Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный педагогический университет»

ТЕОРИЯ И ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Т.А. ИВАНОВА, Е.Н. ПЕРЕВОЩИКОВА, Л.И. КУЗНЕЦОВА, Т.П. ГРИГОРЬЕВА

Под редакцией Т.А. Ивановой

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный педагогический университет»

Т.А. ИВАНОВА, Е.Н. ПЕРЕВОЩИКОВА, Л.И. КУЗНЕЦОВА, Т.П. ГРИГОРЬЕВА

ТЕОРИЯ И ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Учебное пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов

Под редакцией Т.А. Ивановой

Издание 2-е, исправленное и дополненное

Рекомендовано УМО по специальностям педагогического образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 050201.65 (032100) - математика

Нижний Новгород 2009

УДК 51(07) ББК 22.1,2 Т338

Печатается по решению редакционно-издательского совета Нижегородского государственного педагогического университета

Т 338 Иванова Т.А., Перевощикова Е.Н., Кузнецова Л.И., Григорьева Т.П.

ТЕОРИЯ И ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ: Учеб. пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов/ Под ред. Т.А. Ивановой. 2-е изд., испр. и доп. -Н. Новгород: НГПУ, 2009. 355 с.

ISBN 978-5-85219-182-3

В пособии проектируется современная методическая система обучения математике, методологическую основу которой составляют концепции гуманитаризации образования, личностно ориентированного, компетентностного, деятельностного и технологического подходов к обучению. С этих позиций анализируются цели общего математического образования, их конкретизация на уровне учебной темы и отдельного урока; выявляется структура гуманитарно ориентированного содержания математического образования; излагается технология обучения основным дидактическим единицам и построение уроков различных типов, где ученик выступает как субъект учебной деятельности; описывается диагностика процесса обучения на всех его этапах.

Пособие предназначено для студентов математических специальностей педвузов, обучающихся по специальности 050201.65 (032100) - математика, учителей математики.

УДК 51(07) ББК 22.1; 2

Рецензенты:

Г И. Саранцев, чл.-кор. РАО, д-р пед. наук, профессор Мордовского государственного педагогического института;

С.В. Кириллова, учитель математики высшей категории школы № 28 г. Нижнего Новгорода, канд. пед. наук.

ISBN 978-5-85219-182-3

С Коллектив авторов, 2003 © НГПУ, 2003

© Коллектив авторов, 2009, с дополнениями © НГПУ, 2009, с дополнениями

ПРЕДИСЛОВИЕ

Начавшееся в конце 80-х годов XX века реформирование школьного образования вообще и математического в частности повлекло за собой активную разработку теоретических концепций его развития. Их методологическую основу составляют принципы гуманизации, гуманитаризации, дифференциации. В соответствии с ними разрабатываются теории личностно-ориентированного, развивающего, деятельностного, технологического подходов к обучению. Все они направлены на реализацию новых целевых установок, которые в отличие от технократического подхода приоритетом делают человеческую личность, формирование её творческого потенциала, гуманитарного мировоззрения.

Вместе с тем имеющиеся теоретические концепции развития математического образования не доходят до учителя, не внедряются в практику работы школы. Одна из причин такого положения заключается в отсутствии учебников и учебных пособий по теории и методике обучения математике, написанных в соответствии с указанными выше концепциями. Появившиеся в последние годы единичные пособия не отражают все имеющиеся точки зрения на реформирование процесса обучения математике.

Отличительные особенности данного учебного пособия состоят в следующем.

1. Пособие написано в соответствии с Федеральным государственным стандартом, в который включена дисциплина «Теория и методика обучения математике». Как известно, она имеет два основных раздела: «Общая методика обучения математике» и «Частные методики». Данное пособие раскрывает содержание первого раздела, однако его название уточнено в соответствии, во-первых, с вышеуказанным стандартом; во-вторых, с новыми методологическими концепциями развития математического образования последних десятилетий. Одноимённый курс ставится кафедрой теории и методики обучения математике НГПУ в течение последних пятнадцати лет, т.е. его содержание получило достаточную апробацию.

2. Основное методологическое положение разработки содержания курса состоит в том, что современное образование трактуется как процесс целостного становления и развития личности: усвоение опыта в самом широком смысле, развитие в комплексе психических процессов, формирование мировоззрения, убеждений, идеалов и в конечном счёте таких качеств, которые характерны для творческой личности. Математическое образование призвано способствовать становлению и развитию личности ученика средствами математической деятельности.

3. Образование как процесс целенаправленного духовного, интеллектуального и физического развития человека осуществляется через обучение. В настоящем пособии с позиций системного подхода проектируется методическая система «Обучение математике». Её отличие от прежней состоит в том, что, во-первых, в связи со сменой приоритетов в стратегической цели образования традиционные компоненты системы - цели, содержание, мето-

ды, формы и средства обучения - дополняются ещё одним компонентом -личностным. Целостная структура личности, закономерности её развития и саморазвития являются системообразующими элементами описываемой нами теоретической модели методической системы обучения математике.

Во-вторых, сущность каждого компонента системы рассматривается с позиций системного подхода и в соответствии с психолого-педагогическими и методическими концепциями развивающего обучения: гуманитаризации, синтеза личностно ориентированного и предметно ориентированного подходов к обучению, деятельностного и технологического подходов.

4. В пособии большое внимание уделено проблеме постановки как общих целей образования, так и их конкретизации на уровне изучения учебной темы, отдельного урока. Цели ставятся таким образом, чтобы они были диагностируемы. В соответствии с этим описывается диагностика процесса обучения на его различных этапах. В том числе анализируется сущность итоговых экзаменов по математике (ЕГЭ).

5. Значительное место отводится содержанию математического образования. В контексте разработанной нами концепции гуманитаризации выявляется гуманитарный потенциал математики и определяется гуманитарно ориентированное содержание общего математического образования.

6. Традиционно содержание учебного материала представлено в учебниках как уже полученное систематизированное знание. На его усвоение и направлены усилия учителя. Однако такое содержание не соответствует провозглашённым развивающим целям. В работе выделяется и раскрывается гуманитарно ориентированное содержание математического образования с позиций истории и методологии развития математики, адекватное специфике творческой математической деятельности. При этом в содержание образования входят не только знания-результат, но также способы и методы получения новых знаний, опыт творческой деятельности, идеи и методы математики как универсального языка науки и техники.

7. В соответствии с личностно ориентированным, деятельностным, технологическим подходами к обучению описывается технология обучения основным единицам математического содержания (аксиома, понятие, теорема, правило, задача) и проведение уроков математики основных типов. Она направлена на усвоение не только информационного компонента содержания (знания-результата), но на усвоение в целом гуманитарно ориентированного содержания. В то же время она строится в контексте теории учебной деятельности, когда ученик является субъектом этой деятельности на каждом её этапе: мотивационно-ориентировочном, операционно-познавательном, рефлексивно-оценочном.

Данное пособие является переработанным и дополненным вариантом учебного пособия «Теоретические основы обучения математике в средней школе» (Н. Новгород: НГПУ, 2003) того же коллектива авторов. Каждый из них работу на кафедре теории и методики обучения математике НГПУ много лет совмещал с работой учителя математики как в общеобразовательных, так и в математических классах средней школы.

Авторы пособия: д-р пед. наук, проф. Т.А. Иванова; д-р пед. наук, проф. Е.Н. Перевощикова; канд. пед. наук, доцент Л.И. Кузнецова; канд. пед. наук, доцент Т.П. Григорьева.

Глава 1 написана Т.А. Ивановой; глава 2: п.2.1 - 2.3, 2.6 , 2.7 - Т.А. Ивановой; п.2.4, 2.5 - Л.И. Кузнецовой; глава 3: п. 3.1. - Т.А. Ивановой, Т.П. Григорьевой; п.3.2 - Т.А. Ивановой, Е.Н. Перевощиковой; п.3.3. - Т.А. Ивановой; п.3.4 - Т.П. Григорьевой; п.3.5 - Л.И. Кузнецовой; п.3.6 - Л.И. Кузнецовой, Е.Н. Перевощиковой; Глава 4: п.4.1, 4.7 - Т.А. Ивановой; п.4.2 - Т.П. Григорьевой, Т.А. Ивановой, Л.И. Кузнецовой; п.4.3, 4.8 - Е.Н. Перевощиковой; п.4.4 - Л.И. Кузнецовой; п.4.5, 4.6 - Т.П. Григорьевой; глава 5 - Е.Н. Перевощиковой.

Авторы выражают благодарность рецензентам пособия: доктору педагогических наук, профессору, члену-корреспонденту РАО Г.И. Саранцеву; учителю высшей категории школы № 28 г. Нижнего Новгорода, кандидату педагогических наук С.В. Кирилловой за ценные советы при подготовке рукописи к печати.

Отметим также, что высказанные в данной книге взгляды на современное математическое образование во многом сформировались под воздействием результатов научных и методических исследований преподавателей Нижегородского государственного педагогического университета, часть которых изложена в следующих работах: Касьян А.А. Контекст образования: наука и мировоззрение (Н. Новгород, 1996); Математическое образование: традиции и современность / Под ред. Т.А. Ивановой (средняя и высшая педагогическая школа): Тезисы докладов федеральной научно-практической конференции (Н. Новгород: Изд-во НГПУ, 1997); Нижегородский педагогический. Страницы истории / Под ред. В.А. Глуздова (Н. Новгород: Изд-во НГПУ, 2001); Подготовка специалиста в области образования: Проблемы подготовки будущего учителя: Коллективная монография / Под ред. В.А. Глуздова (Н. Новгород: Изд-во НГПУ, 2001); Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики: Материалы Всероссийской научно-практической конференции / Под ред. Е.Н. Перевощиковой (Н. Новгород: НГПУ, 2002); Современный урок математики: Теория и практика: Материалы всероссийской научно-практической конференции/ Под ред. Т.А. Ивановой (Н.Новгород: НГПУ, 2005).

Научный редактор Т.А. Иванова

ГЛАВА 1. МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

1.1. Об истории развития отечественного школьного математического образования.

1.2. Основные тенденции преобразования математического образования на современном этапе.

1.3. Структура методической системы «Обучение математике».

1.4. Методологические принципы проектирования методической системы обучения математике.

Методика преподавания математики оформилась как самостоятельная наука во второй половине XIX века. Ее активное становление и развитие происходило на протяжении всего XX столетия, о чем подробнее будет сказано ниже. Практически во всех учебных пособиях того времени говорится, что методика преподавания математики - это наука о математике как учебном предмете и закономерностях процесса обучения математике учащихся различных возрастных групп. В соответствии с этим методика преподавания математики исследовала и решала следующие основные задачи:

1) определение целей изучения математики (зачем учить?);

2) определение содержания учебного предмета математики (что надо учить?);

3) разработка методов, организационных форм и средств обучения, направленных на достижение поставленных целей (как надо обучать математике?).

Теоретические ответы на эти вопросы составляли содержание первой части методики преподавания математики - общей методики.

Указанные задачи остаются актуальными и приобретают особую значимость и в период реформирования образования, начавшийся в конце 80-х годов прошлого столетия и продолжающийся до настоящего времени. В первой главе раскрывается сущность предмета теории и методики обучения математике с учетом накопленного в ней ценного опыта и на основе современных психолого-педагогических и методических концепций обучения.

1.1. Об истории развития отечественного школьного математического образования

Становление и развитие учебного предмета методики преподавания математики неразрывно связано с историей развития школьного математического образования.

Математическое образование в нашей стране в 50 - 70-е годы по праву считалось одним из лучших в мире. Оно имеет славную историю. Мы лишь кратко осветим основные периоды его развития [79, 84, 118].

История отечественного образования берет свое начало со времен средневековья. Уже в IX-X веках в Киевской Руси и древнем Новгороде приобретение элементарных знаний по чтению, письму и счету было доступно лицам разных сословий. Эти знания передавали из поколения в поколение в устной форме и через поясняющие рукописи. Только со времени Крещения Руси стало распространяться книжное учение.

Период создания первых светских школ (1700 - 1800 гг.) характеризуется становлением светских учебных заведений. Первое государственное светское учебное заведение было открыто в России только в 1701 году. Это была созданная Петром 1 школа математических и навигацких наук, сыгравшая важную роль в становлении отечественного математического образования. Программа школы содержала курсы арифметики, алгебры, геометрии, плоской и сферической тригонометрии. С этого времени в стране началось создание первых школьных руководств по математике. В 1703 году вышла в свет «Арифметика» Ф. Магницкого, ставшая на многие годы основным школьным учебником. В 1739 году были переведены на русский язык «Начала» Эвклида.

В конце XVIII- начале XIX века назрела необходимость организационного совершенствования, согласования учебной деятельности всех школьных учебных заведений. Наступает период становления светского школьного образования, период первых научных исследований в области методики преподавания математики (1800 - 1860 гг.).

Значительную роль в развитии методологии и методики сыграл труд СЕ. Гурьева «Опыт усовершенствования элементов геометрии» (1838), а также работы Н.И. Лобачевского.

В связи с отменой крепостного права в 1861 году начинается интенсивное развитие как начального, так и среднего школьного образования. 1860-1900 гг. - период массового среднего образования и широкого обсуждения проблем методики преподавания математики. В это время издаются методические журналы «Математический сборник» и «Журнал элементарной математики». Последний начал выпускать профессор В.П. Ермаков, а в дальнейшем его возглавляли Э.К. Шпачинский, В.А. Циммерман и В.Ф. Каган.

В журналах публиковались статьи крупнейших деятелей математического образования, материалы отечественных и зарубежных съездов и совещаний. Уже в это время ставятся вопросы о роли учебников математики, о том, что изучение математики должно учить учеников думать. К концу столетия назрела необходимость широкого обсуждения проблем, связанных с постановкой математического образования.

На рубеже XIX и XX веков во всем мире прогрессивные педагоги математики выступали за реформу школьного математического образования, за приведение его в соответствии с требованиями времени. Недостатки сложившийся к тому времени системы гимназического образования характеризовались разрывом между развивающейся математической наукой и стабилизировавшимся учебным предметом математики, превалирование формально-

логических целей изучения математики, рецептурными и авторитарными методами обучения, которые называли иногда «муштрой».

В 1905 г. в Германии были введены «меранские» программы, составленные под руководством Ф. Клейна. Его основные методические воззрения состояли в следующем: отказ от господства гуманитарной школы в пользу изучения естествознания и математики, углубления связи между теоретической и прикладной математикой, введение в школьный курс понятия функции и начал математического анализа и развитие на этой основе функционального мышления.

Все эти вопросы обсуждались и прогрессивными педагогами математики в России XIX века: М.В. Остроградским, Н.И. Лобачевским, П.Л. Чебышевым. Наибольшее развитие они получили в выступлениях делегатов Первого и второго Всероссийских съездов преподавателей математики.

Период 1900 - 1917 гг. характеризуется как период всероссийских съездов преподавателей математики. Первый из них проходил в декабре 1911 - январе 1912 г., второй - с 21 декабря 1913 г. по 3 января 1914 г. На этих съездах обсуждались:

- научные вопросы, имеющие отношение к элементарной математике;

- вопросы, связанные с преподаванием математики в учебных заведениях;

- вопросы постановки преподавания математических наук;

- методы и приемы преподавания математики и соприкасающихся с нею наук и способы проверки знаний учащихся;

- вопросы подготовки преподавателей математики.

На съездах заслушивались доклады, посвященные вопросам включения в курс математики средней школы элементов интегрального и дифференциального исчислений, геометрических преобразований, элементов аналитической геометрии, целям математического образования. В частности, А.К. Власов в докладе «Какие стороны элементарной математики представляют ценность для общего образования» говорил о том, что в молодых умах следует воспитывать математическое мышление и тем самым готовить работников для различных областей русской жизни. Особое место в докладе уделялось связи логики и интуиции в развитии мышления, а важнейшими математическими понятиями, которые имеют общую ценность, являлись, по мнению докладчика, числа, величины, пропорции, конечные и бесконечные процессы.

В соответствии с резолюциями съездов началась разработка проектов новых программ школьного курса математики.

Идеи Всероссийских съездов преподавателей математики получили частичное развитие лишь в первые годы периода становления послереволюционной школы (1918 - 1932 гг.). В 1918 году вышел первый номер журнала «Математика в школе», который к началу 1919 года уже прекратил свое существование. В это время началось введение жесткой централизации и сформировалось резко отрицательное отношение к содержанию и методам работы дореволюционной школы как «школы буржуазной». Наступил довольно дли-

тельный период поисков структуры и содержания новой школы. Вводились бригадно-лабораторный метод занятий, метод проектов и комплексная система обучения. Все это разрушало дидактический принцип систематичности знаний.

Только к началу 30-х гг. стало ясно, что «новая школа» не дает учащимся необходимых математических знаний, уровень математической подготовки учащихся непрерывно снижался. Начался период совершенствования общеобразовательной школы (с 1932 г.). Стало возрождаться уважительное отношение к прошлому опыту, возвращается классно-урочная система, предметное преподавание. С 1934 г. возобновилось издание журнала «Математика в школе». Заметное влияние на становление математического образования в этот период оказала деятельность известного математика А.Я. Хинчина, который с 1938 г. возглавил физико-математическую секцию Учебно-методического совета. Под его руководством решались следующие проблемы:

1. Совершенствование содержания школьного курса математики. Включение в школьную программу основ математического анализа, элементов теории вероятностей, приближенных вычислений.

2. Преодоление формализма в обучении математике.

3. Создание школьных учебников, отвечающих новым требованиям.

4. Повышение уровня научной подготовки учителей.

В этот период завершился процесс становления методики как самостоятельной педагогической науки созданием общей методики преподавания математики в средней школе. Эту роль в нашей стране сыграла книга В.В. Репьева «Общая методика преподавания математики», вышедшая в 1958 г. [84]. По мнению Н.В. Метельского, концепция этого труда сыграла важнейшую роль как в становлении и развитии данной науки, так и в совершенствовании методической подготовки учителей в вузах способствовала разработке и внедрению методики развивающего обучения математике в школе.

В конце 50-х - начале 60-х годов развернулась активная дискуссия по подготовке проекта реформирования математического образования.

Начало периода реформы школьного математического образования (1965-1984 гг.) положил доклад А.Н. Колмогорова, сделанный им в 1964 году на совещании по проблемам математического образования в средней школе. Основные направления реформы, осуществляющиеся в дальнейшем под руководством академика А.Н. Колмогорова, были связаны с обновлением содержания образования на основе обобщающих идей, принципов, понятий и закономерностей, которые, с одной стороны, позволяли охватить единым взглядом большой фактический материал и тем самым (как предполагалось) облегчить его изучение. С другой стороны, выдвигалась идея приближения школьного курса математики к ее современным основам. В качестве основной обобщающей идеи была выдвинута теоретико-множественная концепция построения содержания всех математических курсов. Курс геометрии строился на аксиоматической основе.

В это время начинают повсеместно открываться физико-математические школы, проводятся факультативные курсы по выбору.

К безусловным достижениям колмогоровской реформы можно отнести следующее:

- в школьные программы прочно вошли элементы анализа, геометрические преобразования, векторы и координаты;

- идеи аксиоматического построения геометрии;

- уравнения стали изучаться в младших классах;

- в школу вошли элементы языка теории множеств;

- изучение предмета стало ориентироваться на иллюстрацию понятия математической модели;

- было введено изучение элементов программирования.

Однако с начала 80-х годов в адрес авторов реформы начали появляться критические статьи. В них говорилось, что советская школа попала под чуждое идейное влияние зарубежных буржуазных воззрений. В соответствии с развернувшейся критикой реформа, не успев окрепнуть, стала свертываться. Существуют различные точки зрения на критическую оценку реформы А.Н. Колмогорова. По нашему мнению, это было связано, во-первых, с тем, что внедрение нового содержания в практику работы школы проводилось без должной экспериментальной проверки. Во-вторых, в это же время было введено всеобщее обязательное среднее образование, когда приходилось учить всех детей. Среднее образование стало носить массовый характер. В-третьих, содержание математического образования существенным образом изменилось, но остались неизменными методы обучения, которые носили в основном репродуктивный характер. Наконец, в 80-е годы резко наметился кризис образования в целом, который продолжается и по настоящее время.

К началу 80-х годов в образовании сформировалась предметно ориентированная (знаниевая) модель обучения. В рамках этой модели цель математического образования состояла в овладении учащимися основами наук, основами математических знаний, в формировании умений и навыков. Этой основной цели соответствовало математическое содержание, в котором математика была представлена как формализованная абстрактно-дедуктивная система. Учащиеся должны были усваивать лишь готовые знания, «готовую информацию». Ставились и развивающие цели обучения математике. Однако они выступали как бы на втором плане. Предполагалось, что усвоение лишь информационной компоненты знаний и формирование на этой основе умений и навыков призвано попутно реализовывать и развивающую функцию. В свою очередь, последняя сводилась лишь к развитию логического, абстрактного мышления, к формированию логической культуры мышления. Основным типом обучения был объяснительно-репродуктивный. Технология образовательного процесса основывалась на идее педагогического управления формирования личности ученика «извне» без достаточного учета и использования субъектного опыта ученика как активного творца собственного развития и саморазвития. В основе технологии обучения были авторитарность, единообразие программ, методов и форм обучения.

Определяющими чертами наступившего кризиса в математическом образовании можно считать следующие: снижение интереса учащихся к математике; снижение уровня владения знаниями, умениями и навыками; снижение уровня математической культуры в целом, культуры логических рассуждений, сформированности представлений о математике как единой науке со своим предметом и методом исследования; отсутствие современной теоретической концепции методической системы обучения математике, основным элементом которой была бы целостная структура личности ученика и закономерности ее развития.

1.2. Основные тенденции преобразования математического образования на современном этапе

Интенсивный процесс реформирования образования в целом обусловлен кризисом образования, в конце XX столетия принявшем поистине глобальный, международный характер.

Философы отмечают, что современное состояние общества (и не только в нашей стране) характеризуется сформировавшимся к концу XX века технократическим мышлением, технократическим мировоззрением. Последнее выражается в бездуховности и потребительском отношении к жизни и миру, в технократизме и экологическом авантюризме.

Альтернативой технократическому мировоззрению является «новое» мышление, гуманитарное мировоззрение. Нужно новое поколение людей с новым мировоззрением, у которого должны быть сформированы новые ориентиры, основанные на общечеловеческих ценностях. Важнейшие из них соответствуют основным областям человеческой жизнедеятельности: духовным, интеллектуальным, социальным.

В 1993 году в рамках ЮНЕСКО была создана Международная комиссия по образованию для XXI века, в которую вошли деятели различных регионов мира, специалисты разных областей. Результатом работы этой комиссии явился доклад «Образование для XXI века». В нем раскрываются основные противоречия развития цивилизации в XX веке и делается вывод, что цель новой политики в образовании - содействовать созданию более совершенного мира, устойчивого человеческого развития , взаимопониманию между народами, обновлению демократии в повседневной жизни. Образование должно быть участником процесса зарождения нового всемирного сообщества с новым мышлением, новым мировоззрением. Это мировоззрение может быть сформировано через развитие личности отдельного человека. В докладе указаны основные направления совершенствования образования, определены четыре его «столпа»: научится познавать; научится делать; научится жить; научится жить вместе.

Реформирование образования в целом и математического в частности в нашей стране началось в конце 80-х годов: разрабатывались и продолжают

разрабатываться различные концепции его развития. Все они базируются на принципах демократизации, гуманизации и гуманитаризации, национального самоопределения школы, дифференциации образовательного процесса, возрождения культуросозидающей роли образования.

Сущность современного образования трактуется как процесс целенаправленного, педагогически организованного духовного, интеллектуального и физического развития человека. Соответственно, и главная цель образования состоит в формировании разносторонне развитой, творческой личности, способной реализовать творческий потенциал в динамичных социально-экономических условиях как в собственных интересах, так и в интересах общества (продолжение традиций, развитие науки, культуры, техники, укрепление исторической преемственности поколений).

Психолого-педагогические принципы современного образования сформулированы В.П. Зинченко. Основные из них: творческий характер развития, ведущая роль социокультурного содержания, ценность всех этапов детского развития, единство аффекта и интеллекта и др. Эти принципы, говорит В.П. Зинченко, должны лежать в основе любой современной, разумной и человечной системы образования.

В соответствии со сказанным, и стратегическую цель общего математического образования можно определить как целостное развитие личности средствами математической деятельности.

Математика была всегда неотъемлемой и существенной составной частью человеческой культуры, ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса, важной компонентой развития личности, в том числе и ее мировоззрения. В этом состоят ценности математического образования как для общества, так и для отдельной личности. В обращении Всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков», проходившей в 2000 году в г. Дубне, говорится: «Мы обращаемся ко всем школьникам и студентам России, изучающим математику, независимо от их успехов и отношения к ней. Поверьте нам, мы заботимся о вашем будущем, о вашем интеллектуальном и даже психическом здоровье. Плохое математическое образование, низкая математическая культура в XXI веке могут стать серьезным препятствием не только на пути развития страны, но и в достижении успеха в жизни, значительно ограничивая свободу личности. И наоборот, хорошее математическое образование, математическая культура могут защитить вас от многочисленных опасностей, таящихся на пути вашего развития, повысить ваши шансы на самореализацию в выбранной профессии».

Основные тенденции развития математического образования, выраженные в Концепции его развития как общие принципы, состоят в следующем [49]:

1. Повышение уровня общего образования. В проекте Концепции математического образования отмечается, что работа только с одаренными детьми без опоры на массовое образование не способна обеспечить духовный и экономический прогресс общества. В настоящее время во всем мире усили-

вается внимание к школьному математическому образованию. На всех ступенях обучения математике растет понимание необходимости математического образования для всех школьников и стремление к включению общеобразовательных курсов математики в учебные планы на всех ступенях обучения.

2. Усиление личностной ориентации образования, которая в том числе предполагает учет интересов и способностей учащихся. Этот принцип реализуется и через уровневую и профильную дифференциацию обучения. Дифференциация обучения, позволяющая гармонично сочетать интересы личности и общества, приводит к выделению двух генеральных функций математического образования: 1) образование с помощью математики предполагает повышение средствами математики уровня интеллектуального развития человека для его полноценного функционирования в обществе (общеобразовательная функция); 2) собственно математическое образование обусловлено необходимостью поддержания традиционно высокого уровня изучения математики, сложившегося в отечественной школе, формирования будущего кадрового научно-технического, технологического и гуманитарного потенциала общества (специализирующая функция).

3. Решение задач как средство индивидуализации обучения, развития мышления и способности к математической деятельности. Отмечается, что умение решать задачи - критерий успешности обучения математике.

4. Использование эвристических методов и приемов обучения, предполагающих включение учащихся в поиск, выдвижение гипотез, отдающих приоритет размышлению и рассуждению, а не натаскиванию и запоминанию наизусть без должного понимания.

В соответствии с этими положениями Г.В. Дорофеев, один из авторов концепции, в статье «О принципах отбора содержания школьного математического образования» [26] выделяет следующие группы знаний, которые должны определять математическое содержание.

1. Арифметика: натуральные, целые, положительные и отрицательные, рациональные числа. Проценты и пропорции.

2. Геометрия: плоские и пространственные фигуры и конфигурации. Измерение длин, площадей и объемов, измерение углов.

3. Стохастика.

4. Логика.

5. Алгоритмика.

6. Математический язык: терминология и символика.

7. Математический инструментарий: математический язык, операции, выражения, тождественные преобразования, функции, графики, уравнения и неравенства, целые, рациональные, действительные и комплексные числа.

8. Начала математического анализа.

9. История математики: исторические факты, история возникновения и развития математических теорий, вклад выдающихся математиков.

10. Математика и внешний мир: математическое моделирование, математика в системе наук, специфика математики.

Основные задачи модернизации российского образования в настоящее время - повышение его доступности, качества, эффективности. Их решение предполагает не только структурные, институциональные, организационно-экономические условия, но и значительное обновление содержания. Последнее выполняется посредством введения государственного стандарта общего образования.

Государственный стандарт общего образования задает нормы и требования, определяющие обязательный минимум содержания основных образовательных программ. Он обеспечивает равные возможности для всех граждан в получении качественного образования.

Государственный стандарт общего образования включает три компонента: федеральный, региональный и компонент общеобразовательного учреждения. В свою очередь, федеральный компонент разработан с учетом направлений модернизации общего образования. Укажем основные из них: переход к четырехлетнему начальному образованию; введение профильного обучения на старшей ступени школы; соответствие содержания образования возрастным закономерностям развития учащихся; личностная ориентация содержания; деятельностный характер образования, направленность содержания на формирование учебных умений и навыков, обобщенных способов учебной, познавательной, коммуникативной, практической, творческой деятельности, на получение учащимися опыта этой деятельности; усиление воспитательного потенциала; формирование ключевых компетенций - готовности учащихся использовать усвоенные знания, умения и способы деятельности в реальной жизни для решения практических задач и др. [92].

Кратко изложенные в данном пункте общие тенденции модернизации математического образования будут далее уточняться и развиваться.

1.3. Структура методической системы «Обучение математике»

Новым подходам к образованию, где приоритетом является человеческая личность, должна соответствовать адекватная теория и методика обучения математике. Современная дидактика трактует обучение как целенаправленное, заранее запрограммированное общение, в ходе которого осуществляется образование: школьниками усваиваются отдельные стороны опыта человечества, опыта деятельности и познания и осуществляется развитие, саморазвитие и воспитание ученика. Поэтому обучение математике с позиций современной педагогической науки следует понимать как целенаправленное, заранее запроектированное общение, в ходе которого усваивается определенное математическое содержание, обеспечивающее развитие и саморазвитие личности школьника.

Однако такая достаточно абстрактная трактовка понятия «обучение математике» требует детального изучения. В качестве его методологической

основы мы выбираем системный подход, который начал активно развиваться и внедряться в научные исследования в 40-х годах XX века.

Понятие «система» определяется как совокупность элементов, находящихся в определенных связях и отношениях друг с другом, которые образуют определенную целостность. Целостность - основное характеристическое свойство системы - предполагает принципиальную несводимость системы к сумме образующих ее частей и невыводимость из какой-либо ее части свойств как целого всей системы. Целостное, системное изучение всех компонентов, включающее и связи между ними, определяет новое качество системы.

Итак, системный подход в исследовании предполагает: выделение состава элементов, входящих в систему; установление структуры (связей между элементами системы); описание функций каждого из элементов, его роли и значения в системе.

В то же время системный подход к анализу явлений и процессов предполагает выделение принципов функционирования системы. Последние определяются в основном внешней средой.

Системный подход к анализу любого педагогического процесса позволил выделить компоненты системы, которые его характеризуют: цели и задачи, содержание, методы, формы организации, достигаемые результаты. Таким образом, в любом педагогическом процессе выделяются следующие образующие педагогическую систему компоненты: целевой, содержательный, деятельностный и результативный.

Согласно Г.И. Саранцеву, предметом методики математики служит методическая система, составляемая целями, содержанием, методами, средствами и формами обучения [90].

Считается, что впервые в методике обучения математике для построения ее теоретической модели системный подход в 60-е годы принял А.М. Пышкало. Он разработал и исследовал методическую систему, включающую цели, содержание, методы, формы и средства обучения. Однако, уже В.В. Репьев, раскрывая предмет методики математики, писал, что она исследует цели математического образования его содержание, принципы преподавания математики, методы и приемы обучения, организацию и проведение разнообразных внеклассных занятий [84, с.5].

В тот период развития методической науки это было, несомненно, шагом вперед. Анализ этой модели с современных позиций показывает, что она определяет в основном предметно ориентированную модель обучения. Последняя кратко охарактеризована нами выше.

Все компоненты методической системы - цели, содержание, методы, формы и средства обучения - входят и в проектируемую нами систему обучения математике. Однако они должны быть качественно переосмыслены в соответствии с новыми подходами к образованию, и в связи со сменой приоритетов в стратегической цели образования их следует дополнить еще одним, влияющим на содержание всех остальных - личностным компонентом. Поэтому целостная структура личности, закономерности ее развития и само-

развития должны стать системообразующим элементом создаваемой нами теоретической модели обучения математике. Таким образом, методическая система «обучение математике» включает в себя следующие компоненты: целостную структуру личности и закономерности ее развития, цели математического образования, математическое содержание, методы, средства, формы обучения. Заметим, что в последние десятилетия в педагогику вошел новый термин «технология обучения». Он имеет разные трактовки (о чем будем говорить далее). Одна из них состоит в том, что под технологией обучения понимается система методов, форм и средств обучения, направленная на усвоение определенного содержания и обеспечивающая наиболее эффективное достижение поставленных целей. Поэтому для краткости изложения три компонента (методы, формы и средства обучения) объединим в один и назовем его «технология обучения». Содержание математического образования должно быть направлено на достижение основной цели - развитие личности ученика средствами математики, т.е. оно должно быть гуманитарно ориентированным.

Таким образом, проектируемая нами на теоретическом уровне методическая система обучения математике состоит из четырех основных компонентов: целостной структуры личности, целей математического образования, гуманитарно ориентированного содержания, технологии обучения. Все эти компоненты взаимообусловлены, находятся в сложных нелинейных связях, которые отражены на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Модель методической системы обучения математике (теоретический уровень)

Отметим, что методическая система обучения математике может быть представлена на различных уровнях и в зависимости от этого может несколь-

ко модифицироваться. В данном пособии она исследуется на абстрактном, теоретическом (проектировочном) уровне.

Непосредственно на уровне учебного процесса (в том числе и урока) методическую систему разрабатывает учитель. Абстрактную модель целостной структуры личности заменяют в этом случае учащиеся конкретного класса. Технологию обучения можем трактовать как взаимосвязанную деятельность учителя и учащегося, направленную на достижение поставленной цели посредством определенного математического содержания. Поэтому методическая система на процессуальном уровне выглядит так:

Рис. 1.2. Модель методической системы обучения математике (на уровне процесса обучения)

Наконец, каждый компонент как по отдельности, так и во взаимосвязи с остальными следует изучать с определенных методологических позиций, которые в основном определяются внешней средой. В нее входят, прежде всего, те научные области, которые оказывают непосредственное влияние на раскрытие сущности каждого компонента системы. К ним относятся философия, математика, история и методология математики, логика, история развития математического образования, психология, педагогика, физиология. Этими науками исследуются, как известно, основные категории, определяющие выделенные компоненты системы: теория познания, личность и закономерности ее развития, деятельность, цель, историко-методологические, математические знания и т.д. Теория и методика обучения математике интегрирует в себе знания из указанных научных областей.

Таким образом, теоретической моделью предмета теории и методики обучения математике является методическая система обучения математике, которая включает в себя следующие компоненты: личностный, целевой, содержательный, процессуальный (деятельностный), результативный.

1.4. Методологические принципы проектирования методической системы обучения математике

Методологической основой проектирования теоретической модели методической системы обучения математике является системный подход и его основные принципы, а также психолого-педагогические и методические концепции развивающего обучения, т.е. та внешняя среда, которая оказывает влияние на все компоненты системы и их связи.

1. Основные принципы системного подхода. Функционирование системы обусловлено ее характеристическими признаками (принципами).

Принцип целостности. Он выражает принципиальную несводимость любой системы к сумме ее частей. В нашем случае это означает, что упор в совершенствовании математического образования только на один или несколько компонентов системы не может служить основой для достижения основной цели образования. Примером может служить колмогоровская реформа, о которой мы говорили в первом пункте. Можно привести еще один пример. Начиная с 70-х годов большое внимание уделялось активным методам обучения, при этом цели и структура содержания обучения оставались неизменными. Вследствие этого активизация деятельности учащихся сводилась чаще всего к внешним ее проявлениям, в том числе и к игровой форме занятий.

Принцип иерархичности. Он состоит в том, что каждый элемент системы должен рассматриваться как система (подсистема данной системы), которая может полноценно функционировать лишь в том случае, если выполняются все принципы системы. Так, цели образования должны носить также системный характер, а не сводиться к формированию знаний, умений и навыков; развитие мышления предполагает не только развитие логического мышления. В свою очередь, развитие мышления невозможно без опоры на чувства, воображение, память ученика.

Принцип структурности предполагает исследование многогранных сложных связей между элементами системы, а также между элементами подсистем этих систем, что позволит правильно, осознанно, целенаправленно проектировать весь процесс обучения математике.

Принцип непрерывности. Системный подход и его принципы должны учитываться на всех ступенях математического образования: при анализе теоретической модели, при написании программ и учебников, при разработке проекта изучения учебной темы, при конструировании урока и т.д.

2. Синтез личностно ориентированного и предметно ориентированного подходов к обучению. Альтернативой предметно ориентированной (знаниевой, учебно-дисциплинарной) модели обучения выступает личностно ориентированное обучение. Его основные принципы:

- природосообразность, которая предполагает опору на индивидуальные, генетические способности ребенка, их развитие и саморазвитие;

- личностный подход, который предполагает уважительное отношение к ребенку, его право на выбор собственной траектории освоения образовательных систем;

- культуросообразость, предполагающая приобщение ученика ко всему богатству человеческой культуры через усвоение им социального опыта во всей его структурной полноте. В процессе обучения происходит превращение социального опыта в личный.

Основная функция, личностно ориентированного образования - обеспечивать и отражать становление системы личностных образовательных смыслов ученика [116, с. 59].

Однако внедрение идей личностно ориентированного обучения в практику работы школы зачастую приводит к их искажению и вульгаризации. Так, в последнее время приходится наблюдать, что собственно математическим знаниям стала отводиться второстепенная роль, в учебном плане школ сокращается число часов на математику и т.д. Вольная трактовка принципа природосообразности приводит родителей и учителей не математиков к выводу о том, что ученик неуспешно занимается математикой потому, что у него нет математических способностей. Принято считать, в частности, что дети с гуманитарным складом ума не обладают математическими способностями. А поскольку, в соответствии с идеями личностно ориентированного обучения, ученик имеет право выбора, то негласно как бы оправдывается его нежелание заниматься математикой. Между тем психологами установлено, что практически каждый человек способен к определенной математической деятельности. Способность к восприятию математики, считает Г. Харди, присуща человеку, пожалуй, в большей степени, чем способность получать удовольствие от приятной мелодии, она присуща огромному большинству. Речь не идет о том, чтобы ориентировать каждого ученика на профессию математика или на профессию, связанную с математикой. Речь идет о том, чтобы использовать все потенциальные возможности математики для развития личности ученика, весь ее развивающий (гуманитарный) потенциал.

Поэтому одной из задач личностно ориентированного обучения является не противопоставление математических знаний генетическим способностям ученика, а формирование у него личностно осознанного отношения к изучаемому материалу и самому процессу учения, формирование потребности в овладении теми ценностями, которыми обладает математическое образование. Две анализируемые модели обучения должны не противопоставляться, а органично дополнять друг друга при постановке целей, отборе содержания, выборе технологий обучения. Поэтому речь следует вести о синтезе двух моделей обучения.

Синтез личностно ориентированного и предметно ориентированного подходов к обучению предполагает изменение состава и структуры математического содержания. Математическое содержание помимо традиционных знаний, умений и навыков должно содержать и гуманитарный потенциал, оно должно быть гуманитарно ориентированным. Однако гуманитарный потенциал математики существует объективно, независимо от целей образования

личности. И он может так и остаться потенциалом в процессе обучения математике, если не будет востребован учеником и усвоен им. Проблема состоит в том, чтобы создать такие условия, при которых ученик «хотел» и «мог» учиться математике.

В то же время осознание учеником ценностей математического образования приводит к тому, что усваиваемое знание представляет для ученика личностный смысл, становится для него личностно значимым. В личностном знании объединены мотивационные потребности, эмоциональные и содержательные компоненты. Личностное знание отражает сплав личного и объективного в знании. Личное связано с процессом познания, объективное - с его результатом. А для этого ученик должен выступать субъектом процесса познания, быть активным его соучастником, что и служит источником его развития и саморазвития.

3. Компетентностный подход. Как уже было сказано, внедрение идей личностно ориентированного обучения в практику работы школы сопряжено с большими трудностями. Их преодоление призвано обеспечить компетентностный подход к обучению, поскольку компетенции связывают воедино личностный и социальный смысл образования. Его ключевыми понятиями являются компетенция и компетентность.

Компетенция - совокупность взаимосвязанных качеств личности (знаний, умений, навыков, способов деятельности), задаваемых по отношению к определенному кругу предметов и процессов и необходимых, чтобы качественно продуктивно действовать по отношению к ним.

Компетентность - владение, обладание человеком соответствующей компетенцией, включающей его личное отношение к ней и предмету деятельности [116,с. 60].

Компетентность включает в себя не только когнитивную и операционально-техническую составляющие (знания, умения и навыки), но и мотивационную, этическую, социальную и поведенческую. Компетентность всегда личностно окрашена качествами конкретного ученика.

Образовательная компетенция - это совокупность взаимосвязанных смысловых операций, знаний, умений, навыков и опыта деятельности ученика, необходимых, чтобы осуществлять личностно и социально - значимую продуктивную деятельность по отношению к объектам реальной действительности [116,с. 62].

А.В. Хуторской определяет следующий перечень ключевых образовательных компетенций: ценностно-смысловая, общекультурная, учебно-познавательная, информационная, коммуникативная, социально-трудовая, компетенция личностного совершенствования.

Компетентностный подход в обучении математики предполагает формирование как общих образовательных, так и математических компетентностей. Последние, в соответствии с культурологической концепцией содержания образования, составляют целостную систему. Ее элементами являются знаниевые, операционально-логические, методологические, практические и личностные (эмоционально-ценностные, смысловые) компетен-

ции. Все они отражены в сформулированных во второй главе целях математического образования. Их достижение обеспечивается усвоением школьниками гуманитарно ориентированного содержания. Подробно его сущность раскрывается также во второй главе.

4. Принцип гуманитаризации. Сделать изучаемое знание личностно значимым для ученика - значит реализовать принцип гуманитаризации в образовании. В конце 80-х годов принцип гуманитаризации был провозглашен как один из ведущих принципов реформирования образования в целом. Однако и до настоящего времени идет дискуссия об определении общепринятой ее научной концепции.

Методологической основой решения проблемы гуманитаризации образования может служить положение философов о том, что кризис в развитии современной цивилизации, в том числе и в образовании, в значительной степени вызван разделением в XIX веке единой культуры на две культуры: естественнонаучную и гуманитарную. Каждая из них характеризуется (определяется) преимущественным способом познания мира: рациональным (естественнонаучным) и интуитивно-образным. Им соответствуют и два типа мышления: рационально-критическое и интуитивно-образное. Все это, говорят философы, способствовало формированию в общественном сознании технократического мировоззрения. Его существенные черты - примат средства над целью, цели над смыслом и общечеловеческими интересами, техники над человеком и его ценностями.

Антиподом технократическому мировоззрению является гуманитарное мировоззрение. Нужно новое поколение людей с новым мировоззрением, у которого должны быть сформированы новые ориентиры, основанные на общечеловеческих ценностях. Важнейшие из них соответствуют основным областям человеческой жизнедеятельности: духовным, интеллектуальным и социальным.

Гуманитарное мировоззрение отдельного человека проявляется в таких чертах личности, как богатство потребностей, стремление к самореализации, компетентности, инициативности и гибкости, критичности и способности к рефлексии и т.д. Эти же черты характеризуют и творческую личность. Поэтому гуманитарный аспект современного образования отражен в его основной цели - целостном развитии личности.

Таким образом, цель гуманитаризации образования - это цель современного образования. «Деятельность педагога, способствующая не только обучению, но и развитию, есть деятельность гуманитарная», - пишет В.П. Зинченко [33, с. 118].

В теории и методике обучения учащихся математике существуют разные трактовки сущности гуманитаризации математического образования. Например, А.Х. Назиев выделяется следующие основные принципы гуманитарно-ориентированного преподавания математики.

1. Принципы предпочтения открытия объяснению.

2. Принцип предпочтения обоснования объяснению.

3. Принципы единства теории- и практики решения задач.

4. Принципы адекватной роли языка в математике и ее преподавании [67, с. 103].

Г.И. Саранцев гуманитаризацию образования видит в разрабатываемой им концепции деятельностной природы знаний: «Если с содержанием традиционно связывают совокупность аксиом, определений и теорем, то деятельностная основа содержания ориентирует на отношение в нем действий, адекватных понятиям, теоремам, способов деятельности и эвристик» [89 , с. 30].

Мы разделяем обе точки зрения и в некоторой степени их углубляем и расширяем.

Во-первых, гуманитаризация математического образования предопределяется основной его стратегической целью, которую мы трактуем как обучение математике, развитие и воспитание математической деятельностью.

Во-вторых, содержание образования должно быть адекватно этой цели. Его состав определяет специфика математики и математической деятельности, методология научного поиска в математике и история математики. Только с позиции «живой математики» «математики с человеческим лицом» (В.И. Арнольд) можно выделить ее гуманитарный потенциал. Мы называем такое содержание гуманитарно ориентированным [36]. Его состав отражает как точку зрения А.Х. Назиева, так и Г.И. Саранцева и подробно будет раскрыт в следующей главе. Гуманитарно ориентированное содержание определяет «нормированное» предметное знание

Наконец, технология обучения должна обеспечивать превращение предметного знания в личностное знание ученика.

5. Деятельностный подход. Основным фактором целостного развития личности ученика является включение его в целесообразно организованную деятельность. Анализ деятельностного подхода широко представлен в работах психологов, педагогов и методистов. Мы выделим лишь его наиболее важные аспекты, которые определяют сущность компонентов методической системы обучения математике.

Во-первых, процесс обучения на любом его этапе (изучение учебной темы, построение урока) следует проектировать в соответствии с психологической структурой учебной деятельности. Она включает в себя три основных блока: мотивационный, операционально-познавательный, рефлексивно-оценочный. На каждом из этих этапов ученик должен быть субъектом деятельности (совместной деятельности с учителем или с учащимися). На первом, мотивационном этапе осуществляется создание проблемной ситуации, совместное целеполагание, прогнозирование в общем плане возможной совместной деятельности и ее результатов. При этом выясняется, чего не достает учащимся для получения результатов (средств, практических умений, теоретических знаний и т.д.). На втором, операционально-познавательном этапе учащиеся осознают содержание учебного материала, принимают участие в его структурировании и моделировании, в открытии субъективно новых для них знаний и способов деятельности. На последнем этапе сопоставляются планировавшиеся и достигнутые результаты, проводится их оценка, анализи-

руется собственная деятельность. Этап завершается постановкой новых проблем.

Во-вторых, в соответствии с выводами психологов, обучение в школе следует строить так, чтобы оно в сжатой, сокращенной форме воспроизводило действительный исторический процесс рождения и развития знаний. Деятельностный подход предполагает такую модель обучения математике, которая «имитирует» творческую математическую деятельность. Специфика математической деятельности не исчерпывается дедуктивно-аксиоматической компонентой. В ней присутствует эвристическое начало, эвристическая деятельность. Творческая математическая деятельность есть органичное единство логики и интуиции. Конечно, творческая деятельность ученика не может быть полностью адекватна деятельности ученого-математика. Речь идет о субъективной творческой деятельности ученика, ее соответствии с его обученностью и обучаемостью.

Наконец, усвоение опыта поисковой деятельности предполагает овладение способами этой деятельности, методами научного познания как общенаучными (аналогия, индукция, дедуктивные методы), так и частными, характерными для той или иной учебной дисциплины, раздела, темы, овладение действиями и операциями, адекватными аксиомам, определениям понятий, теоремам.

6. Технологический подход. Важным условием успешности включения ученика в поисковую математическую деятельность является владение им базовыми знаниями, умение оперировать ими. В математике в качестве таких знаний выступают основные единицы содержания, которые отражены в стандартах математического образования. Любой ученик должен владеть базовыми знаниями на уровнях «знание», «понимание», «применение в простейших ситуациях». Оптимальному решению этой задачи соответствует разрабатываемый наиболее активно в последние годы технологический подход в обучении. Он включает в себя:

- постановку и формулировку учебных целей, ориентированных на достижение запланированных диагностируемых целей обучения. Эти цели формулируются через результаты обучения, выраженные в действиях учащихся, которые можно надежно опознать;

- организацию учебных процедур, ориентированных на гарантированное достижение поставленных целей;

- осуществление оперативной обратной связи (оперативная диагностика, позволяющая управлять процессом усвоения, в случае необходимости - его корректировать);

- заключительную (итоговую) оценку результатов в соответствии с поставленными целями.

К специфическим чертам технологии обучения относится и воспроизводимость обучающих процедур.

Следует отметить, что некоторые исследователи противопоставляют технологический подход развивающему обучению, ассоциируя его с авторитарной, технократической моделью обучения.

Действительно, альтернативой технологическому подходу является исследовательский подход в обучении, основная цель которого - предоставить (создать) условия для развития творческого мышления школьников. Но всякое подлинное творчество базируется на определенной системе знаний, умений и навыков. В мышлении в диалектически противоречивом единстве переплетены его творческие и репродуктивные компоненты. В основе творческого мышления нередко лежит догадка, интуиция, «инсайт». Но интуитивное познание базируется, в том числе и на ранее приобретенных знаниях, навыках, умениях переносить эти знания на новые ситуации. Умению строить такие догадки, выдвигать гипотезы учащихся следует целенаправленно обучать. Начинать такое обучение важно уже на этапе получения новых теоретических знаний, представленных основными дидактическими единицами: определениями математических понятий, теоремами, правилами и алгоритмами, способами решения задач. Только усвоив дидактические единицы на уровнях понимания знания, применения (которые поддаются измерению), школьник может включиться в более сложную аналитико-синтетическую, исследовательскую деятельность. В то же время, в третьей главе будет описана технология обучения основным дидактическим единицам, которая носит развивающий характер.

Технологический подход гарантирует усвоение тех базовых знаний, которые лежат в основе любой поисковой деятельности. Подробнее о сущности технологии обучения будем говорить далее.

7. Принцип результативности, который предполагает соотнесение целей и результатов обучения, процессов и результатов т.п. Как будет показано в дальнейшем, этот принцип может служить основой для разработки различных технологий обучения.

Выделенные положения (принципы) взаимообусловлены и взаимосвязаны. Их единство и целостность определяют методическую систему развивающего обучения математике.

Вопросы и задания

1. Выделите основные периоды развития отечественного школьного математического образования.

2. Охарактеризуйте предметно ориентированную модель обучения математике. Каковы, на ваш взгляд, ее положительные стороны и существенные недостатки?

3. Каковы основные тенденции развития математического образования на современном этапе? Как они, по вашим наблюдениям, реализуются в практике работы школы?

4. Выделите основные компоненты методической системы «обучение математике».

5. Проведите сравнительный анализ характеристик компонентов методической системы «обучение математике» в контексте «знаниевой» модели обучения и с позиций принципов гуманитаризации, синтеза личностно ориентированного и предметно ориентированного, деятельностного подходов.

Литература для самостоятельного чтения:

3, 8, 11,24,48, 49, 79, 84, 90, 92, 103, 107, 116, 118, 119, 122

ГЛАВА 2. ЦЕЛИ И ГУМАНИТАРНО ОРИЕНТИРОВАНОЕ СОДЕРЖАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

2.1. Общие цели и структура содержания математического образования.

2.2. Предмет и метод математики.

2.3. Поисковая математическая деятельность как компонент гуманитарно ориентированного содержания образования.

2.4. Эвристические методы математической деятельности.

2.5. Дедуктивные методы математической деятельности.

2.6. Культура мышления в системе гуманитарно ориентированного содержания математического образования.

2.7. Элементы истории математики в содержании образования.

Цель современного общего образования - целостное развитие личности, формирование ее гуманитарного мировоззрения - может быть реализована лишь при адекватном ей содержании образования. В отечественной дидактике существовали разные концепции содержания образования, каждая из которых связана с определенной трактовкой места и функции человека в мире и обществе. Общим для них было то, что содержание образования отражало основы наук, систему научных знаний, практических умений и навыков. В свою очередь, под системой научных знаний подразумевались готовые, систематизированные в науке знания. Система научных знаний носила информационный характер. Подразумевалось, что сюда же входили мировоззренческие и нравственно-эстетические идеи, которыми должны были овладевать учащиеся в процессе усвоения информационного компонента знаний. Однако в содержании образования не были представлены те знания, которые бы позволяли эффективно решать декларируемые цели о всестороннем и гармоничном развитии личности. В стороне от обучаемого оставался сам процесс познания, методы и способы получения субъективно новых для ученика знаний.

Педагогическая психология в понятие «содержание образования» вкладывает более широкий смысл, чем это принято сейчас в некоторых учебниках педагогики и методики, а также в практике работы учителя.

В данной главе раскрываются те аспекты содержания математического образования, которые определяют его развивающий (гуманитарный) потенциал. Информационный компонент содержания образования традиционно анализируется в курсе частных методик, поэтому мы на нем в данной главе останавливаться не будем.

2.1. Общие цели и структура содержания математического образования

Проблема целеполагания является одной из важнейших в педагогической науке. С философской точки зрения любая деятельность определяется ее целью. Четко определенная цель в педагогике - важное условие эффективного управления учебным процессом. Еще Я.А. Коменский подчеркивал, что основной недостаток педагогической деятельности - неопределенность ее целей.

До начала 90-х годов (а в практике обучения - и до настоящего времени) стратегическая цель образования вообще и математического в частности состояла в овладении учащимися основами математических знаний, которые нужны человеку для продолжения образования, в повседневной жизни и для решения задач научно-технического прогресса.

В философской литературе категория «цель» трактуется как предвосхищение в сознании результата деятельности, на достижение которого направлены действия. Под педагогическими целями современная дидактика понимает идеальный, сознательно планируемый образ результата учебно-воспитательного процесса в отношении к порождающим его действиям и условиям. В педагогической теории выделяются два аспекта в постановке целей: языковый и содержательный. Содержательный показывает, какое содержание должны усваивать школьники для достижения стратегической цели образования. Язык и способы постановки целей помогают определить (опознать), усвоено ли это содержание и на каком уровне. В качестве такого языка в когнитивной области используются глаголы «знает», «понимает», «имеет представление», «применяет в простейших ситуациях» и т.д.

Проанализируем с этих позиций цели математического образования на современном этапе его развития, которые представлены в программе по математике в соответствии с федеральным компонентом государственного стандарта: «Изучение математики на базовом уровне среднего (полного) общего образования направленно на достижение следующих целей:

- формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;

- развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, а так же последующего обучения в высшей школе;

- овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

- воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, от-

ношение к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей [92, с. 27] »

Анализ содержания представленных целей показывает, что они отражают образовательную, мировоззренческую, развивающую и воспитательные функции обучения математике. Можно сказать, что цели сформулированы в виде основных обобщенных математических компетенций, которыми должны овладеть выпускники средней школы. Но поскольку они достаточно обобщенны, то они предполагают дальнейшую конкретизацию и уточнение. Последняя должна проводиться на иерархически связанных уровнях: стратегические цели обучения математике—► цели учебного предмета—► цели учебного предмета по годам обучения—► цели учебной темы—► цели урока—» цели изучения отдельной дидактической единицы.

Проблема целеполагания (конкретизация целей) на любом из указанных уровней предполагает анализ содержания. Для постановки стратегических целей среднего математического образования следует, во-первых, проанализировать сущность понятия «содержания образования» в целом (дидактический аспект); во-вторых, выявить компоненты математического содержания как целостной системы, которая обеспечивает овладение школьниками основными компетенциями в их целостном, органичном единстве.

Современная дидактика трактует содержание образования как педагогически адаптированный социальный опыт человечества, изоморфный человеческой культуре, взятой в определенном аспекте во всей ее структурной полноте. Это положение отражает культурологическую концепцию в содержании образования (В.В. Краевский, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин) [103].

Содержание образования, адекватное социальному опыту, представляет из себя интегральную структуру и состоит из четырех взаимосвязанных элементов:

- знания о человеке, обществе, технике, мышлении и способах деятельности (знания - результат);

- опыт осуществления коммуникативной, умственной, физической и трудовой деятельности, обеспечивающий формирование интеллектуальных, трудовых и др. умений и навыков (представляется в форме умений действовать по образцу);

- опыт творческой поисковой деятельности (представляется в форме умений принимать нестандартные решения в проблемных ситуациях);

- опыт эмоционально-ценностного отношения к деятельности и ее объектам. Последний состоит не в знаниях и умениях, хотя и опирается на них. Он отражает направленность личности и проявляется в форме личностных ориентаций (убеждений, интересов, желаний и т.д.). Важно формировать у школьников эмоционально-ценностное отношение к изучению математики, к математической деятельности.

Сущность образовательного процесса при этом определяется как целенаправленное превращение социального опыта в опыт личный, как приобщение человека ко всему богатству человеческой культуры.

Систему такого содержания называют иногда социально-гуманитарной, поскольку усвоение учеником всех ее элементов обеспечивает целостное развитие личности последнего. В дальнейшем состав математического содержания, адекватного социальнокультурному опыту в области математического знания и математической деятельности мы будем называть гуманитарно ориентированным.

Прежде чем переходить к выяснению специфики математического содержания, прокомментируем первый компонент в приведенной выше структуре - знания. И до настоящего времени в практике работы школы под знанием понимается лишь то содержание, которое зафиксировано в программах и представлено в учебнике (знание-результат). В математике это формулировки аксиом, определений (описаний) понятий, теорем и их доказательств, правил (частных способов математической деятельности типа «как сложить два числа с разными знаками»). Последние выделены в основном в арифметике, частично - в алгебре (действительно частично, поскольку нигде, например, не выделен алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений) и практически не выделены в геометрии. Об общих же методах математической деятельности чаще всего в учебниках ничего не говорится (исключение составляет лишь метод от противного).

Однако в содержании математического образования должны быть представлены и другие аспекты знания, связанные с процессом получения знаний. В содержании образования должны задаваться две системы знаний. Знания первого рода включают в себя научные сведения о предметах, фактах, явлениях в их связях и отношениях - информационная компонента. К знаниям второго рода относятся методологические знания, которые включают в себя знания о методах, процессе и истории познания, о конкретных методах науки, о различных способах деятельности (И.Я. Лернер). Таким образом, в категорию «знание» входит:

- знание понятий и терминов;

- знание фактов действительности и науки;

- знание законов науки и действительности;

- знание теории;

- знание о способах деятельности;

- знание о методах познания;

- знание о критериях оценки.

Источником определения математического содержания с позиций культурологической концепции (гуманитарно ориентированного содержания) служит математика, но не как сформировавшаяся, систематизированная наука, а как развивающаяся динамическая система, рассматриваемая с философских, методологических, исторических позиций, с учетом специфики творческой математической деятельности.

Исходя из сказанного определяется система гуманитарно ориентированного содержания общего математического образования. Она включает в себя:

- предмет и метод математики, ее ведущие идеи и понятия, математический язык, связь с другими науками и практикой, математическое моделирование;

- процесс познания в математике;

- специфику творческой математической деятельности как сплав интуиции и логики;

- методы научного познания (как общие эвристические и логические, так и специфические способы и приемы);

- эстетику математики;

- культуру мышления;

- историю математики;

- эмоционально-ценностное отношение к математике и математической деятельности;

- информационный компонент.

Центральное место в выделенной структуре содержания занимает информационный компонент (знания умения и навыки в их традиционном понимании). Во-первых, он предназначен для овладения школьниками математическим аппаратом, способами решения как математических, так и прикладных задач. Во-вторых, овладение школьниками выделенными компонентами гуманитарно ориентированного содержания возможно лишь при участии ученика в процессе получения результата знания, отражающего информационный компонент.

В программе по математике информационный компонент представлен в виде следующих крупных блоков: арифметика; алгебра; функции; начала математического анализа, уравнения и неравенства, элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности, геометрия. Там же раскрывается их краткое содержание, которое, в свою очередь, определяет структуру содержания на уровне конструирования учебных предметов (программ), учебников, задачников и других учебных пособий.

Отбор и структурирование содержания образования на любом уровне (в том числе и на уровне урока) должны опираться на два основных принципа.

1. Комплексный подход к структуре содержания, который учитывает предметную структуру научного знания, структуру деятельности, структуру личности и логику ее развития и саморазвития.

2. Функциональная полнота компонентов содержания образования, которая предполагает, что в нем как в явном виде, так и имплицитно (неявно) должны быть представлены все его базисные компоненты, обеспечивающие интеллектуальное, духовно-нравственное, эстетическое и коммуникативное развитие учащихся.

Принимая во внимание систему гуманитарно ориентированного содержания общего математического образования, опираясь на работы психологов и дидактов в области постановки педагогических целей, отражая трактовку

понятия образования, мы уточняем цели общего математического образования с позиций идеального ученика (М.В. Кларин) следующим образом.

Выпускник общеобразовательной школы математически образован, если он:

- знает сущность предмета математики;

- имеет представление об особенностях математического метода познания действительности;

- знает ведущие понятия математики и умеет оперировать ими;

- владеет математическим языком и математической символикой;

- имеет представление о математическом моделировании, умеет строить математические модели простейших реальных явлений и процессов;

- имеет представление о прикладных аспектах математики;

- имеет представление о влиянии математики на социальное развитие общества и наоборот (о влиянии общественного развития на развитие математической науки);

- приобщился к опыту творческой математической деятельности и умеет применять его в других видах деятельности;

- осознает процесс познания в математике;

- знает основные общенаучные методы познания (эвристические и логические) и умеет применять их как в математической, так и в других видах деятельности;

- знает специальные (частные) математические методы и приемы и умеет применять их для решения математических и прикладных задач;

- владеет основами культуры мышления;

- владеет культурой общения, культурой труда;

- имеет представление об основных периодах развития математической науки как части общечеловеческой культуры;

- осознал личностную и социальную ценность математики и ее методов.

Возникает проблема процедуры конкретизации общих целей на уровне изучения учебного предмета, темы, урока. Выделим основные положения, которыми, как мы считаем, следует руководствоваться при постановке учебных целей учителем (речь пойдет о целях изучения учебной темы и о целях уроков).

1. Цели обучения должны носить системный характер. Это означает, что они должны быть нацелены на овладение всеми элементами выделенной выше структуры математического содержания, которая органично учитывает и предметную структуру научного математического знания, и структуру математической деятельности, и целостную структуру личности. Конечно, на одном уроке не могут быть представлены все элементы содержания. Однако учителю следует заботиться о том, чтобы при изучении учебной темы, учеб-

ного раздела и тем более учебного курса это содержание усваивалось школьниками во всей его структурной полноте, что позволит достигать не одну или несколько сформулированных общих целей, а все цели как единое целое.

2. Учебные цели должны представлять из себя органичный синтез предметного и личностного знания, что является залогом реализации дидактических, воспитательных и развивающих целей образования в их традиционном понимании.

Понятие «личностное знание» было охарактеризовано нами выше. Добавим к сказанному, что известный философ М. Мамардашвили возникновение личностного смысла математических понятий связывает с процедурой их понимания, т.е. предметные знания начинают превращаться в личностные уже на уровне понимания. Перед учителем стоит очень сложная задача: превратить математическое содержание в личностное знание ученика.

3. Диагностичность целей обучения. Цели обучения должны ставиться в виде эталонов результатов, которые однозначно, определённо выражаются в действиях учеников и которые можно надежно опознать. В методической литературе в настоящее время обсуждается постановка диагностичных целей лишь в когнитивной области. Они ставятся в терминах: ученик «знает», «понимает», «имеет представление», «умеет», «владеет», «применяет в простейших ситуациях» и т.д.

Представление личностного знания (внутренних процессов, как было сказано ранее) во внешнем плане, однозначное описание его с помощью эталона результата не представляется возможным. В этом на сегодняшний день состоит «парадокс целей и результатов» (М.В. Кларин): жёсткая технология предполагает соответствие цели полученному результату, творчество же, наоборот, предполагает рассогласование цели и результата. Таким образом, противоречие состоит в том, что однозначная постановка цели сужает возможности неожиданных (незапланированных) результатов, но без постановки цели нет и самой деятельности.

Достижение целей, связанных с личностным знанием, с эмоционально ценностным отношением ученика к математической деятельности, к предметному содержанию, может быть гарантировано через включение ученика как субъекта в процесс получения предметного знания. На основании сказанного ранее, процесс обучения должен строиться в соответствии с деятельностным подходом, в тесном сочетании всех его аспектов. Поэтому «личностные» цели могут ставиться учителем косвенно через деятельность учащихся.

Таким образом, диагностично могут быть поставлены учебные цели темы, урока, которые отражают предметное знание, знание-результат. Приобретение личностного знания (рефлексия, смыслы, отношения и т.д.) происходит в какой-то мере и на отдельных уроках, но в целом это длительный процесс. Отдельные его аспекты могут быть продиагностированы лишь через какие-то отрезки учебного времени (причём для каждого ученика - свои).

Воспитывающая функция процесса обучения математике определяется деятельностью ученика по усвоению математического содержания в соответствии с его потребностями, интересами, мотивами. Воспитание в процессе

обучения предполагает формирование личной значимости социальных ценностей, эмоционального к ним отношения. Воспитание направлено на формирование аффективной (эмоционально-ценностной) области опыта. Напомним, что она включает в себя эмоцинально-личностное отношение к математике, связанные с ней переживания и т.д. Аффективная область имеет глубокий, личностный характер, ее трудно представить как краткосрочный результат в виде образов деятельности.

Категории учебных целей в аффективной области в целом описаны Б. Блумом. На их основе нами выделены некоторые критерии, которые позволяют учителю судить о реализации воспитательных целей при обучении математике. Если ученик:

- проявляет осознание важности математического образования;

- осознает роль математики и ее методов в познании действительности;

- объективно оценивает свою деятельность и результаты своей работы;

- целеустремлен и настойчив в решении математических проблем и задач;

- самостоятельно изучает дополнительную литературу по математике и истории ее развития;

- устойчиво проявляет самостоятельность в выполнении заданий учителя, в том числе и домашнюю работу;

- активно отвечает на вопросы учителя;

- активно сам задает вопросы учителю;

- аргументирует свои суждения;

- внимательно слушает высказывания одноклассников на уроке;

- участвует в обсуждении и решении поставленных на уроке проблем;

- доброжелательно и объективно оценивает работу своих одноклассников,

то можно судить о воспитывающем характере обучения математике.

Методами диагностики в этом случае выступают наблюдение, анкетирование, анализ выполнения творческих заданий, беседы с родителями и т.д.

4. Процедура постановки учебных целей (темы, урока). Процесс определения учебных целей можно описать следующим образом. Основополагающими здесь являются общие цели и целостная структура содержания математического образования, адекватного этим целям. В соответствии с этим содержанием идёт анализ учебного материала темы, отраженного в программе и учебнике (назовём его структурным анализом). В учебнике отражён лишь информационный компонент, частично - способы его получения. Остальное содержание лишь потенциально заключено в учебнике, и учителю предстоит самостоятельно его выявлять, согласуя с общей структурой содержания и общими целями образования. При этом важно заботиться о том, чтобы не упустить потенциальные возможности темы для достижения стратегических целей образования.

Общая процедура постановки целей обучения и их конкретизация учителем может быть представлена в виде следующей схемы (1.1):

Схема 1.1

ПРОЦЕДУРА ЦЕЛЕПОЛАГАНИЯ

Каждый элемент, представленный в схеме, находится в сложных взаимосвязях с остальными: обусловлен предшествующими и является базой для выявления содержания последующих элементов. Так, отбор содержания к уроку производится в соответствии:

а) с общими целями образования вообще и математического в частности;

б) целями изучения учебного предмета и учебной темы;

в) целостной структурой гуманитарно ориентированного содержания вообще и учебной темы в частности.

После выявленного таким образом гуманитарно ориентированного содержания ставится основная учебная задача урока. Она предопределяет и технологию обучения. А поскольку часть гуманитарно ориентированного содержания (опыт эмоционально-ценностных отношений) усваивается через

специально организованную деятельность ученика, то после постановки целей урока его содержание может уточняться.

В четвертой главе (пункт 4.2) будет показано, как в соответствии с этой схемой учитель должен готовиться к конкретному уроку.

2.2. Предмет и метод математики

Интегральная сущность содержания образования, изложенная в предшествующем пункте, способствует формированию целостного мировоззрения школьников.

Мировоззрение трактуется философами как обобщенная система взглядов на мир в целом, на место отдельных людей в мире и на свое собственное место в нем, понимание и эмоциональная оценка человеком смысла его деятельности и судеб человечества, как совокупность научных, философских, политических, правовых, нравственных, религиозных, эстетических убеждений и идеалов.

Мировоззрение может быть обыденным и теоретически обоснованным. Если мировоззрение исходит из правильного миропонимания, то оно служит основой для разумного преобразования мира.

Основу теоретически обоснованного миропонимания составляет научная картина мира, которая представляет из себя синтез знаний о природе и социальной реальности, целостную систему представлений о мире, его общих свойствах и закономерностях. Научная картина мира является одним из действенных способов формирования мировоззрения, связующим звеном между мировоззрением и научной теорией. Для мировоззрения же характерна более высокая интеграция знаний, чем в научной картине мира. В то же время в нем представлен не только понятийный и интеллектуальный аспекты, но и эмоционально-ценностное отношение человека к миру во всех его многообразиях.

Каждый учебный предмет, в силу своей специфики, вносит свой вклад в формирование научной, обобщенной картины мира. Она не может быть сформирована без осознания школьниками особенностей математического метода познания действительности, особенностей математического знания в самом широком его толковании.

В формировании научной картины мира, и на ее основе - мировоззрения, средствами математики существенным является понимание учащимися того, что такое математика, каков предмет ее изучения, в чем специфика ее метода познания действительности, как она связана с практикой и т. д.

Ответить на вопрос, в чем состоит предмет математики, можно лишь с позиций ее становления и развития. А.Н. Колмогоров выделил четыре основных периода развития математики [45].

Период зарождения математики, который продолжался до VI - V вв. до н. э., т. е. до того времени, когда математика становится самостоятельной наукой, имеющей собственный предмет и метод.

Еще за два тысячелетия до новой эры вавилоняне умели решать квадратные уравнения и знали теорему, которая ныне носит название теоремы Пифагора. Древние владели достаточно большим набором не связанных между собой правил и формул для решения многих практических задач: измерение земельных участков, составление календарей, строительство и т. д. К сожалению, до нас не дошли источники, по которым можно было бы узнать, каким образом люди дошли до знания используемых ими в то время математических сведений.

Второй период развития математики - период элементарной математики: от VI - V вв. до н. э. до XVI в. включительно. Превращение математики в дедуктивную науку - творение древних греков (VI - V вв. до н. э.). Не сохранилось документов, которые бы могли рассказать, что заставило древних греков прийти к новому пониманию математики и ее роли. А.Н. Колмогоров считает, что изменение характера математической науки можно объяснить более развитой общественно-политической и культурной жизнью греческих государств, характеризовавшейся высоким развитием диалектики, искусством ведения спора. У греков к этому времени сложилось определенное миропонимание того, что природа устроена рационально, а все ее явления протекают по точному и неизменному плану, который в конечном счете является математическим. Пифагорейцы (VI в. до н. э.) усматривали сущность вещей и явлений в числе и числовых соотношениях. Число для них было основным принципом в описании природы, оно же считалось материей и формой мира. Начала дедуктивного, аксиоматического метода были заложены также древнегреческими математиками. Первые математические теории, абстрагированные из конкретных задач, создали предпосылки для осознания самостоятельности и своеобразия математики. Это побудило античных математиков к систематизации и логической последовательности изложения ее основ. К IV в. до н. э. уже были выдвинуты принципы построения дедуктивной науки как логической системы, в основе которой лежат определенные начала - аксиомы. Развитие дедуктивной теории в первую очередь связано с именем Аристотеля (384 - 322 гг. до н. э.). Первое дошедшее до нас систематизированное дедуктивное изложение математики (геометрии) принадлежит Евклиду (до 300 г. до н. э.). Геометрическая система, известная под названием «Начала» Евклида, была блестящим, непревзойденным в течение свыше двадцати веков (вплоть до XIX века) образцом логической строгости, аксиоматического метода. Хотя на протяжении двух тысячелетий и вскрывались логические пробелы в системе исходных положений Евклида, первые реальные успехи в создании аксиом геометрии были достигнуты только к концу XIX века в работах Паша (1882 г.), Пеано (1889 г.), Пиери (1899 г.).

Таким образом, в Древней Греции произошел постепенный переход от практической геометрии к теоретической.

Третий период - период создания математики переменных величин (XVII, XVIII, начало XIX вв.) - знаменуется введением переменных величин в аналитической геометрии Р. Декарта (1596 - 1650) и созданием дифференциального и интегрального исчисления в трудах И. Ньютона (1642 - 1727) и Г. Лейбница (1646 - 1716). Основными направлениями научной деятельности Ньютона были физика, механика, астрономия и математика. Математика в системе научных взглядов Ньютона была частью общей науки о природе, орудием физических исследований. Разработанный им метод флюксий служил математическим аппаратом для изучения движения и связанных с ним понятий скорости и ускорения.

Математические работы Лейбница также тесно связаны с его философскими воззрениями, в частности, с созданием универсального метода научного познания, «всеобщей характеристикой». Математика мыслилась Лейбницем как наука об отражении всевозможных связей, зависимостей элементов, отношений в виде формул, в виде особого исчисления - дифференциального. Основой построения нового исчисления было понятие бесконечно малой величины, которое понималось, прежде всего, на уровне интуитивных представлений.

Несмотря на недостаточно разработанное в школах Ньютона и Лейбница исчисление бесконечно малых, оно позволяло решать многие из важнейших задач геометрии, механики, физики и прикладных наук. Лишь во второй половине XIX века, когда была создана теория действительного числа, стало возможным построить все здание математического анализа на строго логической основе.

Краткий экскурс в историю развития математики показывает, что одним из основных источников ее развития до этого времени были запросы практики и физики (в основном, механики и оптики). Математические теории отражали количественные (метрические) характеристики процессов.

Это обстоятельство и было отражено Ф. Энгельсом в общеизвестном описании им предмета математики: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть, - весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевывать его происхождение из внешнего мира». Хотя это предложение и нельзя считать полным определением математики, поскольку в нем нет указаний ни на метод, ни на цели изучения математики, оно отражает то, что объект изучения создан умом человека не произвольно, а в связи с реальным миром.

Четвертый, современный период развития математики начинается со второй половины XIX века. Состояние математики, сложившееся к этому времени, характеризуется следующими особенностями.

Накопленный в XVII и XVIII вв. огромный фактический материал привел к необходимости углубленного логического анализа и объединения его с новых точек зрения, связь математики с естествознанием приобретает все более сложные формы. Большие новые теории стали возникать не только в

результате непосредственных запросов практики, естествознания и техники, но также из внутренних потребностей самой математики. Наиболее важные из них: развитие теории функций, теории групп, связанной с исследованием проблемы разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, создание неевклидовых геометрий.

Вторая особенность этого периода в развитии математики связана со значительным расширением области ее приложений. Если до этого математика применялась в таких разделах физики, как механика и оптика, то теперь ее результаты находят приложение в электродинамике, теории магнетизма, термодинамике. Резко возросли запросы техники в математике: баллистики, машиностроения и др.

Третья особенность математики XIX в. обусловлена усиленным вниманием к вопросам ее обоснования, критическим пересмотром ее исходных положений (аксиом), построением строгой системы определений и доказательств, а также критическим рассмотрением логических приемов, употребляемых при этих доказательствах. Если раньше основным предметом ее изучения были метрические количественные отношения между величинами и пространственными формами, то, начиная с середины XIX в. она все чаще обращается к анализу взаимосвязей неметрической природы. Такое расширение области исследования математики сопровождалось возрастанием абстрактности ее понятий и теорий.

Революционный переворот во взглядах на математику был связан как раз с проблемами ее обоснования, с новым пониманием аксиоматического метода. Открытие в 1826 г. Н.И. Лобачевским (1792 - 1856) того, что замена пятого постулата Евклида о параллельных его отрицанием («Через точку вне прямой, лежащей в плоскости, проходит более одной прямой, не пересекающей данную»), и то, что выводы из системы аксиом абсолютной геометрии (где выполняются все аксиомы Евклида, кроме аксиомы параллельности) и аксиомы параллельности Лобачевского не привели к логическим противоречиям, а составляют столь же стройную и богатую содержанием геометрию, как и геометрия Евклида, послужило толчком в изменении взглядов на математику. Сразу же встал вопрос о необходимости обоснования новой геометрии, об исследовании ее непротиворечивости (из данной системы аксиом нельзя получить двух взаимоисключающих выводов). В этой связи получает дальнейшее развитие аксиоматический метод: 1) решается проблема непротиворечивости, полноты и независимости системы аксиом; 2) появляется новый взгляд на аксиоматическую теорию как бессодержательную, формально-логическую систему. Решение этих проблем было предложено Д. Гильбертом (1862 -1943).

Н.М. Бескин так описывает сущность аксиоматического метода на современном этапе развития математики, которую детерминировал Д. Гильберт [5]:

1. Строится абстрактная теория. В ее основании лежат термины двоякого рода, одни обозначают элементы одного или нескольких множеств (например, «точки», «прямые» и т. д.), другие - отношения между этими эле-

ментами (например, «лежать», «между» и т. д.). Этим терминам пока не приписывается никакого содержательного смысла, они - только слова.

Устанавливаются аксиомы, которым должны удовлетворять термины. Из аксиом выводятся логические следствия (теоремы). Для сокращения речи вводятся новые термины при помощи определений.

2. Терминам абстрактной теории приписывается содержательный смысл. Теперь их роль меняется, они выражают понятия, имеющие более или менее наглядное, осязательное содержание. Следует проверить, соблюдаются ли для этих понятий аксиомы абстрактной теории.

Система, полученная путем приписывания содержательного смысла терминам абстрактной теории, называется интерпретацией этой теории. Если каждая аксиома системы аксиом содержательной теории выполняется в построенной интерпретации, то этим доказывается относительная непротиворечивость исходной теории. Абсолютно доказать непротиворечивость математической теории внутренними средствами математики невозможно. Так, для доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского была построена одна из моделей французским математиком А. Пуанкаре (1854 - 1912) в предположении, что непротиворечива геометрия Евклида. Вопрос о непротиворечивости евклидовой геометрии был сведен Д. Гильбертом к непротиворечивости арифметики. Доказанные в 30-е годы нашего столетия теоремы приводят к выводу о том, что доказать непротиворечивость арифметики математическими средствами нельзя. «Математика не может доказать свою непротиворечивость внутренними средствами. Это так же невозможно, как поднять себя за волосы. Убеждения в непротиворечивости математики в конечном счете зависят от человеческой практики», - констатирует Н.М. Бескин [5, с. 29].

Новый подход к сущности предмета математики и связан, прежде всего, с революцией в аксиоматике. Суть ее состоит в переходе от конкретной содержательной аксиоматики к аксиоматике сначала абстрактной, а затем полностью формализованной. Формализованная аксиоматика возникает на основе абстрактной и отличается от нее, во-первых, точным заданием правил вывода, во-вторых, вместо содержательных рассуждений она использует язык символов и формул, в результате чего содержательные рассуждения сводятся к преобразованию одних формул в другие, т.е. к особого рода исчислениям. В соответствии с этим, одни и те же аксиомы могут описывать свойства и отношения самых различных по своему конкретному содержанию объектов.

Эта фундаментальная идея лежит в новом подходе к определению математики, данному коллективом французских математиков под общим псевдонимом Н. Бурбаки. Н. Бурбаки выделили три типа фундаментальных структур (порядковые, алгебраические и топологические), комбинациями которых являются любые математические структуры. На основе сказанного Н. Бурбаки делают вывод о том, что в своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм - математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно почему), что

некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм [9, с. 17].

Идеи Н. Бурбаки получили всемирное распространение с середины XX столетия, в том числе они нашли отражение и в реформировании школьного математического образования. В нашей стране реформа проводилась под руководством академика А.Н. Колмогорова, о чем говорилось ранее.

Взгляд на математику как на абстрактную, дедуктивную систему, изучение которой развивает лишь логическое мышление, остается и по настоящее время в практике работы учителя и в общественном сознании. Однако в последние десятилетия во всем мире наметился отход от понимания математики как замкнутой формальной системы, где господствует глобальная дедукция, логическая строгость. Известные философы и математики говорят о «живой математике», «математике с человеческим лицом», в которой логика и интуиция занимают каждая свое место. Новое направление в философии математики связано с именами М. Клайна, Г.Фройденталя, И. Лакатоша, Р. Тома и др. Американский историк и методолог математики Дж. Фонг пишет, наше столетие зашло слишком далеко в разного рода аксиоматических разгулах, маниакальном упорстве в самом суровом регионизме. Это своего рода похмелье наступило после опьянения «аксиоматическим мышлением» на пороге столетия. Достаточно резко о концепции Н. Бурбаки высказывается и В.И. Арнольд: «Особенный вред принесло представление о математике как о своеобразной логической игре - анализе следствий из произвольных аксиом. ... Математика сводится к исследованию формальных следствий из аксиом не более, чем стихосложение - к последовательному выписыванию букв из алфавита»[4, с.117].

Наконец, в последние годы ушедшего столетия в работах отечественных ученых-математиков все явственнее проявляется мысль о том, что предметом математики являются математические модели (В.И. Арнольд, Л.Д. Кудрявцев, М.М. Постников). Так, М.М. Постников утверждает, что математика - наука о схемах, моделях окружающего мира, их взаимосвязях и методах конструирования. Точка зрения на математику как науку о моделях окружающего мира находит четкое отражение в учебниках по алгебре, алгебре и началам анализа А.Г. Мордковича.

Проведенный анализ содержания предмета математики косвенным образом отразил и особенности ее основного (аксиоматического) метода. Его зарождение, эволюция, современное понимание проанализированы выше. Отметим лишь, что с тех пор, как основы аксиоматического метода зародились более двух тысячелетий назад в Древней Греции, он стал предметом философского осмысления и по мере развития науки получил общенаучный статус. Наиболее перспективным применение аксиоматического метода оказывается в тех науках и тогда, когда используемые понятия обладают стабильностью и можно абстрагироваться от их изменения и развития и когда эти понятия образуют некоторые структуры с определенными связями и отношениями. Принцип аксиоматического метода в последнее столетие нахо-

дил и находит реализацию как в естественных, так и социально-гуманитарных науках: физике, биологии, космологии, языкознании, литературоведении, теории управления и т. д.

В методике обучения математике А.А. Столяр выделяет две проблемы, связанные с аксиоматическим методом:

1. Аксиоматический метод как способ построения школьного курса геометрии.

2. Аксиоматический метод как предмет специального изучения на конкретно выбранном материале с целью ознакомления школьников с современным его пониманием.

Специфика математического знания неотделима от математического языка, который еще Галилео Галилей более 400 лет назад назвал языком науки.

Во многих случаях наш обычный естественный язык оказывается недостаточным и неудовлетворительным средством передачи и получения информации. В различных областях деятельности вырабатываются «свои» (искусственные) языки: например, чертежи - в технике, химические формулы и уравнения - в химии. Язык же математических формул и знаков обладает большей универсальностью, он используется во всех сферах человеческой деятельности. Система математических знаков является достоянием всего человечества, она вырабатывалась на протяжении тысячелетий.

Математический язык является результатом усовершенствования естественного языка по различным направлениям: 1) устранение громоздкости естественного языка; 2) устранение его двусмысленности; 3) расширение его выразительных возможностей в специфической области. Он употребляется как средство выражения математической мысли. В это понятие включаются логико-математические символы, графические схемы, чертежи, а также научные термины вместе с элементами естественного языка.

Овладение математическим языком предполагает сознательное усвоение учащимися содержания математических понятий, отношений между ними (аксиом, теорем) и умение рационально и грамотно выразить математическую мысль в устной и письменной форме с помощью вербальных и невербальных средств математического языка, а также свободное оперирование математическими знаниями, умениями и навыками в практической деятельности.

Проблема овладения математическим языком неразрывно связана с проблемой развития речи, а последняя - с проблемой развития мышления, о которой речь пойдет в специальном пункте.

Мы кратко осветили вопросы о предмете математики, объектах и специфике метода ее исследования, о связи математики с действительностью, с практикой, о специфике ее языка. Завершим этот анализ упоминанием еще об одном важном методологическом аспекте - ведущих понятиях математики, которые являются основой отражения математикой «количественных отношений и пространственных форм» реального мира. Эти понятия приобрели философский статус и осмысливаются и изучаются в том числе и философи-

ей. В число таких понятий в школьном курсе математики входят: число, пространство, поверхность, точка, функция, производная, вероятность, множество, а также математические понятия, связанные с философскими категориями (бесконечность, дискретность, непрерывность, связь, случайность, вероятность, информация). Идеалы красоты воплощаются в таких математических понятиях и идеях, как мера, порядок, отношение, пропорция, симметрия, периодичность (ритмы), абстрактность и дедуктивный характер, изящество и непреложность выводов, компактность и красота формул.

В заключение отметим, что ознакомление школьников с математикой как определенным методом миропознания, формирование понимания диалектической взаимосвязи математики и действительности, представление о предмете и методе математики, его отличиях от методов естественных и гуманитарных наук, о математическом моделировании, владение математическим языком, понимание сущности и роли в познании действительности ведущих математических понятий способствуют миропониманию, вносят существенный вклад в формирование общей культуры личности. Все эти вопросы должны входить в содержание математического образования в явном виде. Теоретическая и методическая проблема состоит в том, чтобы определить время (класс) и уровень полноты в освещении этих проблем для общеобразовательной школы и классов различных профилей.

2.3. Поисковая математическая деятельность как компонент гуманитарно ориентированного содержания образования

Категория деятельности исследуется философией, психологией, педагогикой, методикой. Психология исследует теоретическую модель деятельности, взаимосвязь деятельности, сознания и личности, механизм влияния деятельности на развитие возможностей человека, психологическую структуру учебной деятельности. Она включает, пишет В.В. Давыдов, два основных пласта компонентов: 1) потребность - задача; 2) мотивы - действия - средства-операции.

Дидактика исследует условия и организацию успешной деятельности (И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин, М.И. Махмутов, А.М. Матюшкин, Ю.К. Бабанский, В.Н. Соколов, И.П. Подласый и др.). В качестве такого условия в работах указанных авторов рассматривается в основном проблемное обучение.

Методика математики строит модель учебной деятельности, опираясь на психологические, дидактические концепции деятельности и учитывая специфику творческой математической деятельности. Мы будем строить модель учебно-познавательной математической деятельности как раз опираясь на эти положения.

Чтобы деятельность привела к формированию запроектированного образа личности, ее нужно организовать и разумно ею управлять, учат психоло-

ги и педагоги. В основе разработки модели учебно-познавательной математической деятельности - вывод психологов о том, что обучение в школе всем предметам необходимо строить так, чтобы оно в сжатой, сокращенной форме воспроизводило действительный исторический процесс рождения и развития знаний. При этом мы опираемся и на концепцию СЛ. Рубинштейна о взаимосвязи процессов учения и исторического процесса познания, который утверждал, что они не тождественны: «По-настоящему правильным решением этого основного вопроса является признание единства (а не тождества) и различия (а не полной разнородности) пути учения и процесса познания. ... Логическое, которое выделяется в процессе исторического развития познания, и образует то общее, что объединяет и историческое развитие познания, и процесс учения: в нем их единство» [87, с. 78]. В концепции учебной деятельности особое внимание уделяется организации учебного материала в соответствии с логикой и методологией научного познания. «Хотя учебная деятельность школьников, - пишет В.В. Давыдов, -развертывается в соответствии со способом изложения уже полученных людьми продуктов духовной культуры, однако внутри этой деятельности в своеобразной форме сохраняются ситуации и действия, которые были присущи процессу реального создания таких продуктов, благодаря чему способ их получения сокращенно воспроизводится в индивидуальном сознании школьников» [23, с. 149].

Эту позицию разделяет И.С. Якиманская, которая полагает, что развивает не само знание, а специальное его конструирование, моделирующее содержание научной области, методы ее познания.

Следовательно, деятельностный подход предопределяет такую модель обучения математике, которая «имитирует» творческую математическую деятельность, что позволяет приобщать школьников к этой деятельности, овладевать соответствующим опытом на уровне своих индивидуальных возможностей. Конечно, творческая деятельность ученика не может быть полностью адекватна деятельности ученого-математика. Речь идет о субъективной творческой деятельности ученика, когда он становится соучастником получения субъективно нового для него знания. И.Я. Лернер творчеством ученика называет вид его деятельности, направленный на создание качественно новых для него ценностей, имеющих общественное значение, важных для формирования личности как общественного субъекта.

В соответствии со сказанным, необходимо выявить специфику математической деятельности. Как ни странно, именно этот наиважнейший вопрос в теории и методике математики оказался недостаточно разработанным, поэтому мы его попытаемся проанализировать подробно. Теорию деятельностного подхода к обучению математике исследовал А.А. Столяр. Он выделил три основных аспекта математической деятельности:

1) математическое описание конкретных ситуаций, или математизация эмпирического материала (МЭМ);

2) логическая организация математического материала (ЛОММ), полученного в результате первого аспекта деятельности, или построение математической теории («маленькой, локальной» или «большой, глобальной»);

3) применение математической теории (ПМТ), полученной в результате второго аспекта деятельности.

Выделенные три основных аспекта математической деятельности представляют собой, по мнению А.А. Столяра, специфические для математики приемы мышления, которые используют в определенных сочетаниях общелогические приемы: индукцию, дедукцию, анализ, синтез, сравнение, сопоставление, классификацию, обобщение, абстрагирование, конкретизацию.

В качестве дидактической модели математической деятельности выступает проблемное обучение, в частности исследовательский метод.

Свою концепцию деятельностного подхода А.А. Столяр иллюстрирует на примере изучения темы «Касательная к окружности». Анализируя соответствующую модель (рисунок, на котором изображена окружность и касательная к ней), ученики посредством наблюдения и измерения углов и расстояний под управлением учителя (с помощью соответствующей системы вопросов) выясняют эмпирическим путем, что изображенные на рисунке объекты обладают свойствами: прямая и окружность имеют только одну общую точку; расстояние от этой точки до центра окружности является наименьшим из всех расстояний от центра окружности до других точек прямой; радиус, проведенный через общую точку прямой и окружности, перпендикулярен этой прямой. На втором этапе выявляются логические связи между экспериментально найденными фактами (довольно продолжительное время) и выясняется возможность двух различных определений касательной и соответственно неоднозначных возможностей построения «двух маленьких теорий» - определения, признаков и свойств касательной.

Несомненное достоинство рассматриваемой модели обучения состоит в том, что усвоение учащимися опыта построения хотя бы и фрагмента теории приобщает их к исследовательской математической деятельности.

Вместе с тем предложенная А.А. Столяром модель учебно-познавательной деятельности показывает, что:

1. Процесс познания опирается, в основном, на логику. В нем не находят достаточного отражения такие индуктивные умозаключения, как интуиция, аналогия, т.е. эвристические методы познания.

2. Чтобы школьники смогли включиться в исследовательскую деятельность, они должны владеть довольно высоким уровнем логической культуры, соответствующими средствами познавательной деятельности, связанной с логическими умениями.

3. Анализ концепции А.А. Столяра побуждает обратиться к вопросу о более полном изучении специфики математической деятельности.

В чем же состоит специфика математической деятельности? Четкий ответ на этот вопрос можно найти в трудах выдающегося французского математика А. Пуанкаре. Анализируя свое творчество, А. Пуанкаре заключает, что в математическом творчестве, как и в любом другом, присутствует

интуиция и догадка. «Механизм математического творчества, например, не отличается существенно от механизма какого бы то ни было иного творчества», - пишет он [82, с. 370]. Все виды творчества человека, будь то искусство или наука, развиваются по одинаковой схеме на основе интуиции и чувства гармонии. Чисто математическое творчество от других видов творчества отличается лишь последним этапом. Если в искусстве и естественных науках истинность «продукции» творчества проверяется конкретным экспериментом, то в чистой математике эта истинность устанавливается логическим путем, дедуктивным доказательством. В математическом творчестве интуиция и логика играют каждая свою роль: «Логика, которая одна может дать достоверность, есть орудие доказательства; интуиция есть орудие изобретательства» [82, с. 215].

Эту мысль разделяет и Р. Курант: «Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Ее основные черты и взаимно противоположные элементы - логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивает жизненность, полезность и высокую ценность математической науки» [50, с. 19].

Д. Пойа говорит о двух типах рассуждений в математике - доказательных и правдоподобных: «Различие между этими типами велико и многообразно. Доказательное рассуждение надежно, неоспоримо, окончательно. Правдоподобное рассуждение рискованно, спорно, условно. Доказательные рассуждения пронизывают как раз науки в той же мере, что и математика, но сами по себе (как и сама математика) не способны давать существенно новые знания об окружающем нас мире. Все новое, что мы узнаем о мире, связано с правдоподобными рассуждениями» [77, с. 14-15].

Как в развитии математических теорий в целом, так и в творчестве отдельных математиков процесс познания начинается с установления отдельных фактов, выявления закономерностей на основе наблюдения, сравнения, вычислений, измерения и т.д. Д. Пойа на различных примерах убедительно показывает этот процесс в творчестве выдающегося математика Л. Эйлера. Ф. Клейн приводит примеры, как К.Ф. Гаусс в поисках арифметических закономерностей выполнял многочисленные и трудоемкие вычисления с конкретными числами. В результате накопления фактов и выявления некоторых закономерностей эмпирическим путем далее на их основе, а также и интуитивно выдвигаются гипотезы. В математике они должны быть или доказаны или опровергнуты логически. Наконец, полученные в результате длительного развития отдельные факты систематизируются, и строится дедуктивная, аксиоматическая теория.

На основе работ по истории и методологии математики (Ф. Клейн, К.А. Рыбников, Л.Я. Стройк, А.П. Юшкевич, Г.И. Рузавин и др.), специфики творческой математической деятельности (А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Д. Пойа,

M. Клайн, Г. Фройденталь и др.) цикл познания в математике в общих чертах может быть представлен в следующем виде:

Однако предложенная схема еще не является моделью математической деятельности, поскольку она не отражает методы научного познания, характерные для каждого этапа.

Из работ по методологии науки следует, что методы научного познания условно разделяются на две большие группы: эвристические и дедуктивные.

К числу эвристических методов науки, прежде всего, относятся наблюдение и сравнение, эксперимент (в математике - вычисления, построения, измерения, моделирование), анализ и синтез, неполная индукция и аналогия, обобщение, специализация, суперпозиция. Все эти методы приводят к выдвижению гипотез, которые требуют установления их истинности или ложности. Они же лежат в основе высокоавтоматизированных умственных навыков, протекающих на бессознательном уровне, и являются базой для проявления интуиции. Наконец, в реальном творческом процессе каждый из этих методов действует не изолированно, а во взаимосвязи с другими, в том числе и с дедуктивными методами.

На этапе доказательства теоремы, обоснования найденного решения на первое место выступает логика: ее законы, сущность доказательства, общие дедуктивные методы доказательств, специальные методы, характерные для той или иной темы, дисциплины.

В реальной математической деятельности разрозненные математические знания систематизируются и на основе аксиоматического метода строится соответствующая теория.

Наконец, математическое моделирование связывает математические теории с практикой.

Таким образом, мы представляем следующую модель математической деятельности, которая отражает процесс познания в математике и методы научного познания и которая может быть положена частично в основу модели учебно-познавательной математической деятельности (схема 2.1).

Все сказанное позволяет сделать следующие выводы: 1. Именно включение школьника в творческую деятельность, адекватную специфике творческой математической деятельности, создает условия для усвоения им математического содержания в его современной трактовке, где реализуются принципы целостности, комплексности и функциональной полноты, интегральный характер.

Схема 2.1

2. Всякая деятельность предметна и содержательна. В процессе творческой математической деятельности школьники овладевают информационной компонентой математических знаний, ЗУНами в их традиционном понимании. Но поскольку эти знания и умения получены в результате субъектной деятельности, они приобретают совершенно иное качество, основной характеристикой которого является осознанность этих знаний, осмысленное оперирование ими; происходит превращение предметных знаний в личностные знания ученика.

3. Только в процессе творческой учебно-познавательной деятельности школьники овладевают методами научного познания как общими эвристическими и логическими, так и специфическими. Причем обучение этим методам происходит не стихийно, а целенаправленно с помощью соответствующей технологии обучения, в которой методы познания являются такими же объектами изучения, как и информационный компонент содержания. Школьники овладевают этими методами также осмысленно.

4. Творческая познавательная деятельность ставит ученика в положение полноправного субъекта этой деятельности, ее соучастника, что отражает сплав личного и объективного в знании. В процессе поисковой деятельности учащиеся усваивают и опыт эмоционально-ценностного отношения к математике и математической деятельности, объектам и субъектам процесса обучения.

5. Важным компонентом гуманитарно ориентированного содержания является эстетика математики. В научно-методической литературе, посвященной эстетике уроков математики, выделены следующие ее аспекты в математическом образовании:

- специфика и особенности математического содержания, которые характеризуются абстрактностью и дедуктивным характером, непреложностью математических выводов, совершенством математического языка, красотой доказательств;

- связь математики с миром красоты в окружающей действительности (связь с красотой в технике, искусстве, природе);

- отражение эстетики природы в математике (симметрия и асимметрия, периодичность и др.);

- математические основы законов красоты в искусстве (в музыке, в живописи, скульптуре, архитектуре);

- история математики;

- отдельные математические «жемчужины» (модели многогранников, пропорции, в том числе «золотое сечение», красивое решение задачи, компактность формул и т.д.);

- математические мотивы в художественной литературе.

Выделим еще один, не менее значимый, эстетический аспект, связанный с процессом получения субъективно нового для ученика знания.

Включение ребенка в творческую математическую деятельность оказывает заметное влияние на его духовное, эстетическое воспитание. Ребенок, увлеченный поиском решения задачи, которая требует интеллектуальных усилий и в то же время доступна ему (принцип посильных трудностей), доказательством теоремы и получивший нужный результат, испытывает такое же эстетическое переживание и удовлетворение, как и в том случае, когда он рисует, танцует, бегает на коньках: ученик получает удовлетворение от успешной интеллектуальной деятельности. Каждому учителю приходилось наблюдать сосредоточенное, серьезное, интеллектуально напряженное лицо ребенка, склонившегося над поиском решения задачи, и то, каким светом неподдельной радости, восторга оно освещается в случае озарения, «инсайта». В практике работы лучших учителей математики приходилось наблюдать, когда весь класс, как единое целое, был охвачен поиском доказательства новой теоремы и на предложение учителя оказать им некоторую помощь дети отвечали: «Нет, нет, подождите еще немножко, сейчас мы сами догадаемся!» Чем вызвана такая увлеченность поиском? Потребностью нашего ума, чувством гармонии, порядка, заложенного в доказательствах, а также чувством удовлетворения от того, что ребенок сам получил результат. «Чувство изящного в математике есть чувство удовлетворения, не скажу, какое именно, но обязанное какому-то взаимному приспособлению между только что найденным решением и потребностями нашего ума. ... Имеет значение не только порядок вообще, а порядок неожиданный», - писал А. Пуанкаре [82].

В то же время преодоление ребенком определенного интеллектуального барьера (для каждого - своего) позволяет ему испытать чувство гордости

за себя, вселяет уверенность в свои силы, в возможности своего интеллектуального потенциала. А без этого не может быть и полноценного учения. Эстетические, эмоциональные переживания школьников в процессе математической деятельности связаны с «ситуацией успеха», о создании которой учителю не следует забывать. Поэтому эстетическая направленность процесса обучения математике есть синтез красоты математики и эстетического освоения математики учеником через его творческую математическую деятельность. Творчество по своей природе эстетично, так как оно предполагает активизацию и концентрацию человеческих чувств, красоту самого процесса труда, его побудительных мотивов, целей, идеалов.

6. Однако математика такова, что достижение определенных успехов в ее изучении (для каждого ученика - своего уровня) и проявление интереса к ней требует трудолюбия, сосредоточенности, напряжения, настойчивости, целеустремленности. Математическая учебно-познавательная деятельность приучает школьника добросовестно, систематически, последовательно, настойчиво работать, учит анализировать, развивает критичность и самокритичность мышления, воспитывает точность и обстоятельность аргументации. Таков может быть воспитательный эффект от изучения математики.

Итак, в процессе творческой математической деятельности проявляется интегральная функция содержания образования, где ученик овладевает опытом творческой поисковой деятельности, опытом коммуникативной, умственной, эмоциональной, трудовой деятельности, осваивает опыт эмоционально-ценностного отношения к деятельности и ее объектам.

Все сказанное позволяет заключить, что включение школьника как субъекта в поисковую математическую деятельность способствует формированию его мировоззрения в содержательном, процессуальном и эмоционально-ценностном аспектах.

Основные трудности в реализации описанной модели учебно-познавательной математической деятельности - как учить школьников догадываться. Здесь мы следуем рекомендациям Д. Пойа. Основное средство в решении этого вопроса Д. Пойа видит в том, чтобы школьники сначала наблюдали за тем, как рассуждает и догадывается учитель, а затем подражали ему и приобретали практический навык правдоподобных рассуждений.

Покажем, как можно обучать целенаправленно школьников умению догадываться на примере вывода формулы площади треугольника.

На доске изображены три треугольника (рис. 2.1, а, б, в) пока без соответствующих записей (записи появляются постепенно по мере хода рассуждений).

Учитель говорит: «Известно, что площадь треугольника вычисляется по формуле S = 'A ah (делается соответствующая запись под рисунком). Какой вид имеет эта формула для прямоугольного треугольника?» (стрелкой указывается переход от случая а) к случаю б), от общего к частному).

Далее учитель задает классу такие вопросы: «Можно ли построить треугольник по двум сторонам а и Ь и углу С между ними? Сколько таких треугольников можно построить?»

В ходе беседы выясняется, что по двум сторонам а и Ъ и углу С между ними треугольник определяется однозначно. Значит, определена и его площадь. Таким образом возникает гипотеза, что две стороны и угол между ними определяют площадь треугольника. Закономерно возникает вопрос «Как?», «По какой формуле?» В поисках ответа на него обращаемся снова к случаю б) и замечаем, что он, в свою очередь, является частным случаем в). Здесь уже, наоборот, известна формула для частного случая и нужно попытаться выяснить, нельзя ли ее как-то обобщить для общего случая.

- Как можно записать площадь прямоугольного треугольника в другой форме, чтобы в ней был отражен угол С? (записывается формула S = V2 ab sin90°).

- Сравнивая случаи б) и в), попытайтесь выдвинуть гипотезу относительно формулы площади треугольника через две стороны и угол между ними.

В соответствии с проводимыми рассуждениями, на доске постепенно появляются записи и стрелки, отражающие ход наших мыслей, рассуждений, т.е. модель наших рассуждений.

В заключение учитель еще раз делает акцент не столько на полученной формуле, сколько на том, как мы рассуждали, чтобы выдвинуть гипотезу, «открыть» новую формулу.

Конечно, сравнивая этот пример с традиционной методикой, можно заключить, что теорема эта слишком простая, а рассуждения, подводящие учащихся к гипотезе, слишком длинны и на уроке для этого нет времени. По этому поводу выскажем два соображения. Во-первых, выбор технологии обучения диктуется целями урока, а наша цель состояла в обучении методам научного познания, на описанном этапе - эвристическим: наблюдению, сравнению, обобщению, конкретизации и на их основе - умению выдвигать гипотезы.

Рис. 2.1

Во-вторых, в дидактике известно, что проблемно-развивающий тип обучения (а здесь обучение шло как раз частично-поисковым методом) можно применять только на таком материале, который не слишком сложен для учащихся, чтобы у них была необходимая база знаний и соответствующий уровень интеллектуальных умений для участия как в совместном с учителем поиске, так и в самостоятельном. В-третьих, когда учащиеся овладеют в необходимой степени познавательными средствами, то время на дальнейшее изучение материала компенсируется. Наконец, иллюстрация хода мысли здесь достаточно прозрачна и не затемняется громоздкостью содержательных выкладок.

Далее, на этапе доказательства этой теоремы, шло обучение методам доказательства - методу полной индукции. Учащимся было предложено самостоятельно доказать истинность полученной в результате индуктивных рассуждений формулы. Ссылаясь на формулу S = й ah, большинство школьников доказали эту теорему для остроугольного треугольника (угол С - острый. В этом случае высота, проведенная из вершины угла А, расположена во внутренней области исходного треугольника). И опять в ходе соответствующей беседы было продемонстрировано, что для доказательства теоремы предложенным способом следует рассмотреть еще два случая: когда угол С прямой и когда он тупой. Затем учитель предложил ученикам выявить специфику этого метода доказательства и дать ему соответствующее название. Один из ответов был такой: «Полное рассмотрение всех возможных случаев».

После этого учитель ввел термин понятия доказательства методом полной индукции и предложил ученикам привести еще пример известной им теоремы, которая была доказана этим методом. Школьники без труда привели теорему о вписанном угле.

После этого разговора ученикам было предложено, рассуждая аналогично, спрогнозировать, чему равна площадь четырехугольника, если даны его диагонали и угол между ними, учитывая, что знаем формулу площади четырехугольника, когда диагонали его известны и перпендикулярны.

В домашнее задание в качестве дополнительного было включено исследовательское задание: варьируя четырехугольник до параллелограмма, ответить на вопросы:

- найти, чему равна площадь параллелограмма, если известны: две стороны и угол между ними; две диагонали и угол между ними; две стороны и угол между диагоналями; две диагонали и угол между сторонами.

Другие примеры включения школьников в поисковую деятельность будут приведены далее, в том числе и в третьей главе, где описывается технология обучения основным дидактическим единицам. В основу разработки этой технологии нами положена как раз модель творческой математической деятельности.

2.4. Эвристические методы математической деятельности

Чтобы учащиеся были полноправными субъектами деятельности, ее соучастниками, важно, чтобы они овладевали средствами этой деятельности, т.е. познавательными средствами, или методами научного познания. Как уже отмечалось выше, овладение средствами деятельности происходит не изолированно от нее, а в процессе ее выполнения, не стихийно, а целенаправленно, с помощью такой технологии обучения, в которой методы познания являются такими же объектами изучения, как и информационный компонент содержания. Чтобы строить соответствующую технологию, раскроем сущность методов математической деятельности.

Математическая деятельность направлена на познание действительности. Поэтому сначала рассмотрим кратко основные понятия, связанные с процессом познания.

Первоначально познание мира осуществляется эмпирически, на основе опыта, т.е. восприятием внешнего мира посредством органов чувств. Дальнейшее продвижение в знании непосредственно связано с процессом мышления, с мыслительными операциями и формами мышления.

Формами мышления называют структуру отдельных мыслей и их особых сочетаний. Они изучаются в формальной логике. Выделяют три основные формы мышления: понятие, суждение, умозаключение.

Понятие - это мысль, фиксирующая признаки отображаемых в ней предметов и явлений, позволяющих отличить эти предметы и явления от смежных с ними.

Связь между понятиями осуществляется с помощью суждений. Суждение есть форма мышления, утверждающая или отрицающая что-либо. Суждение может быть истинным или ложным.

Форма мышления, мыслительная операция, в результате которой из одного или нескольких суждений, находящихся в определенной смысловой взаимосвязи, получается новое суждение, называется умозаключением.

Исходные суждения в умозаключении называются посылками, новое суждение - заключением или выводом.

Если в умозаключении выполняются условия:

а) правильны посылки (исходные суждения);

б) правильно применены логические законы мышления (правила вывода), то такие умозаключения называют дедуктивными, достоверными.

В дедуктивном умозаключении вывод - истинное высказывание.

Когда посылки недостаточны или в процессе рассуждений нет опоры на законы логики, то получается индуктивное, вероятностное умозаключение, или правдоподобное (по терминологии Д. Пойа). В индуктивном умозаключении связь между посылками и выводом базируется на фактических или психологических закономерностях.

Теперь обратимся к модели творческой математической деятельности.

Согласно этой модели, процесс познания в математике начинается с накопления фактов и выдвижения гипотез. В науке искусство изобретения,

метод нахождения нового называется эвристикой. Поэтому методы, с помощью которых осуществляется накопление фактов и выдвижение гипотез, т.е. методы, способствующие открытиям, называются эвристическими методами деятельности.

В математике и обучении математике открытие объективно или субъективно нового, т.е. получение новых объектов, явлений, закономерностей, выдвижение гипотез, осуществляется на основе наблюдения, опыта (в частности, измерений, вычислений, построения, моделирования), на основе мыслительных операций и их совокупностей (приемов мышления) - сравнения, анализа, синтеза, обобщения, абстрагирования, конкретизации, аналогии, неполной индукции, а также на основе интуиции. Охарактеризуем эти методы математической деятельности.

Наблюдение и опыт

Наблюдение. С одной стороны, наблюдение есть процесс, целенаправленное, планомерное, более или менее длительное восприятие действительности при помощи органов чувств. В то же время наблюдение рассматривается и как суждение, результат мыслительной операции, состоящей в выделении и фиксировании свойств и отношений объектов или явлений в процессе их восприятия в естественных условиях. Таким образом, наблюдение и опыт постоянно сопутствуют и взаимодействуют друг с другом.

Например, наблюдая нумерацию домов на одной улице, можно выделить свойство, что на одной стороне улицы номера домов - четные числа, на другой - нечетные. Восприятие окружающих человека предметов позволяет высказать наблюдение, что многие из них имеют форму прямоугольного параллелепипеда, а плоские - форму прямоугольника. Манипулируя с 10 спичками, можно заметить, что 5 спичек получается очень многими способами: 5=1 + 4=4 + 1=2 + 3=3 + 2=2 + 2 + 1=...=6 - 1=7 - 2=...

Следовательно, результатом длительного восприятия может оказаться новое знание. Наблюдение позволяет высказать гипотезу, спрогнозировать или мотивировать дальнейшую деятельность в процессе обучения.

К числу эвристических методов научного познания относится также опыт. Но здесь имеется в виду не просто эмпирия, а нечто близкое к научно поставленному опыту, т.е. к эксперименту. Хотя математика и не экспериментальная наука, опыт в таком понимании находит довольно широкое применение в обучении математике. Он состоит в том, что создаются специальные ситуации, действуя в которых учащиеся могут обнаружить новые для них явления и закономерности. При этом чаще всего используются частные, специфические для математики методы: вычисления, измерение, построение, моделирование.

Например, с помощью вычислений легко обнаружить справедливость таких равенств, как 7 + 5 = 5 + 7, 7-5 = 5-7. Повторяя аналогичные действия с другими числами, убеждаемся в том, что для любых чисел а и b выполняются равенства a+b=b+a, a-b = b-a. Учитывая это, работу с учащимися можно

организовать таким образом, чтобы соответствующие выводы они сделали сами. Так школьники получают новые знания о числах.

На основе вычислений или геометрической модели (изображения чисел на координатной прямой) можно получить вывод о том, что для любых чисел a, b, с, если а<Ь ,чо а + с<Ь + с.

С помощью измерений и вычислений можно установить, что если точка С является внутренней точкой отрезка AB, то сумма длин отрезков АС и СВ равна длине отрезка AB. Измерение длин противоположных сторон и величин противоположных углов параллелограмма дает основание для гипотезы: «В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны».

Если рассмотреть несколько углов, вписанных в одну и ту же окружность и опирающихся на одну и ту же дугу, то с помощью измерения можно установить, что величины углов приблизительно равны. Поскольку общее для всех углов - дуга, на которую они опираются, то это наводит на мысль, что градусные меры угла и дуги как-то между собою связаны и хорошо бы эту связь установить.

Если построить на бумаге и вырезать треугольники ABC и АХВХСХ, такие, что, например, Z Ах = Z А - 40°, ASBX = AB = Зсм, Л,С, = АС = 2см, то полученные таким образом натуральные модели треугольников можно будет совместить наложением (при построении достаточно использовать масштабную линейку и транспортир или малку). Такая манипуляция с моделями позволяет высказать гипотезу - признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Моделируя различные случаи взаимного расположения трех прямых (например, вязальных спиц или карандашей), нетрудно получить заключение, что в пространстве если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она вовсе необязательно пересекает другую, и если две прямые перпендикулярны к третьей, то они могут оказаться или параллельными, или пересекающимися, или скрещивающимися, что противоречит известным теоремам в планиметрии.

Таким образом, опыт в обучении математике предполагает выполнение учащимися под руководством учителя действий, аналогичных рассмотренным в примерах. Так школьники сами смогут сформулировать соответствующие гипотезы или опровергнуть предполагаемые (как в последнем примере), т.е. сделать маленькие открытия. Поэтому опыт относится к эвристическим методам математической деятельности.

Наблюдение и опыт относятся к эмпирическим методам познания. Однако выводы, которые делаются на основе наблюдения и опыта, предполагают работу мысли, выполнение мыслительных операций. Познавательные средства, которые будут рассмотрены далее, это логические приемы (приемы мышления), т.е. мыслительные операции и их совокупности, в которых мыслительные операции могут повторяться неоднократно. При этом основанием

для возникновения мысли могут служить как наблюдение и опыт, так и выводы, полученные логическим путем.

Анализ и синтез

Основными мыслительными операциями, которые присутствуют практически во всех логических приемах, являются анализ и синтез. Они могут использоваться и на этапе эмпирии и выступать как гипотетико-дедуктивные методы.

Анализ - совокупность мыслительных операций, логический прием, состоящий в разложении изучаемого объекта на характерные для него составные элементы, выделении в нем отдельных сторон, изучении каждого элемента или стороны объекта в отдельности как части целого.

Синтез - совокупность мыслительных операций, логический прием, состоящий в соединении элементов (частей) или свойств (сторон) изучаемого объекта, полученных при анализе, в установлении взаимосвязей между частями и получении знания об этом объекте как о едином целом.

Анализ и синтез - две стороны единого мыслительного процесса, они взаимосвязаны, взаимно проникают друг в друга, находятся в диалектическом единстве.

Простейшим и наглядным примером анализа и синтеза является разбирание детской игрушки, например пирамидки (анализ), и собирание ее (синтез).

Рассмотрим примеры применения анализа и синтеза в математике и в обучении в различных их проявлениях.

Пример 1. Анализ и синтез могут опираться на соответствующие им материальные процессы - разделение и соединение. Ярким примером тому являются методы разбиения и дополнения, ведущие в темах о площадях фигур и объемах тел. Так, при выводе формулы площади параллелограмма его разбивают высотой на треугольник и трапецию (анализ) и составляют из них прямоугольник, измерения которого равны соответственно основанию и высоте параллелограмма (синтез).

Пример 2. Анализ и синтез используются при доказательстве теорем и решении задач методом полной индукции, при установлении количества и способа вычисления корней линейного или квадратного уравнения и в других случаях.

Рассмотрим, например, уравнение ах = Ь. При его решении могут встретиться различные случаи: я * 0 ; а = 0, 6*0; я = 0, Ь = 0. В каждом из них корни находятся своим способом и количество корней свое. Выделение этих трех возможных случаев есть анализ. Формулирование общего вывода о числе корней линейного уравнения есть синтез.

Пример 3. Анализ и синтез могут применяться при выдвижении гипотез. Например, проводим следующий опыт. Предлагаем учащимся построить биссектрису, медиану и высоту к основанию равнобедренного, но не равностороннего треугольника. Учащиеся замечают, что все три отрезка совпада-

ют. Предлагаем построить аналогичные отрезки к боковой стороне. Обнаруживается, что они разные. Тот же результат получаем для стороны в разностороннем треугольнике. Рассмотрение всех перечисленных случаев есть анализ. Формулирование гипотезы «В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой» есть синтез.

Пример 4. Анализ и синтез как расчленение и соединение используются и в определениях понятий. Например, когда определяется степень с натуральным показателем, приходится рассматривать два случая: а\ где л>2, и а\ т.е. формулировать два определения (анализ). Определение степени с натуральным показателем - объединение двух определений, т.е. синтез.

Аналогично определение степени с целым показателем есть синтез, объединение четырех определений, определение степени с рациональным показателем - синтез шести определений, с действительным показателем -синтез семи определений.

Пример 5. Содержание понятия - совокупность его характеристических свойств (признаков). Выделение этих свойств есть анализ, расчленение. Объединение характеристических свойств, формулирование описания или определения понятия есть синтез.

Работа в процессе обучения может быть организована так, что школьники принимают участие в отборе характеристических свойств, изучая, например, несколько объектов, среди которых есть относящиеся и не относящиеся к понятию, а затем сами пытаются сформулировать определение. Это есть высшая форма проявления аналитико-синтетической деятельности в обучении.

Важный этап работы над определением - формирование умений подводить объект под понятие и выводить следствия из принадлежности объекта к понятию.

При выполнении упражнения на подведение под понятие сначала выделяются элементы содержания и проверяется их наличие в данном объекте. Это анализ. Затем делается вывод о принадлежности или непринадлежности объекта к понятию. Это синтез.

Выполнение упражнения на выведение следствий начинается с синтеза и переходит в анализ: объект относится к понятию, значит, в нем заложена вся совокупность элементов содержания, т.е. для него выполняется каждое из свойств, записанных в содержании. Здесь осуществляется анализ через синтез.

Итак, анализ и синтез - основные мыслительные операции. Разложение и соединение в значительной степени свойственны математике и логике. Поэтому аналитико-синтетическая деятельность является одним из ведущих видов творческой математической деятельности. Анализ совместно с другими познавательными средствами позволяет выделять содержание нового понятия, обнаруживать закономерности, подводить объект под понятие и т.д. На основе синтеза формулируются гипотезы, определения или описания понятий, выводятся следствия из того, что объект относится к понятию, и т.д.

Анализ и синтез как разложение и соединение известный методист В.В. Репьев называл элементарным анализом и элементарным синтезом. Анализ и синтез рассматриваются также и как методы рассуждений в процессах доказательства теорем и решения задач в зависимости от того, начинаются рассуждения с условия (синтез) или с заключения (анализ). О такой трактовке анализа и синтеза речь пойдет позднее.

Сравнение

Сравнение - мыслительная операция, метод познания, состоящий в установлении сходных или различных свойств в предметах или явлениях. Нахождение признаков сходства - сопоставление, нахождение признаков различия - противопоставление предметов или явлений.

Например, можно сравнить два рода деревьев - сосна и лиственница. Оба они хвойные, относятся к семейству сосновых - в этом они сходны, сопоставимы. Однако лиственница - листопадное дерево, а сосна - вечнозеленое растение. Этим они отличаются, т.е. противопоставимы.

Можно сравнить действия умножения действительных чисел и скалярного умножения векторов. У них есть общие свойства: переместительное, сочетательное для трех множителей (для векторов один из трех множителей числовой), распределительное относительно сложения и вычитания. Но эти действия противопоставимы: результат умножения двух чисел - число, элемент той же природы, результат умножения двух векторов - не вектор, а число, т.е. элемент другой природы; для действия умножения чисел есть обратное действие - деление, для скалярного умножения векторов обратного действия нет; скалярно перемножить можно только два вектора, чисел можно перемножать сколько угодно; произведение чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, для скалярного умножения векторов это не выполняется.

Обнаружение общих черт в объектах или явлениях позволяет высказывать гипотезы. Реализация сопоставления и противопоставления способствует осознанию и лучшему запоминанию свойств, признаков изучаемых объектов и явлений. Вот почему при изучении нового материала по возможности нужно использовать сопоставимый с ним ранее изученный материал. По тем же причинам сравнение целесообразно осуществлять и при изучении различных, но сопоставимых и противопоставимых объектов или явлений, рассматривая их, по выражению П.М. Эрдниева, совместно, параллельно [107]. Примерами таких объектов могут служить арифметическая и геометрическая прогрессии, центральная и осевая симметрии плоскости и др.

Обобщение, абстрагирование, конкретизация

Обобщение - совокупность мыслительных операций, логический прием, состоящий в выделении, фиксировании каких-либо общих существенных

свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений [59, с. 98].

Совместно с обобщением в таком понимании применяется абстрагирование. Абстрагирование - совокупность мыслительных операций, логический прием, состоящий в отделении общих существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных или необщих свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание последних [59, с. 98].

Например: мяч, глобус, земной шар, воздушный шар, мыльный пузырь - предметы, имеющие разную структуру (резина, папье-маше и т.д.), разные размеры, разные цвета, разные назначения и т.д. Однако у них есть общее свойство, на основе которого они и объединены в один класс, в одну группу, - они имеют одну и ту же форму. Выделение общей формы у данных объектов и есть обобщение.

Рассмотрение понятий «сфера» и «шар» есть абстрагирование. Сфера и шар - абстракции перечисленных выше конкретных предметов.

Таким же образом в результате обобщения и абстрагирования в математике появляются, например, понятия числа, алгебраической операции, функции, вектора и многих других.

Существует и еще одна трактовка понятия обобщения. Обобщение -умозаключение, логический прием, состоящий в переходе от единичного к общему, от менее общего к более общему. Наряду с таким понятием обобщения используется понятие конкретизации. Конкретизация - умозаключение, логический прием, состоящий в переходе от более общего к менее общему или от общего к единичному.

Приведем примеры таких умозаключений в математике.

Пример 1. Рассматривая конкретные дроби - и -, выясняем, как привести их к общему знаменателю. На основе этого частного примера получаем правило приведения дробей к общему знаменателю. Здесь имеем дело с обобщением - переходом от единичного к общему.

Полученное правило затем применяется для приведения к общему знаменателю любых заданных дробей. При этом осуществляется конкретизация - переход от общего к единичному.

Пример 2. Переход от уравнения

(1)

к уравнению

(2)

есть обобщение, переход от единичного к общему. Уравнение

(3)

есть обобщение уравнения (2), переход от менее общего к более общему. Обобщение можно продолжать.

После получения алгоритма решения квадратного уравнения в общем виде уравнение (1) можно решить, подставив в формулу вместо я, b и с со-

ответственно числа 3, -13 и -10. Решение осуществляется на основе конкретизации, перехода от общего к единичному. Уравнение

ах4 + &с3 + сх1 + bx + а = 0, а * 0 (4)

есть конкретизация уравнения (3), переход от более общего к менее общему.

Пример 3. При введении фигур в стереометрии (по учебнику: Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11) осуществляется как обобщение (о), так и конкретизация (к), которые можно представить в виде схемы:

В приведенных примерах обобщение осуществляется в разных направлениях. В первом примере мы сняли ограничения на применение правила: вывели его для одного объекта, а применяем для всего класса объектов. Во втором примере при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) постоянные коэффициенты заменили переменными, а при переходе от (2) к (3) фиксированное число 2 - показатель степени - заменили переменной величиной п. В третьем примере при переходе от тетраэдра и параллелепипеда к многограннику отбрасываем ограничения на количество, форму и взаимное расположение граней.

Конкретизация также осуществляется в разных направлениях. Так, в первом примере правило, выведенное для класса объектов, применяется к конкретному объекту. Во втором - при переходе от уравнения (2) к уравнению (1) переменные заменили постоянными, а при переходе от уравнения (3) к уравнению (4) переменная п заменена фиксированным числом 4 и, кроме того, наложены ограничения на коэффициенты.

Обобщение, абстрагирование и конкретизация, как правило, сопровождаются другими мыслительными операциями и логическими приемами и

взаимодействуют с ними. Владение этими видами деятельности позволяет «открывать» новые объекты в математике, их определения, алгоритмы, правила, теоремы.

Аналогия

Термин происходит от греческого analogia - соответствие, сходство. В математике и в обучении математике аналогия используется в двух толкованиях.

1. Аналогия - сходство объектов в некоторых свойствах или отношениях. Объекты, обладающие сходством, называют аналогичными.

Так, аналогичными можно считать понятия линейного (квадратного) уравнения и линейного (квадратного) неравенства с неизвестным. Такое заключение можно сделать, если сравнивать их запись в общем виде, свойства, на основе которых они решаются, алгоритмы решения, параметры, от которых зависит способ решения и количество решений.

Аналогичны арифметическая и геометрическая прогрессии, т.к. аналогичны их определения, формулы п-ых членов, свойства, признаки.

Аналогичны действия сложения и умножения во множестве действительных чисел. Их аналогия в том, что они подчиняются одним и тем же законам (переместительный и сочетательный), для них существуют обратные действия (вычитание и деление соответственно, последнее в предположении, что ни один из множителей не равен нулю), нейтральные элементы.

Аналогичны также действия сложения чисел и сложения векторов.

Много аналогий существует между геометрическими фигурами. Например, треугольник и четырехугольник аналогичны как частные виды многоугольников. Аналогичными можно считать призму и цилиндр, пирамиду и конус. Многие фигуры, изучаемые в стереометрии, являются аналогами планиметрических фигур: плоскость - аналог прямой, тетраэдр - треугольника, пирамида - треугольника, параллелепипед - параллелограмма, прямоугольный параллелепипед - прямоугольника, сфера (шар) - окружности (круга) и другие.

Существует аналогия между определениями, теоремами, правилами. Соответствующие примеры уже упоминались выше: определения арифметической и геометрической прогрессий, свойства уравнений и функциональных неравенств, свойства (признаки) прогрессий, алгоритмы решения уравнений и неравенств и т.д. Можно добавить и другие: свойства диагоналей параллелограмма и параллелепипеда; теоремы о существовании и единственности окружности (сферы), описанной около треугольника (тетраэдра), вписанной в треугольник (тетраэдр) и т.д.

Возможны аналогии в выводах формул, в доказательствах теорем. Например, аналогичны доказательства свойств о логарифмах произведения, частного и степени положительных чисел; доказательства свойств (признаков) касательной к окружности и касательной плоскости к сфере; выводы формул

объемов наклонной призмы, пирамиды, конуса, шара с помощью определенного интеграла.

В математике существуют и аналогичные теории: измерение отрезков и измерение углов, площади фигур и объемы тел и другие.

Приведенные примеры показывают, насколько широко распространены аналогии в математике, что математика буквально пронизана ими.

2. Второе толкование аналогии связано с умозаключениями. Аналогия - умозаключение, в котором на основе сходства объектов в некоторых свойствах и отношениях высказывается суждение о сходстве этих объектов в других свойствах или отношениях.

Очевидно, что умозаключение, сделанное на основе аналогии, не опирается на законы логики, поэтому является правдоподобным, умозаключением вероятности. Схема умозаключения по аналогии выглядит следующим образом:

Объект А обладает свойствами Ху, Х2, Х„, У. Объект В обладает свойствами Xh Х2, Хп. Вероятно, объект В обладает свойством У.

Получили гипотезу. Ее следует доказать или опровергнуть.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Числа и векторы имеют довольно много сходных свойств и отношений. Перечислим некоторые из них

Делаем умозаключение: вероятно, для любых трех векторов я, 6, с выполняется равенство lp-b)-c = a~-(b-c). Гипотеза неверна, т.к. действие скалярного умножения векторов определено только для двух векторов. Если даже договориться производить сначала действия в скобках, то в левой части равенства получим вектор, коллинеарный вектору с, а в правой - вектору а. Значит, и в этом случае для любых векторов равенство не выполняется.

Пример 2. Существует сходство между взаимным расположением прямой и окружности на плоскости, плоскости и сферы в пространстве. Выделим элементы сходства:

Прямая и окружность Плоскость и сфера

Х\\ Случаев взаимного расположения 3.

Х2\ Взаимное расположение зависит от соотношения между радиусом

По аналогии со свойством и признаком касательной к окружности можно высказать гипотезы о свойстве и признаке касательной плоскости к сфере. Эти гипотезы подтверждаются, причем доказательства их верности аналогичны доказательствам соответствующих теорем в планиметрии.

Роль аналогии в обучении математике чрезвычайно велика.

Во-первых, - это один из наиболее широко распространенных эвристических методов математической деятельности. Аналогия позволяет раскрывать содержание понятий, формулировать определения, выдвигать гипотезы, «открывать» новые факты, отыскивать методы доказательства теорем и решения задач.

Во-вторых, на основе аналогии излагаются некоторые темы в школьных учебниках. Например, свойства уравнений на основе свойств числовых равенств, действия с десятичными дробями по аналогии с действиями с натуральными числами, векторы (метод координат) в пространстве по аналогии с векторами (методом координат) на плоскости и так далее. Это позволяет учащимся прогнозировать деятельность, сравнивать изучаемые объекты с ранее изученными, «открывать» новые факты, закономерности.

В-третьих, на аналогии основан один из методов изложения материала - метод укрупнения дидактических единиц. Впервые он введен известным методистом из Калмыкии П.М. Эрдниевым [121]. Применительно к рассматриваемому случаю метод состоит в параллельном, совместном, одновременном изучении аналогичных понятий, теорем, алгоритмов. Примеры и целесообразность такого изучения обсуждались, когда разговор шел о сравнении.

Выше было показано, что гипотезы, выдвинутые на основе аналогии, могут оказаться и неверными. Таких ситуаций не следует бояться. Неверная гипотеза, если это установлено, ведет к противопоставлению объектов, что способствует их осознанию, осмыслению и лучшему запоминанию.

Ошибки, связанные с применением аналогии, возможны двух видов. Очень часто гипотеза, выдвинутая на основе аналогии, не доказывается и не опровергается, а автоматически считается верной, хотя на самом деле это не так. Например, по аналогии с плоскостью учащиеся считают, что в пространстве через данную точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой. Это утверждение неверно. Ошибки второго вида -умозаключение делается якобы по аналогии, на самом же деле никаких оснований для такого умозаключения нет. Например, случается, что учащиеся ис-

пользуют равенства

Это неверные равенства, но и аналогия к ним не имеет никакого отношения.

Неполная индукция

Неполная индукция - умозаключение, логический прием мышления, в результате которого информация о некоторых элементах множества распространяется (наводится) на все элементы множества или на множество в целом.

Свойства отдельных элементов множества обычно устанавливаются на основе опыта, наблюдения, действий с моделями. Распространение свойств на другие элементы есть обобщение. Оно осуществляется без опоры на законы логики. Поэтому неполная индукция - умозаключение вероятности, правдоподобное умозаключение.

Схема неполной индукции:

Умозаключение по неполной индукции - это только гипотеза, которая требует дальнейшей работы с ней - доказательства или опровержения.

Приведем примеры применения неполной индукции.

Пример 1. Вычисления с конкретными числами а и b позволяют сделать заключение, что для любых чисел а и b выполняется равенство a+b=b+a.

Пример 2. Проводя прямую через две различные точки, каждый раз убеждаемся, что такую фигуру можно построить, и притом только одну. Это позволяет сделать умозаключение: «Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна».

Пример 3. Вычисление сумм первых п нечетных чисел дает следующие результаты: 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. Обобщая их, получаем гипотезу:

Пример 4. Рассмотрим многочлен Р(х)= х2 +;с+41. Замечаем, что />(1)=43, Р(2)=47, Р(-\)=4\, Р(0)=4\. Делаем заключение: при любом целом X число Р(х) простое.

Пример 5. Опытным путем легко установить, что одна точка делит прямую на две части, две точки - на три части, три - на четыре. Можно предположить, что п точек разделят прямую на (п + \) частей.

Пример 6. Рассматривая четные числа большие 2, можно убедиться, что каждое из них представимо в виде суммы двух простых чисел. Например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 16 = 13 + 3, 28=11 + 17, 96 = 43 + 53. Это наблюдение приводит к гипотезе, что любое четное число большее 2 представимо в виде суммы двух простых чисел.

Истинность гипотезы в первом примере вытекает из аксиом арифметики. Поскольку в школьном курсе эти аксиомы не рассматриваются, то факт принимается без доказательства.

В течение многих веков подтверждалась истинность умозаключения во втором примере. Однако доказать ее не представляется возможным. Предположение принято в качестве аксиомы.

Гипотезы в третьем и пятом примерах верны, что доказывается методом математической индукции.

Предложение в четвертом примере ложно, т.к., например, при х = 41 получим />(*)= 41-43, т.е. Р(4\) - число составное.

Утверждение в шестом примере - гипотеза Гольдбаха (немецкий математик XVIII в.) - до сих пор не доказано, но и не опровергнуто.

Даже приведенных примеров достаточно, чтобы показать, насколько велика роль неполной индукции в математике и в обучении математике.

Во-первых, обобщение на основе частных примеров, т.е. неполная индукция, лежит в основе выбираемой системы аксиом.

Во-вторых, она как бы регулирует отбор теорем, позволяет высказывать гипотезы и ученому-математику, и школьнику. Справедливость утверждений сначала становится очевидной из опыта, из наглядных соображений и только потом подтверждается дедуктивными рассуждениями. Путь доказательства часто помогает наметить также индукция.

Таким образом, при обучении математике неполная индукция помогает создать мотивацию, проблемную ситуацию, выдвинуть гипотезу, выступает как способ отыскания приемов доказательства теорем и решения задач.

И, в-третьих, неполная индукция лежит в основе изложения содержания математики в школьных учебниках. Например, в школьном курсе невозможно дедуктивно строить теорию действительного числа. Все связанные с нею вопросы излагаются на основе неполной индукции. Таким же образом получают алгоритмы различных действий (например, действий с многочленами, алгебраическими дробями, алгоритмы решения систем уравнений различными способами и т.д.).

Тот факт, что гипотеза, высказанная на основе неполной индукции, может оказаться неверной, ничуть не снижает достоинств этого умозаключения. Важно лишь помнить, что получена только гипотеза и ее нужно дедуктивно доказывать или опровергать.

Интуиция

В познании математики немаловажную роль играет интуиция. Интуиция (от латинского intueri - пристально смотреть) - чутье, догадка, способность постижения истины путем непосредственного ее усмотрения без предварительного логического рассуждения.

Например, на основе интуиции можно предположить, что

- действия с алгебраическими дробями выполняются по тем же правилам, что и с числовыми обыкновенными дробями;

- уравнение 5х =Ь имеет решение при любом положительном значении

- корнем уравнения 5х+ 12* = 13* является число 2;

- на плоскости две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются;

- наряду с признаком равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними существуют и другие признаки, и даже можно предположить, какие они;

- существуют понятия прямой (плоскости), касательной к сфере, к цилиндрической, конической поверхностям, существуют их признаки, свойства, и можно пытаться их сформулировать.

Или, например, рассмотрим задачу: Прямая а пересекает стороны угла А в точках Р и Q. Могут ли обе прямые АР и AQ быть перпендикулярными к прямой al

Ее решение: Предположим, что прямые АР и АО перпендикулярны к прямой а. Тогда они не пересекаются. Это противоречит условию. Значит, наше предположение неверно, т.е. обе прямые не могут быть перпендикулярными к прямой а.

Если раньше подобная ситуация не встречалась, то к такому методу рассуждений может привести только интуиция.

Таким образом, интуиция позволяет сделать предположение о существовании тех или иных понятий, теорем, о формулировках определений, гипотез, но, самое главное, интуиция - это необходимый элемент решения неалгоритмических, т.е. нестандартных, эвристических, творческих, задач, как математических, так и дидактических.

Как утверждают психологи и показывает практика, интуиция проявляется на бессознательном уровне. Поэтому умозаключения по интуиции не поддаются алгоритмизации. Однако нельзя считать, что процесс решения творческих задач и проявление интуиции полностью неуправляемы. Управление возможно, и строится оно по принципу создания условий, благоприятствующих наступлению интуитивного решения.

Аналогично необходимо создавать благоприятные условия для овладения учащимися другими вышеперечисленными познавательными средствами и для проявления этих средств в процессе обучения.

Каковы же эти условия?

Одно из них - включение учащихся в поисковую деятельность: в самостоятельный поиск определений, выдвижение гипотез и в поиск их обоснования или опровержения, в поиск решения задач, проблем, т.е. в полноценную эвристическую деятельность.

Другое условие - формирование прочных ранее приобретенных знаний. В пустой голове содержательных мыслей не возникает. Учащиеся должны знать и понимать логическую структуру определений понятий, формулировок теорем, сущность математических доказательств, т.к., во-первых, использование определений математических понятий без точного понимания их смысла может привести к неверной (даже нелепой) гипотезе, а, во-вторых, в любом случае суждения, высказанные на основе интуиции, правдоподобных рассуждений, в математике подлежат или опровержению, или дедуктивному доказательству.

Наконец, интуиция и ее связь с логикой в процессе обучения играют еще одну немаловажную роль - мотивационную. Наш личный опыт работы с учащимися показал, что догадка, высказанная ими на основе интуиции или правдоподобных рассуждений, стимулирует их к поиску ее обоснования, т.е. к логическому доказательству (естественно, это происходит тогда, когда у них на достаточном уровне сформирована культура мышления - они могут отличить правдоподобные индуктивные рассуждения от дедуктивных и понимают их роль в математическом познании).

Представленные в пункте 2.4 мыслительные операции, логические приемы и формы мышления непосредственно связаны с содержанием самого предмета «математика» и выступают как методы эвристической математической деятельности. При этом присутствуют и эмпирические, и логические, в частности гипотетико-дедуктивные, методы. В процессе познания и обучения они действуют не изолированно, а чаще всего в совокупности, сменяя друг друга и взаимно проникая один в другой. Владение этими методами позволяет учащимся при определенной организации обучения делать предположения об определениях понятий, выделять их содержание, выдвигать гипотезы. Поскольку любая гипотеза требует установления ее истинности или ложности, то на последующем этапе математической деятельности на первое место выступает дедукция, логика.

2.5. Дедуктивные методы математической деятельности

Сущность доказательства

Самым надежным способом получения истинного знания, достоверного вывода является дедуктивное умозаключение. Дедуктивное умозаключение -получение из одного или нескольких истинных суждений нового суждения на основе правильного применения логических законов.

Выделяют три вида дедуктивных умозаключений [62]. Рассмотрим их на примерах.

1. Умозаключение от более общего к менее общему или единичному:

а) В параллелограмме противоположные стороны попарно равны. Прямоугольник является параллелограммом.

В прямоугольнике противоположные стороны попарно равны.

б) В параллелограмме противоположные стороны попарно равны. Четырехугольник ABCD - параллелограмм.

В четырехугольнике A BCD АВ= DC, AD=BC.

2. Умозаключение от одной общности к той же общности:

Монотонная на всей области определения функция принимает каждое свое значение только один раз.

Периодическая функция принимает каждое свое значение бесконечное множество раз.

Никакая периодическая функция не может быть строго монотонной на всей области определения.

3. Умозаключение от единичного к частному:

а) Число 78 делится на 13. Число 78 четное.

Некоторые четные числа делятся на 13.

б) Все тригонометрические функции - периодические. Функция у = {х} периодическая.

Некоторые нетригонометрические функции периодические.

В приведенных примерах каждое заключение получено из двух посылок. Такие умозаключения называются опосредованными. В опосредованном умозаключении может быть и более двух посылок. Умозаключение, в котором вывод сделан из одной посылки, называется непосредственным. Пример непосредственного умозаключения:

Прямые а и b параллельны.

Прямые а и b не пересекаются.

Рассмотрим некоторые логические законы, на основании которых делаются дедуктивные умозаключения.

В математической логике вместо понятия «суждение» используется понятие «высказывание». Различие между этими понятиями трудноуловимо. В рамках данного курса их можно считать тождественными.

Из отдельных высказываний (суждений) можно строить высказывания с помощью логических связок «и», «или», «если то ...» и других. Основные способы построения новых высказываний следующие:

• отрицание высказывания А (Ä)\

• конъюнкция высказываний А и В (Ал В) - высказывание, составленное из высказываний А и В с помощью союза «и»;

• дизъюнкция высказываний А и В (AvВ) - высказывание, составленное из А и В с помощью союза «или»;

• импликация высказываний А и В (А=>В) - высказывание «если истинно А, то истинно В»;

• эквивалентность высказываний А и/?(Л<=>#или (А => в)л(в=> А)) - высказывание «А (В) истинно тогда и только тогда, когда истинно В(А)» [62, с.92-94].

Во множестве высказываний действуют четыре логических закона:

1) закон тождества: высказывание, повторяясь в умозаключении, должно иметь одно и то же истинностное значение;

2) закон противореча: высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными;

3) закон искчюченного третьего: из двух противоречащих высказываний одно является истинным;

4) закон достаточного основания: всякое истинное высказывание должно быть обосновано другими высказываниями, истинность которых установлена [62, с. 139].

Разновидностью дедуктивного умозаключения является силлогизм. Чтобы описать содержание этого понятия, обратимся еще раз к понятию суждения (высказывания).

В суждении утверждается или отрицается что-либо об объекте или явлении. На этом основании в суждении выделяют три элемента: субъект, или логическое подлежащее, - то, о чем что-либо высказывается; предикат, или логическое сказуемое, - то, что высказывается о субъекте; логическая связка. Субъект и предикат называют также терминами суждения (высказывания). Если их обозначить соответственно M и Р, то суждение имеет вид «А/ суть (не суть) Р».

Силлогизм - опосредованное дедуктивное умозаключение, в котором вывод получают из двух посылок, имеющих общий термин. В силлогизме одна из посылок имеет общее правило и называется большей посылкой, другая - представляет частный случай и называется меньшей посылкой. Наиболее распространенная форма силлогизма имеет вид:

Все M суть Р, S суть М. S суть Р.

Здесь общий термин - М. Он связывает больший (Р) и меньший (5) термины силлогизма. Больший и меньший термины силлогизма называют крайними. Они образуют заключение силлогизма.

Примером силлогизма служит умозаключение от более общего к менее общему или единичному.

Всякое дедуктивное умозаключение осуществляется на основе правил вывода. Правил вывода существует очень много. Перечислим лишь те из них, которые находят наиболее широкое применение.

(modus ponens) - правило заключения;

(modus tollens) - правило отрицания;

правило контрапозиции;

правило расширенной контрапозиции;

правило силлогизма.

Эти правила записаны на языке алгебры высказываний [99, с. 143].

В приведенных выше примерах дедуктивных умозаключений от более общего к менее общему или единичному использовано правило заключения, а в примере заключения от одной общности к той же общности - правило отрицания.

Рассмотренные здесь четыре логических закона и пять правил вывода вместе с другими правилами вывода составляют основу дедуктивных умозаключений и их совокупностей, т.е. дедуктивных рассуждений, дедуктивных доказательств.

Под доказательством понимается логическое действие, в процессе которого устанавливается истинность некоторого суждения путем приведения других суждений, истинность которых уже установлена и из которых с необходимостью вытекает истинность доказываемого.

Логика выделяет в доказательстве три составные части: тезис - суждение, истинность которого нужно доказать; основание (довод, аргумент) - суждение, истинность которого установлена и которое может быть использовано в обосновании истинности или ложности тезиса; демонстрация - логическое рассуждение, в процессе которого из основания выводится истинность (ложность) тезиса, и совокупность логических правил, используемых в рассуждении [62, с. 143].

Если А - основание, аргумент, С - тезис, то гипотезу в общем виде можно сформулировать так: «Если А, то С». Доказательство истинности можно проводить лишь в том случае, если между А и С есть логическая связь.

По своей структуре, по общему ходу мысли все доказательства делятся на прямые и косвенные.

Доказательство, которое основывается на каком-либо убедительном аргументе, из которого логически выводится истинность тезиса, называется прямым. Разновидностями прямых доказательств являются синтетическое доказательство (синтез), аналитическое (восходящий анализ), аналитико-синтетическое (попеременное применение анализа и синтеза, а также применение элементарных анализа и синтеза как расчленения и соединения - полная индукция, математическая индукция).

Доказательство, в котором истинность тезиса обосновывается тем, что опровергают истинность суждения, противоречащего тезису, называется кос-

венным. К косвенным относятся доказательство «от противного», разделительное доказательство и доказательство по правилу контрапозиции.

По форме умозаключения, в котором осуществляются доказательства, различают доказательства индуктивные и дедуктивные. В индуктивных доказательствах совершается умозаключение от частного к общему, т.е. доказательство начинается с рассмотрения одного или нескольких частных случаев. К таким относятся доказательства методами полной индукции и математической индукции. Дедуктивное доказательство начинается сразу с рассмотрения общего случая.

Независимо от того, с рассмотрения какого случая начинается доказательство, с частного или общего, математическое доказательство - это чисто дедуктивное доказательство. Его можно представить в виде цепочки дедуктивных умозаключений, цепочки силлогизмов. Например, развернем в последовательность силлогизмов доказательство теоремы об отрезках пересекающихся хорд.

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дано: окружность, AB, CD - хорды, Е - точка пересечения хорд.

Доказать: ЕА • ЕВ = ЕС • ЕД (рис. 2.2)

Доказательство: построим отрезки АС и BD.

Первый силлогизм

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом (большая посылка).

Вершины углов 1 и 2 (см. рис. 2.2) лежат на окружности, а стороны пересекают окружность (меньшая посылка). Углы 1 и 2 - вписанные (заключение).

Второй силлогизм

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (большая посылка).

Углы 1 и 2 - вписанные и опираются на одну и ту же дугу (меньшая посылка).

Zl = z2 (заключение).

Третий силлогизм

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого (большая посылка).

Рис. 2.2

Стороны угла 4 являются продолжениями сторон угла 3 (меньшая посылка).

Углы 3 и 4 - вертикальные (заключение).

Четвертый силлогизм

Вертикальные углы равны (большая посылка). Углы 3 и 4 - вертикальные (меньшая посылка). Z3 = Z4 (заключение).

Пятый силлогизм

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны (большая посылка).

В треугольниках АСЕ и DBE Z1 = z2, z3 = z4 (меньшая посылка).

ЛАСЕ™ ADBE (заключение).

Шестой силлогизм

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого (большая посылка).

aACE^aDBE, Zl = z2, z3 = Z4, ZA = ZD, стороны AE и СЕ сходственны соответственно сторонам DE и BE (меньшая посылка).

(заключение).

Седьмой силлогизм

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов (большая посылка).

пропорция (меньшая посылка).

АЕ • BE = СЕ • DE (заключение), что и требовалось доказать.

Здесь в каждом силлогизме вывод сделан по правилу заключения. Выводы Zl = z2 и z3 = z4, использованные в малой посылке пятого силлогизма, и пропорция в малой посылке седьмого силлогизма получены соответственно из силлогизмов 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6 по правилу силлогизма. Малая посылка в шестом силлогизме тоже получается из цепочки силлогизмов, которые здесь просто опущены.

Большей посылкой в доказательстве может служить аксиома или следствие из нее, определение понятия или следствие из него, теорема или следствие из теоремы. Малая посылка включает либо часть условия теоремы, либо следствие из условия, полученное в предыдущих силлогизмах.

В школьном курсе математики не могут быть представлены все аксиомы, на которых он строится, определения всех рассматриваемых понятий, сформулированы и доказаны все теоремы. Очевидно, что со многими математическими предложениями учащиеся знакомятся на уровне интуиции. Поэтому доказательства только некоторых школьных теорем можно представить в виде последовательности силлогизмов. Доказательства не разбиваются на силлогизмы при изложении их в учебной и математической литературе. В этом просто нет необходимости и нецелесообразно, поскольку такое изложе-

ние затрудняет его восприятие. Однако, чтобы учащиеся осознавали сущность понятия доказательства и его структуру, такие цепочки силлогизмов необходимо демонстрировать на соответствующем этапе обучения математике.

Чтобы говорить далее о методах доказательства, определимся с терминологией.

Если истинность гипотезы «Если Л, то С» установлена, то можно записать «А=>С» (из А логически следует С). Гипотеза становится теоремой. Аргумент (довод, основание) А называют условием теоремы, а тезис С - заключением, требованием.

В теореме «А=>С» условие А называют достаточным условием для С, а заключение С - необходимым условием А или следствием А.

Доказать истинность гипотезы «Если А, то С» - значит установить цепочку В достоверных умозаключений такую, что Л=>£, В=>С, тогда по правилу силлогизма получим А=*С. Отыскать последовательность В можно либо методом синтеза, либо методом аначиза.

Содержание понятий синтеза и анализа раскрывалось в эвристических методах математической деятельности. В дедуктивных методах познания понятия анализа и синтеза наряду с рассмотренными ранее имеют и другое толкование: при конструировании цепочки достоверных умозаключений, представляющей доказательство, можно начинать с условия А, а можно с заключения С; метод рассуждений в первом случае называется синтезом или синтетическим методом, во втором - анализом или аналитическим методом.

Остановимся на синтетическом, аналитическом и других методах доказательства более подробно.

Синтетический метод

Сущность синтетического метода доказательства состоит в следующем. Пусть нужно доказать истинность гипотезы «Если А, то С». Из условия А и ранее обоснованных теоретических положений Г выводят следствие Bj. Если В/ не совпадает с С или С, то из В/ выводят следствие В2 (при этом могут использоваться А и 7). Так продолжают до тех пор, пока не получат следствие Вп, которое либо совпадает с С, либо противоречит С. Схематически это выглядит так:

Если следствие Вп совпадает с заключением С, то истинность гипотезы «Если А, то С» установлена, т.е. имеем теорему и можем записать «А=>С».

Если Вп - суждение, противоречащее С, тогда гипотеза «Если А, то С» неверна, т.е. это не теорема. Однако очевидно, что теоремой является предложение «Если А, то /?„», т.к. по правилу силлогизма получаем, что А=>Вп.

Примером синтетического доказательства, т.е. доказательства методом синтеза, является рассмотренное выше доказательство теоремы об отрезках пересекающихся хорд. Схематически оно выглядит следующим образом:

(Дополнительные построения, условия, ранее доказанные теоремы, определения)^ (равенство двух пар углов в двух треугольниках) =>(подобие треугольников) =>(пропорциональность сходственных сторон) =>(пропорция) =>(равенство произведений).

Для иллюстрации схемы доказательства методом анализа или синтеза и обнаружения достоинств и недостатков этих методов показательны примеры на доказательство неравенств. Поэтому в качестве второго примера рассмотрим доказательство теоремы о связи между средним арифметическим и средним геометрическим.

Теорема. Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше среднего геометрического этих чисел.

Дано: Доказательство:

Представим его в виде цепочки следований:

Заметим, что при выводе следствий использовалась и изученная ранее теория: квадрат любого числа - число неотрицательное, свойства неравенств и др.

Анализируя приведенные здесь схемы и примеры, можно выделить и достоинства и недостатки доказательства методом синтеза, что очень важно для выявления возможностей использования этого метода в процессе обучения.

К достоинствам метода можно отнести исчерпывающую полноту и безупречность доказательства, его сжатость и краткость в изложении. Этим методом истинность гипотезы либо доказывается, либо опровергается, но тогда доказывается истинность другого предложения.

Благодаря краткости и четкости метод находит широкое применение при изложении доказательств в учебниках, а также при объяснении учащимся, сочетается с лекционной формой обучения.

Недостатком метода является то, что при его использовании трудно выбрать исходное утверждение, невозможно мотивировать дополнительные построения, выбор следствий и т.д. Например, неясно, почему решили построить отрезки АС и BD и рассматривать вписанные и вертикальные углы в геометрической теореме, как возникла мысль начать с неравенства I

Кроме того, чтение готовых доказательств в синтетическом изложении или выслушивание их без соответствующих пояснений мало способствует развитию творческих способностей, мышления школьников, вынуждает их заучивать доказательства.

Эти недостатки можно компенсировать, если наряду с синтетическим методом использовать другие методы доказательства.

Аналитический метод. Восходящий анализ

При аналитическом методе рассуждений отправляются от того, что требуется доказать. Здесь возможны два варианта построения цепочек умозаключений. В данном случае рассмотрим один из них.

Пусть требуется доказать теорему «А=>С». Для заключения С подбирают достаточное условие, т.е. такое суждение В1ч что Bi =>С. При этом говорят: «Для того чтобы было истинным С, достаточно чтобы было истинно Bj». Если об истинности В/ ничего не известно, то для Bj подбирают достаточное условие В2, т.е. В2 такое, что B2=>Bh Так продолжается до тех пор, пока не получат Вп_/ достаточное условие Вт т.е. и Вп истинно. При построении цепочки используются как условие А, так и теоретические положения Г, связанные с А и С, истинность которых ранее установлена. Схематически это выглядит так:

Полученная последовательность достоверных умозаключений является доказательством теоремы «А=>С». Такой метод доказательства называется восходящим (или совершенным) анализом. Доказательство по методу восходящего анализа легко перестроить в синтетическое доказательство. Для этого цепочку рассуждений достаточно обратить.

Проиллюстрируем метод на примерах.

Пример 1. Докажем ту же алгебраическую теорему, что использовали для иллюстрации синтетического метода.

Дано: Доказательство:

Иначе это можно записать так:

(а > 0,6 > 0, квадрат любого числа неотрицателен). Теорема доказана.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике ЛВС проведена высота СИ к гипотенузе AB. Точки M и /V - середины отрезков СИ и ВИ соответственно. Доказать, что прямые AM и CN перпендикулярны.

Дано: ААВС, zC = 90°, СИ - высота, М- середина СИ, N- середина В И.

Доказать: АМ±CN.

Доказательство: пусть D - точка пересечения прямых AM и CN. Чтобы доказать их перпендикулярность, достаточно доказать, что угол D - прямой. Так как D - угол треугольника ADC, то достаточно доказать, что Z1 + Z2 = 90° (рис. 2.3).

По условию ZACB = 90°, т.е. Z2+Z3 = 90°. Поэтому достаточно доказать, что Zl = z3. Углы 1 и 3 входят соответственно в треугольники САМ и BCN. Чтобы углы 1 и 3 были равны, достаточно чтобы треугольники САМ и BCN были подобны. В этих треугольниках ZACM = zCBN. Поэтому достаточно доказать, что

Пропорциональность отрезков CA и СИ отрезкам ВС и ВИ последует из подобия треугольников САН и ВСИ. Ранее доказывалось, что эти треугольники подобны.

Проведенное доказательство схематически выглядит следующим образом:

Доказательство закончено. В письменном виде оно чаще оформляется как синтетическое.

К достоинствам метода восходящего анализа относится, несомненно, меньшая по сравнению с синтезом степень неопределенности и многозначности. Особенно это проявляется при доказательстве неравенства в примере 1. Кроме того, метод создает благоприятные условия для творческой деятельности и способствует развитию самостоятельности мышления. Так, во втором примере выбор достаточных условий для того, чтобы угол ADC был прямым, неоднозначен. Каждое достаточное условие определяет свою последовательность дедуктивных умозаключений. Таким образом, можно найти несколько способов доказательства истинности гипотезы.

Иногда подбор достаточных условий для истинности суждения оказывается слишком многозначным и не каждое из них удается реализовать, т.е. довести рассуждение до логического конца. Тогда трудно сразу попасть на то условие, которое приведет к цели. В некоторых же случаях достаточное ус-

Рис. 2.3

ловие обнаружить вообще невозможно, т.е. метод восходящего анализа нельзя применить. В этом его недостатки.

В процессе обучения восходящий анализ используется для поиска доказательства. Он естественно и эффективно сочетается с эвристической беседой, с проблемным методом в обучении математике.

При поиске доказательства истинности гипотезы синтез и восходящий анализ редко используются в чистом виде. Чаще всего бывает так, что поиск начинается, например, с восходящего анализа, и когда доходят до суждения, для которого возможны несколько вариантов достаточных условий, или когда ситуация тупиковая, или, наоборот, синтетический ход рассуждений очевиден, переходят к синтезу. В других случаях доказательство начинают синтетическим методом и когда доходят до суждения, из истинности которого можно вывести несколько следствий, тогда переходят к восходящему анализу. Переходы от анализа к синтезу и наоборот могут осуществляться в процессе доказательства не один раз, пока оно не завершится. Такой метод доказательства и поиска доказательства называется аналитико-синтетическим.

Переходы от одного способа рассуждений к другому при аналитико-синтетическом методе даже не всегда осуществляются осознанно. Очень часто вывод следствий при синтетическом доказательстве делается уже с учетом того, что требуется доказать, а достаточное условие для истинности суждения подыскивается с учетом тех следствий, которые можно вывести из условия.

В рассмотренном выше примере 1 синтез и анализ осуществляются в чистом виде. В примере 2 можно было бы двигаться по схеме восходящего анализа до суждения (АСАМ™ ABCN), а затем перейти к синтезу. Или же можно было сначала проводить синтез до того же суждения (см. стрелки с конца схемы), а затем восходящий анализ. В практике поиска доказательства используется именно один из этих двух вариантов.

При доказательстве неравенства ^-^->4аЬ для а > О, b > О аналитико-синтетический метод выглядит следующим образом: Чтобы доказать верность данного неравенства, достаточно установить, что разность неотрицательна. Преобразуя ее, получим

что и требовалось доказать.

Аналитический метод. Нисходящий анализ

При доказательстве истинности гипотезы «Если А, то С» можно начинать с заключения С, но рассуждения проводить иначе, чем в предыдущем случае. В доказательстве по методу восходящего анализа для заключения С

подыскивали достаточное условие. В другой разновидности анализа С само является достаточным условием для некоторого суждения.

Конструирование цепочки умозаключений начинают со слов: «Предположим, что С истинно». Далее из С выводят логическое следствие В/. Если об истинности В/ ничего сказать нельзя, то из В/ выводят следствие В2. Так продолжают до тех пор, пока не получат суждение В„, о котором известно, истинно оно или ложно. При выводе следствий используют элементы условия А и теоретические предложения, истинность которых ранее установлена. Появляется последовательность логических следствий: С => Вх => В2 => ...=> Вп.

Такую разновидность аналитического метода называют нисходящим анализом (несовершенным анализом).

В соответствии с истинностным значением высказывания Вп в нисходящем анализе возможны два случая: Вп - ложно, Вп - истинно. Рассмотрим каждый из этих случаев.

1) В„ - ложное высказывание. Тогда определенно можно сказать, что и С ложно, т.к. из истинного суждения по правилам логики нельзя получить ложное суждение.

Нисходящий анализ при таком обстоятельстве может служить для опровержения тех предложений, которые ошибочно приняты за верные, для опровержения гипотез, т.е. выступает как деструктивный метод.

Пусть, например, нужно сравнить выражения

Предположим, что

Получим цепочку следствий:

Последнее неравенство в полученной цепочке ложно, а значит, и исходное неравенство ложно. Но тогда по закону исключенного третьего неравенство a4 +b4>a*b + ab* истинно.

Еще пример. По рисунку, на котором BBj±y, требовалось установить, является ли угол ВАВ/ линейным углом двугранного угла BACBj. Большинство учащихся ответили утвердительно. Ложность гипотезы доказывается следующим образом. Предположим, что угол BABi линейный угол двугранного угла BACBj. Тогда по определению линейного угла ВА1АС и В/А LAC. Но суждение ВА±АС противоречит условию /.ВАС = 150°, т.е. суждение «ВАА.АС» ложно. Поэтому и утверждение о том, что /ВАВ/ - линейный угол двугранного угла ВАСВ/ч тоже ложно.

Этот же случай нисходящего анализа, т.е. когда Вп ложно, используется для косвенного доказательства истинности предложений методом от противного. О нем речь пойдет отдельно.

Рис.2.4

2. Вп - истинное высказывание. В этом случае об истинности С, а значит, и гипотезы «Если Л, то С» ничего утверждать нельзя. Предложение может оказаться как истинным, так и ложным. Истинное следствие при соблюдении правил логики и математики можно получить и из ложного суждения. Например, 60° = 240° - ложное суждение, а следствие tg 60° = tg 240° - истинное.

Чтобы установить истинность гипотезы «Если А, то С» при истинном £„, следует попытаться обратить цепочку аналитических рассуждений, т.е. провести синтез:

Если такое обращение возможно, то истинность гипотезы «Если А, то С» доказана синтетическим методом. Если же обращение неосуществимо, то истинность гипотезы остается неустановленной. Надо искать другую цепочку рассуждений по методу нисходящего анализа или вообще другой метод доказательства.

Покажем применение метода нисходящего анализа, когда Вп - истинное высказывание, для доказательства тех же двух теорем, на которых иллюстрировали метод восходящего анализа.

Пример 1. Предположим, что неравенство

истинно. Будем выводить следствия:

- истинно.

Полученная цепочка легко обращается в синтетическое доказательство, которое проведено в соответствующем пункте. Заметим, что именно нисходящий анализ подсказал исходное утверждение, лежащее в основе доказательства неравенства синтетическим методом.

Пример 2. Рисунок и краткая запись для геометрической задачи даны в пункте о восходящем анализе (рис 2.3). Проведем рассуждения методом нисходящего анализа.

Пусть D - точка пересечения прямых AM и CN. Предположим, что прямые AM и CN перпендикулярны. Опуская детали, получим цепочку следствий:

Анализ можно было бы закончить как только получено следствие о подобии треугольников ACH и ВСМ, т.к. для прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С этот факт доказан. В данном случае анализ доведен до

элемента «ZC = 90°» в условии теоремы. Целесообразность именно такого окончания поясним ниже.

Полученную цепочку рассуждений можно обратить, т.е. провести синтез:

Доказательство (синтетический метод).

Проведя нисходящий анализ до высказывания ZACB = 90°, а затем синтез, начиная с этого же высказывания, мы фактически доказали две взаимно обратные теоремы:

которые можно объединить следующим образом: В треугольнике ABC проведена высота CH. Точки M и N -середины отрезков СН и ВН соответственно. Прямые AM и CN перпендикулярны тогда и только тогда, когда угол АСВ прямой.

Доказательство теоремы (AMlCN) => (ZACB = 90°) проведено по рисунку, на котором точка H - внутренняя точка отрезка AB. Оно будет тем же, если предположить, что H лежит вне отрезка AB. Совпадение точки H с точками А и В невозможно, т.к. в этих случаях не получается двух отрезков СН и ВН.

К достоинствам метода нисходящего анализа можно отнести следующее.

Хотя методом доказательства нисходящий анализ не является (если получают В„ истинное), но с его помощью отыскивается исходное положение и план доказательства для синтетического метода.

Это деструктивный метод, т.е. он может служить для опровержения гипотез, неверных предложений, ошибочно принятых за верные.

Наконец, проводя нисходящий анализ, мы фактически доказываем истинность предложения, обратного доказываемому. Если обратить нисходящий анализ удается, то оказываются доказанными две взаимно обратные теоремы.

К недостаткам в применении метода можно отнести его громоздкость, так как рассуждения приходится проводить дважды. Кроме того, обратить нисходящий анализ в синтез не всегда удается.

Метод нисходящего анализа находит широкое применение в обучении.

Во-первых, очень многие теоремы школьного курса математики доказываются методом от противного, который основан на методе нисходящего анализа.

Во-вторых, он используется как конструктивный метод - метод отыскания плана доказательства.

И, в-третьих, он используется для опровержения неверных высказываний учащихся.

Синтез и анализ - основные методы рассуждений. Они выступают как самостоятельные методы доказательства и поиска доказательства. И в то же время являются составляющими в других методах доказательства.

Индуктивные доказательства

В основе любого доказательства лежат дедуктивные умозаключения. Однако форма осуществления дедуктивного умозаключения может быть и индуктивной, т.е. доказательство может начинаться с рассмотрения частных случаев. К доказательствам такого типа относятся метод математической индукции и метод полной индукции.

Метод математической индукции

Метод математической индукции применяется при доказательстве предложений, зависящих от переменного натурального числа п. Он основан на принципе математической индукции. Известны различные формулировки принципа математической индукции. Одна из них следующая: Если предложение А(п), зависящее от переменного натурального числа п, истинно при /1=1, а из того, что оно истинно при всех п < к следует, что оно истинно и при п = к, то А(п) истинно для всех натуральных значений п.

Доказательство методом математической индукции обычно осуществляется по следующему плану:

1. Проверяется истинность предложения А(п) для /?=1. Или на основе разбора нескольких частных случаев, среди которых есть и /1=1, высказывают гипотезу А(п), в формулировку которой входит натуральное число п.

2. Доказывают, что если утверждение А(п) справедливо при п = к, то оно справедливо и при п= к+1.

3. Делают вывод, что А(п) истинно при всех натуральных значениях п.

Иногда предложение А(п) не имеет смысла или не выполняется для нескольких первых натуральных чисел или, наоборот, выполняется не только для натуральных, но и для целых чисел. В таких случаях принцип математической индукции используется в иной формулировке: Если предложение А(п), зависящее от переменного целого числа л, истинно при п = m, а из того, что оно истинно для п = к > т, следует, что оно истинно и для следующего числа п = к+1, то предложение А(п) верно и для любого целого п > т.

Многочисленны примеры применения метода математической индукции в курсе математического анализа. В школьном курсе алгебры метод может быть использован при выводе формул я-ых членов и сумм п первых членов арифметической и геометрической прогрессий и многих других сумм, при доказательстве некоторых тождеств и неравенств, в задачах на делимость.

Итак, доказательство методом математической индукции начинается с рассмотрения частных случаев, а общий вывод делается на основе аксиомы математической индукции, т.е. метод является дедуктивным по сути и индуктивным по форме.

Метод полной индукции

Метод полной индукции состоит в том, что доказательство истинности предложения «Если Л, то С» проводится для каждого из возможных частных случаев и затем делается общий вывод.

Доказательство методом полной индукции можно представить следующей схемой:

Например, возможны три и только три различных случая расположения центра окружности по отношению к углу, вписанному в эту окружность: центр окружности лежит на стороне вписанного угла, во внутренней области угла, вне угла. Доказываем, что в каждом из этих случаев угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Делаем вывод о том, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Доказательство проведено методом полной индукции.

Еще пример. Требуется доказать, что для любых действительных чисел а и b выполняется неравенство |о + £|<|я| + |£|. При сравнении \а+Ь\ с суммой \а\+\Ь\ могут представиться следующие четыре случая: 1) я>0,Ь>0; 2) я<0,6>0; 3) я>0,6<0; 4) а<0,6<0.

Доказываем, что в каждом из этих случаев неравенство истинно. Тогда делаем вывод, что неравенство верно для любых действительных чисел аи Ь. Утверждение доказано методом полной индукции.

Метод полной индукции является по своей сути дедуктивным методом, т.к., применяя его, мы опираемся на общие положения логики, позволяющие расчленить общий случай на конечное число частных случаев и рассмотреть их в отдельности. Это есть элементарный анализ. Формулирование общего вывода есть синтез.

Косвенные доказательства

По логическому закону противоречия тезис С и его отрицание С не могут быть одновременно истинными. По закону исключенного третьего из двух противоречащих высказываний Си С одно является истинным. Поль-

зуясь этими двумя законами, доказательство истинности тезиса С можно заменить доказательством ложности тезиса С. Такое доказательство называется косвенным. Рассмотрим отдельные виды косвенных доказательств.

Метод от противного

Этот метод называют также доказательством противоречием, доказательством приведения к абсурду. Суть метода состоит в следующем.

Чтобы доказать истинность предложения «Если А, то С», преобразуют его в предложение «Если А, то С » и действуют далее методом нисходящего анализа, т.е. предполагают, что С истинно, и выводят следствия: С => В] =>В2 =>...=> Вп до тех пор, пока не получат высказывание Вп, истинность которого известна. Если Вп ложно, т.е. Вп противоречит какому-нибудь элементу условия или ранее установленному факту, то по правилам логики С тоже ложно, но тогда по закону исключенного третьего делают вывод, что С истинно.

Докажем методом от противного следующее утверждение: Даны две прямые а и Ь. Если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую Ь, то прямые а и b параллельны.

Преобразуем утверждение: Даны две прямые а и Ь. Если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую Ь, то прямые а и Ъ непараллельны.

Предположим, что высказывание «а и b непараллельны» истинно. Выводим следствия. Опуская подробные обоснования, получим цепочку-схему: (а и b непараллельны и их лве)=>(а и b пересекаются) => (а пересекает прямую bj, параллельную прямой 6) =>(существует прямая, пересекающая прямую а, но не пересекающая Ь).

Последнее высказывание ложно, т.к. оно противоречит условию. Тогда высказывание «а и b непараллельны» тоже ложно. Следовательно, «а и b параллельны» - истинно.

В практике применения преобразованное предложение обычно не формулируется, а лишь подразумевается. Доказательство начинается со слов: «предположим, что С ложно», «предположим противное (имеется в виду противоположное)», «предположим, что истинно С » и т.д.

В школьном курсе математики метод от противного применяется очень часто. Чтобы создать учащимся благоприятные условия для осуществления поиска доказательства, можно выделить с ними ряд ситуаций, в которых используется метод от противного:

а) в заключении гипотезы или теоремы присутствует частица «не» или оно может быть переформулировано так, чтобы присутствовала частица «не» ( в приведенном выше примере надо было доказать, что прямые а и b параллельны, т.е. не пересекаются);

б) доказывается единственность чего-либо;

в) доказывается истинность предложения, обратного доказанному;

г) доказывается следствие из аксиомы, теоремы;

д) требование содержит вопрос с частицей «ли»;

е) возможно конечное число случаев в отношениях между объектами, нужно доказать существование только одного.

Заметим, что в случаях д) и е) по сути дела используется метод исчерпывающих проб, а метод от противного сопутствует ему.

Приведенный перечень показывает, насколько широки возможности применения метода от противного.

Разделительное доказательство (метод исключения, метод исчерпывающих проб)

В гипотезе или теореме «Если Л, то С» тезис С может оказаться разделительным суждением, т.е. суждением типа «С есть или Су, или С2», где число возможных случаев конечно и не меньше двух. В таких обстоятельствах может быть проведено разделительное доказательство. Оно состоит в том, что последовательно исключаются все члены разделительного суждения, кроме одного, истинность которого требовалось доказать.

Пример. Доказать, что в равнобедренном треугольнике углы при основании острые.

Доказательство. Пусть ZA и ZB - углы при основании AB равнобедренного треугольника ABC. По свойству равнобедренного треугольника ZA=ZB. Для углов А и В есть три возможности: 1) эти углы острые; 2) они прямые; 3) они тупые.

Если предположить, что ZA = ZB = 90°, то ZA+ZB = 180°, ZA+ZB+ZC > 180°, что противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Если предположить, что углы А и В тупые, т.е. ZA = ZB > 90°, то ZA+ZB> 180° и ZA+ZB+ZC> 180°, что противоречит той же теореме.

Итак, второй и третий случаи для углов А и В невозможны. Остается только случай, что углы Aw В- острые, что и требовалось доказать.

Доказательство по правилу контрапозиции

Для суждения А по правилу противоречия верно только А или А . Поэтому отрицание 1 есть А, т.е. 1 =А, тогда по правилу контрапозиции если С => Л , то Л => С , т.е. А =>С. Значит, чтобы доказать, что верна гипотеза «Если А, то С», достаточно доказать, что верна гипотеза «Если С, то Л » и обратно.

Например, требуется установить истинность гипотезы: Если при пересечении двух прямых а и Ь секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые а и b пересекаются. Для этого достаточно доказать, что верна гипотеза: Если прямые а и Ъ параллельны, то при пересечении их секущей накрест ле-

жащие углы равны. Известно, что это теорема. Следовательно, исходная гипотеза истинна.

Поскольку в школьном курсе математики равносильность теорем «А=>С» и «С=>А» не доказывается, то истинность гипотезы в приведенном примере устанавливается методом от противного.

Правило контрапозиции часто используется при доказательстве теорем о множествах точек, обладающих данным свойством. Поясним, каким образом.

Высказывания А и С могут быть связаны следующими четырьмя предложениями:

1) если /4, то С; 2) если С, то А;

3)если Л,тоС; 4) если С, то Л.

Здесь предложения 1 и 2. 3 и 4 взаимно обратные, предложения 1 и 3, 2 и 4 взаимно противоположные. Предложение 4 - обратное противоположному или противоположное обратному.

По правилу контрапозиции предложения 1 и 4 равносильны, т.е. если предложение 1 - теорема, то и 4 - тоже теорема и обратно. Предложения 2 и 3 также равносильны.

Фигура Ф является множеством точек, обладающих данным свойством (м.т., о.д.с.) тогда и только тогда, когда истинны четыре теоремы:

1 ) если точка X о.д.с, то Ле Ф\ 2) если Ле Ф, то X о.д.с;

3) если X не о.д.с, то Ле Ф; 4) если Ле Ф, то X не о.д.с

Поскольку теоремы в парах 1 и 4, 2 и 3 равносильны, то для установления того, что фигура Ф есть множество точек, обладающих данным свойством, достаточно доказать одну из теорем 1 и 4 и одну из теорем 2 и 3.

Приведение примера

Иногда для установления истинности какого-либо тезиса достаточно привести пример. Так случается при доказательстве существования какого-либо объекта или при доказательстве неединственности объекта.

Например, требуется доказать, что уравнение

а) 5*2,ю2 + 3;с2ш1-2 = 0;б) 12r+32r = 15r

имеет корень.

Подбором находим, что х = -1 - корень первого, а лг = 2 - корень второго уравнений.

Или, чтобы доказать, что существует не единственный треугольник с углами 50° и 70°, построим треугольник со стороной 5 см и прилежащими к ней углами 50° и 70° и треугольник со стороной 7 см и прилежащими к ней углами 50° и 70°.

Но чаще всего метод приведения примера, а вернее, контрпримера применяется для того, чтобы опровергать ошибочные гипотезы.

Например, при формулировании признаков параллелограмма как предложений, обратных свойствам, учащиеся нередко высказывают такую гипотезу: если у четырехугольника две противоположные стороны параллельны а

две другие равны, то этот четырехугольник - параллелограмм. Гипотеза ошибочна, т.к., например, равнобедренная трапеция указанными свойствами обладает, но параллелограммом не является.

Другой пример. По аналогии со свойствами арифметической прогрессии можно сформулировать свойство геометрической прогрессии: каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Это предложение ошибочное, что подтверждается следующим простым примером: последовательность 1, -2, 4, является геометрической прогрессией, но

Таким образом, приведение примера может служить доказательством истинности или ложности гипотез.

Мы рассмотрели дедуктивные методы математической деятельности, логические методы доказательства. Наряду с ними в математике имеются специальные методы, методы, основанные на содержании того математического материала, который используется в доказательстве. Среди них можно выделить синтетические и аналитические методы.

В данном случае термины «синтетический» и «аналитический» методы имеют иное толкование, чем синтез и анализ как логические методы. Под синтетическими методами в геометрии понимают методы, основанные на применении аксиом, определений и теорем синтетической, или, говорят, конструктивной, геометрии. Эти методы еще называют конструктивными. К ним относятся метод равных или подобных треугольников, метод движения, метод подобия. Аналитические методы основаны на элементах аналитической геометрии, алгебры и начал анализа. К ним относятся векторный и координатный методы, методы уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств, метод площадей и т.д.

Существуют также многие нестандартные методы доказательства - по правилу перебора, по правилу «крайнего» и другие.

Все перечисленные специальные методы могут применяться при доказательствах теорем из различных разделов математики.

Общие логические и специальные математические методы доказательства существуют независимо друг от друга. Каждое доказательство строится по определенной логической схеме и использует то или иное математическое содержание. Так, теорема о медианах прямоугольных треугольников (пример 2 в пункте о восходящем анализе) доказана и методом восходящего анализа и методом синтеза, а из специальных методов применялся метод подобных треугольников. Эта теорема красиво доказывается методом преобразования подобия, в логическом плане будет использован синтез. При выборе векторного метода удобно использовать логический аналитико-синтетический метод: чтобы доказать, что AMl.CN, достаточно установить, что ^Ш-CN = 0, поскольку АМ±0 и CN*Ô; поэтому выберем базисные векторы, например, CA-а и СВ = Ь, выразим через них векторы AM и CN и найдем их скалярное произведение.

Умение проводить доказательство истинности или ложности гипотезы, понимание его сущности, владение общими логическими и специальными математическими методами доказательств являются основными составляющими содержания математического образования. Поэтому технологии обучения должны быть направлены и на усвоение учащимися методов математической деятельности как общелогических, так и специальных.

2.6. Культура мышления в системе гуманитарно ориентированного математического образования

Умственная культура - важный компонент содержания образования, поэтому усвоение опыта умственной культуры в процессе обучения математике - одна из приоритетнейших задач общего образования. Среди всех учебных предметов математика играет ведущую роль в ее решении.

В теории и методике обучения математике существуют различные точки зрения на умственное развитие школьников. Одни авторы связывают его с развитием математического мышления, математических способностей, другие говорят о развитии логического мышления, третьи говорят о математической (вариант - логической) культуре мышления. Поэтому вкратце остановимся на раскрытии сути этих подходов.

Многие авторы решение проблемы развития учащихся в процессе обучения математике видят в развитии их математического мышления. В соответствии с этим возникает вопрос, что представляет собой математическое мышление, каковы его специфические черты. И здесь нет единой точки зрения. Чаще всего математическое мышление рассматривается в соответствии со спецификой математики, которая состоит в особенностях ее абстракций (Ж. Адамар, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, В.Г. Крутецкий и др.). В работах многих авторов сущность понятия математического мышления ассоциируется с понятием математических способностей, зачастую эти два понятия анализируются как единая проблема. Выделяется огромное число черт математических способностей: сила абстрагирования, оперирование абстракциями, геометрическая интуиция, четкое логическое рассуждение, гибкость мышления, математическая интуиция, вычислительный фактор, анализирование, синтез, стремление к рациональности решения, математическая память и речь, глубина, критичность, ясность, лаконизм, оригинальность мышления и т.д. Перечисление такого огромного числа характеристик математического мышления (математических способностей) приводит к тому, что действительно его специфические черты теряются. Значительная часть из перечисленных характеристик присуща вообще мышлению человека независимо от того, в какой области он работает. Поэтому, как нам представляется, в рамках общего образования более корректно речь вести о развитии у школьника правильности мышления.

В то же время исследования показали, что математические способности проявляются в основном в среднем возрасте, в 14-15 лет. Для проявления способностей нужны определенные условия, соответствующая среда. Известно, например, что выдающийся математик Н.Н. Лузин был в школе отстающим учеником по математике и лишь нанятый репетитор сумел приоткрыть перед ним ее красоту.

Важным для нас результатом психологов в изучении проблемы способностей является то, что психика человека обладает возможностью компенсировать одни свойства другими, вследствие чего относительная слабость какой-нибудь другой способности не исключает возможности успешного выполнения даже такой деятельности, которая наиболее связана с этой способностью. Опыт работы лучших учителей математики показывает, что при определенных условиях высоких результатов обучения достигают в математике ученики не только с высокими, но многие и со средними способностями.

Значительное число работ посвящено формированию математической культуры школьников. Однако и здесь нет единой точки зрения на содержание этого понятия.

Специальное исследование проблемы развития математической культуры школьников проведено Д. Икрамовым. Под математической культурой он понимает систему математических знаний, умений и навыков, органически входящих в фонд общей культуры учащихся и свободное оперирование ими в практической деятельности. Математическое мышление Д. Икрамов трактует как совокупность взаимосвязанных логических операций; оперирование как свернутыми, так и развернутыми структурами, знаковыми системами математического языка; способность к пространственным представлениям, запоминанию и воображению. Наконец, культура мышления и связанная с нею культура языка описывается в исследовании как умение: а) аргументированно рассуждать, определять, сопоставлять, классифицировать, анализировать, систематизировать, обобщать, устанавливать причинно-следственные связи и т. п.; б) рационально (последовательно, точно, ясно, лаконично, выразительно) выражать свои мысли; владеть математическим языком. Очевидно, что культуру мышления Д. Икрамов связывает лишь с правильным дедуктивным, логическим мышлением.

До сих пор остаются актуальными и до конца нереализованными в практике обучения идеи А.Я. Хинчина по вопросам школьного математического образования, в том числе и связанные с воспитанием культуры мышления. Культуру мысли А.Я. Хинчин описывает через такие понятия, как правильность мышления и стиль мышления.

Основным принципом правильности мышления, который в значительной степени обусловливает все остальное, служит приучение воспитываемых к полноценности аргументации. А.Я. Хинчин считает, что в математике нет и не может быть «наполовину доказанных» и «почти доказанных» утверждений: либо полноценность аргументации такова, что никакие споры о правильности доказываемого утверждения более невозможны, либо аргументация полностью отсутствует. Почувствовав в процессе обучения математике,

что именно логическая полноценность аргументации приводит к истине, школьник научится уважать ее и будет стремиться не только в математических, но и в любых других дискуссиях использовать ее.

Приучая школьников к полноценности аргументации, следует разъяснять им, что обобщения, сделанные на основе неполной индукции или аналогии, приводят только к гипотезам и требуют дальнейшего логического обоснования или опровержения.

Полноценность аргументации определяет и стиль мышления. А.Я. Хинчин выделяет следующие его признаки:

- доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения. Эта черта в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли;

- лаконизм мышления: предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения;

- четкая расчлененность хода рассуждения. «Если, например, при доказательстве какого-либо предложения рассматривается несколько случаев, а последние распадаются еще на подслучаи, то в каждый момент рассуждения математик должен отчетливо помнить, в каком случае и подслучае его мысль обретается и какие случаи и подслучаи ему еще остается рассмотреть» [113,с.28].

Заметим, что четкая расчлененность хода рассуждений характеризует, по существу, уровень алгоритмической культуры мышления.

В стиль математического мышления А.Я. Хинчин включает и точность символики.

Проблему математического мышления и воспитание культуры мышления анализирует, опираясь на работу А.А. Столяра, Л.М. Фридман. Математическое мышление он определяет как предельно абстрактное, творческое мышление, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интерпретироваться самым произвольным образом, лишь бы при этом сохранялись заданные отношения между ними. Математическое мышление в таком понимании является составной частью общей культуры мышления.

В культуру мышления Л.М. Фридман включает и еще ряд признаков: разумность, логичность, дисциплинированность. И это не случайно.

Традиционно в философии под культурой мышления понимают такой феномен, который раскрывается в следующих чертах: строгость, точность, последовательность, логичность, доказательность, обоснованность и т.д. Приведенная характеристика культуры мышления объясняется тем, что именно математическое мышление общественное сознание, как правило, трактует в качестве источника, образца и школы культуры мышления.

Но, как было показано ранее, в этом случае трактовка, в том числе и математического мышления, определяется только одной стороной математического знания - систематизацией результата знания, «готового знания». Анализ же развития математики, математической деятельности показывает, что в развивающейся математике, в математическом поиске действуют и механизмы интуиции, аналогии, воображения и т. д.

Проведенный анализ свидетельствует, что нет единой точки зрения на трактовку понятий математического мышления и математической культуры. Поэтому далее будем говорить о развитии культуры мышления школьников средствами математики. Для этого, прежде всего, следует определить, какие компоненты мышления наиболее эффективно развиваются в процессе обучения математике, т.е. спроектировать модель культуры мышления в системе математического образования.

Из психологии известно, что мышление - это целостная система, которая включает четыре основных взаимосвязанных компонента: личностный, рефлексивный, предметный и операционный. Целостность мыслительного процесса задает личностно рефлексивный компонент, включенный в структуру мышления через потребности, мотивы, осмысленность и осознанность. Рефлексивному компоненту соподчинен предметный, который выступает как фактор организации мышления. Предметный компонент в общей структуре мышления в нашем случае определяется спецификой математической деятельности. Согласно А. Н. Колмогорову, для системы математического знания характерны логический, алгоритмический, образно-геометрический и комбинаторный виды мышления. Мыслительный процесс осуществляется посредством мыслительных операций сравнения, анализа, синтеза, абстрагирования и обобщения (они описаны в пункте 2.4).

Обобщая изложенные точки зрения на понятие культуры мышления, учитывая состав гуманитарно-ориентированного содержания, специфику творческой математической деятельности, выделим следующие компоненты культуры мышления, которые можно формировать у школьников при надлежащем содержании и технологии обучения и которые мы опишем через специальные умения.

1. Осознание предмета математики, ее ведущих понятий и осмысленное оперирование ими как при изучении математики, так и в ее приложениях и в практической деятельности.

2. Понимание сущности метода математического моделирования и его роли в познании действительности.

3. Владение логической составляющей математической деятельности:

- понимание логической структуры определения понятия (род, видовые отличия, их конъюнктивная или дизъюнктивная связь, наличие и смысл кванторов, умение формулировать отрицание понятия);

- умение оперировать определением понятия: подводить под понятие, выводить следствия;

- умение сравнивать объекты по указанному признаку, выделять существенные основания для их сравнения;

- умение проводить классификацию понятий по заданному и самостоятельно найденному основанию;

- понимание логической структуры теоремы, умение формулировать обратное, противоположное, противоположное обратному утверждения и понимание логической связи между этими четырьмя предложениями;

- понимание сущности доказательства, полноценности аргументации;

- владение дедуктивными методами доказательств и опровержений: синтетическим, аналитическим, от противного, методом исчерпывающих проб, полной индукции, контрапозиции, методом математической индукции.

4. Владение эвристической составляющей математической деятельности:

- умение выявлять закономерности и устанавливать аналогии;

- умение выдвигать гипотезы на основе аналогии, неполной индукции, обобщения, конкретизации, пространственного воображения, интуиции как для постановки проблем, так и для их решения.

5. Умение отличать достоверные выводы от правдоподобных, вероятностных.

6. Владение алгоритмической составляющей математической деятельности:

- понимание сущности алгоритма;

- умение пользоваться готовыми алгоритмами;

- умение самостоятельно создавать алгоритм какого-либо действия.

7. Владение математическим языком (математической терминологией, символикой), умение четко, последовательно, лаконично, логично выражать свои мысли как устно, так и письменно.

Учитывая специфику сензитивных периодов в развитии психики, ее основы должны быть заложены в девятилетней школе, в рамках общего математического образования, независимо от дальнейшего профиля обучения. Личный опыт работы со студентами показывает, что если у них не сформирована в курсе средней школы соответствующая культура мышления, то наверстать упущенное на должном уровне даже в высшей школе не представляется возможным.

Потенциалом для формирования культуры мышления в самых различных проявлениях ее аспектов может служить практически любая тема школьного курса при условии, что подход к ее изучению будет осуществляться с позиций гуманитаризации обучения, с позиций развивающего обучения. Проиллюстрируем это на примере темы «Числовые неравенства. Основные свойства числовых неравенств» (Алгебра, VIII класс).

Информационный компонент содержания материала:

I. Определение отношений: a>b; а<Ь.

II. Теоремы и их доказательства:

1. Если а>Ь, Ь>с, то а>с.

2. Если а>Ь, с - число, то а+с>Ь+с.

3. Если а>Ь, с>0, то ас>Ьс, если а>Ь, с<0, то ас<Ьс.

Выявим объективно имеющиеся в этом содержании предпосылки для формирования культуры мышления школьников в изложенном выше смысле (здесь имеем тот случай, когда содержание образования, связанное с опытом творческой деятельности и культурой мышления, в содержании образования представлено имплицитно, неявно).

1. Практически впервые в курсе алгебры учащиеся встречаются с теоремами и их доказательствами. Поэтому следует обратить внимание на то, что логическое строение теоремы, сущность доказательства в алгебре те же, что и в геометрии. Опыт работы с учащимися показывает, что у них вызывает удивление тот факт, что в алгебре тоже есть теоремы и надо проводить их доказательство. Имеется возможность обратить внимание учащихся на единую логическую основу построения различных математических дисциплин, их дедуктивный характер.

2. В процессе доказательства теорем учащиеся должны уметь выполнять два основных действия, связанные с определением понятия: выводить следствия и подводить под понятие. В доказательстве каждой из рассматриваемых теорем выполняются оба действия одновременно: из того, что а>Ь, на основании определения следует, что а-Ь>0 (выполняется действие выведения следствия из определения); получив далее в ходе рассуждений, что а-с>0, заключаем по определению, что а>с (выполняется логическое действие подведения под понятие). Понимание учениками логических действий с определениями понятий формирует у них пока в неявном виде знание того, что определение понятия содержит его необходимые и достаточные условия. В то же время умение выполнять эти два логических действия и входит в более сложное умение оперировать изучаемыми понятиями. Таким образом, при несложном доказательстве первой теоремы имеется возможность целенаправленного (если учитель уделит специальное внимание этому вопросу) дальнейшего формирования логической культуры ученика, связанной с умением оперировать определениями математических понятий.

3. Содержание материала позволяет обучать школьников выдвигать гипотезы на основе наблюдения, сравнения, анализа, аналогии и неполной индукции. Так, первое свойство (если a>b, Ь>с, то а>с) учащиеся смогут подметить: а) на частных примерах; б) проводя аналогию со свойством верных числовых равенств. Возможен и такой вариант, что свойство подмечается на частных примерах, а учитель предлагает сравнить его с соответствующим свойством числовых равенств. Выдвигается гипотеза относительно любых трех чисел, связанных рассматриваемыми отношениями. Учитель замечает, что заключение, сделанное таким образом, нуждается в аргументированном доказательстве.

Интересные методические приемы возможны при «открытии» второй и третьей теорем. После доказательства первой теоремы учитель предлагает вспомнить еще два свойства верных числовых равенств: если а=Ь, с - число, то а+с=Ь+с; если а=Ь, с - число, то ас=Ьс. Повторяя первое свойство, учитель побуждает школьников высказать аналогичное утверждение для свойств числовых неравенств. Появляется гипотеза, что если ä>b, с - число, то а+с>Ь+с, истинность которой устанавливается далее доказательством.

Наконец, на основании аналогии, ученики, ведомые учителем, выдвигают гипотезу, что если а>Ь, с - число, то ас>Ьс. Учащимся предлагается задуматься над истинностью высказанного утверждения. Чаще всего ученики сами приводят пример, когда с является отрицательным числом или нулем, и

приходят к выводу, что выдвинутая гипотеза неверна. Ценность такого разговора на уроке состоит в том, что, во-первых, обращается внимание школьников на способ опровержения (для этого нужно привести хотя бы один контрпример). Во-вторых, здесь имеется прекрасная возможность показать ученикам, что аналогия не всегда приводит к достоверным умозаключениям.

4. Имеется возможность включить школьников в самостоятельный поиск всех трех теорем. На примере доказательства первой теоремы целесообразнее вести поиск синтетическим методом, что и приводит фактически сразу к доказательству. Доказательство второго и третьего свойств учащиеся могут найти сами, проводя аналогию с доказательством первого свойства.

Проведенный анализ трех теорем и их доказательств показывает, что небольшой по объему и сравнительно невысокий по уровню сложности теоретический материал имеет хорошие предпосылки для целенаправленной со стороны учителя деятельности по развитию личности школьника, в том числе и формированию его культуры мышления:

1) дальнейшее развитие логической культуры школьников (усвоение логических действий, связанных с применением определения понятия сущности теоремы в алгебре, анализа и синтеза как методов доказательств);

2) обучение эвристическим методам научного познания, приводящим к выдвижению гипотез, создание условий для проявления интуиции. Неполная индукция выступает здесь как метод открытия теорем; аналогия приводит как к открытию теорем, так и их доказательств. И что особенно ценно, на одном уроке можно проиллюстрировать, что в одних случаях аналогия может привести к достоверному умозаключению, а в других высказанная догадка нуждается в уточнении; иногда же она может быть совсем неверной;

3) имеется возможность показать им различие в индуктивных и дедуктивных умозаключениях, рассуждениях и на этой базе формировать умение различать правдоподобные рассуждения от дедуктивных;

4) приобщать учащихся к опыту поисковой, творческой деятельности и связанным с ним опытом коммуникативной, трудовой, эмоциональной деятельности. Участие школьника в поиске, пусть и коллективном, оказывает и соответствующее воспитательное воздействие на него.

2.7. Элементы истории математики в содержании образования

История математики должна стать неотъемлемой частью усваиваемого школьниками содержания математического образования. Под историей науки в школе понимается отражение в содержании образования единства двух процессов: истории развития конкретной науки, ее идей, понятий, взглядов, проблем теории и истории тех или иных открытий. Мы выделим основные дидактические положения, которые служат основанием для отбора учебного материала по истории математики. Он может быть включен как в содержание

учебников, так и отбираться учителем самостоятельно при подготовке к соответствующему уроку.

История науки, в нашем случае история математики, является важной частью всеобщей истории. Следовательно, без изучения истории математики на соответствующем для современного образования уровне у школьников не может быть сформировано и целостное представление о развитии человеческого общества. Это положение является главным, всеобщим принципом, из которого следуют все остальные. История математики позволяет проследить связи развития общества с развитием математики. С одной стороны, развитие общества влияет на развитие математики, а с другой - уровень развития математики в значительной степени определяет ход общественного развития.

Проиллюстрируем это взаимовлияние на примере решения задачи вычисления мер геометрических объектов.

В Египте и Вавилоне (когда математика еще не стала систематизированной наукой) земледельцев и ремесленников вполне устраивали приближенные значения площадей и объемов. Поэтому были выработаны простейшие правила их вычисления, найдены приближенные формулы.

Демократическое устройство Эллады, где на городских собраниях необходимо было обосновывать свою точку зрения, предъявляло аналогичные требования к математическим утверждениям. В этот период значения длин, площадей и объемов указывали точно и соответствующие утверждения строго (для того периода) доказывались методом исчерпывания: Евдокс (ок. 408 -ок. 355 до н.э.), Евклид (IV в. до н.э.), Архимед (ок. 287 - 212 до н.э.).

В эпоху позднего Возрождения, когда начали формироваться капиталистические отношения, потребовавшие создания новой материально-технической базы и ее математического обеспечения, строгость доказательства отошла на второй план. Ученые больше доверяли своей интуиции, что дало им возможность получить много новых результатов: И. Кеплер (1571-1630) - метод суммирования, В. Кавальери (1598-1647) - метод неделимых, Э. Торричелли (1608-1647), П. Ферма (1601-1665) - квадрирование фигур. В дальнейшем во всех этих разрозненных методах решения была обнаружена общая идея суммирования, интегрирования, что привело к созданию определенного интеграла (И. Ньютон, 1642-1727; Г. Лейбниц, 1646-1716). К обнаружению этой идеи ученых подтолкнула в том числе и необходимость решения огромного числа прикладных задач, возникших в связи с бурным развитием промышленности, мореплавания, астрономических наблюдений.

В процессе усовершенствования понятия интеграла, строгого его обоснования, в связи с развитием теории действительного и комплексного числа не только был расширен класс интегрируемых функций, но возникли и были решены вопросы существования мер геометрических объектов (О. Коши, 1789-1857; Б. Риман, 1826-1866; А. Лебег, 1875-1941).

А.П. Юшкевич, рассматривая влияние социальных факторов влияния на развитие математики, выдвигает гипотезу относительно того, что Великая французская революция оказала влияние на открытие неевклидовой геометрии, так как она раскрепостила умы от традиционного мышления з разных

сферах духовной деятельности. «Не была ли революция в геометрии ... одним из проявлений духовного переворота, который обусловила Великая французская революция?» - задает он вопрос и пытается обосновать далее свой положительный ответ на него.

В то же время и развитие математики самым очевидным образом влияет на общественную жизнь. Например, создание математического анализа в XVII в. и последующее за этим развитие математики привели к бурному становлению естествознания и техники, что, в свою очередь, повлекло изменения и в общественных отношениях.

Развитие современного общества в значительной степени определяется уровнем математической науки. Методы математического моделирования, информатизации (которую «породила» математика) являются определяющим в развитии науки в целом и, как следствие, общественного прогресса (о чем уже говорилось).

Понимание взаимосвязи в становлении математики и общественного прогресса способствует более глубокому осознанию школьниками специфики ее предмета и методов познания.

История математики позволяет увидеть «живую математику», «математику с человеческим лицом», а не сухую, застывшую абстрактно-дедуктивную систему; глубже осознать процесс познания в математике, методы научного познания, характерные для каждого этапа, понять динамику их развития. Именно эти вопросы изучаются историей науки, и они помогают создать правильное представление о путях приобретения человечеством знаний об окружающем нас мире, о развитии методов этого познания. История математики показывает, что математические методы развиваются от неявных (неосознаваемых) эвристических методов к явным эвристическим, затем к строгим математическим методам и к формальным математическим методам. В процессе этой эволюции уменьшается степень интуитивности в математических методах. В конкретный исторический период в математике существуют методы, находящиеся на разных этапах эволюции В частности, приверженность в настоящее время к строгому изложению математики характерна для современного этапа развития математики. Однако понятие строгости в математике является относительным и историческим. Исторический подход к уровню строгости изложения содержания особенно важен при изложении отдельных вопросов общеобразовательного курса. Так, общеизвестно, что не представляется возможным изложить в школе корректно элементы математического анализа. Это обстоятельство приводит многих учителей математики (да и некоторых преподавателей вузов) к выводу о том, что элементы математического анализа в школе вообще не следует изучать. Те учащиеся, кому это будет в дальнейшем нужно, изучат на должном уровне строгости в вузе. Распространенный взгляд на математику как формально-дедуктивную науку, где все должно быть доказано, передается и ученикам, что вызывает у последних негативное, скептическое отношение к курсу алгебры и началам анализа в целом.

Этому способствуют и некоторые школьные учебники, излагающие материал без должной мотивации, без опоры на геометрическую интуицию, а главное, без разъяснений особенностей исторического развития дифференциального и интегрального исчисления. Между тем общеизвестно (и мы этого вопроса уже касались), что основоположники интегрального и дифференциального исчисления строили его на понятии бесконечно малой величины, которое в то время не было достаточно разработанным и понималось в основном на интуитивном уровне. Сложившийся в XVIII веке период К. Маркс назвал мистическим (он характеризуется в истории математики как второй глубокий кризис ее основ): разработанное Ньютоном и Лейбницем исчисление в трудах Эйлера, Лагранжа и других ученых XVIII века давало прекрасные результаты, позволяя решать многие важные задачи геометрии, механики, физики, но логическая основа для него отсутствовала. И лишь в первой половине XIX в. О. Коши (1789-1857), Б. Больцано (1781-1848) и другие ученые сумели дать определение предела. Но и здесь оно не носило еще формальнологического характера, поскольку не хватало строгого математического обоснования действительного числа. Этот пробел был заполнен лишь во второй половине XIX в., после того, как была создана теория вещественных чисел. Современное определение предела на «языке e-S» встречается в 1880 г. в трудах К. Вейерштрасса (1815-1897).

Говоря о развитии методов научного познания в математике, следует отметить важнейшую особенность, заключающуюся в том, что, несмотря на «несовершенство» (с современных позиций) методов получения знаний, математика не отбрасывала ранее добытые знания, а, опираясь на них, включала их в новые. Старые знания и понятия являлись основой для новых. Об этом И. Ньютон сказал так: «Если я увидел больше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов» [15, с. 120].

Наконец, важно показывать ученикам, как по мере развития математические методы приобретали всеобщий, универсальный характер, становились общенаучными методами. История математики показывает, как математические методы становились общенаучными методами познания.

В качестве достаточно привести пример аксиоматического метода. Его становление и развитие связано с математикой. Однако в настоящее время многие области научных знаний, в том числе и гуманитарных, строятся на аксиоматической основе.

Все сказанное подчеркивает роль математики в развитии общечеловеческой культуры.

Говоря о методах научного познания, следует отметить, что знание истории их развития позволяет формировать представление о единстве математики, взаимосвязи ее различных разделов, в том числе и в школьном курсе математики.

Элементы историзма способствуют развитию творческих способностей школьников, формированию целостной культуры мышления. Еще Г. Лейбниц подчеркивал, что история науки учит искусству открытий. Используя примеры из истории науки, можно сделать очень многое для пробуждения

интереса хотя бы некоторых учащихся к поискам неизвестного. Учащимся полезно рассказывать творческие биографии знаменитых ученых: как они приходили к постановке своих исследований, как находили метод исследования, как формулировали окончательный результат. Это формирует творческую атмосферу в классе, помогает школьникам понять процесс творчества, его методы. В то же время школьники убеждаются, что процесс творчества требует от человека целеустремленности, упорства, трудолюбия, а иногда и мужества. Ярким примером этого служит творчество Н.И. Лобачевского (1792-1856). Так, после смерти «короля математики» К. Гаусса (1777-1855) стало известно, что он также открыл начальные факты геометрии Лобачевского, но молчал о них из боязни уронить свою научную репутацию. Он даже не решился поддержать молодого Я. Больяи, когда тот прислал ему свою работу. Мужество же Н.И. Лобачевского проявилось в том, что он осмелился доложить о своем открытии, которое противоречило общепринятому в то время (1826 г.) взгляду на геометрию. До конца своей жизни он жил в обстановке непризнания и нападок на свою геометрию.

История математики служит мощным средством формирования положительной мотивации к изучению математики, повышению интереса к ней. Каждый учитель знает, какой интерес, оживление вызывают краткие экскурсы в историю математики, рассказы о биографиях выдающихся математиков, об истории развития отдельных понятий математики, ее идей и методов. Школьники с увлечением решают старинные, исторические задачи, делают сообщения на исторические темы. Анализ опыта работы учителей показывает, что элементы истории математики, включенные органично в процесс обучения, способствуют не только формированию интереса к математике, но и к истории математики, побуждают учеников самостоятельно читать литературу по истории математики.

Средства и формы изучения исторических сведений многообразны: исторические справки, которые приводит учитель по ходу изложения материала, доклады (в том числе и на семинарских занятиях обобщающего типа); математические газеты, математические листки и т. д. В содержательном плане это могут быть история какого-либо открытия; зарождение и развитие понятия, метода; биография ученого-математика; исторические и старинные задачи; происхождение того или иного математического термина и др.

Все сказанное говорит о том, что без знакомства школьников с элементами истории математики невозможно полноценно решать задачу о воспитании культуры личности средствами математики: отношение к математике как части человеческой культуры; понимание значимости математики для общественного прогресса.

Только система выделенного в данной главе гуманитарно ориентированного содержания вместе с фактологическими знаниями обеспечивает овладение школьниками основными компетенциями, изложенными в государственном стандарте.

Вопросы и задания

1. Какова стратегическая цель математического образования на современном этапе? Сравните ее с целями математического образования 60 - 80-х годов.

2. Выделите состав элементов, входящих в систему гуманитарно ориентированного содержания математического образования. Какую роль играет каждый из компонентов в реализации его основной цели?

3. Как влияет система гуманитарно ориентированного содержания на постановку общих целей математического образования?

4. Проведите сравнительный анализ целей общего математического образования, сформулированных в данном пособии, в проекте концепции развития математического образования, а также в работах Г.И. Саранцева, В.А. Гусева, Х.Ж. Танеева.

5. Какие точки зрения на выявление сущности предмета математики существуют в методологии математики? Какой придерживаетесь вы? Обоснуйте свою позицию.

6. Какие мировоззренческие понятия важно осознавать школьникам по мере изучения математики?

7. Проанализируйте представленную в пункте 2.3 модель математической деятельности. В чем состоит ее отличие от ваших представлений о специфике математической деятельности?

8. Обоснуйте положение о том, что поисковая математическая деятельность должна служить компонентом содержания математического образования.

9. Приведите примеры наблюдений в математике, приводящих к выявлению гипотезы.

10. Сравните следующие объекты и отношения:

а) линейные уравнения и линейные неравенства;

б) взаимное расположение

- двух прямых на плоскости;

- двух прямых в пространстве;

- двух плоскостей.

11. Выделите последовательность мыслительных операций, лежащих в основе умозаключения по аналогии.

12. Проанализируйте анализ и синтез в работе со следующими единицами усвоения:

а) определения окружности;

б) формула корней квадратного уравнения;

в) признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

13. Какие методы эвристической математической деятельности и с какой целью используются в учебнике и могут быть использованы учителем при изложении темы «Рациональные числа» в VI классе?

14. Разверните в последовательность силлогизмов доказательство теоремы о логарифме произведения двух положительных чисел. Проанализируйте достаточность оснований для доказательства.

15. Представьте в виде схемы синтетический метод доказательства теоремы о том, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

16. Проведите доказательство теоремы (см. задание 15) методом восходящего анализа и изобразите его схематически.

17. Используя аналитико-синтетический метод, решите задачу: «В треугольнике ЛВС проведены высоты ВВ/ и СС/. Доказать, что треугольник ABCj подобен треугольнику ЛВС». Приведите схему поиска решения.

18. Перечислите типы задач, при поиске решения которых можно использовать метод нисходящего анализа.

19. Объясните, каковы достоинства метода нисходящего анализа, какие ошибки часто допускаются при его использовании.

20. Выделите общелогические и специфические методы доказательства теорем, используемые в теме «Площадь».

21. В чем, по вашему мнению, состоит специфика математического мышления? Какие точки зрения по этому вопросу, изложенные в пункте 2.6, вы разделяете?

22. Каковы возможности математики для формирования культуры мышления школьников?

23. Выделите дидактические функции элементов истории математики в содержании образования.

Литература для самостоятельного чтения:

2,5, 12, 14, 15,20, 26, 28,31,36, 44,45, 50 53, 63, 77, 82, 84, 92, 99, 103, 104, 112, 113.

ГЛАВА 3. ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ ОСНОВНЫМ ДИДАКТИЧЕСКИМ ЕДИНИЦАМ

3.1. Основы проектирования технологии обучения основным дидактическим единицам

3.2. Формирование математических понятий

3.3. Методика изучения теорем

3.4. Технология работы с правилом

3.5. Методика обучению решению математических задач

3.6. Технология работы с текстовой (сюжетной) задачей

В программах и учебниках по математике представлен в основном информационный компонент теоретического содержания образования, выраженный через основные единицы усвоения: понятия и их определения, аксиомы, теоремы, правила, задачи. Однако для достижения общих целей образования на современном этапе, необходимо усвоение учащимися не только информационного компонента, но и всех описанных во второй главе компонентов гуманитарно ориентированного содержания. Только от усвоения всех компонентов зависит уровень овладения учащимися теоретическим материалом, а также успешность решения ими математических задач. Следовательно, нужна новая технология обучения основным дидактическим единицам, которая способствовала бы усвоению учащимися всех компонентов гуманитарно ориентированного математического содержания. С этих позиций и излагается в данной главе методика обучения основным дидактическим единицам на технологическом уровне.

3.1 Основы проектирования технологии обучения основным дидактическим единицам

Краткое описание сущности технологического подхода было дано нами в первой главе. В данном параграфе процесс проектирования технологий обучения опишем более подробно.

Термин «Технология обучения» все чаще встречается в работах психологов, педагогов, методистов.

Зародившееся в 50-е гг. в США новое направление - технологический подход к обучению - ставило целью гарантированное достижение запланированных результатов обучения путем детально разработанных схем, указаний, предписаний, которым должен следовать учитель. По описанию М.В. Кларина [44], технологический подход включает в себя:

- постановку и формулировку диагностируемых учебных целей, ориентированных на достижение запланированных результатов обучения, кото-

рые можно достаточно надежно опознать, т.е. целей-эталонов (этот этап имеет первоочередное значение);

- организация всего хода обучения в соответствии с учебными целями;

- оценка текущих результатов, коррекция обучения, направленная на достижение поставленных целей;

- заключительная оценка результатов.

В соответствии с этим подходом, наибольшее распространение получила на Западе «Модель полного усвоения». Основное ее положение состоит в том, что все ученики способны полностью усвоить материал, а задача учителя - организовать учебный процесс так, чтобы дать им такую возможность. Хотя эта теория и получила широкую международную известность, тем не менее она вызвала к себе критическое отношение и поставила два основных вопроса:

1) Каких затрат времени требует полное усвоение программного содержания каждым учеником?

2) Какие цели обучения ставятся при таком обучении и каков в этом случае уровень активности познавательной деятельности школьников?

В традиционном обучении учебные цели ставятся неконкретно, неопределенно, неинструментально: «изучить теорему ...», «ознакомить с ...», «научить решать ...» и т. д. Язык, способ постановки таких целей не описывает желаемого результата обучения (учения), достижение их трудно проверить. Кроме того, цели, поставленные таким образом, связаны в основном с деятельностью учителя на уроке и практически не отражают личностный аспект ученика в обучении.

Технологический же подход к обучению позволяет решать вопрос о постановке конкретных учебных целей и направлять весь процесс обучения на их достижение. Поэтому термин «Технология обучения» к концу 70-х -началу 80-х годов все чаще стал употребляться и в нашей стране. Так, И.Я.Лернер писал, что педагогическая технология обучения предполагает формулировку целей через результаты обучения, выраженные в действиях учащихся, надежно опознаваемых и определяемых. В основе педагогической технологии лежит идея полной управляемости учебным процессом, проектирование и воспроизводимость обучающего цикла. В связи с этим выделяются следующие характерные черты технологии обучения: разработка диагностично поставленных целей обучения; ориентация всех учебных процедур на гарантированные достижения учебных целей; оперативная обратная связь; оценка текущих и итоговых результатов; воспроизводимость обучающих процедур. Технология обучения ориентируется на гарантированные достижения целей и идею полного усвоения путем обучающих процедур. Концепция полного усвоения дает высокие результаты, но имеет ограничения: так можно изучать материал, поддающийся членению на единицы, связанные последовательно; усвоение происходит в основном на репродуктивном уровне. При технологическом подходе, по мнению многих дидактов, обучение нацелено, в первую очередь, на усвоение лишь информационной компоненты знаний.

Наша задача, как было сказано во введении к данной главе, состоит в проектировании такой технологии обучения, при которой школьники усваивали бы гуманитарно-ориентированное содержание целостно, в единстве всех его компонентов.

Дидактикой описывается процесс конструирования педагогической технологии следующим образом: выбор и обоснование основной идеи (философии) педагогической технологии: разработка целевой концепции технологии и иерархическая систематизация учебных целей; проектирование собственно содержания обучения, методов и форм обучения; конструирование системы средств реализации технологии в учебном процессе; разработка системы контроля и оценки учебных достижений учащихся.

Разрабатывая технологический подход к усвоению школьниками основных дидактических единиц, мы будем придерживаться выделенных этапов конструирования педагогической технологии.

Ведущими идеями проектируемой нами технологии служат принципы системного, личностно ориентированного, компетентностного, деятельностного подходов, принцип гуманитаризации, которые являются методологической основой проектирования методической системы образования математике в целом. Основополагающим является деятельностный подход, так как, во-первых, все выделенные выше аспекты этого подхода положены в основу проектирования технологии обучения основным единицам содержания, а, во-вторых, он синтезирует в себе особенности и остальных методологических положений.

Раскроем это детальнее, учитывая три аспекта деятельностного подхода, выделенных ранее в первой главе: построение процесса обучения в соответствии со структурой учебной деятельности; построение процесса обучения математике, адекватного творческой деятельности (представлена достаточно подробно во второй главе); усвоение методов, приемов, действий и операций лежащих в основе этой деятельности.

Прежде всего, деятельностный подход предполагает технологию обучения, адекватную психологической структуре учебной деятельности. Схематично ее можно представить в следующем виде:

Главная цель мотивационно-ориентировочной части заключается в формировании у школьника смысла предстоящей деятельности, потребности у него в изучении нового учебного материала. Эта часть, в свою очередь, состоит из четырех связанных между собой этапов:

- актуализации,

- мотивации,

- постановки учебной задачи,

- планирования ее решения.

На этапе актуализации ученик осмысливает предыдущую деятельность, непосредственно связанную с последующей. Здесь происходит в какой-то степени выравнивание познавательных возможностей учеников, в их сознании создается «ситуация успеха». По окончании этого этапа ученик получает ответы на такие вопросы: «Что я уже знаю? Что я уже умею? Готов ли я к изучению нового?» Можно отметить некоторое сходство данного этапа с процедурой повторения, которое практикуется многими учителями в начале урока. Но это сходство лишь внешнее, так как традиционный этап повторения выполняет функцию контроля знаний учеников, он несет информацию для учителя о готовности учащихся класса к изучению нового.

Цель этапа мотивации заключается в формировании у каждого учащегося личной потребности в последующей деятельности, связанной с открытием субъективно нового для него содержания. Известно, что деятельности без мотива не бывает. Мотив является внутренней побудительной причиной к действию, желанием удовлетворить какую-либо потребность. К сожалению, проблема формирования мотивации учебной математической деятельности и до настоящего времени не находит должного внимания в методике обучения математике. Поэтому остановимся на этой проблеме несколько подробнее.

Виды мотивов разнообразны: социальные, познавательные, амбициозные, страх и другие. Их условно подразделяют на две группы: внутренние и внешние. Доказано, что первые из них оказывают особое влияние на развитие личности, вторые - на приспособление ее к определенным условиям. М.А. Родионов, исследовавший проблему формирования учебной деятельности школьников в процессе обучения математике [85], выделяет ситуативную мотивацию, которая происходит у школьника путем внешнего воздействия и внутреннюю - надситуативную мотивацию, когда ученик проявляет собственную инициативу к той или иной стороне математической деятельности. Естественно, что только во втором случае ученик становится в полном смысле субъектом деятельности.

Выделим основные источники (движущиеся силы) формирования внутренней мотивации.

Во-первых, использование огромного мотивационного потенциала самой математики. В гуманитарно ориентированном содержании математического образования уже заложен мотивационный потенциал, заключающийся, по мнению М.А. Родионова, в универсальной применимости математики, максимальной определенности и убедительности, творческой неисчерпаемости, эстетическом совершенстве.

Во-вторых, внутренняя мотивация формируется организацией процесса обучения, технологией обучения, которая, как правило, состоит в следующем. Создав «ситуацию успеха» на этапе актуализации, учитель предлагает учащимся конкретную учебно-практическую задачу, похожую по внешним признакам на ту, которая была на первом этапе. Однако ее решение вызывает серьезные затруднения у ребят или приводит к нерациональным действиям. Таким образом, в сознании учеников возникает «ситуация интеллектуального

конфликта»: «Хочу, но не могу!» Создается проблемная ситуация, вызывающая у школьников потребность в дальнейшей деятельности.

Приведем характерные для уроков математики приемы создания мотивации и проиллюстрируем их на отдельных примерах.

1. Там, где есть возможность, показывать учащимся, что необходимость изучения нового диктуется запросами практики.

Например, прежде чем ввести понятие обыкновенной дроби, предлагаем на этапе актуализации найти длину отрезка такой единицей измерения, которая укладывается в данном отрезке целое число раз. Затем на этапе мотивации предлагаем найти длину этого же отрезка, но в качестве единицы измерения выбираем отрезок, значительно больше данного. Ученик понимает, что длина отрезка, так же как и в первом случае, должна выражаться некоторым числом, но не может подобрать ни одного известного ему натурального числа.

2. Логика развития математического содержания сама подсказывает учителю разработку этапа мотивации.

Например, после этапа актуализации, на котором были выделены известные учащимся способы построения графиков функций (в частности, способ построения графика функции по отдельным точкам), предлагаем учащимся однотипное по форме задание: построить график функции у = х5 - 5х3 + 2,8 X + 1. Хотя пять точек графика данной функции (с абсциссами -2,-1, О, 1, 2) и лежат на одной прямой, но, очевидно, что графиком этой функции прямая не является. Такая проблемная ситуация возможна при изучении темы "Исследование функции и построение ее графика с помощью производной".

3. Прием системности часто применяется на этапе мотивации. Проиллюстрируем его на следующем примере.

После изучения двух первых признаков равенства треугольников обращаем внимание учащихся на общие условия этих двух теорем: 1) даны два треугольника; 2) три пары элементов одного треугольника равны соответственно трем парам элементов другого треугольника. Возникает мотив к изучению других признаков равенства треугольников, имеющих по три другие пары соответственно равных элементов.

4. Не следует опускать возможностей в создании «интриг» на уроке, чтобы у ребят вызвать чувство удивления и естественный вопрос «Как это?!»

Например, приступая к изучению темы «Способ группировки», учитель предлагает вслед за упражнениями на разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя такой многочлен:

Учащиеся отвечают, что разложить данный многочлен на множители нельзя, так как его члены не имеют общего множителя. Но каково их удивление после того, как они по предложению учителя найдут произведение следующих двучленов 2а3 - ЗЬ и а +Ь. Естественным образом возникает вопрос о том, как выделить искомые множители.

В качестве «интриги» можно использовать известные в литературе математические софизмы.

5. Очень часто на уроках математики удается создать проблемную ситуацию в ходе проведения учащимися анализа реализованной ими нерациональной цепочки действий.

Например, предлагаем ребятам найти сумму следующих десятичных дробей: 2, 56 + 7, 9.

Умея складывать обыкновенные дроби, учащиеся находят эту сумму следующим образом:

По окончании выполнения задания ученики оценивают количество выполненных ими операций и приходят к выводу о нерациональном нахождении суммы десятичных дробей.

6. Для разработки этапа мотивации может быть привлечен анализ выполненных работ учащихся.

Например, перед изучением теоремы о произведении корней может быть предложена самостоятельная работа, содержащая, в частности, задание на вычисление:

После ее выполнения учащимся предлагается оценить приведенное ниже решение и указать теоретическое положение, лежащее в основе перехода от данного выражения ко второму:

В процессе обсуждения выясняется, что ответ получен такой же, как в самостоятельной работе у ребят, использовавших при вычислении правило возведения произведения в степень и определение арифметического квадратного корня. Однако, вопрос о правомерности выполненного преобразования исходного выражения остается открытым, так как нет теоретического положения, обосновывающего переход от первого выражения ко второму. Возникает вопрос: случайно ли совпали результаты?

7. Побуждает учащихся к дальнейшей деятельности решение нестандартных, старинных задач, обращение к истории математики.

Примером может служить обращение к известной задаче о шахматах, предваряя изучение темы о геометрической прогрессии.

Список приемов можно продолжить, но и приведенных достаточно, чтобы понять важность этапа мотивации. Заметим также, что «мотивационный фон» должен быть в течение всего урока: на любом его этапе ученики должны осознавать смысл своей деятельности, понимать, зачем и почему делают так, а не иначе.

Этап мотивации естественно переходит в этап постановки учебной задачи.

Этот этап - самое сильное звено в мотивационно-ориентировочной части. Сначала остановимся на ведущем понятии теории учебной деятельно-

сти - учебной задаче. Толкование понятия «учебная задача» в научной литературе очень широкое. Частично этого вопроса мы коснемся далее в п.4.1. В контексте теории учебной деятельности под учебной задачей понимают обобщенную цель деятельности, сформулированную в виде обобщенного задания. Ее решение предполагает не просто усвоение способа, но и усвоение теоретических оснований, на которых строится этот способ. На этом этапе ученики должны отделить свои знания от незнаний. Этап постановки учебной задачи заканчивается ответами ребят на вопрос: «Что же мы должны узнать, чтобы решить последнюю задачу?» Психологи связывают данный этап с действием целеполагания у ребят, поскольку учебную задачу можно трактовать как цель, поставленную в конкретных условиях. Чаще всего учебная задача (цель) формулируется в терминах: «найти», «открыть», «выявить», «проанализировать», «исследовать», «оценить» и др.

Ценность этапа постановки задачи (цели) состоит в том, что ученик принимает посильное участие в ее формулировке. Цели для ученика должны быть «не только понятны, но и внутренне приняты им, то есть чтобы они приобрели значимость для учащихся и нашли, таким образом, отклик и опорную точку в его переживании.» - пишет С.Л. Рубинштейн [87]. Ученик становится субъектом деятельности тогда, когда сознательно принимает объективные цели деятельности как свои личные. К сожалению, в школьной практике часто наблюдается иной подход. После создания проблемной ситуации на этапе мотивации учитель спешит сообщить ученикам, что данную задачу они решить не могут, так как не знают такого-то понятия (или такой-то теоремы, или такого-то правила ...). Далее учитель сам формулирует тему и, в лучшем случае, ставит соответствующие цели. При таком подходе цели урока не становятся для школьников лично значимыми, что существенно снижает познавательный интерес к последующей деятельности у большинства из них.

Итак, третий этап заканчивается самостоятельной или совместной с учителем постановкой целей предстоящей деятельности. Школьная практика подсказывает, что в младших классах желательно эти цели письменно фиксировать или на доске или в тетрадях учащихся.

Цель этапа планирования состоит в проектировании программы дальнейшей деятельности. На этом этапе ученики получают ответ на вопрос: «Что и в какой последовательности мы должны изучать?» Ответ на данный вопрос обычно находим с помощью аналогии или исходя из системного характера знаний. Желательно также письменно зафиксировать дальнейший план действий.

Заметим, что этап планирования может быть длительным, например, в начале изучения достаточно большой темы или раздела. Поэтому ему можно посвятить целый урок, отсюда следует и название такого урока - урок планирования (он будет описан в следующей главе).

Итак, можно выделить следующие функции мотивационно-ориентировочной части технологии обучения: побуждающую, смыслообразующую, направляющую.

Содержательная (операционно - познавательная) часть технологии обучения направлена на организацию деятельности учащихся, непосредственно связанную с решением учебной задачи. Эта часть технологии проектируется в соответствии со спецификой математической деятельности, которая достаточно подробно описана в п.2.3. Далее мы будем ее адаптировать при проектировании технологии обучения конкретным видам дидактических единиц - определений, теорем, правил, ключевых задач (см. п.п. 3.2 - 3.5).

Основная цель рефлексивно-оценочной части состоит в осмыслении проведенной учащимися математической деятельности, связанной с получением новых знаний.

Рефлексивно-оценочная часть включает в себя следующие этапы:

- соотнесение целей и полученных результатов;

- осмысление методов, приемов, теоретических положений, с помощью которых получены эти результаты;

- осознание ценностей приобретенных результатов и соответствующих им методов;

- оценка собственной деятельности.

На первом этапе рефлексивно-оценочной части соотносятся цели, запланированные в начале деятельности, и полученные результаты по ее окончании. Соответствие целей и полученных результатов вызывает у школьников положительные эмоции от радости победы, от познания нового. В противном случае деятельность нуждается в корректировке: или в уточнении целей, или в разработке иной программы, или в решении учебной задачи другими методами, или в обращении за помощью к учителю, к другим источникам информации и т. п. На этом этапе ученик отвечает себе на такой вопрос: «Получил ли я те результаты, которые соответствуют сформулированным целям?».

На втором этапе анализируются методы, приемы, теоретические положения, с помощью которых получены соответствующие целям результаты. Особо выделяются эвристические методы, которые имели место при получении гипотез и отдельно осмысливаются общелогические и частные методы, используемые при опровержении гипотез или их доказательств. Ученики оценивают новизну этих методов и приемов. Если они впервые их применяют, то выделяют суть этих методов и приемов, дают им названия. Если же методы и приемы известны учащимся, то они еще раз убеждаются в дополнительных возможностях их применения. Таким образом, школьники осознают не только результаты деятельности, но и способы их получения. Кроме того, ученик пополняет личный опыт новыми эвристическими приемами. На этом этапе ученик отвечает на следующие вопросы: «Как я получил такие результаты? Возможен ли другой способ получения тех же результатов?»

На этапе осознания ценностей ученики пытаются спрогнозировать ситуации (например, составить задания), при решении которых они могли бы применить полученные результаты и соответствующие им методы, эвристические приемы. Здесь ученик ставит вопросы: «Что я теперь могу делать? Как расширились мои возможности в области математики?» Ответом на эти

вопросы служат формулировки частных эвристик. Под частной эвристикой мы понимаем возможный способ поиска, полученный в результате переформулировки соответствующего теоретического положения (аксиомы, определения, теоремы, результата решения ключевой задачи). Например, доказав теорему о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и проводя описанную выше работу, получаем следующие эвристики:

1.Если будет известно, что треугольник равнобедренный, то можно использовать: а) равенство двух сторон; б) равенство углов при основании.

2. Для того, чтобы доказать равенство двух углов, можно попытаться установить, что эти углы являются углами при основании равнобедренного треугольника.

В последнем случае важно поставить еще один вопрос: «Какие способы доказательства равенства углов вам теперь известны?»

На этапе оценивания собственной деятельности ученик анализирует значимость собственного вклада в совместно полученные результаты, свой уровень усвоения новых знаний и уровень усвоения способов работы с этим знанием, собственное эмоциональное состояние. На этом этапе школьник пытается ответить на вопросы: «Доволен ли я своей работой? Что мне было непонятно? Какой момент мне больше всего понравился? К обсуждению каких вопросов мне хотелось бы вернуться?» и т.д.

Итак, можно выделить следующие функции рефлексивно-оценочной части: ценностнообразующую, самооценивающую.

Как видим, деятельностный подход к построению технологии усвоения дидактических единиц позволяет реализовать концепцию личностно - ориентированного обучения, создавать условия для осуществления гуманитарного потенциала школьного курса математики на каждом из выделенных этапах построенной технологии.

Отметим еще одну важную особенность предлагаемой технологии обучения математике. В основу ее проектирования положена методология научного поиска в математике, модель творческой математической деятельности.

Наконец, в методологическую базу разрабатываемой технологии включается и дидактическая концепция целеполагания, так как технология обучения направлена на достижение диагностируемых целей - целей эталонов. Ее основные положения мы изложили в п. 2.1. там же сформулированы стратегические цели общего среднего образования и процедура их конкретизации. Добавим к уже сказанному следующее. Конкретизация целей на уровне реального процесса обучения происходит и с опорой на уровни усвоения материала учеником.

Среди отечественных таксономии можно выделить классификации, предложенные В.П. Беспалько и И.Я.Лернером [6, 55]. Общим в них является выделение трех возможных уровней усвоения. Первый уровень характеризуется умением учащихся воспроизвести знания о действиях; второй - умением воспроизводить действия в знакомых или опознаваемых ситуациях; третий -умением применять эти знания творчески.

В мировой практике на сегодняшний день наиболее распространенной является система Б.Блума в когнитивной области. Она строится по принципу иерархической зависимости и содержит шесть категорий: знание, понимание, применение, анализ, синтез, оценка [43, 44].

Свой выбор для постановки диагностируемых целей мы останавливаем на системе Б.Блума по следующим причинам: во-первых, каждая категория расписана через наблюдаемые действия учащихся; во-вторых, каждая последующая категория требует для своего формирования полного владения предыдущими; в-третьих, эти таксономии отражают развивающую функцию обучения, поскольку последние пять категорий характеризуют в нарастающей последовательности и уровень интеллектуальных умений; в-четвертых, в этих таксономиях выделен такой уровень, как «понимание», который является ключевым в процессе усвоения основных дидактических единиц и соответствует этапу «Осознание, осмысление» в рассмотренном выше процессе усвоения.

Поскольку в настоящей работе описывается технология работы с отдельными дидактическими единицами, то мы в дальнейшем конкретизируем эти цели на уровнях «Знание», «Понимание», «Применение» (в стандартных ситуациях). Отметим лиш, что категория «знание» нами используется лишь при работе с дидактическими единицами и, как будет показано далее, запоминаю формулировок определений теорем, правил должно предшествовать осмысление учащимися их содержания. Запоминание должно прежде всего-опираться на мыслительный процесс, и только во вторую очередь - на память.

3.2. Формирование математических понятий

Математические понятия и их определения

С точки зрения формальной логики понятие — это мысль, фиксирующая признаки отображаемых в ней предметов и явлений, позволяющих отличить эти предметы и явления от смежных с ними. Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций.

Усвоение понятий является основным условием развития понятийного мышления школьников, что приводит к изменениям в содержании мышления в целом. С одной стороны, процесс формирования понятий обеспечивает развитие интеллектуальных возможностей учащихся. В то же время, особенности усвоения понятий оказывают непосредственное влияние на характер и степень осознания учащимися своего отношения к действительности [80].

Основными характеристиками понятия являются его содержание и объем. Содержание понятия - это множество существенных (характеристических) свойств данного понятия, которые выделяют этот объект из множества других. Например, в содержание понятия «ромб» входит то, что это

• параллелограмм, в котором

• смежные стороны равны;

• диагонали перпендикулярны;

• диагонали делят его углы пополам;

• высоты равны;

• имеется вписанная окружность и т. д.

Однако, чтобы отличить одно понятие от другого, нет необходимости перечислять все его существенные свойства. Достаточно указать те из них, каждое из которых является необходимым, а все вместе — достаточными для того, чтобы выделить понятие из всех других. С этих позиций и строится определение понятия — предложение, раскрывающее содержание (смысл) этого понятия.

Определение математических понятий может быть дано различными способами. В научно-методической литературе нет единого подхода к классификации способов определения математических понятий. Однако можно заметить, что большинство из них являются частными случаями определения через род и видовые отличия. Логическая структура практически всех определений может иметь вид:

В = { х/хеА и Р(х)}9 где В — класс объектов, состоящих из х, принадлежащих А — ближайшему роду, и обладающих свойством Р — видовым отличием.

В свою очередь, можно указать различные способы задания видовых отличий Р:

а) перечислением некоторого набора свойств (биссектриса угла);

б) конструктивно, указанием способа построения (получения, цилиндрическая поверхность);

в) индуктивно (арифметическая, геометрическая прогрессии);

г) через отрицание (скрещивающиеся прямые).

Чтобы ученик мог оперировать определением понятия, важно, чтобы он осознал родоподчиненную связь между понятиями и их видовые отличия, а также логическую природу связи между видовыми отличиями, если их несколько: конъюнктивную, дизъюнктивную или смешанную.

Встречается косвенное определение понятий, когда понятия выступают как первичные, а связи между ними описываются системой аксиом. Так вводятся:

а) основные неопределяемые понятия той или иной дисциплины; в геометрии это точка, прямая, принадлежать, лежать между (зависят от принятого подхода к построению курса);

б) понятия длины, площади, объема в курсе геометрии.

На ранней ступени изучения математики (начальная школа, V-VI классы) определения математическим понятиям часто не дают, а пользуются при этом описанием понятия (нестрогие определения) или указанием моделей определяемых понятий.

Множество объектов, которые обладают характеристическими свойствами понятия, называется объемом понятия. Краткое содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем — с помощью классификации.

Существуют определенные требования к определениям математических понятий. Определение должно иметь форму категоричного суждения. Об определении не имеет смысла говорить, истинно оно или ложно. Определение может быть правильным (корректным) или некорректным в зависимости от того, удовлетворяет ли оно следующим требованиям:

- определение должно быть соразмерным, в нем должны быть существенные признаки, необходимые и достаточные для того, чтобы отличить определяемое понятие от всех других понятий;

- определение должно быть минимальным, не содержать излишних требований (в школе иногда отходят от этого требования: прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые);

- определение не должно содержать порочного логического круга (тавтологии). Например, прямым углом называется угол, содержащий 90°; градусом называется —часть прямого угла;

- при введении с помощью определений системы понятий необходимо избегать омонимии - использования одного и того же термина в разных смыслах;

- логическое определение есть формула, у которой нельзя убрать или к которой нельзя добавить ни одного слова, которые искажали бы ее смысл;

- определение нельзя подменить его признаком, в определении должно быть слово «называется» (распространенная ошибочная формулировка: «если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм»).

Отметим также, что множество существенных независимых свойств, данное в определении понятия, может быть задано неоднозначно. Вместо указанного видового отличия можно взять любо другое, лишь бы оно было необходимым и достаточным условием данного понятия.

Наконец, говоря о корректности определения понятия с точки зрения логики, необходимо доказывать его существование.

Поскольку видовое отличие является необходимым и достаточным условием понятия, то при доказательствах определением понятия пользуются «в две стороны»:

- если известно, что четырехугольник - параллелограмм, то отсюда (по определению) следует, что в нем противоположные стороны параллельны;

- если известно, что в четырехугольнике пары противоположных сторон параллельны, то отсюда следует (по определению), что этот четырехугольник - параллелограмм.

Получили две частные эвристики, основанные на логическом действии «выведении следствий». Можно сформулировать еще две частные эвристики, основанные на логическом действии «подведение под понятие»:

- для того чтобы установить параллельность двух прямых, можно попытаться доказать, что они содержат противоположные стороны параллелограмма;

- для того чтобы установить, что четырехугольник является параллелограммом, можно попытаться доказать параллельность пар его противоположных сторон.

Умение оперировать определением понятия включает в себя умение переформулировывать определение в виде частных эвристик. Ученики с высоким уровнем обучаемости делают это неосознанно самостоятельно. Основную же часть школьников этому нужно специально обучать, особенно на начальном этапе работы с определением.

Отметим здесь же, что ученики допускают типичные ошибки при работе с определением:

- учащиеся опускают слова или добавляют лишние, искажающие смысл (неверно называют родовое понятие, опускают одно из видовых отличий, меняют логическую связку «и» на «или» и наоборот);

- определение подменяют признаком;

- в определении нескольких понятий присутствует тавтология и т.д.

Учителю следует прогнозировать типичные ошибки учащихся в работе с определением, подбирать для их устранения соответствующую систему упражнений. Здесь же отметим, что не следует требовать от учащихся заучивания описательных определений, не понимая смысла каждого слова в определении.

Технология организации усвоения математических понятий

Формирование понятий — сложный психологический процесс, длительный по времени. Он может выходить и за рамки школьного обучения. Однако в нем есть начальный этап, связанный с выявлением содержания понятия, конструированием его определения или описания. Этот этап Г.П. Сенников называет «образованием понятия в мышлении ученика» [94, с 31]. Он носит кратковременный характер и ограничивается чаще всего одним-двумя уроками. Вместе с тем этот этап очень важен, так как в зависимости от того, на каком уровне усвоено содержание понятия, отраженное в определении, зависит успех в дальнейшей работе с ним.

Очень часто приходится наблюдать, что определение вводимого понятия дается ученикам в готовом виде. Даже авторы учебного пособия «Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики», подчеркивая необходимость формирования логического действия по раскрытию структуры определения математических объектов, ничего не говорят о том, как появляется на уроке определение понятия, какова деятельность учащихся на этапе образования понятия [52, с. 42].

На практике же вслед за определением дается в лучшем случае образец (алгоритм) его применения к решению задач, т.е. не уделяется внимание осознанию и осмыслению учащимися новой формулировки. Предполагается,

что ее усвоение произойдет в результате заучивания, в процессе закрепления и применения определения понятия. Упрощенная схема работы с понятием не является случайной в практике работы учителя, она отражает ведущую цель традиционного обучения — усвоение информационной компоненты содержания. Поэтому цель — овладение учащимися знаниями о действиях по «открытию» нового, по конструированию определения, а затем и овладение самими действиями — в традиционном обучении не ставится.

В педагогической психологии исследован и прошел экспериментальную проверку принципиально иной, генетический подход к формированию понятий (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов). В рамках этого подхода понятие задается ученикам не в форме логического определения, а строится самими учащимися через систему выполняемых учебных действий. Тем самым осуществляется процесс становления понятия в сознании ученика. «Иметь понятие о каком-либо предмете, — пишет В. В Давыдов, — значит владеть общими способами его построения, знанием его происхождения. Этот способ — особое мыслительное действие человека, которое само образуется как дериват предметного действия, воспроизводящего предмет своего познания» [23, с.321-322]. Характерной особенностью концепции развивающего обучения, разрабатываемой в трудах Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова, является то, что посредством организации собственных мыслительных действий учащихся достигается проникновение в фундаментальные отношения изучаемого предмета, открываются закономерности, всеобщие связи.

В соответствии со сказанным, важно проследить процесс (гносеологию) образования определения понятия. В довольно упрощенной форме, но, как нам представляется, важной для разработки соответствующей технологии, процесс образования понятия можно описать следующим образом. Рассматривается множество объектов, обладающих какими-либо важными общими признаками. Далее отбрасываются все частные, второстепенные признаки, которые принадлежат не всем объектам, и выделяются общие, которые принадлежат каждому объекту этого множества. Совокупность этих существенных признаков, характеризующих понятие, называется содержанием понятия и отражает сущность понятия. Однако, чтобы определить понятие, как было сказано, нет необходимости указывать все признаки, входящие в содержание понятия. Для этого достаточно выбрать те из них, каждое из которых является необходимым, а все вместе достаточными для характеристики данного понятия. Какой бы вид ни имела структура определения понятия (через род и видовое отличие, конструктивный), важным действием с точки зрения образования понятия является выделение его характеристических свойств и их фиксация в специально выбранной форме.

Методологический анализ генезиса понятий показывает, что в его основе лежат такие мыслительные операции, как анализ (расчленение, выявление отдельных свойств объекта), сравнение, синтез (объединение свойств, полученных при анализе, в единое целое), обобщение (мысленное выделение фиксированных свойств, принадлежащих данному классу объектов или отношений), абстрагирование (мысленное отвлечение общих существенных

свойств, выделенных в результате обобщения, от второстепенных, несущественных).

Таким образом, нужна такая технология организации усвоения математических понятий, которая давала бы возможность овладевать ученику следующими методологическими знаниями и умениями:

- знанием генезиса образования понятия,

- знанием логической структуры определения понятия,

- умениями осуществлять действия подведения под понятие и выведения следствий,

- умением проводить классификацию, систематизацию научных понятий, а также понимать необходимость доказательства существования понятия.

В соответствии с вышеизложенным, можно ставить диагностируемые цели по усвоению понятий на уровнях «знание», «понимание», «применение (в стандартных ситуациях)». Они отражены в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Диагностируемые учебные цели при изучении понятии

Категория учебных целей

Критерии достижения целей

Цель считается достигнутой, если ученик:

1. Знание

- вставляет пропущенные слова в формулировке;

- формулирует определение понятия;

- среди предложенных выбирает формулировку определения.

2. Понимание

- создает символическую и графическую модель понятия;

- приводит или отбирает примеры и контрпримеры;

- подводит объект под понятие по словесной, символической или графической форме задания;

- подбирает достаточные условия для того, чтобы объект подходил под понятие;

- выводит следствия из условия принадлежности объекта к данному понятию;

- устанавливает связи данного понятия с другими, ранее изученными понятиями;

- перечисляет способы, приемы, методы познания на этапе открытия понятия.

3. Применение (в стандартных ситуациях)

- указывает, для решения каких задач можно использовать данное определение;

- составляет дидактические задачи на применение определения;

- применяет определение в стандартных ситуациях;

- различает определение, свойства и признаки при обосновании хода решения задач.

Технология достижения этих целей проектируется в контексте деятельностного подхода: психологической структуры учебной деятельности, специфики математической деятельности (п. 3.1). Ее модель на уровне образования понятия (1-2 урока) представлена в таблице 3.2.

Таблица 3.2

Технологический процесс формирования математических понятий (на этапе «образование понятия»)

Поскольку приемы деятельности учителя и учащихся в первой, мотивационно - ориентировочной части, раскрыты нами в п. 3.1, то более подробно опишем вторую и третью части этого технологического процесса.

Укажем некоторые приемы включения школьников в математическую деятельность по «открытию» и конструированию определений математических понятий.

Г.П. Сенников основным приемом образования понятий считает наглядно-конструктивный метод. Суть его кратко может быть представлена следующим образом. Учитель предлагает ученику сконструировать (в геометрии — построить) модель к известному (родовому) понятию, преобразовать ее в модель к вводимому понятию (учитель сам подсказывает ученикам эти преобразования, т.е. фактически сам выделяет видовые отличия), далее

вводит термин и предлагает учащимся самостоятельно сформулировать определение понятия. На этапе осмысления приводятся модели и контрмодели к понятию (выделяется умственное, логическое действие подведения под понятие).

Поясним эти рассуждения на примере введения понятия "компланарные векторы".

Учитель предлагает изобразить плоскость а и параллельные ей: а) прямую а\ б) прямые а и Ь; в) прямые a, b и с (непараллельные друг другу). Затем, на прямых, задаются соответственно векторы ï и £ и откладываются им равные в плоскости а (рис. 3.1 а, б, в). Учитель вводит термин и предлагает учащимся сформулировать определение компланарных векторов [87, с.25].

Достоинство этого приема состоит в том, что ученики действительно сами формулируют определение понятия, но не сами выделяют его существенные признаки. Использование его на уроке не предполагает осознания учащимися действий по отбору видовых отличий.

Более высокий уровень мыслительной деятельности школьников связан с их самостоятельным выделением характеристических свойств понятия. Назовем его аналитико-синтетическим приемом. При этом можно ограничиться единичным объектом вводимого понятия, а можно вводить понятие вместе с его противоположностью.

В этом случае работа на уроке может быть следующей.

Используя изображение параллелепипеда (рис.3.2), учитель повторяет понятия вектора, равных, противоположных, коллинеарных векторов, критерий коллинеарности двух векторов, выражение вектора через два неколлине-

Рис.3.1

Рис.3.2

арных вектора, если все три вектора принадлежат одной плоскости. Выясняется, как могут располагаться два, три вектора в пространстве. Далее дается следующая система вопросов-заданий:

- Сколько различных векторов задают ребра параллелепипеда?

- Опишите свойства пар (троек) векторов (анализируется каждый случай отдельно):

- Выделите общие и различные свойства пар (троек) векторов (анализ, сравнение, синтез являются ведущими мыслительными операциями при этом).

- Выделите признаки, по которым все шесть случаев можно разбить на две группы (существует плоскость такая, что пары или тройки векторов, отложенные от любой ее точки, лежат в этой плоскости; не существует такой плоскости). В первом случае векторы называются компланарными. Попытайтесь сформулировать определение компланарных векторов и создать графическую модель к новому понятию (проводится обобщение и абстрагирование).

- Попробуйте спрогнозировать, какие вопросы мы должны изучать в дальнейшем.

Анализ второго приема наглядно иллюстрирует и методику обучения школьников мыслительным операциям. Обучение идет на конкретном примере с помощью специальных вопросов-заданий, отражающих ход (план) исследования. Неоднократное и целенаправленное использование этого приема позволит учащимся выделить и осознать выполненные действия по «открытию» характеристических свойств нового понятия.

Вместе с тем, в приведенном примере мы формируем уже на этапе образования определения понятия такой важный мыслительный прием, как классификация. Здесь, как и во втором случае, знания о выполняемых действиях усваиваются учащимися через осознание собственных действий в процессе поиска оснований для классификации. Неоднократное и целенаправленное использование этого приема будет способствовать формированию идеи классификации как способа познания и может быть продиагностировано при изучении нового понятия или при решении специально подобранной задачи.

Укажем прием, в основе которого лежит аналогия. Например, понятия длины, площади были изучены в курсе планиметрии. Изучая в X классе понятие объема многогранников, учитель повторяет понятия длины отрезка и площади многоугольника. Далее замечает, что с понятием объема на интуитивном уровне школьники имели дело, начиная с пятого класса. Но теперь ставится задача изучить это понятие на более абстрактном уровне, отвлекаясь от конкретных моделей тел в виде куба, параллелепипеда и т. п. Проводя аналогию с понятием площади многоугольника, ученикам самостоятельно предлагается ответить на вопрос: «Что такое объем многогранника?». После этого учитель может предложить ученикам спрогнозировать, пользуясь аналогией, какие вопросы предстоит изучать в этой теме далее и как. Здесь

предполагается, что аналогия как метод познания уже знаком учащимся, т.е. они знают об особенностях умозаключений, сделанных по аналогии, осознанно формулируют выводы об аналогичных свойствах нового объекта.

Еще пример. Операция вычитания (деления) на множестве натуральных чисел определяется как обратная сложению (умножению). Смысл ее остается тот же и на всех других изучаемых в школе числовых множествах. Поэтому, переходя к новым числовым множествам, следует побуждать школьников самим давать определения указанных операций, пользуясь аналогией.

Иногда прием конкретизации позволяет школьникам самим дать определение понятия. Например, в курсе геометрии VII класса дается общее определение равных фигур. Изучая далее равные отрезки, равные углы, равные треугольники, школьники могут дать самостоятельно определения этих понятий. Для этого необходимо соблюдать схему овладения учащимися действиями:

информация о конкретизации как способе познания

осознанное ее применение в знакомой ситуации

формулировка определения нового понятия на основе конкретизации

Наконец, там, где представляется возможность, важно показывать школьникам, как из множества существенных признаков, входящих в содержание понятия, выбирают те, которые входят в его определение. Заметим попутно, что вообще для целенаправленного формирования у школьников мыслительных операций важно умело подбирать соответствующее содержание. Сложность математического материала не должна быть при этом чрезмерно высокой.

Например, после того как изучен параллелограмм и прямоугольник, их свойства и признаки, работу по изучению ромба можно организовать следующим образом.

На доске изображены различные виды параллелограммов (рис. 3.3):

Рис.3.3

Учитель предлагает разбить их на виды по каким-либо признакам. Устанавливается, какие частные виды параллелограммов уже изучены, а какие нет.

- Выделите случаи в), г), д). Как вы думаете, что отличает эти фигуры от произвольного параллелограмма и от прямоугольника?

- Выделите признаки, отличающие их от произвольного параллелограмма.

На глаз учащиеся могут обнаружить равенство всех сторон. Учитель побуждает учащихся «открыть» и другие отличительные признаки рассматриваемой фигуры (на глаз или измерением устанавливаются признаки, связанные с диагоналями). Далее учитель различным группам учащихся дает задания доказать следующие факты:

Если в параллелограмме все стороны равны, то его диагонали перпендикулярны. Сформулировать и доказать обратное утверждение.

Если в параллелограмме диагонали делят пополам его углы, то все стороны параллелограмма равны. Сформулировать и доказать обратное утверждение.

Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то они делят его углы пополам. Сформулировать и доказать обратное утверждение.

После этого идет коллективное обсуждение результатов работы каждой группы и делается вывод, что каждая группа нашла признак, по которому ромб можно отличить от параллелограмма. Каждый из них характеризует понятие ромба, но в определение ромба нет нужды включать их все. Достаточно включить в определение один из них. Тогда оставшиеся два будут следовать из определения (получаем теоремы — признаки и свойства ромба).

Естественно теперь предложить школьникам дать различные определения изученных ранее понятий параллелограмма и прямоугольника.

Такой подход делает акцент на получение суждений, установление их связей и не ограничивает понятие одним его определением, а формирует взгляд на определение как на совокупность существенных свойств, а также на то, что понятие может быть охарактеризовано различными такими совокупностями.

Уровень исследовательской деятельности школьников может быть усилен, если приступить к работе по анализу в начале изучения темы «Четырехугольники». В этом случае следует предложить, ученикам сначала рассмотреть различные группы выпуклых четырехугольников в зависимости от параллельности противоположных сторон, равенства противоположных сторон, углов. В результате обсуждения наметить программу изучения темы.

Важнейшим методологическим знанием о понятии является вопрос его существования. Требование доказательства существования объекта формирует математический стиль мышления. В большинстве школьных учебников по математике этот вопрос явно не ставится. Но известный математик и методист Н.М. Бескин рекомендовал учителю все определения без исключения сопровождать доказательством существования определяемых объектов. К сожалению, в современных учебниках этот вопрос чаще всего вообще не рассматривается. Естественным доказательством существования объекта в геометрии является его построение. В алгебре приводятся соответствующие примеры. Обращать внимание школьников на существование рассматриваемого объекта можно не затрачивая на это больших усилий.

Мы описали некоторые приемы, позволяющие включить школьников в самостоятельную аналитико-синтетическую деятельность по раскрытию содержания математических понятий и по конструированию их определений

(фактически, описали технологию работы учителя и ожидаемые действия учащихся на операционно-познавательном этапе.

Не менее важна тщательная технологическая проработка рефлексивно-оценочной части. Здесь происходит осознание (понимание) логической структуры определения и запоминание его формулировки, формирование умения оперировать определением, выделять частные эвристики, осознание и оценка учеником своей собственной деятельности. Управление этим этапом со стороны учителя осуществляется посредством специально сконструированной системы упражнений, заданий. Они носят как репродуктивный, так и развивающий характер. Приведем возможные типы заданий на этом этапе.

1. Сформулируйте учебную задачу (цель), которую нам предстояло решить (достигнуть). Какой результат мы получили? Решили ли мы поставленную задачу?

2. Сформулируйте полученное определение.

3. Определите, корректно ли определение (учитель модифицирует формулировку, добавляя или опуская некоторые слова: а) изменяющие смысл данного определения; б) не изменяющие).

4. Приведите примеры введенного понятия, постройте (в геометрии) -фактически происходит доказательство существования понятия.

5. Как символически можно изобразить введенное понятие?

6. Выясните, подходят ли изображенные на рисунке фигуры (записанные алгебраические выражения) под данное понятие. Ответ обоснуйте (формируется логическое действие подведение под понятие).

7. Известно, что мы имеем ...(проговаривается термин введенного понятия). Что отсюда следует? (формируется логическое действие выведения следствий).

8. Какие частные задачи можем решать на основе введенного определения? Попытайтесь сами составить такие задачи (формулируются частные эвристики).

9. Какие еще способы решения указанных задач вы знаете?

10.Расскажите, как вы выявили свойства понятия, входящие в его определение.

11. Как вы оцениваете свою деятельность по выявлению свойств изучаемого понятия?

12.Узнав определение нового понятия, как вы думаете, что нам следует изучать дальше? Последним вопросом учащиеся подводятся к необходимости изучения его новых свойств и признаков.

Конечно, не все приведенные задания даются ученикам после введения каждого определения, равно как и вся описанная технология не может применяться при изучении каждого определения. Все зависит от уровня развития культуры мышления школьников, их обученности. Большинство из этих упражнений следует предлагать на ранних стадиях работы с определением, тем самым и повышая их уровень математической культуры учащихся.

Приведенные задания входят и в число задач для диагностики изучаемого понятия.

Подготовка учителя к работе с определением понятия на уроке

В заключение опишем, как должен готовиться к уроку по изучению определения учитель. Подготовка к уроку начинается с логического и дидактического анализа формулировки определения.

Логический анализ определения понятия предполагает выполнение учителем следующих действий:

1. Анализ формулировки:

а) установление вида определения: через род и видовые отличия, косвенное, описательное;

б) выделение родового понятия и установление логической структуры видовых отличий, наличие в определении кванторов;

в) установление содержания понятия и его объема.

2. Установление необходимости доказательства существования понятия и способа доказательства.

3. Установление возможности переформулировки определения понятия. Замена определения ему эквивалентным. Конструирование возможных эвристик.

4. Составление отрицания определения.

5. Установление связи между новым понятием и изученными ранее.

6. Классификация системы понятий (разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды по их характеристическим свойствам).

Дидактический анализ.

7. Установление новизны для учащихся логической структуры определения и способа ее разъяснения учащимся.

8. Подбор системы упражнений для актуализации; методика организации повторения.

9. Подбор материала для создания мотивации, проблемной ситуации. Четкая формулировка учебной задачи.

10.Определение способа включения учащихся в учебно-познавательную деятельность по «открытию» нового понятия; выбор способа формулировки определения понятия (дает учитель, формулируют учащиеся, читают по учебнику и др.); выбор способа фиксации определения (в т.ч. записи на доске и в тетрадях учащихся).

11.Конструирование упражнений на осознание логической структуры определения.

Здесь используется прием разбиения определения черточками на смысловые части или прием записи определения в «алгоритмической форме».

Если определение содержит явно или неявно выраженные знаки существования или общности, то для выяснения смысла этих терминов и их роли в анализируемом определении составляют отрицание определения. Таким образом, получают условие не принадлежности объекта к данному понятию. Покажем это на примере определения четной функции:

Для выяснения и осознания каждого слова в этом определении полезны следующие упражнения:

• Является ли функция четной на множестве М, если:

а) для любого хе М-хе Ми f(x) = /(-*);

б) существует такое хе М, что - хе M, а f(-x)\

в) существует такое хе М, что -jcg M, а /(*) = /(-*)•

• Известно, что функция / является четной на множестве М. Что отсюда следует?

• Можно ли утверждать, что функция/четна на множестве М, если для любого хе M f(x) = /(-*)? Если нет, измените условие так, чтобы из него следовала принадлежность функции к понятию четной функции [85, с.60].

12. Конструирование упражнений на формирование умения подводить объект под понятие. Здесь можно выделить два типа упражнений:

- на узнавание объекта по вербальной (словесной) форме задания, в этих «ошибочных» определениях обычно заменяют родовое понятие, изменяют видовые отличия или логические связки между ними, пропускают существенные слова и т.д.;

- на узнавание объекта по невербальной (графической, символической) форме задания.

Для конструирования упражнений этих типов может составляться таблица истинности (для проверки выполнимости свойств объекта путем перебора возможных случаев).

Проиллюстрируем такой прием конструирования упражнений.

Определение: II Луч//, выходящий из вершины угла// и // делящий его на две равные части//, называется // биссектрисой угла//.

Логическая структура определения понятия биссектрисы угла такова:

( Луч - биссектриса угла)

(1) Луч выходит из вершины угла.

(2) Луч делит угол пополам.

Таблица истинности

Свойства

Выполнимость

(1) Луч выходит из вершины угла

+

+

-

- (не луч; не выходит из вершины)

(2) Луч делит угол пополам

+

-

+

- (не луч; не делит угол пополам)

Составим упражнения на узнавание для четырех выявленных случаев выполнимости свойств.

Какое из следующих предложений является определением биссектрисы угла?

1) Луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам, называется биссектрисой угла.

2) Если луч выходит из вершины угла, то его называют биссектрисой угла.

3) Луч, делящий угол пополам, называют биссектрисой угла.

4а) Линия, выходящая из вершины угла и делящая его на две равные части, называется биссектрисой угла.

4б) Луч, выходящий из вершины угла или делящий его пополам, называется биссектрисой угла.

На каком из рисунков (рис. 3.4) изображена биссектриса угла?

Рис 3.4

Названные типы упражнений на узнавание объекта позволяют формировать такое логическое действие, как «подведение под понятие», а также «подбор достаточных условий для того, чтобы объект подходил под понятие». В последнем случае к приводимым упражнениям добавляется требование о внесении изменений в условия.

Например; к заданию 2: известно, что некоторый луч исходит из вершины угла. Можно ли этот луч назвать биссектрисой? Если нет, то какое условие достаточно добавить, чтобы луч был биссектрисой угла?

13.Формулировка частных эвристик, позволяющих подводить объект под понятие.

14.Конструирование упражнений на овладение действием отыскания следствий на этапе «осознание, осмысление». Например,

• Известно, что число b является арифметическим квадратным корнем из числа с. Что отсюда следует по определению? (Ь > О и Ь1 =с). Можно продолжить эту цепочку и получить новое свойство, не отраженное в определении: с>0.

• Известно, что некоторая геометрическая фигура является биссектрисой угла АОВ. Назовите ее и перечислите свойства, которыми она обладает (луч, он выходит их точки О и делит угол пополам).

• Известно, что ABCD - ромб. Назовите следствия, вытекающие из данного условия в силу определения ромба (например, ABCD - параллелограмм, диагонали АС и BD в точке пересечения делятся пополам, смежные стороны равны и т.д.)

Упражнения названных видов позволяют формировать действия по переводу формулировки определения с естественного языка на графический (символический) и обратно. Кроме названных упражнений, полезно предлагать учащимся задания на приведение примеров, подходящих под понятие, и так называемых контрпримеров. В упражнениях на узнавание объектов по готовым рисункам (по графическим и символическим моделям) ценным является задание на вычленение объектов, принадлежащих данному понятию, на рассмотрение объектов с точки зрения других понятий. Посредством этих упражнений можно осуществить плавный переход на следующий этап в усвоении понятий — этап закрепления и применения.

Приведем пример такого типа упражнения: выделите на рис. 3.5 смежные углы.

Рис. 3.5

Это упражнение, по мнению Г.И. Саранцева [91, с. 65], «ориентировано на формирование умения выделять смежные углы на сложных рисунках. При этом осуществляется и овладение такими действиями, как переосмысление элементов чертежа с точки зрения других понятий (например, отрезки OA и ОС мыслятся как дополнительные лучи, а сторона OB треугольников АОВ и СОВ — как луч, являющийся общей стороной углов АОВ и ВОС и т.д.)»

15.Формулировка частных эвристик, позволяющих выводить следствия из принадлежности объекта понятию.

Основной недостаток описанной в этом разделе технологии состоит в том, что она требует большой затраты времени на уроке (как и в целом развивающее обучение). Поэтому учитель не может каждое понятие вводить таким образом. Эта технология важна на первом этапе по изучению новых видов определений понятий (в младших и средних классах). Когда же ученики осознают процесс образования понятия, накопят некоторый опыт самостоятельного конструирования их определений, овладеют интеллектуальными умениями, связанными с применением определений, то и сформулированное учителем определение они будут воспринимать уже осмысленно. Задания на диагностику уровней усвоения определения понятия будут приведены в следующем параграфе и главе 5.

3.3. Методика изучения теорем

Технология работы с теоремой

Теорема - математическое утверждение, истинность которого установлена путем доказательства. Доказательство - рассуждение по определенным правилам, обосновывающее какое-либо предложение.

Логические аспекты, связанные с понятиями теоремы, доказательства, достаточно подробно освещены в математической и методической литературе и мы на этом специально останавливаться не будем. Выделим лишь те методологические знания, познавательные средства, которые должны усваиваться школьниками в процессе изучения теорем:

1. Понятие теоремы.

2. Логическая структура формулировки теоремы: 2\ условие, заключение, разъяснительная часть;

22 простая теорема;

23 сложная теорема.

Поскольку у школьников возникают трудности, как в понимании сложной теоремы, так и в формулировке теорем, обратных сложной теореме, то выделим логические аспекты, встречающиеся в сложных теоремах:

а) в теореме сложное условие (несколько условий), связанное союзом «и»:

в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к его основанию, является и медианой;

б) в теореме сложное условие, связанное союзом «или»:

если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится дробь, равная данной;

в) сложное заключение, связанное союзом «и»:

в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны;

г) сложное заключение, связанное союзом «или»:

если AB- DC, эти векторы ненулевые, то ABCD - параллелограмм или же точки А, В, С, D лежат на одной прямой.

Когда учащиеся встречаются впервые с тем или иным видом сложной теоремы, то со стороны учителя должно быть соответствующее разъяснение значения каждого союза. В случаях же б) и в) методически целесообразно теорему переформулировать: разделить ее на две независимые теоремы.

3. Виды теорем: прямая, обратная, противоположная, обратная противоположной. Равносильность первой и четвертой, второй и третьей.

4. Необходимое и достаточное условие (критерий).

5. Сущность доказательства: понятие доказательства; понятие силлогизма (правила вывода); законы логики доказательства (п. 2. 5.).

6. Общелогические методы доказательства.

7. Частные методы (иногда их называют приемами), характерные для той или иной темы или нескольких тем: метод площадей, приемы дополнительных построений, общие способы решения уравнений и т. д.

8. Эвристические методы науки, приводящие к выдвижению гипотез, лежащие в основе поиска решения проблем (п. 2.4).

Овладение указанным содержанием - длительный процесс, охватывающий все годы обучения в школе. Его успех связан с решением еще одной сложной и важной методической проблемы - обучением доказательству.

На основании вышеизложенного можно ставить диагностируемые цели на уровнях «Знание», «Понимание», «Применение» (таблица 3.3).

Таблица 3.3

Диагностируемые учебные цели при изучении теорем

Категория учебных целей

Критерии достижения целей

Цель считается достигнутой, если ученик:

1. Знание

- Формулирует теорему;

- вставляет пропущенные слова в формулировке;

- воспроизводит доказательство;

- заполняет пропуски в доказательстве.

2. Понимание

- создает модель (графическую, символическую)к теореме, выделяет в ней условие и заключение;

- проводит доказательство при новой конфигурации и в новых обозначениях;

- описывает основную идею (прием, способ, метод) доказательства;

- указывает теоремы, которые доказывались этим же приемом;

- составляет план доказательства;

- выделяет базис доказательства;

- указывает, для решения каких задач можно использовать данную теорему;

- описывает способы рассуждений на этапах открытия закономерности, поиска доказательства.

3. Применение (в стандартных ситуациях)

- применяет теорему в новых, стандартных ситуациях;

- составляет дидактические задачи на применение теоремы;

- применяет метод, прием доказательства в решении задач и доказательстве других теорем.

Технология работы с теоремой может быть представлена следующей схемой (таблица 3.4). В работах Г.И.Саранцева показана роль упражнений в реализации каждого этапа. Мы же остановимся более детально на содержательном и рефлексивно-оценочном этапах и опишем, как можно организовать деятельность школьников с тем, чтобы они усваивали не только информационный компонент, но и овладевали познавательными средствами (деятельность учителя и учащихся на мотивационно-ориентировочном этапе была изложена в п. 3.1). Это возможно лишь в том случае, если учитель организует учебно-познавательную деятельность школьника адекватно тому, как шел процесс познания в математике. Следовательно, при изучении теорем школьники должны включаться в деятельность по «открытию» закономерности, отражаемой в изучаемой теореме, выдвижению гипотез, в поиск доказательства их истинности или опровержения, а также осознавать способы, методы и приемы, с помощью которых реализуется эта деятельность.

Таблица 3.4

Технологический процесс организации усвоения теорем

К числу эвристических методов науки, прежде всего, относятся наблюдение и сравнение, эксперимент и обобщение, неполная индукция, аналогия, интуиция. Сущность эвристических методов подробно раскрыта во второй главе. Все эти методы позволяют выдвинуть гипотезы, которые требуют установления их истинности или ложности. В то же время, к открытию математических фактов приводят и дедуктивные рассуждения. Проиллюстрируем сказанное на примерах.

Неполная индукция - это умозаключение, которое делается на основе рассмотрения некоторых частных случаев, причем число этих случаев не охватывает всего их множества. Естественно, что полученное таким образом умозаключение может быть только гипотезой. В курсе математики деятельность учащихся по выдвижению гипотез на основе неполной индукции организуется через моделирование, измерение, вычисление, построение и анализ хорошо выполненных рисунков. Так, теорему Виета учащиеся могут «открыть» путем правильно направленных учителем вычислений; измерением целесообразно воспользоваться в теме «признаки равенства треугольников», чтобы помочь учащимся сформулировать соответствующую гипотезу; моделированием можно установить, что сумма углов треугольника равна 180°; то, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, ребята могут увидеть на чертеже.

Для развития гибкости и критичности мышления важно уже на этом этапе варьировать ситуации, проводить их сравнение. Например, после того, как учащиеся на основе построения, измерения или моделирования (перегибания) «откроют» свойство высоты равнобедренного треугольника, проведенной из его вершины, целесообразно сразу же построить высоту к боковой стороне и показать, что она найденным для первой высоты свойством не обладает. И лишь после этого формулировать соответствующую теорему в форме гипотезы.

Аналогия на протяжении многих тысячелетий являлась основным методом научного исследования. Аналогия при изучении теорем может помочь школьникам как «открыть» теорему, так и найти способ доказательства, а возможно, и то, и другое.

Пример.

Приведем фрагмент урока, посвященного изучению площади трапеции. Учитель начинает с повторения опорного материала.

- Что такое площадь многоугольника (какими свойствами она обладает)?

- Площадь какого многоугольника мы можем находить, исходя из этого?

- Площадь какого многоугольника мы нашли на основании общих свойств площади?

- Какой прием мы использовали для вывода площади прямоугольника? (Достраивание до фигуры, площадь которой известна, до квадрата и разбиение ее на квадраты и прямоугольники).

Аналогичные вопросы задаются при повторении теорем о площади параллелограмма и треугольника. В процессе такой беседы на доске появляется постепенно следующая запись (рис. 3.6):

Рис. 3.6

Подводится итог:

1. Площадь каждой изученной фигуры выражается через сторону и высоту к ней.

2. Для вывода всех формул применяется один и тот же прием (указан выше).

- Какой четырехугольник изучали на прошлых уроках еще?

На рисунке появляется последняя фигура - трапеция. Формулируется учебная задача: выявить по каким элементам можно определить площадь трапеции и найти соответствующую формулу.

- Проводя аналогию с тем, что нам уже известно, как вы думаете, через какие элементы можно выразить площадь трапеции? (после обсуждения останавливаются на гипотезе, что, наверное, через основания a, b и высоту И).

- Попытайтесь найти эту закономерность, используя прием «достраивания» и «разбиения». У кого какие варианты, как можно проводить дополнительные построения, чтобы к нахождению площади трапеции можно было подойти через площади известных многоугольников?

Учащиеся начали предлагать свои варианты (рис. 3.7).

Рис.3.7

Всего было предложено восемь рисунков. После появления на доске первых трех, класс замер в ожидании новых предложений, и каждый следующий случай сопровождался одобрительным гулом и улыбками.

Далее учитель каждому ряду дал задание: найти площадь трапеции, зная а, Ь, и h по рисункам а), г), д) соответственно. В результате в классе доказали теорему тремя способами. Желающим было предложено дома найти свои способы доказательства.

Включение школьников в поисковую деятельность на основе неполной индукции и аналогии позволяет формировать у них не только логическое мышление, но и интуитивное, которое является необходимым компонентом творческого мышления независимо от их будущей профессиональной деятельности.

Дедуктивное умозаключение. К открытию новых закономерностей, доказательств могут привести и дедуктивные умозаключения. В этом случае доказательство идет впереди формулировки теорем.

Пример. Опишем еще один урок, который был проведен при изучении теоремы о свойстве отрезков пересекающихся хорд окружности.

Цель урока состояла в том, чтобы показать учащимся, как они должны рассуждать, чтобы прийти к самостоятельному получению новых фактов.

Учитель начинает урок со следующего вступления.

- Мы с вами доказываем уже сформулированные теоремы, кем-то открытые. Но как люди приходят к открытию новых фактов? На сегодняшнем уроке мы попытаемся получить новые теоремы сами, используя различные приемы рассуждений.

- Постройте окружность co(o.r), точку m внутри полученного круга и проведите через точку m две пересекающиеся хорды ab и cd (рис. 3.8).

Рис. 3.8

- Получили отрезки хорд ma и mb, mc и md. Дополнив рисунок, сформулируйте по нему задачи, кто какие может.

- Соедините а и С, в и d. Докажите, что zcab= zcdb,zacm= zdbm..

- Какое еще требование можно поставить к этому же условию?

- Докажите, что a ma с ~ a mdb.

- Какие следствия можно вывести из этого факта?

- Примените свойства пропорций:

- Сформулируйте полученную теорему (формулируется теорема так, как она приведена в учебнике).

- Но у настоящего исследователя на этом изучение рассматриваемой ситуации не заканчивается.

- Так как хорды AB и CD, проходящие через точку М, произвольны, а произведение MA - MB постоянно, то какой у вас теперь должен возникнуть вопрос?

- Чему равно это произведение?

- Чтобы ответить, мы должны в рассматриваемой геометрической ситуации выделить постоянные величины, фигуры.

Выясняется, что здесь постоянными являются точки О, М, а, следовательно, и расстояние d между ними, радиус R окружности. Проведя хорду EF (диаметр) и применяя для нее доказанную теорему, получаем, что МАМВ = ME-MF = R2 - d2.

Предлагается переформулировать доказанную теорему.

- Однако изучение вопроса пока еще полностью не закончено. Мы брали окружность (О, R) и точку M внутри ее круга. Как еще могут располагаться окружность и точка?

M принадлежит окружности и M лежит вне круга (О, R) (рис. 3.8 б, в).

- Рассмотрим последний случай. Проведем хорды AB и CD такие, чтобы MA и MC были секущими к окружности.

- Спрогнозируйте зависимость между отрезками MA и MB, MC и MD. Учащиеся, используя аналогию, выдвигают гипотезу, что MA - MB = MC - MD и доказывают этот факт. На вопрос учителя, чему же равно в этом случае каждое из произведений, были ответы, основанные на аналогии ( MA - MB - R2 - d2, где d = ОМ ), которые вызвали сразу же возражения части учащихся, заметивших, что в этом случае R2 -d2< 0 и такого не может быть. После рассуждений получили, что MA - MB = d2 - R2.

- Можно ли утверждать, что этот случай мы исследовали полностью?

- Какие прямые, проходящие через точку M и связанные с окружностью, мы во втором случае можем провести, а в первом нет? (Касательные МТ и МТ,).

Предлагается выяснить, связаны ли длины отрезков касательных с полученными величинами. В результате всех рассуждений приходят к формулировке теоремы: произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.

Во втором случае MA - MB = MA - MM = 0. Учитель обращает внимание учащихся на то, как меняется произведение MA - MB в зависимости от изменения положения точки M относительно окружности.

Подводится итог. Как можно прийти к "открытию" новых фактов в математике: чисто дедуктивно, логическим путем, прогнозируя результат на основе аналогии, рассматривая частные или все возможные случаи какого-либо явления. Этими же приемами вы пользуетесь и для самостоятельного поиска решения задач.

Проведенный урок способствовал умственному развитию учащихся во всех его аспектах: получили новые факты-теоремы, учитель раскрывал методологию математики (законы и приемы познания математических закономерностей), развивал интеллектуальные качества ума (гибкость, критичность мышления и др.). Учащиеся весь урок работали с интересом. Заметим здесь, что это может быть лишь в том случае, если учащиеся приучены к постановке со стороны учителя проблемных вопросов и активно и с интересом включаются в поиск ответов на них.

К получению новых теорем школьники могут придти самостоятельно, формулируя предложения, обратные доказанным теоремам и выясняя, являются они истинными или ложными.

В этой связи заметим, что изучение взаимно-обратных теорем важно вести одновременно, методом укрупнения дидактических единиц (УДЕ), прибегая иногда для этого и к реконструкции последовательности изложения материала в учебнике [121].

Дедуктивный способ «открытия» теорем в большей степени формирует дедуктивное, логическое мышление. Конечно, решая задачу, мы также делаем логические выводы из условия, но принципиальная разница в этих двух ситуациях заключается в том, что при решении задачи ученик знает требование, т. е. то, к чему должен придти, а в первом случае нет.

Важную роль в постановке учебной задачи, связанной с открытием теоремы, играет генетический способ. Проиллюстрируем его суть на примере изучения критериев вписанной и описанной окружностей четырехугольника.

Урок начинается со вступления учителя.

На уроках геометрии мы изучаем геометрические фигуры и их свойства, отношения между фигурами. В частности, мы изучили теорему о том, что всякий треугольник имеет описанную окружность и притом только одну (появляется рисунок). Изучая четырехугольники, у вас закономерно должен возникнуть вопрос. Всякий ли четырехугольник имеет описанную окружность?

На доске появляются два рисунка: четырехугольник, имеющий описанную окружность (строим окружность на ней четыре точки, определяющие четырехугольник), и четырехугольник, не имеющий описанной окружности (строим окружность, на ней три точки, определяющие треугольник, а четвертую - не принадлежащую окружности).

Итак, существуют четырехугольники, имеющие описанную окружность, и четырехугольники, ее не имеющие. Сформулируйте сами проблему, которую мы должны с вами исследовать.

Очень важным для интеллектуального развития школьников являются этапы поиска доказательства. При умело разработанной методике здесь имеются неограниченные возможности приобщения школьников к методам познания как общим, так и частным в их естественной взаимосвязи: анализу и синтезу, сравнению и аналогии, индукции и дедукции.

Выше уже были примеры, когда в основе поиска доказательства лежит аналогия, неполная индукция. Однако, чаще всего поиск ведется аналитиче-

ским, синтетическим или аналитико-синтетическим методами. Они достаточно подробно описаны во второй главе.

При разработке технологии этапа доказательства теорем важно обучать школьников как общим логическим методам доказательств, так и частным приемам. Учителю важно учитывать новизну для учащихся метода или приема доказательства. Методика обучения школьников новому методу состоит в том, что после проведенного доказательства конкретной теоремы учитель обращает внимание школьников на метод рассуждений, вместе с ними вскрывает особенности этого метода и проводит обобщение - выделяет сущность нового метода. Иллюстрацией является пример обучения методу полной индукции при изучении площади треугольника, приведенный в п. 2.3.

Еще один пример. Доказательство признака скрещивающихся прямых (если через одну из двух прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой, то такие прямые скрещиваются) проводится методом исчерпывающих проб. Его суть состоит в следующем:

- Как могут располагаться две прямые в пространстве? (Пересекаться, быть параллельными или же скрещиваться. Других случаев взаимного расположения двух прямых в пространстве нет).

- Предположим, что прямые пересекаются. Тогда нельзя через одну из них провести плоскость, параллельную второй прямой, т. к. последняя будет лежать в этой плоскости. Следовательно, этот случай невозможен.

Предположим, что прямые параллельны. Тогда через одну из них можно провести не одну плоскость, параллельную другой. Следовательно, этот случай также невозможен.

- Поскольку возможны только три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости, и мы доказали, что два из них невозможны, то делаем вывод, что данные в условии теоремы прямые скрещиваются.

После проведенного доказательства анализируется метод доказательства, вскрывается его сущность и сообщается ученикам его название.

Заметим здесь, что рассмотренного признака скрещивающихся прямых нет в некоторых школьных учебниках. Однако, если учитель целенаправленно осуществляет развитие школьников при обучении математике, четко осознает, что ему для этого следует делать, то при отборе материала, как теоретического, так и задачного, он будет стараться не упускать объективно заложенных в математическом содержании возможностей.

Аналогично, на конкретных доказательствах, следует разъяснять сущность аналитического, синтетического методов доказательств, метода от противного, а также частных, специфических методов (метод геометрических преобразований, векторный метод в доказательстве теорем, приемы дополнительных построений, связанные с той или иной фигурой, ситуацией) и т. д.

На рефлексивно-оценочном этапе происходит осознание (понимание) и запоминание как формулировки теоремы, так и ее доказательства. Управление этим этапом со стороны учителя осуществляется посредством специально сконструированной системы упражнений, заданий. Они должны носить

как репродуктивный характер, так и развивающий. Приведем возможные типы заданий на этом этапе.

1.Сопоставьте учебную задачу (цель), которую нам предстояло решить, с полученным результатом. Сделайте вывод.

2. Сформулируйте доказанную теорему. Выделите условие, заключение.

3. Верно ли предложение: (учитель модифицирует формулировку, добавляя или опуская некоторые слова, которые: а) изменяют смысл доказанной теоремы; б) не изменяют).

4. Создайте другой рисунок и обозначения к доказанной теореме (моделирование теоремы).

5. Проведите доказательство теоремы:

а) с теми же обозначениями, но при новом расположении чертежа;

б) при том же расположении чертежа, но в новых обозначениях.

6. Сформулируйте обратное (противоположное) утверждение.

7. Выделите основную идею (прием) доказательства.

8. Приведите примеры доказательства теорем или решенных задач, где бы использовался этот прием.

9. Составьте план доказательства теоремы (выделите основные этапы доказательства).

10. Выделите базис доказательства (опорные теоремы, аксиомы, определения).

11. Найдите другой способ доказательства (возможны указания со стороны учителя).

12. Примените теорему к решению следующих задач (дается цикл дидактических задач на прямое применение, задачи с недостающими данными, с избыточными, где данные следует подкорректировать, прежде чем применить теорему).

13. Для решения каких задач можно использовать доказанную теорему (прогнозирование, составление частных эвристик)? Например: доказательство равенства углов, отрезков, параллельность прямых и т. д.

14. С помощью каких еще теорем можно решать указанные типы задач? (Перечисляются в этом случае все известные ранее способы и добавляется новый).

15. Составьте сами задачи на применение теоремы (на первых порах можно по готовому рисунку).

16. Опишите, как вы рассуждали, когда отыскивали:

а) закономерность, отраженную в формулировке;

б) когда отыскивали доказательство. 17.Оцените свою деятельность.

Отметим, что отраженная в таблице 3.4 технология работы с теоремой, равно как и указанные выше виды заданий на этапе осознания, не может применяться при изучении каждой теоремы. Но она может служить основой для конструирования системы уроков с позиций развивающего обучения. В

то же время ее реализация закладывает у школьников базу для самостоятельного решения как познавательных, так и развивающих задач.

Подготовка учителя к уроку

Подготовка к уроку (или серии уроков) начинается с логического и дидактического анализа ее формулировки и способа доказательства.

Логический анализ предполагает выполнение учителем следующих учебных действий:

1. Анализ формулировки:

а) установление формы формулировки;

б) выделение условия, заключения, разъяснительной части;

в) установление того, является данное предложение простым или сложным;

г) если теорема сложная, то выясняется, можно ли ее переформулировать в виде двух теорем.

2. Выяснение логического смысла теоремы: существование, свойство, признак (критерий) понятия.

3. Формулировка обратного (противоположного) предложения и установление его истинности.

4. Анализ доказательства: выяснение идеи, метода, приема доказательства, установление их новизны для учащихся, отыскание других приемов доказательства.

5. Исследование математической ситуации, рассмотрение всех возможных случаев.

6. Установление связи теоремы с ранее изученным, ее роли в построении курса.

Далее учитель проводит дидактический анализ, который предполагает выполнение таких действий:

7. Выявление опорного материала и установление необходимости его повторения; методика организации повторения.

8. Установление необходимости мотивации изучаемой теоремы и подбор для нее соответствующего материала.

9. Возможность создания проблемной ситуации; выбор способа (пути) создания проблемной ситуации. Постановка учебной задачи.

10. Установление наличия у школьников базы знаний (в т.ч. и познавательных средств) для участия в разрешении проблемы с соответствующим уровнем самостоятельности.

11. Выбор гипотетико-дедуктивных методов, способов получения новых знаний: «открытие» теоремы; поиск доказательства; доказательство.

12. Установление возможности изучения обратной (противоположной) теоремы. Формулировка критерия понятия, переформулировка его определения.

13. Выбор формы записи доказательства, а также установление необходимости записи доказательства.

14. Установление возможности обучения новому методу доказательства.

15. Подбор системы упражнений для рефлексивно-оценочной части (см. выше).

Тестовые задания на диагностику уровней усвоения определения понятия, формулировки теоремы и ее доказательства

Задания разработаны на примере темы «Равенство треугольников» по следующей причине.

Основная особенность содержания темы «Равенство треугольников» состоит в том, что здесь закладываются основы методологических знаний практически всего курса математики. Трудность усвоения материала обуславливается прежде всего тем, что учащиеся на данном этапе обучения недостаточно владеют необходимыми познавательными средствами. Усилия же учителя зачастую направлены в значительной степени на то, чтобы школьники усвоили информационный компонент математического содержания: воспроизводили формулировки признаков равенства треугольников и их доказательства без должного понимания сути доказательства, опираясь, в основном, на память. Не умаляя важности знания этих фактов, отметим, что не меньших усилий от учителя требует и овладение учащимися второй системой знаний -приемами и способами математической деятельности, методологическими знаниями. В этой теме впервые вводятся такие методологические знания, как понятие теоремы и ее доказательства. Для того, чтобы ученик осмысленно усваивал конкретные теоремы и их доказательства на различных этапах обучения, он должен:

- знать и понимать логическое строение теоремы;

- понимать логическую структуру определения понятия;

- уметь пользоваться определением понятий: выполнять действия подведения под понятие и выведения следствий;

- уметь применять определение понятия, формулировки теорем и аксиом для обоснования своих умозаключений;

- осознать сущность доказательства;

- владеть общими логическими методами доказательств;

- понимать, какие умозаключения являются достоверными, а какие приводят только к гипотезе (правдоподобным);

- владеть частными методами и приемами, характерными для той или иной темы (в нашем случае - приемами доказательства равенства треугольников, отрезков и углов, нахождения длин отрезков и градусных мер углов на основе равенства треугольников).

Поэтому основная учебная задача изучения темы может быть сформулирована следующим образом: овладение школьниками сущностью доказательства. Заметим, что эта цель является долговременной, она не может быть

достигнута полностью не только в рамках изучения рассматриваемой темы, но и в пределах школьного курса математики.

В соответствии со сказанным, выделим диагностируемые развивающие цели изучения темы (в скобках указаны номера тестовых заданий, которые направлены на проверку уровня достижения каждой цели).

По мере изучения темы ученик должен:

- понимать логическую структуру определения понятия (задания 1, 2);

- уметь выполнять действия подведения под понятие и выведение следствий (задания 1-5,7, 9);

- понимать логическую структуру теоремы; уметь выделять условие и заключение теоремы (задания 6, 7);

- понимать сущность доказательства математических утверждений: осознавать отдельные умозаключения (задания 6, 7), их последовательность и обоснование (задания 8, 9);

- уметь решать задачи на доказательство равенства треугольников на основе каждого из трех признаков (задания 10 - 12);

- владеть приемами сравнения отрезков и углов на основании равенства треугольников (задание 13).

Учитывая отмеченные выше особенности темы и трудности ее изучения школьниками, для проверки уровня усвоения общих методологических знаний целесообразно выбрать в теме несложные в логическом плане формулировки определения понятий, формулировки теорем и их доказательства. Нам представляется, что наиболее приемлемыми в этом аспекте являются определение равнобедренного треугольника и теорема (включая и доказательство) о свойстве углов равнобедренного треугольника.

Тестовые задания к теме «Равенство треугольников»

1. Из приведенных ниже высказываний а) - г) выбери то, которое является определением равнобедренного треугольника:

а) треугольник называется равнобедренным, если у него два угла равны;

б) треугольник называется равнобедренным, если у него три стороны равны;

в) многоугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны;

г) треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.

2. Построй равнобедренный треугольник, обозначь его, укажи боковые стороны и основание.

3. Из приведенных на рисунке 3.9 а) - д) выбери равнобедренный треугольник, пользуясь определением:

Рис. 3.9

4. Известно, что треугольник МОР - равнобедренный, с основанием MP. Следует ли отсюда, на основании определения, что

а) MP = PO;

б) МО = ОР;

в) ZM = АО\

г) МО = MP?

В каждом случае дай один из ответов: «да», «нет».

5. Чтобы установить, пользуясь определением, что фигура является равнобедренным треугольником, достаточно установить, что

а) это многоугольник;

б) две стороны равны;

в) два угла равны;

г) это треугольник.

Из условий а) - г) выбери нужные.

6. Выберите верные предложения из списка а) - д), пользуясь теоремой о свойстве равнобедренного треугольника:

а) в равнобедренном треугольнике есть два равных угла;

б) в равнобедренном треугольнике любые два угла равны;

в) в равнобедренном треугольнике углы при боковой стороне равны;

г) если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

д) если треугольник равнобедренный, то в нем углы при основании равны.

7. Запиши условие и заключение теоремы о свойстве равнобедренного треугольника МОЛ если:

а) МО = MP;

б) МО = ОР;

в) MP = OP.

8. Из набора а) - д) выбери те, которые отражают основные этапы доказательства теоремы о свойстве углов равнобедренного треугольника (рис. 3.10) и расположи их в нужном порядке:

а) равенство треугольников MOD и POD;

б) равенство углов MOD и DOP;

в) построение биссектрисы угла МОР;

г) построение биссектрисы угла ОМР;

д) равенство углов M и Р.

Рис. 3.10

9. Из набора а) ... з) выбери те теоретические положения, которые входят в обоснование доказательства теоремы о свойстве углов равнобедренного треугольника:

а) определение равных треугольников;

б) определение равнобедренного треугольника;

в) первый признак равенства треугольников;

г) определение медианы треугольника;

д) определение биссектрисы треугольника;

е) свойство смежных углов;

ж) свойство сторон равных треугольников, лежащих против равных углов;

з) свойство углов равных треугольников, лежащих против равных сторон.

10. Пользуясь первым признаком равенства треугольников, выберите равные треугольники (рис. 3.11 а) - г)):

Рис.3.11

11. Пользуясь вторым признаком равенства треугольников, выберите равные треугольники (рис. 3.12, а) - г)):

Рис. 3.12

12. Пользуясь третьим признаком равенства треугольников, выберите равные треугольники (рис. 3.13, а) - г)):

Рис. 3.13

13. Можно ли утверждать, что:

а) ZB = ZO (рис. 3.11, а);

б) ZO-ZK (рис. 3.11,6);

в) ЕК= ОР (рис. 3.11, г);

г)ST= VY (рис. 3.12, в);

д) ZC = ZD (рис. 3.12, г);

е) ZK = ZZ (рис. 3.13, а);

ж) АВ= A,Bj (рис. 3.13, б);

з) ZK = ZM (рис. 3.13. в)?

В каждом случае дайте один из ответов: «да», «нет».

Обучение доказательству

Проблема обучения школьников доказательству теорем и обоснованию решения математических задач была актуальной на протяжении всей истории развития математического образования. Однако «в разные периоды развития теории и методики обучения математике вкладывали различный смысл в содержание этого понятия», - пишет Г.И. Саранцев [90, с. 73]. Примерно до 60-х годов прошлого столетия оно отождествлялось с воспроизведением готовых доказательств. В лучшем случае - с их пониманием. Однако уже в работах В.В. Репьева (50-60-е гг. XX столетия) речь дёт о том, чтобы учащихся вовлекать в самостоятельный поиск доказательств. Наиболее созвучно современным тенденциям образования разъяснил это понятие в 70-е годы А.А. Столяр: «Под обучением доказательству мы понимаем обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательства, а не обучение воспроизведению и заучиванию готовых доказательств» [99, с. 145]. Обучать доказательствам - значит формировать знания и умения, которые лежат в основе нахождения и проведения доказательств. Эти знания и умения определяются как информационным компонентам содержания, так и методологическими знаниями, познавательными средствами.

Г.И. Саранцев убедительно показывает, что важной составляющей в работе учителя по обучению школьников доказательству является формирование потребности в логических обоснованиях.

В соответствии со сказанным, выделим основные знания и умения, которые следует формировать у учащихся, обучая их доказательству.

1.Формирование потребности в логических обоснованиях. Это скорее психологическая категория, которая явно не связана со знаниями и умениями. В то же время она определяется теорией познания, ролью математического метода в познании действительности. И здесь уместно руководствоваться мыслями известного математика - философа М. Клайна, изложенными в его работах, в частности, в книге «Математика. Поиск истины». В ней автор анализирует непостижимость эффективности математики в познании объективной реальности. Как мы познаем окружающий нас реальный мир? Сначала нам приходится полагаться на наши органы чувств, зрение, осязание, вкус, обоняние. Чувственное восприятие реального мира много говорит о нём. Но наши органы чувств, во-первых, слишком грубы и порождают иллюзии (общеизвестные примеры, связанные ошибочным зрительным восприятием, их следует привести целиком), а во-вторых, многие явления окружающего мира вообще скрыты от наших органов чувств. Действительно, наше восприятие не говорит нам о том, что Земля круглая, что она вращается вокруг Солнца и своей оси, мы ничего не можем сказать о природе сил, удерживающих планеты на их орбитах и т.д.

На смену чувственным восприятиям приходит интуиция, которая действует за пределами чувственного опыта. Но и интуиция очень часто приводит к ошибочным выводам. «Что мы можем противопоставить иллюзиям и ошибочной интуиции? Наш самый эффективный ответ состоит в использова-

нии математики», - пишет М. Клайн [42, с. 46]. И далее показывает силу и мощь математического, дедуктивного метода рассуждения.

Приведённые рассуждения доступны пониманию учащихся V-VI классов, особенно, если они сопровождаются общеизвестными примерами, связанными с иллюзией зрения. Потребность ученика в логических обоснованиях может сформироваться лишь в том случае, если он осознаёт необходимость этих обоснований.

Началам дедуктивного мышления следует обучать учащихся 5-6 классов путём

а) требования обосновывать свои действия (вычисления, построения) с помощью введённых правил, сформулированных явно определений понятий (биссектриса угла, правильные и неправильные дроби и т.п.) и их свойств;

б) упражнений, формирующих умение подводить под понятие, выводить следствия, строить силлогизмы;

в) обучения методам обоснования или опровержения рассуждений.

Уже на этом этапе по мере возможности следует учить учеников отличать правдоподобные умозаключения от достоверных. Там, где в 5-6 классах формулируются явно определения понятий, их свойства и признаки (в частности, в темах, связанных с делимостью чисел), следует строить процесс обучения в соответствии с описанными ранее технологиями.

2. Понимание сущности доказательства. Впервые понятия «теорема», «доказательство теорем» вводятся обычно в курсе геометрии VII класса, и чаще всего это делается авторами попутно, как бы между строк, без должных разъяснений.

Понятие «теорема» вводится в теме «Первый признак равенства треугольников», и сразу же идёт довольно сложное для понимания школьниками его доказательство.

Традиционная трудность в усвоении этого материала объясняется прежде всего тем, что новым в изучаемом содержании является как информационный компонент (первый признак равенства треугольников и его непростое доказательство), так и новые методологические знания, связанные с понятием теоремы, сущностью доказательства, построением правил вывода. В этой связи представляется целесообразным познакомить школьников с понятием теоремы и ее доказательством заранее, на простом примере (свойство смежных или вертикальных углов), посвятив этому отдельный урок. Учитывая, что доказательство первого признака равенства треугольников само по себе довольно сложно и то, что школьники пока еще не владеют познавательными средствами, его изучение целесообразно проводить или традиционным объяснительно-иллюстративным методом, или методом проблемного изложения, не вовлекая пока учащихся в самостоятельный поиск. Важно, чтобы учащиеся прослушали образцы рассуждений учителя, в частности, образец проведения доказательства. При этом целесообразно правильно строить силлогизм: - большая посылка, малая посылка, вывод, - но не наоборот. В учебниках по методике часто рекомендуется записывать доказательство в два столбца:

Такая запись будет уместна, когда школьники осознают суть доказательства на последующих этапах обучения.

Заучивания изложенного учителем доказательства следует требовать лишь тогда, когда оно понято учениками.

После изучения первых теорем решаются задачи, в том числе и на доказательство. Практика показывает, что ученики на этой стадии обучения ещё не могут оперировать формулировкой теоремы, не умеют её применять. Действительно, изучив тему «Равенство треугольников», значительная часть школьников в контрольной работе, решая задачу на доказательство равенства треугольников, пишет: «Наложим треугольник... на треугольник...», т.е. использует приём доказательства теоремы, но не саму теорему. Поэтому нужна система упражнений, обучающая приёму «применение теоремы», т.е. действиям выведения следствий и подведения под понятие.

Приведём один из возможных вариантов такой системы на применение первого признака равенства треугольников. На доске изображена серия рисунков (рис. 3.14):

Рис. 3.14

Задания учителя.

- Как доказать, что треугольники ABC и MNP на рис. 3.14 а) равны?

- Возможны два варианта ответов: наложение и применение теоремы. Учитель объясняет преимущество и смысл второго способа.

- Равны ли треугольники, изображённые на рисунке б); на рисунке в)?

- Как изменить данные на рисунке в), чтобы возможно было применить теорему о первом признаке равенства треугольников?

Для слабых учеников, возможно, следует заготовить специальные карточки, в которых отражен соответствующий алгоритм применения теоремы.

Такие упражнения формируют действие подведения под понятие. Здесь же мы учим учащихся строить правильно силлогизмы.

3. Умение оперировать определениями понятии, формулировками теорем и аксиом, правилами. В его состав входят:

- понимание смысла каждого термина, входящего в формулировку;

- понимание логической структуры определения понятия (род, видовые отличия, их конъюнктивная или дизъюнктивная связь, наличие и смысл кванторов, умение формулировать отрицание понятия);

- умение оперировать определением понятия: подводить под понятие, выводить следствия, переформулировывать определение в частные эвристики;

- умение сравнивать объекты по указанному признаку, выделять существенные основания для их сравнения;

- умение проводить классификацию понятий по заданному и самостоятельно найденному основанию;

- понимание логической структуры теоремы, умение формулировать обратное, противоположное, противоположное обратному утверждения и понимание логической связи между этими четырьмя предложениями;

- умение оперировать формулировкой теоремы, конструировать частные эвристики.

4.Понимание сущности доказательства, полноценности аргументации.

5.Владение дедуктивными методами доказательств и опровержений: синтетическим, аналитическим, от противного, методом исчерпывающих проб, полной индукции, контрапозиции, методом математической индукции.

6. Владение эвристической составляющей математической деятельности:

- умение выявлять закономерности и устанавливать аналогии;

- умение выдвигать гипотезы на основе аналогии, неполной индукции, обобщения, конкретизации, пространственного воображения, интуиции как для постановки проблем, так и для их решения.

7. Умение отличать достоверные выводы от правдоподобных, вероятностных.

8. Владение математическим языком (математической терминологией, символикой), умение четко, последовательно, лаконично, логично выражать свои мысли как устно, так и письменно.

9. Умение анализировать представленные доказательства:

- находить логические пробелы в свёрнутом доказательстве и проводить его со всеми обоснованиями;

- находить логическую ошибку в «доказательстве», предложенном учителем, проведённом учащимися (обоснование доказательств), разгадать предложенный софизм и т.д.

10. Умение «схватывать» и выделять идею доказательства, его основные этапы.

11. Умение самостоятельно находить и проводить доказательство. Состав умений, лежащих в основе доказательства, можно продолжать.

Мы же указали лишь наиболее значимые. Методика их формирования отражена в технологии работы с определениями математических понятий, теоремами, алгоритмами, задачами (две последние будут изложены в последующих параграфах). Другие приемы можно найти в работах В.А. Далингера, Г.И. Саранцева [22, 89].

В заключение заметим, что методика обучения доказательствам - это и методика формирования культуры мышления школьников (п. 2.6).

3.4. Технология работы с правилом (алгоритмом)

Математическое правило (алгоритм)

Раскроем содержание понятий правила и алгоритма.

Понятие «алгоритм» является основным, неопределяемым. В работе [52, С.60] дано следующее описание алгоритма на содержательно-интуитивном уровне: «... понятное предписание, указывающее, какие операции и в какой последовательности необходимо выполнять с данными, чтобы решить любую задачу данного типа».

Алгоритм характеризуется следующими свойствами:

- определенности - каждым человеком однозначно истолковывается последовательность и содержание операций, входящих в алгоритм;

- массовости - с помощью данного алгоритма могут быть решены все задачи определенного типа;

- элементарности и дискретности шагов - в алгоритме выделяются отдельные и законченные - дискретные шаги (операции), каждые из которых исполнитель может выполнить, так как каждый шаг для него является элементарной операцией;

- результативности - точное выполнение всех операций алгоритма при решении задач данного типа приводит к определенному результату;

- оптимальности - алгоритм всегда ведет к решению однотипных задач по рациональному пути;

- детерминированности - действия исполнителя алгоритма строго заданы.

Таким образом, любой алгоритм описывает общий метод решения однотипных задач. Другими словами, он является формой выражения общего метода.

Правило есть «свернутый» алгоритм. Любой алгоритм можно назвать правилом, но не любое правило - алгоритмом. Цели применения алгоритмов и правил совпадают: формирование общих способов решения однотипных задач. С точки зрения методики обучения решению однотипных задач их на-

значение различно. Алгоритм является более эффективным средством управления познавательной деятельностью учащихся на начальном этапе вводимого метода, так как он имеет развернутый вид. Правило является средством управления деятельностью учащихся на заключительном этапе - при свертывании отдельных операций алгоритма, оно способствует лучшему запоминанию способа решения задач.

Правила излагаются в различных формах: словесной, символьной, графической. За каждым правилом легко просматривается его теоретический базис, который может состоять или из одной теоремы, или одного определения, или формулы. Такие правила Л.М. Фридман и Е.Н. Турецкий называют соответственно правилами-теоремами, правилами-определениями, правилами-тождествами [111]. Обычно каждое последующее правило включает в себя отдельные ранее изученные правила. Например, правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции включает в себя правило нахождения стационарных точек.

В школьных учебниках математики содержится большое число правил, особенно много в учебниках математики для 5-6 классов. С другой стороны, многие правила отсутствуют, поэтому их нужно самостоятельно извлекать из соответствующих теорем (тождеств), определений, задач.

При решении нестандартной задачи мы применяем несколько правил. Следовательно, от усвоения учащимися правил зависит успех решения задач.

Технология обучения правилам

Наблюдая за деятельностью учителей на уроках математики, мы замечаем довольно часто такую последовательность изучения правила:

повторение изученных правил —> сообщение учащимся нового правила в готовом виде (обычно в той форме, в какой оно представлено в школьном учебнике) —> образец решения 2-3 упражнений по данному правилу —> выполнение заданий из учебника (как правило, присутствует фронтальная форма организации учебной деятельности обучаемых). При таком подходе все усилия учителя направлены в основном на усвоение информационной компоненты содержания правила. Таким образом, учитель строит свои действия и действия школьников в рамках объяснительно-репродуктивного типа обучения, в котором отводится довольно пассивная роль учащимся.

В школьной практике наравне с сообщением учащимся нового правила в готовом виде наблюдается и вариант его введения путем обобщения частных случаев.

Так, изучая тему "Вынесение общего множителя за скобки", учителя предлагают выполнить группы упражнений:

1) 2т + 2л, 8 — 4х, ... (вынесение общего числового множителя),

2) ах—ay, cd + bc,... (вынесение общего буквенного множителя);

3)9a2b-12ab3,...(вынесение общего числового и буквенного множителя);

4)6рк-3р, ... (после вынесения общего множителя появляется в скобках « 1 ») и т. д.

После решения примеров формулируют правило.

Известный психолог В.В. Давыдов так оценивает этот путь: «... имея дело с частными задачами, школьники овладевают столь же частными способами их решения (лишь в процессе тренировки учащиеся усваивают некоторый общий способ их решения). Усвоение этого способа происходит путем перехода мысли от частного к общему» [23, с. 158]. В. В. Давыдов предлагает принципиально иной путь формирования у школьников обобщенного способа решения однотипных задач, в ходе которого у них развивается теоретическое мышление в отличие от эмпирического. Суть этого подхода заключается в следующем. Ученикам предлагается задача, основной целью которой является обнаружение, «открытие» обобщенного способа решения однотипных задач. Совместно с учителем они решают ее, затем анализируют условие и решение, отвлекаясь при этом от частных ее особенностей. В результате анализа, абстракции появляется искомый способ решения. Образно этот путь В.В. Давыдов называет «обобщением с места». Оба эти пути представлены в виде следующих схем (рис. 3.15):

Рис. 3.15

Как было отмечено выше, важнейшим компонентом учебной деятельности является «учебная задача». В. В. Давыдов так ее трактует:

«Учебная задача требует от школьников: 1) анализа ее условий с целью обнаружения в них некоторого общего отношения, имеющего закономерную связь с различными его проявлениями, т. е. построения содержательной абстракции и содержательного обобщения; 2) выведения на основе этой абстракции и этого обобщения некоторых частных отношений и их объединения (синтеза) в целостный объект, т. е. построения его «клеточки» и мысленного конкретного объекта; 3) овладения в этом аналитико-синтетическом процессе общим способом мысленного построения изучаемого объекта» [23, с. 157-158].

В теории формирования умственных действий (психологическая школа П.Я. Гальперина [101, 115]) алгоритм, правило есть не что иное как ориенти-

ровочная основа умственного действия, соответствующая общему методу решения однотипных задач. В ней выделяются следующие этапы.

I этап - ознакомление учащихся с ориентировочной основой формируемого действия. Ориентировочная основа действия может быть предложена учащимся в готовом виде или создаваться ими совместно с учителем или самостоятельно. Особое внимание П.Я. Гальперин обращает на ориентировочную основу, тип которой характеризуется полнотой, высоким уровнем обобщения, а главное - учащиеся сами участвуют в ее создании. Этот тип ориентировочной основы действия направлен на формирование у школьников теоретического мышления.

II этап - формирование действия в материальном (или материализованном) виде. Учащиеся выполняют действие во внешней, материальной или материализованной форме с развернутым выполнением всех входящих в него операций. На этом этапе учащиеся усваивают содержание действия, все его операции, а учитель имеет возможность контролировать и корректировать выполнение каждой операции, входящей в это действие.

III этап - формирование внешнеречевого действия. На этом этапе все операции проговариваются учеником в форме внешней речи (громкой речи -в младших классах, письменной записи - в средних и старших классах). В случае затруднений ученик пользуется ориентировочной основой действия. Этот этап краткосрочный, иногда и вовсе может быть опущен.

IV этап - формирование действия с проговариванием отдельных его операций. Ученик по памяти воспроизводит конкретные операции, но лишь при надобности имеет возможность взглянуть на имеющуюся у него ориентировочную основу.

V этап - формирование действия как внутреннего, умственного. На этом этапе действие выполняется во внутренней речи, автоматизируется, становится мало доступным для наблюдателя.

Следовательно, сначала ученик выполняет новое действие как внешнее, с какими-то материализованными объектами; и лишь постепенно это действие становится внутренним, психическим, умственным. Вот этот процесс перехода внешнего, предметного действия во внутренний умственный план, психологи называют интериоризацией.

Представленная ниже технология обучения правилам соответствует общим положениям, развиваемым в психологической теории учебной деятельности (где ученик «... выступает как ее подлинный субъект, проявляя инициативу и самостоятельность в принятии и решении учебных задач» [23, с. 185]) и основным положениям теории формирования умственных действий [101, 115].

Схематично данная технология представлена в таблице 3.5.

Технологию организации усвоения правил можно представить в виде следующей таблицы.

Таблица 3.5

Охарактеризуем каждый из выделенных в таблице этапов, а затем проиллюстрируем их на примере обучения правилу умножения десятичных дробей.

Мотивационно-ориентировочная часть

Этап актуализации. Цели: актуализация прежнего опыта (опорных знаний, методов, способов, приемов), необходимого для введения и обоснования правила, выявление того, освоен ли учащимися пооперационный состав действия, входящий в состав нового правила; создание «ситуации успеха» для последующей деятельности.

Основным средством актуализации являются специальные упражнения, которые учителю нетрудно составить самому, исходя из логического анализа правила. Итогом данного этапа является ответ ученика на вопрос: «Готов ли я к изучению нового?» Поэтому обычно практикуется индивидуальное выполнение упражнений с последующей фронтальной проверкой.

Этап мотивации. Цель: формирование у каждого учащегося личной потребности в последующей деятельности, связанной с «открытием» нового правила.

Создав «ситуацию успеха» на первом этапе, учитель предлагает ребятам конкретную учебно-практическую задачу, которая по внешним признакам знакома им. Однако ее решение вызывает серьезные затруднения или приводит к нерациональным операциям. Так в сознании учащихся создается «ситуация интеллектуального конфликта» (хочу, но не могу!), которая и формирует потребность в дальнейшей деятельности.

Сначала каждый ученик пытается решить задачу самостоятельно. После неудачных попыток он ищет помощь у других. Таким образом на уроке возникает сотрудничество учащихся.

Этап постановки учебной задачи. Цель: непосредственное подведение учащегося к необходимости «открытия» нового правила.

Ученики анализируют в группах затруднения, возникшие в связи с конкретной учебно-практической задачей. Тем самым они пытаются отделить свои знания от незнаний. Этот этап обычно заканчивается ответами школьников на вопрос: «Что же мы должны узнать, чтобы решить последнюю задачу?»

Итак, учащиеся сами формулируют цели урока, которые фиксируются на доске и в их тетрадях, например, в такой форме: «Открыть правило ...»

Этап планирования. Цель: составление программы дальнейшей деятельности, направленной на открытие нового правила.

Выясняем коллективно характеристические свойства данных и искомых объектов, затем выделяем последовательность вопросов, поиск ответов на которые приведет к «открытию» правила.

Операционно-познавательная часть

Этап преобразования условия задачи. Цель: преобразование условия задачи таким образом, чтобы можно было установить связи между характеристическими свойствами данных и искомых объектов.

Этап моделирования правила. Цель: создание модели правила, ее анализ и уточнение.

Учащиеся пытаются зафиксировать выявленные на предыдущем этапе характеристические свойства данных и искомых объектов в виде некоторой модели (графической или символьной). На этом этапе урока желательно прибегнуть к групповой форме [108]. Каждая группа обычно создает свою модель. Результаты фиксируются на отдельных листах, которые по окончании работы крепятся к доске. Затем учитель организует межгрупповую дискуссию, в ходе которой выделяется лучшая модель правила (если она имеется среди предложенных) или корректируются предложенные. Таким образом рождается коллективная модель правила. Заметим, что учитель тоже может предлагать свои модели: в одних случаях верные (особенно на первых порах), в других - неверные (для того, чтобы оживить дискуссию). В процессе обучения ребята постепенно становятся более самостоятельными при создании моделей новых правил и поэтому начинают предлагать различные виды моделей, которые все менее нуждаются в уточнении.

Этап формулирования правила. Цель: получение словесной формулировки правила.

После того как выявлена и уточнена модель правила, учащиеся пытаются в группах сформулировать словами само правило. Теперь модель выступает в роли внешней опоры для формулирования правила. Полезно сравнить отредактированный вариант формулировки правила с тем, который предложен в школьном учебнике. Организация данного этапа способствует развитию речевых умений учащихся.

Этап построения алгоритма. Цель: выделить последовательность элементарных операций, из которых состоит действие на основе правила. Анализируя правило, ученики выделяют элементарные операции, входящие в состав правила и их последовательность. Фиксируют выделенную последовательность операций в виде схемы или текст правила разбивают на части, соответствующие той или иной операции, части отделяются одна от другой вертикальной чертой.

Например, квадрат суммы двух чисел | равен квадрату первого числа| плюс удвоенное произведение первого числа на второе] плюс квадрат второго числа.

Каждое правило желательно фиксировать по возможности в нескольких формах. Записи могут быть вынесены на плакат, кодопозитив, в отдельную тетрадь - справочник учащегося.

Этап осознания правила (алгоритма) в процессе решения дидактических задач. Цель работы учащихся на данном этапе: осознать, осмыслить правило при решении различных дидактических задач, а также его запомнить.

Очевидно, основным средством обучения на этом этапе служит система упражнений.

Наибольшую трудность, особенно для начинающего учителя, представляет разработка системы упражнений. Действительно, на уроках нередко наблюдаем такую картину, особенно характерную для уроков алгебры: после введения правила учитель указывает список упражнений из учебника для классной работы, например, под четными номерами, для домашней — под нечетными. Заметим, что такой подход к выбору упражнений рекомендуют авторы многих методических пособий. Как правило, учитель использует при этом фронтальную форму организации учебной деятельности.

При первом взгляде обстановка на уроке вполне нормальная, как будто каждый ученик занят выполнением упражнений. Однако более пристальные наблюдения позволяют выделить разные группы ребят. Одни переписывают, едва успевая за теми, кто работает у доски. Другие, у кого быстрая реакция и неплохо обстоит дело с техникой вычисления, после фронтального выполнения первого задания на доске механически переносят идеи его решения на серию однотипных упражнений. Дойдя до нового вида задания, они начинают испытывать затруднения, но даже не пытаются напрячь свои умственные силы, так как знают, что скоро появится его решение на доске. Затем они опять быстро выполняют серию однотипных упражнений и т. д. Третьи, у ко-

го обычно завышена самооценка, «ускакали» вперед, совершив порой грубые ошибки. Все призывы учителя сверить свое решение с записями на доске обходят их стороной. И лишь небольшая группа ребят самостоятельно выполняет упражнения в своем темпе; сверяя свои ответы с результатами, которые постепенно появляются на доске.

Порой возникает и такая ситуация. Учитель запланировал определенное число упражнений, но оно оказалось явно завышенным. Тогда учитель, чтобы успеть выполнить намеченное, начинает торопить ребят или переносит часть упражнений (в конце урока они обычно сложнее) в домашнее задание.

Такая картина, думаем, знакома многим. В связи с этим необходимо обсудить следующие вопросы:

1) Каково должно быть содержание упражнений?

2) Какова при этом последовательность их выполнения?

3) Какие спланировать организационные формы выполнения упражнений?

Попытаемся ответить на эти вопросы, опираясь на исследования Я.И.Груденова и Г.И.Саранцева [19, 91] по проблеме построения и реализации системы упражнений в обучении математике.

При отборе содержания упражнений учителю следует руководствоваться определенными принципами, а именно: полноты, однотипности, контрпримеров, сравнения, непрерывного повторения, вариативности, единственного различия.

Дадим краткую их характеристику и проиллюстрируем на примере правила умножения десятичных дробей.

Принцип полноты. Система упражнений удовлетворяет принципу полноты, если она содержит все виды заданий на данное правило, включая и особенные случаи.

Так, в соответствии с этим принципом упражнения на правило умножения десятичных дробей должны содержать по крайней мере четыре вида заданий: 1) цифр в произведении достаточно для отделения десятичных знаков; 2) не хватает цифр для целой части; 3) не хватает цифр для целой и дробной частей; 4) умножение десятичной дроби на натуральное число.

Вполне очевидны последствия несоблюдения принципа полноты. К сожалению, в учебниках не всегда реализован этот принцип.

Принцип однотипности. На каждый вид задания должно быть не одно упражнение. Отметим, что однотипные упражнения особенно необходимы для слабых учеников и в меньшей мере для сильных. Значит, на каждый из четырех видов (см. предыдущий пример) учитель должен подобрать достаточное число однотипных упражнений, ориентируясь на уровни развития учащихся класса. Однако, последовательное выполнение однотипных упражнений приводит к снижению активности мыслительной деятельности учащихся, так как при решении лишь первого примера они опираются на соответствующее правило. Поэтому нужно применять и другие принципы, в частности принципы контрпримеров и сравнения.

Принцип контрпримеров. Контрпример — это любая задача, которая провоцирует учащихся на ошибку. Соблюдение этого принципа ведет к воспитанию положительной мотивации и вместе с тем способствует углубленному пониманию правила. Я.И. Груденов по этому поводу пишет: «В тех классах, где контрпримеры начинают использовать систематически, они воспринимаются учащимися как своеобразная игра, в которой побеждают более внимательные и сообразительные» [19, с. 157].

Заметим, что многие учебники практически не содержат заданий, провоцирующих учащихся на ошибку. Значит, учителю нужно самому подбирать или создавать такие упражнения. Приведем пример упражнения, которое соответствует обсуждаемому принципу.

Пример. Определите, в каких примерах допущены ошибки, если известно, что 72 • 37 = 2664:

Принцип сравнения. Применение этого принципа предполагает включение некоторого ряда взаимосвязанных упражнений, когда хотят подчеркнуть их сходство или различие, в частности упражнения на прямые и обратные операции, действия.

Классическим примером может служить совместное решение задач следующих трех видов: 1) нахождение процентов от числа, 2) нахождение числа по его проценту; 3) нахождение процентного отношения.

Вернемся к правилу умножения десятичных дробей.

Пример. Поставьте запятую во втором множителе так, чтобы равенство было верным: 0,52 • 167 = 8,684.

Здесь ученикам придется выполнять обратную операцию: из числа десятичных знаков произведения вычитать число десятичных знаков первого множителя.

Принцип непрерывного повторения. Система упражнений содержит задачи из предшествующих разделов. Цель их включения: во-первых, осуществлять систематическое повторение изученных действий, особенно тех, при выполнении которых учащимися допускаются ошибки, во-вторых, устранять отрицательное влияние однотипности упражнений (ослабление внимания, снижение интереса и т. д.).

Обратимся к показательному примеру — правилу умножения одночленов. Полезно, например, в такие упражнения, как:

и т. д., включать упражнения на сложение одночленов:

Заметим, что последние примеры соответствуют одновременно и принципам контрпримеров, и сравнения. Пример. Найти сумму двух чисел 6,09 и 3,1.

Принцип вариативности. Этот принцип реализуется двояко: с одной стороны, видоизменение формы выдачи заданий, с другой — разнообразие

числовых и буквенных компонентов алгебраических выражений, а в упражнениях по геометрии варьирование рисунков и обозначений.

Так, в одном из школьных учебников даны 34 упражнения на правило умножения десятичных дробей с одной формулировкой задания: вычисли.

Полезно учащихся включать в игру «Кто больше придумает формулировок к примеру: 0,720 • 370 = 266,4?» Вот некоторые из них:

1) вычислить; 2) найти значение числового выражения; 3) найти произведение; 4) найти число, которое в 370 раз больше данного; 5) выполнить умножение и т. д.

Принцип единственного различия. Сущность этого принципа заключается в сохранении всех элементов формы упражнений при переходе от одного упражнения к другому, кроме одного.

Пример. Если проанализировать все операции, входящие в правило умножения десятичных дробей, то новой является подсчет числа десятичных знаков в произведении. Следовательно, надо отобрать группу упражнений на осмысление этой операции. После заданий на вычисление произведения чисел 4,302 и 5,6 сразу же предлагаем серию упражнений с «плавающими» запятыми: а) 4,302 • 56; б) 4,302 • 0,0056; в) 4,302 • 0,0056.

Заметим, что не надо формально подходить к отбору содержания упражнений. В зависимости от новой темы, цели урока и других соображений учитель может реализовать не все принципы, в особенности принципы непрерывного повторения и сравнения, а иногда одно упражнение, как было замечено выше, удовлетворяет нескольким принципам.

Опираясь на вышеуказанные принципы, учитель отбирает упражнения на осознание, осмысление того или иного правила.

Теперь встает проблема их упорядочивания.

Очевидно, надо исходить из принципа от простого к сложному. Раскрывать его содержание не будем, так как само название говорит за себя.

Еще одним важным принципом для определения последовательности упражнений служит принцип цикличности.

Чтобы понять его важность, обратимся опять к теории поэтапного формирования умственных действий.

Каждому этапу формирования умственного действия соответствует определенный цикл упражнений, который, в первую очередь, удовлетворяет принципу полноты. Там, где разумно, при подборе упражнений первого цикла учитывают принцип единственного различия, при подборе упражнений других циклов — либо принцип контрпримеров, либо принцип непрерывного повторения, либо принцип сравнения. Следовательно, однотипные упражнения находятся, в разных циклах, тем самым снимается отрицательный фактор одновременного выполнения однотипных упражнений. При переходе от цикла к циклу сложность упражнений возрастает, порядок упражнений внутри каждого цикла нарочито меняется.

В соответствии с вышеперечисленными принципами построим систему упражнений для этапа осознания правила умножения десятичных дробей.

I цикл

Выполните умножение, сопоставляя каждое свое действие с записанным правилом:

1) 4,302 . 5,6; 2) 4,302 *56; 3) 4,302 • 0,056; 4) 4,302 • 0,0056.

II цикл

Вычислите, вслух обоснуйте каждый свой шаг, опираясь на правило: 1) 6,17 • 0,034; 2) 0,056 • 1,05; 3) 0,72 • 37; 4) 6,09 + 3,1.

III цикл

Работа организуется в парах, где каждый по очереди объясняет другому решение, при этом правило закрывается.

1. Поставьте запятую в произведении: 0,67 • 120 = 804;

2. Поставьте запятую во втором множителе: 0,52 • 167=8,684;

3. Поставьте запятые в обоих множителях: 3*6 = 0,0018 (Это упражнение интересно тем, что оно имеет бесконечное множество вариантов).

IV цикл

Этот цикл упражнений ребята выполняют уже индивидуально, затем организуется проверка их решений.

Определите, в каких примерах допущены ошибки, если известно, что 72 • 37 = 2664:

1) 7,2 • 0,37 = 266,4; 2) 7,20 • 0,37 = 0,2664; 3) 0,072 • 370 = 2,664; 4) 0,720 • 370 = 26,64.

Заметим, что структурирование упражнений по циклам позволяет учителю чувствовать себя на уроке более комфортно, на него не оказывает сильное влияние временной аспект, так как уже в первом цикле исследуются все особые случаи применения нового правила (алгоритма).

К числу циклов не надо подходить формально, на отработку некоторых правил в отдельных классах достаточно бывает и трех циклов, иногда их число больше. Кроме того, не всегда все циклы удается реализовать на одном уроке.

Теперь перейдем к обсуждению форм организации учебной деятельности учащихся.

При выполнении упражнений первого цикла, очевидно, целесообразно использовать фронтальную форму работы, так как каждое упражнение цикла имеет свои особенности. Получив первое упражнение цикла (например, 4,302 • 5,6), ученик прочитывает вслух первую операцию, входящую в состав действия (записать данные множители, не обращая внимания на запятые), выполняет ее (4302 • 56), затем переходит ко второй операции и так до тех пор, пока не выполнит все записанные операции.

Решение упражнений второго цикла полезно вести с комментированием, что дает возможность учителю осуществлять пооперационный контроль за действиями учащихся.

Упражнения третьего и четвертого циклов учащиеся могут выполнять в парах или самостоятельно. Конечно, здесь требуется оперативная проверка результатов их работы. На этих этапах правило закрывается, работа идет по

памяти, происходит постепенно интериоризация действия во внутренний план.

Общеизвестно, что решение и составление задач учащимися - это два связанных между собой процесса, которые направлены на качественное усвоение знаний. В связи с этим можно предложитьученикам следующее домашнее задание

Приведем для примера два его варианта.

1. Составить и выполнить примеры на правило умножения десятичных дробей на каждый случай, т. е. четыре примера.

2. Составить краткий справочник возможных ошибок при умножении десятичных дробей [10].

В отличие от обычного домашнего задания здесь мало рутинной работы для учащихся, есть возможность проявить оригинальность, самостоятельность, выдумку. Кроме того, оно индивидуально. В классе появляется атмосфера состязательности, что еще полнее мобилизует волевые, умственные и эмоциональные силы учащихся.

Рефлексивно-оценочная часть

Организация рефлексивно-оценочной части в технологии усвоения правила очень важна для субъектов деятельности: они «прокручивают» весь ход рассуждений, отметая все лишнее и выделяя самое главное, что нужно осознать и запомнить. Знания учеников начинают приобретать системный характер. Опишем кратко этапы рефлексивно-оценочной части усвоения правила.

Этап соотнесения полученных результатов с учебной деятельностью. Цель: вызвать чувство удовлетворения у ребят от проведенного исследования.

Ученики воспроизводят по требованию учителя поставленную цель в начале урока, формулируют полученное правило (алгоритм), сравнивают результаты с целью урока. Этот этап важен в плане формирования положительных интеллектуальных эмоций: «Поставили в начале урока цель и ее достигли!» У ребят появляется уверенность в себе, у них формируются познавательные мотивы к математической деятельности.

Этап осмысления прежнего опыта, с помощью которого получено новое правило. Цель: осознать теоретический базис и познавательные средства, которые помогли «открыть» новое правило.

Анализируя способ получения правила, ученики перечисляют те теоретические положения, которые входят в обоснование нового правила: определения, теоремы, изученные ранее правила. Кроме того, они выделяют познавательные средства (методы, приемы, способы), которые позволили догадаться до нового правила, а затем и обосновать его.

Этап прогнозирования применения правила. Цель: спроектировать систему задач на применение нового правила.

Ученики получают ответы на такие вопросы: Зачем я изучил это правило? В каких случаях, ситуациях я могу его применить? Ученики вовлекаются в составление различных упражнений, заданий на применение правила.

Со временем составление задач обращается в своеобразную игру между ними. В эту игру вовлекается и учитель: он демонстрирует свои варианты заданий, составленных им самостоятельно или подобранных из различных сборников задач. Особый интерес представляют задачи «с ловушками» или «с нахождением ошибок». Ребята ждут с нетерпением: чьи задачи учитель включит в урок (сегодня или завтра)? в самостоятельную или контрольную работу в дальнейшем? Это для них является лучшей похвалой со стороны учителя. В ходе такой работы ученики усваивают смыслы изучаемого правила, следовательно, у них повышается мотивация к занятиям по математике.

Этапы контроля (самоконтроля) усвоения правша. Цели: помочь учащимся овладеть способами и критериями самоконтроля; определить уровни усвоения правила; выявить «точечные» затруднения в усвоении правила.

Учитель подбирает или составляет сам систему заданий, с помощью которой можно диагностировать усвоение правила. Каждый ученик выполняет самостоятельно предложенные задания, а затем подвергает пооперационному контролю выполнение каждого из них, фиксируя свои выводы рядом с решением в виде последовательности знаков:

+ (если уверен в правильности выполненной операции),

- (если не знает, как выполнить операцию),

± (если не уверен в правильности выполненной операции).

Проверяя данную работу, учитель не исправляет допущенные учеником ошибки, но фиксирует их в своей тетради. Кроме того, сопоставляет последовательность знаков пооперационного контроля ученика с выполненными им заданиями. На основе проведенного содержательного анализа он составляет вторую работу в виде тестов, где к каждому заданию предлагаются несколько вариантов решений (правильных, неправильных, нерациональных), которые взяты непосредственно из первой работы самих учащихся.

Ученик индивидуально отвечает на вопросы теста. Потом учащиеся уточняют свои ответы в группах, а учитель организует совместное обсуждение результатов (если в этом есть необходимость). В заключение учитель раздает тетради с первой работой, ученик выполняет заново те задания, в которых, как он считает, допустил ошибки. Только теперь учитель ставит оценку, сравнивая результаты двух выполненных работ, чтобы убедиться в возможности ребят корректировать свою деятельность.

Этап оценки (самооценки) учебной деятельности. Цель: каждому ученику оценить свою учебную деятельность на уроке.

На этом этапе урока ученик кратко получает ответы на следующие вопросы: Чем был полезен для меня сегодняшний урок? Что особенно было интересно? Какие были «точечные» затруднения? С чем они были связаны? Какое мое участие в получении нового правила? Какие позитивные изменения произошли в моем мышлении? и т. д. В заключение учитель оценивает работу учащихся, особо выделяет тех учеников, у которых произошел «прорыв» или в создании модели правила, или в ее «озвучивании», или в составлении системы упражнений, заданий на непосредственное усвоение правила и дальнейшего его применения.

Естественно, что реализовать на одном уроке все перечисленные этапы учебной деятельности практически невозможно. Обычно на первом уроке происходит «открытие правила». Этап осознания правила достаточно длительный по времени, он реализуется на нескольких уроках. Заключительным этапам также посвящаются отдельные уроки.

Сформулируем диагностируемые учебные цели при изучении правила на уровнях «знание», «понимание» и «применение» и опишем критерии их достижения через наблюдаемые действия учащихся (табл. 3.6) в соответствии с вышеизложенным материалом.

Таблица 3.6

Диагностируемые учебные цели при изучении правила

Категории учебных целей

Критерии достижения целей

Цель считается достигнутой, если ученик:

1. Знание

— воспроизводит различные модели правила;

— вставляет пропущенные слова в формулировке;

— выбирает верную формулировку среди предложенных;

— самостоятельно формулирует правило.

2.Понимание

— раскрывает смысл правила своими словами;

— восстанавливает последовательность нужных действий в соответствии с правилом из предложенного набора действий (который может быть и избыточным);

— переводит формулировку правила с естественного языка на символический или графический и обратно;

— выделяет последовательность элементарных операций в соответствии с правилом, если оно не было сформулировано при изучении в алгоритмической форме;

— указывает теоретический базис правила;

— выбирает среди предложенных упражнения, решаемые с помощью данного правила;

— выделяет среди предложенных ситуации, в которых применимо правило, но в явном виде оно не задано;

— составляет задания на применение правила.

3.Применение

— выполняет действие по правилу;

— применяет правило к решению конкретного цикла упражнений, соответствующих принципу полноты;

— обнаруживает ошибки в упражнениях с «ловушками»;

— составляет краткий справочник с возможными ошибками.

Проиллюстрируем предложенную технологию на примере урока, на котором учащиеся «открывают» правило умножения десятичных дробей.

Учебная задача урока: совместно с учениками «открыть» правило умножения десятичных дробей, анализируя результат умножения десятичных дробей в виде обыкновенных.

Диагностируемые цели:

По окончании урока каждый ученик:

- воспроизводит одну из моделей правила;

- выделяет последовательность элементарных операций, входящих в правило;

- понимает, что правило умножения десятичных дробей включает в себя правило умножения натуральных чисел;

- раскрывает смысл правила своими словами;

- понимает происхождение правила;

- понимает, что при установке запятой в произведении десятичных дробей возможны четыре различных ситуации.

Мотивационно-ориентировочная часть

Замечание. Ребятам уже известно правило умножения обыкновенных дробей, которое будет использовано при «открытии» нового правила.

Актуализация. Учитель задает классу следующие вопросы (ответы учащихся приведены в скобках).

- Какому числовому множеству принадлежат следующие числа: 5461;

(Множеству обыкновенных дробей; множеству десятичных дробей.)

- Поясните свой ответ. (Все записанные числа можно представить в виде обыкновенных дробей, например:

Кроме того, их можно представить и в виде десятичных дробей, например: 5461 = 5461,0.)

- Сколько десятичных знаков содержат данные числа? Отделите запятой, считая справа налево, три десятичных знака в числе 5461. (5,461.) А теперь отделите запятой три знака, считая слева направо. (546,1.)

- Сравните 5,461 и 546,1. Сделайте вывод. (Положение запятой не зависит от того, из каких цифр состоит исходное натуральное число. Это положение определяется только тем, сколько цифр надо отделить и в каком порядке считать отделяемые цифры: слева направо или справа налево.)

- Отделите запятой, считая справа налево, в числе 5461 четыре десятичных знака, а потом пять десятичных знаков. (0,5461 и 0,05461.)

- Сколько десятичных знаков вместе в полученных числах?

- Найдите сумму чисел 1,27 и 4,3. Сформулируйте соответствующее правило. На какое правило оно похоже? (Правило сложения десятичных дробей полностью аналогично правилу сложения натуральных чисел.)

- Вычислите произведение натуральных чисел 127 и 43. (5461.)

Мотивация. Класс выполняет следующее задание.

- Найдите, какой десятичной дроби равняется произведение чисел 1,27 и 4,3.

Ребята выполняют указанное действие в группах (парах) на отдельных листах:

Некоторые группы (пары) учеников могут получить неверные ответы, связанные с формальным переносом правила сложения дробей:

Следует обсудить с ребятами все возникшие неверные результаты с целью развития у них критичности мышления. Кроме того, у школьников повышается интерес к выполнению задания. В нашей практике имел место такой случай. Один из учеников перемножил две десятичные дроби, используя соответствующее правило, которое папа сообщил ему дома, накануне. Учащиеся в группе были возмущены таким подходом к исследованию проблемы: «Какое право ты имеешь использовать правило, если его не получил сам?» Этот случайно подслушанный разговор между учениками был «бальзамом» для нас: значит, ребята приняли технологию обучения, построенную на деятельностной основе!

Далее, вместе с учителем, ученики выясняют, сколько операций пришлось выполнить, чтобы найти произведение двух десятичных дробей: перевести десятичные дроби в обыкновенные, получить неправильные дроби, выполнить умножение числителей, затем знаменателей, перевести неправильную дробь в смешанное число, записать обыкновенную дробь в виде десятичной - всего шесть операций. Так ученики убеждаются в нерациональности полученного ими способа нахождения произведения двух десятичных дробей. Теперь учитель предлагает вспомнить ребятам, когда они имели аналогичную ситуацию. (Когда впервые находили сумму десятичных дробей, не зная соответствующего правила).

Постановка учебной задачи. Вопросы учителя:

- Какая же сейчас перед нами возникает задача? (Найти правило умножения десятичных дробей, не прибегая к обыкновенным дробям.)

- Как сформулировать тему урока? (Ученики записывают в тетрадях тему урока «Правило умножения десятичных дробей».)

Планирование дальнейшего проходит в виде фронтальной беседы:

- Мы убедились, что при умножении двух десятичных дробей получается также десятичная дробь: 1,27 • 4,3 = 5,461. Следовательно, правило умножения десятичных дробей должно отвечать на вопрос: как получить десятичную дробь в произведении, если известны множители, являющиеся десятичными дробями?

- Вспомним: как из натурального числа можно получить десятичную дробь? (Надо отделить несколько цифр числа запятой.)

- Следовательно, правило умножения десятичных дробей должно состоять из двух частей. На какие же два вопроса должно отвечать правило умножения десятичных дробей? (Первый вопрос: как получить натуральное число в произведении? Второй вопрос: как в нем поставить запятую?)

- Какая часть правила у вас не вызывает затруднений? (Мы знаем, как ответить на первый вопрос, т.е. как получить натуральное число путем умножения двух натуральных чисел без учета запятых.)

Операционно-познавательная часть

Преобразование условий задачи.

- Итак, нам надо изучить вопрос о связи положений запятой в данных множителях с положением запятой в произведении. Так как мы убедились, что цифровая информация не оказывает влияния на положение запятой, то, по-видимому, чтобы получить ответ на второй вопрос, нужно использовать некоторую схематическую запись трех чисел.

Моделирование правила. В группах ученики пытаются перейти к схематической записи, используя самые произвольные знаки: кружочки, квадратики, звездочки, но не цифры. Их записи подвергаются совместному анализу. В группах идет обсуждение и «рождение» модели правила.

По требованию учителя результаты групп, зафиксированные на отдельных листах, выносятся на доску для межгрупповой дискуссии. На доске возникают примерно такие же записи, как на рис. 3.16.

Рис. 3.16

Итогом дискуссии является уточненная модель правила, например:

Теперь учитель предлагает ребятам сформулировать правило умножения десятичных дробей словами.

Этапы формулирования правила и построения алгоритма.

- Сформулируйте правило умножения десятичных дробей, опираясь на полученную его модель.

- Сравните сформулированное правило с соответствующим текстом учебника.

- Какие элементарные операции входят в правило?

- Постройте это правило в виде алгоритма.

- Какая операция алгоритма является для вас новой? (Постановка запятой в произведении.) Этап осознания правила.

- Выполните умножение, сопоставляя каждое свое действие с записанным правилом.

Учащиеся выполняют первый цикл вышеприведенных упражнений «с плавающей запятой».

Рефлексивно-оценочная часть Этап соотнесения полученных результатов с учебной задачей.

- Какую задачу мы поставили перед собой в начале урока?

- Можно ли считать, что мы ее решили?

Этап осмысления прежнего опыта, с помощью которого получено новое правило.

- Какие знания нам помогли «открыть» новое правило? (правило умножения обыкновенных дробей, правило умножения натуральных чисел, правила представления десятичных дробей в виде обыкновенных и обыкновенных дробей в виде десятичных дробей.)

- Применяя эти правила, мы смогли перемножить две конкретные десятичные дроби и получить конкретный результат. Какой же познавательный опыт помог вам перейти от конкретного примера к правилу? (Изучение этого примера.)

- Действительно, вы изучали, анализировали конкретную ситуацию, все свое внимание сосредоточили при этом на изучении запятых в множителях и произведении. Результаты анализа постепенно отражали на модели правша.

Слова, записанные курсивом, выносятся на доску.

Этап прогнозирования применения правила.

- Можно ли утверждать, что правило умножения десятичных дробей мы выучили? Умеем его применять для любых десятичных дробей?

- Какие случаи оказались для вас более сложными?

- Каковы цели следующих уроков?

В результате обсуждения ответов на поставленные вопросы приходим к выводам, что надо выучить правило дома, на следующем уроке его учиться применять, в особенности, для случаев с «дополнительными» нулями, после чего провести самостоятельную работу, с помощью которой можно проверить усвоение правила умножения десятичных дробей. И только потом можно перейти к применению правила при решении более сложных заданий (например, решение уравнений и текстовых задач). Очевидно, что описанная технология обучения потребует, особенно вначале, несколько больших затрат времени. Однако эти затраты окупаются, как показывает опыт, формированием положительных характеристик действия, а именно правильностью, большей самостоятельностью, устойчивостью, обобщенностью, а также способностью к переносу умения на новые ситуации.

Как показывает практика, у школьников, которые обучались по данной технологии, формировалась корректная математическая речь, они непроизвольно запоминали правила, им не нужно было большого числа упражнений на их усвоение.

Отметим, что много вычислительных правил сосредоточено в курсе математики V-VI классов, — явно больше, чем других дидактических единиц. Следовательно, от качества усвоения правил и умственного развития учащихся при этом, а именно на это нацелена описанная технология, будет зависеть далее успех изучения курса математики в целом.

Подготовка учителя к работе с правилом на уроке

Готовясь к уроку, на котором будет изучаться правило, учитель должен провести его логический и дидактический анализы.

Логический анализ правила предполагает выполнение учителем следующих предварительных действий.

1. Выделение последовательности элементарных операций, входящих в правило. Построение алгоритма в соответствии с его характеристическими свойствами.

2. Теоретическое обоснование правила.

3. Установление связей нового правила с ранее изученными.

4. Исследование возможностей дальнейшего применения правила. Дидактический анализ правила предполагает выполнение таких действий.

5. Разработка системы упражнений для этапа актуализации, опираясь на теоретический базис правила и его связи с ранее изученными правилами. Методика организации повторения.

6. Исследование возможностей создания проблемной ситуации.

7. Четкая формулировка учебной задачи. Проектирование участия школьников в постановке учебной задачи.

8. Установление возможностей участия учеников в «открытии» правила. Конструирование различных моделей правила, выбор наиболее оптимальной модели.

9. Составление системы упражнений для этапа осознания правила, опираясь на соответствующие принципы. Формы организации деятельности учащихся на этом этапе.

10. Подбор вопросов, заданий для организации рефлексивно-оценочной деятельности учащихся и для домашней работы.

11. Составление самостоятельной работы с целью проверки усвоения правила.

В заключение отметим, что описанная технология работы с правилом (алгоритмом) была реализована при создании рабочих тетрадей [17, 18].

3.5. Методика обучения школьников решению математических задач

Понятие задачи. Роль и функции задач в обучении

Термин «задача» широко используется и в жизни, и в различных науках, и в учебных дисциплинах: психологии, логике, педагогике, математике, физике и т.д. Этим термином обозначаются многие и разные понятия. Поэтому очень трудно дать общее определение понятию «задача». Даже в пределах математики нет однозначного толкования этого понятия.

В различных областях знания (психология, педагогика, математика, методика математики) проблему содержания понятия «задача» исследовали Г.А. Балл, Ю.М. Колягин, Л.М. Фридман, В.И. Крупич, А.Ф. Эсаулов, П.М. Эрдниев и многие другие. Анализ точек зрения перечисленных авторов на исследуемую проблему проведён Г.И. Саранцевым в работах «Общая методика преподавания математики» и «Упражнения в обучении математике» [90,91].

Отличие в подходах авторов к содержанию понятия «задача» состоит, главным образом, в том, что они по-разному подходят к отношению между субъектом и задачей. Одни из них рассматривают задачу как ситуацию, в которой действует субъект, в других трактовках субъект не включается в понятие задачи [90, с. 120-121].

Подводя итог проведённому анализу, Г.И. Саранцев отмечает следующее: наиболее распространённым является использование термина «задача» для обозначения ситуации, включающей цель и условия для её достижения. Для понятия задачи характерны две стороны: объективная и субъективная. К первой относятся предмет действия, требование, место в системе задач, логическая структура решения задачи, определённость и неопределённность условия и т.д., ко второй - способы и средства решения [90, с. 123].

К понятию «задача» тесно примыкают понятия «вопрос», «проблемная ситуация», «упражнение». Сотношения между понятиями «задача» и «вопрос», «задача» и «проблемная ситуация» рассматриваются в работах Л.М. Фридмана, СЛ. Рубинштейна. Соотношение между понятиями «задача» и «упражнение» устанавливает Г.И. Саранцев в монографии, специально посвященной упражнениям в обучении математике [91]. В частности, он делает вывод о том, что «упражнения - многоаспектное явление обучения, обладающее следующими основными признаками: 1) быть носителем действий, адекватных содержанию обучения математике; 2) являться средством целенаправленного формирования знаний, умений и навыков; 3) быть способом организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся; 4) являться одной из форм реализации методов обучения; 5) служить средством связи теории с практикой» [91, с. 17].

Сопоставляя наборы задач в школьных учебниках по математике с перечисленными признаками, можно согласиться с выводами Г.И. Саранцева о том, что «в контексте учебников математики школьные задачи являются упражнениями» [91, с. 127].

Подводя итоги сказанному выше и сохраняя традиции, под задачей мы будем понимать задание, которое должен выполнить субъект, или вопрос, на который он должен найти ответ, опираясь на указанные условия и все вытекающие из них следствия.

Таким образом, в любой задаче есть условие, т.е. исходные данные, заключение, т.е. требование, которое нужно выполнить, и субъект, который это требование выполняет.

Задачи, решаемые в школьном курсе математики, весьма разнообразны. Поэтому естественно желание сгруппировать их каким-то образом. Это важно, в частности, для систематизации методов и приемов решения, для разработки методики обучения учащихся решению задач.

В методической литературе встречаются разделения задач на виды по различным основаниям. Опыт показывает, что наиболее приемлемым является выделение следующих видов задач:

- по характеру требования - на вычисление или нахождение; на доказательство или объяснение; на построение или преобразование;

- по отношению к способу решения - стандартные и нестандартные;

- по характеру объектов - математические и реальные (или с практическим содержанием).

Совершенно очевидно, что такое разделение, как и никакое другое, не является классификацией.

Охарактеризуем только понятия стандартной и нестандартной задачи, т.к. содержание других понятий ясно из названий видов.

Процесс решения задачи есть последовательность элементарных действий, последовательность решения одношаговых задач. Математические задачи, для решения которых в школьном курсе математики имеются готовые правила (в любой форме) или они непосредственно следуют из каких-либо определений или теорем, определяющих программу решения этих задач в

виде последовательности шагов, принято называть стандартными. Нестандартные задачи - это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения [111, с.с. 43, 48].

Рассмотрим примеры.

Задача 1. Разложить многочлен (а + 2Ь)" - 9а2 на множители.

Задача 2. Доказать, что при любом натуральном п число (7п + 1)" - (2п - 4)2 делится на 15.

Задача 3. Доказать, что при любых значениях а верно неравенство (За-2)(а + 2) <(! + 2а)2.

Задачи 1 и 2 относятся к теме «Формула разности квадратов». Для решения задачи 1 достаточно применить формулу и известные учащимся способы упрощения выражений. Это пример стандартной задачи. Задача 2 -пример нестандартной задачи.

Если задачу 3 решать первой среди задач такого типа, то здесь последовательность элементарных шагов, составляющих решение, нужно отыскивать. Однако последующие задачи такого типа становятся стандартными.

Четко отделить нестандартную задачу от стандартной на практике не всегда возможно. Показательна в этом плане ситуация с задачей 2. Рассмотрим еще задачу.

Задача 4. Доказать, что при любых а и b верно неравенство а2 + b2+ 1 >ab+ Ь+ а.

На первый взгляд, имеем стандартную задачу на доказательство неравенств на основе определения «число А больше числа В». Когда же составим разность между левой и правой частями, то замечаем, что установление ее знака - задача нестандартная, хотя на момент изучения темы в школе разрешимая.

С понятием «задача» связаны два процесса, два вида деятельности: описанный выше процесс решения и составление задачи. Эти два процесса взаимно обратны. Они характеризуются противоположными ходами мысли. Составление задачи есть синтез, объединение разрозненных частей в единое целое. Решение задачи, каким бы методом оно не осуществлялось, есть анализ, расчленение целого на части. Остановимся на составлении и решении задач подробнее.

Известно довольно много приёмов составления задач.

Во-первых, математическая задача может появиться в результате моделирования реально существующего процесса или явления, например, в порядке решения проблемы производственного, социального, бытового характера.

Во-вторых, возможен эмпирический путь возникновения задачи - на основе наблюдения, опыта, анализа, сравнения, измерений, вычислений, построений и т.д.

В-третьих, между понятиями, их определениями, свойствами, признаками существуют взаимосвязи. Они и могут быть использованы для составления задач. Так, для задачи можно составить эквивалентную, если в ней усло-

вие или требование или то и другое одновременно заменить равносильным. Для задачи можно составить аналогичную по сюжету, по методу или используемым в решении приемам. Можно составить задачу, обратную данной, и часто не одну. Возможны задачи-обобщения, задачи-конкретизации и т.д. Используя различные приёмы, можно составлять цепочки взаимосвязанных задач.

Составленная задача должна быть литературно грамотно сформулированной и корректной. Последнее означает, что сформулированное предложение имеет смысл, условие, заключение и результат решения непротиворечивы и число элементов в условии необходимо и достаточно для того, чтобы задача имела решение. В предлагаемых для решения задачах последнее требование не всегда выполняется. Чтобы привлечь внимание учащихся к какой-либо стороне математической деятельности, иногда учителя и авторы задач используют задачи с недостающими или избыточными данными.

Обратимся теперь к процессу решения задачи.

Известный американский математик и педагог Д.Пойа выделяет в решении задачи четыре этапа: 1) понимание постановки задачи; 2) составление плана решения; 3) осуществление плана; 4) взгляд назад [78].

Л.М. Фридман и Е.Н. Турецкий разбивают процесс решения на восемь этапов, которые содержат перечисленные выше или детализируют их: 1) анализ задачи; 2) схематическая запись; 3) поиск способа решения; 4) осуществление решения; 5) проверка решения; 6) исследование задачи; 7) формулирование ответа; 8) анализ решения задачи [111, с.29].

Сущность и назначение каждого из этапов, познавательные средства, с помощью которых они реализуются, обсуждаются в работах Д.Пойа, Л.М. Фридмана и Е.Н. Турецкого.

Например, выделим хотя бы некоторые познавательные средства, которые задействованы на этапах поиска плана решения и осуществления плана.

На основе анализа условия и требования задачи и, может быть, и переформулирования задачу необходимо отнести к тому или иному виду и осознать сущность решения задач данного вида. Если оказывается, что задача решается по известному алгоритму, то план найден. Как видим, здесь используются анализ, моделирование, сравнение, аналогия.

Если знакомого образца нет, то поиск решения идет методом анализа или методом синтеза. При этом выполняются действия подведения под понятие, выведения следствий, переформулирование задачи, а следовательно, действие моделирования. В поиске решения могут быть использованы специальные методы и приемы, знакомые по решению других задач. Прием или метод решения могут подсказать измерения и вычисления с конкретными данными, рисунок к геометрической задаче, выполненные по всем правилам с использованием соответствующих инструментов (хотя в общем случае это требование совсем необязательно) и другие средства.

При осуществлении плана необходимо понимание решения задачи как процесса, понимание роли законов логики в решении задач, знание и умение

применять эти законы, знание и умение применять специальные содержательные методы решения задач.

Таким образом, анализ процессов составления и решения задач показывает, что и в том, и в другом задействованы самые разные мыслительные операции, приемы мышления, методы рассуждений, т.е. в них участвуют и эвристические, и логические, и речевые умения субъекта. Это, с одной стороны, подчеркивает роль задач в обучении, а с другой, показывает, чему следует обучать учащихся конкретно, если иметь в виду обучение решению задач.

Роль и функции задач в обучении математике исследуются в работах Ю.М. Колягина, Л.М. Фридмана, А.А. Столяра, Е.С. Канина, Г.И. Саранцева и др. [47, 64, 99, 91, 109, 111]. Подводя итог этим исследованиям, можно сказать, что задача является средством и целью обучения математике.

Роль задач как средства обучения и развития школьников хорошо просматривается в технологических процессах организации усвоения основных дидактических единиц - определений, теорем, правил. В самом, деле, актуализация знаний в мотивационно-ориентировочной части процесса предпочтительна в ходе решения задач. Проблемная ситуация так же чаще всего возникает в результате выполнения упражнений и решения задач. Даже в содержательной части при выявлении содержания понятия, при "открытии" теоремы и, тем более, правила возможно использование задач. Рефлексивно-оценочная часть во многом строится так же на основе системы упражнений: осознание логической структуры определения, теоремы и способа ее доказательства проверяются с помощью упражнений, действия подведения под понятие, выведения следствий в работе с определением, прямое применение теоремы, отработка правила осуществляются главным образом в ходе выполнения упражнений определенных типов, системы упражнений, построенной с соблюдением ряда принципов (см. п.п. 3.2 - 3.4). Роль задач на различных этапах организации изучения определений и теорем подчеркивается также в работе Г.И. Саранцева [90, с. 128-130].

Во всех трех частях технологического процесса усвоения дидактических единиц упражнения и задачи выступают как средство изучения математики. Здесь, как правило, используются несложные одно-двухшаговые задачи и упражнения. Их принято называть дидактическими.

Вместе с тем задача - это и цель изучения математики. Математику изучают для того, чтобы научиться решать задачи.

Почему так важно уметь решать задачи?

Цель обучения математике - целостное развитие личности ученика. Оно предполагает усвоение определенного гуманитарно-ориентированного содержания, в частности, познавательных средств, и формирование положительных качеств мышления.

Анализ деятельностей по составлению и решению задач показывает, что приемы и методы познания, которые осваиваются в процессе изучения определений, правил, теорем, постигаются и в процессе работы над задачей. Однако, в освоении познавательных средств в процессе решения задач есть

своя специфика, состоящая в следующем. Даже при реализации предлагаемого нами технологического процесса усвоения дидактических единиц определение, правило, теорема, аксиома возникают в результате совместной деятельности учителя и учащихся при ведущей роли учителя. При решении или составлении новой задачи в классе тоже велика роль учителя и зачастую она оказывается главной. Вместе с тем, при выполнении домашней, классной самостоятельной или контрольной, экзаменационной и других работ ученик, а позднее абитуриент остается один на один с заданием и должен и выполнить его сам, без посторонней помощи. Поэтому на этапах поиска решения и анализа решения, при составлении задач методы познания, приемы и способы мышления осваиваются не только под воздействием учителя, но и в процессе их самостоятельного творческого применения. Именно по тому, какие задачи и как ученик решает самостоятельно, мы судим о его умственных способностях, о направленности его мышления, об уровне усвоения знаний, о культуре мышления.

Таким образом, формирование умений решать и составлять задачи влечет за собой развитие мышления (и логического, и интуитивного) и целостное развитие личности, всех психических процессов (воли, эмоций, памяти, воображения, представлений и т.д.).

Наряду с ролью задач некоторые методисты (Ю.М. Колягин, К.И. Нешков, А.Д. Семушин и др.) рассматривают и функции задач. В частности, выделяют задачи с дидактическими, познавательными, развивающими, практическими функциями [47, 68]. Очевидно, что отнесение задачи к группе задач с той или иной функцией, не является классификацией, поскольку одна и та же задача для различных субъектов и в разных ситуациях может нести разные функции. Однако выделение функций задач имеет смысл, т.к. учитывая цели обучения, важно чтобы в системе задач, составляемой по каждой теме для конкретного класса, присутствовали задачи с каждой из названных функций.

Методы решения задач

Последовательность элементарных шагов, составляющих решение стандартной задачи, вполне определена. Для нестандартной задачи ее нужно отыскивать, конструировать. При этом поиск решения задачи и само решение не всегда четко разделимы. Практически одни и те же методы участвуют и при поиске, и при осуществлении решения. Поэтому, говоря далее о методах решения задач, мы будем иметь в виду и методы поиска решения.

Любая задача на доказательство может рассматриваться как теорема. Поэтому методы решения задач на доказательство те же, что и методы доказательства теорем. Они подробно рассмотрены нами в п. 2.5.

К какому бы виду не относилась задача, основными методами поиска ее решения являются рассуждения, построенные по схемам синтеза, анализа или попеременного использования того и другого методов. Для задач на до-

казательство эти схемы описаны в п. 2.5. Для задач на вычисление и построение внешне они остаются такими же, но внутренне модифицируются.

Синтетический метод в задачах на вычисление состоит в следующем: на основе некоторых элементов условия составляется и решается задача или серия задач; на основе полученных результатов и неиспользованных элементов условия составляется и решается новая вспомогательная задача или серия задач и так далее, до тех пор, пока не будет получено искомое.

Пример такого решения задачи см. в п. 3.6, задача 2.

Решение многих задач на вычисление осуществляется алгебраическим методом. В частности, это текстовые задачи, в которых сюжетом служит либо реальная ситуация (задачи на движение, на совместную работу и другие), либо математическая (в сюжете задействованы числа, алгебраические понятия, функции, геометрические фигуры и т.д.). Это задачи, в которых одно из чисел или одна из величин принимается, например, за лг, все зависимости, объективно существующие между величинами и заданные в условии, переводятся на язык равенств, уравнений, неравенств, систем (если введены два и более неизвестных) и далее решается полученное уравнение (неравенство, система). При таком решении процесс получения уравнения (неравенства, системы) есть анализ. Здесь мы не предполагаем, что искомая величина найдена, но оперируем ею как известной величиной. Такую разновидность анализа называют алгебраическим анализом. Решение уравнения (неравенства, системы) в этом случае есть синтез.

Примеры решения таких задач хорошо известны. Они рассмотрены и в п. 3.6.

Для задач на вычисление характерна еще одна разновидность анализа. Например, в геометрической задаче требуется найти площадь треугольника. В этом случае записываем формулу площади и выясняем, какие величины, входящие в формулу, неизвестны. Ищем возможности для нахождения этих величин. Может оказаться, что для нахождения первых потребуется найти еще какие-то величины, решить вспомогательные задачи. Так продолжается до тех пор, пока не будет найден способ вычисления последней из вспомогательных величин. Проведенный здесь анализ похож на восходящий анализ в задачах на доказательство. Эту разновидность анализа использовали математики древности. Соответственно его и называют анализом древних или классическим анализом. Решение цепочки задач от последней к первой есть синтез.

Такой способ поиска решения проиллюстрирован на задаче 2 в п. 3.6.

В нестандартных задачах на построение используются и анализ, и синтез. Анализ в таких задачах начинается со слов «предположим, что искомая фигура построена». Этим он похож на нисходящий анализ. Далее поиск сводится к отысканию свойств какой-либо точки или другой фигуры, построив которую можно построить и искомую фигуру. Здесь взаимодействуют нисходящий и восходящий анализ. В результате анализа выясняется план построения. Реализация плана есть синтез.

Большой класс задач в курсе алгебры составляют иррациональные и трансцендентные уравнения, неравенства, системы. Решение таких задач есть тоже аналитико-синтетическая деятельность. В каком виде используется здесь анализ и синтез, зависит от способа решения.

Итак, основными логическими методами решения задач и поиска решения являются анализ и синтез. Они могут модифицироваться, дополняться или заменяться некоторыми другими методами (см., например, п. 2.5), чередоваться в пределах решения одной задачи, но именно анализ и синтез составляют основу поиска решения и решение. Подчеркнем еще раз, что каждый из этих методов в чистом виде, т.е. изолированно от другого, применяется довольно редко. Во-первых, любой анализ (поиск решения) предполагает синтез (решение). Во-вторых, синтез осуществляется с прицелом на требование задачи, т.е. предполагает анализ. В-третьих, они могут использоваться попеременно. В-четвертых, решение не всегда идет в одну линию. Чаще всего происходит ветвление, и в каждой «ветке» поиск осуществляется своим методом.

Как и для доказательств теорем, наряду с логическими существуют содержательные, специальные методы решения задач. Это методы, основанные на содержании того теоретического материала, который используется при решении.

Например, длину отрезка можно найти, используя равенство треугольников, формулы площадей треугольника, теорему Пифагора, подобие треугольников, векторы, координаты и так далее.

Аналитико-синтетическая деятельность, как и всякая другая, состоит из отдельных действий, умственных или реальных. Основными из них являются действия выведения следствии, подведения под понятие на основе определений, свойств и признаков понятий и отношений, составления элементарных задач и их решения (выведение следствий из совокупности условий), сопоставления и выбора.

Компонентами аналитико-синтетической деятельности являются также эвристические приемы или эвристики.

Вообще эвристика - это наука, исследующая закономерности творческой деятельности человека и разрабатывающая пути управления эвристическими процессами [83,с. 5]. Проблемой эвристики занимаются такие известные психологи, как В.Н. Пушкин, Ю.Н. Кулюткин, проблемой педагогической эвристики - В.Н. Соколов [98].

В то же время эвристикой можно считать такой приём, который человек сформулировал у себя в ходе решения одних задач и более или менее сознательно переносит его на другие задачи [83,с. 21]. С таким пониманием эвристик мы встречаемся в работах Д.Пойа, Л.М. Фридмана и др. Понятие «эвристическое правило» здесь, может быть, подходит больше. В.Н. Соколов трактует его следующим образом: «Эвристическое правило - элементарная единица методологических средств, содержащая рекомендации к выбору возможного действия в условиях альтернативного поиска» [98, с. 237].

Каждая тема школьного курса математики даёт свой набор эвристик, которые используются в дальнейшем при поиске решения задач методом анализа или синтеза. Это, так называемые, частные эвристики. Напомним (см. 3.2), что под частной эвристикой мы понимаем возможный способ поиска, полученный в результате переформулировки того или иного теоретического положения (аксиомы, определения, теоремы, результата решения ключевой задачи) на этапе осознания ценностей приобретённых знаний.

Первые частные эвристики появляются в результате переформулирования определений, аксиом, теорем в способы действия. Например,

• чтобы доказать, что два треугольника равны, достаточно установить, что их можно совместить наложением;

• чтобы доказать параллельность двух прямых (на плоскости), достаточно установить их перпендикулярность к одной итой же прямой.

По мере накопления достаточных условий для одного и того же понятия появляются группы эвристик. К таким относятся рассмотренные выше эвристики для нахождения длины отрезка. Или, в теме «Подобные треугольники» целесообразно выделить следующие частные эвристики:

Чтобы найти отношение (доказать пропорциональность) отрезков, можно

• заменить отношение отрезков отношением площадей треугольников;

• рассмотреть треугольники, сторонами которых служат эти отрезки, доказать их подобие;

• рассмотреть отрезки, высеченные параллельными прямыми на двух других прямых.

Здесь сформулированы эвристические правила, связанные с признаками понятий и отношений, они направлены на формирование действия подведения под понятие и применяются при поиске решения задачи методом анализа.

Можно сформулировать эвристики в форме, позволяющей использовать их в процессе поиска решения задачи методом синтеза. Они связаны со свойствами понятий и отношений и направлены на действие выведения следствий. Приведём примеры таких правил.

Если

то можно пытаться использовать

1) даны два подобных треугольника,

2) дан угол, стороны которого пересечены параллельными прямыми,

3) в прямоугольном треугольнике проведена высота к гипотенузе,

а) равенство соответственных углов этих треугольников;

б) пропорциональность сходственных сторон;

а) подобие треугольников;

б) пропорциональность отрезков, отсечённых на сторонах угла;

а) подобие треугольников;

б) высоту как среднюю пропорциональную величину;

в) каждый катет как среднюю пропорциональную величину.

В результате решения содержательных задач по разным темам могут появиться эвристические приемы более высокого уровня. Они тоже основываются на некоторых теоретических положениях, но получаются из них не простым переформулированием, а в ходе их комплексного применения, на первых порах, может быть, на основе интуиции, догадки.

К таким эвристикам можно отнести, например, следующие:

• если один корень уравнения легко находится подбором, то можно попытаться доказать, что других корней уравнение не имеет. При этом может оказаться полезным свойство монотонности функции;

• если в условии или требовании задачи речь идёт о медиане треугольника, то можно попытаться её «удвоить», считая от вершины, и полученную точку соединить с одним или обоими концами стороны, к которой она проведена.

• если в четырёхугольнике рассматриваются середины двух противоположных сторон, то целесообразно ввести в рассмотрение и середину диагонали.

Наконец, существуют эвристические правила, отражающие не специфические, а общелогические умения. Они позволяют выбрать способ рассуждений, определяют логику, стратегию поиска решения. Приведём примеры таких эвристик.

• если условие задачи содержит несколько элементов, то поиск решения целесообразно начать с условия. Для этого вывести следствия из каждого элемента условия, сопоставить их между собой и с требованием.

Если требуется доказать

то можно попытаться

1) существование или неединственность какого-либо объекта или отношения,

2) истинность предложения, обратного данному,

найти способ его нахождения или построения;

а) применить метод от противного или

б) обратить цепочку рассуждений при доказательстве исходного предложения.

Перечисленные в п.2.5. ситуации, в которых можно попытаться применить метод от противного, есть также эвристики.

Говоря о роли эвристических правил в осуществлении поиска решения задачи, следует иметь в виду два момента:

а) перебор эвристик не есть необходимое условие для поиска решения задачи. Решение может «подсказать» интуиция. При этом эвристики срабатывают, но субъект не осознаёт, в какой момент и как это происходит;

б) применение той или иной эвристики не является и достаточным условием для нахождения решения задачи. Эвристика - не алгоритм, она не обеспечивает стопроцентный результат. Однако, если интуиция «молчит», то

перебор эвристических приёмов разного уровня делает поиск решения задачи осмысленным и совокупность эвристик может привести к цели.

Таким образом, эвристики, с одной стороны, создают базу для интуитивного мышления, развивают его, а с другой, направляют деятельность субъекта в поиске решения задачи. Поэтому эвристики каждого из трёх уровней необходимо формулировать, накапливать и систематизировать.

Обучение решению задач

Умение решать задачи самостоятельно, без постронней помощи формируется автоматически, непроизвольно лишь у небольшой части учащихся. Для большинства же требуется специальная работа учителя в этом направлении. Необходимо учить школьников решать задачи, думать над задачей.

Обучение учащихся решению задач - сложнейшая методическая проблема. Ей посвящены специальные исследования Д. Пойа, Ю.М. Колягина, Л.М. Фридмана и Е.Н. Турецкого, Г.И. Саранцева и других авторов [47, 78, 109, 111, 91]. Осветим эту проблему в связи с разработкой технологии развивающего обучения математике.

У школьников необходимо формировать умение решать и стандартные, и нестандартные задачи.

Обучение решению стандартных задач показано в п. 3.4.

Решение нестандартной задачи - процесс творческий. Как он осуществляется реально, каково соотношение в нем интуитивного и логического, уследить практически невозможно. Однако очевидно, что и для логики, и для интуиции, проявляющихся в решении задач, необходимо создавать базу.

К базовым компонентам умения решать задачи относятся методы и приемы решения задач, поиска решения, а следовательно, и действия, входящие в состав деятельности по решению и составлению задач и методов решения задач. Основные из них перечислены нами выше.

Таким образом, обучение решению задач состоит в формировании у учащихся умений выполнять отдельные действия, входящие в аналитико-синтетическую деятельность по решению задач, составлять цепочки действий, приводящие к решению, в выделении, накоплении и систематизации эвристик по мере изучения материала, в приобщении учащихся к решению и составлению задач.

Т.А. Иванова, опираясь на работы Д.Пойпа, Ю.М. Колягина, Л.М. Фридмана, пишет: «Обучать решению математических задач - значит формировать у учащихся последовательно и целеноправленно следующие умения:

1. Анализировать условие задачи: выделять данные, требования, соотносить данные с требованием.

2. Устанавливать круг теоретических положений, которые ассоциируются у школьников с каждым элементом условия и требования.

3. Выводить следствия и подводить под понятие, преобразовывать теоретические положения (аксиомы, определения понятии, формулировки теорем) в способы деятельности, в эвристические приемы, создавать и пользоваться эвристиками.

4. Владеть способами решения исходоных стандартных, опорных, обучающих и т.д. задач, к которым сводится решение неалгоритмических задач. В последнее время такие задачи называются ключевыми (Н.И. Зильберберг, Н.Х. Розов, Р. Г. Хазанкин).

5. Составлять новые задачи, осуществлять варьирование задачи на основе:

- изменения условия задачи;

- изменения требования задачи;

- замены данной задачи ей эквивалентной;

- формулировки обратной (противоположной) задачи;

- обобщения и конкретизации;

- использования результата решения известных задач.

В последние десятилетия полученные таким образом задачи получили название динамических.

6. Владеть методами математической деятельности: общими эвристическими и дедуктивными; специфическими, характерными для конкретной учебной темы. Особое внимание следует уделять анализу и синтезу, т.к. аналитико-синтетическая деятельность пронизывает все этапы решения задачи (в том числе и стандартной, если ученик в начале знакомства с ними осознанно опирается на теорию, а не только на память действовать по образу).

7. Решать задачи разными методами [39].

Процесс формирования любого умения предпологает выделение его основных этапов. Поэтому далее опишем этапы формирования общего умения решать математические задачи, опираясь, в том числе и на работу [39]. Предварительно прокомментируем необходимость выделения каждого этапа.

Многие общелогические и специфические умения (эвристические приемы), входящие в деятельность по решению задачи, формируются у учащихся при реализации технологических процессов усвоения определений, правил, теорем в операционно-познавательной и особенно в рефлексивно-оценочной частях (см. п.п. 3.2, 3.3, 3.4). Работа с упражнениями в этих частях технологий и составляет первый, начальный этап в подготовке школьников к решению задач более высокого уровня сложности.

После изучения теоретического материала каждого блока конкретной темы осуществляется решение задач. В школьных учебниках к каждому пункту, параграфу, главе приводится, как правило, очень большой список задач. Как выбрать из них (а возможно, и из других) те, которые обеспечивают на достаточном уровне достижение целей обучения и развития учащихся, в частности, и цели обучения решению задач?

Очевидно, что необходима определенная система задач, которая обеспечивала бы процесс формирования умений, необходимых школьнику для самостоятельного решения задач.

Что положить в основу создания такой системы?

В ответе на этот вопрос мы считаем перспективным использование наборов так называемых ключевых, или опорных, задач. Дело в том, что по каждой теме школьного курса математики число идей и фактов, использующихся при решении всех задач, невелико. Поэтому есть возможность отобрать минимальное число задач, которые раскрывают все факты и идеи наиболее ярко и наглядно. Эти задачи и являются ключевыми.

Перспективность идеи подтверждается исследованиями ученых и опытом работы учителей-практиков [120, 32]. Так, термин «ключевая задача» заимствован у учителя из г. Белорецка Г.И. Хазанкина, в системе работы которого идея использования ключевых задач является одной из ведущих.

Идею «уровнево аранжированных» наборов «опорных задач» пропагандирует Н.Х. Розов.

В каждой теме курса математики общеобразовательной школы он предлагает выделять «ядро» и «оболочку» и соответственно минимальный и максимальный базисы в пространстве задач.

«Ядро» это есть основные «общеобязательные» факты и идеи темы. Минимальное число задач, в каждой из которых наиболее ясно и выпукло проявляется один определенный факт или одна опрделенная идея из вошедших в ядро, есть «минимальный базис в пространстве задач». Он должен быть - наряду с теоретическими сведениями, входящими в стандарт - освоен и усвоен всеми без исключения учащимися массовой школы.

«Оболочка» - совокупность всех идей и фактов, которые определяют содержание темы. Минимальное число задач, каждая из которых посвещена одному факту или одной идее и наиболее удачно их раскрывает, составляет максимальный базис в пространстве задач. Усвоение этих задач - вместе с содержащимся в учебнике материалом по теории - создает «массовому» школьнику за разумное время благоприятные условия для решения любых других задач по данной теме или по нескольким темам [86, с.37].

Методику обучения решению задач мы строим так же на понятии ключевой задачи с учетом ее места в системе ключевых задач.

Ни в официальных документах по математическому образованию, ни в методической литературе опорные, или ключевые, задачи по темам не выделены. Пока это предстоит делать учителю.

Исходя из сказанного выше, ключевая задача - это задача, которая наиболее ярко иллюстрирует новую идею, новый метод, приём решения, или содержит новый факт, или и то, и другое вместе.

Будем различать ключевую задачу-факт и задачу-метод [120]. Если в результате решения задачи устанавливается новый факт, формула, свойство или признак какого-либо понятия или отношения, то имеем задачу-факт, или задачу-теорему. Если в процессе решения задачи обнаруживается какой-либо новый для учащихся метод, способ, приём рассуждений, решения или со-

ставления задачи, то имеем задачу-метод. Есть задачи, которые одновременно иллюстрируют что-то новое в решении и дают интересный и важный результат. На одной задаче можно иллюстрировать не один приём или метод. Для разных приёмов могут быть использованы разные задачи. Так что число и содержание ключевых задач в теме определяется неоднозначно. Многое здесь зависит от темы, от мастерства учителя, от целей, которые он ставит, и от особенностей класса.

Итак, сначала необходимо выделить ключевые задачи по теме.

В учебниках математики 5-6 классов обычно такие задачи явно выделены, на них иллюстрируются необходимые правила и алгоритмы. В учебниках алгебры, алгебры и начал анализа авторов Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. образцы решения задач показаны в текстах соответствующих параграфов. Являются ли эти задачи ключевыми и все ли ключевые задачи представлены, надо проверять. В учебниках геометрии авторов Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев и др. многие задачи-факты приведены среди других задач, но даны с решениями, а задачи-методы никак не выделены. В учебнике А.В. Погорелова «Геометрия 7-10» отдельные задачи решены. Однако принцип отбора таких задач не ясен. Таким образом, в большинстве случаев ключевые задачи предстоит выделять самому учителю.

Ключевые задачи по теме выявляются на основе анализа всех задач, предлагающихся в учебнике, а также максимально возможного числа задач из других источников. Последовательность действий учителя при анализе задачного материала приведена в п. 4.2 настоящего пособия.

В процессе анализа задачи разбиваются на группы по определённым признакам (по типу, по методу решения, по используемым в решении приёмам и т.д.). В каждой группе выделяется наиболее яркий представитель - задача, на которой и будет иллюстрироваться особенность задач данной группы. Эта задача и относится к ключевым.

Ключевыми являются также все задачи-факты, содержание которых учитель считает нужным довести до сведения учащихся.

Группы задач и, следовательно, ключевые задачи ранжируются , т.е. выделяются задачи, составляющие «минимальный базас», и задачи, входящие в «максимальный базис».

Рассмотрим, например, блок «Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции» в теме «Площадь». Здесь можно выделить шесть групп задач.

Первая, самая многочисленная, группа - задачи, в которых требуется найти площадь фигуры по изученой формуле, но один элемент в формуле не известен, он находится из прямоугольного треугольника с углом в 30° или 45°.

Вторая группа - задачи, решаемые методом площадей: в треугольнике или в параллелограмме известны две стороны и высота (две высоты и одна сторона), требуется найти другую высоту (сторону).

Третья группа - задачи-формулы площади ромба, четырехугольника с перпендикулярными диаганалями, и задачи, решаемые на основе этих формул.

Четвертая группа - задачи, решаемые на основе следствий об отношении площадей треугольников (имеющих равные основания, равные высоты, пару соответственно равных углов).

Пятая группа - задачи, решаемые методом площадей (на основе свойства монотонности площадей, приема замены отношения отрезков отношением площадей треугольников, приема замены отношения произведений отрезков отношением площадей).

Шестая группа - задачи, при решении которых используется сравнение площадей на основе сравнения элементов, входящих в формулу площадей.

Выделив ключевую задачу в каждой группе, получим следующий максимальный базис задач по блоку.

Задача 1. Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.

Задача 2. Стороны AB и ВС треугольника ABC равны соответственно 18см и 32см, а высота, проведенная к стороне AB, равнв 8см. Найдите высоту, проведенную к стороне ВС.

Задача 3. Диаганали ромба равны тип. Найдите площадь ромба.

Задача 4. Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольн его медианой.

Задача 5. Докажите, что сумма расстояний от точки на оснвании равнобедренного треугольникуа до боковых сторон не зависит от пололжения этой точки.

Задача 6. В трапеции ABCD с основаниями AB и CD диаганали пересекаются в точке О. Докажите, что выполняется равенство OAOD=OBOC.

Задача 7. Из всех треугольников, у которых одна сторона равна а, а другая - в, найдите треугольник, имеющий наибольшую площадь.

Из задач максимального базиса необходимо выделить ядро, задачи минимального базиса.

Очевидно, что все учащиеся должны уметь решать задачи первой группы. Целесообразно также формировать у школьников умение применять метод площадецй. Он включает в себя ряд приемов. На уровне ученика восьмого класса их можно рассмотреть четыре. Однако до осознания всеми учащимися следует довести только первый прием. Он применяется при решении задач второй группы. Ключевые задачи 1 и 2 и составляют минимальный базис в пространстве задач.

Задачи третьей и четвертой групп это задачи более высокого уровня, но умения, лежащие в основе решения этих задач, должны формироваться у большинства школьников.

Задачи пятой и шестой групп это задачи самого высокого уровня сложности. Их можно отнетси к задачам проблемно-развивающего типа, к творческим, исследовательским. Они доступны не всем учащимся. Тем не менее, есть классы или группы учащихся в классах, которые решают не только эти, но и еще более сложные задачи.

Теперь можно выделить основные этапы в обучении школьников решению задач при изучении отдельного блока темы.

Первый этап начинается на уроках изучения нового материала, в частности, в операционно-познавательной и рефлексивно-оценочной частях. Типы и виды выполняемых здесь упражнений и заданий описаны в пунктах 3.2, 3.3 и3.4 настоящего пособия.

Основная цель первого этапа - учить учеников преобразовывать теоретические знания в способы деятельности, аргументировать, решать дидактические, стандартные задачи, самостоятельно их составлять, обучать первым шагам в аналитико-синтетической деятельности посредствам составления эвристик [39].

Второй этап в обучении решению задач состоит в решении ключевых задач из минимального базиса.

Основная цель второго этапа - выделить последовательность действий в решении задач общеобязательного уровня. Например, в блоке о площадях треугольника, параллелограмма и трапеции на втором этапе решаются ключевые задачи 1 и 2, выявляются схемы решения задач такого типа.

Поскольку задачи минимального базиса должны быть освоены и усвоены всеми без исключения учащимися то третий этап формирования умений в решении задач состоит в отработке способа, приема решения задач, аналогичных ключевым, и стандартных задач, решаемых на основе ключевых.

На четвертом этапе решаются ключевые задачи более высокого уровня, задачи из максимального базиса, те, которые должны уметь решать большинство учащихся.

На этом этапе выделяются приемы, способы, идеи, факты, характерные для темы, но не вошедшие в ключевые задачи первого уровня. В рассматриваемом нами примере о площадях это могут быть ключевые задачи 3, 4 и, может быть, 5.

Пятый этап в формировании умений решать задачи заключается в отработке идей, приемов, способов, фактов, полученых на основе решения ключевых задач, рассматриваемых на четвертом этапе.

На шестом этапе решаются проблемно-развивуающие, творческие, исследовательские задачи. Как уже отмечалось, такие задачи доступны не всем учащимся. Тем не менее, они включаются в число решаемых на уроках в частности, они позволяют осуществлять уровневую дифференциацию.

В теме о площадях к таким задачам можно отнести, например, выделенные в качестве ключевых задачи 5, 6, 7, а также и другие задачи, которые в различных учебниках и задачниках представлены в больших количествах. Ключевая задача 5 может быть положена в основу урока одной задачи. Во-первых, существует несколько способов ее решения, доступных учащимся 8 класса. Во-вторых, она может выступать как динамическая задача, т.к. на ее основе можно составить целый ряд интересных задач.

Выделенные шесть этапов в обучении решению задач естественно не являются правилом, каноном. Так, в зависимости от темы, характера задач,

возможностей учащихся конкретного класса, этапы второй и четвертый, третий и пятый, могут быть объеденины, или, напротив могут появиться еще этапы, аналогичные четвертому и пятому. Тем не менее, постепенное, последовательное, целенаправленное соблюдение и осуществление выделенных пяти (в подходящих условиях трех) этапов является необходимым условием обучения школьников решению задач, поскольку они закладывают ту основу, на которой строится умение решать задачи творческого уровня. Недооценка какого-либо из выдеелнызх этапов «перескакивание» через него к следующему, для которого по причине «перескакивания» не сформированы должные знания и умения, не позволяет ученику осознанно воспринимать готовое решение, а тем более находить его самостоятельно для нового класса задач [39].

Реализация последовательных этапов обучения решению задач в каждом конкретном блоке учебного материала по мере изучения тем школьного курса постепенно формирует все отдельные умения, необходимые для решения задач, и общее умение решать задачи.

Технология работы с ключевой задачей

Из всего сказанного выше следует, что в обучении школьников решению задач существенную роль играет ключевая задача. Но чтобы она сыграла отведенную ей роль, необходима соответствующая технология работы с ключевой задачай.

Ключевая задача - это самостоятельная дидактическая единица, единица усвоения. Поэтому и технология работы с ключевой задачей схожа с технологией организации усвоения дидактических единиц. Но предметом усвоения здесь является не сама задача, а либо её результат, либо общий метод рассуждений, способ решения, либо отдельный приём, использованный в решении, либо приём составления, основанный на этой задаче, и т.д. Фактически предметом усвоения являются умения, познавательные средства, связанные с составлением и решением задач. Следовательно, и содержательная (поиск и осуществление решения) и рефлексивно-оценочная (анализ результата или решения) части в деятельности по решению задачи должны быть организованы так, чтобы учащиеся с большей долей самостоятельности смогли выделить те элементы, из-за которых задача выбрана в качестве ключевой.

Поиск решения либо показывает сам учитель, либо он осуществляется в диалоге учитель-ученик, либо в условиях фронтальной работы под руководством учителя, либо в процессе работы в группах, в парах, индивидуально.

После завершения этапа решения, т.е. в рефлексивно-оценочной части, в порядке осознания ценностей полученных результатов делаются выводы по задаче.

Если решалась задача-факт, то этот факт каким-то образом фиксируется (в сводке формул, в таблице, в тетради по теории или другим способом), учитель может пояснить учащимся, что в дальнейшем этот факт можно считать установленным и использовать его как известный. Таковы, например,

формула площади ромба, выраженная через диагонали, свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника, соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом и многие-многие другие.

Если ключевая задача - задача алгоритмического типа, то работа над ней аналогична технологии работы с правилом. По окончании её решения необходимо проанализировать основную идею решения, сделать выводы, раскрывающие ориентировочную основу действий или суть нового приёма, зафиксировать их каким-либо из возможных способов (см. п. 3.4). Примерами таких задач могут служить задача на доказательство неравенств в теме «Числовые неравенства» в VIII классе, задача на доказательство равенства отрезков или углов методом равных треугольников в VII классе, на нахождение длины отрезка методом подобия в VIII классе, задачи, на которых выявляются схемы решения векторным, координатным методами, и другие.

Если при решении задачи применялся какой-то новый приём поиска решения или составления задачи, то этот приём выделяется и выясняются возможности его применения, ситуации, в которых можно пытаться его применить. Например, это схемы поиска решения методом синтеза, анализа (восходящего и нисходящего), варианты переформулирования задачи, специфические приёмы, вытекающие из конкретных тем, и т.д.

Если рассматривались различные способы решения одной задачи, то выясняется, откуда появились эти различные способы, что наводит на мысль о возможности других способов решения.

Если на основе одной задачи составляются новые задачи, цепочки взаимосвязанных задач, то опять-таки нужно сделать выводы о том, как, на каком основании, из каких соображений возникла мысль о получении новых задач и как новые задачи появились (процесс их составления).

Основы проектирования технологии работы с текстовой (сюжетной) задачей на каждом этапе рассмотрены в п. 3.6 пособия.

Проиллюстрируем технологию работы с различными ключевыми задачами, представляющими собою элементы системы задач по теме. В качестве примера выберем тему «Параллельные прямые» (VII класс).

Логико-математический анализ теоретического и задачного материала с позиций развивающего обучения показывает, что в теме «Параллельные прямые» достаточно выделить три ключевые задачи (п. 4.2). Характеристику этих задач как ключевых и технологию работы с ними на этапах поиска решения и анализа решения и будем рассматривать.

Задача 1. Доказать, что если при пересечении двух прямых а и b секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые a и b пересекаются.

Покажем сначала вариант оформления решения (рис. 3.17).

Решение. 1. Две прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны.

Докажем, что прямые а и Ъ не параллельны.

2. а) Предположим, что прямые а и Ь параллельны.

б) Тогда Z1 = Z2 по свойству параллельных прямых о накрест лежащих углах.

в) Z1 = Z2 - противоречие с условием.

г) Значит, предположение о параллельности прямых а и b неверно.

Следовательно, прямые а и b не параллельны, т. е. пересекаются.

Объясним, почему задача выбрана в качестве ключевой.

Во-первых, в теоретической части темы доказаны теорема-признак параллельности прямых по накрест лежащим углам и обратная ей - соответствующее свойство. В задаче сформулирована третья теорема из логического квадрата - теорема, противоположная исходной. Хотя термин можно и не вводить, важно, чтобы учащиеся повстречались с такой теоремой и методом ее доказательства.

Во-вторых, задача необычная по формулировке. Чаще всего требуется доказывать параллельность прямых. Считается, что вывод о непараллельности прямых можно сделать автоматически, и учащиеся часто делают это, ссылаясь на признак параллельности, но не на свойство.

В-третьих, решением задачи доказывается признак пересечения прямых.

В-четвертых, при решении задачи применяется метод от противного, основательное знакомство с которым происходит именно в теме о параллельных прямых. В данной задаче он хорошо прослеживается (см. пункты 2, а-г ) и есть возможность выявить одну из характерных ситуаций, в которых этот метод применим.

После создания графической и символической модели содержания задачи нужно дать возможность порассуждать учащимся (без каких-либо записей), поскольку теоретически для решения такой задачи все подготовлено. Для оказания помощи в поиске решения можно предложить следующую систему вопросов и (или) фрагментов рассуждений:

• Как могут располагаться две прямые на плоскости?

• Две прямые на плоскости «параллельны». Как высказать то же самое, но другими словами? («... не пересекаются»).

• Как иначе сказать: «Две прямые на плоскости пересекаются?» («... не параллельны»).

• Как же тогда можно сформулировать требование задачи?

• В тех случаях, когда в требовании задачи или теоремы есть отрицание «не», при доказательстве используется метод от противного. Примените его здесь (считаем, что схема доказательства методом от противного учащимся знакома, в классе может быть вывешен соответствующий плакат).

Далее учитель или способный на это ученик показывает образец рассуждений и оформление решения задачи.

В порядке анализа решения можно предложить учащимся следующие вопросы и задания:

• Что требовалось доказать в задаче?

• А мы что доказали?

• Какой метод доказательства был использован?

• Что «навело» на этот метод? (Наличие в требовании отрицания «не»).

• Каков теоретический базис доказательства? Или: Какие определения, теоремы, аксиомы были использованы при решении задачи?

• При изучении темы мы доказали признаки и свойства параллельности прямых. А что мы доказали сейчас? (Признак пересекающихся прямых).

• Какие еще признаки пересекающихся прямых можно попытаться доказать?

После такой беседы делаем следующие выводы:

1. Требование задачи можно переформулировать и тогда становится видно, какой метод нужно применить.

2. Если в требовании задачи или теоремы есть отрицание «не», то можно попытаться применить метод от противного.

3. Доказан признак пересекающихся (признак непараллельности) прямых. Сформулируем его.

4. Можно доказать и другие признаки пересекающихся прямых. При этом использовать метод от противного и соответствующее свойство параллельных прямых (очевидно, этот способ доказательства не единственный).

Задача 2. По данным рис. 3.18 найти Z1.

Рис.3.18

Задача выбрана в качестве ключевой по ряду показателей.

Во-первых, при ее решении используются и признаки, и свойства параллельности прямых, т. е. возможно их противопоставление.

Во-вторых, выбор признаков здесь не однозначен.

В-третьих, не ясно, параллельность каких прямых нужно доказывать. На рисунке в учебнике есть подсказка: две прямые изображены параллельными. Как правило, учащиеся и доказывают параллельность этих прямых, оставляя без внимания две другие. Однако, если мы стремимся приучать школьников к полноте аргументации, здесь есть хороший повод для этого.

В-четвертых, на задаче хорошо иллюстрируется поиск ее решения аналитико-синтетическим методом.

Система вопросов (если в ней будет необходимость) должна вывести учащихся на следующие рассуждения: угол 1 и угол в 73° —соответственные при прямых с и d и секущей а, угол 1 и угол в 92° — соответственные при прямых а и Ъ и секущей с. Поэтому хорошо бы выяснить, как взаимно расположены прямые а и b и прямые с и d. Поскольку угол 1 образован прямыми а и с, то в качестве секущих для выяснения параллельности можно использовать прямые b и d. Таким образом, рассмотрим прямые а и b и секущую d, затем — прямые с и d и секущую Ь.

Дальнейшие рассуждения очевидны.

Возможная система вопросов:

• С какими известными углами и как взаимосвязан угол 1?

• При каком же условии можно будет найти угол 1? (Если среди прямых есть параллельные.)

• Параллельность каких прямых можно пытаться доказать? (а и Ь, с и d.)

• Что для этого можно использовать? (Признаки параллельности прямых.)

• Какую же секущую для прямых а и b будем рассматривать? А для прямых с и d?

В ходе дальнейших рассуждений (синтез) выясняем, что по признаку параллельности прямых прямые а и b параллельны, а по признаку пересекающихся прямых прямые с и d пересекаются. Тогда Z1 = 92° по свойству параллельных прямых о соответственных углах и свойству равных углов (если углы равны, то их градусные меры равны).

После оформления решения проводится его анализ. Можно предложить вопросы:

• Каков теоретический базис решения данной задачи?

• Какие признаки и для чего были использованы?

• Какие свойства и для чего были использованы?

• Можно ли было использовать другие признаки параллельности прямых?

• Можно ли было использовать другие свойства параллельных прямых? (Можно, но решение было бы длиннее, а это нерационально).

Выводы по решению задачи:

1. Для нахождения величины угла можно использовать связь между углами, образованными при пересечении двух параллельных прямых третьей, т.е. свойства параллельных прямых.

2. Параллельность прямых устанавливается с помощью признаков параллельности. При этом могут быть использованы разные признаки.

3. Поиск решения задачи можно вести, начиная с требования. В данной задаче краткая схема будет такой: Чтобы найти Z1, нужно установить взаим-

ное расположение прямых а и Ь, с и d. Для этого используются признаки параллельных и пересекающихся прямых. Чтобы их использовать, нужно найти величины накрест лежащих, соответственных или односторонних углов при пересечении двух прямых секущей.

4. Несмотря на то, что при решении задач мы сразу «вышли» на параллельные прямые а и Ь, взаимное расположение прямых с и d тоже пришлось устанавливать. Если бы вдруг они тоже оказались параллельными, то угол 1 был бы равен и 73°, и 92°, а это невозможно. Таким образом проверена корректность задачи.

Задача 3. Отрезок ВК - биссектриса треугольника ABC. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке M так, что ВМ = МК. Доказать, что КМ и AB параллельны.

Графико-символическая модель содержания задачи представлена на рис. 3.19.

Рис. 3.19

Почему задача отнесена к ключевым?

Во-первых, прямые и секущая здесь не заданы непосредственно. Их нужно выделять среди других заданных фигур, переосмысливать заданные фигуры в плане других понятий (биссектриса ВК - часть секущей для прямой КМ и прямой, которая задана отрезком AB - стороной треугольника, часть прямой КМ, отрезок КМ - сторона треугольника ВКМ, накрест лежащие углы, из равенства которых последует параллельность прямых, являются углами треугольников).

Во-вторых, заключение о равенстве углов АВК и ВКМ требует довольно длительных промежуточных рассуждений: замена термина определением биссектрисы, выведение следствия на основе определения, установление вида треугольника ВКМ на основе определения, выведения следствия на основе свойства равнобедренного треугольника, сопоставление равенств и выведение нужного.

В-третьих, на решении этой задачи хорошо прослеживается синтез и именно этот способ рассуждений нужно показать учащимся.

В-четвертых, на основе этой задачи можно составить две новых. В главе о параллельных прямых впервые явно вводятся понятие теоремы, обратной данной, и способ ее получения. В порядке закрепления этих понятий

предлагаем учащимся сформулировать предложение, обратное данной задаче. Их оказывается два.

Всем перечисленным здесь мыслительным операциям, действиям, способам рассуждений мы обучаем учащихся при решении этой задачи, формируем у них соответствующие умения. Технология работы с этой задачей показана в соответствующем конспекте (см. п. 4.4).

Итак, в теме выбраны всего три ключевые задачи. Однако специальным образом организованная работа над ними позволяет зафиксировать внимание учащихся на самых разных общелогических и специфических действиях, входящих в деятельность по решению задач. Эти действия выделены выше при рассмотрении причин, по которым задачи выбраны в качестве ключевых, и в выводах по решению задач.

Таким образом, уровень развития учащихся проявляется, в частности, и в том, какие задачи и как они решают самостоятельно. Количество решенных задач автоматически переходит в качество - умение решать задачи - лишь у незначительной части учащихся. В большинстве же случаев для формирования умений решать задачи нужна целенаправленная работа учителя. Весьма перспективной представляется методика обучения, основанная на понятии ключевой задачи.

Умственную деятельность по решению задач составляют общелогические и специфические действия. Умения выполнять эти действия и необходимо формировать у школьников, реализуя ряд этапов. Существенную роль в решении этой проблемы играют ключевые задачи, их отбор и специальная работа над ними.

3.6. Технология работы с текстовой (сюжетной) задачей

Как уже подчеркивалось ранее, процесс решения задачи есть деятельность. Как всякая другая, она состоит из отдельных действий, этапов. Они выделены Д. Пойа, затем Л.М. Фридманом и перечислены в п. 3.5. Каждый этап процесса решения складывается из более мелких элементарных действий (основных умений) или операций. Умение выполнять эти операции и действия в задачах определенного вида необходимо формировать у учащихся.

В данном пункте рассмотрим, как это можно делать при работе с текстовой задачей.

Наибольшую трудность для ученика представляет этап поиска решения задачи. Результативность этого этапа во многом зависит от понимания сути задачи, т.е. от умения проводить анализ задачи, делать ее схематическую запись. Операции, которые выполняются на названных здесь этапах, мы и выделим далее.

1. Ознакомление с текстом задачи и анализ ее содержания. В теории и практике наиболее распространены следующие способы предъявления задачи учащимся:

• чтение задачи вслух;

• чтение задачи «про себя» с последующими ответами на вопросы учителя;

• выполнение заданий под диктовку учителя (математический диктант);

• «чтение» по готовому рисунку (таблице).

Каждый способ имеет определенные преимущества и недостатки. Поэтому нельзя отдавать предпочтение какому-то одному приему и игнорировать другие. Выбор способа определяется прежде всего, целями, которые ставит учитель, предлагая данную задачу, содержанием задачи, составом учащихся и т.д.

Неотъемлемой частью ознакомления с содержанием является его анализ. Он включает в себя следующие умения (элементарные действия):

1) устанавливать количество ситуаций (элементов), имеющихся в задаче,

2) выделять величины в тексте;

3) выделять предложения, выражающие функциональные связи (зависимости) между величинами, и фиксировать эти связи;

4) выделять и фиксировать искомые величины.

Анализ завершается схематической записью, которую можно назвать моделью текста задачи.

II. Схематическая запись задачи.

Моделью текста может служить

• линейчатая или столбчатая диаграмма,

• отрезок с составляющими его частями,

• таблица,

• отрезок или луч с положением на нем движущихся объектов в различные моменты времени,

• графики равномерного движения и другие объекты.

Рассмотрим примеры различных моделей текстов задач.

Задача 1. В трех поселках 6000 жителей. Во втором поселке вдвое больше жителей, чем в первом, а в третьем — на 400 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей во втором поселке?

Анализируя эту задачу, ученик должен осознать следующее: в задаче идет речь об одной ситуации, в которой действуют три величины. Обозначим их на естественном языке Чь Ч2, Чз (число жителей первого, второго и третьего поселков соответственно). По условию известно, что Ч2 > Ч] в 2 раза, а Ч3 < Ч2 на 400. Искомая величина Ч2.

Покажем три вида схематических записей этой задачи.

Первый вид. Таблица в виде построчной записи (рис. 3.20)

Второй вид. Линейчатая диаграмма (рис. 3.21).

Рис. 3.21

В столбчатой диаграмме - те же отрезки (или прямоугольники), но расположены вертикально.

Третий вид. Отрезок с составляющими его частями (рис. 3.22).

Рис. 3.22

Задача 2. Из Москвы в Ленинград отправился пассажирский поезд, скорость которого равна 80 км/ч. Спустя 20 мин из Ленинграда в Москву отправился скорый поезд, скорость которого равна 90 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Москвы произойдет встреча, если считать расстояние от Москвы до Ленинграда равным 650 км?

В этой задаче речь идет о двух ситуациях (о двух движущихся объектах), каждая из которых характеризуется тремя величинами (S, v, t), находящимися в пропорциональной зависимости (S = v • t).

В задачах на движение обычно показывается отрезок или луч и на нем положения движущихся тел в различные моменты времени. В задаче 2 это выглядит так, как показано на рис. 3.23.

Рис.3.23

Задача 3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 60 км, выехал автобус, а через 20 мин вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости автобуса. Автобус пришел в пункт В на 10 мин позже легкового автомобиля. Найдите скорости автобуса и легкового автомобиля.

Краткая запись задачи 3 дана на рис. 3.24.

Рис. 3.24

После такого рисунка данные задачи можно свести в следующую таблицу:

Краткая запись условия - важное звено в процессе работы над задачей, так как она помогает выбрать способ решения. Существует три основных способа решения текстовых задач: арифметический, алгебраический (с помощью уравнений или систем) и геометрический. Модели, представленные на рис. 3.21, 3.22, 3.23, наводят на арифметический способ решения, на рис. 3.20, 3.24 - на алгебраический. Знание этих двух способов и умение их применять обязательны для всех учащихся. Поэтому, говоря далее о поиске плана решения, мы имеем в виду либо арифметический, либо алгебраический способ. Использование графика равномерного движения, как правило, приводит к геометрическому решению. С геометрическим способом решения текстовых задач можно ознакомиться, например, по статье [56].

III. Поиск плана решения задачи.

Переход от анализа текста задачи к поиску плана решения состоит в составлении элементарных задач, в переводе естественных отношений и зависимостей между величинами на формальный математический язык, в получении математической модели задачи.

Перечислим основные умения (элементарные действия), которыми должен овладеть ученик для реализации третьего этапа.

1.Переводить отношения между величинами на язык равенств, уравнений, неравенств, их совокупностей и систем. Выражать величины из полученных равенств. По заданному равенству устанавливать отношения между величинами. Основные виды отношений между величинами и их перевод на математический язык перечислены в следующей таблице:

2. Записывать зависимости между величинами с помощью формул известных процессов и выражать величины из формул.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся зависимости.

а) Если Ц - цена 1 ед., m - количество единиц, Ст. - стоимость m единиц, то

б) Если Р - выполненная работа, Пр. - производительность труда, t -время, затраченное на выполнение этой работы, то

в) Если s - пройденный путь,у- скорость, /- время движения, то

г) При движении навстречу с одновременным выходом

д) При движении вдогонку с одновременным выходом и исходным расстоянием S между объектами

е) Если а - скорость течения реки, v - собственная скорость движущегося тела, тогда

При осуществлении перевода получается совокупность равенств. Если среди них есть хотя бы одно, которое содержит только одну неизвестную величину, тогда эту величину, а вслед за ней и другие, можно найти. В этом случае задача решается арифметически. Умение переводить отношения и зависимости при арифметическом способе решения выражается в умении поставить вопрос, взаимосвязывающий три величины, т. е. сформулировать элементарную задачу, в которой по двум величинам можно найти третью. Для поиска совокупности таких задач используется синтез или классический анализ.

Чтобы решить задачу алгебраически, нужно уметь выполнять еще два действия:

3. Выбирать неизвестную (ые) величину (ы), через которую (ые) выражать другие величины.

4. Выбирать условие (я), на основе которого (ых) составляется уравнение (система уравнений).

Рассмотрим, например, задачу 2. Переводя на математический язык отношения и зависимости, зафиксированные на рис. 3.23, мы сразу же получаем серию арифметических задач в одно действие (сформулируем только требования):

• найти расстояние MA;

• найти расстояние АЛ;

• найти время движения пассажирского поезда на участке АР (время сближения поездов на участке. АЛ);

• найти искомое время.

Здесь поиск плана осуществлен синтетическим путем. Если не осуществлять прямого перевода, то ту же последовательность элементарных задач можно получить, проводя классический анализ по схеме:

Рассмотрим теперь задачу 1. Если ученик кратко записал условие в первом виде (рис. 3.20), то он осуществляет перевод задачи на математический язык в следующем порядке:

Как видим, при таком подходе выбор неизвестного и составление уравнения осуществляются почти автоматически. Замена 4i буквой х приводит к общепринятым в математике обозначениям и записям. Как первые, так и вторые могут быть сделаны в таблице - краткой записи условия:

Как известно, в процессе обучения учащихся решению текстовых задач алгебраическим методом ведущим, определяющим является этап моделирования, а результатом этого этапа являются составленные модели (уравнения, неравенства, системы) в зависимости от выбора неизвестной. Отразить эту идею можно в самом тексте задачи, заменив требование по нахождению конкретной величины требованием составить возможные уравнения по условию задачи. Тогда, например, к первой задаче эти действия выглядят так.

Если в качестве неизвестной выбрана величина:

Сравнивая составленные уравнения, можно подметить такую закономерность: для получения более простой модели в задаче рассмотренного типа за неизвестную величину целесообразнее выбирать меньшую из сравниваемых величин. Выделенную закономерность затем можно проверить на задачах подобного типа. Но запоминать, а, тем более, заучивать особенность этого типа задач нет смысла. Важно, чтобы на уровне применения ученик осознавал, что составленные уравнения зависят от субъективного выбора величины в качестве неизвестной.

Перевод на математический язык задачи 3, но уже в VIII классе позволит продемонстрировать идею моделирования в теме «Уравнения, сводящиеся к квадратным». Здесь составленная модель зависит не только от выбора неизвестной, но и от выбора условия составления уравнения. Покажем это.

Анализ выполненных действий позволяет выделить такие закономерности в составлении моделей. Если для составления уравнения используется одна из двух зависимостей между величинами, то за неизвестную величину может приниматься любая из двух сравниваемых однородных величин, связанных второй зависимостью. Как и в задаче 1, эта закономерность проверяется на нескольких задачах, а решение составленных уравнений и нахождение искомой величины остаются для самостоятельной работы.

Ясно, что овладение перечисленными выше операциями - условие необходимое, но не достаточное для осуществления поиска плана решения любой текстовой задачи. Иногда даже в несложных ситуациях приходится выполнять и специфические действия. Рассмотрим, например, задачу 1. Краткая ее запись во втором и третьем видах (рис. 3.21 и 3.22) показывает следующий арифметический способ решения: Если число жителей третьего поселка увеличить на 400, то общее число жителей тоже увеличится на 400, т. е. их будет 6400. Примем теперь число жителей первого поселка за одну часть, тогда во втором и третьем поселках их будет по две части, а во всех трех поселках 5 частей. Отсюда легко найти число жителей каждого поселка.

Различные нестандартные приемы также нужно показывать учащимся, поскольку в поиске плана решения широко используются и наблюдения, и опыт, и аналогия. На их основе начинается обучение анализу и синтезу. В поиске решения велика роль и интуиции.

Таким образом, решение задач имеет неограниченные возможности для формирования как алгоритмических, так и эвристических приемов умственной деятельности учащихся. Все это способствует развитию гибкости, устойчивости, самостоятельности ума.

Действия учителя при выборе технологии работы с текстовой задачей на уроке

Эффективность деятельности ученика по решению задачи зависит как от уровня сформированности составляющих ее элементарных действий, так и от правильности ее организации. Все это и должен предусмотреть учитель, продумывая методику работы над задачей на уроке.

Анализировать содержание задачи, составлять элементарные задачи школьники учатся начиная с первого класса. Переводом отношений и зависимостей между величинами на язык равенств, уравнений и неравенств они занимаются при изучении соответствующих тем. Для того чтобы ученик овладел тем или иным умением, необходима специальная целенаправленная работа учителя.

Выделим действия учителя при построении технологии работы с текстовой задачей на уроке и проиллюстрируем их на задаче № 1, рассматривая ее как ключевую.

1. Решить задачу в соответствии со всеми этапами процесса решения (по возможности различными способами), уяснить идею, метод, прием решения.

2. Уяснить назначение выбранной задачи:

а) ознакомление с фабулой;

б) ознакомление с методом решения;

в) формирование метода,

г) возбуждение интереса;

д) контроль и т. д.

3. Определить опорный материал: выделить функциональные связи между элементами условия и заключения, установить степень их новизны для учащихся, отобрать материал для повторения, проду-

Выше намечены два способа решения задачи № 1.

Алгебраически задача решается стандартным приемом, арифметически — с применением специфического действия. Задачу можно решать в V - VII классах и далее. Назначение ее может быть каким угодно (кроме ознакомления с фабулой). Предположим, что она решается в VII классе в теме «Уравнения первой степени» и используется для ознакомления с методом, т. е. на ней мы хотим показать прием решения, образец оформления.

В задаче даны зависимости «больше в», «меньше на» между двумя величинами, сумма трех величин. К VII классу учащиеся должны все это хорошо знать и уметь переводить на математический язык. В противном случае необходима

мать организацию повторения.

4. Продумать организацию работы учащихся: фронтальная (устная, письменная, комментированная и т. д.), групповая, индивидуальная.

5. Выбрать метод решения:

а) в содержательном плане: арифметический, алгебраический, геометрический;

б) в логическом плане: синтез, разновидности анализа и синтез.

6. Продумать оформление записей на доске и в тетрадях.

специальная подготовительная работа на предыдущих уроках. На этой задаче учитель должен учить учащихся последовательности выполнения действий при решении задачи алгебраическим способом. С этой целью работа ведется фронтально. Задачу будем решать алгебраически. Поэтому сначала проводится алгебраический анализ (составление уравнения), а затем синтез (решение уравнения).

В процессе поиска решения сначала на доске, а затем в тетрадях учащихся должна появиться приведенная ниже таблица, иллюстрирующая прием деятельности.

Выделить величины

Выписать зависимости между ними

Ввести X и выразить через него другие величины

Выбрать условие для составления уравнения. Составить уравнение

7. Выбрать способ предъявления задачи и форму краткой записи в соответствии с 5, а.

Покажем далее фрагмент урока.

Учащиеся читают задачу «про себя», а затем отвечают на вопросы учителя и выполняют его задания.

- О каких величинах говорится в задаче? (О числе жителей в первом, во втором и в третьем поселках).

- Обозначим их Чь Ч2 и Ч3 соответственно, я их запишу в столбик.

- Какие величины сравниваются во втором предложении? (Ч2 и Чь Ч3 и Ч2.)

- Что же известно о Ч2 и Ч|? о Ч3 и Ч2? Запишу это в соответствующих строчках.

- Что известно о Чь Ч2 и Чз из первого предложения?

- Какую величину требуется найти? (Заполняется второй столбец таблицы.)

8. Разработать систему вопросов в соответствии с 5, б.

Поскольку на этой задаче учитель знакомит учащихся с последовательностью действий при решении задач с помощью уравнений, то он не ставит вопросов, а объясняет, что и как нужно делать.

Возможен такой вариант (фрагмент урока):

- Переведем записанные отношения между величинами на математический язык, т. е. запишем предложения в виде равенств или неравенств. Для этого одну величину примем за х. Здесь сначала Ч2 сравнивается с Ч|. Поэтому за * примем Чь (Получат соответствующие записи в третьем столбце таблицы).

- У нас осталось неиспользованным число 6000 - число жителей всех трех поселков. Запишем это условие в виде равенства Ч) + Ч2 + Ч3 = 6000 и используем его для составления уравнения. (Заполняется четвертый столбец таблицы).

- А теперь повторим, какие действия и в какой последовательности мы выполняли (Появляется верхняя строка в таблице).

Учащиеся переносят таблицу в тетрадь.

Далее решается уравнение, делается проверка по условию (здесь нужно установить, что Ч|, Ч2 и Ч3 при полученном значении х положительны и меньше 6000), записывается ответ.

9. Наметить заключительный этап в решении задачи: а) осмысление ответа; б) другие способы решения; в) рассмотрение частных случаев; г) развитие задачи; д) формулирование обратных задач; е) поучительные выводы из решения задачи, другие аспекты.

Так как задача решалась с целью ознакомления с методом, то на заключительном этапе важно выделить следующие моменты:

а) название метода;

б) примерную схему решения;

в) выбор величины, которая принимается за д:, и условия, на основе которого составляется уравнение.

В схему решения на первых порах можно включить выполнение пунктов 1-4, являющихся заголовками верхней строки вышеприведенной таблицы. 5.Решить уравнение 6. Сделать проверку по условию. 7.Записать ответ. Записи получаются довольно объемными, поэтому хорошо бы иметь распечатку для каждого ученика.

Затем можно предложить семиклассникам составить все возможные уравнения в зависимости от выбора неизвестной величины. После этого сделать вывод о целесообразном выборе х.

10. Разработать учебные наглядные средства: а) для «выдачи» задачи; б) для организации поиска решения; в) вспомогательные задачи; д) для иллюстрации образца оформления; е) для организации заключительного этапа.

Оформление записей (таблицу, последующее решение уравнения, ответ, примерную схему решения) можно проиллюстрировать с помощью кодопозитива, открывая постепенно нужные столбцы и строки.

Записи учащиеся могут выполнять, заполняя соответствующую канву-таблицу.

Наконец, учащиеся могут только слушать и устно выполнять задания учителя, а перед заключительным этапом или после него учитель выдает каждому ученику лист с полным оформлением записей.

Таким образом, к уроку желательно иметь кодопозитив и либо канву-таблицу, либо таблицу для каждого ученика.

Вопросы и задания

1. Охарактеризуйте сущность технологического подхода к обучению математике.

2. Назовите основные структурные компоненты технологии обучения дидактическим единицам. Опишите назначение каждого компонента.

3. Каково ваше отношение к технологии обучения, предложенной авторами учебного пособия?

4. Какой может быть логическая структура определений математических понятий? Выделите характеристические свойства понятия "накрест лежащие углы".

5. Назовите ошибки, допускаемые учащимися при формулировке определений, методические приемы их устранения.

6. В чем состоит логико-математический анализ определения понятия? Проведите его для определения точек, симметричных относительно данной прямой.

7. Перечислите способы введения понятия на уроке. Какой из них Вы бы выбрали для введения понятий арифметической и геометрической прогрессии и почему?

8. Разработайте по меньшей мере два способа введения понятия подобных треугольников.

9. Какие упражнения на понимание формулировки определения следует давать на этапе рефлексии? Составьте их для понятия наименьшего общего кратного.

10. Какие частные эвристики можно получать на основе определения понятия?

11. Перечислите последовательность действий учителя по подготовке к уроку, на котором вводится новое понятие.

12. Охарактеризуйте основные этапы технологии работы с определением понятия; с теоремой.

13. Охарактеризуйте уровни усвоения определений понятий; теорем.

14. В чем состоит логико-математический анализ теоремы? Проведите его для первого признака подобия треугольников.

15. Назовите основные приемы и методы а) открытия теорем; б) поиска доказательств; в) доказательств.

16. Перечислите действия учителя при подготовке к уроку, на котором будет изучаться новая теорема.

17. Какие типы упражнений следует предлагать учащимся на рефлексивно-оценочном этапе и с какой целью?

18. Какие основные умения следует формировать у учащихся для обучения их доказательству?

19. Раскройте содержание понятия алгоритма.

20. Сравните понятия «алгоритм» и «правило».

21. Из каких этапов состоит мотивационно-ориентировочная часть технологии обучения правилам? Сформулируйте цели каждого этапа.

22. Из каких этапов состоит операционно-познавательная часть технологии обучения правилам?

23. Какими принципами следует руководствоваться учителю для разработки системы упражнений, с помощью которой отрабатывается новое правило?

24. Из каких этапов состоит рефлексивно-оценочная часть технологии обучения правилам?

25. Проведите логический анализ правила «Разложения квадратного трехчлена на множители».

26. Проведите дидактический анализ правила «Разложения квадратного трехчлена на множители».

27. Спроектируйте фрагмент урока, на котором ученики «открывают» правило разложения квадратного трехчлена на множители.

28. Дан четырехугольник ABCD, точки M, N, Р, середины его сторон.

1) Сформулируйте несколько задач с данным условием.

2) Составьте на основе полученных задач новые с использованием приемов а) конкретизации; б) обобщения; в) аналогии; г) обращения.

3) Проведите анализ своих действий. Сделайте выводы.

29. Задача. Постройте общую касательную к двум данным окружностям. Выполните следующие задания и ответьте на вопросы.

1) Решите задачу.

2) Выделите этапы в процессе работы над задачей, знания и умения, необходимые для реализации этих этапов.

3) Установите, какие эвристические и дедуктивные методы математической деятельности Вы использовали.

4) Имела ли место аналитико-синтетическая деятельность при решении задачи? Если да, то какие разновидности анализа использовались и для чего? На каких этапах применялся синтез?

5) Какие эвристики помогли в нахождении плана решения задачи?

30. Что такое ключевая задача?

31. Приведите перечень основных умений, которые необходимо формировать у учащихся при обучении решению задач.

32. Охарактеризуйте основные этапы формирования у школьников умений решать задачи при изучении отдельного блока темы.

33. Объясните, по каким параметрам может быть выбрана в качестве ключевой задача о решении уравнения (tg х + l)(2cos х/3 - V3 ) = 0. Опишите методику работы с этой ключевой задачей.

34. Охарактеризуйте назначение и ценность текстовых (сюжетных) задач, решаемых арифметическим и алгебраическим методами.

35. Какие отношения между величинами встечаются в текстовых задачах и как они переводятся на язык равенств и уравнений?

36. Какие зависимости между величинами используются в текстовых задачах?

37. Укажите последовательность действий учителя при подготовке к уроку по решению сюжетной задачи.

38. Выделите последовательность действий по решению сюжетных задач алгебраическим методом.

39. В чем сущность метода математического моделирования? Как можно обучать школьников этому методу при алгебраическом решении задачи?

Литература для самотоятельного чтения:

7, 13, 19, 21, 22, 28, 30, 39, 43, 44, 47, 52, 54, 63, 64, 65, 68, 78, 80, 84, 89, 90, 110, 111, 114

ГЛАВА 4. УРОК КАК ОСНОВНАЯ ФОРМА ОРГАНИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

4.1. Урок как целостный педагогический процесс.

4.2. Проектирование изучения темы.

4.3. Урок изучения нового.

4.4. Проектирование уроков решения задач.

4.5. Уроки обобщения и систематизации знаний.

4.6. Типология уроков в соответствии со структурой учебной деятельности.

4.7. О лекционно-семинарской системе обучения математике. Крупноблочная модель изучения учебного материала.

4.8. Рабочая тетрадь как средство обучения математике на современном уроке.

4.1. Урок как целостный педагогический процесс

Основной формой организации обучения математике является урок. Урок, по образному выражению Н.М. Верзилина, - это солнце, вокруг которого, как планеты, вращаются все другие формы учебных занятий. Но что такое урок? Четкого и однозначного его определения на сегодняшний день не существует. Дидакты выделяют два аспекта сущности урока: как целостный педагогический процесс обучения и как форму его организации. Урок в этом смысле - это динамичная и вариативная форма организации процесса целенаправленного взаимодействия (деятельности и общения) определенного состава учителей (преподавателей) и учащихся, включающая содержание, формы, методы и средства обучения и систематически применяемая (в одинаковые отрезки времени) для решения задач образования, развития и воспитания в процессе обучения (М.И. Махмутов).

Таким образом, урок математики это целостная методическая система, функционирующая на уровне реального процесса обучения. Она содержит личностный (учащиеся конкретного класса), целевой, содержательный, процессуальный и результативный компоненты (п. 1.3). Каждый из них на теоретическом уровне раскрыт ранее. В данной главе конкретизируем общие теоретические положения для проектирования урока в целом и основных типов уроков математики, опираясь на работы 39 и 102.

Постановка целей и отбор содержания урока

Все дидакты и методисты утверждают, что цель является основополагающим компонентом в целостной дидактической и методической системе обучения. А между тем, процессу целеобразования, целеполагания урока, как нам представляется, должного внимания не уделяется.

Категория цели исследуется философией, психологией, педагогикой. Чаще всего в философской литературе цель определяется: 1) как идеально субъективный образ желаемого результата деятельности, на достижение которого направлены действия; 2) как сам результат деятельности, отраженный в сознании, но не образ этого результата; 3) одновременно как практический результат деятельности и его идеальный образ. Не вступая в философский анализ, для нас важно положение о том, что в цели урока должен быть отражен результат деятельности. Далее возникает существенный вопрос: результаты чьей деятельности должны быть отражены в цели урока? Как известно, процесс обучения носит двусторонний характер. Он отражает деятельность учителя - преподавание и деятельность ученика - учение. Однако и та другая развертываются ради ученика, чтобы он трансформировал накопленный опыт человечества во всей его структурной полноте в личный опыт. Поэтому цели урока должны отражать результаты учебной деятельности ученика. Результаты же деятельности учителя будут отражены в результатах учебной деятельности учащихся. Цель учителя, во-первых, четко осознать и сформулировать цели-результаты деятельности ученика. Во-вторых, создать на уроке условия для их достижения учащимися.

Общеизвестно, что цель любого урока носит триединый характер. Триединая цель включает в себя познавательный аспект (дидактическая цель), развивающий и воспитательный.

Дидактические цели урока предполагают усвоение знаний, формирование умений и навыков. Напомним, что в категорию знаний входит знание формулировок определений математических понятий, аксиом, теорем, способов деятельности, а также методологических знаний. Дидактические цели урока формулируются в терминах «знает», «понимает», «имеет представление», «умеет», «применяет в стандартных ситуациях» и т.д. Постановка дидактических целей урока в таких терминах отражает уровень овладения учеником определенным математическим содержанием. Достижение этих целей можно надежно опознать с помощью специально созданных систем диагностических и проверочных заданий, они позволяют сформулировать результат обучения через наблюдаемые действия учащихся. Дидактические цели достигаются в течение одного или нескольких уроков изучения темы.

Постановка развивающих целей урока - наиболее трудный и, как нам представляется, наименее разработанный этап при подготовке учителя к уроку. Это объясняется тем, что развитие происходит гораздо медленнее, чем обучение. Невозможно точно сформулировать развивающий аспект целей для одного урока, а иногда и для системы уроков учебной темы. Развитие ученика - результат правильного развивающего обучения. Цель и результат развивающего обучения заключаются в изменении учеником самого себя в процессе учебной деятельности, когда ученик является субъектом этой деятельности.

Развивающий аспект целей урока может ставиться лишь неявно, косвенно, через специфику учебной деятельности ученика на любом ее этапе, через степень участия ученика в поисковой деятельности. Развивающие цели

отражают глаголы: «найти», «открыть», «выявить», «определить», «обосновать», «спрогнозировать», «установить», «исследовать» и т.д. Эти глаголы определяют поисковый характер деятельности ученика на уроке, что способствует развитию познавательного интереса, умения сравнивать, анализировать, синтезировать, выдвигать гипотезы (на основе аналогии, интуиции, неполной индукции), обобщать, доказывать и т.д.

Развивающая функция обучения математике будет реализована при соблюдении следующих основных условий:

- включение учащихся в поиск субъективно новых для них знаний в соответствии со спецификой творческой математической деятельности;

- овладевание методами и способами поисковой математической деятельности;

- выявление учащимися проблемы, учебной проблемной задачи, на решение которой и направлен поиск;

- совместное (учителя и учащихся) решение проблемы, оценка найденного способа действия (в нашем случае - определения понятия, теоремы, правила, идеи, метода, которые трансформируются в новые способы математической деятельности);

- рефлексия учеником полученных результатов и собственной деятельности.

Для выявления, постановки и решения учебной проблемной задачи у школьников должны быть сформулированы внутренние потребности и мотивы. Деятельности без мотивов не бывает. Их формирование возможно только в результате систематической, последовательной, целенаправленной работы на каждом уроке и непосредственно связано с воспитывающей функцией обучения математике.

Воспитывающая функция проявляется в обеспечении:

- осознания учеником своей учебной деятельности как социально значимой;

-формирования его нравственно-ценностных ориентиров в процессе овладевания знаниями, умениями и навыками;

- формирования положительных мотивов учения;

- формирования опыта общения между учащимися и сотрудничества с учителями в учебном процессе;

-воспитательного воздействия личности учителя как примера для подражания.

Обучение, развитие и воспитание эмоционально-ценностного отношения к действительности, к деятельности, ее объектам и субъектам - это единый процесс, предполагающий усвоение учащимися знаний, умений, опыта творческой деятельности и эмоциональной воспитанности. Все это, взятое вместе, и обеспечивает духовное развитие личности в целом.

Участие ученика в получении нового знания, овладение им новыми способами математической деятельности, его эмоциональное напряжение, связанное с получением субъективно нового для него знания в единстве от-

ражает дидактические, развивающие и воспитательные цели урока. Поэтому триединая цель урока может формулироваться в терминах основной учебной задачи урока и опознаваемых результатах ее решения.

Например, цели урока «Нахождение процента от числа, числа по его процентам и процентного отношения» (метод укрупнения дидактических единиц) могут быть сформулированы следующим образом:

Выявить (посредством переформулировок соответствующих задач на нахождение части от числа, числа по его части, отношения величин) задачи трех указанных видов на проценты и найти способы их решения на основе аналогии решения переформулированных задач.

В результате ученик:

- знает о существовании трех основных типов задач на проценты;

- осознает связь между ними, как взаимно обратными;

- осознает их связь с задачами на нахождение части от числа, числа по части, отношения величин;

- знает два способа решения каждой задачи (непосредственно по определению процента и по найденному общему правилу);

- формулирует (составляет) задачи, обратные данной;

- умеет переформулировывать задачи на нахождение части от числа, числа по его части, отношения величин в соответствующих задачах, где часть выражена в процентах и обратно.

Сформулированная в такой форме триединая цель урока содержит в единстве образовательные, чисто математические, развивающие и воспитательные цели. Заметим, что математическое содержание здесь предъявлено значительно шире, чем при традиционной формулировке формировать умение решать задачи указанных трех видов: акцент делается и на осознание связей шести типов задач, на умении переформулировать задачи, составлять задачи указанных типов, на овладение методом аналогии и т.д.

Представление учебных целей в форме учебной задачи (через выделенные выше глаголы) и формулировка диагностично поставленных дидактических целей (через надежно опознаваемые результаты деятельности ученика) и определяет урок как целостное системное явление.

Во-первых, в поставленных целях отражено в целом гуманитарно-ориентированное содержание, которое должен усвоить учащийся, а не только его информационный компонент. Во-вторых, учебная задача урока, сформулированная в терминах «найти», «выявить», «исследовать», «обосновать» и т.д. указывает на поисковый, развивающий характер деятельности ученика на уроке, на сотрудничество «учитель - учащиеся», «ученик - ученик». Наконец, четко, диагностично поставленные дидактические цели урока способствуют осознанному, целенаправленному проектированию каждого его этапа. Они ориентируют учителя на то, чтобы вся система работы на уроке (содержание упражнений, заданий, логика вопросов и т.д.) обеспечивала достижение целей урока.

Следующий, не менее важный вопрос, на который следует ответить -как должна ставиться цель непосредственно на уроке. Практически во всех

имеющихся учебных пособиях по методике обучения математике сказано, что первый этап, с которого начинается урок, - это постановка цели урока. Но когда описывается ход урока, этот этап или отсутствует совсем, или подменяется сообщением темы урока. Так, в работе [59] описан ход урока «Умножение положительных и отрицательных чисел». Этап постановки цели урока сводится к следующему: «Отмечается, что изучение положительных и отрицательных чисел и действий над ними продолжается. Уточняется, что учащиеся могут пока лишь складывать и вычитать положительные и отрицательные числа. Сегодня же будем рассматривать вопрос о том, как умножать положительные и отрицательные числа. Записывается тема урока: «Умножение положительных и отрицательных чисел» [59, с.98].

Неопределенные глаголы «отмечается», «уточняется», «записывается» наводят на мысль, что все это делает учитель за 1-2 минуты и переходит далее к проверке домашнего задания и актуализации знаний (термин автором не употребляется). Таким образом, тема урока как бы навязывается ученикам, не понятно принята ли ими цель урока. Не ясно, что, значит, рассмотреть вопрос об умножении положительных и отрицательных чисел, кто и как должен его рассматривать и т.д. Поставленная таким образом цель на уроке не мотивирует должным образом деятельность ученика, не нацеливает его на участие в поиске соответствующего правила. Развивающее же обучение предполагает субъективную позицию ученика на каждом этапе урока, в том числе, и на этапе целеполагания. Говорить о внутренней активности ученика на уроке можно лишь тогда, когда он сам осознает потребность в постановке целей и осуществлении необходимых для ее достижения действий. Цель должна «рождаться» на уроке в совместной деятельности учителя и учащихся. Только при этом условии школьники смогут осознать смысл предстоящей деятельности. В свою очередь, осознание смысла и принятие цели на уроке как цели своей собственной деятельности позволяет ученику осмысленно и целенаправленно включиться в учебный процесс по ее достижению. Учитывая вышесказанное, в структуре любого урока должен присутствовать такой элемент, как целеполагание. В ходе урока постановка цели не должна носить формального характера. Как этого достичь, будет показано далее.

Подведем итоги. Под целями урока будем понимать желаемые результаты деятельности ученика на уроке и способы их достижения. Цели деятельности учителя - осознать и сформулировать эти результаты и создать условия для их достижения учениками. Дидактические цели урока должны быть диагностируемыми и отражать уровень усвоения учеником учебного материала. Триединая цель урока представляет собой органичный синтез дидактических, развивающих и воспитательных аспектов.

Развивающие и воспитательные цели урока определяются и достигаются степенью участия ученика в поисковой математической деятельности.

Форма представления целей урока должна отражать содержательную, процессуальную и результатирующую функции процесса обучения. Она может быть представлена в виде системы учебных задач (в терминах: «найти»,

«открыть», «выявить», «исследовать», «спрогнозировать» и т.д.) и результата их решения (в терминах: «в результате ученик «знает», «осознает», «понимает», «имеет представление», «умеет применять в знакомой ситуации» и т.д.»).

Процесс целеполагания (учителем) состоит в конкретизации стратегических целей математического образования посредством анализа учебного материала с позиций структуры общего гуманитарно-ориентированного содержания и соотношения его с обученностью и обучаемостью учащихся конкретного класса.

Цель урока в форме учебной задачи должна быть понята и принята учащимися. Она должна «рождаться» на уроке в сотворчестве учителя и учащихся и служить для них побудительным мотивом дальнейшей совместной деятельности.

Технология обучения

Под технологией обучения на уроке будем понимать систему методов, форм и средств обучения, способствующую усвоению отобранного содержания и достижению поставленных целей. Теоретические основы методов, форм и средств обучения исследуются дидактикой. Мы напомним лишь основные положения.

Чаще всего сущность метода обучения трактуется как взаимосвязанная деятельность учителя и учащихся, направленная на достижение поставленных целей. Применительно к уроку можно сказать, что метод обучения - это взаимосвязанная деятельность учителя и учащихся, направленная на постановку и решение учебных задач урока.

В отечественной дидактике существует несколько классификаций методов обучения:

1. По источникам знаний: словесные, наглядные и практические.

2. По степени взаимодействия учителя и учащихся: изложение, беседа, самостоятельная работа.

3. В зависимости от конкретных дидактических задач: подготовка к восприятию, объяснение, решение учебной задачи, закрепление и т.д.

4. По характеру познавательной деятельности учащихся и участия учителя в учебном процессе (по степени самостоятельности учащихся): объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, проблемный, частично-поисковый, исследовательский (И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин).

5. Логические методы: индуктивный, дедуктивный.

В наибольшей степени развивающая функция обучения обеспечивается методами проблемного обучения, поэтому уместно напомнить их суть.

Проблемное изложение (рассказ, описание) как метод обучения дает образец мысленно проводимого исследования. В нем имеют место анализ, выявление противоречий и обобщение данных анализа, постановка и формулирование гипотез, последовательная их проверка (анализ и синтез), формулирование решения (синтез и рефлексия). Все выводы принимаются на основе доказательств. Этот образец рассуждения реализует учитель.

Частично-поисковый, или эвристический, метод (эвристическая беседа, дискуссия, диспут, мысленный эксперимент, моделирование) опирается на вышеописанную модель проблемного изложения, которая реализуется учителем и учащимися в совместной деятельности. Вопросы задают и учитель, и учащиеся. Направление поиска, ход беседы, дискуссии, диспута в значительной степени зависят от ответов учащихся. Эвристический метод позволяет им открыть новые смыслы в учебной информации, ибо анализ, синтез и рефлексия как основа суждений, рассуждений, доказательств и умозаключений, а затем и теоретических обобщений в полной мере способствуют развитию и эвристического и логического мышления. Управление познавательной деятельностью учащихся осуществляет учитель путем специальной системы вопросов, заданий.

Исследовательский метод опирается на полную самостоятельность учащихся в их учебно-познавательной деятельности. Постановку целей деятельности, выявление противоречий, формулирование гипотез, их решение и проверку делают сами учащиеся.

Вместе с тем непосредственное воплощение этих методов на уроках математики невозможно без учета специфики исследовательской математической деятельности. Модель такой деятельности представлена нами ранее.

Проектирование технологии обучения описано в п.3.1. настоящего пособия. В следующих параграфах будет показано, как она работает при конструировании уроков математики основных типов.

Элементы и структура урока, типы уроков.

Структура современного урока математики должна обеспечивать достижение триединой цели урока. Она достигается ходом всего урока путем решения системы дидактических (учебных) задач - подцелей общей цели урока, которые и определяют основные структурные части урока. Так, М.И. Махмутов считает, что внешнюю структуру урока определяют три основные дидактические задачи; актуализация прежних (опорных) знаний; формирование новых понятий и способов действия; формирование умений и навыков умственных и практических действий [61]. Однако сам же автор признавал, что эта структура урока не отражает процесс познавательной деятельности учащихся. Наряду с ней, говорит М.И. Махмутов, следует определить внутреннюю логико-психологическую структуру урока. Последнюю он отождествляет с этапами проблемного обучения. В последних работах по методике обучения математике [59, 90] выделяются три части дидактической структуры урока по М.И. Махмутову, в методическую же структуру включены практически лишь элементы традиционного урока. Мы исходим из положения о том, что структурные части урока определяются системой учебных задач, которые ведут к достижению триединой цели урока. А поскольку эти цели формулируются через результаты учебной деятельности ученика как ее субъекта, то ученику должен быть понятен смысл и цель предстоящей деятельности, у него должна появиться потребность в этой деятельности. Поэтому пер-

вал подзадача урока заключается не просто в актуализации знаний, а в формировании у школьника смысла и потребности в предстоящей деятельности. Поэтому мы называем первую часть урока мотивационно-ориентировочной.

Следующая часть урока направлена на организацию деятельности учащихся, непосредственно связанной с решением учебной задачи. Она направлена на открытие и формирование новых знаний и способов деятельности. В соответствии со структурой учебной деятельности назовем ее операционно-познавательной.

Наконец, третья важная подзадача заключается в осмыслении учеником собственной деятельности, ее процесса и результата. Поэтому мы назовем ее рефлексивно-оценочной.

Итак, инвариантная структура любого современного урока математики включает в себя три основные части:

Мотивационно ориентировочная часть

Операционно-познавательная часть (открытие и формирование новых знании и способов действий)

Рефлексивно-оценочная часть

В свою очередь, решение учебной задачи каждой части состоит в решении частных подзадач (микрозадач), которые определяют ее структурные элементы (звенья). Можно выделить следующие элементы структуры современного урока математики в целом:

1. Проверка домашнего задания.

2. Актуализация.

3. Мотивация.

4. Проблемная ситуация.

5. Формулировка проблемы, постановка учебной задачи (цели урока).

6. Планирование решения учебной задачи.

7. Открытие новых знаний и способов действий.

8. Осмысление методов, приемов, теоретических положений, с помощью которых получены эти результаты;

9. Осознание ценностей полученных знаний (включая и методологические);

10.Воспроизведение изученного и его применение в стандартных ситуациях.

11 .Перенос знаний и их применение в новых видоизмененных ситуациях.

12.Самостоятельное выполнение заданий под контролем учителя.

13.Обобщение и систематизация новых знаний, способов действий, способов рассуждений.

14.Контроль знаний и умений (проверка по пройденному материалу).

15.Рефлексия учеником своих действий и самооценка (своих действий, интереса к изучаемому, отношения к виду учебной деятельности).

16.Текущая диагностика.

17.Подведение итогов.

18.Постановка домашнего задания.

В свою очередь, методическая структура каждого этапа урока зависит от типа урока. Анализируя работы дидактов по проблеме типологии уроков, следует отметить, что и здесь нет единой точки зрения.

В соответствии с основной дидактической целью выделяют следующие типы уроков:

1. Комбинированный урок.

2. Урок изучения нового учебного материала. Иногда этот урок называют уроком усвоения новых знаний.

3. Уроки совершенствования знаний, умений и навыков. В математике это чаще всего уроки решения задач, уроки-практикумы.

4. Уроки обобщения и систематизации знаний.

5. Уроки контрольные (уроки проверки и оценки знаний).

В последние годы в практике работы учителей проводятся нестандартные уроки. Наиболее распространенные типы уроков, существующих в практике работы учителя, исследованы С.Г. Манвеловым. Он их группирует в следующие блоки:

В первый блок он включает выделенные выше типы уроков по их основной дидактической цели.

Во втором блоке описываются урок-лекция, урок-семинар, урок-практикум, урок консультация, урок-зачет. Как увидим далее, это уроки лекционно-семинарской системы занятий, которую рекомендуется использовать в старших классах.

В третий блок входят урок с дидактической игрой, урок -ролевая игра, урок-экскурсия, урок-дискуссия.

Четвертый блок составляют урок-соревнование, урок - деловая игра, интегрированный урок, театрализованный урок.

В системе Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова выделяют уроки, соответствующие структуре учебной деятельности: урок постановки учебной задачи, урок планирования ее решения, урок преобразования условия задачи, урок моделирования, урок преобразования модели, урок отработки, урок самоконтроля и самооценки. Некоторые из них будут описаны далее.

В последующих пунктах будем описывать методическую структуру классических (академических) уроков математики, которые обеспечивают фундаментальность математического образования и которым пока нет альтернативы. Это уроки изучения нового, решения задач, обобщения и систематизации знаний.

Условия проектирования современного урока математики

Все вышесказанное определяет основные условия (в традиционной терминологии требования) проектирования урока математики.

1. Целостность урока, которая обеспечивает его новое качество как системного явления. Это условие предполагает рассматривать урок как целостную методическую систему, как органичный синтез основных ее компо-

нентов: особенностей учащихся данного класса, целей, содержания, технологии обучения. Целостность, гармоничность урока не возможна без логики. Она проявляется, прежде всего, в его математическом содержании. Если это урок изучения нового, то подобранные упражнения для этапа актуализации, мотивации, проблемной ситуации, целеполагания в основном должны быть связаны с новыми для учеников знаниями. Если это уроки решения задач, то важно, чтобы задачи были связаны единой идеей, определяемой целью урока, но не подобраны по принципу «Какие есть в учебнике». Логика содержания определяет и логику этапов урока. Важно, чтобы каждый предшествующий этап урока был логически связан с последующим. При этом учителю следует делать логические переходы от одного этапа к другому (подводить по ходу урока промежуточные результаты, мотивировать переход к следующему этапу и т.д.). В таком случае смысл деятельности будет понятен каждому ученику, а мотивация будет осуществляться не только в начале, но и на протяжении всего урока.

Логика урока состоит и в системе вопросов и заданий учителя.

2. Методологической основой проектирования каждого компонента урока в отдельности и урока в целом является интеграция основных психолого-педагогических концепций обучения, направленных на развитие и саморазвитие личности ученика: личностно ориентированное обучение, принципы гуманитаризации и дифференциации, деятельностный и технологический подходы к обучению.

3. Триединая цель урока математики:

- это желаемые результаты деятельности ученика на уроке и способы их достижения;

- задается в диагностичной форме и отражает содержательную, процессуальную и результатирующую функции обучения;

- «рождается» на уроке в атмосфере сотворчества учителя и учащихся и служит ориентиром учебной деятельности последних.

4. Содержание, усваиваемое учащимися, должно быть гуманитарно ориентированным и адекватным триединой цели урока. Оно представляется как явно (информационный компонент), так и не явно, через технологию обучения.

5. Технология обучения проектируется в соответствии с выделенными выше концепциями и должна гарантировать достижение диагностично поставленных целей урока.

6. Структура урока математики должна содержать три инвариантные части: мотивационно-ориентировочную, операционно-познавательную, рефлексивно-оценочную, на каждой из которых ученик - активный соучастник.

7. Создание ситуации успеха на уроке для каждого ученика. Принцип посильных трудностей. Ученик может быть активным участником на уроке лишь в том случае, если у него есть желание «хочу» и уверенность в своих силах «могу». Основная идея личностно-ориентированной дидактики заключается в том, чтобы «хочу» и «могу» выступали совместно, поддерживая

друг друга. При этом важно создавать «ситуацию успеха». Конечно, эта ситуация будет разной для каждого ученика. Поэтому в арсенале учителя должны быть вопросы и задачи разного уровня сложности.

8. Сотворчество учителя и учащихся. Современная дидактика трактует обучение как целенаправленное, заранее запрограммированное общение, в ходе которого осуществляется образование: школьниками усваиваются отдельные стороны опыта человечества, опыта деятельности и познания и осуществляется развитие, саморазвитие и воспитание ученика. Это общение на уроке переходит в сотворчество учителя и ученика, которое строится на взаимопонимании, совместном «проживании» и переживании. Приоритетное значение имеет личность самого учителя: насколько ему самому интересно то, что он излагает, может ли он вызвать положительные эмоции, создать психологический комфорт каждому, сформировать познавательные интересы («хочу» и «могу»). Общение на уроке проходит в форме диалога. Последний предполагает и стимулирует свободное высказывание учащимися гипотез, проблем, идей их решения, даже если они и ошибочны. Важно создать обстановку, когда любой ученик не боится высказывать свое мнение, предложить гипотезу, идею решения. Целью атмосферы сотрудничества и сотворчества учителя и ученика на уроке является поиск истин в обстановке доброжелательности, комфортности, эмоциональной напряженности всех участников процесса обучения.

9. Эстетическая направленность урока математики. Мы отмечаем два направления, обеспечивающие эстетику урока математики. Во-первых, это красота математического содержания и связь математики с миром красоты в окружающей действительности. Эти особенности математики выделены И.Г. Зенкевич. Признаки красоты в математике выделил Г. И. Саранцев. Они существуют в математике объективно.

Проблема состоит в том, чтобы ученик осознал и воспринял эту красоту. Поэтому второе необходимое условие эстетической направленности урока состоит в степени участия ученика в учебной математической деятельности. Философы утверждают, эстетика проявляется в процессе любой деятельности человека при условии, что она носит творческий характер. Творчество по своей природе эстетично, так как оно предполагает активизацию и концентрацию человеческих чувств. Все выделенные выше условия проектирования современного урока математики обеспечивают, в том числе и его эстетическую направленность.

Урок математики украшает «красота мысли». Общеизвестно, что истинное удовольствие от урока математики получают не только учитель и ученики, но и другие присутствующие на нем от того, как ученики рассуждают: участвуют в поиске, высказывают свои гипотезы, понимают, когда высказанное суждение только правдоподобно, а когда оно достоверно (логически обоснованно). Четкое, логически грамотное доказательство теоремы, обоснование решения, проведенное учениками, доставляет удовлетворение и ему самому и тем, кто его слушает. Поскольку мысль на уроке выражается в речи, то урок математики украшает математически грамотная речь учащихся.

Это возможно при определенных условиях. Прежде всего, сам учитель должен давать образец такой речи. Во-вторых, необходимо целенаправленно и настойчиво развивать речь учащихся. Этой проблеме посвящены многие методические работы, поэтому мы здесь не будем в нее углубляться.

Эстетическую направленность урока обеспечивает не только логическое, дедуктивное мышление, но и чувственно эмоциональное. Эмоциональная деятельность является одним из ведущих компонентов познавательной деятельности в целом. Она во многом определяет как успешность учебной деятельности ребенка, так и формирование всех его личностных структур.

В заключение приведем, как с описанных выше позиций следует анализировать урок математики.

Примерная схема анализа урока математики:

1. Общие сведения: число, месяц, год, класс, школа, учитель.

2. Общая характеристика математического содержания урока:

а) тема урока, её связь с предшествующим и последующим материалом, роль в изучении курса в целом;

б) анализ особенностей математического содержания: понятия и логическая структура их определений; теоремы, приёмы и методы их доказательств, их новизна для учащихся; типы, приёмы и методы решения задач и т.д.;

в) предпосылки для организации развивающего обучения, определяемые математическим содержанием.

3. Постановка триединой цели (учебной задачи) урока как синтеза развивающих, образовательных и воспитательных целей: на каком этапе и кем сформулированы цели урока.

4. Выбор типа урока, методов, приёмов, средств, форм обучения и их соответствие поставленным целям.

5. Анализ структуры урока, его отдельных этапов:

а) проверка домашнего задания: цели задания и проверки; приёмы проверки; глубина проверки знаний, умений и навыков учащихся, их мотивированная оценка; реакция учителя на ошибки учащихся; ликвидация причин появления ошибок; обучающая и воспитывающая роль контроля, его эффективность;

б) подготовка учащихся к активному, сознательному усвоению: актуализация знаний и её приёмы; пути создания мотивации учения или проблемных ситуаций; постановка целей урока, участие в ней школьников;

в) научность, полнота и последовательность изложения материала; приёмы активизации деятельности школьников при изучении нового, степень их самостоятельности, приёмы управления познавательной деятельностью школьников, осуществление обратной связи; степень отражения в содержании урока и технологиях основных компонентов гуманитарно ориентированного содержания математического образования (информационной и методологической компоненты, опыта коммуникативной, умственной деятельности

учащихся, опыта поисковой, творческой деятельности, условий для создания эмоционально-ценностного отношения), программных требований; соответствие содержания учебного материала триединой цели урока;

г) система упражнений и заданий на этапе осознания, осмысления, её соответствие поставленным целям;

д) система упражнений и задач на уроках-практикумах; методика постановки задач; формы организации деятельности учащихся и степень их самостоятельности в решении задач; нестандартные задачи и оригинальные решения; возбуждение интереса учащихся к математике через решение задач;

е) формы и приёмы контроля за усвоением знаний: установление достижения целей урока;

ж) логика урока, взаимосвязь его этапов, логика в переходе от одного этапа урока к другому;

з) оформление записей на доске и в тетрадях на различных этапах урока;

и) приёмы подведения итогов урока; к) приемы выдачи домашнего задания;

л) распределение времени на различные этапы урока.

6. Общий анализ реализации развивающих и воспитательных целей:

а) развитие общеучебных умений школьников: работа с учебником и справочной литературой, с таблицами; планирование своей деятельности и ее оценка и т. д.;

б) развитие интеллектуальных умений: эвристических, логических, речевых;

в) формирование научного мировоззрения: связь математики с практикой, внутрипредметные и межпредметные связи; обучение методам научного познания в математике;

г) развитие самостоятельности, умения учиться;

д)осуществление дифференцированного подхода, учет индивидуальных особенностей учащихся;

е) развитие мотивации учения;

ж) развитие положительных качеств мышления: глубины, гибкости, критичности, активности и самостоятельности, осознанности и т. д.;

з) точность и выразительность, эмоциональность речи учителя;

и) уровень требовательности учителя, объективность в оценке знаний и умений учащихся; реакция учащихся на оценки;

к) культура общения учителя с учащимися, создание «комфортности» учения на уроке, умение снять напряжение в конфликтной ситуации;

л) атмосфера сотрудничества на уроке: «учитель - учащиеся», «ученик - ученик» и т.д.;

м) эмоциональный настрой учащихся на работу;

н) реализация других аспектов воспитания и развития.

7. Организация урока: точность начала и окончания; подготовленность классного помещения и оборудования к уроку; длительность организацион-

ного момента; быстрота включения класса в деловой ритм; эмоциональный настрой, заинтересованность, собранность учителя; темп урока.

8. Общие выводы по уроку: выполнение плана урока и достижение поставленных целей; что произвело на уроке особенно сильное впечатление; какие коррективы целесообразно внести при повторном проведении урока на эту же тему; общая оценка урока.

Примечание:

1. Основной принцип анализа урока - принцип целеполагания: анализ урока с позиции поставленных учителем целей, методов и средств их достижения.

2. Отдельные отраженные в схеме аспекты анализа урока могут не присутствовать на одном уроке. Для объективной оценки деятельности учителя по всем параметрам следует посетить систему уроков по учебной теме или по различным темам.

4.2. Проектирование изучения темы

Подготовка учителя к уроку может быть успешной лишь в том случае, если каждый урок не будет разрабатываться изолированно от остальных уроков учебной темы, а будет логически связан с предшествующими и нацелен на решение учебных задач темы. Поэтому надо сначала создать проект изучения темы в целом. Для этого необходимо проанализировать учебный материал темы, представленный в программах и учебнике.

Впервые деятельность учителя при подготовке к системе уроков по учебной теме была описана в работе [52]. Она включала в себя цели изучения темы, логико-математический и дидактический анализы теоретического и задачного материалов, подготовку учебных задач и выделение адекватных им действий, определение средств и приемов обучения, форм контроля и оценки знаний. На основании всего этого составлялось методическое планирование темы. В работах [39, 103] уточняются действия учителя по логико-дидактическому анализу теоретического материала в связи с новым подходом к содержанию математического образования, которое определено нами в первой части данного пособия. Напомним, что оно содержит информационный компонент, представленный основными дидактическими единицами (аксиомы, понятия и их определения, теоремы и их доказательства, правила, ключевые задачи) и методологические знания, объективно связанные с ними. Последние содержатся в учебном материале, но не всегда явно и четко сформулированы в программах и учебниках. Вместе с тем они выполняют важные образовательные, развивающие и воспитательные функции.

Логико-дидактический анализ темы - сложная методическая проблема. Трудность проведения анализа связана, прежде всего, с выделением методологических знаний, которые заложены в содержании, но явно в нем не представлены. Его следовало бы проводить в методических рекомендациях для

учителя, которые издаются к каждому учебнику. Однако пока это приходится выполнять самому учителю.

Выделим основные этапы планирования системы уроков изучения учебной темы: анализы теоретического и задачного материалов, постановка целей изучения темы, проектирование системы уроков.

Первый этап подготовки учителя к системе уроков состоит в математическом и дидактическом анализах теоретического и задачного материалов.

Примерные действия учителя, направленные на анализ теоретического материала темы

1. Изучение программы по математике и осознание:

а) требований к математической подготовке учащихся;

б) места и роли темы в той содержательной линии курса, в которую она входит;

в) цели изучения и основное содержание по конкретному учебнику.

2. Изучение дополнительной математической и методической литературы по рассматриваемой теме.

3. Выделение и общий анализ дидактических единиц темы по конкретному учебнику (аксиомы; понятия и их определения; теоремы - их формулировки и доказательства; правила), отвечая на следующие вопросы:

а) Каким понятиям в теме даются формально-логические определения, а какие вводятся описательно?

б) Какие понятия темы являются ведущими?

в) Как они связаны с предшествующим содержанием? Какие методологические знания характеризуют ведущие понятия темы (новизна видов их определений, логических структур, наличие кванторов и др.)? Каковы возможны способы получения учащимися определений новым понятиям?

г) Какие теоремы дополняют содержание понятий, данное в определениях (свойства, признаки, существование)?

д) Каковы общелогические и специфические методы и приемы доказательств теорем? Какова их новизна для учащихся?

е) Какие методологические знания можно формировать у школьников на этапах «открытия» формулировок теорем и поиска доказательств теорем?

ж) Выделены ли в тексте нужные правила, определяющие способы деятельности? Следует ли им давать алгоритмическое предписание? И т. д.

4. Установление логической организации учебного материала (индуктивное или дедуктивное изложение), уровня строгости доказательств, готовности школьников к дедуктивному восприятию.

5. Выявление связей между дидактическими единицами темы, составление систематизирующей таблицы, выделение «ядра» изучаемой темы.

6. Определение необходимости и целесообразности переструктурирования содержания темы.

7. Установление возможностей привлечения дополнительного материала с целью знакомства с историей развития понятия, его приложениями, с новыми для учеников методами открытия новых знаний и доказательств.

8. Наметить пути мотивации для введения ведущих понятий темы, их признаков и свойств.

9. Постановка учебных задач изучения теоретического материала.

10. Первая «прикидка» построения системы уроков изучения нового.

Примечание. К любому анализу не следует подходить формально. Выделенные действия не задают жесткую иерархию и являются примерными. В зависимости от специфики темы отдельные действия могут опускаться или дополняться новыми. Опытный учитель «держит их в голове».

В качестве примера рассмотрим тему «Параллельные прямые» по учебнику: Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. ср. шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 2007.

Проведем анализ теоретического материала с методологических позиций.

1. Выделим основные дидактические единицы:

• определение параллельных прямых;

• новые общелогические понятия: аксиома, условие и заключение теоремы; теорема, обратная данной; следствие; метод доказательства от противного;

• аксиома параллельных прямых;

• теоремы: три признака и три свойства параллельных прямых, два следствия из аксиомы параллельных прямых;

• правила построения параллельных прямых.

2. Существование параллельных прямых доказано в пункте 12 учебника (две прямые плоскости, перпендикулярные третьей, не пересекаются). Следовательно, прежде чем ввести определение параллельных прямых, надо повторить известное ученикам утверждение. Определение параллельных прямых дано через род и видовые отличия, одно из них впервые формулируется через отрицание. Данное понятие представлено в четырех формах: натуральной, графической, вербальной и символической. Имеются большие возможности для формирования логических умений выводить следствия и подводить под определение понятия, причем примеры и контрпримеры к понятию должны быть представлены в различных формах; целесообразно использовать каркасные модели различных пирамид и призм. Система упражнений в рефлексивно-оценочной части работы с определением (см. пункт 3.2) должна формировать у школьников его критериальную сущность. В более сильном классе после изучения признаков и свойств параллельных прямых появляется возможность провести разговор о неоднозначности определения одного и того же понятия.

3. В этой теме впервые явно идет речь об аксиомах. Учащимся необходимо напомнить уже изученные аксиомы (например, через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну), рассказать об их происхо-

ждении, о роли аксиом вообще и аксиомы параллельности в частности, о Евклиде, его геометрии и возможных других геометриях.

4. Впервые вводится понятие теоремы, обратной данной. Уместно выделить правило формулирования предложения, обратного данной простой теореме, т. е. теореме, в условии и заключении которой по одному элементу:

1) сформулируй данную теорему в условной форме (если..., то...), если она задана в категоричной форме;

2) выдели в теореме условие и заключение;

3) поменяй местами условие и заключение;

4) сформулируй обратное утверждение.

Учитель должен обратить внимание на следующий момент: не всегда предложения, обратные теоремам, являются истинными, для их опровержения достаточно привести один контрпример. Для формирования понятия теоремы, обратной данной, следует привлекать материал из других тем. Таким образом, ученики будут понимать, что это понятие относится к общелогическим. Заметим, что понятие теоремы, обратной данной, может быть введено ранее (например, при изучении темы «Делимость чисел» в V-VI классах).

В данной теме три теоремы - свойства параллельных прямых - являются теоремами, обратными к признакам параллельных прямых. Первое свойство доказывается методом от противного, два других свойства доказываются обращением цепочки доказательств соответствующих признаков. Поэтому важно обратить внимание учащихся на методы доказательств обратных теорем: или метод от противного, или метод обращения цепочки рассуждений «прямой» теоремы - появляется возможность обучать учащихся выбирать методы доказательств обратных теорем. В дальнейшем это умение будет формироваться при решении задач и изучении других тем.

5. Три теоремы в теме доказываются методом от противного: два следствия из аксиомы параллельных прямых и первое свойство параллельных прямых. Следовательно, в теме имеются объективные предпосылки для формирования у учащихся умений применять этот метод рассуждений. Заметим, что и утверждение о существовании параллельных прямых также доказывается методом от противного. Значит, целесообразно в начале изучения темы не только повторить суть этого утверждения, но и выполнить его доказательство. Более того, желательно выделить и зафиксировать письменно схему доказательства методом от противного:

1) выделить условие и заключение теоремы;

2) предположить противное (противоположное) тому, что требуется доказать;

3) вывести следствия из полученного суждения;

4) получить противоречие с уже известным математическим предложением (определением, аксиомой, теоремой) или условием;

5) сделать заключение о том, что предположение неверно;

6) сделать вывод о верности того, что требовалось доказать.

Заметим, что уточнения (в пункте 4) приведенной схемы появляются позже, после введения понятия аксиомы и доказательств следствий из аксиомы параллельных прямых.

6. Теоретический материал темы содержит большой потенциал, который может быть направлен на овладение учащимися гипотетико-дедуктивными методами на этапе «открытия» новых фактов, закономерностей, доказательств.

Так, с помощью конструктивного диктанта под руководством учителя учащиеся могут создать графическую модель к первому признаку параллельных прямых. Анализируя ее, они подходят к «открытию» формулировки первого признака.

Опираясь на аналогию, интуицию, опыт, учащиеся могут «открыть» формулировки других двух признаков параллельных прямых. Возможен и другой вариант: предложить два признака в форме задач, тогда формулировки теорем появятся по окончании решения задач. В развивающем плане предпочтителен первый подход.

Следствия из аксиомы параллельных прямых могут быть предложены учащимся как задачи исследовательского характера: «Как расположены прямые, если ..?» Они являются одновременно упражнениями для осознания самой аксиомы параллельных прямых.

После введения понятия теоремы, обратной данной, учащиеся смогут предложить формулировки свойств параллельных прямых самостоятельно.

7. Имеется возможность в той или иной степени включить школьников в поиск доказательств теорем.

Первый признак доказывается с применением приема дополнительных построений, идея доказательства - свести к свойству прямых, перпендикулярных к одной и той же прямой. Доказательство многошаговое, поэтому, как показывает опыт, вызывает у семиклассников большие трудности. Следовательно, уместно прибегнуть к поиску доказательства признака аналитико-синтетическим методом, обосновав необходимость дополнительных построений. Степень самостоятельной поисковой деятельности школьников пока будет невысокой.

Доказательство двух оставшихся признаков может быть проведено синтетическим методом в условиях самостоятельной деятельности учащихся. О методике проведения доказательств других теорем речь шла выше.

8. Правила построения прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку, с помощью чертежного угольника и линейки желательно выделить в форме алгоритма с соответствующими покадровыми рисунками. Обратить внимание учащихся на обоснование правильности построений. Такая работа направлена на развитие мыслительных приемов анализа и синтеза, обобщения, абстрагирования, так как при обосновании надо «увидеть» на рисунке неявно заданные прямые, углы.

В результате проведенного анализа приходим к выводу, что в этой теме можно выделить довольно большой блок теоретического материала, представляющий собой систему трех укрупненных дидактических единиц - трех пар признаков и соответствующих свойств параллельных прямых. Поэтому появляется идея совместного изучения этого блока методом укрупнения дидактических единиц: признак и соответствующее свойство. Однако теоретический базис доказательства свойств содержит аксиому параллельных прямых. Следовательно, нужно переконструировать теоретический материал так, чтобы совместно изучать признаки и свойства параллельных прямых. Поэтому перед изучением признаков и свойств необходимо ввести понятие аксиомы, аксиому параллельных прямых и два следствия из нее.

Итак, в теоретическом материале темы «Параллельные прямые» можно выделить три блока.

Первый блок состоит из следующих дидактических единиц: определение и существование параллельных прямых, которое фактически доказано методом от противного еще в пункте 12 учебника, виды углов, образованных при пересечении двух прямых третьей. Учитывая, что многие теоретические положения темы доказываются методом от противного, следует в первый блок включить и изучение этого общелогического метода как самостоятельной дидактической единицы.

Второй блок содержит понятие аксиомы, аксиому параллельных прямых и следствия из нее.

Третий блок представляет собой систему признаков и свойств параллельных прямых, понятие обратной теоремы и методов ее доказательств.

Выделенные блоки адекватно определяют соответствующие уроки изучения нового.

Отметим, что в данной теме уровень строгости логических рассуждений значительно повышается в сравнении с предыдущей темой - признаками равенства треугольников. Материал темы организован строго дедуктивно: во-первых, главному понятию темы дается определение; во-вторых, вводится понятие аксиомы, раскрывается роль аксиом в геометрии; в-третьих, остальные теоретические положения доказываются с помощью определений, аксиом и доказанных ранее теорем.

Следовательно, основной учебной задачей изучения темы «Параллельные прямые» является формирование у учащихся представлений о дедуктивном методе построения системы знаний. Эта задача, в свою очередь, состоит из трех учебных задач. Одна из них связана с формированием у школьников общего способа введения новых понятий в дедуктивной теории: 1) введение определения нового понятия; 2) доказательство существования соответствующих определению объектов: 3) изучение свойств и признаков нового понятия, не выделенных в определении. Вторая учебная задача связана с формированием представлений у ребят об аксиомах, их роли в дедуктивной системе знаний. Третья учебная задача включает в себя овладение учащимися общелогическими методами доказательств (аналитико-синтетическим, методом от противного, приемом обращения цепочки логических рассуждений

прямой теоремы) и частными способами доказательств параллельности прямых, равенства углов и нахождения величин углов.

Эта система учебных задач позволяет спрогнозировать диагностируемые цели (ожидаемые результаты) изучения темы «Параллельные прямые».

По окончании изучения темы ученик воспроизводит:

- определение параллельных прямых;

- формулировку аксиомы параллельных прямых, следствий из нее;

- формулировку признаков и свойств параллельных прямых;

- схему логических рассуждений методом от противного;

ученик понимает, что:

- признаки и свойства параллельных прямых являются взаимно обратными теоремами;

- один из признаков параллельных прямых можно доказать аналитико-синтетическим методом;

- остальные признаки доказываются на основе первого как логические следствия его;

- обратные утверждения можно доказать методом от противного или приемом обращения цепочки логических рассуждений прямой теоремы;

- без аксиомы параллельных прямых невозможно доказать их свойства;

ученик умеет:

- устанавливать параллельность прямых;

- находить равные углы или углы, сумма которых равна 180°, на основе свойств параллельных прямых;

- доказывать истинность утверждений методом от противного.

Примерные действия учителя, направленные на анализ задачного материала темы

Прежде всего отметим, что усвоение каждой темы школьного курса математики и развитие учащихся на том или ином уровне обеспечивается определенной системой упражнений и задач. Система задач - сложное образование. Не вдаваясь в детали понятия системы, перечислим некоторые наиболее существенные требования к системе задач по теме.

1. Среди упражнений должно быть достаточное число дидактических, т. е. одно-, двухшаговых заданий для реализации этапа осознания, осмысления изучаемых дидактических единиц, для формирования умственных действий, непосредственно связанных с этими дидактическими единицами. Требования к системе таких упражнений перечислены в пункте 3.4.

2. При изучении каждой темы формируются вполне определенные общелогические и специфические умения, которые используются далее при изучении теории и решении задач (пункт 3.5). Для выявления этих умений есть несколько источников. Во-первых, программы по математике и Госу-

дарственный стандарт образования, во-вторых, логико-математический и дидактический анализ теоретического материала и, в-третьих, решение задач.

В системе задач по теме должно быть достаточное количество задач, направленных на формирование выявленных умений.

3. Чтобы включить знания учащихся в систему, важно среди задач по теме иметь комплексные задачи, т. е. задачи, при решении которых используются знания, полученные при изучении не только данной, но и предыдущих тем, а также при изучении других разделов математики и даже других предметов.

4. В систему задач должны входить и задачи, специально направленные на формирование положительных качественных характеристик ума. Например, задачи с нестандартной постановкой вопроса, с практическим содержанием, задачи, допускающие несколько способов решения, задачи, на основе которых можно составить новые, в частности обратные задачи, цепочки взаимосвязанных задач и т. д.

5. Задачи всех перечисленных выше видов должны быть рассчитаны на учащихся с различными уровнями подготовленности, т. е. система задач должна обеспечивать соблюдение принципа посильных трудностей.

Как известно, в учебниках по математике к каждой теме предлагается набор задач. Однако далеко не всегда этот набор и порядок расположения образуют систему задач, особенно по геометрии. Кроме того, цель, с которой та или иная задача может быть использована в процессе обучения, определяется индивидуально, она зависит не только от содержания, метода и приема решения задачи, но и от возможностей класса, его отдельных учащихся, от квалификации учителя.

Для создания системы задач и разработки методики работы над задачами с целью формирования общего умения решать задачи и развития учащихся проводится анализ задачного материала.

Наметим примерную последовательность действий учителя при анализе задачного материала темы.

1) Выписать дидактические единицы и методологические знания, которые выделены при анализе теоретического материала.

2) Решить все задачи по теме из учебника (в том числе и дополнительные). Провести анализ решения каждой задачи: выделить теоретический базис, метод решения (в содержательном и логическом плане), приемы (общелогические и специфические), попытаться найти другие способы решения, составить на основе данной задачи новые и т.д.

Если задача носит дидактический характер, т.е. это одно-, двухшаговая задача на прямое применение изучаемой теории, на осознание, осмысление той или иной единицы усвоения, уже выписанной в пункте 1, то отнести ее к соответствующей дидактической единице.

Если в задаче устанавливается новый факт или при ее решении используется идея, не отраженная в теоретическом материале, то эти факты и идеи тоже выписать или зафиксировать каким-либо другим способом. Далее все задачи, при решении которых используется один и тот же факт или одна и та

же идея, отнести в одну группу. Если при решении используется несколько фактов и идей, то задачу отнести в пересечение групп. Попутно каким-то образом отметить, какая дополнительная работа может быть проведена с этой задачей.

Таким образом, на данном этапе анализа выявляются новые для учащихся типы задач, приемы и методы решения и, следовательно, умения, которые могут формироваться при изучении темы. Фактически здесь выделяются группы задач:

- на формирование каждого из умений, характерных для данной темы;

- на комплексное применение знаний из данной и ранее изученных тем;

- на основе которых может быть проведена дополнительная работа (поиск разных способов решения, составление новых задач и др.).

3) Установить взаимосвязи между задачами одной группы, по возможности, ранжировать их по степени сложности. Выделить в группе ключевую задачу.

4) Выделить ключевые задачи-факты (задачи-теоремы). Ключевые задачи относятся к задачам с познавательной функцией.

5) Из всех дидактических единиц, фактов и идей темы и отвечающих им ключевых задач выбрать основные, общеобразовательные, т.е. те, которые входят в «стандарт» образования и должны быть освоены всеми без исключения учащимися.

6) Проверить, все ли основные единицы усвоения снабжены достаточным количеством упражнений и задач. Пополнить соответствующие группы задач недостающими. Их можно составить или позаимствовать из других источников.

7) Установить взаимосвязи между оставшимися группами задач, выбрать последовательность предъявления их учащимся.

Усвоение решений ключевых задач из этих групп вместе с материалом по теории создаст школьникам комфортные условия для решения любых других задач по данной теме.

Проведенный таким образом анализ позволяет, с одной стороны, создать систему задач по теме и, с другой - обеспечить дифференцированное обучение в рамках одного класса: одни учащиеся могут получать задачи из общеобразовательных, отвечающих стандарту, а другие - задачи более высокого уровня, из последующих групп, и переходить к комплексным задачам.

8) Сформулировать учебные задачи уроков решения задач.

9) Спрогнозировать систему уроков решения задач.

10) Составить контрольную работу, учитывающую уровень развития каждого ученика.

Для иллюстрации высказанных общих положений проанализируем задачный материал темы «Параллельные прямые».

Разговор о дидактических задачах темы опускаем, поскольку он больше касается изучения теории.

Традиционно в программах по математике указываются следующие обязательные умения, которые необходимо формировать при изучении темы «Параллельные прямые»:

• доказывать параллельность прямых с использованием соответствующих признаков;

• находить равные углы при параллельных прямых и секущей.

Анализ теоретического материала показывает, что, кроме названных, формируются умения:

• формулировать предложение, обратное данному;

• доказывать предложение методом от противного.

В процессе решения задач обнаруживается, что наряду с доказательством параллельности прямых нередко приходится обосновывать их непараллельность. Следовательно, наряду с перечисленными, формируется и умение доказывать, что прямые пересекаются (непараллельны).

Анализ задач показал, что в теме «Параллельные прямые» можно выделить последовательность из четырех групп задач.

1. Задачи, в которых даны две прямые и секущая. При решении используются или признаки, или свойства параллельности прямых. В основном, это задачи на доказательство (параллельности или непараллельности прямых, равенства углов, равенства суммы углов 180°) или на вычисление и доказательство с использованием свойств смежных и вертикальных углов.

В целом, задачи этой группы носят дидактический характер и могут быть составлены самими учащимися в рефлексивно-оценочной части деятельности по усвоению признаков и свойств параллельности прямых. К числу ключевых в этой группе можно отнести лишь одну задачу.

Задача 1. Докажите, что если при пересечении двух прямых а и b секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые а и b пересекаются (№ 220 в учебнике).

2. Задачи, в которых даны две прямые и две секущие. При решении используются и признаки, и свойства вместе. В остальном задачи аналогичны первым.

Ключевой здесь может быть следующая задача.

Задача 2. По данным рис. 3.18 найдите угол 1 (№ 205 из учебника).

3. Задачи, в которых две прямые и секущая явно не заданы, они определяются отрезками, двойками точек, элементами треугольника. При решении наряду с признаками и свойствами параллельности прямых используются признаки равенства треугольников, определение биссектрисы угла, определение и свойства равнобедренного треугольника.

К ключевым здесь можно отнести, например, следующую задачу.

Задача 3. Отрезок ВК— биссектриса треугольника ЛВС. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке M так, что ВМ = МК. Докажите, что КМ\\ AB (№191 из учебника).

4. Комплексные задачи, при решении которых используются не только признаки или свойства параллельности прямых, но и другие знания, полученные при изучении данной и других тем. Приведем пример такой задачи.

Задача 4. Даны треугольник ЛВС и точки M и N такие, что середина отрезка ВM совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN - с серединой стороны AB. Докажите, что точки А/, N и А лежат на одной прямой (№221).

Основными, общеобязательными для всех учащихся являются задачи первой и второй групп. Комплексные задачи типа № 4 можно предлагать в порядке индивидуальной работы отдельным учащимся.

В характеристиках групп задач явно выделены возможности формирования специфических умений - доказывать параллельность или непараллельность прямых, равенство углов и равенство суммы двух углов 180° с использованием параллельности. Умения формулировать предложение, обратное данному, применять метод от противного - общелогические умения. Они формируются параллельно со специфическими умениями. Поэтому специальные группы задач для них не выделены. Возможности формирования этих и общего умения решать задачи отражены в отборе ключевых задач. Характеристика ключевых задач и методика работы с ними рассмотрены в пункте 3.5.

Проведенный анализ показывает, что задачный материал темы «Параллельные прямые» обеспечивает решение учебных задач, сформулированных после анализа теоретического материала. Каких-либо новых идей, фактов, умений, необходимых для решения любых задач по теме, здесь не появляется. Поэтому учебная задача уроков решения задач по теме «Параллельные прямые» дублирует некоторые учебные задачи, уже сформулированные ранее, а именно формировать у учащихся умения:

- доказывать параллельность и непараллельность прямых;

- доказывать равенство углов или равенство суммы углов 180°; находить величины углов на основе свойств параллельных прямых;

- пользоваться общелогическими методами рассуждений (анализ, синтез, аналитико-синтетический метод, метод от противного).

В результате решения учебных задач ученик овладевает:

- общелогическими методами решения задач (аналитико-синтетическим, методом от противного);

- специфическими способами (способами доказательства параллельности и непараллельности прямых, равенства углов и равенства суммы углов 180°, нахождения величин углов на основе признаков и свойств параллельности прямых).

На решение задач по теме требуется не менее пяти уроков: дидактические задачи на прямое применение признаков и свойств параллельных прямых решаются на уроках изучения теории и на отдельном уроке, часть которого отводится проверке овладения учащимися соответствующими умениями; на втором уроке решаются ключевые задачи № 1 и № 2 и аналогичные им; на третьем - ключевая задача № 3; на четвертом - разные задачи на основе ключевых; на пятом целесообразно провести обучающую самостоятельную работу.

Проект системы уроков по теме не может быть однозначным. Он определяется не только результатами анализа учебного материала, но и педагогической ситуацией (особенностями класса, индивидуальностью учителя и т.д.). Предлагаем один из возможных вариантов построения системы уроков по теме «Параллельные прямые».

Система уроков по теме «Параллельные прямые»

№ п/п

Тема. Дидактические единицы

Основные цели

1

Определение параллельных прямых.

Определение параллельных прямых, существование (построение), метод от противного, виды углов.

Выделить общий способ введения понятий, схему доказательства методом от противного.

2

Аксиома параллельных прямых. Понятие аксиомы, аксиома параллельных, следствия из аксиомы.

Выявить роль аксиом, в частности аксиомы параллельных, в построении геометрии, формировать умение в применении метода от противного.

3,4

Признаки и свойства параллельности прямых.

Признаки и свойства параллельности прямых; понятие теоремы, обратной данной; методы доказательства обратных теорем.

«Открыть» совместно с учащимися признаки и свойства параллельности прямых; формировать умения в формулировании предложений, обратных данным, в применении анализа, синтеза, метода от противного в доказательстве теорем; выявить способы доказательства обратных теорем; выделить возможные ситуации, в которых могут быть применены признаки, свойства параллельных прямых, формировать умения в применении признаков и свойств.

5

Признаки и свойства параллельности прямых.

Дидактические задачи.

Отработка способов доказательства параллельности прямых, равенства углов, доказательства того, что сумма углов равна 180°, вычисления углов в простейших ситуациях - заданы две прямые и секущая.

Диагностика отдельных элементов знания.

6

Признаки и свойства параллельности прямых.

Ключевые задачи № 1-2.

«Открыть» совместно с учащимися признаки непараллельности прямых. Формировать умения:

- выбирать нужную дидактическую единицу (признак, свойство) для обоснования выводов в случае, когда даны четыре прямые (признаки и свойства используются в одной задаче);

- в применении аналитико-синтетического метода и метода от противного.

№ п/п

Тема. Дидактические единицы

Основные цели

7

Признаки и свойства параллельности прямых.

Ключевая задача № 3.

Формировать умения:

- доказывать параллельность прямых и равенство углов в ситуациях, когда прямые заданы не в явном виде;

- формулировать предложения, обратные данному;

- применять метод синтеза в задачах на доказательство.

8

Признаки и свойства параллельности прямых.

Задачи, решаемые на основе ключевых, № 1-3.

Формировать умения:

- доказывать параллельность прямых, равенство углов, находить величины углов в различных ситуациях;

- применять различные общелогические методы доказательства.

9

Признаки и свойства параллельности прямых.

Разноуровневая самостоятельная работа.

Проверить усвоение учащимися:

- способов доказательства параллельности прямых, равенства углов, нахождения величин углов;

- аналитико-синтетического метода и метода от противного в применении к задачам на доказательство.

10

Параллельные прямые. Систематизация знаний.

Основные дидактические единицы темы, частные и общелогические методы и способы решения задач.

Организовать осмысление полученных результатов изучения темы и способов их достижения.

11

Параллельные прямые. См. урок 9. (Урок-консультация).

См. цели девятого урока, уточненные по окончании урока систематизации.

Выявить уровни усвоения фактическо-

12

Параллельные прямые. Контрольная работа.

го материала и соответствующих теме общелогических и специфических методов, формируемых при изучении темы.

13

Параллельные прямые. Анализ контрольной работы.

Корректировать знания и умения школьников по теме.

После проектирования системы уроков по теме разрабатываются планы и конспекты отдельных уроков.

Заметим, что проектирование уроков на основе структуры учебной деятельности предполагает урок планирования. Цели, построение и конспекты отдельных уроков такого типа, в частности и по теме «Параллельные прямые», описаны в пункте 4.6.

4.3. Урок изучения нового

В исследованиях дидактов и методистов выделяют следующие компоненты урока изучения нового:

1) повторение изученного ранее;

2) актуализация прежних знаний и способов действий;

3) мотивация учебной деятельности;

4) постановка целей и учебных задач урока;

5) сообщение (формулировка) темы урока;

6) ознакомление с новым материалом (формирование новых знаний и способов действий; объяснение нового);

7) первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения;

8)постановка домашнего задания;

9) подведение итогов урока.

Заметим, что в этом списке не указан еще один компонент урока. Это так называемый организационный момент, на котором учитель приветствует класс, определяет готовность учащихся к уроку по ряду внешних параметров, «настраивает» класс после перемены на активную работу. Естественно, что урок изучения нового, как и любой другой урок в школе, начинается с организационного момента.

Структура урока и его основные этапы определяются соотношением (связями) между компонентами и их последовательностью. Так, традиционная структура урока изучения нового задается следующей последовательностью компонентов:

(5,4)-(1,2)-(6)-(7)-(8)-(9 ).

Напротив, структура урока, на котором ученики активно включаются в учебно-познавательную деятельность, определяется иной последовательностью компонентов:

(1-4)-(6,5)-(7)-(8)-(9 ).

Возьмем за основу именно такую структуру урока и раскроем ее особенности при конструировании уроков изучения нового.

Само название типа урока изучения нового, который иногда так и называют уроком ознакомления с новым материалом, подсказывает, что основная его обучающая цель состоит в ознакомлении учащихся с новым учебным материалом. Это означает, что в структуре такого урока особое место должно быть отведено содержательному (операционально-познавательному) этапу, где и раскрывается сущность новой дидактической единицы, метода познания, формируется новый способ деятельности и т.п. Отличие этого этапа от аналогичного в структуре традиционного урока состоит в степени готовности учащихся к «открытию» нового, в способности сформулировать тему урока после решения учебной задачи. Назовем этот этап урока содержательным (6,5).

Чтобы ученики были готовы к познавательно-созидательной деятельности на содержательном этапе, необходим мотивационно-ориентировочный этап урока. Он включает в себя актуализацию, которая наряду с воспроизведением ранее изученного предполагает применение прежних знаний в знакомых и новых ситуациях, установление необходимости изучения нового. Осознание учениками мотива учебной деятельности служит основой для постановки целей урока и их трансформации в учебные задачи урока. Назовем этот этап урока мотивационно-ориентировочным (1 -4).

Еще один важный этап урока изучения нового состоит в такой организации учебно-познавательной деятельности учащихся, которая позволяет им осмыслить свои действия на уроке, осознать особенности формы представления нового объекта и наметить сферу его применения. Важными на этом этапе являются упражнения, направленные не только на распознавание нового объекта, но и на конструирование основных типов задач, где может применяться новый элемент содержания, на выделение новых эвристик. Назовем этот этап урока этапом осознания и первичного закрепления (7).

Завершает урок изучения нового этап подведения итогов, на котором новые элементы содержания темы приводятся в систему и формулируется домашнее задание.

Таким образом, в построении этапов урока, на котором предметом усвоения выступает один элемент содержания темы, явно прослеживается связь с основными этапами технологии работы с дидактическими единицами. Этот факт позволяет использовать разработанные технологии при конструировании уроков изучения нового.

Вместе с тем на уроке изучения нового довольно часто вводится в рассмотрение не одна дидактическая единица, а несколько: определение понятия и теорема, определение и алгоритм, теорема и правило и т.п. Поэтому возникает вопрос о том, в каком отношении сочетаются выделенные этапы урока, если предметом усвоения выступают несколько единиц содержания. Но прежде чем ответить на этот вопрос, заметим, что структура урока изучения нового определяется не только содержанием учебного материала, но и целями его изучения.

Чтобы сформулировать цель урока изучения нового, нужно ответить на следующие вопросы. Во-первых, какое содержание следует отобрать к уроку и как его выстроить, т.е. выявить знания, которые нужно актуализировать на уроке, и отобрать новый материал, который составит основу содержательного этапа урока и позволит установить степень его осмысления. Во-вторых, как и каким образом будет организована деятельность учителя и учащихся по усвоению нового, т.е. продумать последовательность предъявления нового и отобрать методы, формы и средства обучения. В-третьих, что и как будет освоено учащимися на уроке, т.е. спланировать ожидаемые результаты через наблюдаемые действия учащихся. Очевидно, что цели каждого этапа урока должны быть подчинены триединой дидактической цели урока.

Следовательно, цели урока должны быть сформулированы так, чтобы они описывали планируемую деятельность учителя и ожидаемую деятель-

ность учащихся и отражали связи между содержанием и формами организации познавательной деятельности учащихся, между содержанием и ожидаемыми результатами его усвоения.

Поясним сказанное на примере урока изучения нового, открывающего раздел «Степень с натуральным показателем» (Алгебра, 7-й класс). Новыми элементами содержания урока являются определение степени с натуральным показателем, две теоремы об умножении и делении степеней и правила, построенные на основе этих теорем, смысл и роль понятия степени с натуральным показателем в курсе алгебры. Цели первого урока по изучению степени с натуральным показателем можно сформулировать следующим образом: создать условия, при которых ученики:

а) установят связь между действиями сложения, умножения одинаковых чисел и новой формой представления результата умножения и придут к выводу о необходимости формулировки определения нового понятия;

б) установят зависимость между показателями при умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями и придут к «открытию» соответствующих теорем и правил.

Такая формулировка цели урока дает представление и о содержании, которое будет предметом усвоения на уроке, и об условиях достижения цели в виде форм организации познавательной математической деятельности учащихся, и о методах обучения. Действительно, чтобы ученики установили связи между арифметическими действиями над одинаковыми числами, необходимо организовать их работу, например, в парах по выявлению общего и отличий в соответствующих записях. При этом характер деятельности учащихся будет частично-поисковым, а эвристическая беседа по результатам парной работы учащихся будет ведущим методом обучения на первом этапе подведения учащихся к новому понятию.

Очевидно, что структура такого урока может состоять из двух циклов.

Первый из них будет определяться технологией работы с определением понятия, а второй - технологией работы с теоремой. Связующим звеном между ними будет этап осознания и осмысления определения нового понятия, который плавно переходит в мотивационно-ориентировочный этап, где выясняется необходимость изучения действий над степенями. На этом этапе ученики, опираясь на определение степени, включаются в деятельность по установлению новых закономерностей в выполнении действий умножения и деления степеней. Следовательно, на этом этапе, с одной стороны, происходит первичное закрепление определения степени с натуральным показателем, а с другой - поиск новых правил выполнения арифметических действий над степенями, который приводит к «открытию» соответствующих теорем. Формулировка и доказательство теорем осуществляется на содержательном этапе второго цикла.

Еще одним важным связующим звеном между структурными элементами урока является этап подведения итогов. Он предполагает анализ работы, проделанной школьниками на уроке, обобщение и систематизацию новых знаний и фактов. Выводы, к которым придут ученики, во многом зависят от продуманной учителем системы вопросов, охватывающей все основные моменты урока. Например, для урока по изучению степени с натуральным показателем можно предложить следующую систему вопросов.

- С каким новым понятием сегодня познакомились?

- Сколько смысловых частей выделено в определении степени с натуральным показателем? Почему?

(Две части: в первой указывается способ нахождения ап как произведения п множителей, каждый из которых равен я, т.е. neN, п > 2, а во второй части придается смысл выражению а\ т.е. рассматривается случай для п = 1.)

- Что общего и чем отличаются записи: 3 + 3 + 3 + 3 и 3 • 3 • 3 • 3 ?

- Что означают выражения : 25, О4, (-2)3, З1, 4"2 ? Что показывают указанные в них числа? Определен ли смысл последнего выражения?

- Выполняются ли переместительный и сочетательный законы для действия возведения в степень? (Нет.) Какими свойствами обладает действие возведения в степень?

- Что означают записи: ак • а" и а к¥п ?

- Всегда ли можно выполнить действие а : а ?

- Чем отличаются сформулированные теоремы об умножении и делении степеней от соответствующих правил?

- Подумайте дома над следующими вопросами: а) почему не определили действия сложения и вычитания степеней? б) как возвести в степень произведение и частное двух чисел? Приведите примеры.

Итак, если на уроке рассматривается только одна значимая единица содержания, то в его структуре можно выделить следующие инвариантные части: 1) мотивационно-ориентировочный этап; 2) операционно-познавательный этап; 3) этап осознания и первичного закрепления; 4) подведение итогов и постановка домашнего задания.

Если же на уроке предметом усвоения становятся несколько единиц содержания темы и они рассматриваются последовательно друг за другом, то его структуру определяют соответствующие циклы, включающие названные выше первые три этапа.

Если материал темы содержит взаимно обратные операции, теоремы, задачи или взаимосвязанные (изоморфные) понятия, то полезно использовать метод укрупнения дидактических единиц, позволяющий противопоставлять, сравнивать, выявлять общность и отличия. В этом случае названные элементы содержания изучаются одновременно, т.е. единица усвоения укрупняется, а основные этапа урока изучения нового остаются теми же. В качестве примеров таких уроков можно назвать следующие: совместное изучение правил сложения и вычитания обыкновенных дробей; совместное изучение тройки взаимосвязанных задач по теме «Изменение величины в процентах»; совместное изучение признаков и свойств параллельных прямых (параллелограм-

ма); совместное изучение понятий арифметической и геометрической прогрессии и т. п.

Рассмотрим, например, структуру урока по совместному изучению арифметической и геометрической прогрессий. На мотивационно-ориентировочном этапе организуется самостоятельная работа учащихся по выявлению зависимостей между членами приведенных последовательностей, аналитическому их представлению. В ходе обсуждения результатов работы выдвигается гипотеза, что все приведенные последовательности можно разбить на две группы. К первой группе отнести последовательности, члены которых подчиняются общей закономерности вида ап =я„_,+ d, а ко второй - последовательности, построенные по принципу an=d •#„_,. Формулируется учебная задача: изучить выделенные виды последовательностей. На содержательном этапе учитель сообщает новый термин - прогрессии и дает имя каждой прогрессии. В ходе эвристической беседы выделяют характеристические свойства прогрессий. Записи при этом полезно вести в две колонки, подчеркивая общую структуру содержания новых понятий. Ученики пытаются сформулировать определение, например, арифметической прогрессии, учитель корректирует и предлагает ученикам самостоятельно сформулировать определение геометрической прогрессии. Аналогично строится работа по выводу формулы п-го члена каждой прогрессии. На этапе осознания и осмысления выполняются упражнения на распознавание вида прогрессий по аналитическому и словесному их описанию. Под руководством учителя ученики формулируют основные типы задач, где используются определения и формула л-го члена, например, для геометрической прогрессии, а затем по аналогии выделяют типы задач, где используются знания об арифметической прогрессии.

Заметим, что использование метода укрупнения дидактических единиц может привести к необходимости проведения двух спаренных уроков изучения нового. Кроме того, укрупненная подача нового влечет за собой изменение содержания и структуры следующих за ним уроков, т.е. приводит к изменению методической системы обучения.

Если в качестве нового материала выступает большой по объему и важный по значению материал, к «открытию» которого трудно подвести учащихся, то используют лекционную форму изложения материала. В этом случае урок изучения нового принимает форму школьной лекции. Чаще всего ее применяют в старших классах, например, при изучении тем «Производная», «Интеграл», «Объем тела» и т.п. Особенности школьной лекции и изменение структуры последующих за ней уроков раскрыты в пункте «Лекционно-семинарская система уроков».

Выяснив структуру урока изучения нового, содержание его этапов, перейдем к вопросу о подготовке учителя к уроку. В качестве примера рассмотрим тему «Третий признак равенства треугольников» (учебник «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасяна и др., 1999, пункт 20).

Начнем рекомендации с анализа содержания материала темы. В пункте 20 учебника «Геометрия 7-9» в качестве основной дидактической единицы выступает теорема и ее доказательство. Логический смысл этой теоремы -признак равенства треугольников по трем сторонам. Чтобы подчеркнуть требование соответственного равенства трех пар сторон в треугольниках, можно ввести обозначение признака, например, так: ССС. В учебнике его называют третьим признаком равенства треугольников. Приведем геометрическую и символическую записи теоремы (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Доказательство теоремы в учебнике проводится синтетическим методом и выделяются три случая расположения отрезка СС/ относительно стороны приложения двух треугольников. Приведем доказательство теоремы и составим план доказательства, используя рис. 4.2 -4.4.

Рис. 4.2 Рис. 4.3 Рис. 4.4

Доказательство теоремы

План доказательства теоремы

1. Приложить треуг. AiBjCt ктреуг. ЛЯС так, чтобы отр. AiB\ совпал с отр. AB.

2. Дополнительное построение: отр. СС/ (рис. 4.2-4.4).

3. AC =AtCly значит, треуг. САС/ -равнобедренный, следовательно, Z1 = Z2 (рис. 4.2.-4.4), ВС=В,С,, значит, треуг. СВС, -равнобедренный, следовательно, Z3 = Z4 (рис. 4.2), Z ВСС) = ZBCtC (рис. 4.3).

4. Из того, что Z1 = Z2, Z3 = Z4, следует, что Z1 + Z3 = Z2 + Z4,T.e. ZC=ZC, (рис. 4.2).

Из того, что Z1 = Z2, ZBCC, = ZBC,C, следует, что ZBCC, - Z1 = ZBC,C - Z2, т.е. ZC=ZCi (рис. 4.3).

ZI = Z2, значит, ZC= ZC, (рис.4.4).

5. ААВС = M,B,C, (AC = Aid, ВС = B,C, ZC = ZCi ) по первому признаку.

1.Приложить треуг. AjBiCi к треуг. ABC.

2.Выполнить дополнительное построение - построить отрезок СС/.

3.Выделить равнобедренные треугольники и обозначить равные углы при основаниях.

4.Установить равенство углов С и С/, вычислив сумму (разность) градусных мер попарно равных углов (рис. 4.2,4.3).

5.Сделать вывод о равенстве треугольников по доказанному ранее первому признаку.

Основная идея доказательства:

- прием «приложения»;

- рассмотрение трех случаев расположения построенного отрезка относительно общей стороны приложения;

- прием сведения доказательства к известному признаку.

Анализируя ход доказательства, можно выделить опорные знания, которые необходимы ученику для осмысления проведенных рассуждений. К их числу относятся: определения равных отрезков, равных треугольников, равнобедренного треугольника; свойство равнобедренного треугольника, первый признак равенства треугольников, следствие о соответственно равных элементах в равных треугольниках; свойство суммы и разности градусной меры угла, состоящего из двух углов.

Среди задач в теме можно выделить:

- дидактические задачи: № 135-138, в которых первый шаг состоит в доказательстве равенства треугольников по третьему признаку, а второй - в установлении равенства выделенных пар углов;

- познавательные задачи: № 139-142, в которых наряду с третьим признаком используются и другие известные теоремы: №139,141 - третий и второй признаки; № 140 - третий и первый признаки; № 142 - свойство равнобедренного треугольника, третий или первый признаки (второй признак или свойство биссектрисы равнобедренного треугольника);

- задачи на построение (пункт 23).

Таким образом, к числу новых элементов содержания темы, усвоение которых будет способствовать реализации не только обучающей, но и развивающей, и воспитательной функций урока, можно отнести:

а) формулировку и доказательство нового признака равенства треугольников;

б) основные идеи доказательства;

в) составление плана доказательства теоремы; г)прием дополнительного построения отрезка;

д) распознавание равных треугольников по третьему признаку;

е) применение третьего признака для установления пар равных углов;

ж) формулировку новой эвристики на основе доказанной теоремы как дополнение к известным способам установления равенства треугольников.

Итак, при подготовке к уроку изучения нового учитель должен провести анализ содержания темы с учетом основных компонентов содержания математического образования и выделить новые элементы содержания, причем не только дидактические единицы, но и приемы, способы и средства познания, которые станут предметом усвоения на уроке.

Следующий шаг в подготовке к уроку изучения нового состоит в установлении целей изучения темы и в постановке целей урока. Начнем с анализа целей изучения темы и уровней усвоения нового, которые представлены в программе по математике в разделах «Тематическое планирование» и «Требования к математической подготовке учащихся».

Основная цель изучения темы «Треугольники. Равенство треугольников» сформулирована в программе по математике так - изучить признаки равенства треугольников и сформировать умения доказывать равенство треугольников. К числу обязательных результатов по этой теме отнесены следующие умения: решать типовые задачи на вычисление и доказательство; проводить доказательные рассуждения в ходе решения типовых задач; вычислять значения геометрических величин (длин сторон, углов), применяя изученные теоремы и определения.

Видим, что эту цель следует конкретизировать, учитывая цели математического образования, проведенный анализ темы и тот факт, что составляется конспект первого урока по изучению третьего признака равенства треугольников.

Цель первого урока по теме «Третий признак равенства треугольников» можно сформулировать так: создать условия, при которых школьники:

- «откроют» формулировку нового признака равенства треугольников и способ его доказательства;

- установят отличие формулировки и доказательства третьего признака от формулировок и доказательства первого и второго признаков;

- выделят типы задач, которые можно решать с помощью доказанной теоремы.

Для достижения поставленных целей необходимо решить:

1) найти способ доказательства равенства треугольников, имеющих три пары соответственно равных сторон;

2) выявить отличия в формулировках признаков и в способах доказательства признаков;

3)установить типы задач, которые можно решать с помощью третьего признака.

Теперь можно сформулировать ожидаемые результаты урока (уровни достижения целей). В результате ученик:

- знает формулировку третьего признака равенства треугольников;

- имеет представление о составлении плана доказательства теоремы;

- осознает основные идеи доказательства: прием «приложения» треугольников; необходимость рассмотрения трех случаев для доказательства теоремы; прием использования уже доказанного признака для доказательства нового;

- отличает формулировку третьего признака от других теорем и определений; умеет выделять в доказательстве нового признака изученные определения и теоремы, т.е. обосновывать ход рассуждений;

- умеет выполнять дополнительное построение для выделения пар равных треугольников в новых фигурах;

- знает последовательность решения типовых задач: выделить три пары соответственно равных элементов в треугольниках - доказать равенство треугольников по признаку ССС - установить равенство соответствующих углов;

- умеет выделять равные треугольники, используя определение и три признака (по готовым чертежам).

Следующий шаг в подготовке к уроку изучения нового состоит в определении структуры урока, в отборе форм организации познавательной деятельности учащихся, в выборе методов и средств обучения. При этом формы организации деятельности учащихся можно указывать при описании этапов урока.

Структура урока изучения нового по теме «Третий признак равенства треугольников»:

1. Организационный момент - готовность учащихся к уроку.

2. Актуализация знаний определения и признаков равенства треугольников - фронтальная работа по готовым чертежам. Мотивация введения нового признака - решение конкретно-практической задачи; постановка учебной задачи.

3. Содержательный этап: формулировка нового признака, составление плана доказательства теоремы и запись доказательства.

4. Этап осознания и осмысления теоремы и ее доказательства: работа в парах по выявлению отличий в формулировках и доказательстве признаков; фронтальная работа по выявлению равных треугольников по третьему признаку по готовым чертежам; по выделению основных типов задач на применение третьего признака равенства треугольников.

5. Первичное закрепление третьего признака: выделение шагов в решении задач на доказательство равенства треугольников и на вычисление градусной меры углов - коллективное обсуждение хода решения и запись решения в тетради.

6. Подведение итогов урока, предъявление домашнего задания. Выбор методов обучения к планируемому уроку:

а) по источнику передачи и восприятию информации: словесные (эвристическая беседа); практические: поиск равных треугольников по готовым чертежам; по составлению задач;

б) по логике изложения: дедуктивный (в процессе решения конкретно-практической задачи открывается способ, который используется в доказательстве теоремы, а затем теорема применяется для распознавания пар равных треугольников по готовым чертежам);

в) по характеру познавательной деятельности учащихся: частично-поисковая при анализе способа решения задачи и выдвижении гипотез по преобразованию взаимного расположения треугольников на рисунках; репродуктивно-преобразующая на этапе составления плана доказательства теоремы и при составлении задач по рисункам;

г) по степени управления учебной деятельностью: под руководством учителя через систему целесообразно подобранных задач;

д) методы мотивации и стимулирования: создание проблемной ситуации; использование цветовой гаммы как средства стимулирования поиска треугольников знакомого вида и обнаружения пар равных элементов;

е) методы контроля и самоконтроля: самоконтроль на этапе осознания и осмысления новой теоремы при распознавании пар равных треугольников по третьему признаку; использование шкалы интереса при подведении итогов урока.

Оборудование к уроку: кодопленка (плакат) с планом доказательства теоремы; рисунки а - д на доске, треугольный «вырез» для изображения треугольников у учителя и учащихся; цветные мелки (карандаши); рисунки б, е, ж для этапа осознания и осмысления нового, рисунки з, к для первичного закрепления третьего признака равенства треугольников.

Таким образом, первая часть подготовки к уроку завершается формулировкой некоторых общих положений, определяющих содержательные, целевые и организационно-методические установки урока (его концепцию). Они могут быть представлены в следующем виде:

1. Тема. Класс. Учебник (авторы, год издания). Пункт (параграф) учебника. Номер урока.

2. Триединая цель урока как его основная учебная задача.

3. Ожидаемые результаты урока. Их представление в виде описаний, характеризующих результат деятельности ученика: имеет представление..., знает (умеет воспроизвести)..., умеет..., осознает идею (способ, прием)..., узнает (распознает)..., выводит следствия..., отличает... и т.п.

4. Структура урока, методы обучения и формы организации познавательной деятельности учащихся.

5. Оборудование урока (средства): учебник, рисунки, таблицы, инструменты, плакаты, кодопленки и др.

6. Оформление записей на доске и в тетрадях учащихся.

Вторая часть подготовки к уроку состоит в написании конспекта, в котором должны найти отражение все основные положения, выделенные в концепции. В конспекте подробно описывается ход урока, раскрывается деятельность учителя (рассказ, вопросы или задания, записи на доске, комментарии и т.п.) и ожидаемая деятельность учеников (ответы на вопросы, требуемые действия, ход рассуждений и т.п.). Записи видов деятельности учителя и учащихся можно вести в две колонки, обозначив их соответствующим образом. Полезно выделить третий столбец, где можно делать пометки с помощью букв Д и Т, обозначающих тот материал конспекта, который будет оформляться на доске (Д) и в тетрадях учащихся (Т). По этим отметкам в конце конспекта урока можно уточнить оформление записей на доске до и во время урока и оформление записей в тетрадях учеников.

В описании хода урока иногда прибегают к общепринятому сокращению в записи часто используемых слов. В приведенном ниже конспекте будут использоваться следующие сокращения слов: треугольник - треуг., рисунок - рис., сторона, угол, сторона - (СУС), угол, сторона, угол - (УСУ). Рисунки, используемые на уроке, приведены в конце конспекта (рис. 4.5).

Приведем теперь конспект урока изучения нового по теме «Третий признак равенства треугольников».

Ход урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

На прошлых уроках мы с вами учились сравнивать треуг. и выделять среди них равные. Кто помнит, какими определениями, теоремами мы для этого пользовались? Поднимите руки. Назовите и прочитайте их.

Хорошо. Вы знаете формулировки. Посмотрим, как вы их понимаете. На рис. а-д изображены пары пронумерованных треуг. Попробуйте выделить равные треуг., но самым лучшим будет считаться обоснованный ответ. Итак, рис. а. Будут ли равны треуг. (I) и (2)? Почему? Верно.

Определение: если один треуг. можно совместить наложением с другим треуг., то такие треуг. называют равными.

Признак (СУС): Если... Признак (УСУ): Если...

Да, по I признаку (СУС) Рис.4.5. а

Не торопитесь переходить к следующему рисунку. Мы еще не все выяснили по рис. 4.5. а. Например, если треуг.(1) равен треуг.(2), то какие выводы можно сделать? Хорошо. А какие задачи можно решать на основе известных вам признаков равенства треугольников?

А теперь перейдем к рис.4.5. б. Есть ли на рис. равные треуг.?

В равных треуг. против соответственно равных сторон (углов) лежат равные углы (стороны), т.е. ВС= СД, ZB = ZU, ZBCA = zacA Задачи на доказательство равенства треугольников (сторон, углов); на вычисление сторон (углов).

А здесь какие выводы возможны? Можно ли найти величину угла Л/, если угол /(равен 48и?

Да, (3)= (4) по признаку (УСУ).

Перейдем к рис. в. Можно ли по данным на рис. в определить меру угла С/? Почему?

Правы и те, и другие. Интуиция подсказывает, что треуг. равны, но по этим данным мы не можем воспользоваться ни определением, ни известными признаками, а поэтому и вывод о равенстве треугольников сделать пока не можем. Математики в таких ситуациях довольно часто используют прием сведения неизвестного факта к известному. Для этого выполняют некоторые дополнительные построения, которые позволяют увидеть известное в неизвестном. Попробуем и мы преобразовать рис.4.5. в так, чтобы найти способ установления равенства этих треугольников. Еще раз посмотрите на рис. в и назовите, какие пары элементов соответственно равны в этих треугольников? Действительно, в треугольниках выделены две пары соответственно равных сторон, а третья - общая. Можно сказать и так: в треугольниках соответственно равны три пары сторон, одна из которых общая.

MP = KP, СК = MC, ZM= ZK. J\a4 ZM= 4t, т.к. ZM и ZK лежат против равных сторон в равных треугольниках.

Да, нет. Мы не знаем, равны ли треугольники ЛВС и ЛВС/.

АС = АС{, СВ = ВС,, AB - общая.

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Как сформулировать задачу, которую нам предстоит решать?

В правой части тетрадного листа, сделайте рис.4.5..в, пользуясь «вырезом».

Чтобы увидеть путь доказательства, надо посмотреть, каких данных не хватает для того, чтобы воспользоваться определением или известной теоремой. Назовите, каких данных не хватает?

Поэтому будем преобразовывать рис. 4.5.в так, чтобы получить пару равных углов (это проще, чем доказывать равенство трех пар углов). Для этого иногда прибегают к раскраске равных элементов одинаковым цветом.

Какие здесь пары сторон равны? Закрасим первую пару красным цветом (в конспекте - штриховая линия), вторую пару - зеленым (штрих-пунктирная). Кто при такой раскраске видит треугольник знакомого вида? Нельзя ли выделить такие треугольники? Молодец!

Итак, предлагается построить отрезок СС/. Получим равнобедренный треугольник с красными сторонами и равнобедренный треугольник с зелеными сторонами.

Постройте отрезок СС/ синим цветом (волнистая линия).

Какой вывод можно сделать, рассматривая треугольник с красными (зелеными) сторонами? Верно. Закрасим углы соответственно красным и зеленым цветом. Сравните теперь углы ZC и ZC/ ? Почему?

Отметим их равными дугами. Равенство каких треугольников можно теперь установить? Почему? Подведем итог по рис. 4.5. в. Что было дано?

Что доказали? Попробуйте сформулировать доказанное предложение о равенстве этих треугольников.

Решена ли поставленная задача? Какие приемы лежат в основе найденного способа доказательства?

Верно. Подумайте и обсудите в парах ответы на следующие вопросы: а) будет ли верно это утверждение, если убрать условие - одна сторона общая? б)верна ли теорема применительно к рис. г? Почему? Только ли этими сторонами? Почему? Хорошо.

Найти способ доказательства равенства треугольников, имеющих три пары соответственно равных сторон, одна из которых общая.

Для того чтобы воспользоваться определением, не хватает равенства трех пар углов; а для того чтобы воспользоваться, например, первым признаком, не хватает одной пары соответственно равных углов. АС = ACj, СВ =BCi, AB = AB.

Рис.4.5. в

Построим отрезок СС/ и получим два равнобедренных треугольника. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Они равны.

Состоят из равных углов . ААВС и ААВС;, по I признаку .

ААВС, ААВСh АС = АСы BC=BCi, AB - общая сторона 1) ZC = ZC,\2) ААВС = ААВСh Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника и одна сторона у них общая, то такие треугольники равны.

Да, прием доп. построения отрезка; сведение неизвестного факта к известной теореме.

Да, если заменить его парой равных сторон.

Да, потому что их можно приложить друг к другу сторонами AB hAjBi.

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Как теперь сформулировать учебную задачу урока?

Сделайте в левой части тетрадного листа (слева от рис. в) рис. г, пользуясь «вырезом», и раскрасьте равные стороны соответственно красным и зеленым цветом.

Итак, имеем два треугольника ABC и А, В, Ci, что еще надо записать в дано? Что нужно доказать? Попробуем восстановить ход доказательства и составить план доказательства. С чего надо начинать?

Нет. можно сторонами AC hAjCi, ВС и BiCi потому, что они тоже равны.

Найти способ доказательства равенства двух треугольников, имеющих три пары соответственно равных сторон.

Дано: &АВС, AABCh АС = АС