ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ АЛГЕБРЫ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

УЧПЕДГИЗ 1958

ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ АЛГЕБРЫ

В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Сборник статей

Под редакцией П. В. СТРАТИЛАТОВА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР Москва 1958

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА.

Содержание статей настоящего сборника в основном относится к методике преподавания курса алгебры VI—X классов средней школы.

Статья Ромакина М. И. (Москва) дает краткий обзор изменения программ по алгебре за 40 лет существования советской средней школы.

Остальные статьи сборника можно сгруппировать, руководствуясь основными идеями школьного курса алгебры.

Первая группа статей сборника посвящена вопросам повышения вычислительной культуры учащихся и связи алгебры с арифметикой. Сюда относятся статьи Сырнева, Н. И. (Москва), Новоселовой А. И. (Москва), Донского М. В. (Горький), Крупича В. И. (Москва), а также статья Ушакова В. В. (Ст. Оскол).

В этих статьях рассматриваются следующие вопросы: повторение арифметики в VII классе, использование математических таблиц и логарифмической линейки на уроках, повышение культуры математических записей учащихся. Эта группа вопросов имеет большое значение в связи с развертыванием политехнического обучения в школах и привитием учащимся практических навыков.

Вторая часть статей сборника посвящена вопросам изучения весьма важного понятия современной математики — понятия функции и графического способа изучения функциональной зависимости.

Необходимость повышения графической культуры учащихся наших школ вызывается задачами политехнического обучения. Вот почему важное значение, как нам кажется, имеют статьи Нагибина Ф. Ф. (Киров), Зотова В. А. (Курск), Ясинового Э. А. (Куйбышев) и Фридмана Л. М. (Тула), посвященные вопросам изучения темы «Функции и их графики», а также вопросам функциональной пропедевтики.

Третья группа статей сборника посвящена вопросам изучения уравнений и неравенств; сюда относятся статьи: Доблаева Л. П. (Саратов), Черепнина М. С. (Караганда), Лимана М. М. (Краснодар), Иванова И. И. (Псков), Груденова Я. И. (Горловка), Маергойза Д. М. (Киев), Иглицкого М. А. (Москва), Тома-

шева Б. И. (Орел), Гуткина Л. И. (Кунцево, Московской обл.).

В некоторых из этих статей ставятся вопросы узко методического характера: о неравенствах в VI классе, о решении иррациональных уравнений способом введения нового неизвестного и графически, о решении показательных и логарифмических уравнений; в некоторых статьях рассматриваются вопросы исследования решений уравнений, в частности в связи с условиями задач, на основе которых составлены уравнения.

Четвертая группа статей сборника охватывает различные вопросы школьного курса алгебры. Сюда относятся следующие статьи: Новоселова С. И. (Москва) «Понятие действительного числа в школьном курсе алгебры», Барыбина К. С. (Москва) «Метод симметрии в элементарной алгебре», Беляева В. И. (Коломна) «Только ли на свойствах арифметического корня основаны преобразования радикалов?», Элиаш Г. М. (Баку) «Об одном из способов повторения материала по математике».

В сборнике имеются статьи, подытоживающие опыт практической работы в школе, и имеются статьи, намечающие возможные решения методики изложения трудных вопросов. Общая тенденция всех статей сборника сводится к тому, чтобы, с одной стороны, более строго обосновать основные положения, с которыми ученик знакомится в школьном курсе алгебры, с другой— добиться более глубокого их осознания на основе всемерного повышения математического развития учащихся.

Мы считаем, что статьи сборника окажут учителю необходимую помощь в его практической работе.

Все замечания и пожелания по материалам данного сборника просьба направлять по адресу: Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, Учпедгиз, редакция математики.

П. В. Стратилатов.

М. И. РОМАКИН (Москва)

КРАТКИЙ ОБЗОР ПРОГРАММ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО АЛГЕБРЕ ЗА 40 ЛЕТ.

Одним из завоеваний Великой Октябрьской социалистической революции явилось осуществление в стране принципов единой трудовой школы. Перестройка школьного обучения на основе этих принципов потребовала выработки новых программ и приведение в соответствие с ними научно-педагогической квалификации и методической подготовленности учителей.

Первые программы по математике были выработаны естественно-математическим подотделом Отдела по реформе школы Наркомпроса в первой половине 1918 г. и опубликованы под названием: «Проект плана занятий по математике на первой ступени единой трудовой школы-коммуны».

Уже в программу 2-го года обучения было включено составление уравнений вида ах±Ь = с и решение уравнений по соображению.

В программу 4-го года было включено выражение известных правил и законов буквенными формулами, изменение формулы в зависимости от изменения одной из входящих в нее величин, понятие о функции, отрицательные числа и действия над ними, координаты, графическое изображение функций, функции вида у=х+а, у = х — а, у = ах, у = ах±Ь.

Программа 5-го года содержала: составление диаграмм и графиков, иллюстрирующих местную жизнь, интерполирование (графически), составление линейных уравнений с двумя неизвестными, аналитическое и графическое решение их, графическое изображение функций у = ах2 и у = ах3, квадратный и кубический корни.

Проект примерного плана занятий по истории математики на первой ступени единой трудовой школы-коммуны предусматривал вопросы истории алгебры на четвертом году обучения (развитие буквенной символики, история уравнения, история отрицательных чисел, Декарт и метод координат) и на пятом году обу-

чения (систематический обзор буквенной символики и линейных уравнений).

Проект программы для второй ступени включал, помимо элементарной математики, также элементы анализа, куда входили такие разделы, как производная, дифференциал, интеграл, ряды Тейлора и Маклорена, признак сходимости д'Аламбера, теория конических сечений, дифференциальные уравнения.

Проект выражал общее стремление к необходимости коренного пересмотра содержания программы в связи с прогрессом математической науки и ее приложением к практике. Программный материал пронизан идеей функциональной зависимости, что является весьма положительным явлением. Но программы были составлены без учета реальных условий, не учитывали возрастных особенностей детей. Объем программного материала по алгебре на первой ступени превосходит программные требования VI и VII классов нашей современной школы. Программный материал по алгебре для второй ступени являлся непосильным для учащихся. Неправильным был отказ от систематического изучения курса, поэтому учителя и широкая математическая общественность отрицательно встретили проект.

Изданные Московским отделом народного образования в 1920 г. «Примерные программы единой трудовой школы» для первой ступени (пятилетней) были более реальными. Алгебраический материал входил только в программу V года обучения. Рассматривались вопросы: обозначение свойств арифметических действий в общем виде на буквах, числовое значение несложных формул, простейшие уравнения первой степени, диаграммы и графики.

В феврале 1920 г. отдел единой трудовой школы Наркомпроса приступил к выработке новых программ. В начале июня того же года в Петербурге состоялась 3-я сессия по выработке программ. Объединенная (из петербургских и московских специалистов) математическая комиссия приняла совместно с естественноисторической секцией следующие программы:

по математике для 1-й ступени (авторы И. И. Грацианский и И. Н. Кавун),

по алгебре для 1-й ступени (факультативная, автор И. И. Чистяков),

по алгебре для 2-й ступени (автор Д. Э. Теннер),

по анализу, аналитической геометрии и тригонометрии (автор Г. М. Фихтенгольц).

Программа по алгебре для школ 1-й ступени (при пяти годах обучения) содержала следующий материал:

Изображение целых и дробных чисел на числовой прямой. Обозначение чисел буквами; знаки для обозначения первых четырех действий. Составление буквенных формул для решения однотипных задач. Возвышение в степень. Вычисление числовой величины алгебраических выражений. Решение числовых урав-

нений первой степени с одним неизвестным; составление уравнений из условия задач. Понятие о неравенстве первой степени. Система двух числовых уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Понятие об отрицательных числах и действиях над ними. Понятие об извлечении квадратного и кубического корней (в связи с вычислением площадей и объемов) при помощи разложения чисел на множители. Иррациональные числа, как результат извлечения корня из чисел, не являющихся точным квадратом или кубом; приближенное вычисление квадратного корня из чисел.

Изображение значений изменяющихся величин с помощью отрезков прямой, площадей прямоугольника и секторов круга. Построение графиков; кривая температуры. Понятие о методе координат. Изучение графическим способом линейной функции у=х и функций и приводящих к ним.

Краткое содержание программ по алгебре для второй ступени.

6-й год обучения (первый класс 2-й ступени). Составление и решение уравнений первой степени с одним неизвестным. Построение графика функций у = ах + Ь по точкам и графическое решение уравнений. Тождественные преобразования одночленов и многочленов. Отрицательные числа и действия над ними. Арифметическая прогрессия. Пропорциональность. Функции у = ах и у = ах + Ь. Алгебраические дроби.

7-й год обучения. Системы уравнений первой степени. Графическое решение системы. Пропорции. Обратная пропорциональность. Функции

Извлечение квадратного корня. Приближенные вычисления. Квадратные уравнения (частные случаи). Геометрическая прогрессия.

8-й год обучения. Квадратные уравнения. Графическое решение квадратных уравнений. Степени и корни. Функции и у = ах2 и у = ах2 + Ь. Обобщение понятия о показателе степени. Показательная функция. Логарифмы.

9-й год обучения. Аналитическая геометрия.

10-й год обучения. Пределы и теоремы о пределах. Производная и теоремы о производных. Задача на наибольшие и наименьшие значения функций. Интегрирование как операция, обратная дифференцированию. Понятие об определенном интеграле и его истолкование.

Значительный интерес представляют собой методические идеи, которые были положены в основу составления программ по алгебре в 1920 г., не потерявшие своего значения для развития современной методической мысли. Кратко перечислим их. На первый план выдвигается развитие активности, «пробуждение в учащихся математического мышления», наглядность обучения. Большое значение придается установлению тесной связи между алгеброй и арифметикой, алгеброй, геометрией и тригонометрией.

Объяснительная записка раскрывает цели и задачи преподавания алгебры и дает подробные методические указания применительно к конкретным вопросам программы. Большое внимание уделяется практическим навыкам; учащиеся должны сознательно пользоваться: 1) уравнениями, как средством решения практических задач; 2) графическим методом изображения зависимости между величинами; 3) графическим способом решения задач; 4) тождественными преобразованиями; 5) приемами приближенных вычислений.

В связи с реформой школьного образования 1921 г., когда вместо девятилетней школы была принята школа-семилетка с двумя концентрами в 4 и 3 года обучения (в РСФСР девятилетняя школа частично сохранилась в виде 3-го концентра — два года), Наркомпрос составил новые программы. Программы 1921 г. по алгебре были перегружены не менее, чем ранее выпущенные примерные программы. Если учесть, что домашние задания не допускались, то такая программа, естественно, не могла быть выполнена. К тому же не было соответствующих учебников.

На пятом году обучения при двух часах в неделю предполагалось пройти учение об относительных числах, тождественные преобразования и действия над целыми и дробными одночленами и многочленами, составление и решение уравнений первой степени с одним неизвестным, прямая пропорциональность, прямоугольные координаты, построение графиков:

Этот материал рекомендовалось согласовать с материалом из арифметики и геометрии, с которым учащиеся уже знакомы.

На шестом году обучения при трех часах обучения в неделю вводилось: составление и решение систем уравнений первой степени, свойства пропорции, изучение свойств функций у = — обобщенный график у= —, понятие о среднем пропорциональном и его геометрическое толкование, возведение в степень при целом положительном показателе и извлечение корня, свойства квадратных корней, точное и приближенное извлечение квадратного корня из числа (точность до 0,1), приближенные действия с квадратными корнями из чисел, тождественные преобразования квадратных корней, функции у = х2, у = Y * и их графики, решение уравнения х2 = а.

(Программа шестого года превышает существующую программу VII класса.)

На седьмом году обучения вводились следующие вопросы: решение уравнения x2 + bx = 0, свойства функции у = х2 + Ьх и ее график, решение уравнения второй степени вида x2 + px+q = 0, изучение свойств функции y = x2+px+q, понятие о мнимой единице, мнимые корни квадратного уравнения, решение квадратных

уравнений в общем виде ax2 + bx + c = 0, решение системы квадратного и линейного уравнений с геометрическим толкованием, функция у = х3 и ее график, действия с иррациональными числами, простейшие преобразования радикалов, освобождение от иррациональности в знаменателе дробного выражения, составление и решение простейших систем квадратных уравнений, решение биквадратных уравнений. (В современной программе этот материал при большем количестве часов с трудом укладывается в VIII классе.)

Рассмотренные нами примерные программы 1921 г. по алгебре в основном стояли на правильном пути в части конкретного содержания и методических идей. Они отражали передовые идеи педагогической и математической общественности начала нового столетия, были более совершенными по сравнению с программами 1918 г. как по объему, так и по содержанию материала и включали более доступный для учащихся материал. Курс алгебры сохранялся как отдельный учебный предмет, устанавливалась более тесная связь алгебры с другими предметами школьной математики, материал располагался в определенной системе.

С введением новых программ ГУСа, составленных научно-педагогической секцией Государственного Ученого Совета, с 1924/25 учебного года наступил новый этап в работе школы. Программы включали в себя вводную записку, комплексные программы и методические записки к комплексным программам. В них проводилась основная мысль о том, что математика не должна изучаться в школе как самостоятельный предмет. В методических записках и программах «обосновывается» отказ от строгой системы знаний, математика рассматривается как вспомогательное средство, на первый план выдвигается наглядность и простота, а не строгость доказательств. О задачниках общего типа сказано, что они должны отмереть, вместо них должны быть книги типа практических занятий по математике, приспособленные к нуждам новой школы и к местным условиям.

Основной недостаток программ ГУСа состоял в том, что математики как самостоятельного учебного предмета в школе не было, нарушалась тем самым система математических знаний. Однако эта программа имела и некоторые положительные стороны: связь с жизнью, развитие активности и самостоятельности учащихся и др.

На местах программа ГУСа подвергалась изменению. Так, в 1927 г. Московским отделом народного образования была издана «Программа-минимум для 5, 6 и 7-го годов обучения», содержащая перечень математических знаний, которые должны быть усвоены учащимися в V—VII классах школы. По алгебре были включены следующие темы:

5-й год обучения. Буквенные выражения, уравнения 1-й степени с одним неизвестным.

6-й год обучения. Относительные числа, действия с це-

лыми и дробными алгебраическими выражениями в связи с решением уравнений первой степени с одним неизвестным, уравнения первой степени, системы уравнений, построение графика линейной функции.

7-й год обучения. Квадратные уравнения, графическое выражение функциональной зависимости (у = ах + Ь9 у ~-р у=ах2).

Таким образом, местные программы ослабляли имеющиеся недостатки в программах ГУСа.

В 1927 г. Наркомпросом были выпущены «Программы и методические записки единой трудовой школы», в пятом выпуске которых содержалась программа по математике для второго концентра школы II ступени с объяснительной запиской к ним.

Стремление сблизить школьное преподавание с изучением окружающей жизни привело к мысли о создании школ для сельской молодежи (ШКМ) и для молодежи промышленных центров (фабрично-заводская семилетка — ФЗС).

Вопрос о школах крестьянской молодежи (ШКМ) был поставлен еще в 1924 г. Первые проекты программы для этих школ были опубликованы в 1926 и 1927 гг.

Программы для ШКМ были построены исходя из принципов фузионизма.

На первом году обучения, который соответствовал V классу, помимо арифметического и геометрического материала, давались первые сведения по алгебре: буквенные выражения, простейшие уравнения первой степени.

На втором году обучения (VI класс) алгебра начиналась с относительных чисел, затем изучались одночленные выражения и многочлены, дробные алгебраические выражения, заканчивалось изучение уравнений первой степени, давалось понятие о линейной функции.

На третьем году обучения (VII класс) алгебра завершалась радикалами и уравнениями второй степени, продолжалось изучение функций первой степени, вводились функции вида

Вместо систематически построенных учебников по отдельным математическим предметам стали создаваться рабочие книги, в которых переплетались сведения из различных отделов элементарной математики.

В связи с принятым 5 февраля 1930 г. постановлением коллегии Наркомпроса РСФСР «О перестройке школ крестьянской молодежи в соответствии с задачами сплошной коллективизации» учебно-методический сектор Наркомпроса издал программы и методические записки для школ колхозной молодежи. (С этого времени школа стала называться колхозной.)

В этих программах так же, как и в программе ГУСа, проводился принцип фузионизма. После изложения программного

материала были приведены примеры связи математики с практическими вопросами сельского хозяйства, с другими дисциплинами. Так, например, понятие о степени связывалось с измерением площади квадрата и объема куба. Буквенные обозначения, составление буквенных формул, выражающих решение задачи, вычисления по формулам при целых и дробных значениях букв имели следующие практические приложения: решение задач на вычисление живого веса, составление кормовых рационов, вычисление площадей и др.

После исторического постановления ЦК партии о школе (от 5 сентября 1931 г.) были разработаны и в начале 1932 г. вышли из печати новые программы, состоявшие из вводной записки, программы по годам обучения и соответствующей методической записки. Так как в школах вводилась предметная система преподавания, то и программы были составлены по каждому предмету отдельно.

В программу по алгебре шестого года обучения были включены следующие вопросы: относительные числа (12 часов), тождество и уравнение (24 часа), целые одночленные и многочленные выражения (36 часов), дробные алгебраические выражения с одночленными числителями и знаменателями (18 часов), разложение многочленных выражений на множители (16 часов), система уравнений первой степени (16 часов).

В программу седьмого года обучения входили вопросы: алгебраические дробные выражения с многочленными числителями и знаменателями (18 часов), уравнения первой степени, система уравнений с двумя и тремя неизвестными (16 часов), возведение в степень (6 часов), извлечение корня (12 часов), преобразование рациональных выражений (10 часов), квадратное уравнение (25 часов).

Таким образом, программы 1932 г. для V—VII классов определяли систему знаний и давали учителю ряд конкретных методических указаний. Эти программы получили в основном положительную оценку ЦК партии. Однако в них имелись еще недостатки, на которые было указано в новом постановлении ЦК партии от 25 августа 1932 г. («Об учебных программах и режиме в начальной и средней школе»).

В связи с этими указаниями Наркомпросом были составлены новые программы, в основу которых были положены программы, изданные после постановления ЦК партии от 5 сентября 1931 г.

В 1934 г. Наркомпрос переиздал программы 1932/33 учебного года и указания к ним. В эти программы были внесены некоторые изменения в целях их разгрузки.

Программа VI класса. Заканчивалась арифметика и одновременно с этим изучались начальные главы алгебры: 1) алгебраическая символика с применением ее к алгебраическому оформлению законов арифметических действий; 2) относительные числа; 3) действия над рациональными целыми одно-

членами и многочленами, кроме деления многочлена на многочлен, которое переносится в VII класс, решение простейших задач и примеров на уравнения первой степени с числовыми коэффициентами.

Программа VII класса. Разложение многочленов на множители, включая разложение по формулам, деление многочлена на многочлен, алгебраические дроби (этим заканчивались тождественные преобразования рациональных выражений), уравнение с одним неизвестным и системы уравнений первой степени с числовыми и буквенными коэффициентами.

Таким образом, окончившие VII класс должны владеть алгеброй рациональных выражений.

Программа VIII класса. Действия со степенями и радикалами. Понятие о функции и ее графике с исследованием линейной функции. Квадратные уравнения и исследование квадратной функции. Уравнения биквадратные и иррациональные. Системы уравнений второй степени.

Программа IX класса. Учение о прогрессиях, обобщение понятия о степени и учение о логарифмах.

Теория логарифмов дает возможность изучить устройство логарифмической линейки. Приобретение навыка в обращении с логарифмической линейкой требует длительных упражнений и может быть предметом кружковых занятий. Логарифмические вычисления ставят вопрос о степени их приближения.

Программа X класса. Теория соединений и бином Ньютона. Расширение понятия о числе, смысл действий над иррациональными числами как пределами. Комплексные числа и действия над ними. Простейшие уравнения высших степеней — двучленные и возвратные. Теорема Безу завершает учение об уравнениях в средней школе.

В X классе выделяется время для повторения отдельных разделов курса математики средней школы.

Цели преподавания алгебры определены следующим образом:

«Преподавание алгебры ставит своей целью расширить у учащихся представление о числе, научить сознательно, быстро и наиболее рационально производить тождественные преобразования алгебраических выражений, научить приемам составления уравнений и их решению».

Особое внимание уделяется развитию понятия числа, в частности методике ознакомления с иррациональным и комплексным числами. Решение показательных и логарифмических уравнений рекомендуется начинать с первых шагов изучения логарифмов. Высказывается пожелание об ознакомлении учащихся с логарифмической линейкой.

Анализ и аналитическая геометрия не нашли своего явного выражения в программах по математике для средней школы, однако элементы их в программе имеются.

Итак, реорганизация семилетней политехнической школы в десятилетнюю и установление единой системы школьного образования, в основу которой положены три типа общеобразовательной школы (начальная, семилетняя и десятилетняя), вынудили Наркомпрос пересмотреть программы с целью определить круг знаний для каждого типа школы и обеспечить естественный переход от одного типа школы к другому. Программа, явившаяся итогом этой работы, оказалась наиболее стабильной и долговечной и по ней с небольшими изменениями школы работали до самого последнего времени.

Алгебра заняла в курсе математики подобающее ей место как самостоятельный учебный предмет.

В послевоенный период был разработан ряд проектов программ по математике.

В 1947 г. было разработано два проекта программы по математике и по одному проекту в 1951 и 1953 гг.

Проект программы 1947 г. (1-й вариант ее) был разработан Институтом методов обучения АПН РСФСР по поручению Министерства просвещения.

В проекте дается общая объяснительная записка, объяснительная записка к программе по каждому предмету (в том числе и по алгебре) и содержание программного материала по предмету, по алгебре в частности, для VI—XI классов включительно, причем в X классе объединены алгебра и тригонометрия, а в XI— алгебра и анализ.

Курс алгебры подразделялся на начальный и основной.

Начальный курс алгебры (в семилетней школе) имеет целью ознакомить с буквенной символикой, с положительными и отрицательными числами, со свойствами действий, с простейшими тождественными преобразованиями и научить учащихся составлять и решать несложные уравнения, а также строить по точкам простейшие графики.

Основной курс алгебры имеет целью расширение понятия числа, дальнейшее совершенствование техники тождественных преобразований, составление и решение уравнений, развитие идеи функциональной зависимости и ее графического представления.

Необходимые сведения по аналитической геометрии и анализу даются с целью познакомить учащихся с основными понятиями и методами современной математической науки.

2-й вариант проекта программы 1947 г. разработан Управлением начальных и средних школ Министерства просвещения РСФСР.

Этот проект, так же как и первый, предусматривал распределение учебного материала на 11-летний срок обучения без увеличения его объема, что позволяло «более глубоко овладеть курсом школьной математики как в отношении теории, так и в приобретении технических и практических навыков». В программу

по алгебре X и XI классов были включены темы обзорного характера, приводящие в систему учение о числе, уравнениях и функциональной зависимости в алгебре и тригонометрии; для углубления понятия предела используется построение графиков функций, в связи с чем дается представление о непрерывных и разрывных функциях. Программой предусматривалось дать оканчивающим семилетнюю школу законченный круг необходимых знаний для практической деятельности.

Проект программы 1951 г. представлял собой действующую программу, в которую внесены некоторые изменения как в содержание материала, так и в распределение его по годам обучения.

В курсе алгебры усилена идея функциональной зависимости, которая находит свое место, начиная с первых шагов преподавания алгебры, и завершается в X классе включением понятия о производной функции. «Включение понятия о производной, — говорится в проекте,— обогащает школьную математику идейным содержанием и приближает ее к математике как науке и к ее приложениям к естествознанию и технике, правильно решая задачу о школьном курсе математики как курсе простейших и важнейших основ математической науки».

В 1953 г. Институтом методов обучения АПН был разработан проект новой программы при активном участии специалистов-математиков, методистов и передовых учителей-практиков. Ныне действующая программа (включительно по IX класс), принятая на основе этого проекта, предусматривает повышение идейно-теоретического и методического уровня преподавания математики в соответствии с требованиями политехнического обучения. Новая программа большое внимание уделяет изучению функциональной зависимости. В курс X класса вводится понятие о производной. Перечень обязательных для учащихся практических работ, предусмотренных программой, усиливает связь теории с практикой. Программой предусмотрено поднятие уровня вычислительной культуры.

В целях устранения перегрузки учащихся уменьшены объемы и содержание некоторых разделов (деление многочленов, комплексные числа), трудные вопросы из младших классов перенесены в последующие классы (тема VI класса «Разложение многочленов на множители» перенесена в VII класс, тема «Извлечение квадратного корня из чисел» перенесена из VII в VIII класс и др.). Сосредоточение в первой теме VIII класса «Степени и корни» всего учения о степенях с рациональными показателями позволит заменить радикалы степенями с дробными показателями.

Новая программа рекомендует излагать вопрос о пределах исходя из понятия предела переменной величины, причем теоремы о пределах не доказываются. При изучении логарифмов в IX классе учащиеся должны приобрести твердые вычислительные

навыки как при помощи таблиц, так и при помощи логарифмической линейки.

Введение новой программы предполагает дальнейшую работу по ее совершенствованию.

Наряду с совершенствованием программ проводилась научно-исследовательская и издательская деятельность.

Остановимся на учебной литературе, предназначенной для учащихся и учебно-методической литературе, предназначенной для учителя.

Отметим следующие этапы.

1. В первые годы советская школа пользовалась дореволюционными учебниками. К ним относятся в первую очередь учебные руководства по алгебре А. П. Киселева, А. Ю. Давидова, К. Ф. Лебединцева. Неоднократно переиздавались задачники Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцова, а также Д. А. Бема, А. А. Волкова и Р. Э. Струве. Кроме названных учебных пособий, в 20-х годах для школ выпускались учебники Н. Вульфа и Д. Цинзерлинга, Н. А. Извольского, Н. Д. Евреинова и др., К. Н. Рашевского, В. Г. Фридмана, С. С. Державина, Я. С. Безиковича.

2. В конце 20-х и начале 30-х годов в связи с комплексной системой преподавания выпускался новый тип учебных пособий — так называемые рабочие книги по математике. Их авторами были А. М. Воронец, Г. А. Поперек, А. В. Ланков, Е. С. Березанская.

3. В связи с постановлением ЦК партии от 12 февраля 1933 г. «Об учебниках для начальной и средней школы» для школ стали выпускать стабильные учебники.

Наиболее распространенным и соответствовавшим действующим программам по алгебре являлся учебник А. П. Киселева «Алгебра». Впервые эта книга была издана в 1888 г.

После постановления ЦК партии «Об учебниках для начальной и средней школы» «Алгебра» А. П. Киселева, переработанная под редакцией А. Н. Барсукова, утверждена Министерством просвещения РСФСР как стабильный учебник по алгебре для средней школы (в 2 частях).

Задачник по алгебре Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцова вышел первым изданием в 1887 г. До 1917 г. он выдержал 24 издания и в советский период более 30 изданий.

В 1948 и 1949 гг. были выпущены 1-я и 2-я части «Сборника задач по алгебре» П. А. Ларичева. В 1950 г. они были удостоены первой премии Академии педагогических наук РСФСР. Этот задачник отражает ряд прогрессивных тенденций и быстро заслужил признание учителей и учащихся. Задачник П. А. Ларичева является стабильным.

В настоящее время школы имеют новый учебник по алгебре для VI—VII классов, автор его А. Н. Барсуков.

4. В 1940 г. вышел в свет учебник алгебры (часть первая), составленный виднейшими учеными-математиками П. С. Алек-

сандровым и А. Н. Колмогоровым в качестве учебного пособия для средних школ.

Элементы логического доказательства авторами вводятся с большой осторожностью. В тех случаях, когда строгое доказательство, по мнению авторов, недоступно учащимся, авторы предпочитают открыто говорить, что такое-то предложение принимается без доказательства.

Определение таких понятий, как абсолютная величина числа, одночлен, многочлен, рациональное число и др., авторы дают в строгом соответствии с современными научными представлениями.

В 1949 г. В. Л. Гончаровым был составлен опытный учебник «Алгебра для семилетней школы».

Учебная книга по алгебре в программном и методическом отношениях подчинена принципам, разработанным сектором методики математики Института методов обучения АПН РСФСР, и представляет собой соединение учебника и задачника в одно органически связанное целое. Автор предполагает, что такой тип учебного пособия более пригоден для повседневного использования в классной и домашней работе на данной возрастной ступени.

Основные задачи, которые ставил перед собой автор, заключаются в следующем:

1) нахождение правильных взаимоотношений между формальным и функциональным началами в преподавании курса алгебры;

2) функциональный подход к изложению всего курса алгебры;

3) сближение алгебры с арифметикой;

4) доступность изложения.

Отметим еще следующие книги. В 1947 г. издана книга С. И. Новоселова «Алгебра» в качестве руководства для учительских институтов. Она предназначена также для лиц, знакомых с курсом алгебры средней школы, но пожелавших углубить свои знания по элементарной алгебре.

В 1951 г. вышла книга Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского «Алгебра» в качестве пособия для учителей семилетней школы. Вторая часть этой книги (тех же авторов) вышла в 1954 г. Изданы задачники по алгебре Н. Н. Полозовой, проф. В. А. Кречмара, П. Обера и Г. Папелье.

В качестве пособий для учителя изданы сборники следующих авторов: 1) И. В. Барановой и С. Е. Ляпина, 2) К. С. Богушевского и К. П. Сикорского, 3) В. А. Игнатьева, С. А. Пономарева и Е. Н. Обуховской, 4) К. С. Барыбина и А. К. Исакова, 5) М. Я. Выгодского, 6) П. С. Моденова, 7) А. И. Погорелова, 8) К. У. Шахно, 9) Е. С. Березанской и Ф. Ф. Нагибина и др.

Вопросы, касающиеся преподавания алгебры в средней школе, освещались на страницах журналов, выходивших под раз-

ными названиями уже с первых послереволюционных лет. Основным методическим журналом является журнал «Математика в школе», издающийся с 1937 г. (до этого в течение 10 лет он издавался под названием «Математика и физика в школе»).

После создания в 1943 г. Академии педагогических наук РСФСР заметно оживилась исследовательская работа в области методики преподавания математики. Наряду с видными учеными-математиками и методистами — в эту работу включился большой круг преподавателей математики средних школ. Этому способствуют ежегодно проводимые педагогические чтения. Большую работу на местах проводят кафедры методики математики педагогических институтов, институты усовершенствования учителей. По методике преподавания алгебры защищено около 50 кандидатских диссертаций.

Отметим некоторые работы по методике преподавания алгебры в средней школе.

В 1934 г. Учпедгизом издана книга проф. И. И. Чистякова «Методика алгебры».

Тем же издательством в 1935 г. выпущена книга С. С. Бронштейна «Методика алгебры», являющаяся не столько методическим руководством, сколько более подробным курсом школьной алгебры.

В 1949 г. вышла книга В. М. Брадиса «Методика преподавания математики в средней школе». В этой книге имеется раздел, посвященный методике преподавания алгебры.

Наконец, группой авторов под общей редакцией С. Е. Ляпина составлено пособие для учителей: «Методика преподавания математики» (в двух частях). Первая часть, вышедшая в 1955 г. вторым, исправленным изданием, имеет раздел «Методика преподавания алгебры» (около 100 страниц); она предназначена для преподавателей VI и VII классов. Вторая часть этой книги предназначена для VIII—X классов средней школы, где алгебре отведено более половины книги (свыше 300 страниц). Пособие написано с учетом программы по математике 1956/57 учебного года и проекта новой программы для средней школы.

Широкое распространение получила книга А. Н. Барсукова «Уравнения первой степени в средней школе» (издания 1944 г.).

Одной из работ, анализирующей современное состояние школьной математики и указывающей пути сближения ее с современной математической наукой, является статья проф. А. Я. Хинчина «Основные понятия математики в средней школе» (журнал «Математика в школе», № 4 и 5 за 1939 г.).

В этой статье отмечается отставание школьной математики от современного состояния математической науки и намечаются некоторые пути устранения этого недостатка, в частности, автор предлагает введение в среднюю школу основ анализа бесконечно малых.

В статье А. Я. Хинчина «О формализме в школьном препода-

ванин математики» раскрываются источники образования формальных знаний у учащихся по математике и указываются эффективные приемы борьбы с этим укоренившимся в школе злом.

В статье «Понятие функции» (журнал «Математика в школе», 1947, № 4) проф. А. И. Маркушевич указывает на своевременность ознакомления учащихся средней школы с понятием множества, взаимно однозначного соответствия и последовательно разбирает те места программы, которые могут быть с успехом использованы для правильного понимания понятия функции.

Отметим также работы А. И. Маркушевича «Символ бесконечности и его употребление в математике» (журнал «Математика в школе», 1948, № 1), «Действительные числа и основные принципы теории пределов» («Математика в школе», 1948), где даются научные основы учения о действительных числах и пределах и «Деление с остатком в арифметике и в алгебре» («Математика в школе», 1948), где дано изложение некоторых вопросов арифметики, алгебры и математического анализа.

В докладе «О повышении идейного и теоретического уровня преподавания математики в средней школе» на сессии Академии педагогических наук РСФСР 29 июня 1949 г. (см. журнал «Математика в школе», 1950, № 1) проф. А. И. Маркушевич указывает на разрыв науки математики и учебного предмета математики и на ряде примеров показывает возможность внесения новых вопросов в курс школьной математики.

Из работ, имеющих своей задачей приблизить преподавание школьной математики к современному состоянию математической науки, отметим также статью действительного члена АПН профессора П. С. Александрова «Научное содержание школьного курса алгебры» (журнал «Математика в школе», 1946, № 4, 5, 6).

Мы рассмотрели принципы построения программы по алгебре в советской школе за 40 лет и краткое содержание этих программ, а также дали краткий обзор учебной и методической литературы, изданной за этот период.

Это был период исканий содержания и методов преподавания алгебры, что объясняется как сложностью данной проблемы, так и задачами, стоящими перед советской школой на разных ступенях ее развития.

Правда, имели место (особенно на первом этапе) и антинаучные концепции в методике, что проявилось в недооценке теории и отсутствии системы в изложении материала, во взглядах о приобретении знаний случайным путем. Но они были осуждены историческими постановлениями ЦК партии о школе.

При построении школьного курса алгебры важно иметь в виду, чтобы он строился на научной основе, учитывал необходимость подготовки к практической деятельности учащихся, исходил из воспитательных задач и содействовал выработке у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения.

С. И. НОВОСЕЛОВ (Москва)

ПОНЯТИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ.

Изложение элементов теории действительного числа в школьном курсе математики сопряжено со значительными трудностями.

С одной стороны, расширение поля рациональных чисел путем введения чисел иррациональных неизбежно, так как это обусловлено рядом важных причин (измерение непрерывных величин, извлечение корней, решение уравнений, учение о показательной функции и логарифмах).

С другой стороны, учащимся недоступно ни одно из современных научных построений поля действительных чисел.

Попытка изложить основы учения о действительном числе применительно к уровню математического развития школьников привела в ряде случаев авторов учебных и методических руководств к логическим дефектам в предлагаемом ими изложении. Даже сложилось убеждение, что «....изложить в средней школе... учение об иррациональных числах без всякого логического дефекта нет возможности»1.

Приведем примеры наиболее распространенных логических дефектов в школьном изложении теории действительного числа.

Определение иррационального числа а как предела последовательности рациональных чисел гп (а = lim гп) содержит логическую ошибку. В самом деле, в силу определения понятия предела, должно выполняться неравенство | а — гп | < е (при всех достаточно больших п), но, чтобы составить разность а— гл, надо уже располагать иррациональным числом а и уметь выполнять арифметические действия над иррациональными и рациональными числами.

Определение иррационального числа как длины отрезка, не соизмеримого с единичным отрезком Е, содержит аналогичную ошибку. В самом деле, если известны только рациональные чис-

1 См. «Вестник опытной физики и элементарной математики», № 521, стр. 112, прим. к статье Е. И. Смирнова редактора В. Ф. Кагана.

ла, то отрезок, несоизмеримый с отрезком Е, не имеет длины; надо сначала должным образом расширить поле рациональных чисел, а затем уже говорить о длинах отрезков, несоизмеримых с единицей.

Еще менее удачно определение иррационального числа как корня а = |Л А (где А — рациональное число) в том случае, когда этот корень не выражается ни целым, ни дробным числом. Во-первых, в этом «определении» содержится ошибка такого же характера, что и в предыдущих: нельзя говорить о корне а = Y & как о таком числе, п-я степень которого равна А:

ап = А,

до тех пор пока не построено множество чисел с определенными в нем арифметическими действиями, в которых выполнимо действие извлечения корня; во-вторых, числа вида составляют лишь небольшую (всего только счетную) часть множества всех действительных чисел.

Более удовлетворительным является следующий путь. Сначала посредством одного из определений, принятых в современной науке, вводят понятие иррационального числа, а далее, не имея возможности в школьном курсе развернуть с требуемой полнотой всю теорию действительного числа, сообщают учащимся выборочно лишь некоторые сведения из этой теории. Такое изложение теории действительного числа имеется в учебнике алгебры А. П. Киселева. Иррациональные числа вводятся (по определению) как бесконечные непериодические десятичные дроби, а затем дается понятие о сравнении по величине действительных чисел и об определениях, при помощи которых вводятся арифметические действия в множестве действительных чисел. Надо, однако, признать, что и такое изложение не дает учащимся достаточно отчетливого представления о поле действительных чисел. Чтобы получить это представление, нужно усвоить целый ряд определений и теорем. Недостаточно дать определение действительного числа как непериодической десятичной дроби; нужно установить понятия «больше», «меньше» и определить арифметические действия, надо показать, что остаются в силе законы арифметических действий, что сохраняются известные свойства неравенств (в частности, законы монотонности для сложения и умножения), что можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой линии. Проделать все это в VIII классе совершенно нереально, так как это означало бы изложить один из вариантов современной теории действительного числа. Таким образом, в силу необходимости учащиеся знакомятся лишь с отдельными положениями этой теории, что не способствует выработке у них целостного представления о построении

поля действительных чисел. Фиксируя внимание учащихся на обосновании (да и то неполном) тех или иных фактов, не всегда обращается внимание учащихся на ряд других, не менее важных фактов. Так, например, в учебнике Киселева сказано, как определяются в поле действительных чисел понятия «больше», «меньше», «равно», но не сказано, что остаются в силе их основные свойства (транзитивность, необратимость неравенства и т. д.), тогда как в дальнейшем этими свойствами приходится постоянно пользоваться.

Обратимся теперь к тем понятиям, которые в школьном курсе излагаются с обоснованием (хотя, конечно, и неполным). Рассмотрим, например, определение понятия иррационального числа. Ясно, что учащимся нельзя чисто формально дать соответствующее определение, не привести никакой его мотивировки и не подготовить для него почву. Учитывая это обстоятельство, обычно строят соответствующие рассуждения по следующему плану. Сначала заявляют, что отрезок, несоизмеримый с единицей длины, не имеет длины. Затем к отрезку, несоизмеримому с единицей, применяют процесс десятичного измерения. В результате этого процесса получаются две последовательности конечных десятичных дробей — «приближений» с недостатком и с избытком, которые определяют бесконечную десятичную дробь. Но пока еще нельзя говорить, что получились приближенные значения длины, так как данный отрезок (несоизмеримый с единицей) ее не имеет.

Далее вводится определение иррационального числа как непериодической бесконечной десятичной дроби. В конечном итоге оказывается, что иррациональное число выражает длину отрезка, несоизмеримого с единицей, а десятичные приближения являются приближениями не к несуществующему объекту, а именно к этому числу.

Аналогичные рассуждения применяются при определении арифметических действий над действительными числами.

Мы не оспариваем правильность этих рассуждений, но мы считаем, что они не соответствуют возрастным возможностям восьмиклассников. Трудно ожидать, чтобы ученики VIII класса в своей м»ассе отчетливо усвоили все указанные логические переходы.

Многие словесные формулировки получаются громоздкими, трудными для усвоения. Примером могут служить приведенные в учебнике Киселева определения действия сложения, а также умножения действительных чисел.

Нередко в учебной литературе сложные формулировки заменяют описаниями, изложенными в повествовательной форме. Это придает известную аморфность всей теории, изложение получается многословным и расплывчатым.

В отмеченных выше обстоятельствах, как мы полагаем, и кроется причина того, что оканчивающие среднюю школу, в

большинстве своем, выносят смутные представления о действительном числе.

В настоящей статье мы имеет в виду внести (в порядке обсуждения) некоторые предложения, относящиеся к методике изложения теории действительного числа.

Задача построения поля действительных чисел ставится следующим образом: расширить поле рациональных чисел (путем присоединения к нему новых объектов — иррациональных чисел) так, чтобы:

1) расширенное числовое множество было расположенным полем;

2) каждому отрезку в качестве его меры (длины) должно соответствовать единственное положительное действительное число (при выбранной единице измерения);

3) на всякой прямой от данной ее точки в заданном направлении можно отложить отрезок, длина которого выражается данным положительным действительным числом.

Требование, чтобы искомое числовое множество было расположенным полем, заключается в следующем: в этом множестве должны быть выполнимы действия сложения и умножения, подчиняющиеся основным законам арифметических действий, должны быть выполнимы действия вычитания и деления (кроме деления на нуль), должны быть установлены понятия «больше», «меньше», «равно» с присущими им основными свойствами.

Требование, чтобы каждому отрезку соответствовало число, выражающее его длину, включает в себя следующие условия: равные отрезки измеряются одним и тем же числом, сумма двух отрезков есть отрезок, длина которого равна сумме длин отрезков — слагаемых1.

Таковы требования, которым должно удовлетворять поле действительных чисел; эти требования сформулированы в соответствии с той постановкой вопроса, которая наиболее естественна с точки зрения школьной трактовки теории действительного числа. Однако, выставив заранее требования, которым должно удовлетворять поле действительных чисел, надо ответить на следующие вопросы: во-первых, существует ли искомое числовое поле; во-вторых, если такое поле существует, то является ли оно единственным.

Поставленные вопросы получили в науке исчерпывающий ответ.

Отправляясь от множества рациональных чисел, как от известного, была построена такая система арифметических объектов, которая образует поле, удовлетворяющее поставленным

1 Из последнего условия следует, что большему отрезку соответствует большая длина. В самом деле, если АС>АВ (точки В и С лежат на прямой по одну сторону относительно Л), то АС=АВ+ВС и дл. ЛС=дл. АВ+дл. ВС, но так как дл. ВС>0, то дл. ЛС>дл. AB.

условиям. Существует несколько различных способов построения поля действительных чисел. В основу определения действительного числа можно положить: сечения в множестве рациональных чисел (теория Дедекинда); фундаментальные последовательности рациональных чисел (теория Кантора), монотонные ограниченные последовательности (теория Вейерштрасса), бесконечные десятичные дроби, последовательности стягивающихся рациональных сегментов. Эти конкретные конструкции доказывают существование поля действительных чисел. Далее доказывается, что всякие два поля, удовлетворяющие поставленным условиям, изоморфны, следовательно, существует лишь одно единственное поле действительных чисел, а различные теории этого поля дают лишь различные конкретные его интерпретации.

* * *

Мы не имеем возможности в школьном курсе математики изложить ни один из способов построения поля действительных чисел, а потому не лучше ли сообщить учащимся без доказательства (разъяснив соответствующую постановку вопроса) основные положения о существовании и единственности поля действительных чисел, чем давать им неполные отрывочные сведения из теории действительного числа.

Такое решение вопроса представляется нам наиболее приемлемым. Ниже мы приводим соответствующий план изложения теории действительного числа.

Приступая к изучению данной темы, следует сделать обзор сведений о числе, которые учащиеся получили за время обучения до настоящего момента:

1) натуральное число вводится для счета отдельных предметов;

2) затем вводится число нуль; это число указывает на отсутствие предметов, подлежащих счету;

3) потребности жизненной практики при измерении величин требуют введения новых дробных чисел;

4) в связи с изучением величин, которые могут отсчитываться в двух противоположных направлениях, возникает необходимость дальнейшего расширения понятия числа; вводятся отрицательные числа; положительные и отрицательные числа и число нуль образуют все вместе множество рациональных чисел.

На свойствах множества рациональных чисел надо остановиться более подробно.

Рациональные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (кроме деления на нуль). Поэтому говорят, что в множестве рациональных чисел выполнимы четыре арифметические действия (кроме деления на нуль).

Арифметические действия подчиняются следующим основным законам:

a+b = b + a (переместительный закон сложения);

а 4- (Ь + с) = (а+ 6) +с (сочетательный закон сложения);

ab = ba (переместительный закон умножения);

а(Ьс) = (ab)с (сочетательный закон умножения);

(a + b)c = ac + bc (распределительный закон умножения относительно сложения).

На основании этих законов устанавливаются многие другие свойства действий и правила их выполнения.

Рациональные числа можно сравнивать между собой по величине: пусть а и b — два любые рациональные числа; тогда либо а<Ь, либо а>Ь, либо а = Ь. Неравенства обладают следующими свойствами:

если а<Ь, то Ь>а, если же а>Ь, то Ь<а;

если a<b, а Ь<с, то а<с;

если а<Ь, то а + с<Ь + с;

если а<Ь и О>0, то ас<Ьс; при с<0 имеем ас>Ьс.

Пользуясь этими основными свойствами неравенства, можно выводить и другие их различные свойства.

Повторив указанные основные свойства множества рациональных чисел, переходим к вопросу об измерении отрезков. Если известно, что длина данного отрезка выражается рациональным числом —, то — единичного отрезка содержится в данном отрезке m раз. Таким образом, данный отрезок соизмерим с единичные отрезком Е и -^-Е служит их общей мерой.

Обратно: если данный отрезок соизмерим с единичным отрезком £, то существует такой отрезок k, который укладывается целое число раз как на данном отрезке, так и на единичном отрезке Е. Если отрезок k укладывается п раз на отрезке Е и m раз на данном отрезке, то длина данного отрезка равна

Таким образом, длина отрезка выражается рациональным числом в том и только в том случае, если этот отрезок соизмерим с единицей длины.

Известно, что существуют несоизмеримые между собой отрезки. Например, диагональ квадрата со стороной, равной отрезку £, несоизмерима с отрезком Е. Пока нам известны только лишь рациональные числа; никакой отрезок, несоизмеримый с единичным, не имеет длины. В самом деле, если бы данный отрезок, несоизмеримый с единичным, имел бы длину, равную числу то, по предыдущему, он был бы (вопреки условию) соизмерим с отрезком Е.

Таким образом, множество рациональных чисел недостаточно для измерения отрезков. Чтобы выразить числом величину

всякого отрезка (как соизмеримого, так и несоизмеримого с единицей), необходимо расширить множество рациональных чисел, а именно: нужно присоединить к рациональным числам новые числа, выражающие длины отрезков несоизмеримых с единицей.

Эти рассуждения должны убедить учащихся в необходимости расширения множества рациональных чисел.

Далее можно сообщить учащимся следующие основные положения.

В науке доказано следующее:

1. Множество рациональных чисел может быть расширено путем присоединения к рациональным числам новых чисел, называемых иррациональными.

Все вместе рациональные и иррациональные числа образуют множество, называемое множеством действительных чисел. Таким образом, действительное число (в частности) может быть как рациональным, так и иррациональным.

2. Над действительными числами можно выполнять четыре арифметические действия (кроме деления на нуль), при этом остаются справедливыми законы арифметических действий.

Таким образом, над действительными числами можно выполнять арифметические действия, руководствуясь теми же правилами, которые применяются при выполнении действий над рациональными числами.

3. Всякие два действительные числа можно сравнить по величине: если а и b — данные числа, то либо a<bf либо а>Ь, либо а = Ь. Известные для рациональных чисел свойства неравенств остаются справедливыми для действительных чисел.

4. Множество действительных чисел достаточно для измерения отрезков: длина всякого отрезка выражается действительным числом. Это число рационально, если данный отрезок соизмерим с единицей длины Е, и иррационально, если данный отрезок несоизмерим с отрезком Е. Каково бы ни было данное положительное число а, от данной точки (О) на данной прямой в заданном направлении (вправо или влево) можно отложить отрезок, равный по длине а.

Перечисленные основные положения сообщаются учащимся без доказательства; можно сказать им, что соответствующие доказательства сложны и что со всей полнотой теория действительных чисел была построена лишь во второй половине прошлого столетия.

Теперь необходимо дать ответ на следующий вопрос: какими арифметическими средствами изображаются действительные числа?

С рациональными числами учащиеся уже знакомы; эти числа изображаются обыкновенными, а также десятичными дробями. При изображении рационального числа десятичной дробью может получиться либо конечная, либо бесконечная периодическая

десятичная дробь. Остается выяснить, как может быть изображено иррациональное число.

Пусть а — данное иррациональное число, которое сперва будем считать положительным. Рассмотрим на числовой оси отрезок OA, длина которого равна а; пусть А — правый конец этого отрезка. Применим к отрезку OA обычный процесс десятичного измерения; в результате этого измерения получится бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Соответствующие рассуждения можно провести с учащимися, например, так. Допустим, что на отрезке OA единичный отрезок Е уложился три раза и остался первый остаток, меньший Е (точно целое число раз Е не может уложиться на OA в силу несоизмеримости OA и Е). Тогда 3<а<4. Далее откладываем на остатке Е\ допустим, что отрезок Е уложился на первом остатке 5 раз и остался второй остаток, меньший -~ Е\ тогда 3,5<(х<3,6.

Продолжая этот процесс далее (в случае надобности учитель может выполнить еще два-три следующие шага), будем получать последующие неравенства, например:

3,57<а<3,58; 3,572 <a<3,573

и т. д. В результате неограниченного продолжения этого процесса десятичного измерения данного отрезка получается десятичная дробь 3,572... .

Во-первых, эта дробь бесконечная, так как если бы она оказалась конечной, например 3,5723, то в отрезке OA содержалось бы ровно 35723 десятитысячных частей Е и отрезок OA был бы соизмерим с отрезком Е.

Во-вторых, эта дробь непериодическая, так как в противном случае ее можно было бы обратить в обыкновенную и отрезок OA оказался бы соизмеримым с отрезком Е*.

Пусть обратно: дана некоторая бесконечная дробь, например 3,572... . Убедимся, что от данной точки прямой (например, от точки О) в данном направлении можно отложить отрезок, при десятичном измерении которого получается данная дробь. Построив отрезок с концами в точках 3 и 4, затем в точках 3,5 и 3,6, затем в точках 3,57 и 3,58, учащиеся немедленно практически найдут соответствующую точку. Далее можно учащимся дать следующие пояснения. Теоретически описанное построение отрезков можно продолжать неограниченно. При этом получается бесконечное множество отрезков, вложенных друг в друга, и по мере продолжения построения эти отрезки делаются по величине как угодно малыми. На прямой существует единственная точка, принадлежащая всем рассматриваемым отрезкам.

* Разумеется, что полного обоснования этого заключения в рамках школьной программы дать невозможно и не нужно.

Можно сказать учащимся, что это свойство выражает непрерывность прямой линии и его следует рассматривать как аксиому.

Таким образом, находится правый конец искомого отрезка.

Из всего сказанного вытекает следующий вывод: всякое действительное число может быть изображено десятичной дробью, и обратно: всякая десятичная дробь изображает действительное число.

Рациональные числа изображаются конечными и периодическими десятичными дробями, а иррациональные числа изображаются непериодическими дробями.

Чтобы показать, как сравниваются по величине действительные числа, можно привести следующие рассуждения. Рассмотрим два различные действительные числа, например а = 5,2327... и ß = 5,2331... (рациональные или иррациональные).

Отложим на числовой прямой соответствующие отрезки OA и OB. Отрезок OA меньше, чем отрезок ОМ, содержащий 5233 тысячных долей единицы измерения (5,233 — приближенное значение а по избытку), отрезок же OB больше, чем ОМ (5,233— приближенное значение ß по недостатку). Итак, ОА<ОМ<ОВ, значит ОА<ОВ, откуда a<ß.

Далее переходим к арифметическим действиям над действительными числами.

Пусть а = 5,3257...; ß=2,7325... . Будем брать приближенные значения а и ß с недостатком, а затем будем их складывать (складываются соответствующие значения):

Приближенные значения а

Приближенные значения b

Приближенные значения a+ß

5

2

7

5,3

2,7

8,0

5,32

2,73

8,05

5,325

2,732

8,057

5,3257

2,7325

8,0582

и т. д.

Так как в этих суммах первое слагаемое меньше a, а второе меньше ß, то и каждая из этих сумм меньше a-f ß.

Аналогично складываются приближенные значения по избытку.

Суммы приближенных значений по недостатку и избытку, например 8,0582 и 8,0584, дают приближенные значения a + ß с ошибкой, не превосходящей 0,0002:

Таким образом может быть вычислен любой десятичный знак дроби 8,058..., изображающей сумму a+ß.

На подобных примерах учащиеся убедятся, что, зная десятичные дроби, изображающие слагаемые, можно вычислить сумму с любой степенью точности. Аналогично могут быть рассмотрены и другие арифметические действия.

Следует заметить, что при выполнении данного арифметического действия над приближенными значениями компонентов получаются приближенные значения его результата.

Сначала следует рассмотреть действия над положительными числами, а затем обратить внимание учащихся, что:

1) действительные (рациональные и иррациональные) числа могут быть как положительными, так и отрицательными;

2) числам, противоположным по знаку, соответствуют противоположно направленные отрезки;

3) при выполнении действий над произвольными (по знаку) действительными числами следует руководствоваться теми же правилами, которые известны для рациональных чисел.

В заключение следует отметить, что действительные числа служат для измерения не только отрезков, но и других величин, могущих изменяться непрерывно, например времени.

Следует обратить внимание учащихся, что источником получения иррациональных чисел является не только измерение отрезков, не соизмеримых с единицей длины. Следует напомнить, что процесс извлечения квадратного корня из числа, не являющегося точным квадратом, даст бесконечную десятичную дробь. Эта дробь непериодическая, так как по условию данное число не является квадратом рационального числа. Следовательно, квадратный корень из числа, не являющегося точным квадратом, есть иррациональное число.

В интересах изучения первых глав тригонометрии в IX классе желательно напомнить учащимся об отношении длины окружности к ее диаметру. В V классе путем непосредственных наблюдений обнаружено, что это отношение есть одно и то же число для всех окружностей. Далее следует сообщить, что это отношение является иррациональным числом, а 3,14 есть его приближенное значение.

* * *

В приведенном выше варианте изложения учения о действительном числе без доказательства сообщается довольно большой комплекс сведений. Однако этот комплекс обладает достаточной полнотой и завершенностью и, как мы полагаем, способен создать у учащихся целостное представление о поле действительных чисел. Нам представляется, что так поступать лучше, чем стремиться к относительно строгому обоснованию лишь отдельных, взятых выборочно, положений.

В приведенном варианте изложения объем материала, подлежащего усвоению, в основном тот же, что и в других

вариантах, однако трактовка материала несколько иная. Так, в частности:

1. Процесс десятичного измерения служит не для того, чтобы подвести учащихся к определению иррационального числа, а для того, чтобы арифметическими средствами выразить это число. При этом десятичные приближения отнюдь не фигурируют как приближения к несуществующему объекту; они суть приближения к числу, в существовании которого сомневаться не приходится: это известно заранее.

2. Поскольку заранее известно, что поле действительных чисел есть расположенное поле, нет необходимости определять понятия «больше», «меньше», надо лишь показать, как следует сравнивать два действительные числа.

3. Так как заранее известно, что множество действительных чисел образует поле, то нет необходимости вводить определения арифметических действий, надо лишь показать, как практически находится результат действия. Вычисления с приближенными значениями компонентов убеждают учащихся в возможности вычислить результат действия приближенно, с любой заданной степенью точности.

Мы полагаем, что приведенный вариант изложения в большей мере соответствует возрастным возможностям учащихся VIII класса, чем варианты, в которых позитивные рассуждения заменяются рассуждениями, носящими условный характер с эвристическим оттенком. В данном варианте нет нужды прибегать к повествовательному изложению основных фактов, поскольку необходимый комплекс сведений сообщается с самого начала, а далее уже без труда выводится из него ряд следствий.

К. С. БАРЫБИН (Москва)

МЕТОД СИММЕТРИИ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЕ.

§ 1. Первое знакомство с симметрическими выражениями.

О симметрии имеется обширная литература. В геометрии рассматривается симметрия геометрических фигур; в высшей алгебре есть отдел симметрических функций, но в школьном курсе алгебры этому вопросу уделено ничтожно мало внимания. Имеются лишь отдельные замечания в книгах по алгебре Н. А. Извольского и К. Н. Рашевского, в методике алгебры И. И. Чистякова в связи с теоремой Виета. Наиболее полно представлен этот вопрос в задачнике П. Обера и Г. Папелье «Упражнения по элементарной алгебре».

Опыт работы показывает, что целесообразно познакомить учащихся с симметрией и в школьном курсе алгебре, так как это дает возможность более сознательно применять теорему Виета и, главное, уменьшает количество систем уравнений, обычно относимых к числу решаемых «искусственными» приемами.

Наиболее удобно впервые познакомить учащихся с симметрией в VIII классе при изучении теоремы Виета.

После того как изучили теорему Виета и проделали простейшие упражнения на нее1, внимание учащихся обращается на то, что сумма Xi+x2 и произведение ххх2 не меняет своей величины, если переставить местами хх и х2.

После этого дается следующее определение:

Выражение относительно х и у называется симметрическим, если числовые значения его не меняются от перестановки X и у.

Затем дается ряд упражнений, цель которых — научить учащихся видеть симметрические выражения.

Упражнение 1. Какие из следующих выражений симметричны относительно х и у:

1 Например, для уравнения *2 — 5*+6=0 найти сумму и произведение его корней.

Ответ. Симметричны 1), 3), 5), 6).

Для проверки усвоения этого понятия можно поставить обратную задачу.

Упражнение 2. Составить несколько выражений, симметричных относительно х и у.

После этого возвращаемся к теореме Виета и подчеркиваем, что сумма и произведение корней квадратного уравнения — выражения, симметричные относительно Х\ и х2. Выражения хх+х2 и Х\Х2 будем в дальнейшем называть основными симметрическими выражениями (для двух корней).

Затем даются упражнения, цель которых — научить учащихся данное выражение, симметричное относительно Х\ и х2у выражать через хх+х2 и ххх2.

Прежде всего возникает вопрос о сводимости всякого выражения, симметрического относительно корней квадратного уравнения, к основным симметрическим выражениям. Этот вопрос решается в высшей алгебре. Учитель может ознакомиться с ним по книге С. И. Новоселова «Специальный курс алгебры» (М., 1951) для случая двух корней (стр. 308). В школьных условиях достаточно проиллюстрировать на примерах, что в результате действий над симметрическими выражениями получается выражение симметрическое. Приведем несколько примеров.

1) (a + b)2=a2 + 2ab + b2\ здесь возводится в степень а+Ь— выражение, симметричное относительно а и ft; получили выражение, также симметричное относительно а и Ь.

выражение, симметричное относительно а и Ь.

выражение, симметричное относительно х и у.

Число примеров можно увеличить. Здесь главное — показать учащимся, что результат действий над симметрическими выражениями есть выражение тоже симметрическое.

В задачниках обычно даются такие упражнения на теорему Виета, в которых сразу приходится вычислять выражения, симметричные относительно Х\+х2 и ххх2у через коэффициенты данных квадратных уравнений. Главная трудность этих упражнений — в новизне преобразования данного выражения, содержа-

щего Х\ и х% в выражение, содержащее х{+х2 и х{х2. Поэтому полезно предварительно потренировать учащихся на следующих упражнениях.

Упражнение 3. Приведенные ниже выражения, симметричные относительно Х\ и х2у выразить через х{ + х2 и ххх2.

Решение.

3) Здесь имеем сумму одинаковых степеней Х\ и х2 (наиболее часто встречающийся случай). Берем ту же степень суммы Х\ и х2, т. е. (xl + x2)2=xl2 + 2xlx2 + x22,

откуда

5) Возьмем куб суммы оснований, т. е.

откуда

6) На кружковых занятиях можно предложить следующий прием.

Выражение Х\4 + х2А однородное 4-го измерения и симметричное относительно Х\ и х2. Из выражений Х\+х2 и ххх2 можно составить следующие выражения 4-го измерения:

тогда

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях хх и х2\

Отсюда

Такие упражнения служат подготовкой к упражнениям на теорему Виета; кроме того, учащиеся привыкают к симметричности алгебраических выражений, а это имеет большое значение при решении нелинейных систем уравнений.

На изложение теоремы Виета и простейшие упражнения уделяется один урок, на введение понятия симметричности и упражнения 1—3 еще один урок, после чего учащиеся переходят к решению упражнений на теорему Виета из стабильного задачника.

§ 2. Симметрические нелинейные системы уравнений1 с двумя неизвестными (полная симметрия).

Когда изучено решение систем квадратных уравнений способом подстановки, то, прежде чем перейти к решению систем на основании теоремы, обратной теореме Виета, даются два определения.

Определение 1. Если одна часть уравнения — симметрическое выражение относительно неизвестных, а другая их не содержит, то уравнение называется симметрическим.

Общий вид симметрического уравнения с двумя неизвестными: первой степени:

второй степени:

Например, уравнения

симметрические.

Определение 2. Система называется симметрической, если каждое уравнение, входящее в эту систему, симметрическое.

Случай, когда в симметрической системе одно уравнение квадратное, а другое линейное, интереса не представляет, так как легко решается способом подстановки.

Рассмотрим решение симметрической системы двух квадратных уравнений в общем виде:

(1)

Выделим из симметрического выражения х2+у2 основные симметрические выражения х + у и ху (см. упражнение 3); тогда получим систему:

(1')

Введем следующую подстановку2 х+у = и\ xy = ü; тогда получим:

(2)

1 В дальнейшем при решении систем уравнений будет применяться теорема:

Если число Ь отлично от нуля, то системы

равносильны.

Доказательство не представляет затруднений.

Другие моменты решения целесообразно обосновывать так, как рекомендуется в статье П. С. Моденова («Математика в школе», 1953, № 6).

2 Такую подстановку вводить не обязательно. Часто удобнее решить систему (Г) непосредственно относительно Ну и ху.

или

Система симметрическая, значит, можно из уравнений системы выделить х+у и ху. Здесь это особенно просто; складывая

Полученная система—первой степени относительно v\ умножим первое уравнение системы на В'—2А\ второе на—(В — 2А) и, сложив полученные уравнения, получим выводную систему, равносильную системе (2'), если Вф2А:

= 0 (3)

Решая первое уравнение системы (3), получим (в общем случае) два значения и: и{ и и2у но так как второе уравнение системы (3) линейно относительно v, то для каждого значения щ и и2 найдем соответствующие значения vx и v2l после чего получим две системы значений и и v:

а после возвращения к неизвестным х и у получим:

Систему вида

назовем основной симметрической системой с двумя неизвестными.

Итак, симметрическая система двух квадратных уравнений с двумя неизвестными равносильна (в общем случае) совокупности двух основных симметрических систем.

Известны несколько способов решения основной симметрической системы с двумя неизвестными: способ подстановки, с помощью теоремы, обратной теореме Виета, и др.

В дальнейшем переходим к более сложным системам. Практика показывает, что:

а) при решении систем надо избегать преобразований, нарушающих симметричность уравнений;

б) выделяя х+у и ху, не торопиться делать замену

х+у = и и xy = v.

Упражнение 4 (из сборника П. А. Ларичева). Решить систему уравнений:

(2')

и вычитая уравнения, получим (после сокращения коэффициентов) основную симметрическую систему, равносильную данной:

Упражнение 5. Решить систему уравнений:

(1)

Система уравнений симметрическая; выделим х+у.

тогда получим систему:

(1')

Отсюда

(2)

Системы (Г) и (2) равносильны. Действительно, при всех системах значений х и у, при которых выполняются равенства в системе (Г'), они выполняются и в системе (2), так как по второму уравнению системы (Г) ху = 6; обратно: при всех системах значений, при которых выполняются равенства в системе (2), они выполняются и в системе (1'), так как согласно второму уравнению системы (2) 6 = ху, откуда

Система распадается на совокупность двух основных систем. В дальнейшем равносильность систем двух уравнений в статье не обосновывается.

Упражнение 6 (из сборника П. А. Ларичева). Решить систему уравнений:

(1)

Данная система симметрическая. Упростим ее:

(2) (3)

Вариант а). Из выражения х2+у2 выделим х+у и ху. Последовательно получим:

Система распадается на совокупность двух основных систем, Вариант б). Из данной системы можно проще выделить х+у и ху; для этого достаточно первое уравнение системы (3) умножить на 2 и сложить со вторым уравнением.

Упражнение 7. Решить систему уравнений:

Система симметрическая. Выделив х+у и ху, получим систему:

Вариант а). Введем замену х+у = и, xy = v:

получим равносильную систему:

откуда

Система тоже распадается на две системы:

Решив эти две системы, переходим к неизвестным х и у\ получим совокупность двух основных систем.

Вариант б). Систему можно решить, не вводя замены, а именно:

тогда получим: отсюда

Очевидно, что введение новых неизвестных и и v не обязательно,

Практика показывает, что к замене неизвестных целесообразно прибегать в том случае, когда уравнения системы имеют сложные выражения.

Систему уравнений можно решать относительно х + у и ху непосредственно. Рассмотрим это на примере.

Упражнение 8. Решить систему уравнений:

Легко выделить х+у, так как первое уравнение содержит х2 + У2, а второе ху:

откуда

Решив первое уравнение системы относительно х+у, получим:

после чего система распадается на две системы, решение которых не представляет затруднений.

Для симметрических систем квадратных уравнений с двумя неизвестными можно предложить еще одну очень удобную замену неизвестных:

Из тождеств

видно, что после замены неизвестных уравнения симметрической системы будут иметь только члены, содержащие и, и2 и v2\ последнее легко исключить и получить выводное уравнение, содержащее только одно неизвестное и. Рассмотрим следующий пример.

Упражнение 9. Решить систему уравнений:

Пусть x=u + v, y = u — ü\ тогда (после упрощений) получим систему:

и далее:

последняя система распадается на две, из которых находим 4 системы значений ииу, а потом соответствующие им 4 системы значений х и у.

Практика показывает, что этот способ в школе дает лучший результат, чем выделение х + у и ху. Число ошибок, делаемых учащимися, значительно меньше, и для решения симметрических систем квадратных уравнений с двумя неизвестными эта замена в VIII классе наиболее приемлема.

§ 3. Симметрические системы уравнений с двумя неизвестными, из которых хотя бы одно выше второй степени.

Как и при решении симметрических систем квадратных уравнений с двумя неизвестными основными приемами решения будут:

1) выделение х+у и ху с возможной заменой неизвестных х+у = щ xy = v\

2) замена неизвестных x=u + v, y=u — v.

Упражнение 10. Решить систему уравнений:

Вариант а). Оба уравнения системы симметричны относительно х и у; выделим х+у и ху:

По теореме, обратной теореме Виета, ху и х+у являются корнями квадратного уравнения

откуда Zi = 3, 22 = 4.

Поэтому последняя система распадается на две основные системы:

Вариант б). Пусть x—u+v, y = u — v; тогда получим систему:

и далее:

Дальнейшее решение не представляет затруднений.

§ 4. Системы уравнений с двумя неизвестными, когда одно уравнение системы получается из другого при помощи перестановки х и у (циклическая симметрия).

Общий вид такой системы квадратных уравнений следующий:

Вычтем одно уравнение из другого; тогда получим выводное уравнение:

его левая часть разлагается на множители:

после чего уравнение распадается на два линейных уравнения, а потому распадается на две системы уравнений и данная система, причем решение их не представляет затруднений, так как одно уравнение системы линейное. Приведем пример.

Упражнение 11. Решить систему уравнений:

Второе уравнение системы получается из первого при помощи перестановки х и у. Вычтем первое уравнение из второго:

Но

тогда

Первое уравнение системы распадается на два уравнения, а потому распадается на две системы уравнений и данная система:

Эти две системы легко решить обычным способом подстановки.

В заключение следует сказать, что предложенные методы решения систем уравнений вполне доступны учащимся; материал для упражнений не выходит за пределы программы, и учитель найдет в задачниках большое количество таких систем.

Какой бы способ решения симметрических систем ни выбрал учитель, теорема Виета рассматривается как первая ступень знакомства с симметрией в алгебре.

В. И. БЕЛЯЕВ (Коломна)

ТОЛЬКО ЛИ НА СВОЙСТВАХ АРИФМЕТИЧЕСКОГО КОРНЯ ОСНОВАНЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДИКАЛОВ?

В учебниках алгебры и в методической литературе обычно указывается, что при преобразованиях радикалов, рассматриваемых во множестве действительных чисел, во всех случаях опираются только на свойства арифметического корня.

В подтверждение этого сошлемся на статью Е. С. Березанской «К вопросу о состоянии знаний учащихся VIII класса по алгебре» («Математика в школе», 1955, № 2). В этой статье автор категорически утверждает, что «все преобразования с радикалами производятся только с арифметическими корнями» (стр. 64. Курсив наш. — В. Б.)

Очевидно, такой же точки зрения придерживается и П. А.Ларичев, который в методических указаниях к новой программе по теме «Степени и корни» («Математика в школе», 1956, № 4) указывает, что «для устранения в дальнейшем ошибок в выполнении преобразований радикалов и действий над ними существенно обратить внимание учащихся, что корень нечетной степени из отрицательного числа не считается арифметическим, а поэтому, Прежде чем выполнять действия над указанными радикалами, их рекомендуется преобразовать по формуле

(1)

где У а является арифметическим корнем» (стр. 15). Очевидно, здесь а>0. Против этой рекомендации в целом возразить нельзя. Действительно, часто совершенно необходимо, прежде чем подвергать радикал преобразованиям, перейти от корня нечетной степени из отрицательного числа к арифметическому корню с тем, чтобы потом воспользоваться свойствами этого корня. Но не менее часто в таком переходе нет никакой необходимости. Более того, переход к арифметическим корням и использование свойств арифметического корня во многих случаях чрезвычайно осложнили бы преобразования.

Вот как выглядело бы умножение корней

при последовательном выполнении вышеуказанной рекомендации.

Выражение

имеет смысл при любых действительных значениях cud, поэтому при преобразовании необходимо рассмотреть четыре случая:

Рассмотрим их.

1) В этом случае оба корня являются арифметическими. Применяя соответствующие свойства этих корней, получаем в результате

На самом же деле никто, конечно, так не делает, и преобразование в указанном примере для любых действительных значений с и d выглядит так:

(2)

Дело в том, что все равенства, выражающие основные свойства радикалов, имеют место:

1°) для неотрицательных значений букв при любых натуральных показателях корней;

2°) для любых действительных значений букв, если все показатели корней в этих равенствах нечетны.

В первом случае мы имеем дело с арифметическими корнями и при указанном условии рассматриваемые равенства выражают свойства арифметического корня.

Во втором случае мы имеем дело с корнями нечетной степени из любого действительного числа. Эти корни при неотрицательных значениях подкоренных выражений неотрицательны и, следовательно, арифметические, а при отрицательных значениях отрицательны и арифметическими не являются. В этом случае рассматриваемые равенства выражают свойства корня нечетной степени.

Итак, рассматриваемые равенства при условии 1° выражают свойства арифметического корня, а при условии 2° — свойства корня нечетной степени1.

Таким образом, при преобразованиях радикалов применяются:

а) свойства арифметического корня, если преобразуемое выражение содержит радикал четной степени или если радикал четной степени должен появиться в результате преобразования, б) свойства корня нечетной степени, если преобразуемое выражение содержит только радикалы нечетной степени и в результате преобразования не появляются радикалы четной степени.

Наибольшие трудности в методическом отношении представляет применение свойств арифметического корня. Разработке методики этого вопроса посвящен ряд статей в журнале «Математика в школе» за последние годы2.

В связи с изложенным необходимо отметить ошибочность утверждения Е. С. Березанской в названной выше статье о том, что «формулы

и т. д. безусловно применены только к арифметическим корням» (стр. 67. Курсив наш.— В. Б.). Как видим, эти формулы безусловно применимы не только к арифметическим корням, но и к любым корням нечетной степени

Замечание. Арифметический корень и корень нечетной степени из отрицательного числа, рассматриваемый во множестве действительных чисел, однозначны. Они обозначаются одним и тем же символом (V ). Это целесообразно. Но во избежание недоразумений следовало бы для обозначения совокупности всех корней четной степени во множестве действительных чисел из положительного числа и совокупности всех корней любой степени во множестве комплексных чисел употреблять какой-нибудь другой символ.

Например, писать:

1 Все эти свойства могут быть доказаны единым способом — возведением в соответствующую степень выражений, стоящих в левой и правой частях равенств, и сравнением полученных результатов, опираясь в случае арифметического корня на теорему: «Если А> О, В >0 и п — любое натуральное число, то из равенства Ап=В следует, что Л = а в случае корня нечетной степени на теорему: «Если А и В — любые действительные числа и п — нечетное число, то из равенства Ап=Вп следует, что А=В».

2 Смотри, например, статьи П. А. Буданцева (1953, № 3) и В. И. Беляева (1955, № 2).

В. В. УШАКОВ (Ст. Оскол)

К ВОПРОСУ О КУЛЬТУРЕ ЗАПИСЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СИМВОЛОВ.

Изучение математики тесно связано со знанием математических символов и умением пользоваться ими. Однако методике ознакомления и культуре записи математических символов в существующей методической литературе уделяется весьма незначительное место. Между тем при проверке ученических тетрадей по математике в Алексеевской средней школе № 69 Корочанского района Белгородской области установлено, что за счет небрежного написания математических символов и нерационального расположения записей сделано 17% ошибок из общего их числа. Известно, что начиная с V класса требовательность к каллиграфии учащихся значительно снижается, а иногда и совсем отсутствует, цифры и математические знаки пишутся небрежно. Учитель не всегда поясняет, как нужно писать вновь вводимый символ. Молчаливо обходится и вопрос об историческом возникновении символов, их эволюции при написании на различных ступенях развития математики. Мы считаем целесообразным знакомить учащихся с краткими историческими сведениями о возникновении и развитии некоторых математических символов.

Рассмотрим некоторые математические символы.

1) Знак сложения + (плюс, от латинского слова plus — более).

2) Знак вычитания — (минус, от латинского слова minus — менее).

Есть несколько версий о происхождении знаков +и —, достоверность которых может показаться довольно правдоподобной. Согласно одной из этих версий считают, что знаки + и —обязаны своим происхождением торговой практике. Количество проданного товара отмечали горизонтальными черточками. Вновь приносимые запасы отмечали перечеркиванием горизонтальных черточек в зависимости от того, сколько проданного товара восстановили. Есть и другие версии о происхождении этих знаков. Знаки + и — встречаются в трудах Леонардо да Винчи. В старинных математических рукописях и сочинениях употреблялся знак—

в качестве знака вычитания («Арифметика» Магницкого). Следует обратить внимание учащихся на то, что знаки + и — должны записываться аккуратно, по возможности посредине высоты цифр, скобок.

3) Знаки умножения X (косой крест) и • (точка). Последняя введена английским математиком Херриотом в 1631 г.

4) Знаки деления—(горизонтальная черта) и : (две точки). Первый из них введен значительно раньше второго и в современной математической литературе употребляется чаще. Второй знак деления ( : ) большей частью вводится по техническим соображениям — ради экономии места; например, выражение

занимает лишь одну строчку, но то же выражение, записанное в виде дроби

занимает две строчки; знак деления ( : ) введен Лейбницем в 1672 г.

5) Знак извлечения корня (У). Этот знак представляет собой преобразованное написание первой буквы латинского слова radix (корень), которое сначала писалось полностью, а затем было сокращено до первой буквы г, из которой и возник знак у . Однако в самых старинных рукописях знак у заменяла точка, поставленная перед числом, и маленький ромбик с черточкой вправо и вверх. В математической литературе за рубежом вместо знака у пишут V; например, вместо Уа2+х2 пишут V(a2+x2).

6) Знак логарифма. Термин «логарифм» был предложен шведским математиком Непером в 1614 г., вскоре после изобретения им логарифмов. Термин этот возник из сочетания греческих слов Àôyoç (здесь: отношение) и apiOfioa (число).

Таким образом, логарифм у Непера — вспомогательное число, характеризующее отношение двух чисел. Термин для целой части логарифма — «характеристика» — был введен Бригсом, термин «мантисса» — для дробной части логарифма — Л. Эйлером; ему же принадлежит и термин «основание». Знак логарифма — результат сокращения слова «логарифм» — записывается различно: Logy И. Кеплера (1624) и Б. Бригса (1631), L — у немецкого математика Б. Урсинуса (1624), 1, L у итальянского математика Б. Кавальери (1632, 1643). В установившейся к концу XIX века математической символике знак логарифма при любом основании пишется в виде log, для десятичных логарифмов (с основанием 10) lg без указания основания, натуральные логарифмы (при основании £=2,71828...) In и Ln. Последний для случая отрицательного или комплексного аргумента.

7) Знак равенства = (читается «равно», «равняется», «есть») введен в математику английским алгебраистом Р. Рекор-

дом в 1557 г. О сущности знака равенства он писал: «Никакие два предмета не могут быть более равными, чем две параллельные линии одинаковой длины». Учащимися особенно небрежно пишется именно этот символ.

8) Скобки: круглые ( ), квадратные [], фигурные {}. Название «скобки» было введено в 1770 г. членом Петербургской академии наук Леонардом Эйлером. До введения общепринятых скобок применялась горизонтальная черта, которая проводилась над всем выражением, которое должно было быть заключено в скобки.

Так, запись

в современных обозначениях имеет вид:

9) Знак абсолютной величины (||) обозначается прямыми вертикальными черточками; между ними записывается выражение, абсолютная величина которого определяется.

Приведем пример методики введения нового математического символа. Пусть рассматривается действие извлечения корня в VIII классе; учащиеся сначала решают ряд задач, приводящих к извлечению квадратного корня.

Задача. Площадь земельного участка, имеющего форму квадрата, равна 25 кв. м. Найти длину стороны этого участка.

Учащиеся без труда находят, что длина стороны земельного участка 5 м. Повторив это для участков, скажем, с площадями 81 кв. м и 49 кв. м, ставим вопрос: при помощи каких известных ранее учащимся действий мы получили числа 5, 9, 7? Учащиеся убеждаются, что ранее изученных действий недостаточно для решения задачи. Учитель разъясняет, что такая постановка задачи привела к новому математическому действию — извлечению корня. При решении приведенной выше задачи мы должны были иметь такое число, квадрат которого равен данному числу 25 (или 81 и 49). В общем случае задача сформулируется так: найти число X такое, квадрат которого равен данному числу а:х2 = а. Преподаватель говорит, что при решении задач подобного рода необходимо каждый раз произносить или писать одну и ту же фразу: найти число х такое, квадрат которого равен данному числу а.

Для обозначения этой новой операции необходимо ввести новый символ, знак корня.

Далее вводятся термины: подкоренное число, подкоренное выражение, показатель корня.

Учитель должен добиться правильного написания учащимися знака корня.

Можно привести большое число задач с практическим содержанием, взятых из области геометрии и физики; так, задача механики: определить время падения тела с высоты Л, приводит к формуле

геометрическая задача: найти ребро куба, имеющего объем 15 625 куб. см, и др.

В связи с введением радикалов степени выше второй исторические сведения о них должны быть расширены с присоединением факта о наличии в древнем Вавилоне специальных таблиц кубов и извлечения кубических корней. Учащиеся знакомятся с таблицами квадратных и кубических корней из чисел.

Методы введения других математических символов подобны изложенному. Остановимся еще на некоторых вопросах.

1. В математике и ее приложениях для обозначения различного рода величин или чисел, их измеряющих, применяются буквы. Наиболее употребительны буквы латинского и греческого алфавитов. В целях усвоения нового алфавита с учащимися шестых классов мы проводили следующие упражнения.

1) Считая а = т и Ь = пу выразить а + Ь через тип.

2) В выражении S=gt2 заменить букву S буквой h, букву g буквой а, букву t буквой Т.

3) Считая c = m+r+s и d=g—t+u, выразить c + d через равные им выражения.

4) В выражении

заменить а через Ъ через

При введении обозначений в виде букв алфавита преподаватель математики должен разъяснить написание этих букв и их произношение.

2. Особенно не следует допускать произвола и небрежности в написании цифр. Учитель математики должен в первую очередь сам в совершенстве владеть безупречной техникой написания цифр, букв и математических символов, подавая всякий раз пример учащимся.

3. Очень важно показать учащимся решение задачи, изложенное в виде связного рассказа с математически грамотным расположением записей. Удобная обозримость математических выкладок есть важное условие математически грамотной записи. С этой целью нами неоднократно обращалось внимание учащихся на расположение записей формул и вычислений в учебниках по математике.

4. Чтобы учащиеся правильно писали математические символы и вообще алгебраические выражения, учитель должен своевременно показать им последовательность написания того или иного символа или выражения. Например, преобразовывая выражение

ученик должен аккуратно написать знак равенства на одном уровне с дробной чертой и знаком +, после чего против знака равенства проводится дробная черта, под ней пишется общий знаменатель d, а потом над чертой числитель Ь + с. Такая последовательность предохранит ученика от неряшливой записи.

Еще пример. Когда дается знак корня и записывается то или иное иррациональное выражение, необходимо приучить ученика к определенному порядку записи; сначала записывается знак >Л потом рядом пишется подкоренное выражение, наконец проводится черта корня над записанным подкоренным выражением (Yabc). Если черту корня провести до написания подкоренного выражения, то она может оказаться или короткой, или длинной, запись не будет аккуратной.

Необходимо учить учащихся правильному аккуратному написанию математических символов в процессе ознакомления с ними учащихся.

Н. И. СЫРНЕВ (Москва)

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ.

Задачи вычислительного характера занимают большое место в преподавании математики, физики и химии в средней школе. Поэтому очень важно правильно решить вопрос о средствах и способах вычислений, которыми следует пользоваться учащимся каждого из классов при решении тех или иных задач.

Если учащиеся IX и X классов имеют в своем распоряжении немало средств для выполнения вычислений в виде всевозможных таблиц, логарифмической линейки, русских счетов, то учащиеся V—VII классов могут пользоваться только счетами, а подавляющее большинство вычислений вынуждены выполнять письменно или устно, не пользуясь никакими вспомогательными средствами. Учащиеся VIII класса частично начинают пользоваться таблицами при выполнении возвышения в квадрат и куб и извлечении квадратного корня.

Таким образом, учащиеся V—VIII классов и даже учащиеся IX класса (в первой половине учебного года) должны выполнять наиболее трудоемкие операции умножения и деления, не прибегая ни к каким вычислительным средствам. Опыт работы в школе с русскими счетами показал, что они не могут быть эффективно использованы для умножения и деления.

И в то же время на производстве с успехом применяются таблицы, позволяющие выполнять умножение и деление значительно быстрее, чем это можно сделать письменным путем. К таким таблицам следует отнести в первую очередь таблицы О'Рурка, отличающиеся очень простым устройством, и некоторые Другие.

Эти обстоятельства и побудили автора статьи использовать в V—IX классах средней школы для выполнения вычислений таблицы умножения О'Рурка.

В настоящей статье излагается опыт работы с таблицами умножения, проведенной в 348-й школе Бауманского района г. Москвы в 1955/56 и 1956/57 учебных годах. Работа с табли-

цами была весьма интересной и позволила сделать важные выводы.

Применимость таблиц оказалась значительно шире, чем можно было предполагать. Поэтому интересно перечислить те основные задачи, где таблицы умножения оказали существенную помощь.

V класс. С таблицами умножения учащиеся V класса знакомятся и по учебнику арифметики И. Н. Шевченко и по задачнику С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева, однако в дальнейшем таблицы умножения не используются.

Учащимся V класса были даны три экземпляра таблиц умножения О'Рурка с тем, чтобы по этим таблицам считали учащиеся, сидящие на первой парте каждого из трех рядов. На следующем уроке по таблицам считали учащиеся, сидящие на вторых партах каждого ряда, и т. д.

Таким образом, каждый учащийся имел возможность считать по таблицам на одном уроке в неделю, а на остальных пяти уроках вел вычисления письменно. Такое использование таблиц в V классе оказалось достаточным, чтобы была необходимая практика в пользовании таблицами. И в то же время учащиеся имели большую практику в письменных вычислениях, необходимую в курсе арифметики V класса.

Помимо умножения, деления нацело и деления с остатками натуральных чисел, таблицы умножения были весьма полезны при обращении смешанного числа в неправильную дробь и решении обратной задачи. При выполнении четырех действий с обыкновенными и десятичными дробями таблицы оказывают большую помощь. Например, при умножении или делении смешанного числа на смешанное таблицы используются иногда до пяти раз (четыре умножения и одно деление).

VI класс. В курсе математики VI класса с помощью таблиц удобно находить численное значение алгебраического выражения для данных значений входящих букв. Например: найти численное значение многочлена 2Ьх2+\Ъху— \Ъу2 при л; = 3,2 и </ = 5,4.

Все три типа задач на проценты легко решить с помощью таблиц умножения.

1) Найти 27% от 79. 79-0,27 = 21,33. Результат находится сразу.

2) Найти число, 57% которого равны 3,27,

3,27:0,57 = 5,736.

В таблице за номером 57 находим число, ближайшее к 3270 и меньшее его. Сразу же получаем две цифры частного. Если двух найденных цифр недостаточно, то устно находим разность между числами 3270 и ближайшим меньшим 3249, равную 21. Берем в той же таблице число, ближайшее к 2100 и меньшее его.

Получаем еще две цифры частного —36.

3) Найти процентное отношение 47,3 к 88.

Решение такое же, как и в примере (2).

До сих пор для школы не найдены компактные таблицы процентных вычислений. Таблицы умножения вполне могут заменить такие таблицы.

Задачи на нахождение неизвестного члена пропорции решаются столь же просто.

Например: 3,7 : л: = 59 : 79,

Сначала находим непосредственно по таблице произведение 3,7 • 79, а затем по таблице за номером 59 находим частное таким же способом, как и в приведенном выше примере.

Если нужны будут только две или три цифры частного, то задача упрощается.

Совершенно ясно, что таблицы можно применять и при решении задач на пропорциональные величины.

В VII и VIII классах применение таблиц умножения будет оказывать еще большую помощь при вычислениях.

Укажем только те темы и задачи, где эта помощь будет особенно эффективной.

К таким темам и задачам можно отнести нахождение численного значения алгебраических дробей для данных значений входящих туда букв, проверку уравнений и систем уравнений, когда значения неизвестных и коэффициентов числа не однозначные, задачи на решение прямоугольных треугольников по таблицам натуральных значений тригонометрических функций, задачи на вычисление площадей фигур и т. д.

Большинство задач практического характера, в которых числовые данные взяты из жизни, а не подогнаны ради удобства вычислений, требуют применения таблиц умножения.

В IX классе при решении задач геометрического характера также встречается много вычислений, связанных с умножением и делением, когда учащиеся еще не знакомы с логарифмами.

Если теперь перейти к вычислениям, которые приходится производить при решении задач по физике и химии в VII—IX классах, то потребность в таблицах умножения становится еще большей.

Для примера рассмотрим две задачи из задачника по химии для средней школы Я. Л. Гольдфарба и Л. М. Сморгонского.

Задача 1 (132). Вычислить процентный состав сернистого железа.

В процессе решения приходится вычислить дроби'

С помощью таблицы умножения ответ получается сразу, что для учителя химии особенно важно.

Задача 2 (40). В каком количестве хлористого калия KCl содержится столько же калия, сколько его находится в 5 г K2SO4?

В процессе решения приходится вычислять дробь

что легко сделать с помощью таблиц.

При решении задач по физике подобных вычислений еще больше. Обилие таких вычислений и отсутствие средств для вычислений заставило авторов многих задачников по физике, химии и т. д. пойти на значительное упрощение числовых данных, чтобы большинство вычислений можно было выполнять в уме. Несомненно, что все это искажает действительность. Учащиеся, не вооруженные достаточными средствами для вычислений, слишком много времени тратили на вычисления с реальными числовыми данными.

Чтобы найти выход из создавшегося положения, мы считаем возможным использование на уроках таблиц умножения О'Рурка.

Но какую же экономию времени дает применение этих таблиц? Для ответа на этот вопрос приведем некоторые данные (полученные в школе № 348) по использованию таблиц умножения.

В каждой классной параллели были проведены работы с точным учетом затраченного времени. Сначала работа выполнялась по таблицам, а потом та же работа выполнялась теми же учащимися без помощи таблиц.

Учащиеся V класса выполняли следующую работу:

На вычисления с помощью таблиц потребовалось (в среднем) 10 минут, а на вычисления без таблиц потребовалось (в среднем) 15 минут. Экономия во времени составила 33%.

В VI, VII, VIII и IX классах в проверочных работах были даны упражнения и задачи по программе этих классов, причем экономия во времени при вычислении с помощью таблиц умножения составляла 35—40%.

Основные выводы, которые можно сделать на основании проведенного опыта работы с таблицами умножения в V—IX классах средней школы, сводятся к следующему.

1) Таблицы вполне доступны для использования учащимися V—IX классов и дают при вычислениях экономию во времени 30—40%.

2) Возможности применения таблиц на уроках математики (а также физики и химии) оказались значительно шире, чем мы предполагали вначале и чем обычно принято считать.

3) Использование таблиц умножения дает возможность не избегать реальных числовых данных в задачах по физике и химии.

Опасения, что работа с таблицами умножения снизит навыки письменных и устных вычислений, оказались напрасными. Пользование таблицами не исключает устных вычислений, а наоборот, работа с таблицами невозможна без устного счета.

Нужно, однако, заметить, что использование таблиц в V классе должно быть весьма осторожным.

При проведении работы с таблицами умножения мы все время испытывали затруднения в том, что не удавалось обеспечить таблицами всех учащихся.

В новом проекте «Четырехзначных математических таблиц» проф. В. М. Брадис поместил таблицы умножения двузначного числа на двузначное. Это дополнение было очень ценным и своевременным. Но при обсуждении рукописи хороший замысел автора не был поддержан. Будем надеяться, что наша методическая общественность снова вернется к обсуждению этого важного вопроса.

А. И. НОВОСЕЛОВА (Москва)

ПОВТОРЕНИЕ АРИФМЕТИКИ В VII КЛАССЕ.

В связи с политехнизацией обучения большое значение имеют вычислительные навыки учащихся. Поэтому весьма важно правильно организовать повторение арифметики в старших классах.

В данной статье имеется примерный подбор упражнений, которые автор находит целесообразным использовать для повторения арифметики в VII классе.

С целью развития наблюдательности у учащихся упражнения содержат, например, такие моменты: дробь можно сократить, но делать этого не следует (не целесообразно);

при умножении смешанных чисел их не надо обращать в неправильные дроби, так как целесообразней выполнить умножение, применяя распределительное свойство умножения;

при вычитании неправильных дробей проще сначала выполнить вычитание, а затем исключить целое число из дроби, не проделывая этого с уменьшаемым и вычитаемым.

Имеется целый ряд упражнений, где целесообразно не выполнять прежде действия в скобках, а поступить иначе (применяя то или иное свойство действий).

При решении примеров мы учим учащихся видеть специфические особенности чисел, над которыми производятся вычисления, и требуем наиболее быстрых и рациональных приемов счета.

Ответы, указания или решения, данные к некоторым примерам, заключены в квадратные скобки.

УПРАЖНЕНИЯ.

Нахождение наибольшего общего делителя.

1. Найти НОД следующих чисел

Нахождение наименьшего общего кратного.

2. Найти НОК следующих чисел:

1) 180, 24 и 150;

2) 652 и 75;

3) 337 и 997;

4) 784, 245 и 55.

Обыкновенные дроби.

Сложение и вычитание обыкновенных дробей.

3. Выполнить указанные действия.

Нахождение части от числа и процентов от числа.

4. Установить, какое из чисел больше.

Учащиеся должны понимать, что в примерах 4—9 находить величины дробей от указанных чисел нет надобности, так как в примере 4 находятся одинаковые части от разных чисел, в примерах 5—9 сравниваются 2 дроби от одного и того же числа, следовательно, для определения, какое из чисел больше, достаточно сравнить данные дроби между собой.

5. Найти:

1) 25% от 1000; [1000:4 = 250];

2) 10% от 650; [650: 10 = 65];

3) 50% от 752; [752:2 = 376];

4) 7% от 900; [900: 100.7 = 9-7 = 63];

5) 20% от 190; [190:5=190:10.2 = 19.2=38].

Надо, чтобы учащиеся твердо знали, что 25% есть -j- часть числа, 10% —щ- часть числа, 50%--^- часть числа, 20%-- часть числа.

Умножение обыкновенных дробей.

6. Выполнить указанные действия.

Нахождение числа по данной его дроби. Нахождение числа по данным его процентам, 7. Найти X, если:

8. Найти число, если:

9. Установить, какое число больше и во сколько раз, если:

1)-у^- одного числа составляет -щ другого.

[Одно и то же число составляет от второго числа часть, в 10 раз меньшую, чем от первого (у^ меньше в 10 раз), следовательно, второе число больше первого в 10 раз.] 2) 1 одного числа составляют ~ второго.

[Второе в 5 раз.]

10. Сумма двух чисел равна 294. Половина одного числа равна -jjj-другого. Найти эти числа.

11. Найти X, зная, что:

При решении примера 2, выполняя деление 440 на 5-у, можно рассуждать так: 44 больше И в 4 раза, а 5 —в 8 раз, следовательно, 440 больше 5 у в 80 раз.

12. Найти X, если:

Деление обыкновенных дробей. 13. Не выполняя деления, определить, что больше:

14. Не выполняя деления, определить, какое число больше и во сколько раз, если:

15. Выполнить указанные действия:

Все действия с обыкновенными дробями.

16. Выполнить указанные действия.

Десятичные дроби.

Сложение и вычитание десятичных дробей.

17. Выполнить указанные действия.

Умножение десятичных дробей. Нахождение процентов данного числа.

18. Выполнить указанные действия.

Деление десятичных дробей. Нахождение числа по данным его процентам.

20. Выполнить указанные действия.

21. Найти Х, зная, что:

Все действия с десятичными дробями.

22. Выполнить указанные действия.

Все действия с обыкновенными и десятичными дробями.

23. Выполнить указанные действия.

Отношение. Процентное отношение.

24. Найти отношения следующих чисел:

25. Найти неизвестные члены отношений:

26. Предыдущий член отношения равен 4,2; отношение равно 1-1=-. Найти последующий член отношения,

27. Последующий член отношения равен 0,505. Отношение равно 0,2. Найти предыдущий член отношения.

28. Как изменится отношение, если: 1) предыдущий член умножить на 0,1, а последующий разделить на 0,1? 2) предыдущий член разделить на 10, а последующий разделить на 3?

29. Найти X в следующих отношениях:

30. Найти отношения:

31. Отношения дробных чисел заменить отношениями целых чисел:

32. Сколько процентов составляют:

1) 27,5 от 82,5?

2) 4 руб. 80 коп. от 80 руб.?

Пропорции.

33. Найти X в пропорциях:

Проценты,

34. Найти:

1) 125% от 880; [880-1^-=880+220= 1 lOOj;

(Для простоты вычислений можно заменить нахождением 50% от 90, 39, 20.)

35. Найти число, если:

36. Сколько процентов составляют 57,6 от 480?

Повторение арифметики проводится во втором полугодии, причем имеется в виду как повторение систематическое одновременно с прохождением нового материала, так и на уроках, специально отводимых для повторения.

На прохождение нового материала имеется 42 урока в III четверти и 11 уроков в IV четверти, всего 53 урока. Из этих 53 уро-

ков систематическое повторение проводится на 26 уроках, т. е. примерно через урок.

На уроках, специально отводимых для повторения, рассматриваются основные вопросы курса арифметики. Всего на это отводится 14 уроков в IV четверти.

Кроме того, во втором полугодии проводится 5 контрольных работ (три в III четверти и две в IV четверти). В каждую из них включается пример на повторенный материал.

Контрольные работы составляются с расчетом охватить весь пройденный материал VII класса, примеры на все действия с обыкновенными и десятичными дробями и нахождение числовых значений выражений. Каждая работа рассчитана на один урок.

В каждой работе содержится три упражнения, за исключением четвертой работы, в которую включаются четыре упражнения. На нее можно отвести два урока.

ПРИМЕРНЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ.

Ниже приведены две контрольные работы (первая и четвертая),

Работа 1.

1. Задача. Учащиеся собрали 380 кг металлического лома, среди которого меди было собрано на 12 кг больше, чем алюминия, а железа на 16 кг меньше, чем алюминия и меди вместе. Сколько килограммов каждого металла было собрано?

2. Выполнить действия и вычислить результат при а=-^-.

Работа 4.

1. Задача (задача типа № 1173 из задачника Ларичева П. А., ч. I).

2. Разложить на множители (пример типа № 621(2) из задачника Ларичева П. А.).

3. Найти числовое значение выражения (пример типа № 1207(4) из задачника Ларичева П. А.).

4. Построить график (задача типа № 1238(3) из задачника Ларичева П. А.).

Г. М. ЭЛИАШ (Баку)

ОБ ОДНОМ ИЗ СПОСОБОВ ПОВТОРЕНИЯ МАТЕРИАЛА ПО МАТЕМАТИКЕ.

Как известно, существуют различные способы повторения пройденного материала по математике.

В настоящей статье мы поделимся опытом многолетней работы с учащимися по использованию доказательств софизмов с последующим нахождением ошибок в рассуждениях при повторении пройденного материала по алгебре.

Доказательство софизмов приучает учащихся критически подходить к полученному ответу и обосновывать все применяемые способы при решении упражнений, что повышает математическое развитие учащихся.

Материал, помещенный ниже, предлагался учащимся как на занятиях математического кружка, так и на уроках при повторении пройденного материала.

Пример 1. Докажем, что а = та при любом значении т.

Доказательство. Пусть та = Ь\ тогда требуется доказать, что а = Ь.

На основании переместительного закона умножения имеем: ab = ba. Обе части последнего равенства умножим на ( — 1), получим — ab = b( — a), или а( — b)=b( — а). Выполним следующее преобразование: а[а— (a+b)] = b[b— (a+b)]. Раскрыв скобки, получим:

(1).

К обеим частям равенства (1) прибавим по

получим:

Отсюда имеем:

или а=6. Но Ь=та\

следовательно, а = та9

Таким образом мы «доказали» равенство двух неравных чисел. В качестве примера докажем, что 4 = 5.

Допустим, что х = 5, а у = 4. Сложив почленно эти два равенства, получим #+# = 9. Умножим обе части последнего равенства на разность (х — у), получим: (х+у)(х—у)=9(х — у), или X2 — у2 = 9х — 9у. К обеим частям равенства прибавим по (у2 — 9х), получим: х2 —9х = у2 — 9у. К обеим частям последнего равенства

прибавим по

отсюда

Пример 2. Докажем, что при любом вещественном а а2=1.

Доказательство. Допустим, что х=у=-^-. Итак, х = у, следовательно, .(1). Прибавив к обеим частям равенства (1) по {У~х—у ), получим:

Последнее равенство почленно разделим на разность

получим:

Применяя этот способ, можно доказать, что квадрат любого натурального числа равен 1.

Пример 3. Докажем, что два любые натуральные числа а и Ъ равны между собой.

Доказательство. Пусть имеем ряд натуральных чисел.

Очевидно, следовательно.

(1).

К обеим частям равенства (1) прибавим по (а+Ь, получим: 2а = 2Ь, т. е. а=Ь.

Пример 4. Докажем, что 1 =0 и 1 =2.

Доказательство. Напишем формулу бинома Ньютона:

Допустим, что a = b = l и m= — 1, тогда получим:

Если остановимся на четном члене разложения бинома (в правой части равенства), то получим:-~=0, т. е. 1=0, если на нечетном члене разложения, то будем иметь:-^-=1, т. е. 1=2.

Таким образом, мы доказали, что 1=0 и 1=2. Пример 5. Докажем, что все числа отрицательные и бесконечно большие по абсолютной величине.

Доказательство. Нам известно, что

где а знаменатель геометрической прогрессии. Допустим, что 9 = 2, получим:

Но 1+2 + 22 + 23+...>0 и как угодно велико. Следовательно, 1 равна отрицательному числу, как угодно большому по абсолютной величине. Придавая q значения, равные 3; 4; 5; 6 и т. д., аналогичные выводы получим для чисел 3; 4; 5; 6 и т. д.

Пример 6. Докажем, что сумма двух положительных чисел равна нулю.

Доказательство, а) Допустим, что х = а. Обе части равенства умножим на 4а, получим: 4ах=4а2, или 4а2— 4ал; = 0. К обеим частям последнего равенства прибавим по х2, получим: X2—4ах+4а2=х2, или (х—2а)2=л;2, откуда х—2а=х. Но ранее мы допустили, что х=а, поэтому а—2а=а, или —а=а, т. е. а+а=0.

б) Докажем это вторым способом. Очевидно, Л/~а = \/~а-

Обе части равенства умножим на

получим:

обе части последнего равенства возведем в квадрат, получим:

откуда а+а=0.

в) Это же докажем еще третьим способом:

( + а)2 = а2 и (—а)2 = а2; следовательно, (—а)2 = а2, a отсюда а= —а и потому а + а = 0.

Пример 7. Докажем, что сумма целых и положительных чисел больше их произведения.

Доказательство. Пусть а, 6, с, d, / будут целые и положительные числа.

Докажем, что a+b + c+d+... + l>a-b -c-d.../.

Действительно,

(1)

Прологарифмируем равенство (1), получим:

(2)

Но

откуда

Разделив обе части последнего неравенства на получим:

и, наконец,

Пример 8. Докажем, что от перемены мест слагаемых сумма изменяется.

Доказательство. Как известно, \g(ab) =lg# + lg&(l) и

(2)

Сложив почленно равенства (1) и (2), получим:<

Каждое слагаемое меньше суммы, поэтому

Кроме того,

потому

Отсюда имеем:

следовательно,

(4)

Вычитая из обеих частей неравенства (3) по

а из обеих частей неравенства (4) по

получим:

отсюда а<Ь (5),

отсюда й<а (6).

Сложив почленно неравенства (5) и (6), получим a + b<b + a.

Теперь легко доказать, что от перемены мест сомножителей изменяется произведение.

Для доказательства этого предложения следует почленно перемножить неравенства (5) и (6), т. е. а<Ь и ô<a, получим:

Пример 9. Докажем, что 2>3.

Доказательство. Так как

то

Почленно разделив на

получим:

Выполнив сокращение, получим:

2>3

Пример 10. Докажем, что существуют логарифмы отрицательных чисел (при положительном основании).

Доказательство. На основании теории логарифмов имеем: nlgN = \gNn; с другой стороны, если а>0, то Iga2 имеет смысл.

Но

Рассмотрим равенство

есть вещественное число, следовательно, и произведение 21g(—а) — также число вещественное.

Но произведение это состоит из двух множителей. Первый из них 2 — число вещественное, следовательно, вещественным числом явится и второй множитель, т. е. lg(—а). Итак, lg(—а) — число вещественное, а потому логарифмы отрицательных чисел существуют.

Л. И. ГУТКИН (Кунцево, Московской обл.)

НЕРАВЕНСТВА ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА АЛГЕБРЫ VI КЛАССА.

Программа по математике предусматривает изучение неравенств в VII и X классах. Тем не менее первоначальное знакомство с неравенствами требуется уже на уроках геометрии в VI классе.

Практика работы в школе показывает, что введение первоначальных и простых упражнений на неравенства в курсе алгебры уже в VI классе помогает учащимся глубже осознать и усвоить основные алгебраические понятия, развивает самоконтроль при выполнении тождественных преобразований, способствует уяснению функционального характера алгебраических выражений, вызывает активность и интерес к изучаемому материалу.

Ниже приводится система упражнений, которые были проведены в школе № 422 г. Москвы учителем К. И. Васильевой под руководством автора данной статьи.

§ 1. НЕРАВЕНСТВА ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ».

А. Чтение и запись неравенств. Простейшие доказательства. Сравнение выражений.

1. Прочитать неравенства:

2. Найти несколько значений буквы а, при которых выполняются соотношения:

3. При каких значениях буквы а выполняется соотношение а+1>а?

Ответ. При всех целых и дробных значениях.

4. При каких значениях буквы а выполняется соотношение а2>0?

Ответ. При любых целых и дробных значениях, кроме а = 0.

5. а) Вычислить выражение — для значений буквы а, указанных в следующей таблице:

б) Можно ли утверждать, что при всех значениях буквы а справедливо неравенство — <а?

6. Вычислить выражения а2 и 2а при значениях буквы а, указанных в 1-й колонке таблицы:

В последней колонке таблицы записать результат сравнения а2 и 2а для соответствующих значений буквы а с помощью знаков >, < или =.

7. Вычислить выражения (а + Ь)2 и а2 + Ь2 для значений букв а и 6, указанных в 1-й колонке таблицы:

В последней колонке таблицы записать результат сравнения выражений (а+Ь)2 и а2+Ь2 для соответствующих значений а и b с помощью знаков >, < или =.

Как нетрудно заметить, простейшее доказательство, которое нужно дать в примере 5-6, сводится к опровержению утверждения или, иначе говоря, к доказательству того, что данное утверждение неверно. На этом упражнении ученик должен усвоить, что для опровержения утверждения достаточно привести хотя бы один опровергающий пример.

Б. Доказательства методом от противного.

На уроках геометрии от учащихся потребуется умение проводить доказательства методом от противного.

Научить учащихся применять этот метод доказательства на одном геометрическом материале довольно трудно, так как по курсу геометрии VI класса имеется мало задач на доказательство методом от противного. Поэтому в практике своей работы в школе мы использовали примеры по алгебре на доказательство неравенств методом от противного.

Эти примеры должны быть возможно более простыми, чтобы они дошли до сознания учащихся.

Приведем несколько таких упражнений.

1. Дано, что а+3>10. Способом рассуждения от противного доказать, что а Ф 7.

Решение. Допустим, что а = 7, тогда а + 3 = 10, а это противоречит условию. Значит, а Ф 7.

2. Дано, что За<5а. Способом рассуждения от противного доказать, что а ф 0.

Решение. Допустим, что а = 0, тогда 3а = 0 и 5а = 0, т. е. За = 5а, a это противоречит условию. Значит, аф 0.

3. Дано, что 4а—5>1. Способом рассуждения от противного доказать, что а Ф 1,5.

4. Дано, что -§-<2. Способом рассуждения от противного доказать, что а<6.

Решение. Предположим, что а = 6.

Тогда дробь -у- =2, что противоречит условию.

Предположим теперь, что а>6. Тогда дробь -f->2, что также противоречит условию. Значит, а<6.

5. Дано, что разность х—0,4<2. Способом рассуждения от противного доказать, что л;<2,4.

Решение. Предположим, что *=2,4. Тогда х—0,4=2, что противоречит условию.

Предположим, что *>2,4. Тогда х—0,4>2, что также противоречит условию. Значит, х<2,4.

§ 2. НЕРАВЕНСТВА ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА».

А. Сравнение рациональных чисел и алгебраических выражений.

1. Построить на числовой оси точки, соответствующие числам: 1; 3; -7; 9; -4.

Выяснить, какое из заданных чисел наибольшее и какое наименьшее.

2. Указать на числовой оси несколько точек, соответствующих числам:

а) больших ( — 3); б) меньших 1,7; в) меньших -т-.

Указание. При решении упражнения 2 следует обратить внимание на то, чтобы учащиеся на числовой оси отмечали не только точки, соответствующие положительным числам, но и точки, соответствующие отрицательным числам и нулю.

3. Найти наибольшее (и наименьшее) по абсолютной величине число из следующих чисел:

4. Между следующими парами чисел поставить знак >, < или =.

5. Прочитать неравенство а>3.

Отметить на числовой оси точки, соответствующие нескольким значениям а, для которых это неравенство выполняется. Проделать то же самое для следующих неравенств:

1) а<5; 2) а>2; 3) а<5; 4) а>0; 5) и 0.

6. Прочитать выражение 3<#<5. Найти несколько значений х, удовлетворяющих данным условиям. На числовой оси отметить точки, соответствующие найденным значениям.

Проделать то же самое для каждого из следующих выражений:

7. Заполнить следующую таблицу:

8. а) При каком условии сумма а + Ь будет больше а, меньше а или равна а?

б) Найти несколько значений буквы а, при которых сумма 2 + а меньше 2.

9. а) Написать несколько значений буквы а, при которых сумма 4 + ß положительна, отрицательна; при каком значении буквы а сумма 4+а равна нулю.

б) Указать несколько значений буквы а, при которых: 1) сумма 3 + а отрицательна; 2) сумма — З + а положительна; 3) разность 5 —а положительна; 4) разность а— \ отрицательна.

10. а) Прочитать выражения: \а+Ь\ и + б) Заполнить следующую таблицу:

Указание. Упражнение 10 (б) имеет целью дать учащемуся материал для наблюдения. Никаких выводов здесь делать не надо.

11. Заполнить следующую таблицу:

Указание. Приведем образцы записей при заполнении последних колонок таблиц в упражнениях 7, 10 (б) и 11. К упражнению 7.

К упражнению 10 (б).

К упражнению 11.

Б. Доказательство методом от противного.

1. Дано, что 7а3<0. Методом от противного доказать, что а<0.

Решение. Предположим, что а не является отрицательным числом. Тогда возможны два случая.

1) а>0. Тогда а3>0 и 7а3>0, что противоречит условию.

2) а = 0. Тогда а3 = 0 и 7а3 = 0, что также противоречит условию. Значит, а<0.

2. Дано а2 + а<0. Доказать методом от противного, что а<0. Решение. Допустим, что а не является отрицательным числом. Тогда возможны два случая.

1) а>0. В этом случае а2 + а>0, что противоречит условию.

2) а = 0. В этом случае а2 + а = 0, что также противоречит условию. Значит, а<0.

3. Доказать, что если произведение а6 = 0, то хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Решение. Допустим противное, т. е. что афО и ЬфО. Возможны следующие случаи:

Значит, если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей должен быть равен нулю.

§ 3. НЕРАВЕНСТВА ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «ДЕЙСТВИЯ НАД АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ»

До изучения алгебры в VI классе учащиеся на протяжении длительного времени решали примеры и задачи по арифметике.

Значительно труднее дается учащимся изучение тождественных преобразований в курсе алгебры, так как в их сознании еще не возникали вопросы, для решения которых необходимо привлечение тождественных преобразований.

Большое значение в этом отношении имеют пропедевтические сведения о решении уравнений в VI классе, предусмотренные программой.

Существенную помощь этому могут оказать так же и упражнения на неравенства.

Ниже приводятся такие упражнения.

А. Нахождение значений, удовлетворяющих неравенству.

1. Найти несколько значений буквы а, при которых

Указание. Букве а следует давать не только положительные значения.

2. Найти несколько значений а и Ь, при которых: а) а3 + 63>0, б) a3 + ft3<0, в) а3 + &3 = 0.

Найденные значения записать в следующую таблицу:

Б. Простейшие доказательства.

Для более глубокого изучения программного материала предлагаются нетрудные задачи на доказательство неравенства. Доказательства основываются на свойствах степени, на умении выполнять действия над одночленами и многочленами, содержащимися в одной части неравенства, когда в другой части неравенства нуль.

Предлагаются также упражнения, решение которых сводится к опровержению утверждения.

В некоторых упражнениях необходимость проведения доказательств вытекает из наблюдений, результаты которых записываются в таблицу.

1. При всех ли значениях буквы а выражение а2> — 3?

2. Найти несколько значений буквы а, при которых а3 и а4 имеют разные знаки. Найденные значения записать в следующую таблицу:

Выяснить, каким свойством обладают значения а, при которых а3 и а4 имеют разные знаки; одинаковые знаки.

3. Найти такие значения а и b (а>6), при которых а2>62. Записать найденные значения в следующую таблицу:

Можно ли утверждать, что при всех значениях букв а и Ь, для которых а>Ь, выполняется неравенство а2>Ь2} 4. Доказать следующие неравенства:

Решение, б) 1 + 13m2-(-8т4) = 1 + 13т2 + 8т4>0, так как первое слагаемое положительное число, а второе и третье слагаемые положительны или равны нулю. Значит, сумма 1 + 13m2+8m4>0.

в) х2+ху +у* + (х2-ху+у2) =2*2+2#2>0.

5. Доказать, что а3а5 всегда положительно, если афО.

6. а) При каком значении буквы а выражение (а — З)2 равняется нулю?

б) При каком значении буквы а выражение (а+1)2 равняется нулю?

в) Какая должна существовать зависимость между величинами а и Ь, чтобы выражение (а + Ь)2 равнялось нулю?

г) Можно ли утверждать, что при всех значениях букв а и b (а + 6)2>0?

7. Составьте несколько произведений двух чисел, одно из которых заключено между 1 и 2, а другое между 0 и 1, причем сомножители отличаются от 1 на одно и то же число.

Путем наблюдения установите, между какими целыми числами заключены эти произведения.

Докажите, что произведение двух положительных чисел, из которых первое заключено между 0 и 1, а второе между 1 и 2, причем сомножители отличаются от 1 на одно и то же число, есть число, заключенное между 0 и 1.

Решение. Рассмотрим несколько числовых примеров.

Указанные произведения заключены между 0 и 1.

Теперь докажем в общем виде. Сомножители запишем так: 1+я и 1—а, где а — число, заключенное между О и 1.

Произведение (1+а)-(1 — а) =1— а2. Так как число а заключено между 0 и 1 (оно может быть записано правильной дробью), то а2, как квадрат правильной дроби, есть правильная дробь; значит, при этом 1—а2 заключено также между 0 и 1.

Этому доказательству можно дать следующую геометрическую иллюстрацию (смотри чертеж). АВСД и АВхСхДх — квадраты, АВ = \, АВХ=2, ВМ=а, KD = a. Площадь АВСД равняется 1, площадь AMNK меньше 1, так как от площади квадрата АВСД отняли больше (площадь I), чем прибавили (площадь II).

8. Заполнить следующую таблицу:

Наблюдайте, какие значения принимает х2 — 6х+9. Можно ли утверждать, что выражение х2 —6х+9 всегда при* нимает положительные значения или нуль?

Ответ. Можно, так как х2 — 6х+9= (х—З)2 >0.

В. Сравнение выражений.

1. Заполнить следующую таблицу:

Указание. 1) Заполнение 3-й и 4-й колонок таблицы имеет целью предупредить отождествление выражений (а + 6)2 и а2 + Ь2.

2) Заполнение 5-й колонки имеет целью дать учащемуся материал для наблюдения.

Нахождение условия, при котором (a+b)2>a2+b2, (a-ffc)2 = a2+ô2, (a + b)2<a2 + b2, можно отнести на занятия кружка.

2. Заполнить следующую таблицу:

Можно ли утверждать, что при всех значениях а и Ь, (а+Ь)2 больше (а—&)2?

г. Упражнения на применение доказательства методом от противного.

1. а) Найдите несколько значений а и 6, при которых а 4-b<a — 6.

б) Дано, что a+b<a—6. Методом от противного доказать, что 6<0.

Решение. Предположим, что 6>0; тогда возможны два случая.

1) 6>0. В этом случае a+b>a — b, так как если к числу а прибавить положительное число 6, то число а увеличится, если же от числа а отнять положительное число 6, то оно уменьшится

2) 6=0. В этом случае а + 6 = а; а — Ь = а, т. е. a+b=a — b Значит, Ь<0.

2 а) Найти значения букв а и о. при которых а2+о2=0. б) Дано, что а2 + Ь2 = о. Доказать методом от противного, что а = 0, 6 = 0.

Решение, а) При а = 0. 6=0, а2-Ьб2=0. б) Предположим, что а и 6 одновременно не равны нулю. Тогда возможны следующие случаи:

В. А. ЗОТОВ (Курск)

К ВОПРОСУ ОБ ОБЛАСТЯХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ.

При изучении школьного курса алгебры учащиеся неоднократно встречаются с понятием области определения функции. Впервые это имеет место в VI классе, когда ставится вопрос о допустимых значениях букв, входящих в данное алгебраическое выражение.

В новом учебнике алгебры (ч. I) А. Н. Барсукова этому понятию посвящен § 3.

Примеры выражений, имеющих смысл только при некоторых значениях входящих в них букв, помещены на первой странице учебника, с них, следовательно, и начинается первое знакомство с алгеброй.

Важно и то, что в учебнике А. Н. Барсукова с самого начала указывается, что допустимые значения для букв образуют определенную совокупность или множество.

Множество допустимых значений для букв, входящих в данное выражение, определяется теми условиями, которые накладываются на это выражение. Такими определяющими условиями могут быть или условие конкретной задачи, по которому составлено данное выражение (см. § 1, пример 2 учебника Барсукова), или все множество чисел, известных к этому времени учащимся (целых и дробных неотрицательных), за исключением, может быть, некоторых из этих чисел. Для m в выражении т + 3 допустимыми значениями являются все целые и дробные неотрицательные числа, но это же выражение, рассматриваемое относительно условия конкретной задачи (пример 2, § 1), сохраняет смысл только при некоторых значениях т.

В дальнейшем вопрос о допустимых значениях букв, входящих в данное алгебраическое выражение, следует использовать при определении его числового значения. В задачнике по алгебре (ч. I) П. А. Ларичева даны примеры (№ 158 и последующие), в которых требуется найти числовые значения алгебраических выражений при некоторых заданных допустимых значениях букв. Изменяя заданную систему значений, можно выбрать ее так, что выражение потеряет смысл. Например, при вычислении числового

значения выражения 5 (х—у) учащимся можно предложить несколько пар таких значений х и у, при которых это выражение будет иметь смысл, и несколько пар таких, при которых оно не имеет смысла. Сравнивая эти пары значений х и у, нетрудно сделать вывод, что допустимыми являются лишь те пары, у которых значение х не меньше значения у.

Очевидно, после расширения множества неотрицательных чисел введением отрицательных чисел допустимыми системами значений для х и у становятся уже любые пары чисел.

Но есть выражения, смысл которых не восстанавливается при некоторых значениях букв от расширения числового множества, из которого черпаются допустимые значения букв. Пример выражений этого типа приводится в конце § 3 учебника алгебры Барсукова. Это дроби с буквенными знаменателями, имеющие смысл только при тех значениях букв, при которых знаменатель не равен нулю. Здесь можно предложить учащимся выполнить следующие упражнения:

1. Дана дробь —Определить допустимые значения для буквы а.

2. Дана дробь g—При каком значении а эта дробь теряет смысл?

3. Написать дробь, которая содержит в знаменателе букву а и теряет смысл при а = 5.

4. Написать две различные дроби с одинаковыми допустимыми значениями для буквы а, находящейся в знаменателе.

Указание. Если знаменатели дробей одинаковы, то должны различаться их числители; если числители дробей одинаковы, то знаменатели будут противоположны, например и ^zr-

Выполняя эти упражнения, учащиеся привыкают особенно внимательно относиться к знаменателям дробей, содержащим переменные величины, и находить те значения переменных, при которых знаменатель обращается в нуль. Этот навык сыграет большую роль в дальнейшем при решении вопросов о равносильности уравнений, при исследовании уравнений и в ряде других случаев.

Нужно дать понять учащимся, что вопрос о нахождении множества допустимых значений букв в большинстве случаев заменяется противоположным вопросом об отыскании недопустимых значений их, так как последние определяются легче. Например, чтобы найти множество допустимых значений для буквы а

в дроби мы определяем то значение а, при котором дробь

теряет смысл, т. е. знаменатель обращается в нуль. Таким значением а является число 7, значит, все остальные числа (целые и дробные) — допустимые значения.

Знакомство с отрицательными числами и с числовой осью дает возможность расширить область допустимых значений букв.

Прежде всего следует показать, что выражения, ранее терявшие смысл при некоторых значениях букв, теперь уже при этих значениях букв смысла не теряют. Например, для разности а—2 до введения отрицательных чисел допустимыми были только значения а>2, а с введением отрицательных чисел и значения а<2 стали для а допустимыми; значит, множество допустимых значений расширилось.

Числовая ось дает возможность наглядно представить множество допустимых значений для алгебраического выражения. Так, для выражения а —2 до изучения отрицательных чисел область допустимых значений занимала всю положительную часть числовой оси вправо от точки, соответствующей числу 2, включая и эту точку, после же введения отрицательных чисел вся числовая ось является областью допустимых значений для а. Вполне уместно при этом сообщить учащимся, что область допустимых значений буквы (или букв, если их несколько) называется в алгебре областью определения алгебраического выражения.

При изучении математики в средней школе часто приходится прибегать к графическому изображению области определения выражения. Желательно поэтому придерживаться постоянно одних и тех же способов графического изображения. Опыт показывает, что можно рекомендовать следующий способ изображения области определения алгебраического выражения.

На границах области восставляются небольшие произвольной длины, но равные между собой перпендикуляры к оси.

Если граница области принадлежит этой области, то свободный конец перпендикуляра имеет маленький кружочек. Свободные концы обоих перпендикуляров соединяются прямой, и полученный прямоугольник покрывается штриховкой (лучше цветной). На чертеже 1 изображен полусегмент (а, Ь).

Если область определения содержит все числа, начиная с некоторого а {а — нижняя граница множества допустимых значений), или все числа, кончая некоторым Ь (Ь—верхняя граница множества допустимых значений), то восставляется только один перпендикуляр в той точке оси, которая соответствует конечной границе области. От свободного конца этого перпендикуляра проводится прямая, параллельная оси, и заканчивается стрелкой в том направлении, в каком расположена область определения (черт. 2). Ясно, что при отсутствии у области определе-

Черт. 1.

ния конечных границ перпендикуляры к оси не восставляются и область изображается прямой, параллельной оси и снабженной стрелкой на обоих концах (черт. 3).

Часто встречается случай, когда область определения охватывает все рассматриваемое множество, за исключением одного или нескольких отдельных элементов этого множества. Изображение такой области будет таким же, как показано на чертеже 3, только в точках оси, соответствующих недопустимым значениям букв, восставляются перпендикуляры к оси (черт. 4).

Изучение многих математических вопросов приводит к совместному рассмотрению нескольких выражений, имеющих различные области определения, например в VII классе при изучении действий с алгебраическими дробями или в VIII классе при решении иррационального уравнения У~х + 7+У~х + 2=]/3x+19.

В последнем случае имеем следующие области определения членов этого уравнения:

Представим их графически на одном чертеже (черт. 5).

С помощью этого чертежа легко видеть, что общей частью трех областей определения является множество тех точек число-

Черт. 2. Область определения х>а.

Черт. 3. Область определения: множество действительных чисел.

Черт. 4.

Черт. 5.

вой оси, над каждой из которых расположены все три прямые со стрелками, что и показано ниже числовой оси. Из двух корней выводного уравнения хх = 2 и х2=—7 у только первый корень находится в общей части областей определения членов данного уравнения, а второй расположен вне этой общей части и потому является посторонним для данного уравнения. Действительно, при х=—7-у все подкоренные выражения в данном уравнении становятся отрицательными и радикалы теряют смысл.

Ко времени прохождения темы «Функции и графики» в VIII классе учащиеся успеют освоиться с понятием области определения алгебраического выражения. Когда функция будет задана уравнением (аналитический способ задания функции) и потребуется найти область определения функции, перед учащимися встанет известная им уже задача нахождения области определения алгебраического выражения. Одно понятие незаметно перерастает в другое. Этот путь подхода к образованию понятия области определения функции, охватывающий длительный промежуток времени, является наиболее естественным и способствует прочному усвоению этого понятия.

Окончательное свое завершение этот вопрос получит в курсе алгебры IX—X классов, а также в курсе тригонометрии.

Ф. Ф. НАГИБИН (Киров)

ИЗУЧЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ В VII и VIII КЛАССАХ.

В статье рассмотрены основные вопросы методики изучения линейной функции в VII—VIII классах. Сделанные в ней методические выводы явились результатом как изучения практики преподавания алгебры, так и методического анализа возникающих по теме статьи вопросов.

Методика изучения линейной функции и частного случая ее — прямо пропорциональной зависимости — заслуживает особого внимания прежде всего потому, что линейная функция есть одна из тех немногих элементарных функций, которые допускают исчерпывающее исследование с помощью приемов, вполне доступных пониманию учащихся VIII класса. В силу этого изучение линейной функции может и должно быть использовано для формирования у учащихся некоторых общих функциональных представлений. Кроме того, отсутствие громоздких числовых выкладок, большая наглядность и легкая обозримость выводов делают изучение линейной функции удачным введением в учение о функциях. Далее, существование тесной связи между линейной функцией и уравнениями (а также неравенствами) первой степени обеспечивает более глубокое изучение уравнений. Наконец, практические применения линейной функции позволяют использовать изучение ее для внесения вклада в дело политехнического обучения.

С прямо пропорциональной зависимостью учащиеся средней школы встречаются еще на уроках арифметики при решении задач, так как арифметические задачи — это прежде всего задачи на прямо пропорциональную зависимость. Причем в I—V классах эта зависимость выступает в неявном виде и только в конце школьного курса арифметики (VI кл.) выясняется понятие прямо пропорциональных величин, изучаются некоторые свойства их, а главное, рассматриваются приемы решения задач с прямо пропорциональными величинами.

В учебнике арифметики И. Н. Шевченко дано обычное изложение всех этих вопросов. Совсем иное изложение их предлагает-

ся в планах уроков по арифметике (VI кл.) Е. Н. Саговской (Учпедгиз, Ленинград, 1957). Здесь рекомендуется предварительно ввести такие понятия, как числовые значения величины, постоянная и переменная величины, зависимая и независимая переменная. Только после этого дается определение прямо пропорциональных величин, как величин, для которых отношение двух любых значений одной равно отношению соответствующих значений другой. Изложение заканчивается установлением свойства прямо пропорциональных величин, которое обычно принимается за определение их [с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз соответствующее значение второй увеличивается (уменьшается) во столько же раз].

В этой статье мы не намерены заниматься сопоставлением двух указанных методик изучения прямо пропорциональных величин. Отметим только, что методика, предложенная Е. Н. Саговской, неоправданно усложнена.

В школьном курсе алгебры с линейной функцией и частным случаем ее — прямо пропорциональной зависимостью — учащиеся впервые встречаются в VII классе при изучении раздела «Уравнение с двумя неизвестными. Система уравнений». Из этого раздела непосредственное отношение к линейной функции имеют следующие вопросы: прямо пропорциональная зависимость, построение графиков уравнений y=kx, y=>kx+b, ax+by+c=0 (с числовыми коэффициентами), геометрическое истолкование решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Все эти вопросы относятся к области функциональной пропедевтики. На этой ступени изучения школьной алгебры введение функциональной терминологии признается программой нежелательным. И это, по нашему убеждению, правильно. На первых порах знакомства с функциями не следует обременять память учащихся излишней терминологией, а надо направить основное внимание на привитие учащимся правильных представлений об одной из наиболее простых функциональных зависимостей. В VIII же классе, используя эти представления, развивая и обогащая их, можно будет приступить к систематическому изучению функций, вводя постепенно нужные термины.

В функциональной пропедевтике особенно существенны три основных направления: 1) подготовительная работа к выяснению понятия функции, 2) подготовка к изучению способов задания функций и 3) подготовительная работа к элементарному исследованию некоторых функций. В соответствии с этим изучение линейной функции в VII классе должно быть подчинено следующим методическим требованиям: а) линейную функцию и ее частный случай — прямо пропорциональную зависимость — надо ввести в рассмотрение как обобщение определенных конкретных зависимостей; б) последовательность рассмотрения вопросов должна определяться необходимостью перехода от частного к общему: сначала прямо пропорциональная зависимость y = kx,

затем y = kx + b и наконец ax + by + c = 0*, причем основным из них следует признать вопрос о зависимости y = kx+b и ее графике; в) логические доказательства различных утверждений о линейной функции и ее графике в VII классе преждевременны. Выводы о графиках зависимостей, выражаемых уравнениями y = kx, y = kx+b и ax + by + c = 0, должны делаться на основании опыта построений таких графиков; г) целесообразен следующий общий порядок рассмотрения каждой из этих зависимостей: уравнение, таблица значений х и у, график, чтение графика. При составлении и рассмотрении таблиц значений х и у, а также при построении и рассмотрении графиков следует подчеркивать идею соответствия между значениями х и значениями у; д) для последующего геометрического истолкования решения линейных уравнений и их систем особенно существенным нужно признать усвоение учащимися того, что координаты любой точки графика уравнения дают решение этого уравнения.

Имея в виду сформулированные требования, рассмотрим некоторые конкретные вопросы изучения линейной функции в VII классе.

Следует позаботиться об установлении необходимых связей между тем, что узнали учащиеся о прямо пропорциональной зависимости на уроках арифметики в VI классе, и тем, что они узнают на уроках алгебры в VII классе. Для этого недостаточно повторить известное учащимся определение прямо пропорциональных величин и свойства их. С большим вниманием нужно отнестись к подбору примеров прямо пропорциональных величин. Эти примеры должны быть достаточно разнообразными, а главное, чтобы, пользуясь этими примерами, можно было дать более общее определение прямо пропорциональной зависимости. Достаточно удачными примерами можно считать такие

1) Цена ученической тетради 13 коп. Сколько стоят 3, 5, 10, 32 тетради? Здесь величины — число тетрадей и стоимость их (в копейках) — принимают лишь целые неотрицательные значения.

2) Выразить формулой зависимость между длиной окружности и диаметром ее, если измерения показывают, что длина любой окружности в 3,14 раза (приблизительно) более ее диаметра. В этом примере диаметр окружности и длина ее — положительные целые и дробные числа.

* Программой, а также учебником алгебры А. Н. Барсукова (ч I) предусмотрено изучение в VII классе после прямо пропорциональной зависимости обратно пропорциональной и лишь потом линейной. Мы находим более удачной иную последовательность, а именно: сначала прямо пропорциональная зависимость, затем линейная и наконец обратно пропорциональная. Основной довод в защиту такой последовательности изучения указанных вопросов состоит в том, что для усвоения их существенно не противопоставление прямо пропорциональной зависимости и обратно пропорциональной, а сопоставление первой с линейной зависимостью. Кроме того, эта последовательность устраняет традиционный разрыв в ходе изучения вопросов, относящихся к линейной зависимости.

3) По прямолинейному шоссе с востока на запад со скоростью, равной 10 км в час, едет велосипедист. В настоящий момент он находится против автобусной остановки. Выразить формулой положение велосипедиста на шоссе относительно этой остановки в зависимости от времени. Здесь формула зависимости такова: у=10х. Время х может быть любым рациональным числом (иррациональные числа учащиеся еще не знают). Число у, определяющее положение велосипедиста на шоссе, может быть положительным, нулем и отрицательным. Отрицательное значение у получается при отрицательном значении х и означает, что велосипедист находился восточнее автобусной остановки на расстоянии у км от нее.

После рассмотрения этих или подобных им примеров следует дать новое, «алгебраическое» определение прямо пропорциональной зависимости*. Рассуждения можно провести в следующем плане. В рассмотренных примерах речь шла о зависимостях между различными конкретными величинами. Эти величины могли принимать различные числовые значения: только целые неотрицательные (1-й пример), любые положительные (2-й пример), любые положительные, нуль и отрицательные числа (3-й пример). Но в каждом из этих примеров зависимость между величинами выражалась уравнением вида y = kx, где k — вполне определенное число для каждой конкретной зависимости. Обобщая все разобранные примеры, приходим к зависимости между величинами, выражаемой уравнением y = kx и называемой прямо пропорциональной. Итак, прямо пропорциональной зависимостью называется такая зависимость между двумя величинами х и у, которая выражается уравнением y = kx, где k — определенное для каждого конкретного случая число (называемое коэффициентом пропорциональности). При этом сами величины х и у называются прямо пропорциональными.

Стоит отметить, что при рассмотрении этой зависимости в общем виде X может принимать любые числовые значения (положительные, нуль и отрицательные), а значения у должны вычисляться по значениям х. Чтобы получить соответствующее значение у, нужно каждый раз выбранное значение х умножить на число k.

После этого следует предложить учащимся привести несколько примеров прямо пропорциональной зависимости и других зависимостей, отличных от прямо пропорциональной.

Наконец, необходимо пояснить учащимся непригодность в общем случае старого «арифметического» определения прямо пропорциональных величин. Мы это делали обычно так. Рассмотрим, например, зависимость у=—2х (здесь 2). Составим для этой зависимости таблицу.

* Мы исходим из того, что прямо пропорциональные величины в курсе арифметики VI класса изучались по учебнику И. Н. Шевченко.

Из таблицы видим, что при увеличении положительных значений X в несколько раз соответствующие значения у умень-

шаются. Между тем в «арифметическом» определении прямо пропорциональной зависимости требуется, чтобы с увеличением (уменьшением) значения одной из величин (я) в несколько раз соответствующее значение другой (у) также увеличивалось (уменьшалось) во столько же раз. Рассмотренный пример показывает, что известное учащимся из курса арифметики определение пригодно только для прямо пропорциональных величин, принимающих лишь положительные значения.

Важным понятием, связанным с прямо пропорциональной зависимостью, является понятие коэффициента пропорциональности. В учебнике алгебры А. Н. Барсукова (ч. I, Учпедгиз, 1956) оговаривается, что коэффициент пропорциональности отличен от нуля. Во многих других учебниках алгебры (например, В. Л. Гончарова, Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского) такой оговорки не делается. Вообще говоря, в ней и нет особой подобность Оправдать ее можно разве лишь тем, что в конкретных примерах прямо пропорциональной зависимости коэффициент пропорциональности обычно бывает отличен от нуля. Короче говоря, указанное ограничение не является существенным. Существенно другое, именно какое реальное значение имеет коэффициент пропорциональности. В учебнике алгебры А. Н. Барсукова (ч. I) этот вопрос не ставится. Между тем понимание того, что показывает коэффициент пропорциональности, имеет большое практическое значение. В нашей практике при изучении прямо пропорциональной зависимости особое внимание учащихся обращалось на коэффициент пропорциональности. Подчеркивалось, что в случае прямо пропорциональной зависимости y=kx коэффициент пропорциональности k — это то значение величины у, которое соответствует х=1. Затем мы брали конкретные примеры прямо пропорциональной зависимости и выясняли, что означает в них коэффициент пропорциональности. Так, в первом из приведенных выше примеров k —это цена тетради, во втором —длина окружности, диаметр которой равен 1, в третьем—скорость велосипедиста (в км в час). Если бы мы взяли зависимость между объемом некоторого вещества (v куб. см) и весом его (Р г) P = dv> то коэффициент пропорциональности d здесь выражал бы удельный вес.

Наша беседа о коэффициенте пропорциональности обычно заканчивалась упражнениями. Приведем примеры таких упражнений.

1. Вычислить коэффициент пропорциональности и заполнить таблицу,

2. Для зависимости y=kx составить таблицу, если 4. Для X брать положительные и отрицательные, целые и дробные значения.

3. Составить уравнение, выражающее прямо пропорциональную зависимость между величинами х и у> если при х=А соответствующее значение у равно 10.

Эти и подобные им упражнения убеждают учащихся в том, что в случае прямо пропорциональной зависимости коэффициент пропорциональности играет определяющую роль.

Для завершения изучения прямо пропорциональной зависимости остается рассмотреть вопрос о графическом представлении ее. Тот факт, что графиком зависимости, выражаемой уравнением y = kx или, короче, графиком уравнения y = kx, является прямая линия, проходящая через начало координат, устанавливается эмпирически. Сделать это целесообразно так. Первый график, например для уравнения у=2х, строится на классной доске в ходе коллективной работы. К доске вызываются один за другим несколько учащихся, которые составляют таблицу и строят точки по найденным координатам. Для построения точек очень удобно воспользоваться классной доской с координатной сеткой. При проведении всей этой работы учащиеся внимательно следят за ней и никаких записей в своих тетрадях не ведут. После построения 5—6 точек к ним прикладывается линейка и делается предварительный вывод, что все точки будут лежать на одной прямой линии, проходящей через начало координат. Затем, аналогичная работа проводится учащимися в своих тетрадях. Различным учащимся, например по рядам, даются разные уравнения (отличающиеся значениями k). Учащиеся независимо друг от друга выбирают значения х, вычисляют для них значения у и строят точки. После того как все это будет сделано учитель перед всем классом ставит вопрос: «Как располагаются построенные точки?» Обычный ответ на этот вопрос таков: «Лежат на одной прямой линии». И если у кого-либо из учащихся некоторые точки расположатся «особняком», то это свидетельствует об ошибках в вычислениях или построении. Такие ошибки, конечно, надо найти, исправить их, а затем провести прямую, определяемую построенными точками. Из всей этой работы делается вывод, что графиком уравнения y = kx является прямая линия, проходящая через начало координат, и что для построе-

ния этого графика достаточно взять начало координат и еще одну точку графика и провести через них прямую линию.

Иной, более «занимательный» подход к выяснению вида графика прямо пропорциональной зависимости предлагает Д. М. Маергойз в статье «К методике построения графиков» («Математика в школе», 1956, № 6). Суть этого подхода заключается в следующем. Сначала учащиеся строят по координатам три произвольные точки (не лежащие на одной прямой), а затем восемь точек: (1,2), (3,6), (4,8), (—1, —2) и другие, лежащие на одной прямой линии. Координаты этих восьми точек берутся так, чтобы ордината любой из них была равна абсциссе, умноженной на 2. То, что все эти восемь точек лежат на одной прямой, вызывает у учащихся удивление, которое в свою очередь влечет желание понять, почему так получается. На возникший вопрос позволяет ответить сравнение координат построенных точек. Все дело оказывается в том, что для каждой из восьми точек отношение ординаты к абсциссе равно одному и тому же числу 2, т. е. —=2, откуда у = 2х. Остается обобщить сделанный вывод.

Рассмотренный прием построения графика может заинтересовать учащихся, но он недостаточно целенаправлен, график прямо пропорциональной зависимости появляется неожиданно и, можно сказать, случайно.

Мы считаем, что в VII классе нет надобности детально рассматривать влияние коэффициента пропорциональности на график, однако сам по себе этот факт отметить все же следует. Для этого достаточно воспользоваться теми графиками, которые будут до этого построены учащимися в их тетрадях, и еще, может быть, заранее подготовленной настенной таблицей графиков уравнений y = kx при различных значениях k.

После достаточно подробного рассмотрения вопросов методики изучения в VII классе прямо пропорциональной зависимости нам нет необходимости с такой же подробностью говорить об изучении в этом классе остальных вопросов, относящихся к линейной функции. Общая схема изучения зависимостей y = kx + b и ax + by + c = 0 может остаться той же, а именно: 1) примеры реальных зависимостей, 2) обобщение примеров, 3) построение графиков, 4) некоторые выводы о графиках. Достаточно будет поэтому остановиться лишь на некоторых частностях.

В I части учебника алгебры А. Н. Барсукова зависимость, выражаемая уравнением y = kx+b (k=/=0), называется линейной. Такой термин для VII класса возражений не может вызвать. Сомнительно лишь ограничение кфЬ. И сам автор во второй части этого учебника его снимает и успешно рассматривает функцию y = kx+b при k = 0. Впрочем, еще большую непоследовательность по указанному вопросу мы встречаем в работе В. Л. Гончарова: «Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функций» (Эн-

циклопедия элементарной математики, книга 3, Гостехиздат, 1952). Там в самом начале параграфа, посвященного линейным функциям, сказано, что «Линейная функция имеет общий вид у = ах + Ь (аФО)», и разъяснено, что графиком ее является наклонная (т. е. не параллельная ни одной из координатных осей) прямая линия, а в самом конце этого параграфа дано добавление: «В случае а = 0 линейная функция сводится к постоянной (многочлен нулевой степени); ее график — прямая, параллельная оси ох» (стр. 45—46).

Что касается зависимости, выражаемой уравнением ax-h + by + c = 0 (ЬфО), то и ее в VII классе можно назвать линейной. Для большей определенности можно добавить, что уравнение y = kx+b выражает линейную зависимость явно, а уравнение ax + by + c = 0 неявно. Конечно, в VIII классе после введения понятия функции вместо слова «зависимость» надо будет говорить «функция».

Второе замечание следует сделать по поводу примеров линейной зависимости. Достаточно много их можно и нужно взять из области физики. Приведем некоторые из них.

1. Зависимость между длиной стержня и его температурой

/, = /0(1 +otf).

2. Зависимость между скоростью и временем при равноускоренном движении vt = v0 + at.

3. Зависимость между объемом газа и его температурой (при постоянном давлении) vt = v0(l + $t)

4. Зависимость между давлением и температурой газа (при постоянном объеме) pt = р0(1 + $t).

Третье замечание будет касаться связей между зависимостями, выражаемыми уравнениями y = kx, y = kx+b и ax+by + + £ = 0. Первая из этих зависимостей является частным случаем второй. Действительно, при Ь = 0 уравнение y = kx + b принимает вид y = kx. С другой стороны, если уравнение ax + by + c = 0 (ЬФО)

решить относительно у, то получим

а это уравнение вида

Значит, уравнение ах+Ьу+с=0

(ЬфО) выражает ту же зависимость, что и уравнение y = kx + m, т. е. линейную, поэтому графиком уравнения ax + by + c = 0(b ф0) является также прямая линия. Вывод о графике уравнения ах++ by + c = 0 все же следует подтвердить построением.

Следующее замечание мы сделаем по вопросу о практических применениях графиков уравнений y = kx и y = kx+b. Не может быть сомнения в том, что изучение линейной функции в VII классе будет сильно обесценено, если не рассмотреть с учащимися некоторые применения изученных ими графиков. Имея это в виду, мы высказываемся за выделение для работы с графиками особого урока. Графики к этому уроку удобнее подготовить в тетрадях учащихся или на миллиметровой бумаге заблаговременно.

Можно будет воспользоваться графиками перевода одних мер в другие (дюймов в сантиметры, миль в километры) стоимости товара в зависимости от количества его, графиками движения и некоторыми другими. Учащихся надо научить находить по таким графикам значения одной величины по известным значениям другой и наоборот. Объяснений учителя для достижения указанной цели будет недостаточно. Необходимо провести на этом уроке практическую работу.

Наконец, отметим еще раз, что координаты любой точки графика уравнения ax+by + c = 0 дают решение этого уравнения. На этом вопросе с учащимися следует задержаться. Нужны специальные упражнения для осознания учащимися сформулированного утверждения. Из таких упражнений особенно ценны следующие: на графике данного линейного уравнения (с числовыми коэффициентами) берется произвольная точка, находятся ее координаты, эти координаты подставляются в уравнение — должно получиться тождество (несовпадение числовых значений левой и правой частей может быть лишь «незначительным» и произойти из-за неточностей в построении графика и в нахождении координат взятой на нем точки). Нужны и такие упражнения: берется точка, не лежащая на графике уравнения, и координаты ее также подставляются в уравнение (числового тождества не получится) .

Изучение линейной функции продолжается в VIII классе. Программой предусмотрено доказательство теоремы: «График функции y = kx + b есть прямая линия». Мы считаем, что одной этой теоремой ограничиваться не следует. Надо повторить, систематизировать и развить то, что известно учащимся о линейной функции по VII классу.

Изучение этой темы, по нашему мнению, должно проходить по такому плану: определение линейной функции, область определения и область значений, прямо пропорциональная зависимость— частный случай линейной функции, график прямо пропорциональной зависимости, график линейной функции, элементарное исследование линейной функции.

Наиболее трудным из перечисленных вопросов является вопрос о графике линейной функции. Эмпирический вывод об этом графике, сделанный в VII классе, здесь должен получить логическое обоснование.

Теорему о графике функции можно доказывать по-разному. Методический анализ различных доказательств заставляет нас отдать предпочтение изложенному ниже доказательству.

Вначале целесообразно доказать теорему о графике функции y = kx. Перед формулированием этой теоремы естественно предложить учащимся вспомнить, какой вывод был сделан об этом графике в VII классе, и поставить вопрос: «Можно ли считать этот вывод вполне обоснованным?» Подумав над поставленным

вопросом, учащиеся согласятся с тем, что требуется логическое доказательство.

Теорему мы рекомендуем сформулировать так: график функции y = kx есть прямая линия, проходящая через начало координат и точку (1; k).

Доказательство. 1. Докажем, что координаты любой точки прямой линии, о которой говорится в теореме, действительно удовлетворяют уравнению y=kx. С этой целью рассмотрим 2 случая: k>0 и k<0. Пусть &>0 (черт. 1). Возьмем произвольную точку С на прямой, проходящей через точки (О, Oi) и (1, k). Обозначим координаты этой точки через х0 и у о- Абсцисса этой точки х0 может быть положительной, отрицательной и равной 0. Если #о>0, то и уо>0 (I координатный угол). Рассмотрим треугольники ОАВ и OCD. Они подобны. Следовательно,

Отсюда yo = kx0, т. е. координаты точки С удовлетворяют уравнению y=kx. Если *0'<0, то и */о'<0 (III координатный угол). Тогда из подобия треугольников ОАВ и OCxDx вытекает

где — Хо' и — уо' — длины отрезков ODx и CXDX. Следовательно, —yo' = k(— Хо), или yo=kx'o, т. е. координаты точки Ci и в этом случае удовлетворяют уравнению y = kx. Если же jc0=0,

Черт 1.

то и #о = 0, так как прямая проходит через начало координат. Подставив эти значения х0 и у о в уравнение y = kxy видим, что получается тождество 0 = k0. Значит, координаты и этой точки удовлетворяют уравнению y = kx.

Пусть k<0 (черт. 2). И в этом случае х0 может быть положительным, отрицательным и равным 0. Рассуждения аналогичны случаю, когда k>0. Рассмотрим для примера одну из возможностей. Пусть Хо<0, тогда уо>0 (II координатный угол). Из подобия треугольников АОВ и OCD выводим^-г=—Здесь —k, —х0, Уо — длины отрезков AB, OD и CD. Значит, у0= ( — k) (— лг0), или уо = кх0, т. е. координаты точки С удовлетворяют уравнению y = kx.

2. Остается доказать, что координаты любой точки, не лежащей на той прямой, о которой говорится в теореме, не удовлетворяют уравнению y = kx. Пусть М(х0, у0) — произвольная точка, не лежащая на этой прямой (черт. 3). Нужно доказать, что координаты ее не удовлетворяют уравнению y = kx. Докажем это способом приведения к противоречию. Предположим, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению y — kx, т. е. yo = kx0 (1). Возьмем на прямой точку N с той же абсциссой х0. Пусть ордината этой точки у\. Так как M и N — различные точки, то У[ФУо (2). Координаты точки Л/, лежащей на прямой, удовлетворяют уравнению y = kx (по доказанному выше), т. е. y\ = kx0 (3). Сравнивая равенства (1) и (3), заключаем, что Уо = У\, но ухфу0. Получилось противоречие. Значит, координаты точки M не удовлетворяют уравнению y = kx.

В ходе этого доказательства приходится пользоваться тем, что длина отрезка, изображающего абсциссу или ординату точки, выражается абсолютной величиной этой абсциссы или ординаты. Это положение должно быть усвоено учащимися еще при изуче-

Черт. 2.

нии метода координат. Им придется этим пользоваться и позднее, в частности на уроках тригонометрии. Все остальное в приведенном доказательстве не затрудняет учащихся.

В учебнике алгебры А. Н. Барсукова (ч. II) теорема о графике функции y = kx доказана несколько иначе, а именно: для второго утверждения в учебнике дано не косвенное (не приведением к противоречию), а прямое доказательство, что сделало рассуждения более громоздкими.

Совсем иначе изложен вопрос о графике функции y = kx в учебнике алгебры В. М. Брадиса и других авторов (ч. II). Там сформулированы и доказаны две теоремы: первая — все точки графика функции y=kx принадлежат прямой, проходящей через начало координат и через точку (1; £), и вторая — обратная первой. Из этих теорем сделан вывод, что графиком функции y = kx служит прямая линия, проходящая через начало координат и через точку (1; k). Для нас остаются непонятными мотивы, которыми в данном случае руководствовались авторы учебника. Упрощения не получилось. Больше того, неумеренное разложение более сложного на простое в данном случае привело к усложнению вопроса.

Доказанная теорема позволяет легко и просто строить графики прямо пропорциональной зависимости. Очевидно, достаточно построить точку (1; k) и провести прямую линию через эту точку и начало координат. Конечно, требования большей точности построения графика в отдельных случаях могут заставить

Черт. 3.

предпочесть точке (1; k) другую, более удаленную от начала координат.

Этой же теоремой удобно воспользоваться для выяснения влияния коэффициента k (его можно назвать угловым коэффициентом*) на положение графика. При k>0 график функции y = kx проходит в I и III координатных углах, при k<0— во II и IV. Кроме того, чем меньше по абсолютной величине тем более «полого» проходит прямая, т. е. тем меньше острый угол, образованный этой прямой с осью х-ов, и чем больше абсолютная величина k, тем эта прямая проходит «круче».

После доказательства теоремы о графике функции y = kx следует перейти к изучению вопроса о графике линейной функции y = kx+b. И здесь следует исходить из тех представлений, какие по этому вопросу сохранились у учащихся по курсу VII класса, где опытным путем было установлено, что график линейной зависимости есть прямая линия. Остается этот вывод логически обосновать. Соответствующую теорему можно сформулировать следующим образом: графиком линейной функции y = kx+b является прямая линия, проходящая через точки (0; Ь) и (1; k + b). Приведем обоснование этого утверждения. Сравним для определенности графики функций у = 2х + Ъ и у = 2х. Вычислим несколько значений этих функций для одних и тех же значений х и запишем результаты в виде таблицы.

Эта таблица показывает, что при одной и той же абсциссе ордината точки графика функции у = 2х + 3 на 3 больше ординаты точки графика функции у = 2х, т. е. точки графика функции у = 2х+3 получаются перемещением точек графика функции у = 2х на 3 единицы «вверх» (параллельно оси у-ов). Значит, график функции у = 2х+3 есть тоже прямая линия, она параллельна графику функции у = 2х (на уроке должен быть выполнен чертеж). То же самое мы будем иметь и в общем случае. График функции y = kx+b получается из графика функции y = kx параллельным перенесением на \Ь \ единиц «вверх» при Ь>0 и «вниз» при Ь<0. При таком перенесении точки (0; 0) и (1; k) графика функции y = kx перейдут в точки (0; Ь) и (1; k + b) графика функции y = kx+b. Поэтому график функции y = kx + b есть прямая линия, проходящая через точки (0; Ь) и (1; k + b).

* О тригонометрическом смысле углового коэффициента в VIII классе можно говорить лишь для случая k>0.

Приведенные здесь рассуждения несколько неполны, но они правильны; если учитель располагает достаточным временем, то их можно детализировать, например, так, как это сделано в учебнике алгебры А. Н. Барсукова.

Замечания. 1. Во многих случаях график линейной функции y = kx + b можно строить по точкам (0; Ь) и (1; k + b).

2. Представляет значительный интерес и обратная задача: для данной прямой, не параллельной координатной оси у-ов и не совпадающей с ней, найти уравнение, графиком которого она является. Решение этой задачи довольно простое. Надо найти по чертежу ординаты тех точек данной прямой, абсциссы которых равны 0 и 1. Первая из этих ординат есть b, а вторая k + b. Чтобы найти угловой коэффициент é, достаточно из ординаты второй точки вычесть ординату первой точки. Остается записать искомое уравнение: y = kx+b.

3. На кружковых занятиях было бы полезно познакомить учащихся с графиками уравнений х = а, у = Ь и детально рассмотреть вопрос о графике уравнения ах + Ьу + с = 0 при различных значениях параметров a, b и с.

Нам остается высказать несколько соображений об элементарном исследовании линейных функций. Это исследование, по нашему мнению, должно состоять в том, чтобы получить ответы на следующие вопросы:

1) Возрастает или убывает функция при возрастании х («поднимается» или «опускается» график)?

2) При каком значении х функция обращается в 0 (корень или нуль функции)?

3) Для каких значений аргумента функция положительна и для каких она отрицательна?

Исследование линейной функции затруднений не вызывает, поэтому подробно на этом мы останавливаться не будем. Следует только заметить, что ответы на поставленные выше вопросы

Черт. 4.

должны иллюстрироваться на графиках рассматриваемых функций. При этом учащиеся будут упражняться в чтении графиков функций, что очень полезно. Приведем пример.

Пусть дана линейная функция у=—^х—2. Угловой коэффициент ее равен—^.Следовательно, это убывающая функция

(большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции). Чтобы найти корень этой функции, надо решить уравнение— у*—2 = 0. Получим л:= — 4. Отрицательные значения данная функция принимает справа от корня, т. е. при х>— 4, а положительные слева от корня, т. е. при х<— 4. (То же самое можно установить, решив неравенства: а)--^-х—2<0 и б)--\~х~~2>0.) Все это хорошо иллюстрируется на графике (черт. 4), который можно построить по точкам (0; —2) и (1; — 2~).

Л. П. ДОБЛАЕВ (Саратов)

К ВОПРОСУ О СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ

Наше исследование проводилось в виде индивидуальных экспериментов с учениками VII и IX классов двух московских школ в течение 1948—1951 гг.

Учащимся вначале предлагались простые задачи на составление различных алгебраических выражений и равенств. Затем им давались задачи на составление уравнений первой степени с одним неизвестным. Эти задачи отличались друг от друга по тематике, по форме получаемого уравнения, содержали в себе разнообразные типы функциональной зависимости и т. п.

Исходя из неразрывной связи мышления и речи, мы придавали важнейшее значение словесным высказываниям учащихся наряду, конечно, с другими объективными показателями: содержание и последовательность записей, паузы в обозначениях, исправления, чертежи и т. п. Эксперименты тщательно протоколировались.

Основные операции при составлении уравнений.

Анализ мыслительных процессов при составлении уравнений учащимися позволил подробно охарактеризовать установленные в методике алгебры основные операции:

1) выяснение компонентов и схемы уравнения;

2) выбор и обозначение основной неизвестной величины;

3) составление выражений для вспомогательных величин и

4) составление уравнения в его окончательном виде.

1. Выяснение компонентов и схемы уравнения.

Исследование этого важного момента составления уравнения сопряжено с большими трудностями. Дело в том, что он почти не выявляется на бумаге. Он с большим трудом подмечается самим учащимся. Трудность исследования указанного процесса объясняется тем, что по самому существу своему он может окончательно оформиться на бумаге не немедленно, не в начале составления

уравнения, а лишь в конце. Учащийся может вначале иметь лишь схему будущего уравнения, знать наименование уравниваемых величин, не больше. Этот процесс некоторое время «держится в уме» и выражается на бумаге обычно уже не в первоначальном, а в законченном виде — в виде составленного уравнения.

Во многих случаях учащиеся, после того как внимательно прочитали один-два раза текст задачи, могли ответить определенно на наш вопрос: «Думали вы или нет о том, что с чем будете уравнивать?» Один ученик VII класса, прочитав задачу 5*, ответил на этот вопрос так: «Думал, что надо обозначить, сколько было пашни во втором колхозе и сколько было луга там, потом это сложить и будет 1400». Прочитав два раза задачу 2, ученик IX класса сообщил: «Я обратил внимание, что расстояние они (автомашины) прошли неодинаковое; представил сразу, как будто я уже пишу уравнение: расстояние, пройденное одной автомашиной, минус 42 равняется расстоянию, пройденному другой машиной». Многие учащиеся, читая, по их словам, «первую строчку» задачи 3, уже знали, что надо сложить три числа и сумму приравнять к 49.

Из высказываний учащихся видно, что, читая задачу, они, во-первых, устанавливали, какие величины надо выразить; во-вторых, выясняли, каково должно быть в общем виде то уравнение, которое они в конечном счете должны будут составить, т. е. представляли схему будущего уравнения. При этом они имели в виду («держали в голове») или — что было реже — записывали наименования величин: стоимость хлопка первого сорта плюс стоимость хлопка второго сорта равняется 92 (задача 1); число лет отца равно числу лет сына, умноженному на 4, и т. д.

Во всех случаях, о которых идет речь, ученики при выяснении компонентов и схемы равенства опирались прежде всего на одно из данных условий задачи. Это данное число указывало на определенную функциональную зависимость между данным числом и некоторыми величинами, о которых говорилось в условии задачи («Три числа в сумме составляют 49»; «Переднее колесо сделало на 2 оборота больше, чем заднее»; «Один рабочий получил зарплату на 75 руб. больше, чем другой», в отличие от такого рода данных, как «Килограмм хлопка первого сорта стоил 2 руб.»; «Килограмм хлопка второго сорта стоил 1 руб. 60 коп.»; «Автомашина шла со скоростью 24 км в час»),

Было установлено, что:

а) далеко не все ученики умели уже в начале решения задачи представить себе схему будущего уравнения;

б) лучше всего справлялись с экспериментальными задачами именно те ученики, которые обладали указанным умением.

Возникает вопрос: от чего зависит это умение? При каких условиях оно формируется быстрее всего?

* Задачи, на которые делаются ссылки, помещены в конце статьи.

К экспериментам мы привлекли семиклассников, учившихся у двух учителей, которые придерживались разных способов составления уравнений. Отличие это заключалось в следующем.

Учительница В. Б. приучала составлять уравнение, начиная с выяснения схемы будущего уравнения. Первый вопрос, который она задавала решающему у доски, обычно был такой: «Подумайте, какие величины здесь равны?» Напротив, учитель Н. Н. предлагал начинать составление уравнения с обозначения основной неизвестной величины буквой х, и его первым требованием к решающему было: «Посмотрите, какую величину надо принять за х?», «Что требуется найти?»

Не удивительно, что умение заранее наметить схему будущего уравнения встречалось преимущественно у испытуемых, бывших учениками В. Б. Из учеников Н. Н. могли делать это только наиболее успевающие учащиеся.

Эксперименты показали, что этот навык можно выработать и специальными упражнениями. Можно рекомендовать следующие упражнения.

а) В VI А классе на пять учеников меньше, чем в VI Б. Выразите равенством имеющуюся зависимость, используя данное число. (Ответ. Число учеников в VI А классе равно числу учеников в VI Б классе минус пять.)

б) Один метр сатина дешевле метра шелка в 8,7 раза. Выразите равенством зависимость, используя данное число.

в) Одно число составляет— другого числа. Выразите равенством имеющуюся зависимость, используя данное число, и др.

Такого рода упражнения, в большинстве своем решаемые устно, вполне доступны учащимся; они способствуют образованию у учащихся навыка предвосхищения уравнения. Ценность этих упражнений в плане пропедевтики состоит главным образом в том, что в них отчетливо и обособленно дана та зависимость, которую учащиеся должны будут уметь выделить и выразить при решении задач, где она завуалирована и осложнена другими зависимостями.

2. Выбор и обозначение основной неизвестной величины.

В ряде случаев учащиеся, прочитав задачу, немедленно обозначали искомую величину буквой х, затем начинали вновь читать (про себя) задачу и после некоторой паузы записывали выражения других величин условия задачи через х и данные в условии числа.

Смысл указанных внешних признаков выбора и обозначения основной неизвестной величины подкреплялся их высказываниями об этом процессе. Приведем некоторые из этих высказываний.

«Я старался понять вопрос задачи и обозначил через х то, что нужно найти».

«Когда задачи трудные, я вникаю в вопрос, обозначаю через X то, что спрашивается в задаче, а потом читаю снова и держу в голове х; тогда становится понятнее» — и т. п.

Все это говорит о том, что учащиеся начинают составление уравнений с того, что выделяют прежде всего искомую величину (на основании вопроса задачи) и обозначают ее буквой х.

Однако в некоторых случаях (особенно при решении задач 4, 6 и 7) учащиеся обозначали буквой х (принимали за основную неизвестную) не искомую величину, указанную в вопросе задачи, а другую неизвестную, найти которую не требуется.

Ясно, что в этих случаях учащиеся опирались не на вопрос задачи, а на что-то другое. Чтобы выяснить, на чем здесь основан выбор и обозначение основной неизвестной, обратимся сначала к внешним показателям этого процесса, а затем к соответствующим высказываниям учащихся.

Прежде всего обращает на себя внимание следующий факт. Учащиеся, после того как прочитают условие задачи (а иногда даже не дочитав его до конца!), вводят обозначение х для неизвестной величины и выражают через х и данные числа некоторые другие величины. После этого они обычно начинают более глубоко вникать в задачу, о чем свидетельствует большая пауза. Приводим высказывания учащихся.

«Когда я начал читать задачу, то бросилось в глаза: один рабочий получил на 75 руб. больше, чем другой. Я сразу подумал: один получил X, а другой х плюс 75. Это я понял, еще не дочитав задачи. Я как бы увидел х и х плюс 75». Вопрос задачи говорит о другом: сколько денег стало (впоследствии) у каждого? Ученик IX класса. Задача 7.)

«Я как только прочитал задачу, что количество десятков втрое больше количества единиц, то сразу решил, что обозначу количество десятков Зх, а количество единиц л:». По условию задачи требуется найти все число. (Ученик VII класса. Задача 4.)

«Я сразу обратил внимание на отношение 3 :4; значит, надо обозначить окружность колес: Зх и Ах. За х берем часть, так удобнее, а потом, когда получим, чему равно х, умножим на 3 и 4». Вопрос иной: какова длина окружности переднего и заднего колеса? (Ученик VII класса. Задача 6.)

Указанные внешние проявления выбора и обозначения неизвестного и высказывания, аналогичные приведенным, бывали нередко и в тех случаях, когда учащиеся обозначали через х искомую величину.

«Как только я прочитал: «В одном колхозе было 1000 гектаров пашни и луга»,—сразу решил, что через х обозначу количество пашни, тогда количество луга будет 1000 — х». (Ученик VII класса. Задача 5.) Таким образом, ученик взял в качестве основных неизвестных величин именно те величины, которые содержатся

в вопросе задачи. Но это произошло еще до того, какой прочитал вопрос задачи, значит, независимо от вопроса задачи, не исходя из него. Вопрос задачи мог лишь подкрепить принятое решение.

Мы привели лишь некоторые, но типичные факты, характеризующие процесс выбора и обозначения основной неизвестной величины. Эти факты говорят о том, что во всех случаях, о которых сейчас идет речь, учащиеся уже при первом чтении выделяют такое данное число, которое показывает его отношение к двум другим неизвестным величинам. Исходя из определенной функциональной зависимости, в которой находятся указанные три величины (одна данная и две неизвестные), учащиеся обозначают одну неизвестную буквой х, а другую посредством х и данной величины.

Из сказанного следует, что для успешного решения задач на составление уравнений очень важно, чтобы ученики умели выделять в условии задачи определенные данные (зависимости) и, исходя из этого, записывать основные неизвестные величины.

С этой целью мы предлагали учащимся следующие упражнения.

а) Отец старше сына на 37 лет. Сколько лет отцу, если сыну X лет?

б) В колхозе пашни втрое больше, чем луга. Сколько в колхозе пашни, если луга х га?

Результаты этих упражнений (их давалось сравнительно немного, до 25) очень благоприятно сказались на решении задач составлением уравнений.

3. Составлениев ыражений для вспомогательных величин.

Как уже говорилось, в ряде случаев учащиеся, приступая к решению задачи, не ставили перед собой вопроса, какие величины в качестве компонентов равенства они должны выразить.

Выбрав неизвестное, они «подбирали», по выражению некоторых учащихся, «подходящие» числа. «Подходящими» числами всегда оказывались те, которые давали вместе с имеющимся обозначением неизвестной какое-нибудь новое выражение. Этот процесс часто отчетливо сказывался на порядке и характере записываемых выражений. На вопросы, которые мы задавали в конце решения (а иногда и в ходе его) о том, что данный испытуемый думал при составлении такого-то выражения, мы получали такого рода высказывания:

«Я не понял задачу (вначале), потом стал решать постепенно; сначала то, что в вопросе спрашивается, обозначил через х, а потом стал подбирать. Я так всегда делаю, когда задача непонятная,— и обязательно выходит» (ученик VII класса).

«Тут я стал в тупик и решил, что надо снова внимательно прочитать условие задачи и посмотреть, какое данное подойдет к

этому (показывает на записанное выражение неизвестной величины)» (ученик IX класса).

Многие учащиеся, как говорилось выше, приступали к составлению выражений, уже зная, какие величины будут уравнивать. Это позволяло им при составлении выражений опираться не только на записанное выражение неизвестной величины, но и на поставленное перед собой требование: надо обозначить такие-то величины с тем, чтобы потом объединить их в уравнение. Например, ученик, решая задачу 1, предварительно наметил схему будущего уравнения: стоимость хлопка 1-го сорта плюс стоимость хлопка 2-го сорта равна 92 рублям, т. е. он поставил перед собой задачу: выразить стоимость хлопка 1-го сорта и стоимость хлопка 2-го сорта. Обозначив количество хлопка 1-го сорта через х и зная, что ему надо выразить его стоимость, он легко выделяет в условии задачи данное: 1 кг хлопка стоит 2 рубля.

При решении задачи 7 многие учащиеся, обозначив основное неизвестное (х — зарплата одного рабочего, х — 75—зарплата другого рабочего), составляли выражения, исходя из того, что им нужно обозначить следующие части уравнения: количество денег, оставшихся у одного рабочего, и количество денег, оставшихся у другого, умноженное на 1,2.

Благодаря мысленному предвосхищению схемы уравнения ученики составляют то или иное выражение потому, что его нужно составить, а не потому только, что его можно составить. Поэтому во втором случае составление выражений является более целенаправленным, чем в первом, и позволяет быстро определить ход решения всей задачи. Не случайно, что он наблюдался нами чаще всего у сильных учеников.

Из приведенных примеров видно, что составление выражений во втором случае зависит в первую очередь от навыка заранее намечать схему будущего уравнения и, следовательно, от соответствующих этому навыку упражнений. Не менее важно в составлении выражений уметь вскрыть функциональную зависимость, в которой находятся искомые и данные в условии задачи величины. Известно, что в тексте задач на составление уравнения имеется лишь один конечный вопрос и совершенно отсутствуют промежуточные вопросы, которые указывали бы, что нужно знать для нахождения искомой величины. Исходя из этого, в первой серии экспериментов мы предлагали одной части учащихся (семиклассникам) простые задачи на составление отдельных выражений без точно формулируемого вопроса, другой — те же задачи, но в обычной формулировке. В качестве примера «безвопросных» задач приведем следующие три.

1) Отцу 56 лет, а сыну на х лет меньше. Поставьте вопрос и дайте ответ. (Вопрос: Сколько лет сыну? Ответ: 56—х.)

2) На расстоянии 900 м колесо проделало 7 оборотов. Поставьте вопрос и дайте на него ответ.

3) В прошлом году в колхозе было построено 48 домов, а в этом году в 2х раз больше. Поставьте вопрос и дайте ответ.

Ученики прежде всего самостоятельно ставили вопрос, т. е. составляли простую задачу, а затем производили математическое действие.

Анализ фактов показывает, что с задачами на составление уравнений значительно лучше справились те учащиеся, которые «натренировались» в решении таких простых задач. Выполнение таких упражнений сходно с составлением выражений при решении задач на составление уравнений.

ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.

1. Смешали хлопок двух сортов. Килограмм первого сорта стоил 2 руб., килограмм второго — 1 руб. 60 коп. Всего получилось 50 кг смеси, которая стоила 92 руб. Сколько килограммов первого и второго сорта в отдельности было смешано?

2. Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 42 км, вышли одновременно две автомашины и идут в одном направлении со скоростью одна 24 км, другая 20 км в час, причем первая идет за второй. Через сколько часов первая машина догонит вторую?

3. Три числа в сумме составляют 49. Второе число при делении на первое дает в частном 2 и в остатке 3; третье число при делении на второе дает в частном 3 и в остатке 1. Найти эти числа.

4. В некотором двузначном числе количество десятков втрое больше количества единиц. Если переставить цифры этого числа, то получится число, меньшее искомого на 54. Найти это число.

5. В одном колхозе было 1000 га пашни и луга. В другом колхозе пашни было в 2 раза больше, а луга на 150 га меньше, чем в первом. Всего земли во втором колхозе было 1400 га. Сколько гектаров пашни и луга в отдельности было в первом колхозе?

6. Окружность переднего колеса экипажа относится к окружности заднего, как 3: 4. Переднее колесо на протяжении 30 м сделало на 2 оборота больше, чем заднее на протяжении 36 м. Какова длина окружности переднего и заднего колеса?

7. Один рабочий получил зарплату на 75 руб. больше, чем другой. Когда же первый отдал второму 125 руб. долга, то у него оказалось денег в 1,2 раза меньше, чем у второго. Сколько денег стало у каждого рабочего?

М. С. ЧЕРЕПНИН (Караганда)

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ VIII—X КЛАССОВ.

Преобладающее большинство задач с числовыми данными, решаемых в курсах алгебры VII, VIII и IX классов, сводится к нахождению положительных ответов. Эта односторонность ответов задач до некоторой степени стесняет исследовательские возможности учащихся. Учащиеся (в силу привычки) склонны считать ответом к задаче любые положительные решения лишь только потому, что они положительные, и отбрасывать нулевые или отрицательные решения лишь только потому, что они не положительные.

Недостаточное количество задач с числовыми данными, допускающих нулевые или отрицательные решения, особенно остро сказывается при решении задач с параметрическими данными.

Методика исследования таких задач не лишена недостатков. Часто исследование завершается определением только лишь необходимых, но далеко не достаточных условий.

Вместе с тем встречаются обширные и весьма отвлеченные (вне зависимости от условия задачи) аналитические исследования. Оба эти подхода неприемлемы в процессе обучения.

Каковы же требования, которые следует предъявить к исследованию задачи с параметрическими данными?

Таких требований два.

Исследование должно быть: 1) основным и 2) кратким.

Под основным исследованием мы будем понимать исследование, которое непосредственно вытекает из условия задачи и составляет неотъемлемую часть решения.

Исследование, отвечающее не на основной (а на какой-либо дополнительный) вопрос к задаче, будем называть неосновным, или дополнительным исследованием.

Провести исследование решения задачи — значит найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы наверное существовало это решение. Для установления необходимых и достаточных условий существования некоторого решения необходимо

исследовать множество допустимых систем значений параметров (или область ее определения).

Ниже приводятся в качестве примера две задачи.

Задача 1. Из концов диаметра окружности, длина которой составляет 60 см, начали одновременно двигаться в одном направлении (по окружности) две точки. Одна из них в первую секунду прошла 40 см, а в каждую следующую проходила на 2,5 см меньше, чем в предыдущую; другая же в первую секунду прошла 10 см, а в каждую следующую проходила на 3,5 см больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд точки сходятся на окружности?

Решение. Пусть п — промежуток времени, необходимый для совпадения точек на окружности; S\ — путь, пройденный одной из точек; S2— путь, пройденный другой точкой.

По формуле суммы членов арифметической прогрессии имеем:

Учитывая возможность неоднократного совпадения точек на окружности, устанавливаем допустимые значения для разности [о,*—S2|.3Ta разность может принимать значения: 30, 90, 150...

Допустим, что Si — S2 = k, где k принимает значения: 30, 90, 150...;

тогда получим уравнение относительно п:

откуда

(1)

Так как п — действительное число, то имеем:

следовательно, fei = 30 и &2=90с

Подставив эти значения k в формулу (1), получим: AZi = l сек.; /г2= 10 сек.; /г3=5 сек.; пА = 6 сек.

Из найденных значений п требуется отобрать пригодные по условию задачи.

Обозначив через t время движения точки до полной остановки (после чего можно не рассматривать «схождение» точек), получим:

40-2,5(^-1) =0,

откуда

Таким образом, все полученные значения пи п2, п$ и п4 удовлетворяют условию задачи. Далее, пусть S2—Si=p, где р принимает значения: 30; 90; 150;... Уравнение относительно п:

Згс2-33/г-р = 0.

По условию задачи возможны только положительные значения п; следовательно,

(2)

откуда р<306 . Придавая р последовательно значения 30; 90; 150; 210; 270, по формуле (2) вычисляем п:

/г5= 11,8 сек.; я6= 13,3 сек.; п7= 14,5 сек.; п8= 15,5 сек.; п9=16,4 сек.

Задача 2 (№ 619 из сборника П. А. Ларичева).

Самолет пролетел по прямой линии п км, двигаясь по ветру, и тотчас же повернул назад и по прямой линии вернулся к начальному месту через t часов после начала полета. Какова была скорость ветра, если собственная скорость самолета равна

Решение. Пусть х—--скорость ветра.

Первоначальное уравнение:

(1)

и окончательное:

(2)

Условие задачи допускает только положительное решение; из уравнения (2) находим:

(3)

Значения п, v, t положительны и vt>2n.

Исследование.

Рассмотрим неравенство

(4)

Величина -~- выражает собой среднюю скорость самолета

(если бы он за / часов пролетел 2п км). Неравенство (4) выражает следующее: чтобы пролететь за t часов п км при попутном ветре и п км навстречу ветру, самолет должен иметь собственную скорость выше средней.

Покажем выполнимость неравенства (4) при хфО. Время всего полета самолета [см. уравнение (1)]:

(5)

Средняя скорость

По смыслу задачи необходимо иметь

(6)

Покажем выполнимость неравенства (6).

Так как

то при

Арифметический контроль.

Предположим, что нас интересует скорость ветра, если взять

п= 150 км, t= 1 час и v = 400-^-.

(Значения п, v и t выбраны в соответствии с реальностью при условии 0> —. J

Вычисляя к, находим:

Результат невероятный; таких скоростей ветер достигает в сильную бурю, и вряд ли можно считать подобную погоду летной.

Итак, ограничения общего характера ü>-y- и t>>* являются необходимыми, но недостаточными для того, чтобы х было решением задачи.

Дополнительные ограничения параметров. Рассмотрим формулу (5)*

Пусть 0<л:<70, тогда

(7)

Возьмем для п и v те же числовые данные,

тогда

[Система неравенств (7)];

положив t = 46 мин.:

получим

И. И. ИВАНОВ (Псков)

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ VIII КЛАССА.

В объяснительной записке к программе указывается, что «тема об исследовании уравнений в курсе X класса должна систематизировать сведения об исследовании уравнений, сообщаемые в курсах VII и VIII классов». Между тем при изучении алгебры в VII, VIII и IX классах не всегда предусматривается проведение необходимой подготовительной работы по исследованию уравнений и задач.

Подготовка к исследованию уравнений первой степени и задач на составление уравнений первой степени должна быть проведена отчасти в VI и особенно в VII классах. Подготовительная же работа, касающаяся исследования задач на составление квадратных уравнений, должна быть проведена в VIII классе. В IX классе эта работа также должна быть продолжена.

В настоящей статье мы хотим поделиться опытом работы по затронутому вопросу, показав один из возможных и, на наш взгляд, наиболее целесообразный способ проведения работы по исследованию задач на составление квадратных уравнений в курсе алгебры VIII класса. Особенность нашего способа состоит в том, что он не требует затраты дополнительного времени. Это обстоятельство заслуживает особого внимания, так как учителю математики VIII класса трудно выделить дополнительное время в силу перегруженности курса алгебры изучаемым материалом. Подготовка к исследованию задач проводится в самом ходе решения задач и достигается специальным подбором решаемых задач.

Система подготовительных упражнений разбивается на два этапа. На первом этапе решаются задачи с числовыми данными. При этом подбираются такие задачи, в которых встречаются все частные случаи исследования. Все такие случаи предусматриваются заранее и вводятся постепенно. Классификация частных типов задач, которой мы придерживаемся, приведена в таблице 1.

Таблица 1

Тип задачи

Число корней* уравнения, составленного по условию задачи

Число решений задачи

1

0

0

2

1 (2 равных)

0

3

1 »

1

4

2

0

5

2

1

6

2

2

На втором этапе решаются задачи, в которых одно из данных является переменным параметром, а остальные данные числовые.

В приведенной классификации частных типов задач 5-й и 6-й типы следует считать основными, так как такого рода задачи чаще встречаются в школьной практике. Задачи основных типов должны решаться систематически на протяжении всего учебного года. Задачи других типов следует вводить попутно с решением задач основных типов. Задачи 1-го типа целесообразно ввести уже в I четверти учебного года, задачи 2-го и 3-го типов во II четверти; задачи 4-го типа можно отнести к началу III четверти и задачи с параметром — на конец III четверти.

Нет необходимости показывать здесь способ введения каждого типа задач. Покажем, как могут быть введены, например, задачи 1-го типа.

Введению задач 1-го типа следует предпослать решение квадратных уравнений, не имеющих действительных корней.

Приведем примеры.

1. Решить уравнение х2+1=0.

2 Решить уравнение х2 — 2х+4 = 0. (Выделяя в левой части полный квадрат, получим (х— 1)2= — 3.)

3. Задача. Существуют ли такие два числа, сумма квадратов которых равна 48 и одно из которых на 10 больше другого?

Решение. Предположим, что одно из искомых чисел есть X, тогда другое равно 10+#. По условию задачи х2+ (10+х)2 = 48, откуда (л:+5)2= — 1. Уравнение не имеет корней. Следовательно, ни одно действительное число не удовлетворяет условию задачи.

4. Задача. Один колхоз должен поднять зяби 280 га, другой 300 га. Колхозы начинают поднимать зябь одновременно, но второй колхоз поднимает ежедневно на 2 га больше, чем первый, и

* Имеются в виду действительные корни, других чисел учащиеся VIII класса не знают.

заканчивает подъем зяби одним днем позднее. Какую площадь должен вспахивать ежедневно каждый колхоз?

Решение задачи сводится к решению уравнения (х — 9)2 = —479, не имеющего корней.

5. Задача. Существует ли прямоугольный треугольник, периметр которого равен 60, а гипотенуза равна 24?

Решение. Если считать, что один из катетов равен х, то получим уравнение х2+ (36—л:)2=242, не имеющее корней. Искомого треугольника не существует.

Приведем примерный план урока по введению задачи с параметром.

I. Подводятся итоги проделанной ранее работы по исследованию задач. Указывается, что в течение учебного года встречались задачи, при решении которых получалось квадратное уравнение, или совсем не имеющее корней, или же оно имело один или два различных корня (см. таблицу 1). Естественно поставить вопрос: почему при решении задач получается различное число ответов? Вопрос временно оставляется без ответа.

II. Задача 1. Может ли сумма положительного числа и ему обратного быть равной-у?

Решение.. Если искомое число обозначить через х, то имеем уравнение

откуда

Ответ. Не может.

Введение параметра. Чтобы выяснить, какому числу может быть равна рассматриваемая сумма (см. задачу 1), в условие задачи вместо первоначального данного-^- вводится параметр t, т. е. получаем следующую задачу:

К какому положительному числу нужно прибавить ему обратное, чтобы в сумме получить число ft

Решение. Обозначая искомое число буквой х, получаем

уравнение откуда

(1)

Решая уравнение (1), получим:

Чтобы число X существовало, должно выполняться условие t2—4>0. Но так как по условию задачи t>0, то, следовательно. Г>2; при этих значениях параметра t уравнение имеет корни

Ясно, что JCi>0. Покажем, что корень х2 также положителен.

В самом деле,

поэтому

Примечание. Учитель может дать другое доказательство того, что корни Х\ и х2 положительны. В квадратном уравнении (1) свободный член положителен и *>0. Поэтому на основании одного из случаев исследования корней приведенного квадратного уравнения по его коэффициентам оба корня Х\ и х2 уравнения (1)' положительны.

Ответ. При условии, что t>2 искомое число х существует и равно:

Проверим на числовых примерах.

а) Если t<2, например t=~Y (задача 1), то х не существует.

б) Если t=2, то Х\ = 1. Задача имеет одно решение.

в) Если t>2, то задача имеет два решения. Так, при ^ = 2,5 имеем: л;1 = 2, х2 =-«р Искомыми числами будут взаимно обратные числа 2 и -g-.

III. Задача 2. Два трактора, работая вместе, могут вспахать поле за 19 часов. Если сначала первый трактор вспашет половину поля, а вслед за ним другой трактор вспашет остальную часть его, то вся работа будет выполнена за 36 часов. Во сколько времени каждый трактор, работая отдельно, может вспахать все поле?

Решение. Если первый трактор вспашет все поле за х часов, то второй вспашет его за 72 — х часов, так как из условия задачи следует, что сумма искомых чисел равна 72. Приравнивая работу, выполняемую тракторами в течение одного часа, получаем уравнение

откуда после несложных упрощений имеем:

Задача решения не имеет.

Введение параметра. С целью выяснения причины отсутствия искомого числа х в условие задачи вместо числа 19 вводится параметр t. После этого уравнение, составленное по условию задачи, получит следующее общее решение:

Для того чтобы X существовало, должно быть выполнено условие 36—2t>0, или И так как t>0, то окончательно имеем

При этом условии оба корня

являются положительными числами; вследствие того, что *i+*2 = 72, числа Х\ и х2— искомые числа.

Ответ. При условии 0<^<18 искомым временем работы одного трактора является число

и другого — число

Проверим на числовых примерах.

а) ^=19; решений нет.

б) t=\8; искомые числа 36 и 36.

в) £=10; искомые числа 60 и 12.

Последующая работа должна проводиться в форме упражнений. Ниже приводятся примеры таких упражнений.

Задача 3. Пункт В расположен на пути из пункта А в пункт С.

Из пунктов А и В одновременно вылетели два самолета; через час они приземлились в пункте С. Определить скорость каждого из них, если известно, что второй самолет затратил на путь из пункта С в пункт Л на 2 часа 40 минут больше, чем первый на путь из пункта С в пункт В. Расстояние между пунктами А и В равно t км.

Решение. Если обозначить через х км путь ВС, то путь АС будет равен (t+x) км. Эти же числа х и /+х являются скоростями в час соответственно второго и первого самолетов. Обратный путь первый самолет совершит за —£— часов, второй — за — часов. Из условия задачи вытекает, что

откуда

Полученное уравнение имеет в качестве дискриминанта выражение

Корни уравнения равны:

Так как />0, то х%% будучи отрицательным, не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, искомое число х равно-тр

Ответ. При любом />0 скорость первого самолета равна —t км/час, скорость второго -j-1 км/час.

Задача 4. В несколько ящиков, каждый из которых содержит одно и то же число килограммов конфет, упаковано t килограммов конфет. Если в каждый ящик упаковать на 1 кг меньше, то потребовалось бы число ящиков увеличить на 2. Сколько было ящиков?

Решение. Обозначив буквой х искомое число ящиков, получим уравнение

откуда

Число ^>0, поэтому оба корня существуют. Но х2<0 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, ответом к задаче может быть только число

По условию задачи х — целое положительное число. Положим, что -f-2/=Ä, где k — целое положительное число; при этом x = k—\.

Из равенства +2t=k следует после несложных преобразований, что t — —2—•

Придавая числу k различные значения, получим значения t, при которых задача имеет решение. Результаты вычислений могут быть сведены в следующую таблицу:

Рассмотрим теперь задачи с параметрическими данными частных типов.

Пусть имеем задачу с параметром t, при решении которой получается квадратное уравнение

(2)

с коэффициентами Л, ß, С, зависящими от параметра t.

В средней школе рассматриваются лишь такие задачи, для которых дискриминант D=B2 — 4ЛС уравнения (2) представляет собой многочлен относительно параметра t не выше второй степени:

(3)

Исследование корней уравнения (2) приводит к необходимости решать неравенство второй степени:

С решением такого неравенства в общем виде учащиеся знакомятся в X классе. Поэтому и исследование соответствующих задач следует перенести в X класс.

К задачам частных типов мы относим такие задачи, уравнения которых имеют дискриминант D в виде неполного квадратного трехчлена. Классификация частных типов задач приведена в таблице 2.

Таблица 2

Тип задачи

Условия, налагаемые на коэффициенты трехчлена (3)

Форма дискриминанта D

Примечание. Случай, когда а = Ь = 0, с — произв., как тривиальный, не включается в таблицу. Случай, когда а=£0, ЬфО, с=£0, к частным типам не относится.

Ниже даются указания к исследованию задач каждого из частных типов при условии, что D>0. Дополнительные ограничения, налагаемые на t условием задачи, могут быть учтены в каждом отдельном случае. Так, например, в задаче 4 число t килограммов конфет может быть только положительным числом.

Задачи типа А. Из условия Ы+с^>О следует:

этому случаю соответствует задача 2;

(задача 4).

Задачи типа В. Допустимые значения параметра t определяются из неравенства at2>0. Если а>0, то последнее неравенство является тождественным (задача 3). Если же я<0, то неравенство at2>0 не имеет места ни при каком значении параметра t, отличного от нуля.

Задачи типа С. Решение задач этого типа связано с решением неравенства

Решение этого неравенства весьма упрощается, если из условия задачи следует, что t>0. В этом случае:

(задача 1);

3) если а>0, с>0, то при любом значении параметра t дискриминант D положителен;

4) если, наконец, а<0, cZO, то при всех значениях t дискриминант D остается отрицательным.

Примечание. В VIII классе можно ограничиться исследованием лишь таких задач типа С, в которых />0.

Задачи типа Е. Из неравенства at2 + bt>О следует

(4)

Возможны случаи:

1) t>0. В этом случае должно быть at+b>0, и дальнейшее исследование проводится так же, как и в задачах типа А&

2) t = 0, в этом случае D = 0.

3) t<0. Из неравенства (4) вытекает неравенство

В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Задача 5. Два туриста одновременно отправились в путь. Первый из них проезжал в день на 40 км больше второго. Какова скорость каждого туриста, если второй завершил путь в 40 км на 1 день раньше первого, совершившего поездку в t км?

Решение. Если считать, что второй турист проезжал х км в день, то первый проезжал в день (х+40) км. На всю поездку первый турист затратил х_^^ часов, а второй — часов. Получаем уравнение:

откуда после обычных преобразований имеем:

Для существования х надо, чтобы выполнялось условие: t2—160 t>0. Но по условию задачи £>0, поэтому из неравенства t (t — 160) > 0 следует, что t — 160 > 0, откуда t > 160.

Следовательно, при t>\60 числа

существуют и, очевидно, являются положительными, т. е. удовлетворяют условию задачи. Задача имеет два решения. Ответ. При t> 160 имеем:

1) Скорость первого туриста равна

скорость второго

2) скорость первого туриста равна

скорость второго

Так, при t= 180 имеем: 1) 120 и 80; 2) 60 и 20.

Для тех читателей, которые пожелают использовать материал данной статьи, ниже приводится набор упражнений, в который включены главным образом задачи первых четырех типов (см. таблицу 1), а также задачи с параметрическими данными (см. таблицу 2). Задачи же основных типов широко представлены в сборнике задач по алгебре (ч. II.) П. А. Ларичева.

Задачи с числовыми данными.

Задачи 1-го типа, при решении которых получается квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом (не имеющее корней). Эти задачи не имеют решений.

1. Найти два положительных числа, сумма которых равна 6, а сумма их кубов равна 45.

2. Сумма цифр двузначного числа равна 8. Произведение этого числа на число, полученное путем перестановки его цифр, равно 2017. Найти это число.

3. Два комбайна могут убрать урожай с поля за 8 дней. Если сначала один из них уберет половину поля, а затем второй оставшуюся часть, то на уборку будет затрачено 15 дней. Во сколько дней каждый комбайн отдельно может убрать все поле?

Задачи 2-го типа, при решении которых получается квадратное уравнение, имеющее один корень; этот корень не является решением задачи.

4. Сумма квадратов двух натуральных чисел, одно из которых на 28 больше другого, равна 588. Найти эти числа.

5. Может ли сумма квадратов четырех последовательных целых чисел быть равной 5?

Задачи 3-го типа, при решении которых получается квадратное уравнение, имеющее один корень; этот корень служит решением задачи.

6. Сумма квадратов четырех последовательных нечетных чисел равна 20. Найти эти числа. Ответ. —3, — 1, 1, 3.

7. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Произведение этих цифр равно 36. Найти двузначное число. Ответ. 66.

8. Две группы пионеров собирали металлолом, причем каждый пионер первой группы собрал на 1 кг больше, чем пионер второй группы. Первая группа собрала 18 кг металлолома, а вторая 8 кг. Сколько было пионеров в каждой группе, если в первой группе было на 2 пионера больше, чем во второй? Ответ. 6 и 4.

Задачи 4-го типа, при решении которых получается квадратное уравнение, имеющее два различных корня, причем оба они не удовлетворяют условию задачи.

9. Найти двузначное число, у которого число единиц в 2 раза меньше числа десятков, произведение же цифр числа равно их сумме. (Корни уравнения 0 и-тр.)

10. Найти двузначное число, у которого число единиц равно числу десятков; произведение же цифр числа в 6 раз больше суммы цифр. (Корни уравнения 0 и 12.)

11. Может ли быть в шахматном турнире (или в розыгрыше первенства по футболу) сыграно всего 50 партий? (Корни уравнения

Задачи 5-го типа, при решении которых получается квадратное уравнение, имеющее два различных корня, причем один из них является решением задачи, а другой не удовлетворяет условию задачи.

12. В бассейн проведены две трубы. Через одну первую трубу бассейн наполняется на 3 часа скорее, чем через одну вторую. Сначала вода поступала в течение 3 часов только через первую трубу, а затем открыли и вторую трубу; через 2 часа после этого бассейн наполнился. Во сколько часов наполнит бассейн каждая труба, действуя отдельно? Ответ. (2+^10)час, (б+уТО) час

Задачи 6-го типа, при решении которых получается квадратное уравнение, имеющее два различных корня. Эти корни являются решениями задачи.

13. Один завод должен изготовить 800 станков, второй на 131 станок больше. Второй завод изготовлял ежедневно на 9 станков больше, чем первый, и поэтому затратил на изготовление всех станков только двумя днями больше первого. Сколько станков изготовлял ежедневно каждый завод? Ответ. 1) 72 и 81; 2) 50 и 59.

К задачам 6-го типа относятся следующие задачи из II части «Сборника задач по алгебре» П. А. Ларичева (изд. 1954 г.): 500, 502, 503, 508. 513. 532, 533, 535, 564, 566, 567, 596, 819, 829, 830, 837.

Задачи с параметрическим данным.

Задачи типа А.

14. Сумма цифр двузначного числа равна 8. Произведение этого числа на число, полученное путем перестановки его цифр, равно t. Найти это двузначное число. [D = 182( 1936 — t).]

15. Каждый из участников шахматного турнира играет по одной партии с каждым из остальных, и всего таким образом сыграно / партий. Сколько было участников турнира? (D=l+4t.)

16. Две автомашины совершают рейс навстречу друг другу между пунктами А и В. Вторая автомашина выходит из пункта В на 6 часов раньше, чем первая из пункта Л; при встрече оказалось, что первая машина прошла на 240 км меньше, чем вторая. Продолжая после встречи дальнейший путь с той же скоростью, первая автомашина приходит в пункт В через t часов после встречи, а вторая приходит в пункт А через 18 часов. Найти расстояние от пункта А до пункта В и скорость каждой автомашины. [D = 7202 (2/Ч-1).]

17. Спортивная площадка вместе с окаймляющей ее со всех сторон дорожкой одинаковой ширины составляют прямоугольник размерами 32X20 ж2. Найти ширину дорожки, если площадь ее равна tM2. [0 = 4(676-0-]

Задачи типа В.

18. В бассейн проведены две трубы. Через одну вторую трубу бассейн наполняется на 4 часа скорее, чем через одну первую. Сначала вода поступала в течение 2 часов через первую трубу, а затем открыли и вторую трубу; через t часов после этого бассейн наполнился. Во сколько часов наполнит бассейн каждая труба, действуя отдельно? [D= (t+l)2.]

19. Два мотоциклиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми равно t км. Через час они встретились и, не останавливаясь, продолжали путь с той же скоростью. Первый прибыл в пункт В на 27 минут позднее, чем второй в пункт А. Определить скорость каждого мотоциклиста. [£>= (41/)2.]

20. Два самолета поднимаются с аэродромов одновременно и летят с постоянной скоростью. Первый летит из M в N, второй — из N в М. К моменту встречи первый самолет пролетел на / км меньше второго. Для окончания полета первому потребовалось после встречи быть в пути 1 час 30 минут, второму —40 минут. Определить расстояние между аэродромами M и N, [D=(6ty.]

21. Два мотоциклиста движутся по дороге навстречу друг другу. Первый из пункта M выехал в пункт N на 4 часа раньше, чем второй из пункта N в пункт М. При встрече оказалось, что первый мотоциклист проехал на t км больше, чем второй. Про-

должая после встречи путь с той же скоростью, первый мотоциклист прибывает в пункт N через 12 часов после встречи, а второй в пункт M через 5 часов. Определить расстояние между пунктами M и N. [D=(8t)2.]

Задачи типа С,

22. Пароход прошел по реке путь в t км и вернулся обратно, затратив всего 25 часов. Скорость движения воды в реке 2 км в час. Определить скорость движения парохода в стоячей воде. (D = t2 + 502.)

23. Два тела движутся по сторонам прямого угла от его вершины. В начальный момент первое тело находится на расстоянии 3 м, второе — на расстоянии 1 м от вершины. Скорость движения первого тела 4 м в сек., скорость второго 3 м в сек. Через сколько времени расстояние между ними будет равно / ж? [£> = 25(/2-1).]

24. Пароход прошел по реке путь в 200 км и затем вернулся обратно, затратив всего 25 часов. Скорость течения реки t км в час. Определить скорость движения парохода в стоячей воде. (D = t2 + 82.)

25. Даны три целых числа: 10, t и 60. Какое число надо прибавить к первому из них и отнять от третьего, чтобы второе число оказалось средним пропорциональным между вновь полученными числами? (D = 352-*2.)

Задачи типа Е.

26. Два комбайна могут убрать урожай с поля за 8 часов. Если бы один из них убрал урожай с половины поля, а затем другой убрал урожай с другой половины, то вся работа была бы закончена за t часов. Во сколько времени каждый комбайн в отдельности мог бы убрать урожай со всего поля? (D = t2—\6t.)

27. В бассейн проведены две трубы. Через одну вторую бассейн наполняется на 3 часа скорее, чем через одну первую трубу. Сначала вода поступала в течение 3 часов через первую трубу, а затем открыли и вторую трубу; через t часов после этого бассейн наполнился. Во сколько часов наполнит бассейн каждая труба, действуя отдельно? (D = t2 + 3t.)

Примечание. В «Сборнике задач по алгебре», часть II П. А. Ларичева (изд. 1957 г.) приведено несколько задач с одним параметром (задачи 505—508, 510); все они относятся к задачам типа А.

М. М. ЛИМАН (Краснодар)

ЗНАЧЕНИЕ И ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ.

В программе средней школы по математике в теме «Неравенства» (X класс) имеется пункт: «Значение и цель исследования уравнений». Однако этому вопросу в школах не уделяется достаточного внимания. Можно наблюдать, как некоторые учителя, нисколько не останавливаясь на значении и целях исследования, сразу приступают к решению уравнений с буквенными коэффициентами:

Конечно, учащиеся самым тщательным образом рассматривают различные зависимости между величинами а, Ь, с и устанавливают характер и число решений одного уравнения или системы уравнений. Но если мы спросим выпускника средней школы, почему следует заниматься исследованием уравнений в общем виде, то не всегда получим правильный ответ.

Как известно, абстрактным математическим понятиям соответствуют конкретные объекты реальной действительности, потому что сами эти понятия возникают в нашем сознании в результате отражения пространственных форм и количественных отношений материального мира. Поэтому очень важно при исследовании уравнении в X классе показать учащимся (путем решения практических задач), что, устанавливая те или иные зависимости между величинами а, Ь, с и т. д., мы тем самым открываем определенные количественные соотношения, законы, которые существуют в природе между отдельными объектами.

«Раскрывая содержание школьного курса математики, передовые учителя добиваются, чтобы учащиеся ясно понимали, для чего нужна та или иная формула или теорема, какие практические вопросы привели к постановке изучаемой математической теории» (П. А. Ларичев, Вопросы улучшения преподавания математики в школе, журнал «Математика в школе» № 4 за 1955 г.).

В данной статье мы покажем на конкретных примерах, каким образом можно увязать вопросы исследования уравнений с решением некоторых практических проблем.

Задача I. В первой бригаде получена урожайность озимой пшеницы Рц с каждого гектара, а затраты на обработку почвы и уход за посевами составили А рублей на 1 га. Во второй бригаде расходы на обработку 1 га почвы и уход за посевами оказались на а рублей выше, но зато с каждого гектара было собрано зерна на р ц больше. На сколько процентов во второй бригаде себестоимость одного центнера зерна была ниже, чем в первой бригаде?

Решение. Себестоимость одного центнера зерна в первой бригаде составляет -р- руб., а во второй бригаде Разница в рублях выражается величиной

(1)

Очевидно, нет смысла производить такие дополнительные затраты, при которых себестоимость продукции повышается. Поэтому выясним, при каких условиях х>0.

(2)

По смыслу задачи величины А, Р, а, р положительны. Следовательно, неравенство (2) будет выполнено, если

(3)

Таким образом: 1) при выполнении условия (3) мы будем иметь снижение себестоимости продукции;

2) при условии -р= — себестоимость продукции в обоих бригадах одинакова;

3) при условии -р-<— дополнительные затраты таковы, что они приводят не к снижению, а к повышению себестоимости зерна (ввиду сравнительно незначительного повышения урожайности) .

Выразим в процентах снижение себестоимости одного центнера зерна во второй бригаде по сравнению с первой. Примем -р--себестоимость одного центнера зерна в первой бригаде — за 100%; тогда себестоимость единицы продукции во второй бригаде составит

а снижение себестоимости (в процентах) выразится так:

что можно короче записать так:

Ответ. Себестоимость одного центнера зерна во второй бригаде снижена на по сравнению с первой, если

Задача 2. Дана дробь-р-(Л>0, Р>0). Какими должны быть положительные числа аир, чтобы дробь р^рт оказалась меньше дроби -р-?

Из предыдущего^ясно, что числа а и р должны удовлетворять неравенству -у < причем дробь -р- может быть как правильной, так и неправильной.

Из приведенных выше двух задач следует, что рассмотрение конкретных жизненных вопросов приводит нас к постановке более общих задач абстрактного характера, а эти последние, обладая общностью выводов, позволяют решать отдельные практические задачи. Когда некоторые теоретические вопросы рассматриваются вне связи с их практическим применением и когда постановка таких вопросов не является результатом обобщения разрозненных фактов, то это может привести к ошибочным выводам. В качестве примера рассмотрим отвлеченную задачу из задачника П. А. Ларичева, ч. II, № 1405.

Задача 3. Доказать, что от прибавления к числителю и знаменателю положительной дроби одного и того же положительного числа правильная дробь увеличивается, а неправильная дробь уменьшается.

Эта теорема в алгебре, вообще говоря, не имеет места.

Решение. Пусть данная положительная дробь имеет вид -у и пусть а=—2, Ь = —3. Очевидно, условие -у >0 выполняется, причем дробь является правильной. Прибавим к числителю и знаменателю одно и то же число +1; получим:

Однако , т. е. правильная дробь не увеличилась, а уменьшилась.

Аналогично, рассматривая неправильную положительную дробь

убедимся, что-

Следовательно, неправильная положительная дробь — от прибавления к числителю и знаменателю одного и того же числа фактически увеличилась, а не уменьшилась.

Таким образом, сформулированная выше теорема (задача № 1405) не всегда оказывается справедливой. Но если бы эта теорема, подобно приведенной задаче № 2, явилась результатом обобщения частных вопросов, то ее условие согласовалось бы с реальными фактами, тогда требование-у >0 было бы заменено требованием а>0 и Ь>0.

Здесь мы наглядно убеждаемся в том, что лишь те математические предложения являются истинными, которые отражают пространственные формы и количественные отношения реальной действительности.

Задача 4. Пропашная культура на одном поле посеяна рядовым, а на другом квадратно-гнездовым способом. Ширина междурядий в обоих случаях равна а см. Какой должна быть ширина прореза в междурядиях, чтобы при перекрестной культивации было обработано не менее 90% площади? Во сколько раз в этом случае уменьшатся затраты ручного труда на прополку по сравнению с затратами труда при культивации в одном направлении?

Решение. Пусть ширина прореза составляет х см (на чертежах 1 и 2 показан вид поля, обработанного культиваторами в одном и двух направлениях). Тогда —--это часть поля, которая будет обработана культиваторами в одном направлении;

часть поля, обрабатываемая вручную;

— часть поля, обработанная машинами при культивации в двух направлениях (перекрестная культивация).

Черт. 1. Черт. 2.

есть часть поля, оставшаяся для ручной обработки после перекрестной культивации. Так как при перекрестной культивации должно быть обработано не менее 0,9 площади, то для ручной обработки остается не более 0,1 площади, т. е.

(5)

Поскольку а>0, х>0 и х<а, то из соотношения (5) следует:

(6)

Ширина прореза должна составлять не менее 0,68 ширины междурядий.

Узнаем, во сколько раз уменьшаются затраты ручного труда при перекрестной культивации по сравнению с затратами труда при обычной культивации. Для этого сравним площади, обрабатываемые вручную в первом и втором случае получим:

(7)

Если X > 0,68 а, то

Следовательно, при данных условиях (т. е. когда 90% площади обрабатывается машинами) затраты ручного труда уменьшатся более чем в 3 раза.

Задача 5. Исследовать, для какой крыши — двухскатной или четырехскатной — потребуется больше кровельного материала.

Решение. Вид двухскатной и четырехскатной крыши сверху показан на чертежах 3 и 4. Предположим, что в первом случае (черт. 3) оба ската наклонены к горизонтальной плоскости

Черт. 3. Черт. 4.

под углом ф. Допустим далее, что во втором случае (черт. 4) скаты I и II имеют угол наклона, равный ф, а скаты III и IV имеют угол наклона, равный а. Остальные размеры в метрах даны на чертежах 3 и 4.

При этих допущениях площадь крыши в квадратных метрах выразится так:

для двухскатной

для четырехскатной

Обозначим через х разность S2—S{.

Исследуем величину х.

Так как &>0, т>0, 0<а<90°, 0<ф<90°, то

а) при а<ф имеем: х<0;

б) при а = ф » х = 0;

в) при а>ф » л;>0.

Таким образом, если все скаты имеют одинаковый наклон, то потребуется одинаковое количество кровельного материала* как для двухскатной, так и для четырехскатной крыши. Если же скаты III и IV имеют угол наклона больший, чем угол наклона скатов I и II, то для крыши четырехскатной потребуется кровельного материала больше, чем для крыши двухскатной.

Таково исследование данной задачи в ее общем виде (при определенных допущениях). Результаты исследования теперь могут быть применены к любым частным значениям величин а, Ь, m, а и ф, и в этом их большая практическая ценность.

Задача 6. Два проводника при последовательном включении в цепь имеют сопротивление а омов, а при параллельном включении — Ъ омов. Определить сопротивление каждого проводника.

Решение. Пусть сопротивление одного проводника R\ омов, а другого /?2 омов; тогда по условию задачи можно составить систему уравнений:

(8)

Сделаем преобразования:

* Принимаем во внимание, что количество кровельного материала прямо пропорционально площади крыши.

Выполненные преобразования допустимы, так как величины /?1 и /?2 отличны от нуля и положительны.

Используя теорему Виета, приходим к уравнению второй степени

(9)

Корнями его являются

причем R\=xu R2 = x2 (или наоборот: R2=x{ и R\=x2), Оба корня будут действительными при условии, что

т. е.

или (так как 6>0)

(10)

Кроме того, оба корня Rt и R2 будут служить ответом на вопрос задачи лишь тогда, когда они оба положительны. Очевидно, это условие выполняется, так как сумма корней (а) и их произведение (ab) положительны. Ответ,

Сопротивление одного проводника

а другого

При а<4Ь задача решений не имеет.

Решив задачу в общем виде, мы приходим к следующему заключению (см. соотношение 10): общее сопротивление двух параллельно включенных в цепь проводников уменьшается по крайней мере в 4 раза по сравнению с сопротивлением тех же проводников, включенных последовательно.

Этот практически весьма важный вывод был получен путем исследования корней квадратного уравнения (9), т. е. чисто теоретическим путем.

Используя полученный результат, мы можем с полным основанием утверждать, что для того, чтобы при параллельном соединении проводников иметь сопротивление в 0,5 ом, необходимо взять такие два проводника, общее сопротивление которых было бы не меньше 2 ом.

Больше того, результаты исследования задачи 5 позволяют нам высказать ряд более общих утверждений.

Задача 7. Если R\>0 и R2>0, то имеет место неравенство:

(11)

т. е. произведение суммы двух положительных чисел на сумму обратных величин тех же чисел всегда не меньше четырех.

Неравенство (11) есть не что иное, как неравенство (10), в котором а и заменены их значениями, а именно:

Задача 8. Доказать, что если R\>Q и #2>0, то всегда

(12)

т. е. сумма данной дроби и дроби ей обратной всегда не меньше двух, если члены дроби положительны.

Если в неравенстве (11) раскрыть скобки, то получим неравенство (12).

Задача 9. Доказать, что сумма любого положительного числа и числа ему обратного всегда не меньше двух.

Обозначая буквой k, будем иметь:

А2

(13)

Задача 10. Доказать, что при любом k выполняется неравенство

(14)

Если k>0, то можно обе части неравенства (13) умножить на k и затем разделить на l+k2. Справедливость соотношения (14) при &<0 проверяется непосредственно.

Аналогичным образом можно составить еще сколько угодно соотношений. Заметим, что неравенства (11), (12), (13), (14) помещены в сборнике задач по алгебре П. А. Ларичева (ч. II, № 1411), но там они выступают просто как истины, имеющие место в математике. Здесь же мы старались показать их конкретное истолкование и дали один из способов установления указанных соотношений путем решения практических вопросов.

Решение практических вопросов наглядно показывает учащимся, в чем состоит значение и цель исследования уравнений, оно убеждает их в том, что математические теоремы и формулы суть законы реальной действительности, что конечная цель всякого исследования сводится к установлению определенного закона, характеризующего данное явление.

Таким образом, мы способствуем формированию правильного, материалистического мировоззрения учащихся. Перед школьниками математика предстает как наука, отражающая пространственные формы и количественные отношения действительного мира.

Вместе с тем математика является мощным аппаратом, помогающим человеку исследовать явления природы, познавать законы этой последней.

Л. М. ФРИДМАН (Тула)

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ.

В курсе математики средней школы учащиеся знакомятся с методами графического решения уравнений и систем уравнений.

Текстовые же задачи в школе графически не решаются, а между тем графическое решение многих текстовых задач проще и нагляднее обычного способа их решения при помощи составления уравнений. Очень важно, что при помощи графического решения задачи можно наглядно объяснить сущность самой задачи, сущность встречающихся в ней зависимостей и подвести учащихся к обычному аналитическому способу решения этой задачи, которое некоторые учащиеся не всегда ясно осознают,

В отличие от графического решения уравнений, где применяется одна постоянная система координат, при графическом решении текстовых задач удобнее пользоваться переменной системой, а именно иметь на одном и том же чертеже несколько (обычно две) различных систем координат для построения заданных в условии задачи зависимостей, причем каждая зависимость строится в своей системе координат. Для графического решения очень многих задач достаточно знать только график прямой пропорциональности. Приемы графического решения текстовых задач легко уяснить из приведенных ниже примеров. Все задачи взяты из задачника П. А. Ларичева «Сборник задач по алгебре», часть I.

Задача 1. Два туриста отправляются одновременно друг другу навстречу из двух мест, находящихся на расстоянии 18 км. Через сколько времени они встретятся, если первый проходит в час 4 км, г второй 5 км?

Решение. Отложим на оси X отрезок AB, равный 18 единицам масштаба (1 единица масштаба по этой оси соответствует 1 км); ось У примем за ось времени (черт. 1).

Первый турист выходит из Л и проходит за 1 час 4 км, значит, АС будет графиком его движения. Второй же выходит из В навстречу первому и за 1 час проходит 5 км. Следовательно, прямая BD будет графиком его движения. Точка M (8; 2) пересечения этих графиков есть точка их встречи. Следовательно, ту-

ристы встретились на расстоянии 8 км от места выхода первого туриста через 2 часа после их выхода.

Отметим, что здесь мы имели две системы координат. В первой системе началом является точка А и осью абсцисс прямая AB в направлении от Л к В\ во второй системе началом служит точка В, а осью абсцисс та же прямая AB, но в направлении от В к А. Необходимость таких двух систем подсказывается самим условием задачи.

Задача 2. Вода вливается в бак через два крана. Если открыть первый кран, то бак наполнится в 12 минут, а через один второй кран бак наполнится за 20 минут. Во сколько минут наполнится бак, если открыть одновременно оба крана?

Решение. Как известно, время и объем воды, протекающей через кран, связаны прямо пропорциональной зависимостью. Поэтому одну из осей примем за ось времени (t), а другую за ось объема (V) (черт. 2). На оси t отложим отрезки ON и ОМ, соответствующие в выбранном масштабе 12 минут и 20 минут, а на оси V отложим отрезок ОЛ = 1 (объем всего бака мы принимаем за единицу). Через первый кран весь бак наполняется за 12 минут, значит, прямая OB (координаты точки В суть 12 и 1) есть график наполнения бака через один первый кран. Через

Черт. 1.

Черт. 2.

один второй кран бак наполняется за 20 минут. Так как надо узнать время наполнения бака при совместном действии обоих кранов, то график наполнения бака через второй кран проведем через точку Л, т. е. примем точку А за новое начало координат и ось t перенесем параллельно самой себе. Тогда прямая AM будет графиком наполнения бака через один второй кран. Заметим еще, что отрезки КС и DL показывают, какую часть бака наполняет каждый кран за одну минуту. Точка Р пересечения построенных графиков соответствует моменту наполнения бака при совместном действии обоих кранов, причем отрезок ЕР показывает, какую часть бака при этом наполнит первый кран, а отрезок PF — какую часть бака наполнит второй кран; вместе же они наполняют весь бак — отрезок EF=l. По чертежу легко показать учащимся и процесс наполнения бака при одновременном действии двух кранов. За первый час будут заполнены части бака, изображенные отрезками КС и DL, а отрезок KL показывает часть бака, еще не заполненную к этому времени. При увеличении времени наполнения отрезок KL уменьшается, т. е. уменьшается незаполненная часть бака, а в точке Р эта часть становится равной нулю. Абсцисса точки Р примерно равна 7,5, значит, весь бак наполнится при совместном действии обоих кранов через 7,5 минут.

Задача 3. Из пункта К в пункт L вышли два туриста. Первый, выйдя часом раньше второго, пришел в пункт L часом позже его. Скорость первого туриста 4 км в час, скорость второго 6 км в час. Определить расстояние между пунктами К и L.

Решение. Одну из осей примем за ось расстояний (S), а другую — за ось времени (t) (черт. 3). Пусть начало координат D обозначает место выхода туристов (пункт К). Первый турист вышел из пункта К — точки D с координатами (0; 0); через час он был в точке А с координатами (4; 1). Второй же турист вышел из пункта К часом позже первого, т. е. из точки С с координатами (0; 1) и через час он был в точке В с координатами (6; 2). Поэтому прямая DA служит графиком движения первого

Черт. 3.

туриста, а прямая СВ — графиком движения второго. В точке Р пересечения этих графиков второй турист догнал первого (это произошло в 12 км от пункта К через 3 часа после выхода первого туриста), а затем он шел впереди первого. Так как в пункт L второй турист пришел на 1 час раньше первого, то точки прибытия туристов в пункт L должны иметь одну и ту же абсциссу, а разность ординат между ними равна единице. Если провести через точку (0; 2) прямую, параллельную СВ, до пересечения с прямой DA в точке М, то эта точка M и будет конечной точкой графика движения первого туриста, а точка N прямой СВ, имеющая ту же, что и точка М, абсциссу, будет конечной точкой графика движения второго туриста. Точки M к N имеют абсциссу, равную 24, значит, расстояние между пунктами К и L равно 24 км.

Задача 4. Два велосипедиста отправляются одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу; через 2 часа они встречаются. Определить скорость движения в час каждого из них, если известно, что первый велосипедист проезжал в час на 3 км более второго и расстояние от А до В равно 42 км.

Решение. В этой задаче, в отличие от предыдущих, нет достаточных данных для построения графиков движения велосипедистов. Но так как расстояние между пунктами А и В, из которых выехали велосипедисты, известно, то, взяв на оси S (черт. 4) точки А (в начале координат) и В с координатами (42; 0), мы получим две точки, через которые должны проходить соответственно графики движения первого велосипедиста (точка А) и второго (точка В). Второй общей для обоих графиков точкой является точка встречи велосипедистов. Следовательно, задача сводится к построению этой общей точки обоих графиков. По условию известно, что встреча велосипедистов произошла через 2 часа после их выхода. Поэтому искомая точка находится на прямой CD, параллельной оси S и отстоящей от нее на 2 ед. (часа). Первый велосипедист проезжал в час на 3 км более второго, и за два часа езды до встречи со вторым он проедет больше второго на 6 км. Отложим поэтому от точки А отрезок АК = 6 и оставшийся отрезок KB разделим пополам. Искомая точка встречи велосипедистов должна лежать на прямой EF, проходящей через середину KB и параллельной оси /. Следовательно, точка M пересечения прямых CD и EF и есть точка встречи велосипедистов, т. е. общая точка графиков их движения. Значит, отрезок AM есть график движения первого велосипедиста, а

Черт. 4.

отрезок ВМ — график движения второго велосипедиста. Если теперь через точку (0; 1) провести прямую, параллельную оси S, то абсцисса точки пересечения этой прямой с графиком AM, принимая точку А за начало отсчета, будет выражать скорость первого велосипедиста в час, а абсцисса точки пересечения той же прямой с графиком ВМ, принимая точку В за начало отсчета и ведя отсчет в направлении ВА, будет выражать скорость второго велосипедиста. Как видим по чертежу, скорость первого велосипедиста равна 12 км в час, а скорость второго — 9 км в час.

Задача 5. При одновременном действии двух труб бассейн наполняется за 8 часов. Однажды обе трубы действовали в течение 2 часов совместно, а затем первую трубу закрыли, тогда вторая труба закончила наполнение бассейна за 18 часов. Во сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бассейн?

Решение. Построим систему координат с осями V (объем) и t (время) (черт. 5). График наполнения бассейна при совместном действии двух труб изобразится прямой, проходящей через точку О (начало координат) и точку А с координатами (1; 8), ибо весь бассейн, объем которого мы принимаем за единицу, наполнится при этом за 8 часов. Но обе трубы действовали совместно лишь 2 часа, поэтому проведем на расстоянии 2 единиц прямую, параллельную оси V, до пересечения с OA в точке В. Абсцисса точки В — отрезок ОС — показывает, какую часть бассейна наполнили обе трубы за 2 часа. Остальную часть бассейна CK наполнила одна вторая труба в течение 18 часов, и, следовательно наполнение было закончено через 20 часов после начала. Поэтому отрезок, соединяющий точку В с точкой D, координаты которой (1; 20), изображает наполнение оставшейся части бассейна (CK) одной второй трубой. Если теперь провести через

Черт. 5.

начало координат прямую, параллельную BD, то это будет график наполнения всего бассейна при действии одной второй трубы. Точка пересечения этого графика с АК — точка Е — имеет ординату, равную 24, следовательно, одна вторая труба наполняет весь бассейн за 24 часа. Чтобы узнать, за сколько часов наполняет бассейн одна первая труба, построим график наполнения бассейна одной первой трубой. Часть бассейна, наполняемая при совместном действии обеих труб, изображается отрезком ОС, а часть бассейна, наполняемая при действии одной второй трубой в течение тех же двух часов, изображается отрезком OQ. Значит, отрезок QC изображает, какую часть бассейна наполняет одна первая труба за 2 часа. Отложим отрезок ON = QC и проведем через точку N прямую, параллельную оси /, до пересечения с PB в точке М. Тогда ОМ и будет графиком наполнения бассейна одной первой трубой. Ордината точки F пересечения этого графика с KD равна 12, значит, одна первая труба наполняет весь бассейн за 12 часов.

Задача 6. Сколько следует взять кипящей воды (100°) и воды комнатной температуры (16°), чтобы получить 100 л воды температуры в 58°?

Решение. Объем воды (V) и количество тепла (Q) при данной температуре — величины прямо пропорциональные. Примем, что для нагревания 100 л воды до температуры 100° надо 100 единиц тепла, тогда для нагревания тех же 100 л воды до температуры 58° надо 58 ед. тепла, а до температуры в 16° надо 16 ед. тепла. Поэтому прямая, проходящая через начало координат и точку А с координатами (100; 100), есть график количества тепла кипящей воды, а прямая OB, где В имеет координаты

Черт. 6.

(100; 58), есть график количества тепла смеси воды (черт. 6). Для построения графика количества тепла воды комнатной температуры (16°) примем точку В за начало координат, а оси координат соответственно параллельными и противоположно направленными по отношению к старым осям V и t.

Тогда ВС будет графиком количества тепла воды комнатной температуры, где точка С имеет в новой системе координаты (100; 16), а в старой (0; 42). Графики OA и ВС пересекаются в точке М, которая имеет в старой системе абсциссу 50 и в новой тоже 50. Это значит, что следует взять 50 л кипящей воды и 50 л воды комнатной температуры, чтобы получить 100 л воды температуры в 58°. Заметим, что отрезок MN показывает, сколько тепла дают 50 л кипящей воды, а отрезок МК — сколько тепла дают 50 л воды комнатной температуры. Вместе же эти два отрезка составляют отрезок NK, равный отрезку BD, показывающему количество тепла, которое имеет 100 л воды температуры в 58°.

Покажем применение графического решения текстовых задач с параметрами к исследованию решения.

В журнале «Математика в школе» № 6 за 1956 г. опубликована статья Ф. Гутковского «Графический метод исследования уравнений».

В этой статье автор предлагает оригинальный способ для исследования решения задач с параметрами путем графического исследования уравнений, составленных по условию этих задач.

Таким образом, автор вышеуказанной статьи по существу производит исследование не самой задачи, а уравнения, составленного по ее условию. Мы в настоящей статье покажем, как можно графически производить исследование решения задач с параметрами непосредственно, без составления уравнений по условиям задач.

Оказывается, что для задач первой степени это большей частью довольно легко сделать, применив рассмотренный выше прием графического решения задач.

Покажем на примерах двух задач, которые рассматривает в своей статье Ф. Гутковский.

Задача 7. Смешаны конфеты двух сортов — по а рублей килограмм и по b рублей килограмм. Сколько взято конфет каждого сорта для составления р кг смеси по цене с руб. за килограмм?

Решение. На оси X будем откладывать вес, а на оси Y — стоимость (черт. 7). Проведем через начало координат и точку К с координатами (1; а) прямую OK — это будет график стоимости конфет по а руб. килограмм. Для построения графика стоимости конфет по b руб. килограмм примем точку С с координатами (р; рс) за начало другой системы координат, СВ — за новую ось X, CA — за ось Y. Возьмем точку D с координатами

(1; b) в новой системе, тогда прямая CD будет графиком стоимости конфет по b руб. килограмм.

Задача будет иметь решение, если построенные графики OK и CD пересекутся в некоторой точке M внутри прямоугольника ОАСВ, т. е. тогда, когда абсцисса точки M пересечения этих графиков будет принадлежать сегменту [О; А].

Чтобы выяснить условия, при которых точка M пересечения OK и CD будет находиться внутри прямоугольника ОАСВ, заметим сначала, что если а<с, то прямая OK проходит внутри треугольника О АС, если же а>с, то OK проходит внутри треугольника ОВС и если а = с, то OK совпадает с ОС — графиком стоимости смеси. Точно так же, если Ь<с, то CD проходит внутри треугольника ОВС, если Ь>с, то CD проходит внутри треугольника О АС, и если Ь = с, то CD совпадает с ОС.

Наконец, заметим, что прямые OK и CD пересекаются внутри прямоугольника ОАСВ, если они обе проходят внутри одного и того же треугольника ОАС или ОВС, и не пересекаются внутри этого прямоугольника (т. е. пересекаются вне его или совсем не пересекаются), если они проходят внутри различных треугольников.

Поэтому, если а<с, а Ь>с, т. е. а<с<Ь (и, значит, OK и CD проходят внутри треугольника ОАС) или а>с, а Ь<с, т. е. а>с>Ь (значит, OK и CD проходят внутри треугольника ОВС), то прямые OK и CD пересекаются внутри прямоугольника ОАСВ и, следовательно, задача имеет единственное решение: конфет по а руб. за кг взято для смеси столько, сколько единиц изображает в принятом масштабе отрезок ОЕ, а конфет по b руб. за кг взято столько, сколько единиц изображает отрезок CF.

Если же а<с и Ь<с, или а>с и Ь>с, то прямые OK и CD не пересекаются внутри прямоугольника ОАСВ и, следовательно, задача решения не имеет.

Если а = с (OK совпадает с ОС), но Ьфс, то точка M совпадает с точкой С; это значит, что для смеси было взято лишь р кг конфет по а руб. за кг.

Черт. 7.

Если афс, а Ь = с, то точка M совпадает с точкой О; это значит, что для смеси было взято лишь р кг конфет по b руб. за кг.

Наконец, если а = Ь = с, то прямые OK и CD совпадают с ОС и в качестве точки их пересечения может служить любая их точка на отрезке ОС; это значит, что задача имеет бесконечное множество решений.

Задача 8. В одном резервуаре а ведер, а в другом b ведер воды. В каждый час в первый резервуар вливается по m ведер, а во второй по п ведер. Через сколько часов количество ведер воды в обоих резервуарах сравняется?

Решение. Пусть а<Ь. Отложим на оси Y отрезки ОА = а и ОВ = Ь, затем проведем прямую, параллельную оси Y и отстоящую от нее на расстоянии, равном 1. На этой прямой от точки С, отстоящей от оси X на расстоянии а, отложим отрезок СМ-=т, а от точки D, отстоящей от оси X на расстоянии Ь, отложим отрезок DN = n. Прямые АС и BD будут параллельны оси X. Прямая AM будет графиком наполнения первого резервуара, а прямая BN — графиком наполнения второго. Абсцисса точки Р пересечения этих двух графиков и будет решением задачи. Очевидно, что если т>я, то точка Р пересечения этих графиков будет правее оси Y и абсцисса точки Р будет положительная, что означает, что количество воды в обоих резервуарах сравняется через х = ОР часов (черт. 8). Если т = п, то графики не пересекаются и, значит, задача не имеет решения. Если же т<п, то точка Р пересечения графиков будет левее оси Y (черт. 9) и абсцисса точки Р (ОР2) будет отрицательна; это будет означать, что количество воды в резервуарах было одинаково х = ~ОР2 часов тому назад.

В этом последнем случае задача будет иметь решение лишь тогда, когда точка Р пересечения графиков будет выше оси X, т. е. ордината этой точки должна быть положительна, в крайнем случае равна нулю, так как ордината точ-

Черт. 8.

Черт 9.

ки Р показывает, сколько воды имеется в каждом резервуаре в тот момент» когда количество воды в них сравняется. Но для того, чтобы точка Р была не ниже оси X, необходимо, чтобы точка пересечения графика AM с осью X (точка Е) была расположена левее (точней — не правее) точки пересечения с той же осью графика BN (точка Z7), т. е. чтобы ОЕ > OF. Отрезки ОЕ и OF показывают, через сколько часов каждый из резервуаров полностью опорожнится, если каждый час из них будет вытекать соответственно по m и по п ведер воды. Поэтому понятно, что ОЕ=-^- и OF=—. Но это можно установить иначе. Для этого заметим, что треугольники АСМ и ОЕА подобны. Из подобия треугольников следует:

Отсюда ОЕ

Аналогично найдем и OF. Значит, для того чтобы задача имела решение в случае, когда т<п, должно выполняться еще одно условие

Если a>b, то исследование проводится точно так же. Если же a = b, то в случае тфп графики наполнения резервуаров пересекаются в точке на оси Y, т. е. количество воды в резервуарах одинаково в данный момент, а до этого момента и после оно будет различно; если же и т = п, то графики совпадают, что означает, что количество воды в резервуарах было и будет всегда одинаково.

Из приведенных примеров видно, что графический метод исследования решения задач с параметрами значительно проще, а главное, наглядней, чем обычный аналитический метод исследования, и доступен не только учащимся X класса, но и учащимся VIII—IX классов.

В заключение укажем литературу, в которой затрагиваются вопросы графического решения текстовых задач.

1. К. А. Лэзан, Новые пути ознакомления детей с математикой, Берлин 1922, стр. 96—100.

2. Добровольский, Решение задач при помощи клетчатой бумаги, Сборник «Вопросы математики и ее преподавания», ГИЗ, Москва — Петроград, 1923, стр. 88—103.

Э. А. ЯСИНОВЫЙ (Куйбышев)

НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИИ ТЕМЫ «ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ».

В настоящей статье рассматриваются один из приемов закрепления понятия функциональной зависимости и некоторые приемы закрепления метода координат.

В основу приема закрепления понятия функциональной зависимости положены свойства транзитивности и обратимости, которыми обладает понятие «зависимость».

Как известно, еще в VII классе при прохождении тем «Равенства» и «Неравенства» выясняется ряд свойств равенств и неравенств, сходных между собой, в частности свойство транзитивности. Целесообразно показать учащимся, что не только понятия «равенство» и «неравенство» обладают свойством транзитивности.

Так, понятие «параллельность» обладает свойством транзитивности: если a, b и с — три прямые, то, зная, что а\\Ь и Ь\\с, имеем а\\с.

Рассмотрим, например, понятие «находится внутри» (учащимся следует объяснить, что слова «находится внутри» тоже относятся к математическим понятиям). Понятие «находится внутри» также обладает свойством транзитивности; так, если объект А находится внутри объекта В, а объект В в свою очередь находится внутри объекта С, то объект А находится внутри объекта С.

Примеры.

1. Ученик находится в классе, класс находится в школе; значит, ученик находится в школе.

2. Круг А находится внутри круга ß, круг В находится внутри круга С; значит, круг А находится внутри круга С (черт. 1).

В IX классе на уроках стереометрии можно указать, что понятие «принадлежность» обладает свойством транзитивности. Так, если точка А принадлежит прямой а, а прямая а принадлежит плоскости а, то точка А принадлежит плоскости а.

Представляет также интерес более детальное рассмотрение свойства обратимости равенства.

При прохождении неравенств мы указываем учащимся на то, что неравенство уже не обладает этим свойством.

Полезно проиллюстрировать несколько понятий, из которых одни обладают свойством обратимости, а другие не обладают этим свойством.

Так, понятие «параллельность» обладает свойством обратимости, так как если мы говорим: прямая AB параллельна прямой CD, то можно также сказать, что прямая CD параллельна прямой AB.

Понятие «перпендикулярность» также обладает свойством обратимости, так как если AB ICD, то и CD LAB.

Геометрическое понятие «касается» также обладает свойством обратимости. Например, если окружность А касается окружности 5, то и, наоборот, окружность В касается окружности А; если, например, прямая касается окружности, то и окружность касается прямой. Геометрическое же понятие, например «лежит внутри», не обладает свойством обратимости; если круг А лежит внутри круга В, то нельзя утверждать, что круг В лежит внутри круга А.

Для сознательного усвоения терминов обратимости и транзитивности полезно задать учащимся такие вопросы:

1) Обладает ли понятие перпендикулярности свойством транзитивности?

2) Обладает ли понятие «касается» свойством транзитивности?

Если учащимся второй вопрос непонятен, то надо дать дополнительно пояснение: можно ли утверждать, что если первый объект касается второго, а второй в свою очередь касается третьего, то первый объект касается третьего?

На примерах показываем, что такое утверждение не верно (черт. 2 и 3). Эти вопросы способствуют развитию логического мышления и сознательному усвоению пройденного материала соответствующих разделов алгебры и геометрии. Свойства обратимости и транзитивности можно использовать и для закрепления такого важного понятия, каким является понятие функции. В IX и X классах можно решать примеры на исключение пара-

Черт. 1.

Черт. 2. Черт. 3.

метров из системы равенств. Начинать следует с решения несложных примеров.

Пример 1. Пусть дана система двух равенств

Первое равенство можно истолковать так: величина у есть некоторая функция от «г, т. е. у зависит от г\ второе равенство можно истолковать аналогично, а именно: г зависит от х. Но понятие «зависимость» обладает свойством транзитивности, так как, если одна величина зависит от другой, а эта другая зависит от третьей, то первая величина зависит от третьей. В нашем примере имеем: у зависит от z, a z в свою очередь зависит от х, значит, у зависит от х. Наша задача — выразить эту зависимость одной формулой, по которой можно было бы непосредственно вычислять у по значениям х.

В данном случае это легко достичь путем подстановки. Получим: у = х2.

Пример 2. Пусть дана система двух равенств

(1)

(2)

Равенство (2) дает возможность по данному значению х вычислить 2, равенство (1) позволяет по значению z вычислить у.

Первое и второе равенства истолковываем соответственно так: у зависит от z, z зависит от х. Отсюда делаем вывод: у зависит от X, т. е. у есть функция от х. Наша задача заключается в том, чтобы выразить величину у как функцию от величины х без помощи промежуточного параметра z, т. е. выразить зависимость величины у от величины х одной формулой, по которой можно было бы непосредственно вычислить у по значению х. Это легко достигается путем подстановки.

После преобразований получим:

Задачи такого рода будем формулировать так: «исключить параметр (такой-то) из системы равенств».

Далее решаем несложный пример, но по структуре немного отличный от первых двух.

Пример 3. Исключить параметр z из системы равенств:

(1)

(2)

Равенство (2) можно истолковать так: х зависит от z. Но можно истолковать и так: z зависит от х, так как если одна величина зависит от другой, то и, наоборот, эта вторая величина за-

висит от первой. Здесь мы приходим к выводу, что понятие «зависимость» обладает свойством обратимости.

Итак, в нашем примере имеем: у зависит от z, a z зависит от X. Значит, у зависит от х. Из равенства (2) находим: подставляя в равенство (1), получаем:

Следует предупредить учащихся, что такие задачи не всегда решаются способом подстановки.

Пример 4. Пусть требуется исключить параметр а из системы равенств:

(1)

(2)

Равенство (2) можно трактовать так: х есть функция от а, но и наоборот: а есть функция от х. Решать тригонометрические уравнения учащиеся пока еще не умеют и, значит, не могут сейчас выразить а через х, но тем не менее, приняв в равенстве (2) величину X за независимую переменную, это равенство выражает величину а как функцию от х.

Итак, имеем: из равенства (1) —у зависит от а, из равенства (2) — а зависит от х. Следовательно, на основании свойства транзитивности можем утверждать, что у зависит от х. Наша задача — выразить зависимость величины у от величины х без помощи промежуточного параметра а, т. е. выразить у как функцию от X с помощью одной формулы или, как говорят, исключить а из системы равенств. Обращаем внимание учащихся на то, что квадрат суммы sina + cosa состоит из двух слагаемых: 1 и 2sina cosa. Слагаемое 1, равное sin2a + cos2a, не зависит от а, а слагаемое 2sina cosa есть sin2a, т. е. у (из 1-го равенства данной системы). Отсюда получаем следующий способ решения: возводим обе части равенства (2) в квадрат и получаем:

Теперь в последнее равенство подставляем значение sin2a из равенства (1); получаем: х2=1+у. Итак, мы получили формулу, связывающую х и у, т. е. мы исключили параметр a из системы равенств. Выражая явно у через х, получим:

Примеры, подобные последним двум, учитель может составить сам или воспользоваться примерами из задачника по тригонометрии П. В. Стратилатова (№ 135; 570).

Пример 5. Исключить параметр a из системы равенств:

(1)

(2)

При решении этого примера ученик может рассуждать следующим образом: из равенства (2) имеем: у зависит от а, из ра-

венства (1) имеем: а зависит от х; отсюда вывод: у зависит от X, и мы должны уметь выразить у через х одной формулой. Возведя обе части равенства (2) в квадрат, получим:

Итак,

Опыт показывает, что общие рассуждения, относящиеся к функциональной трактовке вопроса об исключении параметра из системы равенств, понятны почти всем учащимся и усваиваются ими хорошо.

При закреплении понятия координат целесообразно поставить следующие вопросы:

1) Найти геометрическое место точек, ординаты которых равны одному и тому же числу, например 5, а абсциссы различны.

2) Найти геометрическое место точек, абсциссы которых равны одному и тому же числу, например 4, а ординаты различны.

3) Где находятся точки, ординаты которых равны нулю?

4) Определить ось х-ов как геометрическое место точек.

Аналогичные вопросы можно поставить относительно оси у-ов.

В дальнейшем учащимся можно предложить следующие вопросы.

1) Что собой представляет геометрическое место точек, обладающих тем свойством, что ордината любой точки противоположна абсциссе этой же точки?

2) Что собой представляет геометрическое место точек, обладающих тем свойством, что ордината и абсцисса любой точки есть взаимно обратные числа?

Важно, чтобы учащиеся не только умели находить геометрические места точек, обладающих какими-либо свойствами, но и умели бы изученный геометрический объект охарактеризовать с помощью слов «геометрическое место точек». Для этой цели на уроках алгебры при прохождении темы «Функции и их графики» полезно ставить, например, такие вопросы: при помощи слов «геометрическое место точек» охарактеризовать график функции У = 2х, у=х, у = 3х, у=х2 и т. д.

На один из этих вопросов учитель должен ответить сам для того, чтобы ученики поняли суть вопроса и имели образец ответа.

Большое значение для закрепления метода координат имеет графическое решение систем уравнений. По этому вопросу имеется много задач в задачнике Ларичева, ч. II. При решении системы очень важно обращать внимание на геометрические толкование решения, так как это способствует закреплению материала по теме «Функции и их графики». Решая ту или иную систему (особенно после того, как пройдена тема «Функции и их

графики»), преподаватель обращает внимание на тот факт, что число решений данной системы может быть найдено чисто геометрическим путем; геометрически же, не решая самой системы, можно установить и знаки неизвестных. Рассмотрим следующий пример.

Решить систему уравнений

Решив систему, получим:

Строим графики функций: ху = 4 и х+у=5 (черт. 4). Убеждаемся в том, что прямая пересекает только ту ветвь гиперболы, которая находится в 1-й четверти, причем в двух точках А и В. Координатами точки А являются числа 4 и 1, а координатами точки В — числа 1 и 4.

Мы замечаем, что значения неизвестного х служат абсциссами точек пересечения обоих графиков, а соответствующие им значения неизвестного у служат ординатами этих же точек пересечения. Тот факт, что система имеет два решения, найденные алгебраическим путем, подтверждается геометрически тем обстоятельством, что графики функций х+у=5 и ху=4 пересекаются в двух точках. Так как точки расположены в 1-й четверти, то их координаты (т. е. абсциссы и ординаты) — положительные числа. Аналогичные рассуждения проводятся при решении следующих систем:

имеющей два решения:

Черт. 4.

имеющей четыре решения:

После прохождения теоремы Пифагора можно доказать учащимся, что геометрическое место точек, координаты которых связаны соотношением x2 + y2 = R2, есть окружность с центром в начале координат и радиусом, равным R.

Окружность же с центром в начале координат и гипербола xy = k могут иметь: 4 общие точки (черт. 5), 2 общие точки (черт. 6) могут совсем не иметь общих точек (черт. 7). Значит, система вида

может иметь 4 решения, 2 решения или может совсем не иметь решений. Все эти случаи иллюстрируем геометрически, но исследования относительно параметров R и k в VIII классе не проводятся.

Черт. 5. Черт. 6. Черт. 7.

М. А. ИГЛИЦКИЙ (Москва)

ОДНО ЗАМЕЧАНИЕ О БИКВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ.

Обычный способ решения биквадратного уравнения с действительными коэффициентами

ах* + Ьх2+с = 0 (афО) (1)

состоит в том, что полагают х2 = у, решают полученное квадратное уравнение и затем, зная его корни у\ и y2i находят корни исходного уравнения по формулам:

Этот способ перестает служить в тех случаях, когда корни Ух и У2 вспомогательного квадратного уравнения являются мнимыми, т. е. в тех случаях, когда коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условию

(2)

так как извлечение квадратного корня из мнимого числа не изучается в средней школе.

Это затруднение можно преодолеть следующим путем.

Пусть дано уравнение (1), коэффициенты которого действительны и удовлетворяют условию (2). Не ограничивая общности, мы можем считать, что а>0. Тогда, как это явствует из общих теорем алгебры, левая часть уравнения (1) должна разлагаться на два неприводимых действительных множителя второй степени,

Искомое разложение получается таким образом:

(3)

Убедимся в том, что коэффициенты полученных многочленов действительны.

В самом деле, по предположению а>0, следовательно, уа — действительное число. Из того, что а>0 и из неравенства (2) следует, что с>0 и, значит, ]/ с и \,гас —действительные числа-

Наконец, из неравенства (2) вытекает, что 4 ас>Ь2, откуда получаем, что

и, следовательно,

Значит,

— также действительное число.

Заметим, что из формулы (3) легко получаются, в частности, разложения:

которыми иногда приходится пользоваться в школьном курсе.

Б. И. ТОМАШЕВ (Орел)

РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В VIII КЛАССЕ СПОСОБОМ ВВЕДЕНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ И ГРАФИЧЕСКИ.

Решение иррациональных уравнений обычно производится возведением обеих частей уравнения в целую положительную степень. Этот основной прием решения мы изложили в статье «Решение иррациональных уравнений в VIII классе» (журнал «Математика в школе» № 1 за 1957 г.). Только на одном из уроков мы предлагали решать иррациональные уравнения некоторого вида способом введения вспомогательных неизвестных.

Мы считаем, что знакомить учащихся с решением иррациональных уравнений способом введения вспомогательных неизвестных более целесообразно в теме «Системы уравнений второй степени» на возможно более разнообразных примерах. Действительно, решение иррационального уравнения способом введения вспомогательных неизвестных сводится к решению системы уравнений степени выше первой. Поэтому решение иррациональных уравнений указанным способом естественным образом увязывается с решением систем уравнений степени выше первой и не требует дополнительного времени. Кроме того, в этой теме учащихся легче познакомить с графическим способом решения иррациональных уравнений.

Решение иррациональных уравнений способом введения вспомогательных неизвестных рассмотрено в работе И. А. Гибша «Иррациональные уравнения в курсе средней школы» (АПН РСФСР, М., 1954). Однако И. А. Гибш ограничивается выяснением существа указанного способа и не останавливается на вопросах методики. В настоящей статье мы покажем, как решение иррациональных уравнений способом введения вспомогательных неизвестных может быть тесно увязано с решением систем уравнений степени выше первой.

I. В связи с решением систем уравнений, содержащих одно уравнение второй степени и одно первой степени, можно решать иррациональные уравнения вида

(1)

Действительно, введением вспомогательного неизвестного у, связанного с неизвестным х равенством у=Уах2+Ьх+с, решение иррационального уравнения (1) заменяется решением системы

содержащей одно уравнение второй степени и одно первой степени.

Объяснение ведется на конкретных примерах.

Пример 1. Решить уравнение

(1)

Введем вспомогательное неизвестное у, положив y=Yх+1. Тогда уравнение (1) заменяется системой

(2)

Исключив из уравнений этой системы неизвестное х, приходим к уравнению:

имеющему корни у\=2 и у2=—3.

Подставив найденные значения у в первое уравнение системы (2), находим: хх = Ъ и *2 = 8.

Проверкой убеждаемся, что данному уравнению удовлетворяет только корень, равный 3. Корень, равный 8, является посторонним для данного уравнения.

Наличие постороннего корня говорит о том, что решение системы (2) неравносильно решению уравнения (1). Другими словами, при решении иррационального уравнения способом введения вспомогательных неизвестных получается система уравнений, решение которой в общем случае неравносильно решению данного уравнения*.

Посторонний корень 8 появляется при отрицательном значении у, т. е. при отрицательном значении квадратного радикала, а корень уравнения 3 — при положительном значении у. Очевидно, что так будет всегда, ибо входящие в уравнение квадратные радикалы считаются неотрицательными. Поэтому в дальнейшем, заменяя иррациональное уравнение системой уравнений, мы сразу будем учитывать, что квадратные радикалы не могут быть отрицательными.

* Учащимся нужно объяснить, что в случае, когда уравнение и система уравнений содержат неодинаковое число неизвестных, не говорят: «Уравнение равносильно системе» или «уравнение неравносильно системе», а говорят: «Решение уравнения равносильно решению системы» или «решение уравнения неравносильно решению системы».

Так, при решении рассмотренного уравнения к системе (2) следовало бы добавить неравенство у>9, указывающее, что входящий в уравнение квадратный радикал неотрицателен; тогда бы мы получили систему

относительно которой можно утверждать, что ее решение равносильно решению данного уравнения. Пример 2. Решить уравнение

Положив]/5—х=у, данное уравнение заменим системой

решение которой равносильно решению данного уравнения. Исключив X из уравнений системы, получим:

Отсюда #i = l и у2=—2.

Требованию у>0 удовлетворяет только корень 1.

Подставив у=1 в первое уравнение системы, находим, что данное уравнение имеет единственный корень х = 4.

В качестве полезного применения полученных учащимися навыков по решению систем уравнений, содержащих одно уравнение второй степени и одно первой степени, можно решать способом введения вспомогательных неизвестных иррациональные уравнения вида

(1)

Действительно, введением вспомогательных неизвестных и и V, связанных с неизвестным х равенствами

иррациональное уравнение (1) заменяется системой

(2)

решение которой равносильно решению данного уравнения (1).

Исключив X из второго и третьего уравнений системы, приходим к системе уравнений

содержащей одно уравнение второй степени и одно первой степени.

Пример 3. Решить уравнение

[П. Ларичев, № 550 (1)].

Положив

получаем систему

решение которой равносильно решению данного уравнения.

Исключив X из второго и третьего уравнений системы, приходим к системе

Подставив и из второго уравнения в первое, получаем:

откуда t>i=3 и v2= —19.

Второе значение v, как неудовлетворяющее условию v>0, отбрасываем. При v{ = 3 находим, что Wi = 5, и условие и^>0, v>6 выполняется. Поэтому x = v2+ 1 = 10.

II. В связи с решением частных случаев систем уравнений, содержащих два уравнения второй степени, можно решать иррациональные уравнения вида

В самом деле, подстановкой |/ах2+Ьх+с=у решение уравнения (1) заменяется решением системы

содержащей два уравнения второй степени.

Уравнения вида (1) имеются в задачнике П. Ларичева.

Пример 4. Решить уравнение

[П. Ларичев, № 554 (1)].

Положив

данное уравнение заменяем системой

решение которой равносильно решению данного уравнения.

Решая первое уравнение системы, находим: у\ = 3, #2=—4.

Второе значение у, как не удовлетворяющее условию у>0, отбрасываем.

Подставив первое значение у во второе уравнение системы, получаем уравнение

решая которое находим корни данного уравнения: 4 и — 1.

III. В связи с решением систем уравнений вида

Действительно, введением вспомогательных неизвестных и и v, связанных с неизвестным х равенствами

уравнение (2) заменяется системой

(3)

решение которой равносильно решению данного уравнения.

Исключив X из второго и третьего уравнений системы (3), получаем систему

(2)

можно решать иррациональные уравнения вида

которая является системой вида (1).

Пример 5. Решить уравнение

Обозначив первый радикал через и, второй — через v, получаем систему уравнений

решение которой равносильно решению данного уравнения. Вычитая из второго уравнения третье, имеем:

Деля это уравнение на первое уравнение системы, получаем:

и—v= — 1.

Решая полученное уравнение с первым уравнением системы, находим:

а=2, v = 3.

Так как условие и>0, v>0 при этом выполняется, то, подставив значение и во второе уравнение системы, легко находим:

IV. В связи с решением систем уравнений вида

где знаки берутся одновременно либо верхние, либо нижние* можно решать иррациональные уравнения, помещенные в задачнике П. Ларичева под № 552.

* В «Сборнике задач по алгебре» П. А. Ларичева (ч. II) такие системы имеются (№ 631).

Пример 6. Решить уравнение

[П. Ларичев, № 552 (1)]. Обозначив первый радикал через и, второй — через v, получаем систему уравнений

решение которой равносильно решению данного уравнения*, Вычитая из второго уравнения третье, имеем:

а деля это уравнение на первое уравнение системы, получаем:

Исключив и из полученного уравнения и первого уравнения системы, имеем:

откуда 1>1=0 и v2= —2.

Подставив эти значения v в третье уравнение системы, находим:

V. Выше было сказано, что решение иррациональных уравнений способом введения вспомогательных неизвестных дает возможность познакомить учащихся с графическим способом решения простейших иррациональных уравнений. Рассмотрим теперь, как это сделать.

Иррациональное уравнение содержит только один радикал

(1)

где R (х) и Q(x) — рациональные функции от х. Введением вспомогательного неизвестного у, связанного с неизвестным х равенством У/?(х)={/, уравнение (1) заменяется системой двух уравнений с двумя неизвестными:

(2)

Каждое уравнение системы может быть представлено графически. Точки пересечения этих графиков интерпретируют решения системы (2). При п нечетном они также будут интерпретировать решения уравнения (1) При п четном нужно рассматривать только верхнюю часть полуплоскости.

Пример 7. Решить графически уравнение

(1)

* Ограничения на и и v не накладываются, так как и и v обозначают радикалы третьей степени.

Решение данного уравнения равносильно решению системы

(2)

Строим графики уравнений

(3)

Графиком первого уравнения (черт. 1) является парабола, симметричная относительно оси х-ов, с вершиной в точке ( —1;0), а графиком второго уравнения — прямая, проходящая через точки (0; 5) и (5, 0).

Графики уравнений (3) пересекаются в двух точках, координаты которых, являются решением этих уравнений. Системе (2) могут удовлетворять только координаты точки, лежащей выше оси х-ов. Абсцисса этой точки, число 3, и есть решение уравнения (1).

Пример 8. Решить графически уравнение

(1)

Решение данного уравнения равносильно решению системы

Строим графики уравнений:

(2)

Графиком первого уравнения (черт. 2) является окружность с центром в начале координат и радиусом, приближенно равным 1,7. Графиком второго уравнения является парабола, симметричная относительно оси #-ов, с вершиной в точке (0; — 1).

Графики уравнений (2) пересекаются в двух точках, абсциссы которых приближенно равны 1,4 и— 1,4. Так как обе точки пересечения графиков расположены выше оси х-ов, то их абсциссы являются корнями уравнения (1).

Черт. 1.

Черт. 2.

Решив уравнение алгебраически, найдем, что корни его равны ±угТГ.

Пример 9. Решить графически уравнение

(1)

Решение данного уравнения равносильно решению системы

(2)

Строим графики уравнений

Графиком первого уравнения (черт. 3) является парабола, симметричная относительно оси #-ов, с вершиной в точке ( — 4; 0), а график второго уравнения есть также парабола, симметричная относительно оси у-ов, с вершиной в точке (0;—5).

Графики уравнений системы (2) пересекаются в четырех точках. Абсциссы точек, расположенных выше оси лс-ов, приближенно равны 2,8 и —2,5. Следовательно, уравнение (1) имеет только два корня, приближенно равные 2,8 и -2,5.

Поступая аналогичным образом, можно графически решать и более сложные иррациональные уравнения.

Черт. 3.

Пример 10. Решить уравнение

(1)

Обозначив второй радикал через у, заменим данное уравнение системой

(2)

решение которой равносильно решению данного уравнения. Представив второе уравнение системы в виде

видим, что при у<6 оно равносильно уравнению

Следовательно, система (2) равносильна системе

(3)

Строим графики уравнений

Графиком первого уравнения (черт. 4) является парабола, симметричная относительно оси #-ов, с вершиной в точке (—у;0); графиком второго уравнения является тоже парабола, симметричная относительно прямой, параллельной оси #-ов, и отстоящая от нее на 6 единиц; вершиной параболы является точка ( — 5; 6).

Находим абсциссы точек пересечения тех частей графиков, которые расположены выше прямой у = 0 и ниже прямой у = 6.

В указанной области построенные графики пересекаются только в одной точке, абсцисса которой равна числу 4. Следовательно, данное уравнение (1) имеет только один корень * = 4.

Черт. 4.

Я. И. ГРУДЕНОВ (Горловка)

УСТНОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ.

В школьном курсе математики устные вычисления обычно проводятся на уроках арифметики и в начальных разделах алгебры и тригонометрии.

Но устные упражнения можно с успехом применять и в других темах, например при решении систем уравнений высших степеней.

Автор настоящей статьи неоднократно использовал устный прием решения системы уравнений на занятиях математических кружков студенческих (при кафедре математики пединститута) и ученических (в школах № 3 и 69 города Мелитополя).

В задачниках [1], [2], [4]* и других ответы многих задач выражаются небольшими целыми числами, что позволяет решать многие задачи устно, а это дает большую экономию времени. Так, около половины систем уравнений высших степеней из стабильного задачника Ларичева (ч. II) и других задачников можно легко решать устно.

В некоторых случаях условие задачи, ответ и ряд промежуточных результатов следует записывать. Таким образом, в отдельных случаях имеют место так называемые полуписьменные вычисления.

§ 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ.

Рассмотрим некоторые свойства систем уравнений высших степеней, которые можно использовать при устном их решении.

1. Симметричность уравнений.

Уравнение, в котором неизвестные х и у можно взаимно менять местами без нарушения его эквивалентности, называется симметрическим.

* Название литературы под номерами, заключенными в квадратные скобки, смотри в конце статьи.

Симметричность системы двух уравнений с двумя неизвестными

позволяет по одному найденному решению (а; Ь) сразу получить другое решение (Ь\ а).

2. Четность степени уравнения.

Если в уравнении сумма показателей степеней неизвестных в каждом члене является четным числом, то при одновременной смене знаков для всех значений неизвестных равенство не нарушается. Четность степеней всех членов уравнения позволяет по найденному решению (а; Ь;...; с) системы

сразу получить еще одно решение ( — а; —Ь;... —с) ее. Пример.

Если мы каким-либо образом нашли одно из решений данной системы (5; 6), то на основе свойства симметричности обоих уравнений можно сразу получить второе решение (6; 5), ибо сумма и произведение не изменяются от перестановки компонентов.

Используя четность степеней обоих уравнений данной системы и зная два решения ее, можно сразу указать еще два решения: (-5; -6); (-6; -5).

3. Верхняя граница числа решений систем уравнений.

Пусть рассматривается система уравнений с m неизвестными. Пусть степени этих уравнений будут соответственно пи п2,..., пт. Тогда данная система, вообще говоря, допускает пх-п2"...'Пт решений. Точнее, произведение степеней уравнений является верхней границей числа решений. Иногда число решений достигает этой границы, а иногда нет. Это предложение доказывается в курсе высшей алгебры.

Примечание. С этим предложением учащихся можно познакомить на отдельных примерах без общего доказательства, аналогично тому, как знакомим с основной теоремой алгебры о числе корней целого рационального уравнения /2-й степени.

К сожалению, это предложение мало известно, так как почти не встречается в учебниках и задачниках элементарной алгебры.

Оно приведено в задачнике [3], стр. 44. Указанным предложением можно пользоваться и для определения верхней границы числа решений иррациональных и дробно-рациональных систем уравнений. Возьмем, например, систему из сборника задач [4], № 251:

После двукратного возведения в квадрат каждого из уравнений системы первое уравнение станет уравнением второй степени, второе — уравнением четвертой степени. Следовательно, верхняя граница числа решений равна 2X4 = 8, тогда как в поле действительных чисел данная система имеет только два решения.

Проверка всех систем уравнений высших степеней из задачников [1], [2], [4], [5] показала, что число решений иррациональных и дробно-рациональных систем уравнений почти всегда меньше верхней границы числа решений.

§ 2. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ.

Учащихся можно познакомить с некоторыми теоремами, на которых основаны устные способы решения систем уравнений.

Теорема I. Если квадратное уравнение

x2+px+q = 0,

где р и q — целые числа, имеет рациональные корни, то эти корни — числа целые.

Доказательство общеизвестно.

Теорема II. Пусть дана система

где а и b — числа целые. Если решения этой системы являются рациональными числами, то они могут быть только целыми числами.

Доказательство. На основании теоремы, обратной теореме Виета, составляем квадратное уравнение

z2-az+b = 0.

Так как а и b — числа целые, то по теореме I х и у, равные zx и z2, в поле рациональных чисел могут быть только целыми числами.

Теорема III. Корень квадратный из целого числа не может быть дробным числом.

Доказательство общеизвестно. В учебнике алгебры теорема доказана для корня второй степени.

Теорема IV. Пусть дана система уравнений

(1)

где а и b — числа целые. Если решение данной системы является рациональными числами, то они могут быть только целыми числами. Доказательство.

(2)

Система (2) может иметь посторонние для системы (1) решения. Но для доказательства теоремы это не существенно. Составим квадратное уравнение, полагая z\=x2, z2 = y2,

z2-az+b2=0.

Так как а и Ь2 — числа целые, то по теореме I z\ и z2 в поле рациональных чисел могут быть только целыми числами.

Если z\ или zu — отрицательные числа, то х=Угг и у=у1г2~ в поле действительных чисел не имеют смысла. Следовательно, в этом случае данная система в поле действительных чисел совсем не имеет решений. Если же z\ и z2 — положительные числа, то x — Yzx и y=Y z2 в поле рациональных чисел могут быть только целыми числами.

Если не сообщать учащимся этих теорем, то можно показать им на примерах, что два дробных числа в сумме и в произведении одновременно не могут дать целых чисел. Приведем примеры.

§ 3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВИДА:

Пример 1. [Л, ч. II № 703 (2)].

1) Так как коэффициенты обоих уравнений — целые числа, то можно предположить, что решения системы — тоже числа целые. Если учащимся известны теоремы § 2, то этот пункт можно сформулировать так: если решения системы — числа рациональные, то согласно теореме II они обязательно целые. Подобным образом в этом случае видоизменяется пункт первый и в последующих примерах.

2) jq/>0, значит х и у одинаковых знаков, х+у>0, следовательно х>0, у>0.

3) Разлагаем число 28 на всевозможные пары целых и положительных сомножителей независимо от их порядка: 28 = 28X1 = 14X2 = 7X4, и последовательно проверяем их подстановкой в первое уравнение. При этом находим первое решение (7; 4). Испытание можно начать и с первого уравнения, раз-

лагая 11 на пары положительных слагаемых. Но это будет более сложно, так как сумма разлагается на большее число пар положительных слагаемых, чем произведение на пары положительных сомножителей.

4) На основе симметричности обоих уравнений системы сразу получаем второе решение (4; 7).

5) Верхняя граница числа решений этой системы равна 1X2 = 2.

Ответ. (7 и 4; 4 и 7).

Интересно обратить внимание на следующие обстоятельства.

1) В ходе устного решения проведено исследование, а именно: мы установили, что все решения системы числа положительные и что система имеет не более двух решений.

2) В ходе решения мы одновременно выполнили проверку, так как первое решение (7; 4) найдено путем подстановки чисел в первое уравнение. Второе решение (4; 7) верно на основе симметричности системы. Эти факты имеют место во всех последующих примерах. Они лишний раз подтверждают преимущества устных приемов решения.

Пример 2.

1) Предполагаем, что решение системы — целые числа.

2) ху>0, значит, х и у — числа одинаковых знаков, х+у>0, следовательно, х>0, у>0.

3) 18=18- 1=9-2 = 6-3.

Целые положительные числа не удовлетворяют данной системе. Следовательно, наше предположение неверно. В этом случае решения системы являются иррациональными или мнимыми числами. Поэтому данную систему можно решить только письменно, например используя теорему Виета. Решения системы:

Рассмотрим этот случай более детально. Нетрудно заметить, что в поле действительных чисел системе

где а и b — целые числа,удовлетворяют системы либо целых чисел, либо иррациональных чисел вида

где р и q — целые числа и q>0. Пусть решения системы — иррациональные числа. Составим систему:

2р и р2 — q — числа целые, но х и у— иррациональные числа. Следовательно, во всех таких случаях указанный устный способ решения применять не следует.

Пример 3. [Л., ч. II, № 844 (3)].

1) Так как коэффициенты уравнения — числа целые, то естественно предположить, что и решения системы тоже являются целыми числами.

2) ху>0, следовательно, х и у — числа одинаковых знаков.

3) Для упрощения испытания раскладываем 45 только на пары положительных множителей 45 = 45 -1 = 15- 3 = 9 • 5. Находим первое решение (9; 5).

4) Из первого решения (9; 5) по свойству симметричности данной системы получаем второе решение (5; 9), а по свойству четности степеней — еще два решения: (—9;' —5); ( — 5; —9).

5) Система может иметь не более 2-2 = 4 решений. Одно из них (9; 5) проверено в ходе решения. Следовательно, по свойству симметричности и четности степеней обоих уравнений верны и остальные три решения.

Ответ. (±9 и ±5); (±5 и ±9), при этом одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки.

Из стабильного задачника Ларичева (ч. II, изд. 1956 г.) этим способом можно непосредственно, т. е. без каких-либо предварительных преобразований, решить следующие примеры: № 703(2), 704(1), 714(1), 721(1, 2, 3), 722(1, 2, 3, 4), 730(1), 842(3), 844(3), 847(3).

§ 4. РЕШЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ.

Пример 4. [Л., ч. II, № 707 (1)].

Преобразуем первое уравнение:

В равных дробях равны числители, следовательно, равны и их знаменатели, т. е. ху = 32.

Получаем систему:

По способу § 3 получаем:

32 = 32-1 = 16-2 = 84. Ответ. (4 и 8; 8 и 4).

Верхнюю границу (2) числа решений определяем по системе уравнений

эквивалентной данной. Следовательно, найдены все решения.

Пример 5. [Л., ч. II, № 727(1)].

Преобразуем первое уравнение системы

Получаем систему

После возведения первого уравнения данной системы в квадрат и приведения его к целому виду оно становится уравнением второй степени. Следовательно, верхняя граница числа решений равна 2-1=2. Нами получены все решения.

Примечание. Опыт проведения занятий с учащимися IX—X классов показал, что они свободно выполняют в уме все преобразования, написанные в этих примерах.

Из стабильного задачника Ларичева (ч. II, изд. 1958 г.) этим способом можно решить непосредственно следующие 12 примеров: № 707(1, 2); 726(1, 2, 3, 4); 727(1, 2, 3, 4); 730(2); 734(1).

§ 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С БУКВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (ПАРАМЕТРАМИ).

Пример 6. [Л., ч. II, № 725(1)].

1) Так как правые части уравнений одночлены, то каждое из неизвестных х и у — одночлены и содержат букву m, в против-

ном случае сумма х2+у2 или произведение ху были бы многочленами.

2) ху>0, X и у — числа одинаковых знаков.

3) Разбиваем произведение -у- на два положительных сомножителя:

4) Подстановкой в первое уравнение находим одно решение

а по свойству симметричности и четности степеней

обоих уравнений остальные три решения:

5) Число найденных и проверенных решений данной системы совпадает с ее верхней границей числа решений.

Ответ.

Подобным же образом можно решать из стабильного задачника Ларичева (ч. II, изд. 1956 г.) следующие примеры: № 723 (4, 1); 725 (2, 3, 4).

Пример 7. [Л., ч. II, № 709(2)].

1) Так как сумма (х+у) — многочлен, то х и у содержат разные буквы.

2) Разлагаем произведение xy = ab + b2 на все возможные сомножители:

3) Подстановкой в первое уравнение находим одно решение системы [Ь; (а + Ь)\ а по свойству симметричности системы — второе решение [(а + Ь)\ Ь].

Верхняя граница числа решений равна 1 «2 = 2. Ответ. (Ь, а + Ъ\ а+Ь, Ь).

Пример 8. [Л, ч. II, № 709 (3)].

Так как сумма (х+у) —одночлен, то каждое из чисел х и у содержит букву а. Коэффициенты в обоих уравнениях — числа целые, поэтому можно предположить, что каждое из чисел х и у содержит букву а целое число раз. Разбиваем За на простейшие пары слагаемых:

За = а + 2а= —а+4а=—2а+5а = ....

Проверяем их подстановкой в первое уравнение. Получаем первое решение (а, 2а), а по свойству симметричности обоих урав-

нений — второе решение (2а, а). Верхняя граница числа решений системы равна 2. Ответ, (а, 2а; 2а, а).

§ 6. ОСОБЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ.

Пример 9. [Л, ч. II, № 714(1)].

1) Замечаем, что первое уравнение выражает запись теоремы Пифагора для египетского треугольника: 32 + 42 = 52.

Проверкой этого предположения на втором уравнении находим одно из решений (3; 4), а по свойству симметричности и четности степеней обоих уравнений — остальные три (4, 3; —3, —4; -4, -3).

2) Так как верхняя граница числа решений равна 2x2 = 4, то данная система решена правильно.

Ответ. (±3,±4; ±4, ±3).

Аналогично можно решить из задачника Ларичева, ч. II, № 714 (2, 3).

Пример 10. [Л., ч. II, №711(1)1.

Из первого уравнения видно, что числа (х — 2) и (у — 3) взаимно обратные, а из второго — что они равны. Следовательно, каждое из этих чисел равно либо +1, либо —1, т. е. х-2=±1, у-3=±\. Отсюда получаем два решения (3, 4; 1, 2).

Верхняя граница числа решений системы тоже равна 2.

Ответ. (3 и 4, 1 и 2).

На отдельных примерах учащимся можно показать, что сумма двух дробных чисел и сумма их квадратов не могут одновременно дать целые числа. Например:

Пример 11.

1) Предполагаем, что х и у — рациональные числа. Тогда на основе разобранных примеров можно сказать, что они будут целыми числами.

2) Разбиваем число 8 на все возможные пары пока что положительных (для простоты) слагаемых:

8=1+7 = 2 + 6 = 3 + 5 = 4 + 4.

Проверяя их подстановкой в первое уравнение, находим одно решение системы (3; 5), а по свойству симметричности —другое решение (5; 3). Верхняя граница числа решений системы уравнений равна 2. Ответ. (3 и 5; 5 и 3).

§ 7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗАПИСЕЙ ПРИ УСТНОМ РЕШЕНИИ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ.

Пример 12. [Л., ч. II, №715(1)].

Складывая и вычитая в уме данные уравнения почленно, получаем:

По способу, указанному в § 3, получаем решения системы (2, 1; 1, 2).

Пример 13. (Л., ч. II, № 738).

Перемножая почленно все три уравнения системы в уме, получаем:

Ответ. (±1, ±2, ±3).

Опыт проведения занятий с учащимися IX—X классов свидетельствует о том, что они свободно проводят в уме все написанные при решениях преобразования, если решаемая система записана на доске.

§ 8. МЕТОДИКА УСТНЫХ УПРАЖНЕНИЙ И ОПЫТ ИХ ПРОВЕДЕНИЯ.

Рассмотрим методику проведения занятия школьного математического кружка на описываемую тему.

В течение 45 минут учащимся были сообщены некоторые теоретические сведения, которые они записали в тетрадь. Сначала доказывались теоремы § 2. Доказательства учащиеся усваивали без труда. Затем на 2—3 примерах были даны образцы решения систем уравнений по каждому из способов, изложенных в § 3—5. Одновременно на этих примерах разбирались свойства симметричности, четности степеней систем уравнений высших степеней и определение верхней границы числа их решений. В течение второго часа занятий учащиеся уже самостоятельно решали примеры. Перед каждым из них лежал раскрытый за-

дачник Ларичева (ч. II). Руководитель занятия называл номер очередного примера; учащиеся находили его и быстро решали в уме. Ответы иногда записывались на доске. В течение 20 минут учащиеся устно решили 20 примеров из задачника Ларичева (ч. II). Руководитель занятия разрешал школьникам при желании производить письменно все или часть преобразований. Но к концу занятий большинство учащихся производили расчеты только устно, ибо убедились, что на записи тратится лишнее время.

Сделаем некоторые замечания.

1. При устном решении систем уравнений от учащихся на первых порах следует требовать полного (устно) объяснения решения.

2. Полезно сочетать устное решение одной и той же системы уравнений с графическим или письменным решением.

Учитель может использовать устное решение систем уравнений не только на занятиях математического кружка, но и на уроках.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

1. П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, ч. II, Учпедгиз, 1953.

2. Н. С. Залогин. Сборник конкурсных задач по математике, Машгиз, 1954.

3. В. А. Кречмар, Задачник по алгебре, Гостехиздат, 1950.

4. Н. П. Антонов, М. Я. Выгодский, В. В. Никитин, А. И. Санкин, Сборник задач по математике, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы, Гостехиздат, 1954

5. П. С. Моденов, Сборник задач по математике, Советская наука, 1954.

Д. М. МАЕРГОЙЗ (Киев)

О ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ.

Важность изучения алгебраических уравнений в средней школе признается всеми. Что же касается целесообразности изучения определенных типов показательных и логарифмических уравнений в школьном курсе алгебры, то по этому вопросу имеются различные точки зрения. В. М. Брадис в своей книге «Методика преподавания математики в средней школе» пишет следующее: «Подобно показательным уравнениям, уравнения логарифмические занимают в школьном курсе математики место, не соответствующее их ничтожному значению*».

Совершенно иную позицию в этом вопросе заняло собрание членов секции высшей технической школы Московского математического общества совместно с членами секции средней школы. В резолюции этого собрания от 11 июня 1953 г. среди недостатков в математической подготовке абитуриентов средней школы подчеркивается слабое знание теории логарифмов и практики решения логарифмических и показательных уравнений.

В данной резолюции дальше сказано: «Секция считает, что целесообразно уделять этим вопросам больше времени в школьном курсе за счет уменьшения времени, отводимого на решение задач с логарифмическими таблицами»**.

Нам кажется, что в этом вопросе Московское математическое общество заняло более правильную позицию.

Мы считаем, что при решении показательных и логарифмических уравнений следует должное внимание уделять функциональной точке зрения, закрепляя тем самым свойства показательной и логарифмической функций.

Например, при решении даже такого простого уравнения

9х — 3*=6

учащиеся должны объяснить, почему следует отбросить один из

* В. М. Брадис, Методика преподавания математики в средней школе, Учпедгиз, 1951, стр. 302.

** Журнал «Успехи математических наук», т. VIII, вып. 5, 1953.

корней соответствующего квадратного уравнения относительно функции 3*. При этом применяется известное свойство показательной функции: «при всех значениях х функция а*>0».

Аналогично при решении довольно простого уравнения*

учащиеся должны предварительно установить область определения функции

Числитель имеет смысл только при х>0, а знаменатель при х>-|-. Следует также из множества допустимых значений аргумента данной функции исключить значение jc=l, при котором знаменатель обращается в нуль. В результате такого предварительного исследования учащиеся должны прийти к следующему выводу. Если данное уравнение имеет решения, то они должны удовлетворять таким условиям:

Как видно хотя бы из рассмотренных двух примеров, решение показательных и логарифмических уравнений далеко не всегда сводится к одним только формальным упражнениям в тождественных преобразованиях.

Однако значение показательных и логарифмических уравнений не исчерпывается тем важным обстоятельством, что при их решении закрепляются и углубляются соответствующие свойства показательной и логарифмической функции. Следует также учесть, что в процессе решения этих уравнений непосредственно закрепляются важные навыки в действиях над степенями с дробными и отрицательными показателями и в технике логарифмирования и потенцирования.

Известно, что математические навыки лишь тогда прочно усваиваются учащимися, когда они применяются в упражнениях различного характера.

Вот почему не следует недооценивать значение показательных и логарифмических уравнений и с этой точки зрения. Наконец, нельзя пренебрегать также и тем обстоятельством, что при решении некоторых показательных и логарифмических уравнений повторяется и совершенствуется техника решения соответствующих алгебраических уравнений и одновременно углубляются вопросы теории эквивалентности уравнений. Например, при решении упражнения (из сборника П. А. Ларичева) на систему уравнений

* Это уравнение имеется в сборнике П. А. Ларичева, ч. II, № 1150.

легко сводящуюся к эквивалентной системе:

очень уместно обратить внимание учащихся на рациональный способ решения полученной системы уравнений.

Учащиеся обычно, решая такую систему, обе части второго уравнения возводят в квадрат.

После указания учителя, что в данном случае х>0 и у >0, а поэтому возможно представление ~\Гху в виде произведения У~х • У~~У> _ учащиеся легко сообразят, что если сумма двух чисел (У хи Y У) равна 9, а их произведение составляет 20, то Y х =4 и у~у=5 (и наоборот) и, следовательно, х=\6, у = 25 и х=25, У=16.

Большое образовательное и практическое значение имеют те показательные и логарифмические уравнения, для решения которых в школе графический способ является единственно возможным.

В сборнике П. А. Ларичева имеются всего два таких упражнения:

№ 1209(3) № 1210(3)

Количество таких упражнений следует значительно увеличить.

Легко составить такие уравнения, при решении которых повторяются графики различных функций. Чтобы решить, например, уравнение

(1)

достаточно сначала перенести алгебраические члены в правую часть. Имеем:

(2)

Решением уравнения (2) является абсцисса точки пересечения двух линий (черт. 1): и параболы

В данном примере уравнение имеет «точный» корень: х=1, что вообще говоря бывает редко.

Корень х=1 можно было определить и путем проб, однако важное значение графического метода заключается здесь именно в том, что он показывает, что других корней данное уравнение не имеет в силу того, что соответствующие кривые пересекаются только в одной точке. Последнее объясняется тем обстоятельством, что функция \og2x возрастает на всей области ее определения (0; +оо), а функция у=\—х2 убывает в интервале (0; + œ).

Аналогично решается, например, такое уравнение:

Корнем данного уравнения является абсцисса точки пересечения двух линий (черт. 2) :

Во втором примере наличие только одного корня (л: = 3) объясняется теми же причинами, что и в первом примере.

Практическое значение таких уравнений состоит в том, что в процессе их решения совершенствуются навыки в вычерчивании графиков различных функций, что является важным элементом политехнизма на уроках математики.

Как известно, элементарными средствами в общем случае трансцендентное уравнение не может быть решено. На эту сторону в школьной практике обычно не обращается должное внимание учащихся. Решение вышеприведенных уравнений поможет учащимся в некоторой степени составить себе более или менее правильное представление об этом.

При решении простейших показательных уравнений следует систематически подчеркивать учащимся принципиальные моменты. Например, при решении уравнений вида ах=Ь, где а>0, а Ф1, целесообразно ставить учащимся такие вопросы: почему при Ь>0 уравнение всегда имеет решение и притом единственное? Наличие решения мотивируется свойством показательной функции у=ах принимать все положительные значения, а единственность этого решения мотивируется монотонностью функции ах.

Черт. 1

Черт. 2.

* Учащимся следует напомнить, что график функции у= — состоит из двух отдельных частей. Вторая часть вся расположена в третьей четверти и, следовательно, не пересекается с графиком функции у—2х-

Время от времени полезно требовать от учащихся, чтобы они указывали наперед знак корня уравнения ах=Ь (при 6>0).

В связи с этим учащиеся повторяют такие свойства показательной функции: если а>1 и а*>1, то х>0, а если а>1 и ах <1, то х<0. Аналогично для случая а<\.

Все эти свойства легко иллюстрируются при графическом решении уравнения ах=Ь.

Из сказанного ясно, что даже при решении простейших показательных уравнений можно немало сделать для углубленного повторения свойств показательной функции.

При решении уравнений вида af{x) = встречаются иногда упражнения, в которых превалируют очень громоздкие, сугубо формалистические преобразования. К таким, например, относятся упражнения под № 1140 в сборнике П. А. Ларичева (1951 г.). На такие упражнения не стоит тратить время.

При решении некоторых показательных уравнений возможно применять различные способы. Целесообразно отдать предпочтение тому из них, при котором естественно повторяются свойства показательной функции. Например, при решении уравнения

(1)

целесообразно заменить его таким:

(2)

Отсюда

и окончательно:

(3)

При таком способе решения учащиеся должны указать, что при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) это последнее уравнение эквивалентно данному (2Х+8- 33*=^0) в силу известного свойства показательной функции. Уравнение (3) легко решается в уме. Данное уравнение можно решить и при помощи логарифмирования обеих частей его, но при этом способе имеем дело только с формальными преобразованиями.

При решении уравнении вида а° =с довольно часто учащиеся допускают одну и ту же ошибку. Например, уравнение 52 =]/5 учащиеся ошибочно решают обычно так:

(корень же данного уравнения есть х= — 1). Причина этой ошибки заключается в перенесении ассоциативного закона на возведение в степень по аналогии с действием умножения.

Разъяснить учащимся суть их ошибки целесообразно сначала на конкретном примере, хотя бы на таком:

Большие затруднения у многих учащихся вызывают некоторые более сложные показательные уравнения, например:

при некоторых специальных соотношениях между параметрами а, Ь и с. Например, уравнение

является типичным в этом отношении.

Стоит обратить внимание учащихся, что в данном случае произведение

и дальнейшее решение не вызывает затруднений. Обозначив

имеем:

Полученное уравнение

эквивалентно квадратному уравнению

Составить уравнения, аналогичные данному, не представляет большого труда.

Произведение

= 1 при а2 — 6 = 1, а подобрать пары чисел (а, й), удовлетворяющие соотношению а2 —6 = 1, или то же самое, что Ь — а2— 1, легко. Например, при а = 3, 6 = 32— 1=8. По этим данным можно составить хотя бы и такое уравнение:

Можно показать учащимся, что уравнение ах +ЬХ = с при наличии соотношения ab = l имеет решения только при с>2*, и предложить им обосновать это.

Еще большее затруднение вызывает уравнение

Между тем достаточно обе части уравнения разделить на любую из трех функций 9*, 6*, 4х, и оно сведется к квадратному уравнению относительно показательной функции

Это уравнение является частным случаем уравнения

* Разумеется, в множестве действительных чисел.

при наличии соотношения Ь2 = ас. Полезно на занятиях математического кружка разобрать этот случай.

Если обе части уравнения разделить, например, на сх, то оно сведется к квадратному уравнению

Так как дискриминант уравнения у2 + у —1=0 положителен, а свободный член отрицателен, то уравнение

(при условии, что Ь2 = ас) имеет всегда только одно решение.

Во всех выше рассмотренных примерах решение показательного уравнения сводилось к решению соответствующего квадратного уравнения. Нетрудно, однако, составить такие показательные уравнения, решение которых сводится к решению алгебраических уравнений высших степеней. Но такие уравнения следует составлять так, чтобы соответствующие алгебраические уравнения легко решались элементарными средствами.

Например, уравнение 8х—3-4-^+2 = 0 приводится к кубическому уравнению у3 — Зг/2 + 2 = 0, где у = 2х. Левая часть данного кубического уравнения разлагается на множители:

дальнейшее понятно.

В школе достаточно ограничиться рассмотрением одного-двух таких примеров, чтобы у учащихся не создалось ошибочное представление, будто решение показательных уравнений всегда сводится к решению линейного либо квадратного уравнения.

Практика решения логарифмических уравнений в средней школе обычно начинается с таких, которые решаются непосредственно потенцированием.

Здесь следует прежде всего систематически обращать внимание на случаи, когда данное уравнение заменяется уравнением, ему не эквивалентным; сама же техника решения не вызывает затруднений у учащихся.

Например, при решении уравнения

целесообразно предварительно требовать от учащихся нахождения области его определения. Выше приведенное уравнение после потенцирования и освобождения от дробей приводится к квадратному уравнению

Его корни:

В школьной практике учащиеся нередко на этом завершают процесс решения, считая проверку пустой формальностью.

Те учащиеся, которые привыкли предварительно устанавливать область определения, сразу, еще до проверки, отбросят корень л; = — 1, так как он не удовлетворяет условию х>0.

При решении таких уравнений представляется удобный случай систематически подчеркивать учащимся, что операция потенцирования довольно часто приводит к уравнению, не эквивалентному данному. Уравнение

может иметь только положительные решения, а уравнение, полученное после потенцирования:

может иметь и отрицательные решения.

Появление постороннего решения происходит здесь при переходе от логарифмического уравнения к соответствующему алгебраическому вследствие расширения области определения. После таких разъяснений учащимся становится понятным, почему проверка в таких случаях составляет неотъемлемую часть всего процесса решения.

Целесообразно специально подбирать такие логарифмические уравнения, которые совсем не имеют корней. Для этой цели достаточно заменить предыдущее упражнение на такое:

Данное уравнение не имеет корней, так как алгебраическое уравнение, полученное после потенцирования, имеет корень х= — 1, а это значение х не является допустимым для функции Igx. Уравнений, подобных данному и не имеющих корней, можно составить сколько угодно.

Обычно многие учащиеся наивно полагают, что данное уравнение

не имеет корней вследствие совершенно другой причины. «Это равенство «невозможное», так как сумму нельзя логарифмировать».

Поэтому повышенный интерес вызывает у учащихся рассмотрение уравнения

Так как логарифмическая функция определена лишь для положительных чисел, то х>0 и а>0.

После потенцирования получается такое линейное уравнение:

х+а = ах,

откуда ,

Так как *>0, то а>1, ибо а>0. Так же легко

устанавливается, что и #>1, так как а>а—1. Как видно, при а>1 уравнение

имеет всего один корень:

Например, при а=3 уравнение

имеет корень

Рассмотрение данного уравнения является весьма поучительным для учащихся. Оно поможет им разобраться в том, что при некотором соотношении между двумя числами, большими единицы, имеет место «парадоксальное» утверждение: «логарифм суммы двух чисел равен сумме логарифмов этих же чисел».

Лишь после этого становится учащимся ясным истинный смысл условной фразы: «сумму нельзя логарифмировать»,

Принципиальная разница между двумя равенствами ioga{xy) = logax+logay и \oga(x+y)=logax+\ogay гораздо глубже осознается учащимися.

Первое равенство является тождеством, так как оно удовлетворяется при всех допустимых значениях х и у, второе равенство не является тождеством, так как оно удовлетворяется лишь при некотором соотношении между х и у.

Мы старались показать, что решение логарифмических и показательных уравнений при надлежащем методическом подходе может в значительной мере способствовать углубленному повторению учащимися свойств соответствующих функций, вопросов эквивалентности уравнений, графиков различных функций.

В то же время решение таких уравнений предоставляет учителю широкие возможности для повторения ряда важных разделов из предыдущего курса алгебры, для закрепления и усовершенствования навыков в рациональных приемах решения некоторых алгебраических уравнений и выполнения соответствующих тождественных преобразований.

М. В. ДОНСКОЙ (Горький)

ПЛАНИРОВАНИЕ ТЕМЫ «ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА».

В программе по алгебре в IX классе в теме «Логарифмы» предусматривается знакомство учащихся с устройством и употреблением логарифмической линейки и, кроме этого, на практические занятия по вычислению с логарифмической линейкой выделено 6 часов.

К основным вопросам знакомства с устройством и употреблением логарифмической линейки на уроках алгебры следует отнести:

1) понятие о функциональной шкале;

2) умножение и деление на линейке;

3) возвышение чисел в квадрат и куб и соответственно извлечение квадратного и кубического корня из чисел;

4) отыскание десятичных логарифмов чисел и нахождение числа по данному логарифму.

На уроках тригонометрии программой предусматривается умение находить синус и тангенс острого угла и решать обратную задачу.

Все эти вопросы могут обеспечить учащимся возможность решать любой пример или задачу на вычисление с помощью логарифмической линейки.

На занятиях математического кружка можно рассмотреть дополнительно следующие вопросы:

1) умножение и деление на шкале квадратов;

2) решение пропорций;

3) пропорциональное деление;

4) использование линейки как таблицы;

5) вычисление площади круга по его диаметру и решение обратной задачи;

6) решение задач с применением штриха С.

Следует также углубить изучение тригонометрических шкал логарифмической линейки.

Приводим примерную планировку уроков в изложенном выше плане ознакомления учащихся с логарифмической линейкой.

Содержание уроков в данной статье не приводится, так как материал этот общеизвестен и его можно найти в различных руководствах и пособиях. Приводим некоторые из них.

1. В. М. Брадис, Счетная логарифмическая линейка.

2. А. Н. Барсуков, Учебник алгебры, ч. II.

3. А. И. Маркушевич, В. М. Брадис и др., Учебник алгебры, ч. II.

4. К. А. Семендяев, Счетная линейка и др.

Первый урок.

Тема урока. Функциональная шкала логарифмической функции и ее построение. Знакомство с устройством линейки.

Основная задача урока состоит в том, чтобы учащиеся приобрели некоторый навык в построении функциональной логарифмической шкалы (с учетом модуля) и познакомились с частями счетной линейки.

Второй урок.

Тема урока. Шкалы логарифмической линейки. Установка и чтение чисел на основной шкале.

Целью этого урока является приобретение навыков установки и чтения чисел на основной шкале линейки.

Третий урок.

Тема урока. Умножение и деление на линейке.

На этом уроке учитель должен указать правила умножения и деления с помощью логарифмической линейки. Особо надо уделить внимание на понятие значности чисел и на подсчет значности произведения и частного. Следует рассмотреть два случая:

1) ab>0 и 2) ab<0.

Аналогично рассматриваем два случая при делении: 1) делимое больше делителя и 2) делимое меньше делителя. В порядке закрепления следует решить следующие примеры:

Желательно выяснить также следующие вопросы:

1) На чем основано умножение и деление чисел на логарифмической линейке?

2) В чем разница между значностью чисел и характеристикой десятичного логарифма этих чисел?

Задание на дом.

Четвертый урок.

Тема урока. Решение примеров на умножение и деление.

Урок посвящается повторению и опросу, а также проведению 10-минутной самостоятельной работы с последующей ее проверкой учителем.

Содержание урока.

Учащимся предлагается самостоятельно решить примеры. Пример 1.

После того как пример будет решен учащимися, учитель показывает наиболее рациональный порядок действий. В данном примере вычисления надо проводить в следующем порядке:

Значность результата равна сумме значностей сомножителей числителя минус значность знаменателя.

Подсчет значности: [0— ( —l)-fl]-h 2 —1=3 (с учетом перекидки движка).

Пример 2.

На втором примере вновь подробно поясняется порядок вычисления.

Выполнив деление (34,2:0,0132), получаем результат против начальной единицы движка (не прочитываем). При умножении полученного результата на 0,42 требуется «перекидка» движка. Значность в этом случае равна значности числителя минус значность знаменателя плюс единица.

Пример 3.

Порядок выполнения действий: (0,486 :0,124) • 0,007 : 2,5 • 26,4.

В процессе выполнения действий пришлось делать одну перекидку влево, следовательно, значность окончательного результата равна значности числителя минус значность знаменателя плюс единица.

Пример 4.

Порядок выполнения действий: f(12,8 : 965) • 41,5] : 72,5«0,0076. При вычислении этого примера пришлось делать одну перекидку вправо, поэтому значность окончательного результата равна значности числителя минус значность знаменателя и минус единица.

После разбора 4-го примера производится опрос 2—3 учащихся с одновременной проверкой домашнего задания, причем каждый ученик решает один из следующих примеров.

1) 0,895-17,3» 1,548;

2) 62,3: 0,46« 135,4; 0,225.0,005-54,5

В конце урока проводится самостоятельная работа, рассчитанная не более чем на 10 минут.

Для этого учитель раздает на листочках каждому ученику один из следующих 4 вариантов.

I вариант.

II вариант.

III вариант.

IV вариант.

Во время выполнения самостоятельной работы учащимися учитель должен следить за тем, чтобы подсчеты производились только логарифмической линейкой.

Задание на дом.

Вычислить:

Пятый урок.

Тема урока. Возвышение чисел в квадрат и извлечение квадратного корня из чисел. Шкала квадратов логарифмической линейки.

Примеры.

Если учитель будет располагать временем, следует предложить учащимся решить самостоятельно часть из следующих примеров.

Задание на дом. Вычислить:

Шестой урок.

Тема урока. Возведение чисел в куб и извлечение кубического корня.

В целях закрепления пройденного материала решаются примеры на умножение, деление, возвышение в квадрат и извлечение квадратного корня из чисел.

После того как проведено объяснение возведения числа в куб и извлечение из числа кубического корня, у доски решаются следующие примеры с объяснением:

Задание на дом. Вычислить:

Седьмой урок.

Тема урока. Отыскание десятичных логарифмов чисел и нахождение числа по данному логарифму.

На этом же уроке проводится вторая десятиминутная самостоятельная работа.

Примеры.

Указывается, что шкалу логарифмов целесообразно использовать главным образом при вычислении сложных степенных выражений и выражений, содержащих логарифмы.

Примеры.

Перемножая на линейке, получим

3. Вычислить

4. Вычислить

5. Вычислить

6. Вычислить

Самостоятельная работа рассчитана на 10 минут и дается в 4 вариантах.

Вариант I.

Вариант II.

Вариант III.

Вариант IV.

Задание на дом.

Вычислить:

Восьмой урок.

Тема урока. Нахождение синуса угла, заключенного между 5°44' и 90°. Нахождение угла по его синусу.

На уроке учащиеся должны приобрести навыки в определении с помощью логарифмической линейки значений синуса и косинуса данного угла, а также научиться решать обратную задачу.

Примеры.

Вычислить:

Задание на дом, Вычислить:

Девятый урок.

Тема урока. Нахождение тангенса угла, заключенного между 5С44' и 84°17.

Цель урока — ознакомить учащихся со шкалой тангенса и дать правила нахождения тангенса угла и угла по его тангенсу.

В начале урока ученикам предлагается решить следующие примеры:

3) Найти 18,8% от чисел 125; 384; 687. [23,5; 72,1; 129.] После этого необходимо познакомить учащихся со шкалой тангенсов.

Примеры.

В порядке закрепления материала проводится самостоятельная работа следующего содержания:

Задание на дом. 1. Решить примеры.

2. Вычислить:

Десятый урок.

Тема урока. Нахождение синусов и тангенсов малых углов и обратная задача. Нахождение тангенсов углов от 84е77' до 90°.

На этом же уроке проводится итоговая самостоятельная работа, рассчитанная на 20 минут.

Примеры.

На этой же шкале ST можно находить значения тангенсов углов от 0°34' до 5°44/.

В порядке закрепления следует решить следующие примеры:

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

I вариант.

1. Вычислить:

2. Вычислить логарифмированием:

3. Найти 17,8% от чисел

II вариант.

2. Вычислить логарифмированием:

III вариант.

IV вариант.

Примечание. Для удобства учителя ко всем приведенным примерам даны ответы.

В. И. КРУПИЧ (Москва)

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙКЕ.

I. Решение пропорций.

Шкалы логарифмической линейки таковы, что они дают возможность вычислять значения пропорциональных величин.

Если поставить начальный штрих C1* логарифмической линейки против D2, то можно убедиться, что при этом каждое деление верхней шкалы С будет показывать число, в два раза меньшее соответствующего числа нижней шкалы D. При этом получим равные отношения

Если начальный штрих нижней шкалы D1 поставить против СЗ, то получим равные отношения

где каждое деление верхней шкалы С в три раза больше соответствующего деления нижней шкалы D и т. д.

Это свойство шкал линейки дает возможность решать целый ряд практических вопросов, связанных с пропорциональными величинами. Приведем примеры. 1,32_9,9

Пример 1. Найти неизвестный член пропорции ~~Г~~*лГ,

Визирную линию бегунка ставим на Dl, подводим С1,32 под визирную линию, г. е. устанавливаем Cl,32 над Dl. Затем визирную линию бегунка переводим на С9,9 и под ней читаем на шкале D значащие цифры неизвестного члена пропорции: семь— пять, т. е. под С9,9 читаем D7,5. Ответ. лг«7,5.

Пример 2. Столбик жидкого чугуна высотой в 40 см давит на 1 см2 поверхности с силой 304 г. С какой силой давит на 1 см2 поверхности столбик жидкого чугуна высотой в 72 см?

* Для сокращения записи будем писать: Cl вместо «начальный штрих 1 шкалы С», С10 вместо «конечный штрих 10 шкалы С», аналогично D\ и D10; С2 вместо «установить (или установлено) на шкале С число 2», D7,5 вместо «число 7,5 взято (или установлено) на шкале D» и т. д.

Между величинами, данными в задаче, существует прямо пропорциональная зависимость, т. е.

Решая пропорцию

на линейке, получим х = 547,2 г. Положение запятой определяем по смыслу задачи.

Пример 3. Зубчатое колесо имеет 60 зубцов и делает 500 оборотов в минуту. Сколько оборотов в это же время сделает сцепленное с ним другое колесо, имеющее 20 зубцов?

Между данными величинами зависимость обратно пропорциональная. Составляем пропорцию:

Пропорцию переписываем так, чтобы неизвестный член был в знаменателе одного из равных отношений, т. е.

Ставим визирную линию бегунка на £>60, подводим С20 под визирную линию, т. е. устанавливаем С20 над D60. Затем визирную линию бегунка переводим на С500; тогда под ней читаем результат на шкале D. Но в этом случае штрих С500 вышел вправо за край линейки и прочитать ответ нельзя.

В этом случае визирную линию бегунка переводим на Cl и под нее подводим С10. Затем визирную линию бегунка переводим на С500 и под ней читаем на шкале D значащие цифры неизвестного члена пропорции: один — пять, т. е. под С500 читаем Dl—5.

Ответ. х=1500 (об/мин.).

Для того, чтобы найти неизвестный член пропорции с помощью логарифмической линейки, следует:

1. Переписать (если необходимо) пропорцию так, чтобы неизвестный член был в знаменателе одного из равных отношений.

2. С помощью движка совместить числитель (взятый на шкале С) и знаменатель (взятый на шкале D) известного отношения пропорции и против значения числителя второго отношения (взятого на шкале С) прочитать значащие цифры неизвестного члена пропорции на шкале D (если необходимо, сделать замену начального штриха Cl конечным штрихом С10, или наоборот).

Положение запятой в ответе обычно определяют по смыслу, исходя из данных задачи.

упражнения.

1. На дизель в 450 л. с. расходуется в течение семичасового рабочего дня 63 кг топлива. Сколько топлива требуется в 1 час на дизель в 60 л. с? [1,2 кг.]

2. 2,5 ц кокса дают столько же тепла, сколько 5 ц дров. Сколько надо кокса, чтобы заменить 250 ц дров? [125 ц]

3. На некотором участке железнодорожного пути старые рельсы длиной в 8 м заменили новыми длиной в 12 м. Сколько

потребуется новых двенадцатиметровых рельсов, если сняли 360 старых рельсов? [240 шт.]

4. Груз весом в 4,5 кг уравновешивается на рычаге гирей в 3,6 кг. Какой длины короткое плечо рычага, если длинное плечо равно 1,02 м? [0,816.]

5. Кирпичная стена высотой 20 м на фундамент производит давление, равное 3,6 кг/см2. Какое производит давление на фундамент кирпичная стена высотой 29; 37; 45 м?

6. Известно, что из 80 г окиси меди образуется 135 г хлорной меди. Какое потребуется количество окиси меди для получения 100; 67,5; 55 г хлорной меди? [59,2 г; 40 г; 32,6 г.]

II. Логарифмическая линейка как таблица.

Логарифмическая линейка дает возможность быстро находить ряд частных значений одной функции, не выполняя никаких вычислений. Покажем это на следующем примере.

Функция у = 0,08 X выражает зависимость расхода горючего (у) в килограммах для автомобиля «Москвич» от пройденного расстояния (я) в километрах.

Требуется найти ряд частных значений функции у по значению X.

На линейке определение значения у по данному значению х сводится к умножению коэффициента пропорциональности 0,08 на соответствующие значения х. Визирную линию бегунка ставим на Z)0,08, затем под визирную линию подводим конечный штрих С10 (либо Cl, но в данном случае для получения большего числа значений функции удобнее подвести под визирную линию конечный штрих С10), т. е. устанавливают С10 над £Ю,08.

После такой установки движка под каждым Сх читаем с помощью визирной линии бегунка соответствующие Dy, причем на шкале С будет откладываться путь х в километрах, а на шкале D — расход горючего у в килограммах.

Получим таблицу значений для х и у.

Положение запятой результата легко определяется по смыслу задачи.

III. Вычисление длины окружности и площади круга.

Вычисление длины окружности.

Известна формула длины окружности: /=тей, где те— постоянное число для всех окружностей и равно 3,14159 d— диаметр.

Для вычисления длины окружности достаточно умножить ее диаметр на число те. Так как число те постоянное, то оно особо отмечено на шкалах С и D линейки в интервале от 3 до 4.

Формулу длины окружности можно записать в виде пропорции

причем числа 1 и те устанавливаются на шкале С.

Пример. Найти длину окружности, если d= 17,38 см. Для определения длины окружности воспользуемся пропорцией

Для данного примера пропорция будет иметь вид

Устанавливаем Cl против D17,38. Затем переводим визирную линию бегунка на Сте и под ней читаем на шкале D значащие цифры неизвестного члена пропорции: пять — четыре — пять. Ответ. ^54,5 см.

Вычисление диаметра круга по длине его окружности.

Для того, чтобы с помощью логарифмической линейки решить обратную задачу, т. е. по длине окружности найти ее диаметр, воспользуемся той же пропорцией:

При отыскании неизвестного члена d числа те и 1 устанавливаем на шкале С.

Пример. Телеграфный столб имеет по окружности 78,5 см. Какова толщина столба?

Для решения задачи берем пропорцию

или для данной задачи

Визирную линию бегунка ставим на D78,5; устанавливаем Сте против D78,5. Затем переводим визирную линию бегунка на штрих Cl и под ней читаем на шкале D значащие цифры неизвестного члена пропорции: два — пять. Ответ. d^2b см.

Вычисление площади круга. Известны формулы для вычисления площади круга:

или 5=тег2. Для вычисления площади круга с помощью логариф-

мической линейкой воспользуемся другой формулой, которая получается из формулы S=^p путем несложных преобразований:

т. е. площадь круга выражают через его диаметр d и постоянное число с.

(Не следует смешивать число с с обозначением шкалы С на корпусе линейки.)

Таким образом, площадь кругаS= (-^-j*. Вычисление площади круга упрощается в этом случае тем, что на шкалах С и D имеются отметки с и С\. Отметка с находится в интервале (1, 2); отметка q— в интервале (3, 4), причем c1=]/rJ2-~ «3,568*.

Пример. Найти площадь круга, диаметр которого rf= 16,2 см.

Имеем 5= ( ) . Ставим визирную линию бегунка на штрих £46,2; подводим штрих Сс под визирную линию, т. е. устанавливаем штрих Сс против штриха D16,2. Затем визирную линию бегунка переводим на начальный штрих Cl и под ней на шкале D получаем численное значение частного , которое, как промежуточный результат, не читают. Это значение частного - возводим с помощью шкалы А в квадрат, для чего под визирной линией бегунка, установленной ранее на Cl, на шкале А читаем значащие цифры искомой площади круга, т. е. 2—0—6. Ответ. 5 «206 см2.

Вычисление диаметра круга по площади круга.

При решении обратной задачи, т. е. если нужно по площади круга найти его диаметр, пользуются формулой d = су S , которая получается из формулы 5= {.

Пример. Найти диаметр основания цилиндра, если площадь основания равна 6,6 дм2.

Подставляя численное значение площади в формулу d=cy s получим d^cysfi, или я?=Уб,бс\ Для решения задачи с помощью логарифмической линейки сначала извлекаем квадратный

* При вычислении площади круга мы для простоты будем пользоваться только отметкой с.

корень из числа 6,6, для чего ставим визирную линию бегунка на штрих Л6,6, в левой половине шкалы А; под визирной линией на шкале D получаем численное значение квадратного корня из числа 6,6, которое, как промежуточный результат, не называют. Это значение квадратного корня из числа 6,6 умножаем с помощью шкал С и D на постоянное число с, для чего под визирную линию бегунка подводим начальный штрих Cl, затем переводим визирную линию на штрих Сс и под ней на шкале D читаем значащие цифры искомого диаметра круга: два — девять. Ответ. d^2,9 дм,

УПРАЖНЕНИЯ.

1. Вычислить длину окружности, если радиус ее равен у см;

1 см; 1,5 см; 2 см. [3,14 см; 6,28 см; 9,42 см; 12,56 см.]

2. Вычислить диаметр шкива, если его окружность имеет 188,4 см; 125,6 см; 15,7 дм; 3,415 м; 0,92 м. [60 см; 40 см; 5 дм; 1,087 м; 0,293 м.]

3. Колесо автомобиля имеет в диаметре 0,7 м. Какое расстояние пройдет автомобиль, если колесо сделало 1450 оборотов? [3190 м.]

4. Определить площадь круга, если радиус его равен 15,7 см; 31,2 см; 47 см; 90,5 см. [775 см2; 3050 см2; 6940 см2; 25700 см2.]

5. Вычислить площадь круга, если его диаметр равен 11 дм; 26,7 дм; 59,2 см; 74,8 см [95 дм2; 560 дм2; 2750 см2, 4400 см2.]

6. Площадь поперечного сечения болта 64 мм*. Найти диаметр болта. [9,04 мм]

7. Найти диаметр круглой голландской печи, которая занимает площадь 60,632 м2. [0,89 м.]

IV. Задачи на проценты.

Всякое процентное вычисление связано с умножением или делением на 100. Однако ни умножение, ни деление на 100 не изменяет значащих цифр ответа. Поэтому при любых процентных вычислениях на логарифмической линейке сперва не обращают внимания на число 100 и учитывают умножение или деление на 100 лишь при определении значности результата.

Рассмотрим три задачи на процентные вычисления.

1) Найти 4,5% от числа 182.

Так как 4,5% =0,045, то умножаем 182 на 0,045, получаем в ответе число 8,19.

2) Найти число, 26,4% которого составляет 75,9.

Вычисляем искомое число по формуле

На логарифмической линейке делим 75,9 на 26,4. Но полученное частное в 100 раз меньше искомого результата, поэтому в окончательном ответе получаем трехзначное число 287.

3) Требуется узнать, сколько процентов составляет число 59 от числа 187.

На логарифмической линейке делим число 59 на число 187. Полученное частное умножаем на 100. В ответе получаем 31,6%.

УПРАЖНЕНИЯ.

1. Найти 58,6% от числа 684. [394.]

2. Найти 19% от числа 981,7. [186,2.]

3. Найти число, 71,9% которого составляет 2076. [2890.]

4. Найти число, 17% которого составляет 73,8 [434.]

5. Узнать, сколько процентов составляет 85 от 134. [63,5%.]

6. Узнать, сколько процентов составляет 480 от 125. [384%.]

7. Сберегательная касса платит вкладчикам 3% годовых. Сколько процентных денег получит вкладчик в конце года, если вклад составлял 60 руб., 53 руб., 980 руб., 1650 руб.? [1,8 руб.; 1,59 руб.; 29,4 руб.; 49,5 руб.]

8. Постройка дома стоила 9870 руб., из них 35,8% уплатили за работу. Сколько стоила работа? [3530 руб.].

9. Яблоки при сушке теряют 84% своего веса. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы приготовить 15,5 кг сушеных? [97 кг.]

10. Из 225 кг руды получили 34,2 кг меди. Каково процентное содержание меди в руде? [15,2%.]

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие редактора .... ......... 3

М. И. Ромакин. Краткий обзор программ и учебно-методической литературы по алгебре за 40 лет............... 5

С. И. Новоселов. Понятие действительного числа в школьном курсе алгебры ...................... 19

К. С. Барыбин. Метод симметрии в элементарной алгебре...... 30

В. И. Беляев. Только ли на свойствах арифметического корня основаны преобразования радикалов? ................. 40

В. В. Ушаков. К вопросу о культуре записей математических символов . 43

Н. И. Сырнев. О решении задач вычислительного характера в средней школе....................... 48

A. И. Новоселова. Повторение арифметики в VII классе...... 53

Г. М. Элиаш. Об одном из способов повторения материала по математике 64

Л. И. Г уткин. Неравенства при изучении курса алгебры VI класса ... 69

B. А. Зотов. К вопросу об областях определения функции в школьном курсе алгебры..................... 81

Ф. Ф. Нагибин. Изучение линейной функции в VII и VIII классах ... 86

Л. П. Доблаев. К вопросу о составлении уравнений........ 101

М. С. Черепнин. Об исследовании текстовых задаче курсе алгебры VIII—X классов....................... 108

И. И. Иванов. Об исследовании задач на составление уравнений в курсе алгебры VIII класса................... 112

М. М. Лиман. Значение и цель исследования уравнений ....... 124

Л. М. Фридман. Графическое решение текстовых задач....... 132

Э. А. Ясиновый. Некоторые упражнения для закрепления основных понятий темы «Функции и их графики»............ . 142

М. А. Иглицкий. Одно замечание о биквадратных уравнениях..... 149

Б. И. Томашев. Решение иррациональных уравнений в VIII классе способом введения вспомогательных неизвестных и графически .... 151

Я. И. Груденов. Устное решение систем уравнений высших степеней . . 160

Д. М. Маергойз. О показательных и логарифмических уравнениях в школьном курсе алгебры................. 171

М. В. Донской. Планирование темы «Логарифмическая линейка» ... 180

В. И. Крупич. Решение некоторых практических задач на логарифмической линейке ............... 191

ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ АЛГЕБРЫ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Редактор С. В. Пазельский Переплет художника Л. М. Чернышева Художественный редактор А. В. Максаев Технические редакторы М. И. Натапов и Г. Л. Татура Корректор Т. М. Графовская

Сдано в набор 17/V 1958 г. Подписано к печати 13/iXII 1958 г. 60 X92716. Печ. л. 12,5. Уч.-изд. л. 10,85. Тираж 28 ООО экз. А 09743. Цена без переплета 2 р. 95 к. Переплет 80 коп.

Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, д. 41. Заказ № 3608. Полиграфический комбинат им. Я. Коласа, г. Минск, Красная, 23.