми без затруднения.

Что же касается индивидуальных различий между детьми в развитии числовых представлений и навыков, то они могут быть очень значительными, даже в одинаковом возрасте. В то время как некоторые дети на четвертом году овладевают уже всеми числами первого десятка и даже далее, другие не знают еще твердо и числа «два»; а обследование Экхардта, произведенное во Франкфурте среди шестилетних детей, поступающих в школу, показало, что в то время, как многие из них сознательно владели счетом в пределах 100, а иные даже до 1000,—среди них попадались в то же время и такие дети, которые не могли считать далее трех или четырех (Мейман, т. III, стр. 639). Это показывает, конечно, что числовые представления и навыки детей могут развиться довольно широко и полно, или же остаться в зачаточном состоянии, в зависимости от влияния окружающей среды.

С соотношениями между числами ребенок знакомится впервые еще тогда, когда знакомится и с самими числами: так, сплошь и рядом он воспринимает «три», как «два и один», «четыре»—как «два и два» и т. п. Поводом для ознакомления с этими соотношениями служит, как мы видели, восприятие соответствующих групп однородных предметов, причем ребенок либо разлагает данную группу из меньших и из отдельных единиц. Так ребенок приобретает познания о соотношениях первых чисел в пределе 1—5, но окончательное овладение этими соотношениями происходит уже тогда, когда ребенок осваивается и со счетом в указанном пределе; знакомство же с соотношениями чисел 5—10 (и далее) идет уже исключительно с помощью присчитывания, так как непосредственное вос-

приятие подобной группы предметов при обычных условиях уже перестает быть возможным. Таким образом источником знания соотношений между числами первого десятка является восприятие групп вещей—или непосредственное, или с помощью последовательного счета; в связи с этим возникает вопрос о том, какие условия восприятия группы вещей ведут к возникновению наиболее ярких и отчетливых числовых представлений и наиболее облегчают усвоение соотношений между числами. Вопрос этот был подробно исследован Лаем и Вальземанном и будет рассмотрен нами особо в следующей главе.

Следует заметить, что наряду с познаниями о целых числах ребенок приобретает понятие о простейших долях (половина, четверть); сведения эти приобретаются под влиянием случаев действительного дробления предметов на части, особенно таких, когда «часть» по форме своей непохожа на «целое» (деление пополам круглой лепешки, хлеба, яблока, крутого яйца и т. п.), и возникают они довольно рано, иногда в возрасте 3—4 лет, когда ребенок не ознакомился еще вполне и с числами 1—5 («Развитие числовых представлений», стр. 18—19 и 32).

Дальнейшее расширение числовых представлений ребенка (за пределы двух десятков) находится в связи с необходимостью пересчитать довольно большое число однородных вещей (камешков, огурцов, яиц, яблок, перьев, тетрадей), что случается в жизни нередко, и приводит ребенка к ознакомлению со счетом десятками и с десятичной системой. Счет десятками он заимствует в подходящих случаях у взрослых; а бывает и так, что, исчерпав известный ему ряд числительных, он снова начинает числовой ряд сначала, и таким образом на некоторое время может создать себе и не-десятичную систему счисления; но и в том и другом случае он прибегает к соединению предметов в группы и к восприятию нового числа, как совокупности известных ему групп—а этим путем он шел и раньше при образовании числовых представлений. Также и знакомство с цифрами происходит под влиянием окружающей ребенка среды; городской ребенок, который постоянно видит вокруг себя разные цифры на номерах домов, на трамваях, часах, отрывном календаре, кубиках и т. п.—знакомится с ними довольно рано и незаметно в ежедневном общении со взрослыми и в игре, иногда уже в возрасте 4—5 лет; а деревенский ребенок может не встретиться с ними и до самой школы.

Остается еще сказать несколько слов о развитии у детей представлений о форме и величине предметов. Уже на втором году жизни дети узнают на картинках знакомых животных и птиц, узнают близких им людей по фотографиям; это показывает, что они воспринимают сходство форм на основе подобия. Нетрудно и понять, почему эта способность развивается так рано: размеры предметов кажутся нам больше или меньше в зависимости от того, находимся ли мы ближе или дальше от них, но

подобие формы при этом сохраняется неизменным и эта неизменность бросается ребенку в глаза прежде всего, даже раньше, чем он может составить представление о величине предметов. Из геометрических же форм, как таковых, ребенок знакомится довольно рано с шаром и кубом, благодаря своим игрушкам—мячикам и кубикам; так, напр., моя старшая дочь Люся в возрасте 1 г. 7 мес. называла все шарообразные предметы мячиками, в том числе и электрический фонарь в вагоне трамвая («Развитие числовых представлений», стр. 43). Но в дальнейшем знакомство ребенка с геометрическими формами в дошкольный период обычно не идет далеко, если только он не подвергается специальному влиянию в этом смысле; в лучшем случае он узнает, что такое круг, квадрат, треугольник, а кроме того, не умея назвать, отличает прямоугольную форму от круглой или квадратной. Причины понятны—в обыденной жизни названия геометрических форм, кроме вышеупомянутых, неупотребительны; а кроме того, ребенок, как сказано выше, чувствует сходство форм непосредственно в случае их геометрического подобия; поэтому он сравнительно легко воспринимает сходство шаров, кругов, квадратов, но ощутить, напр., что ведро и фабричная труба имеют общую форму цилиндра—он пока еще не в состоянии. Зато оценка сравнительной величины предметов, находящихся под руками ребенка, дается ему довольно рано; на 3—4 году он уже бывает способен правильно судить о том, какая из двух вещей больше или меньше, и в случае надобности может воспользоваться для сравнения «способом наложения»: так, напр., Люся однажды (3;5), сидя около меня, взяла в руку два листка бумаги, один серый, другой белый, смотрела на них, вертела, потом положила один на другой так, что они совместились, и сказала мне: «этот листок такой же большой, как и вот этот» («Развитие числовых представлений», стр. 60).

Глава VI.

Условия, наиболее благоприятствующие восприятию числа.

В предыдущей главе было указано, что при развитии первых числовых представлений у детей играет существенную роль восприятие групп однородных предметов, причем одновременное восприятие таких групп возможно при обычных условиях в пределах 3—4 предметов и может иметь место раньше, чем ребенок научится счету в тех же пределах. Ясно, что непосредственное восприятие группы предметов быстрее дает возможность оценить их численность, чем пересчитывание; есть также основание думать, что непосредственное восприятие численности группы бывает связано с меньшим числом ошибок при восприятии, чем счет (см. «Развитие числовых представлений», стр. 16—17). Поэтому возникает

вопрос: нельзя ли каким-либо образом расширить предел чисел, доступных непосредственному восприятию в виде групп однородных вещей, и если можно, то от каких условий это зависит?

Вопрос этот был исследован впервые известным немецким педагогом Лаем в его труде «Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических опытов», упоминавшемся в предыдущей главе1). Лай поставил себе целью изучить путем систематических опытов целый ряд вопросов, связанных с восприятием числа детьми, а именно: при каких условиях в уме ребенка возникают наиболее ясные и отчетливые числовые представления—при восприятии ли группы однородных предметов, расположенных в пространстве, или же при восприятии ряда однородных явлений, следующих друг за другом во времени? до какого предела простирается область чисел, доступных непосредственному восприятию? зависит ли этот предел от различного расположения однородных предметов, при помощи которых изображено число, и если да, то какое расположение предметов в пространстве является наиболее благоприятным для непосредственного восприятия числа? какое значение, в смысле наилучшего восприятия числа, имеют величина, форма и окраска воспринимаемых зрением предметов? могут ли отчетливые числовые представления возникать только при посредстве чувства зрения, или же и другие чувства, как напр., осязание, также способствуют возникновению этих представлений, и т. д.

Исследования Лая коснулись сперва вопроса о том, какие восприятия более благоприятны для образования отчетливых представлений числа— восприятие ли группы однородных предметов, или восприятие последовательных однородных явлений. Уже одно то обстоятельство, что все употребительные наглядные пособия для обучения счислению построены именно на восприятии групп однородных предметов, заставляет предполагать, что пространственные восприятия играют в данном случае более важную роль; но Лай желал получить по этому вопросу более точные данные и произвел ряд опытов над отдельными детьми 4—6-летнего возраста. С одной стороны, он заставлял их воспринимать ряд последовательных стуков по столу или по доске (от 2 до 4 стуков в секунду), причем стук производился так, что дети не видели стучащего предмета, а только слышали звуки; с другой стороны, он показывал им однородные предметы (тоже от 2 до 4), расположенные в ряд, причем время, в течение которого они могли видеть эти предметы, было еще более коротким,

1) Это сочинение Лая вышло в свет в Германии в 1898 г., а переведено на русский язык в 1909 г.; русский перевод выполнен (под редакцией Д. Л. Волковского) по 2-му немецкому изданию, появившемуся в 1907 г.; последнее же русское издание 1916 г, выполнено по 3-му немецкому, вышедшему незадолго до европейской войны 1914 года.

чем в первом случае, и возможность пересчитать предметы один за другим была тем самым исключена. Количество ошибок, сделанных детьми при том и другом способе восприятия числа, замечалось и сравнивалось: в результате обнаружилось, что при обозрении однородных предметов дети делали значительно меньше ошибок, чем при восприятии стуков, и тем самым была подтверждена мысль, что восприятие однородных предметов более способствует образованию ясных и отчетливых числовых представлений, чем восприятие явлений, последовательных во времени (Лай, изд. 1916 г., стр. 118—119).

После того Лай перешел к наиболее важной части своих опытов, именно к исследованию вопроса о том, какое расположение однородных предметов в пространстве может вызывать наиболее ясные и отчетливые представления числа. Эти опыты он производил в более широком масштабе, в классах, а не над отдельными детьми, и из всех возможных расположений предметов выбирал именно те, которые применялись в наиболее употребительных наглядных пособиях: так, напр., он задался целью сравнить: как выгоднее располагать кружки или шарики, в один ли горизонтальный ряд, как расположены шарики русских счетов, или в два горизонтальных ряда, с промежутками после каждого кружка или шарика.

Опыты эти располагались следующим образом. Были изготовлены таблицы из белой бумаги, на которых числа первого десятка были изображены черными кружками, расположенными то в один ряд, то в два ряда в виде так называемых Борновских числовых фигур1). (См. рисунок).

Какая-либо из этих таблиц прикреплялась к классной доске, причем до времени опыта она была закрыта от глаз учащихся ширмой; пе-

Рис. 5. Борновские числовые фигуры.

1) Борновские числовые фигуры, названные так по имени их изобретателя, немецкого педагога Борна, представляют изображения чисел первого десятка помощью кружков, расположенных в два горизонтальных ряда, с одинаковыми промежутками после каждого кружка (были введены в употребление еще в 60-х годах).

ред началом опыта пускался в ход метроном, делавший от 60 до 140 качаний в минуту; экспериментатор предупреждал учащихся, чтобы они смотрели внимательно на доску, снимал ширму в такт метронома, а за следующим ударом маятника ставил ее снова на место, так что учащиеся могли наблюдать таблицу с кружками втечение одного качания маятника (1—3/7 сек.). Затем они должны были сейчас же изобразить на бумаге ту числовую фигуру, которую только что видели. Подобным образом им показывали попеременно числовые фигуры то одного, то другого из сравниваемых типов; затем отбирали листки со сделанными изображениями фигур, подсчитывали количество ошибок, сделанных в той и другой группе изображений, и сравнивали, какому расположению кружков соответствует меньшее число ошибок. Такие опыты Лай производил с одной стороны над учащимися первого года обучения, с другой стороны— над учащимися учительской семинарии; для сравнения двух расположений кружков—в один ряд и в два ряда в виде Борновских числовых фигур— было рассмотрено в общем более тысячи отдельных записей учащихся, причем расположение кружков в два ряда в виде Борновских числовых фигур оказалось значительно более благоприятным: оно дало лишь 17,3% ошибочных записей против 41% ошибок при расположении кружков в один горизонтальный ряд (Лай, стр. 157—158).

Подобным же образом были сравниваемы друг с другом и иные расположения однородных предметов в пространстве. В результате своих опытов Лай нашел, что изображение чисел помощью черточек прямоугольной формы, а также изображение чисел на пальцах дает гораздо менее удовлетворительные результаты, чем применение указанных выше Борновских числовых фигур; сверх того, оказалось, что есть одно расположение кружков, несколько более благоприятное, чем Борновские числовые фигуры; именно, если в Борновских числовых фигурах увеличить промежуток после каждой группы из четырех кружков, образующей квадрат, то составленные таким образом числовые фигуры (получившие название квадратных), будучи сравниваемы с Борновскими фигурами, дали в результате еще меньший процент ошибочных записей—14,1% против 17,3% (Лай, стр. 162—163).

Далее Лай нашел, что наиболее благоприятные результаты получаются в том случае, когда отдельные кружки квадратных числовых фигур удалены друг от друга на расстояние, равное диаметру кружка, а каждая квадратная группа из четырех кружков отстоит от предыдущего квадрата на расстояние, равное 11/2 диаметрам кружка; что наиболее подходящими по форме предметами для составления числовых фигур являются именно кружки или шарики, а наиболее благоприятное сочетание красок дают белые или красные предметы на черном фоне.

Наконец последняя серия опытов Лая выяснила, что чувство осязания может способствовать возникновению в уме учащихся столь же ясных и живых представлений числа, как и чувство зрения.

Аналогичные опыты были произведены и другими педагогами и психологами, главным образом в Германии; наиболее обстоятельные исследования были произведены Вальземанном, который изложил свои выводы в сочинении «Anschauungslehre der Rechenkunst» (учение о наглядности в преподавании счисления), вышедшем в свет в 1907 г. В общем, результаты этих исследований подтвердили заключения Лая, и разногласие обнаружилось лишь по одному вопросу, имеющему, в сущности говоря, второстепенное значение; именно, как было раньше указано, Лай нашел, что наиболее благоприятными в смысле отчетливого и точного восприятия числа являются созданные им квадратные числовые фигуры, а Борновские числовые фигуры немного уступают им по степени благоприятности, хотя и являются лучшими из всех остальных числовых фигур; Вальземанн же на основании своих опытов пришел к обратному заключению,—он нашел, что Борновские или, как он их называет, нормальные числовые фигуры имеют некоторое преимущество перед квадратными (стр. 97—99). Конечно, окончательное разрешение этого вопроса могли бы дать только новые, более обширные экспериментальные исследования; но важно отметить то обстоятельство, что оба вида числовых фигур, по исследованиям как Лая, так и Вальземанна, дают возможность непосредственного восприятия всех чисел первого десятка и в этом смысле оказываются значительно более благоприятными, чем все другие группировки воспринимаемых предметов.

Эксперименты Лая, Вальземанна и др., имеют, конечно, не только психологическое, но и дидактическое значение. В самом деле, во время этих экспериментов учащимся показывали ту или иную числовую фигуру, а затем они должны были по памяти воспроизвести ее на бумаге, или

Рис. 6. Квадратные числовые фигуры Лая.

обозначить цифрою соответствующее ей число или даже указать, из каких двух слагаемых составлено данное число (в этом последнем случае части числовой фигуры, изображавшие отдельные слагаемые, различались между собой по окраске кружков). При всех опытах время восприятия фигур было настолько малым (не более 17з сек.), что совершенно исключалась возможность пересчитывания кружков; тем не менее подвергавшиеся опытам учащиеся могли правильно воспроизводить или оценивать числом все числовые фигуры первого десятка и определять по числовым фигурам сумму двух однозначных чисел. Таким образом было достоверно обнаружено, что возможно непосредственное определение, в пределах первого десятка, численности группы об'ектов без сосчитывания, а равно и выполнение действий в указанном пределе также без пользования процессом счета. Эти факты, разумеется, крайне важны в педагогическом отношении, так как возможность обходиться без сосчитывания, хотя бы в некоторых случаях, при определении численности предметов и при действиях над однозначенными числами должна вести за собой существенную экономию времени при начальном обучении, не говоря уже о том, что отчетливые числовые представления в области первого десятка или двух десятков дают прочное основание для всех дальнейших сведений по арифметике.

В этом смысле поучительны те наблюдения, которые произвел Лай при занятиях по своему методу с детьми, еще не начинавшими учиться до того времени; он рассказывает, напр., о мальчике 5 лет, умевшем считать только до 4-х, с которым он занимался в общей сложности 6 часов, обучая его счислению в пределах от 1 до 8. В конце этого срока,—пишет Лай,—он мог лишь медленно произнести последовательный ряд числительных от 1 до 8; между тем мог решать задачи в роде следующей: на нашей улице было 8 деревьев; 3 из них срубили; сколько осталось? С другим мальчиком того же возраста, после занятий, продолжавшихся в общей сложности 10 часов, был достигнут подобный же результат для чисел в пределах 1—10 (См. Лай, 5-е изд. 1916 года, стр. 136—137).

На основании принципа числовых фигур были построены как Лаем, так и Вальземанном наглядные пособия для классного и индивидуального обучения. Я вкратце опишу здесь наглядные пособия Лая. Для классного употребления им построены счеты о 20 и о 100 шариках; первые состоят из черной доски с двумя горизонтальными проволоками, на которых надеты десять белых шариков, расположенных в виде соответствующей числовой фигуры, и затем десять красных шариков в виде такой же фигуры (см. рис. 6).

Чтобы можно было передвигать по проволокам часть фигуры, не нарушая взаимного расположения шариков, между последним вставлены чер-

ные металлические цилиндрики. Подобным образом устроены и большие счеты о 100 шариках. Для пользования учащихся построены счетная линейка и счетный ящичек; линейка черного цвета (рис. 8) представляет в уменьшенном размере точную копию классных счетов о 20 шариках.

Ящичек же (рис. 9) представляет обыкновенный пенал, в котором на внутренней стороне крышки вырезаны 20 круглых углублений, расположенных так же, как и шарики на счетах; в эти углубления вставляются, по мере надобности, белые и красные костяные пуговицы.

Практическое значение числовых фигур (составленных из кружков или шариков) заключается не только в том, что они делают доступными непосредственному восприятию все числа до 10—12, но главным образом в том, что при помощи их дети могут наглядно воспринимать и целый ряд соотношений между числами в пределах данной числовой фигуры. Так, напр., числовая фигура 8-ми (рис. 10 слева) дает возможность непосредственно видеть, что 4 + 4 = 8, 5 + 3 = 8, 6 + 2 = 8, 7 + 1=8; 8—1=7, 8 — 2 = 6,8 — 3 = 5 и т. д.; 4X2 = 8, 2X4 = 8, 8 : 2 = 4, 8 : 4 = 2 и т. д.; числовая фигура 12-ти (рис. 10 справа) не только дает возможность

Рис. 7. Классные счеты Лая о 20 шариках.

Рис. Я. Счетная линейка Лая.

Рис. 9. Счетный ящичек (пенал) Лая.

непосредственно видеть ряд соотношений вроде 10-{-2 = 12, 8 —j-4 = 12, 12 — 2 = 10, 12 — 4 = 8, 4X3 = 12, 6X2 = 12, 12:2 = 6, 12:3 = 4 и т. д., но и может иллюстрировать самый метод сложения однозначных чисел с переходом через десяток; в самом деле, при помощи ее непосредственно видно, что сложение 8 -|— 4 сводится к дополнению 8 до десятка путем прибавления 2-х, и к прибавлению к десятку остающихся сверх того 2-х единиц (8-f-4 = 8-j-2-}-2 = 10-f-2 = 12). Применение же шариков двоякой окраски дает возможность наглядно представить и все числа второго десятка в виде совокупности десяти белых шариков и нескольких красных; легко могут быть иллюстрированы и действия над однозначными числами, особенно сложение и вычитание в пределе 20.

В связи с указанными преимуществами числовых фигур и возможностью при помощи их воспринимать числа и соотношения между ними без пересчитывания—возникает вопрос о том, какое же место будет при этом занимать счет при знакомстве с числами в указанных пределах; не придется ли и вовсе обойтись без него в педагогической практике? На этот последний вопрос нужно, однако, ответить отрицательно. Дело в том, что уменье считать, т. е. называть числительные имена в порядке натурального ряда и в соответствии с рядом об'ектов, последовательно воспринимаемых,—необходимо нам для повседневной жизненной практики. При пересчитывании предметов мы еще можем иногда соединять их в небольшие группы и не нуждаемся тогда в последовательном назывании каждого числа (напр., считая тетради в кипе, говорим: три, шесть, девять, двенадцать и т. д.), но при пересчитывании явлений, последовательных в времени, мы часто не имеем другого способа, кроме обыкновенного счета: один, два, три, четыре и т. д.; так, напр., приходится считать при измерении длины какой-нибудь мерой, при наливании жидкости стаканами, ложками или каплями, при сосчитывании ударов пульса или качаний маятника и т. д.; счет упрощается, если последовательность явлений образует ритм (получаются своего рода числовые фигуры в времени), но такие случаи сравнительно редки, и если педагогическая практика оставит беглый последовательный счет совершенно в стороне, то этим затормозится выработка одного из умений, необходимых для жизни. А что такие последствия возможны, доказывают те самые исследования Лая, о которых говорилось раньше: тот мальчик, который с помощью числовых фигур научился уже решать задачи, требующие вычитания 3 из 8, не мог еще выполнять беглый последовательный счет от 1 до 8. Поэтому нельзя не согласиться с мнением Меймана, который в своих «Лекциях по экспериментальной педагогике» указывает, что метод, опирающийся

Рис. 10.

только на применение числовых фигур, представляет такую же односторонность, как и обучение, основанное исключительно на счете; в первом случае дети будут представлять себе число, главным образом, как группу однородных предметов, и будут затрудняться, когда им придется приложить известные им числовые соотношения к последовательности явлений во времени; во втором случае число будет воспринято только как результат счета, а при таких условиях у детей не могут возникнуть отчетливые и живые представления чисел первого десятка. «Только при правильном соединении обоих методов,—говорит Мейман,—возможно исчерпывающим образом уяснить ребенку сущность представления о числе и сущность арифметических действий» (т. III, стр. 174). Такое комбинирование обоих методов тем более необходимо, что среди учащихся попадаются дети слухового типа, следовательно более предрасположенные к восприятию явлений, последовательных во времени; и эти дети при обучении по методу, основанному только на применении числовых фигур, будут в столь же невыгодном положении, в каком находятся дети зрительного типа при господствовавшем до сих пор «счетном» методе.

Из других экспериментальных исследований в области восприятия числа заслуживают еще внимания опыты Вальземанна, произведенные в 1906 г. по вопросу о наиболее целесообразных средствах восприятия простейших дробных чисел. Вальземанн задался целью сравнить три способа наглядного изображения долей и дробей, наиболее употребительные в педагогической практике, а именно изображение дробей посредством частей прямолинейного отрезка, посредством круга, разделенного на секторы, или квадрата, разделенного на прямоугольники (см. рис. 11).

Рис. 11. Различные способы наглядного изображения дроби 5/81).

1) При опытах Вальземанна соответствующие данной дроби части фигур были заштрихованы синим карандашем.

С этой целью он показывал учащимся картонные таблицы, на которых были изображены различные доли (пятые, шестые, восьмые, девятые, двенадцатые, пятнадцатые) одним из трех упомянутых способов. Испытаниям подвергались ученицы учительской семинарии (в Шлезвиге) и начальной школы при ней, причем в первой группе опытов они должны были только указывать, какие доли изображены на данной таблице, а во второй группе опытов—какие и сколько долей. Время восприятия каждой таблицы не превышало l1/^ сек.; всего было исследовано более тысячи отдельных ответов для каждого вида таблиц, и в результате оказалось, что изображение дробей посредством частей прямой линии дало в первой группе опытов 40%, а во второй 66,3% неверных ответов; изображение посредством частей круга—33,7% и 50% неверных ответов, а изображение дробей с помощью квадрата, разделенного на прямоугольники—только 11,4% и 12,3% ошибок. Эти исследования имеют большую важность для педагогической практики, так, как они указывают, что распространенная в нашей дореволюционной школе прямая линия, собственно говоря, не может считаться сколько-нибудь удовлетворительным наглядным пособием при ознакомлении с простейшими дробями (интересно, что те опыты Вальземанна, которые были проведены над детьми начальной школы, дали для прямой линии 58,3% и 72% ошибок); и даже круг, разделенный на секторы, оказывается, по числу возможных при нем ошибок, в 3—4 раза менее целесообразным, чем квадрат, разделенный на прямоугольные доли1). (Вальземанн, «Anschauungslehre», стр. 104—106).

В предыдущем изложении я постарался дать сущность и итоги того, к чему пришла современная педология и экспериментальная дидактика в вопросе о развитии числових представлений у детей и восприятии числа детьми. Как видно, на основании одних этих данных нельзя еще создать полную и детально разработанную систему методических указаний для работы по математике с детьми дошкольного возраста и первых лет обучения; но основные вехи, определяющие направление и характер этой работы, наметить можно, равно как можно и необходимо в отдельных случаях использовать для педагогической практики тот материал, который нам дают изложенные выше исследования. По отношению к дошкольному возрасту это будет сделано в следующей главе.

1) Это не исключает, однако, возможности использования круга, разделяемого на секторы, для первоначальной иллюстрации простейших долей (половина, четверть, треть и т. п.), так как здесь доли круга имеют другое преимущество „часть“ заметно не похожа на „целое“.

Глава VII.

Математика в детском саду.

Из предыдущего изложения (гл. V) известно, что числовые представления начинают формироваться у детей весьма рано—на третьем и даже на втором году, а темп их дальнейшего развития зависит от влияния окружающей среды. Бывают случаи, что шестилетний ребенок твердо владеет уже соотношениями чисел в пределе десятка, а счетом предметов до 20 и даже до 100 (см. «Развитие числовых представлений», стр. 34); возможны даже случаи, когда подобные умения развиваются у ребенка и на пятом году (см. там же, стр. 30); дети же до 8 лет, поступающие в школы, обычно приносят уже из домашней среды знание чисел первого десятка, если не всех, то некоторых из них, а также отчасти и соотношений между ними. Все это показывает, что дошкольный возраст от 4 до 8 лет имеет существенное значение в деле развития числовых представлений у ребенка, и поэтому, организуя образовательную работу детей в детском саду или в соответствующих группах детского дома, мы не можем оставить без внимания эту сторону душевной жизни ребенка; наоборот, от нас зависит облегчить развитие числовых представлений в этот период, сделать их более или менее отчетливыми и живыми.

Первый вопрос, который здесь возникает, таков: будем ли мы стремиться к тому, чтобы ребенок к концу дошкольного периода (к 8 годам) приобрел определенную сумму познаний или навыков в области чисел, напр., овладел числовыми соотношениями в пределе 1—20 или 1—10? На этот вопрос приходится отвечать отрицательно, по многим соображениям. Прежде всего, мы не знаем еще, какое развитие числовых представлений можно считать нормальным для ребенка в 6—7 лет, и потому не можем поставить определенной нормы и для развития математических навыков у питомцев детского сада к концу дошкольного возраста: нормальное для одних детей может тут оказаться преждевременным для других. Затем, преднамеренное развитие формальных навыков, хотя бы в области счета и вычислений, может оказаться для детей данного возраста слишком отвлеченной и потому непосильной работой, в то время как школа, имеющая дело с более взрослыми детьми, уже может понемногу задаваться и этими целями. Наконец, мы в настоящее время и в первые годы трудовой школы не спешим с накоплением чисто-формальных знаний, а стремимся, чтобы они по возможности приобретались ребенком незаметно, в процессе производительного труда или наблюдения окружающей жизни, или даже в процессе игры; тем более нет оснований держаться иной руководящей линии в работе с детьми дошкольного возраста.

Итак основная задача наша в деле математического развития детей дошкольного возраста—не столько ускорить ход развития числовых представлений, сколько углубить и систематизировать эти представления, сделать их возможно более живыми, яркими и отчетливыми. А эта задача, очевидно, может быть правильно разрешена лишь в том случае, если мы в нашей работе с детьми будем ориентироваться на те пути, которыми идет естественное развитие числовых предоставлений у ребенка в первые года его детства. Мы знаем (гл. V), что в основе этого развития лежит восприятие ребенком небольших групп однородных вещей из окружающей обстановки (в пределах 1—5), и потому прежде всего постараемся использовать те случаи, когда жизнь, труд и игра ребенка предоставляет ему возможность подобных восприятий.

Таких случаев будет в жизни детского сада и в окружающей обстановке более чем достаточно: у каждого ребенка две руки, две ноги, два глаза, два уха, один нос или рот; у курицы, у воробья или голубя две ноги, два крыла, два глаза; у кошки, собаки, лошади или коровы четыре ноги; в комнате бывает, напр., две двери, три окна, четыре стены, одна печка; четыре ноги бывает у стула, у стола, скамейки; на столе или на полке может находиться две, три, четыре тарелки, ложки, стакана и т. д.; у каждого из нас на руке пять пальцев; лошадей запрягают парами и тройками; у телеги четыре колеса; вишни растут на дереве парами и тройками, каштанов в цельной скорлупе бывает тоже два—три; цветок сирени имеет обыкновенно четыре лепестка, но часто попадается также три или пять; у жука, стрекозы или бабочки четыре крыла, два глаза и шесть ног, и т. п.

Прежде всего, мы, конечно, постараемся выяснить себе, до какого предела развиты числовые представления у детей, составляющих данную группу. Это лучше всего можно сделать попутно во время работы или игры, поручая тому или иному ребенку подать или принести небольшое количество необходимых в данный момент вещей, напр., принести два—три карандаша, подать на стол к завтраку два, три, четыре стакана или тарелки, ложки, поставить во время игры на указанное место два—три кубика или шарика, подать три—четыре каштана, фасолинки и т. п.; или же, задавая иногда вопросы о численности тех или иных вещей, напр., сколько здесь (перед глазами ребенка) шариков, кубиков, горошин; сколько стаканов на столе; сколько ног у человека, у петуха, у кошки или собаки; сколько на руке пальцев и т. п. Для старших детей (6—7 лет) эти вопросы соответственно усложняются, охватывая область чисел первого десятка и даже несколько далее. При помощи таких контрольных вопросов и поручений мы можем узнать, имеет ли ребенок реальные и отчетливые представления о двух, трех, четырех, пяти вещах, и даже как он воспринимает эти группы вещей—сразу или по частям, или наконец от-

дельньши единицами, выполняя при этом последовательный счет. Ясно, разумеется, что эти поручения и вопросы должны предлагаться в подходящий момент, в связи с очередной работой или игрой, и притом так, чтобы ребенок не замечал, что его хотят этими вопросами проконтролировать; тогда только перед нами развернется подлинный круг его развития.

Такое обследование может показать довольно разнообразную картину развития числовых представлений у детей; в то время, как одни имеют уже ясные представления о числах 1—5 и владеют счетом в этой области, другие могут идти еще не далее 3; а среди старших детей 6—7 лет бывают и такие, которые владеют уже числами первого десятка и даже более. Дальнейшая наша задача будет состоять в том, чтобы каждому ребенку предоставить возможность нормального развития числовых представлений, начиная с той ступени, на которой он в данный момент находится.

Тем детям, которые не обладают еще числовыми представлениями в пределах до 5—6, мы должны дать возможность непринужденного и незаметного овладения числами и счетом в этих пределах. Достигается это при помощи восприятия ребенком соответственных групп предметов, как непосредственно, так и при помощи пересчитывания. Напр., Петя, который владеет числами не далее 3, и Вася, который имеет представления о числах до 5 включительно, играют с «мишкой»; если мы в подходящий момент спросим Васю, «сколько у мишки ног?» и он скажет: «четыре», то у Пети, который слышит этот разговор и видит мишкины ноги, возникает ассоциация между числом мишкиных ног и словом «четыре». Возможно, что после этого у него останется в памяти, что у мишки четыре ноги; возможно, что это обстоятельство поможет ему установить, что у собаки, у лошади или у стола тоже четыре ноги; это мы можем проконтролировать через некоторое время путем вопросов при подходящих условиях. Или, напр., тот же самый Петя получает от нас поручение взять из коробки карандаши—для себя, для Васи, для Кати и для Веры. По всей вероятности, он справится с этим поручением, даже не умея считать до четырех, но мы можем воспользоваться этим случаем, чтобы расширить круг его познаний о числах, если во время его работы поставим ему несколько вопросов. Когда он возьмет один карандаш для себя и другой для Васи, мы спросим его: «сколько ты взял карандашей?» («Два»). Затем он присоединит к ним третий карандаш—для Кати, а мы спросим его: «сколько теперь карандашей?» («Три»). Наконец он возьмет и четвертый—для Веры; мы снова спросим его: «а теперь сколько карандашей?» Так как он не знает еще числа четыре, то на этот вопрос он либо вовсе не ответит, либо скажет: «три и один», после чего наступит наша очередь сказать, что всех карандашей четыре, или сообщить ему, что «три и один» иначе называется «четыре». Восприятие четырех карандашей ассоциируется тогда у Пети со словом «четыре».

Прекрасным средством для непосредственного восприятия чисел 1 — 6 служит игра в домино; на косточках домино соответствующие числа изображены, как известно, группами кружков в виде числовых фигур, и хотя эти числовые фигуры и не вполне удовлетворяют заданиям Лая и Вальземанна, но все же дают яркие и отчетливые образы чисел 1—6 (есть и пустая косточка, наглядно изображающая «ничего», т. е. нуль). За неимением готового домино его можно сделать из картона—вместо косточек изготовить прямоугольные карты, разделяя каждый прямоугольник чертою пополам и изображая на обеих его половинах необходимое число очков от 0 до 6. Во время игры приходится отыскивать всякий раз число, равное числу на предыдущей косточке (или карте); таким образом, эта игра дает ряд незаметных упражнений в непосредственной оценке численности той или иной группы кружков. Для той же цели могут служить различные игры, связанные с бросанием кубика: на кубике изображены числа 1—6 при помощи числовых фигур из точек или кружков; дети поочередно бросают кубик и должны, напр., брать из коробки столько фасолинок, сколько выпало точек; игра продолжается, пока все фасолинки не будут таким образом разобраны.

Особенное внимание приходится обращать при этом на случаи, когда дети воспринимают ту или иную группу вещей путем перечисления. Как было указано в свое время (гл. V), при этом случается, что дети либо в беспорядке называют числительные имена, либо даже усваивают правильный порядок, но схватывают только внешнюю сторону пересчитывания—последовательное показывание пальцем на отдельные предметы с произнесением слов: «один, два, три, четыре, пять» и т. д., и не отдают себе при этом отчета в том, сколько же они насчитали вещей. Во избежание этого, всякое пересчитывание должно производиться на первых порах отчетливо и не спеша, так, чтобы ребенок мог каждый раз воспринять группу, образовавшуюся из предыдущей путем присоединения новой единицы. Весьма небесполезно при этом контролировать выполняемый ребенком счет путем вопросов, напр : «Сколько у тебя теперь фасолинок?» («Три»). Ребенок кладет еще одну. «А теперь?» («Четыре»). Ребенок положил еще одну. «А теперь сколько?» («Пять»)—и т. д. Всякое же бесцельное и механическое повторение слов числового ряда, как, напр., в известной песенке: «Раз, два, три, четыре, пять—вышел зайчик погулять,» или в стишках вроде: «Раз, два—булава; три, четыре—прицепили; пять, шесть—хотим есть...» является безусловно вредным для развития числовых представлений и правильного сознательного счета.

Когда ребенок хорошо ознакомится с числами до 5—6, он может незаметно усвоить и соотношения между числами в этих пределах, сводящиеся к прибавлению или отниманию. Этому он научается, выполняя в повседневной жизни вычисления вроде следующих: «На столе стоит 3 ста-

кана и на подносе 2. Сколько всего стаканов?»—или: «В корзине лежит 4 яйца. На яичницу нужно взять 3 яйца. Сколько яиц останется?»—или наконец: «Мне нужно вырезать из бумаги 4 кружка; я вырезал 2. Сколько кружков мне еще осталось вырезать?» Если мы используем разнообразные случаи, когда ребенку приходится выполнять подобные вычисления в процессе его труда (приготовление к столу и уборка его после пищи, уборка комнаты), во время занятий (лепка, рисование) или игр, то все подобные соотношения он усвоит без труда и незаметно.

Одновременно или несколько позже ребенок начинает усваивать и счет до 10, даже несколько далее (до 12—15), и таким образом знакомится со всеми числами первого десятка. Материал для этого счета в изобилии дает окружающая жизнь: в окне бывает вставлено 6, а иногда и 7 стекол; у мухи 6 ног, у паука 8 ног, у рака 10; на веточке акации бывает 7—9 листиков; венчикир азличных цветков состоят из 5—6 и более лепестков; во время завтрака приходится ставить на стол 6—10 и более стаканов или тарелок; на платье бывает пришито 10—12 пуговиц; на дворе можно видеть курицу с 6—10 и большим числом цыплят, утку с утятами; для детских построек нужно бывает брать 6—10 и более кубиков, и т. д. Основная наша задача в этой стадии развития ребенка—следить, чтобы счет, как и до сих пор, оставался сознательным и отчетливым процессом образования групп—посредством присоединения всякий раз новой единицы; этого мы достигнем, если будем следить, чтобы счет выполнялся достаточно медленно, чтобы отсчитанные предметы по возможности отделялись от неотсчитанных, и чтобы ребенок таким образом успевал воспринимать каждый раз всю образовавшуюся группу предметов, а не один только последний считаемый предмет. В этой стадии ребенок должен научиться прилагать счет по всем возможным случаям восприятия вещей, а потому не следует упускать случая, когда ему представляется возможность считать не только предметы, но и последовательные явления, напр., удары часов, размахи маятника, наливаемые стаканы воды, шаги или прыжки во время игры и т. п.

Так как при восприятии свыше 4—5 вещей весьма редко возможно непосредственное восприятие всей их группы, то следует особенно ценить те случаи, когда это все-таки может иметь место. Для этой цели можно использовать числовые фигуры при игре в лото: среди рисунков лото можно дать числовые фигуры по образцу фигур Лая или Вальземанна, при помощи которых числа первого десятка изображаются группами кружков и доступны непосредственному зрительному восприятию (необходимые для игры карты с числовыми фигурами нетрудно изготовить из твердого картона). Кроме того, здесь уместно показать детям, как использовать эти числовые фигуры для записи числа; чтобы записать, что в кукольном доме 8 кукол, ребенок рисует, как умеет, куклу, а под ней

или около нее изображает кружками числовую фигуру 8; фигуру эту ребенок может либо рисовать карандашем, либо составить при помощи наклеивания кружков из цветной бумаги.

В процессе ежедневных расчетов, связанных с играми и трудом, ребенок незаметно усвоит целый ряд соотношений между числами 1—10. Случаи для подобных расчетов представляются на каждом шагу: напр., на тарелке лежит 4 яйца, я кладу туда еще 2—сколько всех яиц; на одной ветке дерева 3 груши, а на другой 4—сколько всего груш; под одной сосной мы нашли 5 грибов, под другой 3—сколько всех грибов; сколько пальцев на двух руках; на заборе сидело 7 воробьев, 2 из них улетело—сколько осталось; на тарелке лежит 10 огурцов, мы хотим с'есть 4—сколько останется; к столу нужно подать 8 ложек, я принес 5—сколько еще нужно принести, и т. п.

Подобные расчеты часто делаются над вещами, имеющимися налицо, но на данной ступени иногда бывает нужно подсчитать и такие предметы, которых нет перед глазами детей—и тут весьма целесообразно, если вычисления иллюстрируются рисунками детей, хотя бы самыми примитивными; эти рисунки вносят большую отчетливость в восприятие числа. Наиболее естественно иллюстрируются такими рисунками вопросы, сводящиеся к сложению: напр., я сорвал с одной веточки 3 вишни и с другой тоже 3—сколько у меня вишен; на одной стороне улицы 4 фонаря, на другой 3—сколько всех фонарей; но не исключается возможность изобразить рисунком и задачу на вычитание, хотя и с некоторой долей условности и символизма—напр., если на заборе сидело 7 воробьев и из них улетело 2, то ребенок может для иллюстрации этого нарисовать 7 воробьев на заборе, а затем двух из них перечеркнуть, или же нарисовать рядом другую картину, где два воробья будут изображены летящими, а сидящими на заборе остальные 5. Особенно уместны такие рисунки, как запись виденного во время прогулки, экскурсии, или пережитого во время игры; на основе этих впечатлений и их иллюстрации могут возникать тогда целые группы последовательных расчетов. Кроме зарисовывания, весьма полезно также использовать и числовые фигуры, как средство для записи числа; с помощью числовой фигуры дети могут непосредственно изображать результаты вычисления; но те же числовые фигуры могут служить и для записи самого процесса вычисления: для записи сложения мы будем составлять числовую фигуру из кружков различного цвета, или еще проще—из кружков заштрихованных и незаштрихованных; а для записи вычитания будем пользоваться вычеркиванием части кружков из фигуры.

Мы не задаемся целью заставить каждого ребенка усвоить таким образом все числовые соотношения в пределе 10, но значительная часть этих соотношений сама собою запечатлеется при этом в памяти детей

Сначала это будут соотношения, касающиеся сложения двух равных слагаемых: 3 + 3, 4 + 4, 5+5, потом постепенно остальные соотношения сложения и вычитания; из других соотношений понадобится практически еще деление пополам и сравнительно реже—на четыре или три части, причем деление это не ограничится, конечно, случаями деления нацело, а приведет к знакомству с половинами, четвертями и третями. Повод для этого—такие случаи, как необходимость разделить двум детям поровну четыре яблока, шесть орехов, один хлеб, лист бумаги, ленту или же разделить эти вещи поровну четверым, троим детям. Ясно, что деление пополам здесь является самым простым случаем; деление на четыре части сводится к двойному делению пополам, а нахождение третьей части—задача более сложная и требующая большего напряжения мысли. И здесь процесс вычисления может быть иллюстрирован числовой фигурой (для случаев деления нацело); деления же, приводящие к дробям, здесь ограничивается обычно такими случаями, когда и «целое», и его части находятся непосредственно перед глазами ребенка.

Далее возникает вопрос—знакомить ли детей с записью числа цифрами и когда это сделать? Дети в городской обстановке (среди которой приходится вести свою работу большинству наших детских садов и домов) окружены изображениями цифр—на номерах домов, на трамваях, отрывном календаре и т. п., и потому не следует уклоняться от ознакомления их с цифрами, но только необходимо, чтобы это ознакомление происходило без принуждения и при удобном к тому случае. Наиболее подходящее время для того будет тогда, когда ребенок знаком уже со всеми числами 1—10 и с некоторыми их соотношениями, а также умеет изображать числа первого десятка в виде числовых фигур; ознакомление с цифрой будет тогда только естественным дальнейшим шагом—упрощением и символизацией записи числа. Ближайшим поводом для ознакомления с цифрами может быть какая-либо цифра окружающей обстановки— номер дома, квартиры, трамвайного вагона и т. п.; лучшим же средством для усвоения значения цифр являются игры с выбрасыванием кубика, и цифровое лото. В играх с кубиком на сторонах этого кубика изображены уже не числовые фигуры, а цифры 1—6, в остальном же игра ведется, как и раньше; игра же в цифровое лото состоит в том, чтобы по вынутой цифре найти на карте лото ту числовую фигуру или группу предметов, которая этой цифре соответствует.

Будем ли мы идти далее и помогать детям знакомиться с числами второго десятка, а затем и сотни? Мы не преследуем целей систематического обучения ребенка в детском саду или соответствующих группах детского дома, и потому большинство детей к концу пребывания в детском саду (к концу 7—8 года жизни), вероятно, ограничатся указанными знаниями о числах; отдельные же более быстро развивающиеся дети ознакомятся и с числами второго десятка и даже со счетом десятками до ста.

Наряду с числовыми представлениями дети приобретут в процессе повседневных расчетов также и представления о простейших мерах и измерении длины и веса. Поводом к этому будут служить такие случаи, как развешивание небольших порций хлеба или сахара, измерение длины и ширины комнаты, окна, стола, расчеты, связанные с шитьем белья или платья и т. п. Меры, с которыми при этом попутно и практически ознакомятся дети, могут быть, конечно, только из числа небольших и наиболее употребительных в жизни—в настоящее время это будут фунт, полфунта и четверть фунта, аршин, пол—и четверть аршина, вершки; в дальнейшем, когда метрические меры вытеснят у нас старые образцы, место аршина и фунта займут здесь метр и килограмм и их части.

Подобным же путем—в процессе наблюдения окружающих вещей и занятий лепкой и рисованием—дети приобретут представления и о наиболее употребительных геометрических формах (шар, куб, круг, квадрат, прямоугольник, треугольник, прямая и кривая линия). Замечу, что искусственное расширение познаний детей о геометрических формах за пределы указанных, употребительных в обыденной жизни—возможно и не представляет больших затруднений, но в нем и нет вместе с тем никакой необходимости. Плоские геометрические формы лучше всего и незаметно изучаются детьми при помощи игр со спичками и палочками.

Подводя итоги сказанному выше, мы можем придти к таким заключениям. В основе числовых представлений лежит восприятие ребенком групп однородных вещей, а потому и арифметическая работа детей в дошкольном возрасте должна опираться в первую очередь на восприятие и воспроизведение ребенком небольших групп предметов в связи с слуховыми восприятиями соответствующих числительных имен. Поводов для этой работы мы не будем создавать искусственно, но используем для нее все подходящие случаи, возникающие в процессе жизни, труда и игры детей. При этом группы однородных предметов должны воспроизводиться и восприниматься ребенком как целиком, так и по частям и посредством пересчитывания, но счет должен быть конкретным, отчетливым и настолько медленным, чтобы ребенок при нем воспринимал каждый раз и ассоциировал с произносимым числом полностью всю образовавшуюся при присоединении данной единицы группу, а не только последний предмет; механическое и бессознательное повторение слов числового ряда должно быть исключено, так как оно идет во вред развитию числовых представлений у детей. Только при этих условиях мы можем расчитывать, что числовые представления, которые будут развиваться у детей на почве их труда, игры и наблюдения окружающей жизни, окажутся достаточно живыми и разносторонними и скажутся благопри-

ятными результатами в последующей работе детей, при изучении ими окружающего мира и организации их жизни в коллективе. Мы используем при этом все средства, которые дают возможность сделать числовые представления детей (в области первого десятка) наиболее живыми и отчетливыми (применение числовых фигур), но вместе с тем будем избегать всякого преждевременного и искусственного вмешательства в развитие числовых представлений у детей, а также преднамеренного развития у них определенных формальных навыков. В отношении измерительных навыков и восприятия форм — достаточно ограничиться теми из них, которые связаны с повседневной жизнью детей.

На этом я мог бы и закончить рассмотрение основных вопросов, касающихся математической работы с детьми дошкольного возраста; но так как установленные здесь принципы в значительной степени противочат традиционной практике, то необходимо будет с точки зрения их подвегнуть критике некоторые течения педагогической мысли в данной области—в первую очередь систему Монтессори, изложенную в ее книге «Дом ребенка» (Москва, изд. «Задруга», 1913).

Основной недостаток всей системы Монтессори в том, что она стремится развить до возможно более высокого уровня все психические силы и способности детей, независимо от того, вызывается ли это жизненными потребностями ребенка в данный период или нет; так напр. чтению и письму в детских садах Монтессори научаются дети 4—5 лет, т. е. в таком возрасте, когда у ребенка еще очень беден запас непосредственных впечатлений от жизни, и нет еще необходимости делиться с кем-нибудь своими переживаниями на письме, а чтение книг, т. е. восприятие чужой мысли вместо развития своей, является безусловно преждевременным. Так построена у Монтессори и математическая работа детей: дети в возрасте 3—6 лет обучаются счету и вычислениям сначала в пределе 10, а потом и до 100, не только устным, но и письменным, и хотя по свидетельству Монтессори («Дом ребенка», стр. 304) большинство из них и приобретает эти навыки, но нельзя не видеть, что для детей данного возраста такой высокий уровень арифметических познаний отнюдь не является жизненно необходимым, а интерес к упражнениям с числами оказывается вызванным искусственно. В основу же ознакомления с числами первого десятка у Монтессори положен однобокий метод сосчитывания—сначала дети считают предметы окружающей обстановки, потом применяют свои познания к счету и размену денег, а после этого переходят к сосчитыванию дециметровых делений на серии соответствующих палочек (длиною от 1 до 10 дециметров); эти деления раскрашены поочередно в синий и красный цвета (стр. 294—295). Цифры изучаются довольно рано (четырехлетними

детьми) и сначала чисто механически: ребенку показывают цифру, вырезанную из наждачной бумаги и говорят—это один, это два, и т. п.; и только после этого идут упражнения в установлении соответствия между цифрами и числом. Но верхом искусственности являются при этом упражнения с нулем: детям не только показывают 0, как отдельную цифру, обозначающую «ничего», т. е. отсутствие числа, но и задают им казуистические поручения вроде: «подойди ко мне нуль раз» (стр. 297), что, конечно, сначала совершенно сбивает детей с толку и заставляет руководительницу пространно раз'яснять недоразумение, ею же самой вызванное. Действия в пределе 10 и далее до 20 изучаются не столько на жизненных задачах, сколько путем отвлеченных упражнений с дециметровыми палочками и с записью произведенного вычисления при помощи цифр и знаков действий (стр. 300—304).

Насколько все это односторонне, абстрактно, подчас даже схоластично и решительно противоречит всем установленным выше принципам— ясно без комментариев. Вообще подобная система не заслуживала бы даже рассмотрения, если бы под нею не стояло имя Монтессори, считающейся авторитетом в деле дошкольного образования, и имеющей и у нас своих ярых поклонников.

Не менее односторонним является приступ к изучению чисел первого десятка в известной книге Лезана «Initiation mathématique», переведенной на русский язык под названием «Новые пути ознакомления детей с математикой» (изд. Горбунова-Посадова,1) Москва, 1909). Книга эта вообще содержит много ценного дидактического материала и пользуется поэтому заслуженной известностью, но начинается она с безусловной дидактической ошибки: автор советует использовать для первоначального знакомства с числами (для детей 4—5 лет) рисование и счет вертикальных и горизонтальных палочек, и последовательные числа 1—10 изображать соответственными рядами таких палочек. К этому он прибавляет: «Тут же, рядом с нарисованными палочками, раскладывают ряды бобов, хлебных зерен и других каких нибудь предметов и, показывая на них, говорят: один, два,......десять бобов, хлебных зерен и проч.» (стр. 10).

Ясно, что подобный приступ в достаточной мере является искусственным, опирающимся односторонне преувеличенно на последовательный счет и оставляющим без внимания восприятие группы предметов, как целого. Правда, немного далее Лезан прибавляет: «хорошо также приучать ребенка схватывать как можно быстрее взглядом кучку каких-либо предметов, напр., жетонов, или бобов, и говорить число их сразу, не пересчитывая один за одним; для этого необходимо начинать с очень маленьких

1) Книга Лезана в 1909—11 годах появилась на русском языке в нескольких переводах под различными названиями; в 1922 году переиздана вновь Госиздатом Р. С. Ф. С. Р.

чисел и увеличивать их постепенно» (стр. 11)—но, как известно, при расположении палочек и даже бобов и жетонов в ряд это возможно лишь при 3—4 предметах; о зависимости успешности восприятия и расширения его пределов от способа расположения предметов в группу Лезан не упоминает.

Книга Лезана не предназначена специально для дошкольного обучения; но в свое время она оказала у нас влияние и на эту область. Так, напр., лениградский педагог Игнатьев, написавший книгу «Арифметика для родителей и задачи для детей дошкольного возраста» (изд. Карбасникова, СПБ. 1909 г.), заимствует у Лезана целый ряд методических приемов по обучению счету, нумерации, а затем и действиям в пределе сотни. Книга Игнатьева написана для таких родителей, которые в те времена имели возможность обучать своих детей дома до 9—10 летнего возраста, а затем отдавали их прямо в среднюю школу; поэтому она содержит много материала, который в настоящее время уже никак нельзя назвать «дошкольным» (приемы изучения нумерации, действия в пределе 100 и выше). Но начало книги как раз посвящено интересующему нас вопросу—первоначальному ознакомлению ребенка с числами первого десятка. И вот оказывается, что Игнатьев не только буквально повторяет весь неудачный приступ Лезана (стр. 10—11), но и советует предварительно упражнять ребенка в усвоении механического счета. Вот что он говорит на стр. 6—7 своей книги: «Первоначальное упражнение, напр., может состоять в частом повторении при ребенке слов: один, два, три. Так, напр., можно их повторять, готовясь бросить, или подбросить мяч, собираясь играть с ребенком в перегонки, или догонять его... и т. д. Упражнения, очевидно, можно разнообразить всячески, лишь бы порядок этих трех слов незаметно и механически сам собою врезался в память ребенка, и он без всякого принуждения будет при случае повторять их сам. Далее можно прибегнуть, напр., к счету пальчиков на руке, предметов на картинках или кубиков до 5, или очков домино до 5, или спичек, или иных предметов и т. д. ... Простой, легкий и притом весьма доступный способ обратить внимание ребенка на слова последовательного счета состоит также в том, чтобы громко и последовательно считать при нем ступеньки крыльца или лестницы, взбираясь или спускаясь... Опыт показывает, что при упражнениях, подобных указанным выше, и где детей не заставляют ничего ни повторять, ни заучивать, они довольно скоро и легко научаются вести правильный последовательный счет (или, вернее, называть слова) от 1 до 10 или до 12, и даже до 20». Автор, повидимому, отдает себе отчет в том, что таким образом ребенок запоминает только слова числового ряда, но не увеличивает своего запаса сведений о числах, однако нисколько этим не смущается и определенно утверждает, что «если после всего этого малень-

кий ребенок на самых первых порах обнаружит в небольших сравнительно пределах просто механическое только усвоение счета по порядку то это нисколько не помешает дальнейшему, а, напротив, поможет» (стр. 8).

Мы видели уже, что последнее заключение автора следовало бы высказать как раз наоборот: механическое усвоение счета, рекомендуемое им, не только не поможет дальнейшей работе детей, а, напротив, помешает им во-время выработать сознательные и отчетливые представления о числах первого десятка. Вся система первоначального введения ребенка в область арифметических понятий, рекомендуемая Игнатьевым, оказывается, таким образом, построенной на песке.

Указанные выше примеры расхождения между выводами современной педологии и приемами, которых придерживаются в математической работе с детьми дошкольного возраста даже авторитетные педагоги—показывают, что в этой области должна быть произведена основательная переработка и переоценка ценностей традиционной дошкольной педагогики. И есть основания думать, что она будет произведена в духе принципов установленных в настоящем труде.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

Указатель литературы по вопросам методики математики, рассматриваемым в данном труде.

Список книг, приводимый ниже, имет целью помочь читателю без лишней затраты времени ориентироваться в современной литературе по методике математики—в той части ее, которая относится к вопросам, разбираемым в настоящем труде. Поэтому в него включены не все существующие по данному предмету книги и даже не все сочинения, известные автору, а только те из них, которые либо прямо могут быть рекомендованы читателю, либо хотя и страдают недочетами (указываемыми в отзывах), но могут быть по тем или иным причинам полезными или интересными для более обстоятельного ознакомления с данным вопросом.

I. Книги по общим вопросам методики математики и ее психологического обосиования (цели, программа и метод обучения математике).

1. Шохор-Троцкий. Начальная математика. Методы первоначального обучения (статья в издании «Педагогическая Академия в очерках и монографиях», изд. кн-ва «Польза», Москва, 1910 г.).

В данной статье изложены психологические основы и существенные черты конкретно-индуктивного метода обучения начальной математике и указаны в общих чертах те приемы, при помощи которых он должен проводиться на практике. Статья эта написана еще в дореволюционную пору, но до сих пор сохраняет свою ценность, как введение в методику начальной математики.

2. Юнг. Как преподавать математику. Перев. с англ. под ред. Кулишера, изд. т-ва «Общественная Польза», вып. I—II, Птгр. 1912 г. Стр. 428, (переиздано Госиздатом РСФСР в 1922 г.).

Автор этой книги—профессор методики математики в одном из американских университетов (в Чикаго), сторонник реформы преподавания математики на началах активной работы учащихся и близости учебного материала к жизни. Его сочинение представляет собою обстоятельный и ценный труд, посвященный обучению математике в средней школе; общие вопросы методики математики рассматриваются в первой части книги.

3. Володкевич. К вопросу о реформе преподавания математики. Изд. кн-ва «Сотрудник», Птгр.—Киев, 1910 г. Стр. 60.

Небольшая брошюра, рассматривающая главным образом вопрос о методе обучения геометрии на начальной ступени, но вместе с тем в ней исследуются и психологические предпосылки метода обучения математике вообще, и даются сведения о заграничном реформационном движении в этой области.

4. Мрочек и Филиппович. Педагогика математики. Том I. Изд. Богдановой, Птгр. 1910 г. Стр. 380.

Компилятивная работа по иностранным источникам, посвященная психологическому и историческому обоснованию лабораторного метода в преподавании математики и разработке его основных положений. Книга написана живо и, не без интереса, но страдает существенными промахами как в обще-теоретической, так и в прикладной части (многие утверждения авторов необоснованы, а методические приемы не всегда целесообразны).

5. Симон. Дидактика и методика математики в средней школе. Перев. с нем. Яшунского. Изд. т-ва «Физика», Птгр. 1912 г. Стр. 257. (Переиздана т-вом «Начатки Знаний» по заказу Госиздата РСФСР в 1922 г. под названием «Дидактика и методика математики в школе 2-й ступени»).

Книга имеет главным образом исторический интерес: автор ее— педагог старой германской школы и смотрит на математику преимущественнно как на орудие формального умственного развития. Что же касается реформистеских идей в преподавании математики в Германии, то они нашли свое отражение в следующих крупных трудах, не переведенных на русский язык: 1) Hofler. Didaktik des mathematischen Unterrichts. Verlag v. Teubner, Leipzig und Berlin 1910. S. 509. 2) Lietzmann. Methodik des mathematischen Unterrichts. Verlag v. Quelle und Meyer, Leipzig 1919, I Teil. S. 337, II Teil. S. 367 (второе изд. вышло в 1923 г.).

6. Ланков. Математика в трудовой школе. Изд. кн-ва «Работник Просвещения», Москва 1923 г. Стр. 167.

Краткий, но содержательный очерк методики математики для учителей младших групп трудовой школы, ценный как введение в практическую сторону современной методики. Теоретическому обоснованию принципов методики уделено, однако, мало места; классификация методов неудовлетворительна. Книжка содержит довольно подробный указатель литературы по обучению математике.

7. Воропай. Математика в трудовій школі. Вид. Держвидату України, Полтава 1923 р. Ст. 60.

Краткий очерк основных положений современной методики с приложением образца программы по математике для семилетней трудшколы. Программа составлена в духе современных принципов, по несоразмерно

велика для трудовой школы (для 7-го года введена, напр., теория пределов с приложениями, основы учения о производной и интеграле); есть спорные методические указания (напр., решение простейших уравнений начинается с первого года).

8. План работ в семилетней трудовой школе, выработанный экспертной комиссией при Киевском Губсоцвосе. Изд. Губнаробраза, Киев 1922 г. Стр. 168.

В этом труде дается программа по математике для семилетней трудовой школы (приведенная и на стр. 13—20 данной книги), с об'яснительной запиской и с указанием занятий и трудовых процессов, дающих материал для ее разработки. Имеется также указатель литературы по обучению математике.

Программы младшего концентра семилетней трудовой школы, данные в указываемом труде, были пересмотрены Киевским Научпедкомом и переизданы отдельно под названием «Опыт практического осуществления комплексного метода» (изд. Госиздата Украины, Киев 1923 г., стр. 92—на русском и украинском языках). Программа математики для первых трех лет трудовой школы в этом издании почти совпадает с соответствующей частью программы предыдущего издания; кроме того, дается еще программа четвертого года для четырехлетней сельской школы.

9. Программы семилетней единой тру до вой школы. Изд. Наркомпроса РСФСР, Москва 1921 г. Стр. 360.

Программы математики (стр. 107—122) составлена в духе современных методов и снабжена подробной об'яснительной запиской и особым приложением (стр. 123—144), посвященным графическому методу в алгебре. Невполне удачно распределение материала первых лет; обучение наглядной геометрии обособлено от арифметики. Несмотря на это программа остается ценной для современной школы.

10. Новые программы для единой трудовой школы. Вып. I. Изд. Госиздата РСФСР, Москва 1923 г. Стр. 142.

В этом первом выпуске новых программ трудовой школы Наркомпроса РСФСР даются программы первых двух лет школы 1-й ступени и первого года школы 2-й ступени (соответствующего пятому году обучения вообще). Программы составлены на основе идеи комплексного обучения и в этом отношении значительно ушли вперед от программы 1921 года. По математике в программе 1-й ступени уделено слишком мало внимания сравнительно с другими областями образовательной работы. Программа по математике для первого года 2-й ступени (стр. 123—127) более обстоятельна и стремится обосновать обучение математике на материале из окружающей жизни, главный образом сельско-хозяйственной.

В 1924 г. вышло новое издание этих программ («Новые программы единой трудовой школы первой ступени». I, II, III

и IV годы обучения. Изд-во «Работник Просвещения». Стр. 121), в котором дается комплексная программа для первых четырых лет обучения, с отдельными вариантами для сельской и городском школы для первых трех лет. И в этом издании программ математике уделено слишком мало внимания; весьма важный вопрос о соотношении между разработкой комплексных тем и приобретением математических навыков освещен недостаточно ясно и определенно (стр. 5, 14).

11. Руководство по социальному воспитанию, вып. I. Изд. 2-е Главсоцвоса УССР, Харьков 1923 г. Стр.338 (есть параллельное издание и на украинском языке).

Программа по математике для семилетней трудовой школы (стр. 186—224) составлена в духе современных методов и сопровождается обстоятельной об'яснительной запиской. Много методических указаний, за небольшими исключениями, ценных и вполне соответствующих духу современной школы. Есть недочеты в распланировке математического материала (дроби в арифметике, курс геометрии в старших группах); указатель литературы по математике (данный в конце книге на стр. 324—327) несистематичен, пестрит опечатками.

Новое издание «Руководство по социальному воспитанию» (Госизд. Украины 1924 г. Стр. 319)—дает комплексные программы для трудшколы-семилетки, в двух вариантах—для сельской школы (стр. 151—211) и для городской (стр. 212—262); имеется и об'яснительная записка к программе математики и астрономии с перечнем формальных знаний для каждого года (стр. 279—285), однако записка эта слишком коротка и не решает основного вопроса о взаимоотношении между комплексными темами и достижением программного минимума математических знаний.

II. Исследования по вопросам о развитии числовых представлений у детей и условиях, ему благоприятствующих. Пособия по математической работе с детьми дошкольного возраста.

12. Лебединцев. Развитие числовых представлений у ребенка в раннем детстве. Изд. Госиздата Украины, Киев 1923 г. Стр. 100.

Исследования автора, излагаемые в этой книге, легли в основу главы V настоящего труда и неоднократно в ней цитируются.

13. Лай. Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических опытов. Перев. с нем. под. ред. Волковского. Изд. 5-е, Москва 1916 г. Стр. 408.

Самым ценным в этом известном труде Лая являются его изыскания по вопросу об условиях, наиболее способствующих восприятию числа и образованию отчетливых числовых представлений (см. главу VI настоящего труда); интересны также сведения о развитии числовых представлений у

первобытных народов и дикарей. Методическая же система Лая разработана применительно к условиям немецкой начальной школы (где, между прочим, систематическое обучение начинается с шестилетнего возраста) и поэтому в нашей современной трудовой школе неприменима без соответствующей переработки.

Другой труд, также содержащий весьма ценные экспериментально-дидактические исследования в области восприятия детьми чисел—Walsemann. Anschauungslehre der Rechenkunst. Verlag v. Ibbeken, Schleswig 1907, S. 218—остался непереведенным на русский язык (см. о нем также в гл. VI).

14. Мейман. Лекции по экспериментальной педагогике, ч. III. Перев. с нем. под ред. Виноградова, изд. т-ва «Мир», Москва 1910 г. Стр. 259. (Последнее немецкое изд. носит название: Vorlesungen zur Einführung in die experimentelle Pädagogik und ihre psychologischen Grundlagen. Verlag v. Engelmann, Leipzig 1922 r. S. 919).

В этой части капитального труда Меймана есть глава (лекция 16-я по русскому изданию и 19-я по указанному немецкому), которая посвящена вопросу о психологических основах обучения счислению и об экспериментальных исследованиях в области восприятия числа. Вопрос изложен с большой полнотой и об'ективностью, но взгляды на развитие первоначальных числовых представлений вызывают возражения (см. гл. V настоящей книги).

15. Монтессори. Дом ребенка. Перев. с итал. Займовского, изд. т-ва «Задруга», Москва 1913 г. Стр. 339.

Труды Монтессори в области дошкольного воспитания пользуются большой известностью; математической работе посвящены отделы на стр. 209—214 и 218—220 (знакомство с геометрическими формами), а также стр. 294—304 (обучение счету и введение в арифметику). Обучение начаткам счисления по Монтессори страдает односторонностью—опирается почти исключительно на пересчитывание, и уделяет слишком много места развитию формальных навыков вне зависимости от жизненных потребностей в том ребенка (см. гл. VII настоящей книги, стр. 84—85).

16. Лезан. Новые пути ознакомление детей с математикой. Перев. с франц. Шараповой, изд. Горбунова-Посадова, Москва 1909 г. Стр. 131, (переиздано Госиздатом РСФСР в 1922 г.).

Книга Лезана, написанная независимо от какой-либо программы, имеет в виду детей преимущественно школьного возраста; но первые страницы ее (7—11) посвящены первоначальному знакомству ребенка с числами и тем самым захватывают область дошкольной работы. Труд Лезана был одной из первых попыток реформировать начальное математическое образование в духе современных принципов и имеет и до сих пор большую ценность для школьных работников; что же касается пер-

воначального подхода к числам, то он невполне удачен (см. в данной книге на стр. 85—87—критику указанной части труда и составленной под его влиянием книги Игнатьева «Арифметика для родителей и задачник для детей дошкольного возраста», изд. Карбасникова, Птгр. 1909 г. Стр. 84).

17. Дорошенкова. Дитячий садок. Вид. профспілки цукровиків, Київ 1922 р. Ст. 224.

Арифметической работе с детьми посвящены стр. 191—195 данной книги; автор высказывается против систематического обучения детей счислению в детском саду и с этой точки зрения критикует методы Монтессори и Тихеевой, с чем можно вполне согласиться.

18. Грацианский. Первые шаги. Методические указания и сборник упражнений и задач для обучения начаткам математики. Изд. т-ва «Начатки Знаний», Птгр. 1922 г. Стр. 80.

Книга эта предназначена, собственно говоря, для первого года школьного обучения; но первая глава ее (стр. 5—20) посвящена первоначальному ознакомлению с числами первого десятка, и рекомендуемые там приемы вполне применимы и для дошкольной работы с детьми в духе современных принципов; там между прочим указывается, как использовать числовые фигуры Лая, а также детские игры—домино, лото и др. в целях попутного математического развития детей.

19. Цунзер и Горбунова. Живые числа. Наглядная арифметика для школы и семьи. Изд. Горбунова-Посадова, Москва 1912 г. Стр. 132 (переиздано Госиздатом РСФСР в 1922 г.).

В этом задачнике арифметический материал переплетается с упражнениями в рисовании, вырезывании, с рассказами из детской жизни и детскими играми; задачник предназначен для первого года обучения, но первые два отдела его могут быть использованы и в дошкольной работе детей.

20. Тромгольт. Игры со спичками. Перев. с нем. Изд. «Матезис», Одесса 1907 г. Стр. 146.

В этой книжечке дается целый ряд интересных игр со спичками, простейшие из которых могут быть доступны и для детей дошкольного возраста.

21. Кемниц. Математика в детском саду. Изд. Сытина, Москва 1921 г. Стр. 80.

Книжка изложена в форме ряда примерных бесед с детьми, приводящих последних в процессе работы (рисования, вырезывания и т. п.) к наглядному усвоению чисел первого десятка и простейших геометрических понятий. Хотя книжка эта имеет в виду систематическое изучение счисления в детском саду и с этой стороны вызывает возражение, но многие рекомендуемые в ней приемы вполне подходят для детей дошколь-

ного возраста и могут быть использованы для попутного ознакомления их с числом и формой.

22. Струтзерс. Числа в играх. Перев. с англ. Лансберг под ред. Чехова. Изд. т-ва «Задруга», Москва 1914 г. Стр. 56.

В книжке этой дан порядочный подбор игр, главным образом подвижных, в процессе которых дети дошкольного возраста могут ознакомиться с числами первого десятка и цифрами. Часть рекомендуемых игр нельзя не признать искусственными, но все же книжка представляет интерес для работников детских садов.

Содержание.

Предисловие.........................3

Отдел I. Цели, программа и метод обучения математике в трудовой школе.

Глава I. Понятие о задачах методики математики......5

Глава II. Цели обучения математике ... ........6

Глава III. Программа математики в современной трудовой школе 11

Глава IV. Метод обучения математике...........21

Отдел II. Современные педагогические исследования в области вопросов, связанных с методикой начальной математики.

Глава V. Развитие числовых и геометрических представлений у ребенка в дошкольном возрасте...........52

Глава VI. Условия, наиболее благоприятствующие восприятию числа......................66

Глава VIII. Математика в детском саду..........76

Приложение. Указатель литературы по вопросам методики математики, рассматриваемых в данном труде.......88