А.П.КАРП

ДАЮ УРОКИ МАТЕМАТИКИ...

Из опыта работы

„Просвещение“

А.П.КАРП

ДАЮ УРОКИ МАТЕМАТИКИ...

КНИГА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Из опыта работы

МОСКВА „Просвещение“ 1992

ББК 74.262 К26

Рецензенты: учитель-методист школы № 463 Москвы А. М. Гольдман; учитель школы № 995 Москвы Л. А. Рымкевич.

Карп А. П.

К26 Даю уроки математики...: Кн. для учителя: Из опыта работы.— М.: Просвещение, 1992.—191 с: ил.— ISBN 5-09-003445-1.

Книга отражает опыт работы школы с углубленным изучением математики. Содержит методические разработки некоторых уроков, программы кружковых занятий, образцы контрольных работ и зачетных заданий, материалы для проведения олимпиад и конкурсов. Книга окажет помощь учителю в работе с учащимися, проявляющими интерес к математике.

ББК 74.262

ISBN 5-09-003445-1

© Карп А. П., 1992

ПРЕДИСЛОВИЕ

За последние годы число школ и классов с углубленным изучением математики резко увеличилось. Потому, думается, особенно важно сейчас осмысление опыта тех сравнительно немногих математических школ, что существуют уже без малого три десятилетия. Желание осознать проделанное за эти годы, поделиться накопленным опытом и вызвало появление этой книги.

Разумеется, описывая систему работы, сложившуюся в школе № 30 Ленинграда, мы никак не считаем, что она может быть перенесена в другие условия полностью. Дыхание живого организма нельзя изменить или упорядочить на чужой манер — не плоским единообразием, а гибкостью форм и методов работы, чуткостью к запросам учащихся с одной стороны и общества в целом — с другой, привлекают к себе профильные школы. Понятно к тому же, что за рамками этой книги остается очень и очень многое — мы постараемся раскрыть традиционную, так сказать, обыденную сторону методической жизни школы. На этой основе могут возникать самые разные продолжения, да и сами описанные мероприятия могут в иной системе принимать другой характер. Вообще информация о направлении поисков сегодня важнее готовых рецептов.

Вместе с тем, начинающий учитель школы с углубленным изучением математики нуждается сегодня и в конкретных дидактических материалах, поэтому, рассказывая о методике проведения тех или иных учебных и внеклассных мероприятий, мы приводим много задач (в первую очередь повышенной трудности), образцы зачетных билетов и заданий с тем, чтобы учитель при желании мог их использовать. Практически ко всем задачам приводятся краткие решения.

В конце книги указаны пособия, на которые читатель также мог бы опереться, и которые в большой мере послужили источником и для нас, хотя восстановить сейчас происхождение каждой задачи, разумеется, не представляется возможным. Кроме указанных книг использованы материалы вступительных экзаменов,

математических олимпиад разных лет, материалы летних школ и сборов, материалы, опубликованные в различных иноязычных изданиях для лиц, интересующихся математикой и ее преподаванием (отметим здесь журналы American Mathematical Monthly, Alpha, болгарские сборники «Олимпиада по математике за средношколцы»), и многое другое.

Мы стремились по возможности затронуть все основные стороны работы учителя математики профильной школы — от набора учащихся до подготовки к выпускным и вступительным экзаменам, это и обусловило структуру книги — каждый параграф ее посвящен соответствующему направлению деятельности учителя или форме его работы.

Автор выражает благодарность всем учителям математики, работавшим в разные годы в школе № 30, и в первую очередь И. Я. Веребейчику, Т. И. Курсиш, А. Р. Майзелису, чей труд в большой степени определил традиции школы № 30.

§ 1. УЧЕБНЫЕ ПРОГРАММЫ

Такова особенность педагогического труда, что то, что имеет, может быть, самое важное значение в работе учителя — живой голос, интонация, взгляд, манера, увы, не поддается письменному переложению (хотя интересно было бы выявить имеющиеся и здесь законы). Рассказывая о педагогическом опыте, поневоле приходится говорить лишь о его отражении — в учебных планах, программах, контрольных работах и т. п. Так поступим и мы, хотя такое описание лишь дает представление о реальной жизни школы, так же как самая подробная режиссерская запись может лишь дать представление о спектакле...

Основные цели и задачи углубленного изучения математики в средней школе сформулированы в изданных в 1987 г. соответствующих программах профильных школ [1]; там же описано содержание математического образования в таких школах, приведено тематическое планирование.

Но хотя все это, безусловно, дает начинающему учителю профильной школы какую-то опору, догматическое следование типовым программам вряд ли будет плодотворно. Математические школы переживают период широкого развертывания, поэтому многое здесь еще остается дискуссионным, да и в дальнейшем самобытным подходам, отражающим местную специфику, должно находиться место.

Приведем здесь некоторые вытекающие из опыта нашей работы соображения, касающиеся учебных программ.

I. Типовые программы ориентированы на четырехгодичное углубленное изучение математики, между тем проводится теперь и планируется в дальнейшем набор учащихся и в двухгодичные потоки с X класса. Ясно, что хотя, как сообщается в программе [1], «в применении к VIII и IX классам программа в основном следует программам для общеобразовательной школы», те, кто учился не по ней, все же находятся в худшем положении. Поэтому в классах двухгодичного потока мы начинаем обучение с систематического повторения, обращая особое внимание на формирование и развитие у учащихся умения грамотно пользоваться математическим языком, на отработку основных вычислительных навыков курса алгебры (примерный перечень повторяемых здесь вопросов мы приведем в § 2), отработку умений решать геометрические задачи наиболее часто применяемых в дальнейшем типов (мы останавливаемся обычно на применениях

теоремы Пифагора, признаков подобия треугольников, теорем о правильных и вписанных или описанных многоугольниках и т. п.). В преддверии изучения аксиоматики стереометрии должно находиться место и для обзора аксиоматики планиметрии, краткого исторического экскурса.

II. Типовые программы второго года обучения — IX класс — содержат раздел «Элементы математического анализа» (30 ч). Он посвящен знакомству с применениями производной, подробное изучение которых предполагается на третьем году обучения в X классе. Нам кажется, что подобная концентричность не вполне оправдана. В IX классе изучение производных поневоле будет ограничиваться технологическими, а не идейными аспектами, между тем прочные вычислительные навыки могут быть успешно сформированы и в X классе. Не следует к тому же забывать, что и вузы уделяют этому вопросу должное внимание. Нам представляется более целесообразным организовать за счет этого времени изучение иных, более развивающих разделов или таких тем, которые дают возможность расширить арсенал вычислительных средств, увеличить разнообразие задач и примеров.

Так, например, типовая программа по геометрии IX класса включает раздел «Сведения из истории» (12 ч), в котором предлагается коснуться: вопросов происхождения геометрических понятий, истории пятого постулата, геометрии Лобачевского, теории групп, вопросов непротиворечивости и полноты аксиоматик.

Нам кажется, что многое из перечисленного заслуживает более вдумчивого изучения. Приведем здесь некоторые примеры.

Мы считаем оправданным изучение в курсе алгебры раздела «Введение в общую алгебру». Приведем его программу:

1. Понятие действия — 4 ч. Свойства действия: коммутативность, ассоциативность, обратимость, сократимость, наличие нейтрального элемента, обратного элемента. Независимость свойств. Единственность нейтрального элемента, единственность обратного элемента (при наличии ассоциативности действия), связь между сократимостью и обратимостью в конечном множестве.

2. Определения группы — 4 ч. Эквивалентность различных определений группы, примеры.

3. Подгруппы —2 ч. Примеры, циклические подгруппы.

4. Группы преобразований плоскости — 2 ч. Классификация движений. Основные группы преобразований.

Этот раздел позволяет показать единство математики, предоставляет примеры простых (коротких) аксиоматик, облегчает дальнейшее изучение числовых систем (ср.— в XI классе типовые программы предлагают изучать поле комплексных чисел).

Материал по этому разделу можно найти в [33], [87], [119], см. также § 3 нашей книги, где приведены планы ряда уроков по этой теме.

Мы считаем полезным изучение в курсе геометрии раздела «Введение в планиметрию Лобачевского». Приведем его программу:

1. Некоторые факты абсолютной геометрии и утверждения, эквивалентные 5-му постулату — 5 ч. Свойство внешнего угла треугольника, признак параллельности прямых. Дефект треугольника, его свойства. Эквивалентность 5-го постулата и утверждения о равенстве 180° суммы углов треугольника.

2. Параллельность по Лобачевскому — 2 ч. Определение, независимость параллельности от выбора точки, через которую проводится прямая. Функция Лобачевского, признак расходящихся прямых.

3. Некоторые факты геометрии Лобачевского — 3 ч. Признак равенства треугольников по трем углам. Пропорциональность площади треугольника и его дефекта.

4. Модели геометрии Лобачевского — 2 ч. Описание моделей Кэли-Клейна и Пуанкаре, иллюстрация некоторых свойств.

Геометрия Лобачевского имеет огромное развивающее и методологическое значение, поэтому учащийся четырехгодичного потока должен быть хоть в какой-то степени с ней ознакомлен.

Материал для этого раздела можно найти в [118], публикациях журнала «Квант» (№ 2, 3 за 1976 г.; № 11, 12 за 1982 г.).

Приведем пример иного рода. Нам кажется целесообразным краткое изучение в курсе алгебры IX класса темы «Логарифмическая и показательная функции». Разумеется, можно сказать, что и к этому материалу придется возвращаться еще раз в дальнейшем. Но изучение этой темы в IX классе оправдано, как мы считаем, той исключительной ролью, которую она играет в традиционном курсе элементарной математики, и, главное, тем богатством применений, которое откроется в рамках математического анализа, ограничивающегося в противном случае изучением дробно-рациональных и степенных функций.

Изучение логарифмической и показательной функций (близкое к предусмотренному учебником алгебры для VIII класса А. И. Маркушевича и др. 1984 г. издания) занимает у нас обычно 12—15 ч.

III. Остановимся еще на одном моменте. Наш учебный план предполагает использование части часов, посвященных трудовому обучению, на введение предмета «Вычислительная математика». Этот предмет, как мы считаем, очень важен, ибо, играя роль моста между сугубо теоретическими математическими дисциплинами и курсом программирования, он показывает важность изучения теоретических разделов для нужд практики. Здесь учащиеся учатся «переводить» математические теоремы на практический лад, составлять вычислительные алгоритмы, разбираясь с возникающими при этом трудностями на примерах, не требующих большого объема вычислений. Заметим, что для организации тако-

го предмета не требуется дорогостоящей и малодоступной вычислительной базы — можно обойтись микрокалькуляторами. Приведем программу такого курса:

X класс (1 занятие в две недели по 2 ч, всего 32 ч).

1. Знакомство с вычислительной техникой — 2 ч.

2. Приближенные вычисления — 4 ч. Абсолютная и относительная погрешности, действия с приближенными значениями.

3. Интерполяция — 6 ч. Линейная интерполяция, прямая и обратная. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

4. Решение систем линейных уравнений, метод Гаусса — 8 ч.

5. Численное решение уравнений —12 ч. Метод половинного деления, метод хорд, метод касательных. Комбинированный метод хорд и касательных, метод итераций.

XI класс (1 занятие в 2 недели по 1 ч, всего 16 ч).

1. Элементы линейного программирования — 6 ч. Постановка задачи, транспортная задача, понятие о симплекс-методе.

2. Приближенное интегрирование — 8 ч. Формула прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона, другие квадратурные формулы.

3. Численное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера — 2 ч.

По каждой теме формулируются и доказываются основные теоремы, разрабатываются и записываются вычислительные алгоритмы, проводятся практические и лабораторные работы.

Материал может быть взят из [112], а также из различных вузовских учебников.

Подчеркиваем в заключение, что важно добиться синхронизации курса вычислительной математики и остальных математических предметов (например, численные методы решения уравнений желательно проходить параллельно соответствующим разделам курса математического анализа). Таким образом можно одновременно разгрузить теоретические курсы и сделать их более доступными и наглядными для учащихся.

§ 2. НАБОР УЧАЩИХСЯ

Так же как театр начинается с вешалки задолго до того, как его посетители попадают в зрительный зал, специализированная школа начинается задолго до звонка на уроки. И в подготовительной стадии, может быть, главное — поиск и выявление учащихся, склонных к углубленному изучению математики.

Иногда эту проблему понимают упрощенно, сводя ее к набору хорошо успевающих по всем предметам и не имеющих дисциплинарных замечаний ребят — таких легко отобрать по свидетельст-

вам и табелям. Нужно сразу подчеркнуть, что такой подход представляется малоудачным и при наборе в X класс, при наборе же в VIII или IX, который также ведется у нас в школе, он и вовсе неприемлем. Ясно, что у учащихся VII—VIII классов часто не сформировались еще интересы и склонности и текущие невысокие оценки отнюдь не означают неспособность наверстать упущенное при условии, конечно, упорного труда, если появится интерес к предмету. Понятно и то, что наличие ровных успехов по всем предметам, хотя и свидетельствует об определенном навыке работы, само по себе еще не означает, разумеется, наличия глубоких интересов. Ранняя ориентация на математику может помешать их проявлению, нанеся таким образом детям даже определенные психологические травмы. Следует к тому же, иметь в виду, что, к сожалению, уровень школ, из которых приходят учащиеся, различен и порой даже отличные оценки не свидетельствуют о глубоком и прочном освоении курса.

Вместе с тем вряд ли правомерно решать вопрос о целесообразности обучения ребенка в специализированной школе лишь на основании тех или иных тестов, выявляющих способности. Сегодня, конечно, нет нужды говорить об ошибочности имевшего в свое время место полного отрицания всех и всяких тестов — ясно, что они являются важным орудием психологического исследования. Но не стоит кидаться в другую крайность и абсолютизировать их значение. Достаточно сказать, что наличие даже ярких способностей не означает еще присутствия также необходимых интереса и умения работать.

Поэтому оптимальной, хотя и требующей больших усилий педагогического коллектива, представляется система заблаговременной поисковой работы — организация кружков, посещая которые учащиеся других школ смогут в какой-то мере ознакомиться с духом и требованиями специализированной школы, проявить активность в изучении математики, проверить стойкость своих интересов, сохраняя возможность сравнительно безболезненно поменять направление занятий, если занятия математикой их разочаруют.

Летние школы, через которые осуществляется набор в физико-математические интернаты (см. [6]), к сожалению, оказываются по организационным соображениям неприемлемыми для городских специализированных школ. Поэтому коснемся лишь следующих наиболее важных форм работы с будущими учениками школы: заочных конкурсов, кружков, олимпиад, подготовительных курсов. Расскажем также о проведении собеседований с поступающими в школу.

Конкурсы. Объявления о записи в кружки полезно сопровождать предложением принять участие в заочном конкурсе по решению задач. Это сразу привлекает внимание учащихся, заставляет их задуматься над предложенной им информацией. При этом должны быть предложены задачи с яркими, запоминающимися

формулировками, разнообразными методами решения. Следует иметь в виду, что среди ребят, которые примут участие в конкурсе, будут как очень сильные и уже посещавшие кружки, так и не имеющие еще опыта подобных занятий. Поэтому нужно, чтобы среди предлагаемых задач были как сравнительно трудные, так и легкие, «утешительные». Важна и роль «предисловия» к условиям задач, настраивающего ребят на нужный лад, с тем чтобы не отпугнуть их трудностью и нестандартностью формулировок.

Приведем один из вариантов конкурсов, проводимых нами для семиклассников, и «предисловие» к нему. Вот такой текст вместе с информацией о сроке сдачи конкурсных заданий и времени записи в кружки распространялся по школам города.

«Дорогой друг!

Мы приглашаем тебя принять участие в математическом конкурсе. Тебе предлагается десять задач: есть среди них трудные, есть и сравнительно простые. Не старайся решать задачи подряд, разбери сначала ту, которая кажется тебе самой легкой или самой интересной, потом другую и т. д. Решить все задачи не обязательно. Они отличаются по формулировкам и по методам решения от тех, которые обычно решаются в школе. Принимаются работы даже с решением одной задачи. Но если тебе и не удалось хорошо выступить в конкурсе на этот раз, не огорчайся и приходи на разбор решений. А если ты хочешь познакомиться с некоторыми разделами математики, которые не изучают в школе, поломать голову над трудными задачами, записывайся в математический кружок!»

Задачи

1. Доказать, что любую сумму денег, большую 7 к., можно уплатить только трех- и пятикопеечными монетами.

2. Решить уравнение |х—-11 + |х + 2| =4.

3. Квадраты со сторонами 12 и 15 см пересекаются. После удаления из квадратов их общей части получаются две области. Чему равна разность их площадей?

4. Для того чтобы отгадать целое число, заключенное между единицей и тысячей, можно задавать вопросы, на которые разрешается отвечать только «да» и «нет». Какое наименьшее число вопросов нужно задать, чтобы спрашивающий мог наверняка отгадать задуманное число?

5. Найти сумму

6. В фигуре, составленной из 12 спичек (рис. 1), переложите 4 из них так, чтобы получилось три равных квадрата.

7. Двое играют в такую игру на шахматной доске: в начале

игры король стоит на поле Н8, за один ход игрок имеет право сдвинуть его на поле влево, или на поле вниз, или на поле по диагонали влево и вниз, ходы делают по очереди. Выигрывает тот, кто поставит короля на AI. Кто должен выиграть при правильной игре?

8. Среди двенадцати монет имеется одна фальшивая. Как найти ее четырьмя взвешиваниями на весах с двумя чашками без гирь, если неизвестно, легче она или тяжелее остальных?

9. Известно, что среди каждых четырех участников похода найдется хотя бы один, знакомый с тремя другими. Доказать, что:

а) найдется хотя бы один участник похода, знакомый со всеми остальными;

б) найдется не более трех таких участников похода, которые хоть с кем-то не знакомы.

10. У страшного дракона с планеты Хемтам 19 голов, отважный Рыцарь придумал аппарат, с помощью которого можно одним ударом отрубить ровно 12, 14, 21 или 340 голов, но после этого у дракона отрастают взамен соответственно 33, 1988, 0 или 4 головы. Если все головы отрублены, новые не вырастают. Сможет ли Рыцарь победить дракона?

С разбора задач конкурса (которые учащиеся сдают в письменном виде, посылая по почте или принося в школу) целесообразно начинать работу кружка.

Кружки. Материал для работы кружков имеется в достаточном количестве. Укажем, например, пособия [38], [43], может быть использован и материал § 7 настоящей книги. Отметим лишь, что в таком кружке должны всегда ощущаться контакты со школой. Там полезно разбирать задачи школьных олимпиад и конкурсов, к которым целесообразно привлекать наиболее сильных участников кружка. Полезна и организация математических боев для кружковцев силами учащихся школы, организация для них экскурсий по школе. Имеет смысл предусмотреть в школьной стенгазете или на стенде школьного научного общества уголок, рассказывающий о жизни кружка. Это даст возможность посещающим кружок чувствовать себя частью школьного коллектива.

Разумеется, важны контакты не только со школьными, но и с другими математическими кружками. Такие контакты наверняка завяжутся и у новых, начинающих свою жизнь математических школ, поскольку со временем и их выпускники начнут вести кружковую работу.

Олимпиады. Этот вид работы со школьниками является, может

Рис. 1

быть, самым массовым и распространенным. Так, в Ленинграде в несколько туров проводятся городские олимпиады, проводятся олимпиады кружков (отметим ежегодную олимпиаду Юношеской математической школы при ЛГУ), и тем не менее полезно проведение олимпиады — очного соревнования для желающих поступить в школу. Такая олимпиада может быть организована во втором полугодии, когда многие учащиеся начинают обращаться в школу, выясняя условия приема. Задачи олимпиады должны быть рассчитаны не на кружковцев, а на «новичков». Отбор учащихся не является целью ее проведения. Результат олимпиады никак не должен впрямую влиять на прием в школу. Олимпиады проводятся с тем, чтобы дать возможность проявить себя и тем школьникам, для которых задачи даже районного тура оказываются чрезмерно трудными, привлечь новые силы к работе кружка, придать ей новый импульс.

Олимпиада (VIII—IX классы, 2 ч)

1. У мальчика столько же сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько в семье сестер и братьев?

2. Найти множество точек плоскости, отстоящих от контура квадрата со стороной 2 см на расстояние 1 см.

3. Решить уравнение

(х - 2)6 - 19 (х3 - 6х2 + 12х -8) = 216.

4. Можно ли заполнить числами таблицу 8X8 так, чтобы сумма по столбцам была положительной, а по строчкам — отрицательной?

5. Доказать, что если числа а, Ь, с таковы, что с=— (a + ft), то а3-\-а2с — abc + b2c + b3 = 0.

6. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке А. Пусть AB — диаметр большей окружности и BD — ее хорда, касающаяся меньшей окружности в точке С. Доказать, что АС — биссектриса угла BAD.

Подготовительные курсы. Следует иметь в виду, что желающие поступить в школу обращаются в нее на протяжении всего учебного года. Несколько таких «волн» удается вовлечь в работу кружков. Для тех, кто приходит в конце учебного года, полезнее организовать подготовительные курсы. Занятия в них, проводимые во второй половине дня, могут строиться как обычные уроки и должны быть посвящены углубленному повторению пройденного учащимся курса.

Приведем программу таких занятий для девятиклассников (поступающих в X класс нашей школы), рассчитанную на 24 ч (два занятия по 2 ч в неделю). Укажем также литературу, которая может быть использована учителем, кроме действующих учебников.

1. Тождественные преобразования — 6 ч. Формулы сокращенного умножения, разложение на множители, действия с дробями, действия со степенями и корнями. (См. [24], раздел 1, § 2; [26], глава 2.)

2. Решение уравнений — 6 ч. Равносильность уравнений, линейные, квадратные уравнения, различные формулы для их решения, теорема Виета, вычисление симметрических выражений от корней квадратного уравнения с помощью теоремы Виета, решение уравнений, сводящихся к квадратным, решение уравнений с помощью замены переменной, решение систем уравнений. (См. [13], [23], главы I—II; [26], глава VI.)

3. Решение неравенств — 3 ч. Линейные неравенства, системы неравенств, квадратные неравенства, метод интервалов. (См. [23], глава 3, § 4; [24], раздел 1, § 4—5.)

4. Графики функций — 3 ч. Графики основных функций, простейшие преобразования графиков. (См. [17], см. также § 3 нашей книги.)

5. Решение задач по планиметрии — 6 ч. Теорема Пифагора, соотношения в треугольниках, вычисление площадей. (См. [24], раздел III, § 2—4; [26], глава 10.)

Предложенный вариант программ имеет явный алгебраический крен. Хоть это и звучит парадоксально, приходится объяснять целесообразность такого распределения часов тем, что учащиеся, как правило, лучше владеют алгебраическим материалом, планиметрию же все равно приходится всесторонне повторять в начале X класса. Повторение же ее на подготовительных курсах в условиях нехватки часов, к сожалению, оказывается малоплодотворным.

В работе курсов должно быть предусмотрено проведение контрольных работ, которые помогут выявить наиболее сильных учащихся. Однако больше всего этому помогает наблюдение за работой ребят на занятиях, в одинаковых условиях. Создание таких одинаковых условий, нивелировка (лишь в какой-то степени, разумеется) тех различий, которые обусловлены уровнем школ, из которых пришли будущие ученики математической школы, и есть, пожалуй, главная цель подготовительных курсов.

Мы перечислили основные формы работы с поступающими в школу. Но тут же должны еще раз подчеркнуть, что охватить ими всех будущих учащихся не удастся. Отличие набора в школу от набора в вуз в том, что информация о приеме в школу распространяется пока не лучшим образом, к тому же решение о выборе дальнейшего места обучения у школьников VII—IX классов еще менее устойчиво, чем у выпускников. Поэтому нецелесообразно, отсекая поздно узнавших о школе, устанавливать жесткие сроки, после которых запрещается подавать документы.

Важность перечисленных форм работы в том, что они дают возможность отобрать наиболее сильных и активных учащихся. Вместе с тем следует предусмотреть проведение собеседований, т. е. вступительных работ для тех, кто по тем или иным причинам не

получил рекомендаций кружков или подготовительных курсов.

Ниже мы приводим варианты работ, предлагавшиеся поступающим в VIII и X классы. Работы рассчитаны на 2 ч (120 мин). Нужно при этом подчеркнуть ряд моментов, важных как при составлении вариантов, так и при оценке результатов.

а) Работа должна быть составлена таким образом, чтобы обеспечить максимальное равенство обучавшихся по разным программам. Понятно, что наличие задач по непройденным темам сбивает учащихся. Поэтому здесь важна тщательность составителя.

б) Работа должна включать как легкие, стандартные задачи, так и задачи, предполагающие более высокий технический или логический уровень. Могут быть включены и одна-две задачи олимпиадного уровня. Это даст возможность получить полную картину знаний, умений и навыков учащихся, оценить уровень их мышления. Поэтому в вариантах, предлагаемых ниже, избыточное число задач (учащихся, конечно, следует предупреждать заранее, что решение всех задач не требуется и не предполагается) .

в) Мы приводим лишь по одному варианту для письменной работы, но должны подчеркнуть, что собеседование, как нам кажется, обязательно следует проводить в несколько туров, причем после каждого тура должна проходить консультация — разбор задач. При такой системе в большей мере удается преодолеть психологические трудности, связанные с волнением, непривычностью обстановки и т. п., и, главное, выявить наиболее активных, способных к интенсивным занятиям. По крайней мере один тур собеседования должен быть устным, с тем чтобы поступающий мог показать умение вести доказательную, аргументированную беседу, имел возможность уточнить сказанное после вопроса преподавателя.

Задания и для устного тура могут быть составлены по образцу, предлагаемому ниже.

Работа для поступающих в VIII класс

1. Построить график уравнения (х2 — Ъх) (2у + 2х) = 0.

2. Разложить на множители 4 (а -\-Ь2)-\-2\Ь2 — 20а& — 36.

3. Найти число а, такое, что точка пересечения прямых, задаваемых уравнениями у = 4х-\-За и у = 2х-\-а, имеет ординату 4.

4. Катер на подводных крыльях прошел по течению реки за 2 ч такое же расстояние, какое он прошел за 2 ч 15 мин, двигаясь против течения. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найти Собственную скорость катера.

5. Доказать, что если треугольники ABC и А\В\С\ равны, то АЕ равно А\Е, где Е и Ei —середины биссектрис BD и B\D{.

6. Доказать, что если в треугольнике длина какой-то медианы равна половине длины стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.

7. В классе 35 учеников, из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 — в кружке «Умелые руки», 10 ребят в эти кружки не ходят. Сколько математиков занимается в кружке «Умелые руки»?

8. Найти все простые числа р, такие, что число 8р2+1 тоже простое.

Работа для поступающих в X класс

1. Вычислить

2. Решить неравенство

3. Дан график функции у = ах2 + Ьх-\-с (рис. 2). Определить знаки a, ft, с.

Рис. 2

4. Что больше: sin 243° или tg217°?

5. Вычислить

6. Построить график уравнения

7. В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см, основания относятся как 4:5. Найти меньшую боковую сторону.

8. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведены медиана и биссектриса, которые образуют угол в 12°. Найти углы треугольника.

9. Найти все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 45.

В заключение коснемся еще одного, как нам кажется, весьма важного вопроса — изучения структуры набора. К сожалению, социология школы развита у нас крайне недостаточно. Между тем изучение, тем более многолетнее, результатов набора помогает в выборе правильной стратегии поисковой работы. Поэтому нам представляется важным анкетирование учащихся, наблюдение за их успехами в школе и сравнение их с результатами собеседований.

Анкеты, предлагаемые нами учащимся, включали обычно следующие вопросы:

1. Фамилия, имя.

2. Домашний адрес.

3. Номер школы, фамилия, имя и отчество учителя математики.

4. Кружки, в которых занимаешься.

5. Место работы родителей.

6. Откуда узнал о школе? Почему решил в нее поступать? Последний вопрос имеет смысл задавать повторно после за-

числения в школу (причем предусмотрев анонимность отвечающих).

На основе указанных данных можно:

— установить, из каких школ и от каких учителей приходят наиболее подготовленные учащиеся (математическая школа должна искать контакты с такими школами, осуществлять тесную связь с ними);

— выявить территориальную «зону тяготения» к школе: установить, учащиеся каких районов чаще всего подают в школу документы (эта «зона» определяется отнюдь не только территориальной близостью к школе, и знание ее, разумеется, полезно в работе по привлечению учащихся);

— судить о действенности информации о школе, о ее источниках (среди ответов наших учащихся на вопрос «Откуда они узнали о школе?» встречаются такие: «Из объявления», «Учительница сказала», «Сказали на кружке», «Родители закончили эту школу», «Знакомые здесь учились (учатся)». Последние два ответа составляют иногда до 40% от общего числа, так что учителю специализированной школы следует всегда иметь в виду, что, может быть, главный фактор, влияющий на набор,— это авторитет школы у учащихся!);

— узнать мотивы поступления в математическую школу. (Здесь нам встречались самые разные ответы: «Хочется получше подготовиться в вуз», «Хочется лучше узнать математику (программирование)», «Говорят, что здесь интересно учиться», «Хотел учиться у такого-то учителя», «Были плохие отношения в старой школе», «Старая школа — восьмилетка, а я живу рядом с вашей» и т. п.)

Понимаем, что некоторые ответы могут смутить поклонников единообразного «высокого стиля», но надо отдавать себе отчет в том, что в любую специализированную школу идут не только из бескорыстной любви к науке. Настроения и запросы, имеющиеся у учащихся, надо учитывать — это не значит пассивно следовать за ними. Знание их (при всей их переменчивости) помогает и в дальнейшем, поэтому не стоит жалеть сил на изучение учащихся нового набора.

Да и в целом, как бы ни была трудоемка работа по новому набору, надо понимать, что тем, как он будет проведен, определяется «начальная точка», да и направление движения, рассказ о дальнейших этапах которого впереди.

§ 3. ПЛАНЫ НЕКОТОРЫХ УРОКОВ

Преподавание в профильной школе должно быть не только более глубоким по содержанию, чем в обычной школе, но и отличающимся от него по форме. Ясно, что в классе, скомплекто-

ванном из учащихся, выбравших математику для углубленного изучения, можно отказаться от различных форм мелочной опеки, строя работу более крупными блоками, как того требует принципиально более сложный материал, предлагаемый программой математической школы.

Известные приемы построения уроков обретают здесь новый смысл, могут применяться по-новому, более широко и в качественно иной общей системе. Здесь важны уроки разных типов:

— уроки лекционного типа, на которых, например, могут ставиться задачи для дальнейшей проработки, анализироваться истоки возникновения новых математических методов и результаты, которых с их помощью удалось достичь;

— уроки-беседы, уроки «сотворчества», на которых совместными усилиями учителя и учащихся доказываются те или иные теоремы;

— уроки-практикумы, на которых учащиеся самостоятельно решают задачи, добиваясь отработки тех или иных навыков;

— уроки-семинары, на которых учащиеся рассказывают о проделанной работе, скажем, о совместном решении какой-то задачи, разделенной на несколько частей.

Возможны и другие виды уроков. Здесь мы дадим материал некоторых из них. Разумеется, привести планы всех уроков невозможно, а выбор так называемых узловых тем, конечно, всегда субъективен. К тому же эти «самые важные» темы обычно сравнительно хорошо методически проработаны. Поэтому мы не будем здесь затрагивать дифференциальное исчисление, теорию пределов, теорию многочленов и т. п. Мы коснемся тем, пожалуй, даже нестандартных, по одной из математического анализа, алгебры и геометрии, которые можно сформулировать так: «Построение графиков элементарными методами. Применение графиков в решении задач с параметрами», «Введение в общую алгебру» и «Коллинеарность и конкурентность в планиметрии».

Нам кажется, что анализ этих разделов важен, ибо показывает источники и основные направления работы математической школы:

— формирование функциональных представлений учащихся на наглядном материале;

— подготовку к вступительным экзаменам в вузы с повышенными требованиями по математике (а здесь весьма важно умение применять разнообразные, в том числе аналитические методы) ;

— перенос в школу вузовских дисциплин, целью которого служит развитие абстрактного мышления учащихся и который немыслим без существенного изменения манеры изложения;

— привлечение, наконец, на уроки материала, традиционно изучаемого на занятиях кружков, что также невозможно без его существенной переработки.

Мы не стремимся здесь к описанию всех форм работы на рассматриваемых уроках — это и затруднительно, и не очень по-

лезно, ибо вряд ли можно заранее учесть особенности всех классов даже в рамках одной школы (хотя ясно, что по первой из рассматриваемых тем больше уроков-практикумов, по второй — уроков-бесед, по третьей — уроков-семинаров). Мы лишь намечаем канву уроков и приводим там, где необходимо, материал для них (материал этот, как правило, избыточен — часть предлагаемых заданий может быть использована в качестве дополнительных для сильных учащихся). Основная структурная единица у нас — занятие, состоящее из двух уроков.

ТЕМА 1. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ МЕТОДАМИ, ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФИКОВ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ

Эта тема занимает у нас важное место, именно здесь закладываются основы аналитического мышления, формируется соответствующая интуиция, развивается логика и культура использования функциональных обозначений и методов. Не гонясь за формальной строгостью, ограничиваясь «геометрической», если не «физической» манерой изложения («ведем линию вверх или вниз» и т. п.), можно добиться, чтобы основные понятия математического анализа стали привычными и ясными для школьников, это пригодится и в дальнейшем при построении графиков с помощью производных, где, к сожалению, иногда вычислительная сторона преобладает над логической и графической. Понятна и, наоборот, польза, приносимая этой темой для изучения геометрических преобразований.

К тому же это раздел традиционно важный для подготовки к вступительным экзаменам и уже потому неизбежный в математической школе. Думается, что он может служить примером отработки подобной «экзаменационной» техники.

Геометрические преобразования графиков функций в четырехгодичных потоках мы изучаем и в VIII классе (построение графиков с помощью параллельных переносов и симметрий), и в IX классе (построение графиков с помощью сжатий и растяжений вдоль осей), и в X классе (повторение, построение графиков с помощью инверсий относительно осей). Ограничимся здесь лишь планами уроков X класса.

Занятие 1. Повторение ранее изученного, введение понятия «инверсия»

1. В начале занятия в ходе беседы вспоминаются основные приемы построения графиков. Учащимся предлагается составить планы построения графиков следующих функций и сформулировать теоремы, на основе которых они предложены:

Задания эти целесообразно заранее написать на доске, так же как и начертить оси координат для построения графиков. Все это существенно увеличивает скорость повторения, хотя при этом, разумеется, нельзя допускать неаккуратности в построениях. (Полезно обеспечить наличие у учащихся шаблонов для построения графиков.) Могут быть использованы и кодограммы, однако нужно, чтобы большая часть графиков возникала в ходе урока.

2. Учащимся предлагаются более сложные «многоходовые» задания. Построить графики функций:

Эти задания также выполняются и на доске, и в тетрадях.

3. Наконец, предлагаются задания для самостоятельной работы. Построить графики функций:

Здесь предлагается указать план построения каждого графика и выполнить последовательно необходимые построения. Например, рассмотрим задание 30(1) План (обозначая через ГПх) график функции y=f(x)) мы кратко записываем так:

Построим соответствующие графики, поясняя, как они строились (рис. 3).

Для уточнения графиков полезно брать несколько контрольных точек, например точки пересечения графика с осями. Одно из предложенных заданий целесообразно выполнить на доске, называя (как выше) преобразования, применяемые для построения.

4, Завершить повторение можно домашним заданием, включающим, например, такие задачи. Построить графики уравнений:

Рис. 3

5. Переход к применению инверсии затруднителен, ибо в отличие от движений плоскости и сжатий-растяжений они неизвестны школьникам и не так уж наглядны, поэтому необходимо мотивировать их введение.

Мы начинаем новую тему с рассмотрения графика функции

Изобразив Г^^зу, мы обсуждаем с классом следующие вопросы:

— Будет ли пересекаться искомый график с построенным?

— Как поведет себя искомый график там, где абсциссы его точек «близки» к единице?

— Там, где абсциссы его точек «велики»?

Так как учащимся известна теорема о том, что если функция y=f(x) возрастает и принимает только положительные значения, то функция у=—у—убывает, построение этого графика проходит достаточно легко (часто мы предлагаем учащимся построить его самостоятельно), см. рисунок 4.

Далее делается вывод о целесообразности рассмотрения преобразования плоскости, при котором точки с координатами (х; у) переходят в точки с координатами {^с\ — ) , ибо легко заметить, что именно с помощью такого преобразования можно построить рассмотренный график.

6. Дается определение инверсии относительно прямой.

Определение. Точка В называется инвертной точке А относительно данной прямой (оси) /, если: 1) эти точки лежат по одну сторону относительно /; 2) отрезок, их соединяющий, перпендикулярен оси /; 3) произведение расстояний от этих точек до / равно 1 (рис. 5).

У точек оси инвертных точек нет.

Определение. Преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в инвертную ей относительно данной прямой, называется инверсией. Для точек этой прямой преобразование не определяется.

Рис. 4 Рис. 5

Замечание. При инверсии относительно оси Ох точка А с координатами (х\; у\), у\фО, переходит в точку В с координатами (Х2] У2), где Х2 = Х\ и

В самом деле, Х2 = х\, так как отрезок AB перпендикулярен оси Ох, у\ и у2 должны быть одного знака, так как А и В лежат в одной полуплоскости относительно оси Ох, наконец, \У\\\У2\=\, так как произведение расстояний от А и В до оси равно единице, т. е. уху2=\.

Предлагается в качестве домашнего задания установить формулы для инверсии относительно оси Oy в координатах.

7. В заключение обсуждается термин «инверсия». Посещавшим кружок напоминается об инверсии относительно окружности. Выясняется, что значит термин «инверсия» в филологии, отмечается, что в случае нашего преобразования переставляются «близкие» и «далекие» от прямой точки.

Занятие 2. Свойства инверсий, построение графиков

1. Предлагается самостоятельная работа по материалам домашнего задания.

2. Повторяются определения инвертной точки и инверсии. Учащимися доказывается, что при инверсии относительно оси Oy точка Л с координатами {х\\ у\), х\Ф0, переходит в точку В с координатами (x2l у2), где х2=— и у2=Уь

3. Предлагаются следующие устные задания:

1 ) Найти (если они есть) точки, инвертные данным относительно осей Ох и Oy: 2), ß(l; 0), С (2; 1), D (0; 2).

2) У какой из точек А (2; 250), В (3; 200) точка, инвертная относительно оси Ох, ближе к оси абсцисс?

3) У какой из точек А (300; 5), В (325; 6) точка, инвертная относительно оси Oy, ближе к оси ординат?

4) Найти неподвижные точки инверсий относительно осей Ох и Oy.

Делаются выводы о том, что:

а) А (х; у) — неподвижная точка инверсии относительно оси Ох тогда и только тогда, когда у2= 1, т. е. у= ± 1; В (х; у) — неподвижная точка инверсии относительно оси Oy тогда и только тогда, когда jc2=l, т. е. х= ±\\

б) чем дальше от оси инверсии точка, тем ближе к ней инвертная ей.

4. Затем доказывается теорема.

Теорема. График функции g(x)=yЦ- получается из графика функции y = f(x) инверсией относительно оси Ох.

Доказательство. Достаточно доказать, что условие (*о,* уо)£Г({х), уофО, равносильно условию

Рис. 6 Рис. 7

Пусть (хо; yo)6T/(jc), уофО. Можем записать:

(D (/) — область определения функции /).

5. Учителем на доске выполняются примеры.

1) Построить график функции

Строится Г(А._1)2, отмечаются точки с ординатой, равной 1, замечается, что искомый график имеет асимптоты х=\ и у = 0у так как график функции у = (х — I)2 при абсциссах, «близких» к х=\у все ближе подходит к оси инверсии, а при «больших» абсциссах уходит от нее неограниченно далеко. Показывается, что надо, таким образом, от точки (0; 1) «вести вправо и вверх» к прямой х=\ и «влево и вниз» к прямой у=0 и т. п. (рис. 6).

2) Пользуясь аналогичными рассуждениями, построим еще один график — функции

6. Следующие графики предлагаются учащимся для самостоятельной работы и выполняются позднее на доске.

7. Приводятся примеры функций y = g(x)y которые можно

Рис. 8 Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11. Рис. 12

представить в виде g (x)=fy—j для каких-то функций /, графики которых легко строятся (подобные примеры разбираются ниже).

Далее учащимся предлагается доказать теорему о том, что Г . получается из Тп, преобразованием инверсии относительно оси Oy. Как и выше, достаточно доказать, что условие

8. Учителем демонстрируются примеры построения графиков.

1) Строится

План построения. Строим график функции у = \х— 11, отмечаем, что точки А (1; 0) и В ( — 1; 2) неподвижные (рис. 11). Строим образ интервала АС (рис. 12). Каждая из точек этого интервала должна перейти в точку с такой же ординатой и лежащую тем далее от оси Oy, чем ближе к ней исходная точка. Так как расстояние от точек интервала Л С до оси Oy при приближении их к С становится сколь угодно малым, искомый график имеет асимптоту у= 1.

Рассуждая аналогично, строим образы луча AD, интервала ВС, луча BE. Итоговый график изображен на рисунке 13.

2) Строится Г^-j— (из гу^ру с помощью аналогичных рассуждений, рис. 14).

9. В заключение учащимся предлагается построить графики следующих функций:

Рис. 13 Рис. 14

10. Домашнее задание. Построить графики функций:

Занятие 3. Построение графиков с помощью инверсий относительно обеих осей и применение графиков к решению задач с параметрами

1. В начале занятия предлагается самостоятельная работа на 15 мин. Построить графики функций:

Вариант А Вариант Б

2. Учащимся предлагаются следующие вопросы:

1) Можно ли придумать Г/(х), такой, чтобы у Г , были различные левая и правая горизонтальные асимптоты?

2) Можно ли придумать Г/(х), такой, чтобы у Г , были различные левая и правая горизонтальные асимптоты?

3) Можно ли придумать Г/(х), такой, чтобы у Г 1 были две, три, п (для любого натурального п), бесконечно много вертикальных асимптот?

Рис. 15 Рис. 16

4) Можно ли придумать Г/(х), такой, чтобы у , были две вертикальные асимптоты, три, п (для любого натурального п)? Бесконечно много вертикальных асимптот?

Приведем здесь ответы — они даются устно и сопровождаются построением на доске нужных графиков.

1) Да. Например, на рисунке 15 построены графики функций

2) Да. Например, на рисунке 16 построены графики функций

3) Да. Достаточно предъявить непрерывную функцию /, у которой корней, соответственно, два, три, п, бесконечно много.

4) Да. Достаточно взять функцию f, у которой столько (две, три, /г, бесконечно много) вертикальных асимптот.

3. Класс разбивается на две команды (по вариантам), каждая из которых должна придумать по две задачи на построение графиков, так, чтобы для их решения нужно было применить указанные учителем преобразования. Ребята придумывают и сами решают такие задачи, затем какие-то из придуманных учащимися из первого варианта задаются второму и наоборот.

Задания. Придумать такую функцию, график которой получается из Г/(х)с помощью композиции указанных преобразований.

Вариант 1

1) f (х)=х2. Параллельный перенос вдоль Ох, инверсия относительно оси ординат, инверсия относительно оси абсцисс.

2) f (x)=\og2X. Параллельный перенос вдоль оси Ох, инверсия относительно оси ординат, параллельный перенос вдоль оси Ох.

Вариант 2

1) f(x)=^Jx. Параллельный перенос вдоль оси Ох, инверсия относительно оси ординат, инверсия относительно оси абсцисс.

2) f(x)=x3. Параллельный перенос вдоль оси Ох, инверсия относительно оси ординат, параллельный перенос вдоль оси Ох,

Как видит читатель, мы приводим здесь одинаковые наборы преобразований для первого и второго вариантов: это облегчает и ускоряет разбор заданий, но в сильных классах возможно, разумеется, и большее разнообразие наборов заданий и предлагаемых функций. Например, учащимися могут быть предложены следующие функции:

Вариант 1

1)

(Построение графика на рисунке 17.)

Следует обратить внимание учащихся на появление точки (0; 0) на графике функции у= 2 (рис. 17, в); на графике функции У=( 1 ~х ) , изображенном на том же рисунке точки с абсциссой нуль нет. Иногда говорят, что график функции У=-?—{-TYT был продолжен по непрерывности, но проще следить

Рис. 17

Рис. 18

за изменением областей определения рассматриваемых функций, добавляя нужные точки.

(Построение графика на рисунке 18.)

Вариант 2

. \\(Построение графика на рисунке 19.)

(Построение графика на рисунке 20.)

4. В заключение разбираются примеры решения уравнений и неравенств с параметрами графическим методом. Он состоит в построении кривой, определяемой уравнением с параметром, и последующем ее изучении и демонстрируется нами раньше, еще в IX классе, на совсем простых примерах, здесь он лишь повторяется на более сложном материале.

1) Дано уравнение (а— 1) х — 4 (а— 1) х-\-За—4 = 0.

Построить задаваемую им в координатной плоскости (х; а) кривую и с помощью графика установить: а) при каких значениях параметра а уравнение не имеет решения; б) при каких значениях параметра а уравнение имеет решения разных знаков; в) при каких значениях параметра а уравнение имеет корень, больший 6; г) при каких значениях параметра а уравнение имеет корень из отрезка [—1; 2].

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Для решения этих задач преобразуем уравнение к виду а (х2 — Ах + 3) = X2 — Ах + 4 и построим график функции

(рис. 21).

Каждому значению а соответствуют теперь две, одна или ни одной точки графика, а каждой точке графика — абсцисса х, где X — решение данного уравнения при этом а.

Теперь легко ответить на предложенные вопросы.

а) Так как есть точки графика с любыми ординатами, кроме принадлежащих промежутку (0; 1]. Ответ: нет решений при а£(0; 1].

б) Из графика видно, что прямые а = const, параллельные оси ОХ, пересекают график в точках с абсциссами разных знаков только при aÇ^l; 1-~-^)а(0)=1-~. Ответ: ^1; 1-|-) .

в) а(6)=1-7-. Из графика виден ответ: уравнение имеет корень, больший 6, при aç(l; 1-р-) .

Рис. 22

Таким образом, из графика виден

На первые из этих вопросов несложно ответить и без графика, но вышеизложенным способом достигается единообразие рассуждений.

2) Дано неравенство

Установить: а) при каких значениях параметра а все числа из отрезка [ — 4; —3] являются решениями этого неравенства; б) при каких значениях параметра а хотя бы одно число из этого отрезка является его решением; в) при каких значениях параметра а данное неравенство следует из неравенства а< 1 —

Построим график функции

(рис. 22, а).

из графика ясен ответ на ответ: уравнение имеет корень из [— 1; 2] при

первые два вопроса:

Построим теперь график функции а = 1 — \х\ (рис. 22, б). Ясно, что теперь надо выяснить, при каких значениях а все точки с координатами (х; а), лежащие ниже графика функции а=1 — \х\, лежат и ниже графика функции a = 2x+l , т. е., в частности, таковы, что числа X содержатся в области определения функции a = 2*“и. Подчеркнем, что значения а, при которых все точки с ординатами а лежат выше графика а=1 — \х\, нас устраивают. Из графика понятно, то искомые а£[0; +оо).

5. Домашнее задание. 1) Построить графики функций:

2) Найти, при каких значениях параметра а уравнение а У2х—1 = 1 имеет решения, большие 5.

3) Ответить на те же вопросы, что и для уравнения 4 (1) на с. 29, для уравнения (а — 2) г2— (4а — 5) х-{-4а — 3 = 0, построив предварительно задаваемую им кривую.

Занятие 4 (1 урок) .Контрольная работа Построить графики функций:

Вариант 1

Вариант 2

ТЕМА 2. ВВЕДЕНИЕ В ОБЩУЮ АЛГЕБРУ

Мы уже говорили о значении этой темы, весьма важной для формирования математического мышления. Надо, однако, отдавать себе отчет в ее трудности для ребят. Хотя здесь и не требуются практически никакие предварительные знания (что позволяло даже предсказывать в свое время, что когда-нибудь этой темой будут начинать школьное образование), но зато необходима чрезвычайно высокая культура работы с даваемыми определениями, необходима, если можно так сказать, потребность в определениях. Если при изучении традиционных школьных разделов некоторые методические пособия рекомендуют не настаивать на усвоении всеми учащимися даже основных определений (исходя из того, например, что решение простейших тригонометрических уравнений, построение графиков тригонометрических функций и выполнение преобразований свидетельствуют о владении определениями, встречающимися в тригонометрии), то в общей алгебре такой путь просто невозможен. Учащиеся должны научиться различать встречающиеся им явления и почувствовать необходимость их «называния», т. е. появления соответствующих опреде-

лений. Потому во всей этой теме, а особенно на первых уроках по ней, которыми мы ограничимся, чрезвычайно важна роль примеров. Изобилие их должно подталкивать школьников к самостоятельным обобщениям. Без них уроки превратятся в разучивание никому не нужных правил, лишенное даже тех оправданий, которые могут быть сделаны для заучивания правил арифметики в начальной школе. Ибо если там, не очень греша против истины, можно утверждать, что запоминаемые правила подходят всегда, то в этой теме в том и состоит дело, чтобы показать, что привычные законы далеко не универсальны.

Вообще рискну сказать, что академическая атмосфера алгебраических штудий вряд ли достижима на уроках в IX классе. Так что уж лучше возникновение обстановки игры на манер крестиков-ноликов («А вот какая еще может получиться позиция»), чем обстановка заучивания маловразумительного катехизиса.

Занятие 1. Понятие алгебраического действия. Простейшие свойства действий.

1. Учащимся предлагается ответить, какие действия они знают. Обращается внимание на то, что со словом «действие» они сталкиваются не только тогда, когда говорят о числах, а, например, и при изучении векторов.

Выписываются предлагаемые примеры: сложение, вычитание, умножение и деление чисел, возведение числа а в степень Ь, извлечение квадратного и кубического корня, сложение и вычитание векторов.

Предлагается объяснить, что же такое действие. Учащиеся подводятся к следующему определению:

действием * в множестве M называется правило, по которому любой паре элементов а, Ь из M сопоставляется элемент с —а * b из этого же множества.

Замечается, что извлечение квадратного или кубического корня не есть действие с этой точки зрения (точнее, не есть бинарное действие), а деление и возведение в степень являются действиями лишь при рассмотрении отнюдь не всего множества JR, ибо, например, паре а = 3, 6 = 0 деление (а:Ь) ничего не сопоставляет, так же как возведение а в степень b не определено, например, при а= — 1, Ь=-^-.

2. Учащимся предлагается выяснить, являются ли действиями в множествах R, jR+ (положительных чисел) и N нахождения среднего арифметического и среднего геометрического двух чисел.

Ответ:

(Так как, например, У—Ь2 неопределен, a -^tl и У2^3 не являются натуральными числами.)

3. Учащимся предлагается придумать свои примеры, обсуждается их корректность; например, определим действие в множестве яблок следующим образом: любой паре яблок сопоставляется наибольшее из них по весу. Это определение некорректно, так как неясно, как быть, если вес яблок совпадает. Некорректно и похожее определение действия в множестве Ry по которому паре чисел а и b сопоставляется такое из них, что разность его и оставшегося положительна: в определении действия говорится о любой паре и пара совпадающих элементов не исключается.

Учащиеся обычно придумывают разнообразные примеры, лучшие из которых наряду с определением действия и примерами не подпадающих под определение ситуаций должны быть записаны школьниками. (Здесь обязательно должно быть упомянуто действие сложение в совокупности классов вычетов по модулю ,i\ «необычное сложение», по которому, скажем, 3 + 2 = 0 (вычеты по модулю пять) производит на учащихся сильное впечатление и служит полезным примером.)

4. Предлагается придумать действия в конечных множествах М = {ау Ь) и К={ау Ьу с}у показывается, как записать действие в виде таблицы, ставя на пересечении строки, соответствующей элементу а, и столбца, соответствующего элементу Ъу элемент, являющийся результатом действия а * Ь. Сообщается, что такие таблицы называются таблицами Кэли в честь английского математика XIX в. Приведем примеры таблиц Кэли для действий в множествах M и К-

Ставится вопрос о числе действий в двух-, трех-, я-элементных множествах. (Мест в таблице п2у каждое из них можно заполнить п способами. Ответ: /г“2 действий.)

5. Учащимся предлагается выяснить, какими свойствами обладают известные им действия с числами. Даются общие определения. Приводим их здесь подряд, хотя на уроке целесообразней, разумеется, после каждого определения разбирать примеры — обычно мы проверяем наличие изучаемых свойств у действий, предложенных ранее учащимися.

Определение. Действие * в множестве M называется коммутативным, если для любых элементов а и b из M верно а* Ь = = Ь * а.

Определение. Действие * в множестве M называется ассоциативным, если для любых элементов а, Ь и с из M верно а* (6*с)=(а * Ь)*с.

Определение. Действие * в множестве M называется обратимым, если для любых элементов а и Ь из M найдутся элементы X и у из М, такие, что х * a = b, а * у = Ь.

Последнее определение менее тривиально, чем предыдущие, хотя сравнительно незадолго перед его появлением в общей алгебре оно возникает при изучении векторов. Следует подчеркнуть, что определение следует давать именно так и что обратимость слева (наличие элемента х) не гарантирует обратимости справа (наличия элемента у) и наоборот. Обязательно нужно предложить учащимся придумать примеры, показывающие это. Например, зададим действие в двухэлементном множестве таблицей Кэли:

Действие, очевидно, необратимо слева, так как для а и b нет такого ху что х*а = Ь, но оно обратимо справа, так как для любой пары элементов требуемый элемент находится. (В самом деле, для пары (а, а) надо взять элемент а, для пары (а, Ь) взять ft, для пары (b, а) взять а, для пары (b, Ь) взять Ь.)

6. В заключение занятия учащимся предлагаются задания двух видов: а) проверить наличие изученных свойств у различных действий; б) проверить независимость изученных свойств, т. е. привести примеры действий, у которых есть ассоциативность и нет коммутативности и обратимости или есть коммутативность и нет ассоциативности и т. п.

Приведем некоторые примеры.

1 ) В множестве R задано действие * так, что для любых а и b верно а * b=(a—b)2. Действие, очевидно, коммутативно, но неассоциативно ((3 *2)*1 = 1*1=0;3* (2*1) = 3*1= 4) и необратимо (не существует элемента х, такого, что 2 * х= — 1).

2) В множестве R задано действие * так, что для любых а и ( верно а * b = b. Действие ассоциативно (а * (Ь * с)—с={а * Ь) * с), но некоммутативно и необратимо (не существует такого ху что X * 1=2).

3) Действие вычитания в множестве R некоммутативно, неассоциативно ({а — Ь)—сФа — (Ь — с))у но обратимо.

4) Действие умножения в R ассоциативно, коммутативно, но необратимо (например, не существует х, такого, что л>0 = 7).

5) В множестве движений плоскости рассматривается действие композиция. Оно ассоциативно и обратимо, но некоммутативно.

6) Зададим на пятиэлементном множестве {а, Ьу с, d, е} действие таблицей Кэли:

Действие неассоциативно, так как, например, а*(Ь*с) = = а* d = d, a (а * ft) * с = с * с = е, но коммутативно и обратимо (см. 7 (1) из домашнего задания к этому занятию).

7. В качестве домашнего задания могут быть предложены следующие задачи:

1) Как по таблице Кэли судить, является ли действие коммутативным? обратимым?

2) Проверить наличие изученных свойств у следующих действий:

а) в множестве R\{0} действие:

б) в множестве Д+ действие: а* Ь=а ;

в) в множестве числовых функций действие: f*g = fg;

т) в совокупности подмножеств вещественных чисел действие:

u* v=u[}v;

д) в совокупности подмножеств вещественных чисел действие:

U * V=U\V.

(Обычно мы предлагаем учащимся еще несколько задач на повторение других тем.)

Занятие 2. Свойства действий.

1. В начале занятия разбираются задачи из домашнего задания, особое внимание обращается на 7 (1).

2. Затем учащимся предлагается самостоятельная работа (пятиминутка).

Проверить наличие изученных свойств у следующего действия: вариант 1: в множестве N действие: а * Ь = НОД (a; Ь)\ вариант 2: в множестве N действие: а * b = HOK (a; Ь). Эти задачи разбираются на доске после выполнения самостоятельной работы.

3. Определяются еще некоторые свойства действий, также

встречавшиеся учащимся ранее. (На это необходимо обратить их внимание.)

Определение. Действие * в множестве M называется сократимым, если из того, что х * и=х * v, следует, что u = v, и из того, что и * x = v * X, следует, что u = v.

Определение. Говорят, что элемент е — нейтральный элемент множества M с действием *, если для любого элемента х из M выполнены равенства х * е = е * х=х.

Определение. Элемент а~~1 называется обратным к элементу а множества M с действием *, если в M имеется нейтральный элемент е и выполнены равенства а* а~1=а~~{ *а = е.

Как и выше, необходимо обратить внимание учащихся на то, что действие необязательно коммутативно, а потому нужно оговаривать каждый раз выполнение двух равенств, по сути дела, каждый раз определяется сократимость слева и справа, левый и правый, нейтральный и обратный элементы. При наличии времени можно определить их и в явном виде, хотя излишнее копание в этих определениях не кажется нам уместным в IX классе.

4. Рассматриваются различные примеры, проверяется наличие этих свойств (в том числе наличие обратного у каждого элемента) в ранее разобранных примерах.

5. Изучается взаимосвязь между свойствами. Предлагается установить, какой должна быть таблица Кэли, чтобы действие было сократимо. (Ответ: элементы в каждом столбце и в каждой строке должны быть различны.)

Предлагается доказать предложение.

1. Если действие в конечном множестве сократимо, то оно и обратимо, и, наоборот, из обратимости действия в конечном множестве следует его сократимость.

Доказательство. Если действие сократимо, то в каждой строчке и в каждом столбце таблицы Кэли стоят различные элементы, но элементов в множестве конечное число и все клетки таблицы заполнены, поэтому в каждом столбце и в каждой строке стоят все элементы множества, а это и означает, что действие обратимо. Аналогично наоборот. Так как на п (п — число элементов множества) местах в строке или столбце размещены все п элементов множества, то никакие из них не могут быть выписаны дважды, т. е. все элементы в каждой строке и в каждом столбце различны, таким образом, налицо сократимость.

Нужно заметить, что конечность множества здесь существенна. Пусть, например, множество M счетно, его элементы занумерованы au 02, аз, ал, ... и в M определено действие * следующим образом: а, * а/=а*+/ Для любых i, j£N. Очевидно, налицо сократимость, но обратимости нет.

Также для самостоятельного доказательства могут быть даны учащимся еще два предложения.

2. В множестве M с действием * может быть лишь один нейтральный элемент.

3. Пусть действие * ассоциативно, тогда у произвольного элемента а может быть не более одного обратного элемента.

Доказательство предложения 2. Пусть нейтральных элементов два: е\ и в2. Рассмотрим выражение е\ * в2У так как е\ — нейтральный, то е\ * £2 = 22, так как еч — нейтральный, то е{ * е2-=е\. Следовательно, е\=в2 — противоречие.

Доказательство предложения^3. Пусть а~х и а-1 — обратные к а. Рассмотрим выражение а-1* а* а-1. Пользуясь ассоциативностью, получаем:

(а-1 * а) * а~{ =е * а-1 =а-1 =а-1 * (а * а-1) = = а~х * е = а~~х. Желательно предварить формулировку этих утверждений «экспериментальным» их доказательством, предложив учащимся придумать такое множество M и такое действие в нем (заполнить соответствующую таблицу Кэли), чтобы в M было два нейтральных элемента или чтобы у какого-то элемента было два обратных: учащиеся сами приходят так к требуемым формулировкам, построив к тому же примеры, показывающие, что при отсутствии ассоциативности утверждение предложения 3 неверно, например:

У элемента b два обратных & и с.

6. В качестве домашнего задания учащимся могут быть предложены следующие задачи:

1) Проверить наличие изученных на уроке свойств у действий, рассмотренных в предыдущем домашнем задании.

2) Проверить наличие всех изученных свойств у действий, определенных следующим образом:

а) в множестве числовых функций действие f *g=-£-;

б) в том же множестве действие f *g=/+g;

в) в множестве гомотетий с центром в точке О действие композиции;

г) в множестве учеников класса действие определяется так: если а и b — два ученика, то а * b — тот из них, кто первым записан на странице классного журнала (если а = Ь, то а*Ь = = а = Ь).

3) Дадим определение нулевого элемента: и — нулевой элемент множества M с действием *, если для любого элемента х из M выполняется равенство и*х=х* и = и.

Выяснить, сколько может быть нулевых элементов в множестве с данным действием.

Занятие 3. Понятие группы.

1. В начале занятия учащимся предлагается дать определение действия, основных свойств действий.

2. Переходя к новому материалу, целесообразно заметить, что в основных наиболее значимых примерах мы встречаемся с наличием у действия нескольких свойств. Так, например, сложение вещественных чисел обладает всеми изученными свойствами, композиция движений плоскости — ассоциативное, обратимое и сократимое действие и т. д. Естественно напомнить ребятам и то, что необходимость расширения изучаемых числовых множеств была обусловлена стремлением добиться выполнения отсутствовавших ранее свойств. Например, сложение чисел в N — необратимое действие; расширив множество, перейдя к изучению множества Z, мы добиваемся обратимости.

Следует также напомнить учащимся, как строилось в свое время множество Z — были определены отрицательные числа, по сути дела, как обратные по сложению к положительным, а потом уже оказалось, что действие сложения стало обратимым в новом множестве. Можно сослаться на аналогичную ситуацию с векторами (при условии, разумеется, их изучения именно в таком порядке).

3. После этих замечаний выделение ситуаций, в которых действие обладает несколькими свойствами, сравнительно естественно. Указывая, что, может быть, наиболее плодотворным и часто встречающимся является соединение ассоциативности и обратимости, даем следующие определения:

Определение 1. Пусть в множестве G определено ассоциативное и обратимое действие, тогда это множество с этим действием называется группой.

Определение 2. Пусть в множестве G определено ассоциативное действие, такое, что в G есть нейтральный элемент и у каждого элемента есть обратный. Тогда множество G с этим действием называется группой.

4. Отметив, что теперь перед нами стоит задача доказательства эквивалентности этих определений, следует сначала все же привести некоторые примеры групп, показывая, что они подпадают под оба определения. Желательно, конечно, чтобы они приводились учащимися. Дадим здесь некоторые примеры.

1) Z, Q, R относительно сложения.

2) Jt+, R\{0} относительно умножения.

3) Векторы относительно сложения.

4) Множество движений плоскости относительно композиции.

5) Одноэлементное множество {1} с действием умножения.

6) Двухэлементное множество {— 1 ; 1} с действием умножения.

7) Множество движений, состоящее из двух элементов (тождественного преобразования и симметрии относительно какой-либо прямой), рассматриваемое относительно композиции.

8) Множество поворотов плоскости около некоторой точки О, рассматриваемое относительно композиции.

9) Множество поворотов около точки О на углы вида — k при фиксированном натуральном п и /г = 0, 1,2, п— 1, рассматриваемое относительно композиции.

10) Множество гомотетий с центром в точке О, рассматриваемое относительно композиции.

11) Множество функций из R в R, рассматриваемое относительно сложения.

12) Совокупность биективных отображений множества в себя, рассматриваемая относительно композиции.

13) Множество движений плоскости, при которых данная фигура Ф переходит в себя, рассматриваемое относительно композиции (эта группа называется группой симметрии фигуры Ф).

14) Совокупность классов вычетов по модулю п (n£N) относительно сложения.

15) Трехэлементное множество {а, ft, с} с действием, заданным таблицей Кэли:

Уже рассмотрение примеров из самых разных областей показывает значение введенного понятия.

5. Перейдем к доказательству эквивалентности данных определений.

1) Пусть множество G с действием *— группа в смысле определения 1. Возьмем произвольный элемент agG. Из обратимости ясно, что найдутся элементы и и и, такие, что и*а = а и а * v = a.

Заметим теперь, что для любого элемента b из G также выполнены равенства u*b = bub*v = b.B самом деле, из обратимости ясно, что существуют элементы х и у, такие, что Ь=х * а, Ь = а*у, но тогда, используя ассоциативность, получаем:

и * Ь = и * (а * у) = (и * а) * у = а * у = Ь, b * и = (х * а) * v = x * (а *и) = х * а = Ь.

Наконец, рассмотрев выражение и * и (как выше при доказательстве предложения 2), получаем, что u = v, таким образом, в G есть нейтральный элемент e = u = v.

Так как из обратимости ясно, что для любого элемента а из G найдутся X и у из G, такие, что х * а = е и а* у = е, мы опять-таки, повторяя прием предложения 3 и рассматривая выражение X * а * у, убеждаемся, что х=у, т. е. у любого элемента а есть обратный. Итак, G — группа в смысле определения 2.

2) Пусть теперь G — группа в смысле определения 2. Надо показать, что действие * обратимо. Возьмем произвольные элементы а и b из G, так как у а есть обратный элемент а~\ можем рассмотреть выражения а~{ * b и b * а-1. Ясно, что а * (а-1 * 6) = = ЬУ (Ь * а-1) * а = Ь. Таким образом, существуют элементы х и у, такие, что х * a = by а * y = b. А это и означает, что действие * обратимо.

Важно показать учащимся, что, например, последнее рассуждение, по сути дела, повторяет рассуждения, встречающиеся при изучении числовых систем или векторов. Доказывая теорему в теории групп, мы сразу «убиваем несколько зайцев», общность приложений теории групп показывает ее важность.

6. В качестве домашнего задания могут быть предложены следующие задачи:

1) Доказать, что в группе действие сократимо.

2) Привести примеры четырехэлементных групп. Можно ли привести примеры четырехэлементных групп с разными таблицами Кэли (имеются в виду такие таблицы, которые нельзя сделать одинаковыми, переобозначив элементы)?

3) Является ли группой множество натуральных чисел, рассматриваемое относительно действия, заданного следующим образом: а* Ь= наименьшее {а, Ь) для любых а и ft?

4) Найти все движения плоскости, переводящие правильный треугольник в себя. Показать (ср. 4 (13)), что это множество является группой относительно композиции, составить таблицу Кэли для этого действия.

5) (Трудная задача.) Доказать, что множество G с ассоциативным действием * является группой, если выполнены следующие условия: а) для любого элемента а из G найдется элемент х из G, такой, что а* х * а=а\ б) в G существует не более одного элемента и, такого, что й* и = и.

Занятие 4. Примеры групп. Роль понятия «группа».

1. Занятие естественно начать с разбора домашнего задания, обратив особое внимание на задачу 6 (1). Все время используемое нами свойство — сократимость, т. е. взаимное уничтожение одинаковых элементов в левой и правой частях имеется в любой группе!

2. Полезно, приведя примеры различных групп преобразований (подобий, движений и др.), дать учащимся понятие об Эрлангенской программе Ф. Клейна.

Заметим, что группе преобразований подобия соответствует

отношение подобия фигур, группе движений — отношение равенства и т. д. Причем отношения эти являются отношениями эквивалентности (свойства отношений изучаются у нас ранее).

В самом деле, например, Ф\ и Фг — подобные фигуры, если найдется преобразование подобия /, такое, что /:(Ф1)=Ф2.

Но отношение подобия рефлексивно (т. е. любая фигура Ф подобна себе), ибо достаточно взять тождественное преобразование, являющееся, разумеется, преобразованием подобия. (Здесь мы используем наличие нейтрального элемента в группе.)

Это отношение симметрично (т. е. если Ф\ подобна Фо, то и 02 подобна 0i), ибо если [(ФХ) = Ф2, то /_1(Ф2) = Фь а f~~l— преобразование подобия. (Здесь мы используем наличие обратного элемента в группе.)

Это отношение транзитивно (т. е. если Ф\ подобна Ф2, а Фг — Фз, то Ф\ подобна Фз), ибо если существуют преобразования подобия / и g, такие, что /:(Ф1) = Ф2 и §(Ф2) = Ф3, то, рассмотрев их композицию g о f, получим преобразование подобия, переводящее Ф\ в Фз. (Использовано определение действия.)

Так как можно сказать, что любая наука изучает мир с точностью до каких-то отношений (т. е. считает какие-то объекты одинаковыми — эквивалентными), понятна роль групп, которые «командуют» этими эквивалентностями.

Легко приводить здесь примеры. Так, география изучает мир «с точностью до одноэлементной группы» — фигура одинакова лишь сама с собой, эквивалентная ей фигура лишь та, которая получается из нее применением тождественного преобразования, и никому не приходит в голову, вырезав из карты Сибири очертания Британских островов, заявить, что можно изучать полученный объект, называя его Соединенным Королевством.

Между тем в школьной геометрии мы поступаем именно так: изучаем один треугольник со сторонами, скажем, 3, 4, 5 и считаем, что все треугольники с такими сторонами одинаковые для нас, ибо изучение мы ведем с точностью до группы движений, а любой такой треугольник можно получить как образ взятого при каком-то движении.

Изучение с точностью до группы подобий приводит к своей геометрии. Возможны и другие «одинаковости», можно, например, считать все фигуры сделанными из резины, полагая одинаковыми те из них, которые можно перевести друг в друга, ничего не склеивая и не разрывая,— за этим взглядом тоже «скрывается» своя группа и т. п.

Здесь можно рассказать и об инвариантах рассматриваемых преобразований — о том, что остается неизменным при их выполнении и что, по сути дела, и является предметом нашего рассмотрения. Например, в школьной геометрии инвариантами являются площади, в «геометрии группы подобий» — величины углов и т. п.

Полезно обратить внимание учащихся на то, что наши рассуж-

дения лишь обобщают изложенные в школьных учебниках, где выясняется, что остается неизменным при преобразованиях подобия и движениях, показывается, как связаны свойства соответствующих отношений с групповыми свойствами (хотя они так и не называются) этих преобразований.

Желательно, чтобы учащиеся сами придумали примеры отношений эквивалентности и групп, их задающих, отнюдь не только из геометрии, конечно. Приведем здесь еще несколько «бытовых» примеров.

Класс изучается учителем с точностью до тривиальной одноэлементной группы — все учащиеся для него разные. Для людей, далеко отстоящих от класса, важным может оказаться лишь число учащихся (так что ученик Иванов и ученица Петрова решительно ничем для них не отличаются), они «во власти» группы всех обратимых преобразований множества учеников класса. Возможен взгляд, при котором все мальчики считаются одинаковыми, но отличающимися от девочек, тоже считающихся одинаковыми. (Можно предложить ребятам описать соответствующую группу.) Примеры можно продолжить.

3. В качестве самостоятельной работы учащимся может быть предложено описать группу движений, оставляющих неподвижным квадрат.

4. Выполняемая по образцу из домашнего задания самостоятельная работа открывает путь к обсуждению еще одной роли групп. Такие вопросы, как «Что симметричнее: квадрат или правильный треугольник? окружность или квадрат?», подводят учащихся к тому, что воспринимаемая нами на глаз симметричность, «правильность», на самом деле зависит от числа элементов в группе симметрии данной фигуры (группе движений, оставляющих фигуру неподвижной).

Примеры симметрии и отступлений от нее (т. е. фигур с различными группами симметрий, с неожиданным отсутствием в них тех или иных элементов), от орнаментов, самосовмещающихся лишь при параллельных переносах, и цветов, группа симметрий которых включает повороты, скажем, на углы, кратные 72°, до кристаллов или зданий с самыми разнообразными группами симметрий можно почерпнуть из классической книги [93].

Подбор примеров на уроке обусловлен наличием наглядных пособий, муляжей и репродукций, а также вкусами и склонностями учителя и учащихся. Ясно лишь то огромное эмоциональное и развивающее воздействие, которое оказывает на учащихся универсальность этой теории. Ведь в рамках ее можно анализировать и стихотворные размеры («выдерживающие», как понятно, параллельные переносы, ибо строки состоят из «одинаковых» стоп), и «симметричный облик» животных (у всех почти симметричный относительно плоскости, а иной раз даже, как у сколопендры, обладающий переносной симметрией!).

Потому, думается, каждый учитель сам найдет, как использовать эту редкую возможность привлечь на урок столь богатый материал из естествознания, истории искусства, литературы и даже политики. Отметим лишь, что для продолжения начатой на уроке беседы должно найтись место и на занятии кружка, где могут быть рассмотрены более сложные вопросы, начиная с классификации орнаментов и кончая физическими приложениями теории групп. Там же следует рассказать и о других приложениях теории групп, в первую очередь о ее приложениях к теории разрешимости уравнений.

5. В заключение этого необычного занятия может быть предложено домашнее задание, включающее следующие задачи, в том числе теоретического плана:

1) Если для любого элемента а группы G выполнено условие а*а = е, то действие * р группе G коммутативно. Доказать.

2) Пусть Gi и G2 — группы с действиями * и о соответственно. В множестве всех пар (a; ft), где a£Gi, ft£G2, введем действие ® так: (ai; fti) ® (a2; ft2)=(ai * Q>2\ fti °&2).

Проверить, является ли это множество с введенным действием группой.

3) Пусть G — группа с действием *, А ={а6 G|V*6 G:а * х = =х * а). Доказать, что А — группа относительно действия *. (А называется центром группы.)

4) Доказать, что пятиэлементная группа коммутативна (коммутативными или абелевыми называются группы с коммутативным действием).

Уместно предложить учащимся выполнить домашнюю лабораторную работу по подбору примеров на симметрию, сопроводив прилагаемые материалы — вырезки, открытки и т. п.— указаниями, какая группа симметрии возникает в каждом случае.

На этом мы считаем возможным остановиться в изложении материалов темы «Введение в общую алгебру». Последние занятия, посвященные подгруппам и циклическим группам, классификации движений плоскости и перечислению различных подгрупп группы обратимых преобразований плоскости, при всей их важности кажутся нам уступающими предыдущим по значению. Здесь еще больше расширяется число примеров и задач, но стиль алгебраического мышления, а тем самым и стиль построения уроков остается прежним. Геометрический материал может быть взят, например, из книги [87]. Завершается изучение темы коллоквиумом (см. о них в § 4).

ТЕМА 3. КОЛЛИНЕАРНОСТЬ И КОНКУРЕНТНОСТЬ

Мы выделяем изучение вопросов о коллинеарности точек (т. е. их принадлежности одной прямой) и конкурентности прямых (т. е. наличия у них общей точки пересечения) в отдельный

раздел при четырехгодичном обучении. Дело здесь не только в важности этих вопросов, так или иначе возникающих в разных местах традиционного курса, этот раздел в какой-то степени является вводным в принципиально иную, отличную от стандартной школьной геометрию — проективную. Разумеется, вряд ли возможно, да и нужно включать в обязательную программу изучение проективной геометрии, но дать, пусть и краткое, представление о ней желательно.

Предлагаемый материал изучается у нас в IX или X классе: оба варианта имеют свои преимущества и недостатки, тема относится к планиметрии и потому уместно изучать ее в IX классе, но при этом целесообразно привлекать стереометрические соображения, как следует обосновываемые лишь в X классе. Мы все же считаем возможным использовать их и в IX классе, опираясь на наглядные представления. Такое изучение и само служит пропедевтикой более серьезного и «теоретического», потому приведенные ниже планы в основном ориентированы на изучение в IX классе.

Занятие 1. Определение конкурентности прямых. Теорема Чевы.

К В начале занятия учащимся предлагается вспомнить известные им теоремы о точках пересечения трех прямых, обращается их внимание на место, занимаемое такими теоремами в курсе, на разнообразие методов, применяемых в доказательствах этих теорем (дополнительные построения, подобие и равенство треугольников, векторные равенства и пр.).

Дается определение: прямые называются конкурентными, если они имеют общую точку.

Объясняется значение этого слова: curro (лат.) — бежать, concurro — сбегаться, отсюда же «конкурс» и «конкуренция».

С использованием нового слова формулируются известные теоремы о конурентности серединных перпендикуляров в треугольнике, о конкурентности биссектрис треугольника и т. п.

Нужно подчеркнуть, что, говоря о конкурентности прямых, мы говорим о самых простых отношениях — отношениях принадлежности, о том, принадлежит ли точка пересечения двух прямых третьей. Это самые простые (по формулировке!) вопросы.

2. Сообщается, что многие теоремы о конкурентности прямых можно доказать единообразно. Учителем формулируются и доказываются теоремы Чевы. Предварительно удобно определить чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.

Теорема 1 (необходимое условие конкурентности). Если три чевианы АА\, ВВ\, СС\ треугольника ABC (Ai£BC, В\£АС, Ci dAB) конкурентны, то

На наш взгляд, полезно, не жалея времени, привести хотя бы два доказательства (рис. 23).

Доказательство. 1-й способ. Вспомним, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям. Поэтому если О — точка пересечения чевиан, то

(Здесь использовано следующее соотношение: если

это, очевидно, верно, ибо если ad = bc, то ab — ad = ab — be.) Аналогично

Перемножая все эти равенства, получим:

2-й способ. Не менее естественно и плодотворно, хотя может быть и более громоздко, связать отношения длин отрезков с тригонометрическими равенствами. Из теоремы синусов для ААВА\ и аАА\С получаем:

а потому

Аналогично

Перемножая все эти равенства, получаем:

(В доказательстве этого равенства конкурентность прямых АА\, ВВ\, СС\ не используется — оно имеет место всегда!) Теперь используем наличие общей точки О:

(из теоремы синусов для ДЛОС).

Аналогично

Перемножая, получаем:

Уместно обратить теперь внимание учащихся на своеобразие полученного результата. В самом деле, подставим каркас треугольника с проведенными медианами (желательно иметь в кабинете такую модель) под луч света, получим «теневой» треугольник, в котором тени медиан, очевидно, не будут медианами, но будут пересекаться в одной точке. Но раз так — будет выполняться равенство соответствующего произведения отношений единице. Таким образом, это равенство остается неизменным при проектировании, однако углы, длины, площади меняются! (Для десятиклассника, знающего о сохранении при проектировании отношений длин отрезков на прямой, это не так удивительно, но и для него замеченный факт служит приятным подтверждением известного.)

3. Встает вопрос об истинности обратной теоремы. Она доказывается учителем при участии учащихся.

Теорема 2 (достаточное условие конкурентности). Если для трех чевиан АА\, ВВ\, СС\ треугольника ABC (А\£ВС, В\£АС, C\Ç:AB) выполнено соотношение

то они нкурентны.

Доказательство. Пусть чевианы А А \ и ßßi пересекаются в точке О, проведем через О третью чевиану СС{. Тогда по доказанному выше

Сравнивая полученное равенство с данным, получаем

и так как отрезок AB в данном отношении можно поделить лишь единственным образом, то точки Ci и С\ совпадают, а тем самым доказано, что чевиана СС\ проходит через точку О. (Теоремы 1 и 2 обычно объединяют под общим названием теоремы Чевы в честь итальянского математика XVII—XVIII вв.)

4. Учащимся предлагается теперь по-новому доказать конкурентность медиан и биссектрис треугольника.

Теорема о медианах теперь очевидна, ибо для них

Теорема о биссектрисах также легко доказывается, ибо для них

Интереснее с конкурентностью высот треугольника.

Рассмотрим остроугольный треугольник (рис. 24). Ясно, что ВАХ=АВ cos Zß, АхС=АС cos АС, АВХ =АВ cos Z.A, ВХС = =?ВС cos Z.C, АСх=АС cos Z.A, ВС\=ВС cos Z.B. Поэтому

Однако, это доказательство возможно лишь в случае остроугольного треугольника, случай прямоугольного треугольника очевиден, но остаются треугольники тупоугольные, в которых две высоты не являются чевианами. Учащимся может быть предложено в качестве домашнего задания проанализировать 2-й способ доказательства теоремы 1 и доказательство теоремы 2 и убедиться, что в случае, когда ровно один из отрезков АА\, ВВ\, СС\ является чевианой, а остальные соединяют вершины с точками продолжений противоположных сторон, причем эти отрезки не параллельны, утверждение теоремы также выполняется. После этого остается лишь повторить проделанные выше вычисления и для тупоугольного треугольника.

5. Вообще домашнее задание при изучении этой темы должно отличаться от обычного — задачи здесь, как правило, сравнительно трудные и предполагают более творческое, чем обычно, отношение. Поэтому здесь и особенно в дальнейшем мы считаем нужным направлять ребят на поиски тех или иных обобщений, других решений и т. п., а также организовывать их работу нестандартным образом, рекомендуя к задачам дополнительную литературу, разбивая класс на группы для решения различных задач и т. п.

Кроме данной,еще могут быть предложены задачи:

1) Пусть на сторонах А ABC взяты соответственно точки Ль ßi, Ci, такие, что прямые АА\, ВВ\У СС\ конкурентны. Через вершины А ABC проведены прямые, параллельные противоположным сторонам треугольника, так что образовался А ABC (AÇ5C и т. п.). Доказать, что прямые АА\, ВВ\, СС\ конкурентны.

Рис. 24

2) Пусть Au Bu c\ — точки касания вписанной в аАВС окружности со сторонами ВС, CA, AB соответственно. Доказать, что прямые АА\, ВВ\, СС\ конкурентны. Можно ли обобщить это утверждение? Что произойдет при центральном проектировании рисунка к этой задаче?

3) В Д ЛВС на сторонах ВС, CA и AB взяты точки А\, В\ и Ci, соответственно, причем прямые АА\, ВВ\ и CCi пересекаются в одной точке. Доказать, что прямые ЛЛ2, ВВ2 и СС2, симметричные этим прямым относительно биссектрис соответствующих углов, также конкурентны.

Занятие 2. Теорема Менелая.

1. В начале занятия разбираются задачи из домашнего задания, особое внимание при этом следует уделить поискам обобщений к задаче 5 (2).

Спроектировав круг на подходящие плоскости, можно получить эллипс, гиперболу или параболу, причем как центральную проекцию окружности можно получить любые гиперболы, эллипсы и параболы. Это утверждение не может быть доказано на уроке, но может быть проиллюстрировано, для чего желательно иметь разъемную модель конуса с сечениями в виде этих кривых. Ясно, что при центральном проектировании точки касания перейдут в точки касания, а пересекающиеся прямые — в пересекающиеся прямые, поэтому можно сформулировать следующую теорему:

В треугольнике, образованном тремя касательными к эллипсу, параболе или гиперболе, прямые, соединяющие его вершины с точками касания противоположных сторон, конкурентны.

(Разумеется, на роль строгого доказательства этого факта претендовать наше рассуждение не может, но уже размышление над такими вопросами безусловно полезно.)

2. Учащимся предлагается перейти к проблеме, двойственной изученной, раньше мы исследовали условия, при которых точка принадлежит трем прямым, теперь займемся вопросом о принадлежности трех точек прямой.

Определение. Точки называются коллинеарными, если они принадлежат одной прямой.

Обращается внимание учащихся на связь этого понятия с встречавшейся им ранее коллинеарностью векторов — различные точки А\, А2, Ап коллинеарны тогда и только тогда, когда коллинеарны векторы А\А2, Л Из, А\Ап.

3. Для формулировки основной теоремы нам будет удобно использовать отношение коллинеарных векторов под которым мы понимаем такое число К, что AB = 'k CD (к, как известно, существует и единственное).

Учителем формулируется и доказывается основная теорема Менелая.

Теорема. На сторонах СВ, СА, AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки Ль В и С\ соответственно. Эти точки коллинеарны тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Доказательство. Здесь, как и в теореме Чевы, две части.

Докажем сначала необходимое условие коллинеарности.

Пусть точки А\у Ви С\ коллинеарны; / — прямая, их содержащая (рис. 25); hu Л2, Лз соответственно длины перпендикуляров Л Л 2, ß/?2, СС2, опущенных на / из Л, В и С. Тогда из подобия ABB^Ci и ДЛЛ2С1 получаем 4^i==tl» аналогично можно получить

Перемножая эти равенства, получим:

Заметим теперь, что, так как прямая, не содержащая вершины треугольника и пересекающая его сторону, пересекает еще ровно одну его сторону, на сторонах (а не на продолжениях сторон) А ABC из точек Au В'и С\ могут лежать либо две, либо ни одной. Поэтому среди пар векторов ВА\ и А\СУ СВ\ и В\АУ АС\ и С\В может встретиться либо две, либо ни одной пары сонаправленных векторов. А это с учетом доказанного и означает, что выполняется равенство

Докажем достаточное условие коллинеарности.

Пусть точки A, В\, С\ расположены на сторонах (или продолжениях сторон) треугольника ABC так, что выполняется равенство

Обозначим через С\ точку пересечения прямых А\В\ и АВ, тогда точки А\, Ви С\ коллинеарны, а потому справедливо равенство

Рис. 25

Используя данное равенство, получаем 4pL=4=i. Так как точки Ci и CÎ необязательно лежат на отрезке AB (как в доказательстве теоремы Чевы), доказательство совпадения точек Ci и Cî не столь очевидно, однако и здесь оно тоже незатруднительно. Пусть

тогда ACi=kC\B, AC\ = kC\B, поэтому AB=AC\ + C\B = kC[B + + C\B=(k+\)C\B=ACx+CxB = kC\B + C\B=(k+\)CxB. Таким образом, ВС{= ——^—АВ = ВС[, а это и доказывает требуемое.

Итак, точка Ci лежит на прямой Л ißi, т. е. точки Ai, ßi и Ci коллинеарны.

Замечание 1. Учащимся может быть задан вопрос: «Почему пересекаются прямые AB и >4ißi?»

Здесь нужно заметить, что если прямые AB и А\В\ параллельны (рис. 26), то а ABC и Ai4ißiC подобны, а потому выполнено равенство —1--l= 1, а тем самым —L= — 1, т. е. АС\ = —С\В. Но отсюда ;4ß=4Ci + Ciß=0, получили противоречие.

Замечание 2. В векторной форме с учетом сделанных дополнений можно записать и утверждение теоремы Чевы.

Пусть точки Au В\ и Ci лежат на сторонах или продолжениях сторон треугольника ABC, причем прямые АА\, ВВ\, СС\ не параллельны, тогда они конкуренты тогда и только тогда, когда выполнено равенство

4. Как пример применения теоремы Менелая решается следующая задача: доказать, что биссектрисы внешних углов тре-

Рис. 26 Рис. 27

угольника пересекают продолжения противоположных сторон в трех коллинеарных точках.

Полезно сначала предложить учащимся проанализировать чертеж и записать условие, достаточное для выполнения требуемого в задаче. Вообще можно сказать ребятам, что план решения задачи здесь, как правило, таков:

а) выписываем условие, достаточное для коллинеарности точек;

б) пытаемся получить какие-то соотношения для выражений, входящих в то равенство, которое мы хотели бы доказать. Обычно при этом приходится использовать тригонометрию, подобие треугольников, а также теорему Менелая (необходимое условие) ;

в) манипулируя с полученными равенствами, доказываем требуемое.

Перейдем теперь к решению задачи. Так как точки Ль В\,С\ лежат на продолжениях сторон треугольника ABC (рис. 27), для доказательства достаточно показать, что

Но по свойству биссектрис внешнего угла имеем равенства

Перемножая эти равенства и учитывая, что все три точки Ль В и С\ лежат на продолжениях сторон, а тем самым имеются три пары противонаправленных векторов (ВА\ и А\С, СВ\ и В\А, АС\ и Ciß), получаем требуемое.

Заметим, что эта задача весьма легка, ибо в ней сразу ясно, что требуется доказать — к какому треугольнику «привязать» точки Ль Bu Ci, в более сложных задачах это бывает часто трудно найти.

5. В качестве домашнего задания предложим следующие задачи.

1 ) Точка Р лежит на описанной окружности треугольника ABC, Ль Ви С\ —основания перпендикуляров, опущенных из точки Р на прямые ВС, CA, AB Доказать коллинеарность точек Ль В\, С\.

2) Доказать теорему Чевы (необходимое условие) с помощью подобия треугольников. (Указание. Провести через вершину треугольника прямую, параллельную противоположной стороне, и продолжить две чевианы до пересечения с ней.)

3) В четырехугольнике ABCD точки М\ и М2 — середины диагоналей АС и BD. Пусть Е — точка пересечения прямых AB и CD, a F — точка пересечения прямых ВС и AD, точка N — середина отрезка EF. Доказать коллинеарность точек Mi, М2, N. (Найти для этого подходящий треугольник, на сторонах или продолжениях сторон которого лежат эти точки.) Это утверждение называется теоремой Гаусса.

Последняя задача трудная, и можно предложить ее лишь группе наиболее сильных учащихся — «создать проблемную лабораторию» для ее решения и доклада о результате. В слабом классе можно предложить каким-либо учащимся ознакомиться с доказательством этой теоремы (например, по книге [49]) и потом также изложить его в классе.

Занятие 3. Решение задач с помощью теорем Менелая и Чевы.

1. В начале занятия разбирается домашнее задание. Особого внимания при этом требует, разумеется, доклад учащегося о теореме Гаусса, его следует прокомментировать, выделяя наиболее трудные моменты. Приведем здесь доказательство этой теоремы. (Краткую запись его учащиеся делают в тетради.)

Доказательство. Самое трудное — найти подходящий треугольник. Взяв AAFB, на сторонах которого лежат три стороны четырехугольника, рассмотрим APQS (рис. 28), вершины которого являются серединами сторон AB, AF и BF. (Естественно стремление «зацепиться» за стороны четырехугольника и привлечь какие-либо средние линии.)

Теперь ясно, что SQ, SP и PQ — средние линии AAFB, а потому они параллельны соответствующим сторонам AB, AF и BF, в силу чего точка N лежит на прямой SQ, точка М\ — на PQ, наконец, точка Мъ — на PS. Поэтому достаточно доказать, что

откуда получаем:

Рис. 28 Рис. 29

И так как точки С, D, Е лежат на сторонах (или продолжениях сторон) AÂBF и коллинеарны, верно, что

Важность этого доказательства и в том, что здесь впервые используется коллинеарность каких-то других точек (и соответствующие равенства) для доказательства требуемой коллинеарности. Этот прием нам встретится еще неоднократно.

2. Учащимся предлагается доказать теорему Чевы (теорему 1) на основе теоремы Менелая, используя тот факт, что при проведении чевианы образуются новые треугольники, пересекаемые другими чевианами, так что могут быть записаны условия коллинеарности точек пересечения.

Доказательство. О — точка пересечения чевиан АА\, ßßi и СС\. Точки ß, О, В\ коллинеарны и лежат на сторонах или продолжениях сторон ААА\С (рис. 29). Запишем соответствующее равенство:

Аналогично коллинеарны точки Ci, О и С, лежащие на сторонах или продолжениях сторон ААВА\, поэтому

После почленного деления записанных равенств получим:

Здесь опять-таки использовались данные практически по условию равенства Менелая для получения новых равенств.

3. Далее уместно сформулировать домашнее задание, опять включив в него задачи повышенной трудности, предлагая их различным группам учащихся или указывая дополнительную литературу (см., например, [42]), по которой можно ознакомиться с их решением.

1) Теорема Паппа. Если Л, С, £ — три точки на одной прямой, a ß, D, F — на другой, причем никакие две из прямых AB, CD и EF не параллельны, и прямые AB, CD и EF пересекают прямые DE, FA и ВС соответственно в точках L, M и N, то эти три точки коллинеарны.

2) Теорема Дезарга. Пусть треугольники ABC и А\B\C\ таковы, что прямые АА\, ВВ\ и CCi конкурентны, и пусть прямые AB и i4ißi пересекаются в точке /(, прямые ВС и ßiCi — в точке М, прямые АС и А\С\ — в точке N. Тогда точки /С, M и N коллинеарны.

3) Теорема Паскаля. Если шестиугольник вписан в окружность и его противоположные стороны не параллельны, то точки пересечения прямых, содержащих эти стороны, коллинеарны.

4. На занятии учащимся предлагается решить более простую задачу:

Общие внешние касательные к трем окружностям пересекаются в точках Л, В и С. Доказать, что эти точки коллинеарны.

Решение. 1-й способ. Обозначим центры окружностей Oi, 02 и Оз (рис. 30). Ясно, что точки Л, ß, С лежат на сторонах ДО1О2О3. Рассмотрим, как обычно, выражение

Пусть /?2, R3 соответственно длины радиусов окружностей с центрами Ou О2, О3. Тогда из подобия треугольников получаем равенства

Перемножив эти равенства, получаем:

что и доказывает коллинеарность точек Л, В и С.

Рис. 30

2-й способ. Решение весьма неожиданно и эффектно, хотя вдумчивый ученик и найдет его закономерным — оно состоит в выходе в пространство, что естественно в задачах, заимствованных из проективной геометрии.

Восставим из точек Ou О2, О3 перпендикуляры 0\0\, О2О2 и О3О3 к плоскости, содержащей данные окружности, так, что 0\0\ = R\, 020г = /?2, ОзОз = /?з. Теперь ясно, что прямая 0\0'2 пересекает плоскость в точке А (подобие треугольников), прямая О1О3 — в точке В, прямая о2о3 — в точке С, таким образом, эти точки лежат на пересечении плоскости окружностей и плоскости (о1о2о3). Но пересечение двух плоскостей — прямая, таким образом, точки коллинеарны.

Ясно, что изложение такого решения в IX классе возможно лишь при обращении к моделям и наглядным представлениям, но, как нам кажется, весьма полезно, ибо дает возможность еще раз привлечь внимание учащихся к проектированию (в данном случае ортогональному) как приему решения задач.

5. Обязательная для всех часть домашнего задания может, например, состоять из такой задачи:

5(1). Дан треугольник ABC. Доказать, что чевианы АА\, ВВ\ и CCi, делящие его периметр пополам (почему такие существуют?), конкурентны.

Занятие 4. Доклады учащихся.

1. Это занятие предлагается посвятить в основном сообщениям ребят, их анализу и комментариям к ним. Приведем здесь доказательства заданных теорем.

Доказательство (теорема Паппа). Пусть APQR образован прямыми AB, CD, EF (рис. 31). По условию точки L, M, N лежат на прямых, содержащих его стороны, так же как и следующие тройки точек: (L, D, Е), (A, M, F), (В, С, N), (А, С, Е), (В, D, F).

Применив теорему Менелая к этим тройкам, получим пять равенств:

Рис. 31

Нам же нужно получить равенство

Мы его и получим, если перемножим первое, второе и третье из выписанных равенств и результат поделим на произведение двух последних. В самом деле,

Проследив за получением пяти равенств Менелая (их не так уж трудно увидеть — они соответствуют пяти прямым, о которых идет речь в условии) и за выводом итогового равенства, нужно обратить внимание учащихся на то, что в доказательстве не используются никакие метрические соотношения. Никакие длины отрезков неважны. Неважно даже расположение точек на прямой, ничего не изменилось бы, если бы точки лежали не так, как на рисунке 31. Например, если бы точка А лежала между С и £ и т. п. Здесь важно лишь отношение принадлежности.

Доказательство (теорема Дезарга). Точки К, М, N лежат на сторонах или продолжениях сторон треугольника ABC (рис. 32). Поэтому достаточно доказать равенство

Для его получения проанализируем равенства Менелая, получаемые для треугольников, две вершины которых являются вершинами треугольника ABC, а третья — О — точка пересечения прямых А\А, В\В и Ci С. Тройки коллинеарных точек при этом берем состоящие из двух вершин треугольника >4ißiCi и одной из точек К, M и N.

Для АОАВ и точек Ль Ви К имеем:

Для АОВС и точек Ви Сь M имеем:

Рис. 32

Для аОАС и точек А\, Си n имеем:

Перемножим теперь первое и второе из этих равенств и поделим произведение на третье:

В итоге получаем требуемое.

В качестве комментария следует коснуться биографии Ж. Дезарга (1591—1661), архитектора и военного инженера, заложившего основы проективной геометрии, идеи которой, однако, были как следует восприняты лишь существенно позднее. Для Дезарга было весьма важно понятие перспективы, перспективность фигур (т. е. такое их расположение, при котором пары соответствующих точек двух фигур соединяются прямыми, имеющими общую точку, иначе говоря, фигуры перспективны, если их можно центрально спроектировать друг на друга). Ясна роль таких конструкций в начертательной геометрии, изобразительном искусстве.

Доказательство (теорема Паскаля). Пусть ABCDEF — вписанный в окружность шестиугольник (рис. 33); l, m, n, u, v, W соответственно точки пересечения прямых AB и DE, CD и AF, ВС и EF, CD и EF, EF и AB, AB и CD

Применим теорему Менелая к треугольнику UVW и тройкам точек (L, D, Е), (A, M, F), (В, С, N), лежащих на его сторонах (или их продолжениях), получим:

Рис. 33

Нам достаточно доказать равенство

Для этого перемножим записанные равенства и заметим, что UD-UC=UE.UF, VE' VF= VA - VB, WA • WB = WC- WD по теореме о секущих к окружности, проведенных из одной точки, а потому

В качестве комментария уместно предложить учащимся подумать о том, что произойдет с чертежом к теореме при центральном проектировании. По аналогии с рассмотренным ранее сформулируем теорему:

Если в эллипс, гиперболу или параболу вписан шестиугольник ABCDEF и точки L, M, N — точки пересечения соответственно прямых AB и DE, CD и AF, ВС и EF, то эти точки коллинеарны.

Интересно отметить, что справедливой оказывается и обратная теорема:

Если для шести точек А, В, С, D, Е, F плоскости справедливо, что точки L = ABÇ]DE, M = CD(]AF и N = BC(]EF коллинеарны, то точки А, В, С, D, Е, F лежат на одной кривой второго порядка.

С помощью этой теоремы можно строить точки эллипса (в том числе окружности), параболы и гиперболы, имея пять точек кривой. Пусть, например, А, В, С, D, Е — точки кривой 2-го порядка. Проведем прямые AB, ВС, CD, DE. Пусть прямые AB и DE пересекаются в точке L (рис. 34). Проведем теперь произвольную прямую / через L. В пересечении прямых CD и ВС с / найдем точки M и N. Теперь соединим точку M с точкой А, а N с точкой Е и получим точку F как пересечение прямых EN и MA. Она по сформулированной теореме будет лежать на той же кривой 2-го порядка.

Также в качестве комментария к теореме Паскаля полезно проанализировать ситуацию, получающуюся при стремлении одной (или двух, или трех) из вершин вписанного в окружность шестиугольника к другой вершине. Если, например, вершина F стремится, двигаясь по окружности, к точке Е, то сторона FE

Рис. 34 Рис. 35

стремится к касательной, потому получаем в пределе следующее утверждение:

Точка пересечения стороны ВС вписанного в окружность пятиугольника ABCDE с касательной к окружности в точке Е и точки пересечения сторон AB и DE, CD и АЕ коллинеарны.

Таким образом, теорема Паскаля, по сути дела, завершает тему, давая возможность еще раз подчеркнуть ее особенности — отсутствие каких-либо иных отношений, кроме отношений принадлежности, связь с начертательной геометрией и применение в ней полученных при изучении этой темы результатов.

2. Заметим, что слушать доклады одноклассников, даже сопровождаемые комментарием учителя, ребятам нелегко. Поэтому мы считаем нужным «перебивать» их какими-либо заданиями для всего класса. В первую очередь мы используем здесь задания графические (чертежи к доказательствам теорем предлагается делать ребятам из групп, не доказывавших их дома). Но может быть здесь предложена и какая-нибудь отдельная задача, например следующая (если доклады учащихся воспринимаются легко, ее можно оставить для самостоятельной работы в конце занятия):

Задача. Доказать, что касательные к описанной около треугольника окружности в вершинах треугольника пересекают его противоположные стороны в трех коллинеарных точках.

Это всего лишь предельный случай теоремы Паскаля, когда точка F стремится к Е, точка D — к С, а точка В — к Л. Весьма выигрышно обратить на это внимание учащихся в свое время, но мы приведем самостоятельное доказательство.

Доказательство. Пусть А /С, MB, NC — касательные (рис. 35), так как точки /С, M, N лежат на прямых ВС, АС, AB, их коллинеарность будет следовать из равенства

Но рассмотрим отношение ^. Почти повторяя рассуждение

теоремы о секущей и касательной к окружности, т. е. используя вытекающее из подобия треугольников АМВ и СВМ равенство записываем:

Аналогично можно записать:

Перемножая и учитывая знаки, получаем требуемое.

3. На следующем занятии проводится опрос, на который выносятся основные разобранные теоремы. Подготовка к этому опросу является домашним заданием.

§ 4. ОПРОСЫ, КОЛЛОКВИУМЫ, ЗАЧЕТЫ

Здесь мы расскажем о системе зачетов, сложившейся в школе № 30.

Важность зачетов состоит, как нам кажется, не только в том, что они позволяют контролировать усвоение учащимися нового материала, причем не в виде набора отдельных фактов, а как цельной системы (хотя и это весьма существенно). Их особое значение мы видим в том, что они являются и обучающим мероприятием. Зачеты дают возможность организовать сравнительно длительную самостоятельную работу над общими, сквозными идеями изучаемого курса. Особенно важно к тому же, что эта работа протекает у учащихся в тесном контакте с более опытным оппонентом-консультантом, принимающим зачет. (Для проведения зачета в классе целесообразно пригласить 6—8 ассистентов из числа выпускников, студентов шефствующего вуза и т. п.).

В методической литературе описан опыт работы с помощью листков для самостоятельного решения, на которых в виде задач содержится практически весь изучаемый материал (см. статьи М. Л. Глейзера, Н. Н. Константинова, А. Г. Кушниренко в [10] и Н. Н. Константинова в [11]). Однако преподавание в такой манере при всех его очевидных достоинствах имеет весьма существенный изъян — его очень трудно и даже невозможно организовать в сколько-нибудь массовых условиях, для него нужно почти на каждом уроке иметь несколько ассистентов учителя. Думается, что зачетная система также успешно выполняет функцию активизации учащихся, притом для ее организации не нужно бороться с такими непреодолимыми трудностями.

Подчеркнем, что на зачеты целесообразно выносить задания

«теоретического», а не «технического» плана; последние могут быть предложены и в контрольных работах.

Первым этапом зачетной системы являются у нас опросы — на них проверяется усвоение материала небольших тем или разделов крупных тем. Методика их проведения широко известна: некоторые учащиеся у доски проводят доказательство основных теорем, остальные дополняют их ответы — отвечают на вопросы, не требующие длительной подготовки (дают определения, приводят формулировки тех или иных утверждений и т. п.). Здесь же могут быть предложены ребятам и «качественные» задачи на понимание сдаваемого материала. Следует однако иметь в виду, что они должны быть достаточно простыми, чтобы учащиеся успели их решить за весьма небольшое время, которое может быть для этого отпущено на 1—2-часовом опросе. Завершать опрос может и небольшая письменная работа, которая поможет оценить знания каждого ученика.

Подчеркнем здесь еще два обстоятельства.

Во-первых, программу опроса и несколько задач к ней целесообразно сообщить заблаговременно, как минимум за 7—10 дней до опроса. Это помогает учащимся планировать свое время, да и побуждает их более ответственно относиться к работе. Во-вторых, очень важным оказывается стиль поведения учителя при опросе. Опрос проводится не для наказания учащихся. Требовательность не должна здесь подменяться резкостью, тем более грубостью!

Если на опросы выносится материал, изученный на 10—12 уроках (примерно за 3 недели), то итогом прохождения более крупных тем являются у нас так называемые коллоквиумы. Собственно здесь важны не столько размеры, сколько наличие принципиально новых идей, усвоение которых учащимися целесообразно проверить. (Заметим, кстати, что не следует считать, что изучение каждой темы должно заканчиваться коллоквиумом или опросом, конечно, это не всегда разумно, часто полезней провести контрольную работу.)

Нами, например, проводился коллоквиум «Основные факты курса геометрии VII класса» для учащихся VIII класса. Им заканчивалось повторение, и важно было проверить усвоение ребятами основных положений начала планиметрии, тем более что их изучение осуществлялось ими по разным программам. Также проводились коллоквиумы «Элементы общей алгебры» (программу соответствующего курса и материалы большей части уроков по нему мы приводили выше), «Предел последовательности и функции», «Дифференциальное исчисление» и др. Нам кажется, что новизна и непривычность основных понятий этих разделов делают необходимым особый дополнительный контроль за их усвоением.

Программа коллоквиума сообщается нами за 3—4 недели до его проведения (при этом многое в ней еще не пройдено и неизвестно учащимся — бояться этого не следует; если кто-то из

ребят разберется в этих вопросах самостоятельно, опередив остальных, это, разумеется, можно лишь приветствовать). Полезно одновременно задать ряд задач на длительный срок — о системе таких заданий, называемых у нас циклами, будет рассказано в следующем параграфе.

Коллоквиум мы организуем на нескольких (2—3) уроках, для его проведения требуется несколько аудиторий, так как одновременно отвечают сравнительно много учащихся. Для приема коллоквиума мы приглашаем ассистентов, их число зависит от объема сдаваемого материала, от длительности (предполагаемой) ответа каждого учащегося.

Задания мы обычно выдаем всем учащимся одновременно, они включают, как правило, 1—2 теоретических вопроса и 1—2 задачи. После того как учащийся заканчивает ответ на эти вопросы, ассистент предлагает ему несколько устных задач на знание и понимание определений и т. п. (Набор таких задач должен быть, конечно, подготовлен учителем; какие же именно из них стоит предложить каждому конкретному отвечающему, определяет у нас ассистент.)

Приведем здесь краткую программу коллоквиума по геометрии для VIII класса.

Повторение основных фактов курса VII класса

1. Признаки равенства треугольников.

2. Свойства и признаки равнобедренного треугольника.

3. Признаки и свойства параллельных прямых.

4. Вписанная в треугольник и описанная около него окружности.

5. Элементарные построения: построение серединного перпендикуляра, перпендикуляра к данной прямой, биссектрисы угла, деление отрезка пополам.

6. Теоремы об измерении углов дугами (связь с дугами окружностей).

В ряде случаев нам кажется целесообразным указывать в программе источники, по которым можно готовиться; так, в частности, мы поступали с приведенной программой. Ясно, что такая форма работы нова для учащихся, и потому следует помочь им в поиске материала, к тому же, разумеется, надлежит заранее и на уроках и на специальных консультациях разъяснять требования к ответу, повторять основные доказательства.

Задачи к коллоквиуму по повторению геометрии (VIII класс)

1. Окружности W\ и W2 пересекаются в точках А и Е. Через точку А проведена прямая, пересекающая W\ в точке ß, a W2 в точке С. В точках В и С проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке D. Доказать, что величина угла BDC не зависит от выбора прямой, проходящей через А.

2. В треугольнике ABC с прямым углом А проведена полуокружность с центром в точке, лежащей на АС, проходящая через А и касающаяся ВС в точке D. Е — точка ее пересечения с АС (вторая), F — точка пересечения прямых DE и AB. Доказать, что AB = BF.

3. ABCD — произвольный четырехугольник. Биссектрисы его углов, пересекаясь, образуют четырехугольник. Доказать, что сумма его противоположных углов равна 180°.

4. На одной стороне прямого угла с вершиной в точке О взяты две точки А и ß, причем ОА = а, ОВ = Ь. Найти радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся другой стороны угла.

5. Л, ß, С, D — точки, лежащие в таком порядке на окружности. Дуга ВС больше дуги CD. АН — биссектриса угла BAD, CK — биссектриса угла, смежного с BCD, точка M — пересечение прямых АН и CK. Доказать, что сумма углов MAD и MCD равна 180°.

6. Две окружности касаются в точке Л. К ним проведена общая внешняя касательная, касающаяся окружностей в точках С и D. Доказать, что угол CAD прямой.

7. В треугольнике ABC угол В равен 60°, AD и СЕ — биссектрисы треугольника. Найти сумму углов СЕВ и ADB.

8. Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит угол между медианой и высотой, проведенными из той же вершины, пополам.

9. Из точки Р, расположенной внутри острого угла ВАС, опущены перпендикуляры РС\ и Pßi на прямые AB и Л С Доказать, что углы С\АР и С\В\Р равны.

10. Дан остроугольный треугольник ABC. Пусть точка О — центр описанной около него окружности. AD — перпендикуляр к ВС. Доказать, что углы BAD и ОАС равны.

Легко заметить, что приведенные здесь задачи отнюдь не всегда равнозначны по трудности; нам кажется, что к этому и не следует стремиться — естественно предлагать более сильным учащимся более сложные задачи, с тем чтобы они могли полнее раскрыть свои возможности. Нетрудно распределить, например, учащихся так, чтобы «слабые» вытаскивали менее сложные билеты.

Сказанное об организации коллоквиумов во многом относится и к зачетам — самым крупным мероприятиям нашей системы.

На зачеты выносится обширный материал нескольких связанных между собой тем. Для их проведения выделяются специальные дни, в которые не проводятся уроки по другим предметам.

Остановимся на нескольких важных, как нам кажется, моментах.

1. При всей полезности зачетов следует отдавать себе отчет в том, что они являются весьма нелегким испытанием для школьников, поэтому нельзя злоупотреблять этой формой работы.

Думается, что в VIII—IX классах должно проводиться по 1—2 зачета, в X—XI классах — по 2—3 зачета в год.

2. К зачету должна проводиться всесторонняя подготовка. Цель зачета — добиться свободного владения школьниками различными методами, изученными в курсе, укрепить внутрипредметные связи. Ясно, что для выполнения этой цели нужна как тщательная отработка усвоения содержания каждой отдельной темы, так и опыт объединения изученного в одно целое. Этой цели служат коллоквиумы, опросы, циклы. Этому должны быть посвящены специальные уроки и консультации.

3. Оценивая объем материала, выносимого на зачет, нельзя лишь формально считать «число теорем», полагая, что большое количество вопросов автоматически означает высокую трудность зачета. Ясно, что, коль скоро мы добиваемся свободного, творческого отношения к материалу, знание многих фактов требуется вне зависимости от того, включим мы их формально в программу или нет. Например, тема «Интегральное исчисление» предполагает активное владение теоремами теории пределов и дифференциального исчисления, поэтому включение их в программу не увеличивает трудность зачета, а, напротив, делает более наглядными основные идеи курса. Разумеется, следует избегать неоправданного включения в программу зачета теорем с искусственными, не допускающими дальнейших обобщений доказательствами.

4. Программы зачетов могут (и даже должны) «пересекаться». Один и тот же материал, попадая в разные наборы вопросов, обретает дополнительный смысл. Очевидна к тому же польза от многократного повторения. В конце XI класса мы проводим обычно анкетирование школьников. Когда мы видим, что во многих анкетах ребята с наивной школярской гордостью пишут о том, что они так «приспособились» к системе зачетов, что к последним зачетам XI класса им почти не приходилось готовиться, мы считаем, что наша задача выполнена.

5. Обычно на зачете мы делим класс на несколько групп, приходящих к разному времени с интервалом час-полтора. Каждый учащийся занят на зачете в среднем 3—4 урока, включая подготовку и ответ на вопросы. Понятно, что зачетные задания, включающие обычно 2—3 теоретических вопроса, 2—3 задачи, несколько дополнительных упражнений на знание и понимание формул и определений, должны выдаваться частями так, чтобы можно было организовать «перемены», разумеется, не у каждого ученика проходящие по школьному звонку.

Мы считаем полезным заполнение каждым учащимся так называемого зачетного листа, в котором отмечается:

а) время прихода и ухода учащегося;

б) время, потраченное на перемены;

в) условия заданий, полученных учащимся (в том числе дополнительных) ;

г) оценка, полученная за их выполнение, и фамилия принимавшего их ассистента.

Заготовка такого листа с указанием заголовков делается учащимися заблаговременно и заполняется по ходу зачета.

Нам кажется, что зачетные листы помогают более четко организовать работу, избежать перегрузок учащихся, скорректировать возможное неравенство в требованиях ассистентов. (Заметим, что следует проводить инструктаж ассистентов, договариваясь о примерных нормах выставления оценок, и т. п. Учащимся, конечно, должно предоставляться право обжалования решения ассистента.) Думается, что важно уже и то, что школьник, заранее сделавший заготовку зачетного листа, четко представляет себе план этого зачета.

Приведем краткие программы зачетов XI класса по геометрии и математическому анализу — это самые большие по объему зачеты.

Зачет по геометрии (XI класс)

1. Методы классической геометрии. Подобие треугольников и связанные с ним вопросы (признаки подобия треугольников, теорема Пифагора, подобные многоугольники, пропорциональные отрезки в круге и прямоугольном треугольнике). Свойства и признаки скрещивающихся и параллельных прямых, параллельность и перпендикулярность плоскостей. Угол между прямой и плоскостью, двугранные углы.

2. Применение в геометрии векторов, тригонометрии и координат. Теоремы синусов и косинусов, решение треугольников. Действия с векторами, линейная независимость векторов, ортонормированный базис, действия в координатах, уравнения прямой, плоскости, окружности и сферы.

3. Многоугольники и многогранники. Свойства и признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата. Свойства параллелепипеда, призмы, пирамиды. Правильные многогранники.

4. Круглые тела. Вписанные и описанные фигуры. Свойства цилиндра, конуса, сферы и шара. Вписанные и описанные треугольники и четырехугольники. Вписанные и описанные призмы, пирамиды, цилиндры, конусы и шары.

5. Площади и объемы. Формулы площадей треугольника, параллелограмма, трапеции. Площади поверхностей многогранника, цилиндра, конуса, сферы. Объем параллелепипеда, призмы, пирамиды, усеченной пирамиды, конуса, усеченного конуса, цилиндра, шара, фигур вращения.

Зачет по математическому анализу (XI класс)

1. Теоремы о вычислении пределов последовательностей, пределов функций, производных, интегралов.

2. Замечательные пределы, таблица производных и интегралов.

3. Построение графиков; элементарные преобразования: построение по графику функции y = f(x) графиков y — f (x)±by

Построение графиков с помощью дифференциального исчисления: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Исследование функции на монотонность и выпуклость.

4. Свойства и графики простейших элементарных функций:

5. Геометрический смысл производной и интеграла. Геометрические задачи, решаемые с помощью интеграла.

6. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Интегрирование простейших уравнений.

Приведем образцы задач к нескольким зачетам (разной трудности) .

Задачи к зачету по математическому анализу (X класс (проводился в сильном классе)

Листок 1.

1. Функция f определена при всех вещественных числах и такова, что существует число &6(0; 1), такое, что для любых *2, x\(iR справедливо неравенство I/(хг) — f(x\)\^k\x2 — Х\\. Доказать, что существует решение уравнения f(x) = x.

2. Имеет ли какая-нибудь касательная к графику функции у = 1п X общие две точки с ним?

Листок 2.

1. Описать все непрерывные функции /: R R. удовлетворяющие условию, что для любого x£R верно

2. ф и г|) — функции, ер о ур дифференцируема в точке Хо. Может ли функция г|) о ф не быть в ней дифференцируемой?

Листок 3.

1. Доказать, что уравнение 2* = 4jt имеет по крайней мере два действительных корня.

2. Функция / имеет первую и вторую производную и такова, что для любых вещественных ху h верно / {x-\~h) — f (х) = /г// + +~-) . Найти

Листок 4.

1. Функция / непрерывна на отрезке [а; Ь]. Обозначим через М(хо) наибольшее значение функции / на отрезке [a; JCo], *о6 6[а; о]. Доказать, что функция M непрерывна на [а; Ь].

2. Дифференцируемая функция f такова, что для любых вещественных х, h верно / (х + А) — f (x) = hf (х). Найти /'.

Листок 5.

1. Функция / непрерывна на отрезке [а; Ь]. Обозначим через пг(хо) наименьшее значение функции / на отрезке [а; *о], *oÇ 6[а; о]. Доказать, что функция m непрерывна на [а; Ь].

2. Описать класс всех таких функций /, что найдется а>0, такое, что для любых вещественных х2, х\ справедливо неравенство

Листок 6.

1. При каких а и b сходится последовательность {хп}, если х\=а, х2 = Ь, Хп+2 = 4хп+\ — Зхп?

2. Доказать, что если производная функции постоянна, то функция линейная.

Листок 7.

1. Привести пример последовательности {хп},не имеющей предела и удовлетворяющей условию: для \fe>0 3n такое, что при

верно хп<г (1-е задание). Привести пример последовательности, удовлетворяющей тому же условию и имеющей предел. Может ли он быть равен 1 (2-е задание)?

2. Пусть / — дифференцируемая на [0; 1] функция, такая, что /'(0)>0, /'(1)<0. Доказать, что найдется число с6(0; 1), такое, что /' (с) = 0.

Листок 8.

1. Доказать, что сходящаяся последовательность достигает хотя бы одной из своих точных граней.

2. Известно, что график функции y = f(x) имеет наклонную асимптоту и что f“ (х)>0 для V*6#- Доказать, что график приближается к асимптоте сверху.

Листок 9.

1. Последовательность {хп} такова, что хпф0 при всех п. Последовательность {хп} имеет предел. Обязательно ли существует предел последовательности j^1] ?

2. Обозначим через Mk множество таких точек M (х; у) координатной плоскости, из которых к графику функции у=х2 можно провести ровно k касательных. Изобразить на координатной плоскости множества Mk.

Листок 10.

1. Последовательности {хп} и {#„} сходятся, причем lim хпф lim у„. Множества значений этих последовательностей совпадают. Доказать, что эти множества конечны.

2. Построить отрезок [а; 6] и определить на нем функцию /, такую, что найдется ровно п таких чисел С\, с%у сп, что f(b)— — / (a) — f (ci) (b — a), где /=1, 2, n. Для каких п задача разрешима?

Задачи к зачету по алгебре (IX класс)

Листок 1.

1. Пусть Х\ и Х2 — корни уравнения х2 + рх + q = 0, где р, q£Q. Доказать, что -\-x\xl-\-х2х1-\-Х\Х26 Q.

2. Доказать, что

Листок 2.

1. Доказать, что если а, 6, с — три последовательных члена арифметической прогрессии, то a2-\-8bc=(2b + c)2.

2. Решить систему уравнений сx-\-y-\-z = 3,

U2 + y2 + z2 = 3.

Листок 3.

1. Доказать, что если а, й, с — числа, образующие геометрическую прогрессию, то (а + й + с) (а — b-\-c) = a2 -\-Ь2 + с2.

2. Решить систему уравнений ( х2 -\-у2=\,

\х5 + у5=\.

Листок 4.

1. Доказать, что если а, Ьу с соответственно n-й, 2п-й и 4я-й члены геометрической прогрессии, то

2. Решить систему уравнений

Листок 5.

1. Могут ли цифры простого числа, не превосходящего 1000, образовывать арифметическую прогрессию?

2. Найти наименьшее значение выражения х (л:+1) (х + 2)Х Х(х + 3).

Листок 6.

1. Могут ли цифры простого четырехзначного числа образовывать геометрическую прогрессию?

2. Найти все а, при которых система р2 + 2х + а<0,

\х2 — Ах — 6а<0

имеет единственное решение.

Листок 7.

1. Натуральные числа составляют арифметическую прогрессию, в которой содержится квадрат натурального числа. Доказать, что в ней бесконечно много квадратов натуральных чисел.

2. Доказать неравенство а4 + Ь4 + 2^4а6.

Листок 8.

1. Доказать, что уравнение (х — 2) (х + 3) + А, (х-— 1) (x + 5) + + 2 = 0 при \Д€# имеет корень на отрезке [1; 5].

2. Найти сумму 1 +2-2 + 3-22 + ...+ 100-2“.

Листок 9.

1. Доказать, что при нечетных р и q уравнение x2-\-px + q = 0 не имеет рациональных корней.

2. Найти сумму 1 + 11 + 111+ ...+11 ... 1.

Листок 10.

1. Решить уравнение (6jc + 7)2 (Зх + 4) (jc+ 1) = б.

2. Найти сумму

Описание зачетной системы будет неполным, если мы не скажем, что ее дополняет система контрольных работ, на которых проверяются технические навыки учащихся. Здесь имеется достаточно много материалов для начинающего учителя физико-математической школы (см., например, [5]). Поэтому подчеркнем лишь важность итоговых работ. Такие работы стоит проводить одновременно во всей параллели, что позволяет сравнивать результаты, достигнутые в каждом классе, четко обозначать уровень умений, достижение которого считается в данной школе обязательным.

Приведем два варианта единых контрольных работ: одна из них предлагалась в X классе (ученикам трех- и четырехгодичного потока) после завершения повторения курса девятилетней школы, другая — в XI классе также в начале года после завершения повторения курса математического анализа X класса. Учителя каждой школы, думается, без труда сами решат, когда в их условиях целесообразно проводить подобные работы: будут ли они

завершать изучение комплексных чисел и многочленов или техники интегрирования, будут ли они посвящены вычислению пределов или решению тригонометрических уравнений.

Работа по алгебре (X класс, 2 урока)

1. Упростить выражение

2. Решить неравенство

4. Решить относительно х уравнение

5. График четной функции симметричен относительно прямой х=\. Доказать, что функция периодическая.

Работа по математическому анализу (XI класс, 2 урока)

1. Найти значение

2. Найти угол, под которым пересекаются параболы у=х — — 5х + 5 и у = х2.

3. Исследовать функцию у = х2е~х на монотонность, выпуклость и асимптоты.

4. Построить график этой функции.

5. Доказать, что если 0<ß<a<-^-, то

§ 5. ЗАДАНИЯ, РАССЧИТАННЫЕ НА ДЛИТЕЛЬНЫЙ СРОК

Уже говорилось о важности заданий, рассчитанных на длительный срок. Эти задания мы называем циклами. Расскажем здесь о них подробнее.

Мы даем такое задание обычно на месяц-полтора, стараясь включить в него задачи на основные, наиболее важные и трудные идеи и методы курса, показывая их применение в различных ситуациях. Многие задачи даются с опережением — до изучения соответствующих понятий, иногда это ясно учащимся из условия, иногда целесообразно особо обратить на это их внимание, отметив на уроке тот момент, когда эти задачи станут доступными. Вообще нужно понимать, что главное здесь — обучение решению задач, поэтому обстановка секретности в данном случае неуместна. На уроках могут и должны решаться задачи, подобные задачам цикла, при доказательстве той или иной теоремы может подчеркиваться, что применяемая в ней идея помогает и в цикле, более того, на консультациях могут обсуждаться планы решения задач, высказываться наводящие соображения, выслушиваться различные предложения по решению. Сильные учащиеся обойдутся без этого, слабым это будет полезно. (Тут, конечно, важна мера — «подсказки» не должны даваться сразу же и т. п.)

В течение отпущенного срока каждый учащийся решает задачи в специальной тетради, которую он позднее сдает. Учитель проверяет наличие решения всех задач и на ближайшем уроке предлагает каждому учащемуся воспроизвести решение какой-либо задачи. Оценка выставляется по результатам проверки этой «избранной» задачи, проверки наличия задач в тетради (при отсутствии хотя бы одной задачи оценка резко снижается) и беглого просмотра содержания сданной тетради. Качественная проверка всех задач, как нам кажется, не очень плодотворна и вместе с тем обременительна.

Таким образом проверяется лишь усвоение решений задач, включенных в цикл, но учащимся должно быть известно, что в дальнейшем будет проведена работа, содержащая уже другие, но сходные задачи, и что на эти идеи будут предлагаться задачи на коллоквиумах и зачетах.

Приведем здесь материалы нескольких циклов.

Углубленное повторение курса геометрии VII класса (VIII класс).

1. На окружности даны точки Л, ß, С, D в указанном порядке. M — середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и MD с хордой AB через Е и К. Доказать, что сумма углов КЕС и CDK равна 180°.

2. Построить треугольник ABC по углу Л, стороне а и сумме сторон Ь + с.

3. ABCD — трапеция (т. е. четырехугольник, у которого ВС параллельна AD), точка О — пересечение АС и BD. Доказать, что площади треугольников АОВ и COD равны.

4. Доказать, что диаметры окружностей, каждая из которых проходит через точку пересечения высот треугольника и какие-то две его вершины, равны между собой.

5. Разделить пополам отрезок AB прямоугольным угольником (без циркуля).

6. Дан отрезок AB. Найти при помощи одного циркуля (без линейки) точку С, такую, что она лежит на луче AB и АВ = ВС.

7. Найти множество середин хорд данной окружности, продолжения которых проходят через данную точку, взятую вне окружности.

8. Прямые РА и PB касаются окружности с центром О в точках А и В. Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки РА и PB в точках X и Y соответственно. Доказать, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.

9. Имеются две точки А и В. Найти все такие точки, что если двигаться из них в ß по прямой, то расстояние до А будет все время возрастать.

10. Дан угол в 19°. Разделить его циркулем и линейкой на 19 равных частей.

Этот цикл предлагался перед проведением коллоквиума по повторению курса VII класса (см. § 4).

Векторы на плоскости (IX класс).

1. Даны три точки Л, ß, С. Найти множество точек X, таких, что ЗХА-2ХВ-ХС = 0.

2. А\А2...Ап— правильный_многоугольник, О — его центр.

Найти сумму всех векторов ОУЦ, где k=l, 2, п.

3. На прямой m даны три различные точки Р, Г, F, и на прямой mi — три различные точки Рь Ти Fi, причем Tf=kfË, Р\Т\ = = kT\F\. Доказать, что середины отрезков РР\, 7Ti, FF\ принадлежат одной прямой.

4. На плоскости даны точки А и В. Найти множество точек M плоскости, таких, что \АВ\ = \АВ-\-АМ\.

5. Дан пятиугольник А [А2А3АлАъ, точки В\$ В2,Вь — середины его диагоналей, занумерованные произвольно. Доказать, что сумма всех векторов À\В\-{-А2В2-\-...-\-АьВь равна нуль-вектору.

6. Считая, что каждый из векторов а, 6, с не равен нуль-вектору, установить, при каком их взаимном расположении справедливо равенство (ab) с —a (be).

7. Даны три единичных вектора е\, е2, еъ, такие, что е\е2 + + е2ез + е\ез= — \. Доказать, что два из них противоположны.

8. Какой вид имеет четырехугольник ABCD, если

АВ'Ао+Ш^+^'со+ш:-Ш=о?

9. Дан квадрат ABCD. На прямых BD и ВС взяты соответственно точки M и К так, что BM = mBD, BK = kBC. Доказать, что угол AM К прямой тогда и только тогда, когда k=2m — -\(тф0).

10. Найти положительное число х, такое, что

(ай>0, а, b не коллинеарны).

Повторение планиметрии (XI класс).

(Предложенные задачи взяты из материалов вступительных экзаменов ЛГУ.)

1. В выпуклом десятиугольнике, вписанном в окружность, четыре пары противоположных сторон параллельны. Доказать, что стороны, входящие в пятую пару, тоже параллельны. (Матмех.)

2. В выпуклом шестиугольнике, описанном около окружности, две прямые, соединяющие противоположные вершины, проходят через центр окружности. Доказать, что и третья прямая, соединяющая противоположные вершины, проходит через центр окружности. (Матмех.)

3. Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию ху —je, — х, ... . Найти наибольшее возможное число сторон такого многоугольника. (Матмех.)

4. Пусть D — произвольная точка на стороне ВС треугольника ABC. Доказать, что отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABD и ACD, не зависит от выбора точки D. (Матмех.)

5. В прямоугольнике ABCD AB —a, AD = b, точка Е лежит на стороне AB и угол CED равен углу AED. Найти АЕ. (Матмех.)

6. Найти площадь трапеции, если ее основания равны 6 и 11 см, одна из боковых сторон 4 см, а сумма углов при нижнем основании равна 90°. (Геофак.)

7. Даны равнобедренный треугольник с основанием а и окружность с центром в одной из вершин треугольника. Известно, что одна из боковых сторон треугольника делится окружностью на три равные части. Найти радиус окружности. (Матмех.)

8. Через середину хорды длиной а проведена другая хорда длиной Ь. Определить длины отрезков, на которые хорда b делится хордой а. (Матмех.)

9. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с и в три раза больше высоты, проведенной из вершины прямого угла. Найти катеты. (Химфак.)

10. На катете АС равнобедренного прямоугольного треугольника ABC выбрана точка Р так, что полуокружность, построенная на отрезке PC как на диаметре, касается гипотенузы AB. В каком отношении полуокружность делит отрезок PB? (Геофак.)

Теория пределов и непрерывность (X класс).

1. Доказать, что последовательность (ап) имеет предел, и найти его.

2. Найти lim л[п (доказав, что он существует).

3. Найти lim sin (sin (... sin x)) (доказав, что он существует).

4. Пусть х\у Х2> ... — все положительные корни уравнения tgx=jt, расположенные в порядке возрастания. Доказать, что существует lim (хп — хп-\\ и найти его.

5. При каких значениях Х\ сходится последовательность [хп\ удовлетворяющая условию хп = хп-л +3xn_i + 1 при д^2?

6. Исследовать на непрерывность функцию

7. Исследовать на непрерывность функцию

8. Придумать такие функции f и q, определенные на множестве вещественных чисел, что lim / (x)=b, lim g (x) = c, но lim g (f (х))Ф

9. Пусть f и g — определенные на R периодические функции, lim [f {x) — g (jt)]=0. Доказать, что f(x)=g(x) при всех x£R.

10. Функция / определена и непрерывна на [0;+°°)> и lim f(x) = ji. Доказать, что / ограничена на [0; +оо).

11. Функция / определена и непрерывна на множестве R. Доказать, что если уравнение / (х) = х не имеет корней, то не имеет корней и уравнение f(f(x)) = x.

12. Доказать, что если функция / непрерывна на данном отрезке и имеет обратную функцию, то она на нем монотонна.

13. Функция f определена и непрерывна на множестве R. Известно, что для любых вещественных х и у справедливо равенство / (x-\-y) = f (*)+/(у). Доказать, что найдется такое число а, что f(x) = ax для любого хС/?.

14. Найти все непрерывные функции /, такие, что / (х2)+/ (*)= =х2-\-х для любого вещественного х.

15. Найти все непрерывные функции, определенные на положительных числах и такие, что при любых вещественных х\ и Х2 выражение / (х\у) — f (Х2у) не зависит от у.

Комплексные числа и многочлены (XI класс).

1. Найти суммы:

где Е — корень n-й степени из единицы.

2. Найти произведения:

3. Доказать, что любое комплексное гФ — 1, |г| = 1 может быть представлено в виде г= | + , где t£R.

4. Найти кривую, по которой проходит точка 22, если z обходит квадрат с вершинами — 1— /; 2 — /; 2 + 2/; —1+2/.

5. Найти min |3 + 2/~г(, если |,г|<1.

6. Доказать, что cos 1°6Ä\Q-

7. Изобразить множество точек г, таких, что:

8. Доказать равенство

9. Решить систему уравнений в комплексных числах:

10. Для любого вещественного неотрицательного а решить уравнение 2 \z\ — 4az+ 1 +ш=0 в комплексных числах.

§ 6. НЕКОТОРЫЕ ФОРМЫ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНАМ

Понятно, что к экзаменам, как выпускным, так и вступительным, должен готовить весь учебный процесс. В этом параграфе, однако, мы остановимся лишь на одной специфической форме работы по повторению и обобщению ранее изученного — на так называемых тренировочных контрольных.

Мы их проводим во втором полугодии выпускного класса, отводя на каждую контрольную по 3 ч. К этому времени основной теоретический материал по алгебре и началам анализа уже пройден и можно организовать сквозное повторение важнейших навыков. Отметим, что такие работы особенно полезны тогда, когда проводятся в единой системе с зачетами, о которых мы рассказывали выше. Зачеты ориентированы на устные экзамены и самостоятельное выведение новых для учащихся фактов, а тренировочные работы — на письменные экзамены, на отработку стандартных, пусть и нелегких, умений, которыми, разумеется, должны обладать выпускники профильной школы.

Заметим, что важно научить школьника правильно рассчитывать свои силы на сравнительно длительной письменной работе, выбирать оптимальную стратегию. Ясно, что даже хорошо подготовленные учащиеся могут испытать затруднения на экзамене, если никогда раньше им не приходилось писать 3—4-часовые работы. Физическая и психологическая подготовка учащихся также является одной из целей таких работ.

Мы проводим обычно сначала тренировочные работы по 4 темам:

1) Логарифмическая и показательная функции. Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств.

2) Преобразования тригонометрических выражений. Решение тригонометрических уравнений и неравенств.

3) Трансцендентные уравнения.

4) Степенные уравнения.

Приведем здесь по одному варианту каждой из этих работ. 1. Логарифмическая и показательная функции.

1. Решить неравенство

2. Решить уравнение

3. Решить уравнение

4. Решить уравнение

5. Решить неравенство

6. Решить систему уравнений

7. Решить систему уравнений

8. Решить неравенство

9. Среди всех пар чисел (х; у), удовлетворяющих неравенству l°g*2+^2 (х+у)^ U найти те, у которых значение у наибольшее.

10. При каких значениях а уравнение

не имеет решений?

2. Тригонометрические уравнения. Преобразования тригонометрических выражений.

1. Решить уравнение

2. Решить уравнение

3. Решить уравнение

4. Решить уравнение

5. Решить уравнение

6. Вычислить величину

7. Решить систему уравнений

8. Решить уравнение

9. Найти все тройки чисел (х; у; z), удовлетворяющие уравнению

10. Решить систему уравнений

3. Трансцендентные уравнения и неравенства.

1. Решить неравенство

2. Решить неравенство

3. Найти все решения уравнения

удовлетворяющие неравенству

4. Решить неравенство

5. Решить неравенство

6. Решить неравенство

7. Решить неравенство

8. Решить уравнение

9. Решить неравенство

4. Степенные уравнения и неравенства.

1. Решить уравнение в области комплексных чисел

2. Решить уравнение (здесь и далее в этой работе в вещественных числах)

3. Решить уравнение

4. При каких вещественных а уравнение

имеет два различных вещественных корня одного знака?

5. Решить уравнение

6. Решить неравенство

7. Решить неравенство

8. Решить уравнение

Следует иметь в виду, что работы составлены «с избытком», даже для получения оценки «5» мы обычно не требуем выполнения всех заданий. Иногда заранее оцениваем каждую задачу в баллах и сообщаем школьникам, сколько баллов нужно набрать для получения каждой оценки. Например, в последней работе номера 2 и 4 оценивались в 3 балла, номера 1, 3, 5, 6 — в 6 баллов, номера 7 и 8 — в 9 баллов. Оценка «3» ставилась набравшим 18—29 баллов, «4» — 30—38 баллов, «5» — 39—48 баллов. (Разумеется, возможны были ситуации, при которых за задачу выставлялся неполный балл.) Нам кажется, что нужно учить и умению выбрать для решения максимально подходящую задачу.

Результаты тренировочных работ должны быть тщательно проанализированы на уроках. Иногда бывает полезно предложить отдельным учащимся индивидуальные задания, способствующие преодолению допущенных ими ошибок.

Повторив основные приемы, можно переходить к работам обзорного плана — типа экзаменационных. Мы не будем приводить примеры таких работ, каждый учитель сумеет сам составить задания, отвечающие силам и стремлениям его класса. Могут, конечно, браться и варианты вступительных экзаменов в вузы прошлых лет.

Заметим лишь, что нам кажется целесообразным предлагать учащимся несколько вариантов разной трудности. Например вариант математико-механического факультета ЛГУ, физико-механического факультета Политехнического института и какого-либо факультета Института авиаприборостроения. Ребятам надо предоставить возможность самим выбрать, какой вариант они будут писать (возможно, при этом придется пересадить на этих уроках некоторых учащихся). Таким образом удается удовлетворить индивидуальные запросы ребят, осуществлять дифференцированный подход к учащимся.

Укажем еще, что в рамках тренировочных работ должно найтись место и подготовке к выпускным экзаменам. 1—2 работы должны быть этому посвящены.

Остановимся в заключение еще на одном важном вопросе — тренировочные работы являются, безусловно, нелегкой нагрузкой для учащихся (да и для проверяющего их учителя!). Поэтому важно найти разумную меру их проведения, так, чтобы они удачно вписывались в единый режим работы школы. Здесь велика роль

учебной части школы, обеспечивающей составление расписания, предполагающего смену направлений занятий учащихся в течение дня, в который проводится тренировочная работа. Следует предусматривать переход к занятиям, позволяющим разрядиться, избежать неоправданных перегрузок (например, урокам физкультуры).

§ 7. КРУЖКИ И СПЕЦКУРСЫ

Роль кружков в профильной школе очень велика. На первый взгляд все ребята, поступившие в школу, проявили интерес к углубленному изучению математики, и функции кружков переходят к обычным урокам, к тому же многое традиционно изучаемое на кружковых занятиях (см. [43]) проходится здесь в общем курсе. Ясно, однако, что именно углубленное изучение делает наглядным широкий диапазон, в котором находятся вкусы школьников, открывает дорогу для подлинно дифференцированного подхода к учащимся. Важно к тому же понимать, что свободная непринужденная манера, в которой может и должен вестись кружок, делает возможным привлечение к предмету и тех, кого оставляет равнодушными более регламентированная работа на уроке.

На занятиях кружка учитель в большой мере готовит опору для своей работы на уроках. В свою очередь на эти занятия переносятся с уроков наиболее тонкие и сложные моменты.

Главное, что нам представляется важным здесь подчеркнуть,— теснейшая связь, в которой должны находиться кружковые и обычные занятия. Нам кажется необходимым регулярно задавать на уроках задачи со звездочкой по изучаемой на них тематике. Разбор решений этих задач может осуществляться на занятиях кружка. Там же должен проводиться анализ проведенных олимпиад, конкурсов, математических боев и КВНов (см. § 9). Выступление на кружке может быть и итогом работы учащегося над выбранной темой (см. § 8).

Трудно рекомендовать какой-либо общий план занятий кружка — форма их может широко варьироваться. Занятия его могут проходить в виде олимпиады, устного конкурса, командного соревнования по решению задач, конференции учащихся, лекции или семинара, носить шутливый или критический характер. Например, одно из занятий кружка было у нас однажды посвящено обсуждению математических ошибок в фантастических рассказах. Планирование кружковых занятий тоже должно носить гибкий характер: неожиданно возникший на уроке вопрос может и должен послужить темой ближайшего занятия. Интересная, по мнению учителя или учащихся, книга или статья должна, как нам кажется, также незамедлительно обсуждаться на занятиях кружка.

Приведем все же краткий перечень тем, которые мы считаем полезным изучать на кружковых занятиях, например, в X классе (двухгодичный поток).

Занятия проходили каждую неделю, однако в начале и конце года, а также в зачетные недели они не проводились. Таким образом, мы располагали примерно 25 двухчасовыми занятиями. Но приводимая нами программа рассчитана на меньшее число часов — проведение всевозможных соревнований, их разбор и анализ, конференции учащихся и т. п. мы здесь не указываем.

1. Логические задачи, задачи по теории множеств. Занятия проводятся параллельно с вводными разделами курса. Полезно, однако, возвращаться к затронутым вопросам все время, в том числе в виде игровых и занимательных задач.

2. Принцип Дирихле. Применение в различных задачах.

3. Арифметика. Задачи на делимость. Перебор остатков, применение метода математической индукции, основная теорема арифметики, простые числа, их свойства и т. п.

4. Решение планиметрических задач. Эти занятия очень важны, так как на решение задач повышенной трудности по планиметрии в обычном курсе двухгодичного потока практически нет времени. Мы проводили здесь занятия по следующим темам (они необязательно шли подряд):

а) применение подобия;

б) замечательные точки и линии треугольника;

в) задачи на отыскание ГМТ;

г) задачи на построение;

д) преобразования плоскости, их применения к решению задач.

5. Уравнения в целых числах. Применение их в различных ситуациях.

6. Функциональные уравнения.

7. Преобразования. Инварианты.

8. Задачи на раскраску.

Для подготовки этих занятий назовем публикации журнала «Квант»; книги [41], [44], [48], [49], [54], [59], [79], глава 10, [110], вып. 8; олимпиадные сборники [62], [68] и др.

Как видит читатель, эта программа содержит в основном «задачный» материал. Мы не включили в нее сугубо теоретические разделы, дополнительные по отношению к основному курсу главы, которые также читались нами на занятиях кружка. Дело в том, что более плодотворно проводить такую работу в рамках системы спецкурсов и спецсеминаров, которую недавно нам удалось ввести. Опишем ее здесь подробнее.

В течение полугодия учащимся читается в школе порядка 15 спецкурсов различной сложности силами учителей, шефов, родителей школьников. Каждый ученик X—XI классов должен прослушать хотя бы один из них и сдать его. Таким образом, каждый учащийся за время обучения посещает не менее четырех спецкурсов.

Разумеется, не возбраняется, а, напротив, приветствуется желание слушать в течение полугодия несколько спецкурсов.

Подобная форма работы, широко распространенная в вузах, в школах практически неизвестна, поэтому при ее проведении неизбежно возникают вопросы как организационного, так и методического плана. Остановимся на последних, ибо в настоящее время вряд ли возможно указать здесь общий метод решения организационных проблем: тут многое зависит от конкретных специфических условий жизни каждой школы.

Нам видятся две группы взаимосвязанных вопросов:

1) выяснение желаний школьников, учет их подлинных интересов;

2) выбор тематики спецкурсов и манеры их проведения.

Понятно, что система спецкурсов дает прекрасные возможности для удовлетворения разнообразных интересов школьников, здесь им воистину предоставляется широкий выбор. Надо, однако, осознавать, что далеко не все учащиеся (особенно X классов) готовы к такому выбору и отчетливо понимают, чему будет посвящен тот или иной спецкурс. К тому же весьма многие из них достаточно смутно осознают свои собственные склонности. Поэтому простое объявление тех или иных курсов в большом количестве случаев приведет лишь к игре в «свободное волеизъявление» — ребята будут записываться на спецкурс, потому что туда записался товарищ, потому что его ведет свой учитель и т. п. Важно готовить учащихся к выбору, который перед ними откроется. К сожалению, какие-то ошибки здесь неизбежны, особенно в начале,— первый выбор часто бывает неверным и тем не менее нужно стремиться уменьшить число ошибок.

Нам кажется поэтому важным ограничиваться сравнительно короткими курсами (примерно 16 ч). Разумеется, это не значит, что курс не может быть рассчитан на два или даже три полугодия (соответственно 32 и 48 ч), но все же подобное может появляться лишь как исключение при наличии сложившейся группы учеников-энтузиастов. В большинстве же случаев надо оставлять ребятам возможность безболезненно перейти к другой тематике.

Полезно заблаговременное анкетирование учащихся — выяснение того, какие спецкурсы были бы для них интересны. Также заблаговременно необходимо оповещать учащихся о предлагаемых им темах, сопровождая причем каждую тему краткой аннотацией, из которой школьник мог бы узнать о содержании предлагаемого ему курса.

Весьма желательно организовать встречу ребят со всеми руководителями курсов, с тем чтобы те могли рекламировать свои предложения, ответить на вопросы.

Заметим, наконец, что неизбежные в каких-то случаях отказы в записи на спецкурс (в случае, например, слишком большого числа желающих) ребятами, конечно, воспринимаются более болезненно, чем студентами. Поэтому мы сразу просим учащихся не только на-

зывать наиболее желательный вариант, но и указывать запасные. Вместе с тем, если спрос на спецкурс велик, целесообразно повторить его в следующем полугодии. Добавим еще, что иногда мы разрешали учащимся не указывать точно привлекающую их тему, ограничиваясь сообщением о выбранном ими направлении тематики (темы при этом распределялись нами, так сказать, «по кафедрам» — геометрия, алгебра и т. п.). Нам представляется, что при такой системе легче учесть мнение учителя, особенно важное для тех, кто только начинает учиться в математической школе.

Коснемся теперь вопроса о структуре и тематике читаемых спецкурсов. Ясно, что не всегда легко подобрать интересный и полезный материал, доступный для изучения за весьма короткий срок. Мы к тому же считаем, что наши курсы не должны сводиться лишь к бездоказательным обзорам, а должны представлять строгое изложение небольших законченных разделов. Вместе с тем нам, как понятно, хочется избежать дублирования традиционных вузовских курсов.

Сразу отметим, впрочем, что мы считаем ненужным дублирование структуры вузовского изложения, а не каких-то фактов или теорем. Например, нет ничего дурного в том, что в одном из спецкурсов пришлось изучить действия с матрицами. Введены они были из геометрических соображений — на примере движений плоскости показывалось, как сопоставляется преобразованию, имеющему неподвижную точку, матрица, какая матрица отвечает композиции преобразований, делались обобщения на более широкие, чем движения, классы преобразований и т. п. Думается, такое изложение полезно, несмотря на то что курс линейной алгебры читается повсеместно.

Вообще возможны, как нам кажется, следующие пути.

Изучение предмета в «модели». Например, курс «Общая топология на плоскости» — открытые и замкнутые множества, их свойства, понятия «связность», «компактность»— изучаются лишь для плоских фигур, при этом перенесенные на конкретную модель известные задачи и теоремы становятся гораздо более доступными школьникам, а приобретенный здесь опыт поможет им и в более общей ситуации.

Изложение материала не в привычной логической, а в исторической последовательности. Например, так могут быть построены некоторые курсы теории чисел (Диофант — Ферма — Эйлер и т. п.), задачи на построение и др.

Материал можно найти в журнале «Квант», в выпусках «Библиотечки «Кванта», посвященных истории математики, в других книгах по истории математики (см. [95], [96], [97], [99], [100], [116] и т. д.). Впрочем, разумеется, чтение таких курсов предполагает творческий подход к ним их руководителя.

Чтение курсов о применении математики в других науках. Здесь автоматически возникает иной нетрадиционный взгляд на материал. Заметим, что у учащихся такие курсы вызывают обычно большой

интерес. Ясно, что для их чтения должны особенно широко приглашаться специалисты, не работающие в школе.

Надо сказать, что спецкурсы, важные, как мы уже говорили, для более полного удовлетворения стремлений и склонностей учащихся, для расширения их кругозора, полезны уже тем, что дают школьнику возможность познакомиться с другой, отличной от принятой на уроках манерой изложения, взглянуть на математику не только глазами своего учителя. Система спецкурсов заслуживает поэтому широкого развития. Она очень полезна и для организации самостоятельной работы школьников, о которой пойдет речь в следующем параграфе.

§ 8. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА УЧАЩИХСЯ

Пожалуй, самая важная задача математической школы — дать учащимся навыки самостоятельной работы. Сегодня, когда темпы обновления научной информации неизмеримо возросли, когда практически каждому человеку, желающему продуктивно работать, приходится все время доучиваться и переучиваться, ясно, что школа должна не только и, может быть, не столько снабжать ребят базовыми исходными знаниями, но и прививать умение самостоятельно их развивать в дальнейшем.

Эти истины не вызывают теперь ни у кого сомнения и могут считаться общепризнанными. Но, к сожалению, на практике дело обычно сводится лишь к заданиям самостоятельно прочесть тот или иной параграф из учебника и, в лучшем случае, подготовить по предложенной теме доклад для урока. Сетуя на отсутствие у ребят привычки к чтению, как правило, сетованиями и ограничиваются, забывая, что естественные и необходимые для работы с кникой умения появляются не от одних призывов, а от планомерной работы по их формированию.

Расскажем о некоторых формах такой работы у нас в школе (не считая, разумеется, что описываемое ниже решает проблему — она гораздо сложнее и глубже).

1. Первый шаг традиционен — подготовка учащимися докладов на занятиях кружка и уроках. Здесь мы работаем с наиболее сильными учащимися, выбирая для докладов тематику, предполагающую не пересказ какого-то одного источника, а обзор нескольких. Тематика весьма широка, не говоря уже об историко-математических докладах, укажем, что большие возможности открывают рассказы о различных методах решения тех или иных классов задач. Разумеется, рекомендуемые при этом ребятам пособия должны облегчать подобную работу. Например, мы рекомендовали учащимся книгу [44], в которой задачи уже расклассифицированы даже в рамках одной темы, и предлагали подо-

брать из других указанных нами источников примеры на те же идеи. Подчеркнем, что такая работа (важная не только для математического развития, но и для педагогической ориентации ребят) может вестись лишь с сильными учащимися при большом к тому же участии учителя.

Таким образом, в классе создается группа ребят, которые в дальнейшем смогут помочь учителю, выступая в роли консультантов для товарищей. Важно после каждого доклада тщательно разбирать его, обсуждая не только математические детали, но и вопросы его композиции, так сказать, ораторского мастерства докладчика и т. п.

2. Позднее (как правило, на втором году обучения) мы предлагаем учащимся (уже всем) следующее задание. Им предоставляется список тем. Каждый школьник должен, выбрав одну из них, составить по ней библиографию — список из 5—7 книг. Здесь опять-таки нельзя ограничиваться одним лишь требованием — нужно разъяснить, как его выполнить. Следует показать, как можно пользоваться словарями, энциклопедиями, библиографическими указателями, списками цитированной литературы в книгах и т. п. Такая работа должна, конечно, проводиться совместно со школьной библиотекой. Ясно, что и выбор тематики обусловлен наличием в ней тех или иных изданий.

3. Следующим этапом является написание учащимися (всеми) аннотаций опять-таки по выбранным ими книгам или главам из книг, как из предлагаемого нами списка, так и найденным самостоятельно.

В такой аннотации объемом не более одного тетрадного листа ребята в краткой форме должны сказать о книге, ее авторах, цели, поставленной ими перед собой, основных полученных ими в аннотируемом издании результатах, стиле изложения и, наконец, о своих впечатлениях. Надо сказать, что умением кратко и четко сформулировать содержащиеся в прочитанном мысли могут похвастаться далеко не все учащиеся, весьма многих тянет к общим бессодержательным фразам. Нужно поэтому, как нам кажется, повторять это упражнение по аннотированию несколько раз.

4. Практически очень близкой является работа всех учащихся над рефератами, здесь лишь снижаются столь жесткие ограничения размеров, поэтому появляется возможность добавления деталей, написания в более свободном стиле и т. п. Добавляется и составление библиографии по теме реферата.

Заметим еще раз, что все это весьма не просто для ребят и требует, с одной стороны, разъяснений, консультаций и советов учителя, а с другой — времени учащихся. Изложенная программа рассчитана буквально на годы, и не следует злоупотреблять даже самыми хорошими формами работы, форсируя ее и вынуждая ребят чуть ли не каждый месяц готовить новый реферат.

5. Наиболее сильным учащимся мы предлагаем вести работу творческого плана под руководством шефов из ЛГУ и других вузов. Такая работа, часто начинающаяся посещением спецкурса, уже

практически примыкает к научной. Приобщение к ней на школьной скамье, имеющее, как понятно, продолжение и развитие в дальнейшем, и является целью математической школы.

Понятно, впрочем, и то, что нельзя ограничиваться сознанием важности этой работы — в школе должны проводиться различные мероприятия, подводящие ее итоги. Этой цели служат выступления учащихся на уроках, занятиях кружка; скажем здесь еще о конкурсах рефератов, предшествующих городскому конкурсу, на который отбираются лучшие работы школьников, и о школьных конференциях.

Проведение школьных конференций организуется следующим образом. Приглашается президиум-жюри из числа бывших выпускников, родителей учащихся, шефов и т. д. Учащиеся разбиваются на секции, в каждой из которых заслушивается 4—6 докладов продолжительностью 10—15 мин. После каждого доклада проходит его краткое обсуждение. В заключение все собираются в одной аудитории, жюри подводит итоги работы, отмечает лучшие доклады, вручает памятные подарки.

Подчеркнем, что очень важно, чтобы конференции широко рекламировались, чтобы информация о работе секций, фамилии выступающих и названия докладов, итоги конференции, списки лучших докладов и т. п. своевременно появлялись в школьной стенной печати: это привлекает внимание учащихся, еще не охваченных работой в этом направлении, да и повышает чувство ответственности у докладчиков.

Приведем в заключение список книг, которые общедоступны и могут послужить материалом для аннотирования. Могут быть использованы почти все брошюры серии «Популярные лекции по математике»; книги (разумеется, для аннотирования должен предлагаться материал какой-то их главы или параграфа) [37], [42], [54], [57], [89], [94], [102], [106], [115]; книги серии «Библиотечка «Кванта», в том числе по истории математики [90], [92], [95], [100], [109]; книги обзорного плана [47], [101], [104], [107], [113], [114], [117]; статьи из журнала «Квант» и многое другое.

Подчеркнем лишь, что список тем для аннотирования должен составляться так, чтобы в нем находилось место для различных математических дисциплин, с тем чтобы обеспечить посильный и интенсивный труд всех учащихся.

§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ

Думается, нет необходимости говорить о важности такого направления внеклассной работы в школе, как олимпиады. Понятно, что присущий олимпиадам соревновательный спортивный элемент привлекает ребят, побуждает их к более серьезным занятиям математикой. Удачное выступление на олимпиаде заставля-

ет учащегося поверить в свои силы, служит как бы подтверждением правильности выбранного пути. Огромный арсенал олимпиадных задач, накопленный за многие годы, дает возможность ознакомиться со многими нетривиальными и глубокими математическими идеями, изложенными к тому же в короткой и доступной форме. Обсуждение задач, которое обязательно разворачивается в классе после олимпиады, «математическое общение» ребят, проходящее на этой почве, играет особую роль в развитии учащихся — его значение трудно переоценить, ибо здесь в качестве активной стороны выступает уже не учитель, а сами ребята — классный коллектив. Особенно это заметно, может быть, на командных соревнованиях—математических боях и т. п., о которых мы тоже расскажем.

Ясно вместе с тем, что важнейшее значение, которое должны иметь олимпиады, они обретают лишь при разумном педагогическом руководстве — прельщающая нас «спортивность» может заходить иначе слишком далеко, превращая ребят в «олимпиадников-профессионалов», круг интересов которых ограничен лишь решением задач по раз и навсегда освоенным (пусть и весьма сложным) стандартам. Из средства выявления и поддержания способных к математике школьников олимпиады могут обращаться в свою противоположность, когда спортивные провалы и неуспехи отпугивают ребят от математики.

Важно поэтому продуманно осуществлять олимпиадную работу в школе, добиваясь ее связи с другими направлениями учебной и внеклассной деятельности, обеспечивая при составлении олимпиадных заданий дифференцированный подход к учащимся.

Расскажем о структуре олимпиад, проводимых у нас в школе. В начале учебного года мы проводим внутриклассные олимпиады. Они особенно важны для новичков — только пришедших в школу ребят: так многие из них знакомятся с олимпиадами, так рекламируется работа кружков. Но и для школьных старожилов такое соревнование полезно: выясняется, «кто есть кто» после каникул. На основе результатов олимпиады формируется классная команда для матбоев, да и сравнительно слабым учащимся интересно, как нам кажется, попробовать в ней свои силы. Только подчеркнем высказанную уже мысль: задачи должны быть подобраны так, чтобы обеспечить плодотворную занятость всех учащихся, нужно, чтобы любой учащийся мог как минимум решить 2—3 задачи, а желательно и больше.

Следующим этапом у нас является общешкольный 1-й тур олимпиады. Мы проводим его в конце I четверти, и в нем принимают участие все учащиеся. 1-й тур, как и внутриклассные олимпиады, проводится письменно. По результатам этого тура (о которых обязательно нужно оповестить ребят, поздравив победителей) учащиеся приглашаются на следующий. Сначала для VIII—IX классов проводится отдельный устный 2-й тур (в ноябре), а потом в январе — заключительный тур, в котором участвуют победители 2-гс ту-

ра VIII—IX классов и победители 1-го тура X—XI классов. Заключительный тур тоже проводится устно. Отметим, что проведение устной олимпиады требует преодоления дополнительных организационных трудностей (нужно приглашать принимающих-ассистентов, как правило, из числа выпускников школы, занимать большее количество аудиторий для решения задач и для изложения решений), но, как нам кажется, оправдывает себя, ибо дает возможность более чутко улавливать ход мысли учащегося, уточнять неясное в его рассуждениях.

Материалы для проведения олимпиад имеются в большом количестве. Приведем все же примеры заданий нескольких наших олимпиад. Сразу напомним, что мы считаем возможным предлагать учащимся большое, избыточное число задач. При соответствующей подготовке ребят это их не пугает, а организаторы получают возможность обеспечить более широкий спектр результатов. Укажем еще на одну особенность некоторых предлагаемых ниже вариантов. Они предполагают не только способность учащихся быстро придумывать сравнительно нестандартный подход к решению, но и наличие у них определенной математической культуры, умения свободно оперировать различными, в том числе новыми, введенными в условии задачи понятиями. Формирование такой культуры является одной из важнейших целей математической школы, и поэтому это отличие проводимых здесь олимпиад вполне естественно.

Внутриклассная олимпиада (X класс, 2 ч)

1. Решить систему уравнений г хА + у4 = ху

\х3+у3=1.

2. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Определить радиус круга, который касается катетов и центр которого лежит на гипотенузе.

3. Построить график функции

4. Решить уравнение в натуральных числах:

5. На множестве вещественных чисел без нуля задана операция *, такая, что для всех ху у, z справедливо: а) х*х=\\б) (xy)*z = = x(y*z). Найти 12*18.

6. В треугольнике центры вписанной и описанной окружностей симметричны относительно одной из сторон треугольника. Найти его углы.

7. Найдется ли число вида

19891989...198900...О,

делящееся на 1990?

Олимпиада — 1-й тур (VIII класс, 3 ч)

1. Построить график функции

2. Когда Коля был молод, как Оля, много лет было тетушке Поле — годом меньше, чем Коле теперь вместе с Олей. Сколько лет было Коле, когда тетушка Поля была в возрасте Коли?

3. Что больше: 53(Го или З500?

4. Некоторое число яблок нужно разделить между двумя школьниками. Известно, что первый будет доволен, если ему достанется по крайней мере 2 яблока, а второй — если ему достанется не меньше 3 яблок. Будем ставить « + », если школьник доволен, и « — » в противном случае. Могут возникать четыре ситуации: 1) + +; 2) + — ; 3) — +; 4) — —. Какие ситуации могут возникнуть, если есть: а) 2 яблока; б) 3 яблока; в) 4 яблока; г) больше 5 яблок?.

5. Можно ли на клетчатой бумаге закрасить 25 клеток так, чтобы у каждой из них было нечетное число закрашенных соседних клеток?

6. Построить треугольник ABC по углу Л, стороне b и высоте, проведенной к этой стороне.

7. Найти все простые числа /?, такие, что их можно представить в виде суммы и разности двух простых чисел.

8. На сторонах AB и ВС треугольника ABC построены квадраты ABFH и BCD К (во внешнюю сторону). Доказать, что продолжение медианы BE треугольника ABC является высотой треугольника BFK.

9. На отрезке [0; 1] задана функция/, такая, что / (0) = f (1) = 0 и для любых а и b из отрезка [0; 1] выражение f (a)-{-f (Ь) — неотрицательно. Доказать, что уравнение / (*) = 0 имеет на отрезке [0; 1] бесконечно много решений.

Олимпиада— 1-й тур (IX класс, 3 ч)

1. Если задуманное двузначное число разделить на удвоенную сумму его цифр, то получится 3 и в остатке 3; если же из него вычесть сумму его цифр, умноженную на 5, то получится 6. Найти задуманное число.

2. Доказать, что уравнение

не имеет корней.

3. Доказать, чо все точки окружности можно разбить на два непересекающихся множества так, чтобы среди вершин любого вписанного прямоугольного треугольника присутствовали точки каждого множества.

4. На листе клетчатой бумаги 50X50 клеток в каждой клетке написано число. Известно, что в каждых 4 клетках, которые можно покрыть фигурой I———I , сумма чисел равна 4. Найти сумму всех чисел.

5. Решить систему уравнений

6. Два круга радиусов г и R касаются внешним образом в точке С. К ним проведена общая внешняя касательная А В, где Л и В — точки касания. Найти длины сторон треугольника ABC.

7. Найти все простые числа рис, такие, что

р2-2</2=1.

8. Вписать в данную окружность треугольник, если известны точки пересечения окружности с продолжениями биссектрисы, медианы и высоты, проведенных из одной вершины треугольника.

9. Числовая функция / такова, что для любых вещественных х и у справедливо равенство (x+y)f(xy)=f(x)+f(y). Существует ли хотя бы одно число х, такое, что f (х)Ф0?

Олимпиада — 1-й тур (X класс, 3 ч)

1. Решить уравнение

2. Доказать, что если длины сторон каждого из двух прямоугольных треугольников образуют арифметическую прогрессию, то треугольники подобны.

3. Найти все числовые функции /, такие, что для любого хфО справедливо равенство

4. Дано:

а —ß6( —90°; 0°). Найти cos а.

5. Многочлен Р с целыми коэффициентами таков, что значение 5 принимается им при 5 различных целых значениях аргумента. Могут ли у этого многочлена быть целые корни?

6. На плоскости даны две точки А и В. Найти множество точек, симметричных А относительно прямых, проведенных через В.

7. Основанием пирамиды является девятиугольник. Боковые ребра и диагонали основания (но не стороны) покрашены соответственно в красный или синий цвет. Доказать, что найдется тре-

угольник с вершинами в вершинах пирамиды, все стороны которого покрашены в один цвет.

8. Пусть Pi, Р2, Рз — квадратные трехчлены с положительными старшими коэффициентами. Доказать, что если каждые два из них имеют общий корень, то и квадратный трехчлен Р1 + Р2 + Р3 имеет вещественный корень.

9. Доказать, что между любыми двумя последовательными натуральными числами содержится ровно один член последовательностей

1+х, 2(1+4 3(1+4

и

1+у, 2(1+*/), 3(1+0),

где X — положительное иррациональное число, У=^-

Олимпиада — 1-й тур (XI класс, 3 ч)

1. Найти высоту равнобедренной трапеции, если ее диагонали взаимно перпендикулярны, а площадь равна S.

2. Известно, что х + ех = у + еу. Верно ли, что

cos y + sin x = sin y + cos x?

3. Найти сумму

4. В треугольной пирамиде SABC один из углов при вершине S прямой, SH — высота, H — ортоцентр треугольника ABC. Доказать, что все углы при вершине S прямые.

5. Известно, что

Найти

6. Для треугольника ABC справедливо равенство

Доказать, что этот треугольник равнобедренный.

7. Пусть Л — подмножество множества целых чисел, в котором есть положительное и отрицательное числа. Известно, что А замкнуто относительно сложения. Доказать, что оно замкнуто и относительно вычитания.

8. Функция / такова, что для любого вещественного х справедливо равенство

Доказать, что / — периодическая функция.

9. X — множество с п элементами (м^2), Р — совокупность

всех его подмножеств, У— множество с m элементами (m^l). Даны два утверждения:

а) т^п\

б) для любого отображения / из Р в У найдутся Л, ߣP, такие, что f иив)-/ипв).

Доказать, что утверждения а) и б) эквивалентны.

Заключительный тур олимпиады

1. В таблице 3X3 одна из клеток закрашена черным цветом, остальные — белым. Можно ли, перекрашивая целиком строчки или целиком столбцы, добиться того, чтобы все клетки стали белыми?

2. Пусть AaN, обозначим d (А)=\\т -—, где Ап — число элементов Л, не превосходящих п\ пусть М-\- К — совокупность всех чисел вида m-\-k, где m£M, k£K. Для любого г>0 предъявить такие подмножества натуральных чисел А и ß, что

rf(A)<e, d(ß)<8, d(A + ß)=l.

3. Поступающий в вуз должен сдать 4 экзамена. Он полагает, что для поступления будет достаточно набрать 17 баллов. Сколькими способами это можно сделать (не получая «двоек» и «единиц») ?

4. Доказать, что если х\их2 — корни уравнения х2 — 6л: + 1 =0, то число jcï + х\ при любом натуральном п является целым числом, не кратным пяти.

5. В треугольнике ABC точка X лежит на стороне ВС, а X' — точка пересечения прямой АХ и описанной около треугольника окружности. Доказать, что если длина отрезка XX' наибольшая из возможных, то отрезок АХ лежит между -медианой и биссектрисой угла А.

6. Найти все тройки простых чисел а, Ь, с, для которых справедливо неравенство

abc <iab-\-bc-\- ас.

7. Найти общий член последовательности (а*), если известно, что ai=0 и для любого ß>2 справедливо равенство (k+l)ak = =1.

8. Доказать, что если ребра тетраэдра ABCD связаны равенством

AB2 + CD2 = AC2 + BD2=AD2 + BC2,

то хотя бы одна грань тетраэдра — остроугольный треугольник.

9. Пусть множество M можно представить в виде объединения его непересекающихся подмножеств следующими способами:

причем для всех /, /, k=l, 2, п

(где \К\ —число элементов множества К). Доказать, что

10. Найти все функции /, такие, что для любого х верно равенство

f(f(x))=x2-2.

Устный заключительный тур организуется обычно следующим образом. Всем участникам предлагаются 6 задач (первые в приведенном варианте) разной трудности. Решившие 3 из них переводятся в так называемую выводную аудиторию, где к оставшимся задачам добавляются еще 4 также разной трудности. Ткая система позволяет еще больше «расслоить» участников по результатам, к тому же несколько ограничивая выбор на первом довыводном этапе, мы исключаем случаи, когда сравнительно слабые учащиеся тратили все время на решение самых трудных задач.

Не менее важной, чем олимпиады, формой работы являются, на наш взгляд, математические бои. Матбои в школе проводятся самые разные — тренировочные — внутриклассные, внутрикружковые, бои между кружками, бои «вторых сборных» классов, бои школьников и выпускников и т. д., но наиболее важные (так сказать, официальные — бои проводимого нами общешкольного турнира.

Здесь классы разбиваются на пары — сначала внутри параллели, потом могут составляться пары и из классов разных параллелей,— и разыгрывается первенство по олимпийской системе.

Правила матбоев неоднократно публиковались. Напомним здесь основные моменты, рассказывая при этом о некоторой специфике их организации у нас.

Классная команда состоит обычно из 7 человек. На двух последних уроках (в случае финального боя на трех) участники решают выданные им членом жюри задачи, которых, как правило, тоже 7. (Сразу подчеркнем, что желательно организовать бой в такой день, когда пропускаемые учащимися уроки будут относиться к математическому циклу: их пропуск для наиболее сильных учащихся окажется достаточно безболезненным.) После окончания уроков начинается сам матбой. Нужно заранее продумать, в какой аудиторий он будет проводиться, предусмотреть места для команд, жюри и болельщиков.

Открывается бой конкурсом капитанов, который не приносит баллов, но дает той команде, капитан которой победит, право выбирать, будет ли она производить вызов, или передаст эту возможность соперникам. В дальнейшем команды вызывают друг друга по очереди (кроме особого случая, о котором будет сказано ниже). Вызывающая команда указывает каждый раз, на какую задачу она вызывает противника. Если вызов принимается, то вызванная команда выставляет докладчика, рассказывающего решение, ее

противники—оппонента, ищущего в этом решении ошибки и недочеты. Каждая задача оценивается у нас в 12 баллов, которые могут, например, распределиться так: 9 баллов докладчику, 2 — оппоненту (за указанные им недочеты), 1 балл жюри.

Вызов может быть не принят, в этом случае проводится «проверка корректности» вызова. Тогда уже, наоборот, вызывавшая команда выставляет докладчика, а вызванная — оппонента. Если решение этого докладчика будет признано неверным, его команда должна будет повторять вызов, к тому же ей начисляются штрафные баллы (до —6), а оппонент или жюри за замечания и рассказ решения также получает баллы, причем сумма всех полученных за эту задачу баллов (включая отрицательные) должна быть равна 12.

Надо еще оговорить, что число выходов к доске в роли докладчика или оппонента ограничивается (обычно двумя разами). Это важно для того, чтобы бой сохранял командный характер.

Приведем здесь задачи одного из матбоев.

Задачи матбоя (X класс)

1. Доказать, что если сумма некоторых натуральных чисел равна 1990, то их произведение не превосходит 4»3662.

2. Шесть точек расположены на плоскости так, что любые три из них служат вершинами треугольника со сторонами различной длины. Доказать, что наименьшая сторона какого-то одного треугольника является наибольшей стороной какого-то другого.

3. Можно ли с помощью сложения, вычитания и умножения получить функцию h(x)=x из функции / и g, если:

а) f (х) = х2 + х, g(x) = x2 + 2;

б) f(x) = x2 + x, g(x) = x2-2?

4. На отрезках АС и ВС диаметра AB окружности S построены как на диаметрах окружности Si и S2. Через точку С проведена произвольная прямая /, пересекающаяся с S в точках M и N, с S\ в точках К и С, с S2 в точках L и С. Доказать, что длины отрезков МК и NL равны.

5. Найти все целые положительные числа х, произведение цифр в десятичной записи которых равно х2 — 10л: — 22.

6. Можно ли расположить все подмножества 1989-элементного множества в таком порядке, чтобы для любых двух соседних множеств А и В множество (А[}В)\(А(]В) содержало ровно два элемента?

7. Доказать, что выпуклый восьмиугольник, у которого все углы равны, а длины сторон выражаются рациональными числами, имеет центр симметрии.

Коснемся здесь и организации некоторых других математических соревнований. Об одном их виде — письменных математических конкурсах — нам уже приходилось говорить. Нам кажется, что систематическое проведение таких конкурсов (внутриклассных,

«внутрипараллельных», общешкольных) очень важно для формирования математической культуры учащихся. В них отрабатывается умение записывать решение трудной задачи, прививается навык длительного труда над решением. Ясно, что такая работа тесно связана и с заданиями реферативного плана, о которых мы рассказывали в предыдущем параграфе.

Конкурсы могут быть рассчитаны на самые разные сроки решения: от недели до нескольких месяцев. Могут соответственно содержать сложнейшие задачи, давая которые мы стремимся развивать творческие способности наиболее сильных учащихся, и могут включать лишь нетрудные задачи, дающие возможность еще раз потренироваться в применении тех или иных сравнительно стандартных идей. Рассмотрим материалы одного из серии конкурсов, проведенных нами в преддверии районного тура олимпиады. Подавляющее большинство задач взято из материалов районных туров Ленинградской городской олимпиады предыдущих лет. На решение задач этого конкурса отводилась одна неделя.

Задачи конкурса

Решить уравнения:

4. Решить систему уравнений

5. Решить уравнение в целых числах:

ху + 3х — 5у = — 3.

6. Существует ли такое целое число х, что

х3-3х2 + 2х + 1988 = 0?

7. Найти все целые числа ху такие, что число хъ — 2х2 + 2х —-4 является простым.

8. Доказать, что

где a, ft, с — длины сторон треугольника, R и г — радиусы окружностей, соответственно описанной около этого треугольника и вписанной в него.

9. Доказать, что в любом прямоугольном треугольнике

0,4<-^-<0,5, где г — радиус окружности, вписанной в треугольник, h — высота, опущенная на гипотенузу.

10. а, ß, ai, ßi — острые углы. Доказать, что если

то a = ai, ß = ßi.

Ясно, что при таком тематическом подборе задач конкурсы играют роль, близкую к роли циклов (см. § 5).

В системе внеклассной работы школы должно находиться место и для занимательной математики. Расскажем, например, о проводимых нами математических КВНах (см. также в журнале «Квант» о КВНах на Праздниках юных математиков в Батуми). Они находят обычно живой отклик у ребят, в них сочетаются как типичные для КВНа чисто развлекательные, так и пусть нетрудные, но все же математические соревнования.

Мы проводим КВНы для VIII—X классов, заранее оповещая ребят о том, что каждая команда (из 7 человек) должна представить название, эмблему, приветствие и домашнее задание. Обычно по образцу батумских КВНов, в которых регулярно участвует наша школа, мы предлагаем представить здесь выступления на тему связи математики с какой-нибудь стороной жизни, например: «Как математика помогает добраться до школы?» и т. п.

КВН начинается с приветствия, после которого следуют остальные конкурсы. Материал для чисто математических конкурсов читатель легко подберет по образцам, даваемым, например, журналом «Квант» (в разделе «Квант» для младших школьников; также [69] — [78]). Важнее здесь для создания общего «КВНного» настроения конкурсы, в которых математика выступает лишь как повод. Перечислим задания некоторых таких конкурсов. Конкурс «балетмейстеров»: поставить «балет» на тему «Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается». Конкурс «наследников Винни-Пуха»: по образцу стихотворения знаменитого медвежонка: «Возьмем это самое слово опять, зачем мы его произносим, когда мы вполне бы могли бы сказать ошесть, и осемь, и овосемь»— подобрать слова, в которых звучат математические термины. Конкурс математиков: построить множество точек с координатами, удовлетворяющими «страшной» совокупности уравнений

(ответ см. на рис. 140). Конкурс «художников»: написать картину «Алгебра». Нам кажется, что подобные шутливые конкурсы и соревнования, хотя и не претендуют на глубокую научность, тоже важны для создания в школе духа свободного интереса к математике, к чему и должны мы стремиться.

Заметим в заключение, что и вообще, как видит читатель, некоторые из предложенных здесь его вниманию олимпиадных задач легче приведенных нами зачетных. Стоит иногда идти и на это: взамен мы можем получить, пожалуй, самое важное — приучить ребят работать над необязательными заданиями, работать по собственному побуждению.

§ 10. О ПРИМЕНЕНИИ КОМПЬЮТЕРОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

Вынесенный в заголовок вопрос волнует сейчас многих учителей. Думается, что в специализированных школах с их большим вниманием к математике, с их часто большими возможностями новые веяния ощущаются особенно сильно.

Нужно, однако, отдавать себе отчет в том, что, несмотря на разворачивающийся в последние годы «компьютерный бум», мы все еще очень смутно представляем себе перспективы, открывающиеся на этом пути, и трудности, с которыми придется сталкиваться.

В методической литературе выделяется обычно пять основных дидактических функций компьютера в преподавании математики.

1. Выполнение упражнений. (Предоставление учащимся ранжированных по трудности упражнений.)

2. Электронная доска. (Компьютер используется как цветное, визуальное средство обучения.)

3. Моделирование.

4. Исследование. (Из числа предлагаемых вариантов ученик выбирает, аргументируя, собственное решение.)

5. Математические расчеты в курсах других дисциплин.

Ясно, что выполнение всех этих функций предполагает большой труд как учителей и ученых, так и программистов и инженеров. У нас в школе мы организуем группы учащихся, увлекающихся программированием и вместе с учителями работающих над созданием обучающих программ. Понятно, что даже подготовка сравнительно простых контролирующе-обучающих программ (в которых, например, предлагается выбрать правильный ответ из предложенных и в случае успеха перейти к следующему вопросу, а в случае неудачи повторно изучить те или иные факты) требует больших трудозатрат. Но при этом не следует все же чересчур обольщаться достигнутым. Составление программы, увы, часто полезнее и интереснее для их авторов, преодолевших «программистские» трудности, чем для учеников на уроке.

Гораздо важнее и содержательнее, на наш взгляд, использование ЭВМ для моделирования тех или иных ситуаций. Опишем, например, весьма несложную программу, разработанную нами для учащихся VIII класса и моделирующую аксиоматику планиметрии.

В начальном положении на экране дисплея располагаются точки и кривые в произвольных отношениях. Учащиеся вводят номера аксиом, и на экране происходят соответствующие изменения.

Например, учащийся вводит номер 1.2.— ему соответствует аксиома: «Через любые две точки можно провести прямую и только одну». На экране выделенные точки соединяются пунктирными линиями, исчезают, лишние «прямые», проходящие через одни и те же точки, и т. п.

Учащиеся могут набирать номера аксиом практически в произвольном порядке, наблюдая, таким образом, их независимость и вклад каждой из них. Такое моделирование, безусловно, способствует лучшему усвоению учащимися этой основополагающей темы и имеет преимущество перед учебными фильмами и другими аналогичными средствами. Тут роль и активность учащихся безусловно больше, так как композиция «фильма» — последовательность просмотра тех или иных эпизодов — задается ими.

Но, пожалуй, главное, что несет компьютеризация школе, в другом. Появление могучего соседа-соперника побуждает нас задуматься о содержании и форме нашего предмета, меняя не только второе, но и первое.

Многие задания, почитавшиеся еще недавно важными, вроде приведения «к виду, удобному для логарифмирования», уже безнадежно устарели, и, по-видимому, та же судьба ждет и ряд других привычных упражнений.

Разделы, еще недавно кажущиеся отвлеченными, становятся сейчас более доступными, ибо можно ссылаться на практику работы с компьютером. (Вспомним, хотя бы ограничиваясь вопросами аксиоматики планиметрии, как, например, в свое время в журнале «Квант» для облегчения восприятия этого материала привлекалась игровая ситуация: «В VI класс прилетел марсианин. Как объяснить ему, что такое точка, прямая и т. п.?» Сегодня роль такого марсианина исполняет вполне реальный компьютер — работа с ним приучает к необходимости четких правил.) Можно, по-видимому, говорить об особой форме компьютерной наглядности, когда обращение к вычислительной практике делает обоснованными самые абстрактные понятия.

Внедрение вычислительной техники вызывает потребность в обучении переводу с одного математического языка на другой, проясняющем, как водится, суть и того и другого. У нас, как мы уже отмечали, роль такого моста играет предмет «Вычислительная математика».

Примеры такой помощи ЭВМ математике можно множить, но, думается, для учителя одинаково важен и подбор примеров применения «абстрактной», «далекой от жизни» и т. д. математики (а чис-

ло этих примеров теперь стремительно растет), и анализ ситуаций, в которых «всемогущий» компьютер ничем помочь математике не может.

Связь с другими предметами, о которой мы традиционно (и справедливо) радеем, проявляется не только в обнаружении в них сходных моментов, но и в выявлении различных.

Думается, что, когда мы ставим теперь задачу гуманитаризации обучения, в том числе математического, ее следует понимать не как призыв сосредоточиться на биографиях великих математиков (хотя интерес к ним вполне оправдан), а как побуждение к совместному с учениками размышлению о месте математики в мире. Перечисляя знания, умения и навыки, которые мы хотим привить нашим учащимся, мы не можем сегодня ограничиваться технологическими вопросами. Потому, может быть, не менее важно, чем научить ребенка решать тригонометрические уравнения, попытаться привить ему понимание, скажем, различия отношений к слову в поэзии, где важна многозначность, и в математике, где ценится четкость и недвусмысленность...

Появление нового предмета — информатики, для которого математика лишь средство, пусть, пожалуй, и наиважнейшее, меняет позицию учителя и ученика и там, где математика является целью изучения, заставляя внимательнее всматриваться в ее особенные, ей одной присущие черты.

Сравнение всегда помогает пониманию, а научить понимать математику, любить ее характерные черты и должен стремиться любой учитель математической школы...

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ

§ 2. НАБОР УЧАЩИХСЯ

Конкурсные задачи

1. 8 = 5 + 3; 9 = 3 + 3 + 3; 10 = 5 + 5, поэтому 8, 9 и 10 к. легко выплатить пятаками и трехкопеечными монетами. Для любого натурального /г, большего 10, ясно, что одно из чисел п —8, п —9, п—10 делится на три (это три последовательных натуральных числа); выплатив соответствующее число копеек трехкопеечными монетами и 8, 9 или 10 к. так, как показано выше, выплатим и л копеек требуемым образом.

2. Уравнение эквивалентно совокупности

3. Пусть Si и S2 — площади квадратов, S — площадь их общей части, тогда искомая величина равна

(Si-S)-(S2-S) = Si-S2 = 225- 144 = 81 (см2).

4. Ответ: за 10 вопросов. Легко найти необходимую стратегию. Нельзя отгадать короче, так как вариантов ответов на 9 вопросов (т. е. последовательностей из девяти элементов, каждый из которых слово «да» или «нет» всего 512, т. е. различить 1000 чисел девятью вопросами нельзя.

6. Решение указано на рисунке 36.

7. Рассмотрим квадраты со сторонами, параллельными сторонам поля Л1, и с вершиной в нижней левой точке поля Al. Их

восемь: первый — поле AI, последний — вся доска. Ясно, что тот, кто первым окажется внутри 2-го квадрата, проигрывает, но тогда тот, кто сможет первым оказаться внутри 3-го квадрата, выигрывает (занимая поля того же цвета, что и AI, он вынудит противника спуститься во 2-й квадрат). Рассуждая аналогично, видим, что тот, кто первым попадает в 4-й и 6-й квадраты, проигрывает, а тот, кто первым попадает в 5-й и 7-й квадраты, выигрывает. Таким образом, выигрывает начинающий игру.

8. Разделим монеты на 3 группы, по 4 монеты в каждой. Сравнивая их вес, за два взвешивания установим, в какой группе фальшивая монета, а также легче или тяжелее она настоящей. Группу с фальшивой монетой поделим на две группы по две монеты и за одно взвешивание выясним, в какой из них фальшивая. Еще за одно взвешивание выясним, какая из двух монет фальшивая. Полезно обратить внимание учащихся на близость этой задачи и четвертой.

9. Занумеруем участников похода: х\% х2у лез, хп.

а) Предположим противное, т. е. что для любого хг найдется х/, незнакомый с ним (/, /6{1, 2, п}). Тогда составим четверку (xi\ Х\\ Xk\ xi) так, что х1% Х\ не знакомы и x*, xi не знакомы, или так, что все не знакомы с х,. Очевидно, что в рассматриваемой четверке нет знакомого со всеми — противоречие.

б) Пусть нашлись 4 участника, с кем-то незнакомые, например это (xi; х2\ хз'у x*). В этой четверке есть один знакомый со всеми остальными, пусть это будет х\. Заменим Х\ на того, с кем х\ не знаком, обозначив его Xk. Рассмотрим теперь четверку (jci; х2\ хз\ в ней есть знакомый со всеми остальными, причем это не Х\ и не Xk, пусть это будет х2. Тогда заменим хз на xi — того, кто не знаком с х2. Очевидно, что в четверке (jci; х2, Xk\ xi) нет знакомого с остальными, что противоречит условию.

10. Пусть у дракона в какой-то момент времени п голов. Если рыцарь отрубит 12 голов, то у дракона будет п + 21 голова, если 14, то /2+1974 головы, если 21, то п— 21 голова, если 340, то я — 336 голов, но числа 21, 1974, 336 делятся на 3, поэтому остаток от деления на 3 числа голов остается постоянным. И так как остаток отделения числа 19 на 3 равен 1, число голов у дракона (с планеты Хемтам-Матмех!) не может стать равным нулю.

Олимпиада (VIII—IX классы)

1. Пусть в семье х сестер, у братьев, тогда имеем у— 1 =лг, 2(х— \) = у. Ответ: в семье 3 сестры и 4 брата.

2. Смотри рисунок 37 на с. 104.

Рис. 36

3. Обозначим (х — 2)3 = у. Тогда уравнение примет вид у2 — \9у — 216 = 0. Отсюда yi = 27, у2= — 8, *i=3, jc2 = 0.

4. Нельзя, так как если бы это было возможно, то, вычисляя всю сумму и суммируя сначала по столбцам, получили бы в результате положительное число, а суммируя сначала по строкам — отрицательное.

5. Подставим с=— (а-\-Ь):

Рис. 37 Рис. 38

6. Соединим центр 0\ меньшей окружности с точкой С. Так как угол BDA опирается на диаметр, то Z.BDA = ZLOiCD = 90°. Следовательно, прямые 0\С иАО параллельны, поэтому /LDAC = = /LO\CA (внутренние накрест лежащие углы) ; так как треугольник 0\СА равнобедренный, то АО\СА = Z.O\AC. Таким образом, Z_OiAC=Z.DAC (рис. 38).

Работа для поступающих в VIII класс

1. Для этого надо построить графики уравнений

х2 — 5х = 0 и 2у + 2х = 0, т. е. графики х = 0, х = 5, у= —х (рис. 39).

2. 4a2 + 462 + 21ft2-20ai-36 = 4a2-20d6 + 25fe2-~36 = (2a-_5&)2-62 = (2a-5&-6) (2a-56 + 6).

3. Ответ: а= —4.

4. Ответ: скорость катера 51 км/ч.

5. Например, такое доказательство: AABD — AA\B\D\ (по второму признаку), следовательно, BD = B\D\ и ве — в\Е\. Отсюда ааве— аа\в\е\ (по первому признаку) и АЕ=а\Е\ (рис. 40).

6. Так как треугольники ADC и BCD равнобедренные, то

AACD= Z.CAD, /-ABC= Z.DCB. Следовательно, Z.CAB + + AACB+ AABC = 2Z.ACB=180° и AACB = 90° (рис. 41).

7. В кружках занимаются 25 человек, т. е. из них 5 — нематематики, таким образом, из 11 «умельцев» 6 математиков.

8. р либо равно трем, либо имеет вид 3fe+l, либо имеет вид 3& + 2, где k — натуральное или равно нулю. Ясно, что 8р2 + 1 равно соответственно 73, 72fe2 + 48fe + 9 или 72&2 + 12£ + 33. В двух последних случаях 8р2+1 делится на 3 и больше трех, значит, оно не простое. Число 73 простое. Ответ: /? = 3.

Рис. 39 Рис. 40

Работа для поступающих в X класс

2. Ответ: [2, 3].

3. а<0 (ветви «вниз»), с<0 (точка пересечения с осью Oy имеет отрицательную ординату), абсцисса вершины положительна, но она равна — поэтому Ь>0. Ответ: а<0, ô>0, с<0. 2а

4. Ответ: tg 217°>0>sin 243°.

5. Ответ: 2—^ß.

6. Нужно построить графики 9 — х2 = 0, у=\х— 1| и учесть, что jc2<9 (рис. 42).

Рис. 41 Рис. 42

Рис. 43 Рис. 44

7. Обозначим длины оснований AD — x, ВС = уу тогда имеем х:у = 5:4 и х + у = 36, отсюда х = 20, у=\6. Так как DE = AD — — ßC = 4 и Z-ADC = 4b°, то АВ = 4 (рис. 43).

8. Пусть CD — биссектриса, СЕ — медиана, тогда /LACD = = 45°, a Z.ACE = 33°y но так как СЕ = АЕУ то Z.C4ß = 33°. Отсюда ААВС = 57° (рис.44).

9. Пусть искомые числа х и у. Имеем х2 — у2 = 45, или (х — у)Х X (* + #) = 45. Число 45 можно представить только в виде произведения следующих натуральных сомножителей: 1 и 45, 3 и 15, 5 и 9. Так как х — у<х-\-у, возможны только следующие варианты: X — у = 1 и х+# = 45; X — у = 3 и х + у=15; х — у = 5 и лс + у = 9, т. е. л = 23, */ = 22; х = 9, # = 6; х = 7, у = 2. Ответ: (23; 22), (9; 6), (7; 2).

§ 3. ПЛАНЫ НЕКОТОРЫХ УРОКОВ

Тема 1. Построение графиков элементарными методами, применение графиков в решении задач с параметрами

Занятие 1.

1. Применены параллельные переносы вдоль оси Ох и оси Oy, симметрии относительно осей Oy и Ох, растяжение в два раза

от оси Ох и растяжение в два раза от оси Oy, построение графиков вытекает из теорем о ГЦх±а> Г/(х)±6, Г/и|, Ги_х), ГЧ(х), Г,,^, Гл/(х), Г/(/гх). Построенные графики изображены на рисунке 45.

2. Графики перечисленных функций построены на рисунке 46.

3. Последовательно применяются сжатие к оси Oy, параллельный перенос вдоль оси Ох, симметрия относительно оси Oy, симметрия относительно оси Ох, растяжение от оси Ох, параллельный

Рис. 45

Рис. 46

перенос вдоль оси Oy. Схема построения графика функции £/=2|log2(3|jc| — 1)1 + 1 (рис.47) следующая:

4. Схемы построения графиков уравнений домашнего задания:

(рис. 51).

Рис. 47

Занятие 2.

9. 1) Рис. 52; 2) рис. 53; 3) рис. 54.

10. 1) Рис. 55; 2) рис. 56; 3) рис. 57; 4) рис. 58;

6) рис. 60. Занятие 3.

1. Вариант А: 1) рис. 61; 2) рис. 62; 3) рис, 63. Вариант Б: 1) рис. 64; 2) рис. 65; 3) рис. 66.

Рис. 48

Рис. 49

Рис. 50

Рис. 51

Рис. 52 Рис. 53

Рис. 54

Рис. 55 Рис. 56

Рис. 57 Рис. 58

Рис. 59 Рис- 60

Рис. 61

Рис. 62

Рис. 63 Рис. 64

Рис. 65 Рис. 66

5. Разбор домашнего задания.

Рис. 67

Рис. 68

2)

План построения таков:

(рис. 68).

3)

План построения таков:

(рис. 69).

4)

Построим график этой функции (рис. 70):

Рис. 69

Рис. 70

Таким образом, из графика ясен ответ: уравнение имеет корни, большие пяти, при а£^0; ) . 5) Преобразуем уравнение

и построим график

Заметим, что

(использована схема Горнера). Теперь ясен план построения графика:

(рис. 71).

Далее рассматривая прямые вида а = const и их пересечения с построенным графиком, ответим на поставленные вопросы:

а) Так как нет точек графика с ординатами, меньшими — ответ: решений нет при а< —\-.

Рис. 71

б) Прямые, параллельные оси абсцисс, пересекают график в точках с абсциссами разных знаков при açf-|-; 2^, поэтому

ответ:

в)

поэтому из графика ясен ответ:

г) Ответ:

Занятие 40

1. Контрольная работа. Вариант 1.

Пользуясь теоремой о Ги| п, строим искомый график (рис. 72).

Рис. 72

2. План построения:

(рис. 73).

3. План построения:

(рис. 74).

4. План построения:

(рис. 75).

Рис. 73

Вариант 2. 1.

(рис. 76).

2. План построения:

(рис. 77).

Рис. 74

Рис. 75

Рис. 76

Рис. 77

Рис. 78

3. План построения:

(рис. 78).

4. План построения:

(рис. 79).

Рис. 79

Тема 2. Введение в общую алгебру

Занятие 1.

7. 1) Действие коммутативно тогда и только тогда, когда для любых а и b справедливо а * b = b * а, т. е. в таблице Кэли на пересечении строки, соответствующей элементу а, и столбца, соответствующего элементу &, должен стоять тот же элемент, что и на пересечении строки, соответствующей Ь, и столбца, соответствующего а. Следовательно, таблицы Кэли коммутативных действий — это таблицы, симметричные относительно диагонали.

Рассмотрим теперь строку таблицы Кэли, соответствующую произвольному элементу а. Если действие обратимо, то в ней должны быть все элементы множества (пусть, например, в ней нет элемента 6, но это и означает, что нет такого с, что а * с = Ь), аналогично дело обстоит со столбцами. Таким образом, для того чтобы действие было обратимо, необходимо и достаточно, чтобы в каждой строке и в каждом столбце присутствовали все элементы множества.

Коммутативно

Ассоциативно

Обратимо

а)

Да

Нет

Нет

б)

Нет

Нет

Да

в)

Да

Да

Да

г)

Да

Да

Нет

Д)

Нет

Нет

Нет

Приведем некоторые комментарии.

а) Действие неассоциативно, например:

Оно и необратимо, иначе для любых а и b было бы разрешимо уравнение ~+~—^- Но, например, при а=1, 6=1 это не так.

б) Действие неассоциативно, например (23)2=^2(з2).

в) Действие необратимо. Например, если / (х) = 0 (при V*€Ä), g(x)=l (при V*6#h не существует функции Л, такой, что

г) Действие необратимо, например, пусть U = R, V = {1). Ясно, что не существует W, такого, что U(jW=V.

д) Действие необратимо, например, пусть (/={1}, V=R. Ясно, что не существует W, такого, что U\W=V.

Занятие 2.

2. Самостоятельная работа.

Действие

Коммутативно

Ассоциативно

Обратимо

Вариант 1 а* 6 = НОД (а; Ь)

Да

Да

Нет

Вариант 2 а* & = НОК(а; о)

Да

Да

Нет

Обратимости нет, так как если, например, а = 2, Ь — 1, то не существует таких cud, что НОД (2; с) = 7, НОК (2; d) = 7. Ассоциативность же есть, ибо

НОД (а; НОД(Ь; с)) = НОД(а; Ь\ с) = НОД (НОД (а; Ь); с), НОК (а; НОК(Ь\ с)) = НОК(а; Ь; с) = НОК (НОК (а; Ь); с).

6. 1)

Действие

Сократимо

Есть нейтральный элемент

У каждого есть обратный

a)

Нет

Нет

Нет

б)

Да

Нет

Нет

в)

Нет

Да

Нет

г)

Нет

Да

Нет

д)

Нет

Нет

Нет

Приведем некоторые комментарии:

а)

при Ьфс, если Ьс = а29 поэтому нет сократимости; нейтрального элемента нет хотя бы потому, что нет такого е, что е * 1 = 1.

б) Нейтрального нет, так как если е нейтральный, то ае= 1, т. е. е=\1 но 1 * 2=1 Ф2.

в) Взяв, например, f (лг) = 0 (при V*6/?)> убеждаемся, что сократимости нет.

г) Возьмем, например, U=R, V = [l9 2), №={1}. Ясно, что U[] V= UU W, но УФ W. Нейтральным элементом является пустое множество.

д) Возьмем U={1, 2, 3}, К={1, 2, 5}, №={1, 2}. Ясно, что U\V=U\Wt но Уф\Р, т. е. сократимости и здесь нет.

2)

Коммутативно

Ассоциативно

Обратимо

Сократимо

Есть нейтральный элемент

У каждого есть обратный

а)

Нет

Нет

Нет

Нет

Нет

Нет

б)

Да

Да

Да

Да

Да

Да

в)

Да

Да

Да

Да

Да

Да

г)

Да

Да

Нет

Нет

Да

Нет

Приведем некоторые комментарии: в задании б) выполнение всех свойств ясно из их наличия у сложения чисел; в задании

в) из их наличия у умножения положительных чисел; в задании

г) нейтральный элемент — ученик, записанный ниже всех.

3) Разумеется, один. Пусть их два: и\ и t/2, рассмотрим выражение и\ * 112. Ясно, что и\ * U2 = u\ и и\ * U2 — U2. Занятие 3.

6. 1) Пусть а * Ь = а * с, домножим слева на а““1, получим Ь — с. Пусть b * а = с * а, домножим справа на а~ \ получим Ь = с.

2) Примерами четырехэлементных групп (групп 4-го порядка) служат группы вычетов по модулю 4, поворотов относительно некоторой точки на углы 90°, 180°, 270°, 360° — у этих групп одинаковые таблицы Кэли. Рассмотрим следующее множество преобразований с действием композиция — тождественное преобразование (£), центральная симметрия относительно начала координат (Zo), симметрия относительно оси Ox (Sx), симметрия относительно оси Oy (Sy). Это множество с введенным действием является группой со следующей таблицей Кэли:

Ясно, что эта таблица отлична от таблиц для ранее рассмотренных групп, ибо здесь квадрат любого элемента равен нейтральному, чего нет там.

3) Нет, не является, ибо нейтральный элемент должен быть не меньше любого элемента, а это, очевидно, невозможно.

4) Пусть треугольник ABC правильный, Р — движение, переводящее его в себя, тогда оно переводит вершины треугольника в его вершины. Образами тройки точек Л, В и С могут при этом быть соответственно тройки (Л, ß, С), (Л, С, ß), (ß, Л, С), (ß, С, Л), (С, Л, ß), (С, ß, Л). Но движение однозначно определяется образами тройки не лежащих на одной прямой точек. Таким образом, интересующие нас движения — это тождественное преобразование (£), симметрия относительно высоты ЛЛ1 (SA\ симметрия относительно высоты СС\ (Sc), поворот на 120° относительно центра треугольника О (Äo20), поворот на 240° относительно О (/?о40°), симметрия относительно высоты ßß, (Sß).

Приведем таблицу Кэли этой группы:

5) Докажем сначала, что для любого элемента а из G найдется такой элемент х из G, что выполняются равенства а * х * а = а; X * а * х=х.

Для этого достаточно заметить, что для любого а из G найдется y6G, такой, что а*у*а = а, и рассмотреть элемент х = = у * а * у. Ясно, что а * х * а = а * у * (а * у * а) = а, a х * а * х = =у * а * у *а* у * а * у = у * (а * у * а) * у=у * а * у = х.

Будем теперь для любого а обозначать такой элемент (он называется сопряженным) а'. Заметим теперь, что а * а' = (а * а' * а)* * а' = (а * а') * (а * а'); а' * а = (а' * а * а') * а = (а' * а) * (а' * а), т. е. для любого а элементы а * а' и а' * а удовлетворяют соотношению u*u = u, отсюда ясно, что а* а'= а'* а = Ь * Ь'= = b' * b для любого Ь.

Теперь докажем, что элемент а * а' (при V&6G) является нейтральным. Возьмем произвольный элемент b£G. Имеем b * (а * а') = Ь * (6 * &')=& * fe' * 6 = 6, (а * а7) *b = b*b' * fe = &.

Теперь очевидно, что 6' — обратный к Ь. Таким образом, G — группа.

Занятие 4.

3. Самостоятельная работа. Пусть ABCD — квадрат, Р — движение, оставляющее его неподвижным, тогда оно переводит его вершины в вершины Л, В, С, D. Так как образы вершин должны находиться друг от друга на том же расстоянии, что и исходные вершины, для образов точек Л, ß, С, D при движении Р возможны следующие варианты: (Л, ß, С, D); (Л, D, С, ß); (ß, Л, D, С); (ß, С, D, Л); (С, ß, Л, D); (С, D, Л, ß); (D, Л, ß, С); (D, С, ß, Л).

Ясно, что движение Я однозначно определяется образами вершин квадрата, остается перечислить движения, переводящие набор точек (Л, ß, С, D) в перечисленные наборы. Это — тождественное преобразование, симметрии относительно прямых MTV и KL, где M, jV, /С, L соответственно середины сторон AB, CD, ВС, AD, симметрии относительно прямых АС и BD, повороты на 90°, 180° и 270° относительно центра О квадрата.

5. 1 ) Для любых а и b из G справедливо (а * Ь) * (а * b) = е по условию, но (а * 6) * (6 * а) = а * (ft * b) * а = а * а = в, поэтому из сократимости действия ясно, что а * b = b * а.

2) Да, является:

Таким образом, действие ассоциативно. Пусть е — нейтральный элемент в G, Е — в G2. Тогда пара (е\ Е) является нейтральным элементом в нашем множестве. Пара (а-1; b~l), очевидно, является обратным к паре (а; Ь). Построенная группа называется прямой суммой групп Gi и G2.

3) Пусть а, ЬСА, тогда для V*£G справедливо (а * Ь) * х =

но, что нейтральный элемент е содержится в Ау ибо для V*€G е*х = х*еу наконец, если а*х = х*а для V*6G, то, домножая справа и слева на а~\ получим, что х * а~1 =а~[ * ху таким образом, а~{£Ау если а£Л.

4) Пусть е — нейтральный элемент, а — произвольный элемент группы, такой, что а*афе (такой есть, иначе группа абелева, см. 5 (1)). Обозначим Ь = а*а. Действие в группе сократимо, поэтому в каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли должны стоять разные элементы. Отсюда ясно, что а* Ьфе. (В самом деле, предположим противное, обозначив оставшиеся два элемента группы end. Ясно, что произведение а * с не может быть равно ни а = а*е, ни Ь = а*ау ни е = а*Ьу ни с = е*су т. е. a*c = dy a тогда a*d = cy но с другой стороны, имеем тогда Ь * с={а * а) * с— а * (а * с) = а * d = c = e * с — получили противоречие.)

Обозначим теперь с = а* Ьу тогда, рассуждая как выше, убеждаемся, что пятый элемент d равен а * с.

Таким образом, Ь = а * а, с = а * а * а, d = a * а * а * а, отсюда очевидно, что G — абелева группа. (Это решение покажется странным тому, кто знаком с теоремой Лагранжа и подобными фактами, но нам кажется, что есть польза и в таком «переборном» рассуждении.)

Тема 3. Коллинеарность и конкурентность

Занятие 1.

5. 1) Пусть ßßin^C = ß2, ААi{]BC=A2l_ÇC\(]AB = C2 (рис. 80У Заметим, что из подобия треугольников (ВСВ2 и АВВ\У АВ2В и ßißC и т. п.) ясно, что

А потому, так как прямые АА\У ВВ\У СС\ конкурентны, имеем:

Рис. 80 Рис. 81 Рис. 82

2) Обозначим длины отрезков ВА\ = ВС\=х, А\С=СВ\=уу AB\=AC\=z (рис. 81), тогда

А это и означает требуемое (см. также материал занятия 2). 3) Пусть прямые симметричны данным АА2, ВВ2 и СС2 (рис. 82). Достаточно проверить выполнение равенства

Но, используя доказанное выше (при доказательстве теоремы 1), конкурентность данных прямых и данные равенства углов, получаем:

Занятие 2.

5. 1) Ясно, что

(рис. 83). Заметим, что

так как это углы либо равные, либо составляющие в сумме 180°, поэтому

Учитывая, что на продолжении сторон треугольника лежит ровно одна из точек А\, ßi, Ci, получаем требуемое векторное равенство. (Случай попадания оснований перпендикуляров в вершины очевиден.)

Рис. 83 Рис. 84

2) Пусть MN\\BC (рис. 84), тогда из подобия треугольников АМС\ и ВСС\ имеем ■^■т=4% • Из подобия треугольников ANB\ и СВВ\ имеем -тт7=^гтг • Наконец, из подобия треугольников АМО и А{ОС, ЛЛЮ и ВАхО получаем М^=4т-Перемножив полученные равенства, запишем:

Занятие 3.

5. 1) Пусть длины сторон ВС, АС, AB соответственно а, Ь, с, тогда число а+^ + с —с= а+^ — с По неравенству треугольника положительно и меньше а. Пусть теперь точка А\ лежит на стороне ВС и такова, что ВА\ ==а+^~с л Ясно, что прямая АА\ делит периметр ААВС пополам, аналогично с точками В\ и Ci (можно заметить, что Au В\, С\ —точки касания вневписанных окружностей ААВС).

Убедившись в существовании требуемых точек, решим основную задачу, для этого вычисляем длины всех нужных отрезков:

Теперь ясно, что

что и требовалось доказать.

§ 4. ОПРОСЫ КОЛЛОКВИУМА, ЗАЧЕТЫ

Задачи к коллоквиуму по повторению геометрии (VIII класс)

(рис. 86).

Рис. 85

Рис. 86

Рис. 87

(рис. 87).

(рис. 88).

5. Обозначим через С угол, смежный с /-BCD, тогда, так

(рис. 89).

(рис. 90).

Рис. 88 Рис. 89 Рис. 90

Рис. 91 Рис. 92

7. Найдем /L0 (О— точка пересечения прямых AD и СЕ):

(рис 91).

8. Пусть СМ — медиана, СН — высота, CN — биссектриса, пусть АСВА<АСАВ, ^НСВ= ^САВУ Z.MCB= /LCBM =ф- АМСВ<45°<АНСВУ причем Z.HCN = 45°- ААВС = = /LMCN. Таким образом, CN — биссектриса /-НСМ (рис. 92).

9. Проведем окружность с диаметром АР, точки Ci и В\9 очевидно, лежат на ней, углы С\АР и С\В\Р равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу (рис. 93).

10. Ясно, что

(рис. 94).

Задачи к зачету по математическому анализу (X класс)

Листок 1.

1. /, очевидно, непрерывная, возьмем произвольное число хо и рассмотрим последовательность (хп), где xn=f (хп-\) для любого n£N. Ясно, что если А — предел последовательности (хп), то

Рис. 93 Рис. 94

f(A)=A. Докажем, что последовательность (хп) сходящаяся. Для любых натуральных пнр \хп+Р — xn\^kn~l\хр+\ — jci |, поэтому

Таким образом, при достаточно больших п разность \хп+р — хп\ становится сколь угодно малой, поэтому последовательность (хп) ограниченная. Следовательно, из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, а так как \хп — А | ^ \хп+р—А\ + |хп+р — —Хп\, следовательно, и (хп) — сходящаяся. (По сути дела, показывается, что (хп) фундаментальна.)

2. Нет, не имеет, так как функция у = \пх выпуклая вверх, т. е. ее график лежит ниже касательной.

Листок 2

1. Для любого x£R f(x)+f{2x)=3x, т. е. f {x)-x + f {2х)-_2х = 0. Введем в рассмотрение функцию g (x) = f (х) — х, она, очевидно, непрерывна. Ясно, что для любого x£R справедливо gM+g(2*)=0. Предположим, что найдется число хо, такое, что g(xo)=7^0, и рассмотрим последовательность

получаем противоречие. Таким образом, для любого х справедливо g(x) = Oy т. е. f(x) = x. 2о Да, например:

Листок 3.

1. Очевидно, 4 — корень, так как 2° > 4 • 0, а 21 < 4 • 1, по теореме Больцано — Коши, очевидно, существует второй корень.

2. Продифференцируем по h (при любом фиксированном х)\

Продифференцируем по х (при любом фиксированном h):

(**)

Вычитая из равенства (**) равенство (*) и подставляя вместо х значение * + получаем при любых х и h

т. е. при любых X и h справедливо

таким образом, f“ (х) — постоянная. (Любая ]“ (х) = const, очевидно, подходит.)

Листок 4.

1. Для любого 8>0 существует такое 6>0, что для всех х, таких, что \х — xol<ô, выполнено \f (x) — f (хо) \ <Сг. Но тогда и наибольшее значение функции / на отрезках [a; xo + ô] и [а; хо — 6] отличается от наибольшего значения функции / на отрезке [а; хо) не больше чем на е, т. е. \М (х) — M (хо)\ <е для всех л:, таких, что U — хоI <б, то это и значит, что M непрерывна.

2. Подставляя x-\-h вместо х и 2h вместо /г, получим:

а) f {x + 2h)-f(x + h) = hf' (x + h);

б) f(x + 2h)-f(x) = 2hf'(x).

Складывая данное равенство и равенство а), получим:

f(x + 2h)-f(x) = h[f'(x + h) + r (*)]•

Сравнивая с б), имеем:

А 17' (х+Л)+/' (*)]=2ftf (*),

т. е. f (* + /*) = /' (х), следовательно, f (х) — произвольная постоянная (любая /'(х) = const, очевидно, подходит).

Листок 5.

1. Решение аналогично первому заданию из листка 4.

2. Для любых х\ и Х2 справедливо

Устремим х\ к *2. Ясно, что

существует и равен нулю, т. е. у (х) = 0 для всех х, таким образом, /(x) = const. (Очевидно, все функции такого вида подходят.)

Листок 6.

1. Ясно, что хз = 4а —36, ха = 16а— 156, хр = Ъ2а — Ъ\Ь. По индукции проверяется, что для любого n£N верно равенство xn = f (п) (а — &) + &, где / (п) — некое зависящее от п число. К тому же f (п) -> + оо при п -> оо, поэтому л:п сходится только при а = 6.

2. По теореме Лагранжа для любых х и а верно, что f{x) — f(a) = c(x — a), где c = f' (t) при всех t, поэтому f(x) = cx — са + /(а), т. е. / — линейная функция.

Листок 7.

1. 1-е задание. Например, х2п = — 1, х<ш-\ = —3.

2-е задание. Например, хп= — H—jj-. Предел последовательности, удовлетворяющей данному условию, не может быть равен единице, В самом деле, возьмем е<-4~, тогда все хя,

начиная с некоего N, меньше е, следовательно, и lim хп< — (если он существует).

2. Так как / непрерывна, она достигает наибольшего своего значения на отрезке [0; 1]. Пусть она его достигает в точке с. Докажем, что сфО и сф\. Дано, что /'(0)>0, поэтому для ху достаточно близких к нулю, т. е. для них f(x)>f(0). Дано, что /'(1)<0, поэтому для Ху достаточно близких к единице. Таким образом, с£(0; 1), поэтому /'(с) = 0 по теореме Ферма.

Листок 8.

1. Пусть а = lim xrh и пусть афъ\\${хп}у а Ф inf {хп\ Возьмем

для всех хп, начиная с некоего N, верно, что

Следовательно, sup {хп} и inf {хп} являются соответственно супремумом и инфинумом конечного множества, поэтому они достигаются.

Если а = inf {хп}у аналогичное рассуждение проводится для супремума. Если a = sup{xn} — для инфинума. Если a = sup {хп} = = inf то (хп) постоянна и все очевидно.

2. Пусть у = ах-\-Ь — уравнение наклонной правой асимптоты, введем функцию g (x) = f (х) — ах — 6, очевидно, g“ (х)>0. Предположим, что существует такое Хо> что g' (хо) = с>0, но так как функция g выпукла вниз, то ее график лежит выше любой касательной к нему, т. е. g {x)>g (xo) + £ (х — хо). Получили противоречие с тем, что g (х)0 при #->+оо. Следовательно, g'(jc)^0 при всех Ху поэтому g убывает. Если бы существовало число х\, такое, что g (xi) = fe<<0, то тогда для всех х>х\ было бы справедливо g(x)<^k — опять противоречие с условием g(x)-+0 при х+оо. Поэтому g(x)^0 при всех х9 точнее, g (х)>0, иначе g“ (х) = 0 при всех достаточно больших х. Вывод: f(x)>ax-\-b.

С левой асимптотой аналогично или применяя симметрию.

Листок 9.

1. Нет, необязательно. Например:

2. Множества Mo, Mi, M 2 изображены соответственно на рисунке 95, Mk= 0 при k>2. Уравнение касательной, проходящей через точку с координатами (хо\ Хо), такое: y = xl +

+2лго (x—Xq)=2xoX—JCo, a касательной, проходящей через точку с координатами (х\\ xi), соответственно у = 2х\х — х\. Поэтому если две эти касательные пересекаются, то абсцисса точки пересечения

Следовательно, больше двух касательных в одной точке пересекаться не может

В остальном легко убедиться, непосредственно написав уравнения.

Листок 10.

1. Пусть множества бесконечны, но тогда множества значений последовательностей (хп) и (уп), где n>N, для любых N также бесконечны. Возьмем произвольное е>0, существует бесконечно много чисел хп и уп, таких, что соответственно \хп — Х\ < <е, —У|<6, где Х = lim хп\ Y= lim у п. Следовательно, среди этих хп и уп есть совпадающие, но раз в любой 8-окрестности X есть элементы уп, то Х= Y — получим противоречие.

2. Например, а = О, b = nn, f (х) = =x+smx. Тогда / (а) = 0, f (b)=nn, (х)= 1+cos х. Очевидно, что уравнение пп =(1 +cos х) лл (т. е. cosx—0) имеет ровно п корней на [0; пп].

Рис. 95

Задачи к зачету по алгебре (IX класс)

Листок 1.

1 о Х\Х2 (xi + х\х2+Х\х\ + xi) = q (р3 — 2р?) 6 Q. 2. 1 —x(/>0, л: (1 +у)< 1 + У, У (1 +*)< 1 +*> преобразуя второе и третье неравенства, имеем х—-у< 1 — ху, у—х< 11 — ху. Отсюда

окончательно получаем

Листок 2.

1. Так как а + с = 2&, то а = 2& — с Подставим значение а и получим (2b-c)2 + 8bc = (2b + c)2.

Листок 3.

1. Ясно, что (а + 6 + с) (а — b + c) = a2 + 2ac-{-c2 — Ь2, но по условию ас = Ь2 и 2ас = 262, поэтому + 6 + (а — è + c) = a2 + ft2 + + с2.

2. Так как |х|<1, Ы<1, имеем 1 = U5 + y5K Ul5+ ly 15< ^l*l2+lf/l2=l, следовательно, везде достигается равенство, т. е. IX12 = IX15, I у 12 = I у 15, отсюда X = 1 или х = 0, у = 1 ил и у = 0. Ответ: X1 = 1, yi=0; *2 = 0, #2=1.

Листок 4.

1. Ясно, что b(b2 — а2) = а2(с — b)ob3 = a2c, но b = aqn, c = aq3n, отсюда очевидно требуемое.

2. Перемножим уравнения системы и получим:

xyz=xyz (*2+l)(y2+l)(z2+l).

Если, например х = 0, то из второго уравнения системы ясно, что у = 0, а из первого — что 2 = 0. Если же xyz=£0, то (х2-\- 1)Х Х(у + l)(z2+1) = 1, отсюда x2 = y2 = z2 = Q — противоречие. Ответ: x = y = z = 0.

Листок 5.

1. Предположим, что могут, тогда имеем число, у которого а сотен, a-\-d десятков, a-\-2d единиц, но сумма его цифр За + + 3d|3, и, следовательно, само число делится на 3, т. е. оно не простое,— противоречие с условием. Ответ: нет, не могут.

2. Справедливы равенства х (х+ 1) (х + 2) (# + 3) = (х2 + Зх)Х х(*2 + Зл- + 2) = у(у + 2) = у2 +2у+1 _ 1 =(у+1)2_1, где у = х2~\-3х. Наименьшее значение достигается при {/= — 1, т. е. таким X, что jt2+3*= — 1. Ответ: наименьшее значение (-— 1) достигается при лс=-2~~-

Листок 6.

1. Предположим, что могут, тогда имеем число, у которого а тысяч, aq сотен, aq2 десятков, aq3 единиц, но l^a</3^9, т. е. -7T^q^2- Возможны следующие варианты: q=\, q = 2, Я=\(//==s~» r^e m> n£N, ясно, что a\n3^ . Разбирая их, видим, что если <7=1, то имеем аааа-а или 1111:11, если # = 2, то а=1 и имеем 124812, если <7=-^-> то а = 8 и имеем 8412!3. Ответ: нет, не могут.

2. Возможны следующие варианты:

а) Данные квадратные трехчлены имеют общий корень Хо, (6*о=— 7а), тогда подставив его, получим:

т. е. а=0 или а=-^-> но проверка показывает, что подходит лишь а = 0.

б) Один из трехчленов имеет ровно один корень, т. е. или дискриминант первого трехчлена равен нулю, тогда а=1, или дискриминант второго равен нулю, тогда а=——. Проверив эти значения, находим ответ: а = 0, а=1.

Листок 7.

1. Пусть x — натуральное число, х2 содержится в арифметической прогрессии с разностью dy тогда через 2mx + m2d членов (m£N) будет число у = х2-\-2mxd + m2d2 ={х + mdf т. е. полный квадрат.

2. a4 + b4 + 2-4ab = (a2-b2f + 2(ab-l)2^0. Листок 8.

1. Возьмем х=1, левая часть уравнения принимает отрицательное значение, возьмем х = 5, левая часть уравнения принимает положительное значение, по свойствам квадратного трехчлена на [1; 5] уравнение имеет корень.

Листок 9.

1. Пусть — — корень уравнения, где mÇZ, n£N. Тогда m2 + pmn-\-qn2 = 0y если m не делится на 2, п не делится на 2,— противоречие, так как сумма трех нечетных чисел не может быть равна нулю. Если т:2, то qn2\2 и я2:2, следовательно, п\2. Если п:.2у то т2:2, и, следовательно, т:2, т. е. дробь — сократима,— противоречие.

Листок 10.

1. (6х + 7)2 (3* + 4) (je + 1 ) = (6* + 7)2 (6х + 8) (6* + 6) --1.= 6. Введем новую переменную у = 6х + 7, имеем уравнение у4 —у2 —72 = 0.

Отсюда у2 = 9, у = ±3. Окончательно ответ:

Работа по алгебре (X класс)

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ:

4. Ясно, что аФ0У хфЗу преобразуем уравнение при этом условии к виду

х2-(3а + 4)х + 2а2 + 7а + 3 = 0.

Отсюда х\ =2а+ 1, лг2 = а + 3. Выясним, при каких а корни х\ или Х2 принимают значение 3:

2а+\=Зо а=\\ а + 3 = 3оа=0.

Ответ: если а=0, то уравнение неопределено, если а=1, то х = 4, если афО, аф\, то xi = 2a+l, хг = а + 3.

5. Из условия ясно, что для любого X из D (f) — области определения функции верно, что — jcÇD (/) и / ( — x) — f (х). Для любого X, такого, что 1—#£D(/), верно, что 1и /(1— х) = = f (1 +•*). Поэтому для >fx^D (f) верно, что — х= 1 — (х-\-1)60 (/) и что л;+ 2 6 D(/), а f(x) = f( — х)=/(1 — 1)) = / (аг + 2), но это и значит, что / периодична с периодом 2.

Работа по математическому анализу (XI класс)

1. Можем записать:

поэтому

2. Параболы пересекаются в точке с абсциссой лго = 1. Тангенсы углов наклона касательных в этой точке к графикам функций у=х2 — 5х-{-5 и у — х2 соответственно равны —3 и 2. Поэтому тангенс угла между кривыми равен 1. Ответ: 45°.

3. Вычислим производные:

Исследуем теперь поведение функции

Так как f непрерывна, вертикальных асимптот у ее графика нет, так как lim —=0, есть правая горизонтальная асимптота

и так как

левых гогоризонтальных и наклонных асимптот нет. Ответ: функция возрастает на промежутке [0; 2], убывает на промежутках (— оо; 0] и [2; + 00)• Функция выпукла вниз на промежутках (— оо ; 2—д/2] и [2+V2; + оо), выпукла вверх на [2 — ^2; 2-\-^2\ Есть правая горизонтальная асимптота у = 0.

4. Построим график функции (рис. 96).

5. По теореме Лагранжа существует число c£(ß, а), такое, что

так как по свойствам функции y = cos х

на интервале

Рис. 96

§ 5. ЗАДАНИЯ, РАССЧИТАННЫЕ НА ДЛИТЕЛЬНЫЙ СРОК

Углубленное повторение курса геометрии VII класса (VIII класс)

1. Ясно, что АКЕС = -^(^МВ + ^ЛС), но иМВ=иЛМ=>=>акес+ jLCDK=\{ ^ЛМ + ^ас+ wMC) = Jp360°= 180° (рис. 97).

2. Анализ. Продолжим сторону Л С за вершину А на отрезок МА=с. Получим равнобедренный ААМВ с внешним углом Л, заметим, что /LBMA = Z.MBA =-^-. Отсюда построение.

Строим А ВМС и прямую ВАУ такую, что АМВА=^- (рис. 98).

3. Высоты ВМ и CN равны (рис. 99), поэтому SAABD = SAACD, следовательно, S AABn — S AA0D=S aACD-S аА00у т. е. 5дЛВ0=

4. Пусть Я — ортоцентр, проведем диаметры H К и #L, так как Z-KBH= zl#ßL = 90°, точки /С, ß, L лежат на одной прямой, причем так как AK=Z.BAHy a zLL= Z.BCH и ^ВЛ# = 90° — — ААВС= /-ВСН, то Z/(=Z_L, т. е. HK = HL (рис. 100).

5. Пусть ЛВ — данный отрезок, последовательно восставим перпендикуляры Л С, BDy СЕ. Проведем АЕ и ВС. Из точки их пересечения опустим перпендикуляр на AB (рис. 101).

Рис. 97 Рис. 98

Рис. 99 Рис. 100

Рис. 101 Рис. 102

Рис. 103 Рис. 104

6. Последовательно построим равносторонние треугольники ADB, BDE, ВЕС. Точка С искомая (рис. 102).

7. Пусть О — центр данной окружности, M — данная точка (рис. 103). Тогда искомое множество — дуга KN окружности с диаметром МО, так как середины таких, как в условии хорд — это такие точки С, что Z.OCM = 90°.

8. fXOC=AAOX, AYOB=AYOC (С — точка касания третьей касательной). Таким образом, /LXOY'=+ Z.COX=±-AAOB (рис. 104).

9. Так как для всех точек М, лежащих на окружности или внутри полукруга с диаметром AB, верно, что /.АМВ^90°, то АМ\>АМ для всех М\^МВ (рис. 105). Искомое множество — полукруг с полуокружностью (остальные точки, очевидно, не подходят).

10. Отложим 19 раз угол в 19°, получим угол в 361°, т. е. построим требуемый угол в 1°.

Векторы на плоскости (IX класс)

1. ХВ=ХЛ+АВ, ХС=Ш+ +АС, поэтому ЗХА—2ХВ — ХС = = 3X4-2XÄ- 2 AB- XÄ- АС = 2АВ—А& Следовательно, ответ: если АС= —2АВ, то искомое множество — вся плоскость, если АСф —2АВ, то — 0.

Рис. 105

Рис. 106 Рис. 107

2. Предположим, что 2 ОЛ* = ОМ, и точка M не совпадает с О, рассмотрим поворот на - относительно О. Сумма 2 ОЛ/, не должна измениться, поэтому точка M должна перейти в себя, т. е. M совпадает с О,— противоречие. Ответ:

3. Пусть M, ZV, /С — соответственно середины отрезков РР\, TT и FFx (рис. 106).

т. е. M, N, К лежат на одной прямой.

4. Ответ: окружность радиуса AB с центром в точке О, симметричной В относительно А (рис. 107).

Для любой точки M этой окружности построим параллелограмм АМСВ, но тогда и OMCA — параллелограмм, т. е. АС = ОМ=АВ. Аналогично в обратную сторону.

5. Возьмем произвольную точку О, тогда

где А\в,) и AïBi)— концы диагонали, середина которой ßf. В сумме 2 (pA\B']-\-OA2Bi) каждый вектор ОЛ/, где /= 1, 2, 5, присутствует два раза, поэтому

6. Пусть а и _с неколлинеарны. Тогда а-Ь — Ь'С = 0, т. е. a -Lb, Ы.с, но тогда а и с коллинеарны — противоречие.

Пусть а и с коллинеарны, т. е. существует такое k, что a = kc, тогда условие (a»b) с = а(Ь*с) запишется так: (k (c*b)) c = kc (b*c), поэтому условие выполнено. Ответ: а и с коллинеарны, b — произвольный.

7. Так как е?=1, имеем е\-\-е\ *^2+_в2-ез-\-е\ *ез = 0У т. е. (е\ + ез)(е[ + е2) = 0. Аналогично (е\ +е2) (е2 + ^з) = 0 и (е2 + ез)Х X(^3 + ^i) = 0. Но на плоскости не существует трех ненулевых векторов, таких, что все их попарные скалярные произведения нулевые. Следовательно, один из векторов + {е\ +£з), (ег+ез) равен нулю.

= ВС. Ответ: ABCD — параллелограмм.

9. ЖА=ЖВ + Ш= Ш- m (BÄ+ ДС) = ( 1 — m ) Ш— m ВС, MK = MB + BK=-mBA+(k-m) ВС, МА*МК = 2т2-m-mk.

Таким образом, угол АМК прямой (т. е. MA -МК = 0) (рис. 108) тогда и только тогда, когда k = 2m— 1.

10. Отложим АО=Ъ, ÄB = a, ÄJj = xb. Тогда ~АС = а+Ъ, AM = a-\-xb (ABCD и ABMN — параллелограммы, рис. 109). Из условия ясно, что

Следовательно,

ААВМ ~ AACD (так как Z.ß=Z.D).

Поэтому

Рис. 108 Рис. 109

Повторение планиметрии (XI класс)

1. Пусть ABCDEFGHKL — такой десятиугольник, что АВ\\ G/7, AL\\EFy LK\\DE, KH\\CD (рис. 110). Докажем, что BC\\HG.

Так как Z.LAB= Z.GFE, ALKH= /-CDE (как углы, образованные параллельными прямыми), то wBFL= w GAE =>- ^>BAL=--^GFE, ^LKH=^CDE. Но тогда wß/lL + + wLKH = w GFH + ^CD£ и wBII=^>CG=> /LBCH= /LCHG. Отсюда BC\\HG.

2. ABCDEF — данный шестиугольник. OÇAD, 0£ВЕ. Докажем, что О Ç CF.

Опустим из О перпендикуляры 0/(, OL, ОМ, ОУУ, OP, OS на стороны шестиугольника. Ясно, что ААОК= /-AOS; /LKOB = = /.BOL; ALOC=ACOM; AMOD= ANOD; /LEON— /LPOE\ Z_POF= /LFOS. Обозначим равные углы цифрами, как на рисунке 111, /LAOB = /LEOD (как вертикальные), поэтому /~\-\-+ Z.2=Z4+^5, отсюда АРОМ= /LSOL = 2 {/. 1 + Z2), но ALOC= АМОС= Z_3, AFOS=AFOP=/L6=> AFOS + + Z.SOL + /_LOC = Z.FOP+ Z.POM+ /_МОС = 180°. Следовательно, CT7 — прямая, проходящая через О.

3. Пусть /1 — число сторон многоугольника. Так как углы образуют арифметическую прогрессию, ее /i-й член ап = х-\-(п —-!)•—X. Так как даже наибольший угол должен быть меньше

Сумма углов многоугольника равна

Таким образом,

Рис. 110 Рис. 111

Рис. 112 Рис. 113

Рис. 114

Имеем в итоге, что

Поэтому

наибольшее число сторон равно 6. Такой шестиугольник легко построить.

4. По теореме синусов для AABD имеем

для

AACD

Таким образом,

но отношение

очевидно, не зависит от выбора точки D (рис. 112).

5. Так как /-CDE= Z.AED, то ACDE= Z.CED. Поэтому ADCE равнобедренный (рис. 113). Пусть АЕ = х, тогда ВЕ = = а — х и из аВСЕ а2 — Ь2 = (а — х)2. Отсюда ответ: АЕ =

6. Проведем СЕ параллельно AB (рис. 114). Тогда ACED прямоугольный, DE = 5, а высота CM=2ii= 2,4. Ответ: 20,4 см2.

7. Так как BD = BE, то Z. В DE = Z. BED =^ AADB=ABEC (рис. 115). Отсюда AABD= аВЕС =>АВ = ВС, т. е. аАВС равносторонний. Поэтому

Ответ:

8. Пусть KL = ay KM = ML =

(рис. 116).

Рис. 115 Рис. 116

Тогда так как MN»ME=KM-ML, имеем

отсюда

(ясно, что 6>а). От-

вет:

9. Пусть CD— высота (рис. 117), BD = x, AD = c — x. Тогда

и так как CD2 = AD° BD, имеем

отсюда

получаем

ответ:

10. Так как ZCDP==90° (как опирающийся на диаметр), то

(рис. 118). Отсюда

Пусть Е—

середина CP, так как Е равноудалена от AB и ВС, то BE — биссектриса /LCBA, поэтому

Рис. 117 Рис. 118

Ответ:

Теория пределов и непрерывность (X класс)

1. Разобьем последовательность на две подпоследовательности:

Доказав, что

видим, что последовательность (хп) возрастающая и ограниченная сверху, а (уп) убывающая и ограниченная снизу. Таким образом, обе они имеют по теореме Вейерштрасса предел. Переходя к пределу и решая уравнение

находим, что

2. Заметим, что

тогда

Отсюда

и по теореме о сжатой переменной

существует и равен единице.

3. Имеем xn = sin хп-\У где Хо=ху ясно, что для любого п^\ #л€[— 1; !]• Пусть х\ ^0, тогда для любого я>1 хп^хп+\ ^0, если же Х\ ^0, xn^xn+i ^0 для любого п^ 1 (так как sin \х\ ^ ^|jc|). В любом случае по теореме Вейерштрасса существует lim Хп = а. Причем ясно, что a = sin a, a отсюда а = 0.

4. Пусть у„ = хл+1— хп. Будем использовать очевидное из свойств функции неравенство

Таким образом,

а (уп) — ограниченная, получаем отсюда, что

5. Очевидно, что хп = хп-\-\-Ъхп-\-\-\^Хп-\. Таким образом, последовательность (хп) возрастающая. Если существует lim хп= а, то а = а2 + 3а+ 1, т. е. а= — 1. Поэтому ясно, что если предел существует, то — 1 при любом я^1, но неравенство х2-\-+ 3^+1^ — 1 выполняется только при х из отрезка [ — 2; — 1]. Поэтому, если —2; —1], все xnÇ[ —2; —1] и последовательность (хп) сходится, в противном случае расходится. Ответ: сходится при jci 6[ — 2; —1].

6. Ответ: функция непрерывна только в х=±\. Пусть хоФ±\ \ составим последовательность х\, *2, ... ->*о, такую, что XiÇQ при у'=1> 2, и последовательность у\, у2, ... хо, такую, что yi(zR\Q при V*=l, 2, ... . Убедимся теперь, что, так как lim f (хп) = хоф—= lim f (у„), функция f в хо не имеет предела. Если же *о=±1, в случае таких, как выше (а тем самым и любых), последовательностей, стремящихся к Хо, у соответствующих последовательностей значений функций есть общий предел ± 1.

7. Ответ: во всех рациональных числах функция разрывна, во всех иррациональных непрерывна. Пусть *o6Q, рассмотрим последовательность

Очевидно, Hm f(xn) = 0t но f (х0)ф0. Пусть x0^R\Q. Для любой последовательности хи *2, ••> *п, ... -> *о, такой, что XidR\Q при 1=1, 2, очевидно, lim / (х/) = 0 = / (хо). Рассмотрим теперь последовательность xi, *2, ...->■ *о, такую, что #/6Q при/= 1, 2, так как для любого числа М>0 существует лишь конечное число дробей со знаменателем, меньшим М, то для любого е>0 найдется N£N, такое, что для любого n^N знаменатель хп больше — , но это и значит, что lim f (хп)=0. Отсюда ясно, что для любой последовательности (jtn), такой, что хп хо, / (хп) -> 0.

8. Например, f(x) = b при любом х,

9. Пусть Т — период функции f, тогда поскольку

Но функция g (x + T) — g (х) периодическая, поэтому

ясно, что она может иметь предел нуль на бесконечности, только если g (x + T)=g (х) при всех х. Таким образом, Т — период и функции g. Но тогда функция f(x) — g(x) периодическая, и, стало быть, f (x) = g(x) при всех х.

10. Так как lim f (х) = я, то для любого е>0 найдется такое М>0, что для любого х>М \f(x)—n\ <е. Но на отрезке [0; М] функция / также ограничена по теореме Вейерштрасса. Отсюда ясно требуемое.

11. Непрерывная функция g(x) = f(x) — x не имеет корней, следовательно, или для любого x£R верно неравенство g(x)>0y или для любого x£R верно неравенство g (х)<0 (иначе по теореме Больцано — Коши у нее был бы корень).

Пусть, например, g (*)>0 при любом x£R, но тогда для любого x верно, что f(x)>x, и, следовательно, f (f (x))>f (х)>х, т. е. уравнение f(f(x)) = x не имеет корней.

12. Пусть / определена и непрерывна на [а; Ь\ пусть, например, f(b)>f(a). Тогда при любом х\£(а; b) f (a)<f (*i)<f (b). Так как если бы, например, было справедливо f (x\)>f (6), то на отрезке [а; х\] по теореме Больцано—Коши также достигалось бы значение / (Ь) и функция / не была бы обратимой. Аналогично доказывается, что для любого X2€(*i; b) верно неравенство f (x2)>f (х\).

13. Обозначим /(1) = а, тогда

Аналогично по индукции показываем, что m£N. Заметим, что /(0 + 0) = 2/(0), и, следовательно, /(0) = 0, отсюда / ( — x+x) = f ( — x)-{-f (х) = 0 при V*6î/?> поэтому f (—х)= = —f(x) для любого x£R. Из всего этого ясно, что функция / совпадает с функцией у = ах при всех jcÇQ, но из непрерывности f получаем, что тем самым они совпадают во всех точках.

14. Заметим, что f (1) + f 0) = 2, т. е. f(l)=l. Введем теперь функцию g (x) = f (х) — х, функция g, очевидно, непрерывна. Из условия также ясно, что g(l) = 0 и g (х2) = — g (х) при всех x£R.

Таким образом, при любом х>0 верно равенство g(-y[x)= —g“ (jc), а тем самым и равенство g (х)=(— l)n g (tfx) при \/n^N. Но tfx -> 1 при п -> оо, поэтому из непрерывности g ясно, что при любом х>0 имеем g (х)= lim g (!tfx) = g (1) = 0. Заметим еще, что при любом x£R верно, что g ( — х)= — g (( — х)2)= — g (х2) = = g(x), поэтому g(x) = 0 при Vx£R. Следовательно, f(x)=x.

15. Так как выражение f(xy) — f(y) не зависит от у, то при всех x и у выполнено f(xy) — f(y)=f(x) — f(\).

Рассмотрим функцию g(x) = f (ех)—f (1). Ясно, что g(x-\-y) =

-/(**•*)-/(1), ag(x) + g(y) = f(ex) + f(e»)-2f(\\ но из условия имеем / (ех*еу) — f (ey) = f (ех) — f (1). Таким образом, при всех х и у верно, что g {x + y) = g (x)-}-g (у). Из задачи 13 этого цикла ясно, что существует а£#, такое, что g(x) = ax. Таким образом, f (ex) — f(l) = ax при всех x^D (/), т. е. / (x) = f (1) + а In х при всех х>0. Все функции вида у = а\п х-\-Ь, где а, очевидно, подходят под данное условие.

Комплексные числа и многочлены (XI класс) 1. а) Рассмотрим выражение (1+/уз)л. Раскрывая его по формуле бинома, видим, что

б) Рассмотрим геометрическую прогрессию, такую, что

Пусть

S — сумма ее первых k членов, тогда

Ответ:

в) Если 8=1, то

тогда

Ответ: если е=1, то

б) Рассмотрим произведение

Поэтому Отсюда

Заметим еще, что если k и п —

такие натуральные числа, что & + я = 2т+1, то

поэтому

Ответ:

3. Пусть Rez=ay a Imz=b. Надо найти такое /С/?, что (а + Ы) (1 — ti)= 1 но это условие равносильно системе

Рис. 119 Рис. 120

(ЬфО, аФ — 1). Так как |z| = l, т. е. a2 + b2=l, то

поэтому решение системы существует. Если же 6 = 0, то а= 1 и, очевидно, подходит ^ = 0.

4. Пусть z проходит сторону с вершинами —1—/ и 2 — /. Тогда обозначим a = Rez, b = lmz. Ясно, что а£[— 1; 2], ft= — 1 и (а + Ы)2 = а2-Ь2 + 2аЫ = а2-1-2т, т. е. /?ег2=(-^)2-1, lmz2Ç\— 4; 2]. Аналогично показывается, что, когда 2 проходит стороны с вершинами 2 — 1 и 2 + 2/, 2 + 2/ и —1+2/, наконец, — 1+2/ и —1—/, точка z2 удовлетворяет соответственно равенствам

Построим соответствующие им линии (рис. 119).

5. Ясно, что множество точек, соответствующих комплексным числам г, таким, что \z\ ^ 1,— это круг с центром в начале координат и радиусом единица. |3 + 2/ — z\ —это расстояние от точки А (3; 2) до этого круга. Но это расстояние, очевидно (см. рис. 120), равно -тДЗ— 1.

6. Предположим, что cos 1°ÇQ, но тогда sin2 1 ° = 1 — — cos2 1°ÇQ. Рассмотрим выражение Re (cos l°+/sm 1°)30 = = cos30 1° — Сп cos28 1° sin2 1° + ... — это рациональное число как сумма рациональных, но Re (cos 1° + / sin 1°)30=з/1— противоречие.

Рис. 121 Рис. 122

Таким образом, z£Ry гФ — 1 (рис. 122).

8. Обозначим соответствующие Zk при к—\% 2, п точки окружности радиуса единица с центром в начале координат через Z*, а точку соответствующую г, через Z, тогда \z — Zk\2 = ZZ\, но Суммируя все эти равенства (k—l9 2, п) и учитывая, что 2 OZk = 0 по условию, получаем требуемое. Данное равенство, в частности, связывает сумму квадратов расстояний от произвольной точки до вершин правильного многоугольника, вписанного в окружность единичного радиуса, с расстоянием от этой точки до центра многоугольника.

9. Система равносильна следующим:

Таким образом, z = kw, где k£R. Подставляя это равенство в первое уравнение системы, получаем w5 — &3ш3 = 0, т. е. ш2 = fe3, w2£R. Но тогда ш4 = ш4и2=-©9,а w22 = 1. Так как w2£Ry w2 = = 1. Окончательно W\ = 1, Z\ = — 1, w2 = — 1, z2 — 1. Обе эти пары, очевидно, подходят.

10. Пусть z = c-\-diy где с, d£/?, тогда, так как а£/?, уравнение эквивалентно системе

Ясно из первого уравнения, что аФ0у поэтому из второго уравнения находим

Решая теперь уравнение

приходим к системе

Ответ:

§ 6. НЕКОТОРЫЕ ФОРМЫ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНАМ

Тренировочные работы

1. Логарифмическая и показательная функции

1. Вводя новую переменную z=log2 (я+1) и решая сначала рациональное, а после логарифмические неравенства, находим ответ: (—~;0) U (3; +оо).

2. Ответ: х = 2.

3. Уравнение преобразуется к виду (loge х — 4) (logs х — 3)=0. Ответ: {125; 1296}.

4. Ответ: х = 2.

5. Вводя новую переменную

и логарифмируя по основанию

получаем неравенство

Отсюда с учетом положительности ху получаем ответ: (0;^]и[1;27].

6. Так как y = 3lo^y, а х = 21о^\ имеем:

Ответ:

7. Имеем:

Ответ: 8, Ясно, что

Будем решать неравенство на промежутках

Но на взятом промежутке

поэтому решений нет.

Аналогично показывается, что нет решений на (— оо; 1).

На данное неравенство также эквивалентно неравенству 2*+1<2— 5 . Но на этом промежутке 2Л_|1<22,5 = = 22.2°'5=4л/2<4-2-=6, g 2-—^— >2 + 5 = 7. Таким образом, все числа из этого промежутка являются решениями. Ответ: ( 1 ; -~- ) .

9. Данное неравенство эквивалентно совокупности

Но квадратное неравенство х2 — х-\-у2 — у<0 имеет решение лишь при неотрицательном D, где D=l— 4 (у2 — у). Отсюда у решений первой системы ~1 <у< “^У“1 . Но из неравенства *2+у2<1 второй системы ясно, что у решений второй системы у<\. Отсюда наибольшее у = “^У“1 . (Пара с таким уи очевидно, есть среди решений данного неравенства — (-^- ;

10. Будем решать, пользуясь графическим методом: пара (х; а) — решение данного неравенства тогда и только тогда, когда выполнены условия

Построим множество пар (х\ а), удовлетворяющих этим условиям (рис. 123). Найдя точки пересечения построенных линий, убеждаемся, что решений у данного неравенства нет при — 1, а=1— -yß. Ответ: (— оо; — 1]U{1 —л/2)-

Рис. 123

2. Тригонометрические уравнения

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ясно, что cos XфО. Преобразуем уравнение:

Введем теперь новую переменную

Имеем

б) Пусть афО. Тогда

Так как |cosa|<l, выясним, при каких а число

Сверим теперь найденные решения с условием cosx#0. Ясно,

Выясним

теперь, при каких а выполнено равенство

Решая соответствующие уравнения, находим, что

4. Так как

имеем уравнение

Ответ:

5. Ясно, что cos XФО. Будем искать решения лс^О, а потом воспользуемся четностью функции y = 3tg |х|+2 |cosx|.

а) Пусть cos я>0, тогда введем новую переменную t = s\nx и решим уравнение 2/2 — 3^ — 2 = 0. Отсюда t\=2, to=—5-,

б) Пусть cos^<0. Тогда, обозначив / = sinjc и решив уравнение 2/2 + 3/ —2 = 0, получаем t\ = —2, /2=-^-. Отсюда, так как cos#<0, лс=-^-л + 2я/, / = 0, 1, 2, .... Окончательно

6. Так как 1 + cos 4а = 2 cos2 2а и cos 2а < 0, то

Отсюда

В свою очередь

Наконец,

Ответ:

7. Ясно, что cos xФ0У соъуФО и что 1 +tg x tg уфО (так как иначе и tg у —ig х = 0, но тогда tg# = tgx, \-\-\gxtgy = = l+tg“jv? а это выражение не может обращаться в нуль).

Преобразуем первое уравнение к виду:

Будем теперь решать систему

Отсюда

Учитывая теперь, что cos у ФО, получаем ответ:

8. Преобразуем данное уравнение к виду

Отсюда тогда

В итоге, так как

имеем ответ:

9. Так как дискриминант квадратного трехчлена л:2 —2Х X(cos яу + cos nz) х + 4 равен 4 [(cos яу + cos яг)2 —4] и неположителен, данное уравнение эквивалентно системе

Но первое уравнение имеет решение, только если его дискрими-

нант равен нулю, поэтому ему удовлетворяют только тройки вида (х=2; y = 2k\ z = 2n)\ (х= —2; у=\+2т; г=1+2/); k, п, /, mÇZ. Подставляя во второе уравнение jc2 = 4, приводим его к виду (у+ 1)2 + (г+ 1)2 = 0. Ответ: х= —2, у= — 1, z== — 1.

10. Введя новые переменные sin ( — 2х) = и, tg 5y = v и вычитая из первого уравнения системы второе, получаем:

Рассмотрим два случая:

Дискриминант второго уравнения отрицателен (D = 24-у2 —35), в этом случае нет решений. Итак, данная система эквивалентна следующей совокупности:

Так как

отсюда окончательно имеем ответ: х =

3. Трансцендентные уравнения и неравенства

1. Заметим, что допустимыми являются только такие х, что sinx>0, sinx^l. Преобразуем теперь данное неравенство:

Решим эти неравенства:

б) l°gsin*2<3, но при любом X верно, что sinx^^3^. Решая теперь тригонометрическое неравенство, находим ответ:

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

Решая теперь данное неравенство, получаем

таким образом, с учетом ограничений ОДЗ

отсюда ответ:

3.

Заметим теперь, что

Поэтому для установления неравенства logsin23[l + + cos (2a' + 4)]<cos 4х необходимо и достаточно проверить, что cos (2jc + 4)>0, но, очевидно, если k = 2m, то cos (2x+4)<0, а

4. ОДЗ: х>0у хф\. Преобразуем данное неравенство к виду

Отсюда два варианта: Ответ: (0; 1)U(2; +оо).

5. Введем новую переменную у = 4^2*\ Полученное теперь неравенство у + 3-4(/_,<8 равносильно двойному 2<у<6. Далее имеем /г (

И так как для любого x£R справедливо

окончательно получаем ответ:

6. ОДЗ:

Преобразуем теперь данное неравенством

и, так как sin2 2x^1 для V*€Ä, это неравенство равносильно системе

Учитывая теперь ограничения ОДЗ, получаем ответ:

7. Преобразуя неравенство к виду

находим, что

Отсюда если lgx^O, то

А если

lg л:>0, то

Ответ:

8. Имеем

Ответ:

9. ОДЗ:

Преобразуем теперь данное неравенство к виду

Видно теперь, что оно равносильно совокупности

И так как

то, учитывая теперь ОДЗ и решая иррациональное неравенство, находим ответ:

4. Степенные уравнения и неравенства

1. ОДЗ: хф — 1. Преобразуем данное уравнение к виду

и введем новую переменную

Решая теперь уравнение у2-\-2у—1=0, находим, что

2. ОДЗ: аФО, аФ 1, хФО. Преобразуем теперь данное уравнение на ОДЗ к видух2-\-х — а (а— 1) = 0. Отсюдах\=а— 1,хъ= —а Ясно, что а—1=0 только при а=1, a —а = 0 только при а=0. Ответ: если а = 0, а = 1, то уравнение не определено; если афО, аф\, то х=— а, х = а—\.

3. ОДЗ: афОу ХФ—• Преобразуем теперь данное уравнение на ОДЗ к виду (1 — a) x2 + 2x + (l +а) = 0. Отсюда jei = — 1, х2 =

Выясним теперь, при каких значениях а среди найденных корней окажутся посторонние: —= — 1 о а= —2;

4. Ясно, что при а=2 один корень, поэтому данное условие сводится к следующей системе:

5. Очевидно, что при а<0 решений нет, a если а = 0, то х = 0. Возводя теперь в квадрат исходное уравнение, приходим к следующему: а = а2 — 2а -\jx. Заметим, что решения этого уравнения должны удовлетворять неравенству а^^/х. Но ясно, что если а>0, то

Понятно, что если а<1, то решений нет, если же 1, то

Ответ:

6. ОДЗ: а —2x^0.

а) Если х<0, то подходят все х из ОДЗ.

б) Пусть х^О, возведем тогда обе части неравенства в квадрат: а — 2х>х2ох2 -\-2х — а<0. Заметим теперь, что корни квадратного трехчлена х2-\-2х — а равны

и что выполнение неравенства х -\-2х — а<0 влечет выполнение неравенства а^2х. Таким образом, если а<0, то х^-^-<0 — решения неравенства; если а^О, подходят все х<0

7. ОДЗ: х2+х — а>0.

а) Если а<2, очевидно, подходят все х из ОДЗ.

б) Пусть а ^2. Возводя тогда обе части неравенства в квадрат и преобразуя его, приходим к виду х2-\-х — а2-{-За — 4^0. Корни квадратного трехчлена, стоящего в левой части:

Заметим, что 4а2— 12а+17^0 при любом а£/?. Таким образом, решения неравенства х2-\-х — а -\-За — 4^0:

Изучим теперь ОДЗ.

Ясно, что в случае а>2 найденные решения удовлетворяют ОДЗ (так как х2+х — а^а2 — 4а + 4>0).

Ответ:

8. Воспользуемся графическим методом. Заметим, что плоскость (х; а) разбивается прямыми а = х— 1 иа = —~ на четыре части (рис. 124), и в каждой из них будем решать данное уравнение:

Найдем теперь точки пересечения прямых, соответствующих полученным уравнениям, с прямыми l\\a = x— 1 и U\a =—|-:

Рис. 124

Теперь с помощью графика выберем ответ:

§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ

X класс (внутриклассная олимпиада)

1. Домножив второе уравнение на х и вычитая из полученного уравнения первое, получаем у3 (х—у) = 0, отсюда или у = 0, тогда

и так как все сомножители положительны, а хо-

Рис. 125 Рис. 126

тя бы один из них не меньше 1, то — > 1. Ответ: нет решений.

5. Верны равенства *У=Х*У=“~=-™ ' =~> т. е. * — это деление. Ответ: -|-.

6. Oi — центр вписанной окружности, О — описанной (рис. 127). Ясно, что AOl=AO = OC = OlCy поэтому АСАО = = ААСО= zLO\AC= zLO\CA. Так как АО\ и СО\ — биссектрисы, ABAC=ABCA=2/LOiACy и так как ОВ = ОАу то ААВО=АОАВ. Следовательно, ААВО= т°-2^ВАС =90о — 2AOiAC = 3Z.OxAC. Отсюда АО\АС= 18° и углы треугольника 36°, 36° и 108°.

7. Рассмотрим 1991 число:

Два из них имеют одинаковые остатки по делимости на 1990. Их разность является искомым числом.

Олимпиада— 1-й тур (VIII класс)

2. Пусть Коле сейчас х лет, Оле — у. Ясно, что х — у лет назад тетушке Поле было х+у—1 лет, т. е. сейчас ей 2л: — 1 год. В возрасте Коли она была х— 1 год назад, а Коле был тогда один год.

4. Ответ: 1 ) если есть 2 яблока, возможны следующие ситуации: + —; — —; 2) если есть 3 яблока, то + —, — +, — — ; 3) если есть 4 яблока, то + —, — +; 4) если есть более 5 яблок, то + +, H--,--h-

5. Ответ: нельзя. Сосчитаем число граничных сторон, оно равно 1 , где щ (/=1, 2, 25) — числа соседей каждой клетки,

Рис. 127 Рис. 128

Рис. 129 Рис. 130

но все m нечетные, поэтому-^—— £Z — противоречие.

6. Отложим угол А, отрезок Ь—АС на его стороне и проведем прямую на расстоянии hb от этой стороны. В — точка ее пересечения со второй стороной угла (рис. 129).

7. Имеем fp==Pl^~p2' где числа р, рь р2, Рз, Ра простые. 1р=р3 —р4,

Ясно, что числа р\ и рг и аналогично рз и р\ должны быть разной четности, иначе р:2, т. е. р\ =2, р4 = 2, тогда рг, р, рз — три последовательных нечетных числа, поэтому одно из них делится на три. Ясно отсюда, что р2 = 3. Ответ: р = 5.

8. Продолжим медиану BE на ME —BE (рис. 130). Так как /LFBK= Ш°-/-АВС = 180°- ААВМ-Z.AMB= Z.BAM, то AABM=aBFK, а поэтому ААМВ= Z.FKB, ААВМ=/LBFK. Но Z.NBK=90°- Z-MBC= 180°— AN KB — /LBNK=> =>ABNK=90°.

Олимпиада — 1-й тур (IX класс)

1. Пусть задумано число ab. Имеем:

Ответ: 21.

2. Имеем (х-3)2+(V* — 2)2 = 0 — очевидно, решений нет. 3. Надо разбить окружность на множества диаметрально противоположных точек.

Рис. 131

4. Положив фигурку следующими способами (рис. 131), последовательно убеждаемся, что равны числа, стоящие через одно по одной горизонтали или вертикали, стоящие по диагонали (ср., например, рис. 131, а и рис. 131, в), и, наконец, все числа. Таким образом, все числа равны 1, а вся сумма 2500.

5. Ясно, что

Таким образом, имеем

Отсюда у = 2, U + 11 = 4.От в ет:х! = 3,у1 = 2; — 5, у2 = 2. 6. Проведем BD\\OOx (рис. 132). Из AABD AB2 = (R + rf-— (/? — г)2 = 4/?г. СЕ — касательная к окружностям, тогда АЕ = = ЕС = ЕВ = лЩг. Но ААСВоо аЕСО (так как АЕОС =

7. p2 = 2q2-\-1, но, как известно, если число m не делится на 3, то число т2 имеет вид т2 = Зя+1, где ai£Z. Поэтому 2^2+1 =

Рис. 132 Рис. 133

= 6&-f 3, где feÇZ, и, следовательно, р:3, таким образом, р = 3, отсюда q = 2. (Если q = 3, то ^J2q2 + 1 £N.)

8. Анализ. Ясно, что OL — перпендикуляр к ВС, делит дугу ВС пополам. Построение. Пусть N, К, M — точки пересечения окружности с продолжениями соответственно биссектрисы, высоты и медианы. Проведем прямые n0 и /041| n0 (А — точка на окружности) и MA. Пусть L — точка пересечения AM и NO. Проведем BCA-NO, так что L£ßC, тогда ААВС искомый (рис. 133).

9. Возьмем у=1, тогда (x+l)f(x)=f(x)+f(l) и х f(x) = f (1). Возьмем теперь х = 0, отсюда / (1) = 0. Таким образом, при любом хфО верно, что /(х) = 0. Возьмем теперь у — 0 и, например, х = 3.

Имеем 3/(0) = /(3) + [ (0), отсюда f (0) = -у/ (3) = 0. От вет: не существует.

Олимпиада — 1-й тур (X класс)

1. Имеем |д/х —4 — 11 + 1ух — 4 — 2| = 1. Снимая модули, получаем ответ: [5; 8].

2. Длины сторон могут быть представлены в виде a, a + d, a + 2d, где d>0. По теореме Пифагора (a + 2d)2 = a2 + (a + d)2, отсюда a = 3d, т. е. длины сторон равны 3d, Ad, bd, — ясно, что все такие треугольники подобны.

3. Подставив JC==~~~“> получим —1 ) +/(у) = У- Так как г/ — произвольное число, имеем систему

5. Представим разность Р (х) — 5 в виде

(следствие из теоремы Безу!), пусть хо — целый корень Р, тогда хо —xi, хо-— Х2, хо — Хз, *о —*4, хо — х$ — целые делители 5, но у 5 только четыре различных делителя. Ответ: целых корней быть не может.

6. Если А и А\ симметричны, то ВА=ВА\ (рис. 134), и, наоборот, если ВА = ВА\, то А и А\ симметричны относительно прямой, проведенной через В (биссектрисы угла АВА\). Ответ: окружность с центром В и радиусом В А.

Рис. 134 Рис. 135

7. Ясно, что какие-то 5 боковых ребер покрашены в один цвет. Пусть в синий. Рассмотрим их концы на основании Л i, Л 2, Лз, Л 4, Л5 (занумерованные по часовой стрелке так, что Л i и Л5 не соседние). Если две из этих точек соединены синей диагональю, то все получено. Если же все эти диагонали красные, то ДЛ1Л3Л5 искомый.

8. Пусть х\у х2у хз — числа, являющиеся корнями многочленов Рь Р2, Рз- Из условия ясно, что их не более трех. При любом их расположении пересечение отрезков с концами в них не пусто, т. е. найдется такое хо, что Pi (хо)^О, Р2 (хо)^О, Рз (*оХО, но тогда и Р1 + Р2 + Р3 (xo)<0, и, так как у многочлена Р1 + Р2 + Р3 положительный старший коэффициент, отсюда ясно, что Р\ + Р2 + Р3 имеет корень.

9. Возьмем любое натуральное число N. Левее его стоит членов первой последовательности и [у^|~] — второй. Но; так как х и У иррациональные, а следовательно, {_^_х и 1 иррациональные, то дробные части [yqr^j и {-q^} лежат в промежутке. (0; 1). Поэтому [7^7] + [7^7] = N— 1. Таким образом, до N стоит N— 1 член последовательностей, а до jV+1 находится N членов, поэтому между N и N-\-l содержится ровно один член последовательностей.

Олимпиада — 1-й тур (XI класс)

1. Достроим C£||ßD, при этом DE = BC (рис. 135). Так как трапеция равнобедренная, Z. CAE = АСЕ А— 45°. Пусть высота трапеции CK = h, тогда AK = h, AE=2h =>S = h2. Ответ: h=^ß.

2. Так как функции /1 (х)=х и f2(x) = ex возрастающие, то и f3(x)=x-\-ex возрастающая, поэтому данное равенство возможно только при х=у, так что sin x + cos y = sm у + cos х. Ответ: верно.

3. Заметим, что

Рис. 136

4. Пусть AASC= 90° (рис. 136), по теореме о трех перпендикулярах SC .LAB. Поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости SCA-(ASB)y отсюда ACSB = 90°. Аналогично с углом ASB.

5. Представим сумму

в виде

6. Имеем

Отсюда после упрощений

Если же a cos ß = 6 cos Л, то, так как

по теореме синусов, sin (Л — ß) = 0, а отсюда опять

7. Пусть п — наименьшее натуральное число из Л, a k — наибольшее отрицательное. Тогда — n = ky так как если бы, например, было I k I < /г, то, сложив & и я, мы получили бы в А натуральное число, меньшее п. Очевидно, что все числа вида тпу где m£Z, содержатся в А, докажем, что других там нет.

Пусть г£А и г не делится на п. Поделим тогда с остатком г = = 1п + /, 0</</г, и, прибавив к г число — In, получим, что в А есть натуральное число, меньшее п,— противоречие. Таким образом, A—{mn}mez — оно замкнуто относительно вычитания.

8. Докажем, что 2 — период функции f. В самом деле, при любом x£R верны равенства

(так как из условия ясно, что !(х)^-^- при любом х).

9. Пусть выполнено утверждение а). Пусть Х = {х\у х?, xn}f a Y = {yu у2уут}. Рассмотрим последовательность 0 =XqczX\cz d...czXn=X, где Xi={x\9 *2, xj\, i= 1, 2, ai. Так как в последовательности /г+ 1 множество, то для любой функции f из Р в Y найдется два множества Xi и Я*, такие, что f (Xi) = f (Xk), но X/U^a=^ä, Xi-n^ft = ^i, т. е. утверждение б) выполняется.

Пусть дано утверждение б). Предположим, что т>пу тогда в Y содержится по крайней мере п +1 элемент. Обозначим их 2о, 2|, 2д.

Построим теперь функцию f из Р в У следующим образом: для любого Л£Р положим /(Л) = ^, где k=\A\ —число элементов в А. Ясно, что б) не выполнено, так как если А и В различны и \А\ = \В\, то \А[}В\ Ф\А\ — противоречие.

Заключительный тур олимпиады

1. Ответ: нельзя. Четность числа черных клеток в любом квадрате 2X2 сохраняется, поэтому, так как в каком-то таком квадрате была одна черная клетка, ни одной черной там оказаться не может.

2. Например, пусть п такое, что -^-<в. Возьмем А={1, 2,п),

ß = {n, 2пу Зм,...}, тогда, очевидно, d (Л) = 0, d (ß)=-^- > d (A +ß)= 1.

3. Простой перебор вариантов: 20 баллов можно набрать 1 способом, 19 — 4 способами, 18 баллов — 10 способами, 17 баллов— 16 способами. Ответ: 31 способ.

4. Преобразуем с учетом теоремы Виета:

Легко проверяется по индукции, что это целое число.

Предположим теперь, что при каком-то n£N xï + x&b. Возьмем наименьшее такое п. Ясно из написанного выше равенства, что

5. Сравнивая углы, получаем (рис. 137), что ААВХоо аСХХ' и Л ВХХ' со д А СХ. Отсюда имеем :

Пусть M — середина ВС, N — точка пересечения биссектрисы и ВС (пусть, например, АС>АВ). Тогда очевидно, что значение произведения ß^X ХСХ возрастает при движении X от В к M и убывает при движении X от M к С. Заметим теперь,

а поэтому это произведение возрастает при движении Xот N к В и убывает при движении Хот N к В. Таким образом, произведение ВХ' *СХ' *ВХ-СХ, а тем самым XX' принимает наибольшее значение на MN.

6. Пусть а^Ь^с, если а^З, то ab-\-bc-\-ac^3bc^.abc— противоречие.

Если а<3, то а = 2 и данное неравенство запишется так:

Таким образом, 6 = 2 или 6 = 3. Если ft = 2, то имеем 4с<4 + 2с + 2с и с — любое простое число; если же 6 = 3, то 6с<6-|-5с и с = 3 или с = 5. Ответ: возможны следующие тройки (числа записаны в порядке возрастания) : (2, 2, с — любое простое число) ; (2, 3, 3); (2, 3, 5).

7. Ответ: ak = \ögk+\ k. Тривиально проверяется по индукции.

8. Обозначим AB = c,BC = a,AC = b,AD = a',BD = b', CD = c' и, например, Z.BAD = q>, ACAD = ty> ABAC = w. Запишем теорему косинусов для каждой из граней BAD, CAD, ВАС:

Так как по условию a2 + (a')2 = b2 + (b')2 = c2 + (c')2t то (а')2 + с2-— {bf)2 — [a'f-\-b2 — (c')2 = b2-\-c2 — а2. Но тем самым показано, что и знаки косинусов равны или все косинусы равны нулю. Точно так же равны знаки косинусов углов и при других вершинах. Таким образом, углы при каждой вершине одновременно тупые, острые или прямые. Но тогда если все грани не остроугольные треугольники, то все плоские углы тетраэдра не острые, а этого не может быть.

Рис. 137

9. Очевидно,

но из условия ясно, что

Таким образом,

10. Ответ: таких функций нет. Предположим противное. Обозначим тогда g(x) = x2 — 2 и h (x) = g (g (х))=хА — 4х2 + 2. Найдем неподвижные точки функций g и h (т. е. такие точки у и г, что g(y)=y, h(z) = z). Решая уравнения х2 — 2=х и хА — 4х2 + 2=л:, находим, что неподвижные точки g — это 2 и — 1, а неподвижные точки функции h — это 2,-1, обозначим это множество S. Ясно, что для aÇS f (a)£S, так как h (f (a)) = f (f (f (f (f (a))))) = f (a). Аналогично показывается и что значение / (a) в неподвижной точке а функции g является неподвижной точкой g.

неподвижная точка g — противоречие.

Задачи матбоя (X класс)

1. Возьмем такой набор натуральных чисел, что их сумма равна 1990, а их произведение максимально, причем пусть наш набор содержит наибольшее среди таких наборов число членов. Тогда в нем нет других чисел, кроме двоек и троек. В самом де-

ле, если в нем есть число 6, большее 3, заменим его на два: Ь — 2 и 2. Ясно, что сумма останется прежней, произведение возрастет или останется прежним, а число элементов набора возрастет; если же в наборе есть единица, заменим ее и произвольное другое число набора а на число а+1 — произведение возрастет.

Теперь заметим, что в нашем наборе не может быть больше двух двоек, ибо 2 + 2 + 2 = 3 + 3, а 2-2.20-3. Так как 1990 не делится на 3 и 1988 не делится на 3, двоек в наборе ровно две. Отсюда ясно требуемое.

2. Закрасим стороны, являющиеся в каких-то треугольниках наименьшими, в красный цвет. Достаточно показать, что найдется треугольник, у которого все стороны красные. Возьмем произвольную точку, обозначим ее Pi, а остальные Р2, Рз, Рб- Из Pi выходит пять отрезков, если три из них красные, например Р1Р2, Р1Р3, Р1Р4, то, так как в Д Р2Р3Р4 есть красная сторона, «красный» треугольник существует, если же из Pi выходят три некрасных отрезка, например Р1Р2, Р1Р3, Р1Р4, то, так как в каждом из треугольников Р1Р2Р3, Р1Р2Р4, Р1Р3Р4 должна быть красная сторона, ДР2Р3Р4 «красный».

3. а) Ответ: нет. Подставив в данные многочлены значение je = — 1, получим /(— 1) = 0, a g(— 1) = 3. Таким образом, любая комбинация от / и g при х= — 1 должна делиться на 3, но h (— 1) = = — 1 не делится на 3.

б) Ответ: да. (f-gf-f-(f-g)-(f-g) = x.

4. Пусть О — центр окружности S (рис. 138), 0\ — окружности Si, О2 — окружности S2. Достаточно доказать, что 0/(=OL, ибо OM = ON, и из равенства Д ОМК и AOLN получается требуемое. Но AOOiK=a002Ly так как /-КОС=Ш° — -2ZOiC/C=180°-2ZLCO2=ZOiO2L, a OlO = R — rl = r2 = = 02L, 002 = R — r2 = r\ = 0\K, где Ry гь г2 соответственно радиусы окружностей S, Si и S2. При другой расстановке букв M и n все аналогично.

5. Так как произведение цифр неотрицательно, то х2— 10х — — 22^0, т. е. jc>5 + V47>11. Но произведение цифр числа не

Рис. 138 Рис. 139

превосходит само число, а поэтому х2—- 10х — 22 Отсюда х<13. Окончательно х=12. Очевидно, 12 подходит, ибо 144 — —120 — 22 = 2= 1 -2.

6. Ответ: нельзя. Так как А = {А\(А(]В))\J{A(]ß), а В = =(B\(AÇ]B)MA(]Bl то (А{]В)\(АПВ) = (А\(А(]В))[}(В\(А[]В)). Таким образом, в (A\(A(]B))\J(B\(A[]B)) ровно два элемента, но это возможно только в следующих ситуациях:

а) В каждом из множеств А\(А(]В) и В\(А(]В) по одному элементу.

б) В одном из них два элемента, в другом ни одного. Пусть в AÇ]B имеется k элементов. Тогда в случае а) имеем И|=Л+1, |ß|=£+l, в случае б) имеем |Л|=£ + 2, \B\=k или \A\=k, \B\=k + 2.

В любом случае четность числа элементов множеств А и В одинакова. Но тогда если возможно указанное в условии, то четность числа элементов всех подмножеств множества одинакова — противоречие.

7. Как легко сосчитать, все внешние углы восьмиугольника равны 45°, занумеруем вершины последовательно: Au А2у As. Ясно, что А\А2±А3А4у АзА4±А5Аь, АъАь±А7Аг, А7Аг±А{А2 (рис. 139). Поэтому можем считать, что четыре стороны восьмиугольника лежат на сторонах прямоугольника MNPQ. Вычислим длину MN; так MN = ag cos 45° +ai -\-а2 cos 45°, где а/ — длина стороны ДД+1, при f=l, 2, 7, и А*Аи при / = 8. Аналогично PQ = a4 cos 45° + a5 + ß6 cos 45°. Таким образом, так как MN = =PQ, то ai — а5 = (а4 + аб — а2 — а8) cos 45°, и так как cos 45°£Q, a a/ÇQ для \fi=l, 2, 8, то ai=a5. Поэтому А[А2А$Аь — параллелограмм и существует 5 — его центр симметрии.

Аналогично показывается, что S — центр симметрии параллелограммов А2АзА&А7 и A3A4A7AS. Таким образом, существует центр симметрии всего восьмиугольника.

Задачи конкурса

1. Имеем (дг+ 1)3 + 2х3 = 0. Ответ:

2. Преобразуем данное уравнение:

3. Ясно, что если х — решение этого уравнения, то xÇZ, но х3 — 3х2 + 2х = х(х—1)(х — 2)у поэтому если xÇZ, то *3 — Зх2 +

4. Сложив уравнения, получаем х3+У3 + 23+*+У + 2 = 0. Пусть теперь х>0, но тогда из третьего уравнения системы получаем, что z>0, а тогда из второго уравнения у>0. Таким образом, если х>0, то x3 + y3 + z +х+У + 2>0. Аналогично если х<0, то *3+У3 + 23+*+У + 2<0, т. е. единственное решение системы x=y = z=0.

5. Имеем ху + Зх — 5у = у (л: — 5) + 3 (х — 5)+ 15 = (*/ + 3)Х Х(х — 5)+15. Поэтому нужно решить в целых числах уравнение (х-5)(£/ + 3)= —18. Но -18=-Ы8=-2.9=-3.6=-9Х Х2= —18-1. Перебирая варианты, находим ответ: (4, 15), (3, 6), (2, 3),(-1,0),(-4, — 1), (—13, -2), (6, -21), (7, -12), (8, -9), (И, -6), (14, -5), (23, -4).

6. Ясно (см. № 3), что если x£Z, то х3 — 3х2 + 2х':6, но 1988 не делится на 6. Ответ: нет решений.

7. x3 — 2х2 + 2х — 4=(je2 + 2) (х — 2). Если это число простое, то x — 2=1, a x2+ 2 — простое число. Отсюда х = 3.

8. Заметим, что

это расстояния от центра О описанной окружности до сторон a, b и с. Поэтому числитель левой части — это сумма удвоенных площадей АОВС, аОАС и ДОЛО, но она, очевидно, не меньше удвоенной площади аАВС, а та равна r(a + b + c). Отсюда ясно требуемое. (Л, В, С — вершины данного треугольника.)

9. Пусть S — площадь данного треугольника.

а это неравенство треугольника!

10. Построим треугольники ABC и A\BiCi, такие, что АА = а, AB = ß, АА{=а\, zlßi=ß,, АВ = А\Ви тогда sin C = sin (a + ß), sin Ci = = sin(ai + ßi). Используя теорему синусов и данные равенства, получаем 41-=4^ и 41-=4^. Но отсю-

Рис. 140

да ВС = В\С\ АС=А\С\ и дЛ5С= Ai4ißiCi по третьему признаку равенства треугольников, но тем самым a = ai, ß=ßi. КВН (рис. 140).

ПРИЛОЖЕНИЕ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ КЛАССОВ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ

В 1990 и 1991 годах Ленинградское математическое общество (ЛМО) проводило в школах с углубленным изучением математики экспериментальные выпускные экзамены. Они отличались непривычной формой: задачи в них были сгруппированы по сюжетам — блокам вопросов, относящихся к одному объекту. Вариант при этом состоял из двух частей: обязательных сюжетов и сюжетов на выбор, из которых учащийся сам выбирал один для решения.

Таким образом достигался учет особенностей программ углубленного изучения математики в разных школах и индивидуальных вкусов ребят при сохранении общего базиса.

Подчеркнем, что варианты составлены «с избытком» и даже для получения оценки «отлично» не требовалось решение всех пунктов обязательных задач и выбранного сюжета. В 1990 году оценка «5» ставилась за верное выполнение любых 10 пунктов, в 1991 году — любых 9 пунктов из восьми обязательных и четырех выбранных.

Ниже мы приводим по одному экзаменационному варианту 1990 и 1991 годов, а также два тренировочных варианта, предлагавшихся заблаговременно учителям и ученикам ленинградских математических школ для ознакомления с новой формой проведения экзаменов.

Нам кажется, что приводимые варианты определяют разумный уровень итоговых требований к знаниям учащихся математических школ.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ ЛМО 1990 года

Обязательные задачи

1. Дана функция f (х) = 8х — 3-2Х.

а) Решите уравнение f(x)= — 2.

б) Найдите наименьшее значение функции /.

в) Решите неравенство f (х)^.4х+0,.

г) Выясните, сколько на графике функции / есть пар точек, симметричных друг другу относительно начала координат.

2. Дана функция у = \ (jc) = cos 2x + cos х — 4 cos2

а) Выразите у как функцию от cos х.

б) Решите уравнение f (х)= — 3.

в) Докажите, что при всех значениях х выполняется неравенство f (jc)^0.

г) Выясните, сколько корней в зависимости от а имеет уравнение / (х) = а на отрезке [0; я].

Сюжеты на выбор

Выбирается один из предложенных сюжетов.

31. Пусть С — множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих условию |/г+2+2/| = 1.

а) Постройте множество С.

б) Найдите все точки множества С, расстояние от которых до мнимой оси равно —.

в) Найдите область значений модуля z для точек множества С.

г) Найдите область значений аргумента z для точек множества С (считая, что аргумент вычисляется в интервале [0; 2л)).

32. Даны функция у — х2 и точка В с координатами (3; 5).

а) Через точку В проводятся касательные к графику функции у. Найдите координаты точек касания.

б) Пусть А — та из точек, найденных в предыдущем пункте, у которой абсцисса меньше, а С — точка на графике функции у=х2, имеющая ту же абсциссу, что и В. Найдите площадь треугольника ABC.

в) Докажите, что площадь криволинейного треугольника ABC, образованного дугой параболы АС и отрезками AB и ВС, составляет — от площади, найденной в предыдущем пункте.

г) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для произвольной точки В.

33. В прямоугольном параллелепипеде длина диагонали равна единице, а отношения двух его измерений к третьему равны

ki и k2. Площадь поверхности параллелепипеда обозначается через S.

а) Вычислите 5 как функцию от k\ и k2.

б) Пусть k\=k2. Докажите, что S^2.

в) Пусть k\=2. Выясните, какое наибольшее значение принимает S.

г) Пусть а — некое положительное число, k\=ak2. Выясните, при каком значении k2 (зависящем от a) S принимает наибольшее значение.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ ЛМО 1991 года

Обязательные задачи

1. Дана функция f (jc) = logi * — 3 log! х.

а) Решите неравенство f (х)^0.

б) Решите уравнение f(x)=— 4.

в) Выясните, при каких значениях а неравенство / (х)<Са \og2 х выполняется при всех х из отрезка [2; 4-^2].

г) Выясните, сколько корней имеет уравнение f (х)=а в зависимости от а.

2. Дана функция / (x) = sin х sin Зх.

а) Решите уравнение / (х)=-у.

б) Найдите наименьшее положительное решение системы

if(x)=0, {cos Ъх= 1.

в) Найдите область значений функции /.

г) Пусть g (t) — наименьшее значение функции f на отрезке

Найдите наибольшее значение функции y = g(t) на множестве вещественных чисел.

Сюжеты на выбор

Выбирается один сюжет из трех предложенных.

31. Даны три комплексных числа z\=^--\—|-/, z2 = — -^Н—|-/,

а) Найдите расстояние от точки Z\ до фигуры, задаваемой уравнением \z—гз1 = 1.

б) Изобразите множество точек z комплексной плоскости, таких, что \z2z — Z\z2\ = \zsz — z2z^\.

в) Пусть z пробегает все точки отрезка z2z3, a U и V — множества точек, которые пробегают при этом соответственно u = z2z и v=^zzz. Изобразите пересечение множеств U и V.

г) Пусть z пробегает все точки отрезка 2123. Изобразите множество всех точек, которые пробегает при этом w=z2.

32. Дана функция f (x)=^ß. Точки пересечения прямой х = т с графиком функции / и осью абсцисс обозначаются соответственно А (т) и В (m), а касательная к графику функции / в точке А (т) обозначается / (т).

а) Докажите, что площадь фигуры, ограниченной графиком функции /, осью абсцисс и прямой х=ту равна — mf(m).

б) Пусть С (т) — точка пересечения прямых / (т) и Ох. Найдите отношение площадей криволинейного треугольника АОС и прямолинейного ABC.

в) Пусть Л1 и JV — точки графика /, такие, что прямая M N параллельна / (4). Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямой MN, осью Ох и перпендикулярными ей прямыми, проходящими через M и N, не превосходит 32.

г) Пусть y=g(x) — непрерывная неотрицательная функция, определенная на луче [0; +оо), такая, что g (4)=2 и при любом значении т^О площадь фигуры, ограниченной графиком функции g, осями координат и прямой х=т, равна —mg(m). Докажите, что g(x)=-^c.

33. Последовательность (хп) задана рекуррентно: х\=а, xn+l=x2i—Xn — 3 при всех натуральных п.

а) Докажите, что если а — целое число, то хп — нечетное число при всех п^2.

б) Выясните, при каких значениях а последовательность (хп) является постоянной.

в) Выясните, при каких значениях а последовательность (Хп) является геометрической прогрессией.

г) Пусть а=4. Докажите, что последовательность (хп) не имеет предела.

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ ВАРИАНТ 1

Обязательные сюжеты

1. Дана функция / (х) = (х + 2)А — хА.

а) Докажите, что функция f возрастает на всей числовой оси.

б) Решите неравенство / (х)^ 16jc+ 16.

в) Найдите все такие числа а, что функция g (x)=f (х—а) нечетна.

г) Выясните, при каких значениях k уравнение f (x)=k (х-{-1) имеет три различных корня.

2. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а.

а) Вычислите отношение k площади треугольника к сумме квадратов его сторон.

б) Докажите тождество k=-rr7:--г-т—г.

в) Выясните, при каких значениях a значение &=-|--

г) Найдите область значений отношения к.

Сюжеты на выбор

Выбирается только один сюжет из трех.

81. Рассматриваются комплексные числа вида z= , где / — действительное число.

а) Докажите, что |г| = 1.

б) Найдите / из уравнения г= 3~4' .

в) Докажите, что любое комплексное число г, модуль которого равен 1, кроме z= — 1, может быть представлено в виде г = |~*~** , где / — действительное число.

г) Найдите все комплексные значения /, при которых выражение \ является действительным числом.

32. Дана последовательность ап = 2п~3 + 9-23~п, я£ЛЛ

а) Докажите, что 22na2n + i при любом п делится на 5.

б) Найдите наименьший член последовательности ап.

в) Докажите, что ап удовлетворяет соотношению 2(art+2 + + a„) = 5a„+i.

г) Найдите формулу для общего члена последовательности сп> удовлетворяющей такому же соотношению 2(сп+2 + сп)=Ьсп+\, но при условии С[=0, С2 = 3.

33. Дана функция у = ех, заданная на отрезке [0; 1].

а) Докажите, что любая касательная к графику этой функции пересекает ось ординат в точке С при у^О.

б) Обозначим через S (х) площадь прямолинейной трапеции, ограниченной касательной в точке х, осью абсцисс и прямыми х=0, х= 1. Вычислите S (х).

в) Докажите, что функция y=S(x) принимает наибольшее значение в середине отрезка [0; 1].

г) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для функции у = х4 + 3.

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ ВАРИАНТ 2

Обязательные сюжеты

1. Дана функция

а) Решите уравнение

б) Решите неравенство f (х)^3.

в) Выясните, сколько корней имеет уравнение f (х)=ав зависимости от а.

2. Дана функция / (х)=(х— 1) (х—З)2.

а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции / и осью абсцисс.

б) Найдите промежутки выпуклости функции f.

в) Через точку перегиба графика функции f проводятся всевозможные прямые. Выясните, какие из них не имеют с графиком других точек пересечения.

3. Дана функция / (jt)=cos2 Ах—cos2 Ъх.

а) Упростите выражение .

б) Решите уравнение / (x)=-|-(sin2 x+sin2 9х).

в) Найдите наибольшее значение функции /.

Сюжеты на выбор

Выбирается один сюжет из трех

41. Дано комплексное число а=\

а) Запишите а в алгебраической форме.

б) Найдите число г, такое, чтобы его аргумент был бы равен -2-, а действительная часть числа аг равнялась единице.

в) Изобразите все комплексные числа z, такие, что az-\-az=2.

42. В шар радиуса 1 вписан конус.

а) Вычислите его объем как выражение от расстояния между основанием конуса и центром шара.

б) Найдите его наибольший объем.

в) Выясните, каков будет объем конуса, если площадь его боковой поверхности равна п^/2.

43. Общий член последовательности ап задан формулой ап=2'6п+15п-2.

а) Проверьте, что члены последовательности удовлетворяют рекуррентному соотношению ая+з = 8ап+2— 13an+i +6ал.

б) Докажите, что ап делится на 25 при всех п.

в) Выясните, при каких знаменателях q прогрессия Cn = qn удовлетворяет тому же рекуррентному соотношению.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Учебные пособия для школ с углубленным изучением математики, книги о математических школах

1. Типовая программа школ (классов) с углубленным теоретическим и практическим изучением математики.— М.: Просвещение, 1987.

2. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия 9—10 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.— М.: Просвещение, 1988.

3. Виленкин Н. Я., Ивашов-Мусатов О. С, Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 9 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.— М.: Просвещение, 1988.

4. Виленкин Н. Я., Ивашов-Мусатов О. С, Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 классов: Учебное пособие для учащихся школ (классов) с углубленным изучением математики.— М.: Просвещение, 1984.

5. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Методические рекомендации и дидактические материалы: Пособие для учителя.— М.: Просвещение, 1986.

6. Колмогоров А. Н., Вавилов В. В., Тропин И. Т. Физико-математическая школа при МГУ.— М.: Знание, 1981.— (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика», № 5/1981).

7. Линейная алгебра и геометрия. (Проблемы математической школы) / Сост. С. И. Шварцбурд.— М.: Просвещение, 1967.

8. Математика и естествознание. (Проблемы математической школы) / Сост. С. И. Шварцбурд.— М.: Просвещение, 1969.

9. Математический анализ и алгебра: (Проблемы математической школы) / Сост. С. И. Шварцбурд.— М.: Просвещение, 1967.

10. Обучение в математических школах: (Проблемы математической школы) / Сост. С. И. Шварцбурд, В. М. Монахов, В. Г. Ашкинузе.— М.: Просвещение, 1965.

11. Углубленное изучение алгебры и анализа: Пособие для учителей: (Из опыта работы) / Сост. С. И. Шварцбурд, О. А. Боковнев.— М.: Просвещение, 1969.

12. Шварцбурд С. И. Математическая специализация учащихся средней школы: (Из опыта работы школы № 444 Москвы).—М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963.

Книги из серии «Библиотечка физико-математической школы»

13. Башмаков М. И. Уравнения и неравенства.— М.: Наука, 1976.— (Б-ка физ.-мат. школы. Математика. Вып. 5).

14. Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л. Прямые и кривые.— М.: Наука, 1978.— (Б-ка физ.-мат. школы. Математика. Вып. 4).

15. Васильев Н. Б„, Молчанов С. А., Розенталь А. Л., Савин А. П. Математические соревнования. Геометрия.— М.: Наука, 1974.— (Б-ка физ.-мат. школы. Математика. Сер. дополнительная. Вып. 4*).

16. Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат.—М.: Наука, 1973.— (Б-ка физ.-мат. школы. Математика. Вып. 1).

17. Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Шноль Э. Э. Функции и графики (основные приемы).— М.: Наука, 1973.— (Б-ка физ.-мат. школы. Математика. Вып. 2).

18. Гельфанд С.И., Гервер М. Л., Кириллов А. А, Константинов Н. Н., Кушниренко А. Г. Задачи по элементарной математике. Последовательности. Комбинаторика. Пределы.— М.: Наука, 1965.— (Б-ка физ.-мат. школы. Математика. Вып. 3*).

19. Дынкин Е. Б., Молчанов С. А., Розенталь А. Л. Математические соревнования. Арифметика и алгебра.— М.: Наука, 1970.— (Б-ка физ.-мат. школы. Математика. Сер. дополнительная. Вып. 3*).

20. Дынкин Е. Б., Молчанов С. А., Розенталь А. Л., Толпыго А. К. Математические задачи.— М.: Наука, 1965.— (Б-ка физ.-мат. школы. Математика. Сер. дополнительная. Вып. 1*).

21. Кириллов А. А. Пределы.—М.: Наука, 1973.— (Б-ка физ.-мат. школы. Математика. Выпуск 2*).

Сборники задач и пособия для поступающих в вузы

22. Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н., Пасиченко П. И. Задачи по математике: Алгебра: Справочное пособие.— М.: Наука, 1987.

23. Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н., Пасиченко П. И. Задачи по математике: Уравнения и неравенства: Справочное пособие.— М.: Наука, 1987.

24. Говоров В. М., Дыбов П. Т., Мирошин Н. Б., Смирнова С. Ф. Сборник конкурсных задач по математике: (С методическими указаниями и решениями).— М.: Наука, 1983.

25. Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов Н. Х. По-

собие по математике для поступающих в вузы: (Избранные вопросы элементарной математики).— М.: Наука (любое издание).

26. Егерев В. К., Кордемский Б. А., Зайцев В. В. и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учебное пособие / Под ред. М. И. Сканави.— М.: Высшая школа, 1988.

27. Кутасов А. Д., Пиголкина Т. С, Чехлов В. И., Яковлева Т. Х. Пособие по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие / Под ред. Г. Н. Яковлева.— М.: Наука, 1988.

28. Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике: Учебное пособие.— М.: Наука, 1985.

Сборники задач для вузов, которые могут быть использованы в работе ФМШ

29. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.— М.: Наука (любое издание).

30. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.— М.: Наука (любое издание).

31. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред. Б. П. Демидовича.— М.: Наука (любое издание).

32. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу: Предел, непрерывность, дифференцируемость: Учебное пособие / Под ред. Л. Д. Кудрявцева.— М.: Наука, 1984.

33. Ляпин Е. С., Айзенштадт А. Я., Лесохин М. М. Упражнения по теории групп.— М.: Наука, 1967.

34. Окунев Л. Я. Сборник задач по высшей алгебре.— М.: Просвещение, 1964.

35. Ривкинд Я. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в задачах.—Минск: Вышэйшая школа, 1971.

36. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.— М.: Наука, 1981.

Книги для кружковой работы

37. Балк М. Б. Геометрические приложения понятия о центре тяжести.— М.: Изд-во физико-математической литературы, 1959.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 9).

38. Березин В. Н., Березина Л. Ю., Никольская И. Л. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике: Книга для учителя.— М.: Просвещение, 1987.

39. Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи всесоюзных математических олимпиад.— М.: Наука, 1988.— (Б-ка математ. кружка. Вып. 18).

40. Дынкин Е. Б., Успенский В. А. Математические

беседы.— M.; Л.: ГИТТЛ, 1952.— (Б-ка математ. кружка. Вып. 6).

41. Конягин С. В.,Тонаян Г. А., Шарыгин И. Ф. и др. Зарубежные математические олимпиады / Под ред. И. Н. Сергеева.— М.: Наука, 1987.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 17).

42. Коксетер Г. С, Грейтцер С.П. Новые встречи с геометрией.— М.: Наука, 1978.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 14).

43. Петраков И. С. Математические кружки в 8—10 классах: Книга для учителя.— М.: Просвещение, 1987.

44. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Ч. 1.— М.: Наука, 1986.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 15).

45. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Ч. 2.— М.: Наука, 1986.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 16).

46. Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии.— М.: Наука, 1989.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 19).

47. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. Опыты математического мышления.— М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1962.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 10).

48. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра.— М.: Наука, 1965.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 1).

49. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы планиметрии.— М.: Наука, 1967.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 2).

50. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (Стереометрия) —М.: Гостехиздат, 1954.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 3).

51. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум.— М.: Наука, 1970.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 12).

52. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии.— М.: Наука, 1974.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 13).

53. Яглом А. М., Яглом И. М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении.— М.: ГИТТЛ, 1954.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 5).

54. Яглом И. М. Геометрические преобразования. Движения и преобразования подобия.— М.: ГИТТЛ, 1955.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 7).

55. Яглом И. М. Геометрические преобразования. Линейные и круговые преобразования.— М.: ГИТТЛ, 1956.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 8).

56. Яглом И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия.— М.: Наука, 1969.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 11).

57. Яглом И. М., Болтянский В. Г. Выпуклые фигуры.— М.; Л.: ГИТТЛ, 1951.— (Б-ка матем. кружка. Вып. 4).

Книги об олимпиадах по математике

58. Белоусов В. Д., Изман М. С, Солтан В. П., Чиник Б. И. Республиканские математические олимпиады.— Кишинев: Штиница, 1986.

59. Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л., Роббот М. М., Тоом А. Л. Заочные математические олимпиады.— М.: Наука, 1986.

60. Венгерские математические олимпиады / П. Кюршак, Д. Нейкомм, Д. Хайош, Я. Шурани.— М.: Мир, 1976.

61. Вышенский В. А., Карташев Н. В., Михайловский В. И., Ядренко М. И. Сборник задач киевских математических олимпиад.— Киев: Вища школа, 1984.

62. Гальперин Г. А., Толпыго А. К- Московские математические олимпиады: Книга для учащихся.— М.: Просвещение, 1986.

63. Избранные задачи из журнала American Mathematical Monthly.—M.: Мир, 1977.

64. Морозова Е.А.,Петраков И.С. — Международные математические олимпиады: Задачи. Решения. Итоги: Пособие для учащихся.— М.: Просвещение, 1976.

65. Петраков И. С. Математические олимпиады школьников: Пособие для учителей.— М.: Просвещение, 1982.

66. Польские математические олимпиады / С. Страшевич, И. Бровкин.— М.: Мир, 1978. (Задачи и олимпиады.)

67. Садовничий В. А., Григорьян А. А., Конягин С. В. Задачи студенческих математических олимпиад.— М.: Изд-во МГУ, 1987.

68. Сборник задач московских математических олимпиад: Пособие для внеклассной работы по математике / Сост. А. А. Леман.— М.: Просвещение, 1965.

Книги по занимательной математике

69. Барр С. Россыпи головоломок.— М.: Мир, 1978.

70. Беррондо М. Занимательные задачи.— М.: Мир, 1983.

71. Гарднер М. А ну-ка догадайся.— М.: Мир, 1984.

72. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения.— М.: Мир, 1971.

73. Гарднер М. Математические досуги.— М.: Мир, 1972.

74. Дьюдени Г. Пятьсот двадцать головоломок / Сост. и ред. американского издания М. Гарднер.— М.: Мир, 1975.

75. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки / Под ред. М. К. Потапова.— М.: Наука, 1979.

76. Кордемский Б. А. На уроках и вечерах математики: Пособие для учителей.— М.: Просвещение, 1981.

77. Лойд С. Математическая мозаика / Сост. и ред. М. Гарднер.— М.: Мир, 1980.

78. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. Старинные занимательные задачи.— М.: Наука, 1985.

Различные сборники задач по элементарной математике

79. Башмаков М. И., Беккер Б. М., Гольховой В. М. Задачи по математике: Алгебра и анализ / Под ред. Д. К. Фаддеева.—М.: Наука, 1982.— (Б-ка «Квант». Вып. 22).

80. Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9 и 10 классов.— М.: Просвещение, 1979.

81. Делоне Б., Житомирский О. Задачник по геометрии.— М.; Л.: ГИТТЛ (любое издание).

82. Кречмар В. А. Задачник по алгебре.— М.: Наука (любое издание).

83. Сивашинский И. Х. Теоремы и задачи по алгебре и элементарным функциям.— М.: Наука, 1971.

84. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии: Планиметрия.— М.: Наука, 1986.— (Б-ка «Квант». Вып. 17).

85. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии: Стереометрия.— М.: Наука, 1984.— (Б-ка «Квант». Вып. 31).

86. Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами: Книга для учителя.— М.: Просвещение, 1986.

Учебники, монографии, пособия для учителей, научно-популярные издания

87. Александров П. С. Введение в теорию групп.— М.: Наука, 1980.— (Б-ка «Квант». Вып. 7).

88. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию.— М.: Наука, 1977.

89. Аргунов Б., Балк М. Элементарная геометрия: Учебное пособие для пед. институтов.— М.: Просвещение, 1966.

90. Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс.— М.: Наука, 1987.— (Б-ка «Квант». Вып. 6).

91. Берже М. Геометрия: (В 2-х т.).—М.: Мир, 1984.

92. Болтянский В. Г., Ефремович В. Г. Наглядная топология.—М.: Наука, 1982.— (Б-ка «Квант». Вып. 21).

93. Вейль Г. Симметрия.—М.: Наука, 1968.

94. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия.— М.: Наука, 1981.

95. Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках.— М.: Наука, 1985.— (Б-ка «Квант». Вып. 14).

96. Глейзер Г. И. История математики в школе: 7—8 классы: Пособие для учителей.— М.: Просвещение, 1981.

97. Глейзер Г. И. История математики в школе: 9—10 классы: Пособие для учителей.—М.: Просвещение, 1983.

98. Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы.— М.: Мир, 1971.

99. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты: Очерки по истории математики.— М.: Мир, 1986.

100. Замечательные ученые / Под ред. С. П. Капицы.— М.: Наука, 1980.— (Б-ка «Квант». Вып. 9).

101. Кац М., Улам М. Математика и логика: Ретроспектива и перспективы.—М.: Мир, 1971.

102. Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию.— М.: Наука, 1966.

103. Комацу М. Многообразие геометрии.— М.: Знание, 1981.

104. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?: Элементарный очерк идей и методов.— М.: Просвещение, 1967.

105. Левитин К. Геометрическая рапсодия.— М.: Знание, 1984.

106. Оре О. Графы и их применение.— М.: Мир, 1965.

107. Петер Р. Игра с бесконечностью.— М.: Просвещение, 1968.

108. Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей.— М.: Гос. учебно-педагогическое изд-во Минпроса РСФСР, 1961.

109. Понтрягин Л. С. Обобщения чисел.— М.: Наука, 1986.— (Б-ка «Квант». Вып. 54).

110. Популярные лекции по математике.— М.: Наука, любые издания. Вып. 1—59.

111. Потоцкий М. В. Что изучает проективная геометрия: Пособие для учащихся 9—10 классов.— М.: Просвещение, 1982.

112. Пулькин С.П. Вычислительная математика: Пособие для учащихся 9—10 классов по факультативному курсу.— М.: Просвещение, 1974.

113. Сойер У. Прелюдия к математике: Рассказ о некоторых любопытных и удивительных областях математики с предварительным анализом математического склада ума и целей математики.— М.: Просвещение, 1972.

114. Сойер У. Путь в современную математику.— М.: Мир, 1972.— (В мире науки и техники).

115. Стинрод Н., Чинн У. Первые понятия топологии.— М.: Мир, 1967.

116. Стройк Д. Краткий очерк истории математики.— М.: Наука, 1978.

117. Стюарт Я. Концепции современной математики.— Минск: Вышэйшая школа, 1980.

118. Широков П. А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского— М.: Наука, 1983.

119. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру.—М.: Мир, 1979.

Справочники и энциклопедии

120. Бородин А. И., Бугай А. С. Биографический словарь деятелей в области математики.— К.: Радяньска школа, 1979.

121. Математика в понятиях, определениях и терминах: Ч. 1: Пособие для учителей / О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин: Под ред. Л. В. Сабинина.—М.: Просвещение, 1978.— (Б-ка учителя математики).

122. Математика в понятиях, определениях и терминах: Ч. 2. О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин: Под ред. Л. В. Сабинина.— М.: Просвещение, 1982.— (Б-ка учителя математики).

123. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, Т. 1—5.— М.: „Советская энциклопедия“, 1977, 1979, 1982, 1984, 1985.

124. Математический энциклопедический словарь.— М.: Советская энциклопедия, 1988.

125. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин.— М.: Педагогика, 1989.

126. Энциклопедия элементарной математики.— М.; Л.: ГИТТЛ, Наука, 1951, 1952, 1963, 1966.—Т. 1—5.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие.................. 3

§ 1. Учебные программы.............. 5

§ 2. Набор учащихся................ 8

§ 3. Планы некоторых уроков............. 16

§ 4. Опросы, коллоквиумы, зачеты............ 62

§ 5. Задания, рассчитанные на длительный срок........ 72

§ 6. Некоторые формы подготовки к экзаменам........ 78

§ 7. Кружки и спецкурсы.............. 82

§ 8. Самостоятельная работа учащихся.......... 86

§ 9. Математические соревнования........... 88

§ 10. О применении компьютеров в преподавании математики .... 99

Ответы, указания и решения.............. 102

Приложение.................. 178

Рекомендуемая литература.............. 184

Учебное издание

Карп Александр Поэлевич

ДАЮ УРОКИ МАТЕМАТИКИ...

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Г. А. Шалимова

Младшие редакторы О. В. Агапова, Т. Н. Клюева Художники Б. Л. Николаев, А. £. Танков Художественный редактор Ю. В. Пахомов Технический редактор Л. М. Абрамова Корректор Г. И. Мосякина

ИБ № 13 527

Сдано в набор 16.11.90. Подписано к печати 21.10.91. Формат 60X907i6- Бумага газетная. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 12,0. Усл. кр.-отт. 12,25. Уч.-изд. л. 11,0. Тираж 118 000 экз. Заказ 923.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Министерства печати и информации Российской Федерации. 127526, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Министерства печати и информации Российской Федерации. 4100G4, Саратов, ул. Чернышевского, 59.