ОПЫТ ПЕРЕДОВОГО УЧИТЕЛЯ

Н.В. КАВЕРИН

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

УЧПЕДГИЗ 1952

Н.В.КАВЕРИН

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ (V-VI КЛАССЫ)

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1952

От редакции

Данная брошюра «Методы решения арифметических задач в средней школе» является обобщением многолетнего труда автора по преподаванию арифметики. На конкретных задачах автор показал, как он в своей практической работе использовал методы (анализ и синтез) решения арифметических задач.

Все замечания о данной работе просьба направлять по адресу: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, редакция математики.

ВВЕДЕНИЕ

Проблема решения арифметических задач является одной из важнейших в деле обучения математике. Задачи имеют большое образовательное, воспитательное и практическое значение.

В процессе решения задач наши ученики глубже осознают смысл арифметических действий и понятий, учатся разлагать сложное целое на более простые элементы, простое же — объединять, связывать, образовывать более сложное, учатся рациональным приёмам работы, вырабатывают стремление к преодолению трудностей. При решении задач воспитывается воля, развивается логическое мышление, творчество, инициатива, сообразительность, развиваются конструктивные способности детей. Кроме того, задачи являются благодарным материалом в деле приложения математической теории к практике. Уменье решать задачи обеспечивает успех в дальнейшем образовании и помогает разрешать практические жизненные вопросы, нужные в самых разнообразных отраслях нашего социалистического строительства.

Внимание к вопросам решения задач объясняется ещё и сложностью самого процесса решения. Научить учащихся решать арифметические задачи есть дело более

трудное, чем научить овладению вопросами математической теории. Отсутствие достаточных навыков в решении задач до сих пор является одной из важнейших причин, снижающих успеваемость по математике и препятствующих успешно продолжать образование в средней школе, техникумах и вузах.

В своей работе автор намерен ещё раз привлечь внимание учительства к этой важнейшей проблеме и остановиться на двух вопросах:

1) анализ и синтез как основные методы решения арифметических задач;

2) отдельные этапы в решении задач.

Часть I

1. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ —ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Анализ и синтез есть основные методы познания: «...мышление,— говорит Энгельс,— состоит столько же в разложении предметов сознания на их элементы, сколько в объединении связанных друг с другом элементов в единство. Без анализа нет синтеза» (Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1950, стр. 40).

Анализ — греческое слово (analysis), что означает разложение, расчленение, разбор.

Анализ есть метод научного познания путём разложения вещественного предмета или логического объект на составные части. Анализ в обучении математике, как и в познании, имеет громадное значение.

Синтез (греческое synthesis — соединение, сочетание, составление) есть метод изучения предмета в его целостности, в единстве и взаимной связи его частей. Синтез связан в процессе познания с анализом.

В гениальных трудах В. И. Ленина и И. В. Сталина вопросы познания подняты на недосягаемую высоту. Взаимосвязь, взаимообусловленность предметов и явлений выступает как закон их существования.

Марксистско-ленинская диалектика учит, что всякая наука тогда признаётся наукой, когда она правильно от-

ражает объективную реальность, не противоречит практике и двигает эту практику вперёд.

Исходя из этих положений, мы должны считать, что анализ и синтез в наших методиках и нашей практике обучения должны рассматриваться не в отрыве один от другого, а в их диалектическом единстве. Действительно, решая задачу не только трудную, составную, но и даже простую, в одно действие, ученик прибегает одновременно к анализу и синтезу. Если ученик использовал в решении задачи все числа, получил верный ответ, то, шел ли он от данных задачи и переходил к главному вопросу или начинал с главного вопроса, составлял план решения и подбирал необходимые данные для поставленных им вопросов,— в обоих случах он использовал и анализ и синтез. Даже в простой задаче, если ученик выделил из общего текста поставленный вопрос, нашёл нужные числа и сказал, каким действием надо решить этот вопрос, то он действительно прибегал и к анализу и к синтезу. Такие же процессы мышления происходят не только при решении задач, но и примеров, начиная с примеров на сложение в пределах десяти и кончая наиболее сложными примерами на совместные действия с целыми и дробными числами в V и VI классах.

Вот маленькая иллюстрация к этому: когда ученику дан числовой пример в 6—7 и более действий, то этот сложный пример ученик должен разбить на отдельные элементы — действия, т. е. сделать анализ; но делая эту разбивку и затем выполняя действия, ученик прибегает и к синтезу: он объединяет, сочетает нужные числа для одного действия, затем для другого, т. е. он вновь из частей составляет целое, т. е. применяет синтез.

Анализ, как и синтез, имеет широкое распространение в обучении и познании, начиная с самых ранних ступеней. Ещё в I классе, обучая грамоте, прибегают к ана-

литико-синтетическому приёму и этими же приёмами пользуются при разборе предложений и различных художественных и деловых статей. Даже ребёнок, в возрасте 2—4 лет, каждый новый предмет, новую игрушку, познаёт с использованием анализа и синтеза: предмет, игрушку он старается разложить на части, а потом соединить эти части и бывает очень удовлетворён, когда ему это удаётся, и весьма недоволен, когда эти операции протекают неудачно. Такова практика, доступная детям.

К сожалению, в отдельных методиках освещение анализа часто даётся в сочетании с такими словами: «труден», «недоступен» и т. д., а больше пользоваться синтезом, разбирать аналитическим методом задачи в средней школе только в 2—3 вопроса или задачи, ранее решённые синтетическим методом. Подобные суждения приходится слышать и от отдельных учителей.

Такая трактовка аналитического и синтетического методов неправильна, ненаучна и противоречит практике. Работы лучших учителей математики, достигающих замечательных успехов, есть результат широкого использования обоих методов, как анализа, так и синтеза, в их единстве и опровергают то положение, что анализ малодоступен учащимся. В процессе решения задач мы применяем и анализ и синтез, а потому не совсем верно считать, что при решении задач мы пользуемся отдельно методом или аналитическим, или синтетическим.

Можно говорить об аналитическом и синтетическом методах разбора как этапах в процессе решения задач и совсем неверно делать вывод, что надо применять в школе по преимуществу синтетический метод. Это умаляет роль анализа и не соответствует теории познания и практике обучения решению задач в нашей школе.

Некоторые учителя отдают предпочтение синтетическому методу, потому что при решении задач он быстрее

приводит к цели. Но это верно только при решении задач с так называемым прозрачным содержанием, задач-примеров, где числа расположены так, что можно поочерёдно брать каждую пару их или новое найденное число и следующее число из условия и, не задумываясь, без анализа производить над ними действия и получить нужный ответ. Приведём пример такой задачи.

Задача 1. Рабочий-стахановец заказал строительной конторе выстроить ему дом с рассрочкой платежа на б лет. Стоимость дома 14 580 руб. В 1-й год надо заплатить — стоимости, во 2-й год 4“ остатка, в 3-й нового остатка, в 4-й снова треть остатка, а в 5-й год всю остальную часть. Сколько денег уплатил рабочий в 5-й год?

Здесь зависимость между величинами очень проста и от ученика требуется главным образом уменье решать задачи в одно действие и знать технику вычислений.

Но широкое использование по преимуществу синтетического приёма ставит ученика в весьма затруднительное положение при решении задач более сложных, задач, где зависимость между данными и искомыми даётся в завуалированной форме. Вот одна из таких задач.

Задача 2. Школа купила 280 билетов в театр и кино. Стоимость билета в театр относилась к стоимости билета в кино, какЗ 1,3. Билет в кино стоил дешевле билета в театр на 2 руб. 40 коп. Число билетов в театр составляло 27 % числа билетов в кино. Сколько стоили все билеты в театр и кино вместе?

При решении таких задач один синтетический приём » методика разбора, соответствующая этому приёму: что узнать сначала? что узнать потом? и т. д.— не приведёт к положительному результату. Несомненно, здесь «адо применять оба метода: анализ и синтез.

2. МЕТОДЫ РАЗБОРА УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ

Различают следующие методы разбора: аналитический, аналитико-синтетический и синтетический. Если методика разбора протекает от главного вопроса задачи к вопросам второстепенным, то принято этот разбор считать аналитическим. Если же разбор идёт в обратном порядке, т. е. от данных условия, от второстепенных вопросов к главному, то этот приём относят к синтетическому методу.

В ряде случаев практикуется применение того и другого метода. При этом сначала разлагают составную задачу не на простые задачи в одно действие, а на другие, тоже составные задачи, но менее сложные по своему содержанию, чем данная задача, и затем переходят к синтетическому разбору и решению каждой выделенной задачи отдельно. Последний метод разбора принято называть аналитико-синтетическим методом.

Приведём отдельные примеры разбора условия задач.

Задача 3. Из двух пунктов А и В одновременно вышли навстречу один другому два автомобиля. 1-й автомобиль, вышедший из ß, имел скорость 50 км в час, а 2-й автомобиль, идущий из Л, шёл со скоростью 40 км в час. Встреча автомобилей произошла на расстоянии 20 км от середины. Определить расстояние между пунктами А и В.

Иллюстрация к задаче 3

На чертеже отмечено направление движения, середина пути и место встречи, что и должно быть установлено в результате анализа условия, а именно: так- как автомобили вышли одновременно, т. е. были одинаковое время в пути и что 1-й шёл со скоростью 50 км/час, а 2-й 40 км/час, то отсюда следует, что 1-й автомобиль прошёл большее расстояние, чем 2-й, и поэтому указанное в условии место встречи должно находиться на 20 км от середины в сторону того пункта, из которого вышел 2-й автомобиль.

Целесообразно дать к задаче такую запись условия:

Наименования

Путь в км

Скорость в км/ч

Время в часах

Определить

1-й автомобиль

50 км/час

Вышли одновременно

Расстояние между А и В

2-й автомобиль

40 км/час

1-й и 2-й автомобили

Встретились на расстоянии 20 км от середины. Их путь равен AB

Сам процесс составления иллюстрации и краткой записи условия уже является некоторым анлизом условия. Допустив, что такие записи сделаны на доске и в тетрадях учеников, дальнейший разбор будем проводить примерно так:

1) Устанавливаем, что в данной задаче известно следующее:

а) скорости автомобилей (50 км и 40 км)\

б) время выхода (вышли одновременно);

в) место встречи (20 км от середины).

2) Требуется узнать расстояние между А и В.

Припоминаем основные зависимости между величинами, входящими в задачу, а именно: связь между расстоянием, скоростью и временем. Обращаем внимание, что весь путь AB слагается из двух расстояний: пути, пройденного 1-м автомобилем, и пути, пройденного 2-м. Отсюда заключаем, что для ответа на главный вопрос надо знать 2 числа: время движения и сумму скоростей движения 1-го и 2-го автомобилей.

Сумма скоростей находится легко, так как дано, что скорость 1-го автомобиля 50 км, а 2-го 40 км в час, а потому основное внимание должно быть направлено на нахождение времени движения.

Как определить время? Что надо использовать для этого из условия задачи, что нам дано по этому вопросу, что надо узнать для нахождения времени?

Путём таких вопросов вместе с учениками определяем следующее:

Зная, что автомобили встретились на расстоянии 20 км от середины, утверждаем, что место встречи находилось от середины влево, по направлению движения 1-го автомобиля, так как 1-й автомобиль шёл быстрее 2-го, а в пути они были одинаковое время, поэтому они прошли разные расстояния, т. е. 1-й прошёл после середины пути ещё 20 км, а 2-й не дошёл до середины пути 20 км. Следовательно, можем узнать, на сколько километров прошёл 1-й автомобиль до встречи больше, чем 2-й. (Это решается сложением 20 км и 20 км, это же видно из чертежа к условию задачи.)

Таким образом, мы получаем, что 1-й автомобиль про-шёл за всё время лишних 40 км. Отсюда нетрудно сообразить, что если за всё время 1-й автомобиль прошёл на 40 км больше, чем 2-й, то, узнав разницу в скоростях за 1 час, можно узнать и то время, какое были в пути

оба автомобиля. Очевидно, это время будет равно разности расстояний, пройденных каждым автомобилем, делённой на разность их скоростей.

Теперь легко составить и весь план решения.

В плане вопросы будут идти в порядке, обратном расположению вопросов при анализе.

1. На сколько километров 1-й автомобиль проходит в 1 час больше, чем 2-й, если известно, что скорость в 1 час 1-го автомобиля равна 50 км, а 2-го 40 км?

2. Зная, что поезда встретились на расстоянии 20 км от середины всего пути, найдём, на сколько путь 1-го автомобиля до встречи был больше пути 2-го автомобиля?

3. Сколько времени в пути были оба автомобиля, если известно, что за это время 1-й автомобиль прошёл боль-ше, чем 2-й, на 40 км, а каждый час 1-й автомобиль проходил на 10 км больше 2-го?

4. Сколько километров пройдут оба автомобиля за 1 час, если известно, что 1-й проходил за 1 час 50 км, а 2-й 40 км?

5. Сколько километров между пунктами А и В, если известно, что при встречном движении оба автомобиля проходили в час 90 км9 а время движения 4 часа?

Решение

1) 50-40=10 (км)

2) 20 -f 20 = 40 (км)

3) 40 : 10 = 4 (часа)

4) 50 +40 = 90 (км)

5) 90 • 4 = 360 (км)

Ответ. AB = 360 км. Разберём ещё одну задачу.

Задача 4. На одном складе было 185 т угля, а на другом 220 т. Ежедневно с каждого склада отпускали

по 15 т. Через сколько дней на втором складе будет в 2 раза больше угля, чем на первом?

Решение этой задачи основано на зависимости компонентов вычитания и уменье решать задачи по разности и кратному отношению, т. е. на знаниях, предусмотренных программой не только V класса, но и IV класса начальной школы.

В условии сказано, что на 2-м складе после отпуска угля осталось в 2 раза больше, чем на 1-м, т.е. дано кратное сравнение, а по наличию угля можно узнать их разностное сравнение. Полезно поставить такие вопросы:

1) Как ещё можно сравнивать наличие угля на складах? (Можно узнать, на сколько или во сколько раз было угля на 2-м складе больше, чем на 1-м.)

2) Что надо узнать, чтобы решить главный вопрос одним действием? [Надо узнать, сколько угля отпустили за всё время с каждого склада и сколько отпускали ежедневно (последнее число, т. е. ежедневный отпуск, дано 15 т).]

Знание и опыт должны убедить учеников, что разность между первоначальным количеством угля и количеством его, оставшимся после отпуска одного и того же числа тонн с каждого склада, не меняется ввиду неизменяемости разности при уменьшении вычитаемого и уменьшаемого на одно и то же число. [Это имеет место и в нашей задаче: первоначальная разность 220—185=35 (тонн) останется неизменной, потому что от 220 т и 185 т отнимают одинаковое число раз по 15 т.]

Таким образом, можно сделать следующий вывод: Разность между количеством угля, бывшего на каждом складе первоначально, и разность между количеством угля, оставшегося на 1-м и 2-м складах после ежедневного отпуска по 15 т, будет в начале и в конце отпуска угля со складов равняться 220—185=35 (т). Отсюда:

1) Зная разность и кратное отношение, равное 2, можно найти, сколько осталось угля на складах. Очевидно, что 1 часть оставшегося угля равна 35 т, а 2 части равны 35 • 2=70 (т).

2) Затем надо определить по остатку и уменьшаемому, сколько угля отпустили, так как мы знаем, сколько угля осталось, и знаем, сколько было первоначально,

3) Зная количество всего отпущенного угля с каждого склада и количество тонн, отпускаемых ежедневно со склада, можно решить и главный вопрос, т. е. узнать, через сколько дней на 2-м складе будет угля в 2 раза больше, чем на 1-м.

После такого разбора легко наметить план решения:

1) Найти разность между первоначальным наличием угля на 1-м и 2-м складах.

2) Найти разность в частях, приняв остаток на 1-м складе за 1 часть, а на 2-м складе за 2 части, или узнать, сколько осталось угля ьа 1-м складе.

3) Сколько угля было отпущено с 1-го склада, если известно, что там первоначально было 185 т9 а осталось 35 т?

4) Сколько дней отпускали по 15 т с каждого склада, если всего отпустили по 150 т?

Решение

1) 220—185=35 (т)

2) 2—1=1 (часть), что составляет 35 т

3) 185—35=150 (т)

4) 150:15 = 10 (дней)

Ответ. 10 дней.

Целесообразно для решения этой задачи применить графический метод, тогда разбор задачи значительно упростится и быстро будет найдено надлежащее решение.

Само построение иллюстрации является одной из частей анализа. На чертеже видно, что первоначальная и последующая разность в количестве угля на складах одинакова и равна 35 т. Зная, что на 2-м складе осталось в 2 раза больше, чем на 1-м, легко определить, что на 1-м складе осталась одна такая часть, каких на 2-м осталось две, и к тому же остаток на 1-м складе будет равен 35 т. Отсюда легко составляется весь дальнейший план решения, который и был приведён при первом разборе условия задачи.

Решению подобных задач должна предшествовать подготовительная работа по решению более простых задач.

В качестве подготовительной работы к задаче 4 следует устно решить несколько более простых задач.

1) На 1-м складе было 40 /л, а на 2-м складе 50 т угля. Какое количество угля останется на 1-м и 2-м складах после отпуска с каждого склада в течение одного дня по 10 т угля?

2) Какое количество угля останется на складах после отпуска в течение 2 дней ежедневно по 10 т?

3) Сколько угля останется после отпуска в течение 3 дней, если отпускали ежедневно по 10 т с каждого склада?

4) Сравнить, на сколько больше угля было на 2-м складе, чем на 1-м:

а) первоначально,

б) после отпуска по 10 т,

в) после отпуска в течение 2 дней по 10 т,

г) после отпуска по 10 т в течение 3 дней.

Ответы подтвердят, что разность в этом случае не меняется, а остаётся постоянной, потому что от уменьшаемого и вычитаемого отнимают во всех этих случаях по одному и тому же числу.

Вот эти разности:

В 1-й задаче:

1) 50 — 40 = 10 (т),

2) (50 — 10) — (40 — 10) = 10 (т).

Во 2-й задаче:

(50 — 20) — (40 — 20) = 10 (т).

В 3-й задаче:

(50 — 30) — (40 — 30) = 10 (т).

Полезно поставить и такие вопросы:

1) Сравнить, во сколько раз на 2-м складе в этих случаях будет оставаться больше угля, чем на 1-м?

2) Какая разность в количествах оставшегося угля на 1-м и 2-м складах после отправки по нескольку тонн и разность, бывшая первоначально на 1-м и 2-м складах?

3) Чему равняется кратное отношение, или во сколько раз на 2-м складе останется угля больше, чем на 1-м (в 3-й задаче)?

Кроме этих надо дать и другие подготовительные задачи на нахождение неизвестного числа по разности и кратному отношению этих чисел. Например:

1. Разность двух чисел равна 120, а их частное равно 3. Найти эти числа.

2. 1 число больше II на 70, и в то же время I число больше II в 6 раз. Найти эти числа.

Подробный разбор приведённых выше задач (3 и 4) показывает, что для сознательного решения задач необходимо применение не только аналитического, но и синтетического или, точнее сказать, аналитико-синтетиче-ского приёма.

Разбирая 3-ю и 4-ю задачи, начиная с главного вопроса, мы в отдельных случаях прибегали не только к анализу, но и к синтезу. Например, при разборе 4-й задачи, поставив главный вопрос: через сколько дней на одном из складов будет в 2 раза угля больше,чем на другом?— мы обращали внимание и на исходные данные, сколько было угля первоначально на одном складе (185 т) и на другом (220 т). Затем по этим данным сразу пытались получить новые числа или решить такой вопрос, ответ на который нам необходим для решения главного вопроса. Провести полный аналитический разбор этой задачи путём «чистого» анализа было бы для учащихся крайне затруднительно и к тому же явно нецелесообразно.

При разборе 3-й задачи мы имели то же самое.

Установив, что для решения главного вопроса надо знать сумму скоростей и время, мы дальше много внимания уделили синтетическому разбору, а именно: обращали внимание на скорость 1-го и скорость 2-го автомобиля и установили, что можно и нужно узнать по этим данным. (Узнать сумму и разность скоростей.) Разбирали возможность нахождения разности путей, пройденных 1-м и 2-м автомобилями до момента встречи, а затем уже после этого отступления в сторону синтетического приёма мы пошли вновь по пути аналитического разбора.

То же самое происходит и при решении большинства задач; но мы всё-таки иногда называем один разбор аналитическим, а другой — синтетическим, смотря по тому, каким моментам при разборе мы уделяем больше внимания, что берём за исходное, как ведём разбор: идём от глав-

кого вопроса к второстепенному, т. е. от неизвестных величин к известным, или, наоборот, от данных величин постепенно подходим к главному вопросу. 1-й вид раз-бора условились называть аналитическим, а 2-й —синтетическим.

Разбор условия задачи — важнейший этап в её решении. Б разборе вскрывается функциональная зависимость между величинами, входящими в задачу, проводится расчленение сложного на составляющие его простые элементы; разбор помогает и объединить эти элементы, а также трудную задачу разбивать на несколько более легких, простых задач, решив которые, можно получить ответ и на главный вопрос задачи.

Несомненно, основные пути разбора — это путь анализа и синтеза. Разнообразие задач по степени их трудности, по их структуре, а также уровень развития в подготовки учащихся V—VI классов требуют от учителя большого искусства, творческого подхода к разбору. В практике имеют место 2 формы разбора: 1) предварительный и 2) полный разбор, завершающий составление плана.

Необходимо давать учащимся возможность подумать, проявить свою сообразительность, инициативу, творчество. Полезно чаще ставить такие вопросы при разборе? что надо узнать? как узнать? почему, зачем мы это узнаём? как заменить эту задачу другой, более лёгкой? на какую задачу эта задача похожа?

Необходимо предварительно добиваться сознательного понимания и запоминания задачи; надо устанавливать связи между величинами, надо представлять задачу в стадии динамики, а не статики. Следует строить раз-бор так, чтобы было обеспечено ясное восприятие, понимание условия всеми учащимися.

Вывод может быть только один: анализ и синтез в

практике решения задач проявляются в их диалекта-ческом единстве; без одного метода нет места и другому. Учит или не учит учитель овладению обоими методами, а ученики независимо от учителя применяют эти методы и не могут их не применять. А потому одна из методических проблем решения задач — научить учащихся ра-ционально пользоваться анализом в единстве с синтезом.

3. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Остановимся на разборе условия задач аналитическим методом, с последующими или параллельными записями разбора, а иногда и составлением соответствующих схем. Возьмём такую задачу.

Задача 5. Товарный поезд прошёл расстояние от Москвы до Сталинграда через Воронеж за 36 часов. Расстоя-ние от Москвы до Воронежа в 640 км он проходил со скоростью 32 км/час, а остальное расстояние — со скоростью 27 км/час. Сколько километров от Москвы до Сталинграда?

После чтения задачи и усвоения её содержания сделаем чертёж и краткую запись условия.

Краткая запись условия

Путь в км

Скорость в км/час

Время в часах

1, Москва — Воронеж в 640 км . .

32

?

2. Воронеж — Сталинград ? . • .

27

?

3. Москва —Сталинград ? . . .

—.

36

По чертежу и краткой записи условия нетрудно выделить величины, которые входят в условие задачи, и установить зависимость между ними.

Известные величины:

1) расстояние от Москвы до Воронежа 640 км\

2) скорость поезда на этом участке 32 км/час;

3) скорость поезда на участке Воронеж — Сталинград 27 км/час;

4) время движения поезда от Москвы до Сталинграда 36 час

Неизвестные величины:

1) время движения на участке Москва — Воронеж и Воронеж — Сталинград;

2) расстояние от Воронежа до Сталинграда.

Требуется определить расстояние от Москвы до Сталинграда.

После этого продолжаем дальнейший разбор и составляем план решения при активном участии всего класса.

Вопрос. Что требуется узнать в задаче?

Ответ. Сколько километров от Москвы до Сталинграда.

Записываем этот главный вопрос задачи на доске, а ученики записывают его в своих тетрадях.

Вопрос. Из каких двух участков состоит всё расстояние?

Ответ. Из участка от Москвы до Воронежа и от Воронежа до Сталинграда.

Вопрос. Что нам известно о расстоянии между этими городами?

Ответ. Нам известно, что от Москвы до Воронежа 640 км.

Вопрос. Значит, чего же нам нехватает, чтобы определить всё расстояние?

Ответ. Нам нужно ещё знать расстояние от Воронежа до Сталинграда.

Вывод. Чтобы определить расстояние от Москвы до Сталинграда, необходимо знать такие данные: расстояние от Москвы до Воронежа и от Воронежа до Сталинграда.

Вопрос. Каким действием определим всё расстояние?

Ответ. Действием сложения.

Теперь запишем сначала на доске, а ученики в тетрадях, что нам нужно знать для решения главного вопроса задачи, и отметим, что нам уже известно.

Мы видим, что для решения главного вопроса задачи нам раньше нужно узнать расстояние от Воронежа до Сталинграда.

С этим новым выделенным вопросом поступаем так же, как и с главным, т. е. устанавливаем, какие надо иметь данные, чтобы решить этот вопрос одним действием.

Нам известна скорость движения поезда от Воронежа до Сталинграда (27 км в час), но неизвестно время движения. Отсюда делаем вывод: чтобы узнать расстояние между Воронежем и Сталинградом, надо, кроме скорости движения, знать время движения поезда на этом участке.

Получаем такую запись:

Таким образом, мы выделили третий вопрос: определение времени движения между Воронежем и Сталинградом.

Вопрос. Что мы знаем о времени движения по условию?

Ответ. В условии дано, что всё расстояние, состоящее из двух участков: 1) от Москвы до Воронежа н 2) от Воронежа до Сталинграда, поезд прошёл за 36 часов.

Вопрос. Как же найти время движения на 2-м участке, если мы знаем только время на всём пути, т. е. на двух участках (знаем сумму двух слагаемых)? Посмотрите на условие и скажите, как же подойти к решению этого вопроса.

Ответ. Сразу его решить нельзя, а надо сначала найти, сколько часов поезд был в пути на 1-м участке между Москвой и Воронежем? А это найти легко, так как дано, что длина участка 640 км, а скорость 32 км в час, После решения этого вопроса достаточно будет от общего времени отнять время движения на 1-м участке.

Таким образом, мы разобрали и два последних вопроса, что схематически запишется так:

Оказалось, что для решения последнего вопроса все данные имеются, поэтому его можно решить сразу и получить нужный ответ.

Следует обратить внимание на то, что при таком разборе мы использовали все данные числа из условия и выделили из нашей задачи четыре новые простые задачи, решив которые, мы и получим ответ на главный вопрос, т. е. сумеем решить всю данную сложную задачу.

Отсюда переходим к составлению плана, что будет совсем легко, если пользоваться записанными схемами, начиная с последней и переходя постепенно к самой первой, записанной в процессе анализа.

Вопрос. Как же теперь будем решать нашу задачу? В каком порядке будем ставить отдельные вопросы? Посмотрите на наши записи, начиная с последней, и составьте план решения.

После этого учащиеся без труда составляют план решения задачи.

1. Сколько часов ехал поезд от Москвы до Воронежа? (640 : 32)

2. Сколько часов ехал поезд от Воронежа до Сталинграда? (36—640 : 32)

3. Сколько километров от Воронежа до Сталинграда? (27.(36—640:32)]

4. Сколько километров от Москвы до Сталинграда? [640+27-(36—640:32)]

В заключение заметим, что весь анализ данной задачи можно представить в виде следующей схемы (см. стр. 24). Рассмотрим ещё задачу.

Задача 6. Машиностроительный завод должен был по плану давать в первую неделю продукции на 30 055 200 руб., во вторую на 36 000 400 руб. и в третью — на 38 800 500 руб. В первую неделю завод перевыполнил

план на ^, во вторую на-g-, в третью на . На сколько рублей дал завод продукции за все три недели?

Задача читается сначала учителем, затем читается про себя учениками, а потом её повторяют и приступают к разбору.

Вопрос. Что известно в задаче?

Ответ. В задаче известно, что завод должен давать по плану в I неделю продукции на 30 055 200 руб., во II не-делю-наЗб 000 400руб., в III—на38800500руб. План в I неделю перевыполнен на --т. Во II неделю перевыполнен на Т и в III—на,!.

Вопрос. Какой основной вопрос задачи?

Ответ. Основной вопрос задачи: на сколько рублей дал завод продукции за все три недели?

Вопрос. Что необходимо знать для решения главного вопроса задачи?

Ответ. Чтобы узнать, на сколько рублей дал завод продукции за три недели, необходимо знать: 1) перевыполнение плана за первую, вторую, третью недели вместе и 2) узнать, на сколько рублей завод должен был выпустить продукции по плану за три недели.

Вопрос. Посмотрите: как по условию найти перевыполнение плана заводом за каждую неделю в отдельности?

Ответ. Найти это можно, так как мы знаем план и перевыполнение в частях. Чтобы найти перевыполнение плана за I неделю, надо найти ^ от 30 055 200 руб., так же найдём перевыполнение за II и III недели отдельно, а затем и вместе.

Вопрос. Как мы найдём, на какую сумму завод должен был дать продукции по плану за три недели?

Ответ. В задаче известно, на сколько рублей по плану завод должен был давать продукции еженедельно, а за три недели он даст сумму этих величин.

Вопрос. Что же мы можем узнать теперь?

Ответ. Зная, на какую сумму завод должен был выпустить продукции за три недели по плану и сумму перевыполнения плана за 3 недели вместе, мы можем получить ответ и на главный вопрос, т. е. узнать, на сколько рублей завод выпустил продукции за все 3 недели вместе?

Параллельно устному разбору ведём и письменную запись, располагая вопросы, начиная с главного.

Эта запись будет подобной плану, но только расположение вопросов будет обратное тому, в каком эти вопросы будут стоять в плане, т. е. в процессе разбора мы будем записывать главный вопрос первым, а первый вопрос плана — последним.

Получив такую запись, легко составить план решения, что сведётся только к определению последовательности вопросов.

План решения к задаче 6,

1. На сколько рублей завод перевыполнил план в I неделю?

2. На сколько рублей завод перевыполнил план во II неделю?

3. На сколько рублей завод перевыполнил план в III неделю?

4. На сколько рублей завод перевыполнил план вместе за 3 недели?

5. На сколько рублей завод должен выпустить продукции по плану за 3 недели?

6. На сколько рублей завод выпустил продукции за 3 недели?

Примечание.

Эту же задачу можно решить и в 4 действия, выпу-стив 4-й и 5-й вопросы, тогда будем иметь последний вопрос, решаемый сложением 6 слагаемых: данные перевыполнения и плана выпуска продукции за каждую неделю.

Приведём ещё задачу и разберём её аналитическим методом.

Задача 7. Мастерская купила 128 м драпа по 320 руб. за метр и некоторое количество сукна. На покупку сукна мастерская израсходовала -|- суммы, уплаченной за драп. Сколько метров куплено сукна, если 5 м сукна стоили столько же, сколько стоили 3 м драпа?

После обычного предварительного разбора и повторения условия начинаем проводить анализ так:

Вопрос. Что спрашивается в задаче, или какой главный вопрос задачи?

Ответ. Сколько метров куплено сукна?

Вопрос. Что необходимо знать для решения этого вопроса? Какие надо иметь два числа, чтобы решить этот вопрос одним действием? Обратите внимание на условие задачи.

Ответ. 1) Сколько заплатили за всё сукно и 2) сколько платили за 1 м сукна?

Убедившись, что этих данных нет в задаче, мы ставим

перед учащимися эти два выделенных новых вопроса и устанавливаем, как надо подойти к их решению.

Таким образом, в дальнейшем анализ будет протекать в двух направлениях: 1) определение цены 1 м и 2) определение стоимости всего сукна.

Эта часть работы протекает аналогично первой, а именно: выясняем, что для определения стоимости сукна надо знать, сколько рублей составляет ~ от стоимости драпа; поэтому надо знать стоимость драпа и размер части этой стоимости, уплаченной за сукно. 2-е число т. е. «часть», даётся, а стоимость драпа неизвестна.

Устанавливаем, что все данные для нахождения стоимости драпа имеются, а именно: количество драпа 128 м и цена 1 м 320 руб., поэтому стоимость можно найти.

Отсюда заключаем, что одна из частей для решения главного вопроса (стоимость сукна) будет найдена.

Теперь переходим ко II части — определению цены 1 м сукна.

Обратив внимание на ту часть условия, где сказано, что 5 м сукна стоят столько же, сколько стоят 3 м драпа, мы записываем, что для нахождения цены 1 м сукна надо знать стоимость 3 м драпа и стоимости скольких метров сукна это равняется. Последнее число имеется (5 м), а поэтому для ответа на II часть задачи надо найти только стоимость 3 м драпа, а данные для решения этого вопроса имеются. Таким образом, мы всю составную задачу разделили на ряд таких простых задач, решение которых и даст ответ на главный вопрос.

Для лучшего осознания системы аналитического разбора мы, кроме устного анализа, рекомендуем иногда применять схематическую запись аналитического разбора условия. Ниже эта схема приводится.

Доска или лист ученической тетради делится на две

части. В 1-й части пишутся снизу вверх выделенные во-просы плана, начиная с главного.

Во 2-й части записываются необходимые для решения величины или числа в сопровождении соответствующего текста. Эта схема отличается своей простотой, поэтому ею следует пользоваться как можно чаще.

Аналитический разбор задачи 7

1. Сколько стоит весь драп?

Цена 1 м драпа (320 руб.). Количество метров драпа (128).

2. Сколько заплатили за всё сукно?

Сколько стоит весь драп?

Какую часть составляет стоимость сукна от стоимости драпа? (—).

3. Сколько заплатили за б м сукна?

Цена 1 м драпа (320 руб). Количество драпа (3 м).

4. Какая цена 1 м сукна?

Сколько заплатили за 5 м сукна?

Количество метров сукна (5).

5. Сколько метров куплено сукна?

Сколько заплатили за сукно? Какая цена 1 м сукна?

Примечание.

Вопросы при аналитическом разборе идут снизу вверх, а при составлении плана решения в порядке обратном — сверху вниз.

Целесообразно иногда применять и табличную запись анализа по таким графам:

1. Чтобы узнать или найти.

2. Надо знать или определить.

3. Каким действием решается?

Табличная запись аналитического разбора задачи 7

1. Чтобы узнать:

2. Надо знать или определить:

3. Каким действием решается?

1. Сколько метров куплено сукна.

1. Сколько заплатили за всё сукно.

2. Какая цена 1 м сукна.

Делением стоимости всего сукна на цену 1 м.

2. Какая цена 1 м сукна.

1. Сколько заплатили за 5 м сукна или 3 м драпа.

2. Количество сукна в метрах (5).

Стоимость 5 ж сукна или стоимость 3 м драпа делится на 5.

3. Сколько заплатили за б м сукна.

1. Цену 1 м драпа (320 руб.).

2. Количество драпа (3 м).

Умножением цены одного метра на количество метров драпа.

4. Сколько заплатили за всё сукно.

1. Сколько стоит весь драп.

2. Какую часть от стоимости драпа заплатили за сукно (^-).

Умножением стоимости всего драпа на -у .

5. Сколько стоит весь драп.

1. Количество метров драпа (128 м).

2. Цена 1 м драпа (320 руб.).

Умножением цены 1 м на количество метров драпа.

Подобный аналитический разбор приучит учащихся сознательно подходить к отысканию ответа на главный вопрос, сделает работу по решению задач целенаправ-

ленной, приучит глубже вникать в каждый пункт условия, заставит брать, выделять не случайные числа для решения, а взаимосвязанные, дающие возможность находить нужные новые числа для решения всей задачи. Подобная работа заставляет думать ученика, проявлять творчество, сообразительность, инициативу, а это, несомненно, важно в целях развития логического мышления и выработки навыков разложения целого на части, сложного на простые, составляющие его элементы. Это путь научного познания и путь обучения решению задач, где ученик тоже находит, познаёт новое.

Действительно, при аналитическом разборе на любой его стадии, начиная с главного вопроса и кончая выделенными новыми вопросами, требуется сознательный подход к условию, надо умело использовать условие, умело устанавливать связи между величинами и находить новое. Поставив главный вопрос, мы определённо направляем мысль ученика к нахождению двух таких новых чисел, зная которые можно будет одним действием найти ответ на поставленный вопрос. В нашей задаче на вопрос:

Сколько метров сукна купила мастерская? Ученик должен, исходя из опыта решения простых задач и данных условия, ответить:

Для решения этого вопроса надо знать два новых числа:

1) сколько рублей мастерская заплатила за всё сукно и

2) сколько рублей платили за 1 м сукна.

Так как ни того, ни другого числа нет в условии, мы должны оба эти вопроса записать во 2-ю графу и затем эти же оба вопроса поставить постепенно и в графу 1-ю, а затем сделать их исходными для такого же разбора двух новых простых задач.

4. СИНТЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Синтез, как и анализ, имеет большое значение в процессе решения задач.

Ход мысли при синтетическом методе протекает от известного к неизвестному, новому, а в задаче — от известных данных к решению отдельных вопросов, дающих в сумме ответ и на неизвестный главный вопрос задачи.

Синтетический метод, беря за исходное известные данные или вновь найденные числа или сочетание этих чисел, путём постановки и решения отдельных вопросов обеспечивает решение главного вопроса. Синтетический метод обладает большой доступностью, лёгкостью применения, а потому он находит самое широкое применение в практике решения задач.

Продемонстрируем его применение на разборе условия и составления плана задачи 8.

Задача 8. Экскаватором при подготовке котлована для фундамента высотного здания за 10 дней вынуто 25 005/q/б. м земли, а при ручной работе 3 человек может быть вынуто за 1 день 2 -~ куб. м земли. Сколько надо поставить человек, чтобы они за 1 день вынули такое количество земли, какое вынимает экскаватор за 1 день? (или: во сколько раз производительность экскаватора за 1 день больше, чем 1 человека?) Запишем условие задачи.

3 чел. — за 1 день — 2 1 экскав. — за 10 дней

Сколько человек надо поставить на работу на 1 день, чтобы они вынули за это время столько же земли, сколько вынимает 1 экскаватор за 1 день?

Вопрос. Что сказано в задаче о работе экскаватора?

Ответ. Экскаватор за 10 дней вынимает земли 25 005 куб. м.

Вопрос. Что известно о работе трёх человек?

Ответ. Они за 1 день вынимают 2 куб. м.

Вопрос. Что спрашивается в задаче? Какой главный вопрос?

Ученики повторяют вопрос задачи.

После повторения задачи продолжаем дальнейший разбор. Обращаем внимание на первые два числа, данные в условии задачи.

Вопрос. Что надо узнать по этим данным?

Ответ. Зная, сколько земли вынул экскаватор за 10 дней, можно определить, сколько он вынул земли за 1 день.

Вопрос. Зачем это надо узнать?

Ответ. Это необходимо в дальнейшем для решения главного вопроса.

Вопрос. Зная, что 3 рабочих за день вынули 2 куб. м земли, что можем узнать?

Ответ. По этим данным мы можем узнать, сколько земли вынимает за 1 день 1 рабочий?

Вопрос. Что теперь надо узнать? Посмотрите на главный вопрос задачи.

Ответ. Зная ответы на 1-й и 2-й поставленные вопросы, можно узнать, сколько человек надо поставить на работу, чтобы они сделали такую же работу, какую выполняет 1 экскаватор за 1 день, т. е. решить и главный вопрос задачи.

После такого разбора составляется план решения.

Следующей частью будет само решение.

В процессе разбора следует ставить и такие вопросы: зачем это надо узнавать? как это узнать? почему надо употреблять то или иное действие?

Например, при решении главного вопроса приведённой задачи надо требовать, чтобы ученики мотивировали выбор действия деления примерно так: «Один рабочий за день вынимает земли -^куб. м, а машина за такое же время вынимает 2500,5 куб. м, поэтому рабочих для выполнения работы надо поставить столько, сколько раз -J содержится в 2500 , а это решается делением, следовательно, надо разделить 2500 — : — . Ответ и покажет число рабочих.

При синтезе иногда разбор и составление плана решения ведётся так, что ученик легко, не думая, отвечает, какой можно поставить вопрос. Например, учитель задаёт такие вопросы: что можно узнать сначала? что узнать потом? что узнаешь дальше?

Ученик в этих случаях, не оценив достаточно структуру задачи, зависимость между величинами, не представляя всю задачу в целом, быстро ставит вопросы лишние, ненужные для правильного и наиболее быстрого получения ответа на главный вопрос задачи. Ученик, решая разобранную нами задачу, может поставить и такие вопросы: Узнаем сначала: сколько вынули грунта экскаватор и 3 рабочих вместе? или: На сколько кубических метров земли вынули экскаватором больше, чем ручным способом 3 рабочих?

Это будет метод проб, метод случайного подбора вопросов и чисел из условия. Это механический подход к решению задачи.

Ученик не оценил, не проанализировал связей между величинами, не представил задачу в целом, а потому и объединил, связал ненужные числа. Такая работа без плана, без перспективы часто ведёт к ошибкам и лишней трате времени. Это — работа вслепую, без доста-

точно осознанной цели, а потому и наталкивает ученика на указанные ошибки. В этом заключается слабая сторона синтеза. Но наряду с названными коренными недочётами синтеза он имеет и свои положительные стороны:

1) синтез более доступен для ученика по сравнению с анализом, потому что позволяет переходить от простого к сложному, от известных данных в условии к нахождению новых чисел, нужных для дальнейшего решения.

2) При синтетическом методе ученик легче связывает величины и сразу видит результаты своей работы. Он ставит вопросы и тут же может находить новые числа, может производить необходимые действия, не дожидаясь полного составления плана, что он не имеет возможности делать при аналитическом разборе.

3) Синтез ведёт иногда быстрее к получению ответа на главный вопрос задачи, чем анализ.

Выводы. 1) Чтобы использовать положительные стороны синтеза и ослабить его отрицательные качества, необходимо сочетать в процессе разбора синтез с анализом и не ставить вопросы, подталкивающие ученика на случайные ответы. Следует спрашивать, не что можно узнать, а что надо, что необходимо узнать, зачем это надо узнать.

2) Глубже вначале останавливаться на содержании условия, оценивать каждое слово, каждое число условия, добиваться ясного представления всей задачи в целом и уметь разделять её на отдельные части, на простые задачи. Не надо спешить с постановкой вопросов и тем более проведением вычислений ещё в то время, когда ученик не запомнил, не понял, не представил условия, не составил хотя бы в основном всего плана решения.

3) Сначала надо проводить разбор условия, составление плана, а потом вычисления. В этом и состоит рацио-

нальный путь получения быстрого ответа, а не наобо-рот, что ещё имеет место на отдельных уроках при решении задач и в особенности при выполнении домашних, самостоятельных и контрольных работ,

4) Целесообразно при синтетическом разборе оформлять письменно план по такой форме:

1-я графа — Зная то-то:

2-я » — Надо узнать:

3-я » — Каким действием решается?

Табличная запись синтетического разбора задачи 8

Зная:

Необходимо узнать или найти:

Каким действием решить?

1. Количество рабочих — 3 чел.

2. Выполненную 3 рабочими вместе за 1 день работу —

2~- куб. м земли.

1. Сколько куб. метров земли вынимает за 1 день 1 рабочий?

Делением всей работы на число рабочих:

1 3 2^: 3 — -с(куб. ж).

1. Выполненную работу 1 экскаватором — 25 005 куб. м.

2. Время работы — 10 дней.

2. Сколько куб. метров земли вынимает экскаватор за 1 день?

Делением количества всей работы на число дней работы: 25 005 : 10= 2500,5 (куб. м).

(Прод. таб.)

Зная:

Необходимо узнать или найти:

Каким действием решить?

Работу эа 1 лень 1 экскаватора — 2500,5 куб. м.

2 Работу за 1 день 1 рабочего —

3 . j куб. м.

3 Сколько человек надо поставить на 1 день, чтобы они сделали работу, выполненную экскаватором за 1 день?

Делением 1-го числа на 2-е число. 2500,5:-je =3334 (раб.)

Ответ.

3334 рабочих.

Разбору задач синтетическим методом должны предшествовать такие подготовительные упражнения:

1. По двум данным простых задач поставить всевозможные вопросы по смыслу задачи. Например:

1) Один поезд проходит в час 40 км, а другой —35 км. Возможны вопросы:

а) На сколько километров 1-й поезд идёт быстрее, чем 2-й?

б) Во сколько раз скорость 1-го поезда больше скорости 2-го?

в) Возможны 2 обратных вопроса: На сколько или во сколько раз 2-й поезд проходит за 1 час меньше 1-го?

г) Найти сумму скоростей или сколько пройдут оба поезда за 1 час.

2) Отцу 45 лет, а сыну 15 лет. Сравните лета отца и сына. Поставьте для такого решения соответствующие вопросы.

а) Во сколько раз отец старше сына или во сколько раз сын моложе отца?

б) Какую часть составляют лета сына от возраста отца?

в) На сколько лет отец старше сына или сын моложе отца?

3) Зная 2 числа (отвлечённые или с однородными наименованиями), поставить вопросы, чтобы их можно было решить, используя только эти числа.

Например: дано 2 и 15.

Одни из возможных вопросов:

а) Во сколько раз 2-е число больше 1-го или 1-е меньше 2-го?

б) Какую часть 1-е число составляет от 2-го?

в) Сколько процентов составляет 2-е число от 1-го или наоборот?

г) Найти сумму, разность, произведение и частное этих чисел.

д) Сколько надо прибавить к 1-му числу, чтобы получить 2-е, или сколько надо отнять от 2-го числа, чтобы получить 1-е?

е) Найти кратное отношение 1-го числа ко 2-му или обратно.

Возможны и другие вопросы.

II. Задачи, где надо ставить только необходимые вопросы. Разность двух чисел — 500, а частное равно 6. Найти эти числа. Это тип задачи, которую без достаточного осмысливания решить затруднительно.

В этой задаче, приняв первое число за 1 часть, а 2-е за 6 частей, надо ставить такие вопросы:

1. Сколько частей составляет разность, равная 500, или на сколько частей одно число больше другого?

6 — 1 = 5 (частей).

2. Чему равна 1 часть или 1-е число?

500 : 5 = 100.

3. Чему равно 2-е число?

100.6 = 600.

Дальше следует упражняться в подборе вопросов, как по двум величинам находить третью. Например:

1) Зная скорость и время, что можно найти?

2) Зная время и путь, что можно определить?

3) Что находится по цене и количеству товара?

Затем разбираются условия и составляются планы решения синтетическим и аналитическим методом, для задач сначала в 2, потом 3, 4, 5 и больше действий, с расположением задач по степени трудности.

5. АНАЛИТИКО-СИНТЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД

При решении задач наиболее широкое применение имеет аналитико-синтетический метод. Сущность его за-ключется в том, что в процессе разбора задачи применяются как анализ, так и синтез. Начиная разбор с главного вопроса задачи, мы часто ограничиваемся разложением составной задачи не на простые задачи, а на другие, тоже составные, но более лёгкие или такие, решение которых ученику известно. Разбор этих выделенных задач мы проводим, исходя из данных, с последовательным переходом к главному вопросу задачи, т. е. используем и синтез.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Задача 9. На строительстве Волго-Донского канала, одной из великих строек коммунизма, бригада рабочих шагающего экскаватора значительно повысила производительность труда. Отношение нормы выемки грунта к фактической выемке грунта за апрель и июнь 1951 г. равно: 3:4:5. Известно, что экскаватором вынуто грунта за июнь на 100 000 куб. м больше, чем полагалось по норме. На сколько кубометров вынуто грунта больше нормы за апрель и июнь вместе и на сколько процентов превышает производительность труда экскаваторщиков отдельно за апрель и июнь месяцы?1

1 Данные о выработке взяты из газеты сПравда» от 13 июля 1951 г.

После чтения условия задачи, объяснения новых понятий, имеющихся в задаче: «норма выработки», «шагающий экскаватор» и т. п., повторения задачи по частям и полностью,— дальнейшая работа будет протекать примерно так: проводится анализ условия задачи, при этом выделяется:

1) что известно в задаче (дано) и

2) что требуется определить.

Известно:

1) Отношение нормы к фактической выработке за апрель и июнь 3:4:5.

2) Превышение выемки грунта: вынуто грунта больше нормы за июль на 100 000 куб. м.

Требуется узнать:

1) На сколько больше нормы в кубометрах вынуто грунта за апрель и июнь вместе?

2) Превышение производительности труда в процентах за апрель и июнь.

Дальше делаем вывод, что данная задача состоит из двух частей:

1-я часть — превышение нормы выработки в кубометрах за апрель и июнь вместе и

2-я часть — перевыполнение плана в процентах за апрель и июнь.

Затем разбираем последовательно обе части задачи.

1-я часть

1. Вопрос. Что мы знаем о выполнении плана и норме?

Ответ. Мы знаем отношение нормы к выполнению и превышение нормы за июнь на 100 000 куб. м.

2. Вопрос. Как мы по этим данным будем находить ответ на поставленный в 1-й части задачи вопрос?

Ответ. Согласно условию задачи можно сказать, что норма выработки содержит 3 части, выполнение за апрель 4 части, за июнь 5 частей. К тому же известно, что перевыполнение за июнь достигло 100 000 куб. м. Отсюда, найдя разницу в частях или скольким частям равны 100 000 куб. м, легко найти ответ и на поставленный вопрос, т. е. определить перевыполнение плана в кубометрах за апрель и июнь.

После этого можно перейти к составлению плана решения 1-й части задачи.

Наконец, переходим к подобному же разбору 2-й части, т. е. определению превышения нормы в процентах за апрель и июнь.

В итоге такого разбора мы будем иметь следующий план и решение всей задачи.

План и решение задачи

1. Сколько частей составляет перевыполнение в 100 000 кубометров за июнь, если известно, что норма равна 6 частям, а выполнение 5 частям?

5 — 3 = 2 (части), что равно 100 000 куб. м.

2. Сколько кубометров грунта приходится на 1 часть, если 2 таких части равны 100 000 куб. м?

100 000 : 2 = 50 000 (куб. м).

3. Сколько кубических метров грунта должны вынимать по плану, если план равнялся 3 частям, из которых каждая составляла 50 000 куб. м?

50 000.3 = 150 000 (куб. м).

4. Сколько кубических метров вынуто за апрель, если выполнение равно 4 частям, а каждая часть равна 50 000 куб. м.

50 000-4 = 200 000 (куб. м).

5. На сколько кубических метров перевыполнена норма за апрель, если известно, что норма равна 150 тыс. куб. м, а выполнение 200 тыс. куб. м?

200 000 — 150 000 = 50 000 (куб. м). 250 000 — 150 000 = 100 000 (куб. м).

6. Зная перевыполнение за апрель (50 тыс. куб. м) и за июнь (100 000 куб. м)9 найдем, на сколько кубических метров перевыполнено вместе за апрель и июнь?

50 000 + 100 000 = 150 000 (куб. м).

7. На сколько процентов выполнен план за апрель, если норма равна 3 частям, а выполнение равно 4 таким же частям?

4 : 3 - 100 = 133,3(%).

8. На сколько процентов перевыполнен план за апрель, считая план за 100%, а выполнение 133,3 %?

133,3°/0 — 100% =33%.

9. На сколько процентов выполнен план за июнь, если выполнение равно 5 частям, а план равен 3 таким же частям?

5 : 3 . 100 = 166,7 (%).

10. На сколько процентов перевыполнен план за июнь, если известно, что выполнение за июнь равно 166,7%, а план 100%.

166,7% — 100% =66,7%.

Ответы

1) Перевыполнение плана за июнь и апрель составляет 150 000 куб. м.

2) За апрель перевыполнен план на 33,3%. » июнь » » » 66,7%.

ВЫВОДЫ

При таком разборе задачи пользовались как анализом (в особенности в 1-й части разбора), так и синтезом (главным образом во 2-й части разбора), а потому правильнее называть этот метод аналитико-синтетическим. Этот метод быстро ведёт к цели и наиболее экономен, а потому нм надо широко пользоваться в сложных задачах, распадающихся, как приведённая задача, на ряд других менее сложных задач, решение которых ученику должно быть известно, Но отсюда не следует делать вывода, что не надо в школе заниматься полным аналитическим раз-бэром. Наоборот, каждый учитель математики должен научить учащихся применять анализ в единстве с синтезом. Чтобы сделать это более доступным, надо показать сначала анализ и синтез отдельно на простых задачах, а потом — на более сложных. Показать анализ как путь разбора от главного вопроса к второстепенным, что я приводит к разложению главного вопроса на ряд составляющих его простых вопросов; при синтетическом разборе идём обратно от первого второстепенного до последнего главного вопроса.

Нам следует различать:

1) обучение анализу и синтезу и

2) применение анализа на практике вместе с синтезом.

В первом случае мы обязаны продемонстрировать анализ и синтез, если можно так выразиться, в их «чистоте», в отрыве один от другого, чтобы во втором случае чаще брать их в диалектическом единстве.

В целях наиболее широкого внедрения в практику решения и разбора задач аналитическим и аналитико-синтетическим методом рекомендуется так строить методику разбора и ведения записей решения, чтобы сама форма записи способствовала применению того или иного

метода. Весь аналитический ход разбора, начиная с главного вопроса и кончая последним вопросом плана решения, т. е. все разобранные вопросы, записывается в том порядке, в каком он будет следовать при решении. Рекомендуем и такой порядок записи решения задачи;

Сначала записывается 1-я часть — план, а во 2-й части пишется только одно решение. Эта форма будет содействовать внедрению в практику аналитического разбора и более сознательного подхода к условию и решению, а также избавит ученика от привычки, не зная ус-ловия, ставить случайные вопросы, применять нецелесо-образный путь — путь случайно вырванных вопросов.

После краткого устного разбора условия, где выясняется, что известно, что надо найти, что показывает каждое из чисел и т. п., а также после повторения всего условия и выделения основных величин иногда надо параллельно устному анализу делать соответствующие записи, чертежи, схемы.

На практике записывают отдельные вопросы на доске, которые затем и будут планом решения задачи. Ход этой работы примерно протекает так. Сначала обращается внимание на главный вопрос и записывается он в низу или в верху доски. Дальше составляется 1-я простая задача (понимая под этим задачу в 1 действие) для нахождения ответа на главный вопрос. Здесь выделяются два новых числа, которые необходимы для решения главного вопроса. С этими новыми вопросами поступают так же, как и с главным, т. е. определяют, как и откуда можно найти эти новые числа. Таким образом составляют и другие простые задачи, решение которых даёт ответы на выделенные вопросы. Итак, вместе с главным вопросом у нас появятся новые вопросы, которые также записы-ваются на доске. Подобная работа продолжается до тех пор, пока не получат такую простую задачу, решение

которой можно сразу выполнить одним действием, т. е. продолжают разбор так, что все числа, данные в усло-вии, были бы использованы в выделенных простых задачах. Решение последней задачи и даст ответ на поставленный вопрос всей задачи.

Приведённые выше виды аналитического разбора условия задачи, как и записи разбора, должны иметь место не на каждом уроке и не каждую задачу следует всегда так разбирать. Метод и форма разбора должны соответствовать содержанию задачи и цели урока.

Задачи наиболее сложные, трудные, новые по своей структуре требуют более подробного анализа, а к задачам менее трудным следует применять более сокращённый разбор, а также и сокращённую запись. Если цель урока показать на 1-й стадии применение анализа, то его следует проводить более подробно и на задачах вполне доступных, чтобы глубже понять сущность самого метода, что нами и было показано в задачах 4, 5, 6 и 7.

При первоначальном внедрении в практику анализа надо несколько задач разобрать с применением схем при фронтальном разборе в классе и затем потребовать от учащихся выполнения таких схем разбора к отдельным домашним работам.

В дальнейшем, когда учащиеся приобретут некоторый навык в решении задач, разбор и записи могут быть упрощены. Важно, чтобы ученик понял, представил условие, структуру задачи, осознал связи между величинами и умел наметить план решения.

Во всякой работе, а тем более в обучении решению аадач должна быть самая строгая система и последовательность. Это в особенности надо применять в деле обучения решению задач, где соблюдение всех дидактических принципов и, в частности, системы в расположении задач от более простой к более трудной сугубо необходимо.

Часть II

Решение каждой составной задачи представляет сложный процесс мышления. Вся работа ученика над задачей слагается из следующих этапов: а) восприятие и сознательное овладение условием задачи; б) разбор задачи и составление плана решения; в) собственно решение и проверка; г) дополнительная работа над задачей после её решения.

Остановимся на указанных разделах более подробно.

1. ВОСПРИЯТИЕ И СОЗНАТЕЛЬНОЕ ОВЛАДЕНИЕ УСЛОВИЕМ ЗАДАЧИ

Владимир Ильич Ленин дал классическую формулу, выражающую всю сущность теории познания: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности» (В. И. Ленин, Философские тетради, 1936, стр. 166).

Надо помнить эти замечательные слова В. И. Ленина и умело применять их в процессе обучения решению задач, соблюдая строгую последовательность в деле перехода от одной, более простой ступени созерцания, восприятия к ступени полноценного логического мышления и практике. В этом отношении учитель должен прибегать к различным средствам, обеспечивающим восприятие и со-

знательное понимание условия задачи. Необходимо широко использовать наглядность, умелое, выразительное чтение, перечитывание и объяснение трудных мест, соблюдение последовательности и перехода от простого к более сложному, от конкретного к отвлечённому.

Как овладеть условием задачи, как читать, слушать, записывать условие, представлять, понимать и запоминать условие задачи — это большие методические вопросы работы над задачей.

Надо приучать читать условие задачи, вникая в смысл её; читать не только подряд от начала до конца, но читать и по частям и перечитывать трудные места. Необходимо приучить так работать над условием, чтобы ученик представлял задачу в стадии развития, динамики, а не статики, представлял её так, как представляет знакомые явления и предметы, каких сейчас хотя и нет перед глазами. Надо придерживаться такого правила: не приступать к решению, пока ученик не поймёт и не запомнит, кроме чисел, всего условия, не составит плана решения. Вот маленькая иллюстрация к этому разделу.

Задача 1. Пашня занимает площадь в 120 га. Один трактор мог бы вспахать всю эту площадь в 6 дней, а второй трактор — в 12 дней. Во сколько дней могли бы вспахать 120 га оба трактора, работая вместе?

Одни учащиеся делали её так: к 6 дням прибавляли 12 дней, а затем делили пополам и на этом заканчивали решение, не смущаясь тем, что по их ответу два трактора пашут одну и ту же землю дольше, чем один. Ошибка происходила по простой причине: не вдумавшись в условие, не поняв его и не расчленив на части, ученики приступали к решению задачи.

Не так поступают другие, лучшие ученики. Процесс работы над условием протекает у этих учащихся примерно так, как говорил один из таких учеников: «Я вни-

мательно прочитал первый раз условие и не всё понял и запомнил. Затем я прочитал второй раз, подумал к представил, что в задаче дано следующее:

1-й момент — сначала в поле работал первый трактор и вспахал 120 га в 6 дней.

2-й момент — выехал на работу второй трактор и такую же площадь вспахал в 12 дней и

3-й момент — выехали на работу одновременно эти же два трактора и впахали такую же площадь, т. е. 120 еа.

В задаче спрашивается, сколько времени надо этим двум тракторам, чтобы при одновременной работе вспахать 120 га?» Представив так задачу, естественно, эти ученики поняли её и нашли верное решение.

Следует повторить условие задачи без книги, сделать чертежи (если в этом есть необходимость) и краткую запись условия.

Вот примерная краткая запись условия задачи 1.

1-й трактор — 120 га — в 6 дней

2-й трактор — 120 га — в 12 дней

1-й трактор и 2-й трактор — 120 га — ?

Возьмём ещё задачи.

Задача 2. Найти два числа, разность которых равна S256, a частное отделения одного числа на другое равно 27,

Прежде всего надо провести подготовительную работу, а именно: вспомнить, что показывает частное и разность, а также, когда приходится в задачах или в практических вопросах находить эти величины.

Непременно раза два надо прочитать условие, повторить его, обратив внимание на термины: «частное», «разность», и добиться от учащихся понимания, что пока-зывает каждое из данных чисел.

Установить, что число 9256 показывает, на сколько единиц первое число больше второго, а число 27 показы-вает, что первое число больше второго в 27 раз,

Чтение и предварительный разбор отдельных пунктов условия должны привести учащихся к выводу: в задаче даётся разность двух чисел и их кратное отношение, или во сколько раз одно число больше другого, а требуется по этим данным (разности и отношению) найти эти два числа.

Задача 3. 30 учебников стоят на 14 руб. дороже, чем 40 задачников. Те же 30 учебников стоят на 14 руб. дешевле, чем 50 задачников. Сколько стоит один учебник и один задачник?

Чётко читается условие 1—2 раза. При повторении рассказывается условие примерно так:

«Класс купил учебники и задачники. Когда 1-й раз сравнили стоимость 30 учебников со стоимостью 40 задачников, то оказалось, что за учебники уплатили на 14 руб. дороже, чем за 40 задачников; когда стоимость тех же 30 учебников сравнили со стоимостью 50 задачников, то получилось, что за 30 учебников уплатили дешевле на 14 руб. Спрашивается, сколько стоит отдельно 1 учебник и 1 задачник?»

Выясняется, что показывает каждое из чисел, какие величины имеются в задаче, и делается краткая запись такого содержания:

Краткая запись условия

1. Количество

2. Стоимость

3. Цена

30 учебников

На 14 руб. дороже 40 задачников

1 учебника?

30 учебников

На 14 руб. дешевле 50 задачников

1 задачника?

Полезно сделать к условию и такую графическую иллюстрацию (здесь за единицу стоимости взята стоимость 40 задачников).

Чтение условия и в особенности его повторение проводить не только в порядке записи в задачнике или на схеме, но и в ином порядке (на что указывают стрелки). Например:

1) Прочитать 1-ю и 2-ю графы записи условия сверху вниз и наоборот.

2) Прочитать эти же графы слева направо и наоборот. Так же надо сделать с разбором иллюстрации:

1) Сравнить стоимость 40 задачников со стоимостью 60 задачников.

2) Сравнить стоимость 30 учебников со стоимостью 50 задачников и обратно: стоимость 50 задачников со стоимостью 30 учебников.

Такая работа поможет осознать условие и найти вер-ный план решения задачи и, в частности, поможет понять, что 40 задачников стоят на 28 руб. дешевле 50 задачников, или 10 задачников стоят 28 руб. (это видно на чертеже).

Запись условия. Необходимо обратить внимание на запись условия задачи, так как этот важный момент часто недооценивается отдельными учителями. Приходится иногда наблюдать, что учителя тщательно учат

записи решения, но совершенно игнорируют обучение записи условия. Это большая методическая ошибка. Различным записям условия задачи надо обучать так же, как обучают чтению, анализу условия и записи решения. В особенности необходима запись условия задач трудных и некоторых типовых задач. Запись условия — одно из важных средств для лучшего понимания задачи и отыскания приёмов её решения. Следует разнообразить формы записи условия в зависимости от класса и специфики задачи. Но при этом надо знать чувство меры и применять запись условия только тех задач, где эта запись целесообразна и необходима. Понятно, если задача несложная и имеется в задачнике, то никакой записи условия делать не следует; если же мы начинаем новый тип задач или даём задачу очень сложную, то здесь запись применять нужно, хотя бы и при наличии этой задачи в задачнике.

Обращаем внимание на следующие формы записи условия:

а) краткая запись в строчку с обозначением наименований и постановкой главного вопроса;

б) запись условия в столбик, с постановкой одного числа под другим с таким же наименованием (эта форма записи применяется, например, в задачах с пропорциональными величинами);

в) запись с иллюстрациями (запись в виде схемы, чертежа, отображающих различные моменты задачи, как, например, в задачах на движение, совместную работу и т. п.);

г) подвижные иллюстрации к условию: набор предметов, чертежей и т. п.

Чтобы создать у учащихся определённую целенаправленность в работе и понимание необходимости записи условия, следует привести ряд таких задач, которые без

соответствующей записи решать очень трудно и, наоборот, при использовании записи решение значительно упрощается.

Приведём пример задачи с последующей записью.

Задача 4. Для производства ремонта железнодорожного пути на одном участке было поставлено сначала 57 человек, которые могли выполнить работу в 45 дней. Но через 15 дней понадобилось работу ускорить, для чего были поставлены ещё дополнительно несколько человек, и вся работа была закончена на 12 дней раньше первоначально установленного срока. Сколько рабочих было добавлено?

Краткая запись условия

Количество рабочих

Сроки выполнения в днях

Работа в человеко-днях

1. По плану • • • • •

67

45

?

2. Фактическое вьшолнение .......

1 часть—57 II часть—57 остаток работы X

15

45—15—12 45—15—12

? ?

?

Такая запись значительно помогает решению, так как при этом сложная задача расчленяется на ряд простых.

Такой записи предшествуют примерно следующие вопросы:

1. Про что говорится в данной задаче?

2. Что делали рабочие?

3. Что показывает каждое из чисел?

4. Как или чем измерялась работа? (человеко-днями).

5. Какие две части в задаче? (I часть — план работы и II —фактическое выполнение) или какие части работы указаны в условии?

6. Что спрашивается в задаче?

Запись, как правило, ведётся на доске, а иногда и в тетрадях учащихся. Первое время на доске записывает сам учитель, а учащиеся записывают в тетрадях. Иногда можно сложную запись приготовить заранее на доске или плакате и затем одновременно с разбором открывать отдельные части записи, как, например, в данной задаче: сначала устанавливается, что был дан для работы план, потом было его фактическое выполнение по частям. Соответственно открывается и читается план по записи, потом его выполнение и главный вопрос задачи.

Иногда перед решением требуется повторить некоторые понятия, как, например: «разность», «частное», «отношение», напомнить сведения из прошлых разделов и даже других дисциплин, обратить должное внимание на каждое число, каждое математическое понятие, на связь между величинами.

2. РАЗБОР ЗАДАЧИ И СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА РЕШЕНИЯ

В процессе разбора задачи надо обращать внимание на такие вопросы: какие величины имеются в задаче, какая связь между величинами, что дано, что надо найти, на какие простые задачи разбивается данная задача, откуда и как, в какой последовательности мы можем подойти к решению главного вопроса. Результаты разбора записываются письменно, или ограничиваются лишь устным разбором. Покажем это на следующей задаче.

Задача 5. Мать, дочь и сын израсходовали вместе некоторую сумму денег, причём известно, что мать и дочь израсходовали вместе 200 руб., дочь и сын 150 руб., сын и мать 220 руб. Сколько денег израсходовал каждый в отдельности?

Запись условия

Обращаем внимание на главный вопрос задачи: сколько денег израсходовал каждый из членов семьи? Можно ли это сразу узнать? Установив, что нельзя, продолжаем разбор задачи.

Вопрос. Что сказано в задаче о расходах матери, сына и дочери?

Ответ. Мать и сын израсходовали 220 руб., а мать и дочь 200 руб.

Дальше наводим на мысль, что расходы дочери и сына могли быть одинаковыми, а могли быть и разными. Какие же это были расходы? Обратив внимание на две первые верхние строчки и график, устанавливаем, что в обоих случаях складывались расходы матери: один раз с расходом дочери, а другой — с расходами сына. Если бы дочь и сын расходовали поровну, то, очевидно, расходы матери и дочери, матери и сына были одни и те же. Этого в условии нет. Первый расход равен 200 руб., второй— 220 руб., т. е. расход матери и сына больше, чем расход матери и дочери. Это же отображено и на чертеже,

где второй отрезок больше первого. Дальше путём наводящих вопросов устанавливается, что для решения главного вопроса очень важно знать, на сколько больше израсходовал сын, чем дочь (это узнать можно). Затем легко учащихся навести на мысль, что, зная сумму и разность двух слагаемых, можно найти и самые слагаемые, т. е. расход дочери и сына. Узнав последнее, можно определить и расход матери. Итак, устанавливаем с учениками, что для решения задачи надо иметь следующий план:

1. На сколько рублей расход сына был больше расхода дочери?

2. Сколько бы составлял расход дочери и сына, если бы расход сына был равен расходу дочери?

3. Сколько отдельно израсходовала дочь?

4. Сколько рублей отдельно израсходовал сын?

5. Сколько рублей израсходовала мать?

Можно разбор провести иначе и составить другой план решения.

Обращаем внимание на главный вопрос и данные в условии, а именно:

1. Что спрашивается в задаче?

2. Что дано или что показывает каждое из трёх чисел: 200 руб., 150 руб. и 220 руб.?

3. Сколько раз входят в эти числа расходы матери, дочери и сына?

Вывод может быть только один: в условии расходы матери, сына и дочери даны по 2 раза, к тому же даны расходы попарно: матери и дочери, дочери и сына, матери и сына. После этого нетрудно навести учащихся на такие рассуждения: если бы мы нашли, сколько расходовали мать, дочь и сын вместе, то отсюда, беря данные условия, легко бы подошли к определению отдельных расходов матери, дочери и сына.

Проведя аналогичные рассуждения, получаем и записываем следующий план.

1. Какую сумму составит вместе удвоенный расход матери, дочери и сына?

2. Сколько рублей составят расходы матери, дочери и сына?

3. Сколько рублей израсходовал сын?

4. Сколько рублей израсходовала мать?

5. Сколько рублей израсходовала дочь?

Решение

1. 200 +220 + 150 = 570 (руб.)

2. 570 : 2 = 285 (руб.)

3. 285 —200 = 85 (руб.)

4. 220 — 85 = 135 (руб).

5. 150 — 85 = 65 (руб.)

Ответ. 135 руб.; 65 руб.; 85 руб.

Хотелось бы ещё раз в этом разделе обратить внимание на важность фронтального со всем классом ана-литико-синтетического разбора и составления плана, что имеет громадное значение в деле развития логического мышления и выработки навыков решения задач. Целесообразно прежде записывать план, а затем решение.

Такая форма разбора и записи приучит учащихся сознательно подходить к условию, глубже вчитываться и анализировать условие задачи. Эта система записей приучит правильнее находить пути решения и избавит ученика от лишних ненужных вопросов, отучит брать отдельные числа, части задачи, не понимая их связи со всей структурой задачи в целом.

Недооценка роли анализа, записей условия и составления плана есть один из важнейших недочётов в методике решения арифметических задач.

3. РЕШЕНИЕ И ПРОВЕРКА ОТВЕТОВ ПО УСЛОВИЮ ЗАДАЧИ

На вопросах непосредственного решения задачи мы не считаем нужным долго останавливаться, так как этот вид работы достаточно освещен в методиках и не вызывает затруднений в практике работы учителей.

Хотелось бы здесь отметить следующее: необходимо практиковать в школе более рациональные виды записей решения задач и не ограничиваться по преимуществу записью в форме: вопрос, а затем решение.

Следует применять такие формы записи:

1-я форма. Запись плана и запись одного решения, т. е. вычислений.

2-я форма. Выполнение действий с последующим пояснением ответа в утвердительной форме.

Например, к 1-му действию задачи 5 следует добавить: это составляет удвоенный расход матери, дочери и сына, т. е. весь первый пункт будет записан так: 200+220+150= 570 (руб.)— это удвоенный расход матери, дочери и сына.

Следующие действия в этой же задаче записываются аналогично первому пункту.

3-я форма. Запись только одних действий.

4-я форма. Запись каждого вопроса и затем соответствующего действия.

Кроме обычных формулировок вопросов рекомендуется в тексте вопроса повторять и те данные, которые будут использованы для решения вопроса. В особенности это надо требовать при устной постановке вопроса, что приучит учащихся ставить вопросы более продуманно и лучше устанавливать связь между величинами.

Приведём пример из задачи 5.

На сколько рублей расход матери и сына больше, чем расход матери и дочери, если известно, что расход

первых двух человек равняется 220 руб., а двух последних — 200 руб.?

При устных разборах необходимо требовать не только постановки вопроса, но и обоснования, почему данный вопрос решается именно таким-то действием. Например, к 4-му вопросу задачи 5 (стр. 55) можно сделать такое обоснование к выбору действия. Зная сумму расходов матери и сына (220 руб.) и расход сына, узнаем расход матери путём вычитания из 220—85, так как здесь по известной сумме двух слагаемых и одному из них надо найти второе слагаемое.

Отсутствие должного внимания к проверке ответов задач говорит не только о нарушении одного из важнейших требований нашей советской педагогики, но это есть игнорирование важного средства в отыскании верного приёма решения, нарушение принципа единства теории и практики. Разве можно было бы встретить при наличии проверки, при сопоставлении ответов с практикой такие абсурдные, нелепые ответы, какие приходится видеть иногда в тетрадях школьников.

Так, например, однажды ученик, решая задачу, получил, что урожай пшеницы на 1 кв. м равен 50 ц.

Следует приучить учеников видеть в задаче отражение определённых практических явлений и находить несоответствие между полученными ответами и действительностью. Надо учить проверять правильность вычислений, находить ошибки и их исправлять, а также проводить проверку ответов по условию задачи. Кроме обычных приёмов проверки следует применять и такой: изменить условие задачи, поставить в условие в качестве данных полученные ответы, а искомыми взять те числа, кото-рые были даны первоначально. По этому изменённому условию решить новую полученную задачу. Например, в приведённой выше задаче 2 мы вместо чисел 9256 и

27 введём в условие полученные ответы: 9612 и 356 и составим новую такую задачу: найти разность и отношение чисел 9612 и 356. Решив эту задачу и получив новые ответы (разность чисел равна 9256, а частное от их деле ния равно 27), мы убеждаемся, что задача решена верно.

4. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ РАБОТА НАД ЗАДАЧЕЙ ПОСЛЕ ЕЁ РЕШЕНИЯ

Надо приучать учащихся проводить над задачей определённую работу и после её решения, а именно: кроме проверки ответов по условию задачи, необходимо практиковать:

а) решение задачи другими способами;

б) запись решения в виде формулы;

в) составление задач, аналогичных данным;

г) связь с практикой, решение подобных задач с данными, взятыми из окружающей жизни.

Всё это имеет большое развивающее и воспитательное значение. Ученики учатся думать, рассуждать, проявлять свою инициативу. В процессе такой работы развиваются творческие способности ученика, проявляется интерес к решению. Очень важно проанализировать разные решения задач. Лучшие решения следует демонстрировать перед всем классом и поощрять давших такие решения учеников. Полезно ставить отметку за эту работу. Все лучшие в решении моменты надо записывать в особом журнале или в специальной тетради-дневнике. Надо уметь учитывать каждую новую мысль ученика, его творчество, его инициативу.

Приведём задачу, составленную учениками по аналогии с задачей 5, приведённой выше.

В магазин привезли фрукты. Яблок и слив было 200 кг, слив и груш 150 кг, яблок и груш 220 кг. Сколько кило-

граммов яблок, груш и слив в отдельности получил магазин?

Подобную работу мы видели у ряда лучших учителей начальной и средней школы. Вот примеры такой работы: ученики, решив одну задачу, записали её в виде числовой формулы так: (200 : 4-|-30)-2.

Педагог предложил по этой формуле составить каждому ученику свою задачу. Поднялся целый лес рук. Каждый ученик предлагал свою, составленную им задачу.

Один предложил такую задачу:

«Вышли на работу 200 человек, они были разделены на 4 равные бригады, потом к ним было добавлено ещё по 30 человек. Сколько человек стало в двух бригадах?»

Другой ученик составил новую задачу:

«4 рабочих изготовили 200 деталей, по равному числу каждый. Затем каждый сделал ещё по 30 деталей. Сколько таких деталей приготовят 2 рабочих?»

Полезны упражнения по составлению задач на материале из жизни. Ученики сами по заданию учителя подбирают материал из газет, журналов, справочников, книг и по этим данным составляют свои задачи, таблицы и проводят нужные расчёты для семьи, класса, школы, колхоза, района. Например: подсчитать в процентах и успеваемость и посещаемость каждого класса школы за 1-ю четверть и т. п.

Приведём примеры подобных заданий.

1. а) полезащитная лесная полоса от Саратова до Астрахани расположена по обоим берегам Волги, имеет длину 900 км, а ширину 100 м.

б) 2-я государственная полоса Воронеж — Ростов на Дону идёт по обоим берегам Дона длиной в 920 км и шириной по 60 м.

в) 3-я полоса от Белгорода до реки Дон имеет длину

500 км, ширину по 30 м по обоим берегам реки Северный Донец.

Вычислить сумму площадей и периметров этик полос, рассматривая эти участки как прямоугольники.

2. а) Мощность строящихся величайших ГЭС в мире — Куйбышевской 2 000 000 киловатт, Сталинградской 1 700 000 киловатт.

б) Мощность Днепрогэса 600 000 киловатт. 1 киловатт заменяет 8-часовую работу 40 человек.

По этим данным составить задачи на определение мощности всех ГЭС, сравнить мощности в процентах, а также составить на эту тему круговые диаграммы.

3. Построить диаграммы и графики на сравнительную длину каналов и быстроту их сооружений по данным:

Название каналов

Длина в км

Время постройки в годах

1. Главный Туркменский.....

1 100

7

2. Южно-Украинский и Северо-Крымский ...........

550

7

3. Суэцкий............

166

10

4. Кильский ...........

99

8

5. Панамский..........

81

35

Полезно проводить практические измерительные работы на местности. По этим данным составлять и решать задачи, как, например, измерение расстояний, земельных участков, овощехранилищ,, зданий, вычисление площади пришкольного участка и т. д..

В заключение приведём составную задачу, где полностью записан ход её решения.

I. Подготовительная работа

Устное решение задач

Задача 1 I число > 11 числа в 2 раза I число -J- II число = 210 I число = ? и II число = ?

Задача 3

I число ]> II числа на 70 и в то же время I число > II числа в 2 раза I число =? 11 число = ?

Задача 2

I число 11 числа на 10 I число-f- II число = 210

I число = II число = ?

Задача 4

Если от I числа отнять 20 и прибавить столько же ко II числу, то I число будет равно II числу. На сколько I число было больше II числа?

II. Работа над условием задачи

Условие задачи (читается 2 раза) Две бригады рабочих исправляли полотно железной дороги. Если из первой бригады перевести во вторую 100 человек, то в обеих бригадах будет поровну. Если же перевести из второй бригады в первую 100 человек, то в первой бригаде будет в два раза больше человек, чем во второй. Сколько рабочих было в каждой бригаде?

Краткая запись условия

Было первоначально

Первая группировка

Стало после

первой группировки

2-я группировка

Стало после 2-й группировки

1-я бригада ?

2-я бригада ?

1-я бригада — 100

2-я бригада + 100

В обеих бригадах рабочих поровну

1-я бригада + 100

2-я бригада— 100

1-я бригада

в 2 раза больше 2-й

Иллюстрация к условию задачи

III. Разбор задачи аналитико-синтетическим методом и план решения

IV. Решение

— (на 200 человек было больше первоначально в 1-й бригаде, чем во 2-й).

— (на 400 человек стало больше в 1-й бригаде, чем во 2-й, после 2-й перегруппировки).

(что составляет 400 ра-бочих). —(первоначальное количество рабочих во 2-й бригаде).

— (первоначальное количество рабочих в 1-й бригаде).

Ответ. 1-я бригада—700 чел.

2-я бригада—500 чел.

V. Проверка

1-я группировка 2-я группировка

Ответы верны: они удовлетворяют требованиям условия.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение ........................ 3

Часть I

1. Анализ и синтез — основные методы решения задач . . 5

2. Методы разбора условия задачи............ 9

3. Аналитический метод................. 19

4. Синтетический метод.................. 31

5. Аналитико-синтетический метод . . . ......... 38

Часть II

1. Восприятие и сознательное овладение условием задачи . 45

2. Разбор задачи и составление плана решения ..... 52

3. Решение и проверка ответов по условию задачи .... 56

4 Дополнительная работа над задачей после её решения . 58

Редактор С. В. Пазельский Техн. редактор С. Т. Шикин Корректор А. Г. Мареева

Подписано к печати 17/XI 1951 г. А08141. Бумага 84x108*/** Бум. л. 1. Печ. л. 3,28. Уч.-изд. л. 2,51. Тираж 50 000 экз. Заказ № 2866. Цена 75 к.

Набрано в Первой Образцовой типографии им. А. А. Жданова Главполиграфиздата при Совете Министров СССР, Москва, Валовая, 28. Отпечатано с матриц в типографии № 3 Углетехиздата, Ленинград, отпечатано * Салтыкова-Щедрина, 54. Зак. 3 310.