А. Г. ГОЛЬДБЕРГ

ФУНКЦИИ И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ. ПРОИЗВОДНАЯ

ИЗ ОПЫТА УЧИТЕЛЯ

УЧПЕДГИЗ - 1957

А. Г. ГОЛЬДБЕРГ

ФУНКЦИИ И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ. ПРОИЗВОДНАЯ.

ИЗ ОПЫТА УЧИТЕЛЯ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

Ленинград • 1957

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Предисловие ............................. 3

Глава I. Функция

§ 1. Функция.............................. 5

§ 2. Примеры исследования функций............... 9

§ 3. Графическое решение уравнений ............. 14

§ 4. Понятие о пределе функции ................ 17

Глава II. Производная

§ 1. Понятие о производной.................... 23

§ 2. Производные некоторых функций.............. 27

§ 3. Геометрический смысл производной............ 28

§ 4. Механический смысл производной.............. 30

§ 5. Применение понятия производной в различных отраслях знания ............................... —

§ 6. Некоторые теоремы о производных............. 31

§ 7. Производная степенной функции с натуральным показателем .............................. 33

§ 8. Производная целой рациональной функции........ 34

§ 9. Предел отношения —— при х, стремящемся к нулю . 35

§ 10. Производные функций sin тх и cos тх......... 36

§ 11. Упражнения в отыскании производных........... 38

Глава III. Приложение производной к изучению возрастания и убывания функций и определению экстремумов функций

§ 1. Возрастание и убывание функций.............. 39

§ 2. Примеры исследования функций на возрастание и убывание ................................ 40

§ 3. Максимум и минимум функции в данной точке..... 41

§ 4. Решение примеров на отыскание максимумов и минимумов функций........................... 43

§ 5. Исследование функций (возрастание, убывание, экстремум) и построение графиков функций........... 45

§ 6. Задачи на максимум и минимум функций ........ 51

Упражнения.............................. 65

Ответы................................... 67

Литература............................... 69

Абрам Гиршевич Гольдберг. Функции и их исследование. Производная. Редактор К. У. Шахно. Техн. редактор И. Г. Раковицкий. Корректор О. Д. Керн.

Сдано в набор 25/VII 1957 г. Подписано к печати 30/VIII 1957 г. М-13704. Формат бумаги 84 X 108 Vas- Печ. л. 4,25 (3,48). Уч.-изд. л. 3,21. Тираж 30000 экз. Цена 85 к.

Ленинградское отделение Учпедгиза. Ленинград, Невский пр., 23. Заказ N» 725. Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической промышленности. 2-я типография .Печатный Двор" имени А. М. Горького. Ленинград,

Гатчинская, 26.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Проект новой программы по математике для средней школы вводит в курс 10-го класса тему „Функции и их исследование. Производная". В связи с этим возникает задача создания методической разработки темы. Настоящая работа представляет собой один из возможных вариантов изложения этой темы в 10-м классе средней школы по новой программе.

При этом тема разбивается на три части: функции, производная, приложение производной.

В начале первой части напоминается и разъясняется определение функции и дается обзор типов ранее изученных функций и их графиков, в которых делается упор на наглядное представление области определения и области изменения функции.

Предполагается, что функции, подобные рассмотренным, повторяются учащимися в порядке выполнения домашнего задания. Затем на ряде примеров учащиеся вводятся в круг вопросов, связанных с элементарным исследованием функций, и знакомятся с графическим решением некоторых трансцендентных уравнений. Сложное понятие предела функций выясняется сначала на примерах линейной и квадратной функций и лишь затем определяется. Нужно сказать, что установление аналитической зависимости между S и е в примере с квадратной функцией при недостаточной подготовленности класса не является обязательным и можно ограничиться лишь графической интерпретацией этих величин.

К центральному понятию второй части темы, к понятию производной, рассматриваемой как скорость изменения функции, учащиеся подводятся на примере функции у = jc2, сначала для численных значений лг(д: = 3 и х = — 4) и лишь затем в общем виде. И здесь не следует спешить, надо, чтобы учащиеся осознали это понятие, а не формально его изучили. Идея предельного перехода, являющегося основой понятия производной, закрепляется на примерах отыскания производных линейной функции, постоянной и функций -У = -^- и

Формула производной функции у = —- дана также с целью расширения диапазона применения производной к решению задач на

максимум и минимум. Геометрический смысл производной, применение понятия производной в механике и в других отраслях знания даются с целью показать важность изучаемой темы и ее большое практическое значение. Доказательством двух теорем о производных и выводом формул производных от степенной функции с натуральным показателем и функций sin тх cos тх понятие производной окончательно закрепляется. Этим завершается создание необходимого в дальнейшем аппарата.

Последняя, третья часть темы посвящена приложению понятия производной к исследованию функций на возрастание и убывание, к нахождению экстремумов функции и к решению задач на максимум и минимум, причем отдельные элементы исследования отрабатываются по частям и лишь затем дается „полное" (определяемое рамками изложенного ранее материала) исследование функций с построением их графиков. В заключительном параграфе даются примеры решения задач на максимум и минимум из геометрии, физики и техники. Большое число таких задач можно найти в работах, указанных в приложенном здесь перечне использованной литературы.

В данной книге не дается детальная разбивка часов по отдельным вопросам темы, так как она может быть дана лишь по накоплении некоторого опыта проведения этой темы в школе. Можно лишь ориентировочно предположить, что за вычетом четырех часов, необходимых для проведения контрольных работ по этой теме, остальные тридцать шесть часов следует разделить примерно так: восемнадцать часов на первую и вторую части темы, восемнадцать часов на третью часть.

В книге не рассматриваются теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций; их применение опирается на аналогичные теоремы о пределах переменных, которые по проекту новой программы излагаются без доказательства в курсе алгебры 9-го класса. Не рассматривается явно, т. е. не формулируется и не разъясняется, понятие непрерывности функции, хотя его неизбежно приходится касаться. Соответствующие места в некоторой степени обеспечены ранее доказанными предложениями или оговорены. Надлежащее изложение этого вопроса в средней школе, по нашему мнению, не представляется возможным, да это и не предусмотрено проектом новой программы по математике.

Глава I

ФУНКЦИЯ

§ 1. Функция

В курсе математики учащиеся ознакомились с понятием функции.

Так, например, площадь круга Q есть функция радиуса /? (Q = tc/?2), пройденное расстояние 5 свободно падающего тела есть функция времени падения t (s=^П» объем газа v при постоянной температуре есть функция давления р zi = h и т. д,

Напомним определение функции.

Определение. Если каждому допустимому значению переменной х, называемой аргументом, соответствует одно определенное значение переменной у, то переменная у называется функцией от переменной х.

Это определение функции содержит следующие основные моменты: множество так называемых допустимых значений аргумента и закон соответствия.

Что же является допустимым значением аргумента?

Если взять, например, функцию у = , то при х = О выражение гт=- не имеет числового смысла, а при х<0 оно не является вещественным числом. При любом же х]>0 выражение есть определенное вещественное число. Вот эти-то значения аргумента х, при которых

функция у существует в области вещественных чисел, мы и будем называть допустимыми.

Таким образом, получаем следующее определение: допустимым называется такое вещественное значение аргумента, при котором функция существует в области вещественных чисел.

Что представляет собой закон соответствия. Закон соответствия — это то правило, с помощью которого каждому допустимому значению аргумента ставится в соответствие определенное значение функции.

В зависимости от формы задания закона соответствия функция может быть задана:

а) аналитически, когда закон соответствия выражен с помощью уравнения;

б) графически, когда закон соответствия выражен с помощью графика;

в) табличным способом, когда закон соответствия дан в виде таблицы множества соответствующих значений аргумента и функции;

г) словесным описанием, когда закон соответствия сформулирован в виде предложения.

Широкое применение имеет три первых способа задания функции. Здесь мы будем применять первые два способа. В общем виде у как функцию от х записывают так:

y=f(x) или y = <f(x),

где буквы / и ср характеризуют закон соответствия. Например, в функции y=f(x) = 2x-{-3 буква /означает совокупность действий умножения на 2 и сложения результата с числом 3, т. е. совокупность действий умножения и сложения над аргументом и коэффициентами, взятыми в определенном порядке.

Условимся под символами—2) понимать численное значение функции f(x) при х, равном 1, —2. Например, для функции у=f(x) = X* +1; /(1) = 1* +1 = 2; /(-2) = (-2)' + 1=5 и т. д.

Дадим еще определения других понятий, применяемых при изучении функций:

1. Множество всех допустимых значений аргумента называется областью определения функции.

2. Множество всех значений, которые принимает сама функция, называется областью изменения функции.

Рассмотрим на ряде примеров эти понятия.

Пример 1. Линейная функция у = 2х-{-3. Как областью определения функции, так и областью ее изменения, является множество всех вещественных чисел. Графиком этой функции является прямая линия (черт. 1).

Проектируя все точки графика на ось ОХ, получим геометрическое изображение области определения функции— всю ось ОХ, т. е. множество всех вещественных чисел.

Проектируя график на ось OY, мы получим геометрическое изображение области изменения функции — всю ось OY, т. е. также множество всех вещественных чисел.

Пример 2. Квадратная функция у=х*. Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, а областью изменения функции — множество всех неотрицательных чисел.

Графиком этой функции является парабола с вершиной в начале координат (черт. 2).

Проектируя все точки параболы на ось ОХ, получим область определения функции — всю ось ОХ, т. е. множество всех вещественных чисел. Проектируя все точки параболы на ось OY, получим область изменения функции — часть оси от точки О в сторону положительных значений Y, т. е. множество всех неотрицательных чисел.

Пример 3. Логарифмическая функция у = loga х.

Черт. 1.

Черт. 2.

Область определения функции — множество всех положительных чисел; область изменения функции — множество всех вещественных чисел. Это наглядно видно и на графике функции (черт. 3).

Черт. 3

Пример 4. Тригонометрическая функция у = tg х.*

Черт. 4.

Область определения функции, как наглядно показывает график этой функции (черт. 4), — множество всех

* Перед рассмотрением примеров 4 и 5 следует вспомнить определения промежутка и отрезка (см. стр. 9).

вещественных значений х Ф (2k -|-1) у, где k — любое целое число. Иначе говоря, область определения функции есть совокупность бесчисленного множества промежутков (—у + ^тс> где * — любое целое число.

Область изменения функции— множество всех вещественных чисел.

Пример 5.Тригонометрическая функция у = aresin х.

Область определения функции — отрезок [— 1 ; 1 ]; область изменения функции — отрезок — у, у , которые получим, проектируя график функции (черт. 5) соответственно на оси ОХ и OY.

Черт. 5.

§ 2. Примеры исследования функций.

Задача отыскания области определения функций, примеры которых были приведены в предыдущем параграфе, является составной частью более общей задачи исследования функций.

В исследование функций входят следующие вопросы: отыскание области определения функции, промежутков монотонности функции, наибольших и наименьших значений функции, а также установление некоторых специальных свойств функции, как-то: четность или нечетность, периодичность, отыскание периода и др.

Рассмотрим несколько примеров, в которых исследуем отдельные свойства функций.

Пример 1. Найти область определения функции

1. Промежутком от а до b (а < Ь) называется множество всех вещественных чисел, удовлетворяющих неравенствам

а < X < Ь.

2. Отрезком от а до b (а < Ь) называется множество всех вещественных чисел, удовлетворяющих неравенствам

а ^ X ^ Ь.

Решение. Для существования числителя в области вещественных чисел необходимо и достаточно, чтобы было 3 — х^0\ для существования знаменателя необходимо и достаточно, чтобы было х — 1 ]> 0; наконец, для существования дроби, необходимо, чтобы lg (х — 1) Ф 0, т. е. чтобы X —1^1. Таким образом, область определения функции найдем из следующей системы неравенств:

Из первых двух неравенств получаем:

l<x<3. Из третьего неравенства:

X Ф 2.

Окончательно получаем, что область определения функции состоит из двух промежутков:

1<л;<2 и 2<х^3.

Пример 2. Найти область определения функции

Решение. Область определения функции находим из неравенства

X2— 1>0.

Разложим левую часть неравенства на множители: (*+1)(*-1)>0.

Отсюда либо

либо

Решая первую систему линейных неравенств, получим X > 1 ; решая вторую систему, получим х < — 1.

Таким образом, область определения функции запишется в виде совокупности (не системы) двух неравенств:

х<— 1 и jc>1.

Пример 3. Найти область определения функции

Решение. Функция cos х определена для любых вещественных значений х.

Логарифмическая же функция определена лишь для положительных значений аргумента. Поэтому область определения данной функции может быть записана в виде неравенства

cos X > 0.

Последнее неравенство имеет место лишь для значений Ху взятых в промежутках:

где k означает любое целое число. К этим промежуткам относятся, например, следующие:

Пример 4. Найти область определения функции j/ = arcsin(2A:—1).

Решение. Область определения функции находим из неравенств:

— 1<2х—1<1.

Прибавляя ко всем членам неравенств по 1, получим:

0<2ж2.

Деля все члены неравенств на 2, получим:

Таким образом, область определения данной функции есть отрезок [0, 1].

Прежде чем перейти к рассмотрению других примеров, дадим определения возрастающей и убывающей функций.

Определение. Функция f(x) называется возрастающей в некотором промежутке области ее определения, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. если при х^хи где Хх и Хъ — любые числа этого промежутка.

Определение. Функция f(x) называется убывающей в некотором промежутке области ее определения, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функций, т. е. если

где Xi и Хъ — любые числа этого промежутка.

Функции возрастающие или убывающие во всей области их определения называются монотонными.

Найти промежутки монотонности функции — значит, найти те промежутки, принадлежащие области ее определения, в которых функция является возрастающей или убывающей.

Пример 5. Найти промежутки монотонности функции

y=f(x) = 2x* — Зх+1.

Решение. Пусть х2 ]> лу, найдем разность/(х2) —/(хО* Имеем:

/(**) — = (2*8 — Зх, + 1) — (2х\ — 3Jd + l) = = (х* — Xi) • [2{хх + х%) — 3].

Первый множитель полученного произведения х2 — Х\ ]> >0, так как x*>xlf второй же множитель будет отрицательным, если Xj + ^^y, и положительным, если

Ху -\- Х%> у.

Очевидно, что если взять и Xi<Ct и Xa^-j» то тогда

и будем иметь xt -f-х2 <] у; если же взять и Xi>-£- и л;2>-^-, тогда будем иметь Xi-|-я* у-

Следовательно, в первом случае второй множитель рассматриваемого произведения будет отрицательным и тогда будем иметь

/(*,)-/(*,)<<);

во втором случае второй множитель будет положительным и тогда будем иметь /(х3) — /(Xi)>0.

Таким образом, функция является убывающей для всех и возрастающей для всех х>-^-.

Эти условия являются не только достаточными, но и необходимыми для убывания и возрастания данной функции. Так, если функция возрастает, то необходимо х>-^, ибо, если предположить противное, что х<-|-, т. е. Х\<Хъ<С£> т0> как было показано, функция должна убывать. Если взять x^-j-, а то сумма Xi + Xj

может быть и больше у и меньше у и, следовательно, разность /(Хч)—f(Xi) не будет иметь постоянного знака.

Пример 6. Найти промежутки монотонности функции

y=f(x) = x* + x.

Решение. Пусть х2 > xt. Найдем разность f(x2) — Имеем:

Первый множитель jc2— Xi>0, так как Xi>xù покажем, что второй множитель при любых вещественных значениях xt и л:2 является положительным. Действительно,

а последнее выражение является, очевидно, положительным. Таким образом, для любых х^>хх мы имеем, что

/(*•»/(*).

т. е. функция является возрастающей во всей области ее определения.

Пример 7. Доказать, что функция у =f(x) = х + ~ для значений а; 1 является возрастающей.

Решение. Пусть л:2 > > 1. Имеем:

Из условия x«>JCi>l заключаем, что знаменатель, а также и оба множителя числителя являются числами положительными. Следовательно, /(х9)—/C*i)]>0 и функция возрастающая.

Рассмотрим два примера на отыскание наибольших и наименьших значений функций.

Пример 8. Найти наибольшее значение функции y=f(x) = — x* + 2x.

Решение. Преобразуем данную функцию:

Первое слагаемое — число неположительное, следовательно, его наибольшее значение равно нулю, а значит, наибольшее значение функции равно 1.

Пример 9. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

у = sin (л: — 30°) + sin (х + 30°).

Решение. Преобразуем сумму синусов в произведение. Имеем

у= /3 • sinx.

Наибольшее значение s'mx равно 1, наименьшее —1. Следовательно^ наибольшее значение функции >/3, а наименьшее — }/3.

В следующих двух примерах доказываются свойства четности или нечетности функций.

Пример 10. Доказать, что функция y=f(x) = = 2х-\-2~х является четной.

Решение.

f(—x) = Т* + 2"(-х) = Тх + 2х = 2х-\- 2~x=f(x).

Следовательно, функция четная.

Пример 11. Доказать, что функция у =/(х) = х -j- ~ является нечетной.

Решение.

Значит, функция нечетная.

§ 3. Графическое решение уравнений

В тех случаях, когда нам достаточно ограничиться приближенными значениями корней уравнения, а также когда аналитическое решение уравнения затруднительно или нам неизвестно, прибегают к графическому способу решения уравнения.

Суть его состоит в следующем. Если дано уравнение f(x) = 0, то, построив график функции у =f(x) в прямоугольной системе координат, находят измерением абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс (если они будут), которые дадут нам приближенные значения всех вещественных корней уравнения. Если дано уравнение вида

f(x) = y(x) или к нему приведено данное уравнение, то строят графики функций y=f(x) и у = у(х) и находят абсциссы точек пересечения графиков (если таковые будут). Они и дадут приближенные значения всех вещественных корней уравнения.

Точность графического способа решения уравнений небольшая, и он может быть применен лишь для грубых расчетов. Найденные значения необходимо проверить и, если нужно, уточнить вычислительными методами.

Строить графики желательно на миллиметровой бумаге в достаточно крупном масштабе и возможно тщательнее.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить уравнение 2х = Ах.

Решение. Обозначим 2х и Ах через у.

Строим графики функций у = 2х и у = Ах.

Первый график показательной функции — кривая, второй — прямая линия, проходящая через начало координат (черт. 6). Как показывает чертеж оба графика пересекаются в двух точках, проекции которых на ось ОХ и укажут нам корни уравнения:

Xi 0,31 и л:2 = 4.

Черт. 6.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Строим график функций

Как показывает черт. 7, графики пересекаются в двух точках, проекции которых на ось ОХ дают нам решения уравнения и д;2 = 8.

Пример 3. Решить уравнение cosx = x.

Решение. Строим графики функций у = cos xwy = x, т. е. косинусоиду и прямую линию — биссектрису первого и третьего координатных углов (черт. 8).

Черт. 7.

Черт. 8.

Черт. 9.

Графики пересекаются только в одной точке, проектируя которую на ось ОХ, получим л;я«0,74.

Пример 4. Решить уравнение (л;—I)2 = sinx.

Решение. Строим графики функций

у = (х — I)2 uy = sinx,

которые пересекаются в двух точках. Их проекции на ось ОХ дают нам хх ^ 0,39 их^1,95 (черт. 9).

§ 4. Понятие о пределе функции

Введем понятие окрестности числа (точки).

Определение. Окрестностью данного числа а (точки) называется промежуток (а — е, а-\-г), где е — любое положительное число.

Например, (2,9; 3,1), (2,95; 3,05) являются окрестностями числа 3 или, как говорят, окрестностью точки 3. На числовой оси число 3 изображается точкой, а окрестность числа — множеством всех точек внутри отрезка этой оси, исключая концы этого отрезка, серединой которого является точка 3.

Раньше, чем ввести понятие о пределе функции, рассмотрим два примера.

Пример 1. Рассмотрим функцию у = =f(x) = 2x-{-3 и ее график.

Возьмем какое-нибудь значение аргумента, например 1; соответствующее значение функции — 5.

На черт. 10 они изображены соответственно точками С и К.

Рассмотрим значения функции в некоторой окрестности ее значения 5, т. е. в промежутке (5 — е, 5 -f- е), где е — некоторое положительное число. На чертеже MK = KN=e и промежуток (5 — е, 5 + £) изображен множеством точек

Черт. 10.

оси ОУ между точками M и N. Для всех этих значений функции, очевидно, имеет место неравенство:

(1)

Какому же условию должны удовлетворять значения аргумента, чтобы это неравенство имело место? Если возьмем точки графика D и F, проекциями которых на ось OY являются точки M и N, и спроектируем их на ось ОХ, то получим точки А и В. Очевидно, АС = СВ. Обозначим АС = СВ через 8, (8>0).

Очевидно, что для всех значений аргумента л:, соответствующим точкам оси ОХ между точками А и В, имеет место неравенство (1) и при этом

(2)

Неравенство (2) и является тем достаточным условием, которому должны удовлетворять значения аргумента, чтобы имело место неравенство (1).

Для каждого заданного значения е]>0 можно найти соответствующее значение &>0. Из неравенства

имеем последовательно:

(3)

Очевидно, что из неравенства (3) вытекает неравенство (1). Следовательно, достаточно взять 8 =-у- , чтобы имело место неравенство (1).

То обстоятельство, что для каждого заданного е>0 можно указать такое 8>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 11 — х | < 8, имеет место неравенство

выражают следующим образом: функция f(x) = 2х-\- 3 имеет пределом число 5 при х, стремящемся к 1, и записывают это так:

В данном примере значение функции при х = 1 также равно б.

Таким образом, здесь lim/(я) =/(1).

Пример 2. Рассмотрим функцию y=f(x) = x* и ее график.

Возьмем значение аргумента, равное 2; соответствующее значение функции равно 4. На черт. 11 они изображены соответственно точками С и К-

Станем рассматривать значения функции в некоторой окрестности ее значения 4, т. е. в промежутке (4-е, 4 + е), где е>0 (берем е<4). На чертеже

Для всех значений функции, соответствующих точкам оси OK, заключенным между точками M и N, имеет место неравенство

(4)

Точкам M и M оси OY соответствуют точки А и В оси ОХ (мы ограничиваемся положительными значениями аргумента), которым соответствуют значения аргумента

Можно показать, что АС>ВС*

Отложим на оси ОХ от точки С отрезок СА\ равный отрезку СВ. Обозначим:

А'С=СВ = Ь.

Для всех точек оси ОХ между точками А и В имеет место неравенство

(5)

где

Таким образом, достаточно взять

чтобы для всех X, удовлетворяющих неравенству

имело место неравенство

Геометрически это значит, что достаточно взять точку на оси ОХ в промежутке между точками А и В, чтобы соответствующая точка на оси OY обязательно оказалась внутри отрезка ММ.

Аналогично предыдущему примеру мы скажем, что функция

№=х*

* ЛС = 2 — jA —£, BC = V4 + z — 2.

Допустим, что АС > ВС. Имеем последовательно:

еа > 0 — очевидное неравенство. Так как все преобразования здесь обратимы, то верно и неравенство АС>ВС.

имеет пределом число 4 при х, стремящемся к 2, и запишем это так:

В этом примере, как и в предыдущем, значение функции при X = 2 также равно 4, т. е. имеет место равенство:

На основании рассмотренных примеров приходим к следующему определению:

Определение. Число L называется пределом функции f{x) при Ху стремящемся к а (и отличном от а), если при любом наперед заданном числе е>0 можно указать такое число 8>0, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству

имеет место неравенство

Записывается это так:

В обоих примерах предел функции от х при х, стремящемся к некоторому значению, совпадал со значением этой функции при этом значении аргумента. Но это не всегда бывает. Предел f(x) при х, стремящемся к а, может существовать, а значение функции при х, равном а, может не существовать.

Например, функция f(x)= х_ j при х=\ не существует, но предел этой функции при х, стремящемся к 1, существует:

Однако, если функция задана уравнением, выражающим ее в виде многочлена относительно аргумента, то это совпадение, как можно доказать, всегда имеет место. Этим свойством обладают и другие основные элементар-

* Может быть и так, что функция при х, равном а, существует, но ее значение не равно пределу функции при х, стремящемуся к а.

ные функции. Покажем это для функций sin тх и cos тх, где т^ьО. Предварительно докажем неравенство:

|einjc|<|jcl

где хфО и выражено в радианах.

Пусть 0<><1, тогда будем иметь (черт. 12):

ипх = МР<АМ<> АМ = х.

Так как sinx>0 и х>0, то

|sinjcK|jc|.

Для X ]> 1 неравенство очевидно, потому что I sin XI ^ 1. Неравенство верно и для х<С 0, ибо

Теперь имеем:

Достаточно взять | а — л;) < ^, как будем иметь

Таким образом, для любого заданного е>0 можно указать такое 8>0^8 = j-^-|j, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству \а — я К 8, имеет место неравенство

Значит,

Аналогично:

Если взять \а — Х\<^ = \^Г\> то будем иметь, что

т. е. что

Глава II.

ПРОИЗВОДНАЯ.

§ 1. Понятие о производной.

1. Рассмотрим функцию

j/=/(x) = 2x + 3.

Как показывает график (черт. 1), функция возрастающая.

Пусть аргумент имел значение Х\ = \9 а затем ха = 2. Разность значений аргумента назовем приращением аргумента и обозначим через Ах. Здесь имеем Ах = 2—1 = 1.

Найдем разность соответствующих значений функции, которую назовем приращением функции и обозначим через Ду. Имеем:

Ду=/(2)-/0)=(2.2 + + 3)-(2.1+3) = 2.

Если такое же приращение Ах = 1 дадим аргументу, начиная с х = 2 до х = 3, то приращение функции

AV=/(3)-/(2) = (2.3 + + 3) — (2-2 + 3) = 2

будет таким же, как и раньше. Это показывает и график функции; одинаковым изменениям аргумента соответствуют одинаковые изменения функции (черт. 13). Однако для многих функций это не имеет места.

Черт. 13.

2. Рассмотрим функцию у=/(х) = х*.

Пусть аргумент имел значение хх = 0, а затем x2=l.

Приращение аргумента

Дд;= 1—0=1,

соответствующее приращение функции Ау = 12 — О2 = 1.

Если аргумент изменять от л;2 = 1 до хг = 2, то приращение аргумента будет таким же Ал: = 2 — 1 = 1, но приращение функции будет уже другим:

Ду=22— 12 = 3.

При изменении же аргумента от л; = 2 до л: = 3, когда снова Дл:=1, приращение функции

Ду = 32 —22 = 5.

Таким образом, одинаковым изменениям аргумента соответствуют неодинаковые изменения функции (черт. 14).

И, как мы видим, для X > 0 с возрастанием аргумента х функция у возрастает сначала „медленнее", затем „быстрее".

Следовательно, мы можем говорить о какой-то скорости изменения функции по сравнению с изменением аргумента. Ее мы сможем охарактеризовать, если определим, какое изменение функции приходится на единицу изменения аргумента. Для этого достаточно разделить приращение функции на соответствующее приращение аргумента. В первом примере это отношение одинаково во всей области определения функции, во вто-

Черт. 14.

ром — оно различное на разных участках области определения функции:

3. Это отношение ^ приращения функции к соответствующему приращению аргумента будем называть средней скоростью изменения функции на участке области определения функции от х до х + дх.

Чем меньше мы будем брать Ах, тем, очевидно, точнее это отношение ^~ будет характеризовать изменение функции. Если Ах приближать к нулю, то д~, вообще говоря, будет стремиться к некоторому пределу, который будет характеризовать скорость изменения функции, как говорят, в данной точке, т. е. при данном значении аргумента. Этот предел играет большую роль в математике и ее приложениях к различным отраслям знания и называется производной.

Определение. Производной функции /(х) по аргументу X при данном значении х = х0 (в данной точке) называется предел отношения, если он существует, приращения функции Д_у к вызвавшему его приращению аргумента Ах при стремлении Ах к нулю.

Обозначается производная через У или /'(х). Таким образом,

Производная функции при данном значении х = х0, если она существует, есть определенное число. Если производная функции существует для всех значений аргумента в некоторой области его изменения, то она является функцией этого аргумента.

4. Найдем, например, производную функции _y=/(x) = x2 для х = 3.

Дадим аргументу х приращение Ах = 0,1, затем Ах = 0,01, Ах = 0,001 и т. д., все уменьшая значение Ах, Найдем соответствующие значения приращения функции:

Отношение приращения функции к соответствующему приращению аргумента будет:

Мы видим, что это отношение приближается к 6. И действительно, предел этого отношения равен 6.

Следовательно, производная функции я* при х = 3 существует и равна 6.

Если дать приращение Ал: = 0,1, Ax = 0,01, Ьх = 0,001 и т. д. аргументу, начиная с его значения х = — 4, то будем иметь:

Отношение приращения функции к соответствующему приращению аргумента будет равно:

Мы видим, что это отношение приближается к —8. И действительно, предел этого отношения равен —8.

Следовательно, производная функции при х = — 4 также существует и равна —8.

В обоих случаях мы получили производную функции, равную удвоенному (умноженному на 2) начальному зна-

* 6 + Ал* — многочлен относительно Ад:, поэтому предел 6 + Ах при Ах —* 0 равен значению 6 + ах при ах = 0 (см. § 2).

чению аргумента. Покажем, что это всегда так будет и что производная этой функции существует во всей области ее определения, т. е. она является функцией от х. Найдем производную функции

y=f(x) = x\

Дадим аргументу х приращение Ах; новое значение аргумента x-\-àxf новое значение функции (х-\-кху, приращение функции

^y=(x + ^xy — x<i = 2x^^x + ^x\

Отношение приращения функции к приращению аргумента

Производная

Итак,

(х2)' = 2х.

Каждому значению аргумента х соответствует определенное значение производной функции. Следовательно, производная есть функция от х.

§ 2. Производные некоторых функций.

Пример1. Производная линейной функцииу=kx+b. Дадим аргументу х приращение Ах. Приращение функции

by = [k(x + Ах) + Ь] — (kx + Ь)=k . Ах.

Производная линейной функции

Итак, производная линейной функции равна коэффициенту при аргументе.

В частности, если у — ху то (х)' = 1, т. е. производная от аргумента равна 1.

Пример 2. Производная постоянной функции у = с.

Функция имеет одно и то же значение для всех значений аргумента (см. график функции на чертеже 15).

Следовательно,

Ау=с— с = 0,

отношение

поэтому и

Итак, производная постоянной функции равна 0.

Пример 3. Производная функции у =

Дадим аргументу х приращение Ах. Приращение функции

Производная функции

Пример 4. Производная функции у =

Дадим аргументу х приращение Ах. Приращение функции

Отношение

Производная функции

§ 3. Геометрический смысл производной.

Пусть мы имеем функцию y=f{x) и ее график (черт. 16).

Уравнение y=f(x) будем называть уравнением линии, служащей графиком функции y=f(x).

Черт. 15.

Возьмем какую-нибудь точку M линии.

Ей соответствуют какие-то значения аргумента х и функции у в качестве её абсциссы и ординаты.

Дадим аргументу приращение Ал; (на чертеже отрезок AB), тогда функция получит приращение Ау (на чертеже отрезок KN).

Отношение или тангенс угла а, образованного секущей ММ с осью ОХ.

Если приближать Дл; к нулю, то ^ будет стремиться к пределу (если он существует), который мы называем производной функции f(x). При AX-+0 точка M будет перемещаться по кривой, приближаясь к точке М. При этом секущая ММ будет поворачиваться вокруг точки M и приближаться к некоторому предельному положению, называемому касательной МТ к кривой в точке М\ угол а секущей MN с осью ОХ будет стремиться к углу (р касательной МТ с осью OX, a tga к tg <р.

Таким образом,

Черт. 16.

Тангенс угла, образованного прямой с осью ОХ называется угловым коэффициентом прямой. Значит геометрический смысл производной функции у по аргументу X есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в точке (je, у).

Следует отметить, что к понятию производной функции пришел знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716 гг.), решая задачу о проведении касательной к кривой.

§ 4. Механический смысл производной.

Пусть некоторое тело совершает прямолинейное движение по закону s=f(t), где t — время движения, отсчитываемого от некоторого момента £ = 0; 5 — пройденное расстояние за время t.

Дадим времени t приращение àt, тогда 5 получит приращение

As=/(* +ДО-/(*)•

Отношение ^ дает нам среднюю скорость движения тела за промежуток времени M от момента t до момента t -f- M. Предел этого отношения, если он существует при Д£-*0, т. е. производная пути 5 по времени t, даст нам скорость движения тела в данный момент времени t. Итак, скорость движения тела в момент времени t равна

Знаменитый английский ученый Исаак Ньютон [25/12 1642 (4/1 1643 по нов. ст.) — 1727 гг.] пришел к понятию производной, решая задачу о скорости движения тела в данный момент времени. Ньютону и Лейбницу принадлежит заслуга завершения разработки основ дифференциального и интегрального исчисления, в котором и рассматривается учение о производной.

§ 5. Применение понятия производной в различных отраслях знания.

Понятие производной находит широкое применение не только в геометрии (угловой коэффициент касательной) или в механике (скорость движения в данный момент), но и в других отраслях знания.

Так, если Q — количество вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t, то производная от Q по t, т. е. lim 4т» дает нам скорость химической реакции в этот момент.

Если w — количество теплоты в калориях, которое нужно сообщить телу, чтобы нагреть его до температуры о, то производная от w по 0, т. е. lim дает нам удельную теплоемкость вещества данного тела при данной температуре.

Если Q — количество электричества (в кулонах), протекшего за время t через поперечное сечение цепи, то производная от Q по ty т. е. lim ^7-, дает нам силу тока / в данный момент.

Если V—объем жидкости, подвергнувшейся внешнему давлению /?, то производная от V по ру т. е. hm тг, дает нам коэффициент сжатия жидкости при данном давлении.

Если m—масса участка прямолинейного стержня, а / — длина этого участка, то производная от m по /, т. е. -ту дает нам плотность стержня в данной точке — конце рассматриваемого участка стержня.

§ 6. Некоторые теоремы о производных.*

1. Производная алгебраической суммы функций.

Пусть y = uJ\rv— w, где и, v и wf также и у суть функции от аргумента х. Дадим аргументу х приращение Ах, тогда функции и, v, w и у получат соответственно приращения Ди, Дг/, и Ду.

Новые значения функций будут: и + Ди; v + Д^; w -f Aw и у -f Ду.

Имеем:

Ду = [(и + А») + (v + àv) — (w + Aw)] — (a -f- z> — w) = = Ди -f- Дг> — Aw.

* При доказательстве этих теорем производные всех рассматриваемых функций полагаются существующими.

Производная функции у по аргументу х будет равна: У=

Итак,

(ti-\-v — w)r = а' + ^ — w\

т. е. производная алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

2. Производная произведения двух функций. Пусть у = uv, где и, v, а также и у суть функции от аргумента х.

Дадим аргументу х приращение Ajc, тогда функции и, v и у получат соответственно приращения А#, Дг/ и Ду. Новые значения функций будут:

и -{- Да, v -f- Дг> и _у -f- Ay.

Имеем:

Ду = (а Агг) -f- At/) — = Ай • v -\-• Ъп • Ъю.

Производная функции у по аргументу х будет равна:

т. е. производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и производной второй функции на первую.

Следствие. Если одна из функций постоянная, то ее производная равна нулю (см. пример 2, § 2), поэтому, если с — постоянная, то

Итак,

(с • и)' = с • и\

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак производной. Пример:

(5*7 = 5 . (х*у = 5 . 2х = Юх (производная от х* равна 2лг, см. § 1).

§ 7. Производная степенной функции с натуральным показателем.

Функция у = хп, где п — натуральное число. 1-й вывод. Дадим аргументу х приращение Ах. Приращение функции

ày = (x-\- Длг)п — хп.

Отношение приращения функции к приращению аргумента

(здесь мы разделили разность степеней на разность оснований).

Производная функции у по аргументу х

Итак,

(хпу = пхп-\

т. е. производная степенной функции равна показателю степени, умноженному на степенную функцию с тем же основанием, но с показателем, уменьшенным на единицу. Примеры:

1) (jc»y = 5jc4;

2) {х*)' = 2х (это мы имели и раньше).

2-й вывод. В § 1 мы имели:

(**)' = 2jt,

Найдем производную от функции у = х*.

Высказываем гипотезу, что

(Xny = n.xn-it (1)

Докажем ее методом математической индукции. Для п = 2 ил = 3 формула доказана. Пусть формула верна для показателя п.

Найдем производную от функции х"*1.

Итак (хп+1у = (п-\- 1)хп, т. е. формула (1) верна и для показателя п 4- 1. Значит формула верна для всех п^2. Для п=1 непосредственной проверкой находим: (х1)'=1 (см. следствие из примера 1 § 2) и 1-л:0=1,* значит (*7=1 - л:0.

Таким образом, формула (1) верна для любого натурального показателя.

§ 8. Производная целой рациональной функции.

Применяя доказанные теоремы о производных (§ 6), формулы производных степенной функции (§ 7) и линейной функции (пример 1, § 2), можно находить производную целой рациональной функции от одной переменной.

Пример 1. Найти производную от функции

у = 3х' — yjc3 + 0,8;c* — 2х+ 1.

Находим последовательно:

* В равенстве л*°= 1 мы полагаем хфО.

После небольшой тренировки можно сразу находить производную целой рациональной функции, опуская промежуточные операции.

Пример 2. Найти производную от функции

у = 2хъ — 8л? + 4л; — 3.

Имеем:

у = 6ха— 16л;+ 4.

§ 9. Предел отношения sinx/x при x, стремящемся к нулю.

Рассмотрим в круге радиуса /? острый угол АОВ, радианная мера которого х. Проведем хорду AB и касательную АС к окружности в точке А (черт. 17). Очевидно, что площадь А АОВ < площади сектора АОВ < площади ЬАОС.

Подставляя в эти неравенства значения этих площадей, выраженные через R и х, получим:

Черт. 17.

Деля все члены неравенств на получим:

Так как 0<л:<у, то 8шл;>0.

Делим все члены последних неравенств на 8шл;>0. Имеем:

или

Умножим все члены неравенств на — 1.

Прибавим к обеим частям неравенств по 1.

Но

(последнее на основании доказанного неравенства smx<x). Имеем:

Отсюда получаем неравенство:

которое, очевидно, будет верно и при — -j<x<0, так как — и \х\ — четные функции.

При приближении х к нулю | х | может быть сделано меньше любого наперед заданного положительного числа е, значит, и

Отсюда на основании определения предела функции имеем:

Здесь за величину &>0 может быть взято меньшее из чисел у и е. Тогда при 10 — х | < 8 будем иметь:

(См. § 4, гл. I).

§ 10. Производные функций sin mx и cos mx.

1) y = sinmx.

Дадим аргументу х приращение Ах, тогда функция у получит приращение

Производная функции

Так как при Ал* О и m • -у -> 0, то имеем: у' = т* cos /юс • 1,

т. е.

(sin /ял;)' = m • cos /юс.

При m = 1 будем иметь:

(sin ху = cos л:.

2) у = cos /юс.

Дадим аргументу л: приращение Ах, тогда функция у получит приращение

Производная функции

Таким образом, имеем:

(cos тх)1 = — m • sin тх

При /я = 1 будем иметь:

(cos x)f = — sin X.

§ 11. Упражнения в отыскании производных

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Заменим sin* л; через

Имеем:

Производная

Глава III.

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИЗУЧЕНИЮ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИЙ.

§ 1. Возрастание и убывание функций.

Теорема. Если для всех значений аргумента в промежутке (а, Ь) производная функции положительная, то функ-

ция возрастает в этом промежутке, если же производная отрицательная, то функция убывает в этом промежутке.

Теорема формулирует рассмотренный признак как достаточный. Доказано, что он является и необходимым.

Черт. 18.

Геометрическая интерпретация.

Пусть функция f(x) изображается некоторой кривой линией (черт. 18). Как известно, геометрический смысл производной есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в точке (л:, у).

Из чертежа видно, что в промежутке (а, Ь) там, где функция возрастает, касательная наклонена к оси ОХ под острым углом, следовательно, тангенс этого угла, т. е. значение производной, положительное число, а в промежутке (с, à), в котором функция убывает, касательная наклонена к оси ОХ под тупым углом, следовательно, тангенс этого угла, т. е. значение производной, отрицательное число.

§ 2. Примеры исследования функций на возрастание и убывание.

Пример 1. Функция у = — х2 + 6jc. Находим производную этой функции и определяем ее знак для различных значений аргумента.

/ = — 2х + 6 = — 2(х — 3).

При х<3 производная у > 0 и функция — возрастающая, а при х>3 производная У<0 и функция — убывающая.

Пример 2. Функция у = -g- л:3 — 2л;2 -f Зх — 1. Производная этой функции

у = & — 4х + 3 = (х— l)(jc — 3).

Для всех значений аргумента, взятых вне промежутка (1,3), т. е. при х<1 и х>3, производная у 0, и функция является возрастающей, а для значений аргумента, взятых внутри промежутка (1, 3), т. е. при 1<[х<]3, производная у < 0, и функция является убывающей.

Пример 3. Функция у = sin х.

Производная этой функции у9 = cos х.

Для значений аргумента, взятых внутри промежутков

где k — множество всех целых

чисел, производная положительная, значит функция — возрастающая, а для значений аргумента, взятых внутри про-

межутков ^y-j-2/гтс, y + 2£ic), производная отрицатель-

ная и, следовательно, функция убывающая. Это наглядно показывает и график функции y = sinx, т. е. синусоида (черт. 19).

Черт. 19.

§ 3. Максимум и минимум функции в данной точке.

Определение. Говорят, что функция^ = f(x) имеет максимум в точке х = х^ т. е. при значении аргумента, равном x0i если можно указать такую окрестность (х0 — А, x0-{~fi), где А>0, содержащуюся в области определения функции, что для всех значений ху принадлежащих этой окрестности и неравных л:0,

/(*о) >/(*)•

Определение. Говорят, что функция у = f(x) имеет минимум в точке x = xQy т. е. при значении аргумента, равном х0, если можно указать такую окрестность (х0 — А, Хо + А), где А>0, содержащуюся в области определения функции, что для всех значений х, принадлежащих этой окрестности и неравных х0,

/(*,)</(*).

Значения максимумов и минимумов функции находятся с помощью производной. Мы будем считать, что функция и ее производная меняются без скачков. Тогда в окрестности, например, точки си в которой функция имеет максимум (черт. 20), функция сначала возрастает, а затем убывает, следовательно, ее производная сначала положительная, а затем отрицательная, поэтому она должна пройти через нуль. Мы имеем тогда f(cl) = 0. Аналогично в окрестности точки съ в которой функция имеет минимум, функция сначала убывает, а затем возрастает, а следовательно, ее производная переходит от отрицатель-

ных значений к положительным, поэтому в точке с% она равна нулю, т. е. /'(£2) = 0. Это наглядно показано и на чертеже. В точках кривой, соответствующих максимумам и минимумам, касательные к кривой параллельны оси ОХ, и, следовательно, их угловые коэффициенты равны нулю.

Важно заметить, что максимум функции в данной точке вовсе не являются обязательно наибольшим значением ее во всей области изменения, а минимум функции не обязательно будет наименьшим значением. На чертеже видно, что минимум функции в точке ci больше максимума в точке С\*

Определения максимума и минимума функции говорят о том, что они являются наибольшими или наименьшими значениями лишь по сравнению с соседними значениями функции.

Однако если в каком-то промежутке изменения аргумента функция имеет только одно значение максимума или минимума, то это значение функции будет и наибольшим или наименьшим значением функции в этом промежутке. Справедливость этого утверждения для случая наибольшего значения функции ясна из черт. 21.

Черт. 20.

Черт. 21.

Выше было сказано, что в точках максимума и минимума производная равна нулю. Обратного утверждения нельзя сделать: если производная равна нулю, то функция может не иметь в этой точке ни максимума, ни минимума. В дальнейшем это будет показано на примере.

Итак, мы приходим к следующему правилу отыскания максимума и минимума функции.

Надо найти производную функции и приравнять ее нулю. Корни этого уравнения дадут те значения аргумента, при которых функция возможно имеет максимумы или минимумы; если производная при изменении аргумента переходит через найденное значение от положительных значений к отрицательным, то функция в этой точке имеет максимум, а если от отрицательных значений к положительным, то минимум.

Понятия максимум и минимум функции объединяют одним термином экстремум.

§ 4. Решение примеров на отыскание максимумов и минимумов функций.

Пример 1. Найти экстремумы функции у = — л;8-}-

Решение: Производная этой функции

/= — 2jc + 4 = — 2(jc — 2),

Приравняв ее нулю, получим х = 2.

При изменении аргумента х от значений, меньших 2, к значениями, большим 2 (в любой окрестности числа 2), производная переходит от положительных значений к отрицательным.

Следовательно, при х = 2 функция имеет максимум, а также является и наибольшим значением функции (см. § 3). Максимум функции находим, подставляя значение Х = 2 в выражение для у.

JW = -2* + 4. 2+1=5.

Пример 2. Найти экстремумы функции у = хг — — Зх+1.

Решение. Находим производную этой функции и приравниваем ее нулю.

у'=3;с2 — 3 = 3(x+l)(x— 1); 3(jc+l)(x — 1) = 0.

Отсюда

хх = — 1 и х}=\.

Производная при изменении аргумента от значений х<—1 до х>—1, в достаточно малой окрестности числа —1, например, в окрестности (—1,5; —0,5), переходит от положительных значений к отрицательным, а при изменении аргумента от значений х< 1 до значений х]> 1, например, в окрестности (0,5; 1,5) переходит от отрицательных значений к положительным. Следовательно, при х = —1 функция имеет максимум, а при х=1—минимум.

Имеем:

j/max = (-l)3_3(-l) + l=3; j/mln = l8 —3. 1 + 1=— 1.

Пример 3. Найти экстремумы функции у = — хъ + + 6л;2 — 12jc + 6.

Решение. Находим производную этой функции и приравниваем ее нулю

У = ~ 3jc2 + 12jc— 12 = — 3(х — 2)2; — 3(х — 2)2 = 0,

отсюда

х = 2.

Очевидно, что как при л;<2, так и при х>2 производная отрицательная, т. е. при изменении аргумента от значений х<2 до значений х>2 производная не меняет знака, следовательно, при значении аргумента х = 2 функция не имеет ни максимума, ни минимума, т. е. функция экстремума не имеет.

Пример 4. Найти экстремумы функции у = cosх.

Находим производную этой функции и приравниваем ее нулю.

У = — sinx; — sin X = 0,

отсюда

X = kiz.

Для значений х, находящихся в достаточно малых окрестностях значений x = 2kn, sin х переходит от отрицательных значений к положительным, в чем можно убедиться, рассматривая график функции у = sin х, значит, производная —sinx переходит от положительных значений к отрицательным.

Таким образом, при х = 2Ы функция у = cos х имеет максимум.

Аналогично можно убедиться, что при x = (2k-\-l)n функция у = cos X имеет минимум. Имеем:

JW = cos 2Ä7T = cos 0=1;

ymln = cos (2k -[- 1 ) TT = cos = — 1.

Это показывает и график функции у = cos х, т. е. косинусоида (черт. 22).

Черт. 22.

Примечание. Следует помнить, что при определении знака производной в окрестности точки экстремума нельзя далеко отходить от этой точки, чтобы не захватить значения аргумента за следующей точкой экстремума. Это значит, что окрестность исследуемой точки экстремума должна быть взята достаточно малой.

§ 5. Исследование функций (возрастание, убывание, экстремум) и построение графиков функций.

Пример 1. Исследовать функцию у = — \х и построить ее график

Решение. Находим производную этой функции / = 2х —4 = 2(х —2).

При X = 2 производная У = 0, для всех значений х < 2 производная У < 0, а для всех значений х > 2 производная У > 0, следовательно, с возрастанием аргумента от — оо до 2 функция убывает, а с возрастанием аргумента от 2 до +00 функция возрастает, а потому при х = 2 функция имеет минимум.

Результаты исследования можно свести в следующую таблицу:

Найдем j/min

j/rain=2*-4.2 = -4.

Для построения графика найдем еще точки пересечения его с осями координат. Приравняв у = л:2 — Ах нулю, получим Xi = 0 и jc2 = = 4 — абсциссы точек пересечения с осью ОХ. Точки эти (0; 0) и (4; 0); первая является также точкой пересечения с осью OY. Для уточнения графика полезно вычислить координаты еще нескольких его точек. Взяв ху равным — 1, 1, 3 и 5, получим точки (—1; 5), (1; —3), (3; -3) и (5; 5). Нанеся все точки на чертеж, соединяем их плавной линией и получаем график функции (черт. 23).

Черт. 23.

Пример 2. Исследовать функцию

у = хъ — 3;с2 + 4

и построить ее график.

Решение. Находим производную этой функции: у = Зх* — 6х = Зх(х — 2).

При х = 0 и при х = 2 производная У = 0; для значений X <С 0 производная У > 0, значит функция j; возрастает; для значений 0 < х < 2 производная у < 0, значит функция j/ убывает, а для значений х > 2 производная У > О и функция j; возрастает. Так как при переходе аргумента через значение 0 функция переходит от возрастания к убыванию, то при X = 0 функция имеет максимум; при изменении аргумента через значение 2 функция переходит от убывания к возрастанию, значит, при х = 2 функция имеет минимум. Вот таблица результатов исследования:

Найдем значения максимума и минимума функции. j,max = 03-3.0a + 4 = 4; j/min=23 —3.2а + 4 = 0.

Для уточнения графика найдем координаты еще двух точек, абсциссы которых — 1 и 3. Точки эти (— 1 ; 0) и (3; 4). Наносим точки на график и соединяем их плавной линией (черт. 24).

Черт. 24.

Пример 3. Исследовать функцию

у = — х* — Зх* — Зх-\-2

и построить ее график.

Решение. Производная этой функции

/ = —3** — 6х — 3 = — 3(л:+ I)2.

Очевидно, что при х = — 1 производная У = 0, а для всех значений х Ф — 1 производная У < 0. Таким образом, при переходе аргумента через значение — 1 производная знака не меняет, поэтому при х=— 1 функция не имеет экстремума. Вычислим координаты нескольких точек графика, взяв х, равным —3, —2, 0, 1. Получим следующие точки: (—3; 11), (—2; 4), (0; 2), (1;-5). Нанеся все эти точки и точку (— 1; 3) на чертеж, соединяем их линией и получаем график функции (черт. 25).

Пример 4. Исследовать функцию у = = s in 2л: и построить ее график.

Решение. Находим производную этой функции и приравниваем ее нулю.

/ = 2 cos 2х = 0,

отсюда

В окрестностях значений х, соответствующим значениям k — ... — 2, 0; 2, 4, ..., производная функции переходит от положительных значений к отрицательным, а функция при этих значениях х имеет максимумы. В окрестностях же значений х, соответствующим значениям £ = ...— 1, 1, 3, 5........, производная функции пере-

Черт. 25.

ходит от отрицательных значений к положительным, следовательно, функция при этих значениях имеет минимумы. Имеем:

Абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ найдем из уравнения

sin2x = 0.

Отсюда

2х = Ы и X = k • .

Наносим эти точки и точки экстремума на чертеж и соединяем их плавной линией. График этой функции приведен на чертеже 26.

Заметим, что функция sin 2х имеет период ir, а не 2it.

Во втором и четвертом примерах значения максимумов функции были больше значений минимумов. Рассмотрим пример, в котором значение максимума функции меньше значения минимума.

Пример 5. Исследовать функцию y = x-\-j^ и построить ее график.

Черт. 26.

Решение. Находим производную этой функции и приравниваем ее нулю.

Отсюда

Х\ = — 1 и х% = 1.

Для значений х, взятых вне промежутка (— 1; 1), производная положительная, и функция возрастает, а для значений х, взятых внутри промежутков (—1; 0) и (0,1), производная отрицательная, и функция убывает. При х = 0 ни функция, ни ее производная не существуют.

При X = — 1 функция имеет максимум, а при х= 1 — минимум:

При X, стремящееся к нулю, значение дроби ~г неограниченно возрастает по абсолютной величине, а значит, и функция у = X+~.

При X неограниченно возрастающем значение дроби в-стремится к нулю и у = х-\-~ опять неограниченно возрастает по абсолютной величине. Запишем результаты исследования в виде таблицы.

Находим максимум и минимум функции:

Как видно, в этом примере максимум функции меньше минимума.

Взяв еще несколько точек графика, построим график функции (черт. 27).

Черт. 27.

§ 6. Задачи на максимум и минимум функций.

Задача 1. Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы их неполный квадрат суммы был наименьшим.

Решение. Обозначим одно из слагаемых через х, тогда второе будет 10 — х. Неполный квадрат их суммы обозначим через у. Имеем:

у = х* + х(10 — jc) + (10 — х)\

или

у = х*— 10JC+100.

Производная этой функции

у = 2х— 10 = 2(jc — 5).

Приравняв ее нулю, получим х = Ъ.

При любом х<;5 производная У<0 и функция у убывает, а при любом х>5 производная />0 и функция ^у возрастает. Следовательно, при х = 5 функция имеет

минимум, который является также и наименьшим значением функции. При х = Ъ и 10 — X также равно 5, следовательно, число 10 надо разложить на два равных слагаемых, чтобы неполный квадрат их суммы был наименьшим. Он равен

5* + 5.5 + 52 = 75.

Задача 2. Сумма катета и гипотенузы прямоугольного треугольника равна т. Доказать, что площадь треугольника имеет наибольшую величину при угле, равном 60° между указанными гипотенузой и катетом.

Решение:

Пусть в ААВС (черт. 28) АВ-\-ВС = т. Обозначим катет ВС через xt тогда гипотенуза AB = т — X. Катет

Площадь треугольника ABC

Областью допустимых значений для х является промежуток 0<л;<у-.

Площадь треугольника принимает наибольшее значение, когда функция, стоящая под знаком квадратного корня, принимает наибольшее значение. Обозначим ее через у.

Имеем:

у = тх* — 2х*. Производная этой функции

Приравняем ее нулю, получим:

jc1=0 — выходит из области допустимых значений. Рассмотрим

При 0<х< производная У>0, а при у<С-^<у производная У<0, следовательно, функция у, а значит, и площадь треугольника 5 имеет максимум. Так как функция в промежутке изменения аргумента ^0, имеет только один экстремум, а именно максимум, то этот максимум будет и наибольшим значением функции (см. § 3).

Итак, катет BC = x=~f гипотенуза АВ = т— х = у т. Имеем, что ВС=~ AB, значит L ВАС = 30°, следовательно, Z. ABC = 60°, что и требовалось доказать.

Наибольшее возможное значение площади треугольника следующее:

Задача 3. В данный конус, радиус основания которого /? и высота Н, вписан цилиндр. Определить, при каком значении его высоты объем цилиндра будет наибольшим.

Решение. Обозначим высоту цилиндра КО (черт. 29) через х, тогда из подобия треугольников MKN и MOB найдем:

или

Отсюда

Объем цициндра

Так как множитель не зависит от ху то наибольшее значение объем цилиндра принимает тогда, когда получает наибольшее значение функция:

Черт. 29.

Находим ее производную и приравниваем ее нулю:

Отсюда

Область допустимых значений для х есть 0<х<Н, следовательно, х^ = Н выходит из области допустимых значений. В промежутке 0<х<у производная У>0, а в промежутке у < * < # производная У <0, значит, при x = y функция у% а следовательно, и величина объема цилиндра имеет максимум. Этот максимум является и наибольшим значением функции, так как в промежутке изменения аргумента 0<х<Н функция имеет только один экстремум (§ 3). Итак, высота цилиндра должна составлять третью часть высоты конуса.

Задача 4. На полуокружности АМВ радиуса R взята точка M так, что дуга MB равна а радианов. Проведена дуга MC радиусом AM из центра А (черт. 30).

Определить, при каком значении а площадь сектора AMC — наибольшая.

Решение. Проводим хорду MB. Из à АМВ имеем:

Черт. 30.

Длина w МС = АМ • ~. Площадь SAmc сектора AMC равна

Имеем:

где 0<а<те.

Производная площади по аргументу а

Приравниваем ее нулю: Отсюда

или

Отсюда имеем:

1) cosy = 0. Так как 0<а<тг, то 0<у<у.

В промежутке ^0, у) это уравнение корней не имеет.

2) cos у — а . siny = 0. Отсюда

Получим трансцендентное уравнение. Найдем его приближенное решение графическим способом.

Если обозначить у через х, то уравнение примет вид: ctgx = 2x, и его корень определится пересечением графиков функций у = ctg X и у = 2х, рассматриваемых в промежутке изменения л; от 0 до у.

Строим в масштабе 1 — 1 см одну ветвь котангенсоиды и прямую — график функции у = 2х (черт. 31). Проекция точки M пересечения графиков на ось OY определит отрезок 2х = а. Из графика получаем: а ^1,3.

Таким образом, а ^1,3 радиана или 74°30'. Пользуясь таблицами Брадиса, можно подсчитать более точное значение а:

а ^ 1,3064 или а^74°5Г.

Взяв значения а, достаточно близкие к значению 74°51г, одно меньшее, а другое большее, например, а = 74° и а = 75°, можем убедиться, что производная в первом случае положительная, а во втором — отрицательная. Следовательно, мы имеем при а = 74°5Г максимум и, очевидно, и наибольшее значение площади сектора.

Вычисление производной для указанных значений а будет полезным упражнением в пользовании таблицами.

Черт. 31.

Задача 5. Из квадратного листа жести нужно вырезать по его углам равные квадраты так, чтобы, загнув получающиеся прямоугольники, образовать коробку наибольшего объема.

Решение: Пусть сторона квадратного листа жести равна а. Обозначим сторону каждого из вырезанных по углам квадратов через х. Тогда сторона квадрата — дна коробки

ММ=а — 2х

(черт. 32).

Площадь дна коробки будет равна (а — 2л;)9, a объем коробки

v = (a — 2xf • X = 4л;3 — 4ал;2 + а*х.

Область допустимых значений для х: 0<л;<у.

Производная этой функции: vr =\2х* — Ъах-\-сР. Приравняв ее нулю и решив полученное уравнение, будем иметь:

Последнее значение, т. е. л;а = у, выходит из области допустимых значений.

Для значений х, взятых в промежутке ^0, производная положительная, а для значений х, взятых в промежутке!-^-, у], производная отрицательная, и, следовательно, функция при X, равном -|-, имеет максимум и объем коробки будет наибольшим.

Задача 6. На стене повешена картина. Нижний конец ее на Ь см, а верхний на а см выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы рассмотреть картину под наибольшим углом?

Черт. 32.

Решение. Обозначим искомое расстояние через х, тогда будем иметь (черт. 33)

Найдем

21 АОВ тогда наибольший, когда ctg Z ЛО£ наименьший. Z по условиям задачи, очевидно, острый. Найдем производную от котангенса угла АОВ и приравняем ее нулю.

Отсюда

Xi = — \f ab выходит из области допустимых значений для х(лГ>0).При 0<x< Vab производная—отрицательная, а при х> ^ab — положительная, поэтому при х = Vab ctg Z АОВ будет наименьшим, а следовательно, Z АОВ — наибольшим.

Задача 7. Электрическая лампочка подвешена над точкой M горизонтальной плоскости а. Какова должна быть высота лампочки над плоскостью, чтобы в точке К этой

Черт. 33.

плоскости, отстоящей от точки M на расстоянии а, освещенность была наибольшей? (Черт. 34).

Решение. Возьмем за аргумент угол <р, образованный лучом с плоскостью а. Как известно, освещенность / прямо пропорциональна sin ср и обратно пропорциональна квадрату расстояния SK, т. е.

где с — коэффициент, зависящий от силы света лампочки. Из AMS/C имеем:

Подставляя значение SK в выражение /, получим:

или

Найдем производную функции / по аргументу ср и приравняем ее нулю.

Отсюда имеем:

либо coscp = 0, что не дает нам решений, так как область допустимых значений для ср 0 <[ <р <С у , либо

откуда

(корень tgcp =--—, очевидно, не подходит). Производная Г при 0 < ср < arc tg ———положительная, а при arctg -т= <ср<С -77—отрицательная, следовательно, функция / при этом значении аргумента имеет максимум, который является и наибольшим значением функции. Из Л SMK находим:

SM = а • tg ср

Отсюда, искомая высота подвеса лампочки будет равна -^=.

Задача 8. Как должны быть соединены между собой п одинаковых гальванических элементов, чтобы при данном внешнем сопротивлении R они давали наибольшую силу тока?

Решение. Пусть э. д. с. одного элемента равна Е, внутреннее сопротивление элемента г. Ограничимся случаем, когда данные п элементов соединены в / групп по k элементов в каждой группе, причем в каждой группе соединение элементов параллельное, а соединение групп между собой последовательное. Имеем n = kl.

Внутреннее сопротивление одной группы элементов равно у, внутреннее сопротивление всех групп у • /, общее сопротивление всей цепи R -j- у • /.

Э. д. с.одной группы элементов £, общая э.д.с. — El. На основании закона Ома сила тока в цепи

Из равенства n = kl находим k и подставляем выражение k в выражение силы тока. Имеем:

Сила тока будет максимальной, когда обратная ей величина у будет минимальной. Находим у.

Найдем производную от у по / и приравняем ее нулю.

Отсюда

Так как производная меняет свой знак от минуса к плюсу, то при Z = j/^ функция у имеет минимум.

Выражение / дает число групп элементов, соединяемых параллельно в каждой группе. Из этого же равенства имеем:

а так как

Таким образом, сила тока будет наибольшей, когда полное внутреннее сопротивление будет равно внешнему.

Найденные значения для чисел k и I будут, вообще говоря, иррациональными. Поэтому при составлении батареи элементов для k и I нужно брать целые числа, возможно более близкие к найденным иррациональным.

Задача 9. Сечение закрытого канала, подводящего воду для турбин, имеет форму прямоугольника, заканчивающегося сверху полукругом. Периметр сечения наперед задан (исходя из расходов на бетонировку). При каких линейных размерах сечения канал будет пропускать наибольшее количество воды?

Решение. Пусть заданный периметр сечения Р. Обозначим высоту прямоугольника, служащего частью сечения, через Л, а радиус полукруга, служащего верхней частью сечения, через R (черт. 35). Имеем:

Я = 7г/?-)-2/? + 2А = = (ic + 2)/? + 2A.

Откуда

2А = Р — (те+ 2) /?.

Очевидно, канал будет пропускать наибольшее количество воды при наибольшей площади его поперечного сечения. Обозначим площадь сечения через S. Имеем:

Подставляя сюда выражение 2А, найдем:

Найдем производную от S по R и приравняем ее нулю S' = P-(* + 4)/?; Р — (ic + 4)/? = 0.

Отсюда:

Так как 2А>0 или Я — (*-f 2)/? > О, то /?<

Таким образом, область допустимых значений для /? 0</?<q72- Производная при 0</?<-=р^ положительная, а при </?< — отрицательная, следовательно, площадь сечения S имеет при этом значении R максимум и является наибольшей. Найдем значение А;

Отсюда

Следовательно, линейные размеры сечения будут:

тс -j-4

Задача 10. Из круглого бревна, диаметр поперечного сечения которого равен d, требуется выпилить балку с прямоугольным сечением наибольшей прочности.

Решение. Обозначим ширину балки через х, высоту через у (черт. 36). Тогда имеем:

y* = d? — x\

Из курса сопротивления материалов известно, что прочность балки с прямоугольным сечением пропорциональна ширине балки и квадрату высоты его сечения, т. е. в данном случае пропорциональна

ху* = х(сР — х*) = d*x — я3.

Следовательно, нужно найти то значение х} при котором функция

f(x) = d*x — X3

будет иметь наибольшее значение.

Область допустимых значений для х: 0<x<d.

Находим производную этой функции по аргументу х и приравниваем ее нулю.

Отсюда

(Отрицательное значение х отбрасываем, так как оно выходит из области допустимых значений для х).

Производная f(x) при 0 <С * <С T/^g положительная, а при 77^<x<id — отрицательная, следовательно, при

Черт. 36.

X = функция имеет максимум, а также и наибольшее значение.

Искомая высоты балки:

Найдем проекцию AM ширины сечения AD на диаметр АС. Имеем:

AD* = АС • AM.

Отсюда

Аналогично проекция ВС на АС также равна -^d.

Отсюда вытекает построение требуемого прямоугольного сечения: делим диаметр сечения на три равные части, восстанавливаем к нему из точек деления противоположно направленные перпендикуляры до пересечения их с окружностью. Точки пересечения этих перпендикуляров с окружностью и конечные точки диаметра и будут вершинами искомого прямоугольного сечения.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти области определения функции:

Определить наибольшие и наименьшие значения функций:

7) у=хш + Х+ 1. 8) у = — 2х*-\-х.

9) y = smx-\-zosx. 10) у = (tgх-)-ctgх)*.

Установить четность или нечетность функций:

Решить графическим способом уравнения:

Вывести формулы производных функций:

Найти производные следующих функций:

Найти промежутки монотонности функций:

Исследовать функции и построить их графики:

Решить задачи:

43) Разложить число 10 на два слагаемых, чтобы их произведение было наибольшим.

44) Разложить число 10 на два положительных множителя, чтобы их сумма была наименьшей.

45) Требуется огородить забором примыкающий к стене дома прямоугольный участок площадью в 200 м* (три стороны прямоугольника). Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы израсходовать меньше всего досок?

46) Проволоку данной длины требуется согнуть в форме прямоугольника так, чтобы он ограничивал наибольшую площадь.

47) В треугольник с основанием а и высотой h вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две

его вершины лежат на основании, а две другие на боковых сторонах треугольника. Найти стороны прямоугольника.

48) Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 мъ так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

49) Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют по 10 см. Определить ее большее основание так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

50) Какой прямоугольный треугольник данного периметра имеет наименьшую гипотенузу?

Указание. Взять за аргумент один из острых углов треугольника и искать максимум обратной гипотенузе величины.

51) Боковое ребро правильной /г-угольной пирамиды равно а. При каком угле а наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды объем пирамиды будет наибольшим?

52) Из жести требуется сделать цилиндрический сосуд данного объема, закрытый сверху и снизу. Показать, что на это уйдет наименьшее количество материала, если цилиндр будет равносторонним.

53) В данный конус, радиус основания которого R и высота Hf вписан конус наибольшего объема так, что его вершина совпадает с центром основания данного конуса, а окружность основания лежит на его боковой поверхности. Найти объем вписанного конуса.

54) В шар радиуса R вписан конус. Какие должны быть его радиус основания и высота, чтобы объем конуса был наибольшим?

Указание. За аргумент взять высоту конуса.

Ответы.

1) — 2 ^ л: ^ 2. 2) — 2 < л: < 2. 3) 2<х<4 и 4<л:<5. 4)— 1^лг<0 и 0<х^\. 5) лг<0;0<лг<1 и 1 < л: < 2.

6) л:< — 4; 4<лг<14 и 14<лг<15. 7) Наименьшее -j-, наибольшего нет. 8) Наибольшее наименьшего нет. 9) Наименьшее—"[^2, наибольшее }/"2. 10) Наименьшее 4, наибольшего нет. 11) Четная.

12) Нечетная. 13) Четная. 14) Ни четная, ни нечетная. 15) 2 и 4. 16) —0,8; 2 и 4. 17) —2,5; 0,4 и 2,0. 18) 1,5 и 2. 19) 1,34. 20) —1,5;

-0,35и 1,88.21)^^. 22)-дтр 43) 5 и 5. 44) ]Лб и }/TÔ.

45) 10 лг, 20 м и 10 м. 46) Надо согнуть в форме квадрата.

47) и 48) 4 м, 4 м и 2 м. 49) 20 см. 50) Равнобедренный.

ЛИТЕРАТУРА.

1) Афанасьев А. П. и др., Сборник задач и упражнений по курсу высшей математики (под ред. проф. Н. С. Михельсона), изд. „Кубуч", Л., 1932.

2) Дюзинг К., Элементы дифференциального и интегрального исчислений, изложенные геометрическим методом, Гостехиздат, М., 1927.

3) Зетель СИ., Задачи на максимум и минимум, Гостехиздат, М., 1948.

4) Лузин H. Н., Дифференциальное исчисление, изд. „Советская наука-, М., 1946.

5) Минорский В. П., Сборник задач по высшей математике, Гостехиздат, М.—Л., 1950.

6) Натансон И. П., Простейшие задачи на максимум и минимум (из серии популярных лекций по математике, вып. 2), Гостехиздат, М.—Л., 1950.

7) Новоселов С. И., Алгебра и элементарные функции, Учпедгиз, М., 1950.

8) Новоселов С. И., Специальный курс элементарной алгебры, изд. „Советская наука", М., 1951.

9) Тарасов Н. П., Курс высшей математики для техникумов, Гостехиздат, М.—Л., 1949.

10) Филипс Г., Дифференциальное исчисление, Гостехиздат, М., 1932.

11) Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, Гостехиздат, М.—Л., 1947.

12) Энциклопедия элементарной математики, кн. 3, Гостехиздат, М.—Л., 1952.