Хинчин А. Я. Педагогические статьи / Акад. пед. наук РСФСР ; под ред. акад. АН УССР Б. В. Гнеденко. — М. : изд-во АПН РСФСР, 1963. — 204 с., 1 л. портр. — Список печ. работ А. Я. Хинчина: с. 197—203 (155 назв.).

А. Я. ХИНЧИН

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ СТАТЬИ

АЛЕКСАНДР ЯКОВЛЕВИЧ ХИНЧИН (1894—1959)

АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

А. Я. ХИНЧИН

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ СТАТЬИ

Под редакцией академика АН УССР Б. В. ГНЕДЕНКО

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

МОСКВА 1963

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Академии педагогических наук РСФСР

В книге собраны статьи известного математика и педагога А. Я. Хинчина, посвященные вопросам преподавания математики в школе. Многие статьи публиковались на страницах журналов в разное время. Некоторые из них носят дискуссионный характер. Вопросы, поднятые автором,—основные понятия и определения в математике, борьба с методическими штампами — не потеряли своей актуальности и теперь. Интересны высказывания А. Я. Хинчина, посвященные подготовке учительских кадров.

В книге дан список печатных работ А. Я. Хинчина и помещены статьи о нем, характеризующие А. Я. Хинчина как специалиста в области математического анализа. Книга полезна не только учителям математики и методистам, но и всем изучающим педагогику.

ОПЕЧАТКИ

ОТ РЕДАКТОРА

В настоящий сборник включены статьи известного математика и педагога Александра Яковлевича Хинчина, посвященные вопросам преподавания математики в школе.

Основные педагогические интересы Хинчина касались не проблем частной методики, не того, как лучше изложить тот или иной раздел курса. Он считал, что чересчур строгое регламентирование поведения педагога, навязывание ему системы и порядка изложения способно только сковать инициативу учителя, лишить его вдохновения, уничтожить неповторимую индивидуальность преподающего.

Конечно, эта точка зрения не означала отрицания Хинчиным необходимости методических исследований, поисков удачных педагогических решений в преподавании того или иного раздела курса средней школы. Напротив, он был сторонником таких поисков и горячо поощрял самый широкий обмен опытом педагогического мастерства. Однако он был противником методического штампа, при котором признается правильной и законной лишь одна единственная система изложения, а все остальные считаются ошибочными и вредными. Педагогическая работа в значительной степени является искусством и поэтому не может терпеть шаблона. Даже прекрасные педагогические образцы, повторенные другим

лицом бездумно, без учета сложнейшей психологической особенности учеников данного класса, как правило, обречены на провал.

В связи со сказанным я позволю себе привести довольно большую цитату из предисловия Хинчина к выпуску 6 за 1946 год «Известий Академии педагогических наук РСФСР», посвященному вопросам методики математики.

«Каждая статья затрагивает достаточно глубокую тему принципиального значения, научно освещает ее и тем самым будит и стимулирует научно-методическую мысль читателя. Очень хорошо, что каждая статья носит не «директивный», а вполне дискуссионный характер и написана с большим темпераментом. Увлеченный своим пониманием вопроса, автор вызывает читателя на возражения, а тем самым и на выработку своей собственной точки зрения»1.

Далее он с особой настойчивостью подчеркивает, что прорецензированные им статьи, имеющие «...целью оригинальное освещение отдельных важных, но мало разработанных разделов школьного курса математики, несомненно, составляют ценный вклад в методическую науку, прежде всего потому, что каждая из них дышит научной свежестью и будит творческую мысль математика-методиста»2.

Разбудить творческую мысль, разработать для этого наиболее удачные приемы — вот основное назначение методики, а также всего процесса обучения в представлении Хинчина. Для него успех педагогического процесса состоит не в числе хороших и отличных оценок, которые выставлены в классе учителем, и не в том, как аккуратно преподаватель следует за указаниями методических писем, а в том, как глубоко учащиеся поняли идеи математических методов, насколько привыкли к правильным, полноценным логическим рассуждениям, в какой мере привыкли улавливать диссонанс логических перескоков в рассуждениях, как хорошо научились самостоятельно решать нестандартные задачи и разбираться в доказательствах. Отсюда его страстная борьба с фор-

1 «Известия Академии педагогических наук РСФСР», вып. 6, М—Л., Изд-во АПН РСФСР, 1946, стр. 5.

2 Там же, стр. 5.

мализмом в преподавании математики и постоянные призывы к уменьшению разрыва между требованиями жизни и школьным образованием и воспитанием.

Отдавая должное важности частных вопросов методики, Хинчин постоянно отмечал необходимость постановки и тщательной разработки больших проблем советской методики математики. Он не уставал об этом говорить в своих устных выступлениях, отзывах на работы других исследователей, в собственных статьях. В уже упомянутом предисловии к выпуску б «Известий Академии педагогических наук РСФСР» этот вопрос был поставлен со всей остротой: «Только в одном отношении научная продукция Кабинета1 заслуживает., пожалуй, некоторого упрека: при столь квалифицированном составе сотрудников Кабинет мог бы, по-видимому, взяться и за более ответственную тематику. Общие основы методики математики в советской школе, глубокая научная проверка программ, выработка общих требований к учебникам математики — вот какого рода тематику хотелось бы видеть в научном багаже Кабинета. Само собою разумеется, что разработка такого рода тем не может быть проведена силами одного, хотя бы и весьма квалифицированного сотрудника. Здесь необходим коллективный труд»2.

Предлагаемые в настоящем сборнике статьи писались А. Я. Хинчиным в разное время, и, естественно, их содержание тесно связано с теми насущными задачами, которые в разные периоды выдвигались советским обществом перед школьным образованием. Но эти задачи не потеряли своей актуальности и теперь. К тому же вопросы, поднятые Хинчиным, и не могут потерять своей педагогической остроты, так как они выбраны с глубоким пониманием как основных трудностей обучения математике, так и сложившихся в педагогической среде традиций.

Конечно, в связи с последними решениями Советского правительства о школе, приближающими школьное обучение к запросам жизни, появились новые вопросы,

1 Речь идет о Кабинете математики Института методов обучения (ныне Сектор математики Института общего и политехнического образования АПН РСФСР). — Б. Г.

2 «Известия Академии педагогических наук РСФСР», вып. 6, М.—Л.» Изд-во АПН РСФСР, 1946, стр. 5—6.

но они не снимают, а еще более подчеркивают важность тех проблем, которых касался Хинчин. Действительно, с какой актуальностью звучит теперь его страстный призыв к всесторонней и неумолимой борьбе с формализмом в преподавании математики! Ведь приближение школы к жизни в первую очередь означает не бездумное заучивание программного материала, а ясное представление сути тех основных понятий и результатов, с которыми имеет дело предмет, и установление связей содержания науки с задачами практики. Это особенно важно в наши дни, когда математические методы получают все более фундаментальное значение не только в сфере научной деятельности, но и в непосредственной экономической и технической практике. Страна со всей настойчивостью предъявляет повышенные требования к работникам во всех областях деятельности в отношении умения математически и логически анализировать явления природы, технические, экономические и иные процессы.

Два требования предъявляет Хинчин к школьному преподаванию математики:

1. Учет возрастных особенностей учащихся может приводить к необходимости упрощенного изложения идей и понятий науки. Однако это упрощение ни в коем случае не должно извращать научную трактовку вопросов.

2. Замена точных определений и доказательств расплывчатыми, не имеющими точного смысла представлениями не может способствовать облегчению понимания предмета. Хинчин говорил, что мыслить расплывчато не может быть делом более легким, чем мыслить четко.

Эти простые принципы он тщательно осуществлял в своей практической работе. В частности, известная переработка Хинчиным учебника арифметики А. П. Киселева прошла под влиянием этих идей. В результате из учебника был изгнан ряд понятий, сохранявшихся в педагогической практике лишь в силу слепой традиции. Учебник выиграл сразу в двух отношениях: он стал научнее и доступнее для понимания. Недаром сам А. П. Киселев прислал А. Я. Хинчину письмо с выражением самой искренней благодарности за проделанную над его книгой работу.

В тесной связи с указанной переработкой учебника А. П. Киселева находится небольшая заметка «О поня-

тии отношения двух чисел» [107]. Время убедительно показало, насколько был прав Хинчин, когда занес руку на абсолютно чуждое современной математике понятие. Сейчас об этом понятии вряд ли кто вспоминает, и оно навсегда сошло с педагогической сцены. Однако з ту пору отстоять эту точку зрения стоило больших усилий. Поскольку эта заметка сохранила лишь исторический интерес, мы не помещаем ее в настоящий сборник. Сейчас же ограничимся приведением небольшой цитаты оттуда, поскольку она характеризует важную сторону методических принципов автора: «Наше желание — по мере возможности придать в школьном обучении каждому термину то значение, которое ему свойственно в современной науке, понятно и не нуждается в оправданиях. Здесь никакие ссылки на античные традиции не могут служить возражением,— и так уж слишком долго мы ориентируем наши школьные курсы математики на античные образцы, игнорируя весь прогресс науки — совершенно нетерпимое положение, давно уже преодоленное в других дисциплинах (физика, химия, биология). Единственное, что подчас мешает придать тому или другому понятию в школьном курсе его современно-научное толкование,— это трудность этого толкования, заставляющая искать путей к упрощению. В случаях же (в математике весьма нередких), когда научная концепция понятая проще и яснее традиционной — школьной, не может быть никакого оправдания для сохранения последней.

Ссылкой на традиции можно ведь (и, пожалуй, с большим основанием) защищать «ять» и «фиту»; однако наша орфография с ними давно расправилась. Иногда диву даешься, сколько этих «ятей» сохранилось еще в школьной математике и какое отчаянное сопротивление вызывает борьба с ними!»1

Эти слова актуальны и теперь. Действительно, как много традиционного материала еще сохраняется в курсе средней школы и как цепляются за него сторонники старого. Как еще много излагается такого, что бесконечно устарело и закрывает путь новому, крайне необходимому и мешает воспитанию у учащихся правильных взгля-

1 А. Я. Хинчин, О понятии отношения двух чисел, «Математика в школе». М., Учпедгиз, 1941, № 2, стр. 14.

дов на математику, на причины все возрастающего ее воздействия буквально на все области человеческой деятельности. Эти традиции вдобавок отрезают пути участия преподавателей математики в применениях современных математических средств (по сути дела совершенно элементарных) к изучению явлений окружающей их жизни; не дают возможности многим талантливым представителям нашего учительства приложить свои силы к актуальным научным вопросам математики и методики ее преподавания.

Мы включаем в настоящий сборник еще две работы, уже давно подготовленные Александром Яковлевичем к печати и почему-то не переданные им для опубликования. Возможно, автор видел какие-либо недостатки в их литературной редакции или же считал, что разработка имевшихся у него идей в этих статьях не была завершена. О причинах задержки опубликования этих работ теперь сказать трудно.

Рукопись статьи «О воспитательном эффекте уроков математики» была передана мне вдовой покойного Н. А. Хинчиной. Вторая работа — «О так называемых «задачах на соображение» в курсе арифметики» [154] — обнаружена мной в бумагах А. Я. Хинчина. Об этих рукописях, как мне сообщили сотрудники Сектора математики Института общего и политехнического образования Академии педагогических наук РСФСР, в свое время педагогическая общественность была поставлена в известность самим автором. В частности, работа «О воспитательном эффекте уроков математики» [153] была зачитана А. Я. Хинчиным на одном из научных заседаний Кабинета.

Нет сомнения в том, что опубликование обеих рукописей принесет пользу нашему учителю математики.

В первой из указанных рукописей Хинчин дважды упоминает о предполагавшейся им работе, в которой он собирался специально рассмотреть вопросы преподавания элементов математического анализа в средней школе. Сейчас разработка этих вопросов приобрела особую своевременность, и можно только пожалеть, что не осталось и следа тех мыслей, которые были у Хинчина на этот счет. Ведь он был одним из лучших университетских лекторов, в течение ряда лет читал в университетах и пединститутах курс математического анализа. Его слушатели

считали эти лекции лучшими из всех тех, что им приходилось выслушать за годы обучения. И это немудрено, так как Хинчин стремился донести до слушателей не формальный аппарат, не одни аналитические преобразования, а в первую очередь «душу» предмета, его основные идеи. И делал он это блестяще! Его превосходный «Краткий курс математического анализа» [144] выдержал за короткий срок несколько изданий у нас и переведен во многих странах Европы и Азии. Однако он лишь в небольшей степени передает очарование живых, образных, литературно и логически отточенных лекций самого Хинчина. По-видимому, мысли, которые у него были относительно преподавания основ анализа, в зародыше имеются в замечательной и своеобразной книге «Восемь лекций по математическому анализу» [116]. Во многих отношениях эта книга может считаться образцом педагогического такта и красоты математического изложения. Строгость и наглядность, скупость в словах и одновременно художественность изложения свойственны всем произведениям Хинчина, как большим, так и малым. В некотором смысле «Восемь лекций...» концентрируют в себе особенно ярко особенности его стиля.

Несомненно, что Хинчин был одним из выдающихся педагогов советской высшей школы. Вот почему в этом сборнике, помимо статей самого Хинчина, посвященных средней школе, помещены еще статьи о Хинчине.

Две небольшие методические заметки — «Введение иррациональных чисел» [97] и «Комплексные числа» [98]— мы сочли возможным не помещать в настоящий сборник, так как обе работы не дают полной разработки затронутых тем. В архиве Института общего и политехнического образования, в прошлом Института методов обучения (фонд 15, опись 1-я, единица хранения № 1266. Различные работы по математике научных сотрудников Кабинета математики за 1938), имеется небольшой отчет А. Я. Хинчина «Элементы учения о вероятностях в средней школе», В те годы Хинчин считал целесообразным ввести в программу по математике средней школы элементы теории вероятностей, поскольку:

«1. Очень многие из окончивших школу в своей дальнейшей деятельности так или иначе встретятся с обработкой статистических материалов, для чего знакомстве с понятием вероятности послужит хорошей подготовкой.

2. Задачи на вычисление вероятностей, давая конкретное применение формулам комбинаторики, увеличат интерес к этим формулам и будут способствовать более прочному и сознательному их усвоению».

Я убежден, что идея включения основ теории вероятностей в курс школьной математики заслуживает всестороннего рассмотрения. Дело в том, что статистические методы в наши дни широко проникли в научную и техническую практику и с ними придется столкнуться многим из воспитанников школы, в том числе и тем из них, кто попадет на производство. В ряде стран — Японии, Югославии, отчасти в США — элементы теории вероятностей уже преподаются в школах. В экспериментальном учебнике1 по теории вероятностей, написанном группой американских авторов (Дуглас, Мостеллер, Уилкс и др.), почти в каждой главе вскрывается связь теоретико-вероятностных методов с практикой. Интересны в связи с этим высказывания их в начале главы 7 о том, что во время второй мировой войны Управление военной промышленностью США лишь за срок с 1943 по 1945 г. 33 раза организовывало краткосрочные курсы для подготовки лиц, способных проводить статистический контроль качества продукции. Только за 1957 г. от применения статистических методов контроля американская промышленность получила экономию, оцениваемую в 4 миллиарда долларов.

В сохранившихся бумагах Хинчина имеются отрывочные заметки методического характера, отзывы на поступавшие к нему рукописи работ, беглые записи по поводу прослушанных им докладов и прочитанных книг и статей. Эти заметки заслуживают всесторонней разработки. Я позволю себе привести здесь небольшой отрывок из записей на трех листочках блокнота, сделанных в связи с просмотром какой-то большой рукописи (имеются ссылки на стр. 69 и 70 текста).

1 E. C. Douglas, F. Mosteller, R. S. Pietеrs, D. E. Richmond. R. E. Rourkе, G. B. Thomas. S. S. Wilks. Introductory Probability and Statistical Inference. An experimental course. Revised preliminery edition, prepared for the Comission on Mathematics, College Entrance Examination Board, New York, 1959.

Teacher's Notes and Answer Guide (Supplementary material for the revised preliminary edition of ..Introductory Probability and Statistical Inference"), New York, 1959.

«Виды повторения:

1. Повторение до начала учебных занятий.

2. Повторение в начале учебного года.

3. Текущее повторение, проводимое в процессе урока.

4. Повторение темы, связанное с проведением учета.

5. Повторение годовое.

6. Повторение в связи с подготовкой к экзаменам. Кошмар!

Вместо бесконечных повторений нельзя ли учить так, чтобы материал не забывался?»

Несомненно, что здесь затрагивается очень важный вопрос—как нужно учить, чтобы изученное прочно оседало в памяти и было бы не балластом, а всегда подготовленным к действию орудием? Обилие повторений не всегда является лучшим выходом из положения.

Внимательный читатель, знакомый с работами А. Я. Хинчина, может предъявить нам упрек за некоторую узость подхода к отбору статей для настоящего сборника. Дело в том, что несомненный интерес для преподавателя могут представить с разных точек зрения и некоторые более специальные работы А. Я. Хинчина. Среди таких работ я в первую очередь отметил бы те из них, которые значатся в приводимом нами списке под номерами [34], [43], [80], [131], [140], [141], [152]. В них он касается таких вопросов, которые, с одной стороны, могли бы быть предметом занятий школьного математического кружка, а с другой — полезны для общефилософского взгляда на понятия и идеи математики.

Естественно было бы включить в сборник педагогических работ Хинчина также отдельные параграфы и главы из его книг [73], [113], [116], [118], [120], [144], в которых с особым блеском проявляется его мастерство автора и педагога и которые могут одновременно представлять интерес для учителя средней школы. Однако при таком походе нарушилось бы единство замысла предлагаемого сборника.

В заключительной части сборника мы даем биографический очерк, в котором освещаем те научные направления, в которых А. Я. Хинчин оставил серьезный след. То, что при этом затронуты современные разделы математики, далекие пока от школьной математики, для многих читателей представит особый интерес и наглядно продемонстрирует, что научная работа собственно математического характера не противоречит, а скорее хорошо

согласуется с работой методической. К биографическому очерку примыкает список научных работ А. Я. Хинчина. В тексте мы даем ссылки на работы Хинчина, указывая в квадратных скобках номер соответствующей статьи в этом списке.

Пользуюсь случаем высказать благодарность всем товарищам, которые оказали мне помощь в подготовке настоящего сборника как отдельными замечаниями, так и указаниями на неизвестные мне моменты в научной, педагогической и общественной деятельности А. Я. Хинчина.

А.Я. ХИНЧИН

● ВСЕСТОРОННЕЕ, РЕАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ СОВЕТСКОЙ МОЛОДЕЖИ ● ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ ● О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ ● О ФОРМАЛИЗМЕ В ШКОЛЬНОМ ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ ● О ВОСПИТАТЕЛЬНОМ ЭФФЕКТЕ УРОКОВ МАТЕМАТИКИ ● О ТАК НАЗЫВАЕМЫХ «ЗАДАЧАХ НА СООБРАЖЕНИЕ» В КУРСЕ АРИФМЕТИКИ

ВСЕСТОРОННЕЕ, РЕАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ СОВЕТСКОЙ МОЛОДЕЖИ1

Известно, какие большие, многообразные и ответственные задачи возлагают решения XVIII съезда ВКП (б) на нашу среднюю школу. Третья пятилетка предъявляет высокие требования, в частности, к делу математического образования молодого поколения. Уровень его должен отвечать заданиям новой высшей полосы социалистического строительства.

В данное время массовое математическое образование находится в таком состоянии, которое даже не приближается к желаемому. И это в первую очередь нужно отнести за счет неудовлетворительности, а подчас и порочности программ по всем разделам математики, преподаваемым в начальной и средней школе.

Недавно «Правда» в передовой статье писала: «Не справившись с делом политехнического образования, Наркомпросы вынуждены были отменить так называемое «трудовое обучение». Но, отменив, ничего взамен не дали. Программы наших школ до сих пор еще страдают оторванностью от жизни. Советской же молодежи нужно всестороннее, но реальное образование, ибо школа дол-

1 Под названием «О преподавании математики» статья напечатана в журн. «Молодая гвардия», 1939, № 9, стр. 142—150 и под названием «Всестороннее, реальное образование советской молодежи» в журн. «Математика в школе», 1939, № 6, стр. 1—7.

жна готовить молодежь к труду и обороне Советского государства».

Эта глубоко верная оценка особенно верна в отношении программ по математике. Если в той же статье «Правды» приводится пример ученика, знакомого с теорией электронов, но не умеющего справиться с элементарным повреждением электрической проводки в квартире, то ведь в отношении математики дело обстоит еще хуже; здесь ученик не только не имеет достаточных практических навыков, но знания его не охватывают величайших открытий последних трех веков. Наши программы представляют собой мало удачную копию дореволюционных программ и, за редким исключением, оставляют научное развитие ученика на уровне XVII столетия. В любой другой науке — физике, химии, биологии — такое положение вещей было бы совершенно немыслимо; только в математике мы почему-то до сих пор миримся с ним.

Самой категорической необходимостью является введение в школьные программы основ анализа бесконечно малых. За это говорит решительно все. Анализ бесконечно малых, бесспорно, стоит в ряду величайших завоеваний человеческой культуры, подобно эволюционной теории в биологии и молекулярным теориям в физике и химии. Практические приложения его неисчислимы. И если мы хотим довести научно-культурный уровень рабочего и колхозника до уровня работников инженерно-технического труда, то как же мы можем спокойно смотреть на отсутствие в математических школьных программах того, что составляет собой математическую основу всей современной техники? Тем более, что анализу бесконечно малых принадлежит весьма важная роль в деле формирования научного, диалектико-материалистического мировоззрения. Энгельс многократно говорил о том, что диалектика входит в математику вместе с дифференциальным и интегральным исчислениями, и мы, математики, лучше всех знаем, как глубоко верны эти слова.

Все часто повторяемые возражения против введения анализа бесконечно малых в курс средней школы либо основаны на ошибочных предпосылках, либо указывают на препятствия, вполне и без ущерба для школы преодолимые. Неверно, будто восприятие этого раздела представляет для учащихся особые затруднения; те, кто в

свое время обучался в реальных училищах, хорошо помнят, что усвоение элементов анализа проходило гораздо легче, чем, например, усвоение многих глав стереометрии, не говоря уже о решении головоломных геометрических задач. Неверно, будто преподавание анализа представит непомерную трудность для нашего учительства; и молодые учителя, и старые кадры учительства при наличии хороших учебников и доброй воли без всякого сомнения успешно справятся с новой задачей. Неверно, наконец, будто десятилетняя школа не может вместить основы анализа в свои и без того перегруженные программы. Действительно, эти программы перегружены, но мы должны внимательно посмотреть, чем они перегружены; среди их материала есть еще много такого, что не имеет ни идейно-мировоззренческого веса, ни практического значения и сохраняется исключительно в силу слепой традиции. Какое идейно-воспитательное значение имеют всякие «особые случаи» решения косоугольных треугольников, всякие «возвратные», «трехчленные» и прочие уравнения, головоломные стереометрические задачи и многое, многое другое? В какое сравнение может идти все это с анализом бесконечно малых, уже почти триста лет составляющим собой главную идейную основу математической науки и главное математическое орудие естествознания и техники? Без всякого сожаления и без всяких колебаний нужно изгнать из школьных программ все архаизмы, все то, что сохраняется в этих программах только потому, что «отцы и деды» так учились. Если мы букву «ять» изгнали из правописания, то нет никаких оснований давать ей свить себе гнездо в школьной математике...

Конечно, введение в школьный курс элементов анализа бесконечно малых не должно копировать старых реальных училищ, где все преподавание велось в духе и стиле элементарной математики и только в последнем классе в виде механически прицепленного придатка появлялись элементы аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. Разумеется, мы хотим и требуем большего. Программы должны быть построены так, чтобы идеи переменной величины и функциональной зависимости, являющиеся прямым математическим выражением основных черт диалектического миропонимания, как можно ранее усваивались учащи-

мися и как можно ранее становились основным стержнем всего школьного курса математики. Элементы анализа не должны быть «приложением», а должны лежать в основном русле программы, составлять ее неотъемлемую органическую часть, должны быть связаны крепкими нитями со всей основной тематикой этой программы.

Нельзя закрывать себе глаза на то, что создание такой программы есть дело большой трудности и чрезвычайной ответственности задача, с которой можно справиться только в том случае, если вся научная общественность примет деятельное участие в ее разрешении. Несколько лет назад наша математическая общественность подняла кампанию за внедрение в школьное преподавание математики моментов, развивающих интенсивность и активность научного мышления. Речь тогда шла главным образом о повышении уровня задачного материала. Эта борьба в настоящее время увенчалась уже значительным успехом. Проведение целого ряда математических «олимпиад», пополнение старых задачников новым материалом, издание задачников повышенного типа, привлечение к этому делу внимания учителей — все это привело к тому, что в настоящее время оканчивающая школу молодежь справляется с решением задач значительно лучше, чем это было несколько лет назад.

Сейчас главная задача переместилась. Все мы, работающие в высшей школе, хорошо знаем, что основным недостатком подготовки приходящих к нам из средней школы молодых студентов теперь является уже не слабость математической техники, а недопустимо низкий и непрочный идейный уровень. Даже лучшие наши учителя, умеющие довести у своих учеников технику решения задач до прямой виртуозности, не всегда уделяют достаточно внимания идейному развитию учащихся. Обращение учеников с нулем и бесконечностью таково, что высшей школе приходится начинать с искоренения из умов своих воспитанников антинаучных представлений, привитых им средней школой. Ученик, блестяще владеющий логарифмическими вычислениями, очень часто не может вычислить 10,g7 и пытается обратиться к таблицам, т. е. фактически не знает, что такое логарифм. Не так давно один старый учитель на одном из наркомпросовских совещаний так прямо и заявил, что «нам в школе не до

идей, нам бы только по-будничному научить детей вычислять и решать задачи». Надо ли говорить о том, что такая позиция для советской школы неприемлема? В нашей стране, где каждый рабочий — сознательный участник производства, не может иметь места буржуазное ограничение задач школьной математики внедрением голой, безыдейной рецептуры, узких, не открывающих никаких научных горизонтов практических навыков. Мы полагаем, что одной из основных забот новой программы должна стать забота именно о повышении идейного уровня учащихся, о расширении их научного кругозора и о том. чтобы преподавание велось в точном согласии с установками современной науки, а не на расстоянии нескольких столетий от них.

Если создание такой программы есть дело не легкое, то, бесспорно, еще более трудным будет внедрение ее в жизнь. Здесь необходима исключительная осторожность и постепенность. Создание новых учебников и методических руководств, пропаганда и разъяснение новых программ в общей и специальной печати, постепенная переподготовка, методическая и научная, значительной части учительства, существенная перестройка педагогической практики в педвузах — вот далеко не полный перечень тех мероприятий, которые необходимо будет планомерно осуществить частью до введения новых программ, а частью параллельно с их введением. В проведении всех этих мероприятий наша научная общественность обязана взять на себя руководящую роль; в этом она должна видеть одну из своих наиболее ответственных и почетных задач перед Советским государством.

Далее следует подробно остановиться на проблеме подготовки учительских кадров, взяв ее во всей широте: университеты, педвузы, педагогические училища, всякого рода курсы, включая и заочное обучение.

Какие бы программы мы ни придумали, какие бы хорошие ни составили учебники и методические руководства,— успех в деле преподавания в конечном счете решает уровень учительства. В этом отношении дело обстоит неблагополучно, и со всей определенностью нужно подчеркнуть, что основной причиной этого неблагополучия является недостаточный научный уровень подавляющего большинства нашего учительства. Нельзя требовать от учителя, чтобы его преподавание велось в согла-

сии со взглядами и установками современной передовой науки, если сам он в этих установках нетверд. Если мы видим организованную беспомощность учителя, его неумение сделать предмет ясным, увлекательным и практически актуальным, то это почти всегда вытекает из недостаточности научного уровня преподавателя, его научной незрелости и несамостоятельности. Если, скажем, порядок изложения каких-нибудь двух глав курса в стабильном учебнике отличается от их порядка в программе, то у нас это рассматривают как катастрофу, как организационный прорыв; в аварийном порядке изготовляются инструкции, методические документы, часто недоброкачественные вследствие пожарной спешности; раздаются обвинения по адресу составителей программ и авторов учебников. А между тем всякий учитель, умеющий не только излагать по готовым шпаргалкам, но и хоть чуточку научно мыслить, разумеется, с этой пустяковой трудностью справится сам, без всякой посторонней методической помощи.

Надо прямо сказать: мы очень многому учим будущих учителей, в том числе и многому лишнему, но мы не учим их самому главному, что нужно учителю,— умению быть научным организатором и научно-компетентным хозяином педагогического процесса. В последнее время наша печать, в особенности «Учительская газета», уделяет большое внимание педагогическому образованию; на ее страницах ответственные работники Комитета по делам высшей школы и Наркомпроса предлагают целый ряд несомненно полезных и важных мероприятий по упорядочению дела педагогического образования. Но все эти статьи почему-то совершенно обходят его основной недостаток.

Взгляните на любой приказ Комитета высшей школы или Наркомпроса по высшей педагогической школе, оценивающий ее работу и предлагающий мероприятия, направленные к улучшению этой работы. Вы прочтете указания на ошибки в работе дирекции, деканатов и кафедр, вы увидите распоряжения директора деканам и кафедрам, но вы почти не найдете указаний на дефекты в работе студентов, никогда не найдете распоряжений, адресованных студентам. А часто из такого документа нельзя даже и видеть, что в наших вузах, кроме директоров, деканов и кафедр, имеются еще и студенты.

Это чрезвычайно характерно для всего стиля работы высших учебных заведений. На студента смотрят не как на зрелого и ответственного участника, а лишь как на объект работы, за успехи которого отвечают прежде всего директор, декан и профессор. Если студент плохо учится, то виновника извольте прежде всего искать в директорском кабинете, в деканате, в профессорской комнате: студент же играет роль производственного материала, с которого, конечно, нечего спрашивать!

В своем учебном процессе студент ничего сам не организует. С первого дня учебы до последнего государственного экзамена за него обо всем думают директор, декан и профессор. Шесть часов в день студент отсиживает на лекциях или других обязательных занятиях под руководством преподавателя. Затем он должен «проработать», т. е. повторить услышанное по запискам или указанному учебнику. Дальше он должен сдавать экзамены, причем и здесь он устраняется от всякого участия в организации хотя бы внешнего регламента этого дела. Мероприятия администрации педвузов по «стимулированию самостоятельной работы» студентов поистине смехотворны. Вместо того, чтобы стимулировать, они делают все возможное, чтобы в корне ее задушить.

Когда речь заходит о «самостоятельной работе», то прежде всего говорят о консультациях. Побольше консультаций! Что это значит реально? Реально это значит, что студент, не понявший какой-либо мелочи на лекции или в учебнике, вместо того чтобы самостоятельно разрешить возникшее недоумение, что иногда требует не более десяти минут, приучается немедленно обращаться к преподавателю, чтобы получить готовый ответ. Реально это значит, что студент, которому нужна такая-то теорема, вместо того чтобы самостоятельно разыскать ее доказательство, пересмотрев три-четыре учебника (все мы знаем, как воспитывают такие розыски), идет к преподавателю и получает законченное указание: книга такая-то, страница такая-то. И это называют мерами к стимулированию самостоятельности!

Допустим, студенты организуют научный кружок,— действительно начинание прекрасное. Но чтобы «стимулировать самостоятельность», преподаватели должны составить список тем, установить их очередность, указать всю литературу по каждой теме с точностью до страницы

да еще консультировать студентов при подготовке к докладам. Словом, начинание, в идее организуемое и проводимое инициативой самого студенчества, всеми мерами приближается к обычному процессу пассивной учебы. Чрезвычайно характерно, что дирекция педвузов информировать их о ходе работы кружков вменяют в обязанность не студентам (например, выборным бюро кружков), а заведующим кафедрами, очевидно считая научный кружок рядовым и регламентированным, как все учебные начинания...

Но идут и дальше. Для помощи «самостоятельной работе» студентов их подчас прикрепляют к отдельным преподавателям, что означает самое неприкрытое репетиторство. Мы знаем случаи, когда студентов-государственников для подготовки к экзаменам пытались поголовно «прикрепить» таким образом к репетиторам, и только энергичное сопротивление научных работников помешало осуществлению этого вреднейшего мероприятия.

Вместе с этим факультативные курсы и семинары, т. е. именно то, что более всего воспитывает самостоятельность, находятся в наших педвузах в полном загоне. Бывает, что профессор охотно взялся бы за чтение факультативного курса, и студенты хотят его слушать, а директор и декан всеми прямыми и косвенными средствами стараются добиться того, чтобы курс не состоялся. В основе этой странной и на первый взгляд непонятной тенденции лежит всегда нелепое беспокойство о том, как бы студенты не увлеклись этой самой наукой в ущерб узаконенной зубрежке.

В результате всех этих и многих подобных им «мероприятий» студент педвуза очень быстро превращается в хорошо знакомое нам существо, целиком, вплоть до последнего государственного экзамена, поглощенное заботой о том, чтобы формально вызубрить положенное от такой-то до такой-то страницы и отбарабанить вызубренное на экзамене. Все мы хорошо знаем эти пресловутые «консультации» перед государственными экзаменами, когда вы не услышите ни одного научного вопроса, но зато вас буквально забросают настоятельными требованиями авторитетно разъяснить о такой-то теореме, «нужно или не нужно ее знать». Нужно ли знать два определения непрерывности функции или разрешается вызубрить только одно? От встречи с такими государственни-

ками волосы встают дыбом у всякого, кому дорого дело народного образования.

Что можно ожидать от так воспитанного учителя? Как может организовать работу целого класса человек, у которого на протяжении четырех лет обучения старательно и всеми средствами отнимали возможность хоть что-нибудь самостоятельно организовать в своем собственном процессе обучения? И не похоже ли это на то, как если бы школа, готовящая, скажем, инструкторов по плаванию, до выпускного экзамена включительно не позволяла своим воспитанникам спускаться в воду иначе, как на пузырях?

Что же надо сделать, чтобы все это стало иным, чтобы будущий учитель выходил из педвуза научно подкованным и организационно грамотным?

Для этого нужно прежде всего от системы бессмысленного школьнического натаскивания перейти к системе подлинно научного воспитания. Для этого нужно заботиться о расширении научного кругозора, углублении понимания идейных, принципиальных основ науки, а не о формальном заучивании отдельных разрозненных фактов ее. Для этого совершенно необходимо создать в наших педвузах и педагогических училищах подлинную научную атмосферу и культивировать в студентах любовь к своей науке предпочтительно перед погоней за экзаменационными отметками.

Совершенно ясны те организационные мероприятия, которые должны быть предприняты для достижения этих целей. Это прежде всего — значительное уменьшение числа часов, отдаваемых работе под руководством преподавателя, и соответственный перенос центра тяжести на действительно самостоятельную работу студентов. Совершенно не обязательно, как это у нас принято, каждую теорему, в деталях изложенную в учебнике, во всех подробностях доказывать с кафедры. Лекции должны не повторять и не заменять учебника, а давать принципиальные установки и идейное освещение тому материалу, который студент самостоятельно изучает по книге. Если мы станем на эту точку зрения, то число лекций по большинству предметов можно будет сократить вдвое, от чего только выиграет уровень преподавания.

Необходимо далее прекратить мелочную опеку над каждым шагом студента, необходимо усвоить взгляд на

студента как на зрелого и в полной мере ответственного работника, за успех работы которого в первую очередь отвечает он сам. Необходимо приучить его к мысли, что кафедра и деканат могут лишь оказывать ему содействие, но что организатором своего времени и своей работы он должен быть сам. Он должен уметь сам находить нужную ему литературу, и, прежде чем идти на консультацию, он должен со всем напряжением сил попытаться самостоятельно разрешить возникшее у него недоумение. Необходимо в корне ликвидировать все попытки организации репетиторства. Необходимо полностью изжить все проявления либерализма при оценке знаний и учесть при этом, что либерализм многолик и изворотлив. Он проявляется отнюдь не только в проставлении слишком высоких отметок. Когда дирекция или деканаты понуждают профессора в течение одного семестра четыре раза переэкзаменовать одного и того же студента по одному и тому же предмету в расчете взять этого профессора «измором», заставить его, махнув рукой, с отчаяния поставить, наконец, «посредственно», то это еще худшее проявление либерализма, ибо продиктовано оно опасным пороком, известным под именем процентомании.

Необходимо, наконец, широко развить в наших педвузах сеть факультативных курсов, научных семинаров и работающих на основе самостоятельной студенческой инициативы научных кружков. И не следует ограничиваться в этом направлении ни к чему не обязывающими пожеланиями, а уже при определении штатов каждого педвуза учитывать потребность в специальных факультативных курсах и семинарах.

Вот те основные сдвиги в учебном режиме наших педвузов, необходимость которых всем очевидна.

Это.— для студентов, для будущих учителей. В чем же нуждается уже работающее учительство, его старые кадры? Прежде всего в хорошей книге — научной, учебной и методической, и притом в книге доступной, изданной в таком тираже, чтобы она могла действительно дойти до учителя. Литература, способная повысить научную квалификацию учителя, издается у нас в ничтожном количестве, такими тиражами, при которых она фактически недоступна своему естественному читателю. А между тем пора осознать, что эта литература составляет в жизни нашей школы столь же необходимый элемент, как и

учебник для учеников. При наших миллионных тиражах учебников не может быть, чтобы не нашлось средств и возможностей для решения этой, в полиграфическом отношении гораздо более скромной задачи. Наркомпрос должен понять, что здесь идет речь не о роскоши, а о хлебе насущном для нашего учителя.

Необходимо также принять меры к тому, чтобы наши учителя периодически проходили краткосрочные курсы повышения научной квалификации. Даже в две-три шестидневки учитель может получить хорошую и действенную научную зарядку, если только мы позаботимся о том, чтобы такого рода курсы были обеспечены рациональным планом и достаточно квалифицированными лекторскими силами. Самое главное здесь в том, чтобы научное освещение не подменивалось, как это часто у нас бывает, сообщением методической рецептуры, методических шпаргалок. Никакие ссылки на то, что, мол, сами учителя хотят этих шпаргалок, не должны приниматься в качестве предлога для такой деградации. В учительстве, как во всякой среде, есть свои передовые и свои отсталые слои, и плестись в хвосте этих отсталых слоев не составляет чести для тех, кто призван руководить учительством и организовать его работу.

Выработка новых программ и подготовка учительских кадров являются, бесспорно, важнейшими из тех задач школьной жизни, над которыми нужно работать. Однако список таких задач, конечно, может и должен быть значительно расширен, и мы теперь в заключение кратко остановимся на тех из них, решение которых нам представляется неотложным.

Научная общественность в ближайшее время должна внимательно рассмотреть работу наших методических научно-исследовательских учреждений, кабинетов и лабораторий, а также методических кафедр педвузов, ознакомиться с их тематикой, их кадрами и методами работы. Рецептура областного или городского кабинета подчас носит для учителя законодательный характер, а у нас есть и проверенные сигналы, свидетельствующие о прямой безграмотности этой рецептуры даже в столичных учреждениях. Это не удивительно, так как научно образованных методистов у нас можно пересчитать по пальцам. Подавляющее большинство методических кадров, даже в Москве, до сих пор находится на недопу-

стимо низком научном уровне и воспитывает в учителях педантизм и тот схоластический подход к науке, которым до сих пор так грешит преподавание математики в нашей школе. Но самое худшее в том, что методические кадры совершенно не растут. О воспитании новых методистов никто не заботится, это дело предоставлено полнейшему самотеку. Во всей РСФСР, если мои сведения верны, имеется три аспиранта, готовящихся к научной деятельности в области методики математики! Институт школ составил проект аспирантского минимума, но его никто не хочет утверждать. Комитет по делам высшей школы посылает в Наркомпрос, а тот обратно.

Никто не знает, должны ли за диссертации по методике математики присуждаться степени по педагогическим или математическим наукам. Никто не знает уровня требований, предъявляемых к такого рода диссертациям. Никто не знает, на ком лежит обязанность руководства диссертантами и кому предоставлено право руководить ими. Педвузы от этого открещиваются, а Институту школ не предоставлено права присуждения степеней. В результате опытный и научно мыслящий учитель, задумавший серьезно работать над диссертацией и приехавший в Москву искать помощи и оформления своей работы, претерпевает бесконечные мытарства—отсылается из Комитета по делам высшей школы в Наркомпрос, оттуда в Институт школ, оттуда в педвузы и т. д.— и в конце концов уезжает домой ни с чем. А кадры научно апробированных методистов редеют с каждым днем, никем и никак не пополняясь,

С этим положением срочно необходимо покончить. Научная общественность должна возвысить свой голос и потребовать установления порядка в этом деле. Но этим ее роль ограничиться не может. Она обязана принять непосредственное участие в деле воспитания методической аспирантуры, ибо если она этого не сделает, то новые методические кадры будут так же беспомощны в научном отношении, как работающие ныне. Мы полагаем, далее, что необходимо со всей серьезностью рассмотреть вопрос о возможности некоторой специализации преподавания в старших классах нашей школы. Этот вопрос уже неоднократно поднимался в нашей печати в связи с необходимостью дать школьникам некоторую подготовку к будущей деятельности.

Необходимо защитить право передового учителя на здоровый методический эксперимент, оградить такого учителя от педантических придирок директора, методиста, инспектуры, в особенности инспектуры некомпетентной, как это сплошь и рядом у нас бывает. Известны случаи, когда директор и завуч запрещали учителю доказывать теорему не так, как она доказывается в стабильном учебнике. С другой стороны, нередко бывает и так, что сам учитель требует преувеличенной регламентации, которая освободила бы его от необходимости мыслить методически. Есть учителя, требующие, чтобы по некоторым разделам в программе были перечислены все задачи, которые школьники должны уметь решать, чтобы были перечислены не только названия теорем, но и обязательные способы их доказательств. Иной педант-методист с подлинным ужасом говорит о возможности такой катастрофы, что в двух разных школах одну и ту же теорему станут доказывать разными методами. Ясно, что со всеми этими отсталыми, реакционными тенденциями мы должны вести самую решительную борьбу. Человеку в футляре не место в советской школе!

Нужно добиваться, далее, чтобы в четвертых, а по возможности и в третьих классах в ближайшее время были привлечены к преподаванию учителя-предметники (хотя бы окончившие учительские институты) вместо ныне работающих там универсалистов. Мы все знаем, что давно назревшее обновление программ весьма существенным образом упирается в то, что учителя-неспециалисты не в силах справиться с новыми программами.

И, наконец, мы полагаем, что научная общественность должна поднять вопрос о созыве в течение ближайших 1—2 лет всесоюзного съезда учителей математики. Даже в дореволюционное время учительские съезды играли прогрессивную роль. Не может быть сомнений в том, что в условиях советской школы с ее бурной общественной жизнью всесоюзный съезд советского математического учительства будет событием огромного значения, способным во всех отношениях повысить и стимулировать горячее желание наших учительских масс поднять математическое преподавание в школах до уровня, достойного великих культурных и народнохозяйственных задач третьей пятилетки.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ1

Идеиный уровень преподавания математики в средней школе заметно отстает от ее научного развития. Ни в одной другой школьной дисциплине мы не имеем такого положения вещей, когда весь излагаемый материал, за единичными исключениями, слагается из фактов, известных уже в XVII столетии. Только одна глава алгебры — учение об иррациональных числах — принадлежит к созданиям XIX столетия.

Если архаичность программного материала может отчасти найти себе объяснение в том, что высшая школа в области математики (в отличие от физики, химии и биологии) непосредственно ведет учащихся дальше, не возвращаясь к элементарным научным фактам, то никак нельзя объяснить и оправдать того общеизвестного явления, что даже самые основные понятия, формулировки и методы рассуждения в школьном преподавании в силу вековой традиции часто излагаются в несоответствии с

1 Эта статья была напечатана в журн. «Математика в школе», 1939, № 4, стр. 4—22 и № 5, стр. 3—10* в 1940 г. была издала отдельной брошюрой Учпедгизом в серии «Библиотека учителя» -под названием «Основные понятия математики и математические определения в средней школе». Брошюра должна была содержать также главу «Математические определения в средней школе», однако редакция, оставив эту главу в наименовании брошюры, не напечатала ее. Позднее указанная глава появилась в журн. «Математика в школе», 1941, № 1, стр. 1—10.— Б. Г.

их пониманием и трактовкой в современной науке. Ссылка на якобы достигаемое этим облегчение усвоения соответствующих фактов совершенно несостоятельна; в подавляющем большинстве случаев научная концепция тех понятий, о которых здесь идет речь, элементарней и проще и, во всех случаях, отчетливей той, которая по традиции культивируется учебниками; приведенная ссылка почти всегда имеет целью маскировку косности и рутины методической среды; мы часто на все предложения обновления слышим только, что «по старинке будет легче»; ни в одном случае мне не удалось добиться, почему по старинке будет легче; и во всех случаях я приходил к убеждению, что легче будет учителю, вызубрившему учебник и не желающему переучиваться, а никак не ученику; во всех случаях это было равнением методиста на отсталые слои учительства, в то время как передовые учителя заинтересовывались новшеством, охотно продумывали и часто принимали его.

Два принципа мне хотелось бы положить в основу решения вопроса о том, в какой мере то или другое понятие математики может быть, с учетом развития учащихся, изучаемо в школьном курсе в соответствии с его трактовкой в современной науке; вот эти принципы:

1. В случаях, когда возрастные условия не позволяют дать такую трактовку понятия, какая принята современной наукой, концепция этого понятия в школьном курсе может быть упрощена; это означает, что школа не обязана доводить развитие каждого понятия до его состояния в современной науке, но может остановиться и на предшествующей стадии развития этого понятия. Но ни в одном случае школа не должна в целях упрощения искажать научную трактовку понятия, придавать ему черты, противоречащие научному его пониманию—черты, которые в последующем пришлось бы искоренять; другими словами, ни в одном случае школа не должна развивать понятия в направлении, отклоняющемся от пути его научного развития.

2. Замена отчетливых и точных определений, формулировок и рассуждений расплывчатыми, не имеющими точного смысла и при последовательном использовании неизбежно приводящими к логическим неувязкам ни в коем случае не может способствовать облегчению понимания, а, напротив, во всех случаях затрудняет его; мыс-

лить расплывчато не может быть делом более легким, чем мыслить четко.

Наконец, мы полагаем, что обычное построение школьного курса изобилует такими понятиями, которых не знает математическая наука или которые она давно отвергла. В подавляющем большинстве случаев введение этих, изобретенных специально для школы и неупотребительных в науке понятий не имеет за собой ничего, кроме слепой традиции; вызываемое ими ненужное обременение курса методически ничем не оправдано и приносит только вред.

Вот те исходные принципы, с точки зрения которых написана эта книга, может быть несколько необычная по содержанию: читатель не найдет в ней ни более или менее популярного изложения современных научных концепций, рассчитанного на повышение его квалификации, ни методических разработок в общепринятом смысле этого слова; и тем не менее мне хотелось бы высказать надежду, что учитель встретит при чтении ее как моменты, расширяющие его научный кругозор, так и некоторую методическую помощь. Скромная задача этой книги — разобраться для нескольких важнейших математических понятий в вопросе о том, в какой мере и какими путями изучение их в средней школе может быть приведено в соответствие с их трактовкой, принятой в современной науке.

ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса математики, пронизывающим этот курс от первого до последнего класса. Историческая эволюция этого понятия воспроизводится, таким образом, в сознании учащегося на протяжении долгого периода, и притом такого периода, в течение которого рост сознания школьника можно уподобить росту сознания человечества за всю историю его сознательной жизни. И подобно тому, как в сознании мыслящего человечества понятие числа, подымаясь от ступени к ступени, в разные эпохи не только по содержанию, но и по стилю, научному уровню и логической зрелости, являло собой совершенно различную картину,— точно так же нельзя говорить и о едином понятии числа, соответствующем уровню сознания

школьника. На протяжении школьного обучения понятие числа не только обогащается по содержанию, включая в себя все новые и новые классы чисел, но и качественно эволюционирует вместе с сознанием учащегося, приобретая новые черты и оттенки и поднимаясь на все более высокие ступени абстракции и логической завершенности. Самая мотивировка последовательных расширений понятия числа, естественно, на разных ступенях развития должна принимать совершенно различные формы подобно тому, как в истории науки эти последовательные расширения, имея своей общей основой потребности человеческой практики, фактически завоевывали свое право на жизнь, апеллируя к весьма различным запросам и чертам человеческого сознания. Если введение дробей мы можем непосредственно мотивировать реальными потребностями практики, и вряд ли достигли бы лучших результатов, пытаясь на данном уровне детского сознания апеллировать к вопросам более теоретического характера, то при введении отрицательных чисел мы уже можем рассчитывать на существенный педагогический эффект того замечания, что в новой области вычитание становится неограниченно выполнимым; при введении иррациональных чисел, кроме аналогичной аргументации, мы можем с успехом ссылаться и на теоретические нужды геометрии; а введение комплексных чисел совершается в таком возрасте, когда довольно высокие требования теоретического развития, предъявляемые этим последним расширением понятия числа, уже должны быть налицо у нормально развитого учащегося; таким образом, не только ступень, продвинутость самой эволюции, но и уровень понимания этого эволюционного процесса, естественно, совершенно различны на различных стадиях обучения. И, конечно, только в последнем классе уместен достаточно полный, систематизирующий ретроспективный1 взгляд на общую картину завершившегося эволюционного процесса.

Понятие числа отличается от многих других понятий школьного курса математики своей первичностью. Это значит, что в подавляющем большинстве логических построений математики понятие числа относится к разряду тех понятий, которые не определяются через другие

1 Ретроспективный — обращенный к прошлому. — Б. Г.

понятия, вместе с аксиомами входят в состав первоначальных данных. Это значит, что математическая наука не содержит в себе ответа на вопрос «что такое число?»— такого ответа, который состоял бы в определении этого понятия через другие, ранее установленные понятия; математическая наука дает этот ответ в другой форме, перечисляя свойства числа, выраженные в аксиомах. Тем более, конечно, бессмысленной и безнадежной является всякая попытка определения этого понятия в школьном курсе арифметики и алгебры; и в особенности следует остерегаться довольно распространенной тенденции к созданию суррогатов такого определения, когда за определение понятия выдается перечисление тех моментов человеческой практики, в которых мы с этим понятием встречаемся; конечно, надо, чтобы школьник знал, как и почему потребности счета и измерения привели к возникновению и последовательному расширению понятия числа; но заставлять детей заучивать фразы, вроде «число есть результат счета или измерения», «отношение есть результат сравнения» и т. д., и считать эти фразы ответами на вопросы «что такое число?» и «что такое отношение?», т. е. определениями этих понятий, означает сознательно прививать учащимся логическую расплывчатость и неразбериху, смешение логического определения с генетическим описанием. Из подобного рода «определения» учащийся узнает о числе столько же, сколько человек, никогда не слыхавший слова «война», узнает о ней из фразы «война есть результат столкновения государственных интересов».

Мы считаем важным настаивать на том, чтобы весь курс школьной математики был освобожден от каких бы то ни было попыток прямого ответа на вопрос «что такое число?», потому что каков бы ни был этот ответ, он будет вульгарным и искажающим логическое содержание проблемы. Но нас, конечно, спросят, как же быть учителю, если ученик поставит этот вопрос. Отвечаем: поступать как всегда, т. е. говорить правду; ответить ученику, что поставленный им вопрос есть одна из труднейших задач научной философии, от полного разрешения которой мы еще далеки; что число, как всякое математическое понятие, есть отражение в нашем сознании некоторых отношений действительного мира; но что вопрос о том, какие именно отношения действитель-

ного мира находят себе выражение в понятии числа, вопрос о том, какие отношения являются количественными,— есть глубокая и трудная философская задача; математика же может только показать изучающему ее, какие бывают числа, каковы их свойства и как над ними можно и нужно действовать. Если такой ответ ученика не удовлетворит, то это будет означать только, что данный ученик не созрел до правильного понимания той задачи, которая содержится в поставленном им вопросе: с этим учитель должен примириться; лучше подождать год-другой с ответом, чем подменять этот ответ суррогатом, вульгаризирующим проблему.

Но если мы отказываемся ог логического определения понятия числа в школьном курсе математики, то это не значит, конечно, что формирование и эволюцию тех представлений и ассоциаций, которые связывает учащийся со словом «число», мы можем предоставить самотеку. Напротив, каждый учитель обязан твердой рукой, на протяжении всего срока обучения, вести учащихся к созданию правильного, отчетливого и возможно зрелого в научном отношении представления о числе, подчеркивая все то, что способствует сознанию такого представления, и отметая все то, что его искажает и фальсифицирует.

Каково же это правильное представление о числе, какова доступная школьнику в формировании этого представления ступень научной зрелости и каким путем создание этого представления может быть достигнуто?

Мы считаем, что весь курс арифметики и алгебры должен быть ориентирован на постепенное создание и укрепление у учащихся представления о числе как об объекте арифметических операций. Само собой разумеется, что эта (или равносильная ей) фраза не только не может служить определением понятия числа, но и вообще в школьном курсе не должна быть произносима. Но если учащийся исподволь, путем умелых ударений и косвенных указаний со стороны учителя, в конце X класса будет со словом «число», хотя бы полусознательно, ассоциировать нечто такое, что можно складывать, умножать и т. д., то мы сможем с уверенностью сказать, что в отношении понятия числа школа сумела внушить ему то лучшее и высшее, что она могла дать; платформа для дальнейшего математического развития, если таковое потребуется, будет при этом подготовлена наилучшим

образом; именно такое представление о числе, будучи, с одной стороны, безусловно доступным сознанию школьника на заключительном этапе его развития, в то же время открывает все двери в область научных концепций современной алгебры.

Высказанный нами тезис, конечно, никак не должен быть понимаем в качестве призыва к отрыву от реальных связей понятия числа. Само собой разумеется, что отстаиваемое нами результативное представление о сущности числа не исключает, а, напротив, обязательно включает в себя идею числа как отражения реальных соотношений и зависимостей. Все преподавание арифметики и алгебры проводится, как об этом будет сказано ниже, под знаком борьбы против формализма и с полным учетом материального содержания каждой новой разновидности понятия числа и каждой новой алгебраической операции; самые операции арифметики и алгебры должны не терять в сознании учащихся своего материального, вещественного содержания, вследствие чего и представление о числе как об объекте этих операций, будучи зрелым плодом достигнутой ступени обобщения и абстракции, не может и не должно знаменовать собой отрыва от реального источника этого отвлеченного понятия; напротив, оперативность, связываемая с идеей числа, должна подчеркивать, напоминать и укреплять в сознании учащихся связи и применения этой идеи.

В дальнейшем изложении мы последовательно коснемся различных этапов развития понятия числа; при этом все наше внимание будет сосредоточено на логической природе каждого нового расширения; методические же выводы мы будем рассматривать лишь постольку, поскольку они связаны с реализацией этой логической природы в процессе преподавания. Поэтому все последующее не может, разумеется, претендовать на роль методической разработки, подобно тому как и вся настоящая статья не может представлять собой методического руководства.

Нуль

Первое расширение понятия числа, с которым встречается учащийся, совершается в тот момент, когда к натуральным числам присоединяется нуль.

В нашей методической литературе до сих пор продолжается дискуссия по вопросу о том, следует ли в школе считать нуль числом или оставить за ним лишь значение символа, указывающего на отсутствие в данном числе единиц соответствующего разряда. Мы полагаем, что последнее предложение может быть только плодом недоразумения; нет решительно никаких оснований становиться в школьном преподавании в противоречие с научным строением арифметики; такая позиция практически приводит к явно нетерпимым выводам и следствиям, угрожающим в конечном счете полной невозможностью сколько-нибудь систематического построения учения о числе. В самом деле:

1. Вся современная наука признает нуль числом.

2. Если мы нуль не признаем числом, то мы вынуждены признать, что разность (после введения отрицательных чисел — и сумма) двух чисел может не быть числом.

3. Если мы нуль не признаем числом, то мы вынуждены производить арифметические действия (сложение, вычитание, умножение) над тем, что не есть число. Напротив, признавая нуль числом, мы получаем возможность уже на ранней стадий обучения заронить в сознание учащихся тот оперативный принцип, о котором мы говорили выше (примерно по схеме: «нуль можно прибавлять и вычитать, на нуль можно умножать,— значит, нуль есть число»).

4. Наконец, отпугивающее многих методистов возведение в ранг числа такого символа, который до сих пор означал как раз отсутствие единиц соответствующего разряда, на самом деле не только не является антинаучным или нарушающим логический порядок изложения, но, напротив, служит первым и очень ярким примером реализации в математике диалектического закона единства противоположностей. Когда позднее мы учим школьников понимать целое число как частный случай дробного, вещественное — как частный случай комплексного, постоянную величину — как частный случай переменной и т. д., то все это — проявления одного и того же закона диалектической логики, проявления, чрезвычайно характерные для всего стиля математической науки: понятие, первоначально возникшее как антитезис некоторому данному понятию, первоначально стоящее к нему в отно-

шении явно выраженного антагонизма,— позднее, будучи поднято на более высокую ступень, синтезирует с ним в едином общем лоне, причем, конечно, оба понятия в полной мере сохраняют в этом единстве противоположные черты. Так и нуль, нисколько не теряя своего реального значения и всех своих специфических особенностей, возникая первоначально как антитезис, как отрицание по отношению к натуральному числу, в дальнейшем развитии понятия числа становится в одну колонну с рядом натуральных чисел, выступает как продукт операций над натуральными числами, подчиняется одинаковым с ними законам и правилам и тем самым приобщается к миру чисел.

Так обстоит дело в принципиальном тане. В сознании учащихся картина должна, естественно, складываться в значительно упрощенном виде; но упрощение не должно повлечь за собой ни искажения, ни вульгаризации. После того как нуль прочно вошел в сознание школьника в качестве символа, указывающего на отсутствие в данном числе единиц того или иного разряда, и стал, таким образом, привычным орудием письменной нумерации, учащийся, овладевая действиями над многозначными числами, исподволь и постепенно, в самой практике арифметических операций привыкает к тому, что нуль появляется и как результат действий, производимых над натуральными числами, и даже как прямой объект этих действий. После этого учитель в надлежащий момент говорит: так как над нулем мы производим действия столь же просто и успешно, как и над числами, и всем правилам этих действий нуль подчиняется так же хорошо, как и числа, то мы с вами уговоримся считать его теперь числом, и этого нашего уговора будем всегда придерживаться.

Приобщение нуля к миру чисел, в силу возможности производить над ним арифметические действия, явится первым шагом в деле привития сознанию учащегося того оперативного принципа, о котором мы говорили во введении к настоящей статье.

Дроби

Практическая мотивировка введения дробных чисел настолько убедительна и доступна детскому сознанию, что не нуждается здесь ни в каких пояснениях.

С логической точки зрения несколько моментов должны быть подчеркнуты.

1) Целые числа, вначале противополагаемые дробным, выступают затем как разновидность, как частный случай этих последних; здесь мы имеем второй случай реализации закона единства противоположностей в арифметике, и этому моменту должно быть уделено особое внимание. Ничего, разумеется, не говоря детям ни о каких законах диалектики, учитель должен озаботиться тем, чтобы в сознании его учеников прочно улеглась картина расширенного мира чисел, в котором давно известные учащимся целые числа занимают свое особое место (а не находятся вне его).

2) Невозможность деления на нуль является следствием той особой природы этого числа, которую оно сохраняет и после приобщения его к числовому миру. Так как этот запрет является универсальным, т. е. сохраняющим свою силу при всех дальнейших расширениях понятия числа, то он должен быть высказан и постоянно напоминаем в самой категорической форме. На всем протяжении школьного курса необходимо тщательно избегать каких бы то ни было записей, содержащих нуль в знаменателе. Так, говоря о том, что уравнение 0 • л:=1 не имеет решений, следует мотивировать это заключение тем, что 0-л: при любом х равно нулю и, следовательно, ни при каком X не может равняться, единице. Напротив, не следует рассуждать так: «Из 0»х = вытекает х==^ * а так как выражение — не имеет смысла, то данное уравнение не имеет решений»; при таком рассуждении мы фактически производим деление на нуль, лишь потом констатируя, что полученное выражение не имеет смысла; между тем как задача состоит как раз в том, чтобы приучить учащихся никогда не предпринимать попытки деления на нуль. Мы не говорим уже о том, что довольно распространенные в нашей школе записи вроде = °о и т. п. в корне порочны, ведут к неисчислимым заблуждениям и вредным навыкам и потому со всей решительностью должны быть изгнаны из школьной практики.

3) Мы считаем нужным сделать несколько замечаний по вопросу о роли и месте десятичных дробей и процент-

ных вычислений в курсе арифметики. Опыт показывает, что в этом вопросе простейшие факты часто остаются неосознанными самим учителем, а это обстоятельство в свою очередь влияет на весь стиль преподавания, на те общие точки зрения, в свете которых учебный материал преподносится школьникам.

Источником неясностей служат самые термины «десятичные дроби» и «проценты», создающие впечатление, будто здесь речь идет о дробных числах какой-то новой природы. На самом деле, разумеется, имеются в виду те же дроби, с которыми учащиеся уже подробно освоились, и вопрос возникает лишь о новом аппарате для изображения все тех же старых чисел, о новой форме записи дробей. Было бы гораздо лучше и значительно способствовало бы правильному пониманию вопроса, если бы соответствующие главы носили названия «Десятичная запись дробей» и «Процентная запись дробей», так как 0,2 от —,0,(3) от —,45% от—^-не отличаются ничем, кроме формы записи, и чем раньше и чем прочнее это обстоятельство будет усвоено учащимися, тем легче они справятся с трудностями, связанными с десятичными и процентными расчетами; по нашему прочному убеждению, значительная часть этих трудностей вызывается стремлением авторов учебников, методистов и учителей искусственно создать какое-то «предметное» различие между выражениями 0,6 и 60% —различие, которого не знает наука (попросту отождествляющая смысл этих выражений) и которое измышляется специально для школьных нужд; мы решительно стоим за изгнание из школьного курса всякого подобного паразитического псевдонаучного багажа, исходя при этом из твердой уверенности, что специально придуманные нагромождения, неспособные получить четкого логического содержания, ни в одном случае не могут облегчить понимания соответствующих понятий, а напротив — во всех случаях лишь затрудняют их отчетливое понимание. В этом контексте необходимо упомянуть еще об одном аналогичном нагромождении: вместо того чтобы попросту определить отношение двух чисел как их частное, детей заставляют заучивать «определение», согласно которому «отношение есть результат сравнения» и т. д.,— фразу, в которой никто не сумеет открыть точного смысла,

Особенно тяжело обстоит дело с процентами. Вместо того чтобы с самого начала с исчерпывающей ясностью указать, что проценты представляют собой лишь особую форму записи дробей и что поэтому не существует и не может существовать никаких «задач на проценты», а что, напротив, любая задача с дробными данными может быть поставлена и решена в процентной записи и обратно,— вместо всего этого предельно ясного подхода к делу у нас создают какой-то культ процентов, гипостазируют1 их до присвоения им особого предметного содержания, создают для них особую теорию и особую категорию задач, словом, делают все возможное для того, чтобы в представлении школьника процент вырос в новое, чуждое и трудное понятие, требующее специального подхода и специальных методов исследования. А за этим, как правило, констатируют, что «проценты плохо усваиваются учащимися».

О процентной записи дробей мы считаем нужным сделать еще одно замечание. У учащихся может возникнуть вопрос, зачем понадобилась еще эта новая форма записи дробных чисел, если две формы — обыкновенная и десятичная — уже имеются. Старые курсы арифметики на это отвечали указанием, что эта форма записи принята в коммерческих расчетах; не говоря уже о том, что такой ответ и в старое время ничего, конечно, не разъяснял, ясно, что в советской практике процентные расчеты получили такое широкое применение, перед лицом которого этот ответ является совершенно устарелым. А между тем наш учитель часто сам затрудняется с достаточной четкостью на этот вопрос ответить. Поэтому мы считаем полезным уделить ему несколько слов.

Если мы хотим быстро, на глаз сравнить по величине две дроби, например — и — , то этому мешает то, что дроби эти выражены в различных долях (имеют разные знаменатели). Для элементарных практических надобностей поэтому целесообразно по возможности пользоваться (хотя бы приближенным) выражением дробных чисел в одних и тех же долях, т. е. в виде дробей с одним и тем же знаменателем. Какое же число всего удобнее

1 Гипостазировать, т. е. приписывать отвлеченным понятиям самостоятельное бытие. — Б. Г.

выбрать в качестве такого универсального знаменателя? Потребности десятичной системы счисления и метрической системы мер ясно указывают, что в качестве такого числа следует выбрать либо 10, либо 100, либо 1000 и т. д. Дальнейший выбор производится уже на основе чисто практических соображений. Если универсальный знаменатель выбрать слишком малым, то может случиться, что при пользовании целыми числителями мы получим слишком сильное округление, так что точность для большинства практических целей окажется недостаточной. Напротив, если универсальный знаменатель выбрать чрезмерно большим, то мы получим хорошую точность приближения, но вместе с тем и числители окажутся числами слишком большими и поэтому неудобными для практических расчетов. Как показывает практика, именно выбор числа 100 в качестве универсального знаменателя наилучшим образом удовлетворяет всем запросам элементарных расчетов: при пользовании целыми числителями мы получаем в этом случае такие приближения для любых величин, которые в большинстве практических расчетов дают вполне достаточную точность; с другой стороны, числители, как правило, оказываются при этом сравнительно небольшими числами, с которыми нетрудно оперировать.

Но выбрать число 100 в качестве универсального знаменателя—это и означает перейти к процентной записи дробных чисел. Разумеется, пользование целыми числителями все же не во всех случаях дает требуемую степень точности; иногда мы вынуждены бываем добавлять в числителе один и даже более десятичных знаков после запятой (86,3%), что фактически означает переход от процентов к промиллям и т. д.

Отрицательные числа. Рациональные числа

Введение отрицательных чисел с реальной стороны обусловлено потребностью измерения величин, значения которых простираются в двух взаимно противоположных направлениях. С величинами этого рода мы встречаемся в нашей каждодневной практике; поэтому реальная обусловленность отрицательных чисел с методической стороны затруднений не представляет. Значительно труд-

нее обстоит дело с обоснованием действий над отрицательными числами. Причина всех хорошо известных методистам трудностей, связанных с этим разделом, коренится в том, что создающаяся здесь логическая ситуация является новой и непривычной для детского сознания; речь идет об определении действий, носящих привычное название (сложение, умножение), над новыми, только что введенными объектами; то обстоятельство, что то или иное действие, хотя бы оно носило старое наименование, с формальной точки зрения для новых объектов (отрицательных чисел) может быть определено совершенно произвольно, является таким новым моментом, который на данном этапе лишь с большим трудом укладывается в детском сознании. Учащийся не может отделаться от настоятельной потребности в доказательстве правила знаков при умножении, между тем как учитель не только не может дать ему такого доказательства, но, напротив, с научной точки зрения должен убедить его, что такого доказательства не может существовать, что такого доказательства нельзя искать или требовать. Наша методика в общем находит правильный выход из этого положения, стремясь убедить учащихся в целесообразности принимаемых алгеброй правил действий на базе ряда примеров, связанных с тем или иным конкретным толкованием отрицательных чисел. При этом имеется, однако, одна существенная опасность, против которой необходимо решительное предостережение: приводя подобного рода примеры, учебник, методист, учитель непременно должны сопровождать их отчетливой оговоркой, что здесь речь идет не о доказательстве того или другого правила, а лишь об иллюстрации его полезности, с непременным указанием на то, почему это правило вообще не может быть доказано. Подобным же образом и в дальнейшем,—показывая учащимся, что при установленных определениях действий над отрицательными числами сохраняют силу все те законы, которые имели место для положительных чисел, учитель обязательно должен отметить, что и это обстоятельство никак не может служить доказательством установленных определений, а является лишь иллюстрацией логической целесообразности их, подобно тому как ранее мы имели иллюстрацию их практической целесообразности. Без всех этих оговорок учащиеся не только неизменно будут ус-

матривать в этих иллюстрациях достаточное логическое обоснование правил действий, но получат склонность и в дальнейших разделах курса к бесплодным поискам доказательства утверждений, которые на самом деле представляют собой определения новых понятий и потому, разумеется, не могут быть доказаны (длина окружности равна пределу периметров вписанных многоугольников при неограниченном уменьшении всех сторон и т. п.).

Учение об отрицательных числах в изложении многих авторов содержит один существенный момент, который ставит его в явное противоречие с общепринятой научной концепцией этого понятия; этот момент находит себе известное отражение и в стабильном учебнике, и в программе курса алгебры, ß то время как с научной точки зрения введение отрицательных чисел происходит так, что к известным уже числам, которые называются положительными (нуль занимает особое положение), присоединяются новые, называемые отрицательными,— почти все системы школьного изложения этого вопроса с большей или меньшей отчетливостью и откровенностью тяготеют к совсем иной картине этого процесса, ничего общего не имеющей с его научной трактовкой; в своей законченной форме эта картина выглядит так: к известным уже («абсолютным», беззначным) числам присоединяются новые «относительные» числа, разделяющиеся на положительные и отрицательные; с точки зрения этой концепции положительное число, рассматриваемое в алгебре, чем-то отлично от абсолютного, беззначного числа, рассматриваемого в арифметике. Особенно ярко эта тенденция сказывается при рассмотрении абсолютной величины «относительных» чисел; считается, что |5 I чем-то отлично от +5, что | 5 I — число абсолютное, беззначное, в то время как +5 — число «относительное», положительное. Эта тенденция очень распространена, но в то время как некоторые авторы с полной определенностью явно ее высказывают и последовательно стараются провести,— у других ее наличие и действенность проскальзывают лишь между строк, становятся очевидными лишь из косвенных указаний; и лишь в очень редких случаях мы встречаем ясно и четко выраженную установку, соответствующую научной трактовке этого вопроса.

Как и во всех других аналогичных случаях, мы полагаем, что и здесь нагромождение объектов и понятий, незнакомых науке, изобретаемых специально для нужд школьного преподавания и по необходимости ставящих это преподавание в противоречие с научной трактовкой, не только не делает предмет более доступным, но, напротив, лишь загромождает его логическую структуру без всякого методического эффекта и с необходимостью приводит к неувязкам и логическому неблагополучию. Почему не определять абсолютную величину так, как это делает наука? Зачем вводить никому не нужные «оттенки», создающие какие-то эфемерные1, не нужные ни теории, ни практике различия между величинами 5, -f-5, I +5 I, I —5 I , с научной точки зрения ровно ничем не отличающиеся друг от друга? Ведь учащемуся же говорят, что 5 означает -4-5, что знак + перед положительным числом может быть опущен; как же при этом условии хотят создать впечатление, будто, кроме положительной пятерки, существует еще какая-то абсолютная пятерка, обозначаемая тем же символом 5, при всех действиях дающая тот же результат, что и положительная пятерка, и все-таки чем-то, каким-то нюансом от нее отличная? И неужели серьезно думают, что все это нагромождение, в котором никак не разберется и ученый математик, способно облегчить ребенку восприятие отрицательных чисел?2

Надо признать, что в живучести этих антинаучных традиций в значительной степени повинен термин «относительные числа», совершенно неупотребительный в науке, но до сих пор неизменно встречающийся в наших учебниках и программах. Все относительное тем самым требует чего-то абсолютного, как своего необходимого коррелета3; раз есть числа относительные, всякий, естественно, ищет чисел абсолютных. Между тем, если хотят для совокупности всех положительных и отрицательных целых и дробных чисел, включая и нуль, иметь подходящий термин, то такой термин наукою давно соз-

1 Эфемерные — скоропреходящие, мимолетные. — Б. Г.

2 Замечания А. Я. Хинчина об абсолютной величине числа в значительной мере сейчас уже потеряли свою актуальность, поскольку в учебниках понятие абсолютной величины излагается грамотно. — Б. Г.

3 Коррелет — в данном случае — противоположный.— Б. Г.

дан: рациональные числа. Можно только рекомендовать пользоваться им в школе; легко объяснить детям и его происхождение: ratio — отношение; рациональные числа— числа, которые могут быть представлены в виде отношений целых чисел (часто раздающееся возражение, что ученик непременно спросит: «А какие же еще бывают нерациональные числа?» — нельзя принимать всерьез уже потому, что если ученик действительно так спросит, то это будет очень хорошо).

Следует, наконец, заметить, что введение «относительных» чисел с сохранением прежних в качестве «абсолютных», помимо того, что оно противоречит установкам математической науки и ведет к явным нецелесообразностям, искажает и диалектическую картину развития понятия числа; вместо того чтобы к тезису («положительное число») создать антитезис («отрицательное число») и затем объединить их в синтезе («рациональное число»), т. е. проделать классический путь диалектического расширения, при таком подходе одновременно утверждают тезис и антитезис, одинаково не порождаемые предшествующей линией развития, а возникающие со стороны, без всякого прямого отношения к предшествующему этапу.

Иррациональные числа

Наши методисты с полным основанием расценивают введение иррациональных чисел как одну из самых ответственных задач школьного курса алгебры. Учение об иррациональных числах есть во всем курсе математики едва ли не единственный раздел, который в самой науке возник лишь в XIX столетии. Это учение является той необходимой базой, без которой целый ряд разделов школьной алгебры и геометрии вообще не может быть логически обоснован. Это учение знаменует собой такой сдвиг в сознании школьника, который по своей значительности и своим последствиям может быть сравнен только с соответствующим сдвигом, происшедшим в самой математической науке после создания общей теории иррациональных чисел.

Задача введения иррациональных чисел состоит в таком расширении области рациональных чисел, которое позволило бы отнести определенное число каждому

элементу линейной протяженности, наглядным образом которой служит прямая линия. С геометрической и физической стороны эта задача встает как необходимость приписать определенное число, в качестве его меры, каждому значению величины, меняющейся непрерывным образом. Эта реальная цель общей теории вещественных чисел должна прочно войти в сознание учащихся; она никак не должна подмениваться более специальными заданиями, как, например, достижением однозначной выполнимости всех алгебраических операций (извлечение корней), так как каждая из таких операций приводит к созданию лишь определенных классов иррациональных чисел, не вызывая необходимости построения общей теории. Но именно это и знаменует собой старую систему введения иррациональных чисел, отвергнутую современными программами вследствие ее логической несостоятельности. Так как, если учащийся привык к мысли, что всякое иррациональное число своим происхождением связано с каким-нибудь радикалом, если даже в дополнение к этому он знаком с иррациональным числом как с отношением несоизмеримых отрезков, то доказать такому учащемуся существование предела периметров, вписанных в данную окружность многоугольников при удвоении числа их сторон, разумеется, невозможно; ссылка на «аксиому» о существовании предела у всякой монотонной ограниченной величины здесь ничем не помогает уже потому, что сама эта «аксиома», с точки зрения такого учащегося, просто неверна: среди чисел, связанных с радикалами, такого предела, вообще говоря, не найдется, а других иррациональных чисел в его сознании не существует (ссылка на «отношение отрезков» явилась бы здесь, конечно, в логическом отношении просто отпиской, стремящейся спрятать проблему вместо ее разрешения). Во избежание недоразумений мы должны отметить, что мы вовсе не считаем обязательным доказывать в школьном курсе теорему о существовании предела монотонной ограниченной величины; вполне допустимо принятие этого предложения без доказательства; но прежде чем сделать этот шаг, очевидно, совершенно необходимо расширить числовую область в такой мере, чтобы вводимая аксиома не приводила в ней к противоречиям; именно от этого и уклонялась господствовавшая ранее система изложения; в лучшем случае она,

вводя некоторый класс иррациональностей в связи с извлечением корней, ограничивалась более или менее расплывчатым указанием на то, что и при других операциях вводятся, в целях обеспечения выполнимости этих операций, аналогичным образом определяемые новые числа, которые также называются иррациональными; после этого построение области иррациональных чисел считалось законченным.

Математическая наука знает очень много логически эквивалентных между собой способов построения теории иррациональных чисел. Наиболее распространенными являются методы, связанные с именами: Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда. В согласии с подавляющим большинством имеющихся по этому поводу высказываний мы полагаем, что ни одна из этих теорий не может быть преподаваема в средней школе. Более того, надо прямо признать, что теории иррациональных чисел в подлинном смысле этого слова средняя школа дать не может; такие моменты, как основные теоремы о множестве вещественных чисел, а тем более определения и свойства действий над этими числами, означали бы в случае разбора их в школе такую перегрузку детского сознания, которая ни к чему хорошему привести бы не могла, в лучшем случае, и то с соблюдением достаточного чувства меры, эти вопросы, вернее некоторые из них, могли бы служить темой внешкольной работы (кружка) в X классе. Но ничего этого наша программа и не требует, ограничиваясь лишь определением иррационального числа. Мы полагаем, что такое определение действительно может быть дано в безукоризненной с научной точки зрения и в то же время полностью доступной сознанию учащихся форме; исключительная важность этого обстоятельства заключается, как мы уже видели выше, в том, что только расширение понятия числа до области всех вещественных чисел способно сделать осмысленной и логически безупречной значительную часть последующих разделов алгебры, геометрии и тригонометрии.

При введении иррациональных чисел задача значительно облегчается координированным действием алгебраических и геометрических стимулов. Поэтому важной предпосылкой успешного прочного усвоения этого раздела является то, чтобы потребность в расширении области рациональных чисел в алгебре и геометрии возник-

ла одновременно, что и должно быть непременно предусмотрено программой.

Естественным формальным аппаратом введения иррациональных чисел являются, конечно, десятичные дроби. Первым иллюстрирующим примером может служить, как обычно, определение У2 (числа, квадрат которого равен 2). Как обычно, доказывается несуществование искомого числа в области рациональных чисел и показывается желательность введения такого числа в целях измерения отрезка, который, естественно, можно построить в геометрии. На числовой прямой от точки О вправо откладывается длина этого отрезка. Это приводит к точке, которой при обычном расположении рациональных чисел на числовой прямой никакого числа не соответствует. Указываются связанные с этим затруднения; говорится, например, о том, что при движении точки по прямой желательно каждое положение точки на прямой, каждое пройденное ею расстояние измерить, охарактеризовать некоторым числом, т. е. каждой точке прямой отнести некоторое число. Рациональных чисел для этого, как видно из приведенного примера, недостаточно; можно указать сейчас же и сколько угодно других точек, для которых не хватит рациональных чисел (простейший пример — середина отрезка, о котором шла речь выше). Далее следует напомнить о том, что мы уже не раз вводили новые числа, когда для той или другой практической цели нам не хватало старых; очевидно, мы должны так же поступить и в данном случае.

После этого можно вернуться к рассматриваемому примеру и обычным путем определить два ряда конечных десятичных дробей с возрастающим числом знаков, квадраты которых соответственно меньше и больше числа 2. Теперь наступает решительный шаг: мы вводим новое число, измеряющее интересующий нас отрезок; мы показываем, что это число естественно представлять бесконечной десятичной дробью; мы доказываем, что эта дробь не может быть периодической; наконец (это гораздо менее важно), мы для краткости обозначаем новое число через \/ 2 .

Мы хотим подчеркнуть существенность точного соблюдения указанной здесь терминологии. В отличие от большинства других авторов мы считаем целесообраз-

ным избегать выражения «иррациональное число есть бесконечная десятичная дробь (непериодическая)», а предпочитаем говорить, что иррациональное число изображается или представляется такой дробью; полное отождествление числа с изображающим его символом мы и здесь, как во всех случаях, считаем неприемлемым, так как с философской стороны это означало бы явный уклон в номинализм1, а с математической привело бы к несообразностям, так как для изображения одного и того же числа мы можем пользоваться различными алгоритмами, что одно уже показывает невозможность идентификации2 числа с тем или другим изображающим его алгоритмом.

После того как введение иррационального числа проведено на примере, можно непосредственно перейти к общему определению, повторив всю конструкцию для любой точки числовой прямой, не имеющей рациональной отметки. Затем надо провести обратное рассуждение, имеющее целью убедить учащихся, что всякой непериодической бесконечной десятичной дроби соответствует единственное иррациональное число (единственная точка без рациональной отметки), изображением которой служит эта дробь. После этого все иррациональные числа определены, фундамент здания заложен. Научность этого определения лучше всего доказывается тем, что, исходя из него, можно строго доказать все теоремы об иррациональных числах, определить действия над этими числами и установить свойства этих действий. Доступность его не вызывает сомнений, в особенности при неотрывном пользовании геометрической иллюстрацией.

Как уже сказано выше, дальнейшее развитие учения об иррациональных числах в основном превышает возможности средней школы. О простейших действиях над иррациональными числами учащимся могут быть сообщены лишь самые примитивные сведения (так, можно на примере показать сложение двух непериодических бесконечных десятичных дробей; можно указать на гео-

1 Номинализм — направление средневековой схоластической философии, согласно которой общим понятиям в реальном мире ничто не соответствует; они являются лишь наименованиями для ряда единичных предметов. — Б. Г.

2 Идентификация — отождествление; уподобление. — Б. Г.

метрический смысл сложнения двух любых положительных чисел как получения длины составного отрезка по длинам составляющих). Но учащимся должно быть с исчерпывающей отчетливостью указано, что для иррациональных чисел все алгебраические действия могут быть разумным образом определены и что наука доказывает сохранение для этих действий всех основных свойств, которыми обладают действия над рациональными числами.

Комплексные числа

Последнее расширение понятия числа, с которым имеет дело средняя школа,— введение комплексных чисел. Эта задача в методическом отношении также представляет значительную трудность; однако трудность эта совсем иной природы, чем в случае иррациональных чисел. Там реальный повод к введению новых чисел, а вместе с тем реальное значение этих чисел были вполне ясны и могли быть полностью доведены до сознания учащихся; трудность же целиком лежала в логической сложности и громоздкости самой теории, прежде всего— в определении и изучении действий над новыми числами. Здесь мы видим как раз обратную картину: определение действий над комплексными числами просто и естественно, изучение свойств этих действий не содержит никаких идейных трудностей и в формальном отношении не громоздко; напротив, связь новых чисел с реальной действительностью является таким моментом, который в рамках школьного курса никак не может найти себе сколько-нибудь полного освещения; поэтому при изложении учения о комплексных числах мы должны считаться с опасностью того, что в сознании учащихся весь этот раздел запечатлевается как формально-логическая игра, не имеющая никакого отношения к реальному миру.

Надо открыто признать, что борьба с таким положением вещей в пределах средней школы возможна лишь до известной степени; те учащиеся, математическое образование которых закончится школьным курсом, по необходимости будут только с чужих слов знать о непосредственных практических приложениях теории комплексных чисел и никогда не увидят этих приложений своими глазами. И тем не менее борьба за создание у

учащихся твердой убежденности в научной обоснованности и даже неизбежности введения комплексных чисел вполне возможна и может вестись по нескольким различным линиям. Здесь приходит на помощь то обстоятельство, что учащиеся обладают уже достаточно зрелым математическим развитием. Если ученики VI или VII класса способны ощущать как нужное и актуальное только то, что находит себе непосредственное практическое воплощение и применение, то в X классе они в состоянии уже понимать и уважать нужды самой математической науки, являющейся косвенным проявлением нужд и запросов все той же практики; такой выигрыш, как универсальная выполнимость обратного действия или универсальная разрешимость некоторых простейших типов уравнений, в сознании ученика старшего класса встает уже как ощутительное достижение, и это обстоятельство должно быть всемерно использовано при введении комплексных чисел.

Другим важнейшим орудием, помогающим ученику связать с комплексными числами целую цепь конкретных представлений, служит их геометрическая интерпретация. Мы не можем согласиться с теми, кто отстаивает полную геометризацию теории комплексных чисел в средней школе, т. е. такое изложение этой теории, при котором определение новых чисел и действий над ними сразу даются в геометрической форме, так как со всех точек зрения комплексное число должно войти в сознание учащихся прежде всего как объект арифметики, т. е. как новое расширенное понятие числа, а не как геометрическое понятие, не как символ известного геометрического преобразования, лишь впоследствии получающий арифметическое истолкование. Геометрическая иллюстрация должна быть тем, что она есть, т. е. иллюстрацией. Но эта иллюстрация может быть широчайшим образом использована для конкретизации в сознании учащихся идеи комплексного числа, для связи этой идеи с рядом простых наглядных представлений; вместе с той ролью, которую играют комплексные числа в извлечении корней и решении уравнений высших степеней, геометрическая интерпретация этих чисел, позволяющая использовать их в качестве аналитического аппарата для простейших операций над векторами, должна укрепить в сознании учащихся представление о комплексных чис-

лах как о таком математическом объекте, который не является изолированным мышлением, а напротив — связан прочнейшими нитями с целым рядом актуальных вопросов алгебры и геометрии.

Далее нужно учитывать, что самая возможность производства всех алгебраических действий над комплексными числами с сохранением всех основных свойств, которыми обладают эти действия в области вещественных чисел, в сознании правильно воспитанного ученика X класса должна уже создать представление о новых числах как о закономерном объекте арифметики, т. е. закономерном расширении понятия числа. Тот оперативный принцип, о котором мы говорили во введении к настоящей статье, если он был достаточно планомерно прививаем учащимся на протяжении всего курса, может здесь уже принести известные плоды; само собой понятно, что, и обратно, изучение комплексных чисел должно быть всемерно использовано для укрепления в сознании учащихся этого принципа.

Наконец, мы считали бы полезным, чтобы учитель, без всякой претензии на обоснование этого замечания, все же сообщил учащимся, что дальнейшее развитие учения о комплексных числах находит себе важнейшие применения в естествознании и технике, в частности — в учении о движении жидкостей и газов, в электротехнике и самолетостроении. Если указания такого рода и не обогащают ничем конкретным сознания учащихся, то во всяком случае они способны повысить уважение, а вместе с тем — внимание и интерес к изучаемой области, что одно уже представляет собой существенный выигрыш.

Введение комплексных чисел, помимо своего чисто математического значения, представляет собой едва ли не самую яркую на протяжении школьного курса иллюстрацию диалектического развития математических понятий — иллюстрацию, которая тем более должна быть всемерно использована, что в этом возрасте учащимся могут быть уже сообщаемы элементарные сведения о диалектических закономерностях. Комплексное число, з своей первоначальной форме чисто мнимого числа противополагаемое вещественному (откладываемое при геометрической интерпретации по перпендикулярному направлению), в своем дальнейшем развитии переходит

в такое общее понятие (синтез), в котором в качестве разновидностей встречаются и вещественное число (тезис), и чисто мнимое (антитезис), причем каждое из этих двух противоборствующих понятий сохраняет в этом синтезе полностью свои специфические черты, вступая в многообразные отношения со своим антитезисом (каждое комплексное число есть пример определенной спецификации такого отношения). Все это не мешает тому, что совокупность таких отношений (комбинаций вещественного и чисто мнимого) образует единое стройное целое — мир комплексных чисел, находящий себе наглядную иллюстрацию в цельном и законченном образе комплексной плоскости. Вряд ли можно подыскать другой пример, который с такой яркостью, наглядностью, логической простотой и вместе с тем с такой исчерпывающей полнотой мог бы иллюстрировать диалектические законы развития математических понятий.

Направление внимания учащихся на описанную диалектическую картину тем более желательно, что эффект его может быть не только принципиально философским, но и конкретно математическим; так, например, рассмотрения этого рода способны укрепить представление учащихся о вещественном числе как о разновидности, частном случае комплексного числа, в противоположность весьма распространенному неправильному представлению, в свете которого комплексное число тем самым не может быть вещественным. Само собой разумеется, что для достижения этой цели необходима безукоризненно четкая терминология; учащиеся должны твердо привыкнуть называть число a+bY—\ , где а и Ъ вещественны:

1) комплексны м— при любых а и J;

2) вещественным — при Ь=0;

3) мнимым-при Ь Ф 0;

4) чисто мнимым — при а—-0, b

Соответственным образом учащиеся должны уметь бегло определять по положению точки на комплексной плоскости, какого рода число ей соответствует, т. е. должны знать, где в комплексной плоскости располагаются вещественные, мнимые и чисто мнимые числа.

1 Это предложение А. Я. Хинчина принято и вошло в объяснительную записку к программе. См., например, «Программы средней школы на 1962/63 учебный год». Математика. М., Учпедгиз, 1962, стр. 9. — Б. Г.

Само собой разумеется, что приведенное выше терминологическое расчленение не представляет собой классификации, так как перечисленные в нем классы чисел, вообще говоря, не внеположны друг другу.

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Исторический очерк

Как и большинство математических понятий, свойственная современной науке концепция предела создалась не сразу, а претерпела длинную эволюцию от своей зачаточной формы до того вида, в каком мы встречаем ее в современной математике. При первом взгляде на этот эволюционный процесс мы различаем в нем четыре основных определяющих этапа.

Первый этап, наиболее длительный, охватывает XVII и XVIII столетия и связан с эпохой первоначального, бурного и некритического развития анализа бесконечно малых. Это — период стремительного накопления фактического материала, конкретных результатов; как всегда в такие эпохи, внимание ученых здесь лишь в незначительной степени сосредоточивается на анализе и точном определении основных понятий; вряд ли поэтому можно сейчас указать такую формулировку концепции предела, которая соответствовала бы во всех случаях пониманию этой эпохи; можно попытаться лишь обрисовать некоторые общие черты представления о пределе, свойственного науке этого периода.

Во всякую эпоху концепция предела целиком обусловливается тем, как понимается бесконечно малая величина. Известно, что в рассматриваемый нами период развития математического анализа в понимании природы бесконечно малых величин не было ни полной ясности, ни полного единогласия. Хотя процессуальное, динамическое происхождение бесконечно малых не подлежало сомнению, самая идея переменной величины была еще настолько нова, так неуверенно еще воспринималась научной мыслью, что термин «бесконечно малая» в значительной степени понимался еще как указание на размеры величины, а не как характеристика способа ее изменения; в ходу были описательные выражения, вроде

«тень величины», «дуновение величин» и т. д. Если попытаться выразить это представление в точных терминах, то необходимо признать, что бесконечно малая величина понималась как величина, по абсолютному значению меньшая любого положительного числа и в то же время отличная от нуля; так как переменный характер этой величины при этом выражался лишь описательно и по сознанию той эпохи не мог быть адекватно выражен точными логическими терминами, то понятие бесконечно малой величины с логической точки зрения оставалось статическим, и по существу мы имели дело с «актуальными» (т. е. постоянными) бесконечно малыми. Хотя логическая несостоятельность этой концепции, несомненно, возбуждала беспокойство наиболее выдающихся умов той эпохи, такое понимание держалось очень долго; более того, и в наше время оно подчас еще находит свое отражение в прикладных науках (понимание дифференциала в механике) и в некоторых учебниках (см., например, курс математического анализа проф. Выгодского; справедливость требует отметить, что автор полностью отдает себе отчет в архаизме излагаемой им концепции и пользуется ею сознательно как педагогическим приемом). Причину столь длительного пребывания понятия бесконечно малой величины (а значит, и понятия предела) в логически недоработанном состоянии следует видеть отчасти в уже указанном нами стиле эпохи, целиком занятой спешным построением здания математического анализа и потому не имевшей времени для основательного исследования фундамента этого здания; но имеется и другая, более существенная причина: включение в рамки математической науки идеи переменной величины как объекта точного исследования требовало, как это впоследствии очень ясно было указано Энгельсом, элементов диалектического мышления, что описываемой эпохе в ее целом было, очевидно, не под силу. Отсюда получалось такое положение, когда динамический характер бесконечно малых величин и предельных переходов хотя и, несомненно, сознавался, но вынужден был оставаться вне рамок точных математических формулировок и допускался лишь как описательное, не претендующее на точность дополнение к этим формулировкам.

Эта первая стадия в эволюции понятия предела в настоящее время должна считаться окончательно преодо-

ленной, и возврат к ней во всех случаях должен рассматриваться как проявление реакционных тенденций.

Второй этап в развитии понятия предела, относящийся примерно к первой половине XIX столетия, знаменует собой самый значительный сдвиг, который претерпело это понятие на протяжении всей своей истории. В этот период внимание творчески работающих ученых было уже достаточно приковано к вопросам обоснования математического анализа, вследствие чего явилась возможность преодоления того основного логического дефекта концепции предела, о котором говорилось выше. Метод этого преодоления по существу состоял в том, что идея переменной величины была твердо вложена в рамки точных математических понятий и формулировок; это и дало возможность в определение понятия предела включить идею переменности, т. е. вернуть этому понятию его первоначальную динамичность, полностью учесть в его определении его процессуальное происхождение и тем самым избегнуть тех логических недомолвок, которые были характерны для предшествующей эпохи. В этот период уже четко говорится: бесконечно малой называется величина, которая на известной стадии рассматриваемого процесса становится и во всех дальнейших стадиях его остается (по абсолютному значению) как угодно малой (меньше любого положительного числа). Нет сомнения, что эта динамическая, процессуальная сущность понятия бесконечно малой величины (и, конечно, соответствующей концепции предела) была многим ясна и в предшествующую эпоху; но явное включение ее в формальное определение понятия предела требовало весьма значительной эволюции математического мышления, включения в него существенно нового диалектического элемента и, безусловно, является одним из крупнейших достижений описываемой эпохи, связанной с именами Коши, Абеля и других ученых.

Именно это определение бесконечно малой величины со всей отчетливостью говорит, что термин «бесконечно малая» в применении к данной величине указывает не на ее размеры (бесконечно малая величина может быть иногда очень большой), а на характер ее изменения. В этом смысле термин «бесконечно малая», созданный в более раннюю эпоху, является очевидным анахронизмом; его следовало бы заменить термином «безгранично-

убывающая» или другим аналогичным; к сожалению, этого не случилось, и каждый педагог знает, сколько трудностей и ошибок порождает это неудачное словоупотребление.

Для вопросов, связанных с преподаванием в средней школе, чрезвычайно важно отметить, что несмотря на всю дальнейшую эволюцию понятия предела, о которой речь впереди, современная наука ни в какой мере не отвергает концепции, созданной в описываемую эпоху. Современная математика уточняет и обобщает эту концепцию, но не отменяет ее ни в одном ее пункте в противоположность пониманию XVII—XVIII столетий, которое современной науке, по изложенным выше причинам, представляется несостоятельным.

Третий этап относится ко второй половине XIX столетия. Он теснейшим образом связан как с общей тенденцией формализации математической науки, так и с более узким устремлением — арифметизировать анализ, т. е. свести его обоснование к натуральному числу. В этот период были впервые построены исчерпывающие теории иррациональных чисел (Дедекинд, Кантор) и перестроены на созданной таким образом более прочной базе основания анализа бесконечно малых (Вейерштрасс и др.)

Известно, что без полной теории иррациональных чисел учение о пределах не может быть надлежащим образом обосновано; определение классических констант я, е и др. не имеет точного смысла; основные теоремы (например, теорема о существовании предела у монотонной ограниченной величины) без общего определения иррационального числа либо неверны, либо лишены содержания; между тем теоремы эти совершенно необходимы уже в пределах курса средней школы. Надо отметить, что принятие этого рода теорем в качестве не подлежащих доказательству постулатов нисколько не спасает положения; так как основная трудность заключается не столько в невозможности дать доказательства этих теорем, сколько в том, что самое содержание их без предварительного общего определения иррационального числа становится либо неверным, либо лишенным точного смысла; так, для того, кто не знаком с общим понятием иррационального числа, предложение о существовании предела у монотонной ограниченной величины (все равно вводится ли оно в качестве аксиомы или теоремы) может

быть истолковано лишь в одном из двух смыслов: либо так, что предел всегда существует в области тех чисел, которые данному лицу уже знакомы; это, очевидно, неверно; либо же никакой определенной области не имеется в виду, и тогда предложение теряет всякое определенное содержание.

Таким образом, если с идейной стороны понятие предела уже в достаточной степени оформилось в первой половине XIX столетия, то все же в созданной этой эпохой концепции оставались весьма значительные пробелы, восполненные лишь во второй половине века.

Вместе с тем возросшие требования к формализации математики заставили по-новому отредактировать самую формулировку определения предела, не меняя, впрочем, ее идейной сущности. В прежнем определении бесконечно малой величины еще явно или неявно имелись ссылки на реальный процесс, в котором участвует данная величина, и о различных стадиях этого процесса. В новой редакции нашло себе выражение требование полной формализации этой стороны определения. Фактически с этой эпохой бесконечно малая величина (а равно и всякая величина, стремящаяся к пределу) всегда понимается как функция одной или нескольких независимых переменных, и указание на реальный процесс заменяется формальным описанием поведения этих переменных. Выражение «у -* Ь» само по себе становится лишенным смысла, и только выражения вида «у -+Ь при Х-+ а» получают определенное содержание. Это содержание формулируется так: « | у — b | сколь угодно мало, если I X — а\ достаточно мало», или еще более точно (последняя формулировка в наше время почти неизменно встречается в солидных курсах анализа): «Сколь бы мало ни было е>0, существует такое ô>0, что всякий раз, когда \х—а | <ô выполняется и неравенство \у — b I <8».

Такова степень формализации прежнего указания на реальный процесс и его различные стадии. В этом последнем определении по внешности нет уже ничего от первоначальной процессуальности идеи предела; живая динамика предельного перехода в этом словесном выражении как бы заменена неподвижным, чисто статическим соответствием между некоторыми областями значений независимой переменной и соответствующими

областями значений функции. Этот внешне статический характер выработанного современной математикой понятия предела дает часто повод к обвинению его в том, что, выхолостив из идеи предела всю ее динамичность, оно тем самым имеет тенденцию удалить математическую концепцию предела от той живой реальности, отображением и абстракцией которой она должна служить. Эти упреки по существу несправедливы, так как современное определение предела, ни в одном пункте не противореча прежнему, а лишь его уточняя, не может тем самым иметь и иного содержания. Однако, что для нас важно, в педагогическом отношении выраженная в этих упреках точка зрения заслуживает всяческого внимания. Так ка.к для того, чтобы за этим, в процессе логического анализа, доведенном до последнего расчленения и принявшем статический облик определений предела, не потерять из вида первоначальной, реальной динамики предельного перехода, нужен весьма высокий уровень научной культуры; перед всяким, кто не овладел с достаточной .беглостью типичными ходами современной, усложненной математической мысли, стоит весьма действенная опасность — в самом деле утратить связь понятия предела с тем реальным источником, из которого это понятие произошло и отображением которого в абстрактной математической науке оно призвано служить.

Последний, четвертый, этап в развитии понятия предела относится уже к нашему столетию и возник в связи с назревшей уже давно необходимостью значительного расширения идеи, заложенной в первоначальной концепции предела. Уже давно математика, наряду с простейшим случаем вещественной переменной, должна была заняться изучением предельных переходов в областях совсем другой структуры: предел комплексного числа, предел многомерного вектора, предел функции, предел случайной величины (в теории вероятностей); в более сложных случаях оказалось целесообразным рассматривать по нескольку различных предельных концепций; так, в случае предела функции пришлось различать обыкновенную сходимость, равномерную сходимость, сходимость «в среднем» и т. д., причем различные предельные переходы, естественно, обладали различными специфическими свойствами. Это обстоятельство вместе с тенденцией к обобщению, свойственной математике

нашей эпохи, привело к созданию общих учений о предельном переходе; здесь речь идет не о пределе переменной величины, в тесном смысле этого слова, т. е. не о пределе переменного вещественного числа; то, что стремится к пределу, равно как и самый этот предел, могут иметь любое предметное содержание — от этого содержания общее учение о пределе полностью абстрагирует, и единственным объектом изучения является структура самого предельного перехода. Такова в значительной мере концепция предела в современной топологии (общее учение о непрерывных преобразованиях) и в современном общем анализе.

Мы не будем останавливаться подробнее на этом важном новом моменте истории понятия предела, так как, несмотря на все его научное значение, он вне всяких сомнений не может не только быть внесен в школьное преподавание, но хотя бы оказать косвенное влияние на программу и стиль этого преподавания. Отметим только (это важно для нашей цели), что этот четвертый этап, подобно третьему, ни в какой мере не отменяет и не отвергает концепции предела, выработанной на втором этапе. Если в конце XIX столетия эта концепция подверглась уточнению и дополнению, то в нашем веке она была значительно обобщена и поднята на высшую ступень абстракции; но ни то, ни другое не знаменовало собой отказа от этой концепции.

Концепция предела в школе1

При выборе формы понятия предела, наиболее эффективной для школьного преподавания, мы должны, как всегда, считаться с двумя основными требованиями: 1) форма эта ни в чем не должна стоять в противоречии с традициями современной науки; 2) она должна быть достаточно конкретной, чтобы вводимое понятие в сознании школьника не отрывалось от тех явлений действительного мира, формальным выражением которых оно призвано служить.

1 В учебниках математического анализа теперь принято давать такое определение предела последовательности: «Величина а п стремится к пределу а, если как бы мало ни было число е > 0, существует такое натуральное число nß что для любого я>л£ выполняется неравенство я|<£».—Б. Г.

Предшествующий исторический очерк ясно показывает нам, что применительно к понятию предела эта двойная (в иных случаях весьма нелегкая) задача легко разрешима. Прежде всего следует признать совершенно неприемлемой первичную форму концепции предела, охарактеризованную нами при описании первого этапа: она стоит в противоречии с обоими основными требованиями; с одной стороны, она решительно преодолена и отвергнута современной наукой как логически несовершенная; с другой стороны, динамичность предельного перехода в ней по меньшей мере отодвинута на задний план, и тем самым связь с реальными явлениями завуалирована и логически неотчетлива. Если школьник выходит из школы с представлением о бесконечно малой величине как о чем-то ничтожно малом, недостойном внимания, или еще хуже — как о каком-то диковинном числе, которое меньше любого положительного числа и в то же время все-таки не нуль, то задача высшей школы будет весьма усложнена; прежде чем дать такому ученику дальнейшее развитие, она должна будет заняться выветриванием из его сознания представлений и навыков, противоречащих современным научным концепциям.

Вряд ли может встретить возражение тот взгляд, что расширения понятия предела, указанные нами при описании четвертого этапа, не могут быть предметом школьного преподавания; слишком общее понимание предельного перехода, во-первых, не найдет себе в школьном курсе никаких применений, а во-вторых, несомненно, являет собой такую ступень абстракции, которая недоступна сознанию школьника.

Многие педагоги высказываются за то, чтобы, понимая под пределом исключительно предел переменного вещественного числа, в этих рамках доводить школьные формулировки полностью до их современно-научного текста. Это означает, что понятие предела должно быть дано в форме соответствия областей е и о. Мы решительно должны признать эту форму нецелесообразной. Даже с точки зрения чисто формального усвоения такое определение, как показал многолетний опыт, вызывает очень значительные, часто непреодолимые затруднения, и не только у школьников, но и у студентов первых курсов; но если даже допустить, что в отдельных случаях опытному педагогу при значительной затрате времени и сил

удастся заставить своих учеников справиться с заложенными в этом определении формальными трудностями, то уже во всяком случае связать эту формальную схему с реальным предельным переходом в явлениях действительности — дело совершенно непосильное сознанию школьника; таким образом, понятие предела в этой его формулировке в лучшем случае будет абстрактно усвоено ценою радикального отрыва от связанных с этим понятием реальных представлений. С другой стороны, в таком определении нет по существу и никакой надобности. Если под словами «переменная величина х в данном процессе имеет своим пределом постоянную величину а» (запись: limx=a, или х-+а) ученик привыкнет понимать тот факт, что разность х — а, начиная с некоторого момента (некоторой стадии) процесса, становится и во всех дальнейших стадиях его остается как угодно малой по абсолютному значению, то такое определение (соответствующее второму этапу нашего исторического очерка) удовлетворит всем необходимым требованиям. С одной стороны, оно ни в одном слове не противоречит современным научным данным, и высшая школа, приняв в свою среду школьника с таким представлением о пределе, без существенных затруднений сумеет уточнить и расширить в его сознании это представление; ей не придется ничего «выветривать», ничего отвергать из того, что дала ученику средняя школа. С другой стороны, именно это определение предела ближе всех других (как исторически предшествующих, так и исторически последующих) стоит к реальным явлениям, служащим естественными объектами его приложений.

Настаивая на том, что приведенная нами формула определения предела является во всех отношениях наиболее эффективной для школьного преподавания, мы, однако, вовсе не хотим этим утверждать, что многознаменательная буква б должна быть совершенно изгнана из этого преподавания. Так, при доказательстве теорем о сумме или произведении бесконечно малых введение произвольно малой постоянной е представляется нам вполне уместным. Именно в ходе рассуждений, приводящих к этим теоремам, учащимся будет удобно разъяснить, что запись I X — а \ <е, где е — произвольная положительная постоянная, в точности символизирует содер-

жащееся в определении предела выражение «разность X — а как угодно мала по абсолютному значению». Мы допускаем даже, что при достаточном общем развитии класса эта форма в отдельных случаях уже при самом определении может быть заменена более развернутым выражением: «разность х — а по абсолютному значению (становится и остается в ходе данного процесса) меньше любого постоянного положительного числа», хотя такая форма, несомненно, вызывает больше затруднений для сознательного усвоения. Но мы считаем, что ссылка на реальный процесс и его различные стадии (моменты), содержащаяся в приводимом определении, ни в каком случае не должна заменяться (как это в порядке дальнейшей формализации делает современное научное изложение) указанием на область значений независимой переменной, определяющей собой течение процесса; по меньшей мере этого не следует делать на первой стадии изучения при общих рассуждениях (в дальнейшем при рассмотрении конкретных примеров изучение области значений этой независимой переменной может стать очень полезным, как мы увидим ниже).

Поясним нашу точку зрения примером. Пусть речь идет о том, что апофема ап вписанного в данный круг правильного п-угольника при п->со имеет своим пределом радиус круга г. Содержание этой фразы мы всего охотнее выразили бы словами «разность | г — а п\ становится и остается как угодно малой при безграничном возрастании числа я», менее желательной при первом изучении (так как труднее усвояемой), хотя все же допустимой мы считали бы формулировку «каково бы ни было постоянное положительное число г, разность I г — а п\ становится и остается меньше е при безграничном возрастании числа п»; наконец, совсем неприемлемой для школы представляется нам следующая формулировка, наиболее отвечающая традициям современного научного изложения: «Как бы мало ни было постоянное положительное число е, найдется такое число N (зависящее от б), что г — ап меньше е для всех n^>N». Во избежание недоразумений мы должны при этом оговориться, что все сказанное здесь имеет отношение только к общему определению понятия предела, к словесной формулировке того представления, которое школьник должен приучиться связывать с термином «предел». В дальнейшем,

в порядке конкретной работы над отдельными примерами, не только желательна, но и необходима полная, доведенная до вычислительных операций расшифровка тех указаний на различные стадии процесса, которые содержатся в общем определении. Так, возвращаясь к нашему примеру, мы считаем, что среди задач на теорию пределов вполне уместно поставить перед учащимися вопрос о том, каково должно быть число я, чтобы разность Iг — а„|оказалась меньше, чем 0,01; меньше, чем 0,001 и т. д. Такого рода задачи не только укрепят связь теории с приложениями, но и подготовят базу для более легкого усвоения в будущем более формальной общей концепции предела.

Как в самом математическом анализе, так и в различных его приложениях основную роль играют две конкретные разновидности предельного перехода: 1) предел последовательности ai, a2..., #л> ••• при п-+со и 2) предел функции yF(x) при условии, что X стремится к постоянному числу а. Обычно в средней школе и в общих определениях, и в подборе задач и примеров стараются охватить обе эти разновидности. Это стремление приводит к известным затруднениям, потому что две разновидности, о которых идет речь, отличаются друг от друга столь существенными моментами, что при первом знакомстве с понятием предела школьнику трудно усмотреть в них роднящие общие черты и признать их частями единого целого. Различия кроются, разумеется, в поведении независимой переменной, характеризующей собой течение процесса; в первом случае эта переменная (п) пробегает лишь целые положительные значения, во втором (х)—непрерывный ряд значений; в первом случае п безгранично возрастает, во втором х стремится к конечному пределу. В связи с этим важно отметить, что рекомендуемое нами определение понятия предела в одинаковой мере охватывает собой оба случая именно потому, что в этом определении характеристика последовательных стадий процесса остается не формализованной, в то время как указанные разновидности отличаются друг от друга как раз характером этой формализации. Всякое мыслимое в пределах средней (а также, впрочем, и первых курсов высшей) школы более формальное определение неизбежно наталкивается на новую трудность; оно требует для двух указанных, разновидностей пре-

дельного перехода двух различных определений, что, разумеется, еще более затрудняет представление об едином общем логическом и предметном основании этих двух случаев1.

Методические замечания

Таким образом, мы полагаем, что основной задачей преподавания теории пределов в средней школе является создание прочного и отчетливого представления о предельном переходе, идейно отвечающего той концепции предела, которая принята современным математическим анализом и его основными приложениями; при этом нет надобности, а во многих случаях даже и вредно доводить понятие предела до того формально-логического расчленения, которое присуще современному научному изложению.

Такая целевая установка должна, разумеется, оказать решающее влияние и на всю методику преподавания рассматриваемой главы — на выбор и расположение материала, стиль изложения и т. д. Здесь мы не можем, конечно, дать полной методической разработки этой главы. Наша задача состоит в том, чтобы собрать несколько отдельных замечаний методического характера, вытекающих из вышеописанной целевой установки. При этом мы, естественно, сосредоточим внимание читателя на тех моментах, в традиционное изложение которых мы считаем необходимым внести некоторые изменения и поправки.

Отчетливое и конкретное представление о сложном явлении, в котором участвует много переменных величин с весьма различным характером изменения, легче всего

1 Следует, однако, указать, что имеется полная возможность ограничиться в курсе средней школы более узкой концепцией предела, совершенно исключив из рассмотрения вторую из вышеприведенных разновидностей; дело в том, что во всех применениях, какие встречает понятие предельного перехода на протяжении курса средней школы, речь всегда идет о пределе последовательности; так обстоит дело в теории бесконечных десятичных дробей, в теории иррациональных чисел, при изучении прогрессий и во всех геометрических приложениях. Что касается понятия предела функции, то оно может встретиться только в таких разделах исследования уравнений и учения о функциональной зависимости, которые лишь в порядке редкого исключения изучаются в нашей средней школе.

сложится у учащихся, если с первых же шагов все основные понятия теории пределов будут выведены на базе всестороннего изучения одного такого явления. Выбираемое для этой цели явление должно быть, с одной стороны, достаточно наглядным и во всех своих элементах близким сознанию учащихся, а с другой стороны — достаточно точно протекающим для того, чтобы на его базе могли быть созданы четкие понятия и проведены точные вычисления. Может быть, более всего отвечают этой цели геометрические процессы. Если, например, в качестве исходной иллюстрации выбрать процесс безграничного удвоения числа сторон вписанного в данную окружность многоугольника и изучать это явление во всех его деталях, то учащиеся сразу будут имегь перед своим взором большое число участвующих в одном и том же процессе переменных величин самого разнообразного поведения: длина стороны, величина внутреннего угла, величина внешнего угла, периметр, апофема, сумма внутренних углов, сумма внешних углов и т. д. Здесь будут и бесконечно малые, и бесконечно большие, и постоянные, и величины с положительными пределами. Никак не следует жалеть времени на столь детальное изучение одного примера, так как воспитательный эффект такого изучения намного превысит то, что могло бы получиться в результате рассмотрения десятка разрозненных искусственных и лишенных наглядности примеров. Мы в особенности подчеркиваем значение того обстоятельства, что в нашем примере изучаемые переменные величины участвуют в одном и том же процессе, и таким образом изменения их взаимно координированы, функционально связаны между собой; даже если это обстоятельство не будет явно подчеркнуто учителем, продолжительное сосредоточение мысли учащихся на таком конкретном осложненном явлении, несомненно, окажет значительное развивающее воздействие, приучая мысль ассоциировать отвлеченные понятия теории пределов со сложными и многообразными процессами реальной действительности.

В связи с этим мы вообще хотели бы предложить ограничить до необходимого минимума число примеров, не связанных с фактическим материалом курса, и тем самым носящих искусственный характер. Не говоря уже о геометрии, и теория прогрессий, и десятичные дроби, и учение об иррациональных числах дают столько мате-

риала для примеров и задач на предельные переходы, что вряд ли есть надобность в значительном числе упражнений, специально подобранных и не имеющих реально ощутимого содержания. Однако и то небольшое число таких упражнений, которое будет признано необходимым, следует выбирать не случайно, а целесообразно; речь должна всегда идти о предельном поведении такого аналитического выражения, которое в том или ином смысле является типичным и поучительным и тем самым может оказаться полезным в будущем; в качестве примера можно указать хотя бы изучение поведения отношения двух многочленов при безграничном возрастании независимой переменной в зависимости от степеней числителя и знаменателя; будет хорошо, если учащиеся приобретут умение сразу, без вычислений указывать пределы при х -*со таких выражений, как

В определениях понятий, в формулировках и доказательствах теорем следует неизменно подчеркивать динамическую сущность предельного перехода, никогда не опуская необходимого упоминания о процессе и различных его стадиях и неуклонно требуя от учащихся ясного понимания этой стороны дела. Учащийся должен четко понимать, что 0,000 000 000 1 не есть бесконечно малая величина и что, напротив, расстояние от поверхности Земли до метеорита, которому суждено упасть на Землю, есть бесконечно малая величина, хотя бы это расстояние сейчас исчислялось огромным числом километров. Учащийся должен твердо знать, что величина является бесконечно малой лишь в данном явлении, в рамках данного процесса, и что в другом явлении та же величина может иметь другой характер изменения. Учащийся должен знать, что переменная величина может стремиться к своему пределу либо снизу, т. е. со стороны меньших значений (возрастая), либо сверху (убывая), либо двусторонне (колеблясь), и что в последнем случае она может и до завершения процесса проходить через свое предельное значение. Для всякого, кто не владеет достаточно бегло всеми перечисленными и подобными им представлениями, учение о пределах в лучшем случае

останется формально усвоенной, но идейно бессодержательной теорией.

Наконец, необходимо сказать несколько слов об обозначениях и терминологии. Совершенно необходимо, чтобы наряду с традиционным обозначением lim х=а ученики в полной мере владели и эквивалентной записью того же факта х - а, с каждым годом все более и более часто встречающейся в анализе и его приложениях. Следует писать не lim y=by a lim y=b и соответственно читать не «при х, равном a», a «при х, стремящемся к а». Запись «я-*оо» весьма желательно читать «п безгранично возрастает», во всяком случае, совершенно необходимо твердое понимание учащимися того факта, что п здесь ни к какому пределу не стремится. Наконец, учитель должен обратить внимание на то, что символ «lim» читался «предел», а не «лимит», слова «лимит» учащиеся вовсе не должны слышать из уст учителя; им должно быть указано, что символ «lim» имеет своим происхождением латинское слово limes, что означает предел (часто встречающееся утверждение, будто этот символ происходит от французского слова limite, основано на явном недоразумении, потому что с таким же основанием можно было бы производить его от соответствующего английского, итальянского, испанского и т. д. термина).

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

I

Почти все современные методисты в той или иной степени придерживаются взгляда, согласно которому понятие функциональной зависимости должно стать не только одним из важнейших понятий школьного курса математики, но и тем основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии и тригонометрии, вокруг которого группируется все математическое преподавание. Это воззрение может, конечно, повести и к злоупотреблениям: при безоглядочной его реализации есть значительная опасность недооценки других, не менее важных понятий,

представлений и методов: понятия числа, основных алгебраических операций, геометрического образа и т. д. Однако при правильном его понимании, при наличии достаточного педагогического такта и чувства меры приведенный тезис, несомненно, указывает составителю программы, автору учебника, методисту и педагогу правильный и плодотворный путь.

Почему же понятию функциональной зависимости мы стремимся придать такую исключительную роль, явно выделяющую его из всех других основных математических понятий, с которыми знакомит своих учащихся средняя школа?

Потому, во-первых, что ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и с такой конкретностью, как понятие функциональной зависимости, в которой воплощены и подвижность, и динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин.

Потому, во-вторых, что это понятие, как ни одно другое, воплощает в себя диалектические черты современного математического мышления; именно оно приучает мыслить величины в их живой изменчивости, а не в искусственно препарированной неподвижности; в их взаимной связи и обусловленности, а не в искусственном отрыве их друг от друга.

Потому, наконец, что понятие функциональной зависимости есть основное понятие всей высшей математики и что поэтому качество подготовки оканчивающих среднюю школу к усвоению курса математики в высшей школе в значительной степени измеряется тем, насколько твердо, полно и культурно они свыклись с этим важнейшим понятием.

II

В наших программах учение о функциях выделено в особую тему курса алгебры; редакция этой темы в программе такова, что имеется в виду, несомненно, лишь одна, сравнительно узкая задача: научить школьников графическому изображению функций. Так и следует понимать задачи этой темы. Но это, разумеется, никак не должно означать, что усвоение понятия функциональной зависимости и приобретение навыков функционального мышления может быть ограничено изучением этой

специальной темы. Напротив, представление о функциональной зависимости может войти в сознание учащихся как прочный, привычный и действенный элемент, как орудие математического мышления только при том условии, что к этому представлению они будут систематически приучаться на протяжении всего курса математики, от элементарной арифметики до высших разделов алгебры и тригонометрии. Это не значит, конечно, что общее определение функции следует давать в младших классах или хотя бы что самый термин «функция» должен употребляться и навязываться при каждом удобном случае. Дело совсем не в этом. Пусть учащиеся узнают слово «функция» лишь в старших классах, пусть они лишь на более зрелой ступени развития задумаются впервые над тем, какую роль в познании реального мира играет учение о взаимной зависимости величин; никаких отчетливо формулированных общих установок, и в особенности никаких абстрактных определений и никаких специальных терминов не надо на младшей и средней ступенях школьного образования. Совершенно непринужденно, исподволь, не обременяя детского сознания непосильными ему абстракциями, и в то же время настойчиво, планомерно и повседневно должно вестись формирование навыков функционального мышления. Об этом учитель должен думать на каждом уроке — в любой теме арифметики, алгебры и геометрии найдется материал, направляющий внимание учащихся на ту сторону изучаемого вопроса, которую они позднее осознают как функциональную связь между величинами. Влияние изменений компонент арифметических операций на результат операции; первые буквенные формулы; первые количественные соотношения в геометрии; первое знакомство с уравнениями — все это и многое другое дает неисчерпаемый материал для простых, отнюдь не затрудняющих внимания учащихся вопросов, систематически приучающих думать о том, как меняется одна величина при изменении другой; от скольких и каких именно других величин зависит величина, определяемая данной формулой; сколько и какие именно элементы в треугольнике надо знать, чтобы однозначно определять все его элементы, и т. д. Чтобы определить площадь квадрата, достаточно задать один отрезок (сторону или диагональ и т. д.); то же для площади круга; но чтобы определить

площадь прямоугольника или треугольника, приходится задавать два отрезка. Для определения рационального числа достаточно задать конечную группу цифр, для определения же иррационального числа их приходится задать бесконечное множество. Если в конечной десятичной дроби изменить первую цифру после запятой, то величина дроби изменится заметным образом; если же как угодно изменить шестую цифру, то величина дроби почти не изменится. Если одну из сторон треугольника равномерно вращать около вершины, то точка ее пересечения с другой стороной будет перемещаться сначала сравнительно медленно, а потом — с колоссальной скоростью. При увеличении числа сторон правильного многоугольника внутренний угол его растет (сначала быстро, потом все медленнее), а внешний угол убывает. Корень уравнения ах=Ь, где а ф 0,Ь=£0, убывает, когда а возрастает, и возрастает, когда а убывает (то и другое безгранично). Выражение п\ очень быстро растет при возрастании п\ п3 растет быстрее, чем /г2, а 2п растет еще быстрее.

Все эти и бесчисленное множество других подобных элементарных замечаний и вопросов, подкрепленных соответствующими несложными расчетами, если практиковать эти замечания и вопросы систематически, по каждому поводу, имеют целью привести к тому, чтобы в момент, когда общая идея функциональной зависимости должна будет войти в сознание учащихся, это сознание было достаточно подготовлено к предметному и действенному, а не только к формальному восприятию нового понятия и связанных с ним представлений и навыков.

Придавая большое значение вышеописанной пропедевтике учения о функциональной зависимости, мы в то же время должны, конечно, заботиться о том, чтобы те разделы школьного курса, которые дают повод для изучения специальных важнейших функций, приходились с надлежащим ударением на функциональный момент вопроса.

Совершенно недопустимо, чтобы учащиеся изучали квадратные уравнения без детального овладения поведением трехчлена второй степени как одной из важнейших и простейших функций. Здесь, как и в других случаях, у нас, часто формально понимая требования про-

граммы, научают учащихся строить параболу по точкам и этим ограничиваются. График, который по смыслу своему есть наглядное орудие, позволяющее из геометрического образа вычитывать те или другие важнейшие черты изучаемой функциональной зависимости, — из средства превращается в самоцель, чем совершенно искажается подлинная методологическая ситуация. Между тем, если учащийся не использует образа параболы для решения вопроса о максимуме или минимуме трехчлена второй степени, для быстрого заключения о характере возрастания и убывания этой функции (о том, где она возрастает, где убывает, где возрастает быстрее и где медленнее и т. п.), о числе и расположении ее корней и т. п., то построение графика становится почти бесцельным занятием, из которого выхолощено все идейное содержание.

В еще большей степени все сказанное относится к изучению логарифмической и показательной функций. Общеизвестно, что учащиеся, безукоризненно владеющие техникой логарифмических вычислений, легко решающие логарифмические и показательные уравнения, в то же время сплошь и рядом имеют настолько слабое представление о сущности логарифма, что задача «найти без помощи таблицы 10lg7 » вызывает у них принципиальные затруднения; тем более, конечно, им остается недоступным вопрос о функциональной природе логарифма, даже если они занимались вычерчиванием графика этой функции. И здесь мы должны сказать: если учащийся не привык связывать с графиком логарифмической функции такие вопросы, как возрастание логарифма при возрастании числа, быстрота этого возрастания на различных участках числовой прямой, отрицательность логарифмов чисел, меньших единиц, отсутствие логарифмов у нуля и отрицательных чисел, пересечение всех логарифмических кривых в одной точке как иллюстрация того, что lg а 1=0 при любом а>0 и т. д., то знакомство с графиком логарифмической функции остается для него в значительной степени бесполезным. В этом дефекте нашего школьного преподавания, как ни в одном другом, сказывается один из его основных общих недостатков — гипостазирование формального момента каждой изучаемой темы в ущерб ее идейному содержанию.

В нисколько не меньшей степени все сказанное относится и к изучению (прямых и обратных) тригонометрических функций; и здесь логарифмические вычисления, решение треугольников и тригонометрических уравнений, как правило, подавляют и отодвигают на задний план как раз то, что и с идейной, и с практической точки зрения должно было бы стать основным стержнем всей тригонометрии: функциональную природу синуса, косинуса и т. д.

И здесь, как правило, в сознании учащихся почти отсутствует твердое представление о периодичности как основной черте тригонометрических функций; знаки этих функций в различных квадрантах, возрастание и убывание их не связываются с графическими изображениями; почти никому не известно, что косинусоида получается простым смещением синусоиды, а те, кто об этом слышал, не умеют указать соответствующих этой геометрической ситуации аналитических соотношений.

Все указанные факты и много других аналогичных весьма тяжело отражаются на качестве подготовки учащихся и ненужным образом осложняют и затрудняют их последующую работу в высшей школе. При таком подходе включение элементов учения о функциональной зависимости в курс средней школы не может достигнуть ни одной из своих целей.

Что же нужно для борьбы с этими недостатками? Ответ на этот вопрос явно вытекает из всего сказанного. Никакая концентрация внимания и усилий на прохождении специальной темы «Функции и их графики» здесь не поможет. Нужно, во-первых, чтобы все разделы курса математики, предшествующие этой теме (а также — прибавим — и уроки физики и химии) были использованы для систематической, планомерной пропедевтики учения о функциональной зависимости. И нужно, во-вторых, чтобы при изучении разделов курса, связанных со специальными важнейшими функциями, идейная, функциональная сторона вопроса каждый раз становилась тем стержнем, вокруг которого группируется все остальное, а не ютилась на задворках.

Мы полагаем, что все нужные для этой цели указания могут и должны найти себе место и в программах (что не требует обязательного их изменения по содержанию), и в объяснительных записках к ним.

III

Все сказанное до сих пор относилось к роли, месту и удельному весу понятия функциональной зависимости в школьной математике. Теперь мы переходим к самому важному вопросу — о содержании этого понятия.

История понятия функциональной зависимости в математической науке хорошо известна, и нам нет надобности излагать ее здесь в деталях. Различные авторы от Ньютона до наших дней весьма различно формулировали содержание этого понятия. Самой яркой и наиболее важной для нашей цели тенденцией исторического развития понятия функции, несомненно, является постепенно и в борьбе совершавшееся и лишь во второй половине XIX столетия окончательно завершившееся освобождение этого понятия от уз формального аппарата — математической формулы. При первом возникновении понятия функциональной зависимости математическая формула, аналитическое выражение, обнаружило себя как превосходное орудие исследования этого понятия. Доверие к этому орудию было столь велико, формула с такой неизменностью появлялась всюду, где заходила речь о функции, что вскоре, как это часто бывало в математике, утратилась необходимость, а потому и способность проводить различие между математическим понятием и тем формальным аппаратом, который был призван для анализа и обслуживания этого понятия. Функцию стали отождествлять с аналитическим выражением, и это отождествление было не только фактом научной практики, но отстаивалось как явно формулированный тезис многими ведущими математиками. Однако никогда не умирало и противоположное течение, исходившее из более или менее осознанного принципа о необходимости строгого различия между содержательно-определенным математическим понятием и формальным аппаратом, служащим для его внешнего выражения. Как всегда, жизнь оказалась на стороне реальной, а не формальной концепции, и в окончательном итоге победило реальное понимание, запрещающее смешивать функцию с тем аналитическим выражением, которым она изображается. Формальный аппарат, возведенный в ранг, ему не подобающий, из удобного и послушного орудия постепенно обратился в тирана и душителя идеи функциональной за-

висимости; на известном этапе математической науки понятие функции, эволюционируя, не могло уже уложиться в тесные рамки аналитического выражения. Если давно уже было известно, что одно и то же аналитическое выражение может служить для изображения нескольких различных функциональных зависимостей, то теперь появились случаи, когда, обратно, для изображения одной и той же функциональной зависимости приходилось пользоваться несколькими различными аналитическими выражениями; а иногда приходилось пользоваться и такими функциями, для изображения которых трудно было найти аналитическое выражение, и — что самое главное— аналитическое выражение это во многих случаях оказывалось настолько сложным, что его не удавалось использовать для изучения данной функции; приходилось вести исследование другими, не аналитическими, методами.

Все эти и многие другие факты заставили, наконец, признать, что искусственное приковывание понятия функциональной зависимости к аналитическому аппарату лимитирует и тормозит естественное и необходимое науке развитие этого понятия; что только полное раскрепощение понятия функции от теснящих ее рамок формулы, аналитического выражения, способно дать надлежащий простор для такого развития этого понятия, какого требуют нужды математики и прикладных наук. Это сознание уже в середине прошлого столетия нашло себе выражение в определении понятия функции, которое обычно связывают с именем Дирихле и которое безоговорочно принимается современной наукой. В этом определении нет никакого упоминания об аналитическом выражении, мы имеем дело с функцией всякий раз, когда каждому значению одной величины в некоторой области поставлено в соответствие некоторое определенное значение другой величины; при этом способ, которым задается это соответствие, имеет лишь второстепенное значение и во всяком случае не оказывает никакого влияния на самый факт функциональной зависимости. Это может быть либо аналитическая формула, либо геометрическое преобразование, либо просто исчерпывающая словесная формулировка и т. д. Так, для известной «функции Дирихле», равной нулю для всех рациональных и единице для всех иррациональных значений аргумента, можно

найти аналитическое выражение в терминах обычной математической символики; но от того, что такое выражение найдено, функция Дирихле не становится в большей степени функцией, чем она была до этого; и без этого аналитического выражения она с точки зрения современных концепций является полноценной функцией; более того, то сравнительно сложное аналитическое выражение, которое может быть для нее найдено, едва ли сможет хоть чем-нибудь помочь нам при изучении свойств этой функции и останется бесплодным научным созданием, способным лишь радовать глаз любителя «аналитических выражений» во что бы то ни стало.

Приняв определение функции как соответствия, математическая наука сделала из этого все необходимые выводы. Однако в культурно-историческом отношении последовательное, до конца идущее проведение этой реформы оказалось делом не столь уже легким; традиции всего многолетнего предшествующего периода, когда над понятием функции довлела идея формулы, аналитического аппарата, с большим трудом поддавались изжитию; во многих случаях они живы и до сих пор, и сплошь и рядом даже в лучших из современных руководств для высшей школы мы находим явные следы этих традиций.

Понятно, что средняя школа, дальше, чем высшая, стоящая от науки, страдает этим недостатком в значительно большей мере. Фактически все преподавание учения о функциях в средней школе, формально базируясь на современном определении основных понятий, ведется на таком уровне и в таком стиле, что высшая школа вынуждена начинать свою работу с исправления большого числа неправильных и антинаучных представлений и навыков своих студентов.

Гипноз формулы является универсальным злом, настолько вкоренившимся в сознание учащихся, что в высшей школе первые попытки создать правильное представление функциональной зависимости наталкивается подчас на ожесточенное сопротивление.

Определение функции

неизменно вызывает возражение в том смысле, что это «не одна, а две функции», и стоит большого труда убедить студента, что здесь — одна функция, а не две, в силу того самого определения функции, которое он же твердо знает наизусть, вынеся его из той же средней школы. Когда впервые ознакомишь студентов с функцией Дирихле (которую, кстати сказать, уже давно пора бы показывать учащимся в средней школе), то неизменно встречаешь вопрос: «Какая же это функция? Как же ее записать?»; предлагаешь записать ее так: у = <р (.г), тогда студент с возмущением говорит: «Разве это формула?».— он искренне убежден, что его обманывают, и приходится прочитать целую часовую лекцию с историческими экскурсами, чтобы дать понять студентам простую вещь, которой их давным-давно должна была бы научить средняя школа: что формула у = у{х) для обозначения функции Дирихле1 ничем ни принципиально, ни практически не отличается от формулы у = sin х для обозначения синуса; что не существует функций, принципиально не изобразимых формулами; и что вопрос об изображении формулой имеет для идеи функциональной зависимости лишь внешнее и второстепенное значение.

Но может ли и должна ли средняя школа давать учащимся такие представления о функциональной зависимости, которые полностью соответствовали бы современным научным концепциям? Чтобы решить этот вопрос, мы должны исходить из основного принципа, который мы считаем непреложным правилом для решения всех подобного рода вопросов: в тех случаях, когда современная научная концепция какого-либо понятия слишком сложна для сознания учащихся средней школы, школа может и должна заменить ее другой, упрощенной концепцией, но обязательно идущей в том же направлении, так, чтобы высшая школа могла потом доразвить эту концепцию, ничего, однако, из нее не отбрасывая за антинаучность. Именно так обстоит дело с понятием иррационального числа и с понятием предела. Но никогда, ни в одном случае школа не может и не должна заменять принятую в современной науке концепцию такою, которая стояла бы с нею в противоречии, так, чтобы высшая школа принуждена была тратить время и силы на отучи-

1 Л. Дирихле (1805—1859)—выдающийся немецкий математик.— Б. Г.

вание студентов от тех представлении, с которыми они пришли из средней школы.

В отношении понятия функциональной зависимости мы настаиваем на том, что средняя школа и может, и должна не только по форме, но и по существу привить учащимся строго научные представления и навыки. Школа может это сделать потому, что современная научная концепция понятия функции проста, не обременена никаким формализмом и что рецедивы формалистического подхода, которые мы повсеместно наблюдаем, объясняются отнюдь не большей легкостью этого подхода, а исключительно недостаточным научным уровнем и методической косностью составителей учебников и некоторой части методистов и учительства. Школа должна это сделать потому, во-первых, что борьба против формализма в основных научных понятиях есть неотъемлемая задача советской школы, и потому, во-вторых, что только этим путем высшая школа может быть избавлена от печальной необходимости убеждать студентов, что представления, принесенные ими из средней школы, противоречат современным научным воззрениям и потому должны быть изжиты в кратчайший срок.

IV

Мы должны перейти теперь к последнему, практически наиболее важному вопросу: что и как должно быть изменено в традиционном преподавании учения о функциональной зависимости для изжития того дефекта, о котором говорилось в предыдущем разделе?

Та пропедевтика функционального мышления, основные контуры и стиль которой мы выше пытались обрисовать, делает вполне возможным введение к теме «Функции и их графики» вполне научного определения функции не только одной, но и многих переменных, как это уже было нами отмечено. Однако традиционный стиль примеров, рассматриваемых непосредственно вслед за этим определением, способен разрушить положительный эффект определения и привить учащимся мысль, что формальное определение само по себе, а на деле функция есть просто формула, и обратно — формула есть функции. Чтобы этого избежать, мы считаем необходимым уже среди первых примеров функциональной

зависимости наряду с традиционными алгебраическими или геометрическими соотношениями рассматривать и такие зависимости, как функция Дирихле или функции такого типа:

очень полезно рассмотрение таких функций, как Ы, (Ы наибольшее целое число, не превосходящее х)у х — 1х\ и т. п. Во всех случаях, разумеется, необходима графическая иллюстрация (в случае функции Дирихле и ей подобных надо разъяснить причины трудностей графической иллюстрации).

Вот еще примеры задач, которые мы считали бы очень полезными для разбора в классе:

1. Аналитически записать на отрезке—1 <лг<! 1 функцию, графическое изображение которой дано на следующем чертеже:

2. Тяжелая точка падает на землю с высоты 1 лг, упав, она остается лежать на месте падения; полагая, что момент начала падения есть t = 0 сек и что ускорение силы тяжести g = 9,8 м/сек2, найти аналитическое выражение и график зависимости между высотой точки над землей и временем для 0 сек -< t <: 1 сек.

Каждый учитель без затруднений может сам составить любое число аналогичных примеров.

Очень желательно рассказать учащимся о смысле и роли аналитического выражения как условной записи для часто употребляемой функциональной зависимости, проводя параллель между записью функции с помощью формулы и записью числа с помощью цифр: подобно тому как цифры не порождают числа, а, напротив, являются лишь его внешним выражением, так и формула, выражающая функцию, не порождает ее, а лишь служит аппаратом для ее изображения. Подобно тому как для неизменных чисел история знает целый ряд способов нумерации, так и аналитическое выражение данной функции есть историческое явление, имеющее свое начало и свой эволюционный путь. Если, например, сегодня условиться обозначать через г|э (х) функцию Дирихле, если это условие будет принято в мировом масштабе и войдет в привычки людей, то через известное время г|? (х) станет таким же «аналитическим выражением», такой же «формулой», как у л или \gx, и тому, кто пишет г|з (х), не придется уже, как теперь, словами разъяснять смысл этой записи, как не приходится всякий раз словами разъяснять, что такое \ х или lg х. Мы полагаем, что беседа по этому вопросу должна сильно укрепить в сознании учащихся ту важнейшую основную мысль, что функция есть первичная реальность, в то время как аналитическое выражение является лишь созданным нами инструментом для изучения функций, что функция существует и может быть изучаема и без соответствующего аналитического выражения.

Эта основная мысль должна быть подчеркнута и во всем дальнейшем преподавании. Дело здесь не в ломке программы, требующей самое большее незначительных редакционных изменений. Дело в том, чтобы тщательно избегать всего того, что способно привести и фактически приводит к искажению в сознании учащихся вышеуказанной основной мысли. Таких пунктов очень много; в большинстве случаев первоисточником искажения является неудачное изложение в учебнике, которому без достаточной критики следует учитель. В дальнейшем мы отметим несколько пунктов, изложение которых в его традиционной форме особенно неудовлетворительно в интересующем нас отношении.

Прежде всего это касается области определения или (менее удачный термин) «области существования» функции. Общеизвестна традиция учебников (в том числе и учебников для высшей школы) вычитывать эту область существования из формулы; говорят, например, что «функция + У I — х2 существует только для \х |< 1». Такая терминология должна быть признана научно нечеткой и педагогически вредной, так как в основе ее лежит мысль, что функция, которая для Iх j< 1 определяется формулой + \/ 1 — л1, не может быть определена за пределами этого отрезка, что существование функции кончается там, где изображающее ее аналитическое выражение теряет смысл. Отсюда, конечно, недалеко до обычного утверждения, что условия типа

определяют «не одну, а две функции», так как если «функция t У 1 — X2 не существует при | х \ > 1, то очевидно, что наше определение величины у за пределами отрезка — 1 < | х | 1 должно представлять собой новую, «вторую» функцию.

На самом деле ситуация, конечно, следующая: формула (а не функция) + У\ — л~по существующим соглашениям способна изображать собой данную функцию только при \х\К 1; поэтому, если мы хотим данную функцию изобразить формулой за пределами этого отрезка, мы должны с этой целью искать другого анали-тического выражения; выражение же -f V 1 — *2 при |л:|>1 теряет смысл (само собой разумеется, что все время идет речь лишь о вещественных значениях функции). Это положение вещей настолько ясно и элементарно, что в доведении его до сознания учащихся не может встретиться никаких трудностей. Совершенно аналогичным образом учащимся внушается мысль, что символ t/=lg X имеет смысл (и поэтому может служить для изображения некоторой функции) лишь при х>0 и т. д. Но наряду с этим полезно тут же указать, что

представляет собой настоящую, полноценную функцию, и дать графическую иллюстрацию этой функции.

В связи с областями определения функции мы хотели бы еще отметить, что учащимся желательно привить общую мысль, согласно которой функция, как правило, определяется для тех значений аргумента, какие для данной задачи представляют реальное значение. Так, например, рп — периметр правильного я-угольника, вписанного в круг радиуса 1, по сути дела имеет смысл определять лишь для целых п > 3: число перестановок из п элементов — для всех натуральных п\ если аргумент t означает температуру, то в большинстве случаев нет смысла определять функцию для / < —273° С и т. Д. Вообще для выбора области определения функции решающим моментом должно являться реальное значение изучаемой функциональной зависимости, а никак не формальное аналитическое выражение ее, установленное для той или иной части этой области.

Наконец, мы должны остановиться на том понятии, в котором формальное направление находит себе наиболее яркое выражение и которое поэтому представляет в исследуемом нами отношении наибольшую опасность; это понятие «многозначной» функции; с которым учащиеся встречаются сперва при извлечении корней, а затем — при изучении обратных тригонометрических функций. Понятие многозначной функции целиком принадлежит эпохе, когда аналитическое выражение было не орудием исследования, а родоначальником функциональной зависимости. Дело положительно обстоит так, что в стране, полностью завоеванной новой, реальной концепцией этого понятия, осталась одна неприятельская крепость, со всех сторон осажденная, но до сих пор не сложившая оружия. Эта крепость — понятие многозначной функции, и борьба с нею на фронте школьного преподавания тем труднее, что не только высшая школа, но и сама наука все еще не могут расстаться с этим понятием, стоящим в явном идейном и стилистическом

противоречии со всем духом современного учения о функциональной зависимости.

В самом деле, что такое многозначная функция? Нам говорят: у есть многозначная функция от jc, если каждому значению х соответствует несколько значений у. Но что значит «несколько»? Если это означает твердое конечное число, то такое определение не охватит собой даже нужд средней школы с ее бесконечнозначным арксинусом. Если же слову «несколько» приписывать расшифрованное значение, понимая под ним в случае надобности и «бесконечно много», то, очевидно, всякая величина у есть функция всякой другой величины X, так как, чтобы ни означали х и у, при каждом значении величины X величина у, очевидно, может принимать лишь какое-нибудь одно из всего множества доступных ей значений. Таким образом, из понятия функциональной зависимости выхолащивается всякий смысл.

Всякая же попытка детализировать определение, внести в него те или другие оговорки ведет к осложнениям, с одной стороны, совершенно не нужным, а с другой стороны — безусловно, недоступным восприятию школьника.

Современная математическая наука на высших ступенях своего развития пользуется целым рядом весьма далеко идущих обобщений понятия функции. Она отнюдь не отказывается от рассмотрения и такого случая, когда значением аргумента является число, а значением функции — множество чисел. Однако все это не имеет ничего общего с нуждами не только средней школы, но даже и основного курса анализа в высших учебных заведениях, по меньшей мере в области вещественного переменного. Совсем другой ветер занес в эти элементарные области понятие многозначности. Двести лет назад наши предки при изучении обратных функций ввели обычай изображать единой формулой у ==!/":* оба решения уравнения у2=х и единой формулой у=Агс sinx всю бесконечную совокупность решений уравнения sin у = х. Но это была эпоха, когда «одна формула» означало «одна функция». А когда позднее всем научным миром было принято новое, реальное определение понятия функции и когда стало ясно, что «функция» }/* или Arc sin;: под это определение не подходят, то для спасения по-

ложения был придуман термин «многозначная функция»1.

На самом деле понятие многозначной функции для элементарной теории функций вещественного переменного совершенно излишне. Педагогически оно вредно (как в средней, так и в высшей школе), так как: 1) дух и стиль его неразрывно связаны с формалистической концепцией, преодоленной и отвергнутой современной наукой и 2) оно вносит в определение функции ненужные осложнения, угрожающие к тому же полностью лишить его содержания. Как и во многих других случаях, фактическое положение вещей здесь настолько просто, что доведение его до сознания учащихся без какого бы то ни было упоминания о многозначных функциях не представляет ни малейшего затруднения; надо только решиться сбросить бремя традиции, веками тяготеющее над этим моментом учения об элементарных функциях. Написав и исследовав соотношение у2 = х, мы убеждаемся, что обе функции у = + V х и у = — Vх Для всех X > О удовлетворяют этому соотношению, если угодно записать эти две функции одной формулой, то можно записать у = ± Vх или у = е V х, где е—параметр, могущий принимать значение +1 и — 1. Вот и все. Подобным же образом, исследуя соотношение sin y = xt мы приходим к выводу, что каждая из функций

*/= (— 1) п arc sin х+ яп, (1)

где п — любое целое число, a arc sin х известное «главное значение» удовлетворяет этому соотношению; другими словами, синус имеет не одну, а бесконечное множество обратных функций, при каждом значении параметра п формула (1) дает одну из таких обратных функций. Наконец, можно не возражать и против символа у— = Arc sin л: для более краткой записи выражения (1); надо только четко отметить, что символ arc sin здесь означает не одну функцию, а бесконечное множество функций и что структура этого множества с гораздо большей пол-

1 Разумеется, в нашем изложении ситуация несколько систематизирована, на самом деле развитие теории функций комплексного переменного также сыграло немалую роль в описываемом процессе; однако все наши педагогические выводы этим нисколько не затрагиваются.

нотой вскрывается записью (1). Вот и все. При таком способе изложения сохраняется простота и четкость, присущие современному определению понятия функциональной зависимости, функция и формула отчетливо различны одна от другой, и нет места никаким ненужным расширениям, угрожающим самому смыслу понятия функции. Вместе с тем этот способ изложения не содержит в себе ничего более сложного, чем укоренившаяся в нашей учебной литературе и педагогической практике традиция оперировать с «многозначными» функциями.

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ1

Вопрос о характере, задачах и особенностях определения понятий в школьном курсе математики на каждом шагу встает по различным конкретным поводам в письмах и выступлениях учителей и нередко дебатируется в нашей методической печати. Это понятно и естественно: с одной стороны, каждый учитель по опыту знает, какое значение для выработки правильных научных установок имеет целесообразно построенное определение; с другой стороны, одно и то же понятие сплошь и рядом совершенно различно определяется в различных учебных и методических руководствах. Легко понять, что вопрос о том, какое из предлагаемых определений является наиболее обоснованным научно и наиболее эффективным методически, волнует учителя, будит его научную и педагогическую мысль, заставляет обращаться за разъяснениями, а часто и побуждает к высказыванию (иногда даже к настойчивой пропаганде) своей собственной точки зрения.

Совершенно ясно, что все возникающие по отдельным конкретным поводам вопросы и дискуссии, связанные с определением математических понятий в школьном преподавании, могут получить успешное разрешение только при том условии, что от беспочвенных споров по поводу

1 «Математика в школе», 1941, № 1, стр. 1—10,

определения тех или иных отдельных понятий мы перейдем к общей постановке этой большой научно-методической задачи и выработаем основные принципы построения математических определений в школе. Пока этого не сделано, любая дискуссия по поводу какого угодно отдельного понятия останется беспочвенной; можно ли, в самом деле, выбрать наиболее целесообразное определение того или другого понятия, если мы не знаем, если мы не договорились о том, какие черты, свойства и особенности выбираемого определения должны заставить нас предпочесть его другим? Не будет ли это похоже на то, как если бы двое судей стали спорить о выборе правильного решения по возникшему конкретному делу, не зная законов своей страны?

Уже беглое знакомство с характером запросов и высказываний учительства по поводу отдельных математических определений с исчерпывающей убедительностью показывает, что по основным возникающим здесь принципиальным вопросам мы имеем такой разнобой мнений и точек зрения, при котором нет ни малейшей возможности договориться по какому-либо конкретному вопросу, ибо всякая дискуссия останется бесплодной до тех пор, покуда спорящие исходят из различных основных принципов. Если один для эффективности определения считает решающим моментом его соответствие с современными научными воззрениями, другой — близость к практике, третий — наглядность, четвертый — широту, пятый — сходство с определениями аналогичных понятий и т. д., то, конечно, в вопросе о выборе наиболее целесообразного определения никакого единодушия ожидать нельзя.

Но изучение высказываний учительства приводит и к таким заключениям, которые ведут еще дальше. Оно со всей определенностью показывает, что вопрос о самой сущности определения, о том, что значит определить понятие, не имеет еще полной ясности. Здесь господствуют разнообразные смешения: полноценное научное определение очень часто подменяется ни к чему не обязывающим описанием или даже просто указанием на роль и значение «определяемого» понятия в той или другой практической деятельности («число есть результат счета или измерения»). Очень часто бывает, что из двух конкурирующих «определений» одно действительно определяет

понятие, в то время как другое даже не претендует на такую роль, являясь лишь скромным поясняющим описанием; ясно, что два таких «определения» никак не могут вступить в конкуренцию, ибо задачи, которые они себе ставят, совершенно различны, а между тем как часто у нас ломаются копья именно в подобных случаях, чтобы доказать предпочтительность одного из таких «определений» перед другим!

Совершенно ясно, что прежде чем выбрать наиболее эффективную систему определений, прежде даже чем устанавливать общие принципы такого выбора, необходимо с полной отчетливостью договориться о том, что такое математическое определение. Необходимо установить абсолютно точные признаки, позволяющие отличить определение от более или менее полного описания, с возможной ясностью исследовать роль определений и описаний в школьном преподавании и выяснить, какие методические последствия должно повлечь за собою логическое различие между понятиями действительно определяемыми и понятиями, при введении которых мы ограничиваемся описанием.

Именно этим предварительным целям посвящено настоящее небольшое исследование.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКЕ

В «Арифметике» А. П. Киселева1 издания 1938 г. вычитание определяется как действие, состоящее в том, что от одного числа отнимается столько единиц, сколько их содержится в другом данном числе. В предшествующих изданиях того же курса вычитание определялось как действие, состоящее в отыскании одного из слагаемых по данным сумме и второму слагаемому. Это изменение вызвало оживленную дискуссию среди методистов и учительства, в частности, очень многие нашли введенное А. П. Киселевым изменение нецелесообразным и высказались за сохранение старого определения. Мотивировка, там, где она имелась, бывала различной, но чаще все-

1 Учебник А. П. Киселева до Великой Отечественной войны был стабильным. — Б. Г.

го сторонники старого определения указывали на желательность сохранения аналогии с определением деления (отыскание одного из сомножителей по данным произведению и другому сомножителю); напротив, приверженцами нового определения указывалось, что здесь сохраняется аналогия с определением сложения. В этой дискуссии ни разу, однако, не было замечено, что спор идет вовсе не между двумя логически равноправными претендентами. В то время как в прежних изданиях учебника имелось подлинно научное определение, ибо здесь понятие вычитания целиком редуцировалось1 к уже известным, ранее определенным понятиям (слагаемое, сумма),— изменение, внесенное в издании 1938 г., означало полный и принципиальный отказ от всякого определения понятия вычитания и замену определения поясняющим описанием: ибо когда говорится «вычесть, значит, отнять», то это означает замену термина «вычитание» термином «отнимание», который, может быть, звучит несколько привычнее для математически не искушенного уха, но логическое определение которого, очевидно, нисколько не проще определения термина «вычитание». Таким образом, в издании 1938 г. автор совершенно сознательно признает нецелесообразным давать ученикам какое бы то ни было определение действия вычитания и рекомендует при введении этого понятия ограничиться не претендующим ни на какую определяющую ценность поясняющим описанием (подобно тому как в отношении сложения это делалось и во всех прежних изданиях). Вопрос о том, насколько это нововведение методически целесообразно, нас в данный момент интересовать не должен; нам важно было только установить, что в дискуссии, возникшей по этому вопросу, самая альтернатива2 ставилась в большинстве случаев неправильно: надо было говорить не о том, какое из двух якобы конкурирующих определений лучше, а о том, целесообразно ли в курсе элементарной арифметики определять понятие вычитания или же следует при введении этого понятия ограничиться пояснительным апеллирующим к привычным терминам описанием. Эта правильная постанов-

1 Редукция — приведение к более простому случаю.— Б. Г.

2 Альтернатива — предоставление выбора из двух взаимно исключающих возможностей. — Б. Г.

ка вопроса, если бы она была сделана, без всякого сомнения, значительно повысила бы продуктивность дискуссии.

В письмах учителей часто подвергается резкой критике и «определение» сложения: анализируя это «определение», авторы писем указывают, что оно является тавтологическим и ничего в сущности не определяет; некоторые из этих товарищей рекомендуют вовсе отказаться от попытки определить сложение и признать его первичным, неопределимым понятием. Всем этим критикам надо ответить, что они с воодушевлением и сарказмом ломятся в открытую дверь. Все их критические замечания совершенно правильны, но дело в том, что стабильный учебник (да и вообще любой курс элементарной арифметики) никогда и не пытался определять понятие сложения; это было бы по отношению к возрастному составу учащихся совершенно безнадежной задачей, как это ясно любому методисту. То, что эти критики принимают за определение и в качестве такового подвергают суровому осуждению, на самом деле, по мысли автора, является, конечно, только непритязательным описанием, имеющим целью облегчить усвоение нового понятия; можно признавать его удачным или неудачным методически, но не имеет никакого смысла подвергать анализу и критической оценке его логическую ценность, ибо оно никаких притязаний на такого рода ценность не имеет.

Мы привели эти примеры для того, чтобы показать, как недостаточно ясное понимание основных черт и особенностей математического определения способно привести к недоразумениям и беспочвенным, а потому и бесплодным дискуссиям. Далеко не всякая фраза, произнесенная в целях пояснения вновь вводимого понятия, может претендовать на роль определения этого понятия, и игнорирование этой истины часто является источником недоразумений.

Определением нового понятия может быть признана (и фактически признается в науке) только такая формулировка, которая без остатка редуцирует новое понятие к уже знакомым понятиям той же научной области. Когда мы говорим, что абсолютно простым называется число, имеющее только два делителя, то это — определение, ибо здесь новое понятие нацело сводится к понятиям той же научной области, введенным уже ранее. Подобным же

образом, когда мы говорим, что деление есть отыскание одного из сомножителей по данным произведению и другому сомножителю, то мы даем подлинное определение соответствующего арифметического действия.

Если же при введении нового понятия мы в целях его пояснения полностью или хотя бы частично апеллируем1 не к ранее введенным понятиям той же научной области, а к представлениям, заимствованным из житейского опыта, из других наук, из той или иной практической деятельности, то такое поясняющее описание при всей его педагогической ценности никак не может быть названо определением. Когда мы говорим, что угол есть мера взаимного наклона двух прямых, то это очень ценное в педагогическом отношении пояснение, но, конечно, никакого определения здесь нет, уже потому, что термин «наклон», к которому мы хотим свести новое понятие, нигде и никак в предшествующем изложении не определен. Когда мы говорим, что «число есть результат счета или измерения», то эта фраза очень хорошо указывает основные применения понятия числа в человеческой практике, но, конечно, никак не может быть принята за определение понятия числа, так как счет и измерение никак не могут рассматриваться в качестве арифметических понятий, определяемых и вводимых ранее понятия числа.

При построении и при изложении всякой математической (а строго говоря, и всякой другой) науки мы неукоснительно требуем, чтобы каждое новое вводимое понятие было определяемо в указанном нами точном смысле. С понятиями, которым такого определения не дано, математическая наука по самой сущности своей работать не может. Это обстоятельство, как известно, приводит к одной характерной трудности. Всякая наука имеет свое начало, свои первые, основные понятия, введением которых начинается ее изложение. Как могут быть определены эти понятия, если определением мы назвали редукцию к уже ранее введенным понятиям той же научной области?

Допустим, что мы излагаем геометрию и в качестве первого простейшего понятия избираем понятие точки—

1 Апеллировать — обращаться к какому-либо авторитету.— Б. Г.

простейшего геометрического образа. Можем ли мы определить это понятие? Очевидно, что не можем, так как это — первое понятие в данной науке, никаких предшествующих понятий нет, а потому и редуцировать к ним понятие точки мы не можем. Совершенно ясно, что с подобным положением вещей мы неизбежно должны встретиться при построении любой математической науки.

Хорошо известно, как современная математическая наука выходит из этого затруднения. В начале каждой научной области вводится группа из небольшого числа первичных, неопределяемых понятий. Явно указывается, что эти первичные понятия не могут и не должны быть определяемы, вместе с тем категорически требуется, чтобы после перечисления первичных, неопределимых понятий всякое вводимое в дальнейшем новое понятие уже подверглось точному определению, т. е. полному сведению либо к первичным, либо к другим ранее определенным понятиям.

Однако если первичные понятия не определяются, то это не значит, что с них не требуется ничего, кроме их названий. Между этими первичными понятиями устанавливаются закономерные, обязательные во всех случаях взаимоотношения. Список этих взаимоотношений обязательно полностью приводится одновременно с введением первичных понятий; эти взаимоотношения первичных понятий составляют собой аксиомы, или первичные, недоказуемые истины данной научной области. Подобно тому как после составления списка первичных понятий всякое новое вводимое понятие обязательно подлежит точному определению, так и после установления списка аксиом всякая новая утверждаемая истина подлежит точному доказательству, т. е. логическому сведению к аксиомам или ранее доказанным истинам. Таким образом, первичные понятия не определяются, но при введении их перечисляются имеющиеся между ними формальные взаимоотношения, являющиеся аксиомами данной научной области. Чтобы пояснить сказанное, приведем в качестве примера одну из наиболее распространенных систем первичных элементов арифметики натуральных чисел (систему Пеано1).

1 Пеано (1858—1932)—итальянский математик; система аксиом арифметики представлена в 1889 г. — Б. Г.

Первичные понятия

1. Число (натуральное).

2. Единица.

3. Следующее число.

Аксиомы

1. Единица есть число.

2. За каждым числом есть единственное следующее число.

3. Единица не следует ни за каким числом.

4. (Принцип полной индукции.) Если какое-нибудь утверждение верно для единицы и если всякий раз, когда оно верно для какого-нибудь числа, оно верно и для следующего числа, то это утверждение верно для любого числа.

Развитие науки показало, что действительно на базе этого запаса первичных понятий и первичных истин может быть построено все здание арифметики; все вновь вводимые понятия (в частности, понятия арифметических операций) точно определяются, все утверждаемые истины (в частности, все законы арифметических операций) строго доказываются (т. е. становятся теоремами).

Для нас во всем этом важен сейчас тот момент, который обычно недостаточно подчеркивают при изложении идей аксиоматического метода: в основе всякой математической дисциплины лежит несколько первичных понятий, не определяемых, но по отношению к которым с самого начала дается список имеющихся между ними формальных взаимоотношений; этот список составляет собою систему аксиом данной научной области; после того как перечислены все первичные понятия, всякое вновь вводимое понятие обязательно подлежит точному определению.

Сделаем еще одно последнее замечание. В системе первичных элементов геометрии, предложенной Гильбертом и пользующейся наибольшим признанием в современной науке, в качестве первичных понятий принимается точка, прямая линия и плоскость, но имеется большое число предлагавшихся другими авторами систем первичных элементов геометрии, — систем, в которых в роли первичных фигурируют совсем другие понятия. Если,

положим, в такой системе среди первичных понятий отсутствует понятие плоскости, то в данной системе это понятие становится уже не первичным, т. е. подлежит определению. Вообще список первичных понятий данной научной области отнюдь не определяется однозначно содержанием этой области, но может быть с формальной точки зрения произвольно выбираем применительно к той или другой системе изложения. Понятие, которое в одном изложении было первичным и потому неопределимым в данной системе, при другой системе изложения может стать подлежащим и доступным определению. Таким образом, определимость или неопределимость понятия не есть объективное его свойство, вытекающее из его содержания, но целиком зависит от принятой системы изложения.

О ВВЕДЕНИИ НОВЫХ ПОНЯТИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Если, как мы это видели, сама наука принципиально не в состоянии определить всех своих понятий, то совершенно ясно, что подобного требования нельзя предъявлять и к школьному курсу. Как бы мы этот курс ни строили, если только мы не хотим обманывать наших учеников, мы вынуждены будем оставить известную часть вводимых нами понятий без определений. Это должно стать исходным пунктом и непременной предпосылкой всех дальнейших исследований, связанных с поставленной нами задачей.

Вместе с тем ясно, что основные вопросы, которые встают перед школьным преподаванием после принятия этой предпосылки, заключаются в следующем:

1. Какие понятия в школьном курсе математики надлежит определять и какие оставлять без определений (мы видели, что этот вопрос уже в пределах самой науки допускает различные решения)?

2. В случае, когда мы отказываемся от определения какого-либо понятия, чем, какого рода поясняющими описаниями это определение следует заменить в ходе педагогического процесса?

3. Следует ли обращать внимание учащихся на различие между определением и описанием понятия, и если да, то когда, в какой мере и какими средствами?

К краткому рассмотрению этих трех вопросов мы теперь и обращаемся.

Как мы видели выше, обязательным требованием логического построения всякой математической дисциплины является сведение числа неопределимых понятий (и числа аксиом) к минимуму. Это означает, что ни одно из первичных понятий не должно допускать определения с помощью других первичных понятий, иначе говоря, это означает, что всякое понятие, которое может быть определено, вместе с тем и должно быть определено, а не может быть причисляемо к неопределимым понятиям.

Можем ли и должны ли мы придерживаться этого требования в построении школьного курса? Мы полагаем, что по этому вопросу не может быть двух мнений, ибо если бы мы захотели, например, в курсе арифметики IV—V классов определять все понятия, логически допускающие определение, то. мы должны были бы определять сложение и умножение (а также, заметим вскользь, доказывать их свойства) с помощью метода полной индукции детям в возрасте 11—12 лет. Фактически аксиоматическое построение любой научной области, будучи исторически всегда заключительным, а не начальным моментом в развитии данной дисциплины, недоступно не только школьнику, но и студенту первых годов обучения; оно требует такого уровня формально логической культуры, который в лучшем случае доступен кончающему студенту-математику.

Таким образом, не может подлежать сомнению, что число математических понятий, которые вводятся без определения, в школьном курсе должно быть значительно большим, чем при формальном построении данной дисциплины. Так, например, ясно, что понятие суммы (натуральных чисел), которое при формальном построении арифметики обычно определяется, в рамках школьного курса не должно быть определяемо. По каким же признакам надлежит судить, должно ли то или другое понятие подвергаться определению в пределах школьного курса? Чтобы придать обсуждению этого вопроса большую конкретность, мы продискутируем его на удобном для этой цели примере.

Выше мы видели, что понятие вычитания одни методисты в элементарном курсе предпочитают определять

(сводя его к понятию суммы и слагаемых, введенным ранее), другие же рекомендуют оставлять его без определения (как выше было выяснено, фразами вроде «вычесть значит отнять» и т. п. действие вычитания, конечно, никак не определяется). Вопрос этот действительно является спорным; мы здесь собираемся не решать его, а только разобраться в том, какими аргументами располагают представители той или другой точки зрения.

Те, кто настаивают на определении вычитания, опираются примерно на следующую аргументацию:

1. Определение понятия вычитания достаточно просто для того, чтобы ученик IV—V классов мог без затруднения его усвоить.

2. Определяя вычитание через сложение, мы тем самым сразу устанавливаем взаимную связь между этими двумя действиями — связь, для раскрытия которой при ином способе подхода к вычитанию пришлось бы затрачивать специальные усилия.

3. Так как деление обычно определяется через умножение и так как связь сложения с вычитанием имеет те же формальные черты, что и связь умножения с делением, то было бы методологически непоследовательно поступать по отношению к вычитанию иначе, чем мы поступаем по отношению к делению.

Все три приведенных аргумента являются вполне обоснованными. Напротив, совершенно ошибочной следует признать очень часто раздающуюся аргументацию примерно следующего содержания: «Определяя вычитание через сложение, мы сводим его к уже знакомым понятиям; определяя же вычитание как «отнятие», мы сводим его к понятию, которое так же ново, как оно само, и нигде еще не было определено».

Не говоря уже о том, что здесь в качестве второго «определения» цитируется простое пояснительное описание, которое, конечно, никому не придет в голову выставлять как определение, — такая аргументация исходит из явно неприемлемой установки, будто конкуренция между определением и описанием должна разрешаться в пользу определения всякий раз, когда такое определение возможно.

Аргументируя так, мы на том же самом основании обязаны были бы требовать определения и для сложения,

и вообще для любого понятия, не причисленного к первичным при формально логическом построении данной дисциплины.

С другой стороны, представители противоположной точки зрения указывают на следующее:

1. Тот реальный процесс, формальным отображением которого в арифметике служит понятие вычитания, настолько знаком каждому ребенку из повседневного опыта, что педагогически нецелесообразно знакомить детей с действием вычитания в отрыве от этих его реальных корней.

2. Вполне эффективным приемом введения понятия вычитания на базе соответствующего ему реального процесса является установление равнозначности термина «вычесть» с термином «отнять», хорошо знакомым детям из повседневной жизни.

3. Разумеется, то, что здесь предлагается, не может называться определением вычитания; однако число понятий, которое мы по необходимости вводим в школьный курс математики без определений, настолько велико, что увеличение или уменьшение его на единицу не может играть существенной роли.

4. Что касается до связи вычитания со сложением, то эта связь, несомненно, должна быть установлена полностью после того, как учащиеся на примерах и описательных пояснениях уже ознакомились с вычитанием.

Надо признать, что и эта аргументация является безукоризненно убедительной. Как уже было указано, в наши задачи отнюдь не входит решение изложенного спора: мы хотим извлечь из рассмотренного примера только те общие мотивы, которые в отдельных случаях могут заставить нас при первом введении нового понятия предпочесть определение описанию или наоборот. Вот основные из этих мотивов.

1. При введении каждого нового понятия необходимо прежде всего исследовать, допускает ли оно определение через ранее введенные понятия. Если определение дано быть не может, то, разумеется, данное понятие мы должны признать первичным (неопределимым), отказаться от всяких попыток его определения и искать надлежащей педагогической замены этого определения пояснительным описанием.

2. Если определение нового понятия логически возможно, то следует рассмотреть вопрос о том, в какой мере оно допустимо с педагогической стороны, т. е. доступно ли оно сознанию учащихся данного возраста. Само собою понятно, что эту доступность мы должны оценивать не формально, а по существу: речь идет не о том, способен ли учащийся формально заучить, запомнить данное определение, а о том, в какой мере данная логическая формулировка способна стимулировать в данном возрасте правильные представления о понятии, его реальной сущности, его связи с другими понятиями, с жизнью, с практикой. Если определение (в силу ли чрезвычайной отвлеченности или чрезмерной сложности или других причин) таково, что эффективности в указанном смысле от него ожидать не приходится, то это говорит всегда в пользу отказа от этого определения и замены его каким-либо педагогическим эквивалентом.

3. Если, как это часто бывает, связанный с новым математическим понятием предмет или образ хорошо знаком учащимся из повседневного опыта (сложение, вычитание, угол, прямая линия, круг), то это является всегда аргументом в пользу того, чтобы при первой встрече с данным понятием апеллировать именно к этим его связям с реальностью, а не к формальному определению.

4. Напротив, если в строении данной научной области основную роль играют логические связи вводимого понятия с ранее определенными понятиями и если формальное определение данного понятия эти связи с достаточной ясностью и простотою раскрывают, то это говорит в пользу того, чтобы уже при первом знакомстве с этим понятием давать его формальное определение.

5. В случаях, когда мы имеем две или более параллельно идущих группы понятий, формальные связи которых представляют значительную аналогию (сложение и вычитание, умножение и деление), желательно в целях стройности и систематичности изложения вводить одинаковый подход к этим группам понятий, т. е. либо во всех группах строить изложение на формальных определениях, либо во всех группах отказываться от этих определений.

6. Следует отметить, что формальное определение и поясняющее, апеллирующее к реальным связям и на-

глядным представлениям описание понятия, вообще говоря, не исключают друг друга; напротив, в случаях, когда понятие вводится на базе формального определения, это не освобождает нас, как правило, от того, чтобы немедленно после установления такого определения указывать его реальное значение, всесторонне освещать те наглядные образы, те жизненные и практические моменты, абстрактным отображением которых оно призвано служить. Во многих случаях вопрос идет только о том, что должно предшествовать, формальное определение или наглядно-практическое описание. Не надо, однако, думать, будто эти соображения могут лишить проблему ее большого педагогического веса: известно, какое подчас решающее значение имеет именно обстановка и характер первой встречи с этим понятием. Уже в зрелом возрасте у человека при упоминании того или другого термина почти всегда всплывают ассоциации, связанные именно с этим характером первичной встречи. Весь стиль, вся эффективность, практическая действенность понятия, как правило, существенно зависят от того, в какой обстановке, в каком окружении оно впервые вошло в наше сознание.

Перейдем теперь к вопросу о том, как в школьном курсе следует вводить понятия, которые вследствие логических или педагогических причин не могут быть формально определяемы. Прежде всего ясно, что в этом отношении школьное преподавание никак не может следовать тому пути, по которому идет наука. Как мы видели, в науке при введении первичных (неопределимых) понятий эквивалентом определения являются указания всех взаимосвязей этих первичных понятий между собой, задаваемое в виде списка аксиом. Но эта основная функция аксиом, бесспорно, является одним из наиболее трудно усвояемых моментов для всех, впервые знакомящихся с методом логического обоснования математических дисциплин. Не может быть и речи о том, чтобы в пределах школьного курса делать попытки каких-либо указаний в этом направлении; максимум наших пожеланий по отношению к школьному курсу может быть сведен к тому, чтобы роль определения и роль аксиомы, в отдельности взятых, были в его пределах отчетливо доведены до сознания учащихся. Случаи же, когда аксиома служит заменой определения, по своей логической слож-

ности, безусловно, выходят за пределы возможностей школьного курса.

Совершенно ясно, что там, где новое понятие по тем или другим причинам вводится без определения, мы в школьном преподавании должны искать не формальный, а реальный педагогический эквивалент этому недостающему определению. Не формальные, а реальные связи нового понятия с другими понятиями, и не только понятиями, но и реальными жизненными предметами и явлениями должны доставлять материал для тех поясняющих описаний, которые призваны заменить собою определение.

Ясно, что понятие натурального числа не может быть определено в курсе элементарной арифметики. Мы никогда и не определяем его. Но мы говорим, что число есть единица или собрание единиц, и это — хорошее поясняющее описание, потому, что в нем понятие числа связывается с понятием единицы (тоже, конечно, неопределимым) с помощью такого жизненно понятного всякому ребенку термина, как «собрание». Мы говорим также, что число есть результат счета, и это — также хорошее поясняющее описание: хотя в нем о сущности числа не говорится ни слова, но оно прямо указывает ребенку на ту хорошо знакомую ему из повседневного опыта практическую операцию, зрелым плодом которой всегда является число. Такого рода поясняющие описания имеют, конечно, большой педагогический эффект. Они сразу позволяют новому понятию занять в сознании учащегося правильное место в ряду других понятий и приучают школьника ассоциировать это понятие с теми образами, предметами и явлениями реальной жизни, с которыми оно действительно связано своими корнями.

Понятие угла в элементарной геометрии, очевидно, не может быть определено. И вот вместо определения мы даем поясняющее указание: «Угол есть мера взаимного наклона двух прямых». Что такое наклон и как его измерять— эти вопросы никогда до этого момента формально не рассматривались в курсе, и тем не менее наше указание, несомненно, имеет высокую педагогическую действенность: оно одновременно связывает с понятием угла простое и ясное наглядное представление и описывает одну из важнейших практических функций этого понятия — функцию, ценность которой вполне доступна

детскому сознанию. Мы говорим также, что угол есть часть плоскости, заключенная между двумя полупрямыми, выходящими из одной точки. Это новое поясняющее описание также ассоциирует понятие угла с простым наглядным представлением, здесь подчеркивается другой момент, другая особенность нового понятия: всякий угол делит точки плоскости на два класса — те, которые лежат внутри угла, и те, которые расположены вне его.

Приведенные примеры учат нас следующему. Поясняющие описания, которые призваны заменить собою определение нового понятия, всегда должны апеллировать к чему-то такому, что занимает уже прочное место в сознании учащегося. Это могут быть либо ранее прочно и действенно усвоенные понятия той же науки, либо знакомые учащемуся наглядные представления, либо известные ему из повседневного опыта жизненные явления или практические процессы. Устанавливая, без всякой претензии на логическую редукцию, те или другие связи вновь вводимого понятия с такими крепко усвоенными ингредиентами1 детского сознания, мы достигаем того, что в дальнейшем, при упоминании этого понятия, в сознании учащихся встают правильные ассоциации, помогающие безошибочно оперировать с ним. Понятно, что такая роль поясняющих описаний делает их чрезвычайно ответственным моментом преподавания. Поясняющее описание не обязано, конечно, вскрывать всей полноты смысла нового понятия (иначе оно было бы определением); оно может ограничиться указанием на те или другие моменты этого смысла, но мы должны со всей тщательностью избегать такого положения вещей, когда поясняющее описание в угоду большой «доходчивости» искажает смысл понятия, ибо такое искажение, сколь бы безобидным оно ни казалось, в дальнейшем неизбежно приведет к прямым логическим ошибкам. Достаточно вспомнить тот, с трудом искоренимый вред, который приносит (к сожалению, довольно распространенное) упрощенчество к трактовке основных понятий анализа бесконечно малых.

Нам остается рассмотреть вопрос о том, в какой мере логическому различию между определениями и пояс-

1 Ингредиент — составная часть. — Б. Г.

няющими описаниями должно соответствовать методическое различие в обращении с этими двумя приемами введения новых понятий и в чем должно состоять это методическое различие. Мы склонны придавать этому вопросу большое значение, так как, по нашему представлению, в этом отношении у нас делается немало ошибочного и вредного.

В письмах учителей мы очень часто встречаем вопросы, подобные следующим: «Какое определение угла правильно — как меры наклона и т. д., или как части плоскости и т. д.?», «Какое определение числа более научно—как результата счета или измерения, или как того свойства множества, которое остается после отвлечения от природы и порядка элементов?». Обилие вопросов подобного рода, отрадным образом свидетельствуя о наличии в нашем учительстве живого интереса к математическому определению как проблеме методики, вместе с тем с определенностью показывает, что во многих случаях у самих учителей нет еще полной ясности в том, как ставится эта проблема.

Те вопросы, которые мы привели выше, и все подобные им, конечно, основаны на недоразумении. Прежде всего ни одно из конкурирующих по мысли вопрошающего «определений» не есть определение: все это — поясняющие описания, имеющие целью вскрыть тот или другой момент нового понятия. Отсюда вытекает, что если одно из них «правильно», или «научно», т. е. не искажает смысла понятия, то вовсе не обязательно, чтобы другое было «менее правильным», или «менее научным». Они вовсе не противоречат друг другу и даже не конкурируют друг с другом, а, напротив, как мы видели выше, весьма полезным образом дополняют друг друга.

Из этого неправильного понимания логической ситуации вытекают, естественно, и методические ошибки. Сюда относится прежде всего весьма распространенный у нас обычай заставлять учащихся заучивать наизусть такие «определения», которые на самом деле вовсе определениями не являются. Когда нам пришлось увидеть сорок письменных работ, каждая из которых начиналась вопросом: «Что есть отношение?», за которым следовал один и тот же зазубренный ответ: «Отношение есть результат сравнения и т. д.», то мы должны признаться, что восприняли это как надругательство над мыслящим

человеком в ребенке, ибо приведенное «определение» отношения есть, конечно, никак не определение, а лишь громоздкая многословная попытка поясняющего описания, заучивать которую наизусть есть очевидная нелепость.

Недавно проф. С. А. Яновская рассказывала нам про одного мальчика, хорошего ученика, возмущавшегося тем, что ему снизили отметку за неумение ответить на вопрос: «Что такое дробь?». Мальчик этот возмущенно говорил: «Я понимаю, для чего нужно уметь умножать и делить дроби, но скажите мне, где применяется определение дроби?». Мы должны признаться, что мы целиком на стороне этого ученика, ибо то «определение» дроби, которое может дать курс элементарной арифметики, в лучшем случае способно служить полезным поясняющим описанием. Если ученик воспользовался этим описанием, чтобы быстрее и лучше овладеть аппаратом дробей, то это все, чего от него можно ожидать. Требование же, чтобы это описание учащиеся заучивали наизусть, нельзя назвать иначе как методической нелепостью.

Если мы иногда требуем, чтобы подлинные определения заучивались учениками дословно, то это имеет свои веские методические основания. Логическое определение есть формула, из которой нельзя выкинуть и к которой нельзя добавить ни одного слова, не искажая ее смысла, поэтому, требуя от учеников дословного запоминания таких определений мы, воспитываем в них именно то бережное отношение к такому определению, какого оно заслуживает в силу своей логической природы. Полезно, полагали бы мы, показывать даже ученикам на примерах, как немедленно искажается смысл определяемого понятия, если в его определении мы изменим хотя бы одно слово; такого рода примеры заставят учащихся понимать, что дословное заучивание определений является актом высокой логической культуры, а не схоластической зубрежкой.

Но какой смысл может иметь заучивание наизусть таких фраз, которые имеют своей целью пояснить новое понятие путем апелляции к привычным представлениям учащихся? Не говоря уже о том, что таких поясняющих описаний для одного и того же понятия может быть дано несколько (и чем больше, тем лучше) и что, следовательно, выбирая одно из них для дословного заучивания,

мы наводим учащихся на неверную мысль, будто это выбранное нами пояснение чем-то принципиально логически выделяется среди других, не говоря уже обо всем этом, необходимо учесть, что в каждом таком поясняющем описании мы можем, не уменьшая его методической действенности и не искажая смысла поясняемого понятия, весьма многими способами варьировать его текст. Совершенно ясно, что при этих условиях дословное заучивание таких пояснений означало бы безосновательную фиксацию более или менее случайного текста. Такая фиксация может иметь и фактически имеет целый ряд вредных последствий. Главное из них заключается в том, что внимание и усилия учащихся направляются в первую очередь на формальные моменты заучиваемого пояснения, между тем как по своей логической природе и своему методическому назначению это пояснение таково, что формальные моменты играют в нем весьма подчиненную роль. Реальные же связи, направленные на практическую действенность, при таком заучивании, естественно, отодвигаются на второй план и часто совершенно утрачиваются, между тем как в них-то и заключается, конечно, вся цель пояснения. Если ученик, о котором мы говорили выше, в свое время хорошо использовал данные ему пояснения понятия дроби, если он в совершенстве овладел аппаратом дробей, чувствует его реальные связи и разбирается в его практических применениях, то для какой же цели будем мы требовать от него дословного запоминания той или другой сообщенной ему в свое время поясняющей фразы? Ведь это не определение, каждое слово которого имеет незаменимый ничем логический вес, чрезвычайно важный для последующих формальных рассуждений. Это — непритязательное поясняющее описание, которым ни для каких формальных выводов мы никогда не сможем воспользоваться, роль которого после усвоения данного раздела полностью исчерпана и дословное заучивание которого мы должны поэтому рассматривать как вредную, искажающую истинное положение вещей, схоластическую нелепость.

На основе подробно рассмотренного нами специального вопроса о дословном заучивании мы ясно видим теперь те методические различия, которые должны иметь место между введением новых понятий посредством

определений и посредством поясняющих описаний. Добавим еще, что во избежание смешений мы считали бы полезным, чтобы описания, которые не являются определениями, в учебниках не подчеркивались, не выделялись никаким особым шрифтом и чтобы там, где эта желательно, введение нового понятия сопровождалось не одним, а несколькими такими пояснениями. Совсем не обязательно, чтобы автор учебника должен был делать выбор между фразами: «Угол есть мера наклона и т. д.» и «Угол есть часть плоскости и т. д.». Будет лучше всего, если он приведет в пояснение новому понятию обе указанные картины, конечно в надлежащем контексте, и не выделяя ни одной из них в качестве основоположного догмата.

Заметим, наконец, что рекомендуемое нами тщательное методическое разграничение между определениями и простыми описаниями будет иметь еще и тот важный эффект, что с ранних лет приучит детей предъявлять к определениям те строгие логические требования, которые по отношению к ним являются обязательными, а не валить в одну кучу под именем «определений» все безответственные фразы, произносимые по поводу вновь вводимых понятий. Этим будет устранен один из тяжелых дефектов логической культуры, распространенных в наше время среди оканчивающих среднюю школу, — дефект, злокачественные последствия которого тяготеют подчас над учащимися на всем протяжении высшей школы, а в отдельных случаях даже и за ее пределами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вопрос о наиболее целесообразной форме введения того или другого математического понятия в курс средней школы есть одна из наиболее ответственных задач математической методики. Как мы уже говорили в начале настоящей статьи, именно потому, прежде чем начинать дискуссию по поводу отдельных понятий, мы должны со всей отчетливостью уяснить себе общие принципы, лежащие в основе всех конкретных проблем в этой области. Но еще прежде уяснения этих принципов необходимо точно договориться по вопросу о том, что такое математическое определение, какова его роль в

школьном курсе, чем и как оно может быть заменено там, где введение его логически невозможно или методически нецелесообразно.

Наша статья посвящена именно этому последнему кругу вопросов. Ни для одного конкретного понятия в ней вопрос о наиболее действенном способе его введения не только не разрешен, но и не поставлен нами во всей полноте. Но это и не было нашей целью. Мы ставили себе только одну задачу: по возможности внести ясность в ту обстановку, в которой должны ставиться и решаться такие задачи. До сих пор мы имели здесь много путаницы, спорящие говорили на разных языках, одни и те же термины употребляли в различных значениях, не понимая ни друг друга, ни высказываний третьих лиц. Дискуссия при таких условиях не могла быть плодотворной. В настоящей статье мы собрали несколько замечаний, которые нам кажутся совершенно бесспорными, может быть, даже в известной мере банальными и единственная задача которых — подвести более или менее прочный фундамент под всякую будущую дискуссию и тем самым дать этой дискуссии некоторую гарантию продуктивности. Мы хотели бы надеяться, что наш скромный труд в этом отношении не останется бесплодным.

О ФОРМАЛИЗМЕ В ШКОЛЬНОМ ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ1

Все известные нам высказывания, оценивающие качество математической подготовки оканчивающих среднюю школу, сходятся на том, что одним из самых распространенных и тяжелых недостатков этой подготовки до сих пор остается формализм математических знаний и навыков. Этот недостаток почти в равной мере препятствует достижению всех тех целей, которые ставит перед собой преподавание математики в школе. Прежде всего и острее всего это сказывается на непосредственном практическом применении приобретенных знаний и навыков. Тот, кто вынес из школы только внешние, формальные выражения математических методов, не усвоив их содержательной сущности, при встрече с реальной задачей будет, конечно, лишен возможности увидеть, какие из этих методов могут быть применены к ее решению. Он не сумеет, как мы говорим, математически поставить практическую задачу; в значительной мере он окажется беспомощным и в решении этой задачи, так как у него не выработалось привычки реально осмысливать производимые формальные операции, вследствие чего ни интересы стоящего перед ним практического задания, ни даже математическое содержание возникшей

1 «Известия Академии педагогических наук РСФСР», вып. 4, 1946, стр. 7—20; «Советская педагогика», 1944, № 11—12, стр. 21—27.

проблемы не смогут руководить им при выборе этих операций.

Не в меньшей степени формализм математических знаний тормозит работу окончивших среднюю школу в высших учебных заведениях. Высшая математика, с которой они здесь встречаются, по самому духу своему не допускает внешнего, чисто формального подхода. Тот, кто всем своим предшествующим обучением приучен лишь к внешним выражениям, формальным концепциям математических понятий и математических истин, оказывается бессильным перед лицом живой, диалектической проблематики мира переменных величин, где ничего нельзя понять, если не умеешь неотрывно связывать внешний, формальный аппарат со стоящей за ним математической реальностью, а этого-то как раз и не умеет делать тот, кто привык лишь внешним образом усваивать понятия математики и связывающие их закономерности.

Не менее тяжелым следствием формализма математических знаний мы должны, наконец, признать и почти полную мертвенность, бесполезность такого рода знаний в деле формирования научного мировоззрения учащихся, которое должно являться одной из важнейших задач нашей общеобразовательной школы. Вряд ли надо доказывать, что знания и навыки, связанные лишь с внешней формой изучаемого предмета и оторванные от его содержания, ни в какой мере не могут влиять на идейное воспитание ученика, на формирование его мировоззрения. В лучшем случае они способны только стимулировать тренировку чисто формальных мыслительных способностей.

Таким образом, формальный характер приобретаемых учениками математических знаний и навыков действительно служит существенным препятствием на пути ко всем тем целям, какие ставит себе наша общеобразовательная школа. Нет и не может быть поэтому разногласий в вопросе о необходимости и неотложности борьбы с этим явлением. Однако, для того чтобы такая борьба имела шансы на успех, она должна вестись не кустарно, а на прочных научных основах. Вряд ли было бы здесь уместно ограничиться призывом к учителям или составлением скороспелых методических документов, содержание которых по необходимости не выходило бы за

пределы давно и всем известных банальностей. Необходим прежде всего глубокий научный анализ того явления, против которого мы хотим бороться; надо вскрыть его сущность, найти все характерные черты формализма; необходимо тщательным исследованием отыскать его глубокие корни и его ближайшие причины и лишь после этого перейти к научному обоснованию наиболее эффективных приемов борьбы с ним.

Во всех этих исследованиях теоретическая мысль методиста должна работать рука об руку с наблюдением и экспериментом. Значительная трудоемкость такого солидного подхода к проблеме не должна нас останавливать, если мы действительно хотим в этом деле вести борьбу на уничтожение, а не ограничиваться рядом кустарно сработанных заплат, действенность которых не имеет никакой солидной гарантии. Я думаю, в частности, что Кабинет математики Института методов обучения Академии педагогических наук РСФСР имеет все основания сделать эту задачу в ближайшие годы одной из своих центральных проблем и привлечь к ее решению ряд кафедр наших сильнейших педагогических институтов.

Надо признать, что до сих пор эта задача даже еще не поставлена как научная проблема. В настоящей моей статье я не собираюсь дать что-либо окончательное, какие-либо дефинитивные1 выводы хотя бы по одному из возникающих здесь вопросов. Я вижу свою задачу совсем в другом: я хочу предложить лишь некоторый собранный и продуманный мною материал, отдельные соображения весьма предварительного характера; я хотел бы, чтобы эти мои соображения вызвали по возможности оживленную дискуссию. Если в ходе дискуссии удастся нащупать, уловить контуры основных подходов к поставленной задаче, а вместе с тем и привлечь к ней внимание широких кругов педагогической общественности, то это — все, на что я могу рассчитывать.

Я перехожу теперь к основной задаче — к вопросу о том, в чем состоит формализм математических знаний. Чтобы вскрыть сущность какого-нибудь сложного явления, часто бывает полезно внимательно проанализиро-

1 Дефинитивные — в данном случае — определяющие. — Б. Г.

вать его на небольшом числе особо ярких конкретных примеров, типичных для практики. Мы начнем поэтому с перечисления нескольких таких примеров.

1. Ученик, быстро и правильно отвечающий на вопрос «что такое логарифм?», в то же самое время не может, даже после довольно длительного обдумывания, справиться с заданием: «вычислить без помощи таблиц 101«7 ».

2. Ученик, правильно начертив график логарифмической функции и имея его перед глазами, не может ответить на вопрос о том, что происходит с логарифмом числа, когда это число, убывая, приближается к нулю.

3. Ученик, легко решающий некоторую систему уравнений с неизвестными х и у, в недоумении останавливается перед этой же системой, если обозначить в ней неизвестные через k и /.

4. Ученик, правильно доказывающий геометрическую теорему при некотором привычном расположении чертежа, не может повторить доказательства при другом, равноправном расположении этого чертежа.

Вглядевшись внимательно в эти, а также и в другие подобные им примеры, мы убеждаемся, что для всех случаев этого рода характерно некое нарушение в сознании учащегося правильного взаимоотношения между внутренним, содержанием математического факта и его внешним выражением (словесным, символическим или наглядно-образным). Это правильное взаимоотношение должно, разумеется, состоять в том, что основным объектом изучения служит самый факт, т. е. внутреннее содержание его, внешнее же выражение (словесная формулировка, символическая запись, чертеж) является лишь средством, орудием для усвоения запоминания и передачи этого содержательного факта. Между тем в приведенных нами примерах (и во всех других, им подобных) это правильное взаимоотношение подвергнуто радикальному искажению. Внешнее выражение математического факта занимает не ту подчиненную роль, какая свойственна ему по природе, а становится самодовлеющим фактором, часто господствующим над внутренним содержанием. В первых двух примерах содержание соответствующих научных фактов вообще отсутствует в сознании учащегося. Ученик, не умеющий найти 10Ig7, фактически не знает, что такое логарифм, как бы твердо он ни

вызубрил соответствующее определение. Это определение остается для него пустой фразой, ничем не связанной с подлинным содержанием понятия логарифма (ибо для решения поставленной задачи необходимо только знать, что такое логарифм). Точно так же во втором примере ученик, запомнив чертеж, изображающий поведение логарифмической функции, в то же время фактически не знает этого поведения.

Несколько отличную картину видим в двух последних примерах. Здесь содержание математического факта, метод решения той или другой задачи хотя и присутствуют в сознании учащегося, но оказываются прикованными к совершенно определенным, застывшим, неизменным внешним выражениям; всякая попытка заменить такое внешнее выражение другим, равноценным или даже лучшим, приводит к тому, что из сознания ученика вместе с привычной формой выбрасывается и содержание математического факта, случайное, иногда даже неудачно выбранное внешнее выражение — обозначение, чертеж — становится обязательным звеном, связующим математический факт с сознанием учащегося; связь эта нарушается при замене такого случайного внешнего выражения каким-либо другим.

Мы видим, таким образом, что для всех проявлений формализма характерно неправомерное доминирование в сознании и памяти учащихся привычного внешнего (словесного, символического или образного) выражения математического факта над содержанием этого факта. Такое доминирование неправомерно не только потому, что при нормальной ориентации сознания содержание изучаемого предмета должно быть для него (для сознания) главным объектом внимания, но и потому, что внешнее выражение, к которому при формальном подходе приковано сознание, является случайным, одним из обширного множества равноправных между собою внешних выражений, а поэтому подчинять ему в том или другом виде стоящий за ним определенный содержательный факт — значит лишать знакомство с этим фактом какой бы то ни было прочности и устойчивости.

Мы видели, что такое гипостазирование внешнего выражения в разных случаях может иметь разные последствия. Иногда внешнее выражение подменяет собой содержательный смысл, совершенно выпадающий из со-

знания учащегося; иногда же оно приобретает неправомерное господство над выражаемым им содержательным фактом. Но в основе всех этих явлений лежит одна и та же причина, которую мы точно формулировали выше и в которой мы и должны поэтому видеть сущность общего явления формализма математических знаний.

Для организации успешной борьбы с формализмом необходимо со всею тщательностью избегать смешения этого порока с другими распространенными дефектами математической подготовки учащихся. В частности, у нас нередко смешивают формализм математических знаний с явлением отрыва математической теории от практики. Это последнее явление, также распространенное в нашем школьном обучении, является, конечно, подобно формализму, его тяжелым пороком. Однако смешение этих двух недостатков, неотчетливое понимание имеющихся между ними существенных различий принесло бы только вред делу борьбы с обоими дефектами. Необходимо поэтому подвергнуть исчерпывающему анализу вопрос о взаимоотношении между формализмом и отрывом теории от практики в математической подготовке учащихся.

Дело обстоит, при некотором, вполне допустимом в данный момент упрощении, следующим образом. В математике, как во всякой науке, исходным источником знания, первой ступенью его, служит внешний мир, объективная материальная действительность; абстрагированные от нее отношения и формы, т. е. содержательные математические понятия и закономерности, образуют в в построении здания математики его вторую ступень; наконец, используемые математикой в целях научного анализа внешние выражения этих понятий и закономерностей, весь арсенал ее формально-символических записей, дефинитивно-четких словесных формулировок и наглядных образов составляют собой третью, внешне-формальную ступень этого здания. Первая ступень есть для математики источник ее исследований; вторая образует собою подлинный предмет этих исследований, а третья служит их орудием. Отрыв теории от практики означает разрыв связи между первой и второй ступенями, отрыв математического исследования от его живого источника — материальной действительности. Напротив, явление формализма есть нарушение правильной связи между второй и третьей ступенью. Орудие исследования

здесь как бы перестает быть орудием и становится самоцелью, а подлинный предмет исследования более или менее выхолащивается. Заучивается и запоминается внешнее, формальное, символическое выражение содержательного математического факта, сам же этот факт либо вовсе отсутствует в сознании, либо присутствует вне всякой связи со своим формальным выражением, никак не ассоциируется с ним в представлении учащегося.

Таким образом, оба явления — и формализм, и отрыв теории от практики — знаменуют собою нарушение правильной связи между различными частями той цепи, которую образуют собою вышеуказанные ступени математического познания. Однако разрыв этой цепи в этих двух случаях происходит в различных ее местах. В то время как отрыв теории от практики означает нарушение связи между первой и второй ступенями, формализм математических знаний состоит в искажении правильного взаимоотношения между двумя высшими ступенями, в неправомерном доминировании третьей, внешне-формальной ступени над второй, математически-содержательной. Само собою разумеется, что, приковывая внимание учащегося к внешнему выражению математических фактов и тем самым отвлекая его от содержания этих фактов, формализм этим косвенным путем делает всю математическую подготовку учащихся и практически бездейственной: третья ступень, будучи оторванной от второй, не может иметь никакого контакта и с первой ступенью — материальной действительностью. Однако непосредственно формализм есть все же отрыв внешнего выражения от математического содержания соответствующего факта, а не от его материального истолкования или воплощения. Поэтому для организации успешной борьбы с формализмом необходимо тщательно избегать смешания его с явлением непосредственного отрыва математической теории от жизненной практики.

Иногда приходится встречаться и с гораздо более тяжелыми недоразумениями в понимании сущности формализма. Так, формализм математических знаний порою смешивают с обязательным для всех ступеней математической науки требованием формально-логической строгости ее умозаключений. Борьбу с формализмом хотят понимать как борьбу за изгнание из школь-

ного преподавания математики требований формальнологической строгости обоснования математических истин. Грубая вульгаризация проблемы, основанное на терминологическом созвучии элементарное смешение здесь настолько очевидно, что вряд ли стоит останавливаться на этих тенденциях. Это похоже на то, как если бы мы в порядке борьбы с идеализмом потребовали изгнания из школьного преподавания всякой идейности.

Еще более вульгарны некоторые выступления, в которых под флагом борьбы с формализмом раздаются обвинения против самой математической науки, преподаваемой в школе: ей ставится в вину абстрактный характер ее понятий и закономерностей. Попытки этого рода следовало бы, во избежание грубых методологических и педагогических искажений, пресечь раз и навсегда.

Согласно классическому определению Энгельса, к которому современная наука почти ничего не имеет добавить, предметом изучения математики служат количественные отношения и пространственные формы материального мира. Эти отношения и формы составляют собой содержание математических понятий — таких понятий, как число, уравнение, функция, предел, точка, линия, угол, треугольник, круг и т. п. Законам материального мира в математике соответствуют связи абстрактно-логического характера между математическими понятиями—математические истины, называемые аксиомами и теоремами. Таким образом, основные понятия математики и основные соотношения между ними рождаются путем абстракции, отвлечения от существующих в реальном, материальном мире количественных отношений и пространственных форм. Обратно, выводы математической науки находят себе интерпретацию в свойствах предметов внешнего мира и применяются к изучению этих предметов и практическому овладению ими. Во всем этом находит себе выражение единство теории и практики в математике. Напротив, внутреннее развитие самой математической науки, логическое развитие ее понятий, дедукция ее закономерностей может происходить и фактически происходит обособленно от первоначальной материальной базы этих понятий и закономерностей, в чисто абстрактном плане. Раздававшееся иногда требование сохранения связи с материальной

интерпретацией на всех этапах математического рассуждения и соответствующие обвинения математической науки в «отрыве теории от практики» следует признать грубой вульгаризацией марксистских установок. Энгельс указывает по этому поводу с предельной ясностью: «Чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношении в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное»1.

После этих соображений, касающихся сущности формализма, мы должны обратиться к вопросу о причинах указанного явления. Причины эти могут, очевидно, корениться либо в характере самого преподаваемого материала (т. е. в том, чему мы учим школьников), либо в методах преподавания (т. е. в том, как мы их учим). Я думаю, все мы согласны с тем, что на самом деле имеют место причины как первой, так и второй группы, и различие мнений может быть лишь в вопросе о сравнительном весе причин этих двух групп. По моему мнению, основные определяющие причины заложены уже в характере программного материала, выбор которого имеет тенденцию стимулировать формальный характер знаний независимо от методов преподавания. Может быть, здесь играет роль не столько самый текст наших программ, сколько традиционное истолкование этого текста, традиционное подчеркивание одних (формальных) моментов за счет игнорирования других (содержательных); впрочем, и недвусмысленное текстуальное содержание программы все же имеет здесь немаловажное значение. Что касается методики преподавания, то и она во многих случаях способствует развитию формалистических тенденций, однако роль ее в этом развитии все же, пожалуй, меньше, чем роль программного материала. Чтобы аргументировать это свое мнение, я приведу теперь ряд важнейших, на мой взгляд, моментов как в программном материале, так и в традиционных методических приемах,— моментов, способных порождать или поощрять формальный характер знаний и навыков учащихся. Приводимые мною моменты должны служить лишь примерными, список их ни в какой мере не претендует на полноту.

1 Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, М., Госполитиздат, 1948, стр. 37.

1. Даже при беглом обзоре наших программ бросается в глаза, что ряд разделов лишен ясной целеустремленности, причем этот дефект в такой мере присущ самому программному материалу, что никакая самая умелая методика преподавания не в силах здесь ничего исправить. В особенности это касается курса алгебры и отчасти курса тригонометрии. Известно, какое значительное место отводится в курсе алгебры так называемым «алгебраическим преобразованиям». Не может быть сомнений в том, что беглое владение алгебраическими преобразованиями входит в число элементарных навыков, обязательных для каждого школьника; но неужели можно признать лучшим способом внедрения этих навыков то, что у нас практикуется,—многомесячное, изо дня в день повторяющееся проведение преобразований ради преобразований, при котором даже не ставится вопрос о том, для чего это нужно. Учащихся без конца заставляют разлагать многочлены на множители, употребляя для этого хитроумнейшие приемы, но никогда не указывая, для чего все это нужно. Мало того, во всем разделе алгебраических преобразований полностью отсутствует какая бы то ни было целевая установка. Ясно, что одно и то же выражение может быть преобразовано весьма многими различными способами; совершенно неясно, какой из них имеется в виду, когда требуется «преобразовать» это выражение; столь же неясно, почему требуется именно этот способ преобразования, а не какой-либо другой; мы не говорим уже о том, что ни в одном случае учащийся не понимает, для чего вообще надо данное выражение преобразовать. То же отсутствие какой бы то ни было общей тенденции мы встречаем и в задачах на доказательство тригонометрических тождеств.

Далее, в пределах школьного курса остается почти бесцельным введение комплексных чисел; эти вычурные и парадоксальные в глазах школьника числа исторически, как известно, лишь с большим трудом и тяжелой борьбой пробили себе дорогу и победили только тогда, когда стала ясной целесообразность и даже необходимость включения их в число объектов математической науки. Но в пределах школьного курса сознание этой необходимости не может стать достоянием учащегося и, как бы мы ни строили преподавание, комплексные

числа останутся для него причудливым разделом курса, лишенным всякой целесообразности.

А как обстоит дело с формулой бинома? Краткое и простое выражение (а + Ь)п зачем-то преобразуется, с помощью весьма сложных рассуждений, в другое, длинное, громоздкое и трудно запоминаемое выражение, которое, однако, велят помнить со всеми подробностями, причем ради этого преобразования предварительно изучается целый абстрактный и трудный раздел — комбинаторика (никаких других приложений и связей в рамках школьного курса не имеющий); ни одного применения эта биноминальная формула в пределах школьного курса себе не находит, и для учащихся, которые в дальнейшем не будут изучать высшей математики, она на всю жизнь останется ярким образцом затраченных впустую больших усилий1.

Следует ли удивляться, что при таком положении школьное преподавание математики становится рассадником формализма? Можем ли мы рассчитывать, что при самом хорошем преподавании в сознание учащихся прочно и по существу войдут такие математические понятия, закономерности и приемы, цель введения которых остается непонятной, которые не возбуждают самостоятельного интереса, не импонируют непосредственно своей значительностью и в то же время в пределах школьного курса не имеют сколько-нибудь значительных связей и применений? Думать так явно означало бы не считаться с элементарнейшими законами психологии познания. Ведь и мы, научно работающие математики, хорошо знаем по своему личному опыту, что от усвоенных нами в прошлом такого рода научных фактов в нашей памяти в лучшем случае остались только их внешние, формальные выражения. Тем более невозможно заставить прочно укорениться в еще неокрепшем сознании школьника такой математический факт, который по своему положению в программе не может вызвать в нем заинтересованности, с которым учащийся не может активно и целе-

1 Хорошо было бы, по нашему мнению, в программу вместо этой формулы (или хотя бы наряду с ней) ввести элементы теории вероятностей — живой, с формальной стороны предельно простой материал, являющий собой гораздо более убедительное применение формул комбинаторики и вместе с тем допускающий сколько угодно прямых практических иллюстраций.

устремленно работать. Сознание ученика с психологической неизбежностью идет в таких случаях по линии наименьшего сопротивления — он старается сохранить в памяти хотя бы внешние, формальные выражения ускользающих от него по своей неактуальности научных закономерностей.

2. За последние годы некоторые из важнейших вопросов курса алгебры, остававшиеся прежде распыленными среди различных разделов программы, были выделены в самостоятельные темы. Сюда относятся учение о функциональной зависимости, теория неравенств и исследование уравнений. Это выделение явилось следствием признания особой важности выделяемых вопросов и имело целью сделать изучение их более систематическим, а соответствующие знания учащихся — более прочными и глубокими. Однако эффект проведенной реформы оказался прямо противоположным ожидаемому. Причины этого весьма убедительно вскрыл в своей диссертации один из наших лучших методистов—И. Ф. Слудский. Оказывается, наши учителя в массе поняли это выделение как запрещение говорить об этих вещах в других частях курса. Что же получилось? Все мы знаем, в какой мере почти все разделы элементарной математики, будучи освещены и проникнуты идеей функциональной связи, выигрывают в доходчивости, наглядности, конкретной ясности, действенности и привлекательности. А тут — уравнения первой степени без линейной, функции, уравнения второй степени без квадратичной функции, логарифмы без логарифмической, обобщенные показатели без показательной функции; даже в тригонометрии функциональная точка зрения в значительной мере выхолащивается. Это изъятие из многоразличного материала наших программ как раз того элемента, который согревал его теплым дыханием жизни, живой и конкретной динамикой, с неукладывающейся ни в какие застывшие, мертвые схемы текучестью, — этот недальновидный маневр с неизбежной закономерностью повпек (и до сих пор влечет) за собой значительную формализацию подхода к основным темам программ курсов алгебры и тригонометрии и тем самым способствовал формализму математических знаний учащихся.

То же самое, хотя и в несколько меньшей степени, относится и к теории неравенств, и к исследованию урав-

нений. Мы имеем здесь снова два таких круга идей, присутствие которых в любом разделе курса придает ему значительную конкретность и содержательность. А между тем мы знаем примеры того, что наши учителя считают себя не в праве пользоваться в VII классе знаками > и < (которые с пользой можно было бы ввести в постоянное употребление уже с I—II классов) на том основании, что «неравенства проходятся позже». Исследование уравнений должно было бы сопровождать решение этих уравнений на всех этапах курса. В какой мере такой путь способствует повышению конкретности и привлекательности задач на решение уравнений, убедительно показывает превосходный алгебраический задачник Обера и Папелье1, изданный Учпедгизом, где этот прием последовательно проведен на всем протяжении книги.

3. Переходя теперь к программе курса геометрии, я считаю, в согласии со многими другими высказываниями по этому вопросу, что принятая у нас система, при которой «систематическое» (т. е. претендующее на формально-логическую строгость) изложение геометрии начинается с шестого года обучения, в корне порочна и, в частности, весьма способствует развитию формализма в знаниях учащихся. Во-первых, формально-логические доказательства навязывают здесь учащимся в таком возрасте, когда в них не назрела еще мыслительная потребность, когда наглядное рассмотрение обладает еще исчерпывающей убедительностью. Это насилие над естественным возрастным состоянием сознания ведет лишь к тому, что формально-логическое обоснование предметно очевидных истин воспринимается учащимися как нечто по существу ненужное, как мудрствование, которому приходится следовать лишь в порядке школьной дисциплины, во избежание плохих отметок. Такое положение прежде всего неизбежно подрывает авторитетность преподавания, а затем с той же неизбежностью ведет к тому, что школьник непроизвольно идет в усвоении этих ненужных в его понимании рассуждений но линии наименьшего сопротивления, сохраняя в памяти лишь внешнюю, формальную их структуру. Ведь и мы,

1 П. Обер и Г. Папелье, Упражнения по элементарной алгебре, пер. с французского Е. С. Березанский и Л. О. Зинголь, М., Учпедгиз, 1940 (на обложке год издания 1941). 584 стр. — Б. Г.

научно работающие математики, знаем, как трудно запоминаются доказательства как раз наиболее самоочевидных предложений и какая научная культура требуется для того, чтобы усвоение таких доказательств могло происходить на надлежащем уровне. Во-вторых, принятая у нас система преподавания геометрии ведет к тому, что учащийся, прежде чем перед его глазами предстанут наглядно впечатляющие геометрические образы — круги, эллипсы, многоугольники, цилиндры, призмы, конусы, пирамиды, многогранники, шары и т. д.,—вынужден долго, целыми годами, кропотливо возиться со скучным, дающим лишь весьма скудную пищу геометрическому воображению материалом — параллельными и перпендикулярными прямыми на плоскости, взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве и т. п. Снова и снова мы стоим перед лицом такой ситуации, когда как бы нарочно из преподаваемого на данной возрастной ступени материала выбрасывается все то, что может способствовать живому, активному интересу к предмету, а тем самым и его содержательному, свободному от формализма усвоению, и, напротив, сохраняется и культивируется только то, что может быть усвоено лишь с преодолением вполне естественного в данном возрасте отвращения.

Таковы, на мой взгляд, основные дефекты программного материала, ведущие к формализму математических знаний учащихся. Что нужно и можно сделать для их исправления? Ответ на этот вопрос совершенно ясен из всего предыдущего. Необходимо, во-первых, придать целеустремленность тем разделам курса, где это легко может быть сделано и где этого не сделано до настоящего времени. Прекрасный пример такого рода сдвига представляет собою изложение отдела преобразований рациональных выражений в недавно изданном курсе алгебры Александрова и Колмогорова; здесь с самого начала четко указана общая цель всех такого рода преобразований— приведение любого рационального выражения к отношению двух многочленов; сравнительная простота этого последнего вида в глазах школьника является достаточным мотивом предпринимаемых преобразований, и в каждой отдельной задаче он знает, к чему и для чего он должен стремиться. Те же разделы курса, которые в пределах школы не находят себе достаточных

связей и применений и потому при всем методическом напряжении не могут быть усвоены с достаточной для их эффективности содержательностью и активностью, должны быть пересмотрены с точки зрения возможности их полного удаления из действующих программ. Я беру на себя смелость рекомендовать в этом деле достаточную беспощадность; те из учащихся, которые будут изучать математику в высшей школе, смогут усвоить там и эти выкидываемые разделы с несравненно большей пользой, ибо там они сразу оживут в их сознании, станут действенным орудием их научной работы благодаря большому числу конкретных и убедительных применений.

Во-вторых, необходимо, чтобы идеей функциональной зависимости был проникнут почти весь курс алгебры, заключительная стадия курса арифметики и значительная часть курса тригонометрии. Все мы хорошо знаем, что даже в высшей школе (на математических факультетах университетов и педагогических институтов) нет ни одного курса, который в такой мере способствовал бы изжитию привычек формального отношения к предмету математики, созданию живого интереса и активно-творческого подхода к нему, как именно курс учения о функциях. Причина этого ясна: в теории функций формальный аппарат играет минимальную роль, и тот, чье внимание способно приковываться только к внешнему выражению математических фактов, здесь вообще не сможет ступить ни одного шага; с другой стороны, динамическая природа идеи переменной величины по самой сущности своей наилучшим образом приспособлена к тому, чтобы ломать любые застывшие формы; именно с этой идеей, как это было неоднократно высказываемо основоположниками марксизма, в математику входит диалектика — это лучшее орудие борьбы против всех формалистических уклонов. Подобным же образом оперирование с неравенствами должно пронизывать собою весь курс математики, ибо уже самые понятия «больше» и «меньше» необходимо ассоциируются в сознании учащихся с вполне конкретными, жизненно полнокровными представлениями. Знаки неравенства и простейшие свойства неравенства могут быть усвоены уже на самой ранней ступени обучения, и их усвоение при методически правильном подходе, несомненно, должно дать полноценный

эффект. Решение же неравенств, содержащих неизвестные, должно проводиться параллельно с решением уравнений соответствующих степеней. Исследование уравнений точно так же должно быть проводимо на протяжении всего курса в связи с их решением. В особенности решение всякого буквенного уравнения, сопровождаемое детальным исследованием, примет благодаря этому содержательно-конкретный облик и окажется с необходимостью вырванным из тех формальных рамок, в которых оно могло бы застыть без такого исследования. Интересно еще отметить, что выделение задачи исследования уравнения в особняком стоящую тему неправомерно уже потому, что ни один учебник не дает— и не может дать — вразумительного ответа на вопрос о том, что такое исследование уравнений; фактически под этим термином в различных случаях разумеются совершенно различные задачи, которые никак не удается включить в единую общую схему.

Наконец, в-третьих, я считал бы необходимым внести довольно радикальные изменения в порядок преподавания геометрии. В семилетней школе курс геометрии должен начинаться как можно раньше, во всяком случае в пределах начальных классов, и продолжаться до окончания семилетки1. Структура этого курса должна определяться предметными и педагогическими, а не логическими соображениями. Нет никаких препятствий к тому, чтобы дети в рамках этого курса уже на самой ранней ступени знакомились с простейшими свойствами многогранников, круглых тел и т. п.2 Разумеется, в основе этого курса должен лежать открытый и принципиальный отказ от требования формально-логических доказательств. Это не значит, что доказательств всюду следует избегать; но вводить их нужно с большой осторожностью и постепенностью и только в тех пунктах, где учащиеся способны ощутить в них потребность; ясно, что дело это требует углубленной подготовки и большого педагогического такта. Вначале логические доказательства полностью отсутствуют, в дальнейшем они начинают встречаться, сперва редко, потом все чаще и чаще. И только

1 В ту пору, когда писалась эта статья, было обязательное семилетнее образование. — Б. Г.

2 В программу восьмилетней школы эти разделы включены.— Б. Г.

не ранее VIII класса я считал бы возможным начать так называемый «систематический» курс геометрии, где все заключения должны быть логически обоснованы. Я не сомневаюсь, что при таком построении курса геометрии (которое, кстати сказать, отнюдь не является методической новинкой, но нередко встречается в зарубежной школе) тяжелые явления формализма геометрических знаний встречались бы значительно реже, чем мы это наблюдаем теперь.

Переходим к рассмотрению вопроса о том, какие из господствующих методических традиций могут способствовать развитию формалистических тенденций и как они должны быть изменены для того, чтобы знания учащихся могли обрести максимальную предметность и действенность. Кое-что в этом направлении уже вытекает из предыдущего. Мы слишком мало заботимся о том, чтобы цель производимых математических операций, усваиваемых понятий и закономерностей в каждый момент ясно стояла перед глазами учащихся. В тех же случаях, когда целевая установка и содержательное значение изучаемого раздела курса, как нам кажется, достаточно разъяснены учащимся, мы слишком часто успокаиваемся на этом и не видим необходимости при решении отдельных задач или доказательств отдельных теорем вновь и вновь подчеркивать эту целевую установку, отмечать роль и значение доказываемой теоремы в общем плане раздела, выяснять ее связи и взаимоотношения с другими, ранее усвоенными понятиями, предложениями, задачами. А между тем на все это нельзя жалеть ни времени, ни усилий, ибо наличие в сознании учащихся ясного представления о роли и месте различных звеньев изучаемой теории в общем ее виде всегда в сильной степени способствует предметному, содержательному усвоению и запоминанию этих отдельных звеньев. Понимать «что к чему» — это уже солидная прививка против формализма.

Однако главное все же не в этом. Внимательно анализируя свой личный опыт, все мы единодушно сходимся на том, что реально и действенно сохраняются в нашей памяти с неизменной регулярностью только те научные факты, которые в свое время становились для нас предметом или орудием нашей собственной работы, нашей творческой активности. Книга или статья, хотя бы триж-

ды внимательно прочитанная, неизбежно быстро будет забыта, если материал ее был воспринят только пассивно, если содержание ее не стало для нас сырьем или орудием нашей собственной активной, творческой работы.

Лично у меня под действием многолетнего опыта давно уже сложилось обыкновение работать над изучаемым материалом следующим образом. Если я заинтересован в том, чтобы по существу, а не только формально усвоить и сохранить в памяти содержание какой-нибудь научной статьи, я, прочитав, откладываю ее в сторону и с бумагой и карандашом стараюсь воспроизвести ее содержание, по возможности заменяя ходы мысли автора другими, более мне свойственными и привычными, обязательно вводя всюду новые, представляющиеся мне более удобными или естественными обозначения и перефразируя, а иногда и несколько изменяя формулировки отдельных предложений; иногда при этом я выделяю отдельные цепи рассуждений в особые леммы. После того как все это в той или другой мере удалось мне, я начинаю размышлять над тем, какие новые задачи встают в связи с результатами усвоенной мной статьи. Все возникшие в моем воображении задачи я тщательно записываю в виде вопросов и пытаюсь их разрешить, продолжая эти попытки до тех пор, пока мне не удается нащупать степень трудности каждой из поставленных задач. Только после того, как проделана вся эта работа, я получаю некоторую гарантию того, что содержание усвоенной мной статьи в нужный момент встанет в моей памяти как годное к употреблению рабочее орудие, а не будет обременять ее мертвым грузом, лишь формально усвоенным и ни для какого полезного применения не пригодным.

Я не хочу, конечно, сказать, что этот путь при изучении программного материала должен проделываться школьником. Я привел его детальное описание только с целью показать, что даже в восприятии ученого-специалиста прочно и содержательно укладывается только то, над чем он активно работал. Совершенно ясно, что с несравненно большим основанием это правило должно иметь место в отношении неокрепшего и невышколенного воспринимающего аппарата ребенка. Учащийся сам этого не знает, у него нет еще опыта, и в «зубрежке» мы должны обвинять не его, а учителя. Иной усердный

школьник много раз подряд перечитывает один и тот же материал, с огромным напряжением стараясь как можно лучше его запомнить, так что наконец заучивает поневоле наизусть целые абзацы, а через неделю оказывается, что все содержание заученного целиком выветрилось из его памяти и остались в ней только мертвые, наизусть заученные фразы или формулы. И мы совершаем методическое преступление, если не руководим с надлежащим педагогическим тактом и умением его работой над усвоением материала. Все наши педагогические усилия должны быть направлены на то, чтобы в максимально возможной мере заставить школьника усваивать материал в порядке активной работы над ним, всеми средствами насыщая эту работу элементами самостоятельности и хотя бы самого скромного творчества и твердо памятуя, что самая усердная, самая усидчивая и напряженная работа учащегося не даст ему ничего, кроме мертвого, формального знания, если она будет состоять в одном только пассивном восприятии. Учащийся должен учиться только в процессе изыскания, интеллектуально активного труда, самостоятельно преодолевая трудности,— в этом единственная, но зато абсолютно надежная гарантия того, что знания его не будут только формальными.

Вопрос о том, как всего этого достигнуть в применении к данному программному материалу, есть, на мой взгляд, центральная проблема методики любой из школьных дисциплин. Я не собираюсь, конечно, заниматься здесь решением этой проблемы; такое решение может быть достигнуто лишь многолетним трудом большого коллектива вдумчивых методистов. Есть, однако, отдельные методические приемы, которыми у нас почти неизменно пренебрегают и которые тем не менее, как мне кажется, могли бы при достаточно широком их применении значительно содействовать успешному разрешению поставленной задачи. Об этих-то приемах мне и хочется сказать.

Мы должны стараться всеми мерами, даже в самых, казалось бы, незначительных деталях, стимулировать и поощрять, по возможности даже провоцировать всякое проявление самостоятельности в подходе учащихся к изучаемому предмету. Для школьника должно стать привычкой выбирать обозначения, отличные от приве-

денных в учебнике или употребленных учителем, располагать чертеж иначе, чем это сделано в учебнике; всего этого можно прямо требовать, и некоторые из наших лучших учителей так и делают. Надо приветствовать и поощрять (а не пресекать, как это сплошь и рядом у нас делается) самостоятельные перефразировки в определениях и формулировках теорем (при условии, конечно, полной безукоризненности этих перефразировок); внесение же учеником самостоятельного элемента в какое-либо рассуждение или изобретение оригинального метода решения задачи должно отмечаться перед всем классом как существенное достижение. Казалось бы, все это правильно, а на самом деле, как мы еще далеки от всего этого! Ведь у нас нередки случаи, когда не только ученику, но и учителю запрещают доказывать теорему иначе, чем это сделано в учебнике. У нас учитель, как правило, требует от ученика, чтобы все задачи данного раздела решались одним и тем же трафаретным приемом, всякая самостоятельность в этом направлении пресекается.

Без сомнения приносит вред укоренившаяся у нас традиция стандартизации обозначений. Достаточно немного подумать, чтобы представить себе, насколько мы продвинулись бы в пути борьбы против формализма в решении уравнений, если бы наши ученики приступили к решению системы уравнений с неизвестными a, b или k, I с такой же непринужденностью, как они это делают, когда неизвестные обозначены через х и у; если бы я составлял задачник по алгебре, я в каждом новом уравнении обозначал бы неизвестные иначе, чем в предыдущем. А ведь у нас в арифметике есть даже термин «задачи с иксом», на всякое математически культурное ухо производящий впечатление доходящей до скандала вульгарности. Совсем не надо всегда обозначать через ап общий член прогрессии; пусть в другом случае это будет tr или uk.

Надо как можно меньше требовать от учащихся заучивания наизусть. Полезно наизусть заучивать стихи. В математике же учить наизусть определения и формулировки предложений обязательно лишь на ранней ступени обучения; как только учащийся в своем развитии достигает возможности формулировать что-либо «своими словами»,— надо не только предоставить ему это

право, но и прямо вменить ему это в обязанность. В одном и том же классе пусть учащиеся, умеющие что-либо формулировать самостоятельно, обязательно делают это, а те, кто не умеют, пусть учат наизусть, причем учитель должен дать понять, что достижения первых ценнее и выше, чем последних,— это вызовет здоровое и полезное соревнование. Особенно тяжелое впечатление производит массовое заучивание наизусть таких «определений», которые представляют собой не определения, а ни на что не претендующие описания («определения» числа, точки, линии, угла и др.).

Читатель может выразить сомнение в том, насколько эффективными могут оказаться сдвиги в таких сравнительно мелких моментах, как обозначения, формулировки и т. п. Я думаю, что пробуждение самостоятельности в этих «мелочах», составляя собою, конечно, только самую элементарную ступень учительской заботы об активном подходе школьников к предмету, в то же время имеет уже само по себе достаточно важное значение. На этих «мелочах» воспитывается характер ученика, воспитывается в нем привычка отвечать пусть несложной, но все же активной работой собственной мысли на каждый поставленный вопрос. Ответить заученное определение можно, ничего в нем не понимая; но нельзя своими словами определить или хотя бы описать понятия, которыми сознание не владеет по существу. Ученик, умеющий доказать теорему при любом расположении чертежа, тем самым обнаруживает, что усвоил ее подлинное геометрическое содержание. Во всех этих случаях мы сделали уже немаловажный шаг на пути борьбы с формалистическими тенденциями.

Другим важным орудием борьбы за предметность знаний должно стать некоторое изменение характера требований на экзаменах. Вопросы должны ставиться так, чтобы удовлетворительный ответ на них мог быть дан только при условии содержательного, а не формального усвоения предмета. Смысл этого требования очень прост и выполнить его нетрудно; поясню это примером. Несколько лет назад мне пришлось присутствовать на выпускных экзаменах по алгебре в одной из московских школ. Ученица, в билете которой стояла формула бинома, выписала на доске длинную цепь равенств. Учитель, бегло просмотрев заданное сказал: «Это у вас верно,

сотрите». Я вмешался и попросил объяснить, каким образом из первого равенства следует второе, из второго — третье и т. д. Ни на один из этих вопросов я не получил ответа, хотя ждал его довольно долго. Я имею основание считать, что такой формализм требований стал у нас довольно типичным явлением и не только на экзаменах, но и на уроках. Стоит ли говорить о том, что это с необходимостью влечет за собой и формальный характер знаний! Не ясно ли, что если ученик будет знать, что на уроке и на экзамене от него потребуют содержательного, а не только формального овладения предметом, то и в своей собственной работе он должен получить стимул к значительному сдвигу в сторону понимания по существу? Всегда и везде вопросы должны ставиться так, чтобы ответ с исчерпывающей ясностью показывал, действительно ли ученик знает то, о чем его спрашивают, или он только заучил наизусть ряд символических записей или словесных выражений; и очень важно, чтобы учащиеся заранее знали, что вопросы будут ставиться именно таким образом и с таким расчетом.

Мне остается напомнить читателю то, о чем я просил его в самом начале: смотреть на этот мой скромный труд лишь как на первый вклад в большое и трудное дело изучения сущности и источников формализма в математических знаниях учащихся, в деле изыскания эффективных приемов борьбы против этого основного порока в математической подготовке, даваемой нашей средней школой. Я не мог и не хотел дать ничего окончательного. Я хотел бы, чтобы то, что сделано мною, вызвало побольше критических откликов и чтобы в ходе возникшей дискуссии наметилось такое решение стоящих в этом деле задач, которое действительно позволило бы преодолеть тяжелый порок формализма и тем самым существенно повысить качество математической подготовки учащихся.

О ВОСПИТАТЕЛЬНОМ ЭФФЕКТЕ УРОКОВ МАТЕМАТИКИ1

Математика, в отличие от большинства других преподаваемых в школе дисциплин, имеет предметом своего изучения не непосредственно вещи, составляющие собою окружающий нас внешний мир, а количественные отношения и пространственные формы, свойственные этим вещам. Этой особенностью математической науки в первую очередь объясняются те хорошо известные методические трудности, которые неизбежно встают перед преподавателем математики и которых почти не знают преподаватели других наук: перед учителем математики стоит нелегкая задача — преодолеть в сознании учеников со стихийной неизбежностью возникающее представление о «сухости», формальном характере, оторванности от жизни и практики его науки. Об этом написано много ценного и полезного, и мы хорошо знаем, как справляются с этой задачей лучшие мастера нашей школы.

Но этой же особенностью математической науки в значительной мере объясняется и специфика задач, встающих перед учителем математики, который хочет использовать преподавание своей науки в воспитательных целях. Ясно, что и здесь стоящая перед ним задача труднее,

1 Сборник «Математическое просвещение» № 6, стр. 7—28, М., Физматгиз, 1961, а также «Математика в школе», 1962, № 3, стр. 30—44.

чем в случае большинства других наук. Ибо научная дисциплина, занятая изучением не самих вещей, а лишь отношений между ними и потому необходимо требующая подъема на некоторую ступень абстракции,— такая дисциплина, очевидно, лишь в редких случаях способна давать учителю повод к эффективному воздействию на формирование характера и мировоззрения учащихся, на регулирование их поведения. Этим, несомненно, объясняется то, что в исследованиях, посвященных вопросам воспитательной функции школьного обучения, об уроках математики обычно вовсе не говорится или говорится очень мало.

То немногое, что написано по этому поводу, в основном не вызывает возражений. Дело сводится обычно к двум рычагам воспитательного воздействия: с одной стороны — говорится, что специфическая для математики логическая строгость и стройность умозаключений призвана воспитывать в учащихся общую логическую культуру мышления; с другой — указывается, что предметно-содержательное оснащение математических задач при надлежащем его выборе дает широкий простор для сообщения цифр и данных, способных значительно расширить кругозор учащихся, поднять их общий культурный уровень и содействовать мировоззренческому и патриотическому моментам в их общем идейно-политическом воспитании.

Это, бесспорно, верно, но, я думаю, далеко не все. Прежде всего здесь совершенно не затрагиваются важнейшие задачи морального воспитания, для которых, как мне представляется, уроки математики дают весьма ощутительные возможности. Далее, важная задача воспитания логической культуры мышления, которой обычно уделяется много внимания, тем не менее трактуется в большинстве случаев трафаретно, поверхностно и недостаточно расчлененно; приводимые примеры часто не выходят за рамки вульгарного шаблона и потому очень мало эффективны.

Наконец, воспитывающее воздействие данных, приводимых в «текстовых» задачах, хотя и должно всемерно быть использовано, но с математическим содержанием урока связано лишь весьма внешним образом. Ясно, что здесь воспитывающее влияние призвана оказывать не сама математика, не ее законы и ее стиль, а те привя-

занкые к ней чисто внешним образом данные, которые обрамляют собою «текстовые» задачи и которые без всякого изменения математического содержания задачи могли бы быть заменены любыми другими аналогичными данными. Понятно поэтому, что этот рычаг воспитывающего воздействия, будучи важным и действенным, не может считаться в прямом смысле принадлежащим самой преподаваемой в школе математической науке.

Все приведенные соображения показывают, что вопрос о воспитательном значении уроков математики у нас разработан еще далеко не достаточно. Предлагаемая статья ставит себе целью несколько осветить этот вопрос. Для этого я в дальнейшем кратко рассмотрю ряд моментов, которые, насколько я могу судить, при изыскании возможностей воспитательного влияния урокоз математики до сих пор либо совсем оставлялись без внимания, либо рассматривались лишь поверхностно.

КУЛЬТУРА МЫСЛИ

Правильность мышления

Роль и значение математики в воспитании навыков закономерного и безошибочного мышления в такой мере всеми признана, что нередко приходится встречаться с утверждениями, будто приучение к строгому в логическом отношении ходу мыслей есть первая и основная задача учителя математики, так что в сравнении с нею даже ознакомление учащихся с самим содержанием математической науки отодвигается на второй план (что, несомненно, следует признать уже вредным перегибом). Однако именно потому, что эта воспитательная функция уроков математики приобрела характер банальности, в этом направлении мы слышим много высказываний, приводимых по готовому трафарету, без достаточного обдумывания. В результате внимание сосредоточивается на небольшом числе привычных (а подчас и набивших оскомину) хотя и важных, но по своему значению частных и узких вопросов, вроде, например, уже пресловутого различения между прямыми и обратными теоремами. Между тем оставляются в тени вопросы гораздо более принципиального значения.

Я думаю, что основным моментом воспитательной функции математического образования — моментом, который в значительной степени обусловливает собою все остальное,— служит приучение учащихся к полноценности аргументации.

В обыденной жизни, даже в «любительских» (не строго научных) принципиальных спорах, мы, защищая какое-либо утверждение, довольствуемся обычно одним-двумя аргументами, говорящими в его пользу. Противник может привести в ответ несколько аргументов, говорящих против нашего утверждения. Однако обычно ни та, ни другая аргументация не бывает исчерпывающей; противники продолжают изыскивать новые аргументы, каждый в пользу своей точки зрения, и спор продолжается.

Примерно так же протекают и научные дискуссии в тех областях знания, которые не входят в число так называемых «точных» наук; конечно, аргументация здесь бывает уже, как правило, более полной, чем в обыденных спорах; но почти никогда не удается сделать ее исчерпывающей, не допускающей никаких возражений и тем самым ликвидирующей самую дискуссию.

Иначе обстоит дело в математике. Здесь аргументация, не обладающая характером полной, абсолютной исчерпанности, оставляющая хотя бы малейшую возможность обоснованного возражения, беспощадно признается ошибочной и отбрасывается как лишенная какой бы то ни было силы. В математике нет и не может быть «наполовину доказанных» и «почти доказанных» утверждений: либо полноценность аргументации такова, что никакие споры о правильности доказываемого утверждения более невозможны, либо аргументация вообще отсутствует.

Изучая математику, школьник впервые в своей жизни встречает столь высокую требовательность к полноценности аргументации. Вначале она удивляет, отталкивает, пугает его, кажется ему излишней, сверхмерной, педантичной. Но постепенно, день за днем, он к ней привыкает. Хороший учитель много может сделать для того, чтобы этот процесс протекал и быстрее и продуктивнее. Он приучит своих учеников к взаимной критике; когда один из них что-либо показывает или решает какую-либо задачу перед всем классом, все остальные

должны напряженно искать возможных возражений и немедленно их высказывать. Ученик, который «отобьется» от всех таких возражений, заставит умолкнуть всех своих критиков, неизбежно испытает законную радость победы. Вместе с тем он ясно почувствует, что именно логическая полноценность аргументации была тем оружием, которое дало ему эту победу. А раз почувствовав это, он неизбежно научится уважать это оружие, стараться, чтобы оно всегда было при нем. И, конечно, не только в математических, но и в любых других дискуссиях он все больше и настойчивее будет стремиться к полноценности аргументации. Каждый раз перед ним будет вставать задача — по возможности обезоружить своих противников, в полной мере используя весь запас аргументов, какие вообще мыслимы в данной ситуации.

Этот воспитывающий процесс имеет решающее значение для логической культуры мышления,— в особенности, если учесть, что учащийся привыкает быть беспощадно требовательным к полноценности аргументации не только в споре, но и в своем одиноком мышлении. Процесс этот протекает повседневно на наших- глазах у многих тысяч школьников. Он неизбежно возникает и идет своим путем без нашего специального вмешательства, но это не значит, конечно, что мы вправе предоставить его такому самотеку; в нашей власти сделать его и более быстрым, и более полным по богатству и прочности достижений; а раз мы можем, то мы, очевидно, и должны это делать: вопрос о том, какими приемами наиболее эффективно можно добиться этих целей, есть уже методическая задача, которую мы не можем здесь детально рассматривать.

Общий принцип борьбы за полноценность аргументации получает в ходе интеллектуального развития учащегося целый ряд типичных по своей форме конкретных разновидностей, важнейшие из которых мы теперь перечислим.

Борьба против незаконных обобщений. Натуралист, подметив наличие какого-либо свойства (признака) у ряда особей данного вида, с чистой научной совестью объявляет этот признак общим для всего рассматриваемого вида; и никто не упрекнет его за это,— такого рода индуктивные заключения составляют собою один из основных методологических стержней естественных наук.

Конечно, и в этих науках координирующая и осмысливающая теоретическая мысль возможна и необходима; но как исходным пунктом, так и решающей проверкой всякого заключения здесь всегда остаются наблюдение или опыт, осуществляемые над отдельными экземплярами.

В математике дело обстоит принципиально иначе. Если мы проверили, что несколько десятков (или хотя бы и несколько миллионов) наудачу выбранных нами треугольников обладают каким-нибудь свойством, мы еще не вправе признать это свойство принадлежащим всем треугольникам. Такое заключение было бы не до конца обоснованным, а в математической науке все, что не обосновано до конца, расценивается как абсолютно необоснованное. Только исчерпывающее общее доказательство может дать уверенность в том, что данный признак действительно является общим свойством всех треугольников.

Чему же может и должна научить школьника та суровая критика по адресу не вполне обоснованных обобщений, с какою он встречается в математике? Конечно, он не должен стараться переносить такого рода требования на выводы других наук, и тем более на практические жизненные ситуации. Требование абсолютной полноты индукции специфично для математического метода и совершенно невыполнимо ни в естественных науках, ни в практической жизни. Но привычка с критической тщательностью проверять законность всякого обобщения, привычка твердо помнить, что замеченное во многих случаях еще не обязано тем самым иметь место во всех случаях и что закономерности, установленные на основе (хотя бы и многих) единичных наблюдений и опытов, требуют поэтому все новой и новой проверки — все эти важнейшие методологические навыки, необходимые в любой научной и практической деятельности, в значительной степени воспитываются и укрепляются вместе с повышением математической культуры.

Это — процесс, который мы каждодневно видим происходящим на наших глазах.

Борьба против необоснованных аналогий. Заключения по аналогии служат обычным и законным приемом установления новых закономерностей как в эмпирических науках, так и в обыденной жизни. Если, допустим,

естествоиспытатель помнит, что все встречавшиеся ему до сих пор виды, обладавшие признаками Л и Б, обладали также и признаком ß, и если он нашел новый вид, у которого обнаружены признаки А и 5, то он, естественно, заключит, что этот новый вид обладает также и признаком В. Такое заключение по аналогии значительно выигрывает в убедительности, если к чисто эмпирическим данным, описанным выше, присоединяются, как это часто бывает, какие-либо теоретические соображения, заставляющие предполагать, что совместное наличие признаков А, Б и В является не случайным, а обоснованным теми или другими общими принципиальными соображениями. Но только в математике возможно — и вместе с тем совершенно необходимо — требовать, чтобы эти принципиальные соображения были доведены до степени исчерпывающего доказательства. Либо мы со всей строгостью доказали, что из наличия признаков А и Б с неизбежностью вытекает и наличие признака ß; либо, если нам не удалось доказать этого с исчерпывающей полнотой, нам запрещается делать из наличия признаков А и Б какие бы то ни было выводы относительно признака В. Но в первом случае (т. е. когда доказана теорема «из А и Б следует ß») простое применение этой общей теоремы к конкретным частным случаям уже вряд ли может быть названо «заключением по аналогии». Будет, таким образом, правильно сказать, что в математике заключения по аналогии категорически запрещены (что не должно, конечно, умалять огромного эвристического значения заключений по аналогии), в то время как в эмпирических науках и практической деятельности заключениям по аналогии принадлежит почетная роль одного из основных приемов вывода новых закономерностей. Поэтому снова встает вопрос о том, что же в этом отношении могут дать уроки математики для воспитания общей культуры мышления. И снова приходится ответить на это то же, что и прежде: математическая вышколенность ума, привыкшего к тому, что заключение по аналогии может служить лишь эвристическим приемом, который сам по себе еще не имеет доказательной силы, неизбежно приучает прошедшего эту школу человека и во всех других областях мышления относиться к такого рода заключениям с большой осторожностью, памятуя, что во всех таких случаях нельзя без основательной про-

верки считать полученное заключение твердо установленным. Каждый из нас испытал в свое время на себе воспитывающее влияние этой особенности математического мышления, и каждодневно мы наблюдаем, как влияние это содействует повышению мыслительной культуры наших воспитанников. Критическое отношение к заключениям по аналогии есть один из важнейших показателей, отличающих правильно воспитанное научное и практическое мышление от первобытного, обывательского; и занятия математикой всегда служат одним из основных средств воспитания этого важнейшего показателя.

Борьба за полноту дизъюнкций1. Когда математик доказывает какое-либо общее свойство всех треугольников, то иногда ему приходится проводить доказательство отдельно для косоугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников. Известно, как часто в таких случаях начинающие делают ошибки, в особенности в тех случаях, когда рассуждение сопровождается ссылкой на чертеж; чертится, например, косоугольный треугольник, и рассуждение опирается на добавочные построения, которые либо невозможны, либо теряют доказательную силу, если выбранный треугольник имеет тупой угол. В математике такое рассуждение признается ошибочным, так как здесь нарушено основное требование полноты дизъюнкции — не предусмотрены все возможные разновидности данной ситуации, одна из них выпала из поля зрения.

В обыденных, не научных рассуждениях это требование нарушается на каждом шагу. Рассмотрев две-три наиболее часто встречающиеся или наиболее бросающиеся в глаза разновидности данной ситуации и убедившись, что в каждом из этих случаев мы неизбежно встречаемся с некоторым событием Л, мы заключаем, что это событие А сопутствует данной ситуации во всех случаях, хотя на самом деле данная ситуация может иметь, кроме двух-трех изученных нами, еще десяток других разновидностей, и среди этих разновидностей, скинутых нами со счета, могут быть и такие, в которых наступление события А вовсе не обязательно. Мы говорим, например, что ученика Иванова вообще нельзя

1 Дизъюнкция — разделение. — Б. Г.

дисциплинировать, потому что на него испытанным образом не действует ни ласка, ни угрозы. Мы забываем при этом, что лаской и угрозами не исчерпываются еще все разновидности приемов дисциплинирующего воздействия, что существует еще, например, метод спокойного убеждения и что, стало быть, наша дизъюнкция страдает неполнотой. Мы часто наблюдаем, как начинающий, рассмотрев при исследовании какого-нибудь уравнения случай, когда некоторый данный коэффициент положителен, а затем — случай, когда этот коэффициент отрицателен, тем самым считаем, что он провел исследование во всех случаях, забывая, что изучаемый коэффициент может оказаться равным нулю. Здесь также мы видим неполноту дизъюнкции, которая может привести и фактически приводит к тяжелым ошибкам в выводах.

В противоположность тем двум требованиям, которые мы рассматривали выше, требование полноты дизъюнкции, учета всех возможных разновидностей изучаемой ситуации является необходимой принадлежностью не только математического, но и всякого правильного мышления. Аргументация, в которой не учтены все имеющиеся возможности, всегда оставляет место для законных возражений и потому не может быть признана полноценной. Военачальник, предпринимая какой-либо маневр, при учете его последствий должен предвидеть все возможные ответы врага; просмотр хотя бы одного из них может оказаться гибельным.

Юридический кодекс в каждой статье обязательно должен охватывать все мыслимые разновидности данной ситуации, иначе он ставит судью перед необходимостью решать дела по своему произволу.

Но нигде требование безукоризненной чистоты дизъюнкций не выставляется так явно и категорически, как в математике; и никто не обрушивается с такой быстротой и беспощадностью на замеченный просмотр в дизъюнкции, как вышколенный математик. Вот почему уроки математики должны воспитывать и действительно воспитывают в мышлении учащихся этот важнейший закон правильного рассуждения в несравненно большей мере, чем занятия другими предметами.

Борьба за полноту и выдержанность классификации. Классифицирует не только ученый теоретик в своем кабинете; классификацией приходится очень часто зани-

маться и практическому работнику — инженеру, врачу, учителю, статистику, агроному. Общеизвестно, что невышколенный ум склонен допускать, производя классификацию, ряд типических ошибок; наиболее распространенными из таких ошибок являются нарушение полноты классификации и нарушение ее выдержанности, единопринципности. Нарушение полноты классификации состоит в том, что остаются понятия, не входящие ни в один из названных классов, и что, стало быть, названы не все классы. Простые примеры: на вопрос «какие ты знаешь растения?»— школьник отвечает «травы и деревья», забывая о кустарниках, лишаях и многих других типах; войсковые части делятся на сухопутные, водные и воздушные (упускаются интендантские, части связи и многие другие); натуральные числа делятся на простые и составные (упускается число 1); вещественные числа делятся на положительные и отрицательные (упускается нуль).

Требование полноты классификации формально аналогично рассмотренному нами выше требованию полноты дизъюнкции, но, конечно, отлично от него по содержанию. Там шла речь об обязательности охвата всех могущих возникнуть ситуаций, здесь же — о необходимости перечисления всех разновидностей некоторого понятия. Но здесь, как и там, явно и неукоснительно требование полноты классификации провозглашается в математике преимущественно перед всеми другими науками, и потому уроки математики более всех других воспитывают в школьнике этот обязательный элемент правильного мышления.

Требование выдержанности классификаций состоит в том, чтобы она проводилась по единому принципу, по единому признаку. Это требование, при строго правильном мышлении совершенно обязательное, очень часто нарушается не только в обывательских рассуждениях, но и в серьезной практике. Вот простые примеры такой невыдержанной классификации: суда делятся на весельные, парусные, моторные и военные; очевидно, классификация начата по принципу различных движущих сил, и последняя рубрика этот принцип нарушает; другой пример: обувь подразделяют на кожаную, брезентовую, резиновую и модельную — та же картина. Конечно, подобного рода перечисления не всегда претендуют на

роль классификации, и в таких случаях соблюдение единого принципа не обязательно (например, объявление: завод приглашает на работу плотников, штукатуров, женщин и подростков). Но во всех случаях, когда такому перечислению приписывается классифицирующая функция, невыдержанность разделяющего принципа вызывает такую неотчетливость всей схемы, которая может привести и к теоретическим смешениям, и к практической путанице. Поэтому логически вышколенный ум всегда ощущает недостаток выдержанности классификации как существенный дефект рассуждения. И снова наиболее чувствительна к этому дефекту математическая наука, и поэтому именно на уроках математики школьник преимущественно развивает в себе эту потребность видеть всякую классификацию выдержанной, построенной на едином классифицирующем принципе.

Я перечислил те моменты в борьбе за правильность мышления и полноценность аргументации, которые представляются мне наиболее важными. Как уже было сказано выше, я не могу входить в этой статье в обсуждение тех методических приемов, с помощью которых учитель математики может достигнуть наибольшего успеха в деле воспитания у своих учеников перечисленных мною моментов правильного мышления. Но я считаю необходимым сделать по этому вопросу одно методическое замечание общего характера (для опытного учителя, впрочем, совершенно очевидное): все те требования правильного мышления, о которых шла речь выше, должны воспитываться в учащихся исподволь, от случая к случаю, без излишнего педалирования1; не может быть и речи о том, чтобы посвящать специальный урок, например, борьбе с незаконными аналогиями: такая постановка дела может только безнадежно погубить весь ожидаемый эффект. Надо, напротив, всемерно избегать во всем этом деле общих рассуждений и обращать внимание учащихся на тот или другой логический момент исключительно на базе ярко убедительного конкретного математического материала. Потребность в логической полноценности аргументации воспитывается не постоянным надоедающим напоминанием о необходимости этой полноценно-

1 Педалирование в данном случае означает подчеркивание, нажим. — Б. Г.

сти, а показом на конкретных примерах (поводы к которым дает почти каждый урок), как несоблюдение этого требования ведет к ошибкам и неувязкам. Надо не отвлеченно проповедовать полноценность аргументации, а приучить учащегося к тому, что каждый пробел в аргументации немедленно вызывает придирчивый вопрос со стороны учителя или—что много лучше—со стороны товарищей.

Я не буду говорить здесь о том, что следует использовать уроки математики для правильного понимания различия между прямым и обратным утверждениями, а также и ряда других аналогичных различений. С одной стороны, об этом так много уже писалось, что вряд ли я смог бы прибавить здесь что-нибудь новое. С другой стороны, мне представляется, что этого рода моменты, будучи, конечно, обязательными для логически правильного мышления, все же по своему частному, специальному характеру не имеют вне математики столь существенного значения, как те значительно более общие принципы, которые я перечислил выше.

Стиль мышления

Помимо специфических, особо строгих требований и логической правильности умозаключений, математика отличается от других преподаваемых в школе наук также и стилем своего мышления. Стиль этот, хотя и претерпевает на протяжении веков, и даже десятилетий, довольно значительные изменения, все же имеет некоторые общие для всех эпох непреходящие черты, заметно отличающие его от стилей, принятых в других науках.

Утвердившийся в той или другой науке стиль мышления не является, как можно было бы думать, только внешним и потому второстепенным фактором, имеющим лишь эстетическую ценность и не могущим поэтому существенно влиять на развитие данной науки. Напротив, стилем мышления в значительной степени определяется отчетливость теоретических связей, простота и ясность научных конструкций, наглядная конкретность понятий и многое другое, от чего в свою очередь зависят эффективность, плодотворность научных дискуссий и научного преподавания, а вместе с тем и темпы развития науки. Среди тех особых черт, которые присущи стилю мате-

матического мышления, имеется ряд таких, которым свойственно весьма общее и широкое значение; такая черта, если она усваивается представителем какой-нибудь другой науки или практическим деятелем, оказывает нередко весьма существенные услуги как его собственному мышлению, так и усвоению его трудов учениками и последователями. Читая сочинения кого-либо из крупнейших классиков в другой научной области, математик подчас с некоторым удивлением восклицает: «Да ведь он мыслит совсем по-нашему!» — удивление происходит от того, что обычно в этой научной области принят совсем иной стиль мышления, имеющий очень мало общего с математическим.

Но если усвоение некоторых черт математического мышления способно облагородить мыслительный стиль и в других областях знания и практической деятельности, сделать этот стиль более мощным и продуктивным орудием мысли, то очевидно, что не следует пренебрегать использованием уроков математики для приучения молодых умов к постепенному усвоению этих черт, к тому, чтобы эти черты стали прочными навыками их мышления— сначала в пределах математики, а потом и за ее пределами. Для того чтобы это сделать, надо в первую очередь постараться со всей тщательностью выявить те черты стиля математической мысли, о которых здесь идет речь. Это я теперь и постараюсь сделать.

В основе каждого правильно построенного хода мыслей, независимо от предметного содержания его, лежит такая формально-логическая схема, вышколенным умом ощущаемая как некий логический костяк, стройный и закономерный, обросший тем или другим конкретным содержанием. Независимо от стиля мышления, эта логическая схема должна быть закономерной, лишенной пробелов,— без этого рассуждение становится недоброкачественным и должно быть отвергнуто.

Однако роль и положение этого логического скелета в данном ходе мыслей бывают весьма различны и существенным образом зависят именно от стиля мышления. В одних случаях логическая схема становится определяющим, руководящим моментом мышления, так что мыслящий все время имеет ее перед глазами и сообразно с нею выбирает и направляет последовательные этапы рассуждения. В других, напротив, логический ко-

стяк остается затушеванным, мысль в гораздо большей степени направляется запросами конкретного содержания, роль логики сводится к последующему контролю, да и этот контроль в письменном или устном изложении часто только подразумевается и явно не проводится; логическая схема как целое остается вне поля зрения мыслящего. Разумеется, встречаются нередко и стили мышления, промежуточные между двумя указанными.

Для математики характерно доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения; математик, потерявший, хотя бы временно, из вида эту схему, вообще лишается возможности научно мыслить. Эта своеобразная черта стиля математического мышления, в столь полной мере не встречающаяся ни в одной другой науке, имеет в себе много ценного. Очевидно, что она в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок; с другой стороны, она заставляет мыслящего при каждой дизъюнкции иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, не пропуская ни одной (такого рода пропуски легко возможны и фактически часто наблюдаются при других стилях мышления). Поэтому приобретенные на уроках математики стилистические навыки, связанные с описываемой чертой, имеют существенное значение для повышения общей культуры мышления учащихся.

Очень интересным и ярким примером мышления в далекой от математики области, и тем не менее чрезвычайно насыщенного этой чертою, могут служить произведения Маркса. Читателя, который после изучения экономических трудов других ученых раскрывает «Капитал», с первых страниц поражает железная, непреклонная логика этих строк. Логическая схема с ее неумолимыми требованиями не только определяет ход мысли автора, но и настойчиво убеждает читателя, который не может уйти от ее направляющего влияния. Этот необычный для экономического сочинения стиль, почти приближающийся к математическому, неизменно вызывает в читателе ощущение прочности, надежности, предельной убедительности и в то же время много помогает ему в усвоении читаемого.

Второю характерной чертой математического стиля мышления, о которой здесь должно быть упомянуто, яв-

ляется его лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной полноценности аргументации. Математическое сочинение хорошего стиля не терпит никакой «воды», никаких украшающих, ослабляющих логическое напряжение разглагольствований, отвлечений в сторону; предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения составляют неотъемлемую черту математического мышления. Черта эта имеет большую ценность не только для математического, но и для любого другого серьезного рассуждения; лаконизм, стремление не допускать ничего излишнего, помогает и самому мыслящему, и его читателю или слушателю полностью сосредоточиться на данном ходе мыслей, не отвлекаясь побочными представлениями и не теряя непосредственного контакта с основной линией рассуждения.

Корифеи научной мысли, как правило, мыслят и выражаются лаконично во всех областях знания — даже тогда, когда мысль их создает и излагает принципиально новые идеи. Какое величественное впечатление производит, например, благородная скупость мысли и речи величайших творцов физики — Ньютона, Эйнштейна, Нильса Бора! Может быть, трудно найти более яркий пример того, какое глубокое воздействие может иметь на развитие науки именно стиль мышления ее творцов.

В гораздо меньшей степени этот лаконизм присущ ораторским выступлениям. Здесь мы часто встречаем растянутость, излишнюю цветистость, пренебрежение прямотою логического пути в угоду украшающей образности (которой, конечно, нельзя отказать в присущей ей специфической силе воздействия). Однако и в этой области, когда встает оратор, облекающий свою мысль в сжатую, скупую форму предельно кратких и неодолимо убедительных ходов, величественно жертвующий во имя этой железной логики всеми стилистическими «красотами», всеми соблазнами красочной образности, мы видим, как внимание слушателей сразу подтягивается и напрягается, и чувствуем, что такая речь должна вызывать значительно большее доверие, а потому и оказывать большее воздействие, чем многие ярко-образные, оснащенные витиеватыми нагромождениями выступления, апеллирующие к чувству и воображению слушателей.

Для математики лаконизм мысли является непререкаемым, канонизированным веками законом. Всякая попытка обременить изложение не обязательно нужными (пусть даже приятными и увлекательными для слушателя) картинами, отвлечениями, разглагольствованиями заранее ставится под законное подозрение и автоматически вызывает критическую настороженность. И поэтому именно уроки математики призваны дать учащимся, предпочтительно перед другими предметами, навыки лаконического, прямого, не знающего отвлечений, не обремененного никакими излишними элементами мышления.

Далее, для стиля математического мышления характерна четкая расчлененность хода рассуждения. Если, например, при доказательстве какого-либо предложения мы должны рассмотреть четыре возможных случая, из которых каждый может разбиваться на то или другое число подслучаев, то в каждый момент рассуждения математик обязан отчетливо помнить, в каком случае и подслучае его мысль сейчас обретается и какие случаи и подслучай ему еще остается рассмотреть. При всякого рода разветвленных перечислениях математик должен в каждый момент отдавать себе отчет в том, для какого родового понятия он перечисляет составляющие его видовые понятия. В обыденном, не научном мышлении мы весьма часто наблюдаем в таких случаях смешения и перескоки, приводящие к путанице и ошибкам в рассуждении. Часто бывает, что человек начал перечислять виды одного какого-нибудь рода, а потом незаметно для слушателей (а часто—и для самого себя), пользуясь недостаточной логической отчетливостью рассуждения, перескочил в другой род, и заканчивает заявлением, что теперь оба рода расклассифицированы; а слушатели или читатели не знают, где пролегает граница между видами первого и второго рода.

Для того чтобы сделать такого рода смешения и перескоки невозможными, математики издавна широко пользуются простыми внешними приемами нумерации понятий и суждений, иногда (но гораздо реже) применяемыми и в других науках. Те возможные случаи или те родовые понятия, которые надлежит рассмотреть в данном рассуждении, заранее перенумеровываются: внутри каждого такого случая те подлежащие рассмотрению подслучай, которые он содержит, также пере-

нумеровываются (иногда, для различения, с помощью какой-либо другой системы нумерации). Перед каждым абзацем, где начинается рассмотрение нового подслучая, ставится принятое для этого подслучая обозначение (например II 3 — это означает, что здесь начинается рассмотрение третьего подслучая второго случая, или описание третьего вида второго рода, если речь идет о классификации). И читатель знает, что до тех пор, покуда он не натолкнется на новую числовую рубрику, все излагаемое относится только к этому случаю и подслучаю. Само собою разумеется, что такая нумерация служит лишь внешним приемом, очень полезным, но отнюдь не обязательным, и что суть дела — не в ней, а в той отчетливой расчлененности аргументации или классификации, которую она и стимулирует, и знаменует собою.

Наконец, следует упомянуть еще об одной чисто внешней традиции математического стиля, могущей при надлежащих условиях приобрести воспитательное значение, которым нельзя пренебрегать. Я имею в виду свойственную математике скрупулезную точность символики. Каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собою искажение, а подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания. Учащийся, не привыкший еще относиться с достаточной требовательностью к точности устной речи и письменного изложения, вначале может с некоторым легкомыслием отнестись к неуклонным и настойчивым приглашениям учителя математики — вести математическую запись с абсолютной точностью; эти требования могут даже показаться ему педантичными и вызвать насмешку. Однако он очень быстро убедится на собственном опыте, что несоблюдение безукоризненной точности символической записи в математике влечет за собою немедленную расплату: он сам теряет возможность понять смысл записанного, вынужден гадать, угадывает неверно и либо получает неправильный ответ, либо вообще лишает себя возможности решить задачу. В лучшем случае ему ценою значительных усилий удастся восстановить правильную запись и двигаться дальше, отправляясь от нее.

Убедившись таким образом, что точность символической записи соответствует его собственным интересам,

учащийся начинает следить за собою в этом направлении, и постепенно строгая правильность математической символики становится его привычкой. Но такого рода привычка, приобретенная в какой-либо одной сфере мышления, неизбежно приводит к воспитанию и общего стиля мышления учащегося; он начинает точнее выражаться и в устной речи, и в письменном изложении; в частности, он уделяет больше внимания правописанию, орфографические ошибки переживаются им с такой же остротой и таким же беспокойством, как математические. Мы неизменно наблюдаем, что ученики, научившиеся требовательно относиться к точности математической символики, легче и быстрее перестают делать орфографические ошибки. И я не знаю, возможно ли окончить школу, обладая требуемой для аттестата зрелости математической культурой и не научившись в то же время писать совершенно безошибочно.

Заканчивая эту главу, посвященную вопросам воспитательного воздействия уроков математики на культуру мышления учащихся, я предвижу естественное и законное недоумение читателя по поводу того, что мною нигде даже не затронута проблема развития элементов диалектического мышления. Я считаю себя обязанным дать по этому вопросу краткое разъяснение.

Маркс и Энгельс с полным основанием утверждали, что математика не только дает для законов диалектического мышления богатейший иллюстративный материал, но систематически способствует развитию диалектических навыков мыслительного процесса. Однако, как неоднократно отмечалось основоположниками марксизма, в полной мере это может быть отнесено лишь к так называемой «высшей» математике, т. е. к математике переменных величин. Именно здесь мы приучаемся к математическому исследованию явлений природы и процессов техники в их живой изменчивости, а не статической неподвижности. Именно здесь величины исследуются в их взаимной зависимости (понятие функции), а не в отрыве друг от друга. Нигде с такою наглядностью, как здесь, мы не видим в действии переход количества в качество, диалектический синтез первоначально антагонистических противоположностей и другие основные принципы диалектики. И это — одна из важнейших причин (впрочем, далеко не единственная), заставляющих

нас признать абсолютно необходимым введение элементов высшей математики в курс средней школы1.

Но пока мы только боремся за это. Что же касается преподаваемой в школе «элементарной» математики, то и она, конечно, как всякая подлинная и живая наука, не лишена диалектических элементов. Но здесь они выступают разрозненно и с малой мощностью, и говорить о них в статье, посвященной лишь основным рычагам воспитательного воздействия уроков математики, я не решился. Впрочем, я имею в виду в ближайшем будущем составление другой статьи, специально посвященной вопросу о необходимости введения в школьное преподавание элементов высшей математики; в этой статье я надеюсь дать развернутую и убедительную картину того, каким мощным орудием воспитания навыков диалектического мышления могли бы стать уроки математики переменных величин2.

МОРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ И ВОСПИТАНИЕ ПАТРИОТИЗМА

О роли и значении уроков математики в воспитании правильного и дисциплинированного мышления говорилось и писалось очень много. Напротив, о влиянии математических занятий на формирование характера и моральной личности учащегося не сказано почти ничего. Это вполне понятно: по абстрактности своего предмета математическая наука не может, конечно, давать учащемуся тех непосредственно впечатляющих, этически воздействующих и формирующих характер образов, картин, эмоций, какими располагают, скажем, уроки истории или литературы. Было бы, однако, весьма поверхностно делать отсюда тот вывод, что в деле формирования нравственной личности школьника уроки математики вообще должны быть скинуты со счетов. По моему многолетнему опыту работа над усвоением математической науки неизбежно воспитывает — исподволь и весьма постепенно — в молодом человеке целый ряд черт, имеющих яркую моральную окраску и способных в даль-

1 В новых программах это пожелание до некоторой степени учтено. — Б. Г.

2 К сожалению, эта статья так и не была написана. — Б. Г.

нейшем стать важнейшими моментами в его нравственном облике. Сделать этот процесс более активным и результаты его более прочными — достойная задача для учителя. Но прежде всего надо тщательно разобраться в том, что это за черты и какие особенности математической работы способны их воспитывать.

Честность и правдивость

В обывательских тяжбах всякого рода каждая из спорящих сторон исходит, как правило, из желательного ей, выгодного для нее решения вопроса и с большей или меньшей изобретательностью изыскивает возможно более убедительную аргументацию для решения вопроса в свою пользу. В зависимости от эпохи, среды и содержания спора, стороны при этом апеллируют к тому или другому высшему авторитету — общечеловеческой морали, «естественному» праву, священному писанию, юридическому кодексу, действующим правилам внутреннего распорядка, а часто и к высказываниям отдельных авторитетных ученых или признанных политических руководителей. Все мы много раз наблюдали, с какою страстностью ведутся подобного рода споры и какой убежденностью дышит, по видимости, аргументация каждой из сторон; можно подумать, что такой тяжущийся действительно обуреваем желанием найти и отстоять истинное, справедливое, отвечающее духу и букве призванного в качестве арбитра авторитетного источника, решение.

Но хорошо известно, что подобную картину мы часто наблюдаем не в одних только обывательских тяжбах. В точности те же черты являет подчас и научная дискуссия. Выводы, с полной убежденностью сделанные одним ученым, с такою же убежденностью оспариваются другими; завязывается полемика, в которой каждая из сторон находит все новые и новые аргументы в пользу своей позиции — даже вновь поставленные опыты часто говорят каждому из спорящих как раз то, что ему желательно. В ходе полемики каждая из сторон не только стремится все более и более усиливать свою собственную позицию, но и стремится различными средствами дискредитировать1 позицию противной стороны, доходя

1 Дискредитировать — подрывать доверие. — Б. Г.

иногда и до попыток персональной дискредитации. И лишь сравнительно редко бывает, чтобы в такой затянувшейся полемике одна из спорящих сторон нашла честность и мужество признать свою позицию ошибочной.

Субъективные основания такого рода явлений в жизни науки легко поняты: они ничем, к сожалению, не отличаются по своей неприглядности от субъективных оснований самых мелочных обывательских стычек. Что касается объективных оснований возможности подобного рода научных ситуаций, то и их нетрудно найти: в эмпирических науках всякая новая, еще не окончательно установленная закономерность фигурирует, по крайней мере временно, в качестве «рабочей гипотезы»; покуда вопрос не решен окончательно, имеются обычно как соображения (опытные и теоретические), говорящие в пользу этой гипотезы, так и такие, которые говорят против нее. Из двух ученых один может поставить своей задачей— собрать как можно больше аргументов, поддерживающих такую гипотезу, а другой — заняться собиранием фактов и соображений, способных вызвать к ней недоверие. Дело происходит как в уголовном процессе, где перед обвинителем и защитником ставятся задачи собрать, привести в порядок и изложить все аргументы, соответственно говорящие за и против виновности подсудимых.

Само собою разумеется, что так поставленная научная дискуссия сама по себе не содержит еще ничего морально одиозного1: собрать с возможною полнотою все имеющиеся аргументы за и против данной «рабочей гипотезы» — это во всех случаях приносило пользу прогрессу науки; нет, очевидно, ничего предосудительного и в том, что сбор аргументов за и против гипотезы выполняется двумя различными учеными (или группами ученых), если только обе стороны подходят к своей задаче добросовестно, руководствуясь исключительно желанием способствовать отысканию объективной истины. Моральный одиум2, этическое неблагополучие начинается там, где выводы ученого перестают руководствовать-

1 Одиозный — нежелательный, неприемлемый, вызывающий к себе отрицательное отношение. — Б. Г.

2 Одиум — нежелательность, неприемлемость. —- Б. Г.

ся интересами объективной истины, а становятся — сознательно, полусознательно или бессознательно — на службу его личным интересам — его упрямству, его честолюбию, его корыстолюбию, когда аргументация приводится с пристрастием, «притягивается за волосы», необъективно акцентируется, точь-в-точь как в обывательских дрязгах. Такая деградация1 научного спора в иных случаях ложится мрачным пятном даже на крупнейших представителей научной мысли.

Одна только математическая наука полностью от всего этого избавлена. Она не знает «рабочих гипотез» — предложений, истинность которых может подлежать дискуссии. Пока предложение не доказано, оно вообще никак не входит в сокровищницу науки, никому не придет в голову его отстаивать; если же оно доказано, то истинность его никак не может быть подвергнута сомнению: оно является абсолютно общеобязательным. Никаких промежуточных ситуаций математика не знает. Полемизировать, например, в защиту неполноценного доказательства в математике может только неуч, шарлатан или душевнобольной (все три категории действительно от времени до времени встречаются, достаточно вспомнить так называемых «ферматистов», рыцарей квадратуры круга и трисекции угла); но такой «защитник» немедленно, единогласно и беспощадно разоблачается научным миром. Никакая аргументация с пристрастием или тенденцией, никакое «притягивание за волосы» ни при каких обстоятельствах не может в математике иметь успеха. Разумеется, это относится только к содержанию самой математической науки; в вопросах логического или философского обоснования математики дискуссии возможны и даже неизбежны; возможны и споры персонального характера, связанные с развитием математики (например, по вопросам приоритета).

Каждый математик рано привыкает к тому, что в его науке всякая попытка по тем или иным мотивам действовать тенденциозно, заранее склоняясь к тому или другому решению вопроса и прислушиваясь только к аргументам, говорящим в пользу избранного решения,— всякая такая попытка заведомо обречена на неудачу,

1 Деградация — упадок, процесс понижения чего-либо в сторону ухудшения. — Б. Г.

и ничего, кроме разочарования, принести не может. Такое положение, при котором неправильная или не до конца правильная аргументация могла бы оказаться выгодной для аргументирующего, здесь просто принципиально невозможно. Поэтому математик быстро привыкает к тому, что в его науке выгодна только правильная, объективная, лишенная всякой тенденциозности аргументация, что успех может принести только непредубежденное, беспристрастное напряжение мысли. И независимо от своего общего морального уровня, он в своей научной работе всегда руководствуется исключительно соображениями объективной истинности.

Но эту черту, естественно развивающуюся у математика-специалиста, в известной степени воспитывает в себе, занимаясь математикой, и каждый неспециалист, в частности — каждый школьник. Ему хорошо известно, что «втереть очки» учителю математики невозможно, что никакой апломб и никакое красноречие не помогут ему выдать незнание за знание, неполноценную аргументацию за полноценную. И как бы лжив он ни был в других отношениях, в математике он остережется отстаивать неверное утверждение или неправильное доказательство.

Но и здесь, как это часто бывает, моральные навыки, приобретенные в какой-либо одной области, в известней мере переносятся и на другие сферы мышления и практической деятельности. Теоретическая честность, ставшая для математики непреложным законом его научного мышления и профессиональной (в частности, педагогической) деятельности, довлеет над ним во всех его жизненных функциях — от абстрактных рассуждений до практического поведения.

Я должен признаться, что органически не способен отстаивать какое-либо утверждение (хотя бы и обыденно-практического содержания), если я не располагаю не допускающим никакого возражения его доказательством. Профессиональная привычка к абсолютной объективности аргументации не позволяет мне, как это делают многие другие, яростно, во что бы то ни стало отстаивать выгодное мне решение. Таким образом, черта, о которой я сейчас говорю, может иногда и повредить своему носителю; тем не менее я дорожу ею и рад, что она у меня есть; радуюсь и тогда, когда вижу

ее в других, потому что придаю ей высокую моральную ценность.

Я всегда интересовался этой чертою и много раз наблюдал, как она развивается в людях под влиянием серьезного научного общения, в частности — под воздействием уроков математики. Это очень радостная и морально возвышающая картина, когда человек постепенно преодолевает в себе отвратительную мещанскую привычку— подчинять законы мышления своим личным, мелким, корыстным интересам, теоретически защищать все то, и только то, что ему практически выгодно; когда он научается уважать объективную правильность аргументации как высшую духовную и культурную ценность и все чаще и со все более легким сердцем жертвовать ради нее своими личными интересами. Доведенная до предела, эта черта составляет собою не что иное, как честность и правдивость —одно из лучших украшений нравственной личности человека.

Настойчивость и мужество

Добросовестная и серьезная работа над приобретением и укреплением знаний в любой научной области требует систематического напряжения умственных усилий, настойчивости в преодолении трудностей, мужественной встречи неудач; поэтому такая работа при правильном руководстве неизбежно воспитывает у учащегося соответственные черты характера — трудолюбие, усидчивость, упорство в преследовании намеченной цели, умение не останавливаться перед трудностями и не впадать в уныние при неудачах. Непосредственно ясно, какое решающее значение имеют все эти черты для развития морально и общественно полноценной человеческой личности и с каким вниманием должен поэтому учитель следить за максимальным использованием своих уроков в целях воспитательного воздействия в указанном направлении. Те возможности, которыми для этого располагают предметы школьного обучения, весьма многочисленны и многообразны, и нет такого предмета, в специфических чертах которого не было бы заложено особых, именно этому предмету свойственных движущих рычагов такого воспитательного воздействия. Наша задача здесь, естественно, должна состоять в ука-

зании тех черт математики как школьного предмета, которые, отличая ее от других предметов школьного преподавания, наиболее способствуют развитию в учащихся разумной настойчивости и сознательного мужества — этих неоценимых качеств будущего борца.

Прежде всего я хочу здесь отметить четкую определенность поставленной цели, желаемого и требуемого результата каждого математического задания. Если заданием служит сочинение исторического или литературного содержания, то нельзя указать момента, когда такое задание дефинитивно1 закончено выполнением,— возможности дополнения и усовершенствования, систематические улучшения всякого рода здесь почти безграничны; с другой стороны, учащийся не чувствует себя здесь достаточно компетентным для авторитетной оценки своей работы: то, что ему представляется в его сочинении вполне удачным, может встретить совсем иную оценку со стороны учителя. Вся эта по существу данного задания неизбежная неопределенность, расплывчатость в оценке законченности и качества проделанной работы должна, несомненно, оказывать некоторое расслабляющее влияние на волевое напряжение еще мало вышколенного молодого ума. В математике дело обстоит иначе. Если заданием служит решение задачи или доказательство теоремы, то тем самым указывается с полной определенностью и тот момент, когда задание может считаться окончательно выполненным: когда решена задача или доказана теорема; все остальное — изложение найденного решения, правильность и аккуратность записи и т. п. —имеет и в глазах учителя, и в глазах ученика лишь второстепенное, не решающее значение. Равным образом и качество работы здесь оценивается с однозначной определенностью: задача должна быть решена верно, теорема должна быть доказана правильно. Проверить отсутствие логических ошибок в своем рассуждении ученик может и должен уметь сам; в случае задачи он знает даже определенные приемы проверки решения. Легко понять, какое стимулирующее влияние на упорство, настойчивость в достижении цели может оказать и действительно оказывает эта четкая определенность показателей результата. Победа здесь так же

1 Дефинитивно — с полной определенностью. — Б. Г.

непосредственно ощутительна, как в шахматной партии или спортивном состязании, и сам учащийся может с такой же уверенностью зафиксировать и оценить свое достижение, как и его авторитетный учитель.

Вторая, значительно более глубокая и важная черта математических заданий, которую я хочу здесь отметить, состоит в присущем им в значительном большинстве случаев творческом характере. В то время как в большинстве других областей знания выполнения задания, за немногими исключениями, требует от учащегося лишь определенных знаний и навыков, в лучшем случае еще умения стройно и стилистически правильно излагать эти знания,— решение математической задачи, как правило, предполагает изобретение специального ведущего к поставленной цели рассуждения, и тем самым становится— пусть весьма скромным — творческим актом. Именно этот творческий, исследовательский характер математических заданий более, чем что-либо другое, влечет к себе молодые силы растущего и крепнущего интеллекта учащегося. Тот, кто раз изведал благородную радость творческого достижения, никогда уже не пожалеет усилий, чтобы вновь ее испытать. Никакие трудности его не остановят, сила его порыва и устремления, его усидчивость и выдержка в преодолении препятствий будут крепнуть с каждым новым достижением, а неудачи, ошибки, временные крушения и поражения он научится встречать как подобает истинному борцу — не опуская перед ними руки, а черпая в них источник и стимул для все новых и новых напряжений мысли и воли.

Воспитание патриотизма

Задача использования уроков математики для воспитания и укрепления в учащихся прочного чувства гордости своей Родиной и любви к ней имеет в себе специфическую трудность, очевидная причина которой заложена в абстрактном характере математической науки. Надо сказать прямо, что непосредственно, своим собственным материалом и содержанием математика в силу этой причины вообще не может служить орудием пропаганды чего-либо столь конкретного, как красота и величие родной страны. Здесь она с естественной скромностью вынуждена уступить место другим наукам.

Однако на уроках математики ученик вовсе не все время сосредоточивается на ее абстрактной сущности; абстрактные схемы математики непрестанно, почти на каждом уроке оснащаются, дополняются и иллюстрируются весьма различным конкретным содержанием; сюда входит содержательный материал «текстовых» задач, исторические сведения, различного рода приложения и т. п. При этом во многих случаях выбор конкретного оснащения в весьма широких пределах может быть варьирован, и таким образом в значительной степени ставится на усмотрение преподающего. Очевидно, такой произвол может быть широко использован учителем для фиксирования внимания учащихся на фактах и цифрах, поддерживающих и укрепляющих уважение и любовь к Отечеству. У нас неоднократно писалось уже о подборе патриотически направленного материала текстовых задач. Против этого приема ничего нельзя возразить; надо только тщательно продумать выбираемый материал, чтобы избежать опошления, вульгаризации самой патриотической идеи, как это бывает, когда конкретное содержание задачи мало естественно, «притянуто за волосы», или когда задача, сообщая достаточно интересные цифры и факты, ставит по поводу них такой вопрос, который явно не имеет ни непосредственного интереса, ни какого-либо практического значения. Вместе с тем надо, конечно, отчетливо представлять себе, что весь этот прием является чисто внешним, для развития патриотических чувств здесь используются уроки математики, но никак не самая математика.

Значительно теснее связан с самой математической наукой прием, состоящий в придании патриотической направленности целому ряду исторических сведений. Этот прием, помимо впечатляющей силы воздействия, особенно ценен еще тем, что он значительно повышает интерес учащихся к истории математической науки, а во многих случаях дает повод и возможность эффективным образом ознакомить учащихся с математическими фактами, выходящими за пределы официальной программы и счастливым образом ее дополняющими. Так как по этому вопросу у нас почти ничего не писалось, то я здесь остановлюсь на нем несколько подробнее.

История русской и советской математики богата фактами, знакомство с которыми, в особенности на фоне

правильной исторической перспективы, способно возбуждать в нас законную радостную гордость. И среди этих фактов есть немало таких, понимание которых доступно учащимся средней школы в достаточной мере для того, чтобы они могли оценить их принципиальное или практическое значение. Нужно только, чтобы сам учитель был хорошо осведомлен как об этих фактах, так и об их роли и месте в науке, а также и о той научно-исторической обстановке, в которой они возникали и развивались. Нужно, кроме того, конечно, уметь рассказать учащимся об этих фактах так, чтобы возбудить их живой интерес и извлечь максимальный эффект как для их математического развития, так и для воспитания в них здорового чувства национальной гордости.

Хорошо известно, что для всего этого очень продуктивно могут быть использованы научные идеи нашего великого соотечественника Н. И. Лобачевского и научная судьба его идей. В своей основе великий геометрический замысел Лобачевского вполне доступен школьникам старших классов, а проведенная с надлежащим тактом беседа о нем может много содействовать, с одной стороны, пониманию основной для современной математики идеи аксиоматического мышления, а с другой — глубокому уважению как к научному гению Лобачевского, так и к его замечательной теоретической стойкости— великой силе убеждения, позволившей ему творить в одиночестве, без общественного признания, в научно-враждебной атмосфере.

Значительно менее известны у нас творения другого нашего великого ученого — П. Л. Чебышева. А между тем научный облик его не менее импозантен1, чем фигура Лобачевского. И кое-что о нем с большой и многосторонней пользой может быть рассказано и школьникам. Чебышев принадлежал к числу тех немногих ученых самого высокого ранга, которые на протяжении своей жизни работают в довольно многих, часто весьма удаленных друг от друга областях математики, в каждой из этих областей прокладывая совершенно новые пути, по которым затем в течение многих десятилетий идут их последователи. Великий дух новаторства был присущ Чебышеву не в меньшей степени, чем Лобачевскому. В теории

1 Импозантен — внушителен. — Б. Г.

чисел, теории вероятностей, теории механизмов и теории аппроксимации1 функций он создал мощные новые методы и сделался родоначальником большого числа научных школ в России и за границей. Замечательные идеи его далеко не исчерпаны и до настоящего времени.

Для учащихся средней школы особенно доступны и поучительны достижения Чебышева в теории чисел. Теорему Евклида о существовании бесконечного множества простых чисел знают все. Очень полезно выписать с учащимися таблицу простых чисел хотя бы до 100 и обратить их внимание на видимое отсутствие закономерности в расположении этих чисел. Затем рассказать о том, как задача о закономерностях в чередовании простых чисел была и остается одной из центральных проблем арифметики. Стоит привести (без доказательства) вполне понятный школьникам и способный вызвать в них интерес результат Эйлера —► 0 (п -> оо). В самых общих чертах можно затем коснуться асимптотических результатов Чебышева, обязательно давая историческую картину тех значительных усилий, которые до Чебышева были посвящены этой задаче. Конкретно же очень стоит остановиться на элементарном постулате Бертрана, проверить его на ряде примеров и тем возбудить интерес к нему со стороны учащихся. Позднее можно разобрать и какое-либо из его элементарных доказательств, хотя бы в порядке кружковой работы.

Очень советую обратить внимание учащихся на следующий замечательный исторический факт. Арифметика и геометрия — два старейших и важнейших раздела математической науки, и в обоих в течение ряда столетий наука в значительной степени питалась творениями Евклида; центральные проблемы этих двух основных ветвей математики — теория параллельных в геометрии и задача о распределении простых чисел в арифметике — в течение многих веков не поддавались сколько-нибудь заметно многочисленным усилиям целых поколений ученых. И вот, в XIX столетии, обе проблемы были сдвинуты, наконец, с мертвой точки. В геометрии это сделал русский математик Лобачевский, в арифметике — русский математик Чебышев. Оба они проложили, каждый

1 Аппроксимация — приближение. — Б. Г,

в своей области, совершенно новые пути — пути, по которым наука успешно развивается до настоящего времени. Нет сомнения, что эти великие исторические скачки— Евклид — Лобачевский и Евклид — Чебышев должны импонировать молодым умам, которые в известной мере уже способны оценить их значение.

Заинтересовав учащихся вопросами распределения простых чисел, учитель имеет совершенно естественный повод рассказать им о знаменитой гипотезе Гольдбаха. Очень стоит проверить ее в классе в пределах хотя бы чисел первой сотни. Затем, конечно без всяких доказательств, сообщить о блестящих достижениях советского академика И. М. Виноградова (его основной результат в направлении проблемы Гольдбаха, разумеется, вполне доступен учащимся по своему содержанию).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Я сознательно полностью оставил в стороне важнейший для темы настоящей статьи вопрос о значении уроков математики для формирования мировоззрения учащихся. Я сделал это по той же причине, по какой в свое время (в главе I) отказался от рассмотрения вопроса об использовании уроков математики для воспитания навыков диалектического мышления: ознакомление с идеями и методами математической науки имеет фундаментальное мировоззренческое значение, но львиная доля воспитательного эффекта в этом направлении принадлежит математике переменных величин, так называемой высшей математике, с которой, по выражению Энгельса, в математику входит диалектика и которая, к сожалению, все еще почти целиком остается за бортом наших школьных программ. Поистине не стоит при этих условиях говорить о влиянии на формирование мировоззрения той диалектически худосочной части математической науки, которая в настоящее время находит себе приют в нашем школьном преподавании. О тех же мощных сдвигах, направляющих и формирующих мировоззрение, которые может произвести и фактически часто производит изучение высшей математики, можно сказать очень много, и я собираюсь говорить о них в моей будущей статье, о которой я уже упоминал на стр. 146.

В этой статье я не касался методических вопросов. Я говорил только о том, какие особенности математической науки и для воспитания каких именно качеств интеллекта или моральной личности учащегося могут и должны быть использованы, но нигде не касался вопроса о том, как это может быть сделано. Мой опыт говорит мне, что это обстоятельство может вызвать недовольство в некоторых кругах читателей; вероятно, я не гарантирован от набивших уже оскомину упреков в том, что моя статья «ничего не дает учителю», и советов «повернуться лицом», и т. д.

Поэтому я считаю необходимым сделать по этому поводу следующее краткое разъяснение.

1. Я считаю, что составление сколько-нибудь детальных методических указаний по рассматриваемым мною в настоящей статье вопросам действительно совершенно излишне. Сколько-нибудь заметный воспитательный эффект уроки математики (как и всякой другой науки) могут дать только при том условии, что учитель, во-первых, достаточно хорошо знает свою науку, ее методологию и ее историю, во-вторых, имеет достаточный педагогический такт и опыт, и наконец, в-третьих, сам обладает в достаточной мере всеми теми качествами, которые он собирается воспитывать в своих учениках. Учителю, который сам не умеет мыслить абсолютно отчетливо, никакие методические шпаргалки не помогут воспитать ясность мысли в учащихся; или еще: какая методика поможет учителю сделать своих учеников горячими патриотами, если сам он любит свою Родину вяло и с прохладцей?

И, напротив, если учитель стоит на высоте своей задачи, если он в полной мере обладает всеми перечисленными выше качествами, то никакие методические разработки по воспитательным вопросам ему заведомо не нужны — в каждом отдельном случае он с легкостью и непринужденностью сам найдет наиболее эффективный путь к поставленной цели. Навязывание ему определенной конкретной методики было бы для такого учителя только помехой в его работе.

2. Если, таким образом, я считаю составление детальных методических указаний по затронутым мною вопросам практически бесцельным, то, может быть, было бы полезно все же дать по ним ряд общих методических

советов; я думаю, что было бы хорошо, если бы моя статья побудила кого-либо из наших лучших учителей-методистов высказаться по этому вопросу и сделать достоянием младших товарищей некоторые общие выводы из своего опыта. В этом они во всяком случае компетентнее меня, и здесь я со всей необходимой скромностью должен уступить им слово.

Наконец, я хочу попытаться заранее оградить себя еще от одного рода упреков, которые я предвижу и которые обычно бывают основаны на недоразумении. Так как я говорил о воспитательном эффекте уроков математики, то мне, естественно, пришлось перечислить одну за другой именно те черты математической науки, которые в воспитательном отношении дают ей то или другое преимущество перед другими дисциплинами. В этом ведь и состояла моя задача. Но когда поступаешь таким образом, то у недостаточно вдумчивого читателя создается впечатление, будто бы ты поставил своей целью превознесение математики над всеми другими науками и вся твоя статья сплошь утверждает, что единственная подлинная наука есть именно математика, все же другие дисциплины страдают теми или другими изъянами и науками могут быть названы лишь с известной оговоркой. Уважаемые коллеги — представители других наук— начинают чувствовать себя несправедливо обиженными и подвергают твою работу яростной критике, доказывая, что другие науки ничуть не хуже и что всеми преимуществами, которыми в моем представлении монопольно обладает математика, на самом деле в такой же мере наделены и все прочие дисциплины.

С первым пунктом этого заявления я целиком и полностью согласен — другие науки действительно ничем не хуже математики; более того, представители этих других наук обычно вызывают во мне глубочайшее уважение тем, что творят великие ценности в таких областях, в которых творчество, на мой взгляд, неимоверно трудно— гораздо труднее, чем в математике. Но ведь в моей статье я нигде ни разу не называю математику лучшей из наук. Напротив, я несколько раз со всею скромностью подчеркиваю, что как орудие воспитания математика прежде всего отмечена такою особенностью, значение которой для данной цели очевидным образом отрицательно— она абстрактна; предметом ее служат не сами ве-

щи и явления реального мира, а лишь абстрагированные от них количественные отношения и пространственные формы. Это обстоятельство, как я несколько раз подчеркиваю в своей статье, делает для математики воспитательную задачу значительно труднее, чем для других школьных дисциплин. Но за то математика в некоторых других отношениях отмечена такими чертами, которые создают ей воспитательные возможности более значительные, чем у этих других дисциплин. И то, что я в своей работе, соответственно моей задаче, сосредоточиваю внимание читателя именно на этих чертах,— никак не может, конечно, означать какого-либо гипостазирования математики, превознесения ее выше всех других наук.

Я отдаю математической науке лишь то, что ей принадлежит по праву, с полной откровенностью признавая и те ее черты, которые в отношении к данной цели составляют ее слабость. Но за те преимущества, которые ей мной приписаны, я уже действительно готов драться до конца. И если уважаемые коллеги пожелают утверждать, что та или другая конкретная черта, по моему утверждению монопольно или преимущественно присущая математике, на самом деле является в такой же мере достоянием и всех других научных дисциплин, то здесь я, где угодно и когда угодно, готов держать ответ, в полной уверенности, что смогу отстоять правильность моего утверждения перед любым компетентным и беспристрастным судом.

О ТАК НАЗЫВАЕМЫХ «ЗАДАЧАХ НА СООБРАЖЕНИЕ» В КУРСЕ АРИФМЕТИКИ1

Как-то мне пришлось узнать у ряда хороших учителей пятых классов о том, какой примерно процент учащихся действительно научается решать арифметические задачи, не являющиеся простыми вычислительными примерами, т. е. такие, где способ решения, как бы прост он ми был, должен быть найден самим учащимся. Из всех опрошенных мною учителей только один утверждал, что этому искусству удается научить до 15% учащихся; все другие говорили, что лишь отдельные немногие единицы среди учащихся овладевают этим искусством, а некоторые даже заявляли, что «этому вообще научить невозможно». Конечно, прорешав целый ряд совершенно однотипных задач, ученик без труда решит задачу в точности того же типа (этим объясняется, почему мы не имеем сплошных провалов на экзаменах и контрольных работах); но добиться, чтобы ученик самостоятельно нашел решение задачи нового, хотя бы и очень простого типа —

1 Сборник «Математическое просвещение», вып. 6, 1961, стр. 29— 36, М., Физматгиз.

Эта работа А. Я. Хинчина, как мне известно, при жизни автора нигде не была напечатана. Мне удалось найти ее при разборе одной из папок с бумагами покойного. Рукопись тщательно переписана карандашом на тетрадочной бумаге. Поскольку эти вопросы интересовали Хинчина в 1938—1939 гг. и на эти темы он тогда часто со мной беседовал, можно считать достаточно определенным, что именно в этот период предлагаемая статья и была написана. — Б. Г.

это, по единодушному мнению учителей, есть дело, удающееся только в самых исключительных случаях.

Таким образом, как раз то «развитие сообразительности», которое у нас любят выставлять как основную цель введения «трудных задач», оказывается никак не удается, даже у лучших учителей.

Сопоставим с этим другой факт: хорошо известно, что большая часть наших ученых-математиков, как правило, становится в тупик перед задачами элементарной арифметики. Я лично охотно признаюсь, что всякий раз, когда ученик V класса просил меня помочь ему решить арифметическую задачу, дело это для меня оказывалось весьма тяжелым, а подчас я терпел и полную неудачу. Я, как и большинство моих товарищей, легко решал, конечно, предложенную задачу естественным алгебраическим путем (т. е. составлением уравнения или системы уравнений); но ведь надо было во что бы то ни стало обойтись без алгебраического анализа! Обычно, если мне в конце концов удавалось найти такое решение, оно все же оставляло меня неудовлетворенным: моя научная совесть неумолимо подсказывала мне, что тут остается какой-то туман, не все ясно. Следствием этого бывало, как правило, то, что и ученика мое решение не удовлетворяло, и он явно лишь из вежливости принимал его. Иногда в таких случаях я потом пытался узнать, как же объяснил решение задачи учитель? Должен признаться, что и в рассуждениях учителя для меня почти всегда оставался тяжкий элемент ненатуральности и искусственности. Я лично отказался бы преподнести классу такое рассуждение; всякий математик знает, какое мучительное чувство охватывает душу, когда подчас бываешь вынужден преподавать другим что-нибудь в такой форме, которая самого тебя не вполне удовлетворяет; речь становится медленной и напряженной; слова выходят не те, какие нужно, и смущение твое быстро передается слушателям. При таких условиях вряд ли приходится удивляться тому, что большинство детей так и не научается решать арифметические задачи.

Описывая всю эту тяжелую ситуацию, я думаю, что не очень сгустил краски. Если в отдельных случаях дети все же научаются решать задачи, интуитивно отличают правильное рассуждение от ложного, находят в этих упражнениях ума здоровое удовольствие и в конечном

счете действительно развивают свою сообразительность, то такие исключения способны только подтвердить печальное общее правило. Кто же (или что же) несет ответственность за такое положение вещей? Ведь это не шутка, когда львиная доля огромного числа часов, уделяемого в V классах арифметике, тратится на дело, в отношении большинства учащихся, заведомо безнадежное. Кстати, хорошо известно и многократно отмечалось, что, как правило, ни оканчивающие школу, ни студенты педвузов, ни начинающие учителя (ни, прибавим от себя, научные работники) не умеют решать арифметические задачи, да и вряд ли на всем свете кто-нибудь умеет решать их, кроме учителей V классов.

Прежде чем попытаться ответить на этот вопрос, рассмотрим ряд примеров, анализ которых придаст больший вес нашим выводам.

Отец старше сына на 25 лет. Возраст отца относится к возрасту сына, как — : —. Сколько лет отцу и сколько лет сыну?

Сначала решим задачу алгебраически. Обозначим числа лет отца и сына соответственно через х и у, тогда

откуда

Теперь попробуем решить задачу «арифметически». Конечно, здесь возможны разные варианты; я выбираю тот, который мне кажется простейшим.

1) Какую долю возраста отца составляет возраст сына?1

1 Е. С. Березанская обратила мое внимание на то, что опытный учитель дальше будет решать иначе, чем Александр Яковлевич, используя метод «разбиения на части». При этом рассуждения будут такими: «Итак, возраст отца составляет 9 частей, а сына — 4 части. Отец старше сына на 5 частей. На эти 5 частей приходится 25 лет. Значит, каждая часть составляет 5 лет. Отсюда — возраст отца (5 X 9) 45 лет, возраст сына (5 X 4) 20 лет. Очевидно, что по своему существу и этот прием является алгебраическим. — Б. Г.

2) Какую долю возраста отца составляет разность между возрастом отца и возрастом сына?

Так как возраст сына составляет — возраста отца, то разность между ними составляет 1--— = — возраста отца.

Я хотел бы обратить внимание на то, что ответить на этот вопрос, а еще более — придумать, поставить этот вопрос есть дело, которое, на мой взгляд, самостоятельной изобретательности рядового ученика V класса недоступно. Если же вопрос и ведущее к ответу рассуждение ему будут навязаны, — они непременно оставят в нем тяжелое ощущение искусственности, а может быть, даже и софистической подтасовки1. Конечно, можно придумать сколько угодно более или менее пространных пояснений; однако, насколько я вижу, все они будут говорить с ребенком все тем же искусственно-надуманным, непривычным и несвойственным ему языком и потому оставят в нем тоже тяжелое ощущение. В лучшем случае, если вопрос и ответ будут им поняты, у него все же останется недоумение, каким образом он сам мог бы догадаться, что именно этот странный вопрос здесь должен быть поставлен?

3) Сколько лет отцу?

Здесь все уже просто: если -j— возраста отца составляют 25 лет, то этот возраст равен

разумеется, возраст сына теперь уже находится непосредственно.

Это пример очень легкой задачи. Прослеживая ее решение, мы прежде всего совершенно очевидным образом приходим к следующему выводу: так называемое «арифметическое» решение задачи ничем с логической сторо-

1 Софистика —словесные ухищрения, вводящие в заблуждение.—Б. Г.

ны не отличается от алгебраического. Мы отнюдь не заменяем алгебраического анализа каким-либо другим способом решения, а, напротив, от начала до конца этот анализ проводим, как и в случае алгебраического решения, с той только разницей, что вместо формул пользуемся тяжелыми и неуклюжими словесными формулировками.

Далее мы замечаем, что если с алгебраической точки зрения рассмотренная задача есть простой пример на составление системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными — пример, решаемый привычными, механическими приемами, не требующими ни малейшей изобретательности, то с точки зрения «арифметической», т. е. когда мы хотим тот же анализ провести без помощи привычного алгебраического аппарата, задача становится задачей «на соображение», т. е. требует вымысла, догадки, и притом — повторяю — догадки, на мой взгляд, искусственной и чуждой сознанию 12-летнего ребенка.

Рассмотрим теперь несколько более сложную (хотя тоже нетрудную) задачу.

Разделить число 22 на три части при условии, что если прибавить к одному из полученных чисел 0.5, от другого отнять 1,5, третье умножить на 2,5, то получатся одинаковые результаты.

Алгебраическое решение.

Пусть X, у, г — искомые числа, тогда

откуда

Арифметическое решение

Теперь я снова предлагаю тот вариант «арифметического» решения, который представляется мне наиболее убедительным для ученика. Но здесь я с самого начала наталкиваюсь на трудность, которую не в силах преодолеть: мне никак не удается найти сколько-нибудь ра-

зумной формулировки последовательных вопросов. Я поэтому предоставляю это дело (т. е. формулировку вопросов) более компетентным товарищам, а сам позволю себе обойтись вовсе без вопросов.

1) Так как, умножая третье число на 2,5 и прибавляя к первому числу 0,5, мы получаем одно и то же число, то

первое число равно 2,5 третьего числа без 0,5.

(Я очень хотел бы знать, как учителя поставили бы вопрос к этому рассуждению; может быть, они сказали бы «чему равно первое число»?)

2) Так как тот же результат мы получили бы, отнимая 1,5 от второго числа, то

второе число равно 2,5 третьих чисел плюс 1,5.

3) Таким образом, сложить все три числа, это все равно, что сложить

2,5 третьего числа без 0,5,

2,5 третьего числа да еще 1,5

и третье число, что в сумме дает шесть третьих чисел плюс 1. Но эта сумма по условию задачи равна 22. Значит шесть третьих чисел в сумме дают 22 —1=21, откуда третье число равно

21:6 = 3,5.

Первое и второе числа теперь уже легко находятся, и на этом можно не останавливаться1.

Неужели не ясно, что все это рассуждение не представляет собой никакого своеобразного «арифметическо-

1 Е С. Березанская предложила иной ход рассуждений: по условию задачи первые два слагаемые дадут один и тот же результат (который мы назовем «паем», если к первому из них прибавить 0,5, а от второго отнять 1,5). Третье слагаемое по условию в 2,5 раза меньше одного пая и, значит, равно — пая. Таким образом,

Эта сумма на единицу меньше, чем сумма первоначальных чисел, т. е. равна 21. Отсюда — один пай равен 8,75. Искомые числа равны 8,75 — 0,5 = 8,25; 8,75 + 1,5= 10,25 и 8,75 • — = 3,5. Нет нужды говорить, что и в этом несколько более простом рассуждении фактически также вводится неизвестное — пай. Весь ход рассуждений отличается от алгебраического только тем, что вместо символических обозначений мы пользуемся словесными и тем самым усложняем рассуждения. — Б. Г.

го метода», но есть дословный перевод вышеприведенного алгебраического решения с языка формул на язык слов? И неужели не видно, что этот последний язык в данном случае неуклюж, неточен, мало выразителен, производит впечатление надуманности, искусственности и что просто бессмысленно требовать от рядового ученика V класса, чтобы он сам все это выдумал? Может быть, я решил не так, как нужно? Пусть тогда мне укажут более естественное «арифметическое» рассуждение.

Я не подбирал примерев искусствено, а взял два первых попавшихся; положительно утверждаю, что почти все арифметические задачи на соображение, выходящие за пределы просто вычислительных примеров, носят тот же характер; это сплошь алгебраические задачи на составление уравнений и систем уравнений первой степени, Конечно, если это угодно, то можно всегда, ценою весьма неприятной искусственности и значительного затемнения метода, весь необходимый алгебраический анализ задачи провести словесно, без формул и буквенных обозначений; как все это выглядит на практике, мы только что видели. Надеюсь, что я не одинок в резком чувстве отвращения к подобного рода «арифметическим» решениям.

Для чего все это нужно? Какую «сообразительность», какие вообще ценные способности ума можно развить в ребенке, заставляя его проделывать такие противоестественные, инстинктивно отталкивающие его упражнения? В VII классе на уроках алгебры он научится решать те же задачи легко, естественно, почти механически. Не похоже ли это на то, как если бы солдата в течение первого года службы заставляли овладевать ружьями, скажем, допетровской Руси, а только потом дали ему в руки винтовку современного образца?

Много и настойчиво говорят у нас о трудностях, связанных с преподаванием арифметики в пятых классах. Однако при анализе такого рода жалоб почти всегда оказывается, что собственная задача арифметики—изучение чисел и действий над ними — никогда непреодолимых трудностей не вызывает; что подлинно остается непосильной задачей, это — научить детей решать задачи «на соображение», т. е. самостоятельно изобретать способ решения задач, не являющихся простыми примерами применения арифметических действий. Мы только что

видели специфический характер этого рода задач и пытались выяснить всю естественность, даже неизбежность того, что решать не могут их не только учащиеся пятых классов, но и оканчивающие среднюю школу, студенты педвузов, а подчас и сами учителя (особенно начинающие). Надо тут же прибавить, что в старых задачниках попадались и «трудные» задачи иного рода (хотя и в значительно меньшем числе), где для решения требовался не элементарный алгебраический анализ, а изобретение специального, подчас весьма хитроумного рассуждения — изобретение, требующее специального конструкторского дарования, являющееся уже актом логического творчества; некоторые научные работники настаивали на включении в курс V класса именно такого рода задач, и притом даже в возможно большем числе.

Не думаю, чтобы такое требование было целесообразно; массовая школа никак не может в своем основном преподавании ориентироваться на возможности и нужды будущих специалистов-математиков; требующее специальной одаренности научное творчество не может входить в круг ее основной, обязательной для всех учеников работы в качестве сколько-нибудь значительного элемента; в лучшем случае, такого рода задачи могли бы входить в качестве факультативного элемента для желающих или для работы научного кружка; делать же ставку на овладение головоломными задачами всей основной массой учащихся значит, на мой взгляд, сознательно заниматься иллюзиями. Особенно досадно, когда сознаешь, что впустую потраченное на эти безнадежные попытки время могло бы быть с огромной выгодой использовано для лучшего овладения процентными вычислениями, действиями над десятичными дробями и т. п. Обидно, что неокрепшему еще в производстве этих элементарных операций детскому сознанию (вместо того, чтобы по возможности расширить круг соответствующих упражнений) навязываются задачи-головоломки, как правило, ему недоступные и его бесцельно изнуряющие. Ни в одной другой школьной дисциплине ничего подобного не практикуется, и по вполне понятной причине: сколько бы мы ни говорили о «развитии сообразительности» — остается несомненным фактом, что всякая попытка стимулировать научное творчество в области, которой учащийся сам еще твердо и полностью не овладел, способно вызвать либо

верхоглядство, либо разочарование и недоверие к науке и ее преподаванию.

Итак, резюмируем. Те задачи в курсе арифметики V класса, которые называют «задачами на соображение» и на культивировании которых настаивают некоторые представители нашей математической общественности, представляют собой в подавляющем большинстве случаев алгебраические задачи на составление уравнений, которые лишь весьма искусственным путем могут быть решаемы без помощи алгебраического анализа, в некоторых же случаях — задачи-головоломки, требующие для своего решения прямого логического изобретательства и, значит, соответствующих специальных способностей.

По причинам, которые указаны выше, я считаю, что оба эти типа задач должны быть исключены из основного материала арифметики V класса. Программа этого курса достаточно напряженная, она богата новыми понятиями и арифметическими операциями. Надо, как всегда, ухватиться за главное звено и все внимание направить на отнюдь не легкую задачу прочного усвоения понятий и операций, не отвлекая силы на чужеродные, второстепенные и — главное — вряд ли достижимые цели.

Те, кто настаивают на такого рода задачах, презрительно называют наши задачники «примерниками»; я предложил бы не пугаться этой клички; во всех школьных дисциплинах основною целью упражнений считается приобретение навыков в практическом применении усвоенного теоретического материала, и в этом не видят ничего зазорного; я не видел бы ничего зазорного и в том, чтобы и арифметика следовала такому разумному и естественному обычаю.

Те, кто пропагандируют этого рода задачи, настаивают на том, что без них курс арифметики скучен и не занимателен. Для меня же непонятно, почему ребенку заниматься изобретением противоестественных, чуждых привычному ходу его мыслей рассуждений, вроде приведенных выше, или часами ломать голову над изобретением недоступного ему в большинстве случаев хитроумного приема есть дело более интересное, чем, скажем, могущее легко принять даже характер спорта соревнование в быстроте и безошибочности операций над дробями или процентных вычислений. Я боюсь, что «скучно» не детям, а тем математикам, которые всем этим давно

и прочно овладели и для которых поэтому такие упражнения действительно носят характер чисто механического действия. Лично я много раз бывал свидетелем того, как ученик V класса, проделав ряд сложных вычислений и сверив свой результат с ответом, испытывал глубокое удовлетворение и как тот же ученик, бесцельно продумав час над решением алгебраической задачи без помощи алгебры, с тупым и весьма пессимистическим равнодушием записывал петом это решение с чужих слов.

Будем помнить, что всякая арифметика — в том числе и школьная — есть все-таки прежде всего учение о числах и операциях над ними. Дело это — важное, ответственное и служит основою всего дальнейшего математического (и не только математического) образования. И при его выполнении устремим все наши усилия и все усилия наших учеников на его прямую цель, не уклоняясь от нее и не подменивая ее как угодно соблазнительными лозунгами вроде «развития сообразительности»1.

1 Я знаю, что эта статья А. Я. Хинчина вызовет много возражений и что будет сказано много слов о недооценке задач арифметического характера для развития математического мышления. Чтобы избежать недоразумений, нужно заявить сразу, что Александр Яковлевич не был никогда противником арифметики и не был противником развития сообразительности. Но он был всегда ярым противником бессмысленного усложнения рассуждений, подмены математического языка (обозначения неизвестной какой-либо буквой) усложненными словесными ухищрениями. Мои личные наблюдения над школьниками первых шести классов убедили меня в том, что детям куда проще освоиться с буквенным обозначением неизвестного, чем с запутанными зачастую представлениями о «частях», «паях», фактически лишь подменяющими собой введение буквенных обозначений для неизвестных. — Б. Г.

О ХИНЧИНЕ

● А. И. МАРКУШЕВИЧ — А. Я. ХИНЧИН КАК ПРЕПОДАВАТЕЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ● Б. В. ГНЕДЕНКО — АЛЕКСАНДР ЯКОВЛЕВИЧ ХИНЧИН ●

А. Я. ХИНЧИН КАК ПРЕПОДАВАТЕЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Александр Яковлевич Хинчин счастливо сочетал эрудицию, глубину и творческий темперамент большого ученого с замечательным педагогическим мастерством.

Спокойно, неторопливо, негромким, но очень отчетливым и каким-то проникновенным голосом читал он лекции. Его курсы были невелики по объему, свободны от рассеивающих внимание подробностей. Но он не жалел времени на то, чтобы хорошо разъяснить важность и значение математического понятия, мотивировать постановку вопроса или задачи. Такую психологическую подготовку слушателей к восприятию нового для них научного материала Александр Яковлевич осуществлял неизменно, и в этом, быть может, больше чем в других особенностях его преподавания, сказывался педагог-мастер. Этим путем он добивался готовности аудитории к предстоящей серьезной умственной работе. Только при этом условии можно было ожидать, что слушатели проникнутся пониманием значения поставленной задачи, сознательно отдадутся руководству лектора и будут вслед за ним проходить через все этапы сложных математических построений, не ощущая ни безразличия, ни скуки. И действительно, в аудитории, где читал свои лекции А. Я. Хинчин, не было места пассивности. Лектор зорко наблюдал за студентами, добиваясь того, чтобы ход его рассуждений оставался посильным для каждого, добросовестно слушающего и думающего. Но добрейший Александр Яковлевич сурово хмурился, когда какой-либо

слушатель пытался отвлечься от прямого дела, заглядывая в книгу или газету или перешептываясь с соседом. Полного внимания и абсолютной тишины он требовал не только в стенах аудитории. Услышав шум в коридоре, он мог прервать изложение и вновь вернуться к обсуждаемому вопросу лишь после .восстановления тишины. Но, кроме этих редких невольных отвлечений в сторону, А. Я. Хинчин охотно давал в своих лекциях место вставкам чисто педагогического характера. Видя в своих слушателях будущих педагогов, он нередко делился с ними соображениями о том, как излагать математический вопрос, чтобы добиться максимальной ясности, выпуклости и выразительности.

Одной из характерных особенностей А. Я. Хинчина как преподавателя «высшей школы было то, что он не боялся браться за очень трудные педагогические проблемы, вырабатывая метод для их решения, и, убедившись в его эффективности, развивал и совершенствовал его в новых условиях. Замечательный пример достижений в этом направлении дают «Восемь лекций по математическому анализу», выдержавшие к настоящему времени четыре издания и переведенные на многие иностранные языки. Александр Яковлевич решил прийти на помощь тем широким кругам специалистов, которые, усвоив более или менее основательно алгорифмическую сторону математического анализа, научившись дифференцировать и интегрировать, хотели бы подвести под свои знания принципиальную, идейную и логическую базу. К этой категории специалистов, как указывал А. Я. Хинчин, относятся не только инженеры и экономисты, но также многие учителя и университетские студенты-математики. Все дело в том, чтобы дать возможность людям, знающим конкретные детали, оторваться от рассмотрения частностей и увидеть весь предмет в целом.

А. Я. Хинчин начал, как он писал в предисловии к первому изданию «Восьми лекций», с курса из 12 лекций, предназначенного для инженеров, повышавших свою математическую квалификацию при Московском университете, и курс этот, несмотря на его краткость, удовлетворил запросы слушателей. «Мне удалось найти правильный ключ к решению стоявшей передо мной педагогической задачи,— писал Александр Яковлевич,— я с са-

мого начала отказался от мысли излагать хотя бы одну главу своего предмета в полной подробности; вместо этого я ограничивался возможно выпуклым, конкретным и впечатляющим развитием принципиальных моментов, говорил больше о целях и тенденциях, о проблемах и методах, о связях основных понятий и идей анализа между собой и с приложениями, чем об отдельных теоремах и их доказательствах. Я не боялся в целом ряде случаев для ознакомления с неимеющими принципиального значения деталями доказательств (и иногда и с целыми цепями теорем и доказательств) отсылать моих слушателей к учебнику...»

Неправда ли, здесь в немногих чертах намечен своего рода «царский путь» в математику нашего времени? Но такой образ действий лектора важен не только для преподавания математики: его mutatis mutandis1 можно смело рекомендовать для многих лекционных курсов естественных и гуманитарных наук, и именно в этом направлении следует искать средства высвобождения времени студентов для самостоятельной работы.

Конкретное осуществление замысла А. Я. Хинчина содержится в «Восьми лекциях». Можно не настаивать на том, чтобы весь материал книги был изложен в течение именно восьми двухчасовых лекций. Речь идет о 8 главах, объем каждой из которых колеблется от 24 до 42 печатных страничек небольшого формата (мы пользуемся третьим изданием книги). Каждая посвящена одному из фундаментальных вопросов математического анализа. Вот названия этих глав «лекций»: I. Континуум, II. Пределы, III. Функции, IV. Ряды, V. Производная, VI. Интеграл, VII. Разложение функций в ряды, VIII. Дифференциальные уравнения.

В нашей заметке мы ограничимся лишь немногими примерами тех приемов, благодаря которым Александр Яковлевич умел с первых же слов вовлекать читателя или слушателя в серьезную умственную работу, в которой тот ощущал себя полноправным творческим собеседником автора-лектора.

Например, лекция I, посвященная изучению понятия действительного числа, открывается вопросом: «Почему

1 [мутатис мутандис] — внося соответствующие изменения. — Б. Г.

математический анализ должен начинаться с изучения континуума?»

Автор, цитируя обычное определение функции, подчеркивает, что в этом определении, «как в зародыше, уже заложена вся идея овладения явлениями природы и процессами техники с помощью математического аппарата» (стр. 9). Это заставляет требовать от определения полной, безукоризненной ясности и, в частности, иметь полное представление о запасе всех значений, которые может принимать величина х.

«И совершенно так же, как. мы должны тщательно исследовать почву, прежде чем дать ей выращивать нужные нам растения, мы в высшей математике, желая быть рачительными и научно, а не наудачу действующими хозяевами, прежде чем строить на базе понятия функциональной зависимости все здание этой науки, должны тщательнейшим образом изучить ту среду, в которой живет и развивается это понятие» (стр. 11). Таким образом мотивируется важность и необходимость изучения строения континуума. Далее автор сообщает о том, что все известные теории континуума «имеют своей целью, принимая в качестве первоначальной данности множество рациональных чисел, получать из него сразу всю совокупность всех вещественных чисел с помощью единого конструктивного принципа» (стр. 16), позволяющего затем обосновать операцию предельного перехода. После этого становится ясным, что нет нужды рассматривать различные способы обоснования теории действительных чисел, а достаточно в качестве образца лишь одного из них (теории Дедекинда).

В качестве другого примера возьмем начало III лекции, посвященной понятию функции. Здесь Александр Яковлевич сообщает слушателям, что приведенное в I лекции определение функции родилось и восторжествовало в тяжелой борьбе с засилием аналитического аппарата, тяготеющим с XVIII века над идеей функциональной зависимости. Чтобы раскрыть перед читателем существо вопроса, автор развертывает воображаемую дискуссию между «математиком» и «инженером» по вопросу о том, определяет или нет функцию некоторая система условий (речь идет, в частности, о функции Дирихле). Дискуссия заканчивается, разумеется, полной победой математика.

В лекции о производной (лекция V) автор убеждает читателя, что «если мы хотим получить представление о том, как быстро меняется величина у при изменении независимой переменной х, насколько «чувствительна» функция f(x) к такому изменению, то мы должны, конечно, так или иначе сопоставить, сравнить между собой приращение функции у и то изменение h величины х, которое повлекло за собой это приращение...»

В результате, естественно, появляется отношение / (х -ь h) — / (х) ^ а заТем и его предел, при h, стремящемся к нулю. Мы ограничимся только этими примерами, отсылая читателя, который не знаком с «Восемью лекциями» Хинчина или читал, но успел забыть эту книгу, к первоисточнику, интересующему нас здесь прежде всего с точки зрения педагогического мастерства.

Если в «Восьми лекциях» Александр Яковлевич блестяще решил задачу обзора идейного содержания курса математического анализа, уже известного в основных чертах читателю, то в «Кратком курсе математического анализа» [144] он решает задачу дать такой учебник анализа для студентов I—II курсов университета, который по материалу был бы строго ограничен обязательными для каждого изучающего рамками программы и в то же время построен на вполне современном научном уровне.

В этом курсе, как и в «Восьми лекциях», автор не жалеет слов на то, чтобы читателю в каждый момент была ясна закономерность того пути, по которому он идет, и «чтобы при введении новых понятий и построении новых теорий учащийся по возможности заранее был подготовлен воспринять эти нововведения как естественные и даже неизбежные». Установки А. Я. Хинчина нам хорошо знакомы; автор подчеркивает, что «только этим путем можно добиться подлинного интереса к предмету и неформального его усвоения». Но в отличие от «Восьми лекций» в «Кратком курсе» нельзя было опускать детали доказательств и даже целые теоремы, предусмотренные программой. Напротив, чтобы облегчить труд читателя, который ведь впервые знакомится с предметом, «все рассуждения в курсе доведены до мельчайших деталей».

Особый интерес в книге А. Я. Хинчина представляет изложение теории пределов. Автор считает необходимым построить мост между тем несколько расплывчатым и

интуитивным понятием предела, которое выносится из средней школы, и формальным определением, использующим е и о, опирающимся на теорию действительных чисел. С этой целью он излагает сначала (в главе II) теорию пределов на основе представлений о «процессе» и его моментах, не определяя эти понятия. Далее, в главе III, понятие процесса описывается математически и соответственно уточняется понятие предела. Наконец, известным нам из «Восьми лекций» путем мотивируется необходимость построения теории действительных чисел (на этот раз берется теория Вейерштрасса) и на этой основе завершается теория пределов. В этом построении сказывается особая внимательность автора к читателю, впервые знакомящемуся с анализом. Заметим, однако, что весьма суженное понятие процесса1 оказывается недостаточным, чтобы охватить в дальнейшем процесс образования интегральных сумм. Поэтому для определения интеграла автору приходится еще раз возвращаться к понятию предела, определяя смысл предела интегральных сумм (стр. 199—200).

Мы не будем останавливаться на других особенностях «Краткого курса». Отметим только, что А. Я. Хинчин, помимо детально разобранных в тексте примеров и задач, указывает в надлежащих местах немногочисленные номера упражнений по «Сборнику задач и упражнений по математическому анализу» (Гостехиздат, 1952) Б. П. Демидовича, которые нужно решить для лучшего уяснения теории. При этом подчеркивается, что для приобретения необходимых навыков нужны дальнейшие упражнения по указанию преподавателя. Ссылкам на упражнения автор придает немалое значение; по крайней мере ко второму изданию курса прилагается специальный указатель, где номера задач приводятся в соответствие с новым изданием задачника.

Книга заканчивается сжатым, но содержательным историческим очерком анализа, доведенным до наших дней.

1 А. Я. Хинчин рассматривает процесс «как ряд последовательных значений некоторой «основной» переменной величины; эта величина либо имеет своими значениями натуральные числа (т. е. меняется скачкообразно и непрестанно возрастает), либо изменяется непрерывно, проходя через промежуточные значения; в последнем случае она может либо непрестанно возрастать, либо непрестанно убывать...»

Если учесть, что автор в объеме всего 39 листов излагает весь двухгодичный университетский курс математического анализа, излагает его свежо, живо, интересно и доступно, то большое педагогическое мастерство А. Я. Хинчина представляется в особенно ясном свете. Можно не сомневаться в том, что книги А. Я. Хинчина по математическому анализу послужат еще многим и многим, изучающим математику, и надолго останутся образцами блестящего умения говорить о сложных вещах содержательно, доступно и увлекательно.

Академик АПН РСФСР А. И. Маркушевич

АЛЕКСАНДР ЯКОВЛЕВИЧ ХИНЧИН

Александр Яковлевич Хинчин родился 19 июля 1894 г. в селе Кондрово Медынского уезда Калужской губернии (ныне город Кондрово, центр Дзержинского района Калужской области). Его отец был главным инженером на Кондровской бумажной фабрике и среди специалистов бумагоделательного производства пользовался известностью и авторитетом. В Кондрово прошли детские годы Александра Яковлевича, там же он проводил позднее каникулярное время как в период обучения в реальном училище, так и во время университетской жизни. Он обладал живым и общительным характером, дружил со своими сверстниками из среды рабочей молодежи. Увлечение театром передалось его товарищам. Оно было настолько велико, что ими был создан в Кондрово любительский театр. Из устных воспоминаний Александра Яковлевича мне известно, что сам он выполнял обязанности режиссера и актера. Иногда они ставили платные спектакли. На вырученные деньги им удалось организовать несколько поездок в Москву с целью посетить спектакли Художественного театра.

Одновременно годы ранней юности были годами увлечения литературой. Результатом чего было несколько гомиков стихов, изданных в период с 1912 по 1917 год. Литературные интересы долго боролись в нем с математическими. Увлечение математикой окончательно по-

бедило только в последнем классе реального училища, когда Александр Яковлевич познакомился с основами математического анализа. В значительной мере на окончательный выбор оказало влияние то, что его преподавателем по реальному училищу был один из лучших школьных математиков М. Ф. Берг, задачники которого в ту пору пользовались большой известностью. Несомненно, что увлечение театром и литературой не прошло бесследно и сказалось не только на формировании гражданских качеств Александра Яковлевича, но и на формировании его как одного из самых блестящих лекторов и авторов математической литературы. Как в устном, так и в письменном изложении он умел мастерски сочетать превосходную литературную форму с научной глубиной и строгостью трактовки материала, сохраняя при этом исключительную ясность и отчетливость изложения. Я вспоминаю, что на заседаниях Московского математического общества на его доклады можно было ходить безбоязненно, так как все детали доказательства и основная мысль, которую он желал оттенить, были ясны даже тем, кто совершенно не занимался специальными вопросами, о которых рассказывал Александр Яковлевич.

После окончания реального училища Хинчин поступил в 1911 г. на физико-математический факультет Московского университета. В ту пору профессора Д. Ф. Егоров и H. Н. Лузин начали разработку проблем теории функций действительного переменного и ими были получены в этой области основополагающие результаты. Ряд студентов увлеклись этой теорией и начали с энтузиазмом работать под руководством Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина. Среди них был и А. Я. Хинчин. Первый его самостоятельный научный шаг был вызван работами А. Данжуа о примитивных функциях. В докладе, прочитанном 6 ноября 1914 г. на студенческом математическом кружке, Хинчин предложил естественное для всего духа идей метрической теории функций обобщение понятия производной. Это понятие прочно вошло в арсенал современной науки под наименованием асимптотической производной.

Говорят, что если в точке х0 существует предел

когда X при стремлении к хо пробегает значения, принадлежащие некоторому множеству е, имеющему в точке хо плотность 1, то этот предел называется асимптотической производной функции / (х) в точке хо. В указанном докладе было показано, что так определенное понятие инвариантно относительно выбора множества е. Иными словами, если какие-либо два множества ei и ег имеют в точке хо плотность 1 и предел (1) существует как для ei, так и для 62, то оба они равны между собой.

Одновременно А. Я. Хинчин работал с успехом и в других областях математики. Об этом можно судить хотя бы по решению Ученого совета физико-математического факультета от 25.XI 1915 г., в пункте 30 которого говорится: «За сочинение «Бесконечные ряды функций, их сходимость, почленное интегрирование и дифференцирование» золотая медаль присуждена студенту Хинчину».

Понятие асимптотической производной и ее использование для целей обобщения понятия интеграла Лебега было предметом первых научных статей Хинчина. Позднее основная идея этого понятия была широко использована им для всестороннего изучения локального поведения измеримых функций.

Говорят, что некоторое свойство осуществляется в данной точке асимптотически, если оно имеет место после удаления множества, имеющего в ней плотность 0. Хинчин предложил называть функцию / (х) асимптотически направленной в точке х0, если она становится асимптотически убывающей, возрастающей или постоянной. Функция / (х) асимптотически направлена на данном множестве положительной меры, если она направлена асимптотически почти во всех его точках. Основной результат Хинчина, выясняющий строение асимптотически направленных функций, дается следующей теоремой: чтобы функция f (х) была асимптотически направлена на данном множестве, необходимо и достаточно, чтобы ее значения в этом множестве с точностью до множества произвольно малой меры совпадали со значениями непрерывной функции, обладающей лишь конечным числом максимумов и минимумов.

Важность понятия асимптотической направленности подчеркивается тем, что функции, обладающие этим свойством, имеют почти всюду на рассматриваемом множестве асимптотическую производную. Условие суще-

ствования асимптотической производной почти всюду на отрезке было найдено А. Я. Хинчиным еще в заметке [2], напечатанной в 1917 г. Для этого необходимо и достаточно, чтобы данная функция совпадала с непрерывной функцией ограниченной вариации на всем отрезке за исключением, быть может, множества сколь угодно малой меры. Общая структура измеримых функций выявляется следующим предложением А. Я. Хинчина: всякая измеримая функция, за исключением, возможно, множества меры нуль, либо имеет асимптотическую производную, либо оба ее верхних асимптотических производных числа равны -f-oo , а оба нижних асимптотических производных числа равны — оо.

Вскоре после опубликования в журнале «Математический сборник» работы «Исследования о строении измеримых функций» редакция журнала «Fundamenta Mathematica» опубликовала ее полный перевод на французский язык. Именно в этой работе и производился только что указанный анализ свойств измеримых функций.

Увлечение исследованием глубоких свойств измеримых функций не прошло бесследно ни для математики, ни для выбора последующих направлений работы Хинчина: развитие идей Хинчина, особенно для функций многих переменных, осуществляется рядом ученых и в наши дни; дальнейшие работы самого Хинчина как в теории чисел, так и в теории вероятностей в значительной степени проводились под влиянием идей и методов теории функций действительного переменного.

Своевременно мы не сказали, что способности Александра Яковлевича были замечены в университете, и после окончания университета в 1916 г. он был оставлен для подготовки к профессорскому званию. Его педагогическая работа началась в 1918 г. преподаванием в Московском женском политехническом институте. Через год его пригласили профессором в Политехнический институт, который был организован М. В. Фрунзе в Иваново-Вознесенске. Вскоре был создан Иваново-Вознесенский педагогический институт и деканом физико-математического факультета был избран А. Я. Хинчин. Он уделял много внимания приему студентов, организации педагогического процесса, популяризации научных знаний. Его публичные лекции на разнообразные темы— математика, психология, литература — пользовались

огромным успехом. В тридцатые годы в Иваново-Вознесенске мне об этом с увлечением рассказывали те, кто стремился не пропускать публичных лекций Александра Яковлевича.

В 1922 г. в МГУ был организован Научно-исследовательский институт математики и механики. С момента его организации А. Я. Хинчин был приглашен в качестве научного сотрудника. Некоторое время он совмещал эту работу с работой в Иваново-Вознесенске. Потом он заведовал кафедрой математики в Педагогическом институте им. Либкнехта. С 1927 г. Александр Яковлевич получил профессуру в Московском университете и окончательно перешел туда на работу. С тех пор его деятельность неразрывными узами связана с университетом: он заведовал кафедрой теории вероятностей, затем кафедрой математического анализа, был директором НИИ математики и механики МГУ (1932—1934). В Московском университете А. Я. Хинчин заслуженно пользовался славой одного из самых блестящих лекторов. И действительно, его лекции отличались не только высокими научными качествами, но также литературной отточенностью, исключительной доходчивостью и изяществом изложения. Немудрено, что лекции Александра Яковлевича привлекали к нему многочисленных слушателей. Ряд математиков Советского Союза счастливы сознавать себя его учениками и проводить в жизнь его научные и методические принципы. Я также счастлив тем, что мне довелось быть одним из самых близких, если не ближайшим учеником А. Я. Хинчина. Навсегда в моей памяти сохранится та теплота, с которой он относился к людям, и то постоянное желание оказать действительную помощь тем, кто работал и подавал надежды.

Для формирования дальнейших научных интересов А. Я. Хинчина исключительно большое значение имеют годы 1922—1925. Именно в этот период им была начата разработка двух направлений исследований широкого математического значения. Одновременно это означало распространение интересов московской школы теории функций действительного переменного на новые разделы математической мысли. С одной стороны — на метрическую теорию чисел, а с другой — на теорию вероятностей. В зачаточной форме оба эти направления — использование идей, понятий и методов теории множеств

и теории функций для изучения метрических свойств различных классов иррациональных чисел, а также в теории вероятностей — можно найти в работах Э. Бореля, относящихся к 1909—1917 гг. Вся дальнейшая собственно математическая деятельность Хинчина является в значительной мере синтезом этих двух направлений исследований: зачастую теоретико-вероятностные идеи наводили на мысли теоретико-числового характера, так же как и идеи метрической теории чисел приводили к результатам в области теории вероятностей.

Чтобы составить представление о характере теоретико-числовых результатов А. Я. Хинчина, приведем несколько формулировок доказанных им теорем. В работе 127], относящейся к 1926 г., содержится доказательство следующего факта: пусть ф(0 положительная функция с монотонно убывающим произведением t2q>(t). Неравенство

для почти всех а имеет бесконечное число решений в целых числах р и q тогда и только тогда, когда расходится интеграл

Ряд законченных изящных результатов А. Я. Хинчина относится к метрической теории непрерывных дробей. Мы ограничимся здесь формулировкой двух таких теорем [75] и [77]. Пусть аь а2,... неполные частные разложения иррационального числа а в непрерывную дробь, а Ц\, 92,..- — знаменатели подходящих дробей этого разложения. Тогда для почти всех а существуют пределы

и

где С и D—абсолютные постоянные (С=2,6...; как позднее нашел П. Леви, lnZ)=——V С точки зрения теории

вероятностей эти теоремы можно трактовать как асимптотические свойства для сумм членов последовательностей слабо зависимых величин. К этому же кругу идей относится и известный результат Хинчина под названием закона повторного логарифма. Именно в 1923 г. [101 ему удалось уточнить одну оценку частоты распределения нулей и единиц в двоичном разложении действительных чисел, которая была получена в 1914 г. Харди и Литтльвудом. Если через \i (п) обозначить уклонение числа единиц, находящихся на первых местах разложения, от~1 т0> как онн обнаружили, для почти всех чисел |i(/i) = 0(|/ п In п ). В работе [10] удалось доказать, что эту оценку можно заменить на более точную: для почти всех чисел jli (п)=0( Yn\n In п). Через год появилась статья [14], в которой Хинчин трактовал эту задачу как задачу теории вероятностей. В терминах теории чисел мы можем сформулировать этот окончательный результат так: для почти всех чисел а имеет место равенство

Это равенство и составляет знаменитый закон повторного логарифма, которому позднее было посвящено большое число превосходных исследований многих ученых. Я хочу сейчас напомнить лишь об одном результате, уточняющем закон повторного логарифма в духе первой из приведенных мной теорем теории чисел. Этот результат был получен уже в начале сороковых годов Эрдешем1 и Феллером2 на основе предшествовавшей работы И. Г. Петровского3, посвященной граничным задачам для уравнения теплопроводности.

Вопрос можно поставить так: найти все те функции Ф (л), для которых неравенство

\i(n)<<p(n)

1 Р. Erdös, On the law of the iterated logarithm, Ann. of Math, 43, 419—436, 1942.

2 W. Feller, The general form of the so-called law of the iterated logarithm, Trans. Amer. Math. Soc. 54, N 3, 373—402, 1943.

3 I. Petrowsky, Zur ersten Randwertaufgabe der Wärmeleitungsgleichung, Compos. Math. 1. 383—419, 1935.

выполняется для почти всех чисел а при всех я, за исключением, быть может, конечного их числа. Из результата Хинчина вытекает лишь, что условие

достаточно, а условие

необходимо. Необходимое и достаточное условие, которому должна удовлетворять функция ф (дг), состоит в сходимости интеграла.

А > О любое.

Если говорить об исследованиях А. Я. Хинчина в области неметрических задач теории чисел, то в первую очередь следует указать на его работы по теории диофантовых приближений и на теорему о сложении последовательностей целых чисел [53], [991,1105]. Эта последняя теорема состоит в следующем: пусть <р — последовательность натуральных чисел, ф (п) — число членов этой последовательности, которые не превосходят п. Назовем плотностью последовательности ф и обозначим через D (ф) нижнюю грань чисел у ^ . Суммой последовательностей (фО, (фг),.--, (ф*) называется последовательность чисел а1-\-а2-\-...-\-акУ где каждое a t есть либо нуль, либо число последовательности ф/ (1 < i < k). Хинчин доказал, что если

то

для случая последовательностей с равными плотностями. Опубликование этого результата привлекло внимание

многих математиков и вызвало многочисленные попытки распространить его на последовательности с разными плотностями. Долгое время, однако, проблема не поддавалась усилиям. И лишь в 1942 г. Манну, а через год Артину и Шерку удалось найти полное ее решение.

Среди достижений А. Я. Хинчина в теории диофантовых приближений укажем на принадлежащий ему важный принцип переноса, который связывает решение линейных неравенств в целых числах с диофантовыми приближениями коэффициентов аппроксимирующих линейных форм. Говоря о работах Александра Яковлевича в области теории чисел, нельзя не упомянуть превосходные популярные книги, написанные им в различные годы. Среди них я хотел бы особо отметить небольшие книжки «Цепные дроби» [73] и «Три жемчужины теории чисел» [120], переведенные на многие языки мира.

Как ни значителен вклад А. Я. Хинчина в теорию функций и теорию чисел, все же основная его роль в прогрессе математики связана с теорией вероятностей. Оттолкнувшись первоначально от задач, связанных с теорией чисел (закон повторного логарифма), и теории функций (сходимость рядов из независимых случайных величин), он постепенно включал в орбиту своих интересов все больший и больший круг проблем теории вероятностей. Более того, он привлек к разработке ее проблем многих молодых московских математиков, положив тем самым начало московской школе теории вероятностей.

Вслед за работами, посвященными закону повторного логарифма и суммированию рядов со случайными членами, последовали труды А. Я. Хинчина, посвященные классическим проблемам суммирования независимых случайных величин. Среди полученных результатов я хотел бы выделить исключительно прозрачное условие применимости закона больших чисел в случае независимых одинаково распределенных слагаемых, которое сводится к существованию конечного математического ожидания [44] Далее нужно отметить плодотворное понятие относительной устойчивости сумм [74], которое оказалось в самой близкой связи с формулировкой окончательных условий сходимости нормированных сумм независимых слагаемых к нормальному

распределению. Для случая одинаково распределенных слагаемых А. Я. Хинчину удалось одновременно с П. Леви и В. Феллером и независимо от них найти необходимые и достаточные условия сходимости к нормальному закону [79]. Особо нужно отметить работы, которые можно считать началом современной проблематики «больших отклонений» [47] и [48]. К этому же кругу идей мы должны отнести построение А. Я. Хинчиным общей теории предельных распределений для сумм независимых случайных величин [91]. Основное предложение развитой им теории может быть сформулировано так: класс предельных распределений для сумм независимых, бесконечно малых случайных величин совпадает с классом безгранично делимых распределений. Доказательство этого факта, а также других предложений теории суммирования потребовало развития и приведения в порядок теории безгранично делимых распределений, незадолго перед тем введенных в рассмотрение Бруно де Финетти и А. Н. Колмогоровым.

Теория суммирования трижды вдохновляла А. Я. Хинчина на написание монографий. Первая монография на эту тему была им издана в 1927 г. [35], после того как он прочел в Московском университете специальный курс на эту тему. Вторая монография [65] связала классические проблемы суммирования с теорией марковских процессов и исследованиями, незадолго до того законченными А. Н. Колмогоровым и И. Г. Петровским. Третья монография [92] давала стройное изложение общих предельных теорем для сумм независимых слагаемых и их применение к классической задаче о сходимости нормированных сумм к нормальному закону. Созданию этой книги также предшествовало чтение специального курса в Московском университете. Этот курс привлек тогда к теории суммирования интересы А. А. Боброва, Б. В. Гнеденко, Д. А. Райкова.

В непосредственной связи с теорией суммирования находятся работы Хинчина по арифметике законов распределения, в которых исследуются вопросы представления распределений в виде композиции (произведения) распределений. Среди полученных Хинчиным результатов отметим следующие: каждое распределение разлагается в произведение безгранично делимого и сходящегося произведения конечной или счетной последователь-

поста неразложимых распределений; деление функций распределения, вообще говоря, неоднозначно (в силу одного примера Б. В. Гнеденко). К последнему предложению примыкают работы М. Г. Крейна по продолжению эрмитово-определенных функционалов. Исследования А. Я. Хинчина по арифметике законов распределения вызвали к жизни ряд работ П. Леви, Д. А. Райкова, Дюге и в последнее время Ю. В. Линника.

Интерес к философским и методологическим вопросам, который А. Я. Хинчин проявлял еще в период школьного обучения, привел его к ряду публикаций по философским вопросам математики [30], [38], [43], [50], [141], [152]. В то же время размышления о роли математики в деле познания закономерностей природы ввели его в проблематику физической статистики [51]. Вопросы статистической физики с этого времени заняли большое место в творчестве А. Я. Хинчина. И, собственно, все, чем он ни занимался позднее в теории вероятностей, так или иначе находило отклик в его исследованиях по статистической физике. Это относится и к его занятиям предельными распределениями для сумм независимых случайных величин, и случайными процессами марковского типа, и к развитой им теории стационарных случайных процессов. В личных беседах он постоянно подчеркивал, что именно размышления над вопросами статистической физики натолкнули его на идею рассмотрения того класса случайных процессов, которые теперь получили наименование стационарных.

Несомненно, что в развитии теории вероятностей за последние пятьдесят лет мысль об изучении случайных процессов является одной из самых плодотворных и оказавших наибольшее влияние не только на структуру всей этой ветви математики, но и на установление многочисленных глубоких связей с самыми разнообразными естественнонаучными и техническими дисциплинами. Идея рассмотрения стационарных процессов оказалась исключительно важной, а роль А. Я. Хинчина в оформлении начал теории стационарных случайных процессов исключительно большой. В некоторой мере необходимость рассмотрения такого класса процессов начала уже широко ощущаться в науке. При изучении задач геофизики такие ученые, как Б. Тейлор и Келлер, приблизились к понятию стационарного процесса. Е. Е. Слуцкий

на почве анализа статистических рядов пришел к мысли о том, что определенного типа процессы (являющиеся частным случаем стационарных) способны в известном смысле имитировать поведение периодических и почти периодических процессов. В работе [52], а позднее в [60] Хинчиным был установлен ряд теорем типа закона больших чисел для стационарных последовательностей. В 1933 г. им были даны упрощенные доказательства теорем статистической динамики (также типа закона больших чисел), ранее найденных Купманом и Дж. фон Нейманом. Основные его успехи в теории стационарных процессов связаны, однако, с двумя другими его статьями. В первой было дано широкое обобщение известной теоремы Г. Биркхофа, доказанной с использованием многочисленных специальных допущений лишь для динамических систем с фазовым пространством в виде конечно-мерного многообразия. Именно в [58] была дана формулировка и приведено полное доказательство теоремы, которая теперь заслуженно получила название теоремы Биркхофа—Хинчина. В случае дискретного времени она звучит так: если последовательность случайных величин

Ei, £2> •••»

стационарна и математическое ожидание Ъп конечно, то с вероятностью единица существует конечный предел

В статье [67] были заложены основы современной спектральной теории стационарных процессов. Здесь же были даны определения стационарных (в широком и узком смыслах) случайных процессов. Указанные результаты А. Я. Хинчина продолжают играть в теории стационарных процессов центральную роль, несмотря на то, что со дня их получения прошло более двадцати пяти лет.

Начиная с 1929 г. А. Я. Хинчин неоднократно возвращался к рассмотрению проблем статистической физики. Только что говорилось о том, как эти его интересы повлияли на занятия теорией стационарных случайных процессов. С другой стороны, его исследования в обла-

сти предельных теорем для сумм привели к разработке метода получения основных теорем статистической физики. Начиная с 1941 г. он систематически развивал ту идею, что основные математические задачи статистической физики могут быть сведены к хорошо разработанному аппарату предельных теорем для сумм независимых случайных величин. Особую роль при этом играют локальные предельные теоремы. В значительной степени под влиянием этого убеждения Хинчина в последние 15 лет так оживился интерес к локальным предельным теоремам. Эти его идеи широко известны по прекрасным монографиям [113], [132], [136], первые две из которых переведены и изданы в ряде стран, в том числе в Германии и США.

Последний период творческой деятельности Хинчина падает на годы 1953—1956. Два типа задач занимали его в это время. С одной стороны, он увлекся новой областью— теорией информации, возникшей в трудах в первую очередь К. Шеннона. Здесь его привлекли вопросы логического упорядочения доказательств, данных творцами теории информации без достаточно строгих обоснований. Эти работы Хинчина [143] и [150] благодаря немецкому и английскому переводам сделались легко доступными для ознакомления не только советским читателям.

С другой стороны, он много внимания уделял вопросам теории очередей или, как предложил ее называть Хинчин, теории массового обслуживания. Интерес к стоящим здесь проблемам возник у него еще в начале тридцатых годов, когда он в результате общественной деятельности, в качестве депутата Моссовета оказался тесно связан с работниками московской телефонной сети. Именно к этому времени относятся его исследования «Математическая теория стационарной очереди» [57] и «О среднем времени простоя» [59], достаточно хорошо известные специалистам.

В последних работах его увлекали не отдельные частные задачи теории обслуживания, а изучение общих проблем, в первую очередь построение теории входящего потока требований1. В значительной мере именно этой задаче посвящена его последняя монография [146] и две

1 Если не считать работы [155].— Б. Г.

последние математические работы [148], [149]. Нужно заметить, что это направление исследований имеет далеко не только теоретический интерес. Рассмотренные Хинчиным вопросы имеют непосредственное отношение к широкому спектру важнейших технических и научных применений.

Облик ученого будет обеднен, если мы не дополним его еще одной чертой: постоянным интересом к вопросам преподавания как в высших учебных заведениях, так и в средней школе. Свои педагогические взгляды он излагал в учебниках, монографиях, популярных книгах, специальных статьях, в рецензиях на книги других авторов. Неоднократно он выступал с докладами по наиболее животрепещущим методическим, воспитательным и общепедагогическим вопросам перед учительской общественностью, на заседаниях Учебно-методического Совета Наркомпроса РСФСР, в Кабинете математики Научно-исследовательского института школ Наркомпроса РСФСР, а позднее в Академии педагогических наук РСФСР.

В течение 1938—1940 гг. Александр Яковлевич руководил физико-математической секцией Учебно-методического совета Наркомпроса РСФСР и Кабинетом математики в НИИ школ Наркомпроса РСФСР. Позднее, с момента организации Академии педагогических наук РСФСР, он вошел в число ее действительных членов и был избран членом Президиума. Он принял живое и деятельное участие в ее работе путем привлечения к работе квалифицированных ученых—математиков и методистов,— разработки планов и осуществления издательской деятельности, организации и проведения «Педагогических чтений». Нельзя также обойти молчанием активную работу Александра Яковлевича по организации авторского коллектива для создания настольной книги по математике «Энциклопедия элементарной математики». Известно, что в вышедших томах ему принадлежит не только роль редактора, но и роль автора превосходной статьи «Элементы теории чисел».

Судьбы математического образования в советской средней школе сильно волновали Александра Яковлевича. Видя некоторые недостатки школьного математического образования, он не считал возможным ограничиваться только беспощадной их критикой, но стремился

делом помочь их искоренению. С большими докладами по этим вопросам он выступал еще в 1938 г. на заседании Московского математического общества, а затем в 1943 г.— на Ученом совете Математического института им. В. А. Стеклова. Тогда же им была подготовлена большая докладная записка, позднее переданная в Наркомпрос РСФСР. В этой записке вскрывались недостатки программ, дефекты учебников, пороки в подготовке учителей и намечались важные мероприятия по их устранению. Она не устарела до сих пор и может считаться в некотором смысле программным документом.

Основные методические принципы, которых придерживался Александр Яковлевич, нашли, пожалуй, наиболее полное выражение в двух его произведениях — брошюре «Основные математические понятия математики и математические определения в средней школе» и в книге «Восемь лекций по математическому анализу». В несколько суммарной форме эти принципы можно сформулировать так:

1. Математические знания должны излагаться в соответствии с их пониманием и трактовкой современной наукой. В соответствии с возрастными особенностями учащихся, возможно, необходимо давать эти представления в несколько упрощенном виде, но школьная трактовка не должна искажать научную трактовку, придавать ей черты, противоречащие научному пониманию.

2. Замена отчетливых и точных определений, формулировок и рассуждений расплывчатыми, не имеющими точного смысла и при последовательном использовании неизбежно приводящими к логическим неувязкам, ни в коем случае не может способствовать облегчению понимания. «Мыслить расплывчато не может быть делом более легким, чем мыслить четко».

3. Обычное построение школьного курса изобилует такими понятиями, которых не знает математическая наука или которые она давно отвергла. В подавляющем большинстве случаев введение этих, изобретенных специально для школы и неупотребительных в науке, понятий не имеет за собой ничего, кроме слепой традиции; вызываемое ими ненужное обременение курса методически ничем не оправдано и приносит только вред.

4. Преподавание должно быть построено так, чтобы не сковывать творческие силы учащихся, а помогать

развитию инициативы как в разыскании методов доказательств, так и способов решения задач.

5. При изложении не следует размениваться на мелочи и стремиться излагать со всеми подробностями второстепенные детали. В то же время при освещении какого-либо понятия, метода или идеи, имеющих ведущее принципиальное значение, не следует жалеть времени, стараясь всеми средствами, путем самых разнородных описаний, наглядных образов возможно полнее и ярче внедрить основополагающие моменты в сознание слушателей и читателей.

Такой подход даст возможность воспитать в учащемся способность впоследствии при самостоятельной работе отделять глазное от второстепенного и малозначащего.

Как часто случается, учащийся за деталями теряет общее представление о курсе, о содержании и назначении науки, переставая видеть лес за деревьями. А между тем всякий знает, «как полезно иногда оторваться от деревьев и поглядеть на лес».

Тот, кто хотя бы раз слышал в изложении Александра Яковлевича либо полный математический курс, либо даже научный доклад, помнит ту исключительную тщательность формулировок, исключительное внимание к описанию того места, которое занимает излагаемый предмет в системе математических знаний. И слушатель невольно забывал, что ему до последнего момента были чужды эти идеи. Он начинал чувствовать важность и значительность того, о чем рассказывал А. Я. Хинчин и уже не был способен потерять ни руководящей идеи, ни нити изложения, ни особенностей применяемого метода. Слушатель начинал жить услышанным. Он испытывал удовлетворение от того, что ему удалось подняться еще на ступень в научном познании и разобраться в сложном взаимоотношении понятий, идей и методов. Быть может, отчасти, в этом успех А. Я. Хинчина как педагога и создателя научного направления и в теории вероятностей, и в теории чисел, и в теории функций действительного переменного, и в педагогике.

В жизни Хинчин был исключительно требователен к себе. Он много внимания уделял научному воспитанию учеников, поощряя всякое проявление разумной инициативы. Я счастлив, что за время пребывания в аспирантуре и позднейшей совместной работы мне довелось на-

блюдать его в служебной и домашней обстановке. Лучшим отдыхом для Александра Яковлевича была прогулка в лес. Но и в это время он не переставал думать о любимом деле. Так, я помню, что в летние месяцы 1936 и 1937 гг. во время совместных прогулок у него появились интересные идеи в вопросах арифметики законов распределения. Тогда же мы много беседовали о педагогических проблемах.

Он не признавал недоделанных дел и никогда не позволял себе перекладывать на плечи других порученную ему работу. Александр Яковлевич не стремился к внешним почестям и, будучи ученым с мировым именем, членом-корреспондентом Академии наук СССР, академиком и членом Президиума Академии педагогических наук РСФСР, продолжал вести скромный образ жизни, уважая людей за их внутренние качества, а не за занимаемое ими положение. Он искренне радовался каждому крупному успеху науки, появлению каждого нового молодого дарования. Я вспоминаю, как он гордился тем, что в Москве у В. В. Степанова появился блестящий молодой ученик М. В. Бебутов, а во Франции — талантливый представитель теории вероятностей В. Дёблин, и как он переживал их преждевременную гибель1.

18 ноября 1959 года Хинчин скончался после тяжелой и продолжительной болезни. Советская математика понесла тяжелую утрату.

Академик АН УССР Б. В. Гнеденко

1 М. В. Бебутов погиб в 1941 г. на фронте; В. Дёблин был повешен гитлеровцами 22.VI 1940 г. за вооруженную борьбу с гитлеризмом.

СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ А. Я. ХИНЧИНА1

1916

1. Sur une extension de l'intégrale de M. Denjoy, Compt. Rend. Acad. Sei. (Paris) 162, 287—290.

1917

2. Sur. la dérivationasymptotique, Compt. Rend. Acad. Sei. (Paris) 164, 142—145.

1918

3. О процессе интегрирования Denjoy, Матем. сб. 30, 548—557. 1921

4. Sur la théorie de l'intégrale de M. Denjoy, Изв. Иваново-Вознесенского политехн. ин-та 3, 49—51.

1922

5. Новое доказательство основной теоремы метрической теории множеств, Изв. Иваново-Вознесенского политехн. ин-та 6, 39—41.

6. Об одном свойстве непрерывных дробей и его арифметических приложениях, Изв. Иваново-Вознесенского политехн. ин-та 5, 27—41.

7. К вопросу о представлении числа в виде суммы двух простых чисел, Изв. Иваново-Вознесенского политехн. ин-та 5, 42—48.

1923

8. Sur les suites des fonctions analytiques bornées dans leur ensemble: Fund. Math. 4, 72—75.

9. Das Stetigkeitsaxiom des Linearkontinuus als Induktionsprinzip betrachtet, Fund. Math. 4, 164—166.

10. Ueber dyadische Brüche, Math. Zeitschr 18, 109—116.

11. Ein Satz über Kettenbrüche mit arithmetischen Anwendungen, Math, Zeitschr. 18, 289—306.

1924

12. О последовательностях аналитических функций, Матем. сб. 31, 147—151.

13. Исследования о строении измеримых функций, гл. 1, Матем. сб. 31, 265—285.

14. Sur un théorème général relatif aux probabilitités dénombrable. Compt. Rend. Acad. Sei. (Paris) 178, 617—619.

15. Ueber einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Fund. Math. 6, 9—20.

16. Einige Sätze über Kettenbrüche mit Anwendungen auf die Theorie der diophantischen Approximationen, Math. Ann. 92, 115—125.

1 В сборнике «Математика в СССР за сорок лет» сверх этого списка указаны под номерами (108), (113), (115), (132), (142) резюме докладов в Московском математическом обществе, содержание которых вошло в последующие более полные публикации, и работа (1933) «Теория вероятностей», Сборник «Математика в СССР за 15 лет», М.—Л., (1933).

1925

17. Об одном вопросе теории диофантовых приближений. Изв. Иваново-Вознесенского политехн. ин-та 8, вып. 2, 32—37.

18. Zwei Bemerkungen zu einer Arbeit des Herrn Perron, Math. Zeitschr. 22, 274—284.

19. Исследования о строении измеримых функций, гл. 2, Матем. сб. 32, 377—433.

20. Ueber die angenäherte Auflösung linearer Gleichungen in ganzen Zahlen. Матем. сб. 32, 203—219.

21. Zur Theorie der diophantischen Approximationen, Матем. сб. 32, 277—288.

22. Bemerkungen zur metrischen Theorie der Kettenbrüche, Матем. сб. 32, 326—329.

23. Bemerkung zu meiner Abhandlung "Ein Satz über Kettenbrüche mit arithmetischen Anwendungen", Math. Zeitschr. 22, 316.

24. О петербургской игре, Матем. сб. 32, 330—341.

25. Ueber Konvergenz von Reihen, deren Glieder durch den Zufall bestimmt werden, Матем. сб. 32, 668—677 (совм. с А. Н. Колмогоровым).

26. Ueber die Anwendbarkeitsgrenzen des Tschebycheffsehen Satzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Матем. сб. 32, 678—688. 1926.

27. Zur metrischen Theorie der diophantischen Approximationen, Math. Z. 24, 706—714.

28. Ueber das Gesetz der grossen Zahlen, Math, Ann. 96, 152—158.

29. Ueber eine Klasse linearer diophantischer Approximationen, Rend. Cire. Mat. Palermo 50, 170—195.

30. Идея интуиционизма и борьба за предмет в современной математике; Вестник Комм. Акад. 16, 184—192. 1927

31. Recherches sur la structure des fonctions mesurables, Fund. Math. 9, 212—279.

32. Ueber diophantische Approximationen höheren Grades, Матем. сб. 34, 109—112.

33. Диофантовы приближения, Труды Всероссийского матем. съезда, 131—137.

34. Великая теорема Ферма, Госиздат, 1927; 2-е изд., М.—Л., ГТТИ, 1932, 1—52.

35. Основные законы теории вероятностей, Ассоц. ин-тов физмат, ф-та МГУ, 1927; 2-е изд., М—Л., ГТТИ, 1932, 1—82.

1928.

36. Sur la loi forte des grands nombres, Compt. Rend. Acad. Sei. (Pans) 186, 285—287.

37. Objection a une note de M. M. Barzin et Errera, Bull. Acad. Royale de Belgique, class de Sc., 5 sér. 14, 223—224.

38. Усиленный закон больших чисел и его значение для математической статистики, Вестник статистики 29, 123—128.

39. Begründung der Normalkorrelation nach der Lindebergschen Methode, Изв. Ассоц. научно-исследов. ин-тов МГУ 1, 37—45.

40. Ueber die Stabilität zweidimensionaler Verteilungsgesetze, Матем. сб. 35, 19—23.

41. Ueber die angenäherte Auflösung linearer Gleichungen in ganzen Zahlen, Матем. сб. 35, 31—33.

42. Теория чисел; очерк развития за 1917—1927 гг., Матем. сб. 35, доп. выпуск, 1—4.

1929

43. Роль и характер индукции в математике, Вестн. Комм. Акад. 1, 5—7.

44. Sur la loi des grands nombres, Compt. Rend. Acad. Sei. (Paris) 188, 477—479.

45. Sur une généralisation des quelques formules classiques, C. R. Acad. Sei. (Paris) 188, 532—534.

46. Uber ein Problem der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Zeitschr. 29, 746—752.

47. lieber die positiven und negativen Abweichungen des arithmetischen Mittels, Math. Ann. 101, 381—385.

48. Ueber einen neuen Grenzwersatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Ann. 101, 745—752.

49. Ueber Anwendbarkeitskriterien für das Gesetz der grossen Zahlen, Матем. сб. 36, 78—80.

50. Учение Мизеса о вероятностях и принципы физической статистики, УФН 9, 141—166.

1930

51. Die Maxwell-Bolzmqnnsche Energieverteilung als Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Труды семинара по теории вероятн. и матем. статистике при МГУ 1, 1—11.

1932

52. Sulla successioni stazionarie di eventi, Giorn. Ist. Ital. d. Attuari, Anno III, 3, 267-272.

53. Zur additiven Zahlentheorie, Матем. сб. 39 : 3, 27—34.

54. Ueber eine Unglpichung. Матем. сб. 39:3, 35—39.

55. Sur les classes d'événements équivalents. Матем. сб. 39 : 3, 40—43

56. Remarnues sur les suites d'événements obéissants â la loi des grands nombres, Матем. сб. 39, 115—119.

57. Математическая теория стационарной очереди, Матем. сб. 39:4, 73—84.

58. Zur Birkhoffs Lösung des Ergodenproblems, Math. Ann. 107, 485—488. 1933

59. О среднем времени простоя станков. Матем. сб. 40, 119—123.

60. Ueber stazionäre Reihen zufälliger Variablen. Матем. сб. 40, 124—128.

61. Ueber ein metrisches Problem der additiven Zahlentheorie. Матем. сб. 40, 180—189.

62. Zur mathematischen Bergründung der statistischen Mechanik, Zeitschr. für angew. Math, und Mech. 13, 101—103.

63. Детерминанты Грама для стационарных рядов., Учен. зап. МГУ, 1, 3—5 (совместно с А. О. Гельфондом).

64. The method of spectral reduction in classical dynamics, Proc. Nat. Acad. Sei. USA 19, 567—573.

65. Asymptotische Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Springer, 1933; ОНТИ, 1936. 1934

66. Zur mathematischer Begründung der Maxwell—Boltzmannschen Energieverteilung, Учен. зап. МГУ 2, 35—38.

67. Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse, Math. Ann. 109, 604—615; УМН, вып. V, 42—51 (1938).

68. Eine Verschärfung des Poincaréschen "Wiederkehrsatzes", Comp. Math. 1, 177—179.

69. Fourierkoeffizienten längs Bahn im Phasenraum, Матем. сб. 41. 14—16.

70. Теория вероятностей в дореволюционной России и в Советском Союзе, Фронт науки и техники 7, 36—46.

71. Eine arithmetische Eigenschaft summierbaren Funktionen, Матем. сб. 41, 11—13.

72. Случай, и как наука с ним справляется, ОНТИ. 1935

73. Цепные дроби, ОНТИ, 1935; 2-е изд. ГТТИ, 1949, 3-е изд. Физматгиз, 1961; чешское изд. 1952.

74. Su una legge die grand numeri generalizzata, Giornale Ist. Ital. Attuari 6, 371—393.

75. Metrische Kettenbrüchproblem, Comp. Math. 1, 361—382.

76. Neuer Beweis und Verallgemeinerung eines Hurwitzschen Satzes. Math. Ann. 111, 631—637.

1936

77. Zur metrischen Kettenbrüchtheorie, Comp. Math. 3, 276—285.

78. Ein Satz über lineare diophantische Approximationen, Math. Ann. 113, 398—415.

79. Sul dominio di attrazione della legge di Gauss, Giornale Ist, Ital. Attuari 7, 3—18.

80. Метрические задачи теории иррациональных чисел, УМН, вып. I. 7—32.

1937

81. Новый вывод одной формулы П. Леви, Бюлл. МГУ 1. вып. 1, 1—5.

82. Об арифметике законов распределения. Бюлл. МГУ 1, вып. 1, 6—17.

83. Об одном признаке для характеристических функций, Бюлл. МГУ 1 : 5, 1—3.

84. Инвариантные классы законов распределения, Бюлл. МГУ 1 : 5, 4-5.

85. Примеры случайных величин, подчиняющихся устойчивым законам распределения, Бюлл. МГУ 1 : 5, 6—9.

86. Sur les lois stables, Compt. Rend. Akad. Sei. (Paris) 202, 374— 376 (cobm. с P. Lévy).

87. Ueber die angenäherte Auflösung linearer Gleichungen in ganzen Zahlen, Acta Arithm. 2, 161—172.

88. lieber singulare Zahlensysteme, Compos. Math. 4, 424—431.

89. Abschätzungen beim kroneckerschen Approximationensatz, Bull Inst. Math Tomsk 1, 263—265.

90. Ueber Klassenkonvergenz von Verteilungsgesetzen, Bull. Inst. Math., Tomsk 1, 258—262.

91. Zur Theorie der unbeschränktteilbaren Verteilungsgesetzç, Матем. сб. 2 (44), 79—119.

1938

92. Предельные законы для сумм независимых случайных величин» ГОНТИ, 1—116.

93. Две теоремы о стохастических процессах с однотипными приращениями, Матем. сб. 3 (45), 577—584.

94. Zur Methode der. willkürlichen Funktionen, Матем. сб. 3 (45), 585—589.

95. Об унимодальных распределениях, Изв. Томск, матем. ин-та 2, 1—7.

96. Теория затухающих спонтанных эффектов, Изв. АН, сер. матем. 3, 313—332.

97. Введение иррациональных чисел, Материалы к совещанию учителей, Наркомпрос РСФСР, 9—12; Матем. в школе, № 3, 1939, 32—34.

98. Комплексные числа (совместно с П. Я. Дорф); Материалы к совещанию учителей, Наркомпрос РСФСР, 39—47.

1939

99. О сложении последовательностей натуральных чисел, Матем. сб. 6 (48), 161—166.

100. О локальном росте однородных стохастических процессов без последействия, Изв. АН, серия матем., 487—508.

101. О преподавании математики, Молодая Гвардия 9, 142—150. Матем. в школе 6, 1—7.

102. Основные понятия математики в средней школе. Математика в школе 4, 4—22, 5, 3—10.

103. Всестороннее, реальное образование советской молодежи; Математика в школе 6, 1—7.

1940

104. Основные математические понятия и определения в средней школе, Учпедгиз, 1—51.

105. О сложении последовательностей натуральных чисел, УМН, вып. VII, 57—61.

1941

106. О математических определениях в средней школе, Матем. в школе 1 (1941), 1—10.

107. О понятии отношения двух чисел, Матем. в школе 2 (1941), 13—15

108. Об аналитических методах статистической механики, ДАН 33, 438—441.

109. Средние значения сумматорных функций в статистической механике, ДАН 33, 442—445.

110. О межмолекулярной корреляции, ДАН 33, 487—490. 1942

111. Законы распределения сумматорных функций в статистической механике, ДАН 34, 61—63.

1943

112. Sur un cas de corrélation a posteriori, Матем. сб. 12 (54), 185—196.

113. Математические основания статистической механики, Гостехиздат, 1—126, США, 1950.

114. Об эргодической проблеме квантовой механики, Изв. АН, сер. матем. 7, 167—184.

115. Конвексные функции и эволюционные теоремы статистической механики, Изв. АН, сер. матем. 7, 111—122.

116. Восемь лекций по математическому анализу. Гостехиздат; 2-е изд., 1946; 3-е изд., 1948; украинское изд., 1948; румынское изд., 1948.

1946

117. О задаче Чебышева, Изв. АН, сер. матем. 10, 281—294.

118. Элементарное введение в теорию вероятностей, Гостехиздат; 2-е изд., 1950; 3-е изд., 1952; 4-е изд., 1957; 5-е изд. 1961; польские изд., 1952, 1954; румынское изд., 1953; чешское изд., 1954; венгерское изд., 1954; немецкое изд., 1955; китайское изд., 1958; французское изд., 1960; аргентинское изд., 1960; американское изд. 1961 (совместно с Б. В. Гнеденко).

119. О формализме в школьном преподавании математики. Советская педагогика, № 11—12 (1944) ,-.21—27, Изв. Акад. пед. наук РСФСР, № 4 (1946), 7—20.

1947

120. Три жемчужины теории чисел, Гостехиздат; 2-е изд., 1949; украинское изд,. 1949; немецкое изд., 1950; японское изд., 1956.

121. Две теоремы, связанные с задачей Чебышева, Изв. АН, сер. матем. 11, 105—110.

122. Об одном предельном случае аппроксимационной теоремы Кронекера, ДАН 56, 563—565.

123. Об одной общей теореме теории линейных диофантовых приближений, ДАН 56, 679—681.

1948

124. Теорема переноса для сингулярных систем линейных уравнении, ДАН 59, 217—218.

125. К теории линейных диофантовых приближений, ДАН 59, 865—867.

126. Принцип Дирихле в теории диофантовых приближений, УМН III, вып. 3, 1—28.

127. Количественная концепция аппроксимационной теории Кронекера, Изв. АН, серия матем. 12, 113—122.

128. О некоторых приложениях метода добавочной переменной, УМН III, вып. 6, 188—200.

129. Регулярные системы линейных уравнений и общая задача Чебышева, Изв. АН, серия матем. 12, 249—258.

1949

130. О дробных частях линейной формы. Изв. АН, сер. матем. 13, 3-8.

131. Простейший линейный континуум, УМН IV, вып. 2, 180—197. 1950

132. Об аналитическом аппарате физической статистики, Труды Матем. ин-та им. Стеклова 33.

133. Статистическая механика как задача теории вероятностей, УМН V, вып. 3, 3—46.

134. О суммах положительных случайных величин, ДАН 71, 1037—1039.

135. Предельные теоремы для сумм положительных случайных величин, Украинск. матем. журнал 2, № 4, 3—17.

1951

136. Математические основания квантовой статистики, Гостехиздат.

137. О некоторых общих теоремах статистической физики, Труды Матем. ин-та им. Стеклова 38, 345—365.

138. О законах распределения «чисел заполнения» в квантовой статистике, ДАН 78, 461—463.

1952

139. О классах эквивалентных событий, ДАН 85, 713—714.

140. Элементы теории чисел. Энциклопедия элементарной математики, т. 1, 255—353.

141. Метод произвольных функций и борьба против идеализма в теории вероятностей, Сб. «Философские вопросы современной физики», изд. АН, 522—538; французский перевод: Questions scientifiques, V. Paris, Editions de la nouvelle critique, v.l, 7—24, 1954.

142. Советская школа теории вероятностей, Китайский математический журнал, 1—7.

1953

143. Понятие энтропии в теории вероятностей, УМН VIII, вып 3, 3—20; румынское изд., 1955.

144. Краткий курс математического анализа, Гостехиздат; китайское изд., 1955.

145. Андрей Николаевич Колмогоров (к пятидесятилетию со дня рождения), УМН VIII, вып. 3, 177—200 (совместно с П. С. Александровым).

1955

146. Математические методы теории массового обслуживания, Труды Матем. ин-та им. Стеклова 49, 1—123; китайское изд., 1958; английское изд., 1960.

147. Симметрические функции на многомерных поверхностях, Сб. памяти А. А. Андронова, М., 541—574.

1956

148. Потоки случайных событий без последействия. Теор. вероятн. и ее прим. 1, 3—18.

149. О пуассоновских потоках случайных событий. Теория вероятн. и ее прим. 1, 320—327.

150. Об основных теоремах теории информации, УМН XI, вып. 1, 17—75.

1959

151. Первое знакомство с теорией вероятностей, Детская энциклопедия, т. 3, Изд. АПН РСФСР, 211—220 (совм. с А. М. Ягломом).

1961

152. Частотная теория Мизеса и современные идеи теории вероятностей, Вопросы философии, № 1, 92—102; № 2, 77—89.

153. О воспитательном эффекте уроков математики, Математическое просвещение, вып. 6, 7—28; Математика в школе 3, 1962, 30—44.

154. О так называемых «задачах на соображение» в курсе арифметики, Математическое просвещение, вып. 6, 29—36.

1962

155. О формулах Эрланга в теории массового обслуживания, Теория вероятн. и ее примен. 7, вып. 3, 330—335.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора.......... . . 3

А. Я. ХИНЧИН

Всестороннее, реальное образование советской молодежи 15

Основные понятия математики в средней школе .... 28

Понятие числа в средней школе........30

Нуль..............34

Дроби..............36

Отрицательные числа. Рациональные числа . . . . . 40

Иррациональные числа.........44

Комплексные числа..........49

Понятие предела в средней школе ....... 53

Исторический очерк..........—

Концепция предела в школе........59

Методические замечания.........64

Понятие функциональной зависимости в средней школе . 67

О математических определениях в средней школе ... 85

Определение понятий в математической науке . . - . .87

О введении новых понятий в школьном курсе математики 93

Заключение........ .....104

О формализме в школьном преподавании математики . 106

О воспитательном эффекте уроков математики . . . .128

Культура мысли............ 130

Правильность мышления.........—

Стиль мышления...........139

Моральные моменты и воспитание патриотизма . . .146

Честность и правдивость.........147

Настойчивость и мужество........151

Воспитание патриотизма.........153

Заключение.............157

О так называемых «задачах на соображение» в курсе арифметики ................161

О ХИНЧИНЕ

А. И. Маркушевич — А. Я. Хинчин как преподаватель математического анализа.........173

Б. В. Гнеденко — Александр Яковлевич Хинчин . . . 180

Список печатных работ А. Я. Хинчина.......197

Александр Яковлевич Хинчин

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ СТАТЬИ

Редактор Э. К. Викулина. Переплет Н. А. Перовой.

Худож. редактор Т. И. Добровольнова. Техн. редактор Е. К. Полукарова. Корректоры Т. М. Новикова, Л. С. Кейль

Сдано в набор 25/Х 1962 г. Подписано к печати 2/11 1963 г.

Формат 84х108'/з2 Бум. л. 3,19+0,03 Печ. л. 12,75+вкл. 0,13 Усл. п. л. 10,46+0,11 Уч.-изд. л. 10,51 А 00674 Тираж 5000 экз. Цена 57 коп. Заказ 530.

Изд-во АПН РСФСР. Москва, Погодинская ул., 8. Типография Изд-ва АПН РСФСР, Москва, ул. Макаренко, д. 5/16.