ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В V-VII КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

УЧПЕДГИЗ•1954

ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В V—VII КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Сборник статей

Под редакцией П. В. СТРАТИЛАТОВА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Москва — 1954

ПРЕДИСЛОВИЕ.

XIX съезд КПСС в своих решениях поставил задачу перед работниками просвещения — приступить к осуществлению политехнического обучения в средних школах.

Совершенно очевидно, что в отношении математики это потребует в первую очередь более глубокого усвоения учащимися теоретического программного материала. В большей мере, чем теперь, школа должна обеспечить учащимся умение логически, обоснованно мыслить.

На базе теоретической подготовки и в связи с ней будет разворачиваться привитие учащимся практических навыков, показывающих, как при решении задач, так и в проводимых практических работах, единство теории и практики в их диалектическом взаимодействии.

В решении всех этих вопросов большую роль играет опыт работы учителя. Собрать имеющийся опыт, систематизировать и обобщить его с тем, чтобы на этой основе значительно улучшить практику работы учителя,— такова одна из задач, решение которой поможет быстрее реализовать поставленные перед работниками народного образования задачи политехнизации школьного обучения.

Основная цель издания данного сборника заключается в том, чтобы оказать помощь учителю в его практической работе.

Материалы, публикуемые в сборнике, можно разделить на три части: одна часть представляет непосредственное описание опыта своей работы самими учителями по отдельным вопросам методики преподавания математики; таковы статьи Л. Б. Бограчёвой, Т. Н. Денисовой, Б. К. Добронравова, Р. Ю. Новицкой, А. М. Нечай и Н. И. Сырнева, Е. И. Отто, А. А. Прокофьевой, К. П. Сикорского,

М. М. Шидловской; другая часть представляет обобщение опыта работы ряда учителей; таковы статьи Н. Т. Зерченинова, М. И. Иванова, А. И. Штукатуровой, Е. Н. Саговской; наконец, третья часть представляет работы, относящиеся к разработке более широкого круга вопросов, охватывающих достаточно большой раздел программы по математике; статьи, представленные в этой части сборника, также опираются на опыт работы учителя, но в них в большей мере даны обобщающие концепции; таковы статьи С. А. Пономарёва, Л. Г. Круповецкого, П. В. Стратилатова.

Материал сборника подобран по программе V—VII классов средней школы. Многое из того, что имеется в сборнике, читатель в том или ином виде встречал в журнальных статьях, в докладах на учительских конференциях и т. д. Это и понятно. Трудности, возникающие в процессе работы творчески думающего учителя, заставляют его экспериментировать.

В процессе творческих исканий учителя приходят часто к одним и тем же выводам. Наряду с этим у разных авторов читатель познакомится с несколько различными решениями одного и того же вопроса. Читатель при этом должен иметь в виду, что описываемый учителями опыт работы протекал в определённых конкретных условиях, в классе с определённым составом учащихся, и поэтому нет ничего удивительного в том, что он разными авторами проводился различно.

Переходим к аннотациям отдельных статей сборника.

Первая статья С. А. Пономарёва (школа № 352 г. Москвы) «Политехническое обучение в советской школе и преподавание математики» состоит из двух частей. В первой части автор излагает сущность политехнического обучения в советской школе, приводит высказывания основоположников марксизма-ленинизма по этому вопросу и приходит к выводу, что политехническое обучение должно строиться на прочном фундаменте знаний общеобразовательных предметов, особенно таких, как физика, химия и математика, и будет тем успешнее, чем лучше будет поставлено преподавание основ наук. Во второй части статьи указываются некоторые, основные, конкретные формы осуществления политехнического обучения в преподавании математики: решение задач производственного характера, повышение вычислительной культуры учащихся, практические работы, кружковая работа, экскурсии. В связи с рассмо-

трением каждой из указанных форм приводятся примеры из практики работы школы. В статье даётся большой и содержательный материал, и это окажет помощь учителю в выполнении задач, поставленных перед ним партией и правительством.

Вторая статья Т. Н. Денисовой (школа № 342 г. Москвы) «Измерительные работы на местности в курсе геометрии VII класса» является конкретизацией одного из вопросов, затронутых в первой статье.

Автор статьи сообщает вкратце о приборах, употребляемых при измерениях на местности, и подробно останавливается на проведении следующих работ: съёмка плана участка путём обхода его по контуру с помощью буссоли, измерение недоступных расстояний и измерение высоты предметов. В статье подробно рассмотрены все этапы проводимой работы: предварительная работа в классе, полевая работа и обработка полученных результатов. Учитывая, что многие учителя ещё не проводили ни одной работы с учащимися седьмых классов выпуска этого года, в статье кратко излагается содержание простейших измерительных работ (провешивание прямой, измерение расстояний и др.).

Следующая статья А. А. Прокофьевой (школа № 50 г. Москвы) также относится к измерительным работам на местности, но предназначена для V—VII классов.

Автор статьи приводит систему измерительных работ и последовательность, в которой эти работы проводились.

В статье содержатся указания, как в процессе изучения теоретического программного материала по геометрии в VI—VII классах автор осуществлял ознакомление с соответствующими измерительными инструментами и работой с ними. Этот материал весьма полезен, и его можно рекомендовать для широкого использования. Автор указывает, что многие приборы ученики делают сами в школьной мастерской; и это позволяет удачно разрешить трудности при выходе на местность: имея достаточное оборудование, можно организовать фронтальное проведение измерительных работ, разделив класс на бригады по 7—8 человек в каждой. Если из-за недостатка однотипного оборудования фронтально работ организовать не удаётся, то учитель должен продумать, какая бригада и в каком порядке будет эти работы проводить, с тем чтобы не было сутолоки и каждый был занят определённой работой.

В статье Л. Г. Круповецкого (г. Харьков) «Составление арифметических задач по материалам пятого пятилетнего плана» учитель найдёт набор простых задач по арифметике на современном материале. Многие из задач могут быть предложены учащимся для решения устно. Автор даёт указания учителю, как ему самому можно составить задачи, используя тот или иной цифровой материал в газетах, в журналах и т. д.

Набор задач содержит следующие разделы:

1) Обыкновенные и десятичные дроби.

2) Процентные вычисления.

3) Графики и диаграммы.

4) Задачи для повторения.

Все эти задачи учитель может использовать с успехом в своей непосредственной практической работе.

Статья М. И. Иванова (педагогический институт, г. Калинин) «О повышении интереса учащихся к изучению математики» обобщает опыт работы ряда учителей г. Калинина над весьма важным вопросом, имеющим огромное значение для повышения качества знаний учащихся.

Автор приводит ряд примеров из опыта работы учителей: как они ставят работу на уроке, на внеклассных занятиях с целью добиться повышения интереса у учащихся. Преподаватель найдёт в статье много ценных указаний.

Статья |Н. Т. Зерченинова| (методист по математике, г. Москва) посвящена планированию работы по арифметике в V классе и имеет целью оказать помощь учителям в этом весьма важном и ответственном вопросе. Автор, имея большой опыт методической работы с учителями и особенно по арифметике в V классе, подробно останавливается на выяснении числа часов, которое имеется по учебному плану в V классе, и приводит почасовое распределение программного материала по темам на весь учебный год. Характерной особенностью является то, что автор выделяет один час в каждую неделю специально на решение задач (седьмой час по учебной сетке) и распределяет таким образом выделяемые 34 часа по определённым типам задач, которые рассматриваются в V классе.

Аналогично поурочно планируется и весь теоретический материал V класса.

Автор указывает число контрольных работ и сроки их проведения. Он вполне правильно считает, что прохожде-

ние нового материала должно быть окончено не позднее 1 мая, и оставшиеся 15—17 дней следует отвести для повторения наиболее трудных и слабоусвоенных вопросов программного материала.

Статья А. М. Нечай и Н. И. Сырнева (школа № 348 г. Москвы) посвящена преодолению трудностей, связанных с работой в V классах, и носит заглавие «Особенности преподавания арифметики в V классах».

Авторы, исходя из опыта личной работы и работы своих сотоварищей по школе, правильно обращают особое внимание на организацию всей работы на уроке; в целях недопущения утомляемости учащихся они рекомендуют обратить внимание на чередование трудных и лёгких видов работы на уроке, большего разнообразия этих видов и т. д.

Авторы показывают на примере первых уроков по арифметике в V классе, как эти принципы они претворяют в своей практической работе.

Статья Л. Б. Бограчёвой (школа № 360 г. Москвы) «Повышение математического развития учащихся в V— VI классах» затрагивает весьма важный и актуальный вопрос. С одной стороны, необходимо усиление элементов теории в курсе арифметики V класса, с другой стороны, возникающие вследствие этого трудности в практике работы в связи с возрастом учащихся, с отсутствием должных учебных пособий и т. д.

В статье рассматриваются некоторые вопросы, на которые учитель в процессе своей работы должен обратить внимание учащихся:

1) расширение понятия о числе;

2) работа над задачей;

3) вычислительная культура;

4) работа над учебником и

5) постановка вопросов при опросе.

Не все из указанных разделов в одинаковой степени глубоко освещены и разработаны автором, но и в этом виде статья представляет интерес и сможет быть использована учителем на уроке.

Методике работы над арифметической задачей посвящена статья Е. Н. Сaговской (Ленинград). Статья представляет обобщение опыта работы ряда учителей г. Ленинграда. В статье правильно намечены последовательные

этапы работы над решением задачи и указано, что, прежде чем переходить к решению составной задачи, следует рассмотреть с учениками менее трудные задачи, на которые эта составная задача может быть разбита.

Автор акцентирует внимание на необходимости усвоения учениками условия задачи и даёт указания, что нужно делать, чтобы этого добиться.

В статье сделан правильный вывод, что при решении задач следует в большей мере применять аналитический метод, сочетая его в последующем с синтезом: в виде составления обычного плана решения задачи.

Автор считает необходимым решение задачи дополнять письменным объяснением и приводит образцы такого объяснения.

Приводится опыт работы школ № 50 и 51 г. Ленинграда, где применяются так называемые «решения с постановкой полных вопросов».

В статье правильно придаётся большое значение различным способам решения одной и той же задачи и совершенно справедливо отводится должное внимание проверке правильности решения задачи.

Все положения автор иллюстрирует решением задач и этим самым конкретизирует излагаемый материал. Многое из этой статьи учитель сможет перенести непосредственно в практику своей работы.

В статье К. П. Сикорского (школа № 29 г. Москвы) на тему «Контрольные работы по арифметике в V классе» приводится количество контрольных работ в V классе и содержание каждой контрольной работы.

В начале статьи даются указания по методике организации проведения контрольных работ и о составлении задач и примеров одинаковой степени трудности для различных вариантов контрольных работ по одной и той же теме. Даются указания, как проверять работы и как приучить учащихся выполнять работу без черновика.

Вопрос об учёте знаний учащихся путём проведения письменных работ мало освещен в нашей методической литературе. Поэтому настоящая статья затрагивает весьма важный и практически интересный вопрос и окажет помощь учителю в преодолении тех трудностей, с которыми он сталкивается на практике.

Статья Р. Ю. Новицкой (школа № 358 г. Москвы) «Математический кружок в V—VI классах» посвящена

работе математического кружка в V—VI классах мужской средней школы.

В статье рассказывается об организации работы в кружке, приводится примерное содержание работы и образец решения одной задачи.

Автор справедливо придаёт большое значение оформлению участниками кружка всей проводимой работы и в частности записям решаемых задач.

Статья А. И. Штукатуровой (школа № 348 г. Москвы) «Математические пионерские сборы в V — VI классах» посвящена тематическим пионерским сборам по математике и представляет собой обобщение фактической работы, проведённой в ряде школ Бауманского района г. Москвы.

В статье приводятся тематика и планы проведения нескольких пионерских сборов по арифметике, по геометрии, о Лобачевском и один сбор на тему «Простейшие инструменты и их математическое обоснование».

В статье содержатся также указания организационного характера.

В связи с тем широким размахом, который принимает сейчас в школах этот вид внеклассной работы, и в связи с большим значением её в деле воспитания учащихся, статья представляет несомненный интерес для учителя и может быть использована непосредственно в практической работе.

Статья П. В. Стратилатова (методист по математике, г. Москва) «Упражнения по алгебре на материале теоретической арифметики» представляет собой набор задач по теоретической арифметике, которые решаются в связи с проходимым материалом курса алгебры.

Задачи распределены по темам программы по алгебре для VI—VII классов, а внутри темы по степени трудности и предназначены в первую очередь для внеклассной работы. Однако часть из них может быть использована и в текущей работе в классе.

Решение таких задач с учащимися весьма полезно: они заставляют повторять курс арифметики V класса, но на новой основе; при решении задач вводятся буквы и рассматриваются те свойства чисел, которые частично изучались в V классе, теперь же они обобщаются и приобретают характер теорем. Это имеет очень большое значение для развития математического мышления учащихся.

Следует иметь в виду, что многие задачи носят специфический характер и требуют навыка в решении таких задач. Поэтому к набору задач приложены указания с решениями.

В статьях М. М. Шидловской (г. Ленинград) «Первые темы систематического курса геометрии в VI классе» и Е. И. Отто (г. Ленинград) «Решение геометрических задач на доказательство в VI классе» освещены вопросы, относящиеся к преподаванию геометрии в VI классе.

Статья М. М. Шидловской рассматривает методику проведения первых уроков по теме «Введение».

Каждому учителю очень хорошо известно, как трудно проходят первые уроки по геометрии.

Автор статьи показывает, как учитель должен проводить ознакомление учащихся с первоначальными, основными понятиями геометрии и как постепенно в процессе работы выработать соответствующие отвлечённые понятия.

Конкретно разработано содержание материала по всем десяти урокам первой темы. Особое внимание уделено ознакомлению учащихся с первыми теоремами (равенство вертикальных углов и др.) и решению первых задач в связи с изучаемым материалом.

Мы очень рекомендуем материал, указанный для изучения в теме «Введение», дополнить ознакомлением учащихся в классной обстановке, как провести прямую между двумя точками, как определить угол между двумя направлениями и т. д., о чём говорится в печатаемой в сборнике статье А. А. Прокофьевой.

В статье Е. И. Отто указывается последовательность освоения учащимися решения геометрической задачи на доказательство в VI классе.

Автор приводит образцы задач на доказательство в связи с проходимым программным материалом и рассматривает применение различных способов их решения.

Статья Б. К. Добронравова (г. Ленинград) «Задачи на доказательство в курсе геометрии VI и VII классов» содержит весьма ценный материал. Приведённые задачи интересны тем, что они в целом ряде случаев в более простой форме воспроизводят элементы, которые встретятся при доказательстве последующих теорем курса геометрии. Этим с одной стороны облегчается работа по доказательству теорем, а с другой стороны — учащиеся принимают более активное участие при объяснении нового

материала учителем, более осознанно его усваивают. Кроме того, предварительное рассмотрение ряда построений из теорем последующего курса позволит усилить элементы аналитического метода при изложении теоретического курса, что будет в свою очередь способствовать воспитанию логически обоснованного мышления учащихся. Учителя, которым мы предварительно давали эти задачи, весьма положительно отзывались о них после проверки их в практике своей работы.

В сборнике в большей степени представлен материал по работе в V классах. В несколько меньшей степени уделено внимание работе VI и VII классов.

Издательство и редактор надеются, что издание такого сборника окажет учителю необходимую помощь.

Все замечания и пожелания просьба направлять по адресу: г. Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз. Редакция математики.

П. В. Стратилатов.

С. А. Пономарёв

(Москва)

ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЕ ОБУЧЕНИЕ В СОВЕТСКОЙ ШКОЛЕ И ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИКИ.

И. В. Сталин в своём труде «Экономические проблемы социализма в СССР», рассматривая вопрос о переходе от социализма к коммунизму, пишет, что для этого перехода необходимо осуществить три основных предварительных условия.

«Необходимо, в-третьих, добиться такого культурного роста общества, который бы обеспечил всем членам общества всестороннее развитие их физических и умственных способностей, чтобы члены общества имели возможность получить образование, достаточное для того, чтобы стать активными деятелями общественного развития, чтобы они имели возможность свободно выбирать профессию, а не быть прикованными на всю жизнь, в силу существующего разделения труда, к одной какой-либо профессии»1.

XIX съезд Коммунистической партии Советского Союза наметил программу грандиозных работ, необходимых для построения коммунизма в нашей стране.

Директивы XIX съезда партии по пятому пятилетнему плану развития СССР определяют пути могучего подъёма народного хозяйства страны и дальнейшего роста материального благосостояния и культурного уровня советского народа. Новые задачи исторического значения поставлены пятилетним планом в области народного образования.

Директивами XIX съезда по пятому пятилетнему плану развития СССР на 1951—1955 гг. предложено завершить к концу пятилетки переход от семилетнего образования на всеобщее среднее образование (десятилетка) в столицах республик, городах республиканского значения, в областных, краевых и крупнейших промышленных центрах и под-

1 И. Сталин, Экономические проблемы социализма в СССР. Госполитиздат, 1953, стр. 68—69.

готовить условия для полного осуществления в следующей пятилетке всеобщего среднего образования (десятилетка) в остальных городах и сельских местностях.

Для выполнения этой задачи предусмотрено увеличение строительства городских и сельских школ примерно на 70% по сравнению с предыдущим пятилетием, а для обеспечения возрастающей сети школ необходимым количеством учителей—увеличение приёма в педагогические институты в 1951 — 1955 гг. на 45% по сравнению с приёмом в 1946—1950 гг.

В целях дальнейшего повышения социалистического воспитательного значения общеобразовательной школы и обеспечения учащимся, заканчивающим среднюю школу, условий для свободного выбора профессий, в решениях съезда дано задание приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода к всеобщему политехническому обучению.

Новый этап в истории развития советской школы требует от каждого учителя глубокого изучения решений партии и активного, творческого участия в осуществлении задач, поставленных XIX съездом.

Для каждого учителя особое значение имеет его участие в осуществлении политехнического обучения в школе.

Как известно, проблема политехнического образования была впервые поставлена К. Марксом и Ф. Энгельсом и своё дальнейшее развитие получила в трудах В.И.Ленина и И. В. Сталина. Эта проблема является составной частью учения о построении коммунистического общества и вытекает из анализа развития народного хозяйства страны и в первую очередь развития промышленности.

Энгельс пишет: «...промышленность, управляемая всем обществом планомерно и в общественном интересе, нуждается в людях со всесторонне развитыми способностями, в людях, способных ориентироваться во всей системе производства»1.

Необходимость политехнического образования возникает ещё в условиях капитализма. Крупная промышленность, революционизируя разделение труда внутри общества, непрерывно бросает массы капитала и массы рабочих из одной отрасли производства в другую. Природа крупной промышленности требует от рабочего широкой технической культуры

1 К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. V, 1929, стр. 478,

и быстрой ориентации в постоянно изменяющемся производстве. «С другой стороны, в своей капиталистической форме она воспроизводит старое разделение труда с его закостеневшими специальностями»1.

Вот почему Маркс указывает, что только «...неизбежное завоевание политической власти рабочим классом завоюет надлежащее место в школах рабочих и для технологического обучения, как теоретического, так и практического»2.

В. И.Ленин дальше развил учение Маркса — Энгельса о политехническом образовании.

В программе партии, принятой на VIII съезде РКП(б), было записано, что задачей партии является «Проведение бесплатного и обязательного общего и политехнического (знакомящего в теории и на практике со всеми главными отраслями производства) образования для всех детей обоего пола до 17 лет».

В 1920 г. Владимир Ильич, просматривая тезисы Н. К. Крупской о политехнизме, сделал ряд замечаний, имеющих исключительное значение для понимания политехнического образования.

В. И. Ленин писал, что в деле обучения молодёжи следует: «...безусловным заданием поставить немедленный переход к политехническому образованию или, вернее, немедленное осуществление ряда доступных сейчас же шагов к политехническому образованию...»3.

Политехническое образование является важнейшим средством развития всех способностей человека в социалистическом обществе. Бурное развитие промышленности в нашей стране, высшая техника требует подготовки всесторонне развитого, высокообразованного рабочего.

И. В. Сталин пишет: «Что было бы, если бы не отдельные группы рабочих, а большинство рабочих подняло свой культурно-технический уровень до уровня инженерно-технического персонала? Наша промышленность была бы поднята на высоту, недосягаемую для промышленности других стран»4.

Осуществим ли такой подъём культурно-технического уровня в условиях советского строя? Да, он осуществим, так как у нас производительные силы освобождены от оков

1 К. Маркс, Капитал, т. I, 1951, стр. 492.

2 Там же, стр. 493.

3 В. И. Ленин, Соч., т. XXX, изд. 3, стр. 419.

4 И. Сталин, Экономические проблемы социализма в СССР» Госполитиздат, 1953, стр. 28.

капитализма, труд освобождён от гнёта эксплуатации, у власти стоит рабочий класс, и молодое поколение страны имеет все возможности получить достаточное техническое образование.

В чём же сущность политехнического обучения?

Классическое определение сущности политехнического обучения дано Марксом. Это обучение, которое «...знакомит с основными принципами всех процессов производства и в то же время дает ребенку или подростку навыки обращения с простейшими орудиями всех производств»1.

Содержание политехнического обучения в школе раскрыто В. И. Лениным в известных замечаниях на тезисы Н. К. Крупской. В это содержание В. И. Ленин включает основные понятия об электричестве, о применении электричества, о плане электрификации страны, посещение электрической станции, завода, совхоза, знания основ агрономии.

Излагая конкретные мероприятия для осуществления в школе II ступени доступных шагов к политехническому образованию, В, И. Ленин требует, чтобы ученик по окончании школы II ступени «...имел политехнический кругозор и основы (начатки) политехнического образования, именно:

(аа) основные понятия об электричестве (точно определить, какие),

(бб) о применении электричества в механической промышленности,

(вв) —»— тоже к химической, (гг) тоже о плане электрификации Р.С.Ф.С.Р., (дд) посетил не менее 1—3 раз электрическую станцию, завод, совхоз,

(ее) знал такие-то основы агрономии и т. д.»2. В. И. Лениным названы четыре главнейшие отрасли производства: энергетика, механическая промышленность,, химическая промышленность и сельское хозяйство.

Эти производства охватывают всё многообразие конкретных видов производств. Возникает вопрос, с какими же конкретными производствами надо знакомить учащихся, чтобы дать им необходимый политехнический кругозор?

1 К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. XIII, ч. 1, 1936, стр. 199.

2 В. И. Ленин, Соч., т. XXX, изд. 3, стр. 419.

В. И. Ленин говорил, что политехнический принцип не требует обучения всему, но требует обучения основам современной индустрии вообще. Следовательно, в содержание политехнического обучения должны быть включены те основные, общие черты и моменты, немногие научные принципы, усвоение которых должно облегчить в дальнейшем понимание любого конкретного производства. Известно, что электричество проникло во все отрасли промышленности, в сельское хозяйство и транспорт, что куда бы ни попал наш ученик по окончании школы, он непременно будет иметь дело с электричеством. Отсюда следует вывод, что знания и навыки по электротехнике обязательно должны входить в содержание политехнического обучения.

Несмотря на огромное разнообразие различных машин, в них можно найти общее. Эти общие моменты — машина-двигатель, передаточный механизм и рабочая машина. Поэтому учащиеся должны быть хорошо ознакомлены с работой не только электрического двигателя, но и двигателя внутреннего сгорания.

Наше сельское хозяйство всё более и более приобретает характер индустриального производства. В нём находят применение разнообразнейшие машины, электричество и химия. Поэтому овладение общими научными принципами энергетики, механической и химической технологией является подготовкой к участию не только в промышленности, но и в сельском хозяйстве. Учащиеся должны быть ознакомлены с научными принципами агрономии, основанными на законах мичуринской биологии.

Из всего сказанного выше можно наметить те умения и навыки, общие для всех производств, которыми должны овладеть учащиеся.

К числу их можно отнести: умение в уме производить различные вычисления, умения читать и выполнять чертежи, схемы, пользоваться измерительными приборами, справочными таблицами, обращаться с простейшими машинами, выполнять несложные электромонтажные и радиотехнические работы, иметь понятие о выращивании сельскохозяйственных культур и др.

Без знания основ наук нельзя понять научных основ производства. Поэтому необходимо прежде всего дать учащемуся широкое общее образование: знание математики,

физики, химии, биологии, понимание законов природы, на использовании которых основывается техника.

Политехническое образование будет помогать учащимся более глубоко и осмысленно овладевать основами наук.

Политехническое обучение даст учащимся знания общих основ производства, вооружит их рядом практических навыков, соединяя обучение с общественно-производительным трудом.

Такие формы труда, как изготовление предметов оборудования для школы, выращивание культур на пришкольном участке и другие, не только будут способствовать воспитанию коммунистических черт у учащихся (коллективизм, уважение к труду, новаторство), но и позволит им увидеть в труде приложение научных знаний.

В истории развития советской школы было немало допущено ошибок в деле политехнического образования. После Великой Октябрьской социалистической революции при школе создавались примитивные мастерские по картону, лепке и т. п. Связи между учебными предметами и трудом не было.

На более позднем этапе развития школы сторонники антиленинской теории «отмирания школы» выдвинули идею превращения школы в цех завода, оторвав тем самым политехнизацию школы от общего образования и подчинив обучение производственной практике и общественной работе учащихся.

ЦК ВКП(б) в своём постановлении «О начальной и средней школе» от 5 сентября 1931 г. осудил эти взгляды. «Всякая попытка оторвать политехнизацию школы от систематического и прочного усвоения наук, особенно физики, химии и математики, преподавание которых должно быть поставлено на основе строго определённых и тщательно разработанных программ, учебных планов и проводиться по строго установленным расписаниям, представляет собой грубейшее извращение идей политехнической школы».

Итак, политехническое обучение в школе должно строиться на прочном фундаменте знаний общеобразовательных предметов, особенно таких, как физика, химия и математика.

Ознакомление с основами современного производства подразумевает не только понимание сущности технологического процесса, машин и орудий, но и понимание общественного характера производства, его роли в жизни социалистического общества, его организации, размещения

основных природных богатств сырьевых ресурсов и промышленности в мире, в СССР и т. д. Ознакомление с основами производства должно включать и краткие сведения из истории рассматриваемого способа производства, роли русских и советских учёных в истории техники, перспективы развития, показ учащимся на художественных образах самоотверженного труда советских людей на производстве, в сельском хозяйстве и т. д. Все эти знания усваиваются учащимися не только на уроках физики, химии и математики, но и на уроках литературы, истории, географии, естествознания и других школьных предметов.

Следовательно, политехническое обучение в школе будет тем успешнее, чем лучше будет поставлено усвоение основ наук и в первую очередь усвоение курсов физики, химии и математики.

Математика как наука, изучающая количественную сторону предметов и процессов реального мира, играет чрезвычайно важную роль в осуществлении политехнического обучения.

Без знания математики нельзя изучить технику. Во всех отраслях производства приходится иметь дело с количественными нормативными показателями, с численными характеристиками разнообразных величин и отношений между ними.

Полное осуществление политехнического обучения примет конкретные формы, когда Министерством просвещения РСФСР будут даны школе новые программы и учебники. Но передовые школы и учителя уже сейчас приступили к введению в преподавание элементов политехнического обучения.

Министерство просвещения РСФСР в инструктивном письме «О задачах школы в связи с решениями XIX съезда Коммунистической партии Советского Союза», опубликованном в «Учительской газете» от 20 декабря 1952 г., пишет: «К осуществлению политехнического обучения органы народного образования и школы должны приступить уже в текущем учебном году, проявляя инициативу и настойчивость в этом деле».

Советская школа вступает в первый период политехнического обучения, и каждый год работы школы в выполнении этой задачи будет обогащать содержание политехнического обучения и создавать условия для осуществления всеобщего политехнического обучения.

Приводимые ниже соображения о некоторых практических шагах на пути осуществления политехнического обучения в преподавании математики являются обобщением опыта тех учителей математики, которые уже не первый год стремятся осуществить связь теории с практикой, внести элементы политехнического обучения при изложении своего предмета.

Как же надо строить учителю математики преподавание, с тем чтобы выполнить решение XIX съезда партии о политехническом обучении?

Исходным моментом при изложении математики является положение диалектического материализма о том, что математика, как и всякая другая наука, имеет предметом изучения объективную реальность. Отличие математики от других наук состоит в том, что она изучает только количественные и пространственные формы реального мира, абстрагируется от их материального содержания. И. В. Сталин в своём труде «Относительно марксизма в языкознании» пишет: «В этом отношении грамматика напоминает геометрию, которая даёт свои законы, абстрагируясь от конкретных предметов, рассматривая предметы, как тела, лишённые конкретности, и определяя отношения между ними не как конкретные отношения каких-то конкретных предметов,а как отношения тел вообще, лишённых всякой конкретности»1.

Учителям надо помнить, что чем лучше и глубже учащиеся усвоят программный материал по математике, тем шире будет у них политехнический кругозор, ибо вся техника, все производственные процессы базируются на теоретических положениях математики.

Но кроме глубоких и прочных знаний в объёме, определяемом программой, учащиеся должны уметь производить устно различные вычисления, пользоваться различными справочными таблицами, читать чертежи, схемы, пользоваться счётными приборами (счётами и логарифмической линейкой), производить различные несложные расчёты, применять математические знания в смежных школьных дисциплинах (физика, химия, астрономия, естествознание и т. д.). Кроме того, учащиеся должны приобрести некоторые практические навыки в проведении измерительных работ на местности, в вычислении поверхностей и объёмов геометрических тел и др.

1 И. Сталин, Марксизм и вопросы языкознания, Госполитиздат, 1953, стр. 24.

Основные конкретные пути политехнического обучения непосредственно в преподавании математики следующие:

1. Решение задач, отражающих окружающую действительность.

2. Повышение вычислительной культуры учащихся.

3. Практические работы учащихся.

4. Кружки по изучению счётных приборов (счёты, логарифмическая линейка).

5. Экскурсии.

Примечание: Эта классификация, конечно, имеет относительный характер, и она приведена в целях удобства дальнейшего изложения.

Решение задач, отражающих окружающую действительность.

Важнейшим средством изучения математики и связи ее преподавания с практикой и политехнической подготовкой учащихся служит решение задач, фабулой которых являются вопросы социалистического строительства в нашей стране, вопросы, отражающие действительность.

Многие учителя математики и работники педагогических институтов в газетных статьях и в периодической печати ставят вопросы о создании новых задачников.

Профессор И. К. Андронов в статье «Требования жизни» («Учительская газета» от 24 декабря 1952 г.) пишет: «Школа ещё не имеет таких сборников задач, которые были бы наполнены современным жизненным содержанием... Существующие сборники задач, начиная от арифметических и кончая сборниками по алгебре, геометрии и тригонометрии, содержат в себе извращённые представления о жизни... Мы должны иметь такие задачи, в которых математический метод применялся бы для познания жизненных явлений на основе теории отражения и научного предвидения, а не для выполнения искусственных механических операций... Надо давать учащимся живые задачи, такие, где математика действительно нужна, где она в самом деле служит руководством к тому, чтобы управлять действительностью.

Ко мне как-то обратился с просьбой агроном: — Не могли бы вы помочь нам в следующем,— сказал он. — Прямоугольное поле такого-то размера по нашим нормам распахивается в пять дней. Пахота проводится,

начиная с краёв пашни, так, что прямоугольник всё время уменьшается и по длине, и по ширине. Для нас очень важно было бы заранее расставить по полю вехи так, чтобы пашущему было ясно, что когда он дойдёт до первой вехи, то дневная норма пахоты им будет выполнена, и дальше он будет уже перевыполнять норму. Когда он мне скажет, на сколько метров от вехи вспахал лишнего, я сам высчитаю, каково перевыполнение нормы. Можно ли заранее рассчитать и расставить на пашне, где нужно, такие вехи?

Оказывается, можно, и для этого надо только составить очень простое квадратное уравнение. Легко вывести соответствующую формулу, а потом сделать и номограмму.

Конечно, в учебниках нужны и тренировочные задачи в сочетании с задачами, имеющими жизненное содержание, при соблюдении соответствующей меры».

Директор Козычевской семилетней школы Курской области А. Залата пишет:«В задачнике по арифметике Березанской совершенно нет задач, взятых из материалов по колхозному учёту. Совершенно отсутствуют задачи, где бы применялось понятие эквивалента. Для ясности приведу пример: за основу работ на живом тягле у нас принята мягкая пахота. Нужно уметь все полевые работы — боронование, культивацию, сев — перевести на мягкую пахоту по определённым эквивалентам. Своих учащихся мы обучаем, как пользоваться понятием эквивалента. Нужны и такие задачи: дан захват сеялки, бороны, культиватора, требуется определить производительность за рабочий день (8—10 часов) при заданной скорости движения. Наконец, задачи на начисление трудодней по заданным нормам выработки»1.

Приведённые высказывания показывают необходимость создания новых задачников, где в большем количестве, чем в существующих, должны быть помещены задачи жизненного характера. Важно помнить, что между тренировочными задачами и задачами жизненного характера должно соблюдаться такое соответствие, которое помогало бы основной задаче— прочному овладению основами математики. Нельзя допустить повторения ошибок начала 30-х годов, когда сообщаемые знания по математике определялись потребностями того или другого производства и создавались пособия для учащихся, вроде «Математика для металлиста», «Математика для работников сберкасс» и т. п. В этих пособиях были

1 «Из опыта сельских школ», АПН РСФСР, 1949, стр. 105.

помещены задачи, преследующие крайне утилитарные цели и дающие обрывочные знания курса математики. Признавая важность задач, «в которых математический метод применялся бы для познания жизненных явлений», надо большую часть учебного времени расходовать на решение таких задач, которые закрепляют и пополняют проходимый теоретический материал.

Проф. В. М. Брадис в статье «За высокую вычислительную культуру» («Учительская газета» от 24 декабря 1952 г.) приводит две задачи, требующие от учащихся самостоятельности и умения приложить математические знания.

«Учитель приносит в VIII класс какую-нибудь круглую металлическую деталь диаметром 300—400 мм, например шкив, и говорит, что требуется установить по возможности более точно длину его диаметра, имея в руках не весь шкив, а лишь часть его обода. Учащимся раздаются вырезанные из плотной бумаги круговые сегменты, заранее заготовленные учителем путём обвода некоторой дуги взятого шкива».

Для IX класса В. М. Брадис рекомендует решить следующую задачу: «Имеется лента, свёрнутая в виде тугой плоской спирали, например бумажная лента кассового аппарата. Требуется, не разматывая ленты, найти её длину. Начав опять-таки с глазомерной оценки искомой величины, выясняем возможность двух путей решения:

1) принимая все витки равными одной и той же окружности среднего диаметра и

2) принимая все витки за окружности диаметра, возрастающего по закону арифметической прогрессии с разностью, равной двойной толщине ленты.

Установив, какие данные надо получить путём непосредственного измерения, формулируем задачу математически (два варианта формулировки).

Дальше идёт самостоятельная работа учащихся. В заключение учащиеся разматывают ленту, непосредственно измеряют её длину и сравнивают с ней свои результаты, найденные путём расчёта».

В сборнике задач по алгебре Шапошникова и Вальцова, ч. I и II, в задачниках Рыбкина имеются задачи, опирающиеся на материал по физике. Некоторые учителя избегают предлагать эти задачи для решения, считая их громоздкими и «бедными» по математическому содержанию. Решение и исследование таких задач расширяет кругозор учащихся,

помогая им уяснить, в каком же случае, при каких условиях возможно их решение. Такого рода задачи имеются и в задачниках по алгебре Ларичева.

Приведём ещё некоторые темы практических задач, для V—VI классов.

1. Составить смету на побелку комнат и коридоров школы при таких-то расчётных данных. (Учитель устанавливает, что точно подлежит побелке, потребный материал, стоимость рабочей силы и т. д.)

2. Составить смету на озеленение улицы. (Учитель даёт некоторый справочный материал.)

3. Составить смету на организацию похода, экскурсии.

4. Составить смету на проводку электросети и т. д.

Поскольку весь класс должен принять участие в решении практических задач, то возможно так организовать работу: класс разбить по бригадам (3—5 учеников в бригаде), распределить между ними работу (возможно параллельное выполнение одной и той же части работы двумя бригадами), установить срок выполнения и дать указание, как проводить те или другие измерения или расчёты. После окончания учебного дня учащиеся под наблюдением учителя проводят необходимые измерения, делают вычисления и полученные от бригад результаты обрабатываются.

Желательно, чтобы в V классе учащиеся самостоятельно составили две сметы: первая смета составляется учащимися по готовой форме с данными справочного характера, ранее подготовленными учителем; для второй сметы учащимся ставится задача, и они сами должны найти все необходимые данные (измеряя и прибегая к справочникам).

В качестве примера составления сметы первого вида приводим такую задачу.

Составить смету на содержание лошадей, коров и мелкого скота на шесть месяцев.

п/п

Наименование скота

Количество

Овёс

Сено

Отруби

норма на 6 мес.

всего

норма на 6 мес.

всего

норма на 6 мес.

всего

1 2 3

Рабочие лошади Молодняк лошади

Коровы .....

и т. д.

32 12 140

4 ц 2,5 »

15 ц 10 » 10 »

3 ц

Всего. . .

1

Задачи, кроме закрепления проходимого теоретического материала, имеют и большое значение в деле коммунистического воспитания учащихся. Язык цифр весьма убедителен, и необходимо, чтобы учитель математики, так же как и учитель истории и географии, использовал числовые данные социалистического строительства.

Каждый учитель по данным из журналов, газет, справочников может составить задачи производственного характера, затрагивая как вопросы промышленности, так и вопросы сельского хозяйства. Такие задачи учитель может найти в недавно вышедших книгах: 1) Т. А. Песков, Сборник арифметических задач, 2) С. А. Пономарёв и Н. И. Сырнев, Сборник арифметических задач для V—VI классов, 3) В. А. Игнатьев, Н. И. Игнатьев и Я. А. Шор, Сборник задач по арифметике для педагогических училищ.

Особенно благодарный материал для учителя при составлении задач дают материалы XIX съезда партии. Например, рассматривая график роста промышленной продукции у нас и в наиболее развитых буржуазных странах — США и Англии (газета «Правда» от 31 декабря 1952 г.) —учитель может составить ряд задач, имеющих не только математическую сущность, но и большое воспитательное значение.

Следовательно, учитывая недостаточность задач жизненного, производственного характера в существующих задачниках, учитель должен сам составить ряд задач, отражающих вопросы социалистического строительства.

Особо следует выделить решение геометрических задач. Мы не будем останавливаться на таких задачах, как нахождение площадей или объёмов окружающих тел, а также на задачах на построение, ибо каждому из нас понятна их роль в расширении политехнического кругозора.

Остановимся на одном вопросе, имеющем весьма большое значение для развития пространственного воображения, а именно о значении чертежа.

В основе развития пространственных представлений лежит непосредственное восприятие пространственных форм. Поэтому широкое использование наглядности в преподавании геометрии, своевременное использование моделей является обязательным требованием к преподаванию математики.

Большую роль в развитии пространственного воображения играет правильно построенный чертёж. Между тем

построению хорошего чертежа, помогающего решить задачу, на котором ученик увидел бы все необходимые размеры, некоторые учителя мало уделяют внимания. В конце первого полугодия этого года для X классов городским отделом народного образования Москвы была дана контрольная работа по геометрии, состоящая из двух задач: первая задача вычислительного характера, а вторая читалась так: «Изобразить куб, вписанный в правильную четырёхугольную пирамиду так, что его нижнее основание лежит на основании пирамиды, а вершины верхнего основания лежат на апофемах боковых граней пирамиды». Задача несложная, но, к сожалению, многие учащиеся выполнили чертёж крайне плохо.

Вспомогательная роль чертежа в геометрии весьма разнообразна. Чертёж используется и как иллюстративный материал (при объяснении новых понятий), и как наглядная опора (при доказательстве теорем), и как графическое отображение (при решении задач). Но иногда чертёж оказывает и отрицательное влияние, а именно в том случае, когда учащиеся принимают некоторые частные особенности чертежа-иллюстрации за существенные признаки изучаемых свойств.

Особенное внимание следует обратить на вычерчивание пространственных фигур. Понимание стереометрических чертежей трудно даётся учащимся в силу их условности: на чертеже искажаются величины углов, длины отрезков, пересекаются между собой линии, в действительности не имеющие общих точек, и т. д. Многие учащиеся со слабо развитым пространственным воображением долгое время не в состоянии преодолеть эти трудности и не могут проанализировать или доказать теорему на изменённом чертеже. Поэтому учитель должен особое внимание уделять чертежу. Весьма полезные сведения учитель может почерпнуть в статье Владимирского «Каким должен быть чертёж преподавателя геометрии» («Математика в школе», 1941, № 3), а также в заметке Г. Назаревского «Конструктивные чертежи» («Учительская газета» от 24 декабря 1952 г.).

Повышение вычислительной культуры.

Одной из задач школьной математики является выработка у учащихся сознательных и прочных умений и навыков в возможно более точном и быстром выполнении различных числовых расчётов.

Надо признать, что в нашей школе ещё многие учителя слабо используют в своей практике устные упражнения, счётные приборы (русские счёты и логарифмическая линейка), метод приближённых вычислений с наперёд заданной точностью. А между тем эти вопросы и являются главными формами работы для повышения вычислительной культуры учащихся.

Вычисления можно различать по методу вычислений и по характеру данных и искомых.

По методу различают три основных вида вычислений: устные вычисления, письменные вычисления и вычисление с применением вспомогательных средств.

Устные вычисления. Одним из испытанных средств, способствующих лучшему усвоению математики, повышающих вычислительную культуру, являются устные вычисления на уроках математики; эти упражнения способствуют более сознательному усвоению предмета, приучая учащихся отчетливее понимать сущность математических понятий, определений, теорем и преобразований.

Систематическое проведение устных вычислений бесспорно повышает вычислительную культуру, являясь в то же время действенным оружием в борьбе с формализмом в знаниях учащихся.

Устные упражнения помогают развивать у учащихся внимательность, наблюдательность, сообразительность, инициативу, повышают дисциплину и возбуждают интерес к работе.

Роль устных упражнений в повышении вычислительной культуры на уроках математики неоднократно освещалась как на страницах учебно-методических пособий, так и в журналах, а поэтому не станем больше останавливаться на этом весьма важном средстве повышения вычислительной культуры.

Исчерпывающий материал для проведения устных упражнений учитель может найти в книгах: В. А. Игнатьев и др., Сборник упражнений для устного счёта (арифметика, алгебра, геометрия и тригонометрия), Е. С. Березанская и Ф. Ф. Нагибин, Сборник упражнений для устного счёта (алгебра и тригонометрия), Я. Ф. Чекмарев, Сборник упражнений для устного счёта по арифметике в V—VI классах.

Вычисления с применением вспомогательных средств. Бурное развитие всех видов промышленности, сельского хозяйства на базе высшей тех-

ники выдвигает следующие требования к нашим хозяйственным вычислениям: точность, быстрота и своевременность. Выполнение этих требований осуществляется вычислениями с применением вспомогательных средств.

К числу средств, автоматизирующих и механизирующих вычислительную работу, относятся: приборы, машины, таблицы и номограммы. На земном шаре самой развитой страной, применяющей различные счётные машины, является наша страна. В городах, да и в ряде крупных предприятий у нас созданы счётные станции, отделы, и, следовательно, у учителя имеется возможность провести экскурсию в целях ознакомления с работой счётных машин.

В условиях школы учитель должен научить учащихся умению обращаться со счётными приборами, с русскими счётами и с логарифмической линейкой. Многие учителя не только путём внеклассной работы, но и систематической работой в классе обеспечивают учащимся приобретение прочных навыков в обращении с приборами.

На работе со счётными приборами остановимся более подробно в разделе «Кружки по изучению счётных приборов».

Недостатком в работе учителей математики является слабое использование на уроках различных вычислительных таблиц. В классах, на уроках математики редко можно увидеть настенные вычислительные таблицы. Даже имеющиеся у каждого ученика старших классов четырёхзначные математические таблицы используются только при вычислениях с помощью логарифмов, а между тем там имеется много нужных и полезных таблиц. Вычислительные таблицы являются эффективным средством автоматизации вычислительных работ, а потому надо приучить учащихся пользоваться ими.

За последние годы в технике широко используется графический метод решения различных практических задач путём построения так называемых номограмм.

Номограммы — графические расчётные таблицы. Номограмма представляет собой график, на котором в соответствии с формулой зависимости графически выражена эта зависимость между данными и искомыми величинами. Применение номограмм позволяет во много раз ускорить выполнение различных вычислений. Научить учащихся свободно строить графики и пользоваться ими — одна из важных задач в преподавании математики.

Учить детей пользоваться графиками учителя должны начинать уже в V классе.

Учитель 59-й средней школы И. Морозкин в статье «Графики и номограммы», помещённой в «Учительской газете» от 24 декабря 1952 г., перечисляет следующие вопросы, которые он рассматривал в практике преподавания, прибегая к графическому методу: построение диаграмм и графиков, выражающих длины рек, путей сообщения, рост промышленности, длину окружности в зависимости от диаметра и т. д.

Более полное применение графического метода начинается с VII класса.

Мы знаем, что по характеру данных и искомых вычисления разделяются на точные и приближённые. В школьном курсе математики совершенно недостаточно уделено внимания вопросу ознакомления учащихся с действиями над приближёнными числами, между тем работники вузов всегда предъявляют требование школе повысить вычислительную культуру выпускников средней школы.

Наши выпускники, выполняя действия над приближёнными числами, не знают, как получить нужную степень точности. Школьные учебники и задачники излагают учащимся теорию и задачи в основном на «точных» числах, между тем как в окружающей жизни человек всегда сталкивается с «приближёнными» числами.

Конечно, вполне естественно, что математика на первых порах её изучения — наука о точных числах, так как надо познать в первую очередь главное, существенное. Но и в младших классах средней школы (V—VI классы) учащийся должен иметь основные понятия о приближённых вычислениях.

Допустимо ли, что наши учащиеся, вычисляя площадь прямоугольника по найденным ими величинам, например при длине 3,18 м и ширине 4,23 м, считают свой ответ 13,4504 м2 верным?

Они не могут оценивать точность получаемых ими результатов действий над приближёнными данными, тратят много времени на получение «нелепых хвостов ненужных цифр» (акад. Крылов).

Весьма часто в существующих задачниках даются «разноточные» данные. Например: «Решить треугольник, зная, что его стороны равны 5,2 м и 3 м, а угол, лежащий против одной из них, равен 36°24'35“.

Очевидно, в новых программах по математике будет указано, как и что проходить из теории приближённых вычислений. Но, не ожидая новых программ, каждый учитель может дать и в часы уроков, и в часы внеклассных занятий основные понятия о приближённых вычислениях без строгого учёта погрешностей. Желательно ознакомление учащихся со следующими вопросами:

1. Числа точные и приближённые.

2. Абсолютная и относительная погрешности.

3. Четыре действия с приближёнными числами.

4. Округление.

5. Вычисления с наперёд заданной точностью.

Практические работы.

Практические работы по математике в средней школе весьма многочисленны и разнообразны.

К ним можно отнести: решение упражнений и задач как письменно, так и устно; составление различного рода таблиц: таблиц процентов, квадратных корней и т. д.; различного рода измерительные работы в классе и в поле; изготовление математических моделей и т. д.

В этой главе мы рассмотрим такие виды работ, которые прививают учащимся какие-либо практические навыки и выполнение которых сопряжено с употреблением измерительных и счётных приборов, чертёжных принадлежностей, а также и такие работы, как составление различного рода таблиц и смет.

Большое воспитательное и практическое значение имеет выработка у учащихся умений и навыков применения полученных знаний на практике. К сожалению, весьма часто при проведении простейших практических работ учащиеся показывают полную беспомощность. Приведём два примера.

Первый пример. В средней школе Москвы, территориально расположенной от здания Моссовета на расстоянии около 250 м, в 1952 г. на уроке геометрии в VI классе было дано учащимся задание: «Напишите на листке бумаги предполагаемое расстояние от двери школы до здания Моссовета»; учащиеся дали различные ответы, в интервале от 30 м до 1500 м. После того как пять учеников измерили это расстояние в шагах, было взято среднее арифметическое пяти измерений и классу было

предложено выразить приближённо расстояние в метрах. Почти все учащиеся дали ответ с точностью до 0,01 м.

Второй пример. С. М. Чуканцов в статье «Воспитание советского патриотизма в процессе изучения математики в средней школе» пишет: «По заданию Института методов обучения АПН РСФСР Калужским областным институтом усовершенствования учителей была проведена письменная работа в двух параллельных V классах 1-й женской средней школы г. Калуги. Среди других примеров и задач была предложена и такая задача: «Вычисли площадь этого прямоугольника и запиши решение». Тут же прилагался начерченный прямоугольник. Никто из шести учащихся V класса Г, решавших эту задачу, правильно не решил её. У всех были допущены грубые ошибки в измерении.

В V классе Б той же школы, где арифметику преподаёт В. А. Соколова, которая не только учит своих учащихся теории, но и приучает их применять полученные знания на практике и проводит с учащимися практические занятия — измерения на местности, все учащиеся, решавшие эту задачу, решили её правильно»1.

Эти примеры показывают, что в ряде школ недостаточно обращают внимания на увязку теории с практикой.

При выборе практических работ следует исходить не только из приобретения учащимися некоторых производственных навыков в целях расширения политехнического кругозора, но и из того, что в школе сообщается строгая система математических знаний; практические работы должны иметь несложное техническое содержание с явно выраженной математической сущностью.

Приведём некоторые возможные практические работы в средней школе. По арифметике учащиеся могут выполнить следующие практические работы:

1) Сложение, вычитание и простейшие случаи умножения и деления на конторских (русских) счётах.

2) Изготовление моделей геометрических фигур, изучаемых в V классе. Вычисление поверхностей и объёмов тел.

3) Составление таблиц для умножения чисел, для вычисления процентов, для вычисления длины окружности и площади круга.

4) Составление несложных хозяйственных расчётов и смет, например смет на побелку комнаты, здания и т. д.

1 Методический сборник «В помощь учителю математики», изд. газеты «Знамя», Калуга, 1949.

5) Составление диаграмм и эмпирических графиков (температуры, успеваемости по четвертям и т. д.).

В каждом классе учащимся должны быть предложены практические работы по изготовлению наглядных пособий по программе математики данного класса. Слабо успевающим ученикам класса изготовление наглядных пособий приносит особенную пользу.

После того как учащиеся в VI классе приступят к изучению систематического курса геометрии, перед учителем открывается большой простор для составления и выполнения практических работ — измерительных работ на местности. Но и в V классе учащиеся могут выполнить ряд, измерительных работ.

Измерительные работы на местности в курсе математики средней школы.

Измерения на местности, определение объёмов и поверхностей различных предметов являются не только формой практической работы учащихся, но и представляют действенное средство борьбы с формализмом знаний учащихся. Учитель нередко сталкивается с тем, что учащиеся, хорошо усвоившие формулы о нахождении поверхностей и объёмов тел, затрудняются в вычислении объёмов или поверхностей моделей тел, не понимая, как найти измерением необходимые данные.

Учащиеся теряются в выборе единиц измерения, затрудняются в выборе простейших способов измерения и особенно чувствуют себя беспомощными при необходимости произвести измерения на местности. Учащиеся V класса на вопрос, как измерить расстояние от школы до их квартиры, давали ответы: «измерить надо километром», «измерить надо метром». Но не только учащиеся младших классов не умеют производить необходимые измерения; этим недостатком страдают и ученики старших классов.

Причиной этого является то, что измерительным работам на местности не уделялось до сего времени почти никакого внимания. Программа по математике не предусматривает часы для выполнения этих работ, но в объяснительной записке к программе высказана правильная мысль: «Необходимо также показывать практические приложения геометрии, повышая этим интерес учащихся к предмету и их уверенность в его ценности. Сюда относятся прежде всего измерения всякого рода, в частности измерения на местности,

вычисления площадей и объёмов и т. п.» Но эти требования без указания, за счёт какого времени, как и что выполнить, остаются только пожеланием. Бесспорно, что в новой программе по математике будет указано не только конкретное содержание измерительных работ, но и выделено необходимое для этого время. Основные этапы по проведению измерительных работ следующие:

1. Ознакомление с инструментом, приёмы работы с инструментом в классной обстановке.

2. Полевая работа.

3. Обработка материала полевой работы.

Приведём тематику возможных измерительных работ.

V класс.

1. Измерение длины шага учащихся на базе в 100 м. Техника подсчёта шагов при измерении расстояний на местности. Определение расстояний на глаз с последующей проверкой шагами.

2. Проведение прямых на местности и измерение их с помощью мерной цепи, шагами и полевым циркулем.

3. Эккер. Пользование эккером. Проведение перпендикуляра к данной прямой. Построение на местности ара и гектара как в виде квадрата, так и в виде прямоугольника.

Кроме указанных трёх работ на местности, учащиеся при прохождении соответствующего материала знакомятся с численным и линейным масштабами.

VI класс.

1. Астролябия. Измерение и построение углов любой величины с помощью астролябии.

2. Определение расстояния между двумя точками:

а) одна из которых недоступна, б) обе доступны, но из одной другую нельзя увидеть.

3. Определение высоты предмета. Определение глубины оврага.

4. Проведение параллельных прямых на местности. Нивелирование (определение высоты холма).

VII класс.

Буссоль. Пользование буссолью.

1. Построение на местности четырёхугольников различных видов с помощью эккера и буссоли.

2. Съёмка плана с помощью астролябии.

3. Определение расстояния до недоступной точки или высоты предмета с помощью равенства треугольников.

VIII класс.

1. Построение прямого угла с помощью египетского треугольника. Определение недоступных расстояний приёмами, основанными на подобии треугольников. Определение расстояния дальномером.

2. Вычисление площади земельного участка по плану.

3. Определение недоступных расстояний с помощью тригонометрических функций острого угла.

IX класс.

1. Съёмка плана земельного участка школьной астролябией с вычислением координат вершин. Вычисление площади этого участка.

2. Нахождение недоступных расстояний с помощью решения прямоугольных треугольников и вычисление с применением таблиц логарифмов.

X класс.

1. Нахождение недоступных расстояний с помощью решения косоугольных треугольников.

2. Нахождение объёмов и поверхностей различных хозяйственных построек и сооружений.

Приведённый список возможных измерительных работ по знаниям посилен для учащихся средней школы.

У учителей, не проводивших ещё в своей практике измерительных работ, возникают вопросы: где достать нужные инструменты? Где взять необходимое время для этих работ ? Где же найти место для измерительных работ, если школы размещены в центре крупного города ? И т. д.

Опыт работы учителей, действительно желающих проводить измерительные работы, показывает, что указанные выше трудности преодолимы.

Эти учителя с помощью учеников изготовляют самодельные инструменты (эккеры, астролябии, мензулы, эклиметры, дальномеры, уровни, рейки и вехи). К числу положительных сторон самодельного инструмента относится и то, что в отличие от фабричного он даёт идею построения прибора в «оголённом виде».

Некоторые учителя считают нецелесообразным применение астролябии и других инструментов, перечисленных в темах измерительных работ, мотивируя это тем, что в землемерии сейчас не пользуются астролябией, а пользуются теодолитом. Конечно, в последующие годы осуществления политехнического обучения возможно будет обеспечить школу должным количеством теодолитов, но для овладения теодолитом требуется неизмеримо больше времени, чем для освоения вышеназванных инструментов, да и основная задача проведения измерительных работ в школе — это уяснение учащимися математической сущности этих работ.

Важно помнить, что в школе на данном этапе надо проводить такие работы, которые при несложном техническом содержании давали бы явно выраженную математическую сущность процесса.

Где взять время для проведения измерительных работ? Бесспорно, что этот вопрос представляет трудность, так как существующая программа не указывает источник времени. Практика показывает, что учитель в течение года может уделить 6—8 часов для проведения этих работ. Учащиеся охотно выполнят измерительные работы и во внеурочное время.

Учительница 50-й школы Москвы А. А. Прокофьева в течение ряда лет регулярно проводит весной и осенью измерительные работы на местности (в среднем по три работы на класс), и все работы выполняются в основном с инструментами, сделанными учениками.

Что касается места для проведения измерительных работ, то выбор его зависит от обстановки, в которой находится школа. Некоторые учителя Москвы проводят измерительные работы и на территории школы, и даже на специально устроенном небольшом полигоне, применяя миниатюрные инструменты. Конечно, более лучшей обстановкой для работы является поле.

Домашняя работа. Домашнюю работу учащихся также надо использовать как важное средство расширения политехнического кругозора. Домашние задания по математике на составление и решение задач с производственным содержанием, измерительные работы в своей квартире или на участке, занимаемом семьёй учащегося, выполнение графических работ, изготовление моделей тел или

моделей для решения задач и др. бесспорно обогащают политехнический кругозор учащихся.

Учитель А. Н. Клюка (Ростовская область) пишет, что перед нашими учениками, окончившими школу,— будущими мастерами урожая, бригадирами, руководителями колхозов, агрономами и механиками — практика жизни может поставить и такие задачи:

1. Перевезти горючее из нефтебазы в определённый срок.

2. Перевезти сено на стойловый период для молочнотоварной фермы.

3. Составить смету на закладку колхозного сада.

4. Распределить хлебный аванс между колхозниками по количеству выработанных трудодней.

И далее А. Н. Клюка на конкретном примере показывает, как учитель организует выполнение домашнего задания.

«Учитель предлагает детям решить задачу: «Колхозу предстоит прополоть участок пшеницы в два дня. Сколько для этого потребуется человек?» В классе обсуждают задачу и выясняют, какие данные нужно иметь для её решения. На собирание данных и решение задачи даётся несколько дней. Дети самостоятельно измеряют участок, узнают о нормах выработки у бригадира полеводческой бригады, проверяют по справочнику. Получив все необходимые данные, они составляют полный текст задачи и решают её».

Для выполнения дома ученикам может быть предложено вычерчивание графиков и диаграмм, показывающих работу завода, колхоза, совхоза, рост посевных площадей, садов, урожайности и т. п. Конечно, учителю надо помнить, что практическая работа дома, в силу полной самостоятельности выполнения работы учеником, требует значительного времени, а потому такого рода задачи должны иметь только эпизодический характер.

Кружки по изучению счётных приборов.

В разделе «Повышение вычислительной культуры» было указано, что одним из действенных средств, повышающих культуру вычислений, является ознакомление учащихся со счётными приборами — русскими конторскими счётами и логарифмической линейкой и выполнение вычислений с помощью этих приборов как в школе, так и дома.

Даже в рамках существующей программы по математике у учителя имеется возможность не только ознакомить учащихся с математической сущностью счётных приборов, но и научить их пользоваться при вычислениях русскими счётами и логарифмической линейкой.

Учителя, обязывающие своих учеников систематически работать с этими приборами, не только дают учащимся практические навыки в вычислительной технике, но и получают значительную экономию времени.

В краткой форме изложим опыт работы учителей, внедряющих в практику работы школы пользование счётными приборами.

Русские конторские счёты. Каждый из нас знает, что необыкновенная простота и остроумие замысла, положенные в основу русских счётов, служат причиной того, что этот счётный прибор и по настоящее время остаётся самым распространённым и необходимым средством механизации вычислений.

Сложение и вычитание чисел производится на счётах быстрее, чем даже на арифмометре.

Поэтому ознакомление учащихся со счётами и введение счётов в практику вычислений — необходимое мероприятие.

Учащиеся средней школы познакомились со счётами ещё в начальной школе, а поэтому учитель математики уже в V классе должен требовать от учащихся, чтобы они при выполнении действий сложения и вычитания у доски использовали счёты, которые учитель приносит в класс.

Все эти операции учитель проделывает в классной обстановке, а дальнейшее ознакомление со счётами проводится во время внеклассной работы. Для этого надо организовать кружок «любителей русских счётов» или секцию при математическом кружке. Состав кружка — учащиеся V — VI классов.

Содержание работы кружка составляет освоение следующих операций на счётах: умножение на однозначный множитель; умножение на двузначный и многозначный множители. Упрощённые приёмы умножения на счётах (умножение на множитель с одинаковыми цифрами, на числа, кратные 9, на числа, близкие к круглым). Деление на многозначный делитель. Деление на числа, близкие к круглым. Смешанные задачи на вычисления на счётах.

Выполнение всей программы — 18—20 часов кружковой работы, т. е. примерно 10 занятий. Конечно, исходя

из имеющегося времени, можно эту программу сократить; важно заинтересовать учеников и дать толчок к разумному использованию их свободного времени. С теорией русских счётов можно ознакомиться по книге Юрьева «Счётная техника», Статиздат, 1952.

Логарифмическая линейка. Программой по математике предусмотрено ознакомление учащихся с принципом устройства логарифмической линейки. Ознакомление с логарифмической линейкой обычно учителя проводят в конце третьей четверти в IX классе. В классе учитель может уделить не более 4 часов на изучение линейки и за это время излагает теорию и показывает следующие приёмы вычисления: возведение в квадрат и куб и извлечение квадратного и кубического корней, умножение и деление чисел. Конечно, за 4 часа учащиеся не приобретают необходимой точности и быстроты вычислений; вычисления в это время выполняются настолько медленно, что преимущества вычислений с помощью линейки в глазах некоторых учеников теряются.

Если учитель при дальнейшем прохождении математики не требует производства вычислений с помощью линейки, то ученики к концу X класса её забывают. Поэтому многие учителя в целях выработки прочных навыков в обращении с линейкой организуют кружки по изучению логарифмической линейки.

Для успешного овладения техникой операций на линейке необходимо иметь логарифмическую линейку каждому учащемуся. Желательно иметь линейки в 25 см.

Опыт учителей, внедряющих применение линейки в обиход школы, показывает, что наиболее целесообразной будет следующая последовательность материала по изучению линейки: принцип устройства линейки, чтение меток, возведение в квадрат и извлечение квадратного корня, возведение в куб и извлечение кубического корня, умножение и деление, выполнение ряда последовательных умножений и делений, правило определения запятой в результатах вычислений, вычисления с тригонометрическими функциями. Для осуществления этой программы требуется 10—12 двухчасовых занятий кружка.

Достойна подражания практика освоения линейки, проводимая учителем 348-й средней школы г. Москвы Н. И. Сырневым. Н. И. Сырнев впервые показывает линейку в VIII классе при повторении темы «Возведение в степень и извле-

чение квадратного корня». Он демонстрирует линейку как своеобразную таблицу квадратов и квадратных корней. Этим приобретается навык в чтении меток. При прохождении темы «Тригонометрические функции острого угла» он снова обращается к линейке. На протяжении VIII и IX классов Н. И. Сырнев требует от учащихся применения линейки, и когда в конце третьей четверти в IX классе учащиеся знакомятся с принципом устройства линейки, то они, умея свободно читать метки, начинают бегло выполнять умножение и деление и решать комбинированные задачи. И далее, в практике работы при вычислениях Н. И. Сырнев прибегает в большей мере к линейке, чем к таблицам логарифмов.

Экскурсии.

Одним из важнейших средств осуществления политехнического обучения в школе являются производственные экскурсии.

Ещё в 1920 г. В. И. Ленин в своих заметках на тезисы Н. К. Крупской «О политехническом образовании» писал: «.. .3) безусловным заданием поставить немедленный переход к политехническому образованию или, вернее, немедленное осуществление ряда доступных сейчас же шагов к политехническому образованию, как-то:

а) посещение электрической станции, ближайшей, и ряд лекций с опытами на ней; ряд практических работ, какие только возможны с электричеством; разработать тотчас детальные программы (на 1 посещение; на курс в 5, 10 лекций; в 1, 2 месяца и т. д.),

б) тоже — каждый сносно поставленный совхоз,

в) тоже — каждый сносно поставленный завод,...»1.

Производственные экскурсии содействуют всестороннему развитию учащихся, расширяют их кругозор. Они дают понимание конкретных фактов окружающей действительности, знакомят с технологией производства и орудиями производства, с общими научными принципами социалистического производства.

Политехническое обучение должно познакомить учащихся ç главными отраслями производства и с основными научными принципами производственных процессов. Поэтому

1 В. И. Ленин, Соч., т. XXX, изд. 3, стр. 419.

наиболее ценными объектами для экскурсий являются передовые, наиболее оснащённые предприятия.

Производственные экскурсии, как правило, должны быть связаны с экскурсиями, проводимыми по физике, химии и биологии. Учитель математики должен знать, что увидят, с каким процессом будут ознакомлены учащиеся, а затем до экскурсии или после экскурсии остановиться на некоторых математических элементах этого процесса. В больших городах на крупных предприятиях и вообще в тех населённых пунктах, где имеются счётные станции или счётные отделы, необходимо провести экскурсию с целью ознакомления со счётными машинами и их работой. В Москве же в распоряжении каждого учителя имеется политехнический музей, где полно представлена счётная техника. Какое удивление и в то же время удовлетворение испытывают ученики, когда видят, какие сложные преобразования-вычисления мгновенно производят машины!

Непростительно для учителя математики г. Москвы, если он не организует в течение года одну экскурсию в Политехнический музей.

Чтобы успешно осуществлять политехническое обучение, учитель должен сам быть политехнически образованным человеком: знать научные принципы социалистического производства и владеть необходимыми практическими умениями и навыками.

Учитель, отгородившийся от практики социалистического строительства, не сумеет осуществлять задачи политехнического обучения.

Повышение квалификации учителя зависит прежде всего от самого учителя, от того, как он использует различные совещания, доклады и лекции по темам, связанным с политехническим обучением. Особое внимание учитель должен уделять посещению различных выставок и музеев. Никакое описание какой-либо машины или технологического процесса не может дать такие эффективные результаты как то впечатление, которое получит учитель при рассмотрении в музее или на выставке моделей или натуральных экспонатов. Большую пользу в повышении квалификации окажут учителю производственные экскурсии и туристические путешествия.

Несомненную помощь приносит учителям обсуждение вопросов, посвященных политехническому обучению, в институтах усовершенствования учителей и на совещаниях мето-

дических предметных комиссий. Хороший почин в оказании помощи учителям математики провела «Учительская газета», опубликовав 24 декабря 1952 г. ряд статей, посвященных вопросам политехнического обучения при преподавании математики в средней школе.

Центральной фигурой всего педагогического процесса является учитель, и поэтому от его методологической и научно-педагогической подготовки зависит успех политехнического обучения.

Учитель должен вооружить учащихся знанием основ наук, а это возможно только в том случае, если он сам владеет в совершенстве тем, что преподаёт.

Советский учитель не просто передаёт знания учащимся, а он воспитывает их на основе и в связи с этими знаниями, увязывая теорию с практикой социалистического строительства. Следовательно, чтобы учить и воспитывать, учителю не только надо знать предмет, не только хорошо владеть эффективными методами учебного процесса, но надо быть вооружённым марксистско-ленинской теорией.

Т. Н. Денисова

(Москва)

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ НА МЕСТНОСТИ В VII КЛАССЕ.

Измерение на местности является не только видом практической работы учащихся, но и представляет собой действенное средство борьбы с формализмом знаний учащихся. Учащиеся, неплохо усвоившие теоретические положения о нахождении поверхностей и объёмов тел, затрудняются в решении простейших жизненных задач, например, при определении объёма комнаты, здания или площади стен и потолка. Учащиеся затрудняются в выборе единиц измерения и способов измерения. Основная причина такого положения заключается в том, что учитель мало обращает внимания на проведение практических работ с учащимися.

В объяснительной записке к программе по математике так говорится о проведении работ по измерению на местности: «Необходимо также показать практические приложения геометрии, повышая этим интерес учащихся к предмету и их уверенность в его ценности. Сюда относятся прежде всего измерения всякого рода, в частности измерения на местности, вычисления площади и объёмов и т. п.» К сожалению, программа не указывает, где взять время для проведения этих практических работ.

В свете решений XIX съезда партии о введении политехнического обучения в советской школе должно быть ещё больше уделено внимание учителей на то, чтобы научить учащихся применять проработанный теоретический материал на практике, в частности применение проработанного материала по геометрии к измерительным работам на местности.

В этой статье сообщается опыт проведения двух полевых работ, проводимых учащимися VII классов: 1-я работа: съёмка плана участка буссолью. 2-я работа: а) определение недоступного расстояния и б) определение высоты здания.

Проведение этих работ предполагает, что учащиеся уже имеют навыки в выполнении простейших измерительных

работ, что в V и VI классах были проделаны следующие практические работы:

1. Провешивание прямой линии.

2. Определение длины своего шага

3. Измерение отрезков на местности: а) с помощью рулетки или шнура; б) с помощью полевого циркуля и в) шагами, с последующим переводом в метры.

4. Эккер. Проведение перпендикуляра к данной прямой. Построение ара и гектара как в виде квадрата, так и в виде прямоугольника.

5. Астролябия. Измерение и построение углов с помощью астролябии.

6. Съёмка плана с помощью астролябии.

Ниже излагается опыт проведения работ в школе, находящейся в крупном городе, когда выезд за город сопряжён с большим расходом времени. Обе работы в этих условиях проводятся на школьном дворе. Где же найти время, необходимое для проведения этих работ? Опыт учителей подтверждает, что это время всегда можно взять из числа часов, отводимых на геометрию.

Всего на проведение практических работ по геометрии в VII классе требуется 8 часов.

Эти часы наиболее целесообразно взять в 4-й четверти.

По месту в расписании часы для практических занятий должны быть или первыми двумя уроками, или последними (5—6-й), с тем, чтобы учащихся можно было бы пригласить за час до начала занятий или задержать их после занятий на час. Измерительные работы надо начинать по расписанию дня, а не во внеурочное время, этим обеспечивается дисциплина занятий и охват всех учащихся работой; кроме того, они проникаются сознанием необходимости выполнения этих работ.

Перед учителем, желающим провести с классом измерение на местности, встаёт вопрос, а где же взять инструменты для производства измерений? Сотни учителей, систематически проводящих измерения на местности, вместе с учениками изготовляют необходимый инвентарь.

Для выполнения двух практических работ на местности требуются следующие предметы:

1) вехи, 2) рулетки или мерные ленты, 3) эккеры, 4) буссоль, 5) астролябии, 6) эклиметры.

В 1952 г. Главучтехпром Министерства просвещения РСФСР изготовил универсальный угломерный прибор

Д. M. Смычникова, который одновременно заменяет все школьные угломерные приборы — эккер, эклиметр, астролябию, буссоль и нивелир. Прибор (рис. 1) состоит из трёх основных частей: штатива, планшета с изображённым на нём лимбом и алидады; к прибору прилагается компас.

Рис. 1.

Штатив используется как «треножник» при измерении горизонтальных углов (рис. 1) и как «двуножник» при измерении вертикальных углов (рис. 2).

Конструкция его несложна, и при наличии хотя бы одного экземпляра силами учащихся под руководством учителя можно изготовить потребное количество экземпляров этого инструмента. Для проведения работ по измерению на местности надо иметь 8—10 экземпляров универсального угломерного прибора Смычникова.

Так как значительное число школ, возможно, не может приобрести прибор Смычникова, то вкратце дадим описание приборов, изготовление которых посильно школе.

1. Эккер. Эккер служит для построения перпендикуляров к данной прямой (или иначе — для построения прямых углов). Он представляет собой две равные пересекающиеся под прямым углом линейки (дощечки). На концах дощечек — булавки.

Эккер устанавливается горизонтально на штативе (ровный, заострённый кол) (рис. 3). Схема пользования эккером показана на рис. 4.

2. Буссоль. Буссоль — это круг, разделённый на градусы и снабжённый алидадой (линейкой), которая

Рис. 2.

укреплена в центре круга и может вращаться. На оси круга укрепляется неподвижно компас так, чтобы направление севера совпадало с нулевой точкой круга (рис.5). Буссоль устанавливается на штативе.

Буссоль служит для измерения азимутов и румбов. Так как буссоль имеет компас, то она не должна содержать железных частей.

3. Астролябия. Астролябия (рис. 6) состоит из лимба, алидады и двух пар диоптров. Лимб — круг с градусными делениями. Два диоптра, прикреплённые к лимбу, называются неподвижными. Алидада —линейка, укреплённая в центре лимба и вращающаяся вокруг него, имеет на

Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 5.

концах пару диоптров, называемых подвижными. Астролябия снабжается компасом. Применяется этот прибор для измерения горизонтальных углов.

4. Эклиметр. Эклиметр служит для измерения углов в вертикальной плоскости. В качестве простейшего эклиметра может быть использован обыкновенный транспортир, если прикрепить к нему отвес, как показано на рис. 7.

Необходимый инвентарь для измерительных работ.

1. Рулетка. Если школа не может обеспечить все звенья класса рулетками, то они могут быть заменены мерными шнурами или лентами.

2. Мерный шнур — толстый шпагат длиной 10— 20 ж с узлами для отсчёта через каждый метр. Желательно каждый пятый узел выделить перевязкой другого цвета.

3. Вехи — гладкие колья длиной 1,5—2 м, с заострёнными концами (лучше с железным наконечником). Веха окрашивается в два цвета: красный и белый, чередующиеся через 10 см.

Организация класса для выполнения работы. Весь состав класса разбивается на звенья по 6—8 человек в звене. Назначается звеньевой. Каждое звено обеспечивается необходимыми инструментами и инвентарём. При выполнении работы на местности необходимо следить за тем, чтобы в пределах звена не было бы такого разделения труда, когда с инструментом работ тает постоянно один и тот же ученик, а другой — постоянно ведёт журнал наблюдений и т. д. Необходимо, чтобы каждый учащийся не только понимал постановку задачи и способы

Рис. 6.

Рис. 7.

её решения, но и лично принял бы участие во всех её элементах выполнения, т. е. он должен измерить углы, вести журнал, стоять с вехами, измерять рулеткой или шнуром, набрасывать план и т. д. Например, производя измерение высоты здания, каждый из участников звена должен измерить угол наклона с помощью эклиметра и измерить расстояние до стены. Такая организация работы внутри звена способствует выработке навыков у всех участников звена и служит контролем за правильностью проведённых измерений. Если несколько учеников отсутствовало при проведении занятия в поле, то необходимо с ними во внеклассное время провести эту работу или включить их в параллельный класс, если там эта работа ещё не проводилась.

Так как всякую полевую работу надо соответствующим образом оформить, а журнал наблюдений в звене один, то обработка результатов также проводится звеном в классной обстановке. Надо непременно требовать, чтобы каждый участник подал обработанный материал звена.

Организация работы. Выполнение каждой измерительной работы включает три этапа:

1) Ознакомление с работой и необходимыми инструментами в классной обстановке.

2) Полевая работа.

3) Обработка материала полевой работы.

Прежде чем выйти с учащимися в поле (или на школьный двор) для выполнения намеченной работы по измерению, надо в классной обстановке подготовить учащихся к выполнению работы на местности, а именно:

а) разобрать задачу так, чтобы каждый учащийся знал её назначение и обоснование (математическое содержание);

б) ознакомить с необходимыми инструментами и применением их в работе;

в) ознакомить с выполнением работы (последовательностью, организацией внутри звена и т. д.); если возможно, то проделать работу или её основные элементы в классе;

г) подготовить необходимую документацию (журнал наблюдений, схематические чертежи и т. д.) для выполнения работы на местности.

Если учащиеся данного класса ранее не производили работ на местности, то рекомендуем учителю ограничиться проведением предварительных простейших работ (см. приложение в конце статьи) и второй работы (см. работу II, занятия 1, 2, 3).

Работа I. Тема. Съёмка плана участка буссолью.

1-е занятие (в классе). Подготовка к проведению работы на местности.

Вначале надо ознакомить учащихся с устройством буссоли, а затем дать определение азимута (с записью).

Азимутом данного направления называется угол, отсчитываемый от северного конца магнитной стрелки до данного направления по ходу часовой стрелки; азимуты измеряются от 0° до 360°.

Записав определение, надо проделать один-два примера условного нахождения азимута на доске с помощью транспортира. Например, начертив фигуру, предложить найти азимуты её сторон (рйс. 8).

Для нахождения азимутов последовательно вызвать несколько учеников — желательно звеньевых.

Ученики находят, что направление сторон многоугольника, изображённого на рисунке 8, имеют примерно следующие азимуты: 200°, 250°, 330°, 50°, 115°.

Если будет время, то можно дать определение румба и запись румба.

Далее надо начертить на доске примерный план участка (рис. 9) с записью азимутов и длин сторон и одновременно форму журнала наблюдений.

Предложить учащимся подготовить дома листы (журналы) наблюдений по приведённой форме.

Рис. 8. Рис. 9.

Стороны

Азимуты

Длина сторон

AB

96°

20,5 м

ВС

200°

30,5 м

CD

276°

14 м

DE

330°

15 m

EA

35°

20 m

Рассказать об организации работы в звене во время выполнения задания (последовательность перехода с одного элемента работы на другой).

Начертив на доске примерный вид (план) участка, который предстоит снять, рассказать все этапы работы.

2-е занятие (в поле). Проведение работы на местности.

Оборудование на звено.

1) Буссоль.

2) Две вехи.

3) Мерный шнур или рулетка.

4) Журнал наблюдений.

5) Карандаш и резинка.

Перед выходом учеников в поле или на школьный двор учитель отмечает вершины многоугольника участка вехами. Если число звеньев будет свыше 6, то желательно, на дворе или на поле, наметить колышками два участка с формой одноимённых многоугольников. Эти многоугольники взять так, чтобы учитель мог легко обозревать действия каждого звена и подавать команды голосом. Длины сторон многоугольника брать в промежутке от 15 до 25 м.

По приходе класса на участок надо, расставив звенья по вершинам многоугольника, в краткой форме напомнить этапы работы, движение звена, указать обозначения вершин (записав их в журнал) и только после этого приступить к съёмке. Получение необходимых данных на первых двух вершинах ученики выполняют по команде учителя.

Примерная последовательность команд:

1) Установите буссоль в первой вершине.

2) Найдите величину азимута, направления стороны.

3) Запишите полученный результат в журнал.

4) Измерьте расстояние стороны AB (BC, CD...) и запишите в журнал.

5) Всему звену перейти по ходу часовой стрелки в следующую вершину.

Учащиеся, выполнив согласно этим командам необходимые измерения, во второй вершине самостоятельно (без команды учителя) проводят измерения. Аналогично и в остальных вершинах.

Учитель наблюдает за работой звеньев, поддерживая учебную дисциплину, и в необходимых случаях приходит на помощь ученикам.

По выполнении всеми звеньями необходимых измерений учитель говорит учащимся, что каждый из них должен составить журнал наблюдений и план участка. Эта работа будет выполнена в классе на следующем уроке. Поэтому каждый учащийся должен заранее дома подготовить журнал наблюдений, переписать в него полученные результаты измерений и захватить лист бумаги. Так как план участка будет чертиться в определённом масштабе, то надо повторить по записям из VI класса, что называется масштабом и какие бывают масштабы.

Всё описанное надо уложить в два часа.

3-е занятие (в классе). Обработка первой полевой работы.

Проверить, все ли ученики принесли всё требуемое для обработки полевой работы.

Затем вспомнить, что называется численным и линейным масштабом. Проделать 2—3 упражнения на масштабы, а затем приступить к вычерчиванию. Учеников в классе посадить звеньями, в том составе, в каком они работали в поле.

Указать, что план участка должен быть изображён на листе школьный тетради (желательно в клетку). Учитывая небольшие размеры сторон участка, взять масштаб 1 : 200, т. е. 1 см на плане соответствует 2 м на местности. Посередине листа берётся линия меридиана и по данным размерам сторон и азимутов с помощью транспортира и линейки строится многоугольник.

Учитель, проходя между партами, следит за работой учеников. В конце урока учитель собирает все работы.

Работа II. Тема. 1) Определение недоступного расстояния на основе равенства прямоугольных треугольников и 2) определение высоты здания (высоты предмета).

1-е занятие (в классе). Подготовка к проведению работы на местности.

Учитель, познакомив учащихся с содержанием второй работы по измерению на местности, переходит к изложению второй работы.

I. Определение недоступного расстояния. Оборудование на звено.

1) Эккер — 1 экз.

2) Мерных лент или рулеток — 1 экз.

3) Вех длиной 2 м — 5 штук.

4) Карандаш и резинка.

Обоснование работы. Допустим, что требуется определить ширину реки АС (рис. 10). Для этого на отрезке АС при точке А строим прямой угол CAB и на AB откладываем два произвольных, но равных отрезка АО и OB. В точке В строим перпендикуляр к AB и на нём находим точку, которая расположена на одной прямой с О и С. Так как треугольники CAO и ВОК равны (по катету и прилежащему острому углу), то АС = ВК. Отрезок В К доступен для измерения.

Предварительная подготовка в классе. Учитель, показав решение задачи на доске, поясняет

Рис. 10.

организацию выполнения работы. Для этого он берёт отрезок на полу, например параллельно передней стене, и, поставив на концах отрезка двух учеников с вехами, говорит, что это расстояние будет «недоступным». Далее он показывает, как восставить с помощью эккера перпендикуляр к отрезку в его конце, откладывает 3 м (в полученной точке ставит ученика с вехой) и т. д., т. е. показывает в классе, как надо выполнить работу на местности. Учитель должен убедиться, что каждый ученик с полной ясностью представляет содержание и выполнение работы.

В заключение работы в классе учитель показывает, как нарисовать эскиз решения задачи.

II. Определение высоты здания (высоты предмета).

Оборудование на звено.

1) Эклиметр.

2) Мерный шнур или лента.

3) Астролябия.

4) Карандаш и резинка.

Предварительная работа в классе по решению этой задачи заключается в том, что учитель должен рассказать способ определения высоты предмета, подойти к основанию которого возможно, и показать (если учащиеся не знают), как определять углы с помощью эклиметра. Можно практически проделать такую работу в классе, поставив задачу — определение высоты классного помещения. Указать, как нарисовать эскиз решения задачи. Назначить учащимся, если только это будет в первый час занятий, сбор в школе на час ранее.

2-е занятие (в поле). Проведение работы на местности.

I. Определение недоступного расстояния.

Вначале все звенья выполняют работу по определению недоступного расстояния. Учитель показывает каждому звену, какое «недоступное» расстояние они должны измерить; каждое звено ставится в таком месте двора, чтобы они и им никто не мешал и чтобы они были бы всегда в поле зрения учителя. Затем учитель напоминает порядок работы и предупреждает, что все должны выполнять работу по его команде. Примерный характер команд по выполнению работы:

1. Поставьте вехи на концах «недоступного» расстояния.

2. Восставьте перпендикуляр к отрезку «недоступного» расстояния в его конце.

3. Отложите на этом перпендикуляре 4 м (конечно, можно откладывать и 5—10 м). Поставьте веху. Посмотрите, эти три вехи — вершины прямоугольного треугольника, один из катетов которого неизвестен. Постройте треугольник, равный полученному.

4. Отложите на продолжении перпендикуляра ещё 4 м.

5. Восставьте перпендикуляр к отрезку из полученной точки в противоположную сторону определяемого отрезка.

6. Найдите точку пересечения этого перпендикуляра с продолжением гипотенузы первого треугольника.

7. Измерьте отрезок на втором перпендикуляре. Это и есть отрезок, равный «недоступному» расстоянию.

8. Нарисуйте эскиз решения задачи.

После окончания первой задачи учитель с классом приступает к выполнению второй задачи — определению высоты.

II. Определение высоты различных предметов на местности.

Цель — измерить высоту здания до 2-го, 3-го этажа.

Поставив звенья перед школьным зданием, предложить одним звеньям определить высоту до 2-го этажа (удобнее до подоконников), а другим — до 3-го этажа (рис. 11).

Звенья поставить от здания на расстоянии от 15 до 20 м.

Рис. 11.

Затем предложить выполнять работу в следующей последовательности (желательно подавать команды).

1. Установите эклиметр.

2. Измерьте угол наклона.

3. Измерьте расстояние до стены.

4. Постройте на земле прямоугольный треугольник по катету (расстояние до стены) и острому углу (угол наклона).

5) Найдите величину второго катета. Прибавьте высоту эклиметра. Полученная сумма — искомая высота.

Проверку произвести сличением результатов между звеньями и непосредственным измерением (опустить шнур из окна).

Результат записать в журнале.

3-е занятие (в классе). Обработка 2-й полевой работы.

Предварительные простейшие работы на местности.

Если учащиеся VII класса ранее не производили измерительных работ на местности, то рекомендуем учителю проделать следующие работы на местности:

1-я работа.

1) Провешивание прямой линии.

2) Определение длины своего шага.

3) Измерение отрезков на местности: а) с помощью рулетки и шнура; б) с помощью полевого циркуля; в) шагами с последующим переводом в метры.

4) Эккер. Проведение перпендикуляра к данной прямой. Построение ара и гектара как в виде прямоугольника, так и в виде квадрата.

2-я работа.

1) Определение недоступного расстояния.

2) Определение высоты здания.

Не останавливаясь подробно, как это сделано для двух ранее разработанных работ, на организации и проведении первой работы, укажем только содержание этой работы.

Первая работа на приобретение простейших измерительных навыков и умений выполнима за четыре часа: два часа предварительной работы в классе и два часа на местности

1. Провешивание прямой линии между двумя точками.

Решение. В точках А и В поставить вехи, а между ними поставить ещё несколько вех так, чтобы за первой вехой скрывались остальные (рис. 12).

Выполнение. Желательно между крайними вехами взять столько вех, чтобы всё звено принимало участие.

Рис. 12.

2. Определение длины своего шага.

Решение. Для определения длины шага учащийся должен пройти 3—4 раза расстояние в 100 ж, отсчитывая число сделанных при этом шагов, найти среднее арифметическое полученных чисел, а затем разделить 100 м на среднее арифметическое число шагов. При счёте шагов надо начинать ходьбу с правой ноги и считать шаги только левой ноги; полученное число надо удвоить.

Выполнение. Учитель предварительно отмечает вехами расстояние в 100 м (измеряет рулеткой или шнуром). Длину своего шага определяет одновременно всё звено. В результате выполнения работы каждый учащийся должен составить заполненную таблицу:

Шаги

Метры

1

5

10

25

50

100

3. Измерение отрезков на местности:

а) с помощью рулетки и шнура; б) с помощью полевого циркуля; в) шагами, с последующим переводом в метры.

Решение и выполнение. Необходимо, чтобы каждый учащийся проделал эти три работы на одном и том же участке местности и сравнил результаты. Письменных записей не требуется.

Рис. 13.

4. Эккер: а) проведение перпендикуляра к данной прямой; б) построение ара и гектара.

а) Решение. На прямой AB, обозначенной двумя вехами, ставим эккер в произвольную точку С и с помощью двух вех строим перпендикуляр CD. Вместо эккера в точке С ставим веху.

Выполнение. Выполняет всё звено — один с эккером и четверо с вехами. Необходимо, чтобы каждый участник звена построил прямой угол с эккером. Письменных записей не требовать.

б) Решение. Если эта работа производится на школьном дворе, то возможно ограничиться только построением ара как в виде прямоугольника, так и в виде квадрата. Если работы производятся в поле, то, кроме построения ара, необходимо построить гектар в виде прямоугольника (рис 13).

Выполнение. Работа производится всем звеном. В вершинах прямоугольника и квадрата построенного ара оставить вехи. Работа не требует записи. Желательно предложить учащимся практически проверить справедливость следующего положения: «Из всех прямоугольников, имеющих одну и ту же площадь, наименьший периметр имеет квадрат».

Из изложенного материала по выполнению первой работы следует, что нет необходимости в выделении особого урока для обработки полевого материала. От учащихся требуется составить и представить только одну таблицу: «Перевод шагов в метры».

В классной обстановке во время подготовки к выполнению работы на местности, кроме ознакомления учащихся с содержанием работы, её выполнением и инструментами, желательно повторить с учащимися понятие о масштабе (численном и линейном) и проделать несколько примеров на определение линейного масштаба по численному и обратно.

А. А. Прокофьева

(Москва )

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ НА МЕСТНОСТИ В V—VII КЛАССАХ.

Измерительные работы на местности являются одним из важных приложений тех знаний, которые учащиеся подучили, изучая геометрический материал, к решению различных задач практического характера. Подготовку к проведению работ на местности следует начинать в классе, знакомя учащихся с теми инструментами, которые применяются при измерении на местности и устройство которых основано на соответствующем изучаемом теоретическом материале.

Так, например, познакомив учащихся с прямой, нужно показать провешивание прямой вехами. Или ещё пример. Познакомив учащихся с различными углами и их измерениями, следует продемонстрировать астролябию, эккер и показать измерение угла между двумя направлениями, провести проверку угольника и т. д.

В связи с этим и часть работ может быть проведена в классе или в школьном помещении. Разумеется, если есть пришкольный участок или двор, то лучше все работы провести около школьного здания.

Если школа не имеет пришкольного участка, то необходимо в течение года провести не менее двух выездов за город. Первый выезд организовать в октябре, второй — в апреле. Выезд в октябре посвятить отдельным элементарным измерительным работам, а в апреле провести более сложные работы и сделать различные съёмки некоторых участков. Для проведения работ учащихся нужно разбить на бригады по 7 человек, выбрать бригадира. Через бригадира учитель руководит работой. Важно, чтобы каждый ученик участвовал во всех проводимых работах.

Перед выездом за город учитель должен предварительно изучить тот участок, на котором будут проведены работы. Перед выездом за город учитель в классе, на уроке, даёт

задание каждой бригаде, а на участке указывает каждой бригаде соответствующие объекты.

Каждый ученик индивидуально пишет отчёт о проделанной работе, сопровождая его соответствующими рисунками или чертежами. Какие же работы следует провести с учащимися V—VII классов?

На местности должны быть проведены следующие основные измерительные работы.

V класс.

1) Провешивание прямой между двумя точками и измерение получившегося отрезка рулеткой (рис. 1).

Рис. 1.

2) Построение прямого угла с помощью эккера (или астролябии).

3) Построение ара и гектара.

4) Измерение площадей различных участков путём разбивки их на прямоугольники и треугольники с предварительной съёмкой их и составлением плана в соответствующем масштабе.

Кроме этих основных работ на местности, следует провести ещё следующие дополнительные работы:

1) Определение среднего размера шага.

2) Определение примерного расстояния на глаз.

В классной обстановке, на уроках, необходимо провести:

а) определение поверхности и объёма прямоугольного параллелепипеда;

б) определение длины окружности и площади круга;

в) определение поверхности и объёма цилиндра.

Перед проведением соответствующих уроков учащиеся предварительно по указанию учителя изготовляют модели, с помощью которых на уроке выполняют необходимые измерения.

VI класс.

1) Провешивание прямой на местности между двумя точками и измерение получившегося отрезка рулеткой.

2) Построение прямого угла с помощью эккера (или астролябии).

3) Измерение азимута данного направления.

4) Построение ара и гектара

5) Съёмка плана участка формы многоугольника без угломерных приборов.

Кроме этих основных работ, при выходе на местность следует провести ещё следующие дополнительные работы, тесно связанные с проходимым материалом по геометрии:

а) найти точку пересечения двух прямолинейных направлений (на местности);

б) провести прямую, перпендикулярную к данной прямой, из точки, лежащей вне данной прямой (рис. 2);

в) восставить перпендикуляр к данной прямой в данной на ней точке (рис. 2) ;

г) построение прямого угла провешиванием медианы равнобедренного (или равностороннего) треугольника, предварительно построенного;

д) определение недоступных расстояний провешиванием, пользуясь построением равных треугольников (рис. 3);

е) определение высоты дерева с помощью прямоугольного равнобедренного треугольника;

ж) определение высоты холма и крутизны холма.

VII класс.

Так как измерительные работы на местности проводятся впервые, то в VII классе следует выполнить основные работы плана VI класса. Кроме того, можно специально провести ещё следующие работы:

Рис. 2.

а) измерение угла между диагоналями построенного прямоугольника;

б) определение недоступных расстояний провешиванием, пользуясь построением равных треугольников различными способами;

в) определение высоты предмета измерением угла наклона при помощи эклиметра с последующим получением результата графическим построением;

г) составление профиля местности в определённом направлении при помощи сделанного нивелира.

Специальных уроков по указанным измерительным работам я не провожу.

Ознакомление учащихся с измерительными работами следует органически связывать с проходимым теоретическим материалом по геометрии. Так, при изучении в VI классе прямой линии, луча, отрезка можно провести следующую практическую работу: принести в класс вехи и в классе выполнить провешивание прямой, продолжить её, поставить промежуточные вехи (рис. 1), затем измерить отрезки прямой с помощью рулетки ; одновременно показать другие измерительные приборы: полевой циркуль, мерную ленту. Потом рассказать учащимся, как определить величину своего шага. Учащиеся измеряют длину коридора на каком-либо этаже и в перемену измеряют шагами эти расстояния, после чего составляют таблицу величины своего

Рис. 3.

шага. Каждым учеником такая таблица, в которой показано вычисление его шага, сдаётся учителю на проверку.

При изучении углов показать учащимся астролябию и рассказать её устройство (рис. 4). Потом в классе учащиеся измеряют с помощью астролябии углы между какими-либо двумя направлениями. Можно также познакомить учащихся с мензулой, при помощи которой они в классе смогут графически вычерчивать различные углы (рис. 5), а потом измерять их величину транспортиром. После рассмотрения задач:

1) из данной точки А прямой AB восставить к этой прямой перпендикуляр AD и

2) из данной точки А опустить перпендикуляр AD на данную прямую DB — в классе познакомить учащихся с устройством эккера и с помощью вех и эккера выполнить эти задачи (рис. 2).

При изучении сложения и вычитания отрезков рассказать ученикам устройство рейки и планки, показать их, затем измерить с помощью планки, рейки и уровня высоту школьной лестницы между этажами. Дальше ученикам можно дать задачу: как определить высоту холма. Учащиеся уже самостоятельно разбирают задачу и правильно применяют приборы: рейку, планку и уровень. Эту работу можно провести на местности при выезде за город.

Рис. 4. Рис. 5.

При изучении темы «Треугольники» учащиеся должны самостоятельно разбираться в решении ряда задач: определить расстояния между двумя точками, если между ними есть препятствие; определить ширину реки различными способами. Эти работы можно также провести на местности при выезде за город.

Очень эффективно проходит работа по определению крутизны холма с помощью эклиметра после изучения теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами; в классе показывается учащимся эклиметр и рассказывается его устройство и применение (рис. 6); учащиеся измеряют угол подъёма лестницы между этажами. Работу по измерению крутизны холма с помощью эклиметра следует провести на местности. Таким образом намечается и подготовляется ряд задач, которые будут выполняться на местности.

Так проводится подготовительная работа в классе.

Расскажем о проведении этих работ на местности. Возьмём некоторые из них.

1. Определение расстояния между двумя точками А и В, если между ними есть препятствие (рис. 7). Работа выполняется так: ставим две вехи в точках А и В. Выбираем точку О так, чтобы А и В были из неё видны и доступны. Провешиваем AON и ВОК. Измеряем АО и откладываем от О на AN отрезок ОВг == OA и от точки О на ВК отрезок OAx=OB. Поставим промежуточные вехи между А и В (если это расстояние велико). Потом рулеткой измеряем A±Blt это и есть величина расстояния AB.

2. Составление плана участка многоугольной формы с помощью эккера (участок внутри проходим). Выполняем так: провешиваем внутри участка прямую AB, называемую базисом. Ставим вехи в характерных точках (Л/, Я, /С, М9 Q, F) выбранного на местности многоугольника. С помощью эккера опускаем перпендикуляры из указанных точек на

Рис. 6.

Рис. 7.

базис AB. Дома по записям ученики чертят план в определённом масштабе.

3. Определение высоты холма. У подножия холма один ученик ставит рейку, а другой берёт планку и уровень и поднимается на холм. Один конец планки он упирает в холм, а другой направляет на рейку, на планку кладёт уровень и следит за горизонтальностью планки. Записывает первую высоту. Потом стоявший у подножия ученик поднимается и занимает место ученика, поднявшегося выше, и т. д.

В заключение следует отметить, что некоторые приборы, необходимые для проведения измерительных работ, могут быть изготовлены силами учащихся под руководством учителя в школьной мастерской (если таковая имеется). Так, в первое полугодие текущего учебного года учащимися нашей школы было сделано: 15 вех, 4 эккера, 3 мензулы, 2 планки, 2 рейки, 2 эклиметра и другое оборудование. Астролябия, компасы и рулетки были куплены.

Л. Г. Круповецкий

(Харьков)

СОСТАВЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПО МАТЕРИАЛАМ ПЯТОГО ПЯТИЛЕТНЕГО ПЛАНА.

Идейно-политическое воспитание нашего подрастающего поколения, воспитание его в духе советского патриотизма является основной, важнейшей задачей советской школы.

Одним из методов коммунистического воспитания учащихся на уроках арифметики является использование ярких, полных глубокого содержания числовых показателей грандиозных достижений в нашем социалистическом строительстве, невиданных в истории трудовых подвигов советского народа, претворяющего в жизнь великие сталинские предначертания в деле строительства коммунизма в нашей стране.

Изучая замечательные документы нашей эпохи, указывающие светлый путь к перестройке всей жизни на коммунистической основе, учитель не только поднимает свой идейно-политический уровень на более высокую ступень, но, попутно с развитием и закреплением математических навыков, способствует также расширению умственного и политического кругозора наших учащихся. Как показал опыт, тематика задач, связанная с вопросами социалистического строительства, воспринимается учащимися с живейшим интересом и имеет исключительно большое воспитательное значение, наглядно убеждает учащихся в преимуществе советского государственного строя и планового хозяйства и возбуждает в них законную патриотическую гордость за свою великую родину.

Учащиеся нашей школы, в большинстве своём обладая пытливым умом и патриотическими устремлениями, проявляют особенно большой интерес к задачам, составленным на основе самых свежих, животрепещущих материалов, которые по понятным причинам в школьных задачниках отсутствуют: школьные (стабильные) задачники составляются с расчётом на несколько лет, и потому содержание

некоторых задач (даже в изданиях 1952 г.) имеет 15— 20-летнюю давность.

В связи с этим перед учителем встаёт задача — систематически обновлять тематику задач, используя для этого богатый материал нашей советской действительности.

С целью оказания помощи учителю математики мы составили набор задач, использовав материалы XIX съезда Коммунистической партии Советского Союза.

По примеру приведённых здесь задач учитель может сам составлять задачи, используя местный материал той республики, края, области, района, где находится школа.

Однако, составляя задачи, учитель должен руководствоваться следующими положениями.

I. Увязывать решение таких задач с календарным общешкольным планом по проведению в течение учебного года докладов и бесед на политические и общественные темы.

Но независимо от приурочивания работы по составлению задач к определённым знаменательным датам и памятным годовщинам, предусмотренным школьным планом, учитель в процессе повседневной работы, живо откликаясь на все окружающие нас явления, должен зорко следить за всеми событиями в нашей жизни, которые находят своё отражение на страницах советской прессы, и по числовым данным составлять задачи на ту или иную тему.

II. Наметив какую-либо определённую тему для задач, учитель должен постепенно накапливать материал по данному вопросу путём извлечения необходимых данных, главным образом из официальных источников, а также из газет и журналов, из политической и экономической литературы.

III. Числовой материал для задач следует брать из тех областей народного хозяйства или отдельных его отраслей, которые по своему содержанию доступны для понимания учащихся того или другого класса. В случае если задача будет составлена на более сложную тему, мало известную учащимся (например, о капитальных вложениях, о национальном доходе, о мощности электростанций, о снижении себестоимости и т. п.), то, приступая к решению задачи, следует давать дополнительные пояснения в доступной для учащихся форме.

IV. Текст задачи должен быть кратким, но ясно выражающим суть задачи. Расплывчатость в изложении, многословие, повторяемость, лишние данные — всё это не

должно иметь места. Вопрос, требующий окончательного ответа, должен быть поставлен конкретно, чётко и понятно, чтобы не потребовалось дополнительных разъяснений.

V. Составляя па первых порах простые задачи, т. е. такие, которые решаются одним действием, учитель в дальнейшем должен отдавать предпочтение, где это представляется возможным, составлению задач с более сложным содержанием. Такого рода задачи больше заинтересовывают учащихся, так как дают им больше материала для логических суждений и математических вычислений.

VI. При составлении задач следует больше всего обращать внимание на такие данные, которые дают материал для математического сравнения и сопоставления за те или иные периоды, строго следя за тем, чтобы не было расхождения с официальными данными как в данных условиях, так и в окончательных результатах.

VII. Анализируя материал, взятый для задач, необходимо для получения правильных результатов, точно совпадающих с официальными данными, сличать этот материал по нескольким источникам и в случае кажущегося расхождения (бывают данные предварительные, плановые, ориентировочные, отчётные, частичные, округлённые и т. п.) выяснять причины расхождения и установить точную, окончательную цифру требуемого показателя, и только тогда ввести его в текст задачи.

VIII. При составлении той или иной задачи следует испытать разные способы и приёмы и окончательно применить тот вид или тип задач, который даёт наибольшую точность, ни в коем случае не допуская расхождения с официальными данными в окончательном результате не только в единицах, но даже в долях единицы. Если при каком-либо способе получается хотя бы незначительное расхождение, то этот способ следует отбросить, применить другой, дающий более точный результат. Особенно часто можно столкнуться с этим обстоятельством при составлении задач на проценты: так, если применить один тип задач на проценты, то может получиться разница в десятых или сотых долях, а при решении другим типом эта разница сглаживается, тогда на этом (втором) способе, как более точном, следует остановиться.

Для уточнения и пояснения на конкретном примере указания, данного в этом пункте, составим для примера такую задачу:

Задача 1. Из общей суммы доходов, предусмотренных государственным бюджетом СССР на 1952 г. в 509,9 млрд. руб., налоги с населения составляют 47,4 млрд. руб. Какой процент от общей суммы бюджетных доходов составляют налоги с населения?

Решаем эту задачу, применяя способ решения задач на проценты 3-го типа, т. е. нахождением процентного отношения чисел. Имеем:

т. е. налоги с населения составляют 9,3% с общей суммы бюджетных доходов.

Попытаемся теперь, используя имеющиеся данные, составить задачу на проценты 1-го типа, где пришлось бы находить проценты от числа, в таком варианте:

Задача 1а. Из общей суммы доходов, предусмотренных государственным бюджетом СССР на 1952 г. в 509,9 млрд. руб., налоги с населения составляют 9,3%. Определить сумму налогов с населения.

Решаем:

что совпадает с официальными данными, и, следовательно, в данном случае составление задачи на проценты 1-го типа вполне возможно.

Составим теперь задачу на проценты 2-го типа (нахождение числа по данному его проценту), т. е. в условии задачи укажем, что 47,4 млрд. руб. составляют 9,3% общей суммы доходов по бюджету, которую теперь требуется определить. Находим, что при данном решении общая сумма доходов составляет:

которая ниже официальной суммы доходов на 0,2 млрд. руб. и, следовательно, этот вариант должен быть отброшен, как противоречащий официальным данным.

Составим ещё одну задачу и произведём анализ способов её составления.

Задача 2. Расходы по государственному бюджету СССР за 1951 г. составили (по предварительным данным) сумму в 441,3 млрд. руб., а на 1952 г. 476,9 млрд. руб. На сколько процентов бюджетные расходы в 1952 г. превышают расходы 1951 г.?

Находим процентное отношение этих чисел:

т. е. расходы 1952 г. увеличены по сравнению с 1951 г. на 8,1%, что соответствует официальным данным, и, следовательно, этот вариант можно использовать для составления задачи.

Составим теперь задачу на проценты 1-го типа, исходя из имеющихся данных, получим:

что выше официальных данных на 0,1 млрд. руб., хотя, вообще говоря, официальная сумма может быть округлена до полученной нами суммы без нарушения математических правил (476,9—477,0), но поскольку по официальным источникам эта сумма выражается в 476,9 млрд. руб., мы, строго придерживаясь текста источников, должны этот вариант отбросить.

Точно так же должен быть отвергнут вариант составления задачи на проценты 2-го типа, так как при испытании этого способа он также даёт расхождение.

В самом деле, если расходы на 1952 г. в сумме 476,9 млрд. руб. составляют 108,1% по отношению к расходам 1951 г., то последняя сумма выразится в 441,2 (млрд. руб.), тогда как расходы эти в 1951 г. составляют 441,3 млрд. руб.

IX. Полученный при решении задач окончательный результат в случае необходимости, для устранения расхождений и для большей лёгкости запоминания, может быть округлён с необходимой точностью, разумеется, с соблюдением известных правил округления.

X. Помимо округления чисел в окончательном результате, как это указано в предыдущем пункте, вполне допустимо уже в процессе составления задачи округление многозначных чисел в целях большей яркости сопоставления и более прочной фиксации в памяти учащихся основных показателей по разрабатываемому материалу. В этих случаях материал легче оформляется в виде задачи, так как облегчаются вычисления. (Округление следует оговорить в скобках или в соответствующей сноске.)

Составим, например, такую задачу.

Задача 3. Государственный заём развития народного хозяйства (выпуск 1952 г.), выпущенный на сумму 30 млрд. руб., размещён был по подписке (с округлением до 0,1 млрд. руб.) на 35,7 млрд. руб. На сколько процентов подписка на заём превысила установленную сумму займа выпуска 1952 г.? (Ответ: на 19%.)

Учитель при составлении этой задачи указывает, что ввиду многозначности числа, обозначающего сумму подписки на заём, пришлось для удобства решения округлить её до 0,1 млрд. руб., выразив её в 35,7 млрд. руб., фактически же сумма подписки (без округления) составляет 35 млрд. 712 млн. 374 тыс. руб.

XI. Как было указано выше, учитель на первых порах составляет простые задачи, которые решаются одним действием. При этом, чтобы заинтересовать учащихся и привлечь их к активной работе, учитель может, если показатели вполне понятны для учащихся, предложить им самостоятельно, под его руководством, составить несколько задач на разные темы, выбрав доступный для них материал.

Возьмём для примера следующие данные: экономия от снижения себестоимости промышленной продукции в СССР в 1951 г. с учётом экономии от снижения цен составила 35,5 млрд. руб, а в 1952 г. 46 млрд. руб. Заметив, что отношение между этими числами даёт удобную для составления задач сократимую дробь = > учитель составляет примерно такую задачу.

Задача 4. Экономия от снижения себестоимости промышленной продукции в СССР в 1952 г. составляет 46 млрд. руб., а в 1951 г. эта экономия составляла £2 этого числа. Определить сумму экономии в 1951 г.

Решив эту задачу и получив ответ, равный 35,5 млрд. руб., учитель предлагает учащимся составить ряд других :^адач по этим данным. Возможны такие варианты: 1) Экономия1 в 1951 г. составляла 35,5 млрд. руб., а в 1952 г. 46 млрд. руб. На какую сумму и во сколько раз экономия в 1952 г. превышает экономию в 1951 г. ?

1 Для краткости экономию от снижения себестоимости промышленной продукции будем в приведённых ниже вариантах этой задачи обозначать одним словом: «экономия».

2) Экономия в 1951 г. выразилась в 35,5 млрд. руб, что составляет ^ суммы экономии в 1952 г. Определить сумму экономии в 1952 г.

3) Экономия в 1951 г. составляла 35,5 млрд. руб., а в 1952 г. 46 млрд. руб. На сколько процентов экономия 1952 г. превышает экономию 1951 г.?

4) Экономия в 1951 г. составляла 35,5 млрд. руб., а в 1952 г. она была больше на 30%. Определить (в целых млрд. руб.) сумму экономии в 1952 г.

5) Экономия в 1951 г. ниже экономии в 1952 г. на 22,8%. Определить сумму экономии в 1952 г., если в 1951 г. она равнялась 35,5 млрд. руб. (Вычислить в целых млрд. руб.)

6) Экономия в 1952 г. составляет 46 млрд. руб., а в 1951 г. она была равна 35,5 млрд. руб. Определить:

а) на сколько процентов экономия в 1952 г. выше экономии в 1951 г.; б) на сколько процентов экономия в 1951 г. ниже экономии в 1952 г.

7) Экономия в 1951 г. относится к экономии в 1952 г., как 7,1 :9~. Определить сумму экономии за каждый год в отдельности, если экономия в 1952 г. превышает сумму экономии за 1951 г. на 10,5 млрд. руб.

8) Экономия в 1951 г. составляет 35,5 млрд. руб., а в 1952 г. 46 млрд. руб. Построить график и прямоугольную диаграмму по этим данным.

В этих вариантах мы дали образцы составления простых задач учащимися под руководством учителя. Составление составных задач учащимся не по силам, и поэтому такие задачи должны составляться самим учителем.

XII. При составлении простых задач учитель может потребовать устного решения их. Например, таковы задачи на увеличение (или уменьшение) на «столько-то единиц» и «во столько-то раз». Целесообразно тот и другой вопрос для наглядности сравнения включать одновременно в текст одной и той же задачи наподобие следующей.

Задача 5. Производство стали в дореволюционной России (в 1913 г.) составляло 4,2 млн. m, а в СССР в 1952 г. оно выражается в 35 млн. т. На сколько тонн и во сколько раз выплавка стали в 1952 г. превышает уровень 1913 г.?

XIII. При составлении задач учитель в большинстве случаев берёт за основу какую-либо задачу стабильного задачника и по сходству с ней составляет новую задачу,

используя числовые данные из газет, журналов и других официальных изданий.

Иногда, проанализировав числовые данные, учитель может составить ряд задач на действия с дробными числами, на процентные расчёты, положив в основу один и тот же материал.

При этом, в целях большего воспитательного воздействия на учащихся, следует использовать такой материал, который ярко характеризует рост нашего народного хозяйства, улучшение материального положения трудящихся и т. д.

Пусть, например, учитель задался целью осветить вопрос об увеличении расходов Советского государства на развитие народного хозяйства в 1952 г. по сравнению с предыдущими периодами. Целесообразно ли будет сопоставить в этом отношении 1952 г. с 1951 г. ? Рассматривая расходы в 1951 и 1952 гг., которые соответственно равны 179,4 млрд. руб. и 180,4 млрд. руб., учитель не найдёт возможным использовать эти показатели для сравнения: применяя процентные вычисления, он найдёт, что расходы эти в 1952 г. увеличились по сравнению с 1951 г. на 0,6%; полученное число не выявляет рельефно для учащихся значительных изменений в расходах на народное хозяйство.

Определяя, на сколько миллиардов рублей и во сколько раз расходы эти в 1952 г. превышают расходы 1951 г., получим увеличение на 1 млдр. руб., или в 1,006 раза (или в *Ш7 раза), что также недостаточно показательно.

Зная всё же, что финансирование народного хозяйства в 1951 и в 1952 гг. значительно возросло по сравнению с предыдущими периодами, учитель обращается к источникам за прошлые годы. Изучая официальные данные, учитель обращает внимание на то, что в 1950 г. расходы эти были значительно меньше, чем в 1951 и в 1952 гг., что даёт возможность с большей яркостью осветить вопрос о росте расходов на народное хозяйство в указанные годы, сопоставляя их с 1950 г. Таким образом можно составить примерно такую задачу, приняв во внимание сумму расходов в 1950 г. равной 157,6 млрд. руб.

Задача 6. Расходы Советского государства на развитие народного хозяйства в 1950, 1951 и 1952 гг. в общей сложности за три года составляют 517,4 млрд. руб., причём расходы за 1951 и 1952 гг. возросли по сравнению с 1950 г.

соответственно на 13,83% и на 14,47%. Определить расходы на развитие народного хозяйства за каждый год в отдельности с точностью до 0,1 млрд. руб.

(Ответ: 157,6 млрд. руб.; 179,4 млрд. руб.; 180,4 млрд. руб.)

Рассмотренный пример характерен тем, что если взять для вывода окончательных показателей роста проценты с точностью до 0,1 (13,8% и 14,5%), то в дальнейших действиях получим расхождение с официальными данными за 1951 и 1952 гг. на 0,1 млрд. руб.: вместо 179,4 млрд. руб. получим в ответе 179,3 млрд. руб.; вместо 180,4 млрд. руб. получим 180,5 млрд. руб. Если же мы возьмём проценты роста с точностью до 0,01 (13,83% и 14,47%), то получим ответы, точно совпадающие с официальными показателями, что мы и использовали для условия задачи. Отсюда следует, что учителю при исследовании различных способов составления задач необходимо испытывать получаемые данные с различной точностью и остановиться на тех результатах, какие дают требуемые точные показатели.

Ещё пример.

Задача 7. Суммы выплачиваемых населению Советского Союза выигрышей по государственным займам возрастают с каждым годом, что видно из следующих (округлённых) данных (уровень 1949 г. принимается за 100%):

Годы

Выплата выигрышей на сумму (в млрд. руб.)

В % к 1949 году

В % к предыдущему году

1949. . . .

2,5

_

_

1930 ....

3,7

?

?

1951 ....

5,0

?

?

1952. . . .

7,0

?

?

Сведения за 1952 г. даны по предварительным данным. Заполнить таблицу.

(Ответ: в% к 1949 г.: 148%; 200%; 280%; в % к предыдущему году: 148 % ; 135%; 140%.)

Задача 8. Общее количество учащихся в вузах, техникумах и других средних специальных учебных заведениях СССР в 1952 г. достигло 2857 тыс человек против 1787 тыс человек в 1940 г. Определить с точностью до 0,1%: а) на

сколько процентов число учащихся в этих учебных заведениях в 1952 г. выше, чем в 1940 г.; б) на сколько процентов число учащихся в 1940 г. ниже, чем в 1952 г.

(Ответ: а) на 59,9%; на 37,1 %.)

XIV. Большой интерес для учащихся представляют задачи, где для их составления взяты данные, выраженные не в конкретных (именованных) числах, а в процентах. К решению таких задач с учащимися надо отнестись особенно внимательно и кроме того необходимо дать методический анализ условия, так как задачи подобного рода усваиваются учащимися с некоторым трудом, хотя и сильно заинтересовывают их своим оригинальным содержанием. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Задача 9. Выпуск промышленной продукции в СССР по четвёртому пятилетнему плану должен увеличиться в 1950 г. на 48% по сравнению с предвоенным 1940 г., а фактически в 1950 г. было произведено этой продукции на 73% больше, чем в 1940 г. Определить, на сколько процентов было перевыполнено плановое задание.

Со стороны учащихся, если не подвергнуть вопрос предварительному анализу и логическому осмысливанию, могут последовать грубо ошибочные ответы, что надо от 73% отнять 48% или что надо найти процентное отношение 73% и 48% и т. п. Учитель путём подробного анализа и пояснения указывает, что для получения правильного ответа надо узнать процентное отношение 173% к 148%, так как нельзя сравнивать только проценты прироста, а надо брать этот процент вместе с основным показателем производства в 1940 г , выраженным в 100%, и тогда получится 100% +73% = 173% и 100% +48% = 148%. Вычислив процентное отношение этих чисел, получим, что плановое задание по сравнению с 1940 г. было перевыполнено на 17%, что и указывается в официальном сообщении об итогах послевоенной пятилетки.

Для более отчётливого и ясного представления учащимися способа решения подобного рода задач учитель может использовать эти данные для составления задачи ещё и в таком варианте.

Задача 9а. Выпуск промышленной продукции в СССР в 1950 г. должен был превысить уровень 1940 г. на 48%, но это плановое задание было перевыполнено в 1950 г.

на 17%. Определить, на сколько процентов больше, чем в 1940 г., было произведено промышленной продукции в 1950 г.

Учитель поясняет, что в данном случае, на основании приведённого выше анализа, следует находить не 17% от 48%, а 117% от 148% путём перемножения этих чисел. В результате получается, что в 1950 г. выпуск промышленной продукции превысил уровень 1940 г. на 73%, что также соответствует официальным показателям выполнения плана на 1950 г.

Составим ещё задачу с применением данных здесь указаний при её решении.

Задача 10. Выработка электроэнергии в 1950 г. превысила уровень 1940 г. на 87%, а в 1951 г. эта выработка увеличилась по сравнению с 1950 г. на 14%. На сколько процентов выработка электроэнергии в 1951 г. превысила уровень 1940 г.? (Ответ: на 113%.)

XV. Остановившись в предыдущем пункте на задачах, где в условии, кроме процентов, никаких других конкретных числовых данных не имеется, покажем теперь способ составления и решения более сложных задач, в которых приходится узнавать проценты от последующих остатков, выраженных также в процентах.

Проведём анализ, например, данных о расходах на социально-культурные мероприятия в СССР, предусмотренных планом на 1952 г. и составляющих сумму в 124,8 млрд. руб.; из них ассигновано на просвещение 60 млрд. руб. (48,1 %), на здравоохранение и физкультуру 22,8 млрд. руб. (18,3%), на социальное страхование и обеспечение 37,5 млрд. руб. (30%) и на государственное пособие многодетным и одиноким матерям 4,5 млрд. руб. (3,6%)1.

По этим данным можно составить такие задачи.

Задача 11. Из общей суммы расходов по государственному бюджету СССР на 1952 г. предусмотрено на социально-культурные мероприятия 124,8 млрд. руб., причём ^ этой суммы ассигновано на просвещение, ^ остальной суммы — на здравоохранение и физкультуру, ~ нового остатка — на социальное страхование и обеспечение, остальная сумма—

1 В скобках указывается процент расходования средств к общей сумме расходов на социально-культурные мероприятия.

на государственное пособие многодетным и одиноким матерям. Сколько ассигновано в отдельности на каждый из этих видов мероприятий по государственному бюджету на 1952 г. ? (Ответ: 60 млрд. руб., 22,8 млрд. руб.; 37,5 млрд. руб.; 4,5 млрд. руб.)

Задача 11а. Из общей суммы расходов на социально-культурные мероприятия по государственному бюджету СССР на 1952 г. ^ этой суммы ассигновано на просвещение, остальной суммы — на здравоохранение и физкультуру, 2з нового остатка — на социальное страхование и обеспечение, остальные 4,5 млрд. руб.— на государственное пособие многодетным и одиноким матерям. Сколько всего ассигновано в 1952 г. по расходам на социально-культурные мероприятия и сколько на каждый из этих видов мероприятий в отдельности?

Задача 116. По государственному бюджету на 1952 г. расходы на просвещение относятся к расходам на здравоохранение и физкультуру, как 5.' 1,9, а расходы на здравоохранение и физкультуру относятся к расходам на социальное страхование и обеспечение, как 7: 12,5. Определить сумму ассигнований на каждый из этих трёх видов расходов, если в общей сложности они составляют 120,3 млрд. руб.

(Ответ: 60 млрд. руб.; 22,8 млрд. руб.; 37,5 млрд. руб.)

Теперь перейдём к нахождению процентов от последующих остатков, пользуясь пока конкретными числовыми данными, в такой последовательности:

1) Расходы на просвещение в процентах к общей сумме расходов:

2) Остальная сумма расходов без расходов на народное просвещение (первый остаток) составляет:

124,8 — 60 = 64,8 (млрд. руб.).

3) Расходы на здравоохранение и физкультуру в процентах к первому остатку:

4) Остальная сумма расходов без расходов на здравоохранение и физкультуру (второй остаток) составляет:

64,8 — 22,8 = 42 (млрд. руб.).

5) Расходы на социальное страхование и обеспечение в процентах к новому (второму) остатку:

6) Остальная сумма расходов приходится на расходы по выдаче государственных пособий многодетным и одиноким матерям и составляет третий остаток:

42 — 37,5 = 4,5 (млрд. руб.)

и в процентах в общей сумме расходов равна

Приведённый анализ даёт нам возможность составить задачу с таким текстом:

Задача 11в. Из общей суммы расходов, предусмотренных Советским государством на социально-культурные мероприятия в 1952 г., 48,1% приходится на народное просвещение, 35,2% от остатка на здравоохранение и физкультуру, 89,3% от нового остатка на социальное страхование и обеспечение, а остальные средства — на государственное пособие многодетным и одиноким матерям. Определить в процентах каждый вид из этих расходов к общей сумме расходов на социально-культурные мероприятия.

Задача 12. Номинальная заработная плата увеличилась на 20%, а цены на товары снизились одновременно с этим на 20%. На сколько процентов увеличилась реальная заработная плата?

После увеличения заработной платы на 20% она будет составлять 100% +20% = 120% прежней заработной платы; после снижения цен на 20% стоимость товаров равна 100%— — 20% =80% первоначальной стоимости. Следовательно, на новую заработную плату можно приобрести товаров во столько раз больше, во сколько 120 больше 80. Имеем: 120:80=1,5, или 150% прежнего количества, т. е. реальная заработная плата увеличилась на 150%—100% = 50% (или, как говорят ещё, покупательная способность увеличилась на 50%).

Эту сложную задачу можно решить ещё и другим способом.

От увеличения заработной платы на 20% она увеличилась в 1,2 раза (1201100=1,2). От снижения цен на 20% стоимость товаров уменьшилась в 1,25 раза (100! 80=1,25), и, следовательно, заработная плата увеличилась ещё в

1,25 раза. Таким образом, реальная заработная плата в результате этих двух процессов увеличится в 1,2x1,25 = =1,5 раза против первоначальной заработной платы, что составляет 150% прежней заработной платы, т. е. она увеличилась на 150%—100% =50%.

Учитель здесь отмечает, что результат двукратного увеличения заработной платы мы вывели на основании закона изменения произведения в зависимости от изменения каждого из сомножителей.

Задача 13. Развитие промышленности в СССР (по выработке гражданской продукции) в послевоенные годы (1946— 1951 гг.) характеризуется такими фактическими данными в процентах к предыдущему году: в 1946 г. выпуск продукции увеличился против предыдущего года на 20%; в 1947 г.— на 22%; в 1948 г.— на 27%; в 1949г.—на 20%; в 1950 г.— на 23%; в 1951 г.— на 16%. Определить, на сколько процентов выпуск промышленной продукции в 1951 г. возрос по сравнению с 1945 г. (и во сколько раз).

Учитель поясняет, что уровень промышленности в 1946 г. возрос на 20% сравнительно с 1945 г., в 1947 г.— на 22% сравнительно с 1946 г. и т. д., а требуется определить увеличение выпуска промышленной продукции в 1951 г. по сравнению с 1945 г. (а не с предыдущим 1950 г., по сравнению с которым 1951 г. дал рост на 16%).

Решение. Принимаем выпуск продукции в 1945 г. за 100% и, следовательно, выработка в 1946 г. составила 100%+20% = 120%.

В 1947 г. выработка продукции возросла на 22% и стала равна 120%+120% . 0,22 = 120% +26,4% =146,4%.

В 1948 г. имеем: 146,4%+ 146,4% - 0,27= 146,4% + +39,53% =185,93%.

В 1949 г. выработка продукции равна: 185,93% + +185,93 % . 0,2 = 185,93 % +37,19 % =223,12%.

В 1950 г. выработка продукции возросла ещё на 23% и стала равна 223,12%+223,12% -0,23=223,12%+51,32% = =274,44%.

В 1951 г., в последнем году рассматриваемого периода, выработка окончательно выразилась в 274,44%+274,44% х Х0,16=274,44% +43,91 % =318,35%.

Таким образом, прирост промышленной продукции за послевоенный период (1946—1951 гг.) составляет 318,35%— —100% =218,35%, или, иначе говоря, выработка промышленной продукции за эти годы возросла больше чем в 3 раза.

XVI. Наряду с разработкой задач на темы нашего социалистического строительства учителю математики необходимо время от времени обращаться также к материалам, характеризующим жизнь и дела в зарубежных странах, где он мог бы в задачах, путём сопоставления фактов, подкреплённых числовыми данными, показать преимущество советского общественного и государственного строя над строем капиталистическим, показать, как в зарубежных странах с каждым днём растёт могучее движение за мир во всём мире, каких значительных успехов достигли страны народной демократии в своём неуклонном движении по пути к полному торжеству социализма, как широко развернулась стачечная борьба рабочего класса в странах капитала, как капиталисты своей сумасбродной политикой толкают народы своих стран на путь безработицы, нищеты и разорения и т. п.

Составим для примера следующие задачи.

Задача 14. По данным американской официальной статистики, с января по июль среднее число забастовок в США в 1947—1949 гг. (в отдельности за каждый год) было 2486, за тот же период в 1950 г. их было 2710, в 1951 г. 2948, а в 1952 г. 3150. Число рабочих, участвовавших в забастовках, за тот же период (январь — июль) составляло в среднем за год, начиная с 1947 г. по 1951 г., 1,5 млн. человек, а в 1952 г. достигло 2 млн. 280 тыс. человек. Определить: 1) процент роста забастовок за каждый год по сравнению с 1947—1949 гг.; 2) вычислить процент увеличения числа участников забастовок в 1952 г. по сравнению с среднегодовым числом их за предыдущий период.

(Ответ: 109%; 118,6%; 126,7%; на 52%.)

Задача 15. Прямые военные расходы США возросли с 1 млрд. долларов в 1937—38 бюджетном году до 58,2 млрд. долларов в 1952—53 году, а в Англии военные расходы соответственно возросли со 197 млн. фунтов стерлингов до 1634 млн. фунтов стерлингов. Определить, на сколько процентов и во сколько раз возросли прямые военные расходы в этих странах за указанный период. (Ответ: в США: на 5720%; в 58,2 раза. В Англии: на 729,4%; в 8,3 раза.)

Задача 16. В европейских странах народной демократии довоенный уровень производства промышленной продукции в 1951 г. был превзойдён: в Польше в 2,9 раза, в Чехословакии в 1,7 раза, в Венгрии в 2,5 раза, в Румынии в 1,9 раза, в Болгарии в 4,6 раза, в Албании в 5 раз. На сколько

процентов был превзойдён в этих странах довоенный уровень производства промышленной продукции в 1951 г.? (Решить устно.) (Ответ: 190%; 70%; 150%; 90%; 360%; 400%.)

XVII. Построение графиков и диаграмм имеет большое значение для более наглядного представления о тех или иных явлениях в различных областях нашего социалистического строительства, а потому учитель должен уделять этому вопросу особое внимание, составляя везде, где это возможно, графики и диаграммы по важнейшим показателям наших достижений. При этом учитель должен обратить внимание на следующее:

1) Если имеется в виду наглядно представить постепенный рост наших успехов за ряд лет в различных областях нашего социалистического строительства, или представить постепенные изменения в других каких-либо явлениях нашей жизни, то учитель использует числовые показатели для составления графиков и прямоугольных (столбчатых) диаграмм. При этом удобнее всего большие числа предварительно округлять, а дроби выразить целыми числами.

2) Если данные числа представляют собой части одного целого и выражают их состояние в данный момент, то эти показатели следует изобразить круговой (секторной) диаграммой. При этом числа, данные для диаграммы, лучше всего предварительно вычислить в процентах по отношению ко всему целому числу (к общей сумме, к общей площади, к общему числу рабочих и т. п.), а потом построить круговую диаграмму известным способом.

Для построения графика или прямоугольной диаграммы можно использовать, например, данные, приведённые выше в задачах 7 и 13, а для круговой диаграммы — ответы к задаче 11.

Учитель может использовать интересную диаграмму, характеризующую два итога экономического развития, помещённую в «Правде» (№ 363 от 28 декабря 1952 г.), сформулировав текст задачи таким образом.

Задача 17. Построить на одном листе график (или прямоугольную диаграмму), показывающий изменение объёма промышленного производства в шести европейских народно-демократических государствах (в Польше, Чехословакии, Венгрии, Румынии, Болгарии и Албании), а также в шести западноевропейских капиталистических странах (во Франции, Бельгии, Австрии, Голландии, Греции и Люксембурге) на протяжении 1948—1952 гг., в процентах к 1937 г.

(уровень производства 1937 г. принять за 100%), по следующим данным:

1937 г.

1948 г.

1949 г.

1950 г.

1951 г.

1952 г.

В шести европейских народно-демократических государствах ........

100

122

151

185

240

288

В шести западноевропейских капиталистических странах ..........

100

102

111

116

130

131

Желая подчеркнуть неуклонный подъём экономики в странах народной демократии и глубокий застой в капиталистических странах, в особенности в последний период (1951—1952 гг.), попутно с составлением диаграммы учитель может предложить учащимся определить, на сколько процентов увеличилось промышленное производство в 1952 г. по сравнению с 1951 г. в странах народной демократии и в капиталистических странах Западной Европы, напомнив о выведенных нами выше способах решения подобного рода задач.

В результате получаем, что промышленное производство в странах народной демократии за этот период возросло на 20%, а в капиталистических странах Западной Европы — всего лишь на 0,8%.

Приводим задачи, составленные на материалах пятилетнего плана, по темам программы курса арифметики V—VI классов.

Задачи на обыкновенные и десятичные дроби.

1. Выработка электроэнергии в СССР в 1952 г. составляет 117 млрд. киловатт-часов, что в 2,4 раза превышает уровень 1940 г. и в 61 ~ раза больше, чем в 1913 г. Сколько электроэнергии вырабатывалось в 1940 г. и сколько в 1913 г.? (48,3 млрд. квт-ч\ 1,9 млрд. квт-ч.)

2. В 1939 г. количество научно-исследовательских институтов, лабораторий и других научных учреждений в СССР составляло 1560, а к началу 1952 г. их стало больше на ^ этого количества. Сколько насчитывалось этих учреждений в 1952 г.? (2900 учреждений.)

3. К концу 1952 г. в нашей стране библиотек всех

типов насчитывалось больше, чем в 1939 г., на 120 тыс., что даёт увеличение на ^ числа библиотек в 1939 г. Сколько библиотек всех типов имелось в СССР к концу 1952 г.?

(368 тыс.)

4. Общая выплавка чугуна и стали в 1952 г. составляет 60 млн. т. Сколько произведено в отдельности чугуна и стали в 1952 г., если -g- производства чугуна равна у производства стали? (25 млн. т чугуна; 35 млн. т стали.)

5. Прирост выработки электроэнергии в нашей стране за три года (1949—1951) больше всей выработки электроэнергии в дореволюционной России в 1913 г. в 19 ^ раза, что превышает этот уровень на 35,1 млрд. киловатт-часов. Определить прирост выработки электроэнергии за 1949— 1952 гг. и общую выработку её в 1913 г.

(37 млрд. квт-ч\ 1,9 млрд. квт-ч.)

Задачи на процентные расчёты.

6. Посевные площади всех сельскохозяйственных культур в СССР в 1952 г. выросли по сравнению с 1913 г. в 1,4 раза. На сколько процентов увеличились посевные площади в 1952 г. против 1913 г. ? (Решить устно.) (На 40%.)

7. За послевоенные годы товарооборот в государственной и кооперативной торговле в нашей стране возрос на 190%. Во сколько раз увеличился товарооборот в СССР за послевоенные годы? (Решить устно.) (В 2,9 раза.)

8. В 1952 г. производство промышленной продукции в СССР превышает уровень 1940 г. в 2,3 раза. На сколько процентов производство этой продукции в 1952 г. превосходит уровень 1940 г.? (Решить устно.) (На 130%.)

9. По пятому пятилетнему плану предусмотрено повысить в 1955 г. по сравнению с 1950 г. выпуск грузовых судов и танкеров для морского флота в 2,9 раза, речных пассажирских судов — в 2,6 раза и судов для рыбопромыслового флота — в 3,8 раза. На сколько процентов будет увеличен выпуск этих судов в 1955 г. по сравнению с 1950 г.? (Решить устно.) (На 190%; 160%; 280%.)

10. Рост производства некоторых важнейших видов промышленной продукции в 1955 г. по сравнению с 1950 г. предусматривается пятым пятилетним планом в следующих размерах (в процентах):

Виды промышленной продукции

Увеличение по сравнению с 1950 г.

На сколько %

Во сколько раз

130

Гидротурбины ......

680

Паровые котлы......

170

Металлургическое оборудование .........

85

Нефтеаппаратура . . .

250

Крупные металлорежущие станки .........

160

Автомобили.......

20

Тракторы .........

19

Заполнить таблицу, выразив увеличение десятичными и обыкновенными дробями.

11. Если принять уровень промышленного производства в 1929 г. в СССР и в некоторых других странах за 100%, то в 1951 г. промышленность СССР превысила уровень 1929 г. на 1166%,США за тот же период на 100%, Англии на 60%, Франции на 4%, Италии на 34%. Во сколько раз возросло промышленное производство в каждой из этих стран за указанный период? (12,66; 2; 1,6; 1,04; 1,34.)

12. Производство электроэнергии в СССР в 1940 г. составляло 48,3 млрд. киловатт-часов, а в 1952 г. оно превышает уровень 1940 г. на 142%. Определить производство электроэнергии в 1952 г. (в целых млрд. квтт-ч).

(117 млрд. квт-ч.)

13. На 1 января 1950 г. в Советском Союзе насчитывалось 254 тыс. колхозов, а после укрупнения общее число их снизилось на 61,8%. Определить в целых тысячах число колхозов, образовавшихся после их укрупнения. (97 тыс.)

14. Фактически национальный доход в 1950 г. увеличился по сравнению с 1940 г. на 64%, а по пятому пятилетнему плану он возрастёт за пятилетие ещё на 60%. На сколько процентов увеличится национальный доход за пятилетие по сравнению с 1940 г.? (На 162%.)

15. По пятилетнему плану 1951—1955 гг. предусмотрено повышение уровня промышленного производства в 1955 г. по сравнению с 1950 г. на 70%. Зная, что в 1950 г. фактически было произведено промышленной продукции на 73% больше, чем в 1940 г., определить (с точностью до единицы), во сколько раз промышленное производство в 1955 г. превысит уровень 1940 г. (В 3 раза.)

16. Рост производства некоторых важнейших видов промышленной продукции в СССР в 1955 г. сравнительно с 1940 и 1950 гг. характеризуется следующими данными (в процентах):

Виды промышленной продукции

1950 г. в% к 1940 г.

1955 г.

в % к 1950 г.

в % к 1940 г.

Чугун..........

Сталь ..........

Прокат..........

Уголь..........

Нефть..........

Электроэнергия ......

129 149 159 157 122 187

176 162 164 143 185 180

Заполнить таблицу.

(227%; 241%; 261%; 225%; 226%; 337%.)

17. Валовой урожай зерна в СССР в 1952 г. составил 8 млрд. пудов, что дало увеличение по сравнению с 1951 г. на 8,1%, а по сравнению со среднегодовым урожаем в дореволюционной России — на 77 -^%. Определить (с точностью до 0,1 млрд. пудов) урожай зерна в 1951 г. и среднегодовой урожай зерна в дореволюционные годы.

(7,4 млрд. пудов; 4,5 млрд. пудов.)

18. В 1951 г. было произведено электроэнергии в СССР 102,6 млрд. киловатт-часов, что на 14% больше, чем в 1950 г. Сколько было выработано электроэнергии в 1950 г.?

(90 млрд. квт-ч.)

19. Производство кожаной и резиновой обуви в 1952 г. составляет 375 млн. пар, причём резиновая обувь по отношению к кожаной составляет 50 %. Сколько выработано

кожаной и резиновой обуви в отдельности в 1952 г.?

(250 млн. пар; 125 млн. пар.)

20. Общий прирост добычи угля и нефти в СССР за три последних года (1949—1951) составляет 87 млн. m, причём прирост нефти за этот период ниже прироста угля на 82,4%. Определить прирост добычи угля и нефти за 1949— 1951 гг. в отдельности. (Вычислить с точностью до 1 млн. т.) (74 млн. m; 13 млн. т.)

21. По пятому пятилетнему плану предусмотрено ввести в действие в течение пятилетия крупные гидроэлектростанции, в том числе Куйбышевскую, а также Камскую, Горьковскую, Мингечаурскую, Усть-Каменогорскую и др., общая мощность которых будет составлять 4016 тысяч киловатт. Какова в отдельности мощность Куйбышевской гидроэлектростанции, если мощность её превышает мощность всех остальных гидроэлектростанций, вступающих в строй в течение пятилетия, на 9,6% ? (Вычислить в целых тысячах киловатт.) (2100 тыс. /сет.)

22. Добыча угля в 1940 г. составляла 166 млн. т, что на 472,4% выше добычи угля в 1913 г. и на 44 у% ниже добычи его в 1952 г. Определить добычу угля в 1913 и в 1952 гг. (в целых млн. т) и вычислить, во сколько раз добыча угля в 1952 г. превышает уровень добычи угля в 1913 г.

23. Число обучающихся в СССР во всех учебных заведениях в 1952 г. достигло 57 млн. человек и превышает на 8 млн. человек число обучавшихся в 1940 г. На сколько процентов возросло число обучающихся в 1952 г. по сравнению с 1940 г. ? (На 16,3%).

24. Почётного звания лауреата Сталинской премии в Советском Союзе удостоены 8470 работников науки, промышленности, транспорта и сельского хозяйства и 2339 работников литературы и искусства. Какой процент составляет число лауреатов Сталинской премии в каждой из этих двух групп работников по отношению к общему их числу ?

(78,4%; 21,6%.)

25. Общий объём промышленности в СССР, производящей предметы массового потребления, в 1951 г. был больше, чем в 1940 г., на 43%, а в 1952 г. превысил тот же уровень

1940 г. на 60%. На сколько процентов выработка промышленной продукции массового потребления в 1952 г. превысила уровень 1951 г.? (Приблизительно на 11,9%.)

26. Определить процент выполнения в 1952 г. сталинских предначертаний, намеченных в предвыборной речи И. В. Сталина от 9 февраля 1946 г., по отдельным основным видам промышленной продукции по следующим данным:

Виды промышленной продукции

Намечено в предвыборной речи И. В Сталина

Выполнение в 1952 г.

Процент выполнения в 1952 г.

Ежегодный выпуск в млн. m

Чугун.........

50

25

?

Сталь .........

60

35

?

Уголь ........

500

300

?

Нефть.........

60

47

?

Заполнить таблицу. (50%; 58,3%; 60%; 78,3%.)

Задачи на отношения и пропорции.

27. Отношение выплавки чугуна к выплавке стали в 1952 г. равно у. Сколько составляет выплавка чугуна и стали в отдельности, если общая их выплавка в 1952 г. равна 60 млн. /л? (25 млн. т\ 35 млн. т.)

28. Производство сахара в 1940 г. относится к производству его в 1952 г., как 1:1^-. Определить производство сахара в 1952 г., если известно, что его произведено больше, чем в 1940 г., на 1,1 млн. т. (3,3 млн. т.)

29. Прирост производства чугуна за последние три года (1949 — 1951) относится к приросту производства стали за тот же период, как 2:3^-, а прирост производства чугуна к приросту проката за то же время относится, как 4 :5. Определить прирост производства чугуна, стали и проката в отдельности, если прирост стали за этот период больше прироста чугуна на 5 млн. т.

(8 млн. т\ 13 млн. т\ 10 млн. т.)

Указание. Для удобства условие записать в таком виде:

Графики и диаграммы.

30. Построить график (прямоугольную диаграмму), показывающий рост выработки электроэнергии в СССР по следующим данным (в млрд. киловатт-часов):

1932 г.

1937 г.

1940 г.

1950 г.

1952 г.

13,5

36,4

48,3

90,0

117,0

31. Составить прямоугольную диаграмму, показывающую рост промышленной продукции СССР за 1940— 1952 гг. по таким данным (в процентах к 1940 г.):

1940 г.

1944 г

1945 г.

1946 г.

1947 г.

1948 г.

1949 г

1950 г.

1951 г.

1952 г. (план)

100

104

92

77

93

118

141

173

202

223

32. Вычислить в процентах и составить по ним круговую диаграмму, характеризующую прирост поголовья скота в СССР за период с июля 1945 г. по июль 1952 г., по следующим данным:

Виды скота

Прирост скота

в млн. голов

в % к общему приросту

Крупного рогатого скота .

13,4

?

Овец ..........

41,8

?

Свиней .........

21,2

?

Лошадей.........

5,6

?

Итого. . .

82,0

100.0%

Заполнить таблицу. (16%; 51%; 26%; 7%.)

Смешанные задачи.

(Для повторения.)

33. В 1950 г. было выработано в СССР электроэнергии 90 млрд. киловатт-часов, что составляет || общего производства электроэнергии в 1952 г. Определить производство электроэнергии в 1952 г. (117 млрд. квт-ч.)

34. Рост производства некоторых основных предметов массового потребления (продукции лёгкой и пищевой промышленности) в 1955 г. по сравнению с 1950 г. предусмотрен пятым пятилетним планом в следующих размерах: производство хлопчатобумажных тканей возрастёт на 61%, шерстяных тканей на 54%, обуви кожаной на 55%, сахара-песка на 78%, мяса на 92%, рыбы на 58%, масла животного на 72%, масла растительного на 77%, консервов на 110%. Во сколько раз увеличится производство указанных предметов массового потребления в 1955 г. по сравнению с 1950 г.? (Выразить проценты десятичными и обыкновенными дробями.)

35. Рост производства некоторых основных предметов массового потребления в 1952 г. по сравнению с 1940 г. характеризуется такими данными: производство хлопчатобумажных тканей увеличивается на 30%, шерстяных тканей на 60%, шёлковых тканей на 180%, кожаной обуви на 20%, резиновой обуви на 80%. сахара на 50%, масла животного на 70%- Во сколько раз увеличится выпуск продукции массового потребления в 1952 г. сравнительно с 1940 г.? (Выразить проценты десятичными и обыкновенными дробями.)

36. Рост поголовья скота по СССР за пятилетие (1951 — 1955 гг.) предусмотрен новым пятилетним планом в следующих размерах1 (см. табл. на стр. 89).

Заполнить таблицу. (20%; 1,38; 80%; 1,62; 90%; 1,5; 12%; 1,16.)

37. В результате осуществления политики систематического снижения цен в СССР за последние пять лет на товары массового потребления цены на важнейшие

1 Показатели роста поголовья скота нами взяты максимальные. Так, например, в пятом пятилетнем плане указан рост поголовья крупного рогатого скота на 18—20%, мы берём увеличение на 20% и т. д.

Виды скота

На сколько % увеличено

Во сколько раз увеличено

По всему сельскому хозяйству

В том числе в колхозах

По всему сельскому хозяйству

В том числе в колхозах

Крупный рогатый скот . .

?

38%

4

? 4

Овцы ....

62%

?

?

4

Свиньи ....

50%

?

?

о

1,9

Лошади . . .

?

16%

3 »25

?

продукты питания в СССР в 1952 г. снижены в следующих размерах (в процентах к ценам в конце 1947 г., принимаемым за 100%):

Продукты питания

Процент, который составляют цены в 1952 г. от цен 1947 г.

На сколько % снижены цены

Во сколько раз снижены цены (с точностью до 0,1)

Хлеб..........

39

Мясо ..........

42

Масло сливочное.....

37

Молоко..........

72

Сахар ..........

49

Заполнить таблицу. (61%; 2,6; 58%; 2,4; 63%; 2,7; 28%; 1,4; 51%; 2,0.)

38. В 1950 г. производство металлургического оборудования увеличилось по сравнению с 1940 г. в 4,8 раза, а в 1955 г. это производство возрастёт ещё на 85% по сравнению с 1950 г. На сколько процентов и во сколько раз производство металлургического оборудования в 1955 г. превзойдёт уровень 1940 г.? (На 788%; в 8,9 раза.)

39. В 1951 г. общая выработка промышленной продукции в СССР превзошла уровень 1940 г. в два раза, а в 1952 г. это производство выше уровня того же 1940 г. в 2,3 раза. На сколько процентов промышленность СССР в 1952 г. превышает уровень 1951 г.? (На 15%.)

40. По пятому пятилетнему плану предусмотрен рост продажи населению в 1955 г. важнейших товаров в государ-

ственных и кооперативных магазинах в следующих размерах (в % к 1950 и к 1940 гг.):

Виды товаров

1950 г. в % к 1940 г.

1955 г.

в % к 1950 г.

в % к 1940 г.

Мясопродукты......

138

190

Рыбопродукты......

151

170

Масло животное.....

159

170

» растительное ....

167

200

Сахар .......

133

200

Ткани хлопчатобумажные, шерстяное, шёлковые и льняные ........

147

170

Обувь ........

139

180

Чулки и носки......

139

200

Заполнить таблицу. (262%; 257%; 270%; 334%; 266%; 250%; 250%; 278%.)

41. Производительность труда возросла в 1950 г. против 1940 г. в промышленности на 37% и в строительстве на 23%, а за новое пятилетие (1951—1955) она соответственно увеличится ещё на 50% и на 55%. На сколько процентов возрастёт производительность труда в промышленности и в строительстве в пятой пятилетке по сравнению с 1940 г. ?

(На 105,5%; на 90,7%.)

42. За три года (1949—1951) прирост добычи угля в СССР составил 74 млн. m, что превышает всю добычу угля в царской России за 1913 г. на 155,2%, а прирост добычи нефти за тот же период, выражающийся в 13 млн m, превзошёл добычу нефти за 1913 г. на 44—%. Определить добычу угля и нефти в 1913 г. (29 млн. m; 9 млн. т.)

43. Огромный рост производства чугуна, стали, угля и нефти в СССР в 1952 г. по сравнению с 1913 г. характеризуется следующими данными:

1913 г.

1952 г.

1952 г. в % к 1913 г.

в млн. m

Чугун..........

4,2

25

Сталь ..........

4,2

35

Уголь ..........

29,0

300

Нефть..........

9,0

47

Заполнять таблицу. (595,2%; 833,3%; 1034,5%; 522,2%.)

44. Числа, выражающие выплавку чугуна и стали (вместе) в 1913, 1940 и 1952 гг., обратно пропорциональны числам ~, щ и ~. Определить производство чугуна и стали за каждый год в отдельности, если известно, что выплавка этой продукции в 1952 г. превышает уровень 1913 г. на 51,6 млн. т. (8,4 млн. т\ 33,3 млн. т\ 60 млн. т.)

45. Выработка хлопчатобумажных, шерстяных и шёлковых тканей в 1952 г. выражается в 5408 млн. м, из них 92,46% приходится на хлопчатобумажные ткани, а остаток— на шерстяные и шёлковые ткани, выработки которых находятся между собой в отношении 9,5 : 10,9. Сколько предусмотрено выработать тканей по каждому виду в отдельности в 1952 г.? (Вычислить в целых миллионах метров.)

[5000 млн. м (5 млрд. м)\ 190 млн. м\ 218 млн. м.]

46. Построить график роста промышленной продукции в СССР и в капиталистических странах за 1929—1951 гг. по следующим данным (в процентах к 1929 г.):

1929 г.

1939 г.

1943 г.

1946 г.

1947 г.

1948 г.

1949 г.

1950 г.

1951 г.

СССР . . . США . . . Англия . . Франция . . Италия . .

100 100 100 100 100

552 99

123 80

108

573

217 сведения не публиковались

466 155 112 63 72

571 170 121 74 93

721 175 135 85 97

870 160 144 92 103

1082 182 15/ 92 118

1266 200 160 104 134

М. И. Иванов

(Калинин)

О ПОВЫШЕНИИ ИНТЕРЕСА УЧАЩИХСЯ К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕМАТИКИ.

Интерес является важнейшей побудительной силой к приобретению знаний, к расширению кругозора человека, к обогащению его психической жизни.

Наши школьники — подростки и юноши прежде всего бывают широко охвачены общественно-политическими интересами. Этому способствуют наши детские дошкольные учреждения, детская литература, организация школьной жизни, пионерские и комсомольские организации и вся наша общественная жизнь.

Советскому ученику хочется знать всё: почему раньше рабочие и крестьяне голодали; почему раньше мы не имели своего хлопка, чая, апельсинов и лимонов, а теперь всё это растёт на советской земле; почему трактор без посторонней помощи движется на колхозном поле, а лампочка Ильича загорается сама; почему самолёты держатся устойчиво в воздухе и не падают на землю и т. д.

Под влиянием этих вопросов у наших школьников рано начинают пробуждаться так называемые «познавательные интересы» и интерес к технике. Ещё в детском саду советские дети с удовольствием рисуют самолёт, паровоз, трактор и т. п., а в школьном возрасте они не только интересуются готовыми моделями, но и сами их конструируют; участвуют в различных технических кружках в школе, в доме пионеров, участвуют в слётах моделистов.

На почве интереса к технике у школьника вполне естественно появляется желание углубить и расширить свои знания в области математики.

Задача учителя математики в этот момент и состоит в том, чтобы направить познавательные интересы ученика по правильному пути, а именно: умело переключить их на систематическое изучение школьных математических дисциплин: арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии,

которые являются для приступающего к их изучению ученика новой областью познания действительности.

Чтобы достичь этой цели, опытные учителя поступают так: они на конкретных примерах стараются показать ученику, что теория освещает путь к практике и делает практику доступной ученику.

Так, например, поступает учитель С. М. Чуканцов (Калуга), автор многих статей в журнале «Математика в школе» (1940, № 4 и др.). Его излюбленное средство для повышения интереса учащихся к математике — задачи, заимствованные из окружающей жизни. Важно отметить и то обстоятельство, что С. М. Чуканцов не испытывает недостатка в таких задачах не только по арифметике, но и по другим разделам математики. В статье на тему «Задачи с конкретным содержанием на уроках математики» («Математика в школе», 1940, № 2) он так описывает свой труд по составлению задач: «Чтобы иметь задачи с конкретным содержанием для решения их с учащимися, чтобы сделать свои уроки насыщенными современностью, чтобы составлять интересные и вполне доступные пониманию детей задачи,— учитель должен не только тщательно готовиться к каждому уроку, но и должен быть всегда в курсе текущих событий, систематически читать газеты, в том числе, и обязательно, ту газету, которую читают учащиеся, вдумчиво относиться к цифровому материалу в них, а иногда и просто накапливать этот цифровой материал. Ещё лучше, если задачи составляются на основе материала, уже известного детям, и совместно с ними».

Такой приём работы учителя несомненно пробуждает в среде школьников интерес к математике. «Решите с учащимися ряд задач с практическим содержанием,— пишет С. М. Чуканцов,— и вы увидите, с каким интересом, с какой любовью решают они эти задачи, как они будут горды тем, что умеют применять математику не только к решению задач Е. С Березанской или Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцова, но и к решению конкретных задач, взятых из жизни».

Не нужно думать, что С. М. Чуканцов — исключение среди учителей. К числу таких же вдумчивых учителей надо отнести и Л. Г. Круповецкого (Харьков), который в статье «Задачи из современной жизни» («Математика в школе», 1938, № 4) даёт даже целый сборник арифметических задач для V класса, используя для этого самый

свежий для того времени материал. В своей статье «Об идейно-политическом воспитании учащихся на уроках арифметики» («Математика в школе», 1950, № 3) он даёт в качестве образца ряд таких задач, которые по содержанию охватывают многие стороны нашей богатой современной жизни, и в пределах, допускаемых на уроках математики, знакомит учащихся с политическими событиями у нас и за рубежом.

Заслуженная учительница школ РСФСР М. Н. Покровская в своей статье «Элементы воспитания в процессе обучения математике» («Математика в школе», 1947, № 5) приводит такой факт, когда учащиеся при повторении арифметики с большим интересом выполняли практическую работу по теме «Проценты» на материале достижений нашей промышленности и сельского хозяйства. Для более наглядного восприятия цифр, иллюстрирующих достижения социалистического хозяйства нашей родины за последние годы, были составлены учащимися таблицы, графики, диаграммы. И как учащиеся радовались за свою родину, когда увидели, что к концу 1950 г. выплавка чугуна будет составлять 462,1%, стали —600,5%, добыча угля —862% и т. д. по отношению к 1913 г.

Аналогичные приёмы работы с целью повышения интереса к математике применяют и многие учителя г.Калинина. Но мы наблюдали и другие пути активизации учащихся и привлечения их внимания к математике. Так, на весенней учительской конференции 1951 г. учитель базовой школы при Калининском педагогическом институте А. И. Крылов (12-я женская средняя школа) поделился интересным опытом организации и проведения им с учениками VI класса целого ряда простейших геодезических работ на местности без всяких инструментов или с помощью только самых простейших из них (эккер, самодельная астролябия, буссоль). В списке его работ на местности значатся:

1) проведение прямых и измерение отрезков;

2) построение и измерение углов;

3) построение перпендикуляров к прямой в различных случаях;

4) определение азимута и румба прямой и построение прямых по заданным азимутам и румбам;

5) построение прямоугольных и косоугольных треугольников по заданным их элементам;

6) измерение недоступных расстояний и т. п.

Для каждого занятия учащиеся разбивались на три группы по 10—11 человек, каждая из них получала полный комплект необходимого оборудования и специальное задание, например: а) через произвольную точку на местности провести прямую, имеющую направление СВ : 58°; б) построить прямоугольный треугольник, у которого катет û=20 м и имеет направление с юга на север, катет Ь=\5м и имеет направление с запада на восток, а затем измерить его гипотенузу и определить её направление от вершины А к вершине В.

Почти все занятия проводились на пришкольном участке.

Указанные работы учителя А. И. Крылова не только повышали интерес учащихся к математике, но и прививали им практические навыки в обращении с измерительными инструментами, в области приложений геометрии и на доступных детям примерах показывали связь геометрии с землемерием, отчего само название науки «геометрия» и её возникновение на почве землемерия становились ученикам особенно понятны.

Не менее важным А. И. Крылов считает и то обстоятельство, что эти работы придавали осмысленный характер классным занятиям по геометрии. Так, например, определив на местности румбы двух прямых AB и АС (соответственно: СВ: 35° и /0#:4о°), учащиеся в классе строили эти прямые и находили вычислением угол между ними. Этот угол для них был чем-то близким, знакомым, они его видели на местности, а изученное ими ранее свойство развёрнутого угла иметь величину 180° здесь действительно оказывалось для них полезным и нужным.

Учителя математики мужской семилетней железнодорожной школы № 5 г. Калинина увлекают своих учащихся тем, что они на своих уроках широко используют задачи из области железнодорожной техники и железнодорожного хозяйства. Это нравится многим учащимся потому, что они любят профессию своих отцов и сами собираются потом обучаться в железнодорожных техникумах и вузах. Учителя этой школы часто не довольствуются этим. Они широко практикуют в своих классах краткие рефераты на исторические и другие темы, которые учащиеся выполняют дома, а затем используют в классе при своих ответах по текущему материалу. Так, например, при повторении арифметики в VI классе учащиеся получили такие темы для

самостоятельной проработки дома: а) «Славянская нумерация» (по книге Б. В. Гнеденко «Очерки по истории математики в России»), б) «Арифметика, в которой не нужно считать» (по книге Г. Н. Бермана «Число и наука о нём»), в) «Волшебная таблица», при помощи которой можно отгадывать любое задуманное число из чисел, помещённых в этой таблице» (по книге Г. Н. Бермана «Число и наука о нём»), г) «Как кратко записывают и называют «астрономические» числа» (по книге Г. Н. Бермана «Счёт и число»), д) «Старинные способы умножения «крестиком» (по книге В. Н. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики») и др.

В одной из школ г. Калинина нам пришлось быть на уроке, когда один из учащихся отвечал об устной и письменной нумерации десятичной системы, о значении поместного принципа в употреблении цифр и роли нуля. Ученик отвечал уверенно и спокойно. Но как он оживился, когда учительница поставила ему дополнительный вопрос: какие он знает другие системы счисления.

Мальчик с большим увлечением рассказал о двоичной системе счисления, о записи любого натурального числа только с помощью двух цифр 1 и 0. А товарищи его по классу были поражены его умением быстро угадывать любое число из составленной им «волшебной таблицы» и быстро записывать это число по двоичной системе. Всем хотелось знать секрет волшебной таблицы. Детальное ознакомление с ней было перенесено на внеклассные занятия в кружке.

При такой организации работы в классе внеклассная работа не служит простым придатком к урокам, а является вполне естественным продолжением начатой работы на уроке и служит средством к удовлетворению возросших математических интересов учащихся.

В этой же школе небольшие самостоятельные работы на дому практикуются и по геометрии.

Так, изучив признаки равенства треугольников, ученикам предлагается ознакомиться с использованием свойства «жёсткости» фигуры треугольника при постройке кровель, мостов, подъёмных кранов и т. п. (по книге Я. И. Перельмана «Новый задачник по геометрии» или по его же книге «Практические занятия по геометрии»).

При повторении свойства касательной к окружности ученики VII класса с большим интересом рассказывали об

использовании касательной в технической практике при сопряжении прямой с окружностью или дуг двух окружностей, при этом они демонстрировали своим товарищам хорошо исполненные ими чертежи на сопряжение закруглений в железнодорожной практике, на сопряжение кривых в архитектурных украшениях — карнизах, багетах и т. п. (по книге Я. И. Перельмана «Новый задачник по геометрии»).

Такие приёмы работы учителей несомненно способствуют тому, что в классе создаётся как бы особая «математическая атмосфера», побуждающая учеников к расширению и углублению своих знаний.

Эту математическую атмосферу некоторые учителя поддерживают в классе не только качеством урока, но и соответствующим убранством класса или организацией специального математического кабинета в школе. Портреты великих русских математиков прошлого, лауреатов Сталинских премий настоящего, замечательных русских изобретателей — инженеров и самоучек — составляют неотъемлемую часть этого убранства. Ученики советской школы несомненно должны знать, кто внёс большой вклад в мировую сокровищницу математических знаний в прошлом, кто в наше время помогает своим творческим трудом в области математической науки и техники осуществить великие задачи по переделке природы, по созданию коммунистического общества на одной шестой земного шара. Наряду с портретами полезно украсить класс или кабинет рисунками, фотоснимками, иллюстрирующими на частных примерах достижения нашей советской техники из различных её областей: машиностроения, транспорта, авиации и т. п., причём уместно под каждым таким экспонатом поместить соответствующий краткий, но выразительный текст, подчёркивающий участие математики при изобретении или использовании данного объекта (см., например, журнал «Математика в школе», 1941, № 3).

Разумеется, работа учителя по повышению интереса учащихся к изучению математики должна проводиться с учётом их возрастных особенностей и математической подготовленности.

В распоряжении учителя математики семилетней школы есть много возможностей, чтобы с учётом не только возрастных особенностей детей, но и характера занятий построить содержательно и увлекательно свой очередной урок.

Возьмём, например, повторение или закрепление пройденного материала по геометрии.

Вместо того чтобы задавать ученикам с этой целью шаблонные и каждый раз похожие по структуре и содержанию вопросы, подобные следующим: «Скажите, что вы знаете о средней линии треугольника; о диагоналях прямоугольника, ромба, квадрата» и т. п. (что часто наблюдается в практике молодых учителей),— куда полезнее организовать повторение или закрепление этого материала на целесообразно подобранных задачах.

Нам пришлось наблюдать, когда учитель, в целях повторения, интересно и увлекательно использовал такие задачи: «Определить вид четырёхугольника, который получится от последовательного соединения середин сторон любого выпуклого четырёхугольника».

При решении этой задачи ученикам невольно пришлось вспомнить, и не только вспомнить, но и применить свойство средней линии треугольника и признаки параллелограма для получения нужного ответа. Да и сам по себе факт, что параллелограм будет получаться при любом заданном выпуклом четырёхугольнике, был поучителен для учеников VII класса.

В заключение уместно было бы поставить ученикам и такие вопросы: «В каком случае четырёхугольник, вписанный по указанному способу, будет прямоугольником? ромбом? квадратом»? Большое оживление на том же уроке вызвала и такая задача:

«Достаточно ли равенства диагоналей в четырёхугольнике, чтобы он был прямоугольником?»

Сначала ответы на этот вопрос были различные — положительные и отрицательные. Сторонники первого из них в доказательство своей правоты горячо ссылались на известную им теорему, что в прямоугольнике диагонали обязательно равны. Но как они были удивлены, когда один из их товарищей, сторонников второй точки зрения, вышел к доске и начертил четырёхугольник, имеющий равные диагонали, но не имеющий прямых углов, а для большей убедительности он ещё вырезал такой же четырёхугольник из бумаги.

Учитель очень уместно предложил ученикам подумать ещё над тем, какому дополнительному условию должны удовлетворять диагонали четырёхугольника, чтобы последний стал прямоугольником, и для какого вида четы-

рёхугольника равенство диагоналей повлечёт за собой и прямоугольный вид фигуры.

Таким образом, обычная задача в руках опытного учителя и в результате продуманной организации формы и содержания урока послужила вполне естественным поводом, чтобы при повторении пройденного выяснить на конкретном примере понятие о необходимом и достаточном признаке в математике, в чём обычно плохо разбираются даже окончившие десятилетку (см. П. С. Моденов, Сборник задач по математике, гл. V, 1952).

В тесной связи с содержанием приведённого урока находилось и домашнее задание к следующему разу. Оно состояло из двух задач, заимствованных учителем из книги Я. И. Перельмана «Практические занятия по геометрии», изд. 1925 г.

Задача 6 (стр. 14). Желая проверить, имеет ли отрезанный кусок материи форму квадрата, швея убеждается, что при сгибании по каждой из диагоналей края обеих частей совпадают. Достаточна ли такая проверка?

Задача 8 (стр. 14). Паркетчик, проверяя, имеет ли выпиленный четырёхугольник форму квадрата, убеждается, что диагонали равны и встречаются под прямым углом. Достаточна ли такая проверка?

Вот ещё несколько задач из той же книги Я. И. Перельмана, которые на наш взгляд учитель с успехом может использовать на уроке или даже на тематических пионерских сборах, которые в настоящее время получают широкое распространение.

Задача 1 (стр. 13). В каком месте незастроенного треугольного двора нужно поместить фонарь, чтобы все три угла двора были освещены им одинаково?

Задача 4 (стр. 14). Считается, что громоотвод защищает от молнии все предметы, расположенные от его основания не далее его двойной высоты. Где на треугольном участке выгоднее всего поместить громоотвод, чтобы высоту его можно было сделать наименьшей?

Задача 12 (стр. 15). Стакан вплотную обставлен соприкасающимися с ним и между собой стаканами такой же величины (или монета обложена одинаковыми монетами). Сколько их?

Задача 72 (стр. 56). Лесная поляна имеет форму ромба. В какой точке на ней нужно поместиться, чтобы одновременно услышать эхо своего возгласа от всех стен леса?

Задача 73 (стр. 57). Чтобы видеть себя в зеркале в отвесном положении во весь рост, достаточно иметь зеркало в половину человеческого роста. Доказать это.

Эту задачу лучше предложить ученикам в несколько иной редакции: «Какого наименьшего размера по высоте (по сравнению со своим ростом) надо взять зеркало, чтобы при вертикальном его расположении увидеть себя в нём во весь рост?»

Обычно такие задачи развивают задор среди учеников, побуждающий их к активности и изобретательности в методах решения. И чем проще с первого взгляда задача, тем она больший интерес вызывает среди учеников.

Вот, кажется, какая задача может быть проще следующей: «Построить угол, равный половине данного, не деля его», а попробуйте предложить её шестиклассникам или семиклассникам, сколько увлечения она вызовет, сколько напрасных попыток будет проделано учениками, прежде чем они найдут самое простое её решение.

Не меньшее оживление на уроках геометрии в младших классах средней школы вызывает также демонстрация простейших приборов, устройство которых основано на известных учащимся геометрических положениях и которые имеют практическое применение. К числу таких приборов относятся: малка, применяемая в столярном деле для непосредственного сравнения углов; мерная вилка, употребляемая в лесном хозяйстве для измерения диаметра древесных стволов; центроискатель, служащий для нахождения центров круглых пластинок; прибор для измерения углов в вертикальной плоскости (например, для измерения наклона поручней лестниц) и целый ряд других.

Интерес учащихся к приборам повышается ещё больше, если они привлекаются к их изготовлению.

Нам пришлось наблюдать такой случай: когда учитель познакомил учащихся с центроискателем и с прибором для измерения углов в вертикальной плоскости, то на другой день многие учащиеся пришли в школу с такими же самодельными приборами и каждую перемену занимались нахождением центра той или иной круглой вещи (например, крышки консервной банки) или измерением наклона школьных лестниц.

По поводу таких примеров Я. И. Перельман писал: «Эти-то реальные упражнения (помимо своего утилитарного значения — снабжения учащихся полезными практическими

навыками) и выполняют важную педагогическую задачу оживления интереса к геометрии, порождая многочисленные ассоциации с действительностью, они обеспечивают также приобретённым знаниям более прочное пребывание в памяти» («Практические занятия по геометрии», стр. 10—11).

Итак, связь математики с реальной действительностью обеспечивает не только активность и интерес учащихся, но и прочность знаний, отсутствием которой всё ещё страдают многие наши школьники.

А разве арифметика с алгеброй не могут пробуждать и повышать интерес учащихся к изучению математики? Одни приёмы быстрых устных и полуписьменных вычислений, умело поставленные учителем, будут уже содействовать развитию интереса и пытливости учащихся.

Возьмём, например, рациональные случаи полуписьменного умножения многозначного числа на 11 или двузначных чисел по способу «крестиком». Часто ли они практикуются в школе? А ведь как просто совершается каждое из них! Так, для умножения многозначного числа на 11, достаточно, написав цифру единиц множимого, приписывать к ней слева сперва сумму цифр единиц и десятков, затем сумму цифр десятков и сотен и закончить процесс записью цифры высшего разряда множимого. Например:

2534 - 11 = 27 874; 38946 - 11 =428 406 (во втором примере при сложении цифр получились двузначные суммы, поэтому их единицы ставились на место, а цифры десятков прибавлялись к соответствующим следующим суммам).

Умножение же «крестиком» состоит в следующем: сперва перемножают цифры десятков и к полученному произведению приписывают справа произведение единиц; затем перемножают цифру десятков каждого данного числа на цифру единиц второго (крестиком) и сумму этих произведений прибавляют к ранее полученному результату, подписывая под числом его десятков.

Оба способа заслуживают внимания учителей математики и потому, что они посильны и для теоретического объяснения их правильности учащимся.

Отправляясь от этих наиболее простых и доступных учащимся случаев, опытные учителя постепенно переключают внимание учащихся на более трудные примеры, которые для своего объяснения требуют применения элементарных алгебраических преобразований, изучаемых в VI — VII классах. Этим самым с первых шагов изучения алгебры показывается школьнику прикладное значение алгебры на элементарных и повседневных примерах арифметики и подчёркивается наибольшая познавательная роль алгебры по сравнению с арифметикой. Вот несколько таких примеров, заимствованных из практики некоторых учителей:

1. Умножение двузначных чисел в пределе 20.

Сперва на примерах ученикам показывается, что при умножении таких чисел прибавляют цифру единиц одного из них к другому и полученную сумму принимают за число десятков искомого произведения. Затем перемножают цифры единиц данных чисел и результат прибавляют к ранее полученному числу.

Примеры.

Все вычисления легко производятся в уме.

После этого на уроках алгебры можно дать обоснование этому способу.

Пусть Nx=l0+x9 а n2=10+*/; здесь х и у — цифры единиц, тогда

Nt - N2= (10 + X) . (10+0) = 10(10 + X) + 10 у + ху = = 10[(10 + X) + у] + ху = 10 (Nx + у) + ху.

Так же можно получить, что Nx - N2 = 10 (n2 + х) + ху.

Уже из одного этого случая видна уместность таких примеров на уроках алгебры; они придают осмысленный характер тождественным преобразованиям, и ученик сейчас же на примерах арифметики видит плоды своих трудов. Ученикам особенно нравится возводить числа в квадрат по этому правилу:

162 = 22-10 + 36 = 236; 172 = 289.

2. Умножение двузначных чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц равна 10.

В этом случае рекомендуется ученикам при устных вычислениях поступать так: общую цифру десятков умно-

исить на цифру единицей больше и к полученному произведению справа приписать произведение цифр единиц данных сомножителей.

Примеры. а) 46-44 =2024; б) 58-52 = 3016; в) 37-33 = 1221. Этот способ особенно нравится ученикам, так как он производится почти механически.

Обоснование его также вполне доступно шестикласснику и может быть дано при изучении умножения многочленов. Так, если Nt = 10* -f у, а N2 = 10* + г, где *, у, z принимают значения от 1 до 9 включительно и у + z = 10, то имеем: ^-n2= (10*+ у)-(Юх + г)= 100*2 + 10* (у + z)+ + yz= 100л:2 + 100*+yz = 100*(* + 1) + yz, что и доказывает справедливость правила, так как * — общая цифра десятков, a yz — произведение единиц данных сомножителей.

Этот способ умножения особенно нравится ученикам при возведении в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 5. В этом случае квадрат числа пишется сразу: 752 = 5625; 452 = 2025 и т. д.

Второй способ в комбинации с рассмотренным выше первым даёт возможность легко умножать и некоторые трёхзначные числа.

Например: при умножении чисел 134 и 136 получим: 134-136 = 18 224. Здесь для получения ответа 13 умножили на 14 по первому способу и получили 182, а затем справа приписали произведение единиц 6-4 =24 по способу второму.

3. Возведение в квадрат чисел, близких к 50.

Для возведения в квадрат числа, близкого к 50, нужно данное число уменьшить на 25; это даст сотни искомого квадрата; затем к полученному числу следует прибавить квадрат того числа, на которое данное число отличается от 50.

Примеры, а) б) в)

Все вычисления в этом случае легко производятся устно. Обоснование этого способа уместно дать в VI классе при изучении формул сокращённого умножения.

4. Возвышение в квадрат чисел, близких к 100.

Для возведения в квадрат числа, близкого к 100, нужно удвоить возводимое число и отбросить в полученном произведении одну сотню; это даст сотни искомого квадрата; затем к результату остаётся прибавить квадрат числа, на которое данное число отличаегся от 100.

Примеры.

Здесь все промежуточные вычисления легко совершаются в уме.

Обоснование этого правила даётся аналогично предыдущему.

Разумеется, рассмотренные выше примеры, которые пробуждают интерес и пытливость учащихся, не единственные. Их можно найти в любом разделе математики. Нужно только искреннее желание учителя работать с творческой инициативой и с пользой для дела. А польза от такой работы, как мы видели на конкретных примерах, несомненна: повышается теоретический уровень преподавания математики, прививаются навыки самостоятельной работы учащихся, развивается и закрепляется среди учащихся интерес к математике и её использованию на практике, а вместе с этим повышается и общая математическая культура учащихся.

Среди учителей г. Калинина имеются также и такие, которые широко проявляют творческий подход с пользой для дела не только на уроках, но и во внеклассной работе. Так, например, инициатором и душой внеклассной работы по математике в мужской семилетней школе № 11 г. Калинина является учительница Наталья Сергеевна Истомина. Она проявляет большие организаторские способности и умелое руководство в этой области работы, а своим энтузиазмом воздействует на других преподавателей математики, побуждая и их следовать её примеру.

На августовских и январских учительских конференциях Наталья Сергеевна часто делится с учителями других школ опытом своей работы. Так, на одной из конференций учителя города с большим вниманием и интересом прослушали её сообщение об организации внеклассной работы по математике в школе № 11. Но особенное восхищение учителей вызвали продемонстрированные Натальей Сергеевной наглядные пособия по геометрии, изготовленные руками самих учащихся — членов математического кружка. Многие из этих пособий заставляли удивляться потому, что они были сделаны из обычной ржаной соломы и в то же время были прочной конструкции, хотя и имели подвижные части.

Изготовление этих пособий несомненно требовало изобретательности от учащихся и тонкой работы их рук.

Основной формой внеклассных занятий по математике в школе № 11 являются кружки, организованные отдельно для каждого года обучения. Каждый такой кружок работает под руководством учителя соответствующего класса, но в то же время каждый из них имеет бюро кружка, которое производит приём новых членов, рассматривает и утверждает план рабогы кружка на определённый промежуток времени, следит за его выполнением и ведёт учёт работы кружка. Всё делопроизводство кружка содержится в полном порядке и хранится у председателя бюро. Участие самих учащихся в делах кружка несомненно способствует выработке организационных навыков у учащихся.

Содержание работы кружков отличается большим разнообразием. В плане работы имеются: 1) задачи занимательной математики из книг Я. И. Перельмана; 2) доклады-рефераты учащихся на исторические темы («Возникновение числа и счёта», «Римская и вавилонская системы счисления», «Системы счисления наших предков-славян и в допетровской России» и т. п.); 3) изучение биографий замечательных русских математиков прошлого и настоящего (Л. Ф. Магницкий, Л. Эйлер, Н. И. Лобачевский, П. Л. Чебышев, И. М. Виноградов и др.); 4) изготовление наглядных пособий, моделей и чертежей для обслуживания текущих классных занятий.

Кроме того, кружки издают математическую газету под названием «Юный математик». Газета выпускается редколлегией, состоящей из членов математического кружка, при участии одного из преподавателей, причём газете

уделяет внимание и школьная математическая предметная комиссия: она обсуждает содержание вышедших номеров, обращает внимание прикреплённого к редакции учителя на допущенные в газете недочёты и намечает пути улучшения качества следующих номеров.

Математическая газета, издаваемая кружками, имеет то значение, что она популяризирует кружки и их работу среди остальной массы учащихся, поднимает интерес учащихся к математике и способствует вовлечению в кружки новых членов.

Но в опыте работы школы № 11 есть и ещё одно внеклассное мероприятие, заслуживающее внимания учителей-математиков. С целью установления ещё более тесной связи кружков с остальной массой учащихся школа от времени до времени проводит математические вечера. Организация таких вечеров возлагается на математические кружки, которые совместно со своими руководителями-учителями устанавливают программу предстоящего вечера, намечают докладчиков и другие выступления на вечере, распределяют между членами кружков отдельные поручения по организации вечера, и, наконец, проводят самый вечер.

Один из таких вечеров был посвящен Софье Васильевне Ковалевской в связи с исполнившимся в январе 1950 г. 100-летием со дня её рождения. На вечер были приглашены учащиеся IV—VII классов школы в количестве 100 человек. Каждому из них был вручён именной пригласительный билет, аккуратно изготовленный на пишущей машинке.

Дежурные контролёры из числа членов кружка приветливо встречали при входе в зал приглашённых гостей, а последние с большой видимой важностью предъявляли свои билеты.

Зал был убран портретами замечательных русских и советских математиков; портреты были изготовлены школой для данного вечера. Под каждым из них и между ними были помещены аккуратно написанные изречения этих же математиков, посвященные значению математики в жизни, в науке, в технике и важности её изучения. Кроме того, в зале была организована выставка всех выпущенных за год номеров газеты «Юный математик», прочитанных докладов, рефератов, решённых задач, изготовленных кружковцами наглядных пособий, моделей, графических работ с указанием автора каждой из них. Учащиеся-гости до

начала вечера с большим вниманием знакомились с экспонатами выставки, а организаторы вечера с большим удовольствием давали необходимые пояснения своим товарищам по школе.

Вечер открыл председатель бюро кружка VI класса — ученик того же класса Потапенко. В президиум были избраны некоторые учащиеся-кружковцы и гости. В начале вечера ученики Потапенко и Козлов ознакомили гостей с работой кружков за истекший промежуток времени с начала года. Выступления их были кратки, но содержательны и безукоризненны в отношении языка и стиля изложения. В заключение оба они призывали учащихся-гостей вступать в члены кружков и принять активное участие в дальнейшем ходе вечера, по программе которого присутствующие должны участвовать в решении задач-загадок, задач на соображение и т. п.

С большим вниманием все учащиеся прослушали также содержательный 30-минутный доклад «О жизни и деятельности С. В. Ковалевской», сделанный учеником VI класса Циперманом.

Но особенно оживлённо прошла третья часть вечера, посвященная решению занимательных задач. Малыши IV класса и учащиеся V классов были очень довольны, когда постигли секрет угадывания возраста другого человека и номера его ботинок. Не меньшее удовольствие получали и те учащиеся, которые на классной доске разоблачали эти «секреты».

Учебный год математические кружки заканчивают проведением внутришкольной математической олимпиады и организацией в 4-й четверти геодезических и других измерительных работ в поле.

На примере школы № 11 видно, что вдумчиво поставленная внеклассная работа по математике несомненно способствует тому, что она повышает интерес учащихся к предмету, развивает их конструктивные способности, показывает практическую ценность математики и приучает учащихся самостоятельно работать с книгой и переживать радость в результате своего успешного труда.

«Надо было видеть, — говорит Наталья Сергеевна,— какую радость и гордость за свои успехи испытывал ученик Пинский Ефим, когда он получил извещение редакции «Пионерской правды» о том, что он первый решил предложенные в № 91 газеты задачи.

Успех Ефима Пинского заразительно подействовал и на других членов кружка. Они теперь с нетерпением ждут каждого следующего номера «Пионерской правды», чтобы принять участие в решении задач.

Многие ученики школы № 11 не только знают, но и перечитали всю популярную и историческую литературу по математике, имеющуюся в школьной библиотеке, они следят за появлением в магазинах Когиза новых математических книг, доступных им по содержанию, и приобретают их, создавая собственные библиотечки. Стенгазета же «Юный математик» почти в каждом номере помещает рекомендательные списки литературы с краткой аннотацией каждого названия, а иногда указывает, в какой библиотеке города можно получить ту или иную книгу.

Работа школы и коллектива учителей математики по пропаганде книги среди учащихся и по привлечению внимания учащихся к самостоятельному чтению, начиная с V—VII классов, несомненно заслуживает одобрения.

Учащиеся этого возраста наряду с доступной им технической литературой особенно любят книги исторического содержания и биографического характера. Это обстоятельство и надо использовать с целью повышения интереса учащихся к математике, воспитания у них чувства национальной гордости и советского патриотизма с помощью историко-биографического материала, как наиболее доступного детям.

Знакомясь с такими именами, как Л. Эйлер, Н. И. Лобачевский. П. Л Чебышев, С. В. Ковалевская, А. Н. Крылов, учащиеся на ярких примерах увидят, какой большой вклад в мировую математическую науку сделали эти учёные и с каким упорством они добивались поставленных целей, несмотря на многие трудности, стоявшие на их жизненном пути (Лобачевский, Ковалевская).

Поучительными для учащихся будут и биографические сведения, относящиеся к математикам — лауреатам Сталинских премий.

Нам пришлось видеть, как учащиеся были поражены, когда узнали, что Мстислав Всеволодович Келдыш 16 лет окончил среднюю школу, а 20 лет — университет, что 27 лет он уже был избран за научные труды членом-корреспондентом Академии наук СССР, а сейчас он самый молодой академик в мире.

Не в меньшей мере учащиеся удивлялись и тому обстоятельству, что М. В. Келдыш по образованию математик, а его научно-практическая деятельность протекает в ЦАГИ, и что он награждён двумя Сталинскими премиями за научные достижения в области самолётостроения.

Под влиянием этих фактов ученица-докладчица на одном из школьных вечеров, посвященных математикам-лауреатам, закончила своё выступление такими словами: «Прав был М. В. Келдыш, когда он, будучи ещё студентом 1-го курса, думал, что математика, приложенная к механике, может обогатить мир «невиданными чудесными открытиями».

А разве не поучительно было бы семикласснику ознакомиться с жизнью и деятельностью Л. С. Понтрягина? Слепой в капиталистическом мире и в бывшей царской России — несчастный человек, вышибленный из жизненной колеи. А в нашей стране Л. С. Понтрягин в 1932 г. становится профессором Московского государственного университета, в 1939 г. его избирают членом-корреспондентом Академии наук СССР, в 1940 и в 1945 гг. его награждают орденами «Знак почёта» и «Трудового Красного Знамени», а в 1941 г. он получает Сталинскую премию.

Таким образом, благодаря заботам партии и правительства, а также советской общественности слепой Л. С. Понтрягин стал подлинным борцом за передовую советскую науку, стал одним из её создателей.

Вместе с этим жизнь Л. С. Понтрягина для нашей молодёжи — замечательный пример торжества несгибаемой воли, железного упорства и могущества советского человека.

В некоторых школах твёрдо установился обычай устраивать читательские конференции по прочитанной художественной литературе. Но было бы полезно хоть изредка проводить конференции с учащимися по прочитанной ими детской технической литературе и по историко-биографической. В результате таких конференций, при умелой и тщательной их подготовке, учащиеся отчётливо почувствовали бы и узнали, что:

1) приоритет многих открытий и изобретений в области техники, авиации, а также и математики принадлежит русским и советским деятелям науки;

2) русские учёные прошлого и советские учёные настоящего времени внесли большой вклад в мировую науку;

3) Великая Октябрьская социалистическая революция

создала особенно благоприятные условия для дальнейшего расцвета науки и техники в нашей стране;

4) достижения советской техники и в частности авиации идут в тесном сотрудничестве с целым рядом других наук: математики, физики, механики и т. п.;

5) советская власть и Коммунистическая партия проявляют повседневную заботу о дальнейшем процветании всей советской науки и стараются сделать её народной наукой.

Экзаминаторы высших учебных заведений (на основании наблюдений в процессе приёмных испытаний) обычно жалуются на полное отсутствие знакомства учащихся с элементами истории математики и корифеями русской математической науки: Н. И. Лобачевским, П. Л. Чебышевым, С. В. Ковалевской, а также лауреатами Сталинских премий и другими советскими математиками. Так, С. В. Кочев (Свердловск, Уральский политехнический институт) по этому поводу пишет («Математика в школе», 1949, № 2, стр.25): «К сожалению, мы должны констатировать печальный факт, что из опрошенных нами более 500 человек почти никто не смог ответить, кто был Лобачевский, не говоря уже о том, что он сделал в науке. Элементы формализма, имеющиеся в преподавании элементарной математики в школах, в значительной степени объясняются тем, что преподаватели не используют богатый исторический материал по своему предмету».

Последняя мысль, высказанная С. В. Кочевым, несомненно, правильная. Игнорирование исторической базы в преподавании математики в конечном счёте приводит к отрыву логического от исторического, формы от содержания и превращает математику в глазах ученика в материал для логических упражнений или в игру с математическими символами. При таком положении дела логическая связь математических понятий начинает выступать не как отражение материальных процессов, а как «творение духа человеческого», как бы оправдывая Канта: «Разум создаёт свои законы не из природы, но предписывает их ей».

Кроме того, изучая математические факты вне исторических условий их возникновения и развития, ученик лишён возможности видеть большую культурно-историческую ценность математики, её роль в системе наук, её значение в создании современной техники и в практике социалистического строительства.

Мне кажется, что описанный выше опыт работы вдумчивых учителей и опыт внеклассной работы с историческим материалом правильно намечают пути устранения хотя бы некоторых из недостатков в преподавании математики и во всяком случае дают положительные примеры практического разрешения вопроса об идейно-политическом воспитании учащихся в процессе обучения и о повышений интереса учащихся к изучению математики.

Н. Т. Зерченинов

(Москва)

КАК ПЛАНИРОВАТЬ РАБОТУ ПО АРИФМЕТИКЕ В V КЛАССЕ.

Правильно спланировать работу можно только в том случае, если планировать её не на урок, не на тему и даже не на четверть: непременно нужно планировать работу на весь учебный год — только тогда можно быть уверенным, что все темы будут пройдены и закреплены как следует, без излишней спешки, и останется достаточно времени для повторения.

Сколько же обычно времени имеет учитель в своём распоряжении в V классе? В неделе 6 рабочих дней, в неделю в V классе по сетке полагается 7 уроков, значит, можно считать, что уроков будет примерно столько, сколько всего дней. Первая четверть начинается с 1 сентября и кончается обычно 6 ноября, итого 67 уроков; вторая четверть начинается 9 ноября и кончается 30 декабря, итого 51 урок (5 декабря—день нерабочий); третья четверть начинается 11 января и кончается 24 марта, итого 73 урока; четвёртая четверть начинается обычно 1 апреля и кончается 18 мая, итого 46 уроков (1 и 2 мая —дни не рабочие).

Значит, в течение учебного года учитель будеть иметь приблизительно 237 уроков. Какие же темы надо пройти за эти 237 уроков и сколько времени надо отводить на каждую тему?

Ответ на эти вопросы дают программы по математике средней школы, которые издаются Министерством просвещения РСФСР к началу каждого учебного года. Каждый учитель должен внимательно ознакомиться с последним изданием программы и проработать как объяснительную записку, так и содержание самой программы. В программах, в разделе «V класс, арифметика», приводится следующее распределение учебных часов по темам:

1. Повторение пройденного в начальной школе — 21 час.

2. Делимость чисел — 20 часов.

3. Обыкновенные дроби — 90 часов.

4. Десятичные дроби — 50 часов.

5. Проценты — 30 часов.

6. Повторение и решение задач на все разделы пройденного курса — 20 часов.

Общая сумма составляет 231 час, на 6 часов меньше, чем получалось у нас раньше. Эти 6 часов следует отвести во 2-м полугодии на три двухчасовые контрольные работы, в порядке тренировки учащихся к двухчасовой экзаменационной работе.

Планируя работу, учитель должен прежде всего обратить внимание на то обстоятельство, что на 6-ю тему, «Повторение и решение задач», отводится 20 часов, как раз столько часов, сколько будет уроков в мае. Это значит, что вся работа по изучению нового материала должна быть закончена до 1 мая, только при этом условии можно быть уверенным, что к 20 мая удастся закрепить и повторить весь материал, пройденный за год. Не следует, однако, думать, что вся работа по повторению будет проводиться только в мае. Наоборот, если учитель хочет добиться чётких и прочных знаний, он должен сделать повторение органической частью каждого урока и каждого домашнего задания, начиная с 1 сентября.

Наконец, при планировании работы надо учесть, что в V классе 7 часов арифметики в неделю, а в неделе всего 6 рабочих дней, значит в один из дней непременно будет два урока арифметики. Приказом министра категорически запрещается сдваивать уроки арифметики, т. е. давать два урока арифметики подряд,— они непременно должны быть разделены хотя бы одним уроком другого предмета. Это запрещение объясняется тем, что уроки арифметики требуют от учеников очень большого умственного напряжения; однако по той же причине целесообразно на этих двух уроках как-нибудь разнообразить работу, например, первые уроки отводить на работу по текущему теоретическому материалу и на решение примеров, а вторые часы в этот день посвящать решению задач, в частности задач типовых, при этом следует обратить особое внимание на запись условия задачи на доске, на составление плана решения задачи, на постановку вопросов, на запись решения задачи. Таким образом, из общей суммы часов целесообразно выделить по одному часу в неделю, т. е. примерно 34 часа

специально на решение задач. Спланировать работу на эти 34 часа можно следующим образом. 1-е полугодие.

1-й урок. Разобрать с учениками решения задач двух типов: 1) нахождение двух чисел по их сумме и отношению, 2) пропорциональное деление, т. е. задачи второго и четвёртого типов из перечисленных в объяснительной записке к программе. Начать именно с этих типов удобно потому, что такие задачи учащиеся уже решали в IV классе под названием задач «на части», значит, учащимся будет легко выполнить решение задач этих типов. На этот урок надо подобрать по две задачи каждого типа — по одной задаче из задачника В. Л. Эменова и Я. Ф. Чекмарева «Сборник арифметических задач и упражнений по устному счёту»; чтобы учащиеся всё внимание могли сосредоточить на способе решения задачи, не отвлекаясь техникой вычислений, вторые задачи подбираются из задачника Е. С. Березанской, а потом к каждому из следующих шести уроков задаётся из задачника Е. С. Березанской по одной задаче на каждый тип, значит, всего будет решено по восьми задач каждого типа. Можно думать, что этого достаточно для усвоения решения задач указанных типов, в противном случае придётся продолжить решение таких задач в течение ещё одной недели.

2-й урок. Следует взять решение задач на нахождение двух чисел по их отношению и разности, т. е. третьего типа задач из объяснительной записки; эти задачи решаются точно таким же способом, как и задачи уже разобранных типов, но таких задач учащиеся в IV классе не решали.

3-й урок. Можно взять решение задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности, т. е. первый тип задач из объяснительной записки; такие задачи учащиеся в IV классе решали, но надо добиться чёткой постановки первого вопроса или предположения, которое делается до начала решения задачи.

4-й урок. Решение задач всех разобранных типов вперемежку, чтобы учащиеся не приучались к шаблону в решении задач.

5-й и 6-й уроки. Решение задач пятого типа — на исключение одного из неизвестных способом замены его; такие задачи учащиеся решали в IV классе под названием задач «на предположение», но такие задачи бывают двух видов, резко различных по способу решения и обычно

трудно дающиеся учащимся. Решения задач шестого типа, на совместную работу (на бассейны), можно показать учащимся только тогда, когда они пройдут деление на дробь. Поэтому своевременно обратить внимание на решение задач, выделяемых в объяснительной записке не по способу решения, а по содержанию: «Задачи на движение, задачи на смешение, задачи геометрического содержания».

7-й урок. Решение задач на движение.

8-й урок. Задачи на смешение второго рода.

9-й у р о к. Задачи на вычисление периметров простейших фигур, на вычисление площади квадрата и прямоугольника.

10-й урок. Задачи на вычисление объёма куба и прямоугольного параллелепипеда.

11-й урок. Задачи на вычисление поверхности куба и прямоугольного параллелепипеда.

12-й урок. Задачи на площадь параллелограма.

13-й урок. Задачи на площадь треугольника.

14-й и 15-й уроки. Задачи на пройденные типы.

16-й урок. Задачи на совместную работу.

17-й урок. Задачи на все типы.

2-е полугодие.

С 1-го по 7-й урок. Решаются задачи всех рассмотренных ранее типов, только в качестве числовых данных для задач берутся обыкновенные дроби.

8-й урок. Решение задач на длину окружности и площадь круга.

9-й урок. Задачи на поверхность и объём цилиндра.

С 10-г о по 17-й урок. Решение задач всех рассмотренных ранее типов, только в качестве числовых данных для задач берутся десятичные дроби.

Переходим к планированию работы на остальных шести уроках каждой недели.

1-я тема. Повторение пройденного в начальной школе.

По программе на эту тему отводится 21 час на классную и 8 часов на домашнюю работу. Появление этой темы вызвано следующими причинами: 1) в IV классе у учащихся был только задачник, но не было никакого учебника по теории, значит, не было систематических и чётких знаний по теории, поэтому надо привести в систему знания учащихся и дать им чёткие формулировки определений и пра-

вил по учебнику Киселёва; 2) в V классе могут оказаться учащиеся из разных классов, от разных учителей и даже из разных школ; поэтому учитель, раньше чем приступать к новому материалу, должен сначала добиться единообразия в знаниях учащихся по курсу III и IV классов. Однако начинать с систематического повторения курса не следует: очень часто отдел народного образования или администрация школы требуют от учителя на первых же уроках провести контрольную письменную работу. Понятно желание администрации провести массовую проверку знаний учащихся, да и для самого учителя небесполезно сразу узнать, какие недочёты имеются в знаниях каждого из учащихся. Не следует только проводить письменную работу 1 сентября, так как такая письменная работа будет кривым зеркалом знаний учащихся; учащиеся три месяца не занимались математикой и могли многое позабыть, значит учитель не сможет узнать, что именно учащиеся не знают, что они знали и позабыли, но без труда вспомнят. Поэтому целесообразно первые 2—3 урока отвести на повторение действий над целыми числами, добиваясь, чтобы учащиеся делали все действия не только верно, но и рационально, а также повторить порядок действий. Само собой разумеется, что на этих уроках надо порешать и чисто арифметические задачи на все действия.

Таким образом, на 1-м уроке можно повторить, как рационально выполняются сложение и вычитание и в каком порядке выполняются четыре действия в математике, а затем решить 1—2 задачи; на дом можно задать один пример на все действия и одну задачу. На 2-м уроке точно так же повторяется умножение, на 3-м — деление. На 4-м уроке можно провести контрольную письменную работу на все действия над целыми числами и на порядок действий. С 5-го урока можно начать систематическое повторение арифметики по учебнику Киселёва. Эту работу можно спланировать так.

5-й урок. Повторение устной нумерации.

6-й урок. Повторение письменной нумерации.

С 7-го по 16-й урок. Повторение четырёх действий над целыми числами (и, конечно, решение задач); для каждого действия учащиеся должны повторить: 1) определение действия; 2) названия компонентов и результата; 3) определение неизвестного компонента; 4) проверка действия; 5) законы и свойства действия; 6) изменение

результата при изменении компонентов; 7) рациональные приёмы устного выполнения действия; 8) рациональные приёмы письменного выполнения действия (эти приёмы были уже повторены на 1-м и 3-м уроках); 9) основные задачи, решаемые этим действием.

17-й урок. Контрольная работа (решение примеров).

18-й урок. Контрольная работа (решение задачи).

Остальные три урока из отведённых на эту тему уходят на решение типовых задач на седьмых уроках.

2-я тема. Делимость чисел.

По программе на эту тему отводится 20 часов. Если выделить из них седьмую часть (3 часа) на решение задач на седьмых уроках, то работу на остальные 17 часов можно спланировать так:

1-й урок. Признаки делимости суммы и разности. Следующие семь уроков посвятить признакам делимости, рассматривая их в следующей последовательности:

2-й урок. Признак делимости на 10.

3-й урок. Признак делимости на 2.

4-й урок. Признак делимости на 5.

5-й урок. Признак делимости на 4.

6-й урок. Признак делимости на 25.

7-й урок. Признак делимости на 9.

8-й у р о к. Признак делимости на 3.

Необходимо иметь в виду, что признаки делимости на 8, 125, 6, 12 и 15 не входят в программу, так как признаки делимости на 8 и 125 теоретически не интересны, а практически бесполезны; признаки же делимости на 6, 12 и 15 требуют знания взаимно простых чисел, а практически столь же бесполезны.

9-й урок. Дать понятие о числах простых и составных и рассказать о работах в области теории чисел русских и советских математиков — П. Л. Чебышева, И. М. Виноградова, Л. Г. Шнирельмана.

10-й и 11-й уроки. Разложение составных чисел на простые множители.

12-й и 13-й уроки. Нахождение наибольшего общего делителя двух и более чисел; составление всех делителей составного числа не входит в программу.

14-й и 15-й уроки. Нахождение наименьшего общего кратного.

16-й урок. Контрольная письменная работа (решение примеров).

17-й урок. Контрольная работа (решение задач).

3-я тема. Обыкновенные дроби.

По программе отводится 90 часов. Если выделить седьмую часть, 13 часов, на решение задач на «седьмых» часах, то остальной материал надо уложить в 77 часов. Приступая к планированию материала по этой теме, необходимо помнить, что с обыкновенными дробями учащиеся уже познакомились в IV классе, в программе которого написано: «Простейшие дроби: » X' Т* ~, числитель и знаменатель дроби. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми и кратными знаменателями». Эту тему можно спланировать так:

1-й урок. Различные способы получения дробного числа.

2-й урок. Дробь правильная и неправильная.

3-й урок. Обращение целого и смешанного чисел в неправильную дробь.

4-й у р о к. Обращение неправильной дроби в смешанные числа.

5-й урок. Контрольная письменная работа. 6-й урок. Изменение дроби при изменении её числителя.

7-й урок. Изменение дроби при изменении её знаменателя.

8-й урок. Основное свойство дроби.

9-й урок. Последовательное сокращение дроби.

10-й урок. Полное сокращение дроби.

11-й и 12-й уроки. Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю.

13-й урок. Контрольная письменная работа.

С 14-го по 17-й урок. Сложение дробей и смешанных чисел, свойства суммы дробей, изменение суммы при изменении дробных слагаемых.

18-й урок. Контрольная письменная работа.

С 19-го по 21-й урок. Вычитание дробей и смешанных чисел.

22-й урок. Решение примеров на совместное сложение и вычитание смешанных чисел.

23-й урок. Контрольная письменная работа (решение примеров).

24-й урок. Контрольная письменная работа (решение задач).

25-й урок. Анализ контрольных работ.

Обычно сложением обыкновенных дробей заканчивается материал, изучаемый в первой четверти. Поэтому при планировании работы на 1-ю четверть целесообразно оставить 1—2 часа на опрос учащихся, у которых не совсем ясна четвертная отметка. Не следует планировать четвертную контрольную письменную работу; если учитель правильно ведёт текущий учёт, у каждого ученика будет к концу четверти не менее семи отметок (конечно, и устных, и письменных вместе), и картина знаний ученика будет ясна для учителя. Четвертные работы, как правило, проводятся на последней неделе четверти, в те самые дни, когда и учителя остальных предметов проводят опрос по всему материалу, пройденному за четверть, и получается ненужная и недопустимая перегрузка учащихся.

26-й урок. Умножение дробей и смешанных чисел на целое число.

27-й и 28-й уроки. Повторение нахождения дроби числа в два действия.

29-й урок. Умножение на дробь. Объяснить учащимся смысл этого действия.

30-й урок. Выводы правила умножения на дробь.

31-й и 32-й уроки. Проверить для умножения дробей применимость законов и свойств умножения целых чисел.

33-й, 34-й и 35-й уроки. Решение примеров и задач на первые три действия над дробными и смешанными числами.

36-й урок. Контрольная письменная работа на первые три действия.

37-й урок. Анализ контрольной работы.

38-й урок. Деление целого числа и дроби на целое число.

39-й и 40-й уроки. Нахождение числа по его дроби (в два действия).

41-й и 42-й уроки. Вывести два правила деления на дробь.

43-й урок. Показать применимость свойств деления целых чисел к делению дробей.

С 44-го по 62-й урок. Решение задач и примеров на все действия с обыкновенными дробями.

63-й урок. Контрольная письменная работа (решение примеров на все четыре действия с обыкновенными дробями).

64-й урок. Контрольная работа (решение задач).

65-й урок. Анализ контрольных работ.

Так как этим обычно заканчивается 2-я четверть, 66-й и 67-й уроки целесообразно оставить для опроса учащихся, у которых не совсем ясна четвертная отметка.

На 3-ю четверть остаётся примерно ещё 10 часов (не считая двух часов на решение задач на «седьмых» уроках). Работу на этих часах можно спланировать так:

1-й и 2-й уроки. Понятие об отношении отвлечённых и именованных чисел.

3-й урок. Главное свойство отношения (остальные свойства и нахождение неизвестного члена отношения не входят в программу).

4-й урок. Следствия, вытекающие из главного свойства отношения.

С 5-й по 8-й урок. Решение задач и примеров по всей теме «Обыкновенные дроби».

9-й урок. Контрольная письменная работа (решение примеров).

10-й урок. Контрольная работа (решение задач).

4-я тема. Десятичные дроби.

По программе на эту тему отводится 50 часов. Если выделить седьмую часть, 7 часов, на решение задач на «седьмых» уроках, то работу на остальных 43 часах можно спланировать так.

1-й урок. Запись десятичных дробей без знаменателя и чтение их.

2-й урок. Преобразование десятичных дробей.

3-й урок. Изменение величины дроби от перенесения запятой.

С 4-го по 7-й урок. Раздробление и превращение мер длины, площади, объёма и веса.

8-й урок. Сложение десятичных дробей.

9-й урок. Вычитание десятичных дробей.

10-й урок. Решение примеров и задач на сложение и вычитание десятичных дробей.

11-й урок. Контрольная письменная работа (решение примеров).

12-й урок. Контрольная работа (решение задач).

13-й и 14-й уроки. Умножение десятичной дроби на десятичную дробь и на целое число.

15-й урок. Решение примеров и задач на умножение десятичных дробей.

16-й и 17-й уроки. Решение примеров и задач на сложение, вычитание и умножение десятичных дробей.

18-й урок. Контрольная письменная работа на умножение десятичных дробей.

С 19-го по 23-й урок. Объяснение различных случаев деления: десятичной дроби на целое число при точном и приближённом частном, деление целых чисел при точном и приближённом частном, деление десятичных дробей при точном и приближённом частном.

24-й и 25-й уроки Решение примеров и задач на деление десятичных дробей.

26-й урок. Контрольная письменная работа (умножение и деление).

27-й урок. Контрольная работа (решение задач).

С 28-го по 32-й урок. Эти уроки желательно отвести на ознакомление учащихся с элементарными правилами действий над приближёнными числами, хотя эти вопросы не входят в программу. В противном случае уроки с 28-го по 32-й можно отвести на решение примеров и задач на все действия с десятичными дробями.

33-й и 34-й уроки. Два способа обращения обыкновенных дробей в десятичные.

35-й урок. Контрольная письменная работа по всей теме «Десятичные дроби».

36-й урок. Анализ контрольной работы.

С 37-го по 43-й урок. Решение примеров и задач на обыкновенные и десятичные дроби совместно.

Эти примеры целесообразно продолжать решать и в последующие уроки, при прохождении темы «Проценты».

5-я тема. Проценты.

По программе отводится 30 часов. Если выделить из них седьмую часть, 4 часа, на решение типовых задач на «седьмых» уроках, то работу на остальных 26 часах можно спланировать так:

1-й и 2-й уроки. Понятие о проценте, замена выра-

жения в процентах равной ему дробью и замена дроби равным ей выражением в процентах.

С 3-го по 6-й урок. Решение задач на нахождение процентов данного числа.

С 7-го по 10-й урок. Решение задач на нахождение числа по процентам.

С 11-го по 14-й урок. Решение задач на процентное отношение.

15-й урок. Контрольная письменная работа на проценты.

16-й урок. Анализ контрольной работы.

17-й урок. Задачи на денежные расчёты.

С 18-го по 22-й урок. Решение более трудных задач с процентами.

23-й урок. Знакомство учащихся с столбчатыми диаграммами.

24-й урок. Знакомство с секторными диаграммами.

25-й урок. Контрольная письменная работа по всей теме «Проценты».

26-й урок. Анализ контрольной работы.

Опыт работы учителей показывает, что целесообразно начинать изучение процентов ещё в теме «Обыкновенные дроби», т. е. расположить материал так, как это сделано в учебнике Киселёва. Это вдвойне выгодно: 1) решение задач на проценты даёт лишние упражнения на нахождение дроби от числа и числа по данной его дроби; 2) больше чем вдвое увеличивается время на решение задач на проценты.

Тема «Проценты» должна быть закончена к 1 мая. В мае все уроки посвящаются повторению теории, особенно тех мест, которые слабо усвоены учащимися, решению типовых задач с процентами и решению примеров на совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями. Детальная планировка материала зависит от индивидуальных особенностей класса.

А. М. Нечай и Н. И. Сырнев

(Москва)

ОСОБЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ АРИФМЕТИКИ В V КЛАССАХ.

Правильная постановка преподавания арифметики в V классах в значительной мере обеспечивает хорошие результаты работы в следующих классах, создаёт у учащихся интерес к изучению математики, позволяет добиться высокой успеваемости и прочных знаний по всему курсу математики средней школы. Вот почему методическая мысль уделяет большое внимание преподаванию арифметики в V классах. В печати в разное время публиковался положительный опыт работы ряда учителей. Многие методические проблемы получили удачное решение. Но всё же нельзя считать, что не осталось трудных, спорных и ещё недостаточно ясных вопросов. Кроме того, понижение возраста учащихся на один год ставит перед учителем ряд новых задач, заставляет пересмотреть дидактические и методические основы как отдельного урока, так и всего процесса обучения в целом.

В настоящей статье мы излагаем те вопросы преподавания арифметики в V классах, которые требуют своего разрешения и над которыми коллективу учителей нашей школы пришлось работать в течение последних лет.

1. К характеристике учащихся V классов.

Опыт работы показывает, что ученики, поступившие в школу 7 лет и перешедшие в V класс в возрасте 11 лет, могут овладеть программой арифметики в полном объёме с такими же качественными показателями, как и ученики, поступившие в школу 8 лет и перешедшие в V класс 12 лет. Но методы достижения той же цели должны быть иными.

Возрастные особенности одиннадцатилетнего ребёнка должны быть учтены учителем математики.

Необходимо помнить, что при умственной работе одиннадцатилетний мальчик или девочка утомляется быстрее, чем двенадцатилетние дети; им труднее сосредоточить своё внимание на словесном объяснении учителя; они быстрее и чаще отвлекаются и от активного восприятия переходят к пассивному; одиннадцатилетние дети испытывают большие трудности при образовании у них отвлечённых понятий; наконец, их общее развитие и жизненный опыт меньше, чем у их двенадцатилетних товарищей уже потому, что прожили они на год меньше. Всё это необходимо иметь в виду и при составлении плана урока, и при оборудовании его, и при составлении общего плана работы.

Быстрая утомляемость учащихся требует такого построения урока, чтобы работа на уроке не была в течение длительного времени однообразна, а проводились бы различные виды работы, причём более трудные вопросы чередовались с более лёгкими. Если раньше не имело большого значения, когда проводить устный счёт, и этим занимались или в начале, или в конце урока, то теперь лучше всего проводить устный счёт в середине урока, в промежутке между более трудными вопросами, например между решением задач и объяснением нового материала и т. д.

Добиться большего внимания при устном объяснении учитель может благодаря выразительной интонации голоса, более доступной форме изложения, при помощи использования наглядных пособий, рисунков на доске, иллюстрирующих задачу. Иногда замена отвлечённых условий задачи более знакомым и конкретным материалом значительно повышает и интерес, и внимание учащихся (например, замена пунктов А и Б названиями знакомых учащимся станций или посёлков, замена «туристов» именами учеников класса и т. п.). Иногда решение задачи можно провести в виде математической игры.

Конечно, все эти приёмы нужно применять умело, соблюдая меру и педагогический такт. И если с учащимися в 12 лет многие из этих приёмов были бы ненужными и неуместными, то при работе с учениками в 11 лет они очень помогают учителю. Так, например, даже при тщательной проработке материала учащиеся с большими трудностями усваивают тот факт, что при умножении на правильную дробь произведение будет меньше множимого. В таких случаях нужно было дать учащимся конкретный, запомина-

ющийся факт. В классе была рассказана история про девочку, которая очень хорошо училась по математике.

Однажды этой девочке учительница задала такую задачу: «Мама послала тебя в магазин и велела купить — кг конфет. Сколько конфет ты принесёшь маме, если на 1 кг идёт 36 конфет?» Девочка подумала, а потом заплакала. «Ты не знаешь, как решить эту задачу?» — «Знаю. Нужно решать умножением» — «Так почему же ты плачешь?» «Я умножаю, а у меня только 27 получается, гораздо меньше 36. Что я скажу маме?» Оказывается, девочка умела решать задачи и эту задачу решила верно, но не усвоила только, что при умножении на правильную дробь произведение будет меньше множимого, и думала, что так быть не может.

После этого рассказа все учащиеся хорошо запомнили свойство умножения на правильную дробь и иногда друг друга в шутку спрашивали: «А ты знаешь, почему девочка плакала?»

Особенно большое внимание нужно уделить созданию у учащихся отвлечённых понятий. Здесь необходимо привлекать большой конкретный материал, на основе которого создаётся отвлечённое понятие, и иметь в виду, что процесс абстракции будет более длительным. Если в 12-летнем возрасте учащиеся приходили в V класс с представлением о дроби как о числе отвлечённом и учителю оставалось только закрепить это отвлечённое понятие, то теперь учащиеся 11 лет ещё очень тесно связывают представление дроби с различными конкретными предметами: ^ яблока, 1 листа бумаги и т. д. Задача учителя V класса — ещё раз показать в действии получение дроби: отрезать -^листа бумаги, разделить три яблока между пятью мальчиками, при помощи метра, разделённого с одной стороны на 10 равных частей, измерить ширину стола, приложив к нему метр без делений и показав, что ширина стола меньше метра, приложить затем метр с делениями и показать, что ширина эта содержит ^ метра. И только после этого постепенно привести учащихся к понятию дроби как отвлечённого числа. С таким же вниманием следует подойти и ко всем основным понятиям курса арифметики V класса.

II. Преемственность в работе учителей IV и V классов.

Снижение успеваемости по арифметике при переходе учащихся из IV класса в V выдвинуло на первый план вопрос о преемственности в работе учителей IV классов и работе учителей математики V классоз. Кроме того, работая с учащимися одиннадцатилетнего возраста учителя V классов могут отчасти использовать тот опыт, который накопился в работе учителей IV классов в тот период, когда учащиеся 11 лет обучались в IV классе. В нашей школе эта работа ведётся третий год, и вопрос о преемственности в работе учителей IV и V классов стал одним из основных вопросов работы математической предметной комиссии.

В течение года выполняется следующее. В сентябре учителя, выпустившие весной IV классы, посещают в своих бывших классах ряд уроков, посвященных повторению темы «Целые числа». Учителя, ведущие IV классы, с 1 сентября тоже посещают ряд уроков арифметики в V классах. В начале октября на объединённом методическом совещании учителей математики и учителей IV классов обсуждаются итоги работы в V классах по повторению темы «Целые числа». Во 2-й четверти проводится методический доклад на таком же объединённом совещании. В 3-й четверти учителя математики старших классов посещают ряд уроков арифметики в IV классах (преимущественно в классах, которые они поведут на следующий год), проводят совместно контрольную работу и проверяют её. Попутно учителя знакомятся и с составом учащихся. В апреле на объединённом методическом совещании обсуждается состояние преподавания арифметики в IV классах и итоги контрольной работы. На экзаменах по арифметике в IV классах присутствуют учителя V классов, а на экзаменах в V классах — учителя IV классов.

Такая организация работы позволяет учителям изучить опыт своих товарищей. Учителя IV классов получили ряд советов от учителей старших классов и познакомились с требованиями учителей V классов. Опыт работы некоторых учителей IV классов получил положительную оценку и будет частично использован и в работе V классов.

Так, например, было выяснено, что задачник по арифметике для IV классов содержит недостаточное число задач. Учителя старших классов указали дополнительный материал по решению задач и помогли его использовать. Учителя старших классов указали на недостаточно твёрдое знание системы мер. С другой стороны, был отмечен интересный опыт проведения устного счёта на простых задачах в одно-три действия (учительница Н. С. Громова). Вместе с развитием техники устного счёта ученики получали большое количество упражнений на решение задач. Ученики Н. С. Громовой выделялись хорошей успеваемостью по математике и в старших классах. Вот примеры задач для устного решения в IV классе.

Задача 1. Мастер и ученик работали вместе несколько дней и изготовили 400 деталей. Мастер изготовлял в день 25 деталей, а ученик 15. Сколько деталей изготовил каждый?

Задача 2. Велосипедист проехал 188 км. По шоссе он проехал в три раза больше, чем по просёлочной дороге. Сколько километров проехал велосипедист по шоссе?

Благодаря такой работе многие ученики IV класса довольно хорошо овладели аналитическим методом решения арифметических задач.

Обеспечение преемственности в преподавании арифметики в IV и V классах даёт хорошие результаты и значительна облегчает работу по повышению успеваемости.

III. Первые уроки по арифметике в V классе.

Первые уроки по арифметике в V классе имеют решающее значение. Именно на этих уроках решится вопрос о том, будет ли математика любимым предметом или нет. А это во многом определит и прилежание, и успеваемость учащихся.

На первых уроках учитель должен «завоевать» своих учеников для математики. Он должен показать учащимся, что математика — наука интересная и полезная, требующая труда и прилежания, она помогает изучать окружающий нас мир.

Первые уроки посвящены повторению пройденного в начальной школе. Это повторение следует дать в расширенном виде, т. е. вместе с повторением дать хотя бы немного нового, интересного. С первого же урока нужно заставить мысль ученика работать творчески. Выполняя

программу, можно составить различные варианты первых уроков. То, что мы предлагаем ниже,— один из вариантов, быть может не лучший, но он достигает поставленной цели.

1-й урок. Первая часть этого урока посвящена организационным вопросам. Учитель кратко знакомит учащихся с требованиями, которые он будет предъявлять к ним. Требования учителя должны быть сформулированы кратко и ясно: 1) что ученик должен приносить с собой в класс, 2) как приготовиться к уроку (что и где положить на парте), 3) как вести записи в тетради, 4) как отвечать с места и у доски, 5) как выполнять домашнее задание. В дальнейшем нужно строго следить за выполнением этих требований. После этого следует в доступной форме познакомить учащихся с программой, указав на роль арифметики в деятельности человека.

Оставшаяся часть урока посвящена теме «Счёт и число», которая может быть построена по следующему плану: счёт в глубокой древности, иероглифы, как были использованы буквы для записи чисел, роль 5 и 10 в истории развития счёта, натуральный ряд чисел.

Домашнее задание. Киселёв, § 1, 2 и 3; Березанская № 22. Сложить все числа от 1 до 100.

Таким образом на первом уроке ученики узнают, как будет организована их учебная работа, знакомятся с целью обучения и теми перспективами, которые открывает им обучение арифметике. Кроме того, ученики получают важные и интересные сведения по истории математики.

Домашнее задание потребует от ученика довольно болы той работы, так как подавляющее большинство будет искать сумму всех чисел от 1 до 100 непосредственным сложением. А на следующем уроке при проверке домашней работы ученики убедятся в том, что разумное применение различных и очень простых способов может значительно облегчить решение: 1) 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = = (1 + 100) +(2 + 99) + ... +(50 + 51) = 101-50 = = 5050, или 2) 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = (1 + 99) + + (2 + 98) + ... + (49 + 51) + 50+ 100= 100 - 49 + 50 + + 100 = 5050. Разбор двух приведённых способов решения производит на учащихся неизгладимое впечатление, и слова учителя, что «мало решить задачу, а нужно решить её простейшим способом» — становятся лозунгом в учебной работе. Учитель всегда должен помнить об этом и

всячески поддерживать искания своих учеников, выслушивать различные варианты решений и отмечать удачные.

2-й урок. На втором уроке при проверке домашней работы необходимо дать понять учащимся, что с невыполнением домашних заданий и списыванием будет вестись непримиримая борьба. Недостаточная требовательность на первых уроках может привести к такому положению, которое очень трудно будет исправить впоследствии.

На этом уроке следует рассмотреть десятичную систему счисления, выяснить вопрос о числе цифр, необходимых для изображения чисел по данной системе. Можно остановиться и на вопросе о числе слов, необходимых для того, чтобы назвать все числа от 1 до 10, 100, 1000, 1 000 000. Далее можно предложить для устного решения задачу: «Найти три последовательных числа, сумма которых равна 114». Выслушав ответы учеников, необходимо указать, что среднее из этих чисел можно найти сразу, разделив 114 на 3.

После этого нужно решить задачу на нахождение двух чисел по их сумме и разности (Березанская, № 402).

Задача. Кусок полотна в 204 м надо разрезать на две такие части, чтобы в первой было на 16 м больше, чем во второй. По скольку метров полотна будет в каждой части? Необходимо дать графическое изображение условия задачи и показать, как оно облегчает нахождение решения (черт. 1)

Черт. 1.

1) Какова была бы сумма чисел, если бы первое число было таким же, как второе? (Или: чему равно удвоенное второе число?) 204 — 16 = 188.

2) Чему равно второе число? 188 : 2 = 94.

3) Чему равно первое число? 204 — 94 = 110.

После решения задачи нужно поставить вопрос о проверке и возможности второго решения.

Домашнее задание. Киселёв, § 10, 11, 12; Березанская, № 407.

Анализ этих примеров поможет учащимся лучше уяснить способ нахождения двух чисел по их сумме и разности.

3-й урок. На третьем уроке можно познакомить учащихся с другими системами счисления (пятиричной, двоичной, шестиричной). Ознакомление с этим, выходящим за рамки программы, материалом мы считаем очень полезным. Познание путём сравнения всегда оказывается более глубоким и полным. Учащиеся с большим интересом выслушивают рассказ учителя и довольно легко решают задачи на запись чисел в различных системах счисления. Разбирая этот вопрос, мы ничем не обременяем память учащихся, и нам кажется, что затрата 20—25 минут времени на уроке вполне себя оправдывает. В более слабых классах этот вопрос можно опустить.

Далее ученикам предлагаются упражнения, связанные с десятичной системой счисления: «На сколько миллион больше единицы, десятка,сотни ? Сколько цифр пришлось бы написать, если выписать друг за другом все однозначные числа? двузначные числа? и т. п.» После этого решается задача такого содержания.

Задача. Найти три числа, если известно, что суммы их, взятые попарно (I и II; I и III; II и III) равны 170, 190 и 180.

Решение этой задачи легко свести к задаче на нахождение двух чисел по их сумме и разности, но возможно и другое решение задачи.

Решение I. 1) На сколько первое число больше второго ?

190 — 180 = 10.

2) Чему равно удвоенное второе число? 170 — 10 = 160.

3) Чему равно второе число? 160 : 2 = 80.

4) Чему равно первое число? 80 + 10 = 90.

5) Чему равно третье число? 190 — 90 = 100.

Решение II. 1) Чему равна удвоенная сумма трёх чисел ?

170 + 190 + 180 = 540.

2) Чему равна сумма трёх чисел? 540:2 = 270.

3) Чему равно первое число? 270 — 180 = 90.

4) Чему равно второе число? 270 — 190 = 80.

5) Чему равно третье число? 270 — 170 = 100.

Затем решается задача 414 (по задачнику Березанской).

Задача. В двух ящиках 128 кг чаю. Если из 1-го переложить во 2-й 4 кг, то в обоих ящиках будет поровну. Сколько килограммов чаю в каждом ящике?

При решении этой задачи следует использовать графический метод (черт. 2)

Черт. 2.

Домашнее задание. Киселёв, § 14 и 15; Березанская, №415. Написать по порядку цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Не меняя их порядка, вставить между ними знаки + и — так, чтобы в результате получилось 100. (Одно из решений: 123 — 45 — 67 +89.)

4-й урок.

Тема урока. Сложение целых чисел.

На уроке рассматриваются следующие вопросы: разъяснение сущности действия сложения, название компонентов, изменение суммы в зависимости от изменения слагаемых.

Устное упражнение. Найти сумму наибольшего двузначного, наибольшего трёхзначного и наибольшего четырёхзначного числа.

Решение. 99 + 999 + 9999 = 100 + 1000 + 10 000 — 3 = 11 100 — 3 = 11 097.

После этого можно решить задачи 431 и 433 (Березан-

ская). При решении той и другой задачи следует прибегнуть к графическому изображению условий и решения задачи, но предоставить учащимся при решении больше самостоятельности.

Домашнее задание. Киселёв, § 19; Березанская, № 83, 120, 125, 436.

5-й урок. На пятом уроке можно рассмотреть переместительный и сочетательный законы сложения и показать использование этих законов при вычислениях. Сделать это можно путём устного решения ряда примеров:

1) 54 + 83 + 87 = 54 + (83 + 87) = 54 + 170 = 224

2) 278 + 125 + 275 = 278 + (125 + 275) = 278 + 400 = = 678

3) 376 + 298 + 199 = (376 — 3) + (298 + 2) + (199 + + 1) = 373 + (300 + 200) = 373 + 500 = 873

4) 209 +208 +211 + 213 =210 . 4 +(3 + 1 — 2 — 1) = = 841 и т. п.

При решении задач на этом уроке следует напомнить учащимся или показать вновь сущность аналитического метода решения (решение задачи «с конца», т. е. от искомого к данным). Несомненно, что аналитический метод решения арифметических задач значительно способствует математическому развитию учащихся, приучает продумывать до конца решение задач и исключает всякие необоснованные решения, к которым так часто прибегают учащиеся V классов.

Аналитический метод решения задач в нашей школе применяют уже учителя IV классов, начиная с самых простых задач, и делают это во всех случаях, где возможно. Учителя V классов продолжают эту работу, причём основной формой аналитического метода при решении задач стало устное объяснение, предшествующее записи, но сопровождаемое иногда чертежами и схемами. Приведём примеры такого решения задач.

Задача 1. На постройке здания за однодневную работу штукатурам и плотникам было уплачено 2580 руб.; причём штукатурам платили по 45 руб. в день, а плотникам по 42 руб. Сколько было на стройке штукатуров и плотников в отдельности, если известно, что плотники получили на 780 руб. больше, чем штукатуры?

Ученик даёт такое объяснение к решению задачи: «Чтобы узнать количество штукатуров и плотников в отдельности, нужно знать общий заработок штукатуров и заработок одного штукатура, а также общий заработок плотников и заработок одного плотника. Заработок одного штукатура и одного плотника известен, чтобы найти общий заработок тех и общий заработок других, нужно найти два числа по их сумме и разности, так как известен общий заработок всех штукатуров и плотников вместе и известно, что все плотники получили на 780 руб. больше, чем штукатуры».

После такого объяснения можно не сомневаться, что ученик хорошо понял задачу и сможет правильно решить её. Запись решения будет теперь такова:

1) Сколько нужно было бы уплатить штукатурам и плотникам вместе, если бы плотникам уплатили столько же, сколько штукатурам ?

2580 — 780 = 1800 (руб.).

2) Сколько денег получили штукатуры?

1800 : 2 =900 (руб.).

3) Сколько денег получили плотники?

900 + 780 = 1680 (руб.).

4) Сколько было штукатуров и плотников отдельно? 900 : 45 =20 (штукатуров); 1680 : 42= 40 (плотников).

Задача 2. В полдень от пристани отошёл пароход со скоростью 16 км в час. Через 3 часа от той же пристани по тому же направлению отошёл второй пароход, который через 12 часов после своего выхода догнал первый пароход. Определить скорость второго парохода.

Ученик даёт такое объяснение к решению задачи: «Чтобы узнать скорость второго парохода, нужно знать пройденный им путь и время, затраченное на прохождение этого пути. Время известно, а чтобы узнать пройденный вторым пароходом путь, нужно узнать, сколько километров успел пройти первый пароход, так как второй пароход догнал первый, следовательно, они прошли одинаковое число километров. Путь, пройденный первым пароходом, можно найти, так как известна его скорость, и легко найти время его движения».

Решение записывается так:

1) Сколько времени был в пути первый пароход? 12 + 3 = 15 (час).

2) Какой путь успел пройти первый пароход?

16-15 = 240 (км).

3) Какова скорость второго парохода?

240 : 12 = 20 (км в час).

После этого следует рассмотреть другие способы решения.

Мы ограничимся содержанием приведённых уроков, так как они в достаточной степени выясняют характер работы учителя на уроке и настоящая статья не ставит себе целью дать разработку всей первой темы.

Заключение.

Для улучшения преподавания арифметики в V классах и повышения успеваемости учащихся можно рекомендовать следующее.

1. Учителям математики старших классов внимательно изучать постановку преподавания арифметики и опыт работы учителей IV классов, привлекая их к изучению особенностей преподавания математики в V классах. Путём совместной методической работы и взаимного использования опыта обеспечить полную преемственность в преподавании арифметики в IV и V классах.

2. Всю систему преподавания арифметики и каждый отдельный урок строить в соответствии с возрастными особенностями учащихся V классов. Возбудить интерес учащихся, развивать творческое мышление и инициативу, широко использовать наглядность и жизненный опыт детей при выяснении и усвоении основных отвлечённых понятий курса арифметики.

3. Организовать работу в классе так, чтобы учащиеся могли безболезненно привыкнуть к особенностям учебной работы в V классе, предъявить к учащимся требования, соответствующие их возрасту, но вполне обеспечивающие контроль за их работой в классе и дома; учителю быть в своих требованиях последовательным, используя тесную связь с родителями. Это даст возможность приучить учащихся к систематической и чёткой работе с первых дней учебного года.

Л. Б. Бограчёва

(Москва )

ПОВЫШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ УЧАЩИХСЯ V—VI КЛАССОВ.

В настоящей статье затронуты некоторые вопросы работы учителя, относящиеся как к самому учебному материалу, так и к методической его разработке.

I. Расширение понятия числа.

Повторение раздела целых чисел в V классе я начинаю с теории натурального ряда чисел.

После того как было дано определение натурального числа и ряда, были разобраны свойства чисел этого ряда и нанесены числа на числовую ось.

В V классе мы ввели числовую ось, ограниченную слева началом отсчёта (нулём) и распространяющуюся вправо бесконечно, так как натуральный ряд чисел бесконечен, а каждому натуральному числу найдётся точка на числовой оси (черт. 1).

Черт. 1.

Перед учащимися был поставлен такой вопрос: «Вот мы говорим, что каждое натуральное число изображается точкой на числовой оси, а можно ли сказать обратное, что каждая точка числовой оси изображает натуральное число?»

На этот вопрос учащиеся обычно отвечают, что на числовой оси остались точки для изображения дробей. (Это и не удивительно, так как в начальной школе они познакомились с обыкновенными дробями.)

Ответы учащихся необходимо дополнить и указать, что на числовой оси остались точки не только для изображения дробей, но и для изображения чисел, которые изучаются в VIII классе.

Изучая свойства натурального ряда чисел, мы на примерах выяснили, что в области натурального ряда всегда

выполнимы сложение и умножение, тогда как вычитание и деление выполняются не всегда.

Этот теоретический материал следует повторять с учащимися и за ответ ставить оценку. Сначала повторение проводить в вопросо-ответной форме, а затем надо требовать ответ в виде связного рассказа. Вызывая ученика, можно предложить ему рассказать о натуральном ряде чисел. Ученик излагает в таком плане: определение, свойства, изображение на числовой оси и выполнимость действий.

Это был первый шаг в работе над развитием понятия о числе.

Через месяц, когда были введены дроби, т. е. расширили запас чисел, числовая ось стала «наполняться», здесь следует обратить внимание учащихся на действие деления в множестве дробных чисел.

«Теперь действие деления всегда выполнимо» — сказали ученики.

Пришлось внести поправку: деление осуществимо всегда, кроме деления на нуль; на нуль делить нельзя.

Числу нуль мы уделяли большое внимание в V классе. Этому был посвящен специальный урок на тему «Свойства нуля». Рассматривались упражнения типа: 26«138*0»65; О : 15; 5 + 0; 0 + 7 и др.

Попутно надо отметить, что действие вычитания остаётся не всегда выполнимым: из меньшего числа нельзя вычесть большее.

Можно сообщить учащимся, что в VI классе мы познакомимся с новым классом чисел, в результате чего вопрос с вычитанием будет разрешён полностью.

После такой работы было легче вводить отрицательные числа в VI классе.

II. Вопрос о чтении больших чисел.

Как известно, в начальной школе учащиеся знакомятся с числами в пределе миллиона (некоторые ошибаются и в этом).

После повторения известных ученикам чисел было рассказано на уроке о числах-великанах, приведён пример о числе зёрен на шахматной доске, которое по легенде попросил изобретатель шахматной игры: 18 446 744073 709 551 516 зёрен, пример о весе земного шара: 5 980 000 000 000 000 000 000 т.

Чтобы уметь читать такие числа, ученики запомнили названия последующих классов по децильон включительно.

Таблица следующая: миллионы, биллионы, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы, секстиллионы, септиллионы, октиллионы, нонильоны, децильоны.

Было рассказано учащимся о сочинении Архимеда «Псаммит» и зачитано из него несколько отрывков.

III. Рабата над задачей.

При решении типовых задач надо учить рассуждать и объяснять решение задачи. Неумение рассуждать зачастую вызывает затруднение в решении задачи. В процессе работы, например, приходилось сталкиваться с таким фактом, когда по сумме двух чисел и их отношению учащиеся почти безошибочно находили числа; когда же задавалась разность и частное двух чисел, то решение вызывало затруднения.

Поэтому надо добиваться понимания того, что если в задаче задана сумма двух неизвестных чисел, мы её сопоставляем с суммой частей; если же в задаче задана разность чисел, мы её сопоставляем с разностью частей.

Прочитав условие задачи, ученик должен говорить примерно следующее: «В этой задаче задана разность искомых чисел, поэтому мы её должны сопоставить с разностью частей». И т. д.

Кроме того, в начальной школе ученики приучены к такой формулировке вопроса: «Сколько было частей?» — такой вопрос нелогичен. В V классе мы применяли формулировку: «Сколько частей приходится на такое-то данное число, если за одну часть принять ... (указать что)».

Впоследствии, когда мы уже решали задачи на проценты, всегда подчёркивали, что мы принимаем в данной задаче за 100%.

Как в V классе, так и в VI следует практиковать решение отдельных задач с письменным объяснением. Приведём пример решения задачи с объяснением в VI классе.

Задача. На ёлке для учащихся четырёх первых классов были розданы подарки. Для подарков были куплены конфеты двух сортов. Первый сорт стоил 36 руб. килограмм, а второй сорт на 12,5% дешевле первого. Конфет второго сорта было куплено 10 кг. В среднем 1 кг купленных конфет обошёлся в 33 руб. Сколько килограммов конфет

получил каждый класс, если в двух классах было по 40 человек в каждом, в двух других было по 35 человек в каждом и конфеты были распределены пропорционально числу учеников в классах?

Решение. Число килограммов I сорта и число килограммов II сорта обратно пропорциональны разностям между стоимостью 1 кг смеси и стоимостью 1 кг каждого сорта.

Стоимость 1 кг дорогого сорта 36 руб. Стоимость 1 кг дешёвого сорта 36 руб.— 4 руб. 50 коп. = 31 руб. 50 коп. (так как 4 руб. 50 коп. составляет 12у% от 36 руб.). Так как в условии задачи известна стоимость смеси (33 руб. за килограмм), то первая разность составляет 3 руб.(между стоимостью 1 кг дорогого сорта и стоимостью 1 кг смеси), вторая разность 1 руб. 50 коп. (между стоимостью 1 кг смеси и 1 кг дешёвого сорта).

А поэтому — = — 69; х —<р- = 5 (кг).

Всего смеси было: 10 + 5 = 15 (кг).

Учеников была; 40 • 2 + 35 • 2 = 150 (учеников).

Каждый ученик получил: \^) = Jq (кг)-

Весь класс в 40 человек получил: ^ • 40 = 4 (кг).

Класс в 35 человек получил: i . 35 = 3^- (кг).

Следует особенно остановиться на задачах, которые допускают несколько способов решения; надо поощрять тех учащихся, которые предлагают новые способы решения задачи.

Например, если взять задачу на определение двух чисел по их сумме и разности, то эта задача допускает три способа решения.

Задача. Сумма двух чисел равна 28-g-; первое больше второго на 5^ . Найти эти числа.

Для решения задачи необходимо искомые слагаемые сделать равными, чтобы можно было их сумму разделить пополам. Это можно выполнить тремя способами.

1-й способ. Уменьшим первое слагаемое на 5у, отчего и сумма уменьшится на 5-g- и будет равна 28у —

— 5у = 23^; следовательно, меньшее число 23щ : 2 = 11 ^; большее число 17^.

2-й способ. Увеличим второе слагаемое на отчего сумма увеличится на 5-^ и будет равна 28+ 5-1 = 34|^; следовательно, большее слагаемое равно 39^ : 2 = 17у, а меньшее число 17-1 — 5^ = 11^.

3-й способ. Искомые слагаемые можно сделать равными, если передать половину излишка большего числа меньшему, отчего сумма не изменится. Эта половина равна 5-£ : 2 = 2j; тогда каждое слагаемое после изменения станет равным 28-g- : 2 = 14^; поэтому первоначально большее число равнялось 14^ + 2^-= 17^, а меньшее 17^— 5~ = 11^. Ещё пример.

Задача (№ 1129 из сборника задач Березанской). Автомобиль в первый час прошел у расстояния между городами, во второй ^оставшегося расстояния и в третий остальные 90 км. Найти расстояние между городами.

Такой задаче надо предпослать чертёж (черт. 2).

Черт. 2.

1-й способ. Узнаем, какую часть остатка составляют 90 км, пройденных в третий день: 1 — Тз ^ Гз > в таком случае весь остаток равен 90-^= 195 (км), что составляет 1 — у = у расстояния между городами. Поэтому всё расстояние будет 195 : у = 273 (км).

2-й способ. 1 — у = у (всего расстояния). ^ остат-

ка и составят у ' ^ = ^ (всего расстояния). Значит, за первые два дня он прошел у + уз ^ gj всего расстояния.

Следовательно, на 90 км приходится 1 — |у = §у Рас“ стояния. Всё расстояние будет 903Q91 = 273 (км).

Надо уделить особое внимание самостоятельному составлению задач учащимися, так как это развивает их мышление, вызывает у них большой интерес.

Приведём примеры.

Классу была предложена задача, данные которой были использованы для составления новой задачи.

Задача. В первый месяц израсходовали 90 ц угля, во второй 110 ц, в третий 88 ц. Какую часть запаса израсходовали в первый месяц? Какую часть остатка израсходовали во второй месяц?

На этом материале составили с классом новую задачу, которую решали двумя способами.

Задача. В первый месяц израсходовали всего запаса угля, во второй месяц у остатка, в третий месяц оставшиеся 88 ц. Сколько центнеров угля было заготовлено первоначально?

В VI классе, когда учащиеся узнали о прямой и обратной пропорциональности, были решены задачи 1105— 1109 из задачника Березанской и подобные им. Это задачи на определение двух чисел по их сумме и равенству величин их разных дробей.

Предварительно мы доказали, что если дробь одного числа равна дроби другого числа, то числа обратно пропорциональны этим дробям.

Рассмотрим задачу 1109 из задачника Березанской.

Задача. В двух кусках 721- м ткани. Сколько ткани в каждом куске, если у числа метров ткани одного куска составляют у числа метров ткани второго куска?

В условии дано: -^хх = х2; составим пропорцию по равным произведениям:

т. е. задача сводится к тому, чтобы 72-g- м ткани разделить пропорционально числам j и j,

Учащимся был показан способ составления таких задач.

Ученик пишет на доске две произвольные дроби: у 6 и JÏ > затем он или другой ученик придумывает число, кратное 4 и 6, например 144. Это число будет величиной обеих дробей. Следовательно, первое число будущей задачи должно быть 144! у = 252, а второе—144.'уу=264. 252 + 264 = 516.

Таким образом, мы имеем весь материал для составления задачи.

После этого ученики составили такие задачи.

Задача 1. В школе 516 учащихся, у числа учащихся мальчиков равняются уу числа учащихся девочек. Сколько мальчиков в школе и сколько девочек?

Задача 2. Колхоз сдал государству в две недели 516 т пшеницы; у количества пшеницы, сданной колхозом в первую неделю, равняется ц количества пшеницы, сданной колхозом во вторую неделю. Сколько тонн сдал колхоз в первую неделю и сколько тонн во вторую?

Можно составить задачу с тремя искомыми. Для этого учащиеся придумывают три дроби: 1Г ' Т * Î3 * подбирается число, кратное числителям, например 240.

Тогда первое искомое число будет 240:-g-= 400; второе число 240 : = 384; третье число 240 : yg = 520; находим сумму чисел 400 + 384 + 520 = 1304. Теперь можно составить задачу.

Задача. Три числа составляют вместе 1304. у первого числа равны g- второго числа и равны ^ третьего числа.

Найти числа.

В задачнике Чекмарева и Филичева есть ряд таких задач.

IV. О вычислительной культуре.

Устному счёту и устным вычислениям надо уделять большое внимание.

При решении задач можно разрешать учащимся прибегать к письменному производству действий в самых редких случаях.

В самом деле, если нужно 195 разделить на 15, ученик говорит: «Легко делить 150 на 15, будет 10; остаётся разделить 45 на 15, будет 3. Следовательно, искомое частное 13».

При умножении 56 на 25 учащиеся пользуются делением 56 на 4 и умножением на 100; 56 • 25 = 1400.

При умножении на 125 пользуемся тем, что 125 — это ~ часть 1000. При умножении на 37 пользуемся тем, что 37 — это ~ часть 111.

В качестве упражнения по устному счёту можно предложить следующие примеры:

1) 28 . 25; 248 . 125; 24 . 37.

2) На обыкновенные дроби:

3) а) 125 кг какая часть тонны? б) 375 кг какая часть тонны?

4) На десятичные дроби:

а) обратить в десятичную дробь:

б) увеличить 120 на 5% его;

в) разность равна 4,28, вычитаемое увеличено на 2,1; чему равна новая разность?

д) Первое слагаемое увеличено на 1,5 второе слагаемое уменьшено на 2,5. Как изменится сумма?

е) 0,24 . 0,25.

5) Сравнение дробей:

6) 5% числа X составляют 15; найти х.

7) Найти число, которое на -j- меньше -g-.

8) Что больше: у от 120 или j от 140? И т. д.

V. Постановка вопросов при опросе.

Помимо опроса основных правил действий над обыкновенными дробями, десятичными дробями и т. д., мной ставились постоянно следующие вопросы по мере прохождения курса.

Что значит число умножить на дробь?

Что значит разложить число на множители?

Следует изменять формулировку вопроса, например вопрос: «Какиечисла называются взаимно простыми?» можно сформулировать так: «Дайте определение взаимно простых чисел». Надо требовать, чтобы учащиеся давали ответ по заранее составленному плану, например:

«Расскажите об общем наименьшем кратном».

План ответа ученика:

а) определение;

б) правило нахождения (на примерах);

в) различные случаи;

г) где применяется.

Ответ по такому плану приучал к связному рассказу. Намечали примерный план ответа и в других случаях.

Например, можно предложить ученику рассказать о всех случаях вычитания смешанных чисел; он рассматривает на примерах следующее:

а) Уменьшаемое и вычитаемое имеют дроби с одинаковыми знаменателями, причём дробь вычитаемого или больше, или меньше дроби уменьшаемого.

б) Уменьшаемое и вычитаемое имеют дроби с различными знаменателями, причём дробь вычитаемого опять или больше, или меньше дроби уменьшаемого.

Аналогично и в других случаях.

Ставится вопрос: «Что ты знаешь о действии умножения?» Ответ ученика содержит следующие пункты:

а) Что значит умножить на целое число?

б) Что значит умножить на правильную дробь?

в) Какие основные задачи решаются умножением?

г) Законы действия умножения.

д) Проверка умножения. И др.

VI. Работа над учебником.

Чтобы ученик максимально использовал свои учебники по математике, надо его научить их читать.

Учить учащихся V класса читать учебник арифметики Киселёва надо на уроке и дома, при выполнении домашнего задания. Один из первых уроков можно специально отвести для этой работы; все ученики по указанию учителя открывают нужный параграф.

Сначала учитель сам прочитывает параграф с соответствующим разъяснением, а затем вызванные учителем

ученики читают одну фразу за другой. Остальные учащиеся внимательно следят и слушают. Пока не разобран смысл одной фразы, не следует приступать к чтению следующей.

Разъясняются отдельные слова, названия, а также выясняется смысл всего предложения в целом.

При этом требуется чёткое прочитывание, правильное произношение каждого слова и подчёркивание голосом основного смысла, т. е. правильная интонация.

В результате этого учащиеся приучаются к вдумчивому прочитыванию серьёзного математического текста.

После такой работы учащиеся должны также вдумчиво прочитать этот же параграф про себя 2—3 раза и запомнить его основное содержание. За этим следует проверка и соответствующая отметка в журнал как стимул в работе.

Надо добиться, чтобы учащиеся таким же образом прочитывали хотя бы один параграф в день при выполнении домашнего задания.

Разумеется, в классе, на уроке, проводится ежедневная проверка выполнения не только письменного задания, но и устного задания на отметку.

Отдельных учеников приходится приучать к этой работе дополнительно, вне урока.

Иногда надо требовать, чтобы учащиеся выписывали в тетрадь основные мысли или правила данного параграфа, так как надо использовать в работе и моторную память учащихся.

Отдельные вопросы курса приходится излагать не по учебнику; в этом случае соответствующий материал записывается учащимися в тетради.

Например, в учебнике нет краткого правила замены отношения дробных чисел отношением целых чисел.

После объяснения учащиеся записывают такое правило:

«Для того, чтобы заменить отношение дробных чисел отношением целых чисел, нужно данные дроби привести к общему наименьшему знаменателю и взять отношение их новых числителей».

Умножение целого числа на смешанное (и наоборот) мы проводим на основании распределительного закона умножения, т. е. в такой форме:

В учебнике этот вопрос изложен не ясно.

Признак делимости на 9 или на 3 лучше изложить по тому же принципу, что и вывод признака делимости на 4, т. е. путём ряда преобразований число приводится к двум слагаемым, из которых одно заведомо делится на 9 или на 3, а делимость другого слагаемого зависит от структуры числа. Запись ведётся следующим образом:

Сумма, стоящая в первых скобках, даёт число, которое делится на 9 или на 3 нацело; сумма, стоящая во вторых скобках, представляет сумму цифр данного числа.

Следовательно, делимость всего числа зависит от делимости суммы цифр его на 9 или на 3.

Е. Н. Саговская

(Ленинград)

АКТИВИЗАЦИЯ РАБОТЫ УЧЕНИКА НАД АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕЙ.

ЗНАЧЕНИЕ АКТИВНОЙ РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ НАД ЗАДАЧЕЙ.

Основной целью обучения математике, наряду с твёрдым усвоением достаточного запаса математических знаний, умений и навыков, является воспитание самостоятельного, активного мышления учащихся.

Работа над задачей:

1) развивает логическое мышление учащихся;

2) помогает осмысливать и закреплять вычислительные навыки;

3) имеет большое жизненно-практическое и воспитательное значение.

Исходя из высокой оценки значения арифметической задачи, необходимо около половины всего времени, отводимого программой на прохождение курса арифметики, употребить на решение задач. Приходится констатировать, что умение серьёзно работать над задачей у учащихся недостаточно развито: нет активной, сознательной, самостоятельной работы учащихся.

Возможность активно проявить себя в усвоении знаний возбуждает интерес учащихся к разбираемому вопросу и содействует лучшему усвоению его. Между тем только такая работа над задачей должна привести к положительным результатам, должна углубить и осмыслить знания и умения ученика.

Остановимся на вопросе об изыскании путей для сознательной, активной работы учащихся над арифметической задачей.

Рассмотрим следующие моменты:

1. Подготовка учащихся к решению составной задачи путём предварительной работы над отдельными звеньями этой задачи.

2. Работа над условием задачи: углублённый анализ условия с применением схематической записи и графических иллюстраций.

3. Составление плана решения задачи с применением анализа и синтеза.

4. Различные формы письменного объяснения решения задачи.

5. Решение задачи различными способами.

6. Проверка решения задачи.

7. Работа с числовой формулой к задаче.

8. Составление задачи учащимися.

Если при решении задачи учитель использует указанные моменты активизации, это несомненно поможет ему научить учеников сознательно работать над арифметической задачей.

I. Подготовка к решению составной задачи.

Какие, вопросы продумывает учитель, готовясь провести в классе работу над задачей наиболее активно, т. е. включить в эту работу всех учащихся? Если к решению в классе намечена задача выше средней трудности или задача нового типа, то необходимо подготовить учащихся к восприятию этой задачи, чтобы в этом трудном и новом они усмотрели нечто знакомое, облегчающее и расчленяющее эту трудность; тем самым обеспечивается возможность участвовать учащемуся в выработке путей и способов решения задачи.

Для этой цели перед рассмотрением сложной задачи учитель включает в домашнее задание упражнения подготовительного характера или организует аналогичную работу в классе. Тогда подход учащегося к этой задаче будет более сознательным.

Приведём несколько примеров такой подготовительной работы, используя опыт некоторых учителей.

В начале учебного года, во время повторения и систематизации знаний учащихся по разделу целых чисел, для классной работы учителем была намечена такая задача1.

Задача 1. Из города А в город Б вышли два автомобиля. Первый автомобиль идёт со скоростью 62 км в час, второй автомобиль, вышедший часом позже, идёт со скоростью 55 км в час. Когда первый автомобиль достигает пункта Б,

1 Видоизменённая задача 396 по задачнику Березанской.

второй автомобиль находится от него на расстоянии 195 км. Каково расстояние между пунктами А и Б?

В чём главная трудность условия этой задачи? Несомненно, трудность заключается в правильном понимании причин отставания второго автомобиля. Из условия задачи следует, что отставание произошло по двум причинам: более медленного движения второго автомобиля и более позднего выхода его.

До решения этой задачи в классе целесообразно рассмотреть такую задачу.

Задача 2. От пристани А к пристани Б вышли одновременно два парохода. Первый пароход идёт со скоростью 23 км в час, второй со скоростью 18 км в час. Когда первый пароход прибыл к пристани 5, второй находился от него на расстоянии 50 км. Каково расстояние между пристанями ?

Приведённая задача доступна среднему ученику. Её небольшое отличие от типовой задачи на движение в одном направлении состоит в том, что здесь одно движущееся тело не догоняет второе, а, наоборот, отстаёт от него.

После решения указанной задачи было продиктовано условие первой задачи. Ученикам было предложено сравнить условия двух задач и ответить на вопросы: в чём сходство и в чём различие этих задач?

Работа по сравнению условий прошла очень активно, и получены были следующие ответы:

Сходство в условиях:

1. Обе задачи на движение.

2. В обеих задачах говорится о движении в одном направлении.

3. В обеих задачах движущиеся тела имеют разную скорость.

4. В обеих задачах имеется отставание одного движущегося тела от другого.

Различия в условиях:

1. Согласно условию второй задачи, движение пароходов началось одновременно, по условию первой задачи один автомобиль вышел раньше другого.

2. Отставание парохода зависело только от более медленного движения, а отставание автомобиля зависело от двух причин: более медленного движения и более позднего выхода.

Последний вывод был особенно ценен: он показал умение ученика сознательно разбираться в условии задачи.

Так проводилась подготовительная работа над задачей с целыми числами в начале учебного года.

Разберём подготовительную работу над задачей на все действия с обыкновенными дробями, т. е. в 3-й четверти.

Для примера возьмём задачу 994 из задачника Березанской.

Задача. всей земли занято лугом, у остатка пашней и остальное лесом. Найти площадь всей земли и площадь леса, если известно, что площадь леса больше площади пахотной земли на 260 га.

В условии данной задачи наиболее трудными для понимания пунктами надо считать следующие:

1) нахождение части от остатка, выраженного дробью;

2) нахождение по части целого;

3) нахождение разности между двумя дробями, которая является известной частью искомого числа.

Чтобы облегчить решение этой задачи, учителем были предварительно даны три следующие задачи.

Задача 1. В буфете было 24 кг сахарного песку. Утром продали -J всего песка, днем оставшегося. Сколько килограммов песку осталось после этого в буфете?

Задача 2. Сколько килограммов песку было в буфете, если утром продали -j всего песка, днем оставшегося, после чего осталось 4 кг?

Задача 3. Утром продали -j имевшегося в буфете песка, днём у остатка. Сколько было всего песку в буфете, если утром продали на 16 кг больше, чем днём?

Проанализируем условия всех трёх задач:

1) в каждую из задач внесён один из трудных моментов задачи 994;

2) каждая из вспомогательных задач доступна среднему ученику;

3) каждая из задач представляет самостоятельную ценность в закреплении навыков в работе над обыкновенными дробями.

Указанные задачи решались двумя способами.

Решение первой задачи.

1-й способ: 2-й способ:

Обращено особое внимание на второй способ решения, который лучше мог быть использован при решении задачи 994.

Решение второй задачи.

Решение третьей задачи.

Во второй задаче обращается внимание на сходство первых трёх действий с первой задачей и на разницу в последних действиях: нахождение части числа умножением на дробь и нахождение по части целого делением на дробь.

В решении второй и третьей задач особенно важно третье действие: надо определить, какую часть всего запаса песка составляют 16 кг. Именно этот момент и является наиболее трудным в задаче 994.

Чтобы проверить результат такой подготовительной работы, преподаватель совсем не стал разбирать с учащимися в классе задачу 994, а задал решить её дома.

На другой день учащимися был представлен план такого решения:

1. Какую часть всей земли занимает лес и пашня?

2. Какую часть всей земли занимает пашня?

3. Какую часть всей земли занимает лес?

4. Какую часть всей земли составляют 260 га?

5. Какова площадь всей земли?

6. Какова площадь, занятая лесом?

Решение.

Следует отметить, что 2—3 ученика не выполнили домашнюю работу1.

Такая углублённая работа над задачей развивает у ученика навык самостоятельного решения сложных задач.

II. Работа над условием задачи.

Мы показали работу по подготовке класса к решению сложной задачи. Перейдём теперь к работе над освоением условия задачи.

Надо научить ученика схематически записывать условие задачи. Краткая запись условия способствует освоению учеником условия задачи.

В начале года в V классе в порядке повторения решалась задача 536 по задачнику Н. Поповой для IV класса.

Задача. С трёх полей совхоз собрал 4240 ц картофеля. Сколько картофеля собрано с каждого поля, если известно, что со второго поля собрано на 320 ц больше, чем с первого, а с третьего вдвое больше, чем со второго.

Вот два вида схематической записи условия в двух разных школах.

В одной школе:

3 поля. Со II на 320 ц больше I. С третьего вдвое больше II. Всего 4240 ц.

Сколько собрано с каждого поля?

Такая запись близка к механическому фиксированию данных и вопроса задачи и едва ли она нужна, когда условие задачи находится перед глазами ученика.

1 Задание на дом задачи 994 является нецелесообразным, несмотря на предварительное решение указанных вспомогательных задач. Её следовало бы решить в классе (или наметить план её решения).

В другой школе:

Сколько центнеров собрано с каждого поля?

Такая запись отражает более значительную работу мысли, и выполнение её возможно только при вполне ясном понимании условия задачи.

При такой записи не только вскрыта зависимость между величинами, входящими в задачу, но намечен и дальнейший ход решения её: эта запись указывает на сознательный анализ решения задачи.

Проанализируем эту правильно составленную запись, чтобы вскрыть ход мысли ученика при её составлении.

Учеником учтено следующее.

1. Меньше всего картофеля собрано с первого поля. С количеством картофеля, собранного с первого поля, удобнее вести сравнение количества картофеля, собранного с других полей.

2. Вторая и третья графы схемы показывают, что ученик понимает разницу между отвлечёнными величинами второй графы и именованными числами третьей графы.

3. Третья графа помогает ученику легче понять, какое количество центнеров надо отнять от общего сбора, чтобы свести задачу к типовой задаче на нахождение чисел по их сумме и кратному отношению.

Приведём схематическую запись условия следующей задачи.

Задача. Путешественник в первый день проехал 22,5% всего пути, во второй день ^qq всего пути, а расстояния, которые он проехал в третий и четвёртый дни, относились между собой, как 1,811~. Сколько километров проехал он в каждый из четырёх дней, если во второй день проехал на 46 км больше, чем в первый? Весь путь принимаем за единицу.

Сколько километров проехал путешественник в каждый из четырёх дней?

Иногда схематическая запись условия задачи носит более сложный характер и включает в себя результаты некоторых вычислений.

Ниже приводится работа ученицы 50-й школы Ждановского района Ленинграда. Эта работа особенно интересна тем, что задача составлена самой ученицей.

Задача. В детский дом привезли фрукты. -|- всех фруктов яблоки, -|- остатка груши, а остальные сливы, причём слив было на 38 кг меньше, чем яблок. Сколько всего фруктов привезли в детский дом и сколько каждого сорта в отдельности?

Приводимая ниже схема заполнялась в два приёма: первые две графы прямо выписывались после ознакомления с условием задачи, последние две — после составления плана и устного решения.

Сорта фруктов

Условие задачи

Часть всех фруктов

Вес фруктов

План.

1. Какую часть веса всех фруктов составляет вес груш и слив?

2. Какую часть веса всех фруктов составляет вес груш?

3. Какую часть веса всех фруктов составляют 38 /сг?

4. Сколько было всех фруктов?

5. Сколько было яблок?

6. Сколько было груш?

7. Сколько было слив?

При работе над условием задачи следует употреблять графическую иллюстрацию в виде отрезка или прямоугольника.

Приведём несколько примеров такого типа иллюстраций при решении задач. Широко используется графическая иллюстрация при решении задач на движение.

Графическая иллюстрация создаёт перед учениками пространственный образ, помогает в задачах на движение правильно расположить те неподвижные точки, с которыми условие задачи связывает движущийся предмет, а нанесение на чертёж известных числовых данных есть результат анализа числовых соотношений, взятых из условия задачи.

Решается задача 2215 по задачнику Березанской.

Задача. Два поезда вышли в одно время навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми равно 486 км. Встретились они в 9 час. утра, причём первый поезд прошёл на 54 км больше, чем второй; затем они пошли каждый со своей прежней скоростью и в прежнем направлении. Первый поезд пришёл в В в 12 час. 36 мин.

Когда второй поезд пришёл в Л (с точностью до 1 мин.)? Чертёж создаётся параллельно с чтением условия и даёт возможность лучше осознать его (чорт. 1).

При выполнении приведённого выше чертежа ученик отдаёт себе отчёт в следующем.

А и В — конечные пункты, из которых одновременно вышли поезда. Они вышли навстречу друг другу — встречное движение отмечается соответственно направленными стрелками. Отмечается на чертеже данное в условии задачи расстояние между А и В — 486 км. На чертёж должна быть нанесена ещё очень важная для решения задачи точка —точка встречи поездов (С). Сознательно нанести эту точку по отношению к точкам А и В ученик может только при предварительном анализе условия задачи. Ход мысли ученика: поезда вышли одновременно, но поезд, вышедший из Л, прошёл больше на 54 км. Следовательно, точка С расположена ближе к В. Здесь не важен

Черт. 1.

точный масштаб, а важно именно это рассуждение. Дальше пунктиром наверху отмечаются пути, пройденные поездами до встречи, внизу — пути пройденные после встречи. Из чертежа видно, что после встречи второй поезд прошёл такое же расстояние, какое первый поезд прошёл до встречи. Можно нанести на чертёж уже полученные в процессе решения числа: АС = 270 км, СВ = 216 км.

Приведём ещё задачу, которая была предложена в конце полугодия, когда были пройдены три действия с обыкновенными дробями.

Задача. Между пристанями А и В расстояние 48 j км. Пароход, вышедший из А по направлению к В, проходит в час у этого расстояния. После 5j часа пути от пристани А он дошёл до пристани С. Какое расстояние между В и С?

Все учащиеся должны были ознакомиться с условием и сделать у себя в тетрадях чертёж. После этого одна из учениц на доске воспроизвела чертёж, составленный в своей тетради (черт. 2).

Черт. 2.

Класс вглядывается в чертёж. Поднимается очень много рук. В чём ошибка ?—надо узнать расстояние не от А до С, а от В до С.

Ученица исправляет ошибку.

Чертёж принимает такой вид (черт. 3).

Черт. 3.

Большинство рук опускается, однако несколько рук остаются поднятыми. В чём ошибка?

Одна ученица даёт следующее объяснение:

Расстояние от В до С должно быть больше, чем от А до В, потому что от Л до С пароход шёл 5-^- часа, а от Л до В, согласно условию задачи, пароход шёл около двух часов, следовательно, от В до С он шёл больше трёх часов и это расстояние больше, чем от А до В.

После второго исправления на доске получается правильный чертёж (черт. 4).

Черт. 4.

Именно такое сознательное отношение всего класса к чертежу, тесная связь чертежа с анализом условия задачи, умение прикинуть «на глазок» некоторые числовые соотношения является чрезвычайно ценным в работе ученика.

Графическая иллюстрация полезна не только в задачах на движение. Без неё в V классе не обойтись в задачах на нахождение двух чисел по их сумме или разности и обратному отношению. Приведём пример.

Задача. У двух мальчиков вместе 49 руб. Сколько денег имеет каждый, если ~ денег первого равна -i- денег второго (черт. 5)?

Черт. 5.

Отрезком изображаем всё количество денег у первого мальчика. Выделяем на нём у отрезка, -g- денег первого составит только ~ денег второго. Следовательно, у второго мальчика 4 такие части, каких у первого 3. Всего два мальчика имеют 7 равных частей, на которые

приходится 49 рублей. Задача сведена к знакомой задаче деления на части.

Того же типа задача 1109 по задачнику Березанской.

Задача. В двух кусках 72— м ткани. Сколько ткани в каждом куске, если числа метров ткани одного куска составляют у числа метров ткани второго куска (черт. 6)?

Черт. 6.

Чертёж к этой задаче даёт возможность установить известное соотношение между количеством ткани того и другого куска: в первом куске 6 таких частей, каких во втором 5, а всего в 72-g- м заключается 11 частей. Дальнейшее решение задачи понятно. Приведём более трудную задачу из задачника Березанской (№ 2225) и посмотрим, как чертёж облегчает её решение.

Задача. Косцы нанялись выкосить два луга. Начав с утра косить большой луг, они после полудня разделились: одна половина косцов осталась на первом лугу и к вечеру его докосила, а другая половина косцов перешла косить на второй луг, площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов, если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец?

Площади полей изображаются прямоугольником (черт. 7).

Ученики по условию задачи устанавливают следующее: величина площадей неизвестна, но известно отношение площадей: 2:1. Отсюда площадь первого поля может быть взята произвольно, площадь второго вдвое меньше.

Использовать момент повторения: как можно площадь прямоугольника уменьшить в два раза? (Уменьшить в два раза или основание, или высоту.) Останавливаемся на уменьшении в два раза основания.

Появляется чертёж.

Черт. 7.

Дальше ведётся рассуждение по условию задачи. До полудня на большом лугу работали все рабочие, после полудня — половина рабочих; ясно, что до полудня выкосили вдвое больше, чем после полудня. Площадь большего прямоугольника надо разделить в отношении 2 : 1.

Производится деление на чертеже. После полудня одна половина косцов скосила большого луга и этим закончила работу на нём, а вторая половина косцов скосила малого луга, потому что площадь его вдвое меньше площади большого луга.

Отмечается площадь, равная ~ площади малого луга, которая равна большого. Перед глазами учеников остаётся та часть малого луга, которую выкашивает косец в день. Отсюда нетрудно сообразить, что всего в первый день таких площадей скошено 8, значит и косцов было 8.

Несомненно, что такая иллюстрация очень помогает учащимся правильно решить задачу.

III. Составление плана решения задачи.

Составление плана решения задачи производится двумя методами: аналитическим и синтетическим. Который из них гарантирует более глубокое понимание задачи и сознательное объяснение существующих между величинами зависимостей? Ответ определённый: аналитический метод.

Аналитический метод решения задачи, в соединении с синтезом (аналитико-синтетический метод), практикуется при обучении арифметике, начиная с младших классов, и проходит ряд подготовительных этапов.

Однако в своём чистом виде аналитический метод довольно многословен и решение каждой задачи этим методом требует больше времени, чем синтетическим методом. Между тем в V классе каждым учеником должно быть решено большое количество задач. Поэтому только некоторая часть их может быть решена аналитическим методом. Частичный же анализ сопровождает решение почти каждой задачи, к нему учитель прибегает при каждом затруднении ученика.

Для применения аналитического метода следует брать задачи не слишком длинные по количеству вопросов. Приведём пример решения задачи аналитическим методом с

применением синтеза для составления плана (Березанская, № 1013).

Задача. Пошивочная мастерская купила на 207 460 руб. материи ценой по 40,5 руб. за метр. Из ^ этой материи сшили костюмы, а из остальной части 72 одинаковых пальто. Сколько материи пошло на каждое пальто? Ученик рассуждает устно.

1. Чтобы узнать, сколько материи пошло на каждое пальто, надо узнать, сколько материи пошло на все пальто и сколько пальто сшили. Количество сшитых пальто известно.

2. Чтобы узнать, сколько материи пошло на все пальто, надо знать, сколько было всего материи и сколько материи пошло на костюмы.

3. Чтобы узнать, сколько было всего материи, надо знать, сколько заплатили за всю материю и сколько стоит метр материи. Эти данные в задаче есть.

4. Чтобы узнать, сколько материи пошло на костюмы, надо знать, сколько было всего материи и какая часть материи пошла на костюмы. Эти величины нам известны.

После такого устного аналитического разбора задачи план обыкновенно уже составляется синтетическим путём.

1. Сколько было всего материи?

2. Сколько материи пошло на костюмы?

3. Сколько материи употребили на все пальто?

4. Сколько материи пошло на одно пальто?

Аналитический метод решения задачи исключает всякий элемент случайности в сопоставлении данных и искомых величин задачи. Именно такой элемент случайности в постановке вопросов обнаруживается иногда при синтетическом методе решения задачи.

При решении задач в V классе следует в большей степени, чем это есть сейчас, применять аналитический метод.

IV. Различные формы письменного объяснения решения задачи.

Различные формы объяснения решения задачи — это различные ступени развития логического мышления ученика и его самодеятельности.

Объяснение решения задачи может иметь такие формы:

1. Составление всего плана перед решением задачи и затем производство действий к каждому пункту плана.

2. Краткий вопрос и следующее за ним действие.

3. Краткое пояснение полученных результатов действий.

4. Производство всех действий с последующим подробным устным объяснением всего решения задачи.

5. Постановка полных вопросов с последующим решением.

6. Полное письменное объяснение решения задачи.

Первые четыре вида объяснения решения задачи — обычный вид работы ученика IV класса и преобладающая форма работы ученика V класса. Но в V классе обращается серьёзное внимание и на постановку полных вопросов и на более полное письменное объяснение решения задачи. Подробная запись решения всей задачи—это большая работа, требующая напряжения умственных сил ученика, исключающая всякую возможность использования чужого труда.

На этих более сложных формах объяснения решения задачи мы и остановим своё внимание.

Решение задачи с постановкой полных вопросов.

Полный вопрос от вопроса краткого отличается тем, что включает в себя те числовые данные, над которыми будут производиться действия. Нам кажется, что это делает подход к решению задачи более сознательным и предохраняет от случайного подбора числовых значений величин. Рассмотрим решение задачи 1144 по задачнику Березанской.

Задача. Два поезда выходят с одной станции в одном направлении, один в 5 час, другой в 8 час. 16 мин. Первый, товарный, идёт со средней скоростью 32 км в час, второй, пассажирский, идёт со средней скоростью 51 км в час. В котором часу и на каком расстоянии от станции отправления будет пассажирский поезд, когда расстояние между ними составит 26 км?

Решение.

1) На сколько километров в час пассажирский поезд нагоняет товарный, если скорость товарного поезда 32 км в час, а пассажирского поезда 51 км в час?

51 — 32 = 19 (км в час).

2) Сколько времени шёл товарный поезд до выхода пассажирского, если товарный поезд вышел в 5 час, а пассажирский в 8 час 16 мин.?

3) Какое расстояние прошёл товарный поезд за 3^ часа, если каждый час он проходил по 32 км?

4) Какое расстояние должен нагнать пассажирский поезд, если в момент выхода от товарного поезда он находился на расстоянии 104^= км, а должен находиться на расстоянии 26 км?

5) Через сколько времени пассажирский поезд нагонит 78^ км, если каждый час нагоняет \9 км?

6) В котором часу скорый поезд догонит товарный, если он вышел в 8^ часа и догонял товарный поезд 4~ часа?

7) На каком расстоянии от станции отправления пассажирский поезд догонит товарный, если в час он проходит 51 км, а был в пути 4^ часа?

Полная запись решения задачи.

Конечно, подобная работа над записью решения проводится сначала под руководством учителя, а затем уже самостоятельно учениками.

Рассмотрим решение такой задачи.

Задача. В пошивочной мастерской было два куска ситца, причём в одном из них на 18 м больше, чем в другом. В первый раз израсходовали на пошивку всего

количества ситца, во второй раз ~ остатка. Оказалось, что за два раза израсходовано 52-^- м ситца. Сколько ситца в большем куске?

Решение.

Запись решения этой задачи взята из ученической тетради1.

Количество ситца в двух кусках принимаем за единицу. Известно, что в первый раз израсходовали -g- общего количества. Можно узнать, какую часть составляет остаток :

Остаток равен — всего количества, а во второй раз израсходовали остатка. Можно узнать, какую часть всего ситца израсходовали во второй раз. Часть от числа находится умножением на дробь:

Известно, что в первый раз израсходовали -g- количества ситца, а во второй раз израсходовали всего ситца. Можно узнать, какую часть ситца израсходовали в первый и во второй раз:

Всего израсходовали всего ситца, что составляет 52-jT м. Можно узнать, сколько метров ситца было в первом и во втором кусках. Целое по его части находится делением на дробь: 52-g-! ^ = 99 (м).

Известно, что в обоих кусках было 99 м ситца, но в одном из них на 18 м больше. Можно узнать, чему равно удвоенное число метров первого куска:

1 50-я школа Ленинграда.

Удвоенное количество ситца первого куска равно 117 ж, значит, действительное количество метров ситца в этом куске в два раза меньше:

11712 = 58у (м).

Ответ: в большом куске было 58^-м ситца.

Как уже указывалось, эта работа целиком выписана из ученической тетради. В эту запись можно внести некоторые поправки, хотя бы избегнуть многократного повторения выражений «известно», «можно узнать».

Но несмотря на небольшие недочёты в изложении, совершенно ясно, насколько полная запись объяснения решения задачи говорит о более глубоком понимании этой задачи; объяснение выбора действия устраняет момент случайности в этом выборе, в частности показывает учителю, вполне ли ученик усвоил смысл умножения и деления на дробь.

Ученики, проводя подробную запись решения, сами более чётко разбирают отдельные этапы решения.

Приведём ещё пример объяснения задачи с частичным анализом1 (Березанская, № 2201).

Задача. Сколько угля израсходовано в течение трёх месяцев на отопление дома, если известно, что в первый месяц израсходована всего угля, во второй угля, оставшегося после первого месяца, и в третий на 1 т 120 кг угля больше, чем во второй месяц?

Объяснение.

В задаче надо вычислить количество угля, израсходованного в три месяца; для этого надо знать, какую часть угля расходовали в каждый месяц. Часть всего угля, израсходованная в первый месяц, известна, но часть всего угля, израсходованная во второй и третий месяцы неизвестна. Для того, чтобы узнать часть всего угля, израсходованную во втором месяце, надо из единицы вычесть часть, израсходованную в первый месяц, и полученный результат умножить на ^. Чтобы узнать часть всего 1 51-я школа Ленинграда.

угля, израсходованную в третий месяц, надо узнать сначала часть всего угля, израсходованную в два первых месяца, а потом посредством вычитания этой суммы из единицы узнать часть всего угля, израсходованную в третий месяц; затем из части всего угля, израсходованной в третий месяц, вычитаем часть всего угля, израсходованную во второй месяц, и этим узнаём разницу в израсходовании угля за третий и второй месяцы в частях, а затем 1 т 120 кг делим на полученную разность и узнаём количество угля, израсходованного в течение трёх месяцев, т. е. 5 т 40 кг.

Для ученика V класса такое связное объяснение задачи с применением элементов анализа, почти без привлечения числовых данных, является большим математическим достижением, хотя и не лишено некоторых несущественных недостатков.

Познакомившись с возможными видами письменного объяснения задачи, естественно поставить перед собой следующие вопросы:

1. Все ли задачи надо решать с полным письменным объяснением ?

2. Какие моменты при решении задачи требуют более подробного обоснования ?

3. Какие требования следует предъявлять к письменной речи ученика?

Разберём последовательно поставленные вопросы.

1. Конечно, не следует все решаемые в V классе задачи сопровождать подробным письменным объяснением. Большая часть задач будет решена с постановкой обычных вопросов или с кратко формулированным планом. Если в течение года 10—15 задач будут разобраны и решены с полным письменным объяснением, то этого будет вполне достаточно.

Об организации этой работы надо сказать следующее.

Начинать работу над решением задачи с полным письменным объяснением надо в классе, под руководством учителя, который сделает ученику все необходимые указания в процессе работы.

После первых двух уроков по письменному объяснению решения, проведённых в классе под руководством учителя, на дом следует задать аналогичную работу не всем ученикам, а группе наиболее успевающих учеников; на следующем уроке их работы подвергаются классном разбору и исправлению; затем задать на дом следующей группе

учеников, средней успеваемости; только после этого аналогичное задание получают все учащиеся класса.

Такое постепенное вовлечение в работу одной группы учащихся за другой, в работу, которая их интересует, является известным поощрением для учащихся; они стремятся этот новый вид домашнего задания выполнить возможно лучше. Надо помнить, что письменное объяснение задачи — очень серьёзная работа для ученика, а исправление этих математических изложений — ответственная работа для учителя; он должен иметь в виду не только математическую, но и стилистическую сторону работы.

2. Какие же моменты требуют от ученика объяснения ? В курсе V класса надо обосновывать умножение и деление на дробь: нахождение части от данного числа и нахождение по части целого. Приходится обосновывать деление по содержанию, например: первый поезд догонял второй столько часов, сколько раз 12 км содержится в 144 км.

В задачах на предположение надо чётко сформулировать, какое именно делается предположение. В задаче, в которой фигурируют части, надо ясно договориться, что принимается за одну часть. В задачах на пропорциональную зависимость вскрывается характер зависимости между величинами и т. д.

Как уже говорилось выше, все эти указания делаются по мере перехода от одного вида работы к другому.

3. Разбирая работы ученика, учитель каждый раз подчёркивает, что речь (рассказ) должна быть математически точной, возможно сжатой, стилистически и орфографически грамотной.

Конечно, все эти требования, предъявляемые к письменному объяснению задачи, нелегко осуществить. К выполнению этих требований ученики должны быть значительно подготовлены устным объяснением решения задачи, при условии, конечно, если учитель внимателен к каждому слову ученика.

V. Решение задачи различными способами.

Очень полезно, работая над задачей, показывать ученикам возможность решения одной и той же задачи различными способами. Поиски наиболее рационального способа решения будят мысль ученика, развивают сообразительность и уводят его от шаблона, повышая в то же время интерес к работе.

Случается, что и сам учитель не стимулирует поиски наилучших решений, не указывает различные пути решения, иногда даже относится невнимательно к предложениям учеников решить задачу другим способом. После проверки решения задачи, заданной на дом, раздаётся голос с места: «А я решил эту задачу иначе!» — «Иначе? Хорошо, ты покажешь мне своё решение после урока». Так учитель проходит иногда мимо инициативы ученика. Не надо скрывать, что учитель поступает так не потому, что он не понимает пользы для ученика решения задачи несколькими способами, а потому, что он не уверен в правильности иного способа решения. Конечно, такого сомнения не могло бы быть, если бы в процессе подготовки к уроку учитель продумал все возможные способы решения.

Следует иметь в виду, что получение одинакового ответа при различных способах решения освобождает ученика от необходимости проверки задачи, давая полную уверенность в правильности решения.

VI. Проверка решения задачи.

Проверка решения задачи является моментом очень ценным для развития сознательности и самокритики. Но прежде чем говорить о проверке задачи в целом, надо систематически развивать сознательное отношение к результату любого вычисления.

Например, пусть ученик записал: 12 • §• = 16.

Ответ показывает не только на незнание правила умножения целого числа на дробь, но, что гораздо хуже, и на непонимание смысла умножения числа на правильную дробь.

Перейдём к проверке задачи в целом. Надо ли проверять решение каждой задачи ? — Нет, не надо.

Проверка задачи со многими действиями заняла бы времени не меньше, чем решение самой задачи. Но научить ученика проверять задачу и систематически проверять некоторые типы задач — необходимо.

К задачам, решения которых целесообразно проверять, относятся:

1) задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности;

2) задачи на нахождение двух чисел по их сумме или разности и отношению;

3) задачи на нахождение чисел по их сумме или разности и обратному отношению;

4) задачи на исключение одного из неизвестных способом замены его;

5) задачи на пропорциональное деление.

Эти задачи проверяются легко, а ошибки в них встречаются очень часто.

Но повторяем, ученик должен уметь проверить и другие задачи.

Приведём пример проверки задачи 2271 по задачнику Березанской.

Задача. Из одной базы на другую в 7 час. 15 мин. отправлена лошадь с грузом со средней скоростью 10 км в час; когла лошадь прошла 12 км, то из той же базы выехал велосипедист со скоростью 13 км в час и прибыл на вторую базу на 18 мин. раньше лошади. Узнать расстояние между базами и время приезда велосипедиста на вторую базу.

Решение.

1) На каком расстоянии от базы находилась лошадь, когда велосипедист прибыл на базу?

10.1 = 3 (км).

2) На сколько позднее лошади выехал велосипедист?

12! 10= 1,2 (часа), или 1 час 12 мин.

3) В котором часу выехал велосипедист?

7— + 'б“^^) (часа)> или 8 час. 27 мин.

4) Если бы велосипедист выехал одновременно с лошадью, на сколько километров он обогнал бы её?

12 + 3= 15 (км).

5) На сколько километров больше лошади проезжал велосипедист в час?

13—10 = 3 (км).

6) Сколько времени был в пути велосипедист?

15ГЗ = 5 (час).

7) Какое расстояние между базами?

13-5 = 65 (км).

8) Когда приехал велосипедист на вторую базу?

8—-j-5 = 13^ (часа), или 13 час. 27 мин. Как проверить решение задачи ?

Поиски способа проверки решения задачи, предложение проверить решение разными способами весьма активизируют умственную работу ученика.

Проверка.

1-й способ. Проверить правильность решения задачи, используя найденное между базами расстояние — 65 км.

Велосипедист проехал это расстояние за 65 : 13 = 5 (час.).. Лошадь проехала то же расстояние за

65: 10=6,5 (часа).

Разность во времени: 6,5 — 5 = 1,5 (часа). То ли говорит условие задачи?

Лошадь вышла на 1,2 часа раньше велосипедиста и прибыла на вторую базу на 18 мин., или 0,3 часа, позже; т. е. была в пути на 1,5 часа дольше велосипедиста.

Задача решена верно.

2-й способ. Получим в результате проверки время выезда лошади, т. е. 7 час. 15 мин., или 7-j часа.

Велосипедист приехал на вторую базу в 13 час. 27 мин.. Лошадь отстала на 18 мин., следовательно, лошадь приехала на вторую базу в

13^ +jg= \Sj (часа), или 13 час. 45 мин.

65:10=6,5 (часа).

Следовательно, она вышла в

3 11 13-J- — 67)- = 7-j (часа), или 7 час. 15 мин.,

что соответствует условию задачи. Следовательно, задача решена верно.

Можно предложить и иные способы проверки данной1 задачи, например предложить в результате проверки получить скорость движения лошади или велосипедиста.

Очень велико значение подобной творческой проверки задачи для математического развития ученика. При такой

работе ученик до конца осваивает условие задачи и, что особенно важно, глубоко вникает в зависимость между всеми данными и искомыми величинами. Поэтому некоторое количество задач должно быть решено с проверкой различными способами.

VII. Работа с числовой формулой.

Числовая формула:

1) углубляет понимание зависимости между данными в задаче величинами;

2) способствует рационализации вычислений;

3) даёт богатые возможности для перестройки силами учеников условия задачи путём изменения искомого;

4) подготавливает переход от арифметики к алгебре.

Таким образом, числовая формула может быть широко использована для общей активизации работы ученика над задачей.

Рассмотрим следующие виды работы:

1. Составление числовой формулы при решении задачи.

2. Составление задачи к данной формуле.

3. Изменение формулы в связи с изменением искомого в задаче.

Иллюстрируем их на ряде конкретних задач.

Составление числовой формулы при решении задачи.

В начале курса, при повторении целых чисел, проводится под руководством учителя работа над составлением числовой формулы.

Задача. Со станции вышел поезд со скоростью 48 км в час. Двумя часами позже за ним вышел второй поезд со скоростью 56 км в час. На каком расстоянии от отправного пункта второй поезд может догнать первый?

Составляется обычный план решения.

1. Сколько километров прошёл первый поезд до выхода второго ?

2. Сколько километров в час нагонял второй поезд?

3. Через сколько времени после своего отправления второй поезд догнал первый ?

4. На каком расстоянии от места выхода второй поезд догнал первый?

Решение:

1) 48-2 =96 (км); 3) 96:8= 12 (час);

2) 56 — 48 = 8 (км); 4) 56 . 12 = 672 (км).

Сообщается ученикам, что на основе решения задачи будут записываться действия, без записи результата вычисления.

Возвращаемся к первому действию:

1) 48-2.

Ученик должен хорошо понимать, что перед ним произведение, хотя оно и не вычислено.

Что обозначает это произведение по условию задачи ?— Путь, пройденный первым поездом за 2 часа.

Все объяснения даются устно.

2) 56 — 48 — получаем разность в скорости движения поездов.

В третьем действии мы узнаём, сколько времени второй поезд догонял первый. Что для этого надо сделать ? — Надо узнать, сколько раз разность скоростей содержится в расстоянии, пройденном первым поездом за 2 часа, т. е. первое произведение разделить на разность.

3) (48-2) : (56 — 48).

Очень важный момент при составлении формулы — правильная постановка скобок.

Чтобы ответить на вопрос задачи — на каком расстоянии от места выхода второй поезд догнал первый,— надо скорость движения второго поезда умножить на затраченное им время.

4) 56-[(48-2) : (56 — 48)].

Искомое задачи можно обозначить через х. Тогда окончательная запись формулы получит такой вид:

/=56-[(48-2) :(56 — 48)].

Здесь постановка квадратных скобок необязательна, но эти скобки делают более ясным ход решения задачи.

Все вычисления в значительной своей части проводятся устно: 56-[(48 • 2) : (56 — 48)] = 56-[(48 :8).2] = 56-(6-2) = = 336-2 =672.

В середине учебного года работа по составлению формулы к решению задачи становится более самостоят тельной.

Перейдём ко второму виду работы над числовой формулой.

Составление задачи к данной формуле.

И в этом виде работы с формулой необходимо выдержать методически правильную последовательность, постепенно усложняя даваемые формулы и тесно связывая их с проходимым теоретическим материалом. Особенно важна такого характера работа с формулой в момент прохождения умножения и деления дробей. Приведём несколько примеров.

1. Дана формула:

Возможные задачи.

Задача 1. Из 12у м ткани истратили сначала 4—лс, а затем у оставшейся ткани. Сколько ткани истратили во второй раз?

Задача 2. Велосипедист в первый час проехал 12у км, во второй на 4j км меньше, а в третий час у того расстояния, которое проехал во второй. Сколько километров проехал он в третий час?

II. Дана формула:

Этой формулой проверяется понимание смысла умножения на целое число и на правильную дробь, а также деления на правильную дробь. Возможны задачи.

Задача 1. Куплено 3 кг крупы по 4Т руб. за 1 кг и -о кг печенья по 12 руб. за кг. На всю покупку истрачено j имевшихся в наличии денег. Сколько денег было у покупателя?

Задача 2. Если 4-^- увеличить в три раза и к полученному произведению прибавить половину от 12, то получим искомого числа. Чему равно искомое число?

III. Дана более сложная формула:

Задача. Куплено 4 кг муки по 4,5 руб. за килограмм и 5 кг по 2,7 руб. за килограмм. Какова средняя цена 1 кг купленной муки?

Составление задачи к предложенной формуле требует от ученика напряжённой работы мысли; ученик вспоминает смысл арифметических действий и вкладывает в данные числовые схемы предметное содержание, не противоречащее действительности. Перейдём к третьему виду работы.

Изменение формулы в связи с изменением искомого в задаче.

Для начала возьмём несложную задачу из области целых чисел (Березанская, № 389).

Задача. Из двух мест, расстояние между которыми 243 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста, из которых один проезжал в среднем по 13 км в час. Сколько километров в час делал другой, если известно, что они встретились через 9 час. после выезда?

Задача решена и к ней составлена формула:

X =243 : 9 — 13.

Формула вычислена: х = 14 км в час. Записываем:

243:9—13= 14.

Предлагается из этой задачи составить новую по такой формуле:

у : 9 — 13 = 14.

Прежде всего разбираются все известные величины.

13 км — скорость первого велосипедиста в час;

14 км — скорость второго велосипедиста в час;

9 час— время, через которое они встретились.

Искомое: расстояние между пунктами отправления. Имея в виду эти данные и искомое, составляется новая задача.

Задача. Из двух мест выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста, из которых один проезжал 13 км в час, другой 14 км в час. Велосипедисты встретились через 9 час. Каково расстояние между пунктами отправления ?

Получаем формулу, выражающую неизвестное:

у = (13 + 14) . 9.

После этого следует сравнить данную и полученную формулы.

Данная формула:

у:9 — 13 = 14.

Определим из этой формулы неизвестное, пользуясь зависимостью между компонентами действий:

у : 9 — уменьшаемое;

13 — вычитаемое;

14 — разность; у :9 = 13 + 14.

Теперь у — делимое;

9 — делитель; (13+ 14) — частное; г/ = (13+14). 9.

Учащиеся убеждаются, что в результате преобразований получили ту же формулу, которую сами составили к своей новой задаче.

Затем можно составить задачу по такой формуле:

(г+ 14) -9 = 243.

Снова разбираются данные в задаче величины и искомая величина. Составляется новая задача. Учащиеся видят, что она совершенно аналогична первой формуле, только отыскивается скорость первого велосипедиста.

Такой вид работы над числовой формулой чрезвычайно развивает математическое мышление учащегося, но является работой трудной, и злоупотреблять ею не следует, особенно в классах слабо подготовленных.

VIII. Составление задач учащимися.

При работе над арифметической задачей нельзя пройти мимо вопроса о самостоятельном составлении задач учениками. Работа этого вида постепенно входит в жизнь школы, начиная с младших классов, и очень интересует учеников.

При решении задач того или другого вида учитель всегда проверяет качество усвоения вопроса такими заданиями: придумать задачу, в которой пришлось бы умножать число на правильную дробь; разделить число на правильную

дробь. Придумать задачу, для решения которой понадобится составить пропорцию с обратно пропорциональными величинами и т. д. (VI класс).

Но от составления таких коротких задач-вопросов следует перейти к более серьёзной работе по составлению задачи.

Необходимо избегать шаблона в этой работе, когда составляется слишком большое количество задач совершенна однотипных. Такая работа скучна учащимся и мало продуктивна. Это не значит, что не надо проверять понимание того или иного частного вопроса некоторым количеством самостоятельно составленных, даже и однотипных упражнений, но вслед за этим надо предлагать ученикам составлять так называемые «комбинированные» задачи. Что значит комбинированная задача ? — Это значит, что к новому, только что пройденному материалу предлагается присоединить материал, пройденный ранее, т. е., иначе говоря, каждая комбинированная задача содержит в себе элемент повторения.

Например, прошли на уроке нахождение числа по заданной его части. Через один-два урока предлагается учащимся составить задачу, в которой потребуется найти и часть числа, и число по заданной части. Мне приходилось наблюдать заключительные уроки на обыкновенные дроби, которые почти целиком проводились на задачах, составленных самими учащимися, и проходили они чрезвычайно активно и при большой заинтересованности учащихся.

Для составления задач надо дать учащимся ряд указаний:

1. Задача должна быть построена математически правильно т. е. быть разрешимой, иметь все необходимые данные и чётко поставленный вопрос.

2. Предметное содержание и числовые соотношения составленной задачи должны возможно больше соответствовать действительности.

3. Очень желательно, чтобы числовые данные, хотя бы частично, добывались самими учащимися, для чего следует использовать доступные им измерения; например: определить отношение количества воздуха, приходящегося на каждого учащегося в данном классе, к гигиенической норме; найти отношение световой площади окон к площади пола их комнаты, вес сосуда с жидкостью на основании измерения объёма сосуда и знания удельного веса жидкости

и т. д. Надо рекомендовать получение числовых данных из производственной практики родителей учеников, использование богатого газетного материала, например имеющего столь большое воспитательное значение материала о пятилетнем плане. Составление условия задач — хорошее упражнение в краткой и точной математической речи.

При таком подходе к составлению задач ясно, что работа эта вызывает большую самостоятельность и интерес у учеников.

Приведём примеры задач, составленных учениками.

Задача 1. У меня в комнате два окна. Высота одного окна 2,1 л*, его ширина составляет j высоты; площадь второго окна в 1,5 раза больше площади первого. Длина моей комнаты 8 м, а ширина 3^- м. Каково отношение световой площади окон к площади пола (с точностью до 0,01)?

Когда задача зачитывалась в классе, то товарищи возразили, что не бывает в комнате разных окон. Но автор задачи совершенно убедительно объяснил, что одно окно у него шириной в два стекла, а другое — в три.

Вот пример довольно сложной задачи.

Задача 2. Между городами А и Б расстояние 783 ^клс. Из А вышел поезд со скоростью 41км в час. Через часа из Б вышел поезд, идущий со скоростью 43^ км в час. Какое расстояние будет через 3-^- часа от А до поезда, вышедшего из Л, от Б до поезда, вышедшего из Б, и между поездами?

Задача имеет несомненно математическую ценность и даёт материал для вычислительной работы. Нет ничего опасного в том, что на составление задачи известным образом сказалось влияние задачника.

Но ученику следует указать и на недочёты работы: не указано направление движения поездов, совершенно нежизненно вычисление скорости движения в двенадцатых долях километра.

И неудачно составленные задачи иногда говорят учителю о многом.

Одна ученица составила такую задачу:

Задача 3. Пять лесорубов взяли обязательство выполнить план за три месяца. В первый месяц они вырубили у всей нормы, во второй остатка, а в третий вырубили остальные 5 кубометров. Сколько кубометров лесорубы вырубили за три месяца?

Решение.

Ученицу не смущает полученный ответ: 5 лесорубов за 3 месяца вырубили 60 куб. м\ Это значит: 5 лесорубов за 1 месяц вырубили 20 куб. м\ 1 лесоруб за I месяц вырубил 4 куб. м. 1 лесоруб в день вырубал приблизительно ^ куб- м\

Подбор подобных числовых данных показывает, как мало интересуется ученица «миром в числах». Но и подобные неудачные задачи поучительны.

Наиболее удачные задачи надо собирать в альбом ученических задач, это будет ценным экспонатом для весенней отчётной выставки.

ВОПРОС О ТИПЕ ЗАДАЧ.

Для развития логического мышления ученика в V классе полезно остановиться на некоторых вопросах типизации задач Известно, какое большое количество задач различных «типов» проходит перед учеником IV и V классов: задачи на движение, на исключение одной из данных величин, на совместную работу и т. д. Совсем нет необходимости сообщать ученикам название типов задач, названия эти весьма условны Однако приходилось на уроках слышать, как ученик очень бойко определяет, что в классе решали задачу на замену одной из данных величин; на дом дана задача на движение и т. д. За этой классификацией задач у ученика следует мысль — каким способом их надо решать. Ученику кажется, что один тип задач от другого

отгорожен надёжной стеной, ему недоступно понимание условности некоторых группировок, объединение в один тип задач то по способам их решения, то по их содержанию.

В V классе учеников знакомят с новым типом задач — на совместную работу. И здесь очень полезно провести с учениками такую работу: дать две задачи различного предметного содержания при одинаковой математической структуре.

Приведём пример. На дом задаётся задача на движение.

Задача. Один поезд, вышедший из пункта Л, за 4-^- часа прошёл 2141 км. Через 1-1 часа после его выхода с той же станции в том же направлении отошёл второй поезд, который каждые 20 минут проходит 23^- км. Оба поезда одновременно пришли в пункт В. Какое расстояние между А и В?

План задачи и последующее решение предлагается аккуратно записать на левой половине страницы.

(Заполняется позднее.)

1.

Какова скорость движения первого поезда в час?

1.

Сколько страниц в час перепечатывает первая машинистка?

2.

Какое расстояние прошёл первый поезд за ly часа?

2.

Сколько страниц перепечатала первая машинистка за 1-=- часа?

3.

Какова скорость второго поезда в час?

3.

Сколько страниц перепечатывает в час вторая машинистка?

4.

На сколько быстрее шёл второй поезд?

4.

На сколько больше первой перепечатывает вторая машинистка в час?

5.

Сколько времени второй поезд догонял первый?

5.

Сколько часов работала вторая машинистка?

6.

Каково расстояние между А и В?

6.

Сколько страниц в рукописи?

Решение. Решение.

При проверке домашней работы учащиеся объясняют, что им была задана задача на движение в одном направлении.

Исправляется план и просматривается решение, так что задача вполне осваивается учениками.

После этого в классе даётся задача такого содержания.

Задача. Каждая из двух рукописей имеет одинаковое число страниц. Первую рукопись начала перепечатывать машинистка, которая за 3^- часа перепечатывает 2~ страницы. Вторая машинистка начала перепечатывание второй рукописи на 1у часа позднее и перепечатывает за 40 мин. y страницы. Обе машинистки окончили работу одновременно. Сколько страниц в каждой рукописи?

Коллективно классом составляется план решения задачи. План вписывается рядом с планом домашней работы (см. выше). Ученики должны быть предупреждены, как записать решение задачи дома.

Уже в процессе составления плана некоторые более сильные ученики начинают улавливать общность математического содержания обеих задач.

1. Скорость движения поезда измеряется пройденным расстоянием в единицу времени (километрами); скорость работы машинистки измеряется количеством перепечатанных страниц в определённую единицу времени.

2. Разность в скорости движения поездов даёт возможность второму поезду догнать первый; разность в скорости производимой работы даёт возможность второй машинистке сравнять свою работу, т. е. количество перепечатанных страниц, с работой первой.

3. Заключительные вопросы: весь пройденный путь в километрах и вся рукопись в страницах тоже аналогичны по математическому смыслу.

Дальше задача решается учениками, и решение записывается параллельно с решением домашней задачи. Здесь ученики вполне твёрдо убеждаются, что одинаковые по математической структуре задачи при разном предметном содержании условия решаются совершенно одинаково, т. е. употребляются те же действия и в той же последовательности.

Такая работа по сравнению задач по их математическому содержанию имеет большое развивающее значение.

К. П. Сикорский

(Москва)

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АРИФМЕТИКЕ В V КЛАССЕ.

Контрольные работы по математике являются одной из основных форм массового учёта знаний учащихся, проверки их умения самостоятельно решать задачи и отвечать на вопросы, связанные с теорией изучаемого вопроса. Контрольные работы дают учителю также материал для оценки прочности знаний программного материала как текущего года, так и материала прошлых лет. В качестве выполнения контрольных работ учащимися учитель видит отражение своей работы и получает материал для внесения коррективов в методы своей работы, планировку отдельных тем программы. Под контрольными работами мы понимаем и так называемые фронтальные письменные самостоятельные работы, за выполнение которых учитель ставит учащемуся оценку.

В контрольные работы по арифметике в V классе включается задача и пример на вычисление.

Из общего числа учебных часов по арифметике в V классе на контрольные работы следует отвести 25—30 уроков в год. Контрольная работа в V классе даётся, вообще говоря, на один урок, но в каждой четверти следует провести одну двухчасовую работу.

В работах, рассчитанных на один урок, следует включать или только решение задачи, или только решение примеров, дополняя работу теоретическими вопросами и упражнениями по геометрическому материалу.

Работа, рассчитанная на два урока, должна состоять из задачи, примера на вычисление и небольшого вопроса по теории. Эти вопросы должны даваться в различных формулировках. Так, например, учитель хочет проверить умение найти одно из двух слагаемых по их сумме и другому слагаемому. Вопросы можно дать в следующих формулировках:

1) Сумма двух слагаемых равна 18-^-; одно слагаемое равно 12-g-, найти другое,

2) На сколько надо увеличить 12-^, чтобы получить 18-^-?

3) Найти число, которое меньше 18-^- на 12-^.

4) Сколько надо прибавить к 12-g-, чтобы получить 18-?-?

5) Найти разность чисел 18 j и 12^-.

При проведении контрольной работы следует давать не менее четырёх вариантов. Это в большей степени гарантирует самостоятельность работы учащихся, а, следовательно, даёт достаточный критерий для правильной оценки знаний учащихся. Кроме того, для учителя не слишком обременительно составление работы и её проверка. Варианты должны быть очень близки как по своей трудности, так и по количеству вопросов. Иногда учителя дают лучшим учащимся более трудные работы, а остальным — средние по трудности или даже лёгкие. С такой практикой нельзя согласиться; учащихся класса надо ставить в одинаковые условия работы, только в этом случае учитель получит правильное представление о знаниях учащихся.

При выработке текстов контрольных работ учитель составляет основной текст работы, а затем вносит те или иные изменения и получает новый вариант. Приведём примеры.

Пример на составление задач.

1-й вариант. Три хлебозавода получили некоторое количество муки для выпечки хлеба. Первый хлебозавод получил 0,4 всего количества муки, второй 0,6 оставшегося, а третий остальное. Сколько тонн муки получил каждый завод, если известно, что первый получил на 7,6 т больше третьего ?

2-й вариант. Завод выполнил заказ для стройки в три месяца. В первый месяц завод выполнил -g- всего заказа, во второй месяц 0,6 оставшейся части и в третий остальное, причём в третий месяц завод дал продукции на 84,4 т меньше, чем в первый. Сколько тонн продукции выпускал завод для стройки каждый месяц в отдельности ?

Примеры на вычисление. 1-й вариант.

2-й вариант.

Во втором варианте первое делимое увеличено в два раза, первое сложение заменено вычитанием; 4,5 заменена числом 3,6, т. е. делимость множителя на 9 сохранена; в следующем произведении множимое увеличено в два раза; в следующей разности к уменьшаемому и вычитаемому прибавлено по ^ и т. д.

При таком способе составления текстов работ они будут вполне одинаковой трудности и в то же время достаточно отличны один от другого, чтобы обеспечить самостоятельность выполнения.

Задачи, включаемые в тексты контрольных работ, должны охватить все основные типы задач, которые предусмотрены государственной программой. По трудности задачи должны быть доступными для учащихся; задача на контрольных работах в V классах должна и по своему содержанию, и по трудности мало отличаться от задач, которые решались перед контрольной работой в классе.

По количеству действий задачи лучше предлагать в 5—6 действий.

Оформление решения задачи на контрольной работе учащимися (план решения задачи в виде вопросов или в виде объяснения, составленного в форме связного рассказа) должно соответствовать требованиям учителя и указано учащимся перед выполнением работы.

При выборе тех или иных форм записи решения задачи учитель должен прежде всего иметь в виду, что оформление учащимися решения задачи должно отражать понимание ими условия задачи, основного вопроса задачи и всех тех действий, которые ученик проделал для получения правильного ответа на вопрос задачи. Вот, например, как могло бы

быть оформлено решение следующей задачи (задача 834 с некоторыми изменениями из «Сборника задач по арифметике» С. А. Пономарёва и Н. И. Сырнева).

Задача. Весь путь от города А до города Б автомобиль прошёл за три дня. В первый день автомобиль прошел go всего пути, во второй оставшегося пути, а в третий день автомобиль прошёл на 72 км меньше, чем в первый день. Сколько километров между городами А и Б и сколько километров проходил автомобиль в каждый день?

Решение.

Принимаем всё расстояние между городами за единицу. 1) Какую часть всего пути прошёл автомобиль во второй и третий дни вместе?

2) Какую часть всего пути прошёл автомобиль во второй день?

3) Какую часть всего пути автомобиль прошёл в третий день?

4) На какую часть всего пути прошёл автомобиль в третий день меньше, чем в первый?

5) Сколько километров между городами А и Б?

6) Сколько километров прошёл автомобиль в каждый день?

Ответ: 1. Между городами А и Б 720км.

2. Автомобиль прошёл в первый день 252 км, во второй день 288 км, в третий день 180 км.

Работа, не содержащая задач, может быть такова:

1) Вычислить:

47,5 — [37,542 + (12,8 — 80,4 . 0,025) . 0,2—1,7] . 1,25.

2) Как изменится произведение трёх множителей, если один из них умножить на 2,5, другой на 0,125 и третий на 3,2.

3) Начертить какой-либо прямоугольный треугольник и вычислить его площадь с точностью до 1 кв. мм.

Приводим варианты вопроса № 2 в этой контрольной работе:

а) вычислить произведение суммы чисел 0,48; 0,52 и 1,4 на 0,25 и на этом примере проверить распределительный закон умножения;

б) написать в виде формулы и вычислить разность между числом 3,6 и произведением чисел 1,25 и 2,76;

в) найти 0,36 от удвоенной суммы чисел 1,86 и 0,015.

Задачи геометрического содержания могут быть различные: а) учащемуся предлагается самому сделать чертёж, какой-либо фигуры и вычислить с заданной точностью или её периметр (длину окружности), или её площадь; б) учащемуся предлагается вычислить поверхность или объём тела по данным его размерам; вычисление можно предложить произвести также с заданной точностью.

Учитель может также дать на листке готовый чертёж и по нему произвести измерения и вычисления; например* можно дать фигуру, без труда разбиваемую на прямоугольники, и предложить вычислить её периметр и площадь.

Для контрольных работ должны быть особые тетради, хранящиеся в школе. В целях более бережного отношения учащихся к тетради очень полезно пронумеровать страницы тетради.

Подготовкой к контрольным работам является, разумеется, вся работа учителя в данном классе, однако непосредственно перед контрольной работой (или за один-два урока до неё) целесообразно провести в классе самостоятельную работу. Во время самостоятельной работы учитель,

наблюдая за работой отдельных учеников, тут же делает указания, разбирая наиболее типичные ошибки и наиболее часто встречавшиеся. Перед контрольной работой на тех уроках, на которых учитель не объясняет нового материала, полезно предложить трём-четырём ученикам выполнить работу, данную на отдельных листках. Текст задания по характеру и по размерам должен быть близок к текстам намечаемых контрольных работ. Это позволит учителю правильно установить объём материала для контрольной работы.

При проверке работ недостаточно только подчёркивать ошибки, надо указывать их характер; учащийся должен знать тотчас же по получении проверенной работы свои ошибки. Очень хорошо в конце работы давать (хотя бы в отдельных работах) краткие характеристики работ, отмечая как отличные, так и худшие работы. Орфографические ошибки должны быть исправлены. Работа должна быть проверена учителем и выдана учащимся не позже, чем через один-два урока после того, как она была проведена. Перед тем, как выдать работы учащимся, учитель разбирает в классе основные типичные ошибки в работах, а если в работе были задачи, то те из задач, которые вызвали большие трудности у учащихся. Упражнения контрольной работы, которые или вовсе не решены, или решены с ошибками, ученик должен заново выполнить в порядке домашнего задания. Эти исправления лучше делать в обычных тетрадях учащихся, а не в тетрадях для контрольных работ.

Надо приучить учащихся работать без черновиков. Во всяком случае работы, не содержащие задачи, должны быть выполнены без всяких черновиков. Если в работе имеются задачи, то можно позволить учащимся пользоваться отдельным листом для решения задачи, причём на этом листе задача решается без вопросов и без объяснений. Черновой лист должен быть сдан учителю одновременно с работой. На полях тетради ученик не имеет права делать никаких записей, никаких вычислений. Поля в тетради предназначаются для замечаний учителя.

Приводим примерный план контрольных работ в V классе (в скобках указан примерный срок работ):

1-я четверть — 7 работ.

1. Пример на действия с целыми числами; изменение результатов действия при изменении компонентов; обра-

щение одних мер в другие — более мелкие или более крупные (конец 1-й недели 1-й четверти).

2. Задача на целые числа (нахождение двух чисел по их отношению и сумме или разности) (3-я неделя).

3. Примеры и вопросы на делимость чисел, например: какие из данных чисел 11 796, 8010, 1752 и 4275 делятся на 9? делятся на 5? делятся одновременно на 3 и на 4? Задача на вычисление времени (5-я неделя).

4. Задача на целые числа (нахождение чисел по их сумме и разности, например, задача 406 из задачника Е. С. Березанской) (6-я неделя).

5. Разложение чисел на простые множители; нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного (7-я неделя).

6. Задача на целые числа; вопросы, связанные с теорией делимости чисел, например: а) написать в виде формулы и вычислить сумму числа 503 и частного от деления 784 на удвоенную разность чисел 371 и 343; б) проверить, что числа 220 и 273 взаимно простые; в) написать наименьшее четырёхзначное число, кратное 9 (работа рассчитана на два урока) (8-я неделя).

7. Общие свойства дроби: получение дроби, изменение величины дроби при изменении её членов; основное свойство дроби, исключение целого числа из неправильной дроби и обращение смешанного числа в неправильную дробь (9-я неделя).

2-я четверть — 5 работ.

8. Сложение и вычитание дробей; вычисление периметра прямоугольника (1-я неделя 2-й четверти).

9. Пример на сложение, вычитание и умножение дробей; нахождение дроби от суммы (разности, произведения) двух (или нескольких) чисел; сравнение по величине произведения двух дробных чисел и их разности (3-я неделя).

10. Задача на сложение, вычитание и умножение дробей с нахождением дроби от числа (4-я неделя).

11. Задача на нахождение дроби от числа и числа по его дроби; пример на все действия с дробями; вопрос: какую часть составляет наименьшее трёхзначное число от суммы чисел 378 и 622? И т. п. (работа рассчитана на два урока) (5-я неделя).

12. Деление дробей; небольшой пример на все действия с дробями; вычисление по чертежу площади геометрической фигуры, разбиваемой на прямоугольники (6-я неделя).

3-я четверть — 7 работ.

13. Отношение; примеры и вопросы на все действия с дробями (2-я неделя 3-й четверти).

14. Задачи на все действия с дробями: две задачи, из которых одна решается с вопросами или другой формой объяснения, а другая — без вопросов (3-я неделя).

15. Сложение, вычитание и простейшие случаи умножения десятичных дробей; задача на геометрический материал (5-я неделя).

16. Задача на действия с десятичными дробями (6-я неделя).

17. Задача и пример на все действия с десятичными дробями — на два урока (7-я неделя).

18. Примеры на все действия с десятичными дробями; нахождение приближённых частных; вычисление с заданной точностью площади прямоугольника, треугольника; нахождение отношения или неизвестного члена отношения, когда числа — десятичные дроби (8-я неделя).

19. Нахождение процента от числа и числа по его проценту; вычисление с заданной точностью длины окружности и площади круга по данному чертежу (10-я неделя).

4-я четверть —5 работ.

20. Задачи (простейшие) на проценты с приближёнными результатами; задача на вычисление с заданной точностью длины окружности и площади круга (2-я неделя 4-й четверти).

21. Две небольшие задачи на процентные вычисления (3-я неделя).

22. Повторение некоторых вопросов теории (нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, законы действий на примерах с дробными числами, упражнение на составление и вычисление небольших формул); вычисление с заданной точностью поверхности и объёма цилиндра (4-я неделя).

23. Задача (с геометрическим содержанием); пример на совместные действия с десятичными и обыкновенными дробями (работа рассчитана на два урока) (5-я неделя).

24. Задача; пример на все действия с десятичными и обыкновенными дробями; пример на процентные вычисления (работа рассчитана на два урока) (6-я неделя).

Система контрольных работ, хорошо продуманная до начала учебного года, чёткие требования к учащимся при проведении работ, своевременная проверка работ играют большую роль в борьбе за укрепление знаний учащихся.

Правильно организованная система контрольных работ имеет большое воспитательное значение: учащиеся привыкнут к самостоятельной работе и будут спокойно относиться к любому контролю их знаний. Контрольные работы способствуют также развитию речи учащихся, если учитель будет тщательно следить за культурной, грамотной редакцией пояснений к решению задач.

Р. Ю. Новицкая

(Москва)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК В V—VI КЛАССАХ.

В 1950/51 учебном году для учащихся V классов был организован математический кружок. В кружок записались 9 человек, но на отдельных занятиях присутствовали 12—15. Занятия кружка проводились еженедельно 1^- — 2 часа.

Материал для занятий кружка подбирался учителем, но отдельные задачи приносили сами учащиеся.

Много внимания уделялось оформлению работы, проводимой на занятиях; каждый член кружка имел отдельную тетрадь; записывалось решение каждой задачи; если учащиеся затруднялись в оформлении записи решения, то это решение они записывали под диктовку учителя, так как записи решений способствуют повышению развития ученика, приучают его к грамотным математическим формулировкам, заставляют проверять обоснованность решения.

В конце каждого занятия кружка учащиеся получали для работы дома задачу и пример такого же типа, какие разбирались на занятиях.

Если задание вызывало затруднения, то в конце занятий оно обсуждалось, иногда составлялся план решения.

В 1951/1952 учебном году кружок продолжал свою работу; из прежнего состава участников в кружке сохранилось 7 человек. Организация работы кружка в VI классе была та же, что и в V.

На занятиях кружка учащиеся V классов были ознакомлены с римской и славянской системами нумерации и им было рассказано, как люди дошли до современной системы нумерации.

Материал для бесед был взят из книг: Г. Н. Берман, Счёт и число и Б. В. Гнеденко, Очерки по истории математики в России.

На занятиях кружка учащиеся VI классов более глубоко познакомились с вопросом о простых числах; было рассмотрено «решето Эратосфена», бесконечность множества простых чисел и распределение простых чисел в натуральном ряду чисел; учащиеся познакомились с проблемой Гольдбаха: «Всякое число, большее единицы, является суммой не более трёх простых чисел».

Учащимся было рассказано о великом русском математике П. Л. Чебышеве, который установил формулу для приближённого вычисления числа простых чисел, не превышающих, данного числа N; было рассказано также о работах советских математиков: Л. Г. Шнирельмана и лауреата Сталинской премии академика И М. Виноградова, в связи с проблемой Гольдбаха.

На этих занятиях учащиеся узнали, что в теории чисел имеются такие проблемы, которые ещё не разрешены, хотя по простоте своей формулировки они доступны пониманию школьника. Материалом для бесед по этим вопросам, кроме указанных выше двух книжек, служили статьи, опубликованные в журнале «Математика в школе»: В. Н. Молодший, Пафнутий Львович Чебышев и Гинзбург, Из опыта изучения в школе биографий великих русских учёных.

Эти вопросы составили один из разделов работы кружка — углубление знаний учащихся по теоретическому материалу, связанному с проходимым курсом арифметики.

Вторым разделом работы кружка являлось повышение вычислительной культуры. Были рассмотрены следующие вопросы:

1) приёмы устного умножения на 9, на 11, на 15,. на 125.

2) способ умножения чисел не превышающих 20; например, чтобы умножить 17 на 18, можно последовательно произвести следующие вычисления:

17+8=25; 25-10 =250; 7-8 =56; 250 +56 =306;

все эти вычисления производятся устно и запись условно можно расположить так:

было рассмотрено на примерах и обоснование этого способа, пользуясь при этом распределительным и сочетательным

законом умножения:

17-18= 17(10 +8) = 17.10 +(10 +7).8 = 17-10 + 10-8 + + 7-8 = (17 + 8) . 10 + 7.8 = 250 + 5G = 306;

3) способ умножения двузначных чисел, у которых цифры десятков одинаковы, а сумма единиц составляет 10; например, чтобы вычислить 33-37, можно последовательно произвести следующие вычисления:

33-37 = 33 - (30+7) = 33-30 = 33-7 = (30 + 3)-30 + + 3).7 = 30-30 +30-3 + 30-7 + 3-7 = 30 (30 + 3 + 7) = =3.7= 30-40 + 3-7 = 1221;

как следствие из этого получили правило для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5 (сначала двузначных, а потом любой значности).

Рассматривались и некоторые другие приёмы сокращённого умножения.

Третьим разделом работы кружка было решение задач и примеров повышенной трудности, задач и примеров на сообразительность, занимательных задач-шуток, задач, формулировка условия которых наталкивает на ошибочное решение, которое, тем не менее, по простоте задачи кажется совершенно правильным. Такие задачи можно найти в книгах: Г. Б. Поляк, Занимательные задачи, Учпедгиз, 1948; Я. И. Перельман, Занимательная арифметика; С. В. Филичев и Я. Ф. Чекмарев, Сборник задач и упражнений по арифметике, 1949; С. А. Пономарёв и Н. И. Сырнев, Сборник арифметических задач, 1951; материалы к математическим олимпиадам университета и др.

На занятиях кружка рассматривались:

1) примеры с пропущенными цифрами;

2) примеры, в которых требовалось определить одно неизвестное число (см. задачник Филичева — Чекмарева, № 1969—1975, или Пономарёва— Сырнева, № 1132; 1331 — 1335);

3) примеры с дробями на преобразование их следующего вида:

при доказательстве неравенства:

где п и т — натуральные числа;

4) задачи примерно такого содержания:

а) найти наименьшее число, дающее при делении на 2, на 3, на 4, на 5 и при делении на 6 каждый раз в остатке 1;

б) дописать к первым трём цифрам шестизначного числа 623*** недостающие такие три цифры, чтобы число делилось нацело на 7, на 8 и на 9;

в) сколько существует целых чисел, меньших тысячи, которые не делятся ни на 5, ни на 7?

г) найти наименьшее число, начинающееся цифрой 7 и такое, что если переставить эту цифру в конец, то полученное число будет втрое меньше первоначального;

д) доказать, что любое целое число рублей, большее 7, можно уплатить без сдачи денежными билетами достоинством в 3 рубля и в 5 рублей;

е) определить р, если р; р + 10; р+14 — простые числа;

ж) если р и q — простые числа, большие 3, то р2—q2 делится на 24.

Доказать.

Наряду с указанными примерами были рассмотрены примеры из сборника задач по алгебре Ларичева, № 685, 713, 745, 746, 777(5), из сборника Филичева-Чекмарёва, № 2076—2087; было показано решение арифметических задач на уравнивание способом составления системы двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными и др.; решались также более трудные задачи на движение, на выполнение работы, на проценты и др.

Работа в кружке благоприятно отразилась на успеваемости его участников; повысился интерес к занятиям и у других учащихся класса. Члены кружка участвовали дважды в районных и городских олимпиадах и оба раза получали грамоты 1-й и 2-й степени.

В текущем учебном году кружок продолжает свою работу с учащимися VII класса.

В заключение приводим образец оформления решения задачи одним из членов кружка, учащимся В. Кацевич.

Задача. Поезд проходит мост длиной в 450 м за 45 сек. и за 15 сек. проходит мимо телеграфного столба. Вычислить длину поезда и его скорость.

1. Поезд подошёл к телеграфному столбу.

2. Поезд прошёл телеграфный столб или расстояние, равное своей длине.

3, Поезд подошёл к мосту.

4. Поезд прошёл расстояние, равное длине моста, но ещё находится на мосту.

5. Поезд прошёл мост или расстояние, равное сумме длин моста и своей собственной.

Решение.

1) Во сколько секунд проходит паровоз 450 ж?

45—15 = 30 (сек).

2) Какова скорость поезда?

15-3600 = 54000 (м в час), или 54 км в час.

3) Какова длина поезда?

Ответ: длина поезда 225 м; скорость поезда 54 км в час,

А. И. Штукатурова

(Москва )

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПИОНЕРСКИЕ СБОРЫ В V—VII КЛАССАХ

В последнее время в практику внеклассной работы по математике всё более и более внедряется проведение математических пионерских сборов.

Пионерская организация охватывает почти всех учащихся V—VII классов средней школы, а потому математические пионерские сборы при хорошей их организации могут принести большую пользу в сознательном усвоении математических понятий. Различные математические кружки и олимпиады охватывают ограниченный состав учащихся, а поэтому учитель V—VI I классов, используя эти формы внеклассной работы, должен более значительное место уделить новой форме — проведению математических пионерских сборов.

В настоящей небольшой статье мы излагаем опыт организации и тематику математических пионерских сборов, проводимых в школах Бауманского района г. Москвы.

Вопросы, рассматриваемые на математических пионерских сборах, были различны: были доклады и сообщения по истории математики и о роли русских учёных в развитии математики (Магницкий, Эйлер, Лобачевский и др.); были сообщения о живой связи теории математики и практики; рассматривались решения занимательных и практических задач и задач, требующих особой смекалки и сообразительности; ставились инсценировки и проводилось чтение различных художественных произведений, посвященных математическим вопросам, например рассказ А. П. Чехова «Репетитор», рассказ Л. Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» и др.

Приведём тематику и организацию нескольких математических пионерских сборов, проведённых учителями школ

А. Ф. Фирсовой (347-я школа), Т. Н. Денисовой (342-я школа), А. И. Штукатуровой (348-я школа) и др.

1-й пример. Цель сбора: дать представление о машинах, работающих на строительстве гидроэлектростанций на Волге и Днепре, и тем самым закрепить знания по арифметике и познакомить учащихся с числами-великанами.

Учитель знакомит кратко с сочинением Архимеда «Псаммит», т. е. исчисление песчинок в пространстве, равном шару неподвижных звёзд.

Даются краткие сведения об Архимеде и его сочинениях.

В основу беседы положена брошюра: Архимед, Исчисление песчинок, изд. 1932 г.

Отдельные участники сбора выступают с сообщениями о конкретизации чисел: 1 ооо ооо — число клеточек в 32 тетрадях; 1 000 000000 — число минут, протекших с начала нашей эры до весны 1902 г.; рассказывают о числе зёрен, которые нужно было выдать по преданию изобретателю шахматной игры, положив на клетки шахматной доски 1, 2, 4, 8 ... 263 зёрен, что в сумме должно составить число 18 446 744 073 709 551 615; человек за каждые пять лет своей жизни проходит расстояние, равное длине земного экватора, и др.

После сообщения указанных выше сведений о числах-великанах другие учащиеся сообщают о машинах, работающих на строительстве гидроэлектростанций.

Землеснаряды и другие машины, работающие на этом строительстве, заменяют весьма большое количество рабочих. Так, канавокопатель заменяет 90 человек рабочих, ковш мощного экскаватора захватывает 14 мъ земли, что соответствует нагрузке одной железнодорожной платформы. Материал о технике, применяющейся на строительстве, можно найти в различных журналах.

После выступлений отдельных учащихся было проведено решение задач на смекалку и сообразительность. Задачи предлагались из книжек: В. А. Игнатьев, В царстве смекалки; Я. И. Перельман, Занимательная арифметика, Загадки и диковинки в мире чисел и др.; Г. Б. Поляк, Занимательные задачи по арифметике; Г. Н. Берман, Счёт и число и др.

2-й пример. Цель сбора : сообщить учащимся некоторые сведения из истории происхождения нашей

современной нумерации и повысить интерес к изучению арифметики.

Первое сообщение о вавилонской клинописи и объёме математических знаний вавилонян делает учитель. Двое учащихся знакомят с римской и древнеславянской системами нумераций. Третий учащийся знакомит с индусской системой нумерации, даёт эволюцию знаков для обозначения цифр в ней; вывешивает соответствующую таблицу, где последняя строка содержит современные символы десяти цифр.

После этого учащимся были даны сокращённые приёмы некоторых вычислений (по книге М. К. Гребенча, Арифметика для учительских институтов).

Заключительная часть сбора была посвящена решению задач, чтению отрывков из «Занимательной геометрии» Перельмана.

В заключение был прочитан отрывок из рассказа А. П. Чехова «Репетитор».

3-й пример. Сбор был посвящен памяти Н. И. Лобачевского — великого русского математика. Цель сбора: познакомить с деятельностью великого русского учёного и отметить его роль в развитии мировой науки.

В начале сбора преподаватель указывает дату рождения геометрии Лобачевского (1826 г.), а 19 февраля 1829 г. появляется первый печатный труд в мире по неевклидовой геометрии Лобачевского, опубликованный в «Вестнике» Казанского университета, и кратко рассказывает о значении работ Лобачевского.

После этого один из учащихся сообщает биографические данные о Лобачевском.

Другой учащийся напоминает собравшимся о некоторых теоремах геометрии, где имеется доказательство единственности. Таковы, например: 1) теорема о перпендикуляре, опущенном на прямую из точки, взятой вне этой прямой; 2) теорема о проведении окружности через три точки, не лежащие на одной прямой и др. Затем приводится формулировка аксиомы параллельности: через точку, взятую вне данной прямой, можно провести к ней прямую, параллельную данной, и только одну; указывается, что заслуга Лобачевского состоит в том, что он создал свою геометрию, отличную от геометрии Евклида, заменив аксиому параллельности другой, и этим доказал, что утверждение Евклида о проведении единственной прямой, парал-

лельной данной, является аксиомой и справедливость этого утверждения доказана быть не может (в системе аксиом Евклида). Можно показать таблицу-плакат по геометрии, издание Учпедгиза 1951 г.

Третий учащийся приводит историю вопроса о постулате параллельности, различные эквивалентные ему утверждения; это можно сделать по книге Б. В. Кутузова «Основания геометрии и геометрия Лобачевского».

Затем было предложено решить несколько геометрических задач (обман зрения, геометрические софизмы и др.), для чего были использованы вышеуказанные книги, а также и книги: В. М. Брадис и Харчева, Ошибки в математических рассуждениях учащихся; Обреимов, Математические софизмы, и др.

В заключительной беседе было рассказано о педагогической деятельности Лобачевского, о его большой работе по укреплению Казанского университета, о том внимании, которое уделял Лобачевский развитию среднего математического образования: им были созданы учебники по элементарной математике. Было также рассказано, что несмотря на нападки реакционной части учёных Лобачевский проявил исключительную твёрдость в своей правоте и уверенность в справедливости созданных им идей.

Можно рекомендовать в заключение прочитать отрывок из книги Носова «Витя Малеев в школе и дома» о том, как Витя решал задачу: долго думал, представил себя действующим лицом, нарисовал рисунок к задаче и добился решения задачи.

4-й пример. Простейшие инструменты и их математическое обоснование.

Рассматривается ряд простейших инструментов и приборов и производится анализ, на основе каких теорем, математических положений основана работа инструмента или прибора:

1) проверка линейки;

2) проведение прямой линии на материи при помощи намелённой нити, натянутой, как струна, между закреплёнными концами;

3) проверка угольника;

4) рейсмус для проведения параллельных прямых в столярном деле;

5) параллельные тиски;

6) весы для писем;

7) штангенциркуль (мерная вилка);

8) центроискатель;

9) масштабы (численный, линейный и поперечный).

В заключение разбирается ряд прикладных задач из книжки Я. И. Перельмана «Новый задачник по геометрии», 1929:

а) определить по часам в солнечный день линию юг — север;

б) определить недоступные расстояния с помощью равных треугольников;

в) определить высоту предмета с помощью эклиметра и др.

Заключение.

К организации проведения математического сбора привлекался совет отряда.

Отдельным пионерским звеньям давались задания. Если в классе имеется кружок по математике, то членов кружка можно привлечь к участию в сборе. Учитель и пионервожатый перед сбором знакомят участников его с программой сбора. Задания следует раздать отдельным учащимся.

Недостатком в работе является отсутствие литературы; но нужно отметить, что если учащиеся заинтересуются, то они найдут нужные им книги. Перед проведением сбора учитель и пионервожатая должны проверить подготовленность учащихся к сбору и прорепетировать выступления участников сбора.

Начинается сбор, как всегда, проведением линейки, сдачей рапортов. Линейку можно провести в коридоре, самый сбор в классе.

После сбора проводится заключительная линейка. Продолжительность сбора целесообразнее планировать не более чем на астрономический час.

П. В. Стратилатов

(Москва)

УПРАЖНЕНИЯ ПО АЛГЕБРЕ НА МАТЕРИАЛЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ АРИФМЕТИКИ.

Предлагаемые упражнения по теоретической арифметике являются материалом для повторения и углубления арифметики при прохождении алгебры. Единственным недостатком этих упражнений с точки зрения школьного курса арифметики является то, что при решении всех этих упражнений приходится ограничивать множество допустимых значений для букв целыми положительными числами. Но в этом есть и своё достоинство, так как, акцентируя именно на этом внимание учащихся, учитель имеет возможность приучить их к тому, чтобы при решении упражнений по курсу алгебры VI—VII классов (и, разумеется, старших классов особенно) они всё время ставили перед собой вопрос: какое множество чисел является допустимым в данном алгебраическом выражении для той или иной входящей в него буквы ? Это, бесспорно, приучает учащегося к более углублённому пониманию производимых преобразований и способствует его математическому развитию.

Мы считаем, что большинство из этих упражнений должно найти своё место на уроках алгебры в VI—VII классах, заменив часть тех тренировочных упражнений, которые имеются в любом школьном алгебраическом задачнике.

В задачнике по алгебре П. А. Ларичева приведено десяток-полтора таких упражнений. Однако следует отметить, что к этим упражнениям ученика следует приучить. Всем преподавателям известно, что даже запись числа (авс 0 d) в виде d -f 100 с + 1000 Ь + 10 000 а представляет трудность для учащихся.

Мы рекомендуем ограничить на первых порах работу в классе включением некоторых упражнений, вынеся остальные на внеклассную работу с более успевающими учащимися. Постепенно, когда учитель на практике ознакомится с системой предлагаемых упражнений, он сам оценит их

и будет более широко их применять в классной работе. Весьма важно обратить внимание на методику работы с предлагаемыми упражнениями. В ряде случаев целесообразно исходить сначала из конкретного числового примера, на котором проверяется справедливость приводимого в упражнении свойства чисел. Важно, чтобы примеры привели сами учащиеся, подобрав число, удовлетворяющее условиям задачи. После этого составляется общий вид чисел, удовлетворяющих условиям упражнения, и доказывается справедливость этого свойства. Последний этап решения будет состоять в проверке указанного свойства для чисел, получаемых при определённых числовых значениях букв, входящих в составленную формулу.

Так, например, при решении упражнения: «Доказать, что если а — число нечётное, то а4 + 9 (9 — 2а2) делится на 64» следует сначала взять, например, а = 5, вычислить числовое значение данного выражения [54 + 9 (9 — 2 • 52) = = 625 — 369 = 256] и непосредственным делением убедиться, что полученное число (256) делится на 64. После этого свойство доказывается в общем виде.

Пусть а = 2k + 1 ;

имеем:

а*+ 9 (9 -2а2) = а4—18а2+ 81 = (а2 — 9)2;

но

а2 — 9 = 4k2 + 4k + I— 9 = 4k(k+ 1) —8;

полученное число кратно 8, так как k и k + 1 — два последовательных числа и одно из них должно делиться на 2.

Решение целого ряда примеров основано на применении метода полной индукции; название метода можно не сообщать учащимся в VI—VII классах, но познакомить с применением его целесообразно.

Материал упражнений частично проверялся в практике работы, в школе. При составлении упражнений использованы следующие пособия:

1. Глаголев, Теоретическая арифметика, 1904;

2. Таннери, Курс теоретической и практической арифметики, 1915;

3. С. В. Филичев, Сборник упражнений по теоретической арифметике (для заочников учительских институтов), 1948;

4. Упражнения из журнала «Математика в школе».

Заимствованные в указанных пособиях упражнения систематизированы по темам курса алгебры и расположены по степени трудности; наиболее трудные из них отмечены звёздочкой. В конце статьи даны указания и ответы.

I. Буквенные выражения.

1. Написать число, содержащее а тысяч, Ь десятков и с единиц. Вычислить, сколько единиц содержится в этом числе, если:

а) а = 9, Ь = 7, с = 6;

б) а = 3, 6=0, с = 8.

2. Написать число, у которого цифра единиц II класса 3-го разряда а, цифра единиц II класса 1-го разряда 6, цифра единиц I класса 2-го разряда с. Вычислить, сколько единиц содержится в этом числе, если:

а) а = 1, & =9, с =0;

б) а = 6, & = 0, с = 5.

3. Объяснить, почему в каждом числе одна единица какого-нибудь разряда всегда больше числа, изображаемого цифрами, стоящими направо от него?

4. а) Сколько всего двузначных чисел?

б) Сколько всего трёхзначных чисел?

в) Сколько всего пятизначных чисел?

г) Сколько всего следует написать цифр, чтобы выписать все трёхзначные числа ?

5. Число содержит т сотен, п десятков и р единиц. Написать число, записанное теми же цифрами, расположенными в обратном порядке.

*) 6. Пишут все числа от 1 до 99 999. Сколько раз будет написана цифра 1 ?

*) 7. Выписываются подряд все натуральные числа, начиная с единицы. Какая цифра будет написана на 100 ООО месте ?

8. Для каждого целого числа N, записанного п цифрами, справедливо следующее соотношение:

ÎO^SJVSIO^I.

Проверить справедливость этого соотношения для двузначных чисел, для трёхзначных, четырёхзначных и пятизначных.

9. Дано число, записанное т цифрами.

Написать наименьшую степень 10, которая больше этого числа.

10. Дано четырёхзначное число. Написать наименьшую степень 10, которая больше этого числа. Какое число дополняет данное четырёхзначное число до этой степени и как проще вычислить это дополнение? Обобщить.

11. Почему квадрат многозначного числа оканчивается на ту же цифру, что и квадрат единиц этого числа?

12. Доказать, что целое число, оканчивающееся цифрами 2, 3, 7 и 8, не может быть квадратом другого числа. Какими цифрами оканчиваются квадраты целых чисел? Какими цифрами оканчиваются четвёртые степени целых чисел?

13. Проверить, что пятая степень любого натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число.

14. Дано натуральное число п. Написать натуральное число, следующее за данным.

15. Какова общая формула чётного числа ? Какова общая формула нечётного числа ?

16. Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел может оканчиваться цифрами 0,2 или 6.

17. На какую цифру оканчиваются числа:

а) 34653? б) 74523? в) 3467 . 6754?

18. Написать общие формулы чисел:

а) кратных 2; б) кратных 3; в) кратных 5; г) кратных 7; д) кратных 10; е) кратных 13.

19. Написать общие формулы чисел, которые не делятся нацело:

а) на 2; б) на 3; в) на 5; г) на 7.

Выписать полученные формулы в порядке возрастания остатков.

20. Записать формулой произведение трёх последовательных целых чисел, меньшее из которых я, и объяснить, почему оно делится нацело на 6. Убедиться в этом, придавая п числовые значения 1, 2, 3, 4 и т. д.

21. Записать формулой произведение четырёх последовательных целых чисел, меньшее из которых п, и объяснить, почему оно делится на 24. Убедиться в этом, придавая букве п в формуле числовые значения 1, 2, 3, 4 и т. д.

22. Записать формулой произведение пяти последовательных чисел, меньшее из которых пу и объяснить, почему это произведение разделится на 120.

23. Написать формулу нечётного числа и формулу половины числа, следующего за ним. Придавая буквам в этих формулах числовые значения 0, 1, 2, 3, 4 и т. д., убедиться в том, что это два взаимно простые числа.

24. Найти наименьшее число, которое было бы кратным 7 и при делении на каждое из чисел 2, 3, 4, 5 и 6 давало бы в остатке 1.

25. Пусть дано произведение всех натуральных чисел до р включительно; составим число по формуле (Ь2-Зх Х4...р+ 1). При каких значениях р меньше 8 образован: ное число будет числом составным?

26. Составить число, представляющее произведение простых чисел от 2 до р включительно, увеличенное на 1. При каком числовом значении р получится составное число ?

27. Число п ( п -f 1) (п + 2) делится на 6. Убедиться в этом, придавая п последовательно значения 1, 2, 3 и т. д.

28. При каком наименьшем значении р формула —g— даёт простое число?

29. При каком наименьшем значении р формула (2Р— 1) даёт составное число?

30. При каком наименьшем значении п формула (22П+1) даёт составное число?

31. Убедиться в том, что любая степень числа 5, уменьшенная на 1, даёт число, кратное 4.

*) 32. Пусть числа а и 6— взаимно простые и Ь>а. Убедиться в том, что при делении чисел 6, 26, 36, (а—1)6 на число а получится а—1 остатков, соответственно равных числам 1, 2, 3, ..., (а— 1), расположенных в некотором порядке.

*) 33. Убедиться на примерах, что для числа N = aa-№ число всех делителей равно (а + 1) • ф + 1).

34. Написать формулу числа, содержащего а единиц низшего разряда, 6 единиц 2-го разряда и с единиц 3-го разряда по двенадцатеричной системе счисления.

35. Выразить число 327 в пятиричной системе счисления.

36. Как запишется в десятичной системе счисления число (2507)7? (Цифра 7 показывает основание системы счисления данного числа.)

37. Произвести сложение и вычитание:

38. Произвести умножение и деление:

II. Отрицательные числа.

1. Общий вид или формула любого нечётного числа записывается так (2п + 1) или (2п —1). Доказать, что вторая формула может быть получена из первой и наоборот.

2. Всякое нечётное число, увеличенное на 1 или уменьшенное на 1, есть число, кратное 4 (формула любого нечётного числа: 4k + 1 или 4k — 1). Доказать.

3. Доказать, что всякое нечётное число больше или меньше на 1 или на 3 числа, кратного 8 (всякое нечётное число может быть выражено формулами 8п + 1 или 8п + 3).

4. Составить формулу чисел, которые не делятся нацело на 3, добившись того, чтобы остатки выражались возможно меньшими по абсолютной величине числами (доказать, что все числа, не делящиеся на 3, выражаются формулой 3k ± 1).

5. Доказать, что все числа, не делящиеся на 5, выражаются формулами 5k + 1 и 5 k + 2 (см. задачу 4).

6. Доказать, что все числа, не делящиеся на 7, выражаются одной из следующих формул: 7é+l; Ik + 2; Ik + 3 (см. задачу 4).

7. Формулы, полученные при решении задач 4, 5 и 6, выписать с одним знаком в порядке возрастания остатков. Убедиться, что числа, равноотстоящие от концов этого ряда, дают числа, кратные соответственно 3, 5 и 7.

8. Найти общий вид чисел, которые при делении на 3, на 5 и на 7 дадут в остатке соответственно 2, 4 и 6.

9. Найти сумму двух чисел, если одно слагаемое больше 10 ООО на столько же, на сколько другое слагаемое меньше 1000.

10. Найти разность двух числ, если уменьшаемое меньше 549 на столько же, на сколько вычитаемое меньше 349.

11. Доказать, что выражение [10п(9я— 1) -{- 1] делится на 9 при всяком целом л.

III. Одночлены и многочлены.

1. Записать какое-нибудь пятизначное число натурального ряда в виде многочлена, расположенного по убывающим степеням числа 10.

2. Доказать, что: а) сумма или разность двух чётных чисел есть число чётное; б) сумма или разность двух нечётных чисел есть число чётное.

3. Доказать, что: а) сумма или разность чётного и нечётного чисел есть число нечётное; б) произведение двух и нескольких чётных чисел есть число чётное; в) произведение двух и нескольких нечётных чисел есть число нечётное и г) произведение чётного числа на нечётное число есть число чётное.

4. Написать два числа, равноостаточные относительно числа 7 (дающие при делении на 7 равные остатки). Убедиться, что разность таких чисел есть число, кратное 7.

5. Убедиться, что разность между трёхзначным числом и числом обращенным есть число, средняя цифра которого есть 9, и сумма остальных цифр равна 9.

*) 6. Дан ряд чисел а>Ь> с>...> /. Доказать, что разность между крайними числами (а и /) равна сумме всех разностей между последовательными данными числами.

7. Показать, что любые целые числа а и Ь (а > Ь) обладают следующим свойством: либо а, либо Ь, либо а -}- 6, либо (а—Ь) делится на 3.

8. Показать, что одно из чисел а, 6, а + 6, а — Ь, 2а + by 2а — b делится на 5, каковы бы ни были натуральные числа а и b (а> 6).

9. Как изменится произведение ab(a> 6), если к большему сомножителю прибавить единицу, а от меньшего отнять единицу?

10. Как изменится произведение ab(a>b), если к меньшему сомножителю прибавить единицу, а от большего отнять единицу?

11. Как изменится произведение ab(a>b), если к большему сомножителю прибавить т единиц, а от меньшего отнять т единиц?

12. Напишите какое-нибудь двузначное число; удвойте цифру десятков и к результату прибавьте 5; полученную сумму умножьте на 5 и к произведению прибавьте цифру единиц. Если полученный результат уменьшить на 25, то получим первоначально взятое число. Доказать это.

13. Напишите какое-нибудь многозначное число; удвойте цифру старшего разряда и к результату прибавьте 5; сумму умножьте на 5 и к произведению прибавьте цифру следующего разряда; полученную сумму умножьте на 10 и к произведению прибавьте цифру следующего разряда и т. д. ; отнимите от полученного результата 250, когда взято трёхзначное число, 2500, когда взято четырёхзначное число, и т. д. Доказать, что при этом получится первоначально взятое число.

14. Доказать, что если к произведению двух последовательных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа.

15. Доказать, что произведение двух чисел, разнящихся на 2, увеличенное на 1, даёт квадрат числа, заключённого между взятыми числами.

16. Произведение трёх последовательных чисел, увеличенное на среднее из них, даёт куб среднего числа. Доказать.

17. Доказать, что произведение двух чисел вида - ^ и 2п(п+ 1), увеличенное на квадрат числа /г, даёт четвёртую степень п.

18. Доказать, что сумма двух чисел, одно из которых на две единицы больше другого, делится на разность этих чисел.

19. Доказать, что если число не делится на 3, то, удвоив его и прибавив 1 или отняв 1 от произведения, получим число, кратное 3.

20. Доказать, что сумма трёх последовательных чисел делится на 3, сумма пяти последовательных чисел делится на 5 и т. д.

21. Произведение двух последовательных чисел всегда число чётное, а половина этого произведения при делении на 3 даёт в остатке или 1, или 0. Доказать.

22. Пусть делимое а, делитель 6, частное с и остаток d (а> Ь и Ь >d). Какое наибольшее число можно прибавить к делимому, не изменяя частное?

23. Частное от деления п на р равно т\ частное от деления т на р равно q. Доказать, что частное от деления п на р2 равно q.

24. Числа а и Ъ при делении на с дают равные остатки. Доказать, что и числа am и Ьт при делении на с дадут также равные остатки.

25. Если г есть остаток от деления а на Ь, то остаток от деления а2 на Ь равен остатку от деления г2 н# Ь. Доказать.

26. Если г есть остаток от деления а на ft, то остаток от деления а3 на Ъ равен остатку от деления г3 на 6. Доказать.

27. Доказать, что два последовательных целых числа есть числа взаимно простые.

28. Доказать, что всякое нечётное число имеет вид 4я+1.

29. Доказать, что всякое простое число, кроме 2 и 3, имеет вид (6/г + 1).

30. Доказать, что два последовательных нечётных числа есть числа взаимно простые.

31. При каком условии три последовательных натуральных числа попарно взаимно простые числа ?

32. Два числа а и Ь — взаимно простые. При каком условии их сумма и их разность также взаимно простые числа?

33. Два числа а и b — взаимно простые. При каком условии а + Ь и а — 6 — взаимно простые числа с числом ab ?

34. Квадрат числа, не делящегося на 3, при делении на 3 даёт в остатке 1. Доказать.

35. Доказать, что сумма квадратов двух чисел, каждое из которых не делится на 3, также не делится на 3.

36. Доказать, что квадрат числа, не делящегося на 5, есть число вида (5/? + 1).

37. Доказать, что для любого целого числа р справедливо равенство:

38. Проверить справедливость формулы

п = (2п + I)2 — п2 + п3 — (п + I)8,

выражающей, что всякое целое число можно представить в виде алгебраической суммы двух квадратов и двух кубов. Проверить на примерах.

39. Доказать, что квадрат всякого нечётного числа есть сумма двух последовательных чисел, из которых большее есть сумма двух квадратов.

40. Доказать, что если а и b —- числа взаимно простые, то числа а + b и а2 + Ь2 также взаимно простые.

41. Доказать, что если числа а и b — взаимно простые, то числа (а + Ь) и (а2 — ab -}- b2) могут делиться только на число, равное 3.

42. Доказать, что куб числа, не делящегося на 7, имеет вид 7 k ± 1.

43. Проверить справедливость равенства:

выражающего, что четвёртая степень целого числа есть сумма куба и двух квадратов некоторых чисел.

44. Доказать, что если а не делится на 5, то (а4 —1) делится на 5.

*) 45. Если два целых числа изменяются так, что их сумма остаётся постоянной, то произведение этих чисел будет наибольшим, когда числа примут равные значения. Доказать.

46. Доказать справедливость формул:

IV. Разложение многочленов на множители.

1. Дано число с нечётным числом цифр. Доказать, что разность между этим числом и числом обращенным делится на 11.

2. Сумма шести двузначных чисел, образованных тремя различными данными цифрами, из которых ни одна не есть нуль, равна сумме данных цифр, взятой 22 раза. Доказать.

3. Доказать, что 100а +106 + с + 5 (4с — 2Ь + а) при целых а, Ь, с делится на 21.

4. Если число N > M делится нацело на УИ, то разность N — M делится на M и в частном получается число на 1 меньше частного от деления N на М. Доказать.

5. Если число N при делении на число M(N > M) даёт остаток г, то и число (Л/ — М) при делении на M даёт остаток, равный г. Доказать.

6. Разность между трёхзначным числом, цифры которого различны, и числом обращенным не может быть точным квадратом. Доказать.

*) 7. Пусть а и b — простые числа. Сколько чисел, меньших числа ab, взаимно простых с этим числом? *) 8. Доказать, что если число Зл+1 кратно 10 (например, при п = 3; 13 и т. д.), то число 3n+4+1 тоже кратно 10.

9. Если ft — число чётное, то числа п{п2 + 20); п(п2 —20); п(п2 + 4) и п(п2—4) делятся на 8. Доказать.

10. Доказать, что удвоенное число вида 2п(п — 1), увеличенное на 1, есть квадрат нечётного числа.

11. Доказать, что число 144 есть точный квадрат при любом основании системы счисления.

12. Доказать, что число 1331 есть точный куб при любом основании системы счисления.

13. Доказать, что число а2 — Ь2 есть число составное, если а и b — числа простые и удовлетворяют условиям а ф Ь ф 2.

14. Доказать, что если число N = mp-\-\t то N2 есть число того же вида.

15. Если yV—число взаимно простое с числом 6, то число N2—1 делится на 24. Доказать это.

*) 16. Если а и b — числа взаимно простые с числами 2, 3 и 5, то число а4 — о4 делится на 240. Доказать.

17. Если а и Ь—-два числа, не делящиеся на 3, то число а6 — bQ делится на 9. Доказать.

18. Число а7 — а делится на 42, если а — целое число. Доказать.

19. Найти общий наибольший делитель и общее наименьшее кратное чисел 1122 и 1326 при произвольном основании системы счисления.

20. Доказать, что квадрат всякого нечётного числа, уменьшенный на 1, делится на 8.

21. Доказать, что квадрат всякого простого числа (кроме 2 и 3), уменьшенный на 1, делится на 24.

22. Доказать, что сумма квадратов трёх простых чисел, каждое из которых больше трёх, не есть простое число.

*) 23. Доказать, что при п целом число (#3-{-11#) делится на 6.

24. Разложить на множители число л4-|-4у4, если хфО, xjzl, уфО и

25. Доказать, что разность кубов двух последовательных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.

26. Доказать справедливость формулы:

(а2 + b2) .(c2 + d2) = (ac- bd)2 + (ad+cb)2 =[ас + bd)2 +. + (ad-cb)2.

27. Доказать, что если к произведению трёх последовательных чисел прибавить среднее из них, то получим куб этого среднего числа.

28. Доказать, что разность между кубом какого-нибудь целого числа и самим числом делится на 6.

29. Доказать, что если п — целое число, то число п (п2 -f 5) делится на 6.

30. Доказать, что если число не делится на 5, то его квадрат, увеличенный или уменьшенный на 1, делится на 5.

31. Доказать, что разность четвёртых степеней двух чисел, не делящихся на 5, делится на 5.

32. Доказать, что если а — нечётное число, то число а4 -}- 9(9 — 2а2) делится на 64.

33. Доказать, что число вида р4 + 4 не может быть простым числом при р > 1 .

*) 34. Доказать, что куб целого числа есть разность квадратов двух чисел, одно из которых кратно 3. *) 35. Доказать, что если п — нечётное число и пф 1, то число я12 — ns — rfi -f 1 делится нацело на 512.

V. Алгебраические дроби.

1. Доказать, что если — несократимая дробь, то дробь, дополняющая её до 1, также несократимая.

2. Доказать, что 2а. Доказать, что

3. Доказать, что

4. Доказать, что неправильная дробь от уменьшения её числителя на число, равное разности между её числителем и знаменателем, обратится в 1.

5. При каком условии разность двух дробей, имеющих одинаковые числители, выразится дробью с тем же числителем ?

6. Чему равна разность двух правильных дробей, если числитель и знаменатель уменьшаемого каждый на 1 больше числителя и знаменателя вычитаемого?

7. Каковы должны быть две дроби, чтобы их разность равнялась их произведению?

8. Каковы должны быть две дроби, чтобы их сумма равнялась их произведению?

9. Доказать, что если сумма двух дробей равняется единице, то квадрат первой, сложенный со второй дробью, равен квадрату второй, сложенному с первой дробью.

10. Показать, что дробь ^ 1 несократимая.

11. Какая из дробей больше: 2jz| или ^2 ~ ~ (при а>Ь)?

12. При каком целом р дробь У^Г\ есть Делое число?

13. Найти два целых числа, сумма обратных чисел которых равна 1.

14. Доказать, что если к числителю и знаменателю несократимой дроби прибавим числа, равнократные членам этой дроби, то дробь не изменит своей величины.

15. Сократить дробь:

16. Доказать, что 1 • 3 • 5 • 7 • 9 ... (2л — 1) =

если п > 1 и целое число.

17. Доказать, что

18. Пользуясь предыдущей задачей, показать на числовых примерах, что всякую правильную дробь можно представить в виде суммы нескольких дробей, числители которых равны 1.

19. Доказать, что всякую правильную дробь у можно представить в виде разности : -j = ~ — ~, где q есть частное и аг — остаток от деления числа b на число а.

20. Доказать, что при любом целом п дробь —есть целое число.

21. Доказать, что при любом целом п дробь —^— есть целое число.

22. Доказать, что при любом целом п дробь —jp-1 есть целое число.

VI. Пропорции.

1. Если имеем ряд равных между собой дробей, то каждая из них равна дроби, числитель которой равен сумме числителей дробей, а знаменатель — сумме их знаменателей (свойство ряда равных отношений).

2. Доказать, что если

3. Существует ли такая пропорция, прибавив к членам которой одно и то же число, получим числа, составляющие также пропорцию?

*) 4. Доказать, что если

5. Доказать, что а, о, с и d составляют пропорцию,

если

6. Пропорция

называется гармонической.

Доказать, что в гармонической пропорции

7. Показать, что в пропорции можно заменить числители двух отношений:

а) средними арифметическими или б) средними геометрическими двух членов каждого отношения.

8. Показать, что если Ь есть среднее пропорциональное между а и с, то

VII. Уравнения 1-й степени.

(с одним неизвестным, системы уравнений и неопределённые).

1. Найти два числа, если их отношение равно jg, а наименьшее общее кратное 1260.

2. Найти обыкновенную дробь, которая увеличивается вдвое, если к её числителю и знаменателю прибавить знаменатель.

*) 3. Найти такое трёхзначное число, что, удвоив его, мы получили бы число, выражающее число цифр, необходимое для написания всех последовательных целых чисел от 1 до этого искомого трёхзначного числа.

4. Найти целое двузначное число, равное удвоенному произведению цифр этого числа.

5. Если число умножить на 31, то оно увеличится на 6600. Найти это число.

6. В числе (2*78) найти цифру сотен х, зная, что число должно делиться на 17.

*) 7. Найти два взаимно простых числа р и q таких, чтобы сумма всех делителей числа N =25 •/?•</ равнялась утроенному числу N.

8. Найти два взаимно простых числа р и q, зная, что сумма делителей числа N = 27рд равна ^ числа N.

9. Произведение двух чисел 345; оно уменьшится на 69, если из множителя вычесть 3. Найти множимое и множитель.

10. Произведение двух чисел равно р. Если один сомножитель увеличим на с единиц, то произведение увеличится и станет равным т. Найти сомножители.

11. Одно число кратно 2, другое кратно 4.

Какое число, кратное 2, нужно прибавить к сумме этих двух чисел, чтобы получить число, кратное 8?

12. Одно число кратно 3, а другое кратно 6. Какое число, кратное 3, нужно прибавить к сумме этих двух чисел, чтобы получить число, кратное 9?

VIII.

1. Найти два числа, отношение которых равно отношению 30 к 48 и общий наибольший делитель которых равен 12.

2. Три числа имеют общий наибольший делитель, равный 17, общее наименьшее кратное, равное 1785. Сумма этих чисел 255. Найти числа.

*) 3. Найти двузначное число, которое равнялось бы утроенному произведению его цифр.

4. Найти два числа, общий наибольший делитель которых равен 36, а общее наименьшее кратное 756.

5. Доказать, что общий наибольший делитель двух чисел равен общему наибольшему делителю суммы этих чисел и общего наименьшего кратного их.

6. Найти наименьшее число, которое при делении на 29 даёт остаток 5, а при делении на 31 даёт остаток 28.

7. Общее наименьшее кратное двух чисел равно 72. Одно число равно 12. Найти другое число.

*) 8. Число .V = аа-№'СЧ. Если N разделить на а, то число всех делителей числа N уменьшится на 63. Если число N разделить на 6, то число всех делителей умень-

шится на 45, и если число N разделить на е, то число всех его делителей уменьшится на 35. Найти а, ß и у.

9. Найти шестизначное число, зная, что если переместить крайнюю правую цифру этого числа на первое место слева, не трогая остальные цифры, то получим произведение этого же числа на число 5.

10. В числе (514л:г/) определить цифру х (десятков) и цифру у (единиц), зная, что это число делится на 8 и на 9. *) II. Зная, что число (13**/45г) делится на 792, найти его цифры X, у и z.

12. Доказать, что каждое простое нечётное число может быть представлено только одним способом в виде разности двух квадратов.

13. Найти два числа, каждое из которых делилось бы на их разность.

14. Число (А2хАу) делится на 72. Найти его цифры х и у.

15. Число (1234 ху) делится на 8 и на 9. Найти его цифры X и у.

16. Найти такие правильные дроби, из которых каждая обращается в -1 от уменьшения её числителя и знаменателя на 1.

17. Найти такие правильные дроби, чтобы каждая из них обращалась в ^ от увеличения и числителя, и знаменателя на 1.

18. Найти неправильные дроби, каждая из которых обращается в целое число 3, если и числитель, и знаменатель её уменьшить на 1.

*) 19. Найти два целых числа, сумма обратных чисел которых равна 1.

*) 20. Разность квадратов двух целых чисел равна 100. Найти числа.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ С РЕШЕНИЯМИ.

I.

1. 1000а -f 106 + с; а) 9076; б) 3008.

2. 100 000а + 10006 -f- Юс; а) 109 000; б) 600 050.

3. Единица какого-нибудь разряда в 10 раз больше единицы предыдущего разряда, число же единиц в предыдущем разряде не может быть больше 9. Все единицы разрядов, стоящих правее предыдущего, меньше одной его единицы. Таким образом, всё число, изображённое цифрами, стоящими вправо от рассматриваемого разряда, меньше одной его единицы.

4. а) двузначных чисел: 99 — 9 = 90;

б) трёхзначных » 999 — 99 = 900;

в) пятизначных » 99 999 — 9999 = 90 ООО;

г) всего следует написать 3 • 900 = 2700 цифр.

5. Данное число: 100/я -f Юл -f р. Искомое число: 100/? + lü/i -f m.

6. от 1 до 9 единица будет написана 1 раз;

От 10 до 99 » » » 10 раз в первом десятке и в каждом из следующих десятков по одному разу (21, 31, 91), т. е. 19 раз;

от 100 до 999— 100 раз на первом месте в первой сотне;

10 раз на втором месте в каждой сотне и 10 раз в каждой сотне на месте единицы, т. е. 100 + 90 -{- 90 = 280, и т. д.

Таким образом:

От 1 до 9 единица будет выписана 1 раз = 1 • 10°;

» 1 » 99 » » » 19 -f- 1 = 20 = 2 . 101;

» 1 » 999 » » » 1 19 + 280 = 300 = 3 • 10»;

» 1 » 99999 » » » = 5. 104.

7. Однозначных 9 чисел, двузначных 90, т. е. 180 цифр, трёхзначных 900, т. е. 2700 цифр, четырёхзначных 9000, т. е. 36 000 цифр, пятизначных 90 000, т. е. 450 000 цифр и т. д.

9 + 180 + 2700 + 36 000 = 38 889 цифр до пятизначных чисел; 100 000 — 38 889 = 61 111 цифр остаётся для написания пятизначных чисел. Сколько их будет написано? 61 111 :5 = 12 222 (1 в остатке). Значит, на 100 000 месте будет написана 1-я цифра 12 223-го пятизначного числа. 1-е пятизначное число 10 000. 12 222-е пятизначное число равно 10 000 -Ь 12 221 = 22221. Первая цифра 2 следующего за ним числа и есть искомая.

8. 10<W<100 — 1; 100<W< 1000— 1; 1000 10000— 1 и т. д.

9. 10™.

10. 104; если данное число N, то дополнением его до 104 будет число 104 — N.

11. Квадрат многозначного числа будет оканчиваться цифрой квадрата своих единиц, так как при умножении многозначного числа самого на себя придётся множить единицы его на единицы, что и даст последнюю цифру.

12. 12-1; 2* = 4; З2 = 9; 4а = 16; 52 = 25; 6* = 36; 7* = 49; 82 = 64; 92 = si; 102 = 100, т. е. 0, 1, 4, 5, 6, 9.

Четвёртые степени оканчиваются цифрами 0, 1, 6, 5.

13. Числа, оканчивающиеся на 0, на 1, на 6 и на 5, не изменяют при возвышении в любую степень последней цифры. Числа, оканчивающиеся на 3, на 7 и на 9, имеют для 4-й степени последнюю цифру 1, и, следовательно, их 5-я степень будет оканчиваться на ту же цифру, что и первая; так как 25 = 32; 45 = 1024 и 85 = 64 • 64 • 8 = 32 768, то вышеуказанное свойство пятых степеней чисел имеет место.

14. (л+ 1).

15. 2л; 2п+ 1; 2л —1.

17. а) на 6, так как любая степень шести оканчивается на 6;

20. л (л -f- 1) (л + 2); это число делится на 6, так как оно кратно 2 (из двух последовательных чисел одно всегда чёшое) и кратно 3 (из трёх последовательных чисел одно всегда кратно 3).

21. Из четырёх последовательных чисел л, л -f 1, л + 2 и л + 3 одно делится на 4; кроме того, два из них суть числа чётные, следовательно, делятся на 2. По предыдущей задаче одно из чисел делится на 3.

22. Рассуждения для решения аналогичны задачам 20 и 21.

23. Нечё.ное число (2/1+ 1). число, следующее за ним, 2л -j- 2, а его половина (л -f 1).

24. Общая формула чисел, делящихся на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6 и дающих н остатке 1, будет: 3 • 4 • 5л -f 1 = 60л -f 1. Нужно подбирать значения л, при которых это число будет кратным 7. При л = 1 60л + 1 даёт 61, при л = 2 даёт 121; при л = 3 даёт 181; при л = 4 даёт 241; при л = 5 даёт 301 301 и есть искомое число (числа 61, 121, 181 и 241 не деля.ся на 7).

25. Число JV — 1-2*3-4'5...р+1 при

26. Число N = 2 • 3 - 5 . 7 • И . 13 . 17 ■ 19 ... р + 1 при

простые числа.

число составное.

Для решения нужно 30 031 делить на все простые числа, начиная с 3.

27. Подставляя вместо я числа 1, 2, 3, 4 и т. д., получим 6Ä 3Q, 84, 180 и т. д.

28. Придавая р значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т. д., получим 0, -g-, 1, -g-, 3, -g-, 6 и т. д. Наименьшее простое число 3 получается при р = 5.

29. Придавая р значения 1, 2, 3, 4, 5 и т. д, получим числа 1, 3, 7, 15, 31 и т. д. Наименьшее составное число 15 получается при р = 4.

30. Придавая п значения 1, 2, 3, 4. 5, 6 и т. д., получим числа 5, 17, 65, 257 и т. д. Наименьшее составное число 65.

31. 52 шш 25; 152 = 225; 252 = 625 и т. д. Любая степень 5 оканчивается числом 25, так как квадрат числа, оканчивающегося на 5, оканчивается числом 25. Если от числа 25 вычесть 1, то получится число 24, кратное 4, и, по известному признаку делимости на 4, всё число будет делиться на 4.

32. Пусгь Ь>а и b и а —числа взаимно простые. При делении Ь на а может получиться в остатке одно из чисел 1, 2, 3, .. ., (а— 1). Пусть, например, при делении получился остаток 1. Тогда при делении 2ЬУ ЪЬУ . . ., (а — 1)6, на число а получим остатки в 2, 3, (а—1) раз больше 1. Аналогичное рассуждение проводится и при других предположениях.

33. На частных примерах теорема проверяется легко, следует только в число делителей включить 1 и само число N. Можно провести рассуждение в общем виде. Число N = аа • $ делится на 1,а, 02, ..., аа (1), т. е. имеет (а + 1) делитель ив то же время делится на 1, 6, б2, .... $ (2), т. е. имеет ещё (Ь + 1) делитель. Среди делителей числа /V будут числа вида ahbn. Как получить все делители числа N? Возьмём делители ряда (2) и будем их последовательно умножать на делители ряда (1). Тогда получим:

для 1; 1, а, а2, а3, ... , аа; [(а 4- 1) делитель];

для Ь: 6, Ьа, Ьа2, 6а3, .. ., Ьа*\ [(а -f 1) делитель] и т. д. для каждого делителя ряда (2). Так как в ряде (2) чисел (ß + 1), то общее число делителей числа /V равно (« + 1) • (ß + 1).

34. N =с- 122 + 6. 12 +а.

35. 327 = (2302)б, так как

327 : 5 = ö5 (ост. 2); 13 : 5 = 2 (ост. 3); 65 : 5 = 13 (ост. 0).

36. (2504), = 4 4- 5 - 72 + 2 . 73 = 4 4- 245 + 686 = 935.

Каждые 9 единиц разряда дают единицу следующего разряда. Ответ: (6050)9.

Напишем это число при основании счисления 7:

Занимая единицу в каком-нибудь разряде и дробя её в единицы более низшего разряда, следует учесть, что таких единиц будет 8.

Умножение производится, как в десятичной системе счисления, с той только разницей, что в любом произведении следует выделить число единиц следующего разряда, разделив произведение на 6. Ответ: (14213)в

Все расчёты даны в указанной системе счисления.

II.

1. 2/1 — Î = 2л — 1 + 2 — 2 = (2/z — 2) -Ь (2 — 1) = 2 (/1 — 1) -f 1 = 2&+ 1, где k = n—\.

2. Общий вид нечётных чисел 2п 4- 1. Если n = 2k (число чётное), то получим 4& -{- 1; если п = 2k -f- 1 (число нечётное), то будем иметь: 2 (2k -f 1) + 1 = 4k -f 3 = 4k -f 3 — 4 + 4 = 4 (k -f- 1)—1 или, заменяя k -f- 1 = m, получим 4m — 1.

3. При делении на 8 нечётного числа могут быть получены остатки 1, 3, 5 или 7. Но 5 = 8 — 3 и 7 = 8-1, поэтому четыре формулы: 8&+1; 8& + 3; 8k -f 5 и 8k -f 7 — могут быть заменены двумя: 8£± 1 и 8£ ± 3, так как 8k + 5 = 8k + 8 — 3 = 8(k -f- 1)-—3 = = 8m — 3. Аналогично и 8& -f- 7.

4. При делении на 3 числа дают остатки 1 или 2. Общий вид таких чисел: 3£ -f- 1 и 3£ -f 2. Но 3k -f 2 = 3k + 2 + 3 — 3 = = 3(£ + 1) — 1 = 3m — 1, где т = £ + 1.

б. Аналогично предыдущей задаче, имеем 4 общие формулы чисел: № + 1; 5£ + 2; 5£ + 3; 5£ + 4. Но5k + 3 = 5*+5 — 2 = 5(k+l) — 2= = 5m — 2. Аналогично, 5£ + 4 заменится на 5m— 1.

6. См. задачи 4 и 5.

7k + U 7£ + 2; 7k+ 3; 7k + 4; 7£ + 5; 7£ + 6. Но 7£ + 6 = = 7k + 7 — 1 = 7 (£ -f 1) — 1 = 7m — 1, где т — * + 1. И т. д.

7. По 4-й задаче имеем:

3k—1; 3k + 1; сумма их равна 6&; По 5-й задаче имеем:

56 — 2; 5&—1; 5&+1; 5£ + 2. Сумма равноотстоящих чисел даёт \0k.

По 6-й задаче имеем:

7k — 3; 7& —2; 7£—1; 7k+1; 7k + 2; 7£ + 3. Сумма равноотстоящих чисел даёт 14k.

8. Общий вид искомых чисел: 3k -j- 2, 5k -f- 4 и 7k 4- 6 — можно заменить: Зр—1; 5р — 1 и 7р—1.

Искомое число Аг = 3 • 5 • 7р — 1 = 105р — 1. При р = 1 получим 104 и т. д.

9. Искомая сумма двух чисел 11 ООО.

10. Искомая разность равна 549 — 349 = 200, так как 549 — у — — (349 — у) = 200.

11. При л = 1: N = 10п (9л — 1) + 1 равно 81, т.е. кратно 9; при л = 2: N шт 100(18— 1) + 1 = 1701, т. е. кратно 9 и т. д. Вообще: N = 10“ (9л — 1) + 1 = 10“ • 9л — 10“ + 1; 10“ . 9л — число, кратное 9; 10“ есть степень 10. Знак у этого слагаемого минус; если прибавим к нему (4-1)» то получим число, кратное 9.

III.

6. Пусть a>b>c>d...>l; а — b = аг; b — c = d2; с — d = d3\ ...; k — / = dn. Сложив почленно эти равенства, найдём: a — l = dx 4- d2 4- .. . 4- dn.

7. Число a может при делении на 3 дать в остатке 0, 1 или 2. Аналогично и число Ь. Если числа а и b равноостаточны, то а — b делится на 3 нацело. Пусть а = 3k 4- 1 и b = Зл 4- 2. Тогда а 4- b = = 3 (k 4- л) 4- 3 = 3 (k 4- л 4- 1), т. е. делится на 3. Других случаев нет.

8. Аналогична задаче 7. Число а имеет вид 5^; bk 4- 1; 5& 4-2; 5k 4- 3; 5k 4- 4. Аналогично и Ь: 5л; 5л 4- 1 ; 5л 4- 2; 5л 4- 3 и 5л 4- 4. Пусть а = 5& 4- 1 и b = 5л 4- 2. Тогда а 4- b — 5 (k 4- л) 4- 3 не делится на 5;

2а 4- b = 2 (5k 4-1)4- (5л 4- 2) = 10* 4- 24-5л+2 = 5 (2k + п) + 4, число не делится на 5; 2а — b даёт число, кратное 5; Точно так же рассматриваются и другие случаи.

9. (а 4- \)(b— 1) = аб — а 4- 6— 1 = аб — (a — b + 1), произведение аб уменьшится на а — 6 4- 1.

10. Решается аналогично задаче 9; произведение увеличится на а-(6 4- 1).

11. Решается аналогично задаче 9; произведение уменьшится на т (а — b 4- m).

12. Пусть N «= 10а + b. Берём a . 2 = 2a, 2a -f 5; (2a + 5) • 5 = = 10a + 25; 10a + 25 + 6; 10a + 25 + 6 — 25 = 10a + b =

13. Решается аналогично задаче 12.

14. Пусть a и a -f 1 — данные числа. Тогда a(a+l) + a+ l«= = a2 + a -f a + 1 = (a + 1 )2.

15. Пусть a и a -f- 2 — данные числа; тогда a (a -+ 2) •+ 1 = a2 + + 2a + 1 = (a + l)2.

16. Аналогично задаче 15:

a(a + l)(a + 2)+a + 1 - (a + 1) (a2 + 2a + 1) = (a + 1)3. n(n + 1)

17. -g— • 2я (л — 1) -f л2 = я2 (я2 — 1) + я2 = л4, что и требовалось доказать.

18. Пусть a и a 4- 2 данные числа. Число a + a-f-2 = 2a + 2 делится на 2, частное равно a+ 1.

19. Числа, не делящиеся на 3, имеют вид: 3k + 1 и 3k -f 2; удвоив их, получим: öä-|-2 и 6& -f 4. Прибавив к первому 1, а от второго отняв 1, получим в обоих случаях bk -f 3, т. е. число, кратное 3.

20. Для трёх чисел: я -f- л -f 1 + я -f- 2 = Зя + 3; для пяти чисел: n + rt+l+n + 2 + rt-f-3 + n-|-4=5n-f-10; и т. д.

21. Два последовательных числа разнятся на 1; одно из них всегда чётное, значит их произведение также чётное. Пусть даны числа 2я и 2/1+1; их произведение 2/i(2/i-f 1), а половина его N = п (2п -|- 1) = я2 -f п2 + п. Число п или делится на 3, или даёт в остатке 1 или 2. Если п = 3kt то я2 = 9k2 и W делится на 3; если п = 3& -Ь 1, то п2 = Зт -f- 1 и N делится на 3; если п = 3k -f 2, то я2 = Зт + 4 и сумма остатков при делении на 3 отдельных слагаемых числа N равна 4 -f- 4 + 2 = 10, т. е. N при делении на 3 даёт остаток 1.

22. Пусть a = be •+ d, где а> b vi b> d; b — делитель, т. е. a — d делится нацело на Ь. Если к (а — а“) прибавить 6, то частное будет равно с+ 1, т. е. увеличится на 1. Следовательно, к a — d можно прибавить самое большее (6 — 1) или к a прибавить (Ь — d — 1), чтобы частное не изменилось.

23. я = рт и т = pq% тогда п — р2 - q.

24. Пусть a = рс -f- d и b = kc + dt причём d < с. Тогда am = = pmc + dm и bm = mkc -f- dm. Так как первые слагаемые трс и mkc делятся на с нацело, а вторые слагаемые одинаковы, то числа am и Ьт при делении на с дадут остатки, равные остатку от деления dm на с.

25. Пусть a = bd + г; тогда а2 = 62d2 + 26dr + г2. Рассуждаем, как и в предыдущей задаче.

26. Пусть a = bd-\- г\ тогда a3 = (ôd + г)3 и т. д., как в задаче 25.

27. Два последовательных числа 2я и 2я -f- 1 — одно чётное, другое нечётное; второе число 2я + 1 состоит из двух слагаемых, причём всякий делитель (кроме 1) числа я не является делителем числа 1. Следовательно, общий наибольший делитель чисел 2я и 2л 4- 1 равен 1, т. е. эти числа взаимно простые.

28. Общая формула нечётного числа (2k -f 1). Рассмотрим два случая:

а) пусть * число чётное, например 2т; тогда получим 4т 4- 1;

б) пусть * = 2п 4- 1. тогда получим:

2 (2л + 1) + 1 = 4л + 2 4- 1 = 4/1 + 3 = 4л + 4 — 1 = 4 (я + 1) — — 1 = 4т — 1.

29. Числа натурального ряда можно представить так: 6л; 6л -f- 1; 6л -f- 2; 6л 4- 3; 6л -f 4; 6л 4- 5, где л может быть равным 0; 1; 2; 3; . . . Очевидно, простыми могут быть только числа вида 6л -f 1 и 6л -f 5 (остальные делятся на 6, на 2, на 3 и на 4). Но 6л 4- 5 = = 6л 4-6 — 1=6 (л 4- 1) — 1=6* — 1. Следовательно, всякое простое число, большее 3, имеет вид 6*+ 1. Обратная теорема неправильна.

30. Пусть одно число 2л 4- 1» тогда второе число 2л 4- 3 и разность между ними равна 2. Следовательно, общим делителем их может быть только число 2, чего быть не может, так как данные числа нечётные.

31. Пусть первое число чётное; тогда второе нечётное, третье чётное. В этом случае первое и третье числа имеют общий делитель 2. Пусть первое число нечётное; тогда второе число чётное, третье нечётное; в этом случае первое и третье числа взаимно простые (задача 30); аналогично и первое со вторым и второе с третьим. Следовательно, среднее число должно быть чётным.

32. Одно число чётное, другое нечётное. В других случаях а и Ь имеют общих делителей. Пусть, например, каждое из чисел нечётное:

2£-fl и 2л 4- 1;

тогда

2к 4- 1 4- 2л 4- 1 - 2 (* 4- л) 4- 2 = 2 (* 4- п 4- 1) и 2k 4- 1 — (2л 4-4-1) = 2(*— л). Аналогично и в случае, когда оба числа чётные.

33. Докажем методом от противного; пусть, например, сумма чисел а и Ъ а 4- b и произведение их ab имеют общий делитель * (простое число). Тогда ab : * даёт целое число и, следовательно, либо а, либо b делится на *. Пусть делится на * число а. Но, по предположению, (а 4- Ь) также делится на * и так как а делится на *, то и второе слагаемое b делится на *, т. е. а и b — не взаимно простые числа.

34. Числа имеют вид или 3* 4- 1, или 3k 4- 2, тогда (3* 4- I)2 = = 9*2 4- 6* 4- 1, или (3k 4- 2)2 = 9*2 4- 12* 4- 4 = 9*2 4- 12* 4- 3 4- 1. Остаток при делении на 3 в обоих случаях равен 1.

35. Квадрат каждого такого числа при делении на 3 даёт остаток, равный 1; следовательно, сумма квадратов двух таких чисел даёт остаток, равный двум.

Можно решать иначе. Числа имеют вид 3k 4- 1 или 3*-— 1. Нужно рассмотреть три случая:

а) /V, = 3k + 1 и N% = 3m 4-1; б) iV, = 3k — 1 и tf2 = Зт — 1 и в) Ni = 3k -f 1 и N2 = Зт — 1 (или наоборот). В каждом из этих случаев исследовать N{ 4- N* (хорошее упражнение на применение формулы квадрата суммы двух чисел).

36. Числа имеют вид: 5* 4- 1; 5* 4- 2; 5* 4- 3 и 5* 4- 4; квадраты их: (5* 4- I)2 = 25*2 + lOk + 1; (5* 4- 2)2 = 25*2 4- 10* 4- 4 = 25*2 4-4- 10* 4- 5 — 1 = 5т — 1 (где т = 5*2 4- 2* 4- 1); аналогично (5* 4-4- З)2 = 5л — 1 и (5* 4- 4)а в- 5р + 1, что и требовалось доказать.

37. В левой части произвести указанные действия.

38. Произвести указанные действия в правой части формулы: 4/i2 + 4л + i — п2 + л3 — п*— Зп2 ~Зп — \ = п.

39. (2л + I)2 — [(л + 1) + л]2 = (л + I)2 + 2л (л + 1) + л2= (/I + + I)2 + л2 + 2/1 (/г + i) = а + (а — 1), где а = (л + I)2 + /г2.

40. а2 -f б2 = (а + б)2 — 2а6, дальше доказывается методом от противного, аналогично задаче 33

41. а2 — ab + b2 = (a + б)2 — Зао и далее аналогично задаче 40.

42. Числа, не делящиеся на 7, имеют вид: 7&+1; 7^ + 2; 7£ + 3; 7/г + 4; 7k + 5; 7& + 6; кубы их при делении на 7 дают те же остатки, что и соответствующие числа 1; 8; 27; 64; 125; 216. Но 8 = 7 + 1; 64 = 63+ 1; 125 = 7-18— 1 и 216 = 7-31 — 1. Следовательно, например, (7k + 4)3 = 7 • т + 64 = 7т + 9 • 7 + 1 = = 7 (m + 9) + 1 = 7/2 + 1. Аналогично и в других случаях.

43. Произвести действия, указанные в правой части равенства.

44. Числа, не делящиеся на 5, имеют вид 5k + 1; 5k + 2; 5k + 3 и 5& + 4; пусть, например, а = 5/г + 2; тогда а4 — 1 = (5k + + 2)4 — 1 = [(5* + 2)2]2 — 1 = (25£2 + 20k + 4)2 - 1 = [(25£2 + 20k) + + 4)]2 — 1 = (25k2 + 20k)2 + 2-4 (25k2 + 20k) + 16 — 1 = 5m.

45. Пусть сумма чисел 25; и пусть одно число N = S d, другое N2 = S— d; тогда Nx • N2 = (S + d) (S — d) = S2 — d2. Если d = 0. то • УУ2 — наибольшее; но в этом случае Nj — N2.

46. В правой части каждой формулы следует произвести указанные действия.

IV.

1. Пусть N = 100а + 106 + с и а > с; обращенное число: Ni = = 100с + 106 + а.

Составим разность: N — Ni = 99а — 99с = 99 (а — с). Аналогично для пятизначного числа: N = 10 000а + 10006 + 100с + lOd + е и а > с; = 10 000с + 1000а* + 100с + 106 + а; N — Л\ = 9999а + + 9906 — 990d — 9999с и т. д.

2. Пусть а, 6 и с — данные цифры; двузначные числа: 10а + 6; 10а + с; 106 + а; 106 + с; 10с + а и 10с + 6.

Составим их сумму: 22а + 226 + 22с = 22 (а + 6 + с).

3. 100а + 106 + с + 5 • (4с — 26 + а) = 100а + 106 + с + 20с — — 106 + 5а = 105а + 21с = 21 (5а + с).

4. Пусть N = M • г; тогда N — М = Л4> — УИ = M (г — 1).

5. Пусть = УИр + г; тогда W — А/ = M (р — 1) + г.

6. Пусть jV = 100а + 106 + с и /V, = 100с + 106 + а. Если а > г, то iV— = 99(а — с) = 32 - 11 (а — с); так как а<9ис<9, то а — с Ф \ \ и N—Ni не есть точный квадрат.

7. Число чисел, меньших аб, равно аб—1. Среди них:

а) будут числа, кратные а: а; 2а; За; ... ; (6— 1)а; число таких чисел будет 6— 1; б) будут числа, кратные 6: 6; 26; 36; . . . ; (а—1)6; число их а—1. Все остальные числа с аб взаимно простые. Их число равно: аб —1 — (а — 1) — (6 —1) = аб —1 — а +1 — 6 + 1 = = а(6_1)_(о—1) = (6—1)(а—1).

8. Числом = 3“+4+1 =3“ - 34+1=3» • 34+1+34 —З4 = 34(3“+ + 1) +1 — 34= З4 . (3“ +1) — 80. По условию 3* + 1 кратно 10, значит, и N кратно 10.

9. Пусть п = 26. Тогда, например, л (л2 + 20) = 2k (462 4- 20) = = 8k (k2 4- 5). Аналогично и в других случаях.

10. Пусть N = 2п (п — 1); тогда 2N 4-1 = 4л (л — 1) +1 = 4л2 — 4п+ 1 = (2л — I)2.

П. (144)* = X2 -f 4* -Ь 4 = (а; + 2)2. Ясно, что х> 4.

12. (1331)* = *3 4- за:2 4- Зх + 1 = (* +1)г. Ясно, что * > 3.

13. а2 — Ь2 = (а — Ь) (а -f- Ь)\ но если 6 = 2, то при а — 3, а2 — Л2 = 5— простое число.

14. N2 = (тр + I)2 = т2р2 -f 2mp + 1 = тр (тр + 2) + 1 = тб4-4-1, где k = p(mp 4- 2).

15. N2—1 = (N—1)(W 4-1); так как N и 6 — взаимно простые числа, то N— нечётное число, a (N—1) и (N 4-1) — чётные последовательные числа, и потому произведение их делится на 8. Так как N не может делиться на 3 (по условию), то jV2 при делении на 3 даёт в остатке 1, и потому N2— 1 делится на 3. Следовательно, N2 — 1 делится на 8 • 3 = 24.

16. а4 — 6* = (а2 4- Ь2) (а2 — б2); 240 = 2* . 3 • 5. По условию а и Ь — взаимно простые с числом 3; следовательно, а2 — 1 и Ъ2 — 1 кратны 3, т. е. а2 — 1 — Ь% 4- 1 = а2 — о2 кратно 3; аналогично числа at b и 2 взаимно простые; следовательно, а2 4- Ь2 кратно 2 и а2 — Ъ2 кратно 4, отсюда: а4 — б4 кратно 8; аналогично а4 — Ь* = а4 — 1 — (Ь1 —1); но а1 —1 и б4 — 1 кратны 5, и т. д.

17. Пусть а = Зр + 1 и b = 3k ± 1 ; а8 — 6е = (а3 4- Ь*) (а3 — б3); тогда а3 — б3 = (Зр + 1)3 — (3k + 1)3~= 27р3 + 27р2 4- 9р ± 1 — 2763 + + 2762 — 96 +1 = 27(р3 — 6~)±27(р2 — 62)4-9(р — k) и т. д.

\8.N=a1 — a = a (а6 —1) = а (а —1) (а 4-1) (а2 — а +1) (а2 4- а — 1); 42 = 2 . 3 • 7. Числа (а — 1), а и (а 4-1) — три последовательных числа, т. е. одно из них чётное и одно делится на 3. Докажем, что N делится на 7. Числа, не делящиеся на 7, имеют вид: 7^4-1; 76 4-2; Ik -f 3; Ik 4- 4; 76 4-5 и Ik -f 6. Пусть a = 76 4-1; тогда « — 1 = 7Лг; если а = 7k 4- 2, то а2 4- а 4-1 = 4962 -f- 286 4- 4 4- 76 4-4- 2 4- 1 даёт число, кратное 7; если а = 7k 4- 3, то а2 — а 4-1 даёт число, кратное 7; если а = 7k 4- 4, то кратное 7 будет число а2 4-а 4- 1; если а = 76 4- 5, то кратное 7 будет число а2 — а 4-1; если а = 76 4- 6, то кратное 7 будет число а 4-1.

19. (1122)* = *3 4- X2 4- 2* 4- 2 = *2 (* 4-1) 4- 2 (л: 4-1) = (*4-1)(*а4-2);

(1326)* = X2 4- Зх2 4- 2х 4- 6 ^= х (х2 4- 2) 4- 3 (*24- 2) = (х + 3) (х2 4-2).

Общий наибольший делитель равен х2 -j- 2, или (102)*, и общее наименьшее кратное (х 4- \)(х2 4- 2)(х 4- 3) или (14586)х.

20. Пусть нечётное число 4п + 1; тогда .V = (4 л + I)2 — 1 = — 16л2 ± 8л = 8л (2л ± 1).

21. Простое число имеет вид 6л + 1; тогда N = (6л 4- I)2—1 = = 36л2 + 12л = 12л (Зл + 1); если л нечётное и равно 2k 4-1, то вместо Зл 4: 1 получим 66 4- 3 + 1, или 66 4- 4, или 66 4- 2, т. е. числа, делящиеся на 2, и потому /V делится на 24; если л — чётное и равно 26, то л делится на 2, и потому N делится на 24.

22. Пусть /V, = 66 ± 1; Ы% = 6т + 1 и ,V3 = 6л ± 1; тогда TVj-f-

+ Ni + Щ = 36 (k2 + m2 + л2) ± 12 (£ + т + р) + 3, т. е. число, кратное 3.

23. Пусть n — 2k есть число чётное; тогда я3 4- 11л даёт 8£3 + -f- 22k = 2* (4£2 + 11) = 2k (?£2 -f 9) + 2k (k2 + 2) (1). Если положить п — 2k + \ (число нечётное), тогда

я3 + 11/г = 8£3-Ь 1262+ 6£+1 + 22£+ 11 = 8£3 + 22£+(12£2 + 6k+ + 12) = 8£3 + 226 + 6р = 2k (3k2 + 9) + 2£ (б2 + 2) + 6р (2), где р = 2k2 + £ ■+ 2.

Сравнивая (1) и (2), получим: 2k (3k2 + 9) = 6k (k2 + 3) делится на 6; 6р также кратно 6; докажем, что 2k (k2 + 2) делится на 6; это число делится на 2; докажем, что оно делится и на 3; если k делится на 3, то и 2k (k2 -j- 2) делится на 3; если же k не делится на 3, то оно имеет вид k = Зт +1 или k = Зт ■+ 2; если & = Зт + 1, то /е2 + 2 равняется 9т2 -+ 6т -+ 1 + 2 = 9т2 + 6т + 3 — делится на 3; при k = Зт ■+ 2 число £2 + 2 равно 9т2 + 12т + 4 -+ 2 = = 9т2 + 12т + 6 — делится на 3. Следовательно, я3 11л делится на 6.

24. Л^х4 + 4и*=(х* +4х2у2 + 4у*) — 4jcv=(jc2+2^/2)2 — (2ху)2= = (я2 + 2у2 + 2xyj- (х2 + 2у2 — 2ху)\ число W разложено на множители, следовательно, оно не может быть простым. Важно отметить, что X ф 0; X ф 1 ; */ 0 и у Ф 1.

Так, если * = 1 и # = 1, то W = 5 есть простое число.

25. л и л +1 — последовательные числа; N = (л -+1)3 — л3 = Зл2 + Зл +1 = Зл (л -f 1) +1 ; либо л, либо (л+1) — число чётное, следовательно, Зл (л +1) делится на 6. При делении N на 6 остаток получается 1.

26. Докажем, что

(ас — bd)2 ■+ (ad + be)2 = (а2 + b2) (с2 + d2)\ (ас — bd)2 + (ad + be)2 = = a2c2 + fc2d2 — 2abcd + a2d2 -f b2c2 + 2ad6c — a2 (c2 •+ d2) + 62 (c2 + + d2) = (a2 + 62) (c2 + d2).

Аналогично доказывается и вторая часть.

27. Пусть л; я + 1; л+ 2 — данные числа; тогда

N = я (я +1) (л + 2) + (л +1) = (л +1) [л (л + 2) +1] = (л +1) (л2 + 2п+\) = (п+\)\

28. Числом = я8 — л = л(л2-1) = л(л-1)(л+1) = (л—1)л(л+ + 1); числа л—1, л и л+1 три последовательных числа, следовательно, их произведение кратно 6.

29. N = л (л2 +5)=я (л2 —1 +6) = л (л2 —1) +6л = (л — 1) л (л + -f 1) -+ 6л. Пользуясь решением задачи 28, устанавливаем, что N кратно 6.

30. Если число не делится на 5, то оно имеет вид: 5£-Н; bk+ + 2; 5£ + 3 = 5£ + 5 — 2 = 5т — 2, если т = £-f-l, и 5£ + 4 = bk -}- 5—1 = 5т—1, если т = k +1, т. е. числа имеют вид bk + 1 и 5k ± 2.

Возьмём «Vi = (5£± 1)2 = 2ok2 ± I0k +1 ; число ^ —1 = 25£2 ± + \0k делится на 5; если взять N2 = (bk + 2)а, то получим число Й2 + 1, также кратное 5.

31. Числа могут иметь вид или 5& + 1, или 5k ±2. Пусть N1 = = 5л ± 1 и. N2 = 5k ± 2. Тогда

Ni—NX = (5* ±2)* — (5л ±I)4 = \{5k ± 2)4 (5л±I)2] [(5£±2)2— — (5л-Ы)2]=[(5* ± 2)2 — (5л +1)2] [25£2 ± 20*-И +25л2 ± 10л 4-1] = = [(5АГ± 2)2 — (5л ± I)2] [5 (5£2 ± Ak + 5л2 ± 2л + 1)], т. е. N\ — N\ имеет сомножителем число 5. Аналогично и в других случаях.

32. N = а4 + 9 (9 — 2а2) = а4 — 18а2 + 81 = (а2 — 9)2;

так Как а = 4£± Кто а2 = 8л 4-1 и а2 — 9 = 8л + 1 — 9 = 8л —8 = 8(л-1),

т. е. число, кратное 8; следовательно, (а2 — 9)2 число, кратное 64.

33. N = р4 + 4 «= (р2 4- 2)2 — 4р2 = (р2 + 2 — 2р) (р2 +2 +2р) (см. задачу 24).

34. Пусть а — целое число; тогда а3 = г- • 4а = т- [(а +1)2 — (а-1)2] = [-|(« + I)]' —[(в—1Х-| 2; числа а-1, а и а + 1 последовательные; следовательно, одно из них кратно 3, а его квадрат делится нацело на 9.

35. л12 — л8 — л4 + 1 = л8 (л4 —1) — (л4 —1) = (л4 —1) (л8 —1) = «= (л2 4-Г)2 (л 4-1)2 (л — Ца (л* 4-1); так как л —нечётное, то число л —1 чётное и делится на 2, а его квадрат делится на 4; л 4-1 — число чётное и делится на 4 (так как л—1 делится на 2), а-его квадрат делится на 16; л2 4-1 —число четное и его квадрат делится на 4; л4 4-1 —число чётное и делится на 2. Следовательно, произведение указанных делителей равно 4 • 16 • 4 • 2 = 512.

V.

1. Числа а и b — взаимно простые. Рассмотрим дробь, дополняющую до 1 дробь 1 — ~ь ~—~ь~> так как b и а — взаимно простые числа, то и b — а, и b — числа взаимно простые. 2. Произведя вычитание, получим:

Суммируя, получим:

Прибавив к обеим частям по

получим:

Частный случай:

3. Произвести в левой части указанные действия.

4. Пусть у и а> Ь\ а — Ь~— разность между числителем и знаменателем; составим дробь -^-- « 1. Составьте аналогичную задачу для правильной дроби.

5. Пусть дроби -г- и — ; --= —Ц-—с — b должно быть равно 1, т. е. с=а-{-1. Действительно: у — -g- =—^—g-^ = 3

6- f+t-t =-=w+W; так как 6>a'T* эта разность — число положительное.

7. Пусть -g- и —--две дроби такие, что -g---— = -g^; тогда

— = —г-т. Дроби должны иметь вид: -г и ——г . Например, л a -f- a о a -jr о

8. Пусть -g- и —--две дроби такие, что -g -f- — = -g^, тогда

—z-= -г-, т. е. ал -f- am = am, или an — т (a — a); следовательно, ~ = -—g, откуда следует, что дроби должны иметь вид ^ и - а g. Кроме того, дробь -g- неправильная. Например, одна дробь -g ; вторая дробь ~ и т. д.

9. Пусть | + ^ = докажем, что f^v + 7 = ( + 1

Доказательство:

10. Всякий делитель числителя л, больший единицы, является делителем числа 2л и не является делителем числа 2л 4-1# т. е. числа л и 2л -f 1 — взаимно простые.

11. Составим разность:

12. ' ' |я1+р_|î если числитель равен знаменателю, то р = 4; если знаменатель равен 1, то р = 2.

Других решений нет.

13. Пусть числа а но; ™ -J- у = 1; тогда -у = 1 — — и 6 = а_I = 1 -f Q I (1); дробь fl_I есть целое число, если а — 1=1, т. е. а = 2; но из равенства (1), при а = 2, имеем 6 = 2, Следовательно, числа равны между собой и каждое равно 2.

14. Пусть -£ данная дробь и D(a; Ь) = \ (общий наибольший делитель).

_ а + am a(l + m) а

Рассмотрим дробь у^ = 6(1+т) = 7 .

Пример. Дана дробь -j; имеем: 24-7-2=16 и 3 + 7*3 =

15. 1-й способ: сократив дробь на знаменатель, получим в результате 1 • 3 • 5 • 7 ... (2ft —1);

2-й способ: выделив в каждом множителе множитель 2, получим: 2.4-6... (2ft) - 2« - 1 . 2 . 3 ... ft - 2«

16. Сопоставляя результаты решений задачи 15, получим

18. Предыдущая задача даёт формулу

20. При любом целом п число 10п + 2 имеет сумму цифр, равную 3, т. е. делится на 3.

21. Аналогично задаче 20.

22. Аналогично задаче 20.

VI.

Сложим почленно эти равенства:

2. Если f = -j , то f = ju^ = j = ~. Или перемножая первую и вторую дроби, а третью умножая саму на себя, получим: a4 = (a-±4f. cd \с 4- à)

3. Пусть -у = -J-; тогда найдём х такое, что g - = ^ _^ -, т. е.

ad 4- я* 4- dx 4- х2 == 6с 4- 6* 4- сл: 4- л:2 или а 4- d = 6 4- с.

Следовательно, имеем два условия: ad = 6с и а 4- d = 6 4- с.

Этим условиям удовлетворяют отношения — = ^ = ^ и т. д.

почленно равенства (1) и (2), получаем:

С другой стороны, перемножая те же равенства, получим:

VII.

1. Пусть X есть общий наибольший делитель искомых чисел; тогда числа Nt = 7x и N2 = 15*; общее наименьшее кратное для Nt и N2 равно 7х • 15 = 105*. Следовательно, 105* = 1260, * = 12 и Nx = 84, a N2 = 180.

3. Пусть* — искомое трёхзначное число; сколько потребуется цифр для написания всех цель!Х чисел от 1 до * включительно? Однозначные числа составляют 9 цифр; двузначные 2 • 90 = 180 цифр; трёхзначные со 100 до * включительно составят 3 • (*— 99) цифр. Следовательно, 2х = 9 4 180 4 3 • (* — 99); * = 108.

4. Пусть * — цифра десятков, у— цифра единиц и N = 10* 4- У-Составляем уравнение:

10* 4 У = 2ху.

Неизвестных два. Из уравнения видим, что N — число чётное и у Ф 0 (так как N ф 0); Очевидно, * Ф 1 (так как при * = 1, у = 10, что невозможно); * ф 2 (так как при * = 2, у = 6 -g-, что невозможно); с другой стороны, у — число чётное (так как у — 2ху—10* есть разность двух чётных чисел) и, следовательно, у = 2 или 4, или 6, или 8.

При у = 2 * < 0, что невозможно; » у = 4 * < 0, » »

» у = 6 * = 3; имеем решение, jV = 36.

» у = 8 л:= , что невозможно.

Задача имеет одно решение.

5. Составляем уравнение:

31* = * 4 6600; * = 220.

6. (2*78) = 2078 4 Ю0*; с другой стороны, 2078 = 17£ 4 4; но 100 = 6 - 17 — 2 и 100* = 6 • 17* — 2*. Следовательно, (2* 78) = 17£4 4 4 4 6- 17* — 2* = 17 • т 4 2 (2 — *), т. е. чтобы (2 * 78) делилось на 17, нужно, чтобы 2(2 — *) делилось на 17 или равнялось нулю (с учётом, что * равен 0, 1, 2, 3, 4, ... , 9); число 2 — * при указанных значениях * кратным 17 быть не может; тогда 2 — * = 0 и * = 2. Следовательно, число будет 2278.

7. Выпишем все делители: 1; 2; 2*; 2«; 24; 25; р; а\ 2р; 2а\ 2ро; 2*р; 2^; Vpq; ... ; 2«р; 2**; 2*ра. Составим сумму всех делителей:

Сумма всех делителей равна: 255 • (р -J- 1) (q -J- 1). Составим уравнение:

или 255(р+1) (a + l) = 28.2^f

7 . 3(р + 1)(q + 1)= 32 . pa. Пусть я = 7, тогда 21 . 8(р + 1) = 224/?, т. е. р = 3.

9. дг#=345; х (у — 3) = 345 — 69. Второе уравнение даёт ху — Зх = = 345 — 69. т. е. Зх = 69, откуда х = 23; следовательно, у = 15.

10. Один множитель х\ другой ~ увеличим первый сомножитель на с; тогда (х + с) — = m; хр + ср = тх\ х «= тттт £ Второй сомножитель I — J равен —-—.

11. Пусть 2k и 4л — данные числа. Тогда получим уравнение

2k -f 4/1 -f 2х = 8m,

откуда

2jc = 2 (4m — 2/1 — .%)

и X = 4m — 2/i — k; буквам m, Л и л можно придавать целые значения 1; 2; 3; 4: ... такие, чтобы х был положителен.

12. Пусть ЗЛг и 6л —данные числа; составим уравнение 3k 4- 6л ■+ 3* = 9т; откуда х = Зт — 2л — k;

остальное по предыдущей задаче:

VIII.

1. X : у = 30 : 48 = 5 : 8; следовательно, * = 5 • 12 = 60 и у = «= 8 - 12 = 96.

2. Пусть о, b и с — искомые числа; тогда имеем систему

Следовательно, искомые числа будут: 51, 85 и 119.

3. Пусть Nl=xduN2 = yd, где d = D(Л^; N2) и пусть xyd — общее наименьшее кратное Nx и N2. Рассмотрим числа: Nt + N% = == d (х -f- у) и xyd. Так как х и у взаимно простые, то и х + у и взаимно простые, т. е. D [d(x + у)', dxy\ = d.

6. Искомое число. N = 29* -f 5 = 3\у -Ь 28, откуда 29 (х — у) = 2# + 23. Так как 2у + 23 делится на 29 нацело, то у — —g— ~ 3» и потому N = 121.

7. = 12; N2 — неизвестное. Общее наименьшее кратное чисел Nt и N2 равно 72. Так как 12 = 22 • 3 и 72 = 2*. З2, то N2 = 2* .'З9, причём 0<а<3 и 0<ß<2.

8. Если N = аа - $ • с7, то число всех делителей N равно

-f 1) (ß -f 1) (7 -f !)• Число — имеет a (ß -f- 1) (7 -f- 1) делителей, причём (a + 1) (p + 1) (T + 1) — о (p + 1) (7 4- l)=(ß + 1) (ï + 1) _ 63 (1). Аналогично (a 4- 1) (7 4- 1) = 45 (2) и (о + 1) (ß-f-1) = 35 (3). Перемножая равенства (i), (2) и (3), найдём [(a -f 1) (ß 4- 1) (7 + l)]2 = = 63-45.35; и (а + 1) (ß + 1) (7 + 1) = 5 . 7 . 9, т. е. а = 4, ß = 6 и 7 = 8. Другие комбинации значений a, ß и 7 не подойдут.

9. Пусть число имеет цифры (xyztuv); тогда по условию (xyztuv) 5= = (vxyztu); обозначим число единиц xyztu через п. Тогда (10/x-f v) • 5= = v\Q5+n> или 49/г =о (105—5); 49л = и • 99 995; 72/i = v • 5 • 7 • 2857; 7п = 5 • 2857ü. Отсюда ü = 7 и п = 5 • 2857 = 14 285. Искомое число (xyztuv) = 142 857.

10. Число (514jq/) делится на 8. Так как 51 400 делится на 8, то число Юх + У должно делиться на 8. с другой стороны, 5 -Ь 1 -f-4- 4 4- X + у есть число, кратное 9; следовательно: а) 5 + 1 -j- 4 + X ф у = 18; б) 5 + 1 4- 4 + X + у = 27, т. е. х + у = 8 и х 4- у = 17. Иных значений быть не может. Таким образом, или 1) х = 0, у = 8, или 2) X = 8, у = 0. Очевидно, что х + у равняться 17 не может, так как 10jc'-f- У не будет кратным 8. Получаем два числа: Nx = 51 408 и N2 = 51 480.

11.792 = 8-9.11. Число (\ЗхуШ) делится на 8, значит, и число (5г) должно делиться на 8, т. е. (5г) есть число 56 и г = 6.

с другой стороны, сумма цифр числа (13л#456), равная 1 4-34-+ х + у + 4 + Ь + Ь=\9 + х + у, есть число, кратное 9; следовательно: а) 19 4- X + у = 27, б) 19 4- х + у == 36, т. е. х 4- у = 8 и X у = 17. Если д: 4- # = 17, то или 1) л: = 8, # = 9, или 2) х = 9, î/ = 8, т. е. числа 1 389 456 и 1 398 456 должны делиться на 11. Исследуем их делимость на 11.

Таким образом, условие х 4- У = 17 не даёт ответа на вопрос задачи.

Пусть X 4- # = 8. Теперь могут быть следующие случаи:

Искомое число

12. Пусть р простое нечётное число; положим, что

= (# — У), (х + Так как р — число простое, то имеем \х ^ у = р

откуда * = ~~2~ и у = 2 » т. е. р = I 2 / \~~2— / * пример, 17 == 9» —8я и т. д.

13* Пусть X \\ у — искомые числа и х > у. Положим, что х : (х— -у) = * и у: (х-у) = т. Тогда g“g-jj* (1).

Вычитая почленно, получим * — У = (х — у) (k — m) и, сокращая на (х — у), получим k— т = 1. Задача имеет бесчисленное множество решений. Пусть k = 2, m= 1; тогда из системы (1) найдём х = 2у. Любое число у = N и х — 2N удовлетворяет условию задачи.

Пусть k = 8, т = 7. Тогда система (1) даёт 7* — 8# = 0. Положим X — у равным любому числу, например 10, найдём х = 80, у = 70 и т. д.

14. 72 = 8 • 9. Сумма цифр искомого числа 4-f-2-{-*-f4-fj/ = 10 + X -f # должна делиться на 9, т. е. а) * + у = 8 и б) х + */ = .17. Так как число (42*4*/) должно делиться и на 8, а 42 040 делится на 8, то и 100* + у должно делиться на 8, и, значит, остаток Ах -f у также должен делиться на 8, т. е. 4* -f- у = 8k и у = 4 • (2k — *); следовательно, у есть число, кратное 4 и равно 0, 4, 8; тогда * соответственно равен 8, 4, 0, а число (42х4у) равно: 1) 42 840; 2) 4^444 и 3) 42 048. Условию задачи удовлетворяет только * = 0, у = 8 и * = 8, у = 0. Искомые числа: 42 048 и 42 840. Других значений нет.

15. Так же как и в задаче 14, имеем: а) х -\- у — 8 и б) * + у = 17. Из условия делимости на 8 имеем: 10* -f» у делится на 8, т. е. 2*4--{-г/ = 8&, и у = 2 (4k—*) (1), т. е. у есть число чётное: 0, 2, 4, 6, 8. Из равенства (1) имеем, если:

Годными являются только два условия: 1) # = 0 и * = 8, 2) # = 8 и X — 0 (сумма * + у — 8).

Условие * + у = 17 выполнено быть не может. Искомые числа 123 480 и 123 408.

16. Пусть искомая дробь — и у > *. Тогда -_^ = , т. е.

у = 2*— 1 (1) есть нечётное число: 3, 5, 7, 9, 11, ... Тогда из равенства (1) * должен быть соответственно равен 2, 3, 4 и т. д., т. е. дроби будут: -g-, -g-, у, -g- ,...

* * + 1 1

17. Пусть у и у > *; тогда - _^ ^ = -4-, откуда у = 4* -f 3 (1).

Берём * произвольным целым числом: 1, 2, 3, 4, 5, тогда из равенства (1) у соответственно равен: 7, 11, 15, 19, 23,... Берём только несократимые дроби: у, jj , jg , 23 и т. д., которые являются ответом на задачу.

18. Пусть — — искомая дробь и х > у; тогда _« = 3 и х = Zy — 2 (1). Если у—чётное, то из (1) следует, что и х чётное. Следовательно, у может быть равен 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...; х соответственно равняется 1, 7, 13, 19, 25, 31, Решений — бесчисленное множество: ^, g, у*, g, ц> • • •

19. Пусть X и у—искомые числа; тогда ~ ~ = 1, откуда у = _I = 1 -Ь -_|. Так как г/ целое, то ^_^ также целое, т. е. *— 1 = 1 и X = 2. При а: = 2 # также равен 2. Ответ: дс = # = 2.

20. Пусть X и у—искомые целые числа и *>*/; тогда ха — у%= = 100, т. е. 100 = (лт— у)(х + у). Но 100 равняется произведению: 1) 2 на 50, или 2) 4 на 25, или 3) 5 на 20, или 4) 10 на 10. В первом случае х -{- у = 50, х — у = 2; получим: х = 26, у = 24 — даёт •твет. Второй и третий случаи ответа не дают, так как х и у получаются дробные. В четвёртом случае получаем х = 100, у = 0 даёт ответ.

М. М. Шидловская

(Ленинград)

ПЕРВАЯ ТЕМА СИСТЕМАТИЧЕСКОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ В VI КЛАССЕ

Преподавание систематического курса геометрии в VI классе средней школы связано с большими трудностями.

Объяснительная записка к программе по математике 1952 г. правильно указывает, что прохождение курса геометрии должно естественным образом согласоваться с возрастными особенностями учащихся и в связи с этим даёт ряд ценных для учителя методических указаний. Текст программы, однако, в основном следует учебнику Киселёва. В ряде школ учителя пользуются этим учебником с первых уроков геометрии, между тем изложение учебника не учитывает возрастных особенностей учащихся, о которых говорится в объяснительной записке к программе. Достаточно прочитать § 1 введения или § 24, в котором доказывается единственность перпендикуляра, опущенного из точки вне прямой на эту прямую, чтобы убедиться в недоступности изложения для учащихся VI класса.

Если учащийся не понимает смысла излагаемого предмета, если он обречён на заучивание наизусть слов или фраз, логическая связь между которыми ему непонятна, то он теряет всякий интерес к предмету. Изучение геометрии не может в таком случае содействовать развитию логической мысли учащихся.

Преподаватель не должен забывать, что школьный курс геометрии не является строго логическим курсом. Учащиеся с первых уроков должны ощущать, что геометрия изучает пространственные формы действительного мира. Методическое умение учителя должно быть направлено на то, чтобы бережно и осторожно развивать у учащихся способность к отвлечению и обобщению, постепенно усиливая логические элементы курса.

Первые предложения выясняются на основании непосредственных восприятий учащихся, их опыта. Учитель

проводит некоторые рассуждения, но в этих первых умозаключениях сущность логического вывода ещё не может быть осознана учащимися. Для них равноценно заключение, обобщающее интуитивное восприятие, и логический вывод из некоторых предпосылок. Так, предложение «Через две точки можно провести только одну прямую», являющееся аксиомой, и предложение «Две различные прямые могут иметь только одну .общую точку», логически из него вытекающее, воспринимаются учащимися как равноценные. Было бы напрасной тратой времени выяснять на первых уроках различие между аксиомой и теоремой. Необходимо приучать учащихся к некоторым рассуждениям-выводам, но понятие о теореме и её доказательстве надо дать позднее на какой-либо теореме, в которой легче выявить смысл умозаключения. В предлагаемой разработке это сделано при рассмотрении теоремы о равенстве вертикальных углов, что, конечно, совсем не обязательно; каждый учитель может ввести понятие о теореме тогда, когда он найдёт своих учащихся достаточно подготовленными к его восприятию.

Ещё труднее дать учащимся правильное понятие об аксиоме как о предложении, принимаемом без доказательства, но необходимом для доказательства других предложений. Лишь после того как учащиеся ознакомятся с рядом теорем и осознают логическую зависимость между ними, можно попытаться объяснить необходимость принятия некоторых: основных исходных предпосылок без доказательства. Не надо торопиться с введением таких трудных понятий; может быть, лучше отложить выявление роли аксиомы до введения аксиомы о параллельных. Тогда можно вернуться и к первой теме и указать на наличие предложений, принятых без доказательства. Более глубокое понимание основ построения логического курса геометрии едва ли возможно в семилетней школе, и эти вопросы надо поставить в старших классах.

Первый логический элемент, с которым встречаются учащиеся,— это определение. Не выявляя различия между основными и производными понятиями, преподаватель не должен давать определений таким понятиям, как «прямая», «точка».

Логически правильного определения этих понятий не существует, а заучивание учащимися формулировок-описаний, не нужных для дальнейшего построения курса гео-

метрии, только вредно. Но те определения, на которых в дальнейшем будут основаны доказательства теорем, должны быть тщательно проработаны, и от учащихся надо требовать осознанных и правильных формулировок.

Для осуществления тесной связи преподавания геометрии с изучением конкретных геометрических образов желательно применение на уроках наглядных пособий. Таким пособием является прежде всего чертёж, выполненный самим учащимся. Необходимо, чтобы изучение каждого геометрического понятия начиналось с осуществления чертежей, которые послужат материалом для последующих обобщений. Но наряду с чертежами надо пользоваться и моделями, вырезанными из картона, бумаги, фанеры или сделанными из палочек. Распространённый среди некоторых учителей математики взгляд, что применение «грубых» моделей тормозит развитие логической мысли учащихся, неоснователен. Важно правильно поставить применение наглядных пособий, приучая учащихся при рассмотрении конкретных моделей искать общие свойства геометрических фигур, выявлять зависимости между их элементами. Постепенно учащийся привыкает видеть в этих, моделях только исходный момент для рассуждения и станет искать подтверждение правильности своих предположений в рассуждении, в доказательстве, имеющем общее значение. Особенно ценны подвижные модели, пользуясь которыми можно образовать новую фигуру или сделать наглядной зависимость между её элементами.

Столь же существенным является решение задач на протяжении всего курса геометрии. Задачи могут являться и исходным моментом для последующих выводов, и материалом для применения полученных знаний. Только постоянная связь теоретических выводов с решением задач может обеспечить действительно сознательное, а не формальное усвоение пройденного.

1. Введение.

Первые уроки. Как уже выяснено выше, первые уроки геометрии не должны заключать бесплодного философствования об основных понятиях этой науки, вызывающего только недоумение учащихся. Не надо толковать о различии геометрического и физического тела, о линиях, не имеющих толщины и ширины. Таких тел и линий в природе не существует. Геометрия изучает реальные тела, но с

точки зрения их формы, размеров, относительного расположения этих тел и их элементов. Не надо, чтобы учащийся тщетно старался представить себе линию, не имеющую толщины, но важно, чтобы он понял, что, изучая линии на уроках геометрии, мы не обращаем внимания на их ширину и толщину. Если это будет усвоено в результате прохождения первой темы, то постепенно выработаются и отвлечённые понятия.

Введение на первом уроке должно быть очень кратким и вполне конкретным; иначе преподаватель утомит внимание учащихся.

Преподаватель поясняет слово «геометрия», сравнивая его с уже знакомым учащимся словом «география». География — описание земли; гео-метрия — измерение земли. Рассказывает, что первоначально геометрия возникла из потребности людей измерять землю, но затем понадобилось и находить объёмы тел разнообразной формы. Затем постепенно геометрия стала изучать свойства тел и других фигур независимо от потребности измерения земли.

Какие же свойства изучает геометрия? Указав различные тела (не только специально изготовленные геометрические пособия, но и предметы классной обстановки), преподаватель указывает, какие именно свойства изучает геометрия: форму, размеры, расположение частей. Из какого материала сделан предмет, каков его цвет, вес, твёрдость— этого геометрия не рассматривает. Можно показать несколько тел разного материала и окраски, но одинаковых по форме; одинаковой формы, но разных по величине и т. п.

Можно предложить обвести рукой по поверхности каких-либо тел (глобуса, стола, шкафа); указать различные линии, например: линию пересечения двух стен; линию, разделяющую два государства на карте; точку, в которой сходятся три грани куба; точку, в которой пересекаются две железные дороги на карте и т. п. Учащийся указывает требуемый объект или называет его, но при этом никаких определений не даётся.

Изложенное введение не должно занять больше 20 минут. Затем приступают к первой теме. Преподаватель предлагает начертить различные линии на доске. Вероятно, учащиеся начертят различные кривые, а может быть и прямые линии. Надо выявить, что можно начертить сколько угодно различных кривых линий, но прямые линии все одинаковые, они отличаются только положением. Чтобы хорошо

начертить прямую линию, лучше всего пользоваться линейкой. Учащиеся чертят в своих тетрадях несколько различных кривых линий и прямую линию при помощи линейки.

Затем по заданиям преподавателя выполняется ряд чертежей и делается ряд выводов. Примерно так: «Возьми точку, обозначь её буквой Л; проведи через неё прямую линию; проведи ещё прямую, проходящую через ту же точку; можно ли через эту точку провести ещё прямые?» Следует вывод: через одну точку можно провести сколько угодно прямых, или: одна точка не определяет прямую.

Аналогично проводятся и следующие построения. Задаются две точки: А и В. Предлагается провести прямую, проходящую через обе точки. Оказывается, что через две точки можно провести только одну прямую, или: две точки определяют прямую. Поэтому прямую часто обозначают двумя буквами.

Надо требовать, чтобы эти чертежи выполнялись аккуратно, точно; карандаш должен быть хорошо отточен; чертежи должны быть перенумерованы, снабжены краткими надписями, сделанными чернилами. Например, подписано: «Прямая AB». Никаких лишних украшений, виньеток в тетрадях быть не должно.

Во время этих построений необходимо выявить, что всякая прямая мыслится неограниченной. Можно, наметив в классе две точки, предложить учащимся мысленно провести через них прямую и мысленно её продолжать. Спросить их, пройдёт ли прямая за стену класса, через дом напротив, через поле и т. п. Преподавателю следует показать провешивание прямой на школьном участке.

Задавая конкретные чертежи, преподаватель закрепляет понятия: «точка на прямой», «точка вне прямой». Прямые при этом чертятся в различном положении, а не только в горизонтальном. Необходимо сделать на доске чертёж (черт. 1) и спросить, лежит ли точка С на прямой AB или вне её. Такие вопросы приучают учащихся представлять прямую бесконечной. Затем, взяв на прямой AB некоторую точку С и задав другую точку D вне прямой, провести прямую через точки С и D (черт. 2). Сколько общих точек имеют прямые AB и CD? Могут ли две различ-

Черт. 1.

ные прямые иметь две общие точки? Надо вспомнить, что через две точки можно провести только одну прямую; если две прямые будут иметь две общие точки, то они совпадут, сольются. Если две прямые имеют одну общую точку, говорят, что прямые пересекаются.

В заключение можно указать, что все эти чертежи учащиеся делали на плоской поверхности, на плоскости.

В плоскости прямая лежит всеми своими точками. Можно сказать, что вообще учащиеся будут сначала изучать только геометрию на плоскости.

На следующих уроках переходят к понятиям луча и отрезка, которым уже даются определения. На прямой AB берётся точка С. Эта точка разделяет прямую на два луча, исходящие из точки С: лучи CA и СВ. Предлагается взять точку, обозначить её, провести из неё луч в любом направлении. Выясняется, что луч продолжается неограниченно в одну сторону, с другой стороны он ограничен. Часть прямой, ограниченная с одной стороны, называется лучом.

Также, если взять на прямой две точки, то выделяется отрезок — часть прямой, ограниченная с обеих сторон.

Взяв две узкие полоски бумаги разного цвета или две окрашенные спицы, преподаватель предлагает сравнить их по величине, т. е. узнать, равны они или нет. Если нет, то какой отрезок больше. Учащиеся, конечно, предложат наложить одну полоску на другую. Надо дать им выполнить наложение и убедиться, что два отрезка в одном случае равны, а в другом случае один отрезок больше другого. Производя наложение, учащиеся должны рассказать, как они это делают. «Накладываем отрезок AB на отрезок CD так, чтобы их крайние точки А и С совпали и чтобы прямая AB пошла по прямой CD. Если точка В совпадёт с точкой D, то отрезки равны». Или (в другом случае): «... если точка В упадёт между точками С и D, то отрезок AB меньше отрезка CD».

После этого преподаватель предлагает начертить два произвольных отрезка и сравнить их по величине. Мы не можем непосредственно наложить один из этих отрезков на другой. Надо показать, как это сделать при помощи

Черт. 2.

циркуля. Учащиеся, каждый в своей тетради, выполняют сравнение отрезков. В тетрадях должен быть записан результат, например AB>CD. Учащиеся должны усвоить, что концы растворенного циркуля определяют некоторый отрезок, должны «видеть» этот отрезок. Затем предлагается задача: при помощи циркуля отложить на прямой от некоторой точки отрезок, равный данному. Это одно из основных построений. Учащиеся выполняют его в тетрадях, обозначают данный и построенный отрезки буквами и производят запись.

Дальше даётся понятие о сумме двух и нескольких отрезков. На прямой заданы три точки: Л, В и С. Какие отрезки они определяют? Учащиеся называют все три отрезка. Выясняется, какой отрезок является суммой двух других, как расположены отрезки-слагаемые.

Затем учащиеся, пользуясь циркулем, производят построение отрезка, равного сумме двух или трёх данных отрезков. Решая эти задачи, учащиеся должны получить прочные навыки в выполнении основных построений. Они должны записать, что дано, что требуется построить, начертить данные отрезки. Уметь рассказать этапы построения, например: «Беру произвольную прямую, на ней — произвольную точку Л, от этой точки откладываю на прямой отрезок AB, равный данному отрезку а», и т. д. Примерная запись решения задачи (черт. 3.).

Черт. 3.

Задача. Дано: отрезки а, о, с.

Построить: отрезок а + Ь + с.

Построение. AB = а, ВС =6, CD = с; AD = AB + ВС + CD; AD = а + b + c.

При решении подобных задач проверяется справедливость переместительного и сочетательного законов для суммы отрезков. Аналогично даётся понятие о разности двух отрезков, решаются задачи на построение разности отрезков, на построение отрезка, равного удвоенному, утроенному отрезку. Должно быть выяснено, что построить отрезок, равный разности отрезка а и отрезка 6, можно только в том случае, если а>&.

Могут быть решены из задачника Рыбкина задачи § 1, № 6 и 7 и подобные им. При решении задачи 7 необходимо выяснить, при любых ли значениях т и п возможно построение.

Способ деления отрезка пополам, а тем более на любое число частей не может быть обоснован в этом месте курса. Однако надо выявить, что отрезок может быть разделён на две равные части, т. е. что существует средняя точка отрезка. Сам факт учащемуся очевиден, обоснование его недоступно. Можно разделить отрезок путём проб, проверяя циркулем или перегибая полоску бумаги. При изучении медианы треугольника учащиеся будут иметь дело со средней точкой отрезка. Поэтому надо предложить разделить данный отрезок AB пополам, и, найдя каким-либо путём среднюю точку С, записать: АС=СВ.

Теоретическое обоснование измерения отрезков даётся много позднее, лишь в VIII классе. Однако уже в начальной школе учащиеся измеряют длины при помощи масштабной линейки. Некоторое понятие об измерении необходимо иметь, чтобы пояснить измерение углов. Поэтому, проверив умение учащихся измерить данный отрезок, надо выяснить, что, измеряя отрезок, откладывают в нём другой отрезок, принятый за единицу длины, например 1 м или 1 см. Если этот отрезок откладывается в измеряемом целое число раз, то длина отрезка выражается целым числом, например 13 см. Если же измеряемый отрезок больше 13 см, но меньше 14 см, то в нём откладывают какую-либо часть отрезка, принятого за единицу меры, например 0,1. Если эта часть отрезка отложится в нём целое число раз, то длина отрезка выразится дробным числом, например 13,7 см. На практике измерение всегда приближённое с той или другой точностью. Так, в рассматриваемом случае может быть 0,1 см отложилась не ровно 137 раз, а ещё остался маленький остаток, меньший 0,1 см, но длина 13,7 см берётся приблизительно с точностью до 0,1 см (ошибка меньше 0,1 см). Всё это надо не рассказывать учащимся, а выяснить на конкретных измерениях отрезков.

Учащиеся часто говорят, когда циркулем откладывают данный отрезок: «измерим отрезок циркулем». Это неверно, так как, откладывая циркулем, отрезок, равный данному, его длины не находят.

Окружность. На ознакомление с понятиями «окружность», «центр», «радиус», «диаметр», «хорда» и т. д. можно

уделить не более одного урока. Содержание этого урока совпадает с материалом учебника Киселёва (стр. 6, § 9—11). Из введённых там понятий можно пропустить определения секущей и сегмента, так как они не понадобятся. Определения окружности в учебнике не дано; можно ограничиться тем, что учащийся будет иметь только представление об окружности и знать свойство её точек.

Определение окружности лучше дать в теме «Геометрическое место точек», чтобы не давать двух различных формулировок.

Общий характер урока остаётся прежним, т. е. учащиеся чертят в тетрадях те геометрические образы, о которых идёт речь, обозначают буквами, записывают их названия. Определения вырабатываются тут же. Записывать их не надо, так как они есть в учебнике. Давая понятие о дуге, надо взять на окружности две точки и выяснить, что они ограничивают две дуги, так что лучше назвать дугу тремя буквами. Перегнув вырезанный из бумаги круг по диаметру, можно показать, что окружность разделилась на две равные дуги. Если же взять произвольно две точки, то обычно одна дуга, заключённая между ними, меньше полуокружности, а другая больше. Когда называют дугу двумя буквами, то имеют в виду меньшую дугу.

Поясняя, что равные дуги одной и той же окружности совпадают,— хорошо показать круг, на котором вращается вокруг центра сектор другого цвета. Сумму дуг, их разность надо показать, взяв на окружности несколько точек и записав слагаемые дуги и сумму их. Задачи на построение дуги, равной сумме или разности данных дуг (аналогичные решаемым при прохождении отрезков), давать не надо, так как учащийся не может непосредственно отложить дугу. Давать понятие о дуге, которая больше окружности, преждевременно. Оно не соответствует определению дуги как части окружности, и надобности в нём в курсе геометрии не встретится.

Угол. Каждый учащийся имеет представление об угле, но надо научить его различать элементы угла, расширить понятие об угле (угол развёрнутый, полный). В дальнейшем при доказательстве теорем учащемуся придётся мысленно накладывать один угол на другой, выяснять, совпадают ли углы или нет, по какой причине (теоремы о признаках равенства треугольников). Учащийся только в том случае будет вполне понимать все этапы доказательства,

если им будут соответствовать конкретные, наглядные представления. Создание этих представлений должно быть достигнуто при прохождении излагаемой темы.

Начать можно с задания провести из данной точки О два луча. Какая фигура получилась? Конечно, учащиеся скажут, что образовался угол. Они при этом воспринимают только один угол (тот, который меньше), и преподаватель не должен сразу выяснять, что два луча образовали не один, а два угла. Если один из углов совпадает с привычным для учащегося образом угла, то другой ему совершенно чужд. Обобщить понятие угла и отнести его и к этому новому образу можно только после того, как учащимся станет понятным, что и этот чуждый образ заслуживает названия «угол».

Пока надо обозначить лучи буквами, дать названия элементам угла, записать под чертежом эти названия, показать, каким знаком заменяется слово «угол», как обозначается угол тремя буквами, одной, и т. п.

Из самого образования угла ясно, что стороны его должны мыслиться неограниченно продолженными, так как это лучи. Не надо заставлять учащихся заучивать бессмысленную фразу: «величина угла не зависит от длины его сторон», так как о длине луча вообще нельзя говорить. Но в то же время необходимо, чтобы учащиеся прочно осознали тот факт, что если продолжить начерченные стороны угла или укоротить их, угол останется тем же, чтобы они действительно воображали стороны угла неограниченными.

Понятие о внутренней области угла, данное в учебнике Киселёва, т. е. как части плоскости, в которой целиком помещается отрезок прямой, соединяющей две любые точки, взятые на сторонах угла, с последующим указанием, что «иногда приходится считать внутренней областью другую часть плоскости», может вызвать только недоумение учащихся. Пока понятие угла не расширено, можно только указать часть плоскости, ограниченную сторонами угла (заштриховать, или отметить дугой); взять точку внутри угла, вне угла.

Сравнение углов по величине. Для этого урока надо заготовить различные углы, вырезанные из картона или плотной бумаги (можно использовать обложки тетрадей). Учащиеся должны понимать, что лучи, исходящие из одной точки и вырезающие часть плоскости, про-

должаются неограниченно, а на модели они произвольно обрезаны. Надо неровно обрезать бумагу, чтобы не создавалось ни образа треугольника, ни образа сектора (черт. 4).

Взяв два угла, преподаватель предлагает сравнить их по величине. Равны ли они или нет? Если неравны, то который больше? Вспоминают, что отрезки сравнивались наложением, так же надо сравнивать и углы. Преподаватель даёт ученику два вырезанных из бумаги угла разного цвета и предлагает наложить один на другой, рассказывая, как делается наложение. Рассказ будет примерно такой: «Совмещаем вершину первого угла с вершиной второго и закладываем угол так, чтобы одна сторона первого угла пошла по стороне второго. Смотрим, как пойдёт вторая сторона первого угла. Если и две другие стороны совпадут, значит углы равны». Конечно, надо рассмотреть и случай равных углов, и случай неравных углов. Надо, чтобы модели равных углов, вырезанные из бумаги, не совпадали полностью, т. е. чтобы отрезки, изображающие стороны равных углов, были бы неравными. Также в случае неравных углов — стороны большего угла надо больше срезать (черт. 5.). После создания наглядных представлений учащийся сможет и мысленно воспроизвести наложение одного угла на другой.

Расширение понятия угла. Затем преподаватель переходит к изменению угла. Лучше всего воспользоваться подвижным наглядным пособием: две палочки, скреплённые гвоздиком (черт. 6). Преподаватель вращает одну из палочек, предлагая учащимся наблюдать, как изменяется угол. Для учащихся интуитивно ясно, что угол всё время увеличивается. Наконец, одна палочка делается продолжением другой. Учащиеся считают, что угол исчез. Преподаватель спрашивает, где точка, из которой исходят

Черт. 4.

Черт. 5. Черт. 6.

два луча, где эти лучи? Устанавливается, что полученная фигура может быть названа углом, у него есть вершина и стороны; такой угол называется развёрнутым. Продолжая вращение палочки и наблюдая за дальнейшим изменением угла, также приходят к понятию угла, который больше развёрнутого, и, наконец, к углу полному. Особенно важно чётко рассмотреть, где вершина и стороны полного угла — оба луча слились, их направления совпали. Теперь только надо начертить на доске различные углы, отметить их внутренние области дугами или затушевать их. В тетрадях учащихся должен остаться чертёж, показывающий последовательные изменения угла (черт. 7).

После того как понятие угла расширено, можно показать, что если угол меньше развёрнутого, то отрезок, соединяющий две точки, взятые на разных сторонах угла, целиком лежит внутри угла. Если не делается особой оговорки, то рассматривается именно этот угол.

Продолжать обобщение понятия угла на углы больше полного преждевременно.

Сложение углов. Лучше всего этот раздел начать с понятия прилежащих углов, для чего из данной точки С провести три луча: СЛ, С В и CD (черт. 8). Рассматривается расположение углов АС В и BCD и выясняется, что они имеют общую вершину (С), общую сторону (СВ) и не покрывают друг друга (или другие две стороны расположены по разные стороны от общей стороны). Такие два угла называются прилежащими. Введение понятия «прилежащие углы» упрощает речь1.

Черт. 7.

Черт. 8.

1 См. Адамар, Элементарная геометрия, ч. 1, стр. 23.

После этого даётся понятие о сумме двух углов, причём пользуются тем же чертежом. Крайние лучи CA и CD образуют угол ACD, который называется суммой углов АСВ и BCD. Запись: Z. АСВ + Z. BCD = Z.ACD. Учащимся можно предложить найти сумму двух или нескольких углов, вырезанных из бумаги; обратить внимание на то, чтобы они чётко представили себе, как приложить один угол к другому. В частных случаях сумма углов может образовать и развёрнутый угол, и угол больше развёрнутого. Конечно, учащиеся могут спросить, может ли сумма углов быть больше полного угла; на это надо ответить утвердительно, но не вводить понятия угла, превышающего полный. Упражнения на сложение и вычитание данных углов надо провести после ознакомления с транспортиром. На этом уроке выясняются только понятия «сумма» и «разность» углов. Проведя из точки несколько лучей, учащиеся обозначают лучи буквами, отмечают углы и записывают сумму или разность углов, пользуясь введёнными обозначениями.

На этом же уроке надо дать понятие о биссектрисе угла. Способ деления угла пополам будет показан и обоснован позднее. Здесь принимается лишь существование такого луча, который делит данный угол пополам, т. е. на два равных угла. Можно, перегнув угол, вырезанный из бумаги, и снова его разогнув, пояснить это понятие. Уже здесь учащиеся должны усвоить, что вместо того чтобы записывать: BD — биссектриса угла ABC, достаточно записать: Z.ABD = =Z.DBC.

Смежные углы. Определение прямого угла. Преподаватель предлагает сделать следующее построение: провести прямую AB, на ней взять произвольную точку С, и из этой точки провести произвольный луч CD. Затем рассмотреть углы, образованные этим лучом с каждой частью прямой AB. Учащиеся усматривают, что углы ACD и DCB являются прилежащими, так как имеют общую сторону и не покрывают друг друга. Но эти прилежащие углы обладают особым свойством: каждая из других двух сторон составляет продолжение другой. Такие два угла называются смежными.

Сразу усматривается, что сумма смежных углов есть развёрнутый угол. Это вытекает из самого определения смежных углов. Необходимо, чтобы учащиеся начертили смежные углы в различных положениях.

Пользуясь понятием «смежные углы», даём определение прямого угла как угла, равного своему смежному. Именно этим определением пользуются при доказательстве многих теорем (например, доказывая, что биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является и высотой).

Не следует определять прямой угол как угол в 90°. Прямой угол может быть получен независимо от всякой произвольно выбранной единицы для измерения углов, т. е. является более основным понятием. Существуют и другие единицы измерения углов, например 1 град., являющийся 0,01 частью прямого угла. Надо, чтобы учащийся усвоил, что он может построить прямой угол, не пользуясь никаким угломерным прибором; наоборот, правильность транспортира может быть проверена при помощи прямого угла.

Образ прямого угла есть у каждого учащегося VI класса, но определение его должно быть тщательно выяснено. Для этого можно воспользоваться следующим наглядным пособием: из палочек сделаны смежные углы, причём их общая сторона вращается (черт. 9). Преподаватель, показывая это пособие, выясняет, что один из смежных углов больше второго. Изменяя положение общей стороны, преподаватель предлагает учащимся следить, как изменяется величина углов. Учащиеся наблюдают, что больший угол уменьшается, а меньший увеличивается. Для них интуитивно ясно, что общую сторону можно так расположить, что оба смежных угла будут равны. Преподаватель ставит палочку в это положение. Каков теперь каждый угол? — Прямой. Отсюда следует определение прямого угла: угол, равный смежному, называется прямым углом.

Кроме этой модели, надо предложить учащимся перегнуть любой лист бумаги по прямой, наметить на этой прямой вершину смежных углов и затем снова перегнуть бумагу так, чтобы получить два равных смежных угла, т. е. чтобы они при наложении совпали. Разогнув бумагу, учащийся получит два равных смежных угла, из которых каждый прямой. Таким образом, каждый учащийся сможет

Черт. 9.

изготовить для себя угольник. Для учащихся очевидно, что все прямые углы равны, что если наложить одну пару равных смежных углов на другую такую же пару, то общие стороны совпадут. Этой очевидностью можно удовлетвориться, так как дать доброкачественное доказательство этого положения не легко. Можно рассмотреть равенство прямых углов так, как это сделано в учебнике Глаголева, т. е. исходя из равенства всех развёрнутых углов, и выяснить, что прямой угол равен половине развёрнутого угла.

После этого острый угол определяется как угол, меньший прямого, а тупой угол — как угол, который больше прямого угла, но меньше развёрнутого.

Вводим обозначение прямого угла буквой d, и учащиеся, начертив в тетрадях острый и прямой угол, записывают, пользуясь символами, соответствующее неравенство.

Из того, что развёрнутый угол равен двум прямым углам, вытекает как следствие предложение, что сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.

Если прямая при пересечении с другой прямой образует прямой угол, то она называется перпендикуляром к этой прямой. Надо выяснить, что если ABJ^CD, то и CD\_ABy т. е. обе прямые взаимно перпендикулярны. Начертив две пересекающиеся прямые, легко выяснить, что если один из углов, образовавшихся при этом, прямой, то и остальные три прямые, причем они образуют четыре пары смежных углов. Учащийся должен назвать каждую пару смежных углов, образовавшуюся при пересечении двух прямых (4 пары).

После этого, пользуясь угольником, учащиеся выполняют следующие построения: .

1) Дана прямая и точка на ней; восставить из этой точки перпендикуляр к данной прямой.

2) Дана прямая и точка вне её; опустить из этой точки перпендикуляр на данную прямую. Прямые надо задавать не только в горизонтальном, но и в вертикальном, и в наклонном положениях. Надо начертить данную прямую и так, чтобы учащимся пришлось её продолжить, как указано на чертеже 10. Эти построения выполняются не только в классе, но и задаются на дом.

Черт. 10.

При решении этих задач естественно поставить вопрос, сколько можно провести перпендикуляров к данной прямой через данную точку. Опыт подсказывает ответ—один. В случае, если точка дана на прямой, этот ответ легка подтвердить рассуждением: второй луч пройдёт внутри прямого угла, т. е. угол, который он образует с данной прямой, будет меньше прямого (другой — больше). Если же точка дана вне прямой, то обосновать ответ трудно.

Рассуждение, приведённое в учебнике Киселёва (стр. 15), мало понятно учащимся. Лучше отложить доказательство единственности перпендикуляра, опущенного на прямую из точки вне прямой, и дать его после теоремы о внешнем угле, например при решении соответствующей задачи на построение. Конечно, надо иметь в виду, что тогда и следствие, приведённое на странице 23, § 39, не может быть обосновано логически, и его следует пропустить.

Надо ознакомить учащихся с эккером и провести построение прямого угла на местности. Можно, например, на открытой площадке выделить участок земли прямоугольной формы.

Измерение углов. Учащиеся, умеющие пользоваться транспортиром, часто совсем не отдают себе отчёта, как при этом измеряется угол, что является единицей при измерении углов, каким образом «угол измеряется дугой». Это происходит от чрезвычайно быстрого перехода к механическому измерению углов транспортиром, так что понятие об угле как единице измерения, о зависимости между центральным углом и его дугой не успевают закрепиться. Поэтому надо рекомендовать не торопиться с переходом к дуговым градусам, и если соответственные представления не даны в V классе, тщательно разобраться в них в VI.

Прежде всего надо показать, что есть необходимость измерять углы. Преподаватель чертит на доске произвольный угол, например тупой, и предлагает учащимся построить в тетрадях угол, равный этому углу. Как это сделать? Можно, конечно, вырезать из бумаги угол, равный данному, и, пользуясь им, построить в тетрадях такой же. Столяры в таких случаях пользуются особым инструментом — малкой (показать его). Или, использовав пособие из двух палочек (черт. 6), раздвинуть палочки на данный угол. Эти способы аналогичны тому, как строили отрезок, равный данному. Но если будет желательно, чтобы все

учащиеся построили по равному отрезку, нет надобности каждому брать отрезок циркулем или полоской бумаги— преподаватель просто измерит отрезок и даст задание построить отрезок, например, в 3 см.

Возникает задача, как измерить данный угол? Надо вспомнить, как измерялся отрезок: некоторый определённый отрезок являлся единицей меры и этот отрезок или часть его откладывались на данном отрезке. Теперь измерить надо угол. Что же надо принять за единицу измерения ? Учащиеся поймут, что за единицу надо принять какой-нибудь определённый угол. Естественно принять за единицу прямой угол, так как все прямые углы равны. Путём сравнения начерченного на доске угла с прямым углом (можно взять угол, вырезанный из бумаги) выясняется, что он больше прямого, что прямой угол в нём откладывается один раз и остаётся остаток. Тогда пробуют отложить какую-либо часть прямого угла, например половину его или четверть. Половину и четверть прямого угла получают, перегибая бумажный прямой угол.

Так получается, например, что угол равен 1 -^d. Учащиеся могут у себя в тетрадях построить такой же угол. Выясняется, что, приняв за единицу измерения прямой угол, можно найти величину угла, т. е. выразить её числом.

Так закрепляется представление, что единицей меры угла является угол.

Надо решить несколько задач на вычисление, выражая величину угла в частях прямого угла (задачник Рыбкина, § 2, № 22, 23, 17, 18). Выяснить, что полный угол равен 4d. Тогда можно решать задачи на определение величины углов, если они расположены вокруг одной точки и попарно прилежащие и т. п. (№ 29).

Измерять углы, принимая за единицу прямой угол, неудобно, так как это слишком крупная единица. Приходится пользоваться частями прямого угла — при решении задач встречались различные доли прямого угла. Условились для измерения углов принять за единицу угол, составляющий ^ часть прямого угла. Такой угол называется «угловой градус». Желательно иметь в качестве пособия прямой угол, разделённый на угловые градусы. Можно вырезать из бумаги угол в один градус и показать учащимся. Этот маленький угол запоминается. Непосредственное

измерение угла угловыми градусами — затруднительно, поэтому устанавливается новое понятие — «центральный угол».

Начертив окружность, надо провести два радиуса и выяснить, что они образуют угол (точнее — два угла), вершина которого лежит в центре круга. Выяснив, что каждому центральному углу соответствует некоторая дуга окружности, устанавливается положение, приведённое в учебнике Киселёва (§ 17, стр. 11). Рассуждения, обосновывающие прямое и обратное положение, вполне могут быть проведены. Для большей их наглядности хорошо использовать пособие: круг, на котором выделены два равных сектора, причём один из них вращается вокруг центра.

Затем, взяв вырезанный из бумаги круг, преподаватель перегибает его по диаметру, а затем ещё по диаметру, перпендикулярному первому. Окружность при этом разделилась на 4 равные дуги, а диаметры, пересекаясь, образовали 4 прямых угла. Прямому центральному углу соответствует дуга в -^-окружности. Если разделить центральный угол на равные части, то и дуга, соответствующая ему, разделится на столько же равных частей. Если разделить прямой центральный угол на 90 равных частей, то получится центральный угол в один угловой градус. Соответствующая дуга, составляющая -^-окружности, тоже разделится на 90 равных частей, т. е. получится дуга, составляющая 7эо часть от *Д окружности, т. е. 7збо часть окружности. Такая дуга носит название дугового градуса. Итак, центральному углу в один угловой градус соответствует дуга в один дуговой градус. Если же рассмотреть центральный угол в 23°, то его дуга будет заключать 23 дуговых градуса. Для разъяснения этого положения следует иметь большой круг, разделённый на секторы, имеющие дуги в Г. В нём проведено несколько концентрических окружностей, и учащимся должно быть понятно, что хотя дуги разных окружностей, соответствующие данному центральному углу, не равны, все они содержат одно и то же число дуговых градусов, столько же, сколько в данном центральном угле угловых.

Отсюда ясно, что вместо того чтобы измерять данный центральный угол угловыми градусами, можно измерить его дугу дуговыми. Получится одно и то же число. Пояс-

няется, что значат слова «угол измеряется соответствующей ему дугой».

После этого учитель объясняет устройство транспортира. Учащийся должен понимать, что, применяя транспортир, он делает данный угол центральным, а дуга транспортира и является соответствующей ему дугой. После изложенного следуют многочисленные задачи и упражнения следующих типов:

1) Измерение углов при помощи транспортира (углы задаются в различных положениях).

2) Построение углов при помощи транспортира. Построение угла, равного данному, равного сумме данных углов, их разности и т. п.

3) Построение секторных диаграмм.

4) Решение примеров на выражение углов, заданных в частях прямого угла, в градусном измерении и обратно. Можно предложить учащимся заполнить следующую таблицу:

5) Решение задач на вычисление (задачник Рыбкина, § 2). Надо дать понятие и о минутах и секундах, но тратить много времени на решение задач, пользуясь минутами и секундами, не следует.

6) Знакомство с угломерными приборами, применяемыми при измерении на местности (школьная астролябия, эклиметр), и проведение некоторых работ с применением этих приборов1.

Теорема о равенстве вертикальных углов. Вопрос о равенстве вертикальных углов принципиально ничем не отличается от рассмотренных вопросов и может быть пройден аналогично изложенному выше. Он выделен, чтобы на этом предложении показать подход к понятию о теореме и её доказательстве.

Предварительно даётся понятие о вертикальных углах и их определение. Учащиеся чертят две пересекающиеся

1 Б. И. Крельштейн, Геодезические работы в школе, изд. ЛГИУУ, Ленинград, 1948

прямые, выясняют, какие при этом образовались углы, и находят четыре пары смежных углов.

Преподаватель отмечает вертикальные углы и называет их. Задав затем угол, преподаватель предлагает начертить ему вертикальный. Чтобы это сделать, надо продолжить оба луча за вершину угла, т. е. стороны нового угла являются продолжением сторон данного. Даётся определение вертикальных углов. Уже при построении этих углов у учащихся создаётся уверенность в их равенстве.

Можно рассмотреть модель — две пересекающиеся палочки, скреплённые винтиком. Сдвигая и раздвигая палочки, преподаватель изменяет величину углов, но видно, что при всех их изменениях сохраняется равенство вертикальных углов.

Так даётся наглядное восприятие того свойства, которое надо потом обосновать.

Рассмотрение модели не даёт пути к доказательству теоремы. Можно сделать иначе: подойти к теореме из решения задачи на вычисление. Даётся задача: две прямые AB и CD пересекаются в точке О; /_СОВ = 125°. Определить величину углов АОС и BOD. Учащиеся делают чертёж по условию задачи, записывают, что дано и что требуется найти. Учащийся должен обдумать ход решения задачи: чтобы определить величину угла АОС, зная угол СОВ, надо усмотреть, что углы АОС и СОВ смежные, а тогда известна их сумма и легко вычислить величину искомого угла. Те же соображения надо применить для вычисления угла BOD. Решая задачу, учащийся не только обнаруживает равенство вертикальных углов, но усваивает и путь, которым он пришёл к решению задачи. Этот путь на частном примере повторяет те же рассуждения, которые применяются для общего случая при доказательстве теоремы. Можно предложить решить подобную же задачу при другом численном значении данного угла — это ещё более выявит общность рассуждения, не зависящую от определённой величины углов.

Ход решения задачи надо записать.

Появится такая запись:

Здесь уже выявлены те логические зависимости, которые обосновывают вывод. Преподавателю остаётся зафиксировать этот вывод, как доказательство теоремы. Для этого преподаватель напоминает, какое свойство вертикальных углов установлено. Спрашивает, как можно убедиться в его правильности. Учащиеся могут ответить, что это видно на модели, что можно измерить вертикальные углы транспортиром или проверить вычислением, как делали при решении задач. Преподаватель выясняет, что все предложенные способы подтверждают правильность вывода только для некоторых данных углов. Если же можно будет найти такое рассуждение, которое подтвердит, что это свойство верно для всевозможных вертикальных углов, какими бы их ни взяли, где бы их ни начертили, если только будет известно, что эти углы вертикальные,— тогда это будет уже доказательство, а положение, которое доказывается, называется теоремой. Обычно учащиеся уже знают, что в геометрии будут какие-то теоремы, и ждут их появления с нетерпением. Поэтому дальнейшее разъяснение слушается с интересом и вниманием. Слово «доказательство» можно пояснить и жизненным примером. Так, надо доказать, что урок пропущен по уважительной причине, т. е. привести доводы, основания, в которых нельзя сомневаться.

Прежде всего выясняется, какая теорема доказывается, т. е. повторяется её формулировка. Дальше выделяется, что известно (дано) в теореме, т. е. что является условием, и что требуется доказать, т. е. что является заключением. Полезно сформулировать теорему и так: «Если углы вертикальные, то они равны». Записывается заголовок: «Теорема». Делается чертёж. Записывается, что дано и что требуется доказать. Затем преподаватель предлагает вспомнить, как рассуждали, когда решали задачи на вычисление, каким свойством пользовались, какие углы брали. Поясняет, что теперь будем рассуждать не относительно начерченных углов, а относительно любых, какой бы они величины ни были. Важно, чтобы учащиеся поняли, что каковы бы ни были два вертикальных угла — всегда можно будет выбрать один и тот же угол, смежный каждому из них. Выясняется, какой угол взять (можно любой). Проводится запись на доске: 1 + /_2 = 2d; /_3 + /m2 = 2dt и одновременно выясняется, на каком основании. Дальше рассуждают так же, как и при решении задачи. Выражают, чему равен каждый из вертикальных углов,

для чего пользуются зависимостью между слагаемым и суммой: /_2 = 2d — 1 и также /^3 = 2(1 — £1. Теперь ясно, что из равных величин вычитается поровну (вычитают один и тот же угол), значит, остатки должны быть равны, какова бы ни была величина вычитаемого угла.

Доказательство теоремы должно быть записано схематически. Получится примерно следующая запись:

Теорема. Дано: АОС и ^/ DOB — вертикальные.

Доказать: Z. АОС = Z. DOB.

Доказательство. Z. ДОС + Z. AOD = 2d (как смежные); ^ BOD + Z. AOD = 2d (как смежные); Z АОС = 2d — Л AOD\ /_ BOD = 2d — Z.AOD; следовательно, /_ АОС = BOD.

Учащиеся записывают доказательство при повторении, снова вспоминая все обоснования. Преподаватель должен сам чётко и связно повторить всё доказательство теоремы, а затем уже предложить повторить учащемуся. С первой же теоремы надо стремиться к тому, чтобы учащиеся не заучивали доказательство механически, а поняли его смысл. Поэтому преподаватель может предложить учащемуся взять не угол AOD, а угол СОВ. Другому учащемуся можно предложить доказать равенство другой пары вертикальных углов и обсудить, какие тогда надо брать пары смежных углов (можно иначе обозначить углы). Особенно важно ещё раз подчеркнуть: 1) условие теоремы, 2) заключение теоремы, 3) на каких ранее известных положениях основывалось доказательство.

Нельзя ожидать, что все учащиеся с первой теоремы вполне поймут смысл доказательства. Они овладеют этим постепенно. Надо заложить правильную основу, а при последующих теоремах снова подчёркивать те же основные моменты, и тогда процесс доказательства будет становиться всё яснее, и учащиеся заинтересуются сами отысканием доказательства. На первых порах надо, чтобы учащиеся восприняли две основные идеи: 1) теорема доказывается не на основании опыта и 2) вывод имеет общее значение.

После знакомства учащихся с понятием «теорема» надо сформулировать некоторые другие теоремы, с которыми они

уже имели дело, например: «Сумма двух смежных углов равна двум прямым углам»; «Если в одном и том же круге центральные углы равны, то и соответствующие им дуги равны». Необходимо указать, что теоремы бывают и в арифметике, и в алгебре, привести примеры таких теорем, например: «Если две последние цифры многозначного числа выражают число, делящееся на 4, то данное число делится на 4»1. В каждой теореме учащиеся должны выделить условие и заключение. Понятие об обратной теореме лучше отложить, чтобы не перегружать учащихся несколькими трудностями. Конечно, если сами учащиеся поднимут этот вопрос, учитель должен на него ответить.

Для лучшего понимания смысла доказательства, для возбуждения у учащихся интереса к логическому обоснованию надо предлагать несложные задачи на доказательство. В числе этих задач могут быть не только задачи геометрического содержания, но и чисто логические задачи с жизненным содержанием. Примером такой задачи может быть следующая. Мальчик, желая доказать, что его брату уже исполнилось 18 лет, указывает, что брат являлся избирателем при выборах в Верховный Совет. Правильно ли это доказательство? Почему? Можно ли утверждать, что брату мальчика именно 18 лет? Объяснить, почему можно или почему нельзя.

Решение задач. Первая тема курса геометрии даёт возможность дать первые навыки в решении геометрических задач. В § 2 задачника Рыбкина даны задачи различного характера. Распределим их на группы.

I. Лёгкие задачи, которые могут быть решены учащимися самостоятельно дома или использованы для устных упражнений в классе:

№ 22, 23, 24, 30, 31, 34.

К этой же группе могут быть отнесены задачи столь же лёгкие по своему геометрическому содержанию, но несколько более трудные с точки зрения арифметического решения. Это задачи: № 25, 29, 33. Последние задачи могут быть использованы для составления уравнений на уроках алгебры.

1 Преподаватель не должен забывать, что, употребляя в формулировке признаков делимости слова «делятся те и только те числа», мы утверждаем справедливость и прямой, и обратной (или противоположной) теорем.

II. Задачи-примеры тренировочного характера для усвоения действий с минутами и секундами: № 6, 8, 9, 12, 14, 16.

III. Задачи для получения навыков в обращении с транспортиром: № 2, 3, 4, 5, 11, 19.

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки: № 1, 4, 5, 7, 10, 11, 13. Эти задачи надо отнести к теме «Основные задачи на построение».

IV. Задачи на построение, которые могут быть решены в этой теме: № 20 и 35, а также задачи на построение отрезков.

V. Задачи на вычисление, требующие выполнения чертежа, умения установить зависимость между данными элементами: № 17, 18, 26, 28, 32, 37.

VI. Задачи на доказательство: № 27.

Задачи первых трёх групп не развивают мышления учащихся и могут служить только для закрепления пройденного.

Наиболее ценными являются задачи V и VI группы, так как только они развивают умение решать чисто геометрические задачи, способность анализировать данные. В классе полезно рассматривать именно такие задачи, после чего подобные задачи можно давать и на дом. К сожалению, преподаватели школ часто пропускают эти задачи, считая их слишком трудными. При прохождении первой темы преподаватель не успеет решить с учащимися все задачи этого параграфа, поэтому следует продолжать решать эти задачи и при прохождении следующей темы.

Рассмотрим этапы решения таких задач.

1. Учащийся читает условие задачи и делает соответствующий чертёж.

Надо научить учащегося разбираться самостоятельно в данных задачи. Неправильно, если преподаватель сам делает чертёж, тогда он основную работу берёт на себя. Лучше даже не вызывать учащегося к доске, а дать раньше всем попробовать сделать чертёж у себя в тетради, а потом вызвать кого-нибудь к доске. Если учащийся затрудняется, надо предложить ему медленно читать условие задачи вслух и изображать то, о чём он читает.

Для первых навыков могут быть использованы более лёгкие задачи, например: № 21 и 36.

2. Сделав чертёж, учащийся записывает, что дано и что требуется найти, повторяя при этом условие задачи. По-

вторять условие таких задач до чертежа не имеет смысла, так как учащийся не может осмыслить задачу, не имея наглядного образа.

3. Анализ задачи, составление плана решения. При этом учащиеся должны чётко выяснить, какими свойствами, теоремами они пользуются.

4. Решение задачи. Иногда решение задачи показывает, что сделанный чертёж ему не соответствует. Тогда надо сделать новый чертёж. Полезно провести с учащимися проверку решения, если она им посильна.

Приведём для примера решение задачи 26 (черт. 11).

Задача. Углы ABC и С BD смежные, /_ CBD = 0,375d. Определить угол между перпендикуляром, проведённым из точки В к прямой АВУ и биссектрисой угла ABC. Сделать чертёж.

Построение чертежа. Учащийся, читая условие, выясняет, что прежде всего надо начертить смежные углы, при этом угол CBD — острый. Чертит от руки смежные углы, не заботясь о том, чтобы /_CBD был точно таким, какой дан, и проставляет буквы Теперь надо восставить перпендикуляр из точки В к прямой АВ\ проводит перпендикуляр BE от руки. Остаётся провести биссектрису угла ABC; её тоже надо провести от руки, но предварительно установить, что она непременно пройдёт внутри угла ABE, так как половина угла ABC меньше прямого угла. Обозначается биссектриса (BF). Чертёж готов; записывается, что дано и что требуется найти (см. ниже).

Составление плана решения. Анализ решения задачи вначале проводится при помощи преподавателя. Надо найти угол FBE; этот угол есть разность между углом ABE и углом ABF. Угол ÄBE прямой (ЕВ _]_ AB), а угол ABF составляет половину угла ABC, так как BF — биссектриса этого угла. Угол ABC можно найти, так как он смежный данному углу. Анализ закончен, следует решение.

Запись решения задачи.

Черт. 11.

Решение.

Для упражнений можно использовать также задачи из учебника Н. А. Глаголева1.

Как мы уже указывали выше, необходимо давать учащимся несложные задачи на доказательство, между тем в этом разделе задачника Рыбкина имеется только одна задача (№ 27). Можно использовать задачи, данные в учебнике Глаголева (стр. 29, № 14—20) и в учебнике Киселёва (стр. 18, упражнения 4—7).

Решение задач на доказательство надо начинать с наиболее простых задач, например дать следующие задачи из геометрии Глаголева:

№ 14. Доказать: если два угла равны, то и смежные им углы равны.

№ 17. Доказать: сумма трёх не прилежащих один к другому углов, образуемых тремя пересекающимися в одной точке прямыми, равна 2d.

Задачи на доказательство могут предлагаться различно: можно дать учащимся готовый чертёж, на котором отмечено, что дано, или предложить учащимся изготовить чертёж согласно словесно выраженному условию задачи. Первый приём легче и с него можно начать, но полезно прибегать и ко второму приёму, так как само выполнение чертежа заставляет учащихся более глубоко анализировать условие задачи.

Многие задачи на доказательство предваряют доказательство теорем, которые будут рассматриваться в дальнейшем.

1 Н. А. Глаголев, Элементарная геометрия. Планиметрия, Учпедгиз,. 1949, стр. 28, упражнения 1—9.

Рассмотрим решение задач, заданных чертежом.

Задача 1. Дано (черт. 12):

Z.ABC; МВ\_АВ\ NB ± ВС.

Доказать: /_MBN+ Z.ABC = 2d.

Учащийся по чертежу видит, что углы АВМ и CBN прямые, и, найдя разность между суммой всех углов (Ad) и суммой этих двух углов, легко находит решение. Надо потребовать, чтобы учащийся обосновал свои утверждения.

Черт. 12.

Эту же задачу можно предложить в такой форме: «Определить сумму углов ABC и M BN». Задача 2. Дано (черт. 13):

Черт. 13.

Доказать:

Задача аналогичная, но её решение несколько труднее, так как приходится находить не сумму, а разность углов.

Обе эти задачи предваряют доказательство теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами, поэтому эта теорема будет гораздо легче усвоена.

Наличие в школе готовых плакатов-чертежей с геометрическими задачами даёт возможность при малой затрате времени предлагать учащимся устные упражнения на доказательство, всегда вызывающие большой интерес.

При таких упражнениях учащиеся устно проводят доказательство, но их надо приучать и к письменному оформлению доказательства. На первых порах можно предложить самостоятельно записать доказательство, предварительно рассмотренное устно, а затем уже самостоятельно решить новую задачу.

Нельзя требовать, чтобы учащиеся при прохождении первой темы уже получили навык в самостоятельном реше-

нии задач на доказательство, но с первых же уроков преподаватель должен заботиться о развитии этого навыка.

Работа с учебником. Как уже было сказано, изложение учебника Киселёва мало доступно учащимся. Для начинающих изучение геометрии, усвоение материала по книге вообще трудно; живая речь учителя, интонация его голоса, подчёркивающая существенное, показ чертежа, своевременно заданный вопрос — всё это облегчает усвоение.

Первые понятия должны быть усвоены на уроке, которого не сможет заменить лучший учебник, но надо приучать учащегося пользоваться книгой.

При изучении первой темы учитель может задавать на дом проработать по учебнику материал, уже рассмотренный на уроке. Задания должны быть небольшими; учитель должен предварительно убедиться, что учащемуся понятно изложенное в книге.

Совершенно недопустимо, чтобы учащийся учил наизусть, не понимая смысла. Надо пропустить те страницы учебника, которые изложены недоступно или в которых изложение расходится с данным в классе учителем. Учебник не может повторять все этапы, выясняющие какое-нибудь понятие, в той последовательности, в какой это проводилось в классе, но основные выводы и окончательные формулировки ученик должен найти в учебнике. Могут быть использованы § 4—17 (с учётом сказанного выше). Если придерживаться порядка, предлагаемого в этой статье, то придётся отступить от учебника в § 18—24. Следует записать определение прилежащих углов, смежных углов, прямого угла, дугового и углового градуса1; § 17 может быть использован; § 27 лучше пропустить, так как его формулировки крайне неудачны. Если сумма нескольких углов составляет развёрнутый угол, то она действительно равна 2d, так же как и полный угол равен 4d, но эти формулировки бессодержательны. Можно начертить ряд углов, имеющих общую вершину и при этом покрывающих частично друг друга. Учебник ссылается на определённый чертёж, который не вытекает из словесной формулировки. Это особенно ясно видно в пункте третьем этого параграфа. В нём так формулируется теорема, обратная теореме о сумме смежных углов: «Если два угла (АОВ и ВОС) имеют общую

1 Преподаватель может использовать учебник геометрии Глаголева.

вершину (О) у общую сторону (OB) и в сумме составляют 2d, то их две другие стороны (АО и ОС) составляют продолжение одна другой (т. е. такие углы будут смежные)».

На чертеже 14 выполнены все условия этой формулировки, однако стороны АО и ОС не составляют продолжения одна другой, т. е. формулировка ошибочна. Если ввести понятие «прилежащие углы», то можно дать правильную и краткую формулировку: «Если два прилежащих угла в сумме составляют 2d, то они смежные». Также неправильно сформулировано условие задачи 7. Того, что требуется доказать в задаче, доказать нельзя. Чтобы в этом убедиться, достаточно посмотреть на чертёж (черт. 15). Мы видим, что ^AOC = Z.DOB и £ A0D = Z СОВ, однако OB не является продолжением OA и OD не является продолжением ОС. Условие должно быть уточнено или надо рассмотреть различное возможное расположение данных лучей.

Эти ошибки в формулировках учебника показывают, как осторожно надо подходить к образованию обратных теорем.

Черт. 14.

Черт. 15.

В результате прохождения первой темы курса геометрии должны быть заложены только первые основы к дальнейшему усвоению геометрических знаний, развитию способности к отвлечению. Всё же учащиеся должны приобрести некоторые навыки. Учащийся должен чётко знать пройденные определения, должен правильно называть геометрические образы, уметь аккуратно выполнять чертёж, пользоваться угольником, линейкой, транспортиром. Должны быть даны первые навыки в проведении краткой схематической записи. Каждый учащийся должен уметь быстро решить несложную задачу на применение пройденных предложений. Надо приучать учащихся к обоснованию

каждого шага в решении задачи, к точным и кратким формулировкам.

Умение доказывать теоремы, решать задачи на доказательство, устанавливать логические связи между отдельными геометрическими соотношениями будет развиваться при дальнейшем прохождении курса. Как уже было указано, задачи на материал, пройденный в этой теме, надо предлагать и при прохождении следующих тем.

Е. И. Отто

(Ленинград)

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В VI КЛАССЕ.

Настоящая статья посвящена вопросу о решении геометрических задач на доказательство. Знакомить учащихся с задачами на доказательство следует почти сразу же, при изучении первых теорем курса геометрии.

Всю работу с учащимися по решению задач надо строить с постепенным нарастанием трудностей.

Первый этап работы заключается в развитии у учащихся умения «видеть» то, что изображено на чертеже. Надо научить учащихся находить на имеющемся чертеже искомые и данные, устанавливать зависимость между ними и затем, использовав эту зависимость и ранее полученные знания, приходить к требуемому выводу.

Умение «видеть» развивается у учащихся на протяжении всей работы по геометрии в школе и достигается различными приёмами. Укажем примеры того, как это можно сделать при обучении учащихся решению задач на доказательство. Оговариваемся, что эти примеры являются только образцами и могут иметь очень много вариантов.

Черт. 1. Черт. 2.

Пример 1. Учитель вывешивает на доске заранее приготовленный плакат (черт. 1).

Рядом с плакатом на доске записываются условия и заключение задач.

Учащиеся решают задачи и после окончания работы объясняют решение.

Пример 2. Проводится такая же работа, как и при решении первого примера (черт. 2).

Из этих примеров видно, что учащиеся на первом этапе работы имеют перед глазами чертёж, условие и заключение и всё их внимание сосредоточивается на доказательстве. Таким образом, они при этом учатся тому, что значит доказывать и как доказывать.

На втором этапе работы с задачами на доказательство надо научить учащихся, как записать условие и заключение к задаче, с содержанием которой они уже знакомы; чертёж к задаче даётся учителем. Приведём примеры.

Задача 1. Доказать, что высоты в равнобедренном треугольнике, опущенные на боковые стороны, равны.

Даётся чертёж (черт. 3).

Учащиеся самостоятельно записывают условие и заключение задачи.

Дано: Д АВС\ AB = ВС; АЕ±ВС\ FC^AB.

Доказать: АЕ = FC.

Задача 2. Доказать, что прямые, делящие пополам два внутренних накрест лежащих угла при параллельных прямых, параллельны между собой.

Даётся чертеж (черт. 4). Учащиеся пишут самостоятельно :

Черт. 3.

Черт. 4.

Дано: AB || CD, EF пересекает AB и CD в точках M и N\ GM — биссектриса ^/ AMN\ NH — биссектриса ^ MND. “Доказать: GM \\ NH.

На третьем этапе работы надо научить учащихся давать чертёж к теореме. С этой целью даётся текст теоремы, условие и заключение. Приведём примеры.

Задача 1. Доказать, что прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла, отсекает от его сторон равные отрезки.

Учащиеся самостоятельно выполняют чертёж (черт. 5).

Задача 2. Доказать, что в треугольнике сторона менее половины полупериметра.

Чертёж даётся учащимися (черт. 6), причём объясняются записи углов и сторон (А и а, В и Ь С и с).

После третьего этапа учащиеся усвоили, что значит доказать то или иное положение, смысл условия и заключения и значение чертежа.

На четвёртом этапе можно давать учащимся задачи на доказательство для самостоятельного решения. Перед этим, однако, необходимо одну или две задачи рассмотреть фронтально в классе под руководством учителя.

Текст задачи читается по книге или записывается под диктовку учителя в тетрадях. Приведём пример.

Задача. На каждой стороне равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки АВХ = ВСХ = САХ.

Точки Ах Вхи Сх соединены отрезками прямых. Доказать, что треугольник Ах Вх Сг тоже равносторонний.

Построение чертежа, запись условия и заключения выполняются на доске под руководством учителя.

Особое внимание в этой задаче следует обратить на построение чертежа (черт. 7).

Само доказательство выполняется учащимися; оно им вполне посильно после проделанной работы по решению задач на доказательство.

После решения одной или двух таких подробно разобранных задач можно предложить учащимся для самостоятельной работы задачи такой приблизительно трудности.

Задача 1. Доказать, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к боковым сторонам, равны.

Задача 2. Доказать, что если в треугольнике две высоты равны, то такой треугольник равнобедренный. И т. п.

Черт. 5. Черт. 6.

Черт. 7.

На протяжении всего курса геометрии в VI классе нужно решать задачи на доказательство, которые должны помочь учащимся осознать теорию и дать им навыки в решении таких задач.

Мы уже говорили, что задачи на доказательство могут быть даны учащимся в связи с доказательством теорем. Вопрос о том, с какой теоремы надо начинать изучение доказательства теорем,— вопрос спорный: некоторые учителя начинают с теоремы о вертикальных углах, некоторые— с теоремы о свойствах равнобедренного треугольника. В связи с этой теоремой изучается и осевая симметрия.

Приводим несколько задач на доказательство, связанных с теоремой о свойствах равнобедренного треугольника.

Пример 1 (черт. 8).

Черт. 8. Черт. 9.

Пример 2 (черт. 9).

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Дано:

AB — ось симметрии; точка С симметрична точке D

Доказать:

CG = GD

Дано:

AB — ось симметрии; точка С симметрична точке D

Доказать:

АС = AD

Дано:

AB — ось симметрии; точка С симметрична точке D

Доказать:

СЕ = ED

Большинство приведённых в статье задач могут быть решены в связи с изучением признаков равенства треугольников. Если при изучении темы «Треугольники» будет решено достаточное количество задач, то, по всей вероятности, учащиеся хорошо усвоят эту тему, а это будет являться фундаментом для их дальнейшей работы.

Точно так же и тема «Параллельные прямые» сопровождается решением большего числа геометрических задач и в числе их и задач на доказательство. Приведём решение одной задачи.

Задача. Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. Учащиеся самостоятельно решают эту задачу, сопровождая решение соответствующим чертежом (черт. 10) и записью.

Дано: Д ABC; AB = ВС;

/_CBD — внешний угол треугольника ABC;

ZmDBK=/mCBK. Доказать: ВК II АС.

Доказательство: /_А = /_С, как углы при основании равнобедренного треугольника.

Z.CBD •= 2/_А, как внешний угол треугольника, который равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Черт. 10.

/_А = /J, как половина /ßBD. Кроме того, £А и /J соответственные, полученные при пересечении двух прямых (ВК и АС) третьей прямой (AD), а если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, ВКЦ АС.

После решения каждой задачи следует остановиться на вопросе, на каких теоремах основано решение задачи.

Остаётся ещё один способ, применяемый при доказательстве теорем, в особенности обратных,— способ доказательства от противного.

Способ доказательства от противного состоит в том, чтобы доказать, что получается противоречие, если предположить условие теоремы выполненным, а её заключение неверным1. Этот способ построен на двух законах логики : 1) на законе противоречия: «два противоположных высказывания не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том же отношении», и 2) на законе исключённого третьего: «из двух противоречащих высказываний одно всегда истинное, другое ложное, а третьего быть не может»2.

Рассмотрим этот способ на доказательстве следующей теоремы.

Теорема. Во всяком треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Строится чертёж (черт. 11) и записывается условие и заключение теоремы.

Дано: А ABC;

Z ВСА > £ВАС.

Доказать: AB > ВС.

Перед доказательством теоремы учитель объясняет, в чём состоит способ доказательства от противного, что слово «противного» надо понимать в смысле противоречия, что при всех доказательствах этим способом надо предполагать противоречащее тому, что надо доказать; затем выясняется, что такое предположение приводит к неправильным выводам.

Если даны два отрезка AB и ВС, то возможны только три положения: АВ>ВС> АВ<ВС и AB = ВС. Учащиеся

Черт. 11.

1 Адамар, Планиметрия, ч. 1, стр. 239.

2 С. Н. Виноградов, Учебник логики, стр. 53 и 56.

устанавливают, какие из этих положении являются противоречащими понятию в заключении (AB > ВС).

Такими положениями являются AB < ВС и AB = ВС.

Надо доказать, что они невозможны. Разобьём это доказательство на два:

1) Докажем, что AB не может быть меньше ВС. Допустим, что AB < ВС, в таком случае ВСА < /_ВАС, так как была доказана теорема: «Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол». Вывод противоречит условию. Следовательно, допустить, что AB < ВС, нельзя.

2) Докажем, что AB не может быть равно ВС. Допустим, что AB = ВС. В таком случае Д ABC является равнобедренным; углы при основании равнобедренного треугольника равны, а потому Z ВСА = Z.BAC, что снова противоречит условию и показывает неправильность допущения (AB = ВС).

Если AB не может быть меньше ВС и не может быть равно ВС, то остаётся только одно: AB > ВС.

После доказательства теоремы следует решить с учащимися несколько задач на доказательство. Приведём пример.

Задача. В равнобедренном треугольнике углы при основании острые (черт. 12).

Дано: Д ABC; AB = ВС. Доказать: /_А <d и /С < d.

Чтобы доказать, что /_ А < d, допустим противное: пусть А не меньше d, тогда А или больше d, или равен ему. Если /_ А > d, то он тупой, а потому наибольший в треугольнике ABC. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона, а потому ВС > AB, но это противоречит условию. Следовательно, А не может быть больше прямого угла.

Допустим, что /_ А = d; треугольник ABC прямоугольный и / Л является наибольшим углом в этом треугольнике, а потому ВС опять-таки больше AB, что снова противоречит условию, а потому / Л не может быть прямым углом.

Черт. 12.

Если А не может быть ни тупым, ни прямым углом, следовательно, он острый.

При решении задач на доказательство можно идти двумя путями: 1) от условия к заключению, как решены задачи в настоящей статье, и как решено большинство задач в учебнике и в других пособиях, или 2) от заключения к условию. Первый способ называют синтетическим, второй — аналитическим. По существу оба эти названия неверны, так как анализ и синтез неразрывно связаны друг с другом и чисто синтетического, как и чисто аналитического, способа не существует. Может только один из этих способов преобладать.

Если преобладает анализ, то способ решения называется аналитическим, а если синтез, то синтетическим. Приведём примеры задач на доказательство аналитическим способом.

Задача 1. В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании равны (черт. 13).

Дано: AB = ВС\

Доказать: АЕ = DC.

Чтобы доказать равенство отрезков АЕ и DC, надо установить, сторонами каких треугольников они являются. АЕ и CD являются сторонами треугольников АЕС и ACD. Стороны треугольников равны, если они лежат в равных треугольниках против равных углов. Треугольники АЕС и ADC равны, так как они имеют общую сторону АЕ] А = С, как углы при основании равнобедренного треугольника; /_ 2 = /_ 3> ка* половины тех же углов, потому что DC — биссектриса / Си АЕ — биссектриса Z А. Сторона АЕ лежит против / С, а сторона CD против Z А. Углы А и С равны, следовательно, АЕ = DC, так как они лежат в равных треугольниках против равных углов.

Задача 2. Медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключена (черт. 14).

Дано: BD — медиана треугольника ABC.

Доказать:

Черт. 13.

Вместо того чтобы доказать, что BD < —?г~^ можно доказать, что 2BD < а + с. Чтобы получить 2BD, продолжим сторону BD и отложим на продолжении её отрезок DE, равный BD, получим отрезок BE, равный 2BD. Соединим точку Е с точкой С. Получим треугольник ВЕС. В этом треугольнике BE < ВС + СЕ, так как сторона треугольника меньше суммы двух других сторон; BE = 2BD, ВС = а. Докажем, что ЕС = с. В треугольнике ABC AB = с, треугольник ABD равен треугольнику EDC, так как ED = BD по построению, AD = DC потому, что BD — медиана треугольника ABC, углы при точке D вертикальные. Треугольники ABD и EDC равны по равенству двух сторон и углу между ними. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, следовательно, AB = ЕС, но AB = с, а потому и ЕС = с. BE < ВС + СЕ или 2BD < а + с, следовательно, BD < ^ЦгА что и требовалось доказать.

Задача 3. Если из середины каждой из равных сторон равнобедренного треугольника восставить перпендикуляры до пересечения с другой из равных сторон, то эти перпендикуляры равны (черт. 15).

Дано:

Доказать:

Черт. 14. Черт. 15.

Чтобы доказать, что DE = FG, докажем равенство треугольников FBG и DBE. /_ В у них общий, £ BDE = = /_ BGF, как прямые, DB = BG, как половины равных сторон. Треугольники FBG и DBE равны по двум углам и прилегающей к ним стороне. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков DE и FG, так как они лежат в равных треугольниках против одного и того же угла.

Задача 4. Доказать, что биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых взаимно перпендикулярны (черт. 16).

Дано: AB II CD, EF — секущая; ЕК — биссектриса /_ BEF;, FK — биссектриса /_ EFD.

Доказать: ЕК _L FK.

Чтобы доказать, что ЕК _L FK> надо установить, что /_ EKF — прямой. Прямым углом называется угол, равный своему смежному. Отсюда надо вывести равенство углов FKE и ЕКМ. Углы равны, если они лежат в равных треугольниках против равных сторон. В данном случае углы FKE и ЕКМ лежат в треугольниках FEK и ЕКМ. Докажем равенство этих треугольников. Треугольник FEK равен треугольнику ЕКМ, так как у них сторона ЕК общая. ^/ 3 = ^/ 4 по условию, /_ 1= по условию, но /_2 = /_5, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей FM, следовательно, 1 = 5. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то и третьи углы тоже равны, значит, FKE = 2- ЕКМ. Отсюда FKE и ЕКМ равные и смежные, а следовательно, прямые, а потому ЕК 1 FK.

Черт. 16.

Б. К. Добронравов

(Ленинград)

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ VI и VII КЛАССОВ

Изучение геометрии в VI и VII классах окажется продуктивным и творческим только в том случае, если учащиеся с первых же шагов будут применять полученные ими знания к решению задач, углубляя понимание определений, аксиом и теорем, которые, вообще говоря, сначала кажутся им трудными и непонятными.

Сказанное особенно относится к VI классу. Именно там в первую очередь следует заняться простейшими упражнениями на доказательство и построение. Не следует смущаться кажущейся трудностью таких задач: опыт показывает, что они легче, интереснее и полезнее искусственно скомбинированных задач на вычисление. Надо настойчиво приучать начинающих к точному чертежу и простейшим логическим навыкам, требуя от них отчётливого выяснения всех шагов логического доказательства. Тогда на примерах простейших умозаключений, выполненных самим учащимся, он легче поймёт смысл слова «доказать», чем если прослушает самое детальное разъяснение этого слова.

В стабильном задачнике, особенно в первых его параграфах, почти нет лёгких задач геометрического содержания. Поэтому мы предлагаем вниманию учительства некоторое число геометрических упражнений, большинство которых взято нами отчасти из старых задачников (Гика и Муромцева, Пржевальского и др.).

Нам кажется, что эти упражнения можно вводить в преподавание (сначала в виде работы в классе) с первых же уроков. Упражнения для VII класса несколько дополняют тот небольшой набор задач на доказательство, который дан в стабильном задачнике.

Для обозначения окружности, построенной из центра О радиусом г, пользуемся символом 0(г). Краткость и выразительность этого обозначения говорит сама за себя.

VI КЛАСС.

Введение.

1. Отметить точку Р и провести через неё прямую. Сколько прямых можно провести через данную точку?

2. Отметить три точки А, В, С. Через каждую пару из них провести прямую. Сколько всего получится различных прямых? Всегда ли число прямых будет одно и то же?

3. Даны четыре точки. Через каждую пару из них провести прямую. Сколько всего получится различных прямых? Всегда ли число прямых будет одно и то же?

4. Начертить две пересекающиеся прямые и пересечь их третьей прямой. Сколько может быть точек пересечения ?

5. На отрезке AB дана точка С так, что АС = а и ВС= Ъ. Найти расстояние точки С от середины отрезка AB.

6. При помощи циркуля установить, какие из отрезков фигуры равны, какие короче и какие длиннее равных отрезков?

7. На прямой отложены отрезки AB = 4,8 см, АС = = 2,7 см и BD = 3,3 см. Найти длину отрезка CD (рассмотреть четыре случая).

8. Назвать все отрезки, выделяемые на прямой четырьмя точками M, N, К, Р. Сколько их?

9. Дано: AB = CD. Доказать: АС = BD.

10. На отрезке AB = т даны точки С и D так, что АС=а, BD= Ь. Доказать, что расстояние между серединами отрезков AB и CD не зависит от длины отрезка AB.

11. Исследовать, в скольких точках могут пересекаться две окружности (выполнить чертёж).

12. Дана точка С. Построить окружность радиусом в 2 см так, чтобы она проходила через точку С. Сколько решений имеет задача? Как расположатся на плоскости центры всех окружностей, удовлетворяющих условию задачи ?

13. Построить окружность так, чтобы она проходила через две данные точки Р и /С. Сколько решений имеет задача ?

14. Дана окружность О (3 см) и вне её — точка М. Найти на окружности точку, удалённую от M на 4 см. Сколько решений имеет задача? Всегда ли она возможна? Не зависит ли это от положения точки M относительно данной окружности?

15. а) Через точку А на окружности О (3 см) провести хорду в 2 см. Сколько решений имеет задача?

б) Через точку А на окружности О (г) провести хорду длиной а. Всегда ли эта задача возможна? Сколько она имеет решений и от чего это зависит?

16. На данной фигуре назвать тремя буквами каждый угол. Сколько углов?

17. Даны два прилежащих угла: Z АОВ = 90° и /_ ВОС— острый. Ох — биссектриса острого угла, Oy — биссектриса суммы этих углов. Доказать, что Z хОу = 45°.

18- Дано: Z b = Z с. Доказать: Z я = Z /'»

Z а = Z с;

Z b + Z * = 180°.

Учение о треугольнике.

19. Начертить произвольный треугольник АВК и назвать: стороны, лежащие против каждого угла; углы, лежащие против каждой стороны (тремя буквами); стороны, прилежащие к каждому углу; углы, прилежащие к каждой стороне (тремя буквами).

20. Дан отрезок AB = 4,2 см. Построить точку, удалённую на 3 см от каждого его конца.

Сколько решений имеет задача? Можно ли построить точку, удалённую от каждого конца на 2,1 см? на 2 см?

21. Найти точку С, удалённую от точки А на расстояние b и от точки В на расстояние а, если AB = с.

22. На данной фигуре назвать восемь треугольников.

23. Дано: AB = AD и СВ = CD.

Доказать: /_ ABC = = A ADC.

24. Дано: M — середина АС; AB = ВС и AD = CF.

Доказать: MD = MF.

25. Дано: АС = AF; BD 1 С F;

MK1CF и CD = /CF.

Доказать: ßD = М/С.

26. На данном отрезке а, как на диаметре, построить окружность. Чему равен её радиус?

27. Дано: Z а = Z. Ь. Доказать: Z.x =

28. Дано: AD и ВС пересекаются в точке О и АО = OD у ВО = ОС.

Доказать:

Д ЛОБ = A COD.

29. Дан о: AD = ВС и Z * = Z У-

Доказать: Д ЛЯС = Л ЛОС.

30. Дан о: CA 1 AB, DB±AB; CA =DB и АО = OB. Доказать: ОС = OD.

31. Дано: АО = ОС; DO = OB и 2. ж = Z f/-

Доказать: DC = ЛВ и Л£ = ВС.

32. Дано: АС = AD и СВ = DB.

Доказать: AB — биссектриса углов CAD и С BD.

33. Дано: АО = OD и СО = Oß.

Доказать: /_х = /_С.

34. Дано: /Л=/Ви ЛD = 5F.

Доказать: 1) Z * = Zî/î 2) CD = CF.

35. Дано (см. чертёж к задаче 34): АС = СВ и Доказать: CD = CF.

36. Дано (см. чертёж к задаче 34): CD = С F и AD = BF.

Доказать: Z ^ = Z Я-

37. Дано (см. чертёж к задаче 34): АС = СВ и Z* - Z У-

Доказать: CD = CF.

38. Дано (см. чертёж к задаче 34): Z^^Zî/ и CD = CF.

Доказать: AF = DB.

39. Да но: Z.A =Zß и АС = ВС.

Доказать: AD = BF.

40. Дано: AB = ВС. Доказать: Z т = Z к.

41. Дано: CD ± АЕ\ AF J_ CK и BD = BF.

Доказать: /_С = /_А.

42. Дано (см. чертёж к задаче 41): СВ = ВА \ BD = = BF\ АЕ и CK — прямые.

Доказать: CD = AF.

43. Дано: Z * = Z f/ и Zw = Z n«

Доказать: Д ЛОС = = Д ЛВС.

44. Дано: Z* = /_у и Доказать: ас = вс.

45. Дан о: ab = DC и ЛС = Dß.

Доказать: /_а = /_d.

46. Дано: = ЛС и CD — продолжение ßC.

Доказать: /^b>j/md.

47. Внутри Д abc дана точка О. Доказать, что Z яос > z вас.

48. Доказать, что если точка т лежит на основании ас равнобедренного треугольника abc, то вм < вс, а если она лежит на продолжении основания, то вм>вс.

49. Показать, что теорема: «Во всяком треугольнике каждый внешний угол больше любого внутреннего угла» — неверна.

Параллельные прямые.

50. Дано: ас || bd и ac =bd.

Доказать: CD делит ab пополам.

51. Дано: вД fmk fm = мк и ab II mf.

Доказать: ab = ak.

52. Дано: AD \\ СВ и АО = OB.

Доказать: OD = ОС.

53. Через точку M вне прямой ху провести прямую, которая составила бы с прямой ху угол а (например, 55°). Сколько решений имеет задача?

54. Дано: в Д ABC BD — биссектриса угла АВСУ BF — продолжение AB и С F у DB.

Доказать: ВС = BF.

55. Дано: ах || а. Доказать: Z* = Zm и Zy = Z“-

56. Дано: в Д ЛВС Z^=60°, ZC = 35° и а\\АС. Найти градусную меру угла х.

Примечание: Упражнения 55 и 56 даются до изучения теоремы о сумме внутренних углов треугольника, как подготовка к ней.

57. Дано: AD и BD— биссектрисы углов треугольника ABC и EDF\\AB.

Доказать: EF = АЕ + + BF.

58. Доказать, что если в равнобедренном треугольнике ABC угол при основании АС вдвое больше угла при вер-

шине ß, то биссектриса угла А пересекает сторону ВС в такой точке D, что BD = АС.

59. Дано: CD 1 BD и CD = 285 см. Найти: AB.

60. Доказать, что если в треугольнике гипотенуза вдвое больше катета, то угол против этого катета содержит 30°.

61. Дано: ABC — равносторонний треугольник, BD\_АС и ВК — продолжениеDB\ кроме того, ВК = АС.

Доказать: Z АКС + 2 ЛВС = 90°.

62. Дано: в Д ABC CD — продолжение ВС; BE—биссектриса угла ABC; СЕ — биссектриса угла ACD.

Доказать: ,/Ж = у/Л.

63. Дано: Д ABC — равносторонний; AD—биссектриса /_АУ ССг — биссектриса внешнего угла BCF и OF 1 АС.

Доказать: OF = АЕ.

64. Дано: MS и NP пересекаются в точке О; MN = N0 и ОР = PS.

Доказать: MN \\ PS.

65. Доказать, что если, в двух треугольниках ABC и AißiCb дано: Z^+Z^=90° и ^В + /.Вг = 90\

ToZC=Z^ + Zßi и ZQ = Z^ + Zß-

66. Дано: AD 1 ВС; AK = KB и AF = FC.

Доказать: /_KDF ==

VII КЛАСС.

67. Доказать, что выпуклые четырёхугольники ABCD и ßx Сх Dj равны, если AB = Л^; ВС = ß^; CD = = Сг Dx; DA =DHi и Z ^ = Z ^i-

68. Доказать, что два четырёхугольника A BCD и Л'В'С'О' равны, если в них: /_А = £А';/_В = /_В'; ZC = ZС'; ЛЯ = Л'В' и ЛО= ЛТ>'.

69. Дано: СМ — медиана A ABC; AD 1 СМ и BF 1 СМ.

Доказать: 1) Л£ = ß/7; 2) ADBF — параллелограм.

70. Дано: ABCD — параллелограм;

Е —середина AD; F —середина ВС. Доказать: DM = MN= yvß.

71. Дано: ЛС> ßC и ЛМ = MB.

Доказать: Z MCß>Z^CM.

72. Доказать, что если сумма острых углов трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.

73. Дана дуга окружности. Построить середину этой дуги и её центр. Назвать половину дуги.

74. Дано: AB — диаметр; АС = AD.

Доказать: дуга ВС равна дуге BD.

75. Доказать, что если AD — перпендикуляр, опущенный из конца диаметра Л С на касательную, проходящую через точку В на окружности, то Z DAB = Z ВАС.

76. Дано: AB — касательная; АС — хорда в окружности О(г).

Доказать: ,/ АОС = = 2Z.CAB.

77. Доказать, что окружности, построенные на двух сторонах треугольника, как на диаметрах, пересекаются в точке на третьей стороне треугольника.

78. Дано: AB — диаметр; АС — хорда и ОС = г — радиус Д окружности О(г).

Доказать: /JCAB =

79. Дано: А В—диаметр окружности 0(г)9 АС — хорда и OD || АС.

Доказать: дуга BD = дуЗ re CD.

80. Дано: AB — диаметр и АС = BD.

Доказать: \)AC\\BD\ 2) ACBD — прямоугольник.

81. Дано: СВ и CA — хорды; DA и DB — секущие. Доказать:

82. Доказать, что если построить окружность на радиусе данной окружности, как на диаметре, и провести из точки касания хорду в большей окружности, то хорда разделится меньшей окружностью пополам.

83. Дано: окружности О (г) и Ol (ri) внутренне касаются в точке В; BD — хорда.

Доказать, что градусные меры дуг BD и ВС равны.

84. Окружности с центрами О и Ох внутренне касаются в точке А. Хорда ВС большей окружности касается меньшей в точке D. Доказать, что AD — биссектриса угла ВАС.

Указание. Продолжить AD до пересечения с окружностью О в точке F и построить радиус OF.

85. Точка В находится на отрезке АС. Построить окружность с центром в точке С так, чтобы расстояние от А до ближайшей к А точке окружности было равно расстоянию от В до наиболее удалённой от В точки той же окружности.

86. Дано: O(r) иО^г) окружности; А и В — точки пересечения данных окружностей и CAD — отрезок общей секущей.

Доказать: ßC = BD.

87. В круг вписан равносторонний треугольник. Доказать, что хорда, соединяющая середины двух дуг, стягиваемых сторонами треугольника, делится этими сторонами на три равные части.

88. Доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма диаметров вписанного и описанного кругов равна сумме катетов.

89. Дано: AB — диаметр; CD _\_АВ; M — точка окружности; AM и CD пересекаются в точке F.

Доказать: £ AMC = = Z.DMF.

Указание. Провести ВМ.

90. Доказать, что если О — центр круга, вписанного в треугольник ABCt то ВОС = 90°+ -g- > гДе А — угол треугольника ABC.

91. Если О — центр круга, описанного около треугольника ABC, и BD — высота треугольника, то биссектриса угла В делит пополам и угол OBD.

Указание. Продолжить ВО до встречи в точке F с описанной окружностью.

92. Внутри Д ABC взята произвольная точка О и на стороны АВУ ВС, АС опущены соответственно перпендикуляры OD, ОЕ9 OF. Доказать, что /_ ВОС = А + + Z DE F.

Указание. Рассмотреть четырёхугольники ODBE и OFCE и доказать, что около каждого из них можно описать окружность.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Предисловие........................ 3

1. С. А. Пономарёв, Политехническое обучение в советской школе и преподавание математики............ 12

2. Т. Н. Денисова, Измерительные работы на местности в VII классе...................... 41

3. А. А. Прокофьева, Измерительные работы на местности в V—VII классах.................... 58

4. Л. Г. Круповецкий, Составление арифметических задач по материалам пятого пятилетнего плана......... 65

5. М. И. Иванов, О повышении интереса учащихся к изучению математики..................... 92

6. |Н. Т. Зерченинов), Как планировать работу по арифметике в V классе.....................112

7. А М. Нечай и Н. И. Сырнев, Особенности преподавания арифметики в V классе...............123

8. Л. Б Бограчёва, Повышение математического развития учащихся V—VI классов....... ........135

9. Е. Н. Саговская, Активизация работы ученика над арифметической задачей...................147

10. К- П. Сикорский, Контрольные работы по арифметике в V классе.......................181

11. Р. Ю. Новицкая, Математический кружок в V—VI классах 190

12. А. И. Штукатурова, Математические пионерские сборы в V—VII классах....................196

13. П. В. Стратилатов, Упражнения по алгебре на материале теоретической арифметики.............201

14. М. М. Шидловская, Первая тема систематического курса геометрии в VI классе...............237

15. Е И. Отто, Решение геометрических задач на доказательство в VI классе....................267

16. Б. К. Добронравов, Задачи на доказательство в курсе геометрии VI и VII классов............... 278

Редактор С. В. Пазельский. Тех. редактор М. И. Миронцева.

Подписано к печати 1/XII 1953 г. А 08009. Тираж 75 00Q зкз. Бумага 84 у ю81/,0. Бумажных листов 4,56-печатных листов 14,97. Уч.-изд. листов 14,84. Уч.-изд. листов 14,84. Зак. 38. Цена без переплёта 4 р. Переплёт 80 к.

Отпечатано с матриц Книжной фабрики им. Фрунзе Главиздата Министерства культуры

УССР. Харьков, Донец-Захаржевская, 6/8, в типографии «Коммунист», Главиздата Министерства культуры УССР, Харьков, Пушкинская, 29.