В.А.ГУСЕВ, А.И.ИВАНОВ, О.Д.ШЕБАЛИН

ИЗУЧЕНИЕ ВЕЛИЧИН НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ В ШКОЛЕ

В. А. ГУСЕВ, А. И. ИВАНОВ, О. Д. ШЕБАЛИН

ИЗУЧЕНИЕ ВЕЛИЧИН НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ В ШКОЛЕ

(ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ В ШКОЛЕ)

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1981

ББК 74.265.1 Г96

Рецензенты:

заслуженный учитель школ РСФСР Барчунова Ф. М. (Москва) учитель математики и физики Карельский В. В. (Москва) доцент МОПИ им. Н. К. Крупской, кандидат физико-математических наук Сенкевич А А.

доцент МИЭМ, кандидат физико-математических наук Тарасов Л. В.

Гусев В. А. и др.

Г96 Изучение величин на уроках математики и физики в школе В. А. Гусев, А. И. Иванов, О. Д. Шебалин. — М.: Просвещение, 1981. — 79 с, ил.

В пособии рассматриваются вопросы изучения величин с позиций межпредметных связей математики и физики.

Книга предназначена учителям математики и физики, но будет полезна также студентам педвузов. Найдут полезный для себя материал к урокам математики и учителя начальных классов.

ББК 53 + 51 74.265.1+74.202

(g) Издательство «Просвещение», 1981 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

На современном этапе развития общеобразовательной школы главные ее задачи состоят в том, чтобы дать учащимся глубокие знания основ наук, совершенствовать их диалектико-материалистическое мировоззрение, развивать творческие способности и трудовые навыки, прививать желание и умение самостоятельно приобретать и углублять свои знания. Решение этих задач требует всемерной активизации их учебной деятельности, осмысленного изучения материала.

Большое внимание должно уделяться научности и систематичности обучения, т. е. такому построению учебного плана и учебно-воспитательного процесса, которые обеспечивают формирование у школьников общей естественнонаучной картины мира. «При изучении общих научных понятий в курсах физики, математики и химии рекомендуется согласовывать глубину раскрытия их содержания и преемственность изложения в различных учебных предметах», — говорится в объяснительной записке к переработанным программам средней школы (Математика в школе, 1978, № 4).

Высший уровень систематизации знаний учащихся может быть достигнут только при осуществлении межпредметных связей, которые, кроме того, способствуют формированию у школьников целостной научной картины мира; позволяют совершенствовать содержание учебных предметов, устанавливать связи в изучении основ наук с трудовой, политехнической и профессиональной подготовкой учащихся, и, наконец, служат средством формирования как отдельных качеств, так и личности в целом.

Представление учащихся о взаимосвязи математики и окружающего мира достигается сочетанием теоретического и современных прикладных аспектов школьного курса математики. Этому способствует и тот факт, что в программе и учебных пособиях отражены внутрипредметные и межпредметные связи. На уроках математики, как правило, готовится весь аппарат, необходимый

для изучения смежных предметов на достаточно высоком уровне. Уже в IV—V классах вводятся простейшие буквенные формулы, в V классе — отрицательные числа. Приступая в VIII классе к изучению механики, учащиеся знают уравнение равномерного движения, знакомы с графиками, умеют решать задачи на движение графическим и аналитическим способами, владеют необходимыми сведениями из векторной алгебры.

При изучении курса физики постоянно используется математический аппарат, а на уроках математики мы часто пользуемся примерами из физики, поэтому проблемы согласования терминологии, содержания приводимых примеров и иллюстраций должны быть постоянно в поле зрения учителя.

Острота этого вопроса связана и с содержанием математического образования.

К 6 классу учащиеся уже готовы к восприятию фигуры как произвольного множества точек. Само понятие точки для них неопределяемое понятие, они знают, что в случае точки мы абстрагируемся от каких бы то ни было размеров. Вот здесь-то и необходимо подкрепить это обстоятельство реальной практикой, и у физики здесь неограниченные возможности, так как рассмотрение материальной точки, ее поведения — связей ее поведения и самого тела, понятие траектории как множества точек и т. д.— все это совершенно необходимо для изучения самой физики и в то же время это бесценная помощь математикам, так как именно здесь учащимся требуется подкрепление абстракции практической применимостью.

Особенностью школьного курса геометрии является включение понятия «расстояние» в качестве неопределяемого и введение аксиом расстояния. Понятие «расстояние» широко используется и в курсе физики. При этом в пособиях по физике для обсуждения одних и тех же вопросов используются как понятие «расстояние», так и понятия «путь», «длина пути», «траектория», «длина траектории». Изложение курса геометрии разграничивает понятия пути и длины пути, траектории и длины траектории, кроме этого, отождествление понятий расстояния и длины пути (длины траектории) возможно только при прямолинейном движении тела, и об этом ученику должно быть четко сказано как на уроках математики, так и на уроках физики.

Особое место в вопросах межпредметных связей курсов математики и физики занимает векторный аппарат. Изучение векторов в 7 классе геометрии вызвано прежде всего потребностями курса физики, где векторы начинают активно работать с первых уроков в 8 классе.

Однако активное введение векторного аппарата в курсе математики и физики требует согласования его использования.

Традиционно сложилась терминология, отождествляющая понятия вектора и векторных величин, которые занимают важное место в курсе физики. Трудно утверждать, что такая «воль-

ность речи» не может иметь места, но во всяком случае об этом должно быть явно сказано.

Самым тесным образом примыкает сюда и вопрос употребления понятия «перемещение», которое в данный момент в курсах физики и математики используется в разных смыслах. Ведь курс геометрии строится на основе понятия перемещения как отображения плоскости на себя с сохранением расстояния между соответствующими точками, а курс физики нельзя себе представить без понятия перемещения как «направленного отрезка прямой, соединяющего начальное положение тела с его последующим положением».

Вряд ли здесь можно было бы предложить совершенно иные определения и другие названия этим понятиям.

Вместе с тем учитель должен объяснить ученику отличие трактовок понятия перемещения в курсе математики и физики.

С точки зрения межпредметных связей большой интерес представляют те понятия, которые находят применение в нескольких школьных предметах. Одним из таких понятий является понятие величины. В предлагаемом пособии рассматривается понятие величины с позиций совершенствования межпредметных связей математики и физики.

Пособие состоит из двух частей. В первой из них раскрывается понятие величины, которое используется во многих науках, но для математики и физики является наиболее характерным. Языком величин формулируются физические законы, принципы, теории. Физические свойства, явления характеризуются рядом величин. Непонимание соотношений между реально существующим миром и величинами, которые его отражают, может привести учащихся к разрыву представлений о самой природе и о языке величин, описывающем ее.

Задача учителя — раскрыть учащимся в процессе обучения роль и место величин в курсах математики и физики.

Величины, изучаемые в школе, отражают многочисленные свойства реального мира. Такие величины, как расстояние (длина отрезка), площадь, объем, величина угла традиционно изучаются в математике — с ними учащиеся знакомятся еще до изучения физики. С массой, температурой, силой и с целым рядом других величин учащиеся знакомятся в курсе физики.

Во второй части авторы делятся опытом своей работы по формированию понятий скалярной и векторной величин в школе. Понятие величины рассматривается с I и по VIII классы средней школы. В этой же части рассматриваются вопросы измерения, в частности, формирования умений и навыков приближенных измерений и вычислений у учащихся. Авторы указывают, что уже на первой ступени обучения физике учащиеся могут использовать свои знания из курса математики при выполнении измерений физических величин и обработке результатов измерений. В пособии приводятся примеры заданий для закрепления измерительных навыков учащих-

ся, которые учитель может использовать на уроках или внеклассных занятиях.

Дидактические задания по физике теоретического и практического характера, примеры которых даны в пособии, были разработаны одним из авторов (Ивановым А. И.) и сотрудниками лаборатории обучения физике НИИ школ МП РСФСР под руководством Бурова В. А. Дидактические задания по математике составлены Ивановым А. И.

Авторы признательны заслуженному учителю школ РСФСР Барчуновой Ф. М., доцентам Тарасову Л. В., Сенкевичу А. А., учителю Карельскому В. В. за ряд высказанных замечаний и пожеланий, способствовавших улучшению пособия, а также учителям Лагуновой Е. Л., Васильевой В. А., Гималетдинову Р. С. за оказанную помощь и участие в подготовке книги к печати.

I. ВЕЛИЧИНЫ В МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ

§ 1. О РОЛИ И МЕСТЕ ВЕЛИЧИН, ИХ ИЗМЕРЕНИЯ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ, ОБУЧЕНИИ И ВОСПИТАНИИ

Величины являются составной частью содержания многих наук: математики, физики, химии, астрономии, биологии и др. Без величин изучение природы ограничивалось бы лишь наблюдениями и оставалось на описательном уровне. Известно, например, что при нагревании тела расширяются. Это явление было известно с древних времен. Введение таких величин, как температура и объем, установление зависимости между ними позволило значительно обогатить знания об этом явлении. Условия для введения той или иной величины созревают в процессе развития данной области знания, «...создаются постепенной работой по уточнению и дифференциации понятий опытной науки»1.

Каждый объект имеет много различных свойств, которые отражены в соответствующих величинах. Например, свойству инертности соответствует величина, называемая массой, свойству пространственной протяженности — длина, свойству проводника препятствовать прохождению электрического тока — сопротивление и т. д.

Величины не существуют сами по себе, как некие субстанции, оторванные от материальных объектов и их свойств. С другой стороны, величины в некоторой степени идеализируют свойства объектов и явлений. В процессе абстракции всегда происходит огрубление действительности, отвлечение от ряда обстоятельств. Поэтому величины — это не сама реальность, а лишь ее отображение. Тем не менее практика показывает, что величины верно отражают свойства окружающей действительности. В самой природе нет сил, скоростей, импульсов и т. д.; величины вводят в ходе познания для описания явлений природы.

Величины тесно связаны с понятием измерения. Результат измерения выражается числовым значением величины. Измерения являются одним из путей познания природы человеком, объединяющим теорию с практической деятельностью человека. Роль и значе-

1 Беляев Е. А. и др. Некоторые особенности развития математического знания. — М., 1975, с. 88.

ние измерений в процессе развития естественных и технических наук непрерывно возрастает, так как растет число и качество различных измерений величин.

Известно, что не каждое свойство объектов, явлений мы умеем измерять. Примерами могут служить многие понятия в психологии, педагогике, биологии, экономике (воля, смелость, вкус и т. д.). Иногда такие понятия также называют величинами, но в отличие от привычных — величинами латентными1. Сравнение таких величин возможно лишь на некоторой интуитивной основе. Если говорят, что этот человек более волевой, чем другой, то о степени качества «воля» судят только через систему поступков, поведение человека. В этих случаях говорят об условных значениях величин или об условных мерах. Оценивать такие величины числами представляется очень искусственным.

Сложение, вычитание и другие арифметические действия с латентными величинами производить нельзя, так как не может быть установлено взаимно-однозначное соответствие между их множеством и множеством действительных чисел. «Надо помнить, — писал академик А. Н. Крылов, — что есть множество «величин», т. е. того, к чему приложены понятия «больше» и «меньше», но величин точно не измеримых, например, ум и глупость, красота и безобразие, храбрость и трусость, находчивость и тупость и т. д. Для измерения этих величин нет единиц, эти величины не могут быть выражены числами ...»2.

Таким образом, величины позволяют перейти от описательного к количественному изучению свойств объектов, т. е. математизировать знания о природе.

Понятие величины в математике возникло в результате абстрагирования от качественных особенностей свойств реальных объектов, чтобы выделить только количественные отношения. А для этого, как указывает Ф. Энгельс, «... необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное: таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и 6, X и у, постоянные и переменные величины ...»3. Еще в глубокой древности в процессе измерений было найдено множество эмпирических фактов об общих свойствах величин, которые являются отражением свойств в реальном мире.

Говоря о важности понятия величины для математики, нельзя не вспомнить слова Ф. Энгельса: «Математика — это наука о величинах; она исходит из понятия величины»4.

1 См., например: Беляев Е. А. и др. Некоторые особенности развития математического знания. — М., 1975.

2 Крылов А. Н. Прикладная математика и ее значение для техники. — М. — Л., 1931, с. 3.

3 Энгельс Ф. Диалектика природы. — Маркс Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 20, с. 37.

4 Там же, с. 572.

Иногда считают, что понятие величины не является специальным математическим понятием, так как в конечном итоге, как правило, обращаются с числовыми значениями величин или просто числами. Однако, как указывает академик А. Н. Колмогоров, «...более радикальным и правильным решением представляется вполне традиционный путь, восходящий к Евклиду: общие свойства скалярных величин предпосылаются систематическому курсу геометрии ...»1.

Понятие величины не потеряло своего значения в математике и в настоящее время. Раскрываемое в математике, оно имеет ясно выраженную прикладную направленность. Так, Н. Я. Виленкин замечает: «Понятие величины является основным, когда речь идет о приложениях математики»2. Современная математика, давая общее представление о величине, отличает это понятие от понятия числа.

Понятие величины играет фундаментальную роль в физике. Предметом физического исследования являются физические объекты, явления, обладающие множеством различных свойств. Для количественного описания этих свойств используются различные величины. «Язык физики — это язык физических величин, на основе использования которых формулируются и законы, и принципы, и теории»3.

Различные величины между собой тесно взаимосвязаны. Диалектический материализм исходит из того, что ни один объект, ни одно явление не существуют сами по себе. Общность свойств и взаимоотношений объектов, явлений выражается в философской категории общего.

Между различными свойствами объектов и явлений окружающей действительности существуют определенные связи, часть из которых отражается в зависимостях между соответствующими величинами. Связи величин, их взаимозависимость выражаются с помощью формул. Истолкование формул в физике отличается от их истолкования в математике. Математическая формула выражает в основном вид зависимости между символами, входящими в нее. Сами символы могут не содержать конкретного смысла. В физической формуле отражены связи между величинами реального мира.

В процессе изучения различных величин учащиеся должны знать не только их числовые характеристики, но и те свойства объектов, которые характеризуются данными величинами. Например, когда говорят о массе тела, то важно иметь в виду не только число килограммов, но и те свойства тел, которые отражает эта величи-

1 Колмогоров А. Н. О системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики. — Математика в школе, 1971, № 2, с. 19.

2 Виленкин Н. Я. Математика (4—5 классы): Теоретические основы. — М., 1974, с. 180.

3 Мощанский В. Н. Формирование мировоззрения при изучении физики. — М., 1976, с. 104.

на. Часто масса непосредственно не ассоциируется у учащихся со свойством инертности или гравитации, а существует как некое самостоятельное понятие. Масса, как физическая величина, отдельно от материи не существует.

Изучение зависимостей между величинами позволяет учащимся видеть не только качественные связи различных сторон объективной реальности, т. е. на описательном уровне, но и оценивать их количественно. На примере использования величин в науках учащиеся знакомятся с одним из путей математизации знаний, с той ролью, которую играют математические методы в исследовании природы. Все это имеет важное значение в деле формирования у учащихся правильных представлений о взаимодействии математики с другими естественными науками.

Наряду с изучением конкретных величин в школе важно, чтобы учащиеся получили достаточно полное и в то же время доступное представление о том, что такое величина вообще; каковы ее свойства, виды; каковы роль и место величин в познании природы; что значит величина и как измерить ее; в чем заключается математическая обработка результатов измерений и т. д. Понимание этих вопросов способствует формированию у учащихся научного мировоззрения.

Изучая величины, учащиеся знакомятся также с основными метрологическими понятиями: размер, значение, размерность величины, эталоны единиц измерения и т. д.

О возрастании роли величин в познании природы говорит и тот факт, что они проникают уже в такие традиционно «нематематизированные» науки, как биология, психология, педагогика, социология и др. Но для математики и физики понятие величины является наиболее характерным. Поэтому подробнее рассмотрим подходы к трактовке этого понятия в этих дисциплинах.

§ 2. ПОНЯТИЕ ВЕЛИЧИНЫ В МАТЕМАТИКЕ

Понятие величины впервые появилось в философской литературе и связывалось с действительными числами. Число генетически возникло в процессе счета предметов и измерений величин (длин, площадей, объемов и др.). На это обстоятельство указывал еще древнегреческий философ Аристотель. Предметом изучения математики до XVII в., как известно, являлись постоянные величины. Позднее, когда встала задача математического описания процессов и движений в физике и астрономии, были введены переменные величины. До середины прошлого века математика имела дело с величинами, но изучала не конкретные свойства отдельных величин, а общие свойства и отношения объектов математической природы, абстрагированные от качественного содержания. Даламбер в знаменитой французской энциклопедии (XVIII в.) определяет математику как «науку, изучающую свойства величин, поскольку они перечисляются и измеримы».

Однако как в философской, так и в математической литературе того времени определения понятия величины в большинстве случаев имели описательный характер. Например, Л. Эйлер называл величиной «все то, что способно увеличиваться или уменьшаться». В процессе своего развития понятие величины подвергалось ряду обобщений. Еще Евклидом в книге «Начала» дано первое обобщение таких конкретных понятий, как «длина отрезка», «площадь», «объем» и т. д., в виде аксиом. Эти аксиомы косвенно определяют понятие положительной скалярной величины. Расширение этого понятия привело в дальнейшем к понятиям скалярной, векторной и тензорной величин.

Ограничимся рассмотрением двух основных видов величин: скалярных и векторных, которые нашли широкое применение в школьном обучении.

Скалярные величины. В математике существует несколько подходов к понятию скалярной величины. В одних случаях величины просто отождествляются с числами, в других величина определяется как функция с заданными свойствами, в третьих — как множество с некоторой совокупностью свойств.

При аксиоматическом подходе, который получил широкое распространение, скалярная величина определяется косвенно через ту или иную систему аксиом. Выбор системы может быть различным (работы А. Н. Колмогорова, Н. Я. Виленкина и др.). В одних случаях аксиоматика скалярных величин предполагает известными действительные числа, в других скалярная величина имеет самостоятельное определение.

Приведем пример аксиоматики понятия скалярной величины, которая предполагает известным понятие упорядоченной коммутативной полугруппы. Другие примеры даны в § 3 этой части. Для определенности рассмотрим сначала положительные скалярные величины. Системой положительных скалярных величин называется упорядоченная коммутативная полугруппа G = {а, Ь, с, ...} с определенными на ней операцией сложения и отношения порядка, удовлетворяющие следующим аксиомам:

1) а + Ъ > а (монотонность сложения).

2) Если а > Ь, то существует единственный элемент с € G, такой, что а = b + с. Пишут: с = а — Ъ (возможность вычитания).

3) При любом а € G и п € N существует элемент b € G, такой, что nb = а. Пишут:

4) При любом а £ G и b £ G существует натуральнее число п € N, такое, что a <nb (аксиома Архимеда).

5) Если бесконечная последовательность а{ < а2 < ... < Ь2 < < bi обладает тем свойством, что при любом с Ç G существует натуральное число п £ N, таксе, что Ьп — ап < с, то имеется единственный элемент х0 £ G, такой, что ak < х0 < bk (при любом k € N) (аксиома Кантора).

Каждый элемент системы G называется положительной скаляр-

ной величиной, причем если величины а, Ь £ G, то они называются однородными величинами. В противном случае величины называются разнородными. Для них операция сложения и отношение порядка не определены.

В математике и физике имеют дело с довольно большим количеством скалярных величин. Здесь мы рассмотрим такие, которые чаще всего встречаются в курсах математики. Подробнее остановимся на доказательстве того факта, что длины отрезков являются множеством однородных скалярных величин.

Можно доказать, например, что длины отрезков подчиняются рассмотренной системе аксиом. Для этого рассмотрим множество всех длин отрезков евклидовой плоскости. Если на множестве L задано отношение эквивалентности, то можно разбить это множество на непересекающиеся классы: L = /С[ЛВ] U ^[cd] U ...«объединяя в один класс все эквивалентные между собой элементы (отрезки). Отношение конгруэнтности есть отношение эквивалентности, так как оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Значит, класс эквивалентности К^АВ] есть множество всех отрезков, конгруэнтных отрезку AB, класс эквивалентности К{Сщ есть множество всех отрезков, конгруэнтных отрезку CD, и т. д. На множестве L введем операцию сложения: для этого на произвольном луче [ОХ) отложим любой отрезок [ОМ] аз Ç К^ав] и от то4' ки M отложим отрезок [MN~\ ^ [CD] £ K[CD]> которые являются представителями в классах эквивалентности К^АВ] и К[СОу Точка M не зависит от выбора отрезка AB в классе эквивалентности К^АВ^ а точка N не зависит от выбора отрезка CD в классе K[CD]1. Отрезок ON однозначно определяет элемент KL0N] € L, который не зависит от выбора луча ОХ.

Таким образом, для каждых двух элементов К[АВ], K[cd] множества L существует единственный элемент К[0щ, который и называется суммой данных элементов: К[АВ] + K[CD] = К[0щ (отрезки ON у AB, CD — представители своих классов). Отрезок ON представляется отрезками AB и CD не однозначно, а с точностью до перемещения. Тем не менее говорят, что отрезок ON является суммой отрезков AB и CD.

Из определения сложения отрезков следует, что К[АВ] + K[CD] > > К[АВ]{1). Далее можно убедиться, что сложение отрезков коммутативно и ассоциативно (на основании коммутативности и ассоциативности сложения векторов ОМ, MN, ON)> т. е. множество L является коммутативной (абелевой) полугруппой относительно операции сложения.

1 См. об этом, например: Базылев В. Т. и др. Геометрия. — М., 1974, ч. II.

Далее, определим отношение порядка на L. На произвольном луче ОХ отложим [ОМ] ы [AB] Ç К[АВ] и [ОМ'] Ы [CD] € K[CD]. Возможен только один из трех случаев:

1) Точка M совпадает с точкой М'. Тогда [AB] ^ [CD] и KrABj =

2) Точка M лежит между точками О и ЛГ. Тогда /С[ЛБ-| < ^[CD].

3) Точка М' лежит между точками О и М. Тогда ^С[ЛБ] > К[Сщ .

Отношение ^ между К[АВ] и /С[С£)] не зависит от выбора луча ОХ и представителей [AB] и [CD] в классах эквивалентности К[лв] и K[CD] (здесь не доказываем). Очевидно, K[AB]<,K[CDf=$K[AB} + ^[Xy]<^[CD] + ^[ХУ] при любом ^[ХУ]€ L*

Следовательно, коммутативная полугруппа является упорядоченной. Проверим для нее выполнение аксиом 1)—5). Справедливость аксиомы 1) вытекает непосредственно из неравенства (1), аксиомы 2) — из определения операции сложения К^Ащ + K^CD^ = = Ki0Ny Далее при любом [ОМ] Ш [AB] € К[АВ] и любом п € N в процессе откладывания на луче ОХ отрезка ОМ п раз найдем отрезок [ОМ'] g [CD] g K[CDV причем K[CD] + K[CD] + KrCD] (n слагаемых) = K^ABy Значит, справедлива аксиома 3).

Отложим на луче ОХ произвольный отрезок [ОМ] ^ [AB] £ € К^Ащ и от той же точки О — отрезок [ОМ'] Ш [CD] £ K[CD] . Пусть точка М' лежит правее точки M на луче ОХ, тогда справедливость аксиомы 4) очевидна. Если же точка М' лежит левее точки М, тогда К[АВ] > K[CDy Откладывая отрезок ОМ' достаточное число раз, можно добиться, что К[АБ] < K[CD] + /C[CD] + ... + + /Cj-cd-j (п слагаемых). Пятая аксиома является теоремой анализа.

Итак, множество L является системой положительных скалярных величин. Его элементы называются длинами. Например, длина отрезка AB представляет собой определенный класс эквивалентности К[АВу как элемент системы положительных скалярных величин. Другими примерами положительных скалярных величин являются площадь, объем. В этом случае также можно доказать, что площади, объемы представляют собой системы положительных скалярных величин, которые являются упорядоченной коммутативной полугруппой с аксиомами 1)—5).

Значит, во множестве длин отрезков, площадей, объемов справедливы одни и те же аксиомы. Таким образом, разные по своей природе величины, отражающие различные свойства объектов, обладают рядом общих свойств, их и называют положительными скалярными величинами.

Иногда приходится рассматривать такую систему скалярных величин, когда полугруппа (G) содержит элемент «нуль», обладающий свойством: а + 0 = а. В этом случае получается система неотрицательных скалярных величин (например, неотрицательные

действительные числа). Примеры таких величин можно найти в физике: масса, плотность и др.

Наконец, еще более расширенным понятием рассмотренных ранее систем величин является система скалярных величин. Здесь необходимы лишь уточнения первой, четвертой и пятой аксиом:

1) а + b > а при любом b > О, где 0 — нулевой элемент; 4) для любых a>0nb>0€G существует п £ N, такой, что а < nb; 5) та же, только с > 0.

Например, множество R действительных чисел является системой скалярных величин относительно операции сложения и естественного порядка в R. Другими примерами могут быть величина угла, температура и др. Вообще говоря, чтобы установить, является ли какая-либо величина скалярной, необходимо показать, что множество таких величин есть упорядоченная коммутативная полугруппа, удовлетворяющая аксиомам 1)—5).

Измерением величин из системы G скалярных величин называется изоморфное отображение / : G -> R упорядоченной полугруппы G на упорядоченную полугруппу R, в которой существует элемент е (: G, такой, что / (е) = 1. Элемент е называется единицей измерения. Число / (а) = a называется мерой или числовым значением величины a £ G при единице измерения е. Записывают так: а = ае (ае иногда называют именованным числом).

В частности, пусть L — множество отрезков, а R *+— множество положительных чисел. Измерение отрезка установлено, если определено отображение / : L -> R*+, удовлетворяющее следующим аксиомам, которые называются аксиомами измерения отрезков: 1) конгруэнтные отрезки имеют равные длины (инвариантность функции при перемещении); 2) длина отрезка, состоящего из нескольких отрезков без внутренних точек, равна сумме длин этих отрезков (аддитивность функции /); 3) существует отрезок, длина которого равна 1 (этот отрезок называется единичным). Следует заметить, что сказанное справедливо в метрической геометрии. В евклидовой геометрии подобия нет единичного отрезка. Чтобы перейти от геометрии подобия к метрической геометрии, нужно какой-либо отрезок зафиксировать в качестве единичного, тогда число, выражающее длину всякого другого отрезка, будет его отношением к выбранному «единичному». Любому отрезку в геометрии подобия соответствует отображение /, удовлетворяющее аксиомам 1)—3). Результат измерения длины отрезка AB записывают так: \АВ\ = ае, где a — числовое значение, е — единица измерения. Например, \АВ I = 5 см.

Можно доказать, как следствие, что длина части отрезка не превышает длины всего отрезка. Действительно, пусть [ЛС] — отрезок и — его часть. [_АВ~\ и [ßC] вместе составляют [ЛС], т. е. I AC I = IА В I + I ВС | (на основании аддитивности). Очевидно, |ЯС|>0, значит, |ЛС|> \АВ\.

В математической литературе показывается, что для длин отрезков, при произвольно выбранной единице измерения, существует,

и притом единственное, отображение (измерение) / величин из этой системы1.

Векторные величины и векторы. Такие понятия, как скорость, сила, ускорение и др., образуют иную разновидность величин — векторные величины. Особенностью векторных величин является их направленность в пространстве. Это обусловливает наличие у векторных величин свойств, отличных от свойств скалярных величин.

Остановимся прежде всего на понятии вектора, которое обобщает многие свойства векторных величин и является математическим аппаратом при их изучении.

Существует несколько интерпретаций понятия вектора. Приведем наиболее характерные примеры, раскрывающие это понятие.

1. Один из подходов использует понятие направленного отрезка, под которым понимается отрезок с фиксированными начальной и конечной точками. Пусть каждая точка плоскости (или пространства) представляет собой начало некоторого направленного отрезка из множества всех направленных отрезков плоскости (пространства). Это множество направленных отрезков разобьем на подмножества, каждое из которых состоит из сонаправленных отрезков равной длины. Такие отрезки AB и CD называют эквиполентными. Можно убедиться, что отношение эквиполентности обладает тремя свойствами:

1) рефлексивности: если А = С и В = D, то направленные отрезки AB и CD совпадут и поэтому имеют равные длины. Эти отрезки и сонаправлены, так как их направление определяется одним и тем же лучом;

2) симметричности: если \АВ\ = \CD\u [Л5] ff [CD], то| CD \ = — I АВ\ и [CD] ff Для случая, когда отрезки AB и CD лежат на одном луче, это свойство очевидно. Теперь пусть направленные отрезки AB и CD лежат на разных лучах. Из условия \АВ\ = = | CD| и AB ff CD следует, что AB и CD являются противоположными сторонами параллелограмма. Значит, | CD | = | А В \ и CD ff AB)

3) транзитивности: доказательство третьего свойства можно найти в курсах аналитической геометрии.

Таким образом, отношение эквиполентности направленных отрезков является отношением эквивалентности. Множество направленных отрезков разбивается на классы эквивалентности Ки Я'г,..-. Направленный отрезок AB 6 К вполне определяет весь класс эквиполентных ему направленных отрезков К. Этот направленный отрезок часто называют представителем.

Введем операцию сложения. Пусть нужно сложить два класса эквиполентных отрезков Ki и Кг- Выберем в одном классе эквиполентных отрезков произвольный направленный отрезок AB Ç Ки затем в другом классе берем отрезок ВС € Кг с началом в точке В.

1 См., например: Энциклопедия элементарной математики /Под ред. П. С. Александрова и др. — М., Физматгиз, 1963, кн. 4,

Если точка С — конец второго отрезка, то направленный отрезок АС принадлежит некоторому классу эквиполентных отрезков /С, который называется суммой данных классов Ki и Кг\ Ki + Кг = = К- В курсах геометрии доказывается, что К определяется с помощью Ki и Кг однозначно, независимо от выбора точки Л, от которой откладывается направленный отрезок AB 6 Ки

Введем теперь операцию умножения класса эквиполентных отрезков на число. Направленные отрезки, эквиполентные отрезку AB, образуют класс эквиполентных направленных отрезков Ki. Умножая каждый из них на одно и то же число m, получим другой класс эквиполентных отрезков /С2, который является произведением Ki на число m : К2 = m • Ки Если m > О, то направленные отрезки в классах Ki и Кг сонаправлены; если m < 0, то противоположно направлены.

Операции сложения и умножения на число во множестве классов эквиполентных направленных отрезков обладают рядом свойств. В частности, построением легко показать свойство ассоциативности относительно операции сложения. Заметим, что при выполнении геометрических построений мы обращаемся с представителями классов эквиполентных направленных отрезков. Отложим от произвольной точки А направленный отрезок AB € Ки от его конца В — направленный отрезок ВС € Кгу а от конца С направленного отрезка ВС — отрезок CD £ Кз- Согласно определению направленный отрезок АС определяет сумму классов Ki и Кг эквиполентных отрезков, т. е. [Л С] 6 Ki + Кг\ направленный отрезок BD определяет сумму Кг + /Сз, т. е. €Кг + Кз- Направленный отрезок AD определяет, с одной стороны, класс (Ki + Кг) + /Сз» а с другой стороны — класс Ki + (Кг + Кз)- Следовательно, (Ki + Кг) + + Кз = Ki + (Кг + /Сз).

Во множестве классов эквиполентных направленных отрезков можно обнаружить и другие свойства:

где л; и у — числа. Элементы рассмотренного множества называются векторами.

2. Рассмотрим множество параллельных переносов плоскости (или пространства). Параллельный перенос Т определяется как отображение плоскости на себя, при котором каждая точка X отображается на такую точку Хи что: 1) луч XXi имеет заданное направление; 2) отрезок ХХ{ имеет заданную длину. Известно, что параллельный перенос задается парой точек, одна из которых является образом другой.

Введем операцию сложения переносов. Последовательно выполним два переноса Тг и Г2: отображение Tt (параллельный перенос) произвольную точку А переводит на точку В = 7\ (Л), а отображение Т2 — точку В на точку С = Т2 (В). Результат последовательного выполнения переносов 7^ и Т2 есть новый перенос, при котором точка Л отображается на точку С. Это отображение Л -> С = Т2

[Ti (А)] называется суммой (композицией) параллельных переносов.

Наряду с этой операцией вводится понятие произведения параллельного переноса на число. В множестве параллельных переносов имеют место те же свойства, что и в рассмотренном выше множестве классов эквиполентных направленных отрезков. В таком случае сам параллельный перенос можно назвать вектором.

3. Векторами можно назвать не только параллельные переносы, но и множества пар точек, которые задают эти переносы.

Выделим подмножества тех пар точек, которые задают один и тот же параллельный перенос. Такие подмножества иначе называют графиками параллельных переносов.

Чтобы получить график параллельного переноса, вводят отношение эквивалентности для любых пар точек (Л; В) и (C;D) так, что [AB) ff ICD) и \A\B\ = \ C\D\. Далее с помощью этого отношения производят разбиение множества всех пар точек на непересекающиеся классы, элементами которых являются эквивалентные пары. Можно показать, что классы эквивалентных пар обладают уже рассмотренными выше свойствами (сравните с первым и вторым примерами векторов). Принято отождествлять график параллельного переноса с самим переносом, как перемещением пространства. Сам график параллельного переноса является вектором.

Существуют величины, для которых справедливы свойства векторов: скорость, сила и др. Их называют векторными величинами. В этом случае свойства выполняются в множестве однородных векторных величин. Подтверждением того, что для однородных векторных величин справедливы свойства векторов, является опыт, эксперимент. Например, опыт показывает, что в множестве сил справедливы те же действия и их свойства, что и для векторов. Значит, сила — векторная величина (или вектор).

Множество однородных векторных величин назовем системой векторных величин. Система векторных величин образует коммутативную полугруппу относительно операции сложения, но отношение порядка в ней не определено. Поэтому в отличие от системы скалярных величин эта полугруппа не является упорядоченной. Иначе говоря, для векторных величин не имеют смысла отношения «больше», «меньше». Более того, сопоставляя аксиоматику системы скалярных величин и свойств векторов, можно заметить, что многие их свойства аналогичны.

§ 3. О РАЗЛИЧНЫХ ПОДХОДАХ К ПОНЯТИЮ СКАЛЯРНОЙ ВЕЛИЧИНЫ В МАТЕМАТИКЕ

В этом параграфе приведем примеры других аксиоматик скалярных величин, которые получили наибольшее распространение.

1. Обозначим множество объектов {а, Ь, с...} буквой S и назовем его множеством однородных скалярных величин, если для его элементов {я, ft, с...} имеют место следующие свойства (аксиомы):

1) Если а 6 S и 6 £ S, то справедливо одно и только одно из

соотношений а < Ь, а *= fr, я > fr. 2) Если а < b и b < с, то а < с. 3) Для любых а 6 S и b 6 S определена с = а + fr, которая тоже принадлежит S. 4) а + & = & + а. 5) а + (Ь + с) = (а + Ь) + с. 6) а + b > а. 7) Если а > &, то существует одна и только одна величина с, для которой b + с = а. 8) Каковы бы ни были а 6 S и натуральное число я, существует b Ç S, для которой я& = а.

9) Каковы бы ни были а 6 S и & £ S, существует такое натуральное число /г, что nb > а (свойство 9 называют аксиомой Архимеда).

10) Если последовательность величин аг < а2 <...<... < fr2<&i обладает тем свойством, что Ьп — ап < с для любой величины с при достаточно большом номере п, то существует единственная величина ху которая больше всех ап и меньше всех Ьп (аксиома непрерывности).

Эти аксиомы определяют понятие положительной скалярной величины. Для определения величин, которые могут иметь и отрицательное значение, нужно лишь изменить аксиомы 6, 7, 9:

6) Если а < by то а + с < b + с. 7) Для любых а и b существует одна и только одна величина с = а — для которой а = Ь+с.

Из свойств 3, 4, 5, 7 можно вывести, что для любых а 6 S и b Ç S а — а=« & — fr, т. е. в множестве однородных величин существует одна вполне определенная «нулевая» величина, обладающая свойством: всегда а + 0 = а.

9) Если b > 0, то для любой a g S существует такое натуральное число П, что а < nb.

Рассмотренный подход к определению понятия скалярной величины в математике является самостоятельным и не связан с понятием действительного числа, но предполагает известным натуральное число.

2. Существует и другая аксиоматика скалярных величин, которая предполагает известным понятие действительного числа и операций над ними. Аксиоматика скалярных величин в этом случае выглядит иначе.

Множество S = {a, fr, е .....} назовем множеством однородных скалярных величин, в котором определены операции сложения, умножения на действительное число и отношения неравенства (S, +, •, >), обладающие следующими свойствами:

1) Среди множества S однородных величин существует такая величина 0, что m • 0 = 0.

Эта аксиома сходна с аксиомой 7 в первой приводимой здесь концепции понятия величины; она предполагает наличие некоторой «нулевой» величины.

2) При любой величине е > 0 отображение m а = те осуществляет взаимно-однозначное отображение множества действительных чисел на множество S однородных величин.

Здесь предусматривается возможность измерения любой из величин данного множества S, если из этого множества выбрана некая величина «е» в качестве единицы измерения. Тогда каждому элементу множества S в результате измерений ставится в соответ-

ствие действительное число. Под измерением же можно понимать нахождение числового множителя m в равенстве а = те. Здесь те называется значением величины, m — числовым (или численным) значением. Таким образом, величина а получается в результате умножения числа m на единицу измерения е. Если вернуться к первой аксиоме, то ясно, что значение величины 0 равно нулю, т. е. О =0 - е = 0.

3) Всегда m • е + п • е = (т + п) • е.

Эта аксиома указывает на одно очень важное свойство операции сложения величин: сумма величин при выбранной единице измерения е равна сумме числовых значений слагаемых величин. Допустим, площадь двух треугольников равна соответственно 5 и 8 см2. Чтобы найти площадь фигуры, составленной из этих треугольников, воспользуемся данным свойством: 5 см2+ 8 см2 = (5 +8) см2 = = 13 см2.

4) Всегда m ♦ (п • е) = (т • п) • е.

В этой аксиоме заключается свойство операции умножения величины на действительное число: чтобы умножить величину на действительное число, нужно перемножить это число с числовым значением величины, оставив единицу измерения прежней. Получится величина того же рода.

5) Если m • е > п • е, то m > я, т. е. большей величине соответствует и большее числовое значение при одной и той же единице измерения.

Можно ввести понятие отношения двух однородных величин как такого числа k, для которого m • е =£ (п • е). Отсюда легко вывести, что — = - = ky т. е. отношение величин равно отношению их числовых значений при общей единице измерения е. Две величины называются соизмеримыми, если их отношение k рационально, в противном случае k иррационально.

Перечисленные аксиомы можно проиллюстрировать в процессе измерений длин отрезков, площадей, объемов и др. Таким образом, эти величины, обладая общими свойствами, относятся к одному виду величин —скалярным.

3. Подход к определению понятия скалярной величины, предлагаемый Н. Я. Виленкиным, также является аксиоматическим. Коротко рассмотрим аксиоматику непрерывных положительных скалярных величин.

Множество (У, +) с заданной в нем алгебраической операцией сложения называется непрерывной положительной скалярной величиной, если выполнены следующие аксиомы:

1) Сложение в V коммутативно, ассоциативно и сократимо (последнее означает, что иза+х=^а+у вытекает х = у).

2) Для любых X и у из V имеем х + у Ф х.

3) Для любого X £ V и любого п найдется такое у Ç V, что ггу =гх (через пу обозначена сумма у + ... +у, содержащая п слагаемых).

4) Если х, у Ç V, то либо х < у, либо у < х.

5) Если 0фХ£Уи0ФУ(:У, причем * не больше у, то существует элемент а £ V, разделяющий х и у (иначе для любых X Ç X и у 6 У выполнено я^у и х^а^у).

При измерениях величин каждому измеряемому объекту сопоставляется элемент из множества V (например, телу сопоставляется его масса), т. е. задается отображение / : Q ]/, где Q — совокупность измеряемых объектов. Соответствия между объектами в Q и их образами можно аксиоматизировать, если ввести понятие области определения величины. Областью определения величины называют множество Q с заданными в нем отношениями эквивалентности а оо ß и тернарным отношением а = ß 0 у (читается «а состоит из ß и у»), такими, что:

а) существует хотя бы одно отображение / : Q -> У, для которого из а оо ß следует / (а) = / (ß), a из а = ß 0 у следует / (а) = /(ß) +/(?);

6) для любого отображения g : Q -> Vy имеющего те же свойства, что и /, найдется такое а 6 R+, что для всех а 6 Q выполняется равенство g" (а) == а/ (а) (здесь R+ — множество положительных действительных чисел).

Не раскрывая дальше теорию измерения скалярных величин, заметим лишь следующее: чтобы выразить результат измерения числом, надо выбрать в Q какой-нибудь элемент е и назвать его единицей измерения данной величины. Тогда каждому a Ç Q сопоставляется число, равное . Это число называют мерой а при едини-/ (<?)

це измерения е. Из условия б) и определения Q вытекает, что оно не зависит от выбора отображения /, а зависит от а и е.

Использование одного из рассмотренных подходов к понятию скалярной величины в школьном преподавании для формирования общих представлений о величине вызывает определенные трудности, так как любая аксиоматика скалярных величин обладает высоким уровнем абстракции. Но принципиальная возможность применения того или иного подхода некоторыми авторами не отрицается. Так, в период перехода советской школы на новое содержание математического образования о возможностях использования второго подхода к понятию величины в средних классах А. Н. Колмогоров писал: «... Можно предложить приемлемый, например, для VI класса школьный вариант изложения подобного резюме ранее приобретенных знаний о скалярных величинах»1.

По поводу третьего подхода Н. Я. Виленкин указывал, что «излагаемый подход после соответствующей адаптации может быть использован в школьном преподавании»2.

1 Колмогоров А. Н. О системе основных понятий для школьного курса математики. —Математика в школе, 1971, № 2, с. 19.

2 Виленкин Н. Я. О понятии величины. — Математика в школе, 1973, № 4, с. 4,

В существующих учебных пособиях аксиоматика скалярных величин полностью не раскрывается и понятием скалярной величины в школьном курсе математики пользуются без определения. Однако учащиеся должны получить некоторые сведения об общих свойствах скалярных величин, а в процессе изучения отдельных величин эти свойства применять.

Различные подходы к понятию скалярной величины позволяют дать некоторое обобщение основных сведений о скалярных величинах, которые могут быть использованы в практике школьного преподавания математики.

1. Скалярная величина — элемент множества однородных скалярных величин.

2. Скалярные величины могут быть разных родов.

3. Для скалярных величин одного рода вводится операция сложения и отношение порядка1.

4. Скалярная величина имеет числовое значение при выбранной единице измерения. Числовое значение получают в результате измерений.

5. При измерениях осуществляется взаимно-однозначное отображение множества величин на множество действительных чисел при выбранной единице измерения.

6. В процессе измерений выявляются следующие свойства величин: а) равным величинам соответствуют равные числовые значения величин при одной и той же единице измерения; б) числовое значение суммы величин при одной и той же единице измерения равно сумме числовых значений слагаемых величин.

7. Запись числового значения величины осуществляется с указанием единицы измерения.

8. Для разнородных величин операция сложения и отношение порядка не определены.

§ 4. ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Понятие векторного пространства является обобщением ряда общих свойств объектов различной природы (векторных величин, классов эквиполентных направленных отрезков, параллельных переносов и др.). Векторное пространство —это множество Р с двумя операциями, удовлетворяющими определенным требованиям. Одна из этих операций каждой паре a, b элементов множества Р ставит в соответствие третий элемент с, который называется суммой элементов а и Ь, т. е. а + b = с. Вторая операция каждому элементу а множества Р и каждому действительному числу m ставит в соответствие элемент та множества Я, называемый произведением эле-

1 Указанные операция и отношение обладают общими свойствами 1) — 5) (см. с. 11), которые используются в процессе изучения величин, но специально не выделяются.

мента а на число т. Обе операции должны удовлетворять следующим требованиям:

1) сложение элементов коммутативно:

2) сложение элементов ассоциативно:

3) существует нулевой элемент 0, такой, что

4) для каждого элемента а существует элемент —а, такой, что

5) умножение элемента на число 1 не меняет его:

6) 7) 8)

Элементы векторного пространства называются векторами. Аксиомам векторного пространства удовлетворяют объекты, рассмотренные в § 2: классы эквиполентных направленных отрезков, множество параллельных переносов, множество пар точек, задающих перенос.

Эти объекты характеризуются двумя признаками: направлением и расстоянием. Однако существует много объектов, в которых эти признаки в явном виде не отражены: множество многочленов степени не выше п с действительными коэффициентами, множество квадратных трехчленов, множество линейных функций и др. Тем не менее эти множества образуют векторные пространства, элементы которых можно назвать векторами. Рассмотрим пример.

Множество линейных функций, заданных на множестве R всех действительных чисел формулой у =-.ах + Ь, образует векторное пространство. Покажем, что сумма двух линейных функций ух =

есть снова функция. Действительно,

Сложение функций коммутативно:

значит,

и ассоциативно:

значит,

Далее очевидно, что

Линейную функцию можно умножить на число, в результате получится опять линейная функция: у == m (ах + Ь) = (та) х + + mb. Нетрудно убедиться, что линейные функции подчиняются остальным аксиомам, к примеру для аксиомы 6) имеем:

(дистрибутивность относительно сложения чисел). Таким образом, множество линейных функций с операциями сложения и умножения на число и их свойствами является векторным пространством. В таком случае линейную функцию правомерно назвать вектором.

Итак, векторное пространство является связующим понятием между объектами различной природы.

Вектор, как элемент векторного пространства, является понятием неопределяемым. Те примеры, которые были рассмотрены выше, представляют собой различные интерпретации (модели) вектора, т. е. любой из рассмотренных объектов является вектором.

Логика изучения векторов зависит от того, вводится ли вектор как элемент векторного пространства или самостоятельно, вне связи с векторным пространством. При первом подходе свойства операций над векторами задаются в виде аксиом, т. е. не доказываются. При втором подходе сначала определяются операции сложения векторов и умножения вектора на число, а свойства этих операций (коммутативность, ассоциативность и др.) должны быть доказаны. Причем если в первом случае и параллельные переносы, и направленные отрезки, и векторные величины были различными интерпретациями общего понятия «вектор» (что позволяет их рассматривать с единой точки зрения как взаимосвязанные понятия), то в случае, когда вектор определяется самостоятельно, все другие понятия должны быть с ним согласованы и иметь свои определения (точные или описательные). В частности, должны быть раскрыты вопросы о том, как связаны и чем отличаются понятия вектора, направленного отрезка и векторной величины. Например, понятие «вектор» и «векторная величина» уже не могут рассматриваться как синонимы, и терминологически не совсем корректно говорить «вектор силы», «вектор скорости» и т. д., так как сила, скорость и другие векторные величины уже не суть векторы (параллельные переносы, направленные отрезки и т. д.).

Все эти вопросы важны в практике преподавания в школе, так как перед учащимися и учителями встают трудности использования знаний о векторах, известные из курса геометрии VII класса, при изучении векторных величин в физике.

Существующая в настоящее время система школьного математического образования не рассматривает концепцию векторного пространства, так как она справедливо считается трудной для учащихся средних классов и требует от них высокого уровня абстрактного мышления. Кроме того, совершенно не разработанной в настоящее время является методика использования понятия векторного пространства в курсе математики средней школы, что и не позволяет пока вводить это понятие в школе.

Все это заставляет иначе взглянуть на понятие вектора, а точнее, рассматривать его как определяемый объект внутри некоторой другой аксиоматики.

В физике и традиционных математических курсах часто вектором называют просто направленный отрезок. В этом случае остается без определения понятие направленного отрезка, что, впрочем, можно считать необязательным, т. е. вводить это понятие чисто интуитивно, наглядно, как, например, в школьной математике вводится понятие соответствия.

Вектор можно определить и как класс эквиполентных отрезков. Однако такое определение не может быть пока использовано в школе в полной мере, так как понятия эквиполентности, эквивалентности, разбиения, класса, фактор-множества в школьном курсе математики не рассматриваются. Тем не менее некоторые из этих понятий могут быть сформированы (и фактически формируются) на интуитивном уровне.

При трактовке вектора как параллельного переноса направленный отрезок выступает лишь как удобное изображение вектора.

Запись а = AB = CD означает, что речь идет о различных направленных отрезках AB и CD, изображающих один и тот же вектор ->

а, а не о равенстве векторов. Такая трактовка вектора вызывает некоторые трудности с точки зрения приложений в физике.

§ 5. ПОНЯТИЕ ВЕЛИЧИНЫ В ФИЗИКЕ

В учебной и методической литературе по физике можно встретить различные определения понятия величины. В большинстве из них отмечаются два момента:

1) физическая величина есть некая характеристика тела, явления или процесса,

2) физическая величина может быть измерена.

О физическом смысле величин. В физике большое значение придается раскрытию физического смысла, сущности той или иной величины. Например, масса характеризует инертные и гравитационные свойства материи. В этом ее физический смысл. Для его понимания нужно знать, в чем состоит само свойство инертности и гравитации. То же справедливо и для других величин. Поэтому введению той или иной величины предшествует изучение тех свойств объектов, которые эти величины отражают. Во многих случаях раскрыть физический смысл величин помогает опыт, эксперимент.

Физический смысл величины — понятие многоплановое, емкое. Было бы неправильно сводить это понятие к отдельным его сторонам. Так, иногда под физическим смыслом величины понимают содержание формулы, которая связывает данную величину с другими. Такой взгляд на природу той или иной величины выглядит формальным. Кроме того, при введении основных величин никакая формула для их расчета не может являться их определением. Например, нет формул, которые бы являлись определением массы,

расстояния и др. В то же время существует много формул, позволяющих вычислить значения этих величин в конкретных ситуациях. Способ измерения величины также не раскрывает полностью ее физического смысла. Величина имеет, как правило, не один способ измерения. Единица измерения также не выражает физического смысла величины, так как есть величины, разные по физическому смыслу, но имеющие одинаковую размерность.

Существенно, что понимание физического смысла той или иной величины может изменяться (совершенствоваться) с развитием физики. При этом понимание физического смысла может связываться со способом ее измерения, выбором единицы измерения.

Например, первоначально температура была введена через способ ее измерения; была выбрана единица измерения — градус. Более точный смысл этой величины связан с понятием средней кинетической энергии молекул, участвующих в тепловом движении. Этот смысл температуры был раскрыт позднее. При строгом рассмотрении температура выступает как один из термодинамических параметров. И все же начальное представление о температуре как степени нагретости тела, является удобным, так как связано с жизненным опытом людей. Таким пониманием температуры широко пользуются в быту.

Величины в физике весьма многообразны. Прежде всего, как и в математике, в физике встречаются скалярные и векторные величины.

Прежде чем говорить о скалярных и векторных величинах в физике, введем понятия одноименных и разноименных, однородных и разнородных величин.

Величины одноименные и разноименные, однородные и неоднородные. Однородные величины отражают одно и то же свойство объекта. Они отличаются только числовыми значениями. Разнородные величины отражают различные свойства объектов. Одноименные величины имеют одинаковую размерность, а разноименные — разную.

Все однородные величины являются в то же время и одноименными. Разнородные величины могут быть одноименными и разноименными. Например, работа и момент силы; радиус сферического проводника и его электроемкость в системе единиц СГСЭ и др. являются величинами разнородными и одноименными.

Такие величины, как время движения тела, период колебания маятника, время оседлой жизни молекулы, период полураспада и др. имеют размерность времени, но отличаются разным физическим смыслом.

Скалярные и векторные величины. Рассмотрим, как определяется понятие скалярной величины в физике. Величины, характеризуемые только числовыми значениями, называются скалярными. Однородные скалярные величины можно сравнивать между собой, над ними можно выполнять различные действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Разнородные скалярные величины можно пере-

множать и делить, но нельзя складывать, вычитать и сравнивать между собой.

Во многих учебных и методических пособиях по физике отождествляются понятия вектора и векторной величины. Само понятие векторной величины определяется по-разному. В школьном учебнике физики для б—7 классов предлагается следующее определение векторной величины: «Величины, которые кроме числового значения (модуля) имеют направление, называются векторными величинами»1. Считается, что такого типа определения неполны, так как есть величины, не являющиеся векторными (сила тока, магнитный поток и др.), но о направленности которых мы говорим. Векторные величины должны складываться геометрически. Тем не менее для VI класса такое определение является приемлемым и дальше может быть уточнено.

В физике различают так называемые полярные и аксиальные векторы (векторные величины). Векторы (векторные величины) называются полярными, если направление их вытекает естественным образом из природы самих величин. Векторы, направления которых связываются с направлением вращения (или обхода), называются аксиальными. Примерами полярных векторов являются: скорость, ускорение, сила, импульс и др.; аксиальных — угловая скорость, угловое ускорение и др.

Основные и производные величины. Величины, единицы измерения которых принимают за основные, и величины, единицы которых образуются как производные, называются соответственно основными и производными. В этих наименованиях есть некоторая условность, так как они зависят от структуры построения системы единиц. К этим двум группам присоединяются дополнительные величины (величина плоского и телесного угла).

Очевидно, логика введения и изучения основных и производных величин отличается друг от друга. Введение основных («первичных») величин встречает большие трудности, чем введение производных («вторичных»). Если понятия длины и времени в курсах физики считаются интуитивно ясными и вводятся лишь единицы измерения этих величин, то для таких основных величин, как масса, температура, сила тока, сила света, не только описываются способы измерения и единицы, но и раскрываются их свойства и физический смысл.

На основе соотношений между физическими величинами, выраженных в математической форме (уравнений), устанавливаются и соотношения между единицами. Любое из этих уравнений можно преобразовать так, чтобы в его левой части была величина, для которой устанавливается производная единица, а в правой — величины, единицы которых являются основными в избранной системе единиц. В итоге получается уравнение, устанавливающее размерность величины.

1 Перышкин А. В., Родина Н. А. Физика: Учебник по физике для VI—VII классов средней школы/ Под ред. И. К. Кикоина. — М.: Просвещение, 1978.

В формулах, выражающих соотношения между величинами, отражены реальные связи свойств тел, явлений и т. д. Производные величины находятся в функциональной зависимости от других величин. Физика дает многочисленные конкретные примеры функций. В различных пособиях, учебниках по физике и в практике преподавания функция трактуется как некоторая переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой. Термины «переменная величина» и «зависимость» считаются известными.

Непрерывные и дискретные величины. Как показало развитие физики конца XIX века, а особенно в XX веке, величины могут быть не только непрерывно, но и дискретно (прерывно, скачкообразно) изменяющимися. Так, энергия электрона в атоме может принимать лишь определенные, дискретные значения, причем набор этих значений может рассматриваться как своеобразный физический «паспорт» атома. Эту дискретность легко наблюдать — она наглядно проявляется в структуре линейчатого спектра атома.

Не всякая дискретность доступна столь простому наблюдению. Так, величина электрического заряда на первый взгляд представляется непрерывно изменяющейся величиной. Однако установлено, что в природе существует наименьшая величина электрического заряда, равная 1,602 ■ 10~19 Кл (заряд электрона)1. Это своеобразный «квант» заряда; любой электрический заряд состоит из целого числа таких «квантов» и в этом смысле дискретен.

Существуют, в частности, величины, которые могут быть только дискретными, например, собственная частота колебаний струны. Вопрос о непрерывности и дискретности является одним из важнейших в современной физике.

О классификации и измерении величин. Многие авторы классифицируют величины в зависимости от того, какие стороны объективной реальности они отражают. Так, В. Н. Мощанский2 делит все величины на три группы, характеризующие:

1) свойства физических объектов;

2) различные стороны явлений, процессов;

3) отношения между объектами, явлениями.

Возможна также следующая классификация величин, которые отражают: 1) формы существования материи, 2) состояние физического тела или системы тел, 3) взаимодействие материальных объектов, 4) процессы при переходе системы тел из одного состояния в другое.

Понятие величины в физике тесно связано с понятием измерения. В процессе измерения особенно ясно выявляется количественная сторона величины.

1 Мы не касаемся гипотетических кварков, заряд которых предполагается равным 1/3 или 2/3 заряда электрона.

2 Мощанский В. Н. Формирование мировоззрения учащихся при изучении физики. — М.: Просвещение, 1976,

Под измерением понимают в большинстве случаев чисто физический процесс. В физическом энциклопедическом словаре дается такое определение процесса измерения: «Измерение — экспериментальное сравнение данной величины с другой величиной, принятой за единицу».

В метрологии принято различать понятия «размер величины» и «значение величины». Первое понятие используют в тех случаях, когда возникает необходимость подчеркнуть, что речь идет о количественном содержании в объекте определенной физической величины. Размер и значение величины не одно и то же. Размер существует реально, независимо от того, знаем мы его или нет. Один и тот же размер может быть выражен различными значениями величины, что зависит от выбора единиц измерения. Например, различные числовые значения скорости 72 км/ч и 20 м/с выражают один и тот же ее размер. В процессе измерения при выбранной единице измерения размер величины становится ее значением. Понятие размера величины следует применять не только для длины, но и для других величин. Можно говорить «размер скорости», «размер силы» и т. д.

При измерениях неизменно получают приближенные значения величин.

§ 6. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ РАССМОТРЕНИИ ВЕЛИЧИН В ФИЗИКЕ

Коротко рассмотрим два вопроса: 1) выбор той или иной системы единиц измерения величин, происхождение разных систем; 2) проблема степени общности той или иной величины в различных областях физики.

О системах единиц измерения величин. В физике давно отказались от независимого выбора единиц для всех величин, а стали применять системы единиц, построенные по определенному принципу. Этот принцип заключается в том, что некоторые величины условно принимаются за основные, т. е. такие, для которых единицы устанавливаются произвольно и независимо. Выбор основных величин произволен. Все остальные величины являются производными.

Для построения системы единиц выбирают несколько основных единиц и с помощью уравнений, связывающих различные величины, устанавливают производные единицы. Так как эти уравнения могут быть различными, то выбирают определяющее уравнение. Выбор этого уравнения, вообще говоря, произволен. Например, для установления единицы силы можно использовать как второй закон Ньютона

так и закон всемирного тяготения

Выбрав в качестве определяющего уравнение F = k±ma и приняв k\ — 1, можно получить числовое значение и размерность коэффициента k2 в уравнении F =

Такие коэффициенты, как /?2, называются универсальными постоянными.

Число основных единиц может быть произвольным. Однако свобода в выборе числа основных единиц является лишь теоретической. Построение системы единиц должно удовлетворять ряду практических требований. При слишком малом числе основных единиц (1 — 2 единицы) производные единицы окажутся либо очень большими, либо очень малыми, а поэтому неудобными для практических целей. Напротив, очень большое число основных единиц повлечет за со-

бой увеличение числа универсальных постоянных, что также является неудобным. Оказалось целесообразным строить системы, в которых имеется 3—7 основных единиц.

Существование различных систем единиц объясняется тем, что величины, отражающие реальные свойства тел и явлений, очень разнообразны и входят в различные закономерности и соотношения, не сводимые друг к другу.

Надо отметить, что часто в различных системах единиц размерности одних и тех же величин могут не совпадать. С другой стороны, встречаются различные величины с одинаковой размерностью в какой-либо одной системе единиц. Это обстоятельство дало в свое время повод для разговора об «истинной» размерности величин. Величине самой по себе не свойственна никакая размерность. Последняя появляется в результате применения закономерностей, установления той или иной системы единиц. Разговор об «истинной» размерности величины не имеет смысла.

В физике часто применяют систему единиц СГС. Единица силы устанавливается на основе второго закона Ньютона. Единицу электрического заряда можно определить из закона Кулона (в этом случае получим систему единиц СГСЭ, где длина, время, масса являются основными, а заряд — производной величиной) с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Можно идти по другому пути: ввести на основе закона Ампера единицу силы тока — ампер. В этом случае получим систему единиц СГСМ. Очевидно, в системе СГСМ коэффициент пропорциональности в уравнении закона Кулона уже будет отличен от 1. В системе СГСЭ коэффициент пропорциональности в уравнении закона Ампера также не будет равен 1.

Система единиц СГСЭ весьма удобна для описаний электрических явлений, а система СГСМ — для магнитных. Но эти системы единиц обладают рядом недостатков. В частности, единицы многих электрических и магнитных величин получаются в них неудобными для практики, так как оказываются очень большими, или очень малыми. Поэтому в настоящее время широкое распространение получила Международная система единиц — СИ1.

Определение ампера, как основной единицы силы тока в этой системе, в силу ряда причин, основано на законе магнитного взаимодействия токов.

Отличие системы единиц СИ от СГСЭ и СГСМ заключается в том, что в ней используется так называемая рационализированная форма записи законов электричества и вводится некоторая постоянная, имеющая размерность и числовое значение, отличное от 1.

Система единиц СИ удобна для практических целей. Но для применения в фундаментальной физике она обладает большим недостатком. Уравнения Максвелла для полей в вакууме в этой системе симметричны по отношению к электрическим и магнитным полям только в том случае, если напряженность магнитного поля (H), а не магнитная индукция (В) выступает как характеристика магнитного поля. Но именно В, а не H является фундаментальной величиной, характеризующей магнитное поле в веществе. Это обстоятельство представляет собой факт, отражающий отсутствие магнитного заряда. Система единиц СИ не отражает электромагнитной симметрии вакуума и асимметрии источников.

Проблема степени общности величин. Существуют величины, которые имеют «хождение» в самых различных областях физики, например, длина, время, энергия, импульс и др. Значительное число величин используются не более, чем в одной-двух областях физики и не применимы в других.

Проблема степени общности тех или иных величин является довольно сложной. Рассмотрим лишь некоторые примеры.

1 Мы не рассматриваем систему единиц Гаусса, которая является сочетанием систем СГСЭ и СГСМ и ограничена в применении.

Длина и время являются основными величинами во всех известных системах единиц измерения. Этот факт можно объяснить фундаментальностью этих величин, отражающих формы существования материи.

Пространственно-временное существование материи проявляется прежде всего в том, что величины, являющиеся пространственно-временными характеристиками, явно или неявно входят в любой физический закон или в определение производной величины. К «пространственным» величинам относятся длина тела, длина волн, пройденный телом путь, расстояние между точками и т. д. К «временным» величинам относятся время свободного падения тела, период колебаний, период полураспада, время «оседлой жизни» молекулы и т. д.

Величины, отражающие пространственно-временное существование материи, явно входят, например, в такие уравнения:

и др., а неявно, например, в такие:

В этом смысле такие величины, как время и длина, имеют наиболее широкую область приложения.

Общность таких величин, как импульс, энергия, основана на универсальном характере законов сохранения этих величин. Эти законы в свою очередь опираются на еще более общие принципы симметрии пространства — времени. Так, закон сохранения импульса вытекает из однородности пространства, а закон сохранения энергии — из однородности времени1. Причем из трехмерности пространства следует векторный характер закона сохранения импульса, а из одномерности времени — скалярный характер энергии и соответствующего закона.

Очевидно, с этих более общих позиций импульс представляет собой величину, сохранение которой в классической физике является следствием однородности пространства, а энергия — величина, сохранение которой — следствие однородности времени.

Тот факт, что законы сохранения являются следствием столь общих представлений о свойствах пространства и времени, подтверждает универсальность этих законов, а значит, общность импульса и энергии.

В различных областях физики эти величины связаны с другими величинами. Их связь отражается в многочисленных формулах.

Многие величины не имеют столь широкого «хождения» при описании различных физических явлений. Например, температура, являясь одним из термодинамических параметров, не имеет места в механике, теории поля. Температура не имеет смысла для отдельных частиц или небольшого их числа. Другими примерами таких

1 См. подробнее: Яворский Б. М., Пинский А. А. Основы физики. — М.: Наука, 1969, т. 1; Тарасов Л. В., Тарасова А. Н. Вопросы и задачи по физике. — М.: Высшая школа. 1975.

величин являются количество теплоты, электрические и магнитные величины и многие другие.

В заключение отметим, что некоторые понятия (величины) с развитием физики в известном смысле «объединяются». Например, открытие глубокой взаимосвязи массы и энергии явилось одним из блестящих достижений физики XX века. Закон взаимосвязи массы и энергии обобщает как закон сохранения массы, так и закон сохранения энергии. Он показывает, что энергия и масса, как величины, характеризующие физические свойства материальных объектов, тесно связаны между собой.

§ 7. ВЕЛИЧИНЫ С ПОЗИЦИЙ РАЗВИТИЯ МЕЖПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ

Разработка согласованного подхода к трактовке понятия величины, а также ряда других понятий, которые тем или иным образом связаны с последним, является одной из возможностей совершенствования взаимосвязей физики с математикой.

Сравнивая те подходы к понятию величины, которые приняты в математике и физике, легко видеть некую изолированность этих учебных дисциплин друг от друга по рассматриваемой проблеме. Такое положение дел отчасти объясняется тем, что математика и физика рассматривают один и тот же объект (в данном случае понятие величины) с различных точек зрения.

Скалярная и векторная величины связаны с другими понятиями: числом, измерением величин, значением и размером величины, погрешностью, функцией, вектором, радиус-вектором, координатами и проекциями векторов, параллельным переносом, направленностью, направленным отрезком и др. Многие из этих понятий получают неоднозначную трактовку в различных разделах математики и физики как внутри этих учебных дисциплин, так и в отношениях между ними. Терминология и символика обоих учебных предметов иногда не совпадают.

Важным вопросом согласования курсов математики и физики являются действия с величинами.

Взаимосвязь обеих учебных дисциплин при изучении величин может осуществляться по следующим направлениям.

1. Введение общих представлений о скалярных и векторных величинах. Действия с величинами.

2. Общность подходов к толкованию некоторых величин, терминологии и символики.

3. Трактовка понятий, связанных с понятием скалярной и векторной величины. Их можно условно разделить на следующие четыре группы:

а) служащие для введения величин: число, неравенство и его свойства, соответствие и др.;

б) использующиеся в процессе применения понятия величины: числовое значение, значение и размер величины, направленный отрезок и др.;

в) сопутствующие понятиям о скалярной и векторной величине: функция, направление, параллельный перенос, вектор, радиус-вектор, координаты и проекция вектора и др.;

г) определяющиеся через величины, например, понятие измерения, единицы измерения, погрешности, размерности.

4. Измерение величин.

Рассмотрим каждое из этих направлений подробнее.

1. Введению общего понятия величины предшествует знакомство с конкретными величинами. Обобщение свойств конкретных величин приводит к общему понятию скалярной и векторной величины.

Возможны некоторые пути, позволяющие согласовать общие представления о скалярной величине в математике и физике.

При введении большинства скалярных величин сначала необходимо выявить те их свойства (или хотя бы некоторые из них), которые являются наиболее общими и лежат в основе определения общего понятия скалярной величины (отношения равенства и неравенства, операции сложения и умножения на число и их свойства). Лишь после этого можно ставить вопрос о выборе единицы измерения и о способе измерения величины.

Обобщая свойства скалярных величин, нужно подчеркивать специфичность содержания каждого из их свойств для разных величин.

При введении физических скалярных величин следует иметь в виду, что выполнимость аксиоматики для них часто подразумевается и вытекает из экспериментальных данных.

Для некоторых физических скалярных величин аксиома непрерывности имеет ограниченное применение. Одни и те же величины считают непрерывными в рамках одной теории и дискретными в рамках другой. Кроме того, есть величины, которые могут быть только непрерывными или только дискретными.

В физике определение общего понятия величины носит описательный характер и связано с понятием измерения. Последнее же не имеет самостоятельного определения, а предполагает известным понятие величины. Если скалярные величины часто отождествляются с числами, то векторные — с векторами.

В математике скалярная величина определяется как элемент некоторого множества с заданными в нем отношениями, операциями и их свойствами (аксиомами). Однородные векторные величины образуют множество, свойства элементов которого аналогичны свойствам векторов.

Итак, если в математике величина рассматривается как понятие абстрактное, определяемое косвенно через ту или иную систему аксиом, то в физике понятие величины считают интуитивно известным, поэтому ограничиваются описательными определениями, не претендующими на высокую степень строгости.

В математике вопросам изложения некоторых общих свойств скалярных величин уделяется большое внимание. При введении

конкретных геометрических величин (например, длина отрезка, площадь, объем) специально выделяются те их свойства, которые являются фундаментальными, а именно: 1) однородные скалярные величины можно сложить; 2) однородные скалярные величины можно сравнивать; 3) скалярные величины можно умножать на число; 4) в множестве однородных скалярных величин имеется величина, принимаемая за единицу.

При введении отдельных скалярных величин эти общие свойства находят конкретное содержание. Например, в случае такой величины, как объем, имеем следующие утверждения: 1) если фигуры 01 и Ф2 конгруэнтны, то V (ФО = V (Ф2); 2) если многогранник Ф является объединением многогранников Ф4 и Ф2, то V (Ф) = = V (ФО + V (Ф2); 3) если фигура Ф есть часть фигуры Ф4 (т. е. подмножество Ф4), то V (Ф) ^ V (Ф4); 4) для куба Е с длиной ребра е имеем V (Е) = 1, где е — единица длины.

Наметим теперь некоторые пути, позволяющие согласовать общие представления о векторной величине.

При введении конкретных векторных величин необходимо:

1) Показать векторный характер конкретных векторных величин.

2) Раскрыть смысл отношения «равно» на конкретных примерах и подчеркнуть, что отношение «порядка» для векторных величин не существует.

3) Раскрыть физический смысл операций с однородными векторными величинами и применимость этих операций в конкретных ситуациях.

Обобщая свойства векторных величин, необходимо:

1) Подчеркнуть, что сложение величин, умножение на число (независимо от рода величины) производят по одним и тем же правилам и в то же время для каждого конкретного рода величин существуют различные способы выполнения этих операций.

2) Разграничить понятия вектора и векторной величины, указав место каждого из понятий в математике и физике.

3) Показать различие скалярных и векторных величин.

Вопрос об операциях и действиях с величинами в учебной литературе по математике и физике также раскрывается не всегда однозначно.

В физике считают, что с однородными скалярными величинами можно выполнять те же действия, как и с действительными числами: сравнивать, складывать, перемножать, возводить в степень и т. д. В математике в множестве однородных скалярных величин определены лишь отношения сравнения («больше», «меньше», «равно»), операции сложения и умножения на число. Перемножать однородные скалярные величины нельзя.

Это несогласование является следствием того, что в современной математике принято разграничивать понятия скалярной величины и числа, тогда как в физике эти понятия часто отождествляют.

Как в физике, так и в математике полагают, что разнородные

величины нельзя сравнивать, складывать и вычитать. Все остальные действия справедливы. В физике, однако, различают умножение скалярной величины на число и умножение одной скалярной величины на другую. В первом случае получают скалярную величину того же рода, во втором — величину иного рода.

Векторные величины можно умножать на числа. Из опыта следует, что свойства этой операции совпадают со свойствами векторов. Умножение, например, силы на число 3 дает силу того же направления, а размер ее увеличивается в 3 раза. В физике наряду с этой операцией существует операция умножения векторной величины на скалярную, тогда как такая операция для векторов не определена. В результате получают векторную величину другого рода. Так, если силу умножить на время, то получают векторную величину другого рода — импульс силы, направление которой совпадает с направлением силы.

2. Вопросы общности толкования некоторых понятий (в том числе и величин), терминологии и символики до сих пор в учебной литературе по физике и математике до конца не решены. Встречается небрежность в трактовке таких конкретных величин, как расстояние, пройденный путь, перемещение. Рассчитывая, например, по условию задачи расстояние между городами, находят на самом деле пройденный автомобилем путь.

В геометрии существует косвенное определение понятия расстояния через систему аксиом:

1)

2) 3)

— три различные точки плоскости.

Понятие расстояния рассматривается как неотрицательная скалярная величина, причем расстояние от точки А до точки В связано с длиной отрезка AB. В случае прямолинейного движения расстояние и пройденный путь равны. При криволинейном движении путь больше расстояния, так как путь есть длина траектории, тогда как расстояние с траекторией никак не связано. Расстояние зависит от начального и конечного положения тела и не зависит от того, в каких точках находилось тело во время своего движения. Это обстоятельство связывает понятие расстояния и такую величину, как перемещение. Но расстояние — скалярная величина, а перемещение — векторная.

Заметим сразу: понятие перемещения (изометрии) пространства в математике и перемещение как физическая векторная величина в физике — различные понятия. Применение одного термина для обозначения двух различных понятий создает большие неудобства, особенно в школьном обучении.

В литературе по физике перемещение вводится двумя способами: либо как разность соответствующих радиус-векторов начального и конечного положения тела (точки) в системе координат, либо просто как направленный отрезок, соединяющий начальное и конеч-

ное положение тела вне какой-либо конкретной системы координат. Чаще всего тот и другой способы даются совместно. Второй способ принят в школьном курсе физики. Перемещение по существу отождествляется с направленным отрезком. В то же время пишут, что перемещение — векторная величина. Такое определение вызывает неудобства, так как направленный отрезок как математический объект никак не может быть величиной, подобно тому как вектор также не является величиной.

Перемещение как векторную физическую величину можно задать указанием расстояния s > 0 и направления, т. е. так же, как и вектор. Перемещение показывает, в каком направлении и на какое расстояние переместилось тело за данный промежуток времени.

При таком понимании перемещения направленный отрезок является лишь изображением этой векторной величины (как, впрочем, и любой другой), но не самой величиной. Так как все точки тела в результате движения переместились в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, то, вообще говоря, перемещение имеет множество изображений в виде направленных отрезков. Выбирают один из них произвольно, но чаще всего связанный с центром масс тела.

3. Понятия, связанные со скалярной и векторной величинами, были разделены условно на четыре группы. Рассмотрим лишь те из понятий, которые получают неоднозначную трактовку в курсах математики и физики. Кроме того, рассмотрим соотношения таких понятий, как вектор, векторная величина, направленный отрезок. Последовательность рассмотрения этих понятий соответствует расположению их в четырех выделенных группах.

Число. Множество действительных чисел подчиняется аксиоматике скалярных величин. Действительные числа являются частным примером скалярных величин, и возникли они в процессе измерений величин. Но говорить, что скалярная величина есть число, некорректно. Современная математика различает понятие величины и числа. Разграничение этих понятий проводится и в школьном курсе математики.

Совпадение многих свойств скалярных величин и действительных чисел объясняется тем, что при измерениях осуществляется взаимно-однозначное отображение множества скалярных величин на множество чисел. Но имеется и существенное отличие: операция умножения в множестве однородных скалярных величин не определена. Поэтому, например, утверждение «площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту», строго говоря, допустимо лишь как вольность речи. Точнее, можно сказать так: «число, выражающее площадь треугольника в квадратных единицах, равно половине произведения чисел, выражающих длины его основания и высоты, в соответствующих линейных единицах». Но в такой вольности речи нет ничего страшного, если помнить, что имеется в виду на самом деле.

Итак, понятия скалярной величины и числа родственные, но

нетождественные понятия. Для скалярных величин (впрочем, как и для векторных) рассматривают их числовые значения.

Говоря о величинах, необходимо четко различать тот объект, к которому относится данная величина, саму величину, значение и числовое значение величины. Это различие строго выдерживается, например, в школьном курсе математики; вводятся различные обозначения для величины и для геометрической фигуры. Так, если отрезок AB обозначается то его длина — \АВ\ и т. д. Числовое значение величины, записанное с указанием единицы измерения, называется значением величины.

Функция. В физике большое внимание уделяется изучению связей между величинами. Все производные величины так или иначе связаны с основными. Математическое описание этих связей неизбежно связано с понятием функции. Следует отметить, что понятие «функция» в современной математике и физике применяется в несколько различных смыслах. То же наблюдается и в школьном обучении.

Понятие функции вводится в VI классе в курсе алгебры и основано на общем понятии соответствия, которое может быть задано различными способами между объектами любой природы. В физике такими объектами являются чаще всего величины. Формирование у учащихся общих представлений о величине позволит дать «физическую» интерпретацию понятия функции.

При изучении математики, отвлекаясь от конкретных физических явлений, исследуются функции как абстрактные математические объекты. На уроках физики приобретенные знания применяются для изучения конкретных связей между свойствами окружающих нас объектов, отраженных в соответствующих величинах. Например, функции, заданные формулами у =kx + b и у =kx, имеют различную физическую интерпретацию, если под переменными «у», «х», подразумевать конкретные величины: они могут выражать зависимость пройденного пути от времени при равномерном движении, скорости от времени при равноускоренном движении, количества теплоты, выделяющегося при полном сгорании топлива, от его массы, температуры в недрах Земли от расстояния от ее поверхности и т. д.

Следует отметить, что не каждая функциональная зависимость между величинами отражает причинно-следственные связи в объективной реальности. Например, между ускорением и изменением скорости тела существует известная функциональная зависимость (/ = const), но между этими величинами нет причинно-следственных связей: изменение скорости не является причиной, а ускорение следствием. В то же время функциональная зависимость

отражает причинно-следственные связи:

сила является причиной ускорения. В первом случае мы имеем дело с определением ускорения, а во втором — с физическим зако-

ном. Так как физический закон отражает причинно-следственные связи, то его содержание глубже, чем просто функциональная зависимость между величинами.

Остановимся теперь на понятии направления (направленности), которое лежит в основе понятий вектора, векторной величины, параллельного переноса, направленного отрезка.

В математике имеется строгое определение понятия «направление»: «Множество всех лучей, каждый из которых сонаправлен с одним и тем же лучом, называется направлением».

Термином «направление» часто пользуются в разговорной речи, и он имеет самые различные оттенки. В физике это понятие считают интуитивно ясным и поэтому не определяют. Отсюда область применения понятия очень широкая. Так пишут о направлении поворота, направлении некоторых величин, не являющихся векторными, направлении изменения величины (в смысле возрастания или убывания) и т. д.

При трактовке понятий вектора, конкретных векторных величин термин «направление» должен, естественно, применяться правильно. Например, когда в школе говорят о направлении силы тока, то в термин «направление» вкладывают скорее бытовой смысл, чем точный. «Направленность» этой скалярной величины не согласуется с понятием направленности в математике.

Еще пример. Как известно, произвольный угол поворота (точнее, его величина) является скалярной величиной. Но угол поворота часто называют направленной величиной, так как вращение может осуществляться как по часовой стрелке, так и против. Очевидно, что здесь термин «направление» употребляется не в том смысле, который рассмотрен выше.

Лишь для достаточно малых углов поворота, когда разницей в длине дуги окружности и соответствующей ей хорды можно пренебречь, говорят об этой величине как о векторной, направление которой связано с вращением в ту или иную сторону.

В этом случае величины углов поворота подчиняются аксиоматике векторного пространства. Но теперь понятие направленности уже приобретает смысл, близкий к принятому в математике, и эту векторную величину, как и другие векторные величины, можно изображать направленными отрезками.

О координате и проекции вектора. В школьном курсе геометрии при определении координат вектора всегда начало направленного отрезка, изображающего вектор, совмещают с началом координат, а в курсе физики это требование не обязательно. Это обстоятельство является следствием того, что вектор в курсе геометрии и физики понимается в несколько различных смыслах.

Несогласованность возникает и по использованию понятий координат и проекций вектора. В курсе геометрии восьмилетней школы вводится только первое из этих понятий, тогда как в курсе механики 8-го класса применяется понятие проекций обоих концов вектора и самого вектора на оси координат, а понятие координаты

вектора отсутствует (вводятся лишь координаты точки). Все это вызывает известные трудности в практике преподавания. Для устранения их необходимо разработать единый подход к введению и применению понятий вектора, его координат и проекций. Во второй части обобщается опыт работы авторов и некоторых учителей в школе по согласованному введению понятия вектора на уроках математики и физики.

Теперь рассмотрим связи между понятиями вектора, векторной величины и направленного отрезка.

Ответить на вопрос, является ли данная величина векторной или нет, может, строго говоря, только эксперимент.

Часто можно встретить высказывания типа: «Так как силы — векторы (векторные величины), то они складываются геометрически». Оно принципиально ошибочно. Здесь следствие и причина меняются местами. Правильнее следует говорить: «Опыт доказывает, что для сил справедливы те же действия и их свойства, что и для векторов, значит, сила — векторная величина».

Интерпретация вектора на основе теоретико-множественной концепции (например, как параллельный перенос) порождает существенную трудность в определении отношения «равно» для векторов. В восьмилетней школе понятие равенства векторов не вводится. Однако в физике часто встречаются ситуации, при анализе которых необходимо говорить о равенстве векторных величин.

Разграничивая понятие вектора и векторной величины, говорить о том, что все действия с векторами справедливы и для векторных величин, некорректно. Такие утверждения нужно понимать правильно. Так как вектор — чисто математическое, абстрактное понятие, непосредственно не связанное с каким-либо физическим объектом, то операции с векторами имеют место для любых векторов и в применении не ограничены. Действия же с векторными величинами ограничены в применении.

Разберем примеры:

а) Шарик на нити движется по окружности в вертикальной плоскости, причем \v\ — const. На рисунке 1 v — линейная скорость шарика в точке Л, а — центростремительное ускорение. С точки зрения математики можно сложить любые два вектора, в том числе v и а. Если же с а и и связать известный физический смысл, т. е. рассматривать не как некие абстрактные векторы, а как векторные величины, то складывать их бессмысленно.

б) По третьему закону Ньютона два тела действуют друг на друга с силами, равными по своему значению и противоположными по направлению. Математика, отвлекаясь от конкретного содержания, не запрещает складывать векторы Fx и F2. С точки зрения

Рис. 1

физики это бессмысленно, так как силы приложены к разным телам и поэтому равнодействующей не имеют.

Можно привести еще примеры, которые показывают, что действия с векторными величинами, известные в математике, не охватывают все возможные ситуации, встречающиеся в физике.

Рассмотренные примеры показывают, что векторы и векторные величины нетождественные понятия, если вектор определяется отдельно (например, как параллельный перенос). Векторную величину можно измерить. Как и для скалярных величин, при выбранной единице измерения осуществляется взаимно-однозначное отображение множества Р однородных векторных величин на множество чисел R, т. е. P-+R. В результате измерений какому-либо элементу множества Р ставится в соответствие число (числовое значение величины).

4. Большие возможности практической реализации межпредметных связей математики и физики открываются в связи с изложением вопросов об измерениях величин, а в средней школе в формировании и развитии измерительных умений и навыков.

В связи с этим представляется важным обратить внимание на следующее:

1) Определение процесса измерения. Смысл этого процесса. Соотношение понятий величины и измерения.

2) Единицы измерения величин. Перевод единиц.

3) Методы измерений (прямой и косвенный).

4) Устройство и принцип действия измерительных приборов.

5) Общие правила выполнения измерений. Снятие показаний приборов.

6) Формулы для косвенного измерения величин.

7) Свойства величин, раскрывающиеся в процессе измерений.

8) Приближенный характер измерений. Виды погрешностей. Обработка и запись результатов измерений. Пути повышения точности измерений.

9) Единая трактовка некоторых метрологических понятий: эталон, мера и др.

Сравнивая процесс измерения в математике и физике, легко видеть, что они имеют много общего: 1) для измерения величины сначала выбирают единицу измерения, которая является величиной того же рода, что и измеряемая; 2) осуществляется сам процесс измерения, в результате которого находят отношение (число) измеряемой величины к единице измерения. Это число и называют числовым значением или мерой величины. Таким образом, в процессе измерения в общем случае устанавливается однозначное отображение множества однородных величин на множество действительных чисел.

Однако в целом на проблему измерения имеется две точки зрения. Согласно первой из них рассматриваемое множество объектов упорядочивают, заменяют множеством величин, затем приступают к самому этапу измерений, т. е. строят отображение множества вели-

чин на множество действительных чисел. Это отображение должно быть таково, что равным величинам соответствуют равные числа, большей величине — большее число и т. п. Чтобы упорядочить множество объектов измерения для скалярных величин, вводят бинарные отношения «больше», «меньше», «равно» и тернарное отношение «быть суммой». Эти отношения должны удовлетворять определенной группе аксиом. Векторные величины должны подчиняться аксиоматике векторного пространства.

Недостаток этой точки зрения на проблему измерения состоит в трудности заранее упорядочить множество измеряемых объектов, не прибегая к самому процессу измерения.

Согласно второй точке зрения в первую очередь элементы данного множества объектов нужно измерить (без проведения предварительного упорядочивания множества), а затем, если есть необходимость, упорядочить их. Иными словами, в этом случае имеет место непосредственное отображение множества измеряемых объектов (тел, точечное множество, свойство, явление и т. п.) на числовое множество. Это отображение означает, как и в первом случае, сравнение элемента множества объектов с единицей измерения (эталоном) и выяснение отношения (числа) данного элемента к единице измерения.

Очевидно, при второй точке зрения выпадает важное промежуточное звено — величина. При такой логике построения теории измерений величины трактуются как числа: длина, объем, площадь, масса, плотность, скорость, сила и т. п. есть числа.

О понятии величины в этом случае можно говорить лишь после изложения теории измерений.

Первая точка зрения на проблему измерений дает возможность обосновать введение той или иной величины и методов ее измерения. Действительно, вводя отношения сравнения, т. е. упорядочивая множество изучаемых объектов, мы тем самым подводим учащихся к пониманию той или иной величины и одновременно каждый раз выделяем основные признаки понятия величины. Заметим, что согласно второй точке зрения непосредственные измерения (без введения основополагающих отношений) предполагают уже известными эти отношения, что является в некотором смысле противоречием. Действительно, часто при непосредственном измерении мы должны сравнивать элементы множества объектов с единицей измерения (или эталоном), которая может быть больше или меньше этого элемента.

Как первый, так и второй подходы к проблеме измерения могут быть использованы в практике школьного обучения. В целях успешного формирования измерительных умений и навыков курсы математики и физики должны выступать единым фронтом. Причем вопрос математической обработки экспериментальных результатов должен быть одним из основных.

II. ИЗУЧЕНИЕ ВЕЛИЧИН НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ В УСЛОВИЯХ РАЗВИТИЯ МЕЖПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ

В восьмилетней и средней школе понятием величины пользуются без определения. Изучению общих свойств величин уделяется недостаточное внимание. Поэтому учащиеся имеют слабые общие представления о понятии величины, ее измерении. В частности, наблюдения показывают, что учащиеся имеют недостаточное представление о скалярных и векторных свойствах величин, о взаимосвязи величин с различными свойствами тел, явлений, о методах и способах измерений величин, о приближенном характере измерений, не понимают связи и различия понятий вектора и векторной величины, путают величины с другими понятиями, не всегда умеют классифицировать величины по различным признакам и т. д.

В практике преподавания часто встречается несколько вольное обращение с понятием «величина». Например, когда хотят выразить количественное содержание определенного свойства объекта или явления, применяют не к месту термин «величина». Так говорят о «величине силы», «величине скорости» и т. д. Но масса, объем, скорость — сами по себе величины. В то же время совершенно справедливо говорить о величине угла, так как угол — геометрическая фигура, а не величина. Применяют вольную терминологию типа «скорость изменяется по величине» и т. д. Эти примеры свидетельствуют о том, что целенаправленное формирование понятия о величине в школе позволит повысить физико-математическую культуру учащихся и правильно применять это понятие в различных конкретных ситуациях. Однако введение какого-либо формального (аксиоматического) определения этого понятия вряд ли доступно учащимся средних классов. Представляется возможным уже в младших и далее в средних классах постепенно знакомить учащихся с общими свойствами скалярных и векторных величин на конкретных примерах с последующей их систематизацией и обобщением.

С проблемой формирования и развития у учащихся понятия величины тесно связана другая — формирование умений применять понятие величины, так как критерием овладения тем или иным понятием является умение им оперировать.

Таким образом, проблема изучения скалярной и векторной величин, их измерений в школьном обучении с позиций межпредметных связей математики и физики требует рассмотрения двух моментов:

1. Формирование и развитие общего формально-логического представления у учащихся о скалярной и векторной величинах.

2. Обучение учащихся практическому применению понятия величины в связи с измерениями, вычислениями и другими операциями.

Рассмотренные выше подходы к понятию скалярной и векторной величин в математике и физике позволяют выделить их основные свойства (признаки) с учетом межпредметных связей.

Формирование и развитие понятия скалярной и векторной величин осуществляется путем выделения этих свойств в процессе изучения конкретных величин. При этом могут быть использованы различные средства: беседа, демонстрационный и фронтальный эксперимент, решение задач и т. д. В нашей работе общие свойства величин, умения и навыки, связанные с измерениями, усваивались, закреплялись и обобщались через специально разработанную систему дидактических заданий практического и теоретического характера. Задания давались в виде карточек при фронтальной, самостоятельной работе учащихся.

Рассмотрим каждый из вышеуказанных моментов более подробно, отдельно для скалярной и векторной величины.

§ 1. ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ СКАЛЯРНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Формирование и развитие понятия скалярной величины возможно, по нашему мнению, лишь на протяжении всего периода обучения математике и физике в процессе изучения конкретных скалярных величин. Процесс формирования понятий у учащихся длителен и сложен. Понятие создается не сразу, а возникает и развивается постепенно, становясь все более полным и глубоким. Тем более это относится к сложным понятиям, каким является понятие «скалярная величина». Лишь по мере накопления знаний об общих свойствах конкретных скалярных величин возможны некоторые обобщения и систематизация этих свойств на все более и более высоком уровне. По мнению психологов Д. Н. Богоявленского, Н. А. Менчинской, Л. В. Занкова, Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова, повышение уровня обобщений изучаемого материала связано с повышением научного уровня знаний учащихся. В процессе обобщений свойств скалярных величин будут постепенно формироваться у учащихся общие представления о скалярных величинах.

Формальное же введение той или иной аксиоматики скалярных величин непосильно учащимся младших и средних классов. Согласно общим положениям теории познания «задача обучения сводится к тому, чтобы обеспечить не простую абстракцию, а содержательную, в процессе которой осуществляется мысленно выделение су-

щественных особенностей предмета»1. В методике признается тот факт, что чаще всего аксиоматический метод в обучении применяется тогда, когда учащиеся уже обладают известным объемом знаний с целью обобщения и организации их в систему. Таким образом, ни о каком полном аксиоматическом методе при формировании понятия скалярной величины говорить не приходится. Задача состоит в том, чтобы выработать интуитивно понятный учащимся способ изложения материала, свободный от формалистики и не противоречащий дальнейшим уточнениям понятия скалярной величины в более старших классах.

Рассмотрение различных подходов к понятию скалярной величины позволило выделить те основные сведения об этом понятии, которые могут быть изложены учащимся на том или ином уровне строгости в зависимости от возрастных особенностей учащихся. Неполное или нестрогое введение понятия скалярной величины должно помогать, а не мешать в дальнейшем более полному усвоению этого понятия на любом уровне строгости.

Практическая реализация второго пункта, а именно обучение учащихся практическому применению скалярных величин в связи с измерениями и вычислениями, неразрывно связана с первым, так как, во-первых, понятия величины и измерения тесно взаимосвязаны, и, во-вторых, «процесс формирования понятий понимается как и одновременный процесс формирования у учащихся соответствующей этим понятиям системы умений и навыков»2. Обучение учащихся измерениям величин, математической обработке результатов этих измерений — процесс длительный и поэтому должен осуществляться постепенно и непрерывно.

Таким образом, методика изучения понятия скалярной величины с учетом межпредметных связей может быть построена на следующих основных положениях:

1) формирование и развитие общих представлений учащихся о скалярной величине должно осуществляться постепенно, в процессе изучения конкретных величин с последующими обобщениями их свойств;

2) изучение конкретных величин должно осуществляться таким образом, чтобы в первую очередь выявлялись те их свойства, которые лежат в основе общего определения понятия скалярной величины;

3) при первоначальном формировании понятия о величинах должны учитываться жизненные представления учащихся;

4) в процессе формирования и развития понятия о скалярной величине должны учитываться возрастные особенности учащихся.

В связи с изложенными выше положениями изучение конкретных величин может предусматривать рассмотрение следующих моментов:

1 Черкасов В. А. Дидактические основы построения системы упражнений. — Челябинск, 1978, с. 63.

2 Там же, с. 4

1. Обоснование введения той или иной величины.

Введению величин предшествует изучение свойств объектов, которые обнаруживаются в процессе сравнения. Необходимость такого сравнения и служит обоснованием введения величин, хотя может быть и недостаточным.

Реализация этого дает возможность выделить одно из общих свойств скалярных величин, заключающееся в том, что для однородных скалярных величин существует отношение равенства и неравенства, которое устанавливается каждый раз специально для разных по своей природе величин.

2. Введение отношений «быть суммой» и «быть умноженной (деленной) на число».

3. Установление для производных величин связи между величинами, введение формул для их расчетов.

4. Введение единицы измерения величины.

5. Обоснование способов измерения величины.

6. Раскрытие приближенного характера измерений (начиная с IV класса).

7. Установление свойств величин, вытекающих в процессе измерений.

Опыт нашей работы показал, что изучение величин наиболее успешно реализуется через систему самостоятельных заданий, в число которых входили следующие:

1. Прямое и косвенное сравнение величин.

Сравнение величин предполагает включение в упражнения следующих отношений в множестве однородных скалярных величин {а, Ь, с...}:

1) отношение «равно» и его свойства:

а) рефлексивности а =. а\

б) симметричности а = Ь =>- Ъ *= а\

в) транзитивности а = 6 и Ь = с =ф* а « с.

2) отношения «больше», «меньше» и их свойства:

а) ассиметричности а > Ь Ь < а\

б) транзитивности а>ЬиЬ>с=>а>с.

Здесь особенно важным является включение в упражнения вопросов и заданий, направленных на понимание этих отношений: «что больше?», «что меньше?», «на сколько больше?», «на сколько меньше?», «увеличить на ...», «уменьшить на ...».

2. Прямое и косвенное сложение величин, обладающее следующими свойствами:

а) переместительности

б) сочетательности

в) монотонности

В связи с рассмотрением суммы величин учащимся важно показать, что существует величина «fc», называемая разностью величин с и а, обладающая свойством а + b = с.

3. Прямое и косвенное умножение и деление величины на число. Здесь особое внимание учителю следует обратить на следующее

свойство: для любых однородных скалярных величин а и b найдется такое натуральное число п, что п • b > а.

Важным является включение в упражнение вопросов и заданий, направленных на понимание этих отношений: «во сколько раз больше», «во сколько раз меньше», «увеличить во столько-то раз», «уменьшить во столько-то раз» и др.

4. Усвоение формул для расчета величин, связей между ними.

5. Усвоение единиц измерения величин, на перевод единиц.

6. Формирование и развитие знаний, умений и навыков измерения величин.

В зависимости от особенностей той или иной величины, целей урока, возрастных возможностей учащихся, уровня имеющихся у них знаний, умений и навыков и т. д. последовательность рассмотрения этих пунктов может быть различной и менее подробной.

В нашей работе основные свойства величин, а также знания, умения и навыки измерений их формировались и усваивались учащимися в ходе предметной деятельности в процессе выполнения фронтальных практических заданий и заданий с дидактическими карточками, активизирующих познавательную деятельность учащихся.

Большинство заданий были непродолжительны по времени выполнения. Мы их делили на следующие виды:

1. Задания, подготавливающие учащихся к введению той или иной величины. Эти задания включают в себя наблюдение и изучение свойств тел, явлений, сравнение (качественное) этих свойств и т. д.

2. Задания, раскрывающие основные свойства величин. Обычно такие задания выполняются в процессе введения величины или после ее введения.

3. Задания, служащие для закрепления основных свойств величины.

4. Задания, служащие для повторения или обобщения знаний о величине.

5. Задания, способствующие формированию и развитию умений и навыков измерений величин.

6. Задания, служащие для контроля знаний, умений и навыков, связанных с величинами.

7. Задания-задачи, развивающие понятие величины в процессе его применения.

8. Задания на установление, закрепление или повторение зависимостей между величинами.

Процесс изучения понятия о скалярной величине начинается с I класса и продолжается в течение всего обучения в школе.

Опыт работы в школе показал, что на первом этапе (I—V классы) в основном осуществляется пропедевтическая работа, закладываются измерительные умения и навыки. Цель этой работы заключается в создании определенного содержательного фонда понятия «скалярная величина».

На втором этапе (VI—VIII классы) происходит развитие представлений учащихся о понятии «скалярная величина» путем обобщений предшествующих сведений о конкретных скалярных величинах. Здесь же вводятся новые величины, расширяющие круг известных учащимся величин, и совершенствуются измерительные умения и навыки.

Первый этап. Дошкольники шести и семи лет уже имеют некоторые общие представления о величине, правда весьма слабые, умеют сравнивать длины, объемы, массы в простейших случаях. Понимают смысл отношений «больше», «равно» интуитивно.

С I класса учащиеся знакомятся с такой величиной, как длина отрезка, учатся измерять ее, сравнивают длины двух отрезков, строят отрезки заданной длины. В начальных классах учащиеся получают некоторые сведения об измерении величины угла, площади прямоугольника, периметре, учатся переводить единицы измерений, наконец, знакомятся с единицами измерения некоторых негеометрических величин: массы, времени, пройденного пути, скорости, со шкалами некоторых измерительных приборов (линейкой, весами, транспортиром, палеткой, термометром). Эти величины наиболее часто встречаются в практической деятельности людей. Единицами измерения этих величин постоянно пользуются в жизни, в быту. С другой стороны, изучению этих величин сопутствует вооружение учащихся разнообразными знаниями, умениями и навыками, связанными с применением величин. Сведения о величинах носят предварительный характер и в результате непосредственного измерения длины, площади и др. рассматриваются как числа. В IV—V классах учащиеся пользуются формулами для вычисления площадей и объемов некоторых фигур, имеют первые представления о приближенном измерении величин. Однако в целом работа по формированию понятия о скалярной величине в этих классах несколько ослабевает.

Таким образом, в I—V классах формируются некоторые интуитивные представления о скалярных величинах и их практическом измерении. Тем не менее представляется возможным уже на этом этапе более целенаправленное знакомство учащихся с общими свойствами скалярных величин в тесной связи с их измерениями.

Заметим, что изучение указанных величин идет, вообще говоря, на протяжении длительного промежутка времени, некоторые величины изучаются на всем протяжении обучения в школе. Здесь же речь идет о формировании и развитии первоначальных сведений о конкретных величинах с последующими обобщениями их свойств с целью формирования общих представлений о скалярных величинах.

Рассмотрим в качестве примера применяемую нами пропедевтику изучения длины отрезка и длины кривой. С этими величинами учащиеся встречаются во время всего периода обучения в школе и в жизни. Они имеют большое значение, например, при измерениях различных величин с помощью приборов. Достаточно лишь сказать,

что снятие показаний со шкал измерительных приборов представляет собой по существу операцию измерения длин отрезков и кривых. Поэтому свойства длины должны быть изучены в школе достаточно подробно.

На примере длины отрезка предоставляется возможность познакомить учащихся уже начальных классов со многими свойствами, общими для большинства скалярных величин. Представляется важным проиллюстрировать эти же свойства на примере длины кривой в средних классах. Мы останавливаемся так подробно на изучении свойств длины отрезка потому, что свойства других скалярных величин аналогичны со свойствами длины. Сопоставление этих свойств представляется очень полезным в целях формирования у учащихся общих представлений о скалярных величинах.

На примере длины отрезка при выполнении соответствующих упражнений осуществляется более целенаправленное, чем это имеет место в настоящее время, знакомство учащихся с общими свойствами положительных скалярных величин.

Знакомство учащихся с сантиметром, измерительной линейкой и проведение с ее помощью измерений осуществляется несколько позднее, чем принято. Измерениям обычной линейкой предшествуют специально разработанные упражнения на понимание процесса измерения.

Изучение свойств длины отрезка осуществляется на основе предметной деятельности учащихся с опорой на конкретно-чувственное восприятие учащихся младших классов с последующими обобщениями все более и более высокого уровня. С этой целью используются задания практического характера, которые выполняются всеми учащимися класса лабораторным методом, различный раздаточный материал (полоски бумаги, нитки, кусочки проволоки, палочки, карандаши и т. д.). Задания с предметами чередовались с заданиями с отрезками (использование нелинованной бумаги, бумаги в одну линейку, в клетку и кальки).

Какова же последовательность изучения свойств длины отрезка? Распределение учебного материала между классами в основном соответствует действующей программе по математике I—IV классов (это отражено в последовательности пунктов).

1. Прямое сравнение длин реальных объектов (предметов) и отрезков сначала на глаз, затем способом наложения.

2. Прямое сложение длин, выяснение смысла этой операции способом последовательного откладывания и присоединения.

3. Введение единицы измерения (см) и способа измерения длин. Представление результата измерения (численного значения длины) как числа m, показывающего, сколько сантиметров укладывается на измеряемом объекте, т. е.

4. Знакомство с измерительной линейкой и правилами обращения с ней.

5. Установление свойств длины отрезка, вытекающих в процессе измерений.

6. Сравнение и сложение длин отрезков через измерения (косвенный способ).

7. Знакомство со следующими свойствами операции сравнения длин (используется прямой, затем косвенный способ):

а) если длина первого отрезка равна длине второго, то длина второго равна длине первого;

б) если длины двух отрезков равны и длина третьего равна длине одного из них, то она равна длине и другого отрезка;

в) если один отрезок длиннее второго, то второй короче первого;

г) длина отрезка больше его части;

д) если длина одного отрезка больше длины второго, а длина второго больше длины третьего, то длина первого больше длины третьего.

8. Знакомство со следующими свойствами сложения длин (используется как прямой, так и косвенный способы):

а) сложение длин отрезков можно выполнять в любом порядке;

б) сумма длин двух отрезков больше любой из них.

9. Прямое и косвенное вычитание длин.

10. Введение других единиц измерения длины: дециметр, метр — и соотношений между ними.

11. Сравнение и сложение длин отрезков с помощью циркуля.

12. Прямое и косвенное умножение и деление длины отрезка на натуральное число.

13. Введение единицы измерения — миллиметр, километр. Измерение линейкой с миллиметровыми делениями.

14. Повторение и закрепление свойств длины отрезка при выполнении действий и преобразований над длинами, не производя измерений, а также отработка измерительных умений и навыков.

15. Обобщение свойств длины отрезка.

16. Трактовка процесса измерения длины отрезка как нахождение числа, показывающего, во сколько раз измеряемая длина больше или меньше единицы измерения.

17. Связь понятий длины отрезка и расстояния.

18. Знакомство с приближенным характером измерений длины. Границы приближения. Округление.

Условное распределение указанных пунктов по классам может быть таким: 1—9-й пункты — I класс, 10—14-й пункты — II класс, 15—17-й пункты — III класс, 18-й пункт — IV класс и частично V класс. Пункты 7—9 в I классе рассматриваются пропедевтически, а в IV и VI классах — более тщательно.

Прокомментируем каждый из этих пунктов и покажем реализацию большинства из них на уроках на конкретных примерах.

Предлагаем, например, выполнить задания перед введением понятия отрезка.

1) Сравни длину счетной палочки, карандаша и полоски бумаги. Ответь на вопросы: а) какой предмет длиннее: карандаш или счетная палочка? б) Какой предмет короче: полоска бумаги или

карандаш? в) Какой предмет длиннее: счетная палочка или полоска бумаги? г) Какой из предметов самый длинный? д) Какой из предметов самый короткий?

После выполнения заданий предлагаем привести примеры на сравнение длин предметов в классе.

Далее поясняем, что сравнение на глаз не всегда возможно. Предлагаем сравнить две бумажные полоски, мало отличающиеся по длине. Объясняем, как пользоваться способом наложения. Учащиеся выполняют ряд заданий с кусочками проволоки, нитками и др. Обращаем внимание на тот факт, что длины двух предметов равны, если эти предметы при наложении совпадают.

Приведем примеры таких заданий.

1) Сравни длины двух кусочков проволоки и сделай вывод (два кусочка мягкой проволоки, которые отличаются по длине на 1—2 см и изогнуты произвольно, например так П Учащиеся должны распрямить кусочки проволоки и наложить.

2) Сравни длину нитки с длиной и высотой парты и сделай вывод (длина нитки больше длины парты, но меньше ее высоты).

3) Проверь утверждение, что длина и ширина листа бумаги равны (небольшой лист бумаги, длина которого равна ширине).

Ценность такого типа заданий заключается в том, что их выполнение требует размышлений учащихся о применении того или иного удобного в каждом конкретном случае приема наложения. После обсуждения результатов выполнения заданий и приведенных примеров делаем первые обобщения:

а) каждый из рассматриваемых предметов имеет длину (ширину, высоту); б) предметы отличаются по длине (ширине, высоте); в) сравнивать длины можно на глаз и наложением.

После введения понятия отрезка учащиеся выполняют задания как с различными отрезками, так и с предметами. Построение отрезков выполняют с помощью самодельной линейки без шкалы.

Длины отрезков сначала сравнивают на глаз, затем наложением. При наложении используются листы кальки и нелинованной бумаги. Учащиеся получают лист бумаги, на котором изображены красный, черный, зеленый и синий отрезки различной длины, и кальки. Приведем примеры некоторых заданий: 1) начерти на кальке отрезок такой же длины, как синий; 2) сравни длины красного и синего отрезков с помощью отрезка, начерченного на кальке;

3) сравни длины зеленого и синего отрезков таким же способом;

4) начерти на кальке отрезок короче зеленого; 5) начерти на кальке отрезок длиннее красного.

Задания такого типа постепенно подготавливают учащихся к пониманию процесса измерения длин.

Сложение длин учащиеся выполняют в основном с полосками бумаги и с отрезками. Смысл этой операции объясняем на доске.

Знакомство учащихся с измерениями длины включает в себя следующее: 1) введение сантиметра как единицы измерения длины; 2) усвоение сущности процесса измерения; 3) знакомство с

измерительной линейкой; 4) усвоение правил измерения линейкой; 5) введение других единиц измерения.

Сантиметр вводим как длину определенного отрезка. Раздаем ученикам небольшие листочки бумаги и кальки. На листочке бумаги изображен отрезок длиной 1 см. Предлагается учащимся: 1) начертить на кальке отрезок длиной 1 см; 2) с помощью отрезка на кальке узнать, чему равна длина двух клеточек в тетради; 3) начертить в тетради по линии клеток три отрезка один за другим, каждый длиной 1 см. Далее показываем, как записать сумму длин трех отрезков: 1 см + 1 см + 1 см. Учащиеся видят, что длина всего отрезка, равная сумме длин данных отрезков, есть 3 см.

В последующих заданиях используем самодельную линейку с сантиметровыми делениями. Для того чтобы при первоначальном формировании измерительных умений и навыков вести последовательный отсчет сантиметров, цифры на линейке не пишем. В этом случае процесс измерения сводится к подсчету числа сантиметров, укладывающихся в измеряемом объекте. Такая методика позволяет избежать ошибки учащихся при пользовании обычной миллиметровой линейкой. Эти ошибки заключаются в том, что ученики часто измеряют от начала линейки или от цифры 1, а длина единичного и произвольного отрезка воспринимается учениками как штрих, стоящий в конце измеряемого отрезка.

После первоначального знакомства с измерением длины следуют задания по отработке умений и навыков правильного измерения. При этом измерение содержит две задачи: первая — измерить длину данного объекта и вторая — отмерить объект по заданной длине. Сначала эти задачи решаем в упражнениях с отрезками. Решение первой задачи требует от учащихся соблюдения правил измерения: 1) приложи линейку к отрезку так, чтобы начало первого сантиметра (первый штрих) совпало с началом отрезка (левым концом отрезка). Направление взгляда должно быть перпендикулярным к полоске листа, учащимся говорим: глаза должны быть напротив этого штриха; 2) посмотри, где кончается отрезок. Взгляд также должен быть направлен перпендикулярно; 3) сосчитай число сантиметров (а не штрихов) на линейке от начала до конца измеряемого отрезка; 4) запиши это число (например, 6 см).

Эти правила учитель объясняет на доске, ученики повторяют действия на листочках, на которых изображены отрезки различной длины (лучше разного цвета). Естественно, длины отрезков должны выражаться целым натуральным числом. По нашему мнению, эта предметная деятельность учащихся по образцу необходима при выполнении первых измерений.

Решение второй задачи также требует от учащихся соблюдения ряда основных правил, которые для отрезков сводятся к следующему: 1) приложить линейку к отмеряемому объекту; 2) поставить точку там, где начинается первый сантиметр (у первого штриха);

3) отсчитать нужное число сантиметров и поставить вторую точку;

4) провести отрезок, соединяющий обе точки.

Задачи первого типа следует чередовать с задачами второго типа.

Рассказываем учащимся о том, что для удобства на линейке каждый сантиметр отмечается числом. Тогда при измерениях число сантиметров пересчитывать не обязательно. Первый штрих (начало отсчета) обозначают цифрой 0. Показываем, как разметить линейку (на демонстрационной линейке), а учащиеся выполняют эту работу на своих линейках. Цифры записывают карандашом, чтобы можно было использовать те же линейки в последующие годы. При изучении десятка цифры ставятся от 0 до 10, по мере дальнейшего изучения чисел заполняется вся линейка. Первый и одиннадцатый штрих (конец десятого сантиметра) отмечают красным карандашом.

Далее учащихся знакомим со свойствами длины, которые проявляются в процессе измерений:

1) равным длинам при одной и той же единице измерения соответствует равное число сантиметров;

2) большей длине соответствует большее число, а меньшей длине — меньшее;

3) сумме длин соответствует сумма числовых значений длин.

Эти свойства позволяют при сравнении, сложении длин пользоваться не прямым способом (наложением, присоединением), а косвенным — через измерения. Учащиеся в процессе выполнения заданий убеждаются в том, что измерения позволяют ответить не только на вопросы «что больше», «что меньше», но и «на сколько больше», «на сколько меньше». Приведем примеры заданий такого типа. 1) Измерить длины двух полосок бумаги и записать результат. Сравнить длины полосок. Проверить наложением. 2) Найти сумму длин полосок бумаги двумя способами: а) расположить обе полоски рядом одну за другой. Измерить длину обеих полосок. Записать результат; б) измерить длину каждой полоски и сложить полученные результаты. Записать вычисления в тетрадь. Сравнить оба способа измерения.

В процессе накопления знаний о длине, об измерении длин возможны некоторые обобщения: 1) длины можно сравнивать; 2) длины можно складывать, в результате сложения получается длина; 3) длины можно измерять, выбрав единицу измерения; 4) в результате измерения находят число сантиметров в измеряемом объекте; 5) сравнивать и складывать можно двумя способами: не производя измерения и через измерения; 6) для измерения длин применяют измерительную линейку; 7) при выполнении измерений необходимо соблюдать определенные правила.

При выполнении различных заданий с отрезками предоставляется возможность познакомить учащихся с некоторыми свойствами отношений порядка, сложения, правда не выделяя их специально. Вот некоторые задания и вопросы такого типа.

1) Имеется три полоски: белая, синяя и красная. Известно, что длина белой полоски равна длине синей, а длина синей равна длине красной. Сравнить длины белой и красной полосок. Проверить

наложением или измерением (транзитивность отношения «равно»).

2) Красный отрезок длиннее синего, а синий длиннее желтого. Сравнить длину красного и желтого отрезков. Начертить эти отрезки и проверить ответ измерением (транзитивность отношения неравенства).

Возможность вычитания показываем при выполнении различных заданий. Например:

Отрезать от бумажной полоски длиной 10 см полоску длиной 3 см. Какой длины полоска осталась? Записать решение и проверить его измерениями (возможность вычитания длин).

Вводим другие единицы измерения длины — дециметр, а затем — метр, как это обычно делается в школе.

Во II классе учащиеся сравнивают и складывают длины отрезков с помощью циркуля, повторяя и закрепляя те свойства длины, которые должны быть изучены в I классе. Кроме того, вводим новые свойства длины: умножение и деление длины на число и обозначение отрезков буквами.

Для закрепления нового свойства длины предлагаем выполнить ряд заданий, например: в тетради начертить небольшой отрезок произвольной длины. Умножить длину этого отрезка на 3 с помощью циркуля. Начертить новый отрезок. Какой длины он оказался? Записать вычисление в тетрадь.

Знакомству учащихся с миллиметром предшествует задание, которое обосновывает введение этой единицы измерения. Учащимся раздают листочки, на которых изображены отрезки разного цвета и длины. Длина каждого отрезка не равна целому числу сантиметров. Коротко говорим о возможности приближенного измерения отрезков.

После этого вводим обычную измерительную линейку с миллиметровыми делениями. Далее следуют задания на построение отрезков заданной длины в миллиметрах и упражнения на перевод сантиметров в миллиметры и обратно.

В дальнейшем при изучении раздела «Тысяча» учащиеся знакомятся с километром, а также приборами для измерения длины (складной метр, измерительная лента, рулетка).

Наконец, к концу обучения математике во II классе возможны обобщения свойств длины. С этой целью проводим беседу для учащихся, тема которой «Что мы знаем о длине отрезка», обращая внимание на следующие основные вопросы: 1) Какие действия можно производить с длинами отрезков? 2) Какими способами и приемами эти действия выполняются? 3) Как измеряют длины отрезков?

4) Что показывает число, получающееся в результате измерения?

5) Какие существуют единицы измерения? 6) Какое соотношение между этими единицами измерения? 7) Какими приборами измеряют длины отрезков?

В III классе изученные свойства длины применяются в процессе различных вычислений, решения задач, измерений в классе и на местности и т. д.

При выполнении упражнений с отрезками учащиеся закрепляют те свойства длины, которые были изучены ранее. Например, при нахождении длины ломаной или периметра используют сложение длин отрезков и свойства этой операции, при изучении понятий прямоугольника, квадрата сравнивают длины сторон этих фигур и т. д.

В этом же классе применяется понятие расстояния. Расстояние между двумя точками А и В равно длине отрезка AB. Другого смысла мы в это понятие не вкладывали.

Учащимся коротко поясняется по рисунку (рис. 2) на доске, что расстояние AB меньше длины ломаной и кривой, рассказывается об одном из способов измерения длины кривой (об измерении длины ломаной они знают) с помощью мягкой проволоки.

Полезно выполнить ряд заданий на выяснение свойств длины кривой, которые оказываются аналогичными свойствам длины отрезка: длины кривых можно сравнивать, складывать, умножать на числа, измерять. Например, такое задание: даем ученикам листочки с изображением двух кривых, концы которых совпадают. Условие такое. Из города А в город В пешеход шел одной дорогой, а из города В в город А другой. Какой путь проделал пешеход туда и обратно вместе? (Считай 1 см за 1 км.)

В IV классе учащиеся знакомятся с приближенными значениями величин. Изучение этого вопроса мы совместили с изучением правил округления. Объяснение материала этой темы основывалось на использовании практических заданий. Кроме того, при изучении пункта «Шкалы» ввели задания на понятие «цена деления». Определение цены деления шкалы осуществлялось в следующей последовательности: I) сколько промежутков между штрихами (делений) содержится между «О» и первым числом; 2) первое на шкале число разделить на число делений; 3) частное записать с указанием единицы измерения.

Закрепление понятия «цена деления» происходит при демонстрации различных шкал приборов и во время самостоятельной работы с карточками, на которых изображены различные шкалы.

Изучение свойств таких скалярных величин, как площадь, объем, масса, путь, скорость, стоимость, величина угла, время, в I—V классах осуществляем примерно таким же образом, как и «длина отрезка», но уже не так подробно и полно. Эти свойства в процессе их введения постоянно сопоставляем со свойствами длины отрезка, так как они аналогичны. При таком подходе внимание учащихся будет обращено на усвоение основных признаков понятия «скалярная величина».

Во II классе сравниваем продолжительность различных промежутков времени до введения единиц измерений этой величины: так, продолжительность урока больше продолжительности перемены, летом день длиннее ночи, а зимой, наоборот, продолжитель-

Рис. 2

ность двух уроков в два раза больше продолжительности одного, продолжительность двух уроков равна и т. д. Здесь сравнение и сложение временных промежутков осуществляется на основе известных учащимся фактов.

Прямое сравнение и сложение времени осуществляем на примере песочных часов. Для этой цели возьмем двое часов по 1 мин и одни часы по 2 мин. Продолжительности промежутков времени, в течение которых сыплется песок у одинаковых часов, равны. Показываем прямое сложение промежутков времени. Для этого пускаем одновременно большие и малые часы. В тот момент, когда действие одних малых часов закончится, пускаем вторые. Действие больших и вторых малых часов заканчивается одновременно. После этого разъясняем смысл сложения.

Далее вводим единицу измерения этой величины как промежуток времени фиксированной продолжительности (на примере песочных часов вводим 1 мин). Предлагаем учащимся измерить время высыпания песка в больших часах. Затем знакомим учащихся с циферблатом обычных часов. Полезно также показать равенство промежутков времени, в течение которых действуют малые песочные часы и совершает полный оборот секундная стрелка часов. Вводим другие единицы измерения. Чтобы учащимся представить продолжительность суток, приводим примеры: сутки — это время от начала уроков сегодня до начала уроков завтра и т. д. Продолжительность секунды показываем с помощью метронома. Сравниваем 1 мин (опять показываем песочные часы) и число ударов метронома. Число таких ударов оказывается равным 60. После введения различных единиц измерения учащиеся выполняют обычные упражнения на соотношение между единицами, на снятие показаний часов (на модели) и т. д. Обращение с циферблатом часов опять возвращает учащихся по существу к измерению длин, но уже не отрезков, а дуг окружностей.

В III классе у учащихся формируются интуитивные представления о площади фигуры. В дальнейшем это понятие развивается. Здесь важно показать, что для площадей фигур справедливы те же свойства, что и для ранее изученных величин. С этой целью учащиеся фронтально выполняют задания на прямое сравнение и сложение площадей, умножение площади на число, на измерения.

При введении понятия площади даем учащимся по листу бумаги (нелинованной) и кальки, на которых начерчены произвольные фигуры, обозначенные буквами Л, В... так, чтобы при наложении одна фигура помещалась внутри другой. Просим учащихся наложить фигуры. Обращаем внимание, что одна фигура оказалась полностью внутри другой. Говорим, что фигуры отличаются по площади: та фигура, внутри которой находится другая, имеет большую площадь. При сравнении площадей других фигур учащиеся привыкают к терминологии.

Сложение площадей поясняем аналогично тому, как это сделано с длинами отрезков: учащиеся вычерчивают два прямоугольника

одинаковой ширины, но различной длины (одна сторона у них общая). Говорим, что большой прямоугольник составлен из двух меньших, значит, его площадь складывается из площадей этих малых прямоугольников.

Учащиеся выполняют ряд практических заданий на сравнение и сложение площадей.

Разъясняем смысл процесса измерения площади с помощью палетки. Сопоставляем с измерением длины отрезка (процесс измерения сводится к подсчету числа единичных квадратов).

В III классе учащиеся впервые знакомятся со скоростью движения (числом километров, проходимых телом за 1 ч). Мы несколько иначе вводим понятие скорости, а именно опираемся на те ее свойства, которые характерны для скалярных величин. Сначала учащимся демонстрируем одновременное движение в одну сторону двух заводных игрушечных автомобилей. Учащиеся видят, что один автомобиль движется быстрее, чем другой. Затем показываем движение двух автомобилей, скорость которых одинакова. Даем учащимся вырезанные из бумаги автомобили разного цвета (красный, синий). Предлагаем одновременно двигать автомобили так, чтобы скорости их были равны; скорость красного была больше; скорость красного была меньше. Выполняя задания, учащиеся привыкают к терминологии: вместо того чтобы говорить «быстрее», «медленнее», говорят «скорость больше», «скорость меньше».

Показывая учащимся встречное движение двух автомобилей, убеждаем учащихся в том, что в этом случае скорости сравнивать трудно. Далее одновременно запускаем два автомобиля навстречу друг другу и спустя некоторое время одновременно останавливаем их. Замечаем самодельными флажками место их остановки. Спрашиваем учащихся: 1) одинаковое ли время двигались автомобили; 2) сравните расстояния, пройденные автомобилями; 3) какой из автомобилей проехал больший путь? Проводя беседу по этим вопросам, подводим учащихся к выводу: скорость того автомобиля больше, который за одинаковое время прошел больший путь, и наоборот. Значит, по пройденному пути можно судить о скорости (при постоянном времени). Говорим, что на практике о скорости движения судят по пройденному пути, например за 1 ч. Затем решают задачи на движение из учебника.

В IV классе перед изучением свойств величины угла повторяем общие свойства величин (можно на примере длины отрезка). Заметим, что в IV классе величина угла рассматривается как положительная скалярная величина. Сопоставляя эти свойства, учащиеся убеждаются в том, что величины двух углов могут быть равны между собой, либо величина одного из них больше величины другого. Их можно складывать (вычитать). При выполнении конкретных заданий, выполняемых фронтально, учащиеся усваивают способы сравнения, сложения. Далее ставится вопрос об измерении величины угла.

К концу обучения в IV классе проводим обобщающую беседу. Примерное содержание ее таково.

Длина отрезка (расстояние), масса, стоимость, время, путь, площадь, объем, скорость, величина угла есть величины. Общей особенностью их является то, что для каждой из них существует свойство сравнимости. Оно устанавливается практическим путем различными способами. В результате получаем ответы на вопросы: «что больше?», «что меньше?», «равны ли?», «какая из величин самая большая?» и т. д.

Длины отрезков (расстояния) можно складывать (вычитать) только между собой, то же самое относится и к другим величинам. Нельзя сравнивать и складывать длины и массы или площадь со скоростью и т. д. Для каждой из величин способы сложения различны. Вспоминаем способы непосредственного сравнения и сложения величин. Величину можно умножить на число и делить на доли.

Величины можно измерять. Для каждой из них есть свой способ измерения, свои единицы измерения. В результате получают число, которое показывает, во сколько раз измеряемая величина больше единицы измерения, что позволяет ответить на вопросы «на сколько больше», «на сколько меньше», «во сколько раз больше», «во сколько раз меньше».

Сложение, сравнение величин, умножение на число, деление на доли можно осуществить через измерения, затем сравнить или сложить числа.

В V классе в связи с рассмотрением измерений величин, положительных и отрицательных чисел уместно познакомить учащихся с некоторыми скалярными свойствами температуры. Тем самым готовим учащихся к восприятию некоторых вопросов курса физики VI класса, где используется понятие температуры (например, вопрос о зависимости скорости движения молекул от температуры).

В отличие от положительных скалярных величин температура по шкале Цельсия может принимать отрицательные значения. Основываясь на жизненных представлениях учащихся о теплом, холодном, горячем и др., приводим примеры на сравнение температур, большинство примеров учащимся известно, и они сами их приводят. Поясняем, что более нагретые предметы (на ощупь) имеют более высокую температуру. Учащимся предлагаем расположить по порядку слова: «теплый», «холодный», «горячий», «очень холодный», «очень теплый», «очень горячий». На картонной модели термометра показываем сложение и вычитание числовых значений температур.

Изучение скалярных величин в последовательности, раскрывающей основные общие их свойства с применением практических заданий с разнообразным раздаточным материалом, вызывает живой интерес к изучаемому материалу, способствует активизации обучения, формированию у учащихся системы основных знаний о скалярных величинах, умений и навыков измерения величин, развитию самостоятельности. Обобщенные знания учащихся о скалярных

величинах становятся более глубокими и прочными. В результате выполнения практических работ приобретаются некоторые трудовые навыки, тесно связанные с жизнью.

Изучение общих свойств скалярных величин на уроках математики в I—V классах готовит учащихся к дальнейшему развитию представлений о скалярных величинах, их измерениях в VI—VIII классах на уроках математики и физики.

Второй этап. В отличие от первого этапа, где рассматривается преимущественно непосредственное сравнение, сложение, измерение геометрических величин, на этом этапе в основном изучаются методы косвенного измерения этих величин. В этих классах развиваются знания, умения и навыки, позволяющие от непосредственного измерения величин перейти к вычислениям. В связи с этим особенно важным является рассмотрение на уроках математики свойств отношений равенства и неравенства, отношения «быть суммой», умножения на число, измерения. Некоторые из этих свойств встречались учащимся в I—V классах. В средних классах эти свойства нужно специально выделить. Так, в VI классе при рассмотрении общих сведений о длине отрезка показывается, что отношение «быть суммой» обладает коммутативностью, ассоциативностью, монотонностью (эти термины, естественно, пока не вводятся). Таким образом, рассматривается по существу аксиоматика скалярных величин, но на содержательном уровне (на примере длины отрезка).

Учащиеся выполняют практические задания, которые иллюстрируют эти аксиомы. На этих же вопросах, но более коротко, останавливаемся при рассмотрении площадей, объемов, величин углов и др.

Специально выделяются свойства величин, проявляющиеся в процессе измерений. Например, выделяем такое свойство: равным величинам соответствуют равные числовые значения. Верно и обратное утверждение: равным числовым значениям величин соответствуют равные величины. Это свойство позволяет сначала сравнить числовые значения величин, т. е. измерить их, а потом делать выводы о самих величинах. Справедливы обратные утверждения и относительно других операций с величинами.

В начале года в VI классе мы отводили целый урок геометрии на систематизацию и обобщение свойств скалярных величин, иллюстрируя их на конкретных величинах.

При изучении геометрических величин в VI—VIII классах их общие свойства конкретизируются в процессе выполнения небольших практических заданий по измерению величин. Так, при изучении длины отрезка учащиеся сразу же выполняют практическое задание на карточке по измерению различных отрезков в разных единицах измерения. При любой фиксированной единице измерения каждому отрезку соответствует положительное число (числовое значение длины). Сравнивая эти числа, сравнивают длины отрезков. Далее легко формулируются свойства равенства и неравенства длин отрезков.

По такой же схеме повторяются свойства величины угла, площади, объема в VII—VIII классах.

Изучение скалярных величин на уроках физики проводится примерно так же, как это показано выше: выявляются те свойства изучаемой величины, которые являются наиболее общими. Особое внимание уделяется раскрытию специфики отношений сравнения, сложения, умножения на число, деление на доли, способам измерения каждой величины.

Изучение свойств и взаимосвязей скалярных величин на уроках физики мы осуществляли с помощью фронтальных дидактических заданий практического характера: опыты, наблюдения, измерения, построение графиков функциональной зависимости и др. На основе наблюдений, измерений и других практических действий учащиеся делают выводы о свойствах изучаемой величины, о зависимостях между величинами, закрепляют их, приобретают и развивают необходимые знания, умения и навыки измерений величин.

Например, перед введением такой величины, как скорость равномерного движения, предлагаем учащимся в VI классе выполнить задание с использованием таких приборов и материалов: трубки стеклянные внутренним диаметром 7—8 мм, длиной 200 мм с водой и шариками (стеариновым, пластилиновым и свинцовым —дробинкой) — 3 шт.

Задание. Расположите две трубки с пластилиновым и свинцовым шариками вертикально так, чтобы в начальный момент времени шарики оказались вверху. Наблюдайте за движением шариков. Опыт проделайте несколько раз. Чем отличаются движения шариков? Какой из шариков двигается быстрее? Какой медленнее? Одновременно расположите две трубки с пластилиновым и стеариновым шариком вертикально так, чтобы пластилиновый шарик оказался вверху, а стеариновый внизу. Сравните движение шариков. Чем отличаются движения шариков? Какой из шариков движется быстрее? Какой медленнее? Чем отличаются движения шариков в первом и втором опытах? Какой из шариков движется быстрее, стеариновый или свинцовый? Какой из шариков самый быстрый? Самый медленный? Как сделать, чтобы пластилиновый и свинцовый шарики двигались одинаково?

В вопросах задания специально не применяется термин «скорость». Некоторые учащиеся сами его называют. Ответы на вопросы первого опыта не вызывают затруднений у учащихся, которые сравнивают скорости по времени движения.

Второй опыт существенно отличается от первого, так как движения шариков противоположны. Это побуждает учащихся не только применять сравнение, но и анализировать наблюдаемое явление. Забегая вперед, отметим, что это задание формирует у учащихся векторный характер скорости.

При подведении итогов учитель говорит о том, что то тело, которое движется быстрее, имеет и большую скорость.

Наконец, учитель формулирует познавательную задачу, способ-

ствующую развитию творческих возможностей учеников: как нужно видоизменить опыт, чтобы скорости пластилинового и свинцового шариков были равны; скорость пластилинового шарика оказалась больше скорости свинцового?

В VII классе при изучении количества теплоты предлагаем выполнить задание, содержание которого построено на выделении одного (не единственного) способа сравнения количеств теплоты.

Задание. Измерьте температуру воды в пробирках. Убедитесь, что температуры равны. Нагрейте воду на спиртовке в пробирке с меньшей массой воды до 60 °С. Заметьте время нагревания. Нагрейте воду в пробирке с большей массой воды до той же температуры. Заметьте время нагревания. Сравните время нагревания воды в пробирках. В каком случае время нагревания больше? Как зависит время нагревания от массы вещества? Сколько воды нужно налить в пробирки, чтобы время нагревания было одинаковым? В каком из случаев изменение внутренней энергии воды больше?

Задание выполняют перед введением понятия количества теплоты. Цель задания — сравнить количества теплоты, необходимые для нагревания воды, в зависимости от ее массы по времени ее нагревания. При подведении итогов учитель говорит о том, что задание раскрывает один из возможных способов сравнения количеств теплоты.

Введению понятия массы в VIII классе как физической величины предшествует знакомство учащихся со свойством инертности. Разная степень проявления этого свойства у тел и подводит к введению количественной характеристики — инертной массы. Сравнивая инертности двух тел, сравнивают по существу их массы. Причем эту операцию можно выполнять, не производя измерений. Для выполнения задания берут цилиндры из набора тел для калориметра с большой разницей в массе, например алюминиевый и железный. После проведения работы учитель обращает внимание учащихся на то, что более инертное тело имеет большую массу и наоборот.

Задание. Прикрепите металлические цилиндры к нити. Поднимите цилиндры за середину нити так, чтобы они оказались на одинаковой высоте над столом. Разведите оба цилиндра в противоположные стороны на одинаковый угол и отпустите. Наблюдайте за отклонением цилиндров после столкновения. Опыт повторите несколько раз. Какой цилиндр приобретает большее ускорение во время взаимодействия? (Об ускорении цилиндра можно косвенно судить по углам отклонения цилиндров после взаимодействия.) Какой цилиндр обладает большей инертностью? В каком случае отклонение цилиндров будет одинаковым?

Внимание учащихся следует обратить на то, что время взаимодействия цилиндров одинаковое, а ускорения они получают разные. Об ускорениях цилиндров судят по углам отклонения.

Такое сравнение является не совсем точным, но оно не мешает увидеть учащимся сущность наблюдаемого явления. Так как силы

взаимодействия цилиндров равны между собой по абсолютному значению, то это повышает чистоту опыта.

Как видно из приведенных примеров, предлагаемые задания служат для изучения некоторых общих свойств величин или подготавливают к введению этих свойств, а значит самих величин. Часть заданий составлена так, чтобы учащиеся в процессе их выполнения повторяли или закрепляли свойства величин. Например, при изучении в VI классе пройденного пути предлагаем учащимся провести из точки А к точке В три произвольные линии. Можно ли сравнить пути, пройденные кончиком карандаша? Как это сделать, не пользуясь линейкой? Как сравнить пути с помощью линейки? И т. д.

Задания соединяют практические действия ученика с его умственной деятельностью. В процессе выполнения заданий при изучении тех или иных величин учащиеся ставились в такие условия, когда необходимо самостоятельно производить многие практические действия: измерять, сравнивать, находить общее, делать обобщения, умозаключения и т. д.

Обучение учащихся применению величин осуществлялось в процессе выполнения заданий по измерению их, на установление связей между величинами, решение практических задач. При этом межпредметные связи с математикой играли здесь уже не главную, а вспомогательную роль. А именно обращалось внимание на правильное использование терминологии и символики, действий с величинами, применение понятий «величина», «значение величины», «числовое значение величины», «функциональная зависимость», «абсолютная и относительная погрешность», «границы погрешности» и т. д.

Задания на применение величин содержат элементы исследования, которые развивают исследовательский рефлекс. Например, при изучении давления твердого тела на опору предлагаем задание на установление качественной зависимости этой величины от силы давления и площади ее действия. Используем следующие приборы и материалы: 1) кусок пластилина в форме параллелепипеда размером 30 мм X 20 мм X 20 мм; 2) штатив для фронтальных работ с лапкой; 3) набор грузов по механике; 4) нити длиной 100 мм (№ 10 и № 40) в форме петли — 2 шт.

Задание. Положите кусок пластилина на лапку. Накиньте на пластилин более толстую нить. Подвесьте к нити сначала один груз массой 100 г, затем второй. Замечайте каждый раз погружение нити в пластилин. Как изменялась в опыте сила давления на поролон? Как изменяется действие этой силы? Как связаны результат действия силы на тело и ее числовое значение? Подумайте, как нужно видоизменить опыт, чтобы выяснить зависимость результата действия силы на тело от площади действия. Исследуйте эту зависимость. Сделайте общий вывод из проделанных опытов.

Цель задания — убедить учащихся в том, что результат действия силы зависит как от ее числового значения, так и от площади

ее действия. О результате действия силы судят по деформации поролона.

На основе полученных результатов вводят понятие о давлении (механическом).

В VIII классе даем задание на выяснение количественной зависимости между силой упругости и величиной деформации.

Задание. Поставьте линейку на край стола и прижмите к ней конец резинового шнура, к которому подвешен груз массой 100 г. Отметьте карандашом на линейке начальное положение конца резинового шнура.

Подвесьте последовательно к шнуру два, три, четыре, пять и, наконец, шесть грузов массой по 100 г. Для каждой нагрузки запишите значение деформации и силы упругости шнура. Как зависит сила упругости резинового шнура от его деформации? Каким способом задана эта зависимость? Как направлены сила упругости шнура и перемещение его конца? Задайте эту зависимость формулой. Является ли эта зависимость функциональной? Является ли функция обратимой? Какими способами можно еще задать функцию? Постройте график полученной функциональной зависимости.

Выполняя задание, учащиеся сами получают прямую пропорциональную зависимость между рассматриваемыми величинами. Нетрудно также в системе предлагаемых вопросов видеть возможность конкретизации межпредметных связей по вопросу формирования понятий функциональной зависимости.

Не менее важным является применение известной зависимости при выполнении измерений или решении практических задач.

Покажем ход выполнения задания, представляющего собой экспериментальную задачу для VII класса «Измерение количества электричества, проходящего через резистор».

Задание. Соберите электрическую цепь, состоящую из источника тока, вольтметра, проволочной спирали известного сопротивления, выключателя. Измерьте напряжение на зажимах спирали и вычислите количество электричества, проходящего через нее в течение 1 мин. Результаты измерений и вычисления запишите в тетрадь.

При изучении той или иной величины предусматривается от одного до нескольких заданий. Одни задания служат для выявления или обобщения основных свойств величины, в других учащиеся наблюдают и исследуют зависимости между величинами, решают задачи и т. д.

Покажем это на примере изучения такой величины, как плотность вещества.

При изучении плотности вещества опираемся на жизненные представления учащихся: тела, одинаковые по размерам, бывают легкие и тяжелые, тела, разные по размерам, могут иметь одинаковые массы. Наконец, одно и то же вещество может быть более плотным или менее плотным. Вещества, из которых состоят тела, имеют разную плотность.

Далее предлагаем выполнить практическое задание, конкретизирующее жизненные представления учащихся. Оно подчеркивает некоторые основные свойства плотности вещества как скалярной величины: возможность сравнения, способы сравнения и измерения. Это задание подготавливает учащихся к лучшему пониманию качественной зависимости плотности от массы и объема вещества. Используем следующие приборы и материалы: 1) пробирки, наполненные до половины опилками и сухим песком (объемы песка и опилок равны) —2 шт.; 2) лист бумаги; 3) весы учебные с разновесом; 4) набор брусков разной массы и разного объема.

Задание. Сравните массы и объемы песка и опилок в пробирках. Равны ли объемы песка и опилок? Равны ли их массы? В каком случае масса больше? Отсыпьте песок из пробирки так, чтобы массы песка и опилок были одинаковыми. Сравните объемы. В каком случае плотность больше? Какими способами можно сравнивать эту плотность? (При обсуждении этой части задания подчеркиваем, что оба способа сравнения равноценны, но способ сравнения плотности по массе при одинаковых объемах удобнее и встречается чаще.) Сравните плотности веществ, из которых состоят бруски. Расположите бруски слева направо в порядке возрастания плотности. Увеличьте плотность опилок в пробирке в два раза. Как сравнить плотности веществ разной массы и объема?

Учащиеся в ответах предлагают оба способа. Учитель выделяет второй. Затем предлагает учащимся второе задание с использованием следующих приборов и материалов: 1) бруски из набора тел равного объема — 8 см3 (например, стальной и алюминиевый) — 2 шт.; 2) весы с разновесом.

Задание. Измерьте массу обоих брусков. Вычислите массу одного кубического сантиметра. Результаты измерений и вычисления запишите в тетрадь.

После знакомства с таблицей плотностей учащиеся определяют вещества, из которых сделаны бруски.

Знакомясь таким образом с плотностью вещества, подводим учащихся к пониманию того, что эта величина обладает общими свойствами скалярных величин: сравнимость, измеримость и др.

В качестве домашнего задания предлагаем сравнить плотности некоторых продуктов: крупы разных видов, сахарного песка, муки и др.

Таким образом, методику изучения скалярных величин на уроках математики и физики возможно строить с позиций межпредметных связей на основе выделения двух взаимосвязанных сторон: 1) изучение общих свойств величин; 2) обучение обращению с величинами.

§ 2. ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Формирование и развитие общего представления у учащихся о векторной величине возможно в процессе изучения конкретных векторных величин, выявляющем в первую очередь свойства, характер-

ные именно для этого вида величин; в дальнейшем эти свойства обобщаются и систематизируются.

Изучение свойств векторных величин определяется выделением следующих моментов:

1. Однородные векторные величины можно складывать, а разнородные нет. Выполнение этой операции специфично для различных величин, но производится по единым правилам (треугольника и параллелограмма). Опыт показывает, что в результате сложения получают векторную величину того же рода, которая заменяет слагаемые величины.

2. Векторные величины можно умножать (и делить) на число и на скалярную величину. В первом случае получают векторную величину того же рода, размер которой больше или меньше в данное число раз. Во втором случае получают новую векторную величину.

3. Для однородных векторных величин не существует отношения неравенства (также как и для векторов).

4. Отношение равенства имеет свой конкретный смысл для различных однородных векторных величин.

По мере накопления знаний об общих свойствах отдельных векторных величин возможны некоторые обобщения. В результате обобщения и систематизации знаний у учащихся постепенно формируются общие представления о векторной величине, при этом: 1) Операции с векторными величинами аналогичны соответствующим операциям с векторами, но имеют свои особенности и границы применимости. 2) Понятия вектора и векторной величины взаимосвязаны, но не тождественны.

Методические основы изучения понятия о векторной величине могут строиться на следующих основных положениях:

1. Формирование и развитие общих представлений о векторной величине должно осуществляться постепенно, в процессе изучения конкретных векторных величин с последующими обобщениями.

2. Изучение конкретных векторных величин в первую очередь должно выявлять те их свойства, которые отличают эти величины от скалярных величин.

3. Изучение векторных величин должно проводиться в сопоставлении их свойств со свойствами скалярных величин и векторов.

4. В процессе формирования и развития понятия о векторной величине должны учитываться возрастные особенности и жизненный опыт учащихся.

С понятием векторной величины учащиеся впервые знакомятся в VI классе на уроках физики, т. е. до изучения понятия вектора в VII классе на уроках математики. В определении векторной величины в курсе физики VI класса указывается основной признак таких величин — направленность. Учащиеся имеют дело с двумя векторными величинами: скоростью и силой. Скорость не называют векторной величиной, так как ее векторный характер не раскрывается, хотя указывается, что ее можно изобразить на рисунке в виде стрелки. Более полное знакомство с понятием векторной вели-

чины осуществляется на примере силы. Силу называют векторной величиной; она имеет числовое значение, направление и точку приложения; изображают ее отрезком прямой со стрелкой на конце. В этом же классе учащиеся знакомятся со сложением сил, направленных по одной прямой.

В VIII классе вводятся новые векторные величины: перемещение, ускорение, импульс. Уточняется содержание таких величин, как скорость, сила. Вводятся понятия координаты вектора (в курсе геометрии) и проекции вектора (в курсе физики). Исходя из особенностей понятия «векторная величина» и возрастных возможностей учащихся процесс изучения этого понятия можно разбить на три этапа.

Первый этап (V—VI классы). Здесь проводится пропедевтическая работа как на уроках математики, так и физики.

Второй этап (VII класс). На уроках математики вводится понятие вектора и его свойства, при этом широко используются знания учащихся, полученные на I этапе. Излагается вопрос об использовании понятия вектора при изучении векторных величин.

Третий этап (VIII класс). Здесь учащиеся изучают новые векторные величины. Причем изучение строится с опорой на понятие вектора, введенного на II этапе. Обобщаются и систематизируются общие свойства векторных величин, подчеркивается их связь и различия со свойствами вектора. Более широко излагается вопрос о связи понятий вектора, векторной величины и направленного отрезка.

На всех трех этапах совершенствуются измерительные умения и навыки.

Подробнее остановимся на каждом из этих этапов.

Первый этап. Учащиеся на уроках математики знакомятся с понятиями направления на прямой, плоскости, с отрицательными числами и действиями над ними, координатной прямой и плоскостью, параллельным переносом фигуры и др. Использование этих понятий позволяет в VI классе на уроках физики преодолеть существенную трудность при первоначальном знакомстве с векторными величинами, так как понятие вектора вводится позднее, в VII классе. Так, при изучении темы «Направления и числа» в V классе вводим понятие направленного отрезка как отрезка со стрелкой на конце; говорим, что направленным отрезком можно характеризовать положение предмета (тела). В тетради учащиеся изображают горизонтальную прямую и отмечают на ней произвольную точку О. Предлагаем отметить точку Л, которая находится в 3 см от точки О. Подводим учащихся к пониманию неоднозначности задания: точку можно отметить как слева от точки О, так и справа. Чтобы отметить точку Л, недостаточно знать расстояние |ОЛ|. Надо еще знать направление отсчета расстояния. Уточняем задание: отметить точку А слева от точки О. Говорим, что положение точки А по отношению к точке О можно характеризовать отрезком OA со стрелкой на конце (направленным отрезком). Далее учащиеся

выполняют задания, в которых по известному положению предмета (точки) строят направленный отрезок, задающий это положение, и, наоборот, по направленному отрезку определяют положение предмета (точки).

Учащиеся выполняют ряд заданий, аналогичных приведенным в учебнике, только каждый раз отмечая положение точки (предмета) направленным отрезком.

После ознакомления учащихся с координатной прямой выполняют задание, где с помощью положительных и отрицательных чисел обозначают не только положение точек на ней, но и перемещения точек по этой прямой.

Уже в V классе на уроках математики учащиеся выполняют параллельный перенос геометрической фигуры в заданном направлении на заданное расстояние, причем это перемещение задается не столько парой точек, сколько направленным отрезком. В VI классе на уроках физики в теме «Движение и силы» показываем учащимся связь параллельного переноса с движением тел, подчеркнув, что результат движения (как и параллельного переноса) может быть охарактеризован указанием не только расстояния, но и направления. Удобнее всего это сделать на примере такой величины, как перемещение. Векторный характер перемещения понятен учащимся, так как ближе к их жизненным представлениям, чем векторный характер скорости и силы. Тем более что учебный материал по математике V класса, рассмотренный выше, вплотную подготавливает учащихся к введению перемещения как векторной физической величины. На примере перемещения могут быть раскрыты свойства, присущие большинству векторных величин.

Пропедевтическое изучение понятия перемещения в VI классе способствует более осознанному пониманию векторного характера скорости и силы.

Кроме того, первоначальное введение перемещения позволяет сопоставить его с такими скалярными величинами, как пройденный путь и расстояние. Это помогает сразу выделить те особенности векторных величин, которые отличают их от скалярных.

Если тело движется прямолинейно, то направление движения можно задать на координатной прямой (о том, как задается координатная прямая, о положительном и отрицательном направлениях, о понятии координаты точки они знают из курса математики V класса). Тело может перемещаться в двух направлениях: вправо или влево. Начало движения (наблюдения) всегда можно связать с началом отсчета.

Пусть какая-либо точка тела (рис. 3) начала двигаться вправо из положения О с координатой, равной нулю. Через некоторое время точка займет

Рис. 3

новое положение А с координатой, равной 3. Если тело движется так, что траектории всех его точек одинаковы, то любая из этих точек переместится в том же направлении на то же расстояние. Имеем дело с параллельным переносом всех точек тела в направлении от точки О к точке А на расстояние, равное 3 м. Начальное и конечное положения какой-либо точки задают параллельный перенос.

Длина отрезка OA характеризует значение перемещения тела. Указав направление перемещения стрелкой у точки Л, получим направленный отрезок, который наряду с парой точек (О; А) задает параллельный перенос любой точки тела. Одновременно направленный отрезок OA характеризует изменение положения точки. Таким образом, результат движения может быть охарактеризован не только расстоянием, но и направлением.

Обращаем внимание учащихся на различие понятий «перемещение» и «расстояние». Перемещение является направленной величиной. Модуль перемещения является расстоянием1. Расстояние — величина, не имеющая направления.

Длину траектории, по которой проходит точка за некоторый промежуток времени, называют пройденным путем.

Если рассматривать движение точки из положения О в положение А и обратно, то учащимся ясно, что результирующее числовое значение перемещения равно нулю (нулю равно и расстояние), а путь равен 6 м.

Важно, чтобы ученики понимали различие между значением перемещения и пройденным путем: числовое значение результирующего перемещения зависит от направления движения, тогда как путь от направления не зависит. Путь принимает только неотрицательные значения.

Далее рассматриваем пример, иллюстрирующий векторное сложение перемещений.

Произвольно направленными отрезками задаем два последовательных перемещения тела и находим (построением) его результирующее перемещение. Используя известные свойства расстояний, учащиеся делают вывод, что сумма двух последовательных значений перемещения больше значения результирующего перемещения. Подчеркиваем, что алгебраическое сложение значений величин в этом случае неприменимо.

Приведем примеры таких задач, вопросов и практических заданий, которые можно использовать на уроках физики в VI классе и на уроках математики в VII классе при изучении векторов.

1. Турист проходит расстояние между двумя городами, равное 25 км. Может ли путь, пройденный туристом, быть больше этого

1 В курсе геометрии VI класса вводится аксиоматическое определение понятия расстояния как неотрицательной скалярной величины. Здесь даем «физическую» интерпретацию этого понятия, не противоречащую принятой в курсе геометрии.

расстояния? В каком случае путь равен расстоянию? Результат движения туриста изобразите направленным отрезком.

2. Ящик по полу переместили влево на 3 м. Изобразите на рисунке новое положение ящика. Все ли точки ящика переместились на данное расстояние? Можно ли назвать его перемещение параллельным переносом? Задайте это перемещение направленным отрезком.

3. Велосипедист проезжает сначала в направлении на север 20 км, потом на восток 10 км. Каков пройденный путь велосипедиста? Что больше: пройденный путь или расстояние между начальным и конечным положением велосипедиста? В каком же месте окажется велосипедист, если сначала он пройдет на восток 10 км, потом на север 20 км?

4. Точка, координата которой равна 2, переместилась в положение с координатой — 3. Сделайте чертеж и найдите значение и направление перемещения. Изобразите перемещение направленным отрезком в масштабе: в 1 см 2 м.

5. Кончик карандаша переместился по прямой линии вертикально вниз. Каково должно быть перемещение кончика карандаша, чтобы результирующее перемещение было равно нулю?

6. Отметьте на листе бумаги точку А и проведите произвольный отрезок. Укажите направление перемещения кончика карандаша. Измерьте длину отрезка. Совершите такое движение карандаша, чтобы результирующее перемещение было равно нулю.

Такого типа задания показывают связь параллельного переноса в математике с движением тел в физике, причем связующим понятием является понятие направленного отрезка, с помощью которого задается и параллельный перенос, и результат движения за некоторый промежуток времени. Учащимся сообщается, что, построив направленный отрезок, мы задали (или отложили) параллельный перенос.

При изучении скорости и силы обращается внимание учащихся на направленный характер этих величин. Значения скорости и силы можно задавать длиной отрезка в заранее выбранном масштабе.

Для понимания этого материала учащимся можно предложить следующие задания:

1. Два велосипедиста движутся прямолинейно навстречу друг другу со скоростью 10 м/с. Чем отличаются скорости велосипедистов? Выбрав масштаб, изобразите скорости направленными отрезками.

2. Автомобиль проехал по прямой дороге 90 км за 1,5 ч. Изобразите перемещение и скорость автомобиля направленными отрезками. Чем отличаются эти отрезки и в чем сходство?

3. На крючок динамометра подвесили груз массой 300 г. Вычислите и изобразите силу тяжести и силу упругости, действующие на груз и его вес.

4. Две силы действуют на покоящееся тело. При каких условиях тело может оставаться в покое? Изобразите эти силы.

Можно также предложить учащимся практические задания, в которых требуется измерить величины, определить их направление, ответить на некоторые вопросы, требующие понимания их направленного характера, выполнить действия со значением этих величин. Например, при изучении скорости равномерного движения по прямой предлагаем учащимся выполнить задание, которое знакомит их с направленным характером скорости, показывает связь направления скорости с направлением перемещения. Учащиеся наблюдают за движением стеаринового или пластилинового шарика в стеклянной трубке с водой при двух ее положениях: вертикальном и наклонном — и отвечают на вопросы: 1) как направлено перемещение шарика в каждом случае; 2) как направлена скорость шарика в каждом случае; 3) какой вывод можно сделать о связи направления скорости с направлением перемещения. Затем они схематически изображают перемещение и скорость на рисунках.

При изучении силы можно предложить задания, которые раскрывали бы ее общие свойства: сила имеет точку приложения, направление и размер, точку приложения силы можно перемещать вдоль линии ее действия; силы складываются иначе, чем положительные скалярные величины. Выполняя задания, учащиеся измеряли силы, устанавливали связи с другими величинами. Например, при измерении силы, необходимой для равномерного движения бруска трибометра с грузом по столу, проверяется: изменится ли числовое значение силы, ее направление, а также ее действие, если между бруском и динамометром поместить нить (предложить нити разной длины)? На основе наблюдений, измерений учащиеся делают выводы. Затем откладывают силу на прямой в виде направленного отрезка. Точка приложения силы выбирается произвольно на данной прямой (в дальнейшем учащимся сообщаем, что точку приложения силы для удобства фиксируют).

При знакомстве учащихся со сложением двух сил, направленных по одной прямой, можно предложить следующее задание.

Задание. Подвесить к крючку динамометра груз массой 100 г. Каков вес груза? Отложите его от точки подвеса. Подвесить к первому грузу второй такой же груз. Изобразить вес второго груза, отложив его от конца первого направленного отрезка. Чему равна равнодействующая сила? Изобразить ее на рисунке. Подействовать слегка на крючок динамометра рукой вертикально вверх и записать показание динамометра. Вычислить силу, с которой рука действовала на крючок динамометра. Изобразить силы графически. Подействовать на крючок динамометра вертикально вверх так, чтобы указатель динамометра установился на нулевом делении шкалы. Чему равна сила, с которой рука действовала вверх на крючок динамометра? Каково ее направление? Изобразить силы графически.

При выполнении задания учащиеся сначала складывают две равные силы, затем складывают противоположно направленные силы и, наконец, убеждаются в том, что равнодействующая двух

равных по модулю и противоположно направленных сил равна нулю.

В заключение покажем пример задания, в процессе выполнения которого учащиеся знакомятся с операцией вычитания двух сил, направленных по одной прямой.

Задание. Подвесить к крючку динамометра груз массой 100 г. Чему равно значение и направление силы тяжести, действующей на этот груз? Подвесить к крючку груза металлический цилиндр. Чему равна сила тяжести, действующая на груз и цилиндр вместе? Изобразить обе силы направленными отрезками и определить графически силу тяжести, действующую только на цилиндр. Проверить свой ответ, подвесив к динамометру только цилиндр.

Задание знакомит учащихся с операцией вычитания сил как векторных величин. Оно помогает понять, что вычитание по существу операция, обратная сложению.

Второй этап. В VII классе на уроках геометрии вводится понятие вектора и его свойства.

В VIII классе это понятие и свойства используются на уроках физики при изучении векторных величин.

Та пропедевтическая работа по изучению понятий векторной природы (параллельный перенос, перемещение как векторная величина, скорость, сила), которая проводилась в V и VI классах на уроках математики и физики, подготавливает и вплотную подводит учащихся к пониманию вектора и его свойств в VII классе. Более того, введение понятия вектора должно стать логическим продолжением всей предшествующей работы и в какой-то мере обобщением уже имеющихся знаний об объектах векторной природы.

В курсе геометрии VII класса вектор определяется как параллельный перенос. Без специальных разъяснений такое понимание вектора непосредственно не ассоциируется с векторными величинами в физике (силой, скоростью и т. д.), хотя исторически понятие вектора и его свойства появились прежде всего как математический аппарат для изучения векторных величин.

В настоящее время сложилась ситуация, когда курсы физики и математики в этих вопросах во многом излагаются изолированно друг от друга. Отсюда у школьников возникает оторванность в представлениях о векторе в математике и векторных величинах в физике. Необходимы дополнительно специальные разъяснения. Трактовка вектора как параллельного переноса признается в большой части литературы как удачная и логически непротиворечивая с точки зрения математики. Тем не менее с точки зрения приложений этого понятия для изучения векторных величин понимание вектора как параллельного переноса вызывает трудности.

Представляется разумным отказаться от попыток введения строгого определения понятия вектора в VII классе, которое удовлетворяло бы всем условиям, а ограничиться его наглядным представлением — направленным отрезком. Понятие вектора является до-

статочно сложным, чтобы сформулировать его определение в окончательном виде в VII классе.

С направленными отрезками работают тогда, когда выполняют действия с векторами на рисунке, независимо от того или иного толкования вектора. В курсах физики и во многих традиционных курсах математики вектор определяется именно таким образом. Однако заметим, что направленный отрезок мы используем и во многих других ситуациях, никак не связанных с векторами и векторными величинами. Например, изменение температуры от 2 °С до —4 °С можно представить в виде направленного отрезка (так и делают, например, в курсе математики V класса). Другим примером использования направленных отрезков не как векторов может служить изображение так называемой «розы ветроЕ» в метрологии. Поэтому полное отождествление понятий направленного отрезка и вектора является не совсем удобным для понимания последнего. Не каждый направленный отрезок можно назвать вектором, а лишь тот, который задает (изображает) объект векторной природы (параллельный перенос, множество эквиполентных направленных отрезков, силы, скорости и другие векторные величины и т. д.).

Первыми такими объектами, с которыми знакомятся учащиеся восьмилетней школы на уроках математики и физики, являются параллельный перенос (с V класса), скорость и сила (VI класс). Поэтому вполне естественно первоначальное определение вектора связать с одним из этих объектов. Ввиду того что корректное определение понятия векторной величины в школе до изучения векторов дать пока не представляется возможным, а понятие параллельного переноса, вообще говоря, можно вводить независимо от векторов, мы определили вектор в VII классе как направленный отрезок. Таким образом, наш опыт работы в школе показал, что понятие вектора можно вводить в связи с изучением параллельного переноса, но не отождествлять с последним. В дальнейшем такое понимание вектора можно развивать и уточнять. В частности, в курсе физики учащиеся подробно знакомятся с другими объектами векторной природы — векторными величинами (силой, ускорением и др.), которые могут быть заданы направленными отрезками.

Очевидно, что общность свойств параллельного переноса и векторных величин должна быть проиллюстрирована. Рассмотренная трактовка вектора подразумевает, что понятие направленного отрезка считается известным учащимся хотя бы интуитивно.

Опыт показал, что принятая нами трактовка вектора в значительной степени устраняет те трудности, которые испытывают учащиеся и учителя в связи с существующей в настоящее время трактовкой вектора как параллельного переноса; она является удобной с точки зрения приложений понятия вектора при решении геометрических задач, изучения векторных величин в физике.

В VII классе при изучении темы «Векторы» напоминаем учащимся, что параллельный перенос задается как парой точек, так и направленным отрезком. Говорится, что такой отрезок называет-

ся вектором. Далее вводится операция откладывания вектора от некоторой точки (учащиеся по существу знакомы с этой операцией, здесь она формулируется) и понятие длины вектора. Выполняя операции с параллельными переносами (как это сделано в действующем учебнике геометрии), учащиеся имеют дело с направленными отрезками (векторами).

Далее обращается внимание учащихся на понимание операций сложения векторов, умножения вектора на число и их свойства. Операции с векторами и их свойства попутно иллюстрируются на примерах отдельных векторных величин, которые известны учащимся (перемещения, скорости, силы).

Вводится представление о равенстве векторов: два вектора равны, если они сонаправлены и имеют равные длины. Разность таких векторов равна нулю. Приводим пример с векторными величинами: например, две силы равны, если они сонаправлены и имеют равные числовые значения.

Наконец, вводятся понятия свободного, скользящего и связанного векторов как векторов, отложенных соответственно от любой точки плоскости, прямой и фиксированной точки. Чтобы дать наглядное представление об этих векторах, обращаемся к некоторым частным случаям параллельных переносов: плоской фигуры, прямой вдоль самой прямой и точки. Это позволит в дальнейшем при изучении физики использовать эти понятия для изучения векторных величин. В заключение сообщаем учащимся, что в курсе физики VIII класса будет показано соответствие свойств таких величин, как сила, скорость и др., свойствам векторов.

При изучении свойств векторов на уроках геометрии в VII классе, кроме упражнений, содержащихся в учебном пособии, предлагали учащимся задачи и вопросы (часто практического характера) с физическим содержанием. При закреплении сложения векторов рассмотрели с учащимися практическое задание, аналогичное тому, которое они выполняли уже в VI классе на уроках физики.

Задание. Из точки А проведите вверх отрезок длиной 4 см и отметьте конец отрезка точкой В. Затем из точки В проведите отрезок вправо длиной 3 см и отметьте точку С. Найдите построением результирующее перемещение кончика карандаша. Изобразите все перемещения направленными отрезками. Равна ли сумма числовых значений двух последовательных перемещений числовому значению результирующего перемещения? Проверьте измерением.

При обсуждении результатов выполнения задания подчеркиваем, что результирующее перемещение есть сумма двух перемещений, которая находится так же, как сумма произвольных векторов.

На этом же примере убеждаем учащихся в справедливости свойства переместительности (коммутативности) векторных величин. Предлагаем учащимся из той же точки А провести отрезок длиной 3 см сначала вправо, затем длиной 4 см вверх. Изменилось ли результирующее перемещение кончика карандаша?

Для закрепления предлагаем учащимся задание со скоростью движения как векторной величиной.

Задание. Известно, что из точки А до точки В (см. предыдущее задание) и из точки В до точки С кончик карандаша двигался равномерно. Расстояние \АВ\ карандаш прошел за 2 с, расстояние \ВС\ за 2 с. Полное время движения равно 2 с. С какой скоростью нужно проводить отрезок АС, чтобы кончик карандаша прошел расстояние | АС \ за те же 2 с? Отложите скорости от заданных точек и решите задачу построением.

Приведем примеры других заданий при изучении и закреплении других свойств векторов.

1. На тело действуют две силы: одна из них равна 3 H и направлена вертикально вниз. Каково численное значение и направление второй силы, если известно, что сумма сил равна 0? Как проверить ответ на опыте?

2. Из одного города одновременно выехали два велосипедиста, которые двигались равномерно и прямолинейно в направлении, перпендикулярном друг другу, с различными скоростями. Найдите построением расстояние между велосипедистами в тот момент, когда первый из них оказался от города на расстоянии 6 км, а другой — 10 км.

Третий этап. В VIII классе продолжается работа по формированию у учащихся понятий вектора и векторной величины. Преемственность этой работы на третьем этапе с предыдущими заключается в параллельном изучении этих понятий, выявлении их взаимосвязи и различий.

Изучение векторных величин в VIII классе на уроках физики основывается на первоначальных представлениях учащихся, полученных в предшествующих классах, и на понятии вектора и его свойств, введенных в курсе геометрии в VII классе.

В процессе изучения векторных величин в VIII классе представления учащихся о векторном характере скорости, силы расширяются, так как подробнее рассматривается их сложение по правилу треугольника, параллелограмма; вводятся новые векторные величины (ускорение, импульс). Такие величины, как момент силы, угловая скорость, которым соответствуют аксиальные векторы, в средней школе не рассматриваются.

Вектор определяет направление векторной величины, а длина вектора равна ее числовому значению в выбранном масштабе. Тот факт, что одни векторные величины могут быть отложены от любой точки плоскости (пространства), другие от любой точки прямой, третьи от фиксированной точки, может быть связан с понятиями свободного вектора (чаще всего им оперируют в математике), скользящего и связанного векторов. Математические знания о векторах находят законное основание для применения в физике.

Все действия с векторами справедливы и для векторных величин, но нужно правильно понимать это утверждение. Например, можно сложить любые векторы. Векторные величины же можно

складывать только однородные: силу с силой, скорость со скоростью и т. д., да и то не всегда. Учащиеся дальше узнают, что две силы, приложенные к разным телам, не имеют равнодействующей.

Как и в случае изучения скалярных величин, предлагаемые ниже задания направлены на выявление, закрепление или повторение общих свойств векторных величин, обучение учащихся обращению с величинами. Например, при изучении такой величины, как перемещение, мы предлагаем практическое задание, позволяющее сопоставить эту величину с такой скалярной величиной, как пройденный путь, что помогает понять особенности каждой из рассматриваемых величин.

Задание. Зацепите кончиком карандаша петлю нити и поставьте его в некоторую точку А на листе бумаги. Одной рукой держите вертикально карандаш, а другой —нить у самой петли. Ведите по бумаге карандашом произвольную кривую так, чтобы длина нити за время движения кончика карандаша постоянно увеличивалась. Прекратите движение карандаша и ответьте на вопросы: 1) Что показывает длина вытянутой нити? 2) Чем является длина траектории движения кончика карандаша? 3) Какая из величин больше? 4) Укажите на рисунке направление перемещения. 5) Какова должна быть траектория движения кончика карандаша, чтобы обе величины имели равные числовые значения?

При обсуждении результатов выполнения задания обращаем внимание учащихся на следующее: длина вытянутой линии является модулем (длиной) перемещения; длина траектории есть пройденный кончиком карандаша путь; пройденный путь больше модуля (длины) перемещения; при прямолинейном движении пройденный путь равен модулю (длине) перемещения.

В процессе изучения некоторых величин предлагается несколько заданий. Например, при введении силы учащиеся выполняют три задания: «Наблюдение зависимости результата действия силы на тело от ее значения, направления и точки приложения», «Сложение двух сил, действующих на одну точку тела под углом друг к другу», «Наблюдение зависимости сил натяжения нитей от величины угла между ними при постоянной равнодействующей силе». Предлагается в качестве примера первое из заданий.

Рис 4

Используются следующие приборы и материалы: 1) брусок деревянный от трибометра; 2) динамометр; 3) нить длиной 200 мм с петлями на концах.

Задание. Положите брусок и динамометр на стол и соедините их нитью. Придерживая брусок левой рукой, отведите динамометр вправо так, чтобы он показывал силу 1 H (рис. 4, а). Отпустите брусок и наблюдайте за его движением. Повторите опыт при силе натяжения нити 2 Н. Зависит ли результат действия силы на брусок от ее значения? Подействуйте на брусок силой 2 Н, направленной поперек бруска (рис. 4, б). Отпустите брусок и наблюдайте за его движением. Зависит ли результат действия силы на брусок от ее направления? Прикрепите нить к середине бруска. Снова подействуйте на брусок силой 2 H в том же направлении (рис. 4, в). Отпустите брусок и наблюдайте за его движением. Зависит ли результат действия силы на брусок от точки ее приложения?

В ходе опыта учащиеся наблюдают поступательное движение бруска, причем значение действующей силы изменяет его перемещение; при изменении направления действия силы изменяется вид движения бруска (брусок совершает вращательное движение), и, наконец, при изменении точки приложения силы брусок снова совершает поступательное движение.

Таким образом учащиеся убеждаются в том, что результат действия силы зависит от ее значения, направления и точки приложения. Понятие силы как векторной величины развивается и дальше в процессе изучения конкретных видов сил: силы тяжести, силы упругости, силы трения.

После изучения понятия о силе обобщаем свойства векторных величин:

1. Векторная величина характеризуется направлением в пространстве и размером (при выбранной единице измерения — числовым значением).

2. Для векторных величин устанавливаются операции сложения, умножения на число и скалярную величину. Складывать можно только однородные величины. В результате умножения векторной величины на число получаем векторную величину того же рода и того же или противоположного направления. В результате умножения векторной величины на положительную скалярную получают векторную величину другого смысла, но сонаправленную с данной.

3. Каждой векторной величине ставится в соответствие вектор (свободный, скользящий или связанный). Это соответствие устанавливается через операцию откладывания векторной величины в виде направленного отрезка как вектора.

4. Операции сложения и умножения на число обладают свойствами, аналогичными свойствам векторов.

5. Понятия вектора, векторной величины взаимосвязаны, но не тождественны.

6. При выбранной единице измерения имеем взаимно-однозначное отображение множества векторных величин на множество чисел.

7. Множество, составленное из множеств различной природы (сил, ускорений и т. д.), образует систему разнородных векторных величин.

§ 3. О РАЗВИТИИ УМЕНИЙ И НАВЫКОВ УЧАЩИХСЯ ОБРАБАТЫВАТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЙ

Измерять величины на уроках физики учащиеся начинают в

VI классе при выполнении программных лабораторных работ и продолжают в последующих классах. С VIII класса учащиеся проводят измерения и в работах физического практикума. Как указывается в действующей программе по физике восьмилетней и средней школы, система демонстрационных опытов, фронтальных лабораторных работ и физических практикумов должна обеспечить учащимся понимание принципов измерения физических величин, овладение способами и техникой измерений, а также методами анализа погрешностей.

Вопросы измерения величин и приближенных вычислений в курсе физики детально рассмотрены в ряде книг1. В этих же книгах учитель найдет достаточно много практических упражнений. Наши наблюдения показали, что многие учителя пренебрегают такими упражнениями и тем самым ставят под угрозу формирование измерительных умений и навыков. Отсюда на выполнение лабораторных работ и работ физического практикума затрачивается учащимися часто неоправданно большое время.

Математический аппарат приближенных измерений и вычислений труден для учащихся. Его усвоение должно идти постепенно, начиная с VI класса. Наш опыт работы показывает, что учащиеся уже VI класса, используя соответствующий материал из курса математики, легко усваивают метод оценки абсолютных погрешностей при прямых измерениях. В настоящее время курс алгебры VII класса знакомит учащихся с рядом понятий теории приближенных вычислений, с методом границ для оценки результата вычислений. На уроках физики этот материал мы широко использовали.

В целях развития умений и навыков расчета погрешностей на уроках физики и математики в VI—VIII классах мы применяли дополнительные упражнения с физическим содержанием и небольшие практические задания, многие из которых выписываются на карточках. Так, на первых уроках физики в VI классе в теме «Введение» при знакомстве с понятием измерения величин мы опирались на соответствующий учебный материал из курса математики предшествующих классов (в основном IV класса): шкалы некоторых измерительных приборов (линейки, часов, термометра, транспортира),

1 Демкович В. П. Измерения в курсе физики средней школы. — М.: Просвещение, 1970.

Фетисов В. А. Оценка точности измерений в курсе физики средней школы. — М.: Просвещение, 1974.

цена деления, измерение длины отрезка и величины угла с недостатком и избытком, приближенное значение величин и их запись в виде двойного неравенства, разряды десятичной дроби, округление чисел, среднее арифметическое и т. д.

На уроке учащимся предлагаем выполнить такое задание: измерить длину ученической тетради лентой с сантиметровыми делениями.

Результат измерения они записывают в виде двойного неравенства (этот способ записи известен учащимся с IV класса, его только напоминаем). Показываем на координатной прямой интервал, в котором находится истинное значение длины тетради.

За приближенное значение длины разумно принять среднее арифметическое значение с недостатком и с избытком (понятие среднего арифметического также знакомо учащимся).

Если у шкалы измерительного прибора мелкие деления, нечеткие штрихи (миллиметровая линейка), то границу погрешности берут равной цене деления шкалы. Об этом коротко говорим учащимся, пока не акцентируя особого внимания. Лишь в процессе измерений конкретных величин эти вопросы найдут более полное освещение и будут хорошо усвоены. В дальнейшем учащиеся узнают, что абсолютная погрешность зависит от условий измерения и от особенностей прибора (например, когда штрихи на шкале прибора нанесены не часто, но указателем прибора является «скачущая» стрелка).

После этого можно перейти к другой форме записи результата, т. е. с указанием точности измерения.

Далее предлагаем измерить длину той же тетради измерительной линейкой. Результат записывают обоими способами. На той же координатной прямой изображают интервал, в котором находится истинное значение длины.

Сравнивая интервалы, учащиеся делают вывод: при уменьшении цены деления шкалы интервал, в котором находится истинное значение измеряемой величины, сужается, абсолютная погрешность уменьшается, а значит, измерение выполняется более точно. Далее учащиеся повторяют правила округления чисел, известные им из курса математики IV класса.

Закрепление полученных знаний можно осуществить при выполнении учащимися небольших практических заданий, которые можно использовать не только на первых уроках, но и в течение всего учебного года. Некоторые из этих заданий могут быть выполнены и на уроках алгебры при изучении приближенных вычислений, а также дома.

Ниже приводятся примеры таких заданий.

1. Проведите произвольный отрезок и измерьте его длину с точностью до 0,1 см. Запишите результат измерения в виде двойного неравенства и с указанием точности измерения. Изобразите на числовом луче интервалы, в которых находится истинное значение длины отрезка.

2. Проведите два луча, выходящих из одной точки. Измерьте величину угла, образованного ими, с точностью до Г.

3. Налейте в мензурку произвольное количество воды и измерьте ее объем. Результат запишите в виде двойного неравенства.

4. Измерьте вес какого-либо тела (бруска трибометра, металлического цилиндра из набора калориметрических тел и т. д.) при помощи динамометра. С какой точностью выполнено измерение? Если указатель шкалы динамометра совпадает с одним из ее делений, то повлияет ли это на точность измерения веса?

Целенаправленная работа по формированию у учащихся прочных измерительных навыков с умением оценивать погрешности в простейших случаях подготавливает их к пониманию метода границ, изучаемого на уроках математики в VII классе.

Приведем некоторые упражнения по теме «Приближенные вычисления», которые можно применять на уроках физики в VI и VII классах и дома.

1. Начертите на бумаге отрезок произвольной длины. Оцените длину отрезка на глаз и результат запишите с точностью до 1 мм. После этого измерьте длину отрезка миллиметровой линейкой. На сколько вы ошиблись при глазомерном измерении длины?

2. Измерьте динамометром вес железного цилиндра из набора тел для калориметра. Оцените абсолютную погрешность измерения.

3. В измерительный цилиндр с водой опустите шарик, привязанный на нити. Измерьте объем шарика. Результат запишите в виде двойного неравенства и с учетом точности измерения.

4. Соберите цепь из аккумулятора, резистора сопротивлением R =2,0 ±0,2 Ом выключателя. Измерьте напряжение на зажимах резистора с учетом абсолютной погрешности. Рассчитайте силу тока в резисторе. В записи результата укажите точность измерения. Результат проверьте прямым измерением силы тока.

В VII классе на уроках алгебры вводится понятие относительной погрешности, которое характеризует качество измерений. Разбираем с учащимися такой пример. При измерении массы двух тел методом взвешивания получены следующие результаты: тг = 5,0 ± ± 0,5 г и т2 = 100,0 ± 0,5 г. Каждое измерение выполнено с одинаковой точностью (до 0,5 г). Относительная погрешность в первом случае не превосходит

во втором

Таким образом, качество измерения массы первого тела хуже качества измерения массы второго тела в 20 раз.

Для закрепления материала предлагаем учащимся несколько упражнений и практических заданий.

1. Измерьте длину и ширину доски трибометра с точностью до 0,5 см. Найдите относительные погрешности и сравните их. Сделайте вывод.

Повторите измерения длины с точностью 0,5 см, а толщины с

точностью 0,1 см. Найдите относительные погрешности в этом случае и сравните их. Какими приборами целесообразно воспользоваться?

2. С какой абсолютной погрешностью следует измерить объем воды в измерительном цилиндре, чтобы относительная погрешность не превышала 2%? Грубое измерение дало 100 см3. С какой ценой деления шкалы можно взять мензурку?

Эти упражнения можно выполнять до применения понятия относительной погрешности в лабораторных работах по физике.

Приобретенные учащимися знания по обработке результатов измерений применяются при выполнении лабораторных работ и работ физического практикума.

Наш опыт работы показал, что в школе достаточно ограничиться методом границ. Он доступен учащимся, воспринимается ими осознанно.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ........................... 3

I. Величины в математике и физике ............... 7

§ 1.О роли и месте величин, их измерении в естествознании, обучении и воспитании ........................ —

§ 2. Понятие величины в математике................. 10

§ 3. О различных подходах к понятию скалярной величины в математике 17

§ 4. Векторное пространство ................... 21

§ 5. Понятие величины в физике.................. 24

§ 6. Некоторые специальные вопросы, возникающие при рассмотрении величин в физике ....................... 28

§ 7. Величины с позиций развития межпредметных связей математики и физики ........................... 31

II. Изучение величин на уроках математики и физики

в условиях развития межпредметных связей............ 41

§ 1. Формирование понятия скалярной величины ........... 42

§ 2. Формирование понятия векторной величины........... 62

§ 3. О развитии умений и навыков учащихся обрабатывать результаты измерений ........................... 75

Гусев Валерий Александрович Иванов Александр Иванович Шебалин Олег Дмитриевич

ИЗУЧЕНИЕ ВЕЛИЧИН НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ В ШКОЛЕ

Редактор Ж. Г. Данилова Художник В. Л. Николаев Художественный редактор Е. Н. Карасик Технический редактор Н. Н. Бажанова Корректор Т. С. Царикова

ИБ № 5956

Сдано в набор 24.02.81 р. Подписано к печати 20.07.81 г. 60х90*/1в. Бум. типограф. № 2. Гарн. лит. Печать высокая. Усл. печ. л. 5. Усл. краскоотт. 5,375. Уч.-изд. л. 5,23. Тираж 100 тыс. экз.Заказ 56. Цена 15 коп.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств» полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 4L

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, по играфии и книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.