Г. А. Клековкин, А. А. Максютин

Задачный подход в обучении математике

САМАРСКИЙ ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Г. МОСКВЫ «МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Г.А. Клековкин, А.А. Максютин

ЗАДАЧНЫЙ ПОДХОД В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Самара 2009

УДК 37.022 ББК 22.14 К 48

Рецензенты: А.Г. Мордкович профессор, доктор педагогических наук, заслуженный деятель науки РФ Р.А. Утеева профессор, доктор педагогических наук

К 48 Клековкин Г.А.

Задачный подход в обучении математике: Монография / Г.А. Клековкин, А.А. Максютин. - М.; Самара: СФ ГОУ ВПО МГПУ, 2009.-184 с.

ISBN 978-5-243-00271-4

В авторской интерпретации раскрыто понимание сущности задачного подхода к обучению математике. Обсуждаются понятия «учебная математическая задача», «система учебных задач» и различные подходы к использованию задач в обучении. Разработаны предметно -содержательные и дидактические основания технологии проектирования тематической системы задач учебного курса. На примере школьного курса алгебры и начал математического анализа продемонстрировано формирование тематической системы задач, ориентированной на формат ЕГЭ по математике.

Для специалистов в области теории и методики обучения и воспитания (математика), учителей математики и студентов математических факультетов педагогических вузов.

ISBN 978-5-243-00271-4

Клековкин Г.Л., Максютин А.А, 2009 СФ ГОУ ВПО МГИУ, 2009

Оглавление

Введение

4

Глава 1. Задачный подход к обучению

11

§ 1.

Проблемная ситуация, задача и проблема

11

§ 2.

Задача в традиционном, развивающем и проблемном обучении

18

§ 3.

Учебная задача.

32

§ 4.

Задача в обучении математике

41

§ 5.

Сложность и трудность учебной задачи

47

§ 6.

Функции задач в обучении

59

§ 7.

Задачный подход к обучению

62

Глава II. Система учебных задач и ее проектирование

71

§ 8.

Понятие системы учебных задач

71

§ 9.

Представление содержания курса в системе задач

82

§ 10.

Ключевые задачи как средство интеграции предметно-содержательной компоненты системы задач

88

§ 11.

Виды учебных ситуаций как средство интеграции процессуальной компоненты системы задач

103

§ 12.

Матричное представление тематической системы задач

115

§ 13.

Наполнение матрицы тематической системы задач

124

Глава III. Система учебных задач в условиях единою государственного экзамена

135

§ 14.

Учебные стандарты и проблемы подготовки к единому государственному экзамену по математике

135

§ 15.

Некоторые общие положения методики использования задачного подхода к обучению

140

§ 16.

О технологии подготовки к ЕГЭ по математике.

149

§ 17.

Мониторинг успешности обучения и прогнозирование результатов итоговых испытаний

162

Заключение

174

Библиография

178

ВВЕДЕНИЕ

Роль и место задач в обучении математике интуитивно осознавались всегда, об этом свидетельствует поистине необозримое их многообразие. Как пишет Г.И.Саранцев: «В зависимости от уровня развития методической науки, целей обучения математике, содержания математического образования, педагогических концепций, функций обучения математике можно выделить ряд этапов, каждый из которых характеризуется определенными требованиями к использованию задач в обучении математике: 1) изучение математики с целью обучения решению задач; 2) изучение математики, сопровождающееся решением задач; 3) обучение математике через решение задач» [73, с. 3]. Естественно, что в связи с этим менялись и представления об учебной задаче и сами учебные задачи.

На начальных этапах массового обучения большинство учебных задач носило конкретный сугубо практический характер По мере изменения целей обучения математике задачи стали рассматриваться как средство: 1) закрепления изученного теоретического материала, 2) выработки необходимых технических навыков, 3) формирования умений применять полученные знания при решении простейших практических задач, 4) проведения различных видов контроля, 5) организации повторения. Основными общепризнанными методами обучения решению задач становятся показ учителем образцов решения наиболее типичных задач и практика задания на дом задач, аналогичных решенным в классе.

Сегодня, когда задача рассматривается как средство достижения различных развивающих целей обучения, в педагогический тезаурус широко входят такие понятия как «учебно-познавательная задача», «поисковая задача», «исследовательская задача», «творческая задача». Более того, достаточно часто в педагогической и методической литературе говорят о задачном подходе к обучению, который при всех различиях в

его трактовке, так или иначе, связывают с обучением «через решение задач».

Вероятно, одним из основоположников подхода к обучению математике через решение задач следует считать Диофанта Александрийского, в шести книгах которого содержатся 189 задач с решениями, расположенных так, что уже решенные задачи в дальнейшем распространяются на более общие, более трудные случаи. В первой книге, обращаясь к читателю-ученику, автор пишет: «Поскольку они [задачи] имеются в очень большом числе и требуют многого труда, то они медленно усваиваются и запоминаются учащимися; я постарался распределить все содержащееся так, чтобы в начале находились элементарные и от более простых совершался переход к более трудным, как и полагается. Так облегчится путь начинающим и запомнится его развитие» [20, с. 41].

В трудах Бернарда Больцано появляется термин «целесообразная задача», который в последующем закрепляется в работах о преподавании математики. Он, в частности, говорит о том, что «при размышлениях весьма полезно исходить из определенной целесообразной задачи. Очевидно, что задача тем целесообразнее, чем (а) больше мы полагаем, что найдем истину и (б) чем больше польза от познания этой истины. Если вероятность того, что мы откроем истину равна р, а польза от открытия истины имеет величину U, то мотив для решения задачи выразится величиной p-U. Значение этой величины уменьшается не только при уменьшении U, но и при уменьшении р. Исходя из этого, мы должны ставить перед собой соответствующие задачи» [7, с. 328].

Видоизменяясь, идея целесообразных задач получает развитие в работах известного российского методиста С.И. Шохор-Троцкого. который вводит метод целесообразных задач. В цикле статей «Цель и средства преподавания низшей математики», опубликованных в журнале «Русская школа» в 1891 году, он пишет: «задача является могущественным орудием для выработки тех или иных представлений, первоначальных и даже производных»; «для выработки первоначаль-

ных и производных представлений и понятий прямо необходимы методически подобранные и сгруппированные для этой цели задачи и упражнения, решение которых должно не следовать, а предшествовать установлению тех или иных представлений и понятий» [91, с. 115]. В этом, на его взгляд, суть метода целесообразных задач. Задачи, благодаря методически разумному распределению в задачнике, играют «роль возбудителей в умс учащихся тех именно представлений, которые должны быть на данной ступени выработаны, дабы дальнейшее движение вглубь учебного предмета стало возможным»; «задачи арифметические и алгебраические почти всегда должны служить точкой исхода преподавания, а не исключительно средством дрессировки учащихся в том или ином направлении, вследствие чего задачники должны занимать столь же почетное место, как и учебники» [91, с. 117-118].

Следует отметить, что, начиная с 60-х годов 19-ого века, вопрос о месте и роли задач в обучении в отечественной методике преподавания математики становится весьма актуальным и идея обучения через решение задач получает дальнейшее развитие. В России кроме С.И. Шохор-Троцкого задачный подход пропагандировали известные в свое время методисты, авторы учебных пособий Н.А. Извольский, В.А. Латышев и др. Так, В.А.. Латышев отмечал: «Изменение приемов обучения придало задачам такое значение, которое они прежде не имели, задачами стали пользоваться не только для упражнения учащихся в применении пройденного по теории, но и для практической подготовки к теоретическим выводам» [37]. Критикуя распространенные в то время задачники, он выдвигает требование, «чтобы легкие задачи переходили в трудные, а не были перемешаны случайно (Малинин) либо вообще отсутствовали (Евтушевский)» [36].

Мысли о развивающем обучении через решение задач получили наиболее яркое практическое воплощение в книге Г. Полиа и Г. Сегё «Задачи и теоремы из анализа», впервые вышедшей на немецком языке в 1925 году и в 1937-1938 годах переведенной на русский. В предисловии они указывают: «На-

стоящая книга отнюдь не представляет собой простого собрания задач. Главное заключается в расположении материала: оно должно побуждать читателя к самостоятельной работе и прививать ему целесообразные навыки математического мышления. Мы потратили на достижение возможно более эффективного расположения материала гораздо больше времени, старания и скрупулезной работы, чем это на первый взгляд могло бы показаться необходимым.

Сообщение ряда новых сведений интересовало нас само по себе лишь во вторую очередь. В первую очередь мы желали бы способствовать выработке у читателя правильных установок, известной дисциплины мышления...» [57, с. 8-9].

Для этого, пишут авторы: «Мы пытаемся все осмыслить: отдельные факты - сопоставлением с родственными фактами, новое - приведением в связь со старым, непривычное - по аналогии с обычным, частное - путем обобщения, общее -надлежащим специализированием, сложное - разложением на отдельные части, единичное - восхождением к общему.

Есть нечто общее в построении полного и связного знания из разрозненных сведений и стены из необтесанных камней: каждое новое сведение, как и каждый новый камень, нужно рассмотреть со всех сторон, приложить к разным местам, прежде чем новое не найдет себе наиболее подходящего места в наличном, так чтобы соприкасающаяся поверхность была как можно большей, пробелы - как можно меньшими и целое было возведено прочно» [57, с. 9].

Описывая практическую реализацию высказанных идей, Г. Полиа и Г. Сеге отмечают, что приведенные в книге задачи как правило объединены в длинные ряды, охватывающие целый параграф, что задачи группировались по различным признакам: по трудности, по применяемым средствам, по методу, по результату. «Мы - пишут они - придерживались разных принципов расположения материала, так чтобы оно отражало все перипетии по-разному самостоятельного исследования» [57, с. 12]. В параграфах, посвященных некоторому методу, «вначале этот метод вкратце поясняется, затем применяется к

решению как можно более разнообразных задач и при этом сам все более уточняется и совершенствуется» [57, с. 12]. По этому же принципу строятся параграфы, посвященные какой-либо теореме: «вначале теорема формулируется (и доказывается, если это можно сделать быстро и легко), затем следуют самые разнообразные частные случаи и применения теоремы. Третьи параграфы построены в «восходящем» порядке, общая теорема появляется лишь после ряда предпосылаемых ей частных случаев и отдельных кратких замечаний, подводящих к ее формулировке или же подготавливающих ее доказательство» [57, с. 12].

Подобный вариант задачного подхода к обучению математике получил в высшей школе достаточно широкое распространение. В качестве примеров можно назвать книги Халмоша «Гильбертово пространство в задачах», Глазмана и Любича «Конечномерный линейный анализ в задачах». Хорошо известны учебники отечественных авторов: А.В. Архангельский, В.И. Пономарев «Основы общей топологии в задачах и упражнениях»; И.А. Марон «Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах»; Е.Н. Вентцель, О.А. Овчаров «Теория вероятностей в примерах и упражнениях» и многие другие. Среди учебной литературы для средней школы такие пособия встречаются пока крайне редко. Хотя, в практике работы отдельных учителей обучение через решение задач - достаточно распространенное явление.

Следует отметить огромную волну интереса к учебным задачам со стороны отечественных специалистов по методике обучения математике, вызванную переводом на русский язык книг Д. Пойа «Как решать задачу» [58], «Математическое открытие» и «Математика и правдоподобные рассуждения». Осмыслению сущности и типов учебных математических задач, их функций в учебном процессе посвящены исследования Я.И. Груденова. В.А. Гусева, М.И. Зайкина, Н.И. Зильберберга. Е.С. Канина. Ю.М. Колягина, В.И. Крупича, В.М. Монахова, А.Г. Мордковича, И.Д. Пехлецкого, Г.И. Саранцева, А.А. Столяра, Л.М. Фридмана и др. Проблемы обучения ре-

шению задач изучают М.Б.. Волович, И.Л. Никольская, Е.Е. Семенов, Е.Н. Турецкий, Л.М. Фридман; появляются их учебные и методические пособия, описывающие процесс решения учебных математических задач [85].

В последние десятилетия усилиями Г.В.Дорофеева, О.Б. Епишевой, Ю.М. Колягина, В.М. Монахова, А.Г. Мордковича, В.И. Рыжика, Г.И. Саранцева, И.М. Смирновой, Р.А. Утеевой, И.Ф. Шарыгина и др. теоретически разработаны различные концепции и методы использования задач в обучении математике; созданы достаточно стройные системы учебных и дидактических задач, некоторые из которых получили практическую реализацию в новых учебно-методических комплектах по математике.

Вместе с тем, как свидетельствуют итоги эксперимента по введению новой государственной аттестации выпускников средней школы в форме ЕГЭ, массовая школа не в полной мерс реализует проектируемые цели и достигает требуемых результатов обучения даже на базовом уровне. В связи с тем, что с 2009 г. проведение итоговой аттестации в форме ЕГЭ становится обязательным для всех средних учебных заведений, возрастает актуальность как теоретических исследований, посвященных функциям и месту задач в обучении математике, так и разработки эффективных технологий, реализующих различные варианты задачного подхода к обучению математике. Не менее важной проблемой остается создание конкретных учебных материалов и методических разработок, позволяющих гарантированно достигать цели, стоящие перед современным школьным математическим образованием.

Как писал еще А.А. Столяр: «Обучение математике через задачи - давно известная ... проблема. Однако, до сих пор она не получила удовлетворительного решения, которое предполагает разработку системы задач, соответствующей современной программе и приспособленной к обучению математической деятельности. Это означает, что задачи должны служить и мотивом для дальнейшего развития теории и возможностью для его эффективного применения. В установившейся практи-

ке пользуются обучением через задачи лишь при изучении отдельных вопросов... Такое обучение ведется по схеме «задачи - теория - задачи» [76, с. 61]. Считая задачный подход наиболее эффективным средством развития учебно-математической деятельности учащихся, он ставил задачу «построения педагогически целесообразной системы задач, с помощью которой можно было бы провести ученика последовательно через все аспекты математической деятельности (выявление проблемных ситуаций и задач, математизация конкретных ситуаций, решение задач, мотивирующих расширение теории и т.д.)» [76, с. 146]. По его мнению, «решение ее невозможно без уточнения понятий ситуации, задачи, без структурного анализа задачи, который позволил бы оценить сложность задачи и определить целесообразную последовательность их решения. В этой последовательности каждая задача должна нести определенную учебную нагрузку» [76, с. 146].

Авторы предлагаемой работы ставили перед собой следующие задачи:

- проанализировать различные подходы к определению и исследованию понятий «задача», «учебная математическая задача», «система учебных задач»;

- уточнить сущность и возможности задачного подхода к обучению математике;

- разработать предметно-содержательные и дидактические основания технологии проектирования тематической системы задач учебного курса, ориентированной на достижение требований, предъявляемых к учащимся по его завершению;

- на примере курса алгебры и начал математического анализа продемонстрировать построение системы задач, ориентированной на формат ЕГЭ по математике.

Глава I

ЗАДАЧНЫЙ ПОДХОД К ОБУЧЕНИЮ

§ 1. Проблемная ситуация, задача и проблема

Различные интерпретации сущности задачного подхода к обучению в большинстве случаев объясняются неоднозначностью трактовок понятий «задача» и «проблема», а также неразличением понятий «задача» и «учебная задача», «проблема» и «учебная проблема». Все эти понятия обычно определяются в соотнесении с понятием «проблемная ситуация».

Понятие «проблемная ситуация» используется для характеристики «момента встречи» субъекта с противостоящим ему объектом, а также возникающее при этом психическое состояние действующей личности. Поэтому в психологии чаще всего проблемная ситуация рассматривается в двух смыслах: 1) как содержащее противоречие и не имеющее однозначного решения соотношение обстоятельств и условий, в которых разворачивается деятельность субъекта; 2) как психологическая модель условий порождения мышления на основе ситуативно возникшей познавательной потребности, форма связи субъекта с объектом познания [61, с. 292]. В педагогике более общепринято практовать проблемную ситуацию как состояние умственного затруднения, вызванного в определеннюй учебной ситуации объективной недостаточностью ранее усвоенных учащимся знаний и способов деятельности Осознание затруднения приводит к потребности в новых знаниях, в том неизвестном, которое позволило бы их разрешить.

Структура проблемной ситуации (по А.М. Матюшкину) включает: а) познавательную потребность, побуждающую человека к интеллектуальной деятельности, б) неизвестное достигаемое знание или способ действия (предмет потребности), в) интеллектуальные ресурсы и возможности человека (предшествующий опыт, творческие способности и пр.) [46, с. 430].

Прохождение проблемной ситуации начинается с ее мысленного анализа и объективации неизвестного в форме вопроса, заданного субъектом деятельности самому себе. (В действительности в силу социальной природы человека такой вопрос прямо или косвенно всегда обращен к другому человеку). Следующий этап связан с выдвижением предварительных гипотез относительно способов разрешения проблемной ситуации. Проверка этих гипотез приводит к тому, что проблемная ситуация преобразуется либо в задачу или серию задач, либо в проблему.

Задача возникает в том случае, когда в познаваемом объекте удается выделить искомое, которое можно найти путем преобразования определенных исходных условий. Иными словами, в состав любой задачи входят требования (цель), условия (известное) и искомое (неизвестное), которое объективировано в вопросе или в представлении об ожидаемом результате.

Между указанными составляющими задачи существуют определенные связи и отношения, поэтому задачу можно рассматривать как некоторую систему, а ее решение как поиск связей и отношений, позволяющих определить неизвестные элементы через известные. Последовательность действий и операций, с помощью которых субъект осуществляет решение задачи, называют способом решения.

Задача может быть объективирована в виде материализованной знаково-символической модели, составленной на языке соответствующей предметной области, при этом требование или вопрос задачи формулируются обычно с помощью естественного языка. Частным случаем такой модели часто выступает словесная формулировка задачи, а частным случаем вопроса - указание: найти, вычислить, доказать, сравнить и т.п. В таком виде задача может передаваться от одного человека к другому. Для того чтобы задача, облаченная в знаковую форму одним человеком, стала задачей другого человека, она должна быть понята и принята им.

Как пишет С.Л.Рубинштейн: «Прежде чем действовать, надо осознать цель, для достижения которой действие предпри-

нимается. Однако как не существенна цель, одного осознания цели недостаточно. Для того чтобы ее осуществить, надо учесть условия, в которых действие должно совершаться. Соотношение цели и условий определяет задачу, которая должна быть разрешена действием. Сознательное человеческое действие - это более или менее сознательное решение задачи. Но для совершения действия недостаточно и того, чтобы задача была субъектом понята, она должна быть им принята» [68, с. 152).

Таким образом, на основании сказанного можно заключить, что понятие «задача» употребляется в трех смыслах: 1) как цель действий, поставленная перед субъектом; 2) как ситуация, включающая наряду с целью условия, в которых она должна быть достигнута; 3) как словесное описание (знаковая модель) проблемной ситуации [2, с. 81].

В психологической литературе, где задача рассматривается как объект мыслительной деятельности, она вслед за А.Н. Леонтьевым и С.Л. Рубинштейном чаще всего определяется во втором смысле, как данная в определенных условиях цель действий, которая должна быть достигнута преобразованием этих условий в соответствии с определенными правилами. В педагогике же и предметных методиках более естественными и привычными являются первая и третья трактовки этого понятия Так психолог Л.М.Фридман, активно занимавшийся вопросами методики обучения математике, рассматривает задачу как знаковую модель проблемной ситуации. Кстати, указывая на то, что первой и важнейшей характеристикой любой задачи является предметная отнесенность к той или иной области человеческой деятельности, он несколько иначе определяет состав задачи. По его мнению, в него входят: 1) предметная область (множество названных и предполагаемых объектов); 2) отношения, связывающие объекты; 3) требования (указание о цели); 4) оператор задачи (совокупность действий, операций, которые надо провести над условиями задачи, чтобы выполнить ее требования) [80, с. 16-21].

Понятие «проблема» является более многоаспектным и сложным, поэтому при определении проблемы разброс мне-

нии еще более широк, чем при определении задачи. Кроме того, процесс решения проблем теоретически менее изучен, чем процесс решения задач.

В науке проблемами традиционно называют труднорешаемые задачи и гипотезы, которые длительное время не удается доказать или опровергнуть. Вспомним, например, знаменитые проблемы Гильберта или великую теорему Ферма.

Широко известный не только математикам пример научной проблемы - проблема четырех красок. Еще в 1852 году лондонский студент Ф. Гутерье обнаружил, что для различения графств на карте Англии достаточно четырех красок. Он высказал гипотезу о том, что любую политическую карту можно правильно (государства, имеющие общую границу, должны быть окрашены в разные цвета) раскрасить при помощи четырех цветов. Английский математик А. Кэли в 1879 году высказал эту гипотезу на заседании Лондонского географического общества, а затем опубликовал в трудах общества. Подтверждение или опровержение этой на первый взгляд простой гипотезы оказалось очень трудной математической задачей, которая получила название «проблема четырех красок». Решить ее пытались многие математики и любители математики (иногда в течение многих лет). Это удалось сделать лишь благодаря компьютеру, причем спустя целое столетие. Сначала в 1976 году положительное компьютерное решение было анонсировано группой американских математиков и программистов под руководством К. Аппеля и В. Хакена. С помощью специально разработанных программ, выполнив десятки миллиардов операций, компьютеры позволили разработчикам установить, что ни в одном из возможных типов карт нет таких, которые нельзя раскрасить с помощью четырех красок. Существенным недостатком полученного решения являлось то, что компьютерные вычисления невозможно было перепроверить «вручную». Через два года новое компьютерное решение было предложено Д. Коэном. Достоинство его решения состоит в том, что теперь ручная перепроверка компьютера в принципе возможна. Правда, на это, по мнению самого автора решения,

потребуется не менее трех лет при ежедневной безошибочной восьмичасовой работе.

Из всех других подходов к пониманию проблемы остановимся только на двух, которые наиболее часто встречаются в психологической, педагогической и методической литературе.

При первом подходе проблема, в отличие от задачи, осознается как такая противоречивая ситуация, в которой имеют место противоположные позиции при объяснении одних и тех же объектов, явлений и отношений между ними. При этом на основании принятых критериев не удается установить, какая из них должна быть отвергнута. Это не формальнологическое, а диалектическое противоречие внутри самого объекта (предмета, явления или процесса), как бы раздваивающее его на противоположности и требующее построения новой более общей теории, позволяющей осуществить разрешение этого противоречия. Для решения проблемы она должна быть превращена в творческую познавательную задачу или серию таких задач. Разрешение диалектических противоречий, являющихся стержнем проблемы, выступает источником развития научных теорий.

При таком подходе проблемная ситуация по отношению к задачам и проблемам является генетически исходной. Центральным элементом проблемной ситуации является действующий субъект, центральным элементом задачи - знаковый объект, а центральным элементом проблемы - противоречие.

Второй подход сформировался под влиянием работ Г.П. Щедровицкого, в которых проблема определяется как разрыв в деятельности [92]. Человек начинает мыслить и ставить для себя вопросы и формулировать задачи только тогда, когда в привычном для него образе действия образуется разрыв: невозможно действовать по известному стереотипу. Иными словами, подобная ситуация возникает в случае отсутствия у субъекта деятельности готовых образцов выполнения какого-либо задания или соответствующих им способов его решения. Ему приходится вырабатывать новый план своих действий, осваивать или самостоятельно изобретать новые способы деятельности.

Общие черты и существенные отличия задач и проблем приводит В.Ф. Спиридонов. Характеризуя задачу, он пишет: «Задача - это форма взаимодействия с неопределенностью. Действительно, до нахождения окончательного решения человек до конца не знает искомого; в значительной степени оно не определено для него, неизвестно. Его еще только предстоит отыскать. ... Можно сказать, что здесь мы имеем неопределенность первого порядка: неизвестны средства достижения поставленной цели» [75, с. 18]. Описывая с этой же стороны проблемы, он отмечает: «Проблемы характеризуются колоссальной неопределенностью, значительно большей по сравнению с любыми видами задач. Можно сказать, что в данном случае мы имеем проблемную ситуацию с недостаточно выявленными или обнаруженными условиями и с неопределенной целью, которую необходимо достичь, чтобы уменьшить или целиком снять затруднения» [75, с. 42]. Называя такую неопределенность неопределенностью второго порядка, В.Ф. Спиридонов подчеркивает, что «именно такого рода неопределенность «захватывает» и несет в себе проблема. Поэтому структурно она - весьма аморфное образование. Проблема - это затруднигельные условия без явно сформулированной цели или четкая цель, не связанная со сложившимися неблагоприятными условиями» [75, с. 42].

Второе различие, которое, как мы увидим в дальнейшем, может стать основанием для различных трактовок задачного подхода к обучению, заключается в следующем. Многие авторы обычно считают, что «задача предзадана: она существует до начала процесса решения и ориентирует человека на будущее исполнение. Это значит, что еще до начала решения человек имеет готовую формулировку условий и требований» [75, с. 16]. Проблемы, в отличие от задач, «практически не могут быть предзаданы, а должны формироваться по ходу решения. ... Даже в том случае, если имеется хорошая исходная формулировка ..., она все равно будет уточнена и переформулирована по ходу дела» [75, с. 39]..

Обсудим еще одно важное, на наш взгляд, понятие - задачная ситуация. Это понятие вводит Л.М.Фридман для обозначения ситуации, в которой при изучении того или иного объекта некоторые его характеристики можно установить непосредственно с помощью наблюдения, измерения или другими какими-либо способами, а некоторые характеристики найти нельзя. Задачная ситуация, на его взгляд, возникает тогда, когда имеется готовый способ, позволяющий по известным характеристикам найти неизвестные [80, с. 93].

Это понятие целесообразно в силу следующих обстоятельств. Активная жизнедеятельность человека постоянно требует от него не только конструирования новых способов действий для разрешения проблемных ситуаций в житейских, познавательных, производственных и других сферах, т.е. решения творческих продуктивных задач, но и регулярного выбора и реализации хорошо известных способов действий в знакомых ситуациях, те. решения простых репродуктивных задач.

Отмстим также, что нельзя безоговорочно согласиться и с тем, что все задачи «рождаются» в проблемных ситуациях. Столь же естественно задача может «возникнуть» и вне проблемной ситуации, как, например, это бывает при рассмотрении частных и предельных случаев в решаемой предметной задаче или при ее обобщении: «А что получится, если ...?». Здесь мотивом «рождения» задачи, как правило, выступает познавательный интерес.

Основной вывод этого параграфа можно сформулировать следующим образом: и практическую, и умственную деятельность человека во многих случаях можно рассматривать как процесс решения задач. Само решение задачи часто заключается в выборе определенных элементов из многих имеющихся и/или в выборе определенных способов действий с этими выбранными элементами. При этом задача очерчивает лишь ситуацию, в которой должна быть проявлена деятельность, направленная от условий к цели; задача обозначает оболочку, которую еще только предстоит заполнить деятельностью

§ 2. Задача в традиционном, развивающем и проблемном обучении

При всей несхожести толкований понятий «задача» и «проблема» разными авторами, почти все современные теоретические исследования, посвященные их месту и роли в образовательном процессе, ведутся в контексте традиционного, развивающего и проблемного обучения. В дальнейшем, специально не оговаривая, будем считать, что все три модели реализуются в рамках классно-урочной системы обучения.

К традиционному типу (методической системе) обучения относят обучение, в основе которого лежат информационно-иллюстративные (объяснительно-иллюстративные) и репродуктивные методы; поэтому его еще иногда называют сообщающим. Одной из тенденций современной дидактики стало резкое противопоставление сообщающего обучения развивающему и проблемному, которые возникли и рассматриваются как альтернативы объяснительно-иллюстративному и репродуктивному обучению.

Поскольку тип обучения характеризуется прежде всего используемыми в нем методами, вспомним одну из наиболее известных классификаций методов обучения, предложенную И.Я. Лернером и М.Н. Скаткиным, в основе которой лежит характер познавательной деятельности учащихся. Она включает:

Объяснительно-иллюстративный метод, при котором учащиеся получают знания в «готовом» виде (из рассказа учителя, печатного или электронного пособия и т.п.). Учитель (автор пособия) приводит определения понятий, факты, доказательства; акцентирует внимание учащихся на материале, который необходимо усвоить наиболее прочно. Такой метод наиболее целесообразен при передаче большого объема информации. Деятельность учащегося сводится к восприятию и запоминанию информации, ее повторению, закреплению и последующей актуализации. При этом творческая активность учащихся минимальна, поскольку основные психические процессы, на которых «строится» такая учебная деятельность, -

внимание, восприятие и память. Используемые при этом наглядные средства служат для активизации запоминания и последующего воспроизведения.

В основе инструктивно-репродуктивного метода лежит применение изученного материала на основе заданного правила или образца. Ученики при этом, как правило, не осуществляют самостоятельного приращения нового знания. При изложении теоретического материала учитель также полностью опирается на полученные учащимися ранее знания, не выдвигает и не обсуждает с ними какие-либо гипотезы. Этот метод обычно применяется в тех случаях, когда учебный материал является достаточно трудным или принципиально новым для того, чтобы учащиеся могли осуществлять самостоятельный поиск новых знаний. Он незаменим, когда требуется отработать и довести до автоматизма какие-то практические умения и навыки. В связи со сказанным инструктивно-репродуктивный метод также опирается на внимание, восприятие, память и не позволяет полноценно развивать продуктивное мышление учащихся, их самостоятельность и формировать навыки поисковой деятельности.

Метод проблемного изложения, состоит в том, что преподаватель, прежде чем излагать новый материал, ставит перед учащимися учебную проблему, формулируя познавательную задачу, для решения которой наличных знаний и умений учащихся недостаточно. После этого он демонстрирует решение поставленной задачи, при этом по ходу изложения выдвигает и проверяет гипотезы, обсуждает и сравнивает различные подходы к решению. Учащиеся как бы становятся свидетелями и соучастниками научного поиска. Это, в свою очередь, активизирует их мышление, побуждает к творческой активности.

Частично-поисковый (эвристический) метод отличается от предыдущего тем, что теперь преподаватель организует поиск решения поставленной учебной проблемы самими учащимися. Сейчас различные наглядные материалы служат не только в качестве средства для прочного запоминания и последующего воспроизведения учебного материала, но и в качестве средств

для постановки экспериментов, которые порождают проблемные ситуации. Главным средством активизации мышления учащихся и управления им при разрешении проблемной ситуации служат открытые вопросы (без заданного направления поиска ответа), различные эвристические подсказки и указания. При этом учащиеся не наблюдают научный поиск со стороны, а становятся его полноценными участниками.

Исследовательский метод полностью моделирует процесс научного поиска. Педагог выступает лишь его инициатором на начальном этапе. Учащиеся «добывают» новое знание самостоятельно; для этого изучают нужную литературу по той или иной проблеме, формулируют эту проблему и вытекающие из нее задачи, ведут дополнительный поиск недостающей информации, проводят эксперименты и т.п. Очевидно, что возможности широкого применения этого метода обучения весьма ограничены.

Нетрудно заметить, что основанием этой классификации методов служит степень самостоятельности учащегося, в каждом последующем из приведенных методов она возрастает.

При характеристике того или иного типа обучения важное место отводится видам используемых при его реализации задач и упражнений и описанию процесса их решения. Так, характеризуя традиционное обучение, которому в качестве основных целей стали приписывать только передачу знаний и способов деятельности в «готовом» виде, всячески подчеркивается, что деятельность обучающегося по решению задач сводится к решению типовых задач и упражнений по заданным образцам и алгоритмам, т.е. носит репродуктивный характер. Отсюда и соответствующие описания этапов процесса решения задачи.

В зависимости от степени самостоятельности учащегося эти описания представлены примерно в двух следующих вариантах:

Вариант первый:

- принятие задачи и плана (алгоритма) действий, предлагаемого учителем;

- осуществление учебных действий в соответствии с заданным планом;

- контроль выполняемых действий со стороны учителя, постепенно переходящий в самоконтроль;

- оценка и анализ полученных результатов, осуществляемые под руководством учителя.

Вариант второй:

- изучение содержания задачи, с целью узнать, к какому типу она относится;

- припоминание способа (правила, алгоритма), с помощью которого решаются задачи данного типа;

- составление плана решения;

- реализация плана решения;

- сверка полученного результата с заданным ответом (или осуществление проверки в соответствии с заданной инструкцией).

О том, что в приведенные схемы можно вложить процесс решения любой учебной задачи, говорить не приходится, понятно, что это не так. Не считают так и авторы известной монографии «Теоретические основы содержания общего среднего образования», в которой впервые предпринята глобальная попытка обоснования деятельностного подхода к обучению. Обсуждая принципы сопровождения заданиями учебников, они выделяют два типа заданий - задания на формирование способов усвоение и способов применения получаемых теоретических знаний. При этом отмечается, что «обе обозначенные группы заданий членятся на две подгруппы: а) стереотипных заданий, предполагающих всякого рода воспроизведение знаний, образцов деятельности, их очевидных аналогий и вариаций; б) творческих заданий, предназначенных для творческого применения знаний, способов деятельности как практического, так и мыслительного характера» [78, с. 331]

Важно, наконец, отметить, что во всех интерпретациях традиционного обучения и описаниях его современных модернизаций явно недооцениваются дидактические возможности использования учебных задании и задач при изучении теоретического материала, они рассматриваются лишь как его обязательное сопровождение.

Долгое время в отечественной педагогической теории и практике конкретизация общих целей образования и реализация процесса целеполагания шли через конкретное предметное содержание, фиксированное в образовательных программах и представленное в учебниках, а также через строго регламентированную деятельность учителя. Основным результатом обучения считались знания, умения и навыки учащихся, именно по этим параметрам оценивалось качество образования. Идеологи развивающего обучения, видя в знаниях, умениях и навыках лишь средство развития учащегося, предлагают строить иерархию целей образования через внутренние процессы интеллектуального, эмоционального и личностного развития ребенка.

На сегодняшний день существует достаточно много различных моделей развивающего обучения. Почти во всех известных теориях развивающего обучения решение задач рассматривается как основа развития продуктивного мышления. Наиболее полное выражение эта точка зрения получила в теории Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова. По их мнению, обучение должно быть ориентировано не столько на ознакомление с готовыми фактами, сколько на установление связей между ними и изучение этих связей.

А.вторы предлагаемой в [78] теории учения - считает В.В. Давыдов - не опираются сколько-нибудь последовательно на вполне определенную концепцию деятельности вообще и учебной деятельности в частности. Это, на его взгляд, подтверждают следующие обстоятельства: «в общую структуру деятельности не включен такой ее существенный компонент, как «задача», а деятельность соотносится с выполнением «репродуктивных заданий». Правда при этом упоминаются и «творческие задания», связанные с преобразованием учебного материала, но это еще раз показывает эклектичность общей позиции авторов рассматриваемой теории» [19, с. 256-257].

Деятельностной теорией учения, по мнению В.В. Давыдова, можно назвать лишь «такую, которая опирается на понятия «действие» и «задача» (они являются существенными компо-

нентами целостной деятельности). Действие предполагает преобразование субъектом того или иного объекта. Задача включает в себя цель, представленную в конкретных условиях своего достижения. Решение задачи состоит в поиске субъектом того действия, с помощью которого можно так преобразовать условия задачи, чтобы достичь требуемой цели. Учение трактуется с деятельностных позиций, когда усвоение того или иного материала раскрывается путем описания его преобразования в ситуации некоторой задачи. В отдельных случаях в такое описание включается мотив принятия субъектом соответствующей задачи и мотив поиска требуемого действия» [19, с. 257]. «Своеобразие данной теории состоит в том, что она стремится объяснить процесс активно-исследовательского усвоения знаний и умений, не репродукцию готовых знаний, а творческое овладение истоками, происхождением знаний и умений посредством мотивированного и целенаправленного решения задач определенного класса, связанных с проблемными ситуациями» [19, с. 258]. Наконец, согласно теории Эльконина - Давыдова, «содержанием развивающего начального обучения являются теоретические знания (в современном философско-логическом их понимании), методом - организация совместной учебной деятельности младших школьников (и прежде всего организация решения ими учебных задач), продуктом развития - главные психологические новообразования, присущие младшему школьному возрасту» [19, с. 384].

Обосновывая свою теорию, авторы приходят к необходимости четкого различения понятий «практическая задача» и «учебная задача». В частности, Д.Б. Эльконин отмечает: «при решении практической задачи учащийся как субъект добивается изменения объекта своего действия. Результатом такого решения становится некоторый измененный объект. При решении учебной задачи учащийся также производит своими действиями изменения в объектах или в представлениях о них, однако, его результат -- изменение в самом действующем субъекте. Учебная задача считается решенной только тогда, когда произошли заранее заданные изменения в субъекте.

Конечно, и при решении практической задачи также происходят изменения в действующем субъекте. Более того, - вне процесса изменения субъектом предметной деятельности не могут произойти никакие изменения в самом субъекте. Поэтому учебная деятельность - это обязательно деятельность предметная, вносящая изменения в предметы. Однако ее цель и результат не изменения, произведенные в предметах, а заранее заданные изменения в самом субъекте» [93, с. 289]. Продолжая, он следующим образом трактует вопрос о функциях учебной задачи. «Решение учебной задачи направлено на усвоение или овладение школьниками способами действий» [93, с. 290].

Развивая эти мысли, В.В. Репкин пишет: «Цель субъекта, решающего учебную задачу, состоит не в получении определенного вещественного или идеального «продукта» (в этом заключается цель конкретно-практической задачи) и даже не в установлении способа получения этого «продукта» (такова цель познавательной «теоретической» деятельности), а в овладении этим способом, в его присвоении и тем самым - в расширении и обогащении своих возможностей как субъекта практической и познавательной деятельности. Общественно выработанные способы осуществления практических и теоретических действий и составляют предмет учебной деятельности» [64, с. 177].

С этим, на наш взгляд, уже нельзя безоговорочно согласиться. Например, в том случае, когда учащимся двигает подлинный познавательный интерес, именно самостоятельное отыскание способа решения задачи и получение конкретного «продукта» является ведущим побудительным мотивом его деятельности, он меньше всего «озабочен» теми изменениями, которые при этом «в нем» происходят.

В сложившемся процессе решения учебной задачи В.В. Давыдов выделяет следующие учебные действия:

«принятие от учителя или самостоятельная постановка учебной задачи;

преобразование условий задачи с целью обнаружения всеобщего отношения изучаемого объекта;

моделирование выделенного отношения в предметной, графической и буквенной формах;

преобразование модели отношения для изучения его свойств в «чистом виде»;

построение частных задач, решаемых общим способом;

контроль за выполнением предыдущих действий;

оценка усвоения общего способа как результата решения данной учебной задачи» [19, с. 159-160].

Отмечая, что преобразование исходной практической задачи в учебную возможно лишь в процессе совместно-распределительной деятельности учеников и учителя, он пишет: «Школьники первоначально, естественно, не умеют самостоятельно формулировать учебные задачи и выполнять действия по их решению. До поры до времени им помогает в этом учитель, но постепенно нужные умения приобретают сами ученики (именно в этом процессе у них формируется учебная деятельность)» [19, с. 160].

Далее, характеризуя традиционную стратегию обучения в начальной школе, В.В. Давыдов отмечает, что она преимущественно направляет познание от единичного к общему, от конкретного к абстрактному, от отдельного поэлементного к целостному системному. Развивающее обучение, считает он, с точностью до наоборот должно идти в обучении от общего к единичному, от абстрактного к конкретному, от целого к части. По В.В. Давыдову, каждая из этих стратегий обучения формирует свой тип мышления: эмпирический в первом случае и теоретический - во втором. При этом, как справедливо считает А.А. Леонтьев, «разделение переросло в противопоставление и формирование теоретических обобщений стаю осуществляться с «нуля», без опоры на эмпирический опыт школьника (а он невозможен без эмпирических обобщений)» [37, с. 19].

Мечтая построить единую теорию учения, В.В. Давыдов неоднократно указывал на то, что понятие «учебная задача» близко понятию «проблемная ситуация» (см., например, [19, с. 267]), указывал на проблемное обучение как еще на один из вариантов деятельностной теории обучения [19, с. 265]. Поэтому неудивительно, что современные попытки организовать

и обосновать развивающее обучение в 5-9 классах детей, обучавшихся в начальной школе по системе Эльконина-Давыдова, существенно опираются на некоторые положения теории проблемного обучения.

Психолого-педагогические исследования проблемного обучения вели Т.В. Кудрявцев, А.М. Матюшкин, М.И. Махмутов и др. Различные авторские интерпретации сущности проблемного обучения и его видов можно найти в любом современном учебнике педагогики, поэтому ограничимся тем, что приведем толкования, которые даны в «Российской педагогической энциклопедии» и в психологическом словаре под редакцией А.В. Петровского и М.Г. Ярошевского.

В энциклопедии проблемное обучение — «обучение, при котором преподаватель, систематически создавая проблемные ситуации и организуя деятельность учащихся по решению учебных проблем, обеспечивает оптимальное сочетание их самостоятельной поисковой деятельности с усвоением готовых выводов науки. Проблемное обучение направлено на формирование познавательной самостоятельности учащихся, раскрытие их логического, рационального, критического и творческого мышления и познавательных способностей. .. Проблемное обучение способствует развитию интеллекта учащегося, его эмоциональной сферы и формированию на этой основе мировоззрения. В этом и заключается главное отличие проблемного обучения от традиционного объяснительно-иллюстративного. Проблемное обучение предполагает не только усвоение результатов научного познания, но и самого пути познания, способов творческой деятельности. В основе организации проблемною обучения лежит личностно-ориентированный принцип организации обучения, приоритет поисковой учебно-познавательной деятельности учащихся, т.е. открытия ими под руководством обучающего выводов науки, способов действия, изобретения новых предметов или способов приложения знаний к практике» [67, с. 197].

В словаре проблемное обучение - «организованный преподавателем способ активного взаимодействия субъекта с проблемно представленным содержанием обучения, в ходе ко-

торого он приобщается к объективным противоречиям научного знания и способам их разрешения, учится мыслить, творчески усваивать знания. В совместной деятельности с преподавателем учащийся не просто перерабатывает информацию, усваивая новое, он переживает этот процесс как субъективное открытие еще неизвестного ему знания, как постижение и понимание научных фактов, принципов, способов или условий действия, как личностную ценность, обусловливающую развитие познавательной мотивации, интереса к содержанию предмета. В проблемном обучении путем создания проблемной ситуации моделируются условия исследовательской деятельности и развития творческого мышления учащихся. Компонентами этой ситуации являются объект и субъект познания и мыслительное их взаимодействие, особенности которого зависят от учебного материала и дидактических приемов организации познавательной деятельности. Средством управления мышлением учащихся в проблемном обучении служат проблемные и информационные вопросы. Проблемные вопросы указывают на существо учебной проблемы и на область поиска еще неизвестного учащемуся знания. В проблемном обучении принцип проблемности реализуется как в содержании учебного предмета, так и в процессе развертывания этого содержания в учебном процессе. Первое достигается разработкой системы проблем, отражающих основное содержание учебной дисциплины; второе - построением проблемного обучения по диалогическому типу, где и преподаватель, и учащийся проявляют интеллектуальную активность и инициативу, заинтересованы в суждениях друг друга, обсуждают альтернативные варианты решений» [61, с. 294].

Наиболее полно, на наш взгляд, психологические основания проблемного обучения разработаны А.М. Матюшкиным. Прежде всего, он указывает на то, что «задача» и «проблемная ситуация» - принципиально различные понятия, обозначающие различные психологические реальности. По его мнению, «субъект не нужен для определения понятия задачи, так как задача по своей структуре представляет объективно заданное и сформулированное (представленное) в словесной или знако-

вой форме отношение между определенными «условиями», характеризуемыми как «известное», и тем, что требуется найти, характеризуемым как искомое» [46, с. 428]. «Проблемная ситуация составляет специфический вид взаимодействия субъекта и объекта. Она характеризует прежде всего определенное психическое состояние субъекта (учащегося), возникающее в процессе выполнения такого задания, которое требует открытия (усвоения) новых знаний о предмете, способах или условиях выполнения задания. Усвоение или открытие нового совпадает в данном случае с таким изменением психического состояния субъекта, которое составляет микроэтап в его развитии. Открытие неизвестного в проблемной ситуации, таким образом, совпадает с процессом становления элементарных психических новообразований» [46, с. 428].

Проведя это разграничение, А.М. Матюшкин предлагает различать процессы решения задачи и процессы нахождения нового, неизвестного в проблемной ситуации, т.к. смешение этих процессов приводит к тому, что процесс поиска неизвестного в проблемной ситуации часто рассматривают как решение задачи. Он предлагает понятие решение оставить за процессами достижения искомого в задаче, а поиск неизвестного в проблемной ситуации - для обозначения процесса ее «решения» [46, с. 435].

«Главным звеном управления и оптимизации процессов решения задач, по его мнению, являются адекватные способы преобразования условий задач, позволяющие раскрыть требуемую искомую величину, отношение и т.п. Эти способы преобразования заданной ситуации в требуемую ситуацию могут быть специфическими (математические, лингвистические и т.п.), определяемыми предметом действия, и общими (логические, эвристические и т.п.) [46, с. 435]. «Процесс поиска неизвестного в проблемной ситуации не совпадает с процессом решения задачи и осуществляется по другим закономерностям. Главный механизм, обеспечивающий человеку возможность открытия нового, ранее неизвестного отношения, свойства, новой смысловой характеристики явления, составляет образование новой связи. Новое, неизвестное человеку отно-

шение, закономерность раскрываются лишь через установление новых связей с уже известным. < ... > Важнейшая характеристика процесса поиска и обнаружения неизвестного в проблемной ситуации заключается в том, что в этом процессе кроме закономерностей логических преобразований проявляются также закономерности интуитивного мышления человека» [46, с. 435-4361.

При этом А.М. Матюшкин отмечает, что различие понятий задача и проблемная ситуация не умаляет роли задач как при создании самих проблемных ситуаций, так и при анализе процессов поиска неизвестного: «Задача в этом случае может выполнять роль такого интеллектуального задания, которое вызывает проблемную ситуацию, подобно тому, как могут вызывать проблемную ситуацию и задания иного типа. Если проблемная ситуация вызывается задачей, процесс решения ее как бы накладывается на процесс поиска неизвестного в проблемной ситуации. В этом случае лишь центральные звенья решения составляют собственно процесс поиска неизвестного, процесс усвоения новых знаний» [46, с. 436].

На основании сказанного, он делает вывод о том, что в условиях школьного обучения управление процессом усвоения новых знаний в проблемной ситуации должно имитировать условия творческой деятельности. «Главные условия такой имитации:

а) постановка проблемного задания перед учащимися;

б) сообщение сведений, составляющих то неизвестное, необходимость в котором возникла в проблемной ситуации и которое подлежит усвоению.

Лишь на высших этапах обучения при ознакомлении учащихся старших классов и студентов с методами научного исследования можно ставить вопрос об организации научного поиска усваиваемых учеником (студентом) знаний» [46, с. 437].

Считая последовательность проблемных ситуаций необходимым условием развития мышления, А.М.Матюшкин рассматривает способы их создания и использования. В частности, он вводит понятие проблемного задания: «Задания, вызывающие проблемные ситуации. следует называть

проблемными заданиями. К числу таких заданий могут относиться практические задания (сделать что-либо), вопросы, различные виды интеллектуальных задач и т.п. Во всех этих случаях соответствующие задания будут называться проблемными - «проблемное задание», «проблемный вопрос», «проблемная задача» и т.п.» [46, с. 472-473).

Сразу следует отметить, что в целом и по сути разделяя взгляды А.М. Матюшкина на проблемное обучение, некоторые авторы при его описании используют противопоставление понятий «задача» и «проблема». Приведем, например, мнение А.А. Вербицкого, который отмечает, что в психологии мышления и образовательной практике понятия «задача» и «проблема» часто смешиваются или используются как равнозначные. Он, в частности, пишет: «Наличие общего источника происхождения проблемы и задачи (проблемная ситуация), нестрогость их определения, зависимость понимания ситуации как задачи или как проблемы от личностного контекста приводят к «мерцанию» их смысла, к появлению в литературе таких «странных» терминов, как «проблемная задача», «творческая задача», «эвристическая задача» и др., к трактовке мышления как способности решать задачи» [10]*.

Посмотрим, как определяет задачи и проблемы сам А.А. Вербицкий? Он считает, что «задача - это формализованная, «вырожденная» проблемная ситуация с необходимым и достаточным набором данных и искомым, сформулированным в виде соответствующего вопроса. Задание отличается от задачи лишь менее строгой логической структурой словесной формулировки, а сходны они в части требования ответить на вопрос, выполнить какое-то упражнение, доказать или опровергнуть что-то по известной процедуре. В случае и задачи, и задания студенту нужно владеть определенной информацией и правильно ее применять» [10]. «Задача - это обобщенная знаковая модель множества прошлых проблемных ситуаций, содержащая данные и условия, которые необходимы и доста-

* Авторы имели только электронную версию статьи А.А. Вербицкого, поэтому не смогли указать страницы цитируемых материалов.

точны для ее разрешения наличными средствами знания и опыта данного человека. В результате «очищения» от противоречий и неопределенностей, выделения необходимых и достаточных условий и способов их преобразования проблемные ситуации преобразовались авторами учебных программ в задачи (задания), своего рода «культурные консервы», которые теперь можно использовать для проектирования содержания обучения и его предъявления обучающимся» [10].

«Если учебная задача продолжает он это нечто объективно существующее в программах обучения, то проблема вне познающего субъекта и его мышления как таковая не существует. Проблема определяется как психическое состояние человека в данной проблемной ситуации, характеризующееся осознанием невозможности ее разрешения с помощью имеющихся у него знаний, средств и способов действий. Появление проблемы обусловлено противоречивостью, избытком или недостатком предметных и социальных компонентов этой ситуации, необходимостью принятия решения при двух или большем числе альтернатив выбора с вероятностным исходом, множественностью или неопределенностью критериев принятия решения, наличием разных точек зрения на ситуацию. Проблема - это осознание пробела в своих знаниях, получение «информации о незнании» (К.Поппер)» [10]. «В отличие от заранее определенного автором задачника или преподавателем искомого задачи центральным звеном проблемы является неизвестное. Его раскрытие требует от человека выдвижения гипотез относительно сущности неизвестного и области его поиска и организации исследования, подтверждающего или опровергающего эти гипотезы» [10]. «Подобно задаче, проблема также может быть описана в знаковой форме, но лишь как языковое оформление переживания нераскрытости и непонятности проблемной ситуации, и стать формой предъявления «знания о незнании» одним человеком другому или другим людям» [10].

Что обращает на себя внимание в процитированной работе? Первое, если проблема - это «психическое состояние человека в данной проблемной ситуации», то, что такое «проблемная ситуация»? Второе, автор использует как равнознач-

ные понятия «задача» и «учебная задача», но совершенно очевидно, что этими терминами обозначены разные реальности. (Впрочем, не различает эти понятия и А.М.Матюшкин.) То же самое можно сказать и про понятия «проблема» и «учебная проблема». Третье, сказанное настолько противоречит устоявшимся представлениям о задачах любого учителя и вузовского преподавателя математики, что вызывает у каждого из них бурные возражения. По мнению А.А.Вербицкого, любая задача, будучи однажды решенной, перестает быть творческой учебной задачей, она для него является только репродуктивной. Если встать на его точку зрения, то непонятно куда отнести те учебные задачи, которые мы обычно называем нестандартными, задачами повышенной трудности и т.п. Поэтому есть смысл отдельно обсудить вопрос о сущности учебных задач и учебных проблем.

§ 3. Учебная задача

Задачи могут естественным образом возникать в любой человеческой деятельности как практической (в самом широком понимании), так и познавательной. Решение любой практической задачи всегда направлено на достижение вполне конкретных (требуемых) изменений в предмете деятельности, результатом такого решения как правило становится некоторый материальный продукт. Решение познавательной задачи направлено прежде всего на расширение знаний о предмете деятельности, здесь результатом деятельности является новое знание. Это может быть новый факт, новое свойство, новая модель, новый способ деятельности и т.п. Такое знание может быть новым как объективно, тогда оно обогащает память человечества, так и субъективно, тогда субъект переоткрывает для себя некоторые известные факты.

Чтобы понять, в чем основное отличие учебных задач от практических и познавательных задач, рассмотрим специфические особенности учебной деятельности. Эти особенности обусловлены, с одной стороны, тем, что учебная деятельность направлена на освоение других видов деятельности. С другой

стороны, учебная деятельность направлена сама на себя (учись учиться).

Как пишет А.М.Новиков: «В отличие от подавляющего большинства других видов человеческой деятельности — практической, научной, художественной и т.д., где деятельность направлена на получение «внешнего» по отношению к субъекту результата - материального или духовного - учебная деятельность субъекта направлена «на себя», на получение «внутреннего» для субъекта результата - освоение нового для обучающегося опыта в виде знаний, умений и навыков, развития способностей, ценностных отношений и т.д. Конечно, в любой человеческой деятельности есть рефлексивные компоненты, обращенные «на себя». Но это лишь компоненты, в целом же деятельность - практическая, научная и т.д. обращена «вовне» - на внешний результат. Учебная деятельность направлена «на себя» [52, с. 35-36].

По мнению Г.А.Балла, «решенная задача ... перестает быть задачей» [2, с. 34-35]. В отношении практической или познавательной задачи с этим мнением можно согласиться, но в отношении учебной задачи - нет. Действительно, и практическая, и художественная, и познавательная задачи угасают в полученном продукте деятельности. Так результат познавательной деятельности, а зачастую и способ получения этого результата, объективируется с помощью знаково-символических средств в виде описаний свойств предмета исследования, алгоритмов, принципов, теорем, теорий. В таком виде он становится доступным другим субъектам познания, в частности, может стать для них предметом специального изучения, т.е. стать учебной задачей.

Несостоятельность парадигмы обучения, основанной на «передаче» готового знания известна давно. В процессе обучения нужно передать не знание само по себе, важно вооружить обучающегося способами получения этого знания. Поэтому предметная учебная задача (прилагательное «предметная» указывает на отнесенность задачи к некоторой предметной области) возникла как особая форма передачи социального опыта, накопленного человечеством, позволяющая переда-

вать знания в их деятельностном виде. Так, любая учебно-математическая задача (как знаковая модель) является прежде всего математической задачей, т.е. в ней свернуты некоторые математические факты и методы их получения. Чтобы стать носителем этих знаний и способов деятельности, и тем самым изменить самого себя, ученик должен их заново распредметить в собственной деятельности.

Первой отличительной характеристикой учебной задачи является то, что она в подавляющем большинстве случаев носит искусственный характер, т.е. специально преднамеренно конструируется. Поэтому В.И. Гинецинский определяет учебную задачу как «стандартизированную форму описания некоторого фрагмента уже осуществленной деятельности, ориентированную на создание условий для воспроизведения этой деятельности в условиях обучения» [15, с. 173].

Вторая особенность любой «хорошей» учебной задачи состоит в том, что она, однажды «умерев» на листе бумаги, миллионы раз заново «воскресает» в процессах учебной деятельности.

Свернутые в задачах результаты предметной деятельности могут иметь различную степень «прозрачности», а значит, учебно-предмстные задачи позволяют ставить и достигать в учебном процессе разные дидактические цели. Например, задачи, алгоритм решения которых явно видим, служат для выработки у учащихся инструментальных репродуктивных умений, доведения их до автоматизма. Задачи, искомые факты и способы деятельности в которых намеренно скрыты, являются средством развития творческих способностей и т.д. В зависимости от дидактических целей, для достижения которых используется задача, она выполняет в учебном процессе различные функции. Понятно и то, что одна и та же предметная задача позволяет ставить и достигать разные дидактические цели, и, наоборот, одну и ту же дидактическую цель можно достичь с помощью разных предметных задач.

Таким образом, предметная учебная задача позволяет действенно реконструировать и переводить известные формы уже имеющегося опыта в процесс познавательной активности учащихся и содержание их умственной деятельности, быть

средством развития и управлять им. При таком понимании учебной задачи сущностью учебной деятельности является деятельность по присвоению обобщенных способов действий на основе решения специально поставленных учебных задач.

Поэтому саму учебную задачу как средство обучения можно представить в виде диады [3П,ЦЛ), состоящей из некоторой предметной задачи Зп и некоторой дидактической цели ЦД. Тогда множество учебных задач естественно рассматривать как множество диад вида \3П,ЦД), где первая компонента пробегает некоторое выделенное множество {Зп} предметных задач, а вторая компонента - некоторое выделенное множество {Цд} дидактических целей.

Продемонстрируем сказанное на примере предметной области «Математика», хотя оно в равной степени относится и к другим предметным областям. Любая учебная математическая задача - это, конечно, математическая задача. Многие задачи школьного учебника представляют собой требования доказать математические факты, составляющие содержание некогда доказанных теорем и следствий из них. Стоит, например, вспомнить «именные» теоремы из школьных учебников. Такую учебную задачу можно рассматривать как некогда отчужденный результат познавательной деятельности, свернутый в формулировке или иной знаково-символической форме, ставший затем фрагментом учебного курса.

Для того чтобы «вскрыть» не только предметно-логическую, но и дидактическую сущность математической задачи, автору учебника (задачника) или учителю нужно ее должным образом (в нужное время и в нужном месте) распредметить. И тот, и другой, опираясь на поставленные ими дидактические и методические цели, в системе {Зп} математических задач «строят определенное сечение» - систему математических учебных задач. Первый при этом ориентируется на «идеального» ученика, второй, - реального. Поэтому, отождествив учебную математическую задачу с породившей ее математической задачей, мы потеряем саму сущность учебной

задачи. Учебная задача - это прежде всего важнейшее содержательное и процессуальное средство обучения, позволяющее ставить и достигать конкретные образовательные и воспитательные цели.

В обучении большинство задач дается обучающемуся в «готовом» виде - задача уже сформулирована. При этом разные субъекты образовательного процесса по-разному осведомлены о способах решения задач и их результатах. Автору учебника или задачника они, естественно, известны; обучающемуся, как правило, - нет. Именно знание решений задач позволяет логически и педагогически целесообразно автору учебника встраивать задачи в предлагаемую им модель процесса обучения, а учителю использовать их в реальном процессе обучения. Для них собственно математическая задача и ее известные решения составляют в учебно-математической задаче единое целое. Поэтому при исследовании учебных задач и проектировании их систем бессмысленно рассматривать учебную задачу безотносительно к способу ее решения, изначально должна исследоваться система (задача I решение).

Далее, в зависимости от целей теоретических педагогических исследований и видов педагогической практики принято различать задачи сами по себе и так называемые отнесенные задачи (задача + решатель, т.е. субъект, работающий с задачей). Как отмечает Г.А.Балл, «задачи могут исследоваться как с учетом характеристик решателей, так и в абстракции от них» [2, с. 35]. Он считает: «Решатель может быть охарактеризован совокупностью средств решения задачи, находящихся в его распоряжении. К ним относятся операторы, которыми располагает решатель, а также привлекаемые им операнды, дополнительные к тем, которые имеются в предмете задачи. Средства решения подразделяются на внутренние (входящие в состав решателя) и внешние (не входящие в его состав, но используемые им)» [2, с. 35].

Такое различение в теории и практике обучения действительно оправдано. Как уже отмечалось, одно дело - методист-теоретик или автор учебника, совсем другое - учитель-практик. Автор учебника (задачника), например, всегда обра-

щен к идеализированному решателю - идеальному ученику, который к моменту встречи с предлагаемой ему задачей владеет изученным ранее теоретическим материалом и рассмотренными способами решения задач, обладает определенным набором решенных задач; причем эти знания и умения для автора, как правило, объективно не зависят от свойств отдельных учащихся. Успешный же учитель уже на стадии подготовки к уроку должен быть обращен к реальному контингенту (конкретному классу, конкретному ученику).

Из сказанного можно сделать следующий вывод. Всякая учебная задача может быть охарактеризована с двух сторон: объективной (в системе задача + решение) и субъективной (в системе задача + решатель). Глубоко осознать эту двойственность, можно лишь исследуя систему (задача + решение + решатель).

В педагогической, методической и учебной литературе наряду с термином «учебная задача» широко используются термины «вопрос», «учебное задание», «упражнение». Наиболее распространенное употребление первого термина хорошо выразил В.И. Загвязинский: «вопрос - та же задача, в которой условие подразумевается, так как известно познающему или может быть им реконструировано, а потому не приводится» [22, с. 85]. Четкого разграничения понятий задание и задача не существует. Обратимся, например, к «Российской педагогической энциклопедии». В ней учебное задание - «вид поручения учителя учащимся, в котором содержится требование выполнить какие-либо учебные (теоретические или практические) действия» [66, с. 317]. Нетрудно заметить, что в соответствии с этим определением учебное задание должно быть отнесено к категории «задача» (в первом смысле). Понятие «упражнение» отдифференцировано достаточно четко. В той же энциклопедии находим, термин «упражнение» употребляется «для обозначения задания, даваемого с целью совершенствования в выполнении какой-либо деятельности» [67, с. 471], т.е. упражнение также можно рассматривать как специальный вид задачи. Следует, правда, заметить, что в методике обучения математике предпринимались неоднократные попытки переосмыс-

ления понятия «упражнение» (к этому мы вернемся в § 4), но они не получили широкой поддержки.

Отметим, наконец, что в психологии и дидактике используется понятие учебной проблемы, которая также трактуется разными авторами различно, а иногда и диаметрально противоположно. Например, в упомянутой энциклопедии учебную проблему составляет «словесное выражение содержания проблемной ситуации» [67, с. 198]. В психологическом же словаре [61] учебная проблема характеризуется следующим образом: «Она имеет логическую форму познавательной задачи, содержащей некоторое противоречие в своих условиях (избыточные, недостающие, альтернативные, частично неверные данные и т.п.) и завершающейся вопросом, который это противоречие объективирует. Обнаружение противоречия в учебной проблеме (учебном задании) приводит к переживанию обучающимся состояния интеллектуального затруднения, вызывает проблемную ситуацию» [61, с. 293]. Иными словами учебная проблема отождествляется авторами словаря с познавательной задачей и признается, что в процессе обучения не проблемная ситуация порождает задачу, а задача порождает проблемную ситуацию.

Кроме понятия «учебная проблема» в педагогической литературе встречается понятие «учебная проблемная ситуация» (см., например, [78]). Авторы монографии отмечают, что учебные проблемные ситуации являются средством конструирования учебных ситуаций и поэтому имеют искусственный характер. Далее обращается внимание на отличие учебных проблемных ситуаций от проблемных ситуаций в мышлении. В частности, они пишут. «Первая характеризуется совокупностью видов и форм учебной деятельности на уроке, а вторая -психологическим состоянием, возникающим у субъекта, когда ему требуется найти новые знания или способы действия. Если мы делаем предметом рассмотрения не психическое состояние ученика, а деятельность обучения в целом, структурными характеристиками возникающих в ней ситуаций становятся формы учебной деятельности. Такая учебная проблемная ситуация может быть представлена не только как

уже существующая, но и как проектируемая в виде набора форм учебной работы, рекомендаций для учителя и т.п. Благодаря этому появляется возможность не только предусматривать, но и проектировать, включать в содержание учебные ситуации различных типов» [78, с. 49-50]. При этом авторы обращают внимание на то, что в комментариях, которые дает А.М. Матюшкин к своим примерам использования проблемных ситуаций в обучении, «отсутствуют в явном виде (хотя и подразумеваются) психологические компоненты структуры проблемной ситуации: познавательная потребность, неизвестное достигаемое знание, интеллектуальные возможности человека. Изложение ведется в терминах форм учебной деятельности...» [78, с. 50]. На наш взгляд, авторы монографии учебной проблемной ситуацией называют учебную проблему, которая действительно преднамеренно проектируется.

В психологии, дидактике и предметных методиках выделены различные виды задач, существуют их многочисленные классификации и типологии. При этом основания для классификаций связываются как с объективным предметным содержанием задач и формой его представления, так и субъективными свойствами ее решателя. Именно второй критерий позволяет, по-видимому, говорить о репродуктивных и творческих задачах. «Этот критерий - пишет В.Ф.Спиридонов - имеет смысл только относительно конкретного решателя, т.е. можно говорить о творческих или репродуктивных задачах лишь по отношению конкретной ситуации и человеку или группе людей (даже если это все человечество), которые столкнулись с проблемной ситуацией. Суть противопоставления заключается в том, что для репродуктивных задач у решателя есть готовые средства и способы их решения, и они ведут к успеху. А в случае творческих задач такие средства либо вообще отсутствуют, либо по каким-то причинам не могут быть использованы «здесь и теперь». Таким образом, творческая задача - это не синоним сложной или нетрадиционной задачи, а наименование той. которую кто-то не знает, как решать (именно для него она творческая)» [75, с. 25].

В дидактике похожую точку зрения высказывает, например, В.И. Загвязинский, проводящий классификацию учебных задач на основе видов деятельности при их решении (репродуктивная, алгоритмическая, трансформирующая, творческо-поисковая). (Напомним, что субъектность является одной из определяющих характеристик деятельности.) Он, в частности, выделяет:

-репродуктивные задачи, которые решаются по заданной в словесной форме программе выполнения всех элементарных шагов с указанием условий их применения;

- алгоритмические задачи, которые решаются по алгоритму, заданному в виде формулы, правила, т.е. для решения необходимо трансформировать этот алгоритм в развернутую программу, что, на его взгляд, требует неалгоритмических действий проблемного характера;

- трансформированные задачи, в которых надо применить известные формулы в новых ситуациях и при этом ведущую роль играют эвристические шаги;

- творческо-поисковые задачи, основой решения которых является сочетание логического анализа и интуиции (непосредственного усмотрения истины без предварительного логико-эвристического рассуждения) [23, с. 99].

Можно, конечно, возразить против приведенных им принципов разделения задач на репродуктивные и алгоритмические (алгоритм может быть задан и словесным описанием), но для нас важно было привести саму классификацию. Дело в том, что разнос понимание сущности задач и проблем, неразличение задач вообще и специфически учебных задач, приводит к разным трактовкам задачного подхода к обучению.

Однако прежде, чем перейти к анализу различных подходов к обучению «через решение задач» и дать авторскую интерпретацию задачного подхода к обучению математике, обсудим такие вопросы, как специфика учебно-математических задач, сложность и трудность задач, а также функции задач в обучении.

§ 4. Задача в обучении математике

Разнообразие в трактовках обсуждаемых понятий, разумеется, не могло миновать и методику обучения математике. Однако в ней большинство разночтений находится на уровне авторских терминологических пристрастий. Это, повидимому, можно объяснить тем, что изначально обучение математике было неразрывно связано с решением задач.

Длительное время понятие задачи казалось всем настолько понятным и ясным, что попытки как-то его формально определить, вообще не предпринимались. В этом появилась необходимость, когда в средине прошлого века начали создаваться первые учебные пособия по методике преподавания математики для педагогических институтов.

В учебнике по методике преподавания математики В.М. Брадиса содержится параграф «Упражнения в решении задач», который начинается словами «Прежде всего установим точный смысл самого термина «математическая задача». После этого автор приводит определение СО. Шатуновского из его введения к переводу книги А. Адлера «Теория геометрических построений» (Учпедгиз, 1940): «Задача есть изложение требования «найти» по «данным» вещам другие, «искомые» вещи, находящиеся друг к другу и к данным вещам в указанных соотношениях». Указывая на то, что под это определение не подойдут многие задачи на доказательство, В.М. Брадис дает свое определение: «Задачей следует называть любой математический вопрос, для ответа на который недостаточно простого воспроизведения одного какого-либо результата, теоремы или определения из пройденного курса» [8, с. 57].

Если принять это определение - продолжает он - следует «считать, что термины «задача» и «упражнение» равнозначны». «Наиболее простые задачи, состоящие в одном лишь применении того или другого установленного в теоретической части курса предложения (правила, формулы, теоремы) к данному частному случаю, будем называть «примерами», причем существенно, чтобы выбор примененного предложения под-

сказывался условием задачи и не вызывал затруднений. Все задачи, не сводящиеся к примерам, можно назвать «задачами в собственном смысле слова». Итак, примеры мы будем рассматривать как простейшие задачи, а не противополагать их задачам» [8, с. 57].

Как видим, В.М. Брадис пока не разделяет понятий «математическая задача» и «учебная математическая задача», задачи рассматриваются им, прежде всего, как средство, сопровождающее теоретический материал. Он уделяет большое внимание задачам, которые мы сегодня называем репродуктивными.

Кроме того, В.М. Брадис обсуждает, что значит решить математическую задачу, точнее, какое решение задачи считать исчерпывающим. «Задачу - считает он - можно считать решенной тогда и только тогда, когда найденное решение: 1) безошибочно, 2) обосновано, 3) имеет исчерпывающий характер. Эти три требования являются категорическими: если не выполнено хотя бы одно из них, то решение или вовсе непригодно (если оно неверно), или неполноценно (если оно верно, но не обосновано, или верно и обосновано, но не полно)» [8, с. 58]. Кроме того, он приводит четыре необязательных но желательных требования: 4) решение должно быть по возможности простым, 5) оно должно быть надлежащим образом оформлено (запись решения), 6) желательно, чтобы был виден путь, приводящий к решению, 7) иногда желательно обобщение решенной задачи. Каждое из семи предложенных требований сопровождается соответствующими примерами.

Следует отметить, что в появившейся двумя годами ранее «Методике геометрии» [5] Н.М. Бескина общее понятие задачи даже не обсуждается. Вместе с тем, автор особо подчеркивает полезность решения неопределенных и переопределенных задач и составления задач самими учащимися.

В последующем специалисты по методике обучения математике неоднократно уточняли понятия «задача» и «решение задачи». В методической литературе наиболее часто встречаются ссылки на работы В.Г. Болтянского, ЮМ. Колягина, Г И. Саранцева и Л.M Фридмана.

При определении этих понятий Ю.М. Колягин обращается к системе (задача + решатель). Именно, он рассматривает сложную систему, состоящую из субъекта (человека) и объекта - некоторого множества, состоящего из взаимосвязанных через некоторые свойства и отношения элементов, образующего задачную систему' Р = (afrxbhr2...). Символами

обозначены элементы множества Р; символами /,,/2>-- - присущие этим элементам свойства; Т19Т2>... - отношения, связывающие элементы или их свойства. Если человеку, вступающему в контакт с системой Р, - считает Ю.М. Колягин - известны все элементы множества и известны все свойства и отношения между ними, а также структура системы Р в целом, достаточные для того, чтобы он мог считать множество Р системой, то такую систему Р следует называть стационарной по отношению к данному человеку. Стационарной относительно данного человека он считает и всякую систему Р, с которой у него не возникло контакта. В том случае, когда субъекту неизвестен какой-либо элемент, свойство или отношение в Р, или неизвестна ее структура, то такая система называется Ю.М. Колягиным проблемной; возникает проблемная ситуация. Если субъект хочет и может установить неизвестный элемент, то объективированная проблемная ситуация становится для него задачей. Решить задачу - это значит преобразовать проблемную ситуацию в стационарную или установить, что такое преобразование невозможно [30, с. 49-50].

Однако, описывая структуру разрешения проблемной ситуации (равно как и структуру решения задачи), он использует систему (задача + решение), выделяя следующие этапы:

I. Начальное состояние (А) - характеристика проблемности системы Р, т.е. условие задачи (известные элементы, их свойства и отношения).

II. Конечное состояние (В\ цель (элементы, их свойства и отношения, которые требуется найти).

III. Решение задачи (Ä), преобразование из А в В.

IV. Базис решения задачи (С), теоретическая основа, обоснование решения [30, с. 51].

Сохраняя для известных этапов принятые обозначения Л, B,R и С, а неизвестные этапы обозначая через X, Y и Z, в зависимости от числа неизвестных этапов Ю.М.Колягин строит следующую типологию задач:

1 ) XCRB, AXRB, АСХВ, ACXR - обучающие;

2) AXYB,XCRY, XYRB, ACXY, AXRY, XCYB - поисковые;

3) XYZB, AXYZ, XCYZ, XYRZ - проблемные.

По Л.М. Фридману, как уже отмечалось, задача - «знаковая модель проблемной ситуации» [80, с. 93]. «Решить математическую задачу - это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, тождеств, формул и т.д.), применяя которые к условиям задачи или их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в вопросе задачи» [80, с. 100]. Его понимания структуры задачи (см. с. 8) и ее решения сходны с пониманием Ю.М. Колягина, т.е. Л.М. Фридман свои исследования в теории задач ведет в системе (задача + решение).

Вместе с тем, как мы понимаем, Л.М. Фридман не включает субъекта в определение решения задачи, а Ю.М. Колягин включает. Это отличие в понимании одного и того же объекта отражает отмеченное ранее наличие объективных и субъективных аспектов в содержании понятия задача. К первому относятся: предметная область (объекты), отношения между объектами и их свойства, допустимые преобразования и допустимые правила логического вывода, требование задачи (цель); ко второму - готовность или неготовность субъекта к предлагаемой деятельности, принятие или непринятие им задачи, ощущение трудности или легкости задачи (как прогнозируемая вероятность успешности необходимых действий).

Оба автора включают решение задачи в ее структуру. Как уже тоже говорилось, такая точка зрения оправдана. Именно решение позволяет автору на страницах учебника (задачника), а учителю на уроке или во внеурочной работе задачу должным образом распредметить и тем самым «вскрыть» не только ее содержательно-логическую сущность, но и дидактический потенциал.

Вместе с тем, предлагаемые Ю.М. Колягиным и Л.М. Фридманом определения в равной мере могут быть отнесены как к соб-

ственно математическим, так и к учебным математическим задачам. Для выделения учебных задач Г. И. Саранцев вводит в методику обучения математике переосмысленное понимание термина «упражнение». По его мнению, понятие задачи шире понятия упражнение, которое можно выделить характеристическими видовыми признаками: «прямым продуктом задачи могут выступать либо изменения в задачной ситуации, либо изменения в личности решающего задачу. Упражнением является задача, если прямым ее продуктом является приобретение знаний, умений, навыков» [73, с. 19]. «Для решения вопроса об отнесении конкретной задачи к упражнениям важны цель ее использования, место в усвоении содержания, адекватность ее решения той деятельности, которую вызывает изучение материала» [73, с. 18].

«Упражнения - пишет Г.И. Саранцев - представляют собой многоаспектное явление обучения математике, обладающее следующими основными признаками: 1) быть носителем действий, адекватных содержанию обучения математике; 2) являться средством целенаправленного формирования знаний, умений и навыков; 3) быть способом организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся;

4) являться одной из форм реализации методов обучения;

5) служить средством связи теории с практикой» [73, с. 19].

Широко использует термин «упражнение» П.М. Эрдниев, хотя, как можно понять из контекста, он употребляет его как синоним термина «задача» [97, с. 100].

Более традиционным в методике обучении математике является иное различение задач и упражнений. Распространенную точку зрения приводит, например, В. Г. Болтянский, который пишет: «Непременным условием того, чтобы задание можно было считать упражнением, является указание (явное или неявное) о способе его выполнения. Решающий должен быть осведомлен (перед выполнением упражнения или группы упражнений), хотя бы в общих чертах, о характере той деятельности, которую он должен выполнить, - иначе это не будет упражнением. <...> В большинстве же случаев указание о способе выполнения в текст не включается. Однако тот факт.

что это упражнение дается после того, как на предыдущих уроках был изучен определенный теоретический материал, является, как правило, неявным указанием на необходимость применить при выполнении упражнения именно этот материал.

Но помимо знания правил, необходимых для выполнения упражнения, обучаемый должен обладать определенной культурой, характеризующей уровень уже имеющихся у него знаний. Итак, определенный уровень знаний плюс четко очерченный круг применяемых правил (законов) - вот что характеризует упражнение. Как правило, при выполнении упражнения применение этих законов является стандартным, типичным» [6, с. 282].

Далее он отмечает, что основной функцией, которую играют упражнения в обучении, является формирование навыков, т.е. свернутых автоматизированных умений осуществлять операции по выполнению упражнения.

«В отличие от упражнения задача - считает В.Г. Болтянский - носит более творческий характер. Разумеется, различие между упражнениями и задачами условно и значительной степени субъективно. Вопрос о том, «стандартный» или «творческий» характер имеет определенное задание, зависит от склонностей, знаний, общей культуры человека, выполняющего его. Более того, один и тот же человек после решения достаточного числа сходных между собой задач будет склонен относить их к разряду упражнений, так как они утратят для него творческий характер. И все же, несмотря на условность и относительность деления заданий на упражнения и задачи, между первыми и вторыми есть существенная разница. Решение задачи расчленяется на несколько отдельных этапов, проведение каждого из которых сводится к выполнению определенного упражнения, существенно более простого, чем вся задача в целом. Иными словами, для решения задачи нужно сформулировать и выполнить несколько упражнений в определенной (заранее не указанной) последовательности [6, с. 283].

Мы в данной работе будем в дальнейшем придерживаться именно такого традиционного подразделения учебных заданий на упражнения и задачи.

§ 5. Сложность и трудность учебной задачи

Наличие объективных и субъективных аспектов в содержании понятия «задача» особенно остро проявляется в многочисленных попытках определения и дальнейшего исследования таких характеристик задачи как «сложность задачи», «трудность задачи», а также понятий «сложность решения задачи» и «трудность решения задачи».

Будучи системным образованием, задача объективно имеет определенную структуру, поэтому естественны попытки выделить параметры, по которым можно было бы описать сложность задачи с системных позиций. При этом приходится выделять, а затем количественно и качественно описывать условия и требования задачи, анализировать их влияние на деятельность по ее решению идеализированным решателем. Трудность решения этих задач проиллюстрируем на примере обобщения, сделанного О.К. Тихомировым.

Этот автор отмечает: «При характеристике условий задачи, определяющих деятельность по ее решению, обычно используют следующие признаки. 1. «Привычность - непривычность» ситуации (от этой характеристики зависит развернутость ориентировки в ситуации, возможность или невозможность достижения желаемого результата готовым способом). 2. Характер представленности условий (словесное описание, изображение, реальная ситуация). 3. Степень выделенности в ситуации «существенного отношения», учет которого является ключевым для решения. Под идеей задачи имеют в виду не заданные прямо промежуточные стратегические и тактические цели, которые нужно поставить и достигнуть, чтобы получить решение задачи, известное ее составителю» [79, с. 20].

При анализе структуры задачи он выделяет элементы ситуации и допустимые правила ее преобразования. Отмечая, что элементы условий могут находиться между собой в различных соотношениях (например, пространственных и функциональных), О.К. Тихомиров подчеркивает системный характер этих отношений: «В системе функциональных и пространственных отношений проявляются ситуационные свойства

каждого элемента, система характеризует ситуацию в целом» [79, с. 21]. Важными параметрами он считает число правильных альтернатив преобразования ситуации, которые ведут к нужному результату; ценность конкретного преобразования с точки зрения наиболее оптимального пути получения этого результата; наличие «ложных ходов», которые кажутся сильными, но не ведут к решению.

При характеристике соотношений между условиями и требованиями О.К. Тихомиров выделяет задачи, в которых: все элементы условий нужны для решения; есть лишние элементы; отсутствуют необходимые элементы; имеются противоречивые сведения. (В методике обучения математике традиционно рассматриваются задачи с избыточными, неполными и противоречивыми данными).

С точки зрения реальной поисковой деятельности он особо подчеркивает необходимость различать задачи, у которых 1) существует одно-единственное решение, 2) имеются несколько или бесконечно много решений, 3) решения не существует. (Для математики и методики обучения математике - хорошо известные ситуации, которые при обучении являются предметом специального рассмотрения.) Указывает на наличие задач на обнаружение ошибок в предлагаемых готовых решениях и задач, в которых ограничено время на их решение, ограничен набор средств решения [79, с. 25-27].

Самым любопытным в приведенном анализе О.К. Тихомирова является следующее замечание: «Особенности структуры задачи влияют (конечно, не однозначно) на деятельность по ее решению, поэтому ... важно их учитывать. Такой учет является составной частью детерминистского анализа мышления. Тот факт, что одни задачи решаются человеком легко, а другие (конечно, при прочих равных условиях) трудно, известен достаточно хорошо, но практически не выявляются факторы, детерминирующие это различие» [79, с. 20].

По-видимому, этим замечанием можно объяснить тот факт, что в педагогике и в методике обучения математике, когда говорят о сложности и трудности задач, на самом деле изучают сложность и трудность их решения; при этом сложность

(трудность) задачи зачастую отождествляется с сложностью процесса ее решения. Например, Г.А.Балл пишет: «Общее понятие об уровне сложности системы может касаться, в частности, таких систем, как предмет задачи, задачная система или формулировка задачи. Мы, однако, говоря об уровне сложности задачи, имеем в виду сложность не какой-либо из этих систем, а реального или предполагаемого процесса решения задачи. Такая тактика, на наш взгляд, в наибольшей степени соответствует интуитивному представлению о сложности задачи» [2, с. 118-119].

Действительно, процесс решения задачи можно объективно охарактеризовать количеством и качеством совершаемых операций, временными, психическими и энергетическими затратами решателя на их осуществление и т.п. При этом большинство исследователей считают сложность решения задачи объективной характеристикой процесса решения задачи, а трудность решения - субъективной.

Похожего мнения придерживается и А.М. Матюшкин, который считает: «Задача характеризуется прежде всего степенью сложности, проблемная ситуация - степенью трудности подлежащего усвоению (открываемого) неизвестного. Главным показателем степени трудности здесь и выступает степень обобщенности раскрываемого неизвестного» [46, с. 429].

Найденное и соответствующим образом фиксированное решение - продукт деятельности, выполненной при решении задачи. Оно адекватно структуре задачи и состоит из цепочки подзадач. Фиксированное решение может служить объективной характеристикой процесса решения; с помощью этой характеристики обычно и определяют сложность решения задачи.

Так, известный польский педагог В. Оконь связывает сложность с декомпозицией задачи на простые подзадачи [53]. Сходной точки зрения придерживается Ю.М. Колягин, он, в частности, пишет: «Говоря о сложности решения задачи, мы говорим о характере перехода из проблемной ситуации в стационарную, оцениваем способ решения задачи, который тесно связан с базисом (число и характер необходимых преобразований, выкладок, шагов, подзадач)» [30, с. 74]. Эту объективную характеристику можно заранее программировать для ученика.

Следует отметить неоднократные попытки различных авторов построить «работающие» модели для количественного выражения сложности математических задач. Простейшую количественную характеристику вводит И.Ганчев, который следующим образом определяет степень сложности решения: «Имея в виду, что решение Ап одной задачи содержит решения Ai, А2, ..., АпЛ других задач, аксиомы и определения, целесообразно назвать число п степенью сложности решения Ап » [30, с. 68].

Формулу S = m + n + р для вычисления сложности задачи, в которой m - число элементов, п - число явных связей, а р - число неявных связей задачи, вводит В.И. Крупич [34]. Отмечая, что «данная формула применима только для узких классов (дробно-рациональных уравнений и неравенств, текстовых задач, геометрических задач на вычисление) школьных задач» [непонятно, правда, почему только для этих - авт.], авторы статьи [72] пытаются уточнить понятия явных и неявных связей и предлагают свою модель вычисления сложности.

Подход, основанный на построении графов подлежащего усвоению учебного материала, использует И.Г. Пудалов, подсчитывающий «меру учебного материала», пропорциональную количеству входящих в него «учебных элементов», причем коэффициент пропорциональности определяется им требуемым уровнем усвоения заданного содержания [62]. Похожую идею высказывает А.Г.Мордкович, когда говорит о новых дидактических компонентах, содержащихся в тригонометрических уравнениях [49, с 192].

Когда эта книга была уже закончена, авторы встретили ссылку на работу Н.Г. Рыженко, в которой в качестве средства определения сложности решений текстовых задач школьного курса математики предлагается использовать графовое моделирование [69]. К сожалению, сразу не удалось познакомиться с этой работой, поэтому для заинтересовавшегося читателя мы указали ее выходные данные.

По мнению Р.А. Гильманова: «Сложность выполнения учебного задания как сложность его информационной структуры есть объективно-субъективная характеристика, которая

объективна в силу подчинения логике процесса решения и выполнения операциональных действий, предписываемых самой информационной структурой в виде схемы мышления, и субъективна по степени индивидуальной готовности к выполнению этих операциональных действий» [14, с. 69].

Этой точки зрения придерживается психолог Б.Ф. Ломов, который считает, что сложность человеческой деятельности определяется как степенью владения субъектом элементами этой деятельности, так и количеством этих элементов (каждый «шаг» деятельности он рассматривает как отдельную задачу) [40, с. 209].

Перейдем к трудности задачи. По мнению В.П. Беспалько, трудность учебного материала - понятие относительное, определяемое в сравнительном плане соотношением уровня его усвоения учащимся с уровнем, заданным в учебнике в качестве цели. «Трудность в этом случае - заключает он - понятие субъективное» [3, с. 78]. Преимущественно субъективной характеристикой считают трудность М.И. Махмутов [41], И.Я. Лернер [39] и относят ее к психической деятельности человека при решении проблем.

Говоря о трудности деятельности по решению задачи, Ю.М. Колягин отмечает: «мы говорим о характере взаимодействия субъекта и задачной системы, о его возможностях осуществить переход от проблемной ситуации в стационарную, о тех усилиях, которые будут проявлены в процессе решения задачи» [30, с.74]. Трудность как субъективная характеристика, считает он, зависит от многих факторов: «запаса имеющихся у субъекта знании, степени их глубины и общности, уровня владения им различными интеллектуальными и практическими умениями, наличия опыта в решении задач, интереса к задаче, степени потребности в ее решении и т.д.» [30, с. 74].

Как отмечает В.Г. Болтянский, «трудность решения задачи заключается не только (и не столько) в том, что надо выполнить несколько упражнений; основная трудность состоит в отыскании необходимой последовательности тех упражнений, выполнение которых ведет к решению задачи. Даже если выполнение упражнений, которые могут понадобиться, доведено до степени навыка, вопрос о том, какие упражнения и в

какой последовательности (подчас совершенно неожиданной) нужно выполнить для решения задачи, остается основным и нетривиальным» [6, с. 283].

В ряде методологических и философских исследований, а также в естественных науках (например, в работах Н.П. Бехтеревой) трудности умственной деятельности объясняются с позиций трехуровневой схемы мышления, предложенной Н.М. Амосовым Напомним, что общая схема функционального акта мышления, по мнению Н.М. Амосова, представляет собой трехуровневую иерархическую структуру. Эта модель выглядит так. сигналы из внешнего мира (от текста задачи) поступают в некий мозговой орган («акцептор действия», «детектор ошибок»), который сравнивает матрицы-записи долговременной памяти, сохранившиеся от предшествующего опыта, с матрицей-записью новой поступившей информации. Актуализируется весь опыт для отыскания аналога, сходной приемлемо-близкой ситуации. В результате отбора приемлемого блока памяти «акцептор действия» переписывает его в оперативное поле и передает ему управление деятельностью. Блок начинает перерабатывать информацию и в случае совпадения собственной программы с сигналами извне, последовательно включает подчиненные ему блоки, выполняющие требуемые мыслительные или мышечные операции. Если же совпадения собственной программы с сигналами извне нет, то включается блок приспособительной деятельности. Результатом ее работы является модифицированная программа, перестраивающая и обогащающая наличный опыт. Новая программа вносится в долговременную память как дополнительное разветвление прежней программы. После того, как достигнуто совпадение, управление передается ниже, на третий уровень непосредственной операциональной деятельности.

Исходя из этого, В.С. Цетлин считает источником трудности межуровневые переходы в мышлении [86, с. 37], а И. Б. Новик, рассматривая структурную организацию высших форм материи, прямо связывает качество структуры с межуровневыми переходами в самой структуре [51, с. 131].

В методике обучения математике Р.А. Гильманов, опираясь на модель Н.М. Амосова, пишет: «Трудность выполнения учебного задания как трудность информационной структуры задания есть объективно-субъективная характеристика, которая объективна в силу сформированности в общественном опыте информационных структур заданий в виде трехуровневой иерархической структуры функционального акта мышления для этого вида учебных заданий и субъективна по степени сформированности такой информационной структуры в сознании обучаемого как отражения в сознании самого учебного задания» [14, с. 64].

На практике любой опытный учитель математики, рассматривая некоторую задачу, может сразу сказать будет она или нет трудной для его учеников. Иными словами, справятся они или нет с ее решением. В зависимости от того, какой процент его учеников может не справиться с решением задачи, он судит о степени ее трудности.

Кстати, именно через успешность (или неуспешность) решения задачи предлагает производить оценку ее трудности известный математик и педагог Д. Пойа, естественно при этом предполагается, что процесс решения носит массовый характер [58].

Интуитивно этот подход широко используется и в школьных учебниках математики, где задачи ранжируются авторами по уровням трудности на основе эмпирически известного, но, к сожалению, нигде не фиксированного опыта. Автор, как и учитель, примерно знает меру успешности выполнения предлагаемой им (или сходной с ней) задачи.

Поистине великолепный образец эмпирической дифференциации задач по уровням трудности дает «Сборник задач по математике для поступающих в вузы» под редакцией М.И. Сканави. Приходится, правда, сожалеть, что радетели о бедных перегруженных детях (желая, видно, показать, что сами умеют решать задачи) значительно обесценили эту замечательную книгу, выпустив к ней решебники.

Таким образом, если задача была предложена некоторой совокупности учащихся, то количественная характеристика решаемости задачи или ее трудность может быть найдена как

процент перешивших данную задачу от числа решавших. Очевидно, что найденный подобным образом показатель будет тем более адекватным, чем на большей выборке испытуемых он вычислялся.

Возможное усовершенствование оценки трудности предлагает В.Н. Сергеев [74, с. 64]. Он обращается к шкалированию экзаменационных и олимпиадных задач, где трудность традиционно оценивается в баллах, которые определяются преподавателями-экспертами. В.Н. Сергеев замечает, что в выставляемых баллах не отражается тот факт, насколько успешно задача решалась другими участниками. Поэтому к изначально начисленным экспертами баллам он предлагает прибавлять слагаемое вида s—, где к - число баллов, назначенных за решение задачи, п - число учеников, из решавших эту задачу и набравших за ее решение не менее 75% назначенных баллов, s - некоторый эмпирический коэффициент, принимаемый автором за единицу. Отмеченный подход к оценке трудности решения задачи, основанный на учете того, насколько успешно задача решалась другими участниками. Ю.М. Колягин назвал «весьма перспективным» и предложил каждую задачу из школьных учебников обсчитать по этой формуле [30, с.73].

Некоторые авторы не видят особой надобности делать различия между понятиями сложности и трудности задачи; к их числу, по-видимому, можно отнести И.Ф. Шарыгина. (В приведенных ниже его высказываниях термин «сложность задачи», как легко заметить, одновременно понимается и как «трудность задачи») Он пишет, что «нет никакой необходимости пытаться искать способы упорядочения больших массивов задач. Самым правильным выглядит подход, принятый многими авторами различных задачников. Задачи разбиваются по степени сложности на несколько групп. ...Сколько таких групп сложности следует выделить? Ответив на этот вопрос, мы можем начать разработку технологии, посредствам которой задачу надо отнести к той или иной группе сложности. При этом мы, чтобы не усложнять проблему, будем интересоваться не текущей оценкой

задачи, а только итоговой» [99, с. 44]. Сам И.Ф. Шарыгин выделяет три уровня, которые называет А, Б и В. «По этому принципу - пишет он - мы можем построить дерево уровней. А, Б и В - это первый слой уровней. Второй слой содержит 5 уровней: АА, АБ, ББ, БВ и ВВ» [88, с. 45].

Способы формирования уровней он делит на формальные и неформальные. Способы определения уровня сложности по некоторым внешним признакам задачи и ее решения, которые можно более или менее формализовать, он считает формальными. Затем пишет: «Неформальные методы сводятся к экспертным оценкам. Но поскольку подвергнуть экспертизе даже большинство существующих задач не представляется возможным, то сначала с помощью экспертных оценок следует составить некий задачник-каталог типичных представителей изучаемого уровня (прежде всего уровня Б). В него входят лишь задачи, не поддающиеся формальной оценке. Этот каталог, как подсказывает практика, может быть вовсе не таким уж большим, задач 200-300 вполне достаточно. Отбор в этот задачник происходит последовательно, сначала наиболее очевидно соответствующие рассматриваемому уровню, затем -другие, менее очевидные, в конце экспертами внимательно изучаются два пограничных слоя. Разработав такой каталог хотя бы для уровня Б, мы значительно упростим процедуру оценки уровня сложности произвольной задачи» [88, с. 46].

Большое внимание обучению студентов и начинающих учителей математики оценивать сложность и трудность задач уделял И.Д. Пехлецкий, создавший модели, позволяющие математически формализовать процедуры оценки. Поскольку его модель является на сегодня наиболее разработанной и конструктивной, остановимся на ее описании более подробно.

Оценить сложность учебной задачи, отмечает И.Д. Пехлецкий, можно лишь тогда, когда известно, что она решается. При этом необходимо рассматривать все варианты решений, доступные данной категории учащихся, поэтому вся совокупность учебных задач, в рамках которых производится оценка сложности, должна быть описана или зафиксирована. Это, считает он, дает возможность сравнивать решения задач

между собой на основе моделирования каждого из них в виде многоуровневой конструкции. Сама конструкция описывается им следующим образом.

«На первом, низшем (детерминированном) уровне задается набор базовых операций или элементов, при комбинировании которых учащийся может получить полное решение.

В этот набор включаются только те элементы, которые воспринимаются учащимися в поисках решения задачи как не имеющие собственной структуры (или не требующие учета своей структуры) и, кроме того, могут считаться всегда готовыми к исполнению.

На втором уровне элементами служат простейшие комбинации элементов низшего уровня. «Простейшие» - в том смысле, что связи, образующие комбинации, соединяют лишь детерминированные операции и сами могут считаться всегда готовыми к использованию.

На третьем уровне элементами являются комбинации, составленные из комбинаций второго уровня, и т.д.» [56, с. 69].

По его мнению, простейшая схема оценки параметров сложности задачи заключается в пересчете в готовом решении элементов каждого уровня. Соответствующие трем приведенным уровням параметры он обозначает W\К,М . Далее И.Д. Пехлеций пишет: «В общем случае их вычисление организуется с помощью определенных правил, в которых учитываются особенности учебного предмета и предусматриваются:

- соотнесенность описанной выше многоуровневой конструкции психолого-педагогическим характеристикам конкретного «ученика» и данному этапу его обучения;

- учет всего множества возможных решений задачи, доступных «данному» ученику;

- придание параметрам W,K,M большей или меньшей интегративности в зависимости от целей оценки сложности задачи» [56, с. 70].

При конкретной интерпретации каждая из характеристик W, К, M, отмечает И.Д. Пехлецкий, сама может быть представлена некоторым вектором или комплексным параметром.

Определяя трудность задачи, он обращается к взаимодействующим системам «ученик» и «задача» и определяет «трудность» как субъективное отражение сложности, отмечая при этом, что в то же время это и одна из объективных характеристик обучения, если система «ученик» зафиксирована [56, с. 71].

В качестве характеристик трудности, на его взгляд, могут быть выбраны:

- затраты и усилия учащихся при достижении ими целей обучения (простейшие среди них - показатели типа «время» Т );

- различного рода оценки эффективности обучения (процент выполнения задания, число ошибок, допущенных учащимися и т.д.);

- психофизические и комплексные показатели.

Наконец, И.Д. Пехлецкий указывает на то, что «для учебных задач параметры трудности ... обретают наиболее глубокий смысл ... в сопоставлении с параметрами сложности» [56, с. 72). Для иллюстрации сказанного он выбирает усредненное (для некоторой группы учащихся) время Т , необходимое для решения задачи, и предлагает функционально моделировать взаимосвязь трудности и сложности в виде Т = T(W\К,М) . Эта мысль, в свою очередь, демонстрируется на примере простейшего линейного регрессионного уравнения

где коэффициенты а , b , с и d подбираются так, чтобы они гарантировали минимизацию суммы квадратов отклонений значений величины Т, полученных при вычислении от соответствующих экспериментальных данных.

Ясно, что рассмотренная схема открывает широкие перспективы для использования компьютера при дальнейшем исследовании сложности и трудности задач, который позволит вводить и обрабатывать достаточно сложные модели, зависящие от различных параметров. В частности, установить, когда зависимость трудности и сложности действительно носит функциональный характер В том, что это не всегда так, легко убедиться на примере следующих задач.

Задача 1. С помощью циркуля и линейки разделить угол 16° на 16 равных частей

Задача 2. С помощью циркуля и линейки разделить угол 19° на 19 равных частей.

Формально эти задачи отличаются только числовыми данными. Набор базовых элементов и операций первого (детерминированном) уровня (по И.Д. Пехлецкому) каждой из них включает два элемента и одну операцию.

В первой задаче: 1) 24 = 16, 2) 2:2 = 1,3) деление с помощью циркуля и линейки данного угла пополам.

Во второй задаче: 1) 1919 = 361, 2) 361-360 = 1, 3) построение с помощью циркуля и линейки угла, равного данному.

Первая задача учениками легко решается; трудность же второй задачи чрезвычайно высока, многолетняя практика показывает, что решаемость этой задачи близка к нулю. Иными словами, вторая задача имеет небольшую сложность, но значительную трудность.

Кстати, эта же вторая задача, заставляет с осторожностью относиться как формуле для вычисления сложности задачи, предложенной В.И. Крупичем, так и к ее обобщениям. Повидимому, наличие неявных связей в большей степени служит характеристикой трудности, а не сложности. Действительно, в первой задаче равенства 24 = 16, 2:2 = 1, связывающие данный и искомый угол, являются явными, легко видимыми; а первое равенство 19 19 = 361 во второй задаче - латентным, «увидеть» его достаточно трудно.

На наш взгляд, трудность является интегративной характеристикой, которую невозможно описать с помощью одного параметра типа времени. При таком подходе в число трудных попадут трудоемкие задачи, т.е. задачи алгоритм решения которых хорошо известен решателю, но само решение требует больших временных и энергетических затрат, например, из-за громоздких вычислений или преобразований. Ведущим параметром, характеризующим трудность задачи, является все же ее решаемость (как для решателей вообще, так и для учащихся определенной возрастной или какой-то другой группы) в условиях, когда процесс решения носит массовый характер.

Интересные и важные результаты, характеризующие трудность задачи по этому параметру, может дать обработка итогов

успешности решения конкретных задач на едином государственном экзамене.

В заключение заметим, что иногда при оценке задач употребляются другие параметры, в каком-то смысле родственные сложности и трудности. Так, В.И. Загвязинский предлагает ввести степень проблемности задачи, определяя ее «отношением количества нестереотипных, нешаблонных шагов, необходимых для нахождения ответа, к общему количеству шагов» [22, с. 237]. К сожалению, этот параметр не носит универсального характера, поскольку объективная характеристика проблемности задачи определяется не количественно, а качественно. Порой один нешаблонный шаг в решении задачи становится для учащегося непреодолимым препятствием.

§ 6. Функции задач в обучении

В следующей главе пойдет речь о системе учебных задач. Одной из важнейших характеристик любой системы учебных задач является ее дидактическая полнота, которая определяется тем, как реализованы в такой системе основные функции учебных задач. Поскольку основные функции учебной задачи - реконструировать и перевести известные формы уже имеющегося опыта в процесс познавательной активности учащихся и содержание их умственной деятельности, стать средством интеллектуального и личностного развития, то в дидактике в качестве ведущих функции задач в учебном процессе обычно выделяют образовательную, развивающую и воспитательную функции.

В методике обучения математике проведена дальнейшая декомпозиции функций задач в учебном процессе; в теории и практике обучения выделены стимулирующая, обучающая, реализующая, контролирующая, оценивающая, прогностическая, развивающая, воспитывающая, прагматическая, коммуникационная, ознакомительная и интегрирующая функции [73]. Кратко напомним сущность каждой из этих функций

Стимулирующая (мотивирующая) функция: с помощью задачи можно заинтересовать учащегося, поставить проблему, мотивировать введение понятия, операции, алгоритма.

Обучающая (образовательная) функция: задачи выступают средством усвоения знаний и способов деятельности, создают предпосылки для присвоения опыта творческой деятельности и ценностных отношений, т.е. задачи выступают носителями четырех форм опыта:

- опыта познавательной деятельности, фиксированного в форме ее результатов - знаний;

- опыта осуществления известных способов деятельности - в форме умений действовать по образцу;

- опыта творческой деятельности - в форме умения принимать эффективные решения в проблемных ситуациях;

- опыта осуществления эмоционально-ценностных отношений - в форме личностных ориентации [78, с. 15].

«Освоение этих четырех типов опыта позволяет сформировать у учащихся способности (потенциал) осуществлять сложные культуросообразные виды действия. Эти способности (умения) в современной педагогической литературе часто называют компетентностями» [78, с. 15].

Реализующая функция: при реализации конкретного метода обучения (репродуктивный, частично-поисковый, эвристический, исследовательский), задачи являются носителями метода обучения.

Контролирующая функция: с помощью специально подобранных задач осуществляется контроль усвоения учебных операций, знаний, приемов учебной деятельности; через задачи формируется взаимоконтроль, предметная и личностная рефлексия, самоконтроль.

Оценочная функция: контрольные работы, тесты, текущие экзамены и зачеты, наконец, ЕГЭ - все это обычно проводится в задачной форме; с помощью задач формируются действия оценки и самооценки.

Прогностическая функция: Мониторинг текущих результатов и, основанный на мониторинге прогноз используют задачный подход.

Развивающая функция: в процессе решения задач происходит развитие познавательных психических функций (ощущения, восприятия, мышление, воображение, память) и вни-

мания; учащийся развивается как субъект учебно-математической деятельности и как личность.

Воспитывающая функция: в процессе решения задач формируются эмоционально-волевая саморегуляция учащегося; нравственность и честность; культура и рациональный стиль мышления (по А.Я. Хинчину: полноценность аргументации, т.е. борьба против незаконных обобщений, необоснованных аналогий, за полноту дизъюнкций, за полноту и выдержанность классификаций, и лаконизм, четкая расчлененность хода рассуждений, скрупулезная точность в использовании символики [84, с. 64-102]); с помощью специальных задач осуществляется эстетическое воспитание.

Прагматическая функция, решение прикладных и практических задач позволяет справляться с подобными задачами в простейших жизненных ситуациях; решение задач повышенной трудности - хорошо сдать экзамен и/или поступить в вуз.

Коммуникационная функция: в процессе решения задач формируются различные формы взаимодействия учителя и ученика, учеников между собой, ученика и автора учебника (задачника).

Ознакомительно-информационная функция: знакомство с историческими задачами, элементами истории математики; поисковая работа с дополнительной литературой, в сети Интернет и т.д.

Интегрирующая функция: эту структурирующую и системообразующую функцию выполняют уроки решения (выделения) ключевых задач, уроки одной задачи, уроки обобщения и т.п.

§ 7. Задачный подход к обучению

Разнос понимание сущности учебных задач и их функций приводит к неоднозначным трактовкам задачного подхода к обучению. Ограничимся двумя примерами.

Как было отмечено выше, по мнению А.А.Вербицкого, в традиционном обучении обучающимся даются только наборы готовых стандартных заданий и задач, решаемых по заранее

данному образцу. Такие задачи лишены личностного смысла, их решение не развивает мышление обучающихся. Рассматривая подобное задание и производную от него задачу в качестве единицы проектирования и развертывания содержания образования в традиционном обучении, он сущность и траекторию работы с ними обучающегося представляет следующей схемой.

Задачный подход:

Анализ условий готовой задачи —>

Припоминание способа решения —>

Решение —>

Формальная сверка с эталонным ответом.

При этом А.А. Вербицкий пишет: «Путь познавательной деятельности обучающегося при задачном подходе короткий; она репродуктивная, исполнительская. Это чисто учебная процедура, редко встречающаяся во всегда вероятностной профессиональной деятельности. В исследовательской позиции, да и то формально, человек находится только на этапе анализа условий задачи» [10]. «Каждому выпускнику школы и вуза пришлось решать массу задач по многим учебным предметам, но кто из нас может сказать, что он умеет это делать и в настоящее время? «Коэффициент полезного действия» такого обучения оказывается чрезвычайно низким, поскольку оно основывается преимущественно на механическом запоминании огромных массивов информации и алгоритмов решения множества частных стандартных задач, которых в реальной жизни и профессиональной деятельности практически не бывает. Квалифицированный специалист должен уметь решать прежде всего задачи нестандартные и новые, фактически проблемы» [10].

Он отмечает, что «учебная проблема является упрощенной моделью научной и используется в различных видах развивающего обучения Чаще всего она предъявляется обучающимся в форме описания проблемной ситуации, содержащей те или иные противоречия в своих условиях - альтернативные, избыточные, недостающие, частично неверные данные, взаимоисключающие требования и критерии принятия решений и т.п. В процессе творческой учебной деятельности проблемы возникают и в результате действий самих обучающихся» [10].

Поэтому задачному подходу А.А. Вербицкий противопоставляет проблемный подход, в качестве единицы проектирования и развертывания содержания образования в котором выступает проблема.

Проблемный подход:

Анализ проблемной ситуации —>

Постановка проблемы —>

Поиск недостающей информации и выдвижение гипотез —>

Проверка гипотез и получение нового знания —>

Перевод проблемы в задачу (задачи) —>

Поиск способа решения —>

Решение —>

Проверка решения —>

Доказательство правильности решения задачи.

Теперь А.А. Вербицкий заключает: «Путь познавательной деятельности человека при проблемном подходе намного более длителен, интересен и продуктивен с точки зрения развития его мышления и личности Он находится в исследовательской позиции на всех этапах работы кроме одного - этапа практического решения им самим сформулированной задачи» [10].

Совсем иначе понимает задачу, а вслед за этим и задачный подход к обучению В.И. Загвязинский. По его мнению, «динамическую структуру развивающего обучения можно представить себе, исходя именно из «задачного» понимания и «задачного» структурирования педагогической и учебной деятельности. Предпосылками такого подхода служат прочно утвердившиеся в отечественной психологии положения о единстве сознания и деятельности, о проблемном (задачном) характере мышления, возникающего только при наличии рассогласования, познавательных противоречий между познанным и непознанным, между достигнутым и необходимым уровнем умений и навыков ... Отсюда полезно все содержание изучаемой темы или раздела строить как логическую последовательность познавательных задач, а сам учебный процесс как цепь учебных ситуаций, познавательным ядром которых являются учебно-познавательные задачи, а содержанием - совместная работа педагогов и обучаемых над решением задачи

с привлечением разнообразных средств познания и способов обучения» [23, с. 26].

Правда, в дальнейшем он говорит уже не об учебно-познавательных задачах, а только о познавательных; но это, на наш взгляд, опять разные задачи. При перечислении критериев познавательной задачи, В.И. Загвязинский называет следующие:

- познавательная задача противоречива по своей природе;

- синтезирует достигнутое и нацеливает на овладение еще не познанным, на формирование новых подходов и приемов;

- содержит определенную познавательную трудность. «Осознание трудности, дефицита информации при условии понимания значимости изучаемого и подготовленности к работе (базовые знания и умения) - отмечает автор - вызывает интерес, рождает стремление к действию, целенаправленную активность, систему действий, результатом которых оказывается не только новые знания и способы деятельности, но и новый уровень развития» [23, с. 27].

Поэтому, обращаясь к учению Л.С. Выготского о зонах актуального и ближайшего развития [11], он пишет: «Условие задачи должно быть адресовано на достигнутый (актуальный) уровень развития, оно должно быть понятным и доступным, базироваться на известном и освоенном, а вот требование, предписание, вопрос должны быть адресованы на уровень «ближайшего развития». В «зоне ближайшего развития» ... находятся те действия и операции, которые уже формируются, но которые обучаемый может выполнить пока только при помощи со стороны, прежде всего это помощь педагога. ... Важно учитывать, что в «зоне ближайшего развития» располагается тот этап освоения деятельностью, развития отношений, который логически следует за освоенным, этап, к освоению которого обучаемый подготовлен предшествующей деятельностью. Показателем того, что задание находится в «зоне ближайшего развития», служит отзывчивость ученика к оказываемой ему помощи» [23, с. 27].

Развивая эти мысли, В.И. Загвязинский указывает на то, что противоречие между достигнутым учащимся на каждом этапе обучения уровнем знаний и развития и тем уровнем бли-

жайшего развития, который необходим для решения задачи, составляет основное постоянно разрешаемое и вновь возникающее противоречие процесса обучения. На основании этого он делает вывод о том, «что именно задача, конструируемая на конкретном материале изучаемых предметов и предстающая перед обучаемым как познавательная, является той генетической «клеточкой», в которой при подготовке проекта «свертываются», интегрируются все определяющие обучение факторы (общие цели образования, содержание изучаемого, уровень подготовленности и развития обучаемых, наличные методические средства и условия и др.) и из которых они затем «развертываются» уже в педагогическом качестве как элементы учебного процесса. Задача, развернутая в процессуальном плане, в живой деятельности и во взаимоотношениях субъектов обучения (педагогов и учащихся) вместе со средствами и методами осуществления этой деятельности и полученными результатами, и составляет ... структурную единицу учебного процесса — конкретную динамическую учебную ситуацию» [23, с. 28-29].

При рассмотрении места познавательных задач в проблемном обучении он уточняет: «Природа учебного процесса, а отсюда и подходы к его построению и реализации определяются тем, что выбрано в качестве элементарной единицы обучения. Если исходить из того, что такой единицей, «клеточкой» обучения является учебно-познавательная задача, то весь процесс обучения можно представить как систему задач. Задача как «клеточка», реализующая цели обучения, выступает как узловой момент, фокус всего учебного процесса, аккумулирующий, собирающий все содержание предстоящего акта обучения, который и развертывается из задачи» [23, с. 83].

Отмечая разнообразие видов проблемного обучения, которое прежде всего обусловлено используемыми методами обучения, В.И. Загвязинский указывает, что проблемное обучение, увы, не универсально и очерчивает границы, где оно может быть эффективным. В дальнейшем он обосновывает технологию проблемно-задачного обучения, следование которой позволило бы надеяться на получение гарантированных результатов. Сущность этой технологии обучения «состоит в том, чтобы по-

строить учебное познание как систему задач и разработать средства (предписания, приемы) для того, чтобы, во-первых, помочь учащимся в осознании проблемности предъявляемых задач (сделать проблемность наглядной), во-вторых, найти способы сделать разрешение проблемных ситуаций (заключенных в задачах) личностно-значимым для учеников и, в-третьих, научить их видеть и анализировать проблемные ситуации, вычленять проблемы и задачи» [23, с. 98]. При этом, как можно понять из контекста, В.И. Загвязинский считает, что в предлагаемой технологии должны найти свое место все выделяемые им виды задач (репродуктивные, алгоритмические, трансформирующие и творческо-поисковые).

Подведем некоторые итоги и попытаемся дать свою интерпретацию задачного подхода к обучению. Прежде всего, как договорились, будем считать, что сущностью учебной деятельности является деятельность по присвоению обобщенных способов действий на основе решения специально поставленных учебных задач.

Саму учебную задачу будем рассматривать как знаковую модель некогда осуществленной деятельности, предназначенную для воссоздания результатов и/или способов этой деятельности в условиях обучения. Иными словами, учебная задача является средством действенной реконструкции и перевода известных форм уже имеющегося социально-культурного опыта в процесс познавательной активности учащихся и содержание их умственной деятельности и, в конечном итоге, служит средством развития учащегося, позволяет целенаправленно управлять этим развитием.

В предметной учебной задаче может быть «свернут» способ (результат) решения некоторой практической или познавательной задачи. Обычно такая задача включается в содержание образования в качестве носителя предметно значимых фактов и методов деятельности. Однако чаще всего учебная задача преднамеренно конструируется, в этом случае она направлена на формирование и развитие определенных новообразований у субъекта учения.

Поэтому учебную задачу как средство обучения можно представить в виде диады (3ПУЦД), состоящей из некоторой предметной задачи Зп и некоторой дидактической цели Цд .

В зависимости от дидактических целей, для достижения которых используется задача, она выполняет в учебном процессе различные функции. Одна и та же предметная задача позволяет ставить и достигать разные дидактические цели, и, наоборот, одну и ту же дидактическую цель можно достичь с помощью разных предметных задач.

Подход к обучению, при котором учебная деятельность учащихся проектируется и реализуется через решение целесообразно подобранных задач, и будем называть задачным подходом к обучению. Основное достоинство этого подхода состоит в том, что мотивация введения новых понятий, само введение и их дальнейшие применения строятся на функциональном уровне (понятия рассматриваются как необходимые средства и результаты практически осуществляемой предметной деятельности).

В основе задачного подхода лежит учебная ситуация, в которой разворачивается деятельность субъекта учения, а основными дидактическими средствами его функционирования служит создание задачной (проблемной) ситуации и ее разрешение путем постановки и последующего решения соответствующей предметной задачи

Предметная учебная задача, таким образом, является наименьшим носителем учебной деятельности, который отражает ее специфическое содержание и структуру. Задача при этом служит как единицей членения содержания обучения, так и единицей проектирования и реализации процессуальной стороны обучения. Эти единицы будут полноценно выполнять свои функции только тогда, когда они определенным образом структурированы - объединены в систему целесообразно подобранных задач.

В этой системе одинаково важную роль играют как репродуктивные, так и продуктивные творческие задачи. Первые служат для выработки у учащихся инструментальных опера-

ционально-технических умений и навыков, доведения их до автоматизма; без этого невозможно полноценное решение творческих задач. Творческие (поисковые) задачи, искомые факты и способы деятельности в которых намеренно скрыты, являются средством развития познавательной активности, творческих способностей, интуиции и т.д.

Поэтому неправомерно связывать задачный подход с каким-то одним типом обучения. В силу сказанного при его реализации равноправно должны быть представлены все методы обучения. Так, проблемное обучение не поглощает всего учебного процесса: не всякий учебный материал содержит проблемное знание и не всякое проблемное знание можно представить в форме учебно-познавательной задачи или противоречивого суждения. Так же точно, не всякая познавательная задача порождает проблемную ситуацию; ее не возникает, например, если ученику в задаче все ясно, также как и в том случае, когда он не принимает задачу (например, в силу непонимания ее условия). В нужное время и в нужном месте предложенная задача должна пробуждать у ученика интерес, т.е. такую познавательную потребность, которая обеспечивает его направленность на более глубокое осознание общих целей и результатов деятельности. Интерес к задаче наиболее ярко проявляется в эмоциональном тоне, который принимает процесс ее решения. Обычно в подобных случаях решение данной конкретной задачи не ведет к угасанию интереса, а вызывает новые интересы, связанные с изучаемым материалом. Устойчивые и длительно сохраняемые интересы способствуют повышению эффективности и интенсивности учебного процесса даже в тех случаях, когда приходится сталкиваться с решением шаблонных репродуктивных задач, которые сами по себе интереса не вызывают, но умение их решать является обязательным условием, без которого невозможно решить интересующие учащегося творческие задачи. Иными словами, предъявление учащимся целесообразной на данном этапе обучения учебной задачи - один из важнейших способов управления обучением при использовании задачного подхода.

В познании задаче предшествует ее постановка, задачу надо вычленить и сформулировать. А это невозможно без чет-

кого осознания субъектом познания границ между научным знанием и незнанием в исследуемой им предметной области. Кроме всего прочего, на начальном этапе решения познающему субъекту (или субъектам) не известен ни способ решения задачи, ни результат решения. Хотя, конечно, он имеет относительно них определенные гипотезы, которые старается доказать или опровергнуть. При обучении, в котором все задачи предлагаются обучающемуся в виде готовых знаковых моделей, этот вид познавательной деятельности утрачивается. Поэтому важно не упускать возможности ставить учащегося в роль исследователя, предлагая ему самостоятельно находить и формулировать задачи, анализировать и сравнивать различные решения, обобщать полученные результаты и т.п.

Работа учителя и класса или отдельного учащегося над задачей после ее решения (обобщение, исследование частных или предельных случаев и т.п.) может привести к новым задачам, способы решения которых неизвестны не только учащимся, но и учителю. В подобной ситуации задача, возникшая в учебном процессе, становится подлинной познавательной задачей. Вполне допустимо, что решение этой задачи найти не удастся, но от этого задача не перестанет быть учебной. Поиски так и не найденного решения могут дать порой гораздо больше, чем реконструкция известных решений. Неслучайно, в учебной литературе по математике для высшей школы (особенно в зарубежной) все чаще в разделах «Задачи и упражнения» стали появляться нерешенные математические проблемы (с соответствующими комментариями).

Постановка математических задач и их решение - суть математической деятельности. Появление значительной части математических задач обусловлено запросами практики и других наук. Однако основными объективными источниками математических задач являются различного рода противоречия, возникающие в самом математическом знании, а также постоянная внутренняя потребность в расширении его видимых границ. Основными субъективными движущими силами развития математики, а значит постановки и решения математических задач, служит удовлетворение познавательной потреб-

ности. О математических способностях человека судят не потому, сколько он знает в области математики, а по его умению решать математические задачи.

Постановка и решение учебных математических задач разной сложности и трудности наиболее адекватно отражает сущность математической деятельности, поэтому задачный подход является естественной реализацией деятельностного подхода к обучению математике.

Глава II

СИСТЕМА УЧЕБНЫХ ЗАДАЧ И ЕЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ

§ 8. Понятие системы учебных задач

Одним из основных выводов предыдущей главы было утверждение: в основе результативности задачного подхода к обучению математике лежит система целесообразных учебных задач. Впрочем, авторы практически каждого сборника задач также заявляют, что множество предлагаемых ими задач является достаточным для достижения требуемых результатов обучения, позволяет сформировать системные знания и умения и т.п. При этом многие авторы, используя понятие «система задач», считают его интуитивно понятным и избегают как четкого определения этого понятия, так и выделения тех базисных оснований и принципов, на которых строятся представленные ими системы задач. Следует также заметить, что конкретные теоретические представления о системе учебных задач более глубоко разработаны в предметных методиках, чем в дидактике (что, впрочем, вполне естественно).

Образовательные и дидактические требования к проектируемой системе задач учебного курса обычно выводятся из его целей, содержания и планируемых результатов обучения. Приведем несколько примеров.

По мнению Е.И Машбица, множество учебных задач и множество учебных целей должны рассматриваться в системе, в основе проектирования которой лежат четыре требования:

1) конструировать не отдельные задачи, а их наборы;

2) система задач должна обеспечивать достижение не только ближайших учебных целей, но и отдаленных;

3) задачи должны обеспечивать усвоение достаточно полной системы средств, необходимой для учебной деятельности;

4) задача должна конструироваться так, чтобы соответствующие средства деятельности, усвоение которых предусматривается в процессе решения задач, выступали как прямой продукт обучения [47, с. 112-113].

«Ключевым элементом ресурсного обеспечения учебного процесса» считают систему задач М.Е. Бершадский и В.В. Гузеев [4, с. 67]. По их мнению, от качества системы задач «более чем наполовину зависит успех ученика при изучении курса Остальные составляющие успеха - в организации деятельности учеников и управлении этой деятельностью» [4, с. 78]. Отмечая, что система должна соответствовать минимальному, общему и продвинутому уровням требований к умению решать задачи, они пишут: «При всей важности отдельной задачи целостность образовательного процесса обеспечивается всем множеством задач по каждой теме, которое должно образовывать систему. Системой задач называется совокупность задач к блоку уроков по изучаемой теме, удовлетворяющая ряду требований» [4, с. 77]. Этих требований у них семь:

- полнота (наличие задач на все понятия, факты и способы деятельности, изучаемые в курсе, в том числе, мотивационных, подводящих под понятие, на аналогию и пр.);

- наличие ключевых задач (группировка остальных задач вокруг них);

- связность (вся система представляется связным графом, в узлах которого ключевые задачи, выше них - подготовительные, ниже - следствия и обобщения);

- возрастание трудности в каждом из трех уровней;

- целевая ориентация (каждая задача имеет свое место и назначение в блоке уроков);

- целевая достаточность (наличие задач для усвоения и закрепления изученных понятий и методов решения на уроке и дома, для организации различных видов контроля, для индивидуальных и групповых заданий разной направленности, для организации самостоятельной, в том числе исследовательской, деятельности учащихся и пр.);

- психологическая комфортность (ориентация на разные темпераменты, типы мышления, виды памяти и пр.).

Каждый учебный курс, пишет В.И. Загвязинский, можно представить в виде системы познавательных задач. «Эта система, - считает он, - должна отвечать, по крайней мерс, пяти показателям:

• содержать задачи, соответствующие иерархии учебных целей первого уровня усвоения - знакомства - различения; второго уровня усвоения - алгоритмического, третьего уровня усвоения - творческого;

• учитывать практически все основные виды структурных связей, возможных в данной области знания;

• представлять собой «лестницу» задач возрастающей сложности, которая определяется по количеству познавательных шагов, необходимых для решения, и по соотношению среди этих шагов репродуктивных, алгоритмических и творческих;

• определять всю типологию методов познания, специфичных для определенной науки ... ;

• обеспечивать полноту процедур творческой деятельности, что предусматривает: самостоятельный перенос ранее усвоенных знаний и умений в новую ситуацию; видение новой проблемы в знакомой ситуации; видение новой функции объекта; осознание структуры объекта; поиск альтернативных способов решения; комбинирование ранее известных способов действий в новый способ (по И.Я. Лернеру) [23, с. 102].

Основываясь на ассоциативной теории мышления, в отечественной методике обучения математики принципы построения систем упражнений одним из первых формулирует Я.И. Груденов [16, с. 96-112]. Он, в частности, уделяет большое внимание однотипным упражнениям. По мнению этого автора, однотипные упражнения формируют прочные умения и навыки, но рождают скуку и ложные ассоциации. Поэтому, чтобы воспрепятствовать появлению ложных ассоциаций, в однотипную систему упражнений по новой теме с первого момента ее изучения должны входить задачи из предыдущих разделов (непрерывность повторения); система должна содержать контрпримеры и задачи с неполными или противоречивыми условиями, задачи, провоцирующие на ошибку и заставляющие учеников быть внимательными, критичными. Кроме того, считает Я.И. Груденов, система должна характеризоваться такими признаками как полнота, сравнение, последовательное нарастание трудности, доступности, прочности.

Принцип полноты системы нацеливает на то, чтобы совокупность задач и способов их решения не способствовали формированию ошибочных ассоциаций и позволяли учащимся глубоко усвоить все необходимые вопросы темы. Реализация принципа сравнения состоит, в чередовании задач и упражнений на взаимно обратные операции (действия) с целью раскрытия их связи, сходства и различия. Он отмечает, что принцип сравнения позволяет учащимся обнаруживать сходные приемы учебной деятельности при решении задач, относящихся к разным разделам (например, возможность проверки правильности прямой операции путем выполнения обратной), устанавливать дополнительные связи, углубляя понимание, структурируя знания, делая их более системными.

Идею структурирования задач и учебного процесса с помощью укрупнения дидактических единиц разрабатывает П.М. Эрдниев. В книге для учителя, написанной им совместно с Б.П. Эрдниевым, отмечается: «Укрупненная дидактическая единица - это клеточка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих в то же время информационной общностью. Укрупненная дидактическая единица обладает качествами системности и целостности, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти» [94, с. 9]. Замечая, что введенное понятие достаточно общо, они предлагают метод противопоставления, заключающийся в одновременном изучении взаимосвязанных операций, действий, функций, теорем, задач (в частности, взаимно обратных); в единстве решения и составления задач и т.п. Считая системность знания результатом укрупнения дидактических единиц, авторы пишут: «если освоение знаний осуществляется укрупненными порциями, то создаются лучшие условия для возникновения и системного качества знаний, ибо элементы знания образуют укрупненную единицу усвоения лишь благодаря многообразным связям между этими элементами» [94, с. 199].

Большое внимание принципам построения системы учебных задач по математике уделяют авторы действующих ныне учебников геометрии В.И. Рыжик и И.Ф. Шарыгин.

Весьма показательно замечание В.И. Рыжика, который подчеркивает теоретическую сложность разработки общих принципов построения системы учебных задач: «В любом школьном учебнике математики органической частью являются задачи, и при этом не имеет никакого значения, существуют они в одной книге или напечатаны порознь. Киселев и Рыбкин не воспринимаются по отдельности. Задачи как таковые исследовали специалисты разных профессий: психологи, дидакты, методисты, кибернетики, системологи, философы, инженеры и, разумеется, математики - тут я мог бы привести десятки, если не сотни фамилий. Далее, задачи для учебника имеют явную специфику по сравнению с каким-либо другим задачником по математике: конкурсным, олимпиадным, тематическим и т.д. Таким образом, приходится учитывать не только то, что наработано в разнообразных сферах познания о задачах вообще, но и специфический учебный контекст, в котором оказались задачи. В частности, задачи должны соответствовать не только общим требованиям к учебнику и к задачному материалу в нем, но и к конкретному теоретическому тексту.

Совокупность требований, которым должны удовлетворять задачи для учебника геометрии, оказалась столь внушительной, сколь и противоречивой. Осмыслить их, как-то упорядочить, выявить приоритеты было очень сложно. Какой-то вариант решения этой методической задачи удалось найти используя системный подход. ... Он может многое прояснить не только на этапе проектирования достаточно сложного объекта, но и при анализе его функционирования» [70, с. 171].

На основе проведенного системного анализа В.И. Рыжик заключает, что на отбор задач сильнее всего влияют «потребности общества, цели и ценности математического образования, современные дидактические тенденции». В качестве основных связей в системе задач он выделяет «связи с теоретическим текстом учебника, деятельностью учителя, деятельностью ученика и со средой». Разделяя задачи по сложности на три уровня (А - простейшие, Б - задачи, связанные с применением и расширением полученных знаний, В -задачи, связанные с углублением знаний), В.И. Рыжик дробит

задачный массив на 16 разделов в соответствии с предназначением задач. Именно, выделяет задачи на дополнение теории, работу с формулой, на доказательство, исследование, занимательные и прикладные задачи, логические, олимпиадные, конкурсные задачи и др. [71, с. 190-193].

По его мнению, хороша та задача, которая делает ученика умнее, например, «сюжетные задачи». Для этого задача должна быть средством организации исследовательской деятельности ученика. В таких задачах выделяются 10 моментов: «наблюдение, прогнозирование результата, опровержение гипотез, планирование исполнения, исполнение, коррекция, контроль, оценка, применение, развитие темы» [70, с. 171].

Наконец, он особо отмечает и подчеркивает, что:

1. Важное назначение задач учебника - способствовать верному пониманию предмета, в частности, раскрыть логику развивающегося знания [70, с. 162].

2. Управление развитием школьника во многом обеспечивается характером и последовательностью задач, которые он решает. Оно может идти в разных направлениях, и каждому направлению соответствуют специфические задачи [70, с. 164].

3. В отборе задач естественно опираться на принципы дидактики. Проблема в том, как они фактически реализованы [70, с. 168].

4. Чрезвычайно важна взаимосвязь системы задач в разных направлениях, как-то: «задачи - теория», «задачи - учитель», «задачи - ученик» [70, с. 168].

С некоторыми взглядами И.Ф. Шарыгина на систему задач мы уже познакомились, когда говорили о его понимание сложности задачи. Постулируя положение о том, что уровень математического развития школьника эквивалентен уровню сложности решаемых им задач, И.Ф. Шарыгин пишет: «Задача становится одновременно и целью, и средством обучения. Вес наши проблемы переносятся в плоскость задач: мы должны разработать методы оценки уровня сложности задачи и методики, развивающие умение решать достаточно сложные задачи» [88, с. 39]. Задача, по его мнению, выходит на первую роль в учебном процессе благодаря принципу активизации,

ведь задача - это и умения, и элемент знания. Классифицировать задачи можно по заданию, по объекту, по теме, по методу, по сложности.

По сложности И.Ф. Шарыгин также делит задачи на три уровня, и отмечает, что выбор среднего уровня в качестве основного теоретически облегчает выбор границ для других уровней. «Получившаяся трехуровневая система задач должна представлять не просто три группы задач, а быть именно системой. А для этого она должна реализовывать соответствующие методические принципы. Задачи разных уровней должны находиться во взаимодействии, при этом функцией нижних уровней является обслуживание верхних, на нижнем уровне должны быть задачи-детали, из которых на более верхних конструируются более трудные задачи. И наоборот, задачи верхнего уровня за счет каких-то приемов - переформулировок, выделения отдельных частей - адаптируются к нижним уровням, растворяются в нем. Взаимодействие должно происходить как по линии задач, так и по линии идей: на нижнем уровне - одноидейные задачи, на верхнем - многоидейные. Такая система выполняет оценочные и обучающие функции. Ее можно интегрировать в содержание. Взаимодействие между содержанием и методикой приобретает новое качество: не только содержание определяет методику, но и методика влияет на содержание.

Такова схема, и эта схема представляется вполне реализуемой на практике» [88, с. 47].

Наконец, он отмечает, что «большим недостатком некоторых современных курсов ... является отрыв от системы задач, они не только не знакомят с жемчужинами из ... коллекции, но и, что уж совсем странно, оказываются далекими от современной ... практики конкурсных экзаменов» [88, с 28]. Такие курсы, - считает И.Ф. Шарыгин, - обслуживая сами себя, неоправданно жертвуют многими классическими задачами.

Ясно, что гораздо проще построить систему задач по отдельной теме, связать же в рамках курса в единое целое все его темы - задача значительно более сложная. Исходными основаниями такого системного построения выступают цели.

обусловившие включение учебного курса в общую структуру образования, точнее, иерархия таких целей. Склеивание тематических систем в единое целое — систему задач курса (учебника, задачника) - идет как по содержательным, так и по процессуально-деятельностным основаниям. Поэтому, не определившись в иерархической структуре целеполагания и не конкретизировав общие цели обучения на каждом этапе обучения, невозможно с должной логической последовательностью и преемственностью вести доказательный поиск содержательно-процессуальных компонентов системы задач курса.

Рассмотрим, как решается эта задача, на примере построения функциональной линии в УМК А.Г. Мордковича. Он считает, что «для понимания учащимися курса алгебры в целом прежде всего важно, чтобы они полноценно усвоили первичные модели (функции). Это значит, что нужно организовать их деятельность по изучению той или иной функции так, чтобы рассмотреть новый объект (конкретную математическую модель -функцию) системно, с разных сторон, в разных ситуациях» [49, с. 15]. Для этого А.Г. Мордкович выделяет в системе упражнений по изучению того или иного класса функций, инвариантное ядро для любого класса изучаемых функций. Такое ядро в его учебниках для 7-11 классов включает шесть элементов: 1) графическое решение уравнений; 2) отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке; 3) преобразование графиков; 4) функциональная символика; 5) кусочные функции; 6) чтение графиков.

Автор комплекта считает: «Учащиеся привыкают к тому, что какой бы новый класс функций они не изучали, в системе упражнений обязательно будут упражнения, рассредоточенные по указанным шести направлениям. Образно выражаясь, это шесть красок, с помощью которых изучаемая математическая модель - функция - становится привлекательной, понятной и привычной. Создастся эффект предсказуемости деятельности, что делает совместную работу учителя и ученика на уроке достаточно комфортной [49, с. 15]. Таким образом, интегрирующими связями при построении системы задач

УМК выступают единые для разных тем комплекса виды учебно-математической деятельности.

Построение специальных комплексов задач и упражнений в школьном курсе математики, основанное на методе сквозных задач, предлагают Н.Я. Виленкин и А. Сатволдиев. Они отмечают, что введение математических понятий должно иметь прикладную направленность, перед школьниками следует раскрывать, для решения каких прикладных задач нужны эти понятия. Метод сквозных задач вскрывает генезис понятий, мотивирует необходимость их введения; опирается на чувственное восприятие и интуицию; источником информации являются примеры, связанные с количественным изучением разных аспектов одной модели; благодаря методу создается возможность построения системы задач, при решении которых используются разные аспекты математической деятельности (выявление проблемных ситуаций, математизация ситуаций, решение задач, мотивирующих необходимость введения новых понятий и расширения теории) [9, с. 109].

Системный анализ упражнения провел Г.И. Саранцев в книге «Упражнение в обучении математике» [73]. В его исследовании отмечается, что «упражнения представляют собой многоаспектное явление обучения математике, обладающее следующими основными признаками; 1 ) быть носителем действий, адекватных содержанию обучения математике; 2) являться средством целенаправленного формирования знаний, умений и навыков; 3) быть способом организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся; 4) являться одной из форм реализации методов обучения; 5) служить средством связи теории с практикой» [73, с. 17].

Опираясь на выделенные признаки, он заключает, что система учебных задач и упражнений имеет следующие компоненты: цели: содержание (метода, темы, предмета); приемы умственной деятельности; последовательность выполнения задач и упражнений; организационные формы выполнения задач и упражнений (в классе, дома, фронтально, индивидуально, на консультации, на контрольной). Между упомянутыми пятью ком-

понентами, по его мнению, существуют функциональные связи, так что определение системы выполняется [73, с. 20].

Основные требования к системе задач и упражнений Г.И. Саранцев формулирует следующим образом. Система должна:

- быть направлена на достижение цели (формирование понятий, систематизация, усвоение знаний, умений, навыков);

- предусматривать определенную последовательность задач, причем число однотипных упражнений не должно превышать трех;

- предупреждать появление ложных ассоциаций;

- включать задания на прямые и обратные операции, применение принципа единственного различия в сходных упражнениях;

- содержать упражнения на систематизацию материала;

- отличаться разнообразим формулировок задач.

Особо автор подчеркивает, что «выделение совокупности действий, адекватных конкретной деятельности, позволяет систематизировать упражнения, в процессе выполнения которых усваивается эта деятельность» [73, с. 23].

Таким образом, принципы формирования и требования, предъявляемые к системе задач учебного курса разными авторами, действительно весьма разнообразны. Основным недостатком многих известных списков требований является то, что в них нет четкого подразделения на требования, которые характеризовали бы систему задач с предметной содержательно-логической стороны, и на требования, характеризующие ее с процессуальной стороны.

К большому сожалению, составители систем задач учебных курсов далеко не всегда руководствуются приведенными теоретическими представлениями о принципах их формирования. Чаще всего это формирование идет на интуитивно-эмпирическом уровне, а авторы озабочены прежде всего тем, чтобы изложенных в учебнике теоретических сведений было достаточно для обоснования решения включенных задач, т.е. только предметно-логическим компонентом. Практика пока-

зывает, что учитель, имея дело с подобными наборами задач, иногда только через несколько лет работы с «задачным обеспечением» темы выстраивает приведенные задачи в нужные целесообразные цепи, позволяющие достигать требуемые результаты обучения.

Нередко бывает и другая ситуация, которую описывает М.И. Зайкин: «Авторы школьных учебников, создавая методическое обеспечение к каждому параграфу, разделу или всему курсу, стараются учесть всевозможные требования ученых к построению необходимой системы задач, максимально обеспечивая усвоение учебного материала. Учитель же математики при организации учебного процесса использует не всю систему задач, содержащуюся в учебнике, а, как правило, ее часть. При этом одни задачи он не использует вовсе, считая их слишком простыми или сложными, зато включает другие задачи, представляющиеся ему более подходящими. При этом он вовсе не задумывается над тем, обладает ли задействованная им часть упражнений свойствами всей системы» [24, с. 6].

По-видимому, необходимо четко различать системообразующие признаки конкретной системы задач и общие требования к любой системе учебных задач. Как пишет В.А. Якунин: «При выделении системы должны быть одновременно заданы как системообразующий критерий, так и условия формирования системы. Отсутствие задаваемого критерия или системообразующего признака, фактора может приводить к подмене одной системы другой, состоящей из тех же элементов, но рассматриваемой с какой-либо иной точки зрения. Чтобы избежать возможности такой подмены и смешения систем, выбор однозначного системообразующего критерия следует считать центральным моментом системного подхода» [96, с. 27].

В связи с этим обратим внимание на то, ни в одном из приведенных списков требований к системе задач нет явных указаний на то, что система задач должна быть ориентирована на формат итоговых испытаний, которые проводятся по завершению учебного курса. К чему это приводит на практике,

хорошо свидетельствуют итоги единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математико Мы не будем вдаваться в популярные сегодня дискуссии о целесообразности введения новой формы государственных итоговых испытаний, о падении престижа образования вообще, и математического в частности, и пр.; заметим лишь следующее: системы учебных задач, содержащихся в большинстве действующих УМК по алгебре и началам анализа, и организация самого процесса обучения в школе нацеливают учащегося на традиционный итоговый письменный экзамен и не позволяют полноценно подготовить его к сдаче экзамена в новом формате.

Направленность системы учебных задач темы (учебного курса в целом) на подготовку учащихся к заданному формату итоговых испытаний по его завершению может стать одним ее базовых системообразующих оснований.

§ 9. Представление содержания курса в системе задач

Описывая представление содержания образования на уровне учебного предмета, авторы работы «Теоретические основы содержания общего среднего образования» отмечают, что само «понятие «учебный предмет» по составу и структуре должно формироваться в терминах содержания и процесса. По ходу движения к реальной действительности эти две стороны выявляются и сливаются в единстве» [78, с. 195]. По их мнению, «дидактическая модель учебного предмета — это некоторая целостность, включающая два блока: основной - куда входит в первую очередь то содержание, ради которого учебный предмет включен в учебный план, и блок средств, или процессуальный блок, обеспечивающий усвоение знаний, формирование различных умений, развитие и воспитание» [80, с. 195]. При этом отмечается, что в процессуальный блок входят: 1) комплекс вспомогательных знаний: межнаучные знания (логические, методологические, философские), историко-научные, межпредметные и оценочные знания [78, с. 196], 2) вспомогательные средства деятельности, 3) формы организации процесса обучения.

Далее, они в каждом учебном предмете выделяют ведущею функцию - ту основную цель, ради которой он и включается в учебный план. «Ведущая функция учебного предмета предполагает обозначение его ведущего компонента» [78, с. 196], которыми могут выступать: 1) предметные знания; 2) способы деятельности; 3) определенное видение мира. В соответствии с этим математика отнесена ими к типу учебных предметов, в которых ведущими компонентами являются и знания, и способы деятельности, т.е. ее состав можно схематически представить следующим образом (табл. 1) [78, с. 199]:

Таблица 1

Основной блок

Процессуальный блок

1. Научные знания

2. Способы деятельности

Комплекс вспомогательных знаний

Вспомогательные способы деятельности

Формы организации процесса

Следующий теоретический уровень представления содержания образования - уровень учебного материала. На этом уровне даются конкретные, подлежащие усвоению учащимися и фиксированию в учебниках и задачниках элементы состава содержания (знания, умения, навыки и т.д.), входящие в курс обучения определенному учебному предмету. При этом «когда перед автором учебника стоит задача изложить материал науки, он будет думать не только о том, чтобы этот материал соответствовал современному7 уровню и логике этой науки, но и о том, в каких учебных ситуациях, в каких формах учебной работы он будет реализован в процессе обучения» [78, с. 208].

Последний уровень проектирование учителем содержания и последовательности своей будущей деятельности и деятельности учащихся. Каждый автор учебника (задачника, УМК) строит свою методическую интерпретацию учебного курса. Реализуя в учебных текстах (в частности, в задачах) предлагаемую им траекторию обучения, он обращен к идеализированному ученику. «Самые лучшие программы и учебники, построенные на основе самой хорошей теории, не могут

гарантировать успешность обучения. Никакое сокращение объема учебника, например, не поможет в борьбе с перегрузкой учащихся, если учитель пользуется только репродуктивными методами, толкающими учеников на заучивание всех текстов учебника наизусть» [78, с. 337]. В реальном учебном процессе учитель вынужден вносить в материал используемого учебника постоянные коррективы, обусловленные условиями обучения (состав класса, его общий уровень обученности на предыдущих этапах, мотивы, цели, интересы, притязания отдельных учеников, их уровень готовности к использованию тех или иных методов и форм обучения и т.п.).

При теоретическом анализе содержания образования основополагающее значение имеет выделение дидактических единиц на всех уровнях его представления. Авторы монографии пишут: «Под единицей ... следует понимать значимый для структуры содержания на каждом уровне его формирования элемент. Значимость элемента определяется путем содержательного анализа и не имеет пока формальных критериев» [78, с. 210]; «В содержании каждого учебного предмета в связи с его функциями и компонентным составом достаточно легко можно выделить элементы: элементы знаний, элементы умений, элементы творческой деятельности, элементы отношений. Основными единицами каждого учебного предмета следует считать элементы ведущего для него компонента содержания» [78, с. 210].

Нас будут интересовать единицы на уровне учебного предмета и учебного материала. Единицей содержания учебного предмета, в которой может быть полноценно реализовано содержание учебного материала, служит целостная тема курса. В учебниках темы, как правило, представлены в виде отдельных глав. В цитируемой монографии находим: «Единицей содержания образования в учебнике может быть глава, включающая систему параграфов. В ней могут и должны найти отражение все компоненты содержания образования: знания, способы деятельности (репродуктивные и творческие) и воспитательные аспекты - материал для формирования отноше-

нии. В главе должен найти отражение и аппарат организации усвоения учебного материала. Поэтому основная функция главы учебника - развертывание учебного материала в единстве образовательного, развивающего и воспитательного аспектов» [78, с. 314]. При этом параграф учебника они принимают за единицу процесса обучения [78, с. 319].

Авторы книги предлагают и конкретные основания для отбора элементов в различных циклах учебных предметов:

1) основных и вспомогательных знаний, 2) способов деятельности. Применительно к математике (согласно указанным ведущим компонентам) основополагающими основаниями при отборе знаний следует признать ориентацию: 1) на формирование системы основных и комплекса вспомогательных знаний;

2) на отражение их целостности и полноты; 3) на отражение развивающего и воспитательного аспекта знании. При выделении же способов деятельности, подлежащих усвоению, следует руководствоваться ориентацией: 1) на общие способы усвоения информации; 2) на ситуации применения информации; 3) на способы деятельности специфичные для математики.

В приведенных рассуждениях несколько смущает неотдифференцированность, а порой и явное отождествление понятий «единица» и «элемент». На самом деле, единица - наименьший носитель целого, сохраняющий его структуру (например, действие - единица деятельности), а элемент - далее неразложимый компонент системы при данном способе ее рассмотрения.

В монографии практически ничего конкретного не сказано о единицах содержания образования на уровне учебного материала. Такой единицей, на наш взгляд, может служить учебная ситуация, которая возникает при решении предметной задачи (в широком смысле). Действительно, предметная учебная задача является тем основным наименьшим носителем предметной деятельности, который в тех или иных отношениях отражает ее специфическое содержание и структуру. Как пишет В.В. Давыдов: «При решении учебной задачи школьники раскрывают происхождение «клеточки» изучаемого цело-

стного объекта и, используя ее, мысленно воспроизводят этот объект. Иными словами, они осуществляют некоторый микроцикл восхождения от абстрактного к конкретному как путь усвоения теоретических знаний (...в этих знаниях содержится в единстве отражение определенной существенной особенности предмета и ряд содержательных мыслительных действий). Решение учебной задачи направлено на усвоение школьниками обобщенных способов предметных действий. Усвоение именно таких способов, как полагал Д.Б. Эльконин, служит основой изменения самого субъекта учебной деятельности, т.е. приобретения школьником новых способностей, что благоприятствует его психическому развитию» [19, с. 158].

Выбор предметной учебной ситуации в качестве единицы содержания образования на уровне учебного материала позволяет провести четкую грань между понятиями «единица» и «элемент». Как было сказано в первой главе, учебная задача является носителем как предметно-содержательной, так и процессуальной сторон обучения. Поэтому ситуация, возникающая при решении предметной учебной задачи, как единица содержания образования является подсистемой соответствующей предметной методической системы, в то время как элемент характеризует эту систему только со стороны ее состава.

Математическая деятельность, имеющая своей целью получение новых знаний в области математики и в ее приложениях, при обучении математике принимает специфическую форму, во многом отличную от той, в которой она существует вне обучения. Учебно-математическая деятельность, являясь дидактической и методической интерпретацией собственно математической деятельности, носит искусственный характер; она имеет иные цели (образовательные, развивающие, воспитательные, практические) и преднамеренно конструируется в соответствии с этими целями.

Поскольку решение задач наиболее адекватно отражает сущность математической деятельности, то последовательности целесообразно подобранных задач, т.е. задачный подход, позволяют естественным образом моделировать учебные си-

туации, в которых могут быть реализованы заданные цели обучения математике.

Структурной единицей задачного подхода к обучению математике выступает ситуация, возникающая при решении учебно-математической задачи. Как отмечалось, задача является не только единицей членения предметного содержания образования, но и единицей проектирования и реализации процессуальной стороны обучения. Откуда, в частности, можно заключить, что специальное обучение общим приемам действий в различных учебных ситуациях должно стать частью содержания образования.

Для того чтобы полностью охватить как требуемое предметное содержание учебного курса, так и ситуации, возникающие при решении задач, проектирование будущего процесса учебной деятельности на уровне учебного материала целесообразно начать с составления перечней тематических предметных и процессуальных элементов содержания образования (ЭСО).

Покажем на примере курса алгебры и начал анализа, как сформировать перечень тематических ЭСО. Это можно сделать в несколько этапов. На первом этапе:

1) составляются списки предметных ЭСО:

а) новых понятий, вводимых в теме,

б) понятий, уже изученных в курсе алгебры и начал анализа и используемых при изучении темы,

в) геометрических понятий, используемых в теме,

г) понятий из смежных дисциплин, встречающихся в приложениях;

2) среди понятий выделяются главные и производные;

3) составляется общая схема понятий темы, на которой указываются основные и второстепенные связи между ними.

4) выделяется минимально возможный список теорем и следствий из них, необходимый и достаточный для отражения содержания темы;

5) отбираются ситуации применения введенных в теме понятий, которые войдут в процесс обучения.

На втором этапе выявляются собственно математические алгоритмы, методы и приемы, используемые при изучении темы. Они, в свою очередь, подразделяются на знакомые, модифицированные и новые.

На основе проделанного анализа на третьем этапе решается вопрос о том, какие понятия, связи и методы будут сообщены учащимся в готовом виде, а ведению каких будет предшествовать создание проблемной (задачной) ситуации. Затем определяются способы деятельности учебного характера, подлежащие формированию в данной теме. В частности, решается вопрос о том, какие методы и приемы будут использоваться при сообщении учебного материала в готовом виде, как будет разрешаться та или иная проблемная ситуация и т.п. Это позволяет уточнить состав процессуальных ЭСО - общих и специальных приемов и эвристических предписаний учебной деятельности (как уже известных учащимся, так и вводимых вновь).

Особо подчеркнем, что именно такие перечни тематических предметных и процессуальных элементов содержания образования позволяют в последующем реализовать требование полноты системы задач, разумеется, относительно заданных образовательных стандартов и требований к уровню обученности учащихся, которые предъявляются по окончанию учебного курса.

§ 10. Ключевые задачи как средство интеграции предметно-содержательной компоненты системы задач

Рассмотрим совокупность всех учебных предметных задач, в которых отражаются взаимосвязи понятий некоторой темы или всего курса при заданном предметно-логическом уровне их описания. Очевидно, что такую совокупность можно считать системой, в качестве ее базисных оснований выступают внутрипредметные структурно-логические взаимосвязи предметных ЭСО темы (курса), содержательные линии и т.п. Более того, система предметных задач является большой

системой, т.е. системой для которой невозможно сделать полный поэлементный или структурный анализ, учесть все ее параметры и свойства.

Действительно, эта система имеет сложную иерархическую структуру внутренней организации, обусловленную взаимосвязями элементов (задач) и подсистем (содержательно-логических последовательностей задач) на одном уровне (по горизонтали) и между разными уровнями (по вертикали). Эту систему характеризует разнородность, разно- и многофункциональность составляющих ее элементов и подсистем.

Она является открытой системой, т.е. постоянно пополняется новыми задачами; при этом включение в систему новых элементов и связей или изменение существующих нередко влечет за собой изменение ранее объективированных. Тот факт, что зачастую удастся находить новые неожиданные решения известных задач, вскрывая тем самым новые структурные взаимосвязи системы, указывает на ее эмерджснтность (проявление заранее непредсказуемых свойств)

Система предметных задач формируется стихийно, большим числом авторов; это формирование растягивается на десятилетия, столетия и, в принципе, никогда не заканчивается.

Возникает вопрос, как соотносятся предметная система задач и система учебных задач в той же предметной области Основная характеристика системы учебных задач курса - ее дидактическая и методическая целенаправленность. Для формирования системы учебных задач принципиально важны не просто объективно существующие предметные взаимосвязи элементов, а лишь те интегрирующие взаимосвязи, которые позволяют достичь в процессе обучения планируемого результата.

Может возникнуть резонное возражение, автор любой учебной предметной задачи при ее составлении тоже всегда преследует определенные цели Но дело здесь в том, что, занимаясь этой деятельностью, «он уже в некоторой системе»; кроме того, его цели могут носить и чисто предметный характер.

Таким образом, с содержательно-логической точки зрения любая учебная математическая задача «существует» прежде всего

как элемент некоторой предметной системы задач, в основе которой лежат базовые понятия и положения курса (например, аксиомы) и допустимые правила логических рассуждений. Система же учебных предметных задач - это некоторое сечение в соответствующей предметной системе, которое строится не столько на основе внутрипредметных взаимосвязей задач (они, разумеется, сохраняют свое значение), сколько на выбранных дидактических и методических основаниях. Ранее это уже отмечалось, когда речь шла о том, что учебная задача - диада, содержащая предметно-содержательный и дидактический компоненты. Поэтому системный объект - система предметных задач - с методической точки зрения может и должен быть рассмотрен с разных сторон, он допускает разные основания, принципы и критерии для использования его элементов и их взаимосвязей в педагогических целях.

В методике обучения математике это двуединство зримо проявляется, когда учебные задачи делят на шаблонные (типовые, стандартные), т.е. задачи, алгоритм решения которых учащимся известен, и нешаблонные (нестандартные). Решение нестандартных задач состоит в сведении их путем преобразования или переформулировок к стандартным задачам или же в разбиении на стандартные подзадачи, что, понятно, также означает сведение к стандартным.

Отсюда, в частности, следует, что предметная, а значит и дидактическая, значимость задач неодинакова; при этом собственно математическая значимость задачи во многом определяет ее методическую значимость. Поэтому с методической точки зрения крайне важно вскрыть предметную значимость задач и тем самым их определенным образом содержательно-логически упорядочить. Попытки найти способы ориентирования в безграничном множестве задач, как-то структурировать и упорядочить их, найти в каком-то смысле «основные задачи» предпринимались неоднократно. Это естественным образом нашло свое отражение в методике обучения математике.

Так, Я.И. Груденов делает подразделение задач на элементарные и неэлементарные, которые путем преобразований

и/или декомпозиции сводятся к последовательности элементарных задач. В частности, он пишет: «Задачи по математике, физике и другим предметам условно подразделяют на элементарные и неэлементарные. Роль первых сводится к формированию навыков, необходимых для решения вторых. Неэлементарная задача сводится к нескольким элементарным, и на некотором этапе обучения она сама может стать для учащегося «элементом» решения более сложных задач» [16].

Понятие элементарной задачи в курсе геометрии вводит И.Ф. Шарыгин. Это, по его мнению, задачи, которые решаются при помощи некоторой формулы в одно действие; причем одной формуле всегда соответствует несколько элементарных задач. В качестве примера он приводит теорему косинусов, с помощью которой решаются три элементарные задачи. И.Ф. Шарыгин считает, что элементарная задача - не обязательно простая, это зависит от того, известна требуемая формула или нет. Он замечает, что «понятие элементарной задачи в некоторых случаях можно использовать для формального определения уровня сложности данной задачи, пытаясь разложить ее на цепочку элементарных задач, и в случае такой возможности, в зависимости от длины этой цепочки определить уровень сложности этой задачи» [88, с 47].

Другое важное в методическом плане подмножество задач составляют на его взгляд задачи, через которые вводятся факты и приемы, важные для решения остальных задач. Эти задачи И.Ф. Шарыгин назвал опорными и разделил на две разновидности: задача-факт (задача-теорема) и задача-метод [87, с. 192-195]. Количество опорных задач, которые нужны хорошему ученику, по его мнению, «вовсе не так велико, как это может показаться. Всего за время обучения ему вполне достаточно накопить 20-30 опорных задач. Повышение уровня геометрической подготовки школьника требует и увеличения числа опорных задач, входящих в его арсенал» [88, с. 48].

Описывая опыт Р. Г. Хазанкина, о ключевых задачах пишет Н.И. Зильберберг. Эти задачи - своеобразные опоры для решения других, в том числе и нестандартных математических

задач. Он считает, что можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых ученик будет в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме. Этот минимум включает, на его взгляд, 5-7 задач [25].

Н.И. Зильберберг дает несколько способов составления систем ключевых задач. Первый основан на умениях, которые должны быть сформированы у учеников после изучения темы. Для отбора задач требуется просмотреть известные учителю задачи по теме и соотнести их с умениями, которые планируется сформировать. Далее выбирается минимальное число задач. Второй способ выделения ключевых задач можно назвать методом исключения и дополнения. Для его реализации обращаемся к задачам из учебника. Первую задачу включаем без обсуждения. Вторую либо добавляем к первой, если она значительно отличается от первой, либо включаем ее вместо первой, если вторая включает в себя первую; если же вторая аналогична первой, то она отбрасывается. Третий способ выделения ключевых задач основан на методах решения задач по изучаемой теме, которые учитель отобрал для работы с учащимися. Четвертый способ выбора ключевых задач является комбинаторным.

О базисных задачах пишет И.Г. Габович: «Эффективный метод обучения решению геометрических задач основан на использовании при отыскании плана решения задачи некоторых выводов, полученных в решениях так называемых базисных задач. Такой алгоритмический подход к отысканию плана решения той или иной конкретной задачи помогает быстрее найти этот план и успешно реализовать его» [12, с. 3]. Базисными И.Г. Габович называет задачи на доказательство зависимостей (соотношений), эффективно используемых при решении многих других геометрических задач. По его мнению, нет и не может быть полного перечня базисных задач, которые должен знать учащийся. Но какой-то минимум этих сведений решающему задачу должен быть известен, так как без знания такого минимума вряд ли можно продвинуться дальше реше-

ния легких задач. Фактически, И.Г. Габович, также как и И.Ф. Шарыгин, утверждает, что полнота системы задач недостижима, но к ней можно приблизиться.

Интересную точку зрения на иерархию учебных задач находим у Н.Х. Розова, который считает, что «в каждой теме курса математики общеобразовательной школы необходимо согласовать и выделить «ядро» - основные «общеобязательные» факты и идеи, а затем подобрать минимальное число задач, в каждой из которых наиболее ясно и выпукло проявляется один определенный факт или одна определенная идея из числа вошедших в «ядро». Это будет «минимальный базис в пространстве задач», который должен быть - наряду с входящими в «стандарт» теоретическими знаниями - освоен и усвоен всеми без исключения учащимися массовой школы.

Далее формируется «оболочка», т.е. реестр всех тех идей и фактов, которые определяют содержание данной темы. И здесь необходимо отобрать минимальное число задач, каждая из которых посвящена одному факту или одной идее и наиболее удачно, наглядно их раскрывает. Это уже «максимальный базис в пространстве задач», усвоение которого - вместе с содержащимся в учебнике материалом по теории - создаст «массовому» школьнику за разумное время благоприятные условия для решения любых других задач по данной теме (или по нескольким темам).

На основе использования «базисных» задач учебные цели в рамках каждой темы курса удастся достичь быстрее и эффективнее» [65, с. 36-38].

Н.Х. Розов подчеркивает, что ф°РмиР°вание «базисов» имело бы особо важное значение для реального обеспечения дифференциального обучения в рамках одного класса. В то время, как одни ученики могут получать задания в объеме «минимального базиса», другие будут осваивать материал «максимального базиса». При этом учитель имеет возможность определять объем изучения «оболочки» для каждого учебника индивидуально, в зависимости от его уровня подготовленности, реальных возможностей и личного интереса. Однако Н.Х. Розов

не дает конкретных подходов и методик практического составления как ядра, так и соответствующей оболочки.

В методической литературе для обозначения задач, к которым чаще всего сводится решение задач учебного курса, наибольшее распространение получил термин ключевые задачи, который мы и будем использовать в дальнейшем. Хотя, на наш взгляд, такие задачи было бы лучше назвать базисными (невольно напрашиваются аналогии: базис векторного пространства, базис топологического пространства и т.п.).

Очевидно, что основные типы задач будут рассмотрены в обязательном теоретическом курсе, однако, в каждом тематическом разделе существует некая совокупность задач, несущих новую дополнительную информацию, которые, хотя и не вес входят в обязательный теоретический материал, но постоянно возникают («всплывают») при решении конкретных упражнений. Представляется важным выявить такие ключевые задачи с максимальной полнотой.

Понятно, что списки ключевых задач по одной и той же теме, предлагаемые разными авторами и используемые разными учителями, могут быть различными. Непременное требование, характеризующее такой список, заключается в том, чтобы выделенная совокупность ключевых задач являлась системой. На выбор системы ключевых задач будут существенным образом влиять цели и задачи постановки учебного курса. Ясно, например, что система ключевых задач по одной и той же теме в общеобразовательных классах и в классах с углубленным или профильным изучением математики могут существенно отличаться.

Можно ли процедуру выбора ключевых задач сделать более объективной? Попытаемся применить для этого теорию графов. Использование графовых понятий позволяет в некотором смысле формализовать отбор ключевых задач и выполнить их уровневое ранжирование.

Начнем с визуализации взаимосвязей задач темы учебника или задачника. Для этого примем задачи темы за вершины орграфа и изобразим их точками плоскости. Если результат

задачи v используется при решении задачи w, соединим соответствующие им точки дугой vw с началом v и концом w .

Понятно, что такое представление системы задач темы будет достаточно труднообозримым. Поэтому договоримся удалить из орграфа дуги, которые являются следствием транзитивности. Если, например, вершины !/, v и w соединены дугами wv, vw и uw, то удаляется дута uw . При этом вершины и и w останутся соединенными путем, а из полученного в результате этих разборок су графа можно извлечь всю информацию о связях задач, содержащуюся в исходном графе.

Используя понятия вершины-истока (она не имеет входящих дуг) и степени исхода вершины орграфа, легко выделить и ранжировать ключевые задачи темы. Именно, вершины-истоки построенного орграфа принимаются за ключевые задачи первого уровня. Если затем в орграфе удалить все источники и исходящие из них дуги, то вершины-истоки оставшегося подграфа будут интерпретировать ключевые задачи второго уровня. Задачи, решение которых непосредственно вытекает из ключевых задач первого уровня, естественно назвать задачами первого уровня, а задачи, решение которых основано на ключевых задачах второго уровня, - задачами второго уровня. Аналогично определяются ключевые задачи более высокого уровня и ранжируются все задачи темы. Множество задач, решение которых вытекает из той или иной ключевой задачи, назовем окрестностью этой задачи.

Ориентированный орграф задач темы позволяет, кроме того, выделить задачи, содержащие эквивалентные утверждения; дать формальное описание сложности того или иного решения задачи (сложность можно определить с помощью числа используемых при решении ключевых задач, их уровней и длины ормаршрута, входящего в вершину, интерпретирующую рассматриваемую задачу). С помощью таких понятий как слив и диаметр графа легко оценить масштабы тематической системы Наконец, открывается возможность наглядно сравнивать тематические системы задач разных УМК.

На основе логико-содержательного и методического анализа темы, проведенного при выделении перечня элементов содержания образования, можно решить обратную задачу - сначала построить ее орграф ключевых задач, а затем, формируя окрестности ключевых задач этого орграфа, спроектировать саму систему задач темы. Поэтому такой орграф можно рассматривать в качестве своеобразного остова системы задач темы.

Для конструирования системы ключевых задач темы важно иметь четкое представление о составе ее основных и производных понятий, о связях между ними, о связях понятий темы с понятиями других тем, наконец, о направлениях применения введенных понятий и связей. Иными словами, необходимо иметь полный перечень тематических ЭСО.

Действительно, в любом математическом понятии (теореме) свернуты результаты или обобщенные способы математической деятельности. «Применение понятий и их взаимосвязей предполагает, во-первых, раскрытие роли одних понятий для осознания других, во-вторых, определение ситуаций, в которых данные понятия находят свое применение» [78, с. 330-331]. Цели изучения темы позволяют среди этих ЭСО (понятий, связей и применений) выделить ведущие и актуализовать их с помощью соответствующих ключевых задач.

В качестве ключевых задач темы выбираются задачи, демонстрирующие сущность основных понятий, фактов и методов этой темы. При использовании в обучении задачного подхода в число ключевых задач войдут некоторые формулы, алгоритмы и теоретические факты конструктивного характера. Так как ключевые задачи при этом будут ранжироваться по уровням, ориентацию дуг в орграфе ключевых задач темы можно не указывать.

В действительности, это, конечно, будет не орграф, а граф-схема, «вершины» которой несут семантическую (содержательную) нагрузку. Вместе с тем, при анализе подобных граф-схем удобно использовать язык и понятийный аппарат теории графов. Поэтому принятое терминологическое упрощение вполне оправдано.

Если орграф ключевых задач темы содержит пх задач первого уровня, п2 - второго, пк - к-го уровня, условимся говорить, что этот орграф имеет тип [Г\ l"2,...,^].

Проиллюстрируем сказанное на примере орграфа ключевых задач темы «Производная и ее применения». На схеме 1 представлен орграф темы для общеобразовательного (базового в профильной школе) уровня; он составлен из восьми задач, ранжированных по четырем уровням, его тип [I1, 23,32, 42]. Этот орграф является односторонне связным относительно вершины «1. Задача вычисления производной по определению».

Как показала практика систематического использования орграфов ключевых задач в обучении, однотипные базовые за-

Схема 1

дачи целесообразно представлять на графе в виде одной общей задачи. В рассматриваемой теме эта интеграция дидактических единиц нашла отражение в задаче 2.1 о свойствах дифференцируемых функций, названной «Задача о диференцировании суммы, произведения, частного функций и сложной функции». Так же точно несколько отдельных задач интегрированы в задаче 3.1 о нахождении критических точек, точек экстремума, промежутков монотонности и экстремумов функции.

Для профильного (в профильной школе) и углубленного (в общеобразовательной школе) уровней аналогично строятся расширения этого орграфа. Возможный вариант такого расширения при профильном изучении математики показан на схеме 2. Вершины и дуги, выделенные на этой схеме сплош-

Схема 2

ными линиями, визуализируют орграф ключевых задач темы при профильном изучении курса алгебры и начал анализа, а выделенные пунктирными линиями, показывают возможные дополнительные варианты траекторий изучения темы на продвинутом уровне.

В частности, на втором уровне добавлена теорема Лопиталя (задача 2.4). Это позволяет при полном исследовании функций и построении их графиков на четвертом уровне давать более строгие обоснования поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва. Третий уровень пополнился задачей 3.3 о вычислении производной обратной функции и задачей 3.4 на отыскание промежутков выпуклости и точек перегиба. Первая из этих задач позволяет расширить спектр приемов вычисления производных, а вторая - уточнить локальное поведение графика функции. Наконец, на четвертом уровне в число ключевых включена задача 4.3 о нахождении уравнения касательной к графику функции, проходящей через точку, не лежащую на графике функции. Полученный орграф, таким образом, содержит 12 задач и имеет тип [I1,2\ 3\ 43].

Орграф ключевых задач при продвинутом изучении темы (например, за счет элективов в математическом, естественно-математическом, физико-математическом и др. профилях) может быть пополнен дополнительным уровнем, включающим задачи У.1 (о существовании производной в точке) и У.2 (теорема Ролля). Остальные задачи знакомят учащихся с приложениями производной, которые могут быть использованы при решении задач СЗ, С5 на ЕГЭ и задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузах, сохранивших традиционную форму конкурсных испытаний (как правило, это вузы с высоким уровнем требований к математической подготовке абитуриентов). На третьем уровне пополненного орграфа это -задачи на доказательство разрешимости уравнений (2.5): на четвертом - задачи на отыскание кратных корней многочлена (3.5) и теорему Лагранжа (3.6); на пятом - задачи на использование свойств монотонных функций при решении уравнений (4.4), доказательство неравенств (4.5) и метод хорд и каса-

тельных (4.6). Еще один новый уровень могут составить задачи на отыскание наибольших и наименьших членов числовых последовательностей (5.1), на решение уравнений и неравенств с параметром графическо-аналитическим методом (5.2), на метод оценки для решения уравнений и неравенств, в том числе и с параметром (5.3). Подобное расширение спектра приложений производной позволяет удовлетворить познавательные интересы наиболее способных учащихся и открывает учителю широкие возможности в варьировании индивидуальных траекторий обучения отдельных учеников.

Еще раз подчеркнем, что на содержательный отбор ключевых задач и порядок их включения в учебный процесс будут существенно влиять логическая последовательность введения учебного материала и методические подходы к его изучению. Столь же существенно этот выбор зависит от целей и задач постановки учебного курса. Например, могут значительно отличаться орграфы ключевых задач одной и той же темы в общеобразовательных классах и в классах с углубленным или профильным изучением математики (по числу задач и количеству уровней).

На основании сказанного при проектировании системы задач темы в качестве первого основного системообразующего принципа естественно принять принцип содержательно-логической интеграции (формирования) учебных задач этой темы вокруг орграфа ее ключевых задач. Этот принцип позволяет целостно и системно формировать содержание темы, достаточно просто технологически обеспечить оптимальное наполнение предметно-содержательного компонента ее системы задач и, тем самым, полно представить планируемые результаты со стороны изучаемого материала.

Описанный подход к анализу и проектированию тематической системы задач учебного курса может служить базой для дальнейших методических исследований в теории учебных задач. Например, с помощью графов удобно представлять и структурировать задачи, входящие в окрестности ключевых задач, вычленять среди них задачи, на которых происходит

«склеивание» окрестностей разных ключевых задач темы. Можно, наконец, выделять задачи, в которых склеиваются сами тематические системы, и, вообще, говорить о фрактальной структуре системы задач учебного курса.

Еще одним направлением методических исследований может стать дальнейшее уточнение представлений о сложности и трудоемкости задачи как ее количественных характеристиках (точнее, о сложности и трудоемкости решения задачи). При этом возможны различные подходы.

Простейшее определение сложности решения задачи можно дать с помощью числа элементов содержания образования, используемых при решении задачи. В этом случае мы учитываем только относительно крупные структурные элементы решения. В действительности же при включении того или иного ЭСО в процесс решения может потребоваться определенное число учебных действий и операций, связанных, например, с какими-то преобразованиями и вычислениями. Рассмотрим два примера.

Пример 1. При сложении двух дробей (это можно рассматривать как один ЭСО) требуется выполнить не менее 4 операций (вычислить общий знаменатель, найти дополнительные множители и сложить в числителе 2 слагаемых); если же отыскивается НОК знаменателей, то число операций может возрасти до двух десятков.

Пример 2. При решении системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера требуется вычисление четырех определителей: Л, Дд, Л^, Д_ и трех дробей

Однотипное действие - вычисление определителя, выполняемое здесь 4 раза, - требует еще 17 операций. Число операций здесь равняется 71.

Приведенные примеры убеждают в необходимости введения еще одного понятия - операциональной сложности (или трудоемкости) решения задачи. Трудоемкостью будем называть число операций во всех ЭСО, использованных в решении задачи.

Оба введенных понятия отражают объективные характеристики решения задачи, они могут быть подсчитаны априорно, т.е. до того, как задача предложена учащимся.

Другой количественной характеристикой сложности задачи может стать структурная сложность решения, которую легко ввести используя граф-схему ее решения. Методика применения граф-схем при решении геометрических задач и изучении теоретического материала глубоко и достаточно всесторонне представлена в работах К.Я.Хабибуллина (см., например, [82], [83]). Он, в частности, отмечает, что «при традиционном словесно-символическом способе решения и оформления решения задачи учащимся трудно увидеть жесткий стержень, скрепляющий все решение в единое логически завершенное целое, а сам процесс решения как бы размыт, нечеток» [83, с. 115]. Граф-схема решения задачи (доказательства теоремы), состоящая из ячеек, соединенных стрелками, показывающими направление связи между понятиями и суждениями, позволяет увидеть решение в его целостности. Поэтому, по его мнению, научив учащихся видеть и иллюстрировать ход решения задач на графических схемах, «нетрудно научить их видеть взаимосвязь между различными понятиями всего курса и пониманию особой значимости этих взаимосвязей» [там же].

Нас, однако, будет интересовать вопрос о том, как граф-схемы решений задач можно использовать при оценке их сложности. Представим, что для каждой темы курса построены орграфы ключевых задач и для некоторой задачи составлена граф-схема ее решения. По этой граф-схеме можно установить, какие ключевые задачи, каких разделов и каких уровней использованы в процессе ее решения. Наиболее просто за параметр структурной сложности решения задачи принять максимальный уровень ключевых задач, встречающихся в ее решении. Более «точные» оценки структурной сложности можно получить, если ввести комплексный параметр, учитывающий также общее число ключевых задач, использованных при решении. Для дальнейшего «улучшения» этого комплексного параметра естественным образом вводятся весовые коэффициенты, отражающие уровни ключевых задач

Введенные понятия дают возможность объективно сравнивать как сложность разных задач, так и сложность различных решений одной и той же задачи.

§ 11. Виды учебных ситуаций как средство интеграции процессуальной компоненты системы задач

Наряду с предметностью основной характеристикой любой деятельности является субъектность, которая выражается в том, что направленность и избирательность деятельности обусловлена потребностями, мотивами, целями, установками ее субъекта; в том, что деятельность всегда, так или иначе, эмоционально окрашена. Наконец, в том, что эффективность и результативность деятельности существенно зависят от наличного опыта субъекта деятельности.

Деятельность осуществляется посредством действий, каждое из которых подчинено сознательной цели, т.е. тому результату, который в действии должен быть достигнут. Более отдаленная и общая цель детерминирует ближайшие и частичные цели, а они, в свою очередь, выступают как средства ее достижения. Преднамеренность действия возникает в силу принятия субъектом решения о том, что образ будущего результата действия отвечает мотиву его деятельности. В этом случае образ действия приобретает для субъекта личностный смысл и выступает для него как цель.

Отдельные действия могут входить в состав разных сложных действий и вследствие этого частично или полностью автоматизироваться: неоднократно реализованная цель связывается субъектом деятельности со способом ее достижения. Подобные действия называют операциями Операции в результате наступающей автоматизации перестают осознаваться и превращаются в условия выполнения другого действия; они служат лишь его компонентами Автоматизация освобождает сознание от постоянного контроля над осуществлением отдельных операций, из которых складывается целостное сложное действие. В поле сознания остаются и выходят на первый план лишь об-

щая цель и результат, для достижения которых выполняется действие, и условия, в которых оно протекает.

Действие субъекта, в составе которого отдельные операции стали автоматизированными в результате многократного повторения или специальных упражнений, принято называть навыками. Освоенный субъектом способ деятельности (способ выполнения действия), обеспечиваемый приобретенными им знаниями и навыками, определяется как умение.

Умение, так же как и навык, чаще всего формируется с помощью упражнений, но оно, в отличие от навыка, создает возможность осуществления действия не только в привычных, но и в изменившихся условиях. В отличие от навыка, умение может образоваться путем переноса. Это происходит в тех случаях, когда оно опирается на знания и навыки, приобретенные в ходе сходного действия, выполнявшегося ранее. Ясно, что по мере совершенствования навыков и овладения новыми знаниями совершенствуются и умения. Уровень развития умения определяется степенью осознанности, рефлексии и корригирования как отдельных этапов выполнения действия, так и действия в целом. Считается, что при высоко развитом умении действие может выполняться в разных вариантах Иными словами, высокий уровень развития умения означает возможность пользоваться разными знаниями и навыками для достижения одной и той же цели в зависимости от условий действия.

Многократное простое воспроизводство наличного опыта, т.е. его массовая репродукция, в любой сфере человеческой деятельности (как материальной, так духовной) с неизбежностью ведет к автоматизации, алгоритмизации и технологизации действий, реализующих эту деятельность. Иными словами, - к внутриструктурной перестройке исходной деятельности, ее горизонтальному развитию. У истоков этих процессов лежит биологическая потребность в экономии сил, побуждающая человека искать оптимальные (наиболее короткие, простые и легкие) способы достижения своих целей. Социализация потребностей актуализирует принципы экономии времени, минимизации затрат и т.п. Любой субъект, участвующий в воспроизводящей

деятельности, вынужден постоянно контролировать свои действия, вносить в них необходимые коррективы и делать соответствующие обобщения. В этих обобщениях фиксируются комплексы и системы практических или познавательных операций, осуществление которых способствует наиболее успешному достижению желаемого результата. Такие комплексы и системы операций составляют основу общих и специальных методов и приемов деятельности, зафиксированных в нормативных правилах и указаниях.

В случаях репродуктивной деятельности, связанной с решением стандартных (типовых) задач, в алгоритмах, описывающих соответствующие приемы и методы, каждая последующая операция однозначно детерминирована предыдущей, а полное и правильное осуществление всего комплекса операций с необходимостью ведет к ожидаемому результату.

Приступая к решению задачи и обнаруживая в результате ее анализа, что она принадлежит к незнакомому нам виду, мы пытаемся свести ее к знакомым, ранее решенным задачам. В большинстве случаев благодаря своему наличному опыту и явно видимым аналогиям нам удается сделать это достаточно просто (переформулировать задачу; трансформировать известный способ решения; разбить на подзадачи, способы решения которых известны и т.п.).

Иная картина возникает, когда мы имеем дело с вертикальным развитием деятельности, т.е. сталкиваемся с расширенным воспроизводством ее мотивов, целей, средств или встречаемся с принципиально новой (нестандартной) задачей. Здесь у субъекта деятельности для разрешения возникающих трудностей наличного опыта, как правило, недостаточно. Он в подобных случаях оказывается в проблемной ситуации. Осознание возникшего противоречия (например, невозможности выполнить предложенное задание с помощью ранее усвоенных знаний и сформированных умений) приводит к потребности в новых знаниях и способах деятельности, в поисках того принципиально нового и неизвестного, которое позволило бы разрешить это противоречие.

Общество в целом и каждый человек в отдельности обречены жить в водовороте все новых и новых проблемных ситуаций, а, следовательно, порождать новые виды и способы практической деятельности, непрерывно обновлять научные знания и способы их получения. При решении нестандартных задач, тем более при решении проблем, невозможно указать четких алгоритмических процедур, с помощью которых можно гарантированно получить желаемый результат. Поскольку сам факт встречи с незнакомой ситуацией, проблемой или нестандартной задачей - типичное событие в жизни человека, важно выделить и сформулировать некоторые общие указания, которые могут привести, но могут, конечно, и не привести, к этому результату, т.е. вооружить субъекта деятельности так называемыми эвристическими средствами (эвристиками). Эвристики в обобщенном виде аккумулируют в себе накопленный опыт успешного разрешения пройденных ранее проблемных ситуациях. К числу эвристических средств относят эвристические сведения, эвристические предписания и эвристические рекомендации. Комплексы действий и операций, реализующих эвристические средства, обычно также называют приемами; теперь уже эвристическими.

В процессе разрешения любой проблемной ситуации определяющую роль играет и то, как человек репродуцирует уже имеющийся опыт, и то, как он способен продуцировать новые формы и виды опыта. Реализация любого сложного действия строится на тесной взаимосвязи и неразрывном единстве воспроизводящих и творческих моментов.

Сказанное, разумеется, относится и к учебной деятельности Учебная деятельность, как и всякая другая, включает в свою структуру мотив, цель, предметное содержание, средства и способы, результат и осуществляется посредством действий. Целью учебной деятельности является развитие личности обучаемого путем присвоения им определенного социо-культурного опыта. Ее предметным содержанием служат усвоение теоретических знаний, овладение обобщенными способами их получения, отработка необходимых для этого методов и приемов.

Средства и способы осуществления учебной деятельности -реконструкция и перевод известных фиксированных форм социального опыта в процесс познавательной активности обучаемых, в содержание их умственной деятельности. Основными показателями эффективности и результативности учебной деятельности являются процесс и результат усвоения. Знания, выступая предметом усвоения, служат средством формирования учащегося как личности и субъекта деятельности, а знания, ставшие в процессе обучения его индивидуальным опытом и имеющие для него личностный смысл, выступают одним из значимых параметров (результатом) личностного и деятельностного развития. Любое конкретное личностное знание неотделимо от навыков и умений, а также методов и приемов его получения, представления и применения.

Конкретный акт осуществления учебной деятельности принято называть учебной ситуацией. Как пишут, ссылаясь на ЮН. Кулюткина, Е.Н. Шиянов и И.Б. Котова: «Ее характеризуют отношение учащихся к целям и содержанию учебной деятельности; отношение учащихся к учителю и между собой в процессе решения учебных задач; условия осуществления учебной деятельности, т.е. субъективные возможности учащихся и учителя и объективные условия организации обучения» [90, с. 39]

Предметным содержанием учебной ситуации чаще всего становится поставленная учителем и принимаемая учеником учебная задача. Именно вид учебной задачи и наличный познавательный опыт обучаемого обусловливают характер (репродуктивный, творческий) ее решения и, тем самым, позволят целенаправленно проектировать процесс обучения.

Цели изучения любого учебного курса при проектировании и реализации процесса обучения естественным образом расчленяются на иерархически взаимосвязанные локальные цели. При этом достигнутые локальные цели рассматриваются как условия для достижения последующих целей. Поэтому учебную деятельность следует рассматривать как цепь последовательных учебных действий, направленных на достижение локальных целей, а сам учебный процесс - как цепь возникающих

при этом учебных ситуаций, центральным познавательным ядром которых являются учебные задачи и их серии. Локальной целью обучения в этой иерархии может быть формирование некоторого понятия, изучение теоремы, освоение темы курса и т.д. В каждом из этих случаев может быть вычленена своя последовательность учебных действий и построена соответствующая ей целесообразная система задач.

Проектирование ожидаемого развития учащегося как субъекта учебно-математической деятельности и управление этим процессом возможны только с учетом преемственности. Преемственность - закономерность развития, которая состоит в том, что развивающийся объект на новом уровне развития сохраняет в снятом виде прежние свойства, параметры и функциональные характеристики. «Наглядное проявление периодических дидактических «снятий» имеет место при переходе от одного способа решения задач к другому, когда «снятие» обеспечивается переходом к более сложным видам учебной деятельности, в которых и разрешаются характерные для процесса обучения противоречия» [90, с. 61]. Преемственность «позволяет объединить и иерархизировать отдельные порциальные и частные учебные ситуации в единый целостный учебный процесс. В каждый временной интервал обучения педагог решает конкретные задачи. Связь и преемственность этих задач создают условия для перехода учащихся от простых к более сложным формам познания, поведения и деятельности, обеспечивая последовательное их решение» [90, с. 69].

Фактически задачи, с которыми учащемуся приходится сталкиваться в процессе обучения, можно разбить на три группы:

- задачи, требующие от него репродуктивных действий, предполагающих воспроизведение усвоенных знаний, алгоритмов и способов деятельности в знакомой ситуации;

- задачи, решения которых основывается на достаточно прозрачных аналогиях, позволяющих переносить наличные знания и навыки на сходные объекты и ситуации;

- задачи, требующие творческой деятельности, основанной на самостоятельном переносе наличных знаний и умений в но-

вую незнакомую ситуацию, умениях комбинировать усвоенные знания и способы деятельности и т.п.

С точки зрения субъективного опыта учащегося учебные ситуации, возникающие при решении этих трех групп задач, будем называть знакомой, видоизмененной и незнакомой. Считая эти ситуации основными структурными единицами его учебной деятельности, в качестве второго основного системообразующего принципа проектирования системы задач темы примем принцип поэтапной преемственности трех учебных ситуаций, возникающих при решении задач, направленных на достижение каждой локальной цели:

знакомая —> видоизмененная —> незнакомая.

Второй системообразующий принцип нацеливает на то, что при изучении любого понятия, факта и пр. учащийся должен последовательно пройти все эти три типа ситуаций, решая свойственные каждому типу учебные задачи.

Принцип призван также обеспечить и вскрыть наличие противоречивых взаимоисключающих и взаимодополняющих тенденций процесса усвоения - «столкновения в нем противоположных видов опыта - «чужого» и своего собственного, личного» [48. с. 67], репродуктивной (воспроизводящей) и продуктивной (творческой) мыслительной деятельности. Как мы убедились, для большинства психолого-педагогических теорий обучения характерна абсолютизация и одностороннее выпячивание одной из этих тенденций и принижение или игнорирование другой. В действительности, как справедливо отмечает Н.А. Менчинская, для процесса решения задач «характерны постоянные переходы одного противоположного процесса (репродуктивной или продуктивной формы мыслительной деятельности) в другой» [48, с. 73].

Рассматривая ранний этап развития ребенка, она пишет, что на этом этапе можно говорить о тождестве, совпадении этих противоположных процессов: копируя чужой опыт, «ребенок выявляет свою собственную активность, начинает приобретать свой личный опыт. В дальнейшем, по мере развития ребенка, происходит «расщепление» процесса. Отчетливо вы-

деляются два противоположных процесса, как бы взаимно исключающих и в то же время друг друга обусловливающих ... Эти процессы хотя и противостоят один другому, но необходимы друг другу» [48, с. 67-68]. Заметим, что то же самое можно сказать и в отношении любого взрослого человека, который осваивает новую для себя область деятельности.

«На более высоком уровне развития - продолжает Н.А. Менчинская - вновь реализуется единство двух противоположных процессов - репродуктивных и продуктивных, но уже на новой основе. Эти процессы взаимопроникают друг в друга, поскольку в условиях творческого решения относительно новой задачи осуществляется качественно новый тип воспроизведения известных способов действия, при котором выполняется их перестройка и модификация» [48, с. 68]. Этот тип единства противоположностей присущ видоизмененным учебным ситуациям.

Отмечая, что в основе процесса решения задач лежит аналитико-синтетическая деятельность, она пишет: «Многочисленными фактами доказано, что при решении относительно новой задачи («задачи - проблемы»), когда как бы впервые образуются новые связи, имеет место в конечном счете актуализация связей, образованных в предшествующем опыте. Однако эта актуализация становится возможной только в результате тонкого анализа или расчленения имеющихся искомых и данных, а иногда и в результате «пробных» попыток синтезирования. Немалое значение при этом имеет умение воздержаться от репродуцирования наиболее привычных способов решения до того, как произведен всесторонний анализ условий» [48, с. 136].

Диалектику и движущие силы развития учащегося как субъекта учебно-познавательной деятельности она видит в том, что «противоречие, разрешаясь по отношению к одним видам деятельности, к одной категории задач, вновь возникает в других видах деятельности, при решении новых задач... В этом и заключены возможности развития, поскольку каждая новая задача предъявляет требования, которые не могут быть

удовлетворены сразу посредством сложившихся ранее, уже готовых способов решения. Возникшее расхождение между требованиями и наличным запасом знаний, умений и навыков, а также уже достигнутым уровнем развития рождает потребность в приобретении новых знаний, в нахождении новых способов деятельности, что, в свою очередь, приводит к повышению уровня умственного развития, т.е. становится движущей силой развития» [48, с. 73].

Дополняя выводы Н.А. Менчинской, отмстим интеграцию логического анализа и синтеза с интуицией, без которой невозможно решение многих трудных незнакомых и нестандартных задач. Каждому, кто решат такие задачи, хорошо известно, что идея решения зачастую приходит как внезапное озарение - инсайт, а сам процесс обработки условий и их следствий не осознается, в поле сознания «всплывает» лишь сам окончательный результат. Внешне инсайт воспринимается как своеобразный «скачок» в мышлении, как однозначно не обусловленный посылками логический разрыв в проводимых аналитико-синтетических поисках решения.

Считается, что способность непосредственно «увидеть» правильный ответ или идею решения без предварительной возможности обосновать решение и доказать его правильность также является результатом предшествующего опыта. Более того, многие авторы убеждены, что можно целенаправленно создавать условия, благоприятные развитию интуиции. При этом обычно всячески подчеркивается знание определенных эвристических приемов, пригодных для решения широких классов задач. Однако глубоких научных результатов в изучении этого вопроса пока не получено (по крайней мере, в методике обучения математике). Большинство выводов носит рекомендательный характер и может быть выражено весьма банально: человек тем успешнее решает нестандартные творческие задачи, чем больше и чаще их решает. Поэтому для того чтобы учащийся научился решать трудные незнакомые и нестандартные задачи, он в учебном процессе должен постоянно сталкиваться с незнакомыми учебными ситуациями.

Как уже отмечалось, большинство дидактов и методистов считают, что система школьных учебно-математических задач должна быть трехуровневой, а в основе уровневой дифференциации должна лежать трудность задач. Более того, трудность задачи, по их мнению, является не только точкой отсчета для планирования результатов обучения, но и естественной шкалой для измерения уровня обученности учащихся.

Такой точки зрения придерживается, например, В.В. Гузеев. Он считает, что традиционной балльной оценочной шкале включающей три «положительных» отметки, должны соответствовать три уровня задач (минимальный, общий и продвинутый), а оценивание уровня обученности ученика проводиться в зависимости от того, какие задачи он может самостоятельно решать. Можно, конечно, привести множество других примеров, но В.В. Гузеев, в отличие от многих других авторов, не просто выделяет три уровня задач, но приводит психолого-педагогические основания этого разделения. Он дает различные обоснования, которые органично дополняют друг друга. С точки зрения обсуждаемого вопроса показательно, как В.В. Гузеев это делает.

Первое обоснование идет от работ Л.С. Выготского о классификации типов учебной деятельности: «Первый тип учебной деятельности - деятельность репродуктивная. Смысл ее состоит в том, что ученик воспроизводит изученные факты (здесь и далее мы будем понимать слово «факт» расширительно: собственно факт, понятие, способ или алгоритм действий и т.д.). Более высокой эффективностью обладает реконструктивная учебная деятельность, когда факты не воспроизводятся по памяти, а реконструируются, воспроизводится способ получения фактов. Высший тип учебной деятельности - вариативная. Она состоит в воспроизведении способов получения способов, то есть мыслительных операций. Это предполагает перенос способов из одной области в другую» [17, с. 48] Поскольку воспроизводить можно либо факты, либо способы их получения, либо способы получения способов, то триада полна, заключает В.В. Гузеев - и, по-видимому, не расширяема.

Второе обоснование восходит к теории поэтапного формирования умственных действии П.Я. Гальперина, стержнем которой является ориентировочная деятельность с ее тремя типами ориентировки [13]. В интерпретации В.В. Гузеева она используется следующим образом: «Первый тип заключается в ориентировке на единичные, случайные признаки, свойственные отдельным предметам. Психологический механизм основывается на узнавании и припоминании. Перенос знаний на другие объекты отсутствует. Ориентировка по второму типу направлена на локальные признаки, присущие группам сходных предметов. В связи с необходимостью различения, разграничения объектов в группе здесь включаются механизмы сопоставления, противопоставления, сравнения - в конечном счете - анализа и обратной ему операции синтеза. Итак, основой ориентировки по второму типу, ее отличительным признаком служит аналитико-синтетическая деятельность. Здесь имеет место перенос знаний на сходные объекты и ситуации. Третий тип обусловлен ориентировкой на глобальные признаки и свойства, отличающие широкие классы объектов и явлений. В этом случае может происходить перенос знаний в незнакомые, новые, нестандартные ситуации» [там же, с. 49].

Связывая третий тип ориентировки с механизмом инсайта, в основе которого лежат мгновенное озарение и переструктурирование ситуации, В.В. Гузеев дает обоснование трехуровневой модели педагогических измерений опираясь на положения ассоциативной психологии о двух разновидностях ассоциативных связей: явных и латентных (неявные - у В.И. Крупича [33]). Эти два вида ассоциаций различаются по частоте их возникновения, частота первых - более 80 %, вторых - менее 15 %.

В частности, В.В. Гузеев отмечает, что значительная часть усилий учителя и учащихся в обучении направлена на то, чтобы некоторое множество задач предметной области сделать типовыми или шаблонными. Решение же нешаблонной задачи требует ее членения на подзадачи, за которым стоят объективно существующие связи между этими подзадача-

ми. Поэтому типология нешаблонных задач определяется характером связей между подзадачами. Анализируя работы В.Н. Соколова, Н.Ф. Талызиной и других, он заключает, что если «в задаче присутствует один тип связей, можно быть уверенным, что это явные связи. Если же имеется латентная ассоциация, то обязательно есть и явная, т.е. между подзадачами наблюдаются два типа связей» [там же, с. 54-55]. При этом приводятся хорошо известные в математических кругах высказывания А. Пуанкаре о внезапных спонтанных прозрениях при решении математических задач, которым, однако, как правило, предшествовала длительная, но безуспешная сознательная работа. По мнению В.В. Гузеева, задачи общего уровня членятся на подзадачи с явным типом связи между ними, а задачи продвинутого уровня характеризуются тем, что они членятся на подзадачи с двумя типами связей.

Одним из системообразующих оснований системы задач любого учебного курса должна служить направленность учебных задач курса и каждой его отдельной темы на подготовку учащихся к заданному формату итоговых испытаний по его завершению.

По-видимому, в ближайшей перспективе основными типами методических систем обучения математике останутся системы, в которых решение задач сопровождает изучение теоретического материала. Наиболее адекватной формой итоговой аттестации учащихся в этом случае является устный экзамен, предусматривающий наряду с теоретическими вопросами решение задач. Однако при использовании подобной смешанной формы итогового контроля включаемые задачи обычно соответствуют уровню применения знаний в знакомой ситуации. В настоящее время, когда устные экзамены по геометрии в школе практически не проводятся, такая форма итоговой аттестации остается доминирующей только в системе высшего образования.

Итоговая аттестация по алгебре за основную школу и по алгебре и началам анализа за старшую школу проводится в форме письменной экзаменационной работы, включающей за-

дания разных уровней трудности. Такую же структуру имеют письменные работы по математике на вступительных экзаменах. При выполнении работы ученик фактически сталкивается с тремя видами ситуаций, возникающих при решении задач: знакомой, видоизмененной и незнакомой. Поэтому принцип поэтапной преемственности трех учебных ситуаций, возникающих при решении задач, хорошо согласуется с форматом письменных выпускных экзаменов по алгебре и началам анализа в школе и вступительных экзаменов по математике в вузы.

§ 12. Матричное представление тематической системы задач

Существуют многочисленные систематизации, типологии и классификации учебных задач. Очевидно, что при формировании системы задач учебного курса особый интерес представляют классификации задач на основе обусловливаемых ими видов деятельности. Одни из таких типологий и классификаций строятся на предметной основе (в математике, например, - это деление задач на задачи на вычисление, построение, доказательство и т.д.). Сюда же можно отнести классификации задач по методам решения. Другие типологии и классификации имеют процессуальный характер и связаны прежде всего с предлагаемыми авторами методиками формирования отдельных компонентов некоторого целостного учебного действия или некоторого конкретного вида учебной деятельности (задачи на актуализацию опорных знаний, на подведение под понятие, на закрепление понятия, задачи для повторения, для контроля и т.п.). (Обзор попыток систематизации учебных задач можно найти в книге [73] Г.И. Саранцева.)

В методике обучения математике типичные примеры дидактической систематизации задач дают В.А. Онищук, Г.И. Саранцев и др. Так, выделяя этапы формирования умений, В.А. Онищук указывает для каждого этапа соответствующий вид задачи (табл. 2).

Таблица 2

Вид учебных действий

Вид учебной задачи

1.

Актуализация опорных знаний

Подготовительные упражнения

2.

Усвоение знаний

Вводные упражнения

3.

Первичное применение знаний

Пробные упражнения

4.

Овладение навыками в стандартных условиях

Тренировочные упражнения

5.

Творческий перенос знаний и навыков в нестандартные условия

Творческие задачи

6.

Контроль, коррекция и оценка навыков и умений

Контрольные упражнения и задачи

При этом он, считает, что при переходе от предыдущего вида задач к последующему степень самостоятельности учащегося должна возрастать [54]. На что Г.И. Саранцев замечает: «Очевидно, что организационные формы выполнения упражнений зависят не только от цели, но и от содержания упражнений. Вызывает сомнение указание на минимальную самостоятельность школьников при выполнении подготовительных упражнений, целью которых является актуализация опорных знаний. Причем указанная цель может быть достигнута и при выполнении творческих упражнений. При этом даже очевиден некоторый выигрыш во времени - актуализация опорных знаний, т.е. формирование нового умения, созревает в недрах предыдущего цикла усвоения умений на этапе творческого применения знаний» [73, с. 27].

Сам Г.И. Саранцев каждому компоненту учебно-познавательной деятельности также сопоставляет группу упражнений, выделяя следующие их виды:

1) упражнения, стимулирующие учебно-познавательную деятельность;

2) упражнения, организующие и осуществляющие ее;

3 упражнения, в процессе выполнения которых осуществляется контроль и самоконтроль эффективности учебно-познавательной деятельности.

Он отмечает, что «в зависимости от конкретизации учебно-познавательной деятельности школьников классификация будет наполняться более конкретным содержанием»; «выделение совокупности действий, адекватных конкретной деятельности, позволяет систематизировать упражнения, в процессе выполнения которых усваивается эта деятельность» [73, с. 31]. В качестве примера Г.И. Саранцев выделяет действия, которые сопровождают различные ситуации применения геометрических преобразований (табл. 3).

Таблица 3

Действие

Необходимая для его формирования система упражнений

1.

Построение фигуры, в которую переходит заданная фигура при данном преобразовании

Упражнения на построение фигуры, в которую переходит заданная фигура при данном преобразовании

2.

Отыскание соответственных при данном преобразовании точек на соответственных при том же преобразовании фигурах

Упражнения на нахождение соответственных при данном преобразовании точек на соответственных при том же преобразовании фигурах

3.

Построение элементов, определяющих преобразование

Упражнения на построение элементов, определяющих преобразование

4.

Отыскание соответственных при данном преобразовании точек на произвольных заданных фигурах

Упражнения на отыскание соответственных при данном преобразовании точек на произвольных заданных фигурах

5.

Использование специфических свойств преобразований

Упражнения на использование специфических свойств преобразований

Формирование и функционирование систем упражнений, соответствующих выделенным действиям, по его мнению, должно опираться на закономерности влияния последователь-

ности выполнения упражнений на умственную деятельность учащихся и закономерности функционирования системы «задача ученик».

Анализируя, экспериментально перепроверяя и обобщая психологические исследования П.А. Шеверёва [89] и методические работы А.К. Артёмова, Я.И. Груденова и П.М. Эрдниева, Г.И. Саранцев выделяет следующие закономерности влияния последовательности выполнения упражнений на умственную деятельность учащихся:

• «упрочение ошибочной ассоциации ... начинается после трех однотипных упражнений;

• овладение действием в одной ситуации не обеспечивает умение применить это действие в другой ситуации, отличающейся от первой некоторой особенностью;

• упражнение на выполнение действия на материализованном этапе существенно не влияет на овладение этим действием на умственном этапе;

• в совокупность упражнений, выполнение которых требует прямых действий, следует включать упражнения на обратные действия, если взаимно обратные действия изучаются отдельно. При одновременном изучении взаимно обратных действий упражнения следует выполнять вперемежку;

• выполнение совокупности упражнений, порождающих сходные ситуации, определяется только общими их особенностями» [73, с. 43].

Рассматривая закономерности функционирования системы «задача - ученик», он делает выводы:

«1. Реальный процесс решения задачи не следует только по одному пути: аналитическому или синтетическому. Для начала характерен аналитический путь, затем осуществляется синтетический путь. При решении сложных задач оба пути чередуются по нескольку раз. Таким образом, психологический (реальный) ход решения задачи отличен от его логической модели. Вместе с тем нельзя сказать, что психологический ход решения задачи независим от ее логической структуры: последняя является основой для его проявления. Это дает осно-

вание выделить действия, осуществляемые в процессе решения задачи, изучая логическую структуру ее решения.

2. Условие задачи выступает в сознании решающего в целостном виде. Поиск решения начинается с интуитивной гипотезы, если направление поиска неоднозначно определяется требованием задачи. Затем осознается условие, от которого зависит этот гипотетический результат. После этого осуществляется формирование альтернативных логических операций и установление условий, от которых будет зависеть каждый из возможных исходов. Эти условия не даны явно, их приходится из непосредственно заданных условий. Поиск решения задачи с определенным требованием полностью вписывается в эту схему, в данном случае первоначальная гипотеза подсказывается самим требованием задачи.

3. Успех в решении задачи во многом зависит от умения извлекать информацию из требования задачи и ее условия, вычленять отдельные элементы, комбинировать их и т.д. Эта информация обеспечивает целенаправленный поиск решения, регулирует действия учащихся на наиболее важных участках.

4. Условием успешного продвижения ученика в решении задачи является соотнесение его мыслительных действий с необходимыми преобразованиями содержания задачи, которое осуществляет контролирующую оценку школьником своих действий. В частности, различная наглядность (схемы, чертежи, модели) облегчают учащимся поиск решения задачи в том случае, если действия с применением наглядности соотносятся с необходимыми преобразованиями содержания этой задачи» [73, с. 47-48].

Сформулированные теоретические положения Г.И. Саранцев интерпретирует в общих схемах задач, направленных на поэтапное формирование умений, обеспечивающих полноценное усвоение понятий [73, с. 77] и теорем [73, с 87] Показательно, что он практически не обращается к таким понятиям, как репродуктивная и продуктивная деятельность, стандартная и творческая задача, а также к таким характеристикам задач, как сложность и трудность. Вместе с тем именно уровневая дифференциация задач наиболее часто используются при описаниях процесса формирования системы задач другими авторами.

Согласно принципу единства содержательной и процессуальной сторон обучения содержание образования существует лишь в процессе обучения. Поэтому, пишут В.В. Краевский и А.В. Хуторской, «проектируя содержание учебного предмета или учебного материала, необходимо учитывать имеющиеся методы, закономерности, принципы и возможности обучения в целом, а также обозначать в программах и учебниках не только содержание само по себе, но и способы его передачи и усвоения» [32, с. 172]. Этого, однако, недостаточно, необходимо, чтобы учебная деятельность учащегося в процессе обучения была, в свою очередь, представлена совокупностью учебных ситуаций, адекватных содержанию материала, подлежащему усвоению.

Система учебных задач темы (курса), основополагающими принципами которой являются принцип содержательно-логической интеграции учебных задач темы вокруг орграфа ее ключевых задач и принцип поэтапной преемственности трех учебных ситуаций, возникающих при решении задач, дает пример конкретной реализации принципа единства содержательной и процессуальной сторон обучения.

Тематическая система задач может быть сформирована (наполнена конкретными задачами) с помощью ее матричного представления, основанного на выделении ранжированного перечня базовых ЭСО и соответствующих им ключевых задач, - с одной стороны, и учебных ситуаций, требующих умения решать знакомые, модифицированные и незнакомые задачи, -с другой (табл. 4):

Таблица 4

Предметно-содержательные уровни (определяются уровнем ключевых задач)

I

II

N

Тип учебной ситуации

I (знакомая)

II (видоизменная)

III (незнакомая)

Построенная подобным образом прямоугольная матрица системы задач темы будет содержать N столбцов, отражающих количество уровней в выделенной системе ключевых задач темы, и 3 строки, соответствующие трем типам учебных ситуаций, возникающих при решении задач. Совокупность ключевых задач некоторого уровня можно считать своеобразным базисом пространства задач этого уровня. Аналогично можно ввести понятия базиса пространства задач темы и базиса пространства задач всего курса.

Состав знаний, умений и навыков, подлежащих усвоению, и фактически освоенное учащимся предметное содержание той или иной области познания, в дидактике и предметных методиках описывается двумя основными параметрами - широтой и глубиной. Первый параметр характеризует масштабы охвата в обучении конкретной предметной области (ее раздела, темы), а второй - уровень проникновения в сущность рассматриваемых предметов и явлений, степень детализации их изучения. Широта и глубина элементов содержания образования, включаемых в процесс обучения, зависят от целей обучения, возрастных возможностей учащихся, имеющегося у них информационного и операционального заделов на том или ином этапе обучения и т.п. Число столбцов матрицы тематической системы задач позволяет формально определить широту содержательного охвата этой темы, а о глубине изучения конкретного элемента содержания образования темы можно судить по качественному наполнению блоков столбца, соответствующего этому элементу.

При этом если ключевые задачи выполняют в конструируемой системе задач роль своеобразных интеграторов предметно-содержательной компоненты, то при проектировании и реализации процесса обучения аналогичную роль должны играть типы учебных ситуаций.

Учебная деятельность при решении задач, входящих в первую строку матрицы, носит репродуктивный характер. Ученик идентифицирует (распознает знакомые задачи в ряду подобных), воспроизводит изученные способы или алгоритмы действий, применяет усвоенные знания в практическом плане

для некоторого класса однотипных задач и получает нужную информацию на основе применения усвоенного образца деятельности. Используемые при этом задачи-упражнения отличаются явными связями между данными и искомыми (известными и неизвестными) элементами, а их решения основаны на непосредственном воспроизведении известных фактов, формул, алгоритмов, преобразований. Задачи блоков первой строки служат для формирования техники выполнения названных операции и закрепления соответствующих умений и навыков. Эти задачи достаточно просто конструируются на основе перечня ЭСО и выделенных ключевых задач. Они, как правило, обеспечивают достижение минимальных обязательных результатов обучения, зафиксированных в стандарте базового уровня. При проведении итоговой аттестации по курсу такие задачи могут быть предложены в форме закрытых тестов с выбором правильного ответа, однако абсолютизировать эту форму тестового контроля, как это стало делаться в последнее время, вряд ли целесообразно.

При решении задач второй строки репродуктивная учебная деятельность сочетается с реконструктивной, в которой образцы деятельности не просто воспроизводятся по памяти, а подвергаются трансформации в видоизмененных условиях. При наполнении соответствующих блоков матрицы ключевые задачи подвергаются варьированию по алгоритму, по технической сложности, по форме представления условия, по комплексному сочетанию этих преобразований. Добавленные и видоизмененные ЭСО могут либо модифицировать какое-то звено алгоритма, либо изменять исходные условия применения алгоритма без изменения самого алгоритма, либо включать новый алгоритм в совокупность связей с другими, ранее изученными. Близость включаемых в блок задач к ключевым определяется числом добавленных и видоизмененных ЭСО, а наличие перечней ЭСО и орграфов ключевых задач темы позволяет свести вычисление близости двух задач из одной темы с интуитивно-философского уровня к простой операциональной процедуре.

Наконец, при решении задач третьей строки деятельность решающего носит вариативный творческий характер. Ученик должен уметь ориентироваться в новых ситуациях и вырабатывать принципиально новые программы действий. Для решения задач этой строки ему необходимо обладать обширным фондом отработанных и быстро развертываемых знаний, умений и навыков, уметь оперативно перекодировать информацию из одной формы в другую, системно видеть весь пройденный материал. Процесс решения задач в незнакомой ситуации не просто предполагает использование старых алгоритмов в новых условиях и возрастание технической сложности, а отличается прежде всего неочевидностью применения и комбинирования изученных алгоритмов. При решении в максимальной степени выражены такие параметры трудности как неочевидность разложения задачи в последовательность шаблонных подзадач, необходимость комплексного использования ЭСО нескольких тем, методов и приемов из разных тематических областей. Нередко, кроме того, эти задачи требуют от решающего умения пользоваться общими эвристическими приемами, а зачастую и знания дополнительных специальных методов. Поэтому задачи третьей строки имеют усложненную логическую структуру и характеризуются наличием латентных связей между данными и искомыми элементами. Такие задачи обычно предлагались в качестве самых трудных на вступительных экзаменах в вузы с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов, а сегодня в заданиях СЗ, С4, С5, С6 вариантов ЕГЭ

Система задач любого учебного курса (темы) обладает большой инерцией в том смысле, что принципиально новые задачи появляются в ней достаточно редко. Поэтому отбор задач для блоков третьей строки обычно осуществляется путем тщательного анализа существующего массива задач (и их решений) третьей части ЕГЭ и различных сборников конкурсных задач. Вместе с тем, совокупность таких задач не может быть полной даже в пределах одного столбца, т.к. она является открытой, неограниченной, в ней постоянно появляются но-

вые типы задач. Это, в частности, не исключает возможности конструировать задачи для этой строки самостоятельно. Как правило, «новая» задача «появляется» в результате трансформации какой-либо известной задачи или комбинирования известных задач.

Матричное представление системы задач темы при ее наполнении и использовании позволяет обеспечить принцип содержательной и процессуальной преемственности обучения. Как было отмечено, деятельностные механизмы, на которых реализуется этот принцип, основаны на переносе прошлого опыта в условия новой деятельности. Но это-то как раз и изначально заложено в технологии наполнения и дальнейшего использования матрицы тематической системы задач. Всякий раз, когда ключевая задача и ее решение актуализированы, учащийся, последовательно пройдя через знакомые, видоизмененные и незнакомые ситуации в окрестности этой ключевой задачи, возвращается к ним в окрестности следующей ключевой задачи.

§ 13. Наполнение матрицы тематической системы задач

Выделение двух системообразующих принципов в качестве основных не коим образом не противоречит перечисленным ранее требованиям, предъявляемым к системе учебных задач. Напротив, все они самым органичным образом реализуются при содержательном трехуровневом наполнении окрестностей ключевых задач. Проиллюстрируем сказанное конкретными примерами.

Мы видели, что практически все авторы считают, что система задач курса (темы) должна быть полной. Правда, сама полнота понимается ими по-разному. Так, по В.В. Гузееву полнота системы задач означает наличие в ней задач на все понятия, факты и способы деятельности, изучаемые в курсе, в том числе, мотивационных, подводящих под понятие, на аналогию и пр. Кроме юго, он вводит понятие целевой достаточности системы задач, отражающее наличие в ней задач на усвоение и закрепле-

ние изученных понятий и методов (для решения на уроке и дома), для организации различных видов контроля, для индивидуальных и групповых заданий разной направленности, для организации самостоятельной работы и т.д. По И. Я. Груденову полнота системы задач состоит в том, что «совокупность задач и способы их решения не способствуют формированию ошибочных ассоциаций и позволяют учащимся глубоко усваивать все вопросы изучаемой темы» [16, с. 109].

Подобные примеры можно продолжить. Однако нетрудно заметить, что среди выдвигаемых критериев, характеризующих полную систему задач, одни авторы выделяют требования к представлению в ней предметного содержания, другие - к возможности максимально полно реализовать с помощью задач различные формы и виды учебной деятельности, третьи - к процессу и результатам усвоения. Поэтому имеет смысл различать предметную и дидактическую полноту системы учебных задач.

Предметная полнота тематической системы задач будет достигнута, если в системе задач представлены все ЭСО темы, а выделенная система ключевых задач позволяет решение любой задачи, входящей в тематическую систему, свести к решению некоторой последовательности задач из этой системы и задач из предыдущих тем. Предметная полнота рассматривается не абстрактно, не сама по себе, а относительно Перечня ЭСО; т.е. для каждого элемента из Перечня система должна содержать задачи, при решении которых используется данный элемент. Ясно, что система задач, являясь большой открытой системой, подвержена внешним влияниям, например, со стороны ежегодно появляющихся новых нормативных задач в демонстрационных версиях КИМов. Поэтому любая тематическая система задач является полной лишь относительно Перечня зафиксированных на данный момент элементов содержания образования. По мере необходимости в Перечень могут вноситься дополнения, это ведет к соответствующему пополнению некоторых разделов задач, в результате чего система приобретает качество предметной полноты относительно пополненного Перечня.

Дидактическая полнота тематической системы задач означает прежде всего ее целевую достаточность. Система должна обеспечивать достижение разных дидактических целей: содержать достаточное количество задач для решения в классе, дома, задач дня индивидуальных заданий, групповых консультаций, проверочных и контрольных работ, задач для учеников, глубоко интересующихся математикой, и т.п. Достаточное количество разного рода задач, удовлетворяющее всем поставленным целям - «целевая достаточность» (по В.В. Гузееву [4, с. 77]). Шире можно говорить о функциональной достаточности системы задач, подразумевая, что с помощью нее можно реализовать все функции задач в обучении, перечисленные в первой главе.

Покажем, как при табличном (матричном) представлении системы задач темы осуществить полноценное наполнение ее предметного и дидактического компонентов и тем самым реализовать критерии предметной и дидактической полноты формируемой системы учебных задач. Попутно уточним некоторые используемые понятия.

Прежде всего, нам необходимо понять, какие задачи из окрестности некоторой ключевой задачи и соответствующие им учебные ситуации считать знакомыми, видоизмененными и незнакомыми. Возьмем для примера такой элемента содержания образования (или соответствующую ключевую задачу), как алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции (max f(x) или гшпДх) ), дифференцируемой на некотором промежутке. Рассмотрим три, казалось бы, однотипные задачи (список таких задач, разумеется, легко расширить):

Задача 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = X2 + X +1 на отрезке [- 2; З].

Задача 2: Найдите наибольшее и наименьшее значения длины вертикального отрезка, расположенного между графиками двух парабол

Задача 3: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = sin 2х на отрезке

Первая задача с очевидностью решается с помощью стандартного алгоритма. Во второй задаче возможность применения алгоритма завуалирована необычной формой подачи исходных данных. Формулировка третьей задачи сразу указывает на стандартный алгоритм, но трудности, связанные с его реализацией, весьма велики; требуется актуализация дополнительных элементов знания (универсальная тригонометрическая подстановка), проведение тонкого анализа принадлежности критической точки интервалу:

В столбце, соответствующем рассматриваемому элементу, эти задачи естественно поместить в первую вторую, вторую и третью строки соответственно.

Эти примеры задач, кроме этого, убеждают в необходимости уточнения понятия однотипные задачи. Буквальное определение однотипности (задачи одного типа [16, с. 96]) является малопродуктивным. Хорошо понимая, что предлагаемое нами определение требует дальнейших корректировок, будем называть однотипными задачи и упражнения, которые характеризуются следующими общими параметрами:

П1: единообразие алгоритма (способа) решения или неизменность какого-либо другого основного элемента содержания образования (алгоритм не перестраивается, не дополняется; не меняется элементная база);

П2: одинаковая операциональная сложность (в решениях не меняются виды используемых преобразований, не требуется выполнения дополнительных операций);

П3: общность формы представления задачной ситуации (стандартность формулировок, обозначений, расположений или конфигурации объектов, незавуалированность возможности применения знакомого стандартного алгоритма).

Наконец, рассмотренные задачи позволяют заключить, что:

- изменение в какой-то задаче одного, а тем более двух-трех из выделенных параметров приводит к задачам других типов;

- вариации параметров П1, П2, П3 позволяют строить задачи, при решении которых хотя и используется один и тот же алгоритм, но сами решения могут существенно отличаться как сложностью, так и трудностью.

Следствием описанных вариаций условий задачи является небольшая или существенная модификация известного способа ее решения. Малой модификацией способа решения может быть:

1) перенос известного способа решения на одной и той же элементной базе, например, с уравнения sinx + cosx = 1 на уравнение >/3sinx + cosx = 2 и последующее обобщение это способа;

2) перенос способа решения на другую элементную базу, например, с алгебраического уравнения 6х2-5х-1 = 0 на уравнения

3) техническое усложнение известного способа решения, например, замена целых коэффициентов выражения или уравнения иррациональными, которая требует дополнительного внимания и знания формул сокращенного умножения и т.п.;

4) рассмотрение предмета (уравнения, чертежа и т.п.) с различных точек зрения, абстрагирование и акцентирование какой-либо грани, аспекта способа решения. Например, мысленное перемещение фигуры до совмещения ее с другой или необходимость заметить, что сумма коэффициентов многочлена равен нулю (следовательно, один из корней равен единице). А, может быть, необходимо догадаться и проверить, что множества значений левой и правой частей уравнения не пересекаются (следовательно, корней нет).

Большой модификацией способа решения может быть: 1) применение известного алгоритма в совершенно новых, необычных условиях;

2) необычная формулировка задачи, скрывающая возможность непосредственного применения известного алгоритма;

3) перестройка алгоритма или конструирование нового на базе старых (для осуществления надо уметь делать анализ, синтез, абстрагирование и обобщение ).

Из сказанного следует, что, взяв ключевую задачу (элемент содержания образования), для заполнения трех блоков соответствующего ей столбца можно использовать различные вариации изменений параметров П1, П2, П3. Интуитивно ясно, что в первой строке вариации рассмотренных задач-образцов чаще всего будут сопровождаться возрастанием трудоемкости (операциональной сложности) решений. Столь же очевидно, что наиболее типичным приемом составления видоизмененных и незнакомых задач является неявное задание условий для применения изучаемого алгоритма; чтобы применить алгоритм надо первоначально найти эти условия. В последующем при решении такой задачи оно расчленяется на несколько отдельных этапов, проведение каждого из которых сводится к выполнению определенного знакомого упражнения или решению знакомой стандартной задачи.

Так в КИМах ЕГЭ 2004 г. предлагалась задача: Задача 4. Точка А лежит на графике функции у - f(x), а точка В - на оси ОХ, ее абсцисса равна ординате точки А. Найдите наименьшее значение площади треугольника ОАВ, где

точка О - начало координат,

Ответ: 2яг + 1.

По внешним признакам задача сразу можел^ быть отнесена к задачам на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Однако непосредственному применению известного алгоритма мешает целый ряд обстоятельств. Прежде всего, явно не задана функция, которую предстоит исследовать. Поэтому необходимы моделирование, позволяющее поставить стандартную математическую задачу, проверка условий существования f(x) на заданном отрезке и т.п. Эта задача требует большой модификации способа решения.

Предметная полнота системы задач достигается, во-первых, за счет скрупулезного следования Перечню, чтобы ни один его элемент не был упущен («покрыт задачами»). Во-

вторых, она обеспечивается в результате варьирования и комбинирования трансформаций параметров П1, П2, П3 при каждом элементе содержания образования (в соответствующей ключевой задаче) и соответствующих модификаций способов решения. Понятно, что формальный подход к использованию этих преобразований ключевой задачи приводит к нереалистично большому числу задач. Поэтому создатель системы задач на основе своего опыта, на основе экспертных оценок коллег формирует окрестность ключевой задачи, ограничиваясь лишь теми направлениями задачной композиции, которые с содержательной стороны представляются наиболее интересными и перспективными.

Понятно также, что при количественном (для достижения дидактической полноты) и качественном наполнении окрестностей ключевых задач и тематических систем, а также при их последующем использовании следует опираться на закономерности влияния последовательности выполнения упражнений на формирование умственной деятельности учащихся, сформулированные Г.И.Саранцевым, и, в частности, на вытекающий из этих закономерностей принцип сравнения и противопоставления.

В методике обучения математике многократно проводились исследования, посвященные тому, как сделать управляемым процесс формирования системности знаний. Системность математических знаний предполагает понимание структурных связей между одно- и разнопорядковыми понятиями, понятиями и теоремами, теоремами и следствиями, гипотезами и установленными фактами, правдоподобными рассуждениями и строгими доказательствами. Общее понимание предмета идет через осмысление и накопление конкретных формальнологических и предметно-содержательных связей на уровне отдельных понятий, тем, содержательных линий Показательно, что даже в тех случаях, когда задачи в учебниках или задачниках специально явно не упорядочены, учащиеся, обладающие выраженными математическими способностями, начинают самостоятельно выделять взаимосвязи между задачами и фор-

мироватъ их последовательности. Такая стихийно проявляющаяся способность является показателем становления системности знаний.

При всех специфических особенностях, присущих конкретным исследованиям, большинство авторов склоняются к тому, что процесс формирования системности знаний следует организовать путем целенаправленного конструирования соответствующих последовательностей (цепей, пучков, деревьев) задач и последующего распредмечивания этих внутренних микроструктур системы задач в учебной деятельности учащихся. В предлагаемой модели конструирования тематических систем задач это происходит на основе явно представленных орграфов ключевых задач темы и известных учащимся принципов формирования окрестностей ключевых задач.

Окрестность ключевой задачи (элемента) представляет собой зону ближайшего математического развития ученика. Сильный ученик может этот трехуровневый массив задач «прорешать» самостоятельно, средний - с дозой помощи учителя, слабый - вместе с учителем. Последовательное «освоение» трехуровневого массива задач, относящегося к некоторому ЭСО, должно быть направлено на выстраивание новых связей между элементами знания и способами, методами и приемами их получения. Происходящие при этом аналитико-синтетическая обработка старых и новых знаний, их оценка и интеграция должны в свою очередь обеспечить очередное переструктурирование индивидуального учебно-математического опыта и образование новой подсистемы в системе математических знаний и умений ученика.

Несколько слов о том, как при матричном представлении реализуются некоторые из других требований к системе задач.

Часто в число основных характеристических признаков системы учебных задач включается принцип последовательного возрастания сложности (трудности) задач. В действительности, мы это хорошо знаем на собственном опыте, невозможно все время наращивать сложность в системе задач, это ведет к чрезмерной психической усталости. Для разрядки, релаксации, мобилизации на решение трудной задачи и т.п. по-

лезно включать в учебный процесс задачи более легкие, чем предыдущие. Если у ученика нет боязни перед постоянно растущей сложностью и трудностью, то он может решить даже такую задачу, к которой бы в ином психологическом состоянии даже не приступил. Поэтому система задач «должна отличаться перемежающейся, но в конечном счете возрастающей степенью сложности» [78, с. 334] и, конечно, трудности. Иными словами, отвечать принципу, который можно назвать принципом немонотонно возрастающей трудности задач и сложности их решений.

Предложенная матричная модель системы задач нацеливает на реализацию именно этого принципа. Действительно, основная идея (алгоритм) способа решения задач во всех блоках столбца (окрестности ключевой задачи) одна и та же, но при переходе от одного блока столбца к другому7 сложность, трудоемкость и трудность решений меняются. Так, при переходе от верхнего блока к среднему обычно возрастают сложность и трудоемкость. Это объясняется тем, что используемые при составлении задач трансформации и комбинации параметров П1, П2 и П3 как правило являются достаточно явными. При переходе же от среднего блока к нижнему могут возрастать и сложность, и трудоемкость решений задач, и сама трудность задач. Это обусловливается тем, что задачи нижнего блока отличаются не только явными, но и латентными связями между данными и искомыми элементами. Подобные же изменения характеризуют построение последовательности задач внутри нижнего блока столбца. Когда мы переходим к следующему столбцу (окрестности следующей ключевой задачи), то, как только эта задача актуализирована (разобран способ ее решения), ситуация полностью повторяется.

Далее, хорошо известно, что типичными недостатками при организации повторения, встречающимися в практике многих учителей математики, являются:

- эпизодическое обращение к пройденному, которое происходит по мере необходимости (например, при подготовке к какой-то контрольной работе или при введении нового понятия);

- простая репродукция ранее изученных определений, правил, алгоритмов, приемов и способов решения, без их преобразования, обобщения и обогащения.

Вместе с тем, повторение - это не механическое, время от времени, воспроизведение ранее изученного, а постоянное непрерывное вкрапление в ткань системы задач таких упражнений, которые расширяют окрестности ранее рассмотренных ключевых задач, добавляют в них новые связи и комбинации элементов.

Опять обратимся, например, к ЭСО

К моменту его изучения пройденными являются такие темы, как квадратичная и тригонометрические функции. Поэтому использование при рассмотрении нового материала в качестве f(x) квадратичной и тригонометрических функций будет являться повторением, но с включением этих функций в новые связи, на новом уровне, с элементами обобщения (синтеза). В то же время, логарифмическая и показательная функции к моменту изучения рассматриваемого ЭСО еще не пройдены. Поэтому при изучении логарифмической и показательной функций в системе задач предусматриваются задачи на нахождение их наименьшего и наибольшего значений, что к тому времени будет повторением рассматриваемого ЭСО на новой функциональной базе.

Еще примеры. В процессе решения тригонометрических уравнений и их систем нередко возникает необходимость находить пересечение числовых множеств, являющихся решениями уравнений. Обычно отбор осуществляется на тригонометрическом круге, но решение проблемы с помощью диофантовых уравнений открывает видение новых связей. Так, за счет непрерывного преобразования, обобщения и обогащения рассмотренных ранее задач повторение из необходимой рутинной процедуры превращается в процесс неожиданных и удивительных открытий в давно изученных объектах.

В заключение рассмотрим, как в системе задач отразить ее нацеленность на реализацию принципа доступности и учета индивидуальных интересов, притязаний и возможностей уча-

щихся. Долгое время доступность обучения связывалась с движением в обучении от конкретных примеров и фактов к абстрактным теоретическим обобщениям, от известного к неизвестному, от простого к сложному, от знакомого к незнакомому и т.п. В средине прошлого века идеологи развивающего обучения высказали положение о том, что плодотворная и эффективная учебная деятельность не может происходить без высокого умственного напряжения, без преодоления встречающихся трудностей. В соответствии с этим положением в дидактике изменилось трактовка принципа доступности. Теперь этот принцип трактуется как соответствие содержания, методов и форм обучения возрастным и индивидуальным возможностям учащихся, как та мера трудности, которая ориентирует ученика на ближайшие перспективы развития [55]. Ясно, что в процессе обучения, эта мера постоянно изменяется. Сделать обучение доступным, значит правильно определить:

- широту и глубину изучаемого материала;

- уровень изложения теоретического материала;

- сложность и трудность используемых задач;

- способы подачи и закрепления учебного материала, адекватные выбранному содержанию.

Широта и глубина знаний и умений, фактически приобретенных конкретным учащимся в процессе обучения, обусловлены его способностями, претензиями, целями, склонностями и интересами. Учет индивидуальных особенностей учащихся обеспечивается возможностью построения индивидуальной траектории обучения. Поэтому проектируемая система задач должна содержать достаточное количество задач разных уровней сложности и трудности для проведения входного контроля, организации индивидуальных консультаций и дополнительных самостоятельных занятий, включал, разноуровневые контрольно-измерительные материалы, допускающие возможность построения индивидуального мониторинга каждого ученика.

Заканчивая параграф, заметим, что вопрос о выделении, классификации и типологии приемов составления задач все еще ждет своих исследователей.

Глава III

СИСТЕМА УЧЕБНЫХ ЗАДАЧ В УСЛОВИЯХ ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА

§ 14. Учебные стандарты и проблемы подготовки к Единому государственному экзамену по математике

Действующие «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика» следующим образом определяют цели обучения математике в школе:

«- овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

- интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценного функционирования в обществе;

- формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности;

- формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса» [60, с. 5].

Аналогично формулируются цели, на достижение которых направлено изучения математики а «Стандартах основного общего образования по математике» [50, с. 120]. Структура стандарта включает разделы: «Общие положения», «Обязательный минимум содержания образования», «Требования к уровню подготовки выпускников», «Оценка уровня качества подготовки выпускников».

Противоречивость современной ситуации состоит в том, что школа (в частности, старшая) имеет несколько вариантов базис-

ных учебных планов (БУП). Это - продолжающий действовать БУП, утвержденный Министерством образования в 1998 г.; три варианта экспериментальных БУПов, рекомендованных Министерством в связи с широкомасштабным экспериментом по совершенствованию структуры и содержания общего среднего образования в 2000 г.; наконец, БУПы, рекомендованные Концепцией профильного обучения.

Школа при разработке своего рабочего учебного плана может в принципе опираться на любой из этих вариантов учебного плана. К чему это привело, хорошо известно. Первоначально реализация стандарта по математике в старшей школе была ориентирована на 4,5 часа в X и 4 часа в XI классах. Однако если обратиться к рекомендованным переходным базисным учебным планам профильной школы для некоторых направлений, например, гуманитарных, то здесь предполагается, что обязательный минимум содержания математического образования может быть достигнут в рамках минимального курса (по 3 часа в неделю в X и XI классах). В федеральном компоненте примерных учебных планов, рекомендованных Концепцией профильного обучения, на изучение математики в X и XI классах (в зависимости от того отнесена она к базовым или профильным предметам) отводится от 8 до 12 часов. Естественно, что требования к математической подготовке учащихся в разных направлениях профильной школы различные. В то же время проходивший эксперимент по итоговой аттестации выпускников средней (полной) школы предусматривал обязательный единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике как для выпускников непрофильных школ, так и для выпускников всех направлений профильных школ. При этом критерии выставления аттестационной отметки за усвоение курса алгебры и начал анализа 10-11 классов (по пятибалльной шкале) для выпускников разных профилей не были дифференцированы.

Отличительной особенностью ЕГЭ является то. что он совмещает в себе два экзамена - выпускной школьный по курсу «Алгебра и начала анализа» и вступительный в высшее учебное заведение. Целью выпускного экзамена является оценка усвое-

ния материала в названном курсе, а целью вступительного -оценка подготовленности выпускника к обучению в вузе. В соответствии с этим за экзаменационную работу выставляются две отметки. Первая из них выставляется по стобалльной шкале и заносится в сертификат, который выпускник может послать для участия в конкурсе в приемные комиссии выбранных им вузов, участвующих в эксперименте по проведению ЕГЭ. Вторая - аттестационная - измеряется по привычной пятибалльной шкале и с учетом годовой оценки, выставленной учителем, заносится в аттестат о завершении среднего учебного заведения.

В связи с подобным форматом итоговых государственных испытаний содержание экзаменационной работы шире содержания выпускного экзамена. В работу ЕГЭ дополнительно входят задания по тем темам курса алгебры основной школы и курса геометрии 7-11 классов, которые традиционно включаются в программы вступительных экзаменов. Успешность выполнения дополнительных заданий при выставлении аттестационной отметки не принимается во внимание.

С 2009 г. проведение итоговой аттестации в форме ЕГЭ стало обязательным для всех средних учебных заведений.

Введение единого государственного экзамена по сути дела привело к очередной ревизии всего содержания школьного математического образования. Требования к результатам обучения, которые проверяются при сдаче ЕГЭ по математике, представлены с помощью перечня (кодификатора) вопросов содержания школьного курса математики и соответствующего перечня проверяемых знаний и умений; ежегодно публикуются контрольно-измерительные материалы (КИМ), включающие демонстрационную версию экзаменационных работ и образцы конкретных разноуровневых учебно-тренировочных материалов. Эти материалы заданы в деятельностной форме (через решение задач) и включают задания базового - Л, повышенного -В и высокого - С уровней трудности. Если не брать в расчет появление отдельных непривычных видов задач высокого уровня трудности, то с предметно-содержательной стороны в имеющихся материалах нет ничего радикально нового.

Таким образом, сложившиеся сегодня реалии итоговой аттестации весьма противоречивы.

Во-первых, не дифференцированы критерии выставления отметки в аттестат за усвоение курса алгебры и начал анализа 10-11 классов для выпускников разных профилей, хотя изначально провозглашенные цели математического образования в разных профилях различные. Если, например, основная цель профильного курса математики - подготовка выпускника к дальнейшему изучению математики в вузе, то главная цель базового курса математики в гуманитарном профиле - сформировать у учащихся представление о том, что математические знания стали в современном обществе обязательным элементов общей культуры человека. Однако на ЕГЭ выпускник гуманитарного класса для получения отличной аттестационной отметки вынужден выполнять задания высокого уровня трудности, а значит, должен быть подготовлен к этому.

Во-вторых, не все российские вузы включились в проводимый эксперимент. Как правило, вузы с высокими требованиями к уровню математической подготовки абитуриентов, проводят традиционный вступительный экзамен. Более того, как справедливо отмечают авторы учебника по алгебре и началам анализа для естественнонаучного и физико-математического профилей: «К сожалению, сформировалась какая-то особая «математика вступительных экзаменов», зачастую далекая и от школьной математики, и от математики, которая действительно нужна для усвоения этого предмета в вузе» [21, с. 3].

В-третьих, наряду с профильной дифференциацией сложились различные типы уровневой дифференциации, призванные учитывать интересы, притязания и возможности учащихся. Выделяют, например, следующие уровни: минимальный - общий - продвинутый, базовый - углубленный -конкурсный, а внутри профилей - уровни: А - Б В. А - В - С и т.п. Поэтому и учитель, и учащиеся вынуждены постоянно как-то соотносить эти уровни с теми уровнями трудности, которые предъявляются в заданиях ЕГЭ.

К большому сожалению, итоги единого государственного экзамена по математике свидетельствуют о том, что значительная часть учащихся массовой средней школы не достигает требуемых результатов обучения даже на базовом уровне. Как показывает практика, системы учебных задач, содержащихся в большинстве действующих УМК, и организация самого процесса обучения в школе, ориентированные на традиционный итоговый письменный экзамен, не позволяют полноценно подготовить учащихся к сдаче экзамена в новом формате. Чтобы добиться хотя бы каких-то видимых положительных сдвигов Многие школы полноценный учебный процесс превратили для своих выпускников в череду систематических тренировочных контрольно-оценочных мероприятий, основной целью которых является «натаскивание» учащихся на формат ЕГЭ.

В ходе эксперимента по проведению итоговой государственной аттестации выпускников средней школы в форме ЕГЭ нередко приходилось наблюдать, как для администрации школ и, как следствие, для учителей математики, с которыми общались авторы данной работы, получение учащимися хороших отметок на экзамене становилось ведущим мотивом их деятельности. Мотив обусловливает соответствующие цели и средства их достижения; на уроках алгебры и начал анализа в одиннадцатом классе одна за другой проходят самостоятельные и контрольные работы, составленные в формате экзаменационной работы ЕГЭ; подобные работы регулярно предлагаются ученикам для выполнения дома; проводятся многочисленные дополнительные занятия и консультации; к минимуму сводится обучение геометрии.

Масштабность этих мероприятий и самоотдача учителей приносят, конечно, свои результаты - вполне приемлемые баллы на ЕГЭ. При этом, однако, подлинные цели обучения школьников математике - их математическое образование и развитие средствами математики - отодвигаются на второй план. Доминирование в обучении установки только на получение требуемой отметки приводит также к тому, что после

того, как экзамен сдан, знания, умения и навыки, полученные в ходе подготовки к нему, мгновенно утрачиваются. Об этом, кстати, хорошо свидетельствуют итоги входного контроля, который обычно проводится в вузах среди первокурсников, принятых по результатам ЕГЭ.

Можно ли получить качественные результаты на экзамене и при этом дать ученикам полноценное математическое образование? Задаваясь этим вопросом, авторы работы обратили внимание на то, что в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ уровни трудности естественным образом связаны с тем типом учебной ситуации, который возникает при решении задачи на соответствующем уровне трудности. Именно, уровень А содержит задания, в которых от учащихся требуется применение полученных знаний и умений в знакомой ситуации. При решении заданий уровня В ученику нужно применить полученные знание и известные методы в видоизмененной ситуации, а на уровне С у экзаменующихся проверяется умение применять знания в новой незнакомой ситуации, комбинировать знания и методы из различных разделов математики. Иными словами, на ЕГЭ у выпускника проверяется как общая сформированность умения ориентироваться в знакомой, несколько измененной и незнакомой ситуациях, так и способность продуктивно и результативно предметно-содержательно действовать в каждой из этих ситуаций.

Именно это стало основанием для выделения описанных во второй главе двух базисных принципов построения системы задач; система, построенная на этих принципах, позволяет наиболее адекватно нацелить обучение на достижение требований, проверяемых при итоговой аттестации.

§ 15. Некоторые общие положения методики использования задачного подхода к обучению

Вспомним некоторые выводы, сделанные в первой и второй главах работы. Во-первых, вывод о том, что наименьшим носителем учебной деятельности, отражающим ее специфическое содержание и структуру, служит предметная учебная за-

дача. Поэтому учебная задача является как единицей членения содержания обучения, так и единицей функционирования процесса обучения. Подход к обучению, при котором учебная деятельность учащихся проектируется и реализуется через решение целесообразно поставленных задач, был назван задачным подходом к обучению. В основе этого подхода лежит учебная ситуация, которая возникает при решении целесообразной задачи, а основными дидактическими средствами его функционирования служат создание задачной (проблемной) ситуации и ее разрешение путем постановки и последующего решения соответствующей предметной задачи.

Во-вторых, учебные задачи, с которыми учащемуся приходится сталкиваться в процессе обучения и при оценке выполнения требований стандарта, естественным образом разбиваются на три группы: 1) задачи, требующие от ученика репродуктивных действий, предполагающих воспроизведение усвоенных знаний, алгоритмов и способов деятельности в знакомой ситуации; 2) задачи, решения которых основывается на достаточно прозрачных аналогиях, позволяющих переносить имеющиеся знания и навыки на сходные объекты и ситуации; 3) задачи, требующие творческой деятельности, основанной на самостоятельном переносе наличных знаний и умений в новую незнакомую ситуацию.

В-третьих, неправомерно связывать задачный подход с каким-то одним типом обучения; при его реализации в зависимости от конкретной учебной ситуации могут быть равноправно использованы все методы обучения: от объяснительно-иллюстративных и инструктивно-репродуктивных до исследовательских.

В ближайшей перспективе, как уже тоже отмечалось, основными типами методических систем обучения математике в школе останутся системы, в которых решение задач сопровождает изучение теоретического материала. В условиях массовой школы - это наиболее рациональный способ передачи содержания образования подлежащего изучению. Вместе с тем, такой подход не исключает возможности сделать учебно-познавательные задачи в процессе обучения и мотивом для

развития теории, и средством для ее дальнейшего эффективного применения.

Традиционно итоговая аттестация по алгебре и началам анализа за старшую школу проводилась в форме письменной экзаменационной работы, включающей задания разных уровней трудности. Разноуровневая структура итоговой работы сохранена и на ЕГЭ. Принятый формат экзаменационной работы включает задания с выбором правильного ответа из четырех предложенных вариантов (уровень А), задания с краткой записью ответа (уровень В) и задания с полным развернутым ответом (уровень С). Задачи на этих уровнях подобраны так, что ученик фактически сталкивается при их выполнении с тремя видами ситуаций, возникающих при решении задач: знакомой, видоизмененной и незнакомой соответственно. Для того чтобы гарантированно достигать требования к уровню обученности выпускников средней школы по алгебре и началам анализа, их учебная деятельность по этому предмету должна строиться на базе задачного подхода, в основе которого лежит система учебно-познавательных и тренировочных задач, соответствующая этим требованиям. Поэтому системообразующий принцип поэтапной преемственности трех учебных ситуаций, возникающих при решении задач, хорошо согласуется с форматом письменных выпускных экзаменов по алгебре и началам анализа в школе (как традиционным, так и экспериментальным).

При использовании задачного подхода задачи каждой темы удобно структурировать, как было предложено во второй главе, с помощью двумерной матрицы, которая имеет три строки, соответствующие трем типам учебных ситуаций, возникающих при решении задач. Количество столбцов матрицы задач определяется типом орграфа ключевых задач темы. В случае ЕГЭ основой для построения орграфов ключевых задач темы и формирования их окрестностей (содержательного наполнения блоков матрицы) служит перечень элементов содержания образования, который составляется в соответствии с кодификатором и перечнем проверяемых на ЕГЭ знаний и умений.

Методика обучения решению задач на базе подобной тематической системы строится на последовательном постолбцовом

прохождении блоков ее матрицы. Первая и основная особенность этой методики состоит в том, что «осваивая» окрестность каждой ключевой задачи, т.е. поэтапно проходя соответствующий этой задаче столбец матрицы, учащийся сталкивается со всеми тремя видами учебных ситуаций, возникающих при решении задач. При этом крайне важно, чтобы ученик знал «устройство» матрицы, осознавал назначение задач того или иного блока и добиваться того, чтобы он «видел», когда и как осуществляется переход на следующий уровень.

Задачи блоков первой строки матрицы отличаются явными связями между данными и искомыми элементами, для их решения достаточно знать, понимать и уметь непосредственно применять изученные определения, теоремы, формулы и алгоритмы. Целью решения подобных задач является формирование технических навыков и приемов, которые служат операциональной основой деятельности в видоизмененных и незнакомых ситуациях. Учебная деятельность на этом уровне носит репродуктивный характер, впрочем, уже здесь в нес можно включать отдельные творческие элементы. Сильному ученику можно предложить самому составить задачи типа заданий части А экзаменационной работы ЕГЭ с «хорошими» дистракторами; а ученику, допустившему в этих заданиях ошибку при выполнении контрольных и др. работ, подобрать задачи, которые провоцируют допущенную ошибку.

Попутно заметим, что, как показывает практика, принятая на этом уровне абсолютизация принятой тестовой формы контроля имеет свои негативные последствия: слабые ученики пытаются просто-напросто «угадать» правильный ответ, а сильные, стараясь быстрее справиться с этой неинтересной для них частью работы, скоропалительно выбирают неверные ответы.

После овладения приемами решения задач, с очевидностью сводящихся к ключевым, перед учеником открывается множество задач, для решения которых мало знания стандартного алгоритма и умения применить его в знакомой ситуации При решении задач из второй строки учебная деятельность

направлена на перенос полученных знаний, приемов и методов в видоизмененные условия, где требуется модифицировать алгоритм, выполнить более сложные преобразования по известному алгоритму, переформулировать условие задачи так, чтобы стала видимой возможность применения знакомого алгоритма или приема.

При этом нередко варьирование несущественных моментов используется для усвоения существенных признаков понятия, создает фундамент для последующих теоретических обобщений. Так, в задачах на вычисление производной по определению (будем, как и раньше, обращаться за примерами к теме «Производная и ее применения») наряду с нахождением производной какой-либо элементарной функции у- f(x) можно предложить учащимся найти производную функции У - f(ox + Ь) . Для выполнения этого задания ученик применяет усвоенный алгоритм в новом, более общем контексте; в созданной учителем ситуации он приходит к обобщению, которое позже будет использовано при выводе теоремы о дифференцировании сложной функции.

Вновь важно технологию составления модифицированных задач сделать прозрачной для учеников, предлагать им самостоятельно их конструировать. Эта деятельность способствует более осознанному усвоению полученных знаний и умений, а учащиеся обычно ее с удовольствием выполняют.

Понятно, что разные ученики осваивают столбцы матрицы с различной скоростью. Обычно сильные ученики мгновенно «проскакивают» первый уровень, почти столь же стремительно проходят второй и «находят себя» на третьем. Слабые, наоборот, долго осваивают стандартные алгоритмы и приемы на первом уровне и нередко «увязают» на втором. Благодаря матричной структуре тематической системы задач, обеспечивающей движение в предметно-содержательном и процессуально-деятельностном направлениях, и полноценному содержательному наполнению ее блоков, эту систему легко «приспособить» к конкретному ученику и обеспечить построение индивидуальной траектории его обучения.

Вторым основополагающим элементом методики является работа с ключевыми задачами, которая выстраивается на постепенном переходе от совместных форм деятельности к индивидуальным.

На начальных этапах изучения курса предпочтение отдается фронтальному разбору отдельных ключевых задач темы. Так, при изучении первой ключевой задачи о вычислении производной по определению (схема 1) имеет смысл учителю самому продемонстрировать ее решение на примере нахождения производной одной из элементарных функций. Основная цель, которую он при этом преследует, - дать образец эталонной деятельности, т.е. четко выделить все этапы реализации рассматриваемого алгоритма, обратить внимание на использование символики и оформление записей.

На следующей стадии разбор отдельных задач сменяют уроки решения ключевых задач. Эта интеграция дидактических единиц нашла отражение в орграфе ключевых задач темы. Например, свойства дифференцируемых функций объединены в задаче 2.1; так же точно несколько отдельных задач интегрированы в задаче 3.1 о нахождении критических точек, точек экстремума, промежутков монотонности и экстремумов функции.

На заключительных этапах изучения курса полезно предлагать групповые и индивидуальные проекты по самостоятельному отбору ключевых задач темы и составлению их орграфов. Эти задачи ставятся ученикам перед началом изучения темы. Поэтому в ходе ее освоения они не просто учатся решать задачи, а сами выделяют связи, существующие между задачами темы, оценивают их значимость. На уроке, предшествующем итоговой тематической контрольной работе, проводится защита и обсуждение представленных проектов. Практика показывает, что после выполнения подобных проектов заметно повышается качество результатов контрольной работы. Кроме того, эта деятельность способствует формированию системности знаний.

Третьей методической особенностью, которая также направлена на формирование системности знаний учащихся, яв-

ляется постоянная систематизация изученного материала на основе его визуализации в виде различных таблиц, схем, графов, которые вывешиваются для общего обозрения в классе и фиксируются учащимися в своих тетрадях. Обычно указанные материалы постепенно заполняются и дорисовываются в процессе изучения темы (нескольких тем). Для этого удобно готовить и раздавать ученикам распечатки будущих таблиц.

С психологической точки зрения компактно организованная, осмысленная и усвоенная информация долго хранится, легко актуализируется. Ее графическое представление является визуализированной ориентировочной основой деятельности (по П.Я. Гальперину, Н.Ф. Талызиной [13], [77]). С дидактической точки зрения информация, оформленная подобным образом, ближе всего к системной, т.е. к тому идеалу, к которому должен стремиться учитель в организации знаний своих учеников.

Обычно работа по структурированию и визуализации учебного материала проводится учителем совместно с учениками. Это относится и к построению схемы взаимосвязей понятий темы, и к построению орграфа ключевых задач темы, и к построению ориентировочных основ деятельности в виде различных таблиц, содержащих, например, типы задач (уравнений), возможные приемы их решения и иллюстративные примеры.

Например, после изучения первой ключевой задачи учащимся в распечатанном виде выдается заготовка таблицы 5, в первый столбец которой вписаны изучаемые элементарные функции; для этих функций в дальнейшем предстоит вычислить приращение, разностное отношение, его предел (производную) и дифференциал, заполнить таблицу.

Таблица 5

Эта таблица заполняется на протяжении изучения начал математического анализа (по мере введения соответствующего

материала) и неоднократно используется в учебном процессе, например, при вычислении производной сложных функций, введении понятий дифференциала, первообразной (неопределенного интеграла). Часть клеток таблицы заполняется в классе совместно или самостоятельно, а часть - дома. Орграфы, таблицы, схемы, построение которых завершено, целесообразно раздавать в виде распечаток ученикам (их можно подклеивать в тетради).

Теперь кратко остановимся на методике изучения нового теоретического материала. Перед каждой темой ученикам выдается для самостоятельного повторения перечень ранее рассмотренных ЭСО, которые потребуются в новой теме; для их актуализации проводится самостоятельная работа (обычно, домашняя). Эта работа является основой стартовой диагностики, по результатам ее выполнения можно судить о степени готовности учеников к изучению темы и в случае необходимости своевременно скорректировать намеченные планы.

Большое внимание уделяется как мотивации всей темы, так и мотивации отдельных понятий. Так, на первом уроке темы «Производная и ее применения» рассматриваются задачи, приводящие к понятию производной (задачи о мгновенной скорости неравномерного движения, о мгновенной скорости изменения других неравномерно меняющихся величин, о касательной к графику данной функции). Ученики подводятся к выводу о том, что исследования объектов из разных областей знания приводят к одной и той же математической модели, которую можно выразить в виде предела разностного отношения:

Учитель подчеркивает универсальный характер этой модели и даст краткую историческую справку о том, как она послужила основой создания огромного раздела математики, который называется математическим анализом Учащимся рассказывается о том, что анализ, начала которого предстоит изучить, имеет огромный спектр приложений, знание его необходимо на выпускных и вступительных экзаменах. Затем

очерчиваются границы предстоящего знакомства с понятием производной и ставятся ближайшие цели (определение понятия и формирование умений работы с ним; выявление существенных свойств; связей с другими, ранее изученными понятиями; приложения).

При мотивации введения некоторых понятий можно удачно использовать составляемые табличные и графические материалы. Так, в таблице 5 некоторые строки заполнить, используя только определение производной, не удастся. Практически всегда учащиеся спрашивают, а когда мы будем заполнять оставшиеся строки. Этим можно в нужный момент методически удачно воспользоваться.

В практике работы многих учителей математики процесс обучения новому материалу основан только на трансляции и репродукции готовых сведений из учебника, а обучение решению задач строится по схеме «задача - ее подробное решение у доски (образец) - аналогичная задача». В рамках принятого понимания задачного подхода введение новых понятий и теоретических фактов предваряется созданием учебных ситуаций, разрешение которых адекватно отражает и раскрывает содержание формируемого понятия (теоремы). Перед учителем встает задача, построить методическую проекцию предметной ситуации, в которой было введено это понятие (теорема)

В некоторых случаях, рассмотрев задачу или серию задач, подводящих под понятие, учащиеся самостоятельно (или с помощью учителя) приходят к необходимости введения нового понятия. Теперь перед ними может быть поставлена задача, дать формальное определение этого понятия. В других случаях, как правило, при введении новых теорем, учитель с помощью задачи (или серии задач) создает проблемную ситуацию, в которой учащиеся осознают, что их знаний для разрешения этой ситуации недостаточно. Затем проблемная ситуация тем или иным способом (в зависимости от общего уровня обученности класса) переводится в задачную. Новая теорема, таким образом, предстает перед учащимися в виде познавательной задачи, которую нужно решить, для того чтобы справиться с

ранее поставленными задачами. Такой подход естественно и наиболее полно отражает сущность математической (и, вообще, познавательной) деятельности.

§ 16. О технологии подготовки к ЕГЭ по математике

Экзамен для любого человека - экстремальная ситуация, сопровождающаяся волнением, тревожным состоянием и умственным напряжением. Для многих выпускников ЕГЭ — ситуация вдвойне экстремальная, т.к. он совмещает в себе выпускной экзамен за среднюю школу и вступительный экзамен в вуз. Наконец, дополнительное напряжение нагнетается нескончаемыми дискуссиями о целесообразности введения единого экзамена. Все это, конечно, приходится учитывать при подготовке учащихся к итоговым испытаниям. Однако, прежде всего, необходимо готовить выпускника к новому непривычному формату экзамена.

Что имеется в виду? Традиционно письменные (контрольные, проверочные, самостоятельные) работы и тестирование проводятся учителями раздельно. На ЕГЭ эти формы контроля совмещены в одной работе. При выполнении письменных работ учитель требует от учащихся полных, развернутых обоснований решений, их аккуратного оформления. При тестировании, наоборот, число вспомогательных записей должно быть минимальным. Поэтому при выполнении заданий частей А и В и заданий части С требуются разные стратегии, умения и навыки. Два первых года эксперимента по введению ЕГЭ показали, что многие учителя эти обстоятельства учитывали недостаточно. Они, как правило, считали, что ученик, способный дать полные исчерпывающие решения, легко справиться и с тестовыми заданиями. Увы, именно у старательных аккуратистов нередко не оставалось времени на выполнение части С. Нужна специальная подготовка к новому формату экзамена.

Ученика необходимо специально учить рационально использовать отведенное на экзамен время и вести постоянный контроль времени, затраченного на выполнение работы. Учи-

теля обычно ограничиваются рекомендацией: сначала выполните те задания, которые кажутся более простыми, а затем переходите к более сложным. Одних рекомендаций, однако, не достаточно. Умение объективно оценивать трудность и сложность заданий, так же как и умение рационально использовать время, отведенное на экзамен, формируется только на практике. Необходимо, начиная с 7-го класса, практиковать выполнение работ, сочетающих тестовые задания и задания с полной записью решения, постепенно увеличивая продолжительность работ. Для формирования умения контролировать время в старших классах полезно ввести требование отмечать в работе время, затраченное на выполнение каждой ее части. В выпускных классах важно провести несколько контрольных работ в формате ЕГЭ; при этом опять требовать, чтобы учащиеся отслеживали время, затраченное на выполнение отдельных частей работы. Для создания обстановки, максимально приближенной к экзаменационной, по согласованию с завучем для проведения подобных работ могут привлекаться учителя математики из других классов или преподаватели вузов (если имеется такая возможность).

Особо следует остановиться на формировании контрольно-оценочной и коррекционной работы учащихся. Нередко управление обучением опирается только на внешний контроль и оценку деятельности учащихся со стороны учителя; им же при решении задач осуществляется фронтальный разбор наиболее типичных ошибок и их формальная коррекция (опять предлагаются решения-образцы и задачи-аналоги). Основное внимание учителя при этом обращено на исполнительную часть процесса решения, он «борется» со следствиями, а не с их причинами.

Жизненность подобной схемы в работе учителей имеет простое объяснение. Во-первых, учитель всегда может заявить, что со своей стороны он сделал все, что мог, и сослаться на отсутствие у ученика способностей к изучению математики, его нежелание учиться и т.п. Во-вторых, подобная формальная схема работы с точки зрения затрат учительского труда и времени является наиболее экономичной.

Вместе с тем, хорошо известно, что определяющими структурными компонентами ставшей учебной деятельности учащегося являются действия саморегуляции: целеполагание, планирование, самоконтроль, самооценка и самокоррекция. Чтобы стать субъектом своей учебной деятельности, учащийся должен научиться ставить перед собой цели, сообразно с ними выстраивать свои учебные действия, контролировать и оценивать результаты этих действий, сопоставлять их с поставленными целями, своевременно вносить необходимые коррективы.

Развитие саморегуляции - поэтапный переход от внешнего управления учебной деятельностью к самоуправлению. Этот процесс зависит как от предметного содержания учебной деятельности, так и от методов и форм организации обучения. Задача учителя организовать постепенный переход от внешнего управления к саморегуляции.

На практике же учащихся достаточно редко специально учат методам и приемам самоконтроля (особенно пошагового) и самооценки. Критерии и эталоны, по которым учитель оценивает работу, большей частью учащимся также явно не задаются и поэтому ими не усваиваются. В результате многие выпускники школ не обладают развитыми формами рефлексии своей учебной деятельности и ее результатов; у них нет стойкой привычки и потребности в самоконтроле и самооценке своей работы.

В качестве убедительного свидетельства сказанному приведем следующий пример. Одному из авторов работы (Г. Клековкин) в 2002-03 годах пришлось быть председателем предметной подкомиссии по математике на ЕГЭ в Самарской области. Разбор апелляций показал, что при выполнении части С многие выпускники забывают об элементарной проверке, затрудняются с выбором правильного ответа в части А (если все неверные ответы действительно достаточно правдоподобны). Особо хочется остановиться на таком факте. В 2002 году предприимчивые молодые люди организовали около школ, в которых проходили экзамены, продажу шпаргалок якобы с ответами на все задания работы ЕГЭ, скаченными в сети Интер-

нет. К счастью оказалось, что варианты ответов не соответствовали вариантам заданий, предложенным на экзамене. Однако большое число экзаменующихся, имея шпаргалки с неверными ответами, не задумываясь, вписывало в бланк ответов (часть В) отрицательные числа в заданиях, требующих найти площадь или объем и т.п., демонстрируя тем самым элементарное отсутствие критического отношения к своим действиям.

Формы, методы и приемы формирования саморегуляции учебной деятельности в процессе обучения математике хорошо известны и многократно описаны в психологической и методической литературе. Заинтересованному читателю можно рекомендовать работу М.В. Полянцевой [59], в которой предпринята попытка их систематизации и обобщения. Мы же лишь кратко остановимся на формировании контрольно-оценочной и коррекционной деятельностей. Эти виды деятельности являются органичными составными частями полноценной учебной деятельности учащегося и осуществляются им посредством контрольно-оценочных действий.

Самоконтроль и самооценка деятельности учения проявляются в способности и умении учащегося самостоятельно сопоставлять намеченные цели действия с его ходом и результатом, с заданным эталонным образцом: все ли выполнил, верно ли выполнил. Самооценка является основой внутренней мотивации, самостимуляции и произвольной саморегуляции. Сущность самокоррекции состоит в способности и умении своевременно самостоятельно исправить допущенные недочеты и ошибки. Поэтому наряду с приобретенными предметными знаниями, умениями и навыками именно контрольно-оценочная и коррекционная деятельность является важным залогом успешности выпускника при итоговой аттестации.

Стихийная саморегуляция в том или ином виде присутствует в любом действии, реализуемом человеком Он непроизвольно сравнивает то, что получил (получается), с тем, что собирался получить. Для формирования же у учащегося произвольной саморегуляции учебной деятельности контролирующие, оценочные и корригирующие действия необходимо

регулярно «вынимать» из осуществляемой им деятельности и развертывать их в специальную вторичную деятельность, имеющую самостоятельную побудительную силу. По мере формирования в этой вторичной деятельности правильных и рациональных эталонов контроля, нормативных критериев оценки и способов корректировки возникающих недостатков и ошибок она свертывается и возвращается в исходную деятельность, опять становится в ней невидимой. Если ученик всякий раз, когда присвоенные и отработанные эталоны, критерии и способы выполнения контрольно-оценочных и коррекционных действий не срабатывают, сам разворачивает новый виток контрольно-коррекционной деятельности, то это свидетельствует о том, что у него сформировались стойкая привычка и потребность в самоконтроле, самооценке и самокоррекции процесса и результатов своей учебной деятельности.

При этом следует иметь ввиду, что существует два уровня саморегуляции - предметный и личностно-смысловой. Предметная саморегуляция направлена на содержание, процесс и результаты деятельности, объектом личностно-смысловой саморегуляции является сам субъект деятельности Понятно, что гораздо проще видеть со стороны, контролировать, оценивать и корректировать деятельность, чем видеть, объективно оценивать и по собственной инициативе совершенствовать себя как субъекта этой деятельности.

К большому сожалению, сегодня среди учащихся, приходящих в десятые классы, значительно увеличилась доля учеников, у которых отсутствуют элементарные навыки предметной саморегуляции собственной учебной деятельности. Перепроверка и коррекция найденного решения задачи начинается у таких учеников только тогда, когда полученный результат «не сходится» с ответом, приведенным в задачнике. В тех случаях, когда ответы к задачам не даны, проверка решения ими обычно вовсе не выполняется. По этой причине многие ученики так не любят задачи, к которым не даны ответы или хотя бы указания по их решению. Это учителю, работающему в старших классах, тоже приходится учитывать.

Прежде всего, он должен четко сформулировать свои требования к учащимся, критерии оценки их деятельности и сам неукоснительно следовать этим требованиям и критериям. Контрольно-оценочная деятельность учителя включает контроль учебной работы учащихся во всех ее видах и на всех этапах учебного процесса, оценку результатов работы учащихся, их учет, корректировку используемых форм, методов и средств обучения. Постоянный внешний контроль и оценка должны приучить учащихся своевременно и добросовестно выполнять предлагаемые им учебные задания; без этого гарантированная подготовка к итоговой аттестации невозможна.

Соответствующим образом планируемая и организуемая контрольно-оценочная деятельность учителя является первичной основой для формирования самооценки и самоконтроля учащихся. Произвольная контрольно-оценочная деятельность начинает формироваться при совместном решении задач. Дальнейший путь становления самоконтроля идет от внешнего контроля через различные виды взаимоконтроля. То же самое можно сказать и о процессе формирования самооценки. Для того чтобы ученик мог взглянуть на свою учебную деятельность и на себя в этой деятельности как бы со стороны (глазами другого), первоначальным объектом контроля должны стать результаты и действия другого человека (учителя, товарища). Это объясняется более пристрастным отношением учащихся к оценке деятельности учителя и одноклассников, чем своей.

Сказанное определяет последовательность, содержание и логику специального обучения самоконтролю и самооценке. О конкретных формах и приемах обучения этим учебным действиям написано очень много, поэтому остановимся лишь на некоторых, на наш взгляд ключевых, моментах.

Представим, что предметом контроля является предложенное учеником решение задачи. «Решить математическую задачу, как пишет Л.М.Фридман, - это значит найти такую последовательность общих положении математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя

которые к условиям или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче -ее ответ» [81, с. 33]. При этом с математической точки зрения решение должно быть безошибочным, обоснованным и иметь исчерпывающий характер. Проверяя решение, мы, конечно, прежде всего смотрим, соответствует ли оно перечисленным критериям. Однако, выполняя проверку, мы одновременно анализируем и контролируем действия решавшего. Следовательно, уже сами результаты контроля выступают неявной оценкой его действий.

Явное оценивание - самый интимный и субъективный процесс педагогической деятельности. Свидетельством этому является хотя бы тот факт, что, имея достаточно однозначные критерии оценивания, эксперты при проверке заданий части С единого государственного экзамена нередко расходятся в своих отметках на два и более баллов. Поэтому крайне важно сделать этот процесс максимально открытым, объективным и понятным учащимся. Что для этого необходимо?

Для каждого типа задач иметь четкие критерии оценивания. Хорошим ориентиром для разработки таких критериев могут служить инструкции по оцениванию части С для экспертов ЕГЭ. Имея подобные инструкции, учитель может достаточно объективно обосновать свою оценку, создать для учащихся различного рода памятки, инструкции и указания по организации взаимоконтроля и самоконтроля.

Учащийся, в свою очередь, получает возможность увидеть не только количественную оценку своей работы, но осознать ее качественно. Наконец, у него появляется еще одна возможность - аргументировано апеллировать в случае несогласия с выставленной ему отметкой. Для того чтобы учащийся мог обращаться к подобным критериям и инструкциям в любое нужное время, они должны быть вывешены в классе и в виде распечаток вклеены в ученические тетради.

Как организуется работа с перечисленными методическими материалами? Сначала с упором на фронтальное обучение приемам самоконтроля. Для этого в некоторых задачах, совместно решаемых в классе, учитель специальное внимание уде-

ляет способам выполнения проверки найденных решений. Важную роль в формировании навыков самоконтроля играют уравнения, в которых сложно найти ОДЗ неизвестного, и уравнения, при решении которых происходит сужение или расширение ОДЗ неизвестного. В последующем задания, сделать проверку найденного ими решения, предлагаются учащимся для самостоятельного группового (индивидуального) выполнения в классе и индивидуального - дома.

Кроме того, любая тематическая система задач учебного курса должна содержать задачи, в которых требуется найти ошибки и недочеты в предлагаемых «готовых» решениях. Такие задачи могут, например, даваться на дом, но обсуждение найденных ошибок и изъянов должно обязательно проводиться в классе. На следующем этапе ученикам предлагается проверить дома несколько работ разного уровня исполнения (для этого, разумеется, необходимо иметь их распечатки) и оценить каждую задачу работы в соответствии с инструкцией по оцениванию. Затем опять же проводится коллективное обсуждение и обоснование выставленных отметок.

Инструкции по оцениванию незаменимы при организации взаимоконтроля и самоконтроля на уроке. В описаниях различных вариантов этих видов контроля основное внимание, как правило, уделяется его формам и приемам организации (взаимоконтроль в парах постоянного и сменного состава, взаимоконтроль по листам взаимоконтроля, самоконтроль по цепочке после проверки первой тетради учителем и т.п.). Иными словами, основное внимание при организации контроля сосредоточено на обнаружении ошибок. Для того чтобы чужая (своя) ошибка учила, она должна быть не только обнаружена, но и понята. Поэтому взаимопроверку и самоконтроль опять полезно сочетать и чередовать с оценкой проверяемых работ в соответствии с имеющейся инструкцией.

При проведении перепроверок найденных решений с психологической точки зрения полезно также приучить учащихся пользоваться рекомендацией, которую даст Д. Пойа: «Проверяя шаг за шагом ход решения, нужно избегать простого повторения.

Во-первых, осуществляя простое повторение, мы насилуем свое внимание, ибо мы склонны считать это надоедливым и непоучительным занятием.

Во-вторых, очень вероятно, что там, где мы ошиблись в первый раз, мы при тех же обстоятельствах ошибемся вторично. Если оказывается необходимым снова проделать все сначала шаг за шагом, нам следует по крайней мере изменить последовательность шагов или их группировку, чтобы внести хоть некоторые изменения» [58, с. 115].

Кстати, анализ и перепроверку полученного решения задачи Д.Пойа рекомендует сопровождать обсуждением с учащимися следующих вопросов: «Нельзя ли получить тот же результат иначе?», «Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда?», «Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения?».

Еще одной интересной и эффективной формой самоконтроля, позволяющей ученику увидеть себя со стороны и оценить свои учебные достижения, является отсроченная (например, через полгода) перепроверка и оценивание собственных самостоятельных и проверочных работ.

Преднамеренное и регулярное использование в учебном процессе взаимопроверок и самопроверок формирует у учащихся умения и навыки пошагового и операционального контроля своих действий. Это позволяет значительно стабилизировать учебную деятельность, способствует целенаправленному совершенствованию самоконтроля и самооценки, осознанию их в качестве важных средств самообучения.

Ошибки при решении задач все же неизбежны, «не ошибается только тот, кто ничего не делает». Как научить ученика самостоятельно с ними бороться?

Прежде всего, остановимся на так называемых типичных ошибках. Эти ошибки хорошо известны, имеются их типологии, рекомендации по предупреждению и пр., но их каждое новое поколение учеников из раза в раз повторяет. Причина этого, по-видимому, кроется в том, что эти ошибки имеют глубоко психологический характер, обусловлены внутренними законо-

мерностями умственной деятельности человека и поэтому действительно неизбежны. Не исключено, конечно, что часть типичных ошибок связана с несовершенством предлагаемых методик обучения.

Поскольку типичные ошибки прогнозируемы, для их предупреждения обычно рекомендуется организовывать пропедевтическую подготовку, предварять решение задач, в которых возникают типичные ошибки, выполнением специальных упражнений, при решении таких задач использовать памятки и инструкции по их выполнению, давать в ходе решения соответствующие устные комментарии и указания. Наконец, при обучении учащихся, наиболее нуждающихся в дополнительной помощи, применять карточки с готовыми образцами решения или с полной ориентировочной основой действия.

Комплекс этих мер дает, конечно, свои результаты: количество учащихся, у которых появляются подобные ошибки, значительно уменьшается. Однако, как показывает практика, это совсем не исключает того, что при отсроченном повторении типичные ошибки не возникнут вновь, даже у тех учащихся, которые их раньше не допускали. Более того, их нередко можно наблюдать и у самих учителей математики. Авторам работы неоднократно приходилось участвовать в подготовке экспертов для проверки части С единого государственного экзамена в Самарской области. Слушателями курсов были учителя первой и высших категорий и преподаватели вузов. Для определения уровня предметной подготовки самих будущих экспертов, как правило, проводилась диагностическая работа, включающая задания, при выполнении которых проявляются наиболее типичные и часто встречающиеся ошибки учащихся. Так, на семинарах в 2003 году будущим экспертам было предложено логарифмическое уравнение, в котором неизвестное входило в выражение четной степени, стоящее под знаком логарифма. Распространенной ошибкой при решении подобных уравнений является потеря корней, происходящая вследствие неверного вынесения показателя степени за знак логарифма, которая приводит к сужению ОДЗ неизвестного в уравнении (вместо

loge(A*))"=2^ge|/(x)| пишут log^/(x))2*=2*logû/(x)).

К сожалению, на семинарах эту же ошибку допускало и более половины будущих экспертов. Аналогичная картина имела место и в остальных заданиях диагностической работы, содержащих типичные ошибки учащихся.

Поэтому, на наш взгляд, наиболее эффективен другой способ предупреждения типичных ошибок - обучение на этих ошибках. Хорошо спроектированная, а затем разобранная и понятая учащимися проблемная ситуация оставляет более яркий след в их памяти; ошибка действительно начинает учить. При этом могут быть использованы разные приемы создания проблемной ситуации. Например, при решении конкретного логарифмического уравнения указанного вида учитель может сам намеренно совершить ошибку, может вызвать к доске ученика, который ее наверняка допустит, может предложить проверить готовое неверное решение и т.п. Затем, когда решение будет принято учащимися, он может взять потерянный корень, подставить его в уравнение и после проверки разыграть недоумение. После этого в зависимости от возникшей ситуации и уровня общей подготовленности класса могут использоваться и различные варианты разрешения проблемной ситуации. Идеальный случай, когда ошибку обнаружат, объяснят и исправят сами учащиеся.

Впрочем, авторы не исключают возражений со стороны читателя; многое зависит от профессионализма и мастерства учителя. Но мы точно уверенны, что регулярное использование ошибочных результатов и задач, провоцирующих на ошибку, значительно способствует активизации учебно-познавательной деятельности учащихся. Это обычно объясняют двумя следующими причинами. Во-первых, менее подготовленные учащиеся наглядно видят, что ошибки неизбежны не только у них, но даже и у отличников; это возвращает им веры в собственные силы. Во-вторых, благодаря выявленным ошибкам ученик получает возможность увидеть расхождение между достигнутым им уровнем обученности и тем, который должен быть достигнут.

Следует, однако, иметь ввиду, что даже типичные ошибки всегда носят индивидуальный характер; их допускает конкретный ученик. «За анализом типичных ошибок не всегда можно рассмотреть на уроке причину индивидуальных затруднений» - пишет И.С. Якиманская [95, с. 113]. «Допущенные учащимися ошибки, хотя и совпадают по своему содержанию, но могут быть вызваны не одной, а несколькими причинами, причем у разных учеников разными» - отмечают авторы работы [63, с. 312]. Следовательно, любые ошибки могут действенно устраняться только индивидуально. Поэтому полноценная коррекция недостатков и ошибок учебной деятельности, должна строиться, прежде всего, в расчете на самостоятельность учащихся.

Сказанное, конечно, не означает, что предлагается отменить коллективный анализ на уроке итогов контрольных (самостоятельных) работ с его традиционным разбором и объяснением наиболее распространенных ошибок. Для учащихся, умеющих учиться, анализ учителем проделанной ими работы и ее оценка, выполненные при самом активном участии всего класса, могут служить важными средствами обобщения и систематизации пройденного учебного материала, его более глубокое осмысления и т.п. Такие учащиеся, как правило, «видят» и сразу понимают причины допущенных ими ошибок

Но есть и другие ученики, для которых фактического указания на ошибку и демонстрации очередного образца правильного решения недостаточно; они не осознают причины своей ошибки. «Невскрытые причины, как правило, приводят к рецидивам ошибочных решений» [63, с. 314]. Поэтому учитель должен прежде всего помочь этим учащимся научиться самостоятельно диагностировать причины допускаемых ими ошибок.

Говоря о формировании умений анализировать учеником свою работу, диагностировать причины возникающих в ней ошибок и корректировать эти ошибки, имеет смысл опять выделить предметно-содержательный и личностно-смысловой уровни диагностики и коррекции. На первом уровне учащийся должен научиться не только находить логические и пр. изъяны в своих решениях, но и самостоятельно объяснив их фактиче-

ские причины, в последующим правильно исправлять допущенные ошибки. На втором уровне он должен научиться анализировать, видеть и устранять изъяны в собственных знаниях и умениях, т.е. качественно оценивать и в нужном направлении корректировать свой учебно-познавательный опыт.

Поэтому при организации работы над ошибками менее подготовленных и слабоуспевающих учащихся учитель должен оказать каждому из них необходимую индивидуальную помощь. Беседуя с таким учеником, важно суметь не только выявить знание и понимание (непонимание) им необходимого учебного материала, но и то, как этот ученик пытается объяснять причины своих ошибок, какие средства использует для их устранения. От этого будут зависеть содержание (объясни причину своей ошибки, прокомментируй сделанные исправления, проверь себя по учебнику и пр.) и мера необходимой дозированной помощи этому учащемуся. Главным условием, способствующим формированию как контрольно-оценочной, так и диагностико-коррекционной деятельностей учащихся, является создание у них положительной мотивации учения. «Ученик должен почувствовать, что учитель интересуется процессом его работы, соответственно его оценивает, но никакой отметки не ставит, помогает выявить сильные и слабые стороны его работы, намечает совместно с учеником пути ее коррекции» [81, с. 97].

Для успешной подготовки класса к итоговой аттестации текущая диагностико-коррекционная деятельность учащихся должна иметь всеобъемлющий характер, т.е. проводиться по каждому пункту установленного учебного минимума и охватывать всех учащихся без исключения. Учителю важно добиться того, чтобы каждый учащийся четко осознал, что нельзя полноценно переходить к изучению новой темы, пока остаются пробелы в пройденном учебном материале.

Основным показателем сформированности способности диагностировать причины конкретной ошибки и эффективно ее устранять служит умение ученика самостоятельно подбирать и составлять задачи, провоцирующие на повторение этой ошибки

Таким образом, контрольно-оценочные и коррекционные действия имеют свои специфические содержание и формы.

При планировании и организации обучения этим действиям необходимо учитывать реальные учебные возможности обучаемых, особенности их познавательных стилей и пр. Кроме того, учитель не должен забывать о том, что преобладание отрицательной оценки в деятельности учащегося может породить у него чувство неуверенности в себе и страха перед итоговой аттестацией. Поэтому весь процесс обучения контрольно-оценочным и коррекционным действиям должен строиться так, чтобы он служил средством положительной стимуляции учения и укреплял веру ученика в собственные силы и возможности.

§ 17. Мониторинг успешности обучения и прогнозирование результатов итоговых испытаний

Целенаправленное управление качеством подготовки выпускников к ЕГЭ возможно только при наличии надежной, объективной и постоянной информации о ходе процесса образования, его результатах и своевременной коррекции и ликвидации выявленных пробелов. Это означает, что учителю в процессе контроля и оценивания необходимо отслеживать не только текущие результаты деятельности учащихся, но и их динамику, т.е. систематически фиксировать и сравнивать индивидуальные достижения каждого учащегося. Поэтому важное место в системе контроля и оценки успешности учебной деятельности учащихся занимает ее мониторинг.

Мониторинг дает учителю и администрации школы важную для них информацию о самом процессе усвоения, тем самым они получают возможность управлять этим процессом. Поэтому мониторинг успешности обучения учащихся рассматривается как важнейший инструмент проверки и оценки эффективности содержания образования, используемых методик; служит базой для обоснованных путей устранения недостатков учебного процесса в образовательном учреждении; является основой для принятия эффективных управленческих решений

Визуализация индивидуальных результатов мониторинга позволяет учащимся и их родителям иметь постоянную, на-

глядную и объективную информацию о текущем уровне подготовки на протяжении определенного периода обучения.

Наконец, мониторинг индивидуальной успешности ученика позволяет учителю достаточно достоверно прогнозировать его возможный результат при итоговой аттестации.

Опишем методику проведения мониторинга, которая использовалась А.А. Максютиным при проведении эксперимента по внедрению описанных в данной работе системы учебных задач и технологии подготовки к ЕГЭ. Этот эксперимент проходил в 2002-2004 гг. в 10-11-ых классах ряда учебных заведений г. Самары.

Для проведения мониторинговых исследований использовалась информация об успешности учебной деятельности учеников в течение последних двух лет обучения, накапливаемая в базе данных. При этом учитывались результаты выполнения следующих видов работ:

1 ) стартовая диагностическая работа;

2) индивидуальные домашние задания по избранной теме;

3) зачетные и контрольные работы по теме, соответствующие структуре работы ЕГЭ (составленные с соблюдением принципа предметной и дидактической полноты);

4) четвертные, полугодовые и годовые контрольные работы;

5) тренировочные работы в формате ЕГЭ по различным учебно-тренировочным материалам.

Заметим, что благодаря соблюдению принципа полноты по результату выполнения зачетного тематического задания можно судить об уровне усвоения темы в целом, показателем компетентности ученика в данной теме выступает процент выполнения соответствующей работы.

Оценивание выполнения предложенных работ проводилось по 100-балльной шкале. Баллы определялись на основе процента выполнения работы. Для выставления отметки в журнал использовался перевод 100-балльной о тетки в пятибалльную по следующим критериям:

Накапливать информацию о результативности и динамике обучения каждого ученика и обрабатывать ее вручную на бу-

маге достаточно трудоемко. Поэтому была спроектирована информационная система для мониторинга успеваемости и прогнозирования результатов ЕГЭ, позволяющая:

- собирать, обрабатывать, хранить и визуализировать информацию об успешности учебной деятельности каждого ученика;

- вычислять процент решаемости определенных типов задач;

- накапливать данные о трудности задач для дальнейшего использования параметра трудности при проектировании индивидуальных заданий.

Эта система получила практическое воплощение в виде реляционной базы данных с web-интерфейсом [45]. В частности, была предусмотрена возможность выделения каждому ученику своего пароля для доступа в систему (чтобы он мог просматривать только свои результаты). Разумеется, учитель может использовать для проведения мониторинга аналогичные готовые программные продукты учебного назначения.

Чтобы продемонстрировать возможности спроектированной информационной системы, дадим примерный образец схемы учета успешности ученика за учебный год. (Приведенный вариант мониторинга использовался в классе с углубленным изучением математики.) Сначала прокомментируем принятые обозначения и сокращения в представленных данных:

- ID работы - идентификационный номер работы в базе данных;

- в записи типа «(42) [16:10:4]» в круглых скобках стоит максимально возможная сумма «сырых» баллов, отношение 16:10:4 в квадратных скобках показывает количество задач базового А, повышенного В и высокого С уровней трудности;

- записи типа «100-балльная шкала: 62» означают процент выполнения задания;

- абривиатуры соответствуют учебно-методическим пособиям, использованным при составлении соответствующей работы. В ходе проведения эксперимента это были пособия:

Д - Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков Ю.А. и др. Единый государственный экзамен 2002 Контрольные измерительные материалы. Математика. - Москва, 2002. - 128 с.

ЛНД-1 - Лысенко Ф.Ф., Неймарк А.Б., Давыдов Б.Е. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2004. - Ростов-н/Дон, 2003. - 320 с. (варианты 1-15).

ЛНД-2 - Лысенко Ф.Ф., Неймарк А.Б., Давыдов Б.Е. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2004. - Роегов-н/Дон, 2003. - 320 с. (варианты 16-30).

Л - Лаппо Л.Д. Математика. Типовые тестовые задания. Учебно-практическое пособие. - Москва, 2003. - 38 с.

ГКЛШ - Гуменникова Ю.В., Кузнецов В.П., Лаврусь O.E., Шур В.Л. Математика. Сборник тестовых заданий для подготовки к ЕГЭ. - Самара, 2003. - 160 с.

СИПКРО - Клековкин Г.А., Максютин А.А., Неценко Ю.Н., Шаповалова Т.П. Тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. - Самара, 2003. - 51 с.

Кроме того, при выполнении индивидуальных домашних заданий ученики пользовались пособием Максютин А.А. Математика - 10. Индивидуальные домашние задания по алгебре, началам анализа и геометрии для учащихся 10-х классов с историко-математическими справками и приложениями. - Самара, 2002. - 588 с. [42] и аналогичной рукописью «Математика - 11».

Понятно, что сегодня список учебно-методической литературы, которую учитель может использовать для подготовки своих учеников к сдаче ЕГЭ по математике, существенно расширился.

Математика (преподаватель: Максютин А.А.)

ID работы: 19. Тема 1: Стартовая диагностика; (42) [16:10:4]; 100-балльная шкала. 62

ID работы: 49. Тема 2: Иррациональные уравнения; (99) [33]; 100-балльная шкала: 72

ID работы: 78. Тема 3: Первообразная и интеграл; (90) [30]; 100-балльная шкала: 76

ID работы: 98. Тема 4: Производная; (42) [16:10:4]; 100-балльная шкала: 60

ID работы: 126. Тема 5: Тригонометрия; (42) 116:10:4]; 100-балльная шкала: 60

ID работы: 136. Тема 6: Промежуточный контроль; (34) [13:9:3]; 100-балльная шкала: 62

ID работы: 618.Тема 9: Показательная функция, уравнения, неравенства, системы; (42) 116:10:41 ; 100-балльная шкала: 84

ID работы: 663. Тема 10: Индивидуальное домашнее задание по теме «Логарифмы»; (18) [18]; 100-балльная шкала: 78

ID работы: 335. Тема 11: Промежуточный (полугодовой) контроль; (34) [13:9:3]; 100-балльная шкала: 62

ID работы: 608. Тема 14: Показательные уравнения, неравенства, системы (Д); (78) [26]; 100-балльная шкала: 85

ID работы: 737. Тема 16: Контрольная работа по теме «Логарифмы»; (41) [15:10:5]; 100-балльная шкала: 96

ID работы: 869. Тема 23: Тригонометрия и производная; (42) Г16:10:41; 100-балльная шкала: 74

ID работы: 881. Тема 24: Тренировочная работа в формате ЕГЭ; (Д); (39) [14:9:41; 100-балльная шкала: 80

ID работы: 920. Тема 26: Тренировочная работа в формате ЕГЭ; (Л11Д- 1); (42) [16:10:4]; 100-балльная шкала: 86

ID работы: 1029. Тема 27: Тренировочная работа в формате ЕГЭ; (ЛНД - 1); (42) [16:10:4]; 100-балльная шкала: 77

ID работы: 1041. Тема 28: Тренировочная работа в формате ЕГЭ: (ГТСЛШ) [варианты 1-13]; (42) [16:10:4]; 100-балльная шкала: 84

ID работы: 1116. Тема 32: Тренировочная работа в формате ЕГЭ; (СИПКРО); (39) [14:9:41; 100-балльная шкала: 67

ID работы: 1117. Тема 33: ЕГЭ-2003; (42) [16:10:4]; 100-балльная шкала: 93

ID работы: 1182. Тема 35: Итоговая контрольная работа; СИПКРО); (39) [14:9:41; 100-балльная шкала: 83

ID работы: 1211. Тема 36: Тест-91. Производная и ее приложения; (30) [30]; 100-балльная шкала: 84

ID работы: 1229. Тема 38: Итоговая работа. (Л) (39) [14:9:4]; 100-балльная шкала: 67

До того, как результаты работы попадут в базу данных для хранения и составления индивидуальных диаграмм успешности, учащиеся, показавшие низкие результаты, имели возможность дополнительно поработать над ошибками и могли переписать работу.

По итогам мониторинга учащиеся класса постоянно ранжировались по рейтингу успешности, а номер следующего индивидуального задания определялся согласно рейтингу, вычисленному на основании успешности выполнения предыдущих заданий. Учащиеся с высоким рейтингом получали более трудные задания, а тс, кто имел более низкий рейтинг, - более простые.

Разработанная методика мониторинга и машинная обработка его результатов позволяют:

- ученику получить не просто оценку, а процент своей компетентности по теме;

- ученику и его родителям иметь наглядную и объективную информацию о текущем уровне подготовки (мониторинг успеваемости);

- учителю вычислять рейтинг и ранжировать учеников (класса / всего потока) после каждой экспертной работы (здесь имеет место воспитательный момент - «экран успеваемости» никого не оставляет равнодушным).

Предлагаемая методика мониторинга даст учителю мощный рычаг влияния на мотивацию учебной деятельности учащихся: объективность оценки по 100-балльной шкале очевидна для ученика, родителей, администрации школы. Эта оценка способствует формированию адекватной самооценки и саморегуляции учебной деятельности.

Полученные проценты решаемости задач определенных типов дают учителю ценную информацию о необходимых корректировках в используемой им системе задач и в организации учебной деятельности (обратная связь).

Наконец, описанная система мониторинга позволяет достаточно достоверно прогнозировать результаты выпускников на едином государственном экзамене.

Для прогнозирования применяется линейная интерполяция среднего баша average мониторинга успешности учебной деятельности ученика. Базой прогноза служат накопленные в течение двух последних лет обучения диагностические замеры, содержащие 100-балльные оценки. При этом в течение каждого учебного года по мере накопления объективной информации об успеваемости каждого ученика строится его индивидуальная траектория успеха. Достоверность прогноза основывается на достоверности вычисления процента компетентности ученика по каждой томе. Это, в свою очередь, обеспечивается полнотой охвата ЭСО в каждой тематической

работе, а также итоговой контрольной работой, охватывающей все темы курса.

Прежде чем обратиться к сводным данным об итогах учащихся экспериментальных и контрольных классов на ЕГЭ, заметим следующее. В Самарской области эксперимент по введению единого государственного экзамена по математике шел с 2002 г. С самого начала итоговая аттестация в форме ЕГЭ являлась в области обязательной для выпускников всех типов средних образовательных учреждений области. При этом следует также иметь в виду, что в 2002 г. в остальных регионах России, участвующих в эксперименте, итоговый государственный экзамен по математике в новом формате выпускники сдавали по выбору.

Результаты единого государственного экзамена в целом по России, по Самарской области, а также в контрольных и экспериментальных классах представлены (в разных системах оценивания) в таблицах 1 и 2. Приведенные результаты были показаны учащимися Самарского аэрокосмического лицея в 2002 г. и учащимися гимназии № 1 г. Самары в 2004 г.

2002 г. Таблица 1

Пятибалльная ткала

Средний балл

«2»

«3»

«4»

«5»

Интервал тестовых баллов

0-29

30-50

51-70

71-100

Процент выпускников, набравших соответствующий тестовый балл

По России

11,8%

42,9 %

36,6 %

8,7 %

49,6

Самарская область

19,5%

38,4 %

35,8 %

6,2 %

45,8

Контрольные классы

4%

4%

40%

52%

68%

Экспериментальные классы

0%

4%

43%

53%

73,7%

В трех классах лицея из четырех классов параллели преподавание велось по экспериментальной методике, а в одном классе - по традиционной. При входном контроле в десятом

классе учащиеся как контрольного, так и экспериментальных классов имели одинаковый средний уровень обученности (это требование было положено в основу формирования классов). Из таблицы 1 видно, что в экспериментальных классах процент качества выше, чем в контрольном классе, и нет неудовлетворительных отметок. При этом два выпускника экспериментальных классов получили на ЕГЭ по математике 100 баллов, один - 99 баллов. В контрольных классах школьников с количеством баллом, близким к максимальному, не было.

2004 г. Таблица 2

Пятибалльная ткала

Средний балл

«2»

«3»

«4»

«5»

Интервал тестовых баллов

0-37

38-55

56-74

75-100

Процент выпускников, набравших соответствующий тестовый балл

По России

24,4 %

39,4 %

28,9 %

7,3 %

49,9

Самарская область

22,8 %

36,3 %

31,7%

9,2 %

51,4

Контрольные классы

1,9%

15,3%

41,6%

36,5%

65.9%

Экспериментальные классы

0 %

3,6%

45,5%

50,9%

79,6%

В двух классах гимназии (55 учеников) из пяти классов параллели обучение велось по экспериментальной методике, а в трех классах (52 ученика) - по традиционной. Таблица 2 показывает, что процент качества в экспериментальных классах, особенно процент учеников, получивших отметку «5», значительно выше, чем в контрольных. В этом году один ученик получил на ЕГЭ по математике 100 баллов.

Таким образом, сравнение результатов ЕГЭ по Самарской области, в контрольных и экспериментальных классах дает основание сделать вывод об эффективности предложенного варианта реализации задачного подхода при подготовке к единому государственному экзамену по математике. Если учесть

уникальные 100-балльные результаты учеников, то можно также говорить о результативности представленной методики при обучении детей, имеющих склонность и способности к изучению математики.

Реально показанные учащимися результаты на ЕГЭ и приведенные сводные таблицы позволили проверить точность прогнозов результата ЕГЭ, полученных по мониторингу. Величина прогнозируемого результата вычислялась как среднее арифметическое процентов выполнения заданий, показанных учеником в течение учебного года. Этот показатель сравнивался с процентом выполнения задания КИМа ЕГЭ. В пределах 3-5 процентного разброса совпадение составило в 2002 г. 78%, а в 2004 г. - 85%. Эти результаты свидетельствуют о перспективности примененной методики мониторинга.

Таким образом, апробация предлагаемой методики подготовки к ЕГЭ по математике показала, что организация постоянного мониторинга и коррекционной деятельности позволяет с высокой степенью достоверности прогнозировать результаты класса и отдельных учащихся. Совпадение прогноза и результата достигает 85%. Это, кстати, подтверждает мнение В.В. Гузеева о том, что «нормой для педагогики является восьмидесятипроцентная вероятность успеха» [18, с. 258]. Именно с этой вероятностью, по-видимому, и следует говорить о гарантированной подготовке выпускника к итоговой аттестации (разумеется, с учетом его притязаний).

В заключение остановимся на некоторых тенденциях, которые позволил выявить «Протокол проверки результатов Единого государственного экзамена за 2004 год», опубликованный РЦМО (региональный центр мониторинга в образовании) Самарской области:

1. Баллы, полученные выпускниками на ЕГЭ, концентрируются (сгущаются) возле оценки за итоговую контрольную работу, проведенную в гимназии 24 мая. Такие баллы получили ученики, которые к моменту окончания учебного года достигли своей лучшей математической формы, и показали на

ЕГЭ стабильный результат того же уровня. Доля таких работ составила 31% (с учетом разброса в 3-5%).

2. Баллы за ЕГЭ, концентрируются (сгущаются) возле среднего балла за год (average). В эту совокупность попали те ученики, которые показывали в течение года разные (высокие и не очень) результаты; они на ЕГЭ выдали процент верно решенных заданий на уровне математического ожидания. Доля таких работ составляет 30% (с учетом разброса в 3-5%).

3. Имеются учащиеся экспериментальных классов, у которых баллы на ЕГЭ превысили на 5-10 баллов среднюю за год (average) или итоговую контрольную работу от 24 мая. Доля таких работ составляет 17% .

4. Имеются учащиеся экспериментальных классов, баллы на ЕГЭ у которых ниже, чем average или итоговая контрольная работа 24 мая. Доля таких работ составляет 22% .

Причины тенденций 3 и 4, вероятней всего, носят психологический характер: Один ученик может принимать смешанную форму контроля, умеет собраться в экстремальной ситуации и т.п. Другой ученик ее не принимает, экзаменационный стресс тормозит его умственные процессы, что приводит к нехватке времени, парадоксальным ошибкам и т.п. Причина, конечно, может состоять и в том, что ученик, не желавший в течение учебного года иметь результаты не хуже, чем у других, привлекал к выполнению своих индивидуальных заданий посторонних лиц; лишенный же на экзамене этой поддержки, он показывает заниженный результат.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предметная учебная задача возникла как особая форма передачи социального опыта, накопленного человечеством, позволяющая передавать знания в их деятельностном виде. Так, любая учебно-математическая задача (как знаковая модель) является прежде всего математической задачей, т.е. в ней свернуты некоторые математические факты и методы их получения. Чтобы стать носителем этих знаний и способов

деятельности, и тем самым изменить самого себя, ученик должен их заново распредметить в собственной деятельности.

Свернутые в задачах результаты предметной деятельности могут иметь различную степень «прозрачности», а значит, учебно-предметные задачи позволяют ставить и достигать в учебном процессе разные образовательные и дидактические цели. Поэтому учебная задача обеспечивает возможность действенно реконструировать и переводить известные формы имеющегося опыта в процесс познавательной активности учащихся и содержание их умственной деятельности, быть средством развития и управлять им. При таком понимании учебной задачи сущностью учебной деятельности является деятельность по присвоению обобщенных способов действий на основе решения специально поставленных учебных задач. Подход к обучению, при котором учебная деятельность учащихся проектируется и реализуется через решение целесообразно подобранных задач, естественно назвать задачным подходом к обучению. Постановка и решение учебных математических задач разной сложности и трудности наиболее адекватно отражает сущность математической деятельности, поэтому задачный подход является наиболее целесообразной реализацией деятельностного подхода к обучению математике.

В основе задачного подхода лежит учебная ситуация, в которой разворачивается деятельность субъекта учения, а основными дидактическими средствами его функционирования служат создание задачной (проблемной) ситуации и ее разрешение путем постановки и последующего решения соответствующей предметной задачи. Предметная учебная задача, таким образом, является наименьшим носителем учебной деятельности, который отражает ее специфическое содержание и структуру. Задача при этом служит как единицей членения содержания обучения, так и единицей проектирования и реализации процессуальной стороны обучения Эти единицы будут полноценно выполнять свои функции только тогда, когда они определенным образом структурированы - объединены в систему целесообразно подобранных задач

В этой системе одинаково важную роль играют как репродуктивные, так и продуктивные творческие задачи. Первые служат для выработки у учащихся инструментальных операционально-технических умений и навыков, доведения их до автоматизма; без этого невозможно полноценное решение творческих задач. Творческие (поисковые) задачи являются средством развития познавательной активности учащихся, их творческих способностей, интуиции и т.д Поэтому неправомерно связывать задачный подход с каким-то одним типом обучения, при его реализации равноправно должны быть представлены все методы обучения.

Для того чтобы полностью охватить как требуемое предметное содержание учебного курса, так и ситуации, возникающие при решении задач, проектирование будущего процесса учебной деятельности на уровне учебного материала целесообразно начать с составления перечней тематических предметных и процессуальных элементов содержания образования (ЭСО).

На основе логико-содержательного и методического анализа любой темы, проведенного при выделении перечня элементов содержания образования, можно решить обратную задачу -сначала построить ее орграф ключевых задач, а затем, формируя окрестности ключевых задач этого орграфа, спроектировать саму систему задач темы Поэтому такой орграф можно рассматривать в качестве своеобразного остова системы задач темы, а при проектировании системы задач темы в качестве первого основного системообразующего принципа принять принцип содержательно-логической интеграции (формирования) учебных задач этой темы вокруг орграфа ее ключевых задач. Этот принцип позволяет целостно и системно формировать содержание темы, достаточно просто технологически обеспечить оптимальное наполнение предметно-содержательного компонента ее системы задач и, тем самым, полно представить планируемые результаты со стороны изучаемого материала.

Фактически все задачи, с которыми учащемуся приходится сталкиваться в процессе обучения, можно разбить на три группы: задачи, требующие от него репродуктивных действий,

предполагающих воспроизведение усвоенных знаний, алгоритмов и способов деятельности в знакомой ситуации; задачи, решения которых основывается на достаточно прозрачных аналогиях, позволяющих переносить наличные знания и навыки на сходные объекты и ситуации; задачи, требующие творческой деятельности, основанной на самостоятельном переносе наличных знаний и умений в новую незнакомую ситуацию, умениях комбинировать усвоенные знания и способы деятельности и т.п. С точки зрения субъективного опыта учащегося учебные ситуации, возникающие при решении этих трех групп задач, будем называть знакомой, видоизмененной и незнакомой. Считая эти ситуации основными структурными единицами его учебной деятельности, в качестве второго основного системообразующего принципа проектирования системы задач темы можно принять принцип поэтапной преемственности трех учебных ситуаций, возникающих при решении задач. Второй системообразующий принцип нацеливает на то, что при изучении любого понятия, факта и пр. учащийся должен последовательно пройти все эти три типа ситуаций, решая свойственные каждому типу учебные задачи.

Тематическая система задач может быть сформирована (наполнена конкретными задачами) с помощью ее матричного представления, основанного на выделении ранжированного перечня базовых ЭСО и соответетвующих им ключевых задач, - с одной стороны, и учебных ситуаций, требующих умения решать знакомые, модифицированные и незнакомые задачи, - с другой. Три строки матрицы соответствуют трем типам учебных ситуаций, возникающих при решении задач, а количество столбцов определяется типом орграфа ключевых задач темы.

Матрица наполняется в соответствии с требованиями, которые предъявляются к учащимся по окончанию учебного курса. В случае ЕГЭ основой для построения орграфов ключевых задач темы и формирования их окрестностей служит перечень элементов содержания образования, который составляется в соответствии с кодификатором и перечнем проверяемых на ЕГЭ знаний и умений.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Амосов, Н.М. Моделирование разума, сознания и подсознания / Н.М. Амосов // Нейрофизиологические механизмы психической деятельности человека. - Л.: Наука, 1974. - С. 105-117.

2. Балл, Г.А. Теория учебных задач: психолого-педагогические аспекты/Г. А .Балл. -М.: Педагогика, 1990. - 183 с.

3. Беспалько, В.П. Слагаемые педагогической технологии / В.П.Беспалько. - М: Педагогика, 1989. - 192 с.

4. Бершадский, М.Е. Дидактические и психологические основания образовательной технологии / М.Е.Бершадский, В.В.Гузеев. - М: Центр «Педагогический поиск», 2003. - 256 с.

5. Бескин, Н.М. Методика геометрии: Учебник для пед. ин-тов. / Н.М.Бескин - М.-Л.: Учпедгиз, 1947. - 276 с.

6. Болтянский, В.Г. Беседы о математике. Книга I. Дискретные объекты / В.Г.Болтянский, А.П.Савин. - М.: ФИМА: МЦНМО, 2002. - 368с.

7. Больцано, Б. Учение о науке (избранное) / Пер. с нем. Б.И.Фёдорова /Б. Больцано. - СПб.: Наука, 2003. - 604 с.

8. Брадис, В.М. Методика преподавания математики в средней школе: для пед. ин-тов / В.М.Брадис. - М.: Учпедгиз, 1949. -472 с.

9. Виленкин, Н.Я. Метод сквозных задач в школьном курсе математики / Н.Я.Виленкин, А.Сатволдиев // Повышение эффективности обучения математике в школе. - М.: Просвещение, 1989. - С. 101-112.

10. Вербицкий, А.А. Психолого-педагогические основы образования взрослых: контекстный подход. Статья 2 / А.А.Вербшщий II Новое знание. -2001.-№2.-С. 15-19.

11. Выготский, Л.С. Педагогическая психология / Л.С. Выготский // Педагогическая психология. - М., 1991. - С. 33-272.

12. Габович, И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач / И.Г.Габович. - М.: Просвещение, 1995. - 192 с.

13. Гальперин, П.Я. Психология как объективная наука / П.Я.Гальперин. - М.: Изд-во «Ин-т практической психологии», Воронеж: НПО «МОДЭК», 1998. - 480 с.

14. Гильманов, Р.А. Проблемы конструктивной дидактометрии / Р.А.Гильманов. - Казань. Изд. Казан, ун-та, 1994. - 152 с.

15. Гинецинский, В.И. Предмет психологии: дидактический аспект / В.И.Гинецинский. - М., 1994. - 211 с.

16. Груденов, Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике/ Я.И.Груденов. - M : Педагогика, 1987 - 160 с.

17. Гузеев, В.В. Постановка целей и дифференциация образовательного процесса / В.В.Гузеев. - М.. Знание, 1998. - 68 с.

18. Гузеев В.В. Можно ли построить полностью детерминированный образовательный процесс // Школьные технологии. - № 1. - 2000. - С. 252-266.

19. Давыдов, В.В. Теория развивающего обучения / В.В.Давыдов. - М: ИНТОР, 1996.-544 с.

20. Диофант, А. Арифметика / Диофант А. - М: Наука, 1974. - 328 с.

21. Дорофеев, Г.В. Алгебра и начала анализа. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений: В 2 ч. Ч.1 / Г.В.Дорофеев, Л.В.Кузнецова, Е.А.Седова. - М: Дрофа, 2003. - 320 с.

22. Загвязинский, В.И. Измерение уровня проблемности в обучении // Объективные характеристики, критерии, оценки и измерения педагогических явлений и процессов / Под ред. А.М.Арсентьева, М.А.Данилова - М., 1973.-296 с.

23. Загвязинский, В.И. Теория обучения: Современная шггерпретация: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. - 2-е изд., испр. / В.И.Загвязинский - М.: Изд. центр «Академия», 2004. - 192 с.

24. Зайкин, М. И. О задачных конструкциях, используемых в обучении математике / М.И. Зайкин//Математическое образование: концепции, методики, технологии. Сб. трудов III Междунар. науч. конф. «Математика. Образование. Культура» (к 85-летию со дня рожд. В.И.Крунича) 17-21 апреля 2007 г. 4.3 - Тольятти.: ПУ, 2007. - с.5-8.

25. Зильберберг, Н.И. Урок математики: подготовка и проведение / Н.И.Зильберберг. -М.: Просвещение, 1996. - 176 с.

26. Клековкин, Г.А. Задачный подход к обучению математике и его реализация в условиях ЕГО / Г.А.Клековкин, А.А.Максютин // Образование и наука. Известия Уральского отделения РАО. Приложение №2(6), февраль 2007.-С. 135-144.

27. Клековкин, Г.А. О роли опорных задач при реализации компетентностного подхода в обучении математике / Г.А.Клековкин // О направлениях учебно-методической работы в 2002-2003 учебном году. - Самара: СИПКРО, 2002. - С. 106-116.

28. Клековкин, Г.А. Представление системы учебных задач ориентированным мультигрфом / А.А.Максютин, Г.А.Клековкин // Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах: Материалы XXV Всерос. семинара препод, математики ун-тов и педвузов. - Киров: ВятГГУ, 2006 -С.15-18.

29. Клековкин, Г.А. Система задач в условиях использования в обучении мультимедийных технологий / Г.Л .Клековкин // Задачи в обучении математике: теория, опыт, инновации: Материалы Всерос. научно-практ. конф, посвященной 115-летию П.А.Ларичева. - Вологда: Русь, 2007.-С. 43-49.

30. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. 1 / Ю.М. Колягин. - М.: Просвещение, 1977. - 111 с.

31. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч.2 / Ю.М. Колягин. - М.: Просвещение, 1977. - 145 с.

32. Краевский, В.В. Основы обучения. Дидактика и методика, учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / В.В. Краевский, А.В. Хуторской. - М: Изд. центр «Академия», 2007. - 352 с.

33. Крупич, В.И. Структура и лотка процесса обучения математике в средней школе: Методические разработки по спецкурсу дня слушателей ФПК / В.И.Крупич.- М: МГПИ им. В.И.Ленина, 1985. - 118 с.

34. Крупич, В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. - М.: Прометей, 1995.

35. Латышев, В.А. О преподавании арифметики в XIX веке / В.А.Латышев // Воспитание и обучение, 1888. - № 9. - С. 340.

36. Латышев, В.А. Обзор / В.А.Латышев //Русский национальный учитель, 1881. -№ 8-9. - С. 113.

37. Леонтьев, А.А. Педагогика здравого смысла / А.А.Леонтьев // «Школа 2000...» Выпуск 1. Концепции и программы непрерывных курсов для общеобразовательной школы - М: Баласс, 1998. - С. 9-23.

38. Леонтьев, А.Н. Деятельность. Сознание. Личность / А.Н.Леонтьев. - М: Политиздат, 1975. - 304 с.

39. Лернер, И.Я. Процесс обучения и его закономерности / И.Я.Лернер. -М: Просвещение, 1980. - 96 с.

40. Ломов, Б.Ф. Методологические и теоретические проблемы психологии / Б.Ф.Ломов. - М.: Наука, 1984. - 444 с.

41. Махмутов, М.И. Теория и практика проблемного обучения / М.И.Махмутов. - Казань, Татиздат, 1972,- 552 с.

42. Максютин, А.А. Математика-10: Индивидуальные домашние задания по алгебре, началам анализа и геометрии для учащихся 10-х классов с историко-математическими справками и приложениями. 2-е изд., перераб. и доп. / А.А.Максютин. - Самара, 2002. - 588 с.

43. Максютин, А.А. Многоуровневая система учебных задач: проектирование и применение / А.А.Максютин. // Известия Самарского научного центра РАН: Спец. выпуск «Актуальные проблемы гуманитарных исследований». Т.1. -Самара: 2006. -С. 209-219.

44. Максютин, А.А. Измерение сложности задач (упражнений) с приложением элементов знаний по логарифмам / А.А.Максютин // Учитель-ученик: проблемы, поиски, находки: Межвузовский сборник науч. трудов. - Саратов: СГУ, 2003. - С. 31-43.

45. Максютин, Ал.А. Интегративная система задач и упражнений для учащихся старших классов средней школы и построенная на ее основе эффективная педагогическая технология. Сравнительный анализ данных мониторинга и результатов ЕГЭ / Ал .А. Максютин, Ан.А. Максютин // Труды школы-семинара «Проблемы и перспективы информатизации математического образования», посвященной 1000-летию Елабуги. -- Елабуга: ЕГПУ, 2004. - С. 52-58.

46. Матюшкин, А.М. Мышление, обучение, творчество / A.M Матюшкин. - М.: Изд-во Московского психолого-социального ин-та, МОДЭК, 2003. -720 с.

47. Машбиц, Е.И. Психологические основы управления учебной деятельностью / Е.И. Машбиц. - Киев: Вища школа, 1987. - 223 с.

48. Менчинская, Н.А. Проблемы обучения, воспитания и психического развития ребенка / Н.А.Менчинская. - М.: Ин-т практ. психологии; Воронеж: НПО «МОДЭК», 1998. - 448с.

49. Мордкович, А.Г. Беседы с учителями математики / В.Г.Мордкович. - М.: Оникс 21 век, 2005. - 336 с.

50. Настольная книга учителя математики. Нормативные документы, методические рекомендации и справочные материалы для организации работы учителя / Сост. Л.О.Рослова. - М: Астрель, 2004. -429 с.

51. Новик, И.Б. Вопросы стиля мышления в естествознании / И.Б.Новик. - М.: Политиздат, 1975. - 144 с.

52. Новиков, А.М. Методология учебной деятельности /. А.М.Новиков. -М.: Эгвес, 2005.- 176 с.

53. Оконь, В. Введение в общую дидактику: пер. с польск. / В.Оконь. -М.: 1990.-381 с.

54. Онищук, В.А. Урок в современной школе / В.А. Онищук. - М.: Просвещение, 1981. — 191 с.

55. Педагогический энциклопедический словарь / Гл. ред. Б.М.Бим-Бад. - М: Большая Российская Энциклопедия, 2002. - 528 с

56. Пехлецкий, И.Д. Сложность и трудность учебных текстов и задач, книга для учителей и студентов / И.Д.Пехлецкий. - Пермь: ПГПУ, 2008.-101 с.

57. Полиа, Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч.1 / Г. Полиа, Г. Сеге. -М.: Наука, 1978.-392 с.

58. Пойа, Д. Как решать задачу / Д. Пойа. - Львов: Квантор, 1991. -216 с.

59. Полянцева, М.В. Формирование саморегуляции учебной деятельности школьников в процессе обучения математике / М.В. Полянцева. -Самара: СФ МГПУ, 2008. - 176 с.

60. Программы для общеобразовательных школ, гимназий и лицеев / Г.М. Кузнецова, Н.Г.Миндюк. - Москва.: Дрофа, 2002. - 320 с.

61. Психология. Словарь / Под ред. А.В. Петровского, М.Г. Ярошевского. - М.: Политиздат, 1990. - 494 с

62. Пудалов, И.Г. Исследование проблемы измерения дидактического объёма учебного материала: Автореф. кан. дисс. / И.Г. Пудалов. - М., 1979.-24 с.

63. Развитие субъекта образования: проблемы, подходы, методы исследования /Под ред. Е.Д. Божович. - М.: ПЕР СЭ, 2005. - 400 с.

64. Репкин, В.В Развивающее обучение: Теория и практика. Статьи / В.В. Репкин, Н.В. Репкина. - Томск: Пеленг, 1997. - 288 с.

65. Розов, Н.Х. Дифференцированное обучение и проблемы формирования «базиса» в пространстве задач / Н.Х.Розов // Математическое образовать: традиции и современность: Тезисы докл. федеральной научно-практ. конф. - Н. Новгород: НГПУ, 1997. - С.67-68.

66. Российская педагогическая энциклопедия: В 2-х т. - Т. 1 / Гл. ред. В.В.Давыдов. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1993. - 608 с.

67. Российская педагогическая энциклопедия: В 2-х т. Т. 2 / Гл. ред. В.В. Давыдов. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. -672 с.

68. Рубиншейн, С.Л. Основы общей психологии. В 2-х т. - Т. 2 / С.Л. Рубинштейн. - М.: Педагогика, 1998. - 365 с.

69. Рыженко, H. Г. Графовое моделирование как средство определения сложности решений текстовых задач школьного курса математики / Н.Г. Рыженко // Математика и информатика. Наука и образование. -Омск, 2001, вып. 1.-С. 99-104.

70. Рыжик, В.И. 25000 уроков математики: Книга для учителя / В.И.Рыжик. -М.: Просвещение, 1993. -240 с.

71. Рыжик, В.И. 30000 уроков математики / В.И. Рыжик. - М.: Просвещайте, 2003.-288 с.

72. Салимов, Я Ш. О системно-структурном подходе в понятии задачи / Я.Ш. Салимов, CA. Фейзиев // Математическое образование: концепции, методики, технологии: Сб. тр. по материалам III международной науч. конф. «Математика. Образование. Культура». - Ч. 3. - Тольятти: ТГУ, 2007. - С 8-13.

73. Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике / Г.И.Саранцев. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2005. - 255 с.

74. Сергеев, В.Н. О критериях отбора и оценки олимпиадных задач / В.Н.Сергеев // Физико-математическая подготовка во втузе в современный период НТР: Матер.II межвуз. науч.-метод семинара. - Омск, 1974. - С. 64.

75. Спиридонов, В.Ф. Психология мышления: Решение задач и проблем: Уч. пособие / В.Ф.Ошридонов. - М.: Генезис, 2006. - 319 с.

76. Столяр, А.А. Педагогика математики / А. А.Столяр. - Минск: Вышейшая школа, 1986. - 382 с.

77. Талызина, Н.Ф. Педагогическая психология: Учебник / Н.Ф. Талызина. - М.: Изд. центр «Академия», 2003. - 288с.

78. Теоретические основы содержания общего среднего образования / Под ред. В.В.Краевского, И.Я.Лернера. М.: Педагогика, 1983. - 352 с.

79. Тихомиров, О.К. Психология мышления / О.К. Тихомиров М: МГУ, 1984. -270 с.

80. Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математике/Л.М. Фридман. - М.: МПСИ: Флинта, 1998.-216 с.

81. Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи / Л.М. Фридман. - М.: МПСИ; Воронеж: Изд-во НПО «МОДЭК», 1999.-240 с.

82. Хабибуллин, К.Я. Граф-схемы в геометрии / К.Я.Хабибуллин // Математика в школе. 1999, № 4. - С. 23-24.

83. Хабибуллин, К.Я. Дидактические материалы по геометрии с использованием метода граф-схем / К.Я.Хабибуллин // Школьные технологии. 1998,№ 1.-С. 115-122.

84. Хинчин, Л.Я. О воспитательном эффекте уроков математики / А.Я. Хинчин // Математика в образовании и воспитании. Сост. В.Ь.Филиппов. - М.: ФАЗИС, 2000. - С. 64-102.

85. Хростоматия но методике математики: Обучение через задачи: Пособие для студентов, аспирантов и преподавателей математических специальностей педагогических вузов, учителей математики общеобразовательных школ / Сост. М.И.Зайкин, С.В.Арюткина. - Арзамас: АГПИ, 2005. - 300 с.

86. Цетлин, В.С. Доступность и трудность в обучении / В.С.Цетлин. -М.: Знание, 1984. - 1984. - 80 с.

87. Шарыгин, И.Ф. Решение задач: Учебное пособие для 10 класса общеобразовательных учреждений / И.Ф.Шарыгин. - М.: Просвещение, 1994.-252 с.

88. Шарыгин, И.Ф. Рассуждения о концепции школьной геометрии / И.Ф.Шарыгин. - М.: МЦНМО, 2000 - 56 с.

89. Шеварев, П.А. Теория обобщенных ассоциаций в психологии. Избранные психологические труды / П.А.Шеварев. - М.: Ии-т практ. психологии; Воронеж: НПО «МОДЭК», 1998. - 608 с.

90. Шиянов, Е.Н. Развитие личности в обучении: Учеб. иособ. для студ. педвузов. / Е.Н. Шиянов, И.Б. Котова. - М.: Издат. ценгр «Акад.», 1999.-288 с.

91. Шохор-Троцкий, СИ. Цель и средства преподавания низшей математики / С.И.Шохор-Троикий // Русская школа. - 1891. - № 9. - С. 103-129.

92. Щедровицкий, Г.П. Организационно-деятельностная игра как новая форма организации и метод развития коллективной мыследеятельности / Г.П.Щедровицкий // Избранные труды. - М., 1995. - С. 115-142.

93. Эльконин, Д.Б. Избранные психологические труды / Под ред. В.В.Давыдова, В.П.Зинченко. - М.: Педагогика, 1989. - 558 с.

94. Эрдниев, П.М Обучение математике в школе. У крушение дидактических единиц/П.М.Эрдниев,Б.П.Эрдииев. - М: СТОЛЕТИЕ, 19%. - 320 с.

95. Якиманская, И. С. Технология личностно-ориентированного образования / И.С.Якиманская // Библиотека журнала «Директор школы». № 7.-2000.- 169 с.

96. Якунин, В.А. Педагогическая психология: Учебное пособие / В А.Якунин-СПб.: Изд. Михайлова В.А.: Изд. «Полиус», 1998. - 639 с

Геннадий Анатольевич Клековкин

Алексей Алексеевич Максютин

ЗАДАЧНЫЙ ПОДХОД В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Монография

Издательство Московскою городского педагогического университета г. Москва, Второй Сельскохозяйственный пр. 4.

Самарский филиал Московскою городского педагогическою университета Редакдионно-издательское управление 443084, г. Самара, ул. Ново-Вокзальная, 213.

Подписано в печать 18.12.08 г. Формат 60 х 90 1/16 . Печать оперативная. Бумага офсетная. Усл. печ л. 11,5. Тираж 200 экз. Заказ №116. Отпечатано в типографии ООО «Магнат».