Карасев П. А. Геометрия на подвижных моделях : изготовление и применение подвижных моделей геометрических форм : (планиметрия). — М. : Гос. изд-во, 1924. — 104 с. — (Пособия для трудовой школы).

ПОСОБИЯ ДЛЯ ТРУДОВОЙ ШКОЛЫ

П. КАРАСЕВ

ГЕОМЕТРИЯ НА ПОДВИЖНЫХ МОДЕЛЯХ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА.

Учебники и учебные пособия для учащихся.

АРИФМЕТИКА.

Глазенап, С. Народный задачник. Ч. 1. Ц. 80 к. Ч. II—80 к. Ч. III—70 к.

Горбунова-Посадова, Е. и Цунзер, И. Живые числа, живые мысли. Книга I. Ц. 45 к.

Звягинцев, Е., Бернашевский, А. и Васильев, Г. Живой счет. Для городской школы. Ч. I—. Ч. II. Ц. 30к. Ч. III. 35 к.

Звягинцев, Е., Бернашевский, А. и Васильев, Г. Живой счет. Для сельской школы. Ч. I. Ц. 30 коп. Ч. II—35 к. Ч. III—40 к.

Зенченко, С. В. и др. Жизнь и знание в числах. 1 й год обучения —, 2-й год. Ц. 20 к. 3-й год-15 к. 4-й год—60 к.

Лебединцев, К. Ф. Счет и мера. Ариф метика в связи с начатками геометрии. Ч. 1. Ц. 1 р. 2С к. Ч. II.— 1 р. 30 к.

Масленников, М. Н. Задачник-руководство по математике для взрослых. Ч. I. Ц. 30 к.

Норрис, Э. и Смит, К. Практическая арифметика. Ц. 1 р. 50 к.

Воронец, А. Справочник по математике. 1921 г. Ц. 30 к.

Воронец, А. Справочник по математике. 1923 г. Ц. 1 р. 50 к.

Игнатьев, Е. И. В царстве смекалки или арифметика для всех. Кн. I—, кн. II. Ц. 2 р., кн. III.—2 р. 25 к.

Каменьщиков, Н. Начальный счет. Ц. 25 к.

Шалыт, Е. Математическая грамота. Ц. 80 к.

Рывин, И. П. Краткое руководство по математике. Вып. I. Арифметика.

Сигов, И. А. Начальная математика. Д. 1 р. 80 к.

Норрис, Э. и Крэго, Р. Практическая математика для Техников. Ч. II. Ц. 1 р. 50 к.

Нейдорф, Р. Учебник математики.

Тер-Степанов, И. С. Сборник задач по арифметике. Вып. I. Ц. 1 р.

Его-же. Сборник задач по арифметике. Вып. II.

ГЕОМЕТРИЯ и ТРИГОНОМЕТРИЯ.

Воронец, А. Геометрия. Часть I. Планиметрия. (Печ).

Богомолов. Систематический курс геометрии.

Вольф, Ф. X. Практическая геометрия. Вып. I. Ц. 25 к.

Александров. Методы решения геометрических задач на построение.

Астряб, А. М. Задачник по наглядной геометрии. Ц. 1 р. 15 к.

Астряб, А. М. Курс опытной геометрии в 4 частях. Ц. 1 р. 40 к.

Никитин, А. И. Первая ступень из геометрии. Ц. 30 к.

Его-же. Вторая ступень из геометрии. LI 50 к.

Его-же. Маленький сборник математических навыков. (Печ.).

Извольский, Н. Геометрия в пространстве (Стереометрия-). Ц. 1 р. 30 к.

Извольский, Н. Геометрия на плоскости. (Планиметрия). Ц. 2 р.

Кавун, И. Н. Начальный курс геометрии, Ч. I. Ц. 70 к Ч. II.—70 к.

Казаров, А. Сборник геометрических задач на вычисление. Ц. 90 к.

Казаров, А. Сборник задач по аналитической геометрии на плоскости. Ц. 50 к.

Каменыциков, Н. Четырехзначные логарифмы чисел и тригонометрических функций. Ц. 10 к.

Миккельсар, Ф. Г. Учебник геометрии. Ц. 50 к.

Михайлов, А. Таблицы логарифмов с четырьмя десятичными знаками. Ц. 20 к.

Горячев, Д. Н. Основания анализа бесконечно-малых. Ц. 60 к.

Гюнтер, Н. М. Краткий курс тригонометрии. Ц. 1 р. 10 к.

Перельман, Я. И. Новый задачник по геометрии. Ц. 60 к.

Его-же. Практические занятия по геометрии. Ц. 80 к.

Пиотровский. Тригонометрия.

Его-же. Прямолинейная тригонометрия и собрание тригонометричес их задач. Ц. 2 р. 50 к.

ПОСОБИЯ ДЛЯ ТРУДОВОЙ ШКОЛЫ

П. КАРАСЕВ

ГЕОМЕТРИЯ НА ПОДВИЖНЫХ МОДЕЛЯХ

ИЗГОТОВЛЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ПОДВИЖНЫХ МОДЕЛЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМ

(ПЛАНИМЕТРИЯ)

НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЕКЦИЕЙ ГОСУДАРСТВЕННОГО УЧЕНОГО СОВЕТА ДОПУЩЕНО ДЛЯ ШКОЛ I И II СТУПЕНИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА 1924

Гиз № 7417. Ленинградский Гублит № 8703. Тираж 15.200 экз.

Типолитография „Красный Печатник", Ленинград, Международный, 75.

ВВЕДЕНИЕ.

„Съезд признает необходимым усилить наглядность преподавания математики на всех его ступенях". (1-й пункт резолюции 1-го Всероссийского Съезда преподавателей математики. СПБ. 26/XII—5/1 1910 г.)

I.

В последнее время и в педагогической литературе, и на съездах преподавателей математики, и в научно-педагогических кружках все чаще и чаще раздаются голоса, указывающие, на неправильность пути, по которому идет преподавание элементарной геометрии. Начиная преподавание ее с систематического курса, преподаватель неминуемо сталкивается с фактом несоответствия строго научной системы, построенной на чистой логике с требованиями детского ума, склонного к конкретизации, к образному способу усвоения научных истин. Если начинать геометрию с систематического курса, то в каждой теореме приходится доказывать справедливость такой истины, сущность которой детьми практически наглядно не усвоена, всеобщность ее не сознана и потребность в доказательстве, которое дети учат, ничем не вызвана. Неудивительно, что забываются учениками не только доказательство, но и самые свойства геометрических форм.

В установившейся практике прохождения систематического курса „доказательство" является чем-то исключительно главным, чуть ли не единственным критерием

знания геометрии1), забывается, что теоремы доказывают не в одной геометрии, а во всякой науке, что главною целью геометрии является изучение образования или „построения" геометрических форм, выяснение свойств каждой отдельной формы, и, наконец, установление зависимости между формами. Раньше самого доказательства надо обладать истиною, справедливость которой предстоит доказывать; обладание же этой истиной достигается при помощи всевозможных приемов наглядного характера, а укрепление ее в уме ученика—при помощи задач. Доказательство здесь должно занимать среднее место: когда уже наиболее пытливые ученики начинают обращать внимание на постоянство этого свойства, начинают спрашивать: „Почему это всегда так бывает?", тогда лишь на вопрос „почему" ответом является доказательство.

В ряду методов наглядного характера, способствующих усвоению на отдельных примерах геометрических истин, следует отметить применение различного рода моделей, в особенности моделей подвижных.

II.

В начале изучения геометрии, когда геометрическое воображение детей еще не развито, необходимо притти ему на помощь при изучении действий с отрезками, углами и др. формами. Неопытный глаз, несомненно, испытает большее удовлетворение, видя, как один отрезок при сложении переносится к другому и сливается с ним, давая один большой отрезок, как сливаются два угла в один, как накладывается один угол на другой,— чем если бы это было выполнено при помощи чертежа. Необходимо притти на помощь воображению и в таких случаях, когда для доказательства приходится пользоваться вращением или перегибанием фигуры.

1) Как часто при беседах о математике, в обществе, с людьми вполне интеллигентными, приходится встречаться с представлением о геометрии, как о таком (единственном в своем роде) предмете, где только и делают что „доказывают теоремы"!

Конечно, это необходимо лишь в начале курса, в малом сравнительно возрасте. Чтобы не избаловать воображения подобными приемами, полезно проделанное на модели упражнение сейчас же повторять на чертеже, который таким образом будет следующей стадией отвлечения.

Если признать, что первою ступенью геометрического развития должно быть образование форм, то модели в этом деле будут иметь вполне определенное значение, давая более конкретные формы, чем простой чертеж.

III.

Далее, по мере изучения геометрии, польза моделей как пособников воображению, бледнеет—и справедливо, потому что ученику уже пора привыкать к отвлечению, потому что ученику, проработавшему год по геометрии, можно предъявлять уже другие требования, более высокие, чем к начинающему ученику.

Здесь на первый план выступает новое значение, новая особенность модели—и именно подвижной модели.

Выясним на самом простом примере эту вторую особенность геометрической модели.

Пусть нам нужно изучить свойство углов △-ка. Предложим каждому ученику взять лист бумаги и приготовить треугольник какой угодно формы (можно даже заказать это как домашнюю работу).

Пусть они отметят цифрами углы △△-в, оторвут эти углы и сложат. У всех учеников углы образуют в сумме 2d. Один подобный опыт, произведенный пред учениками на доске, не удивит их: мало ли что бывает! Но вот когда 30—40 треугольников, и косоугольных, и прямоугольных, и тупоугольных, дают один и тот же результат—это обстоятельство их поражает. Всегда слышишь вопрос: „Да почему это так?" Один опыт есть случайное явление, но когда он оправдывается много раз, то это уже указывает на существование определенного закона.

Тогда только у учеников является потребность объяснения этого закона.

Геометрическая теорема является, таким образом, выражением некоторого общего закона, а доказательство ее есть ответ на вопрос учеников, „почему это всегда так бывает?" Доказательство—не только справедливости закона, но и его всеобщности для форм данного вида.

Таким образом, усвоение геометрических истин, наиболее естественным для детского ума путем, должно начинаться с отдельных частных случаев, и теорема является их обобщением, — известным законом, обнимающим весь комплекс однородных явлений.

Задача провести этот принцип чрез всю геометрию всегда казалась мне заманчивой, но и до сих пор представляется трудно выполнимой.

Все дело в том, как создать эти частные случаи, не загромождая урока? Конечно, наиболее естественный и во многих случаях незаменимый прием — это черчение геометрических форм, многих однородных форм, изучение их и выяснение общего для них закона. Во многих случаях это дает удовлетворительные результаты. Но здесь можно встретиться с опасностью загромоздить урок созданием этих частных случаев. И это стремление избежать загромождения урока вызвало мысль о подвижных моделях, т.-е. таких изменяющихся формах, которые могут отделяться от плоскости доски или бумаги, прикрепляющих простой геометрический чертеж.

Возьмем, например, подвижной параллелограмм. Разсматривая его форму, мы видим, что диагональ делит параллелограмм на 2 равных △-ка, и обе диагонали делят друг друга пополам. Изменяя форму пар-мма, мы видим, что изменяется величина △-в, величина диагоналей, но △△-ки остаются равными между собою, и диагонали постоянно делят друг друга пополам. Этим подчеркивается (и не словом, а делом) на опыте общность свойств параллелограмма, указанных выше. Подвижность модели разрешает вопрос о создании многих частных случаев, так как одна модель, изменяясь, создает множество форм.

Далее:

При изложении геометрии формы ее обыкновенно остаются неизменяемыми, закостеневшими. Правда, мы с ними производим разные манипуляции: накладываем одну форму на другую, перегибаем, перевертываем, вращаем их,—но сами-то формы не изменяются.

Вводить понятие о переменных величинах стало обязательным лишь в отделе об окружности и круглых телах. А между тем было бы очень поучительно провести принцип изменения форм чрез весь курс геометрии (конечно, насколько это позволяют возраст и знания учеников). Достаточно указать, что при этом пропорциональную зависимость в геометрии можно было бы изложить не как равенство отношений 4-х постоянных форм, а в виде равенства двух переменных величин, что формулу К = Tri?2 можно было бы рассматривать как закон изменения площади круга при изменении радиуса, тт — тогда являлось бы коэффициентом пропорциональности и т. д.

При этом подвижные модели могли бы сыграть значительную уясняющую служебную роль. Насколько рисунок на доске закрепит форму, настолько подвижная модель подчеркнет изменяемость формы и позволит проследить процесс изменения одной величины в зависимости от другой и неизменяемость третьей, если таковая при этом окажется.

IV.

Хотя применение подвижных геометрических моделей возможно на протяжении всего курса геометрии, но главное их значение в тех отделах, где изучаются, главным образом, числовые соотношения геометрических форм. Обычный метод, которым излагаются отделы, таков: дается известное общее свойство геометрической формы, разъясняется его сущность, доказывается его справедливость и, наконец, оно закрепляется в уме ученика применением к решению ряда вопросов и задач. Если это свойство выражается известным числовым соотношением, то зависимость между геометрическими формами

выражается в виде алгебраической формулы. Ученики уже после доказательства (в задачах) подставляют в эти формулы числовые значения. Выражаясь кратко, путь, проходимый при этом учениками, таков: геометрическое свойство, формула, число.

Этот путь не из лучших, особенно в начале курса алгебры и геометрии. Для сознательного отношения к геометрической формуле, особенно такой, где приходится оговариваться, что под буквами а, р, г мы подразумеваем числа, измеряющие известные отрезки,—для сознательного отношения к таким формулам полезна, быть-может, даже необходима предварительная числовая подготовка; иначе говоря, необходимо дать ряд однородных частных примеров, из которых учащийся сам бы мог вывести известное свойство, и, обобщив его, мог бы выразить это свойство формулой.

Например, измерив диаметры и длину окружности нескольких кружков и найдя отношение каждой окружности к своему диаметру (при тщательном измерении и длине окружности не менее 15:20 см. точность достигает 0,01), учащийся замечает, что отношения эти равны, и выражает это подмеченное свойство формулой. Этим подготовляется почва для доказательства теоремы: отношение окружности к диаметру есть величина постоянная.

Или, построив несколько треугольников с биссектрисами углов и измерив отрезки, на которые биссектриса делить сторону △-ка, взяв отношение этих отрезков и отношение остальных двух сторон, легко можно подметить, что эти отношения равны (при классной работе достаточно ограничиваться одной значущей цифрой). Это повторяющееся равенство отношений дает основание подметить закон, выраженный уже в общем виде, в виде общей алгебраической формулы: отношение отрезков, на которые биссектрисса делит сторону △-ка, равно отношению двух других сторон. Естественный путь здесь такой: 1) ряд частных (числовых примеров), 2) обобщение их—формула», 3) доказательство ее всеобщности, 4) решение задач и вопросов для связи открытого вновь свойства с свойствами, прежде изученными.

Каким же способом дать ученикам эти частные случаи для вывода общего свойства? В первом из приведенных выше примеров можно дать для измерения правильно сделанные кружки или правильно начерченные большие круги на полу. Во многих случаях приходится ограничиваться черчением на доске и измерением начерченных форм. Нечего говорить, как кропотлива и ненадежна такая работа. Отсюда вытекает необходимость создания геометрической формы, не застывшей, а могущей принимать множество видов, могущей дать множество частных случаев, иначе говоря—формы подвижной,—формы, достаточно точно построенной для измерения при классной работе. Вот еще новые соображения, оправдывающие введение подвижных моделей в виде пособия при изучении элементарной геометрии.

Таким образом, методическое значение подвижных моделей заключается в том, что они дают классу необходимый числовой материал, после обработки которого как обобщение получается геометрическая формула.

Но при этом мы можем встретиться с возражением, что вообще вычисления—вещь чуждая для чистой геометрии, что вычислительной стороне следует в курсе элементарной геометрии отвести третье место, основывая убеждение учеников или на чисто геометрической наглядности, или на строгой логике. Это мнение нельзя признать справедливым и последовательным.

Вводя в геометрию алгебраические формулы, действия над геометрическими величинами, как над количествами, мы уже нарушили древне-греческую чистоту геометрического учения, и уж если мы решились основывать чисто геометрические выводы на преобразованиях алгебраических формул, то необходимо, чтобы формулы эти имели для ученика вполне осязательный смысл, чтобы он в буквах, входящих в состав этих формул, научался видеть реальные величины, а не одни лишь буквы. Необходимой подготовкой к этому является число.

Ученик должен из нескольких однородных примеров путем непосредственного измерения получить известные числовые соотношения и затем убедиться, что эта зависи-

мость не случайна, а постоянна, откуда получается идея о постоянстве известного геометрического свойства; это даст ему право обобщить эти соотношения, т.-е., заменив числа буквами, выразить соотношение в общем виде.

Конечно, при измерениях получатся ошибки, зависящие от несовершенства способов измерения, но ученик еще из арифметики должен знать^ что всякое измерение не точно и все дело при этом в установлении размеров ошибки и степени точности. Упражнения геометрического характера дадут удобный повод учителю повторить и на новом материале несколько развить этот важный вопрос о точности чисел, получающихся при измерениях, и о степени точности операций, производимых над этими числами.

V.

Итак:

Особенностями подвижной модели, сравнительно с обыкновенными рисунками на доске, являются: во-первых, большая точность ее, сравнительно с рисунком, сделанным в классе в течение ограниченного времени, одного урока.

Во-вторых, самая подвижность ее, дающая возможность: а) получить множество частных примеров одного и того же свойства данной формы и б) проследить эволюцию самой формы—например, проследить изменение величины стороны △-ка при превращении его из косоугольного в прямоугольный и в тупоугольный. Эта подвижность облегчает введение в элементарную геометрию представления об изменяющихся формах, о переменных величинах геометрии.

В-третьих, подвижность модели дает представление о так называемых предельных случаях, при которых известная форма достигает предела своего изменения, превращаясь частью в новую форму—напр., △-к в прямую, хорда в точку, секущая в касательную и т. д.

Затем, подвижная модель более приспособлена для вычислительных упражнений, так как на ней уже нане-

сены деления, что сильно сокращает время. Затем, давая множество различных положений известной формы в самое короткое время, модель может в это время дать громадный числовой материал, которым можно занять весь класс.

Кроме этих общих особенностей, каждая модель имеет свои особенности, отличающие ее от соответствующих чертежей. Эти особенности могут быть выяснены, конечно, при знакомстве с каждою моделью отдельно.

Не лишним будет также отметить, что подвижные модели, относящиеся к начальным отделам геометрии, могут быть полезны прежде всего, конечно, там, где существенною частью доказательства является движение, в форме наложения, приложения, перегибания, вращения и т. п. движений.

Наконец большую пользу может оказать подвижная модель в пропедевтическом курсе геометрии, проходимом в том возрасте, когда детский ум может понять сущность известной геометрической истины, но не в состоянии связать ее строго логическим путем,—путем доказательства, с ранее известными истинами. Здесь приходится прибегать к убеждению при помощи наглядности.

Геометрическая подвижная модель, давая не один, а множество примеров одной и той же геометрической истины, способна быть более убедительной, чем простой чертеж.

Предлагаемая ниже система подвижных моделей дает понятие об идее выполнения и применения таких моделей, осуществление же ее может выливаться в разнообразные формы. Важно, чтобы идея эта была проведена возможно полнее через весь курс геометрии. Возможно, что личный опыт каждого педагога укажет те поправки и дополнения, которые следует внести в приводимую ниже серию моделей, и поэтому было бы правильным разграничивать критику самого принципа от критики его осуществления.

Описываемые ниже модели могут быть разделены на три категории:

В первую войдут модели, не имеющие большого методического значения. Они имеют значение лишь как иллюстрации объяснений учителя, который, например, говорит: „перегибаем △-к" и на самом деле перегибает модель.

Отличие их от моделей 2-й и 3-й категории в том, что они представляют единичный случай: одна единственная фигура превращается в одну единственную же, например, круг, при перегибании дает полукруг, равнобедренный треугольник превращается в прямоугольный △-к, трапеция—в параллелограмм и т. д. Одна модель этой категории будет служить иллюстрацией и не даст права вывести определенный закон из нескольких случаев. Но если такие модели сделает каждый из учеников, то совокупность их исследований даст уже представление об определенном законе.

Конечно, многие из них можно заменить чертежом, но преимущество моделей состоит лишь в том, что они уже готовы, на приготовление их не надо тратить дорогого времени, они точнее и, наконец, нагляднее.

К таким моделям относятся:

Действия над отрезками.

Действия над углами.

Свойства смежных углов.

Вертикальные углы.

Образование △-ка.

Образование равнобедренного △-ка и свойство его биссектрисы.

Равенство △△-ков. Параллельность прямых. Сумма углов △-ка. Свойство трапеции. Действия над дугами

Свойства диаметра и касательной в круге.

Равновеликость и равенство фигур. Непосредственное измерение площадей. Площадь параллелограмма Площадь △-ка прямоугольного. Площадь всякого треугольника. Площадь ромба. Площадь трапеции. Теорема Пифагора.

Модели 2-й категории, в силу самой своей подвижности имеют большее методическое значение. Такая модель представляет собою определенную геометрическую фигуру, могущую изменяться, могущую принимать различные формы, но в то же время оставаться фигурой того же вида. Например, треугольник может переходить из косоугольного в прямоугольный и затем в тупоугольный и т. д.

Данная геометрическая фигура обладает данным свойством; мы изменяем вид этой фигуры, она, таким образом, принимает бесчисленное множество форм, но свойство фигуры остается постоянным. Это постоянное свойство есть закон, которому подчиняются все фигуры одного вида.

Напр.: взяв раздвижной ромб с диагоналями, мы замечаем, что какую бы форму ему мы ни дали, всегда его диагонали останутся перпендикулярными друг к другу и будут делить его углы пополам.

Значение модели и будет заключаться в том, что она будет подчеркивать постоянство свойства какой-нибудь фигуры, независимо от ее формы.

Ко 2-й категории относятся следующие модели:

Внешний угол △-ка.

Зависимость между стороною и противоположным углом в одном треугольнике.

Изменение проекции отрезка с изменением наклона, его к оси.

Расстояние точки А от В и С и положение ее по отношению к ⊥ из средины ВС

Два перпендикуляра к одной и той же прямой.

Биссектрисы двух смежных углов.

Углы с соответственно параллельными сторонами.

Свойства параллелограмма.

Свойства ромба.

Свойства средней линии трапеции Действия над дудами. Относительное положение окружностей. Центральные углы и соответственные дуги. Отношение площадей подобных △△-ков.

Наконец модели 3-й категории сходны с моделями 2-й тем, что там и здесь образуется множество видов одной и той же фигуры, но свойство данной фигуры представляет определенное количественное соотношение, выражаемое алгебраической формулой. В этом случае закон выясняется, как обобщение отдельных вычислительных операций. Напр., вращая хорду около одной внутренней точки, мы видим, что как сама хорда, так и отрезки ее изменяются. Но, измерив, хотя бы в сантиметрах, два ее отрезка и перемножив эти числа, мы находим некоторое число, которое будет одинаково для всевозможных хорд, проходящих через одну точку. Это постоянство числа и есть закон, но уже носящий числовой характер, и эта особенность приводит к измерительным и вычислительным упражнениям, которые и составляют главное отличие моделей 3-й категории. Для большего удобства и точности измеряемые части моделей разделены на сантиметры.

Так как измерения не могут быть абсолютны точны,— не точнее, чем до 1 мм., той вычисления с полученными от измерений числами не могут дать абсолютно точных результатов, приходится вычислять с определенным приближением, округлять получаемые результаты. Эти упражнения могут быть полезны в том отношении, что дают возможность судить о степени точности вычислений, производимых над приближенными числами. Модели,

приготовленные достаточно тщательно и указанных ниже размеров, дают 2—3 верных цифры.

К моделям этой категории относятся:

Универсальная модель круга.

Свойство секущей △-ка, проходящей параллельно одной из сторон его.

Свойство прямой, вращающейся около точки и пересеченной параллельными линиями.

Биссектриса угла △-ка.

Извлечение квадр. √ из чисел.

Теорема Пифагора (числовое выражение ее).

Зависимость между сторонами косоугольного и тупоугольного △-ка.

Пропорциональные линии в круге: а) хорды, b) секущие, с) касательные, d) перпендикуляр к диаметру.

Свойства прямоугольного △-ка, пересеченного перпендикуляром, опущенным на гипотенузу из вершины прямого угла.

Отношение площадей подобных △△-в.

Технические указания для изготовления геометрических моделей1).

Почти все модели изготовляются из картона, кроме немногих, которые требуют более прочной основы и поэтому устраиваются на доске.

А. Материал.

1. Картон.

а) Для основы моделей может служит какой угодно картон, лишь бы он был оклеен достаточно плотной бумагой. Но лучше всего, особенно там, где на картоне приходится чертить, взять: 1) английский нотный темно-желтого цвета или 2) серый очень плотный (№ 10) (необходимо оклеивать бумагой).

б) Для подвижных частей—бристольский (6-листный) или карточный.

2. Миллиметровая бумага.

Продается в чертежных и писчебумажных магазинах. Лучше выбирать бумагу с резкой, отчетливой сеткой. В некоторых моделях (№№ 34, 35) бывает необходимо пользоваться двумя сортами бумаги: основу оклеивать мм. бумагой одного цвета, а полоски подвижные или неподвижные—другого цвета.

1) Составлены при содействии покойного преподавателя ручного труда В. Н. Сорокина. П. К.

3. Клей.

а) Крахмал (в москательных лавках)—для клейки (не смешивать с крахмалом для белья). Способ заварки обычный. Насыпав в стакан столовую ложку крахмала, добавить 2—3 ложки сырой воды, размешать, обратив все в массу вида сметаны или густых сливок, и затем медленно лить в стакан крутого кипятку, пока вся масса мгновенно не станет полупрозрачной и очень вязкой.

б) Столярный клей—худшие сорта. Расколоть на куски величиной с кусок сахара, залить водою—лучше холодной. Продержать сутки; за это время—клей расползется в студень, затем поставить на огонь и все время помешивать; снять раза два пену. Прокипятить раза два.

При разогревании, если надо, доливать кипяченой водой. Чтобы клей не сох слишком скоро, поставить жестянку с ним в другую, наполненную кипятком.

в) Тонкие полосы можно приклеивать синдетиконом, но при этом, выдавив из трубочки валик клея, надо, проводя ребром картона, распределить его по всей полоске.

4. Для некоторых моделей требуется ластик—резинка. Лучше для этой цели взять круглый ластик—черного или белого цвета, смотря по фону: если фон светлый, то черного, если темный, то белого цвета.

5. Блочки для скрепления движущихся частей (См. Инструменты).

В. Инструменты.

1. Нож. Бумагу и картон надо резать ножом, а не ножницами, потому что только при этом условии получаются строго прямолинейные обрезы, что для моделей очень важно.

Нож обычный переплетный, с лезвием закругленным с двух сторон. Нож с прямолинейной спинкой дерет

бумагу. Хорош и обыкновенный перочинный нож, но он скоро разбалтывается в скрепах и портится.

2. Линейка. Чертежные линейки очень быстро изрезываются и делаются негодными. Лучше для этой цели иметь фальцовочную линейку.

3. Щипцы для блочков и для скрепления подвижных частей—в писчебумажных, канцелярских принадлежностей и в сапожных магазинах. Блочки выбирать подлиннее, а иногда и полезно вставлять один блочок в другой, друг навстречу другу.

4. Кальку (для шарниров более точных моделей) коленкоровую—в писчебумажных и технических магазинах.

Главною составною частью моделей должны быть полоски бристольского картона, играющие роль геометрических отрезков и линий. Их следует заготовить оптом для всех моделей сразу, взяв картон (6-листку) и разрезав его в длину на полоски шириною в 1 см. На другой лист наклеить синдетиконом или столярным клеем мм. бумагу, при чем валик синдетикона, выдавленный на бумагу, надо распластать по ней, проведя ребром хорошо обрезанного картона. Затем лист с наклеенной бумагой положить сохнуть под пресс между двумя листами газеты на день или два и острым ножом разрезать строго по линиям на полоски в 1 см. шириною; это разрезывание довольно трудная вещь, требующая и напряженного внимания и простой силы. Разрезанные полоски всего лучше держать или приколотыми обоими концами к стене или зажатыми в папке, иначе они могут покоробиться.

Важную роль в некоторых моделях играют шарниры, около которых вращаются полоски (рис. 1). Практичнее всего осуществить их таким образом: берется лучшая калька, оклеивается бумагой того же цвета, как и общий фон модели (рекомендую глянцовитую, плотную, темно-синюю альбомную бумагу), просушивается, и из нее вырезаются ножницами кружочки диаметром в 1 см., которые и приклеиваются затем к полоскам. Центр кружка должен быть центром вращения полоски и началом отсчета. Издали на 2—3 шага на том же фоне этот кружок

совершенно незаметен. Затем прокалываются булавкой (тонкой, лучше всего для бабочек) до самой ее головки,

кружок и картон и за картоном наклеенный еще круглый кусочек картона для того, чтобы булавка не разбалтывалась, и конец булавки откусывается кусачками. Этот способ разрешает вращение около одной точки двух и даже 3-х полосок.

Рис. 1. Полоска с шарниром на конце.

Подвижные модели.

Приготовление и применение на уроке отдельных моделей.

I. Отрезок.

Модель отрезка изготовляется из полоски картона белого плотного в 1 см. ширины и в 30—50 см. длины, прикрепленной к доске кнопками, которые будут отмечать конечные точки отрезка.

Задача 1-ая.

Даны два отрезка а и b (рис. 2). Для сложения их проведем на доске прямую линию, приколем на ней кнопками сначала отрезок а, а потом к его концу в том

Рис. 2. Даны два отрезка: а и b.

же направлении отрезок Ъ. Оба они сольются в один отрезок АС, который и будет их суммой: ~ä+1 = AC (рис. 3).

Рис. 3. Сложение отрезков а и b.

Повторив то же с начерченными отрезками, перенося их циркулем и линейкой на произвольную прямую, решим ту же задачу черчением.

Задача 2.

Из отрезка а вычесть отрезок h

Вычитание отрезков делается таким же перенесением на одну прямую,но вычитаемый отрезок накладывается на уменьшаемый, и при этом в противоположную сторону (рис. 4).

Рис. 4. Вычитание отрезков а и Ь.

а-Ъ=АС Повторим эту задачу черчением. Подобным же способом решаем задачи: „Задачи:

3) Построить отрезок=За (а+а+а) (рис. 5).

Рис. 5. Умножение отрезка а на 3.

4) Построить: За-\-2Ъ.

5) Построить: 5а—Зе.

Каждую из этих задач повторяем черчением.

6) Разделить отрезок пополам.

Рис. 6. Деление отрезков.

Для деления модели пополам достаточно ее перегнуть и сложить вдвое. При черчении, в виду невозможности такого приема, приходится применять другой (обычный) способ.

Задача 7. Разделить отрезок на 4, на 8 частей (рис 6).

В приготовительном курсе ученики убеждаются в правильности деления отрезка при помощи циркуля. В систематическом курсе доказательство откладывается на позднее время, или же все действие деления отрезка переносится в позднейшую часть курса.

II. Угол.

Образование угла двумя лучами, выходящими из одной точки, можно осуществить при помощи двух полосок картона (лучей), скрепленных в одном конце (рис. 7).

Рис. 7. Острый уюл.

Будем вращать луч AB в направлении, указанном стрелкой. Тогда наклон луча AB к лучу АС будет увеличиваться, будет увеличиваться угол ВАС, образованный этими лучами/

При этом важно показать следующие положения:

a) Угол увеличивается.

b) Уменьшается.

c) Угол=0.

Рис. 8. Прямой угол.

d) Угол прямой (рис. 8).

Рис. 9. Тупой угол.

е) Угол тупой (рис. 9).

i) Угол развернутый—2 прямым (рис. 10).

Рис. 10. Развернутый угол.

g) Угол больше 2-х прямых.

h) Угол=3 прямым (рис. 11).

Рис. 11. Угол равный За.

i) Угол более 3 прямых.

Далее задачи на построение: построить равный данному.

III. Действия над углами.

Можно образовать угол проще: просто вырезать его из бумаги (рис. 12). При этом важно обратить внимание на то, что в данной модели угол образуется только его ровно обрезанными краями, а на то, что содержится между ними, внимания обращать не следует.

Рис. 12.

а) Сложение углов.

Чтобы сложить углы I и П (рис. 13), надо приложить I к II так, чтобы стороны их совпали. ^/ ЛВС бу-

дет их суммой (рис. 14). Повторим эту задачу построением.

б) Вычитание углов.

Для вычитания углов (рис. 13) надо их вырезать из бумаги различных цветов, тогда разность углов выяснится отчетливее.

Рис. 14. Сложение углов.

Как и при вычитании отрезков, вычитаемый угол накладываем на уменьшаемый в противоположном направлении (рис. 15).

в) Умножение углов.

Для умножения углов надо вырезать несколько равных углов из бумаги одного цвета и приложить их друг к другу последовательно, как при сложении.

Рис. 15. Вычитание углов.

Черчение: Построить угол=3а.

г) Деление угла пополам.

Перегибая и расправляя модель угла, осуществляем деление угла пополам. Граница, делящая угол пополам— прямая линия—равноделящая.

Повторим эту задачу черчением.

д) Деление угла на 4, 8 и т. д. равных частей перегибанием и черчением (рис. 16).

IV. Смежные углы.

Модель устроена из 3 полосок по 50 см., сколотых в конце одной кнопкой.

1) Сложим два угла и, оставив неподвижной стороны АС и AB, третью AB будем вращать (рис. 17) до тех пор, пока А В и AB не выпрямятся—не образуют одной прямой линии. Тогда образуются два смежных угла (рис. 18).

Отсюда определение смежных углов, как таких, которые имеют общую вершину, общую сторону, и две другие стороны их расположены на одной прямой.

Рис 17. Образование смежных углов.

2) Оставив DAB неизменяемой, будем вращать АС (рис. 19). При этом легко подметить увеличение правого и уменьшение левого угла. Наступит положение, когда эти углы станут равными, тогда каждый из равных смежных углов будет прямым (рис. 20). Отсюда—определение прямого угла.

Рис. 18. Смежные углы.

Рис. 19. Образование прямого угла.

Рис. 20. Образование прямого угла.

V. Образование прямого угла.

Можно образовать прямой угол: а) посредством перегибания обрезанной бумаги пополам; б) посредством складывания какого угодно клочка бумаги пополам и еще раз пополам.

VI. Вертикальные углы.

При пересечении двух прямых крест-накрест образуются вертикальные или противоположные углы.

При рассмотрении модели (рис. 21) вырабатывается определение противоположных углов.

Рис. 21. Вертикальные углы.

Раздвигая стороны углов (рис. 22), убеждаемся, что хотя вертикальные углы могут и увеличиваться и уменьшаться, но равенство между ними сохраняется. Это их постоянное свойство.

VII. Треугольник.

Построение треугольника из 3-х данных отрезков (рис. 23).

Для построения надо укрепить неподвижно отрезок с, а & и а вращать до тех пор, пока другие концы их не совпадут (рис. 24).

Рис. 22. Вертикальные углы всегда равны.

Рис. 24. Треугольник.

Это построение облегчит следующую затем задачу на построение (черчением): построить Д по трем данным сторонам.

Случай невозможного построения (рис. 25).

Рис. 25. Случай, когда невозможно построить Д по 3 данным сторонам.

Теперь возможно познакомить детей с другой моделью △-ка, вырезанною из бумаги сначала с обведенными

краями, а затем без обводки краев, выяснив предварительно, что считать за стороны и что за углы.

VIII. Образование равнобедренного △-ка.

Образование равнобедренного △-ка двумя последовательными перегибами листа бумаги видно из рисунка (рис. 26).

Рис. 26. Образование равнобедренного △-ка перегибанием бумаги.

IX. Свойство равнобедренного △-ка.

Сделав из бумаги несколько треугольников (рис. 27) и складывая их так, чтобы их боковые стороны совпали, мы убеждаемся, что лишь у равнобедренного △-ка равноделящая угла при вершине делит основание пополам и образует с ним прямые углы (рис. 28).

Рис. 27. Равноделящие △-в.

X. Равные △△-ки.

Сущность равенства △△-в выясняем при наложении двух равных моделей. При этом обращаем внимание, что все элементы одного △-ка совпадают с соответственными элементами другого и, следовательно, в равных △△-х соответственные элементы равны. Равенство △△-в по трем соответственно равным сторонам доказывается посредством приложения. Рис. 29 поясняет этот способ.

XI. Внешний угол △-ка (рис. 30).

Берем три полоски AD=100 см., AB = 60 см, ВС=А0 см., при чем для разнообразия случаев АВ>ВС

ВА прикрепляем 2 кнопками к доске, при чем кнопка А играет роль шарнира, около которого может вращаться

Рис. 29. Равенство △-в по 3 соответственно равным сторонам.

Рис. 30. Свойство внешнего угла △-ка.

полоска AB, влекущая за собою прикрепленную кнопкой В полоску ВС1). Конец С скользит по полоске AB. Таким образом создается Д ABC изменяемой формы, в котором С (правый) будет внешним. Как бы ни изменялась форма △-ка, всегда j/C^> /_iH / С> /_В, что можно еще отчетливее подтвердить раздвижным углом (рис. 31), который приводим к совпадению с внешним углом, а затем, сохраняя его величину и прикладывая к внутренним, убеждаемся, что всегда внешний угол △-ка более каждого из внутренних, с ним несмежных.

XII. Раздвижной угол.

Две полоски 30 см. X 1 см. сжимаются в одном конце блочком (рис. 31), а еще лучше двумя, вставленными

1) Кнопки А и В могут быть заменены блочками, тогда сторона AD прикрепляется кнопками к доске в каких-нибудь других точках.

один против другого. Блочки должны быть туго сдавлены настолько, чтобы стороны угла раздвигались при некотором нажиме и не могли раздвигаться сами собою при перенесении, угла с одного места на другое. Таких углов следует заготовить сразу несколько, потому что картон в шарнирах скоро стирается.

Рис. 31. Раздвижной угол.

Раздвижной угол хорошо применять при сравнении углов путем наложения. При накладывании его приводят к совпадению с одним из данных углов и затем, сохраняя его величину, накладывают на другой угол.

XIII. Зависимость между стороною и противоположным углом в одном треугольнике.

Две полоски: AB—закреплена кнопками в А и В, а АС—только в А1). Кнопка С прикалывает также и конец белой тесемки, а кнопка В только прижимает ее, позволяя ей скользить между кнопкой и доской. Таким образом, раздвигая угол А, путем вращения АС около

1) Кнопки можно заменить блочками.

точки À, мы замечаем, что в △-ке ABC при увеличении Л и противоположная сторона ВС (из тесемки) увеличивается (рис. 32 и 33), при уменьшении угла и сторона уменьшается.

Рис. 32. Зависимость между углом и противоположной стороной.

Рис. 33.

Интересны предельные случаи:

Когда Z.В==0, сторонаБС=^1Б—АС;при ^/Б=180° сторона ВС = AB-{-АС.

XIV. Изменение проекции отрезка с изменением наклона его к оси.

Полоска AB (=40 см.) прикалывается кнопкой в средине ее С к доске, на концах ее, на нитках привешены грузики (пуговицы, камешки). Линия хх проводится строго горизонтально. Тогда отрезок ее А'В'—проекция AB (рис.34). Ученикам должно объяснить, почему тогда хх, может быть осью проекций.

При вращении отрезка AB около оси с проекция его А!В' изменяется в пределах от 0 до AB. При А\\Вхх (рис. 35) А'В' = AB. При AB хх (рис. 36) Д'В' = 0.

Рис. 34. Проекция отрезка.

Рис. 35. Отрезок параллелен оси проекций.

XV. Демонстрирование свойств объемлющих и объемлемых ломаных линий.

Производится при помощи полосок, составленных из отдельных звеньев, вращающихся около шарниров.

Рис. 37. Ломаные объемлющая и объемлемая.

Рис. 38. Выпрямление ломаных.

(Шарниры делаются из блочков щипцами) Выпрямляя полоски, легко убедиться, что ломаная ABCDEFM> ломаной AHKLM (рис. 37 и 38).

Упражнения можно составить двояко: 1) дать составленные из звеньев выпрямленные линии и предложить большую линию сделать выпуклой объемлемой, а меньшую объемлющей; ученики убедятся, что это невозможно, 2) образовать чертеж (рис. 37) и выпрямлением убедиться, что ABODE FM > АН KLM.

XVI. Расстояние точки Е от А и В и положение ее по отношению к ⊥ из средины АВ.

На доске DC — перпендикуляр в середине AB и нить BE А в натянутом состоянии. Передвигая точку натяжения нити с одного места на другое, убеждаемся в равенстве отрезков AL и BE всякий раз, когда Е попадает на i_ DC и неравенства их, когда Е—вне этого.

XVII. Два перпендикуляра к одной и той же прямой.

Поставив на закрепленную на доске полоску 2 угольника, убеждаемся наглядно в параллельности их сторон при скольжении угольников по закрепленной полоске.

Отсюда проведение [| линий.

XVIIa. Модель перпендикулярности биссектрис двух смежных углов

Возьмем \ листа белой бумаги, проведем к одной из сторон прямую линию. Затем перегибанием и наложением стороны AB на ВС разделим пополам /_ ABC.

Рис. 40. Биссектрисы 2 смежных углов взаимно перпендикулярны.

Подобным же образом разделим пополам CBD. Расправив лист, мы увидим, что биссектрисы углов перпендикулярны (рис. 40).

XVIII. Параллельность прямых и внутренние накрест лежащие углы

Склеиваем из 3-х полосок картона обычный чертеж 2-х параллельных линий, пересеченных секущею (рис. 41), разрежем его по секущей на 2 половины и сколем на средине (в точке О) кнопкой. При вращении внутренние накрест лежащие углы OAN и РВО совпадают (рис. 42).

Этою моделью подготовляется доказательство основной теоремы о. !-X. линиях: предположив, что при равенстве внутренних накрест лежащих углов прямые пересекутся где-нибудь направо в точке Ж, повертываем, как это видно из модели, половину чертежа около точки О, до совпадения правой половины его с левою,, тогда точка пересечения переместится влево, и левые ветви, совпадающие с прежними правыми ветвями, должны будут пересечься в этой точке. Возвративши чертеж в прежнее положение, мы видим, что 2 прямых пересекаются в 2-х точках, что вызвано, очевидно, неправильным предположением (Глаголев, Эл. геом.).

Рис. 41. Модель // линий.

Рис. 42. Внутренние накрест лежащие углы при наложении совпадают.

XIX. Углы с соответственно параллельными сторонами.

6 полосок картона располагаем попарно параллельно друг другу и скрепляем их не туго блочками или кнопками следующим образом: кнопки верхнего ряда воткнуты в доску, а нижнего ряда прокалывают полоски острием наружу (рис. 43). Кнопки можно заменить блочками.

Углы: 1, 2 и 3 имеют || стороны, и параллельность эта при сдвигании модели не нарушается.

Потягивая модель за конец вправо или влево, мы изменяем величину углов, но 1, 2 и 3 углы все время остаются равными друг другу (рис. 44).

Равенство углов хорошо подчеркнуть наложением раздвижного угла.

Рис. 43. Углы с параллельными сторонами.

XX. Углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Две полоски (70 см. и 30 см.) склеиваем строго ⊥-но; другие две такие же полоски 30 см. и 70 см. тоже. Первая пара укреплена неподвижно (рис. 45), вторая вращается около точки С. При этом углы I, II и III, имея взаимно перпендикулярные стороны, при всех своих изменениях остаются равными друг другу, что можно проверить раздвижным углом.

Стороны угла II для большей заметности должны быть окрашены какой-нибудь одной краской.

Рис. 45. Углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Рис. 46. При ином положении модели углы остаются равными.

XXI. Сумма углов △-ка.

Простейший (и лучший) способ—предложить ученикам немедленно или заранее, дома, изготовить по треугольнику самых разнообразных форм, выбрать несколько △△-в и разорвать на 3 части (по углу в каждой), сложить эти куски на доске вершинами углов вместе и скрепить эти куски кнопками. Сумма внутренних углов △-ка будет всегда равна 2d (рис. 47 и 48). То же каждый ученик должен сделать со своим △-м. Многочисленность опытов явится очень убедительным подтверждением справедливости закона.

XXII. Параллелограмм.

4 полоски ÄB=CD (20 см.) и ВС — AD (30 см.) проколем кнопками так, чтобы в точках А и В прикрепить модель к доске, а в точках В и С острием

Рис. 47. Оторвем углы △-ка и сложим

Ряс. 48. Сумма углов △-ка будет всегда равна 2d.

наружу. Кнопки В и С прикалывают концы двух тесемок АС и BD, тогда как кнопки А и D только прижимают тесемки к доске. Или, проще, скрепим концы параллелограмма блочками, сквозь отверстия которых проденем узкую тесемку, или толстую белую нитку, к-рую будем держать всегда натянуто, а самый пар-мм приколем к доске.

Будем раздвигать параллелограмм и изменять его форму. Сначала возьмем один параллелограмм без диагоналей; изменяя его форму, можно заметить, что в четыреугольнике, имеющем противоположные стороны попарно равные, эти стороны будут также и параллельны, а противоположные углы равны (рис. 49 и 50).

Затем, взяв одну диагональ (тесемку), можно заметить, что одна диагональ делит параллелограмм на 2 равных △△-ка. Наконец, взяв обе диагонали, легко заметить их взаимное деление пополам.

Рис. 49. Раздвижной параллелограмм.

Рис. 50. Новое положение.

Превращая параллелограмм в прямоугольник, убеждаемся, что при этом диагонали становятся равными друг другу.

XXIII. Ромб и квадрат.

Построение модели сходно с параллелограммом.

Придавая модели всевозможные формы, убеждаемся, что диагонали его всегда остаются перпендикулярными друг другу и всегда делят его углы пополам.

Благодаря изменяемости модели подчеркивается постоянство этого свойства ромба.

Превращая ромб в квадрат, наблюдаем на модели все свойства квадрата.

XXIV. Средняя линия трапеции.

Возьмем лист толстого картона (№ 10), обрежем его края и оклеим с обеих сторон темного цвета (темно-синей) бумагой. Это — стан для модели. Вырежем из. толстого бристольского картона трапецию, разделим непараллельные стороны ее пополам и проведем среднюю линию, соединяющую точки деления. Острым ножом по линейке разрежем эту трапецию по средней линии. Нижнюю (более широкую) часть трапеции наклеим на стан, а к верхней в одном из концов подклеим с задней стороны кружок кальки, оклеенный спереди бумагой, служащей „фоном" стана; тогда этот кружок будет на стане незаметен (рис. 51).

Рис. 51. Верхняя подвижная половина трапеции

Приставим верхнюю половину трапеции к нижней так, чтобы они слились, и проколем кружок точно в конце средней линии t булавкой. Тогда верхняя половина трапеции может вращаться около точки t как около шарнира.

Рис. 52. Модель трапеции.

Рис. 53. Трапеция превращается в параллелограмм.

Два положения на рис. 52 и 53 указывают ее употребление: при повороте верхней части трапеции

около точки t на 180°, трапеция превращается в параллелограмм, откуда видно, что 2пг = а -|- 6; m = —~ .

Среднюю линию следует окрасить в какой-нибудь цвет.

XXV. Свойство трех /// линий, проведенных на одинаковом расстоянии друг от друга.

Проводя на доске 3 прямые на равном расстоянии друг от друга или прикрепив 3 полоски кнопками, укрепим на средней прямой полоску посредством кнопки.

Рис. 54

При вращении этой прямой около точки О видим, что при изменении ее отрезка между крайними параллельными точка О всегда будет делить этот отрезок пополам.

Очевидно, свойство это принадлежит каждой точке этой прямой.

Рис. 55. Свойства диаметра _{__ к хорде, касательных, проведенных из одной и той же точки, хорд /7-х друг другу и //-х касательной.

XXVI. Свойства диаметра ⊥ к хорде, свойство касательной // хорде.

Начертив на большом тонком листе восковой бумаги толстыми линиями рисунок 55-й перегнем чертеж по прямой MN. Из совпадения соответственных линий замечаем, что:

a) Диаметр делит круг пополам.

b) Диаметр делит хорду и стягиваемую ею дугу пополам.

c) Касательная, || хорде, делит соответственную дугу пополам.

d) Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

e) 2 касательные, проведенные из одной и той же точки к окружности, равны и наклонены к центральной линии под равными углами.

Рис. 56. Удвоение числа сторон многоугольников: правильные △-к и шестиугольник.

XXVII. Универсальная модель круга.

Белый картон наклеен на доску. На нем начерчена окружность (В = 30—40 см.). На ней через каждые 5° набиты небольшие гвоздики, есть один гвоздик в центре О и в 2—3 точках на различном расстоянии вне круга. Для образования хорд, секущих и различного рода многоугольников внутри круга употребляется черный круглый ластик (резинка), связанный своими концами и надевающийся на эти гвоздики. Для измерения углов употребляется, конечно, транспортир.

Описанная модель круга пригодна для демонстрации свойств; 1) центральных углов, 2) вписанных, 3) образованных пересечением хорд внутри круга, 4) секущих вне круга, 5) углов, образованных хордой и касательной, 6) описанных углов, 7) вписанного 4-угольника, 8) правильных 3-, 4-, 5-, 6-, 8-, 9-, 12-, 18-, 24-, 36- и 72-угольников, 9) для демонстрации удвоения числа сторон правильного многоугольника и приближения его периметр а и площади к совпадению с окружностью и площадью круга. Ее можно применить и к демонстрации 10) зависимости изменения хорды от изменения дуги, 11) изменения хорды от ее расстояния от центра, 12) свойства радиуса, Хк хорде и свойства дут, заключающихся между II хордами, 13) свойства отрезков хорд, пересекающихся внутри круга, 14) свойства секущих и касательной, выходящих из одной точки.

Углы при этом измеряются транспортиром, стороны— миллиметровой лентой или циркулем с 2 острыми ножками.

1) Вписанные углы.

(Рис 57). Натянем связанный ластик между центром и точками окружности так, чтобы получить вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AB. Измерим вписанный угол транспортиром, а центральный по соответствующей дуге, заметим, что вписанный угол = */г центрального, опирающегося на ту же дугу. Будем переносить вершину угла С в различные точки окружности: С, <7", С"—измерение дает прежнюю зависимость; углы С, С", С"1 и т. д. каждый будут равны */з /__АОВ.

Повторяя предыдущие измерения с различными дугами и углами, получаем одинаковый результат.

Надевши ластик на гвоздики С, С", С", получаем прямой (вписанный угол, опирающийся на диаметр. Перенося вершину этого угла куда угодно по окружности, убеждаемся в постоянстве этого свойства.

Рис. 57. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собою.

2) Угол с вершиною внутри круга.

Натянем связанный концами ластик, перекрещивая нити, между 4 точками окружности (рис. 58). Измерим транспортиром угол, образованный хордами.

Взяв полусумму дут, заключенных между сторонами измеренного угла (по размеченной окружности), замечаем, что число дуговых градусов, содержащихся в полусумме дуг, равно числу градусов утла.

Повторяя эти измерения несколько раз, убеждаемся, что эта зависимость не случайна, а является постоянной.

Невольно является потребность объяснить причину подобного явления. Ответом на это явится доказательство.

Рис. 58. Угод с вершиною внутри круга измеряется полусуммою дуг, заключенных между его сторонами.

3) Угол с вершиною вне круга, образованный двумя секущими.

Натянем круговой ластик между гвоздиками А, В и С. Измерим транспортиром /_ В и дуги АС и DE (рис. Ъ9).

Замечаем, что /_ В измеряется полуразностью дуг-4Си BE. Перенося точки А я С и даже В, мы убеждаемся, что эта зависимость не случайна.

Рис. 59. Угол с вершиною вне круга, образованный двумя секущими.

4) Угол, образованный касательной и хордой.

Натягивая связанный концами ластик между точками А, В, С так, чтобы АС шла касательно к окружности, получаем ^ образованный хордой и касательной Измеряя А транспортиром, а дугу АС по разделенной окружности, замечаем, что L А измеряется половиной дуги AB. Передвигая точку В в положение В\ В", Ви\ и т. д., убеждаемся, что указанное выше свойство угла, образованного хордою и касательною,— измеряться половиной дуги, заключенной между его сторонами, составляет закон для всех углов этого рода.

5) Угол описанный.

Натягиваем круговой ластик между точками А, В и С так, чтобы AB и ВС были касательны к окружности. Измерим ^/.В, образованный касательными, транспортиром и вычислим полуразность дуг АС (большой) я АС (малой). При этом замечаем, что /_В измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Рис. 60. Вписанный четыреугольник.

6) Вписанный четыреугольник.

Натянув связанный концами ластик между 4 какими-нибудь точками на окружности, образуем вписанный

4-угольник (рис. 60). Измерим транспортиром его углы и сложим £À и С и затем / Замечаем что:

4B+ZD= 180°

Будем образовывать всевозможные вписанные 4-угольники и повторять над ними предыдущие измерения. Повторяя это сколько угодно раз, убеждаемся, что сумма противоположных углов вп. 4-угольника всегда равна 180°.

7) Правильные многоугольники.

Соединяя круговым ластиком на модели точки через каждые 120°, получаем правильный вписанный △-к.

через 90° — квадрат.

„ 72° правильн. 5-угольник.

« 60° 6 ' „

„ 45° „ 8

» 40° „ 9

. 30° „ 12

. 20° „ 18

„ 15°. „ 24

, 10° . 36

» 5 „ 72 „

Рис. 63. Правильный 12-угольник.

Рассматривая образованные фигуры, можно легко заметить, что у каждой фигуры все стороны и все углы между собою равны.

Измеряя миллиметровой лентой сторону правильного вписанного △-ка (<%) и находя отношение ее к радиусу, находим, что a3=r√3 (при г = 30 см. а3 = 30. 1,73). Подобным же образом

Рис. 64. Правильный 24-угольник.

8) Удвоение числа сторон правильного вписанного многоугольника.

Образуем на модели (рис. 61) правильный вписанный △-к. Натянем другой ластик1) между теми же точками. Обе линии совпадут. Наметим средины дуг AB, ВС и АС, натягиваем 2-й ластик в точках D, Е и F. Получаем одновременно правильные вписанные △-к и 6-к

1) Для отличия можно взять белый ластик и окрасить его в красный (опустив в красные чернила) или какой-нибудь иной цвет.

Далее можем образовать: 6-к и 12-к; затем 12-к и 24-к (рис. 64).

Рис. 65. Удвоение числа сторон правильных многоугольников: квадрат и 8-угольник.

Вторая серия будет квадрат и 8-к. (рис. 65).

Третья „ „ 9-ки 18-к (рис. 66), 18-к и 36-к и, наконец, 36-к и 72-к.

Мы видим, как по мере удвоения сторон многоугольника периметр его увеличивается и приближается к совпадению с кругом; 72-к, например, на небольшом расстоянии трудно отличить от круга.

При этом удвоении легко видеть, как увеличивается и площадь правильного многоугольника, как при увеличении числа его сторон прибавляются к ней все новые и новые △-ки, и как она вся приближается к совпадению с площадью круга.

Рис. 66. Удвоение числа сторон многоугольников, правильные 9-угольник и 18-угольник.

Измеряя мм. лентой (приготовленной из миллиметр, бумаги) или простой см. лентой периметры △-ка, квадрата, 6, 8, 9 и др. многоугольников, мы видим, что отношение периметров к диаметру все более приближается к = 3,14.

Рис. 67. Лемма подобия △△-в.

XXVIII. Свойство секущей в △-ке, проходящей || одной из его сторон.

На толстом и плотном картоне наклеим миллиметровую бумагу, вырезанную в форме △-ка; по краям оклеим 2-мя полосками: AB = 50 и ВС = 60, вырезанными аккуратно из миллиметровой бумаги иного цвета, чем внутренняя область △-ка.

Нижняя сторона А С должна принадлежать внутренней сети мм. клеток. Тогда роль секущей АС будет играть каждая из множества горизонтальных линий этой сети; чтобы ее было видно классу, достаточно натянуть кольцо из ластика кругом всего картона и перемещать так, чтобы ластик совпадал с горизонтальными линиями внутренней мм. системы. Отсчитывать можно по мм. линии, совпадающей хотя бы с верхним краем ластика. Измеряем с точностью до 1 мм. AB ВС и АС, затем BD, BE и DE.

Находим отношения:

Тогда

Оказывается, эти отношения равны друг другу. На рисунке 68 видны результаты измерения и вычисления, дающие 3 верных цифры.

Рис 68. Запись измерений и вычислений на модели рис. 67.

В классе, в целях сбережения времени, работа идет следующим образом: учитель вызывает 2 учеников; один производит измерение на модели и вслух называет величину отрезков, другой записывает эти числа на доске. Затем классу по рядам предлагается найти отношение соответствующих отрезков с точн. до 0,1: 1-й ряд, например, вычисляет отношение левого отрезка к левой стороне △-ка, 2-й—ряд отношение правого отрезка к правой стороне △-ка. Не дожидаясь окончания вычисления, учитель предлагает ученику у модели взять новую параллель и дать новые числа; эти новые данные он дает второй группе учеников, третьи данные — третьей группе и т. д. Таким образом, когда последняя группа получит данные для вычисления, первая группа уже успеет получить результаты вычисления.

Эта же модель пригодна для иллюстрации теоремы.

Две параллельные прямые отсекают от сторон угла (или рассекают стороны угла на) пропорциональные отрезки.

Рис. 69. Биссектрисса угла △-ка.

XXIX. Свойство биссектрисы угла △-ка.

На листе картона, оклеенного темной цветной или черной бумагой (разм. 70 X 50 см.), наклеить полоски из мм. бумаги, размеченные на см.

AB—60 см.

АС—36 см. Стороны эти наклонены друг к другу под углом приблизительно в 30° (рис. 69)

Из точки С, как из центра, описан полукруг, который служит транспортиром для измерения и деления пополам угла С. Начало счета градусов от точки D.

Около вершины С вращаются сторона СЕ—60 см. и биссектриса С F другого цвета.

Стороны △-ка образуются внутренними краями полосок. Особенно тщательно следует определить вершину С, сквозь которую должны проходить ось (булавка прокалывающая картон и укрепленная на пробке, приклеенной столярным клеем, сзади картона), около которой должны вращаться CF и СЕ, каждая с подклеенным сзади кружочком из кальки.

При точном построении и указанном выше масшабе точность отношения достигает 0,01, т. е. верны 3 цифры. Рис. 70 указывает расположение вращающихся частей.

Рис. 70. Способ скрепления 2-х сторон △-ка и биссектрисы.

Радиус транспортира должен быть возможно больше, чтобы уменьшить ошибку при отсчете градусов. В висячем положении вся модель охватывается тонкой кольцевой резинкой для того, чтобы закрепить подвижные части или же подвижные части прикалываются к картону кнопками.

Будем вращать сторону CK около точки (7, — будет изменяться и форма △-ка ARC. Дав △-ку определенную

форму, закрепим ее и, измерив стороны АС и СЕ, найдем их отношение. Разделим угол С пополам, пользуясь транспортиром.

Затем измеряем и находим отношение отрезков AG и GK с точностью до 0,01. При тщательном измерении отношения будут равны (по крайней мере, первые три цифры). Изменяя угол С треугольника (рис. 71) и повторяя предыдущие вычисления несколько раз, убеждаемся, что связь между двумя боковыми сторонами △-ка и двумя отрезками, образуемыми биссектрисой на 3-й стороне— постоянная, что биссектриса угла △-ка делит сторону △-ка на части, пропорциональные двум другим сторонам и это справедливо для всякого △-ка.

Рис. 71. Биссектриса угла △-ка. 2-е положение.

Рис. 72. Гипотенуза — нижняя граница горизонтальной полоски, катеты—внешние границы прямого угла—ЕС и CL. Точка вращения G — шарнир из кальки, подклеенный сзади прямого угла, положение ее должно быть строго определено.

XXX. Свойство прямоугольного треугольника, пересеченного перпендикуляром, опущенным на гипотенузу из вершины прямого угла.

На темном фоне картона наклеиваются две перпендикулярные полоски, при чем перпендикулярность их должна быть строго проверена. Отрезки эти должны быть размечены на см. и мм. или, проще, вырезаны из мм. бумаги, при чем начало отсчета для всех 3-х отрезков должно быть в основании ⊥-pa; О.

Около точки С вращается фигура AKCL, вырезанная из тонкого бристольского картона. Подвижная, часть ер две стороны ВС и CI), образующие (строго!) прямой угол и размеченные на см. и мм. Счет идет от вершины прямого угла— С. При измерении подвижная часть прикрепляется к нижней двумя кнопками или охватывается вместе с нижней круговым ластиком (рис 72). Измеряя отрезки гипотенузы, находим, что КО и L0 и перпендикуляр СО из вершины прямого угла С на гипотенузу образуют пропорцию: КО: СО=СО: LO.

Измеряя катет КС, гипотенузу KL и прилежащий к катету отрезок КО, находим: KL: КС = КС: КО.

Повторяя эти измерения и вычисления для различных форм △-ка (рис. 73), убеждаемся, что свойство это справедливо для всевозможных положений △-ка.

Рис. 73. Новое положение модели.

Рис. 74. Извлечение квадратного корня из чисел графическим путем. На таблице результаты измерения и вычисления 1-й столбец—величина 1 отрезка диаметра в см*., 2-й.—величина 2 отрезка диаметра в см., 3-й—произведение отрезков, 4-й J~ из этого произведения, найденный графически, 5-й взятый обычным способом.

XXXI. Извлечение квадратного √ из чисел на основании свойства перпендикуляра, опущенного из какой-нибудь точки окружности на диаметр.

На картоне наклеен квадр. лист мм. бумаги 50X50. На нем начерчена окружность (г = 24 см.) и горизонтальный диаметр (рис. 74).

Извлечение √ из чисел графическим путем основано на свойстве JL, опущенного из какой-нибудь точки окружности на диаметр; численно он выражается квадратным корнем из произведения отрезков диаметра.

Намечаем на диаметре какую-нибудь точку; она делит его на 2 отрезка. Пусть 1-й отрезок равен 4 см., тогда 2-й = 40 — 4 = 36. Произведение их = 144. Перпендикуляр, восставленный из этой точки до окружности, имеет длину, равную √144 = 12.

Приводим таблицу, полученную при измерениях, произведенных учениками на модели с радиусом, равным 20 см.

1-й отр.

2-й отр.

Произв.

Граф. √

Вычисление дает.

1

39

39

6,2

6,2

2

38

76

.8,7

8,7

3 ,

37

111

10,5

10,5

4

36

144

12

12

5

35

175

13,3

13,2

6

34

204

14,3

14,3

7

33

231

15,2

15,2

8

32

256

16

16

9

31

279

16,7

16,7

10

30

300

17.3

17,3

11

29

319

17,9

17,9

12

28

336

18,3

18,3

XXXII. Теорема Пифагора в числовом выражении.

На картоне темного фона (рис. 75) наклеим под прямым углом, строго проверенным, две полоски из миллиметровой бумаги по 50 см. с размеченными см. и мм. Внутренние стороны их образуют катеты прямоугольного △-ка. Гипотенуза—подвижная полоска 50 см. из тонкого бристольского картона с наклеенной мм. бумагой. Концы ее i и Б правильно обрезаны и проклеены столярным клеем (иначе, при скольжении по катетам, эти концы оботрутся и точность отсчетов уменьшится).

Рис. 75. Теорема Пифагора (в числовом выражении).

Измерим АС, ВС и AB, сложим квадраты первых двух чисел и тогда окажется, что сумма их будет равна квадрату числа, выражающего длину стороны AB.

Передвигая скользящим движением AB по сторонам прямого угла и повторяя предыдущие измерения и вычисления несколько раз, убеждаемся, что квадрат гипотенузы во всяком прямоугольном △-ке равен сумме квадратов катетов.

Теорема Пифагора

(по данным классной работы, гипотенуза = 30 см.).

I кат.

II кат.

Квадр. I кат.

Квадр. II кат.

S кат. 2

19,5

22,8

380,25

519,84

900,09

25

16,6

625

275,56

900,56

10

28,3

100

800,89

900,89

Рис. 76. Весь лист оклеен миллиметровой бумагой. А В совпадает с сеткой, С—неподвижный шарнир, D—подвижной шарнир.

XXXIII. Числовое выражение стороны △-ка, лежащей против острого, тупого или прямого угла.

На картоне, размером прибл. 140 X 80 см. наклеим мм. бумагу (AFGB).

Полоску AB (135 см. X 1 см.) начертим прямо на миллиметровой бумаге (рис. 76).

Отсчет будем вести от точки С в обе стороны.

CD = 50 см. X 1 см., DE= 70 см. X 1 см. из тонкого бристольского картона и оклеены миллиметровой бумагой другого цвета.

Отсчет по CD от С к 5 и по DE от D к Е.

Полоски CD и DE могут вращаться около С (неподвижного) и D (подвижного) шарниров. Внутренние сто-

роны их будут образовывать при этом треугольники самой разнообразной формы. Подвижные части прикалываются к стану ниже AB кнопкой.

Е может скользить вдоль линии AB.

Линии сетки, перпендикулярные к AB, будут играть роль высоты.

Для указания этой высоты можно употребить кольцо из круглого черного ластика, охватывающее картон и проходящее || мм. линиям через вершину △-ка. Отсчет же надо делать по мм. линиям.

а) Закрепляем Д CLE в каком-нибудь положении (косоугольный △-к), измеряем стороны CD, DE и СЕ и проекцию CK. Подставив найденные числа в формулу

DE2 = CD2 + CE2 — 2 СЕ. CK

увидим, что формула обратится в тожество.

б) Будем изменять угол С, не изменяя СЕ, увидим, что эта формула останется справедливой всегда при изменениях угла от 0 до 90°. Уменьшив угол до 0, мы увидим, что CD и DE распластаются по линии СБ, и DE будет равна СЕ—CD или, наоборот, CD — СЕ (смотря по тому, какой отрезок больше). То же увидим из формулы, потому что она обратится в

DE2 = CD2 + CE2 — 2CE.CD, или DE2 = (CD— CE)2, откуда DE = CD—CE. f

в) Увеличив острый угол С до 90°, увидим, что в полученном прямоугольном △-ке

DE2= CD2 + CE2.

То же дает нам и формула, на основании чисто алгебраических преобразований.

Наконец, доведя ./ С до 180°, найдем из модели, что DE — CD 4- СЕ и формула нам даст то же самое:

DE2 = CD2-\-CE2 + 2СЕ. CD = (CD + CE)2 DE=CD+ CE.

XXXIV. Пропорциональные линии в круге.

А) Хорды.

На картоне, оклеенном цветным фоном (рис. 77), начертим окружность (г =20). Вырежем из бристольского тонкого картона полоску (60 X 1 см.), оклеим ее мм. бумагой и посредине в точке С подклеим кружочек из кальки, который у нас будет играть роль шарнира.

Рис. 77. Отрезки хорды, вращающейся около неподвижной точки внутри круга. Таблица дает результаты измерения и вычисления.

Разметим эту линейку на сантиметры, делая отсчет от С вправо и влево.

Проколем в самом начале отсчета эту кальку у самой линейки иголкой и приколем ее в какой-нибудь точке нашего круга. (Приколем эту полоску еще в одной точке кнопкой.) Часть ее AB внутри круга будет изображать хорду.

Измерим отрезки АС и ВС и перемножим полученные числа. Повернем линию AB в новое положение и

снова перемножим числа, выражающие отрезки. Повторив это вычисление несколько раз, мы убеждаемся, что при вращении хорды около постоянной точки внутри круга величина хорды меняется, отрезки ее, образуемые точкой вращения, тоже изменяются, но произведение этих отрезков остается для данной точки постоянным. Чему же равно это произведение? Проведя через эту точку окружности диаметр и повернув хорду перпендикулярно к этому диаметру, мы видим, что диаметр разделит эту хорду пополам, а поэтому произведение двух равных отрезков этой хорды, равное всем предыдущим подобным же произведениям, будет равно квадрату перпендикуляра, восставленного к диаметру в точке G до пересечения с окружностью в точке F, или перпендикуляр, восставленный из какой-нибудь точки диаметра до пересечения с окружностью, есть средняя пропорциональная между отрезками этого диаметра.

Работа в классе.

Один ученик на модели измеряет величину отрезков, на которые делится хорда в точке вращения, другой— записывает эти данные на доске, ученики по группам находят произведение отрезков хорд, проходящих чрез одну точку.

Произведения равны с точностью до 1. Если бы вместо произведений отрезков взять обратные отношения их, то они были бы равны до сотых долей.

Группы.

I отрезок.

II отрезок.

Произведение

I

7,1 см.

32,5 см.

230,75

II

25,6 »

9 »

230,4

III

19,1 »

12,1 »

231,11

IV

13 »

17,8 »

231,4

В) Секущие

Рис. 78. Модель секущей в круге.

Возьмем бумажную линейку, приготовленную способом, подобным предыдущему, шарнир из кружка кальки поместим на конце линейки, и отсчет от центра этого шарнира будет итти только в одну сторону от точки вращения А.

Установим линейку AÇ в таком положении, чтобы точка А была вне окружности (рис. 78) и чтобы А С пересекала окружность в точках В и С. Измерим отрезки АС и ВС и перемножим полученные числа; тогда

АС . ВА = постоянному числу К.

Будем вращать линейку iC и при этом повторять предыдущие вычисления, тогда убедимся, что длина секущей и ее отрезков при вращении около точки А

изменяется, но произведение секущей на ее внешнюю часть остается постоянным; это будет законом (как мы можем убедиться, повторяя наше вычисление много раз) .для секущих различной длины, поэтому можем этот числовой закон выразить в общем виде—формуле:

а .Ъ = к (постоянному числу),

где а секущая, а & —ее внешняя часть.

Чему же раейо это /с? Передвигая нашу секущую все ближе к краю окружности, мы видим, что при этом вся секущая а уменьшается, а ее внешняя часть Ъ— увеличивается, и они стремятся стать равными друг другу по мере сближения точек С и В. Когда эти точки сольются в одну точку JD, тогда секущая обратится в касательную

Ъ = а и а2 = Ь2

т.-е. число к будет равно квадрату касательной, или касательная есть средняя пропорциональная между всею секущею и внешнею ее частью.

Работа в классе.

Один ученик на модели измеряет длину всей секущей и внешней ее части, поворачивая секущую около неподвижной точки, другой—записывает данные, измерения на доске; остальные по группам находят произведение секущей на внешнюю ее часть.

Группы.

Вся секущая.

Внешняя часть ее.

Произведение.

I

54,3

14,7

798,21

11

46,1

17,7

805

III

42,6

19

803

Верны две цифры.

Рис. 79. Эти фигуры имеют одну площадь, но, очевидно, не равны между собою.

XXXV. Равновеликость и равенство фигур не одно и то же.

Вырежем из картона прямоугольник и разрежем его диагональ на две половины. Составляя эти половинки так, как указано на рисунке 79, мы увидим, что все эти шесть фигур имеют одну и ту же площадь и, след., равновелики, но, очевидно, не равны: их нельзя наложить друг на друга так, чтобы они совпали.

XXXVI. Измерение площади.

Для того, чтобы возможно реальнее представить измерение площади, очень полезно измерить несколько площадей непосредственно, т.-е. сосчитать, сколько квадратов (1 ед. 2) содержится в данной площади. Для

этого всего проще начертить тонкими линиями фигуры на мм. бумаге и сосчитать число квадратных см. и мм. в каждой фигуре.

Общие замечания к моделям №№ 39—43.

Удобнее и изящнее эти модели укреплять клеем на картоне, оклеенном темной (напр., темно-синей) бумагой (такая бумага большого размера, альбомная, имеется везде). Подвижные части устраивать на шарнирах из кальки (см. рис. 1). Но можно для простоты и скорости вырезывать фигуры просто из бумаги перед глазами учеников и прикалывать кнопками к доске.

XXXVII. Площадь квадрата.

Начертим несколько квадратов на мм. бумаге, со сторонами 10—20 см., и сосчитаем, сколько кв. см. будет в площади. Легко заметить, что можно найти площадь квадрата и не считая число квадратных см. в площади: для этого достаточно узнать лишь длину стороны квадрата и возвести эту длину в квадрат.

Нетрудно и объяснить это правило.

XXXVIII. Площадь параллелограмма.

Вырежем из картона параллелограмм (рис. 80) с основанием и высотой AB = 40 см., BE = 24 см.

Разрежем пар-мм по высоте BE и Д ECB приставим сбоку к CD, тогда получим прямоугольник ABE (рис. 81), с таким же основанием и высотою, как и у параллелограмма. Площади обеих фигур, очевидно, равны. Площадь прямоугольника = 40 X 24 кв. см. = 9600 кв. см. и площадь пар-мма = 9600 кв. см. =40X 24. Заметим, что основание и высота у параллелограмма и прямоугольника одни и те же.

Это число можно найти прямо из параллелограмма, измерив его основание и высоту и перемножив эти числа между собою. Следовательно, чтобы измерить параллело-

Рис. 80.

грамм, достаточно измерить его основание и высоту и оба полученных числа перемножить.

XXXIX. Площадь прямоугольного △-ка.

Вырежем из картона прямоугольный △-к и разрежем его по линии, делящей его гипотенузу и катет h пополам (рис. 82),

Рис. 82.

Рис. 83. Прямоугольный Д превращается в прямоугольник.

Повернем верхний △-к около точки Е, пока BE не совместятся с ЕС; тогда прямоугольный △-к превратится в прямоугольник с основанием о и высотою г> (рис. 83).

Отсюда видно, что для измерения площади прямоугольного △-ка надо измерить его катеты, и произведение

этих чисел разделить пополам: 8= —

Ряс. 84. Превращение △-ка в прямоугольник.

XL. Площадь всякого △-ка.

a) Вырежем из картона какой-нибудь △-к (нижний) с основанием АС и высотою BF. Разрежем его по средней линии DE, и верхний △-к по высоте FB. Составим сначала прежний △-к и повернем II и III части около точек Е и D. △-к превратится тогда в прямоугольник (рис. 85) с таким же основанием и высотою, вдвое меньшею, чем высота нашего △-ка. Отсюда

пл. Д ABC=b.z-

b) Вырезав △-к ABC (верхний), разрежем его по линиям DE, DK и EL и повернем куски ADK и ECL около точек D и Е.

Рис. 85. Превращение △-ка в прямоугольник.

△-к превратится тогда в прямоугольник (рис. 85) с такою же высотою, но основанием вдвое меньшим, чем у данного △-ка. Отсюда пл. Д АВС = | 1г. Очевидно, обе формулы однозначущи.

XLI. Площадь ромба.

Вырежем из картона ромб ABCD и разрежем его по диагоналям АС и OD.

I. Нижнюю половину ромба наклеим на картон (оклеенный темным фоном), а то и просто приколем кнопками к доске, а верхнюю, состоящую из двух прямоугольных △△-в, составим так, чтобы восстановить ромб в его основном виде (рис. 86).

II. Снимаем оба верхних △△-ка и приставляем их снизу, меняя местами: правый налево, левый направо (рис. 87); тогда ромб превратится в прямоугольник, у

которого основанием будет служить диагональ ромба, а высотою—половина другой диагонали. След., площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

Рис. 86. Ромб разрезан по диагоналям; два нижних △-ка приклеены, два верхних приставлены.

Рис. 87. Перестановкой 2-х верхних △△-в вниз ромб превращается в прямоугольник.

XLII. Площадь трапеции.

Вырежем из картона трапецию АВСВ (рис. 52), разрежем ее по средней линии Е и повернем верхнюю часть ЕВС около точки. Тогда образуется параллелограмм АЕК с высотою, равною половине высоты трапеции. Мы видим из рис. 53-го, что нижнее основание пар-ма равно а -f Ъ, площадь его, очевидно, равна площади трапеции, если же взять за основание сторону ЕК, то а + Ъ — 2 т.

Следовательно, площадь трапеции равна сумме ее оснований, умноженной на половину высоты, или же средней линии, умноженной на высоту.

XLIII. Превращение трапеции в треугольник.

Начертим и вырежем из картона трапецию (рис 88). Разделим сторону CD пополам в точке Е и разрежем трапецию по прямой BE. Треугольник ЕВС в точке Е соединяется с оставшейся частью шарниром на кальке.

Поворачивая Д ВСЕ около Е на 180°, мы превращаем трапецию в равновеликий ей Д ABF, основание которого AF = AB + ВС (д EFD = Д ВСЕ). След., площадь трапеции

Рис. 88. Трапеция.

Рис. 89. Превращается в △-к.

полусумме оснований, умноженной на высоту.

XLIV. Превращение трапеции в параллелограмм.

Вырежем из картона трапецию ABCD. Разделим в точке Е пополам отрезок GD равный разности оснований AB—ВС.

Рис. 90. Трапеция.

Соединим F средину стороны CD с точкой Е и разрежем трапецию по ЕЕ.

В точке F сделаем шарнир, так чтобы Д EFD мог вращаться около точки F.

Поворачивая Д EFD около F так, чтобы DF совпала с CF, получим параллелограмм АВЕ'Е. (так как BCF+E'CF = 2d и /_ CEfF= /_ FED.

Рис. 91. Превращается в равновеликий параллелограмм.

Сторона его

т.-е. равна полусумме его оснований. Откуда

XLV. Превращение трапеции в прямоугольник.

Вырежем из картона трапецию ABCD, разделим непараллельные стороны ее пополам в точках Е и F, и проведем перпендикуляры ЕЕ и FL.

Рис. 92. Трапеция ABCD.

Отрежем △△-ки АЕК и FLD, прикрепим их к остальной части трапеции шарнирами в точках Е и F.

Поворачивая Л ЛЕК и Д FLD около Е и F так, чтобы ЛЕ и .FD совпали соответственно с BE и Ci*7, мы превращаем трапецию ЛВСВ в прямоугольник KGHL с той же высотой, что и у трапеции, и с основанием равным средней линии трапеции EF, откуда

S = EF. Ii,

т.-е. площадь трапеции измеряется произведением ее средней линии на высоту.

Рис. 93. Превращается в равновеликий ей прямоугольник KGHL.

XLVI. Теорема Пифагора.

Вырежем из бумаги 2 равных квадрата по 70 см. в стороне.

Рис. 94. Теорема Пифагора. Оба квадрата построены каждый на сумме катетов.

Разделим каждую сторону на части, напр., 40 и 30 см. в каждом квадрате, так, как указано на рис. 94. Соединим точки деления между собою.

Рис. 95. Теорема Пифагора (б)... Отнимаем от них по 4 равных △-ка: 1-й остаток (большой квадрат) равновелик 2-му остатку (сумме двух малых квадратов).

Тогда первый квадрат разделится на 4 прямоугольных △-ка и один внутренний квадрат, стороной которого будет гипотенуза каждого из полученных прямоугольных △-в. Второй квадрат —на 4 прямоугольных треугольника и 2 квадрата, у которых сторонами будут соответственно катеты прямоугольных △-в.

Отрежем от обоих больших данных квадратов по четыре полученных треугольника. Наложив 8 отрезанных △△-в один на другой, видим, что они равны. От первого останется квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного △-ка, а от второго — два квадрата, построенных на катетах. Так как они получены путем вычитания из равных квадратов одинакового числа равных треугольников, то после вычитания останутся равные площади, т.-е. квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

XLVII. Отношение площадей подобных △-в.

Начертим на большом листе бумаги (или картона) какой-нибудь треугольник. Разделим каждую сторону его на 12 равных частей и соединим точки деления между собою. Д разобьется на 144 равных △-ка. В равенстве их можно убедиться, вырезав из бумаги △-к, равный одному из полученных, и накладывая его на любой из полученных △-ков.

I. Возьмем большой лист бумаги и закроем им почти весь △-к, оставляя лишь часть ЛВС, затем будем передвигать его вниз верхней стороною параллельно основанию; при этом будут постепенно открываться все большие и большие части △-ка ЛВС.

Рис. 96. Теорема Пифагора (в). Прикладываем оставшиеся квадраты к сторонам △-ка.

Мы видим, что получаемые таким образом △-ки сохраняют одну и ту же форму, а стороны их делаются все больше и больше. При этом, если сторона △-ка увеличивается в 2, 3, 4 и т. д. раз, то площадь его при этом увеличивается в 4, 9, 16 и т. д. раз. Если соответственные стороны равны 5 и 7, то отношение площадей будет равно 25 :49 (так как эти площади будут содержать 25 и 49 маленьких △△-в) и т. д. Отсюда можно вывести, что площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Рис. 97. При увеличении сторон △-ка вдвое и при сохранении его формы площадь △-ка увеличивается вчетверо.

Рис 98. При увеличении сторон △-ка в 6 раз площадь его увеличивается в 36 раз.

XLVIII. Площадь круга.

Вырежем из картона кружок диаметром в 30 см., разделим его 6-ю диаметрами на 12 равных секторов. [Разделив окружность сначала на 6 частей, а потом каждую часть пополам, один из этих секторов, в свою очередь, разделим пополам; это будет V24 часть круга (рис. 99)].

Разрежем круг по диаметрам на 12 равных секторов и эти секторы приколем кнопками к доске, прикла-

дывая их друг к другу вершинами поочередно то вверх, то вниз, а половины секторов поместим по краям (рис. 100). Образуется фигура, очень близкая к прямоугольнику. Если искривленную линию с некоторой ошибкой принять за прямую, то у этого прямоугольника а) площадь будет равна площади круга, б) основание близко к половине длины окружности, в) высота равна радиусу. Следовательно, площадь этого прямоугольника равна произведению полуокружности на радиус.

Если мы разделим круг не на 12, а на 16 секторов (путем деления прямого угла пополам), то волнистая линия будет меньше отличаться от прямой, чем раньше; если разделим круг на 24 части, то еще меньше, и т. д. Ошибка будет уменьшаться по мере тою, как мы будем увеличивать число частей на которые делится круг. И, наконец, при громадном числе частей, площадь круга станет равной площади прямоугольника, основание которого равно выпрямленной полуокружности. Таким образом, площадь круга равна длине полуокружности, умноженной на радиус.

Для удобства демонстрирования модели можно приготовить 2 коробочки, одну круглую, другую прямоугольную, одинаковой площади (основание равно х/2 окружности, высота равна ее радиусу). Переложив

Рис. 99. Круг разделен на 12 частей.

Рис. 100. Составленные секторы образуют фигуру близкую к прямоугольнику.

секторы, заполняющие площадь круглой коробочки, в прямоугольную, мы увидим, что они будут заполнять и прямоугольную, откуда будет видно, что площади дна двух этих коробочек равны. В одной и той же круглой коробочке можно поместить несколько кругов, разрезанных: 1) на 12, 2) на 16, 3) на 24 равных частей, при чем на каждом секторе полезно отметить: Via, или Vie' или lyV

XLIX. Подвижная модель для вычисления тригонометрических функций*).

На лист картона разм. 60—110 см. наклеим миллиметровую бумагу (рис. 101). На ней начертим квадрант (В = 50 см.). Разметим дугу его на градусы, откладывая циркулем 0,88 см. (~ л см.) = 1 дуговому градусу. Вертикальные прямые миллиметровой сетки дадут нам ряд линий sinus'a различных углов; отрезки касательной OA—линии tangens'a, подвижной радиус изобразится подвижной линейкой OD; длина подвижной секущей OD—дает нам линию secans'a угла а; и т. д. Деля измеренные отрезки на R = 50 см., получим тригонометрические функции любого заданного (в целых градусах) угла. Деление на 50 можно заменить делением на 100 с умножением на 2, что проще. Точность модели достигает 0,001 доли. Время, потраченное на определение функций при помощи

*) Вначале изучения тригонометрии в представлении учащихся часто смешиваются тригонометрическая линия с тригонометрической функцией. Для избежания этого необходимо, чтобы ученик, построив несколько тригонометрических линий, путем деления на радиус получил бы соответствующие функции. Опыт, проделанный самим учеником, гораздо прочнее закрепляет данное понятие, чем самые убедительные рассуждения. Кроме того вычисление функций данного угла, хотя бы и не совершенно графическим путем, но самим учеником, гораздо более ценно в педагогическом отношении, чем пользование готовой таблицей функций, появившейся откуда-то извне. Миллиметровая бумага оказывает нам в этом случае большую помощь: она избавляет нас от необходимости восставлять перпендикуляры и проводить касательные. Все эти соображения и вызвали появление тригонометрической подвижной модели.

этой модели, немногим больше того, которое необходимо для отыскания функций по таблицам. Если провести урок таким образом, чтобы ученики поочереди определяли по модели длину линий, а весь класс в это время вычислял соответствующие функции, то в течение 1—2 часов ученики могут сами составить таблицу натуральных тригонометрических функций, которую можно использовать немедленно при решении прямоугольных △△-в. не откладывая его на конец курса.

Рис. 101

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Стр.

Введение ............................ 3

Технические указания для изготовления геометрических моделей . 16

ПОДВИЖНЫЕ МОДЕЛИ.

Отрезок.............................. 20

Угол.............................. 23

Действия над углами...................... 26

Смежные углы ......................... 29

Образование прямого угла.................... 31

Вертикальные углы........................ —

Треугольник........................... 32

Равнобедренный треугольник................. 35

Равенство △△-в........................ 37

Внешний угол △-ка........................

Раздвижной угол......................... 38

Сторона и противоположный угол △-ка.............. 39

Проекция отрезка....................... 41

Ломаные объемлющая и объемлемая............... 43

Расстояние точки от концов отрезка ............... 44

2 перпендикуляра к одной и той же прямой........... 45

Биссектрисы смежных углов.................. —

Параллельные прямые...................... 46

Углы с параллельными сторонами............... 47

Углы с перпендикулярными сторонами.............. 49

Сумма углов Дгка........................ 50

Параллелограмм........................

Ромб и квадрат......................... 53

Средняя линия трапеции ......... ....... —

Три /// линии, проведенные на одинаковом расстоянии друг от друга: 55

Диаметр J. к хорде .... . . 56

Универсальная модель круга ................... 57

а) вписанные углы...................... 58

б) угол с вершиною внутри круга.............. 59

в) угол с вершиною вне круга............... 60

г) угол, образованный касательной и хордой....... 61

Стр.

д) угол описанный..................... 62

е) вписанный 4-угольник.................. —

ж) правильные многоугольники............... 63

з) удвоение числа сторон прав, мн-ков........... 66

Секущая в △-ке, параллельная одной из его сторон....... 69

Биссектриса угла △-ка..................... 71

Перпендикуляр из вершины прямого угла △-ка.......... 74

Извлечение V из чисел графическим способом.......... 76

Теорема Пифагора (числ. выр.).................. 77

Числовое выражение стороны △-ка................ 79

Пропорциональные линии в круге................. 81

Равновеликость и равенство фигур................ 85

Измерение площади........................ —

Площадь квадрата....................... 86

параллелограмма . .................... —

» прямоугольного △-ка.................. 88

ж всякого △-ка...................... 89

ромба......................... 90

. трапеции....................... 92

Превращение трапеции в △-к................... —

„ „ в параллелограмм............ 93

в прямоугольник............. 94

Теорема Пифагора....................... 95

Отношение площадей подобных △-в .... .......... 97

Площадь круга........................ 99

Модель для вычисления тригонометрических функций...... . 101

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА.

Пиотровский. Пятизначные таблицы логарифмов чисел и тригонометрических величин. Ц. 50 к.

Его-жэ. Учебник прямолинейной три тонометрии.

Рашевский, К. Н. Систематический курс геометрии. Д. 1 р. 75 к.

Рыбкин, Н. Сборник геометрических задач на вычисление. Ч. I. (Планиметрия). Ц. 75 к. Ч. II. (Стереометрия). Ц. 75 к.

Его-же. Сборник стереометрических задач. Ц. 25 к.

Его-же. Учебник прямолинейной тригонометрии-. Ц. 80. к.

Карасев, П. А. Элементы геометрии, изучаемые на перегибании листка бумаги.

Клазен и Бах. Сборник геометрических задач. Ч. I. Планиметрия. Ц. 18 к. Ч. II-.

Кнак, П. Практическая геометрия в применении к землемерным съемкам, нивелировкам и составлению планов. (Для с.-х. школ). Ц. 1 р. 50 к.

Кобелева, Е. Н. Сборник задач по геометрии. Д. 60 к.

Крогиус, В. А. Прямолинейная тригонометрия. Ц. 50 к.

Кулишер, А. Р. Учебник геометрии. -Ц. 1 р.

Герхер, Б. Учебник элементарной геометрии. Вып. I. Ц. 30 к. Вып. II—30 к.

Орлов. Первые работы по измерению земли. Д. 20 к.

Пенионжкевич, К. Б. Основания аналитической геометрии. Ц. 75 к.

Сигов, И. А. Практические занятия по геометрии. Ц. 25 к.

Его-же. Проекционное черчение к курсу геометрии,

Инцов, Д. И. Краткий курс аналитической геометрий на плоскости Ц. 30 к.

Шалыт, Е. Наглядная геометрия. Ц. 1 р. 25 к.

Шапошников, Н. А. Курс прямолинейной тригонометрии. Ц. 1 р.

Глазенап, С. Тригонометрия. Ч. I. Ц. 1 р. Ч. 11-1 р. Ч III.—

АЛГЕБРА.

Лебединцев, К. Ф. Руководство алгебры. Ч. I. Ц. 80 к. Ч. 11—1 р. 30 к.

Бем, Д. А., Волков, А. А. и Струве, Р. Э. Сокращенный сборник упражнений и задач по элементарному курсу алгебры. Ч. I. Ц. 60 к. Ч. II—70 к. Ч. Ш-45 к.

Вольф и Цингер. Элементарная алгебра. Ц. 2 р.

Фридман, В. Г. Концентрический сборник алгебраических задач. Ц. 2 р.

Его-же. Сокращенный концентрический учебник алгебры Ц. 2 р.

Рашевский, К. Н. Учебник алгебры.

ТОРГОВЫЙ СЕКТОР ГОСУДАРСТВЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВА:

Москва. Ильинка, Богоявленский пер., 4. Тел. 47-35.

ЛЕНИНГРАДСКОЕ ПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВО: Ленинград. Моховая, 36. Тел. 5-34-17, 1-68-75, 6-10-61.

ОТДЕЛЕНИЯ:

Армавир—ул. Троцкого, 99. Баку—ул. Троцкого (б Милют.), 14. Вологда—Плошадь Свободы. Воронеж—Проспект Революции. Екатеринбург—Угол Пушкинской и Ив. Малышева. Казань —Гостиннодворск., Гостии, двор. Киев—Крешатик, с8 Кисловодск—ул, Карла Маркса, 7. Кострома—Советская, 11. Краснодар— Красная, сБ. Ленинград (представит.) —Моховая, 36. Н.-Новгород—Б. Покровка, 12. Одесса—ул. Лассаля, 12. Пенза—Интернациональная, 39,43с Пятигорск—Советский пр., 48 Ростов-н/Дону—ул. Ф. Энгельса, 106. Саратов—ул. Респуб лики, 42/30. Тамбов—Коммунальная. 14. Тифлис—Пр. Руставели, 16^ Харьков—Московская, 20.

МАГАЗИНЫ в МОСКВЕ:

Советская площ. под бывш. гост. „Дрезден". Тел. 128-94. Моховая, 17. Тел. 131-50. Ул. Гер. цена, 13. Тел. 264-95. Никольскгя, 3. Тел. 49-51. Серпуховская пл. 1 43. Тел. .379-65. Кузнецкий Мост, 12. Тел. 101-36. Покровка, Лялин пер, 11. Тел.81-94. Малая Харитоньевск., 4. Тел. 227-22. Ильинка, Богоявленский пер, 4. Тел 191-49.

Цена 40 коп.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА, Рождественка, угол Софийки, 4

ТОРГОВЫЙ СЕКТОР. МОСКВА. ИЛЬИНКА. БОГОЯВЛЕНСКИЙ, 4 ЛЕНИНГРАДСКОЕ ПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВО. ЛЕНИНГРАД. МОХОВАЯ, 36