Г.А. Клековкин, Л.Н. Евелина

ГЕОМЕТРИЯ 5-6

ПРОГРАММА экспериментального пропедевтического курса

РУССКОЕ СЛОВО

Г.А. Клековкин, Л.Н. Евелина

ГЕОМЕТРИЯ

5-6 КЛАСС

ПРОГРАММА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ПРОПЕДЕВТИЧЕСКОГО КУРСА

МОСКВА

«РУССКОЕ СЛОВО» 2005

ББК 22.1я.72 К 48

Рецензенты: доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой методики преподавания математики МПГУ В.А.Гусев; кандидат педагогических наук, доцент, проректор по научно-методической работе Самарского областного института повышения квалификации и переподготовки работников образования Е.П.Бельчикова

Клековкин Г.А., Евелина Л.Н.

К 48 Геометрия. 5-6 класс: Программа экспериментального пропедевтического курса. - М.: «ТИД «Русское слово - РС», 2005.-46 с.

Программа экспериментального курса геометрии для 5-6 классов составлена в соответствии с учебными пособиями Г.А. Клековкина «Геометрия 5», «Геометрия 6» - М: «ТИД «Русское слово - РС», 2004.

Программа может быть рекомендована учителям математики, работающим в основной школе.

ББК 22.1я.72

© «ТИД «Русское слово - РС», 2005; © Самарский филиал Московского городского педагогического университета, 2005

1. ОБЪЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Знакомство с отечественной литературой, посвященной методике обучения геометрии в средней школе, позволяет увидеть одну устойчивую тенденцию. И математики, и методисты, и школьные учителя постоянно возвращаются к мысли о необходимости расширения преподавания начал геометрии в младших классах, о целесообразности введения специального пропедевтического курса, о включении в курс планиметрии элементов стереометрии. Общеизвестны и причины, обусловливающие эту тенденцию. Вот некоторые из них:

- трудности, которые возникают у учащихся 7-х классов, приступающих к изучению систематического курса геометрии (от несформированных навыков работы с чертежными и измерительными инструментами до отсутствия потребности в элементарных логических обоснованиях своей деятельности);

- «уплощенность» естественного пространственного опыта у десятиклассников, дождавшихся после трехлетнего изучения планиметрии наконец-то «выхода в пространство»;

- недоучет возрастных особенностей и сензитивных периодов в развитии перцептивных и концептуальных пространственных представлений ребенка.

Уникальность геометрии как учебного предмета заключается в том, что она позволяет достаточно рано устанавливать связи между естественными представлениями об окружающих предметах с их абстрактными моделями; формировать мыслительные операции различных видов и уровней; учитывать возрастные и индивидуальные особенности развития отдельных психических функций и протекания умственной деятельности в целом. Ясно, что успешное решение этих задач возможно лишь при условии непрерывного изучения данного предмета; вся же система обучения геометрии должна быть целостной и многоуровневой. С одной стороны, сама система геометрических знаний, подлежащих изучению и усвоению, на каждом этапе обучения также должна представлять целостную систему, обеспе-

чивающую определенное обобщенное отражение окружающей действительности. С другой стороны, каждый уровень обучения призван сформировать основы учебно-познавательной деятельности в области геометрии, необходимые для ее дальнейшего изучения, и обеспечить определенное, адекватное возрасту, интеллектуальное и личностное развитие ребенка.

Каждому уровню обучения геометрии соответствует свой уровень отражения закономерностей окружающего мира, выражающих форму, величину и взаимное расположение его объектов, или, следуя A.M. Пышкало, уровень геометрического мышления. В соответствии с приводимой им классификацией выделяются пять уровней развития геометрического мышления. Эти уровни кратко можно описать следующим образом.

На первом уровне геометрические фигуры воспринимаются детьми как целое. Они не видят частей фигуры, отношений между ее элементами; не могут порой сравнивать между собой близкие родственные фигуры. С точки зрения психологии это объясняется тем, что с рождения до младшего школьного возраста у ребенка правое полушарие головного мозга, дающее одномоментное целостное восприятие предметов, изображений, ситуаций и обеспечивающее функционирование механизмов конкретного образного мышления, является доминирующим. В то же время дети этого возраста достаточно легко узнают знакомые фигуры и сравнительно быстро запоминают их названия. Поэтому генетическая способность детей к восприятию формы и размеров окружающих предметов служит основой формирования начальных геометрических представлений, а в основе познавательной геометрической деятельности лежат наблюдение, рисование, лепка, конструирование.

Достигнув второго уровня, ребенок начинает различать элементы фигур и устанавливать отношения между ними, может указать сходство и определенные видовые различия родственных фигур. Это объясняется тем, что начинается сдвиг асимметрии полушарий мозга в сторону левого полушария, посредством которого воспринимаются отдельные части, детали, элементы и обеспечивается функционирование механизмов абстрактного мышления. Обучение новой, пока еще индуктивной,

наглядно-эмпирической геометрической деятельности происходит с помощью наблюдений, вычерчивания и измерения фигур, конструирования и моделирования, в ходе которых начинают формироваться такие приемы умственной деятельности, как сравнение, отождествление, анализ и синтез, классификация, аналогия, обобщение.

На третьем уровне учащиеся начинают устанавливать связи между свойствами фигур и самими фигурами. Осознается возможность определения вида фигуры по ее свойствам, выведения одного свойства из другого; уясняется роль определений. Однако значение индукции в целом учащимися еще не понимается, логический порядок изложения изучаемого материала задается учебником или учителем, и оно носит смешанный наглядно-теоретический и индуктивно-дедуктивный характер. Основная учебная деятельность направляется на формирование устойчивого интереса к изучению геометрии и потребности к логическим обоснованиям.

Учащиеся, достигшие четвертого уровня, понимают значение дедукции как способа построения геометрической теории, т.е. осознают роль и сущность аксиом, определений, теорем, логической структуры доказательств. Обучение геометрии на этом уровне ведется на основе содержательной модели евклидова типа, в которой основным геометрическим понятиям и отношениям придается сформированный ранее конкретно-эмпирический смысл.

Наконец, пятый уровень геометрического мышления характеризуется осознанием возможности построения геометрической теории на основе полуформальной аксиоматики, где развитие теории строится вне всякой конкретной интерпретации.

Как уже было отмечено выше, содержание и характер учебной деятельности на каждом этапе обучения определяется соответствующим уровнем геометрических абстракций и каждый из уровней является подготовительным этапом к последующему. Поэтому осознание проблемы преемственности в геометрическом образовании и ее практическое разрешение имеют исключительно важное значение. Существенную роль в реше-

нии этой проблемы играет определение готовности учащегося к обучению на новом уровне. Ясно, что всякий раз готовность ребенка к обучению на следующем этапе обусловлена как его генетическими задатками, так и индивидуальным опытом, накопленным на предыдущих этапах обучения.

Существующая в настоящее время структура школьного геометрического образования носит линейно-концентрический характер. Первый концентр - пропедевтический - реализуется в 1-6 классах. Систематический курс геометрии, соответствующий второму концентру и начинающийся в 7 классе, имеет линейную структуру с отдельными элементами концентризма (измерения, координаты, векторы, преобразования). Анализ действовавших до недавнего времени программ и учебных комплектов первого концентра показывает, что они рассчитаны на формирование только первого и второго уровней геометрического мышления, в то время как второй концентр предполагает уже формирование четвертого уровня. Формирование же третьего уровня геометрического мышления оказалось частично растворенным в этих двух концентрах (в основном, втором), а частично утраченным вовсе.

В самом деле, в математическом образовании учащихся 1-6 классов четко прослеживается доминирование арифметической линии. Вводимые геометрические понятия используются лишь для построения измерительной геометрии, которая, в свою очередь, обеспечивает курс математики арифметическими задачами, вроде бы составленными на геометрическом материале. Такой прикладной подход к геометрии обусловил разрозненность и фрагментарность подачи геометрического материала. Иными словами, в интеграции арифметики и геометрии последней была отведена роль золушки. Этим, кстати, можно объяснить и тот факт, что среди учащихся, пришедших в 5 класс, немало таких, геометрическое развитие которых задержалось на первом уровне. Не отрицая важности самой интеграции и практической значимости измерений, вряд ли стоит закрывать глаза на естественные закономерности развития психики детей младшего школьного и младшего подросткового возраста.

Известно, что в структуре человеческого интеллекта огромную роль играет взаимосвязь образного и логического, т.е. непосредственного и опосредованного отражения действительности. Форсирование в современной школе «левополушарных» возможностей головного мозга, характерное для системы образования западной цивилизации с ее ориентацией на формирование формально-логического стиля мышления, ведет к подавлению образного компонента мышления и, следовательно, отрицательно сказывается на развитии мышления в целом, нарушая его гармонию. Более того, как отмечают психологи в своих многочисленных исследованиях, наш мозг работает по принципу межполушарной взаимосвязи и при осуществлении других психических функций. Эта взаимосвязь определяет организацию восприятия, памяти, речи, обеспечивает продуктивность воображения. Она распространяется на процессы ориентировки человека в окружающем мире, осознания им собственного «я», его соотнесения с категориями пространства и времени и т.д. Односторонность школьного образования, его концентрированность на формировании вербально логического интеллекта ведут к дисгармонии в развитии ребенка. Поэтому раннее изучение геометрии с опорой на образ, на эмпирическую деятельность детей и их творческую самостоятельность не есть ранняя математическая специализация, как представляют это некоторые авторы, а - один из эффективных способов избежать интеллектуальной дисгармонии.

В связи со сказанным приятно констатировать, что авторы многих появившихся в последнее время учебных комплектов по математике для начальной школы, активно реализующих различные концепции развивающего обучения, уделяют серьезное внимание собственно геометрической линии математического образования учащихся. К сожалению, эта тенденция не подхвачена пока должным образом в младших классах средней школы. Удельный вес геометрического материала в большинстве федеральных учебных комплектов по математике для 5-6 классов составляет не более 25%; понятийный геометрический аппарат и формируемая с помощью него учебно-познавательная геомет-

рическая деятельность учащихся зачастую остается на уровне начальной школы или даже ему уступает.

В то же время есть серьезные основания считать, что указанный школьный возраст является периодом, на протяжении которого закладывается фундамент не только последующего успешного изучения геометрии, но и развития способностей, необходимых для этого изучения.

К данному возрасту у ребенка формируется система сенсорных эталонов и оперативных единиц восприятия, в частности основных геометрических форм, которыми ребенок начинает пользоваться при опознании как своеобразными чувственными мерками. Происходит смена способов запоминания; все шире в генетически исходную образность памяти включаются процессы выделения в воспринимаемом материале осмысленных связей. Категоризация предметов, ситуаций и событий, осуществляемая при опознании благодаря взаимодействию восприятия и памяти, по своей структуре все больше напоминает понятийную категоризацию. Уровень развития наглядно-действенного мышления, сформировавшийся под влиянием различных видов деятельности, открывает ребенку широкие возможности познания свойств окружающих предметов в процессе предметно-практической деятельности. Уровень же развития наглядно-образного мышления позволяет ему одновременно фиксировать в образе предмета его видение с нескольких точек зрения, т.е. пользоваться разными системами отсчета и мысленно менять позицию наблюдения. Ребенок обладает достаточно развитой связной устной речью.

Особо следует остановиться на индивидуальном опыте, который каждый ребенок получает в результате такого наиболее близкого к геометрии вида деятельности, как рисование. Рисунок - основной вид творчества, позволяющий материализоваться детскому воображению. Интерес к рисованию, спонтанно возникнув на втором году жизни, как правило, к возрасту 11-13 лет пропадает. Психологи объясняют это тем, что в данный переходный период у ребенка происходят глубокие преобразования организма и психики и связанная с этим перестройка воображения. Становление самосознания и, свойственная этому воз-

расту, отрицательная самооценка заставляют ребенка критически взглянуть на свои рисунки; он приходит к убеждению, что не умеет рисовать. Вместе с тем, младших подростков попрежнему привлекает возможность сделать что-то своими руками, им нравится творческая практическая деятельность. Дети с удовольствием вычерчивают циркулем и линейкой орнаменты; изготовляют самоделки из бумаги; решают задачи на разрезание и перегибание бумаги, складывание фигур. Поэтому регулярные занятия наглядно-эмпирической геометрией дают новый прекрасный материал детскому воображению.

Нельзя забывать и о том опыте, который ребенок спонтанно получает в процессе рисования (наблюдение предметов, создание их графических образов и оперирование этими образами, эмпирическое осмысление перспективы, формирование элементов графической культуры). Где-то с 9 лет ребенок может указать невидимые границы поверхностей, ограничивающих предметы; изображает объекты, скрытые или расположенные в глубине; замечает, как в окружающем его мире вид предметов изменяется по мере их удаления от него. К сожалению, как показывает существующая сегодня практика обучения стереометрии, в старших классах утрата этого опыта зачастую оказывается невосполнимой.

Из сказанного можно заключить, что геометрическое образование учащихся 5-6 классов не только не поспевает за спонтанным развитием потенциальных возможностей детей, но и задерживает их на существующем программном уровне.

Хочется еще раз вернуться к мысли о том, что геометрия как никакой другой школьный предмет позволяет в явном виде демонстрировать наиболее адекватное психологической сущности учащихся 5-6 классов единство предметно-практической и умственной деятельности. Восприятие, память и мышление не существуют независимо друг от друга: мышление совершается не только в форме речи, но и в форме образов, функционирующих в нем в качестве носителей смыслового содержания. Поэтому важно, чтобы при первоначальном знакомстве с учебным предметом восприятие было естественным образом слито с речью, а посредством ее с абстрактным мышлением. На этом эта-

пе основным носителем информации является образ, слово же служит закреплению созданного образа в термине, описанию наблюдаемых или найденных в предметно-практической деятельности свойств.

Развивая сказанное, можно говорить о принципе наглядно-теоретического единства изложения геометрии на данном этапе обучения. Первоначально геометрический факт рассматривается в рамках наглядной ситуации с помощью модели или образа-представления. Затем процесс динамических операций или наглядно-образных преобразований вторично считывается на языке геометрических понятий и отношений с помощью символики и логических рассуждений. Тем самым обеспечивается единство внешней (предметной) и внутренней (умственной) деятельности, а во внутреннем плане - единство слова и образа.

При переходе к систематическому курсу геометрии в 7 классе содержание учебников и теоретический уровень изложения материала резко количественно и качественно меняются. Все учебники, входящие в федеральный список, в явном или неявном виде строятся на дедуктивной основе. Превращение же школьного курса геометрии в усеченный слепок оснований геометрии вынуждает многих учащихся прибегать к механическому запоминанию и, в конечном итоге, обусловливает утрату интереса к ее изучению. Потребность в логических обоснованиях наглядно-очевидных фактов - свидетельство достаточно высокого уровня математической культуры, а формирование этой потребности - сложный и весьма длительный процесс. Что же чувствует обычный среднестатистический ученик, когда ему в самом начале изучения систематического курса предлагают, например, доказать, луч с началом в центре окружности пересекает эту окружность? Любое дедуктивное построение знания существенно опирается на осмысленное запоминание и точное воспроизведение материала (в частности, аксиом, определений и формулировок теорем). Дело в том, что аксиомы, определения и их свойства служат в дальнейшем основой логических умозаключений. Если учесть, что программы 7 класса предусматривают знакомство на уроках геометрии с 40-50 определениями

понятий и 20-30 теоремами, то становятся понятными те затруднения, которые возникают у учащихся уже при осмыслении, запоминании и воспроизведении определений и формулировок теорем. Объем и плотность учебного материала не позволяют включить в учебную деятельность семиклассников достаточное количество специальных упражнений, направленных на формирование приемов осмысленного запоминания и развития математической речи. Пропедевтический курс призван решить и эти учебные задачи.

Говоря о воображении, мы уже коснулись того, что проблему обучения геометрии в 5-6 классах необходимо рассматривать с учетом особенностей становления и развития личности младшего подростка. В психолого-педагогической литературе можно найти подробные описания этого возрастного периода; при желании и необходимости учитель всегда может обратиться к этим источникам. Мы же коснемся только тех вопросов, которые имеют непосредственное отношение к организации процесса обучения.

Важность и известная сложность происходящих в этот возрастной период процессов развития связана с переходом ребенка от детства к взрослости. Учебная деятельность, оставаясь для младшего подростка основной, уже перестает быть ведущей. Теперь в его психологическом развитии определяющим становится интимно-личностное общение (по Д.Б.Эльконину). Это выражается в становлении самосознания, появлении личных интересов и новых увлечений, перестройке отношений со взрослыми и сверстниками.

На фоне новых интересов и потребностей у одних учащихся младших классов средней школы появляется устойчивое стремление овладеть новыми знаниями как во время школьных занятий (на уроке, в предметном кружке), так и в процессе самостоятельной работы. У других же младших подростков, наоборот, наблюдается заметное снижение интереса к учению. Поэтому при формировании интереса к изучению геометрии следует обратить особое внимание на использование в обучении различных дополнительных материалов (исторических справок, культурологических экскурсов, рассказов о практических при-

ложениях изученного материала) и таких видов деятельности, которые могут стимулировать познавательную активность младших подростков (моделирование, рисование, изготовление самоделок, игры).

Не менее важно учитывать в обучении и изменение характера общения ребенка с окружающими, выражающееся, во-первых, в его стремлении быть самостоятельным, освободиться от излишней опеки и контроля со стороны учителя, в отстаивании права на собственное мнение и собственную позицию. Во-вторых, в том, что урок для младших подростков - это не только учебная работа, но и личностно значимая ситуация общения с одноклассниками, учителем, насыщенная множеством поступков, оценок и переживаний. Поэтому при организации обучения следует увеличить долю коллективных, групповых и, в частности, парных форм учебной работы. И вновь наглядно-экспериментальная геометрия предоставляет для этого прекрасные возможности, которые можно реализовать в организации совместных экспериментов, измерений, моделирования и последующего обсуждения результатов.

Следует, наконец, заметить, что становление самосознания и самооценки обусловливает качественно новые условия для формирования предметной рефлексии учебной деятельности.

В настоящее время мы вновь являемся свидетелями творческих поисков по обновлению школьного геометрического образования в 5-6-х классах. Одним из направлений этих поисков является попытка начиная с 5 класса выделить геометрию в самостоятельную учебную дисциплину, на преподавание которой, как правило, отводится 2 часа в неделю. При этом единое мнение о содержании пропедевтического курса «Геометрия 5-6» еще не сформировалось, не существует и зафиксированного уровня обязательных результатов обучения, соответствующего этому курсу.

Попытка создания подобного курса была предпринята Г.А.Клековкиным, одним из авторов предлагаемой программы. С 1995 года в ряде школ г. Самары и Самарской области идет работа по апробации и уточнению разработанных материалов.

Второй автор программы, Л.Н.Евелина, в течение двух лет руководила экспериментальной работой и в течение четырех лет сама вела экспериментальное обучение. Первые успешные результаты внедрения данного пропедевтического курса вызвали большой интерес среди учителей математики. Надеемся, что предлагаемая программа, в которой учтен опыт экспериментальной работы, будет способствовать дальнейшему становлению геометрического образования, построенного с учетом возрастной сензитивности детей 11-13 лет.

Цели и задачи курса

Основными целями экспериментального пропедевтического курса «Геометрия 5-6» являются:

- обеспечение системы развивающего и непрерывного геометрического образования;

- сохранение, закрепление и развитие пространственных представлений учащихся;

- формирование интереса к изучению геометрии;

- знакомство с геометрией как инструментом познания и преобразования окружающей действительности;

- подготовка учащихся к изучению систематического курса геометрии.

Указанные цели реализуются путем решения следующих образовательных задач:

- широкое ознакомление с основными понятиями систематического курса геометрии;

- наблюдение геометрических форм в окружающих предметах и формирование на этой основе абстрактных геометрических фигур и отношений;

-усвоение геометрической терминологии и символики;

- осмысленное запоминание и воспроизведение достаточно большого числа определений и свойств геометрических фигур;

- сравнение и измерение геометрических величин;

- приобретение навыков работы с различными чертежными инструментами;

- знакомство с наиболее важными фактами систематического курса;

- решение специально подобранных упражнений и задач, направленных на формирование приемов мыслительной деятельности;

- формирование потребности к логическим обоснованиям и рассуждениям;

- специальное обучение математическому моделированию как методу решения практических задач.

Общие требования к математической подготовке учащихся

В результате изучения курса учащиеся должны получить представления и овладеть следующими знаниями, умениями и навыками, составляющими обязательный минимум:

- знать определения одних основных геометрических понятий и получить представление о других;

- выделять известные фигуры и отношения на чертежах, моделях и в окружающих предметах;

- иметь навыки работы с измерительными и чертежными инструментами;

- изображать знакомые фигуры по их описанию;

- измерять геометрические величины; выражать одни единицы измерения через другие;

- выполнять построения с помощью заданного набора чертежных инструментов, в частности, - основные построения линейкой и циркулем; решать несложные задачи, сводящиеся к выполнению основных построений;

- вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), применяя изученные свойства и формулы;

- проводить несложные рассуждения и обоснования в процессе решения задач, предусмотренных содержанием курса;

- пользоваться геометрической символикой;

- устанавливать связь геометрических фигур и их свойств с окружающими предметами.

2. СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ

Геометрические фигуры и их свойства

Точка, прямая, луч, отрезок, плоскость, пространство. Геометрическая фигура.

Угол. Плоский угол. Двугранный угол. Смежные и вертикальные углы. Классификация углов. Биссектриса угла. Угол между прямыми. Угол между плоскостями.

Ломаная. Многоугольник. Выпуклый многоугольник.

Окружность и круг. Центральный угол. Дуга окружности и стягивающая ее хорда. Сфера и шар. Сечение шара плоскостью.

Треугольник. Классификация треугольников. Равенство треугольников. Свойства равнобедренного треугольника. Сумма углов треугольника. Вписанные в окружность и описанные около окружности треугольники.

Тетраэдр и его развертка.

Основные задачи на построение.

Перпендикулярные и параллельные прямые. Серединный перпендикуляр к отрезку. Знакомство с признаками и свойствами параллельных прямых.

Параллелограмм. Прямоугольник. Квадрат. Ромб. Трапеция.

Параллельные прямая и плоскость. Параллельные плоскости.

Перпендикулярные прямая и плоскость. Перпендикулярные плоскости.

Многогранник. Выпуклый многогранник. Пирамида. Параллелепипед. Куб. Призма (прямая и наклонная). Развертки многогранников. Сечение многогранника плоскостью. Изображение многогранников.

Цилиндр, конус и сфера как фигуры вращения. Развертки цилиндра и конуса. Изображение цилиндра, конуса, сферы.

Отношения между геометрическими фигурами

Лежать на (принадлежать), лежать внутри (вне), проходить через, пересекаться, лежать между. Иметь меру. Делить в данном отношении (на равные части). Быть: равными, параллельными, перпендикулярными, скрещивающимися, подобными. Быть: вписанной, описанной.

Геометрические величины

Длина отрезка; свойства измерения длин отрезков. Расстояние между точками; расстояние от точки до фигуры; расстояние между фигурами. Единицы измерения длин. Длина ломаной. Периметр многоугольника. Длина окружности.

Величина угла; свойства измерения углов. Единицы измерения углов. Сумма углов треугольника; сумма углов выпуклого многоугольника. Площадь фигуры; свойства измерения площадей. Единицы измерения площади. Формулы для вычисления площади: треугольника, параллелограмма, прямоугольника, трапеции. Площадь круга. Площадь поверхности многогранника. Площадь поверхности цилиндра.

Объем тела; свойства измерения объемов. Единицы измерения объемов. Формулы для вычисления объема: прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, конуса.

Геометрические преобразования

Центральная симметрия. Осевая симметрия на плоскости и зеркальная симметрия в пространстве. Параллельный перенос. Вращение вокруг точки на плоскости и вокруг прямой в пространстве. Подобие фигур. Сжатие к прямой.

3. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

Предлагаемая программа экспериментального пропедевтического курса геометрии для 5-6 классов строится по тематическому принципу. В связи с тем, что в начальной школе учащиеся могли обучаться по разным учебникам и учебным пособиям, достаточно сложно дать какое-то универсальное поурочное планирование для каждой темы. По нашему мнению, учитель сам вправе решать этот вопрос исходя из уровня общего развития и конкретной математической подготовки класса. Рекомендуем лишь ориентироваться на цифры, указанные в скобках после названия темы. Эти цифры уточнялись в ходе пятилетней экспериментальной работы в классах с различным концептуальным и содержательным уровнем начальной геометрической подготовки. Полноценная реализация программы предполагает выделение на изучение курса двух часов в неделю в течение каждого учебного года. При апробации данной программы один час выделялся за счет стабильного курса «Математика», а второй - из резерва школы. При этом, как правило, устранялось дублирование материала, входящего одновременно в стабильный и пропедевтический курсы.

Практика показала, что усвоение детьми программного материала проходит достаточно успешно. Многие учащиеся уже на этом этапе изучения геометрии оказываются способными к достаточно полным обоснованиям, понимают их значимость, могут проводить рассуждения с учетом изменения условий, определяющих тот или иной геометрический объект. Однако такого уровня достигают не все ученики в классе. Отсюда становится очевидной задача учителя организовать обучение в наиболее доступной для всех детей форме. При этом немаловажное значение имеет варьирование скорости изучения программного материала. Заметим, что формы организации учебной деятельности и ее темп могут меняться в зависимости от разных параметров: трудностей в изучении конкретной темы курса или трудностей в изучении отдельных вопросов темы;

перегрузки и переутомления детей в какой-то промежуток времени и т.д.

5 КЛАСС (2 часа в неделю, всего 68 ч)

1. Основные геометрические понятия (11 ч)

Пространство. Точка. Фигура (линия, поверхность, геометрическое тело). Равенство фигур.

Отрезок. Луч. Прямая. Основные свойства прямой. Плоскость. Основные свойства плоскости.

Основная образовательная цель изучения данной темы -систематизировать наглядные представления учащихся о простейших геометрических фигурах и их свойствах; уточнить геометрическую терминологию; ввести символику.

Материал темы носит вводный характер и имеет важное методологическое значение для дальнейшего построения курса. Здесь происходит знакомство с основными свойствами прямых и плоскостей (принадлежности и порядка), которые являются базой для постепенного перехода от наглядно-индуктивного метода изложения материала к наглядно-дедуктивному.

Все сообщаемые сведения излагаются на основе наблюдений и экспериментов с опорой на пространственные представления школьников. При изучении темы следует обратить основное внимание на формирование следующих приемов учебной деятельности:

- наблюдение объектов с целью выделения их свойств;

- абстрагирование от несущественных свойств объектов;

- введение терминов и символов для обозначения понятий;

-установление отношений между понятиями;

- анализ и синтез объектов и их свойств.

От учащихся пока не требуется обязательного воспроизведения формулировок основных свойств. Основным носителем информации пока еще является образ, слово служит закреплению созданного образа в термине, описанию наблюдаемых или найденных свойств. Важно научить школьников видеть, как реализуются эти свойства в окружающих предметах и предлагаемых моделях; использовать их при выполнении учебных заданий. Предварительная работа по специальному обучению осмысленному запоминанию и воспроизведению базовой учебной информации ведется на основе готовых речевых форм и текстов, в которых опускаются ключевые слова и словосочетания, придающие смысл предложениям и частям текста.

Уровень обязательных результатов обучения при изучении данной темы приведен в приложении.

2. Измерение длин. Расстояние между двумя точками (10 ч)

Сравнение отрезков. Середина отрезка. Измерение отрезков. Длина отрезка. Свойства измерения отрезков. Единицы длины. Измерительные инструменты.

Ломаная и ее длина. Многоугольник, периметр многоугольника. Соотношения между длинами сторон треугольника.

Дуга. Длина дуги.

Расстояние между двумя точками.

Основная образовательная цель - ввести операции сравнения и измерения отрезков. При этом предлагается: рассмотреть различные способы сравнения отрезков; ввести понятие длины отрезка; вспомнить единицы измерения длины и измерение с помощью измерительной линейки; научиться находить длину ломаной, периметр многоугольника, расстояние между двумя точками; познакомиться с измерением длины дуги.

Нахождение длины отрезка рассматривается как метод сравнения отрезков с эталоном, принятым за единицу длины; показывается необходимость введения такой операции и приводятся основные свойства измерения отрезков.

При изучении темы рекомендуется обратить особое внимание на формирование следующих приемов учебной деятельности:

- сравнение объектов;

- измерение объектов;

- геометрическое определение понятия;

- моделирование и выполнение индуктивного умозаключения.

3. Окружность, круг. Сфера, шар (10 ч)

Окружность и ее элементы. Круг. Простейшие свойства окружности и ее элементов.

Дуга окружности и стягивающая ее хорда. Деление окружности на равные части. Сфера, шар и их свойства.

Основная образовательная цель - углубить представления учащихся об окружности и круге, сфере и шаре - фигурах, которые после прямой и плоскости занимают в школьном курсе геометрии центральное место.

При изложении данной темы важно показать учащимся, как происходит переход от введения понятия с помощью описания к введению его с помощью определения (окружность и ее элементы); познакомить с сравнением разнородных объектов (окружность - круг) и их свойств (прямая - окружность); продемонстрировать использование аналогии при определении плоских и пространственных фигур (окружность - сфера, круг -шар).

Особое внимание следует уделить отработке навыков построений с помощью циркуля. Отсутствие этих навыков приводит к осложнениям при изучении систематического курса, которые выражаются в больших временных затратах на выполнение чертежей. При обучении работе с циркулем рекомендуется использовать деление окружности на равные части и вычерчивание геометрических орнаментов.

Полезно обсудить с учащимися вопрос об изображении сферы и шара.

4. Углы и их измерение (8 ч)

Угол. Плоский угол. Сравнение углов. Биссектриса угла. Прямой угол. Классификация углов. Двугранный угол.

Центральный угол окружности. Единицы измерения углов и дуг. Транспортир. Измерение углов.

Чертежные угольники.

Основная образовательная цель - расширение и систематизация представлений учащихся об углах.

Перед изучением темы предполагается знакомство с понятием «определение» и в дальнейшем систематическая работа по закреплению этого понятия. Результатом такой работы должно стать знакомство (на примере углов) с приемом классификации геометрических объектов. Кроме того, при работе с термином «угол» полезно обратить внимание учащихся на его многозначность, тем самым показать, что математическому языку так же, как и обычному, свойственно явление лексической полисемии.

При обучении главное внимание должно быть уделено работе с транспортиром и чертежным угольником как инструментами геометрических построений.

5. Треугольник и тетраэдр (16 ч)

Треугольник и его элементы. Классификация треугольников в зависимости от величины углов и длины сторон. Периметр треугольника. Равные треугольники и их соответственные элементы.

Построение треугольника по трем его заданным элементам.

Равнобедренный треугольник и некоторые его свойства. Равносторонний треугольник. Тетраэдр и его элементы.

Теорема. Доказательство теоремы. Признак. Виды геометрических задач.

Основные образовательные цели - расширить знания учащихся о треугольниках; сформировать умения строить треугольники по трем заданным элементам с помощью измерительной линейки и транспортира, решать простейшие задачи на построение с помощью линейки (без делений) и циркуля.

По числу учебных задач, которые рассматриваются в данной теме, она занимает центральное место в программе 5 класса. Основная задача - классификация треугольников в зависимости от длины сторон и величины углов. Заметим, что с логической точки зрения классификацию треугольников в зависимости от величины углов более естественно давать после теоремы о сумме углов треугольника. Однако опыт преподавания показал, что рассмотрение классификаций совместно более эффективно. Умение выделять и изображать треугольники определенного вида развивает способность учащихся к аналитико-синтетической деятельности.

Формирование приема сравнения продолжается при сравнении треугольников с помощью наложения и построении их по трем заданным элементам. При построении треугольников по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам демонстрируется переход от наглядно-индуктивного к наглядно-дедуктивному рассуждению. Здесь же уместно познакомить учащихся с понятием «признак». (Целесообразность этого объясняется тем, что в учебниках систематического курса специальной работы по выяснению смысла этого термина, как правило, не проводится.) Дальнейшее знакомство с наглядно-дедуктивными рассуждениями продолжается при изучении свойств равнобедренного треугольника. Итогом проделанной работы является введение понятий «теорема», «доказательство теоремы», «условие (заключение) теоремы» и классификация геометрических задач (задачи на вычисление, доказательство, построение).

Наконец, при определении тетраэдра и его элементов школьники продолжают знакомство с обобщениями по аналогии. Тетраэдр рассматривается как пространственный аналог плоского треугольника.

Начиная с этой темы, рекомендуется начать целенаправленную работу по осмысленному воспроизведению определений понятий и формулировок теорем.

6. Перпендикулярные и параллельные прямые и плоскости (13 ч)

Число вводимых понятий, их разнообразие и различия в требованиях к уровню их сформированности обусловили то, что последняя, шестая глава пособия для 5 класса оказалась самой насыщенной как по объему, так и по количеству решаемых учебных задач. Экспериментальная проверка программы показала, что часть материала этой главы целесообразно перенести в шестой класс. В пятом классе рекомендуется рассмотреть следующие вопросы.

Перпендикулярные прямые на плоскости. Свойство двух прямых, перпендикулярных третьей. Серединный перпендикуляр к отрезку. Окружность, описанная около треугольника.

Расстояние между геометрическими фигурами. Перпендикуляр и наклонная, опущенные из точки на прямую. Расстояние от точки до прямой.

Окружность, вписанная в треугольник. Свойство биссектрисы угла. Высота треугольника.

Параллельные прямые. Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности).

Признаки и свойства параллельных прямых на плоскости.

Сумма углов треугольника. Выпуклый многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника.

Основные образовательные цели - систематизировать представления учащихся о взаимном расположении прямых на плоскости; ввести отношения перпендикулярности и параллельности прямых на плоскости; рассмотреть свойства указанных отношений и понятий; значительно расширить круг планиметрических понятий, которые в дальнейшем будут изучаться в систематическом курсе.

При организации учебно-познавательной деятельности учащихся большое внимание уделяется экспериментированию и

практическому моделированию с листом бумаги и плоскими фигурами. Достижение же должного развивающего эффекта в процессе изучения указанного материала опирается на одновременное привлечение в учебной деятельности наглядно-действенного, наглядно-образного и формирующегося логического мышления. Эмпирическое познание, осуществляемое в процессе самостоятельной деятельности учащихся по измерению и предметно-практическое преобразованию геометрических фигур, должно найти свое завершение в вербальном описании произведенных действий с помощью геометрической терминологии. Тем самым продолжается формирование способностей учащихся к наглядно-дедуктивным рассуждениям.

6 КЛАСС (2 часа в неделю, всего 68 ч)

6. Перпендикулярные и параллельные прямые и плоскости (11 ч)

Четырехугольник и его элементы. Четырехугольники с параллельными сторонами (параллелограмм и трапеция). Частные виды параллелограммов (прямоугольник, квадрат, ромб). Расстояние между параллельными прямыми.

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Параллельные прямые и плоскости. Параллельные плоскости. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярные плоскости. Расстояние между некоторыми фигурами в пространстве (точка - плоскость, параллельные прямая - плоскость, параллельные плоскости).

Характеризуя данную тему в целом, можно выделить следующие основные цели ее изучения: систематизировать представления учащихся о взаимном расположении прямых на плоскости, прямых и плоскостей в пространстве; ввести отношения

перпендикулярности и параллельности прямых и плоскостей, рассмотреть свойства указанных отношений и понятий.

В стабильном курсе математики 5-6 классов, как правило, рассматривается только перпендикулярность и параллельность прямых на плоскости. Возникает неестественная ситуация. Перпендикулярность и параллельность прямой и плоскости, двух плоскостей и геометрические тела в систематическом курсе геометрии изучаются только в 10 классе, а многие школьники в настоящее время завершают свое образование после окончания 9-го класса. Получается так, что выпускник основной школы вступает в жизнь со стихийно сложившимися геометрическими представлениями о пространстве и фигурах в нем, которых ему явно недостаточно. Можно надеяться, что начальные сведения, предлагаемые программой данного пропедевтического курса, позволят хотя бы в какой-то мере восполнить этот пробел.

При формировании изучаемых в данной теме геометрических понятий большую значимость приобретают такие учебные задачи, как определение понятий, подведение под понятие, выведение следствий из определения понятия и т.д. Например, при изучении четырехугольников с параллельными сторонами важно уделить особое внимание определениям через род и видовое отличие и организовать специальную работу по их запоминанию. Совсем иным предполагается характер учебной деятельности при изучении отношений и объектов в пространстве. Здесь изложение вновь опирается на наблюдения, эксперименты и жизненный опыт учащихся, а результатом является формирование наглядных образов-представлений.

Данная глава дает большие возможности для дальнейшего раскрытия сущности понятия «признак». Однако работа по формированию этого понятия должна также вестись на разных уровнях. Если при изучении признаков четырехугольников возможны достаточно строгие дедуктивные рассуждения, то при изучении признаков перпендикулярности или параллельности прямых и плоскостей в пространстве следует ограничиться лишь индуктивными выводами, основанными на рассмотрении частных примеров. Заметим, что и в первом случае не следует требовать от каждого ученика воспроизведения всех приведен-

ных рассуждений; требования к учащимся должны соответствовать их индивидуальным возможностям и способностям.

7. Многогранники и круглые тела (6 ч)

Многогранник и его элементы. Выпуклые и невыпуклые многогранники.

Пирамида. Развертка пирамиды.

Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед и некоторые его свойства. Развертка прямоугольного параллелепипеда. Куб и его развертка.

Призма. Прямая и наклонная призмы.

Длина окружности. Цилиндр и его элементы. Развертка цилиндра.

Конус и его элементы. Развертка конуса. Сфера как поверхность вращения.

Основные образовательные цели - на наглядной основе ввести понятие многогранника и его элементов, рассмотреть основные частные виды многогранников; продемонстрировать, как с помощью вращения прямоугольника, прямоугольного треугольника, окружности можно получить цилиндр, конус, сферу, а затем определить эти круглые тела и их элементы. Это позволит систематизировать спонтанные и приобретенные в результате предыдущего обучения знания учащихся о геометрических телах, изучаемых в школьном курсе геометрии. Полученные к этому времени из основного курса математики знания о числе позволят на эмпирической основе «вывести» формулу для вычисления длины окружности. Это, в свою очередь, дает возможность рассмотреть развертки цилиндра и конуса.

Понятно, что рассматриваемые в этой теме фигуры станут подлинным объектом изучения только в старших классах основной школы. Тем не менее, их изучение в 6 классе имеет огромное значение для развития пространственных представлений и воображения. Во-первых, данная тема позволяет продолжить аналогии между плоскими и пространственными фигурами, их свойствами. Во-вторых, она позволяет показать, как происходят обобщения в классах родственных многогранников. В-

третьих, визуальный анализ разверток, их вычерчивание и последующее склеивание моделей не только формируют пространственные представления и воображение, но и создают наглядную основу для решения оптимизационных задач на минимизацию линейных размеров фигур, расположенных на развертывающейся поверхности. Авторы программы твердо убеждены, что каждый ученик средней школы должен хотя бы раз за время обучения в школе самостоятельно вычертить развертки изучаемых геометрических тел и склеить соответствующие модели. Если старшекласснику такая работа уже не интересна, то шестиклассник, напротив, выполняет ее с удовольствием. Кроме того, при ее выполнении попутно развиваются как физиологические, так и личностные качества (тонкая моторика, аккуратность). В-четвертых, работа с моделями, готовыми чертежами пространственных тел, их самостоятельное вычерчивание формирует графический опыт изображения пространственных тел на плоскости. Примеры развивающих задач, которые позволяет решать данная тема, можно продолжить и дальше.

В заключение заметим, что при рассмотрении многогранников вновь полезно обратить внимание на многозначность математического языка.

8. Площадь (18 ч)

Площадь плоской фигуры. Единицы измерения площадей. Свойства измерения площадей. Равновеликие и равносоставленные фигуры.

Площадь прямоугольника и квадрата.

Площадь треугольника (прямоугольного и произвольного). Площадь параллелограмма, трапеции, произвольного многоугольника. Площадь поверхности многогранника.

Теорема Пифагора и ей обратная.

Площадь круга. Площадь кругового сектора.

Площадь поверхности цилиндра.

Образовательные цели, решаемые в данной теме традиционны. Поэтому обратим внимание только на некоторые методические особенности ее изложения. При вычислении площадей обычно используется два основных приема: либо достраивание

фигуры до другой фигуры, способ вычисления площади которой известен, либо ее разбиение на такие фигуры. С точки зрения наглядности второй способ более продуктивен, поэтому ему отдается явное предпочтение. Оба названных способа основываются на свойствах измерения площадей и понятии равносоставленности фигур. Понятие равносоставленных фигур, как правило, в школьных учебниках отсутствует. Однако различные игры на разрезание фигур и складывание из полученных частей новых фигур позволяют достаточно легко формировать это понятие. Само же использование понятия помогает осмыслению предлагаемых способов вычисления площадей изучаемых фигур, а игры, применяющиеся при его формировании, являются великолепным средством развития наглядно-действенного мышления. Опыт и развитие, которые ребенок получает в таких играх, обусловливают способность осмыслить теорему Пифагора необычно ранно.

Приведенный в пособии способ эмпирического получения формулы площади круга интересен тем, что подобные описания, по сути говоря, служат пропедевтикой определенного интеграла.

На примере боковой поверхности цилиндра рассматривается вычисление площади поверхности, которая не является плоской. Следует отметить, что пособие содержит материал о вычислении площади боковой поверхности конуса и формулу для вычисления площади сферы. При апробации программы, как правило, этот материал также рассматривался.

9. Объем тела (12 ч)

Понятие объема тела. Единицы объема. Основные свойства измерения объемов. Равновеликие и равносоставленные тела.

Объем прямоугольного параллелепипеда и куба. Объем прямой треугольной призмы. Объем произвольной прямой призмы.

Объем цилиндра.

Тему характеризуют те же методические особенности, что и предыдущую. В пособии также содержится дополнительный

учебный материал, включающий вычисление объемов пирамиды, произвольной призмы, конуса, шара. Следует обратить внимание на то, что способ, позволяющий эмпирически подойти к формуле для вычисления объема цилиндра, аналогичен способу вычисления площади круга и полезен в пропедевтическом плане. Это же можно сказать и об описанном в пособии способе получения формулы для вычисления объема шара.

10. Отображения и преобразования (18 ч)

Центральная симметрия фигур на плоскости и в пространстве. Понятие об отображении фигур. Образ и прообраз фигуры. Центрально-симметричные фигуры. Преобразование фигуры. Центральная симметрия плоскости и пространства.

Осевая симметрия фигур на плоскости и в пространстве. Фигуры, имеющие ось симметрии. Осевая симметрия плоскости.

Зеркальная симметрия. Фигуры, имеющие плоскость симметрии.

Направленный отрезок. Вектор. Параллельный перенос фигуры и плоскости.

Направленный угол. Поворот фигуры на плоскости. Поворот плоскости относительно точки. Поворот фигуры относительно прямой в пространстве. Фигуры вращения.

Правильные многоугольники и многогранники.

Подобие фигур на плоскости и в пространстве. Масштаб.

Сжатие плоской фигуры к прямой. Эллипс.

Основная образовательная цель - дать представление о геометрических преобразованиях на плоскости и в пространстве.

В систематическом курсе данная тема традиционно считается одной из самых трудных. Это, на наш взгляд, можно объяснить следующим образом. Известно, что развитие внутреннего плана действий и умения мыслить образами, без которого невозможно успешное изучение геометрии, происходит через формирование динамичности представлений. Устоявшееся же в учебной литературе по геометрии преподнесение изучаемого материала в готовом систематизированном виде с опорой на

готовые статичные чертежи, фактическое прекращение выпуска, а соответственно и использования, наглядных пособий по геометрии, в частности, различных динамических моделей (крайне необходимых на любом из этапов ее изучения), напротив, обусловливают формирование статичных представлений. Учащемуся сложно представить фигуру в различных пространственных положениях или расположение фигур относительно друг друга, увидеть параметры возможных преобразований объекта, изменить точку наблюдения. Кстати, эти причины объясняют и то, что многие дети плохо справляются с построением сечений многогранников и крайне редко могут решать оптимизационные геометрические задачи геометрическими методами. Преобразования - это тот материал, который, как никакой другой, может способствовать развитию гибкости, пластичности и динамичности пространственных образов.

В систематическом курсе одинаково широко распространены два подхода к изучению этой темы. При первом рассматриваются отображения самих фигур друг на друга; при втором подходе преобразование фигуры определяется преобразованием плоскости или пространства, которым она принадлежит. Поскольку в 7 классе в зависимости от выбора учебного пособия, по которому будет продолжено обучение, ребенок может столкнуться с любым из них, программа и, соответственно, пособие предполагает пропедевтику обоих подходов.

Изучение темы предполагает различные способы моделирования всех основных видов преобразований, постоянное обращение к использованию преобразований в практической деятельности человека. При изучении различных видов симметрии особое внимание обращается на ее проявления в закономерностях живой и неживой природы, в творениях рук человека.

Нетрадиционным даже для систематического курса является рассмотрение сжатия фигуры к прямой. Это объясняется целью дать определение эллипса. Эллипс - это линия, которая так часто встречается ребенку в период обучения в школе (в том числе и на уроках геометрии), да и на протяжении всей последующей жизни, что где-то и когда-то ее надо определить.

5. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО СОПРОВОЖДЕНИЯ КУРСА

Предложенная программа пропедевтического курса рассчитана на использование книг [1], [2]. Содержание указанных пособий охватывает почти все фигуры и отношения, изучаемые в систематическом курсе геометрии. Весь материал разбит на главы, параграфы и пункты. Основной программный материал набран вразрядку крупным шрифтом. Часть материала набрана более мелким шрифтом; его можно использовать для организации индивидуальной работы. Появление этого материала подсказано ходом экспериментальной работы. Пункты, набранные более мелко, как правило, содержат ответы на вопросы учащихся, возникшие в ходе эксперимента. Кроме того, каждая глава заканчивается двумя дополнительными параграфами. В одном из них даются исторические сведения об изученном материале и рассказывается о его практических приложениях, а в другом -приводятся увлекательные игры, занимательные задачи, полезные советы и самоделки, также связанные с изученным.

Как уже было отмечено в объяснительной записке, наша умственная деятельность строится на образном фундаменте, а неисчерпаемые резервы памяти коренятся в ее первоначальной образности. С сожалением приходится констатировать, что существующая практика обучения геометрии не учитывает должным образом эти обстоятельства. С каким завидным упорством заставляем мы порой понять ребенка и выразить с помощью слов то, что он ни почувствовать, ни понять не может из-за отсутствия надежной наглядно-образной основы. Именно эти причины и являются тем основанием, которое побудило к непривычно широкому для 5-6 классов пропедевтическому охвату понятий систематического курса.

У детей 11-12 лет осознанные побудительные мотивы к изучению геометрии еще, как правило, не сформировались. Поэтому формирование непосредственного интереса к содержа-

нию этого предмета и к содержанию обусловленной им деятельности занимает в пособиях центральное место. С учетом особенностей развития детей указанного возраста геометрические понятия и факты вводятся на основе имеющегося у них жизненного опыта, новых наблюдений, экспериментов, конструирования и моделирования. Этой же цели служит и живой, обращенный к ученику, язык изложения.

Изучаемый материал иллюстрируется многочисленными рисунками и чертежами, значительную часть которых сопровождают нарисованные автором «ученики-треугольники». Практика показала, что подобные рисунки создают при работе с книгами дополнительный благоприятный эмоциональный фон, активизируют восприятие, внимание, память, и подтвердила, тем самым, оправданность их введения.

Несмотря на доминирующий в книгах наглядно-эмпирический характер изложения, для каждого геометрического объекта дается достаточно строгое определение, рассматриваются основные свойства и показывается их применение при решении различных задач как вычислительного, так и доказательного характера. При этом следует подчеркнуть, что автор не ставит целью обучения обязательное овладение всеми учащимися навыками логического мышления на уровне строгого обоснования геометрических фактов. Эту задачу не всегда удается решить и в ходе изучения систематического курса. Вместе с тем формирование потребности в логических обоснованиях является одной из основных учебных задач, которую данный курс призван решить. Решение этой задачи опирается на систематическое использование принципа наглядно-теоретического единства изложения.

Уместно остановиться и еще на одной методической особенности в использовании рисунков и чертежей. Решение задачи (доказательство теоремы) - живой динамический процесс. Как уже отмечалось, принятое в традиционных учебниках геометрии использование при доказательствах теорем готовых статичных чертежей противоречит диалектике самих доказательств. Поэтому в пособиях в тех случаях, когда в рассуждениях приходится на различных этапах выполнять на исходном

чертеже дополнительные построения, они фиксируются отдельно, постепенно «обогащая» первоначальный чертеж. Эта же методика используется и при рассмотрении задач на построение.

Задачный материал приводится к каждому пункту и выстраивается в соответствии с логикой изложения теоретического материала по степени нарастания трудности. Его количество и разнообразие позволит учителю организовать дифференцированную работу учащихся на уроке и при выполнении домашних заданий. Особо отметим наличие в пособии для 5 класса большого числа специальных упражнений, направленных на развитие математической речи, и разнообразных заданий на формирование навыков работы с чертежными инструментами.

При решении задач от учащихся пока еще не следует требовать подробных письменных обоснований, достаточно коротких устных пояснений; однако такая работа должна быть систематической. Конечно, если некоторые школьники без особых усилий овладевают логикой доказательства, им можно предлагать оформлять задачи более подробно. От остальных учащихся достаточно лишь знания использованных определений, формул, формулировок свойств фигур и их признаков.

Появление дополнительных параграфов, завершающих каждую главу, вызвано следующими обстоятельствами. Годами сложившаяся привычка видеть в учебной книге только систему научных знаний, изложенных на определенном уровне абстракции, привела к тому, что «учебная математика» и «занимательная математика» оказались в какой-то степени противопоставленными друг другу. До недавнего времени занимательные задачи и, уж тем более, различные самоделки встретить в учебной литературе по математике было практически невозможно. Многочисленная же литература по занимательной математике, с одной стороны, не была привязана к официально рекомендованным учебникам и учебным пособиям, а с другой стороны, -оставалась, да и теперь остается, недоступной массовому школьнику (раньше - из-за того, что являлась дефицитом; теперь - из-за своей дороговизны).

Предпринятая попытка свести учебный и занимательный материал в одной книге доказала свою эффективность. В экспе-

риментальных классах практически не было учеников, которые по собственной инициативе не читали бы дополнительных материалов. Кроме того, умелое использование этих материалов прекрасно позволяет решать и многие учебные задачи. Приведем только два примера. Вычерчивание орнаментов и розеток из окружностей, изготовление различных елочных игрушек позволяет сформировать навыки работы с циркулем. Изготовление же оригами, развивая пространственные представления и воображение учащихся, при соответствующих технологических описаниях позволяет попутно формировать представления о геометрических фигурах и их свойствах, осваивать геометрическую терминологию.

Как уже отмечалось выше, в связи с разнообразием концепций и программ, реализуемых в настоящее время в начальной школе, учащиеся, пришедшие в 5 класс, могут объективно значительно отличаться друг от друга уровнем и содержанием начальной геометрической подготовки. Попытка придать пропедевтическому курсу универсальный характер, т.е. сделать его, с одной стороны, относительно независимым от учебных материалов, используемых на предыдущем этапе, а с другой - решить прямо противоположную задачу - обеспечить максимально возможную преемственность, привела в конечном итоге к существенному увеличению первоначально предполагавшегося его объема. Кроме того, приходилось учитывать и то обстоятельство, что в 7 классе дети опять могут встретиться с различными комплектами учебников и учебных пособий. Поэтому свой отпечаток на представляемые пособия наложили заботы о реализации преемственности и в этом направлении.

При проведении в 5-6 классах пропедевтического геометрического курса по предложенной программе для организации текущего и итогового контроля рекомендуется использовать рабочие тетради [3], [4]. Эти тетради содержат самостоятельные работы, составленные в соответствии с пособиями [1], [2]. Каждая работа представляет собой некоторую тематическую целостность и включает несколько заданий. В ходе апробации ряд учителей предлагали учащимся выполнять задания постепенно, по мере изучения материала. Другие учителя предлагали само-

стоятельную работу целиком. При этом практика показала, что объем каждой приведенной самостоятельной работы позволяет ученику выполнить ее в течение одного урока.

6. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Клековкин Г.А. Геометрия 5: Учебное пособие. - М.: «ТИД «Русское слово - РС», 2004.

2. Клековкин Г.А. Геометрия 6: Учебное пособие. - М.: «ТИД «Русское слово - РС», 2004.

3. Клековкин Г.А., Евелина Л.Н. Я в мире геометрии. 5 класс: Рабочая тетрадь. - М.: «ТИД «Русское слово - РС», 2005.

4. Клековкин Г.А., Евелина Л.Н. Я в мире геометрии. 6 класс: Рабочая тетрадь. - М.: «ТИД «Русское слово - РС», 2005.

Приложение

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ

1. Основные геометрические понятия

ЗНАНИЯ

УМЕНИЯ

НАВЫКИ

1.

2.

3.

Понятия: Пространство, точка, геометрическая фигура, линия, поверхность, тело, отрезок, луч, прямая; лежать на (в), проходить через, пересекаться в (по), точка пересечения, точка самопересечения, лежать между, полуплоскость. Наложимость и равенство фигур.

Основные свойства

принадлежности точек, прямых и плоскостей. Расположение точек: на прямой, на плоскости относительно прямой.

Обозначения: точек, прямых, отрезков, лучей, плоскостей. Знаки: е , £ .

Строить с помощью линейки по заданным условиям прямые, лучи, отрезки.

Обозначать знакомые фигуры с помощью букв.

Читать простейшие тексты, в которых встречаются буквенные обозначения знакомых фигур. Правильно использовать знаки G , £ ; читать тексты с этими знаками.

Выделять изученные фигуры и отношения в окружающих предметах, на моделях, на готовых чертежах.

Строить линии по описанию (замкнутая, незамкнутая, самопересекающаяся и т.д.)

Работа с линейкой как инструментом построения.

Выяснение равенства (неравенства) фигур с помощью наложения.

Использование

буквенных обозначений для изученных фигур и знаков Е , £ .

2. Измерение длин. Расстояние между двумя точками

1.

2.

3.

Понятия: Середина отрезка, длина отрезка, единица измерения длины; ломаная, длина

Сравнивать отрезки различными способами.

Измерять с помо-

Сравнение отрезков с помощью циркуля.

Сравнение отрез-

ломаной; треугольник, многоугольник, периметр многоугольника; длина дуги; расстояние между двумя точками. Свойства измерения длины отрезка. Соотношения между длинами сторон треугольника.

Единицы измерения длины: 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км.

щью измерительной линейки и бытовых измерительных инструментов. Решать задачи: с использованием свойств измерения длины отрезков; на выделение, изображение и измерение новых фигур; на выяснение существования треугольника с заданными сторонами.

ков с помощью измерения их длин. Работа с линейкой как инструментом измерения (измерение отрезков и построение отрезков заданной длины). Сравнение длин и арифметические действия с ними, выражение заданной величины в различных единицах измерения. Соизмерение реальных размеров объектов с соответствующими единицами измерения.

3. Окружность, круг. Сфера, шар

1.

2.

3.

Понятия: Окружность и ее элементы (центр, радиус, хорда, диаметр); внутренние и внешние относительно окружности точки; дуга окружности и стягивающая ее хорда; круг; сфера и ее элементы; шар.

Равные окружности и равные дуги.

Концентрические окружности.

Строить окружность, зная ее центр и радиус (диаметр). Находить с помощью измерительной линейки радиус (диаметр) окружности, если известен ее центр.

Делить окружность на: 6 равных частей, на 3 равные части.

Работа с циркулем как инструментом для построения окружности (дуги окружности). Построение окружности: по точкам на клетчатой бумаге, от руки.

4. Углы и их измерение

1.

2.

3.

Понятия: Определение; угол и его элементы (вершина, сторона); развернутый, прямой, острый и тупой углы; плоский угол; двугранный угол и его элементы; внутренний луч угла; смежные углы; биссектриса углы; центральный угол окружности и соответствующая ему дуга; градусная мера (величина) угла (дуги). Единицы измерения углов: градус.

Находить в тексте учебника определения.

С помощью угольника определять вид угла. С помощью транспортира: измерять величину угла; строить угол заданной величины; строить биссектрису данного угла; делить угол на равные части.

Находить: величину угла, смежного с данным углом; градусную меру дуги, дополнительной к данной.

Решать задачи с использованием свойств измерения величины углов.

Измерение величины угла с помощью транспортира.

Построение с помощью транспортира угла заданной величины.

Построение с помощью чертежного угольника прямого угла.

5. Треугольник и тетраэдр

1.

2.

3.

Понятия: Разносторонний, равнобедренный, равносторонний, остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники; периметр треугольника; боковая сторона и основание равнобедренного треугольника; катет и гипотенуза

Выделять треугольники в заданной фигуре.

С помощью заданного набора инструментов определять вид данного треугольника. Строить треугольники с помощью измерительной линейки и

Выделение соответственных элементов в равных треугольниках. Построение с помощью линейки и циркуля:

1) отрезка, равного данному;

2) угла, равного

прямоугольного треугольника; соответственные элементы равных треугольников; биссектриса и медиана треугольника; вертикальные углы; тетраэдр и его элементы (вершина, грань, ребро, противоположные ребра); развертка тетраэдра.

Теорема и ее структура (условие, заключение); теорема-признак. Теоремы: признаки равенства треугольников (1-ый и 2-ой с доказательством с помощью наложения); о равенстве вертикальных углов; о свойствах равнобедренного треугольника.

транспортира:

1) по двум сторонам и углу между ними;

2) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Строить с помощью измерительной линейки и циркуля треугольник по трем сторонам.

Применять признаки равенства треугольников при решении простейших задач.

Выделять в теореме ее условие и заключение.

Изображать тетраэдр.

Вычерчивать развертку тетраэдра и изготовлять его модель.

данному;

3) биссектрисы данного угла.

Изображение треугольников всех видов.

6. Перпендикулярные и параллельные прямые и плоскости

1.

2.

3.

Понятия: Перпендикулярные прямые на плоскости; серединный перпендикуляр к отрезку; перпендикуляр и наклонная, опущенные из точки на прямую; расстояние от точки до прямой; окружность: вписанная в треугольник, описанная около треугольника.

Строить: перпендикулярные прямые с помощью угольника и линейки; серединный перпендикуляр к отрезку с помощью линейки и циркуля; параллельные прямые с помощью угольника и линейки; высоту треугольника с помощью угольника;

Построение перпендикулярных и параллельных прямых с использованием: линий клетчатой бумаги, линейки и угольника.

Деление данного отрезка пополам с помощью линейки и циркуля.

1.

2.

3.

Параллельные прямые; секущая; накрест лежащие, соответственные и односторонние углы; угол треугольника (многоугольника); диагональ многоугольника; выпуклый многоугольник.

Элементы четырехугольника; параллелограмм; прямоугольник; квадрат; ромб; трапеция и ее элементы; расстояние между параллельными прямыми. Параллельные прямые в пространстве; скрещивающиеся прямые; параллельные прямая и плоскость; параллельные плоскости. Линейный угол двугранного угла; перпендикулярные прямая и плоскость, перпендикулярные плоскости. Перпендикуляр и наклонная, опущенные из точки на плоскость; расстояния: от точки до плоскости, между параллельными прямой и плоскостями, между параллельными плоскостями.

Свойства: двух прямых на плоскости, перпендикулярных третьей прямой; серединного

перпендикулярные и параллельные прямые с помощью клетчатой бумаги.

Строить четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб, трапецию.

Правильно использовать знаки _L, У; читать тексты с этими знаками.

Выделять в окружающих предметах, на моделях и готовых чертежах: перпендикулярные, параллельные, скрещивающиеся прямые; параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные прямые и плоскости; параллельные и перпендикулярные плоскости.

Находить на готовых чертежах, используя признаки: параллельные прямые; параллельные и перпендикулярные прямые и плоскости; перпендикулярные плоскости. Решать простейшие задачи на вычисление, измерение и построение, используя изученные свойства и признаки.

Использование знаков _L, ||. Нахождение с помощью угольника и измерительной линейки: расстояния от точки до прямой, расстояния между параллельными прямыми, высоты данного треугольника.

Построение с помощью угольника и измерительной линейки: квадрата с данной стороной, прямоугольника с данными измерениями.

перпендикуляра к отрезку; биссектрисы угла; параллельных прямых; сторон и углов параллелограмма. Признаки: параллельности двух прямых; параллелограмма; перпендикулярности прямой и плоскости; перпендикулярности двух плоскостей.

7. Многогранники и круглые тела

1.

2.

3.

Понятия: Геометрическое тело; многогранник и его элементы (вершины, ребра, грани, диагонали); выпуклый многогранник. Пирамида; основание, боковые ребра и грани, высота, развертка пирамиды.

Параллелепипед; основание, боковые ребра и грани, высота, развертка параллелепипеда; Прямоугольный параллелепипед; измерения (длина, ширина, высота), развертка прямоугольного параллелепипеда. Куб. Призма; основание, боковые ребра и грани, высота призмы; прямая и наклонная призмы. Длина окружности.

Выделять: модели многогранников и круглых тел в окружающей обстановке, узнавать многогранники и круглые тела по их изображению на чертежах.

Находить и называть нужные элементы многогранников и круглых тел на их моделях и изображениях. Находить параллельные и перпендикулярные ребра и грани на моделях и изображениях многогранников. Строить: изображения пирамиды, параллелепипеда, призмы, цилиндра, конуса, шара; развертки многогранника, цилиндра и конуса по заданным

Изображение пирамиды, параллелепипеда, призмы, цилиндра, конуса, шара.

Построение нужного многогранника по заданным условиям. Чтение чертежа пространстве иной фигуры.

Обозначение многогранников и круглых тел, их элементов.

Цилиндр; основания, радиус, образующая, ось, высота, боковая поверхность, развертка цилиндра.

Конус; основание, вершина, радиус, образующая, ось, высота, боковая поверхность, развертка конуса. Сфера как фигура вращения.

Основные свойства параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда.

условиям.

Обозначать многогранники и круглые тела, их элементы на чертежах.

Изготовлять модели многогранников, цилиндра и конуса.

8. Площадь

1.

2.

3.

Понятия: Площадь плоской фигуры, равновеликие и равносоставленные фигуры,единицы измерения площади. Круговой сектор, дуга сектора.

Свойства измерения площадей.

Теорема Пифагора и теорема, обратная ей. Формулы для вычисления площади: прямоугольника, квадрата, треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, кругового сектора, поверхности прямоугольного параллелепипеда, поверхности цилиндра. Единицы измерения

Находить площадь плоской фигуры: с помощью палетки, с помощью формул по заданным условиям, используя свойства измерения площадей. Строить: 1 см2, 1 дм2, 1 м2.

Переводить единицы площади из одних в другие; выражать площадь фигуры в разных единицах площади; сравнивать площади фигур, заданные с помощью разных единиц. Проводить необходимые измерения для измерения пло-

Нахождение площадей фигур с помощью палетки.

Вычисление с помощью соответствующих формул площадей: прямоугольника, квадрата, треугольника, параллелограмма, трапеции, круга. Перевод единиц площади из одних в другие.

площади: 1 мм2, 1 см2, 1 дм2, 1 м2, 1 км2.

щади данной фигуры и находить числовое значение ее площади. Сравнивать площади плоских фигур разными способами; устанавливать равновеликость фигур. Применять свойства измерения площадей при решении простейших задач.

9. Объемы

1.

2.

3.

Понятия: Объем тела, равновеликие и равносоставленные тела, единица измерения объема. Свойства измерения объема.

Формулы для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда, куба, прямой призмы, пирамиды, цилиндра, конуса. Единицы измерения объема: 1 мм3, 1 см3, 1 дм3, 1 м3, 1 км3.

Находить объем тела: с помощью формул по заданным условиям, используя свойства измерения объемов. Изготовлять модели единиц объема: 1 см3, 1 дм3, 1 м3.

Переводить единицы объема из одних в другие; выражать объем тела в разных единицах объема; сравнивать объемы тел, заданных с помощью разных единиц.

Проводить необходимые измерения для измерения объема модели геометрического тела и находить числовое значение ее объема. Сравнивать объемы геометрических тел разными способами;

Вычисление с помощью соответствующих формул объемов: прямоугольного параллелепипеда, куба, прямой призмы, пирамиды, цилиндра, конуса.

Перевод единиц объема из одних в другие.

устанавливать равновеликость тел. Применять свойства измерения объемов при решении простейших задач.

10. Отображения и преобразования

1.

2.

3.

Понятия: Точки, симметричные относительно данной точки; центральная симметрия фигур на плоскости и в пространстве; центр симметрии; фигуры, имеющие центр симметрии; центральная симметрия плоскости. Отображение фигур, образ и прообраз фигур, преобразование фигуры. Точки, симметричные относительно данной прямой; осевая симметрия фигур на плоскости и в пространстве; ось симметрии; фигуры, имеющие ось симметрии; осевая симметрия плоскости.

Точки, симметричные относительно данной плоскости; зеркальная симметрия фигур в пространстве; плоскость симметрии; фигуры, имеющие плоскость симметрии; зеркальная симметрия пространства. Направленный отрезок.

Строить с помощью линейки и циркуля образ данной точки (прямой, окружности) при центрально и осевой симметрии, при параллельном переносе, при повороте. Моделировать отображения фигур и преобразования плоскости с использованием кальки, копировальной бумаги, перегибания листа бумаги. Визуально находить на рисунках и чертежах (в окружающем мире) фигуры, имеющие центр (ось, плоскость) симметрии. Строить векторы: равные данному вектору, сонаправленные и противоположно направленные с данным вектором. Откладывать данный вектор от данной точки.

Построение с помощью линейки и циркуля точки (прямой, окружности), симметричной заданной точке (прямой, окружности), относительно данного центра симметрии.

Построение с помощью линейки, циркуля и угольника (линейки и циркуля) точки (прямой, окружности), симметричной заданной точке (прямой, окружности), относительно данной оси симметрии. Построение с помощью линейки, циркуля и угольника (линейки и циркуля) образа данной

1.

2.

3.

Вектор, длина вектора; сонаправленные, противоположно направленные, равные векторы; откладывание вектора от точки.

Параллельный перенос точки (фигуры, плоскости).

Направленный угол, равные направленные углы, величина направленного угла.

Поворот точки (фигуры) на плоскости вокруг данной точки в данном направлении; центр и угол поворота; поворот плоскости; фигуры, имеющие центр поворота.

Поворот точки (фигуры) в пространстве вокруг данной прямой; ось поворота; фигура вращения.

Правильные многоугольники.

Правильные многогранники.

Подобие фигур на плоскости и в пространстве. Подобные многоугольники, сходственные стороны подобных многоугольников. Масштаб.

Гомотетия на плоскости; центр и коэффициент гомотетии.

Строить направленный угол, равный данному направленному углу.

Измерять заданный направленный угол. Строить правильные многоугольники с помощью линейки, циркуля и транспортира. Вычерчивать развертки правильных многогранников и изготовлять их модели. Визуально находить на рисунках и чертежах (в окружающем мире) подобные фигуры.

Строить треугольник, подобный данному с помощью измерительной линейки и циркуля, если задан коэффициент подобия. Производя необходимые измерения, строить план комнаты в масштабе.

Строить эллипс как фигуру, получающуюся с помощью сжатия окружности к ее диаметру.

Изготовлять шаблоны эллипсов с заданными осями.

Пользоваться шаблонами эллипса при вычерчивании цилиндра,

точки (прямой, окружности) при параллельном переносе на данный вектор. Построение с помощью транспортира, линейки и циркуля (линейки и циркуля) образа данной точки (прямой, окружности) при повороте вокруг данной точки на данный направленный угол. Изображение цилиндра, конуса, шара с использованием шаблона эллипса.

1.

2.

3.

Сжатие фигуры к прямой; ось и коэффициент сжатия.

Эллипс, оси и центр эллипса.

Основные свойства: центральной и осевой симметрии, параллельного переноса, поворота.

Обозначения:

конуса, шара.

Геннадий Анатольевич Клековкин

Любовь Николаевна Евелина

ГЕОМЕТРИЯ. 5-6 КЛАСС

ПРОГРАММА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ПРОПЕДЕВТИЧЕСКОГО КУРСА

Редактор и корректор Е.Ю. Петухова Художественное оформление обложки Г.А. Клековкин

Издательская лицензия ЛР №066327 от 23.02.99. Гигиенический сертификат №77.99.6.953. П.608.2.99 от 12.02.99 выдан Департаментом Госсанэпиднадзора Минздрава РФ.

Подписано в печать 25.01.05. Формат 60 х 84/16 Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,875. Тираж 200 экз.

ООО «ТИД «Русское слово - РС». 119034, Москва, Пречистенская наб., д. 15, стр. 2. Тел.: (095) 351-44-51, 202-62-37.

Отпечатано с готовых диапозитивов в типографии «Инсома-пресс» Самара, ул. Советской Армии, 217