Груденов Я. И. Изучение определений, аксиом, теорем : пособие для учителей. — М. : Просвещение, 1981. — 96 с. — Лит.: с. 94 (28 назв.).

Я. И. ГРУДЕНОВ

ИЗУЧЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЙ, АКСИОМ, ТЕОРЕМ

Я. И. ГРУДЕНОВ

ИЗУЧЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЙ, АКСИОМ, ТЕОРЕМ

ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1981

ББК.74.262 Г90

Рецензенты:

член-корреспондент АПН СССР проф. В. Г. Болтянский, доценты Г. И. Саранцев, А. Д. Семушин

Груденов Я. И.

Г90 Изучение определений, аксиом, теорем: Пособие для учителей.— М.: Просвещение, 1981.—95 с.

В книге рассматриваются вопросы общей методики преподавания математики. Частные методики представлены в виде примеров, иллюстрирующих применение рассмотренных методов и приемов.

Многие рекомендации автора основаны на изучении и обобщении опыта работы учителей.

ББК.74.262 51

© Издательство «Просвещение», 1981 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В книге излагаются некоторые разделы общей методики математики. Вопросы частных методик представлены как примеры, иллюстрирующие применение рассмотренных методов и приемов. В последней главе приведены методические разработки наиболее трудных тем школьной программы. Они могут быть использованы учителем как проверенные на опыте варианты изложения данных тем. Но основная цель их включения — показать, как составляются методические разработки, как практически реализуются рассмотренные методы и приемы и выбираются наиболее подходящие из них в конкретной ситуации. Поэтому приведенные разработки представят для учителя определенный интерес даже в том случае, если соответствующие темы будут исключены из школьной программы.

Все описываемые методы и приемы основаны на изучении и обобщении опыта работы учителей. Использованы материалы посещения и анализа большого числа уроков. Цель таких посещений не только изучение и обобщение опыта работы педагогов, но и внедрение в школу ряда эффективных, но менее распространенных методов и приемов обучения. На основе всей этой работы в книге наряду с описанием новых методов и приемов проанализированы общеизвестные, выделены типичные методические ошибки в организации учебного процесса, намечены меры по их устранению.

В книге рассматривается ряд вопросов и выдвигаются направления, которые ранее в методической литературе не освещались либо были недостаточно разработаны. Перечислим некоторые из них.

Описывается ряд новых методов и приемов обучения: компактный метод, прием деления задачи на отдельные задания, приемы проверки домашних заданий и др.

Изучение понятий не сводится только к их введению и не рассматривается изолированно от вопросов изучения теорем, аксиом. Разработана и описана общая методика работы с математическими предложениями.

Рассмотрены три этапа их изучения: введение, обеспечение усвоения, закрепление.

Разработаны методы, способствующие усвоению математических предложений (два из них общеизвестны). Проведена классификация этих методов. Показано, что они вместе с их различными комбинациями полностью исчерпывают всевозможные случаи, которые могут встретиться при усвоении любых математических предложений, в работе с учащимися любого уровня развития.

В книге широко используется психология. Приведен ряд психологических закономерностей. Одни из них формулируются в тексте книги, по ходу дела, другие — вынесены в приложение. На конкретных примерах показывается, как их можно использовать в обучении.

Приводится много упражнений различного типа. Часть из них малоизвестна. Большое внимание уделяется вопросу составления упражнений.

Книга адресована учителям как начинающим, так и опытным. Последние, по мнению автора, также найдут для себя много полезных методических рекомендаций. Эти рекомендации помогают вовлекать в активную деятельность не только отдельных учащихся, но и весь класс, дают возможность добиваться высоких результатов в работе.

Автор выражает глубокую признательность ст. препод. Таганрогского пединститута З. В. Макаровой, а также рецензентам чл.-кор. АПН СССР В. Г. Болтянскому и доценту Г. И. Саранцеву, внимательно прочитавшим рукопись, за весьма полезные замечания и предложения, которые помогли ее улучшить.

Глава I

ИЗУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ

§ 1. ЭТАПЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ

Изучение математических предложений, т. е. определений, аксиом, теорем, можно подразделить на три этапа: введение, обеспечение усвоения и закрепление.

На этапе введения на уроке создается такая ситуация, когда учащиеся либо сами «открывают» новые теоремы, самостоятельно формулируют новые для них определения, аксиомы, либо просто подготавливаются к их пониманию.

Обеспечение усвоения сводится к тому, чтобы учащиеся:

1) научились применять определения, аксиомы, теоремы,

2) быстро и безошибочно запомнили их,

3) понимали каждое слово в их формулировках.

Закрепление определений, аксиом, теорем осуществляется на последующих уроках и сводится к повторению их формулировок и отработке навыков применения к решению задач.

В школьном курсе математики некоторые определения и теоремы формулируются в виде правил, например:

Теорема. Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней.

Правило. Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить прежним, а показатели степеней сложить.

Следует заметить, что учащиеся нередко путаются в терминологии, называя определения и теоремы правилами. Эта типичная ошибка (привнесенная из начальной школы в среднюю) наблюдается в тех классах, где учитель не следит за правильным употреблением терминов.

Изучение многих правил также можно подразделить на указанные этапы: введение, усвоение и закрепление.

§ 2. ВВЕДЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ

2.1. Три способа введения определений, аксиом, теорем. В зависимости от характера изучаемого материала, наличия учебного времени, уровня развития учащихся и других факторов учите-

ля выбирают один из следующих способов ознакомления учащихся с новым математическим предложением.

I способ. Учащиеся подготавливаются к самостоятельному формулированию определения, аксиомы, к «открытию» теоремы.

II способ. Учащиеся готовятся к сознательному восприятию, к пониманию нового математического предложения, формулировка которого им сообщается затем в готовом виде.

III способ. Учитель сам формулирует новые определения, аксиомы, теоремы без какой-либо предварительной подготовки, а затем сосредоточивает усилия учащихся на их усвоении и закреплении.

При осуществлении первых двух способов используется эвристический метод, в классе создается проблемная ситуация, которая способствует самостоятельному «открытию» учащимися новых знаний. Это повышает их интерес к занятиям, способствует развитию творческих способностей, но требует определенной затраты учебного времени, а нередко распыляет внимание учащихся на второстепенные детали, отвлекает их от основной идеи новой темы.

Третий способ в методической литературе иногда осуждается, считается догматическим. Однако требование всегда пользоваться только эвристическим методом — это и есть проявление догматизма. Многие учителя успешно используют третий способ наряду с первыми двумя. При их выборе важно учитывать различные факторы и конечный результат. Например, если учитель затратил много времени на введение нового понятия первым способом, но учащиеся не успели достаточно хорошо усвоить его, не научились применять определение к решению задач, то такая методика явно не оправдана.

Введение новой теоремы, аксиомы и т. д. первым или вторым способами проходит обычно более организованно и при большей самостоятельности и активности учащихся в тех случаях, когда используется метод целесообразных задач. Учитель заранее подготавливает и четко формулирует специальные подготовительные задачи. Эти задачи учителю лучше составлять самому, учитывая специфику работы в своих классах. Умение составлять и использовать такие подготовительные задачи — важное профессиональное умение учителя.

Именно на эту сторону обращается внимание в приводимых ниже примерах.

2.2. Введение понятий. В одних случаях можно составить такие упражнения, чтобы на их основе учащиеся легко и быстро сформулировали определение нового понятия. В других случаях этого добиваться не стоит, достаточно ограничиться подготовкой к восприятию нового определения.

Пример. Приступая к изучению геометрической прогрессии, учитель предлагает следующее упражнение.

Выпишите несколько первых членов последовательности (хп), у которой

#1=2, хп+\ = хп*Ъ.

Такая последовательность называется геометрической прогрессией. Попытайтесь сформулировать определение геометрической прогрессии.

Упражнение учащиеся выполняют свободно, опираясь на аналогию с уже известным им определением арифметической прогрессии. Когда же вводится понятие арифметической прогрессии, то путем дополнительных вопросов также можно добиться самостоятельного формулирования учащимися определения. Но здесь на аналогию они не опираются, так как с подобным определением встречаются впервые. Поэтому с целью экономии учебного времени лучше изменить упражнение, исключив из него требование о самостоятельном формулировании нового определения, например:

Выпишите несколько первых членов последовательности (хп), у которой ЛГ1 = 4, Xn+l = #n + 3.

Далее учитель говорит, что такая последовательность называется арифметической прогрессией, и сам сообщает ее определение.

При изучении геометрических понятий упражнения часто составляются таким образом, чтобы учащиеся построили соответствующую фигуру и смогли достаточно быстро выделить те признаки нового понятия, которые необходимы для формулирования определения. Построенные при этом фигуры используются для последующей работы (доказательства теоремы, решения задачи и т. д.). Значит, упражнения практически не требуют затраты лишнего времени.

Примеры.

1) Постройте произвольный треугольник. Соедините отрезком его вершину с серединой противоположной стороны. Такой отрезок называется медианой. Сформулируйте определение медианы.

2) Проведите две различные параллельные прямые, затем две другие различные параллельные прямые, пересекающие первые. Вы получили четырехугольник, который называют параллелограммом. Попытайтесь сформулировать определение параллелограмма.

Выполнив это упражнение, учащиеся обычно дают определение в таком виде: «Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны». Остается внести необходимые коррективы.

3) Приступая к изучению гомотетии учитель говорит, что сейчас мы познакомимся со способом построения подобных фигур, и предлагает упражнения:

а) Даны отрезок AB и точка О. Постройте образ [AB] при таком отображении плоскости, при котором Х-+Хг и ОХ1 = 2.0Х, X — произвольная точка.

б) Даны треугольник ABC и точка О. Постройте образ треугольника АБС при таком отображении плоскости, при котором Х-+Хг и ÖX{ = 3-OX, X — произвольная точка.

в) Даны четырехугольник ABCD и точка О. Постройте образ четырехугольника при таком отображении плоскости, при котором Х-*ХХ и ОХ^-2-ОХ, X— произвольная точка.

Выполнив эти упражнения по образцу, данному учителем, учащиеся подготавливаются к пониманию определения гомотетии. Следовательно, в данном случае осуществляется второй из указанных в п. 2.1 способов введения математических предложений.

В некоторых случаях учащимся предлагается составить модель либо, рассматривая готовые чертежи, модели, выделить признаки нового понятия и сформулировать его определение.

Пример. После того как введено определение параллелепипеда (X класс), учащимся предлагается такое упражнение:

Рассматривая модели наклонного, прямого и прямоугольного параллелепипедов, выделите признаки, по которым можно различать эти понятия. Сформулируйте определения прямого и прямоугольного параллелепипедов.

Пример. Составьте на модели двугранный угол и плоскость, перпендикулярную к его ребру. Какой фигурой является их пересечение? Такую фигуру называют линейным углом двугранного угла. Попытайтесь сформулировать определение линейного угла.

После этого упражнения учащиеся в некоторых классах более или менее самостоятельно формулируют определение:

«Пересечение двугранного угла и плоскости, перпендикулярной к его ребру, называется линейным углом двугранного угла».

Так как учащиеся IX класса до этого редко встречались с определениями, в которых за ближайшее родовое понятие взято пересечение фигур, то в некоторых классах последнее упражнение выполняется с трудом. В этих классах лучше получается, если учитель сам формулирует данное определение, а затем иллюстрирует это понятие на модели. Значит, в данном случае третий из указанных в п. 2.1 способов может оказаться более подходящим.

Многие алгебраические понятия вводятся на основе рассмотрения частных примеров. Соответствующие упражнения приведены выше. Рассмотрим еще одно понятие.

Пример. Определение предела последовательности в школе дается через г и N. Самостоятельно сформулировать его учащиеся не в состоянии. Поэтому в некоторых методических пособиях учителю рекомендуют дать это определение без предварительной подготовки, а затем сказать учащимся: «Постепенно, разбирая различные примеры и теоремы, мы освоимся с этим понятием».

В отличие от этой рекомендации рассмотрим, как можно подготовить учащихся к пониманию определения предела последовательности.

Учащиеся не понимают его из-за непривычности словесных выражений и обилия обозначений (е, N, n>N и т. д.), смысл которых они не сразу улавливают. В таких случаях прибегают к давно испытанному приему — предлагают несколько упражнений одного типа. При их выполнении учащиеся неоднократно повторяют одно и то же словесное выражение и самостоятельно объясняют смысл новых обозначений. Таким образом, все это становится для них привычным, а значит, и понятным.

Учащимся предлагаются следующие упражнения:

1. На числовой прямой отметить 12—14 точек последовательности #п=1+-—— (рис. 1),

Указание. За единицу масштаба удобно выбрать 10 см, а значения членов последовательности вычислять с помощью логарифмической линейки. Тогда точки последовательности можно легко и быстро откладывать на прямой с помощью масштабной линейки.

2. Пользуясь полученным чертежом, выполнить следующие задания:

а) Задать произвольное число е>0, например е=4~-

б) По обе стороны от точки х=1 отложить отрезки длиною е.

в) Указать точки последовательности, попавшие в построенный интервал длиною 2г.

г) Найти такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство \хп— 1|<е.

3. Повторить предыдущее упражнение, придавая 8 значения J_ 1

Условие упражнения 2 заранее выписывается на доске или задается с помощью кодоскопа и служит планом при выполнении упражнения 3. Опыт показывает, что к последней части упражнения 2 учителю целесообразно дать образец ответа, например: «Из рисунка замечаем, что в построенный интервал длиною 2е попадают точки х$у Xq, х7, ... . Расстояние от любой из них до точки х=\ меньше —, т. е. для этих членов выполняется неравенство \хп—-1|< —. Следовательно, для е=-^- мы подобрали такое число N = 4, что при всех n>N выполняется неравенство |*п—11 <— ».

Повторяя эти же рассуждения для случаев е= ~у* > е== 7j учащиеся наглядно воспринимают смысл обозначений е, N, n>N и т. д. в каждом конкретном случае, постепенно привыкают к новым для них словесным выражениям и таким образом готовятся к пониманию определения.

2.3. «Открытие» теоремы. Как и в случае введения понятий, к самостоятельному «открытию» многих теорем в курсе алгебры можно подвести учащихся на основе рассмотрения частных примеров.

Пример. Решите уравнения лс2—5*4-6 = 0, х2 + 7лс +12 = 0, х2 + 8х+ 15 = 0. Попытайтесь установить зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами. Сформулируйте соответствующую теорему.

Пример. При изучении числовых неравенств дается упражнение:

«Известно следующее свойство равенств: (а = Ь) =^ (ас=Ьс). Проверьте на примерах, обладают ли подобным свойством неравенства. Рассмотрите случаи, когда с>0, с<0, с = 0. Сформулируйте свой вывод».

Подготовительные задачи, на основе которых учащиеся самостоятельно «открывают» и формулируют новые теоремы, вызывают у них большой интерес.

При введении геометрических теорем часто используются упражнения на построение соответствующих фигур.

Пример. На одной стороне угла отложите несколько конгруэнтных между собой отрезков. Через точки деления проведите параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла. Измерением сравните длины полученных отрезков. Сформулируйте свой вывод. Можно ли этот вывод считать достоверным?

Такие упражнения учитель читает по частям, выдерживая паузы, пока учащиеся выполнят очередное указание. Для уско-

рения работы длины отрезков или величины углов сравниваются иногда не измерением, а «на глаз». С этой же целью в некоторых случаях предлагается рассматривать готовый чертеж (модель) или используется чертеж предшествующего упражнения.

Пример. Проведите в окружности две неравные хорды. Установите на глаз, какая из них ближе к центру. Сформулируйте свой вывод. Можно ли его считать достоверным?

В тех случаях, когда учащиеся приходят к выводу на основании измерений и рассмотрения частных случаев, на первых порах важным является вопрос (в упражнениях): «Можно ли ваш вывод считать достоверным?» Учащиеся нисколько не сомневаются в справедливости вывода, но, запомнив фразу учителя и понимая, что именно ее он желает услышать, произносят: «Так как измерения всегда неточны и наш вывод основан на рассмотрении частных случаев, то его нельзя считать достоверным, надо доказать». Повторяя эту мысль на последующих уроках, учащиеся постепенно забывают, что она ранее была подсказана учителем и что они сомневались в ее справедливости. Они начинают полагать, что таково их собственное мнение. Таким образом, у учащихся возникает убеждение в необходимости доказывать вывод, полученный на основе неполной индукции.

Если исключить вопрос «Можно ли ваш вывод считать достоверным?», то упражнения приносят не пользу, а вред. Учащиеся недоумевают, зачем надо доказывать полученный на примерах и вполне очевидный вывод, и потому невнимательно слушают последующее доказательство.

Здесь мы пользуемся приемом неоднократного повторения учащимися одной и той же мысли, но обязательно с небольшими вариациями. Этот прием позволяет формировать убеждения у школьников. Так, при выполнении предшествующих упражнений учащиеся сами повторяют одну и ту же мысль, варьируя ее применительно к изменяющейся ситуации. Таким образом, данная мысль хорошо запоминается, усваивается, и учащийся воспринимает ее справедливость как собственное убеждение.

Если же одна и та же мысль повторяется в неизменном виде, то мы приходим к противоположным результатам. Учащиеся либо формально, механически запоминают ее и повторяют заученными фразами, либо эта мысль надоедает им, и они начинают сомневаться в ее справедливости.

Этот прием широко используется в русских народных сказках. Вспомним, с каким неослабевающим интересом и удовольствием дети слушают сказки «Колобок», «Репка», где многократно, но обязательно с небольшими вариациями повторяется одна и та же мысль. А вот на уроках математики, к сожалению, этот прием народной педагогики не используется в должной мере или применяется неумело без учета уровня развития учащихся, содержания изучаемого материала и т. д. В последующих параграфах будет показано, что учащиеся с неослабевающим инте-

ресом могут многократно повторять, например, одно и то же определение, но в процессе выполнения различных упражнений. Если же это повторение не увязывается с упражнениями, то на уроках возникает скука и материал усваивается плохо.

2.4. Введение аксиом. Как и в случае определений и теорем, введение аксиом также сводится к рассмотрению частных случаев, чертежей, моделей.

Пример. Перед аксиомой параллельности учащимся предлагается упражнение: «Через точку А вне прямой МК проведите луч AB, параллельный (МК). Проведите затем еще один луч Л С, параллельный (МК). С помощью линейки проверьте, лежат ли лучи AB и АС на одной прямой. Сколько прямых, параллельных данной прямой, можно провести через данную точку?»

Ответ на последний вопрос в классе не всегда бывает однозначен, поскольку у некоторых учащихся лучи АС и AB оказываются не расположенными на одной прямой (рис. 2). Чтобы именно так и получилось и чтобы тем самым учащиеся убедились в необходимости введения аксиомы, учитель рекомендует прямые проводить наклонно по отношению к линиям в тетради.

Далее формулируется аксиома.

Пример. Составляется модель: треугольная пластинка прикрепляется вершиной к плоскости, покрытой пластилином (рис. 3). Задается вопрос: «Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?» Многие учащиеся поспешно дают утвердительный ответ. Тогда учитель, не изменяя положения плоскостей на модели, совмещает с треугольной пластинкой прямоугольную и опускает последнюю на плоскость, покрытую пластилином (рис. 4). После такой наглядной иллюстрации учащиеся хорошо осознают аксиому: «Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая».

2.5. Введение правил. Рассмотренные способы введения определений, аксиом, теорем относятся также и к правилам. В школьных учебниках почти перед каждым правилом даются задачи, подготавливающие учащихся к самостоятельному формулированию этих правил или хотя бы к их пониманию. Отсюда некоторые учителя полагают, что эвристический метод необходимо использовать при введении каждого правила. Другие учителя считают, что иногда уместны исключения. В тех случаях, когда на подготовительные упражнения приходится тратить

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

много времени и учащиеся с трудом воспринимают идею этих упражнений, целесообразно отказаться от эвристического метода при введении правила и сообщить его в готовом виде (см. п. 2.1). В результате удается сэкономить время, четко изложить новую тему, добиться более прочных навыков применения нового правила.

Пример. Учащиеся могут самостоятельно решить задачу на вычисление площади прямоугольника длиною в 1,5 дм и шириною 0,4 дм, выражая длины сторон в сантиметрах и преобразуя результат в квадратные дециметры. На решение этой задачи уходит мало времени; она помогает подвести учащихся к пониманию правила умножения десятичных дробей. Следовательно, в подобных случаях целесообразно пользоваться эвристическим методом.

Пример. Правило умножения обыкновенных дробей в учебнике «Математика-5» [17, с. 144] также вводится с помощью задач о вычислении площади прямоугольника. Но эти задачи учащиеся уже не могут решить самостоятельно. Более того, они с трудом понимают объяснение учителя, и в эвристической беседе участвует лишь часть класса. Следовательно, в подобных случаях учителю уместно ограничиться кратким сообщением: «Мы изучаем с вами новые числа. Они обладают некоторыми новыми свойствами, например по иному формулируется правило умножения». Затем учитель сообщает правило, и учащиеся приступают к упражнениям. Заметим, что такая рекомендация уже высказывалась в методической литературе. Например, в книге В. Л. Гончарова «Начальная алгебра» ряд правил вводится без подготовительных задач.

§ 3. ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСВОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ

3.1. О формальном усвоении определений, аксиом, теорем. Существует несколько методов, обусловливающих усвоение математических предложений. Выбор того или иного из них в конкретном случае обусловливается характером изучаемого материала, уровнем развития учащихся и другими факторами. Некоторые учителя не знакомы со всеми этими методами и применяют только какой-нибудь один из них. А это является одной из причин, приводящих к формализму в знаниях учащихся. Формализм проявляется различным образом.

Нередко учащиеся затрудняются применять определения, теоремы в непривычных ситуациях, хотя и помнят их формулировки.

Пример. Многие учащиеся считают, что функция у = является четной, и «обосновывают»: «Косинус —

Рис. 5

Рис. 6

четная функция». Определение они помнят, но даже не пытаются его применять.

Пример. Учащиеся помнят свойство монотонности логарифмической или показательной функции, но часто не применяют его при решении задач и допускают такие ошибки:

Формализм в знаниях проявляется нередко и в том, что учащиеся обладают навыками решения задач какого-либо типа, но не могут объяснить, на основании каких определений, аксиом, теорем они выполняют то или иное преобразование. Чаще всего такой недостаток наблюдается на уроках алгебры.

Нередко учащиеся не догадываются применить хорошо известные им определения, теоремы, формулы.

Пример. Учащиеся помнят и как будто хорошо понимают формулу sin 2а = 2 sin а cos а, но не догадываются и даже при напоминании затрудняются преобразовать по этой формуле выражения: sin — или sin (а + <р).

Пример. Учащиеся хорошо помнят и во многих случаях умело применяют теорему о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью. Но когда они строят сечения прямоугольного параллелепипеда, то на первых порах часто допускают ошибку такого вида, как показано на рисунке 5. Сами они не замечают ошибки и не догадываются для проверки воспользоваться указанной теоремой. Но стоит им только намекнуть, а не нарушена ли на чертеже данная теорема, как они спохватываются и быстро обнаруживают ошибку.

Пример. В психологической литературе (см. книгу В. П. Зыковой [12]) описан следующий эксперимент. Учитель предлагает показать прямой угол на чертежном треугольнике. Когда треугольник находится в положении, указанном на рисунке 6, а, учащиеся отвечают верно. Когда же его поворачивают гипотенузой вниз (рис. 6,6), заявляют, что прямого угла нет. Треугольник возвращают в исходное положение — все радостно поднимают руки: «Теперь есть!»

Эксперимент неоднократно повторялся. Оказалось, что после введения новой программы учащиеся IV классов стали реже допускать такую ошибку, чем шестиклассники до 1971 года. Как это можно объяснить?

Раньше в школьном учебнике [19, с. 21—23] при рассмотрении данной темы на 9 чертежах из 10 прямой угол изображался в одном и том же, стандартном положении (см. рис. 6, а) и только на одном чертеже так, как на рисунке 6,6. В результате под влиянием психологических закономерностей (они формулируются в приложении) термин «прямой угол» ассоциировался в сознании учащегося с фигурой только в стандартном положении, как на рисунке 6, а.

В учебнике «Математика-4» [16, с. 140—141] прямой угол изображается в различных положениях. Поэтому учащиеся реже стали допускать ошибку указанного вида. А в тех классах, где и на классной доске фигуры изображаются все время в разных положениях, эта ошибка почти совсем не наблюдается.

Пример. Сообщение студентам-математикам об ошибке, описанной в предыдущем примере, вызывает в аудитории дружный смех и воспринимается даже с некоторым недоверием. Но вот студентам тут же предлагается выполнить упражнение: «Представьте, что на столе стоит модель четырехугольной пирамиды. Какой многоугольник будет основанием этой пирамиды, если модель положить на стол боковой гранью?»

В аудитории высказываются противоположные мнения: «Четырехугольник», «Треугольник». Разгорается спор. Причем сторонников первого, верного мнения обычно меньшинство.

Таким образом, студенты на опыте убеждаются, что и они подвержены влиянию тех же психологических закономерностей, ибо не заметили основание пирамиды в перевернутом положении.

Интересен следующий факт. Двум студентам поручили провести в X классах пятиминутную контрольную работу, в которой предлагалось указанное упражнение с моделью пирамиды. Проверив работы, они заявили, что все ответы (около 200) верные и только в одной работе допущена ошибка. На самом деле, все обстояло наоборот. Один учащийся правильно ответил на вопрос, остальные ошиблись.

Приведем еще несколько подобных примеров. Е. Н. Кабано-ва-Меллер заметила, что на вопрос, является ли угол АВМ (рис. 7) внешним углом треугольника, учащийся отвечает отрицательно, а вот угол ВСК он называет внешним и добавляет: «Все внешние углы — тупые, справа» [14, с. 31—32].

Из одиннадцати хорошо успевающих учащихся IV классов различных школ пятеро ответили, что углы - ОМК и КМР — смежные (рис. 8,a), a углы МВО и ОБА (рис. 8,6) не являются смежными. Определение смежных углов все они знали. Можно указать две причины такой ошибки.

Рис. 7 Рис. 8

1) В учебнике «Математика-4» [16, с. 217] и на классной доске учащийся видел смежные углы всегда в одном и том же стандартном положении, как на рисунке 8, а. Поэтому непривычный для него чертеж (рис. 8, б) не ассоциируется в его сознании с термином «смежные углы».

2) Процесс запоминания учащимся определения не увязывался в свое время с соответствующими упражнениями. Определение он запомнил только как набор слов, не умеет и даже не пытается его применять.

Очень часто, объясняя решения задач, учащиеся ограничиваются такими фразами: «По теореме Пифагора», «По определению логарифма». Однако нередко оказывается, что за этими фразами кроется явное непонимание, неумение применять приобретенные знания. Такие факты наблюдаются в тех классах, где учителя не требуют, хотя бы изредка, развернутых, обоснованных рассуждений и где учащиеся почти всегда ограничиваются только ссылками: «По теореме такой-то», «По определению» и т. д.

Пример. Предлагается установить вид треугольника (по углам) со сторонами 6 см, 8 см, 10 см. Учащиеся отвечают, что этот треугольник прямоугольный. На вопрос: «Почему?»—они незамедлительно утверждают: «По теореме Пифагора».

Такая ошибочная ссылка на прямую теорему вместо обратной наблюдается и на уроках геометрии, и на уроках алгебры.

Пример. Когда учащиеся устно находят корни приведенного квадратного уравнения, например х2—5x+6=0, они ошибочно произносят стандартную фразу: «По теореме Виета нахо-дим корни этого уравнения: х\ — 2, л:2 = 3».

Формализм в знаниях выражается и в том, что учащиеся искажают формулировки определений, аксиом, теорем и не замечают своих ошибок. Это наблюдается даже в тех случаях, когда они многократно повторяют соответствующие формулировки и, на первый взгляд, как будто хорошо понимают их.

Пример. На одном из уроков учащиеся несколько раз следующим образом ошибочно формулировали аксиому параллель-

ности: «Через данную точку можно провести прямую, парал-лельную данной прямой, и причем только одну». Ошибка осталась незамеченной. В конце урока выяснилось, что ни один из учащихся класса не понимает сущности допущенной ошибки.

В приведенной формулировке имеются два утверждения: 1) возможность проведения параллельной прямой и 2) ее единственность. Первое из них доказывается независимо от аксиомы параллельности. А в аксиоме постулируется только единственность: «Через данную точку проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой». Как видим, неоднократное повторение формулировки без всестороннего уяснения ее смысла не способствует ее точному запоминанию и приводит только к потере учебного времени.

Ошибки учащихся, как правило, не носят случайный характер. Они закономерны при определенных условиях. Это значит, что если ошибка, рассмотренная, допустим, в последнем примере, наблюдалась в одном классе, то можно быть уверенным, что ее будут допускать и другие учащиеся. Действительно, в каждом из нескольких десятков классов, где проводилась соответствующая проверка, учащиеся не понимали сущности приведенной ошибки в формулировке аксиомы параллельности. Сущности этой ошибки не понимают также и многие абитуриенты, и студенты-математики.

Как отмечено выше, формализм в знаниях учащихся наблюдается чаще всего в тех классах, где учитель не пользуется различными методами обеспечения усвоения математических предложений, а ограничивается только одним из них.

В настоящее время в школах начинают использовать три метода обеспечения усвоения математических предложений. Нередко они применяются в комбинации один с другим. Выбор учителем того или иного из этих методов или их комбинации зависит от конкретных условий в данном классе. Рассмотрим эти методы.

3.2. Раздельный метод. Формулировки многих теорем, определений, аксиом учащимся понятны, и они легко их запоминают после очень небольшого числа повторений. В таких случаях целесообразно, чтобы они сначала запоминали их, а потом учились применять к решению задач.

Метод, при котором процессы запоминания определений, теорем, аксиом и формирования навыков их применения протекают у учащихся раздельно, неодновременно, условимся называть раздельным.

Пример. Учитель сформулировал новое для учащихся определение. Далее, чтобы это определение запомнилось, оно повторяется отдельными учащимися класса 1—3 раза и затем отрабатывается на упражнениях. При этом одни учащиеся запоминают определение до перехода к упражнениям, другие — не успевают запомнить его. Последние выполняют упражнения

иногда только по аналогии, не применяя определение, а учат его дома, уже после выполнения упражнений. Получается, что и у тех, и у других учащихся процессы запоминания определения и формирования навыков его применения протекают раздельно. (Отсюда и название метода: «раздельный».)

Очевидно, раздельный метод приносит мало пользы тем учащимся, которые не успели запомнить определение и при выполнении упражнений не применяют его.

Пример. Учителя часто спрашивают у учащихся формулировки определений, аксиом, теорем вне процесса решения задач. Цель такого опроса — повторить с классом формулировки и заодно проверить, помнят ли их учащиеся. Очевидно, что при такой работе запоминание и повторение формулировок отрывается от процесса формирования навыков решения задач. Следовательно, и в подобных случаях фактически используется раздельный метод.

В последние годы в дидактике (см., например, [10, с. 149— 150], [13, с. 122]) делаются попытки подойти к методам обучения не только со стороны внешних форм и средств деятельности учителя и учащихся, но и со стороны их внутренних признаков. Предлагается учитывать способы умственной деятельности учащихся, психологические закономерности усвоения ими знаний и т. д.

Исходя из этого положения и выделен раздельный метод. В нем главное не внешняя сторона организации деятельности учителя и учащихся, а внутренний признак — неодновременность протекания процессов запоминания определений, аксиом, теорем и формирования навыков их применения. В следующем пункте рассматривается другой метод, который по внутренним признакам характеризуется тем, что эти процессы протекают одновременно. Именно этот факт и взят за основу разделения методов.

Раздельный метод широко используется в школе. Он наиболее прост в организационном отношении и весьма удобен в тех случаях, когда формулировки определений, теорем и т. д. понятны учащимся и легко ими запоминаются. Разумеется, легкость здесь понимается в относительном смысле, в зависимости от уровня развития учащихся.

Пример. Из высказанных соображений следует, что раздельный метод удобно применять при усвоении:

определений хорды, трапеции, четной и нечетной функции и т. д.;

теоремы Пифагора, признаков параллельности прямых, теоремы Виета, свойств числовых неравенств и т. д.;

правил умножения обыкновенных дробей, сложения дробей с одинаковыми знаменателями и т. д.

При усвоении многих других определений, теорем и т. д. раздельный метод оказывается малоэффективным. Иногда это происходит просто из-за неумелого применения метода, иног-

да — из-за особенностей содержания изучаемого материала, недостаточного уровня развития учащихся и других факторов.

Пример. На уроках многих учителей наблюдается следующий факт. Проведена большая работа по введению понятия «параллелограмм». Цель достигнута — учащиеся как будто понимают определение параллелограмма. В соответствии с раздельным методом это определение несколько раз повторяется отдельными учащимися, после чего приступают к решению задач. На каждом из последующих уроков учитель по 4—6 раз спрашивает это определение. В общей сложности за 5—7 уроков формулировка повторяется 30—40 и более раз. И несмотря на это, оказывается, что многие учащиеся не знают определения параллелограмма.

Чтобы объяснить этот и ему подобные факты, рассмотрим кратко некоторые вопросы психологии.

В книге А. А. Смирнова [23, с. 137—191] формулируются следующие две закономерности. Первая — из личного опыта известна каждому человеку.

Закономерность 1. Понимание материала является важнейшим условием его запоминания.

Разумеется, на запоминание влияют и другие закономерности. Установлено, что оно во многом зависит от сознательного намерения, определенной направленности нашей деятельности. Существенную роль играют и неосознанные источники направленности, в частности всякого рода установки.

Закономерность 2. Понимание затрудняется, если установка на полноту и точность запоминания появляется до того, как материал понят в целом. В остальных случаях установка на запоминание, наоборот, способствует лучшему пониманию материала.

Это объясняется тем, что установка на запоминание вызывает такие формы умственной деятельности, которые в одних условиях облегчают, в других — затрудняют понимание материала.

Отрицательное влияние, о котором идет речь в закономерности 2, чаще всего проявляется при чтении формулировок, поскольку концентрированность, сгущенность мыслей в них вызывает преждевременную, до ясного понимания в целом установку на запоминание.

А. А. Смирнов [23, с. 188—192] проводил следующий эксперимент. Взрослым людям предлагалось запомнить определения понятий из тех областей знания, с которыми они не были знакомы. Определения испытуемые читали медленно, вдумываясь в содержание. В процессе чтения им казалось все понятным, а при воспроизведении они допускали такие искажения, что формулировка теряла всякий смысл.

Сознавая всю абсурдность своих формулировок, испытуемые особенно внимательно читали материал повторно и все же

опять допускали ошибки. Значит, они недостаточно отчетливо понимали определения, иначе могли бы передать их своими словами, чего почти не наблюдалось.

Этот факт можно объяснить следующим образом. У испытуемых возникала преждевременная установка на точность и полноту запоминания, которая действовала до ясного осознания материала в целом, что по закономерности 2 затрудняло понимание.

Аналогичное явление можно наблюдать при изучении таких трудноусваиваемых математических понятий, как предел последовательности, предел функции и др. Попытки учащихся запомнить определения этих понятий до их полного понимания, как правило, оказываются тщетными.

Само понятие «трудноусваиваемость» является относительным. Для слабоуспевающих учащихся трудными оказываются формулировки многих теорем и определений. Они не понимают их в целом, а потому попытки запомнить в соответствии с закономерностью 2 еще больше затрудняют понимание.

Вернемся теперь к последнему примеру. Учащиеся после многократного повторения не смогли запомнить определение параллелограмма, потому что плохо понимали его. В противном случае, они по закономерности 1 смогли бы сформулировать его своими словами, но без искажений смысла. Ясного понимания можно добиться, если выделить больше времени на введение этого понятия. Однако для тех учащихся, которые уже достигли понимания, дальнейшие разъяснения при введении понятия оказываются часто неинтересными.

Остается один вариант — добиться понимания нового понятия остальными учащимися в ходе решения задач. Но в данном случае раздельный метод оказывается не очень эффективным.

Чтобы запомнить определение, учащиеся должны понимать его (закономерность 1). А понимание затрудняется из-за возникновения установки на полноту и точность запоминания до понимания формулировки в целом (закономерность 2).

В свою очередь, усвоения формулировки определения в целом и всеми учащимися можно добиться при решении задач. А чтобы сознательно решать задачи, учащиеся должны помнить определение.

Получается как бы замкнутый круг. Вырваться из него, применяя только раздельный метод, трудно. В подобных ситуациях целесообразно пользоваться другими методами.

3.3. Компактный метод. Рассмотрим метод, который целесообразно использовать в тех случаях, когда учащиеся затрудняются запоминать и применять определения, аксиомы, теоремы.

Сущность метода состоит в том, что учащиеся читают по частям математическое предложение и по ходу чтения одновременно выполняют упражнения. Читая формулировку несколь-

ко раз, они попутно запоминают ее. Нет надобности, следовательно, выделять специально время на запоминание, затрачивать на это усилия. По этой причине условимся называть метод компактным.

Практически осуществить одновременное протекание процессов запоминания математического предложения и формирования навыков его применения удается лучше всего в тех случаях, когда работа подразделяется на три шага.

Первый шаг. Подготовка к применению математического предложения. Определение разбивается на части по признакам, теорема — на отдельные условия и заключения. Если теорема или определение формулируются в виде правила, то последнее разбивается на отдельные указания.

Второй шаг. Образец действий, предлагаемый учителем. Он показывает, как работать с подготовленным текстом: читает его по частям и одновременно выполняет упражнения.

Третий шаг. Учащиеся читают по частям математическое предложение или правило и одновременно выполняют упражнения. При этом они руководствуются как подготовительным текстом, так и образцом, предложенным учителем.

На третьем шаге сочетается коллективная и самостоятельная работа. Последняя на первом и втором шагах подготавливается так, что каждый учащийся класса имеет возможность выполнять упражнения при минимальной помощи учителя или совсем без нее.

Пример 1. Рассмотрим изучение понятия биссектрисы угла в IV классе. Прежде всего методом целесообразных задач проводится работа по введению нового понятия. Учащимся предлагается вырезать из бумаги угол и перегибанием разделить его на два конгруэнтных угла. Сообщается, что полученную линию сгиба называют биссектрисой угла. Вместе с учителем учащиеся устанавливают признаки нового понятия. Далее приступают к работе компактным методом.

Первый шаг. Учитель выписывает определение, затем черточками отделяет в нем признаки и предлагает учащимся проделать то же самое. Текст приобретает такой вид:

«Луч, II выходящий из вершины угла || и делящий его на две равные части, || называется биссектрисой угла».

Второй шаг. Дается упражнение: «Указать, какие линии на чертежах (рис. 9) являются биссектрисами углов. Конгруэнтные углы обозначены одинаковым числом дуг». Учитель показывает, как с помощью полученного текста выполнять упражнение: читает вслух определение и, останавливаясь после каждой черточки, проверяет выполнимость прочитанного признака:

«Луч [проверяем: ВС (рис. 9, а) действительно является лучом]1, выходящий из вершины угла [проверяем: луч ВС выхо-

1 Здесь и в дальнейшем слова, вклиниваемые в математическое предложение или правило, взяты в квадратные скобки.

дит из вершины угла АВК] и делящий его на две равные части [проверяем: луч ВС делит угол АВК на два конгруэнтных угла АБС и СВК], называется биссектрисой угла [Так как все признаки выполнены, то [ВС) — биссектриса угла АВК.]».

«Луч [проверяем: МО (рис. 9,6) действительно является лучом], выходящий из вершины угла [проверяем: луч МО не выходит из вершины угла. Следовательно, луч МО не является биссектрисой угла]». ([РО) — биссектриса.)

Третий шаг. Вызываемые ученики продолжают выполнять упражнение. Класс следит за их работой. Роль учителя сводится к лаконичным замечаниям. Так, если ученик убедился в выполнении прочитанного признака и остановился, не зная, что делать дальше, учитель напоминает: «Продолжай читать!» Если ученик не останавливается после очередной черточки и пытается сразу читать следующий признак, учитель указывает: «Проверь!» Постепенно, запоминая определение, учащиеся уже не читают отдельные признаки, а стараются воспроизвести их на память. Учитель поощряет такой переход, но в случае затруднения, заминки незамедлительно требует: «Читай по учебнику!»

Далее наблюдается переход к свертыванию рассуждений. Внешне он проявляется в том, что при появлении очередного чертежа учащийся старается сразу высказать ответ, не формулируя определение, но по требованию учителя легко объясняет свою догадку ссылкой на определение. Если, например, при появлении очередного чертежа (рис. 9, д) ученик, не вспоминая определения, заявляет: «[OM) не биссектриса угла ВОК, так как не делит его на равные части»,— учитель одобряет такой ответ. Если же свой вывод учащийся затрудняется обосновать, возвращаются к компактному методу.

По внутренним признакам, как видно из примера, компактный метод характеризуется тем, что процессы запоминания определений, аксиом, теорем и формирования навыков их применения протекают одновременно. При этом формулировки могут сохраняться в памяти лучше, чем в том случае, когда учащиеся специально затрачивают время на их заучивание, как это имеет место, например, при раздельном методе. Здесь сказывается

влияние психологической закономерности, установленной А. А. Смирновым [23].

Закономерность 3 (Смирнова). В условиях активных способов работы, направленных на углубленное понимание материала, непроизвольное запоминание оказывается более прочным, нем произвольное, опирающееся на пассивные способы работы.

(Запоминание называется произвольным, если наши усилия, действия направляются намеренно поставленной задачей — запомнить данный материал. Когда такая задача не ставится и наша деятельность направлена на достижение совсем другой цели, говорят о непроизвольном запоминании.)

При работе компактным методом активная мыслительная деятельность учащихся направлена на углубленное понимание каждого слова формулировки. Значит, по закономерности Смирнова математическое предложение запоминается непроизвольно и особенно продуктивно.

Пример 2. Перед изучением некоторых правил учителя методом целесообразных задач готовят учащихся к тому, чтобы они могли самостоятельно выполнять каждое указание правила, каждое промежуточное преобразование при решении задач. Так, перед изучением квадрата двучлена учитель выписывает на доске одночлены: 1) (2а), 2) (—б2), 3) —т2п — и предлагает записать: 1) квадрат первого одночлена; 2) произведение второго на третий; 3) удвоенное произведение первого на второй и т. п.

Далее доказывается тождество (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 и приступают к работе компактным методом.

Первый шаг. Ученики выполняют упражнение: «Разделить правило черточками на отдельные указания»:

«Квадрат двучлена || равен сумме трех выражений: || квадрата первого члена, || удвоенного произведения первого члена на второй II и квадрата второго члена».

Расстановку черточек сверяют.

Второй шаг. Учитель дает образец выполнения упражнения с помощью подготовленного к работе правила.

Третий шаг. В соответствии с образцом, указанным учителем, вызванный ученик читает правило по учебнику и, останавливаясь после каждой черточки, выполняет соответствующую часть упражнения:

«Квадрат двучлена [учащийся убеждается, что дан именно квадрат двучлена (—х2 + 2ху)2у а не какое-то другое выражение] равен сумме трех выражений: квадрата первого члена [записывает: (—х2)2], удвоенного произведения первого члена на второй [выполняет это указание: + 2(—х2) • (2ху) ] и квадрата второго члена [записывает: (2ху)2 и упрощает полученное выражение: х*—4х3у + 4х2у2]».

Остальные учащиеся следят за его работой. Некоторые из них шепотом также читают правило в процессе решения примера. К концу урока почти все непроизвольно запоминают правило, а главное умеют его применять.

В некоторых случаях учитель рекомендует не читать каждый раз все правило, а выбирать только ту часть его, которая применяется в данный момент.

Пример 3. Первый шаг. Учащиеся выполняют задание: «Разделить правило черточками на отдельные указания»:

«Произведение двух отрицательных чисел || есть число положительное. II Чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули этих чисел. ||

Произведение двух чисел с разными знаками || есть число отрицательное. || Чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули этих чисел» [17, с. 66].

Второй шаг. Учитель дает образец ответа.

Третий шаг. Умножая (—1,4)-8, учащийся указывает, что здесь числа с разными знаками, выбирает вторую часть правила, а далее читает ее по частям и выполняет упражнение:

«Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное [ставит знак минус после знака равенства: (— 1, 4)-8=—]. Чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули этих чисел [перемножает и записывает результат: (-1,4)-8= —11,2]».

Приступая к следующему упражнению: (—11) «(—12), учащийся указывает, что здесь оба числа отрицательные, и далее выполняет упражнение, читая по частям только первую часть правила:

«Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное [ставит знак плюс после знака равенства: ( — 11)X X (—12) = +]. Чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули этих чисел [перемножает и записывает результат: (-11). (-12) = + 132]».

Пример 4. Обычно учащиеся IX классов легко запоминают и применяют к решению задач признак параллельности прямой и плоскости, но испытывают большие затруднения, когда приходится применять обратную теорему. (Запоминают формулировку и доказательство они сравнительно легко.) Следовательно, в данном случае для усвоения прямой теоремы уместно использовать раздельный метод, а для усвоения обратной теоремы — компактный метод.

Первый шаг. Условия и заключение обратной теоремы разделяются черточками:

«Если плоскость проходит через прямую, || параллельную другой плоскости, II и пересекает эту плоскость, || то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой».

Второй шаг. Учитель предлагает задачи и показывает образец решения одной из них, например 1а:

Рис. 10

1. Дано: КАВС— пирамида (рис.10), ОЕРМ — ее сечение, (АВ)ЦОМР). Доказать: а) (ЛЯ) H (MP); б) (АВ)ЦОЕ).

Третий шаг. Читая по частям теорему в учебнике, учащиеся по образцу, данному учителем, решают задачи, например 16:

«Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости [плоскость АВК проходит через прямую AB, параллельную плоскости сечения], и пересекает эту плоскость [они пересекаются по прямой ОЕ], то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. [(АВ)\\(ОЕ).]»

Обычно ученики довольно быстро (после 2—4 примеров) приучаются выделять в определении признаки понятия, в теореме— условия и заключения и в дальнейшем самостоятельно подготавливают определения и теоремы к применению. Еще быстрее они приучаются к самостоятельному разбиению правила на отдельные указания.

Следовательно, способ разбиения определения на отдельные признаки, правила — на отдельные указания и т. д., изученный на конкретных примерах, обладает переносом. Он усваивается учащимися как общий метод анализа математических предложений. По существу, школьники обучаются умению составлять для себя программу действий по применению определений, теорем и т. д. Причем внешний элемент этого умения — разбиение текста учебника черточками — в дальнейшем становится для них необязательным.

Как уже отмечено выше, при работе компактным методом учащиеся в соответствии с закономерностью Смирнова непроизвольно запоминают определения, аксиомы, теоремы, а также правила. Формулировки их запоминаются особенно прочно в результате положительного влияния еще и следующей психологической закономерности.

Закономерность 4. Запоминание путем разнообразного повторения, сводящегося к активной мыслительной деятельности, значительно более эффективно, чем запоминание путем однообразного и многократного повторения изучаемого материала [23, с. 338—341].

Из приведенных примеров видно, что, работая компактным, методом, учащиеся при повторных чтениях формулировки определения, теоремы и т. д. каждый раз решают новые задачи. Их мыслительная деятельность разнообразна и активна. Следовательно, по закономерности 4 такое повторение значительно эффективнее, чем в том случае, когда они стараются запомнить, формулировку путем неоднократного и однообразного чтения ее вне процесса решения задач.

3.4. Комбинация раздельного и компактного методов. Многие учителя применяют метод, который можно считать комбинацией раздельного и компактного методов.

Сущность этой комбинации. После вывода, например, нового правила оно повторяется 2—3 раза и, значит, запоминается отдельными учащимися до решения задач. (Здесь налицо элементы раздельного метода.) А далее учитель требует в процессе выполнения упражнений формулировать правило по частям так, как показано в приведенных выше примерах (см. § 3.3), но без учебника. (Здесь налицо элементы компактного метода.)

Для многих слабоуспевающих учащихся это требование оказывается непосильным. Они обычно решают задачи у доски молча. А когда учитель просит объяснить выполняемые действия, учащийся прерывает решение и произносит правило все сразу, если запомнил его, от начала и до конца. Затем он опять продолжает работать молча, не применяя правила.

Но основе психологического анализа можно выяснить причины этих затруднений и наметить меры по их устранению. Такой анализ рассматривается в приложении, а пока остановимся на экспериментах. Их может с пользой для себя повторно провести любой учитель.

Эксперимент 1. Его цель:

1) проверить, могут ли учащиеся применять неизвестные им ранее математические предложения или правила к задачам нового типа, если образец решения этих задач не дается;

2) выяснить, обладают ли они соответствующими умениями и навыками;

3) установить причины рассмотренных выше затруднений и наметить меры по их устранению.

Ход эксперимента. Учащимся IX—X классов в индивидуальном порядке предлагали выполнить упражнение нового для них типа с помощью ранее неизвестного им правила и без образца решения.

Хорошо успевающие учащиеся сначала внимательно прочитывали правило, а в процессе выполнения упражнения неоднократно переводили свой взгляд на листок с правилом. Некоторые из них, прочитав правило один раз, больше к нему не обращались, но листок с правилом просили не убирать. Они уверенней работали, когда он находился под рукой. Из последующих бесед выяснялось, что при первом чтении учащиеся мысленно расчленяли правило на отдельные указания. Здесь явно прослеживаются такие же действия, но в свернутой форме, что и при работе компактным методом на первом шаге.

Когда же учащиеся в процессе решения задач переводили свой взгляд на листок с правилом, они фактически выполняли в сокращенной форме такие же действия, что и при работе компактным методом на третьем шаге.

Слабоуспевающие учащиеся так работать не могли. Они решали задачи только после того, как им показывали образец решения, и действовали только по аналогии, не ориентируясь на правило.

Аналогичные результаты получались при рассмотрении определений и теорем.

Выводы из эксперимента.

1. Хорошо успевающие учащиеся старших классов обладают важными, необходимыми умениями и навыками:

а) они могут подготавливать новое математическое предложение или правило к применению, мысленно расчленяя его на отдельные логические части;

б) при решении задач они могут одновременно и просматривать эти части, и выполнять соответствующие операции.

2. Эти умения и навыки у хорошо успевающих учащихся формируются, вероятно, стихийно или под влиянием рассмотренной комбинации раздельного и компактного методов.

3. У многих слабоуспевающих учащихся эти умения и навыки отсутствуют. Последний факт можно объяснить следующими соображениями.

В рассматриваемой комбинации методов действия, соответствующие первому шагу компактного метода (разбиение математического предложения на логические части), не выступают в явном виде, а значит, ускользают от внимания многих учащихся. А действия, соответствующие третьему шагу компактного метода, как отмечено выше, оказываются для этих учащихся непосильными. Следовательно, у них не формируются соответствующие умения и навыки.

Гипотеза. Очевидно, эти умения и навыки можно формировать у всех учащихся без исключения и притом в сжатые сроки, если пользоваться компактным методом.

Эксперимент 2. Его цель: проверить высказанную гипотезу.

Ход эксперимента. Неоднократно использовать на уроках компактный метод, а затем проверить справедливость гипотезы.

Наблюдения на уроках показали, что даже учащиеся V— VI классов довольно быстро приучаются к работе компактным методом. И после этого они уже не затрудняются решать задачи нового типа с помощью правила, если образец решения не дается.

В этих классах иначе начинает проходить и работа при использовании рассмотренной комбинации методов. Учащихся уже не смущает требование учителя формулировать, например, правило по частям в процессе решения задачи. Тот, кто не успел запомнить правило, сам находит его, читает по частям и применяет к решению задач.

Итак, при использовании компактного метода у всех учащихся в сжатые сроки формируются умения и навыки, харак-

терные для старшеклассников. В дальнейшем при использовании комбинации раздельного и компактного методов устраняются указанные затруднения.

Замечается еще один положительный сдвиг. Если в классе пользуются только одним раздельным методом, то многие учащиеся не представляют себе, какие преобразования следует объяснять вслух (при работе у доски).

Так, выполняя упражнение

учащийся, вместо того чтобы сослаться на соответствующие теоремы, читает только то, что пишет: «Логарифм трех плюс одна вторая логарифма икс...». Ясно, что этим он ничего не объясняет, а только мешает классу работать.

Нередко учащиеся объясняют такие детали решения задач, которые давно всеми усвоены. Так, в IV классе при изучении умножения десятичных дробей учащийся умножает дробь 0,38 на 0,45 и громко объясняет: «Пятью восемь — сорок. Ноль пишем, четыре замечаем. Пятью три — пятнадцать...». Подобные объяснения были, вероятно, уместны в начальной школе, когда изучалось умножение многозначных чисел. А в данном случае они только отвлекают класс от самостоятельной работы.

При использовании компактного метода эти типичные недостатки постепенно исчезают. Учащиеся начинают объяснять только основные моменты решения задачи (они как раз и зафиксированы в теоремах, правилах и т. д.), а не второстепенные детали, касающиеся давно усвоенных вопросов.

3.5. Упражнения для усвоения понятий различными методами. В методической и учебной литературе мало упражнений, которые можно использовать для обеспечения усвоения понятий компактным методом или комбинацией его с раздельным методом. Рассмотрим, как составляются такие упражнения и какие методы целесообразно применять при их выполнении.

Пример. Возьмем определение параллелограмма. Выделим из него все признаки: 1) четырехугольник, 2) две стороны параллельны, 3) две другие — также параллельны1. Каждый признак в определении заменяем поочередно его отрицанием, и к измененному таким образом предложению составляется контрпример (см. рис. 11,6, в, д, ж). Эти контрпримеры чередуются с примерами, удовлетворяющими определению данного понятия. Причем внешний вид примеров (форма и расположение чертежа, буквенные обозначения и т. д.) все время изменяется. Остается сформулировать упражнения:

1 Мы можем дать другое определение параллелограмма, например: «Четырехугольник, две противоположные стороны которого конгруэнтны и параллельны, называется параллелограммом». В этом случае и признаки другие: 1) четырехугольник; 2) две противоположные стороны параллельны; 3) эти же стороны конгруэнтны.

№ 1. Какие фигуры на следующих чертежах (рис. 11) являются параллелограммами? Данные обозначены на чертежах1.

Выполняя это упражнение, учащиеся допускают следующие типичные ошибки. Доказав, что АВСК — параллелограмм (рис. 11,а), многие из них по аналогии заявляют, что и МКРО тоже параллелограмм (рис. 11,6). В этом случае полезно дать сразу еще один контрпример (рис. 12). Учащиеся отмечают, что при одних и тех же данных (рис. 11,6 и 12) фигуры могут быть различны. Только после этого они приходят к верному выводу, что МКРО (рис. 11,6) может быть, а может и не быть параллелограммом,— данных недостаточно.

Выполнение подобных упражнений помогает устранять плохую привычку учащихся: делать выводы исходя не из данных задачи, а из чертежа.

Приведем еще несколько упражнений, которые составляются так же, как № 1.

№ 2. Какие из следующих уравнений являются квадратными:

№ 3. Укажите высоты в следующих треугольниках (рис. 13). Данные обозначены на чертежах.

№ 4. Укажите проекции отрезков на прямые МК и ВС (рис. 14). Данные отмечены на чертежах.

Некоторые понятия целесообразно усваивать одновременно, группами, путем сравнения друг с другом, например:

№ 5. Сравнивая углы на глаз (рис. 15), укажите, какие из них являются острыми, прямыми, тупыми. Свой ответ проверяйте с помощью чертежного треугольника.

Упражнения № 1, 3, 4 лучше изучать компактным методом, поскольку определения соответствующих понятий учащиеся запоминают не сразу и в дальнейшем могут допускать ошибки.

1 Здесь и в дальнейшем конгруэнтные фигуры обозначаются одинаковыми знаками, прямые углы — квадратами.

Рис. 14

Упражнения № 2 (VII класс) и № 5 (IV класс) лучше изучать с помощью комбинации раздельного и компактного методов. При таком способе работы учащиеся в процессе выполнения упражнений не читают определения, ибо очень быстро запоминают их, но держат учебник в руках и в случае затруднения заглядывают в него, быстро отыскивая тот признак, на который им надо сослаться.

Так, выполняя упражнение № 5, они отвечают примерно следующим образом: «Угол ABC — прямой (рис. 15,о). Проверяем,— прикладывает чертежный треугольник.— Он, действительно, прямой. Угол M КО — тупой (рис. 15, е)у так как он больше прямого угла,— смотрит в учебник,— но меньше развернутого. Проверяем,— прикладывает чертежный треугольник.— Действительно, угол МКО — тупой».

Отдельные учащиеся, чтобы не ошибиться, стараются сначала приложить чертежный треугольник, а потом указать, какой это угол. Учитель требует чертежным треугольником только проверять свой ответ, так как важно научиться сравнивать величины углов на глаз.

Многие понятия (вертикальные углы, хорда, равнобедренный треугольник, степень с натуральным показателем и др.) лучше всего изучать раздельным методом, так как эти понятия легко усваиваются в процессе решения различных задач из последующих разделов и учащиеся быстро запоминают их определения.

При составлении упражнений для усвоения понятий полезно использовать сравнение. Так, выполняя следующие упражнения, учащиеся усваивают новое понятие гомотетии и одновременно повторяют понятия центральной и осевой симметрии.

№ 6. Точки В и В\ симметричны относительно центра О (рис. 16). Верно ли, что Bi = Höl (В)?

№ 7. Ai=SBo(A), (ВО)(](А1А)=0 (рис. 17). Почему Л,= = //о_1(Л)?

№ 8. АХ = Щ1{А), (ВО)±(АхА) (рис. 17). Почему точки А и А\ симметричны относительно прямой OB?

Для усвоения понятия гомотетии полезно также составлять легкие упражнения «на построение».

№ 9. Даны точки О и Л. Постройте точку Аи если А\ = =Н1 (А).

№ 10. Постройте центр гомотетии, если: а) Ах = Но (А) (рис. 18); б) Bx = Hôl(B); в) d = #S(C).

Рис. 16 Рис. 17 Рис. 18

Рис. 19 Рис. 20

Упражнение № 10в — контрпример.

Для усвоения понятий вектора, гомотетии, центральной и осевой симметрии полезно составлять упражнения на вычисление. Вместе с упражнениями на построение и на доказательство они позволяют разнообразить учебную работу.

№ 11. ОВ = КС\ \ОК\=4 см (рис. 19). Найти \ВС\.

№ 12. A{ = Hko (Л), |ОЛ I =2 см, 1| =3 см (рис. 20). Вычислить коэффициент гомотетии.

3.6. Алгоритмический метод. Этот метод используется для формирования навыков применения математических предложений. Его сущность.

Математическое предложение заменяется алгоритмом. Читая поочередно указания алгоритма, учащийся решает задачу. Таким образом у него формируется навык применения определения, аксиомы или теоремы.

В некоторых случаях ограничиваются этим навыком, в других— желательно, чтобы учащиеся запомнили еще и само математическое предложение. Запоминание достигается, например, последующим заучиванием его. А иногда по ходу выполнения упражнений учащиеся читают не только отдельные указания алгоритма, но и само математическое предложение. Таким образом происходит одновременное запоминание его. Очевидно, при этом пользуются фактически комбинацией алгоритмического и компактного методов.

Под алгоритмом понимают совокупность указаний о том, какие операции и в какой последовательности надо провести для решения любой задачи данного типа. В обучении жесткую совокупность указаний приходится часто ослаблять, включая указания, которые учащийся может выполнить только по догадке. Тогда термин «алгоритм» употреблять некорректно, лучше заменять его словами «список указаний». В педагогической литературе (см., например, [27]) в таких случаях пользуются также термином «алгоритмическое предписание».

Работа алгоритмическим методом, как и компактным, подразделяется на три шага.

Первый шаг. Подготовка к работе списка указаний. Иногда учащиеся подводятся к его самостоятельному составлению. А если он дается в готовом виде, то целесообразно разъяснить учащимся, на основе каких соображений он составлен.

Второй шаг. Образец ответа учителя. Он последовательно читает указания и одновременно решает задачу.

Третий шаг. Аналогичным образом работают учащиеся. Они читают указания и решают задачу. При этом они руководствуются как образцом ответа учителя, так и списком указаний.

Пример. Рассмотрим один из способов усвоения понятия предела последовательности. Так как это понятие усваивается с трудом, то целесообразно воспользоваться алгоритмическим методом или комбинацией его с компактным методом.

После того как это понятие введено (см. § 2.2), дается его определение.

Число а называется пределом последовательности (хп), если для любого положительного числа е найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство \хп — а\<е.

Далее приступают к работе алгоритмическим методом.

Первый шаг. Учащимся дается в готовом виде список указаний. В готовом, поскольку они не в состоянии составить его ни самостоятельно, ни с помощью учителя.

Чтобы доказать, что \imxn = af надо:

1. Задать произвольное число е>0.

2. Составить неравенство |л;п — а|<е. (1)

3. Решить его относительно п. Получим п>К.

4. Выбрать натуральное число N. Обычно берут N^[K], где [К] —целая часть числа К.

5. Доказать, что при n>N выполняется неравенство (1).

6. Сделать вывод на основе определения.

Учащимся говорится, что надо научиться применять данное определение к решению задач. Для этого на первых порах можно пользоваться списком указаний. Разъясняется, что он полностью соответствует определению. Этот факт лучше всего продемонстрировать, показав, например, с помощью кодоскопа определение, записанное в такой форме, где в каждой строчке справа помещен соответствующий номер указания по данному списку:

Число а называется пределом последовательности (*п), (6)

если для любого положительного числа е......(1)

найдется такое натуральное число Л/, .... (2), (3), (4) что при всех n>N выполняется неравенство \хп — а\<е ... (5)

Учитель подчеркивает, что в определении сказано: «...найдется такое натуральное число N», но не разъясняется, как его найти. В указаниях 2, 3 и 4 показывается один из способов нахождения числа N.

Далее предлагается задача: «Доказать, что "m( 1 + —— ) = 1». Последовательность берется та же самая, что и при введении понятия (см. § 2.2). Подчеркивается, что раньше с помощью числовой прямой мы не могли доказать, что lim (14-

+ -—— \ = 1, а теперь на основе определения можем это сделать.

Второй шаг. Учитель показывает образец решения задачи. Он последовательно читает указания по списку и выполняет их. Запись решения приобретает такой вид:

(1) (2)

5. Так как *V= —j и (2) (1), то при n>N выполняется неравенство (1).

6. По определению

Закончив решение, учитель подчеркивает, что за N можно было взять любое число, большее |—j , например N = — +4.

В п. 6 приведенного решения можно не просто ссылаться на определение. Для лучшего понимания и запоминания его устно читают по частям, как при компактном методе, и в процессе чтения ссылаются на отдельные пункты решения:

«Число а называется пределом последовательности (хп)> если для любого положительного числа е [в п. 1 мы задали произвольное е>0] найдется такое натуральное N [мы нашли такое число N = [~~~] ]' что при всех выполняется неравенство \хп — а\<г [мы доказали в п. 5, что при n>N выполняется неравенство (1). Так как все условия выполнены, то по определению lim/1 4- = 1]».

При таком устном объяснении б-го пункта решения задачи используется, очевидно, комбинация алгоритмического и компактного методов.

Третий шаг. Аналогичным образом работают учащиеся. Руководствуясь списком указаний и образцом ответа учителя, они самостоятельно или при минимальной помощи учителя решают задачи: «Доказать, что lim- =5, lim- =1,5 и т. д.».

Так как в дальнейшем задачи решаются на основе теорем о пределах, то достаточно научить учащихся применять определение в простейших случаях. Если же учитель находит нужным рассмотреть более сложные примеры, то после решения нескольких простейших задач сообщает учащимся дополнитель-

ное указание. К нему учащиеся подводятся в процессе решения задачи:

«Доказать, что lim =0». Доказательство.

(1)

(2)

Учитель объясняет, что в соответствии с определением необязательно решать неравенство путем эквивалентных преобразований. Его можно заменить любым более простым, хотя бы и неравносильным ему неравенством, но таким, чтобы из него следовало (1).

Имеем: J-L ^ —.

Следовательно, если при некотором значении п выполняется неравенство —<е, то и подавно выполняется неравенство (2). Поэтому вместо неравенства (2) можно решать, например, следующее:

— <е, (3)

П> — . (4)

4. Пусть jV= J-J-j.

5. Так как ^=[7-] и (4) <=> (3) => (2) <=^(1), то при n>N выполняется неравенство (1).

6. По определению предела lim^-^-=0.

Подводя итог решения задачи, формулируем:

«Дополнительное указание. Неравенство \хп — а\<г можно заменить любым более простым и неравносильным ему неравенством, но таким, из которого оно следует».

Это дополнительное указание можно было бы ввести в список при решении самых первых задач. Но тогда перед учащимися сразу возникает много трудностей.

Примечание. Приведенный список указаний некорректно считать алгоритмом. Во-первых, руководствуясь им, учащийся может и не решить любую задачу данного типа. Во-вторых, если даже объединить этот список с дополнительным указани-

ем, то все равно при выполнении отдельных указании от учащегося требуется догадка.

После введения дополнительного указания учащиеся на основе его и списка указаний решают еще одну или несколько задач. Приведем пример:

«Доказать, что

Доказательство.

(1)

(2)

Пользуясь дополнительным указанием, упрощаем неравенство (2). Так как--< — , то вместо (2) решаем неравенство (3):

(3)

4. Пусть

5. При n>N выполняется неравенство (3), а значит, и подавно выполняется (2), которое равносильно (1). Итак, при n>N верно неравенство (1).

6. По определению предела lim-—— = — 1,

При использовании алгоритмического метода важное значение имеет сочетание образца ответа учителя (второй шаг) со списком указаний.

Без списка указаний учащиеся не запоминают отдельные рекомендации из объяснений учителя, не запоминают последовательность решения задачи и пр. Поэтому, приступая к самостоятельному решению задач, они оказываются часто совершенно беспомощными.

С другой стороны, если учащимся предлагается список указаний без образца ответа учителя, то этот список приходится составлять чрезмерно громоздким. Сравним, например, рассмотренный выше список указаний со следующим, который приводит С. И. Шапиро [27, с. 259] (см. таблицу на с. 38).

С кратким списком указаний учащиеся работают значительно охотнее. Он является для них как бы канвой, схемой, своеобразным стимулом, помогающим восстанавливать в памяти

только что прослушанные, но еще хорошо не запомнившиеся рассуждения учителя.

Работа с кратким списком указаний, с одной стороны, позволяет учащимся придерживаться той последовательности рассуждений при решении задач, какую показал учитель. С другой стороны, чтение кратких указаний не отвлекает внимание учащихся от хода решения задачи. Кроме того, краткие указания легко запоминаются, и уже после решения одной-двух задач учащиеся перестают читать их, ограничиваясь беглым взглядом на эти указания.

Объем списка указаний сокращается также, если отказаться от требования охватить все задачи данного типа, как это сделано выше. Список указаний предназначен для формирования у учащихся первоначальных навыков. Научившись решать простейшие задачи данного типа, учащиеся с помощью дополнительных указаний, сообщаемых в дальнейшем, свободно переходят к более сложным задачам.

Из трех рассмотренных в данном параграфе методов при усвоении определений, аксиом, теорем чаще всего используются раздельный и компактный, значительно реже — алгоритмический. Последний целесообразен, например, при изучении таких трудноусваиваемых понятий, как предел последовательности, предел функции, необходимые и достаточные условия и пр. Но зато алгоритмический метод шире применяется для формирования навыков решения задач определенного типа.

В заключение этого параграфа отметим одно из положительных явлений, наблюдаемых в классах, где начинают использовать компактный и алгоритмический методы.

Одни учащиеся класса с одного раза запоминают рекомендацию учителя, относящуюся к решению того или иного типа задач, другим, менее внимательным и способным одно и то же указание надо повторять много раз. Если учитель ориентируется на первых, то для вторых его рекомендации нередко пропадают бесполезно, поскольку не запоминаются ими и не учитываются в дальнейшем. Если же указания повторяются в классе многократно, то способным и внимательным учащимся работать становится неинтересно.

Компактный и алгоритмический методы как раз и позволяют учитывать индивидуальные особенности учащихся, дифференцировать работу в классе.

Всем учащимся одновременно показывают, как применяются к решению задач определения, теоремы, списки указаний и т. д. А пользуются ими одни меньше времени, другие дольше, каждый по своим способностям. Уменьшается списывание с доски, ибо учащиеся чувствуют себя уверенней, повышается, следовательно, степень их самостоятельности в работе.

3.7. Об исследованиях, относящихся к методам усвоения математических предложений. Психологи П. Я. Гальперин, Н. Ф. Та-

Таблица1

Указания (указания выполняются в порядке их записи)

Символическое обозначение

Пояснения на примерах

1. Взять произвольное сколь угодно малое положительное число.

2. Составить разность между общим членом последовательности и предполагаемым пределом.

3. По возможности упростить разность.

4. Взять абсолютное значение разности.

5. Допустить, что \ап—а\ меньше е.

6. Если можно, решить полученное неравенство относительно п.

7. В противном случае «усилить» неравенство, чтобы оно стало разрешимым относительно п. Это значит получить неравенство, из которого следует данное (но которое, возможно, не следует из данного),

8. Если при решении неравенства оказывается, что п больше некоторой величины (зависящей от е), то а — предел последовательности.

9. В этом случае найти целую часть числа f(e) и обозначить ее N (при n>N выполняется \ап-а\ <е).

10. Если условие указания 8 не выполнено, то а не является пределом последовательности.

1 Таблица выписана из книги [27, с. 259].

лызина [3], [4], [24], [25] разработали теорию поэтапного формирования умственных действий, относящуюся к алгоритмическому и частично к компактному методам. В своих экспериментах они установили [3], что алгоритмический метод приводит к очень хорошим результатам в индивидуальных занятиях даже с такими слабоуспевающими учащимися, которых в школе считают безнадежными. Оказывается, что эти, так называемые безнадежные учащиеся, работая алгоритмическим методом, буквально оживают. Они легко выполняют указания алгоритма, записанные психологами на специальных карточках, свободно усваивают понятия, которые перед этим не могли усвоить на уроках математики. У них возникает уверенность в своих силах, появляется интерес к занятиям. Они приучаются к самостоятельной работе. Все это желательно иметь в виду учителю, так как в каждом классе имеются слабоуспевающие учащиеся, для которых подобные занятия могут привести к успехам.

Алгоритмический метод использовался в обучении математике задолго до его описания в психолого-педагогической литературе. Так, в учебниках по математическому анализу H. Н. Лузина, а еще ранее В. Грэнвиля многие определения и теоремы формулировались в виде «рабочих правил». Эти алгоритмы сопровождались образцами их применения к решению задач и рекомендациями поступать в дальнейшем аналогично. Следовательно, здесь в явном виде прослеживаются все три шага алгоритмического метода: I — дается список указаний, II — приводится образец его применения, III — рекомендуется пользоваться им в дальнейшем в соответствии с приведенным образцом.

Компактный метод разработан автором данной книги (см. [7], [8]). Еще раньше отдельные элементы этого метода упоминались в статье В. А. Уметского [26]. Выше (см. 3.4) описывалась комбинация компактного и раздельного методов, кото-рая используется ныне многими учителями и, очевидно, уже давно.

Все это подтверждает тот факт, что любые новые методы, как правило, базируются на предшествующем педагогическом опыте.

Классификация методов усвоения математических предложений проведена автором [8]. Эти методы имеют определенное сходство. Так, в первом шаге компактного метода учащиеся, подготавливая математическое предложение к применению, фактически составляют для себя в неявном виде алгоритмы. Эти два метода сходны и по внешним, организационным признакам (три шага). В то же время между ними имеются существенные различия — все три метода предназначены для усвоения математических предложений на различном уровне развития учащихся с учетом содержания материала.

Алгоритмический метод применяется на самом низком уровне математического развития учащихся, компактный — несколько позже, раздельный — на еще более высоком уровне их развития. При этом в первую очередь учитывается также содержание материала, степень трудности его усвоения учащимися. Когда используется раздельный метод, то учащиеся должны уже уметь составлять для себя алгоритмы по применению математического предложения и уметь использовать его при решении задач. Компактный метод позволяет в сжатые сроки формировать такие умения у всех учащихся.

§ 4. ЗАКРЕПЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ

В школьной практике распространены два приема закрепления математических предложений.

Первый прием. Учитель предлагает сформулировать и применить те или иные определения, аксиомы, теоремы, встречающиеся по ходу решения задач.

Пример. Построить график функции f(x) = л'3—Зх.

По ходу решения задачи учащиеся формулируют определение нечетной функции и устанавливают, что данная функция — нечетная. Далее они вспоминают свойство графика нечетной функции. На основе этого делается вывод, что исследование достаточно проводить на интервале [0, +сю[.

После таких рассуждений работа сокращается примерно на одну треть: из двух критических точек (—1 и +1) учащиеся исследуют на экстремум только одну (-Н), составляют не таблицу 1, как это рекомендуют в некоторых пособиях, а таблицу 2.

Таблица 1

Таблица 2

Далее они строят график функции на интервале [0; +оо[ и, отображая его симметрично относительно начала координат, заканчивают решение (рис. 21).

Таким образом, формулировки определения нечетной функции и свойства ее графика увязываются с конкретной задачей и помогают рационализировать ее решение.

Рис. 21

Второй прием. Учитель предлагает сформулировать ряд определений, теорем, аксиом во время фронтального опроса, с тем чтобы повторить их и заодно проверить, помнят ли их учащиеся.

Очевидно, первый прием весьма удачный. И останавливаться на нем подробнее не стоит только потому, что он широко известен и применяется многими учителями.

А вот второй прием очень и очень часто приводит к бесцельной трате времени. Выше (§ 3.2) приводился пример, когда в течение нескольких уроков подряд определение параллелограмма повторялось в общей сложности 30—40 раз, а учащиеся не запоминали и не понимали его. Подобных примеров можно привести сколько угодно.

Многократное повторение формулировок вне процесса решения задач неэффективно. Действительно, такое повторение однообразно и потому непродуктивно по психологической закономерности 4 (см. с. 25). При такой методике у школьников возникает тенденция к механическому запоминанию. Они по опыту знают, что учитель будет спрашивать знание формулировки, а поэтому стараются запомнить ее даже в том случае, если она плохо понята. А преждевременная установка на запоминание формулировки до того, как она понята в целом, затрудняет понимание по закономерности 2 (см. с. 19). Следова-тельно, фронтальный опрос в таком виде неэффективен.

Второй прием приводит к хорошим результатам лишь в тех случаях, когда свои ответы учащиеся сопровождают соответствующими примерами и контрпримерами. Например, формулируя определение арифметического корня, учащийся объясняет, почему У4 является, а (—У4) не является арифметическим корнем.

Еще лучшие результаты получаются, когда во время фронтального опроса применяются специальные упражнения, которые требуют от учащихся умения применять определения, теоремы, аксиомы в различных ситуациях, умения быстро ориентироваться в условии задачи. Это гораздо полезнее простого воспроизведения формулировок.

Вместо любого вопроса вида «Что называется...?» или «Сформулируйте такую-то теорему, аксиому» нетрудно составить соответствующее упражнение.

Пример. Вместо вопросов «Что называется ромбом, прямоугольником и т. д.?», «Перечислите признаки ромба, прямоугольника и т. д.» предлагается упражнение:

№ 1. Какие фигуры изображены на следующих чертежах (рис. 22)? Данные обозначены на чертежах.

Характерной особенностью таких упражнений является чередование примеров и контрпримеров. Так, по данным задачи № 1 учащиеся выясняют, почему АМРО — ромб (рис. 22,6), а относительно четырехугольника АМВК (рис. 22, а) можно лишь утверждать, что это параллелограмм, хотя он похож на ромб; почему АОЕС — ромб (рис. 22, d), а ВКТМ (рис. 22, е) — квадрат, хотя, основываясь на расположении этих фигур, некоторые учащиеся высказывают противоположные мнения.

Выполняя подобные упражнения, учащиеся и вспоминают соответствующие определения, теоремы, аксиомы, и применяют их. Такая активная мыслительная деятельность приводит к эффективному непроизвольному запоминанию формулировок (закономерность Смирнова, с. 23). Кроме того, формулировки повторяются в процессе выполнения различных упражнений. А разнообразное повторение приводит к продуктивному запоминанию (закономерность 4, с. 25). А главное, упражнения вида № 1 обычно выполняются с гораздо большим интересом, чем простое воспроизведение формулировок.

И еще одна немаловажная деталь для учителя. Если учащийся доказал, что HT РЕ — прямоугольник (рис. 22, в), ему вполне можно поставить оценку. А вот за воспроизведение вне решения задачи формулировок соответствующих признаков параллелограмма и прямоугольника оценку не поставишь. И получается, что за 5—6 минут фронтального опроса учитель ставит несколько оценок.

Наконец, упражнения типа № 1 выполняют еще одну функцию. Они очень быстро готовят учащихся к пониманию и самостоятельному решению таких задач, для которых эти упражнения являются элементами.

Пример. Вместо того чтобы задавать вопросы «Какими свойствами обладают диагонали параллелограмма, диагонали ромба, средняя линия трапеции и т. д.?», предлагается упражнение:

№ 2. Перечислите свойства, которыми обладают отрезки AB и CK (рис. 23). Данные обозначены на чертежах.

Здесь опять имеется несколько контрпримеров. Если учащиеся еще не избавлены от вредной привычки исходить не из данных задачи, а из формы и расположения чертежа, то они

Рис. 23

считают фигуры II, III и IV (рис. 23) квадратами. Их ошибки тут же с особым, повышенным интересом анализируют остальные учащиеся. Они доказывают, что фигура II — квадрат, III — ромб, IV — параллелограмм, и перечисляют соответствующие свойства диагоналей.

Пример. Вместо того чтобы задавать вопросы «Какие линии являются осями симметрии ромба, квадрата, равностороннего треугольника и т. д.?», «Имеются ли у них центры симметрии?», гораздо полезнее дать такое упражнение:

№ 3. Назовите оси и центры симметрии следующих фигур (рис. 24). Данные обозначены на чертежах.

Здесь также есть контрпримеры.

Заметим, что в тех классах, где контрпримеры начинают использовать систематически, они воспринимаются учащимися как своеобразная игра, в которой побеждают более внимательные и смекалистые. И именно это вызывает у учащихся исключительный интерес и повышенное внимание. И если один учащийся ошибся при решении контрпримера, а хотя бы несколько человек понимают сущность ошибки, то в классе наступает особый накал: возникает и быстро прекращается смех, живо поднимаются руки, каждый спешит сообщить о своей догадке, внимание заостряется.

Пример. Вместо вопросов, требующих сформулировать то или иное свойство неравенств, предлагаем упражнение:

№ 4. Объясните, какие из следующих пар неравенств неравносильны:

а) Зх>4 и -6jc>-8; в) *У£<Зу7 и *<3;

б) 6x<18 и х<3; г) xix>3ix и х>3.

Пример. Свойства логарифмической функции учащиеся формулируют и продуктивно запоминают в процессе выполнения такого упражнения:

Рис. 26

Рис. 27

Рис. 28

№ 5. Какие из следующих графиков (рис. 25) не могут быть (и по какой причине) графиками функции y = \ogax, если:

1) а>1, 2) 0<а<1?

Подобные упражнения позволяют и повторить формулировки свойств функции, и обратить внимание учащихся на характерные особенности расположения ее графика. Их можно предлагать при изучении квадратной, логарифмической, показательной и других функций, например:

№ 6. Какие из следующих графиков (рис. 26) не могут быть (и по какой причине) графиками функции у=ах2, если: 1) а>0,

2) а<0?

Приведем еще несколько упражнений, для которых характерно чередование примеров и контрпримеров.

№ 7. Какие пары фигур на рисунке 27 не являются гомотетичными? Для остальных фигур указать возможное расположение центра гомотетии.

№ 8. Выразить вектор КМ через векторы а и b (рис. 28). Данные обозначены на чертежах.

№ 9. Вычислить площади следующих четырехугольников (рис. 29). Данные обозначены на чертежах.

В § 3.1 отмечалась типичная ошибка учащихся, заключающаяся в том, что прямые теоремы они применяют вместо обратных. Для устранения таких ошибок хорошую пользу приносят чертежи-дублеры.

Сначала учащимся предлагается чертеж-контрпример. Они допускают ошибку. Вслед за тем дается сразу другой чертеж, из которого учащиеся наглядно видят, что тем же данным удовлетворяет другая фигура. Сопоставление таких чертежей-дублеров (иногда их дают по три) позволяет учащимся без подробных объяснений учителя проанализировать допущенную ошибку.

Приведем пример.

№ 10. Треугольники АЕК и ABC с общим углом А подобны. Будут ли параллельны прямые КЕ и ВС (рис. 30)?

Учащиеся отвечают утвердительно, ссылаясь на прямую теорему о том, что прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, гомотетичный данному.

Тогда учитель показывает другой чертеж и спрашивает, а не могут ли треугольники при тех же данных располагаться

Рис. 30

Рис. 31

так, как на рисунке 31, а. Многие учащиеся заявляют, что последний чертеж (рис. 31, а) не соответствует данному условию.

И только когда появляется третий чертеж (рис. 31,6), учащиеся воочию убеждаются в своей ошибке и свободно анализируют ее.

Встречаясь с примерами и контрпримерами в упражнениях вида № 1 —10, учащиеся легко привыкают к следующему приему обучения. Как только кто-либо в классе допускает ошибку в формулировке определения, теоремы, аксиомы, учитель предлагает всем придумать и записать в тетради соответствующий контрпример. Некоторые из этих контрпримеров тут же показываются классу, и учащиеся, допустившие ошибку, сразу исправляют ее. Примеры:

1) «Угол, образованный двумя хордами, называется вписанным», «Хорда — это прямая, соединяющая две точки окружности».

Учащиеся быстро строят контрпримеры, демонстрирующие ошибочность этих формулировок (рис. 32).

2) «Функция / называется периодической, если для нее существует такое число Г, что при любом х из области определения функции числа х—Т и х+Т также принадлежат этой области и выполняется равенство: f(x— Т) =f(x) =f(x + T)».

Обычно некорректность этой формулировки замечают далеко не все учащиеся. Но как только кто-нибудь из них показывает контрпример lg (х—0) = lg* = lg (*-f0), все сразу догадываются, что надо указать: ТфО.

3) Учащийся сформулировал: «Если две прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны». Классу предлагается показать на модели, что это утверждение неверно.

§ 5. ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПОДГОТОВКИ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ УПРАЖНЕНИЙ ДЛЯ УСВОЕНИЯ И ЗАКРЕПЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ

При изучении аксиом, определений, теорем учителю приходится заранее подготавливать много чертежей и примеров (см. упражнения в § 3.5 и в § 4). Возникает проблема, как упростить, облегчить и ускорить их подготовку к уроку и как организовать работу с этим материалом на самом уроке. Если эта проблема не решена, то учитель не имеет реальной возможности использовать рассмотренные методы и приемы.

Большую помощь здесь оказывает кодоскоп. Наряду с ним

Рис. 33

многие учителя, например, г. Таганрога пользуются специальной дощечкой (рис. 33), на которую прикрепляются листы с задачами. Изготовление, хранение листов с задачами и работа с ними на уроке не сложнее, а иногда и проще, чем подготовка и применение кодопозитивов. Эти два средства (кодоскоп и дощечка) позволяют разнообразить работу.

В дощечку вбиты два тонких гвоздя. На их остро заточенные концы (а) с лицевой стороны дощечки накалывается стопка листов с задачами (б). Чтобы не поранить руку, на эти гвозди при переносе дощечки накалываются кусочки канцелярской резинки.

В нужный момент урока дощечка вынимается из портфеля и вывешивается. После решения задачи, помещенной на верхнем листе, он снимается, и перед глазами учащихся открывается новая задача. Взгляды всех учащихся направлены на появившуюся задачу, каждый спешит рассмотреть и решить ее. Затем снимается следующий лист и т. д.

Обостренное внимание в момент появления очередного листа объясняется установленным в психологии положением:

Непроизвольное внимание возникает и поддерживается под влиянием следующих причин: 1) относительной новизны раздражителей (их необычного сочетания); 2) контраста между раздражителями; 3) ожидания определенных впечатлений и т.д. [20, с. 193—195].

Все эти факторы имеют место, когда листы с чертежами и примерами даются не все сразу, а открываются один за другим. Поэтому на уроках и наблюдается обостренность внимания учащихся в момент появления очередного листа.

Такого же эффекта достигают и при работе с кодоскопом.

Листы свободно накалываются и снимаются с гвоздей. Небольшие отверстия, остающиеся при этом, незаметны и не мешают использовать листы с задачами по многу раз. Хранят листы в папках по темам. Это позволяет быстро находить их при повторном использовании.

Размеры дощечки в миллиметрах указаны на рисунке 33. Задачи записываются на двойных листах из ученической тетради. Иногда используют листы чуть большего формата.

Чертежи, условия задач записываются фломастерами. Толщина линий и букв должна быть не менее 3—5 мм, иначе они плохо видны отдельным учащимся.

Глава II

ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРЕМ

§ 6. ВВЕДЕНИЕ ТЕОРЕМ

При введении теоремы учащиеся подготавливаются к пониманию: 1) ее доказательства; 2) ее формулировки или иногда к самостоятельному «открытию» теоремы. Второй из этих вопросов рассмотрен в § 2.3, остановимся на первом.

Нередко учащиеся не воспринимают новую теорему потому, что не понимают отдельные логические части ее доказательства. В таких случаях прибегают к методу целесообразных задач.

Тщательно просматривая доказательство теоремы, учитель выделяет те моменты, которые могут оказаться непонятными учащимся. Их нетрудно заранее предусмотреть, поскольку они обычно связаны с материалом, ранее плохо усвоенным или забытым учащимися. Эти логические части являются основой для составления подготовительных задач. Решая их, учащиеся подготавливаются к пониманию доказательства теоремы.

Пример. Допустим, на уроке будет изучаться теорема: «В описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны между собой». Просматриваем ее доказательство, приведенное в учебном пособии для учащихся «Геометрия-6—8» [5, с. 311]:

«Пусть стороны четырехугольника ABCD касаются окружности (О, г) соответственно в точках М, Р, Q, N (рис. 34). Тогда по свойству касательных, проведенных из одной точки (п. 30), имеем:

\AM\-\AN\\ \ВМ\-\ВР\\ \CQ\ = \CP\; \DQ\-\DN\.

Сложив эти равенства почленно, получим:

\AB\ + \DC\ = \AD\ + \BC\».

Нетрудно заметить, что учащиеся могут не понять, почему |/4AJ| = |/4iV|. |ßAl| = jßP| и т. д. Действительно, теорему о конгруэнтности отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, учащиеся могут совсем не знать или забыть ее, поскольку в учебном пособии [5, п. 30] она не выделена, а мельком упоминается в тексте и редко используется в последующих задачах. То же самое наблюдалось при работе

Рис. 34

Рис. 35

Рис. 36

по прежним пособиям «Геометрия-7» и «Геометрия-8» тех же авторов. Отсюда ясно, что учащимся желательно дать подготовительные задачи по готовым чертежам, например, такие:

№ 1. Прямая AB касается окружности (О, г) в точке В (рис. 35). Вычислить величину угла АБО.

№ 2. Прямые AB и АС касаются окружности в точках В и С (рис. 36). Доказать, что [АВ]^[АС].

Решив эти задачи, учащиеся быстрее и легче усваивают теорему, а иногда и доказывают ее самостоятельно.

Пример. При доказательстве следствия об объеме наклонной призмы в учебном пособии «Геометрия-9—10» [6, с. 139] учащимся предлагается самостоятельно доказать, что угол между боковым ребром призмы и ее высотой равен углу между плоскостями основания и перпендикулярного сечения (рис.37). Для учащихся трудно не только доказать это самостоятельно, но и понять объяснения учителя, так как многие из них к данному моменту не помнят, что по определению угол между двумя прямыми (двумя плоскостями) острый. Целесообразно в таком случае дать одну-две подготовительные задачи по готовым чертежам, например:

№ 1. По данным, указанным на рисунке 38, найти ВОС и угол между прямыми OB и ОС.

№ 2. Угол между плоскостями а и ß равен ф (рис. 39). (OA) J_a, Л^сс, (OB) _Lß, £eß. Найти угол между прямыми OA и OB.

Рис. 37

Рис. 38

Рис. 39

Рис. 40 Рис. 41 Рис. 42

Пример. При доказательстве теоремы о симметричности графиков взаимно-обратных функций учащихся затрудняет доказательство того, что точки M (а, Ь) и Р(6, а) симметричны относительно прямой у=х. Поэтому целесообразно решить в классе следующие подготовительные задачи:

№ 1. Точки Г и С симметричны относительно прямой OB (рис. 40), |СГ|=3 см, (CT)Ç)(OB)=K. Найти \СК\ и СКВ.

№ 2. Доказать, что точки M (а, 0) и Р(0, а) симметричны относительно прямой у = х (рис. 41).

№ 3. Доказать, что точки M (а, Ь) и Е(Ь, а) симметричны относительно прямой у = х (рис. 42).

Для ускорения работы эти задачи даются по готовым чертежам и с дополнительными построениями. Решив задачу № 1, учащиеся вспоминают определение симметричных точек относительно оси. Задача № 2 помогает им самостоятельно решить задачу № 3. В более подготовленных классах можно ограничиться только одной задачей № 3.

Для подготовки учащихся к восприятию доказательства теоремы многие учителя пользуются приемом двукратного доказательства. Сначала они дают только идею, план доказательства теоремы, излагают его фрагментарно с использованием наглядных образов и без строгих обоснований либо проводят его на частном примере. После этого учитель излагает доказательство, рекомендуя запомнить его.

В такой ситуации, когда учащимся известна идея доказательства, т. е. материал они поняли в целом, установка на запоминание этого материала способствует его лучшему пониманию (см. закономерность 2, с. 19). Если же ознакомление с идеей, планом доказательства некоторых теорем опускается или оно не проводится предварительно для частного случая,то учащиеся понимают его с трудом. Причина? Обосновывая каждый шаг доказательства, учитель фиксирует внимание учащихся на деталях. А попытки запомнить детали до ясного понимания идеи доказательства в целом затрудняют понимание (см. ту же закономерность 2).

Отсюда ясно, что, чем более трудным и громоздким является доказательство теоремы, тем целесообразнее предвари-

тельно ознакомить учащихся с идеей, планом этого доказательства либо рассмотреть его сначала в частном случае.

Пример. Теорема «Если а>0, р и q — любые рациональные числа, то аР-ач = а.р+<!» в учебном пособии «Алгебра-8» [2, с. 123—124] доказывается сначала для частного случая (при р= —, 9= — ). В результате учащиеся усваивают идею доказательства. После этого по указанной закономерности 2 облегчается понимание доказательства теоремы в общем случае.

§ 7. ПРИЕМЫ ОРГАНИЗАЦИИ КОЛЛЕКТИВНОЙ РАБОТЫ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ И ИЗУЧЕНИИ ТЕОРЕМ

Сущность первого из этих приемов. Вызывается учащийся. Он записывает на доске условие задачи полностью или в виде краткой схемы, оформляет рисунок, чертеж и т. д. И этот же учащийся находится у доски на протяжении всего процесса решения задачи. Он и высказывает идею решения, и записывает решение, и обосновывает его.

Этот прием имеет ряд существенных недостатков.

1. В классе возникает неудачная психологическая ситуация, когда многие учащиеся имеют возможность работать пассивно и, более того, некоторые из них вынуждены списывать с доски. Такая неудачная ситуация является следствием двух причин.

Учащиеся уверены, что задачу от начала и до конца будет решать вызванный к доске учащийся и что в случае его затруднения с места будут спрашивать только желающих. И это чувство уверенности каждый раз действительно подкрепляется, так как в сложившейся ситуации учитель практически не может поступить иначе.

Вызванный к доске учащийся часто начинает решение без предварительного его обсуждения, когда и сам он, и класс еще не уяснили до конца идею решения. Ясно, что слабоуспевающие учащиеся в таких случаях вынуждены списывать с доски.

2. Ход урока ставится в зависимость от вызванного к доске учащегося. Если он решает задачу уверенно, все идет как будто гладко. В противном случае затягивается время, учитель начинает нервничать, в классе возникает шум и т. д. По этой причине учителя стараются вызывать к доске для решения задачи лучших учащихся класса.

3. Поскольку ход урока во многом зависит от вызванного к доске учащегося, внимание учителя в основном приковано к этому ученику. Учитель меньше работает с классом.

Для устранения перечисленных недостатков некоторые учителя пользуются другим приемом. Его сущность: задача разбивается на отдельные задания: 1) усвоение условия; 2) обдумы-

вание идеи решения; 3) коллективное обсуждение идеи решения; 4) оформление решения. Эти задания у доски выполняют не один, а поочередно несколько учащихся.

1) Усвоение условия задачи. Один из учащихся (иногда сам учитель) записывает на доске кратко условие задачи, анализирует его и т. д. Например, когда дается геометрическая задача, он выполняет чертеж, записывает, что дано и что требуется доказать, и т. д. Затем вызванный учащийся садится на место. Ему ставится за это задание оценка в тех случаях, когда оно представляет определенные трудности для класса, как, например, при решении некоторых геометрических задач в VI— VII классах.

2) Классу дается задание: наметить, продумать идею решения задачи. Выдерживается пауза достаточной длительности от 1—2 минут и более. Во время этой паузы учащимся рекомендуется делать наброски решения на черновике, разрешается советоваться с товарищем по парте. Записывать решение в тетради в это время учитель не разрешает, так как решение может оказаться нерациональным или неверным.

Так как каждый учащийся ожидает вызова, то во время паузы он не может думать ни о чем другом, кроме как о задаче. Тем самым в классе создается удачная психологическая ситуация, которая заставляет активно работать каждого. Конечно, не каждый ученик находит способ решения задачи, но все думают над ней.

Во время паузы обычно наступает либо напряженная тишина, либо рабочий шум. Чтобы не мешать работе класса, учитель беседует с отдельными учащимися только шепотом или вполголоса: отвечает на вопросы, выслушивает предложения, помогает и т. д.

3) Классу предлагается обсудить идею решения задачи. Иногда рассматривают несколько способов решения, выбирают из них наиболее рациональный. Обсуждение часто выливается в горячую дискуссию, что способствует повышению интереса к предмету. Учитель постепенно приучает высказывать идею решения в виде краткого плана без подробных обоснований. Учащемуся, высказавшему идею решения задачи, он ставит оценку «5» или «4», хотя его ответ очень краток по времени. От него не стоит добиваться подробных объяснений. Если он изложил идею, то почти всегда знает и детали решения, а их могут объяснить и другие учащиеся, например те, которые во время дискуссии руки не поднимают.

В конце дискуссии учитель объявляет оценки тем учащимся, которые объяснили идею решения задачи перед всем классом или высказали ее учителю во время паузы.

4) Классу предлагается оформить решение задачи. Учителя используют следующие варианты выполнения этого задания:

а) Одному из учащихся предлагается записать решение за-

дачи на доске. За это ему также ставится оценка. Причем, поскольку идея решения задачи уже обсуждалась и неясных вопросов не осталось, учитель вызывает к доске тех учащихся, которые не принимали активного участия в обсуждении плана решения. Остальные учащиеся записывают решение задачи в тетрадях. Они работают более самостоятельно, чем в том случае, когда решение не разбивается на отдельные задания. Действительно, после паузы и обсуждения большинство учащихся представляют себе весь ход решения, и им незачем списывать с доски.

б) Предлагается устно изложить решение задачи с подробными объяснениями. За это еще одному учащемуся также ставится оценка.

в) Решение задачи предлагается записать самостоятельно.

г) Иногда учитель заранее планирует для 1—2 задач выполнить только первые три задания. А записать решения этих задач предлагается либо во время самостоятельной работы в конце урока, либо дома.

Итак, прием деления задачи на отдельные задания в сравнении с предшествующим приемом имеет целый ряд преимуществ, в частности, он в большей мере соответствует дидактическому принципу последовательного преодоления трудностей. Это особенно ярко проявляется при сравнении этих приемов на уроках геометрии.

Эксперименты, проведенные в различных школах, показали, что многие учащиеся VI—VII и даже старших классов не могут выполнять чертеж к текстовой задаче и отделять данные от искомых. Несмотря на это, учителя включают в домашние задания текстовые задачи, т. е. дают заведомо невыполнимые задания. И учащиеся вынужденно привыкают либо списывать, либо систематически не выполнять домашние задания. Худшего воспитательного эффекта и нарочно не придумаешь!

Приведем некоторые наблюдения над работой учащихся при решении следующих задач:

№ 1. Доказать, что параллелограмм, диагонали которого конгруэнтны, является прямоугольником.

№ 2. Биссектрисы внутренних углов параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник. Доказать.

При решении задачи № 1 учащиеся не могли определить, с какой фигуры следует начинать построение. Вот характерные высказывания ученика: «Не могу построить параллелограмм так, чтобы он получился прямоугольником». И далее учащийся отказывается от построения и попыток решить задачу. При решении задачи № 2 некоторые учащиеся проводили биссектрисы углов параллелограмма от вершин его и только до противоположных сторон, не догадываясь продолжить их до взаимного пересечения. Другие старались, чтобы биссектрисы противоположных углов параллелограмма непременно образовали од-

Рис. 43

ну линию, хотя бы и кривую. И далее они также прекращали попытки решить задачу.

Условия задач в краткой форме учащиеся обычно записывают формально, не раскрывая содержания понятий. Такая запись, конечно, нисколько не помогает им решить задачу. Например, на одном из уроков геометрии в IX классе решали задачу: «Точки А и В расположены по одну сторону от плоскости и удалены от нее на расстояние 30 и 70 см. Длина отрезка AB равна 50 см. Найти длину его проекции на плоскость». На доске было записано:

Дано: \АК\=30 см, |ЯС|=70 см, \АВ\=50 см (рис. 43). Найти: \КС\.

Не выделив существенные условия ((Л/С)_1_а, ...), учащиеся затем не догадались обосновать решение задачи и свели его только к применению теоремы Пифагора. Подобные грубые ошибки наблюдаются на многих уроках.

Когда в классе используется прием деления задачи на отдельные задания, то умения строить фигуру по данным задачи, выделять данные и искомые специально отрабатываются при выполнении первого задания. Причем обычно проходит не менее 2—3 месяцев, пока не только отдельные, а все учащиеся овладевают этими умениями. И в этот период в домашние задания учитель включает только задачи по готовым чертежам, а текстовые — дает как дополнительные.

§ 8. ОЗНАКОМЛЕНИЕ С ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ ТЕОРЕМЫ

Проанализируем некоторые приемы, используемые в школах.

Первый прием. Учитель излагает доказательство теоремы и, стараясь активизировать класс, использует эвристическую беседу. Этот прием многие учителя применяют неудачно. Рассмотрим основные причины этих неудач.

1) Эвристическая беседа имеет две разновидности: анали-тико-синтетическую и синтетическую, что учитывается далеко не всеми. В первом случае вопросы учителя соответствуют ана-литико-синтетическому ходу рассуждений, помогая учащимся самим найти путь доказательства. Во втором случае вопросы учителя соответствуют синтетическому ходу рассуждений, когда учащимся неясно, как самим найти путь доказательства.

Пример. Проиллюстрируем эти разновидности эвристической беседы при доказательстве одного из свойств неравенств.

Дано: с — любое число, a>b. (1)

Доказать: а + с>Ь + с. (2)

Проводя эвристическую беседу синтетическим способом, учителя обычно не изменяют доказательство теоремы, изложенное в учебнике (см. э данном случае [1, с. 65]). Они лишь делят его на части, предлагая учащимся обосновывать их, например:

— Рассмотрим разность (а + с) — (Ь + с). Как упростить это выражение?

— Так: (а + с) — (Ь + с) =а+с-Ь— с = а — Ь.

— Какой знак имеет разность а—6?

— Она положительна.

— Почему?

— Так как а>Ь, то по определению разность а — Ъ положительна.

При такой беседе учащимся неясно, почему вдруг понадобилось рассмотреть разность (а + с) — (Ь + с), зачем устанавливать знак а — b и т. д.

Проводя эвристическую беседу аналитико-синтетическим способом, учителю приходится изменять структуру рассуждения, приведенного в учебнике, что, конечно, требует более тщательной подготовки к уроку, например:

— Вспомним, что для отыскания способа доказательства рекомендуется заменять понятия их определениями (см. [21, с. 122—128]). Вспомним поэтому, при каком условии а>Ь.

— По определению ä>b, если разность а — Ь положительна.

— Что достаточно знать для доказательства неравенства (2)?

— Достаточно доказать, что разность (а + с) —(Ь + с) положительна.

— Попытайтесь это доказать.

— Так: (а + с) — (Ь + с) =а + с — Ь — с=а — b. А это положительное число.

Следует подчеркнуть, что в методической литературе примеры, иллюстрирующие эвристическую беседу, даются обычно в аналитико-синтетической форме. Но именно это, как показывает анализ большого числа уроков, ускользает от внимания многих учителей.

2) Очень часто эвристическая беседа неудачно проводится из-за широко распространенной среди учителей привычки к многословию. Вопросов задают чрезмерно много; они бывают слишком просты. Из-за этого сковывается самостоятельная работа и инициатива учащихся. Дал учитель вопрос — думают, а далее — ни шагу, ждут следующих указаний.

3) Неудачи в проведении эвристической беседы происходят также из-за неумения учителя учесть ряд существенных деталей в организации учебного процесса или из-за недостаточно тщательной подготовки к уроку. Например, между вопросами не выдерживаются паузы достаточной длительности, и большинство учащихся просто не успевают на них отвечать. Вопросы бывают неграмотны, примитивны, очень часто ставятся в не-

определенной форме. И на них учащиеся могут ответить все что угодно, а не только то, что ожидает учитель.

Некоторые учителя не учитывают следующую психологическую особенность, присущую классному коллективу во время учебного процесса. Если по ходу эвристической беседы вызванный по желанию хорошо успевающий ученик отвечает неудачно, то, как правило, не лучшим образом отвечают и следующие 2—3 человека. Не учитывая этого, учитель продолжает вызывать одного за другим 5—6 человек, пока, наконец, не добьется правильного ответа. Теряется время, а главное, ослабевает внимание класса. В подобных случаях после неудачного ответа учащегося учителю лучше ответить самому. Действительно, поставленный вопрос уже выполнил свою функцию. Он заставил учащихся задуматься. У них возникло желание проверить свою догадку. И классу в целом полезнее услышать четкий и ясный ответ учителя, чем томиться, выслушивая неудачные попытки своих товарищей.

Второй прием. Учитель излагает доказательство теоремы в виде краткого рассказа, не прерывая его вопросами. Резкую перемену в рабочей обстановке в такие моменты легче всего заметить на уроках начинающих учителей. Они обычно неумело проводят эвристическую беседу и опрос по домашнему заданию, и дисциплина в классе в это время слабая. Но вот учитель приступает к рассказу. Речь у многих молодых выпускников пединститутов и университетов красивая, излагают доказательство теоремы они четко, уверенно. И класс, только что плохо слушавший ответы учащихся, затихает, все умолкают, внимание усиливается.

Изложение доказательства теоремы в виде рассказа уместно в тех случаях, когда оно негромоздко по объему, когда теорема доказывается принципиально новым для учащихся способом и, следовательно, их трудно подвести к догадке и когда отдельные трудные для понимания части доказательства предварительно разбираются при выполнении подготовительных упражнений.

В тех классах, где используется прием деления задачи на отдельные задания (см. § 7), этот же прием применяют и при изучении теорем. Самостоятельно выполняя первое задание, учащиеся (один из них работает у доски) читают формулировку теоремы по учебнику, выделяют ее условия и заключения, выполняют чертеж. Переписывание из учебника легко исключается требованием изменять форму, расположение и буквенные обозначения чертежа. При этом учащиеся учатся строить фигуру по условию теоремы. Тем самым устраняется типичный недостаток, который заключается в том, что перед изложением доказательства теоремы учащиеся воспроизводят сразу весь чертеж из учебника вместе с дополнительными построениями. После самостоятельного выполнения учащимися первого зада-

ния уменьшается объем новой темы — остается рассмотреть доказательство теоремы. Следовательно, в соответствии с одним из указанных в предыдущем абзаце условий возрастает число случаев, когда учитель может изложить доказательство теоремы в виде рассказа.

Раньше в методической литературе учителю рекомендовали использовать школьную лекцию (рассказ) только в старших классах, «... где учащиеся уже могут управлять своим вниманием. В средних классах (VII—VIII) она находит ограниченное применение, используется только в неизбежных случаях, а в младших — совершенно неприменима» [22, с. 147]. В более поздних книгах, например, [18, с. 259—260], учителю также рекомендуется использовать рассказ в IV—VII классах только для сообщения кратких исторических справок или небольших пояснений к самостоятельной работе.

Подобная рекомендация устарела. Во-первых, в исследованиях психологов, например Н. Ф. Добрынина [9], установлено, что даже учащиеся начальной школы при определенных условиях могут длительное время (20 мин и более) сохранять устойчивое внимание к одной и той же деятельности. Во-вторых, как было указано, изучение новой теоремы путем ее деления на отдельные задания сокращает время объяснения учителя до 3— 5 мин. В-третьих, использование подготовительных упражнений при введении теоремы (см. § 6) облегчает учащимся понимание доказательства, и учитель может обойтись без подробных объяснений, что еще более сокращает время рассказа учителя.

Наблюдения уроков показывают, что при соблюдении указанных условий внимание учащихся класса может быть устойчивым на протяжении всего рассказа учителя.

Кроме того, в арсенале учителя имеется достаточно средств, помогающих добиться того, чтобы учащиеся не просто слушали, а активно мыслили в процессе рассказа учителя. Укажем один из таких приемов. Учитель сообщает классу, что, объясняя доказательство теоремы, он намеренно допустит 1—2 неточности. А учащимся предлагается внимательно слушать и обнаружить эти неточности. Чтобы убедиться в достоинствах этого приема, учителю достаточно 2—3 раза применить его и посмотреть, с каким азартом и сосредоточенным вниманием каждый учащийся старается первым обнаружить неточность.

Третий прием. После выполнения учащимися чертежа к теореме и выделения условия и заключения (первого задания), теорема превращается в задачу по готовому чертежу. Если она посильна учащимся, то им предлагается самостоятельно решить ее. Самостоятельное доказательство теоремы облегчается, если учитель дает готовый план.

Например, к признаку перпендикулярности плоскостей дается такой план:

1. Построить линейный угол двугранного угла.

2. Доказать, что этот угол прямой.

3. Сделать вывод.

Четвертый прием. Доказательство теоремы учащимся предлагается изучить самостоятельно по учебнику. А затем один из учащихся тут же на уроке доказывает новую теорему. Подобная работа, если она посильна, воспринимается учащимися с особенным интересом. Многие хотят выйти к доске, и вызванного ученика класс слушает очень внимательно. Но прежде чем применять этот прием, надо научить учащихся работать с книгой.

§ 9. ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫ С ПОМОЩЬЮ ПЛАНА

Остановимся на одном из способов формирования умений и навыков работы с учебной литературой. Этот способ редко используется учителями и недостаточно освещен в методической литературе.

В психологии установлены различные приемы запоминания. Один из них — запоминание путем мысленного составления плана А. А. Смирнов [23] описывает следующим образом.

План составляется в процессе чтения. Он является скорее черновым наброском, наметками. Названия его отдельных пунктов осознаются обычно фрагментарно, в виде неполных отрывочных предложений. Иногда мы ставим себе задачу — составить план, чаще он составляется подсознательно. Например, в процессе чтения мы замечаем переходы от одной «микротемы» к другой, в сознании всплывает выражение, или наглядный образ, или слово, которые определяют содержание данной части.

Деятельность по составлению плана важна не сама по себе. Она лишь приводит к более внимательному изучению материала и лучшему пониманию. Действительно, составляя план, мы выполняем следующую работу: 1) разбиваем материал на отдельные логические части; 2) даем им названия. Всю эту работу можно выполнить лишь при условии отчетливого и полного понимания материала. В противном случае, например, заголовки логических частей не охватывают их содержание или включают посторонние вопросы.

К этому приему взрослые, как правило, прибегают при изучении сравнительно трудного для них материала. Многие школьники не владеют им вообще. Они тоже разбивают материал на части, но не с целью углубить понимание, а для того, чтобы уменьшить объем запоминаемого в данный момент материала.

Разбивая материал, взрослые не упускают из сознания предшествующие части, стараются связать их. Школьники, наоборот, максимально отвлекаются от всех других частей текста, кроме той, которую учат в данный момент.

Даже умея составлять план прочитанного, школьники не прибегают к рассматриваемому приему. План составляется ими только при наличии специального задания. Действия по составлению плана не входят у них в более сложную деятельность, каким является запоминание. Чтобы последнее имело место, у школьников следует формировать соответствующие умения и навыки. Рассмотрим один из способов формирования таковых умений и навыков.

План учащихся учат составлять еще в начальной школе, а позже, при изучении большинства предметов, в том числе и математики, план, к сожалению, почти не применяют. Поэтому соответствующие умения и навыки приходится восстанавливать заново. Некоторые учителя математики это делают в два этапа.

1-й этап. Дается готовый план доказательства новой теоремы, и учащимся предлагается самим доказать ее с помощью плана. Например, к теореме «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно конгруэнтны, то он является параллелограммом» предлагается такой план:

1. Провести диагональ.

2. Доказать конгруэнтность полученных треугольников.

3. Доказать параллельность противоположных сторон четырехугольника.

4. Сделать вывод.

План демонстрируется классу, например, на экране с помощью кодоскопа.

Такую новую форму задания учащиеся воспринимают с исключительным интересом. Как только план появляется на экране, все затихают — думают. Очень многие изъявляют затем желание отвечать и притом с гораздо большей охотой, чем в том случае, когда в этом же классе учитель предлагает доказать теорему, заданную на дом. Вызванного к доске учащегося все слушают с напряженным вниманием. Чем объяснить такой повышенный интерес?

Во-первых, план разбивает доказательство теоремы на ряд простых, элементарных задач, которые учащиеся уже могут решать. Если они еще не научились решать такие элементарные задачи, то план давать не стоит.

Во-вторых, учащиеся чувствуют, что с помощью плана они смогут доказать новую теорему. Не слушать и запоминать, а самостоятельно доказать! Это весьма импонирует им.

В-третьих, план позволяет охватить все доказательство в целом, и у учащихся сразу возникает ощущение полноты понимания. Следовательно, ослабляется отрицательное влияние закономерности-2 об условиях, когда установка на запоминание затрудняет понимание (см. с. 19). Это приводит к уверенности, возрастает желание работать.

2-й этап. Учащихся учат составлять план уже решенной задачи или изученной теоремы. Сначала эта работа выполняется

коллективно, а затем самостоятельно. Причем здесь учителю приходится неоднократно показывать образцы составления плана. Учащиеся свободно воспринимают готовый план, но не сразу у них появляются умения и навыки составления плана.

Параллельно с этим учащихся учат составлять план прочитанного текста учебника, который не содержит теорем. Здесь очень легко убедить учащихся в том, что составление плана приводит к лучшему пониманию и запоминанию текста, облегчает его воспроизведение. С этой целью учащимся предлагается прочитать текст и пересказать его. И в тех случаях, когда они затрудняются, учитель рекомендует составить план. После этого учащиеся свободно пересказывают материал и охотно соглашаются с тем, что деятельность по составлению плана очень облегчила и понимание, и запоминание материала.

Что дает вся эта работа? Хорошо успевающие учащиеся IX—X классов и взрослые люди обычно не запоминают детали доказательства теоремы. Они помнят план, а промежуточные преобразования возникают в сознании по ходу доказательства, сами собой, точно так же, как и при решении задач. Следовательно, у них объем запоминаемого теоретического материала сравнительно невелик, компактен.

А вот слабоуспевающие учащиеся (и в VI—VIII, и в IX— X классах) стараются запомнить все детали доказательства. Им приходится поэтому запоминать материал очень большого объема. Формирование навыков составления плана поднимает в этом отношении всех учащихся до уровня сильных и притом в очень сжатые сроки.

Разнообразятся также домашние задания. Во многих случаях учащимся предлагается дома составить и записать план доказательства теоремы. Такое задание они обязательно выполняют путем активной мыслительной деятельности, добиваясь первоначально углубленного понимания. Иначе план не составишь. А значит, доказательство запоминается непроизвольно и продуктивно по закономерности Смирнова и 1 (см. § 3).

Наконец вся эта работа положительно влияет на развитие учащихся. Они овладевают одним из приемов запоминания и, таким образом, не просто усваивают ту или иную теорему, а учатся самостоятельно приобретать новые знания. Последнее является одной из важнейших задач преподавания математики.

Очень хорошие результаты получаются в тех случаях, когда для доказательства нескольких теорем дается один, общий план. Такие теоремы, объединенные общей идеей, усваиваются особенно продуктивно. Действительно, в этих случаях имеет место неоднократное, активное и разнообразное повторение, что эффективно по закономерности 4 (см. § 3).

Пример. Рассматривая с учащимися IX класса пример нахождения производной функции, допустим, у=х2, составляем план доказательства:

1. Придаем аргументу х приращение Але и находим новое значение функции у + ку.

2. Находим приращение функции &y=f(x + &x)— f(x).

3. Составляем отношение-^-.

4. Находим lim —— =у'.

Затем сообщаем, что по этому плану будем доказывать целую группу теорем: о производной суммы, произведения, частного функций и т. д. Пользуясь составленным планом, учащиеся самостоятельно или при минимальной помощи учителя доказывают эти теоремы и легко запоминают их по закономерности об активном и разнообразном повторении (4-я, с. 25).

Пример. Все три признака подобия треугольников изучаем по одному и тому же плану. Перед этим решаем с учащимися 4 подготовительные задачи. Каждая из первых трех задач помогает подготовить учащихся к самостоятельному доказательству соответствующего признака подобия треугольников, а последняя — к доказательству всех трех теорем.

№ 1. Дано:

(рис. 44)

Доказать:

№2. Дано:

(рис. 44).

Доказать:

№ 3. Дано:

(рис. 44).

Доказать:

№ 4. Дано:

(рис. 44).

Доказать:

Задачи № 1—3 одного типа. Поэтому учащимся приходится помогать (и то не всегда) только при решении № 1, остальные— они решают самостоятельно.

Далее дается план, общий для доказательства всех трех теорем. Считается, что А ABC и АА2В2С2— данные.

1. Построить АА1В1С\ = = H0k(AABC)y где точка О — произвольная, k равно отношению сторон данных треугольников.

2. В АА2В2С2 и АА\ВХС\ найти конгруэнтные элементы.

3. Доказать, что АА2В2С2^ААХВХСХ

4. Доказать, что АА2В2С2оэААВС.

Основываясь на этом плане и подготовительных задачах № 1—4, учащиеся самостоятельно или при минимальной помощи учителя доказывают все три признака подобия треугольников. В результате активного и разнообразного повторения доказательства теорем запоминаются по закономерности 4 особенно продуктивно.

§ 10. ОФОРМЛЕНИЕ ЗАПИСЕЙ

Оформляя записи при изучении теорем и решении задач, полезно учитывать следующую психологическую закономерность восприятия.

Закономерность 5. Восприятие объектов облегчается, если они расположены в определенной, строго продуманной системе, требующей минимальных усилий со стороны наших органов чувств. Если данные условия не выполняются, то восприятие объектов осуществляется неохотно и требует значительных волевых усилий.

Значение этой закономерности для учебного процесса легко проверить, если предложить учащимся подсчитать число точек сначала на рисунке 45, а затем на рисунке 46. Первое задание учащиеся выполняют неохотно, второе — быстро и с интересом. Отсюда ясно, что строго продуманное расположение записей при изучении теорем и решении задач облегчает восприятие, а следовательно, и мыслительную деятельность учащихся, улучшает понимание.

Пример. Чтение доказательства теоремы об объеме наклонной призмы в учебном пособии «Геометрия-9—10» [6, с. 138—139] затрудняется из-за обилия букв на чертеже и обозначений с тройными индексами в тексте (Kaci, Va2c, ...)• Взгляд приходится многократно переводить с текста на рисунок и обратно. Это очень затрудняет восприятие (закономерность 5). Чтобы облегчить восприятие, а значит, ускорить изучение теоремы, целесообразно: а) удалить с рисунка все буквенные обозначения, которые не используются в тексте; б) рассмотреть не четырехугольную, а треугольную призму; в) на-

Рис. 45

Рис. 46

иболее удобным образом расположить записи. Приведем доказательство теоремы. При цветовом оформлении рисунка оно еще легче воспринимается учащимися.

Дано: M — наклонная призма, СКО — ее перпендикулярное сечение; Q — площадь сечения, [AB]—боковое ребро (рис. 47).

Доказать: VM=\AB\-Q.

Доказательство. При переносе AB образуется прямая призма N, /(->£, многогранник Т преобразуется в многогранник Р. Следовательно, TêéP и [КЕ]*е[АВ].

По свойству объемов: Vt=Vm+Vf

Vp=VN+VF Vp=Vt.

Так как N — прямая призма, то

Рис. 47

Запись этой теоремы особенно хорошо воспринимается учащимися, если их предварительно просят ознакомиться с доказательством по учебному пособию и указать, что затрудняет чтение. Оформляя затем доказательство теоремы в виде конспекта, учащиеся убеждаются по контрасту с учебным пособием, в какой мере удобно расположенные и самостоятельно продуманные записи в конспекте облегчают понимание.

Пример. Излагая доказательство теорем на уроках алгебры, учащиеся воспроизводят преобразования, но часто не могут их объяснить. Такое механическое запоминание без должного понимания помогает устранить следующий прием.

Доказательство теоремы оформляется в конспекте, где под каждым знаком равенства или неравенства указывается соответствующее обоснование, например:

Дано: р и q— рациональные числа, а>0.

Доказать: а^-а^ = а^+я.

Доказательство. Обозначим: р=—, а=—, где k и m— целые числа, п — натуральное число. Тогда

по обозначению

определение степени с дробным показателем

свойство арифметического корня

свойство степени с целым показателем

определение степени с дробным показателем

правило сложения дробей

по обозначению

Некоторые учителя оформляют такие записи в другом виде: по обозначению

определение степени с дробным показателем

свойство арифметического корня

свойство степени с натуральным показателем

определение степени с дробным показателем

правило сложения дробей

по обозначению

Затем все объяснения с доски стираются, остаются только преобразования. Учитель поочередно показывает указкой на знаки равенств и предлагает объяснить, на каком основании выполнено соответствующее преобразование. На следующем уроке при проверке домашнего задания на доске выписываются только преобразования, а устно учащиеся обосновывают их.

Подобные наглядные записи в конспекте облегчают учащимся восприятие и понимание основных моментов доказательства (закономерность 5).

§11. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ТЕОРЕМ

Здесь, как и при введении теорем (см. § 6), учителю приходится учитывать два обстоятельства. Необходимо сформировать у всех учащихся навыки применения теоремы. Учащиеся должны понять и запомнить ее доказательство. Первый из этих вопросов рассмотрен в § 4, остановимся на втором.

Первый прием. Сразу после объяснения новой темы одному или нескольким учащимся предлагается повторить ее, остальным— слушать. Обычно вызываются учащиеся по желанию, а следовательно, в основном хорошо успевающие. Такой прием, к

Рис. 48

сожалению, широко распространенный, приводит к следующим результатам:

1) Вызванные учащиеся, как правило, почти дословно воспроизводят объяснение учителя, опуская только отдельные детали, которые не успели запомнить. Имеет место, следовательно, однообразное повторение, что неэффективно по психологической закономерности 4 (см. с. 25).

2) Большинство учащихся слушают пассивно. Активная мыслительная деятельность с их стороны маловероятна. Следовательно, фактически исключается положительное влияние на них закономерности Смирнова о важной роли активной мыслительной деятельности на запоминание (см. с. 23).

3) Однообразная, пассивная работа снижает интерес учащихся к уроку. А все это по одной из психологических закономерностей ослабляет их внимание.

4) В психологии установлено, что забывание наиболее интенсивно протекает сразу после изучения материала, а затем оно замедляется [20]. По этой закономерности те учащиеся, которые слушают внимательно, повторяют материал тут же на уроке, а далее материал забывается ими медленнее.

Следовательно, только этим учащимся данный прием, используемый с целью лучшего запоминания новой темы, приносит некоторую пользу, для остальных — он фактически не достигает цели. И в справедливости приведенных теоретических рассуждений нетрудно убедиться на любом уроке.

Этот прием приносит гораздо большую пользу, когда изученное доказательство теоремы на этом же уроке повторяют по измененному чертежу, с другими буквенными обозначениями на нем или в алгебраических выкладках. Такое повторение уже не является столь однообразным, оно требует от учащихся более активной мыслительной деятельности. Следовательно, по только что рассмотренным психологическим закономерностям учащиеся лучше запоминают материал, их внимание более устойчивое. Последнее можно заметить, например, по заинтересованным взглядам учеников, когда после доказательства теоремы предлагается повторить его по другому чертежу (см. рис. 48).

Второй прием. Чтобы повторить узловые части только что рассмотренной теоремы, учитель задает классу несколько вопросов. Например, после доказательства основного свойства степени с рациональным показателем (см. с. 63—64) он спрашивает: «На каком основании а п -а п => у ahX

Этот прием требует меньшей затраты учебного времени, чем предшествующий, спросить удается не одного, а нескольких учащихся, класс принимает более активное участие в повторении. Следовательно, данный прием весьма эффективен.

Третий прием. Перед объяснением новой теоремы учитель предлагает прослушать доказательство и одновременно составить его план. Затем это задание проверяется. Прием очень эффективен, но ... только в тех классах, где предварительно проведена кропотливая работа по формированию умений составлять план (см. § 9).

Четвертый прием. Доказательство рассмотренной теоремы не повторяется на данном уроке. Класс сразу приступает к решению задач по новой теме. Она закрепляется на задачах. А за 3—5 минут до звонка учитель подводит итог урока. Он предлагает не просто воспроизвести, пересказать изученное на уроке, а задает вопросы, которые заставляют учащихся выделить из нового материала главное, сопоставить с прежними знаниями, сравнить, обобщить и т. д. И все это увязывается с только что решенными задачами по новой теме.

При такой форме подведения итога урока новый материал хорошо запоминается, так как он повторяется сразу после момента наиболее интенсивного забывания (см. закономерность на с. 65), а мыслительная деятельность учащихся разнообразна и активна (см. закономерности 2 на с. 19 и 4 на с. 25).

Проанализируем теперь некоторые приемы повторения изученных теорем при проверке домашнего задания (на последующих уроках).

Первый прием. К доске вызывается учащийся. Ему дается время для подготовки к ответу. Он выполняет чертеж, записывает кратко условие и заключение теоремы, необходимые преобразования, продумывает ответ. Класс в это время занят другой работой. Затем вызванный учащийся отвечает, остальные слушают.

Второй прием. К доске для подготовки к ответу вызываются одновременно несколько учащихся. Класс в это время выполняет другую работу. Затем вызванные учащиеся поочередно отвечают, остальные слушают.

Второй прием в отличие от первого позволяет несколько экономить учебное время, поскольку учащиеся готовятся у доски не поочередно, а одновременно. Поэтому этот прием называют уплотненным опросом. Уплотненный опрос очень широко распространен в школах.

Перечислим ряд недостатков этих двух приемов, которые учителю необходимо учитывать и по возможности нейтрализовать.

1. Вызываемым учащимся выделяется время на подготовку к ответу. Остальным не дается время, чтобы продумать ответы на поставленные вопросы. Следовательно, им остается только одно — пассивно слушать ответы вызванных учащихся.

2. Если вызванные учащиеся отвечают уверенно, то опрос и особенно уплотненный опрос внешне проходят хорошо. Внешне, поскольку остальные учащиеся вопросы заранее не продумывают и в лучшем случае пассивно слушают ответы.

Если вызванные учащиеся отвечают плохо, то уплотненный опрос затягивается нередко минут на 15—20 и даже более. Учитель не всегда имеет возможность вызвать других учащихся, так как они не готовились к ответу, и им приходится выделять дополнительное время на подготовку к ответу. В таких случаях как раз и выявляются недостатки опроса и уплотненного опроса.

Эти приемы имеют и другие недостатки, которые ранее уже отмечались в печати (см., напр., [26]), но, к сожалению, не учитываются многими учителями.

Третий прием. Если в классе используется прием деления задачи на отдельные задания (см. § 7, 8), то умения выполнять чертеж, выделять условие и заключение (1-е задание) учитель проверяет при изучении новых теорем и решении задач. Это задание учащиеся тем более могут выполнить при объяснении теоремы, заданной на дом. Отпадает, следовательно, необходимость проверять эти умения при проверке домашнего задания. Его проверку можно упростить.

К началу урока дежурные по классу записывают на доске основные преобразования из доказательств алгебраических теорем (но без объяснений), чертежи (без дополнительных построений и записей) ко всем теоремам и задачам, заданным на дом. Форма и расположение чертежей, буквенные обозначения иные, чем, например, в учебнике.

Учитель ставит задание: доказать такую-то теорему, или обосновать записанное на доске преобразование, или изложить решение такой-то задачи. Выдерживается пауза. Все замолкают, готовятся к ответу. В ожидании вызова одни учащиеся напряженно смотрят только на доску, другие — в тетради или в учебники. Замечено, что эффективность паузы снижается, когда учитель прерывает ее замечаниями, например: «Закройте учебники». Желательно, чтобы учебники были открыты. И это как раз хорошо, что некоторые учащиеся за время паузы успевают с помощью учебника освежить в памяти свои знания. Пауза, таким образом, становится одним из продуктивнейших моментов урока.

Затем к доске вызывается учащийся. Его слушают гораздо внимательней, чем, например, при уплотненном опросе, так как к ответу готовился весь класс. Каждый учащийся легче и быстрее улавливает неточности в ответе вызванного товарища и готов высказать необходимые дополнения, замечания, поправки.

Если ученик отвечает плохо, учитель вызывает на помощь любого другого, поскольку время на подготовку к ответу дава-

лось всему классу, что он не всегда имеет возможность сделать при уплотненном опросе.

Вызванный ученик должен соблюдать общую схему ответа: формулирует теорему, указывает, что дано и что требуется доказать, а затем излагает доказательство. При этом все элементы чертежа он обязательно показывает указкой, иначе за его ответом трудно следить. (Эти элементарные, общеизвестные требования, к сожалению, не соблюдают во многих школах.)

Затем таким же образом проверяются следующие теоремы, задачи.

Такой опрос проходит обычно более четко, чем уплотненный опрос, при большей активности учащихся и с меньшей затратой учебного времени.

Глава III

МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ, ОСНОВАННЫЕ НА РАССМОТРЕННЫХ МЕТОДАХ И ПРИЕМАХ

§ 12. ИЗУЧЕНИЕ ПОНЯТИЙ «НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ»

С большим трудом учащиеся VII класса усваивают тему «Необходимые и достаточные условия». Они сравнительно легко запоминают определения этих понятий, но не могут применять их к решению задач. Следовательно, при изучении этой темы целесообразно воспользоваться компактным или алгоритмическим методом либо их комбинацией. Рассмотрим, например, последний вариант.

Введение нового понятия. На конкретном примере подготавливаем учащихся к пониманию нового определения.

Одну и ту же теорему можно сформулировать различным образом, например:

1) Если углы вертикальные, то они конгруэнтны.

2) Условие «углы вертикальные» является достаточным для того, чтобы они были конгруэнтны. (Действительно, как только установлено, что какие-то два угла — вертикальные, то по теореме они обязательно конгруэнтны.)

3) Условие «углы конгруэнтны» является необходимым для того, чтобы они были вертикальными. (Действительно, если «углы не конгруэнтны», то они не могут быть вертикальными, ибо вертикальные углы всегда конгруэнтны.)

Термины «необходимо» и «достаточно» мы употребляли, основываясь пока на том смысле, который придают им в обычной разговорной речи. Дадим теперь определение этим понятиям и в дальнейшем будем решать задачи, основываясь на определении.

Обозначим условие теоремы через А, заключение — В. Тогда теорему можно выразить так:

«Если есть А, то есть ß; иначе: из А следует В (записывают: A =>ß)».

Определение. Если Л=>В, то А называется достаточным условием для ß, a ß — необходимым условием для А.

Усвоение нового понятия. Сначала с помощью компактного метода учим учащихся применять определение к верным высказываниям, сформулированным в виде Л=>В.

Первый шаг. Данное определение учащиеся затрудняются разбить на логические части. Учитель разбивает его сам:

«Если А=5>В, II то А называется достаточным условием для В, II а В — необходимым условием для А».

Он объясняет, что в этой формулировке первая часть «если Az=5>B» относится и ко второй части, и к третьей, т. е.:

1а. Если А-=±>В, то А является достаточным условием для В.

16. Если Л :=>/?, то В — необходимое условие для Л.

В таком виде мы определение не записываем, но при работе каждую часть его (1а и 16) будем читать отдельно.

Второй шаг. Дается задание: «Сформулировать теорему о свойстве вертикальных углов с помощью терминов «необходимо» и «достаточно», опираясь теперь уже на определение. Учитель предлагает записать теорему в удобной символической форме (см. закономерность 5 на с. 62).

(Углы вертикальные) => (Они конгруэнтны). А=>В.

Далее учитель читает первую часть определения (1а) и делает вывод, что условие «углы вертикальные» является достаточным для того, чтобы они были конгруэнтны. Читая вторую часть определения (16), делает вывод, что условие «углы конгруэнтны» является необходимым для того, чтобы они были вертикальными.

Учитель подчеркивает: «Мы пришли к тому же выводу, что и раньше, но теперь мы опирались только на определение».

Третий шаг. Предлагаются упражнения:

«Сформулировать с помощью терминов «необходимо» и «достаточно» следующие верные высказывания:

а) Если число делится на 6, то оно делится на 2.

б) Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

в) Если идет дождь, то есть туча.

г) Если четырехугольник параллелограмм, то его противоположные углы конгруэнтны».

Читая определение по частям и руководствуясь образцом ответа, данным учителем, учащиеся выполняют эти упражнения.

Далее переходим к решению задач других типов, пользуясь уже алгоритмическим методом.

Объясняем учащимся, что мы применяли определение к верным высказываниям, составленным в виде Л=>В. Чтобы научиться применять это определение к высказываниям, записанным в другой форме, составим список указаний. Решая задачи, можно будет пользоваться либо этим списком указаний, либо определением.

Первый шаг. Учитель разъясняет, как на основе определения составляется список указаний. По аналогии учащиеся помогают закончить вторую половину списка.

Чтобы доказать, что Л — необходимое и достаточное условие для В, надо:

I. Доказать достаточность.

1. Составить высказывание Л==>В.

2. Доказать его истинность.

3. Сделать вывод на основе определения.

II. Доказать необходимость.

1. Составить высказывание В=>Л.

2. Доказать его истинность.

3. Сделать вывод на основе определения.

Второй шаг. Условие задачи учитель рекомендует на первых порах переписывать, располагая его в трех строчках (см. ниже). Далее он последовательно читает указания списка и выполняет их. Задача оформляется следующим образом: «Верно ли высказывание:

чтобы треугольник был прямоугольным (В)

необходимо,

чтобы он имел два острых угла». (А)

Доказательство необходимости.

1. В=>Л. (Если треугольник прямоугольный, то он имеет два острых угла.)

2. Высказывание В=>Л истинно.

3. Следовательно, по определению А — необходимое условие для В.

Третий шаг. Аналогичным образом решают задачи учащиеся, руководствуясь списком указаний и образцом ответа, данным учителем.

На первых порах учащиеся не ограничиваются записью высказывания в символической форме (Л=>В, В=>Л), а записывают его также и в словесной формулировке. Позже они ограничиваются их устной формулировкой.

Вообще, первые задачи по данной теме решаются письменно, иначе отдельные учащиеся не усваивают рассуждения ввиду их новизны. Позже многие задачи такого типа решаются устно. Некоторые учителя допускают методическую ошибку, предлагая все задачи этого типа с самого начала решать только устно.

После решения нескольких задач учитель обращает внимание учащихся на то, что если доказана теорема, то ее условие является достаточным для заключения, а заключение необходимым для условия теоремы. Если доказаны прямая и обратная теоремы, то условие прямой теоремы является и достаточным, и необходимым для заключения прямой теоремы.

При изучении последующих тем некоторые учителя избегают задач, сформулированных в терминах «необходимо» и «достаточно», так как считают, что запись их решения громоздка и что поэтому на решение таких задач приходится тратить слишком много времени. Покажем, что решения задач можно

Рис. 49

оформить достаточно компактно. При решении геометрических задач для наглядности и ускорения работы некоторые данные и следствия из них не записываем, но отмечаем на чертеже.

Задача. Чтобы параллелограмм был ромбом, (В) необходимо и достаточно, чтобы диагонали его были взаимно перпендикулярны. (А)

I. Достаточность.

1.. А-=±>В. (Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.)

2. ((АС)±(ВК)) => (ZBOC^ZCOK) (рис. 49). (АВСК — параллелограмм) => ([ВО]^[ОК]). (АВОС^АСОК (по двум катетам)) => ([ВС]д*[СК])

Следовательно, параллелограмм АВСК является ромбом.

3. А—достаточное условие для В.

II. Необходимость.

1. В=г>Л. (Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.)

2. Эта теорема ранее доказана. Высказывание истинно.

3. А — необходимое условие для В.

Задача. cosa=cosß (В)

тогда и только тогда,

когда <х=±р + 2л/г. (А)

I. Достаточность.

1. А-==>В. (Если a = ±ß + 2tt/2, то cosa = cosß.)

2. cosa = cos(±ß + 2rtft) = cos(±ß) =cosß.

3. А — достаточное условие для В.

II. Необходимость.

1. £=>Л. (Если cosa = cosß, то a = ±ß + 2rcrt.)

2. cos а = cos ß, cos a —cos ß = 0,

3. А — необходимое условие для В.

Целесообразность использования данной методической разработки подтверждается следующей практической проверкой.

В различных школах проводились кратковременные контрольные работы. Содержание одного из вариантов следующее:

Верно ли высказывание: «Чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы две противоположные стороны его были конгруэнтны»? Ответ обосновать.

Работы учащихся, которые, не умея обосновать решение задачи, просто угадывали ответ, не учитывались. Тем самым исключалось влияние таких работ на результаты проверки.

Оказалось, что в тех классах, где данная тема изучалась в соответствии с рассмотренной методической разработкой, число верно и обоснованно решенных задач колебалось от 70 до 95%. В остальных классах это число не превышало 30%.

Отметим, следующий типичный недочет, который наблюдался на многих уроках в тех классах, где при изучении данной темы не пользовались алгоритмическим или компактным методом. Учащиеся в этих классах рассуждали, например, так: «Условие «число делится на 2» является необходимым для того, чтобы оно делилось на 6, так как если оно не делится на 2, то оно не делится также и на 6».

Такое рассуждение является логически безупречным только в том случае, когда учащийся понимает, что следующие определения равносильны:

16. Если ;4=>ß, то В — необходимое условие для Л.

1в. Если Б=>А, то В — необходимое условие для Л.

Однако в тех классах, где проводились наблюдения, учащиеся не были знакомы с противоположными теоремами и им ничего не говорили о равносильности определений 16 и 1в. В своих ответах они просто исходили из житейского понимания термина «необходимо», не опираясь на определение. Следовательно, нестрогие рассуждения, используемые учителями при введении данного понятия, они неправомерно переносили на решения задач.

§ 13. ВВЕДЕНИЕ И ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСВОЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

Как и в случае предела последовательности, понятие предела функции вводим методом целесообразных задач и для экономии времени ограничиваемся только одной подготовительной задачей. При ее рассмотрении придерживаемся терминологии, характерной для определения. Тем самым подготавливаем учащихся к пониманию определения. Пусть дана функция

В точке х=2 эта функция не определена. А как она ведет себя вблизи этой точки? Составим таблицу. Так как хф2, то дробь сокращаем и значение функции вычисляем по формуле

/(*)=2(х+2).

Заполняем таблицу:

X

1.9

2,1

1,99

2,01

1,999

2,001

...

2

f(X)

7,8

8.2

7.98

8,02

7,998

8,002

...

8

|f(x)-8|

0,2

0,02

0,002

...

0

Из таблицы замечаем, когда х-+2у то f(x)-+8 и \f(х) —8\-*0. Эту мысль можно выразить иначе. Для любого положительного числа е можно найти такое положительное число б, что для всех хф2, удовлетворяющих неравенству

(1)

выполняется неравенство

(2)

Пользуясь таблицей, мы можем для заранее фиксированного числа 8 = 0,2 подобрать б>0. Оно равно 0,1. Действительно, если |*-2|<0,1, то |/(jc)-8|<0,2.

Упражнение. Пользуясь таблицей, для заранее фиксированного числа е = 0,002 укажите такое б>0, чтобы из неравенства (1 ) (2).

Для заранее фиксированного числа е>0 можно подобрать б>0 также с помощью графика. Задаем положительное число е. На оси Oy по обе стороны от точки с координатами (0; 8) откладываем отрезки длиною в е. И далее, выполнив построение, показанное стрелками на рисунке 50, находим интервал ]2 —о, 2-f-ô[. Тем самым мы подобрали такое число б>0, что для любой точки Хо¥=2, которая лежит внутри этого интервала, а значит, удовлетворяющей неравенству (1), выполняется неравенство (2).

Рисунок 50 показываем учащимся в готовом виде, а затем предлагаем построить график данной функции и выполнить упражнение:

«Задайте произвольное положительное число е и с помощью графика подберите такое число б>0, чтобы при всех хф2у удовлетворяющих неравенству \х — 2|<0, выполнялось неравенство

|/(*)-8|<8».

Рис. 50

Подготовив, таким образом, учащихся к пониманию определения, формулируем его.

Определение. Число Ь называется пределом функции f(x) при X, стремящемся к а, если для любого положительного числа е найдется такое положительное число б, что при всех хфа, удовлетворяющих неравенству

|х-а|<б,

будет выполняться неравенство

|/(*)-&|<е.

Далее продолжаем работать алгоритмическим методом, ибо другие методы ввиду исключительной трудноусваиваемости данного понятия здесь не подходят.

Первый шаг. Учащимся дается в готовом виде список указаний и разъясняется, что он полностью соответствует определению. Это можно разъяснить точно так же, как и при изучении понятия предела последовательности (см. с. 33).

Чтобы доказать, что lim f(x) =&, надо:

1. Задать произвольное число е>0.

2. Составить неравенство \f(x)— b\<e. (1)

3. Решить его относительно \х—а\. Получим: |х — а\<а.

4. Выбрать положительное число б. Обычно берут б = а.

5. Доказать, что при хфа из неравенства \х—a\<ô следует неравенство (1).

6. Сделать вывод на основе определения.

Учитель объясняет, что в определении сказано: «...найдется такое положительное число б», а в указаниях 2, 3 и 4 показывается один из способов, как его можно найти.

Второй шаг. Учитель показывает образец решения задачи:

«Доказать, что lim 2-- =8. Функция берется та же самая, что и при введении понятия для того, чтобы подчеркнуть учащимся следующую мысль. Раньше с помощью графика или таблицы мы не могли доказать, что пределом этой функции является число 8, а теперь на основе определения можем это сделать.

Учитель последовательно читает указания по списку и выполняет их. Запись решения задачи приобретает такой вид: 1. Задаем произвольное число е>0.

(1)

3. Так как хф2, то можно сократить дробь:

(2) (3)

(4)

4. Пусть ô = -jj-, тогда неравенство (4) принимает вид:

|*-2|<ô. (4)

5. Так как неравенство (4) равносильно (2), которое при хф2 равносильно (1), то (4) => (2).

6. По определению lim 2- -— = 8.

Как и при изучении понятия предела последовательности, в п. 6 решения учащиеся могут читать определение (см. с. 34). В этом случае будет использоваться комбинация алгоритмического и компактного методов.

Третий шаг. Аналогичным образом продолжают работать учащиеся, руководствуясь списком указаний и образцом ответа учителя. При этом одни из них перечитывают каждое указание, другие мельком смотрят на них. Все они самостоятельно или при минимальной помощи учителя решают задачи вида:

«Доказать, что lim (5—3x)=4, lim*2~~ =8 и т. д.».

Вообще говоря, как и при изучении понятия предела последовательности, достаточно научить учащихся применять определение в простейших случаях, ибо в дальнейшем задачи решаются на основе теорем о пределах. Если же учитель желает рассмотреть более сложные примеры, то сообщает учащемся дополнительные указания.

Дополнительное указание. В соответствии с определением неравенство \f(x)—b\<e можно заменить любым более простым и неравносильным ему неравенством, но таким, из которого оно следует».

Пример. Доказать, что lim — = — 1.

Доказательство.

1. Задаем произвольное е>0.

(1)

(2)

Пользуясь дополнительным указанием, упрощаем последнее неравенство. Так как х-*-—3, то можно считать, что |*1>2, а значит,

Следовательно, если при некоторых значениях х выполняется неравенство

то и подавно выполняется неравенство (2). Поэтому вместо неравенства (2) можно решать (3):

(—3) |<2-е.

4. Полагая б = 2е, запишем последнее неравенство в виде

|*-(-3)|<ô. (4)

5. Неравенства (4) и (3) равносильны. Мы доказали, что (3)=>(2), (2) и (1) эквивалентны. Следовательно, (4)г^>(1).

6. По определению lim—= — 1.

Подводя итог решения задачи, подчеркиваем, что выбор \х >2 произволен. Так как 3, то можно было считать:

\х >1,5; |х|>1,2 и т. д.

Примечание. При введении данного понятия выбрана функция f(x)=2--- - , а не более простая, например f(x) = х+2 при jc->2, так как с помощью выбранной функции легко объяснить: 1) почему в определении говорится «при всех хфа»\ 2) как выбирается число б (в данном случае ô = ).

§ 14. ИЗУЧЕНИЕ ТЕМЫ «ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ»

Применяя метод целесообразных задач, некоторые учителя подбирают чрезмерно большое число подготовительных задач. Каждая из них готовит учащихся к лучшему пониманию отдельных вопросов новой темы. Однако при этом излишне расходуется учебное время, а главное, из-за обилия подготовительных упражнений от учащихся нередко ускользает основная идея новой темы.

С целью экономии учебного времени и для большей четкости и ясности излагаемого материала желательно подбирать минимальное число подготовительных задач. Наилучшие результаты получаются в тех случаях, когда одна и та же подготовительная задача используется несколько раз при изложении новой темы, помогая оттенить различные ее моменты.

Это общее положение мы и покажем на примере изложения некоторых теоретических вопросов данной темы.

В соответствии с этим общим положением подбираем минимальное число простейших примеров, с помощью которых вводится и усваивается понятие упорядоченного множества.

Пример. Пусть дано множество {а, ft}. Тогда известно, что а и ft —его элементы, {a}, {ft}, {а, ft}, 0 — его подмножества. Порядок элементов не играет никакой роли, т. е. {a, ft} = = {b, а}.

Часто мы встречаемся и с такими множествами, где порядок элементов играет существенную роль, например, при написании чисел: 12, 21.

Множество вместе с заданным порядком его элементов называется упорядоченным множеством.

Пример. Из данного множества {а, fr}, переставляя местами его элементы, можно получить два упорядоченных подмножества, содержащих по два элемента: (a, fr), (fr, а). (Элементы упорядоченных множеств записывают в круглых скобках.) Очевидно, (а), (fr), 0 — также можно считать упорядоченными подмножествами множества {а, fr}.

Понятия: «перестановки», «размещения», «сочетания»

Задача 1. Пусть дано множество {х, у, г). Составьте все его подмножества и упорядоченные подмножества.

При решении этой задачи учитываем психологическую закономерность 5 (см. § 10). В соответствии с нею учитель рекомендует решение задачи 1 оформить в виде таблицы. Сначала выписываются все подмножества: в 1-й строке — пустое, во 2-й строке — по одному элементу и т. д. Аналогичным образом ниже записывают упорядоченные подмножества. С левой стороны таблицы оставляется место в 2—2,5 см для выполнения последующих упражнений.

Решение. Подмножества

Упорядоченные подмножества

Решение задачи на доске записывает и комментирует учитель. Он начинает каждую строчку, показывая наиболее удобный способ составления подмножеств и упорядоченных подмножеств. Заканчивает записи строчек он с помощью учащихся.

Чтобы облегчить восприятие таблицы и ее составление, попарно подчеркиваются упорядоченные подмножества в двух последних строчках: в предпоследней — те, которые получаются из одного и того же подмножества, в последней строке — те, которые начинаются с одного и того же элемента.

Способ решения задачи дает гарантию, что мы не пропусти-

ли ни одного подмножества или упорядоченного подмножества и не записали его дважды.

Решенная задача подготавливает учащихся к пониманию и усвоению новых понятий.

Определение 1. Пусть дано множество, состоящее из п элементов. Все его подмножества, каждое из которых содержит к элементов, называют сочетаниями из п элементов по к.

Число сочетаний из п элементов по к обозначают С*.

Упражнение. Укажите в составленной таблице сочетания и в соответствующих строчках запишите обозначения числа сочетаний.

Определение 2. Пусть дано множество из п элементов. Все его упорядоченные подмножества, каждое из которых содержит к элементов, называют размещениями из п элементов по k.

Число размещений из п элементов по k обозначают Л*.

Упражнение. Чем отличаются друг от друга последние два определения? Укажите в составленной таблице размещения и в соответствующих строчках запишите обозначения числа размещений.

Определение 3. Пусть дано множество, состоящее из п элементов. Все его упорядоченные подмножества, каждое из которых содержит п элементов, называют перестановками из п элементов.

Число перестановок из п элементов обозначают Рп-

Упражнение. Чем отличается последнее определение от предыдущих? Укажите в составленной таблице перестановки и в соответствующих строчках запишите обозначение числа перестановок. Дайте определение перестановки через размещения.

В определениях и упражнениях используется рассмотренный ранее прием повторения одной и той же мысли в одних и тех же выражениях, но с небольшими вариациями (см. § 2.3). Этот прием в соответствии с закономерностями психологии облегчает учащимся понимание и запоминание материала.

В учебном пособии А. Н. Колмогорова и др. для 9 класса даются более простые определения перестановки, сочетания и размещения. Но приведенные здесь определения более удобны при решении таких задач, когда приходится устанавливать, имеем ли мы дело с размещениями или сочетаниями и т. д.

Решенная задача 1 подсказывает, что между числами С* Л* и Ph существует некоторая зависимость. Чтобы обнаружить ее, рассмотрим третьи строчки в составленной таблице. Сначала мы составляли подмножества. Их оказалось Cl =3. Потом каждое из них упорядочивали, выполняя перестановки из двух элементов (Р2 = 2), и получили упорядоченные подмножества. Их оказалось Л^ = 6. Следовательно, С%*Р2 = А\.

Эта же зависимость выполняется и для четвертых строчек таблицы: А1 = С33-Рз,

Рассмотрим общий случай. Пусть дано множество из п элементов. Составим все его подмножества по k элементов. Это можно сделать С* способами. В каждом подмножестве упорядочим элементы, что можно сделать Ръ. способами. Всего получим Ckn -Рк упорядоченных подмножеств, т. е. размножений Л* :

Лка = С*.Рк. (1)

Причем при использованном способе мы не могли пропустить ни одного размещения или записать его дважды.

В дальнейшем мы займемся выводом формул для вычисления чисел Ckn , Л* и Рк. Зависимость (1) существенно облегчит эту работу, так как достаточно найти формулы для вычисления двух из этих чисел, например Ckn и Ph.

Таким образом, в соответствии с высказанным в начале этого параграфа положением подготовительная задача 1 использовалась несколько раз. Она выполняет ряд функций, помогая: 1) закрепить понятия множества и упорядоченного множества; 2) ввести новые понятия: «размещения», «перестановки», «сочетания»—и закрепить их; 3) обнаружить и доказать формулу (1). К этой задаче мы вернемся еще раз, когда будем объяснять, почему считают, что С°п=\ и С%г =1.

Число перестановок

Задача 2. Составьте различные: а) двузначные числа из цифр 1 и 2; б) трехзначные — из цифр 1, 2, 3; в) четырехзначные— из цифр 1, 2, 3, 4 так, чтобы одна и та же цифра в числе не повторялась. Обратите внимание на способ составления чисел.

Решение.

а) 12, 21.

б) Каждую цифру выписываем в начале строчки и приписываем остающиеся цифры, меняя последние местами.

в) Опять выписываем каждую цифру в начале строчки. Затем приписываем остающиеся цифры, переставляя их местами, что можно сделать согласно задаче 26 шестью способами.

Для примера запишем первую строчку.

Всего имеем 6-4 = 24 числа.

Для контроля можно предложить учащимся выписать числа в остальных строчках таблицы.

Из решенной задачи следует, что Рг = 2, Рз = 6, Р4 = 24, что можно записать так:

Р2=Ь2,

Р3=Ь2-3,

Р4=Ь2-3-4.

Вероятно, Рп = 1-2-3- ... -п. Обозначают: 1-2-3- ... -п = п\ Тогда Рп = п\ Докажем эту гипотезу. Теорема.

Рп = п\ (2)

Доказательство методом математической индукции.

1. п= 1. По определению (Pi = l и 1! = 1) => (Pi = l!).

2. n = k. Предположим, что верно равенство

Pk = k\ (3)

3. n—k+l. Докажем, что из равенства (3) следует равенство:

Ph+l=(k+l)\

Все перестановки Рь+i можно получить таким же способом, как в задаче 2в. Каждый элемент выпишем в отдельную строчку. Всего получим (k+\) строчек. В каждой строчке к отобранному элементу будем присоединять оставшиеся k элементов, меняя их местами. По предположению это можно сделать k\ способами.

(k + 1) строчка

k\ перестановок

Всего получим к\- (k + l) = (k+\)l перестановок.

4. По аксиоме математической индукции Рп = п\ при любом натуральном я.

Подготовительная задача 2 также выполняет несколько функций. Она помогает подвести учащихся к самостоятельному «открытию» формулы Рп = п\ и подготавливает их к пониманию доказательства теоремы. Здесь, следовательно, используется прием двукратного доказательства (см. § 6). Эта же задача 2 будет использована еще раз при выводе формулы числа сочетаний.

Сочетания

Задачу 2в решим другим способом. Из данных цифр 1, 2, 3, 4 будем отбирать по две цифры, не обращая пока внимания на их порядок. Значит, это будут все подмножества по два элемента. Их число С\ : 12, 13, 14, 23, 24, 34.

В каждом полученном числе меняем местами цифры. Это можно сделать каждый раз 2! способами. А так как чисел было С\, то всего получим С\-2\ чисел: 12; 21; 13; 31; 14; 41; 23; 32; 24; 42; 34; 43.

Остающиеся каждый раз (4—2) цифры упорядочиваем, что можно сделать (4—2)! способами. Приписывая их к каждому из ранее полученных чисел, получим (С\-2!) • (4 — 2)! чисел. Учитывая прежний способ решения, мы должны получить равенство:

4! = С*-21. (4-2)!

Убедимся, что этим способом мы опять получим 24 числа. В последний раз у нас получилось 12 чисел. Возьмем первое число 12 и припишем к нему оставшиеся цифры, а затем поменяем их местами. Получим два числа 1234 и 1243. Проделаем это с каждым из 12 чисел. Значит, всего чисел будет 12-2 = 24.

Решенная задача поможет нам разобраться в общем случае.

Пусть дано множество, состоящее из п элементов. Из них можно составить п! перестановок. Будем составлять их тем же способом, как только что при решении задачи 2в.

1) Из данных п элементов составляем подмножества по k элементов. Получим С* подмножеств.

2) В каждом из отобранных подмножеств переставляем элементы, что можно сделать k\ способами. Всего получим Ckn -k\ упорядоченных подмножеств.

3) Из остающихся каждый раз (n—k) элементов составляем (п—k)! перестановок. Присоединяя их к каждой из ранее полученных Ckn-k\ перестановок, получим С*-£!« (/t—к)\ перестановок.

Ясно, что таким путем мы получим все перестановки и ни одну из них не повторим дважды. Следовательно,

(4)

Решая задачу 1, мы видели (см. таблицу), что С\=\ и С| = 1. Вообще, при любом п С° = 1, так как имеется только одно пустое подмножество, и CJJ = 1, так как имеется только одно подмножество, содержащее все элементы данного множества.

Чтобы формула (4) была верна при k = Q и £ = я и чтобы С^=1 и Спп = \у надо положить 0! = 1. Тогда Р0=0! = 1, что соответствует нашему соглашению считать пустое множество также и упорядоченным множеством.

Размещения Из формул (1), (2) и (4) имеем:

(5)

Формулы (4) и (5) часто используют в другой форме:

Итак, при изучении теоретического материала данной темы можно использовать только две подготовительные задачи, возвращаясь к ним неоднократно. Удобное расположение записей при их решении, попарное подчеркивание упорядоченных множеств и т. п. в соответствии с закономерностью восприятия облегчает учащимся понимание материала. Этому способствуют и другие использованные методы и приемы обучения.

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. О ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ АССОЦИАЦИЙ

Можно привести множество примеров, когда в нашем сознании какая-либо мысль при определенных условиях вызывает другую, всегда одну и ту же вполне определенную мысль. Так, осознав вопрос «Сколько будет 5-7?», учащийся моментально произносит: «35».

Связь двух психических процессов Р\ и Р2, при которой процесс Pi влечет за собой возникновение второго процесса Р2, называется ассоциацией. Обозначение: Рг->Р2, где Pi — первый член ассоциации, Р2 — второй.

Допустим, учащийся выполняет упражнение: «Упростить выражение хА-(—х3)». Возможны следующие ситуации:

1) Он вспоминает правило умножения степеней полностью или частично и руководствуется им.

2) Не вспоминая правила, он сразу представляет, произносит или записывает ответ: «( — х7)».

В первом случае он выполняет упражнение путем проявления ассоциации а^а2:

ах — осознание задания: «Упростить выражение хА-(—х3)»\

а2— вспоминание правила умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Благодаря проявлению ассоциации а\-*а2 учащийся из многих известных ему правил вспоминает одно-единственное, необходимое именно в данный момент, а затем действует в соответствии с ним.

Во втором случае упражнение он выполняет путем проявления другой ассоциации:

Ь\ — осознание задания: «Упростить выражение хА-(—х3)»\

Ь2— представление ответа: «( — х7)».

Ассоциация b\-^b2 (реже а\-*а2) проявляется всякий раз, когда учащемуся приходится перемножать степени с одинаковыми основаниями. Видоизменяются только отдельные компоненты ее членов. Так, при выполнении упражнения уА-{ — уь) проявляется та же самая ассоциация, но форма обоих членов ее иная — другое основание степени, другие показатели степени:

Ъ\ —осознание задания: «Упростить выражение ( — у8),; Ь2 — представление ответа: «( — г/12)».

Различают константные и обобщенные ассоциации. В обобщенной — некоторые компоненты ее членов изменяются, в константной— всегда неизменны. Примером обобщенной ассоциации может служить Ъ\-+Ъ2, константной — С\-+с2. Последняя проявляется всякий раз, когда нам приходится находить сумму 4+3:

С\ — осознание задания: «найти сумму 4 + 3»; с2 — представление ответа: «7».

Каждой паре чисел, например 5 + 2, 4 + 3 и т. д., соответствует своя константная ассоциация. В ней могут изменяться только несущественные компоненты членов. Например, задание о сложении чисел 4 и 3 мы можем осознать как промежуточное действие при умножении многозначных чисел или при решении какой-либо задачи, но результат всегда один и тот же — число «7». Сравним: обобщенная ассоциация b\-+b2 также может проявляться при выполнении сотен и тысяч упражнений на умножение степеней с одинаковыми основаниями, а результат каждый раз различен.

Формирование константных ассоциаций можно проследить в индивидуальных занятиях с маленькими детьми. Первоначально дети решают примеры вида 3 + 2 с помощью палочек, затем присчитыванием: «раз, два, три и еще — четыре, пять». Постепенно результаты действий запоминаются, и у ребенка образуются константные ассоциации, например С\-+с2. Но еще

некоторое время он один и тот же пример решает то путем проявления ассоциации (ответ произносит быстро), то присчитыванием (так ему кажется вернее).

Итак, сначала ребенок каждый раз считает, позже старается только припомнить результат, а в дальнейшем находит его очень быстро, не задумываясь. Значит, если школьник мгновенно складывает однозначные числа, то это есть итог его большой работы в прошлом при формировании соответствующих константных ассоциаций.

Ассоциации бывают составные и элементарные. Так, при выполнении упражнения хА- (—х3) в состав ассоциации b\-+b2 проявляется элементарная ассоциация Ci-кгг, на основе которой учащийся, не задумываясь, получает показатель степени произведения: 4 + 3 = 7. Если он выполняет упражнение (—хА) X Х(—х), то в b\-+b2 включается элементарная ассоциация, соответствующая известному соглашению: «x=xh>. В состав Ь\-* ->&2 входит и такая элементарная ассоциация, на основе которой устанавливается знак произведения и т. д.

В психологии давно существует особое направление, так называемая ассоциативная психология. Внутри него шла борьба между идеалистическим и материалистическим подходом к фактам психической деятельности. Но и материалисты, и идеалисты, говоря об ассоциациях, фактически имели в виду только константные ассоциации. Идея о том, что психическая деятельность человека очень часто сводится к проявлению ассоциаций, причем не только константных, как считали раньше, но главным образом обобщенных, является краеугольным камнем в материалистической теории обобщенных ассоциаций. Эта теория разработана П. А. Шеваревым и его учениками [28], [11], [15] и др. В ней сформулирован следующий основной вывод.

Учащийся может правильно решать задачи путем проявления ассоциаций, не вспоминая определений, теорем, формул, но в полном соответствии с ними. Если он и вспоминает их именно в нужный момент, то это также происходит в результате проявления некоторой ассоциации, наподобие а\-+а2. Аналогичные процессы протекают при решении задачи после того, как найден путь ее решения и остается выполнить простые, хорошо знакомые промежуточные преобразования. Поиск решения задачи также проходит с участием особых ассоциаций. Не следует только полагать, что речь идет о каком-то автоматическом, бессознательном получении готового ответа, ибо проявление обобщенной ассоциации эквивалентно дедуктивному умозаключению, иногда целой цепи умозаключений [28],' [11].

Чтобы обеспечить возникновение у всех учащихся нужных нам ассоциаций, надо, очевидно, знать закономерности их формирования. Приведем одну из них.

Закономерность 6. Для формирования ассоциации Р\-+Р2 процессы Р\ и Р2 должны повторяться один за другим. Они мо-

гут повторяться и с группой промежуточных мыслей, которые постепенно сокращаются и «исчезают», и между процессами Р\ и Р2 устанавливается непосредственная связь: Pi-+P2.

2. ФОРМИРОВАНИЕ АССОЦИАЦИЙ ПРИ РАБОТЕ КОМПАКТНЫМ ИЛИ АЛГОРИТМИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Допустим, в классе изучается понятие биссектрисы угла компактным методом так, как указано в § 3.3. Выполняя упражнения, учащийся проводит умственные действия, которые частично совпадают с рассуждениями, произносимыми им вслух, частично проходят подсознательно. Так, прочитав слово «луч», он прерывает чтение, проверяет выполнимость этого признака и лишь затем продолжает читать определение. Очевидно, в момент, предшествующий остановке, в его сознании происходят какие-то «умственные операции». Он осознал, быть может, не отдавая себе в этом отчета, что признак прочитан и надо, следовательно, проверить, выполняется ли он. Иначе ученик продолжал бы безостановочное чтение определения.

Следовательно, каждому умственному действию ученика (чтению признака, проверке его выполнимости, высказыванию вывода) предшествует умственная операция, состоящая в осознании необходимости выполнения этого действия. Умственные операции, действия обозначим буквами аи a2t b\, Ь2у ... .

а\ — осознает задание: «Читая определение по частям, установить, является ли MP (см. рис. 9, в) биссектрисой угла ЛАЮ»;

а2 — читает первый признак в определении: «Луч»;

Ь\ — осознает задание: «Проверить, выполняется ли этот признак»; Ь2 — проверяет;

С\ — осознает задание: «Сказать о своем выводе и показать соответствующие элементы чертежа»;

с2 — говорит и показывает по чертежу: «МР является лучом»;

d\ — осознает задание: «Читать следующую часть определения»;

d2 — читает: «Который выходит из вершины угла»; Ci — осознает задание: «Проверить, выполняется ли этот признак» и т. д.

Эти умственные действия повторяются учеником в одной и той же последовательности, и потому в соответствии с закономерностью 6 (см. с. 85—86) между ними устанавливаются связи, ассоциации: ai->a2, bi-+b2l .... Некоторые из умственных действий варьируются в зависимости от рассматриваемого чертежа, его обозначения, формы и т. д. Поэтому и отдельные ком-

поненты членов возникающих ассоциаций изменяются, т. е. ассоциации становятся обобщенными.

Читая определение в процессе рассмотрения каждого чертежа (рис. 9), ученик одновременно запоминает его и потому, продолжая выполнять указанные действия (аь «2, &ь • ..), начинает формулировать определение без обращения к учебнику. Следовательно, ассоциации качественно изменяются: чтение признаков заменяется процессами их воспроизведения по памяти.

В дальнейшем по закономерности 6 выпадают некоторые действия, а остающиеся непосредственно связываются друг с другом. На основе элементарных ассоциаций а{-+а2у ôi->&2, ... возникает составная, например, такая, которая первое действие а\ связывает с последним, с выводом. В результате ее проявления ученик может, не вспоминая определения, сразу установить, что, например, OK (рис. 9, ж) является биссектрисой угла, а ОЕ (рис. 9, е) нет. А так как составная обобщенная ассоциация возникла из элементарных, то она может проявляться также и в виде слагающих ее элементарных ассоциаций. Следовательно, ученик может прийти к верному выводу не только путем свернутых рассуждений, но и в случае необходимости легко обосновывает свой ответ ссылками на определение, разворачивает рассуждения.

Компактный метод обычно затрудняются использовать на первых порах те учителя, которые привыкли задавать чрезмерно большое количество дополнительных вопросов. А излишние вопросы снижают эффективность метода. Чем это можно объяснить?

Рассмотренный процесс формирования обобщенных ассоциаций путем неоднократного повторения одних и тех же умственных действий приводит к выводу, что на третьем шаге целесообразно пунктуально придерживаться указанного учителем образца ответа. Тогда у учащихся быстрее образуются нужные ассоциации. А излишние вопросы и пояснения сопровождаются возникновением в их сознании процессов, отличных от аи а2, 6.1, ... , что задерживает формирование нужных ассоциаций а\-+ -+а2, Ьх-+Ь2, ....

При выполнении упражнений компактным методом попутно происходит непроизвольное запоминание математического предложения. Оно запоминается в процессе активной и разнообразной деятельности ученика. Поэтому в соответствии с закономерностями 3 и 4 (см. § 3) оно запоминается непроизвольно и удерживается в памяти прочнее, чем при однообразном и многократном воспроизведении в отрыве от решения задач.

Подобные рассуждения можно провести относительно любого другого математического предложения, изучаемого компактным или алгоритмическим методом. Следовательно, можно полагать, что эти рассуждения носят общий характер.

3. ПСИХОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ ЗАТРУДНЕНИЙ И ОШИБОК УЧАЩИХСЯ

Рассмотрим теперь с точки зрения теории обобщенных ассоциаций причины тех затруднений слабоуспевающих учащихся, о которых говорилось в § 3.4.

Наблюдения. Лектор произносит известные поговорки или стихотворения, прерывая их на полуслове, например:

«У лукоморья дуб зеленый; Златая цепь на дубе том: И днем и ночью кот ученый...»

Выдерживается небольшая пауза. В момент остановки у каждого слушателя, если он слушает лектора и помнит стихотворение, возникают в сознании слова: «Все ходит по цепи кругом; идет направо — песнь заводит, налево...»

Ученику предлагается произносить выученное стихотворение частями, чередуя текст со словами другого стихотворения или со счетом, например:

«Скажи-ка, дядя, ведь недаром (раз, два, три)

Москва, спаленная пожаром, (четыре, пять, шесть) Французу отдана? (семь, восемь)

Ведь были схватки боевые...»

Одни учащиеся при выполнении этого задания допускают много ошибок, другие не ошибаются, но выполняют его с трудом.

Мы одинаково легко вспоминаем математическое предложение, формулу, правило и вне, и в процессе решения соответствующих задач. Очевидно, память и навыки здесь тесно взаимосвязаны. В то же время нам трудно выполнять следующую работу: произносить частями правило, допустим, «куб суммы двучлена» и одновременно выполнять упражнение (Зх2 — у)2 вместо (Зх2—у)г. А не кажется ли слабоуспевающему учащемуся столь же бессмысленным наше требование: произносить правило «куб суммы двучлена» и одновременно выполнять упражнение (Зх2 — —у)3? Ведь он легко выполняет эти операции раздельно, зачем же, с его точки зрения, объединять их, если это так трудно!

Если ученик запомнил правило в отрыве от решения задач, у него возникают константные ассоциации, связывающие слова этого правила и только слова, как в стихотворении. Проявление этих ассоциаций вызывает вспоминание одних слов правила вслед за другими и препятствует возникновению в этот момент других мыслей. Поэтому ученик, пытаясь одновременно

и решать задачу, и формулировать правило, испытывает затруднения примерно такого же характера, что и в описанных наблюдениях, когда пробует совмещать процессы вспоминания стихотворения с совершенно посторонними мыслями.

На первых порах изучения нового правила при указанном в § 3.4 сочетании компактного и раздельного методов только самые сильные учащиеся могут выполнить требование учителя: одновременно решать задачу и формулировать правило по частям. После решения нескольких задач это требование начинают выполнять и другие учащиеся. По их лицам иногда заметно, с каким трудом им это удается. По-видимому, здесь имеет место переучивание. С психологической точки зрения это переучивание можно объяснить постепенным преобразованием константных ассоциаций, связывающих слова и только слова данного правила, в обобщенные ассоциации, связывающие в единое целое правило и навыки решения задач.

Итак, компактный метод способствует формированию у учащихся обобщенных ассоциаций, необходимых для дальнейшей работы, раздельный — при неумеренном использовании приводит часто к образованию константных ассоциаций, которые могут являться одной из причин затруднений учащихся и ведут к необходимости переучивания.

Проанализируем теперь ошибку, которую допускали студенты-математики и учащиеся, утверждая, что если модель четырехугольной пирамиды положить на стол боковой гранью, то ее основанием будет треугольник (см. § 3.1).

Разумеется, все они знали определение пирамиды и могли его применить. В индивидуальных собеседованиях со многими из них проверялось, что они свободно анализировали свою ошибку и самостоятельно приходили к верному выводу. И после этого студент или учащийся обычно смущенно улыбался, удивляясь, как он мог допустить такую странную ошибку. Любопытно, что многие из них без напоминания сами не догадывались проанализировать ошибку и оставляли свой ошибочный ответ неизменным.

Рассмотрим еще две закономерности.

Закономерность 7. Если существенные компоненты двух психических процессов при их повторении друг за другом изменяются, варьируются, может образоваться обобщенная ассоциация, если они всегда неизменны — константная.

Закономерность 8. Проявление ассоциации в процессе решения задачи сопровождается чувством уверенности в правильности полученного результата.

При решении задач и доказательстве теорем основание пирамиды на чертеже всегда располагают внизу. Определение пирамиды обычно не применяют. Следовательно, термин «пирамида» сопровождается всегда одним и тем же наглядным образом в стандартном положении, когда основание располагается

внизу. Отсюда следует, что по закономерности 7 у учащихся образуется не обобщенная, а константная ассоциация: гп\ — осознание термина «пирамида»;

т2 — представление образа пирамиды только в стандартном положении, основанием вниз.

В результате проявления этой ассоциации или ей обратной (m2-wni) студенты и учащиеся приходили к указанному ошибочному выводу. А в соответствии с закономерностью 8 у них не возникало желания проверить этот вывод, и они без внешнего побуждения не проверяли его.

Возникновение в сознании многих учащихся и студентов при определенных условиях одной и той же мысли (да еще ошибочной) лишний раз подтверждает реальное существование ассоциаций и закономерностей их формирования и проявления.

4. ПРИЕМЫ МЫСЛИТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Учащимся постоянно напоминают, что изучаемый материал надо прежде всего хорошо понять. Но какую мыслительную деятельность должны для этого выполнить учащиеся? На этот вопрос, как правило, им не дают никаких разъяснений. Между тем важно не только добиваться усвоения учащимися программного материала, но и одновременно формировать у них умения применять приемы мыслительной деятельности.

В психологии известен ряд таких приемов. Один из них описан в § 9. Рассмотрим еще некоторые из них.

Прием «соотнесение». Он сводится к увязыванию изучаемого материала с прежними знаниями и отдельных частей нового друг с другом. Действия, направленные на выполнение этих задач, усиливают глубину и отчетливость понимания и тем самым ведут к успешному запоминанию.

При изучении математики прием соотнесения имеет исключительное значение и широко используется многими учителями. Ссылки на определения, теоремы, аксиомы, постановка учителем вопросов: «Почему? На каком основании?»—все это углубляет понимание изучаемого материала и, следовательно, облегчает его запоминание. Однако далеко не все учителя достаточно часто используют прием соотнесения. Выслушав доказательство теоремы, учителя не всегда задают вопросы, выясняющие понимание. А это приводит к тому, что при самостоятельном чтении учебной литературы учащиеся не используют рассматриваемый прием запоминания, не ставят себе вопросы: «Почему? На каком основании?». Желательно приучать учащихся ставить себе эти вопросы и отвечать на них всякий раз, когда учащиеся встречаются с каким-то утверждением. Например, в классе изучают новую тему по учебнику. Один из учащихся вслух читает текст. Если он не остановился после прочитанного утверждения, учитель спрашивает, что надо было сделать. Уча-

щиеся вспоминают, что надо проверить, действительно ли данное утверждение справедливо, поставив перед собой вопросы: «Почему? На каком основании?» Многократно повторяя такой прием, учитель приучает учащихся самостоятельно, без напоминания ставить перед собой указанные вопросы.

Прием «реконструкция». В процессе запоминания и последующего воспроизведения материал может подвергаться изменениям. Любое эквивалентное изменение материала (кроме его искажения) называют реконструкцией. Частными случаями реконструкции являются обобщение материала, его конкретизация, перемещение отдельных частей подлинника и т. д. Реконструкция широко используется при изучении математического материала. Например, знакомясь с теоремой, мы конкретизируем и детализируем ее доказательство, особенно те положения, которые даются как очевидные, а для нас они не вполне очевидны. Иногда мы, наоборот, обобщаем изучаемый материал. Нередко мы стараемся найти другое доказательство теоремы, изложить материал по-своему, а затем сопоставляем найденный вариант с изучаемым материалом и тем самым добиваемся лучшего понимания.

Чтобы реконструировать, а не исказить изучаемый материал, учащийся должен хорошо понять его. А для этого он должен выполнить над ним активную мыслительную деятельность. Следовательно, пользуясь приемом реконструкции, учащийся в соответствии с закономерностью Смирнова успешно запоминает изучаемый материал, а главное, избавляется от тенденции прибегать к зубрежке. Чтобы совершенно изжить эту тенденцию, учителю целесообразно исключать такие случаи, когда учащиеся воспроизводят изученный материал в неизменном виде. Доказательства теорем они должны излагать, как правило, по измененному чертежу и с другими буквенными обозначениями, чем в учебнике или в своем конспекте. При выводе формул желательно также изменять, где это возможно, буквенные обозначения. Например, формулу синуса двойного аргумента учащийся может доказать в таком виде: sina = 2sin "у -cos Желательно поощрять всякую попытку учащегося изложить по-своему хотя бы какую-то часть доказательства теоремы. Пусть это будет даже менее рациональный способ, чем в учебнике.

Если учащиеся воспроизводят определения, аксиомы, теоремы, то желательно, чтобы формулировки они сопровождали своими примерами и контрпримерами (см. § 4). Поощряются также попытки учащихся сформулировать определение, аксиому и т. д. своими словами. Но при этом следует тщательно анализировать случаи искажения формулировок. Не просто отвергать неправильную формулировку, а добиваться с помощью контрпримеров (см. § 4), чтобы весь класс понял сущность допущенной ошибки.

Подобное постоянное использование приема «реконструкция» приводит к тому, что учащиеся постепенно овладевают этим важным приемом, начинают применять его самостоятельно, без напоминания.

Прием использования стимулирующих звеньев. Пусть учащемуся требуется запомнить упорядоченную последовательность двух мыслей (Л; В). Этого он может добиться их непосредственным повторением друг за другом. Таким образом учащиеся заучивают, например, стихотворения, что нам и надо. Некоторые учащиеся точно таким же образом заучивают определения, теоремы, что очень плохо. Существует и другой способ запоминания, когда между последовательно повторяющимися мыслями вклинивается промежуточный психический процесс M — стимулирующее звено. Оно связывает повторяющиеся процессы А и Ву углубляя понимание и активизируя мыслительную деятельность.

В психологии установлено, что второй путь приводит к более прочному запоминанию. Например, на уроке несколько раз повторили вопрос А (Какой знак имеет значение синуса в третьей четверти?) и ответ В (Отрицательный). Плохо, если у некоторых учащихся образуется при этом непосредственная связь А-+В. К сожалению, так бывает, если учитель не требует (особенно на первых порах изучения темы) обоснования ответа. Совсем другое дело, если учащиеся, услышав вопрос Л, мысленно представляют (на первых порах рисуют) единичную окружность или график, а затем дают ответ В о знаке значения функции. В последнем случае у учащихся возникает прочная связь А-+М-+В. Действительно, когда мы вспоминаем знак значения тригонометрической функции в какой-то четверти, то в сознании возникает образ M единичной окружности (графика), который, не замедляя процесса вспоминания, уменьшает вероятность ошибки и придает нам уверенность в правильности полученного результата.

В качестве стимулирующих звеньев при изучении математики могут выступать процессы: 1) вспоминания по ходу решения задач определений, теорем, различных правил; 2) их применения; 3) представления графиков, схем; 4) оперирования с моделями, графиками; 5) любые рассуждения, углубляющие понимание. Чтобы учащиеся широко использовали стимулирующие звенья, надо определенным образом направлять процесс их мыслительной деятельности. Такое управление мыслительным процессом осуществляется, например, постановкой вопросов, направленных на понимание материала. Эти вопросы заставляют учащихся не просто восстанавливать в памяти готовый ответ, а одновременно представлять графики, пространственное расположение фигур, опираться на теоремы и т. д. Другой пример. При использовании компактного метода между повторяющимися процессами чтения отдельных частей, допустим определения,

вклиниваются операции по выполнению упражнений. Процессы выполнения этих операций — это стимулирующие звенья. Они углубляют понимание, активизируют мыслительную деятельность, исключают механическое запоминание определения как набора слов.

Большую помощь в формировании навыков применения данного приема оказывает алгоритмический метод. Учитель дает образец решения задачи. В этот образец входят все необходимые рассуждения, в том числе и стимулирующие звенья. Пользуясь списком указаний и ориентируясь на образец ответа, данный учителем, учащиеся при решении задач проводят рассуждения в заданном порядке. Таким образом осуществляется управление их мыслительным процессом.

В психологии известны и другие приемы мыслительной деятельности: сравнение, обобщение, классификация и систематизация, воспроизведение, но только хорошо понятого и реконструированного материала и т. д.

Запоминание осуществляется тем быстрее и прочнее, чем резче выступают различия между известным и изучаемым материалом, между отдельными частями нового. Поэтому сравнение желательно начинать с ярко выраженных различий. Приему «сравнение» большое значение придавал еще К. Д. Ушинский. Желательно, чтобы учащиеся сравнивали определения (с. § 14), доказательства изученных теорем, способы решения задач и т. д. Выявляя различия и сходство в изучаемом материале, учащиеся более глубоко и отчетливо понимают его и потому легче запоминают.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алгебра. Учебник для 7 класса/Под ред. А. И. Маркушевича. М., Просвещение, 1980.

2. Алгебра. Учебное пособие для 8 класса/Под ред. А. И. Маркушевича. М., Просвещение, 1980.

3. Гальперин П. Я., Талызина Н. Ф. Формирование начальных геометрических понятий на основе организованного действия учащихся.— Вопросы психологии, 1957, № 1.

4. Гальперин П. Я. Основные результаты исследований по проблеме «Формирование умственных действий и понятий». Изд-во МГУ, 1965.

5. Геометрия. Учебное пособие для 6—8 классов/Под ред. А. Н. Колмогорова. М., Просвещение, 1979.

6. Геометрия. Учебное пособие для 9—10 классов/Под ред. З. А. Скопеца. М., Просвещение, 1980.

7. Груденов Я. И. Самостоятельная работа учащихся с учебником при выполнении математических упражнений.— Новые исследования в педагогических науках, 1965, вып. IV; 1966, вып. VI.

8. Груденов Я. И. Методы усвоения математических предложений.— Математика в школе, 1977, № 6.

9. Добрынин Н. Ф. О селективности и динамике внимания.— Вопросы психологии, 1975, № 2.

10. Дидактика средней школы/Под ред. М. А. Данилова и М. И. Скаткина. М., Просвещение, 1975.

11. Ерицян М. С. Материалы к психологии дедуктивных умозаключений.—Известия АПН РСФСР, 1962, вып. 120.

12. Зыкова В. И. Очерки психологии усвоения начальных геометрических знаний. М., Учпедгиз, 1955.

13. Зверев И. Д. Методы обучения в современной школе.— Народное образование, 1976, № 3.

14. Кабанова-Меллер Е. Н. Психология формирования знаний и навыков у школьников. М., Изд-во АПН РСФСР, 1962.

15. Коссов Б. Б. Попытка экспериментального изучения психологической закономерности в условиях обучения.— Доклады АПН РСФСР, 1961, § 4.

16. Математика. Учебник для 4 класса/Под ред. А. И. Маркушевича. М., Просвещение, 1980.

17. Математика. Учебник для 5 класса/Под ред. А. И. Маркушевича. М., Просвещение, 1980.

18. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. М., Просвещение, 1975.

19. Никитин Н. Н. Геометрия. М., Просвещение, 1971.

20. Общая психология/Под ред. А. В. Петровского. М., Просвещение, 1976.

21. Пойа Д. Как решать задачу. М., Учпедгиз, 1961.

22. Репьев В. В. Общая методика преподавания математики. М., Учпедгиз, 1958.

23. Смирнов А. А. Проблемы психологии памяти. М., Просвещение, 1966.

24. Талызина Н. Ф., Кочурова Э. И. «Перенос» приема подведения под понятие с одного вида понятий на другие.— Новые исследования в педагогических науках, 1965, вып. III.

25. Талызина Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний. Изд-во МГУ, 1975.

26. Уметский В. А. О методике проверки и учета знаний учащихся.— Математика в школе, 1959, № 1.

27. Шапиро С. И. От алгоритмов — к суждениям. М.. Советское радио, 1973.

28. Шеварев П. А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьника. М., Изд-во АПН РСФСР, 1959.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие............... 3

Глава I. Изучение математических предложений , . 5

§ 1. Этапы изучения математических предложений . .

§ 2. Введение математических предложений ... —

2.1. Три способа введения определений, аксиом, теорем ............. —

2.2. Введение понятий......... 6

2.3. «Открытие» теоремы........ 10

2.4. Введение аксиом . . ....... 12

2.5. Введение правил.........

§ 3. Обеспечение усвоения математических предложений 13

3.1. О формальном усвоении определений, аксиом, теорем ............

3.2. Раздельный метод......... 17

3.3. Компактный метод........ 20

3.4. Комбинация раздельного и компактного методов 26

3.5. Упражнения для усвоения понятий различными методами........... 28

3.6. Алгоритмический метод....... 32

3.7. Об исследованиях, относящихся к методам усвоения математических предложений ... 37

§ 4. Закрепление математических предложений ... 40

§ 5. Организационные вопросы подготовки и использования упражнений для усвоения и закрепления математических предложений........ 46

Глава II. Изучение теорем........... 48

§ 6. Введение теорем.......... —

§ 7. Приемы организации коллективной работы при решении задач и изучении теорем...... 51

§ 8. Ознакомление с доказательством теоремы ... 54

§ 9. Изучение теоремы с помощью плана . , . ,58

§ 10. Оформление записей......... 62

§ 11. Закрепление теорем......... 64

Глава III. Методические разработки, основанные на рассмотренных методах и приемах........... 69

§ 12. Изучение понятий «необходимые и достаточные условия» ............. —

§ 13. Введение и обеспечение усвоения понятия предела функции............. 73

§ 14. Изучение темы «Элементы комбинаторики» . . 77

Приложение..............,83

1. О теории обобщенных ассоциаций .... —

2. Формирование ассоциаций при работе компактным или алгоритмическим методом..... 86

3. Психологический анализ некоторых затруднений и ошибок учащихся......... 88

4. Приемы мыслительной деятельности .... 90

Литература ............... 94

Яков Иосифович ГРУДЕНОВ

ИЗУЧЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЙ, АКСИОМ, ТЕОРЕМ

Редактор Г. С. Уманский Художник Б. Л. Николаев Художественный редактор Е. Н. Карасик Техническим редактор M. М. Широкова Корректор К. А. Иванова

И Б № 5607

Сдано в набор 18.П.80. Подписано к печати 23.03.81. 60X907ie. Бумага типограф. № 2. Гарн. литерат. Печать высокая. Условн. печ. л. 6. Уч.-изд. л. 5,98. Тираж 60 000 экз. Зс'каз № 3741. Цена 15 коп.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Типография им. Смирнова Смоленского облуправления издательств полиграфии и книжной торговли, г. Смоленск, пр. им. Ю. Гагарина, 2.