А. И. Гольденбергъ.

МЕТОДИКА НАЧАЛЬНОЙ АРИѲМЕТИКИ.

РУКОВОДСТВО ДЛЯ УЧИТЕЛЬСКИХЪ СЕМИНАРІЙ И ИНСТИТУТОВЪ, для НАРОДНЫХЪ УЧИТЕЛЕЙ И УЧИТЕЛЬНИЦЪ.

Цѣна 1 руб. 50 коп.

С.-ПЕТЕРБУРГЪ.

Изданіе Д. Д. Полубояринова.

1885.

Адресъ издателя: С.-Петербургъ. Николаевская, 18.

Того-же автора поступило въ продажу слѣдующее новое сочиненіе: «Сборникъ задачъ и примѣровъ для обученія Начальной Ариѳметикѣ» въ двухъ выпускахъ: а) Выпускъ I—Задачи и примѣры на числа первой сотой. Д. 20 к. и б) Выпускъ II—Задачи

А. И. Гольденбергъ.

МЕТОДИКА НАЧАЛЬНОЙ АРИѲМЕТИКИ.

РУКОВОДСТВО ДЛЯ УЧИТЕЛЬСКИХЪ СЕМИНАРІЙ И ИНСТИТУТОВЪ, ДЛЯ НАРОДНЫХЪ УЧИТЕЛЕЙ И УЧИТЕЛЬНИЦЪ.

Цѣна 1 руб. 50 коп.

С.-ПЕТЕРБУРГЪ.

Изданіе Д. Д. Полубояринова.

1885.

Адресъ издателя: С.-Петербургъ, Николаевская, 18.

ВЪ ТИПОГРАФІИ В. БЕЗОБРАЗОВА И КОМП. (Вас. Остр., 8 линія, д. 45).

ПРЕДИСЛОВІЕ.

Въ основаніе предлагаемой „Методики“ положены нами тѣ взгляды на обученіе начальной ариѳметикѣ, которые мы имѣли случай неоднократно высказывать какъ въ печати, такъ и на съѣздахъ учителей начальныхъ школъ.

Преподаваніе ариѳметики дѣтямъ имѣетъ, по нашему мнѣнію, цѣлью:

1. Обучить дѣтей производить съ разумѣніемъ основныя дѣйствія надъ числами и

2. Развить въ дѣтяхъ навыкъ прилагать ариѳметическія дѣйствія къ рѣшенію задачъ

Обученіе производству ариѳметическихъ дѣйствій мы располагаемъ въ такой послѣдовательности:

I. Дѣйствія надъ числами въ предѣлѣ перваго десятка. Въ этой области каждое число разсматривается, какъ группа однородныхъ единицъ, каждое число обозначается своимъ особымъ знакомъ и всѣ дѣйствія надъ числами сводятся, по необходимости, къ счету, такъ какъ въ предѣлахъ перваго десятка чиселъ законы десятичнаго счисленія не находятъ себѣ еще примѣненія.

II. Дѣйствія надъ числами въ предѣлѣ первой сотни. Въ этой области является необходимость въ новой, сложной единицѣ счета, приходится разсматривать число, какъ состоящее изъ двухъ группъ различныхъ единицъ (простыхъ и десятковъ), дѣйствія сводятся къ дѣйствіямъ надъ числами перваго десятка, на образованіе изъ простыхъ единицъ — сложныхъ и, обратно, на раздробленіе сложныхъ единицъ въ простыя. Числа первой сотни обозначаются тѣми-

же знаками, какъ и числа перваго десятка, что достигается тѣмъ, что цыфры получаютъ мѣстное значеніе. предѣлѣ первой сотни чиселъ, законы десятичнаго счисленія находятъ уже себѣ примѣненіе, хотя и неполное.

III. Дѣйствія надъ числами любой величины. Въ этой неограниченной области чиселъ, является необходимость въ системѣ сложныхъ счетныхъ единицъ, приходится разсматривать число, какъ совокупность десятичныхъ группъ; дѣйствія надъ числами сводятся къ ряду дѣйствій надъ десятичными группами данныхъ чиселъ. За предѣломъ первой сотни чиселъ, законы десятичнаго счисленія находятъ себѣ полное примѣненіе.

Послѣдняя глава посвящена дѣйствіямъ надъ величинами, выраженными въ мѣрахъ, или, какъ принято говорить, дѣйствіямъ надъ составными именованными числами. Въ этомъ отдѣлѣ мы не устанавливаемъ какихъ-либо ступеней, въ зависимости отъ величины чиселъ и не выдѣляемъ, напримѣръ, концентра составныхъ именованныхъ чиселъ въ предѣлѣ до ста. Такой концентръ только задерживалъ бы на малыхъ числахъ обученіе ариѳметикѣ.

Предпосылая эти немногія слова нашей „Методикѣ“, не можемъ не присоединить къ нимъ искренняго желанія, чтобы нашъ посильный трудъ принесъ нѣкоторую долю пользы всѣмъ тѣмъ, кому приходится обучать дѣтей ариѳметикѣ.

А. Гольденбергъ.

С.-Петербургъ. Николаевская, 29.

ОГЛАВЛЕНІЕ.

СТР.

ГЛАВА I. Дѣйствія надъ числами въ предѣлѣ перваго десятка................ 7

I. Устныя упражненія............................................—

II. Письменныя упражненія..................................... 22

ГЛАВА II. Дѣйствія надъ числами въ предѣлѣ первой сотни................. 28

Сложеніе...................................................... 34

Вычитаніе..................................................... 40

Умноженіе..................................................... 43

Дѣленіе....................................................... 52

Задачи на числа первой сотни ................................. 63

ГЛАВА III. Дѣйствія надъ числами любой величины..........................80

Нумерація...................................................... —

Сложеніе...................................................... 91

Вычитаніе..................................................... 96

Умноженіе.....................................................101

Дѣленіе.......................................................111

Задачи на числа любой величины . . 122

ГЛАВА IV. Дѣйствія надъ составными именованными числами.................130

Квадратныя мѣры...............................................149

Кубическія мѣры...............................................159

Мѣры времени..................................................161

Задачи на составныя именованныя числа.........................178

Прибавленіе.................................................... 1

Таблицы........................................................ 1

ГЛАВА ПЕРВАЯ.

Дѣйствія надъ числами въ предѣлѣ перваго десятка.

I. Устныя упражненія.

§ 1. Устныя упражненія въ предѣлѣ перваго десятка чиселъ имѣютъ цѣлью научить дѣтей считать и вычислять въ этомъ предѣлѣ.

Эти упражненія мы располагаемъ въ такомъ порядкѣ:

1) Простой прямой счетъ.

2) Простой обратный счетъ.

3) Присчитываніе и отсчитываніе группы единицъ.

4) Счетъ равными группами, прямой и обратный.

§ 2. Прежде чѣмъ приступить съ дѣтьми къ занятіямъ по ариѳметикѣ, полезно произвести имъ небольшое испытаніе, заставивъ пересчитать нѣсколько предметовъ, напримѣръ кубиковъ, данныхъ имъ въ руки, или нѣсколько черточекъ, намѣченныхъ учителемъ на классной доскѣ. При этомъ окажется, что многія дѣти умѣютъ уже считать до нѣкотораго предѣла, но что, большею частью, они производятъ этотъ счетъ безсознательно. Такое умѣнье не имѣетъ, конечно, никакой цѣны: дѣти должны научиться считать сознательно; эту-то цѣль и преслѣдуетъ первое упражненіе—простой прямой счетъ.

Начинать упражненія въ прямомъ счетѣ удобно со счета пальцевъ: одинъ палецъ и (да) одинъ палецъ составляютъ два пальца; два пальца и одинъ палецъ — три пальца; три пальца и одинъ палецъ—четыре пальца и т. д. до: девять пальцевъ и одинъ палецъ—десять пальцевъ.

Затѣмъ дѣти повторяютъ этотъ счетъ на предметахъ, находящихся у нихъ подъ руками, напримѣръ, на кубикахъ или палочкахъ (спичкахъ), которые слѣдуетъ съ этой цѣлью раздать дѣтямъ.

Отъ осязательнаго счета на предметахъ можно перейти и къ счету однородныхъ письменныхъ знаковъ, напримѣръ, черточекъ или крестиковъ, которые дѣти намѣчаютъ на своихъ доскахъ. Учитель заставляетъ дѣтей, между прочимъ, намѣтить опредѣленное число черточекъ на доскѣ, затѣмъ говоритъ имъ, чтобы

они намѣтили еще одну черточку и спрашиваетъ дѣтей, сколько у нихъ теперь черточекъ на доскѣ. Непосредственнымъ счетомъ дѣти повѣряютъ свой отвѣтъ. Послѣ ряда подобныхъ упражненій слѣдуетъ перейти къ отвлеченному счету, сперва въ порядкѣ: одинъ да одинъ—два, два да одинъ три да одинъ— четыре и т. д. до: девять и одинъ — десять ; а затѣмъ вразбивку: четыре да одинъ—пять, семь да одинъ—восемь и проч.

Обращаясь, при этихъ упражненіяхъ, къ дѣтямъ съ вопросами и требованіями, учитель долженъ уже на этой ступени разнообразить, по возможности, какъ тѣ, такъ и другія относительно выбора словъ и оборотовъ рѣчи.

Учитель спрашиваетъ, напримѣръ, такъ:

„Сколько получите, когда къ тремъ присчитаете одинъ?“

„Сколько получите, когда къ тремъ прибавите—приложите, придадите, прикините—одинъ?“

„Три да одипъ—сколько?“

„Сколько три да одинъ?“

Требованія, сюда относящіяся, учитель выражаетъ, напримѣръ, такъ:

„Присчитайте, — прибавьте, приложите, придайте, прикиньте — къ тремъ одинъ.“

„Къ тремъ присчитайте одинъ.“

„Одинъ присчитайте къ тремъ.“

§ 3. За упражненіями въ простомъ прямомъ счетѣ слѣдуютъ упражненія въ простомъ обратномъ счетѣ, т. е. упражненія въ отсчитываніи единицы.

Эти упражненія ведутся въ той же послѣдовательности, какъ и упражненія въ прямомъ счетѣ. Ихъ также слѣдуетъ начинать на какихъ-нибудь предметахъ, напримѣръ на кубикахъ или палочкахъ (два кубика безъ одного кубика—одинъ кубикъ, три кубика безъ одного кубика— кубика и т. д. до: десять кубиковъ безъ одного кубика—девять кубиковъ); затѣмъ можно повторить эти же упражненія на черточкахъ или на крестикахъ, которые дѣти намѣчаютъ на своихъ доскахъ. („Сдѣлайте пять черточекъ на вашихъ доскахъ, сотрите одну черточку; сколько черточекъ теперь у васъ на доскѣ? Пересчитайте, такъ-ли.“) Наконецъ, надлежитъ перейти къ отвлеченному счету, сперва по порядку: два безъ одного — одинъ, три безъ одного — два и т. д. до: десять безъ одного — девять, затѣмъ вразбивку: четыре безъ одного — три, семь безъ одною — шесть и т. д. Вопросы сюда относящіеся учитель задаетъ, напримѣръ, въ такой формѣ:

„Сколько получите, когда отъ семи отсчитаете одинъ?“

„Сколько останется, когда отъ семи отсчитаете одинъ?“

„Сколько получите, когда отъ семи отнимете — отбавите, отложите, откинете — одинъ?“

„Три безъ одного — сколько?“

„ Сколько три безъ одного? “

Требованія относительно отсчитыванія единицы учитель ставитъ, напримѣръ, такъ: „Отсчитайте, отнимите, отбавьте, отложите, откиньте — отъ пяти одинъ. Отсчитайте одинъ отъ пяти. Отъ пяти откиньте одинъ.“

§ 4. Послѣ упражненія дѣтей въ отсчитываніи единицы, учитель повторяетъ съ ними вразбивку присчитываніе и отсчитываніе единицы въ предѣлѣ перваго десятка. При этомъ повтореніи, полезно облекать предлагаемые дѣтямъ вопросы въ форму простыхъ задачъ, напримѣръ, такихъ:

„У хозяина было восемь серповъ; онъ купилъ еще одинъ серпъ. Сколько серповъ стало у хозяина?“

„На крышѣ сидѣло девять голубей; одинъ голубь улетѣлъ. Сколько голубей осталось на крышѣ?“ и т. п.

Какъ бы просты ни были подобныя задачи, пользу которыхъ многіе даже отрицаютъ, но не слѣдуетъ терять изъ виду, что рѣшеніе и такихъ задачъ потребуетъ отъ дѣтей новой умственной дѣятельности, такъ какъ дѣти должны выдѣлить изъ предложенной имъ задачи ея ариѳметическое содержаніе, т. е. тотъ числовой вопросъ, который облеченъ въ форму разсказа, хотя весьма незамысловатаго. Кромѣ того, эти задачи даютъ матеріалъ для упражненія дѣтей въ устной рѣчи, увеличивая запасъ словъ, которыми дѣти располагаютъ, и знакомя ихъ съ разнообразными оборотами родного языка.

Полезно заставлять дѣтей повторять предложенную задачу и необходимо пріучать ихъ давать на задачу отвѣтъ полнымъ предложеніемъ, которое, по своей формѣ, соотвѣтствовало бы поставленному въ задачѣ вопросу. Такъ, напримѣръ, еслибы учитель предложилъ задачу:

„У хозяйки было семь деревянныхъ ложекъ; одна ложка пропала. Сколько ложекъ осталось у хозяйки?“ то дѣти должны отвѣтить такъ:

„У хозяйки осталось шесть ложекъ.“

Если на предложенный вслѣдъ за этимъ учителемъ вопросъ:

„Почему вы говорите, что у хозяйки осталось шесть ложекъ?“ дѣти отвѣтятъ:

„Потому что семь безъ одного — шесть“, то слѣдуетъ признать подобный отвѣтъ вполнѣ правильнымъ*), и нѣтъ никакого разумнаго основанія вдаваться съ дѣтьми въ какіе либо разговоры, въ родѣ такихъ:

„О комъ говорится въ задачѣ? Что говорится о хозяйкѣ? Что еще говорится о хозяйкѣ? Что требуется узнать въ задачѣ?“

Такіе разговоры по поводу предложенной задачи, на которую дѣти уже дали правильный отвѣть, мы считаемъ непроизводительной времени.

*) Считаемъ неумѣстнымъ въ такихъ случаяхъ требовать отъ дѣтей полнаго отвѣта: «Я говорю, что у хозяйки осталось шесть ложекъ, потому что семь безъ одного — шесть». Подобные обороты рѣчи совершенно неестественны. Требовать отъ дѣтей въ этихъ случаяхъ полнаго отвѣта значило бы задерживать развитіе ихъ рѣчи, а не способствовать ему.

§ 5. За упражненіями въ присчитываніи и отсчитываніи единицы должны слѣдовать упражненія въ присчитываніи и отсчитываніи группъ единицъ, начиная съ группы въ двѣ единицы. Приступая къ этимъ упражненіямъ, учитель говоритъ дѣтямъ:

„Возьмите одинъ кубикъ и положите его налѣво отъ себя; возьмите еще два кубика и положите ихъ направо отъ себя; теперь присчитайте эти два кубика къ тому одному кубику.“

Дѣти, придвигая кубики по одному, считаютъ: одинъ кубикъ да одинъ кубикъ—два кубика, два кубика да одинъ кубикъ — три кубика. Другія дѣти, придвинувъ сразу два кубика къ одному, сосчитаютъ такъ: одинъ кубикъ да два кубика — три кубика. Послѣднимъ обстоятельствомъ учителю слѣдуетъ воспользоваться и объяснить дѣтямъ, что присчитать два кубика можно или одинъ за другимъ, или сразу (вдругъ, какъ говорятъ дѣти), что присчитывать по одному кубику долго, что нужно научиться присчитывать два кубика сразу. Когда къ одному кубику присчитано два кубика, дѣти отсчитываютъ два кубика отъ трехъ кубиковъ. При этомъ дѣти сперва считаютъ такъ: „три кубика безъ одною кубика—два кубика, два кубика безъ одного кубика—одинъ кубикъ“, а затѣмъ уже такъ: „три кубика безъ двухъ кубиковъ — одинъ кубикъ“.

За присчитываніемъ двухъ кубиковъ къ одному кубику слѣдуетъ присчитываніе двухъ кубиковъ послѣдовательно къ двумъ, тремъ, четыремъ кубикамъ и т. д. до присчитыванія двухъ кубиковъ къ восьми кубикамъ. При этомъ, за присчитываніемъ двухъ кубиковъ слѣдуетъ непосредственно каждый разъ отсчитываніе двухъ кубиковъ.

Послѣ этихъ упражненій въ присчитываніи и отсчитываніи на кубикахъ, учитель велитъ дѣтямъ спрятать свои кубики и упражняетъ ихъ въ этомъ присчитываніи и отсчитываніи безъ помощи кубиковъ („въ умѣ“), сперва по порядку, потомъ вразбивку. При этихъ упражненіяхъ учитель долженъ обращаться къ дѣтямъ, во-первыхъ, съ требованіями: „Присчитайте къ четыремъ два; отсчитайте отъ восьми два; прибавьте къ пяти два; отнимите отъ десяти два* и т. п.; во-вторыхъ, съ вопросами: „Два да два сколько? Пять безъ двухъ сколько? Сколько три да два? Сколько девять безъ-двухъ“ и проч.; въ-третьихъ: съ различными простыми задачами, которыя учитель безъ труда можетъ придумать самъ во время урока.

Въ такой же послѣдовательности, какъ упражненія въ присчитываніи и отсчитываніи числа два, ведутся вслѣдъ за ними упражненія въ присчитываніи и отсчитываніи чиселъ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Каждое изъ этихъ упражненій начинается съ осязательнаго счета и не представляетъ, собственно говоря, никакой трудности для дѣтей, пока они имѣютъ подъ руками предметы, напримѣръ, кубики, которые помогаютъ имъ въ присчитываніи и отсчитываніи группы единицъ. Трудность—и притомъ довольно значительная—возникаетъ для дѣтей только съ переходомъ отъ осязательнаго счета къ присчитыванію и отсчитыванію „въ умѣ“. Трудность эта къ тому же возрастаетъ по мѣрѣ того, какъ увеличиваются

числа, надъ которыми дѣтямъ приходится работать: присчитать семь къ двумъ труднѣе, чѣмъ присчитать три къ двумъ. Вслѣдствіе этого упражненія въ сложеніи и вычитаніи въ предѣлѣ перваго десятка потребуютъ относительно много времени, такъ какъ дѣти должны твердо усвоить себѣ таблицу сложенія и таблицу вычитанія въ этомъ предѣлѣ чиселъ. Для достиженія этой цѣли нѣтъ, впрочемъ, никакой надобности заставлять дѣтей эти таблицы учить наизусть;

знаніе ихъ явится само собою, какъ результатъ постоянныхъ упражненій и частыхъ повтореній.

§ 6. Упражняясь въ сложеніи въ предѣлѣ перваго десятка, нѣкоторыя дѣти сами подмѣчаютъ, что два числа можно складывать въ какомъ угодно порядкѣ и этимъ иногда пользуются; когда дѣтямъ приходится, напримѣръ, къ двумъ прибавить шесть, или къ тремъ прибавить семь, то многія изъ нихъ измѣняютъ данный порядокъ чиселъ и къ шести прибавляютъ два, къ семи прибавляютъ три. Чтобы навести и остальныхъ дѣтей на мысль пользоваться этимъ простымъ свойствомъ чиселъ, учитель предлагаетъ нѣсколько примѣровъ на сложеніе, сопоставляя, напримѣръ, сложеніе двухъ и семи съ сложеніемъ семи и двухъ, сложеніе четырехъ и шести съ сложеніемъ шести и четырехъ и пр. Когда дѣти увидятъ, что, складывая два числа въ томъ или другомъ порядкѣ, они получаютъ одно и то же число, то учитель спрашиваетъ ихъ, что легче: приложить ли два къ семи, или семь къ двумъ, приложить ли три къ шести или шесть къ тремъ и т. п. Такимъ путемъ дѣти усвоятъ себѣ, что, когда дано къ меньшему числу присчитать большее число, то они могутъ, для облегченія, измѣнить данный порядокъ чиселъ и присчитать къ большему данному числу меньшее число. Учитель можетъ кстати замѣтить дѣтямъ, что выраженіе: „къ числу прибавить (приложить, придать) другое число“ обыкновенно замѣняютъ выраженіемъ: „сложить два числа“, и говорятъ, напримѣръ, сложить пять и три, вмѣсто: къ пяти приложить три (или къ тремъ приложить пять).

§ 7. Послѣ упражненій въ сложеніи и вычитаніи, можно перейти къ упражненіямъ въ такъ называемомъ бѣгломъ вычисленіи на эти два дѣйствія. Простѣйшій видъ относящихся сюда упражненій состоитъ въ слѣдующемъ. Учитель говоритъ, напр., дѣтямъ: „Присчитайте къ тремъ четыре*), къ тому что получили прибавьте два; отъ того что получили отнимите пять. Сколько получили?“

Вслѣдъ за первымъ же такимъ упражненіемъ, учитель долженъ объяснить дѣтямъ, что онъ теперь не будетъ говорить такъ „долго“, т. е. не будетъ имъ говорить: къ тому что получили прибавьте, отъ того что получили отнимите, а будетъ говорить короче: прибавьте, отнимите, что будетъ означать: прибавьте

*) Дѣти, конечно, поспѣшатъ отвѣтить на этотъ вопросъ и перебьютъ учителя. Тогда слѣдуетъ сказать дѣтямъ, чтобы они «держали въ умѣ» то, что подучаютъ каждый разъ, а отвѣчали бы только тогда, когда учитель задастъ вопросъ.

къ тому числу, которое у васъ теперь „въ умѣ“; отнимите отъ того числа, которое у васъ теперь въ умѣ и т. д.

При слѣдующихъ упражненіяхъ учитель выражается поэтому уже такъ: „Прибавьте къ двумъ пять, прибавьте три, отнимите шесть, отнимите два, придайте четыре. Сколько получили?“

Если бы учитель затруднился въ составленіи подобныхъ упражненій, то онъ можетъ воспользоваться примѣрами №№ 23—61 нашего*) „Сборника“. При этомъ мы посовѣтовали бы ему вписать въ свой экземпляръ „Сборника“ отвѣты для каждаго примѣра; это избавитъ его отъ необходимости слѣдить, во время работы съ дѣтьми, за тѣми вычисленіями, которыя они производятъ.

Другой видъ относящихся сюда упражненій состоитъ въ томъ, что учитель предлагаетъ дѣтямъ произвести рядъ сложеній и вычитаній, не выжидая, пока они выполнятъ каждое отдѣльное дѣйствіе; такимъ образомъ дѣти пріучаются запоминать болѣе двухъ данныхъ чиселъ. Упражненія этого вида могутъ быть ведены какъ на отвлеченныхъ числахъ, такъ и на задачахъ. Эти задачи—№№ 55 — 75 нашего Сборника—не представляютъ, правда, чего либо для дѣтей новаго въ ариѳметическомъ отношеніи, но онѣ имѣютъ цѣлью развить въ дѣтяхъ способность запоминать заразъ нѣсколько числовыхъ данныхъ. Такіе ряды данныхъ чиселъ не должны быть, впрочемъ, слишкомъ длинны; въ нашемъ „Сборникѣ“ число ихъ не больше четырехъ. Заставлять дѣтей запоминать длинные ряды числовыхъ данныхъ, входящихъ въ задачу, совершенно неосновательно; это значило бы только насиловать память дѣтей безъ всякой пользы. Къ тому же такое требованіе и несправедливо, въ виду того, что самъ учитель читаетъ обыкновенно задачу по книгѣ и часто съ ней справляется.

§ 8. Упражненія въ сложеніи и вычитаніи въ предѣлѣ перваго десятка мы заканчиваемъ тѣмъ, что знакомимъ дѣтей съ сравненіемъ чиселъ въ разностномъ отношеніи.

Упражненія слѣдуетъ и здѣсь начинать на палочкахъ (спичкахъ) или на кубикахъ. Учитель велитъ дѣтямъ взять, напримѣръ, три кубика въ правую руку и затѣмъ ведетъ работу съ дѣтями по такой, приблизительно, схемѣ:

„Возьмите столько же кубиковъ въ лѣвую руку. — Сколько же кубиковъ вы взяли въ лѣвую руку?—У каждаго изъ васъ въ правой и въ лѣвой рукѣ кубиковъ поровну.—Возьмите еще два кубика въ правую руку.—Сколько у васъ теперь кубиковъ въ правой рукѣ?—а сколько кубиковъ въ лѣвой рукѣ? У каждаго изъ васъ теперь въ правой п въ лѣвой рукѣ кубиковъ не поровну. Въ какой рукѣ у васъ кубиковъ меньше? — Что нужно сдѣлать, чтобы въ правой рукѣ осталось кубиковъ столько-же, сколько кубиковъ въ лѣвой рукѣ?—а что нужно сдѣлать, чтобы въ лѣвой рукѣ стало кубиковъ столько-же, сколько кубиковъ въ правой рукѣ? — Пять кубиковъ больше

*) Одновременно съ этой «Методикой» мы выпустили: «С6орникъ задачъ и примѣровъ для обученія начальной ариѳметикѣ». На этотъ «Сборникъ» мы вездѣ и ссылаемся.

трехъ кубиковъ на два кубика; три кубика меньше пяти кубиковъ на два кубика.—А семь кубиковъ больше пяти кубиковъ на сколько кубиковъ? Почему вы говорите, что семь кубиковъ больше пяти кубиковъ на два кубика?—(Отъ семи кубиковъ нужно отнять два кубика, чтобы осталось пять кубиковъ; къ пяти кубикамъ нужно прибавить два кубика, чтобы стало семь кубиковъ). — Какъ вы узнали, что въ пяти кубикамъ нужно прибавить два кубика, чтобы всего стало семь кубиковъ?—(Отсчитали пять кубиковъ отъ семи кубиковъ, — осталось два кубика; если эти два кубика прибавимъ къ пяти кубикамъ, то и станетъ семь кубиковъ). — Какъ узнать, насколько десять кубиковъ больше семи кубиковъ? — (Надо отсчитать семь кубиковъ отъ десяти кубиковъ.)“

Отъ упражненій на кубикахъ учитель переходитъ къ упражненіямъ безъ помощи наглядныхъ пособій. Если-бы при этомъ Оказалось, что дѣти, въ иныхъ случаяхъ, затрудняются дать отвѣтъ, или даютъ отвѣтъ ошибочный, пли, наконецъ, отвѣчаютъ неувѣренно, то учитель велитъ имъ считать на кубикахъ. Относящіеся къ этимъ упражненіямъ вопросы учитель задаетъ въ такомъ видѣ: „Насколько восемь карандашей (грифелей, досокъ, столовъ и пр.) больше трехъ карандашей? Насколько единицъ девять единицъ больше шести единицъ? Насколько единицъ десять больше восьми? Насколько пять больше двухъ? Насколько пять меньше десяти? Какое число на два больше пяти? Какое число на два меньше пяти? Я задумалъ число, которое на три больше семи, какое число я задумалъ?“ и т. п.

Послѣ этого слѣдуетъ перейти къ задачамъ 76 —114 Рѣшая эти задачи, дѣти знакомятся съ выраженіями: дороже, дешевле; выше, ниже; тяжелѣе, легче; длиннѣе, короче; старше, моложе; дальше, ближе и т. п., а также съ выраженіемъ: двумя (тремя, четырьмя, пятью и т. д.) больше (меньше), которое часто замѣняетъ въ рѣчи выраженіе: на два (на три, на четыре, на пять и т. д.) больше (меньше).

Нѣкоторыми задачами этой группы учитель можетъ воспользоваться для установленія съ дѣтьми хода (плана) рѣшенія задачъ. Такъ, напримѣръ, предложивъ задачу № 103: „Обозъ въ первый часъ прошелъ четыре версты, а во второй часъ на двѣ версты больше, чѣмъ въ первый. Сколько верстъ прошелъ обозъ въ эти два часа?“ учитель ставитъ дѣтямъ вопросы въ такой послѣдовательности: „Что вы прежде всего должны узнать, чтобы рѣшить задачу?“

Мы должны прежде узнать, сколько верстъ обозъ прошелъ во второй часъ.

„Можете ли вы узнать это изъ того, что сказано въ задачѣ?“

Мы можемъ это узнать изъ того, что обозъ въ первый часъ прошелъ четыре версты, а во второй часъ — на двѣ версты больше.

„Какъ вы узнаете, сколько верстъ обозъ прошелъ во второй часъ? Что вы сдѣлаете?“

Мы должны присчитать къ четыремъ два.

„Сколько-же верстъ обозъ прошелъ во второй часъ?“

Во второй часъ обозъ прошелъ шесть верстъ.

„ Что вы теперь должны узнать, чтобы рѣшить Мы должны узнать, сколько верстъ обозъ прошелъ въ два часа.

„Можете ли вы теперь узнать, сколько верстъ обозъ прошелъ въ два часа.

Да, можемъ, потому что мы узнали уже, что обозъ во второй часъ прошелъ шесть верстъ, да въ задачѣ сказано, что въ первый часъ обозъ прошелъ четыре версты.

„Какъ вы узнаете, сколько верстъ обозъ прошелъ въ два часа?“

Мы присчитаемъ къ четыремъ шесть.

„Сколько-же верстъ обозъ прошелъ въ два часа?“

Обозъ прошелъ десять верстъ въ два часа.

Заставлять дѣтей на первыхъ же порахъ самостоятельно излагать разработанный съ ними планъ рѣшенія задачи мы считаемъ преждевременнымъ, такъ какъ изложеніе хода рѣшенія задачи требуетъ довольно значительнаго развитія рѣчи, которымъ дѣти, конечно, еще не обладаютъ.

§ 9 Счетъ равными группами единицъ. Приступая съ дѣтьми къ упражненіямъ въ счетѣ равными группами, учитель спрашиваетъ ихъ, знаютъ-ли они такіе предметы, которые часто считаютъ парами, и можно-ли считать парами какіе угодно предметы. Затѣмъ учитель велитъ дѣтямъ взять два кубика и ведетъ работу по такой, приблизительно, схемѣ:

„Возьмите изъ вашихъ кубиковъ еще разъ два кубика и приставьте ихъ къ первымъ двумъ кубикамъ. — Сколько всего кубиковъ вы набрали? — Какъ вы набрали эти четыре кубика? — Сколько разъ вы брали кубики? — По скольку кубиковъ вы брали каждый разъ?—Сколько разъ нужно отнимать по два кубика отъ четырехъ кубиковъ, чтобы не осталось ни одного кубика?—Можно-ли и кубики считать парами?—Сколько составляютъ двѣ пары кубиковъ? — Сколько паръ въ четырехъ кубикахъ? — Возьмите еще разъ два кубика (пару кубиковъ) изъ вашихъ кубиковъ и приставьте эти два кубика (эту пару кубиковъ) къ четыремъ кубикамъ.—Сколько у васъ теперь стало кубиковъ?—Какъ вы набрали съ самаго начала эти шесть кубиковъ?—Сколько разъ вы брали кубики? — По скольку кубиковъ вы брали каждый разъ?—Сколько кубиковъ вы всего набрали?—Сколько паръ кубиковъ нужно взять, чтобы набрать шесть кубиковъ? — Сколько паръ кубиковъ заключается въ шести кубикахъ? — Сколько разъ два кубика заключаются въ шести кубикахъ? — Сколько разъ нужно давать по два кубика, чтобы раздать шесть кубиковъ? — Поскольку кубиковъ нужно дать три раза, чтобы раздать шесть кубиковъ?“

Такимъ же путемъ дѣти набираютъ восемь кубиковъ по два кубика и, наконецъ, десять кубиковъ по два кубика; при этомъ, набранные каждый разъ по парѣ кубики дѣти разлагаютъ на пары, отсчитывая по одной парѣ.

Отъ упражненій на кубикахъ учитель переходитъ къ упражненіямъ безъ помощи наглядныхъ пособій и къ вопросамъ на отвлеченныя числа. Эти вопросы слѣдуетъ предлагать дѣтямъ, напримѣръ, въ такомъ видѣ:

„Сколько получите, если два возьмете два раза, три раза и т. д.?“ „Сколько разъ нужно взять два, чтобы набрать четыре, шесть и т. д.?“ „Сколько единицъ нужно взять два раза, чтобы набрать четыре; сколько единицъ нужно взять три раза, чтобы набрать шесть и т. д.?“

„Какое число нужно взять два раза, чтобы получить четыре; какое число нужно взять три раза, чтобы получить шесть и т. д.?“

„Сколько разъ два повторяется въ четырехъ, въ шести, въ восьми, въ десяти?“

„Сколько разъ два заключается въ шести, въ десяти, въ четырехъ, въ восьми?“

„Какое число заключается въ шести три раза, въ восьми четыре раза?“ „Въ какомъ числѣ два заключается три раза, два раза, пять разъ?“ „Сколько будетъ два раза два, три раза два и т. д.?“

„Сколько составятъ двѣ двойки, три двойки и т. д.?“

„Сколько составляетъ дважды два, трижды два, четырежды два, пятью два?“

За упражненіями въ счетѣ двойками, учитель переходитъ къ упражненіямъ въ счетѣ тройками, четверками и пятерками (пятками). Эти упражненія ведутся въ томъ же порядкѣ, какъ и упражненія въ счетѣ двойками; причемъ слѣдуетъ обратить вниманіе дѣтей на то, что въ общежитіи многіе предметы часто считаютъ пятками.

§ 10. Послѣ упражненій въ умноженіи и въ опредѣленіи содержанія одного числа въ другомъ (въ измѣреніи одного числа другимъ) надлежитъ перейти къ упражненіямъ въ дѣленіи на равныя части чиселъ перваго десятка. Естественно начать эти упражненія съ разложенія пары кубиковъ на два отдѣльныхъ кубика, затѣмъ перейти къ разложенію четырехъ кубиковъ на двѣ равныя группы. При этомъ учитель уясняетъ дѣтямъ, что разложеніе четырехъ кубиковъ на двѣ равныя кучки (группы) можно сдѣлать такъ: взять изъ четырехъ кубиковъ два кубика и разставить ихъ отдѣльно, потомъ взять остальные два кубика и приставить ихъ по одному къ разставленнымъ уже двумъ кубикамъ. Затѣмъ учитель предлагаетъ дѣтямъ разложить (разбить) на двѣ равныя кучки послѣдовательно шестъ кубиковъ, восемь кубиковъ, десять кубиковъ и спрашиваетъ, сколько кубиковъ придется каждый разъ на каждую изъ отдѣльныхъ кучекъ.

Такимъ образомъ дѣти уяснятъ себѣ простѣйшій случай дѣленія на равныя части, т. е. дѣленіе на двѣ равныя части. При этомъ учитель знакомитъ дѣтей съ выраженіемъ: раздѣлить (разбить) пополамъ и съ выраженіемъ: половина числа: когда, напримѣръ, шесть кубиковъ разложены на двѣ равныя кучки, то число кубиковъ въ каждой кучкѣ составляетъ, какъ обыкновенно говорятъ, половину всего числа взятыхъ кубиковъ.

Послѣ каждаго разложенія данныхъ кубиковъ на двѣ равныя группы, дѣти,

обратно, соединяютъ группы въ одно цѣлое и повторяютъ такимъ образомъ результаты умноженія на два въ предѣлѣ перваго десятка.

Отъ упражненій въ дѣленіи на кубикахъ учитель переходитъ съ дѣтьми къ упражненіямъ безъ помощи наглядныхъ пособій и къ вопросамъ на отвлеченныя числа. Эти вопросы предлагаются дѣтямъ въ такомъ видѣ:

„Сколько получите, если два, четыре, восемь, шесть, десять раздѣлите пополамъ?“

„Какое число нужно раздѣлить пополамъ, чтобы получить одинъ, четыре, два, пять, три?“

„Три (два, пять, одинъ, четыре) составляютъ половину какого числа?“

„Я задумалъ число, половина котораго три. Какое число я задумалъ?“ и т. п.

Послѣ упражненія въ дѣленіи на два, учитель переходитъ съ дѣтьми къ дѣленію на три, на четыре, на пять (3:3, 6:3; 9:3, 4:4, 8:4; 5:5, 10:5), причемъ ведетъ работу совершенно сходно съ предыдущей. Учитель тутъ-же знакомитъ дѣтей съ выраженіями: третья часть (одна треть) числа, четвертая часть (одна четверть) числа, пятая часть (одна пятая) числа и пр. Результатомъ всѣхъ этихъ упражненій само собою явится у дѣтей усвоеніе таблицы умноженія и таблицы дѣленія въ предѣлѣ перваго десятка чиселъ. Относительно усвоенія этихъ таблицъ считаемъ нужнымъ повторить замѣчаніе, которое нами уже сдѣлано выше по поводу усвоенія дѣтьми таблицъ сложенія и вычитанія въ предѣлѣ перваго десятка. Мы считаемъ совершенно излишнимъ заставлять дѣтей учить наизусть таблицы умноженія и дѣленія; упражненіе и повтореніе приведетъ и здѣсь къ цѣли скорѣе и вѣрнѣе, чѣмъ заучиваніе наизусть.

Когда учитель изъ отвѣтовъ дѣтей убѣдится, что они достаточно твердо умѣютъ умножать и дѣлить въ предѣлѣ перваго десятка, то онъ переходитъ съ ними къ прикладнымъ задачамъ. Рѣшая эти задачи, дѣти повторяютъ и примѣняютъ пройденное, знакомятся съ новыми понятіями и оборотами рѣчи, упражняются въ выдѣленіи изъ задачи ея числового содержанія и пріобрѣтаютъ на простомъ, доступномъ матерьялѣ навыкъ къ правильнымъ умозаключеніямъ.

§ 11. За упражненіями въ умноженіи и въ дѣленіи, учитель долженъ приступить къ упражненіямъ, которыя требуютъ примѣненія всѣхъ четырехъ дѣйствій.

Эти упражненія ведутся и на отвлеченныхъ числахъ (бѣглое вычисленіе), и на прикладныхъ задачахъ.

Относительно бѣглаго вычисленія укажемъ учителю на то, что онъ можетъ воспользоваться для этихъ упражненій примѣрами 62 — 102 нашего „Сборника“. При этомъ № 93, напримѣръ, можетъ быть прочитанъ такъ:

„Раздѣлите восемь на четыре, прибавьте третью часть девяти и откиньте двѣ двойки. Сколько получили?“

№ 101 читается такъ:

„Къ половинѣ четырехъ прибавьте одну треть девяти, отнимите двѣ двойки и прибавьте девять безъ восьми.“

Но такъ какъ эта группа примѣровъ нашего „Сборника“ можетъ оказаться матерьяломъ недостаточно богатымъ для подобныхъ упражненій, а подборъ матеріала во время урока представляетъ нѣкоторое неудобство для учителя, то мы помѣстили въ особомъ „Прибавленіи“*) рядъ примѣровъ, которыми учитель можетъ пользоваться для упражненія дѣтей въ бѣглыхъ вычисленіяхъ. Первыя изъ относящихся сюда строкъ имѣютъ у насъ такой видъ:

2 + 2 — 1 ХЗ — 3: 2 + 2X2 — 4.

1+3X2 : 4+7—6X2—4X5.

Учитель читаетъ эти сроки дѣтямъ примѣрно такъ:

„Къ двумъ прибавьте два, отнимите одинъ, повторите три раза, откиньте три, раздѣлите пополамъ, придайте два, повторите два раза и отнимите четыре. Сколько получили?“

„Къ одному прибавьте три, возьмите два раза, раздѣлите на четыре, приложите семь, отнимите шесть, возьмите два раза, откиньте четыре и повторите пять разъ. Сколько получили?“

Само собою разумѣется, что строки съ указаннымъ обозначеніемъ, которое отступаетъ отъ общепринятаго, служатъ только для учителя и не даются дѣтямъ и тогда, когда они познакомятся съ письменнымъ обозначеніемъ чиселъ и дѣйствій надъ числами и числовыми выраженіями.

Что касается до относящихся къ четыремъ дѣйствіямъ задачъ №№ 188—206 нашего „Сборника“, то дѣти, при рѣшеніи ихъ, должны отчетливо различать тѣ случаи, когда, по смыслу задачи, требуется число раздѣлить на равныя части, отъ тѣхъ случаевъ, когда требуется опредѣлить содержаніе одного числа въ другомъ.

Такъ, напримѣръ, рѣшивъ задачу:

„У мальчика было семь листовъ бумаги; онъ получилъ еще два листа и изъ всей бумаги сшилъ тетради, каждую въ три листа. Сколько тетрадей сшилъ мальчикъ?“

Дѣти на вопросъ учителя:

„Почему вы говорите, что мальчикъ сшилъ три тетради?“ должны отвѣтить:

„Потому что три листа бумаги повторяются (заключаются, содержатся) въ девяти листахъ бумаги три раза.“

Рѣшивъ же задачу:

„У бондаря было десять обручей; четыре обруча онъ набилъ на ушатъ, а остальные на два ведра, на каждое поровну. Сколько обручей пошло на одно ведро?“

*) Это «Прибавленіе» напечатано въ концѣ нашего «Руководства» и легко можетъ быть отдѣлено отъ КНИГИ.

Дѣти на вопросъ учителя:

„Почему вы говорите, что на одно ведро пошло три обруча?“ должны отвѣтить такъ:

„Потому что половина шести составляетъ три.“

Считаемъ нелишнимъ замѣтить кстати, что на подобные вопросы дѣти очень часто даютъ отвѣтъ невѣрный въ томъ смыслѣ, что онъ выражаетъ только повѣрку произведеннаго дѣйствія. Такъ, напримѣръ, на вопросъ, относящійся къ первой задачѣ:

„Почему вы говорите, что мальчикъ сшилъ три тетради?“ дѣти отвѣчаютъ часто такъ:

„Потому что три раза три — девять.“

Такіе отвѣты часто признаются удовлетворительными, между тѣмъ, какъ они служатъ отвѣтомъ не на предложенный вопросъ, а отвѣтомъ на вопросъ: „Какъ повѣрить, правильно-ли сдѣлано вычисленіе?“

§ 12. Вторую ступень устныхъ упражненій, т. е. упражненія въ умноженіи и дѣленіи въ предѣлѣ перваго десятка, мы заканчиваемъ тѣмъ, что знакомимъ дѣтей съ сравненіемъ чиселъ въ кратномъ отношеніи.

Относящуюся сюда работу учитель ведетъ съ дѣтьми по такой, приблизительно, схемѣ:

„Возьмите по три кубика въ каждую руку:—у каждаго изъ васъ теперь въ правой и въ лѣвой рукѣ кубиковъ поровну. Возьмите еще три кубика въ правую руку. — Сколько у васъ теперь кубиковъ въ правой рукѣ? — а сколько кубиковъ въ лѣвой рукѣ? Поровну-ли у васъ теперь кубиковъ въ каждой рукѣ? Въ какой рукѣ у васъ кубиковъ больше? — а въ какой рукѣ у васъ кубиковъ меньше? Сколько разъ вы брали по три кубика въ правую руку? — а въ лѣвую? — Что нужно сдѣлать, чтобы въ лѣвой рукѣ у васъ стало столько-же кубиковъ, сколько въ правой рукѣ?“ „Шесть кубиковъ въ два раза больше трехъ кубиковъ. Три кубика въ два раза меньше шести кубиковъ. — А девять кубиковъ во сколько разъ больше трехъ кубиковъ?“ „Почему вы говорите, что девять кубиковъ больше трехъ кубиковъ въ три раза?“ (Нужно взять три раза по три кубика, чтобы набрать девять кубиковъ.) „Какъ вы узнали, что три кубика нужно взять три раза, чтобы всего стало девять кубиковъ? (Отчитывали отъ девяти кубиковъ по три кубика—отсчитали всего три раза по три кубика; если возьмемъ три кубика три раза, то и наберемъ девять кубиковъ).“ „Какъ узнать, во сколько разъ шесть кубиковъ больше трехъ кубиковъ? — (Надо узнать сколько разъ три кубика заключаются въ шести кубикахъ).“ Отъ упражненій на кубикахъ учитель переходитъ къ упражненіямъ безъ помощи наглядныхъ пособій п предлагаетъ дѣтямъ обращаться къ помощи кубиковъ только въ случаѣ какого-либо затрудненія.

Относящіеся сюда вопросы учитель задаетъ въ такомъ видѣ:

„Во сколько разъ восемь карандашей больше двухъ карандашей? — Во сколько разъ пять копеекъ меньше десяти копеекъ? Во сколько разъ три пары больше одной пары? Во сколько разъ шесть больше двухъ? Во сколько разъ три меньше девяти? Какое число въ два раза больше четырехъ? Какое число въ пять разъ меньше пяти, десяти? Шесть въ два раза больше какого числа? Два въ три раза (въ два раза, въ пять разъ, въ четыре раза) меньше какого числа?—Какое число вдвое (втрое) больше трехъ? Какое число вдвое меньше десяти? Я задумалъ число, которое въ два раза (вдвое) меньше восьми; какое число я задумалъ?" и т. д.

„Во сколько разъ шесть больше двухъ?—На сколько шесть больше двухъ? — Во сколько разъ десять больше двухъ?—На сколько десять больше двухъ? — Во сколько разъ три меньше девяти?—На сколько три меньше девяти?— Во сколько разъ пятачокъ больше одной копейки? — На сколько пятачокъ больше одной копейки?— Во сколько разъ гривенникъ больше пятачка? — На сколько гривенникъ больше пятачка?“ и т. п.

Для закрѣпленія и примѣненія понятія о кратномъ отношеніи чиселъ могутъ служить задачи 207—2В7 нашего „Сборника“.

§ 13. Считаемъ не лишнимъ сдѣлать здѣсь небольшое замѣчаніе относительно различныхъ формъ, въ которыхъ могутъ быть предложены вопросы на умноженіе, на дѣленіе въ смыслѣ опредѣленія содержанія и на дѣленіе въ смыслѣ опредѣленія части.

Вопросъ на умноженіе, напримѣръ, числа два на число три можетъ быть предложенъ въ одной изъ слѣдующихъ трехъ формъ:

1) „Сколько получите, если два повторите три раза?“ (Число 2 X 3.)

2) „Въ какомъ числѣ два повторяется (заключается, содержится) три раза? (Въ числѣ 2 X 3.)

3) „Два составляетъ третью часть какого числа?“ (Числа 2X3.) Вопросъ на дѣленіе, напримѣръ, числа шесть на число три, въ смыслѣ опредѣленія содержанія можетъ быть предложенъ въ одной изъ слѣдующихъ трехъ формъ:

1) „Сколько разъ три содержится въ шести?“ (6:3.)

2) „Какую часть шести составляетъ три?“ (6:3.)

3) „Сколько разъ нужно повторить три, чтобы составить шесть?“ (6:3.) И, наконецъ, вопросъ на дѣленіе, напримѣръ, числа шесть на число три, въ смыслѣ опредѣленія части можетъ также быть предложенъ въ одной изъ слѣдующихъ формъ:

1) „Какъ велика третья часть шести?“ (6:3.)

2) „Какое число содержится три раза въ шести?“ (Одна треть шести.)

3) „Какое число нужно повторить три раза, чтобы получить шесть?“ (Одну треть шести.)

Итакъ вопросъ на умноженіе можетъ быть поставленъ или прямо, или косвенно, причемъ, въ послѣднемъ случаѣ, въ вопросъ входитъ выраженіе „содержится“ или выраженіе „часть“.

Вопросъ на дѣленіе въ смыслѣ опредѣленія содержанія можетъ быть поставленъ или прямо, или косвенно, причемъ, въ послѣднемъ случаѣ, въ вопросъ входитъ выраженіе „часть“ или выраженіе „повторить“.

Вопросъ на дѣленіе въ смыслѣ опредѣленія части можетъ быть поставленъ или прямо, или косвенно, причемъ, въ послѣднемъ случаѣ, въ вопросъ входитъ выраженіе „содержится“ или выраженіе „повторить“.

Еслибы существовало достаточное основаніе, чтобы отличать понятіе остатокъ (отъ вычитанія двухъ чиселъ) отъ понятія разность двухъ чиселъ (разностное отношеніе), то, соотвѣтственно только-что изложенному, каждый изъ вопросовъ на сложеніе двухъ чиселъ, на опредѣленіе остатка и на опредѣленіе разности могъ бы быть предложенъ въ трехъ различныхъ формахъ. Но такъ какъ нѣтъ основанія дѣлать такое различіе, то вопросъ на сложеніе можетъ быть поставленъ только двояко—или прямо:

„Сколько получите, если къ четыремъ прибавите шесть?“ или косвенно:

„Отъ какого числа нужно отнять четыре, чтобы получить шесть?“ Вопросъ на вычитаніе можетъ быть поставленъ только двояко—или прямо:

„Сколько получите, если отъ десяти отнимите четыре?“ или косвенно:

„Сколько нужно прибавить къ четыремъ, чтобы получить десять?“

§ 14. Закончивъ упражненія въ производствѣ дѣйствій надъ числами перваго десятка, своевременно, по нашему мнѣнію, познакомить дѣтей съ весьма употребительными, удобными, хотя и условными, выраженіями: увеличить число на другое, уменьшить число на другое, увеличить число въ нѣсколько разъ, уменьшить число въ нѣсколько разъ т. е. съ тѣми выраженіями, въ основѣ которыхъ лежитъ понятіе объ измѣненіи числа. Мы называемъ эти выраженія условными вслѣдствіе того, что, собственно говоря, мы не можемъ ни увеличить, ни уменьшить какое либо число, а можемъ только или прибавить къ данному числу другое, или умножить данное число на другое, или вычесть изъ даннаго числа другое, или раздѣлить данное число на другое. Выполнивъ то или другое дѣйствіе, мы получимъ другое число, которое, по сравненію, напримѣръ, съ первымъ даннымъ, окажется или больше его, или меньше.

Изъ этого, впрочемъ, нисколько не слѣдуетъ, чтобы надлежало избѣгать этихъ удобныхъ выраженій; напротивъ, можно было бы, какъ это нѣкоторые и дѣлаютъ, расширить примѣненіе этого понятія объ измѣненіи числа и различать, напримѣръ, при производствѣ ариѳметическихъ дѣйствій надъ двумя данными числами, измѣняемое данное (первое слагаемое, уменьшаемое, множимое, дѣлимое) и измѣняющее данное (второе слагаемое, вычитаемое, множитель, дѣлитель). Что касается до уясненія дѣтямъ понятій: увеличить (уменьшить) число на другое, увеличить (уменьшить) число въ нѣсколько разъ, то учитель не встрѣтитъ при этомъ уясненіи никакихъ затрудненій, вслѣдствіе простоты этихъ понятій.

Дѣти безъ всякаго усилія поймутъ, что привычныя для нихъ требованія: присчитать, прибавить, приложить, придать, прикинуть къ числу другое число, однозначуще съ требованіемъ: увеличить число на нѣкоторое другое число, поймутъ также и значеніе другихъ относящихся сюда выраженій: уменьшить число на нѣкоторое другое число, увеличить число въ нѣсколько разъ, уменьшить число въ нѣсколько разъ.

Послѣ уясненія дѣтямъ значенія, новыхъ выраженій, полезно продѣлать съ ними нѣсколько упражненій на бѣглое вычисленіе, примѣняя къ послѣднимъ новыя выраженія. Съ этой цѣлью, такую, напримѣръ, строку

2 + 2—1 X 3—3: 2 + 2X2:10

учитель читаетъ дѣтямъ слѣдующимъ образомъ:

„Увеличьте два на два, уменьшите на единицу, увеличьте въ три раза, уменьшите на три, уменьшите въ два раза, увеличьте на два, увеличьте въ два раза, уменьшите въ десять разъ. Сколько подучили?“

Само собою разумѣется, что новыя выраженія могутъ замѣнять прежнія при обращеніи учителя къ дѣтямъ съ требованіемъ произвести то или другое дѣйствіе: „Какое число нужно уменьшить на три, чтобы получить пять?“ (Сложеніе.) „Какое число нужно увеличить на четыре, чтобы получить десять?“ (Вычитаніе.)

„Какое число нужно уменьшить въ четыре раза, чтобы получить два?“ (Умноженіе.)

„Какое число нужно увеличить въ три раза, чтобы получить шесть?“ (Дѣленіе.)

§ 15. Заключимъ эту главу немногими замѣчаніями.

При устныхъ упражненіяхъ въ предѣлѣ перваго десятка чиселъ мы держимся такого порядка:

Каждое новое упражненіе дѣти начинаютъ со счета на наглядныхъ пособіяхъ, послѣ чего производятъ счетъ безъ помощи такихъ пособій.

Когда дѣти усвоятъ достаточно твердо новыя сочетанія чиселъ, они повторяютъ ихъ въ связи съ предыдущими сочетаніями и, наконецъ, переходятъ къ рѣшенію прикладныхъ задачъ.

Что касается до задачъ, то мы стоимъ за простыя, доступныя дѣтямъ задачи и не вводимъ на этой ступени задачъ замысловатыхъ. Не признавая также особенной пользы за неопредѣленными задачами, мы ихъ не даемъ въ нашемъ „Сборникѣ“, равно какъ не даемъ и задачъ съ лишними или съ несообразными условіями, полагая, что, вообще, загадки и отгадки педагогическимъ цѣлямъ служить не могутъ.

Въ задачахъ на первый десятокъ чиселъ мы употребляемъ слова: аршинъ, фунтъ, четверикъ, ведро, годъ, часъ, мѣсяцъ, день, недѣля, верста только какъ доступные и понятные дѣтямъ термины и считаемъ преждевременнымъ знакомить дѣтей на этой ступени даже съ тѣми мѣрами, отношенія которыхъ выра-

жаются числами перваго десятка. Находимъ нужнымъ познакомить дѣтей только съ монетами (въ 1, 2, 3, 5, 10 копеекъ).

Намъ слѣдовало бы, наконецъ, сказать и о томъ, сколько времени могутъ потребовать изложенныя нами устныя упражненія. Но мы не беремъ на себя отвѣтственности назначать необходимаго для прохожденія этой ступени числа уроковъ, такъ какъ оно существенно зависитъ отъ слишкомъ многихъ и крайне разнообразныхъ обстоятельствъ. Возрастъ, который имѣютъ дѣти, среда, къ которой они принадлежатъ, степень развитія, котораго дѣти достигли до начала систематическихъ занятій—это и многое другое имѣетъ самое рѣшительное вліяніе на большую или меньшую продолжительность того времени, которое должно потребовать усвоеніе дѣтьми устныхъ вычисленій въ предѣлѣ перваго десятка чиселъ. Въ этомъ дѣлѣ самъ учитель лучшій судья; ему, въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ, и предстоитъ рѣшить вопросъ о томъ, наступило-ли время для перехода къ дальнѣйшимъ упражненіямъ.

II. Письменныя упражненія.

§ 1. Послѣ устныхъ упражненій въ предѣлѣ перваго десятка, мы переходимъ къ первоначальнымъ письменнымъ упражненіямъ.

Эти упражненія имѣютъ цѣлью:

1) ознакомить дѣтей съ письменнымъ обозначеніемъ чиселъ перваго десятка и съ знаками дѣйствій надъ числами;

2) научить дѣлей писать четко и красиво цыфры и числовыя выраженія;

3) дать дѣтямъ случай повторить, какъ обыкновенно говорятъ, цыфрахъ, то, что ими пройдено устно.

§ 2. Приступая къ ознакомленію дѣтей съ цыфрами, учитель наводитъ ихъ на то, что для обозначенія чиселъ*) можно было бы пользоваться черточками, намѣчая ихъ на доскѣ или на бумагѣ столько, сколько единицъ въ числѣ, которое нужно обозначить. При этомъ учитель обращаетъ вниманіе дѣтей на неудобства, сопряженныя съ такимъ способомъ обозначенія чиселъ,—неудобства, которыя заключаются въ слѣдующемъ: при письмѣ такимъ способомъ приходится намѣчать много черточекъ, а при. чтеніи необходимо пересчитывать всѣ намѣченныя черточки, прежде чѣмъ назвать число, ими обозначенное. Вслѣдствіе этихъ неудобствъ, для обозначенія чиселъ употребляются не черточки, а особые знаки, которые называютъ цыфрами.

Считаемъ полезнымъ познакомить дѣтей сперва съ римскими цыфрами, а затѣмъ уже съ арабскими.

*) Употребленіе выраженій: — изображать числа, изображеніе числа вмѣсто выраженій: обозначать числа, обозначеніе числа—мы признаемъ неправильнымъ: число, какъ и всякое отвлеченное понятіе, не можетъ быть изображено, а можетъ быть только обозначено тѣми или другими условными знаками.

Римскія цыфры должны имѣть такое начертаніе:

I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, ѴІІП, X.

При этомъ дѣтямъ придется запомнить только значеніе знаковъ V и X; обозначенія IV и IX можно на первыхъ порахъ и не показывать дѣтямъ. Останавливаться на римскихъ цыфрахъ или даже, какъ иногда дѣлается, употреблять ихъ для письменныхъ упражненій, въ родѣ такихъ:

III + VI = ѴІІІІ; V - II = III; IIIXII = VI; VIII : II = ІІІІ

мы считаемъ совершенно непроизводительнымъ. На римскія цыфры мы смотримъ только, какъ на удобный переходъ въ арабскимъ цыфрамъ. Къ тому-же онѣ имѣютъ нѣкоторое практическое примѣненіе, напримѣръ, на цыферблатѣ часовъ, что и слѣдуетъ указать дѣтямъ; не бѣда, конечно, если дѣти познакомятся при этомъ съ знаками: XI и XII.

Приступая къ арабскимъ цыфрамъ, учитель пишетъ на доскѣ по порядку римскія цыфры, а подъ ними соотвѣтствующія арабскія:

I, II, III, ІІІІ, V, VI, VII, VIII, ѴІІІІ,

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Затѣмъ онъ обращаетъ вниманіе дѣтей на то, что каждое изъ первыхъ девяти чиселъ обозначается особымъ знакомъ, начертаніе котораго нужно твердо запомнить, чтобы безошибочно назвать обозначенное цыфрой число, и что нужно научиться отчетливо писать эти знаки, чтобы умѣть обозначить письменно каждое изъ первыхъ девяти чиселъ.

§ 3. Что касается до начертанія цыфръ, то мы стоимъ за цыфры самой простой формы и считаемъ неумѣстнымъ всякія каллиграфическія украшенія.

Въ теченіе перваго года обученія мы совѣтуемъ употреблять для ариѳметическихъ упражненій тетради, разграфленныя на квадратныя клѣточки не слишкомъ мелкія (25 — 26 на строку). Образецъ такихъ клѣточекъ можно видѣть на таблицахъ, помѣщенныхъ въ концѣ нашей „Методики“. Употребленіе клѣточекъ облегчаетъ дѣтямъ письмо цыфръ и правильную ихъ разстановку, а также пріучаетъ ихъ къ порядку, столь необходимому при расположеніи письменныхъ вычисленій.

Когда дѣти усвоятъ значеніе цыфръ и пріобрѣтутъ достаточный навыкъ писать ихъ, то учитель показываетъ имъ, какъ обозначается письменно число десять. При этомъ учитель обращаетъ вниманіе дѣтей на то, что десять обозначается двумя знаками, что это обозначеніе занимаетъ двѣ сосѣднія клѣточки, что въ одной клѣточкѣ пишутъ знакомый имъ уже знакъ 1, а въ сосѣдней клѣточкѣ направо пишутъ знакъ О, который называется нулемъ. Дальнѣйшія поясненія, по поводу письменнаго обозначенія числа десять, пока еще преждевременны.

§ 4. Послѣ ознакомленія дѣтей съ цыфрами слѣдуетъ показать имъ знаки

дѣйствій. Учитель спрашиваетъ, напримѣръ, дѣтей: сколько будетъ семь да два и велитъ имъ записать, пользуясь цыфрами, что семь да два будетъ девять, что семь да два составитъ девять. Дѣти пишутъ:

7 да 2 будетъ 9 7 да 2 составитъ 9.

Затѣмъ учитель объясняетъ дѣтямъ, что такую строку записываютъ короче безъ помощи словъ такъ:

7 + 2 = 9

и объясняетъ имъ, что знакъ + служитъ для обозначенія того, что къ одному числу надо придать, прибавить, приложить другое число, а также для обозначенія того, что число надо увеличить на другое число, что знакъ = служитъ для обозначенія словъ: будетъ, составитъ, получится, равно.

Послѣ этого учитель упражняетъ дѣтей въ чтеніи равенствъ такого вида:

2 + 5 = 7

и говоритъ имъ, наконецъ, что всѣ знакомыя и употребляемыя ими при чтеніи такой строки выраженія: къ двумъ придать, прибавить, приложить семь, можно замѣнить выраженіемъ: сложить два и семь, что знавъ +, поставленный между цыфрами 2 и 7, выражаетъ требованіе сложить числа, обозначенныя этими цыфрами, что этотъ знакъ называется „знакомъ сложенія“, а также называется короче плюсомъ, и что знакъ = называется знакомъ равенства.

Послѣ этихъ объясненій, учитель даетъ дѣтямъ въ руки нашъ „Сборникъ“, показываетъ имъ рубрику „Сложеніе“ (Отдѣлъ второй. Примѣры для письменныхъ упражненій. I. Упражненія въ предѣлѣ перваго десятка), говоритъ имъ, что они должны внимательно и отчетливо списать каждую строку, сложить „въ умѣ“ числа обозначенныя въ каждый строкѣ и написать число, которое получили, отдѣливъ его знакомъ равенства такъ, какъ это показано нашей таблицы (см. № 1).

При этомъ совѣтуемъ наблюдать учителю за слѣдующимъ:

1) чтобы дѣти писали цыфру во всю клѣтку, но чтобы цыфра не переходила въ сосѣднюю клѣтку;

2) чтобы дѣти писали знакъ сложенія въ видѣ прямаго (не наклоннаго) креста съ чертами одинаковой толщины;

3) чтобы дѣти писали знакъ равенства двумя параллельными, достаточно толстыми чертами, не разставляя ихъ слишкомъ далеко и не слишкомъ сближая;

4) чтобы дѣти помѣщали знакъ равенства не въ одной клѣткѣ, а занимали бы имъ двѣ неполныя клѣтки, какъ у насъ показано, что способствуетъ отчетливости строкъ*).

Только - что указанныя письменныя упражненія являются въ предлагаемомъ

*) Эти наши примѣчанія и требованія относительно ариѳметическаго письма могутъ показаться слишкомъ мелочными и придирчивыми развѣ только тѣмъ изъ нашихъ читателей, которымъ не приходилось обучать дѣтей. Но мы увѣрены, что учителю эти требованія излишними не покажутся.

нами планѣ занятій ариѳметикой въ начальной школѣ первыми упражненіями, которыми учитель можетъ воспользоваться, чтобы дать дѣтямъ матеріалъ для занятій втихомолку, не считая начальныхъ упражненій въ письмѣ цыфръ. Такимъ матеріаломъ для занятій втихомолку (самостоятельныхъ занятій дѣтей, какъ обыкновенно говорятъ) справедливо дорожатъ учителя, которымъ приходится заниматься въ школѣ одновременно съ двумя или, даже, съ тремя отдѣленіями. Но мы, къ сожалѣнію, не можемъ дать учителю матеріала для занятій дѣтей втихомолку на первой ступени обученія ариѳметикѣ, т. е. при устныхъ упражненіяхъ въ предѣлѣ перваго десятка чиселъ, такъ какъ болѣе раннее, чѣмъ предлагаемое нами, ознакомленіе дѣтей съ цыфрами и знаками дѣйствій мы считаемъ преждевременнымъ, а наполненіе неизбѣжнаго, при нѣсколькихъ отдѣленіяхъ, досуга дѣтей такими ариѳметическими упражненіями, какъ рисованіе числовыхъ фигуръ и т. п., мы считаемъ безполезнымъ.

§ 5. Послѣ ознакомленія дѣтей съ знаками сложенія и равенства, слѣдуетъ перейти къ ознакомленію ихъ, по порядку, съ знаками остальныхъ дѣйствій, т. е. съ знаками вычитанія, умноженія, дѣленія. При этомъ учитель знакомитъ послѣдовательно дѣтей съ выраженіями: вычесть, умножить, раздѣлить, придерживаясь той схемы, которая дана нами для ознакомленія дѣтей съ словомъ сложить и съ знакомъ сложенія, и пользуется, по очереди, рубриками: „Вычитаніе; Умноженіе; Дѣленіе“ второго отдѣла нашего „Сборника“, какъ матеріаломъ для занятій втихомолку.

Что касается до письма этихъ знаковъ дѣйствій, т. е. до знаковъ —, Х» :, то учитель наблюдаетъ, чтобы знакъ вычитанія дѣти ставили по срединѣ клѣтки и писали бы его такъ, какъ это показано на нашей таблицы (см. $ 2). Относительно знака умноженія — наклоннаго креста (который мы исключительно употребляемъ) замѣтимъ, что дѣти для начертанія его проводятъ обыкновенно діагонали квадрата. На первыхъ порахъ дѣти могутъ писать такъ, но, когда рука и глазъ ихъ освоятся съ начертаніемъ этого знака, то легко пріучить дѣтей не занимать имъ всей клѣтки, а писать его въ нѣсколько уменьшенномъ видѣ, какъ это показано на нашей таблицѣ (см. № 8).

Что касается до знака дѣленія — двоеточія, который мы исключительно употребляемъ, то замѣтимъ, что дѣти, при письмѣ но клѣткамъ, любятъ ставить точки на нижней и верхней сторонѣ квадратика, но слѣдуетъ пріучить дѣтей располагать эти точки между линейками такъ, какъ это показано на нашей таблицѣ (см. № 4).

§ 6. Отъ этихъ письменныхъ упражненій, можно перейти къ упражненіямъ, озаглавленнымъ у насъ „Сложеніе и Вычитаніе“ №№ 23—61. Дѣти списываютъ указанную учителемъ строку, затѣмъ производятъ „вѣ умѣ“ обозначенныя въ строкѣ дѣйствія сложенія и вычитанія и записываютъ полученный результатъ такъ:

3 + 2 + 4 —6 + 7 —5 —1+3 —5 —1 = 1

7 — 3 — 2 + 8 — 6 + 4 — 5 + 6 — 2 + 3 = 10

Примѣры этой группы подобраны такъ, что самые длинные изъ нихъ умѣщаются вмѣстѣ съ результатомъ въ одной строкѣ тетради (25—26 клѣтокъ).

Примѣры на меньшее число данныхъ можно помѣщать по три и по два въ строку, отдѣляя ихъ другъ отъ друга запятой.

§ 7. Письменныя упражненія въ предѣлѣ перваго десятка чиселъ мы заканчиваемъ рубрикой: „Четыре дѣйствія“, №№ 62 —102 нашего „Сборника“.

Въ этихъ примѣрахъ дѣти встрѣчаются съ новымъ знакомъ — скобками. Учитель объясняетъ дѣтямъ, что скобки пишутся (ставятся) для того, чтобы показать, что, при вычисленіи строки, надо прежде всего начать съ вычисленія надъ тѣми числами, которыя стоятъ въ скобкахъ, или, какъ говорятъ, которыя заключены въ скобки. Такъ, напримѣръ, чтобы вычислить

9-(4 + 2)

надо: сперва приложить къ четыремъ два, а затѣмъ вычесть полученное число изъ девяти; чтобы вычислить

8 : (9 —7)

надо: сперва вычесть изъ девяти семь, а затѣмъ раздѣлить восемь на полученное число; чтобы вычислить

(3X2)-(7-5)

надо: сперва умножить три на два, затѣмъ вычесть изъ семи пять и, наконецъ, изъ перваго полученнаго числа вычесть второе полученное число. Необходимо и весьма полезно, приступая къ этимъ письменнымъ примѣрамъ, упражнять дѣтей въ чтеніи примѣровъ т. е. требовать отъ дѣтей перечисленія въ порядкѣ, указанномъ скобками и знаками, тѣхъ дѣйствій, которыя нужно выполнить, чтобы произвести требуемое вычисленіе. Такъ, напримѣръ, № 93 дѣти должны читать такъ: „Нужно восемь раздѣлить на четыре, потомъ девять раздѣлить на три, потомъ два умножить на два; послѣ этого нужно къ первому полученному числу прибавить второе полученное число, а изъ того, что получили, вычесть третье число.“

Когда дѣти прочтутъ такимъ образомъ первые пять — шесть примѣровъ „Сборника“, и уяснятъ себѣ значеніе скобокъ, тогда учитель задаетъ имъ примѣры для самостоятельныхъ вычисленій.

При этомъ все вычисленіе можетъ быть произведено устно и записанъ только окончательный результатъ его:

9 — (4 + 2) = 3

или же, это устное вычисленіе можетъ сопровождаться промежуточными записями въ такомъ видѣ:

9 — (4+ 2) = 9 — 6 = 3

Въ послѣднемъ случаѣ употребленіе цыфръ оказываетъ при вычисленіяхъ помощь въ томъ отношеніи, что, пользуясь цыфрами для промежуточныхъ записей, мы избавляемъ себя отъ необходимости помнить результатъ выполненаго уже дѣй-

ствія. На эту помощь, оказываемую намъ цыфрами слѣдуетъ, конечно, указать дѣтямъ.

Примѣры №№ 62—77 слѣдуетъ заставить дѣтей передѣлать въ двухъ видахъ, сперва безъ промежуточныхъ записей, а затѣмъ съ промежуточными записями. Остальные примѣры дѣти вычисляютъ, прибѣгая къ промежуточнымъ записямъ и записываютъ все вычисленіе въ томъ видѣ, какъ это показано на нашей таблицѣ (см.№ 5).

§ 8. Но кромѣ такого расположенія вычисленій, при которомъ всякое заключенное въ скобки числовое выраженіе замѣняютъ окончательнымъ результатомъ, весьма полезно, начиная уже на этой ступени, пріучать дѣтей къ расположенію вычисленій отдѣльными строками и столбцами. Такъ, напримѣръ, вычисленіе выраженія

(3 X з ) — (5 + 2) + (8:4) — (6 : 2)

можетъ сопровождаться такой записью:

§ 9. Существенную важность имѣетъ, наконецъ, и слѣдующее упражненіе: Учитель предлагаетъ дѣтямъ задачу, рѣшеніе которой требуетъ выполненія нѣсколькихъ дѣйствій, напримѣръ задачу:

„Мальчикъ разложилъ всѣ свои орѣхи на три кучки; въ одной кучкѣ было два орѣха, въ другой въ два раза больше, а въ третьей однимъ орѣхомъ больше, чѣмъ въ первой. Сколько орѣховъ было у мальчика?“

Установивъ съ дѣтьми ходъ рѣшенія предложенной задачи п заставивъ ихъ выполнить устно всѣ необходимыя для рѣшенія задачи вычисленія, учитель велитъ дѣтямъ записать сдѣланныя вычисленія въ порядкѣ подъ нумерами, такъ:

1) 2X2 = 4

2) 2 + 1 = 3

3) 2 + 4 + 3 = 9.

Такого рода работа даетъ обильный и полезный матеріалъ для самостоятельныхъ занятій дѣтей; распространяться относительно значенія подобныхъ упражненій мы не видимъ надобности.

Замѣтимъ, кстати, что, при обученіи начальной ариѳметикѣ, мы отрицаемъ цѣлесообразность составленія дѣтьми той окончательной формулы, вычисленіе которой даетъ непосредственно отвѣтъ на предложенную задачу.

Для задачи только что приведенной эта формула была бы слѣдующая:

2 + (2 X 2) + (2 + 1)

ГЛАВА ВТОРАЯ.

Дѣйствія надъ числами въ предѣлѣ первой сотни.

§ 1. Упражненія въ предѣлѣ первой сотни чиселъ имѣютъ цѣлью научить дѣтей считать и вычислятъ въ этомъ предѣлѣ, а также ознакомить ихъ съ письменнымъ обозначеніемъ чиселъ до ста.

Эти упражненія мы располагаемъ въ такомъ порядкѣ:

1) Счетъ десятками и дѣйствія надъ десятками. — Счетъ до ста.

2) Сложеніе.

3) Вычитаніе.

4) Умноженіе.

5) Дѣленіе.

§ 2. Переходя къ упражненіямъ въ предѣлѣ первой сотни чиселъ, учитель прежде всего знакомитъ дѣтей со счетомъ десятками.

Дѣти уже имѣли случай считать парами, тройками, пятками и легко поймутъ, что удобно, при счетѣ предметовъ, пользоваться болѣе или менѣе крупными счетными единицами.

Учитель долженъ сказать дѣтямъ, что число десять есть одна изъ самыхъ употребительныхъ счетныхъ единицъ, что число десять называютъ еще десяткомъ, что десятками считаютъ такъ-же, какъ и единицами: одинъ десятокъ, два десятка, три десятка, четыре десятка, пять десятковъ, шесть десятковъ, семь десятковъ, восемь десятковъ, девять десятковъ, десять десятковъ. Затѣмъ учителю слѣдуетъ познакомить дѣтей съ названіями: двадесять, тридесять, четыредесять, пятьдесятъ, шестьдесятъ, семьдесятъ, восемьдесятъ,

девятьдесятъ*) и обратить вниманіе дѣтей на то, что всѣ эти названія составлены изъ знакомаго имъ названія десять и знакомыхъ же имъ названій: одинъ, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять.

Послѣ этого учитель долженъ объяснить дѣтямъ, что названія двадесять, тридесять теперь въ русскомъ языкѣ не употребляются, а замѣняются названіями: двадцать, тридцать (два-дцать, три-дцать)**), а что названіе четыредесять замѣняется новымъ названіемъ сорокъ***). Наконецъ учитель долженъ

*) Намъ кажется не лишнимъ обратить вниманіе дѣтей на различіе въ удареніи и въ правописаніи этихъ словъ. Первыя три сложныя формы числительныхъ имѣютъ на концѣ ъ (винит. пад. ед. ч. слова десять), остальныя—з (род. над. мн. ч.).

**) Десять перешло въ дсятъ, а, по закону смягченія зубныхъ д и т въ соединеніи съ с, дс перешло въ щ но принято въ начертаніи числительныхъ удерживать букву д.

***) Дѣти обыкновенно спрашиваютъ о причинѣ такой неожиданной замѣны. Можно объяснить имъ, что встарину считали сороками: первое сорокъ, второе сорокъ и т. д., что и понынѣ соболь продается сороками или сорочками: каждый сорочекъ (на полную шубу) вложенъ въ чахолъ — въ сорочку.

указать дѣтямъ на названіе девяносто, замѣняющее названіе девятьдесятъ и на названіе сто, замѣняющее названіе десять десятковъ Такимъ образомъ дѣтямъ придется запомнить только два новыхъ простыхъ числительныхъ: сорокъ, сто и своеобразно составленное числительное девяносто.

Послѣ всѣхъ этихъ разъясненій, по нашему мнѣнію необходимыхъ, слѣдуетъ перейти въ упражненію дѣтей въ прямомъ и обратномъ счетѣ десятками, а затѣмъ къ производству дѣйствій надъ десятками первой сотни.

Эти упражненія ведутся устно, какъ на отвлеченныхъ примѣрахъ, которые учитель безъ труда можетъ составить самъ, такъ и на задачахъ № 238 — 320 нашего „Сборника“.

Цѣль этихъ упражненій состоитъ въ томъ, чтобы дѣти усвоили себѣ понятіе о десяткѣ, какъ о новой счетной единицѣ, вычисленія надъ которой не требуютъ пока иныхъ пріемовъ, кромѣ тѣхъ, съ которыми они уже знакомы изъ упражненій въ предѣлѣ перваго десятка.

§ 3. Непосредственно за устными упражненіями въ дѣйствіяхъ надъ полными десятками въ предѣлѣ первой сотни, мы считаемъ своевременнымъ перейти къ письменнымъ упражненіямъ сюда относящимся, въ виду чего и знакомимъ дѣтей прежде всего съ цыфровымъ обозначеніемъ десятковъ.

Такъ какъ этотъ первый шагъ на пути ознакомленія дѣтей съ относительнымъ (мѣстнымъ) значеніемъ цыфръ мы считаемъ весьма важнымъ, то мы излагаемъ здѣсь ходъ, котораго учитель долженъ, по нашему мнѣнію, держаться при этой работѣ.

„Возьмите ваши тетради и обозначьте цыфрами число десять. — Сколько цыфръ вы написали? Сколько клѣточекъ занято этими двумя цыфрами? Какая изъ этихъ двухъ клѣточекъ первая, какая изъ нихъ вторая? (Нужно уговориться.) Сдѣлаемъ съ вами такой уговоръ: будемъ считать клѣточки отъ правой руки къ лѣвой. — При такомъ уговорѣ, какую клѣточку мы будемъ называть второй клѣточкой, а какую — третьей, четвертой? — Войдутъ ли въ нашъ счетъ тѣ клѣточки, которыя находятся направо отъ нашей первой клѣточки?—Какая цыфра написана (поставлена) у васъ въ первой клѣточкѣ? Какая цыфра поставлена во второй клѣточкѣ? — Означаетъ ли цыфра 0 какое нибудь число, когда эта цыфра отдѣльно написана, какъ у меня здѣсь на классной доскѣ?—Какое число означаетъ цыфра 1, когда эта цыфра отдѣльно написана, какъ у меня здѣсь на классной доскѣ? — Какое число означаетъ та-же цыфра 1 у васъ, гдѣ она стоитъ во второй клѣточкѣ? — (Она означаетъ одинъ десятокъ). Чѣмъ указано, что цыфра 1 стоитъ во второй клѣточкѣ? — (Тѣмъ, что въ первой клѣточкѣ стоитъ нуль").

„Не догадаетесь ли вы теперь, какъ обозначить цыфрами два десятка, двадцать? — А какъ написать тридцать, сорокъ, пятьдесятъ, шестьдесятъ, семьдесятъ, восемьдесятъ, девяносто?“

„Вы теперь пишете по клѣточкамъ, но потомъ, когда научитесь правильно

и хорошо писать цыфры, вы будете писать какъ пишутъ большие, и цыфры не будутъ у васъ разставлены по клѣточкамъ, а написаны просто, рядомъ, какъ я написалъ на доскѣ, т. е. такъ: 30.“

„Сколько цыфръ я написалъ рядомъ и какія цыфры я написалъ рядомъ?— Если двѣ цыфры написаны рядомъ, то крайняя правая цыфра занимаетъ первое мѣсто, а цыфра, которая стоитъ рядомъ, налѣво отъ нея, занимаетъ второе мѣсто.“

„Какая же цыфра стоитъ здѣсь на второмъ мѣстѣ? Почему вы говорите, что цыфра 3 стоитъ на второмъ мѣстѣ? — Какой цыфрой занято первое мѣсто?—Напишите цыфру 7 въ какой нибудь клѣточкѣ. Какое число эта цыфра означаетъ? Напишите въ правой сосѣдней клѣточкѣ цыфру 0.“

„На какомъ мѣстѣ оказалась теперь цыфра 7? —Какое число обозначаютъ написанныя вами двѣ цыфры? — Приписавъ*) къ цыфрѣ 7 цыфру нуль, вы какъ бы подвинули цыфру 7 влѣво, поставили ее такимъ образомъ на второе мѣсто, повысили ее на одно мѣсто, а на этомъ мѣстѣ та-же цыфра обозначаетъ уже не семь единицъ, а семь десятковъ. Я написалъ на доскѣ цыфру 6; какъ мнѣ воспользоваться этой написанной цыфрой, не стирая ее, чтобы обозначить число шестьдесятъ? Вотъ вы и видите, что для письменнаго обозначенія чиселъ: „десять, двадцать, тридцать, сорокъ, пятьдесятъ, шестьдесятъ, семьдесятъ, восемьдесятъ, девяносто намъ не потребовалось новыхъ знаковъ, а мы воспользовались тѣми же цыфрами: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которыя служили намъ для обозначенія чиселъ: одинъ, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять.“

„Но распорядиться такъ мы могли только потому, что сдѣлали такой уговоръ: если какая нибудь цыфра, напримѣръ цыфра 7, стоитъ на первомъ мѣстѣ, то она означаетъ семь единицъ или число семь; если же та-же цыфра 7 стоитъ на второмъ мѣстѣ, то она означаетъ уже семь десятковъ или число семьдесятъ. Мы могли бы обойтись этими девятью цифрами, если бы всегда писали по клѣточкамъ: стоило бы только отличить какъ пибудь первую клѣточку отъ всѣхъ остальныхъ (обвести, напримѣръ, чернилами). Но писать всегда по клѣточкамъ неудобно и потому мы для письменнаго обозначенія чиселъ цыфрами употребляемъ знакъ 0, который также называютъ цыфрой. Цыфры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 называютъ значащими цыфрами: каждая изъ этихъ цыфръ обозначаетъ число. Цыфра О не обозначаетъ числа: она служитъ только для обозначенія пустыхъ мѣстъ, т. е. мѣстъ не занятыхъ значащими цыфрами.“

„Какъ мы короче назвали десять десятковъ? Число сто служитъ новой, болѣе крупной, чѣмъ десять, счетной единицей; эту счетную единицу называютъ сотней.— Во сколько разъ сто больше десяти?—Во сколько разъ десять больше единицы? — Какъ, для письменнаго обозначенія одной сотни, воспользоваться

*) Учитель объясняетъ, что приписать къ какои нибудь цыфрѣ нуль значитъ рядомъ съ цыфрою, направо отъ нея, написать 0. Не слѣдуетъ говорить: прибавить нуль, вмѣсто: приписать нуль.

цыфрой 1? „На первомъ мѣстѣ эта цыфра обозначаетъ одну единицу, а на второмъ мѣстѣ она обозначаетъ сколько?—Какъ-же цыфрой 1 обозначить число сто?—Какъ указать, что цыфра 1 занимаетъ третье мѣсто? — Какъ же написать цыфрами число сто?

§ 4. Познакомивъ такимъ образомъ дѣтей съ цыфровымъ обозначеніемъ десятковъ, учитель переходитъ съ ними къ письменнымъ упражненіямъ въ вычисленіяхъ на десятки (№№ 103 — 228 второго отдѣла нашего „Сборника“). Списывая примѣръ въ тетрадь, дѣти упражняются въ письмѣ цыфръ и знаковъ дѣйствій; затѣмъ они производятъ „въ умѣ“ требуемое вычисленіе или предписанный рядъ вычисленій и записываютъ полученный окончательно результатъ такъ, какъ это показано на нашей таблицѣ (см. № 6).

Относящіеся сюда примѣры нашего „Сборника“, по числу данныхъ, разсчитаны такъ, чтобы весь примѣръ вмѣстѣ съ результатомъ помѣщался въ одной строкѣ тетради (25—26 клѣточекъ въ строкѣ).

Что касается до примѣровъ „съ скобками“ (№№ 159 — 228), то дѣти могутъ выполнять означенныя вычисленія или прибѣгая къ промежуточнымъ записямъ, какъ это показано на нашей таблицѣ (см. № 7), или не прибѣгая къ промежуточнымъ записямъ (см. № 8).

Примѣры до № 182 умѣщаются съ промежуточными записями и результатомъ въ одной строкѣ. Начиная же съ примѣра № 183 придется переносить полученный результатъ въ слѣдующую строку, причемъ мы предпочитаемъ, чтобы вся запись расположена была въ тетради такъ, какъ это показано на нашей таблицѣ (см. № 9).

Въ послѣднихъ примѣрахъ этой группы (№№ 225—228) промежуточная запись не умѣщается въ одной строкѣ съ примѣромъ; все вычисленіе слѣдуетъ располагать такъ; какъ это показано на нашей таблицѣ (см. № 10).

§ 5. Считаемъ нужнымъ замѣтить, что, начиная съ этой ступени, письменныя упражненія могутъ и должны чередоваться съ устными упражненіями. Такъ, напримѣръ, письменныя упражненія, о которыхъ мы только-что говорили, могутъ быть ведены одновременно съ дальнѣйшими устными упражненіями — съ упражненіями въ счетѣ въ предѣлѣ первой сотни. При этомъ учитель, сообразуясь съ обстоятельствами, или посвящаетъ одинъ урокъ устнымъ упражненіямъ, а другой письменнымъ, или занимаетъ дѣтей поочередно тѣми и другими упражненіями въ теченіи одного и того же урока. Давать дальнѣйшія указанія по этому поводу мы полагаемъ неумѣстнымъ, но считаемъ нужнымъ замѣтить, что при обученіи дѣтей вычисленіямъ въ предѣлѣ первой сотни чиселъ, главная роль остается за упражненіями устными; письменныя же упражненія играютъ, въ ариѳметическомъ отношеніи, пока лишь роль второстепенную. На этой ступени цыфры не пріобрѣтаютъ еще того значенія, которое онѣ получатъ за предѣломъ первой сотни, гдѣ онѣ явятся „орудіемъ“ при вычисленіяхъ и гдѣ письменныя вычисленія будутъ имѣть самостоятельное значеніе. Въ предѣлѣ

же первой сотни чиселъ, письменныя упражненія имѣютъ скорѣе значеніе каллиграфическихъ упражненій, и помощь, оказываемая цыфрами при вычисленіяхъ, очень незначительна. Но мы нисколько не умаляемъ значенія этихъ письменныхъ упражненій; напротивъ, мы и на нихъ обращаемъ должное вниманіе, что лучше всего доказываютъ тѣ подробныя указанія, которыя мы сочли нужнымъ сдѣлать, говоря о нихъ.

§ 6. Послѣ ознакомленія дѣтей со счетомъ десятками и съ дѣйствіями надъ десятками, учитель переходитъ къ упражненію дѣтей въ счетѣ до ста, а затѣмъ къ ознакомленію ихъ съ цыфровымъ обозначеніемъ чиселъ первой сотни. При помощи этихъ упражненій дѣти должны быть доведены до отчетливаго пониманія состава чиселъ первой сотни изъ десятковъ и единицъ. Такое пониманіе существенно важно, такъ какъ является однимъ изъ необходимыхъ условій для усвоенія дѣтьми пріемовъ вычисленій.

При этихъ упражненіяхъ учителю едва ли можетъ представиться надобность прибѣгать къ нагляднымъ пособіямъ, каковы: ариѳметическій ящикъ, наборъ спичекъ, классные счеты. Мы, по крайней мѣрѣ, считаемъ излишнимъ надѣвать, напримѣръ, десять шариковъ на верхнюю проволоку счетовъ и одинъ шарикъ на слѣдующую проволоку, съ цѣлью показать дѣтямъ, что десять и одинъ составляютъ одиннадцать.

Приступая къ счету до ста, необходимо обратить вниманіе дѣтей на этимологическій составъ (и на правописаніе) новыхъ для нихъ названій, а также и на то обстоятельство, что эти новыя названія составлены изъ прежнихъ названій, которыя уже знакомы дѣтямъ.

При этомъ слѣдуетъ объяснить дѣтямъ, что числа: десять и одинъ, десять и два, десять и три, десять и четыре, десять и пять, десять и шесть, десять и семь, десять и восемь, десять и девять принято называть такъ: одинъ-на-дцать, двѣ-на-дцать и т. д. до девять-на-дцать, гдѣ слово дцатъ замѣняетъ слово десять ( дсять), такъ что въ названіяхъ чиселъ второго десятка указываются сперва число единицъ (не больше девяти), а потомъ число десять (дцать), съ которымъ эти единицы соединены въ одно число.

Кромѣ того, учителю слѣдуетъ указать дѣтямъ, что названія всѣхъ чиселъ второго десятка пишутся слитно, т. е. такъ: одиннадцать, двѣнадцать, тринадцать и т. д.

Переходя къ названіямъ чиселъ третьяго десятка, учителю слѣдуетъ сказать дѣтямъ, что и эти названія:

двадцать и одинъ, двадцать и два, двадцать и три и т. д. замѣняются другими, сокращенными названіями, но что это сокращеніе заключается просто въ томъ, что, при письмѣ, выпускаютъ союзъ „и“ между словомъ двадцать и слѣдующимъ словомъ, и пишутъ (не слитно) такъ: двадцать-одинъ, двадцать-два и т. д. Такимъ образомъ, въ названіяхъ чиселъ третьяго десятка сперва указывается число десятковъ, т. е. два, а потомъ число единицъ (не болѣе девяти), которыя соединены съ этими двумя десятками въ одно число.

Слѣдуетъ, наконецъ, показать дѣтямъ, что такимъ же точно путемъ составляются названія всѣхъ остальныхъ чиселъ до ста; такъ что только названія чиселъ второго десятка представляютъ нѣкоторую особенность относительно своего составленія.

Все это безъ труда дается дѣтямъ и закрѣпляется въ ихъ памяти послѣ ряда упражненій, которыя, собственно говоря, заключаются лишь въ томъ, что дѣти замѣняютъ обычное, сокращенное названіе числа, напримѣръ названіе: пятьдесятъ-семь, распространеннымъ названіемъ: пять десятковъ и семь единицъ, и, обратно, всякое распространенное названіе: девять десятковъ и три единицы, замѣняютъ обычнымъ, сокращеннымъ названіемъ: девяносто-три.

§ 7. Когда дѣти освоятся съ названіями чиселъ первой сотни, стѣдуетъ перейти въ ознакомленію ихъ съ цыфровымъ обозначеніемъ двузначныхъ чиселъ, къ которому дѣти, конечно, достаточно подготовлены умѣньемъ обозначать цыфрами полные десятки.

Учитель, напомнивъ дѣтямъ, что они умѣютъ уже обозначать цыфрами полные десятки (дѣти сейчасъ же поймутъ это выраженіе безъ всякихъ разъясненій), спрашиваетъ ихъ, не придумаютъ ли они, какъ обозначить цыфрами, напримѣръ, число одиннадцать. Легко можетъ случиться, что нѣкоторыя дѣти отвѣтятъ на этотъ вопросъ совершенно правильно и сознательно, предложивъ написать въ двухъ сосѣднихъ клѣточкахъ по цыфрѣ 1.

Но если бы не послѣдовало со стороны дѣтей такого отвѣта, то учитель можетъ подвести дѣтей къ нему такимъ приблизительно путемъ:

„Вы хотите цыфрами обозначить число одиннадцать; это число состоитъ изъ одного десятка и одной единицы.--Какъ вы цыфрами обозначили бы число десять? — Какое мѣсто занимаетъ цыфра 1 въ этомъ обозначеніи? Если бы вы зачеркнули (на доскѣ стерли) цыфру О, то оставшаяся цыфра 1 обозначала бы теперь какое число? — А если, вмѣсто стертаго съ доски нуля, поставить цыфру 1, то сохранитъ ли прежняя цыфра 1 и прежнее свое значеніе? — Какое число обозначаетъ только-что написанная мною цыфра 1? — Если вы, въ своихъ тетрадяхъ, напишете по цыфрѣ 1 въ двухъ сосѣднихъ клѣточкахъ, то изъ этихъ двухъ цыфръ на какомъ мѣстѣ будетъ стоять крайняя правая цыфра, и на какомъ мѣстѣ будетъ стоять крайняя лѣвая цыфра? — (Вы помните нашъ уговоръ?). — Что означаетъ цыфра 1 на первомъ мѣстѣ, что означаетъ та-же цыфра 1 па второмъ мѣстѣ?—Какое число обозначаютъ эти двѣ рядомъ поставленныя цифры?— Если рядомъ поставите цыфры 2 и 2, то получите обозначеніе какого числа?—Какое число обозначаетъ 33?—Вы видите, что одинаковыя цыфры могутъ служить для обозначенія различныхъ чиселъ.—Отъ чего это зависитъ?—Какія числа я обозначилъ, написавъ на доскѣ: 55, 83, 99?—Напишите у себя въ двухъ клѣточкахъ, рядомъ, цыфры 2, 6.—Какъ у тебя размѣщены эти двѣ цыфры въ двухъ сосѣднихъ клѣточкахъ? — А у тебя какъ?—Нельзя ли тѣ-же цыфры размѣстить въ двухъ сосѣднихъ клѣточ-

кахъ иначе?—Какое число обозначаютъ цыфры 2, 6, когда онѣ размѣщены такъ: 26; а какое число обозначаютъ эти-же цыфры, когда онѣ размѣщены такъ: 62?“

Послѣ подобныхъ разъясненій, учитель пишетъ на доскѣ различныя двузначныя числа и заставляетъ дѣтей читать (называть) ихъ, а также, въ свою очередь, называетъ дѣтямъ числа первой сотни, и дѣти ихъ пишутъ въ своихъ тетрадяхъ.

§ 8. Когда дѣти усвоятъ себѣ словесную и письменную нумерацію до ста, мы переходимъ съ ними къ вычисленіямъ въ предѣлѣ первой сотни чиселъ и упражняемъ ихъ послѣдовательно въ сложеніи, вычитаніи, умноженіи и дѣленіи.

Сложеніе.

§ 9. Дѣти уже умѣютъ складывать числа, сумма которыхъ не превышаетъ десяти (сложеніе въ предѣлѣ перваго десятка), а также умѣютъ складывать десятки въ предѣлѣ первой сотни. Теперь предстоитъ научить дѣтей складывать любыя два числа, сумма которыхъ не превышаетъ ста.

Различные случаи сложенія сюда относящіеся могутъ быть расположены въ слѣдующемъ порядкѣ:

1) Приложить къ полнымъ десяткамъ единицы (30 + 5), или наоборотъ (7 + СО).

2) Приложить къ полнымъ десяткамъ двузначное число*) (50 + 35), или наоборотъ (47 + 20).

3) Приложить къ двузначному числу однозначное число, или наоборотъ, когда сумма единицъ обоихъ слагаемыхъ меньше десяти (35 + 3; 2 + 74).

4) Приложить къ двузначному числу двузначное, когда сумма единицъ обоихъ слагаемыхъ меньше десяти (35 + 42).

5) Приложить къ двузначному числу однозначное, или наоборотъ, когда сумма единицъ обоихъ слагаемыхъ равна десяти (54 + 6; 3 + 37).

6) Приложить къ двузначному числу двузначное, когда сумма единицъ обоихъ слагаемыхъ равна десяти (23 + 47).

7) Приложить къ двузначному числу однозначное, или наоборотъ, когда

сумма единицъ обоихъ слагаемыхъ превышаетъ десять 4-«9; 7 + 56).

8) Общій случай. Приложить къ двузначному числу двузначное число, когда сумма единицъ слагаемыхъ превышаетъ десять (68 + 27).

§ 10. Приступая къ сложенію до ста, учитель скажетъ дѣтямъ, что они уже умѣютъ складывать числа до десяти, а что теперь имъ пора научиться скоро

*) Здѣсь слѣдовало бы, собственно, говорить: число состоящее изъ десятковъ и единицъ; по для краткости мы употребляемъ выраженія: двузначное число, однозначное число (вмѣсто число перваго десятка), хотя выраженія эти болѣе умѣстны, когда рѣчь идетъ о числахъ означенныхъ цыфрами.

и вѣрно складывать числа до ста. Эти упражненія учитель располагаетъ въ той послѣдовательности, которую мы только-что установили для различныхъ случаевъ сложенія въ предѣлѣ первой сотни чиселъ.

1) Приложитъ къ полнымъ десяткамъ единицы + 5), или наоборотъ (7 + 60).

Производство сложенія въ этомъ случаѣ не требуетъ никакого вычисленія. На вопросъ: „Сколько будетъ тридцать и пять?“ дѣти отвѣчаютъ словами предложеннаго вопроса, даже не переставляя ихъ, и говорятъ: „тридцать пять". На вопросъ же: „Сколько будетъ семь и шестьдесятъ?“ дѣти опять отвѣчаютъ словами предложеннаго вопроса, переставляя ихъ только потому, что принято говорить шестьдесятъ-семь, а не семь и шестьдесятъ.

2) Приложить къ полнымъ десяткамъ двузначное число (50 + 35), или наоборотъ (47 + 20).

Предложивъ дѣтямъ прибавить къ числу 50 число 35, учитель спрашиваетъ ихъ, изъ сколькихъ десятковъ и сколькихъ единицъ состоитъ 35 и наводитъ, затѣмъ, дѣтей на то, что они могутъ сперва прибавить десятки второго слагаемаго, а потомъ къ полученному числу прибавить единицы второго слагаемаго.

Послѣ этого, учитель предлагаетъ дѣтямъ приложить къ какому нибудь числу, напримѣръ, къ числу 47, число, выраженное полными десятками, напримѣръ 20. Дѣти обыкновенно говорятъ: „Это все равно, что къ двадцати прибавить сорокъ-семь“ и считаютъ такъ: „двадцать да сорокъ — шестьдесятъ, шестьдесятъ да семь —шестьдесятъ-семь“. Признавъ такой счетъ, конечно, совершенно правильнымъ, учитель долженъ указать дѣтямъ, что нѣтъ даже надобности въ перестановкѣ данныхъ чиселъ, такъ какъ легко сразу прибавить двадцать къ сорока семи.

3) Приложить къ двузначному числу однозначное число, или наоборотъ, когда сумма единицъ слагаемыхъ меньше десяти ( ; 2 + 74).

На вопросъ: „Сколько будетъ тридцать-пять и три?“ дѣти отвѣтятъ, конечно, правильно и безъ всякаго затрудненія, зная, что пять да три —восемь. Послѣ двухъ, трехъ такихъ примѣровъ дѣти увидятъ, что производство сложенія въ предѣлѣ любаго десятка требуетъ только умѣнія складывать числа въ предѣлѣ перваго десятка.

Когда вопросъ предложенъ въ такомъ видѣ: „Къ двумъ приложите 74“, то дѣти обыкновенно переставляютъ слагаемыя и говорятъ: „Это все равно, что сложить 74 и 2; а 74 и 2 составляютъ 76“. Одобривъ такой отвѣтъ, учитель велитъ дѣтямъ приложить къ двумъ 74, не переставляя данныхъ чиселъ. Тогда дѣти прибавляютъ сперва къ двумъ 70, а затѣмъ къ семидесяти двумъ прибавляютъ четыре. „Какъ же вы разбили 74, чтобы прибавить это число къ двумъ? Что вы прибавили сперва, что прибавили потомъ?“

4) Приложить къ двузначному числу двузначное число, когда сумма единицъ слагаемыхъ меньше десяти (35 + 42).

Предложивъ дѣтямъ приложить, напримѣръ, къ числу 35 число 42, учитель

спрашиваетъ дѣтей: „Какъ вы разложите 42, чтобы прибавить это число къ числу 35? — Что вы сперва прибавите? Что вы потомъ прибавите къ полученному числу? Сумѣете-ли вы и это сдѣлать? Да, въ этомъ примѣрѣ вы сумѣете сложить числа, потому что вы вѣдь уже умѣете складывать числа до десяти. Скажите сами нѣсколько примѣровъ на сложеніе, для выполненія котораго вамъ пришлось-бы сложить нѣсколько десятковъ, выходя изъ сотни, и нѣсколько единицъ, не выходя изъ десятка. Сложите 53 и 44, 25 и 24, 37 и 62 и пр.“

5) Приложитъ къ двузначному числу однозначное число, или наоборотъ, когда сумма единицъ слагаемыхъ равна десяти (54 + 37).

Учитель предлагаетъ дѣтямъ прибавить, напримѣръ, къ числу 54 число 6 и спрашиваетъ ихъ: „Чѣмъ этотъ примѣръ отличается отъ всѣхъ тѣхъ примѣровъ, которые до сихъ поръ я вамъ задавалъ и вы сами придумывали? Да; въ этомъ примѣрѣ второе слагаемое дополняетъ до десятка единицы перваго слагаемаго. Сколько же вы получите, прибавивъ къ пятидесяти-четыремъ шесть? — Сколько будетъ 33 и 7, 82 и 8, 71 и 9, 14 и 6, 35 и 5? — Прибавьте къ тремъ 37. Сколько вы получили? — Вы переставили эти числа.—Можете ли вы сложить эти числа, не переставляя ихъ? Какъ вы будете складывать въ такомъ случаѣ? Вмѣсто того, чтобы сперва прибавлять десятки второго слагаемаго, а потомъ его единицы, въ какомъ другомъ порядкѣ вы можете прибавлять эти части второго слагаемаго къ первому слагаемому? Назовите какое нибудь число, состоящее изъ десятковъ и единицъ, и назовите число, которое дополняетъ его до сосѣдняго числа десятковъ. Назовите еще нѣсколько паръ такихъ чиселъ.“

6) Приложитъ къ двузначному числу двузначное число, когда сумма единицъ слагаемыхъ равна десяти (33 + 47).

Чтобы къ двадцати-тремъ прибавить сорокъ-семь, дѣти прибавляютъ сперва сорокъ, и къ полученному числу прибавляютъ потомъ семь.

„Назовите два числа, отъ сложенія которыхъ получилось бы число, выраженное полными десятками. Назовите еще нѣсколько паръ такихъ чиселъ. Назовите два числа, которыя вмѣстѣ составили бы сто. Назовите еще нѣсколько паръ такихъ чиселъ.“

7) Приложитъ къ двузначному числу однозначное число, или наоборотъ, когда сумма единицъ слагаемыхъ превышаетъ десять (27 + 8] 7 + 56).

Прежде, чѣмъ приступить къ этому случаю сложенія, учитель долженъ привести нѣсколько примѣровъ на прежніе случаи и указать дѣтямъ, что до сихъ поръ они сводили сложеніе чиселъ до ста къ сложенію полныхъ десятковъ и къ сложенію чиселъ до десяти, причемъ разлагали придаваемое число на десятки и единицы, когда оно было больше десяти и прибавляли эти части одну за другой (послѣдовательно). — Послѣ этого, учитель предлагаетъ дѣтямъ прибавить, напримѣръ, къ числу 27 число 8, и спрашиваетъ дѣтей:

„Чѣмъ этотъ примѣръ отличается отъ тѣхъ примѣровъ, которые вамъ уже встрѣчались? Какъ вы стали бы къ двадцати-семи присчитывать восемь?— Когда удобно сдѣлать остановку при такомъ присчитываніи по единицѣ?

Почему удобно сдѣлать такую остановку именно тогда, когда вы дойдете до тридцати? Да; остальныя единицы вы прибавите сразу, безъ всякаго вычисленія.—Но какъ вы узнаете, сколько единицъ осталось прибавитъ къ полученнымъ полнымъ десяткамъ? — (Изъ того, что нужно было прибавить, вычтемъ то, что уже прибавили). На сколько же частей вы разбили 8? На какія части вы разбили 8? Почему же вы восемь разбили на три и на пять, а не какъ нибудь (Потому что къ 27 нужно прибавить 3, чтобы дополнить 27 до 30).—Какъ вы разложите восемь, чтобы это число прибавить къ 56, къ 75, къ 14, къ 23 и пр.? Какъ вы разложите 7, чтобы это число придать къ числамъ 15, 26, 37, 48, 59? — Вернемся теперь въ нашему примѣру, къ сложенію чиселъ 27 и 8.—Если бы вы твердо знали и всегда бы помнили, что 7 и 8 составляютъ 15, то какъ бы вы приложили восемь къ двадцати-семи?—Да; зная, что 7 и 8 составляютъ 15, вы приложили-бы 15 въ 20 и получили-бы 35.— Присчитайте въ семи шесть; сколько будетъ? — Зная, что 7 и 6 составляютъ 13, какъ вы прибавите 6, къ числамъ 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87? Чтобы сложить 3 да 5, станете ли вы къ тремъ присчитывать одну за другой пять единицъ? — (Нѣтъ; мы помнимъ, что три да пять — восемь). — Вы теперь должны точно также твердо запомнить числа, которыя получаются отъ сложенія всякихъ двухъ чиселъ перваго десятка.—Если вы эти числа будете помнить, то вамъ не придется каждый разъ, при сложеніи, присчитывать одну единицу за другой, а, зная, напримѣръ, что 7 и 5 составляютъ 12, вы легко сложете 27 и 5, 47 и 5, 67 и 5. Умѣя складывать два числа перваго десятка, вы сумѣете къ любому числу первой сотни приложить любое число перваго десятка. Къ 35 приложите 8, къ 85 приложите 8, къ 24 прибавьте 7, къ 36 прибавьте 6 и пр. Какъ вы поступили бы, чтобы въ 7 придать 56?— Да, вы разбили бы 56 на десятки и на единицы, прибавили бы къ семи пятьдесятъ, а потомъ къ пятидесяти-семи прибавили бы шесть.“

8) Приложить къ двузначному числу двузначное число, когда сумма единицъ слагаемыхъ превышаетъ десять (68-{-27).

Послѣ изложенныхъ разъясненій учитель переходитъ, наконецъ, съ дѣтьми къ общему случаю сложенія въ предѣлѣ первой сотни и предлагаетъ дѣтямъ сложить, напримѣръ, числа 68 и 27. Дѣти разбиваютъ второе слагаемое на десятки и единицы и прикладываютъ послѣдовательно эти части къ первому слагаемому. Путемъ предыдущихъ упражненій и разъясненій учитель естественно приведетъ дѣтей къ слѣдующимъ заключеніямъ:

1) Чтобы приложить число, состоящее изъ десятковъ и единицъ, нужно разбить это число на его десятки и его единицы и приложить послѣдовательно эти части къ первому слагаемому.

2) Чтобы скоро и безъ затрудненій приложить число меньшее десяти, нужно запомнить числа, которыя получаются отъ сложенія каждыхъ двухъ чиселъ перваго десятка.

Мы считаемъ полезнымъ, чтобы дѣти по указаніямъ учителя составили въ своихъ тетрадяхъ таблицу сложенія; эта работа обыкновенно интересуетъ дѣтей. Что касается до расположенія таблицы, то мы предпочитаемъ дать ей тотъ видъ, который указанъ на нашей таблицѣ (см. № 11).

Когда эта таблица будетъ составлена дѣтьми*), то они увидятъ, что часть ея имъ уже знакома, и что остается только запомнить остальныя суммы. Эта таблица можетъ служить, между прочимъ, и для нагляднаго подтвержденія того свойства суммы, что она не измѣняется отъ измѣненія порядка слагаемыхъ.

Что касается до усвоенія дѣтьми этой таблицы, то оно должно быть достигнуто исключительно путемъ постояннаго упражненія и частаго повторенія, а не заучиваніемъ этой таблицы наизусть.

Вышеуказанный нами пріемъ сложенія, который заключается въ томъ, что, пользуясь десятичнымъ составомъ чиселъ, мы разбиваемъ второе слагаемое на его десятки и единицы и послѣдовательно прикладываемъ ихъ къ первому слагаемому, начиная съ десятковъ,—мы называемъ нормальнымъ пріемомъ устнаго сложенія. До полнаго усвоенія этого нормальнаго пріема и до свободнаго владѣнія имъ должны быть обязательно доведены всѣ дѣти. Изъ этого однако-же нисколько не вытекаетъ того заключенія, что частные пріемы (такъ мы называемъ пріемы, которые отличаются отъ нормальнаго пріема) должны быть отвергаемы при обученіи. Напротивъ, учителю не только слѣдуетъ поощрять дѣтей въ пріисканіи частныхъ пріемовъ и пріучать ихъ пользоваться тѣми особенностями, которыя такъ часто представляютъ данныя числа, но и надлежитъ прямо указывать на такіе частные пріемы, которые облегчаютъ и ускоряютъ то или другое устное вычисленіе. Къ числу такихъ пріемовъ принадлежитъ, напримѣръ, одинъ частный пріемъ сложенія, весьма удобный въ примѣненіи къ прибавленію чиселъ: девять и восемь. Пріемъ этотъ состоитъ въ томъ, что когда предстоитъ прибавить девять (восемь), то можно вмѣсто девяти (восьми) прибавить десять, а, затѣмъ, откинуть отъ полученнаго числа одну единицу (двѣ единицы), такъ какъ прибавлена лишняя единица (прибавлены лишнія двѣ единицы). Этотъ весьма употребительный пріемъ облегчаетъ устное сложеніе во многихъ случаяхъ и дѣти имъ охотно пользуются. Наравнѣ съ этимъ дѣти легко усвоятъ себѣ и тотъ пріемъ, которымъ удобно пользоваться въ тѣхъ часто встрѣчающихся случаяхъ, когда приходится прибавлять число близкое къ слѣдующему за нимъ числу, выраженному полными десятками, напримѣръ числа: 39, 49, 69; 28, 58, 78.

§ 11. Упражненія въ сложеніи до ста учитель ведетъ какъ на отвлеченныхъ числахъ, такъ и на задачахъ №№ 321—350 нашего „Сборника“, на бѣгломъ вычисленіи и письменно на примѣрахъ № 229 — 248. Относительно упражненій на отвлеченныхъ числахъ и на задачахъ мы не имѣемъ повода дѣлать здѣсь какихъ либо замѣчаній. Что же касается до упражненій въ бѣгломъ вычисленіи, то укажемъ на

*) При этомъ придется помириться съ тѣмъ неудобствомъ, что двузначныя числа занимаютъ въ этой таблицѣ одну клѣточку.

упражненіе, состоящее въ томъ, что учитель, назвавъ какое-нибудь небольшое число (число перваго десятка), велитъ дѣтямъ прикладывать къ этому числу послѣдовательно одно и то-же другое число и называть каждый разъ полученное число. Такъ, напримѣръ, учитель говоритъ дѣтямъ:

„Приложите къ семи восемь, къ тому что получите приложите опять восемь и прикладывайте все по восьми, пока дойдетъ до ста, или перейдетъ за сто.“

Дѣти считаютъ такъ: „пятнадцать, двадцать-три, тридцать-одинъ“ и т. д.

Это упражненіе, веденіе котораго не представляетъ для учителя никакого затрудненія, мы признаемъ весьма полезнымъ и видимъ въ немъ хорошее средство для пріобрѣтенія дѣтьми навыка въ устномъ сложеніи.

Другой видъ упражненій въ бѣгломъ вычисленіи заключается въ томъ, что учитель называетъ числа, которыя дѣти прикладываютъ послѣдовательно къ первому названному числу; произведя рядъ этихъ сложеній „въ умѣ“, дѣти по требованію учителя называютъ только окончательный итогъ.

Такъ, напримѣръ, учитель говоритъ:

„Приложите къ четыремъ шесть, приложите восемь, приложите двѣнадцать, приложите четырнадцать, приложите восемнадцать, приложите двадцать два. Сколько получили?“

Такъ какъ веденіе подобныхъ упражненій можетъ представить для учителя нѣкоторое затрудненіе, вслѣдствіе того, что, наблюдая за классомъ, онъ долженъ одновременно самъ производить вычисленіе, чтобы судить о вѣрности полученнаго дѣтьми результата, то мы, для облегченія учителю этой работы, помѣстили въ особомъ „Прибавленіи“ матеріалъ для упражненій въ бѣгломъ вычисленіи. Позволимъ себѣ только посовѣтовать учителю не торопиться при чтеніи передъ классомъ этихъ строкъ и просить его не добиваться отъ дѣтей слишкомъ большой бѣглости при этихъ бѣглыхъ вычисленіяхъ. Слѣдуетъ придавать, по нашему мнѣнію, гораздо большую цѣну тому, чтобы дѣти вычисляли увѣренно, чѣмъ тому, чтобы они вычисляли очень быстро. Есть дѣти, которыя вычисляютъ быстро, но при этомъ часто ошибаются; есть и такія дѣти, которыя вычисляютъ медленно, но при этомъ почти никогда не ошибаются. Добиваться того, чтобы дѣти изумляли и даже щеголяли быстротой устныхъ вычисленій, мы считаемъ неосновательнымъ и неумѣстнымъ, а требуемъ только, чтобы дѣти вычисляли съ разумѣніемъ и съ увѣренностью. Большая или меньшая степень быстроты въ вычисленіяхъ зависитъ отъ индивидуальныхъ особенностей. Что касается до письменныхъ упражненій въ сложеніи до ста, то эти упражненія служатъ дѣтямъ средствомъ для повторенія и матеріаломъ для занятій втихомолку (для самостоятельныхъ занятій).

§ 12. Во время упражненій въ сложеніи до ста, или непосредственно за этими упражненіями, мы считаемъ своевременнымъ познакомить дѣтей съ названіями: слагаемыя, сумма. Учителю слѣдуетъ сказать дѣтямъ, что числа, которыя даны для сложенія, называютъ слагаемыми, а то число, которое получается отъ

сложенія, называется суммой (итогомъ). При этомъ учитель долженъ также сказать дѣтямъ, что часто говорятъ: найдите сумму двухъ чиселъ (найдите сумму чиселъ 7 и 8), вмѣсто того, чтобы сказать: сложите два числа (сложите 7 и 8). „Обозначьте письменно сумму чиселъ 12 и 13; найдите сумму этихъ чиселъ; обозначьте письменно, что сумма чиселъ: 12 и 13 равна числу 25.—Прочтите написанное мною на доскѣ: 25 + 15 = 40.—Вѣрно ли написанное мною равенство?—Прочтите написанное мною теперь на доскѣ: 25 + 15 = 50.—Вѣрно ли написанное мною равенство?—Почему это равенство невѣрно?“

Вычитаніе.

§ 13. Различные случаи, которые могутъ встрѣтиться при вычитаніи въ предѣлѣ первой сотни, мы располагаемъ въ слѣдующемъ порядкѣ, придерживаясь котораго и обучаемъ дѣтей вычитанію до ста.

1) Изъ двузначнаго числа вычесть его единицы или его десятки (27—7; 27-20).

2) Изъ двузначнаго числа вычесть число, выраженное полными десятками (78—50), или вычесть нѣсколько единицъ, число которыхъ меньше числа единицъ уменьшаемаго (87—4).

3) Изъ двузначнаго числа вычесть двузначное число, когда число единицъ вычитаемаго меньше числа единицъ уменьшаемаго (75—43).

4) Изъ числа, выраженнаго полными десятками, вычесть число перваго десятка (60—7).

5) Изъ числа, выраженнаго полными десятками, вычесть двузначное число (80—37).

С) Изъ числа второго десятка вычесть число перваго десятка, когда оно превышаетъ единицы уменьшаемаго (13—7).

7) Изъ двузначнаго числа вычесть однозначное число, коіда оно превышаетъ единицы уменьшаемаго (56—8).

8) Изъ двузначнаго числа вычесть двузначное чисо, когда число единицъ вычитаемаго превышаетъ число единицъ уменьшаемаго (94—47).

Такъ какъ весь ходъ упражненій въ вычитаніи до ста представляетъ полнѣйшее сходство съ изложеннымъ нами ходомъ упражненій въ сложеніи въ томъ же предѣлѣ, то мы считаемъ излишнимъ говорить объ этихъ упражненіяхъ такъ же подробно, а ограничимся только немногими замѣчаніями. Учитель начинаетъ съ дѣтьми упражненія въ вычитаніи съ простѣйшаго случая и переходитъ къ остальнымъ въ томъ порядкѣ, который нами указанъ.

Когда изъ числа, состоящаго изъ десятковъ и единицъ, требуется вычесть его единицы или ею десятки (27 — 7, 27 — 20), то производство этого дѣйствія не требуетъ никакою вычисленія.

Въ томъ случаѣ, когда изъ двузначнаго числа требуется вычесть число,

выраженное полными десятками (78—50), или нѣсколько единицъ, число которыхъ меньше числа единицъ уменьшаемаго (87—4), выполненіе этого дѣйствія сводится къ вычитанію полныхъ десятковъ или къ вычитанію въ предѣлѣ перваго десятка.

При вычитаніи двузначнаго числа изъ двузначнаго, когда число единицъ вычитаемою меньше числа единицъ уменьшаемаго (75—43), слѣдуетъ указать дѣтямъ на то, что, разбивъ вычитаемое на десятки и единицы, удобно вычесть сперва десятки, а затѣмъ изъ полученнаго числа вычесть единицы вычитаемаго. При вычитаніи числа перваго десятка изъ числа, выраженною полными десятками (60 — 7), дѣти отдѣляютъ одинъ десятокъ отъ уменьшаемаго, вычитаютъ изъ него требуемое число единицъ и придаютъ остатокъ къ остальнымъ десяткамъ уменьшаемаго.

Если бы требовалось вычесть двузначное число изъ числа, выраженнаго полными десятками (80—37), то дѣти, разложивъ вычитаемое на его десятки и единицы, вычитаютъ сперва десятки изъ уменьшаемаго, а изъ полученнаго числа полныхъ десятковъ вычитаютъ единицы вычитаемаго.

Такимъ путемъ дѣти познакомятся, не встрѣтивъ никакихъ затрудненій, съ производствомъ вычитанія въ первыхъ пяти случаяхъ.

Прежде чѣмъ перейти къ слѣдующему случаю вычитанія (13 — 7, 15 — 8, 17 — 9), учитель долженъ привести нѣсколько примѣровъ на прежніе случаи и указать дѣтямъ, что до сихъ поръ они сводили вычитаніе чиселъ въ предѣлѣ первой сотни къ вычитанію полныхъ десятковъ и къ вычитанію чиселъ въ предѣлѣ перваго десятка, причемъ разлагали вычитаемое число на десятки и единицы, когда оно было больше десяти, и вычитали эти части одну за другой (послѣдовательно). Послѣ этого учитель предлагаетъ дѣтямъ вычесть, напримѣръ, изъ числа 13 число 7 и спрашиваетъ ихъ:

„Чѣмъ этотъ примѣръ отличается отъ тѣхъ примѣровъ, которые вамъ уже встрѣчались?—Какъ вы будете отсчитывать семь отъ тринадцати?—Когда удобно сдѣлать остановку при такомъ отсчитываніи по единицѣ?—Почему удобно сдѣлать остановку именно тогда, когда вы дойдете до десяти?— Да; остальныя единицы вы вычтете изъ десяти сразу.—Но какъ вы узнаете, сколько единицъ осталось вычесть изъ десяти?—(Изъ того, что нужно было вычесть, вычтемъ тѣ единицы, которыя мы уже отняли).—На сколько же частей вы разбили 7? На какія части вы разбили 7?—Почему же вы 7 разбили на 3 и на 4, а не какъ нибудь иначе?—(Потому что отъ тринадцати нужно откинуть три, чтобы осталось десять).—Какъ вы. разложили бы 8, чтобы вычесть это число изъ чиселъ 12, 17, 13, 14, 15?—Какъ вы разложили бы 5, чтобы вычесть это число изъ чиселъ 14, 11, 13, 12? — Если бы вы твердо знали и всегда помнили, что тринадцать безъ семи— шесть, то какъ бы вы вычли 7 изъ 53? — Да, вы отдѣлили бы 13 отъ 53, вычли бы изъ этой отдѣленной части 7 и остатокъ приложили бы къ 40.—Вычтите 7 изъ 23, 93, 33, 86, 43, 73, 63.—Вычтите 5 изъ чиселъ 14, 84, 23, 73, 32, 82, 41, 71.—Вычтите изъ числа 34

число 26. — Какъ вы разобьете число, которое нужно вычесть? (На десятки и единицы.) — Какую часть его вы прежде вычтете, которую вычтете потомъ? — Какъ вы вычтете шесть изъ четырнадцати? — Какъ вычтете 18 изъ 84, 23 изъ 41, 47 изъ 94, 58 изъ 81 и пр.“.

Вы умѣете производить сложеніе до ста легко и скоро во всѣхъ случаяхъ, потому что запомнили таблицу сложенія. — Сколько составляетъ 6 и 7? — Если 6 и 7 составляютъ 13, то тринадцать безъ шести, безъ семи сколько? — Сколько составляютъ 7 и 8?—15 безъ семи сколько?—15 безъ восьми сколько?“ Путемъ этихъ упражненій и разъясненій учитель естественно доведетъ дѣтей до слѣдующихъ заключеній:

1) Чтобы вычесть число, состоящее изъ десятковъ и единицъ, нужно разбить это число на его десятки и ею единицы и вычесть послѣдовательно эти части.

2) Чтобы скоро и безъ затрудненій вычесть число перваго десятка, нужно запомнить числа, которыя получаются отъ вычитанія каждаго числа перваго десятка изъ каждаго числа второго десятка.

Усвоеніе дѣтьми таблицы вычитанія и достиженіе ими навыка свободно владѣть нормальнымъ пріемомъ устнаго вычитанія составляютъ главнѣйшую цѣль всѣхъ упражненій въ вычитаніи до ста.

Учителю слѣдуетъ и здѣсь указать дѣтямъ на одинъ частный пріемъ, весьма удобный въ примѣненіи къ вычитанію чиселъ 9 и 8. Пріемъ этотъ состоитъ въ томъ, что вмѣсто девяти (восьми), можно вычесть десять, а затѣмъ къ полученному числу прибавить единицу (двѣ единицы), такъ какъ вычтена лишняя единица (вычтены лишнихъ двѣ единицы).

Этотъ весьма употребительный пріемъ облегчаетъ устное вычитаніе во многихъ случаяхъ, дѣти пользуются имъ такъ-же охотно и свободно, какъ и соотвѣтствующимъ пріемомъ при сложеніи.

Наравнѣ съ этимъ дѣти легко усвоятъ себѣ и тотъ пріемъ, которымъ удобно пользоваться въ тѣхъ случаяхъ, когда приходится вычитать число близкое къ слѣдующему за нимъ числу, выраженному полными десятками (39, 49, 69, 28, 78, 58).

§ 14. Упражненія въ вычитаніи до ста учитель ведетъ какъ на отвлеченныхъ числахъ, такъ и на задачахъ (№№ 351 — 380 нашего „Сборника“), на бѣгломъ вычисленіи, а затѣмъ и письменно на примѣрахъ (№№ 249 — 278 „Сборника“). Упражненія въ вычитаніи на бѣгломъ вычисленіи, какъ и соотвѣтствующія упражненія въ сложеніи, состоятъ въ томъ, что дѣти изъ даннаго числа (близкаго къ ста) вычитаютъ послѣдовательно одно и mo-же число, или вычитаютъ послѣдовательно различныя числа. Матеріалъ для веденія послѣднихъ упражненій учитель найдетъ въ „Прибавленіи“.

Что касается до письменныхъ упражненій въ вычитаніи до ста, то эти упражненія, подобно такимъ-же упражненіямъ въ сложеніи, служатъ дѣтямъ средствомъ для самостоятельныхъ занятій.

§ 15 За упражненіями къ вычитаніи слѣдуетъ перейти къ упражненіямъ на сложеніе и вычитаніе. Относящіеся сюда примѣры помѣщены во второмъ отдѣлѣ нашего „Сборника“ подъ №№ 318—391; этими примѣрами учитель можетъ воспользоваться и какъ матеріаломъ для бѣглыхъ вычисленій. Такой же матеріалъ онъ найдетъ и въ нашемъ „Прибавленіи“.

§ 16. Проходя съ дѣтьми вычитаніе до ста, учителю слѣдуетъ познакомить дѣтей съ названіями: уменьшаемое, вычитаемое, разность.

Учитель долженъ сказать дѣтямъ, что то число, изъ котораго дано вычесть другое число, называютъ уменьшаемымъ, что то число, которое требуется вычесть изъ перваго числа, называютъ вычитаемымъ, что то число, которое получается отъ вычитанія, называютъ разностью. При этомъ слѣдуетъ также сказать дѣтямъ, что часто говорятъ: найдите разность чиселъ и 7, вмѣсто того, чтобы сказать: вычтите изъ числа 12 число 7.

„Обозначьте письменно разность чиселъ 30 и 17; найдите разность этихъ чиселъ; обозначьте письменно, что разность чиселъ 30 и 17 равна числу 13.—Прочтите написанное мною на доскѣ: 40—22=18.—Вѣрно ли написанное мною равенство?—Прочтите написанное мною теперь на доскѣ: 40 — 22 = 2S.—Вѣрно ли написанное мною равенство?—Почему это равенство невѣрно?“

§ 17. Упражненіямъ въ сложеніи и вычитаніи въ предѣлѣ первой сотни чиселъ мы придаемъ выдающееся значеніе и готовы утверждать, что дѣти, которыя научились свободно и увѣренно производить сложеніе и вычитаніе до ста, сдѣлали въ искусствѣ счисленія (въ счетной мудрости, какъ говорили встарину) настолько важный шагъ, послѣ котораго дальнѣйшіе шаги па этомъ пути будутъ сравнительно легки. Но сложеніе и вычитаніе въ предѣлѣ первой сотни чиселъ мы считаемъ дѣломъ труднымъ и поэтому совѣтуемъ учителю не торопиться на этой ступени, а упражнять дѣтей въ сложеніи и вычитаніи до тѣхъ поръ, пока они не пріобрѣтутъ достаточнаго навыка въ устномъ производствѣ этихъ дѣйствій.

Умноженіе.

§ 18. При умноженіи въ предѣлѣ первой сотни могутъ представиться только слѣдующіе три случая:

1) Умножить однозначное число на однозначное (8X7).

2) Умножить однозначное число на двузначное (6X14).

3) Умножить двузначное число на однозначное (23 X 4).

Дѣти умѣютъ уже умножать числа въ предѣлѣ перваго десятка; они, другими словами, знаютъ начало таблицы умноженія однозначныхъ чиселъ; усвоеніе этой таблицы въ полномъ ея объемѣ составляетъ главнѣйшую цѣль тѣхъ упражненій, къ которымъ мы теперь переходимъ.

Эти упражненія начинаются съ того, что дѣти должны продолжить рядъ знакомыхъ имъ произведеній

2X2, 2X3, 2X4, 2X5

и дополнить этотъ рядъ произведеніями:

2X6, 2X7, 2X8, 2X9

которыя предстоитъ дѣтямъ себѣ усвоить.

Приступая къ этимъ упражненіямъ, учитель долженъ указать дѣтямъ на то, что набрать, напримѣръ, семь двоекъ можно: или набирая ихъ послѣдовательно одну за другой, или набирая ихъ по группамъ. Въ первомъ случаѣ приходится считать такъ: два да два—четыре, двѣ двойки да еще одна двойка— шесть, три двойки да еще одна двойка—восемь, четыре двойки да еще одна двойка—десять, пять двоекъ да еще одна двойка—двѣнадцать, шесть двоекъ да еще одна двойка—четырнадцать; итакъ, семь двоекъ составляютъ четырнадцать. Но такой пріемъ вычисленія, конечно, очень неудобенъ, что дѣти сейчасъ же и замѣтятъ; учителю надлежитъ подвести ихъ къ пріему, который мы только что назвали пріемомъ набиранія по группамъ; прилагая этотъ пріемъ къ нашему примѣру, можно считать такъ: пять двоекъ составляютъ десять, двѣ двойки составляютъ четыре; семь двоекъ составляютъ четырнадцать. Послѣ такого указанія дѣти поймутъ, что умноженіе числа два на числа 6, 7, 8, 9 не представляетъ особаго затрудненія, такъ какъ это умноженіе всегда можетъ быть сведено къ выполненію двухъ отдѣльныхъ умноженій въ предѣлѣ перваго десятка и къ сложенію полученныхъ чиселъ. Спросивъ дѣтей: какое число составятъ восемь двоекъ, шесть двоекъ, девять двоекъ, учитель можетъ обратиться къ нимъ и съ такимъ вопросомъ:

„Сколько составитъ десять двоекъ? (Сколько будетъ десятью два? Десять разъ два—сколько? —Два помноженное на десять—сколько?—Два на десять—сколько?) Какъ вы сосчитали, что десять двоекъ составляютъ двадцать?“ Дѣти обыкновенно отвѣчаютъ такъ: „Пять двоекъ — десять, да еще пять двоекъ — десять; десять да десять — двадцать.“ Вполнѣ одобривъ такой отвѣтъ, учитель долженъ однакоже при этомъ уяснить дѣтямъ, что умноженіе двухъ на десять не требуетъ даже и такого вычисленія; съ этой цѣлью учитель обращается къ дѣтямъ съ такими вопросами: „Какъ называется число, которое получите, взявъ единицу десять разъ, умноживъ одинъ на десять? — Изъ сколькихъ единицъ состоитъ два? — На сколько единицъ можно разбить два? — Сколько получите, повторивъ одну изъ этихъ единицъ десять разъ? — Сколько получите, повторивъ другую единицу десять разъ? — Все-ля равно — повторить два десять разъ, или повторить десять разъ каждую единицу, которая заключается въ двухъ, и сложить полученные десятки?—Сколько десятковъ получите, когда каждую единицу, входящую въ двойку (заключенную въ двойкѣ), замѣните однимъ десяткомъ? — Какъ обыкновенно называютъ

два десятка? — Сколько единицъ въ тройкѣ? — Если вы каждую единицу, входящую въ тройку, замѣните однимъ десяткомъ, то получите сколько десятковъ? — Какъ обыкновенно называютъ три десятка? — Сколько будетъ десять разъ четыре, десять разъ пять, десять разъ шесть, десять разъ семь, десять разъ восемь, десять разъ девять? — Какъ обыкновенно называютъ то число, которое составляютъ десять десятковъ? — Требуетъ ли умноженіе на десять какого-нибудь вычисленія? — Сколько разъ нужно взять семь, чтобы набрать семьдесятъ?—Вмѣсто того, чтобы набирать число семь десять разъ, вы можете набрать число десять сколько разъ? — Что легче? — Сумѣете ли вы теперь умножить на десять любое число перваго десятка?“

Считаемъ полезнымъ, чтобы дѣти внесли въ свои тетради табличку умноженія числа 2 въ такомъ видѣ, какъ это показано на нашей таблицѣ (см. № 12).

Отъ упражненій въ умноженіи числа 2 на числа перваго десятка учитель переходитъ къ упражненіямъ въ умноженіи числа 3 на тѣ-же числа.

„Умножьте три на два, три на три.—Умножьте три на четыре.—Какъ набрать четыре тройки одну за другой?—Нельзя ли иначе набрать четыре тройки?—Если вы уже набрали двѣ тройки, то сколько троекъ нужно еще набрать, чтобы составить всего четыре тройки? Четырежды три — сколько?—Наберите пять троекъ?—Какъ набиралъ ты?—А ты какъ набиралъ? Сколько же пятью три?— Если каждую единицу, входящую въ тройку, вы замѣните однимъ пяткомъ и соедините эти пятки въ одно число, то какое число получите? — Ясно-ли это вамъ? Вотъ, у меня на столѣ три кубика; я снимаю одинъ кубикъ и кладу на его мѣсто пять кубиковъ; я снимаю другой кубикъ и кладу на его мѣсто тоже пять кубиковъ, я снимаю третій кубикъ и кладу на его мѣсто пять кубиковъ. Я замѣнилъ каждый изъ положенныхъ мною трехъ кубиковъ пятью кубиками. Сколько кубиковъ теперь на столѣ?—Во сколько разъ пятнадцать кубиковъ больше трехъ кубиковъ?—Вмѣсто того, чтобы три набирать пять разъ, какое число слѣдуетъ взять три раза?“ „Что легче набрать—три пятка или пять троекъ?— Если вы будете помнить, что пять троекъ—пятнадцать, то скажете ли вы сразу, сколько составитъ шесть троекъ?—А если бы вы забыли, что пятью три — пятнадцать, или, еслибы вы этого твердо не знали (если бы вы не были увѣрены въ этомъ), то какъ бы вы набрали шесть троекъ?—Ты какъ набиралъ? — Да, можно и такъ: двѣ тройки, да двѣ тройки, да еще двѣ тройки.—Не наберешь ли ты иначе? (Три тройки—девять, да еще три тройки—девять; шесть троекъ — восемнадцать).— Итакъ, шестью три—сколько? А семью три—сколько? А восемью три—сколько?—Если вы твердо помните, что четыре тройки составляютъ двѣнадцать, какъ вы наберете восемь троекъ?—Четыре тройки да еще четыре тройки составятъ сколько троекъ?—Девятью три сколько? — Вы, конечно, помните, сколько составятъ десять троекъ? Чтобы сказать, сколько составляютъ десять троекъ, будете ли вы тройки набирать одну за другой, или какъ-нибудь иначе? — Чтобы отъ десяти

троекъ осталось девять троекъ, сколько троекъ нужно откинуть?—Какъ же набрать девять троекъ?—(Отъ десяти троекъ откинуть одну тройку).—Если бы вы забыли, что девять троекъ составляютъ двадцать-семь, или если бы въ этомъ не были твердо увѣрены, то какъ бы вы поступили, чтобы три умножить на девять?—Какъ помножить четыре на девять?—Сколько будетъ девять разъ пять, девять разъ шесть, девять разъ восемь, девять разъ девять?—Вы видите, какъ легко помножить число на девять.—Какъ же это сдѣлать? — (Взять число десять разъ и отъ того, что получимъ, откинуть лишній разъ взятое число.) — Запишите теперь въ вашихъ тетрадяхъ, рядомъ съ табличкой умноженія числа два, табличку умноженія числа три; запишите эту табличку тоже столбикомъ.“

§ 19. Прежде чѣмъ идти съ дѣтьми дальше въ усвоеніи табличекъ умноженія, полезно сдѣлать небольшую остановку и занять ихъ задачами и бѣглымъ вычисленіемъ.

Что касается до относящихся сюда задачъ, т. е. задачъ, которыми должно сопровождаться усвоеніе дѣтьми по порядку табличекъ умноженія*), то эти задачи настолько просты, что учитель можетъ придумывать ихъ во время урока самъ. Относительно этихъ задачъ считаемъ, впрочемъ, необходимымъ сдѣлать слѣдующее замѣчаніе. Дѣти очень часто смѣшиваютъ множимое съ множителемъ, а между тѣмъ весьма важно, чтобы дѣти ихъ ясно различали. — Такъ, напримѣръ, дѣти дадутъ, положимъ, правильный отвѣтъ на задачу въ родѣ слѣдующей: „Карандашъ стоитъ 3 копейки; сколько придется заплатить за 8 такихъ карандашей?“ — но въ то-же время могутъ сказать, что, для рѣшенія этой задачи, они помножили 8 на 3. Между тѣмъ какъ, по смыслу задачи, слѣдуетъ помножить 3 на 8. Совѣтуемъ учителю обращать вниманіе на такого рода ошибки. Относительно задачъ на умноженіе приходится часто слышать такое объясненіе:

„Если одинъ карандашъ стоитъ 3 копейки, то 8 карандашей (такихъ-же) стоятъ въ 8 разъ больше, т. е. 24 копейки.“

Такое разсужденіе неправильно: 8 карандашей стоятъ въ восемь разъ больше одного карандаша не вслѣдствіе того, что одинъ карандашъ стоитъ 3 коп., а вслѣдствіе того, что стоимость восьми карандашей въ восемь разъ больше стоимости одного карандаша, сколько бы этотъ одинъ карандашъ ни стоилъ. Правильное и полное объясненіе должно было бы имѣть такой видъ: „Стоимость восьми карандашей во столько разъ больше трехъ копеекъ, во сколько разъ 8 больше 1.“ Но такая форма объясненія (которое представляетъ лишь словесную передачу пропорціи: х коп. : 3 коп. = 8 кар. : 1 кар.) слишкомъ трудна для дѣтей; достаточно, если учитель пріучитъ ихъ давать объясненіе въ такомъ видѣ: „Одинъ карандашъ стоитъ 3 коп., 8 карандашей стоятъ 8 разъ 3 коп., т. е. 24 коп.“

*) Въ нашемъ «Сборникѣ» задачи на умноженіе до ста помѣщены подъ 381—429.

Что касается до бѣглаго вичисленія, то учитель найдетъ матеріалъ для него» въ нашемъ „Прибавленіи“.

Первую строку сюда относящуюся

2 « 2 + 3.3 + + 5_._3

учитель читаетъ такъ:

„Къ двумъ двойкамъ прибавьте три тройки, прибавьте четыре двойки, прибавьте пять троекъ. Сколько получили?“

Во всѣхъ этихъ примѣрахъ придаваемыя и вычитаемыя произведенія подчеркнуты, для установленія полной опредѣленности въ передачѣ этихъ строкъ. Кромѣ того, во всѣхъ этихъ произведеніяхъ множитель поставленъ впереди множимаго, такъ что, напримѣръ, въ произведеніи 7 • 2, число 7 есть множитель, а 2 множимое, и это произведеніе надлежитъ читать: семь двоекъ, семь разъ два, семью два.

Обозначеніе произведенія, отступающаго отъ общепринятаго обозначенія — на первомъ мѣстѣ множимое, на второмъ—множитель—мы употребляемъ только въ матеріалѣ для бѣглаго счета, назначаемомъ для учителя.

§ 20. Когда дѣти достаточно навыкнутъ въ умноженіи чиселъ 2 и 3 на числа перваго десятка, учитель переходитъ съ ними къ умноженію чиселъ 4 и 5 и ведетъ такую, примѣрно, бесѣду:

„Четыре да четыре—сколько?—Двѣ четверки (дважды четыре)—сколько? Такъ какъ двѣ четверки составляютъ восемь, то четыре четверки составятъ сколько?—Наберите три четверки. Такъ какъ три четверки составляютъ двѣнадцать, то сколько составятъ шесть четверокъ? Трижды четыре сколько? — Шестью четыре сколько? — А сколько составятъ пять четверокъ?—Если вы каждую единицу, входящую въ четыре, замѣните пяткомъ, то сколько пятковъ получите? — Какое число составляютъ эти пятки, вмѣстѣ взятые?—Вмѣсто того, чтобы четыре набирать пять разъ, вы можете пять набрать сколько разъ? Что легче набрать: — четыре пятка, или пять четверокъ? Сколько же будетъ пятью четыре? — Легко ли это помнить? Если вы будете помнить, что пятью четыре — двадцать, какъ вы наберете шесть четверокъ или восемь четверокъ? — Сколько же составитъ шесть четверокъ, семь четверокъ? Какъ набрать восемь четверокъ? — Да, четыре четверки и четыре четверки составляютъ восемь четверокъ; а шестнадцать и шестнадцать—тридцать два.—А девять четверокъ —сколько? Станете ли вы набирать четверки по одной, чтобы добраться (дѣти часто и охотно употребляютъ это мѣткое выраженіе) до девяти четверокъ? Скажите же мнѣ, сколько будетъ: пятью четыре, семью четыре, девятью четыре, восемью четыре, шестью четыре, четырежды четыре?“

Усвоеніе таблицы умноженія числа 5 дается дѣтямъ очень легко и останавливаться на ней мы не будемъ.

Таблички умноженія для чиселъ 4 и 5 учитель велитъ дѣтямъ записать въ

тетради подобно тому, какъ ими были записаны и первыя таблички. Для повторенія только-что пройденнаго служатъ задачи и упражненія на бѣгломъ вычисленіи, матеріалъ для котораго помѣщенъ въ нашемъ „Прибавленіи“.

§ 21. Теперь остается учителю пройти съ дѣтьми вторую половину таблицы умноженія: умноженіе чиселъ 6, 7, 8, 9 на числа перваго десятка.

„Сколько составляетъ шесть да шесть? — Дважды шесть сколько? — Такъ какъ дважды шесть — двѣнадцать, то четыре раза шесть сколько?—А если четыре раза шесть — двадцать четыре, то восемь разъ шесть — сколько? Если бы вы забыли, что восемью шесть — сорокъ восемь, или еслибы вы въ этомъ не были твердо увѣрены, то какъ бы вы добрались до числа равнаго восьми шестеркамъ? — Наберите три шестерки. Трижды шесть сколько? Такъ какъ трижды шесть—восемнадцать, то шестью шесть сколько? Если вы будете помнить, что шестью шесть—тридцать шесть, то станете ли вы набирать шестерки одну за другой, чтобы сказать, сколько будетъ семью шесть? — Сколько будетъ пятью шесть? — Какъ ты набралъ? — Да, это вѣрно: четыре шестерки да одна шестерка — пять шестерокъ, а двадцать четыре да шесть — тридцать. — А ты какъ набралъ? — Это тоже вѣрно: ты запомнилъ, что шестью шесть — тридцать шесть и откинулъ отъ тридцати шести шесть, чтобы осталось пять шестерокъ?—Ты говоришь, что иначе набралъ; какъ-же ты сдѣлалъ?—Я набралъ шесть пятковъ, потому что это все равно, что пять шестерокъ.—Вѣрно и это.—Скажите же мнѣ теперь, сколько будетъ: четырежды шесть, семью шесть, пятью шесть, девятью шесть, восемью шесть, шестью шесть, трижды шесть? — Запишите теперь въ ваши тетради табличку умноженія для числа 6.“

Совершенно въ томъ же порядкѣ учитель проходитъ съ дѣтьми табличку умноженія числа 7, велитъ ее записать дѣтямъ и дѣлаетъ перерывъ, который посвящаетъ задачамъ и бѣглому вычисленію.

Остается, наконецъ, пройти съ дѣтьми таблички умноженія чиселъ 8 и 9. „Дважды восемь — сколько? Бакъ вы наберете четыре восьмерки? А какъ наберете восемь восьмерокъ? — Четырежды восемь — сколько? — Восемью восемь — сколько? Если бы вы забыли, что восемью восемь — шестьдесятъ четыре, или, если бы вы не были въ этомъ твердо увѣрены, то какъ бы вы добрались до числа, равнаго восьми восьмеркамъ? — А трижды восемь— сколько? Если трижды восемь — двадцать четыре, то шесть разъ восемь— сколько? Если вы будете помнить, что шестью восемь — сорокъ восемь, то станете ли вы набирать восьмерки одну за другой, чтобы сказать, сколько будетъ семью восемь? — Сколько же составятъ семь восьмерокъ?—А девятью восемь—сколько?—А пятью восемь—сколько.“

Табличка умноженія числа 9 не представитъ для дѣтей никакого затрудненія, такъ какъ онѣ легко поймутъ, что двѣ девятки все равно, что два десятка безъ двухъ, три девятки все равно, что три десятка безъ трехъ и т. д. и бу-

дутъ безъ труда производить такимъ путемъ умноженія девяти па любое число перваго десятка.

Когда и послѣднія двѣ таблички будутъ записаны въ тетради, учителю слѣдуетъ указать дѣтямъ, какъ удобно всѣ отдѣльныя таблички могутъ быть соединены въ одну таблицу — въ таблицу умноженія*). Эту таблицу дѣти записываютъ въ своихъ тетрадяхъ въ такомъ видѣ, какъ это показано па нашей таблицѣ.

Когда эта таблица будетъ внесена въ тетради, учителю слѣдуетъ указать дѣтямъ, что въ ней нѣкоторыя числа повторяются. Правильное расположеніе этихъ равныхъ произведеній выступитъ очень наглядно, если наклонный рядъ:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81

будетъ выдѣленъ какъ нибудь изъ остальныхъ рядовъ таблицы, что можно сдѣлать, обведя чернилами всѣ клѣтки этого ряда, какъ »то показано на нашей таблицѣ. Тогда дѣти легко замѣтятъ, что равныя произведенія одинаково (симметрично) расположены по обѣимъ сторонамъ этого наклоннаго ряда, который содержитъ только произведенія двухъ равныхъ чиселъ. Такимъ образомъ, таблица умноженія можетъ служить и для нагляднаго подтвержденія того свойства произведенія, что оно не измѣняется отъ измѣненія порядка производителей.

§ 22. Обучая умноженію въ предѣлѣ первой сотни, учителю надлежитъ познакомить дѣтей и съ названіями: множимое, множитель, производители, произведеніе.

„То число, которое требуется умножить на другое число, называютъ множимое; то число, на которое требуется умножить данное число, называютъ множитель. Такъ какъ, не измѣняя произведенія, можно принять данное множимое за множителя, а даннаго множителя за множимое, то множимое и множителя называютъ также однимъ названіемъ—производителями. Число, которое получается послѣ выполненія умноженія, называютъ—произведеніе двухъ данныхъ чиселъ.“

Учитель долженъ также сказать дѣтямъ, что часто говорятъ: „Найдите произведеніе двухъ чиселъ, напримѣръ, чиселъ 7 и 8“, вмѣсто того, чтобы сказать: „Умножьте 7 на 8, или перемножьте 7 и 8.“

§ 23. Изъ всего изложеннаго нами относительно умноженія чиселъ первой сотни, читатель, вѣроятно, вывелъ уже то заключеніе, что мы не требуемъ, чтобы дѣти учили наизусть таблицу умноженія. Дѣйствительно, мы отвергаемъ необходимость такою заучиванія, и учимъ дѣтей не результатамъ умноженія каждыхъ двухъ однозначныхъ чиселъ, а указываемъ имъ пути и пріемы полу-

*) Таблицу умноженія часто называютъ Пиѳагоровой таблицей, по имени греческаго мудреца, жившаго за 500 лѣтъ до Р. Х. Но такое названіе этой таблицы ни на чемъ не основано и употреблять его не слѣдуетъ.

чать эти результаты, добираться до нихъ, какъ говорятъ сами дѣти. Мы полагаемъ, что здѣсь, какъ и во многихъ другихъ случаяхъ, сознательное владѣніе орудіемъ для достиженія цѣли имѣетъ неоспоримое образовательное значеніе. Возможность заучить таблицу умноженія наизусть коренится въ нашей способности безсознательно воспроизводить, во всякое время, цѣлыя вереницы словъ, которыя залегли въ памяти въ видѣ такой неразрывной цѣпи, что первое звено ея такъ сказать роковымъ образомъ тянетъ за собою остальныя звенья. Мы можемъ, напримѣръ, заучить наизусть ряды даже совершенно незнакомыхъ намъ словъ или словъ ничѣмъ между собою не связанныхъ, и пересказать ихъ всѣ въ порядкѣ, безъ усилія и безъ сознанія, послѣ того, какъ только произнесено первое слово этого ряда.

Если какія либо слуховыя ощущенія испытывались нами часто все въ одной и той же однообразной послѣдовательности, то онѣ прочно удерживаются нашей памятью и, по произволу, могутъ быть нами воспроизводимы. Если ребенокъ сотни разъ повторялъ (заучивалъ) слова: дважды два — четыре, то ему достаточно только произнести, или услышать, слова: дважды два, чтобы безсознательно сказать за ними — четыре. Только путемъ образованія такихъ звуковыхъ сочетаній (ассоціацій) таблица умноженія и можетъ быть заучена, безъ разумѣнія. Справедливость этого положенія находитъ себѣ подтвержденіе, между прочимъ, въ той привычкѣ, которую имѣютъ многіе (большинство), при производствѣ вычисленій, произносить вполголоса названіе перемножаемыхъ чиселъ; такъ, напр., умножая 7398 на 6, многіе бормочутъ про-себя: шестью восемь—сорокъ восемь, шестью девять — пятьдесятъ четыре и пр. А всетаки и эта помощь не обезпечиваетъ отъ ошибокъ. Мы не утверждаемъ, чтобы нельзя было выучить таблицы умноженія затверживаніемъ наизусть (зубреніемъ), но считаемъ такое заучиваніе совершенно ненужнымъ и безполезнымъ. Сознательными упражненіями и частыми повтореніями дѣти, безъ всякаго сомнѣнія, усвоятъ себѣ таблицу умноженія, но не столько закрѣпленіемъ соотвѣтствующихъ звуковыхъ сочетаній, сколько достиженіемъ большой быстроты въ нахожденіи требуемыхъ результатовъ, такъ что, въ концѣ концовъ, окажется совершенно невозможнымъ рѣшить вопроса: послѣдовалъ ли, въ каждомъ данномъ случаѣ, такой быстрый отвѣтъ безъ всякаго участія сознанія, путемъ непосредственнаго отраженія (путемъ рефлекса), или предшествовало этому отвѣту выполненіе вычисленія въ томъ или другомъ видѣ?*)

При изученіи таблицы умноженія встрѣчаются, правда, звуковыя сочетанія настолько удобныя, что они сразу залегаютъ въ памяти дѣтей. Кто не знаетъ, что дѣти почти никогда не ошибаются относительно сочетаній: пятью пять— двадцать пять, шестью шесть — тридцать шесть, шестью восемь — сорокъ

*) Тѣмъ читателямъ, которые—даже для выполненія простыхъ вычисленій, о которыхъ идетъ рѣчь — сочли бы, что такая быстрота изумительна, мы позволимъ себѣ только указать на то, что настолько-же изумительна и быстрота, съ которой въ нашемъ сознаніи проносятся воспоминанія о пережитыхъ событіяхъ со всѣми ихъ разнообразными подробностями; а казалось бы, что воспроизведеніе такой сложной картины должно потребовать времени больше, чѣмъ его нужно, чтобы, напримѣръ, отъ произведенія трехъ четверокъ добраться до произведенія шести четверокъ.

восемь? Но не таковы остальныя сочетанія (девятью семь — шестьдесятъ три, восемью семь—пятьдесятъ шесть и пр.), и заучивать ихъ наизусть одно за другимъ и вразбивку составляетъ большой и безполезный трудъ, которымъ напрасно обременяютъ дѣтей. Повторяемъ, что такое заучиваніе мы совершенно отвергаемъ*).

§ 24. Послѣ упражненій въ перемноженіи чиселъ перваго десятка, учитель переходитъ къ умноженію однозначнаго числа на двузначное число, причемъ прежде всего останавливается на умноженіи однозначнаго числа на число, выраженное полными десятками.

„Помножьте В на 20.—Будете ли вы набирать тройки одну за другой, чтобы узнать, какое число составятъ двадцать троекъ? — Какими группами всего легче набрать это число? (группами по десяти).—Какъ же вы наберете три 20 разъ? — Да; вы сперва наберете десять троекъ, потомъ еще десять троекъ и соедините полученныя числа въ одно число. — Сколько же вы получите, умноживъ 3 на 20? — Помножьте 2 на 20, 4 на 20, 2 на 40, 3 на 30, 5 на 20, 2 на 50.“—Во всѣхъ этихъ случаяхъ можно считать еще иначе; покажу вамъ это на примѣрѣ. — Вотъ у меня на десяти проволокахъ надѣто (у лѣваго края классныхъ счетовъ) по три шарика; на каждую изъ этихъ десяти проволокъ я надѣну еще по три шарика (у праваго края классныхъ счетовъ)**). Скажите, сколько всего шариковъ въ лѣвомъ отъ васъ столбикѣ?—Сколько шариковъ въ правомъ столбикѣ? — Какъ размѣщены шарики въ этихъ двухъ столбикахъ? — Если я сдвину шарики на всѣхъ проволокахъ, то они будутъ размѣщены въ одинъ столбикъ. — Сколько рядовъ въ этомъ столбикѣ, сколько шариковъ въ каждомъ ряду? — Если вамъ нужно 3 повторить 20 разъ, и вы уже повторяли 3 два раза, то сколько разъ вамъ нужно, затѣмъ, повторить полученное число 6, чтобы получить всего двадцать троекъ? — Чтобы помножить 3 на 20, вы сперва помножете 3 на какое число? — На что вы потомъ умножете полученное число 6? Требуетъ ли умноженіе на 10 какого либо вычисленія? Помножьте 3 на 30, 2 на 20, 2 на 40, 2 на 30, 2 на 50.— Объясните, какъ вы производили умноженіе въ этихъ примѣрахъ.“

Послѣ этихъ упражненій, дѣти уже легко усвоятъ себѣ нормальный пріемъ умноженія на всякое двузначное число. Этотъ пріемъ заключается въ томъ, что данный множитель разбиваютъ на десятки и единицы (на десятичныя группы), умножаютъ данное число на десятки множителя, затѣмъ умножаютъ данное число на единицы множителя и, наконецъ, складываютъ полученныя отдѣльно произведенія.

*) Мы знали ребенка, который хорошо помнилъ, что трижды семь — двадцать одинъ (считать не стоитъ, говорилъ онъ). До остальныхъ же произведеніи числа 7 онъ всегда добирался. На вопросъ нашъ, какъ получаетъ онъ, напримѣръ, семью семь, ребенокъ отвѣчалъ: «Это очень просто: двадцать одинъ да двадцать одинъ — сорокъ два, да еще семь — сорокъ девять. » Девять семерокъ этотъ ребенокъ набиралъ такъ: «двадцать одинъ да двадцать одинъ — сорокъ два, сорокъ два да двадцать одинъ — шестьдесятъ три » При этомъ отвѣтъ такъ бистро слѣдовалъ за вопросомъ, что, казалось бы, не оставалось времени для вычисленія.

**) Учитель можетъ, конечно, уяснить все это н на кубикахъ, спичкахъ, черточкахъ или крестикахъ.

„Помножьте 3 на 24. —Какое число вамъ нужно помножить въ этомъ примѣрѣ? — На какое число вамъ нужно помножить? — Назовите данное множимое, назовите даннаго множителя. — Изъ сколькихъ десятковъ и изъ сколькихъ единицъ состоитъ данный множитель? — Какъ удобно набрать 24 тройки? Сколько составятъ 20 троекъ? Сколько составятъ 4 тройки? Сколько же составятъ 24 тройки? Помножьте 4 на 16, 6 на 14, 3 на 32, 2 на 47, 7 на 13 и пр. —Какъ вы во всѣхъ этихъ примѣрахъ производили умноженіе? — Который изъ данныхъ производителей вы разбивали на десятичныя группы? — Сколько умноженій вы выполняли въ каждомъ изъ этихъ случаевъ? — На что вы сперва множили, на что потомъ множили? — Что вы дѣлали съ полученными отдѣльно произведеніями?—Придумайте сами примѣръ на умноженіе, который подходилъ бы къ нашимъ примѣрамъ. Объясните на этомъ примѣрѣ, какъ вы произведете умноженіе.“

§ 25. Остается, наконецъ, указать дѣтямъ пріемъ умноженія въ томъ случаѣ, когда множимое есть число двузначное.

„Помножьте 27 на 3. — Какое число вамъ нужно помножить въ этомъ примѣрѣ? — На какое число вамъ нужно помножить 27? — Изъ сколькихъ десятковъ и изъ сколькихъ единицъ состоитъ число, которое вамъ нужно помножить? Какія части числа 27 удобно набирать отдѣльно? — Сколько получите, повторивъ 20 три раза? — Сколько получите, повторивъ 27 три раза? Помножьте 32 на 3, 27 на 2, 18 на 4, 14 на 7, 16 на 6, 18 на 8, 12 на 7 и пр. — Какъ вы во всѣхъ этихъ примѣрахъ производили умноженіе? Которое изъ данныхъ чиселъ вы разбивали на десятичныя группы? Сколько умноженій вы выполняли въ каждомъ изъ этихъ случаевъ?— Что вы сперва множили, что потомъ множили? — Что вы дѣлали съ полученными отдѣльно произведеніями? — Придумайте сами примѣръ на умноженіе, который подходилъ бы къ нашимъ примѣрамъ. — Объясните на этомъ примѣрѣ, какъ вы произвели умноженіе.“

§ 26. Упражненія въ умноженіи до ста учитель ведетъ какъ на отвлеченныхъ примѣрахъ, такъ и на задачахъ (№№ 381—429 нашего „Сборника“). Для повторенія служитъ бѣглый счетъ (см. „Прибавленіе“), а для самостоятельныхъ занятій — письменные примѣры (№№ 279 — 300 второго отдѣла нашего „Сборника“).

Примѣры на сложеніе, вычитаніе и умноженіе помѣщены во второмъ отдѣлѣ нашего „Сборника“ подъ 392 — 453.

Дѣленіе.

§ 27. Всѣ случаи, которые могутъ представиться при производствѣ дѣленія въ предѣлѣ до ста, сводятся къ слѣдующимъ тремъ:

1) Раздѣлить однозначное число на однозначное.

2) Раздѣлить двузначное число на однозначное.

3) Раздѣлить двузначное число на двузначное.

Приступая съ дѣтьми къ упражненію въ дѣленіи, учителю слѣдуетъ повторить съ ними дѣленіе въ предѣлѣ перваго десятка (дѣленіе однозначнаго числа на однозначное) и перейти затѣмъ къ дѣленію пополамъ любого числа первой сотни. Такъ какъ дѣти умѣютъ уже дѣлить пополамъ всякое четное число десятковъ до ста (т. е. числа 20, 40, 60, 80, 100), то естественно начать относящіяся сюда упражненія съ дѣленія пополамъ нечетнаго числа десятковъ (30, 50, 70, 90).

„Раздѣлите 20 (40, 60, 80, 100) на двѣ равныя части (пополамъ) и скажите, сколько придется на каждую часть. Вы дѣлили пополамъ полные десятки, и на каждую часть пришлись тоже полные десятки. — Раздѣлите 30 пополамъ. — Сколько полныхъ десятковъ придется на каждую часть? — Составитъ ли этотъ одинъ десятокъ половину числа 30? — Сколько единицъ придется еще на каждую часть? — Какъ вы получили эти пять единицъ? — Какъ вы разбили 30, чтобы раздѣлить это число пополамъ? — Почему въ этомъ случаѣ удобно разбить 30 на 20 и на 10, а не какъ-нибудь иначе?—Да, разбивъ 30 на 20 и 10 и раздѣливъ 20 пополамъ, вы сразу узнаете, сколько всего полныхъ десятковъ придется на половину тридцати.—Что еще останется узнать?—Узнавъ отдѣльно, сколько десятковъ и сколько единицъ приходится на половину тридцати, будете ли вы знать число, которое составляетъ половину тридцати?—Раздѣлите 50 пополамъ. — Какъ вы разбили 50, чтобы удобно раздѣлить пополамъ это число? — Раздѣлите пополамъ 70, 90.“

„Раздѣлите пополамъ 28.—Какъ вы разложете 28, чтобы удобнѣе раздѣлить это число пополамъ?—Что вы сперва раздѣлили пополамъ?—Что вы потомъ раздѣлили пополамъ?—Какъ вы по полученнымъ числамъ узнали половину даннаго числа 28?—Раздѣлите пополамъ числа 44, 48, 66, 62, 88, 82, 84.— Раздѣлите пополамъ 34.—Какъ вы разбили 34, чтобы это число раздѣлить пополамъ?—Что вы сперва раздѣлили пополамъ?—Сколько вы получили?— Что вы потомъ раздѣлили пополамъ?—Сколько вы получили?—Какъ вы, по полученнымъ числамъ, 15 и 2, нашли половину числа 34?—Раздѣлите пополамъ*): 38, 58, 78, 98, 36, 56, 76, 96, 52, 72, 32, 92. —Во всѣхъ этихъ примѣрахъ на дѣленіе вы отдѣляли отъ даннаго числа всѣ его десятки и дѣлили ихъ пополамъ.—Потомъ что вы дѣлали? — И, наконецъ, что вы дѣлали? — При дѣленіи полныхъ десятковъ пополамъ, получали ли вы, въ этихъ случаяхъ, тоже полные десятки?—Сколько десятковъ можно отдѣлить отъ числа 76, напримѣръ, чтобы при дѣленіи этихъ десятковъ пополамъ получить тоже полные десятки? — Да, можно отдѣлить два десятка, или четыре десятка, или шесть десятковъ. — Сколько же

*) Дѣти часто ошибаются въ этихъ случаяхъ.

десятковъ удобнѣе всего отдѣлить? — Раздѣливъ 60 пополамъ, сколько получете? — Какое число еще осталось раздѣлить пополамъ, чтобы найти половину всего числа 76?—Раздѣлите же 16 пополамъ.—Сколько получили?— Какъ велика половина числа 76?—Разбивая 76 на 60 и 16 и дѣля эти части одну за другой, что вы сперва нашли и что нашли потомъ? — Да, вы сперва нашли всѣ десятки искомаго числа (т. е. половины семидесятишести), а затѣмъ нашли сразу всѣ единицы искомой половины.—Что вамъ, наконецъ, остается сдѣлать?—Да, соединить въ одно число десятки и единицы, которые вы отдѣльно нашли.—Требуетъ ли это соединеніе (сложеніе) какого-либо вычисленія? — Раздѣлите пополамъ 56, 72, 94 и пр.“ „Раздѣлите 17 пополамъ.—Сколько единицъ придется на каждую часть?— Одна единица осталась нераздѣленною; 17 нельзя раздѣлить на 2 остатка. — Назовите нѣсколько чиселъ, которыя дѣлятся на два безъ остатка. — Назовите нѣсколько чиселъ, которыя не дѣлятся на два безъ остатка. — Числа, которыя дѣлятся на два безъ остатка, называютъ четными числами; числа, которыя не дѣлятся на два безъ остатка, называютъ нечетными числами.—Назовите четныя числа третьяго десятка, нечетныя числа пятаго десятка, четныя числа втораго десятка, нечетныя числа девятаго десятка и пр.—Четныя числа называютъ еще парными числами.— Почему ихъ такъ называютъ?—Если число можно набрать парами, то можно ли его разбить на два равныхъ числа?—Вотъ у меня на нѣсколькихъ проволокахъ по парѣ шариковъ; у меня, значитъ, на счетахъ парное число шариковъ. — Объясните, какъ эти шарики разбить пополамъ. — (Раздвинуть каждую пару: всѣ шарики будутъ размѣщены въ двухъ равныхъ группахъ).“

§ 28. Отъ упражненій въ дѣленіи на два можно было бы перейти къ дѣленію на три, на четыре, на пятъ и пр., руководясь естественною послѣдовательностью чиселъ. Но мы предпочитаемъ не держаться такого порядка, и отъ упражненій въ дѣленіи на 2 переходимъ прежде всего къ дѣленію на 5. Такъ какъ пять есть дѣлитель десяти, то всякая совокупность десятковъ безъ остатка дѣлится на пять, а всякое число, состоящее изъ десятковъ и единицъ, дѣлится на пять безъ остатка лишь въ томъ случаѣ, когда число простыхъ единицъ этого числа есть пять. Дѣленіе чиселъ первой сотни на 5 дается дѣтямъ очень легко; относящіяся сюда упражненія могутъ быть ведены, примѣрно, такъ:

„Раздѣлите 10 на 5. —Раздѣлите 30 на 5.—Какъ вы дѣлили 30 на 5 равныхъ частей?—Да, вы раздѣлили на 5 каждый изъ десятковъ, которые составляютъ 30, и собрали всѣ части въ одно число.—Раздѣлите на 5 числа: 20, 40, 60, 70, 80, 90, 100.—Раздѣлите 50 на 5; какъ велика пятая часть пятидесяти? — Пользуясь этимъ, какъ вы можете удобно раздѣлить на 5 число 60, напримѣръ? — (50 на 5—десять, 10 на 5 — два; 60 на 5—двѣнадцать).—Раздѣлите 80 на 5.—Какъ вы разложили 80, чтобы удобнѣе раздѣлить это число на 5? — Разложивъ 80 на 50 и 30 и раз-

дѣливъ 50 на 5, вы сразу узнали, сколько всего десятковъ въ пятой части числа 80. — Раздѣлите 90 на 5 и объясните, какъ удобнѣе это сдѣлать?—Раздѣлите 75 на 5.—Какъ вы разбили 75, чтобы найти пятую часть этого числа? — Что вы сперва раздѣлили, что потомъ? — Раздѣлите 65 на 5. — Зная, что пятая часть пятидесяти равна десяти, какъ вы разложите 65, чтобы найти пятую часть этого числа? — (50 на 5 — десять, 15 на 5 — три; 65 на 5—тринадцать).—Раздѣлите на 5 числа: 55, 75, 85, 95. — Назовите нѣсколько чиселъ, которыя дѣлились бы на пять безъ остатка. — Назовите нѣсколько чиселъ, которыя пе дѣлились бы на пять безъ остатка. — Если какое-нибудь число набрано пятками, то можно ли всегда разложить это число на пять равныхъ частей? — Объясните это при помощи шариковъ на нашихъ счетахъ. — (На нѣсколькихъ проволокахъ по пяти шариковъ; шарики на каждой проволокѣ раздвигаются; образуется пять столбцовъ шариковъ, поровну въ каждомъ).“

§ 29. Послѣ этихъ упражненій, мы предлагаемъ перейти съ дѣтьми къ дѣленію на четыре и на восемь равныхъ частей, причемъ руководимся слѣдующими соображеніями.

Дѣленіе пополамъ представляетъ, конечно, самый простой и естественный случай дѣленія; насколько такое дѣленіе естественно, видно уже изъ того, какъ часто съ понятіемъ о дѣленіи на двѣ части (хотя бы неравныя) смѣшиваютъ понятіе о дѣленіи на двѣ равныя части. Къ дѣленію пополамъ совершенно естественно примыкаетъ дѣленіе на такое число частей, которое получается послѣдовательнымъ раздвоеніемъ числа, т. е. дѣленіе на четыре части, на восемь, на шестнадцать частей и т. д. Чтобы раздѣлить, напр., 84 на четыре равныя части, естественно сперва раздѣлить это число пополамъ, а затѣмъ найденную половину опять раздѣлить пополамъ. Для уясненія дѣтямъ процесса такого послѣдовательнаго дѣленія, умѣстно обратиться къ нагляднымъ пособіямъ, напримѣръ, къ класснымъ счетамъ. Учитель располагаетъ по срединѣ одной изъ проволокъ счетовъ, положимъ, 12 шариковъ, и показываетъ дѣтямъ, какъ эти шарики могутъ быть разбиты на двѣ равныя группы. Съ этой цѣлью онъ отодвигаетъ крайній правый шарикъ къ правому краю счетовъ, отодвигаетъ въ то же время крайній лѣвый шарикъ къ лѣвому краю счетовъ, и продолжаетъ раздвигать шарики такимъ образомъ до тѣхъ поръ, пока первоначальная группа въ 12 шариковъ окажется разложенной на двѣ группы, которыя необходимо будутъ равны. Послѣ того, какъ 12 шариковъ будутъ разложены на двѣ группы, по 6 шариковъ въ каждой, учитель предлагаетъ дѣтямъ разложить каждую изъ этихъ двухъ группъ опять на двѣ равныя группы и ведетъ объясненіе въ такой, приблизительно, послѣдовательности:

„На сколько равныхъ группъ вы разложили 12 шариковъ?—Какъ вы разложили 12 шариковъ на 4 равныя группы?—Если вамъ нужно раздѣлить какое либо число на четыре равныя части, то какъ вы можете это сдѣлать?—Раздѣлите 28 пополамъ; раздѣлите 14 пополамъ.—Какую часть

28-ми составляетъ 14?—Какую часть 28-ми составляетъ 7?—Какъ вы нашли четвертую часть 28-ми?—Сколько дѣленій вы произвели?“

„Вотъ, у меня полоска бумаги (тесемка, веревка); какъ разрѣзать ее на четыре равныя части?—Можете ли вы сразу разрѣзать эту полоску на четыре части такъ, чтобы онѣ были равны между собою?—Какъ-же вѣрно разрѣзать полоску на четыре равныя части?—(Учитель показываетъ, какъ это сдѣлать.)—Найдите четвертую часть чиселъ: 16, 20, 24, 32, 36. Раздѣлите сорокъ на четыре.—Какъ велика четвертая часть сорока?— Какое число составляетъ четверть сорока? — Раздѣлите 52 на 4. — (52 пополамъ — 26; 26 пополамъ—13). — Прежде, чѣмъ дѣлить 52 на 4, можете ли вы сказать, сколько придется полныхъ десятковъ на искомую, т. е. на четвертую часть числа 52?—Почему на каждую требуемую часть болѣе одного полнаго десятка не придется?—Отъ дѣленія какого числа на четыре равныя части придется всего десять на каждую искомую часть?— На какія двѣ части нужно разбить 52, чтобы, раздѣливъ одну изъ нихъ на 4, получить ровно 10?—Какъ же можно иначе раздѣлить 52 на 4?— (Отдѣлить 40, раздѣлить 40 на 4; раздѣлить 12 на 4 и соединить въ одно число полученныя числа, т. е. 10 и 3).—Раздѣлите 84 на 4.—(84 пополамъ — 42; 42 пополамъ—21). — Какъ иначе можете вы поступить, чтобы раздѣлить 84 на 4? — (Разложить сперва 84 на 80 и на 4.) — Почему вы отдѣлили именно 80?—(Когда раздѣлимъ 80 на 4, то получимъ всѣ полные десятки, которые приходятся на четвертую часть числа 84.)— Когда узнаете, сколько десятковъ придется на четвертую часть 84-хъ, то что вамъ останется еще узнать?—(Узнать, сколько придется единицъ.)— А когда и это узнаете, что вамъ останется сдѣлать, чтобы дать окончательный отвѣтъ?—(Соединить въ одно число найденные отдѣльно десятки и единицы.)—Раздѣлите на 4 числа: 68, 72, 92, 96, 100.“

Отъ дѣленія на 4 равныя части учитель переходитъ къ дѣленію на 8 равныхъ частей. Дѣти легко поймутъ, что дѣленіе числа на восемь равныхъ частей можетъ быть выполнено путемъ трехъ послѣдовательныхъ раздвоеній даннаго числа.

„Раздѣлите 56 на 8 равныхъ частей.—(56 пополамъ—28; 28 пополамъ —14; 14 пополамъ—7.)—Раздѣлите на 8 числа: 48, 64, 72, 96.— Какъ вы можете сдѣлать иначе, чтобы 96 раздѣлить на 8? — Почему удобно разложить 96 на 80 и на 16?—(80 легко раздѣлить на 8.)—Да, это вѣрно; но почему еще удобно отдѣлить въ этомъ случаѣ 80?—(Сразу узнаемъ, сколько десятковъ придется на искомую часть числа 96.)“

§ 30. Когда дѣти научатся дѣлить на 2, на 4, на 8 числа піервой сотни, надлежитъ перейти къ упражненіямъ въ дѣленіи на 3. Приступая къ этимъ упражненіямъ, слѣдуетъ обратить вниманіе дѣтей на то, что дѣленіе на три равныя части (какъ и дѣленіе на всякое другое число равныхъ частей) не представляетъ никакого затрудненія, когда имѣемъ возможность свести это ариѳметическое дѣйствіе къ выполненію ею на какихъ либо предметахъ,

находящихся у насъ подъ руками, напримѣръ, на кубикахъ, шарикахъ, спичкахъ и т. п. Чтобы уяснить дѣтямъ это положеніе, учитель ведетъ такую, приблизительно, бесѣду:

„Вотъ у меня на столѣ мною кубиковъ; я не знаю, сколько ихъ, и считать ихъ не стану. — Какъ раздать всѣ эти кубики тремъ ученикамъ поровну? — (Учитель беретъ три кубика и раздастъ ихъ, беретъ еще три кубика и раздаетъ ихъ и т. д.)—Теперь всѣ кубики розданы и у каждаго изъ васъ должно быть кубиковъ поровну.—Какъ провѣритъ, что у васъ поровну кубиковъ?—Сколько же кубиковъ у каждаго изъ васъ?—(По 8 кубиковъ.)—Сколько же кубиковъ я роздалъ?—(24 кубика.) - Какъ я вамъ раздавалъ эти кубики?—Сколько кубиковъ имѣлъ каждый изъ васъ первой раздачи?—Сколько кубиковъ я взялъ для этой первой раздачи?— Сколько кубиковъ я взялъ для второй раздачи?—Сколько кубиковъ имѣлъ каждый изъ васъ послѣ второй — По сколько кубиковъ я бралъ для каждой раздачи? — Когда раздача кубиковъ окончилась? — Сколько кубиковъ стало у васъ послѣ послѣдней раздачи?—Приходилось ли при такой раздачѣ кубиковъ производитъ какой нибудъ счетъ „въ умѣ"?— Сколько кубиковъ нужно было брать, въ нашемъ случаѣ, для каждой отдѣльной раздачи?—Сколько пришлось сдѣлать такихъ отдѣльныхъ раздачъ, чтобы подѣлить всѣ кубики поровну? — Почему вы говорите, что я сдѣлалъ восемь раздачъ, тогда какъ вы не считали, сколько разъ я раздавалъ по три кубика? — (У каждаго оказалось восемь кубиковъ послѣ раздѣла.)—Да; у каждаго ученика должно оказаться столько кубиковъ, сколько я произвелъ отдѣльныхъ раздачъ, а такихъ раздачъ я произвелъ столько, сколько разъ три кубика заключаются во всемъ числѣ кубиковъ, которые были взяты для раздачи.“

„Въ корзинѣ семь пятковъ яблокъ; я хочу раздать ихъ пяти ученикамъ поровну; можете ли вы, не производя на самомъ дѣлѣ раздѣла, сказать мнѣ, сколько яблокъ придется на долю каждаго ученика?—Почему вы въ этомъ случаѣ могли сразу сказать мнѣ, сколько яблокъ придется на каждаго ученика? — (Отъ каждаго пятка достанется по одному яблоку, отъ семи пятковъ—семь яблокъ.)“

„У меня нѣсколько перьевъ, напримѣръ, 18 перьевъ; всѣ эти перья нужно разложить поровну въ три коробки. — Еслибы я далъ вамъ въ руки эти перья, а также и коробки, въ которыя перья нужно разложить поровну, то вы, конечно, сумѣли бы это сдѣлать. — Стали ли бы вы при этомъ раздѣлѣ производить какой либо счетъ?—А если бы вамъ нужно было узнать, сколько перьевъ лежитъ въ каждой коробкѣ послѣ произведеннаго раздѣла, то что бы вы сдѣлали? — (Сосчитали бы, сколько перьевъ въ коробкѣ.)*) Если же я вамъ не дамъ въ руки перья, которыя должны быть

*) Подобное инструментальное дѣленіе можно заставить дѣтей произвести на кубикахъ или на спичкахъ.

разложены, а скажу вамъ только, что 18 перьевъ разложены въ 3 коробки поровну, то скажете ли вы сразу, сколько перьевъ въ каждой коробкѣ?— (Дѣти, вѣроятно, дадутъ такой отвѣтъ: это нужно высчитать.)—Какъ-же вы стали бы это высчитывать?—(Сколько троекъ въ 18-ти, столько перьевъ въ каждой коробкѣ.)—Если бы вы помнили, что 3 содержится 6 разъ въ числѣ 18, то сказали ли бы вы мнѣ сразу, сколько единицъ приходится на третью часть 18-ти?—А еслибы вы забыли, сколько троекъ заключается въ числѣ 18, то что вамъ пришлось высчитать, чтобы отвѣтить на мой вопросъ? — Сколько же разъ три содержится въ числѣ 18? —Сколько единицъ содержится въ третьей части числа 18?—Если бы, я вамъ задалъ раздѣлить на три равныя части то число, которое содержитъ, напримѣръ, 12 троекъ, какъ бы вы мнѣ отвѣтили?—(На третью часть — придется 12.) —Какъ вы это разсчитали? — (Сколько троекъ въ числѣ, столько единицъ въ его третьей части.) — Раздѣлите 27 на 3. — Какъ вы узнали, что на каждую часть придется 9?—Какъ вы узнали, что 3 содержится 9 разъ въ числѣ 27? — Да, вы набирали по тройкѣ и въ то-же время считали, сколько троекъ нужно взять, чтобы составить 27.“ „Раздѣлите 45 на 3.—Какъ вы будете это дѣлать?—Станете ли вы набирать по одной тройкѣ, до тѣхъ поръ, пока дойдете до числа 45?— Сколько троекъ легко набрать сразу, безъ всякаго вычисленія?—Сколько троекъ заключается въ числѣ 45, сверхъ десяти троекъ?—(Столько, сколько ихъ въ числѣ 15.)—Сколько же всего троекъ въ числѣ 45?—Сколько единицъ въ третьей части этого числа?—Найдите третью часть числа 57.— Сколько десятковъ придется на каждую искомую часть въ нашемъ примѣрѣ? — Почему вы говорите, что на каждую требуемую часть придется непремѣнно по одному десятку? — Не придется ли на каждую требуемую часть еще по одному десятку, т. е. всего два десятка? — Итакъ, на каждую требуемую часть придется только одинъ десятокъ. — Но вѣдь этотъ одинъ десятокъ не составляетъ сполна той части, которую вы ищете?— Какъ найти, сколько еще единицъ придется на искомую часть? — Сколько же единицъ придется еще на искомую часть? — Итакъ, какъ велика одна треть числа 57?—Скажите, сколько дѣленій вы выполнили, чтобы найти третью часть числа 57?—На какія два числа вы разбили 57? — Что вы сперва нашли? Что вы нашли потомъ?— Узнавъ отдѣльно, сколько десятковъ въ искомой части и сколько въ ней единицъ, какъ вы узнали всю часть? — (Сложили десятки и единицы.) Требуетъ ли производство сложенія какого либо вычисленія въ этомъ случаѣ? — Раздѣлите 81 на 3 и объясните, какъ вы будете выполнять дѣленіе. — Раздѣлите на 3 числа: 87, 96, 72, 54 и пр. Дѣлится ли всякое число безъ остатка на 3?—Назовите число, которое дѣлилось бы безъ остатка на 3. — Какое слѣдующее за этимъ число дѣлится безъ остатка па 3?—Назовите число, которое не дѣлилось бы безъ остатка на три. — При дѣленіи числа 26 на 3 сколько единицъ останутся нераздѣленными?—При дѣленіи числа 25 на 3,

сколько единицъ останутся нераздѣленным—При дѣленіи какого нибудь числа на 3, могутъ ли остаться нераздѣленными 5, 7, 11 единицъ? Сколько же единицъ могутъ остаться нераздѣленными при дѣленіи числа на 3? (Одна единица или двѣ единицы.) — Назовите число, которое при дѣленіи на 3 дало бы въ остаткѣ 1, 2. “

§ 31. Отъ упражненій въ дѣленіи на три, учитель переходитъ съ дѣтьми къ упражненіямъ въ дѣленіи на 6, потомъ на 9.

Мы считаемъ излишнимъ, послѣ только-что изложеннаго, останавливаться подробно на этихъ упражненіяхъ. Совѣтуемъ, впрочемъ, учителю уяснить дѣтямъ (на наглядныхъ пособіяхъ) примѣненіе послѣдовательнаго дѣленія при дѣленіи числа на 6 равныхъ частей. Этотъ пріемъ облегчаетъ устное вычисленіе во многихъ случаяхъ: чтобы раздѣлить, напримѣръ, 48 на 6, удобно раздѣлить данное число пополамъ, а полученное число на 3; чтобы раздѣлить 96 на 6, удобно раздѣлить данное число на 3, а полученное число на 2.

Въ примѣненіи къ дѣленію на 9 равныхъ частей, пріемъ послѣдовательнаго дѣленія, хотя и можетъ быть показанъ дѣтямъ, но не имѣетъ особеннаго практическаго значенія, вслѣдствіе близости числа девять къ основанію десятичной системы счисленія. Гораздо важнѣе воспользоваться упражненіями въ дѣленіи на 9 въ другомъ отношеніи, а именно въ слѣдующемъ: уяснить дѣтямъ, что выполненіе дѣленія всегда сопровождается, по необходимости, угадываніемъ искомаго числа.

Учитель предлагаетъ, напримѣръ, раздѣлить 72 на 9 и ведетъ съ дѣтьми такую, приблизительно, бесѣду:

„Если бы вы знали, сколько разъ 9 заключается (содержится) въ 72, то могли ли бы вы сказать, сколько единицъ приходится на девятую часть числа 72?—(Сколько девятокъ въ числѣ 72, столько единицъ въ девятой части этого числа.) — Какъ же найти девятую часть числа 72? (Узнать сперва, сколько разъ 9 заключается въ 72.)—Какъ это узнать?—(Набрать двѣ девятки; если окажется, что двѣ девятки не составляютъ числа 72, то набрать три девятки; если окажется, что три девятки не составляютъ числа 72, то набрать четыре девятки и продолжать такъ, пока набранное число девятокъ не составитъ 72.) Сколько же девятокъ нужно набрать, чтобы составить 72? Сколько единицъ приходится на девятую часть 72-хъ? Какъ велика девятая часть 72-хъ? Вмѣсто того, чтобы набирать, по порядку, двѣ, три, четыре девятки съ тѣмъ, чтобы узнать, сколько разъ девять заключается въ 72-хъ, вы можете узнать это число девятокъ иначе. — Сколько полныхъ десятковъ входитъ въ число 72?—Сколько девятокъ заключается въ этихъ семи десяткахъ? (Не меньше семи девятокъ.) Какое число составятъ семь девятокъ?—Какое число составятъ восемь девятокъ?—Какъ же вы узнали, что 9 заключается въ 72 восемь разъ? — Да; не набирая девятки одну за другой, вы прикинули, что въ числѣ 72 ихъ содержится по меньшей мѣрѣ семь; а затѣмъ сей-

часъ же узнали, что ихъ въ дѣйствительности содержится всего восемь. — Раздѣлите 3G, 54, 81 на девять и объясните, какъ вы найдете девятую часть каждаго изъ этихъ чиселъ.“

§ 32. Остается, наконецъ, перейти къ упражненіямъ въ дѣленіи чиселъ первой сотни на 7. Предложивъ дѣтямъ раздѣлить, напримѣръ, 42 на 7, учитель ведетъ съ ними такую, приблизительно, бесѣду:

„Если бы вы знали, сколько разъ 7 заключается въ 42, то могли-ли бы вы сказать, сколько единицъ приходится на седьмую часть числа 42? — (Сколько семерокъ въ 42, столько единицъ въ седьмой части этого числа.)— Какъ же найти седьмую часть числа 42? — (Узнать сперва, сколько разъ 7 заключается въ 42.) — Какъ это узнать? — (Набрать двѣ семерки; если окажется, что двѣ семерки не составляютъ 42, то набрать три семерки и. т. д.) Нельзя ли поступить иначе, не набирая семерокъ одну за другой? (7 въ 42 содержится по меньшой мѣрѣ 4 раза.) — Сколько составятъ четыре семерки? На сколько 28 разнится отъ 42? — (На 14, т. е. на двѣ семерки.) Сколько же разъ 7 содержится въ 42? Какъ велика седьмая часть числа 42? — Можно въ этомъ случаѣ поступать и иначе. — Сколько составятъ десять семерокъ? — Содержится ли 7 въ 42 десять разъ? — (Нѣтъ, 7 содержится въ 42 меньше десяти разъ.) — Зная, что десять семерокъ составляютъ 70, какъ можно узнать, какое число составляютъ пять семерокъ? — (Раздѣлить пополамъ 70.) Зная удесятеренное число, вы всегда легко узнаете упятеренное число. Сколько же составляютъ пять семерокъ?— Содержится ли въ 42 число 7 пять разъ? — (7 содержится въ 42 больше пяти разъ.) Итакъ, 7 содержится въ 42 меньше десяти разъ, но больше пяти разъ; а теперь не трудно угадать, сколько именно разъ 7 содержится въ 42.—Раздѣлите 84 на 7.— (7 содержится въ 84 больше десяти разъ.) На какія двѣ части удобно разложить (разбить) 84, чтобы раздѣлить это число на 7? (На 70 и на 14.) — Какъ вы произведете дѣленіе? (Раздѣлимъ 70 на 7, раздѣлимъ 14 на 7 и сложимъ полученныя числа 10 и 2.)—Требуетъ ли выполненіе этого сложенія какого либо вычисленія? — Нашли ли вы седьмую часть 84 сразу?—(Нѣтъ; мы нашли сперва, сколько десятковъ въ седьмой части 84, потомъ нашли, сколько единицъ въ этой части.)—Да; вы нашли по порядку десятичныя группы искомаго числа и, найдя ихъ, назвали искомое число. Раздѣлите 91 на 7 и объясните, какъ вы нашли искомое число?“

§ 33. Послѣ упражненій въ дѣленіи чиселъ первой сотни на однозначное число, остается запяться съ дѣтьми дѣленіемъ чиселъ въ этомъ предѣлѣ на двузначное число. Такъ какъ частное отъ дѣленія двузначнаго числа на двузначное есть число однозначное, то выполненіе дѣленія въ этомъ случаѣ сводится къ тому, что мы составляемъ произведенія даннаго дѣлителя на числа 2, 3, 4, 5 и т. д. и сравниваемъ эти произведенія съ даннымъ дѣлимымъ; при этомъ можетъ слу-

читься одно изъ двухъ: или одно изъ полученныхъ произведеній равно данному дѣлимому (дѣленіе безъ остатка), или два послѣдовательныхъ произведенія заключаютъ между собой данное дѣлимое (дѣленіе съ остаткомъ). При этомъ набираніи дѣлителя съ цѣлью узнать, сколько разъ онъ содержится въ данномъ дѣлимомъ, мы можемъ, въ большинствѣ случаевъ, ускорить вычисленіе, замѣнивъ послѣдовательное набираніе набираніемъ по группамъ. Такъ, напримѣръ, чтобы раздѣлить 78 на 18, мы можемъ считать такъ: 13 да 13 (2 раза 13)—26, 26 и 26 (4 раза 13) —52, 52 + 13 (5 разъ 13), 65 + 13 (6 разъ 13); 78= 13X6. Въ болѣе подробномъ разъясненіи хода этихъ упражненій нѣтъ, по нашему мнѣнію, надобности.

§ 34. Во время упражненій въ дѣленіи учитель долженъ познакомить дѣтей съ названіями: дѣлимое, дѣлитель, частное. „То число, которое требуется раздѣлить на другое число, называютъ дѣлимое; то число, на которое требуется раздѣлить данное число, называютъ дѣлитель; число, которое получается послѣ выполненія дѣленія, называютъ: частное двухъ данныхъ чиселъ.“

Учитель долженъ также сказать дѣтямъ, что часто говорятъ: „Найдите частное двухъ чиселъ, напримѣръ 36 и 9 вмѣсто того, чтобы сказать: „Раздѣлите 36 на 9.“

§ 35. Для упражненія дѣтей въ дѣленіи служатъ: бѣглый счетъ (см. „Прибавленіе“), письменные примѣры (№№ 301—317 второго отдѣла „Сборника“) и задачи №№ 430—476.

Касательно задачъ на дѣленіе, считаемъ нужнымъ замѣтить, что необходимо обращать вниманіе на то, чтобы дѣти отчетливо различали тѣ случаи, когда, по смыслу задачи, требуется раздѣлить данное число на нѣсколько равныхъ частей, отъ тѣхъ случаевъ, когда, по смыслу задачи, требуется опредѣлить содержаніе одного числа въ другомъ. Пусть, напримѣръ, предложена задача:

„Во время ученія 16 солдатъ выпустили 80 пуль, каждый поровну. Сколько пуль выпустилъ каждый солдатъ?“

Чтобы рѣшить эту задачу, нужно раздѣлить 80 на 16 равныхъ частей или, другими словами, опредѣлить шестнадцатую часть числа 80; узнавъ, что искомое число есть 5, мы заключимъ, что каждый солдатъ выпустилъ 5 пуль. Пусть предложена такая задача:

„Сколько времени нужно пароходу, чтобы пройти 72 версты, если каждый часъ онъ будетъ проходить по 12 верстъ?“

Чтобы рѣшить эту задачу, нужно узнать, сколько разъ 12 верстъ содержится въ 72 верстахъ; такъ какъ 12 содержится въ 72 шесть разъ, то пароходу нужно 6 часовъ, чтобы пройти 72 версты.

§ 36. Упражненіями въ дѣленіи заканчивается обученіе дѣтей производству ариѳметическихъ дѣйствій въ предѣлѣ первой сотни.

Изложенныя нами занятія должны привести къ тому результату, чтобы дѣти

выполняли (устно) эти дѣйствія свободно, сознательно, увѣренно и достаточно быстро.

Путемъ „монографическаго изученія чиселъ“ (метода Грубе) этотъ результатъ не можетъ быть, по нашему мнѣнію, достигнутъ.

Относительно того значенія, которое мы придаемъ умѣнью считать, въ смыслѣ вычислять, позволимъ себѣ повторить здѣсь то, что мы писали, по этому поводу, нѣсколько лѣтъ тому назадъ*).

„Мы полагаемъ необходимымъ для всякаго владѣть до извѣстной степени техникой счета, наравнѣ съ другими навыками и умѣніями, составляющими необходимое достояніе образованнаго человѣка, доводимыми до автоматичности и представляющими основу всякой дальнѣйшей умственной дѣятельности. Остается только рѣшить вопросъ, какъ далеко должны быть простираемы эти требованія относительно техники счета. Новѣйшимъ методамъ обученія ариѳметикѣ, безспорно, принадлежитъ та заслуга, что онѣ обратили вниманіе на устное вычисленіе и этимъ положили основаніе достиженію той техники, о которой мы говоримъ. Впрочемъ, многіе послѣдователи этихъ методъ, односторонне понявъ ихъ и не въ мѣру увлекшись устными вычисленіями, стали непроизводительно тратить время и силы своихъ учениковъ, стремясь довести ихъ до „виртуозности“, если можно такъ выразиться, въ производствѣ устныхъ вычисленій и надъ большими, неудобными числами. Мы полагаемъ, что здѣсь необходимо установить надлежащую мѣру и предъявляемъ слѣдующія требованія:

„1) Ученикъ долженъ знать результатъ сложенія и результатъ умноженія каждыхъ двухъ чиселъ перваго десятка. (Таблица сложенія и таблица умноженія однозначныхъ чиселъ).

„ 2) Ученикъ долженъ знать одинъ изъ элементовъ этихъ сочетаній, когда даны результатъ и другой элементъ: по данной суммѣ двухъ однозначныхъ чиселъ и одному изъ нихъ—другое; по данному произведенію двухъ однозначныхъ чиселъ и одному изъ нихъ—другое. (Таблица вычитанія и таблица дѣленія). „3) Ученикъ долженъ знать путь, слѣдуя которому могутъ быть получены результаты, не входящіе въ эти таблицы, и результаты памятью утраченные, другими словами, ученикъ долженъ владѣть пріемами вычисленія. “

Въ дополненіе къ этимъ словамъ, замѣтимъ, что ученикъ, который владѣетъ пріемами устнаго вычисленія въ предѣлѣ до ста, всегда проявитъ большую склонность прибѣгать и за этимъ предѣломъ къ устному вычисленію въ тѣхъ случаяхъ, когда такое вычисленіе представляется болѣе удобнымъ, чѣмъ прибѣгать къ письменному вычисленію и тогда, когда можно легко обойтись безъ него. Такому ученику и въ голову не придетъ взяться за перо, чтобы, напримѣръ, сложить числа 350 и 475, или изъ числа 1200 вычесть число 250, или число 40 помножить на 15, или число 8500 раздѣлить на 500 и пр.

*) См. «Учебно-Воспитательная Библіотека» (Обзоръ русской педагогической литературы). Изд. Учебн. Отд. Моск. Общ. распространенія техническихъ знаній. Москва. 1876. Томъ I. Литература 1875 года. Часть 2. Математика, стр. 19.

Задачи на числа первой сотни.

§ 1. Упражненія въ вычисленіяхъ надъ числами до ста постоянно сопровождаются рѣшеніемъ задачъ. Не считая нужнымъ предлагать подробной статьи о задачахъ, мы ограничимся, относительно ихъ, нѣсколькими замѣчаніями.

§ 2. Укажемъ, прежде всего, на группу задачъ, которую мы помѣстили вслѣдъ за задачами на отдѣльныя дѣйствія въ предѣлѣ до ста.

Задачи, на которыя мы указываемъ,—№№ 477—516 нашего „Сборника“ — можно было бы назвать задачами на вычисленіе стоимости. Онѣ представляютъ, собственно говоря, задачи на такъ-называемое простое тройное правило, о которомъ не лишнимъ считаемъ сказать здѣсь нѣсколько словъ.

Въ задачи, рѣшаемыя простымъ тройнымъ правиломъ, входятъ величины или прямо-пропорціональныя, или величины обратно-пропорціональныя.

Двѣ величины называются прямо-пропорціональными, если увеличеніе (или уменьшеніе) одной изъ нихъ въ нѣсколько разъ влечетъ за собой увеличеніе (или уменьшеніе) другой величины во столько-же разъ.

Къ такимъ прямо-пропорціональнымъ величинамъ принадлежатъ, напримѣръ, слѣдующія величины:

Количество товара и стоимость товара. Во сколько разъ больше (меньше) количество товара, во столько разъ больше (меньше) стоимость товара, при прочихъ равныхъ обстоятельствахъ (условіяхъ)*).

Продолжительность работы и плата за работу. Во сколько разъ больше (меньше) время, потребное для работы, во столько-же разъ больше (меньше) плата за работу, при прочихъ равныхъ обстоятельствахъ.

Длина равномѣрно проходимаго пути и время его прохожденія. Во сколько разъ больше (меньше) пройденный путь, во столько разъ больше (меньше) время, употребленное на его прохожденіе, при прочихъ равныхъ обстоятельствахъ (при одной и той же скорости)**).

Длина прямоугольника и его площадь. Во сколько разъ длина прямоугольника больше (меньше), во столько разъ больше (меньше) его площадь, при прочихъ равныхъ обстоятельствахъ (при одной и той же ширинѣ).

Двѣ величины называются обратно-пропорціональными, если увеличеніе (или уменьшеніе) одной изъ нихъ въ нѣсколько разъ влечетъ за собой уменьшеніе (или увеличеніе) другой величины во столько-же разъ.

Къ обратно-пропорціональнымъ величинамъ принадлежатъ, напримѣръ, слѣдующія величины:

Число работниковъ, назначенное д.гя выполненія работы, и

*) Иногда, для краткости, выражаются такъ: «Чѣмъ больше количество товара, тѣмъ больше его стоимость».

**) Скоростью равномѣрнаго движенія называютъ пространство, проходимое въ единицу времени, напр., въ одинъ часъ, или въ одну секунду и пр.

ность этой работы. Во сколько разъ больше (меньше) число работниковъ, во столько разъ меньше (больше) время, потребное для выполненія работы, при прочихъ равныхъ обстоятельствахъ.

Скорость равномѣрнаго движенія и время, необходимое для прохожденія съ этой скоростью нѣкотораго разстоянія. Во сколько разъ больше (меньше) скорость движенія, во столько же разъ меньше (больше) время, потребное для прохожденія одного и того-же разстоянія.

Длина и ширина прямоугольника, площадь котораго не измѣняетъ своей величины. Во сколько разъ увеличена (уменьшена) длина прямоугольника, во столько же разъ должна быть уменьшена (увеличена) ширина прямоугольника, если площадь его должна сохранить свою величину.

Въ задачу на простое тройное правило входятъ три данныхъ*), по которымъ требуется опредѣлить искомое число (четвертое пропорціональное).

Пусть, напримѣръ, предложены задачи:

1) „Семь аршинъ сукна стоятъ 28 руб.; сколько слѣдуетъ заплатить за 11 арш. такого сукна?“

2) „Восемь работниковъ могли бы окончить работу въ 6 дней; сколько нужно работниковъ, чтобы ту-же работу окончить въ 4 дня?“

Въ первую изъ этихъ задачъ входятъ двѣ прямо-пропорціональныя величины: количество сукна и стоимость сукна; два соотвѣтствующихъ значенія этихъ пропорціональныхъ величинъ даны: количество 7 арш. и соотвѣтствующая стоимость 28 руб.; кромѣ того, дано другое значеніе первой величины: 11 арш.; требуется опредѣлить то значеніе второй величины, которое соотвѣтствуетъ этому значенію первой величины,—проще: требуется опредѣлить стоимость 11 арш. сукна. Данное 11 арш. сукна есть то данное, которое не имѣетъ себѣ пары въ заданіи. Во вторую изъ приведенныхъ задачъ входятъ двѣ обратно-пропорціональныя величины: число работниковъ и число дней работы; два соотвѣтствующихъ значенія этихъ обратно-пропорціональныхъ величинъ даны: число 8 работниковъ и соотвѣтствующее число 6 дней работы; кромѣ того, дано другое значеніе второй величины: 4 дня работы; требуется опредѣлить то значеніе первой величины, которое соотвѣтствуетъ данному значенію второй величины,—проще: требуется опредѣлить число работниковъ, необходимое для выполненія работы въ 4 дня. Данное 4 дня работы есть то данное, которое не имѣетъ себѣ пары въ заданіи. При совращенной записи задачъ подобнаго рода, удобно располагать данныя предложенной задачи такъ:

*) Отсюда и названіе тройное правило.

Самый простой, естественный и образовательный способъ рѣшенія задачъ на тройное правило есть тотъ способъ, который извѣстенъ у насъ подъ названіемъ способа приведенія къ единицѣ; его можно было бы назвать также способомъ послѣдотельныхъ заключеній или послѣдовательныхъ выводовъ. Этотъ способъ, въ примѣненіи къ рѣшенію выбранныхъ нами задачъ, состоитъ въ слѣдующемъ:

1) Зная, что семь арш. сукна стоятъ 28 руб., мы заключаемъ, что стоимость одного «аршина сукна составляетъ 4 руб. (число рублей, которое найдемъ, раздѣливъ 28 на 7); узнавъ, что одинъ арш. сукна стоитъ 4 руб., мы заключаемъ, что стоимость 11 арш. сукна составитъ 44 руб. (число рублей, которое найдемъ, умноживъ 4 на 11).

2) Зная, что для выполненія работы въ шесть дней требуется 8 работниковъ, мы заключаемъ, что для выполненія работы въ одинъ день потребовалось бы 48 работниковъ (число работниковъ, которое найдемъ, умноживъ G на 8); узнавъ, что для выполненія работы въ одинъ день потребовалось бы 48 работниковъ, мы заключаемъ, что для выполненія работы въ 4 дня потребуется 12 работниковъ (число работниковъ, которое найдемъ, раздѣливъ 48 на 4). Изъ хода рѣшенія этихъ задачъ видно, что способъ приведенія къ единицѣ состоитъ въ томъ, что отъ данной совокупности единицъ переходятъ къ одной единицѣ, а, затѣмъ, отъ одной единицы переходятъ къ искомой совокупности единицъ. Этотъ способъ, какъ легко понять, можетъ быть приложенъ всегда къ рѣшенію задачъ на тройное правило и поэтому долженъ быть признанъ общимъ. Но слѣдуетъ замѣтить, что, въ частныхъ случаяхъ, переходъ къ единицѣ можетъ дать въ результатѣ дробное , не смотря на то, что и данныя задачи выражены въ цѣлыхъ числахъ и что искомое задачи также выражается цѣлымъ числомъ.

Слѣдующій простой примѣръ можетъ подтвердить сказанное:

„Сколько стоятъ 18 фун. соли, если 24 фун. стоятъ 36 коп.?“

Рѣшая эту задачу способомъ приведенія къ единицѣ, мы должны были бы разсуждать такъ:

„24 фун. соли стоятъ 36 коп.; одинъ фунтъ соли стоитъ одну 24-ю часть 36-ти коп., или 36 двадцать четвертыхъ копѣйки, т. е., проще, 1Ѵ2 коп.; 18 фунтовъ соли стоятъ 18 разъ 1Ѵ2 коп., т. е. 27 коп.“

Судя по этому примѣру, можетъ показаться, что рѣшеніе задачъ па тройное правило способомъ приведенія къ единицѣ должно потребовать, въ иныхъ случаяхъ, знакомства съ дробями и съ ихъ простѣйшими свойствами. Но такое заключеніе несправедливо по отношенію къ тѣмъ задачамъ, данныя и искомое которыхъ выражаются въ цѣлыхъ числахъ. Въ такихъ задачахъ всегда можно избѣжать промежуточнаго дробнаго результата, если рѣшать эти задачи приведеніемъ не къ единицѣ (которая есть общая мѣра всѣхъ чиселъ), а приведеніемъ къ общей мѣрѣ тѣхъ двухъ данныхъ задачи, которыя составляютъ пару въ заданіи. Два числа могутъ имѣть нѣсколько общихъ мѣръ; одна изъ нихъ больше каждой изъ остальныхъ; это — общая наибольшая мѣра двухъ взятыхъ чиселъ. Т«акъ, напримѣръ, каждое изъ чиселъ: 2, 3, 6 есть общая

мѣра чиселъ: 18 и 24; но число 6 есть общая наибольшая мѣра чиселъ 18 и 24. Возвращаясь къ послѣдней задачѣ, мы видимъ, что, для опредѣленія стоимости 18 фунтовъ соли, достаточно знать стоимость или 2, или 3, или 6 фунтовъ соли, такъ что нѣтъ необходимости узнавать стоимость одною фунта соли. Такъ какъ 2 фунта въ 12 разъ меньше 24 фунтовъ, то стоимость 2 фунтовъ въ 12 разъ меньше стоимости 24 фунтовъ; но 24 фунта, по условію, стоятъ 36 коп.; отсюда: 2 фунта стоятъ 3 коп.; 18 фун. стоятъ 27 коп. Точно также, для рѣшенія той же задачи, можно было бы опредѣлить сперва стоимость 6-ти фунтовъ соли, а затѣмъ найти стоимость 18-ти фунтовъ соли.

На основаніи всего изложеннаго, слѣдуетъ прійти къ тому выводу, что, рѣшая задачи на тройное правило способомъ послѣдовательныхъ заключеній, нѣтъ надобности переходить всегда чрезъ единицу, этотъ переходъ чрезъ единицу необходимъ лишь въ тѣхъ случаяхъ, когда входящія въ задачу парныя данныя выражены числами, имѣющими общей мѣрой только единицу (13 фунт. товару стоятъ 65 коп.; сколько стоятъ 15 фунтовъ товару?). Задачи, помѣщенныя въ нашемъ „Сборникѣ“ подъ №№ 477 — 516, именно и предназначены служить матеріаломъ для упражненія дѣтей въ рѣшеніи задачъ на простое тройное правило способомъ послѣдовательныхъ заключеній. Само собой разумѣется, что усвоеніе дѣтьми этого пріема должно совершаться путемъ чисто практическимъ; всякія теоретическія разъясненія были бы здѣсь совершенно неумѣстны. Дѣти должны только пріобрѣсти навыкъ находить ту или другую изъ кратныхъ частей даннаго числа, повтореніемъ которой можетъ быть составлено другое данное число, составляющее въ заданіи пару съ первымъ числомъ; а затѣмъ — выбрать, сообразуясь съ третьимъ даннымъ задачи, подходящую изъ этихъ кратныхъ частей (т. е. ту, которая не привела бы къ промежуточному результату, выраженному дробнымъ числомъ). Пусть, напримѣръ, одинъ пудъ товара стоитъ 72 руб., и требуется узнать стоимость 15 фунтовъ товара. Чтобы опредѣлить стоимость 15 фунтовъ, достаточно, конечно, знать стоимость пли 3 фунтовъ, или 5 фунтовъ; но 3 фун. не составляютъ кратной части пуда; 5 же фунтовъ составляютъ кратную часть пуда, именно, одну восьмую часть пуда; отсюда: пудъ стоитъ 72 руб.; 5 фун. стоятъ 9 руб., 15 фун. стоятъ 27 руб. (Если бы третье данное задачи — 72 руб.— не дѣлилось бы, въ этомъ примѣрѣ, безъ остатка на 8, то результатъ не могъ бы быть выраженъ цѣлымъ числомъ.)

Подобныя упражненія мы считаемъ весьма полезными и притомъ полезными въ общеобразовательномъ отношеніи, а не съ точки зрѣнія преслѣдованія цѣлей узко-утилитарныхъ. Когда учитель найдетъ возможнымъ давать дѣтямъ эти задачи для самостоятельныхъ письменныхъ занятій, то онъ долженъ пріучить дѣтей располагать записи такъ:

Не можемъ, наконецъ, не сдѣлать еще одного замѣчанія относительно задачъ на вычисленіе стоимости. Рѣшеніе этихъ задачъ способомъ приведенія къ общей мѣрѣ (приведеніемъ къ общей кратной части) требуетъ выполненія двухъ дѣйствій: дѣленія и умноженія. Но рѣшеніе подобныхъ задачъ допускаетъ примѣненіе и другихъ, частныхъ пріемовъ, которые трудно подвести подъ какое либо общее правило. Эти частные пріемы основаны на возможности составлять, въ тѣхъ или другихъ случаяхъ, искомое число не только путемъ повторенія (умноженія) кратной части другого даннаго числа, но и путемъ соединенія (сложенія) различныхъ кратныхъ частей этого даннаго числа. Такъ, напримѣръ, для полученія числа 28 изъ кратныхъ частей числа 40 (эти кратныя части: 2, 4, 5, 8, 10, 20) мы можемъ повторить 7 разъ число 4, т. е. десятую часть числа 40, или мы можемъ сложить числа 20 и 8, т. е. сложить половину и пятую часть числа 40.

Для примѣра, рѣшимъ различными пріемами слѣдующую задачу:

„Одинъ пудъ товара стоитъ 7 р. 40 к.; сколько слѣдуетъ заплатить за 28 фунтовъ этого товара?“

Чтобы рѣшить эту задачу способомъ приведенія къ единицѣ, надлежитъ узнать стоимость одного фунта, а затѣмъ перейти отъ стоимости одного фунта къ стоимости 28 фунтовъ. Стоимость одного фунта мы узнаемъ, раздѣливъ 740 коп. на 40 (740:40 = 1872); стоимость 28 фунтовъ мы узнаемъ, умноживъ 187г коп. на 28 (1872 X 28 = 518).

Примѣняя къ рѣшенію той же задачи способъ приведенія къ кратной части, надлежитъ сперва узнать стоимость 4 фунтовъ, а затѣмъ, перейти отъ стоимости 4 фунтовъ къ стоимости 28 фунтовъ. Стоимость 4 фунтовъ мы узнаемъ, раздѣливъ 740 коп. на 10 (740 : 10 = 74); стоимость 28 фунтовъ мы узнаемъ, умноживъ 74 коп. на 7 (74 • 7 = 518).

Пользуясь, наконецъ, для рѣшенія той же задачи, способомъ сложенія кратныхъ частей, мы можемъ узнать сперва стоимость 20 фунтовъ (половина пуда), затѣмъ узнать стоимость 8 фунтовъ (пятая часть пуда) и сложить полученные результаты. Стоимость 20 фунт. мы узнаемъ, раздѣливъ 740 коп. на 2 (740 : 2 = 370); стоимость 8 фунт. мы узнаемъ, раздѣливъ 740 коп. на 5 (740 : 5 = 148); стоимость 2S фунтовъ мы узнаемъ, сложивъ 370 коп. и 148 коп. (370 + 148 = 518).

Способъ, который мы назвали способомъ сложенія кратныхъ частей, весьма распространенъ въ нашемъ народѣ; торговые люди пользуются имъ почти исключительно при своихъ обиходныхъ расчетахъ. Чтобы, напримѣръ, опредѣлить стоимость 22 фунтовъ товару, пудъ котораго стоитъ 17 руб., торговый человѣкъ не станетъ узнавать сперва стоимости одного фунта, а произведетъ расчетъ слѣдующимъ образомъ: 20 фунтовъ (полпуда) стоятъ — 8 р. 50 коп., 2 фунта (десятая часть полпуда) стоятъ—85 к., 22 фунта стоятъ—9 р. 35 к. Всѣ свои расчеты народъ производитъ, обыкновенно, или устно, или на счетахъ, прибѣгая къ ихъ помощи въ тѣхъ случаяхъ, когда устное вычисленіе представляется затруднительнымъ. Еслибы, напримѣръ, потребовалось узнать сто-

имость 25 чтв. 6 чтк. зерна, четверть котораго стоитъ 8 руб. 20 коп., то человѣкъ не книжный произведетъ этотъ расчетъ на счетахъ слѣдующимъ образомъ. Онъ положитъ на счеты 82 руб. (стоимость десяти четвертей), еще 82 руб. (чтобы получить стоимость двадцати четвертей) и накинетъ, затѣмъ, 41 руб. (стоимость пяти четвертей), 4 руб. 10 кон. (стоимость пол-четверти) и 2 руб. 5 коп. (стоимость пол-пол-четверти, т. е. двухъ четвериковъ); полученная на счетахъ сумма окажется, такимъ образомъ, 211 руб. 15 коп.

Не трудно видѣть, что эти народные пріемы значительно расходятся съ нашими книжными пріемами, и справедливость требуетъ признать за ними большую долю практической пригодности.

Познакомить дѣтей съ употребленіемъ этихъ только-что указанныхъ пріемовъ, въ приложеніи къ простѣйшимъ случаямъ, мы полагаемъ желательнымъ, особенно въ народной школѣ.

§ 3. Переходя къ дальнѣйшимъ замѣчаніямъ относительно задачъ, мы должны прежде всего остановиться на задачахъ, которыя называютъ обыкновенно „Задачами на всѣ четыре дѣйствія“. Эти задачи, на числа до ста, помѣщены въ нашемъ „Сборникѣ“ подъ 517 — 635.

Задачи на всѣ четыре дѣйствія, рѣшеніе которыхъ требуетъ выполненія ряда ариѳметическихъ дѣйствій, называютъ сложными, въ отличіе отъ задачъ, требующихъ выполненія одного какого-либо ариѳметическаго дѣйствія и получившихъ названіе простыхъ задачъ. Выборъ этихъ названій нѣсколько неудаченъ, такъ какъ выраженіе простая задача принимается почти всегда въ смыслѣ легкая (нетрудная задача), а выраженіе сложная задача — въ смыслѣ трудная задача. Это значеніе придается словамъ: простая, сложная не только по отношенію къ ариѳметическимъ или, вообще, математическимъ задачамъ, но и въ примѣненіи къ различнымъ научнымъ и житейскимъ вопросамъ. Нѣтъ, впрочемъ, достаточныхъ основаній измѣнять разъ установившихся терминовъ, и мы подъ сложной задачей будемъ, прежде всего, разумѣть такую задачу, рѣшеніе которой требуетъ послѣдовательнаго выполненія нѣсколькихъ ариѳметическихъ дѣйствій.

§ 4. Всякая сложная задача распадается на опредѣленное число простыхъ задачъ, или, выражаясь точнѣе, рѣшеніе сложной задачи сводится всегда къ рѣшенію ряда простыхъ задачъ, содержаніе и послѣдовательность которыхъ обусловлены тѣми соотношеніями, въ которыхъ находятся данныя и искомыя предложенной задачи. Установитъ планъ рѣшенія задачи (ходъ рѣшенія задачи) значитъ: установить содержаніе и порядокъ тѣхъ простыхъ задачъ, послѣдовальное рѣшеніе которыхъ должно привести къ рѣшенію предложенной задачи, такъ-что отвѣтъ на послѣднюю изъ этихъ простыхъ задачъ будетъ вмѣстѣ съ тѣмъ и отвѣтомъ на предложенную задачу.

Чтобы установить ходъ рѣшенія задачи, необходимо уяснить себѣ съ полною отчетливостью ту опредѣленную зависимость между искомымъ задачи

и ея данными, которая логически вытекаетъ изъ содержанія задачи. Эта зависимость можетъ быть, въ иныхъ случаяхъ, настолько проста (настолько прозрачна, если позволено такъ выразиться), что можно непосредственно, или почти непосредственно, охватить рядъ тѣхъ дѣйствій, выполненіе которыхъ должно привести къ отвѣту на предложенный вопросъ.

Для поясненія сказаннаго, разсмотримъ подробно весь ходъ рѣшенія сложной задачи и выберемъ, для примѣра, слѣдующую:

„Столяръ въ 8 дней изготовилъ 87 рамокъ; въ первые три дня онъ изготовлялъ по 13 рамокъ въ день, въ слѣдующіе четыре дня—по 9 рамокъ. Сколько рамокъ изготовилъ столяръ въ восьмой день?“

Чтобы отвѣтить на предложенный вопросъ, нужно узнать, сколько рамокъ столяръ изготовилъ въ первые семь дней; это число мы можемъ узнать, такъ какъ, по даннымъ задачи, можемъ узнать число рамокъ, изготовленныхъ въ первые три дня, и число рамокъ, изготовленныхъ въ слѣдующіе четыре дня; узнавъ же число рамокъ, изготовленныхъ въ первые семь дней, мы можемъ узнать и число рамокъ, изготовленныхъ въ послѣдній, т. е. въ восьмой день, такъ какъ знаемъ, по даннымъ задачи, число рамокъ, изготовленныхъ въ теченіи всѣхъ восьми дней.

Это разсужденіе, которое называютъ анализомъ задачи, приведетъ насъ къ установленію такого плана рѣшенія, или, какъ говорятъ, къ такому синтезу задачи:

1) Узнать число рамокъ, изготовленныхъ въ первые три дня.

2) Узнать число рамокъ, изготовленныхъ въ слѣдующіе четыре дня.

3) Узнать число рамокъ, изготовленныхъ въ первые семь дней.

4) Узнать число рамокъ, изготовленныхъ въ восьмой день.

Когда, такимъ образомъ, будетъ установленъ ходъ рѣшенія сложной задачи и она будетъ сведена къ ряду простыхъ задачъ, тогда останется уяснить себѣ, какое ариѳметическое дѣйствіе должно быть примѣнено къ рѣшенію каждой изъ этихъ простыхъ задачъ, и какъ удобнѣе выполнить каждое изъ этихъ дѣйствій (устно или письменно, примѣненіемъ нормальнаго пріема или какого-либо частнаго пріема и т. п.). Изъ сказаннаго мы приходимъ къ тому заключенію, что, въ процессѣ рѣшенія ариѳметической задачи, надлежитъ различать четыре момента:

1) Анализъ задачи, т. е. то разсужденіе, которое необходимо должно предшествовать установленію плана рѣшенія.

2) Синтезъ задачи, т. е. установленіе содержанія и порядка тѣхъ простыхъ задачъ, на которыя должна быть разложена данная сложная задача.

3) Опредѣленіе для каждой простой задачи того ариѳметическаго дѣйствія, помощію котораго она рѣшается.

4) Выполненіе того ариѳметическаго дѣйствія, примѣненіемъ котораго рѣшается каждая изъ простыхъ задачъ, на которыя разложена данная сложная задача. Если бы предложить кому-либо вопросъ, какъ рѣшить только-что приведенную задачу, то пришлось бы получить, конечно, такой отвѣтъ: нужно узнать сперва, сколько рамокъ изготовлено въ первые три дня, затѣмъ — сколько ра-

мокъ изготовлено въ слѣдующіе четыре дня, потомъ, сколько рамокъ изготовлено въ первые семь дней и, наконецъ, сколько рамокъ осталось изготовить въ послѣдній, восьмой день. Такимъ образомъ, рѣшающій задачу непосредственно установилъ-бы планъ рѣшенія задачи (синтезъ), не отдавая себѣ яснаго отчета въ томъ разсужденіи (анализѣ), которое необходимо должно было предшествовать установленію этого плана. Такое обстоятельство находитъ себѣ объясненіе въ томъ, что въ задачахъ, подобныхъ предложенной, зависимость искомаго числа отъ данныхъ чиселъ настолько проста (прозрачна), такъ явно подсказана самой задачей, что представляется возможнымъ обнять сразу (интуитивно, какъ иногда говорятъ) весь рядъ тѣхъ ариѳметическихъ дѣйствій, послѣдовательное выполненіе которыхъ должно привести къ требуемому отвѣту. Обнявъ этотъ рядъ дѣйствій, мы, между прочимъ, безъ труда могли бы составить и такъ называемую „формулу“ рѣшенія задачи, т. е. то числовое выраженіе, которое остается только „вычислить“ (преобразовать въ число десятичнаго вида), чтобы получить искомое число. Для задачи, нами выбранной, эта формула была бы слѣдующая

87 — (13-3) -(9-4)

Вычисливъ это выраженіе, мы нашли бы въ результатѣ число 12, и дали бы на предложенный вопросъ такой отвѣтъ: „Столяръ изготовилъ въ восьмой день 12 рамокъ.“

Разсмотримъ еще слѣдующую задачу:

„Лавочникъ смѣшалъ 6 фунтовъ крупы по 3 коп. за фунтъ и 5 фунтовъ по 5 коп.; всю смѣсь онъ продалъ по одинаковой цѣнѣ и отъ этой продажи получилъ 12 коп. прибыли. По какой цѣнѣ лавочникъ продавалъ фунтъ смѣшанной крупы?“

И въ этой задачѣ зависимость искомаго числа отъ данныхъ чиселъ настолько проста, что мы почти непосредственно можемъ обнять тотъ рядъ вычисленій надъ данными числами, выполненіе которыхъ должно привести къ искомому числу. Если бы, въ данномъ случаѣ, мы обозначили буквой х, напримѣръ, это искомое число, т. е. число копѳекъ, за которое лавочникъ продавалъ одинъ фунтъ смѣшанной крупы, то получили бы такое равенство

Въ этомъ равенствѣ искомое число х выражено явно въ зависимости отъ всѣхъ данныхъ чиселъ задачи; остается только вычислить это числовое выраженіе и придать найденному результату подходящее наименованіе, чтобы получить требуемый отвѣтъ.

Изъ сказаннаго мы должны придти къ слѣдующему заключенію.

Въ нѣкоторыхъ ариѳметическихъ задачахъ зависимость искомаго числа отъ данныхъ чиселъ настолько проста, что представляется возможнымъ обнять какъ бы сразу, или почти сразу, тѣ подсказанныя изложеніемъ задачи дѣйствія надъ данными числами, выполненіе которыхъ необходимо и достаточно для опредѣленія

искомаго числа. При рѣшеніи такихъ задачъ, анализъ такъ простъ и мимолетенъ, что иногда онъ даже совершенно ускользаетъ отъ нашею вниманія, такъ что можетъ показаться, что установленію плана рѣшенія задачи, т. е. синтезу, не предшествовало никакого предварительнаго разсужденія. Собственно говоря, только задачи подобнаго рода должны быть признаны задачами начальной ариѳметики.

Отличительный признакъ этихъ задачъ чисто-ариѳметическаго характера заключается въ томъ, что, для такой задачи, непосредственно или почти непосредственно, можетъ быть составлена, какъ говорятъ, формула рѣшенія, или, какъ предпочитаемъ говорить мы, составлено равенство, которымъ явно выражается зависимость искомаго числа отъ всѣхъ данныхъ чиселъ задачи.

Все разнообразіе задачъ чисто-ариѳметическихъ зависитъ не столько отъ ихъ ариѳметическаго, сколько отъ ихъ словеснаго содержанія. Относительно ариѳметическаго содержанія, такія задачи различаются только тѣмъ, что однѣ изъ нихъ коротки, другія — длинны (иногда, къ сожалѣнію, слишкомъ длинны), что числа, входящія въ задачу, малы или велики, что эти числа удобны или неудобны для вычисленія. Такимъ образомъ, задачи, которыя мы называемъ чисто-ариѳметическими, не могутъ дать достаточнаго матеріала для развитія въ учащихся способности разсуждать надъ числами и ихъ зависимостью.

§ 5. Совсѣмъ иное представляютъ задачи алгебраическаго характера. Въ этихъ задачахъ зависимость между искомымъ числомъ и данными числами не настолько „прозрачна“, чтобы можно было бы непосредственно установить планъ рѣшенія, какъ для задачъ чисто-ариѳметическихъ. Напротивъ, въ задачахъ алгебраическаго характера, ближайшая связь между числами искомыми и данными является, большею частью, настолько „скрытой“ самыми условіями задачи, что можетъ потребоваться длинный рядъ разсужденій, чтобы, какъ выражаются довольно мѣтко, „распутать“ задачу, т. е. установить порядокъ тѣхъ ариѳметическихъ дѣйствій надъ данными числами, выполненіе которыхъ приведетъ къ отвѣту на предложенную задачу.

Одинъ изъ пріемовъ — и притомъ общій пріемъ — рѣшенія ариѳметическихъ задачъ алгебраическаго характера заключается въ составленіи, по даннымъ условіямъ задачи, уравненія, т. е. въ составленіи того равенства, которымъ неявно выражается зависимость неизвѣстнаго числа отъ данныхъ чиселъ.

Послѣ того, какъ соотвѣтствующее задачѣ уравненіе будетъ составлено, останется только, для опредѣленія неизвѣстнаго числа, рѣшить полученное уравненіе, т. е. произвести рядъ преобразованій, имѣющихъ цѣлью замѣнить это уравненіе однозначущимъ съ нимъ равенствомъ, въ которомъ была бы выражена явно зависимость искомаго числа отъ данныхъ чиселъ. Возможность такихъ преобразаваній основана на томъ очевидномъ свойствѣ всякаго равенства, что таковое не нарушится, если къ обѣимъ частямъ его придадимъ по равнымъ числамъ, или изъ обѣихъ частей его вычтемъ по равнымъ числамъ, или обѣ его части умножимъ на равныя числа, или обѣ его части раздѣлимъ на равныя числа.

Для уясненія только-что сказаннаго, обратимся къ частнымъ примѣрамъ и приведемъ двѣ задачи алгебраическаго характера съ изложеніемъ хода ихъ рѣшенія путемъ составленія уравненія.

1. „Лавочникъ купилъ гречневой крупы и рису, всего 13 пудовъ, и на эту покупку издержалъ 71 руб.; за пудъ гречневой крупы онъ заплатилъ 2 руб., за пудъ рису 7 руб. Сколько пудовъ рису купилъ лавочникъ?“ Означивъ неизвѣстное, т. е. искомое число пудовъ рису буквой мы должны будемъ неизвѣстное число пудовъ крупы обозначить разностью: 13 — х. Такъ какъ одинъ нудъ рису стоитъ 7 руб., то число рублей, выражающее стоимость риса въ количествѣ х фунтовъ, есть — 7 • х\ такъ какъ одинъ пудъ крупы стоитъ 2 руб., то число рублей, выражающее стоимость крупы въ количествѣ (13— фунтовъ, есть — 2 » (13 — ж). Сумма

7 • а;+ 2 • (13— х)

выражаетъ, слѣдовательно, число рублей, уплаченныхъ за всю покупку; но, такъ какъ эта стоимость, по условію, есть 71 руб., то

7 • я + 2 • (13 — ж) = 71

Такимъ образомъ, мы составили, по условіямъ задачи, уравненіе, т. е. то равенство, которое выражаетъ неявно зависимость между искомымъ числомъ, которое мы назвали х, н всѣми данными числами задачи, т. е. числами 7, 2, 13, 71. Рѣшая это уравненіе, мы получимъ послѣдовательно

и придемъ такимъ путемъ къ равенству, которое выражаетъ явно зависимость искомаго числа х отъ данныхъ чиселъ. Вычисливъ полученное для х числовое выраженіе, мы найдемъ, что х—5 и заключимъ, вспомнивъ значеніе неизвѣстнаго числа X, что куплено 5 пудовъ рису.

Приведенная нами задача принадлежитъ къ группѣ тѣхъ задачъ, которыя извѣстны въ ариѳметикѣ подъ названіемъ: задачи на правило смѣшенія ВТОРОГО рода. Подъ названіемъ же: задачи на правило смѣшенія перваго рода разумѣютъ такія задачи, данными для которыхъ служатъ количества и цѣны двухъ смѣшиваемыхъ товаровъ (веществъ), а искомымъ является—цѣна полученной смѣси, т. е. стоимость единицы мѣры смѣшаннаго товара (вещества). Задачи на правило смѣшенія второго рода поддаются весьма разнообразной редакціи. 2. „Въ одномъ закромѣ было 76 четвериковъ ржи, а въ другомъ—12 четвериковъ. Сколько разъ нужно насыпать въ каждый закромъ по 5 четвериковъ ржи, чтобы въ нервомъ стало ея въ три раза больше, чѣмъ во второмъ?“

Положимъ, что въ каждый закромъ нужно насыпать х разъ но 5 чтк. ржи, чтобы удовлетворить требованію задачи; еслибы это было сдѣлано, то въ первомъ закромѣ стало бы (76 + 5 х)четвериковъ ржи, а во второмъ — (12 + 5 четвериковъ. Такъ какъ первое число должно оказаться втрое больше, чѣмъ второе, то должно быть

76 + 5 • X = 3 • (12 + 5 • *).

Рѣшая это уравненіе, найдемъ:

Итакъ, нужно въ тотъ и другой закромъ насыпать 4 раза по 5 четвериковъ ржи для того, чтобы въ нервомъ закромѣ стало ржи въ три раза больше, чѣмъ во второмъ. Дѣйствительно, прибавивъ къ каждому изъ чиселъ 76, 12 по четыре пятка, мы получимъ два числа, изъ которыхъ первое (96) въ три раза больше второго (32).

Составленіе и рѣшеніе уравненій не входитъ въ Ариѳметику и принадлежитъ тому отдѣлу Математики, который носитъ названіе „Алгебры“. Если мы привели образцы рѣшенія ариѳметическихъ задачъ путемъ составленія уравненій, то сдѣлали это только съ единственной цѣлью дать нѣкоторое понятіе объ этомъ пріемѣ тѣмъ, кто незнакомъ съ нимъ.

Кромѣ этого общаго пріема рѣшенія задачъ алгебраическаго характера, существуетъ цѣлый рядъ частныхъ пріемовъ. Подвести эти частные пріемы подъ какое-либо общее правило, конечно, невозможно. Правда, что рѣшеніе задачъ алгебраическаго характера путемъ ариѳметическимъ, т. е. безъ помощи уравненій, представляетъ значительно большую трудность, чѣмъ рѣшеніе ихъ пріемами Алгебры, но нельзя не признать, что именно такое примѣненіе ариѳметическихъ пріемовъ къ рѣшенію задачъ алгебраическаго характера несомнѣнно имѣетъ большое образовательное значеніе. Вотъ почему во всѣхъ сборникахъ задачъ по начальной ариѳметикѣ, на ряду съ задачами собственно ариѳметическими, вошло въ обычай помѣщать и задачи алгебраическаго характера. Въ нашей учебной литературѣ эти задачи носятъ весьма различныя названія; ихъ называютъ трудными или труднѣйшими задачами, называютъ также замысловатыми задачами, называютъ ихъ, наконецъ, задачами съ условіями. Мы предпочли бы оставить за этими задачами названіе: задачи алгебраическаго характера.

Чтобы показать, насколько рѣшеніе ариѳметическимъ путемъ задачъ алгебраическаго характера различается отъ рѣшенія ихъ пріемами Алгебры, мы обратимся къ частному примѣру и покажемъ рѣшеніе безъ помощи уравненія второй изъ приведенныхъ выше задачъ:

„Въ одномъ закромѣ было 76 четвериковъ ржи, а въ другомъ — 12 четвериковъ. Сколько разъ нужно насыпать въ каждый закромъ по 5 четвериковъ ржи, чтобы въ первомъ стало ржи въ три раза больше, чѣмъ во второмъ?“

Чтобы рѣшить эту задачу, мы разсуждаемъ слѣдующимъ образомъ. Предположимъ, что первое данное число не 76, а 36, т. е. число, которое въ три раза больше второго даннаго числа 12.

Въ этомъ случаѣ, для сохраненія между числами 36 и 12 ихъ отношенія, надлежало бы, каждый разъ, прибавлять къ большему числу втрое больше, чѣмъ къ меньшему; такъ, въ данномъ случаѣ, прибавляя 5 къ числу 12, надлежало бы въ то же время прибавлять 15 къ числу 36, т. е. прибавлять къ нему каждый разъ по 10 лишнихъ единицъ. Эти группы 10 лишнихъ единицъ и доставитъ намъ избытокъ даннаго числа 76 надъ числомъ 36; такъ какъ этотъ избытокъ равенъ 40, а число 10 заключается 4 раза въ числѣ 40, то мы приходимъ къ такому выводу: къ даннымъ числамъ 7 6 и 12 нужно прибавить четыре раза по пяти, чтобы получить два числа, изъ которыхъ первое въ три раза больше второго. Итакъ, въ каждый закромъ нужно насыпать четыре раза по 5 четвериковъ ржи, чтобы въ одномъ стало ржи въ три раза больше, чѣмъ въ другомъ.

§ 6. Что касается до пользованія задачами алгебраическаго характера при обученіи начальной ариѳметикѣ, то мы полагаемъ невозможнымъ, въ большинствѣ случаевъ, требовать отъ дѣтей, чтобы они самостоятельно рѣшали такія задачи, наравнѣ съ задачами собственно ариѳметическими. Мы считаемъ необходимымъ, чтобы учитель рядомъ вопросовъ наводилъ дѣтей на пріемы рѣшенія подобныхъ задачъ, причемъ, въ иныхъ случаяхъ, придется даже прямо указать дѣтямъ на тотъ или другой пріемъ рѣшенія.

Задачи алгебраическаго характера весьма разнообразны относительно своего числового содержанія и степень трудности, которую представляетъ ихъ рѣшеніе, можетъ быть весьма различна. Многія изъ этихъ задачъ слѣдуетъ признать обще-извѣстными; таковы задачи о курьерахъ, о бассейнахъ, задачи на смѣшеніе (второго рода), на пропорціональное (соразмѣрное) дѣленіе и пр. и пр. Изложеніе пріемовъ рѣшенія всѣхъ этихъ задачъ мы считаемъ излишнимъ и ограничимся лишь указаніемъ ариѳметическаго пріема рѣшенія задачъ на смѣшеніе второго рода. Съ этой цѣлью мы выбираемъ задачу, которая выше рѣшена нами алгебраическимъ пріемомъ, т. е. задачу:

„Лавочникъ купилъ гречневой крупы и рису, всего 13 пудовъ, и на эту покупку издержалъ 71 руб.; за пудъ гречневой муки онъ заплатилъ 2 руб., за пудъ рису—7 руб. Сколько пудовъ рису купилъ лавочникъ?“

Чтобы рѣшить эту задачу, мы разсуждаемъ слѣдующимъ образомъ.

Еслибы лавочникъ купилъ только рисъ и притомъ купилъ бы его 13 пудовъ, то стоимость этой покупки была бы 91 руб. (7 X 13), т. е. эта стоимость была бы на 20 руб. (91—71) больше той суммы, которую лавочникъ, въ дѣйствительности, издержалъ. Изъ этого мы заключаемъ, что не всѣ 13 пудовъ товару составлялъ рисъ, а что часть товара составляла крупа, каждый пудъ которой на 5 руб. (7—2) дешевле пуда рису. Замѣняя одинъ пудъ рису однимъ пудомъ крупы, мы понижаемъ, слѣдовательно, стоимость покупки на 5 руб.; но такъ какъ эта стоимость должна быть понижена на 20 руб., то замѣну одного пуда рису

пудомъ крупы мы должны произвести столько разъ, сколько разъ 5 содержится въ 20, т. е. четыре раза. Такимъ образомъ мы приходимъ къ тому выводу, что лавочникъ купилъ 4 пуда крупы и, слѣдовательно, 9 пудовъ (13—4) рису.

Эту задачу можно рѣшить и нѣсколько иначе: стоитъ только предположить, что покупка состояла изъ 13 пудовъ крупы. Въ этомъ случаѣ придется, конечно, повысить стоимость покупки съ 26 руб. (2X13) до 71 руб., т. е. повысить эту стоимость на 45 руб. (71 — 26), замѣнивъ 9 пудовъ крупы такимъ же количествомъ рису.

§ 7. Въ нашемъ „Сборникѣ“ задачи на всѣ четыре дѣйствія надъ числами до ста расположены слѣдующимъ образомъ: №№ 517—560 представляютъ задачи собственно ариѳметическія; №№ 561— 619 представляютъ задачи алгебраическаго характера и, наконецъ, №№ 620—635 представляютъ также задачи алгебраическаго характера, но болѣе трудныя.

Считаемъ не безполезнымъ привести здѣсь пріемы рѣшенія этихъ послѣднихъ задачъ (отмѣченныхъ въ „Сборникѣ“ звѣздочкой).

№ 620. „Купецъ, въ уплату своего долга, предлагаетъ: или кусокъ сукна, цѣною по 3 руб. за аршинъ, и деньгами 55 руб., или кусокъ сукна такой-же длины, но цѣною по 5 руб. за аршинъ, и деньгами 25 руб. Какъ великъ былъ долгъ купца?“

Во второмъ случаѣ купецъ приплачиваетъ меньше, вслѣдствіе того, что предлагаетъ болѣе дорогое сукно. Такъ какъ разница въ приплатѣ составляетъ 30 руб., а разница въ цѣнѣ сукна — 2 руб., то въ каждомъ кускѣ сукна было по 15 аршинъ, т. е. столько аршинъ, сколько разъ 2 содержится въ 30. Долгъ купца поэтому уплачивался стоимостью 15 арш. сукна по 3 руб., т. е. 45 рублями, и приплатою 55 рублей; этотъ долгъ составлялъ слѣдовательно 100 руб.

№ 621. „Отецъ купилъ для дѣтей въ первый разъ нѣсколько тетрадей, по 12 коп., и перьевъ на 27 коп., а во второй разъ онъ купилъ столько же тетрадей, какъ и въ первый разъ, но по 18 коп., и карандашъ въ 3 копейки. Сколько тетрадей покупалъ отецъ каждый разъ, если въ оба раза издержалъ денегъ поровну?“

Эта задача рѣшается также, какъ и предыдущая, отъ которой она не отлична по ариѳметическому содержанію.

№ 622. „У старшаго брата было нѣсколько монетъ въ 3 коп., а у младшаго— столько же монетъ въ 5 коп.; когда старшій братъ получилъ отъ отца еще 9 коп., а младшій издержалъ изъ своихъ денегъ 9 коп., то у обоихъ братьевъ стало денегъ поровну. Сколько денегъ было первоначально у каждаго брата?“

Количество денегъ у старшаго брата увеличилось на 9 коп., количество денегъ у младшаго брата уменьшилось на 9 коп., послѣ чего у нихъ денегъ стало поровну; изъ чего заключаемъ, что къ деньгамъ, бывшимъ у старшаго брата, надлежало бы прибавить 18 коп., чтобы поровнять ихъ съ деньгами, бывшими у млад-

шаго брата. Такъ какъ у старшаго брата были монеты въ 3 копейки, а у младшаго — монеты въ 5 копеекъ, то такихъ монетъ было у нихъ по девяти, т. е. монетъ было столько, сколько разъ 2 содержится въ числѣ 18.

№ 623. „Одинъ ремесленникъ внесъ въ сберегательную кассу нѣсколько трехъ-рублевыхъ бумажекъ, а другой — столько же десяти-рублевыхъ бумажекъ; черезъ мѣсяцъ первый ремесленникъ внесъ еще 28 руб., а второй изъ своихъ денегъ вынулъ 28 руб.; послѣ этого, у обоихъ ремесленниковъ въ сберегательной кассѣ денегъ стало поровну. Сколько денегъ внесъ каждый ремесленникъ въ первый разъ?“

Эта задача рѣшается также, какъ и предыдущая.

№ 624. „Нѣсколько товарищей хотѣли на общія деньги купить книгу; если каждый дастъ по 15 коп., то собранная сумма будетъ на 30 коп. меньше стоимости книги, а если каждый дастъ по 29 коп., то собранная сумма будетъ на 12 коп. больше стоимости книги. Сколько стоитъ книга?“

Когда каждый товарищъ дастъ 29 коп., вмѣсто 15 коп., т. е. дастъ на 14 коп. больше, то, вслѣдствіе этого, не только покроется недостатокъ въ 30 коп., но и составится излишекъ въ 12 коп.; изъ этого заключаемъ, что весь взносъ во второмъ случаѣ превыситъ на 42 коп. взносъ въ первомъ случаѣ. Такъ какъ этотъ избытокъ въ 42 коп. составился изъ взносовъ въ 14 коп., то участниковъ во взносѣ было трое (42 : 14 = 3).

№ 625. „Если учитель посадитъ учениковъ своего класса по три ученика на скамейку, то восьми ученикамъ не достанетъ мѣста; а если онъ посадитъ на каждую скамейку по шести учениковъ, то останется 16 свободныхъ мѣстъ. Сколько учениковъ было въ классѣ?“

Эта задача рѣшается подобно тому, какъ и предыдущая.

№ 626. „Въ одномъ кошелькѣ было 10 коп., а въ другомъ 15 коп. Сколько разъ въ первый кошелекъ нужно положить по двѣ копейки, а во второй по одной копейкѣ, чтобы въ обоихъ кошелькахъ денегъ стало поровну?“ Если мы къ равнымъ числамъ станемъ одновременно прибавлять поровну, то будемъ получать равныя числа; если къ неравнымъ числамъ станемъ прибавлять поровну, то будемъ получать неравныя числа; если къ неравнымъ числамъ станемъ прибавлять не поровну (больше къ меньшему числу, меньше къ большему числу), то можемъ, въ ппыхъ случаяхъ, сравнять данныя числа.

Данныя въ нашей задачѣ числа: 10 и 15; данные прибавки: 2 и 1. Второе данное число на 5 больше перваго; первый прибавокъ на 1 больше второго. Изъ схемы

легко видѣть слѣдующее: прибавляя по 1 къ первому числу 10 и по 1 къ первому слагаемому 10 второго числа, мы будемъ получать поровну; по въ то-же

время мы прибавляемъ къ первому числу каждый разъ еще по 1; когда эти добавочныя единицы покроютъ избытокъ второго даннаго числа надъ первымъ даннымъ, то получимъ два равныхъ числа. Въ нашемъ примѣрѣ надлежитъ поэтому сдѣлать всего 5 присчитываній; другими словами, прибавить 5 разъ по 2 къ числу 10 и 5 разъ по 1 къ числу 15, чтобы сравнять этимъ путемъ данныя числа.

Замѣтимъ, что задача, подобная приведенной, тогда только допускаетъ рѣшеніе, выраженное цѣлымъ числомъ, когда разность данныхъ увеличиваемыхъ чиселъ дѣлится безъ остатка на разность данныхъ прибавковъ. Это слѣдуетъ изъ того, что данныя числа могутъ сравняться только послѣ того, какъ разность ихъ будетъ истощена (исчерпана) повтореніемъ разности прибавковъ. Этимъ замѣчаніемъ учитель можетъ воспользоваться, если бы счелъ нужнымъ для уясненія только что изложеннаго предложить дѣтямъ нѣсколько другихъ примѣровъ.

№ 627. »Отцу 60 лѣтъ, сыну 20, а дочери 25. Чрезъ сколько времени лѣта отца будутъ равны суммѣ лѣтъ сына и дочери?“

Эта задача, по своему ариѳметическому содержанію, тожественна съ предыдущей: число 60 возрастаетъ на 1 въ то время, какъ число 45 (20 + 25) возрастаетъ на 2.

№ 628. „У хозяйки было 30 фунтовъ сальныхъ свѣчей и 56 фунтовъ стеариновыхъ; каждый день она издерживала 2 фунта сальныхъ свѣчей и 4 фунта стеариновыхъ. Черезъ сколько дней осталось у хозяйки сальныхъ и стеариновыхъ свѣчей одинаковое число фунтовъ?“

Если мы отъ равныхъ чиселъ станемъ одновременно отнимать поровну, то будемъ получать равныя числа; если отъ неравныхъ чиселъ станемъ отнимать поровну, то будемъ получать неравныя числа; если отъ неравныхъ чиселъ станемъ отнимать не поровну (больше отъ большаго числа, меньше отъ меньшаго числа), то можемъ сравнять, въ иныхъ случаяхъ, данныя числа.

Въ предложенной задачѣ данныя числа: 30 и 56; данные убавки: 2 и 4; второе данное число на 26 больше перваго; второй убавокъ на 2 больше перваго. Изъ схемы:

представляется очевиднымъ, что данныя числа 30 и 56 сравняются послѣ того, какъ избытокъ 26 будетъ исчерпанъ двойками. Такъ какъ 2 заключается въ 26 тринадцать разъ, то отвѣтъ на предложенную задачу слѣдующій: „Свѣчей останется поровну чрезъ 13 дней.“

Задача, подобная предыдущей, допускаетъ рѣшеніе, выраженное цѣлымъ числомъ, только тогда, когда разность данныхъ чиселъ дѣлится безъ остатка на разность убавковъ.

№ 629. „У отца было 50 листовъ сѣрой бумаги и 44 листа бѣлой; онъ далъ

всѣмъ своимъ дѣтямъ по 8 листовъ сѣрой и по 6 листовъ бѣлой бумаги, послѣ чего у него осталось той и другой бумаги поровну. Сколько дѣтей было у отца?

Эта задача рѣшается также, какъ и предыдущая.

№ 630. „Два сына получали отъ отца еженедѣльно деньги и, накопивъ по 20 копеекъ, продолжали еще откладывать: старшій — по три копейки въ недѣлю, а младшій — по одной копейкѣ. Чрезъ сколько недѣль у старшаго брата окажется денегъ вдвое больше, чѣмъ у младшаго?“

Если, изъ двухъ чиселъ, первое въ два раза больше второго, то одновременно увеличивая (или уменьшая) эти два числа, мы тогда только нарушимъ ихъ отношенія, т. е. будемъ получать пары чиселъ, изъ которыхъ первое въ два раза больше второго, когда для перваго будемъ брать прибавокъ (или убавокъ) вдвое большій, чѣмъ для второго числа. Имѣя, напримѣръ, числа 24 и 12 и прибавляя къ первому вдвое больше, чѣмъ ко второму, мы всегда будемъ получать по парѣ чиселъ, которыя стоятъ въ томъ же отношеніи, какъ и взятыя числа.

По условіямъ предложенной задачи, оба сына имѣютъ первоначально поровну, а именно, по 20 коп. Еслибы старшій сынъ уже первоначально имѣлъ вдвое больше младшаго, т. е. имѣлъ бы 40 коп., то, для сохраненія этого отношенія, надлежало бы, чтобы прибавокъ для старшаго былъ бы 2 коп. въ то время, какъ прибавокъ для младшаго есть 1 коп. Но старшій сынъ, на самомъ дѣлѣ откладываетъ 3 коп. каждый разъ, что младшій откладываетъ 1 коп.; другими словами, старшій братъ откладываетъ каждый разъ по 1 коп. больше, чѣмъ то слѣдовало бы для сохраненія отношенія 2:1, если бы оно существовало первоначально. Изъ этого заключаемъ, что требуемое отношеніе установится послѣ того, какъ изъ этого избыточнаго прибавка наберется 20 коп., что случится послѣ двадцатаго присчитыванія. Итакъ, чрезъ 20 недѣль у старшаго брата всего накопится денегъ въ два раза больше, чѣмъ у младшаго.

№ 631. „У сапожника было заготовлено 16 голенищъ и столько же головокъ; онъ купилъ еще нѣсколько кожъ и изъ каждой вырѣзалъ по 2 голенища и по 14 головокъ. Сколько кожъ купилъ сапожникъ, если головокъ у него образовалось въ три раза больше, чѣмъ голенищъ?“

Еслибы первоначально было уже головокъ въ три раза больше, чѣмъ голенищъ, т. о. 16 голенищъ и 48 головокъ, то, для сохраненія этого отношенія, каждому прибавку 2 голенищъ долженъ былъ бы соотвѣтствовать прибавокъ 6 (т. е. 2*3) головокъ; но этотъ прибавокъ составляетъ не 6, а 14 головокъ, т. е. на 8 головокъ больше. Изъ этого заключаемъ, что требуемое отношеніе на самомъ дѣлѣ установится лишь послѣ того, какъ повтореніемъ числа S составится число 32, т. е. то число, которое надлежитъ прибавить къ числу 16, чтобы получить число въ три раза большее.

№ 632. „У портнихи было 45 аршинъ шерстяной матеріи и столько же шелковой; изъ этой матеріи она сшила нѣсколько дѣтскихъ платьевъ и на каждое употребила по 4 арш. шерстяной матеріи и по 3 арш. шелковой.

Сколько платьевъ сшила портниха, если шелковой матеріи осталось у нея въ два раза больше, чѣмъ шерстяной.“

Еслибы первоначально было шелковой матеріи вдвое больше, чѣмъ шерстяной, т. е. 45 арш. шерстяной и 90 арш. шелковой, то, для сохраненія этого отношенія, надлежало бы, чтобы убавку въ 4 арш. шерстяной матеріи соотвѣтствовалъ бы убавокъ въ 8 арш. шелковой матеріи. Но, на самомъ дѣлѣ, этотъ послѣдній убавокъ составляетъ только 3 аршина; онъ слѣдовательно на 5 арш. меньше. Изъ этого заключаемъ, что требуемое отношеніе установится послѣ того, какъ убавокъ будетъ повторенъ 9 разъ, т. е. столько разъ, сколько разъ 5 содержится въ 45.

№ 633. „У крестьянина было 96 длинныхъ жердей и столько же короткихъ; онъ сдѣлалъ нѣсколько изгородей и употребилъ на каждую изгородь 9 длинныхъ и 11 короткихъ жердей. Сколько изгородей сдѣлалъ крестьянинъ, если длинныхъ жердей у него осталось въ три раза больше, чѣмъ короткихъ? “

Еслибы первое данное число 96 было въ три раза больше второго, то это второе равнялось бы 32. Въ такомъ случаѣ надлежало бы, отнимая отъ перваго числа 9, отнимать каждый разъ отъ второго числа только 3, чтобы не нарушать отношенія чиселъ 96 и 32. Такъ какъ, по условіямъ задачи, убавокъ для второго числа есть 11, а не 3, то требуемое отношеніе установится послѣ того, какъ избытокъ числа 96 надъ числомъ 32, т. е. 64, будетъ исчерпанъ рядомъ убавковъ, равныхъ 8, т. е. равныхъ разности 11 — 3. Это случится послѣ восьмого раза. Изъ этого заключаемъ, что крестьянинъ сдѣлалъ восемь изгородей.

№ 634. „Въ одномъ закромѣ было 76 четверикъ ржи, а въ другомъ — 12. Сколько разъ въ каждый закромъ нужно насыпать по 5 четвер. ржи, чтобы въ первомъ закромѣ стало ржи въ три раза больше, чѣмъ во второмъ?“

Данныя числа 76 и 12; данные равные прибавки 5 и 5. Еслибы первое число было уже въ три раза больше второго, то, для сохраненія этого отношенія, надлежало бы каждый разъ прибавлять къ первому числу въ три раза больше, чѣмъ ко второму.

Но первое число есть 21+50, и лишнія двѣ пятерки, которыя надлежало бы прибавлять каждый разъ, должны быть взяты изъ слагаемаго 50. Такъ какъ 2 • 5 содержится въ 50 пять разъ, то требуемое отношеніе установится послѣ того, какъ къ каждому изъ данныхъ чиселъ будетъ прибавлено пять разъ по пяти.

№ 635. „Матери 30 лѣтъ, дочери 11. Чрезъ сколько лѣтъ мать будетъ вдвое старше дочери?“

Данныя числа 11 и 30; данные равные прибавки 1 и 1. Еслибы второе число было бы вдвое больше перваго, то, для сохраненія этого отношенія, надлежало бы каждый разъ и прибавлять ко второму числу вдвое больше, чѣмъ къ первому. Но второе число есть 22 + 8, и лишняя единица, которую надлежало бы

прибавлять каждый разъ, должна истощить избытокъ 8. Изъ этого заключаемъ, что требуемое отношеніе установится послѣ того, какъ каждое изъ данныхъ чиселъ будетъ увеличено на 8.

Или, нѣсколько иначе: такъ какъ разность данныхъ чиселъ 30 и 11 не измѣняется, оставаясь равной 19, то первое число сдѣлается вдвое больше второго, когда оно возрастетъ до числа 2*19.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ.

Дѣйствія надъ числами любой величины.

Нумерація.

§ 1. Послѣ всѣхъ упражненій въ дѣйствіяхъ надъ числами до ста, дѣти, по нашему мнѣнію, достаточно подготовлены для ознакомленія, какъ десятичной системой счисленія, такъ и съ пріемами вычисленія при выполненіи дѣйствій надъ числами любой величины. Вслѣдствіе этого мы и не устанавливаемъ какихъ либо дальнѣйшихъ ступеней въ неограниченной области чиселъ и,—не видя основаній для выдѣленія въ самостоятельную рубрику устныхъ и письменныхъ упражненій надъ числами хотя бы до 1000, —приступаемъ къ уясненію дѣтямъ словесной и письменной нумераціи.

§ 2. Дѣти знакомы уже съ десятичнымъ составомъ чиселъ до ста и освоились съ десяткомъ, какъ съ первой сложной единицей счета; надлежитъ ознакомить ихъ съ системой этихъ единицъ. Такое ознакомленіе можетъ быть отчасти ведено при помощи какихъ либо наглядныхъ пособій, напримѣръ, спичекъ; при этомъ учитель можетъ держаться слѣдующаго хода въ своихъ занятіяхъ.

„На столѣ передо мной лежитъ много спичекъ (цѣлая спичекъ).— Что нужно сдѣлать, чтобы узнать, сколько здѣсь спичекъ?—Вы уже знаете, что для счета предметовъ удобно соединять ихъ въ группы по десяти; произведемъ же такую группировку.—Подойдите къ столу (дѣти подходятъ, конечно, поочередно, по нѣсколько); отсчитывайте по десяти спичекъ. Чтобы эти десятки какъ нибудь не перемѣшались, сдѣлайте изъ каждаго десятка спичекъ связку.—Всѣ ли спички связаны по десяти?—(Нѣтъ, 5 спичекъ остались несвязанными.)—Сосчитали ли вы всѣ спички?—Вы пока произвели только группировку спичекъ; это первая группировка.—Что служило вамъ единицей счета при этой первой группировкѣ?— (Отдѣльная

спичка.)—Пойдемъ дальше въ нашемъ счетѣ; что нужно вамъ теперь сосчитать?—Сосчитайте-же, сколько набралось связокъ. —Сколько ихъ?— (36 связокъ.) —Сколько у меня было положено спичекъ на столъ?—(36 десятковъ спичекъ и 5 спичекъ.)—Къ этимъ связкамъ мы можемъ примѣнить такую же группировку, какую мы употребили для отдѣльныхъ спичекъ.—Какъ мы группировали отдѣльныя спички?—Если я говорю, что къ связкамъ спичекъ можно примѣнить такую же группировку, какую мы употребили для отдѣльныхъ спичекъ, то какъ вы меня понимаете? —Расгруппируйте-же связки и соедините каждыя десять связокъ въ одну связку.—Всѣ ли прежнія связки соединены въ новыя, большія связки? — (Нѣтъ, 6 связокъ остались несоединенныни.)—Вы произвели теперь вторую группировку. — Что служило вамъ счетной единицей при этой второй группировкѣ?—Что служило вамъ счетной единицей при первой группировкѣ? — Итакъ, при первой группировкѣ счетной единицей вамъ служила отдѣльная спичка; при второй группировкѣ счетной единицей вамъ служилъ десятокъ спичекъ.—Сколько набралось у васъ большихъ связокъ?—Сколько десятковъ спичекъ въ каждой большой связкѣ?—Какъ иначе называютъ десять десятковъ?—Число сто служитъ новой счетной единицей, болѣе крупной, чѣмъ десятокъ. Сотнями считаютъ также, какъ и простыми единицами, и десятками: одна сотня, двѣ сотни, три сотни, четыре сотни и т. д.

„Назовите предметы, которые часто считаютъ сотнями.—Сосчитайте, сколько у васъ набралось сотенъ спичекъ.—(3 сотни спичекъ.)—Сколько же всего спичекъ было положено на столъ?—Какъ вы это теперь скажете?—(3 сотни спичекъ, 6 десятковъ спичекъ и 5 спичекъ.)—Какія названія употребляютъ обыкновенно вмѣсто названій: два десятка, три десятка, четыре десятка, пять десятковъ и пр.?—При счетѣ сотнями, вмѣсто двѣ сотни говорятъ короче двѣсти, вмѣсто три сотни—триста, вмѣсто четыре сотни— четыреста, вмѣсто пять сотенъ—пятьсотъ, вмѣсто шесть сотенъ — шестьсотъ.—Какими словами можно замѣнить названія: семь сотенъ, восемь сотенъ, девять сотенъ? „Всѣ эти названія пишутъ слитно: двѣсти, триста и пр. — (Учитель пишетъ эти названія на классной доскѣ.) — Какъ вы теперь короче назовете то число спичекъ, которое вы насчитали? (Триста шестьдесятъ-пять спичекъ.)

„Вотъ у меня еще девять связокъ, по сотнѣ спичекъ въ каждой.—Если я ихъ присоединю къ спичкамъ, которыя лежали на столѣ, то сколько всего станетъ здѣсь спичекъ? — (12 сотенъ спичекъ, 6 десятковъ спичекъ и 5 спичекъ.)—Если вы примѣните къ сотнямъ спичекъ такую же группировку, какую вы употребили для отдѣльныхъ спичекъ, а потомъ для десятковъ спичекъ, то сколько сотенъ спичекъ вы должны соединить въ одну, еще большую связку? — Произведите же и эту группировку. — Скажите мнѣ теперь, сколько вы произвели всего группировокъ? — Что служило вамъ счетной единицей при первой группировкѣ, при второй, при

третьей? — Какъ теперь расгруппированы всѣ наши спички? — (5 отдѣльныхъ спичекъ, 6 десятковъ спичекъ, 2 сотни спичекъ и одна связка въ десять сотенъ спичекъ.)—Число десять сотенъ служитъ новой счетной единицей и называется тысяча; счетъ тысячами производится такъ-же, какъ счетъ единицами, десятками, сотнями: одна тысяча, двѣ тысячи, три тысячи и т. д. Эти названія не замѣняютъ другими сокращенными названіями, какъ это дѣлаютъ при счетѣ десятками и сотнями, а говорятъ: одна тысяча, двѣ тысячи и пр. — Итакъ, употребляя новое названіе—тысяча, какъ вы назовете число спичекъ, которыя лежатъ на столѣ?—(Одна тысяча двѣсти шестьдесятъ-пять.) — Повторимъ же теперь, по порядку, какъ мы поступали при счетѣ спичекъ, которыя лежатъ на столѣ.—Что служило вамъ счетной единицей при первой группировкѣ?— (Отдѣльная спичка.)—Какъ оказались разложенными всѣ спички послѣ первой группировки?—(На 5 отдѣльныхъ спичекъ и на нѣсколько десятковъ спичекъ.)—Могло ли, послѣ первой группировки, оказаться больше пяти спичекъ несоединенныхъ въ десятки? — Могло ли ихъ оказаться больше девяти?—Могло ли случиться такъ, что, послѣ первой группировки, всѣ спички оказались бы соединенными въ десятки?—Что служило вамъ счетной единицей при второй группировкѣ?—(Десятокъ спичекъ.)— Какъ оказались разложенными всѣ спички послѣ второй группировки? — (На 5 отдѣльныхъ спичекъ, на 6 десятковъ спичекъ и на нѣсколько сотенъ спичекъ.)—Могло ли, послѣ второй группировки, оказаться больше шести десятковъ спичекъ несоединенныхъ въ сотни?—Могло ли ихъ оказаться больше девяти десятковъ?—Могло ли случиться такъ, что, послѣ второй группировки, всѣ десятки спичекъ оказались бы соединенными въ сотни?—Что служило вамъ счетной единицей при третьей группировкѣ?— (Одна сотня спичекъ.)—Какъ оказались разложенными всѣ спички послѣ третьей группировки?—(На 5 отдѣльныхъ спичекъ, на 6 десятковъ спичекъ, на 2 сотни спичекъ и на 1 тысячу спичекъ.)—Могло ли, послѣ третьей группировки, оказаться больше двухъ сотенъ спичекъ несоединенныхъ въ тысячи?—Могло ли ихъ оказаться больше девяти сотенъ?—Могло ли случиться такъ, что, послѣ третьей группировки, всѣ сотни сппчекъ оказались бы соединенными въ тысячи?—И такъ, если всѣ группировки произведены вѣрно, то въ расгруппированномъ собраніи спичекъ (или другихъ предметовъ) сколько можетъ оказаться отдѣльныхъ спичекъ несоединенныхъ въ десятки, сколько десятковъ несоединенныхъ въ сотни, сколько сотенъ несоединенныхъ въ тысячи?“

„Вы видите, что для счета предметовъ очень удобно пользоваться различными единицами счета — различными счетными единицами. — Изъ сколькихъ единицъ состоитъ та счетная единица, которой мы пользуемся при второй группировкѣ? — Какъ она называется? — Десятокъ называютъ также единицей второго разряда. — Какой счетной единицей мы пользуемся при третьей группировкѣ?—Сотню называютъ единицей третьяго

разряда. — Изъ сколькихъ единицъ второго разряда состоитъ единица третьяго разряда? — Единица третьяго разряда составлена изъ единицъ второю разряда, также, какъ единица второго разряда составлена изъ простыхъ единицъ. — Какой счетной единицей мы пользуемся при четвертой группировкѣ?—Тысячу называютъ единицей четвертою разряда.—Изъ сколькихъ единицъ третьяго разряда состоитъ единица четвертаго разряда? Изъ сколькихъ единицъ второго разряда состоитъ единица третьяго разряда? Изъ сколькихъ простыхъ единицъ состоитъ единица второго разряда? — Во сколько разъ десять больше единицы, во сколько разъ сто больше десяти, во сколько разъ тысяча больше ста?—Во сколько разъ единица меньше десяти, во сколько разъ десять меньше ста, во сколько разъ сто меньше тысячи?—Одинъ десятокъ, одну сотню, одну тысячу называютъ сложными или составными единицами; каждая изъ этихъ единицъ составлена изъ предыдущей единицы также, какъ первая сложная единица, т. е. десятокъ, составлена изъ простой единицы. Простую единицу называютъ также единицей перваго разряда.“

„ Число, которое меньше десяти, называютъ числомъ перваго разряда. — Назовите всѣ числа перваго разряда; назовите самое большое число перваго разряда. Числа отъ десяти до ста называютъ числами второго разряда. — Назовите самое большое число второго разряда. — Назовите число второго разряда, которое состояло бы только изъ единицъ второго разряда (30, 70, 90). — Назовите число второго разряда, которое, кромѣ единицъ второго разряда, содержало бы нѣсколько единицъ перваго разряда (16, 37, 59). Укажите, какъ число 74 составлено изъ единицъ различныхъ разрядовъ. — Разложите число 74 на его десятичныя группы.“

„ Числа отъ ста до одной тысячи называютъ числами третьяго разряда. Назовите число третьяго разряда, которое состояло бы только изъ единицъ третьяго разряда (200, 700, 900). — Назовите число третьяго разряда, которое, кромѣ единицъ третьяго разряда, содержало бы и единицы второго разряда (820, 650, 740). — Назовите число третьяго разряда, которое, кромѣ единицъ третьяго разряда, содержало бы единицы перваго разряда (105, 207, 703). Назовите число третьяго разряда, которое, кромѣ единицъ третьяго разряда, содержало бы единицы второго разряда и единицы перваго разряда (345, 672, 812)..— Укажите, какъ числа 745, 650, 803 составлены изъ единицъ различныхъ разрядовъ. Укажите, какъ числа 942, 907, 980 составлены изъ разрядныхъ единицъ. — Разложите (разбейте) числа 378, 409, 520 на ихъ десятичныя группы. Перечислите десятичныя группы числа 647.“

„Назовите по порядку всѣ числа (считайте) отъ 267 до 300, отъ 786 до 812, отъ 949 до 1000 и пр. Назовите число, которое состоитъ изъ 3 единицъ третьяго разряда, изъ 6 единицъ второго разряда и изъ 5 единицъ перваго разряда. — Изъ сколькихъ отдѣльныхъ словъ состоитъ на-

званіе*) триста шестьдесятъ-пять?—Изъ какихъ словъ составлено названіе триста? Изъ какихъ словъ составлено названіе шестьдесятъ? Названіе пять — составлено ли изъ какихъ либо другихъ словъ? — Слова: триста, шестьдесятъ — составныя; слово пять — простое. — Какія простыя числительныя имена вы знаете? (Одинъ, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять; десять, сто, тысяча.) — Каждое число перваго разряда имѣетъ особое, простое названіе; единица второго разряда имѣетъ особое, простое названіе; слѣдующая за ней счетная единица, т. е. единица третьяго разряда, имѣетъ особое, простое названіе; слѣдующая счетная единица, т. е. единица четвертаго разряда, имѣетъ особое, простое названіе. — Сколько же всего простыхъ числительныхъ именъ вы пока знаете? (Двѣнадцать простыхъ числительныхъ именъ.) — Откуда же мы беремъ названія для остальныхъ чиселъ? — (Мы ихъ с изъ простыхъ названій).“ Назовите десятичныя группы числа 784 и разберите, какъ составлено названіе этого числа. — Назовите сами какое нибудь число третьяго разряда, разложите его на десятичныя группы и разберите, какъ составлено названіе этого числа. — Вы видите теперь, что, пользуясь очень немногими простыми числительными именами — ихъ всего 12 — мы можемъ уже назвать очень много чиселъ, а именно всѣ числа до 1000.“

„Чиселъ очень много; имъ счета нѣтъ. Если бы захотѣли каждому числу дать особое, несходное съ другими, названіе, то пришлось бы выдумывать такихъ названій очень много. А если бы и придумали много простыхъ числительныхъ именъ, то было бы невозможно всѣ ихъ помнить. Чтобы справиться съ такимъ важнымъ, но труднымъ дѣломъ, какъ наименованіе всякаго числа особымъ названіемъ, люди, уже съ давнихъ поръ, придумали считать предметы равными группами. За такую первую счетную группу можно было бы выбрать любое, не слишкомъ большое, число, хотя бы даже число два, и считать парами, или число пять, и считать пятками, или число двѣнадцать, и считать дюжинами и т. д. Но почти всѣ народы приняли за первую сложную единицу счета то собраніе единицъ, которое мы называемъ словомъ десять, и такимъ образомъ какъ будто уговорились считать десятками. На самомъ дѣлѣ такой уговоръ не могъ быть сдѣланъ, такъ какъ народы, принявшіе десятокъ за первую счетную единицу, жили въ различныя времена и въ различныхъ, далекихъ другъ отъ друга, странахъ. На мысль считать десятками натолкнуло людей число пальцевъ на рукахъ. Пользуясь пальцами при счетѣ предметовъ и загибая (или поднимая) по одному пальцу каждый разъ, когда мы присчитываемъ по одному предмету, мы должны начинать счетъ по пальцамъ снова послѣ того, какъ переберемъ всѣ пальцы обѣихъ рукъ. Отсюда и произошелъ счетъ десятками. Чтобы назвать число сосчитанное по десяткамъ, нужно обозначить сколько въ этомъ числѣ содержится десятковъ и сколько въ немъ содер-

*) Слѣдуетъ написать на классной доскѣ это названіе.

жится отдѣльныхъ единицъ въ количествѣ меныпемъ десяти. Такое счисленіе, въ которомъ за первую сложную единицу счета принято число десять, называютъ десятичнымъ счисленіемъ (десятичной нумераціей), а число десять называютъ основаніемъ этого счисленія. Въ десятичномъ счисленіи каждое число, которое меньше десяти, должно имѣть свое особое названіе; эти девять названій и названіе числа, принятаго за основаніе, служатъ, какъ вы уже знаете, для составленія названія другихъ чиселъ.“

„Еслибы для счета предметовъ мы употребляли только простую единицу (естественная единица) и десятокъ (искусственная единица), то встрѣтили бы неудобства, какъ при самой группировкѣ считаемыхъ предметовъ, такъ и при составленіи названій для большаго числа предметовъ; такъ, напримѣръ, если бы число десятковъ, содержащееся въ числѣ считаемыхъ предметовъ, оказалось очень большимъ, то счетъ этихъ нерасгруппированныхъ десятковъ былъ бы настолько же неудобенъ, какъ неудобенъ и счетъ большаго количества нерасгруппированныхъ единицъ. Названія для большихъ чиселъ вышли бы длинны и потому неудобны, если бы намъ пришлось составлять ихъ только изъ названія десять и названій первыхъ девяти чиселъ; число, которое называютъ теперь тысяча семь, пришлось бы назвать такъ: десять десятковъ десятковъ и семь. Эти неудобства заставили прибѣгнуть къ другимъ счетнымъ единицамъ, кромѣ десятка, — къ единицамъ болѣе крупнымъ, чѣмъ десятокъ; каждой выбранной счетной единицѣ дали особое (простое) названіе. При этомъ выборѣ слѣдующихъ счетныхъ единицъ нужно было рѣшить такой вопросъ: какое собраніе десятковъ принять за слѣдующую счетную единицу, какое собраніе этихъ новыхъ единицъ за слѣдующую еще болѣе крупную счетную единицу и т. д. Чтобы справиться и съ этимъ дѣломъ, приняли за правило составлять каждую слѣдующую счетную единицу изъ предыдущей счетной единицы такъ, какъ первая сложная единица составлена изъ простой единицы. Такимъ образомъ десять десятковъ приняли за счетную единицу и дали ей названіе сто; десять сотенъ приняли за слѣдующую счетную единицу и назвали ее словомъ тысяча; къ прежней счетной единицѣ присоединились еще двѣ новыя счетныя единицы, а къ прежнимъ десяти простымъ числительнымъ именамъ прибавились простыя названія этихъ двухъ новыхъ счетныхъ единицъ. — Теперь мы имѣемъ такой рядъ счетныхъ единицъ: одинъ, десять, сто, тысяча. — Пока мы остановимся на этомъ и посмотримъ, какъ обозначаютъ цыфрами всѣ тѣ числа, которыя вы уже умѣете обозначать словами, т. е. называть.“

§ 3. Письменная нумерація чиселъ до 1000 не представляетъ для дѣтей затрудненій и дается имъ очень легко. Относящіяся сюда упражненія заключаются какъ въ томъ, что дѣти пишутъ подъ диктантъ числа въ предѣлѣ до 1000, такъ и въ томъ, что называютъ числа, которыя учитель пишетъ цыфрами на классной доскѣ.

§ 4. Ознакомленіе дѣтей съ десятичной системой счисленія слѣдуетъ вести съ нѣкоторыми перерывами и чередовать эти занятія съ рѣшеніемъ задачъ и раздѣлкой численныхъ примѣровъ.

Возвращаясь, послѣ двухъ или трехъ уроковъ, къ нумераціи, учитель предлагаетъ дѣтямъ нѣсколько повторительныхъ вопросовъ, послѣ чего ведетъ дальнѣйшую бесѣду объ нумераціи по такой, примѣрно, схемѣ:

„Какъ въ десятичномъ счисленіи называютъ единицу четвертаго разряда? Какое число надо принять за единицу пятаго разряда, если держаться правила, по которому слѣдующая счетная десятичная единица составляется изъ предъидущей сосѣдней счетной единицы? — (Десять тысячъ.) — Это названіе простое или составное? — Какимъ названіемъ слѣдовало бы замѣнить это составное названіе счетной единицы пятаго разряда? — (Замѣнить его простымъ названіемъ.) Встарину десять тысячъ называли (взятымъ изъ церковно-славянскаго языка) словомъ — тьма*). Теперь это слово но употребляютъ и названіе десять тысячъ не замѣняютъ какимъ либо новымъ, простымъ названіемъ. — Единица слѣдующаго, т. е. шестого разряда, также не получила новаго, простого названія, а сохранила названіе сто тысячъ. Десятками тысячъ считаютъ также, какъ простыми тысячами: одинъ десятокъ тысячъ, два десятка тысячъ и пр., но, при этомъ, названія: одинъ десятокъ, два десятка и пр. замѣняютъ ихъ сокращенными названіями: десять, двадцать и пр. — Сотнями тысячъ считаютъ, какъ простыми тысячами: одна сотня тысячъ, двѣ сотни тысячъ и пр., но названія: одна сотня, двѣ сотни и пр. замѣняютъ обыкновенно ихъ сокращенными названіями: сто, двѣсти и пр. — Когда вы дойдете, считая сотнями тысячъ, до единицы, которая должна быть принята, по нашему правилу, за единицу слѣдующаго разряда? (Когда насчитаемъ десять сотенъ тысячъ.) — Какъ назвать это число иначе? — (Тысяча тысячъ.) — Тысяча тысячъ называютъ— милліонъ. — Перечислите названія всѣхъ извѣстныхъ вамъ счетныхъ единицъ, начиная съ низшихъ. — Назовите единицу второго (четвертаго, пятаго, седьмого и пр.) разряда.

„Для удобства счисленія, сговорились распредѣлить еще всѣ счетныя единицы по классамъ такъ: одинъ, десять и сто называютъ единицами перваго класса; тысяча, десять тысячъ и сто тысячъ называютъ единицами второго класса; милліонъ, десять милліоновъ и сто милліоновъ называютъ единицами третьяго класса.—Первый классъ называютъ также классомъ единицъ; въ немъ три разряда: единицы, десятки единицъ и сотни единицъ.—Второй классъ называютъ классомъ тысячъ; въ немъ также три разряда: единицы тысячъ,

*) Слово тьма имѣетъ двоякое значеніе: значеніе опредѣленнаго числительнаго имени (названіе числа, равнаго десяти тысячамъ) и значеніе числительнаго имени, которое служитъ для обозначенія неопредѣленнаго, но очень большаго числа (несмѣтнаго, неисчислимаго, несказаннаго числа). Такое хе значеніе имѣетъ слово миріада (миріады звѣздъ), перешедшее въ русскій языкъ съ греческаго, гдѣ этимъ названіемъ обозначается число десять тысячъ. — Для обозначенія несмѣтнаго числа употребляется также выраженіе тьма темъ (10000X10000 = 100000000), а также иногда и выраженіе сорокъ сороковъ (40X40 = 1600). — Число сто тысячъ называли встарину: неведіе.

десятки тысячъ и сотни тысячъ.—Третій классъ называютъ классомъ милліоновъ; въ немъ также три разряда: единицы милліоновъ, десятки милліоновъ и сотни милліоновъ.—Простыя единицы классовъ называютъ иногда главными единицами десятичнаго счисленія.—Какія вы знаете теперь главныя единицы десятичнаго счисленія? (Единица, тысяча, милліонъ).— „Во сколько разъ тысяча больше единицы? Во сколько разъ милліонъ больше тысячи?—Къ какому классу принадлежитъ единица пятаго разряда?—Какой разрядъ эта единица обозначаетъ въ этомъ классѣ? —Къ какому классу принадлежитъ единица восьмого разряда?—Какой разрядъ она обозначаетъ въ этомъ классѣ?—Если вы назовете только классъ, къ которому принадлежитъ счетная единица, то будете ли знать число, которое она обозначаетъ?— Какое число можетъ обозначать единица перваго (второго, третьяго) класса?—Какое число обозначаетъ единица третьяго класса третьяго разряда? и пр.“

Когда дѣти усвоятъ себѣ распредѣленіе разрядовъ по классамъ, надлежитъ объяснить имъ, какъ принято составлять названіе чиселъ, въ составъ которыхъ входятъ единицы высшихъ классовъ. Обыкновенный способъ выговариванія (чтенія) большихъ чиселъ заключается въ томъ, что называютъ сперва число всѣхъ единицъ высшаго класса и къ нему прибавляютъ названіе этого класса, называютъ затѣмъ число всѣхъ единицъ сосѣдняго, низшаго класса и прибавляютъ названіе этого класса, и продолжаютъ до тѣхъ поръ, пока будетъ названо число единицъ низшаго класса, т. е. класса единицъ, причемъ названіе этого класса принято не выговаривать. Такъ, напримѣръ, число

32425727

выговариваютъ (читаютъ) слѣдующимъ образомъ: тридцать два миллиона, четыреста двадцать-пять тысячъ, семьсотъ двадцать-семь (единицъ).

Такое выговариваніе чиселъ мы называемъ выговариваніемъ чиселъ по классам ;

ничто не мѣшаетъ выговаривать иногда числа и иначе, не сообразуясь съ распредѣленіемъ единицъ его по классамъ; такъ, напримѣръ, названіе числа

2300

составленное по классамъ (нормальное, въ смыслѣ общепринятаго), слѣдующее: двѣ тысячи триста. Это же число можно назвать и такъ: двадцать три сотни или еще: двѣсти тридцать десятковъ; но эти названія слѣдуетъ признать несистематичными въ томъ смыслѣ, что они не соотвѣтствуютъ нормальной группировкѣ чиселъ по разрядамъ и по классамъ. О такой группировкѣ, отступающей отъ нормальной, нами будетъ подробнѣе сказано ниже.

Читая число по классамъ, мы, собственно говоря, раздробляемъ единицы всѣхъ трехъ разрядовъ этого класса въ простыя единицы класса и не читаемъ, напримѣръ, число

325000

такъ: три сотни (или триста) тысячъ, два десятка (или двадцать) тысячъ и пять единицъ (пять) тысячъ, а говоримъ: триста двадцать пять тысячъ. Это чтеніе чиселъ по классамъ должно быть, какъ мы уже сказали, уяснено дѣтямъ.

Послѣ этого, слѣдуетъ перейти къ упражненію дѣтей въ чтеніи чиселъ и въ письмѣ чиселъ подъ диктантъ. Что касается до чтенія написанныхъ чиселъ, то мы не находимъ нужнымъ подробно говорить объ этомъ; замѣтимъ только, что, при обозначеніи чиселъ цыфрами, мы считаемъ очень удобнымъ отдѣлять классы замѣтными для глаза промежутками и писать, напримѣръ, такъ

12 005 2 304 105 11 010 011

Такое расположеніе цыфръ облегчаетъ въ значительной мѣрѣ чтеніе чиселъ и начинаетъ входить во всеобщее употребленіе.

Гораздо большаго вниманія со стороны учителя требуетъ обученіе дѣтей письму чиселъ цыфрами подъ диктантъ, вслѣдствіе чего мы и излагаемъ въ общихъ чертахъ ходъ относящихся сюда упражненій.

„Какія числа называются числами перваго (второго, третьяго и т. д.) разряда?— Числа перваго разряда называютъ также числами однозначными.—Почему ихъ такъ называютъ? (Ихъ обозначаютъ письменно однимъ знакомъ, т. е. одной цыфрой).—Какъ можно еще назвать числа второго (третьяго, четвертаго) разряда?—Обозначьте цыфрами (напишите) число семьсотъ двадцать-пять.— Какого разряда это число?—Сколько нужно написать цыфръ, чтобы обозначить это число?—Какое число обозначаетъ каждая изъ этихъ цыфръ на томъ мѣстѣ, которое она занимаетъ въ обозначеніи этого числа? — Напишите число 904. Какого разряда это число? — Сколько нужно написать цыфръ, чтобы обозначить это число? — Какое число обозначаетъ каждая изъ этихъ цыфръ на томъ мѣстѣ, которое она занимаетъ въ обозначеніи этого числа? — Къ какому классу принадлежатъ числа перваго, второго и третьяго разрядовъ?— Сколько цыфръ нужно написать, чтобы обозначить число перваго класса?— (Не больше трехъ цыфръ: одну, двѣ или три.) — Когда необходимо написать три цыфры?—(Когда число содержитъ единицы третьяго разряда.)— А когда число содержитъ только единицы первыхъ двухъ разрядовъ или одного перваго разряда, то сколько нужно цыфръ, чтобы обозначить такое число? — Напишите число 3425. — На какомъ мѣстѣ стоитъ цыфра 8 и какое число она обозначаетъ, занимая это мѣсто? — Напишите 35; напишите 35 тысячъ.—Напишите 46; какъ воспользоваться написаннымъ, чтобы обозначить 46 тысячъ? (Приписать справа три нуля.) Напишите 46 325. — Какое число обозначаетъ здѣсь каждая цыфра на томъ мѣстѣ, которое она занимаетъ?—Какое число обозначаетъ здѣсь 46?—Напишите 105 647; какое число обозначаетъ здѣсь 105?—Чтобы какая нибудь

цыфра обозначала тысячи, т. е. единицы второго класса, какое мѣсто должна занимать эта цыфра въ обозначеніи числа?“

Когда дѣти усвоятъ себѣ письмо чиселъ первыхъ двухъ классовъ, остается перейти къ письму подъ диктантъ чиселъ третьяго класса. Это занятіе учитель ведетъ, приблизительно, такъ:

„Какъ называется третья главная единица въ десятичномъ счисленіи? (Милліонъ.)—Во сколько разъ одинъ милліонъ больше одной тысячи?—Милліонъ есть собраніе сколькихъ тысячъ? — Имѣютъ ли десятки и сотни милліоновъ особыя названія? — Напишите цифру 5. — Какъ воспользоваться этой написанной уже цыфрой для того, чтобы обозначить 5 тысячъ? — Какъ воспользоваться цыфрой 5, чтобы обозначить 5 милліоновъ?—Какое мѣсто должна занимать цыфра 5, чтобы она обозначала число 5 милліоновъ? — (Седьмое мѣсто или первое мѣсто третьяго класса.) — Сколько же нулей нужно приписать къ цыфрѣ 5, чтобы получить обозначеніе числа 5 милліоновъ?—Приписавъ къ отдѣльно стоящей цыфрѣ двѣ тройки нулей, на сколько классовъ вы ее повысили? — Напишите 15. — Какъ воспользоваться написанными уже цыфрами, чтобы обозначить 15 милліоновъ?—Отдѣляйте третій классъ отъ второго такимъ же промежуткомъ, какъ вы отдѣляете второй классъ отъ перваго; а именно такъ

15 000 000

Если учитель найдетъ нужнымъ упомянуть дѣтямъ о классахъ выше третьяго, то долженъ сказать имъ, что собраніе тысячи милліоновъ составляетъ единицу четвертаго класса, которая получила названіе билліонъ (или милліардъ), что тысяча билліоновъ получила названіе трилліонъ и пр. Подъ билліономъ разумѣютъ иногда милліонъ милліоновъ, но мы предпочитаемъ познакомить дѣтей только съ трехразрядной десятичной системой , въ которой главная единица каждаго класса, начиная со второго, представляетъ собраніе тысячи главныхъ единицъ предшествующаго класса.

§ 3. Къ упражненіямъ въ нумераціи естественно примыкаютъ упражненія въ умноженіи и дѣленіи на числа 10, 100, 1000 и т. д. Относящіяся сюда разъясненія учитель можетъ вести, примѣрно, такъ:

„Если вы каждую единицу чиселъ: 12, 125, 107 замѣните однимъ десяткомъ, то получите какое число десятковъ? (12 десятковъ; 125 десятковъ; 107 десятковъ).—Какъ принято обыкновенно называть эти числа?—(Сто двадцать; одна тысяча двѣсти пятьдесятъ; одна тысяча семьдесятъ.)—Если вы каждую единицу числа сто замѣните сотней, то получите какое число сотенъ? (Сто сотенъ.)—Какъ обыкновенно называютъ это число? (Десять тысячъ.)—Умножьте 35 на 100; какое число сотенъ вы получите? (35 сотенъ.)—Какъ обыкновенно называютъ это число? (3500.) Умножьте 105, 475, 507 на 100.—Умножьте 12, 120, 1200 на 1000.—Требуетъ ли умноженіе на числа 10, 100, 1000 и нр. какого нибудь вычисленія? —

Сколько единицъ въ данномъ множимомъ, столько десятковъ въ произведеніи его на десять; сколько единицъ въ данномъ множимомъ, столько сотенъ въ произведеніи его на сто; и пр.—Умножьте 12 на сто, и полученное произведеніе умножьте также на сто; сколько получите? (12 сотенъ сотенъ). Какъ обыкновенно называютъ сотню сотенъ? — (Десяткомъ тысячъ?)—Какъ же можно назвать иначе 12 сотенъ сотенъ? (12 десятковъ тысячъ.)—Какъ называютъ обыкновенно 12 десятковъ —(Сто двадцать).—Какъ же вы назовете число: 12 сотенъ сотенъ? (Сто двадцать тысячъ.) Напишите число 145; какъ воспользоваться написанными цыфрами, чтобы обозначить 145 десятковъ (сотенъ, тысячъ)?—(Приписать нуль, два нуля, три нуля.)—Прочтите по классамъ обозначенныя теперь числа.—Обозначьте 14 десятковъ десятковъ, 13 десятковъ сотенъ, 15 сотенъ десятковъ и пр. и прочтите по классамъ написанныя вами числа.—Какъ обозначить письменно произведеніе любаго числа на 10?—(Къ обозначенію даннаго числа приписать одинъ нуль.)—Какъ обозначить письменно произведеніе любаго числа на 100, 1000, 10000 и пр.?

„Сколько всего десятковъ въ числѣ 140 (14 десятковъ.)—Соедините всѣ десятки числа 1427 въ одну группу, и прочтите число 1427, какъ собраніе десятковъ и простыхъ единицъ.—Прочтите число 50406, какъ собраніе десятковъ и простыхъ единицъ прочтите число 96007, какъ собраніе десятковъ и простыхъ единицъ.“

„Умноженіе любого числа на 10 сводится къ замѣнѣ каждой его единицы какимъ числомъ?—(Къ замѣнѣ каждой единицы десяткомъ.)—Дѣленіе любаго числа на 10 сводится къ замѣнѣ каждаго десятка этого числа какимъ числомъ? — (Къ замѣнѣ каждаго десятка единицей.)—Раздѣливъ 450, 7250, 1010, 20100 на десять, какія числа вы получите?—Чему равна десятая часть числа 950, 2010, 500, 400?—Обозначьте десятую часть числа 1740.—(174).—Когда въ обозначеніи числа па первомъ мѣстѣ стоитъ нуль (два, три нуля), то принято говорить, что это обозначеніе оканчивается нулемъ (двумя, тремя нулями.)—Обозначеніе числа 1740 оканчивается однимъ нулемъ.— Какое число въ десять разъ меньше этого числа?—Сравните обозначенія чиселъ 1740 и 174; чѣмъ эти обозначенія различаются? — Какъ отъ одного обозначенія перейти къ другому? Раздѣлите 178 на 10.—Какой остатокъ вы получите, какое частное?—Раздѣлите 2152 на 10.—Сколько всего десятковъ въ этомъ числѣ? — Разложите число 2452 на двѣ части, изъ которыхъ одна содержала бы всѣ сотни этого числа.—Какъ вы назовете эту часть?—(24 сотня).—Какъ назовете другую часть? —(52 единицы.)—Какъ прочесть число 2452, выдѣливъ всѣ ею сотни въ одну группу, а единицы остальныхъ разрядовъ въ другую? — Можете ли вы, при одномъ взглядѣ на обозначеніе 2452, назвать частное и остатокъ отъ дѣленія этого числа на 100? — Раздѣливъ 32115 на 100, что получите въ частномъ, что въ остаткѣ?—Сколько всею сотенъ въ числѣ 24345?—Сколько всего десятковъ въ томъ числѣ?

Сложеніе.

§ 1. Уясненіе дѣтямъ механизма ариѳметическихъ дѣйствій надъ числами любой величины надлежитъ вести такъ, чтобы все для нихъ новое непосредственно и естественно вытекало изъ того, что дѣтямъ уже знакомо.

Пріемы устныхъ вычисленій въ предѣлѣ первой сотни усвоены дѣтьми; они знаютъ, напримѣръ, нормальный пріемъ устнаго сложенія двухъ чиселъ въ предѣлѣ первой сотни—пріемъ, состоящій въ томъ, что для сложенія двухъ чиселъ въ этомъ предѣлѣ, нужно къ одному изъ нихъ прибавить послѣдовательно десятки и единицы другою числа. Исходя изъ этого, не трудно довести дѣтей до уразумѣнія общаго пріема или правила сложенія двухъ чиселъ любой величины, которое можетъ быть выражено такъ:

Чтобы сложить два числа, нужно къ одному изъ нихъ прибавить послѣдовательно всѣ десятичныя группы другого числа.

Это правило вытекаетъ, съ одной стороны, изъ того очевиднаго свойства чиселъ, вслѣдствіе котораго число можно приложить къ другому или сразу, или по частямъ, а, съ другой стороны, изъ того удобства, которое представляетъ разложеніе числа на его десятичныя группы, а не на какія либо другія, такъ сказать, случайныя группы.

Чтобы сложить, напримѣръ, числа 3459 и 872, мы должны къ первому числу прибавить 800, къ полученной суммѣ прибавить 70, къ полученной суммѣ прибавить, наконецъ, 2. Выполняя устно это дѣйствіе, мы должны были бы произвести слѣдующій рядъ сложеній:

3459 + 800 = 4259; 4259 + 70 = 4329; 4329 + 2 = 4331.

Поступая такимъ образомъ, мы примѣнили бы къ нашему примѣру нормальный пріемъ устнаго сложенія, т. е тотъ же пріемъ, которымъ пользовались при сложеніи чиселъ въ предѣлѣ первой сотни.

Но легко видѣть, съ какими затрудненіями сопряжено примѣненіе этого пріема къ сложенію большихъ чиселъ во всѣхъ случаяхъ. Не говоря уже о томъ, что мы должны были бы запомнить данныя числа, мы должны были бы, кромѣ того, запоминать и всѣ промежуточныя суммы (неполныя суммы), по мѣрѣ ихъ полученія. Эти-то затрудненія мы и устраняемъ, прибѣгая къ письменному производству вычисленій: мы не только записываемъ (цыфрами) данныя числа, чѣмъ избавляемъ себя отъ необходимости помнить ихъ, но записываемъ и результаты промежуточныхъ вычисленій. (Въ нашемъ примѣрѣ, неполныя суммы.)

Эти промежуточныя записи и составляютъ существенную особенность письменныхъ вычисленій. Вычисленіе, производимое надъ числами, хотя бы и обозначенными помощью цыфръ, но безъ промежуточныхъ записей, есть вычисленіе устное. Вычисленіе, сопровождаемое промежуточными записями, есть вычисленіе письмен-

ное. При письменномъ вычисленіи, цыфры являются не только письменными знаками, которые служатъ для обозначенія данныхъ и результата, полученнаго путемъ устнаго вычисленія, но и орудіемъ, которое облегчаетъ полученіе этихъ результатовъ, а во многихъ случаяхъ и такимъ орудіемъ, не владѣя которымъ мы оказались бы совершенно безсильными произвести то или Другое вычисленіе.

§ 2. Приступая къ уясненію дѣтямъ механизма сложенія, учитель предлагаетъ имъ рядъ такихъ вопросовъ:

„Какъ вы сложите числа 15 и 28?—Какъ называютъ числа, которыя складываютъ?—Какъ называютъ число, полученное отъ сложенія двухъ данныхъ чиселъ?—Какъ обозначить сумму чиселъ 45 и 28, не вычисляя ее?—Какъ обозначить, что сумма данныхъ чиселъ равна 73?“

Затѣмъ, учитель ведетъ дальнѣйшую работу въ такой послѣдовательности:

„Обозначьте сумму чиселъ 457 и 342.—(Дѣти пишутъ: 457 + 342.) — Какъ бы вы стали вычислять эту сумму?—(Прибавимъ къ первому числу 300, къ тому что получимъ—40, къ тому что получимъ—2.)—Найдите же устно эту сумму и запишите ее.—Сколько сложеній вы выполнили?— Назовите результатъ перваго сложенія, второго сложенія, третьяго сложенія. —Въ какомъ порядкѣ вы прибавляли къ первому слагаемому десятичныя группы второго слагаемаго?—Какъ бы вы поступили, чтобы вычислить сумму

64376 + 35423?

„Сколько сложеній пришлось бы вамъ сдѣлать, чтобы найти въ этомъ случаѣ требуемую сумму?—Въ какомъ порядкѣ вы стали бы прибавлять къ первому слагаемому десятичныя группы второго слагаемаго?—Скажите же, какъ нужно поступать, чтобы сложить два данныхъ числа?—Да; нужно къ одному изъ данныхъ чиселъ прибавить по порядку—прибавить послѣдовательно—всѣ десятичныя группы другого даннаго числа.—Попытайтесь выполнить устно рядъ тѣхъ сложеній, которыя нужно произвести, чтобы найти сумму чиселъ 64376 и 35423. — Вы затрудняетесь это сдѣлать.—Что васъ затрудняетъ?—Я буду записывать на доскѣ результаты по мѣрѣ того, какъ вы будете производить отдѣльныя сложенія. (На доскѣ является такая запись:

которую учитель пишетъ въ сторонѣ.)

„Чему же равна сумма данныхъ чиселъ?—Сколько, прежде чѣмъ дойти до искомой суммы, пришлось записать промежуточныхъ суммъ? —Назовемъ

эти суммы неполными суммами. (Онѣ неполны по отношенію къ искомой суммѣ.)—Какъ вы получили первую неполную сумму, вторую, третью и т. д.? „Удобно ли дѣлать такъ много промежуточныхъ записей? Посмотримъ, нельзя ли обойтись безъ нихъ. — Обозначьте сумму чиселъ: 64376, 35423. — (Въ тетрадяхъ учениковъ: 64376 + 35423.) —Можете ли

вы сразу найти сумму этихъ чиселъ?—Съ чего вы начнете сложеніе? (Къ первому числу прибавимъ десятки тысячъ второго числа, т. е. прибавимъ 3 десятка чиселъ.)—Сколько будетъ десятковъ тысячъ въ искомой суммѣ? (9 дес. тыс.)—Запишемъ это пока такъ:

64376 + 35423

9

„Обозначаетъ ли цыфра 9, отдѣльно написанная, число 9 десятковъ тысячъ? Когда цыфра 9 будетъ обозначать 9 дес. тыс.? — Когда эта цыфра окажется на пятомъ мѣстѣ?—Продолжайте сложеніе; запишите найденную цыфру тысячъ искомой суммы. (Дѣти продолжаютъ вычисленіе, и по окончаніи его, имѣютъ въ тетрадяхъ:

64376 + 35423

99799

„Скажите же теперь, какъ вы находили сумму данныхъ чиселъ?—(По порядку и отдѣльно находили десятичныя группы искомой суммы.) Какъ вы получили запись этой искомой суммы?—(По порядку записывали число единицъ каждой группы, по мѣрѣ того, какъ находили это число для каждой группы.)—Какую помощь оказали вамъ цифры при самомъ выполненіи дѣйствія сложенія?

„Запишите и вычислите суммы: 5145+5413; 12793+ 77205; 341283 + 628715 и пр.“

„Съ сложенія какихъ разрядовъ вы начинали сложеніе?—Можно ли начать сложеніе съ сложенія низшихъ разрядовъ?—Начните сложеніе съ сложенія низшихъ разрядовъ въ послѣднемъ примѣрѣ: 341 283 + 628 715.— —Сложите теперь числа: 386 и 272.—Сколько отдѣльныхъ сложеній вамъ придется произвести?—Къ чему сводится каждое изъ этихъ сложеній? (Къ сложенію двухъ однозначныхъ чиселъ.)—Замѣтьте, что до сихъ поръ, во всѣхъ нашихъ примѣрахъ, сумма двухъ складываемыхъ однозначныхъ чиселъ была меньше десяти; но вѣдь такая сумма можетъ быть равна десяти и больше десяти.—Съ какихъ разрядовъ вы начали сложеніе?—Сколько сотенъ въ искомой суммѣ?—Какую цыфру вы записали?—Продолжайте; сколько десятковъ въ искомой суммѣ?—Какъ они должны быть расгруппированы?—Сколько же всего сотенъ въ искомой суммѣ?—Какъ же быть съ записанной цыфрой 5, которая записана ошибочно или, какъ говорятъ, которая невѣрна?— Что же у васъ теперь записано?—(65.) —Окончите сложеніе; чему равна

искомая сумма?—(658 ) Начните сложеніе этихъ же чиселъ съ единицъ низшаго разряда.—Какую цыфру вы теперь записали?—Сколько десятковъ въ искомой суммѣ?—Какъ вы поступите съ этими десятками?—(Выдѣлимъ изъ нихъ одну сотню.)—А что вы запишете?—Да; вы запишете цыфру 5, которая означаетъ число десятковъ въ искомой суммѣ.—А когда вы запишете набравшуюся сотню?—Вы ее приложите въ сотнямъ, когда узнаете, сколько сотенъ въ искомой суммѣ.—Пришлось ли вамъ теперь стирать или вычеркивать цыфры, уже записанныя во время вычисленія?—Какъ же удобнѣе производить сложеніе, когда его выполняютъ письменно?“

Отъ сложенія двухъ чиселъ учитель переходитъ къ сложенію нѣсколькихъ чиселъ. Сказавъ дѣтямъ, что сложить нѣсколько чиселъ, напримѣръ четыре числа, значитъ: къ первому числу приложить второе, къ полученной суммѣ приложить третье, къ вновь полученной суммѣ приложить четвертое число, учитель продолжаетъ объясненіе по такой схемѣ:

„Сложите (устно) числа 7, 8 и 9. — Сложите числа 22, 33, 44 и 55.— Сложите числа: 236, 678, 724. — (Дѣти просятъ позволенія записать названныя числа.) — Обозначьте сумму этихъ чиселъ. — (Дѣти пишутъ: 236 + 678 + 729.)— Какъ вы сложете эти три числа? — (Дѣти складываютъ первыя два числа: 236 + 678 = 914.) — Окончите сложеніе. (Дѣти пишутъ:

914 + 729 = 1643.)

„Какъ же вы нашли сумму данныхъ трехъ чиселъ? — Какъ бы вы сложили четыре данныхъ числа?“

Послѣ этого, учитель уясняетъ дѣтямъ, что сложеніе нѣсколькихъ чиселъ можно выполнить иначе: сложить единицы всѣхъ слагаемыхъ и записать число этихъ единицъ, если оно не больше девяти; если же оно больше девяти, то выдѣлить всѣ десятки, записать простыя единицы, а выдѣленные десятки прибавить къ десяткамъ, которые получимъ, сложивъ десятки всѣхъ данныхъ слагаемыхъ и т. д. Останется, наконецъ, указать дѣтямъ на удобство, которое представляетъ расположеніе данныхъ слагаемыхъ столбцами.

Послѣ всѣхъ этихъ объясненій дѣти будутъ приведены къ такимъ выводамъ:

1) Сложить два числа значитъ къ одному изъ нихъ прибавить всѣ единицы, заключенныя въ другомъ.

2) Чтобы сложить два числа, нужно къ одному изъ нихъ прибавить послѣдовательно всѣ десятичныя группы другого.

3) Сложеніе двухъ чиселъ, когда оно производится письменно, т. е. сопровождается цыфровыми записями, удобно вести отъ низшихъ разрядовъ къ высшимъ.

4) Сложить нѣсколько чиселъ значитъ: сложить два изъ нихъ, къ полученной суммѣ прибавить третье и т. д. до послѣдняго. Число, которое получится послѣ того, какъ послѣднее данное будетъ приложено, называется суммой данныхъ чиселъ.

5) Сложеніе нѣсколькихъ чиселъ, когда оно производится письменно, т. е. сопровождается цифровыми записями, удобно вести такъ: найти сумму простыхъ единицъ всѣхъ данныхъ слагаемыхъ, и записать цыфру единицъ этой неполной суммы; найти сумму десятковъ всѣхъ данныхъ слагаемыхъ, прибавить къ ней число десятковъ первой неполной суммы (если эта сумма была больше девяти) и цыфру единицъ второй неполной суммы записать на мѣстѣ десятковъ искомой суммы и т. д.

6) При сложеніе большаго числа слагаемыхъ удобно располагать данныя числа столбцами.

§ 3. При записи слагаемыхъ столбцами нѣтъ никакой надобности ставить (какъ это часто дѣлаютъ) знака сложенія въ сторонѣ отъ одного изъ слагаемыхъ и писать, напримѣръ, такъ

342 + 485 974

Въ такой записи знакъ сложенія не имѣетъ никакого смысла; если онъ долженъ напомнить ученику, что предстоитъ выполнить сложеніе трехъ записанныхъ слагаемыхъ, то это напоминаніе излишне, такъ какъ ученику и въ голову не придетъ, что въ данномъ случаѣ требуется произвести иное дѣйствіе, чѣмъ сложеніе.

§ 4. Сдѣлаемъ, наконецъ, еще одно замѣчаніе. Выполняя тѣ или другія вычисленія, одни производятъ ихъ молча, другіе имѣютъ привычку производитъ вычисленія вполголоса. Не беремся рѣшать, что лучше. Лично мы стоимъ за вычисленія вполголоса, которое учимъ дѣтей производить такъ, въ примѣненіи къ сложенію

3524

786

3343

7653

„Четыре, десять, тринадцать, три (пишу 3); одинъ, три, одиннадцать, пятнадцать, пять (пишу 5); одинъ, шесть, тринадцать, шестнадцать, шесть (пишу 6); одинъ, четыре, семь (нишу 7).“

§ 5. Уяснивъ дѣтямъ механизмъ сложенія, необходимо обратить ихъ вниманіе на слѣдующее. При письменномъ производствѣ сложенія, мы находимъ, по порядку, число единицъ различныхъ разрядовъ искомой суммы (сперва число простыхъ единицъ, затѣмъ число десятковъ и т. д.) и, по порядку, записываемъ каждое изъ этихъ чиселъ цыфрою; такимъ образомъ, промежуточными записями при сложеніи являются тѣ отдѣльныя цыфры, рядъ которыхъ составляетъ обозначеніе искомой суммы. Легко видѣть, что поступая такъ, мы соблюдаемъ наибольшую экономію въ письмѣ, такъ какъ записываемъ только тѣ цыфры, которыя необходимы и достаточны для полученія обозначенія искомой суммы.

Вычитаніе.

§ 1. Нормальный пріемъ устнаго вычитанія въ предѣлѣ первой сотни усвоенъ уже дѣтьми. Этотъ пріемъ состоитъ въ томъ, что изъ уменьшаемаго вычитаютъ послѣдовательно десятки и единицы вычитаемаго. Исходя изъ этого, не трудно довести дѣтей до уразумѣнія пріема или правила вычитанія чиселъ любой величины. Это правило можетъ быть выражено такъ:

Чтобы изъ одною числа вычесть другое число, нужно изъ перваго числа вычесть послѣдовательно всѣ десятичныя группы второго числа.

Это правило вытекаетъ, съ одной стороны, изъ того очевиднаго свойства чиселъ, вслѣдствіе котораго число можно вычесть изъ другого или сразу, или по частямъ, а, съ другой стороны, изъ того удобства, которое представляетъ разложеніе числа на его десятичныя группы, а не на какія либо другія, такъ сказать, случайныя группы.

Чтобы вычесть, напримѣръ, изъ числа 3459 число 872, мы должны изъ перваго числа вычесть 800, изъ полученнаго остатка вычесть 70, изъ полученнаго остатка вычесть, наконецъ, 2. Выполняя устно это вычисленіе, мы должны были бы произвести слѣдующій рядъ вычитаній:

3459 — 800 = 2659 2659— 70 = 2589 2589— 2 = 2587.

Поступая такимъ образомъ, мы примѣнили бы къ нашему примѣру нормальный пріемъ устнаго вычитанія, т. е. тотъ же пріемъ, которымъ пользуемся при вычитаніи чиселъ въ предѣлѣ первой сотни.

Но легко видѣть, съ какими затрудненіями сопряжено примѣненіе этого пріема къ вычитанію чиселъ во всѣхъ случаяхъ. Не говоря уже о томъ, что мы должны запомнить данныя числа, мы должны, кромѣ того, запоминать и всѣ промежуточные остатки—неполные остатки—по мѣрѣ ихъ полученія. Эти затрудненія мы устраняемъ, прибѣгая къ письменному производству вычитанія.

§ 2. Приступая въ уясненію дѣтямъ механизма вычитанія, учитель предлагаетъ имъ рядъ такихъ повторительныхъ вопросовъ: Какъ вы вычтете изъ числа 45 число 28? Какъ называютъ данное число, изъ котораго вычитаютъ другое данное число? Какъ называютъ данное число, которое вычитаютъ изъ другого даннаго числа? Какъ называютъ число, полученное отъ вычитанія одного числа изъ другого? Какъ обозначить разность чиселъ 45 и 28, не вычисляя ее? Какъ обозначить, что разность этихъ чиселъ равна 17?

Затѣмъ учитель ведетъ дальнѣйшую работу въ такой послѣдовательности:

„Обозначьте разность чиселъ 457 и 342.—(Дѣти пишутъ: 457—342.)— Какъ бы вы стали вычислять эту разность? (Вычли бы изъ перваго числа 300, изъ того что получимъ вычли бы 40, изъ того что получимъ вычли

бы 2.)—Найдите же устно эту разность и запишите ее.—Сколько вычитаній вы выполнили? —Назовите результатъ перваго вычитанія, второго вычитанія, третьяго вычитанія. — Въ какомъ порядкѣ вы вычитали изъ перваго числа десятичныя группы второго?—Какъ бы вы поступили, чтобы вычислить разность

64378 — 43265

„Сколько вычитаній пришлось бы вамъ сдѣлать, чтобы найти въ этомъ случаѣ требуемую разность?—Въ какомъ порядкѣ вы стали бы вычитать изъ уменьшаемаго десятичныя группы вычитаемаго?—Скажите же, какъ нужно поступать, чтобы изъ даннаго числа вычесть другое данное число?—Да; нужно изъ перваго даннаго числа вычесть по порядку—вычесть послѣдовательно—всѣ десятичныя группы второго даннаго числа.—Попытайтесь выполнить устно рядъ тѣхъ вычитаній, которыя нужно произвести, чтобы найти разность чиселъ: 64378 и 43265.—Вы затрудняетесь это сдѣлать.—Что васъ затрудняетъ?—Я буду записывать на доскѣ результаты по мѣрѣ того, какъ вы будете производить отдѣльныя вычитанія.— (На доскѣ является такая запись

которую учитель пишетъ въ сторонѣ.)—Чему же равна разность данныхъ чиселъ?—Сколько пришлось сдѣлать промежуточныхъ записей прежде, чѣмъ дойти до искомой разности? — Назовемъ эти записи неполными разностями.— Какъ вы получили первую, вторую и т. д. неполную разность? Удобно ли дѣлать такъ много промежуточныхъ записей?—Посмотримъ, нельзя ли обойтись безъ нихъ.—Обозначьте разность чиселъ: 34378, 12265.— (Въ тетрадяхъ учениковъ: 34378—23265.)—Можете ли вы сразу найти разность этихъ чиселъ?—Съ чего вы начнете вычитаніе? (Изъ перваго числа вычтемъ десятки тысячъ второго числа, т. е. вычтемъ 2 дес. тыс.)— Сколько будетъ десятковъ тысячъ въ искомой разности? (1 дес. тыс.)--Запишите это пока такъ:

Обозначаетъ ли цыфра 1, отдѣльно написанная, одинъ десятокъ тысячъ?— Когда цыфра 1 будетъ обозначать 1 дес. тыс.? — Когда эта цыфра окажется на пятомъ мѣстѣ?—Продолжайте вычитаніе; запишите най-

денную цыфру тысячъ искомой разности. (Дѣти продолжаютъ вычисленіе и, по окончаніи его, имѣютъ въ тетрадяхъ:

34378 — 23245

11133

Скажите же теперь, какъ вы находили искомую разность данныхъ чиселъ?—(По порядку и отдѣльно находили десятичныя группы искомой разности.)—Какъ вы получили запись этой искомой разности? По порядку записывали число единицъ каждаго разряда по мѣрѣ того, какъ находили это число для каждаго разряда.) — Какую помощь оказали вамъ цыфры при самомъ выполненіи вычитанія? — Запишите и вычислите разности: 7892—5470, 32795-10562, 653356—341143 и пр.-Съ вычитанія какихъ разрядовъ вы начинали вычитаніе?—Можно ли начать вычитаніе съ вычитанія низшихъ разрядовъ? — Начните вычитаніе съ вычитанія низшихъ разрядовъ въ послѣднемъ примѣрѣ: 653356—341143. — Сколько отдѣльныхъ вычитаній вы только-что произвели? — Къ чему сводится каждое изъ этихъ вычитаній? (Къ вычитанію однозначнаго числа изъ однозначнаго.)— Обозначьте разность чиселъ 746 и 362 и начните вычислять ее.—Съ какихъ разрядовъ вы начали вычитаніе? — Сколько сотенъ въ искомой разности?— Какую цыфру вы записали?—Найдите теперь десятки искомой разности.— Сколько десятковъ въ искомой разности? (Нельзя вычесть.)—Значитъ ли это, что изъ числа 746 нельзя было бы вычесть числа 362?—Если бы вы производили вычитаніе устно и вычли бы уже 300 изъ уменьшаемаго, то сколько еще осталось бы вычесть изъ полученной неполной разности 446?—Сколько всего десятковъ въ этомъ числѣ? Сколько десятковъ нужно вычесть? — Сколько же десятковъ получите? (38 десятковъ.)—Сколько сотенъ въ этомъ числѣ?— Сколько сотенъ должно быть въ окончательной разности? — Да; въ ней должно быть 3 сотни, а не 4 сотни, какъ вы это записали. — Отъ чего это произошло?—Да; изъ четырехъ десятковъ уменьшаемаго нельзя вычесть шести десятковъ вычитаемаго; мы поэтому раздробили одну сотню уменьшаемаго на десятки, присоединили эти десять десятковъ къ четыремъ десяткамъ и вычли изъ этихъ четырнадцати десятковъ 6 десятковъ вычитаемаго. — Какая же цыфра должна быть записана на мѣстѣ десятковъ искомой разности? — Какъ же быть съ записанной на мѣстѣ сотенъ цыфрою 4, которая записана ошибочно? — Что же у васъ теперь записано? (38). — Окончите вычитаніе; чему равна искомая разность? (384). Начните вычитаніе въ этомъ же примѣрѣ съ единицъ низшаго разряда.— Какую цыфру вы теперь записали? (Записали найденную цыфру единицъ искомой разности.) — Какъ найти цыфру десятковъ искомой разности? (Вычесть десятки вычитаемаго.) — Какъ вы произведете это вычитаніе въ нашемъ примѣрѣ? (Раздробимъ одну сотню уменьшаемаго и вычтемъ 8 десятковъ изъ 14 десятковъ; цыфра десятковъ искомой разности 6; ее запишемъ.)— Какъ вы найдете цыфру сотенъ искомой разности? (Вычтемъ 3

сотни изъ 6 сотенъ.) — Почему хе вы вычитаете изъ 6 сотенъ, а не изъ 7 сотенъ? (Изъ этихъ семи сотенъ мы одну раздробили на десятки, которые присоединили къ десяткамъ уменьшаемаго.) — Что же вы нашли окончательно? — Пришлось ли вамъ теперь стирать или зачеркивать цифру, ухе записанную во время вычисленія? — Какъ же удобнѣе производить вычитаніе, когда его выполняютъ письменно? — Найдите разность.

3245 — 1427

и объясните, какъ вы выполнили это дѣйствіе.“

Предложивъ дѣтямъ еще нѣсколько подходящихъ примѣровъ, гдѣ въ обозначеніи уменьшаемаго не входитъ цыфры О, и указавъ имъ на то, что удобно (хотя не необходимо) подписывать вычитаемое подъ уменьшаемымъ, учитель переходитъ къ тому случаю, когда въ обозначеніи уменьшаемаго встрѣчается цыфра О, и продолжаетъ разъясненія въ такой послѣдовательности:

Вычтите изъ числа 800 число 642.—Съ чего вы начнете рядъ вычитаній, при письменномъ производствѣ этого дѣйствія? — Какая цыфра стоитъ намѣстѣ единицъ уменьшаемаго?—Что это означаетъ?—Да, это означаетъ, что всѣ единицы этого числа сгруппированы въ десятки. — Какая цыфра стоитъ на мѣстѣ десятковъ даннаго уменьшаемаго?—Что это означаетъ?—Да, это означаетъ, что всѣ десятки, въ которые сгруппированы единицы этого числа, сами сгруппированы въ сотни.—Какая цыфра стоитъ на мѣстѣ сотенъ даннаго уменьшаемаго?—Что же вы должны сдѣлать, чтобы произвести вычитаніе въ этомъ случаѣ? (Раздробить одну сотню уменьшаемаго.) — Достаточно ли раздробить только одну сотню уменьшаемаго? — Объясните, почему это достаточно. — Какъ же вы раздробите одну сотню? — Если вы одну сотню раздробите на десять десятковъ и изъ этихъ десяти десятковъ вычтете 4 десятка вычитаемаго, то изъ чего же вы будете вычитать 2 единицы вычитаемаго? — Вы видете, что изъ этихъ десяти десятковъ нужно отдѣлить одинъ десятокъ, изъ котораго придется вычесть единицы вычитаемаго. — Итакъ, для выполненія вычитанія въ этомъ случаѣ, вы должны нарушить правильную десятичную группировку даннаго уменьшаемаго. — Какъ же вы разложили уменьшаемое 800? — (На 7 сотенъ, 9 десятковъ и 10 единицъ.) — Произведите же теперь вычитаніе. — Изъ чего вы, по порядку, станете вычитать единицы вычитаемаго, его десятки, его сотни? — Что вы получили? — Вычислите разность:

50 004 34 567

Какъ вы разложили одинъ десятокъ тысячъ уменьшаемаго? (На 9 тысячъ, на 9 сотенъ, на 9 десятковъ и на 14 единицъ.) Произведите теперь вычитаніе.—Назовите полученную разность.—Разложеніе*) уменьшаемаго (на-

*) Знакомый намъ ребенокъ, очень склонный употреблять образныя выраженія, говорилъ: «разсыпать высшую единицу по низшимъ разрядамъ».

рушеніе его десятичной группировки) вы производили устно; выполняя вычитаніе, вы и должны держать „въ умѣ“ разложенное надлежащимъ образомъ уменьшаемое. Но можетъ все-таки случиться, что вы позабудете, во время вычисленія, что единица какого нибудь разряда въ уменьшаемомъ раздроблена вами, и, дойдя до вычитанія изъ этого разряда, сочтете, что записанное въ немъ число единицъ уменьшаемаго сохранилось. — Если бы вы позабыли, что, приступая, напримѣръ, къ вычитанію:

50 004 34 567

вы раздробили одну единицу пятаго разряда въ уменьшаемомъ, то, дойдя до вычитанія единицъ этого разряда, вы вычли бы 3 изъ 5, записали бы цыфру 2 на мѣстѣ десятковъ тысячъ въ разности, и сдѣлали бы ошибку. Чтобы предостеречь себя отъ такой ошибки, вы можете сдѣлать такую отмѣтку: поставить точку надъ той цифрой въ уменьшаемомъ, которая указываетъ разрядъ, одна единица котораго раздроблена:

50 004 34 567

Эта точка напомнитъ вамъ произведенное раздробленіе.“

Считаемъ умѣстнымъ сдѣлать здѣсь слѣдующее замѣчаніе, которому приписываемъ нѣкоторое значеніе. При уясненіи механизма ариѳметическихъ дѣйствій, весьма важно довести дѣтей до отчетливаго разграниченія существеннаго отъ несущественнаго, входящаго обыкновенно въ изложеніе правилъ для производства того или другого дѣйствія. Такъ, напримѣръ, то предписаніе, что для сложенія двухъ чиселъ нужно къ одному изъ нихъ прибавить послѣдовательно всѣ десятичныя группы другого, составляетъ существенную часть правила сложенія. Предписанія же: подписать данныя слагаемыя, провести черту, поставить слѣва сложенія — заключаютъ въ себѣ лишь указанія второстепенной важности. Даже правило начинать сложеніе съ простыхъ единицъ возникло вслѣдствіе того только, что поступать такъ удобно, когда вычисленіе производится на бумагѣ; дѣлая же записи мѣломъ на доскѣ, мы могли бы съ такимъ же удобствомъ начинать сложеніе съ единицъ высшихъ разрядовъ и стирать тѣ цыфры, которыя должны быть замѣнены другими. Соединеніе въ одно общее правило существеннаго и несущественнаго, приписываніе одной и той же степени значенія второстепенному и главному — мы считаемъ не только неосновательнымъ, но и вреднымъ въ преподаваніи. Какъ легко ученики, заучивая такія правила, привыкаютъ къ мысли, что нельзя складывать чиселъ, не подписавъ ихъ, не проведя черты, не поставивъ знака сложенія. Какъ часто они убѣждены, что и для вычитанія вычитаемое непремѣнно должно быть подписано подъ уменьшаемымъ (и не можетъ быть написано надъ нимъ), что точки надъ цыфрами уменьшаемаго должны быть неизбѣжно разставлены и пр. Такіе ученики не могутъ вычесть 13 изъ 40, не подписавъ этихъ

чиселъ и не проведя черты и пр. Подобныя явленія, конечно, нежелательны. И вотъ почему мы настоятельно совѣтуемъ учителю, при каждомъ поводѣ, указывать ученикамъ на это различіе второстепеннаго, иногда случайнаго, очень часто излишняго, отъ главнаго и существеннаго при производствѣ дѣйствій.

Уясняя дѣтямъ механизмъ вычитанія, надлежитъ обратить ихъ вниманіе на то, что, при письменномъ производствѣ этого дѣйствія, промежуточную запись составляютъ тѣ отдѣльно находимыя нами цыфры, рядъ которыхъ необходимъ и достаточенъ для полученія цыфроваго обозначенія искомой разности. Такимъ образомъ и при письменномъ производствѣ вычитанія, мы достигаемъ наибольшей экономіи въ письмѣ.

Умноженіе.

§ 1. Приступая къ уясненію механизма умноженія, учитель можетъ предложить дѣтямъ рядъ повторительныхъ вопросовъ такого содержанія:

„Что значитъ помножить 7 на 4? (Повторить 7 четыре раза слагаемымъ.)— Какъ называется въ этомъ примѣрѣ число 7? — Какъ называется число 4? — Какъ называется число, которое получите, выполнивъ умноженіе?— Какъ обозначаютъ произведеніе числа 7 на число 4? (7X4 или 7 • 4.)— Это сокращенное обозначеніе 7X4 замѣняетъ обозначеніе какой суммы? (7 + 7 +7 + 7.) — Какъ сокращенно обозначить сумму 18+13 + 13 + 13 + 13 + 13+13? — Почему эту сумму можно сокращенно обозначить? (Потому что всѣ слагаемыя равны.) — Какъ вы ее обозначете? (13*7.) Прежде чѣмъ записать множителя 7, что вы должны были сдѣлать? (Сосчитать число слагаемыхъ.) — Не скажете ли вы, что значитъ умножить одно данное число на другое? — Да; это значитъ повторить первое число слагаемымъ столько разъ, сколько заключается единицъ во второмъ числѣ. — Какъ называютъ иначе множимое и множителя? (Ихъ называютъ производителями, а также множителями.)—Почему числа данныя для умноженія можно назвать однимъ именемъ?—Какимъ произведеніемъ можно замѣнить произведеніе 7 Х4? (Произведеніемъ 4X7.) —Какое число служитъ множимымъ, какое число множителемъ въ этомъ произведеніи? —Напишите первое произведеніе.—Напишите второе произведеніе въ видѣ суммы равныхъ слагаемыхъ. — Можете ли вы во всѣхъ случаяхъ принять данное множимое за множителя, а даннаго множителя за множимое? —(Да, всегда.) — Но нужно въ этомъ увѣриться, а увѣриться мы можемъ такимъ разсужденіемъ. „Возьмемъ произведеніе 7X4. Изобразимъ множимое 7 крестиками (черточками, точками), т. е. расположимъ въ строку столько крестиковъ, сколько единицъ въ данномъ множимомъ, и такихъ строкъ составимъ столько, сколько единицъ въ данномъ множителѣ, т. е. 4:

Когда мы сосчитаемъ всѣ эти крестики, то и узнаемъ (найдемъ) произведеніе 7 на 4. Сколько крестиковъ въ этой таблицѣ, столько единицъ въ искомомъ произведеніи.—Въ какомъ порядкѣ мы можемъ насчитывать эти крестики?—Да, мы можемъ считать ихъ или по строкамъ, или по столбцамъ; при первомъ счетѣ мы набираемъ произведеніе изъ семерокъ, при второмъ счетѣ мы набираемъ то-же произведеніе (число крестиковъ тоже) изъ четверокъ.—Повторите то-же разсужденіе для произведенія 3 на 8.— Если бы, вмѣсто чиселъ 3 и 8, вамъ бы назвали какія либо другія числа, напримѣръ, числа 27 и 37, то какимъ разсужденіемъ вы дошли бы до того, что произведеніе 27 X 37 равно произведенію 37 X 27?—Да, такимъ же разсужденіемъ; его можно примѣнить къ любымъ числамъ.—Итакъ, въ произведеніи двухъ чиселъ можно любое изъ нихъ принятъ за множителя.— Вмѣсто того, чтобы говорить такъ: одно данное число помножить на другое данное число, какъ можно выразиться короче? (Перемножить два данныхъ числа.) — Что же значитъ перемножить два данныхъ числа? — Да, перемножитъ два данныхъ числа значитъ повторитъ одно изъ нихъ слагаемымъ столько разъ, сколько единицъ въ другомъ данномъ числѣ.“

§ 2. Послѣ подобной бесѣды, учитель переходитъ къ уясненію дѣтямъ механизма умноженія. Дѣти владѣютъ уже нормальнымъ пріемомъ устнаго умноженія двузначнаго числа на однозначное число въ предѣлѣ первой сотни; произведеніе 24• 3, напримѣръ, они вычисляютъ такъ: 20*3 = 60, 4-3 = 12, 60+ 12 = 72. Естественно перейти отъ этого частнаго случая къ умноженію любого многозначнаго числа на однозначное число. Механизмъ умноженія на однозначное число основанъ на свойствѣ чиселъ, вслѣдствіе котораго для умноженія суммы на какое нибудь число, можно помножитъ на это число каждое слагаемое этой суммы и сложить полученныя произведенія. Изъ этого свойства, съ одной стороны, а, съ другой, изъ того удобства, которое представляетъ разложеніе числа на его десятичныя группы (слагаемыя) и вытекаетъ правило умноженія многозначнаго числа на однозначное число.

„Умножьте 26 на 3 и объясните, какъ вы произвели умноженіе. — Какъ бы вы умножили 254 на 3? (Умножили бы 2 сотни на 3, 5 десятковъ на 3, 4 единицы на 8 и сложили бы эти произведенія.) — Сдѣлайте же это; сколько получили? — Какъ бы вы умножили 56 789 на 4? — Сдѣлайте же это; вы затрудняетесь сдѣлать это вычисленіе безъ записей? — Запишите данныя для умноженія числа такъ:

56 789X4

„Съ чего вы начнете умноженіе? — (Умножимъ 5 десятковъ тысячъ на 4; получимъ 20 десяти, тысячъ или 200 тыс.) Запишите въ сторонѣ это неполное произведеніе.—Продолжайте. (6 тыс. на 4 — 24 тыс.)— Запишите и это неполное произведеніе; гдѣ вы его запишете? — Закончите рядъ умноженій; сколько вы произвели умноженій?—Сколько вы сдѣ-

лали записей? Какъ получить теперь искомое (полное) произведеніе? Чему же равно это произведеніе? (227156.) Скажите же, какъ умножить многозначное число на однозначное?

„Да; чтобы умножить многозначное число на однозначное, нужно умножить, по порядку (послѣдовательно), всѣ десятичныя группы множимою на множителя и сложить полученныя произведенія. — Съ какихъ разрядовъ вы начинали умноженіе въ нашемъ примѣрѣ? — Въ какомъ другомъ порядкѣ можно было-бы произвести рядъ этихъ умноженій? — Начните же съ умноженія простыхъ единицъ въ нашемъ примѣрѣ. — (9 на 4 — 36.) — Назовите цыфру единицъ этого неполнаго произведенія. — Можете ли вы теперь же сказать, какая цыфра будетъ служить цыфрой единицъ искомаго (полнаго) произведенія? — (Та-же цыфра 6.) — Объясните, почему это такъ. — Какъ найти цыфру десятковъ полнаго произведенія? — (8 десятковъ на 4 — 32 десятка, да 3 десятка отъ перваго неполнаго произведенія — 35 десятковъ; 5 цыфра десятковъ полнаго произведенія.) — Гдѣ вы запишете эту цыфру? — Найдите остальныя цыфры искомаго произведенія и запишите ихъ. — Объясните, какъ вы пользуетесь цыфрами при умноженіи многозначнаго числа на однозначное. — Да; вы находите отдѣльно, по порядку, цыфру простыхъ единицъ, цыфру десятковъ, цыфру сотенъ и т. д. искомаго произведенія и записываете каждую цыфру, какъ только нашли ее; когда, такимъ образомъ, послѣдняя цыфра будетъ записана, то рядъ сдѣланныхъ во время вычисленія записей и представитъ цыфровое обозначеніе искомаго (полнаго) произведенія. — Объясните, почему, при умноженіи на однозначное число, удобно вести рядъ умноженій отъ низшихъ разрядовъ множимаго къ высшимъ? — Да, потому что разъ записанная цыфра есть цыфра окончательная. “

§ 3. Относительно умноженія на однозначное число, считаемъ не безполезнымъ сдѣлать слѣдующія замѣчанія.

1) Мы предпочитаемъ писать данные производители всегда рядомъ, отдѣляя ихъ другъ отъ друга наклоннымъ крестомъ, и подписывать цыфры произведенія, по мѣрѣ ихъ полученія, подъ соотвѣтствующими по разрядамъ цыфрами многозначнаго производителя, напримѣръ такъ:

56 789x4 227 156

Такое подписываніе представляетъ нѣкоторое практическое удобство (уменьшаетъ вѣроятность пропустить цыфру многозначнаго производителя), но не является необходимостью, напротивъ, слѣдуетъ пріучать дѣтей, чтобы они, производя умноженіе, записывали результатъ его тамъ, гдѣ это удобнѣе, въ виду дальнѣйшихъ вычисленій. Такъ, напримѣръ, если-бы надлежало вычислить выраженіе

3452 —2813+ (2378 X 7)

то удобно расположить всѣ записи слѣдующимъ образомъ:

т. е. не переписывать вычитаемаго съ тѣмъ, чтобы подписать его подъ уменьшаемымъ и результатъ умноженія прямо подписывать подъ числомъ, съ которымъ полученное произведеніе предстоитъ сложить.

2) При перемноженіи двухъ чиселъ, изъ которыхъ одно однозначное, удобно принимать всегда за множителя это однозначное число, и дѣти должны пріучиться выполнять умноженіе въ такомъ, напримѣръ, случаѣ:

6X3429

не переписывая обозначеннаго произведенія съ тѣмъ, чтобы дать ему видъ

3429X6

3) При производствѣ умноженія письменно, напримѣръ, при вычисленіи произведенія

35 678X7

хорошо пріучить дѣтей говорить такъ: 8 на 7, 7 на 7, 6 на 7 и т. д.

§ 4. Скажемъ здѣсь, кстати, нѣсколько словъ о частныхъ пріемахъ при производствѣ письменныхъ вычисленій.

Отличіе устныхъ (неправильно называемыхъ умственныхъ) вычисленій отъ вычисленій письменныхъ обыкновенно полагаютъ въ томъ, что послѣднія производятся всегда по однимъ и тѣмъ же неизмѣннымъ правиламъ, между тѣмъ, какъ устныя вычисленія допускаютъ, смотря по особенностямъ данныхъ чиселъ, примѣненіе тѣхъ или другихъ частныхъ пріемовъ. Такъ, при устныхъ вычисленіяхъ, мы часто замѣняемъ данныя числа другими болѣе удобными (напримѣръ, округляемъ данныя числа) или замѣняемъ одни дѣйствія другими (напримѣръ, умноженіе на 5 замѣняемъ дѣленіемъ на 2 удесятереннаго множимаго). На этомъ основаніи, устное вычисленіе называютъ иногда вычисленіемъ по свободному соображенію, въ противоположность письменному вычисленію, которое является вычисленіемъ по неизмѣннымъ правиламъ. Эту характеристику устныхъ и письменныхъ вычисленій слѣдуетъ признать правильной, въ общихъ чертахъ. Но, если для устныхъ вычисленій существуютъ, на ряду съ частными пріемами, и нормальные пріемы, усвоеніе которыхъ обязательно для учащихся, то, съ другой стороны, для письменныхъ вычисленій существуютъ, на ряду съ общими пріемами, нѣкоторые частные пріемы, владѣніе которыми слѣдуетъ признать желательнымъ. Мы не стоимъ за то, чтобы обременять память дѣтей массой такихъ частныхъ пріемовъ, изъ которыхъ многіе заслуживаютъ скорѣе названія уловокъ, но считаемъ

полезнымъ, хотя и не обязательнымъ, познакомить дѣтей или, вѣрнѣе, навести ихъ только на нѣкоторые частные пріемы. Къ числу такихъ пріемовъ принадлежитъ, напримѣръ, слѣдующій.

Если одинъ изъ данныхъ производителей есть 9, то удобно замѣнить умноженіе вычитаніемъ такимъ образомъ: принимаемъ (какъ и всегда) данное однозначное число за множителя, удесятеряемъ множимое и вычитаемъ изъ этого удесятереннаго числа лишній разъ взятое множимое.

При этомъ нѣтъ даже надобности приписывать нуль къ обозначенію удесятереннаго числа: достаточно подписать вычитаемое, отступивъ на одно мѣсто вправо. Такъ, напримѣръ, чтобы умножить 9 на 34578, располагаемъ вычисленіе слѣдующимъ образомъ:

Подобнымъ примѣромъ надлежитъ воспользоваться учителю для объясненія дѣтямъ, что въ нѣкоторыхъ случаяхъ можно обойтись безъ знака 0 для приданія цыфрѣ надлежащаго мѣстнаго значенія; это возможно въ тѣхъ случаяхъ, когда мѣста цыфръ установлены уже имѣющейся записью, или въ тѣхъ случаяхъ (какъ въ нашемъ примѣрѣ), когда мѣстное значеніе имѣющейся записи можетъ быть измѣнено отнесеніемъ слѣдующей записи вправо на одно мѣсто или на нѣсколько мѣстъ.

Указанный пріемъ можетъ быть употребленъ и въ тѣхъ нерѣдкихъ случаяхъ, когда множителемъ является одно изъ чиселъ: 99, 999; 98, 998 и т. п., даже число 96 (единичное отношеніе фунта къ золотнику). Въ такихъ случаяхъ письменное вычисленіе можетъ принять такой видъ:

§ 5. Послѣ этого отступленія, вернемся къ изложенію дальнѣйшихъ упражненій въ умноженіи.

Отъ разъясненія пріема умноженія многозначнаго числа на число однозначное, можно было бы перейти къ умноженію многозначнаго числа на двузначное число; но мы предпочитаемъ предварительно уяснить отдѣльно дѣтямъ способъ умно-

женія, въ томъ случаѣ, когда одинъ изъ множителей обозначенъ значащей цыфрой съ нулями (70, 300, 6000 и т. п.). Этотъ случай не представитъ никакихъ затрудненій для дѣтей, такъ какъ для уразумѣнія пріема они вполнѣ подготовлены упражненіями въ предѣлѣ первой сотни. Дѣти легко поймутъ, что, для умноженія любого числа, напримѣръ, на 70, удобно разсматривать этого множителя, какъ произведеніе чиселъ 7 и 10, умножить данное число на 7, а полученное произведеніе на 10; послѣднее умноженіе не требуетъ никакого вычисленія. Если бы учитель счелъ такое разъясненіе не достаточно вразумительнымъ, то можетъ видоизмѣнить его такъ:

Помножить какое нибудь число, напримѣръ, на 70, значитъ повторить первое число 70 разъ слагаемымъ; вмѣсто того, чтобы складывать эти 70 слагаемыхъ сразу, можно разбить ихъ на группы по семи слагаемыхъ: такихъ группъ наберется десять; найдя сумму чиселъ одной группы, останется сложить десять такихъ суммъ или, что тоже, помножить эту сумму на десять.

§ 6. Послѣ всего этого, не трудно будетъ довести дѣтей до сознательнаго усвоенія механизма умноженія въ общемъ случаѣ. Механизмъ умноженія многозначнаго числа на многозначное основанъ на свойствѣ чиселъ, вслѣдствіе котораго, для умноженія суммы на сумму, можно каждое слагаемое первой суммы помножить на каждое слагаемое второй суммы и сложить полученныя произведенія. Изъ этого свойства, съ одной стороны, а, съ другой, изъ того удобства, которое представляетъ разложеніе данныхъ производителей на ихъ десятичныя группы, и вытекаетъ правило умноженія многозначнаго числа на многозначное.

Учитель начинаетъ съ умноженія на двузначное число и предлагаетъ дѣтямъ помножить, напримѣръ, 872 на 34.

„Что значитъ помножить 872 на 34?—Какъ вы думаете поступить (распорядиться), чтобы помножить 872 на 34? —Да, вы помножите 872 на 30; потомъ помножите 872 на 4 и, наконецъ, сложите эти неполныя произведенія, чтобы получить искомое (полное) произведеніе.“

„Какъ же вы разложили число 34, т. е. даннаго множителя? (Разложили множителя на десятичныя группы.) Да; вы разложили 34 на десятичныя группы съ тѣмъ, чтобы каждую группу принять за отдѣльнаго множителя.— Сколько же умноженій вамъ придется выполнить въ нашемъ примѣрѣ? — (Два умноженія: умноженіе на 30 и умноженіе на 4.) — Въ какомъ порядкѣ вы можете выполнить эти два умноженія?—(Въ какомъ угодно.) — Начнемъ, пожалуй, съ умноженія 872 на 30. — Какъ умножить 872 на 30?—(Умножить 872 на 3, а полученное произведеніе умножить на 10.)— Сколько же вы получили? — У дѣтей пока такая запись:

872X34

26160

Сколько разъ множимое 872 заключается въ этомъ числѣ 26 160?—Что вамъ теперь остается сдѣлать?—Гдѣ удобно записать произведеніе, которое вамъ

еще нужно найти?—(Подписать подъ первымъ неполнымъ произведеніемъ.)— Почему это удобно?—(Второе неполное произведеніе придется сложить съ первымъ неполнымъ произведеніемъ, чтобы найти полное произведеніе.)— Сдѣлайте же это. — У дѣтей такая запись:

Чему же равно произведеніе 872 на 34? — Объясните весь ходъ вычисленія.—Въ какомъ порядкѣ вы находили неполныя произведенія?—(Сперва нашли произведеніе множимаго на десятки множителя, потомъ произведеніе множимаго на единицы множителя.) — Въ какомъ другомъ порядкѣ вы могли бы найти эти неполныя произведенія? — Умножьте 728 на 62, и начните съ умноженія на единицы множителя. — Что у васъ записано? — У дѣтей такая запись:

Что остается вамъ теперь найти? — (Найти произведеніе 728 на 60.)— Какъ помножить 728 на 60?—Запишите же гдѣ нибудь, въ сторонѣ, произведеніе 728X60 и произведите умноженіе. — Какое число вы получили?—(43680.)—Что нужно сдѣлать, чтобы докончить наше вычисленіе? (Сложить полученныя неполныя произведенія.)—Гдѣ удобно, съ этой цѣлью, написать второе неполное произведеніе? Подпишите же его подъ первымъ произведеніемъ и произведите сложеніе.

Нельзя ли было бы обойтись безъ записи, которая находится у васъ въ сторонѣ?—Какъ же второе неполное произведеніе подписать подъ первымъ? — Необходимо ли подписать 0 подъ цыфрой единицъ написаннаго перваго произведенія? Почему можно и не писать этотъ нуль въ нашемъ случаѣ?— Да, мѣста цыфръ установлены обозначеніемъ перваго неполнаго веденія.“

§ 7. Усвоивъ себѣ сознательно механизмъ умноженія на двузначное число, дѣти, конечно, безъ труда поймутъ ходъ вычисленія и въ общемъ случаѣ, т. е. въ случаѣ многозначнаго множителя. Правило умноженія многозначнаго числа на многозначное можетъ быть выражено такъ:

Чтобы перемножить два многозначныхъ числа, нужно одно изъ нихъ умножить послѣдовательно на десятичныя группы другого числа и сложить полученныя неполныя произведенія.

Этотъ рядъ умноженій можетъ быть веденъ или отъ высшихъ разрядовъ множителя къ низшимъ, или въ обратномъ порядкѣ; такъ, напримѣръ, вычисленіе произведенія 8294 • 3572 можетъ принять одно изъ слѣдующихъ расположеній:

По нашему мнѣнію, дѣтямъ должно быть привычно какъ то, такъ и другое расположеніе; но нельзя не признать, что второе расположеніе удобнѣе, особенно въ тѣхъ случаяхъ, когда въ обозначеніе числа, принятаго за множителя, входятъ нули въ срединѣ, какъ, напримѣръ, при вычисленіи произведенія

На подобные примѣры учителю слѣдуетъ обратить особое вниманіе, такъ какъ дѣти часто ошибаются въ приданіи надлежащаго мѣстнаго значенія неполнымъ произведеніямъ. При производствѣ дѣтьми умноженія въ такихъ случаяхъ, и рѣчи быть не можетъ о какомъ-то умноженіи на нуль. Для вычисленія произведенія

2347X7006

необходимо произвести два умноженія: умноженіе даннаго множимаго на 6 и умноженіе даннаго множимаго на 7000; сумма этихъ двухъ неполныхъ произведеній дастъ полное произведеніе. Расположеніе вычисленія должно быть такое*):

§ 8. Что касается до того случая, когда одинъ изъ данныхъ произво-

*) Намъ приходилось видѣть безсмысленныя записи, въ родѣ слѣдующей:

дителей или оба оканчиваются нулями*), то относящіяся сюда объясненія удобно начать на простыхъ примѣрахъ устнаго вычисленія. Учитель предлагаетъ дѣтямъ умножить, напримѣръ, 200 на 300, и обращается къ нимъ съ такими вопросами:

„Какъ вы помножите какое нибудь число на 300?—(Помножимъ это число на 3 и полученное произведеніе помножимъ на 100.) — Помноживъ двѣ сотни на 3, что вы получите?—(Шесть сотенъ.)—А помноживъ 6 сотенъ на сто, какое число вы получили?—(6 сотенъ сотенъ.)—Какъ обыкновенно называютъ одну сотню сотенъ?—(Одинъ десятокъ тысячъ.)—Какъ же вы назовете 6 сотенъ сотенъ? — (Шесть десятковъ тысячъ или шестьдесятъ тысячъ.)"

Послѣ ряда подобныхъ устныхъ упражненій, слѣдуетъ перейти къ письменному производству умноженія въ тѣхъ случаяхъ, когда оба производителя оканчиваются нулями. Предложивъ дѣтямъ такой, положимъ, примѣръ:

67000X2400

учитель безъ труда приведетъ ихъ въ тому заключенію, что въ данномъ случаѣ нужно помножить 67 на 24 и полученное неполное произведеніе 1608 помножить, затѣмъ, на сто тысячъ; послѣднее умноженіе не требуетъ вычисленія и, при письменномъ вычисленіи, сводится къ тому, что къ обозначенію неполнаго произведенія 1608 надлежитъ приписать пять нулей, т. е. столько нулей, сколько ихъ было на концѣ множимаго и еще столько, сколько ихъ было на концѣ множителя.

Письменно дѣйствіе должно быть расположено такъ:

§ 9. Возвращаясь къ частнымъ пріемамъ, укажемъ на пріемъ умноженія, который называютъ умноженіемъ на-крестъ; примѣненіе этого пріема къ умноженію двузначнаго числа на двузначное дается дѣтямъ легко и они имъ охотно пользуются. Этотъ пріемъ состоитъ въ слѣдующемъ:

Пусть требуется умножить 27 на 36. Чтобы найти произведеніе этихъ чиселъ, нужно выполнить четыре умноженія:

*) Выраженіе: число оканчивается нулемъ (или нулями), конечно, неправильно, такъ какъ число оканчиваться нулями не можетъ, и только цыфровое обозначеніе числа можетъ оканчиваться нулями. Но подобныя неправильныя выраженія имѣютъ условный, давно установившійся и ясный смыслъ. Отказаться отъ нихъ нѣтъ достаточныхъ основаній, такъ какъ замѣна подобныхъ выраженій выраженіями вполнѣ точными въ логическомъ отношеніи повела бы, въ большинствѣ случаевъ, къ тяжелому изложенію, ясность котораго, къ тому же, ничего не выиграла бы отъ такой замѣны.

Къ такимъ условнымъ выраженіямъ принадлежатъ и слѣдующія: помножить на цыфру, раздѣлить на цыфру, а также и очень много другихъ, издавна вошедшихъ въ употребленіе.

1) Единицы множимаго умножить на единицы множителя; 2) десятки множимаго умножить на единицы множителя; 3) единицы множимаго умножить на десятки множителя; 4) десятки множимаго умножить на десятки множителя. Если множителя подписать подъ множимымъ, то рядъ этихъ умноженій можетъ быть схематически намѣченъ такъ*):

Такъ какъ умноженіе десятковъ на единицы и умноженіе единицъ на десятки даетъ въ произведеніи десятки, то легко сложить устно результаты второго и третьяго умноженія, и тогда все вычисленіе приметъ такой видъ: 7 на 6—42 (2—цыфра единицъ искомаго произведенія); 2 (десятка) на 6 (единицъ)—12 (десятковъ), 7 (единицъ) на 3 (десятка)—21 десятокъ; 12 дес. да 21 дес.—33 десятка, да 4 десятка отъ перваго произведенія — 37 десятковъ (7 — цыфра десятковъ искомаго произведенія); 2 (сотни) на 3 (сотни) — 6 (сотенъ), да 3 сотни отъ второго умноженія — 9 сотенъ (9—цыфра сотенъ искомаго произведенія). Такимъ образомъ, при умноженіи двузначнаго числа на двузначное мы можемъ избѣжать записи неполныхъ произведеній и, при нѣкоторомъ навыкѣ, прямо написать полное произведеніе

27

36

972

Нѣкоторые находятъ, что этотъ пріемъ труденъ для дѣтей, но мы не раздѣляемъ этого мнѣнія и по опыту знаемъ, что имъ свободно пользуются дѣти, которыя хорошо вычисляютъ въ предѣлѣ первой сотни чиселъ.

Для примѣненія этого пріема, нѣтъ, конечно, необходимости подписывать множителя подъ множимымъ, что не безполезно только при первыхъ относящихся сюда упражненіяхъ; когда же дѣти освоятся съ изложеннымъ пріемомъ, ихъ надлежитъ пріучить къ такому расположенію

27X36= 972 54X32 = 1728 63X63 = 3969

§ 10. Сдѣлаемъ, наконецъ, еще одно небольшое замѣчаніе относительно расположенія письменнаго вычисленія въ томъ случаѣ, когда въ обозначеніи множи-

*) Отсюда и названіе умноженія на-крестъ.

теля на первомъ или на послѣднемъ мѣстѣ 1. Умножая, напримѣръ, 3278 на 21, вычисленіе располагаютъ обыкновенно такъ:

Мы же стоимъ за такое расположеніе:

причемъ написаннымъ множимымъ мы пользуемся, какъ первымъ неполнымъ произведеніемъ. Точно также умноженіе числа 3729 на 13 мы располагаемъ такъ:

причемъ пользуемся множимымъ, какъ произведеніемъ его на 10, не переписывая этого множимаго.

Дѣлая такого рода указанія, мы руководимся, конечно, не тѣмъ практическимъ мотивомъ, чтобы дѣтямъ приходилось писать поменьше цыфръ, а тѣмъ соображеніемъ, что такія указанія даютъ дѣтямъ случай вникать въ сущность десятичнаго счисленія и пріучаютъ ихъ цѣнить это тонкое и совершенное орудіе, созданное человѣческимъ умомъ.

Дѣленіе.

§ 1. Дѣленіе, по справедливости, признаютъ самымъ труднымъ изъ четырехъ ариѳметическихъ дѣйствій, а уясненіе механизма этого дѣйствія считаютъ дѣломъ не легкимъ, въ методическомъ отношеніи.

Излагая механизмъ дѣленія цѣлыхъ чиселъ, одни исходятъ изъ слѣдующаго частною опредѣленія этого дѣйствія:

Дѣленіе есть дѣйствіе, посредствомъ котораго находятъ, сколько разъ одно данное число содержитъ въ себѣ другое данное число.

Другіе замѣняютъ это опредѣленіе слѣдующимъ, также частнымъ опредѣленіемъ: Дѣленіе имѣетъ цѣлью раздѣлить одно данное число на столько равныхъ частей, сколько находится единицъ въ другомъ данномъ числѣ.

Третьи, наконецъ, разсматриваютъ дѣленіе, какъ дѣйствіе обратное умноженію и даютъ дѣленію такое общее опредѣленіе:

Раздѣлить одно данное число на другое данное число значитъ найти то

число, па которое подлежитъ помножитъ второе изъ данныхъ , чтобы получитъ первое.

Соотвѣтственно этимъ различнымъ точкамъ зрѣнія, и разъясненіе механизма дѣленія можетъ быть ведено различно, такъ какъ, при этомъ разъясненіи, можно имѣть въ виду или опредѣленіе содержанія, или раздѣленіе на равныя части, или отысканіе неизвѣстнаго производителя.

Что касается до насъ, то мы предпочитаемъ уяснять механизмъ дѣленія, исходя изъ того опредѣленія, что раздѣлить число значитъ найти одну изъ равныхъ частей числа. Изъ упражненій въ дѣленіи на равныя части чиселъ до ста дѣти уже усвоили себѣ, что, для раздѣленія числа на равныя части, можно разбить его на слагаемыя, найти требуемую часть для каждаго слагаемаго и сложить полученныя числа (неполныя частныя). Такъ, напримѣръ, чтобы раздѣлить 78 на 3, удобно разложить 78 на 60 и 18, раздѣлить каждое изъ этихъ чиселъ на 3 и сложить полученныя числа: 20 и 6. Механизмъ дѣленія и въ общемъ случаѣ основанъ, съ одной стороны, на томъ свойствѣ чиселъ, вслѣдствіе котораго, для раздѣленія суммы, можно раздѣлить ея слагаемыя и сложить полученные результаты, а, съ другой стороны, на томъ удобствѣ, которое представляетъ разложеніе чиселъ на ихъ десятичныя группы. Но относительно этого разложенія на десятичныя группы въ примѣненіи къ разложенію дѣлимаго, слѣдуетъ сдѣлать одно замѣчаніе, ради котораго мы позволимъ себѣ небольшое отступленіе.

§ 2. При сложеніи двухъ чиселъ, мы въ первому числу прибавляемъ, одну за другой, десятичныя группы второго числа; чтобы, напримѣръ, приложить въ какому нибудь числу число 347, мы къ первому числу прибавляемъ послѣдовательно числа: 7, 40 и 300 (въ приведенномъ или въ обратномъ порядкѣ). При умноженіи двухъ чиселъ, мы первое число умножаемъ на десятичныя группы*) второго числа, взятыя одна за другой; чтобы, напримѣръ, помножить какое-нибудь число на 248, мы первое число множимъ послѣдовательно на числа: 8, 40 и 200 (въ приведенномъ или въ обратномъ порядкѣ), послѣ чего складываемъ полученныя произведенія (неполныя произведенія).

При вычитаніи изъ одного числа другого числа, мы изъ перваго вычитаемъ, одну за другой, десятичныя группы втораго числа; чтобы вычесть, напримѣръ, изъ какого-нибудь числа 473, мы послѣдовательно вычитаемъ числа: 3, 70 и 400 (въ приведенномъ или въ обратномъ порядкѣ).

Но, при вычитаніи, приходится, въ большинствѣ случаевъ, прибѣгать къ раздробленію единицъ различныхъ разрядовъ уменьшаемаго и, такъ сказать, нарушатъ десятичный составъ уменьшаемаго; чтобы вычесть, напримѣръ, 672 изъ 2000, мы раздробляемъ одну Тысячу уменьшаемаго на: 9 сотенъ, 9 десятковъ и 1 десятокъ, и вычитаемъ изъ этихъ чиселъ, начиная съ послѣдняго, числа:

*) Такое условное выраженіе—множить на группы—можетъ, намъ кажется, бить допущено, вслѣдствіе его краткости.

2, 70 и 200, послѣ чего прибавляемъ къ результату нераздробленную часть уменьшаемаго.

При дѣленіи также приходится прибѣгать къ ряду раздробленій дѣлимаго. Положимъ, что требуется раздѣлить 10741 на 23. Мы отдѣляемъ отъ дѣлимаго столько цыфръ (отъ лѣвой руки къ правой), чтобы число ими обозначенное содержало дѣлителя не болѣе 9 разъ (или, иначе, чтобы число ими обозначенное, по раздѣленіи на дѣлителя, давало бы однозначное частное); въ нашемъ примѣрѣ мы отдѣляемъ 107. Такъ какъ

107 = 23 • 4 + 15 то

10700 = 23 • 400 + 1500 а

10741 = 23 • 400 + 1541

Такимъ образомъ данное дѣлимое можетъ быть представлено въ видѣ суммы

9200 + 1541

первое слагаемое которой безъ остатка дѣлится на даннаго дѣлителя и, по раздѣленіи на него, даетъ частное, выраженное одной значащей цыфрой съ нулями (400). Чтобы второе слагаемое 1541 послѣдней суммы разложить подобнымъ же образомъ, какъ мы разлагали данное дѣлимое, мы отдѣлимъ отъ него столько цыфръ (отъ лѣвой руки къ правой), чтобы число ими обозначенное содержало дѣлителя 23 не болѣе 9 разъ; въ нашемъ примѣрѣ мы отдѣлимъ 154. Такъ какъ

154 = 23 • 6 + 16

то дѣлимое 10741 можетъ быть представлено въ видѣ такой суммы:

9200+ 1380 + 161

Каждое слагаемое этой суммы безъ остатка дѣлится на 23, или, какъ говорятъ, каждое слагаемое этой суммы есть число кратное 23; но, кромѣ того, эти слагаемыя таковы, что, по раздѣленіи каждаго изъ нихъ на дѣлителя, получается частное, выраженное значащей цыфрой съ нулями для всѣхъ слагаемыхъ, кромѣ послѣдняго, и частное выраженное значащей цыфрой для послѣдняго слагаемаго. Изъ этого мы видимъ, что, примѣняя обще-употребительный въ настоящее время*) способъ дѣленія, мы нарушаемъ десятичный составъ дѣлимаго, разбивая его на рядъ слагаемыхъ, кратныхъ дѣлителя, и притомъ такихъ слагаемыхъ, отъ дѣленія которыхъ на даннаго дѣлителя получается въ частномъ число выраженное одной значущей цыфрой съ нулями. Такой способъ представляетъ ту существенную выгоду, что сложеніе полученныхъ неполныхъ частныхъ не требуетъ никакого вычисленія, или, что, другими словами, цыфровое обозначеніе искомаго частнаго возникаетъ само собой во время производства вычисленія.

*) Въ прежнія времена употреблялись другіе способы дѣленія, большею частью, неудобные (неуклюжіе).

Но все вычисленіе представилось бы совершенно въ иномъ видѣ, еслибы мы разбили дѣлимое на его отдѣльныя десятичныя группы и стали бы дѣлить каждую изъ нихъ. Возвращаясь къ нашему примѣру, разложимъ дѣлимое 10741 на десятичныя группы; будемъ имѣть

10741 = 10000 + 700 + 40+1

Раздѣливъ 10000 на 2В, получимъ въ частномъ — 484*), въ остаткѣ—18; раздѣливъ 700 на 23, получимъ въ частномъ—30, въ остаткѣ—10; раздѣливъ 40 на 23, получимъ въ частномъ—1, въ остаткѣ—17; раздѣливъ, наконецъ, 1 на 23, получимъ въ частномъ — 0, въ остаткѣ— 1. Чтобы докончить вычисленіе, надлежитъ:

1) Сложить неполныя частныя: 434, 30, 1 и 0; сумма ихъ — 465;

2) Сложить остатки отъ всѣхъ произведенныхъ дѣленій, т. е. сложить числа:

18, 10, 17 и 1; сумма ихъ—46;

3) Раздѣлить сумму этихъ остатковъ на 23; частное — 2;

4) Приложить послѣднее частное 2 къ суммѣ всѣхъ предыдущихъ частныхъ. Сопоставляя только-что приведенный способъ вычисленія съ общепринятымъ, не трудно видѣть, какъ продолжительно и неудобно только-что указанное нами вычисленіе. Неудобство это заключается въ томъ, что, сводя дѣленіе числа на дѣленіе его отдѣльныхъ десятичныхъ группъ, мы получаемъ рядъ неполныхъ многозначныхъ частныхъ, сложеніе которыхъ требуетъ производства вычисленія. Очень часто приходится слышать вопросъ такого рода: Почему дѣленіе начинаютъ съ высшихъ разрядовъ, между тѣмъ, какъ остальныя дѣйствія начинаютъ съ низшихъ разрядовъ? Вопросъ заключается, въ сущности, не въ этомъ, а въ слѣдующемъ: Удобно-ли, или нѣтъ, при дѣленіи числа на другое, дѣлить, по порядку, всѣ отдѣльныя десятичныя группы дѣлимаго? Если-бы это оказалось удобнымъ, то вышеприведенный вопросъ падалъ бы самъ собой, вслѣдствіе того, что дѣленіе можно было бы начинать безразлично, или съ высшихъ, или съ низшихъ разрядовъ дѣлимаго. Но, такъ какъ способъ дѣленія отдѣльныхъ десятичныхъ группъ дѣлимаго представляетъ, какъ мы видѣли, большія неудобства, то его замѣняютъ другимъ способомъ, который обусловливаетъ такое разложеніе дѣлимаго, чтобы каждая отдѣляемая часть, по раздѣленіи на дѣлителя, давала бы частное обозначенное одной значащей цыфрой съ пулями; а такое разложеніе, по необходимости, влечетъ за собою опредѣленіе разрядовъ частнаго, начиная съ высшихъ.

Послѣ этого отступленія, сдѣлать которое мы сочли не безполезнымъ, обратимся къ изложенію хода занятій съ дѣтьми при разъясненіи имъ механизма дѣленія.

*) Это частное мы могли бы найти путемъ послѣдовательныхъ вычитаній дѣлителя и счетомъ произведеннаго числа вычитаній. Чтобы раздѣлить 10000 на 23, вычитаемъ изъ дѣлимаго 100 разъ 23, 100 разъ 23, 100 разъ 23 и еще сто разъ 23, послѣ чего получимъ остатокъ 800; изъ этого остатка вычитаемъ 10 разъ 23, 10 разъ 23 и 10 разъ 23, послѣ чего получимъ остатокъ 110; изъ этого остатка вычитаемъ 23, 23, 23 и еще разъ 23; послѣ этого получимъ въ остаткѣ 18. Остается счесть число произведенныхъ вычитаній, чтобы найти частное 434.

§ 3. Уясненіе этого механизма естественно начать съ случая дѣленія многозначнаго числа на однозначное, причемъ слѣдуетъ, прежде всего, выбирать примѣры такъ, чтобы всѣ цыфры дѣлимаго безъ остатка дѣлились на цыфру дѣлителя. Учитель беретъ, положимъ, слѣдующій примѣръ

46824 : 2

и обращается къ дѣтямъ съ такими вопросами:

„Какое дѣйствіе требуется произвести въ этомъ примѣрѣ? — Какъ называютъ число, которое требуется раздѣлить на нѣсколько равныхъ частей?— Какъ называютъ число, которое указываетъ, на сколько равныхъ частей нужно раздѣлить дѣлимое? — Какъ называютъ число, которое получаютъ отъ дѣленія двухъ чиселъ? — Можете-ли вы сразу раздѣлить 46824 на 2? — Какъ вы поступали, когда вамъ приходилось небольшія числа дѣлить на 2? — Какъ, напримѣръ, вы раздѣлили бы пополамъ 68? — Разложите же и наше дѣлимое на десятичныя группы. — Съ дѣленія какихъ разрядовъ вы полагаете начать и въ нашемъ примѣрѣ? — Сколько получите, раздѣливъ 4 дес. тыс. пополамъ? — Не придется ли на искомую часть еще одного десятка тысячъ, или даже больше одного десятка тысячъ? — Почему на половину числа 46824 не придется больше 2 дес. тыс.? — Итакъ, мы нашли окончательную цыфру десятковъ тысячъ частнаго.— Подпишите цыфру 2 подъ разрядомъ дес. тыс. дѣлимаго. — Нужно ли къ этой цыфрѣ 2 приписать четыре нуля для означенія ея мѣста? — Почему можно не приписывать нулей? — (Мѣста цыфръ установлены обозначеніемъ дѣлимаго.) — Вы нашли первое неполное какое оно? (20 000.) — Теперь продолжайте дѣленіе. (Дѣти оканчиваютъ вычисленіе.) — Объясните же, какъ вы выполнили дѣленіе. — Сколько вы произвели отдѣльныхъ дѣленій? — Какъ вы назовете результатъ каждаго изъ этихъ отдѣльныхъ дѣленій? (Неполное частное.) — Какъ изъ этихъ неполныхъ частныхъ получить искомое, т. е. полное частное? — Когда вы произвели сложеніе неполныхъ частныхъ? — (Сложеніе сдѣлалось само собой.) — Почему это такъ случилось? — Да, это случилось такъ, потому что всѣ найденныя цыфры частнаго вы записали, по порядку, на надлежащихъ мѣстахъ; этотъ рядъ цыфръ и есть обозначеніе искомаго частнаго.“ „Возьмемъ другой примѣръ:

1846 : 2

Съ чего вы начнете дѣленіе? — (Раздѣлимъ одну тысячу пополамъ.) — Сколько получите? (5 сотенъ.) — Будетъ ли 5 окончательная цыфра сотенъ искомаго частнаго? — (Нѣтъ, сотни могутъ получиться еще отъ дѣленія сотенъ дѣлимаго.) — Сколько получите, раздѣливъ 3 сотни дѣлимаго пополамъ? (150.) Сколько же всего сотенъ придется на половину числа 1346? (Шесть сотенъ.)—Какая же окончательная цыфра сотенъ искомаго частнаго?—(Цыфра 6.)—Какъ бы сразу получить эту окончательную цыфру

сотенъ?—(Нужно отдѣлить отъ даннаго дѣлимаго его сотни и узнать, сколько сотенъ придется на половину отдѣленной части.) — Сколько же сотенъ въ половинѣ 13 сотенъ? — Не можетъ ли, при дальнѣйшемъ дѣленіи, оказаться, что къ частному прибавится еще одна сотня? — Итакъ, цыфра 6 окончательная цыфра сотенъ частнаго; гдѣ вы ее запишете?— Какая часть дѣлимаго уже раздѣлена вами пополамъ? (1200.) — Какъ узнать, сколько осталось еще раздѣлить? — (Вычесть 1200 изъ даннаго дѣлимаго.) Сколько же осталось раздѣлить? (Осталось раздѣлить 146.)— Какъ бы вы стали по разрядамъ дѣлить пополамъ это число? (Раздѣлили бы 100 на 2, 40 на 2, 6 на 2.) — Раздѣливъ сто пополамъ, сколько получите? (5 десятковъ.) — Будетъ ли 5 окончательная цыфра десятковъ искомаго частнаго? —Почему, въ нашемъ примѣрѣ, 5 не будетъ окончательной цыфрой десятковъ искомаго частнаго? — Какъ же найти сразу эту окончательную цыфру? (14 дес. раздѣлить пополамъ.)—Докончите дѣленіе.—На какія части вы разлагали дѣлимое 1346? (На 12 сот., 14 дес. и 6 един.) — Почему удобно разбить это дѣлимое именно такъ, а не какъ нибудь иначе?—(Отъ дѣленія пополамъ чиселъ: 12 сотенъ, 14 дес., 6 един., получаются, по порядку, только сотни, только десятки, только единицы.)— Да, это вѣрно; но замѣтьте еще и то, что мы произвели разложеніе такъ, что число сотенъ, число десятковъ, число единицъ, получаемыхъ при всякомъ отдѣльномъ дѣленіи, не можетъ быть больше девяти. Такимъ образомъ, мы по порядку и, каждый разъ, окончательно находили послѣдовательныя цыфры искомаго частнаго.“

„Съ какихъ разрядовъ вы начинали дѣленіе?—Раздѣлите 1346 на 2, но начните дѣленіе съ низшихъ разрядовъ дѣлимаго. — Какъ найти цыфру единицъ искомаго частнаго? — Есть ли 3 окончательная цыфра единицъ частнаго? (Въ нашемъ примѣрѣ 3 окончательная цыфра, потому что отъ раздѣленія 4 дес. дѣлимаго пополамъ получатся только десятки, а единицъ не получится.)—Какъ теперь найти цыфру десятковъ искомаго частнаго? (Раздѣлить 4 дес. на 2.)—Есть ли 2 окончательная цыфра десятковъ частнаго? (Нѣтъ, она не окончательная; отъ раздѣленія 3 сот. дѣлимаго на 2, наберется, кромѣ сотенъ, еще 5 десятковъ.) — Если бы вы поспѣшили записать прежнюю неокончательную цыфру десятковъ, то что пришлось бы вамъ сдѣлать, найдя окончательную цыфру? — (Зачеркнуть прежнюю цыфру и записать окончательную.)—Такъ какъ перечеркиваніе и перемарываніе неудобно и некрасиво, то дѣленіе всегда начинаютъ съ высшихъ разрядовъ дѣлимаго, а, при этомъ, никогда не придется измѣнять уже разъ записанныхъ цыфръ.“

„Сдѣлаемъ еще примѣръ на дѣленіе; запишите

24264: 3

Придется ли на третью часть даннаго дѣлимаго одинъ десятокъ тысячъ?— Почему не придется и одного десятка тысячъ? — (Потому что дѣлимое

меньше 3 дес. тыс.) — Какъ узнать, сколько тысячъ придется на третью часть даннаго дѣлимаго? — (Раздѣлить всѣ тысячи дѣлимаго на 3.) — Какая же цыфра тысячъ частнаго? (8.)—Есть ли 8 окончательная цыфра тысячъ искомаго частнаго? — Почему цыфра эта окончательная? — Какую часть дѣлимаго осталось теперь раздѣлить? (264.)—Какъ вы станете дѣлить дальше?—Почему цыфра сотенъ частнаго есть О?—Сколько сотенъ нужно раздѣлить на 3?—Какъ сразу получить цыфру десятковъ частнаго? (Нужно эти 2 сотни дѣлимаго раздробить въ десятки, присоединить къ нимъ 6 дес. дѣлимаго и раздѣлить на 3 полученные 26 дес.) — Найдите жѳ цыфру десятковъ частнаго. — Какъ, наконецъ, вы найдете цыфру единицъ частнаго? — (Раздробимъ въ единицы нераздѣленные еще 2 дес., присоединимъ къ нимъ 4 ед. и раздѣлимъ на 3 полученное число единицъ.) Скажите, почему, при письменномъ вычисленіи, удобно находить по порядку отдѣльныя цыфры частнаго? — Да, при такомъ ходѣ вычисленія, сложеніе полученныхъ неполныхъ частныхъ дѣлается само собой.“

§ 4. Что касается до расположенія записей при дѣленіи на однозначнаго дѣлителя, то мы предпочитаемъ пріучать дѣтей располагать вычисленіе такъ:

24261 : 3 8087

и рѣшительно отвергаемъ, какъ безцѣльное бумагомараніе, расположеніе такого вида:

Совѣтуемъ учителю не торопиться переходомъ къ дальнѣйшимъ случаямъ дѣленія, а упражнять дѣтей въ дѣленіи на однозначное число до тѣхъ поръ, пока дѣти не уяснятъ себѣ отчетливо всего хода вычисленія, которое они производятъ. При этихъ упражненіяхъ, необходимо обратить вниманіе дѣтей на то, что, выполняя дѣленіе, приходится совершать рядъ промежуточныхъ умноженій и вычитаній, но что, при однозначномъ дѣлителѣ, всѣ эти вычисленія должны быть производимы устно, такъ какъ они не выходятъ за предѣлъ первой сотни чиселъ.

§ 5. Послѣ разъясненія механизма дѣленія въ томъ случаѣ, когда дѣлитель однозначное число, можно было бы перейти къ тому случаю, когда частное есть однозначное число. Такой переходъ и былъ бы совершенно правильнымъ съ теоретической точки зрѣнія, такъ какъ процессъ дѣленія, въ общемъ слу-

чаѣ, сводится къ выполненію ряда дѣленій, изъ которыхъ каждое даетъ въ результатѣ однозначное частное. Но мы предпочитаемъ, до перехода къ случаю однозначнаго частнаго, остановиться съ дѣтьми на нѣсколькихъ примѣрахъ, гдѣ дѣлитель двузначное или трехзначное число. Поступая такъ, мы имѣемъ въ виду то обстоятельство, что, при многозначномъ дѣлителѣ, промежуточныя дѣйствія умноженія и вычитанія, сопровождающія производство дѣленія, выступаютъ наружу отчетливѣе, чѣмъ при дѣленіи на однозначное число, когда эти промежуточныя дѣйствія, выполняемыя устно, такъ сказать, скрадываются. Къ тому же, при многозначномъ дѣлителѣ, приходится, въ большинствѣ случаевъ, производить промежуточныя вычисленія письменно, что и обусловливаетъ нѣсколько иное расположеніе всего вычисленія.

Для первыхъ примѣровъ можно ограничиться двузначнымъ дѣлителемъ, причемъ мы предпочитаемъ выбирать удобнаго дѣлителя, въ родѣ чиселъ: 49, 51, 52, 98 и т. п., т. е. такого дѣлителя, при которомъ легко задаваться для отъисканія цыфръ частнаго. Учитель выбираетъ, положимъ, такой примѣръ:

11515 : 49

и ведетъ работу съ дѣтьми слѣдующимъ образомъ:

„Съ чего вы начнете дѣленіе числа 11515 на 49 равныхъ частей? — (115 раздѣлимъ на 49, чтобы узнать, сколько сотенъ придется на искомую часть.) — Почему вы отдѣлили отъ дѣлимаго именно 115 сотенъ? (На искомую часть дѣлимаго не придется ни одного десятка тысячъ, ни одной тысячи, но придется, по крайней мѣрѣ, одна сотня.)—Найдите же, сколько сотенъ придется на искомую часть, т. е. найдите высшую цыфру частнаго. — Какъ вы нашли эту цыфру? (Мы раздѣлили 115 на 49.) — Какъ узнать, вѣрна ли эта цыфра? — Да, чтобы увѣриться въ томъ, что эта цифра 2 вѣрна, нужно: умножить 49 на 2, вычесть полученное произведеніе 98 изъ 115 и посмотрѣть, будетъ ли остатокъ меньше 49. — Такъ какъ вамъ придется множить 49 на 2 и вычитать произведеніе, которое получите, то для записи этихъ вычисленій оставьте мѣсто, а цыфру 2 подпишите подъ дѣлителемъ такъ:

11515 : 49

2

Можно ли къ этой цыфрѣ не приписывать двухъ нулей для означенія того, что эта цыфра должна означать 2 сотни?—Объясните, почему эта цыфра окажется на надлежащемъ мѣстѣ, когда остальныя цыфры частнаго будутъ вами найдены и приписаны къ первой цыфрѣ частнаго.—Дѣлится ли 115 на 49 съ остаткомъ или безъ остатка? — Какъ это узнать? (Помножить 49 на 2 и произведеніе вычесть изъ 115.)—Запишите это такъ:

Какой же остатокъ вы получили отъ дѣленія 115 па 49? (Остатокъ 17.)— Этотъ остатокъ меньше дѣлителя 49. — Еслибы вы задались цыфрой 1, вмѣсто цыфры 2, то какой бы вы получили остатокъ?—(Остатокъ, который больше дѣлителя.) — Это показало бы вамъ, что вы задались невѣрно и что цыфра, которой вы задались, слаба.—А еслибы вы за высшую цыфру частнаго приняли, въ нашемъ примѣрѣ, не цыфру 2, а цыфру 3, то что оказалось бы? — Да, цыфра 3 оказалась бы сильна. — Какой самый большой остатокъ можетъ получиться при дѣленіи любаго числа на 49, если дѣленіе сдѣлано вѣрно?—(Не больше 48.)“

„Всѣ ли сотни дѣлимаго вы раздѣлили на 49? — (Нѣтъ, не всѣ; 17 сотенъ остались нераздѣленными.) — Какъ вы найдете слѣдующую цыфру частнаго, т. е. цыфру его десятковъ? — Да, вы раздробите нераздѣленныя 17 сотенъ въ десятки, приложите къ нимъ 1 десятокъ дѣлимаго и раздѣлите на 49 все это число десятковъ. — Это раздробленіе и присоединеніе единицъ слѣдующаго низшаго разряда не требуетъ никакихъ вычисленій: вы снесете слѣдующую цыфру 1 дѣлимаго такъ:

11515 : 49 98 ~

171

Можетъ ли случиться, что, при дѣленіи 171 на 49, на каждую часть пришлось бы болѣе 9 единицъ?—Конечно, нѣтъ, если только предыдущая цыфра частнаго вѣрна. Если эта цыфра вѣрна, то, въ нашемъ примѣрѣ, остатокъ, только въ крайнемъ случаѣ, могъ бы равняться 48; если бы слѣдующая цыфра дѣлимаго была бы даже 9, то всетаки пришлось бы дѣлить на 49 число 489, которое не содержитъ дѣлителя 49 десяти разъ.—Раздѣлите же 171 на 49.—Какая слѣдующая цыфра частнаго?— Не сильна ли эта цыфра?—Не слаба ли эта цыфра?—Гдѣ вы запишете эту цыфру 3?—Какой второй остатокъ вы получили?—и т. д.“

Дѣти заканчиваютъ вычисленіе, которое является записаннымъ у нихъ въ такомъ видѣ:

§ 6. Мы считаемъ не безполезнымъ, чтобы дѣти отдѣляли , какъ это показано въ послѣднемъ примѣрѣ, первое неполное дѣлимое , т. е. то число, которое,

по раздѣленіи на дѣлителя, даетъ высшую цыфру частнаго. Кромѣ того, полезно указать дѣтямъ, какъ опредѣлять число цыфръ частнаго, до выполненія

дѣленія: отдѣленной части дѣлимаго соотвѣтствуетъ одна цыфра частнаго, и, затѣмъ, каждой изъ остальныхъ цыфръ дѣлимаго соотвѣтствуетъ по одной цыфрѣ частнаго; легко слѣдовательно узнать предварительно число цыфръ искомаго частнаго.

Совѣтуемъ, между прочимъ, учителю обратить должное вниманіе на тѣ случаи, когда въ обозначеніе искомаго частнаго должны войти нули (въ срединѣ или на концѣ).

§ 7. Послѣ подобныхъ разъясненій, дѣти поймутъ, что дѣленіе на многозначнаго дѣлителя сводится къ ряду такихъ дѣленій, изъ которыхъ каждое даетъ въ результатѣ однозначное частное. Главное затрудненіе, которое встрѣчается при производствѣ дѣленія, заключается въ опредѣленіи отдѣльныхъ цыфръ частнаго; къ тому же это затрудненіе, вообще говоря, возрастаетъ по мѣрѣ увеличенія числа цыфръ въ дѣлителѣ. Нахожденіе, въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ, цыфры частнаго всегда, по необходимости, сопровождается угадываніемъ этой цыфры. Это угадываніе и составляетъ не малое затрудненіе для людей, не искусныхъ въ ариѳметическихъ исчисленіяхъ. Попытки въ отгадываніи цыфры частнаго, конечно, неизбѣжны, но можно ограничить число ихъ. Чтобы убѣдиться въ томъ, что взятая цыфра частнаго угадана вѣрно, надлежитъ провѣрить ее въ двухъ отношеніяхъ: 1) провѣрить, не слишкомъ ли сильна взятая цыфра и 2) провѣрить, не слишкомъ ли слаба данная цыфра.

Положимъ, что требуется произвести дѣленіе въ слѣдующемъ примѣрѣ:

9689 : 2789

Искомое частное, очевидно, однозначное, такъ какъ, помноживъ дѣлителя на 10, получили бы число, которое больше дѣлимаго. Чтобы найти частное, раздѣлимъ высшую цыфру дѣлимаго на высшую цыфру дѣлителя; мы найдемъ цыфру 4. Эта цыфра не можетъ бытъ слишкомъ слаба; она можетъ только быть слишкомъ сильна. Чтобы рѣшить, вѣрна ли эта цыфра, мы прибѣгаемъ къ такому устному вычисленію:

Множимъ на 4 дѣлителя 2789, начиная съ его высшихъ разрядовъ, и вычитаемъ изъ дѣлимаго неполныя произведенія, по мѣрѣ ихъ :2 на 4—8; 8 изъ 9 — 1; (сносимъ 6 — имѣемъ въ остаткѣ—16); 7 на 4 — 28; 28 изъ 16 — вычесть нельзя; итакъ, цыфра 4 слишкомъ сильна.

Понижаемъ цыфру 4 на 1 и производимъ подобное же испытаніе относительно цыфры 8: 2 на 3 — 6; 6 изъ 9 — 3; въ остаткѣ мы получили 3, т. е. цыфру равную (условное выраженіе) цыфрѣ, которую испытываемъ. Мы можемъ быть теперь увѣрены, что цыфра 3 вѣрна. Дѣйствительно, число 3639 (полный остатокъ) содержитъ число 789 три раза, такъ какъ 3 тыс., или 30 сот. содержатъ 3 раза 9 сотенъ, съ остаткомъ равнымъ 3 сотнямъ; эти три сотни, или 30 десятковъ содержатъ 3 раза 9 десятковъ, съ остаткомъ, равнымъ 3 десяткамъ; эти три десятка, или 30 единицъ содержатъ 3 раза 9 единицъ, съ остаткомъ, равнымъ 3 единицамъ. На этомъ основаніи мы приходимъ къ такому

заключенію: если, при испытаніи цыфры частнаго, получимъ остатокъ, равный испытываемой цыфрѣ (или большій ея), то можемъ бытъ увѣрены, что взятая цыфра вѣрна.

Само собой разумѣется, что изложить только-что приведенный нами пріемъ устной повѣрки взятой цыфры частнаго требуетъ больше времени, чѣмъ его нужно, чтобы, въ дѣйствительности, произвести такую повѣрку.

Мы полагаемъ полезнымъ и считаемъ возможнымъ уяснить дѣтямъ предварительную повѣрку цыфры частнаго, которую здѣсь предлагаемъ. Для упражненія дѣтей въ этой повѣркѣ, слѣдуетъ выбирать, на первыхъ порахъ, такіе примѣры на дѣленіе, которые даютъ въ результатѣ однозначное частное.

Когда дѣти навыкнутъ производить повѣрку цыфры частнаго въ тѣхъ случаяхъ, когда это частное есть число однозначное, можно перейти къ общему случаю дѣленія, т. е. къ дѣленію многозначнаго числа на многозначное. Останавливаться, послѣ всего нами сказаннаго, на ходѣ уясненія дѣтямъ механизма дѣленія въ общемъ случаѣ мы не будемъ, такъ какъ намъ пришлось бы только повторить то, что изложено выше относительно дѣленія на двузначнаго дѣлителя.

§ 8. Намъ остается, наконецъ, упомянуть еще объ одномъ случаѣ дѣленія, который принято почему-то выдѣлятъ изъ остальныхъ. Это тотъ случай, когда, какъ говорятъ, дѣлимое и дѣлитель оканчиваются нулями. Въ учебникахъ всегда совѣтуютъ отброситъ отъ дѣлимаго и дѣлителя нулей поровну. Мы находимъ такой совѣтъ совершенно неумѣстнымъ. Если подъ выраженіемъ: отброситъ нули слѣдуетъ разумѣть: зачеркнуть нули, то такое перемарываніе мы считаемъ, просто, некрасивымъ; если же подъ выраженіемъ: отброситъ нули слѣдуетъ понимать; переписать данныя числа, отбросивъ поровну нулей, то такое переписываніе данныхъ чиселъ мы признаемъ излишнимъ. Кромѣ того, слѣдуетъ замѣтить, что дѣти, которыхъ пріучили отбрасывать нули, впадаютъ часто въ ошибку въ тѣхъ случаяхъ, когда дѣленіе не совершается безъ остатка. Такъ, напримѣръ, если для превращенія 1750 фунтовъ въ пуды, дѣти, выполняя дѣленіе:

1750 : 40

отбросятъ нули (зачеркнутъ ихъ), то легко могутъ впасть въ ошибку, принявъ за остатокъ дѣленія 3, а не 30, какъ то слѣдовало-бы.

Мы полагаемъ, что выдѣлять разсматриваемый нами случай дѣленія нѣтъ достаточнаго основанія и считаемъ излишнимъ говорить о немъ дѣтямъ. Въ этомъ частномъ случаѣ гораздо лучше производить вычисленіе и располагать его такъ-же, какъ и въ общемъ случаѣ, т. е. такъ:

Задачи на числа любой величины.

§ 1. Въ заключеніе этой главы намъ слѣдуетъ сказать нѣсколько словъ о задачахъ на числа любой величины.

Задачи на числа любой величины помѣщены во второмъ выпускѣ нашего „Сборника“—отдѣлъ второй №№ 1 —144—и распредѣлены по слѣдующимъ рубрикамъ: 1) Сложеніе 1—9; 2) Вычитаніе 10—17; 3) Умноженіе №№ 18—32; 4) Дѣленіе №№ 33—45; 5) Четыре дѣйствія 66—144.

Въ этомъ отдѣлѣ мы даемъ очень небольшое число задачъ на отдѣльныя дѣйствія, полагая, что для упражненія дѣтей въ механизмѣ дѣйствій примѣры представляютъ матеріалъ болѣе удобный, чѣмъ задачи на отдѣльныя дѣйствія. Вслѣдъ за задачами на дѣленіе, мы помѣстили группу задачъ—№№ 46—65— на вычисленіе процентовъ въ простѣйшихъ случаяхъ. Относительно этихъ задачъ считаемъ нужнымъ сдѣлать нѣкоторыя замѣчанія.

§ 2. Задачи на вычисленіе процентовъ представляютъ не что иное, какъ частный видъ задачъ на тройное правило и должны быть рѣшаемы, подобно послѣднимъ, способомъ послѣдовательныхъ заключеній. Чтобы отвѣтить, напримѣръ, на вопросъ:

„Сколько доходу принесутъ 14800 руб., если 100 руб. приносятъ 5 руб. доходу?“

дѣти вычисляютъ такъ:

„Въ 14800 рубляхъ 148 сотенъ рублей; одна сотня рублей приноситъ 5 рублей; 148 сотенъ рублей принесутъ 148 разъ 5 рублей, т. е. 740 рублей доходу.“

Чтобы отвѣтить на вопросъ:

„Сколько доходу принесутъ 2425 руб., если 100 руб. приносятъ 8 руб. доходу?“

дѣти вычисляютъ такъ:

„24 сотни рублей принесутъ 24 раза 8 рублей, т. е. 192 рубля доходу; 25 рублей, т. е. четвертая часть одной сотни (пол-пол-сотни), принесутъ четвертую часть 8 рублей, т. е. 2 рубля доходу; 2425 рублей принесутъ 194 рубля доходу.“

Чтобы отвѣтить на вопросъ:

„Сколько доходу принесутъ 1275 рублей, если 100 рублей приносятъ 6 рублей доходу?“ дѣти вычисляютъ такъ:

„12 сотенъ принесутъ 12 разъ 6 рублей, т. е. 72 рубля доходу; подсотня принесетъ 3 рубля доходу; четверть сотни (пол-пол-сотни) принесетъ полтора рубля доходу; 1275 рублей принесутъ доходу 76 руб. съ полтиной (76 руб. 50 коп.)“ и проч.

Когда дѣти освоятся съ подобными вычисленіями, слѣдуетъ объяснить имъ зна-

ченіе словъ: процентъ, процентныя деньги. Слово процентъ (латинское) въ буквальномъ переводѣ значитъ: за сто или со ста и обозначаетъ, въ обширномъ смыслѣ, прибавокъ или убавокъ, приходящійся на каждую сотню какого нибудь числа; въ примѣненіи-же къ дѣламъ торговымъ и денежнымъ, слово процентъ означаетъ прибыль или убыль на каждые сто рублей капитала, а также доходъ, который приноситъ каждая сотня рублей капитала, отданнаго на проценты (отданнаго въ ростъ, какъ часто говорятъ). Весь доходъ , принесенный капиталомъ въ извѣстный срокъ, называютъ часто процентными деньгами. Когда говорятъ, что нѣкоторый капиталъ приноситъ 5 процентовъ (5%) въ годъ (слова „въ годъ“ очень часто, для краткости, опускаютъ), то этимъ выражаютъ, что каждая сотня капитала даетъ въ годъ 5 рублей доходу. Такъ какъ выраженіе одинъ процентъ съ капитала означаетъ не что иное, какъ одну сотую часть капитала, то, для вычисленія процентныхъ денегъ, по данному капиталу и по данному размѣру процентовъ (такса процентовъ), даютъ обыкновенно такое правило:

„Чтобы узнать (вычислить) процентныя деньги, по данному капиталу и данной таксѣ процентовъ, нужно раздѣлить капиталъ на 100 и помножить полученное число на таксу процентовъ.“

Такъ, напримѣръ, чтобы узнать доходъ, который принесетъ въ годъ капиталъ въ 45748 руб., отданный по 7 процентовъ, нужно сотую часть этого капитала умножить на 7:

457 руб. 48 коп. X 7 8202 руб. 30 коп.

Только-что приведенное правило надлежитъ признать общимъ въ томъ смыслѣ, что оно примѣнимо къ вычисленію процентныхъ денегъ во всѣхъ случаяхъ; но нѣтъ никакого разумнаго основанія неизмѣнно пользоваться этимъ правиломъ и въ тѣхъ (постоянно встрѣчающихся на практикѣ) частныхъ случаяхъ, когда вычисленіе по свободному соображенію — свободному отъ заученныхъ книжныхъ правилъ — приводитъ къ цѣли скорѣе и естественнѣе. Такъ, напримѣръ, въ тѣхъ случаяхъ, когда размѣръ процентовъ выраженъ числомъ, которое есть кратная часть числа 100 (эти числа: 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50), то слѣдуетъ, конечно, воспользоваться этимъ обстоятельствомъ и не производить вычисленія по общимъ правиламъ.

Примѣры.

1. „Капиталъ въ 4348 руб. 80 коп. принесъ 25% прибыли. Какъ велика эта прибыль?“

Отвѣтъ. 4348 руб. 80 коп. : 4 1087 руб. 20 коп.

2. „Торговецъ затратилъ 23450 руб. 50 коп. на покупку товара; отъ продажи его онъ понесъ 20% убытку. Какъ великъ убытокъ торговца?“

Отвѣтъ. 23450 руб. 50 коп. : 5 4690 руб. 10 коп.

Совѣтуемъ учителю обратить вниманіе на подобные частные случаи и замѣтимъ, кстати, что и къ рѣшенію задачъ на вычисленіе процентовъ очень часто можетъ быть приложенъ съ большимъ удобствомъ тотъ пріемъ, который мы назвали пріемомъ сложенія кратныхъ частей.*)

§ 3. Въ задачахъ той группы, о которой мы говоримъ, мы сочли не безполезнымъ ввести выраженія: банкъ, вкладъ, билетъ внутренняго съ выигрышами займа, купонъ, нарицательная стоимость, банковый билетъ и др. Полагаемъ, что учитель не встрѣтитъ затрудненій при объясненіи своимъ ученикамъ всѣхъ этихъ словъ.

§ 4. Задачи подъ рубрикой „Четыре дѣйствія“ (№№ 66 — 144) представляютъ, въ общихъ чертахъ, такое-же расположеніе, какъ и соотвѣтствующія задачи на числа первой сотни: сперва мы даемъ задачи собственно-ариѳметическія, затѣмъ болѣе извѣстныя и распространенныя задачи алгебраическаго характера и, наконецъ, задачи алгебраическаго-же характера, но болѣе трудныя, т. е. такія, которыя дѣти, вѣроятно, затруднятся рѣшить безъ помощи учителя. Въ задачахъ собственноариѳметическихъ связь между данными и искомымъ, независимо отъ входящихъ въ задачу чиселъ, настолько проста и прозрачна, что планъ рѣшенія такой задачи можетъ быть установленъ почти непосредственно. Значеніе подобныхъ задачъ заключается въ томъ, что дѣти, рѣшая ихъ, прилагаютъ свое умѣнье производить ариѳметическія дѣйствія и пріучаются въ порядкѣ располагать письменныя записи, по необходимости, сопровождающія вычисленія на этой ступени.

Что касается до расположенія письменныхъ вычисленій, то мы придаемъ большое значеніе порядку въ расположеніи и отчетливости въ записяхъ, но, въ то же время, рѣшительно возстаемъ противъ бумагомаранія, которое, къ сожалѣнію, въ большомъ ходу у насъ. Мы считаемъ полезнымъ, чтобы дѣти, на первыхъ порахъ, располагали подъ нумерами тѣ отдѣльныя дѣйствія, послѣдовательное производство которыхъ должно привести ихъ къ отвѣту на предложенную задачу; всѣ эти записи не слѣдуетъ сопровождать наименованіями; надлежащее наименованіе должно быть только придано послѣднему результату, т. е. отвѣту на задачу.

*) Нѣсколько лѣтъ тому назадъ намъ пришлось случайно быть свидѣтелемъ, какъ быстро и искусно производятъ вычисленія люди, не учившіе правилъ; позволимъ себѣ передать здѣсь этотъ случай. Биржевому артельщику нужно было произвести расчетъ, сколько слѣдуетъ (при учетѣ векселя) получить процентовъ съ 4500 руб. за 104 дня по 9% годовыхъ; онъ почти мгновенно расчиталъ, что слѣдуетъ получить 117 рублей, причемъ все вычисленіе было сдѣлано устно. Считалъ онъ слѣдующимъ образомъ: 6000 руб. по 6% годовыхъ даютъ 1 руб. въ день (извѣстно, что, при коммерческихъ разсчетахъ, считаютъ 360 дней въ году, по 30 дней въ мѣсяцѣ); 6000 руб. по 6°/о дадутъ 104 руб. въ 104 дня; 6000 руб. по 9% годовыхъ дадутъ за 104 дня—156 руб. (104 -f 52); 3000 руб. по 9% годовыхъ за 104 дня дадутъ — 78 руб.; 1500 руб. —39 руб.; 4500 руб. — 117 руб. Этимъ замѣчаніемъ, что капиталъ въ 6000 руб. при 6% годовыхъ даетъ 1 руб. въ день (360 дней въ году), торговые люди пользуются при своихъ разсчетахъ по учету векселей съ такимъ искусствомъ, которымъ люди книжные, конечно, похвалиться не могутъ.

§ 5. Приведемъ здѣсь нѣсколько задачъ (изъ нашего „Сборника“) и покажемъ, какое должно быть расположеніе записей, сопровождающихъ ихъ рѣшенія.

№ 95. — „Въ 37 дней вышло 19795 фунтовъ сѣна на кормъ 17 коровъ и 8 лошадей. По сколько фунтовъ сѣна выдавали коровѣ въ день, если лошадь получала въ день но 18 фунтовъ сѣна?“

Отв. 23 фунта.

№ 106. — „Арендаторъ продалъ партію масла двумъ торговцамъ; первый торговецъ купилъ 14 пуд., по 16 руб. за пудъ, а второй— остальное масло, по 15 руб. за пудъ. За сколько продалъ арендаторъ всю партію, если масло, купленное первымъ торговцемъ, составляло восемнадцатую часть всей партіи?“

Ото. 3 794 рубля.

№ 111. — „Скупщикъ купилъ у перваго землевладѣльца 327 четвертей ржи за 1962 рубля, у втораго —159 четвертей ржи и 296 четвертей овса за 2138 рублей, а у третьяго — 138 четвертей ржи и 293 четверти овса. Сколько долженъ былъ заплатить скупщикъ третьему землевладѣльцу, если рожь онъ покупалъ у всѣхъ трехъ землевладѣльцевъ по одной и той же цѣнѣ и если за овесъ, купленный у второго и третьяго землевладѣльца, платилъ одинаковую цѣну?“

Отв. 2 000 рублей.

№ 114.— „На отливку колоколовъ издержали 39312 пудовъ колокольнаго сплава; на первые 28 колоколовъ издержали поровну восемнадцатую часть всего сплава, на каждый изъ слѣдующихъ 26 колоколовъ — на 30 пудовъ больше, чѣмъ на каждый изъ первыхъ 28 колоколовъ, а на остальные колокола—по 195 пудовъ. Сколько всего колоколовъ было отлито?“

Отв. 230 колоколовъ.

§ 6. Выше мы признали полезнымъ, чтобы дѣти, на первыхъ порахъ, располагали подъ нумерами отдѣльныя дѣйствія, производство которыхъ необходимо для рѣшенія предложенной задачи. Но требовать отъ дѣтей такого расположенія всегда, пѣтъ никакой надобности. Напротивъ, когда дѣти пріобрѣтутъ навыкъ въ рѣшеніи задачъ и въ расположеніи вычисленій, то слѣдуетъ предоставить имъ нѣкоторую свободу относительно записей. Если, при рѣшеніи сложной задачи, удобно, приступая къ рѣшенію послѣдующей простой задачи, не переписывать результата предыдущей, то лучше не переписывать его и продолжать вычисленіе, не прерывая записи. Такъ, напримѣръ, всѣ вычисленія, относящіяся къ рѣшенію задачи № 95, могли бы быть расположены и слѣдующимъ образомъ:

§ 7. Переходя къ послѣдующимъ задачамъ этого отдѣла, остановимся нѣсколько на рѣшеніи задачъ на сложное тройное правило; къ такимъ задачамъ относится, напримѣръ, слѣдующая („Сборникъ“ № 123):

„12 машинъ въ 45 дней вытянули 25395 саж. проволоки. Сколько проволоки вытянули 8 машинъ въ 30 дней?“

Рѣшеніе подобныхъ задачъ сводится къ рѣшенію задачъ на простое тройное правило; все, что было сказано нами относительно послѣднихъ, сохраняетъ свое значеніе и въ примѣненіи къ задачамъ на сложное тройное правило. Ходъ рѣшенія вышеприведенной задачи слѣдующій:

1. Если 12 машинъ въ 45 дней вытянули 25395 саж. проволоки, то 4 машины (12 = 4*3; 8 = 4*2) въ 45 дней вытянули (25395: 3), т. е. 8465 саж. проволоки, а 8 машинъ въ 45 дней вытянули (8465 • 2), т. е. 16930 саж. проволоки.

2. Если 8 машинъ въ 45 дней вытянули 16930 саж. проволоки, то 8 машинъ въ 9 дней (45 = 9*5; 36 = 9*4) вытянули (16930:5), т. е. 3386 саж. проволоки, а 8 машинъ въ 36 дней вытянули (3386*4), т. е. 13544 саж. проволоки. Вся относящаяся къ рѣшенію этой задачи запись можетъ быть расположена слѣдующимъ образомъ:

или, сокращенно, такъ:

§ 8. Въ концѣ отдѣла „Задачи на числа любой величины“ мы помѣстили нѣсколько болѣе трудныхъ задачъ алгебраическаго характера. Относительно этихъ задачъ №№ 139 — 144 — намъ приходится повторить то, что мы сказали относительно такихъ-же задачъ на числа первой сотни: невозможно требовать отъ дѣтей, чтобы они, безъ помощи учителя, рѣшали подобныя задачи наравнѣ съ задачами собственно - ариометическими; рядомъ наводящихъ вопросовъ учитель долженъ привести дѣтей къ уразумѣнію пріемовъ, помощію которыхъ эти задачи могутъ быть рѣшаемы ариѳметическимъ путемъ, причемъ, въ иныхъ случаяхъ, придется прямо указать дѣтямъ на тотъ или другой пріемъ рѣшенія.

§ 9. Полагаемъ не излишнимъ привести здѣсь эти задачи съ ихъ рѣшеніями.

№ 139. „Въ одной корзинѣ было 145 огурцовъ, а въ другой — 410; когда въ каждую корзину положили поровну огурцовъ, то во второй корзинѣ стало огурцовъ въ два раза больше, чѣмъ въ первой. Сколько огурцовъ положили въ каждую корзину?“

Предположимъ, что уже первоначально во второй корзинѣ было огурцовъ въ два раза больше чѣмъ въ первой, а именно: 145 огурцовъ въ первой и 290 (145*2) огурцовъ во второй. Въ такомъ случаѣ, положивъ новое количество огурцовъ въ первую корзину, надлежало бы положить во вторую въ два раза больше этого количества, чтобы сохранить предположенное отношеніе (2 : 1). Но, въ дѣйствительности, во второй корзинѣ 410 огурцовъ, т. е. два раза по 145 огурцовъ и еще 120 огурцовъ (410 = 145*2 + 120), что, для наглядности, мы можемъ представить такъ:

145 145 + 120

145

Изъ этой схемы непосредственно явствуетъ, что нужно положить по 120 огурцовъ въ каждую корзину, если желаемъ, чтобы во второй корзинѣ ихъ было въ два раза больше, чѣмъ въ первой.

Эту задачу можно рѣшить и нѣсколько инымъ путемъ, руководствуясь слѣдующими соображеніями:

Прибавляя къ двумъ числамъ поровну, мы не измѣняемъ разности этихъ чиселъ. Такъ какъ разность данныхъ въ задачѣ чиселъ: 410 и 145 составляетъ 265, то первое число сдѣлается въ два раза больше второго, когда, вслѣдствіе равныхъ прибавковъ къ этимъ числамъ, второе число возрастетъ до числа 265, другими словами, когда каждый изъ этихъ прибавковъ будетъ 120.

№ 140. „Въ одномъ закромѣ было 58 четвериковъ ржи, а въ другомъ— 312; когда въ каждый закромъ еще насыпали ржи поровну, то во второмъ закромѣ стало ржи въ три раза больше, чѣмъ въ первомъ. Сколько ржи насыпали въ каждый закромъ?“

Предположимъ, что во второмъ закромѣ уже первоначально было въ три раза больше, чѣмъ въ первомъ, а именно: 58 четвериковъ ржи въ первомъ и 174 четверика (58* 3) — во второмъ. Въ такомъ случаѣ, прибавивъ нѣсколько четвериковъ ржи въ первый закромъ, надлежало бы прибавить въ три раза больше во второй, чтобы не нарушить предположеннаго отношенія (3 : 1). Но, въ дѣйствительности во второмъ закромѣ не 174 четверика ржи, а 312 четвериковъ, т. е. 174 четверика да еще 138 четвериковъ, другими словами, число 312 содержитъ уже три раза число 58 да еще два прибавка по 69 (138: 2), что можно представить такъ:

Изъ этой схемы непосредственно явствуетъ, что къ даннымъ числамъ 58 и 312 нужно прибавить но 69, чтобы получить два числа, изъ которыхъ одно въ три раза больше другого. Итакъ, въ каждый закромъ насыпали 69 четвериковъ ржи. Мы можемъ разсуждать и такъ:

Разность между данными числами 312 и 58 составляетъ 254; эта разность останется та-же и послѣ того, какъ мы къ даннымъ числамъ прибавимъ поровну; если эти равные прибавки таковы, что, вслѣдствіе ихъ, первое число, будучи на 254 больше второго, сдѣлалось въ то же время в три раза больше этого второго числа, то послѣднее должно было возрасти до 127 (254:2); возрастетъ-же число 58 до числа 127, когда мы прибавимъ къ нему 69.

№ 141. „Двое отправились путешествовать; у одного было 534 руб., а у другого — 723 руб.; первый тратилъ по 12 руб. въ день, а второй—по 19 руб. въ день. Когда путешественники возвратились, у нихъ осталось поровну денегъ. Сколько дней продолжалось путешествіе?“

Предположимъ, что у путешественниковъ уже первоначально денегъ было поровну, а именно по 534 рубля. Въ такомъ случаѣ, они должны были бы и тратить ежедневно поровну, если послѣ путешествія у нихъ осталось поровну. Но, въ дѣйствительности, у второго путешественника было денегъ не 534 рубля, а 723 рубля, т. е. на 189 рублей больше, чѣмъ у перваго. Этотъ избытокъ въ 189 рублей истощился во время путешествія, вслѣдствіе того, что второй путешественникъ тратилъ ежедневно на 7 рублей (19—12) больше, чѣмъ первый. Такъ какъ 7 содержится 27 разъ въ 189, то мы заключаемъ изъ этого, что путешествіе продолжалось 27 дней.

№ 142. „Въ лабазѣ было 240 фунтовъ мелкой и 155 фунтовъ крупной соли; когда каждаго сорта соли продали поровну, то всю оставшуюся соль смѣшали. Сколько вѣситъ вся смѣсь, если въ ней на каждые 9 фунтовъ мелкой соли пришлось по 4 фунта крупной соли?“

Данныя въ задачѣ числа: 240 и 155; данныя убавки: 9 и 4.

Изъ схемы:

мы, безъ труда, усмотримъ, что избытокъ перваго числа надъ вторымъ, т. е. число 85, будетъ исчерпанъ послѣ того, какъ одновременные убавки (по 9 изъ перваго числа и по 4 изъ втораго) будутъ совершены 17 разъ (85: 5 = 17). Изъ этого мы заключаемъ, что, для составленія смѣси, было взято 17 разъ по 9 фунтовъ мелкой соли и 17 разъ по 4 фунта крупной соли; въ составленную такимъ образомъ смѣсь вошло поэтому 153 фунта (9 • 17) мелкой и 68 фунтовъ (4 • 17) крупной соли, всего 221 фунтъ соли.

№ 143. „Изъ Рыбинска отправилось на пароходѣ вдвое больше мужчинъ, чѣмъ женщинъ; когда на первой пристани высадилось 28 женщинъ и

вновь сѣло 92 мужчинъ, то мужчинъ стало на пароходѣ въ три раза больше, чѣмъ женщинъ. Сколько человѣкъ отправилось изъ Рыбинска на этомъ пароходѣ?“

Предположимъ, что на пароходѣ уже первоначально было въ три раза больше мужчинъ, чѣмъ женщинъ. Если, въ такомъ случаѣ, число женщинъ уменьшилось бы на 28, то число мужчинъ должно было бы уменьшиться на 84, т. е. на 28 • 3, чтобы предположенное отношеніе (3 : 1) осталось тѣмъ же. Но, въ дѣйствительности, число мужчинъ не только не уменьшилось на 84, но увеличилось на 92; такимъ образомъ, число, которое было сперва въ два раза больше другого, сдѣлалось въ три раза больше его, влѣдствіе того, что получило прибавокъ 176 (84 + 92). Изъ этого мы заключаемъ, что первоначально на пароходѣ было 176 женщинъ и 352 мужчинъ, всего — 528 человѣкъ.

№ 144. „Въ библіотекѣ было русскихъ книгъ въ три раза больше, чѣмъ нѣмецкихъ; но когда продали 176 нѣмецкихъ книгъ и прикупили 217 русскихъ книгъ, то русскихъ книгъ стало въ восемь разъ больше, чѣмъ нѣмецкихъ. Сколько всѣхъ книгъ было первоначально въ библіотекѣ?“ Предположимъ, что въ библіотекѣ уже первоначально было русскихъ книгъ въ восемь разъ больше, чѣмъ нѣмецкихъ. Если, въ такомъ случаѣ, продать 176 нѣмецкихъ книгъ, то надлежало бы продать въ восемь разъ больше русскихъ книгъ, т. е. 1408 русскихъ книгъ, чтобы предположенное отношеніе (8: 1) осталось тѣмъ-же. Но, въ дѣйствительности, не только не было продано 1408 русскихъ книгъ, но, напротивъ, прикуплено ихъ 217; такимъ образомъ, число, которое сперва было въ три раза больше другого, сдѣлалось въ восемь разъ больше его вслѣдствіе того, что получило прибавокъ 1625 (1408+217). Изъ чего мы заключаемъ, что меньшее число было (1625 : 5), т. е. 325. Итакъ, въ библіотекѣ было первоначально 1300 книгъ.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.

Дѣйствія надъ составными именованными числами.

§ 1. Обученіемъ дѣтей производству дѣйствій надъ числами любой величины заканчивается, собственно говоря, курсъ начальной ариѳметики цѣлыхъ чиселъ. Но житейскія потребности вызываютъ необходимость познакомить дѣтей съ употребительнѣйшими мѣрами и единичными отношеніями однородныхъ мѣръ, а равно и показать имъ приложеніе ариѳметическихъ дѣйствій къ производству вычисленій надъ величинами, выраженными въ мѣрахъ, или, какъ принято говорить, къ производству вычисленій надъ составными именованными числами. Хотя ознакомленіе дѣтей съ тѣми или другими мѣрами должно начинаться почти-что съ первыхъ уроковъ ариѳметики (такъ, напримѣръ, съ нѣкоторыми

монетами дѣти знакомятся попутно съ упражненіями въ предѣлѣ перваго десятка) и продолжаться въ теченіи всего курса, но необходимо привести въ нѣкоторую систематическую связь эти отдѣльныя свѣдѣнія, познакомить дѣтей съ мѣрами, которыя имъ пока неизвѣстны (квадратныя и кубическія мѣры), и развить въ нихъ навыкъ обращаться съ именованными числами.

§ 2. Для уясненія дѣтямъ начальныхъ понятій объ измѣреніи величинъ и объ единицахъ измѣренія (мѣрныхъ единицахъ) всего удобнѣе воспользоваться мѣрами длины. Учитель предлагаетъ дѣтямъ измѣрить длину классной комнаты, ширину ея, высоту класснаго стола и проч.; при этомъ онъ указываетъ дѣтямъ, что производимое измѣреніе состоитъ въ томъ, что измѣряемую длину сравниваютъ съ другой длиной съ цѣлью опредѣлить, во сколько разъ измѣряемая длина дольше той длины, которой производится измѣреніе. Если бы, при измѣреніи длины классной комнаты аршиномъ, оказалось, что длина аршина укладывается по длинѣ комнаты ровно двѣнадцать разъ, то въ этомъ случаѣ длина комнаты была бы равна 12 аршинамъ. Но, чтобы имѣть ясное представленіе о длинѣ равной 12 аршинамъ и—что гораздо важнѣе, въ практическомъ отношеніи—чтобы имѣть возможность, такъ сказать, осуществить такую длину всякій разъ, когда въ томъ встрѣтится надобность, необходимо, конечно, прежде всего установить длину самаго аршина. Такимъ образомъ естественно возникаетъ вопросъ о выборѣ единицы измѣренія. Въ прежнія времена люди для измѣренія линейныхъ протяженій (а также для измѣренія и другого рода величинъ) употребляли исключительно естественныя мѣры (натуральныя, личныя мѣры). Къ такимъ мѣрамъ прибѣгаютъ иногда и въ настоящее время, измѣряя, напримѣръ, разстояніе шагами, или длину четвертями (пядями)*). Но употребленіе такихъ естественныхъ мѣръ, несмотря на то, что онѣ всегда въ нашемъ распоряженіи, весьма неудобно въ томъ отношеніи, что естественныя мѣры различны для различныхъ людей. Во всѣхъ странахъ установлены поэтому, для измѣренія величинъ, вполнѣ опредѣленныя, неизмѣнныя (постоянныя) величины, которыя получили названіе единицъ измѣренія, или, проще, мѣръ (мѣрныя единицы). Аршинъ есть одна изъ такихъ мѣръ; это — мѣра длины или мѣра разстояній (линейная мѣра).

Такъ какъ величины одного и того же рода, которыя приходится измѣрять, могутъ быть очень различны по своимъ размѣрамъ, то употребленіе только одной мѣры для ихъ измѣренія представило бы большія неудобства; вслѣдствіе этого, для измѣренія однородныхъ величинъ установлены различныя мѣры, которыя отличаются другъ отъ друга своими размѣрами. При выборѣ этихъ различныхъ мѣръ, поступаютъ такъ, что за болѣе мелкую мѣру принимаютъ величину, которая составляла бы кратную часть величины уже принятой за мѣру, а за болѣе крупную мѣру принимаютъ величину, которая была бы въ

*) Пядь (отъ пялить, т. е. ширить)—протяженіе между концами большого и указательнаго пальцевъ, растянутыхъ по плоскости.—Аршинъ—длина руки отъ плеча; аршинъ равенъ четыремъ четвертямъ по четыре вершка (верха пальца) въ каждой четверти.

нѣсколько разъ больше величины уже принятой за мѣру. Совокупность всѣхъ такимъ образомъ связанныхъ между собою мѣръ, служащихъ для измѣренія величинъ одного и того же рода, называютъ системой мѣръ; такъ напримѣръ: аршинъ, вершокъ, сажень и верста составляютъ систему русскихъ мѣръ длины.

Число, которое выражаетъ, во сколько разъ какая нибудь мѣра принятой системы больше другой мѣры той же системы, называется единичнымъ отношеніемъ этихъ двухъ мѣръ. Единичное отношеніе аршина къ вершку есть число 16; единичное отношеніе сажени къ аршину есть число 3; единичное отношеніе версты къ сажени есть число 500. Единичное отношеніе двухъ однородныхъ мѣръ есть всегда отвлеченное число; единичное отношеніе двухъ мѣръ одной и той же системы, кромѣ того, есть число цѣлое.*) Кромѣ перечисленныхъ мѣръ длины, у насъ принята мѣра, равная 7 верстамъ, ее называютъ миля; верста и миля называются также путевыми мѣрами; въ этихъ мѣрахъ выражаютъ большія разстоянія.

Такимъ образомъ, мы имѣемъ слѣдующую систему русскихъ линейныхъ мѣръ:

1 аршинъ = 16 вершкамъ.

1 сажень = 3 аршинамъ.

1 верста =500 саженямъ.

1 миля = 7 верстамъ.

§ 3. При счетѣ предметовъ мы употребляемъ счетныя единицы различныхъ разрядовъ; при измѣреніи величинъ мы пользуемся мѣрными единицами различныхъ размѣровъ. Счетныя единицы общепринятой системы счисленія выбраны такъ, что отношеніе каждой высшей единицы къ сосѣдней низшей единицѣ одно и то же и равно числу 10; мѣрныя единицы одной и той же системы подобраны такъ, что отношенія ихъ выражаются цѣлыми числами, но числами различными для каждыхъ двухъ мѣръ;**) для системы русскихъ линейныхъ мѣръ единичныя отношенія выражены, по порядку, числами: 16, 3, 500, 7. Къ тому же, раздробленіе высшихъ счетныхъ единицъ въ низшія и превращеніе низшихъ счетныхъ единицъ въ высшія не требуютъ никакого вычисленія; раздробленіе и превращеніе составныхъ именованныхъ чиселъ требуетъ, каждый разъ, выполненія вычисленія или ряда вычисленій, причемъ необходимо помнить единичныя отношенія мѣръ системы, или имѣть передъ собою таблицу мѣръ этой системы.

§ 4. Одна и та же величина можетъ быть выражена въ мѣрахъ принятой системы весьма различно. Такъ, напр., длина, равная 96 вершкамъ,

*) Единичное отношеніе двухъ однородныхъ мѣръ, принадлежащихъ къ различнымъ системамъ, можетъ быть или цѣлымъ числомъ или дробнымъ числомъ; такъ, напримѣръ, отношеніе вершка къ дюйму равно 13А-

**) Въ метрической системѣ мѣръ это отношеніе постоянно и равно 10.

можетъ быть выражена или въ однихъ аршинахъ, или въ однѣхъ саженяхъ, такъ какъ

96 верш. = 6 арш. = 2 саж.

Обратно, длина, выраженная въ саженяхъ, напримѣръ, длина, равная 4 саженямъ, можетъ быть выражена или въ аршинахъ, или въ вершкахъ, такъ какъ

4 саж. = 12 арш. = 192 вершк.

Когда измѣренная величина выражена въ мѣрахъ одною наименованія, тогда говорятъ, что величина выражена въ видѣ простою именованнаго числа. Когда измѣренная величина выражена совокупностью нѣсколькихъ простыхъ именованныхъ чиселъ, тогда говорятъ, что величина выражена составнымъ именованнымъ числомъ. Такъ, напримѣръ, длина равная

12 саж. 36 вершк.

выражена составнымъ именованнымъ числомъ. Эту же длину можно выразить составнымъ именованнымъ числомъ иначе, напримѣръ, такъ

12 саж. 2 арш. 4 вершк.

Между этими двумя числовыми выраженіями одной и той же величины есть та разница, что второе изъ нихъ, т. е. выраженіе

12 саж. 2 арш. 4 вершк.,

получено послѣ того, какъ выдѣлено изъ числа мелкихъ мѣръ все число крупныхъ мѣръ, которое въ нихъ заключается, такъ что дальнѣйшее такое выдѣленіе уже невозможно. Выраженіе такого вида можно было бы назвать окончательно расгруппированнымъ составнымъ именованнымъ числомъ; но такъ какъ названіе: окончательно расгруппированное составное именованное число слишкомъ длинно, то мы будемъ, вмѣсто него, употреблять названіе: именованное число правильнаго вида. Въ составномъ именованномъ числѣ правильнаго вида число мѣрныхъ единицъ любого наименованія должно быть меньше единичною отношенія сосѣдней высшей мѣры въ системѣ; такъ, напримѣръ, если измѣренная русскими мѣрами длина выражена числомъ правильнаго вида, то число вершковъ, обозначенныхъ въ такомъ выраженіи, должно быть меньше числа 16, число аршинъ должно быть меньше числа 3, число саженъ должно быть меньше числа 500, число верстъ должно быть меньше числа 7. При производствѣ вычисленій надъ именованными числами очень удобно приводить данныя выраженія къ правильному виду, къ этому же виду приводятъ, обыкновенно, и результатъ выполненнаго вычисленія. Приведеніе даннаго именованнаго числа къ числу правильною вида называютъ превращеніемъ именованныхъ чиселъ.

§ 5. Превращеніе именованныхъ чиселъ.

Пусть измѣренная длина выражена именованнымъ числомъ

240 вершк.

Это именованное число явно нерасгруппированное; чтобы узнать, какое число сосѣднихъ высшихъ мѣръ системы, т. е. аршинъ, заключается въ данномъ числѣ вершковъ, нужно отвлеченное число 240 раздѣлить на 16, т. е. нужно раздѣлить его на единичное отношеніе непосредственно высшей мѣры системы. Выполнивъ это дѣленіе, мы найдемъ число 15, которое выражаетъ число аршинъ, заключенныхъ въ 240 вершкахъ. Вслѣдствіе этого, длина, выраженная числомъ

240 вершк.

можетъ быть выражена и именованнымъ числомъ

15 арш.

Но и это именованное число явно нерасгрушшрованное; чтобы узнать, какое число сосѣднихъ высшихъ мѣръ системы, т. е. саженъ, заключается въ этомъ числѣ аршинъ, нужно число 15 раздѣлить на 3, т. е. нужно раздѣлить его на единичное отношеніе непосредственно высшей мѣры системы; выполнивъ это дѣленіе, мы найдемъ число 5, которое выражаетъ число саженъ, заключенныхъ въ 15 аршинахъ. Вслѣдствіе этого, длина, выраженная числомъ

15 арш.,

можетъ быть выражена и именованнымъ числомъ

о саж.

Такимъ образомъ мы преобразовали выраженіе — 240 вершковъ въ равнозначущее съ нимъ выраженіе—5 саженъ.

Письменная запись, сопровождающая такое вычисленіе, можетъ быть расположена слѣдующимъ образомъ:

Возьмемъ другой примѣръ.

Положимъ, что измѣренная длина выражена именованнымъ числомъ

100 000 вершк.

Чтобы узнать, какое число аршинъ заключается въ этомъ числѣ вершковъ, мы должны раздѣлить число 100 000 на 16; выполнивъ дѣленіе, мы найдемъ частное 6250. Это частное точно выражаетъ число аршинъ, заключенныхъ въ 100 000 вершкахъ, и произведенное вычисленіе позволяетъ намъ замѣнить данное выраженіе такимъ:

6250 арш.

Чтобы узнать, какое число саженъ заключается въ этомъ числѣ аршинъ, мы должны раздѣлить число 6250 на число 3; выполнивъ дѣленіе, мы найдемъ,

что искомое частное равно 2083, при остаткѣ равномъ 1. Это частное выражаетъ число саженъ, заключенныхъ въ 6250 аршинахъ, а остатокъ 1 выражаетъ число аршинъ непревратимыхъ въ сажени; послѣ этого вычисленія, мы можемъ замѣнить выраженіе

выраженіемъ

Чтобы узнать, наконецъ, какое число верстъ заключается въ этомъ числѣ саженъ, мы должны раздѣлить 2083 на 500. Выполнивъ это дѣленіе, мы найдемъ, что искомое частное 4, а остатокъ—83. Это частное выражаетъ число верстъ, заключенныхъ въ 2083 саженяхъ, а остатокъ 83 — число саженъ, непревратимыхъ въ версты. Такимъ образомъ, мы получимъ окончательно, что

100 000 вершк. = 4 верст. 83 саж. 1 арш.

Вся запись, сопровождающая такое вычисленіе, можетъ быть расположена въ такомъ видѣ:

Если въ результатѣ какого нибудь вычисленія получается составное именованное число неправильнаго вида, то принято приводить его всегда къ числу правильнаго вида. Это превращеніе удобно, конечно, ночинать съ низшихъ, а не съ промежуточныхъ мѣръ. Такъ, напримѣръ, чтобы преобразовать 2 верст. 988 саж. 64 арш. 112 вершк. въ число правильнаго вида, должно вершки превратить въ аршины, аршины въ сажени, сажени въ версты, что приводитъ въ такому вычисленію:

§ 6. Считаемъ нужнымъ сдѣлать здѣсь нѣсколько замѣчаній по поводу выполненія и расположенія вычисленій при производствѣ дѣйствій надъ величинами, выраженными мѣрами.

Дѣйствія надъ величинами могутъ быть производимы только въ тѣхъ случаяхъ, когда эти величины измѣрены и результаты измѣренія выражены въ числахъ;

тогда дѣйствія надъ величинами сводятся къ дѣйствіямъ надъ отвлеченными числами и эти дѣйствія не представляютъ, конечно, чего либо новаго. Превращеніе и раздробленіе именованныхъ чиселъ не слѣдуетъ разсматривать, какъ новыя ариѳметическія дѣйствія; это только преобразованія вида даннаго числа, совершаемыя путемъ извѣстныхъ дѣйствій. Мы предпочитаемъ, при этихъ вычисленіяхъ, совсѣмъ не писать наименованій въ промежуточныхъ записяхъ и придавать эти наименованія только окончательному результату. При правильномъ расположеніи всего вычисленія, достаточно небольшой доли вниманія, чтобы полученнымъ отвлеченнымъ числамъ придать надлежащія наименованія. Такого расположенія мы совѣтуемъ держаться при всѣхъ вычисленіяхъ надъ именованными числами и знаемъ, по опыту, что дѣти безъ труда себѣ его усваиваютъ. Замѣтимъ также, что и при этихъ вычисленіяхъ всегда надлежитъ руководиться тѣмъ правиломъ, что не слѣдуетъ производить письменно тѣхъ вычисленій, которыя удобно могутъ быть выполнены устно.

Такъ какъ въ дальнѣйшемъ изложеніи мы не будемъ подробно останавливаться на вычисленіяхъ для всѣхъ мѣръ, то считаемъ нелишнимъ привести здѣсь, кстати, еще одинъ примѣръ на превращеніе.

Средняя продолжительность тропическаго года*) равна 31 556 932 секундамъ. Вычисленія, которыя нужно произвести для превращенія этого именованнаго числа, должны быть расположены такъ:

Расположеніе письменнаго вычисленія, которое мы предлагаемъ при производствѣ дѣйствій надъ именованными числами, разнится отъ того расположенія, которое принято въ нашихъ учебникахъ и освящено временемъ и привычкой. Вычисленіе, только-что приведенное нами, обыкновенно располагаютъ слѣдующимъ образомъ:

*) Тропическій годъ — промежутокъ времени между двумя послѣдовательными весенними равноденствіями.

Неправильность такого обозначенія заключается въ томъ, что, при дѣленіи именованнаго числа (секундъ) на отвлеченное число (60), въ частномъ получается именованное число другого наименованія (минуты), между тѣмъ, какъ частное должно быть одного и того же наименованія съ дѣлимымъ. Кромѣ того, писать въ данномъ случаѣ дѣлителя въ видѣ отвлеченнаго числа (60) также невѣрно, такъ какъ, для превращенія секундъ въ минуты, мы производимъ дѣленіе съ цѣлью узнать, сколько разъ 60 секундъ заключаются въ данномъ числѣ секундъ, и должны были бы поэтому писать такъ:

31 556 932 сек. : 60 сек.

Результатъ такого дѣленія есть число отвлеченное, а не именованное.

Можно было бы избѣжать этихъ несообразностей, принявъ такое расположеніе:

31 556 932 сек. : 60 сек. =525 948 (52)

525 948 мин. : 60 мин. = 8 765 (48)

8 765 час. : 24 час. = 365 (5)

365 сут. 5 час. 48 мин. 52 сек.

Но, при этомъ, пришлось бы всѣ необходимыя дѣленія производить въ сторонѣ, что не такъ удобно.

§ 7. Познакомивъ дѣтей въ примѣненіи къ русскимъ мѣрамъ длины съ превращеніемъ именованныхъ чиселъ, учитель, прежде чѣмъ перейти къ раздробленію именованныхъ чиселъ, долженъ, указать дѣтямъ еще на другую употребительную у насъ систему мѣръ длины; это удобно сдѣлать теперь же въ виду того, чтобы располагать большимъ матеріаломъ для упражненій. Мы разумѣемъ принятыя у насъ англійскія мѣры длины, т. е. слѣдующія:

1 сажень = 7 футамъ,

1 футъ =12 дюймамъ,

1 дюймъ = 10 линіямъ.

§ 8. При производствѣ дѣйствій надъ величинами, выраженными въ мѣрахъ, иногда приходится (при дѣленіи именованнаго числа) данное именованное число (простое или составное) преобразовывать въ простое именованное число низшаго наименованія. Такое преобразованіе называютъ раздробленіемъ.

Пусть, для примѣра, измѣренная длина равна 12 саженямъ. Эту же длину мы можемъ выразить или въ аршинахъ, или въ вершкахъ, или въ футахъ, или въ дюймахъ, или, наконецъ, въ линіяхъ, смотря по надобности.

Длина равная 12 саженямъ есть длина, которая въ 12 разъ больше длины одной сажени; такую длину слѣдовало бы обозначать такъ

(1 саж.) X 12

Но 1 сажень равна 3 аршинамъ, и поэтому.

(1 саж.)ХІ2 = (3 арш.)ХІ2

Произведете же 3 арш. на 12 равно 36 арш., и слѣдовательно

12 саж. = 36 арш.

Такимъ образомъ, чтобы раздробить данное число саженъ въ аршины, мы должны были умножить число 3, т. е. единичное отношеніе раздробляемой мѣры, на число 12, т. е. на число данныхъ мѣръ; полученное произведеніе 36 выразитъ число аршинъ, заключенныхъ въ 12 саженяхъ. Итакъ, раздробленіе требуетъ выполненія умноженія двухъ чиселъ, причемъ множимымъ въ вычисляемомъ произведеніи всегда является единичное отношеніе раздробляемой мѣры къ той мѣрѣ, въ которую раздробляемъ. При раздробленіи любого числа саженъ въ аршины число 3 является постояннымъ множимымъ того произведенія, которое надлежитъ вычислить. Точно также, при раздробленіи любого числа аршинъ въ вершки, число 16, т. е. единичное отношеніе аршина къ вершку, является постояннымъ множимымъ того произведенія, которое нужно вычислить, чтобы выполнить требуемое раздробленіе. Такъ, чтобы полученное выше именованное число

36 арш.

выразить въ вершкахъ, нужно 16 помножить на 36.

Раздробленіе 12 саженъ въ вершки должно быть выполнено письменно такъ:

При раздробленіи составнаго именованнаго числа, удобно, конечно, начинать раздробленіе съ высшихъ наименованій и, по порядку, вести его къ низшимъ. Расположеніе вычисленій видно изъ слѣдующихъ двухъ примѣровъ

Этотъ послѣдній рядъ вычисленій принято, обыкновенно, записывать такъ:

При такомъ обозначеніи, знаменательныя числа: 500, 3, 16 являются множителями, между тѣмъ какъ, на самомъ дѣлѣ, они должны играть роль множимыхъ. Кромѣ того, несообразность такого обозначенія заключается и въ томъ,

что, отъ умноженія именованнаго числа, получается произведеніе другого наименованія, чѣмъ множимое.

Нѣкоторые предлагаютъ приписывать соотвѣтствующія наименованія въ скобкахъ: (саж.), (арш.), (вершк.). Другіе пишутъ такъ: (ч. саж.), (ч. арш.), т. е. число саженъ, число аршинъ.

Мы считаемъ всѣ эти помѣтки излишними и полагаемъ, что съ нами согласятся учителя, которые желаютъ научить дѣтей вычислять съ разумѣніемъ, а не руководятся лишь желаніемъ снабдить своихъ учениковъ рецептами для совершенія того или другаго ариѳметическаго вычисленія.

§ 9. Сложеніе.

Выполненіе сложенія составныхъ именованныхъ чиселъ сводится къ ряду сложеній простыхъ одноименныхъ чиселъ и къ преобразованію полученнаго результата въ именованное число правильнаго вида.

Если слагаемыхъ немного и они не велики, то, попутно’ съ сложеніемъ, превращеніе можетъ быть совершаемо устно и тогда сложеніе слѣдуетъ начинать, конечно, съ низшихъ наименованій. Вотъ тому примѣры:

Но если число слагаемыхъ значительно, если слагаемыя велики, то лучше произвести сперва сложеніе, не дѣлая превращенія попутно, а затѣмъ привести полученный результатъ къ именованному числу правильнаго вида. При этомъ, разумѣется, совершенно безразлично, начинать-ли сложеніе съ низшихъ наименованій или съ высшихъ; но (въ каллиграфическомъ отношеніи) лучше начинать сложеніе съ высшихъ наименованій:

§ 10. Вычитаніе.

Вычитаніе составного именованнаго числа изъ именованнаго сводится къ ряду послѣдовательныхъ вычитаній составныхъ частей вычитаемаго. Случай, когда всѣ эти вычитанія могутъ быть произведены безъ 'раздробленія уменьшаемаго, не даютъ повода для какихъ-либо замѣчаній. Случай, съ котораго удобно начать уясненіе дѣтямъ вычитаніе именованныхъ чиселъ, по нашему мнѣнію, тотъ, когда уменьшаемое дано въ видѣ простого именованнаго числа. Пусть, напримѣръ, требуется изъ 15 верстъ вычесть 12 верст. 275 саж. 2 арш. Для выполненія этого вычитанія надлежитъ раздробить 15 верстъ; это раздробленіе мы производимъ такъ: одну версту раздробляемъ въ сажени, одну изъ этихъ саженъ раздробляемъ въ аршины; такимъ образомъ, именованное число 15 верстъ приводится къ такому виду:

14 верст. 499 саж. 3 арш.

Послѣ этого, рядъ послѣдовательныхъ вычитаній составныхъ частей вычитаемаго не потребуетъ дальнѣйшихъ раздробленій, если только вычитаемое есть именованное число правильнаго вида, какъ, обыкновенно, и бываетъ. Въ этомъ случаѣ, безразлично начинать вычитаніе съ низшихъ или съ высшихъ наименованій.

Если уменьшаемое и вычитаемое даны въ видѣ составнаго именованнаго числа и предвидится необходимость произвести раздробленіе при всѣхъ послѣдовательныхъ вычитаніяхъ (чтобы убѣдиться въ этомъ, достаточно одного взгляда на данныя числа), то въ этомъ случаѣ удобнѣе раздробить одну единицу высшаго наименованія уменьшаемаго, отмѣтить результатъ этого раздробленія и произвести рядъ послѣдовательныхъ вычитаній, начиная съ единицъ высшаго наименованія.

Въ тѣхъ, наконецъ, случаяхъ, когда данныя именованныя числа таковы, что нѣкоторыя изъ отдѣльныхъ вычитаній могутъ быть произведены безъ предварительнаго раздробленія, удобно начинать рядъ вычитаній съ единицъ низшаго наименованія. Въ этихъ случаяхъ все вычисленіе представится въ такомъ видѣ:

Примѣры на сложеніе и вычитаніе именованныхъ чиселъ помѣщены во второмъ выпускѣ нашего „Сборника“.

§ 11. Умноженіе.

Умноженіе составного именованнаго числа на даннаго множителя сводится къ ряду умноженій на этого множителя составныхъ частей множимаго. Если, при этомъ рядѣ умноженій, не производить, попутно, превращенія получаемыхъ отдѣльныхъ произведеній, то совершенно безразлично, съ какихъ наименованій начинать умноженіе. Когда рядъ этихъ умноженій будетъ произведенъ, останется только преобразовать полученный результатъ въ именованное число правильнаго вида.

Примѣры.

При производствѣ этихъ вычисленій, нѣтъ никакой надобности, какъ это часто дѣлаютъ, переписывать въ сторону составныя части множимаго, чтобы сдѣлать умноженіе. По нашему мнѣнію, въ тетрадяхъ учениковъ должно быть записано только то, что указано нами для каждаго изъ приведенныхъ примѣровъ.

Когда данный множитель есть число двузначное, или многозначное, то и въ

этихъ случаяхъ нѣтъ надобности переписывать данныхъ, чтобы произвести умноженіе; вся запись должна имѣть такой видъ:

§ 12. Дѣленіе.

Объясненіе дѣтямъ дѣленія именованныхъ чиселъ естественно начать съ дѣленія именованнаго числа на отвлеченное, какъ съ случая болѣе простого, а, затѣмъ, перейти къ дѣленію именованнаго числа на именованное. Механизмъ дѣленія именованнаго числа на отвлеченное не представляетъ для дѣтей ничего новаго; слѣдуетъ только указать дѣтямъ на удобнѣйшее расположеніе относящихся сюда вычисленій.

Примѣры.

§ 13. Приступая къ уясненію дѣтямъ механизма дѣленія именованнаго числа на именованное, учителю слѣдуетъ убѣдиться въ томъ, понимаютъ ли всѣ дѣти значеніе этого дѣйствія. Примѣнять его приходилось дѣтямъ очень часто при рѣшеніи различныхъ задачъ, и потому дѣти безъ труда усвоятъ себѣ какъ опредѣленіе этого вида дѣленія (раздѣлить именованное число на именованное значитъ найти, сколько разъ второе данное число содержится въ первомъ), такъ и то, что дѣленіе двухъ одноименныхъ простыхъ именованныхъ чиселъ сводится къ дѣленію отвлеченныхъ чиселъ.

Послѣ нѣсколькихъ примѣровъ, въ которыхъ дѣлимое и дѣлитель даны въ видѣ простыхъ именованныхъ чиселъ одного наименованія (75 саж. : 25 саж.; 85 фут. : 5 фут.; 100 арш. : 20 арш.), учитель переходитъ къ тому случаю, когда дѣлитель простое именованное число, а дѣлимое простое же именованное число, но другого наименованія:

Примѣры.

На подобныхъ примѣрахъ учитель разъясняетъ дѣтямъ необходимость привести дѣлимое и дѣлителя къ простымъ именованнымъ числамъ одного и того же наименованія въ тѣхъ случаяхъ, когда требуется узнать, сколько разъ одно именованное число заключается въ другомъ.

Послѣ этого, учитель переходитъ къ общему случаю, т. е. къ тому, когда дѣлимое, или дѣлитель, или то и другое данное выражены составнымъ именованнымъ числомъ.

§ 14. Когда дѣти въ достаточной степени усвоятъ себѣ производство письменныхъ вычисленій надъ составными именованными числами, слѣдуетъ обратиться къ задачамъ.

Считаемъ умѣстнымъ привести здѣсь образецъ расположенія всѣхъ вычисленій при рѣшеніи, напримѣръ, слѣдующей задачи:

„Для проведенія телеграфа нужно было заготовить 11 верстъ 400 саженъ проволоки. Такъ какъ въ запасѣ имѣлось только 75 пучковъ; по 48 саж. 2 фут. проволоки въ каждомъ, то недостающее количество проволоки заказали на заводѣ, который изготовлялъ пучки, по 45 саж. 4 фут. проволоки въ каждомъ. Сколько пучковъ проволоки слѣдовало заказать на заводѣ?"

Мы совѣтуемъ при рѣшеніи задачъ, подобныхъ предыдущей, вести работу съ классомъ въ слѣдующемъ порядкѣ.

Учитель читаетъ задачу и вмѣстѣ съ тѣмъ выписываетъ данныя задачи на классную доску въ такомъ, примѣрно, видѣ:

75 куск. — 48 саж. 2 фут.

45 саж. 4 фут.

11 верст. 400 саж.

Такую же запись дѣти дѣлаютъ въ своихъ тетрадяхъ: Считаемъ полезнымъ, чтобы дѣти отмѣчали въ своихъ тетрадяхъ числовыя данныя задачи и въ тѣхъ случаяхъ, когда имѣютъ передъ собой задачникъ; пріучить дѣтей располагать въ порядкѣ числовыя данныя задачи полезнѣе, чѣмъ заставлять ихъ списывать весь текстъ задачи.

Когда данныя будутъ записаны, учитель приступаетъ къ установленію съ дѣтьми плана рѣшенія задачи. Результатомъ этой работы должно быть усвоеніе дѣтьми юго значенія, которое имѣетъ каждое изъ данныхъ предложенной задачи, и разложеніе предложенной сложной задачи на рядъ простыхъ задачъ, послѣдовательное рѣшеніе которыхъ должно привести къ окончательному отвѣту. Такъ, напримѣръ, приведенная нами задача распадается на слѣдующія три простыя задачи: 1) узнать все количество имѣющейся проволоки, 2) узнать количество проволоки, которое должно быть заказано и 3) узнать, наконецъ, какое число пучковъ проволоки должно быть заказано?

Послѣ юго, какъ это разложеніе сложной задачи на рядъ простыхъ задачъ будетъ усвоено дѣтьми, учитель спрашиваетъ ихъ, какое дѣйствіе нужно произвести, чтобы рѣшить первую изъ этихъ простыхъ задачъ, и предоставляетъ имъ самостоятельно произвести требуемое дѣйствіе.

При этомъ, запись въ тетрадяхъ дѣтей должна имѣть такой видъ:

Учитель, замѣтивъ, что большинство дѣтей окончило вычисленіе, приказываетъ всѣмъ (не исключая и тѣхъ, которыя не успѣли окончить вычисленія) положить

перья и опрашиваетъ одного изъ учениковъ: „Что получили?“ Если результатъ окажется вѣрнымъ, то учитель обращается къ классу съ приказаніемъ: „У кого получилось такое же число, встаньте!“ Если окажется, что не встали только тѣ дѣти, которыя не успѣли окончить вычисленія, то учитель или даетъ имъ время окончить его и выжидаетъ, или — если эти дѣти принадлежатъ къ отставшимъ по успѣхамъ — продолжаетъ работу съ остальными дѣтьми. Если же окажется, что окончившія вычисленіе дѣти получили различные результаты, то учитель приказываетъ всѣмъ вставшимъ дѣтямъ сѣсть и производитъ повѣрку всѣмъ классомъ слѣдующимъ образомъ. Одинъ изъ учениковъ громко и не спѣша пересказываетъ произведенное вычисленіе, остальные слѣдятъ по своимъ тетрадямъ, взявъ перья въ руки. Читающій говоритъ: „Умножаю 48 саж. 2 фут. на 75; множу 48 на 75: пятью восемь — сорокъ (четыре), пятью четыре — двадцать (двадцать четыре) и т. д., получилъ 3600. Умножаю 2 на 75, получаю 150. Итого 3600 саж. 150 фут.“ Учитель обращается къ классу: „У кого не такъ, встаньте!“ Затѣмъ точно также производится повѣрка сдѣланнаго превращенія. При такой повѣркѣ дѣти, получившія первоначально невѣрный результатъ, большею частью, сами находятъ сдѣланную ошибку; учителю остается обратиться только къ тѣмъ дѣтямъ, которыя не могли найти своей ошибки.

Когда первое вычисленіе сдѣлано, учитель спрашиваетъ дѣтей, что имъ теперь нужно узнать и какое дѣйствіе надлежитъ для этого произвести? Дѣти отвѣчаютъ, что нужно узнать, сколько недостаетъ проволоки для проведенія телеграфа и что для этого нужно изъ 11 верстъ 400 саж. вычесть 3621 саж. 3 фут. Учитель, наконецъ, спрашиваетъ дѣтей, какъ они произведутъ это дѣйствіе въ данномъ случаѣ? Такъ какъ раздробленіе верстъ въ сажени всегда можетъ быть легко произведено устно, то въ данномъ случаѣ удобнѣе раздробить уменьшаемое, а вычитаемое оставить въ томъ видѣ, въ какомъ оно получено послѣ перваго вычисленія. Такимъ образомъ къ первому вычисленію въ тетради учениковъ присоединится второе вычисленіе, расположенное такъ:

Произведя повѣрку этого вычисленія такимъ же образомъ, какъ была сдѣлана повѣрка перваго полученнаго результата, учитель спрашиваетъ дѣтей, во-первыхъ, что имъ осталось узнать, во-вторыхъ, какое дѣйствіе имъ для этого нужно произвести и, въ третьихъ, какъ они выполнятъ требуемое дѣйствіе? На первый вопросъ дѣти отвѣчаютъ, что осталось узнать, сколько разъ 45 саж. 4 фут. заключаются въ 2278 саж. 4 фут.; на второй — что нужно раздѣлить 2278 саж. 4 фут. на 45 саж. 4 фут.; на третій — что данныя величины нужно выразить въ футахъ, и число футовъ дѣлимаго раздѣлить на число футовъ дѣлителя. Послѣднее вычисленіе представится письменно въ такомъ видѣ:

Такимъ образомъ вся письменная работа, которую потребовало рѣшеніе предложенной задачи, будетъ имѣть такое расположеніе:

Отв. 50 пучк. проволоки.

По окончаніи этой работы, полезно заставить того или другаго ученика изложить въ связномъ разсказѣ весь ходъ рѣшенія предложенной задачи. Считаемъ нужнымъ сказать здѣсь два слова о такъ называемыхъ строчкахъ, которыя иногда считаютъ полезнымъ заставлять писать дѣтей послѣ того, какъ рѣшена ими задача. Въ каждой такой строчкѣ обозначаютъ словами ту неизвѣстную величину, которая опредѣляется рѣшеніемъ каждой изъ простыхъ задачъ, на которыя разложена данная сложная задача; въ той же строчкѣ обозначается дѣйствіе, которое должно быть произведено надъ данными задачи для опредѣленія соотвѣтствующей неизвѣстной, и, наконецъ, пишется результатъ выполненнаго вычисленія.

Для выбранной нами задачи эти строчки представились бы въ такомъ видѣ:

1) Длина всей имѣющейся проволоки (48 саж. 2 фут.) х 75 = 8621 саж. 3 фут.

2) Длина недостающей проволоки: 5900 с.— 3621 с. 3 фут. = 2278 с. 4 фут.

3) Число заказанныхъ пучковъ пров.: (2278 с. 4 фут.) : (45 с. 4 фут.) = 50. Составленіе такихъ строчекъ мы считаемъ совершенно безполезнымъ. Правильное изложеніе начала каждой строки, обыкновенно, очень затрудняетъ дѣтей, а преодолѣніе этого затрудненія не входитъ въ цѣли преподаванія начальной ариѳметики. Что касается остальныхъ двухъ составныхъ частей строчки, т. е. до обозначенія числового выраженія и обозначенія результата, полученнаго отъ вычисленія этого выраженія, то онѣ требуютъ только простого списыванія результатовъ уже полученныхъ. Строчки не могутъ служить и для уясненія плана рѣшенія задачи, отвѣтъ на которую уже найденъ; если признать за ними такое значеніе, то надлежало бы съ нихъ начинать рѣшеніе задачи (производя попутно, въ сторонѣ, тѣ вычисленія, которыя необходимо сдѣлать, чтобы дописать каждую строчку), а не составлять ихъ тогда, когда рѣшеніе задачи уже окончено. Какъ окончательная запись, строчки, наконецъ, и неудобны въ томъ отношеніи, что, обыкновенно, въ одной строкѣ тетради онѣ не умѣщаются.

Квадратныя мѣры.

§ 1. Приступая къ ознакомленію дѣтей съ квадратными мѣрами, необходимо уяснить имъ нѣкоторыя геометрическія понятія. Пользуясь указаніями на окружающіе дѣтей предметы, учителю слѣдуетъ сказать имъ, что всякій предметъ (тѣло) ограниченъ со всѣхъ сторонъ своей поверхностью, что кубикъ, напримѣръ, ограниченъ шестью плоскими гранями и что совокупность этихъ граней составляетъ поверхность кубика. Слѣдуетъ, при этомъ, указать дѣтямъ на различіе между плоской и не плоской (кривой) поверхностями: если къ плоской поверхности будемъ прикладывать ребромъ линейку, то между линейкой и поверхностью, къ которой она приложена, не образуется просвѣтовъ, въ какомъ бы направленіи мы не прикладывали линейку; стѣны комнаты, полъ ея, потолокъ, поверхность классной доски и пр. представляютъ примѣры плоскихъ поверхностей. Поверхность не можетъ быть отдѣлена отъ предмета, напримѣръ, срѣзана; мы можемъ только представить себѣ внутреннюю или наружную поверхность стѣны, или переднюю или заднюю поверхность классной доски, не думая объ толщинѣ стѣны или доски, или о чемъ нибудь иномъ, что къ этимъ предметамъ относится: матеріалъ, цвѣтъ, вѣсъ, стоимость и пр. Затѣмъ, слѣдуетъ сказать дѣтямъ о ребрахъ кубика: грани кубика, встрѣчаясь, образуютъ ребра кубика; такихъ реберъ въ кубикѣ 12; каждое ребро кубика служитъ границей для двухъ сосѣднихъ граней; каждая грань кубика ограничена съ четырехъ сторонъ ребрами; всѣ ребра кубика равны. Для сравненія, учитель разсматриваетъ съ дѣтьми брусокъ и доводитъ ихъ до усвоенія понятій: прямоугольникъ и квадратъ, кубъ, брусокъ (прямоугольная призма).

§ 2. Послѣ такой предварительной бесѣды, подробное изложеніе которой мы считаемъ здѣсь излишнимъ, учитель приступаетъ къ уясненію дѣтямъ понятія объ измѣреніи площадей. Измѣрить площадь значитъ сравнитъ ее съ другой площадью, съ цѣлью узнать, во сколько разъ измѣряемая площадь больше той, которой производится измѣреніе. Для измѣренія площадей, также какъ и для измѣренія другихъ величинъ, напримѣръ, для измѣренія разстояній, нужно прежде всего выбрать и установить единицу измѣренія, мѣру площадей. За мѣру площадей принята площадь квадрата и это потому, что, зная размѣръ одной стороны квадрата, мы знаемъ и размѣръ площади этого квадрата. Квадратъ, сторона котораго равна одному вершку, называется квадратнымъ вершкомъ; квадратъ, сторона котораго равна одному аршину, называется квадратнымъ аршиномъ и пр. За единицу измѣренія площадей принимаютъ площадь квадрата, сторона котораго есть линейная единица*). Эти мѣры называются квадратными мѣрами.

Бесѣду объ измѣреніи прямоугольныхъ площадей учитель ведетъ съ дѣтьми, примѣрно, такъ:

„Какъ вы измѣряли длину классной комнаты?—(Укладывали аршинъ по этой длинѣ и считали, сколько разъ длина аршина укладывается по длинѣ комнаты.)—Вотъ у меня квадратный футъ, т. е. квадратная доска, длина которой равна одному футу и ширина которой равна одному футу.—Еслибы у васъ имѣлось много такихъ досокъ и вы пожелали бы узнать, во сколько разъ площадь пола классной комнаты больше площади одного квадратнаго фута, то какъ бы вы поступили? — (Покрыли бы весь полъ такими досками и сосчитали бы, сколько ихъ уложилось.)—Въ какомъ порядкѣ вы стали бы укладывать эти доски?—Когда весь полъ будетъ уложенъ досками, какъ вы станете считать эти доски? (Сочтемъ, сколько досокъ помѣщено въ одинъ рядъ, потомъ сочтемъ, сколько всего рядовъ и первое число умножимъ на второе число.)—Положимъ, что по ширинѣ комнаты уложилось 50 квадратныхъ досокъ; сколько такихъ досокъ уложилось бы въ каждомъ изъ слѣдующихъ рядовъ?—Если вдоль всей стѣны комнаты уложилось 50 нашихъ квадратныхъ досокъ, то какъ велика ширина пола? (50 футовъ.)—А если бы вы знали прежде, что ширина комнаты равна 50 футамъ, то могли-ли бы вы знать, сколько нашихъ досокъ уложилось бы въ рядъ?—Нужно ли весь полъ укладывать нашими досками, чтобы узнать, сколько такихъ рядовъ покрыли бы весь полъ?—Что же нужно было бы сдѣлать? (Измѣрить длину комнаты футами.)—Положимъ, что длина нашей комнаты 60 футовъ; сколько же рядовъ нашихъ досокъ покрыли бы весь полъ? (60 рядовъ.)—Какъ теперь узнать, сколько всего нужно досокъ, чтобы покрыть полъ нашей классной комнаты? (Умножить 50 на 60.)—Во сколько разъ поверхность пола больше поверхности

*) Правильнѣе было бы, въ логическомъ и грамматическомъ отношеніи, называть квадратныя мѣры такъ: аршинный квадратъ, вершковый квадратъ, дюймовый квадратъ и пр., что имѣло бы и нѣкоторое значеніе въ методическомъ отношеніи.

одного квадратнаго фута? (Въ 3000 разъ.)—Площадь пола равна 3000 квадр. фут.—Какъ узнать величину поверхности классной доски въ квадратныхъ футахъ?—Какъ узнать величину поверхности развернутаго листа писчей бумаги въ квадратныхъ дюймахъ?—Какъ узнать величину поверхности боковой стѣны нашей комнаты въ квадратныхъ аршинахъ? —Вы видете, что, для опредѣленія величины прямоугольной площади, нѣтъ надобности производить непосредственнаго измѣренія ея квадратными мѣрами, т. е. покрывать измѣряемую площадь мѣрными площадями.—Такое непосредственное измѣреніе было бы и очень неудобно, и весьма продолжительно; въ большинствѣ же случаевъ оно было бы и невозможно. — А потому измѣреніе прямоугольныхъ площадей производится косвенно, т. е. измѣряютъ какъ длину, такъ и ширину прямоугольника одной и той же линейной мѣрой, и затѣмъ перемножаютъ числа, выражающія измѣренныя величины, т. е. длину и ширину: полученное произведеніе покажетъ число квадратныхъ единицъ, заключенныхъ въ измѣряемой площади.—Длину и ширину прямоугольника называютъ также размѣрами его; такъ что измѣреніе площади прямоугольника сводится къ измѣренію его размѣровъ; когда эти размѣры выражены въ одноименныхъ мѣрахъ, то остается только сдѣлать умноженіе, чтобы узнать величину измѣряемой площади.—Положимъ, что размѣры прямоугольника 5 саж. и 4 саж.—Какъ узнать площадь этого прямоугольника?—(Помножить 5 на 4.)—Что покажетъ произведеніе 20?—(Число квадратныхъ саженъ, заключенныхъ въ прямоугольной площади, размѣры которой 4 саж. и 5 саж.)—Если размѣры прямоугольника вамъ были бы даны въ такомъ видѣ: 2 саж. и 2 арш., то какъ бы вы вычислили его площадь?—(Мы сперва выразили бы его размѣры въ одноименныхъ мѣрахъ.)—Какъ велика площадь прямоугольника, котораго размѣры: 2 саж., 3 фут.; 5 саж., 5 арш.; 3 фут., 3 дм. и пр.?“

§ 3. Послѣ этихъ объясненій, учитель переходитъ къ единичнымъ отношеніямъ квадратныхъ мѣръ и знакомитъ дѣтей съ этими отношеніями, примѣрно, такъ: „Что мы назвали размѣрами прямоугольника?—Въ какихъ мѣрахъ могутъ быть выражены размѣры прямоугольника?—Чѣмъ квадратъ отличается отъ прямоугольника? (Размѣры квадрата равны.)—Какъ измѣрить квадратный аршинъ квадратнымъ вершкомъ?—Знаете ли вы отношеніе линейнаго аршина къ линейному вершку?—Какое вычисленіе нужно сдѣлать, чтобы узнать отношеніе квадр. аршина къ квадр. вершку?—Сколько же квадратныхъ вершковъ заключается въ квадратномъ аршинѣ?—Единичное отношеніе квадр. аршина къ квадр. вершку равно 256. —Запишемъ это такъ:

1 квадр. арш. = 256 квадр. вершк.

Какъ узнать, сколько квадр. арш. содержится въ квадр. сажени, сколько квадр. саж. содержится въ квадр. верстѣ? — Итакъ, система русскихъ квадратныхъ мѣръ такая:

1 квадр. арш. = 256 квадр. вершк.

1 квадр. саж. = 9 квадр. арш.

1 квадр. верет. = 250000 квадр. саж.

1 квадр. миля= 49 квадр. верст.

Зная отношеніе двухъ линейныхъ мѣръ, какъ узнать отношеніе тѣхъ двухъ квадратныхъ мѣръ, которыхъ размѣры равны этимъ линейнымъ мѣрамъ? — (Число, выражающее отношеніе линейныхъ мѣръ, помножить на число ему равное.) — Какимъ числомъ выражается отношеніе линейной сажени къ линейному футу? — Какъ узнать отношеніе квадр. сажени къ квадр. футу? — Вычислите отношеніе квадр. фута къ квадр. дюйму? — Что вамъ нужно было знать, чтобы сдѣлать это вычисленіе? — Какое же вычисленіе вы сдѣлали? — Число, выражающее отношеніе двухъ линейныхъ мѣръ, вы умножили на число ему равное. — Если бы отношеніе двухъ линейныхъ мѣръ было равно напр. числу 28 (отношеніе арш. къ дюйму), то какому числу равнялось бы отношеніе соотвѣтствующихъ квадратныхъ мѣръ?—Составимъ таблицу квадратныхъ мѣръ, соотвѣтствующихъ принятымъ у насъ англійскимъ мѣрамъ длины. — Какая самая мелкая мѣра этой системы? — Какъ называется соотвѣтстующая ей квадратная мѣра? — Сколько квадр. линій въ квадр. дюймѣ? — (На доскѣ учитель пишетъ таблицу.)

1 квадр. дм. = 100 кв. лин.

1 кв. фут. =144 кв. дм.

1 кв. саж. = 49 кв. фут.

Для измѣренія полей употребляютъ у насъ особую, полевую мѣру; она называется десятиной. Десятина есть величина прямоугольной площади, размѣры которой: 60 саж. и 40 саж. (или 80 и 30 саж.). — Сколько квадратныхъ саженъ заключаетъ въ себѣ одна десятина? — Какъ вы получили число 2400? — Встарину полевая мѣра была больше теперешней десятины; десятиной называлась величина квадратной площади, сторона которой составляла десятую часть версты. Сколько же квадратныхъ саженъ заключалъ въ себѣ такой квадратъ? (2500.) — Вы видите, что теперешняя полевая мѣра нѣсколько меньше прежней; но названіе десятина за ней осталось.“

§ 4. Дѣйствія съ величинами выраженными въ квадратныхъ мѣрахъ не представляютъ, конечно, ничего существенно новаго: дѣтямъ приходится только имѣть дѣло съ иными единичными отношеніями и съ числами, вообще, большими, чѣмъ при линейныхъ мѣрахъ. Относящіяся сюда письменныя упражненія начинаются съ примѣровъ на превращеніе.

Положимъ, что измѣренная площадь выражена числомъ

200000 кв. вершк.

Чтобы узнать число квадр. арш., заключенныхъ въ этомъ числѣ кв. вершк., нужно раздѣлить 200 000 на 256, т. е. на единичное отношеніе кв. арш. къ кв. вершку. Полученное частное 781 выразитъ искомое число квадр. арш., а остатокъ 64 выразитъ число непревратимыхъ кв. вершк. Чтобы узнать число квадр. саж., заключенныхъ въ 781 кв. арш., нужно число 781 раздѣлить иа единичное отношеніе кв. саж. къ кв. арш., т. е. на число 9. Полученное при этомъ второмъ дѣленіи частное 86 выразитъ искомое число кв. саж., а остатокъ 7—число непревратимыхъ кв. арш. Все вычисленіе должно представиться въ такомъ расположеніи:

Положимъ еще, что требуется превратить именованное число

1 000 215 кв. лин.

Располагаемъ вычисленіе слѣдующимъ образомъ:

Упражненія въ раздробленіи можно начать съ раздробленія простого именованнаго числа, а затѣмъ перейти и къ раздробленію составнаго именованнаго числа.

Примѣры. 1. Раздробить 170 кв. арш. въ кв. вершки.

Такъ какъ 1 кв. арш. равенъ 256 кв. вершк., то число кв. вершк., заключенныхъ въ 170 кв. арш., получимъ, помноживъ 256 на 170. Вычисленіе располагаемъ такъ:

2. Раздробить 45 кв. саж. въ кв. дюймы.

3. Раздробить 15 кв. саж. 5 кв. арш. 125 кв. вершк. въ кв. вершки.

4. Раздробить 16 кв. саж. 28 кв. фут. въ кв. дм.

§ 5. Послѣ этихъ упражненій въ превращеніи и раздробленіи, учитель переходитъ съ дѣтьми къ вычисленію прямоугольныхъ площадей по даннымъ раз-

мѣрамъ. Такое вычисленіе предполагаетъ слѣдующій рядъ дѣйствій: 1) Выраженіе данныхъ размѣровъ въ простыхъ именованныхъ числахъ одного и того же наименованія (раздробленіе); 2) умноженіе числа единицъ, въ которыхъ выраженъ одинъ изъ размѣровъ, на число единицъ, въ которыхъ выраженъ другой размѣръ (умноженіе отвлеченнаго числа на отвлеченное); 3) превращеніе именованнаго числа, которое получимъ, придавъ вычисленному произведенію наименованіе соотвѣтствующей квадратной мѣры.

Пусть, напримѣръ, требуется:

1) Вычислить площадь прямоугольника, размѣры котораго: 2 арш. 12 вершк., 2 арш. 8 вершк.

Располагаемъ все вычисленіе въ такомъ видѣ;

Въ этомъ примѣрѣ раздробленіе данныхъ чиселъ могло быть сдѣлано устно и потому, записавъ произведеніе 44 • 40, вычисляемъ его и полученное число 1760, т. е. искомое число квадр. вершковъ, превращаемъ.

2) Размѣры прямоугольника: 5 фут. 8 дм. 4 лин. и 4 фут. 2 дм. Вычислить площадь этого прямоугольника.

И въ этомъ примѣрѣ раздробленіе данныхъ чиселъ могло быть сдѣлано устно безъ всякаго труда.

Вычислимъ, наконецъ, величину площади прямоугольника, размѣры котораго: 13 саж. 6 фут. 10 дм.; 9 саж. 5 фут. 8 дм.

Располагаемъ все вычисленіе такъ:

§ 6. Хотя ариѳметическія дѣйствія надъ величинами выраженными въ квадратныхъ мѣрахъ не требуютъ для своего производства ни особыхъ соображеній, ни новыхъ пріемовъ, но мы тѣмъ не менѣе дадимъ по одному примѣру на каждое дѣйствіе съ цѣлью показать еще разъ то расположеніе письменныхъ вычисленій, къ которому совѣтуемъ учителю пріучать дѣтей.

1. Сложеніе.

2. Вычитаніе.

3. Умноженіе.

4. Дѣленіе.

§ 7. При рѣшеніи задачъ на квадратныя мѣры приходится иногда, по данной площади прямоугольника и данному размѣру его, вычислять другой размѣръ прямоугольника. Если площадь и размѣръ даны въ соотвѣтствующихъ мѣрахъ, то вычисленіе сводится къ дѣленію даннаго числа квадратныхъ единицъ на данное число линейныхъ единицъ (къ дѣленію отвлеченнаго числа на отвлеченное). Такъ, напримѣръ, если прямоугольная площадь равна 36 квадр. дюйм., а высота ея равна 4 дюйм., то другой размѣръ мы найдемъ, раздѣливъ 36 на 4 и придавъ полученному частному 9 наименованіе дюймъ. Если же данныя выражены въ мѣрахъ несоотвѣтствующихъ, то необходимо предварительно привести ихъ къ именованнымъ числамъ, выраженнымъ въ соотвѣтствующихъ мѣрахъ.

Такъ, напримѣръ, если прямоугольная площадь выражена числомъ 100 кв. фут., а одинъ изъ размѣровъ числомъ 10 дм., то необходимо раздробить предварительно квадр. фут. въ квадр. дм.; послѣ чего останется раздѣлить полученное число 14400 на 10; придавъ найденному частному 1440 наименованіе дюймъ, узнаемъ, что искомый размѣръ равенъ 1440 дм. или 120 фут.

§ 8. Въ заключеніе статьи объ дѣйствіяхъ надъ величинами, выраженными въ квадратныхъ мѣрахъ, считаемъ умѣстнымъ привести рѣшеніе подходящей задачи. Пусть предложена такая задача:

„Комната имѣетъ 8 арш. 18 вершк. длины, 5 арш. 9 вершк. ширины и 3 арш. 14 вершк. высоты; въ комнатѣ двѣ двери и два окна; высота каждой двери 3 арш. 6 вершк., а ширина 2 арш.; высота каждаго окна 2 арш. 12 вершк. и ширина 1 арш. 7 вершк. Сколько кусковъ обоевъ пойдетъ на оклейку комнаты, если кусокъ обоевъ имѣетъ въ длину 8 арш. 5 вершк., а въ ширину 9 вершковъ?“

При рѣшеніи этой задачи считаемъ удобнымъ, чтобы данныя ея были выписаны, примѣрно, такъ:

По этимъ выписаннымъ даннымъ дѣти повторяютъ задачу, затѣмъ переходятъ къ установленію плана ея рѣшенія. Чтобы рѣшить эту задачу нужно: 1) узнать (вычислить) площадь боковой стѣны комнаты, а затѣмъ площадь двухъ этихъ стѣнъ; 2) узнать площадь одной изъ остальныхъ стѣнъ, а затѣмъ площадь двухъ этихъ стѣнъ; 3) узнать площадь всѣхъ четырехъ стѣнъ; 4) узнать площадь, занимаемую двумя дверьми; 5) узнать площадь, занимаемую двумя окнами; 6) узнать площадь, занимаемую дверьми и окнами; 7) узнать величину поверхности стѣнъ, которая должна быть оклеена обоями; 8) узнать величину поверхности развернутаго на плоскость куска обоевъ; 9) узнать, сколько разъ величина этой поверхности содержится въ найденной величинѣ.

Послѣ этого учитель можетъ или спросить дѣтей, какое надлежитъ выполнить дѣйствіе, чтобы найти искомое въ каждой изъ этихъ задачъ, или предоставить дѣтямъ прямо приступить къ вычисленіямъ.

Отв.: 20 кусковъ обоевъ.

Кубическія мѣры.

§ 1. Если дѣти отчетливо уяснили себѣ измѣреніе площади прямоугольника, то учитель не встрѣтитъ особыхъ затрудненій при объясненіи имъ измѣренія объема прямоугольной призмы.

Наглядными пособіями при этихъ объясненіяхъ могутъ служить: ариѳметическій ящикъ, кубики, бруски и проч.; пользуясь ими, учитель укажетъ дѣтямъ, прежде всего, на различіе между кубомъ и призмой*). Кубъ ограниченъ шестью равными квадратными гранями; всѣ ребра куба равны между собой. Призма ограничена шестью прямоугольными гранями, изъ которыхъ каждыя двѣ противуположныя грани равны между собой (нижняя и верхняя, правая и лѣвая, передняя и задняя). Одна изъ граней призмы можетъ быть и квадратомъ, но тогда и противоположная ей грань есть также квадратъ. Одну изъ граней призмы принимаютъ за основаніе призмы; за основаніе призмы выбираютъ обыкновенно ту грань, которая имѣетъ горизонтальное положеніе (нижняя грань). Три ребра, исходящія изъ какой либо вершины призмы, называютъ размѣрами призмы; одинъ изъ этихъ размѣровъ называютъ длиной призмы, другой — шириной призмы, третій — высотой призмы.

Высота въ нѣкоторыхъ случаяхъ называется глубиной (глубина колодезя), въ другихъ — толщиной (толщина доски). Если любая изъ граней призмы принята за основаніе призмы, то разстояніе этой грани отъ противуположной называютъ высотой призмы. Объемъ призмы зависитъ и отъ площади ея основанія, и отъ ея высоты. Зная только основаніе призмы, мы не можемъ сдѣлать никакого заключенія объ ея объемѣ, если высота ея намъ неизвѣстна. Чтобы сдѣлать заключеніе объ объемѣ призмы, мы должны знать всѣ три ея размѣра: : длину, ширину, высоту. Для измѣренія объемовъ приняты кубическія мѣры и это потому, что, зная длину ребра куба, мы знаемъ объемъ, который этотъ кубъ занимаетъ.

*) Подразумѣваемъ вездѣ прямоугольную призму.

Кубъ, котораго ребро равно одному вершку, называется кубическимъ вершкомъ; кубъ, котораго ребро равно одному аршину, называется кубическимъ аршиномъ и пр. Измѣрить объемъ значитъ сравнить его съ объемомъ куба съ цѣлью узнать, во сколько разъ измѣряемый объемъ больше объема, принятаго за единицу измѣренія. Непосредственное измѣреніе объемовъ неудобно, а въ большинствѣ случаевъ и невозможно. Такъ, напримѣръ, непосредственное измѣреніе объема (вмѣстимости) классной комнаты потребовало бы сплошного наполненія этой комнаты кубическими аршинами и послѣдующаго счета числа этихъ кубовъ. Но этотъ счетъ можетъ быть произведенъ косвенно, такъ какъ для опредѣленія числа кубическихъ аршинъ, которое потребовалось бы для сплошного наполненія классной комнаты, достаточно знать или узнать въ аршинахъ ея размѣры, т. е. длину, ширину и высоту комнаты.

Если размѣры призмы намъ извѣстны или если мы непосредственнымъ измѣреніемъ можемъ узнать ихъ, то опредѣленіе объема призмы потребуетъ только счета того числа соотвѣтствующихъ кубическихъ единицъ, которыя были бы необходимы для сплошного наполненія объема, занимаемаго призмой. Этотъ счетъ всегда можетъ быть произведенъ однообразнымъ путемъ. Если бы длина классной комнаты равнялась 12 арш., то вдоль стѣны въ 12 арш. длины уставилось бы 12 кубовъ, ребро которыхъ равно одному аршину. Чтобы весь полъ комнаты покрыть сплошными рядами такихъ кубовъ, намъ пришлось бы уложить такихъ рядовъ въ 12 кубовъ столько, сколько аршинъ заключается въ ширинѣ комнаты.

Положимъ, что эта ширина 10 аршинъ; тогда покрывающій полъ комнаты, состоялъ бы изъ 120 кубовъ; это число мы узнали бы, умноживъ 12 на 10. Чтобы узнать число слоевъ, которое потребовалось бы для наполненія всей комнаты, намъ достаточно теперь знать только высоту комнаты, выраженную въ аршинахъ; положимъ, что эта высота равна 8 арш.; тогда потребовалось бы всего 8 слоевъ для наполненія объема комнаты, а такъ какъ одинъ слой заключаетъ въ себѣ 120 кубовъ, то въ 8 такихъ слояхъ ихъ заключалось бы 120 X 8, т. е. 960 кубовъ. Сдѣлавъ такое вычисленіе, мы заключимъ, что объемъ классной комнаты равенъ 960 куб. арш. Итакъ, если всѣ размѣры призмы даны въ одноименныхъ мѣрахъ, то нужно перемножить данныя числа, чтобы получить число соотвѣтствующихъ кубическихъ мѣръ, заключенныхъ въ измѣряемомъ объемѣ.

§ 2. Послѣ подобныхъ разъясненій, надлежитъ указать дѣтямъ на соотношеніе кубическихъ мѣръ; заставлять дѣтей заучивать единичныя отношенія кубическихъ мѣръ (а равно и единичныя отношенія квадратныхъ мѣръ), конечно, безполезно; одни изъ этихъ отношеній легко запоминаются сами собой, а тѣ, которыхъ дѣти не запомнятъ, они могутъ всегда получить путемъ вычисленія.

Матеріаломъ для упражненія дѣтей въ дѣйствіяхъ надъ кубическими мѣрами служатъ помѣщенные въ нашемъ „Сборникѣ“ примѣры на вычисленіе и задачи.

Приведемъ, въ заключеніе, рѣшеніе слѣдующей задачи:

„Сколько вѣсятъ восемь березовыхъ досокъ, длиною, каждая, въ 2 саж. 4 фут., шириною — въ 8 дм., толщиною —въ 8 дм., если одинъ кубическій футъ березоваго дерева вѣситъ 54 фун. 24 золотника?“

Мѣры времени.

§ 1. Основной единицей для измѣренія времени служатъ сутки. Ихъ, обыкновенно, опредѣляютъ, какъ время одного оборота земли около своей оси. Это опредѣленіе не вполнѣ точно, такъ какъ время одного оборота земли около своей оси равно звѣзднымъ суткамъ; среднія же или гражданскія сутки, т. е. тѣ, которыми пользуются въ общежитіи, нѣсколько продолжительнѣе звѣздныхъ сутокъ. Но объяснять дѣтямъ это различіе мы считаемъ излишнимъ и полагаемъ, что достаточно сказать имъ, что за мѣру времени принята указанная намъ самой природой продолжительность одного оборота земли около своей оси.

Само собой разумѣется, что при этомъ слѣдуетъ дать дѣтямъ понятіе какъ о суточномъ, такъ и о годичномъ движеніи земли. Изложеніе такой бесѣды не можетъ, впрочемъ, входить въ планъ настоящаго сочиненія.

Сутки раздѣляютъ на двадцать четыре равныя части; каждая изъ этихъ равныхъ частей называется часомъ.

Часъ подраздѣляется на 60 равныхъ частей—минутъ, минута на 60 равныхъ частей—секундъ.

Семь дней составляютъ недѣлю.

Такимъ образомъ система мѣръ времени или мѣръ продолжительности слѣдующая:

1 сутки = 24 часамъ,

1 часъ = 60 минут.,

1 мин. =60 секунд.,

1 недѣля = 7 суткамъ (днямъ).

Производство дѣйствій надъ величинами, выраженными въ этихъ постоянныхъ мѣрахъ времени, не представляетъ никакихъ особенностей. Матеріалъ для относящихся сюда упражненій помѣщенъ въ нашемъ „Сборникѣ“.

§ 2. Другая болѣе крупная единица времени есть солнечный годъ. Она также указана намъ самой природой и есть время одного полнаго оборота земли вокругъ солнца; это время равно приблизительно 365 дн. 6 час.

Такъ какъ гражданскій годъ долженъ быть составленъ изъ цѣлаго числа дней, то въ виду этого, съ давнихъ поръ установлено слѣдующее лѣтосчисленіе. Изъ четырехъ послѣдовательныхъ годовъ три года подъ рядъ считаютъ по 365 дней въ каждомъ, а четвертый въ 366 дней. Такимъ образомъ достигается (хотя только приблизительно) то, что времена года, смѣна которыхъ зависитъ отъ годичнаго движенія земли, приходятся на одни и тѣ же мѣсяцы. Годы, состоящіе изъ 366 дней, называютъ високосными , а остальные, т. е. годы въ 365 дней—простыми. Всѣ христіанскіе народы ведутъ начало своего лѣтосчисленія отъ Рождества Христова. Всякій годъ, помѣченный въ этомъ лѣтосчисленіи числомъ, которое безъ остатка дѣлится на 4, есть годъ високосный; всякій годъ, помѣченный числомъ, которое безъ остатка не дѣлится на 4, есть годъ простой.

Гражданскій годъ подраздѣляется на двѣнадцать неравныхъ промежутковъ, которые называются мѣсяцами. Одни мѣсяцы содержатъ по 30 дней, другіе по 31 дню, за исключеніемъ Февраля, который имѣетъ 28 дней въ простомъ году и 29 дней въ високосномъ году.

Мѣрой времени еще болѣе крупной, чѣмъ годъ, служитъ столѣтіе или вѣкъ, т. е. промежутокъ времени равный сто годамъ.

Итакъ, кромѣ постоянныхъ мѣръ времени, т. е. сутокъ и ихъ подраздѣленій, въ общежитіи употребляются еще мѣры времени непостоянныя: мѣсяцъ и годъ. Число дней въ мѣсяцѣ можетъ быть или 28, или 29, или 30, или 31; число дней въ году можетъ быть или 365, или 366. Вслѣдствіе этого, всякій промежутокъ времени, въ обозначеніе котораго входятъ эти непостоянныя единицы, не представляетъ вполнѣ опредѣленной величины. Такъ, напримѣръ, опредѣляя продолжительность какого нибудь промежутка времени словами: 2 мѣсяца и 5 дней, мы выражаемъ только приблизительно его величину. Если бы мы пожелали точно выразить ему величину, то должны были бы превратить мѣсяцы въ дни, что окажется возможнымъ лишь въ тѣхъ

случаяхъ, когда будетъ извѣстно о какихъ мѣсяцахъ года идетъ рѣчь въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ. Замѣтимъ, впрочемъ, что такая математическая точность большею частью и не требуется въ вопросахъ, которые касаются какъ обыкновенныхъ житейскихъ расчетовъ, такъ и историческихъ событій. На практикѣ, термины: мѣсяцъ и годъ употребляются наравнѣ съ постоянными единицами времени, причемъ, для упрощенія и облегченія иныхъ расчетовъ (напр. коммерческихъ), принимаютъ даже мѣсяцъ за постоянную величину, равную 30 днямъ, а годъ полагаютъ равнымъ 360 днямъ.

Вотъ расписаніе мѣсяцевъ съ обозначеніемъ числа дней въ каждомъ изъ нихъ:

Январь Февраль .... 31 28 (29) Іюль Августъ .... 31 31

Мартъ 31 Сентябрь.... 30

Апрѣль 30 Октябрь .... 31

Май 31 Ноябрь 30

Іюнь 30 Декабрь .... 31

Если мы разобьемъ годъ на четыре періода (четверти года), по три мѣсяца въ каждомъ, то увидимъ, что первая четверть будетъ содержать или 90 дней, или 91 день, вторая четверть — всегда 91 день, а третья и четвертая четверть — всегда по 92 дня. Такимъ образомъ число дней по четвертямъ года распредѣлится такъ:

Простой годъ — 90, 91, 92, 92

Високосный годъ — 91, 91, 92, 92.

Если же мы распредѣлимъ эти числа по полугодіямъ, то увидимъ, что на второе полугодіе всегда придется 184 дня, а на первое или 181 день, или 182 дня, смотря потому, будетъ ли это первое полугодіе принадлежать простому году или високосному.

Полезно—и притомъ не трудно — запомнить эти числа: во многихъ случаяхъ они могутъ пригодиться для сокращенія вычисленій. Нѣсколько труднѣе запомнить число дней въ различныхъ мѣсяцахъ года.

Послѣ объясненія дѣтямъ всего только-что изложеннаго, необходимо дать имъ понятіе о календарѣ, т. е. о расписаніи всѣхъ дней того года, на который календарь составленъ. Говорить дѣтямъ о Грегоріанскомъ лѣтосчисленіи мы не считаемъ нужнымъ.

Приведемъ кстати нѣсколько краткихъ свѣдѣніи, касающихся времясчисленія. Полагаемъ, что эти свѣдѣнія могутъ представить нѣкоторый интересъ для учителя начальной школы.

Видимое (кажущееся) обращеніе небеснаго свода даетъ намъ средство для измѣренія времени. Если мы станемъ наблюдать за движеніемъ какой нибудь звѣзды, то замѣтимъ, что промежутки времени, отдѣляющіе прохожденіе звѣзды чрезъ меридіанъ (моментъ наибольшей высоты) отъ слѣдующаго прохожденія той же звѣзды, равны между собой. Каждый изъ такихъ промежутковъ называютъ звѣздными сутками и дѣлятъ его на 24 часа. Звѣздныя сутки употребляются только астрономами, и время,

считаемое по звѣзднымъ суткамъ и ихъ подраздѣленіямъ, называютъ звѣзднымъ временемъ. Время между двумя послѣдовательными прохожденіями солнца (центра солнца) чрезъ меридіанъ называютъ солнечными сутками, а время, измѣряемое этими сутками, называютъ истиннымъ солнечнымъ временемъ. Но такъ какъ, вслѣдствіе годичнаго движенія земли, солнце имѣетъ собственное видимое движеніе, противуположное видимому вращенію небеснаго свода, то между двумя послѣдовательными прохожденіями солнца чрезъ меридіанъ пройдетъ больше времени, чѣмъ между двумя прохожденіями звѣзды: истинныя солнечныя сутки продолжительнѣе звѣздныхъ сутокъ. Истинныя солнечныя сутки не могутъ быть приняты за единицу времени, такъ какъ движеніе земли вокругъ солнца не равномѣрно и продолжительность истинныхъ сутокъ не одна и та же въ теченіи года. За постоянную единицу времени приняты вслѣдствіе этого среднія сутки (гражданскія, обыкновенныя сутки). Продолжительность среднихъ сутокъ равна средней величинѣ всѣхъ истинныхъ солнечныхъ сутокъ цѣлаго года. Время, измѣряемое средними солнечными сутками, называютъ среднимъ временемъ; обыкновенные часы показываютъ это время. Продолжительность среднихъ сутокъ больше продолжительности звѣздныхъ всегда на одну и ту же величину, а именно на 3 мин. 36 сек. Въ календаряхъ часто указывается въ столбцѣ, озаглавленномъ: среднее время въ истинный полденъ, время, которое должны показывать часы по среднему времени въ моментъ истиннаго полдня. Продолжительность времени, отдѣляющая два послѣдовательныхъ весеннихъ равноденствія, называютъ тропическимъ годомъ; онъ равенъ приблизительно 365 сутк. и 6 час. (точнѣе: 365 сут. 5 час. 48 мин. 48 сек.).

Подобно солнцу, и луна имѣетъ собственное движеніе отъ запада къ востоку; она, удалившись отъ какой нибудь звѣзды, приблизится къ пей опять чрезъ 27*/г дней; этотъ промежутокъ называютъ звѣзднымъ или сидерическимъ мѣсяцемъ. Относительно же солнца луна приходитъ въ то же положеніе чрезъ большій промежутокъ времени, вслѣдствіе собственнаго движенія солнца. Этотъ промежутокъ времени между двумя одинаковыми положеніями луны отпосительпо солнца составляетъ около 291/* сутокъ и называется синодическимъ мѣсяцемъ (отъ греческаго слова, которое значитъ сопутствовать). Синодическій мѣсяцъ служитъ періодомъ возобновленія видовъ луны (фазъ луны). Съ самой глубокой древности за единицу времени принимали сутки; почти всѣ народы раздѣлили сутки на 24 часа, но не всѣ считали начало каждыхъ сутокъ отъ одного и того же момента. Египтяне и Римляне принимали за начало сутокъ полночь; ихъ обычай сохранился и до настоящаго времени у всѣхъ образованныхъ народовъ. Іудеи и Римляне раздѣляли кромѣ того день и ночь па стражи или смѣны (4 ночныхъ и 4 дневныхъ, по 3 часа въ каждой): первая, третья, шестая п девятая стража. Такое подраздѣленіе сутокъ часто встрѣчается въ Св. Писаніи и слѣды его сохранились въ пашемъ Богослуженіи. Другая, болѣе крупная единица времени, съ давнихъ поръ установленная, есть недѣля. У насъ, въ церковномъ счисленіи, счетъ дней недѣли начинается съ воскресенья, посвященнаго памяти Воскресенія Христа, и этотъ день собственно и называется недѣлей, т. е. днемъ недѣланія, днемъ отдыха. Слѣдующіе по порядку дни недѣли получили названія: Понедѣльникъ (первый день по недѣлѣ), Вторникъ (второй день), Среда (средній день недѣли), Четвергъ (четвертый) и Пятница (пятый). За седьмымъ днемъ педѣли удержалось еврейское названіе Субботы. Этотъ періодъ въ семь дней называется въ нашемъ церковномъ счисленіи седмицей.

Моментъ, съ котораго принято начинать лѣтосчисленіе, называютъ эрой. Въ настоящее время всѣ христіанскіе народы ведутъ свое лѣтосчисленіе отъ Рождества Христова. Народы нехристіанскіе имѣютъ свои эры: Евреи ведутъ лѣтосчисленіе отъ Сотворенія Міра (3761 г. до Р. Х.); Римляне вели лѣтосчисленіе отъ основанія Рима (753 г. до Р. Х.); Магометане считаютъ эрой бѣгство своего пророка изъ Мекки въ Медину (622 г. по Р. Х.).

У Римлянъ, при первомъ ихъ царѣ Ромулѣ (VIII в. до Р. Х.), годъ состоялъ изъ десяти мѣсяцевъ. Названія этихъ десяти мѣсяцевъ, по порядку, были слѣдующія: Мартъ (мѣсяцъ, посвященный богу войны Марсу); Апрѣль (названіе произошло отъ слова, которое значитъ распускаться: природа распускается); Май (мѣсяцъ, посвященный богинѣ Маіѣ); Іюнь (мѣсяцъ, посвященный богинѣ Юнонѣ); Квинтилій (пятый мѣсяцъ года); Секстилій (шестой мѣсяцъ); Сентябрь (седьмой мѣс.); Октябрь (восьмой мѣс.); Ноябрь (девятый мѣс.) и Декабрь (десятый мѣс.). Послѣдніе шесть мѣсяцевъ получили свои названія отъ числительныхъ именъ (латинскихъ). Такъ какъ 1-й, 3-й, 5-й и 8-й мѣсяцы имѣли по 31 дню, а остальные по 30 дней, то годичный періодъ Ромула состоялъ изъ 304 дней.

Впослѣдствіи, при Нумѣ Помпиліи (715 — 672 г. до Р. Х.), къ Ромулову году прибавили 51 день. Но такъ какъ изъ этого числа дней нельзя было составить мѣсяцевъ, подходящихъ по продолжительности къ старымъ мѣсяцамъ, то отняли по одному дню отъ тѣхъ шести мѣсяцевъ, которые содержали 30 дней, и изъ 57 дней образовали два новыхъ мѣсяца. Такимъ образомъ составился годъ въ 355 дней; новые мѣсяцы получили названія Января (посвященъ богу Янусу) и Февраля (мѣсяцъ «очищенія отъ грѣховъ»); Январь содержалъ 29 дней, а Февраль — 28; притомъ Январь былъ принятъ первымъ, а Февраль послѣднимъ мѣсяцемъ года. Хотя прежніе нумера мѣсяцевъ такимъ образомъ нарушились, но названія были оставлены тѣ же; Сентябрь, напримѣръ, продолжали называть седьмымъ мѣсяцемъ вновь составленнаго года. Этотъ кругъ въ 355 дней разнился отъ солнечнаго года на 10 дней и 6 часовъ; вслѣдствіе этого нашли необходимымъ прибавлять впослѣдствіи, чрезъ каждые два года, одинъ мѣсяцъ въ 22 или 23 дпя поперемѣнно. Вставочный мѣсяцъ получилъ названіе Мерцедонія и вставлялся между 23 и 24 Февраля. (Считали такъ: 23 Февр., 1 Мерцед., 2 Мерцед. и т. д. до 22-го пли 23-го Мерцед., затѣмъ—24 Февр., 25 Февр. и т. д.). Такимъ образомъ составился четырехлѣтній періодъ, годы котораго содержали, по порядку, 355, 377, 355, 378 дней. Средняя величина года равнялась поэтому 366 дн. 6 час., что опять не согласовалось съ продолжительностью солнечнаго года. Это несогласіе, а равно и то обстоятельство, что жрецы, по произволу, увеличивали или уменьшали вставочный мѣсяцъ, привело къ такой путаницѣ въ времясчисленіи, что праздники жатвы приходились на зимніе мѣсяцы гражданскаго года, а осенніе праздники—на весенніе мѣсяцы. Юлій Цезарь рѣшился исправить времясчисленіе и согласить гражданскій годъ съ астрономическимъ Онъ началъ съ того, что отнесъ всѣ праздники къ соотвѣтствующимъ временамъ года. Съ этой цѣлью къ текущему году, т. е. къ 708 г. отъ основанія Рима, было прибавлено, не считая Мерцедонія въ 23 дня, еще два вставочныхъ мѣсяца (между Ноябремъ и Декабремъ), одинъ въ 33 дня, другой въ 34 дня; такимъ образомъ составился годъ въ 445 дней. Этотъ годъ извѣстенъ подъ названіемъ года послѣдней путаницы. Затѣмъ Цезарь предписалъ съ 1-го Января 709 года (которое соотвѣтствуетъ 1-му Январю 45 г. до Р. Х.) принимать годъ въ 365 дней и 6 час., а, для избѣжанія дробнаго числа дней въ гражданскомъ году, положилъ принимать три послѣдовательныхъ года въ 365, а четвертый въ 366 дней. Прежнія названія мѣсяцевъ были сохранены въ новомъ времясчисленіи; Мерцедоній исключили изъ календаря; мѣсяцы: Январь, Мартъ, Май, Квинтилій, Секстилій, Октябрь и Декабрь положено было считать въ 31 день, остальные въ 30 дней, за исключеніемъ Февраля, въ которомъ оставлено 28 дней; но этотъ мѣсяцъ, который до того былъ послѣднимъ, сдѣлали вторымъ мѣсяцемъ года. Что же касается до вставочнаго дня, который долженъ быть присчитываемъ каждые четыре года къ 365 днямъ, то Цезарь помѣстилъ его въ Февралѣ между 23 и 24 числами этого мѣсяца (на мѣсто прежняго Мерцедонія) и назвалъ годъ въ 366 дней двушестымъ годомъ. Латинское слово bissextilis, т. е. двушестой (годъ), перешедши къ намъ отъ Грековъ, измѣнилось въ слово високосъ

(это слово часто пишутъ: высокосъ, что неправильно). Чтобы объяснить себѣ происхожденіе этого названія: двушестой, нужно знать, что Римляне называли первое число мѣсяца календами (отсюда календарь, отъ слова, которое значитъ звать, собирать: жрецы собирали народъ перваго числа мѣсяца, чтобы возвѣстить ему предстоявшіе въ мѣсяцѣ праздники и присутственные дни) и считали дни второй половины каждаго мѣсяца, обозначая сколько дней осталось до календъ слѣдующаго мѣсяца. Этотъ счетъ Римляне производили нѣсколько своеобразно, такъ какъ вводили въ счетъ и самый день календъ; такъ, напримѣръ, 27 Февраля они называли 3-мъ днемъ до календъ Марта (1 Марта, 28 Февраля, 27 Февраля), а 24 Февраля считалось у нихъ поэтому шестымъ днемъ до мартовскихъ календъ. Вслѣдствіе этого вставочный между 23 и 24 Февралемъ день оказался кануномъ шестаго дня или двушестымъ (правильнѣе: второшестымъ) днемъ до мартовскихъ календъ.

Замѣтимъ, наконецъ, что Квинтилій, мѣсяцъ рожденія Юлія Цезаря, былъ въ честь его переименованъ въ Іюль, а мѣсяцъ Секстилій получилъ впослѣдствіи названіе Августа, въ память императора Августа (30 л. до Р. Х. — 14 л. по Р. Х.).

Такимъ образомъ былъ составленъ годъ, который получилъ названіе Юліанскаго, и установлено лѣтосчисленіе, которое, подъ именемъ юліанскаго, сохранилось у насъ и до настоящаго времени.

Прочное основаніе христіанскому врѳмясчисленію положено было на Никейскомъ Вселенскомъ Соборѣ въ 325 г. до Р. Х. Въ основаніе христіанскаго времясчисленія Соборъ положилъ юліанскій годъ, а за начало лѣтосчисленія принялъ 1-е Марта (пятница) перваго года мірозданія. Чтобы согласовать мартовскіе годы съ январскими (юліанскими), принято Январь и Февраль каждаго январскаго года относить къ предыдущему мартовскому году. При этомъ январскими високосными годами остались по прежнему всѣ четвертые годы въ каждомъ четырехлѣтіи, и годы 4-й, 8, 12-й и т. д. приняли за високосные.

Слѣдуетъ замѣтить, что главная цѣль, которую преслѣдовалъ Соборъ при установленіи христіанскаго календаря, заключалась въ томъ, чтобы начертать прочныя правила для опредѣленія дня важнѣйшаго христіанскаго праздника — дня Пасхи. Такъ какъ въ первые вѣка Христіанства возникло несогласіе относительно дня, въ который надлежитъ праздновать Пасху, то императоръ Константинъ Великій предложилъ этотъ вопросъ на обсужденіе Никейскаго Собора, который и сдѣлалъ слѣдующія постановленія:

1) Праздновать день Пасхи въ первое воскресенье послѣ мартовскаго полнолунія, даже въ томъ случаѣ, если это полнолуніе придется на воскресенье.

2) Признавать пасхальными только тѣ весеннія полнолунія, которыя приходятся не раньше весенняго равноденствія. (Такъ какъ во время Собора весеннее равноденствіе пришлось на 21 Марта, то пасхальнымъ полнолуніемъ признается только такое, которое случится 21 Марта или позднѣе; вслѣдствіе этого самая ранняя Пасха можетъ случиться 22 Марта.)

3) Принять для вычисленія пасхальныхъ полнолуній девятнадцатилѣтній періодъ Метона.

Этотъ періодъ (циклъ, кругъ) былъ найденъ Метономъ и обнародовалъ имъ на Олимпійскихъ играхъ 433 г. до Р. Х. Метонъ нашелъ, что въ 19 солнечныхъ годахъ заключается почти ровно 235 лунныхъ мѣсяцевъ, такъ что виды луны чрезъ каждыя 19 лѣтъ приходятся на прежніе дни. По принятіи этого цикла Греками, вошло въ обыкновеніе означать золотыми буквами на выставляемыхъ ежегодно въ Аѳинахъ доскахъ число лѣтъ, которыя протекли отъ начала текущаго 19-тилѣтняго періода. За этимъ числомъ и до настоящаго времени сохранилось названіе златою числа.

Полагая этотъ кругъ луны въ основаніе лунно-солнечнаго года, составители хри-

стіанскаго календаря, уполномоченные па этотъ предметъ Никейскимъ Соборомъ, приняли двухъ родовъ лунные мѣсяцы: въ 30 дней и въ 29 дней и расположили ихъ поперемѣнно. Такимъ образомъ средняя продолжительность каждаго луннаго мѣсяца была опредѣлена въ 29 */г дней, а продолжительность луннаго года въ 354 дня, вслѣдствіе чего лунный годъ вышелъ короче солнечнаго приблизительно на 11 дней. (Истинная разность солнечнаго юліанскаго года и луннаго года составляетъ 10 дн. 21 час. 11 мин. 25 сек.)

Уполномоченные Соборомъ составители христіанскаго календаря установили всѣ правила для вычисленія Пасхаліи, т. е. дня Пасхи, и этими постановленіями паша Православная Церковь неизмѣнно руководится и по настоящее время. Въ Россіи, съ принятіемъ Христіанства, начали годъ считать съ 1-го Марта и вести лѣтосчисленіе, какъ это дѣлали Греки, отъ Сотворенія Міра, полагая, что отъ Сотворенія Міра до Рождества Христова протекло 5508 лѣтъ, согласно семидесяти Толковникамъ. Впослѣдствіи начало года перенесли съ Марта на Сентябрь, что произведено было па Соборѣ, бывшемъ при Іоаннѣ III, въ 1492 г. по Р. Х. (въ 7000 г. отъ С. М.). Что же касается до перенесенія начала года на Январь, то, по указу Петра Великаго, 1700-й гражданскій годъ начали не съ 1-го Сентября, а четырьмя мѣсяцами позже, т. е.. съ 1-го Января 1700 г., такъ что 1699-й г. продолжался 16 мѣсяцевъ. Независимо отъ этого преобразованія, Церковь наша и до сихъ поръ ведетъ свое лѣтосчисленіе сентябрьскими годами, употребляя мартовскіе годы для опредѣленія для Пасхи и дней тѣхъ праздниковъ, которые находятся въ зависимости отъ Пасхи, каковы праздникъ Вознесенія и праздникъ Св. Троицы.

Выше мы упомянули, что на Никейскомъ Вселенскомъ Соборѣ былъ принятъ юліанскій годъ, т. ѳ. годъ равный 365 дн. 6 час. Но такъ какъ истинный солнечный годъ содержитъ 365 дн. 5 час. 48 мин. 48 сек., то истинный солнечный годъ короче юліанскаго года на 11 мин. 12 сек. Эта разность возрастетъ до одного цѣлаго дня въ 1281/2 лѣтъ, такъ что въ 128^2 юліанскихъ годахъ заключается 1281І2 истинныхъ солнечныхъ лѣтъ и одинъ день. Вслѣдствіе этого, по прошествіи періода въ 128Ѵг лѣтъ, всѣ числа мѣсяцевъ юліанскаго календаря должны отстать на одинъ день противъ истиннаго солнечнаго времени. Такъ, напримѣръ, во время Никейскаго Собора весеннее равноденствіе пришлось 21 Марта; по прошествіи 128 лѣтъ отъ Никейскаго Собора оно пришлось уже на 20 Марта; по прошествіи десяти такихъ періодовъ весеннее равноденствіе пришлось на 11 Марта. Чтобы исправить такое несогласіе, Папа Григорій XIII повелѣлъ въ 1582 г. исключить въ этомъ году изъ календаря 10 дней, что было сдѣлано такъ: послѣ 4 Октября, которое пришлось на четвергъ, стали считать—пятница 15 Октября, вмѣсто 5 Октября; такимъ образомъ весеннее равноденствіе пришлось опять на 21 Марта. Чтобы сохранить и на будущее время согласіе гражданскаго года съ солнечнымъ, Папа Григорій повелѣлъ исключать три дня въ каждыя четыре столѣтія и установилъ такое правило: 1600-й г. считать високоснымъ, а годы 1700-й, 1800 и 1900-й—простыми, затѣмъ 2000-й г.—високоснымъ, а годы 2100-й, 2200-й, 2300-й—простыми и т. д.

Новое лѣтосчисленіе получило названіе грегоріанскаго или новаго стиля въ отличіе отъ юліанскаго лѣтосчисленія, которое называютъ старымъ стилемъ. Старый стиль удержался у насъ и у Грековъ; въ остальной Европѣ принятъ новый стиль. Такъ какъ годы 1700-й и 1800-й были простые по новому стилю и високосными по старому, то въ настоящемъ столѣтіи юліанское счисленіе отстаетъ отъ грегоріанскаго па 12 дней, а въ наступающемъ столѣтіи отстанетъ на 13 дней, такъ какъ 1900-й годъ считается простымъ по новому стилю.

Чтобы узнать, насколько грегоріанское лѣтосчисленіе согласуется съ астрономическимъ, замѣтимъ, что въ четырехъ вѣкахъ заключается, по новому стилю, 97 ви-

кососныхъ годовъ (по старому стилю такихъ годовъ заключалось бы 100) и 303 простыхъ года; если число дней въ этихъ годахъ раздѣлимъ на 400, то найдемъ, что средній грегоріанскій годъ равенъ 365 сут. 5 час. 49 мин. 12 сек.; эта величина разнится отъ величины истиннаго солнечнаго года только на 20 секундъ съ небольшимъ. Эта разность такъ незначительна, что возрастетъ до одного дня лишь въ 4000 лѣтъ.

Послѣдній расчетъ показываетъ, насколько новый стиль точнѣе стараго. Но справедливость требуетъ признать за юліанскимъ лѣтосчисленіемъ, принятымъ Никейскимъ Соборомъ, то преимущество, которое заключается въ его простотѣ. Вычисленіе пасхалій по новому стилю требуетъ сложныхъ и сбивчивыхъ выкладокъ, а также составленія особыхъ таблицъ, содержащихъ данныя, необходимыя для подобныхъ вычисленій.

§ 3. Перейдемъ теперь къ нѣсколькимъ замѣчаніямъ относительно задачъ на вычисленіе времени.

Во всякую задачу на вычисленіе времени входятъ: 1) величина нѣкотораго промежутка времени; 2) начало этого промежутка', 3) конецъ этого промежутка. Такъ какъ каждый изъ этихъ элементовъ можетъ служить искомымъ задачи, а остальные два — ея данными, то задача на вычисленіе времени будетъ принадлежать къ одной изъ слѣдующихъ трехъ группъ:

1) Даны: начало и конецъ промежутка времени; требуется опредѣлитъ продолжительность этого промежутка.

Примѣръ. Пароходъ вышелъ въ море 12 Мая въ 9 час 40 мин. по полуночи и прибылъ къ мѣсту назначенія 21 числа того же мѣсяца въ 4 час. 20 мин. по полудни. Сколько времени продолжался переѣздъ? (9 сут. 6 час. 40 мин.)

2) Даны: начало промежутка времени и его продолжительность; требуется опредѣлитъ конецъ промежутка времени.

Примѣръ. Пароходъ вышелъ въ море 12 Мая въ 9 час. 40 мин. по полуночи и употребилъ 9 сутокъ 6 часовъ 40 минутъ на переѣздъ до мѣста назначенія. Когда пароходъ прибылъ на мѣсто назначенія? (21 Мая въ 4 час. 20 мин. по полудни.)

3) Даны: конецъ промежутка времени и его продолжительность; опредѣлить начало промежутка времени.

Примѣръ. Пароходъ прибылъ на мѣсто назначенія 21 Мая въ 4 час. 20 мин. по полудни, употребивъ на переѣздъ 9 сутокъ 6 час. 40 мин. Когда пароходъ вышелъ изъ мѣста отправленія? — (12 Мая, въ 9 час. 40 мин. по полуночи.) Данныя, входящія въ задачи, о которыхъ мы говоримъ, представляютъ ту особенность, что, по крайней мѣрѣ, одно изъ этихъ данныхъ предлагается, обыкновенно, въ видѣ порядковаго числа, т. е. въ видѣ календарнаго числа, указывающаго, когда то или другое событіе совершилось. Замѣтимъ, что точность такого календарнаго указанія можетъ быть весьма различна. Такъ, напримѣръ, когда мы говоримъ, что книгопечатаніе изобрѣтено въ XV вѣкѣ, то этимъ указываемъ только, что это событіе отдѣлено отъ начала нашего лѣтосчисленія промежуткомъ времени въ 14 вѣковъ и въ нѣсколько лѣтъ, число которыхъ не составляетъ полнаго вѣка. Переводя это календарное обозначеніе на точное

ариѳметическое, мы можемъ только сказать, что изобрѣтеніе книгопечатанія отдѣлено отъ начала нашего лѣтосчисленія промежуткомъ времени, равнымъ 14 столѣтіямъ. Когда мы говоримъ, что первый календарь былъ напечатанъ у насъ въ 1587 году*), то этимъ указываемъ только, что появленіе перваго печатнаго календаря у насъ отдѣлено отъ начала нашего лѣтосчисленія промежуткомъ въ 1586 лѣтъ и въ нѣсколько дней, число которыхъ не составляетъ полнаго года. Переводя это календарное обозначеніе на точное ариѳметическое, мы можемъ только сказать, что появленіе у насъ перваго печатнаго календаря отдѣлено отъ начала нашего лѣтосчисленія промежуткомъ времени, равнымъ 1586 годамъ. Когда мы говоримъ, что Императоръ Петръ Великій родился 80 Мая 1672 года, то этимъ только указываемъ, что рожденіе Петра Великаго отдѣлено отъ начала нашего лѣтосчисленія промежуткомъ времени, равнымъ 1671 годамъ, 4 мѣсяцамъ, 29 днямъ и нѣсколькимъ часамъ, число которыхъ не составляетъ полныхъ сутокъ. Переводя это календарное обозначеніе на точное ариѳметическое, мы можемъ только сказать, что промежутокъ времени, отдѣляющій указываемое событіе отъ начала нашего лѣтосчисленія, равенъ

1671 лѣт. 4 мѣс. 29 дн.

Такъ какъ число, обозначенное календарнымъ способомъ, не можетъ быть непосредственно введено въ вычисленіе (такое, напримѣръ, требованіе, какъ вычесть 18 Декабря изъ 2 Февраля слѣдующаго года, лишено всякаго смысла), то, при рѣшеніи задачъ на вычисленіе времени, приходится календарное обозначеніе преобразовывать въ число, которое выражало бы въ единицахъ времени промежутки, считаемые отъ какого нибудь момента, принятаго за начало. Это начало, отъ котораго ведется счетъ времени, можетъ быть, смотря по обстоятельствамъ, и началомъ лѣтосчисленія, и началомъ того или другого столѣтія, и началомъ того или другого года, и началомъ того или другого мѣсяца, и пр.

§ 4. Приступая съ дѣтьми къ рѣшенію задачъ на вычисленіе времени, мы, во-первыхъ, предпочитаемъ начинать съ тѣхъ задачъ, въ которыхъ даны начало и конецъ промежутка времени, и, во-вторыхъ, располагаемъ эти задачи по возрастающей величинѣ искомаго промежутка времени. Относящіяся сюда упражненія мы предлагаемъ вести въ слѣдующемъ порядкѣ.

Учителю слѣдуетъ прежде всего объяснить дѣтямъ, что за начало сутокъ принимаютъ, обыкновенно, полночь, что часы считаются отъ полуночи до полудня и отъ полудня до полуночи, что время отъ полуночи до полудня называется временемъ по полуночи (3 часа по полуночи, 8 часовъ по полуночи), что время отъ полудня до полуночи называется временемъ по полудни (4 часа по полудни, 10 часовъ по полудни).

Разъяснивъ все это, учитель предлагаетъ дѣтямъ нѣсколько вопросовъ такого рода:

*) Герасимомъ Смотрицкимъ въ Острогѣ. Шрифтъ и цыфры церковно-славянскіе.

„Сколько часовъ прошло отъ начала сутокъ (отъ полуночи) до 4 (до 8, до 11) часовъ по полуночи?“

„Сколько часовъ прошло отъ начала сутокъ до 5 (до 7, до 9) часовъ по полудни?“

„Сколько часовъ прошло отъ начала сутокъ до 5 (до 7, до 9) часовъ по полудни?“

На этихъ примѣрахъ дѣти уяснятъ себѣ, что, для опредѣленія промежутка времени, отдѣляющаго два данныхъ момента въ суткахъ, удобно опредѣлить промежутокъ, отдѣляющій послѣдующій моментъ отъ начала сутокъ, опредѣлить промежутокъ, отдѣляющій предшествующій моментъ отъ того-же начала и вычесть изъ перваго промежутка времени второй.

Послѣ этого учитель долженъ перейти къ тѣмъ случаямъ, когда въ обозначеніе времени входятъ минуты, секунды. При этомъ необходимо указать дѣтямъ на обозначеніе часовъ порядковыми числами („Который часъ наступилъ, если отъ начала сутокъ прошло: 5, 7, 11, 13, 15, 23 час?“), а также и на весьма употребительныя выраженія: двадцать минутъ второго, тридцать-пять минутъ пятаго и т. п.

При рѣшеніи задачъ сюда относящихся, нѣтъ надобности заставлять дѣтей производить вычисленіе всегда устно; письменное вычисленіе можетъ быть также примѣняемо. Чтобы отвѣтить, напримѣръ, на вопросъ: „Сколько времени прошло отъ 9 час. 40 мин. утра до 7 час. 15 мин. вечера того же дня?“ дѣти выполняютъ письменно слѣдующее вычисленіе:

За этими вопросами должны слѣдовать такіе, въ которыхъ дѣло идетъ объ опредѣленіи промежутка, отдѣляющаго два момента, принадлежащихъ двумъ смежнымъ суткамъ. Учитель спрашиваетъ, напримѣръ:

„Сколько времени прошло отъ 2 час. по полудни до 5 час. по полуночи слѣдующихъ сутокъ?“

Отвѣтъ на подобные вопросы можетъ быть найденъ различными пріемами; въ данномъ, напримѣръ, случаѣ можно считать такъ: отъ 2 час. по полудни до конца сутокъ—10 час., отъ начала слѣдующихъ сутокъ до 5 час. по полуночи— 5 часовъ, итого—15 час.; или еще такъ: отъ 2 час. по полудни до 2 час. по полуночи слѣдующихъ сутокъ — 12 час., отъ 2 час. по полуночи до 5 час. пополуночи—3 часа, итого 15 часовъ. Дѣти сами нападаютъ на эти пріемы и употребленіе этихъ пріемовъ, конечно, слѣдуетъ одобрить. Но полезно указать дѣтямъ на то, что удобно и въ этихъ случаяхъ относитъ данные моменты къ одному и тому же началу, напримѣръ, въ нашемъ случаѣ, къ началу первыхъ сутокъ, и опредѣлять, какой промежутокъ отдѣляетъ каждый изъ данныхъ моментовъ отъ выбраннаго начала времени. Для нашего примѣра счетъ

часовъ представится въ такомъ видѣ: отъ начала сутокъ до 5 час. по полуночи слѣдующихъ сутокъ—29 час.; отъ того же начала до 2 час. по полудни тѣхъ же сутокъ—14 час.; а потому искомый промежутокъ—15 часовъ. Сюда естественно примыкаетъ рѣшеніе задачъ въ родѣ слѣдующей:

„Пароходъ вышелъ изъ порта въ среду въ 9 час. 15 мин. по полудни и прибылъ на мѣсто назначенія въ субботу на той же недѣлѣ въ 7 час. 45 мин. пополуночи. Сколько времени продолжался переѣздъ?“

Если отнесемъ оба момента къ началу первыхъ сутокъ (полночь среды), то найдемъ, что конецъ искомаго промежутка отдѣленъ отъ этого начала промежуткомъ въ 79 час. 45 мин., а начало искомаго промежутка отдѣлено отъ выбраннаго начала промежуткомъ въ 21 час. 15 мин. Вычтя изъ перваго промежутка второй, найдемъ, что переѣздъ продолжался 58 час. 30 мин.

§ 5. Всѣми этими упражненіями дѣти достаточно будутъ подготовлены къ тому, чтобы перейти къ преобразованію календарнаго обозначенія въ ариѳметическое и въ тѣхъ случаяхъ, когда за начало счета времени должно быть принято или начало года, или начало столѣтія, или начало лѣтосчисленія. Относящіеся сюда подготовительные вопросы распредѣляются въ такой послѣдовательности:

1) Сколько полныхъ мѣсяцевъ и дней прошло отъ начала года до: 19 Февраля, 25 Марта, 2 Августа и пр.?

2) Сколько дней прошло отъ начала простаго года до тѣхъ же чиселъ?

3) Сколько дней прошло отъ начала високоснаго года до тѣхъ же чиселъ?

4) Сколько полныхъ лѣтъ, мѣсяцевъ и дней прошло отъ начала лѣтосчисленія (отъ Р. Х.) до: 2 Августа 1837 г., 22 Іюля 1845 г., 25 Ноября 1756 г. и пр.?

5) Сколько полныхъ лѣтъ и дней прошло отъ начала лѣтосчисленія до тѣхъ же чиселъ?

6) Сколько полныхъ лѣтъ, дней и часовъ прошло отъ начала лѣтосчисленія до 5 час. по полудни 7 Августа 1884 г.?

При счетѣ дней протекшихъ отъ начала года удобно пользоваться указаніемъ, которое мы сдѣлали выше относительно числа дней въ четвертяхъ года и въ полугодіяхъ. Чтобы опредѣлить, напримѣръ, число дней, протекшихъ отъ начала простого года до 16 Августа этого года, мы считаемъ такъ:

въ первомъ полугодіи. . . . 181 дн.

въ Іюлѣ .... 31 „

изъ Августа ... 15 „

227 дн.

Или, чтобы опредѣлить число дней, протекшихъ отъ начала високоснаго года до 27 Ноября этого года, мы считаемъ такъ:

въ первомъ полугодіи. . . . 182 дн.

„ третьей четверти .... 92 „

Октябрь .... 81 „

изъ Ноября .... 26 „

331 дн.

Когда дѣти усвоятъ себѣ преобразованіе календарнаго обозначенія въ ариѳметическое, слѣдуетъ приступить съ ними къ рѣшенію задачъ первой группы, т. е. тѣхъ задачъ, въ которыхъ данными являются начало и конецъ нѣкотораго промежутка времени, продолжительность котораго требуется опредѣлить. Приводимъ нѣсколько такихъ задачъ съ ихъ рѣшеніями.

1) „Пароходъ, вышедшій изъ порта 4 Марта 1874 года, вернулся 27 Іюля того же года. Сколько времени пароходъ находился въ плаваніи?“

Чтобы рѣшить задачу, нужно отнести къ началу названнаго года моменты двухъ событій: возвращеніе и отправленіе парохода. Такъ какъ пароходъ вернулся 27 Іюля, то отъ начала года (простаго) до этого числа протекло 207 дней (181 + 26); такъ какъ пароходъ вышелъ 4 Марта, то отъ начала года до этого числа протекло 62 дня (31 +28 + 3); пароходъ находился слѣдовательно въ плаваніи 145 дней (207 — 62).

2) „Нѣкоторое событіе произошло 5 Августа 1802 г., а другое — 6 Апрѣля 1829 года. Какой промежутокъ времени отдѣляетъ второе событіе отъ перваго?“

Чтобы рѣшить задачу, отнесемъ къ началу столѣтія данные моменты событій и выразимъ промежутки, отдѣляющіе ихъ отъ выбраннаго начала, въ полныхъ годахъ и дняхъ.

Отъ начала столѣтія до 6 Апрѣля 1829 г. прошло:

28 лѣтъ 95 дпей

(90 дней въ первой четверти простаго года и 5 дней Апрѣля.)

Отъ начала столѣтія до 5 Августа 1802 г. прошло

1 годъ 216 дней.

(181 дн. въ первомъ полугодіи простаго года, 31 день въ Іюнѣ и 4 дня Августа.)

Чтобы опредѣлить промежутокъ времени, отдѣляющій эти два событія, нужно вычесть 1 годъ 216 дн. изъ 28 год. 95 дн. Чтобы произвести это вычитаніе, нужно раздробить въ дни послѣдній изъ 28-ми годовъ, входящихъ въ обозначеніе уменьшаемаго; такъ какъ этотъ раздробляемый годъ високосный, то въ немъ 366 дней, и вычисленіе приметъ такой видъ

Искомый промежутокъ выраженъ въ полныхъ годахъ и дняхъ. Если бы мы пожелали выразить его въ постоянныхъ единицахъ времени, т. е. дняхъ, то должны были бы раздробить въ дни 26 лѣтъ; чтобы это раздробленіе произвести точно, мы должны по необходимости принять въ расчетъ всѣ високосные годы, приходящіеся на эти 26 лѣтъ. Но такой точный ариѳметическій расчетъ не прилагаютъ обыкновенно къ задачамъ, взятымъ изъ обиходной или изъ исторической жизни, а довольствуются тѣмъ, что выражаютъ искомый промежутокъ въ полныхъ годахъ и дняхъ, какъ то показано нами на рѣшеніи настоящей задачи.

8) „Петръ Великій вступилъ на Престолъ 15 Мая 1682 года, а скончался 28 Января 1725 года. Сколько времени царствовалъ Петръ Великій?“ Если отнести моменты данныхъ событій къ началу нашего лѣтосчисленія, то отъ этого начала до дня кончины Петра Великаго прошло

1724 года 27 дн.

а отъ этого начала до дня вступленія на Престолъ Петра Великаго прошло

1681 года 134 дн.

(90 дн. въ первой четверти простаго года, 30 дн. въ Апрѣлѣ и 14 дней Мая.)

Вычитая изъ перваго промежутка времени второй промежутокъ, найдемъ, что Петръ Великій царствовалъ

42 года и 259 дней.

§ 6. Отъ задачъ на вычисленіе времени, относящихся къ первой группѣ, можно перейти къ тѣмъ задачамъ, въ которыхъ данными служатъ: начало нѣкотораго промежутка времени и его продолжительность, а искомымъ — конецъ промежутка времени.

Чтобы рѣшить такую задачу, нужно календарное обозначеніе даннаго момента преобразовать въ ариѳметическое и къ полученному промежутку приложить данный промежутокъ времени, послѣ чего мы получимъ искомый конецъ промежутка, выраженный ариѳметическимъ способомъ; останется преобразовать найденное ариѳметическое выраженіе въ календарное.

Такъ какъ дѣти еще не упражнялись въ такомъ преобразованіи, то слѣдуетъ ихъ познакомить съ нимъ въ такой послѣдовательности:

1) Какое число наступило, если отъ начала года прошло 4 полныхъ мѣсяца и 16 дней, 7 полныхъ мѣсяцевъ и 2 дня и пр.?

2) Какое число наступило, если отъ начала простого года прошло 100 дней, 215 дней, 307 дней и пр.?

3) Какое число наступило, если отъ начала високоснаго года прошло 105 дней, 182 дня, 317 дней?

4) Какое число наступило, если отъ начала лѣтосчисленія прошло 1817 лѣтъ, 5 полныхъ мѣсяцевъ п 18 дней?

5) Какое число наступило, если отъ начала лѣтосчисленія прошло 1852 полныхъ года и 214 дней; 1868 года и 205 дней?

При этомъ преобразованіи ариѳметическаго обозначенія въ календарное, удобно пользоваться распредѣленіемъ дней года по четвертямъ года и по полугодіямъ. Чтобы отвѣтить, напримѣръ, на вопросъ: „Какое число наступило, если отъ начала простаго года прошло 215 дней?“ можно исключить изъ этого числа дней 181 день (число дней въ первомъ полугодіи простого года), изъ остатка 34 дней исключить 31 день Іюля; новый остатокъ 3 покажетъ, что протекло 3 первыхъ дня Августа мѣсяца, т. е. что наступило 4 Августа.

Чтобы отвѣтить на вопросъ: „Какое число наступило, если отъ начала лѣтосчисленія прошло 1863 года и 205 дней?“ исключаемъ изъ 205 дней 182 дня (число дней въ первомъ полугодіи високоснаго года); остатокъ въ 23 дня укажетъ, что наступило 24 Іюля 1864 года.

§ 7. Приведемъ нѣсколько задачъ второй группы съ ихъ рѣшеніями.

1) „Нѣкоторое событіе произошло 3-го Февраля 1882 года, а другое — 102 дня спустя. Какого числа произошло второе событіе?“

Отнеся первое событіе къ началу года, найдемъ, что оно отдѣлено отъ него промежуткомъ въ 33 дня; придавъ 102 къ 33, найдемъ 135, изъ чего заключимъ, что второе событіе отдѣлено отъ начала того же года промежуткомъ въ 135 дней. Чтобы это ариѳметическое обозначеніе перевести на календарное, вычитаемъ 90 (число дней въ первой четверти простаго года) изъ 135, изъ остатка 45 вычитаемъ 30 (число дней въ Апрѣлѣ); остатокъ 15 укажетъ, что прошло 15 дней Мая до момента втораго событія, изъ чего заключимъ, что оно произошло 16 Мая 1882 года.

2) „Должникъ обязался уплатить часть долга 15 Іюля 1880 г., а остальное—чрезъ 250 дней. Какого числа должна была произойти вторая уплата?“

Отъ начала года до 15 Іюля—(181 + 14) дней, т. е. 195 дней; отъ начала года до втораго срока (195 + 250 дней), т. е. 445 дней. Чтобы перевести это обозначеніе на календарное, вычисляемъ такъ:

Второй срокъ— 21 Марта 1881 года.

3) „Постройка зданія была начата 12 Апр. 1878 года и окончена чрезъ 4 года и 350 дней. Къ какому числу постройка была окончена?“

Отъ начала лѣтосчисленія до закладки зданія прошло

Прибавляемъ данный промежутовъ времени:

Исключаемъ изъ 451 дн. 365 дн., которые составляютъ 1882 годъ (простой):

1882 г. 86 дн.

Переводя на календарное обозначеніе, найдемъ, что постройка была окончена къ 28 Марта' 1883 г.

4) „Императоръ Александръ II родился 17 Апр. 1818 года и, имѣя отъ рожденія 42 г. 10 мѣс. 2 дн., освободилъ крестьянъ. Какого числа совершилось освобожденіе крестьянъ?“

Такъ какъ данный въ этой задачѣ промежутокъ выраженъ въ годахъ, мѣсяцахъ и дняхъ, то удобно выразить въ годахъ, мѣсяцахъ и дняхъ и промежутокъ, отдѣляющій 17 Апр. 1818 г. отъ начала лѣтосчисленія; вычисленіе въ такомъ случаѣ приметъ слѣдующій видъ:

Освобожденіе крестьянъ совершилось 19 Февраля 1861 года.

5) „Ломоносовъ родился 25 Августа 1712 г. и прожилъ 52 года 7 мѣс. 10 дней. Когда умеръ Ломоносовъ?“

Такъ какъ мѣсяцъ, который долженъ быть выдѣленъ изъ 34 дней, есть третій мѣсяцъ года, т. е. Мартъ, который содержитъ 31 день, то отъ начала лѣтосчисленія до дня смерти Ломоносова прошло

1764 год. 3 мѣс. 3 дн.

Ломоносовъ умеръ 4-го Апрѣля 1765 года.

6) „Императоръ Николай I родился 6 Іюля 1796 г. и прожилъ 58 лѣтъ 7 мѣс. 12 дней. Когда скончался Императоръ Николай I?“

Императоръ Николай скончался 18 Февраля 1855 г.

Относительно приведенныхъ задачъ второй группы считаемъ нужнымъ сдѣлать слѣдующее замѣчаніе. Данный промежутокъ времени, входящій въ эти задачи, большею частью дается въ видѣ совокупности годовъ, мѣсяцевъ и дней. Въ этихъ случаяхъ удобно, какъ мы видѣли, приводить къ такому же виду и другое данное задачи, предложенное въ календарномъ обозначеніи; послѣ произведеннаго сложенія этихъ двухъ данныхъ задачи, остается перевести полученный результатъ на календарное обозначеніе.

Но не трудно видѣть, что весь этотъ расчетъ можетъ быть произведенъ другимъ путемъ. Чтобы рѣшить, напримѣръ, вышеприведенную задачу:

„Императоръ Александръ II родился 17 Апр. 1818 г. и, имѣя отъ рожденія 42 года 10 мѣс. 2 дн., освободилъ крестьянъ. Какого числа совершилось освобожденіе крестьянъ?“ мы можемъ произвести требуемый расчетъ слѣдующимъ образомъ:

чрезъ 42 года— 1860 г. 17 Апр.

чрезъ 10 мѣс. —1861 г. 17 Февр.

чрезъ 2 дня —1861 г. 19 Февр.

Такой расчетъ безъ труда можетъ быть произведенъ устно.

Точно также и послѣдняя изъ приведенныхъ нами задачъ:

„Императоръ Николай I родился 6 Іюля 1796 года и прожилъ 58 лѣтъ 7 мѣс. 12 дней. Когда скончался Императоръ Николай I?“ можетъ быть рѣшена такимъ путемъ:

чрезъ 58 лѣтъ— 1854 г. 6 Іюля

чрезъ 7 мѣс. — 1855 г. 6 Февр.

чрезъ 12 дней — 1855 г. 18 Февр.

Всякій согласится, что этотъ способъ ближе къ жизни и естественнѣе того книжнаго способа, который приведенъ нами выше.

Мы полагаемъ необходимымъ познакомить дѣтей съ такимъ способомъ расчета и пріучить ихъ прибѣгать къ нему при рѣшеніи тѣхъ задачъ на вычисленіе времени, когда даны: начало событія и продолжительность его, выраженная въ годахъ, мѣсяцахъ и дняхъ.

§ 8. Въ заключеніе, намъ остается сказать нѣсколько словъ о задачахъ группы. Сюда относятся тѣ задачи на вычисленіе времени, въ которыхъ даны конецъ и продолжительность нѣкотораго промежутка времени, начало котораго требуется опредѣлить. Пріемъ рѣшенія этихъ задачъ состоитъ въ томъ, что данное календарное обозначеніе переводятъ въ ариѳметическое и изъ полученнаго составного именованнаго числа вычитаютъ данный въ задачѣ промежутокъ времени, выраженный такимъ же составнымъ именованнымъ числомъ: полученный остатокъ выразитъ промежутокъ, отдѣляющій искомое начало даннаго промежутка

отъ выбраннаго начала счета времени: останется перевести это обозначеніе на календарное.

Приведемъ для образца нѣсколько сюда относящихся задачъ съ ихъ рѣшеніями.

1) „Постройка зданія продолжалась 3 года 125 дней и была окончена 14 Августа 1871 года. Когда было приступлено къ этой постройкѣ?“

Такъ какъ эти сто дней суть первые сто дней високоснаго года, то исключаемъ 91 день: найдемъ, что къ постройкѣ было приступлено 10 Апрѣля 1868 года.

2) „Пушкинъ родился 26 Мая 1799 года; за 55 лѣтъ и 327 дней до этого родился Державинъ. Когда родился Державинъ?“

Державинъ родился 3 Іюля 1743 года.

3) „Императоръ Александръ II вступилъ на престолъ 19 Февраля 1S55 года, когда ему было 36 лѣтъ 10 мѣс. 2 дня. Когда родился Императоръ Александръ II?“

Императоръ Александръ II родился 17 Апрѣля 1818 года.

При рѣшеніи этой задачи, мы выразили 19-ое Февраля 1855 г. совокупностью числа лѣтъ, числа мѣсяцевъ и числа дней, отдѣляющихъ отъ начала лѣтосчисленія день вступленія на престолъ Императора Александра II, а не совокупностью числа лѣтъ и числа дней. Мы поступили такъ потому, что другое данное задачи предложено въ видѣ числа, выражающаго совокупность числа лѣтъ, числа мѣсяцевъ и числа дней.

Расчетъ, который надлежитъ произвести для рѣшенія этой задачи, можетъ быть выполненъ и другимъ путемъ, а именно такъ:

Этотъ расчетъ, безъ особаго затрудненія, можетъ быть произведенъ устно.

4) „ Бородинское сраженіе происходило 26 Августа 1812 года; 431 годъ 11 мѣс. 18 дней до этого дня происходила битва на Куликовомъ полѣ. Когда происходила Куликовская битва?“

Битва на Куликовомъ полѣ происходила 8 Сентября 1380 года.

Или иначе:

1812 г. 26 Августа.

431 годъ тому назадъ . . . 1381 г. 26 Августа

11 мѣс. тому назадъ . . . 1380 г. 26 Сентября

18 дней тому назадъ . . . 1380 г. 8 Сентября.

Задачи на вычисленіе времени выдѣлены въ нашемъ „Сборникѣ“ въ особую рубрику и помѣщены во второмъ выпускѣ.

Задачи на составныя именованныя числа.

§ 1. Значеніе задачъ на различныхъ ступеняхъ преподаванія ариѳметики нельзя считать одинаковымъ. Если ариѳметика первой сотни чиселъ могла бы даже быть построена почти исключительно па задачахъ, то, за предѣломъ первой сотни чиселъ, рѣшеніе учащимися собственно-ариѳметическихъ задачъ даетъ имъ только случай съ разумѣніемъ прилагать пріобрѣтенныя уже знанія и умѣнія. Руководимые этой мыслью, мы помѣстили въ нашемъ „Сборникѣ“ значительное число задачъ на отдѣльныя дѣйствія въ предѣлѣ до ста, затѣмъ дали очень немного такихъ задачъ на числа любой величины и, наконецъ, вовсе не помѣстили задачъ на отдѣльныя дѣйствія надъ составными именованными числами. Мы признаемъ за отдѣломъ „Задачи на составныя именованныя числа“ характеръ, такъ сказать, повторительнаго отдѣла, предполагая, что для упражненія дѣтей въ механизмѣ ариѳметическихъ дѣйствій, примѣры представляютъ матеріалъ болѣе подходящій, чѣмъ рѣшеніе задачъ на отдѣльныя дѣйствія.

§ 2. Послѣ всѣхъ тѣхъ замѣчаній, которыя сдѣланы нами по поводу задачъ на числа первой сотни и задачъ на числа любой величины, намъ почти ничего не остается сказать относительно задачъ на составныя именованныя числа. Тѣмъ не менѣе, мы считаемъ умѣстнымъ привести нѣсколько задачъ, взятыхъ изъ нашего „Сборника“ съ цѣлью показать расположеніе записей, сопровождающихъ ихъ рѣшеніе.

№ 148. „На мельницѣ смололи 528 кулей пшеницы двухъ сортовъ; куль пшеницы перваго сорта далъ по 7 иуд. 32 фунт. муки, а куль пшеницы второго сорта—по 8 пуд. 14 фунт. Сколько всего намололи муки, если пшеницы перваго сорта было 176 кулей?“

№ 155. „Скупщикъ купилъ у землевладѣльца партію ржи; въ первый разъ онъ вывезъ седьмую часть этой ржи на 16 подводахъ, по 34 пуд. 32 фунт. на каждой, а во второй разъ онъ вывезъ остальную рожь, положивъ на каждую подводу по 38 пуд. 16 фунт. ржи. На сколькихъ подводахъ вывезъ скупщикъ рожь во второй разъ?“

Отв. На 87 подводахъ.

№ 164.— „У содержателя почтовой станціи было 13 троекъ лошадей; каждой лошади онъ выдавалъ въ день но 16 фунт. сѣна и по 4 гарнца овса. Сколько денегъ издержалъ содержатель станціи на кормъ всѣхъ лошадей въ теченіи 17 недѣль, если онъ платилъ 30 коп. за пудъ сѣна и 4 руб. 64 коп. за четверть овса?“

Отв. 1902 руб. 81 коп.

№ 167. „Два купца помѣнялись товарами: первый далъ второму 17 пуд. 24 фунт. сахару, цѣною по 6 руб. 50 коп. за пудъ, и получилъ въ обмѣнъ нѣсколько кусковъ полотна, длиною каждый въ 23 арш. 4 вершк., цѣною по 1 руб. 36 коп. за аршинъ. Сколько кусковъ полотна получилъ первый купецъ, если второй долженъ былъ доплатить 19 руб. 54 коп.?“

Отв. 3 куска полотна.

При вычисленіи стоимости даннаго количества товара, нѣтъ подобности вычислять всегда по одному и тому-же образцу: расчетъ по свободному соображенію и здѣсь приводитъ къ цѣли, большею частью, проще и скорѣй. Такъ, напримѣръ, чтобы, въ послѣдней задачѣ, узнать цѣну 17 пуд. 24 фунт. сахару, пудъ котораго стоитъ 6 руб. 50 коп., мы послѣдовательно пишемъ стоимость 10 пуд., 7 пуд., 20 фунт. и 4 фунт.; сумма записанныхъ чиселъ дастъ искомую стоимость.

№ 178. „Торговецъ купилъ: 8 пуд. 16 фунт. чаю по 1 руб. 15 коп. за фунтъ, 12 пуд. 25 фунт. кофе по 32 коп. за фунтъ и нѣкоторое количество сахару по 15 коп. за фунтъ. Сколько сахару купилъ торговецъ, если онъ издержалъ 823 руб. 25 коп. на всю покупку?“

Ото. 45 пуд. 35 фунт. сахару.

№ 187. „Подрядчикъ поставилъ въ учебное заведеніе сперва 56 саж. березовыхъ дровъ и 97 саж. сосновыхъ за 639 руб. 45 коп.; потомъ онъ еще поставилъ, по тѣмъ же цѣнамъ, 56 саж. березовыхъ дровъ и 75 саж. сосновыхъ за 554 руб. 75 коп. Сколько получалъ подрядчикъ за одну сажень сосновыхъ дровъ и сколько за одну сажень березовыхъ?“

§. 3. Въ заключеніе приведемъ рѣшеніе тѣхъ задачъ — №№ 207 — 215, которыя отмѣчены въ нашемъ „Сборникѣ“ звѣздочкой.

№ 208. „Два парохода отправились одновременно съ одной и той-же пристани въ Нижній-Новгородъ; первый проходилъ въ часъ по 14 верст. 225 саж., второй — по 12 верст. 375 саж. На какомъ разстояніи отъ Нижняго-Новгорода отстояла пристань, если второй пароходъ прибылъ черезъ 8 часовъ послѣ перваго?“

Второй пароходъ прибылъ на мѣсто позднѣе перваго вслѣдствіе того, что второй пароходъ шелъ медленнѣе перваго на 850 саж. въ часъ. Когда первый пароходъ достигъ Нижняго-Новгорода, второй находился отъ этого города на разстояніи 51000 саж. (12 верст. 375 саж. Х8), такъ какъ долженъ былъ еще идти 8 часовъ со скоростью 12 верст. 375 саж., чтобы прибыть въ городъ. Другими словами, второй пароходъ отсталъ отъ перваго на 51000 саж.; а такъ онъ отставалъ отъ него въ одинъ часъ на 850 саж. (14 в. 225 с.— 12 в. 375 с.=850 с.), то долженъ былъ идти 60 часовъ (5Ï000 : 850=60), чтобы отстать на 51000 саженъ. Итакъ, второй пароходъ шелъ всего 68 часовъ, дѣлая по 12 в. 375 саж.; онъ прошелъ слѣдовательно 867 верстъ; изъ чего заключаемъ, что пристань отстояла отъ Нижняго-Новгорода на 867 верстъ.

№ 209. „Книгопродавецъ напечаталъ 4160 экземпляровъ молитвенника и 3960 экземпляровъ азбуки; на изданіе этихъ книгъ онъ употребилъ

186 стопъ 13 дест. 8 лист. бумаги. Сколько бумаги пошло на каждый молитвенникъ, если на 64 молитвенника пошло бумаги столько, сколько на 112 азбукъ?“

Такъ какъ количество бумаги, которое идетъ на 112 азбукъ, равно тому количеству бумаги, которое идетъ на 64 молитвенника, то каждыя 112 азбукъ можно замѣнить (относительно количества бумаги) 64 молитвенниками. Чтобы узнать, сколько разъ можетъ быть произведена такая замѣна, нужно узнать, сколько разъ 112 заключается въ 3920; такъ какъ первое число содержится во второмъ 35 разъ, то всѳ количество азбукъ можетъ быть замѣнено 2240 молитвенниками (64 • 35= 2240); изъ чего заключаемъ, что на оба изданія пошло бумаги столько-же, сколько пошло бы ея на изданіе 6400 экземпляровъ молитвенника (4160 4-2240 = 6400). Такъ какъ на оба изданія пошло 89600 листовъ бумаги, то на одинъ молитвенниковъ пошло (89600 : 6400) 14 листовъ бумаги.

№ 210. „Братъ наткалъ 12 арш. 8 вершк. полотна, а сестра — 44 арш. 6 вершк. Сколько еще дней должны ткать братъ и сестра, чтобы у нихъ стало полотна поровну, если братъ ткетъ 7 арш. 4 вершк. въ день, а сестра — 5 арш. 6 вершк. въ день?“

Искомое число дней мы найдемъ, раздѣливъ разность данныхъ чиселъ, т. е. разность (44 арш. 6 вершк. — 12 арш. 8 вершк.) на разность данныхъ прибавковъ, т. е. на разность (7 арш. 4 верш. — 5 арш. 6 вершк.). Такъ какъ результатъ этого дѣленія 17, то мы заключимъ, что братъ и сестра должны ткать еще 17 дней, чтобы у нихъ стало поровну полотна.

№ 211. „У двухъ мѣдниковъ было поровну мѣди; когда оба сдѣлали одинаковое число кастрюль, то у перваго осталось 2 фунт. 63 зол., а у второго— 13 фунт. 57 зол. мѣди. Сколько мѣди было у обоихъ мѣдниковъ, если первый употребилъ на каждую кастрюлю по 7 фунт. 45 зол., а второй— по 5 фунт. 27 зол. мѣди?“

Эта задача рѣшается такъ же, какъ и предыдущая : раздѣливъ разность (13 фунт. 57 зол. — 2 фунт. 63 зол.) на разность (7 фунт. 45 зол. — 5 фунт. 27 80Л.), мы найдемъ число 5 и заключимъ, что каждый мѣдникъ сдѣлалъ изъ своей мѣди по 5 кастрюль, послѣ чего не трудно уже опредѣлить все количество мѣди, которое первоначально было у обоихъ мѣдниковъ : у нихъ было 2 пуда мѣди.

№ 212. „Въ одномъ ящикѣ было столько пятиалтынныхъ, сколько въ другомъ двугривенныхъ; когда изъ второго ящика переложили въ первый 36 двугривенныхъ, то въ обоихъ ящикахъ денегъ стало поровну. Сколько денегъ было въ обоихъ ящикахъ?“

Во второмъ ящикѣ было денегъ больше, чѣмъ въ первомъ, и притомъ на столько пятачковъ больше, сколько монетъ лежало въ каждомъ ящикѣ. Такъ какъ изъ второго ящика должны были переложить въ первый 36 двугривенныхъ, чтобы денегъ въ ящикахъ стало поровну, то разность между количествомъ денегъ во второмъ и первомъ ящикахъ была 14 руб. 40 к. Но 14 руб. 40 к. содер-

жатъ 288 пятачковъ, и поэтому въ каждомъ ящикѣ было первоначально по 288 монетъ, а денегъ въ нихъ было 100 руб. 80 коп.

№ 213. „На заводѣ было 379 пуд. 12 фунт. олова и 283 пуд. 28 фунт. мѣди; изъ этихъ двухъ металловъ сдѣлали сплавъ, причемъ на каждые 14 пуд. 12 фунт. олова употребили 8 пуд. 13 фунт. мѣди. Сколько вѣсилъ сплавъ, если несплавленныхъ металловъ осталось поровну?“

Отв. 362 пуда.

№ 214. „У хлѣбнаго торговца въ одномъ амбарѣ было 1096 чт. 1 чк. пшеницы, а въ другомъ — 268 чт. 5 чк.; когда изъ каждаго амбара онъ продалъ поровну мѣшковъ, по 3 чк. пшеницы въ каждомъ, то въ первомъ амбарѣ осталось пшеницы въ 6 разъ больше, чѣмъ во второмъ. Сколько мѣшковъ пшеницы продалъ хлѣбный торговецъ?“

Для удобства, раздробимъ данныя въ задачѣ составныя числа:

Предположимъ, что въ первомъ амбарѣ уже первоначально было пшеницы въ 6 разъ больше, чѣмъ во второмъ, а именно, что число четвериковъ въ первомъ было 12894 (2149 • 6), а во второмъ — 2149. Въ такомъ случаѣ, уменьшая во второмъ амбарѣ число четвериковъ на 3, надлежало бы, каждый разъ, уменьшать число четвериковъ въ первомъ амбарѣ на 18, чтобы не нарушить предположеннаго отношенія. Но, въ дѣйствительности, число четвериковъ въ первомъ амбарѣ 8769; изъ схемы:

легко уяснить себѣ, что требуемое отношеніе (6:1) установится, когда избытокъ 4125 будетъ исчерпанъ убавками въ 15; это случится послѣ того, какъ такихъ убавковъ будетъ произведено 275 (4125 : 15 = 275). Изъ этого заключаемъ, что хлѣбный торговецъ продалъ всего 550 мѣшковъ пшеницы, по 3 четверика въ каждомъ.

№ 215. „У рыбака было толстой бечевки въ 8 разъ больше, чѣмъ тонкой; когда онъ издержалъ 184 саж. 1 арш. толстой бечевки и еще прикупилъ 59 саж. 2 арш. тонкой, то у него толстой бечевки стало въ три раза больше, чѣмъ тонкой. Сколько у рыбака было первоначально тонкой бечевки?“

Для удобства, раздробимъ данныя въ задачѣ составныя именованныя числа:

Предположимъ, что уже первоначально первое число было больше второго не въ 8 разъ, а только въ 3 раза. Въ такомъ случаѣ, прибавивъ ко второму числу 179, надлежало бы прибавить къ первому числу 179 • 3, т. е. 537, чтобы предположенное отношеніе (3:1) сохранилось. Но, въ дѣйствительности, къ первому числу не только не прибавлено 537, но, напротивъ, изъ него вычтено 553. Такимъ образомъ, мы видимъ, что восемь разъ взятое неизвѣстное число нужно было уменьшить на 1090 (537+553=1090), чтобы получить утроенное неизвѣстное; изъ этого мы заключаемъ, что неизвѣстное число есть 1090 : 5, т. е. 218.

Итакъ, у рыбака было первоначально 218 аршинъ тонкой бечевки.

ПРИБАВЛЕНІЕ.

ПРИМѢРЫ ДЛЯ БѢГЛАГО ВЫЧИСЛЕНІЯ.

Дѣйствія въ предѣлѣ до десяти.

Сложеніе въ предѣлѣ до ста.

Сложеніе и вычитаніе въ предѣлѣ до ста.

Сложеніе, вычитаніе и умноженіе въ предѣлѣ до ста.

Сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе въ предѣлѣ до ста.

Группа задачъ на числа до ста.

1) Я задумалъ число, прибавилъ къ нему 3, вычелъ (изъ полученной суммы) 4, умножилъ (полученную разность) на 5, раздѣлилъ (полученное произведеніе) на 6, и получилъ 10. Какое число я задумалъ? — (13).

2) Я задумалъ число, вычелъ изъ него 5. прибавилъ (къ полученной разности) 7, умножилъ (полученную сумму) на 9, раздѣлилъ (полученное произведеніе) на 11, и получилъ 9. Какое число я задумалъ? — (9).

3) Я задумалъ число; умножилъ его на 12, прибавилъ (къ получ. произведенію) 25, вычелъ (изъ полученной суммы) 37, раздѣлилъ (полученную разность) на 8, и получилъ 6. Какое число я задумалъ? — (5).

4) Я задумалъ число; раздѣлилъ его на 17, прибавилъ (къ полученному частному) 28, вычелъ (изъ полученной суммы) 19, помножилъ (полученную разность) на 5, и получилъ 65. Какое число я задумалъ? — (68).

5)*) Я задумалъ число, прибавилъ къ нему 13, вычелъ 44, раздѣлилъ на 7, помножилъ на 8, и получилъ 32. Какое число я задумалъ? — (59).

6) Я задумалъ число, вычелъ изъ него 24, прибавилъ 13, раздѣлилъ на 5, помножилъ на 6, и получилъ 54. Какое число я задумалъ? — (56).

7) Я задумалъ число, помножилъ его на 13, прибавилъ 14, раздѣлилъ на 6, вычелъ 9, и получилъ 2. — Какое число я задумалъ? — (4).

8) Я задумалъ число, раздѣлилъ его на 19, прибавилъ 7, помножилъ на 7, вычелъ 57, и получилъ 27. Какое число я задумалъ? — (95).

9) Я задумалъ число, прибавилъ къ нему 6, помножилъ на 4, вычелъ 38, раздѣлилъ на 18, и получилъ 3. Какое число я задумалъ? — (17).

10) Я задумалъ число, вычелъ изъ него 34, умножилъ на 5, прибавилъ 5, раздѣлилъ на 5, и получилъ 12. Какое число я задумалъ? — (45).

11) Я задумалъ число, умножилъ его на 4, вычелъ 28, прибавилъ 24, раздѣлилъ на 16, и получилъ 6. Какое число я задумалъ? — (25).

12) Я задумалъ число, раздѣлилъ его на 5, вычелъ 9, прибавилъ 18, умножилъ на 4, и получилъ 88. Какое число я задумалъ? — (65).

13) Я задумалъ число, прибавилъ къ нему 18, умножилъ на 3, раздѣлилъ на 9, вычелъ 5, и получилъ 4. Какое число я задумалъ? — (9).

14) Я задумалъ число, вычелъ изъ него 11, умножилъ на 2, раздѣлилъ на 7, прибавилъ 13, и получилъ 15. Какое число я задумалъ? — (18).

15) Я задумалъ число, умножилъ его на 3, вычелъ 7, раздѣлилъ на 13, прибавилъ 18, и получилъ 23. Какое число я задумалъ? — (87).

*) Задачи 1—4 предложены, для краткости, въ условной редакціи. Учитель можетъ или предлагать ихъ въ томъ мцѣ, какъ зад. 5 — 24, или, послѣ надлежащаго объясненія, читать ихъ, какъ напечатано.

16) Я задумалъ число, раздѣлилъ его на 3, вычелъ 11, умножилъ на 5, прибавилъ 7 и получилъ 97. Какое число я задумалъ? — (24).

17) Я задумалъ число, прибавилъ къ нему 51, раздѣлилъ на 4, вычелъ 3, умножилъ на 7, и получилъ 91. Какое число я задумалъ? — (13). 18) Я задумалъ число, вычелъ изъ него 49, раздѣлилъ на 7, прибавилъ 9, умножилъ на 7, и получилъ 91. Какое число я задумалъ? — (77).

19) Я задумалъ число, умножилъ его на 6, раздѣлилъ на 7, прибавилъ 49, вычелъ 13, и получилъ 48. Какое число я задумалъ? — (14).

20) Я задумалъ число, раздѣлилъ его на 13, умножилъ на 7, прибавилъ 45, вычелъ 13, и получилъ 67. Какое число я задумалъ? — (65).

21) Я задумалъ число, прибавилъ къ нему 17, раздѣлилъ на 7, умножилъ на 13, вычелъ 25, и получилъ 53. Какое число я задумалъ? — (25).

22) Я задумалъ число, вычелъ изъ него 11, раздѣлилъ на 8, умножилъ на 9, прибавилъ 18, и получилъ 90. Какое число я задумалъ? — (75).

23) Я задумалъ число, умножилъ его на 6, раздѣлилъ на 7, вычелъ 7, прибавилъ 45, и получилъ 50. Какое число я задумалъ? — (14).

24) Я задумалъ число, раздѣлилъ его на 7, умножилъ на 9, вычелъ 9, прибавилъ 28, и получилъ 100. Какое число я задумалъ? — (63).

Примѣчаніе. Предлагая подобныя задачи, нѣтъ основанія требовать, чтобы дѣти запоминали данныя этихъ задачъ; они могутъ отмѣчать эти данныя въ такомъ видѣ (№ 1): +3, —4, X 5, :6; 10 и рѣшать задачу, руководясь этой схематической записью.

ТАБЛИЦЫ.