Т. А. Иванова

СОВРЕМЕННЫЙ УРОК МАТЕМАТИКИ:

теория, технология, практика

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный педагогический университет»

Т. А. Иванова

Современный урок математики: теория, технология, практика

Книга для учителя

Нижний Новгород 2010

УДК 51 (07) ББК 22.1р2 И 20

Печатается по решению редакционно-издательского совета Нижегородского государственного педагогического университета

Иванова Т. А.

И 20 СОВРЕМЕННЫЙ УРОК МАТЕМАТИКИ: ТЕОРИЯ, ТЕХНОЛОГИЯ, ПРАКТИКА: Книга для учителя. - Н. Новгород: НГПУ, 2010. - 288 с.

ISBN 978-5-85219-191-5

В книге анализируются все компоненты урока математики как целостной методической системы (цели, содержание, технология обучения) в контексте концепций гуманитаризации образования, личностно ориентированного, деятельностного и технологического подходов к обучению. С этих позиций описывается структура урока, требования к нему, технология проектирования классических уроков основных типов: изучения нового, системы уроков решения задач, обобщения и систематизации знаний. Изложение сопровождается многочисленными примерами, в том числе подробными конспектами уроков.

Книга предназначена учителям, студентам математических специальностей педвузов и университетов, специалистам в области теории и методики обучения математике.

УДК 51 (07) ББК 22.1р2

Рецензенты:

Г. И. Саранцеву чл.-кор. РАО, д-р пед. наук, профессор Мордовского государственного педагогического института;

И. А, Уютнова, учитель математики высшей категории педагогической гимназии №80 г. Нижнего Новгорода

ISBN 978-5-85219-191-5

Иванова Т. А., 2010 НГПУ, 2010

Предисловие

В периодической печати последних десятилетий публикуется много разработок конспектов вариантов уроков математики различных типов и видов. Однако в основном это так называемые нетрадиционные уроки: театрализованные уроки, уроки соревнования, уроки с дидактическими, ролевыми, деловыми играми, уроки - КВН и т.д. В последние годы снова возвращаются к методу проектов (проектное обучение). Мы не игнорируем перечисленные виды уроков. Но все-таки не они играют главную роль в математическом образовании школьников, в формировании у них системы математических знаний, в их развитии и воспитании в процессе математической деятельности, не эти уроки обеспечивают фундаментальность школьного математического образования.

Наряду с указанными выше нетрадиционными уроками появились совершенно новые типы и виды уроков в системах развивающего обучения, в частности в системах Д. Б. Эльконина - В. В. Давыдова, Л. В. Занкова. Однако полное внедрение этих систем в массовую школьную практику имеет объективные трудности, которые на сегодняшний день не устранены. Во-первых, соответствующие концепции разработаны для начальной школы и лишь в ней прошли экспериментальную проверку. Во-вторых, любая психологическая концепция идеализирована, абсолютна и ее внедрение в практику работы школы неизбежно связано с коррекциями, вызванными сложившимися реалиями. Наконец, система развивающего обучения Д. Б. Эльконина - В. В. Давыдова предполагает коренное изменение структурирования содержания, а значит, и программ по математике, массовую и длительную переподготовку учителей.

В то же время в теории и методике обучения математике в последние два десятилетия разработаны концепции личностно ориентированного, развивающего обучения, гуманитаризации и дифференциации образования, деятельностного и технологического подходов, которые позволяют уже сейчас существенно улучшить качество математического образования. Однако в большинстве своем соответствующие им методические системы обучения все еще остаются на теоретическом уровне. Недостаточно методических разработок, показывающих, как адекватно им следует конструировать уроки математики.

Отличительные особенности данной книги состоят в следующем.

Во-первых, мы придерживаемся умеренных взглядов на модернизацию урока математики: не отказываемся от того ценного, что имело место в традиционных уроках. В частности, речь идет о системообразующих, классических уроках изучения нового, решения задач, обобщения и систематизации, которые только и обеспечивают фундаментальность математического образования и которым пока нет альтернативы. Но эти уроки должны быть наполнены новым содержанием, новыми смыслами. Поэтому под современным уроком математики мы понимаем классический (академический) урок, все компоненты которого анализируются с позиций системного подхода на основе современных психолого-педагогических и методических концепций.

Во-вторых, каждая из имеющихся концепций направлена на создание условий для развития и саморазвития личности ученика средствами математической деятельности. Поэтому все эти концепции взаимообусловлены и взаимодополняемы. Их интеграция, органичный синтез должны определять сущность современного урока математики.

В-третьих, основными компонентами урока математики как целостной системы являются цели урока, его содержание, технология обучения как взаимосвязанная деятельность учителя и учащихся, направленная на усвоение определенного содержания и гарантирующая достижение поставленных целей. Следовательно, сущность каждого из этих компонентов должна быть переосмыслена в соответствии со сказанным выше.

В-четвертых, инвариантная структура урока, которая определяет и технологию обучения, должна быть адекватна специфике учебной деятельности, ее психологической структуре, когда ученик является субъектом деятельности на каждом этапе: мотивационно-ориентировочном, операционно-познавательном, рефлексивно-оценочном. Структурные звенья (вариативная часть) обуславливается выделенными выше инвариантными частями, целями урока.

В-пятых, в книге выделены условия проектирования урока математики в контексте современных концепций обучения. В соответствии с ними во второй части показывается, как проектировать и проводить уроки изучения нового, уроки решения задач, обобщения и систематизации знаний на разных уровнях, разрабатывать систему уроков (проект) по учебной теме.

В третьей части книги приводятся конкретные конспекты уроков, проведенных в различных учебных заведениях г. Нижнего Новгорода: лицеях №28 и №165, общеобразовательных школах №115 и №148, со студентами педагогического вуза. Практически все представленные уроки и занятия проводились открытыми. Три из них были проведены для участников Всероссийской научно-практической конференции «Современный урок математики: теория и практика», которая была организована кафедрой теории и методики обучения математике Нижегородского государственного педагогического университета. Описание уроков достаточно подробное. Это вызвано в том числе и тем, что процесс обучения в настоящее время трактуется как общение (учитель - учащиеся, ученик - ученик и т. д.), направленное на усвоение школьниками определенного содержания и достижение триединой цели урока. Управление таким общением происходит посредством системы вопросов и заданий учителя. От содержания и логики последних во многом и зависит качество учебной деятельности школьника, успех урока. Идеология уроков согласуется с общими теоретическими и методическими положениями, изложенными в первых двух частях книги, и конкретизирует их.

Авторы уроков:

Егорова Наталья Николаевна, канд. пед. наук, учитель математики;

Кириллова Светлана Владимировна, канд. пед. наук, учитель высшей категории, четырежды лауреат премии Сороса;

Кузнецова Лидия Ивановна, канд. пед. наук, отличник народного просвещения, учитель математики.

Марычева Наталья Михайловна, заслуженный учитель РФ, учитель математики высшей категории;

Серова Наталья Александровна, канд. пед. наук, учитель математики высшей категории;

Ражева Наталья Юрьевна, учитель математики высшей категории, директор школы №148 г. Нижнего Новгорода.

Отметим, что значительная часть идей и взглядов, изложенных в данной книге, развивалась и внедрялась в практику работы (со студентами и школьниками) преподавателями и аспирантами кафедры теории и методики обучения математике Нижегородского государственного педагогического университета. Результаты сотрудничества с ними изложены в учебном пособии «Теория и технология обучения математике в средней школе» (Т. А. Иванова, Е. Н. Перевощикова, Т. П. Григорьева, Л. И. Кузнецова; Под ред. Т.А. Ивановой, 2009 год), а также в диссертационных исследованиях Н. Н. Егоровой, С. В. Кирилловой, О. К. Огурцовой, Н. А. Серовой (выполненных под нашим руководством). Всем коллегам автор выносит благодарность и признательность за сотрудничество.

Т. А. Иванова

Часть I. Урок как целостная методическая система обучения математике

1.1. Введение

Урок, несмотря на критическое к нему отношение некоторых ученых, остается основной формой организации процесса обучения в целом и математике в частности. Из всех известных в настоящее время форм обучения, в том числе нетрадиционных, только урок обеспечивает усвоение учащимися определенной системы математических знаний. Современный урок математики -это урок, который проектируется и проводится на основе новейших достижений психолого-педагогической и методической науки, с использованием передового педагогического опыта. Следовательно, его характеристика, раскрытие его сущности невозможно без анализа основных концепций обучения, разработанных в конце XX столетия.

Для того чтобы говорить о современном уроке математики, кратко проанализируем основные этапы развития теории и практики урока.

Как известно, в Древней Греции обучение было преимущественно индивидуальным. В школах средневековья преобладала индивидуально-групповая форма обучения. В XVII веке возникла и получила распространение во всем мире классно-урочная система занятий. Ее контуры наметил немецкий педагог И. Штурм, а разработал первые теоретические основы и воплотил в практику ЯЛ. Коменский. Для ее развития много сделали и русские педагоги, в том числе К.Д. Ушинский. Он разработал теорию урока, в которой большое внимание уделял самостоятельной работе учеников.

В нашей стране в 20-е годы XX столетия сформировалось резко отрицательное отношение к содержанию и методам дореволюционной школы как буржуазной. Вводились такие формы обучения, как бригадно-лабораторный метод, метод проектов и комплексная система обучения. Математика (как и любой другой учебный предмет) не выступала в качестве самостоятельного и систематического предмета изучения, а являлась «вспомогательным» средством для выполнения определенного проекта в комплексе знаний по трем общим разделам: природа, труд, общество. Такое обучение разрушало принцип систематичности и системности знаний, что привело к снижению уровня математической подготовки учащихся.

В начале 30-х годов прошлого столетия стала возрождаться классно-урочная система обучения, урок становится его основной формой. С тех пор не прекращаются исследования по совершенствованию урока в целом и урока математики в частности.

В пятидесятые годы появился целый ряд основательных теоретических работ, раскрывающих суть урока, который мы теперь условно называем традиционным.

В работах этого периода, с одной стороны, подводится итог развития отечественной дидактики, в том числе урока, а с другой - анализ недостатков

сложившегося положения. До 50-х гг. урок характеризовался жесткой структурой, звенья (элементы) которой определяли одну и ту же последовательность в работе учителя и учащихся, что приводило к шаблонному построению уроков: организационный момент, проверка домашнего задания, изложение нового материала учителем, закрепление новых знаний путем тренировочных упражнений; повторение изученного; проверка и оценка знаний; подведение итогов; задания на дом.

Г.Д. Кириллова приходит к выводу, что шаблон в построении урока рассматриваемого периода объясняется статикой традиционного процесса обучения [32, с. 13]. Его суть проанализировал в свое время М. Н. Скаткин, назвав его «объяснительным». Деятельность учителя заключалась в объяснении с применением наглядности, комментариями, доказательствами. Деятельность учащихся сводилась к запоминанию объяснений учителя, воспроизведению изученного, выполнению по образцу самостоятельных работ на этапе закрепления и контроля знаний.

Традиционное построение урока в 50-60-е годы прошлого века стало подвергаться резкой критике как со стороны ученых, так и со стороны работающих учителей. Поиск путей повышения эффективности урока шел разными путями. Один из них состоял в перестройке отношений в деятельности учителя и учащихся с целью активизации познавательной деятельности последних. В связи с этим применялись различные средства управления деятельностью учащихся: комментирование, система самостоятельных проверочных работ, алгоритмические предписания, планы-инструкции, образцы способов решения задач и т.д. Усилия учителя направлялись на поэлементное усвоение материала учениками. И все же деятельность учащихся носила исполнительский характер, и поиски путей повышения эффективности урока велись практически в рамках этой деятельности.

Наряду с описанным направлением возникает тенденция построения урока, для соотношения структурных элементов которого характерен принцип объединения (синтезированный урок). Наиболее полное воплощение он получил в опыте работы липецких учителей («липецкий опыт»). Суть его состояла в том, что отдельные элементы урока органически сливались с другими звеньями (усвоение знаний осуществлялось в единстве с формированием умений и навыков; повторение велось в новых связях и сочетаниях при изучении нового материала и т.д.), деятельность учителя не отрывалась от деятельности учащихся.

В любом из указанных направлений начинает решаться проблема активизации познавательной деятельности учащихся. Однако ученик при этом продолжал оставаться объектом интенсивного обучения.

Следующий этап в развитии урока (70-80-е гг.), связанный с решением проблемы активизации познавательной деятельности обучаемых, был направлен на изменение вида этой деятельности. В первую очередь он характеризуется тем, что ученик должен быть активным участником познавательного процесса, а его деятельность должна носить поисковый, творческий характер. В

эти годы в дидактике появляются исследования Ю.Б. Зотова, Г.Д. Кирилловой, И.Я. Лернера и М. Н. Скаткина, М.И. Махмутова, В.А. Онищука и др., посвященные современному уроку.

Общим, что объединяет эти работы, является положение о развивающей функции обучения. Развитие ученика в процессе обучения обеспечивается его участием в поисковой, творческой деятельности по добыванию новых знаний. В основу характеристик и сущности урока этого периода были положены результаты психолого-педагогических исследований того времени, определяющие пути организации творческой деятельности учащихся: проблемное обучение (И.Я. Лернер, М. Н. Скаткин, А.Н. Матюшкин, М.И. Махмутов, Т.И. Шамова и др.); выделение методов обучения в соответствии с уровнем активности учащихся и по сходству с методами научного познания (информационный, проблемное изложение, частично-поисковый, исследовательский); создание условий для формирования внутренних стимулов учения, развития познавательного интереса (В.С. Ильин, Ю.В. Шаров, Г.И. Щукина и др.); теоретическое обобщение (В.В. Давыдов). Совершенствование урока происходит с позиций системного подхода. Урок при этом рассматривается как целостная система, основными компонентами которой являются цели, содержание и методы обучения. Сущность урока раскрывается через такие его характеристики: компоненты урока как целостной системы, их взаимосвязь и взаимовлияние, дидактическая и методическая структура урока, ее основные звенья (элементы); требования к уроку, типы уроков.

В настоящее время дидакты выделяют два аспекта сущности урока: как целостный педагогический процесс и как форма его (процесса) организации. Урок в этом смысле - это динамичная и вариативная форма организации процесса целенаправленного взаимодействия (деятельности и общения) определенного состава учителей (преподавателей) и учащихся, включающая содержание, формы, методы и средства обучения и систематически применяемая (в одинаковые отрезки времени) для решения задач образования, развития и воспитания в процессе обучения. По образному выражению М.Н. Скаткина, урок является клеточкой учебного процесса, в которой отражаются все стороны последнего. В нем сконцентрирована значительная часть педагогики. Следовательно, прежде чем приступить к описанию урока, необходимо хотя бы кратко охарактеризовать современное толкование процесса обучения и его основные функции.

Современная дидактика трактует обучение как целенаправленное, заранее запрограммированное общение учителя и ученика, в ходе которого осуществляется образование: школьниками усваиваются отдельные стороны опыта человечества, опыта деятельности и познания и осуществляется развитие, саморазвитие и воспитание ученика. Поэтому обучение математике с позиций современной педагогической науки следует понимать как целенаправленное общение, в ходе которого усваивается определенное математическое содержание, обеспечивающее саморазвитие и воспитание личности школьника.

Дидактика и соответственно методика обучения математике исследует процесс обучения с позиций системного подхода. Понятие «система» определяется как совокупность элементов, находящихся в определенных связях и отношениях друг с другом, которые образуют определенную целостность. Целостность - основное характеристическое свойство системы - предполагает принципиальную несводимость системы к сумме образующих ее частей и невыводимость из какой-либо ее части свойств как целого всей системы. Взаимосвязь компонентов и свойственные им структурные зависимости направляют развитие, поведение системы.

Процесс обучения как дидактическую систему определяют следующие компоненты: личностный, целевой, содержательный, процессуальный (деятельностный), результативный. Предметом методики обучения математике является методическая система, компонентами которой служат целостная структура личности и закономерности ее развития, цели математического образования, гуманитарно-ориентированное содержание, методы, средства, формы обучения. Заметим, что в последние десятилетия в педагогику вошел новый термин «технология обучения». Он имеет разные трактовки. Одна из них состоит в том, что под технологией обучения понимается система методов, форм и средств обучения, направленная на усвоение определенного содержания и обеспечивающая наиболее эффективное достижение поставленных целей. Поэтому для краткости изложения три компонента (методы, формы и средства обучения) объединим в один и назовем его «технология обучения».

Таким образом, на теоретическом уровне методическая система обучения математике состоит из четырех основных компонентов: целостной структуры личности, целей математического образования, гуманитарно-ориентированного содержания, технологии обучения. Она описана нами в работе [85].

Урок математики - сложное системное явление, которое определяется особенностями учащихся данного класса, целями урока, его содержанием и технологией обучения. Все эти компоненты находятся в очень сложных, нелинейных связях. Но только их целостность и единство обеспечивает три основные функции учебного процесса в целом и урока в частности: образовательную, развивающую и воспитательную. Следовательно, для того чтобы раскрыть сущность каждого компонента урока как целостной системы, следует сначала осознать смысл каждой из указанных его функций, определяющих триединую цель урока.

1.2. О единстве и целостности образовательной, развивающей и воспитательной функций урока

В последние десятилетия появилось значительное число исследований, посвященных проблеме развивающего обучения математике (X. Ж. Ганеев, С. Р. Когаловский, В. В. Тестов и др.). В работах указанных авторов анализируются две получившие на сегодняшний день признание психолого-

педагогические концепции развивающего обучения: Л. В. Занкова и Д. Б. Эльконина - В. В. Давыдова.

Основное внимание в этих исследованиях уделяется развитию особого типа мышления: эмпирического (в системе Л. В. Занкова) и теоретического (в концепции Д. Б. Эльконина - В.В. Давыдова). В соответствии с таким анализом строятся и авторские концепции развивающего обучения математике. Нам представляется, что такой подход к анализу психолого-педагогических концепций развивающего обучения, во-первых, сужает и обедняет каждую из них; во-вторых, не позволяет спроектировать целостную методическую систему обучения математике, в которой в органическом единстве реализовались бы три ее основные функции: образовательная, развивающая и воспитательная. Кратко опишем сущность каждой из них.

Образовательная функция урока математики

Образовательная функция обучения математике в целом заключается в усвоении учащимися системы научных знаний, умений и навыков, в формировании у них умений творческого использования этих знаний и самостоятельного приобретения на их основе новых. Образовательная функция решает и мировоззренческие задачи. Учащиеся должны понимать, что такое математика, каков предмет ее изучения, в чем специфика ее метода познания действительности, как она связана с практикой, какова специфика математической деятельности и т.д. Ознакомление с математикой как определенным методом миропознания, формирование понимания диалектической взаимосвязи математики и действительности, представление о предмете и методе математики, его отличиях от методов естественных и гуманитарных наук, о математическом моделировании, владение математическим языком, понимание сущности и роли в познании действительности ведущих математических понятий способствуют миропониманию, вносят существенный вклад в формирование общей культуры личности.

Содержание обучения должно обеспечивать реализацию образовательной функции. В соответствии с этим требует хотя бы краткого пояснения такая категория дидактики, как «знание». Под знанием часто понимают лишь то содержание, которое зафиксировано в программах и представлено в учебниках (знание - результат): знание о предметах, фактах, явлениях в их связях и отношениях - информационная компонента. В математике это формулировки аксиом, определения (описания) понятий, теоремы и их доказательства, правила, алгоритмы (частные способы математической деятельности типа как сложить два числа с разными знаками). Последние четко выделены в арифметике, частично - в алгебре (например, нигде в учебниках не выделен алгоритм решения задач с помощью уравнений) и практически не выделены в геометрии. Однако в содержании образования должны быть представлены и другие виды знания -методологические знания (И.Я. Лернер, Л.Я. Зорина, И.С. Якиманская). Мето-

дологические знания включают в себя знания о методах, процессе и истории познания, о конкретных методах науки, о различных способах деятельности.

Математические методологические знания определяются выделенными мировоззренческими аспектами, а также методологией научного поиска в математике. Они включают в себя: историю математики, предмет математики, ее ведущие понятия и их связь с действительностью, путь познания в математике и его методы (в том числе и аксиоматический метод), сущность и методы доказательства и связанную с ними логическую культуру, специфику поисковой математической деятельности и ее методы, стиль математического мышления, специальные методы и приемы.

Как будет показано далее, овладение таким содержанием реализует и другие функции обучения. К сожалению, пока еще методологические знания не представлены должным образом в содержании математического образования ни в программах, ни в учебниках. Исключением являются учебники по алгебре, алгебре и началам анализа А.Г. Мордковича. В них автор целенаправленно, убедительно и последовательно показывает ученикам, что математика изучает модели явлений и объектов окружающего мира, что важным методом познания этих явлений является метод математического моделирования, раскрывает сущность и особенности математического языка. В основном же учителю приходится самому выявлять те методологические знания, которые не явно представлены в тексте учебника.

Развивающая функция урока математики

В процессе овладения системой знаний, умений и навыков происходит развитие:

-мышления (через усвоение логических операций анализа, сравнения, синтеза, обобщения, абстрагирования, конкретизации и т.д.), воображения, памяти, речи, чувств, познавательного интереса и познавательных потребностей;

-качеств ума (пытливость, гибкость, критичность, креативность, глубина, широта, самостоятельность).

Развивающая функция обучения математике связана в первую очередь с развитием интеллекта человека. В настоящее время в педагогической психологии и практике обучения активно обсуждаются и внедряются в учебный процесс начальной школы две концепции развивающего обучения: Л.В. Занкова и концепция Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова. Приведем их краткую характеристику, подробнее о них читатель может узнать в работах [14, 15, 57].

Прежде всего, отметим, что авторы обеих концепций опираются на идеи Л.С. Выготского о зоне ближайшего развития, высказанные им в 30-е годы прошлого века. Ученый вводит два уровня развития ученика: актуальный и возможный. Под первым он понимает уровень, которого уже достиг ученик в ходе своего развития. Он характеризуется тем, что ученик может выполнять определенную деятельность, которую он приобрел под руководством учителя, полностью самостоятельно. Под уровнем возможного развития понимают уро-

вень, который характеризуется тем, что пока ребенок еще не может полностью самостоятельно решить предложенную задачу, но под руководством взрослых или в сотрудничестве с более развитыми учащимися он ее решает. Расстояние между уровнем актуального и возможного развития и является зоной ближайшего развития ребенка [7].

Согласно Л.С. Выготскому, всякая высшая психическая функция в развитии ребенка проявляется дважды: сначала как деятельность коллективная, социальная, второй раз как деятельность индивидуальная, как внутренний способ мышления ребенка.

Система развивающего обучения Л.В. Занкова опирается на идеи Л. С. Выготского и строится на следующих принципах:

-обучение на высоком уровне трудности (с соблюдением меры трудности);

- ведущая роль теоретических знаний;

-изучение программного материала быстрым темпом;

-осознание школьниками процесса учения;

-общее развитие всех учащихся, в том числе и наиболее сильных и наиболее слабых.

Эти принципы определяют как иной способ отбора содержания, так и иную методику обучения. Последняя носит поисковый характер и направлена не только на развитие интеллекта школьника, но и на развитие эмоций, стремлений, волевых качеств. В процессе обучения по системе Л.В. Занкова у школьников возникает такое ценное качество, как способность к рефлексии, которая выражается в анализе и осознании своей учебной деятельности, своих способов овладения понятиями, формируется способность к самоконтролю, отношение к себе как к ценности. Все это возможно лишь при определенных отношениях между учителем и учащимися.

Учитель обеспечивает свободу самореализации ребенка, создает такие условия, чтобы последний не боялся высказывать свои, пусть еще и незрелые, мысли, свои наблюдения, научился задавать вопросы.

В классе создается атмосфера увлеченности и удовлетворенности детей учением, которая позволяет каждому ученику испытать радостные переживания от достижения им определенного успеха.

Таким образом, во главу угла в системе Л.В. Занкова выдвигается задача общего психического развития, которое понимается как развитие ума, воли, чувств детей и рассматривается как надежная основа формирования знаний, умений и навыков. Отметим, что методика обучения Л.В. Занкова соответствует духу личностного ориентированного обучения, о котором будем говорить далее.

В.В. Давыдов критиковал систему Л.В. Занкова за то, что она, по его мнению, развивает у ребенка лишь эмпирическое мышление. Рассудочно-эмпирическое мышление опирается на наглядные образы. Эмпирическое - это чувственно-конкретное мышление. Личностная деятельность направлена на расчленение, регистрацию и описание чувственного опыта. Образование эм-

лирических понятий происходит в процессе движения от частного к общему, от чувственно-конкретного к абстрактному, выраженному в слове.

Система развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В. В. Давыдова отличается тем, что в ней акцент делается на формирование теоретического мышления школьников. Согласно этой концепции результатом развивающего обучения должно стать появление и развитие у ребенка следующих основных новообразований:

-учебной деятельности и ее субъекта;

- абстрактно-теоретического мышления;

-произвольного управления поведением [14, с.37].

Учебная деятельность включает соответствующие потребности, мотивы, задачи, действия и операции. Носителем учебной деятельности является ее субъект (ученик). Первоначально это коллективный субъект. Постепенно учебную деятельность должен уметь осуществлять каждый ученик, т.е. ученик становится индивидуальным субъектом. Обучение может стать полноценным только в том случае, если учащиеся усваивают принципы и способы учебной деятельности.

Для формирования учебной деятельности школьник должен решать учебные задачи. Учебная задача отличается от многообразных частных задач, входящих в тот или иной класс. При решении учебной задачи учащиеся первоначально овладевает общим способом решения частных задач. Но этот общий способ они должны открыть сами под управлением учителя. Учебная задача требует от школьников: 1) анализа ее условий с целью обнаружения в них некоторого общего отношения, имеющего закономерную связь с различными его проявлениями, т.е. построения содержательной абстракции и содержательного обобщения; 2) выведения на основе этой абстракции и этого обобщения некоторых частных отношений и их объединения (синтеза) в целостный объект, т.е. построение его «клеточки» и мысленного конкретного объекта; 3) «овладения в этом аналитико-синтетическом процессе общим способом мысленного построения изучаемого объекта», - пишет В.В. Давыдов [15, с. 158].

Решение учебной задачи направлено на усвоение школьниками обобщенных способов предметных знаний, что служит основой изменения самого субъекта учебной деятельности, развитием научного, разумного, теоретического мышления. В.В. Давыдов характеризует его следующим образом: «Так, этому мышлению свойствен анализ как способ выявления генетически исходной основы некоторого целого. Далее, для него характерна рефлексия, благодаря которой человек постоянно рассматривает основания своих собственных мыслительных действий и тем самым опосредствует одно из них другими, раскрывая при этом их внутренние взаимоотношения. Наконец, теоретическое мышление осуществляется в плане мысленного эксперимента, для которого характерно выполнение человеком такого мысленного действия, как планирование» [15, с. 69].

Таким образом, мотивированное выявление учебной задачи и ее постановка, поиск ее решения и решение, оценка результата и собственной дея-

тельности учеником - основные слагаемые системы развивающего об учения Д. Б. Эльконина - В. В. Давыдова.

В обеих концепциях центральное место принадлежит ученику как активному субъекту учебной деятельности. И та и другая предполагают, что развитие школьника происходит в процессе поисковой деятельности. В своих работах В.В. Давыдов писал также и о том, что ребенка нужно включать в деятельность по воспроизведению тех знаний, которые уже выработало человечество. Обучение в школе важно вести так, чтобы оно в сжатой, сокращенной форме воспроизводило действительный исторический процесс рождения и развития знаний.

Следовательно, вторым не менее важным условием развивающего обучения математике является включение ученика в самостоятельный (управляемый учителем) поиск субъективно новых для него знаний в соответствии со спецификой творческой математической деятельности.

В свою очередь, участие в такой деятельности предполагает овладение ее методами и приемами, т.е. познавательными средствами. Работы Ж. Адамара, М. Клайна, Ф. Клейна, А. Н. Колмогорова, Д. Пойа, А. Пуанкаре, Г. Фройденталя и других математиков позволяют утверждать, что творческая математическая деятельность гарантирует развитие эмпирического и теоретического мышления в их органичном единстве. Анализ работ указанных авторов позволил нам создать одну из моделей математической деятельности, которая отражает процесс познания в математике и методы научного познания и которая может быть положена частично в основу модели учебно-познавательной математической деятельности (см. схему).

Включение ученика в поисковую деятельность происходит через постановку, принятие и решение учебной задачи. Она выступает как цель предстоящей деятельности ученика на уроке.

В то же время участие в поисковой деятельности будет формировать и математическое мышление школьника, вместе с тем, чтобы учитель делал это осознанно, важно определить компоненты последнего. Учитывая, что нет единой трактовки этого понятия в научной литературе, мы выделим лишь компоненты культуры мышления, которые можно формировать у школьников при надлежащем содержании и технологии обучения и которые мы опишем через специальные умения.

1. Осознание предмета математики, ее ведущих понятии, идей и методов, осмысленное оперирование ими как при изучении математики, так и в ее приложениях и в практической деятельности.

2. Владение логической составляющей математической деятельности:

- понимание логической структуры определения понятия (род, видовые отличия, их конъюнктивная или дизъюнктивная связь, наличие и смысл кванторов, умение формулировать отрицание понятия);

Накопление опыта

Общенаучные эмпирические методы:

- наблюдение,

- сравнение.

- анализ Частные методы:

- вычисление,

- построение.

- измерение,

- моделирование

Выдвижение гипотез

Гипотетико-дедуктивные методы:

- анализ.

- синтез.

- аналогия.

- неполная индукция.

- обобщение,

- абстрагирование.

- интуиция.

- конкретизация.

- дедукция

Проверка истинности доказательством

Сущность доказательства

Законы логики в доказательстве

Дедуктивные методы доказательства или опровержения:

- синтетический.

- аналитический.

- от противного.

- полная индукция.

- исчерпывающих проб.

- математическая индукция.

- контрапозиция,

- приведение контрпримера

Специальные методы

Построение теории

Аксиоматический метод

Выход в практику

Математическое моделирование

- умение оперировать определением понятия: подводить под понятие, выводить следствия;

- умение сравнивать объекты по указанному признаку, выделять существенные основания для их сравнения;

- умение проводить классификацию понятий по заданному и самостоятельно найденному основанию;

- понимание логической структуры теоремы, умение формулировать обратное, противоположное, противоположное обратному утверждения и понимание логической связи между этими четырьмя предложениями;

- понимание сущности доказательства, полноценности аргументации;

- владение дедуктивными методами доказательств и опровержений: синтетическим, аналитическим, от противного, методом исчерпывающих проб, полной индукции, контрапозиции, методом математической индукции.

3. Владение эвристической составляющей математической деятельности:

- умение выявлять закономерности и устанавливать аналогии;

- умение осуществлять перебор возможных случаев;

- умение выдвигать гипотезы на основе аналогии, неполной индукции, обобщения, конкретизации, пространственного воображения, интуиции как для постановки проблем, так и для их решения.

4. Умение отличать достоверные выводы от правдоподобных, вероятностных выводов.

5. Владение алгоритмической составляющей математической деятельности:

- понимание сущности алгоритма;

- умение пользоваться готовыми алгоритмами;

- умение самостоятельно создавать алгоритм какого-либо действия.

6. Владение математическим языком (математической терминологией, символикой), умение четко, последовательно, лаконично, логично выражать свои мысли как устно, так и письменно.

Учитывая специфику сензитивных периодов в развитии психики, ее основы должны быть заложены в девятилетней школе, в рамках общего математического образования, независимо от дальнейшего профиля обучения.

Итак, развивающая функция обучения математике будет реализована при соблюдении следующих основных условий :

включение учащихся в поиск субъективно новых для них знаний в соответствии со спецификой творческой математической деятельности;

овладевание методами и способами поисковой математической деятельности;

выявление учащимися проблемы, учебной проблемной задачи, на решение которой и направлен поиск;

совместное (учителя и учащихся) решение проблемы, оценка найденного способа действия (в нашем случае - определения понятия, теоремы, правила, идеи, метода, которые трансформируются в новые способы математической деятельности);

рефлексия учеником полученных результатов и собственной деятельности.

Для выявления, постановки и решения учебной проблемной задачи у школьников должны быть сформулированы внутренние потребности и мотивы. Деятельности без мотивов не бывает. Их формирование возможно только в результате систематической, последовательной, целенаправленной работы на каждом уроке и непосредственно связано с воспитывающей функцией обучения математике.

Воспитательная функция урока математики

Прежде всего, отметим, что в педагогической литературе нет однозначного толкования понятия воспитания. Различают воспитание в широком и узком смысле. Воспитание в широком смысле включает в себя развитие и обучение, т.е. весь процесс целостного формирования личности как школой, так и внешней средой. В этом случае обучение выступает как составная часть воспитания. В узком смысле воспитание предполагает формирование мировоззрения личности, ее нравственных и эстетических качеств. Вместе с тем, обучение способам деятельности, умениям, усвоение школьником мировоззренческих

знаний (образовательная функция обучения) формирует у него определенные нравственные, волевые и эстетические характеристики, т.е. обучение является в определенной степени и воспитанием. Однако формирование мировоззрения, нравственных, эстетических качеств достигает наибольшего эффекта лишь тогда, когда у учащихся развивается эмоциональное восприятие соответствующих знаний и норм, формируются потребности и мотивы в их усвоении. Поэтому современная дидактика характеризует воспитание в процессе обучения как целенаправленное формирование эмоционального отношения к действительности в соответствии с системой общественных (социальных) ценностей, восприятие их учеником как лично значимых [60, 61].

Воспитывающая функция проявляется в обеспечении:

- осознания учеником своей учебной деятельности как социально значимой;

- формирования его нравственно-ценностных ориентиров в процессе овладевания знаниями, умениями и навыками;

- формирования положительных мотивов учения;

-формирования опыта общения между учащимися и сотрудничества с учителями в учебном процессе;

-воспитательного воздействия личности учителя как примера для подражания.

Обучение, развитие и воспитание эмоционально-ценностного отношения к действительности, к деятельности, ее объектам и субъектам - это единый процесс, предполагающий усвоение учащимися знаний, умений, опыта творческой деятельности и эмоциональной воспитанности. Все это, взятое вместе, и обеспечивает духовное развитие личности в целом.

Поскольку личность целостна и едина, то и процесс ее формирования целостен. «Формировать всесторонне развитую личность, что является конечной целью школы, - значит обучать ее знаниям, умениям, творческому мышлению, адекватному социальным требованиям, эмоциональному восприятию всей этой деятельности», - пишет И.Я. Лернер [47, с.81-82].

Целостное, духовное развитие личности ученика призвано обеспечить личностно-ориентированное обучение.

Развитие и саморазвитие личности ученика происходит в процессе целесообразно организованной деятельности, в которой ученик является не объектом «вооружения» его системой знаний, умений и навыков, а соучастником, субъектом получения этих знаний. Ключевыми положениями личностно-ориентированного обучения являются следующие:

- ученик в процессе обучения выступает как субъект познания и личностного развития, поэтому он самоценен;

- создание на уроке таких условий, при которых ученик «может» и «хочет» учиться;

- осознание, рефлексия учеником своей деятельности на всем протяжении процесса обучения. При этом ученик сравнивает свои (принятые) цели с

получаемыми результатами, осознает этапы своей деятельности, ее проблемы, способы их разрешения;

- любая деятельность на уроке должна содержать для ученика «личностный смысл», когда он наделяет знания личностными, значимыми для него смыслами;

- личностно-ориентированное обучение предполагает превращение предметного (объективного) знания в личностное знание ученика. Личностное знание отражает сплав личных потребностей, личностного смысла и объективного предметного знания. Личностное знание связано с потребностью ученика в получении нового для него знания, с процессом познания, в котором он является активным участником получения нового знания.

Наконец, личностно-ориентированная педагогика характеризуется синтезом обучения, развития и воспитания учащихся, которые традиционно отделялись друг от друга. Этот синтез, как говорит В.А. Петровский, должен проявляться в том, что перед учащимися ставятся задачи, создающие условия для самоценной активности.

Из сказанного следует, что одной из задач личностно-ориентированного обучения является не противопоставление математических знаний генетическим способностям ученика, а формирование у него личностно осознанного отношения к изучаемому материалу и самому процессу учения, формирование потребности в овладении теми ценностями, которыми обладает математическое образование. Предметно-ориентированная и личностно-ориентированная модели обучения должны не противопоставляться, а органично дополнять друг друга.

Хотя стратегическая цель образования и провозглашена как развитие и саморазвитие ученика, это не означает, что собственно математическим знаниям должна отводиться второстепенная роль. Мы разделяем точку зрения А.Г. Мордковича о том, что обучать надо и математике и математикой. Только хотели бы уточнить, что развивает не математика сама по себе, а занятия математикой, математической деятельностью. Развивает и воспитывает ученика процесс получения математических знаний, в котором ученик является активным его соучастником, и вызывает у него положительные эмоции.

Синтез личностно-ориентированного и предметно-ориентированного подходов к обучению предполагает изменение состава и структуры математического содержания. Математическое содержание помимо традиционных знаний, умений и навыков должно содержать и гуманитарный потенциал, оно должно быть гуманитарно-ориентированным. Состав такого содержания будет выделен нами далее. Однако гуманитарный потенциал математики существует объективно, независимо от целей образования личности. И он может так и остаться потенциалом в процессе обучения математике, если не будет востребован учеником и усвоен им. Проблема состоит в том, чтобы создать такие условия, при которых ученик «хотел» и «мог» учиться математике.

В то же время осознание учеником ценностей математического образования приводит к тому, что усваиваемое знание представляет для ученика лич-

ностный смысл, становится для него личностно значимым. В личностном знании объединены мотивационные потребности, эмоциональные и содержательные компоненты, что и служит источником его развития, саморазвития, воспитания.

Сделать изучаемое знание личностно значимым для ученика - значит реализовать принцип гуманитаризации в образовании. В конце 80-х годов принцип гуманитаризации был провозглашен как один из ведущих принципов реформирования образования в целом. Однако и до настоящего времени идет дискуссия об определении общепринятой ее научной концепции. Наша позиция гуманитаризации математического образования состоит в следующем.

Гуманитарный аспект современного образования отражен в его основной цели - целостном развитии личности. Цель гуманитаризации образования - это цель современного образования. «Деятельность педагога, способствующая не только обучению, но и развитию, есть деятельность гуманитарная», - пишет В.П. Зинченко [25, с. 118].

Развитие и саморазвитие ученика происходит через усвоение учеником определенного содержания предметных знаний. Отметим, что предметные знания будут гуманитарными лишь в том случае, если они получены учеником в результате его эмоционально окрашенной деятельности, приобретут для ученика личностный смысл, превратятся в личностные знания. Сущность гуманитаризации образования можно трактовать как превращение предметного знания в личностное знание ученика. Это превращение развертывается в процессе обучения, организованного соответствующим образом.

Таким образом, суть принципа гуманитаризации математического образования заключается в следующем.

Во-первых, принцип гуманитаризации предопределяется целью математического образования - целостным развитием личности ученика средствами математики. Во-вторых, содержание математического образования должно быть адекватно этой цели, т.е. оно должно быть гуманитарно-ориентированным. Такое содержание и определяет то предметное знание, которое должно быть усвоено учеником.

Наконец, технология обучения должна обеспечивать превращение предметного знания в личностное знание ученика.

Таким образом, принцип гуманитаризации должен быть представлен во всех компонентах современного урока математики.

Представленная характеристика трех основных функций процесса обучения свидетельствует о том, что, во-первых, каждая из них выполняет свою роль в целостном развитии (воспитании) личности ученика; во-вторых, все они взаимосвязаны и взаимообусловлены. Наконец, недооценка какой-либо одной из них неминуемо приводит к снижению качества обучения математике, развития и воспитания математической деятельностью.

1.3. Целеполагание и содержание современного урока математики

Все дидакты и методисты утверждают, что цель является основополагающим компонентом в целостной дидактической и методической системе обучения. А между тем процессу целеобразования, целеполагания урока, как нам представляется, должного внимания не уделяется.

Для постановки целей урока как основного компонента целостной системы необходимо обсудить следующие вопросы:

1. Как трактуется сущность цели в современной науке?

2. Каким требованиям (условиям) должны удовлетворять педагогические цели?

3. Как происходит процесс целеполагания при подготовке учителя к уроку?

4. В какой форме следует представлять триединую цель урока, включающую образовательный, развивающий и воспитательный аспекты?

5. Как влияет форма постановки цели урока на содержание и технологию обучения, то есть на качество урока как целостной системы?

6. Как должна появляться, «зарождаться» цель непосредственно на уроке, какова роль учащихся в постановке цели урока?

Далее дадим конкретные ответы на поставленные вопросы.

Категория цели исследуется философией, психологией, педагогикой. Чаще всего в философской литературе цель определяется: 1) как идеально субъективный образ желаемого результата деятельности, на достижение которого направлены действия; 2) как сам результат деятельности, отраженный в сознании, но не образ этого результата; 3) одновременно как практический результат деятельности и его идеальный образ. Не вступая в философский анализ, для нас важно положение о том, что в цели урока должен быть отражен результат деятельности. Далее возникает существенный вопрос: результаты чьей деятельности должны быть отражены в цели урока? Как известно, процесс обучения носит двусторонний характер. Он отражает деятельность учителя - преподавание и деятельность ученика - учение. Однако и та и другая развертываются ради ученика, чтобы он трансформировал накопленный опыт человечества во всей его структурной полноте в личный опыт. Поэтому цели урока должны отражать результаты учебной деятельности ученика. Результаты же деятельности учителя будут отражены в результатах учебной деятельности учащихся. Цель учителя - четко осознать и сформулировать желаемые результаты деятельности ученика и создать на уроке условия для их достижения. Результаты учебной деятельности ученика на уроке должны быть сформулированы таким образом, чтобы их можно было надежно опознать. На современном языке это означает, что цели обучения, в том числе и урока, должны быть диагностируемы. Наконец, в целях, хотя бы косвенно, следует отразить и характер, способ деятельности ученика, направленный на достижение выделенных результатов, т.е. характер технологии обучения.

Исходя из сказанного, под целями урока будем далее понимать желаемый результат учебной деятельности ученика на уроке и способ его достижения.

Проанализируем с этих позиций постановку целей уроков, предполагаемую в новейших пособиях по методике обучения математике. Приведем наиболее типичные их формулировки.

Цели урока ознакомления с новым учебным материалом.

«Тема: «Умножение положительных и отрицательных чисел». Цели: формирование знаний о правилах умножения положительных и отрицательных чисел и умений применять их в простейших случаях; развитие умений сравнивать, выделять закономерности, обобщать; воспитание ответственного отношения к учебному труду» [51, с.98].

Цели урока-практикума.

«Тема: «Применение нескольких способов разложения многочленов на множители». Цели: воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при разложении многочленов на множители; развивать навыки самоконтроля; сформировать умения разлагать многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, группировкой и применением формул сокращенного умножения» [51, с. 102].

Анализ таких формулировок приводит к следующим выводам.

Во-первых, практически всегда образовательные цели ставятся посредством глагола «формировать...». Постановка цели в такой форме, во-первых, неопределенна, во-вторых, не диагностична, в-третьих, не указывает на характер взаимосвязанной деятельности учителя и ученика на уроке. Глагол «формировать» отражает лишь деятельность учителя, да и то неопределенно. Самое же существенное состоит в том, что в них четко не отражены ожидаемые результаты деятельности ученика.

В педагогической науке выделяются еще два аспекта в постановке целей: содержательный и языковый. Содержательный аспект показывает, какое содержание должны усваивать школьники для достижения стратегической цели математического образования - обучать математике и развивать и воспитывать учебной математической деятельностью. Язык постановки цели помогает определить (опознать), усвоено ли это содержание и на каком уровне. В качестве такого языка в когнитивной области используются глаголы «знает», «понимает», «имеет представление», «применяет в простейших ситуациях» и т.д.

Поскольку цели обучения (урока) включают в себя содержательный аспект, то для их постановки следует определить, какое содержание должны усваивать школьники, чтобы обеспечить достижение стратегических целей математического образования и отвечать выделенным ранее концепциям.

Современная дидактика трактует содержание образования как педагогически адаптированный социальный опыт человечества, изоморфный человеческой культуре, взятой в определенном аспекте во всей ее структурной полноте. Это положение отражает культурологическую концепцию в содержании образования (И.Я. Лернер, В.В. Краевский и др.) [86].

Содержание образования, адекватное социальному опыту, представляет собой интегральную структуру и состоит из четырех взаимосвязанных элементов:

- знания о человеке, обществе, технике, мышлении и способах деятельности (знания - результат);

- опыт осуществления коммуникативной, умственной, физической и трудовой деятельности, обеспечивающий формирование интеллектуальных, трудовых и др. умений и навыков (представляется в форме умений действовать по образцу);

- опыт творческой поисковой деятельности (представляется в форме умений принимать нестандартные решения в проблемных ситуациях);

- опыт эмоционально-ценностного отношения к деятельности и ее объектам (людям, к миру, к себе). Он состоит не в знаниях и умениях, хотя и опирается на них, отражает направленность личности и проявляется в форме личностных ориентаций (убеждений, интересов, желаний и т.д.). Важно формировать у школьников эмоционально-ценностное отношение к изучению математики, к математической деятельности.

Сущность образовательного процесса при этом определяется как целенаправленное превращение социального опыта в опыт личный, как приобщение ученика ко всему богатству человеческой культуры.

В соответствии со сказанным выявляется состав математического содержания, которое должны усваивать учащиеся. Источником его определения служит математика, но не как сформировавшаяся, систематизированная наука, а как развивающаяся, с учетом ее философских, методологических, исторических аспектов, специфики творческой математической деятельности.

Нами выделена следующая структура содержания общего математического образования, усвоение которого учениками обеспечивает достижение триединой цели (образовательной, развивающей и воспитательной):

- предмет и метод математики, её ведущие идеи и понятия, математический язык, связь с другими науками и практикой, математическое моделирование;

- процесс познания в математике;

- специфика творческой математической деятельности как сплав интуиции и логики;

- методы научного познания (как общие эвристические и логические, так и частные способы и приемы);

- эстетика математики;

- культура мышления;

- история математики;

- эмоционально-ценностное отношение к математике и математической деятельности;

- информационный компонент [28, с. 26].

Усвоение такого содержания учениками способствует реализации и принципа гуманитаризации. Поэтому мы его называем гуманитарно-ориентированным.

Выделенное содержание позволяет сформулировать, прежде всего, цели общего математического образования следующим образом.

Выпускник общеобразовательной школы математически образован, если он:

- знает сущность предмета математики;

- имеет представление об особенностях математического метода познания действительности;

- имеет представление о том, что сама математика является методом познания действительности;

- знает ведущие понятия математики и умеет оперировать ими;

- владеет математическим языком и символикой;

- имеет представление о математических моделях простейших реальных процессов и явлений;

- имеет представление о прикладных аспектах математики;

- имеет представление о влиянии математики на социальное развитие общества и наоборот;

- осознает гносеологический процесс познания в математике;

- знает основные общенаучные методы познания (эвристические и логические) и умеет применять их как в математической, так и в других видах деятельности;

- знает специальные (частные) математические методы и приемы и умеет применять их для решения математических и прикладных задач;

- овладел культурой мышления;

- владеет культурой общения, культурой труда;

- имеет представление об основных периодах развития математической науки как части общечеловеческой культуры;

- приобщился к опыту творческой математической деятельности и опыту эмоционально-ценностного отношения к деятельности и ее объектам.

На основании вышеизложенного, процесс определения учебных целей темы, урока можно описать следующим образом. В соответствии с составом гуманитарно-ориентированного содержания идет анализ учебного материала, отраженного в программе и учебнике (назовем его структурным). В учебнике отражён лишь информационный компонент, частично - способы его получения. Остальное содержание лишь потенциально заключено в учебнике, и учителю предстоит самостоятельно его выявлять, согласуя с общей структурой содержания и общими целями образования. При этом важно заботиться о том, чтобы не упустить потенциальные возможности темы для достижения стратегических целей образования.

Результатом анализа учебного материала темы становится постановка учебных задач. Решение учебных задач изучения темы, достижение её диагностируемых целей обеспечивает система уроков по теме. Следовательно, цель

каждого конкретного урока должна определяться не изолировано, а обусловливаться целями изучения темы. Более подробно анализ учебного материала темы и постановка целей ее изучения будут описаны нами во второй части. Для нас же важно сейчас отметить, что взаимосвязь таких компонентов урока, как содержание, цели и технология обучения, имеет сложные, нелинейные связи. Цель урока может быть четко сформулирована лишь в том случае, если учитель проанализировал содержание учебного материала (программы, учебники) с позиций наличия в нем (в явном или неявном виде) компонентов гуманитарно-ориентированного содержания в целом, выделил ожидаемые результаты усвоения этого содержания, продумал технологию обучения как способ достижения этих результатов.

Следующее требование к цели урока состоит в том, что она должна носить триединый характер. Триединая цель включает в себя познавательный аспект (дидактическая цель), развивающий и воспитательный. Приведенные выше примеры формулировки целей уроков убедительно показывают, что и образовательный, и развивающий, и воспитательный аспекты ставятся слишком обобщенно. В свою очередь, воспитательная и развивающая цели урока определяются в основном степенью участия ученика в деятельности по добыванию новых знаний.

Опишем наше понимание формы постановки триединой цели урока.

Образовательные цели урока предполагают усвоение знаний, формирование умений и навыков. Категория знаний определяется тем интегрированным содержанием, которое приведено выше. В нее входят: знание формулировок определений математических понятий, аксиом, теорем, способов деятельности, а также методологических знаний. Дидактические (образовательные) цели урока формулируются в терминах «знает», «понимает», «имеет представление», «умеет», «применяет в стандартных ситуациях» и т.д. Постановка дидактических целей урока в таких терминах отражает уровень овладения учеником определенным математическим содержанием. Достижение этих целей можно надежно опознать с помощью специально созданных систем диагностических и проверочных заданий. Поэтому их можно формулировать диагностично и описывать как результат обучения через наблюдаемые действия учащихся. Дидактические цели достигаются в течение одного или нескольких уроков изучения темы.

Постановка развивающих целей урока - наиболее трудный и, как нам представляется, наименее разработанный этап подготовки учителя к уроку. Это объясняется тем, что развитие происходит гораздо медленнее, чем обучение. Невозможно точно сформулировать развивающий аспект целей для одного урока, а иногда и для системы уроков учебной темы. Развитие ученика -результат правильного обучения, результат развивающего обучения. Цель и результат развивающего обучения заключаются в изменении учеником самого себя в процессе учебной деятельности, субъектом которой является ученик. Поэтому развивающая цель урока может ставиться лишь неявно, косвенно, через специфику учебной деятельности ученика на любом ее этапе, через степень

участия ученика в поисковой деятельности. Развивающий аспект целей, в соответствии со сказанным выше, отражают глаголы: «найти», «открыть», «выявить», «определить», «обосновать», «спрогнозировать», «установить», «исследовать» и т.д. Эти глаголы определяют поисковый характер деятельности ученика на уроке, что способствует развитию познавательного интереса, умения сравнивать, анализировать, синтезировать, выдвигать гипотезы (на основе аналогии, интуиции, неполной индукции), обобщать, доказывать и т.д.

Воспитательные цели также носят долговременный характер и достигаются лишь системой уроков. Все же отметим, что воспитательные цели дидакты ассоциируют, прежде всего, с воспитанием эмоционально-ценностного отношения к учебной деятельности, к ее предмету и к ее субъектам (самому себе, учителю, учащимся). Воспитывающее обучение направлено в том числе и на формирование потребностей, мотивов, интереса к предмету, связано с эмоциональными переживаниями. И.Я. Лернер пишет, что воспитание предусматривает целенаправленное формирование эмоционально-ценностного отношения к изучаемым объектам (содержанию) и стоящей за ними действительности, к процессу изучения, а также к формируемым качествам личности - нравственным, социальным, эстетическим, познавательным, трудовым.

Исходя из сказанного ранее, можно сделать вывод о том, что развивающее и воспитывающее обучение предполагает превращение предметного знания в личностное знание учащихся, которое характеризуется рефлексией над действиями с предметным содержанием, рождением смыслов.

Достижение целей, связанных с личностным знанием, с эмоционально-ценностным отношением ученика к математической деятельности, к предметному содержанию, может быть гарантировано через включение ученика в процесс получения субъективно нового для него знания.

Участие ученика в получении нового знания, овладение им новыми способами математической деятельности, его эмоциональное и волевое напряжение при этом - все это в единстве обеспечивает достижение образовательной, развивающей и воспитательной целей урока. Поэтому триединая цель урока может интегративно формулироваться посредством глаголов, отражающих поисковый характер деятельности ученика: «найти», «выявить», «отыскать», «исследовать», «обосновать» и т.д. А далее отражается то содержание, которое следует «отыскать» или «исследовать». Однако такая формулировка не полностью описывает ожидаемые результаты обучения, которые можно опознать и продиагностировать. Для того чтобы в соответствии с поставленными целями можно было проектировать весь ход урока, необходимо описать, какими знаниями и умениями должен овладеть ученик в процессе решения поставленной учебной задачи.

Например, цели урока «Нахождение процента от числа, числа по его процентам и процентного отношения» (метод УДЕ) могут быть сформулированы следующим образом.

Выявить (посредством переформулирования соответствующих задач на части) задачи трех указанных видов на проценты и найти способы их решения на основе решения переформулированных задач.

В результате ученик:

- знает о существовании трех основных типов задач на проценты;

- осознает связь между ними как взаимно обратными;

- осознает их связь с задачами на нахождение части от числа, числа по части, отношения величин;

- знает два способа решения каждой задачи (непосредственно по определению процента и по найденному правилу);

- формулирует (составляет) задачи, обратные данной;

- умеет переформулировать задачи на нахождение части от числа, числа по его части, отношения величин в соответствующие задачи, где часть выражена в процентах и обратно.

Сформулированная в такой форме триединая цель урока содержит в единстве образовательные, чисто математические, развивающие и воспитательные цели. Заметим, что математическое содержание здесь представлено значительно шире, чем при традиционной формулировке «формировать умение решать задачи указанных трех видов»: акцент делается и на осознании связей шести типов задач, на умении переформулировать задачи, составлять задачи указанных типов и т.д.

Представление учебных целей в форме учебной задачи (через выделенные выше глаголы) и формулировка диагностично поставленных дидактических целей (через надежно опознаваемые результаты деятельности ученика) и определяет урок как целостное системное явление.

Во-первых, в поставленных целях отражено в целом гуманитарно-ориентированное содержание, которое должен усвоить учащийся, а не только его информационный компонент. Во-вторых, учебная задача урока, сформулированная в терминах «найти», «выявить», «исследовать», «обосновать» и т.д., указывает на поисковый, развивающий характер деятельности ученика на уроке, на сотрудничество «учитель - учащиеся», «ученик - ученик». Наконец, четко, диагностично поставленные дидактические цели урока способствуют осознанному, целенаправленному проектированию каждого его этапа. Они ориентируют учителя на то, чтобы вся система работы на уроке (содержание упражнений, заданий, логика вопросов и т.д.) обеспечивала достижение целей урока.

Следующий, не менее важный, вопрос, на который следует ответить, -как должна ставиться цель непосредственно на уроке. Практически во всех имеющихся учебных пособиях по методике обучения математике сказано, что первый этап, с которого начинается урок, - это постановка цели урока. Но когда описывается ход урока, этот этап или отсутствует совсем, или подменяется сообщением темы урока. Так, описывая ход урока «Умножение положительных и отрицательных чисел», С.Г. Манвелов этап постановки цели урока сводит к следующему: «Отмечается, что изучение положительных и отрица-

тельных чисел и действий над ними продолжается. Уточняется, что учащиеся могут пока лишь складывать и вычитать положительные и отрицательные числа. Сегодня же будем рассматривать вопрос о том, как умножать положительные и отрицательные числа. Записывается тема урока: «Умножение положительных и отрицательных чисел» [51, с.98].

Неопределенные глаголы «отмечается», «уточняется», «записывается» наводят на мысль, что все это делает учитель за 1-2 минуты и переходит далее к проверке домашнего задания и актуализации знаний (термин автором не употребляется). Таким образом, тема урока как бы навязывается ученикам, непонятно, принята ли ими цель урока. Не ясно, что значит рассмотреть вопрос об умножении положительных и отрицательных чисел, кто и как должен его рассматривать, и т.д. Поставленная таким образом цель на уроке не мотивирует должным образом деятельность ученика, не нацеливает его на участие в поиске соответствующего правила. Развивающее же обучение предполагает субъективную позицию ученика на каждом этапе урока, в том числе и на этапе целеполагания. Говорить о внутренней активности ученика на уроке можно лишь тогда, когда он сам осознает потребность в постановке целей и осуществлении необходимых для ее достижения действий. Цель должна «рождаться» на уроке в совместной деятельности учителя и учащихся. Только при этом условии школьники смогут осознать смысл предстоящей деятельности. В свою очередь, осознание смысла и принятие цели на уроке как цели своей собственной деятельности позволяет ученику осмысленно и целенаправленно включиться в учебный процесс по ее достижению. Учитывая вышесказанное, в структуре любого урока должен присутствовать такой элемент, как целеполагание. В ходе урока постановка цели не должна носить формального характера. Как этого достичь, будет показано далее.

Подведем итоги - дадим краткие ответы на поставленные в начале параграфа вопросы.

Под целями урока будем понимать желаемые результаты деятельности ученика на уроке и способы их достижения. Цели деятельности учителя - осознать и сформулировать эти результаты и создать условия для их достижения учениками. Дидактические цели урока должны быть диагностируемыми и должны отражать уровень усвоения учеником учебного материала. Триединая цель урока представляет собой органичный синтез дидактических, развивающих и воспитательных аспектов.

Развивающие и воспитательные цели урока определяются и достигаются степенью участия ученика в поисковой математической деятельности. Форма представления целей урока должна отражать содержательную, процессуальную и результатирующую функции процесса обучения. Цели урока могут быть представлены в виде системы учебных задач (в терминах «найти», «открыть», «выявить», «исследовать», «спрогнозировать» и т.д.) и результата их решения (в терминах «в результате ученик «знает», «осознает», «понимает», «имеет представление», «умеет применять в знакомой ситуации» и т.д.»).

Процесс целеполагания (учителем) состоит в конкретизации стратегических целей математического образования посредством анализа учебного материала с позиций структуры общего гуманитарно ориентированного содержания и соотношения его с обученностью и обучаемостью учащихся конкретного класса.

Цель урока в форме учебной задачи должна быть понята и принята учащимися. Она должна «рождаться» на уроке в сотворчестве учителя и учащихся и служить для них побудительным мотивом дальнейшей совместной деятельности.

1.4. Структура урока математики

Как уже говорилось ранее, традиционный урок математики характеризовался жесткой, инвариантной структурой - последовательностью шагов (структурных звеньев урока), ведущих к достижению поставленной цели. Изучение урока с позиций системного подхода требует нового анализа определения структуры урока. Прежде всего отметим, что актуальным является утверждение И.Я. Лернера и М.Н. Скаткина о том, что структурными частями урока являются шаги, обусловливающие движение к цели урока, к усвоению определенного содержания.

Триединая цель достигается в ходе всего урока путем решения системы дидактических (учебных) задач - подцелей общей цели урока, которые и определяют основные структурные части урока. Так, М.И. Махмутов считает, что внешнюю структуру урока определяют три основные дидактические задачи: актуализация прежних (опорных) знаний; формирование новых понятий и способов действия; формирование умений и навыков умственных и практических действий. Однако сам же автор признавал, что эта структура урока не отражает процесс познавательной деятельности учащихся. Наряду с ней, говорит М.И. Махмутов, следует определить внутреннюю логико-психологическую структуру урока, которую он отождествляет с этапами проблемного обучения. В последних работах по методике обучения математике [51,73] выделяются три части дидактической структуры урока по М.И. Махмутову, в методическую же структуру включены практически лишь элементы традиционного урока. Поскольку в теории и методике обучения математике вопрос о структуре урока, как нам представляется, недооценивается, то мы на нем остановимся подробнее. Исходим из положения о том, что структурные части урока определяются системой учебных задач, которые ведут к достижению триединой цели урока. А поскольку эти цели формулируются через результаты учебной деятельности ученика как ее субъекта, то ученику должны быть понятны смысл и цель предстоящей деятельности, у него должна появиться потребность в этой деятельности. Поэтому первая подзадача урока заключается не просто в актуализации знаний, а в формировании у школьника смысла и потребности в предстоящей деятельности. Поэтому мы называем первую часть урока мотивационно-ориентировочной.

Следующая часть урока направлена на организацию деятельности учащихся, непосредственно связанной с решением учебной задачи, а именно на открытие и формирование новых знаний и способов деятельности. В соответствии со структурой учебной деятельности назовем ее операционно-познавательной.

Наконец, третья важная подзадача заключается в осмыслении учеником собственной деятельности, ее процесса и результата. Поэтому мы назовем ее рефлексивно-оценочной.

Итак, инвариантная структура любого современного урока математики включает в себя три основные части:

Мотивационно-ориентировочная часть

Операционно-познавательная часть (открытие и формирование новых знаний и способов действий)

Рефлексивно-оценочная часть

В свою очередь, решение учебной задачи каждой части также состоит в решении частных подзадач (микрозадач), которые определяют ее структурные элементы (звенья). Опишем их.

Мотивационно-ориентировочная часть может состоять из четырех взаимосвязанных звеньев (этапов):

- актуализации,

- мотивации (проблемной ситуации),

- постановки учебной задачи (вычленение проблемы),

- планирования ее решения.

Цель этапа актуализации состоит не только в повторении опорных знаний, но и в осмыслении учеником предыдущей деятельности. В систему упражнений на этом этапе важно включать такие, которые внешне сходны с теми, которые ученики могли только что решить, но фактически для их решения не хватает имеющихся знаний или способов действий. Таким образом, этап актуализации плавно переходит в этап создания мотивации дальнейшей деятельности.

Цель этапа мотивации заключается в формировании у каждого учащегося личной потребности в последующей деятельности, связанной с открытием субъективно нового для него содержания. Известно, что деятельности без мотива не бывает. Мотив является внутренней побудительной причиной к действию, желанием удовлетворить какую-либо потребность. Правильно организованные этапы актуализации и мотивации призваны вызвать у ученика чувство уверенности - «могу» и желания - «хочу», что соответствует личностно-ориентированному обучению. Отдельные приемы создания мотивации описаны нами в пособии [85].

Этап мотивации естественно переходит в этап вычленения проблемы и постановки учебной задачи урока.

Ценность этапа постановки задачи (цели) состоит в том, что ученик принимает посильное участие в ее формулировке. Цели для ученика должны быть не только понятны, но и внутренне приняты им, т.е должны приобрести значимость для учащихся и найти отклик и опорную точку в его переживании, писал С.Л. Рубинштейн. Ученик становится субъектом деятельности тогда, когда сознательно принимает объективные цели деятельности как свои личные.

Итак, третий этап заканчивается самостоятельной или совместной с учителем постановкой целей предстоящей деятельности.

На уроке они формулируются в форме: «открыть новый способ доказательства перпендикулярности прямой и плоскости», «выявить типы задач, которые можно решать на основе первого признака равенства треугольников» (урок решения ключевых задач), «формировать (приобретать) умения и навыки в решении различных видов логарифмических уравнений», «исследовать различные случаи взаимного расположения двух плоскостей» и т.д.

Таким образом, поставленные учителем при подготовке к уроку цели в мотивационно-ориентировочной части урока озвучиваются лишь частично, в виде учебной задачи, которую предстоит решить ученикам совместно с учителем. Школьная практика подсказывает, что в младших классах желательно ее письменно фиксировать на доске или в тетрадях учащихся.

Цель этапа планирования состоит в проектировании программы дальнейшей деятельности. На этом этапе ученики прогнозируют последовательность действий, ведущих к достижению поставленной цели.

Итак, можно выделить следующие функции мотивационно-ориентировочной части урока: побуждающую, смыслообразующую, направляющую.

Операционно-познавательная часть урока направлена на организацию деятельности учащихся, непосредственно связанной с решением учебной задачи. На уроках изучения нового материала она проектируется в соответствии со спецификой поисковой математической деятельности, которая описана в п. 1. 2. и конкретизирована далее в технологическом процессе изучения определений математических понятий и теорем (п. 2. 1.).

Проанализированное содержание двух основных частей урока отражает и его проблемность.

Рефлексивно-оценочная часть включает в себя следующие этапы:

- соотнесение целей и полученных результатов;

- осмысление методов, приемов, теоретических положений, с помощью которых получены эти результаты;

- осознание ценностей приобретенных результатов и соответствующих им методов;

- оценка собственной деятельности.

На первом этапе рефлексивно-оценочной части соотносятся цели, запланированные в начале деятельности, и полученные результаты по ее окон-

чании. Соответствие целей и полученных результатов вызывает у школьников положительные эмоции от радости победы, от познания нового.

На втором этапе анализируются методы, приемы, теоретические положения, с помощью которых получены соответствующие целям результаты. Особо выделяются эвристические методы, которые имели место при получении гипотез, и отдельно осмысливаются общелогические и частные методы, используемые при опровержении гипотез или их доказательств. Ученики оценивают новизну этих методов и приемов. Если они впервые их применяют, то выделяют суть этих методов и приемов, дают им названия. Если же методы и приемы известны учащимся, то они еще раз убеждаются в дополнительных возможностях их применения. Таким образом, школьники осознают не только результаты деятельности, но и способы их получения. Кроме того, ученики пополняют личный опыт новыми эвристическими приемами, преобразовывают теоретические знания в способы деятельности, в эвристические правила. Поясним последнее утверждение.

Под частной эвристикой мы понимаем возможный способ поиска, полученный в результате переформулировки соответствующего теоретического положения: аксиомы, определения, теоремы, результата решения ключевой задачи. Например, доказав теорему о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и проводя описанную выше работу, получаем следующие эвристики:

1. Если будет известно, что треугольник равнобедренный, то можно использовать: а) равенство двух сторон; б) равенство углов при основании.

2. Для того чтобы доказать равенство двух углов, можно попытаться установить, что эти углы являются углами при основании равнобедренного треугольника.

В последнем случае важно поставить еще один вопрос: «Какие способы доказательства равенства углов вам теперь известны?»

На этапе оценивания собственной деятельности ученик анализирует значимость собственного вклада в совместно полученные результаты, свой уровень усвоения новых знаний и уровень усвоения способов работы с этим знанием, собственное эмоциональное состояние. На этом этапе школьник пытается ответить на вопросы: «Доволен ли я своей работой? Что мне было непонятно? Какой момент мне больше всего понравился? К обсуждению каких вопросов мне хотелось бы вернуться?» и т.д.

Итак, можно выделить следующие функции рефлексивно-оценочной части: ценностнообразующую, самооценивающую.

Сопоставив выделенные выше звенья (элементы) структуры урока с традиционными, можно определить элементы структуры современного урока математики в целом:

1. Проверка домашнего задания.

2. Актуализация.

3. Мотивация.

4. Проблемная ситуация.

5. Формулировка проблемы, постановка учебной задачи

6. Планирование решения учебной задачи.

7. Открытие новых знаний и способов действий.

8. Первичное осмысление, прогнозирование результатов.

9. Воспроизведение изученного и его применение в стандартных ситуациях.

10. Перенос знаний и их применение в новых, видоизмененных ситуациях.

11. Самостоятельное выполнение заданий под контролем учителя.

12. Обобщение и систематизация новых знаний, способов действий, способов рассуждений.

13. Контроль знаний и умений (проверка по пройденному материалу).

14. Рефлексия учеником своих действий и самооценка (своих действий, интереса к изучаемому, отношения к виду учебной деятельности).

15. Текущая диагностика.

16. Подведение итогов.

17. Постановка домашнего задания.

В свою очередь, методическая структура каждого этапа урока зависит от типа урока. Анализируя работы дидактов по проблеме типологии уроков, следует отметить, что и здесь нет единой точки зрения. В последующих пунктах будем описывать методическую структуру тех уроков, которые определяются его основными дидактическими целями. В соответствии с основной дидактической целью выделяют следующие типы уроков:

1. Комбинированный урок.

2. Урок изучения нового учебного материала.

3. Уроки совершенствования знаний, умений и навыков. В математике это чаще всего уроки решения задач, уроки-практикумы.

4. Уроки обобщения и систематизации знаний.

5. Уроки контрольные (уроки проверки и оценки знаний). Выделенные уроки являются базовыми, основными, общеизвестными.

Поэтому мы во второй части опишем процесс их проектирования.

В последние годы в практике работы учителей проводятся нестандартные уроки. Наиболее распространенные типы уроков, существующие в практике работы учителя, исследованы С.Г. Манвеловым. Он их группирует в следующие блоки:

В первый блок он включает выделенные выше типы уроков по их основной дидактической цели.

Во втором блоке описываются урок-лекция, урок-семинар, урок-практикум, урок-консультация, урок-зачет. Как увидим далее, это уроки лекционно-семинарской системы занятий, которую рекомендуется использовать в старших классах.

В третий блок входят уроки с дидактической игрой, урок-ролевая игра, урок-экскурсия, урок-дискуссия.

Четвертый блок составляют урок-соревнование, урок-деловая игра, интегрированный урок, театрализованный урок [51].

В системе Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова выделяют уроки, соответствующие структуре учебной деятельности: урок постановки учебной задачи, урок планирования ее решения, урок преобразования условия задачи, урок моделирования, урок преобразования модели, урок отработки, урок самоконтроля и самооценки.

1.5. Технология обучения

Во второй части книги в соответствии с выделенной структурой урока мы опишем конструирование уроков изучения нового, решения задач, обобщения и систематизации знаний.

Под технологией обучения на уроке будем понимать систему методов, форм и средств обучения, способствующую усвоению отобранного содержания и достижению поставленных целей. Теоретические основы методов, форм и средств обучения исследуются дидактикой. Мы напомним лишь основные положения.

Чаще всего сущность метода обучения трактуется как взаимосвязанная деятельность учителя и учащихся, направленная на достижение поставленных целей. Применительно к уроку можно сказать, что метод обучения - это взаимосвязанная деятельность учителя и учащихся, направленная на постановку и решение учебных задач урока.

В отечественной дидактике существует несколько классификаций методов обучения:

1. По источникам знаний: словесные знания, наглядные и практические.

2. По степени взаимодействия учителя и учащихся: изложение, беседа, самостоятельная работа.

3. В зависимости от конкретных дидактических задач: подготовка к восприятию, объяснение, решение учебной задачи, закрепление и т.д.

4. По характеру познавательной деятельности учащихся и участия учителя в учебном процессе (по степени самостоятельности учащихся): объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, проблемный, частично-поисковый, исследовательский (И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин).

5. Логические методы: индуктивный, дедуктивный.

В наибольшей степени развивающая функция обучения обеспечивается методами проблемного обучения, поэтому уместно напомнить их суть.

Проблемное изложение (рассказ, описание) как метод обучения дает образец мысленно проводимого исследования. В нем имеют место анализ, выявление противоречий и обобщение данных анализа, постановка и формулирование гипотез, последовательная их проверка (анализ и синтез), формулирование решения (синтез и рефлексия). Все выводы принимаются на основе доказательств. Этот образец рассуждения реализует учитель.

Частично-поисковый, или эвристический, метод (эвристическая беседа, дискуссия, диспут, мысленный эксперимент, моделирование) опирается на вышеописанную модель проблемного изложения, которая реализуется учителем и учащимися в совместной деятельности. Вопросы задают и учитель, и учащиеся, направление поиска, ход беседы, дискуссии, диспута в значительной степени зависят от ответов учащихся. Эвристический метод позволяет им открыть новые смыслы в учебной информации, ибо анализ, синтез и рефлексия как основа суждений, рассуждений, доказательств и умозаключений, а затем и теоретических обобщений в полной мере способствуют развитию и эвристического и логического мышления. Управление познавательной деятельностью учащихся осуществляет учитель путем специальной системы вопросов, заданий.

Исследовательский метод опирается на полную самостоятельность учащихся в их учебно-познавательной деятельности. Постановку целей деятельности, выявление противоречий, формулирование гипотез, их решение и проверку делают сами учащиеся.

Вместе с тем непосредственное воплощение этих методов на уроках математики невозможно без учета специфики исследовательской математической деятельности. Модель такой деятельности представлена нами в п. 1.2.

В соответствии с ней, проблемное обучение на уроке может быть организовано следующим образом: выявление проблемной задачи —> формулировка цели учебной деятельности (учебной задачи) —> самостоятельное «открытие» математической закономерности на основе эмпирических методов —> выдвижение гипотез —> проверка их истинности посредством доказательства или опровержения (также связано с поиском).

Конструирование технологии обучения с опорой на специфику исследовательской математической деятельности отражает деятельностный подход к обучению математике. Он широко представлен в работах психологов, педагогов и методистов. Мы выделим лишь его наиболее важные аспекты, которые определяют сущность компонентов методической системы обучения математике, в том числе и технологию обучения на уроке.

Во-первых, процесс обучения на любом его этапе (изучение учебной темы, построение урока) следует проектировать в соответствии с психологической структурой учебной деятельности. Она включает в себя три основных блока: мотивационный, операционно-познавательный, рефлексивно-оценочный. Характеристика каждого блока дана в п. 1.4. Эти блоки и определяют инвариантную часть структуры урока и задают последовательность этапов в технологии обучения.

Во-вторых, в соответствии с выводами психологов, обучение в школе следует строить так, чтобы оно в сжатой, сокращенной форме воспроизводило действительный исторический процесс рождения и развития знаний. Деятельностный подход предполагает такую модель обучения математике, которая «имитирует» творческую математическую деятельность, описанную выше.

Специфика творческой математической деятельности обусловливает поисковый характер технологии обучения.

Наконец, усвоение опыта поисковой деятельности предполагает овладение способами этой деятельности, методами научного познания, как общенаучными (аналогия, индукция, дедуктивные методы), так и частными, характерными для той или иной учебной дисциплины, раздела, темы, овладение действиями по оперированию формулировками аксиом, определений понятий, теорем.

Таким образом, деятельностный подход в контексте трех рассмотренных аспектов является компонентом гуманитарно-ориентированного содержания урока, определяет характер технологии обучения, общую структуру урока. Он должен быть представлен в формулировке целей урока.

Важным условием успешности включения ученика в поисковую математическую деятельность является владение им базовыми знаниями, умение оперировать ими. В математике в качестве таких знаний выступают основные единицы содержания, которые отражены в стандартах математического образования. Любой ученик должен владеть базовыми знаниями на уровнях «знание», «понимание», «применение в простейших ситуациях». Оптимальному решению этой задачи соответствует разрабатываемый наиболее активно в последние годы технологический подход в обучении. Он включает в себя:

- постановку и формулировку учебных целей, ориентированных на достижение запланированных диагностируемых целей обучения. Эти цели формулируются через результаты обучения, выраженные в действиях учащихся, которые можно надежно опознать;

- организацию учебных процедур, ориентированных на гарантированное достижение поставленных целей;

- осуществление оперативной обратной связи (оперативная диагностика, позволяющая управлять процессом усвоения, в случае необходимости - его корректировать);

- заключительную (итоговую) оценку результатов в соответствии с поставленными целями.

К специфическим чертам технологии обучения относится и воспроизводимость обучающих процедур.

Следует отметить, что некоторые исследователи противопоставляют технологический подход развивающему обучению, ассоциируя его с авторитарной, технократической моделью обучения.

Действительно, альтернативой технологическому подходу является исследовательский подход в обучении, основная цель которого - предоставить (создать) условия для развития творческого мышления школьников. Но всякое подлинное творчество базируется на определенной системе знаний, умений и навыков. В мышлении в диалектически противоречивом единстве переплетены его творческие и репродуктивные компоненты. В основе творческого мышления нередко лежит догадка, интуиция, «инсайт». Но интуитивное познание базируется в том числе и на ранее приобретенных знаниях, навыках, умениях пе-

реносить эти знания на новые ситуации. Умению строить такие догадки, выдвигать гипотезы учащихся следует целенаправленно обучать. Начинать такое обучение важно уже на этапе получения новых теоретических знаний, представленных основными дидактическими единицами: определениями математических понятий, теоремами, правилами и алгоритмами, способами решения задач. Только усвоив дидактические единицы на уровнях понимания знания, применения (которые поддаются измерению), школьник может включиться в более сложную аналитико-синтетическую, исследовательскую деятельность.

Технологический подход гарантирует усвоение тех базовых знаний, которые лежат в основе любой поисковой деятельности. Нами совместно с Т. П. Григорьевой, Л. И. Кузнецовой, Е. Н. Перевощиковой разработана технология развивающего обучения основным дидактическим единицам, которые описаны в работе [85] и во второй части данной книги.

1.6. Условия проектирования современного урока математики

В данном параграфе подведем итоги. Они определяют основные условия проектирования современного урока математики (в традиционной терминологии - требования к уроку).

1. Целостность урока, которая обеспечивает его новое качество как системного явления. Это условие предполагает рассматривать урок как целостную методическую систему, как органичный синтез основных ее компонентов: особенностей учащихся данного класса, целей, содержания, технологии обучения. Целостность, гармоничность урока не возможна без логики. Она проявляется, прежде всего, в его математическом содержании. Если это урок изучения нового, то подобранные упражнения для этапа актуализации, мотивации, проблемной ситуации, целеполагания в основном должны быть связаны с новыми для учеников знаниями. Если это уроки решения задач, то важно, чтобы задачи были связаны единой идеей, определяемой целью урока, но не подобраны по принципу «какие есть в учебнике». Логика содержания определяет и логику этапов урока. Важно, чтобы каждый этап урока был логически связан с последующим. При этом учителю следует делать логические переходы от одного этапа к другому (подводить по ходу урока промежуточные результаты, мотивировать переход к следующему этапу и т.д.). В таком случае смысл деятельности будет понятен каждому ученику, а мотивация будет осуществляться не только в начале, но и на протяжении всего урока.

Логика урока состоит и в системе вопросов и заданий учителя.

2. Методологической основой проектирования каждого компонента урока в отдельности и урока в целом является интеграция основных психолого-педагогических концепции обучения, направленных на развитие и саморазвитие личности ученика: личностно-ориентированное обучение, принципы гуманитаризации и дифференциации, деятельностный и технологический подходы к обучению.

3. Триединая цель урока математики:

- представляет желаемые результаты деятельности ученика на уроке и способы их достижения;

- задается в диагностичной форме и отражает содержательную, процессуальную и результатирующую функции обучения;

- «рождается» на уроке в атмосфере сотворчества учителя и учащихся и служит ориентиром учебной деятельности последних.

4. Содержание, усваиваемое учащимися, должно быть гуманитарно-ориентированным и адекватным триединой цели урока. Оно представляется как явно (информационный компонент), так и неявно, через технологию обучения.

5. Технология обучения проектируется в соответствии с выделенными выше концепциями и должна гарантировать достижение диагностично поставленных целей урока.

6. Структура урока математики должна содержать три инвариантные части: мотивационно-ориентировочную, операционно-познавательную, рефлексивно-оценочную, на каждой из которых ученик - активный соучастник.

7. Создание ситуации успеха на уроке для каждого ученика. Принцип посильных трудностей. Ученик может быть активным участником на уроке лишь в том случае, если у него есть желание - «хочу» и уверенность в своих силах - «могу». Основная идея личностно-ориентированной дидактики заключается в том, чтобы «хочу» и «могу» выступали совместно, поддерживая друг друга. При этом важно создавать «ситуацию успеха». Конечно, эта ситуация будет разной для каждого ученика. Поэтому в арсенале учителя должны быть вопросы и задачи разного уровня сложности.

8. Сотворчество учителя и учащихся. Современная дидактика трактует обучение как целенаправленное, заранее запрограммированное общение, в ходе которого осуществляется образование: школьниками усваиваются отдельные стороны опыта человечества, опыта деятельности и познания и осуществляется развитие, саморазвитие и воспитание ученика. Это общение на уроке переходит в сотворчество учителя и ученика, которое строится на взаимопонимании, совместном «проживании» и переживании. Приоритетное значение имеет личность самого учителя: насколько ему самому интересно то, что он излагает, может ли он вызвать положительные эмоции, создать психологический комфорт каждому, сформировать познавательные интересы («хочу» и «могу»). Общение на уроке проходит в форме диалога. Последний предполагает и стимулирует свободное высказывание учащимися гипотез, проблем, идей их решения, даже если они и ошибочны. Важно создать обстановку, когда любой ученик не боится высказывать свое мнение, предложить гипотезу, идею решения. Целью атмосферы сотрудничества и сотворчества учителя и ученика на уроке является поиск истин в обстановке доброжелательности, комфортности, эмоциональной напряженности всех участников процесса обучения.

9. Эстетическая направленность урока математики. Мы отмечаем два направления, обеспечивающие эстетику урока математики [31]. Во-первых, это

красота математического содержания и связь математики с миром красоты в окружающей действительности. Эти особенности математики выделены И.Г. Зенкевич. Признаки красоты в математике выделил Г. И. Саранцев. Они существуют в математике объективно.

Проблема состоит в том, чтобы ученик осознал и воспринял эту красоту. Поэтому второе необходимое условие эстетической направленности урока состоит в степени участия ученика в учебной математической деятельности. Философы утверждают, что эстетика проявляется в процессе любой деятельности человека при условии, что деятельность носит творческий характер. Творчество по своей природе эстетично, так как оно предполагает активизацию и концентрацию человеческих чувств. Все выделенные выше условия проектирования современного урока математики обеспечивают в том числе и его эстетическую направленность.

Урок математики украшает «красота мысли». Общеизвестно, что истинное удовольствие от урока математики получают не только учитель и ученики, но и другие присутствующие на нем от того, как ученики рассуждают, участвуют в поиске, высказывают свои гипотезы, понимают, когда высказанное суждение только правдоподобно, а когда оно достоверно (логически обоснованно). Четкое, логически грамотное доказательство теоремы, обоснование решения, проведенное учениками, доставляет удовлетворение и ему самому, и тем, кто его слушает. Поскольку мысль на уроке выражается в речи, то урок математики украшает математически грамотная речь учащихся. Это возможно при определенных условиях. Прежде всего, сам учитель должен давать образец такой речи. Во-вторых, необходимо целенаправленно и настойчиво развивать речь учащихся. Этой проблеме посвящены многие методические работы, поэтому мы здесь не будем в нее углубляться.

Эстетическую направленность урока обеспечивает не только логическое, дедуктивное, мышление, но и чувственно-эмоциональное. Эмоциональная деятельность является одним из ведущих компонентов познавательной деятельности в целом. Она во многом определяет как успешность учебной деятельности ребенка, так и формирование всех его личностных структур.

В заключение приведем, как с описанных выше позиций следует анализировать урок математики.

Примерная схема анализа урока математики:

1. Общие сведения: число, месяц, год, класс, школа, учитель.

2. Общая характеристика математического содержания урока:

а) тема урока, её связь с предшествующим и последующим материалом, роль в изучении курса в целом;

б) анализ особенностей математического содержания: понятия и логическая структура их определений; теоремы, приёмы и методы их доказательств, их новизна для учащихся; типы, приёмы и методы решения задач и т.д.;

в) предпосылки для организации развивающего обучения, определяемые математическим содержанием.

3. Постановка триединой цели (учебной задачи) урока как синтеза развивающих, образовательных и воспитательных целей: на каком этапе и кем сформулированы цели урока.

4. Выбор типа урока, методов, приёмов, средств, форм обучения и их соответствие поставленным целям.

5. Анализ структуры урока, его отдельных этапов:

а) проверка домашнего задания: цели задания и проверки; приёмы проверки; глубина проверки знаний, умений и навыков учащихся, их мотивированная оценка; реакция учителя на ошибки учащихся; ликвидация причин появления ошибок; обучающая и воспитывающая роль контроля, его эффективность;

б) подготовка учащихся к активному, сознательному усвоению: актуализация знаний и её приёмы; пути создания мотивации учения или проблемных ситуаций; постановка целей урока, участие в ней школьников;

в) научность, полнота и последовательность изложения материала; приёмы активизации деятельности школьников при изучении нового, степень их самостоятельности, приёмы управления познавательной деятельностью школьников, осуществление обратной связи; степень отражения в содержании урока и технологиях основных компонентов гуманитарно-ориентированного содержания математического образования (информационной и методологической компоненты, опыта коммуникативной, умственной деятельности учащихся, опыта поисковой, творческой деятельности, условий для создания эмоционально-ценностного отношения), программных требований; соответствие содержания учебного материала триединой цели урока;

г) система упражнений и заданий на этапе осознания, осмысления, её соответствие поставленным целям;

д) система упражнений и задач на уроках-практикумах; методика постановки задач; формы организации деятельности учащихся и степень их самостоятельности в решении задач; нестандартные задачи и оригинальные решения; возбуждение интереса учащихся к математике через решение задач;

е) формы и приёмы контроля за усвоением знаний: диагностика достижения целей урока;

ж) логика урока, взаимосвязь его этапов, логика в переходе от одного этапа урока к другому;

з) оформление записей на доске и в тетрадях на различных этапах урока;

и) приёмы подведения итогов урока; к) приемы выдачи домашнего задания;

л) распределение времени на различные этапы урока.

6. Общий анализ реализации развивающих и воспитательных целей:

а) развитие общеучебных умений школьников: работа с учебником и справочной литературой, с таблицами; планирование своей деятельности и ее оценка и т. д.;

б) развитие интеллектуальных умений: эвристических, логических, речевых;

в) формирование научного мировоззрения: связь математики с практикой, внутрипредметные и межпредметные связи; обучение методам научного познания в математике;

г) развитие самостоятельности, умения учиться;

д) осуществление дифференцированного подхода, учет индивидуальных особенностей учащихся;

е) развитие мотивации учения;

ж) развитие положительных качеств мышления: глубины, гибкости, критичности, активности и самостоятельности, осознанности и т. д.;

з) точность и выразительность, эмоциональность речи учителя;

и) уровень требовательности учителя, объективность в оценке знаний и умений учащихся; реакция учащихся на оценки;

к) культура общения учителя с учащимися, создание «комфортности» учения на уроке, умение снять напряжение в конфликтной ситуации;

л) атмосфера сотрудничества на уроке: «учитель - учащиеся», «ученик -ученик» и т.д.;

м) эмоциональный настрой учащихся на работу;

н) реализация других аспектов воспитания и развития.

Организация урока: точность начала и окончания; подготовленность классного помещения и оборудования к уроку; длительность организационного момента; быстрота включения класса в деловой ритм; эмоциональный настрой, заинтересованность, собранность учителя; темп урока.

Общие выводы по уроку: выполнение плана урока и достижение поставленных целей; что произвело на уроке особенно сильное впечатление; какие коррективы целесообразно внести при повторном проведении урока на эту же тему; общая оценка урока.

Примечание:

1. Основной принцип анализа урока - принцип целеполагания: анализ урока с позиции поставленных учителем целей, методов и средств их достижения.

2. Отдельные отраженные в схеме аспекты анализа урока могут не присутствовать на одном уроке. Для объективной оценки деятельности учителя по всем параметрам следует посетить систему уроков по учебной теме или по различным темам.

Часть II. Конструирование уроков основных типов

2.1. Урок изучения нового

Структура любого урока определяется его целью. Традиционно формулировка целей урока состояла из трех частей: образовательной, развивающей, воспитательной. В свою очередь, дидактическая (образовательная) цель уроков изучения нового состояла или в ознакомлении учащихся с новым материалом, или в формировании у них новых понятий, знаний о новых правилах и т.д. Формулировка развивающих и воспитательных аспектов целей у учителя всегда вызывала и вызывает трудности по объективным, описанным ранее причинам.

В соответствии с требованиями к уроку, изложенными в первой части, основная цель уроков изучения нового должна состоять в открытии учеником субъективно новых для него знаний, в овладении новым содержанием на определенном уровне, в преобразовании нового теоретического знания в способы деятельности.

Прокомментируем сказанное. Во-первых, напомним, что новые знания включают в себя не только информационный компонент, который явно отражен в учебнике, но и методологические знания, познавательные средства. Наряду с формулировкой определений или описанием понятий, теорем и их доказательств, правил ученик должен усваивать методы и способы их получения, осознавать, что математика в целом является методом познания реального мира, знать круг вопросов, которые характеризуют ведущие понятия математики, такие, как число, уравнение и неравенство, функция и т.д.

Например, приступать к изучению нового вида уравнений следует после того, как у ученика уже сформированы следующие методологические знания: определение уравнения и его корня, что значит решить уравнение, логическое обоснование процесса решения уравнения (на основе понятия равносильности или перехода к уравнению-следствию).

Конечно, система методологических знаний формируется не на одном уроке и не только на уроках изучения нового, но в большинстве случаев встречаются с ними школьники впервые как раз на таких уроках.

Во-вторых, всякое открытие предполагает формулировку проблемы (в нашем случае - в форме учебной задачи), поиск ее решения и решение. А это, в свою очередь, требует от ученика необходимой базы знаний и умений оперировать ими, опыта поисковой деятельности и владения ее методами и способами, личностной потребности и заинтересованности в ее осуществлении, интеллектуального и эмоционального напряжения, эмоционально-ценностного отношения к деятельности и т.д.

Таким образом, мотивированное участие ученика, личная потребность в получении нового знания, овладение новыми для него знаниями и способами математической деятельности, его эмоциональное и интеллектуальное напряжение, рефлексия собственных действий, общение и среда, в которой развер-

тывается сотворчество и сотрудничество, эмоционально-ценностное отношение к деятельности и ее субъектам - все это вместе взятое создает условия для достижения образовательной, развивающей и воспитательной целей урока в их органичном единстве.

В-третьих, развивающее обучение предполагает самостоятельную учебную деятельность каждого ученика. С точки зрения современной дидактики самостоятельной работой признается не только та, когда ученик работает без учителя. Самостоятельная деятельность - это деятельность, в которой проявляется способность ученика самостоятельно выделять цели деятельности, определять предмет деятельности, осуществлять выбор средств деятельности. Учащиеся готовятся к такой работе в ходе познавательной деятельности, осуществляемой коллективно, под руководством учителя, в общении «учитель-ученик».

Пусковым началом самостоятельной познавательной деятельности на уроке является проблемная учебная задача, которую каждый ученик должен принять как лично для него значимую, которая должна его заинтересовать, захватить и вызвать потребность ее решить. Уровень самостоятельности при этом у каждого ученика будет свой, зависящий от уровней его обученности и обучаемости. Но главное, чтобы каждый ученик был соучастником получения нового для него знания, осознавал свой вклад в постановку и решение учебной задачи урока.

Перейдем теперь к характеристике каждой инвариантной части структуры урока изучения нового.

Мотивационно-ориентированпая часть

Она должна содержать следующие необходимые элементы:

актуализация;

мотивация, проблемная ситуация;

формулировка проблемы;

постановка учебной задачи (цели) урока.

Актуализация решает две основные подзадачи: повторение ранее изученного и создание условий для перехода к мотивации. В свою очередь, повторение может проводиться с различными целями. Это может быть непрерывное повторение ранее изученного. Например, изучается какая-либо функция, но в систему упражнений включаются упражнения на решение уравнений, тождественных преобразований выражений и т.д. Однако в повторение должны обязательно включаться задания, опорные для изучения нового. Иногда целесообразно в них включать и задачи, которые являются фрагментами доказательств теорем, которые будут изучаться на уроке, но которые сложны для восприятия учащимися.

Заканчивать актуализацию следует созданием «интриги»: учащиеся решают известные упражнения и у них все получается (ситуация успеха), но в конце им предлагаются упражнения или задачи (возможно и с практическим

содержанием), решить которые они не могут, но желание их решить остается. Так возникает противоречие между «знанием» и «незнанием», которое должно вызвать у школьников потребность в его разрешении, побудить их к деятельности по поиску нового знания. «Интрига» и создает условия для плавного перехода к следующему элементу в структуре урока - мотивации.

Пример 1. Урок по изучению нового материала: «Разность квадратов двух чисел». Для актуализации знаний можно предложить следующую систему упражнений.

1. Прочитайте выражения:

2. Запишите:

- удвоенное произведение чисел с и d ;

- квадрат числа ^jcj;

- разность квадратов чисел х и у ;

- произведение разности двух чисел на их сумму и т.д.

3. Представьте, если возможно, выражение в виде квадрата (куба) другого выражения:

4. Выполните действия:

Решение последнего упражнения учитель записывает на доске. 5. Разложите на множители:

Разложить последнее выражение на множители школьники пока не могут. Создается впечатление, что оно не раскладывается. Тогда учитель предлагает проанализировать записанное на доске решение последнего упражнения из четвертого задания: (х-у\х +у)= х2 - у1. Читая его справа налево, ученики замечают, что выражение х2 - v2 представлено в виде произведения двух множителей. Следовательно, оно на множители раскладывается. Но каков способ разложения таких выражений на множители? Далее выясняется специфика этого выражения - разность квадратов двух чисел. Учитель предлагает ученикам сделать предположение (сформулировать цель урока): «Чем мы должны (будем) заниматься на сегодняшнем уроке?» Учащиеся высказывают свои предположения, учитель их корректирует и окончательно формулирует проблему (учебную задачу - цель деятельности учеников на уроке): найти способ разложения разности квадратов двух выражений на множители.

Мотивация может быть усилена заданием на рациональное вычисление произведения двух соответственно подобранных чисел. В младших и средних классах учебную задачу урока рекомендуется фиксировать письменно (на доске и в тетрадях).

Приведенный пример показывает, как учитель создает условия для участия школьников в целеполагании.

Заметим, что приемы создания мотивации школьников разнообразны. Их источником является как связь математики с действительностью, так и внутренние потребности развития математического знания. Особенно велика роль мотивации на первом уроке изучения новой учебной темы. Здесь ученик должен осознать смысл изучения темы в целом.

Пример 2. Приступая к изучению темы «Подобие фигур», учитель говорит: «Мы с вами изучили такие геометрические фигуры: точки, прямые, отрезки, углы, треугольники. Научились различным способам установления равенств между некоторыми из них и применению их для решения в том числе и практических задач. Однако на практике приходится иметь дело не только с равными фигурами». Далее учитель показывает модели фигур, среди которых есть равные, есть и подобные: мячи, географические карты одной местности, выполненные в разных масштабах, игрушечные машинки одной модели, но различных размеров и т.п.

- Как известно, геометрия изучает пространственные, идеализированные формы (модели) реальных объектов, их количественные характеристики, возможность их сравнения по разным параметрам. Анализируя далее сходные модели, учащиеся приходят к выводу, что они имеют «одинаковую форму, но разные размеры». Однако такой подход к их характеристике не корректен с точки зрения математики. Следовательно, нужно найти новую математическую модель, понятие, корректно характеризующее отношение между сходными по выделенным признакам объектами.

В результате такого разговора появляется одна из учебных задач не просто урока, а всей темы: «Ввести (найти) математическую модель (новое понятие), характеризующую отношение между двумя объектами, имеющими одинаковую форму, но разные размеры». Конечно, такие цели урока (темы) может сформулировать и сам учитель при условии, что они мотивированы определенным образом.

Пример 3. Приступая в 11 классе к изучению объемов тел с помощью определенного интеграла, в качестве домашнего задания к уроку можно дать следующее. Объемы таких тел, как куб, прямоугольный параллелепипед, прямая призма, мы находили на основе аксиом объемов и приемов разбиения (на) или достраивания (до) фигуры, объем которой уже известен. Попытайтесь дома достроить (или разбить) наклонную призму (пирамиду) до фигуры, объем которой уже известен.

На следующем уроке идет разговор о выполнении домашнего задания. Выясняется невозможность выполнения указанных действий. Учитель может обосновать это, ссылаясь на известные в математике теоремы о том, что рав-

новеликие многоугольники и равносоставлены, а для многогранников это утверждение неверно. Следовательно, для нахождения формул объемов наклонной призмы, пирамиды, конуса, шара и его частей нужны другие методы. Появляется проблема (учебная задача) их нахождения. Здесь скорее всего учителю придется самому рассказать о сути нового метода - вычислении объемов тел с помощью определенного интеграла. Но главное состоит в том, что ученику будет понятен смысл дальнейшей деятельности учителя.

Пример 4. Необходимость изучения того или иного вопроса ученики (под управлением учителя) могут осознать, проводя аналогию изучаемого материала с уже изученным. Так, сравнивая определения подобных треугольников с определением равных треугольников, учитель ставит вопрос:

-Только ли на основании определения устанавливали равенство треугольников?

(Повторяются признаки равенства треугольников.)

- Какая же на основе аналогии с признаками равенства треугольников возникает гипотеза в отношении установления подобия треугольников?

(Наверное, для ее решения существуют признаки подобия треугольников.)

Появляется учебная задача: выяснить, существуют ли признаки подобия треугольников. В случае положительного ответа найти их.

Предварительный ответ на поставленную задачу в форме гипотезы может быть дан также на основе аналогии с формулировкой признаков равенства треугольников.

Приведенные примеры не только решают задачи мотивации и целеполагания предстоящей деятельности, но они углубляют, расширяют и систематизируют знания учащихся, адекватные структуре гуманитарно-ориентированного содержания в целом.

Итак, ценность мотивации и постановки учебной задачи (цели) в том, что ученик принимает посильное участие в ее формулировке. В этом случае цели ученику будут не только понятны, но и внутренне приняты им, т. е. они приобретут для него личную значимость. Это одно из важнейших условий становления ученика субъектом дальнейшей деятельности на уроке.

Итак, на уроке мотивированная цель появляется в совместной деятельности учителя и учащихся и ставится в форме проблемы, учебной задачи:

- найти новый способ разложения многочлена на множители;

- открыть признаки и свойства параллельных прямых;

- выявить операцию, обратную дифференцированию;

- обосновать существование скрещивающихся прямых;

- исследовать случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости;

- определить функцию, обратную показательной функции;

- найти новую математическую модель, описывающую отношение между фигурами, которые имеют одинаковую форму, но разные размеры.

Сформулированная на уроке таким образом его цель предопределяет поисковый (а значит, развивающий) характер деятельности учащихся. Однако она еще не является полной, т.к. не включает в себя результаты деятельности ученика, четко не отражает, какие знания и на каком уровне должны им быть усвоены. Для устранения этих недостатков учителю следует определить для себя, что ученик должен знать, осознавать, понимать, уметь, о чем иметь представление и т.д.

Пример 5. Так, цели урока, на котором будет вводиться понятие арифметического квадратного корня, при подготовке к уроку формулируются учителем следующим образом:

Выявить действие, обратное возведению в квадрат, и дать ему определение (эта часть цели озвучивается на уроке как итог мотивации).

В результате ученик:

- знает определение квадратного корня из числа;

- знает, что квадратный корень существует только из неотрицательного числа;

- знает, что если число положительное, то оно имеет два квадратных корня;

- понимает связь между действиями извлечения квадратного корня из неотрицательного числа и возведением числа во вторую степень;

- знает определение арифметического квадратного корня;

- умеет символически записывать определение арифметического квадратного корня:

- умеет находить арифметические квадратные корни;

- умеет доказывать, что число является, не является арифметическим квадратным корнем из числа а.

Представленная в таком виде цель выполняет различные функции:

- определяет поисковый характер совместной деятельности учителя и ученика на уроке;

- задает критерии достижения результатов обучения, т.е. диагностируема;

- задает направления отбора содержания к уроку и его логику;

- служит механизмом управления учителем деятельностью учащихся.

Разрабатывая далее операционно-познавательную и рефлексивно-оценочную части урока, учитель логикой отобранного содержания, системой вопросов и заданий, технологией обучения должен обеспечить достижение поставленной цели.

Операционно-познавательная часть

Операционно-познавательная часть направлена на поиск решения и решение поставленной проблемы (учебной задачи). Поэтому ее иногда называют поисково-исследовательской. Она сводится к открытию новых знаний: понятий, их свойств и признаков (теорем), правил. В книге [85] подробно описана технология работы с каждой из указанных дидактических единиц. Она проектируется в соответствии со спецификой поисковой математической деятельности, которая изложена в первой части.

Так, процесс «открытия» нового понятия может происходить следующим образом:

выявление содержания (характеристических свойств) понятия; «присвоение» термина (имени) новому понятию; конструирование определения; символ понятия.

Укажем некоторые приемы включения школьников в математическую деятельность по «открытию» и конструированию определении математических понятий.

Г.П. Сенников основным приемом образования понятий считает наглядно-конструктивный метод. Суть его кратко может быть представлена следующим образом. Учитель предлагает ученику сконструировать (в геометрии — построить) модель к известному (родовому) понятию, преобразовать ее в модель к вводимому понятию (учитель сам подсказывает ученикам эти преобразования, т.е. фактически сам выделяет видовые отличия), далее вводит термин и предлагает учащимся самостоятельно сформулировать определение понятия. На этапе осмысления приводятся модели и контрмодели к понятию (формируется умственное, логическое действие подведения под понятие).

Поясним эти рассуждения на примере введения понятия «компланарные векторы».

Пример б. Учитель предлагает изобразить плоскость а и параллельные ей: а) прямую я; б) прямые а и Ь; в) прямые a, b и с (непараллельные друг другу). Затем на прямых задаются соответственно векторы 5, b и с и откладываются им равные в плоскости а (рис. 1, а, б, в). Учитель вводит термин и предлагает учащимся сформулировать определение компланарных векторов.

Рис.1

Достоинство этого приема состоит в том, что ученики действительно сами формулируют определение понятия, но не сами выделяют его существенные признаки. Использование его на уроке не предполагает осознания учащимися действий по отбору видовых отличий.

Более высокий уровень мыслительной деятельности школьников связан с их самостоятельным выделением характеристических свойств понятия. Назовем его аналитико-синтетическим приемом. При этом можно ограничиться единичным объектом вводимого понятия, а можно вводить понятие вместе с его противоположностью.

В этом случае работа на уроке может быть следующей.

Рис.2

Используя изображение параллелепипеда (рис.2), учитель повторяет понятия вектора, равных, противоположных, коллинеарных векторов, критерий коллинеарности двух векторов, выражение вектора через два неколлинеарных вектора, если все три вектора принадлежат одной плоскости. Выясняется, как могут располагаться два, три вектора в пространстве.

Далее дается следующая система вопросов-заданий:

- Сколько различных векторов задают ребра параллелепипеда?

- Опишите свойства пар (троек) векторов (анализируется каждый случай отдельно):

- Выделите общие и различные свойства пар (троек) векторов (анализ, сравнение, синтез являются ведущими мыслительными операциями при этом).

- Выделите признаки, по которым все шесть случаев можно разбить на две группы (существует плоскость такая, что пары или тройки векторов, отложенные от любой ее точки, лежат в этой плоскости; не существует такой плоскости). В первом случае векторы называются компланарными. Попытайтесь сформулировать определение компланарных векторов и создать графическую модель к новому понятию (проводится обобщение и абстрагирование).

- Попробуйте спрогнозировать, какие вопросы мы должны изучать в дальнейшем.

Анализ второго приема наглядно иллюстрирует и методику обучения школьников мыслительным операциям. Обучение идет на конкретном примере с помощью специальных вопросов-заданий, отражающих ход (план) исследования. Неоднократное и целенаправленное использование этого приема позво-

лит учащимся выделить и осознать выполненные действия по «открытию» характеристических свойств нового понятия.

Вместе с тем в приведенном примере мы формируем уже на этапе образования определения понятия такой важный мыслительный прием, как классификация. Здесь, как и во втором случае, знания о выполняемых действиях усваиваются учащимися через осознание собственных действий в процессе поиска оснований для классификации. Неоднократное и целенаправленное использование этого приема будет способствовать формированию идеи классификации как способа познания и может быть продиагностировано при изучении нового понятия или при решении специально подобранной задачи.

Пример 7. Укажем прием, в основе которого лежит аналогия. Например, понятия длины, площади были изучены в курсе планиметрии. Изучая в XI классе понятие объема многогранников, учитель повторяет понятия длины отрезка и площади многоугольника. Далее замечает, что с понятием объема на интуитивном уровне школьники имели дело, начиная с пятого класса. Но теперь ставится задача изучить это понятие на более абстрактном уровне, отвлекаясь от конкретных моделей тел в виде куба, параллелепипеда и т. п. Проводя аналогию с понятием площади многоугольника, учитель предлагает ученикам самостоятельно ответить на вопрос: «Что такое объем многогранника?» После этого можно предложить ученикам спрогнозировать, пользуясь аналогией, какие вопросы предстоит изучать в этой теме далее и как. Здесь предполагается, что такой метод познания, как аналогия, уже знаком учащимся, т.е. они знают об особенностях умозаключений, сделанных по аналогии, осознанно формулируют выводы об аналогичных свойствах нового объекта.

Еще пример. Операция вычитания (деления) на множестве натуральных чисел определяется как обратная сложению (умножению). Смысл ее остается тот же и на всех других изучаемых в школе числовых множествах. Поэтому, переходя к новым числовым множествам, следует побуждать школьников самим давать определения указанных операций, пользуясь аналогией.

Иногда прием конкретизации позволяет школьникам самим дать определение понятия. Например, в курсе геометрии VII класса дается общее определение равных фигур. Изучая далее равные отрезки, равные углы, равные треугольники, школьники могут дать самостоятельно определения этих понятий.

Наконец, там, где представляется возможность, важно показывать школьникам, как из множества существенных признаков, входящих в содержание понятия, выбирают те, которые входят в его определение. Заметим попутно, что вообще для целенаправленного формирования у школьников мыслительных операций важно умело подбирать соответствующее содержание. Сложность математического материала не должна быть при этом чрезмерно высокой.

Пример 8. После того как изучен параллелограмм и прямоугольник, их свойства и признаки, работу по изучению ромба можно организовать следующим образом.

На доске изображены различные виды параллелограммов (рис. 3):

Рис.3

Учитель предлагает разбить их на виды по каким-либо признакам. Устанавливается, какие частные виды параллелограммов уже изучены, а какие нет.

- Выделите случаи в), г), д). Как вы думаете, что отличает эти фигуры от произвольного параллелограмма и от прямоугольника?

- Выделите признаки, отличающие их от произвольного параллелограмма.

На глаз учащиеся могут обнаружить равенство всех сторон. Учитель побуждает учащихся «открыть» и другие отличительные признаки рассматриваемой фигуры (на глаз или измерением устанавливаются признаки, связанные с диагоналями). Далее учитель различным группам учащихся дает задания доказать следующие факты:

- Если в параллелограмме все стороны равны, то его диагонали перпендикулярны. Сформулировать и доказать обратное утверждение.

- Если в параллелограмме диагонали делят пополам его углы, то все стороны параллелограмма равны. Сформулировать и доказать обратное утверждение.

- Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то они делят его углы пополам. Сформулировать и доказать обратное утверждение.

После этого идет коллективное обсуждение результатов работы каждой группы и делается вывод, что каждая группа нашла признак, по которому ромб можно отличить от параллелограмма. Каждый из них характеризует понятие ромба, но в определение ромба нет нужды включать их все. Достаточно включить в определение один из них. Тогда оставшиеся два будут следовать из определения (получаем теоремы — признаки и свойства ромба).

Естественно теперь предложить школьникам дать различные определения изученных ранее понятий параллелограмма и прямоугольника.

Такой подход делает акцент на получение суждений, установление их связей и не ограничивает понятие одним его определением, а формирует взгляд на определение как на совокупность существенных свойств, а также на то, что понятие может быть охарактеризовано различными такими совокупностями.

Уровень исследовательской деятельности школьников может быть усилен, если приступить к работе по анализу в начале изучения темы «Четырехугольники». В этом случае следует предложить ученикам сначала рассмотреть различные группы выпуклых четырехугольников в зависимости от параллельности противоположных сторон, равенства противоположных сторон, углов. В результате обсуждения наметить программу изучения темы.

Важнейшим методологическим знанием о понятии является вопрос его существования. Требование доказательства существования объекта формирует математический стиль мышления. В большинстве школьных учебников

по математике этот вопрос явно не ставится. Но известный математик и методист Н.М. Бескин рекомендовал учителю все определения без исключения сопровождать доказательством существования определяемых объектов. К сожалению, в современных учебниках по методике математики этот вопрос чаще всего вообще не рассматривается. Естественным доказательством существования объекта в геометрии является его построение. В алгебре приводятся соответствующие примеры. Обращать внимание школьников на существование рассматриваемого объекта можно не затрачивая на это больших усилий. Работа с теоремой организуется так:

- поиск новых фактов («открытие» теоремы);

-формулирование теоремы;

- поиск доказательства теоремы;

-оформление доказательства.

Прокомментируем возможные варианты работы с теоремой на уроке.

При изучении теорем школьники должны включаться в деятельность по «открытию» закономерности, отражаемой в изучаемой теореме, выдвижению гипотез, в поиск доказательств их истинности или опровержения, а также осознавать способы, методы и приемы, с помощью которых реализуется эта деятельность.

К числу эвристических методов науки, прежде всего, относятся наблюдение и сравнение, эксперимент и обобщение, неполная индукция, аналогия, интуиция. Все эти методы позволяют выдвинуть гипотезы, которые требуют установления их истинности и ложности. В то же время к открытию математических фактов приводят дедуктивные рассуждения. Проиллюстрируем сказанное на примерах.

Неполная индукция - это умозаключение, которое делается на основе рассмотрения некоторых частных случаев, причем число этих случаев не охватывает всего их множества. Естественно, что полученное таким образом умозаключение может быть только гипотезой. В курсе математики деятельность учащихся по выдвижению гипотез на основе неполной индукции организуется через моделирование, измерение, вычисление, построение и анализ хорошо выполненных рисунков.

Пример 9. Теорему Виета учащиеся могут «открыть» путем правильно направленных учителем вычислений; измерением целесообразно воспользоваться в теме «признаки равенства треугольников», чтобы помочь учащимся сформулировать соответствующую гипотезу; моделированием можно установить, что сумма углов треугольника равна 180°; то, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, ребята могут увидеть на чертеже.

Для развития гибкости и критичности мышления важно уже на этом этапе варьировать ситуации, проводить их сравнение. Например, после того как учащиеся на основе построения, измерения или моделирования (перегибания) «откроют» свойство высоты равнобедренного треугольника, проведенной из его вершины, целесообразно сразу же построить высоту к боковой стороне и показать, что она найденным для первой высоты свойством не обладает. И

лишь после этого формулировать соответствующую теорему в форме гипотезы.

Аналогия на протяжении многих тысячелетий являлась основным методом научного исследования. Аналогия при изучении теорем может помочь школьникам как «открыть» теорему, так и найти способ доказательства, а возможно, и то и другое.

Пример 10. Приведем фрагмент урока, посвященного изучению площади трапеции. Учитель начинает с повторения опорного материала.

- Что такое площадь многоугольника (какими свойствами она обладает)?

- Площадь какого многоугольника мы можем находить, исходя из этого?

- Площадь какого многоугольника мы нашли на основании общих свойств площади?

- Какой прием мы использовали для вывода площади прямоугольника? (Достраивание до фигуры, площадь которой известна, до квадрата и разбиение ее на квадраты и прямоугольники).

Аналогичные вопросы задаются при повторении теорем о площади параллелограмма и треугольника. В процессе такой беседы на доске появляется постепенно следующая запись (рис. 4).

Рис.4

Подводится итог:

1. Площадь каждой изученной фигуры выражается через сторону и высоту к ней.

2. Для вывода всех формул применяется один и тот же прием (указан выше).

- Какой еще четырехугольник изучали на прошлых уроках?

На рисунке появляется последняя фигура - трапеция. Формулируется учебная задача: выявить, по каким элементам можно определить площадь трапеции и найти соответствующую формулу.

- Проводя аналогию с тем, что нам уже известно, как вы думаете, через какие элементы можно выразить площадь трапеции? (После обсуждения останавливаются на гипотезе, что, наверное, через основания а,Ь и высоту h.)

- Попытайтесь найти эту закономерность, используя прием «достраивания» и «разбиения». У кого какие варианты, как можно проводить дополнительные построения, чтобы к нахождению площади трапеции можно было подойти через площади известных многоугольников?

Учащиеся начали предлагать свои варианты (рис. 5):

Всего было предложено восемь рисунков. После появления на доске первых трех класс замер в ожидании новых предложений, и каждый следующий случай сопровождался одобрительным гулом и улыбками.

Далее учитель каждому ряду дал задание: найти площадь трапеции, зная а,Ь и Л по рисункам 5,а; 5,г; 5,д соответственно. В результате в классе доказали теорему тремя способами. Желающим было предложено дома найти свои способы доказательства.

Включение школьников в поисковую деятельность на основе неполной индукции и аналогии позволяет формировать у них не только логическое мышление, но и интуитивное, которое является необходимым компонентом творческого мышленОия независимо от их будущей профессиональной деятельности.

Дедуктивные умозаключения. К открытию новых закономерностей, доказательств могут привести и дедуктивные умозаключения. В этом случае доказательство идет впереди формулировки теоремы. Например, получив определение прямоугольника и сформулировав его свойства как параллелограмма, далее учитель предлагает найти его свойства, не присущие параллелограмму. В качестве подсказки (в зависимости от класса) можно предложить сравнить пары нужных прямоугольных треугольников.

К получению новых теорем школьники могут придти самостоятельно, формулируя предложения, обратные доказанным теоремам, и выясняя, являются они истинными или ложными.

Рис.5

В этой связи заметим, что изучение взаимно обратных теорем важно вести одновременно, методом укрупнения дидактических единиц, разработанным П. М. Эрдниевым, прибегая иногда для этого и к реконструкции последовательности изложения материала в учебнике [96].

Например, доказав теорему о свойстве диагоналей прямоугольника, учащимся предлагается сформулировать обратное предложение и установить истинно оно или ложно.

Методом укрупнения дидактических единиц целесообразно изучать некоторые взаимно обратные операции (сложение и вычитание, деление и умножение натуральных, дробных чисел) или сходные по каким-либо параметрам темы («Арифметическая и геометрическая прогрессии»).

Дедуктивный способ «открытия» теорем в большей степени формирует дедуктивное, логическое мышление. Конечно, решая задачу, мы также делаем логические выводы из условия, но принципиальная разница в этих двух ситуациях заключается в том, что при решении задачи ученик знает требование, т.е. то, к чему должен придти, а в первом случае - нет.

Важную роль в постановке учебной задачи, связанной с открытием теоремы, играет генетический способ. Проиллюстрируем его суть на примере изучения критериев вписанной и описанной окружностей четырехугольника.

Пример 11. Урок начинается со вступления учителя.

- На уроках геометрии мы изучаем геометрические фигуры и их свойства, отношения между фигурами. В частности, мы изучили теорему о том, что всякий треугольник имеет описанную окружность и притом только одну (появляется рисунок). При изучении четырехугольников у вас закономерно должен возникнуть вопрос: «Всякий ли четырехугольник имеет описанную окружность?»

На доске появляются два рисунка: четырехугольник, имеющий описанную окружность (строим окружность, на ней четыре точки, определяющие четырехугольник), и четырехугольник, не имеющий описанной окружности (строим окружность, на ней три точки, задающие однозначно окружность, а четвертую - не принадлежащую окружности).

- Итак, существуют четырехугольники, имеющие описанную окружность, и четырехугольники, ее не имеющие. Сформулируйте сами проблему, которую мы должны с вами исследовать.

Очень важным для интеллектуального развития школьников являются этапы поиска доказательства. При умело разработанной методике здесь имеются неограниченные возможности приобщения школьников к методам познания, как общим, так и частным, в их естественной взаимосвязи: анализу и синтезу, сравнению и аналогии, индукции и дедукции.

Выше уже были примеры, когда в основе поиска доказательства лежит аналогия, неполная индукция. Однако чаще всего поиск ведется аналитическим, синтетическим или аналитико-синтетическим методами. Они достаточно подробно описаны в литературе.

При разработке технологии этапа доказательства теорем важно обучать школьников как общим логическим методам доказательств, так и частным приемам. Учителю следует учитывать новизну для учащихся метода или приема доказательства. Методика обучения школьников новому методу состоит в том, что после проведенного доказательства конкретной теоремы учитель обращает внимание школьников на метод рассуждений, вместе с ними раскрывает особенности этого метода и проводит обобщение - выделяет сущность нового метода.

Пример 12. Доказательство признака скрещивающихся прямых (если через одну из двух прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой, то такие прямые скрещиваются) проводится методом исчерпывающих проб. Его суть состоит в следующем:

- Как могут располагаться две прямые в пространстве? (Пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Других случаев взаимного расположения двух прямых в пространстве нет.)

- Предположим, что прямые пересекаются. Тогда нельзя через одну из них провести плоскость, параллельную второй прямой, т.к. последняя будет лежать в этой плоскости. Следовательно, этот случай невозможен.

- Предположим, что прямые параллельны. Тогда через одну из них можно провести не одну плоскость, параллельную другой. Следовательно, этот случай также невозможен.

- Поскольку возможны только три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости и мы доказали, что два из них невозможны, то делаем вывод, что данные в условии теоремы прямые скрещиваются.

После проведенного доказательства анализируется метод доказательства, вскрывается его сущность и сообщается ученикам его название.

Заметим здесь, что рассмотренного признака скрещивающихся прямых нет в некоторых школьных учебниках. Однако если учитель целенаправленно обучает методам, способам и приемам математической деятельности, четко осознает, что ему для этого следует делать, то при отборе материала, как теоретического, так и задачного, он будет стараться не упускать объективно заложенных в математическом содержании возможностей.

Аналогично, на конкретных доказательствах, следует разъяснять сущность аналитического, синтетического методов доказательств, метода от противного, а также частных, специфических методов (метод геометрических преобразований, векторный метод в доказательстве теорем, приемы дополнительных построений, связанные с той или иной фигурой, ситуацией) и т.д.

Приведенные примеры показывают, что, хотя мы и выделили определенную последовательность элементов урока в инвариантной структуре двух его первых частей, на практике следует проявлять определенную гибкость, избегать шаблона, сковывающего инициативу и творчество учащихся.

Пример 13. Опишем еще один фрагмент урока, цель которого состояла в обучении школьников методологическим знаниям.

Учитель начинает урок со следующего вступления.

-Мы с вами доказываем уже сформулированные теоремы, кем-то открытые. Но как люди приходят к открытию новых фактов? На сегодняшнем уроке мы попытаемся получить новые теоремы сами, используя различные приемы рассуждений.

-Постройте окружность co(O.R), точку M внутри полученного круга и проведите через точку M две пересекающиеся хорды AB и CD (рис. 6).

Рис. 6

-Получили отрезки хорд МЛ и MB, MC и MD. Дополнив рисунок, сформулируйте по нему задачи, кто какие может.

-Соедините А и С, В и D. Докажите, чтоZCAB = ZCDB.ZACM = Z.DBM.

- Какое еще требование можно поставить к этому же условию?

- Докажите, что A MAC -A MDB.

-Какие следствия можно вывести из этого факта?

-Примените свойства пропорций:

MA-MB = А/С* MD.

-Сформулируйте полученную теорему (формулируется теорема так, как она приведена в учебнике).

- Но у настоящего исследователя на этом изучение рассматриваемой ситуации не заканчивается.

-Так как хорды AB и CD, проходящие через точку Л/, произвольны, а произведение МЛ- MB постоянно, то какой у вас должен возникнуть вопрос?

-Чему равно это произведение?

-Чтобы ответить, мы должны в рассматриваемой геометрической ситуации выделить постоянные величины, фигуры.

Выясняется, что здесь постоянными являются точки ОМ, а следовательно, и расстояние d между ними, радиус R окружности. Проводя хорду EF (диаметр) и применяя для нее доказанную теорему, получаем, что МА-МВ = ME-MF = R2-d2.

Предлагается переформулировать доказанную теорему.

-Однако изучение вопроса пока еще полностью не закончено. Мы брали окружность (О,/?) и точку M внутри ее круга. Как еще могут располагаться окружность и точка?

M принадлежит окружности и M лежит вне круга (0,Я) (рис. 6, б, в).

-Рассмотрим последний случай. Проведем хорды AB и CD такие, чтобы MA и MC были секущими к окружности.

-Спрогнозируйте зависимость между отрезками MA и MB, MC и MD. Учащиеся, используя аналогию, выдвигают гипотезу, что MA-MB = MC-MD, и доказывают этот факт. На вопрос учителя, чему равно в этом случае каждое из произведений, были ответы, основанные на аналогии (MA-MB = R2-d2, где d = ОМ ), которые вызвали сразу же возражения части учащихся, заметивших, что в этом случае R2 -d2<0 и такого не может быть. После рассуждений получили, что MA- MB = d2 - R2.

- Можно ли утверждать, что этот случай мы исследовали полностью?

-Какие прямые, проходящие через точку M и связанные с окружностью, мы во втором случае можем провести, а в первом нет? (Касательные МТ и МТ,.)

Предлагается выяснить, связаны ли длины отрезков касательных с полученными величинами. В результате всех рассуждений приходят к формулировке теоремы: произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.

Во втором случае MA-MB = МТ2. Учитель обращает внимание учащихся на то, как меняется произведение MA- MB в зависимости от изменения положения точки M относительно окружности.

Подводится итог. Как можно прийти к «открытию» новых фактов в математике: чисто дедуктивно, логическим путем, прогнозируя результат на основе аналогии, рассматривая частные или все возможные случаи какого-либо явления. Этими же приемами вы пользуетесь и для самостоятельного поиска решения задач.

Проведенный урок способствовал умственному развитию учащихся во всех его аспектах: получили новые факты-теоремы, учитель раскрывал методологию математики (законы и приемы познавания математических закономерностей), развивал интеллектуальные качества ума (гибкость, критичность мышления и др.). Учащиеся весь урок работали с интересом. Заметим, что это может быть лишь в том случае, если учащиеся приучены к постановке учителем проблемных вопросов и активно, с интересом включаются в поиск ответов на них.

Операционно-познавательная часть по открытию нового правила (способа деятельности) может быть организована так:

-решается специально подобранная (типичная для будущего способа) задача (или несколько таких задач);

-проводится анализ ее условия с целью выделения общего (например, решали на координатной прямой две задачи на сложение двух чисел с разными знаками);

-анализируется решение каждой задачи с целью выявления обобщенного способа (при этом очень важна логика, последовательность вопросов и заданий учителя);

-создается модель (словесная, графическая, символическая и т.д.) обобщенного способа;

-формулируется правило в форме алгоритма.

При такой работе целесообразно запись вести в два столбца: слева записывается решение конкретной задачи, справа - обобщенный способ решения задач определенного класса (ориентировочная основа деятельности).

Пример 14. Запись при выявлении способа решения уравнений с одним неизвестным (6 или 7 классы) может быть следующая:

Способ решения уравнения с одним неизвестным: 9дг- 23 = 5х-11

Чтобы его решить, надо:

1. Перенести члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие неизвестное, в правую (св-во 1).

2. Привести подобные члены.

3. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю (св-во 3).

4. Записать ответ.

Форма организации деятельности школьников по открытию новых знаний может быть самой различной: эвристическая беседа, индивидуальная, парная или групповая работа, рассказ или школьная лекция, самостоятельная работа с учебником и т.д. Однако в любом случае учителю следует продумывать процесс управления этой деятельностью в содержательном и процессуальном аспектах.

Рефлексивно-оценочная часть

Рефлексивно-оценочная часть урока включает в себя два основных аспекта: личностный и содержательный.

Личностный аспект предполагает в первую очередь осмысление и оценивание учеником своей деятельности: решил ли он (или они) поставленную задачу; каков его личный вклад в ее решение; доволен ли он своей работой; насколько он был активен или пассивен, в чем он испытывал трудности; вызвало ли решение поставленной проблемы его интерес т.д.

Для этого учитель в конце урока может предложить учащимся письменно ответить на вопросы, содержание которых определяется вышесказанным.

Содержательный аспект предполагает осознание и осмысление учеником результата решения учебной задачи и процесса его получения, анализ методов, приемов, теоретических положений, прогнозирование применения новых знаний, преобразование теоретических знаний в способы деятельности и выделение в связи с этим эвристик (частных или общих).

Осознание и осмысление учеником процесса и результата новых теоретических знаний является первым этапом обучения решению задач. Во-первых, те эвристические методы, способы, идеи поиска (характеристических свойств понятия, теоремы и ее доказательства), методы и способы доказательств являются в то же время и методами поиска и решения задач. Поэтому важно вместе с учениками выделить новые для них общие эвристические и логические методы, частные методы и приемы, характерные для вновь полученных знаний, раскрыть их суть и дать им названия.

Если же методы и приемы уже известны учащимся, то следует еще раз подчеркнуть важность и необходимость владения ими для успешной математической деятельности.

Во-вторых, новые знания в дальнейшем будут применяться как при изучении теорем, так и для решения задач. Поэтому важно формировать у школьников умение оперировать ими, т.е. преобразовывать теоретические знания в способы деятельности. В свою очередь, это общее умение предполагает формирование двух умений, составляющих любую аналитико-синтетическую деятельность: выведение следствий и подведение под понятие.

Заканчивать решение упражнений, обучающих школьников этим двум действиям, следует формулировкой частных эвристик. В данном случае под частной эвристикой мы понимаем предписание, содержащее рекомендацию по выбору возможного поиска, которое получено в результате переформулировки соответствующего теоретического положения (аксиомы, определения, теоремы). Например, доказав теорему о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и проводя описанную выше работу, получаем следующие эвристики:

1. Если будет известно, что треугольник равнобедренный, то можно использовать: а) равенство двух сторон; б) равенство углов при основании.

2. Для того чтобы доказать равенство двух углов, можно попытаться установить, что эти углы являются углами при основании равнобедренного треугольника.

В последнем случае важно поставить еще один вопрос: «Перечислите все способы доказательства равенства углов, которые вам теперь известны».

Наконец, поиск решения любой задачи неалгоритмического типа сопровождается переформулировками исходных задач на основе данной (об этом подробнее будет сказано ниже). Поэтому на этапе осознания, осмысления новых знаний важно побуждать школьников к самостоятельному составлению задач (на первых порах дидактических).

Этот процесс желательно заканчивать прогнозированием: для решения каких задач (в широком смысле, включая и доказательство теорем) можно использовать новые знания. Так, изучив определение компланарных векторов и критерий компланарности, в результате их анализа ученики выясняют, что компланарные векторы позволяют решать следующие содержательные задачи:

-доказывать параллельность трех прямых некоторой плоскости;

-устанавливать принадлежность четырех точек одной плоскости;

-доказывать параллельность прямой и плоскости.

Предложить детям сформулировать соответствующие эвристики.

Далее приведем задания, направленные на осознание и осмысление школьником новых теоретических знаний.

Возможные виды заданий на усвоение определения понятий

1. Сформулируйте учебную задачу (цель), которую нам предстояло решить (достигнуть). Какой результат мы получили? Решили ли мы поставленную задачу?

2. Сформулируйте полученное определение.

3. Определите, корректно ли определение (учитель модифицирует формулировку, добавляя или опуская некоторые слова: а) изменяющие смысл данного определения; б) не изменяющие).

4. Приведите примеры введенного понятия, постройте (в геометрии) -фактически происходит доказательство существования понятия.

5. Как символически можно изобразить введенное понятие?

6. Выясните, подходят ли изображенные на рисунке фигуры (записанные алгебраические выражения) под данное понятие. Ответ обоснуйте (формируется логическое действие подведения под понятие).

7. Известно, что мы имеем ...(проговаривается термин введенного понятия). Что отсюда следует? (формируется логическое действие выведения следствий).

8. Какие частные задачи можем решать на основе введенного определения? Попытайтесь сами составить такие задачи (формулируются частные эвристики).

9. Какие еще способы решения указанных задач вы знаете?

10.Расскажите, как вы выявили свойства понятия, входящие в его определение.

11.Как вы оцениваете свою деятельность по выявлению свойств изучаемого понятия?

12.Вы узнали определение нового понятия, как вы думаете, что нам следует изучать дальше? (Последним вопросом учащиеся подводятся к необходимости изучения его новых свойств и признаков.)

Конечно, не все приведенные задания даются ученикам после введения каждого определения, равно как и вся описанная технология не может применяться при изучении каждого определения. Все зависит от уровня развития

культуры мышления школьников, их обученности. Большинство из этих упражнений следует предлагать на ранних стадиях работы с определением, тем самым и повышая уровень математической культуры учащихся.

Приведенные задания входят и в число задач для диагностики изучаемого понятия.

Возможные виды задании на осознание (понимание), запоминание формулировки теоремы и ее доказательства

1. Сопоставьте учебную задачу (цель), которую нам предстояло решить, с полученным результатом. Сделайте вывод.

2. Сформулируйте доказанную теорему. Выделите условие, заключение.

3. Верно ли предложение: (учитель модифицирует формулировку, добавляя или опуская некоторые слова, которые: а) изменяют смысл доказанной теоремы; б) не изменяют).

4. Создайте другой рисунок и обозначения к доказанной теореме (моделирование теоремы).

5. Проведите доказательство теоремы:

а) с теми же обозначениями, но при новом расположении чертежа;

б) при том же расположении чертежа, но в новых обозначениях.

6. Сформулируйте обратное (противоположное) утверждение.

7. Выделите основную идею (прием) доказательства.

8. Приведите примеры доказательства теорем или решенных задач, где бы использовался этот прием.

9. Составьте план доказательства теоремы (выделите основные этапы доказательства).

10. Выделите базис доказательства (опорные теоремы, аксиомы, определения).

11. Найдите другой способ доказательства (возможны указания со стороны учителя).

12. Примените теорему к решению следующих задач (дается цикл дидактических задач на прямое применение, задачи с недостающими данными, с избыточными, где данные следует подкорректировать, прежде чем применить теорему).

13. Для решения каких задач можно использовать доказанную теорему (прогнозирование, составление частных эвристик)? Например: доказательство равенства углов, отрезков, параллельность прямых и т. д.

14. С помощью каких еще теорем можно решать указанные типы задач? (Перечисляются в этом случае все известные ранее способы и добавляется новый.)

15. Составьте сами задачи на применение теоремы (на первых порах можно по готовому рисунку).

16. Опишите, как вы рассуждали, когда отыскивали: а) закономерность, отраженную в формулировке;

б) когда отыскивали доказательство.

17.Оцените свою деятельность.

Возможные виды задания на усвоение правила

1. Воспроизведите еще раз полученное правило.

2. Расскажите правило своими словами.

3. Вставьте пропущенные слова в формулировке правила.

4. Предлагается набор (непоследовательный, возможно, избыточный) действий. Восстановите из предложенных действий новое правило.

5. Выделите умения, которыми нужно было владеть для получения нового правила.

6. Среди предложенных упражнений выберите те, которые решаются с помощью данного правила.

7. Составьте сами задания на применение данного правила.

8. Найдите ошибку в решении.

9. Какие ошибки вы можете допустить, применяя это правило?

10.Для решения каких задач и упражнений можно использовать данное правило?

Конечно, не все приведенные для каждой дидактической единицы задания выполняются на первом уроке.

В зависимости от специфики содержания, от времени, отводимого на рефлексивно-оценочный этап, от особенностей класса учитель сам определяет необходимость выполнения того или иного вида задания. Важно, чтобы все эти задания присутствовали в системе уроков, поскольку они не только способствуют осознанию, осмыслению нового знания, но и формируют культуру мышления школьников в целом. Однако в любом случае рефлексивно-оценочный этап заканчивается подведением итогов урока. Они также включают в себя личностный и содержательные аспекты.

Первый из них описан выше. К нему следует добавить и оценку деятельности учеников учителем: как класса в целом, так и отдельных учеников. Особой похвалы заслуживают школьники с невысоким уровнем обучаемости, но которые принимали в получении нового знания посильное участие.

В содержательном аспекте следует самому учителю четко выделить новое знание, его особенности и специфику, методы, способы и приемы, с помощью которых оно получено.

Последний элемент урока - домашнее задание. Здесь можно привести следующие рекомендации:

1. Дифференцированное домашнее задание. Эта дифференциация может осуществляться двояко. Задание может состоять из двух частей: обязательной для всех (в рамках стандарта) и «желательной» для отдельных учеников. В нашей практике мы подчеркивали, что «желательную» часть выполняют те учащиеся, которые претендуют на хорошие и отличные отметки. Возможно

давать для одной части школьников одно задание на уровне требований стандартов, а для другой («желающих») - более высокого уровня.

2. Учитель сам решает, есть ли необходимость в комментариях к заданию.

3. В задании учитывается потребность в повторении опорных знаний к следующим урокам.

Примечания. 1. Описанный подход к конструированию уроков изучения нового учителю может показаться неприемлемым из-за больших, по сравнению с традиционным, затрат времени. Да, развивающее и воспитывающее обучение требует на первых порах больше времени. Но оно, во-первых, и решает более «высокие» цели: развитие школьника, его осознанное отношение к математической деятельности, понимание математического содержания. Во-вторых, достигнутый на начальных этапах развивающего обучения уровень развития школьников, осознанное владение материалом компенсируют в дальнейшем эти потери, в том числе и в обучении решению задач.

2. Уроки изучения нового могут происходить в разных формах, в том числе и в форме лекций, семинарских занятий и т. д. (лекционно-семинарская система в целом описана нами будет в п.2. 4). Но в любом случае прежней остается инвариантная структура занятия.

3.Поставленные учителем диагностируемые цели урока чаще всего не могут быть достигнуты на первом уроке. Школьнику требуется еще самостоятельная деятельность по осмыслению материала дома (домашняя работа). Достижение поставленных целей происходит и на следующем уроке, который иногда называют уроком усвоения новых знаний.

4. Поскольку ставятся диагностируемые цели урока, то необходимо проводить и диагностику: выявлять, достигнуты ли они каждым учеником или нет. Диагностику достижения поставленных целей можно проводить на следующем уроке, на этапе проверки домашнего задания. Диагностируемые задания составляются в соответствии с поставленными диагностируемыми целями. В них можно включать и те типы заданий, которые приведены выше, для осознания, осмысления нового теоретического материала. Задания могут составляться как в тестовой форме (один вариант таких заданий будет описан нами далее в п.2.5), так и в традиционной. Вместе с тем в современной трактовке диагностика предполагает не только выявление качества и уровня усвоения знаний, умений и навыков. Современный урок характеризуется мониторингом процесса осуществления учебной деятельности учащихся, личной активности каждого из них в постановке, поиске и решении учебной задачи урока. Опытный учитель осуществляет его в ходе урока посредством наблюдения за работой каждого ученика, его активностью, ответами на возникающие в процессе поиска вопросы и т.д. Как мы уже подчеркивали, в арсенале учителя должны быть вопросы и задания различного уровня сложности и на каждый из них следует спрашивать того ученика (даже если он не поднимает руки), для которого обсуждаемое задание посильно. Другим важным и более действенным

средством мониторинга является самоконтроль ученика, рефлексия им собственной деятельности. О ней мы говорили выше.

2.2. Конструирование системы уроков решения задач

Уроки решения задач в обучении математике занимают не менее половины учебного времени. Прежде чем описывать их сущность и построение, следует ответить на основной вопрос о целях таких уроков. Практика показывает, что значительная часть учителей формулирует их как обучение решению задач. Но такая постановка слишком обобщенна и абстрактна, неопределенна, она не отражает ни содержание, которое должны усваивать ученики, ни формируемые умения и навыки. Это объясняется в том числе и тем, что, хотя в теории и методике обучения математике имеется большое число исследований (Ю. М. Калягин, В. И. Крупич, Д. Пойа, Л. М. Фридман и др.), посвященных обучению решению задач в целом, организации системы уроков, отражающих последовательные этапы обучения школьников решению задач, должного внимания не уделяется. В статье [29] нами была предпринята попытка охарактеризовать подготовку учителя к системе уроков-практикумов по учебной теме. Наиболее полно, как нам представляется, систему уроков решения задач описала Л. И. Кузнецова. Тем не менее и в указанной системе упомянутые выше этапы четко не выделены. Поэтому вначале опишем их.

Методика обучения школьников решению математических задач

Все авторы указанных выше работ, описывая методику обучения решению задач в целом, исходят из положений, сформулированных известным педагогом-математиком Д. Пойа. Он выделяет четыре этапа («ступени») в решении задач, алгоритм решения которых решающему неизвестен:

-понимание смысла задачи, ее условия, требования, связей между ними:

-поиск плана решения;

-осуществление плана, т.е. оформление решения;

-«взгляд назад», анализ поиска решения, собственно решения, результата.

Однако если решение задачи известно ученику, то он его осуществляет сразу. Такую задачу называют стандартной или обучающей. Если план решения неизвестен, то его следует отыскивать. Иногда он находится быстро, но если задача проблемная, то поиск решения является одной из наиболее сложных «ступеней» в решении задачи. И здесь, на основе анализа работ Д. Пойа, методисты выделяют эвристические схемы, направляющие поиск. Они сводятся к следующим указаниям:

1. Попытайтесь свести данную задачу к какому-либо типу задач, способ решения которых известен.

2. Проанализируйте требование задачи, попытайтесь применить тот или иной уже известный прием или метод.

3. Попытайтесь видоизменить задачу: переформулировать условие или требование, т.е. на основе данной задачи попробуйте составить новую. Возможно, следует заменить задачу ей эквивалентной.

4. Попробуйте разбить задачу на серию вспомогательных задач, последовательное решение которых может составить решение данной задачи.

5. Рассмотрите предельные случаи отдельных элементов данной задачи и проанализируйте, не приведет ли ее решение к идее решения исходной.

6. Попробуйте отыскать в литературе решенную задачу, аналогичную данной.

Вместе с тем знание общих эвристических схем еще не гарантирует решающему успех. Необходимо предварительно формировать у школьников умения (действия), адекватные каждому эвристическому предписанию.

Анализ работ Д.Пойа и развитие его положений отечественными учеными позволяет более четко ответить на вопрос, что обучать решению математических задач - значит формировать у учащихся последовательно и целенаправленно следующие умения:

1. Анализировать условие задачи: выделять данные, требования, соотносить данные с требованием.

2. Устанавливать круг теоретических положений, которые ассоциируются у школьников с каждым элементом условия и требования.

3. Выводить следствия и подводить под понятие, преобразовывать теоретические положения (аксиомы, определения понятий, формулировки теорем) в способы деятельности, в эвристические приемы, создавать и пользоваться эвристиками.

4. Владеть способами решения исходных стандартных, опорных, обучающих и т.д. задач, к которым сводится решение неалгоритмических задач. В последнее время такие задачи называют ключевыми (И. И. Зильберберг, H. X. Розов, Р.Г. Хазанкин).

5. Составлять новые задачи, осуществлять варьирование задачи на основе:

- изменения условия задачи;

- изменения требования задачи;

- замены данной задачи ей эквивалентной;

-формулировки обратной (противоположной) задачи;

- обобщения и конкретизации;

- использования результата решения известных задач.

В последние десятилетия составленные таким образом задачи получили название динамических.

6. Владеть методами математической деятельности: общими эвристическими и дедуктивными; специфическими, характерными для конкретной учебной темы. Особое внимание следует уделять анализу и синтезу, т.к. аналитико-синтетическая деятельность пронизывает все этапы решения задачи

(в том числе и стандартной, если ученик в начале знакомства с ними осознанно опирается на теорию, а не только на память действовать по образу).

7. Решать задачи разными методами.

8. Анализировать процесс поиска и решения.

Все выделенные выше умения следует формировать в комплексе, последовательно, систематически и целенаправленно, начиная с уроков изучения нового, на которых решаются дидактические задачи.

Попытаемся далее ответить на вопрос, как это делать? Как известно, процесс формирования любого понятия, умения, действия очень длительный. Это не происходит в течение одного или двух уроков и даже в течение системы уроков изучения отдельной темы. Здесь важна последовательная и целенаправленная работа учителя. И все-таки можно выделить основные этапы такой работы при изучении отдельных блоков учебного материала каждой темы.

Первый, начальный этап начинается на уроках изучения нового материала, в частности на этапах открытия новых знаний, осознания и осмысления результата. В предшествующем параграфе он описан достаточно подробно. Выполнение упражнений и заданий выделенных типов и видов является необходимым условием подготовки школьников к решению задач более высокого уровня сложности. К сожалению, этот этап недооценивается как учеными-методистами (в учебных пособиях ему не уделяется должного внимания), так и учителями. Нередко приходится наблюдать, как, изучив определенный теоретический материал, учитель вызывает к доске ученика решать задачи из учебника, а получив какое-либо правило (алгоритм) - даже двух-трех сразу. Естественно, что при таком подходе об обучении решению задач всех школьников говорить не приходится.

Пример 1. Общеизвестно, что изучение признаков равенства треугольников вызывает у учащихся большие трудности. Школьникам, только приступившим к систематическому курсу геометрии, еще до конца не ясна как сама необходимость доказательства, так и процесс его проведения. Они пока не осознают, что значит «применить» теорему к решению задач. Но в школьных учебниках эти трудности семиклассников не всегда учитываются должным образом. В самом деле, после доказательства первого признака равенства треугольников сразу предлагаются задачи, аналогичные следующей: отрезки АЕ и DC пересекаются в точке £, которая является серединой каждой из них. Найдите углы А и С, если ZD=70°, Z£=42°. Эта нехитрая задача является сверхсложной для семиклассников на данной ступени обучения. Для ее решения учащиеся должны уметь сделать верный чертеж, обнаружить сами новые для них 3 вида задач и соответственно 3 способа их решения на основе доказанной теоремы (доказательство равенства треугольников, углов, нахождение углов). Но главное, ученики на данном этапе пока не осознают четко, что значит и как применить теорему к решению задачи. Эта задача является фактически одной из ключевых для темы «Равенство треугольников» и должна решаться на следующем этапе.

Осознавая все это, учитель должен облегчить усилия школьников. На этапе осознания, осмысления первого признака равенства треугольников следует давать только задачи на доказательство равенства треугольников в следующей последовательности:

На доске изображена серия рисунков (рис. 7):

Рис. 7

Задания учителя:

- Как доказать, что треугольники ЛВС и MNP на рис. 7, а равны? Возможны два варианта ответов: наложение и применение теоремы. Учитель объясняет преимущество и смысл второго способа.

- Равны ли треугольники, изображённые на рисунке 7,6; на рисунке 7,в?

- Как изменить данные на рисунке 7,в, чтобы возможно было применить теорему о первом признаке равенства треугольников?

Для слабых учеников, возможно, следует заготовить специальные карточки, в которых отражён соответствующий алгоритм применения теоремы (специальная эвристика):

Чтобы доказать равенство треугольников на основе первого признака, надо:

1. Установить равенство двух пар сторон треугольника.

2. Установить равенство углов, заключенных между соответственными сторонами треугольников.

3. На основании первого признака сделать вывод о равенства треугольников.

Такие упражнения формируют действие подведения под понятие. Здесь же мы учим учащихся правильно строить силлогизмы.

Итак, основная цель первого этапа в обучении школьников решению задач - учить учеников преобразовывать теоретические знания в способы деятельности, аргументировать, решать дидактические, стандартные задачи, самостоятельно их составлять, обучать первым шагам в аналитико-синтетической деятельности посредством составления эвристик.

Второй этап в обучении решению задач состоит в обучении решению ключевых задач. Как уже было сказано, идея включения в процесс обучения математике решения ключевых задач исходит от Н.И. Зильберберга и Р.Г. Хазанкина. Однако в их работах выделяются ключевые задачи достаточно высокого уровня сложности. Они в большинстве своем предназначены для учащихся естественно-научного и математического профилей обучения. Значительный вклад в развитие обучения учащихся основной школы решению ключевых задач внесла Л.И. Кузнецова, определяя их таким образом: «В нашем толковании ключевая задача - это задача, которая наиболее ярко иллюстрирует новую идею, новый метод, прием решения или содержит новый факт, или то и другое вместе» [85, с. 168].

В соответствии со сказанным выше, необходимость решения ключевых задач диктуется тем, что процесс решения проблемно-развивающих задач определяется в том числе и умением решать некоторые исходные, опорные задачи. По каждой теме можно выделить минимальное число фактов, ситуаций, способов и приемов решения, обеспечивающих решение более сложных задач. Систему таких задач по определенной теме Н.Х. Розов называет ядром. «В каждой теме курса математики общеобразовательной школы следует согласовать и выделить «ядро» - основные, «общеобязательные» факты и идеи, а затем подобрать минимальное число задач, в каждой из которых наиболее ясно и выпукло проявляется один определенный факт или одна определенная идея из числа вошедших в «ядро». Это и есть «минимальный базис в пространстве задач», который должен быть - наряду с входящими в «стандарт» теоретическими сведениями - освоен и усвоен всеми без исключения учащимися массовой школы» [71, с.37]. Такое «ядро» и «минимальное пространство задач» по теме «Трапеция» выделила О. А. Мазуренко [50].

Сказанное свидетельствует о том, что в системе уроков обучения решению задач должны быть уроки решения ключевых задач, о чем будем говорить подробно далее.

Третий этап формирования умения в решении задач заключается в отработке идей, способов и приемов решения задач, полученных на основе решения ключевых. По терминологии Н.Х. Розова, это задачи, определяющие «минимальный базис в пространстве задач». Н.И. Зильберберг урок с такой целью называет уроком решения обучающих задач. Мы полностью разделяем его точку зрения, состоящую в следующем: «Но только наивный человек, далекий от школы, возьмется утверждать, что все ученики класса овладели методами решения задач, даже близких к ключевым задачам, смогут их распознать и применить к решению других задач. Для того чтобы идея ключевых задач работала, нужен специальный урок, который можно назвать уроком решения обучающих задач» [24 , с.62]. Мы в дальнейшем будем называть его уроком отработки ключевых задач и относить к урокам-практикумам.

Сказанное позволяет сделать вывод о том, что постепенное, последовательное, целенаправленное соблюдение и осуществление выделенных трех этапов является необходимым условием обучения школьников решению задач,

поскольку они закладывают ту основу, на которой строится умение решать задачи творческого уровня. Недооценивание каждого из выделенных этапов, «перескакивание» через какой-либо их них к следующему, для которого по причине «перескакивания» не сформированы должные знания и умения, приведет к тому, что ученик не сможет осознанно воспринимать готовое решение, а тем более не сможет находить его сам для нового класса задач.

Четвертый этап заключается в решении проблемно-развивающих, творческих, исследовательских задач. Он доступен не всем учащимся. Уровень «творческости» индивидуален. На уроках решения проблемно-развивающих задач появляется неформальная возможность осуществлять уровневую дифференциацию. Виды уроков решения задач на этом этапе могут быть различными. Здесь могут присутствовать получившие в последнее время распространение уроки решения одной задачи.

Итак, виды уроков решения задач разнообразны, большинство из них описаны в учебном пособии [85]. Их систематизировала и выделила основные учебные цели каждого Н.А. Серова [79]. Они представлены ею в виде следующей таблицы (табл. 1).

Таблица 1

Обобщенные формулировки учебных целей урока решения задач в обучении математике (в виде учебных задач)

Вид урока решения задач

Учебная задача урока

Урок решения ключевых задач

- выявление основных типов задач темы, способов их решения;

- выявление неизвестного ранее метода решения задач;

- выявление задачи неизвестного ранее типа и поиск способа ее решения;

- «открытие» нового для учащихся теоретического факта;

- прогнозирование ситуаций при решении задач применения нового теоретического материала:

- формирование конкретных приемов работы над математической задачей

Урок-практикум

- применение новых теоретических фактов, приемов, способов, методов решения задач:

- применение новых положений в совокупности с ранее известными способами и методами решения задач:

- формирование общего умения решать задачи

Урок решения одной задачи

- поиск различных способов (методов) решения задачи:

- поиск задач-спутников для решения сложной задачи, установление их взаимосвязи:

- выделение теоретического базиса решения задачи;

- исследование результата решения задачи;

- обоснование приемов поиска решения задачи:

- сопоставление способов решения по разным основаниям;

- выявление эстетической привлекательности задачной ситуации

Урок решения задач одним методом

- выявить класс задач, решаемых данным способом:

- подобрать или составить систему задач, решаемых указанным методом:

- определить возможность применения указанного метода при решении конкретной задачи;

- выявить «достоинства» и «недостатки» применения данного метода при решении задач

Урок решения динамических задач

- обучение учащихся составлению задач методом аналогии:

- обучение учащихся составлению обратных и равносильных задач:

- формирование умения выводить следствия из рассматриваемой задачной ситуации:

- установление взаимосвязи задач по содержанию, методу решения, связанной с конкретизацией и обобщением

Перейдем далее к описанию некоторых из этих уроков.

Урок решения ключевых задач

Цели (учебные задачи) уроков решения ключевых задач могут быть разнообразными (см. табл. 1). Чаще всего приходится проводить уроки по выявлению основных типов задач темы (или ее блока) и способов их решения, новых фактов, по рассмотрению ситуаций на применение полученного правила, алгоритма, геометрических конфигураций, в которых наиболее часто встречается изученное понятие, приемов дополнительных построений и т.д.

Успешная организация уроков анализируемого вида зависит от предварительной подготовки учителя (а иногда и ученика) к нему. Она включает следующие основные действия:

-выявление ключевых задач по определенному блоку учебного материала;

-проектирование деятельности учащихся в работе с ключевой задачей. Прокомментируем их.

Выявление ключевых задач по определенному блоку учебного материала предполагает анализ задачного материала.

Подробно о нем мы будем говорить в п. 2.5. Сейчас же отметим лишь, что есть определенные особенности в выделении ключевых задач по алгебре и началам анализа и по геометрии. В первых двух ключевые задачи по большей части выделены в тексте теоретического материала в виде примеров или отражены в специальных параграфах (например, «Решение тригонометрических уравнений»).

Другая особенность состоит в том, что в курсах математики 5-6 классов, алгебры общий способ решения определенного класса задач получен в виде правила на уроках изучения нового. В этом случае подбираются ключевые задачи (упражнения) на его применение. Они составляются в соответствии с принципом полноты, предъявляемым к системе упражнений. Принцип полно-

ты предполагает рассмотрение всех особенных ситуаций на применение нового правила (алгоритма), определения, теоремы.

Пример 2. Система ключевых задач на применение правила вычитания обыкновенных дробей может выглядеть так:

Выполните вычитание:

Система ключевых упражнений на вынесение общего множителя за скобки может быть следующей:

Вынесите, если возможно, общий множитель за скобку:

Ключевые задачи по обучению решению показательных, логарифмических, тригонометрических, иррациональных уравнений (неравенств) состоят из простейших уравнений (неравенств) и типов, приемов и методов, сводящих конкретные уравнения (неравенства) к простейшим. Число последних зависит от особенностей и профиля класса. Однако в любом случае после решения простейших уравнений следует сначала рассмотреть уравнения, решаемые общими способами (разложением на множители, подстановкой, в том числе сведением к квадратному), графическим методом, однородные, а затем приемы, специфические для определенного вида уравнений.

К ключевым способам решения уравнений и неравенств относятся и общелогические. Ученикам на примере одного из уравнений следует показать два логических способа решения: переход к равносильной системе уравнений и неравенств или переход к уравнению-следствию. Решив одно уравнение двумя способами, следует, во-первых, четко раскрыть суть каждого; во-вторых, сравнить их по логике решения; наконец, выявить сильные и слабые стороны каждого и спрогнозировать, в каких случаях какой предпочтительнее.

Пример 3. Систему ключевых задач можно составить, анализируя те или иные формулы и уравнения. Например, систему ключевых задач по теме «Касательная к кривой» Н.И. Зильберберг и Р.Г. Хазанкин составляют на основе комбинаторного способа: «В задачах темы фигурирует кривая, точка касания, касательная. Какие комбинации возможны? - Даны кривая и точка, найти касательную; даны кривая и информация о касательной, найти точку касания; восстановить функцию по касательной и точке касания (для определенного класса функций)» [24, с.50].

Далее Р.Г. Хазанкин предлагает следующие задачи.

Задача 1. Составить уравнение касательной к параболе у = .х\ которая а) проходит через точку (2:4); б) проходит через точку (2:-5).

Задача 2. Составить уравнение касательной к параболе, которая задана уравнением у = х2 +2jc- I, если касательная а) параллельна прямой у = 2х-5; б) перпендикулярна прямой у = 4х-1.

Задача 3. Найти уравнение параболы у = х2 + а* + 6, если известно, что она касается прямой у = х в точке х - 1.

Задача 4. Составить уравнения прямых, которые касаются одновременно парабол у = х2+х-2 и у = -х2 +1х-11 [24, с.51].

Пример 4. В геометрии учителю приходится по большей части самому выявлять систему ключевых задач. Начинать это следует с изучения первой важной темы «Равенство треугольников». Здесь 4 вида ключевых задач:

-применение теоретического материала к решению задач (об этом мы уже говорили ранее);

-доказательство равенства треугольников (с рассмотрением различных конфигураций);

-доказательство равенства отрезков и нахождение их длин;

-доказательство равенства углов и нахождение их градусных мер.

В теме «Подобие треугольников» к ключевым относятся задачи:

1. Доказательство подобия треугольников.

2. Доказательство равенства углов.

3. Доказательство пропорциональности сторон (отрезков). Здесь важно рассмотреть наиболее часто встречающиеся конфигурации (рис. 8):

Рис. 8

4. Вычисление коэффициентов подобия (три способа).

5. Вычисление длин отрезков, периметров и площадей треугольников.

6. Вычисление отношений отрезков.

7. Задачи на построение, решаемые методом подобия.

Иногда система ключевых задач может состоять и из одной задачи, которая решается разными методами. В таком случае цель урока состоит в выявлении различных подходов к решению задач определенного типа. Пример будет приведен далее.

Урок решения ключевых задач может состоять в выявлении сущности нового метода (решение задач векторным методом, координатным методом, векторно-координатным методом), поэтому здесь подбираются задачи, решение которых наиболее ярко иллюстрирует особенность определенного метода.

В системе уроков решения ключевых задач следует уделять внимание урокам, на которых происходит обучение поиску решения, аналитико-синтетической деятельности.

Отобрав ключевые задачи по учебной теме или ее разделу, учитель продумывает работу с ключевой задачей на уроке.

Прежде всего, следует поставить цели урока, которые, как и в случае изучения нового, состоят из двух частей: учебной задачи и диагностируемых целей. Попутно заметим, что уроки решения ключевых задач по своей сущности близки к урокам изучения нового, т.к. на них изучается новый для учащихся материал: новые типы задач и новые методы или способы решения.

Инвариантная структура урока состоит из трех основных частей: мотивационно-ориентировочной, операционно-познавательной, рефлексивно-оценочной. Кратко опишем деятельность учителя и учащихся на каждой из них.

Мотивационно-ориентировочная часть начинается с актуализации, которая может включать и проверку домашнего задания.

На первых уроках решения ключевых задач по геометрии, после изучения первого признака равенства треугольников и решения упражнений на его применение (приведены нами ранее), учитель сам ставит учебную задачу.

Пример 5. Выяснить, какие задачи можно решать с помощью первого признака равенства треугольников, и определить способ их решения. Тема этого урока может быть следующей: «Основные задачи, решаемые с помощью первого признака равенства треугольников» (по усмотрению учителя термин «основные» можно заменить на термин «ключевые», предварительно доступно объяснив учащимся его суть).

Операционно-познавательная часть включает в себя формулировку ключевой задачи, ее решение, его анализ и обобщение (выделение и формулировка общего способа решения). Технология работы с ключевой задачей на уроке аналогична технологии работы с правилом. Она отражена в следующей записи (рис. 9.).

Запись в правом столбце и будет ориентировочной основой для самостоятельного решения задач учащимися.

Когда будет изучен второй (а затем и третий) признак равенства треугольников, учащиеся уже сами смогут спрогнозировать, какие основные типы

задач можно решить на их применение, и сформулировать способы их решения.

По мере накопления опыта, базы знаний школьники уже сами смогут прогнозировать основные виды ключевых задач. Например, мы считаем целесообразным в 8 классе изучить сначала все три признака подобия треугольников, а затем уже решать ключевые задачи (их виды описаны выше). Заметим также, что и запись действий, определяющих способ решения, может не производиться. На каком-то этапе обучения ее можно уже опускать, но важно способ проговаривать вслух. Заканчивать решение ключевых задач, где это возможно, следует формулировками эвристик.

Операционно-познавательная часть уроков решения задач (упражнений) на применение правила будет несколько другая. Например, урок на применение правила вычитания обыкновенных дробей (ключевые упражнения выделены выше) может быть организован следующим образом. Каждый новый вид упражнений сначала решает со всеми объяснениями на доске учитель, привлекая класс. Далее рассматривается аналогичное упражнение. Оно решается одним учеником с комментированием решения вслух.

Доказательство равенства отрезков и углов

Дано:

Доказательство:

Чтобы доказать равенство отрезков (углов), нужно:

1. Рассмотреть треугольники, содержащие эти отрезки (углы).

2. Доказать их равенство (см. эвристику, приведенную ранее).

3. Убедиться, что рассматриваемые отрезки (углы) лежат в этих треугольниках против равных углов (отрезков).

4. Сделать вывод

Рис. 9

Третье аналогичное упражнение решает каждый ученик самостоятельно. Заметим здесь, что имеет смысл вначале подключить учеников к выявлению возможных случаев соотношений между уменьшаемым и вычитаемым.

Ключевая задача может состоять из одной задачи, но решаемой разными способами. Цель - показать учащимся различные подходы (использование

различного теоретического материала) к доказательству одного утверждения или к вычислению какого-либо элемента фигуры.

Пример 6. Для примера рассмотрим стандартную задачу по теме «Описанные и вписанные окружности треугольника»: «В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, боковая сторона - 10 см. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника».

На уроке нужно выделить время для отыскания основной идеи для каждого из радиусов. В нашей практике учащимися было найдено по четыре способа решения задачи.

Первый способ - рассмотрение подобных треугольников BOjK и ВАМ (рис. 10). Отметили, что при этом используется свойство радиуса окружности, проведенного в точку касания.

Второй способ. Применили формулу

Третий способ. Использовали свойство центра вписанной окружности многоугольника - точка пересечения биссектрис его углов, т. е. АО - биссектриса треугольника AM В и поэтому

Четвертый способ. Основан на применении свойства отрезков, касательных к окружности (АК= AM).

После этого было предложено четыре способа вычисления радиуса описанной окружности (рис. 11, а,б, в):

Первый способ - через подобие треугольников АВМ и 02BN (рис. 11,а).

Рис. 10

Рис. 11

Второй способ. Использовали свойство отрезков хорд окружности, проходящих через одну точку: DM- ВМ = AM- MC (рис. 11,6)

Третий способ. Центр 02 описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин: А02 = В02 (рис. 11, в). Далее применялась теорема Пифагора.

Четвертый способ. Использовали формулу

Заметим, что на уроках эта формула ранее не рассматривалась. Ее предложил ученик, интересующийся математикой и изучающий дополнительную литературу.

В старших классах уроки решения ключевых задач могут проходить в форме лекции (решение показательных, логарифмических, тригонометрических, иррациональных уравнений и неравенств). Однако технология работы с каждым новым видом уравнения остается прежней. Главное - выделять совместно с учениками и проговаривать действия, составляющие способ решения.

Возможно организовать уроки решения ключевых задач в форме семинарских занятий.

Пример 7. К уроку по теме «Правильная пирамида» школьникам можно дать учебно-исследовательское задание:

1. Изучите самостоятельно по учебнику определение правильной пирамиды.

2. Докажите, что в правильной пирамиде

а) все боковые ребра равны;

б) углы наклона боковых ребер к плоскости основания равны;

в) двугранные углы при основании равны;

г) двугранные углы при боковых ребрах равны;

д) высота образует равные углы с боковыми гранями и с боковыми ребрами.

3. Найдите плоскости симметрий правильной пирамиды, когда

а) число сторон основания четное;

б) число сторон основания нечетное.

4. Проанализируйте основные элементы пирамиды (боковое ребро, сторона основания, высота, апофема, угол между ребром и плоскостью основания, двугранный угол при основании, линейный угол двугранного угла при боковом ребре) и установите, какие комбинации из них однозначно определяют пирамиду.

5. В соответствии с решением задачи (4) составьте возможные задачи на вычисление.

Заметим, что последние два задания могут быть необязательными для всех учащихся общеобразовательных классов.

Рефлексивно-оценочная часть, как и в любом уроке, состоит из двух аспектов. Личностный предполагает оценивание самим учеником его вклада в решение учебной задачи урока, выделение моментов, которые оказались для него наиболее трудными и т.д. В содержательном плане итог урока подводится

в соответствии с его диагностируемыми целями: характеристика новых фактов и новых задач, сущность способов их решения, формулировка полученных эвристик, их фиксация в тетрадях учащихся, прогнозирование применения новых знаний и, по-возможности, типов и видов следующих уроков. Домашняя работа может включать следующие задания:

1. Учитель предлагает номера задач из учебника. Требуется разбить их на группы и выписать номера задач, относящихся к определенной ключевой задаче, рассмотренной на уроке.

2. В каждой группе решить по одной задаче (можно указать номера).

3. Составить самостоятельно по одной задаче, аналогичной рассмотренным на уроке и решить их.

В заключении отметим, что описанная технология организации урока решения ключевых задач носит развивающий характер: учащиеся осмысленно включаются в работу при постановке цели урока, по возможности участвуют в составлении ключевых задач, анализируют решение конкретной задачи и «открывают» способ решения задач определенного типа, выделяют и формулируют эвристики.

Организация уроков-практикумов

Изученный должным образом теоретический материал и выделенные ключевые задачи, методы и способы их решения являются необходимой базой для организации уроков-практикумов.

Основная цель уроков-практикумов по математике состоит в формировании умений и навыков в решении задач определенного типа, вида, в овладении определенными методами решения задач, в интеллектуальном развитии школьников в целом. На этих уроках предоставляется возможность учитывать индивидуальность каждого ученика, создавать условия для раскрытия и развития его творческого потенциала. При подготовке к таким урокам важно подобрать систему задач, удовлетворяющих потребностям отдельного ученика и класса в целом.

При планировании изучения учебной темы следует стремиться изложить теоретический материал укрупненно, с тем чтобы была возможность организации серии уроков по решению задач. Первым в этой серии будет урок ключевых задач, следующим - урок отработки решения ключевых задач. Хорошо, если есть возможность организации урока решения проблемно-развивающих задач. Опишем два последних вида урока.

Урок отработки решения ключевых задач

Основная цель этого урока - формирование умений решать не только ключевые задачи, но и задачи комплексного характера, решение которых включает в себя несколько ключевых задач или же требует привлечения изученного ранее материала.

Например, диагностируемые цели второго урока по теме «Нахождение процента от числа, числа по его процентам и процентного отношения» формулируются так. Ученик:

определяет, к какому типу относится предложенная учителем или данная в учебнике задача;

рассказывает способ решения каждой из шести типов задач;

осуществляет решение;

осознает связи между парами шести основных типов задач; решает комплексные задачи (состоящие из двух или более ключевых).

В соответствии с этими целями и выстраивается весь ход урока.

На этапе актуализации целесообразно заранее на доске записать шесть задач (по одной каждого типа) в произвольном порядке. Возможны следующие задания:

1. Прочитайте задачу и определите, к какому типу она относится.

2. Расскажите способ решения задачи.

3. Выделите задачу, обратную указанной.

4. Решите предложенную задачу устно.

Так происходит с каждой из шести задач. Заметим, что, в зависимости от особенностей класса, можно ограничиться только тремя задачами, адекватными непосредственной теме урока.

Операционно-познавательная часть уроков рассматриваемого вида может быть организована по-разному. Для этой части урока важно отобрать систему задач и упражнений. Принципы ее построения были систематизированы и обоснованы Я.И. Груденовым [12]. Применительно к правилам их конкретизировала Т.П. Григорьева [85]. Прокомментируем основные из них.

1. Принцип полноты. Предполагает предусмотреть все возможные виды заданий (особые случаи) и связанные с ними трудности. Этот принцип следует соблюдать прежде всего при отборе задач к уроку решения ключевых задач.

2. Принцип однотипности. Дидактикой установлено, что для формирования умений и навыков необходимы однотипные упражнения. Поэтому на уроке решения ключевых задач на применение правила после объяснения учителем решения упражнения нового вида следует предложить ученикам решить одно или два самостоятельно. В соответствии с этим требованием проводится и урок рассматриваемого вида.

3. Принцип «От простого к сложному». Суть его сводится к тому, что решение каждого последующего упражнения системы является развитием идей решения предыдущих с определенной долей усложнения. Реализация этого принципа позволяет ученику отойти от бездумного решения. Приведенная ранее система упражнений на применение правил вычитания и вынесения общего множителя за скобки удовлетворяет этому принципу.

4. Принцип вариативности. Он проявляется в разных аспектах. Во-первых, в принципах полноты и «от простого к сложному» уже проявляется варьирование, т.к. варьируются (видоизменяются), усложняются числа, выра-

жения, расположение фигур на чертеже, их обозначения и т.д. Во-вторых, может видоизменяться форма задания. Например, можно дать задания «вынести общий множитель за скобки», а можно - «разложить многочлен на множители». В-третьих, важно в систему включать упражнения, провоцирующие учащихся на ошибку. В роли контрпримеров могут выступать задачи с неполными или противоречивыми условиями. Например, в систему упражнений на разложение разности квадратов на множители желательно включить выражение вида (пг+п2). Наконец, в систему упражнений можно включить задания типа «Найди ошибку». Например, 13-5^ = 8у. В качестве таких заданий могут выступать и известные софизмы.

5. Принцип сравнения. Под принципом сравнения понимают чередование упражнений на прямые и обратные операции и любых других задач, когда желательно показать их взаимосвязь, сходство и различия. Соблюдение этого принципа реализовано на уроке решения задач в теме «Проценты», о котором говорилось ранее. Этот принцип проявляется и при решении так называемых деформированных упражнений (термин П.М. Эрдниева). Пример: «Вставьте в пустые квадратики одночлены так, чтобы получилось верное равенство:

Еще пример:

Изучая формулы сокращенного умножения, следует записывать их сразу в двух формах:

и решать одновременно два вида упражнений: разложение на множители и умножение двучлена на двучлен.

Все указанные принципы позволяют избежать рутинного «натаскивания», активизируют мышление учащихся, способствуют их осознанной деятельности.

В.Ф. Шаталов и П.М.Эрдниев предлагают еще один принцип, хотя и трактуют его несколько по-разному.

6. Принцип цикличности. Мы его трактуем следующим образом. Отобранная система упражнений на применение определенного правила, новых типов и методов решения уравнений, изучения свойств функций и т.д. группируется в определенные циклы. Первый из них включает в себя «ядро» и удовлетворяет принципам полноты, «от простого к сложному». По усмотрению учителя и в зависимости от темы могут в нее включаться и контрпримеры, и деформированные упражнения. Этот цикл и решается после изучения нового материала. Во второй цикл включаются аналогичные упражнения, но уже, во-первых, расположенные в произвольном порядке; во-вторых, их данные могут усложняться; в-третьих, они должны удовлетворять всем пяти выделенным принципам; наконец, к ним добавляются комплексные упражнения и задачи. Например, решая два выделенных выше вида упражнений на применение формулы разности квадратов двух выражений, следует во второй цикл включать уже решение уравнений, где используется эта формула, производить разложение на множители в сочетании с другими способами. Аналогично, в зави-

симости от времени и особенностей темы, строится следующий, более усложненный цикл.

Анализируя все сказанное ранее, очевидно, что первый цикл решается или на рефлексивно-оценочном этапе при изучении нового, или же на уроке решения ключевых задач. На опреационно-познавательном этапе урока отработки решения ключевых задач подбирается система задач (второй цикл), удовлетворяющая принципам 1-6. Сразу оговоримся, что выдержать эти принципы не всегда представляется возможным, но стремиться к этому желательно.

Формы организации учебной деятельности учащихся на уроке могут быть разнообразными в зависимости от специфики содержания и особенностей класса. Возможны решение некоторых задач на доске или фронтальная работа с классом с комментированием. Здесь важно учить школьников обосновывать каждый шаг решения. На практике приходится наблюдать, как ученик решает у доски упражнение молча, а затем учитель предлагает ему сформулировать правило или теорему, которые он применял. Для развития его мышления и речи, а также для того, чтобы школьники, которые на месте следят за решением и записывают его в тетради, делали это осознанно, важно, чтобы решающий у доски анализировал вслух то, что имеется и на основании чего он переходит к следующему действию, т.е. делал пояснения не после решения, а по ходу его. При этом важно не «свертывать» преждевременно записи. Можно организовать работу в парах, чтобы каждый ученик, выполнив задание, мог «проговорить» его решение соседу. Аналогично можно организовать и работу в группах.

Однако более ценной представляется индивидуальная работа школьников. Слабоуспевающие ученики решают задачи вместе с учителем, а более успешные - задачи несколько сложнее самостоятельно. Возможен и такой вариант. Учитель подбирает к уроку четыре блока заданий для слабоуспевающих, средних, хорошо успевающих и отличников и называет консультантов. С последними проводит предварительную беседу до урока. На уроке школьники делятся на 4 группы (кто в какую - советует учитель, учитывая в определенной степени и желание ребят). Цель - каждому за урок решить как можно больше задач без подробных записей. Например, для решения геометрических задач достаточно сделать «говорящий» чертеж, записать план решения без доказательства и без оснований и ответ. Решив первую задачу, ученик показывает ее консультанту. Тот проверяет правильность хода мысли, ответа, при необходимости задает вопросы уточняющего характера или объясняет причины ошибок и дает разрешение перейти к следующей задаче или решить еще одну, аналогичную. Консультанты делают в списке своей группы соответствующие пометки. В конце урока подводятся итоги решения задач каждым учеником и выставляется соответствующая оценка.

На уроках отработки решения ключевых задач, если имеется возможность, следует продолжать выявлять и формулировать эвристики, пополняя уже имеющийся их набор.

Пример 8. Изучая взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, можно постепенно получить набор эвристик однозначного задания плоскости.

Плоскость можно однозначно задать:

-тремя точками, не лежащими на одной прямой;

-прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой;

-двумя пересекающимися прямыми;

-двумя параллельными прямыми;

-двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых лежит в задаваемой плоскости, а другая - параллельна этой плоскости;

-точкой и плоскостью, параллельной задаваемой плоскости;

-точкой и прямой, перпендикулярной задаваемой плоскости.

Заметим, что последняя эвристика важна в дальнейшем для вывода уравнения плоскости в 11 классе.

Можно выделить эвристики, отражающие общелогические методы поиска и решения. Так, Л.И. Кузнецова выделила следующие эвристики, указывающие, когда можно пытаться применить метод от противного:

-если в заключении гипотезы или теоремы присутствует частица «не»;

-или требование содержит вопрос с частицей «ли»;

-или доказывается единственность;

-или доказывается предложение, обратное данному.

На уроках рассматриваемого вида так же, как и на ранее описанных, важно обучать школьников самостоятельному составлению задач.

Пример 9. Получив формулу площади треугольника

учитель предлагает на основе ее найти формулу площади известного им четырехугольника. Учащиеся без труда доказывают, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними (рис.12 , а) или половине произведения диагоналей на синус угла между ними (рис.12, б).

Возникает вопрос, а можно ли вычислить площадь параллелограмма, если известны стороны а и Ь и угол (р между диагоналями или если известны диагонали /// и п и угол между смежными сторонами (рис. 12, в, г).

Рис. 12 (начало)

Рис 12 (окончание)

Приведем решение задачи для случая, соответствующего рисунку 12, в.

Пусть

Тогда, применяя теорему косинусов к треугольникам АОВ и AOD и учитывая, что Z AOD = 180° - получаем:

Вычтем почленно из первого равенства второе:

где S - площадь ABCD. Выражая площадь через а,Ь и <р, получим:

Аналогично рассуждая, получаем формулу для вычисления площади параллелограмма в последнем случае.

Заканчивать уроки отработки решения ключевых задач целесообразно самостоятельной проверочной работой.

Уроки решения проблемно-развивающих задач

Виды и цели уроков решения проблемно-развивающих задач разнообразны. Укажем некоторые из них.

Уроки решения задач разными способами. Мы уже отмечали, что решение задач разными способами (методами) можно проводить и на двух предыдущих уроках. Однако проблемно-развивающие задачи чаще всего решаются разными способами в конце изучения какой-либо темы, раздела или курса в целом.

Такие уроки можно проводить и в форме семинарского занятия.

Пример 10. Нами был проведен урок на тему «Замечательные точки и прямые в треугольнике». Подготовка к такому уроку состоит в следующем. Класс делится на группы, и каждая группа готовит ответы на предлагаемые задания:

1. Привести различные способы доказательства теоремы о точке пересечения медиан треугольника.

2. Привести различные способы доказательства теоремы о точке пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.

3. Привести различные способы доказательства теоремы о биссектрисах треугольника.

4. Найти множество точек, равноудаленных от прямых, содержащих стороны треугольника (центры вписанных и вневписанных окружностей треугольника).

Рекомендуемая литература

1. Дубровский В. Шесть доказательств теоремы о медианах // Квант. 1978. №4.

2. Математика 8,9. Еще 13 доказательств теоремы о биссектрисе // Квант. 1985. №2.

3. Прасолов В.В. Несколько доказательств теоремы о высотах треугольника // Математика в школе. 1988. №1.

4. Сефибеков СР. Один из способов решения задачи о замечательных точках треугольника // Математика в школе. 1989. №4.

5. Шарыгин И.Ф. Вокруг биссектрисы // Квант. 1983. №8.

6. Шарыгин И.Ф. Узнайте точку // Квант. 1989. №9.

Заметим, что рассмотрение различных способов доказательства теорем позволяет к каждой теореме подобрать цикл взаимосвязанных задач, которые можно давать для индивидуальной работы интересующимся учащимся.

Например, после доказательства того, что в треугольнике ЛВС прямые, содержащие его высоты AAi3BBl%CCl9 пересекаются в точке H (ортоцентре треугольника ABC), возможен такой цикл задач:

1. Выделите на рисунке все треугольники, для которых точки Ах%С, являются основаниями высот. Укажите ортоцентры этих треугольников.

2. Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника ABC, содержат биссектрисы треугольника АХВ£Х.

3. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот. Сколько решений имеет задача?

4. Пусть точки А\В',С - точки, симметричные точке H относительно прямых ВС,С А, AB. Докажите, что точки А\В\С принадлежат описанной окружности треугольника ABC.

Большой интерес у школьников вызывают уроки по решению цикла взаимосвязанных задач.

Пример 11. Нами был проведен урок в 8 классе по решению таких задач.

Задача 1. Докажите, что медиана AM треугольника ABC делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого лежат на сторонах AB и АС.

Задача 2. Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции является серединой отрезка с концами на боковых сторонах и параллельного основаниям.

Задача 3. Докажите, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

Задача 4. Дан отрезок AB и параллельная ему прямая. Постройте середину этого отрезка, пользуясь только одной линейкой. Сформулируйте более общую задачу.

Задача 5. Дан отрезок AB и его середина. Постройте прямую, проходящую через данную точку параллельно AB, пользуясь одной линейкой.

Задача 6. Через центр данного параллелограмма постройте прямую, параллельную его стороне, пользуясь одной линейкой .

Неожиданное даже для учителя продолжение этот цикл получил в 9 классе, когда решалась известная задача о построении одной линейкой перпендикуляра к прямой, содержащей диаметр AB данной окружности и проходящей через точку Л/, расположенную вне круга (рис. 13, а).

Рис. 13

Учащиеся сами поставили вопрос: можно ли решить задачу, если менять взаимное расположение точки и окружности (рис.13, б, в)? Решение в этом случае заключается в том, что строится произвольная точка М0 вне круга и через нее одной линейкой проводится прямая CD, перпендикулярная диаметру AB. Последний пересечет хорду CD в ее середине S. Далее строится одной линейкой прямая, проходящая через точку M параллельно отрезку CD при условии, что известна его середина S (задача 5). Построение выполнено на рис. 13, в.

Вместе с тем решение нестандартных, проблемно-развивающих задач предполагает знакомство учащихся с дополнительной информацией: фактами, теоремами, идеями, методами и приемами, например с решением уравнений на основе свойств функций (функциональные приемы решения уравнений), способами отбора корней при решении тригонометрических уравнений, принципом Дирихле и т.д. В геометрии это могут быть уроки, знакомящие школьников с приемом вспомогательной окружности, введением вспомогательного угла (линейного элемента) и т.д. Сказанное означает, что и уроки решения проблемно-развивающих задач следует проводить целенаправленно и планировать, чему и как следует обучать на них школьников.

Отбор задач к таким урокам, организация деятельности учащихся зависят от вкуса самого учителя, особенностей учащихся.

Итак, мы описали, какой может быть система уроков по обучению решению задач. Конечно, не всегда (в силу объективных причин) удается ее выдержать. Однако в пределах учебной темы или раздела важно ее придерживаться.

2.3. Проектирование уроков обобщения и систематизации знаний

Системность знаний - одна из важнейших их качественных характеристик. Очень часто системность знаний отождествляется с систематичностью. Попытаемся кратко разъяснить различие этих знаний.

Систематичность знаний предполагает усвоение учеником понятий и разделов курса математики в их логической связи и преемственности. Например, если ученик формулирует определение квадрата, то предполагается, что он знает и те понятия, на которые оно опирается: ромба, прямоугольника, параллелограмма, выпуклого четырехугольника.

Систематичность знаний означает наличие в сознании ученика только последовательно-логических, линейных связей.

Вместе с тем, кроме линейно-логических связей, между элементами теоретических знаний существуют связи иного, системного характера.

Общеизвестно положение: систематизировать знания - значит привести их в систему. Чаще всего описание понятия «систематизация» этим и ограничивается. А между тем конструирование любой системы предполагает:

а) выделение основных ее элементов (компонентов);

б) установление структурно-логических связей между ее элементами;

в) выявление роли каждого элемента в функционировании системы.

Осознание школьником структурно-логических связей в системе, роли каждого элемента в ней возможно только при включении в содержание знаний методологического характера. В приведенном выше примере наличие у учеников качества системности знаний по теме «Четырехугольники» предполагает, что они осознают родовидовую структуру определения каждого понятия, понимают, что конкретное понятие обладает всеми свойствами родового понятия, но в то же время обладая новыми, характеристическими свойствами (видовыми отличиями), имеет и другие свойства, которые не присущи родовому понятию. Наконец, в идеале, изучив теоремы, раскрывающие свойства понятий, не отраженные в определении (свойства и признаки), на уроке обобщения и систематизации знаний учащимся следует рассказать, что определить параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат можно по-разному, т.е. каждому из них можно дать другие определения, равносильные изученным ранее. Таким образом, систематичность знаний является только одним из аспектов системности.

Подводя итог, можем сделать вывод, что систематизация математических знаний учащихся по учебной теме, разделу, курсу предполагает выявление основных понятий, идей, методов и способов математической деятельности, установление структурно-логических связей между ними, выявление их роли в учебной теме, в развитии школьного курса математики, в связях изученного с реальной действительностью. Сказанное определяет и качество систематических знаний.

Обобщение предполагает мысленное объединение предметов или явлений, сходных по каким-либо признакам. Важно, чтобы эти признаки были главными, существенными.

И.Я. Лернер пишет, что обобщение вводит знания в более широкую систему и продвигает учащихся к проникновению в общую научную картину мира [47, с.20].

Обобщение предполагает выделение ведущих понятий, идей, методов и введение их в более широкую систему знаний.

Из сказанного следует, что содержание уроков систематизации и обобщения знаний учащихся определяется тем информационным компонентом, который позволяет глубже осознать не только логико-содержательные линейные связи, но знания и связи методологического, мировоззренческого характера. В системе уроков рассматриваемого типа систематизируются и обобщаются как знания мировоззренческого характера в целом (предмет и метод математики, ее ведущие идеи, математическое моделирование, специфика процесса познания и творческой математической деятельности, общие методы математической деятельности, история становления и развития того или иного понятия и т.д.), так и методологические знания, характерные для учебной темы (ведущие понятия темы и связи между ними, методы открытия и доказательства теорем, новые задачи и новые методы их решения, связь темы с практикой и т.д.).

Уроки обобщения и систематизации знаний проводятся как заключительные чаще всего в конце изучения учебной темы, раздела, учебного года, учебного курса. В любом случае при проектировании таких уроков на первое место выступает проблема отбора содержания.

Отбор содержания и постановка целей уроков обобщения и систематизации знаний по учебной теме определяются проведенным логико-дидактическим анализом темы, который заканчивается выделением основных учебных задач и диагностируемых целей ее изучения (п. 2. 5). И в анализе и в целях уже представлены информационные, методологические и мировоззренческие знания. На заключительном уроке все виды знаний предстают в сознании учащихся в виде целостной системы.

В то же время на заключительном уроке следует повторить, обобщить и систематизировать типы и методы решения задач, характерных для данной темы (ключевые задачи).

Таким образом, урок обобщения и систематизации знаний по учебной теме решает следующие учебные задачи:

-выделение ведущих идей и понятий темы, установление логических связей между ними, а также связей с однородными понятиями, изученными ранее;

-дальнейшее формирование представлений о предмете математики, математическом моделировании, связи математики с действительностью;

-выделение общих (эвристических и логических) методов познания, посредством которых получили новые знания;

-выделение специфических методов, характерных для данной темы;

-выделение ключевых задач темы и способов их решения.

Как видим, уроки обобщения и систематизации знаний подводят основные итоги изучения учебной темы в целом, но на более высоком уровне.

Все это возможно сделать при условии, что решение каждой из учебных задач на том или ином уровне было представлено в системе уроков по учебной теме.

Иллюстрацией к сказанному является приведенный в п. 2. 5 анализ темы «Квадратные неравенства».

Так, цели урока обобщения и систематизации знаний учащихся по теме «Квадратные неравенства» могут быть сформулированы следующим образом: систематизировать и обобщить содержательные (информационные) и методологические знания учащихся по теме «Квадратные неравенства».

В результате ученик:

-знает основные понятия темы, их определения, связи между ними (квадратное неравенство, решение квадратного неравенства, что значит «решить квадратное неравенство»);

-осознает, что эти понятия являются конкретизацией аналогичных понятий, характеризующих неравенства в целом;

-понимает, что квадратное неравенство, как и неравенство в целом, может не иметь решений, решением может быть любое действительное число или различные подмножества множества действительных чисел (открытые и закрытые промежутки, в том числе состоящие из единственного числа);

-знает основные способы решения квадратных неравенств (с помощью совокупности систем неравенств, методом интервалов, с помощью эскиза параболы) и умеет их применять;

-применяет метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств;

-осознает, что неравенство является одной из математических моделей явлений реальной действительности;

-приобщается к методу математического моделирования в случае, когда математической моделью реальной действительности является квадратное неравенство.

Отбор содержания определяется сформулированными целями, их частичной реализацией на предшествующих уроках, уровнем обученности учащихся конкретного класса.

Для повторения информационного компонента содержания целесообразно создавать систематизирующие таблицы, в которых выделяются ведущие понятия темы, их свойства и признаки, связи между ними, ключевые задачи. На ранних этапах обучения такие таблицы создаются в классе совместно с учащимися, а в последующем можно предлагать школьникам самим их составлять при подготовке к такому уроку. Выявление логико-содержательных связей при повторении информационного компонента сопровождается раскрытием связей методологического плана (смысл изучения темы в целом, характе-

ристика эвристических, общелогических, специфических методов познания -«открытия» и доказательства, связь темы с ранее изученным, выделение общего и специфического и т.д.).

Для систематизации и повторения ключевых задач, методов решения желательно подбирать комплексные задачи.

Методы и формы проведения уроков обобщения и систематизации знаний могут быть различными: беседа, обзорная лекция, семинарское занятие, групповая, коллективная, индивидуальная формы работы учащихся и т.д.

Например, обобщающий урок по теме «Производная» можно провести в форме семинарского занятия. Вот основные вопросы, которые на нем можно обсудить:

1. История становления и развития дифференциального исчисления.

2. Основоположники дифференциального и интегрального исчисления И. Ньютон и Г. Лейбниц.

3. Исследование функций с помощью производной (систематизация изученных знаний).

4. Дифференциальное исчисления как метод научного познания.

5. Применение производной при решении задач школьного курса математики (доказательство неравенств, тождеств и др.).

6. Применение производной в физике, технике и других отраслях знаний.

Рекомендуемая литература

1. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл.: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1983.

2. Рыбников К.А. История математики. М.: Изд-во Московского университета, 1974.

3. Дорофеев Г.В. Применение производной при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. 1980. №5, №6.

4. Петров В.А., Чертков В.С. Применение производной в практической деятельности // Математика в школе. 1980. №6.

5. Балк М.Б. Применение производной к выяснению истинности неравенств // Математика в школе. 1975. №6.

6. Балк М.Б., Пискарев Г.Ф. О применении производной в тождественных преобразованиях // Математика в школе. 1977. №3.

Подготовка и проведение семинарских занятий описаны в п. 2. 4.

Инвариантная структура уроков рассматриваемого типа также состоит из трех частей. Урок можно начать сразу с постановки цели. На первых порах учитель сам ставит цели и разъясняет ученикам, что значит обобщить и систематизировать материал по изученной теме. Постепенно учеников следует вовлекать в постановку целей таких уроков.

Основное время урока отводится операционно-познавательной (содержательной) части.

Рефлексивно-оценочная часть состоит из подведения итогов и выдачи домашнего задания. Итоги важно четко, логично, в соответствии с целями урока подвести самому учителю. В домашнюю работу включаются задания,

направленные на подготовку к контрольной работе, и задания творческого характера [11].

В третьей части данной книги приведен пример урока обобщения и систематизации знаний по теме «Перпендикулярность в пространстве».

Кратко остановимся на подготовке уроков рассматриваемого типа на заключительном этапе изучения курса. Начнем со стереометрии.

Отличительной особенностью курса геометрии является его логическое построение на базе аксиоматического метода. Каждая тема курса логически связана с предшествующими и последующими темами. Проследить все это на уроках заключительного повторения учащиеся могут лишь при сопоставлении материала нескольких тем курса. Отсюда следует первая основная цель заключительного повторения курса стереометрии - провести обобщение и систематизацию знаний учащихся по курсу на уровне фундаментальных понятий, идей и методов его построения. При этом необходимо компактное, неразделенное во времени повторение теоретического материала.

Второй основной целью повторения стереометрии является дальнейшее формирование (углубление и развитие) умений и навыков учащихся в решении геометрических задач. На уроки заключительного повторения должны подбираться задачи, предполагающие комплексное применение знаний. Значит, при решении каждой задачи ученик по возможности должен «держать в голове» весь запас наиболее важных геометрических фактов: аксиом, определений, теорем. Поиск же решения задачи будет тем успешнее, чем большим запасом знаний школьник может оперировать одновременно.

Из сказанного следует, что первые уроки (количество их зависит от возможностей учителя и особенностей класса) заключительного повторения следует отвести для обобщения и систематизации наиболее важного теоретического материала курса. Это будет способствовать и актуализации знаний, необходимых для решения задач.

В свете сказанного для успешной реализации указанных выше основных двух целей заключительного повторения учителю необходимо решить следующие методические задачи:

-проанализировать логику построения курса; выявить связи между понятиями внутри отдельных тем и развитие их в других темах курса;

-за короткий срок актуализировать основные теоретические знания учащихся;

-отобрать систему основных видов геометрических задач, позволяющую проанализировать на качественно новой основе методы их решения (в частности, конструктивные и аналитические);

-подготовить учащихся к выпускным экзаменам по курсу.

Естественно, что указанные задачи взаимосвязаны и решение каждой из них способствует реализации других. В комплексе же они определяют программу повторения и основные методические принципы его организации.

Выделим наиболее общие и важные, с нашей точки зрения, пути решения перечисленных задач.

Для актуализации наиболее важных теоретических положений, а также для обобщения и систематизации курса стереометрии считаем целесообразным руководствоваться следующими положениями:

Во-первых, весь материал разбить на крупные блоки так, чтобы содержание каждого блока обеспечивало внутреннюю логику его построения, а также возможность проследить развитие того или иного понятия внутри этого блока.

Во-вторых, руководствуясь принципом наглядности в обучении, основное содержание каждого блока следует отразить в систематизирующей таблице. Таблица не должна быть громоздкой: в ней отражаются не второстепенные, а основные вопросы темы. Таблица, с одной стороны, служит опорой для рассказа или лекции учителя. С другой стороны - для воспроизведения учащимися в своей памяти изученных ранее аксиом, определений и теорем.

В-третьих, в конце анализа содержания каждого блока по возможности следует выделять ключевые задачи, в которых применяется это содержание.

Наконец, в заключение рассмотрения основных теоретических положений, пользуясь таблицами, необходимо сопоставить весь материал курса.

Анализируя содержание имеющихся учебников по стереометрии, мы разделяем его на три крупных блока.

I. Точки, прямые и плоскости в пространстве (табл. 2). В этом блоке важно рассмотреть совместно взаимосвязанные вопросы: а) аксиомы стереометрии и первые следствия из них; б) параллельность прямых и плоскостей; в) перпендикулярность прямой и плоскости и двух плоскостей в пространстве.

Удобной формой повторения этого материала является обзорная лекция учителя. Примерное ее содержание может быть следующим: 1. Логическое строение геометрии. Аксиомы стереометрии и первые следствия из них. 2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Перпендикулярные прямые. 3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости. 4. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Перпендикулярность плоскостей.

Считаем, что во время рассказа учителя ученики не должны делать никаких записей. Все их внимание необходимо сконцентрировать на уяснении существа излагаемых учителем вопросов. После объяснения, если учитель сочтет целесообразным, можно предложить учащимся зарисовать схему таблицы, с тем чтобы они могли заполнить ее дома, работая с учебником.

II. Геометрические тела. Этот блок будет состоять из трех разделов: а) многогранники; б) тела вращения; в) комбинации многогранников и тел вращения. Составить таблицу по теме учащиеся смогут самостоятельно по указанию учителя. Повторение материала этого блока может идти в форме беседы (фронтальной работы с классом).

III. Векторы и координаты на плоскости и в пространстве. Основное внимание следует сконцентрировать здесь не только на повторении и запоминании основных формул, но и на идейной стороне темы. Векторы и координаты позволяют применять аналитические методы для изучения геометрии (доказа-

тельства теорем и решения задач). Сущность применения векторов и координат в геометрии практически одна: перевод геометрических свойств фигур на алгебраический язык (векторный или координатный) и применение алгебраического аппарата для получения других свойств фигур. В связи с этим необходимо обратить внимание учащихся на аналогию в схемах решения геометрических задач векторным и координатным методами. Важно подчеркнуть, что значительная часть задач успешно решается смешанным векторно-координатным методом.

Основная же часть уроков заключительного повторения должна быть посвящена решению задач. Чем должен руководствоваться учитель при отборе задач для заключительного повторения?

Отбор задач на завершающем этапе изучения геометрии должен способствовать созданию системы задач, отвечающей следующим требованиям:

1. В задачах должны быть представлены все изученные геометрические тела и их комбинации.

2. В процессе решения задач необходимо неоднократное использование наиболее важных понятий, их свойств и признаков.

3. В системе должны быть представлены основные виды геометрических задач на доказательство, на вычисление и построение.

4. Система задач должна обеспечивать сравнение основных методов решения геометрических задач (как конструктивных, так и аналитических).

5. Решение каждой задачи должно основываться на комплексном применении знаний различных тем курса геометрии и математики в целом.

Остановимся на путях реализации последнего условия.

Во-первых, необходимы задачи, решение каждой из которых опирается на знания из различных тем курса.

Задача. Стороны AB и АС основания пирамиды SABC равны, двугранный угол при ребре ВС равен а, каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол ß, расстояние от вершины А до плоскости противолежащей боковой грани равно d. Найти объем пирамиды.

При решении этой задачи учащиеся будут опираться на весь теоретический материал темы «Перпендикулярность в пространстве», а также использовать вопросы из тем «Многогранники» и «Объемы».

По окончании решения уместно задать и другие вопросы, непосредственно связанные с этими темами.

Во-вторых, как известно, каждая задача состоит из условия и требования. Поэтому на уроках заключительного повторения важно решать задачи, которые содержат несколько требований (комплексные задачи). Приведем пример.

Дан правильный тетраэдр SABC с ребром а. Требования задачи:

1. Постройте прямую, проходящую через центр О основания, лежащую в плоскости основания и параллельную плоскости SBC. Сколько прямых, проходящих через точку О и параллельных: а) плоскости SBC; б) прямой ВС можно построить?

Точки, прямые и плоскости в пространстве

Таблица 2

III. Прямая н плоскость в пространстве

IV. Две плоскости в пространстве

2. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку О параллельно: а) прямой ВС; плоскости SBC. Сколько таких плоскостей можно построить?

3. Постройте общий перпендикуляр скрещивающихся прямых SA и ВС.

4. Постройте плоскость, проходящую через точку О перпендикулярно ребру SA. Вычислите линейный угол двугранного угла при ребре SA.

5. Докажите, что плоскость SAO перпендикулярна плоскости ВС.

6. Вычислите площадь полной поверхности тетраэдра и его объем.

7. Вычислите радиусы вписанной и описанной сфер тетраэдра.

При необходимости учитель может добавить число заданий. Сразу оговоримся, что, возможно, на одном уроке и не удастся выполнить все задания, это зависит от состава класса. Тогда часть из них может быть задана на дом.

В чем преимущество решения таких задач? Совершенно очевидно, что на одном уроке затрагивается материал большей части курса стереометрии. В то же время за урок решается большое число различных задач. Если же эти задачи разбить на самостоятельные и решать на отдельных уроках, то времени для этого потребуется гораздо больше, т.к. ученику каждый раз придется переключатся с одной геометрической ситуации на другую и всякий раз заново ее осмысливать.

Наконец, для систематизации и обобщения знаний учащихся, для комплексного применения знаний имеет большое значение решение задач как различными методами, так и различными способами. Напомним, что понятие метода решения задач шире понятия способа решения. Внутри одного и того же метода (конструктивного или векторного, например) можно решать задачу различными способами. В связи с этим большое значение имеет решение задачи смешанными методами, когда часть решения целесообразно вести одним методом, другую часть - другим.

Повторение теоретического материала по курсу алгебры и начал анализа целесообразно проводить по основным содержательным линиям. Напомним основные из них: числовая линия; линия тождественных преобразований; функции и графики; уравнения и неравенства; производная и ее применение; первообразная и интеграл. В начале повторения каждого блока выделяются основные понятия, характеризующие рассматриваемую линию, их сущность (в математике, в познании действительности и т.д.), общие положения, задачи, методы, характерные для всех входящих в рассматриваемый содержательный блок объектов. Далее рассматриваются конкретные виды общих понятий, их специфика. Например, в содержательной линии функции и графики можно выделить две части: «Общее понятие функции. Общие свойства функций»; «Функции, изучаемые в школьном курсе математики (определения, свойства, графики)». Наконец, следует уделить внимание связи каждой линии с оставшимися.

Обобщив, систематизировав и актуализировав весь теоретический материал, большую часть уроков необходимо посвятить решению задач, учитывая форму проведения выпускных экзаменов в настоящее время (ЕГЭ). Для этого можно использовать выпускаемую в изобилии литературу.

2.4. О лекционно-семинарской системе обучения математике. Крупноблочная модель изучения учебного материала

Особенностью описанных выше уроков, которые проводятся в основном в V-VIII классах, является их диалогичный характер. В ходе таких уроков учащиеся приобретают опыт поисковой деятельности, овладевают ее методами и способами. К концу VIII класса у них должны быть сформированы основные умения поиска и проведения доказательств, а также умения, определяющие культуру мышления в целом. Учащихся старших классов характеризует устойчивая склонность к умственной работе, умение долго и сосредоточенно работать, стремление самостоятельно понимать глубинную сущность явлений, способность осмысливать большую информацию. В то же время программа по математике усложняется, ставятся новые задачи. Поэтому нужны новые формы учебных занятий, в том числе контроля и оценки знаний.

В старших классах широкое распространение получила лекционно-семинарская система занятий. Она позволяет изучать материал крупными блоками, с тем чтобы иметь возможность проведения последовательной серии уроков-практикумов, обеспечивающих формирование умений и навыков в решении математических задач разного уровня сложности. К тому же эта система предполагает большую самостоятельность учащихся, в том числе и в работе с дополнительной литературой.

Лекционно-семинарская система изучения учебной темы включает в себя 10 основных видов уроков, которые представлены в табл. 3.

Таблица 3

Крупноблочная модель обучения математике

Конечно, не удается организовать изучение каждой темы в форме десяти выделенных типов уроков. Такие уроки, как семинарские занятия обобщающего типа, зачеты, проводятся по наиболее значимым темам курса или же по нескольким темам. Уроки консультации и коррекции знаний также не всегда удается провести учителю из-за отсутствия времени. Тем не менее учителю важно знать о существовании уроков таких типов и уметь их организовывать. Опишем далее кратко сущность наиболее значимых уроков этой системы.

Школьная лекция

Школьная лекция предполагает устное изложение учебного материала, отличающееся большей емкостью, чем рассказ, большей сложностью логических построений, образов, доказательств, обобщений, в тех случаях, когда необходимо сформировать целостное представление о вопросе.

Лекционная форма занятий в школе используется для систематического, последовательного изложения материала по отдельной теме или разделу программы, при изучении фундаментальных, теоретических положений курса. Исходя из этой общепедагогической установки, укажем, в каких случаях предпочтительнее организовать урок математики в форме лекции.

1. Когда содержание материала мало опирается на изученное ранее и учитель не сможет с помощью эвристической беседы подвести учащихся к гипотезе, или же когда учебный материал является слишком сложным для самостоятельного изучения учащимися либо важным с точки зрения целостности его восприятия. Например, очень важные и трудно усваиваемые вопросы начал анализа (предел и непрерывность функции, площадь криволинейной трапеции, интеграл и др.) целесообразно излагать самому учителю в доступной для учеников лекционной форме.

2. В случае укрупненной подачи информации, расширения тематического диапазона каждого урока, на котором учитель изучает несколько вопросов темы. В настоящее время получил распространение опыт работы учителя Р.Г. Хазанкина, который весь теоретический материал темы излагает на первых уроках ее изучения. При этом последующие уроки отводятся для самостоятельной работы учащихся (семинары, практикумы, консультации, собеседования и др.), т.е. речь идет о лекционно-семинарской системе преподавания математики.

Для изучения материала крупными блоками эффективным является и применение метода укрупнения дидактических единиц, разрабатываемого П.М. Эрдниевым. Автор предлагает изучать совместно, на одном уроке (или нескольких последовательных уроках), не просто теоретический материал одной темы, но и взаимосвязанные логически вопросы: взаимно обратные операции, теоремы, различные понятия с аналогичными свойствами. Ярким примером является совместное изучение арифметической и геометрической прогрессий методом УДЕ (метод укрупнения дидактических единиц).

3. В форме лекции целесообразно проводить уроки, посвященные новым методам решения задач: решению показательных (логарифмических, тригонометрических) уравнений и неравенств, решению геометрических задач аналитическими методами и др. Здесь учитель выделяет основные типы или виды уравнений, неравенств, задач, показывает приемы и алгоритмы их решения, дает образцы записи. Это уроки решения ключевых задач, которые служат основой для последующих уроков по формированию умений и навыков в решении задач по теме, т.е. для уроков-практикумов.

Заметим, что в проведении уроков рассматриваемых типов возможна укрупненная подача информации. Например, решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств лучше изучать одновременно, так как этому способствует единый подход к их геометрической иллюстрации с помощью графика или единичной окружности.

4. Возможно в форме лекции проведение уроков обобщения и систематизации знаний как по одной теме, так и по нескольким темам. Имеет смысл проведение обзорных лекций, например, о развитии понятия числа, о равносильности уравнений и неравенств, об алгебраических методах в геометрии и др.

5. Уроки-лекции, показывающие применение математических знаний для решения практических задач. Например, в форме лекции можно провести урок, связанный с применением производной в физике, технике. Пока еще в практике работы учителей математики не находят широкого распространения вводные лекции для параллельных классов, на которые приглашались бы ученые - специалисты.

Таким образом, тип лекции определяется темой и целью урока. Лекция может быть вводной, установочной, текущей, обзорной.

Остановимся на методике проведения урока-лекции, его организационной стороне.

При проведении лекции учитель должен составить для себя ее четкий план, а иногда полезно довести его и до сведения учащихся.

Лекционные формы занятий требуют от учителя четкой организации учебной деятельности школьников, привлечения их внимания к содержанию лекции. Поэтому начинать лекцию важно с создания проблемной ситуации и формулировки проблемы. В качестве основного метода должен выступать метод проблемного изложения. Напомним, он состоит в том, что учитель ставит проблемы, сам их решает, раскрывая все противоречия, всю логику решения и доступную систему доказательств. Учащиеся же следят за логикой изложения, контролируют ее, соучаствуют в процессе решения. Изложение учебного материала учителем сопровождается большим числом вопросов, на которые он обычно сам и отвечает, т.е. учитель как бы ведет диалог с самим собой. Иногда для ответа на возникающие вопросы он может привлекать и учащихся. Большое значение при этом имеет яркая, доходчивая, эмоциональная речь учителя.

В соответствии с планом лекции изложение должно отличаться логической стройностью, последовательностью, соответствующими выводами по каждому пункту плана и логическими связями при переходе от одного раздела к другому. В случае необходимости применяются и технические средства обучения.

Если план лекции учащимся заранее не сообщался, то им может быть затем дано задание по составлению плана или тезисов лекции.

Большое значение имеет темп чтения лекции, чтобы учащиеся смогли сделать необходимые записи. В связи с этим учитель должен продумать содержание и форму записи для учащихся. В последнее время получает распро-

странение запись текста лекции в краткой форме в виде схем, таблиц и т.д. С этой целью учитель заранее готовит основные контуры (канву) этих таблиц и раздает их учащимся перед началом лекции. На уроке в процессе изложения материала учителем идет их заполнение. Таким образом, у учащихся остается краткий наглядный конспект основного содержания лекции. Один из вариантов составления конспектов-таблиц описан в статье Е.Н. Перевощиковой [62].

Заметим также, что лекционное изложение может сопровождаться примерами, образцами записи решений упражнений и задач. В лекции желательно привлечение исторического материала, дополнительных источников информации, новейших фактов. Это, с одной стороны, способствует поддержанию интереса, устойчивого внимания к содержанию лекции, с другой - формирует научное мировоззрение учащихся.

Семинарские занятия

Развитие творческой активности и самостоятельности старшеклассников, учет их интересов, особенностей умственного и психического развития требуют проведения отдельных уроков в форме семинарских занятий.

Цель проведения уроков-семинаров состоит в том, чтобы сделать теоретическое обобщение изученного материала, выделить основные методы, способы и приемы решения математических задач, показать связь математики с жизнью, с практикой. Подготовка к семинарам расширяет самостоятельную работу учащихся, приучает их к углубленному изучению различных источников, написанию докладов, рефератов. Проведение семинарских занятий учит учащихся выступать с самостоятельными сообщениями, отстаивать свои суждения, готовит школьников к участию в общественной жизни и продолжению образования, способствует формированию у них познавательных и исследовательских умений. Наиболее полно реализовать указанные цели семинарских занятий позволяют обобщающие уроки по теме. Подготовка и проведение таких уроков требует больших усилий как от учителя, так и от учащихся.

План семинарского занятия и программа подготовки к нему составляются и разрабатываются заблаговременно. За 2 - 3 недели до начала занятия план вывешивается в кабинете математики, указывается наиболее важная литература. Учитель предлагает желающим читать литературу и искать ответы на поставленные вопросы. В то же время по основным вопросам семинара назначаются докладчики, иногда и оппоненты к ним. К темам докладов учителю полезно составить небольшие указания или же провести для докладчиков устную консультацию. Вместе с этим к уроку необходимо дать обязательное задание и всему классу. Примеры тем и содержания семинарских занятий нами уже были приведены.

При проведении семинарских занятий стоит проблема активизации мыслительной деятельности учащихся-слушателей. С этой целью учитель продумывает, какие записи и как должны вестись всеми учениками, а также заготав-

ливает карточки с вопросами и раздает их ученикам с тем, чтобы после прослушивания содержания докладов они могли на них ответить.

Важно, чтобы доклад занимал в среднем не более 10 минут. После окончания доклада докладчику задаются вопросы учащимися, а затем и учителем. При оценке учитывается степень самостоятельности ученика при работе над докладом, его интерес к теме, использование им дополнительной литературы, содержание доклада, заинтересованность класса сообщением докладчика, а также ответы на вопросы, задаваемые выступающему учениками.

Учитель делает выводы и ставит новые проблемы, которые раскрываются в следующем сообщении. В конце учитель делает общее заключение как по теме занятия (ее связи с предшествующими и последующими темами, по применению ее в других науках и на практике), так и по работе учащихся на уроке.

Заметим, что семинарские занятия такого типа целесообразно в старших классах проводить двухчасовые.

Обобщающие уроки в форме семинарских занятий можно посвящать различным методам решения задач (или различным способам доказательства одной и той же теоремы). Суть их состоит в том, что в качестве домашнего задания к этому уроку (которое может даваться заранее) учитель предлагает решить одну - две задачи всеми доступными ученику способами. На уроке идет обсуждение всех найденных способов решения, отмечаются достоинства и недостатки каждого из них, делается вывод. Уместно к некоторым задачам или методам решения давать исторические справки.

В форме семинарского занятия возможно проводить и уроки по изучению материала новой темы, если он доступен для самостоятельной проработки учащимися. Например, в курсе математики старших классов имеются темы, аналогичные изученным ранее и являющиеся их обобщением. Так, тема «Векторы» изучается на плоскости и в пространстве. Поэтому к уроку по введению понятия вектора в пространстве и операций над векторами учащимся можно дать задание подготовить ответы на вопросы:

- понятие вектора на плоскости и в пространстве; модуль вектора; сонаправленные и противоположно направленные векторы; коллинеарные векторы;

- сложение и вычитание векторов на плоскости и в пространстве;

- умножение вектора на число на плоскости и в пространстве.

При подготовке ответов на вопросы учащиеся делают в тетради необходимые записи, построения. В зависимости от учебника учитель указывает, какие номера задач следует прорешать при подготовке ответа на каждый вопрос.

Возможен и другой вариант. Вводные уроки по теме учитель проводит в форме лекции или рассказа, на которых особое внимание уделяется разъяснению основного в содержании учебного материала. Вслед за этими уроками проводится урок-семинар (или несколько таких уроков), где учащиеся самостоятельно, пользуясь учебником (а иногда и другой литературой), изучают материал, выполняют упражнения, закрепляющие знания, умения решать за-

дачи. Например, выведя на уроке-лекции формулу вычисления объема тела с помощью определенного интеграла и проиллюстрировав ее применение для нахождения объема наклонной призмы, учащиеся самостоятельно могут изучить материал о выводе формул объема пирамиды, конуса, шара и рассказать об этом на семинарском занятии.

При проведении уроков-семинаров последних двух видов нецелесообразно распределять темы сообщений и докладов. Ученики должны готовиться по всему плану семинарского занятия и отвечать по собственной инициативе или по вызову учителя, т.к. в плане занятий в основном стоят вопросы, ответы на которые должен знать каждый ученик. Здесь учащиеся изучают материал самостоятельно преимущественно по учебнику.

Уроки-практикумы

Важнейшей задачей при обучении математике является формирование умений и навыков решения математических и прикладных задач. Успешное ее осуществление в старших классах зависит от того, овладеют ли учащиеся основными методами, способами и приемами решения уравнений, неравенств, других алгебраических и геометрических задач. В связи с этим особую роль в системе уроков в старших классах играют уроки-практикумы.

Как уже было сказано, основная цель уроков-практикумов по математике- выработка умений и навыков в решении задач определенного типа, вида или в овладении определенными методами решения задач (например, векторный и координатный методы в геометрии, решение различных видов тригонометрических уравнений и сведение их к простейшим и др.).

По сравнению с обычными уроками по решению задач в младших классах практикумы характеризуются большей самостоятельностью учащихся и творческим отношением к выполнению заданий.

Их целесообразно проводить последовательно, в течение нескольких уроков после теоретического изучения крупного раздела курса, темы. Первый из таких уроков посвящается нахождению общих приемов, алгоритмов, выделению основных типов, видов задач, решаемых с помощью изученной теории. Этот урок вместе с изученным ранее теоретическим материалом и является основой для последующих уроков-практикумов, на которых учащиеся проявляют самостоятельность, творчество, где учитель имеет большую возможность учесть индивидуальные особенности каждого ученика.

Важно, чтобы учитель разработал сразу содержание всей серии уроков-практикумов по теме: выделил наиболее важный теоретический (опорный) материал, отобрал ключевые задачи и систему задач, сводящуюся к ним, продумал форму организации учебной деятельности (коллективная, групповая, индивидуальная) на каждом уроке, формы контроля. В системе задач по каждому типу нужны задачи различного уровня сложности, учитывающие возможности учащихся данного класса. С этой целью, привлекая в помощь учащихся, все задания желательно выписать на карточки.

Зачеты

Лекционные, семинарские и практические занятия относят к активным формам обучения потому, что правильное их применение предполагает повышение степени самостоятельной деятельности каждого ученика по овладению материалом. В связи с этим по-новому встает и проблема контроля и оценки знаний. Наряду с традиционными формами контроля, все большее распространение в старших классах получают зачеты и связанные с ними уроки-консультации, уроки коррекции знаний и т.д.

Различные формы организации зачетов описаны в литературе. Расскажем об одном приеме. За 2 - 3 недели до проведения зачета учитель указывает теорию, которую необходимо повторить к зачету, и выдает список задач по теме. Здесь возможны варианты: в одном списке представлены задачи различной степени сложности или же выдается несколько списков, в каждом из которых отражены задачи того или иного уровня трудности. В этом случае каждый ученик сам выбирает себе те или иные задачи исходя из своих возможностей. Перед зачетом после самостоятельной или контрольной работы проводится урок-консультация. Один из вариантов проведения такого урока может быть следующим. После небольшого анализа ошибок, который проводит учитель, учащиеся группируются около консультантов - учеников, справившихся с проверочной работой, и под их руководством выполняют работу над ошибками или 2-3 задания, аналогичные тем, в которых были допущены ошибки. Основная же часть урока посвящается консультации по полученным ранее к зачету задачам. Отвечать на вопросы может либо сам учитель, либо ученик, справившийся с заданием.

Во время проведения урока-зачета класс разбивается на группы по 4 -5 человек, в каждой их которых назначается старший. Каждому ученику с учетом его индивидуальных особенностей предлагается теоретический вопрос и задача из заранее данного списка. Старшие групп идут отвечать без подготовки. Если есть возможность, то учитель привлекает для принятия зачета учащихся параллельных или старших классов. К уроку готовятся карточки на каждую группу учащихся по следующему образцу:

п/п

Фамилия

Формулировки определений, теорем

Теорема

Задачи

Формулировка

Доказательство (оценка)

Сколько решил дома

Оценка за решенную в классе

1.

Копров А.

+1 + 1

+

4

все

5

Учитель опрашивает старшего группы, заполняет в карточке сведения об его ответе, тем самым показывая, как тот должен опрашивать, и отдает ему карточку на группу.

Старший начинает опрос в своей группе с наиболее подготовленного ученика с тем, чтобы тот после своего ответа мог опрашивать оставшихся.

В конце урока учитель собирает карточки, а в случае необходимости и листы с ответами учащихся, анализирует материал после уроков, сам выставляет оценки и сообщает их на следующем уроке.

Таким образом, сочетание лекционных, семинарских и практических занятий в старших классах способствует развитию активности учеников, рационализации их учебной деятельности, позволяет достигать большей результативности обучения, т.е. способствует интенсификации учебного процесса.

2.5. Подготовка учителя к системе уроков изучения учебной темы

Мы описали процесс конструирования уроков основных типов. Однако рождение любого из них начинается с осознания его роли, места и назначения в системе уроков изучения учебной темы в целом. Урок сам по себе не является «клеточкой» учебного процесса, так как логически связан с предшествующими и последующими уроками и выполняет определенную функцию в целостной системе уроков по достижению целей. Поэтому, прежде чем готовиться к отдельному уроку, необходимо спланировать систему уроков по учебной теме, т.е. разработать проект изучения темы в целом. В методических рекомендациях для учителя тематическое планирование чаще всего представлено формально: название параграфа и число часов на его изучение.

Впервые деятельность учителя при подготовке к системе уроков по учебной теме была описана в работе [44]. Она включала в себя цели изучения темы, логико-математический и дидактический анализ теоретического и задачного материала, подготовку учебных задач и выделение адекватных им действий, определение средств и приемов обучения, форм контроля и оценки знаний. На основании всего этого составлялось методическое планирование темы. В работе [85] уточняются действия учителя по логико-дидактическому анализу теоретического материала в связи с новым подходом к содержанию математического образования, которое определено нами в первой части. Напомним, что оно содержит информационный компонент, представленный основными дидактическими единицами (аксиомы, понятия и их определения, теоремы и их доказательства, правила, ключевые задачи) и методологические знания. Последние объективно содержатся в ученом материале, но не всегда явно и четко сформулированы в программах и учебниках. Вместе с тем они выполняют важные общеобразовательные, развивающие и воспитательные функции.

Логико-дидактический анализ материала темы - сложная методическая проблема. Его следовало бы проводить в методических рекомендациях для учителя, которые издаются к каждому учебнику. Однако пока это приходится делать самому учителю.

Выделим основные этапы планирования системы уроков изучения учебной темы: анализ теоретического и задачного материала, постановка целей изучения темы, подготовка системы уроков.

Первый этап подготовки учителя к системе уроков состоит в математическом и дидактическом анализе теоретического и задачного материала.

Примерные действия учителя, направленные на анализ теоретического материала темы

1. Изучение программы по математике и осознание:

а) требования к математической подготовке учащихся;

б) места и роли темы в той содержательной линии курса, в которую она входит;

в) цели изучения и основного содержания по конкретному учебнику.

2. Изучение дополнительной математической и методической литературы по рассматриваемой теме.

3. Выделение и общий анализ дидактических единиц темы по конкретному учебнику (аксиомы, понятия и их определения, теоремы и их доказательства, правила):

а) каким понятиям в теме даются формально-логические определения, а какие вводятся описательно;

б) какие понятия темы являются ведущими;

в) как они связаны с предшествующим содержанием, какие методологические знания характеризуют ведущие понятия темы;

г) какие теоремы дополняют содержание понятий, данное в определениях (свойства, признаки, существование);

д) каковы общелогические и специфические методы и приемы доказательства теорем и какова их новизна для учащихся;

е) выделены ли в тексте нужные правила, задающие способы деятельности, и следует ли им давать алгоритмическое предписание и т.д.

4. Установление логической организации учебного материала: индуктивное изложение, дедуктивное; каков уровень строгости доказательств; готовы ли школьники к дедуктивному восприятию?

5. Выявление связей между дидактическими единицами темы, составление систематизирующей таблицы.

6. Определение необходимости и целесообразности переструктурирования содержания.

7. Выявление уже встречавшихся ранее учащимся методологических знаний, для дальнейшего формирования которых в теме имеются объективные предпосылки, включая методы и приемы открытия новых знаний (эвристические методы), методы и приемы доказательств.

8. Установление возможностей привлечения дополнительного материала с целью знакомства с историей развития понятия, его приложениями, с новыми для учеников методами открытия новых знаний и доказательств.

9. Постановка учебных задач изучения теоретического материала и первая «прикидка» построения системы уроков изучения нового.

Примечание. К любому анализу не следует подходить формально. Выделенные действия не задают строгую иерархию и являются примерными. В за-

висимости от специфики темы отдельные из них могут опускаться или дополняться новыми. Опытный учитель «держит их в голове».

Действия учителя по анализу задачного материала

Прежде чем начать анализ задачного материала, следует знать, к чему надо стремиться. Цель анализа - создание системы задач по теме с учетом индивидуальных особенностей учащихся данного класса, обеспечивающей формирование указанных в программе знаний, умений и навыков, создающих условия для развития учащихся путем овладения ими методологическими знаниями, методами и способами составления, поиска и решения задач.

Выделим основные требования (принципы), которым должна удовлетворять система задач в целом.

Основными ориентирами в подборе задач для конкретного класса должны стать, по-нашему мнению, два условия: ориентация на программу, госстандарты и учет «зоны ближайшего развития» каждого школьника. К сильным учащимся следует предъявлять высокие требования, а не ограничиваться теми, которые предложены в стандартах. Отсутствие таких требований может притупить живой интерес к учению, вызвать отрицательное отношение учащихся к школе, затормозить характерный для них высокий темп психического развития и даже привести к отставанию в учении.

В то же время встречаются ребята с такой низкой обучаемостью, что для них на первых порах бывают сложны задания и из «Обязательных результатов обучения». Для индивидуальной работы с ними учителю нужно составить свою систему задач. Приведем ее краткую характеристику (подробнее она описана в статье [29]).

Система должна быть полной, т.е. охватывающей достаточное количество задач, в которых изученная теория проявляется наиболее разносторонне.

В системе следует выделить ключевые задачи.

Система должна содержать задачи с дидактическими, познавательными, развивающими, практическими функциями [56].

Необходимы задачи, допускающие несколько способов решения, в том числе на комплексное применение теоретического материала.

Важны задачи, позволяющие организовать творческий поиск решения, обучать эвристическим приемам.

Подбор системы задач по теме является самой трудоемкой работой учителя математики. Иногда в поисках той или иной задачи, удовлетворяющей поставленной цели урока, интересам конкретного ученика или класса в целом, учителю приходится пересмотреть большую дополнительную литературу и прорешать значительное число задач. Вознаграждением за этот нелегкий труд явятся уроки, на которых получат удовлетворение и учащиеся, и учитель.

Опираясь на представления о требованиях к системе задач, учитель и проводит анализ задач из учебника (привлекая в случае необходимости другие источники).

Укажем примерные действия учителя по анализу задачного материала.

1. Выписать дидактические единицы и методологические знания, которые выделены при анализе теоретического материала.

2. Решить все задачи по теме из учебника (включая и дополнительные) и провести анализ каждой:

- выделить теоретический базис и метод решения (в содержательном и логическом плане);

- выделить специфические для темы способы и приемы решения;

- попытаться найти другие способы решения, составить на основе данной новые задачи;

- определить функцию задачи (дидактическая, познавательная, развивающая, практическая);

- выделить тип задачи, приемы и методы ее решения.

3. Разбить задачи на группы по различным основаниям:

- по функциям (дидактические, познавательные, проблемно-развивающие);

- по новым типам, новым методам (общелогические или специфические), приемам;

- на комплексное применение знаний из данной темы и ранее изученных тем;

- на основе которых может быть проведена дополнительная работа над задачей (поиск разных способов решения, составление динамических задач);

- по циклам взаимосвязанных задач и т.д.

4. Выделить ключевые задачи темы.

5. Установить соответствие задачного материала изученной теории, выделенным в программе целям.

6. Установить последовательность предъявления задач учащимся, выделить задачи для решения в классе и дома, для коллективного и индивидуального решения и т.д.

7. Спрогнозировать систему задач по учебной теме и адекватную ей систему уроков решения задач.

8. Разработать задания для диагностики, в том числе для контрольной работы и зачетов.

Второй этап. Анализ теоретического и задачного материала заканчивается общими выводами и постановкой целей изучения темы, которые представлены как синтез учебных задач темы и диагностируемых целей.

Третий этап. Проделанная работа служит основанием для планирования системы уроков по учебной теме.

Четвертый этап - подготовка к отдельному уроку. Она предполагает, во-первых, более детальный анализ и отбор содержания, в частности логической структуры основных дидактических единиц при изучении теоретического материала, во-вторых, уточнение главной учебной задачи урока и постановку на ее основе диагностируемых целей; в-третьих, структурирование содержания урока, обеспечивающего достижение каждого аспекта в поставленных целях;

в-четвертых, подбор системы упражнений, заданий для каждого звена (элемента), входящих во все инвариантные части урока. Наконец, определение технологии обучения (выбор форм и методов) для каждой части урока. Приведем пример деятельности учителя при подготовке к уроку изучения нового.

Подготовка учителя к работе с определением понятия на уроке

Подготовка к уроку начинается с логического и дидактического анализа формулировки определения.

Логический анализ определения понятия предполагает выполнение учителем следующих действий:

1. Анализ формулировки:

а) установление вида определения: через род и видовые отличия, косвенное, описательное;

б) выделение родового понятия и установление логической структуры видовых отличий, наличие в определении кванторов;

в) установление содержания понятия и его объема.

2. Установление необходимости доказательства существования понятия и способа доказательства.

3. Установление возможности переформулировки определения понятия. Замена определения ему эквивалентным. Конструирование возможных эвристик.

4. Составление отрицания определения.

5. Установление связи между новым понятием и изученными ранее.

6. Классификация системы понятий (разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды по их характеристическим свойствам).

Дидактический анализ.

7. Установление новизны для учащихся логической структуры определения и способа ее разъяснения учащимся.

8. Подбор системы упражнений для актуализации; методика организации повторения.

9. Подбор материала для создания мотивации, проблемной ситуации. Четкая формулировка учебной задачи.

10.Определение способа включения учащихся в учебно-познавательную деятельность по «открытию» нового понятия; выбор способа формулировки определения понятия (дает учитель, формулируют учащиеся, читают по учебнику и др.); выбор способа фиксации определения (в т.ч. записи на доске и в тетрадях учащихся).

11.Конструирование упражнений на осознание логической структуры определения.

12.Конструирование упражнений на формирование умения подводить объект под понятие. Здесь можно выделить два типа упражнений:

- на узнавание объекта по вербальной (словесной) форме задания (в этих «ошибочных» определениях обычно заменяют родовое понятие, изменяют видовые отличия или логические связки между ними, пропускают существенные слова и т.д.);

- на узнавание объекта по невербальной (графической, символической) форме задания.

13.Формулировка частных эвристик, позволяющих подводить объект под понятие.

14.Конструирование упражнений на овладение действием отыскания следствий на этапе «осознание, осмысление».

15. Формулировка частных эвристик, позволяющих выводить следствия из принадлежности объекта понятию.

Подготовка учителя к уроку по изучению теорем

Подготовка к уроку (или серии уроков) начинается с логического и дидактического анализа формулировки теоремы и способа ее доказательства.

Логический анализ предполагает выполнение учителем следующих учебных действий:

1. Анализ формулировки:

а) установление формы формулировки;

б) выделение условия, заключения, разъяснительной части;

в) установление того, является данное предложение простым или сложным;

г) если теорема сложная, то выясняется, можно ли ее переформулировать в виде двух теорем.

2. Выяснение логического смысла теоремы: существование, свойство, признак (критерий) понятия.

3. Формулировка обратного (противоположного) предложения и установление его истинности.

4. Анализ доказательства: выяснение идеи, метода, приема доказательства, установление их новизны для учащихся, отыскание других приемов доказательства.

5. Исследование математической ситуации, рассмотрение всех возможных случаев.

6. Установление связи теоремы с ранее изученным, ее роли в построении курса.

Далее учитель проводит дидактический анализ, который предполагает выполнение таких действий:

7. Выявление опорного материала и установление необходимости его повторения; методика организации повторения.

8. Установление необходимости мотивации изучаемой теоремы и подбор для нее соответствующего материала.

9. Возможность создания проблемной ситуации; выбор способа (пути) создания проблемной ситуации. Постановка учебной задачи.

10. Установление наличия у школьников базы знаний (в т.ч. и познавательных средств) для участия в разрешении проблемы с соответствующим уровнем самостоятельности.

11. Выбор гипотетико-дедуктивных методов, способов получения новых знаний: «открытие» теоремы; поиск доказательства; доказательство.

12. Установление возможности изучения обратной (противоположной) теоремы. Формулировка критерия понятия, переформулировка его определения.

13. Выбор формы записи доказательства, а также установление необходимости записи доказательства.

14. Установление возможности обучения новому методу доказательства.

15. Подбор системы упражнений для рефлексивно-оценочной части (см. выше).

Проиллюстрируем сказанное двумя примерами.

Пример 1. Учебная тема: «Равенство треугольников».

Признаки равенства треугольников - один из главных методов доказательства теорем и решения задач. Материал является основополагающим во всем курсе геометрии. В программе говорится, что основная цель изучения темы - формирование умений доказывать равенство данных треугольников, опираясь на изученные признаки, решать простейшие задачи на построение с помощью циркуля и линейки [67]. Однако, как покажем далее, для организации полноценной математической деятельности этих сведений явно недостаточно. Знакомство с темой по различным школьным учебникам свидетельствует о следующем.

Основная особенность содержания темы «Равенство треугольников» состоит в том, что здесь закладываются основы методологических знаний практически всего курса математики. Трудность усвоения материала обусловливается прежде всего тем, что учащиеся на данном этапе обучения недостаточно владеют необходимыми познавательными средствами. Усилия же учителя направлены в значительной степени на то, чтобы школьники усвоили информационный компонент математического содержания: воспроизводили формулировки признаков равенства треугольников и их доказательства без должного понимания сути доказательства, опираясь, в основном, на память. Не умаляя важности знания этих фактов, отметим, что не меньших усилий учителя требует и овладение учащимися второй системой знаний - приемами и способами математической деятельности, методологическими знаниями. В этой теме впервые вводятся такие методологические знания, как понятие теоремы и ее доказательства. Для того чтобы ученик осмысленно усваивал конкретные теоремы и их доказательства на различных этапах обучения, он должен:

-знать и понимать логическое построение теоремы;

-понимать логическую структуру определения понятия;

-уметь пользоваться определением понятий: выполнять действия подведения под понятие и выведение следствий;

-уметь применять определение понятия, формулировки теорем и аксиом для обоснования своих умозаключений (об этом мы уже говорили ранее);

-осознавать сущность доказательства;

-овладевать общими логическими методами доказательств;

-понимать, какие умозаключения достоверны, а какие приводят только к гипотезе (правдоподобны);

- овладевать частными методами и приемами, характерными для той или иной темы (в нашем случае - приемами доказательства равенства треугольников, отрезков и углов, нахождения длин отрезков и градусных мер углов на основе равенства треугольников).

Поэтому основная учебная задача изучения темы, отражающая методологический аспект содержания, может быть сформулирована следующим образом: овладение школьниками сущностью доказательства на примере доказательства признаков равенства треугольников. Заметим, что эта цель является долговременной, она не может быть достигнута полностью не только в рамках изучения рассматриваемой темы, но и в пределах школьного курса математики.

В данном случае анализ учебного материала мы начали с его методологической составляющей, поскольку с ней связаны основные трудности изучения темы.

Краткий анализ информационного компонента приводит к следующим выводам.

В теме вводятся следующие понятия: треугольник и его элементы (вершины, стороны, углы, медианы, биссектрисы, высоты); равные треугольники, равнобедренный треугольник; теорема и ее доказательство.

Проанализируем их с методической точки зрения. Ведущим является понятие равных треугольников. Вместе с тем ранее уже было введено понятие равных фигур. Оно конкретизируется при определении равных отрезков и равных углов. Опираясь на этот опыт, при надлежащей системе вопросов и заданий учителя учащиеся могут сами сформулировать определение равных треугольников (используется прием конкретизации).

На этапе осознания, осмысления нового определения понятия решаются упражнения на овладение двумя общелогическими действиями: подведение под понятие и выведение следствий. Решение первой группы упражнений следует закончить формулировкой двух эвристик: чтобы установить равенство двух треугольников на основе определения, можно а) попытаться совместить один треугольник с другим; или б) установить равенство шести пар соответственных элементов.

Решение упражнений на овладение действием выведения следствий приводит к формулировке следующих утверждений: в равных треугольниках против равных углов (сторон) лежат и равные стороны (углы).

Возникает естественный вопрос: «Для установления равенства треугольников всегда ли следует проверять равенство шести пар его элементов?» Эмпирические методы (построение, моделирование, наложение) приводят к гипотезе, что, возможно, это и необязательно. Появляется необходимость установить или опровергнуть полученные опытным путем факты. Таким образом учащиеся подводятся, во-первых, к необходимости выявления новых способов установления равенства треугольников, а во-вторых, к введению нового методологического понятия «теорема» и ее доказательства. Учитывая указанные выше трудности методологического характера, можно их частично снять путем более раннего знакомства учащихся с понятием теоремы и ее доказательством (при изучении свойств смежных и вертикальных углов).

Следующая особенность информационной компоненты содержания состоит в способах доказательства признаков равенства треугольников, в системе ключевых задач на применение каждого, в последовательности расположения материала. Первый и второй признаки доказываются одним и тем же способом «наложения» на основе определения. Третий признак доказывается «приложением» одного треугольника к другому. При этом используются определения и свойства равнобедренного треугольника. Общелогический метод доказательства - метод полной индукции, который ученикам абсолютно не знаком. Ключевые задачи на применение всех трех признаков одинаковые: доказательство равенства треугольников, доказательство равенства отрезков (нахождение отрезков), доказательство равенства углов (нахождение углов). В задачах встречается еще один прием доказательства равных отрезков (углов): от равных отнять равные (к равным прибавить равные). Однако в силу особенностей темы ключевые задачи следует решать пока отдельно на применение каждого признака.

Итак, между первым и вторым признаками равенства треугольников полная аналогия в доказательствах, в типах и решениях задач. Однако их изучение разделено в учебнике материалом о медианах, биссектрисах и высотах треугольника, о равнобедренном треугольнике и его свойствах, который будет использован далее лишь при доказательстве третьего признака. Исходя из сказанного, последовательность изучения материала может быть переструктурирована (см. далее планирование).

Все вышеизложенное позволяет определить цели изучения темы «Равенство треугольников» следующим образом:

- определить равенство треугольников путем конкретизации общего определения равных фигур;

- найти новые способы доказательства равенства треугольников, отрезков и углов (на основе признаков) и формировать соответствующие умения;

- овладевать сущностью доказательства.

По мере изучения темы ученик (тестовые задания для диагностики приведены далее):

- понимает логическую структуру определения понятия (задания 1, 2);

- умеет выполнять действия подведения под понятие и выведение следствий (задания 1 - 5, 7, 9);

- понимает логическую структуру теоремы; умеет выделять условие и заключение теоремы (задания 6, 7);

- понимает сущность доказательства математических утверждений: осознает отдельные умозаключения (задания 6, 7), их последовательность и обоснование (задания 8, 9);

- умеет решать задачи на доказательство равенства треугольников на основе каждого из трех признаков (задания 10 - 12);

- владеет приемами сравнения отрезков и углов на основании равенства треугольников (задание 13).

Поставленные в такой форме цели позволяют разрабатывать и задания для диагностики процесса и результата обучения. Ниже приведены задания на диагностику. Учитывая отмеченные выше особенности темы и трудности ее изучения школьниками, для проверки уровня усвоения общих методологических знаний целесообразно выбрать в теме несложные в логическом плане формулировки определения понятий, формулировки теорем и их доказательства. Нам представляется, что наиболее приемлемыми в этом аспекте являются определение равнобедренного треугольника и теорема (включая и доказательство) о свойстве углов равнобедренного треугольника.

Тестовые задания к теме «Равенство треугольников»

1. Из приведенных ниже высказываний а) - г) выбери то, которое является определением равнобедренного треугольника:

а) треугольник называется равнобедренным, если у него два угла равны;

б) треугольник называется равнобедренным, если у него три стороны равны;

в) многоугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны;

г) треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.

2. Построй равнобедренный треугольник, обозначь его, укажи боковые стороны и основание.

3. Пользуясь определением, выбери равнобедренный треугольник на рис. 14, я-д.

Рис. 14 (начало)

Рис. 14 (окончание)

4. Известно, что треугольник МОР - равнобедренный с основанием MP. Следует ли отсюда, на основании определения, что

а) MP = PO;

б) МО = ОР;

в) ZM = ZO;

г) МО = MP?

В каждом случае дай один из ответов: «да», «нет».

5. Чтобы установить, пользуясь определением, что фигура является равнобедренным треугольником, достаточно установить, что

а) это многоугольник;

б) две стороны равны;

в) два угла равны;

г) это треугольник.

Из условий а) - г) выбери нужные.

6. Выберите верные предложения из списка а) - д), пользуясь теоремой о свойстве равнобедренного треугольника:

а) в равнобедренном треугольнике есть два равных угла;

б) в равнобедренном треугольнике любые два угла равны;

в) в равнобедренном треугольнике углы при боковой стороне равны;

г) если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

д) если треугольник равнобедренный, то в нем углы при основании равны.

7. Запиши условие и заключение теоремы о свойстве равнобедренного треугольника МОР, если:

а) МО = MP;

б) МО = ОР;

в) MP = OP.

8. Из набора высказываний а) - д) выбери те, которые отражают основные этапы доказательства теоремы о свойстве углов равнобедренного треугольника (рис. 15) и расположи их в нужном порядке:

а) равенство треугольников MOD и POD;

б) равенство углов MOD и DOP;

в) построение биссектрисы угла МОР;

г) построение биссектрисы угла ОМР;

д) равенство углов Ми Р.

Рис. 15

9. Из набора а) - з) выбери те теоретические положения, которые входят в обоснование доказательства теоремы о свойстве углов равнобедренного треугольника:

а) определение равных треугольников;

б) определение равнобедренного треугольника;

в) первый признак равенства треугольников;

г) определение медианы треугольника;

д) определение биссектрисы треугольника;

е) свойство смежных углов;

ж) свойство сторон равных треугольников, лежащих против равных углов;

з) свойство углов равных треугольников, лежащих против равных сторон.

10. Пользуясь первым признаком равенства треугольников, выберите равные треугольники (рис. 16, а-г ):

Рис. 16

11. Пользуясь вторым признаком равенства треугольников, выберите равные треугольники (рис. 17, а-г):

Рис. 17 (начало)

Рис. 17 (окончание)

12. Пользуясь третьим признаком равенства треугольников, выберите равные треугольники (рис. 18, а-г):

Рис. 18

13. Можно ли утверждать, что: ä) ZB = ZO (рис. 16, а);

б) ZO = ZK (рис.16, б);

в) £Л> 0/>(рис. 16, г); r)ST = VY (рис. 17, в);

д) ZC = ZD (рис. 17, г);

е) ZK = ZZ (рис. 18, а); ж)АВ= А]В] (рис. 18, б); з) ZK = ZM (рис. 18, в)?

В каждом случае дайте один из ответов: «да», «нет». Исходя из сказанного, система уроков по теме «Равенство треугольников» может быть такой (табл. 4).

Таблица 4

Система уроков по теме «Равные треугольники»

№п/п

Тема. Дидактические единицы. Тип (вид) урока.

Основные цели

1

Треугольник и его элементы. Равные треугольники. Следствия из определения равных треугольников (урок изучения нового).

На основе конкретизации общего определения равных фигур «открыть» определение равных треугольников. Обучать учащихся общелогическим действиям «выведение следствий» и «подведение под понятие».

2

Первый признак равенства треугольников (урок изучения нового).

Выявить необходимость нахождения нового способа доказательства равенства треугольников, «открыть» его опытным путем, доказать, усвоить прием «применения» теоремы к решению задач.

3

Первый признак равенства треугольников (комбинированный урок: усвоение теории и решение трех ключевых задач).

Выявить основные виды задач на применение первого признака равенства треугольников (ключевые задачи) и способы их решения.

4

Первый признак равенства треугольников (урок отработки решения ключевых задач).

Формирование умений решать комплексные задачи по изученному материалу (включая определения и свойства смежных и вертикальных углов).

5

Второй признак равенства треугольников (урок изучения нового).

Найти новый способ доказательства равенства треугольников - второй признак. Найти его доказательство по аналогии с первым признаком.

6

Второй признак равенства треугольников (урок отработки решения ключевых задач).

Спрогнозировать на основе аналогии с первым признаком виды задач, решаемых с помощью второго признака равенства треугольников. Спрогнозировать на основе аналогии способы их решения.

7

Решение задач на применение первого и второго признака равенства треугольников (урок-практикум: в конце урока - самостоятельная работа контролирующего характера).

Формировать умения и навыки в решении задач комплексного характера, в том числе и проблемно-развивающих.

8

Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника (урок изучения нового).

Выдвинуть гипотезу о существовании третьего признака равенства треугольников и обосновать необходимость введения новых понятий для проведения его доказательства.

9

Равнобедренный треугольник (урок изучения нового).

Выявить опытным путем существование трех видов треугольников в зависимости от соотношения сторон, дать им определения. Найти свойства равнобедренного треугольника.

10

Равнобедренный треугольник (комбинированный урок: усвоение теоремы и решение задач).

Формировать умения и навыки в построении, распознавании элементов равнобедренного треугольника и его свойств в применении изученного для решения задач.

11

Третий признак равенства треугольников (урок изучения нового).

Найти доказательство третьего признака равенства треугольников и спрогнозировать

виды задач на его применение, «проговорить» способы их решения.

12-13

Признаки равенства треугольников. (Уроки-практикумы).

Формировать умения и навыки в решении основных видов задач комплексного характера, в том числе и проблемно-развивающих.

14-15

Задачи на построение. (Урок решения ключевых задач и их отработки).

Осознание учеником нового типа задач (на построение), выявление основных задач на построение, способов их решения, формирование соответствующих умений.

16

Равенство треугольников (урок обобщения и систематизации знаний).

Выделить основной теоретический (ядерный) материал темы, установить связи между его компонентами, обобщить основные (ключевые) задачи темы, способы их решения.

17

Контрольная работа.

Контроль обобщающего характера по теме.

Второй пример. Приведем обоснованное планирование системы уроков по теме «Квадратные неравенства», которое выполнила при нашем участии Н.А. Серова [79].

Структурный анализ содержания темы в соответствии с целостной структурой выделенного выше содержания математического образования привел к следующим выводам.

1. Неравенство, как и уравнение, - одно из важнейших понятий математики. Неравенства, в том числе квадратные, являются математическими моделями явлений и процессов реальной действительности. Поэтому при изучении темы имеется возможность акцентировать внимание учеников на то, что предметом математики являются математические модели. И в соответствии с этим -обучать школьников методу математического моделирования, в котором умение решать квадратные неравенства составляет один из важнейших его этапов (этап внутримодельного решения задачи).

2. Общелогической основой изучения уравнений и неравенств любого класса, вида являются такие понятия, как уравнение (неравенство, содержащее неизвестное), корень уравнения (решение неравенства), решение уравнения (неравенства), обоснование процесса решения (в данном случае - определяется свойствами верных числовых равенств и неравенств, свойствами чисел), общие и специфические способы и приёмы решений, применение которых зависит от видов и типов уравнений и неравенств. Осознание учащимися этих связей свидетельствует об определенном уровне культуры их математического мышления.

3. Впервые в курсе алгебры уравнение, функция, неравенство одного класса изучаются последовательно в течение одного учебного года. Квадратное неравенство - последний математический объект из перечисленных выше, который изучают восьмиклассники. Заметим, что содержательная общность данных понятий определяет способы решения неравенств. Решение квадратного уравнения и построение эскиза параболы из специальных действий переходят в средства решения квадратных неравенств.

4. Основными дидактическими единицами являются: определения (термины): квадратное неравенство, решение квадратного неравенства, что значит «решить квадратное неравенство», метод интервалов; способы решения квадратных неравенств с помощью совокупности систем линейных неравенств, с помощью графика квадратичной функции, методом интервалов; способ решения неравенств методом интервалов для решения некоторых целых и дробно-рациональных неравенств.

5. Квадратные неравенства служат средством решения некоторых классов задач. Например, определение аналитически некоторых свойств квадратичной функции: нахождение промежутков знакопостоянства функции, исследование на монотонность и т.д.

Проведённый анализ показывает, что в программах и учебниках чаще всего отражён лишь четвёртый аспект содержания, остальные же его стороны даже не обозначены. В качестве примера приведем учебные цели изучения темы «Квадратные неравенства». Используя процедуру постановки учебных целей системы уроков, представленную выше, в соответствии с выводами структурного анализа содержания этой темы и представим учебные цели темы в виде системы следующих основных учебных задач.

1. Формирование у школьников представлений о предмете математики, математическом моделировании, связи математики с действительностью.

2. Формирование логической культуры учащихся, связанной с содержательной общностью понятий «уравнение» и «неравенство», с процессом решения уравнений, неравенств вообще, линейных и квадратных в частности.

3. Нахождение способов решения квадратных неравенств и умение применять их к решению конкретных неравенств и задач.

В результате решения этих учебных задач в ходе учебной деятельности ученик:

- дополняет свои знания о том, что предметом изучения математики являются математические модели;

- овладевает одним из ведущих понятий математики - неравенством;

- учится строить математические модели простейших реальных процессов и явлений;

- расширяет представления о прикладных аспектах математики;

- овладевает основами культуры математического мышления;

- знает определения квадратного неравенства, решения квадратного неравенства, что значит «решить квадратное неравенство»;

- выделяет неравенства, которые решаются методом интервалов;

- приводит примеры и контрпримеры к понятиям «квадратное неравенство», «решение неравенства»;

- понимает, что неравенство, в частности квадратное, может не иметь решений, иметь единственное решение, решением может быть любое действительное число;

- решает квадратные неравенства каждым из способов (с помощью совокупности систем неравенств, с помощью эскиза параболы, методом интервалов), обосновывает ход рассуждений в процессе решения неравенств;

- применяет метод интервалов для решения рациональных неравенств: указывает точки возможной смены знака выражения и владеет способами определения его знака на интервалах числовой прямой;

- узнает задачи, содержание которых неявно связано с решением квадратного неравенства.

Из выделенных учебных целей только последние семь традиционно диагностируются. Тем не менее достижение первых пяти целей необходимо планировать и включать их в результаты решения учебных задач темы.

Далее покажем, как можно ставить учебные цели системы уроков по изучению темы.

Урок 1. Понятие квадратного неравенства

Данный урок является вводным уроком темы. Поэтому, во-первых, необходимо обосновать вместе с учащимися необходимость изучения этой темы, определить её основные учебные задачи, во-вторых, раскрывая содержание понятия квадратного уравнения, перейти к решению учебных задач.

Предыдущим объектом изучения на уроках алгебры была квадратичная функция. Для нахождения аналитически промежутков знакопостоянства функции не достаёт теоретических знаний - умения решать неравенство вида ax2+bx+c>0. Данная математическая задача позволяет выделить объект изучения, приводит к постановке учебной задачи 3. На этапе рефлексии (учащиеся знают, что называют квадратным неравенством, что значит его решить) предлагаем им определить остальные учебные задачи темы. Так появляются учебные задачи 1,2. Очевидно, эти формулировки будут отличаться от предложенных выше. Например, восьмиклассники школы № 165 предложили решить следующую учебную задачу: выявить примеры явлений реальной действительности, математической моделью которых является квадратное неравенство.

Цели урока. Выделить в качестве нового объекта изучения «квадратное неравенство» и сформулировать основные учебные задачи темы. В результате ученик:

• знает определение квадратного неравенства; что называют решением квадратного неравенства; что значит «решить квадратное неравенство»;

• осознаёт, какие учебные задачи стоят перед ним при изучении темы; генезис происхождения понятия «квадратное неравенство».

• умеет отбирать и приводить примеры и контрпримеры к новым понятиям.

Урок 2. Способы решения квадратных неравенств

Этот урок ориентирован на решение третьей учебной задачи темы. Достижение результата - «открытие» способа решения квадратного неравенства -возможно при соответствующей организации этапа актуализации знаний. Необходима система задач, решение которых требует выполнения действий, составляющих способы решения квадратных неравенств. В качестве конкретного примера на этом уроке следует рассматривать неравенство, содержащее квадратный трёхчлен, дискриминант которого положителен. На этапе рефлексии

предлагаем восьмиклассникам выделить особые ситуации, которые могут возникнуть при решении квадратного неравенства.

Цели урока. Найти способы решения квадратных неравенств. В результате ученик:

• знает о существовании трёх способов решения квадратных неравенств;

• выделяет теоретические положения, определяющие каждый из указанных выше способов; действия при решении неравенств (решение квадратного уравнения, разложение квадратного трёхчлена на множители, построение эскиза параболы и т. д.);

• обосновывает ход рассуждений в процессе совместного с учителем решения квадратного неравенства;

• сопоставляет способы решения квадратного уравнения и квадратного неравенства; линейного и квадратного неравенств.

Уроки 3, 4. Решение квадратных неравенств

Цели уроков. Учебная задача состоит в формировании умения применять известные способы к решению конкретных неравенств. В результате её решения ученик:

• знает последовательность действий, составляющих процесс решения неравенства каждым их трёх способов; об особых случаях (дискриминант трёхчлена не положителен) при решении квадратных неравенств;

• осознаёт равносильность перехода при решении квадратного неравенства к совокупности систем линейных неравенств, используя свойства чисел; схематичность построения параболы при решении неравенства с помощью эскиза графика квадратичной функции; сущность метода интервалов при решении квадратного неравенства;

• умеет решать квадратное неравенство любым из указанных способов; оценить рациональность применения того или иного способа при решении конкретного неравенства.

Урок 5. Решение задач, приводящих к решению квадратного неравенства Данный урок следует начинать с анализа результатов предыдущих уроков, вспомнить, какая математическая задача привела к необходимости изучения квадратного неравенства. Это определит цели урока.

Цели урока. Выявить задачи, для которых квадратные неравенства являются средством решения. Например, 1) найти все значения х, при которых функция принимает положительные (отрицательные) значения; 2) найти промежутки знакопостоянства квадратичной функции; 3) доказать, что квадратное неравенство верно при всех действительных значениях переменной; 4) найти все значения х, при которых график квадратичной функции расположен выше (ниже) оси Ох\ 5) найти все значения х, при которых верно неравенство f(x)<g(x). Решив учебную задачу урока, ученик:

• знает, что квадратное неравенство может служить средством решения математических задач;

• узнаёт задачи, содержание которых явно не связано с задачей «решить неравенство»;

• умеет, переформулировав задачу, составить неравенство, которое следует решить.

Урок б. Решение рациональных неравенств методом интервалов В программе общеобразовательных школ по математике решение неравенств методом интервалов не является обязательным учебным материалом. Однако значение этого метода при решении неравенств очевидно.

Цели урока. Найти способ решения рациональных неравенств и выявить круг неравенств, решаемых данным методом, особенности его использования. В результате ученик:

• знает о существовании общего способа решения рациональных неравенств методом интервалов; последовательность действий, определяющих данный способ;

• осознаёт сущность метода интервалов (указывает точки возможной смены знака выражения и способы определения его знака на интервалах числовой прямой);

• понимает, неравенства какого вида могут быть решены методом интервалов.

Решение поставленной учебной задачи может быть получено с помощью оценки возможности использования известных способов решения квадратного неравенства при решении неравенства более сложной структуры.

Урок 7-8. Решение рациональных неравенств

Цели урока. Учебная задача: формирование умения применять метод интервалов при решении конкретных неравенств. Задачу считаем решённой, если ученик:

• знает последовательность действий процесса решения неравенств методом интервалов; особенности применения этого способа при решении дробно- рациональных неравенств.

• осознает выбор точек возможного изменения знака выражения и способа определения знака этого выражения на заданном промежутке;

• умеет выделять неравенства, решаемые методом интервалов; применять метод интервалов для решения неравенств.

Урок 9. Квадратные неравенства - математическая модель реальной действительности

Содержание урока и организация учебной деятельности учащихся должны способствовать решению первой учебной задачи темы. Отметим, что место этого урока в системе всех уроков определяется неоднозначно. Решением задачи практического содержания, а значит, и постановкой первой учебной задачи всей темы можно начать её изучение. Предполагаем, что учащиеся имеют определённый опыт математического моделирования. На первом уроке изучения темы «Квадратные неравенства», где были сформулированы основные учебные задачи, предлагаем восьмиклассникам долгосрочное домашнее задание: подобрать примеры явлений и ситуаций реальной действительности, математической моделью которых является квадратное неравенство.

Цели урока. Выявить примеры явления реальной действительности, математической моделью которых является квадратное неравенство. В результате ученик:

• знает, что квадратное неравенство является описанием некоторых ситуаций, процессов, средством их анализа и изучения;

• учится моделированию - одному из общенаучных методов познания: переводит простейшие задачи практического содержания на математический язык и интерпретирует решение неравенства, соотнося его с условиями исходной задачи;

• узнаёт задачи, описывающие процессы и явления реальной действительности, приводящие в ходе моделирования к квадратному неравенству.

Формулировка учебных целей системы уроков по изучению темы в виде системы учебных задач и результатов их решения служит ориентиром для отбора содержания учебного материала, определяет технологию обучения как компонент двух «деятельностей»: учителя и учащихся.

2.6. Диагностика процесса обучения математике

Для установления эффективности процесса обучения необходимо получать информацию о достижении поставленных целей, т.е. осуществлять диагностику. Под диагностикой понимают точное определение результатов процесса обучения.

В понятие «диагностика» вкладывается более широкий и глубокий смысл, чем в понятие «проверка знаний, умений и навыков» обучаемых. «Диагностика включает контроль, проверку, оценивание; накопление статистических данных, их анализ; программирование, выявление динамики, тенденций дидактического процесса» [61, с.311].

Диагностика призвана отслеживать успешность индивидуальной траектории развития ученика, становление собственного стиля его учебной деятельности. Однако для такой диагностики следует профессионально разработать для каждого возраста и каждого конкретного ребенка определенные нормы, критерии, показатели. Пока же мы проверяем лишь обученность детей.

Наиболее глубокое исследование роли диагностики в обеспечении полноценного управления процессами обучения математике, развития учащихся посредством усвоения ими опыта учебной математической деятельности провела Е.Н. Перевощикова [63]. Однако и в этой работе пока не выделены четкие критерии, по которым следует судить о продвижениях ученика в его саморазвитии и становлении как личности в процессе обучения математике.

Поскольку на уроке (и в обучении в целом) ставится и реализуется триединая цель, включающая образовательный, развивающий и воспитывающий аспекты, то и диагностироваться должен каждый из этих аспектов. Объектами диагностики должны стать процессы и результаты обучения, развития и воспитания личности школьника.

Поэтому далее кратко опишем те средства диагностики, которые может разработать сам учитель. Как уже было сказано, задачей обучения является

формирование знаний, умений и навыков. Содержание, формы, методы и средства контроля при обучении математике в его традиционном понимании изложены во всех учебниках по методике преподавания математики, а также в работе С.Г. Манвелова [51], поэтому мы на этой стороне останавливаться не будем. Вместе с тем отметим, что для диагностики знаний, умений и навыков в последнее время используется уравневый подход. Суть его состоит в том, что содержание может усваивается учеником на различных уровнях. В отечественной дидактике известны в этой области работы В.П. Беспалько и И.Я. Лернера [4, 49]. Первый выделяет четыре уровня усвоения, И.Я. Лернер - три. Приведем уровни усвоения содержания, которые выделил И.Я. Лернер:

1-й уровень - первичное усвоение, опознание-воспроизведение;

2-й уровень - применение в знакомой ситуации (по образцу);

3-й уровень - применение в незнакомой ситуации (творческое).

В мировой практике получила распространение система целей в когнитивной (познавательной) области, разработанная Б.Блумом. Она строится по признаку иерархической зависимости и содержит шесть категорий: знание, понимание, применение, анализ, синтез, оценка [34]. В этой концепции каждая категория (уровень) расписана через наблюдаемые действия учащихся, т.е. четко выделены критерии достижения каждого уровня. В соответствии с этой концепцией нами с Л.И. Кузнецовой, Т.П. Григорьевой разработаны диагностируемые цели изучения основных дидактических единиц: определений понятий, теорем, правил. Только усвоение дидактических единиц математического содержания на указанных выше уровнях обеспечивает дальнейшее образование, динамику его развития и воспитания [85]. Их описание отражено ниже в табл. 5-7.

Таблица 5

Диагностируемые учебные цели при изучении понятий

Категория учебных целей

Критерии достижения целей

Цель считается достигнутой, если ученик:

1.Знание

- вставляет пропущенные слова в формулировке;

- формулирует определение понятия;

- среди предложенных выбирает формулировку определения.

2. Понимание

- создает символическую и графическую модель понятия;

- приводит или отбирает примеры и контрпримеры;

- подводит объект под понятие по словесной, символической или графической форме задания;

- подбирает достаточные условия для того, чтобы объект подходил под понятие;

- выводит следствия из условия принадлежности объекта к данному понятию;

- устанавливает связи данного понятия с другими ранее изученными понятиями;

- перечисляет способы, приемы, методы познания на этапе открытия понятия.

3. Применение (в стандартных ситуациях)

- указывает, для решения каких задач можно использовать данное определение;

- составляет дидактические задачи на применение определения:

- применяет определение в стандартных ситуациях:

- различает определение, свойства и признаки при обосновании хода решения задач.

Таблица 6

Диагностируемые учебные цели при изучении теорем

Категория учебных целей

Критерии достижения целей

Цель считается достигнутой, если ученик:

1. Знание

- формулирует теорему;

- вставляет пропущенные слова в формулировке;

- воспроизводит доказательство:

- заполняет пропуски в доказательстве.

2. Понимание

- создает модель (графическую, символическую)к теореме, выделяет в ней условие и заключение;

- проводит доказательство при новой конфигурации и в новых обозначениях;

- описывает основную идею (прием, способ, метод) доказательства;

- указывает теоремы, которые доказывались этим же приемом:

- составляет план доказательства:

- выделяет базис доказательства;

- указывает, для решения каких задач можно использовать данную теорему;

- описывает способы рассуждений на этапах открытия закономерности, поиска доказательства.

3. Применение (в стандартных ситуациях)

- применяет теорему в новых стандартных ситуациях;

- составляет дидактические задачи на применение теоремы;

- применяет метод, прием доказательства в решении задач и доказательстве других теорем.

Таблица 7

Диагностируемые учебные цели при изучении правила

Категории учебных целей

Критерии достижения целей

Цель считается достигнутой, если ученик:

1. Знание

- воспроизводит различные модели правила;

- вставляет пропущенные слова в формулировке;

- выбирает верную формулировку среди предложенных

2.Понимание

- раскрывает смысл правила своими словами;

- восстанавливает последовательность нужных действий в соответствии с правилом из предложенного набора действий (который может быть и избыточным);

- переводит формулировку правила с естественного языка на символический или графический и обратно;

- выделяет последовательность действий в соответствии с правилом, если оно не было сформулировано при изучении в алгоритмической форме;

- указывает теоретический базис правила;

- выбирает среди предложенных упражнения, решаемые с помощью данного правила;

- выделяет среди предложенных ситуации, в которых применимо правило, но в явном виде оно не задано;

- составляет задания на применение правила

3.Применение

- выполняет действия по правилу;

- применяет правило к решению конкретного цикла упражнений, соответствующих принципу полноты;

- обнаруживает ошибки в упражнениях с «ловушками».

Выделенные критерии достижения целей играют в процессе обучения двоякую роль. Во-первых, они используются для составления заданий с целью проведения оперативной диагностики. Примеры таких заданий приведены в предыдущем параграфе по теме «Равенство треугольников». В идеале у учителя должен быть комплект таких заданий по каждой учебной теме. Во-вторых, в соответствии с ними легко разработать упражнения обучающего характера для рефлексивно-оценочной части урока по изучению нового.

Диагностика развития и воспитания личности ученика является наиболее сложной проблемой.

Во-первых, развитие и воспитание происходит непрерывно на каждом уроке в процессе усвоения определенного содержания. Во-вторых, развитие и воспитание не обусловлено изучением только одной предметной области, в нашем случае - математики. Формирование новообразований, в том числе и таких, как анализ, моделирование, планирование, не может быть обеспечено изучением только одного предмета, какими бы богатыми потенциальными возможностями он ни обладал. Поэтому диагностика и процесса, и результата развития, и воспитания - это прерогатива психологов и педагогов. Однако это не означает, что учитель математики остается в стороне от этой деятельности. Описанные выше уровни усвоения содержания отражают и развивающую функцию обучения, поскольку характеризуют в нарастающей последовательности и уровень интеллектуальных умений, развитие мышления. В то же время, как было сказано в первой части, развитие и саморазвитие школьника определяет степень его участия в поисковой деятельности, в решении учебных задач. Понимание школьниками усваиваемого содержания свидетельствует о развитии его мышления, о превращении предметных знаний в личностные. Известный философ М. Мамардашвили возникновение личностного смысла

математических понятий связывает с процедурой их понимания, т.е. превращением предметных знаний в личностные уже на уровне понимания. Критерием интеллектуального развития при обучении предмету (в нашем случае - математике), согласно И.Я. Лернеру, служит фонд действительных знаний и способов деятельности, которыми владеет ученик, и степень сложности проблем и задач, которые он может решить самостоятельно [47].

Воспитывающая функция процесса обучения математике определяется деятельностью ученика по усвоению математического содержания в соответствии с его потребностями, интересами, мотивами. Воспитание в процессе обучения предполагает формирование личной значимости социальных ценностей, эмоционального к ним отношения. Воспитание направлено на формирование аффективной (эмоционально-ценностной) области опыта. Напомним, что она включает в себя эмоцинально-личностное отношение к математике, связанные с ней переживания и т.д. Аффективная область имеет глубокий личностный характер, ее трудно представить как краткосрочный результат в виде образов деятельности.

Категории учебных целей в аффективной области в целом также описаны Б. Блумом. На их основе нами выделены некоторые критерии, которые позволяют учителю судить о реализации воспитательных целей при обучении математике. Если ученик:

- проявляет осознание важности математического образования;

- осознает роль математики и ее методов в познании действительности;

- объективно оценивает свою деятельность и результаты своей работы;

- целеустремлен и настойчив в решении математических проблем и задач;

- самостоятельно изучает дополнительную литературу по математике и истории ее развития;

- устойчиво проявляет самостоятельность в выполнении заданий учителя, в том числе и домашней работы;

- активно отвечает на вопросы учителя;

- активно сам задает вопросы учителю;

- аргументирует свои суждения;

- внимательно слушает высказывания одноклассников на уроке;

- участвует в обсуждении и решении поставленных на уроке проблем;

- доброжелательно и объективно оценивает работу своих одноклассников, то можно судить о воспитывающем характере обучения математике.

Методами диагностики в этом случае выступают наблюдение, анкетирование, анализ выполнения творческих заданий и т.д. Приведем примеры из нашей практики.

Домашнее задание по математике у нас состояло из двух частей: обязательной для всех и дополнительной для желающих. Однажды с дополнительной задачей справилась только одна девочка из всего класса. В беседе после

урока она рассказала: «Сначала я решала задачу сама, но у меня ничего не получалось. Вечером мы ее решали вместе с мамой (которая закончила с отличием математическую школу), но опять ничего не вышло. В 12 часов мама пошла спать, а я еще осталась. И вдруг я нашла решение сама!»

Как потом выяснилось, успеху девочки, ее целеустремленности радовалась вся семья, а класс, когда она на уроке рассказывала свое решение, слушал ее с удивлением (как это она до этого додумалась?!) и с восторгом. Заметим, что после окончания школы девочка поступила в медицинский институт, т. е. ее профессия не связана с собственно математической деятельностью. Но занятие математикой в школе доставляло ей удовольствие.

Еще один пример. В качестве входной диагностики перед изучением темы «Квадратные уравнения» учащимся было предложено написать сочинение на тему «Что я знаю об уравнении». Сочинение предполагало также систематизацию и обобщение знаний учащихся об уравнениях. Приведем тексты сочинений двух учениц без нашей правки.

Сочинение Ани П. В жизни мы часто сталкиваемся с уравнениями. Они бывают самые разные: химические, физические и другие. Я расскажу об уравнениях в алгебре, причем об уравнениях первой степени с одним неизвестным или об уравнениях, решение которых сводится к решению уравнений первой степени с одним неизвестным. Такие уравнения мы начали решать еще в начальной школе. Встречаемся мы с ними и в геометрии.

Уравнение - это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.

Корень уравнения - это то значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение - значит найти все его корни или установить, что их нет.

Например, корнем уравнения 6х=5,4 и является число 0,9, а уравнения 7х+11=67 -число 8. Приведенные уравнения имеют только один корень, но уравнения могут иметь бесконечное множество корней, два корня, могут не иметь корней. Например, уравнение х2=81 имеет два корня 9 и -9, уравнение 8х+10=х(6+2)+5ж2 имеет бесконечное множество корней.

Решение уравнений основывается на свойствах уравнений (формулируются два свойства. - Т.А. Иванова).

Уравнения бывают разные. Например, х+2=6 или Зх+1=7. Такие мы решали в начальной школе.

Основываясь на свойствах уравнений, сейчас мы решаем уравнения:

В сочинении приводится решение этих уравнений.

Сочинение по алгебре на тему «Уравнение» Инги Г.

Я пишу сочинение на эту тему, т.к. уравнение очень важно не только в алгебре, но и в других науках - химии, физике. Часто алгебраические уравнения применяются для решения задач по геометрии. Я вам расскажу об алгебраических уравнениях.

Уравнение с одним неизвестным - равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.

Корень уравнения - это то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет. Но не всегда уравнения имели такой вид, как сейчас. В разные времена и разные ученые неизвестное обозначали по-разному. Герон около 200 г. до н. э. называл неизвестное г (тау), нечто. Диофант обозначал неизвестное буквой ç, а понятие «равняется» буквой /. Итальянцы обо-

значали неизвестное словом «cosa» - «вещь». И только в средние века х, у, z окончательно закрепляются в работах Виета и Декарта.

Способы решения уравнений развивались у разных народов в течение ряда веков. Среднеазиатский математик Мухаммед ал-Хорезми в IX веке ясно установил, что решение уравнения первой степени сводится к двум операциям: к переносу отдельных членов из одной части равенства в другую и к приведению подобных членов. Способы решения систем уравнений первой степени появились в Индии, в Китае, у арабов. Сначала появился способ сложения и вычитания, а затем появляются и другие. У Ньютона в его лекциях, изданных в 1707 году, применяются уже все эти способы.

Современные уравнения первой степени с одним неизвестным имеют свои свойства.

1. Любой член уравнения можно переносить из одной части в другую с противоположным знаком.

2. Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, не равное 0.

Мы умеем решать уравнения: х+2=6, 3х+1=7. Такие мы решали в начальной школе.

Когда стали умнее, решали уравнения типа:

Сейчас мы научились решать более сложные уравнения, например:

а еще сейчас мы умеем решать уравнения с модулем

Кроме уравнений первой степени существуют квадратные уравнения, уравнения теплового баланса, химические, дифференциальные и др. Из всех этих уравнений мы умеем решать уравнения первой степени и химические уравнения. Химическое уравнение - это условная запись химической реакции с помощью химических формул и коэффициентов. В химических уравнениях, в отличие от алгебраических, при перестановке левой и правой частей уравнения совершенно изменяется его смысл. Если вместо уравнения 2И2 + 02 -> 2Н20 написать уравнение 2#,0-> 2Н2 + О,, то оно будет выражать другую реакцию.

Анализ содержания этих сочинений показывает, во-первых, что обе ученицы усвоили необходимые знания об уравнениях и умения в их решении, и во-вторых, они осознают круг методологических знаний в их решении, характеризующих уравнения и процесс их решения, что свидетельствует о системности их знаний и уровне их интеллектуального развития. На последнее указывает и логика содержания сочинений. Наконец, каждое из сочинений свидетельствует и о положительном отношении автора к математике. Однако более продвинутый уровень в этом аспекте показала вторая ученица, т.к. она поработала и с дополнительной литературой.

В воспитательных целях второе сочинение было зачитано в классе: с одной стороны - для поощрения автора, с другой - как пример для подражания остальным.

В третьей части данной книги предложены подробные конспекты уроков, разработанные в соответствии с описанными в первых двух разделах теоретическими положениями.

Часть III. Приложение

Н.Н. Егорова

Урок «Правильные и неправильные дроби» (5 класс)

Методические комментарии. На изучение темы «Правильные и неправильные дроби» в 5 классе отводится 1 час. Понятия правильной и неправильной дроби включают в себя определения и свойства (возможно также изучение признаков) и представляют собой компактную модель математического понятия. Небольшой объем и невысокая сложность материала позволяют уложить в отведенные рамки не только традиционное содержание темы, но и довольно обширный методологический компонент содержания. Это создает предпосылки для знакомства на доступном для пятиклассников уровне с процессом возникновения и развития понятия в математике.

Усвоение методологических знаний на предлагаемом уроке идет по нескольким направлениям:

- знакомство с различными видами математических предложений (определение, гипотеза, теорема) и их ролью в решении задач и изучении теории;

- осознание содержания понятия как совокупности взаимосвязанных фактов, отраженных в определении, свойствах и признаках;

- знакомство с методами познания (классификация, индукция, дедукция) и различение вероятностных и точных методов.

Конспект урока

Тема урока. Правильные и неправильные дроби. (Математика: Учеб для 5 кл. сред. шк./Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, A.C. Чесноков, СИ. Шварцбурд. -М.: Просвещение)

Тип урока. Урок изучения нового.

Цели урока. 1) выявить содержание понятий правильной и неправильной дроби, используя методы классификации, аналогии, индукции и дедукции;

2) смоделировать путь познания в математической науке на примере изучения понятий правильной и неправильной дроби.

В результате ученик

- формулирует определения и свойства правильных и неправильных дробей;

- использует определение для выбора правильных (неправильных) дробей из числа предложенных;

- приводит примеры и контрпримеры правильных и неправильных дробей;

- сравнивает правильные (неправильные) дроби с 1, правильную дробь с неправильной;

- имеет представление о строении родовидовых определений;

- знает о роли определений в математике, выделяет основные типы задач, решаемых на основе определений (приведение примеров и узнавание);

- имеет представление о видах математических утверждений (определение, теорема);

- различает понятия «гипотеза», «теорема»;

- проводит простейшие доказательства (обоснования) на основе определений в совместной деятельности с учителем;

- имеет представление о классификации и индукции как о приемах познания математических закономерностей.

Структура урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть.

1. Актуализация имеющихся знаний и умений учащихся.

2. Создание проблемной ситуации, мотивация.

3. Постановка учебной задачи (цели) урока.

II. Операционно-познавательная часть.

1. Выделение существенных свойств понятия.

2. Моделирование определения.

3. Осознание определения и способов его получения.

4. Выведение следствий из определения.

5. Применение.

III. Рефлексивно-оценочная часть.

1. Подведение итогов урока.

2. Самооценка деятельности на уроке.

3. Постановка домашнего задания.

Ход урока

Деятельность учителя Деятельность ученика

I. Мотивационно-ориентировочная часть

1. Актуализация имеющихся знаний и умений учащихся

- Какую тему мы изучаем на последних нескольких уроках математики?

- Дроби.

- Чему вы научились за время изучения этой темы, покажут задачи, которые я предлагаю вам решить:

(выполняют задания устно и у доски)

1. Прочитайте дроби: Назовите числитель, знаменатель каждой дроби. Что показывает дробь?

2. Запишите дробью: арбуз разрезали на 16 равных частей, за обедом съели 7 таких долек. Какую часть арбуза съели за обедом? Какая часть арбуза осталась?

3. Как иначе можно записать дроби -:-;—? Как записать 1 в виде дроби с числителем 3? со знаменателем 4? с произвольным знаменателем?

4. Сравните дроби: - и-; -и-; -и-; —и —.

2. Создание проблемной ситуации, мотивация

(сравнение последней пары вызывает у учащихся затруднения)

- Почему вы не можете сравнить две последние дроби?

- Мы учились сравнивать только дроби с одинаковыми знаменателями, а у этих дробей знаменатели разные.

3. Постановка учебной задачи (цели) урока

- Как вы считаете, чему следует посвятить урок?

- Сравнению дроби с разными знаменателями.

- Предлагаю выбраться из затруднительного положения так, как предпочитают это делать ученые-математики

- решить более общую задачу: изучить числа, похожие на предложенные дроби, выяснить их свойства, а затем использовать их для решения задачи. Принимаете предложение? Как же сформулировать нам цель работы на уроке? (фиксирует предложенные варианты на доске)

- Изучить дроби, похожие на дроби из последней пары.

- Изучить дроби с разными знаменателями.

- Вижу, что сейчас нам сложно сформулировать цель урока, давайте тему урока и его цель запишем позже, когда сможем более четко охарактеризовать эти дроби.

II. Операционно-познавательная часть

1. Выделение существенных свойств понятия

На доске записаны дроби:

Добавьте к ним дроби и разбейте все дроби на группы так, чтобы дроби —и— оказались в разных группах. Можете работать самостоятельно или в группах.

(работают индивидуально или в группах 2-3 минуты)

- Как вы разделили дроби на группы?

I группа: —; —; — ; —: —;-; —.

II группа: —; -: —

III группа: — ; — ;—:—; —.

- В подобных ситуациях ученые гово-

рят, что произведено разбиение на классы. Его проводят для того, чтобы изучить не каждый объект в отдельности, а целый класс похожих между собой объектов. Такой способ исследования называют методом классификации. Он часто используется в науке (например, классификация растений и животных в биологии). Очень важным является выбор свойства, по которому производится разбиение на классы -основания классификации. Это свойство должно быть существенным, отражающим характерные особенности исследуемых объектов.

- Поясните, по какому принципу мы произвели разбиение на классы. Каково было основание классификации?

- В первую группу собраны дроби, которые имеют числитель меньше знаменателя, у дробей второй группы числитель равен знаменателю, в третьей группе - дроби, числитель которых больше знаменателя.

- Те свойства, что мы указали, являются важными, существенными для проведенного разбиения. Их также называют характеристическими свойствами для каждой группы, а каждая группа имеет собственное название: дроби первой группы называют правильными, второй и третьей групп - неправильными.

(делают соответствующие записи на доске и в тетрадях).

- Думаю, что теперь мы можем записать тему урока и уточнить его цель. Принимаю ваши предложения.

- Тема «Правильные и неправильные дроби». Цель урока - изучить правильные и неправильные дроби.

- Как именно мы хотели бы их изучить? - установить свойства правильных и неправильных дробей. Запишите тему и цель урока в тетрадях.

2. Моделирование определения

- Вернемся к трем группам дробей. Вспомните, по какому признаку мы произвели разбиение, и опишите, что называют правильной дробью? неправильной дробью?

- Правильной дробью называют такую дробь, числитель которой меньше знаменателя;

- Дробь называется неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю

На доске выписываются в два столбца род и видовые отличия каждого понятия:

Правильной дробью называют

1) дробь

2) числитель которой меньше ее знаменателя

Неправильной дробью называют

1) дробь

2) числитель которой больше ее знаменателя

или

3) равен знаменателю.

- Сравните выписанные предложения. Что в них общего и чем они отличаются?

- Предложения похожи по своему строению, в обоих присутствует слово «называют».

- Оба предложения повествуют о видах дробей, указывают их общие и отличительные (характеристические) свойства.

- Количество свойств может быть различным и сами свойства различаются.

- Свойства могут быть связаны между собой с помощью союзов («или» во втором случае) и т.д.

- Такого вида предложения в математике называют определениями. На доске выписаны определения правильной и неправильной дроби. Встречались ли мы раньше с определениями в математике? Сформулируйте их.

(формулируют определения уравнения, корня уравнения, отрезка, координатного луча и т.п.)

- Как вы думаете, зачем нужны определения, каково их назначение в математике?

- Они дают названия, имена понятиям, заменяют длинное описание более коротким.

- Определения описывают, раскрывают, что понимается под каким-то словом (термином).

- С их помощью люди «договариваются» о точных названиях для понятий.

- Вы совершенно правы, у определений в математике двойная роль: с одной стороны, они дают краткое название понятиям - термин, а с другой

- раскрывают этот термин, поясняют его через указание на ближайшее известное понятие (род) и отличительные свойства (видовые отличия).

- Давайте выделим эти части в знакомых вам определениях.

- Например, уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, обозначенное буквой. Термин - уравнение; род - равенство; видовые отличия - содержащее неизвестное и неизвестное обозначено буквой.

- Если видовых отличий несколько, как они соединяются?

- С помощью союзов (и, или, ...)

Для создания наглядного представления о структуре определений можно совместно с учащимися составить схему строения родовидовых определений

Связующие союзы Служебные слова

1 (и, или) у (называется, это, есть и т.п.

Характеристические свойства понятия

3. Осознание определения и способов его получения

- Мы сказали, что у определений в математике двойная роль - «называть» новые понятия и «раскрывать» термин. Но тем самым определения помогают нам в решении задач. Убедитесь в этом при выполнении заданий, записанных на доске:

1. Назовите среди дробей ^'j^'^'^'J правильные (неправильные), обоснуйте (докажите) свой ответ.

2. Приведите пример правильной (неправильной) дроби, обоснуйте свой ответ.

3. Запишите все возможные правильные (неправильные) дроби со знаменателем 7; с числителем 5. Корректно ли это задание? Почему?

4. Известно, что х>у. Является ли дробь — правильной? Обоснуйте свое утверждение.

5. Составьте аналогичное задание для понятия «неправильная дробь».

(выполняют задания фронтально с подробным обоснованием)

- Какие задания вам показались похожими? Что в них общего?

- Похожи задания 2 и 3, т.к. в них дроби требуется составить.

- Есть ли еще похожие задания?

- В заданиях 1 и 4 дроби уже даны, требуется определить, являются ли они правильными или неправильными.

- Значит, в этих двух заданиях мы среди предложенных дробей «узнавали», «признавали» правильные, а во 2 и 3 заданиях подбирали дроби, удовлетворяющие определению. Именно такие два рода задач и соответствуют тем двум назначениям определений, о которых мы с вами говорили ранее.

4. Выведение следствии из определения

- Но это еще не все, чем полезны определения. Сейчас мы в этом убедимся. Сравните каждую дробь из задания №1с1.

1 способ: обозначает целое, а — показывает, что целое разделили на 7 равных частей и взяли 3 из них, значит — часть целого. Итак,

2 способ: Мы умеем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями, поэтому представим 1 = ~' 3<7, значит, — < — или — < 1 (аналогично остальные дроби).

- Выделите те дроби, которые получились меньше 1. Как их называют? Как можно назвать дроби, большие или равные 1? Сформулируйте общий вывод.

- Правильные дроби меньше 1.

- Неправильные дроби больше или равны (не меньше) 1.

- Те предложения, которые вы только что сформулировали, в математике называют гипотезами. Как вы получили эти гипотезы?

- Мы сравнили несколько правильных дробей с 1, увидели, что все они меньше 1, и сформулировали свойство для всех правильных дробей (аналогично для неправильных).

(рисует на доске схему рассуждения)

- Такой метод рассуждения, при котором общий вывод делается на основании исследования нескольких частных случаев, называется индукцией. Использовать индукцию надо очень осторожно, поскольку иногда рассужде-

рассмотрение

частных -► обобщение

случаев

ния по индукции дают неверный вывод. Как определить, верна ли гипотеза, полученная в ходе рассуждений по индукции? В математике принято проводить обоснование, доказательство или опровержение полученной гипотезы. Сегодня мы с вами впервые попробуем это сделать.

- Проверим гипотезу «Любая правильная дробь меньше 1». Если мы хотим рассуждать сразу о всех правильных дробях, как лучше обозначить дробь?

- Использовать буквенные обозначения.

- Спасибо, обозначим правильную дробь —. Сравните ее числитель и знаменатель. На каком основании провели это сравнение?

- а < b по определению правильной дроби

- Нам предстоит сравнить эту дробь с единицей. Какие дроби мы умеем сравнивать и по какому правилу?

- Умеем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями: из двух дробей большей будет та дробь, числитель которой больше.

- Как же представить 1 в виде, удобном для сравнения?

- Теперь осталось сравнить дроби — и что скажете об их числителях?

- Знаем, что а < Ь, поэтому — < — по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

- Делаем окончательный вывод: — </, т.е. любая правильная дробь меньше 1.

Доказательство фиксируется на доске в форме схемы: Обозначим — - правильная дробь -► а< b по опр.

Аналогично доказывается свойство неправильных дробей, но теперь доказательство фронтально проводит ученик.

- Итак, мы рассмотрели некоторые дроби, сравнили их с 1, сформулировали гипотезы о свойствах правильных

и неправильных дробей и обосновали каждое из полученных утверждений. Теперь эти утверждения имеют особое значение, - мы можем ими воспользоваться в любой момент, когда это будет необходимо. В математике доказанные утверждения носят название теоремы. Еще раз внимательно рассмотрим весь ход наших рассуждений и проследим, на каких его этапах был получен точный вывод, а где вывод был вероятностный, неточный. Попробуйте объяснить, почему это происходит.

- Гипотезы были неточными, потому что мы получили их с помощью метода индукции, а он может давать ошибочный результат.

- Мы проверили гипотезы доказательством, получили теоремы. Этот вывод точный, потому что мы использовали в доказательстве только «надежные» факты (определения, правила) и применяли логические правила.

- А какую роль в получении теорем играли определения правильной и неправильной дроби?

- Мы использовали их в доказательстве, сравнивая числитель и знаменатель.

- Значит, определения можно использовать не только при решении задач, но и при получении новых знаний -это еще одна функция определений.

5. Применение

- Если мы уверены в формулировках теорем, то давайте попробуем их применить в решении задач (открывается текст):

1. Сравните числа, обоснуйте свой ответ: - и 1; - и 1; 1 и -; - и -;

— и —. Составьте свои аналогичный пример на сравнение чисел.

2. Какие значения может принимать а, если — > 1, Ь = 5? если — < 1,

3. Найдите ошибки в изображении дробей на координатном луче:

4. Определите по координатному лучу, какие из точек изображают правильные, а какие неправильные дроби:

Сравните дроби: — и — ; — и -; — и —. Поясните свои ответ.

Сформулируйте правило сравнения правильных и неправильных дробей.

III. Рефлексивно-оценочная часть

1. Поведение итогов урока

- Урок подходит к концу. Давайте вспомним, какую цель мы пытались достичь на сегодняшнем уроке.

- Изучить правильные и неправильные дроби (рассмотреть их свойства).

- Откуда возникла потребность в изучении этих видов дробей?

- Мы не смогли сравнить две дроби с разными знаменателями.

- Теперь вы сможете сравнить их? А другие подобные пары?

- Мы уже сравнили их в последнем задании и сформулировали правило, как сравнить правильную дробь с неправильной.

- Если нам было достаточно научиться сравнивать дроби, зачем мы ставили себе на урок такую грандиозную цель?

- Мы решили повторить путь, который обычно проделывают ученые -изучить общее, чтобы понять частное.

- Повторили мы путь ученых? Из каких этапов он состоял?

(перечисляют этапы исследования)

Учитель открывает этапы в заготовленной схеме:

Произвели классификацию дробей, сравнивая их числители и знаменатели

Сформулировали определения правильной дроби, неправильной дроби

«Открыли» с помощью индукции свойства правильных и неправильных дробей

Обосновали, доказали полученные теоремы

Применили полученные знания при решении задач

2. Самооценка деятельности на уроке

- Похожий путь открытия нового знания проделывают ученые. Мы с вами сегодня на уроке попробовали себя в качестве ученых. Понравилось ли вам ощущать себя в такой непривычной роли? Какими качествами, по-вашему, должен обладать настоящий ученый? Какие из них вы почувствовали в себе? Какими вы хотели бы овладеть?

3. Задание на дом

1). Решить задачи №№ 951, 952.

2). Составить задачу на «узнавание» по определениям, изученным на уроке. 3) Найти сформулированную, но непроверенную на уроке гипотезу и провести ее обоснование (доказательство).

Н.А. Серова

Урок изучения нового по теме «Признаки равенства треугольников. Доказательство второго признака равенства треугольников»

(7 класс)

Методические комментарии. Основная цель изучения темы «Треугольники» в 7 классе - изучить признаки равенства треугольников и сформировать умения у школьников доказывать равенство треугольников, находить длины сторон и меры углов треугольников. Однако именно здесь формируется методологическая база для дальнейшего изучения курса геометрии, поскольку семиклассники впервые встречаются с такими понятиями, как теорема, доказательство, поиск доказательства. Как известно, формулировки признаков равенства треугольников имеют общую логическую структуру, первый и второй из них объединяет идея доказательства, основанная на приеме «наложения». Это, в свою очередь, позволяет целенаправленно обучать учащихся способам математической деятельности: выдвижению гипотез на основе аналогии и полной индукции, опровержению утверждений с помощью контрпримера, поиску доказательства нового факта на основе имеющегося опыта школьников и т.д. Учитывая указанные особенности темы, мы проектировали урок изучения нового по теме «Признаки равенства треугольников. Доказательство второго признака равенства треугольников». Данный урок определяет деятельность школьников, направленную на дальнейшее развитие математического знания в рамках изучаемой темы. Совместно с учениками мы формулируем всевозможные утверждения-гипотезы о равенстве треугольников, некоторые из которых в дальнейшем станут «новыми» для школьников признаками равенства треугольников (см. схему). На предыдущих уроках доказан первый признак равенства треугольника, выделены ключевые задачи на доказательство равенства треугольника и нахождение величин отрезков и углов, связанных с треугольниками на основании первого признака равенства треугольников.

Конспект урока

Тема урока. Признаки равенства треугольников. Доказательство второго признака равенства треугольников. (Геометрия: Учебник для 7-9 классов сред, шк./ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э.Г.Позняк. - М.: Просвещение, 2001-2002.)

Тип урока. Урок изучения нового учебного материала.

Цели урока. 1) сформулировать и доказать второй признак равенства треугольников, используя аналогию с формулировкой и доказательством первого признака равенства треугольников;

2) сформулировать ряд утверждений-гипотез о равенстве треугольников, показать способ их опровержения в случае ложных неравенств (привести контрпример).

В результате ученик

- знает формулировку второго признака равенства треугольников, осознает генезис ее происхождения;

- выделяет метод доказательства, теоретические положения, лежащие в его основе;

- понимает, что доказательства первого и второго признаков равенства треугольников аналогичны;

- осознает, почему способ доказательства известных признаков равенства треугольников одинаков;

- формулирует ряд утверждений-гипотез о равенстве треугольников;

- умеет привести контрпримеры, опровергающие некоторые утверждения-гипотезы о равенстве треугольников, например, если все углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника.

Ход урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть

Предлагаем учащимся решить ряд задач.

Задача I. Перечислите по рисунку равные элементы треугольников АВМ и ШС(рис. 1).

Рис. 1

- Сколько пар равных элементов треугольников удалось найти? Равны ли треугольники?

(ААВМ ф АМВС, так как на глаз видно, что при наложении треугольники не равны.)

- Решим задачу 2. По рисунку 2 найдите градусную меру угла Р, если угол К равен 4f, OP = OK, ОС= ОТ.

(Углы К и Р как соответственные углы равных треугольников КТО и PCO.)

- Почему равны треугольники КТО и PCO?

Рис. 2

(&КТО = АРСО по признаку равенства треугольников, т.к. ТО = ОС, КО = OP, ZTOK = ZPOC(kzlk вертикальные)).

- При доказательстве равенства треугольников был использован признак равенства треугольников. Объясните, пожалуйста, почему данную теорему называют «признаком»?

(С помощью этой теоремы мы устанавливаем по ряду признаков, то есть «признаем», равные треугольники.)

- Какие элементы треугольников участвуют в условии известного вам первого признака равенства треугольников?

(Две пары сторон и пара углов, причем углы лежат между выбранными сторонами).

- Возможен ли иной выбор «тройки» элементов в треугольнике? Если да, то определите возможные их наборы.

(Можно определить следующие «тройки» элементов треугольника: две стороны и угол; два угла и сторона; три стороны; три угла).

- Сколько различных комбинаций по взаимному расположению задают указанные элементы треугольника «по три»?

(Шесть комбинаций: две стороны и угол между ними; две стороны и угол, прилежащий лишь к одной из них; сторона и два прилежащих к ней угла; сторона и два угла, лишь один из которых прилежит к этой стороне; три стороны; три угла.)

- Обратите внимание, что одна из «троек» элементов определяет признак равенства треугольников. Какое предположение возможно в связи с этим наблюдением?

(Существуют и другие признаки равенства треугольников, которые определяются перечисленными наборами элементов треугольника.)

- Какую задачу определяет данное предположение? Сформулируйте и запишите ее в тетради.

В ходе обсуждения различных вариантов ответов учащихся определяем учебную цель урока: выяснить, какие «тройки» элементов треугольника порождают новые признаки равенства треугольников, сформулировать и доказать их. (На самом деле поставленная цель конкретной учебной ситуации имеет длительный характер, ее достижение будет идти на протяжении нескольких уроков геометрии).

Итогом первого этапа урока становится схема, частичное наполнение содержанием которой шло в соответствии с анализом проблемной ситуации и постановкой учебной цели. В дальнейшем при поиске возможных признаков равенства треугольников схема пополняется. Представим окончательный вариант (см. схему).

Схема

II. Операционно-познавательная часть

- Сформулируем утверждения, которые определили указанные «тройки элементов».

(Учащиеся формулируют утверждения, пользуясь схемой. Например, утверждение: «Если две стороны и угол, прилежащий лишь к одной из них, одного треугольник соответственно равны двум сторонам и углу, прилежащему лишь к одной из них, другого треугольника, то такие треугольники равны».)

- Какова цель нашей дальнейшей деятельности?

(Выяснить, какие из сформулированных утверждений являются признаками, а какие - ложны.)

- Как вы считаете, с какого действия в похожей ситуации - при работе с утверждением-гипотезой - начинает исследование ученый-математик? Пытается доказать полученное утверждение или ищет способ его опровергнуть?

(Ученый поступает по-разному, в зависимости от ситуации. Скорее всего, он сначала начнет поиск контрпримера (опровергающего примера) к сформулированному положению.)

- Сначала и мы предпримем попытку опровергнуть данные утверждения. Предлагаю вам в группах выяснить, какие из утверждений являются ложными: используйте задачный материал начала урока (рисунки к задачам сохранены на доске), а также угольники, которые являются моделями треугольников.

Как показывает наш опыт преподавания курса геометрии 7 класса, учащиеся довольно быстро обосновывают «отсутствие» признака равенства треугольников «по трем углам»: приводят пример треугольников с соответственно равными углами и неравными сторонами - равносторонние угольники различных размеров, лежащие у них на партах. Контрпример к утверждению о равенстве треугольников при соответственно равных в них двух паах сторон и пары углов, причем в каждом треугольнике угол прилежит только к одной их указанных сторон, помогает найти задача I и выводы, сделанные при ее решении в начале урока. Опровергнуть остачьные утверждения не удается, далее пытаемся их доказать.

- Итак, попытаемся доказать равенство треугольников в оставшихся случаях. Какие утверждения, связанные с равными треугольниками, нам известны?

(Определение и первый признак равенства треугольника.)

- К какому из них необходимо обратиться, если перед нами стоит задача доказательства утверждения - «предполагаемого» признака равенства треугольников?

(Обратимся к известному признаку, к методу его доказательства).

На предыдущем уроке одному из учащихся мы предложили дома вспомнить доказательство первого признака равенства треугольников. По готовому рисунку, краткой записи доказательства, он воспроизводит рассуждения.

- Какое положение лежит в основе доказательства этой теоремы? (Определение равных треугольников).

- Какой метод доказательства признака равенства треугольников мы использовали?

(Метод наложения фигур.)

- Почему использовали этот метод?

(Так как по определению фигуры равны, если совпадают при наложении.)

- Для чего нам потребовалось обратиться к доказательству первого признака равенства треугольников?

(Для доказательства аналогичных фактов).

- Сегодня остановимся на рассмотрении одного из них. Попытаемся доказать, что если в треугольниках сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Проведем рассуждение устно. Итак, имеем два треугольника ABC и AlBiC/, AB=AIBJ, ZBAC = ZBXAXCX,ZABC = ZAXB,C,. Что нужно доказать?

(Докажем, что ААВС = AAjB/Cj.)

- С чего начнем доказательство?

(Наложим треугольник ABC на треугольник A/BjCi так, чтобы совместились вершины соответственно равных углов (по аналогии с доказательством первого признака.)

- Какие вершины будем совмещать?

(Можно совместить вершины углов А и Ai или углов В и В/.)

- Хорошо, выбор углов не однозначен, в отличие от доказательства известного признака. Почему при доказательстве первого признака мы начали совмещение треугольников с совмещения равных углов, а не равных сторон?

(Потому что равные углы по условию теоремы определялись однозначно, а равных сторон в треугольниках две пары.)

- Какие равные элементы треугольников в утверждении, которое мы доказываем сегодня, определяются однозначно?

(Равенство сторон AB=AjBj.)

- Наложим треугольник ABC на треугольник AjBjCj так, чтобы совместились равные стороны AB и A\Bh при этом вершина А совпала бы с вершиной Ai, вершина В с Bh а вершины С и С/ оказались бы по одну сторону от прямой А]В/. Почему возможно такое наложение?

(Отрезки равны, следовательно, совпадают при наложении. Если совпадают при наложении отрезки, то совпадают и прямые, которые эти отрезки определяют. При этом любая прямая, в том числе и AiBt, разбивает плоскость на две полуплоскости, а точки С и С/ могут оказаться либо в разных либо в одной полуплоскости. Мы наложим так, чтобы вершины С и С/ оказались по одну сторону от прямой А/В].)

- Какие условия утверждения мы пока не учли? (Равенство углов.)

- Что следует из равенства углов? (Они совпадут при наложении.)

- Верно. Опишите дальнейший процесс наложения треугольника ABC на треугольник A/BjCj.

(Так как ABAC - ZB^AXC^/.ABC = £АХВХСХ, то сторона АС наложится на луч AjCj, а сторона ВС - на луч BjC/. Поэтому вершина С окажется одновременно лежащей на лучах Л/С/ и B/Cj. Следовательно, она совместится с общей точкой этих лучей, то есть совпадет с точкой С/ - вершиной треугольника A/£/С/.)

- Итак, при выбранном пути совмещения треугольников имеем: вершины А и Ai, В и £/, С и Су совпали, стороны AB и AjBj, АС и AjCj, ВС и BjCj совместились. Какой вывод теперь можно сделать о треугольниках?

(ААВС = AA/BjCj, так как они совпали при наложении.)

- Какое теоретическое положение лежит в основе вашего вывода? (Определение равных фигур, в частности равных треугольников.)

- Сформулируйте словесно доказанную теорему.

(Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.)

- Покажите, что по своему построению эта теорема является признаком.

(С помощью данного факта мы устанавливаем («признаем») равенство треугольников).

- Какие условия, связанные с элементами треугольников, необходимо проверить для того, чтобы с помощью нового признака доказать равенство треугольников?

(Надо доказать, что два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, а также равны стороны, к которым в каждом их них прилежат рассмотренные углы).

- Вернемся к задаче 2. В ходе ее решения мы доказывали, что АКТО = = АРСО, опираясь на первый признак равенства треугольника. Измените условие задачи так, чтобы при доказательстве равенства треугольников пришлось использовать новый второй признак равенства треугольников.

(Заменим условие равенства отрезков КО и ОР равенством углов ZKTOuZPCO. Новая задача предъявляется в форме рис.3.)

Рис. 3

Далее учащиеся проводят устно решение измененной задачи.

- Спрогнозируйте, какие задачи можно решать с помощью второго признака равенства треугольников?

(На доказательство равенства треугольников; на доказательство равенства отрезков и углов; на нахождение отрезков и углов.)

III. Рефлексивно-оценочная часть

- Какова была общая цель работы на уроке?

(Выяснить, какие «тройки» элементов треугольника порождают признаки равенства треугольников, сформулировать и доказать их).

- Можно ли считать, что мы реализовали эту цель на уроке?

(Нет, поскольку мы успели доказать только один новый признак равенства треугольников, нашли опровержение к двум сформулированным предложениям, а всего их - получилось, не считая известный ранее признак, пять).

- Для чего мы достаточно много времени отвели на воспроизведение и анализ доказательства первого признака равенства треугольников, несмотря на то что эта теорема нам знакома?

(Потому что идея доказательства признаков одинакова, рассуждения строятся по одной схеме).

- Определите цель следующих уроков геометрии.

(Будем «искать» новые признаки равенства треугольников и решать задачи на применение новых теорем).

- В чем, по-вашему, состоит результат урока?

(Доказали новый признак равенства треугольников; спрогнозировали задачи, для решения которых он может использоваться; сформулировали различные гипотезы возможно будущих признаков; определили, что будем изучать дальше; увидели, что различные признаки равенства треугольников доказываются одинаково и т.д.)

- Определим домашнее задание. Спланируйте вашу работу дома. (Надо выучить формулировку и доказательство новой теоремы.)

- Хорошо, это выполнить необходимо. Предлагаю вам еще задания:

1) изучить пункт 19 вашего учебника [Геометрия: Учебник для 7-9 классов сред, шк./ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э.Г.Позняк. - М.: Просвещение, 2001-2002], сопоставить полученные вами знания на уроке с материалом, изложенным в учебнике по той же теме;

2) составить одно-, двухшаговые задачи по рисункам, решение которых связано со вторым признаком равенства треугольников.

Н.М. Марычева

Урок изучения нового учебного материала - нового способа решения уравнений (7 класс)

Методические комментарии. Назначение данного урока состоит в формировании у каждого семиклассника личной потребности изучения темы «Разложение многочлена на множители». С этой целью на предыдущем уроке алгебры были проведены систематизация и обобщение знаний учащихся, связанных с их опытом решения уравнений, предпринята попытка разбить известные уравнения на виды (схема 1) и обосновать способы их решения. На уроке рассматривается уравнение вида Р(х) = 0, где Р(х) = х2 +2*-3. Домашнее задание к уроку включало задачу: выполнить умножение многочленов (х - \)(х + 3). Учащиеся без труда устанавливают равенство Р(х) = (х- \)(х + 3), которое, в свою очередь, определяет возможный способ решения уравнений некоторого вида, связанный с разложением многочленов на множители. Таким образом, на этом уроке алгебры происходит, с одной стороны, расширение знаний учащихся по «линии уравнений», с другой - создается мотивация изучения новой темы в соответствии с потребностью развития математического знания.

Конспект урока

Тема урока. Решение уравнений новым способом - разложение многочленов на множители.

Цель урока. Найти способ решения уравнений нового вида и подвести учащихся к осознанию необходимости изучения новой темы «Разложение многочлена на множители»

В результате ученик

- понимает, что процесс решения любого уравнения состоит в сведении к уравнению известного вида;

- знает способ решения уравнений нового вида - разложение на множители;

- выделяет приемы разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки; использование формул сокращенного умножения; подбор;

- осознает, что в основе разложения многочленов на множители лежит взаимообратимость действий умножения многочленов и представление их в виде произведения многочленов;

- понимает необходимость изучения темы «Разложение многочленов на множители»;

- предполагает наличие дополнительных приемов разложения многочленов на множители, способов решения уравнений.

Ход урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1. Мотивационно-ориентировочная часть

Есть ли вопросы по домашнему заданию?

Нет

Какие задания выполняли в домашней работе?

О чем может «говорить» равенство (х - \)(х + 3) = X2 + 2х - 3 (из домашнего задания)?

- выполнить умножение многочленов, одночлена на многочлен;

- решить уравнения

- о возможности умножения многочленов;

- в результате умножения многочленов получаем многочлен;

- многочлен можно представить в виде произведения многочленов (правда, не знаем всегда ли), т.е. действия умножения многочленов и представление многочлена в виде произведения многочленов взаимообратны.

Уравнения каких видов решали в домашней работе? К чему обратимся при ответе на вопрос?

Какую информацию мы можем получить из схемы?

- К схеме «Виды уравнений» (схема 1). Схема составлена на предыдущем уроке, который носил обобщающий характер.

В ней отражены:

- известные нам виды уравнений;

- способы решения этих уравнений;

- взаимосвязь видов уравнений: решения уравнений //, ///, IV сводятся к уравнению /;

- процесс решения уравнений состоит в сведении их к известным видам.

Решите уравнения:

Учащиеся выполняют задание устно (фронтально).

Почему не составляет труда решить уравнения 1, 2, 3?

Уравнение / относится к виду ///, способ его решения нам известен. Уравнение 2 относится к виду IV, способ его решения нам известен. Уравнение 3 относится к виду //, способ его решения нам известен.

Почему возникло затруднение в решении уравнения 4?

Мы не можем отнести его ни к одному из зафиксированных видов (т.к. в левой части данного уравнения имеем многочлен степени выше первой), т.е. не можем воспользоваться ни одним из указанных способов решения уравнений.

Итак, какую цель мы бы поставили перед собой?

Найти способ решения уравнения нового вида.

Фиксируем цель на доске и в тетрадях учащихся

II. Операционно-познавательная часть

В чем состоит процесс решения уравнения любого вида?

В сведении его к известному виду.

К какому уравнению будем сводить уравнение 4 и почему? (Анализируем, почему невозможно свести к уравнениям вида //, Ш)

Наверное, к уравнению вида IV, т.к. определенные многочлены могут быть представлены в виде произведения множителей (многочленов).

Какие из уравнений 4-7 можно свести к известному виду 1У1 Обсудите этот вопрос в парах и попытайтесь свести эти уравнения к виду IV,

Учащиеся работают в парах, делают записи в тетрадях. Проверка осуществляется фронтально.

Какой прием использовали при решения уравнения 7?

Вынесение общего множителя за скобки.

Какой прием использовали при решения уравнения 61

Формулу сокращенного умножения.

Какой прием использовали при решения уравнения 51

Результат домашней работы.

Какой прием использовали при решения уравнения 41

Догадались, подобрали (по аналогии с 5).

Сможем ли теперь решить уравнения 4-71

Да, т.к. мы свели их к известному виду.

Зафиксируем в тетрадях наши «открытия».

Совместно с учителем учащиеся составляют новую схему (схема 2).

Какую цель мы ставили перед собой в начале урока?

Найти способ решения уравнения нового вида.

Какой способ решения уравнений мы открыли?

Разложение на множители.

Какие приемы разложения на множители применяли?

Вынесение общего множителя за скобки; использование формул сокращенного умножения; подбор.

Что лежит в основе приемов разложения многочленов на множители?

Взаимообратимость действия умножения многочленов и представления их в виде произведения множителей.

Внесем в схему новый вид уравнений Р(х) = 0, где Р(х) - многочлен степени, выше первой. Обсудите в парах, четверках, куда «встроить» в схему новый вид уравнения, зафиксируйте свой вариант карандашом в тетрадях.

Учащиеся работают в парах, консультируются у соседей. В результате обсуждения принимается окончательный вариант доработки схемы.

III. Рефлексивно-оценочная часть

Подведем итоги урока

нашли новый вид уравнения: Р(х) = 0, где Р(х) - многочлен степени выше первой.

- нашли способ решения уравнений нового вида - разложение на множители.

- выделили некоторые приемы разложения многочленов на множители;

- понимаем, что в основе приемов разложения многочленов на множители лежит взаимообратимость действия умножения многочленов и представления последних в виде произведения множителей.

Напомните, уравнения какого вида нам удастся решить способом разложения на множители?

Уравнения, в правой части которых -0, в левой - многочлен второй степени от одной переменной.

Решите уравнение х2 + Зх +10 = 0.

Учащиеся пытаются решить уравнение способом разложения на множители

Почему не удалось разложить на множители многочлен, стоящий в левой части уравнения?

- «нехорошее» уравнение;

- не знаем приема разложения на множители (будем его искать);

- невозможно разложить многочлен на множители известными способами (будем искать новый способ решения уравнений).

Полученные выводы фиксируем в тетрадях и в схеме "Виды уравнений"

Дополняем схему (схема 3).

Предположите и запишите в тетрадях, чем будем заниматься на ближайших уроках. В течение 2-3 минут учащиеся кратко записывают свое мнение в тетрадях, затем зачитывают свои предложения.

- искать новый прием разложения многочлена на множители;

- искать новый способ решения уравнений;

- решать уравнения способом разложения на множители;

- отрабатывать приемы разложения на множители.

Совместно выясняем, что для успешного решения уравнений на первом этапе необходимо отработать известные приемы разложения многочленов на множители

Каким должно быть домашнее задание?

- на отработку приемов разложения многочленов на множители.

Учитель подводит итог урока, касающийся личного участия ребят в открытии нового для них знания, отмечает, кто как себя проявил.

Домашнее задание: разбейте данные многочлены на группы по приемам разложения их на множители (раздаточный материал заранее заготовлен).

Схема 1

Схема 2

Схема 3

С.В. Кириллова

Урок изучения нового по теме «Квадратное уравнение» (8 класс)

Методические комментарии. Уравнение - одно из важнейших понятий математики. Квадратные уравнения в ряду многих других уравнений являются математическими моделями явлений и процессов реальной действительности. Поэтому с первого же урока изучения главы «Квадратные уравнения» вновь (об этом говорили при изучении линейных уравнений и неравенств) обращаем внимание учеников на то, что предметом математики являются математические модели.

Урок, конспект которого представлен ниже, является первым уроком изучения темы «Квадратные уравнения». На данном уроке необходимо определить понятие квадратного уравнения, его коэффициентов, вспомнить некоторые общелогические основы изучения уравнений - корень уравнения, что значит «решить уравнение». Методической особенностью предложенного урока является конструирование учащимися нового вида уравнения (квадратного) на основе хорошо известного линейного уравнения. А составление квадратного уравнения по условию предложенной практической задачи лишь подтверждает существование нового класса уравнений, а значит, и необходимость его изучения.

На мотивационно-ориентировочном этапе учащиеся вспоминают основные теоретические положения, связанные с линейным уравнением: его общий вид, преобразования, которые можно выполнять над уравнениями. По предложенной задаче составляют линейное уравнение.

Решение учебной задачи (операционно-познавательный этап) на представленном уроке заключается в конструировании нового класса уравнений, планировании дальнейшей деятельности по работе с новым выделенным объектом для изучения.

Записи, которые делает учитель в течение урока, представлены непосредственно в конспекте. Решения системы упражнений, представленной на третьем этапе урока, не приведены, т.к. не являются трудными. Отметим лишь, что последние задания из урока и из домашнего задания предлагались для решения не всем учащимся, а тем, кто ими заинтересуется.

Конспект урока

Тема. Квадратное уравнение. (Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.: Просвещение, 2000).

Тип урока. Урок изучения нового (1 час).

Цели урока. В совместной деятельности с учащимися выделить новый объект изучения - квадратное уравнение и спланировать дальнейшую работу по исследованию этого объекта.

В результате ученик

знает

- какие учебные задачи стоят перед ним при изучении темы,

- определение квадратного уравнения,

- названия коэффициентов квадратного уравнения;

умеет

- из предложенных уравнений выбирать квадратные,

- приводить примеры, иллюстрирующие новое понятие,

- составлять квадратное уравнение, если заданы коэффициенты;

понимает

- что квадратное уравнение является математической моделью, описывающей некоторые реальные ситуации (практическая задача).

Структура урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть:

- актуализация знаний,

- мотивация, постановка учебной задачи.

II. Операционно-познавательная часть:

- решение учебно-исследовательской задачи (цели урока).

III. Рефлексивно-оценочная часть:

- подведение итогов урока,

- выдача домашнего задания.

Ход урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть

- Мы уже ранее говорили, что математической моделью различных процессов являются уравнения. Рассмотрим такую ситуацию.

Одна автомашина за рейс перевозит на I- m груза меньше, чем другая.

Обе машины за рейс перевезли 7 m груза. Сколько тонн груза перевозит каждая автомашина за рейс?

Составьте математическую модель задачи. (Работа идет устно).

(Пусть вторая автомашина перевезла за рейс х m груза, тогда первая автомашина перевезла за рейс

Вместе перевезли груза или 7 т. Получили уравнение

- Какие преобразования можно выполнять с уравнением?

(Проводить тождественные преобразования в какой-либо части уравнения; умножать (делить) обе части уравнения на число, не равное нулю; переносить члены уравнения из одной части в другую с противоположным знаком).

- Выполните, какие возможно, преобразования с составленным уравнением.

- Как называется уравнение такого вида?

(Это линейное уравнение с одним неизвестным).

- Да, или уравнение первой степени (по степени неизвестного) с одним неизвестным. Каков общий вид такого уравнения?

(ох + с = 0).

- Как называются числа я и с, какие значения они могут принимать? (Это коэффициенты уравнения, они могут быть любыми, кроме случая, когда а = О ).

- Решите полученное уравнение.

- Чем является найденное число для уравнения? (Корнем уравнения).

- Дайте определение корня уравнения.

(Корень уравнения - это такое число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство).

- А что значит решить уравнение?

(Решить уравнение - найти все его корни или установить, что их нет).

- При изучении каких школьных предметов вам приходилось составлять и решать линейные уравнения?

(При изучении физики, геометрии, химии).

- Приведите примеры. (Учащиеся приводят примеры).

- Хорошо. Но окружающий нас мир разнообразен, и конечно, есть процессы, математическими моделями которых являются не линейные уравнения, а какие-нибудь другие. А как получить эти другие виды уравнений? Давайте попытаемся это сделать, преобразуя хорошо известное нам линейное уравнение.

Сформулируйте цель нашей дальнейшей деятельности. (Ученики вместе с учителем ставят цель урока).

(Сконструировать на основе линейного уравнения новый класс уравнений и спланировать дальнейшую работу с уравнениями нового класса).

II. Операционно-познавательная часть

- Итак, попробуем заменить какие-нибудь элементы уравнения ах + с = 0. Предлагайте.

(а или с заменить на m или а и с заменить на m и п).

- Получим уравнения пгх + с = 0, или ах + m = О, или тх + п = 0. Это уравнения другого класса?

(Нет, это линейные уравнения с другими обозначениями коэффициентов).

- Что же еще можно попытаться заменить? Вспомните, как по-другому называются линейные уравнения.

(Может быть, X1 на *2?)

- Действительно, тогда получим качественно другое уравнение ах2 + с = 0. Здесь неизвестное х находится во второй степени, или в «квадрате». Еще попробуем сконструировать уравнения, чтобы в них самая большая степень неизвестного была «2». (После обсуждения получаем еще такие уравнения

- Да, больше вариантов нет. Но когда будем говорить о новом классе уравнений, не будем же перечислять все четыре полученные конструкции. Выделите одно из уравнений, которое характеризовало бы весь новый класс.

- Почему это уравнение?

(Остальные три уравнения легко получить из ах2 +àr + c = 0, присваивая коэффициентам, кроме а, нулевое значение. Например, в уравнении ах2+с = 0 Ь = 0).

- Прежде чем изучать такие уравнения, зададимся вопросом, стоит ли это делать? Есть ли, скажем, практические задачи, решение которых приводит к уравнениям такого вида? Оказывается, есть и очень много. Рассмотрим только одну.

Задача. Прямоугольный лист картона имеет длину \60см и ширину 140 см. Требуется вырезать квадраты по углам листа так, чтобы можно было сложить коробку, площадь основания которой 16 ^00кв.см.

Составим математическую модель задачи, т.е. уравнение по ее условию. Для наглядности сделаем рисунок. (На доске и в тетрадях учащиеся создают рисунок по условию задачи, оставив строчку выше для темы урока).

(Пусть X см - сторона квадрата, который вырезали. Тогда стороны прямоугольника - дна коробки, будут равны (\60-2x) см и (\40-2x) см. По условию задачи площадь дна коробки равна 16 800слг или (160-2*)-(140-2*) слг. Имеем уравнение (160 - 2л-)- (140 - 2х)= 16800 ).

- Выполните преобразования над уравнением. Какое уравнение у вас получилось?

- Итак, мы получили уравнение вида ах2 +Ьх + с= 0. Очевидно, существуют и процессы, которые описывают уравнения такого вида, о них поговорим позднее. А сейчас спланируем нашу дальнейшую работу с такими уравнениями. В чем же, по-вашему, она состоит?

(Научиться решать такие уравнения).

- Да, но прежде надо назвать новый класс уравнений, научиться решать, изучить свойства. Так как самая большая (старшая) степень неизвестного вторая, или ее еще называют, как вы знаете, квадратом, то и уравнения этого класса называют...

(...квадратными).

Запишем тему урока. Попытайтесь сформулировать определение квадратного уравнения. (Ученики формулируют, учитель корректирует).

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение ах2 + Ьх + с = 0, где а, Ь, с - заданные числа, а*0, х - неизвестное.

Коэффициенты я, />, с квадратного уравнения обычно называются так: а - первый или старший коэффициент, Ь - второй коэффициент, с - свободный член.

- Назовите коэффициенты квадратного уравнения, которое мы составили по условию задачи.

(а = 4,Ь = -600, с = 6600).

- Приведите примеры квадратных уравнений.

- А такое уравнение

будет квадратным?

(Да, необходимо выполнить преобразования и получим уравнение

- это уравнение вида

- Мы сегодня вспоминали, какое число называется корнем уравнения. Проверьте для последнего уравнения х2+4х = 0, являются ли числа 0,2,-4 его корнями.

(Числа 0 и - 4 являются корнями уравнения, а 2 - нет).

- Этот пример показывает, что квадратное уравнение может иметь два корня. А может быть и больше? Возникает вопрос о числе корней уравнения. К нему мы вернемся позже.

III. Рефлексивно-оценочная часть

Задание 1. (Устно). Какие из перечисленных уравнений являются квадратными? Назвать коэффициенты и свободный член квадратного уравнения:

Задание 2. Запишите квадратное уравнение, у которого:

а) я = 2,/> = 0,с = -5;

б) коэффициенты - натуральные числа;

в) свободный член равен 9, первый коэффициент равен - 4, а второй - 0,8 ;

г) коэффициент при х2 равен 1 ;

д) я>0, с = 3.

Задание 3. Приведите, если это возможно, уравнения к виду ах2 +Ьх + с = 0, я*0. В каждом случае назовите выполненные вами преобразования.

Задание 4. Какие из чисел - 2, 0. 2, 3 являются корнями уравнения:

Задание 5. Докажите, что 1 является корнем следующих квадратных уравнений:

Попробуйте, обобщив примеры, сформулировать некоторое утверждение.

- Что нового вы сегодня узнали на уроке? (Понятие квадратного уравнения).

- Зачем нам нужно изучать такой класс уравнений?

(Например, есть практические задачи, математическая модель которых представляет собой квадратное уравнение).

- Какую цель мы поставили в начале урока?

(Сконструировать на основе линейного уравнения новый класс уравнений и спланировать дальнейшую работу с уравнениями нового класса).

- Решили ли мы ее? -Да.

- Так какое же уравнение называется квадратным? (Учащиеся отвечают).

- Какую работу мы спланировали дальше с уравнениями нового класса?

(Научиться решать, исследовать вопрос о количестве корней уравнения, изучить свойства).

- Об этом мы поговорим на следующих уроках. Запишем домашнее задание.

1) Знать определение квадратного уравнения.

2) Записать квадратное уравнение, у которого:

а) я = 3, Ь = -1Ч с = 0;

б) коэффициенты действительные числа;

в) свободный член равен

старший коэффициент равен 5,1, а второй равен - 9 ;

г) ж О, 6 = 3.

3) Приведите уравнения к виду

№. 404 (из учебника).

4) Решите уравнения:

5) Составьте задачу, чтобы математической моделью ее решения было квадратное уравнение, запишите его.

6) Известно, что а - b + с = 0. Какой корень имеет уравнение

Н.А. Серова

Урок изучения нового учебного материала по теме «Способы решения квадратного неравенства» (8 класс)

Методические комментарии. Урок изучения нового учебного материала ориентирован на достижение следующего результата: «открытие» способов решения квадратного неравенства (с помощью совокупности систем линейных неравенств, с помощью эскиза графика квадратичной функции).

На мотивационно-ориентировочном этапе урока в ходе решения задач актуализируем знания учащихся: способ разложения квадратного трехчлена на множители, свойства чисел, решение неравенства по графику функции, нахождение свойств функции по ее графическому заданию. Все они являются составляющими действиями процесса решения квадратных неравенств. Актуализация знаний необходима для дальнейшего включения школьников в поиск способов решения квадратного неравенства. Создание проблемной ситуации (соответствует логике развития математического содержания на данном этапе обучения) происходит следующим образом: рассматриваем близкие по содержанию задачи - нахождение по графику и по уравнению свойств функции. Аналитическое исследование функции на знакопостоянство, в отличие от определения других свойств, - пока неразрешимая задача для восьмиклассников. Появляется цель урока - поиск способа решения неравенства ах2+вх+с>(<)0.

Выделение теоретической базы (известные восьмиклассникам задачи на квадратный трехчлен) поиска нового для учащихся способа решения квадратных неравенств позволит на содержательном этапе урока организовать их самостоятельную деятельность по «открытию» способов.

В качестве конкретного примера на этом уроке рассматривается неравенство х2 + 8х + 15 < 0, содержащее квадратный трёхчлен, дискриминант которого положителен. На этапе рефлексии обратим внимание восьмиклассников на эту особенность неравенства. Возникает вопрос: «Можно ли считать универсальными найденные способы решения квадратных неравенств с помощью совокупности систем линейных неравенств, с помощью эскиза графика квадратичной функции?» В поиске ответа на этот вопрос будет состоять цель одного из следующих уроков алгебры.

Конспект урока

Тема урока. Способы решения квадратного неравенства Тип урока. Урок изучения нового учебного материала. Цель урока. Найти способы решения квадратных неравенств, используя известные задачи, связанные с квадратным трехчленом (разложение на множители, нахождение нулей квадратного трехчлена, выделение полного квадрата, построение графика квадратичной функции).

В результате ученик

- осознает необходимость аналитических способов решения квадратного неравенства;

- знает о существовании двух способов решения квадратных неравенств (с помощью совокупности систем линейных неравенств, с помощью эскиза графика квадратичной функции);

- выделяет теоретические положения, определяющие каждый из указанных выше способов;

- выделяет действия, составляющие решение квадратного неравенства различными способами (решение квадратного уравнения, разложение квадратного трёхчлена на множители, построение эскиза параболы и т. д.);

- обосновывает ход рассуждений в процессе совместного с учителем решения квадратного неравенства.

Ход урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть

- Начнем урок с решения задач.

Задача 1: разложить на множители многочлены: 5дг-3дг; 2л-:-8;

- Предлагаю решить задачу 2. При каких условиях «на множители» произведения двух множителей положительны (отрицательны)? (Произведение положительно, если множители одного знака, иначе выражение

- отрицательно.)

- При каких условиях «на множители» полученные в задаче 1 произведение л*(5л* - 3) положительно, а произведение 2(л* - 2)(х + 2) отрицательно?

(В первом случае - если х > О и (5х - 3) > О либо х < О и (5* - 3) < 0. Во втором - если (х - 2) > 0 и (л: + 2) < 0 либо (х - 2) < 0 и (х + 2) > 0.)

Задача 3. Определить по графику квадратичной функции у(х) ее свойства: 1) область определения, 2) множество значений, 3) нули функции, 4) промежутки знакопостоянства функции (рис.1).

Рис. 1

(1) Множество действительных чисел;

- Какие из данных свойств квадратичной функции мы умеем находить аналитически? К решению какой задачи сводится этот поиск?

(Область определения функции: многочлен ах2 + Ьх + с определен при всех действительных значения jc; множество значений функции можно найти, если выделить полный квадрат, преобразовывая квадратный трехчлен; поиск нулей функции сводится к решению уравнения ах2 +bx + c = 0; находить аналитически промежутки знакопостоянства квадратичной функции мы не умеем.)

- В чем причина такого положения? Почему нахождение промежутков знакопостоянства квадратичной функции - задача для нас пока неразрешимая? (Мы не умеем аналитически решать квадратное неравенство ах2 +Ьх+с>/<0)

Вычленение проблемы - причины, не позволяющей найти по уравнению функции промежутки ее знакопостоянства.

- Мы не умеем пока решать квадратное неравенство. Попытайтесь сформулировать общую задачу урока.

(Найти аналитический способ решения квадратного неравенства.)

- Итак, цель урока - поиск способа решения неравенства ах2 + &с+с>/<0 Учитель фиксирует цель урока на доске, ученики - в тетрадях.

- Прежде чем начать путь к ее достижению, ответим на вопрос: для чего необходимо уметь решать квадратное неравенство?

(Для определения промежутков знакопостоянства функции по ее уравнению. Квадратичная функция, как и линейная, является математической моделью некоторых явлений реальной действительности, поэтому надо уметь выявлять ее характерные особенности (свойства) по уравнению.)

- Квадратное неравенство задается трехчленом ах1 +Ьх+с. Какие задачи, связанные с ним, мы умеем решать?

(Раскладывать многочлен на множители, выделять полный квадрат, решать графически и аналитически квадратные уравнения, решать графически квадратное неравенство, строить график квадратичной функции.)

- Эти действия и должны определить способ решения квадратных неравенств. Какое из них ближе по своему содержанию к поставленной задаче? (Графическое решение неравенств.)

- Применим графический способ решения для квадратного неравенства, используя график квадратичной функции на координатной плоскости и особенности его положения.

Планирование пути решение поставленной задачи (конкретизация общего способа решения неравенств для класса квадратных неравенств).

II. Операционно-познавательная часть

- Опишите графический способ решения ах2 +&с+с>/<0.

(1) Построить график функции у = ах2 +Ьх+спо его характерным признакам расположения на координатной плоскости (направление ветвей параболы, положение вершины, точки пересечения с осями); 2) указать участки параболы,

лежащие выше (ниже) оси Ох, найти соответствующие им промежутки оси Ох; 3) записать ответ.)

- Какой из указанных этапов наиболее длительный в исполнении? (Построение графика функции.)

- Мы строим параболу - определяем её положение на координатной плоскости. Какие характерные особенности положения параболы на плоскости, на ваш взгляд, не важны для решения неравенства?

(Знание координат вершины и уравнение оси параболы не обязательно. Достаточно выяснить, чему равны нули функции, а также направление ветвей параболы.)

- Как можно преобразовать рисунок к задаче 3, учитывая полученный вывод о том, что для решения неравенства достаточно информации о направлении ветвей и координат точек ее пересечения с осью абсцисс?

(На решение неравенства не влияет положение оси Oy - ось ординат можно исключить из рисунка. Важно взаимное расположение параболы и оси Ох (рис.2)).

Рис 2

- Как определить направление ветвей и нули функции? (Направление ветвей параболы определяем по знаку старшего коэффициента, нули функции - решая соответствующее квадратное уравнение.)

- Сформулируйте вопросы, ответы на которые позволят найти решение неравенства ах2 + Ьх+с>/<0.

(Каковы нули функции у-ах2 +Ьх+с (корни уравнения ах2 +Ьх+с = 0)? Как располагается парабола на плоскости относительно оси абсцисс (направление ветвей, положение вершины)? Какие участки графика соответствуют неравенству? Как записать «решение неравенства»?)

- Подведем итог. Опишите «ход» решения неравенства найденным способом. Фиксируем на доске (учитель) и в тетрадях (ученики) способ решения квадратного неравенства.

1. Решить уравнение ах2 +bx+c = 0.

2. Изобразить эскиз параболы - графика функции у-ах2+Ьх+с относительно оси абсцисс.

3. Указать участки параболы, лежащие выше (ниже) оси Ох, найти соответствующие им промежутки на оси Ох.

4. Записать ответ.

- Назовем данный способ «Способом решения неравенства с помощью эскиза параболы».

- Почему данный способ нельзя считать графическим способом решения неравенства?

(Найденный способ решения квадратного неравенства определяется графическим способом решения неравенства, но не повторяет его, так как не включает точное построение графика функции.)

- «Решить неравенство» - это одна из основных аналитических задач алгебры. Потому попытаемся найти способ решения квадратного неравенства, не связанный с графическим заданием функции. Вернемся к задам 1, 2, которые выполняли в начале урока. Вспомните, как они формулировались (записи сохранены на доске).

(Разложить многочлен на множители, выяснить, при каких условиях (по знаку) на множители полученные произведения положительны (отрицательны)?)

- Эти задачи и результаты их решения могут подсказать вам еще один способ решения квадратного неравенства. Найдите его: выделите необходимую последовательность действий при решении неравенства. Предлагаю вам работать в группах.

Учащиеся работают в группах в течение 5 минут. Осуществляется самостоятельный переход внутри учебной деятельности школьниками от одного ее звена, постановки учебной задачи, к другому, действиям анализа, изменения, сопоставления, сравнения, синтеза, моделирования в процессе решения задачи. В итоге предметное знание становится личным достоянием ребенка.

- Кто из вас желает рассказать о результатах коллективного поиска способа решения неравенства? Учитель предлагает ответить представителю одной их групп.

(Для того чтобы решить квадратное неравенство, основываясь на результатах выполнения заданий 1-2, надо разложить на множители трехчлен ш^+бх+с, решить неравенство вида а(х-хх)(х-хг)>1 <0, осуществляя переход к совокупности систем неравенств (xj, х2 - корни трехчлена)).

- На основании каких фактов основывается решение неравенства а(х-х[)(х-х2)>/<0? (Свойства чисел о зависимости знака произведения и знаков множителей, способ решения линейных неравенств, их систем и совокупностей.)

- Зафиксируем на доске и в тетрадях второй способ решения квадратного неравенства. Назовем его «Способ решения неравенства с помощью свойств чисел».

1. Решить уравнение ах2 +bx+c = 0.

2. Разложить на множители трехчлен ах2 +Ьх+с = а(х-хх)(х-хг).

3. Составить совокупность систем линейных неравенств и решить ее.

4. Записать ответ.

- Применим найденные способы решения квадратных неравенств, решая конкретное неравенство.

Задача 4. Решить неравенство двумя способами: л*2 + 8л* + 15 < 0. Выполним решение первым способом - «с помощью эскиза параболы». Кто желает вести комментарии к решению неравенства?

( 1 .Решим уравнение л*2 + 8л* + 15 = 0. По теореме, обратной теореме Виета, его корни равны -3 и -5. Эти числа являются нулями функции у = л*2 + 8л* + 15. Изобразим нули на оси абсцисс. 2. Зададим эскиз параболы относительно оси Ох. Ветви параболы направлены вверх (а = 1,1 > 0)

- Поскольку знак неравенства строгий, здесь и в аналогичных ситуациях договоримся «выкалывать» точки пересечения параболы с осью Ох. В случае нестрого неравенства - эти точки будем изображать «темными». Продолжим решение неравенства. Прокомментируйте дальнейшие рассуждения при решении заданного неравенства.

(3. Выделим участок оси Ох, соответствующий части параболы, лежащей ниже ее. 4. Запишем ответ: -5 < л* < -3.)

Первичное осознание знании и их ценности в совместной деятельности учителя и учеников. Записи на доске ведет учитель.

Решим данное неравенство «с помощью свойств чисел». (1.Воспользуемся решением уравнения л*2 +8л*+ 15 = 0. Его корни -3 и - 5. 2. Разложим на множители трехчлен л*2 + 8л* +15 = (х + 3)(л* + 5). 3.Составим совокупность систем линейных неравенств и решим ее:

4. Запишем ответ:

III. Рефлексивно-оценочная часть

- Итак, нам удалось решить неравенство двумя способами. Осмыслим все, что «произошло» на уроке. В чем состояла цель урока?

(Цель урока состояла в поиске способа решения неравенства ах2 +вх+ с>(<) 0.)

- Известны ли вам способы решения квадратного неравенства? (Да, мы выделили два различных способа.)

Рис. 3

- Что послужило основой «новых способов» решения квадратных неравенств?

(Один из них был определен общим способом решения неравенств с помощью графиков, другой - связан с разложением квадратного трехчлена на множители.)

- Из каких действий складывается процесс решения квадратного неравенства первым и вторым способом?

(Первый способ требует умения решать квадратное уравнение, изображать эскиз параболы по направлению ветвей и известным нулям функции, решать графически неравенство. Второй способ - умения решать квадратное уравнение, раскладывать на множители квадратный трехчлен, решать системы и совокупности линейных неравенств.)

- Все перечисленные вами действия являются средством решения квадратного неравенства, от вашего умения их выполнять зависит достоверность результата решения неравенства. Оцените свое умение выполнять каждое из этих действий (на заготовленных бланках):

Оцените свое умение выполнять каждое из указанных действий

Напротив каждого действия поставьте

«+» - нет затруднений;

«+-» - необходима тренировка;

«-» - испытываю затруднения.

Нахождение нулей квадратного трехчлена

Разложение квадратного трехчлена на множители

Построение графика квадратичной функции

Решение неравенства графически

Решение линейного неравенства

Решение системы линейных неравенств

Оцените по десятибалльной шкале ваше участие в учебной деятельности на уроке: балла(ов)

Учащиеся индивидуально оценивают свое умение выполнять перечисленные действия. Результаты этой работы будут учтены, во-первых, при постановке домашнего задания, во-вторых, учителем при составлении системы упражнений для актуализации знаний на следующем уроке. Учащиеся также оценивают собственный вклад в совместно полученные результаты деятельности на уроке, отражая собственное эмоциональное состояние.

- На уроке нам удалось решить неравенство х2 +8* + 15<0 каждым из найденных способов. Можно ли считать их универсальными способами решения квадратных неравенств?

(Ожидаем различные ответы учащихся. Например, «да, так мы обосновывали ход рассуждений в каждом случае». «Да, так как применили для решения конкретного неравенства». «Нет, так как мы не оценивали возможность выполнения каждого действия - составляющего процесса решения неравенства

в зависимости от его конкретного вида. Необходимо проанализировать ход рассуждений при решении неравенства с этих позиций».)

-Ответы на вопрос: «Можно ли считать универсальными найденные способы решения квадратных неравенств?» - различны. В поиске ответа на этот вопрос будет состоять цель одного из следующих уроков алгебры.

- Из каких заданий, на ваш взгляд, должно состоять домашнее задание? (Решение квадратных неравенств двумя способами. Решение задач на отработку тех умений, которые необходимы для решения квадратного неравенства.) - Соглашаясь с вами, предлагаю следующее домашнее задание.

Первая часть домашнего задания: решить каждое квадратное неравенство двумя способами: а) х1 + 2х - 3 > 0 ; б) х2 + 2х + 3 > 0.

Вторая часть домашнего задания индивидуальна: каждый ученик определяет свой набор заданий в соответствии с личной потребностью совершенствовать те умения, которые необходимы для решения квадратного неравенства (учитель предлагает серии упражнений из учебника на каждое выделенное ранее действие).

С.В. Кириллова

Школьная лекция «Равносильные уравнения. Уравнение-следствие» (10 класс)

Методические комментарии. Понятия равносильных уравнений, уравнений-следствий, теоремы о равносильности уравнений - это важные вопросы, связанные с теорией решения уравнений.

К 10-му классу учащиеся накопили некоторый опыт в решении уравнений. В 7-8-х классах решаются линейные и квадратные уравнения, здесь никаких неравносильных преобразований нет. Далее в 8-м и 9-м классах решаются рациональные и простейшие иррациональные уравнения, выясняется, что в связи с освобождением от знаменателя и возведением обеих частей уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни. Таким образом, возникает потребность для введения новых понятий: равносильность уравнений, равносильные и неравносильные преобразования уравнения, посторонние корни и проверка корней. На основе накопленного учащимися опыта решения перечисленных выше классов уравнений, возможно определить новое отношение равносильности уравнений и «открыть» вместе с учениками теоремы о равносильности уравнений.

Урок, конспект которого представлен ниже, предваряет рассмотрение тем, связанных с решением иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений. Теоретический материал этого урока служит опорой при решении всех классов уравнений. На данном уроке необходимо определить понятие равносильных уравнений, уравнений-следствий, рассмотреть теоремы о преобразованиях, приводящих к равносильным уравнениям. Рассматриваемый материал, как отмечалось выше, является своеобразной систематизацией знаний учащихся о преобразованиях уравнений, он отличается определенной сложностью, поэтому наиболее приемлемым типом урока является школьная лекция. Особенность этого урока в том, что поставленная на нем учебная задача (цели) решается на протяжении многих последующих уроков (выявление преобразований над уравнениями, ведущих к приобретению посторонних корней и потере корней).

Каждый этап урока занимает важное место в его структуре.

На этапе актуализации учащиеся вспоминают основные теоретические положения, связанные с уравнением: что такое уравнение, корень уравнения, что значит решить уравнение, область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Находят ОДЗ конкретных уравнений, которые послужат на уроке опорой для «открытия» теорем.

Цель этапа мотивации - создать проблемную ситуацию, которая состоит в отыскании правильного решения предложенного уравнения.

Решение учебной задачи (операционно-познавательный этап) на представленном уроке заключается в «открытии» теорем о равносильности уравнений и их доказательстве. Основное внимание при изложении материала уделено опре-

делению равносильных уравнений, уравнений-следствий, «отысканию» теорем о равносильности уравнений.

Записи, которые делает учитель в течение урока, представлены непосредственно в конспекте. Оформление записей учащимися в тетрадях приведено в конце конспекта урока.

Конспект урока

Тема. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.(Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.: Просвещение, 2003).

Тип урока. Урок изучения нового. Школьная лекция (2 часа).

Цели урока. В совместной деятельности с учащимися выявить на множестве уравнений отношение равносильности, «открыть» теоремы о равносильности уравнений.

В результате ученик

знает:

- определение равносильных уравнений,

- определения уравнения-следствия,

- формулировки основных теорем; умеет:

- из предложенных уравнений выбирать равносильные уравнения и уравнения-следствия,

- применять определения равносильных уравнений и уравнений-следствий в стандартных ситуациях;

понимает:

- какие преобразования приводят к равносильным уравнениям или к уравнениям-следствиям,

- что существуют преобразования, в результате которых уравнение может приобрести посторонние корни,

- что в результате некоторых преобразований может произойти потеря корней.

Структура урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть:

1. Актуализация знаний,

2. Мотивация, постановка учебной задачи.

II. Операционно-познавательная часть:

1. Решение учебно-исследовательской задачи.

III. Рефлексивно-оценочная часть:

1. Подведение итогов урока.

2. Выдача домашнего задания.

Ход урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть

- Сегодня на уроке поговорим об уравнении, но тему пока записывать не будем. Вспомним основные понятия, связанные с уравнением. Прежде всего, что такое уравнение?

(Уравнение - это аналитическая запись задачи нахождения значений аргументов, при которых значения одной функции равны значениям другой функции).

- Какие еще понятия связаны с уравнением?

(Корень уравнения и что значит решить уравнение. Корень уравнения -это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение - найти все его корни или установить, что их нет).

- Что называется ОДЗ уравнения?

(Множество всех чисел, при которых имеют одновременно смысл функции, стоящие в левой и правой частях уравнения).

- Найдите ОДЗ следующих уравнений.

- На доске записано решение уравнения (1)

Что представляет собой процесс решения уравнения?

(Выполнение преобразований, приводящих данное уравнение к уравнению более простого вида, т.е. такого уравнения, нахождение корней которого не представляется трудным).

- Верно, т.е. происходит последовательность упрощений от уравнения (1) к уравнению (2) и т.д. к (7). Проследим, что происходит с корнями уравнения на каждом этапе преобразований. В представленном решении получены два корня уравнения (б). Проверьте, являются ли эти числа и числа VÏ2 и -VÏ2 корнями исходного уравнения (1).

(Числа 2, VÏ2 и -4\2 являются корнями исходного уравнения, а — - нет).

- Значит, в процессе решения эти корни были потеряны. В целом же выполненные преобразования привели к потере двух корней ±tâ и приобретению постороннего корня --.

- Как можно избавиться от посторонних корней? (Сделать проверку).

- Допустима ли потеря корней? Почему?

(Нет, т.к. решить уравнение - это найти все его корни).

- Как же избежать потери корней?

(Наверное, при решении уравнения не выполнять преобразования, которые ведут к потере корней).

- Итак, чтобы процесс решения уравнения приводил к верным результатам, что важно знать при выполнении преобразований над уравнениями?

(Наверное, знать, какие преобразования над уравнениями сохраняют корни, какие приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было).

- Вот этим мы и займемся на этом уроке. Как бы вы сформулировали цель предстоящей деятельности на сегодняшнем уроке?

(Выявить преобразования над уравнениями, которые сохраняют корни, приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было).

II. Операционно-познавательная часть

- Обратимся снова к уравнению, записанному на доске. Проследим, на каком этапе и в результате каких преобразований были потеряны два корня и появился посторонний. (Учитель справа от каждого уравнения (1)-(7) проставляет числа).

- Назовите уравнения, имеющие один и тоже набор (множество) корней. (Уравнения (1), (2),(3),(4) и (5),(6)).

- Такие уравнения называются равносильными. Попытайтесь сформулировать определение равносильных уравнений.

(Уравнения, имеющие одно и тоже множество корней, называются равносильными).

- Запишем определение.

Определение 1. Уравнения fx(x)= g\x) и f2(x)= g2(x) называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Необходимо отметить, что уравнения, не имеющие корней, также являются равносильными.

Для обозначения равносильных уравнений можно использовать символ «о». Процесс решения уравнения (1), используя новое понятие, можно отразить так:

Таким образом, переход от данного уравнения к равносильному не влияет на множество корней получающегося уравнения.

А какие основные преобразования выполняли при решении линейных уравнений?

(Раскрытие скобок; перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя знак на противоположный; прибавление к обеим частям уравнения выражения, содержащего неизвестную).

- Менялись ли при этом их корни? (Нет).

- На основе одного из этих преобразований, а именно: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, меняя при этом знак на противоположный, в 7-м классе сформулировали свойство уравнений. Сформулируйте его, применив новое понятие.

(Если какой-нибудь член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному).

- Какое еще свойство уравнения вы знаете?

(Обе части уравнения можно умножать на одно и тоже число, отличное от нуля).

- Применение этого свойства также заменяет исходное уравнение на равносильное ему. Обратимся опять к уравнению, записанному на доске. Сравните множество корней уравнений (б) и (7).

(Корень уравнения (б) является корнем уравнения (7)).

- То есть при переходе от одного уравнения к другому множество корней хотя и расширилось, но потери корней не произошло. В этом случае уравнение (7) называют следствием уравнения (б). Попытайтесь сформулировать определение уравнения, которое является следствием данного уравнения.

(Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения). Определение 2. Уравнение f2(x) = g2(x) называют следствием уравнения /|М= £|Ы' если каждый корень уравнения /,(*) = g,(*) является корнем уравнения f2(x)=g2(x).

- В результате какого преобразования получили уравнение (7) из уравнения (6)?

(Возведение в квадрат обеих частей уравнения).

- Значит, это преобразование может приводить к появлению посторонних корней, т.е. исходное уравнение преобразуется в уравнение-следствие. Есть ли еще уравнения-следствия в представленной цепочке преобразований уравнения (О?

(Да, например, уравнение (3) - следствие уравнения (2), а уравнение (2) -следствие уравнения (з)).

- А какие это уравнения? (Равносильные).

- Попытайтесь, используя понятие уравнения-следствия, сформулировать эквивалентное определение равносильных уравнений.

(Уравнения называются равносильными, если каждое из них является следствием другого).

- Есть ли еще уравнения-следствия в предложенном решении уравнения о?

(Да, уравнение (4) - следствие уравнения (5)).

- Что происходит с корнями при переходе от (4) к (5)? (Потеряны два корня).

- В результате какого преобразования это произошло? (Ошибка в применении тождества Jx* = |*|).

- Применяя новое понятие уравнения-следствия и используя символ «следования», процесс решения уравнения (1) будет выглядеть так:

- Итак, полученная схема демонстрирует нам, что если осуществляются равносильные переходы (1)o(2) о(з)<=>(4), (5)<^>(б), то множества корней получающихся уравнений не изменяются. Но только равносильные преобразования применять не всегда удается. Если же переходы неравносильные, то возможны два случая: (б) =>(1) и (4)<= (5). В первом случае уравнение (7) - следствие уравнения (б), множество корней получающегося уравнения включает в себя множество корней данного уравнения, здесь приобретаются посторонние корни, их можно отсечь, выполняя проверку. Во втором случае получилось уравнение, для которого данное уравнение является следствием: (4)<= (5), а значит, произойдет потеря корней, таких переходов не следует выполнять. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего. Что же надо знать, чтобы преобразования были только такими? Попробуем установить это. Запишем задание 1 (в нем предлагаются уравнения; их ОДЗ, найденная на этапе актуализации; записано множество корней каждого уравнения).

Задание 1. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

- Обратимся к уравнениям группы а), являются ли эти уравнения равносильными?

(Да, (0 и (2) равносильны).

- В результате какого преобразования из (1) получили (2)? (Использовали тождество >/д • Jb = 4a~b, где а > О, Ь > О ).

- То есть выражение в одной части уравнения заменили тождественно равным ему выражением. Изменилась ли ОДЗ уравнения при этом преобразовании?

(Нет).

- Рассмотрим группу уравнений б). Равносильны ли эти уравнения? (Нет, уравнение (4) - следствие уравнения (3)).

- В результате какого преобразования из (4) получили (з)?

(Заменили левую часть уравнения тождественно равным ему выражением).

- Что произошло с ОДЗ уравнения? (ОДЗ расширилась).

- В результате расширения ОДЗ получили уравнение-следствие (4) и посторонний корень -2 для уравнения (з). Значит, расширение ОДЗ уравнения может привести к появлению посторонних корней. Для обоих случаев а) и б)

сформулируйте утверждение в общем виде. (Ученики формулируют, учитель корректирует).

(Пусть в некотором уравнении f(x)=g(x)4 выражение f(x) заменили на тождественное ему выражение /,(*). Если такое преобразование не изменяет ОДЗ уравнения, то переходим к равносильному уравнению /,(*)=#(*). Если ОДЗ расширяется, то уравнение ft(x)=g(x) является следствием уравнения

- Это утверждение является теоремой о преобразованиях, приводящих к равносильным уравнениям или уравнениям-следствиям.

- Примем эту теорему без доказательства. Следующее задание. Представлены три уравнения и их корни.

Задание 2. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

- Какие из предложенных уравнений равносильны? (Только уравнения (1) и (2)).

- Какие преобразования выполнялись, чтобы от уравнения (1) перейти к уравнению (2), (3)?

(К обеим частям уравнения (1) в первом случае прибавили (х2 во втором случае прибавили ).

- То есть в каждом случае прибавили некоторую функцию (р(х). Сравните область определения функции <р(х) в уравнении (2) с ОДЗ уравнения (1).

(Функция <р(х)= X2 +1 определена на ОДЗ уравнения (1)).

- Какое уравнение получили в результате прибавления к обеим частям уравнения (1) функции ç(x) = х2 +\?

(Получим уравнение равносильное (1)).

- Что произошло с ОДЗ уравнения (з) по сравнению с ОДЗ уравнения (1)? (Она сузилась из-за функции <р(х) = V5-* ).

- Что же получили в этом случае? Будет ли уравнение (3) равносильно уравнению (1) или (з) - уравнение-следствие для уравнения (1)?

(Нет, не то и ни другое).

- Рассмотрев два случая преобразования уравнения (1), которые представлены в задании 2, попытайтесь сделать вывод.

(Если к обеим частям уравнения прибавить функцию, определенную на ОДЗ этого уравнения, то получим уравнение, равносильное данному).

- Действительно, это утверждение является теоремой.

Теорема 2.

Но утверждение, похожее на сформулированную теорему, мы использовали при решении уравнений. Как оно звучит?

(К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число).

- Это свойство является частным случаем теоремы 2, когда <р(х) = const.

Задание 3. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

- Какие из уравнений в задании 3 равносильны? (Уравнения (1) и (2)).

- В результате какого преобразования из уравнения (1) получены уравнения (2), (3)?

(Обе части уравнения (1) умножили на <p(x) = j5 + x и получили уравнение (2). Чтобы получить уравнение (з), обе части уравнения (1) умножили на <р{х)=^).

- Какому же условию должна удовлетворять функция ф(х), чтобы, умножив обе части уравнения (1) на <р(х), было получено уравнение равносильное О)?

(Функция <р(х) должна быть определена на всей ОДЗ уравнения (1)).

- Выполняли ли прежде над уравнениями такое преобразование? (Выполняли, обе части уравнения умножали на число, отличное от нуля).

- Значит, условие, налагаемое на функцию ç(x), необходимо дополнить. (Функция (р(х) не должна обращаться в ноль ни при одном х из ОДЗ уравнения).

- Итак, запишем в символическом виде утверждение, которое позволяет от данного уравнения перейти к равносильному. (Учитель под диктовку учеников записывает теорему 3).

Теорема 3.

- Докажем теорему. Что значит, что два уравнения равносильны?

(Надо показать, что все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, т.е. второе уравнение есть следствие первого и первое уравнение является следствием второго).

- Докажем, что f(x) <р(х) = g(x) <р(х) является следствием уравнения f(x)=g(x). Пусть х0 - корень уравнения /(*)= g(x), что это значит?

(При подстановке х0 в f(x)=g(x) получим верное числовое равенство

- В точке х0 функция <р(х) определена и не обращается в ноль. Что это означает?

(Число <р(х0)*0. Поэтому числовое равенство f(x0)=g(x0) можно помножить на <р(х0). Получим верное числовое равенство f{x0)-<p(x0) = g(x0)<p(x0)).

- Что это равенство означает?

(х0 - корень уравнения f(x) <р(х)= g(x) <р(х). Этим показали, что уравнение /(*)• <р(х)= g(x)- <р(х) - уравнение-следствие для уравнения /(*)= g(x)).

- Докажем, что f(x)=g(x) - следствие уравнения f(x) <р(х)= g(x) <р(х). (Учащиеся работают самостоятельно, далее после обсуждения учитель записывает вторую часть доказательства на доске).

Задание 4. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

- Равносильны ли уравнения (1) и (2)? (Равносильны).

- В результате какого преобразования из (1) можно получить (2)? (Возводим обе части уравнения в куб).

- От правой и левой частей уравнения можно взять функцию F = г\ На каком множестве определена функция F ?

(На общей части множеств значений функций V* и У2-х).

- Охарактеризуйте группу уравнений под буквой б)?

(Они не равносильны, (4) является следствием (з), к уравнению (3) применили функцию F = г и перешли к уравнению (4), функция F определена на общей части множеств значений функций V*2 -1 и JP -1 ).

- Чем же отличаются свойства функций F в группе а) и б)? (В первом случае функция монотонна, а во втором нет).

- Сформулируем следующее утверждение. (Учитель под диктовку учащихся записывает теорему).

Теорема 4.

F(t) - определена на общей части множеств значений функций

Обсудим, как будет «работать» эта теорема при решении следующих уравнений.

Пример. Решить уравнение

Какую функцию применим к обеим частям уравнения 1)? (Возведем обе части уравнения в куб, т.е. применим функцию F - г3).

- Перечислите свойства этой функции, необходимые для применения теоремы 4.

(Эта функция определена на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, она монотонна).

- Значит, возведя обе части исходного уравнения в куб, какое уравнение получим?

(Равносильное данному).

- Будут ли отличаться множество корней исходного уравнения и множество корней полученного уравнения?

(Нет).

- Какую функцию применим к обеим частям уравнения 2)? (Возведем обе части уравнения в четвертую степень, т.е. применим функцию F = /4).

- Перечислите свойства этой функции, необходимые для применения теоремы 4.

(Эта функция определена на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, она не монотонна).

- Какое же уравнение, относительно исходного, мы получим, возведя данное уравнение в четвертую степень?

(Уравнение-следствие).

- Будут ли отличаться множество корней исходного уравнения и множество корней полученного уравнения?

(Могут появиться посторонние корни. Значит, необходима проверка).

- Проведите решение этих уравнений дома.

III. Рефлексивно-оценочная часть

- Мы сегодня вместе «открыли» четыре теоремы. Еще раз просмотрите их и скажите, о каких уравнениях в них говорится.

(О равносильных уравнениях и уравнении-следствии).

- Запишем тему урока. Вернемся к уравнению, которое рассматривали в начале сегодняшнего разговора. Какие из теорем 1-4 применялись при переходе от одного уравнения к другому? (Ученики вместе с учителем выясняют, какая теорема работала на каждом шаге, учитель на схеме отмечает номер теоремы).

- Что нового вы сегодня узнали на уроке?

(Понятия равносильных уравнений, уравнения-следствия, теоремы о равносильности уравнений).

- Какую задачу мы поставили в начале урока?

(Выделить преобразования, не изменяющие множество корней уравнения, преобразования, ведущие к приобретению и потере корней).

- Решили ли мы ее полностью? -Нет.

- Поставленную задачу мы решили частично, ее исследование продолжим на следующих уроках при решении новых видов уравнений.

- Используя новое для нас понятие равносильных уравнений, переформулируйте первую часть поставленной задачи - «выделить преобразования, не изменяющие множество корней уравнения».

(Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием).

- Что поможет ответить на этот вопрос? (Теоремы о равносильности уравнений).

- А применяли ли сегодня преобразования, которые ведут к приобретению посторонних корней?

(Применяли, это возведение обеих частей уравнения в квадрат; использование формул, левая и правая части которых имеют смысл при разных значениях входящих в них букв).

- Существуют и другие «специфические» причины, которые приводят как к появлению, так и к потере корней уравнения, о некоторых из них мы говорили. Но есть и такие, которые, как правило, связаны с определенным классом уравнений, а об этом разговор у нас будет позже.

Запишем домашнее задание:

1) знать определения равносильных уравнений, уравнения-следствия;

2) знать формулировки теорем 1-4;

3) провести по аналогии с доказательством теоремы 3 доказательство теорем 1 и 2;

4) №№ 139(4,6), 141(2) - выяснить, являются ли уравнения равносильными;

решить уравнения

Записи в тетрадях

Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.

Определение 1. Уравнения /,(*)= g,(*) и /2(*)= g2(x) называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Определение 2. Уравнение f2(x)= g2(x) называют следствием уравнения /|(*)=£|М, если каждый корень уравнения /,(*)= g,(*) является корнем уравнения f2(x)=g2{x).

Задание 1. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

Ответ:

В группе а) использовали тождество

в группе б) заменили левую часть уравнения тождественно равным ему выражением.

Вывод. Пусть в некотором уравнении /(*)=#(*), выражение f(x) заменили на тождественное ему выражение /,(*). Если такое преобразование не изменяет ОДЗ уравнения, то переходим к равносильному уравнению /,(*)= g(x). Если ОДЗ расширяется, то уравнение /,(*)=#(*) является следствием уравнения

/М=Ж).

Теорема 1.

Задание 2. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

Ответ: (1) о (2). К обеим частям уравнения (1) в первом случае прибавили (х2 +1), во втором случае прибавили <j5-x .

Вывод. Если к обеим частям уравнения прибавить функцию, определенную на ОДЗ этого уравнения, то получим уравнение, равносильное данному).

Теорема 2.

Задание 3. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

Ответ: (1) <=> (2). Обе части уравнения (1) умножили на <р(х)= V5 + *, обе части уравнения (1) умножили на <р(х)=>[х .

Вывод. Если обе части уравнения умножить на функцию, определенную и не равную нулю на ОДЗ этого уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 3.

1) Пусть дг0- корень уравнения /(*) = g(x), тогда

2) Пусть дг0 - корень уравнения, /(*)• <р(х) = g(x)- <р(х) тогда

Теорема доказана.

Задание 4. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

Ответ: (1) <=> (2), (з)=>(4). От правой и левой частей уравнения взяли функцию F = t\ применили функцию F = t2.

Вывод. Пусть к обеим частям уравнения применили функцию, определенную на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях этого уравнения. Если эта функция монотонна, то получим уравнение, равносильное данному, если нет - то уравнение-следствие.

Теорема 4.

F(t) - определена на общей части множеств значений функций j

Пример. Решить уравнение

Л.И. Кузнецова

Школьная лекция «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений» (10 класс)

Методические комментарии. Тригонометрические уравнения, при решении которых необходимо проводить отбор корней, рассматриваются в профильных классах. В классах общеобразовательного уровня такие уравнения предлагаются лишь среди упражнений повышенной сложности, причем встречаются только тривиальные случаи.

Включить учащихся в деятельность по открытию способов отбора корней учитель может только ведя их за собой, показывая образец рассуждений в поиске этих способов, самостоятельность они вряд ли могут проявить. Кроме того, важно проиллюстрировать школьникам в сравнении многочисленные нюансы, которые встречаются при отборе корней, и сделать это компактно как по затратам времени, так и по форме записей. По этим причинам для изложения материала об отборе корней выбрана школьная лекция, построенная на решении ключевых задач. Ввиду большого объема информации лекция рассчитана на два урока.

При описании хода урока начало речи учителя выделено как в обычном диалоге - «красной строкой» и тире. Предполагаемые ответы учащихся, если они не очевидны, приведены в скобках отдельным абзацем. Пояснения, комментарий автора делаются также в скобках, но не выделены абзацем. Отдельные фрагменты лекции - диалог учителя с собой, размышления вслух. В этом случае вопросы и ответы на них идут подряд, не так, как в обычном диалоге. Слова, на которые нужно сделать ударение, выделены в тексте курсивом.

Чтобы у каждого ученика в тетрадях остались все необходимые записи, на уроке используется комментированное решение.

Для сокращения записей совокупность уравнений обозначается общепринятым символом - квадратной скобкой слева. Оформление записей на доске и в тетрадях приведено в конце конспекта.

На уроке выделяются способы отбора корней и для основных из них последовательность действий, составляющих способ. В тексте конспекта названия способов отмечены жирным курсивом, последовательность действий - обычным курсивом. Нужно ли учащимся фиксировать последовательности действий в тетрадях или каким-то другим образом, зависит от педагогической ситуации, которую разрешает учитель.

На уроке может быть использован кодоскоп или более современные средства обучения.

Заметим также, что лекция очень насыщенна. Может быть в каких-то классах изложить все полностью на этих двух уроках и не удастся. Объем материала сократится, если учащиеся знакомы с решением уравнений с двумя неизвестными в целых числах. Задачи 7 и 8 можно вынести на последующие уроки. Многое определяется возможностями учащихся класса и мастерством учителя.

Конспект урока

Тема урока. Отбор корней при решении тригонометрических уравнений.

Тип урока. Урок решения ключевых задач. Школьная лекция.

Цели урока. Выявить способы отбора корней при решении тригонометрических уравнений и ситуации, в которых необходимо осуществлять отбор корней.

В результате ученик

знает, что

- отбор корней можно осуществлять: а) геометрическим способом с помощью числовой окружности, числовой прямой; б) алгебраическим способом на основе разбиения множества целых чисел на классы по отношению к натуральному числу; решения в целых числах линейного уравнения с двумя неизвестными;

- отбор корней необходим, если неизвестное содержится в знаменателе дроби; наряду с синусом и косинусом в уравнение входит тангенс и (или) котангенс; уравнение решается на основе свойства ограниченности синуса и косинуса; уравнение решается методом разложения на множители; требуется найти корни, удовлетворяющие заданным условиям;

имеет представление о сущности каждого из перечисленных способов отбора корней и возможностях их применения;

выполняет упражнения на отбор корней по образцу.

Структура урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть.

1. Актуализация знаний. (Разбиение множества целых чисел на классы по отношению к некоторому натуральному числу).

2. Мотивация. Постановка учебной задачи.

II. Операционно-познавательная часть.

1. Решение уравнений с неизвестным в знаменателе.

Простейшие случаи отбора корней с помощью числовой окружности или на основе разбиения множества целых чисел на классы по отношению к некоторому натуральному числу.

2. Решение уравнений с неизвестным в знаменателе.

Отбор корней с помощью числовой прямой; на основе решения линейного уравнения с двумя неизвестными в целых числах.

3. Решение уравнений на основе свойства ограниченности синуса и косинуса.

Отбор корней при решении системы двух уравнений с одним неизвестным способами, рассмотренными в пунктах 1 и 2.

4. Отбор корней на основе решения в целых числах уравнения с двумя неизвестными путем перебора классов чисел, на которые разбивается множество целых чисел относительно натурального числа.

5. Отбор корней при решении уравнений, содержащих тангенс; уравнений, равносильных совокупности уравнений или систем.

6. Отбор корней в случае, когда требуется найти корни, удовлетворяющие заданным условиям.

III. Рефлексивно-оценочная часть.

1. Систематизация ситуаций, в которых необходим отбор корней.

2. Систематизация способов отбора корней.

3. Выдача домашнего задания.

Ход урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть

- Прежде чем приступить к теме сегодняшнего урока, проведем короткую разминку, вспомним то, что вы знаете, но, наверное, забыли.

Дана группа чисел: 20, -16, -12, 8, 0, 4, 36. Как можно ее охарактеризовать, т.е. каким свойством обладают эти числа? (Это числа, кратные четырем).

- А как записать все целые числа, кратные четырем? (Например, 4к, где ке Z ).

- Как записать, что при делении целого числа « на 4 получается в остатке 1?

(я = 4/? + 1, где ре Z).

А какие остатки могут получиться при делении целого числа /? на 4? (0, т.е. число п кратно четырем, ±1, ±2, ±3).

- Верно. Однако любой отрицательный остаток можно выразить через положительный. В самом деле, -1 = -4 + 3, -2 =-4 + 2, -3 = -4+1, тогда, например, если я = 4р-1,т0 п- 4/7-4 + 3 = 4(/?-l)+3.

Таким образом, по остаткам, которые можно получить при делении целого числа на 4, множество целых чисел разбивается на 4 класса - четыре множества чисел, записанных по формулам:

4/7, 4/74-1, 4/7 + 2, 4/7 + 3, peZ, т.е. на множество чисел, кратных четырем, и три множества чисел, дающих при делении на 4 остатки 1, 2 и 3 соответственно.

На сколько и какие классы разбивается множество целых чисел по остаткам, которые можно получить при делении целого числа на 3?

(На три класса - множества чисел, записанных по формулам: 3р, 3/7 + 1, 3/7 + 2, ре Z).

- Аналогично можно сделать разбиение на классы множества целых чисел относительно любого натурального числа.

Теперь вернемся к теме, которую мы изучаем сейчас. Что это за тема? (Тригонометрические уравнения).

- Какие тригонометрические уравнения и методы их решения мы уже рассмотрели?

(Уравнения, сводящиеся к квадратным, уравнения, решаемые разложением левой части на множители, уравнения вида as\nx + bcosx = c, однородные уравнения).

Очевидно, что этот перечень не исчерпывает всех возможных типов тригонометрических уравнений и методов их решения. Чтобы в этом убедиться, достаточно вспомнить, уравнения каких типов и какими методами вы решали раньше, или посмотреть в учебник (задачник).

Например, в учебнике есть уравнение

Как его решить?

(Это уравнение равносильно системе

Каждое из уравнений системы мы можем решить, а затем решить полученную систему).

- Хорошо. Откройте тетради так, чтобы перед вами были две чистые страницы. Оставьте одну строчку для записи темы и запишите задачу 1 (см. записи на доске и в тетрадях).

Решаем уравнения 1) sin3х = 0 и 2) sinjc = 0. Обратите внимание: хотя в системе записано sinx*0, мы решаем уравнение sinjr = 0. (Записи на доске ведет учитель, решения записывает под диктовку учащихся). Заметьте, что множители (коэффициенты) у числа л в решениях уравнений разные (п и к).

Итак, исходная система равносильна системе 3). Решить эту систему - значит из всех чисел вида

надо выбрать те, которые не совпадают с числами вида х = лк, ке Z. Другими словами, нужно отобрать корни. Отбор корней при решении тригонометрических уравнений приходится производить довольно часто. Этому нужно учиться. Задача сегодняшнего урока - выявить способы отбора корней и ситуации, требующие отбора корней. Как же сформулировать тему урока? (Появляется запись темы).

- Сформулируйте еще раз учебную задачу урока. (Учитель записывает ее на доске).

II. Операционно-познавательная часть

- Обратимся к решаемой нами системе: если в выражение вместо п подставлять числа -6, -3, 0, 3, 6, т.е. числа, кратные трем, например п- ЗА:, k g Z, то получим числа -2л-, -л, 0, л, 2л,т.е. числа вида л*, к е Z, которые нужно исключить из множества ул. (Подобное объяснение могут давать ученики на предложение учителя записать решение системы). Если же п * Зк, то либо п = Зк +1, либо п = Зк + 2, тогда

т.е. числа

являются решениями системы. Ответ можно записать двумя способами:

Запишем его, например, в первом виде.

В данном случае при отборе корней нам помогла интуиция, здравый смысл: мы сразу увидели, что нужно подставлять в решение первого уравнения числа, кратные трем.

К такому решению можно прийти путем следующих рассуждений. В числе пк множитель у числа л число к - целое. В числе —п-—п множитель — может быть как целым, так и дробным числом. Это зависит от п. Чтобы установить при каких п число ~ целое, а при каких не целое, нужно множество целых чисел разбить на классы по остаткам, которые могут получиться при делении целого числа на 3, где 3 - знаменатель дроби, т.е. рассмотреть числа Зк, Зк +1, ЗА:+ 2, что мы и сделали.

Решение системы можно найти и другим способом. В тетрадях отметьте, что был способ 1, теперь будет способ 2. Оформим его на правой странице.

Построим числовую окружность.

Отметим на ней точками числа, являющиеся решениями первого уравнения. Получим 6 точек.

Отметим на окружности другим способом, например крестиками или точками другого цвета, числа, являющиеся решениями второго уравнения (х = пк ).

Какие же из отмеченных чисел нас интересуют? Те, которые помечены только точками. Точек четыре, причем первая и третья, вторая и четвертая (если двигаться от нуля в положительном направлении) симметричны относительно начала координат, а первая и четвертая, вторая и третья симметричны относительно оси абсцисс. Числа, соответствующие этим точкам, и есть решения системы. Учитывая симметричность точек, решения можно записать так:

±- + л/, le Z. 3

Обратите внимание: при разных способах отбора корней мы получили разные формы ответа.

При отборе корней вторым способом была использована геометрическая модель - окружность. Поэтому способ можно назвать геометрическим. Тогда первый способ - алгебраический. Отметим это в записях.

Итак, что же лежит в основе алгебраического способа отбора корней?

(Разбиение множества целых чисел на классы относительно натурального числа - по остаткам, которые могут получиться от деления целого числа на данное натуральное число).

- А что лежит в основе геометрического способа отбора корней? (Построение на числовой окружности точек, соответствующих корням уравнений).

- Хорошо. Используя геометрический способ отбора корней, решите вторую задачу.

Задача 2. Решить уравнение

Максимально используйте то, что уже сделано при решении первой задачи, тогда записи будут короткими.

(Один ученик комментирует свое решение, учитель ведет записи под его диктовку.

- Данное уравнение равносильно системе

которая равносильна системе

Нужные нам числа уже отмечены на числовой окружности: числа пк, keZ, отмечены крестиками, числа —п< ne Z, точками. Нас интересуют числа, отмеченные только крестиками. Таких на числовой окружности нет. Вывод: система, а значит, и уравнение, решений не имеет).

А как нужно действовать при геометрическом способе отбора корней, если требуется решить систему, в которой нет зачеркнутых равенств, например, Г ж = л£, ke Z, систему \ я „ 0

(Так же, как и в предыдущих случаях, нужно отметить на числовой окружности разными способами корни первого и второго уравнений и выделить числа, отмеченные дважды - и тем, и другим способами.)

- Верно. Расскажите теперь последовательность действий при геометрическом способе отбора корней с помощью числовой окружности.

(1) Изобразить числовую окружность.

2) Отметить на ней каким-нибудь способом (например, точками) числа, являющиеся корнями первого уравнения.

3) Другим способом (крестиками, кружками, точками другого цвета) отметить числа - корни второго уравнения.

4) Среди отмеченных выделить числа, отвечающие требованию системы:

а) если в одном из уравнений знак равенства зачеркнут, то выделить числа, отмеченные только знаками корней уравнения с незачеркнутыми знаком равенства;

б) если не в одном из уравнений знак равенства не зачеркнут, то выделить числа, отмеченные дважды - знаками корней и первого, и второго уравнений.

5) Записать ответ.)

- Применим геометрический способ отбора корней при решении следующей задачи.

Задача 3. Решить уравнение

(Один ученик диктует решение, делая записи в тетради, учитель ведет запись на доске под диктовку ученика. При решении уравнения sin 0,5* = -^ учитель делает вставку).

- Когда предстоит отбор корней, то решение удобнее записывать не одной строкой, а двумя сериями.

После того как на числовой окружности отмечены точки, соответствующие числам ~j + ~yn> рассуждения продолжает учитель).

- Теперь нужно выделить на числовой окружности числа у + 4л*, *е Z. При * = 0 получим число у. Ему соответствует первая из отмеченных точек. При к = 1 получим число Y + 4л. Ему соответствует та же точка. Итак, вторым знаком, например крестиком, нужно пометить числа

Точкой же помечены числа . Получается, что если число принадлежит множеству чисел, которые можно записать формулой у + ке Z, то оно отмечено первой точкой на числовой окружности. Если же число отмечено первой точкой, то оно необязательно принадлежит множеству чисел у + 4л*, *€ Z. Это может быть и число из множества у + 2л(2* + 1), *eZ. Выходит, какие-то из чисел, отмеченных первой точкой, нужно отметить крестиком, а какие-то нет. Необходимо эти числа как-то развести, разделить. На числовой окружности это сделать невозможно. Как быть?

Мы знаем, что числовую окружность можно развернуть в числовую прямую. Этим и воспользуемся.

Изобразим числовую ось. (За единицу масштаба можно взять отрезок длиной 0,5 см, который будет соответствовать отрезку длины -у).

Отметим на числовой оси точками корни первого уравнения и крестиками корни второго уравнения. (На оси должен уместиться отрезок длины не менее 8л ).

Замечаем, что на числовой оси можно выделить два отрезка - [О; 4л] и [4л; 8л] с одинаковым расположением корней. Корни на втором отрезке получаются из корней, расположенных на первом отрезке, прибавлением числа 4л-.

Очевидно, что таким же будет расположение корней на всех других отрезках, которые получаются из отрезка [О; 4л] прибавлением 4л*, ке Z, т.е. на отрезках [4л*; 4л + 4л*} *е Z. Корни на этих отрезках получаются из корней отрезка [О; 4л] прибавлением числа 4л*, *е Z . Можно сказать, что отрезок [О; 4л-]

есть отрезок-образец в расположении корней. (Образцом является и отрезок [4л-; 8л] и вообще любой отрезок длины 4л ).

Теперь действуем по аналогии с отбором корней на числовой окружности: на отрезке [О; 4л] выделим числа, которые отмечены только точками. Таких чисел четыре: л, —, Зл, ——. Они и являются корнями уравнения (решениями системы) на отрезке [О; 4л]. Тогда решения на всей числовой оси можно записать в виде:

Корни л + 4л* и Зл+4л£ можно представить одной формулой: тг(2к +1), ке Z. Чтобы показать, что корни каждой из серий не зависят от корней других серий, обозначим множители у числа 4л разными буквами. Окончательно ответ выглядит так:

Итак, мы применили геометрический способ отбора корней. Однако нам пришлось использовать не числовую окружность, а числовую ось. Почему?

Потому что на окружности мы не смогли создать картину распределения корней уравнений.

А почему так получилось?

Потому что каждому корню второго уравнения соответствовала точка на числовой окружности, но эта же точка соответствовала не только корням второго уравнения, но и другим числам.

Трудность в применении этого способа отбора корней состоит в нахождении длины отрезка-образца. В рассматриваемом примере длина отрезка равна 4л. Подумаем, как можно было ее найти, не отмечая лишних точек на числовой прямой для выявления закономерности.

Соседние корни первого уравнения отличаются друг от друга на второго - на 4л. Если корень первого уравнения совпадает с корнем второго, то следующее совпадение будет тогда, когда к корню прибавляется наименьшее число, которое делится нацело и на и на 4л. Найти это число - значит найти наименьшие натуральные значения пик, при которых выполняется равенство -^л = 4л£, т.е. равенство п = 6к. Такими значениями являются к = \. п = 6.

Тогда —• б = 4л• 1 = 4л - длина отрезка-образца.

Таким образом, при отборе корней можно было сразу взять какой-нибудь отрезок длины 4л (например, [О; 4л], или [-2л; 2л], или [-4л; о], обычно выбирается ближайший к началу отсчета), сделать отбор корней на этом отрезке по аналогии с тем, как это делали на числовой окружности, и к каждому из корней прибавить 4л/, /е Z.

Итак, пусть требуется решить уравнение, равносильное системе двух уравнений (среди равенств могут быть и зачеркнутые). Корни первого уравнения записаны с параметром я, второго - с параметром к. Выделите последовательность действий при отборе корней с помощью числовой прямой.

(1) Найти длину а отрезка-образца. Для этого

а) в выражениях для корней приравнять слагаемые, содержащие пик;

б) найти наименьшие натуральные значения пик, при которых выполняется полученное равенство;

в) подсчитать значение слагаемого, содержащего множитель п (или к) при найденном значении п (к); получится значение а.

2) Построить на числовой прямой отрезок длины а (например, так, что один его конец или середина совпадает с началом отсчета).

3) Отметить на построенном отрезке разными способами числа - корни первого и второго уравнений.

4) Среди отмеченных выделить числа, отвечающие требованиям системы (см. п.4 в геометрическом способе отбора корней с помощью числовой окружности).

5) Записать ответ: к каждому из корней, принадлежащих отрезку-образцу, прибавить al, le Z.)

Замечу, что при геометрическом способе отбора корней целесообразно всегда начинать с нахождения длины отрезка-образца. Это дает возможность установить, какую геометрическую модель целесообразно использовать: если 2п делится нацело на длину отрезка-образца, то можно использовать как числовую окружность, так и числовую прямую; во всех остальных случаях можно использовать только числовую прямую.

А теперь найдите длину отрезка-образца для следующей системы:

- Итак, чтобы решить данную систему, необходимо отмечать корни уравнений на отрезке длины 12л. Это очень трудоемкая работа. Естественно, возникает вопрос о существовании еще каких-то способов отбора корней. Давайте поразмышляем.

Вернемся к системе в задаче 3. Она равносильна совокупности двух систем. Запишем их под буквами а и б.

Чтобы решить первую систему, нужно из множества чисел ~j+~yn> пе z исключить числа —+ 4я*, ke Z. Что это означает? Это означает, что нужно

найти такие значения л, при которых выражения ~j + ~^~n и у + равны, и изъять их. Другими словами, нужно решить уравнение

и найденные значения п исключить из множества целых чисел в выражении

Как видим, у нас уравнение одно, а неизвестных два -пак. Такое уравнение имеет бесконечное множество решений. Помним, что нас интересуют только целые значения пик. Решите это уравнение. (Один ученик решает на доске. Рассуждения в процессе решения очевидны. См. оформление записей в тетрадях).

- Итак, получили п = 6к, т.е. каждому целому значению к соответствует целое значение п. Числа вида п = 6к и нужно исключить из множества целых значений п.

Таким образом, для первой системы получаем:

Аналогично решим вторую систему. (Один ученик решает ее на доске и записывает общий ответ).

- Мы нашли еще один способ отбора корней. Поскольку он основан на решении уравнений, то его можно назвать алгебраическим. Отметим это в записях.

На рассмотренном примере повторите последовательность действий при отборе корней алгебраическим способом с помощью решения уравнения с двумя неизвестными.

(Мы приравняли выражения для х, этим самым получили одно уравнение с двумя неизвестными - п и к. Из этого уравнения выразили п через к, получили п-вк. В ответе записали выражение, которому должно равняться х, исключая п - 6к, к g Z).

- Да. Очень важно подчеркнуть, что из двух выражений для х выбираем для ответа то, которому х равно.

А как бы мы поступили, если бы потребовалось решить такую систему

Сравните ее с системой, записанной под буквой а.

(Мы бы опять приравняли правые части, нашли п и только эти значения п подставляли в выражение

- Какой ответ получится?

Итак, запишем задачу 3' и ее решение.

(Решение системы под буквой а) на доске оформляет учитель, решение системы под буквой б) диктует ученик).

- А существуют ли такие уравнения, при решении которых получаются системы подобного вида? Чтобы ответить на этот вопрос, решим следующее уравнение (см. задачу 4 в записях на доске и в тетрадях).

Это уравнение можно решать разными способами. Сейчас мы рассмотрим только один из них, самый короткий.

Ноль в правой части можно получить только в том случае, когда сумма двух косинусов равна -2. Известно, что косинус принимает значения, не меньше чем -1, т.е. cos*>-l и cos3.x>-l. Поэтому сумма cos* и cos3.x может оказаться равной -2 тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны по -1, т.е. данное уравнение равносильно системе двух уравнений:

cos ж = -1 и cos 3X = -1.

Запишем эти рассуждения в решение кратко. Решите полученную систему уравнений. (Один ученик делает записи на доске).

- Теперь произведем отбор корней сначала алгебраическим способом (решает ученик, записи ведет на правой половине доски).

- Как мы поступим при геометрическом способе отбора корней? Оформите записи слева.

(На единичной окружности отметим, например, крестиками, корни первого уравнения и точками - корни второго уравнения. Крестиком будет отмечен только левый конец горизонтального диаметра, точек получается три. Нам нужно выбрать числа, которые отмечены и точкой, и крестиком. Это числа п + 2лл. ne Z).

- Да, верно. Если решается система двух уравнений (нет зачеркнутых равенств), то при геометрическом способе отбора корней нужно выбрать те числа, которые отмечены, выделены двумя способами, а не одним, как в случае, если среди равенств есть зачеркнутое.

Теперь потренируйтесь в отборе корней, решая задачу 5. (Учитель записывает задачу на доске, вызывает ученика. Он записывает решение, делая пояснения, до получения уравнения 5 + 10л = ЗАг. Учащиеся решают задачу в тетрадях. Дальше объяснение ведет учитель).

- Как видим, здесь не получилось так красиво, как в предыдущих случаях: не сразу обнаруживаются целые значения п и к, при которых выполняется равенство.

Как же решать такое уравнение?!

Здесь нужно найти такие значения л, при которых число 5 +10л делится на 3. Делимость числа 5 +10л на 3 зависит от делимости числа л на 3. На какие классы можно разбить множество целых чисел л по отношению к числу 3 по остаткам от деления целого числа на 3?

(На три класса - множества чисел, записанных по формулам: 3/, 3/ + 1, 3/ + 2, le Z).

- Вот мы и рассмотрим каждое из этих множеств. (Далее см. три строки записей на доске и в тетрадях).

- Итак, для любого целого числа / существует пара целых чисел: л = 3/ + 1, £ = 5 + 107, которая является решением уравнения 5 + 10л = 3£, т.е. решением уравнения у + ^~я = у^' Ле^> ке Z. Нам нужно, чтобы равенство не имело места. Значит, значения п = 3/ + 1, le Z нужно исключить из множества -j + -yn-

Получим ответ: -j + ~yn> л*3/ + 1, le Z, ne Z. Сделаем необходимые записи (см. записи в тетрадях).

Теперь решите еще две системы, используя то, что уже найдено в задаче 5. Запишем это как задачу 6.

(Рассуждения будут такими же, как и при решении системы в задаче 5. Все необходимые данные для получения ответов уже есть. В системе под буквой а)

В системе под буквой б)

- Хорошо. Будем надеяться, что вы в этом разобрались. Какие же выводы можно сделать, анализируя решения трех последних систем?

1) Системы разные, но для их решения потребовалось решать одно и то же линейное уравнение Зк = 5 +Юл, ке Z, ne Z с целыми коэффициентами.

В таком случае говорят, что нужно решить линейное уравнение в целых числах.

2) Особенность уравнения в том, что в нем коэффициенты при неизвестных отличны от единицы и, значит, ни одно неизвестное не выражается через другое с целыми коэффициентами. Можно записать

т.е. коэффициенты

и свободные члены - числа дробные.

3) Для решения уравнения в целых числах мы использовали теорию делимости: множество целых чисел п мы разбили на 3 класса - 3 множества чисел (по числу возможных остатков от деления целого числа на 3). Заметим, что 3 - коэффициент при втором неизвестном.

Это позволило нам найти множество пар чисел (п; к), которые являются решениями уравнения. Таких пар бесконечное множество: для каждого целого числа / существует такая пара, в которой п и к находятся по формулам

4) Уравнение можно записать в виде \0п = Зк -5 и искать такие значения к, при которых Зк-5 делится на 10. Для этого необходимо рассмотреть 10 классов, на которые можно разбить множество целых чисел к, что требует больших затрат времени. Таким образом, решение линейного уравнения в целых числах будет короче, если на первом шаге из него выразить неизвестное с меньшим коэффициентом.

Все это следует иметь в виду при решении систем двух уравнений с одним неизвестным.

Подведем итог решения задач 5 и 6 . Пусть требуется решить уравнение, равносильное системе двух уравнений. Корни первого уравнения записаны с параметром л, второго - с параметром к. Выделите последовательность действий при отборе корней алгебраическим способом на основе решения одного уравнения с двумя неизвестными.

(1) Приравнять выражения для корней первого и второго уравнений.

2) Решить в целых числах полученное уравнение с неизвестными пик: найти значения пик как функции некоторого параметра.

3) Записать ответ:

а) если решается система уравнений (с неизвестными пик), среди которых равенство, например, во втором уравнении, зачеркнуто, то нужно записать ответ первого уравнения и исключить те значения п, которые являются решениями уравнения с двумя неизвестными (полученными в п. 2));

б) если решается система уравнений, среди которых нет зачеркнутых равенств, то нужно записать ответ первого (или второго) уравнения для тех значений п (соответственно к), которые получены в пункте 2).)

Заметим, что в задачах 3 и 4 применялась практически эта же схема алгебраического способа отбора корней, только уравнения с неизвестными пик в них оказались более простыми, чем в задачах 5 и 6.

Далее рассмотрим задачу 7 (см. записи на доске и в тетрадях).

Вспомните условия, при которых произведение двух множителей равно нулю.

(Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет числового смысла).

- Множитель cos-x имеет смысл при любом значении *, а множитель tg4* не определен, если cos4* = 0. Тогда уравнение равносильно совокупности, состоящей из системы и одного уравнения. Запишем эту совокупность и решим ее. (Учитель записывает решение под диктовку учащегося, или решение записывает ученик до уравнения 21 = 20* + 9. Далее пояснение делает учитель).

- Уравнение 21= 20*+ 9 можно решать так же, как и в задаче 5. Тогда разбиение каких чисел и на какие классы нужно рассматривать?

(Множество чисел к нужно разбить на классы относительно числа 2, т.е. рассмотреть случаи к = 2р и к = 2р + \).

Верно. Однако если вы внимательны, то можете ответ дать сразу. Каким будет этот ответ?

(Это уравнение не имеет решений в целых числах, т.к. при любых целых значениях / и к число 21 - четное, а число (20* + 9)- нечетное).

- Правильно. А что следует из того, что уравнение не имеет решений? Из этого следует, что ни при каких целых к и / значения выражений + и ^ + ^/ не равны, т.е. решением системы является множество чисел *€ Z.

Запишем совокупность, к которой мы пришли.

Заметим, что каждый корень должен быть записан в ответе только один раз. Кроме того, может оказаться, что все серии корней можно объединить и записать одной формулой. Чтобы учесть все это при записи ответа, нужно также произвести отбор корней.

Выясним, нет ли среди корней, указанных в первой и во второй строках совокупности, одинаковых. Используем алгебраический способ: приравняем правые части равенств, получим уравнение с двумя неизвестными и выясним, имеет ли оно решения. Сделаем это (см. записи на доске).

Получили: л = 5 +10* . Это означает, что если во второй формуле вместо п подставим выражение 5+ 10*, то получим первую формулу, т.е. множество корней первого уравнения входит в множество корней второго, все корни первого уравнения находятся среди корней второго уравнения. Значит, в ответе следует записать только —л, ne Z .

Отбор корней при решении совокупности можно осуществлять и геометрическим способом, используя числовую окружность или числовую ось. При этом корни всех уравнений нужно отмечать одним способом, например точками.

Наконец, рассмотрим, последнюю на сегодняшнем уроке, задачу 8. (См. записи на доске).

- Решить эту задачу - значит решить систему, состоящую из уравнения и двойного неравенства.

Решим уравнение из этой системы. (Решение диктует ученик, или учитель решает сам).

- Так как с решениями уравнения нужно будет еще работать, то сразу запишем их двумя сериями.

Далее систему заменим равносильной ей совокупностью двух систем и решим каждую из них. При решении систем можно использовать разные способы.

Способ 1. Отметить на числовой оси (на числовой окружности не удается) отрезок

Далее, перебирая целые значения п (согласно здравому смыслу), выделить числа (например, точками), являющиеся корнями уравнения

(из первой и второй системы), отобрать те из них, которые принадлежат отрезку

Записать ответ.

Способ 2. Перебирая значения п из множества целых чисел, получать корни и сопоставлять с неравенством.

Способ 3. Решать двойные неравенства.

Именно этот способ мы с вами сейчас и используем. (См. записи. Рассуждения тривиальны. Поэтому мы их не пересказываем).

III. Рефлексивно-оценочная часть

- Посмотрите, как сформулирована учебная задача сегодняшнего урока. Скажите, на какие вопросы вы сегодня должны найти ответ.

(Нужно ответить на два вопроса:

- В каких ситуациях необходим отбор корней?

- Как (какими способами) можно осуществить отбор?).

- Вот сейчас просмотрите все записи, которые вы сделали в тетрадях (на доске же не все уместилось), можете посоветоваться с соседом по парте и ответить на поставленные вопросы. (После попыток учащихся ответить на первый вопрос учитель систематизирует их ответы и все записывают в тетрадь окончательный вывод - см. записи в тетрадях. Если ответы учащихся не удовлетворяют учителя, то он задает дополнительные вопросы).

- Посмотрите, к чему мы каждый раз переходим от уравнения. (К равносильной ему системе или совокупности).

- Какие особенности вы заметили у этих систем?

(В одном из уравнений равенство может быть зачеркнутым. Уравнений два, а неизвестное одно).

- В совокупности тоже, как видите, записаны уравнения с одним неизвестным (см. задачу 7, п. 3).

- А на основе чего получались системы в задачах 1 - 3? (В левой части была дробь с неизвестным в знаменателе).

- В задаче 4?

(При решении использовалось свойство ограниченности синуса и косинуса).

- Как получили совокупность и систему в задаче 7?

- В чем особенность задачи 8?

- Итак, подведем итог - ответ на первый вопрос. (Все записывают вывод в тетрадь).

Какими же способами можно осуществить отбор корней? (После ответов и дополнений учащихся делаются записи в тетрадях).

- В каких случаях при отборе корней удобно использовать числовую окружность?

- Что лежит в основе решения в целых числах линейного уравнения с двумя неизвестными?

(Разбиение множества целых чисел на классы относительно заданного натурального числа).

- Вопросы, запланированные на сегодняшний урок, мы с вами рассмотрели. Теперь нужно учиться применять способы отбора корней в различных ситуациях. Вы начнете это делать дома. Запишите следующее задание.

Решить уравнения

Советую пока не отдавать предпочтение какому-то одному способу отбора, а поупражняться в применении разных способов, т.к. не в каждом случае эффективен любой способ. Надо овладевать и геометрическим, и алгебраическим способами.

Заметьте, что для каждой ситуации, которая у вас встретится в домашних задачах, есть аналогичная, рассмотренная в классе. Поэтому сначала еще раз разберитесь в классной работе.

А сейчас расскажите план решения уравнений 3 и 5.

(Учащиеся рассказывают).

- Урок закончен. Всем спасибо.

Записи на доске и в тетрадях

Тема. Отбор корней при решении тригонометрических уравнений

Задача 1. Решить уравнение S*n — = 0.

Решение.

Отбор корней

Способ 1. Алгебраический способ

Способ 2. Геометрический способ.

Ответ.

Ответ.

Задача 2. Решить уравнение

Решение.

Ответ. Уравнение не имеет корней.

Задача 3. Решить уравнение

Решение.

Отбор корней.

Геометрический способ

Ответ.

- отрезок-образец. Как его найти?

Числа 1 и 6 - наименьшие натуральные значения к и п, при которых выполняется равенство п = вк.

Алгебраический способ

Ответ.

Задача 3'. Решить систему уравнений:

Решение, а) Корни уравнений совпадают при п = 6к, к g Z (см. задачу 3), т.е. если

Тогда

• решение системы.

Решение, б) Корни уравнений совпадают при п = 6к + 2. к g Z

(см. задачу 3). тогда решение системы.

Ответ.

Задача 4. Решить уравнение

Решение. Так как

то уравнение равносильно системе

Отбор корней

Геометрический способ

Алгебраический способ

Ответ.

Ответ.

Задача 5. Решить уравнение

Решение.

Отбор корней. Алгебраический способ.

Ответ.

Задача 6. Решить системы:

Решение, а) Правые части равенств совпадают при л = 3/+1, * = 10/ + 5, /е Z.

Значит,

есть решение системы.

Решение, б) Правые части равенств совпадают при л = 3/+1, к = 10/ + 5, le Z.

Значит,

есть решение системы.

Ответ.

Задача 7. Решить уравнение

Решение.

Уравнение не имеет решений, т.к. при любых целых / и к 2/- четное число, а 20*+9 - нечетное число.

есть решение системы.

Если п = \0к + 5. то

находятся среди чисел

Ответ.

Задача 8. Найти корни уравнения

удовлетворяющие условию

Решение.

Ответ.

Выводы

Отбор корней при решении тригонометрических уравнений необходим, если уравнение равносильно системе или совокупности уравнений с одним неизвестным, причем уравнение может входить в систему и с зачеркнутым знаком равенства. Это возможно в случаях, когда

- неизвестное содержится в знаменателе дроби;

- наряду с синусом и косинусом в уравнение входит тангенс и (или) котангенс;

- при решении используется свойство ограниченности синуса и косинуса;

- при решении используется способ разложения на множители;

- требуется найти корни, удовлетворяющие некоторому условию.

Способы отбора корней

1. Геометрический

а) с помощью числовой окружности;

б) с помощью числовой прямой.

2. Алгебраический

а) на основе разбиения множества целых чисел на классы по отношению к некоторому натуральному числу;

б) на основе решения в целых числах линейного уравнения с двумя неизвестными.

Н.Н. Егорова

Урок «Задачи на совместную деятельность (движение, работа)» (5 класс)

Методические комментарии. Темы «Задачи на совместное движение» и «Задачи на работу» традиционно рассматриваются в 5 классе независимо друг от друга. На предлагаемом уроке две эти группы задач рассматриваются совместно для демонстрации учащимся, как разные явления действительности могут описываться с помощью одной математической модели. Урок может проводиться независимо от учебного комплекса, по которому работает учитель.

Основная идея урока состоит в работе над задачей «О всадниках», условия которой недостаточны - не указано направление движения объектов. Такая неопределенность влечет необходимость рассмотрения всех возможных вариантов совместного движения. Решение конкретно-практической задачи становится затем опорой для моделирования и получения обобщенного способа решения задач на совместное движение, служит для осознания полученных моделей и способов действий. На этапе осознания схемы (общего способа решения) происходит промежуточная рефлексия результатов и процесса деятельности, поэтому для развития рефлексивных умений выбрано требование задачи, которое предполагает отклонение от прямого применения выделенной схемы рассуждения и оценки реальности полученного результата.

Наряду с основным содержанием на уроке происходит усвоение методологических знаний. Так, при прогнозировании применения круг решаемых выделенным способом задач очерчивается путем составления задач, обратных решенным. Этот прием работы, возможно, будет новым для учащихся. На этапе применения учащимся предлагаются две задачи на совместную работу, и происходит знакомство с одним из эвристических приемов, помогающих отыскать способ решения задачи - содержательная аналогия с уже решенной задачей. Таким образом, происходит существенное расширение круга задач, решаемых по выделенным моделям, и тема урока формулируется обобщенно - «Задачи на совместную деятельность».

Конспект урока

Тема. Задачи на совместную деятельность (движение, работа)

Тип урока. Урок изучения нового (урок решения ключевых задач).

Цель урока. Выявить посредством уточнения конкретной задачной ситуации четыре вида задач на совместную деятельность (движение и работу) двух объектов и найти обобщенные способы их решения.

В результате ученик

- знает о существовании четырех видов задач на совместное действие;

- описывает выявленные виды движений двух объектов с помощью графической схемы и формулы;

- характеризует совместное движение, используя понятие совместной скорости (скорости сближения или удаления);

- знает два способа решения каждой задачи (с нахождением совместной скорости и без нее);

- осознает аналогию между видами задач на движение и работу.

Структура урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть.

1. Актуализация имеющихся знаний и умений учащихся (решение задач №1,2).

2. Мотивация (анализ условия задачи 3).

3. Постановка учебной задачи (цели) урока.

4. Планирование решения учебной задачи.

II. Операционно-познавательная часть.

1. Моделирование.

2. Осознание общего способа действий.

3. Прогнозирование применения.

4. Применение (работа с задачами 4,5).

III. Рефлексивно-оценочная часть.

1. Подведение итогов урока.

2. Планирование дальнейшей учебной деятельности.

3. Задание на дом.

Ход урока

I. Мотивационно-ориентировочный этап

1. Актуализация имеющихся знании и умении учащихся

Сегодня мы полностью посвятим урок решению задач. Начнем, как обычно, с самых простых: 1. (Устно).

A) Найдите скорость движения велосипедиста, если за 3 ч он проехал 42 км.

Б) Какое расстояние проедет велосипедист за 4 ч при скорости 13 км/ч?

B) За какое время велосипедист проедет 56 км при скорости 14 км/ч?

(указывают правило нахождения неизвестной величины через две данные, вычисляют)

2. Через 2 ч после выезда из Нижнего Новгорода автомобиль находился в 170 км от него, ему оставалось еще 3 часа пути до Москвы. Найдите расстояние между Нижним Новгородом и Москвой, если скорость движения автомобиля постоянна.

(на доске выполнен рисунок к задаче)

- Проведем анализ условия задачи, а я буду отражать это на схеме. Сколько ситуаций описано в задаче? Какие?

- Три ситуации - движение на участке AB, движение на участке ВС и вся поездка.

- Какие величины описывают эти ситуации? В каких единицах они измеряются?

- Движение описывают три величины: скорость, время и расстояние (путь); единицы их измерения - км/ч, ч, км.

- Какие величины в задаче являются данными, искомыми, неизвестными?

- Данные - время движения на участке AB, время на участке ВС и длина участка AB; искомая - расстояние АС; неизвестные - скорость движения, расстояние ВС, время всей поездки.

- Какие отношения между величинами указаны в задаче? Какие подразумеваются?

- Скорость на всем пути неизменна; время всей поездки равно сумме времени, затраченного на отдельных участках, расстояние АС равно сумме расстояний AB и ВС.

- Существует ли зависимость между величинами? Какая?

S -V- t

- Существует ли цепочка связей между искомой величиной и данными величинами? Укажите соответствующие действия и дайте подробные пояснения.

(рассматриваются два способа решения задачи, характеризующиеся выражениями: (170:2)- 3 + 170 и (170:2). (2 + 3))

- Согласуется ли полученный результат с действительностью?

- В самом деле, расстояние между Нижним Новгородом и Москвой около 400 км. Можно дать ответ к задаче.

2. Мотивация

- Теперь давайте решим более интересную задачу:

3. По дороге движутся два всадника: второго - 35 км/ч. Расстояние между расстояние будет между ними через 1 всадники встретятся?

скорость первого - 25 км/ч, скорость всадниками составляет 180 км. Какое час? Через 2 часа? Через сколько часов

- Попытайтесь решить эту задачу самостоятельно.

(делают попытки, но сталкиваются с недостаточностью условий или получают разные ответы; или решают задачу, определив лишь одну из возможных ситуаций)

- Чем вы объясните затруднения в проведении решения и различия в полученных ответах?

- Условия задачи недостаточны: не указаны направления движения всадников.

- Обоснуйте свой вывод, покажите, что указать направление движения необходимо для ответа на вопрос задачи.

- Например, если всадники едут навстречу друг другу, то расстояние между ними будет уменьшаться, а если едут в противоположных направлениях - будет увеличиваться (могут провести рисунки, вычисления и т.д.)

- Все ли возможности совместного движения мы рассмотрели? Выделите все возможные варианты, работая самостоятельно или в группе. Найдите способ их представления в тетради, подберите название ситуации.

(работают в течение 2-3 минут)

- Кто представит результаты работы?

(предлагают свои варианты, критикуют и корректируют схемы оппонентов)

В результате обсуждения на доске и в тетрадях появляются четыре графические схемы

Движение навстречу

В противоположных направлениях

Движение «наутёк»

Движение вдогонку

Отметим, что названия ситуаций сохранены в редакции, предложенной самими пятиклассниками при проведении урока; две последние ситуации в учебниках объединены в случай «движение в одном направлении», но они различны по результату игры «в догонялки», поэтому на уроке рассматривались отдельно.

3. Постановка учебной задачи (цели) урока

- Какой же вид совместного движения мы будем рассматривать?

- Мы должны рассмотреть все виды совместного движения.

- Умеете ли вы работать с этими видами совместного движения?

- Нет, давайте научимся.

- Давайте. Поставим себе цель на сегодняшний урок - изучить все виды совместного движения двух объектов. Запишем цель в тетрадях

(записывают)

4. Планирование решения учебной задачи

- Как предлагаете действовать для достижения поставленной цели?

- Сначала решим задачу о всадниках, а потом попробуем найти общий способ решения задач на совместное движение. Может быть, у нас получится обобщить решение.

- Попробуем действовать так.

II. Операционно-познавательная часть

1. Моделирование

- Итак, начнем с решения задачи «0 всадниках». Найдем ответ на первый вопрос задачи в ситуации, когда всадники движутся навстречу друг другу. Давайте рассуждать вместе.

За 1 час первый всадник (левый на рис.) проедет 25 км, второй (правый) - 35 км, значит, за час они сблизятся на (25 + 35) км, а расстояние между ними станет 180 - (25 + 35) км, т.е. 120 км.

Запишем решение (записывает решение на доске по действиям).

(оформляют решение в тетрадях, дают пояснения к действиям. При рассмотрении второго случая один из учащихся рассуждает вслух, учитель фиксирует решение на доске, а учащиеся в своих тетрадях. Случай В фронтально у доски рассматривает ученик, решение задачи в случае Г проводит каждый учащийся самостоятельно)

- Реальны ли полученные результаты?

- В случаях А и Г расстояние между всадниками должно постепенно уменьшаться, в случаях Б и В - увеличиваться; так у нас и получилось.

- Прежде чем перейти к другим вопросам задачи, внимательно изучим проведенное решение. Сравните рассмотренные ситуации. Что общего вц наблюдаете во всех четырех случаях? Чем различаются решения?

- Первые два действия во всех случаях одинаковы, т.е. расстояния, пройденные каждым из всадников за 1 ч, не зависят от направления их движения.

- Последние два действия различаются, т.к. в зависимости от ситуации всадники сближаются или удаляются и на разные расстояние за 1 час.

- Что мы находили третьим действием в каждой ситуации?

- Расстояние, на которое сближаются или удаляются всадники за 1 час

- Как называют расстояние, пройденное за единицу измерения времени, в нашем случае, за 1 час?

- Скорость.

- Значит, мы можем сказать, что третьим действием мы находили совместную скорость движения (в зависимости от ситуации это будет скорость сближения или удаления всадников).

Как вы думаете, почему нам не удалось решить задачу с первой попытки?

- Мы не могли найти совместную скорость движения всадников, не зная, как они движутся относительно друг друга.

- Мы сказали, что способ нахождения совместной скорости зависит от ситуации. Работая в группах, создайте модели, позволяющие зафиксировать способ нахождения совместной скорости для каждого случая, не используя числовые значения.

(работают в группах 3-5 минут, предлагают свои модели, корректируют предложенные)

Выбранная в результате дискуссии модель фиксируется рядом с соответствующей схемой. Это могут быть формулы или графические схемы для нахождения скорости при совместном движении.

Движение навстречу

В противоположных направлениях

Движение «наутёк»

Движение вдогонку

- Теперь мы знаем, как в каждом случае можно найти совместную скорость. Попробуем решить вторую часть задачи. В решении используем полученные модели, запись решений сделаем в виде числовых выражений

(последовательно четыре ученика рассуждают у доски и записывают решения: А) 180 - 2(25 + 35) = 60 (км) Б) 180 + 2(25 + 35) = 300 (км) В) 180+ 2(35 -25) = 200 (км) Г) 180-2(35 -25)= 160 (км))

- Сравните полученные выражения и объясните найденные сходства и различия.

- Выражения похожи по виду. Это можно объяснить тем, что мы находили ответ на один и тот же вопрос, но для разных ситуаций.

- В одних выражениях в скобках находим сумму, а в других разность скоростей. Это объясняется использованием разных формул в разных ситуациях совместного движения.

- В двух выражениях к данному расстоянию (180 км) прибавляем найденное, а двух других - вычитаем. Выбор действия определяется ситуацией совместного движения.

- Можно ли сказать, что мы решили эту часть задачи, только опираясь на полученные формулы совместной скорости?

- Мы не только использовали формулы, но и выполняли действия, чтобы найти изменение расстояния за 2 часа, находили итоговое расстояние.

- Значит, решение задачи не ограничивается использованием формул. Способ решения задач на совместное движение шире, он включает в себя и другие действия. Какие?

Предложите способ рассуждения при решении подобных задач.

- Сначала надо определить направление движения объектов относительно друг друга и выбрать соответствующую формулу для вычисления совместной скорости.

- Произвести вычисления по формулам.

- Последовательно найти величины, связывающие совместную скорость с искомой величиной.

- В целом предложенный план мне нравится, но я немного его поправлю. Произвести вычисления по формулам сразу не всегда возможно (для этого нужно знать скорости движения обоих объектов). Поэтому предлагаю вычисления отнести к последнему пункту. Согласны?

После уточнений общий способ решения задач на совместное движение фиксируется в виде плана (схемы) и записывается на доске или вывешивается на плакате:

1. Определить направление движения объектов относительно друг друга.

2. Выбрать соответствующую модель (формулу) для скорости совместного движения.

3. Определить последовательность отыскания величин.

4. Произвести вычисления.

2. Осознание полученного общего способа действий

- Предлагаю проверить надежность полученного способа рассуждений при ответе на третий вопрос задачи: через сколько часов всадники встретятся?

Начнем рассуждать по схеме. Кто желает провести рассуждения вслух?

- Сначала определим направление движения объектов: в задаче не указано, значит, рассмотрим все варианты.

В случаях Б и В всадники удаляются друг от друга, расстояние между ними со временем увеличивается, значит, всадники никогда не встретятся, т.е. в этих случаях вопрос некорректен (фиксируем вывод в тетрадях). Решение проводим в первом и четвертом случаях: А) 180 : (25 + 35) = 3 (ч); Г) 180 : (35-25)= 18 (ч).

- Проверим полученные результаты на правдоподобие.

- Лошади не могут непрерывно и с постоянной скоростью скакать в течение 18 часов, поэтому полученный в

случае Г результат считаем несоответствующим реальной ситуации.

- Работает ли выделенный нами способ рассуждений? Нужно ли его уточнить?

- Схема работает, уточнений пока не требуется.

3. Прогнозирование применения

- Наконец задачу «О всадниках» мы решили полностью. Какие величины были искомыми в задаче?

- Расстояние, отделяющее всадников через час совместного движения; расстояние через 2 часа; время до встречи всадников.

- Какие еще величины могли бы стать искомыми?

- Скорость совместного движения.

- Попробуем составить другие задачи на совместное движение, которые решались бы по полученному нами плану. В качестве основы будущих задач возьмем задачу «О всадниках». Как получить новые задачи на основе решенной?

- Составить обратные задачи.

- Остановимся на ситуации А и первом вопросе задачи: какое расстояние будет между всадниками через 1 час? Как составить задачу, обратную к решенной?

- Надо искомую величину сделать данной, а в качестве искомой выбрать одну из данных величин.

- Какие величины были данными?

- Скорости каждого из всадников, исходное расстояние между всадниками, время совместного движения.

- Какая величина была искомой?

- Расстояние между всадниками через час движения навстречу.

- Выберем искомую величину для новой задачи. Пусть это будет исходное расстояние. Какие величины должны быть даны? (фиксирует на доске данные и искомые величины)

- Скорости каждого из всадников, расстояние между всадниками через 1 час и время совместного движения.

- Составьте текст обратной задачи.

- По дороге навстречу друг другу движутся два всадника: скорость первого - 25 км/ч, скорость второго - 35 км/ч. Расстояние между всадниками составляет 120 км. На каком расстоянии были всадники 1 час назад?

Работа по составлению остальных задач организуется аналогично. Всего составляем четыре задачи, обратные к решенной; они соответствуют схемам, записанным на доске:

- На какие вопросы можно ответить по полученной нами схеме решения задач на совместное движение?

- Можно найти время движения, расстояние исходное или по истечении времени, скорости одного из объектов.

- Значит, схема получилась универсальной, по-настоящему общей, пригодной для решения многих (а может быть, всех) задач на совместное движение.

4. Применение

- Сегодня мы целый урок решаем задачи, но почему-то все задачи «на движение». Предлагаю вам еще две задачи. Решать задачи полностью не надо, достаточно разработать план решения (открывается их текст):

4. Забор вокруг строительной площадки имеет длину 203 м. Двое маляров одновременно начинают его покраску и должны закончить работу за 7 часов. Сколько метров в час должен окрашивать первый маляр, если второй окрашивает за это время 12 м?

5. В бассейн объемом 450 м3 за час вливается 50 м3 воды, а в то же время выливается 40 м3. Сколько времени потребуется на то, чтобы заполнить бассейн, в котором находится 90 м3 воды?

Если в классе найдутся ученики, способные справиться с заданием, предлагаем им ответить, как они нашли верный план. Если же таковых не будет, предлагаем ученикам подобрать для этих задач подобные ситуации из задачи «О всадниках».

(один из учеников излагает план решения задач)

- Какой прием мышления помог найти способ решения этих задач?

- Подобрали похожую ситуацию из задачи «О всадниках»: задача 4 похожа на ситуацию А, в задаче 5 ситуация похожа на В.

- Такой прием рассуждения, который мы использовали, называют эвристическим («эврика» по-гречески «открытие»). Нам он помог открыть путь к решению задачи. Запомним на будущее такую подсказку: для исследования ситуации можно подобрать похожую ситуацию из числа уже изученных.

- Если ситуации задач 4 и 5 похожи на ситуации А и В задачи «0 всадниках», то как они сочетаются с полученной схемой решения задач на совместное движение, справедливы ли для них формулы совместной скорости?

- Формулы можно использовать, но вычислять по ним не скорость совместного движения, а скорость совместной работы - общую производительность.

- Общий способ решения задач на совместное движение может быть применен и для задач «на работу».

- Значит, построенные нами модели (формула и общая схема) применимы не только для решения задач на совместное движение. Круг применения их гораздо шире: это класс задач на какую-то совместную деятельность двух объектов.

III. Рефлексивно-оценочная часть

1. Подведение итогов урока

- Настала пора подвести итоги всей проведенной на уроке работы. Какую цель мы поставили к уроку? Достигнута ли она?

- Мы хотели рассмотреть все виды совместного движения двух объектов. Мы решили даже более общую задачу: получили формулы и общую схему решения задач на совместную деятельность (движение и работу).

- Такой продуктивный получился у нас урок, а названия у него нет. Как вы озаглавили бы наш сегодняшний урок?

- Задачи на совместную деятельность: движение и работу (записывают тему в тетрадях)

2. Планирование дальнейшей учебной деятельности

- Если мы сегодня на уроке так хорошо потрудились, то чем же будем заниматься на последующих уроках?

- Мы должны отработать умения по использованию полученных на уроке формул и общей схемы при решении задач.

- Мы решили всего несколько задач, а этого недостаточно для того, чтобы уметь решать все задачи. Можно решить все задачи, которые мы составили.

3. Задание на дом

- Хорошее предложение, начнем работать над задачами уже при выполнении домашнего задания. Запишите его в тетрадях:

1) решить задачи 4 и 5,

2) составить и решить задачу о совместной работе по схеме Г.

Н.Н. Егорова

Урок по теме «Решение сюжетных задач с помощью уравнений» (6 класс)

Методические комментарии. В вопросе о сроках начала обучения решению текстовых задач с помощью уравнений нет определенности: по одним программам, знакомство происходит еще в начальной школе, другие советуют начинать в 5 классе, третьи относят эту работу к концу 6 класса (подтверждения можно найти в учебниках разных авторских коллективов).

Мы предпочитаем последний вариант, поэтому предлагаем урок, разработанный для проведения в 6 классе. Обоснований этому несколько. Во-первых, мы полагаем, что для развития мышления учеников в 5-6 классах решение текстовых задач арифметическим методом более полезно и решать задачи арифметически нужно как можно дольше. Во-вторых, те задачи, на которых происходит обучение применению уравнений в 5 классе, могут быть решены арифметически, и потому нет убедительных доказательств необходимости использования алгебраического метода; с расширением круга решаемых уравнений в конце 6 класса такая возможность появляется.

Общая схема решения задач с помощью уравнений появляется в результате анализа решения задачи. Работа над задачей ведется по привычной учащимся схеме (предварительно арифметически решается задача, сходная по сюжету). Поскольку в решении сюжетных задач уравнение является для учащихся новым видом математических моделей, то учитель сам указывает вид модели, но ее создание организует в форме эвристической беседы. Последующий анализ проведенного решения позволяет не только выделить общую схему решения сюжетных задач с помощью уравнения, но и скорректировать ее, спрогнозировать применение.

Конспект урока

Тема. Решение текстовых задач с помощью уравнений Тип урока. Урок изучения нового (урок решения ключевой задачи). Цель урока. Выявить новый (алгебраический) метод решения сюжетных задач и получить обобщенную схему их решения с помощью уравнений.

В результате урока ученик:

- знает о существовании алгебраического способа решения текстовых задач;

- выделяет совместно с учителем последовательность действий при решении задач алгебраическим способом (фиксирует в виде схемы);

- понимает, что при решении одной задачи могут быть составлены различные уравнения;

- осознает, что метод математического моделирования является универсальным методом решения текстовых задач.

Структура урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть.

1. Актуализация имеющихся знаний и умений учащихся (решение задач 1-5).

2. Создание проблемной ситуации (работа с условием задачи 6).

3. Постановка учебной задачи (цели) урока.

4. Планирование решения учебной задачи.

II. Операционно-познавательная часть.

1. Моделирование (получение общей схемы решения текстовых задач с помощью уравнений):

1.1. Решение задачи 6.

1.2. Выделение схемы решения задач с помощью уравнений на основе анализа проведенного решения.

1.3. Корректировка полученной схемы.

2. Прогнозирование применения.

III. Рефлексивно-оценочная часть.

1. Подведение итогов урока.

2. Самооценка усвоения нового способа.

3. Планирование дальнейшей деятельности по овладению новым способом решения задач.

4. Задание на дом.

Ход урока

I. Мотивационно-ориентировочный этап

1. Актуализация имеющихся знаний и умений учащихся

- Выполните задания, записанные на доске:

1. Прочтите разными способами выражение т= п + 1. Какие отношения между числами m и п оно может описывать?

- m больше а? на 1;

- п меньше m на 1

2. Запишите различными способами (в виде равенств) «р на 3 меньше, чем q».

p = q-3, q = p + 3, p-q = 3

3. Найти значение выражения 5а - 3(а - 0,3) при а = 0,5. Выделите этапы решения.

Упростим выражение:

5а - 3(а - 0,3) = 5а-3а + 0,9 = 2а+0,9 ;

Найдем его значение:

если я=С& то 2а+Ц9=2-05+0,9=1,9

4. Решите уравнение: 6х-2(дч-3)=24

Укажите этапы его решения.

6х-2(дг + 3) = 24

6х - 2х - 6 = 24 - раскрыли скобки 4х - 6 = 24 - привели подобные слагаемые

4х = 24 + 6 - находим неизвестное вычитаемое 4х = 30

* = 30:4 - находим неизвестный множитель je = 7,5.

Ответ: х = 7,5.

5. Молоковоз с завода на ферму ехал со скоростью 50 км/ч и затратил на этот путь 1,5 часа. На обратном пути он увеличил скорость на 10 км/ч. Сколько времени потребуется ему на обратный путь? Найдите среднюю скорость молоковоза в этой поездке. Решите задачу по действиям и выражением.

- Проведем анализ условия задачи, а я буду записывать это в таблице. Сколько ситуаций описано в задаче? Какие? Как отразить это в таблице?

- Три ситуации - движение с завода на ферму, обратный путь и вся поездка. Так будут называться строки таблицы.

- Какие величины описывают эти ситуации? В каких единицах они измеряются? Как записать это в таблице?

- Движение описывают три величины: скорость, время и расстояние (путь); единицы измерения - км/ч, ч, км; эти величины присутствуют в каждой ситуации, поэтому величины запишем в столбцы таблицы.

- Какие величины в задаче являются данными, искомыми, неизвестными?

- Данные - скорости движения с завода на ферму, время этого пути; искомые - время обратного пути и средняя скорость молоковоза в поездке; неизвестные - расстояние от завода до фермы, скорость движения на обратном пути, время всей поездки и пройденное расстояние.

- Какие отношения между величинами указаны в задаче? Какие подразумеваются?

- Скорость на обратном пути на 10 км/ч больше, чем по дороге на ферму; обратный путь имеет ту же длину, что путь с завода на ферму; весь путь вдвое больше расстояния от завода до фермы; время всей поездки равно сумме времени, затраченного на дорогу на ферму и времени обратного пути.

- Существует ли зависимость между основными величинами? Какая?

s = v-1

Итогом анализа является заполненная таблица:

- Существует ли связь или цепочка связей между искомой величиной -временем обратного пути - и данными величинами? Укажите соответствующие действия.

- Рассмотрим второй вопрос задачи. Можно ли построить последовательность действий, связывающую данные величины и среднюю скорость молоковоза?

(ученик указывает тип связи и производит соответствующее действие):

1)50• 1,5 = 75(км) - расстояние от завода до фермы

2)50 +10 = 60(км/ч) -скорость молоковоза на обратном пути

3)75:60 = 1,25(ч)-время обратного пути

Время обратного пути можно было найти с помощью выражения:-(ч)

- Согласуется ли полученный результат с действительностью?

- Путь остался таким же, а скорость увеличилась, поэтому время пути должно стать меньше. Действительно, 1,25ч < 1,5ч.

- Существует ли цепочка связей между средней скоростью молоковоза и данными величинами?

- Для этого можно продолжить сделанные вычисления:

4) 75 • 2 = 150(км) - весь путь, проделанный молоковозом;

5)1,5 +1,25 = 2,75(ч) - время всего пути;

6)150:2,75 = 150:2- = 150 - = — = 54-^(км/ч)' средняя скорость молоковоза.

Выражение, позволяющее найти среднюю скорость, имеет вид:

- Реален ли полученный результат?

- Скорость молоковоза в одном направлении была 50 км/ч, в другом - 60 км/ч, поэтому средняя скорость должна быть между 50 и 60 км/ч; мы получили 54ууюи/ч, что удовлетворяет требованию.

- Почему нельзя было поступить проще: сложить скорости движения молоковоза по пути на ферму и обратно и разделить пополам?

- В этой задаче время движения с разными скоростями было неодинаково, поэтому, как мы замечали раньше, средняя скорость не совпадет со средним арифметическим скоростей.

2. Создание проблемной ситуации

- Переходим к решению следующей задачи:

6. Велосипедист ехал по шоссе со скоростью 14 км/ч, а по лесу - со скоростью 8 км/ч. Всего он проехал 11,6 км. Путь по лесу занял на 0,2 часа меньше, чем путь по шоссе. Сколько времени занял весь путь?

- Разберемся в условии задачи, я сделаю на доске краткую запись, а в тетрадях запишем позже. Сколько ситуаций описано в задаче? Какие? Как отразить это в таблице?

- Три ситуации - движение по шоссе, движение по лесу, движение на протяжении всего пути, значит, в таблице будет три строки, с такими же названиями.

- Какие величины описывают эти ситуации? В каких единицах они измеряются? Как отразить это в таблице?

- Движение описывают три величины: скорость, время и расстояние (путь); единицы измерения - км/ч, ч, км; эти величины присутствуют в каждой ситуации, поэтому величины запишем в столбцы таблицы.

- Какие величины в задаче являются данными, искомыми, неизвестными?

- Данные - скорости движения по шоссе и по лесу, весь путь, искомая - общее время движения велосипедиста, неизвестные - путь и время движения по шоссе и по лесу, общая скорость движения.

- Какие отношения между величинами указаны в задаче? Какие подразумеваются?

- Время движения по лесу на 0,2 часа меньше, чем по шоссе;

- общее расстояние - весь путь и по шоссе и по лесу,

- время, затраченное на весь путь

- общее время движения по шоссе и по лесу,

- скорость на всем пути напрямую не связана со скоростями на отдельных участках, а зависит только от длины всего пути и общего времени поездки.

- Существует ли зависимость между основными величинами? Какая?

Краткое условие задачи фиксируется только на доске в виде таблицы:

- Существует ли связь или цепочка связей между искомой величиной -временем всего пути - и данными величинами? Укажите соответствующие действия.

(ученики высказывают предложения, делают попытки решить задачу)

- Видимо, арифметически эту задачу решить невозможно. А какие у нас еще есть способы решения задач?

- Других способов решения нет.

3. Постановка учебной задачи

- Значит, задачу решить невозможно?!

- Наверное, есть способ решения, но нам он неизвестен.

- Чем же следует нам заняться сегодня на уроке?

- Найти новый способ решения задач.

- Давайте запишем цель урока - найти новый способ решения текстовых задач (записывает на доске).

(фиксируют в тетрадях)

4. Планирование решения учебной задачи

- Как до сих пор мы решали текстовые задачи? Какие этапы работы использовали?

- Сначала мы анализировали условие и заключение задачи, делали краткую запись условия. Затем определяли последовательность действий, позволяющих связать искомую величину с данными,

или составляли выражение. Эти действия называли созданием математической модели задачи. Производили вычисления - исследовали математическую модель. И, наконец, проверяли, согласуется ли полученный результат с действительностью.

- Как вы считаете, новый способ решения задачи предполагает полное изменение плана работы над задачей?

- Первый этап решения (анализ условия и требования задачи) остается без изменений. Сравнить результат с действительностью тоже необходимо. Вероятно, новый способ коснется последующих этапов - создания и исследования математической модели.

- Что же нам необходимо узнать о новом способе решения задач?

- Необходимо узнать новый вид модели, научиться ее создавать и исследовать.

- Ответы эти вопросы мы и постараемся получить.

II. Операционно-познавательный этап

1. Моделирование

1.1. Решение задачи №6

- Поможет нам решить эту задачу уравнение. Что называют уравнением?

- Равенство, содержащее неизвестное, обозначенное буквой.

- Значит, мы должны составить равенство, в котором одна из неизвестных величин обозначена буквой. Какую из величин обозначим буквой?

(учащиеся предлагают свои варианты).

- Пусть такой величиной будет время движения велосипедиста по шоссе. Обозначим его буквой х (так обычно обозначают неизвестное в уравнении). Запишем это в таблицу и выделим особо в первом пункте решения.

- Уравнение - это равенство, поэтому теперь мы должны составить равенство, в котором будет участвовать дг и другие величины. Для этого нам потребуется выразить и другие неизвестные в задаче величины через х. Используем отношения и зависимо-

сти, которые связывают эти величины с данными или с х. Какие отношения и зависимости можно использовать?

- Время движения по лесу на 0,2 часа меньше, чем время движения по шоссе.

- Значит, гя = X - 0,2 (часа), впишем в ячейку таблицы.

- Время всего пути можно найти как сумму время движения по лесу и по шоссе.

- Значит, to = X + (дг - 0,2) (часа).

- Путь по лесу можно найти, если скорость по лесу умножить на время.

- s, =v, =8(х-0,2)км.

Результат «перевода» условия задачи на язык алгебры фиксируется на доске и в тетрадях в виде таблицы:

- Итак, все неизвестные величины мы выразили через данные и через х. Все ли данные в условии задачи величины и отношения мы использовали?

- Не использована длина всего пути и тот факт, что это есть сумма расстояний по лесу и по шоссе.

- Как записать это отношение в виде равенства?

S, +Sm =11,6 (km).

- Подставим в равенство полученные выражения (через дг) для s, и аш: 8(лг - 0,2) + 14* = 11,6 (км) (записывает только учитель на доске). Как в математике называют такого рода равенства? Почему?

- Это равенство, в котором неизвестное обозначено буквой, значит, это уравнение.

- Итак, мы получили уравнение, которое является математической моделью для данной задачи. Запишем в решении: по данным таблицы составим уравнение 8(х - 0,2) +14* = 11,6.

- Теперь мы создали математическую модель задачи. Каким должен быть следующий шаг в решении задачи?

- Исследование модели.

- Как же исследовать полученную модель?

- Решить уравнение.

- Кто сможет это сделать? Решите уравнение самостоятельно и запишите его в следующий пункт решения задачи.

(один ученик решает уравнение на доске, учитель организует «запаздывающую» проверку)

- Значение х мы нашли, получили jc=0,6. Значение какой величины нам теперь известно?

- Мы нашли время движения по шоссе, оно равно 0,6 часа.

- Ответили ли мы на вопрос задачи?

- Нет, нам надо найти общее время пути.

- Так, значит, уравнение не помогло нам решить задачу?

- Помогло - теперь по значению jc мы можем найти и значение искомой величины, подставляя 0,6 ч в выражение, которое составлено для времени всего пути в таблице.

Запишем это в решении: 0,6 + (0,6 - 0,2) = 0,6 + 0,4 = 1 (час)

(записывают в тетрадях)

- Итак, нашли общее время пути - 1 час. Можно ли записать ответ к задаче?

- Нельзя до тех пор, пока не проведем проверку полученного результата на соответствие реальной ситуации, описанной в задаче.

- Проверим устно: велосипедист мог быть в пути 1 час, за это время он проехал расстояние 11,6 км - соответствует реальности, т.к. его скорость была и 14 км/ч и 8 км/ч. Запишем ответ к задаче: весь путь занял 1 час.

1.2. Выделение общей схемы решения задач с помощью уравнений

- Что принципиально нового мы использовали в решении задачи?

- У нас появилась новая математическая модель - уравнение.

- Как это повлияло на ход решения задачи?

- Нам пришлось составлять и решать уравнение.

- Сравните решение этой и предыдущей задачи. Что осталось общего, что изменилось?

- План решения общий - проанализировать условие, построить модель, ее исследовать, сравнить результат с реальностью, записать ответ.

- Различия были в способе решения - в первой задаче мы решали по действиям или выражением, а во второй пришлось решать уравнение.

- Разными были математические модели - выражение и уравнение. Во второй задаче мы тоже после решения уравнения находили значение выражения.

- Как изменился ход математического моделирования?

- Его основные этапы остались такими же, а изменилась только математическая модель и ее исследование.

- Значит, метод математического моделирования по-прежнему позволяет нам решить практическую задачу, мы еще раз убедились в его надежности, универсальности его этапов. А уравнение является одним из видов математических моделей, которые в нем используются. Думаю, что мы должны подробнее рассмотреть особенности этого вида моделей. Выделите этапы решения последней задачи

(указывают этапы)

(учитель записывает на доске):

1. Проанализировать условие задачи, составить краткую запись.

2. Обозначить неизвестную величину буквой X.

3. Выразить все неизвестные величины через данные и х.

4. Составить уравнение.

5. Решить уравнение.

6. Найти искомую величину.

7. Проверить результат по смыслу задачи.

8. Записать ответ.

Но можно ли эту схему признать общей, пригодной для любой задачи?

- Не знаем

1.3. Корректировка полученной схемы

- Сформулируйте другие вопросы к решенной задаче

(уточнение вносится в п.6 - найти искомые величины)

- Составьте уравнение к задаче, обозначив время движения по шоссе буквой п. Как изменится решение задачи?

(уточняем п.2 - неизвестную обычно обозначают х).

- Составьте уравнение, принимая за неизвестную время движения по лесу. Как изменится решение задачи?

Получаем уравнение: 14(х + 2) + 8дг = 11,6, похожее на решенное, (уточнение в п.2 - выбрать в качестве X можно любую неизвестную величину задачи)

(демонстрирует другие уравнения, которые можно составить по условию этой задачи)

- Как видите, уравнения имеют разный вид, различны по сложности решения. Чем же руководствоваться при составлении уравнения? Как выбирать неизвестную величину?

- Надо стараться выбирать неизвестную так, чтобы составленное уравнение было самым «красивым», самым простым для решения.

- Теперь мы уточнили схему, сделали ее по возможности общей. Запишите ее себе в тетрадь.

Уточненная схема фиксируется в тетрадях учащихся и вывешивается в классе на планшете:

1. Проанализировать условие задачи, составить краткую запись.

2. Обозначить неизвестную величину буквой (обычно х).

3. Выразить все неизвестные величины через данные и х.

4. Составить уравнение.

5. Решить уравнение.

6. Найти искомые величины.

7. Проверить результат по смыслу задачи.

8. Записать ответ.

2. Прогнозирование применения

- Теперь сравним две решенные нами задачи. Почему при решении задачи №6 мы не смогли применить известный, «старый» метод решения задачи, а пришлось получать новый?

- Несмотря на сходство сюжетов задач, в последней задаче отношениями были связаны между собой только неизвестные величины, поэтому выстроить цепочки, связывающую данные и искомые величины («потянуть за веревочку»), как это делали при арифметическом способе решения, не получилось.

- В математике этот способ называют алгебраическим, поскольку использованная в нем математическая модель - уравнение - является алгебраической. Подробно изучает подобные модели алгебра.

- Когда же, по-вашему, будет применяться новый метод решения?

- Вероятно, что решать задачу с помощью уравнения приходится в ситуациях, когда нельзя напрямую построить цепочку, ведущую от известных величин к искомым.

III. Рефлексивно-оценочный этап

1. Подведение итогов урока

- Какую цель мы поставили к сегодняшнему уроку? Достигнута ли она?

- Найти новый способ решения задач, мы нашли его - решили задачу с помощью уравнения.

- Как бы вы назвали новый способ решения задач?

- С использованием уравнений; применение уравнений и т.п.

- Каковы основные этапы решения задачи с помощью уравнений?

(перечисляют)

- Что нужно уметь для того, чтобы решить задачу с помощью уравнения?

- Все то, что требовалось раньше; уметь рационально выбирать неизвестную, составлять уравнение, решать уравнения.

2. Самооценка усвоения нового способа

- Поработаем еще с общей схемой решения задач с помощью уравнений. Оцените сложность каждого этапа для вас лично: 1 балл, если действие очень простое, 5 баллов - за самое сложное действие.

(записывают оценки в тетрадях. Затем выбираются «самый сложный», «самый простой», «самый творческий» пункты алгоритма)

3. Планирование дальнейшей деятельности

- Кто может с уверенностью сказать, что овладел новым способом решения задач? Почему?

- На какие вопросы нам следует обратить внимание в дальнейшей работе? Какие умения требуют отработки?

(перечисляют этапы, оцененные наивысшим баллом)

- Значит, нам есть над чем работать.

4. Задание на дом

- На следующем уроке мы продолжим учиться решать задачи с помощью уравнений, а дома попробуйте решить задачу №6, составив и решив уравнение, если за х принять путь велосипедиста по шоссе.

Н.Ю. Ражева

Обучение школьников исследовательской деятельности на уроке решения ключевых задач по теме «Расположение корней квадратного трехчлена» (8 класс)

Методические комментарии. В математических классах программой предусмотрено решение уравнений с параметрами. В частности, среди разнообразия таких уравнений можно выделить большой класс квадратных уравнений, корни которых должны удовлетворять определенным условиям. Задания такого плана вызывают определенные трудности у школьников. Важную роль в процессе обучения школьников решению таких уравнений играют ключевые задачи.

При решении ключевых задач ценными являются не столько полученные факты, сколько способы рассуждений с помощью которых «добываются» эти факты. Важно, чтобы обучающиеся осознали способы рассуждений, приняли их и научились применять.

Необходимо отметить, что при решении ключевых задач можно обучать школьников составлять задачи на основе аналогичных, формулировать обратные задачи, обобщать.

Уравнения и неравенства с параметрами - это один из разделов математики, не принимающий стандартов в мышлении и рассуждениях. Здесь нет готовых алгоритмов и правил. Нельзя предъявить ученикам основные выводы по данной теме в виде «готовых знаний». Это приведет к следующему: учащиеся либо сразу забывают их, либо оказываются не способны применять их.

Поэтому наиболее актуальной является организация поисковой, исследовательской деятельности, когда учащиеся поставлены в ситуацию получения новых знаний в процессе активного познания. Исследовательская деятельность ученика на уроке выполняет и еще одну важную функцию, вязанную с эстетической направленностью урока математики.

Мы не разделяем утверждение о том, что эстетическое наслаждение есть нечто непосредственно данное, не требующее ни культуры, ни напряжения. Изучение математики учениками - труд. Задача учителя заключается в том, чтобы сделать учебный труд привлекательным для школьников, организовать его таким образом, чтобы обучение математике доставило им радость, а не разочарование. Поэтому процесс обучения математике должен носит эстетическую направленность.

Учебно-исследовательская деятельность как раз и создает условия для проявления увлеченности учащихся, удовлетворения, которое они испытывают от удачного разрешения проблемы, от преодоления трудностей, потребовавших некоторых умственных усилий. Такая деятельность сопровождается эмоциями, положительно влияющими на отношение к изучению математики в целом. Таким образом, эстетическая направленность урока обеспечивает чувственно-эмоциональное состояние ученика.

Все сказанное находит отражение в предлагаемом ниже уроке.

Конспект урока

Тема. Расположение корней квадратного трехчлена. Тип урока. Урок решения ключевых задач. Цели урока.

Выявить метод решения квадратных уравнений с параметрами, корни которого удовлетворяют определенным условиям. В результате ученик знает:

- утверждения о расположении корней квадратного трехчлена; умеет:

- проводить рассуждения, приводящие к установлению условий, при выполнении которых корни квадратного трехчлена располагаются специальным образом;

- иллюстрировать алгебраические условия с помощью графика;

- читать график функции;

- решать квадратные уравнения с параметрами, корни которых располагаются специальным образом.

осознает:

- метод решения квадратных уравнений с параметрами, корни которых располагаются специальным образом;

- роль обобщения в получении новых знаний;

- значимость темы, ее роль при решении уравнений с параметрами.

Структура урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть.

1.1. Актуализация прежних знаний и способов действий.

1.2.Мотивация, постановка целей урока.

II. Операционно-познавательная часть.

2.1. Открытие и формирование новых знаний и способов действий. (Решение поставленной проблемы в общем виде).

2.1.1.Решение задачи 1 при а>0.

2.1.2.Решение задачи 1 при а<0.

2.1.3.Формулировка утверждения в виде необходимого и достаточного условия.

2.2.0сознание и первичное осмысление.

III. Рефлексивно-оценочная часть.

3.1.Осознание и первичное осмысление.

3.2.Прогнозирование в изучении темы.

3.3.Подведение итогов урока.

3.4.Домашнее задание.

Ход урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть

1.1.Актуализация прежних знании и способов действий

- Последние уроки математики были посвящены решению квадратных уравнений, в том числе уравнений, сводящихся к квадратным или содержащих параметры. Мы с вами заметили, что уравнения с параметрами вызывают определенную сложность. Однако умение решать такие уравнения ценно для нас. Как вы думаете, в чем же ценность?

Учитель акцентирует внимание на том, что при решении уравнений с параметрами формируются исследовательские качества, умение правильно рассуждать, из многообразия фактов выбрать нужное. Такие уравнения учат нестандартно мыслить.

- Вспомним на конкретных примерах решение уравнений с параметрами. Устно найдем решения уравнений при всех значениях параметра а.

Задачи для устной работы записаны на доске.

Учащиеся высказывают свое мнение.

- Данное уравнение можно решить графически.

Найти решение уравнений при всех значениях параметра а.

Учитель делает необходимые записи на доске (таблица 1, а, б).

- Можно ли решить второе уравнение другим способом?

- Решите графически.

Учитель на доске делает соответствующие записи и рисунки, иллюстрирующие решение детей (таблица 1,в)

Учащиеся решают.

-Очевидно, можно решить уравнение графическим способом. - 1. Перепишем уравнение в виде

х2+3х=а.

2. Построим схематично графики функций >>= дГ+Jjc иу=а. 3.Проанализируем, при каких а графики будут иметь общие точки или не иметь таковых. Абсциссы общих точек будут являться решением уравнения при определенных параметрах а.

- Подведем итог. Уравнения, содержащие параметр, можно решать аналитически и графически, т.е. используя графическую интерпретацию.

1.2. Мотивация, постановка целей урока

- Обратимся к домашней задаче. (Формулировка на доске).

Найдите все значения параметра, при которых два корня квадратного трехчлена х~-4ах+ 1-2а+4а различны и каждый из них больше 1. -Выделите план решения задачи.

- Перейдем к следующей задаче.

5. Найти все значения параметра, при которых квадратный трехчлен (а-2)х-2ах+ 2а-3 имеет два различных корня одного знака. (Задание 3 записано на доске) -Составим план решения этой задачи.

1. Нашли условие, при котором данный квадратный трехчлен имеет два корня.

2. Нашли корни.

3. Нашли, при каких а корни больше 1.

1. Найдем условие, при котором данный квадратный трехчлен имеет два корня.

2. Найдем корни.

3. Найдем, при каких а корни больше 0.

4. Найдем, при каких а корни меньше 0.

- Проанализируйте, в чем заключается различие в требованиях в рассмотренных задачах?

- Итак, замечаем, что среди задач с параметрами встречаются особенные задачи, в которых корни удовлетворяют

-В двух последних задачах нужно было не просто найти, при каких значениях параметра а квадратный трехчлен имеет два корня, но эти корни должны удовлетворять еще и дополнительным условиям (например, больше 1 или быть больше или меньше 0).

определенным условиям.

- В соответствии с нашими рассуждениями, как бы вы определили, чем мы будем заниматься на сегодняшнем уроке?

- Итак, тема урока «Расположение корней квадратного трехчлена». Мы будем искать условия, при которых корни квадратного трехчлена располагаются специальным образом. Для этого нам необходимо установить и метод рассуждений. Запишем тему урока в тетрадях.

- Наверное, нахождением условий, при которых корни квадратного трехчлена располагаются определенным образом.

Записывают тему урока в тетрадях.

II. Операционно-познавательная часть

2.1. Открытие и формирование новых знаний и способов действий. (Решение поставленной проблемы в общем виде)

2.1.1. Решение задачи при а> 0

-Отвлечемся от конкретных примеров и сформулируем задачу в общем виде.

Задача 1. Пусть имеем квадратный трехчлен f(x)=ax2+bx=c, xh х2 - различные корни , m -действительное число. Выяснить условия, при которых корни квадратного трехчлена больше числа т. Обращает внимание учащихся на запись условия задачи 1 на доске (таблица 2, левая часть). На данном этапе перед учащимися только запись условий и требования к задаче. Запись решения и рисунок появляются позже.

- Мы с вами поставили перед собой задачу найти метод рассуждений. Очень часто поиску решения алгебраических задач помогает геометрическая интерпретация. Суть ее заключается в том, что алгебраические условия иллюстрируются с помощью графических изображений, что помогает получить новые условия. Воспользуемся геометрической интерпретацией и в нашем случае.

- Что является изображением квадратного трехчлена?

- Чем и как характеризуется расположение параболы?

-Изображением квадратного трехчлена является парабола. - 1. Коэффициентом при старшем члене:

- если я>0, то ветви параболы направлены вверх;

- если а<0, то ветви параболы направлены вниз.

2. Точками пересечения с осями: -если квадратный трехчлен не имеет корней, то парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ;

-если квадратный трехчлен имеет только один корень, то парабола имеет только одну точку пересечения с осью ОХ; -если квадратный трехчлен имеет два корня, то парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

3. Координатами вершины параболы.

-Учитывая все сказанное, проведем рассуждения при а>0.

1. а>0, значит, ветви параболы направлены вверх.

2. xj, х2 - различные корни, значит, парабола имеет две точки пересечения с осью абсцисс, а значит дискриминант квадратного трехчлена больше 0. Р>0.

3. m<xj<X2, значит, на оси ОХ точка m лежит левее точек дг/, х2.

4. Изобразим схематично график функции f(x)=ax2+bx= с.

Изображает график, отмечает точки.

5. Сравним значение многочлена f(x) в точках Xi , х2 , m . Видим, что f(m)>f(x,). то есть f(m)>0.

6. Итак, мы получили, что если xh х2 -различные корни квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+c удовлетворяют неравенствам m<Xj<X2, то при а>0 выполняются условия D> 0, f(m)> 0.

(На этом этапе на доске изображена графическая иллюстрация без обозначения абсциссы вершины параболы и

без записей (таблица 3)

Выясним, достаточно ли этих условий? Для этого проведем «обратные» рассуждения.

Задача 1*. Пусть имеем квадратный трехчлен f(x)=ах2+Ьх+с, xh х? -корни, m - действительное число. D>0, f(m)>0. Определить взаимное расположение точки m и корней квадратного трехчлена.

Обращает внимание учащихся на запись условия задачи 1* на доске (таблица 2, правая часть). На данном этапе перед учащимися только запись условий D>0, f(m)>0 и требования к задачей.

1. Пусть а>0, значит, ветви параболы направлены вверх.

2. D>0, значит, квадратный трехчлен имеет два различных корня. Пусть Л/<лч

3. Изобразим схематично график функции. (Изображает график).

4. f(m)>0, значит, на оси ОХ точка m располагается либо правее точки л\ либо левее точки х.

Возможны случаи:

m<Xi<X: или лг/<лг?</я Видим, что ранее выделенные условия не определяют однозначно положение точки m на оси ОХ, то есть этих условий не достаточно, чтобы корни квадратного трехчлена были бы больше числа т.

Вернемся к «прямым» рассуждениям и подумаем, какие условия доопределят однозначное положение точки m на оси ОХ. Для чего вспомним, все ли условия, характеризующие положение параболы, мы использовали?

- Подумайте, как связать их с точкой /77?

- Переведите на алгебраический язык. Дополняет рисунок и записи на доске пунктом 3 б в задаче 1.

-Мы не использовали координаты вершины параболы.

- Можно заметить, что абсцисса вершины параболы располагается правее точки т.

- т<-Ь/2а.

- Подведем итог. Выяснили, что если xt, х2 - различные корни квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+c4 удовлетворяющие неравенствам m<Xj<xj, где m- действительное число, то при а>0 выполняются условия Г а>0, J D>0, J m<-b/2a, U(m)>0.

Далее оформляются записи в тетради (таблица 2).

Предлагаем учащимся еще раз сформулировать и доказать обратное утверждение для а<0.

Дополняет записи условия в задаче 1* неравенством т<-Ь/2а. Сопровождает рассуждения учеников графической иллюстрацией и записями (таблица 2, правая часть).

Формулируют. Доказывают.

Записи ведутся «параллельно» в левой и правой части таблицы.

2.1.2. Решение задач 1,1* при а<0

Предлагаем учащимся провести рассуждения при а<0.

(записи на доске дополняются второй системой неравенств)

Учащиеся самостоятельно проводят рассуждения.

2.1.3. Формулировка утверждения в виде необходимого и достаточного условия

- Сформулируйте утверждение в виде необходимого и достаточного условия. Подводим итог.

- Итак, мы сформулировали теорему. Теорема 1: Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше чем число m, необходимо и достаточно выполнение условий:

Далее заполняем вместе с учениками 1 блок таблицы 1. (Учащимся заранее роздана канва таблицы 1. В ней для эконо-

Учащиеся формулируют. Учащиеся работают вместе с

мии времени заготовлены изображения системы координат и параболы). Во время заполнения таблицы учитель сам или ученики еще раз проговаривают рассуждения, делают дополнения к рисункам и записывают условия в виде системы неравенств.

учителем, заполняют таблицу.

III. Рефлексивно-оценочный этап

3.1. Осознание и первичное осмысление

- Итак, мы нашли условия, при которых корни квадратного трехчлена больше заданного числа. Попытаемся применить полученные утверждения при решении конкретных задач. Открывает доску с записью задач. 4. Запишите условия, при которых корни приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 больше 3. 5.При каких условиях корни квадратного трехчлена f(x)= ах~+Ьх+ с не меньше т?

Ученики устанавливают условия:

Заметим, что:

1.В задаче нет условий, характеризующих количество корней, поэтому D>0.

2.Точка m может совпадать с х{, поэтому f(m)>0 или f(m)<0.

3. Квадратный трехчлен может иметь один корень, и он равен т, поэтому т<-Ы2а.

4. Таким образом, условия следующие:

6.Обобщите утверждения о расположении корней квадратного трехчлена, если знаки коэффициента а не известны.

Заметим, что:

- при разных значениях а неизменными остаются два условия D>0, т< -Ь/2а;

-aw f(m) имеют разные знаки, а значит, их произведение отрицательно.

Таким образом, в теореме 1 вме-

Далее предлагаем решить учащимся пример 3. Обращаем внимание, что решить сможем пока только часть задачи -найти, при каких значениях параметра корни больше 0.

сто двух систем можно записать одну:

Решают в тетрадях и на доске пример 3.

Решение.

1. Т.к. в условии задачи речь идет о квадратном трехчлене, то а-2ф0, т.е. аф2.

2. Используя обобщение теоремы 1, получаем: \а2-(а-2)(2а-3)>0, \a/(a-2)>0t

{(а-2)(2а-3)<0.

Учащиеся доводят решение до конца.

3.2. Прогнозирование в изучении темы

- Данный пример показывает, что пока мы не установили условия, при которых корни квадратного трехчлена будут меньше заданного числа т, т.е. xt<x2<m. Таким образом, очевидно, что необходимо найти эти условия.

- Подумайте, а какие случаи взаимного расположения корней квадратного трехчлена и действительных чисел тип еще возможны.

Учитель фиксирует все предложенные случаи на доске. В итоге:

2) Xi<X2<m,

3) Xj<m<x2,

4) m<xj<x2<n,

5) m<xj<n<x2

6) Xi<m<x2<n,

7) xi<m<n<x2.

-Видим, что разобрали далеко не все утверждения о расположении корней квадратного трехчлена. Сформулируйте, чем же нам предстоит заниматься в дальнейшем?

Учащиеся высказываются.

-На следующих уроках нам необходимо определить условия, при которых корни квадратного уравнения удовлетворяют неравенствам 2)-7).

- Что дальше можно делать с полученными утверждениями?

-Полученные утверждения можно применять при решении квадратных уравнений с параметрами, корни которых будут удовлетворять каким-либо условиям 1)-7).

3.3.Подведение итогов

- Как вы думаете, можно ли запомнить все утверждения?

- А как же быть, если вы забыли, при каких условиях корни квадратного трехчлена располагаются определенным образом?

-В чем же ценность нашей работы на уроке?

-Подведем итог. В начале урока мы поставили перед собой цель. Достигли ли мы ее?

-В чем заключается метод решения уравнений с параметрами, корни которого удовлетворяют определенным условиям?

- Попытайтесь сформулировать суть метода.

Ученики высказывают свое мнение.

- В этом случае можно попытаться восстановить проведенные нами рассуждения.

-Мы не просто сформулировали новые математические утверждения, но и пытались выявить метод решения таких уравнений, учились рассуждать.

- Цели, поставленные в начале урока, достигнуты. Мы смогли найти утверждение о расположении корней квадратного трехчлена, которые больше заданного числа, установили метод рассуждений.

- Метод заключается в использовании геометрической интерпретации.

Ученики вместе с учителем формулируют суть метода: Каждому аналитическому условию дается геометрическая интерпретация, а далее опять выводятся аналитические условия.

3.4. Домашнее задание

В качестве домашнего задания ученикам предлагается по записям в тетради восстановить «прямые» и «обратные» рассуждения в теореме 1, рассмотреть оставшиеся случаи взаимного расположения корней квадратного трехчлена и действительных чисел тип, полученные результаты занести в таблицу. На следующем уроке необходимо обсудить результаты самостоятельной работы.

Если есть время на уроке (учебное занятие состоит из двух уроков), то учащихся можно разбить на группы и выполнить задание в группах.

Таблица 1

Оформление доски

1. Найти решение уравнения при всех значениях параметра а.

ах+3х=4а.

Решение.

(а+3)х=4а,

1. Если то х=4а/(а+3),

2. Если а=-3, то корней нет

1a

2. Найти решение уравнения при всех значениях параметра а

х*+3х-а=0.

1 способ

2 способ

Домашняя задача. Найдите все значения параметра, при которых два корня квадратного трехчлена х~-4ах+ J-2a+4a различны и каждый из них больше 1.

3. Найти все значения параметра, при которых квадратный трехчлен (а-2)х-2ах+2а-3 имеет два различных корня одного знака.

Задача 1.

f(x)=ax'+bx=c,

л*/, х2- различные корни,

m - действительное число

т<х/<х2 (1)

Найти условия, при которых корни квадратного трехчлена удовлетворяют неравенству (1)

Задача 1*. f(x)=ax2+bx-c, X1, Ху - различные корни, m - действительное число, выполняются неравенства

а>0

1. а>0. значит, ветви параболы направлены вверх.

2. Xi, Ху - различные корни, значит, парабола имеет две точки пересечения с осью абсцисс, а значит, дискриминант квадратного трехчлена больше 0. Р>0.

3. a) m<xL<Xy. значит, на оси ОХ точка m лежит левее точек х,

б) ш<Х/<Ху. значит, m лежит левее абсциссы вершины параболы на оси ОХ, значит, пК-Ь/2а

1. Пусть a> 0. значит, ветви параболы направлены вверх.

2. D>0, значит, квадратный трехчлен имеет два различных корня. Пусть xL<x%

3. f(m)>Q. значит, на оси ОХ точка m располагается либо правее точки х, либо левее точки X .

Возможны случаи:

Таблица 2

Таблица 3

РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА.

X1 и Х2 различные корни уравнения АХ2+ВХ+С=0; т, п-действителъные числа

Н.А. Серова

Урок решения задач на доказательство равенства треугольников (7 класс)

Методические комментарии. Как правило, учащиеся испытывают затруднения при решении геометрических задач, поскольку не владеют в должной мере способами поиска решения (аналитическим, аналитико-синтетическим методами рассуждений). Несмотря на то что поиск характеризуется как интуитивный процесс непрерывного прогнозирования, ему можно обучать школьников с первых уроков геометрии. На данном уроке учащиеся в совместной деятельности с учителем выделяют схему поиска решения задач аналитико-синтетическим методом, то есть происходит обучение общим методам математической деятельности. Для этой цели используется цепочка динамических задач (нумерация задач соответствует порядку их решения на уроке). Задача №4 (рис. 3). Докажите, что /.ТМО = /ОКР , АМТО = АОРК, если Z3 = Z4.

Задача № 41 (рис. 3). Докажите, что /МТО = /ОРК% если Z3 = Z4, МТ=РК, МО= ОК.

Решение второй задачи базируется на решении первой, поэтому не вызывает у семиклассников затруднения. Моделируем искусственно новую ситуацию: представим, что задача № 41 сформулирована в учебнике, а задача № 4 не решена. В этом случае, признают школьники, решение задачи № 41 не является простым заданием. В ходе беседы создаем граф-схему - модель поиска решения этой конкретной задачи, а затем общую схему поиска решения задачи:

1) предположить, что задача решена;

2) выяснить, из каких условий (цепочки условий) следует требование задачи (предположение);

3) выяснить, как соотносятся найденные условия с условием задачи;

4) указать ход решения задачи.

На предыдущих уроках геометрии учащиеся доказали первый признак равенства треугольника, рассмотрели решение одно- и двушаговых задач на доказательства равенства треугольника и нахождение величин отрезков и углов, связанных с треугольниками.

Конспект урока

Тема урока. Решение задач на доказательство равенства треугольников Цели урока. 1) выделить особенности решения многошаговых задач; 2) выделить действия, с помощью которых осуществляется аналитико-синтетический поиск решения многошаговых («сложных») геометрических задач (указывать название метода поиска учащимся необязательно).

В результате ученик

- осознает, почему при решении многошаговой задачи требуется поиск ее решения;

- приводит схему поиска решения задач аналитико-синтетическим методом;

- приводит решение задачи по граф-схеме - модели поиска решения задачи.

Ход урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть

- Вспомните, пожалуйста, какой объект мы изучаем на уроках геометрии? (Объектом изучения является треугольник.)

- О каком отношении между треугольниками шла речь на последних уроках?

(Об отношении равенства между треугольниками.)

- Какие треугольники называются равными?

(Определение 1. Треугольники называются равными, если они совпадают при наложении. Определение 2. Если все стороны и все углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника, то такие треугольники равны.)

- Предлагаю начать урок с решения двух задач (№ I, № 2) по готовым рисункам с общим требованием: дополните условие каждой задачи так, чтобы А ЛВС = A MP К.

Ученики добавляют равенства элементов этих треугольников исходя из определения и признака равенства треугольников. Обращаем внимание на целесообразность использования при доказательстве равенства треугольников теоремы, а не определения этого отношения.

- Решим задачу № 3 (рис.2). Рассмотрим треугольники А ABC и А МРК. Постройте дополнительные лучи для лучей ВА и МК. Считая треугольники равными, сравните углы / и 2.

(Так как треугольники равны, ZCBA = ZKMP. Следовательно, смежные с ними углы также равны между собой.)

- Отразим решение задачи в виде схемы.

Рис. 1 Рис. 2

- С какого факта начали решение задачи? (Известно, что А ABC = А МРК.)

- Какое следствие получили из этого условия? (ZCBA- ZKMP как соответственные углы в равных треугольниках, лежат против равных сторон АС и PK.)

- Почему равны углы / и 2?

(Z1 = Z2 как углы, смежные с равными углами.)

- Обсудим решение еще одной задачи.

Задача № 4 (рис. 3). Докажите, что ZTMO=ZOKP,AMTO = А КРО, если Z3 = Z4.

Рис. 3

- Докажите, что ZTMO = ZOKP .

(Углы равны, так как они являются смежными соответственно для углов 3 и 4, Z3 = Z4 по условию.)

- Обоснуйте равенство треугольников МТО и ОРК. (Треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.)

- Какие выводы можно сделать из равенства треугольников? (Попарно равны соответственные элементы этих треугольников.)

- Учитывая последний вывод, составьте задачи с новым требованием по рис.3.

Семиклассники, сохраняя условие задачи, предлагают доказать равенство сторон ТО и РО; равенство углов ZTOM и ZPOK ; ZMTO и ZOP К.

- Выберем одну из вновь составленных задач. Например, пусть требуется установить равенство углов ZMTOuZOPK.

Фиксируем условие и требование задачи на доске. Задача № 41. Дано: Z3 = Z4, МТ=РК, МО=ОК. Доказать: ZMTOUZOPK. Просим семиклассников еще раз устно провести решение задачи. Затем задаем ряд вопросов.

- Чем решение этой задачи отличается от решения задач № 1,2? (Решение задача № 41 длиннее по рассуждениям, пришлось использовать

большее количество фактов, выполнить больше действий).

- Как вы считаете, почему нам удалось решить эту многошаговую задачу довольно быстро?

(Сами составили задачу, изменяя требование более простой задачи).

- Верно. Представим, что задача сформулирована в учебнике. Какая проблема возникнет в той ситуации?

(Как догадаться, из каких действий состоит решение «сложной» задачи?)

- Предлагаю поиску ответа на этот вопрос посвятить оставшееся время на уроке. Какая проблема возникает у вас, когда вы остаетесь «один на один» со «сложной» задачей?

(С чего начать решение задачи? Как догадаться об основной идее ее решения?)

- Какова же цель урока?

(Выяснить путь определения действий, из которых состоит решение «сложной» задачи.)

II. Операционно-познавательная часть

- Проведем анализ содержания задачи. С какими фигурами связаны углы ZMTO и ZOP К?

(Рисунок к задаче подсказывает, что углы ZMTO и ZOPK являются углами треугольников.)

- Перечислите известные вам способы доказательства равенства углов. (Чтобы доказать равенство двух углов, можно попытаться установить, что каждый из них равен третьему углу; что они вертикальные; что они соответственные углы равных треугольников и т.д.)

- Как вы считаете, какой из способов целесообразно использовать для решения этой задачи?

(Для доказательства равенства углов в данном случае целесообразно использовать равенство треугольников.)

- Равенство каких элементов достаточно установить для доказательства равенства треугольников на основании известного признака?

(Достаточно установить равенство углов ТМО и РКО.)

- Как показать, что эти углы равны?

(Углы ТМО и РКО равны, так как они являются смежными соответственно для углов 3 и 4, Z3 = Z4 по условию.)

- Поиск решения задачи закончен, его ход отразим с помощью схемы -ориентированного графа.

Схема (модель) решения задачи

(1 шаг: свойство равных треугольников) (2 шаг: признак равенства треугольников) (3 шаг: свойство смежных углов) (4 шаг: дано)

- Как мы догадались о решении задачи? Выделим суть его поиска. С чего мы начали рассуждения?

(Мы предположили, что задача решена (то есть /.Т = ZP.)

- Верно, предположили, что задача решена. Как далее использовали это предположение?

(Выясняли, из какого условия следует требование задачи, то есть сделанное предположение.)

- Далее нашли предпосылки этого условия, то есть определили новое основание, из которого следует предыдущее условие и т.д. Как долго придется подбирать новые условия - предпосылки?

(Наверное, до тех пор пока условие, подобранное на некотором шаге, не будет следствием условия задачи.)

- Действительно, при решении последней задачи равенство углов ТМО и РКО следует из ее условия (Z3 = Z4).

Зафиксируем ход рассуждений поиска решения задачи на доске и в тетрадях.

1) предположить, что задача решена;

2) выяснить, из каких условий (цепочки условий) следует требование задачи (предположение);

3) выяснить, как соотносятся найденные условия с условием задачи;

4) указать ход решения задачи.

- Предлагаю проверить полученную схему поиска решения задачи. Каким образом можно осуществить проверку?

(Давайте решим задачу, решение которой нам не известно.)

- Хорошо. Предлагаю провести поиск решения следующей задачи (рис.4) и зафиксировать ход рассуждений в виде граф-схемы.

Задача №5. Дано: АЕ = AB, AD= AC. Доказать: ZI = Z2

Рис.4

На данном этапе урока, как нам представляется, удобна форма работы в группах. Итогом обсуждения самостоятельной работы семиклассников должна стать граф-схема:

- Чем отличается полученная схема от схемы поиска решения предыдущей задачи?

(В этой схеме в отличие от предыдущей зафиксированы на первом шаге различные условия, из которых может следовать равенство углов Z1 и Z2 (А ВСО = A EDO либо < ABD = < ЛЕС).

- Действительно, для первой задачи схема носила линейный характер. Для второй - возможны различные пути поиска условий. При этом группы ребят, где появился вариант доказательства равенства углов как соответственно равных углов в равных треугольниках, не реализовали его. Возможно, у нас недостаточно знаний для дальнейших рассуждений либо нельзя подобрать условие для доказательства равенства треугольников в условиях задачи. Какие выводы позволяет сделать поиск решения задачи № 51

(Во-первых, подбор условий, из которых следует требование или предыдущее ранее подобранное условие, неоднозначен. Во-вторых, не каждое подобранное условие соотносится с условием задачи.)

III. Рефлексивно-оценочная часть урока

- Итак, подведем итог урока. В течение двух-трех минут предлагаю вам ответить «про себя» на следующие вопросы:

1. Какова учебная цель урока?

2. Удалось ли ее достичь?

3. Каковы для вас результаты урока?

- Интересно, как ответили вы на поставленные вопросы? Какова учебная цель урока?

(Выяснить, как определить действия, из которых состоит решение «сложной» задачи?)

- Переформулируйте поставленную учебную цель урока, используя новое для нас выражение «поиск решения задачи».

(Выяснить, как организовать поиск решения «сложной» задачи)

- Перечислите основные этапы поиска решения задачи. (Предположить, что задача решена; выяснить, из каких условий (цепочки условий) следует требование задачи (предположение); выяснить, как соотносятся найденные условия с условием задачи; указать ход решения задачи.)

- Каковы для вас результаты сегодняшнего урока?

(Решение «сложной» задачи - дело не простое, но интересное. Знаю, с чего начать работу над задачей, когда путь ее решения не очевиден. Понимаю, что способ рассуждения - поиск решения задач - предполагает различные варианты подбора условий, из которых следует требование задачи, причем не все они могут привести к решению задачи и т.д.)

- Предлагаю дома провести поиск решения задач №164, №166 (Геометрия: Учебник для 7-9 классов сред, шк./ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э.Г.Позняк. - М.: Просвещение, 2001-2002.) и зафиксировать ход рассуждений в виде граф-схемы.

Н.М. Марычева

Урок решения задач по теме «Делимость чисел»

Методические комментарии. Изучение математики в 5-6 классах соотносят с начальным этапом обучения школьников доказательству. Учащиеся этого возраста начинают осознавать необходимость построения логических цепочек умозаключений для обоснования математических фактов. Тема «Делимость чисел» благодатна для пропедевтики обучения учащихся 6 класса проведению логических рассуждений, выводу следствий, а также для первого знакомства с методами научного познания. Заметим, что с ребятами класса, в котором проходил данный урок, целенаправленно шла работа по формированию у них методологических знаний. Шестиклассники знакомы с различными математическими утверждениями (определение, теорема), имеют представления об их структуре и назначении. На предыдущих уроках в рамках изучения темы «Делимость чисел» учащиеся в совместной деятельности с учителем построили систему взаимосвязанных теорем, указав способ «появления» каждой из них (см. схему). При этом школьники убедились в необходимости запоминания из 25 утверждений лишь определения делимости чисел и трех «важных» теорем построенной системы. Этого набора утверждений достаточного, поскольку, используя их, можно вывести остальные утверждения. Основной идеей данного урока решения задач является «расширение» сферы применения способов логических рассуждений: от выяснении истинности утверждений в процессе построения системы теорем до способов решения конкретных задач.

Конспект урока

Тема урока. Делимость чисел в задачах.

Цель урока: выявить общие логические методы обоснования решений задач по аналогии с методами доказательств теорем в теме «Делимость чисел». В результате ученик

- знает, что известные методы рассуждений (приведение примера, контрпримера, «от противного», с помощью построения цепочки истинных утверждений) могут быть применены к решению задач по теме «Делимость натуральных чисел»;

- понимает, что выбор способа решения конкретной задачи не всегда однозначен;

- понимает, что способ решения часто определяется фабулой задачи;

- по анализу формулировки задачи предсказывает возможные пути решения;

- проводит решение конкретной задачи на делимость чисел в сотрудничестве с одноклассниками и учителем;

- осознает, что способы решения задач аналогичны способам рассуждений при выяснении истинности утверждений в процессе построения системы теорем по теме «Делимость чисел»;

- убеждается в необходимости запоминания лишь определения делимости чисел и нескольких «важных» теорем построенной системы как достаточного набора утверждений, используемых при решении задач.

Ход урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

I. Мотивационно-ориентировочная часть

- Чем мы занимались на протяжении нескольких последних уроков?

- Проведя анализ системы теорем, зафиксировав модель цикла познания в науке, какую учебную задачу мы поставили ранее на сегодняшний урок?

- Какое основополагающее теоретическое положение темы мы должны знать?

- Сформулируйте определение делимости натуральных чисел.

Конструировали и анализировали систему теорем по теме «Делимость чисел».

Учиться применять «новые знания» на практике в решении задач по теме «Делимость чисел».

Определение делимости чисел.

Число а делится на число Ь, если найдется такое число р, для которого выполняется равенство

а-Ь- р.

- Договоримся, что на сегодняшнем уроке мы работаем только с натуральными числами и далее это оговаривать не будем.

- Прочтите задачи:

1. Делится ли 362 на 2?

2. Верно ли, что если А'Л,А\Ъ,то A:\21

3. Верно ли, что если А\4, А\6,то А\24?

4. А':3. Может ли на 3 делиться 2AI

5. Л:3,д:з. Может ли (Л + Я)!3?

Читают формулировки задач, которые записаны на доске.

- Какие ответы предполагает формулировка заданий?

Да. Нет.

- Удовлетворят ли нас эти ответы?

Нет. Необходимо обосновать ответ, выяснить истинность утверждений.

- Решим предложенные задачи устно (учащиеся решают задачи, проверка осуществляется фронтально).

1.Да. На основании определения делимости чисел; на основании признака делимости на 2.

2. Да. На основании теоремы Т1 (см. схему).

3.Нет. Можно привести контрпример (/4=72).

4. Нет. Докажем методом «от про-

-Зафиксируйте самостоятельно в тетрадях в левой части таблицы из двух столбцов способы обоснования решений представленных задач.

тивного».

5. Да. Можно привести пример (А=2, В=4,А+В=6, 6:3)

пример

контрпример

теорема

определение

метод «от противного»

Проверка осуществляется фронтально. Учащиеся соотносят полученные результаты с записью на доске, которую открывает учитель.

II. Операционно-познавательная часть

- Предлагаю вам набор более сложных задач на делимость чисел. Выдвиньте гипотезу о способах их решения и зафиксируйте в таблице в правом столбце номера задач, соответствующих указанному способу.

«Задачи 1- 10»

1. А-четно. Верно ли, что ЪА\6 ?

2. (a + l):3 . Доказать, что 4(я+7):3 .

3. Доказать, что ababab :7.

4. 15Л:6 .Верно ли, что А':6 ?

5. а:6, ab':6 . Верно ли, что Ь\6 ?

6. Доказать, что произведение трех любых последовательных натуральных чисел делится на 6.

7. Определить делители числа п = 3- 7-11.

8. Доказать, что сумма трех любых последовательных натуральных чисел делится на 3.

9. Верно ли, что 324 : 31

10. А':5 , В':5 .Может ли (А-В)':3 ?

пример 10 контрпример 4 теорема 1,2,3,5,6,8,9 определение 1,2,3,6,7,8,9 метод «от 5 противного»

Учащиеся работают в парах. Для каждой пары заготовлен список задач «Задачи 1-10» Проверка осуществляется фронтально.

- Что подсказывает способ решения задачи?

- Уверены ли мы в правильности названных способов?

- Сможем ли провести доказательство для всех задач?

- По какому принципу выберем задачи для проверки?

Структура задачи, формулировка задачи, фабула задачи. Нет. Необходимо провести решения задач. Нет. Не хватит времени.

- выберем те задачи, которые проще;

- выберем те, в решении которых сомневаемся;

- выберем те, которые не знаем, как решать.

Совместно с учителем учащиеся выбирают и проводят решение задачи № 2.

- Решим задачу № 2. На основании какого факта можно обосновать делимость числа 4(а + 7) ?

Воспользуемся определением делимости чисел. Пусть а +1 = Зк, где ке N, так как (а +1):3 .

- Преобразуем равенство а +1 = Зк так, чтобы левая часть приняла вид 4(а + 7) .

а + \ = 3ку 4(а + 1)=4-Зк, 4(а + 1)+6-4 = 4-Зк + 6-4, 4(а + 7) = 3(4/с + 8) Следовательно, 4(а + 7):3

- Предложите другое решение задачи. Какие теоретические факты, связанные с делимостью чисел, вам известны?

Попытаемся доказать 4(а + 7):3 , используя теоремы делимости чисел (см. схему).

- Представьте выражение 4(a + l) в виде суммы слагаемых так, чтобы явным способом было представлено выражение (а + \) .

ia+l)={a+\)+{a+\)+{a+\)+{a+\)+24 (а +1):3; 24:3. Каждое из слагаемых делится на 3, поэтому сумма делится на 3 (по теореме Т2 схемы). Возможно и другое представление: <а + 7)=(а + 1)+3(я + 7) + 6; (а + 1)!3, 3(я + 7):3, 6:3. Поэтому 4(а + 7):3 , по теоремам Т15 и Т2 (в схеме).

- Итак, мы обнаружили, что обоснование делимости 4\а + 7) на 3 возможно провести на основании различных теорем, используя прием представления выражения в виде суммы удобных слагаемых, а также на основании определения делимости чисел.

III. Рефлексивно-оценочная часть

Подведем итоги работы на уроке. Закончите предложения:

1. В ходе решения задачи мы убедились, что задачи на делимость чисел могут быть решены...

2. Выбор способа решения задачи определяется...

3. Вариативность решения задач на делимость позволяет опираться в доказательстве...

- несколькими способами.

- структурой, формулировкой задачи.

- на определение делимости чисел, на «основные» или «вспомогательные» теоремы (схема ).

4. Главным достижением урока я считаю ...

- определение общих способов решения задач на делимость.

5. Мы выделили следующие общие способы решения задач:..

- приведение примера;

- приведение контрпримера;

- метод «от противного»;

- цепочка истинных утверждений с использованием теорем;

- цепочка истинных утверждений с использованием определения.

- Где мы встречались с этими способами?

- Где нам зафиксировать полученный вывод?

- при выяснении истинности теоретических утверждений (схема ) На обратной стороне листа «Система теорем по теме «Делимость чисел».

Учащиеся фиксируют вывод на обороте листа «Система теорем по теме «Делимость чисел». Записи учеников:

Способы решения задач

1) приведение примера;

2) приведение контрпримера;

3) метод «от противного»;

4) цепочка истинных утверждений с использованием теорем;

5) цепочка истинных утверждений с использованием определения.

- В чем состоит новое назначение построенной системы теорем?

- Нужна ли оговорка «задач на делимость чисел»?

- Действительно, мы выявили некоторые общие способы решения математических задач. Замечательный результат нашей совместной работы на уроке! Каков личный вклад каждого в «открытии» нового? Оцените свое участие по десятибалльной шкале.

- Предложите возможное домашнее задание.

Система теорем является «поставщиком» не только способов выяснения истинности теоретических утверждений, но и способов решения задач. Нет. Эти способы мы будем применять в решении задач и в других темах.

Придумать примеры задач на делимость чисел; Проверить остальные гипотезы по способу решения для задач списка 1-10

Домашнее задание: каждый выбирает из списка «Задачи 1-10» три задачи и решает их несколькими способами.

Схема

Система теорем по теме «Делимость чисел»

Н.Н. Егорова

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Натуральные числа и нуль»

Методические комментарии. Осознание ведущих математических понятий (к числу которых относится и понятие числа) является необходимым условием продуктивности учебной деятельности. Осмысленного оперирования понятием числа можно достичь лишь в результате знакомства учащихся с принципом расширения числовых множеств. Работу в этом направлении необходимо проводить уже в начале 5-го класса при переходе к изучению дробных чисел. Это позволит на основе положений принципа расширения строить алгоритмы действий с дробными числами, основываясь на аналогичных правилах операций для натуральных чисел. На первом этапе важно раскрыть необходимость введения дробных чисел. Эту задачу призван решить представляемый здесь урок.

Предлагаемый урок является заключительным по теме «Натуральные числа» и проводится после написания итоговой контрольной работы. Основная идея урока заключается в том, что, систематизируя знания о натуральных числах, ученики еще раз сталкиваются с невозможностью выполнения вычитания и деления в некоторых случаях. Тем самым возникает содержательная необходимость перехода к изучению нового числового множества.

В роли учителя при рассмотрении всех действий с числами выступают сами учащиеся, поэтому подготовка к уроку начинается за 1-2 недели до его проведения. Учащиеся делятся на 4 группы, каждая из которых работает с одним арифметическим действием. Группы готовят для работы в классе четыре типа заданий: пример на выполнение действия с проверкой; задания на вычисление с использованием свойств операции; уравнение и текстовые задачи, в условии которых были бы отношения, перевод которых на математический язык осуществляется посредством рассматриваемой группой операции. Предложенные задания должны быть доступны для решения устно (кроме примера на вычисление с проверкой) и ярко демонстрировать каждый теоретический факт. Накануне урока учитель проводит консультацию для каждой из групп.

Общая схема работы на уроке заключается в следующем: в ходе выполнения системы заданий, составленной одной из групп, происходит повторение основных теоретических положений, связанных с определенным арифметическим действием: определения (если оно известно), алгоритма выполнения действия и способов его проверки, свойств операции, «особенных» случаев и установление ее взаимосвязи с другими действиями. В процессе работы происходит постепенное заполнение таблицы, отражающей основные сведения о действиях над натуральными числами и их взаимосвязи. Таким образом, выстраивается система, демонстрирующая большую работу, проделанную школьниками при изучении натуральных чисел, начиная с

начальной школы. Осознание важности проделанной работы служит эмоциональным стимулом к продолжению изучения числовых систем и математики в целом.

Для более компактного изложения содержания урока конспект приводится в форме диалога: речь учителя и указания на его действия даются обычным шрифтом, предполагаемые ответы учеников указаны в скобках курсивом.

Конспект урока

Тема урока. Натуральные числа и нуль. Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний. Цели урока. Привести в систему знания о натуральных числах и арифметических действиях над ними. В результате урока ученик:

- словесно описывает множество натуральных чисел и способ определения арифметических действий на нем;

- перечисляет законы и свойства действий;

- выделяет круг задач, решаемых посредством каждого из действий;

- устанавливает взаимосвязь между действиями и поясняет выбор последовательности их рассмотрения;

- осознает невозможность выполнения вычитания и деления натуральных чисел в отдельных случаях;

- поясняет необходимость расширения множества натуральных чисел.

Структура урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть.

1.1. Мотивация.

1.2. Постановка учебной задачи (цели) урока

1.3. Планирование учебной деятельности.

II. Операционно-познавательная часть.

2.1. Обобщение и систематизация знаний об отдельных операциях над натуральными числами.

2.2. Установление связей между операциями.

2.3. Анализ построенной системы.

III. Рефлексивно-оценочная часть.

3.1. Оценка и самооценка учебной деятельности.

3.2. Подведение итогов урока.

3.3. Планирование предстоящей учебной деятельности.

Ход урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть

1.1. Мотивация

- Здравствуйте, ребята! Мы собрались сегодня на уроке, чтобы подвести итог очень большой работы, которую вы вели в течение нескольких лет

занятий математикой. Все это время, начиная с первого класса, с какими числами вы учились работать? (с натуральными) Какие числа называют натуральными? (числа, получаемые при счете предметов) Какое число используется для обозначения отсутствия предметов? (число 0)

-Натуральные числа и число нуль нам очень хорошо известны: мы умеем их читать и записывать, сравнивать и отмечать на числовом луче, выполнять с ними арифметические действия. А что же мы еще можем о них узнать? Чем нам заняться сегодня на уроке? (мы можем повторить все о натуральных числах; решать задачи и т.д.)

- Но все это мы уже не раз делали. Как же быть нам с таким «ворохом» знаний о натуральных числах? А что делаете вы, когда в вашей комнате накапливается много-много разных нужных вещей? (наводим порядок, раскладываем их по местам). Вот и у нас накопилось столько знаний, что пора навести в них порядок, подвести итог всему, что мы знаем о натуральных числах и нуле.

1.2. Постановка учебной задачи (цели) урока

- Предлагаю посвятить этому занятию сегодняшний урок. Давайте запишем тему урока «Натуральные числа и нуль» (записывает на доске, ученики - в тетрадях).

-А как сформулировать цель урока? (привести в порядок знания о натуральных числах и нуле; подвести итог изучения натуральных чисел). В науке, когда речь идет об упорядочении каких-то знаний, используют оборот «привести знания в систему». Давайте используем этот оборот в формулировке цели урока. Как будет звучать цель? (привести в систему знания о натуральных числах). Запишем эту формулировку.

1.3. Планирование учебной деятельности

-Но не только цель урока будет звучать непривычно, сам урок будет необычным - сегодня вы попробуете себя в роли учителя. А это, признаюсь вам, очень непросто. Поэтому «учителей» у нас будет несколько, и каждый проведет только часть урока. «Учителя» тщательно готовились к уроку вместе со своей группой ассистентов. Им известен порядок их выступления. А что же делать в это время остальным? (слушать, отвечать на вопросы, решать задачи и т.д.) И не только это. Перед вами на партах лежит канва таблицы, такая же заготовка сделана на доске. В ходе урока мы должны заполнить эту таблицу полностью, но делать это будете только вместе с «учителем».

(Ниже прилагается уже заполненная таблица)

Таблица

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ

- Кроме того, на уроке вводятся некоторые правила (вывешивается плакат с правилами работы на уроке, учитель дает необходимые пояснения):

1. Нельзя использовать название действия до тех пор, пока оно не появится в какой-нибудь модели (например, при решении задачи или уравнения).

2. Каждое решение должно быть обосновано, указаны правила, алгоритмы, свойства действий, использованные в решении.

3.В решении можно использовать только действия, которые рассмотрены к данному моменту на уроке (если есть несколько способов решения задачи, то выбираем тот, в котором используются только уже рассмотренные на уроке действия).

4. Записи ведутся каждым учеником в подготовленной заранее таблице, необходимые вычисления - в блокноте или на доске.

-Эти правила касаются как «учителей», так и «учеников». Почему мы устанавливаем такие строгие правила, выясним в конце урока. Все согласны принять такие правила работы? - Тогда начинаем постепенно заполнять графы таблицы. Как только вся таблица будет заполнена, мы постараемся каким-то образом связать ее графы и обсудим результаты работы.

II. Операционно-познавательная часть

2.1. Обобщение и систематизация знании об отдельных операциях над натурачьными числами

- Право руководства классом передается представителю первой группы. «Учитель» - Гаврилова Маша.

(- Чтобы понять, о каком действии пойдет речь, решите устно следующие задачи (текст проецируется с помощью кодоскопа или мультимедийного проектора):

1. В театре Юрия Куклачева работает 15 котов, что на 7 меньше, чем кошек. Сколько актрис в театре Куклачева?

2. Сколько всего актеров семейства кошачьих работает у Куклачева?

- Кто желает решить первую задачу у доски? (Чтобы найти, сколько актрис работает в театре Куклачева, надо к 15 прибавить 7, потому что кошек на 7 больше, чем котов. Получим ответ - 22 кошки)

-Решать вторую задачу будет у доски ...(Чтобы найти, сколько всего актеров работает в театре, надо сложить количество кошек и котов, т.е. к 15 прибавить 22, получим 37)

- О каком действии мы будем далее говорить? (о сложении) Запишем это в таблице.

- Как определяется действие сложения в математике? (затрудняются ответить) Мы говорили, что в математике нет четкого определения действия сложения, но его можно описать. Как найти сумму двух или нескольких слагаемых? (можно попытаться объединить множества, соответствующие слагаемым, и пересчитать все га элементы подряд) Сделаем запись в таблице.

- Хорошо. Как же выполняется сложение чисел на практике? Найдите сумму 15 848 + 7 653 и выполните проверку (складывают столбиком, проговаривая алгоритм, один человек у доски, остальные в блокнотах)

-Как произвести проверку выполненного действия? (с помощью вычитания) Мы не можем использовать вычитание, т.к. при этом нарушаем принятые правша. Как еще можно проверить сложение? (сложить слагаемые в другом порядке) На чем основан такой способ проверки? (на переместительном свойстве сложения) Давайте укажем его в таблице.

-А теперь вычислите устно наиболее рациональным способом и укажите свойства сложения, которые использовали при вычислении:

(1. (190+27)+33 = 190+(27+33) = 190+60 = 250 - сочетательное (формулирует)

2. 48+16+52 = 48+52+16 = 100+16 = 116 - переместительное (формулирует)

3. 97 + 0 = 97 - сложение с нулем (формулирует))

- Запишем эти свойства в таблицу в буквенном виде, а последнее отнесем к особым случаям сложения. А сколько получим при сложении нуля с нулем? (снова нуль) Это тоже отметим в таблице.

- И, наконец, последнее задание - решите уравнение: дг + 27 = 33. При этом помните о принятых правилах работы на уроке. (делают попытки решить, но в рамках действующих правил не справляются,) Что значит решить уравнение? (найти такое значение х, которое при подстановке обращает уравнение в верное равенство) Можете ли вы назвать такое значение х? (конечно, х = 6) Как его можно найти, не используя вычитания? (просто угадать, подобрать). Значит, при действующих ограничениях мы можем использовать единственный метод решения уравнений - метод подбора.

-Итак, подведем итог нашего разговора о сложении. Сложение -первое действие, которое производится над натуральными числами. Чтобы сложить два числа, надо объединить множеств, с числом элементов, равным слагаемым, и пересчитать все элементы подряд. На практике сложение чисел производят поразрядно, для этого слагаемые затесывают в столбик. Проверить действие сложения можно на основании переместительного свойства, переставив слагаемые местами. Сложение обладает также сочетательным свойством, позволяющим менять порядок действий при сложении трех слагаемых. Особый случай представляет сложение с нулем -сумма равна другому слагаемому. Уравнения, содержащие сложение, решаются методом подбора. Так мы заполнили первую графу таблицы полностью).

-Спасибо, Маша, за такую подробную работу. Благодарю всех ребят первой группы, которые так тщательно подготовили материалы для этой части урока. А нам пора переходить к следующему действию.

2.2. Установление связей между операциями

(Операции вычитания, умножения и деления рассматриваются аналогичным образом. В процессе работы заполняются остальные три графы таблицы, а также устанавливаются связи между ними, изображенные стрелками)

2.3. Анализ построенной системы

- Итак, мы заполнили таблицу полностью. Давайте обсудим полученный результат. Что отражено в таблице? (все основные сведения о действиях над натуральными числами)

- Как показаны в таблице связи между отдельными действиями? Какие это виды связей? (стрелки указывают либо на связь действия с обратным, либо на генетическую связь умножения и сложения)

- Как вы считает, почему я выбрала именно такую последовательность выступления представителей групп? (именно в таком порядке мы изучали действия с натуральными числами в начальных классах)

- Чем объясняется такая последовательность изучения действий? (сложение - самое простое из всех действий, деление - самое сложное, т.е. изучение строится от простого к сложному; все следующие действия как-то зависят от предыдущих)

- Зачем нужно было изучать четыре действия, если все они так или иначе сводятся к сложению? (чтобы сократить цепочку рассуждений или вычислений (в случае умножения); чтобы решать уравнения (деление необходимо для решения уравнения с неизвестным множителем) и выполнять проверку действий; они есть в математике, поэтому и мы их изучаем)

- Как вы объясните, почему из двух связанных со сложением действий сначала мы рассмотрели вычитание, а только потом умножение? Можно ли поменять последовательность изучения действий? (действия образуют пары взаимно обратных действий, изучать действия такими парами удобно, логично)

- Каким еще понятием мы объединяли действия, входящие пары сложение - вычитание, умножение - деление? (действия I и II ступеней соответственно) Значит, в процессе изучения действий продвижение осуществляется по ступеням. Именно такой порядок мы повторили сегодня на уроке.

- Теперь оценим получившуюся таблицу с эстетических позиций. Что вам нравится в таблице? (В таблице очень кратко и емко отражены все сведения об операциях над натуральными числами; сведения об отдельных действиях изложены по одному плану, это отражает аналогию свойств операций; таблица отражает «парность» арифметических действий и аналогию свойств действий по ступеням и т.п.)

III. Рефлексивно-оценочная часть

3.1. Оценка и самооценка учебной деятельности -Действительно, заполненная нами таблица имеет множество достоинств. Она получилась по-настоящему красивой и полезной, я бы сказала гармоничной. И все вы очень хорошо потрудились над ее созданием (и не только на самом уроке, но и при подготовке к нему). Особенно хочу отметить наших новых «учителей» - им большое спасибо за мой дополнительный выходной. А теперь я прошу вас на маленьких листочках, лежащих у вас на партах, 1) поставить себе оценку за работу на уроке и при подготовке к нему; и 2) оценить подготовительную работу (качество подобранных заданий, изготовление наглядных средств, готовность «учителя» и т.д.) каждой из четырех групп в той последовательности, как они были представлены на уроке.

3.2. Подведение итогов урока

- Итак, при постановке цели урока мы использовали оборот «привести знания в систему». Достигнута поставленная нами цель или нет, зависит от того, построена ли система знаний. Как вы считаете? Обоснуйте свой вывод (Мы привели знания в систему, потому что повторили все основные сведения о натуральных числах и действиями с ними)

- Но как переложить вещи не значит навести порядок, так и повторить -еще не значит привести в систему. Докажите, что система создана (мы свели все знания в таблицу; таблица отражает не только сведения о действиях, но и связи между ними, сходства и различия в операциях)

-Теперь вы действительно убедили меня, что система знаний построена. Доказательством этого является заполненная таблица. Ее вы дома аккуратно вклеите в тетрадь, или оформите на альбомном листочке, или внесете в компьютер.

3.3. Планирование предстоящей учебной деятельности

- Но мне не дают покоя некоторые «изъяны», отраженные в таблице и нарушающие гармонию натуральных чисел. Я имею в виду невозможность выполнить вычитание и деление в некоторых случаях. Как быть с ними? (Наверное, их можно устранить, но натуральных чисел для этого недостаточно). На следующем уроке мы расширим это множество за счет чисел нового вида и тем самым устраним один из найденных «изъянов».

Л.И. Кузнецова

Урок систематизации и обобщения знаний по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей» (10 класс)

Методические комментарии. Глава «Перпендикулярность прямых и плоскостей» согласно программе изучается в течение 17 уроков, т.е. на протяжении почти двух месяцев. Это большой срок. Тема создает основу для изучения последующих тем курса геометрии. Расстояния между простейшими фигурами и различные виды углов в пространстве являются основными количественными характеристиками взаимного расположения точек, прямых и плоскостей. Отработка этих понятий до уровня навыков при решении вычислительных задач необходимы для успешного изучения многогранников, тел вращения, векторов, метода координат, объемов. В то же время тема играет важную роль в формировании мышления и пространственных представлений школьников. Поэтому в конце изучения главы о перпендикулярности прямых и плоскостей целесообразно провести систематизацию и обобщение знаний и умений учащихся.

Систематизировать и обобщать требуется как теоретический, так и задачный материал. Чтобы осуществить это качественно, необходимы два урока. Они могут проводиться в один или разные дни. Мы приводим конспект сдвоенного урока. Логика его построения подсказывает, как этот урок разделить на два.

Для представления теоретического материала в сжатой и обозримой форме используются две таблицы.

Основные дидактические единицы темы выделены с помощью рисунков. Признаки определяемых в теме главных понятий показываются в таблице 1 с помощью стрелок. Стрелки изображены сплошной линией, если признак получен в том же блоке, что и определяемый объект, и штриховой линией, если признак следует из другого блока или из задачи. Если стрелки обратить, то можно сформулировать свойства понятий.

Стрелки появляются в процессе беседы с учащимися на уроке.

Учитель имеет соответствующие плакаты, кодопозитивы или использует мультимедийные средства. В идеале каждому ученику выдается ксерокопия таблицы после того, как на уроке она полностью заполнена или открыта.

Все типы задач представлены на одной конфигурации, т.е. решается комплексная задача с одним условием и несколькими требованиями. Приведем текст задачи.

Задача. Дан равносторонний треугольник ABC со стороной 6 см. Через середину О стороны AB проведен перпендикуляр OD к плоскости ЛВС, OD = 3 см. Построены отрезки DA, DB, DC, ОС. Найдите

1) пары перпендикулярных прямых;

2) пары перпендикулярных прямой и плоскости;

3) пары перпендикулярных плоскостей;

4) углы наклона прямых DA, DB, DC к плоскости ЛВС',

прямых DA и DB к плоскости DOCî прямой DC к плоскости ABD\

5) расстояния от точки D до плоскости ABC, от точки С до плоскости DAB, от точки А до плоскости DOC.

6) расстояния от точки D до прямых AB, ВС, АС\

7) двугранные углы DABC, DACB, DBCA ;

8) расстояния от точки О до плоскостей DAC и DBC ;

9) расстояния от точек А и О до прямой DC ;

10) двугранный угол A DC В;

11 ) расстояние от точки А до плоскости DCB:

12) угол между прямыми AD и ВС;

13) расстояние между прямыми AD и ВС:

14) двугранный угол ADBC.

Очевидно, что все требования невозможно реализовать даже на двух уроках. Здесь предполагается решение лишь части задач, соответствующей уровню учащихся класса. Остальные задания можно предлагать в порядке индивидуальной работы в классе или дома при изучении данной темы или в теме «Пирамида».

Записи, которые ведутся на доске и в тетрадях в ходе урока, представлены на отдельных страницах в конце конспекта.

Конспект урока

Тема. Перпендикулярность прямых и плоскостей.

([Геометрия: Учебник для 10-11 классов сред, шк./ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э.Г.Позняк. - М.: Просвещение]. Тип урока. Урок систематизации и обобщения. Цели урока.

Систематизировать и обобщить

- выделенные ранее знания о парах объектов в пространстве, между которыми устанавливается отношение перпендикулярности, и охарактеризовать это отношение для различных пар (определение, признак, свойство);

приемы (теоретический базис, эвристики) доказательства перпендикулярности двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей;

- типы задач на вычисление и способы их решения. В результате ученик

• знает:

- что перпендикулярными могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости;

- определение, признаки, свойства для каждой пары перпендикулярных объектов;

- что перпендикулярность двух прямых можно доказать с помощью определения перпендикулярных прямых, леммы, определения прямой, перпендикулярной к плоскости, теоремы о трех перпендикулярах и ей обратной;

- что перпендикулярность прямой и плоскости можно доказать с использованием определения прямой, перпендикулярной плоскости, теоремы о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости, признака перпендикулярности прямой и плоскости, теоремы о связи между параллельностью двух плоскостей и их перпендикулярностью к прямой;

- что перпендикулярность двух плоскостей можно доказать на основе определения перпендикулярных плоскостей, признака перпендикулярности двух плоскостей;

- обобщенный план решения задач на нахождение расстояний и углов;

• умеет:

- доказывать перпендикулярность двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей;

- находить расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости;

- находить углы между прямыми, между наклонной к плоскости и плоскостью, между плоскостями, когда точки, прямые и плоскости задаются элементами треугольников;

• осознает:

- природу происхождения темы;

- роль аналогии и обобщения в получении новых знаний;

- значимость темы в курсе стереометрии, ее роль для дальнейшего построения курса.

Структура урока

1. Мотивационно-ориентировачная часть.

1.1. Установление происхождения темы.

1.2. Мотивация, постановка целей урока.

2. Операционно-познавательная часть.

2.1. Систематизация теоретического материала о перпендикулярности прямых и плоскостей.

2.1.1. Работа с таблицей 1.

2.1.2. Решение задачи (требования 1-3).

2.2. Систематизация теоретического материала о расстояниях и углах в пространстве (работа с таблицей 2).

2.3. Работа с задачей (требования 4-8).

3. Рефлексивно-оценочная часть.

3.1 Подведение итогов урока.

3.2.0риентация на контрольную работу.

3.3.Задание на дом.

Ход урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

I. Мотивационно-ориентировочная часть

1.1. Установление происхождения темы

- На дом вам было задано выделить те теоретические положения, с помощью которых можно доказать перпендикулярность основных объектов пространства. Вы должны были написать это на отдельных листах, и сейчас прошу вас их сдать.

- Мы завершили изучение большой темы курса стереометрии «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Как эта тема у нас появилась?

- В планиметрии мы рассматривали различные случаи расположения двух прямых по наличию у них общих точек. Но этой характеристики оказалось недостаточно, например, если прямые пересекаются. Пересекаясь, они все равно располагаются по-разному. Выделяется особый случай взаимного расположения двух прямых -перпендикулярные прямые. Это позволило установить признак параллельности двух прямых, вычислять расстояния от точки до прямой, между параллельными прямыми, рассматривать другие свойства различных планиметрических фигур. Мы предположили, что аналогичные понятия можно ввести и в стереометрии.

- Хорошо. В планиметрии мы изучали перпендикулярность прямых. А какие объекты могут быть перпендикулярны в пространстве?

- Да! Поэтому и тема называется «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

Перпендикулярными в пространстве могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости.

1.2. Мотивация. Постановка целей урока

- Что же мы изучали в теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»?

- А какие задачи решали?

-Вы видите, какой это обширный материал, сколько в нем разных теорем, задач. На его рассмотрение мы потратили 14 уроков. Что нам предстоит сделать теперь?

- А что значит привести знания в систему?

- Правильно. И как будет звучать тема сегодняшнего урока?

- Хорошо. Цели мы уже сформулировали. Запишем тему.

- Определения перпендикулярности различных объектов, доказывали признаки и свойства перпендикулярности, способы нахождения расстояний и углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями.

- Доказывали перпендикулярность объектов, находили соответствующие расстояния и углы.

- Привести полученные знания и умения в систему и подготовиться к контрольной работе.

- Выделить то, что в теме является главным, разделить факты на некоторые классы на основании одинаковых, общих, существенных свойств и признаков, установить взаимосвязи, выделить основные типы задач и методы их решения.

- Перпендикулярность прямых и плоскостей.

II. Операционно-познавательная чисть

II.1 .Систематизация теоретического материала о перпендикулярности прямых и плоскостей

II.1.1. Работа с таблицей 1

- Перпендикулярность каких объектов мы изучили?

- Будем работать с таблицей. (Открывает заголовок таблицы 1)

- Итак, в теме мы выделили три блока, связанные с перпендикулярностью. Вспомним

- Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.

определение перпендикулярности каждой пары объектов и выделим способ доказательства перпендикулярности каждой пары. Какие прямые называются перпендикулярными?

- Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

- Как могут быть расположены перпендикулярные прямые в пространстве? (Открывает соответствующий рисунок)

- Они могут пересекаться и скрещиваться.

- Какой теоретический факт, связанный с перпендикулярностью прямых, мы изучали?

- Лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

- Сформулируйте ее. (Открывает рисунок)

(Формулируют)

- Поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Начнем с определения.

(Открывает рисунок)

- Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

- В этой части было доказано много теорем, подумайте, какие теоремы вы бы отнесли к ней. Называйте и формулируйте их.

(Открывает соответствующие рисунки)

Признак перпендикулярности прямой и плоскости (формулирует).

- Теоремы о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости (формулирует).

- Теоремы о связи между параллельностью двух плоскостей и их перпендикулярностью к прямой (формулирует).

- В эту часть мы отнесем теорему о трех перпендикулярах и обратную к ней.

А как вы думаете почему? -Молодец! Рассмотрим последнюю

- Потому что она доказывается с помощью определения прямой, перпендикулярной к плоскости.

- Две пересекающиеся плоскости

часть. Какие две плоскости называются перпендикулярными?

называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

-Какие факты можно отнести в эту часть?

-Признак перпендикулярности двух плоскостей.

- Правильно. Итак, тема «Перпендикулярность прямых и плоскостей» появилась по аналогии с темой «Перпендикулярность прямых на плоскости». Я напомню вам, что многие определения и теоремы вы формулировали сами по аналогии с известными определениями в планиметрии или обобщая их - заменяя прямые на плоскости, лучи на полуплоскости. При доказательстве теорем в каждом последующем блоке использовались теоремы предыдущего блока (показывает столбцы) и теоретические положения темы «Параллельность прямых и плоскостей». Однако и перпендикулярность работает на параллельность - мы получили новые свойства и признаки параллельности прямых и параллельности плоскостей. Посмотрите на рисунки 7 и 8. Например, сформулируйте признак параллельности прямых по рисунку 7.

- Две прямые в пространстве параллельны, если они перпендикулярны некоторой плоскости.

- Дома вы формулировали эвристики для установления перпендикулярности прямых и плоскостей. Сейчас у вас будет возможность проверить правильность выполнения этого задания. Продолжите предложение: «Две прямые в пространстве перпендикулярны, если ...».

- Две прямые в пространстве перпендикулярны, если

- угол между ними равен 90°;

или

- одна из них перпендикулярна некоторой прямой, а другая ей параллельна;

или

- одна из них перпендикулярна некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости;

или

- одна из них является наклонной к некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции первой прямой.

(Аналогичная работа проводится с формулированием эвристик для установления перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей)

(Ученики формулируют следующие эвристики:

Прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны, если

- прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости;

или

- прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости;

или

- прямая параллельна некоторой другой прямой, перпендикулярной данной плоскости;

или

- данная плоскость параллельна некоторой другой плоскости, перпендикулярной данной прямой. Две плоскости перпендикулярны, если

- угол между ними равен 90е;

или

- одна из этих плоскостей содержит прямую, перпендикулярную второй плоскости.)

Стрелки, с одной стороны, показывают, как теоретические положения последующих блоков используются в предыдущих. А с другой - как именно будет работать этот материал в дальнейшем. Здесь выделены приемы, эвристики для доказательства перпендикулярности прямых и плоскостей.

II. 1.2. Работа с задачей (требования 1-3)

-Теперь поработаем с задачей. Рассмотрим следующую конфигурацию: дан равносторонний треугольник ABC, через середину О стороны AB проведен перпендикуляр OD к плоскости ABC, построены отрезки DA, DB, DC, ОС. Запишем, что дано. Задание 1: найдите пары перпендикулярных прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, выделите теоретический базис доказательства.

- Работаем в парах. Первый ряд ищет пары перпендикулярных прямых, второй - перпендикулярных прямой и плоскости, третий ряд - пары перпендикулярных плоскостей. Дома вы выделяли теоретические положения, на основе которых можно доказывать перпендикулярность, здесь мы их повторили. Вот это и используйте. Даю вам 5 минут.

(Работают)

- Начнем с первого ряда. Делайте записи в тетради. (Записи на доске делает ученик)

(Ученики называют найденную пару и то положение, которое использовали)

- DO 1 AB (DOl ABC, значит, по определению прямой, перпендикулярной плоскости, DO, в частности, перпендикулярно AB)

- DOl AC, DOl ВС (аналогично)

- DC 1 AB (по лемме, теореме о трех перпендикулярах).

-Хорошо. Послушаем теперь второй ряд.

- DO 1 ABC (по условию).

-ABl COD, СО 1ADB (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

-Третий ряд, пожалуйста.

-DABI ABC (по признаку перпендикулярности плоскостей) - DOC 1 ABC (по признаку перпендикулярности плоскостей)

-DOC 1ADB (по признаку перпендикулярности плоскостей).

II.2. Систематизация теоретического материала о расстояниях и углах (работа с таблицей 2)

- Мы знаем, что изученная тема позволяет ввести метрические характеристики в пространстве: расстояния между объектами и углы между ними.

Повторим, как определяются расстояния между различными фигурами. (Открывает заголовок: «Расстояния в пространстве»)

- Что называется расстоянием от точки до прямой?

(Учитель открывает по очереди каждый рисунок в таблице)

- Какие еще расстояния вы можете назвать?

- Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного от этой точки к данной прямой.

- От точки до плоскости. Это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной плоскости.

- Расстояние между параллельными прямыми. Это расстояние от произвольной точки одной прямой до другой.

- Между параллельными прямой и плоскостью. Это расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.

- Между параллельными плоскостями - расстояние от произвольной точки одной из плоскостей до другой.

- Между скрещивающимися прямыми - расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проведенной через другую прямую параллельно первой.

- Вспомните, как мы решали задачи о нахождении расстояний.

- Сначала мы строили отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Затем включали его в треугольник и решали этот треугольник.

- То есть решение таких задач сводилось всегда к решению треугольников, это и отметим в таблице.

- Теперь вспомним, какие углы мы рассматривали. (Открывает заголовок: «Углы в пространстве»)

- Угол между прямыми.

- Опишите это понятие.

(Открывает соответствующий рисунок)

- Если прямые пересекаются, то углом между ними называется небольший из углов, образованных при их пересечении. Если прямые скрещиваются, то надо провести прямые, параллельные данным, через произвольную точку пространства и искать угол между ними.

- Какие же значения может принимать угол между прямыми?

- Какие еще углы вы знаете?

- Угол между прямыми больше 0°, но меньше или равен 90°.

- Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Он больше 0°, но меньше или равен 90е.

- И угол между плоскостями - это небольший двугранный угол, образованный при их пересечении. Он больше 0°, но меньше или равен 90°.

- Как же решаются задачи на нахождение углов в пространстве?

- Решение задач на нахождение углов тоже сводится к построению и к решению соответствующих треугольников.

II.3.Работа с задачей (требования 4-8)

- Вернемся к задаче. Сформулируем требование 4. Найдите углы наклона прямых DA, DB, DC к плоскости ABC. Будем использовать тот же рисунок. Две минуты даю вам на размышление.

- Начнем с первого задания.

- Так как OD 1 ABC, то АО _ проекция наклонной AD на плоскость АВС, следовательно, ZDAO _ уГ0Л между прямой DA и плоскостью АВС.

- Как же найти угол DA01

- Второй ряд, пожалуйста.

- Можно найти тангенс этого угла из прямоугольного треугольника AOD. В нем DO дано, а АО равно половине AB.

tgZDAO = OD:AO; tgZDAO=\, ZDAO = 45е. -Угол между прямой DB и плоскостью ЛВС - это угол DBO. Он тоже равен 45°.

- И последний угол?

-Угол между прямой DC и плоскостью ЛВС - это угол DCO.

- Объясните почему.

- Решение закончите дома. Оставьте место для записей.

- Следующее задание - 5. Найдите расстояния от точки D до плоскости ABC, от С до ADB, от А до DOC. Работаем по рядам и по тому же рисунку.

-CD - наклонная к плоскости ABC, СО - ее проекция на эту плоскость, т.к. DO 1 ABC, ZDCO - искомый по определению.

- Так как DO - перпендикуляр, проведенный из точки D к плоскости ABC, то длина DO -искомое расстояние. По условию оно равно 3 см.

- Мы доказывали, что СО 1 DAB, значит, СО- расстояние от точки С до плоскости DAB, СО = 3-Л.

- Так как AB 1 DOC, то АО-расстояние от точки А до

плоскости DOC, АО = Зсм.

- Хорошо! Теперь выполните шестое задание - найдите расстояния от точки D до прямых AB, ВС, АС . Эту задачу будем решать на новом рисунке.

- Итак, начнем.

-Так как отрезок DO перпендикуляр к плоскости ABC, то DO - перпендикуляр к прямой AB и DO - расстояние от точки D до прямой AB. Оно равно 3 см.

- Далее. Прежде чем вычислять, нужно правильно построить отрезок, длина которого является искомым расстоянием. Пусть кто-нибудь выйдет к доске и построит его.

- Мы не знаем, как изобразить перпендикуляр из точки D к прямой ВС. Произвольно изобразить перпендикуляр мы не можем, т.к. треугольник BCD имеет вполне определенную форму, но мы не знаем какую. В какой еще плоскости расположена прямая ВС?

- Чем является искомая прямая по отношению к этой плоскости?

- В плоскости ABC.

- Наклонной.

- То есть прямая ВС должна быть перпендикулярна к наклонной. Что отсюда следует?

- Она должна быть перпендикулярной к ее проекции.

- А через какую точку пройдет проекция наклонной?

- Через точку О, так как она проекция точки D.

- Значит, можно сначала изобразить перпендикуляр из точки О к прямой ВС. Можем ли мы это сделать?

- Да. Сначала построим перпендикуляр к прямой ВС, проходящий через точку А. Так как треугольник ABC - правильный, то любая высота в нем является медианой. Пусть Л/-середина ВС, тогда AM - медиана правильного ААВС, а следовательно, и высота.

Проведем OK параллельно AM, тогда OKI ВС и OK -проекция DK на плоскость ABC. При этом DK 1 ВС (по теореме о трех перпендикулярах). Поэтому длина отрезка DK и есть расстояние от точки D до прямой

- Сделаем записи в тетрадях. Продиктуйте, что нужно записать. (См. записи в тетрадях).

- А если бы мы и о треугольнике ЛВС ничего не знали, то как бы изобразили перпендикуляр из точки D к прямой ВС?

ВС.

- Произвольно.

- Как найти DK ?

- DK можно найти из треугольника DOK по теореме Пифагора. DO известно, OK равно половине AM, так как OK - средняя линия ААМВ, AM - высота правильного треугольника со стороной 6 см, значит, AM = 3>/з см.

- Вычисления сделаете дома.

- Как найти расстояние от D до прямой АС?

- Аналогично:построим отрезок DL. Легко доказать, что DL = DK .

- Найдите двугранные углы DBCA и DACB. Это будет задача 7. Запишем

ее.

- Что значит найти двугранный угол?

- Нужно построить линейный угол этого двугранного угла и найти его величину.

- Как же построить линейный угол двугранного угла DBCA ?

- Нужно через какую-нибудь точку ребра ВС построить перпендикуляры к нему в гранях DBC и ABC. Мы эти перпендикуляры уже строили в предыдущей задаче: OK 1 ВС и DK 1ВС, значит, ZDKO - искомый угол.

- Как построить линейный угол двугранного угла DACB1

- Аналогично. Это будет угол DLO.

- Как же найти углы DKO и DLOl

- Например, угол DKO можно найти из прямоугольного треугольника DOK. А угол DLO равен углу DKO.

- А теперь несколько усложним задачу: выясним, как найти расстояние от точки О до плоскости DBC. Запишем задачу 8. (См. записи в тетрадях).

- С чего начинаем решение этой задачи?

- Сначала надо построить отрезок, длина которого является искомым расстоянием.

- Что это за отрезок по определению расстояния от точки до плоскости?

- Это перпендикуляр, проведенный из точки О к плоскости DBC.

- Как же построить такой отрезок?! Какое условие достаточно, чтобы отрезок был перпендикулярен к плоскости?

- Достаточно, чтобы отрезок был перпендикулярен к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости.

- Значит, через точку О нужно провести прямую, перпендикулярную к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости DBC. Посмотрим, нельзя ли использовать прямые, которые уже есть в плоскости DBC.

(Возможен перебор прямых DC, DB, ВС, DK, возможно, кто-то предложит начать с прямой DK, либо учитель предлагает сам).

- Докажите, что ОН 1 BCD.

- Проведем перпендикуляр ОН к прямой DK.

- Так как OK 1 ВС и DK 1 ВС, то ВС 1DKO (по признаку). Тогда ВС 1 ОН (по определению перпендикулярных прямой и плоскости).

ОН 1 DBC (по признаку).

- Как можно найти ОН ?

- Из треугольника DOK методом площадей.

- Да. Верно. Возможны и другие

способы.

Решение этой задачи вы оформите дома.

III. Рефлексивно-оценочная часть

1.1. Подведение итогов урока

- Вот все задания, которые было запланировано выполнить на уроке. Однако на основе данной конфигурации можно сформулировать и другие задачи на вычисление расстояний и углов.

Какие расстояния и углы можно еще здесь находить?

- Вы можете выбрать любую задачу и решить ее дома на дополнительную оценку.

(Предлагают варианты).

- А теперь подведем итоги сегодняшней работы. Мы говорили о понятии перпендикулярности в пространстве. Сказали, что перпендикулярными могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости. Рассмотрели основные типы задач по этой теме и способы их решения. Это, я напомню, задачи на доказательство перпендикулярности объектов, задачи на нахождение расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, задачи на нахождение углов между прямой и плоскостью, между плоскостями.

- Сформулируйте план, по которому решаются все задачи на нахождение расстояний и углов.

- Нужно

а) построить необходимый угол или отрезок;

б) обосновать построения;

в) включить искомый угол или отрезок в треугольник;

г) произвести вычисления.

- Эта тема играет важную роль в курсе стереометрии, а именно: она позволяет ввести метрические характеристики пространства, то есть определение углов и расстояний между основными фигурами. В данной теме они являются предметом изучения, а далее они станут средством изучения, то есть инструментом, с помощью которого мы будем изучать пространственные фигуры. Мы это показали и в данной теме. Из всех параллелепипедов мы выделили прямоугольный и рассмотрели его особые свойства.

III.2. Ориентация на контрольную работу

- На следующем уроке вы пишете контрольную работу. Для того чтобы успешно написать ее, вы должны уметь доказывать перпендикулярность

прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, т.е. помнить эвристики, которые составляли дома и повторяли сегодня на уроке; уметь решать основные задачи на вычисление расстояний и углов, как то: находить расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости, находить углы между прямой и плоскостью, между плоскостями.

III.3. Задание на дом

Домашнее задание. 1) Еще раз просмотрите решение задач 1-6. Задачи 4,в и 6,6 нужно дорешать.

Обратите внимание на задачу 6. Нужно было изобразить перпендикуляр из точки D к прямой ВС. Мы сначала изобразили перпендикуляр из проекции О точки D на плоскость ABC к прямой ВС. Почему? Потому что положение этого перпендикуляра определено, не произвольно. Верно выполненные построения упрощают дальнейший поиск решения.

2) Для двух последних задач полностью оформите решение.

3) По желанию можете сформулировать свои задачи на этой конфигурации и решить их на дополнительную оценку.

Записи на доске и в тетрадях Перпендикулярность прямых и плоскостей

Дано: ААВС - равносторонний, О - середина AB, OD 1 ABC.

AB = 6см, OD = Зсм. 1. Найти пары перпендикулярных прямых.

Решение.

а) DO LAB, DO LAC, DO 1 ВС (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

б) DC L AB (по лемме и теореме о трех перпендикулярах).

2. Найти пары перпендикулярных прямой и плоскости.

Решение.

а) DOl ABC (по условию).

б) ABl COD, COIADB (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

3. Найти пары перпендикулярных плоскостей.

Решение.

DAB 1 ABC, DOC 1 ABC, DOC 1 ADB (по признаку перпендикулярности плоскостей).

4. Найти углы между прямой DA (DB,DC) и плоскостью ABC.

Решение.

а) Изобразим угол прямой DA с плоскостью ЛЯС:так как OD 1 ABC, то АО -проекция наклонной AD на плоскость ABC, следовательно, ZDAO - искомый. Найдем ZDAO из ADAO igZDAO = OD:AO; i%ZDAO= I, ZDAO = 45е.

б) Угол между прямой DB и плоскостью ABC есть угол DBO, ZDBO = 45е.

5. Найти расстояния от точки D до плоскости ABC, от точки С до плоскости ADB, отточки Л до плоскости DOC.

Решение.

а) Построим отрезок, длина которого является расстоянием от точки D до плоскости Л£С:так как DO L ABC, то длина отрезка DO- расстояние от точки D до плоскости ABC, DO = Зсм.

б) СО 1 DAB, СО-расстояние отточки С до плоскости DAB, СО = 3>/3 с