В. В.ФИРСОВ, О.А.БОКОВНЕВ, С. И. ШВАРЦБУРД

Состояние и перспективы факультативных занятий по математике

В. В. ФИРСОВ. О. А. БОКОВНЕВ, С. И. ШВАРЦБУРД

Состояние и перспективы факультативных занятий по математике

Пособие для учителей

Под редакцией и с предисловием М. П. КАШИНА

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1977

51

Ф62

Фирсов В. В. и др.

Ф62 Состояние и перспективы факультативных занятий по математике. Пособие для учителей. Под ред. и с предисл, М. П. Кашина. М., «Просвещение», 1977.

48 с.

Перед загл. авт.: В. В. Фирсов, О. А. Боковнев, С. И. Шварцбурд. Брошюра имеет целью ознакомить учителей с итогами десятилетнего периода развития математических факультативов и осветить предстоящие изменения.

© Издательство «Просвещение», 1977 г.

ФАКУЛЬТАТИВЫ И ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ СОВЕТСКОЙ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ (ПРЕДИСЛОВИЕ)

В 1966 г. ЦК КПСС и Совет Министров Союза ССР приняли постановление «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы». В нем дана высокая оценка выдающейся роли советской школы в осуществлении культурной революции в нашей стране. «Впервые в истории человечества,— говорится в постановлении,— создана подлинно демократическая система просвещения, обеспечивающая гражданам реальную возможность получения среднего и высшего образования».

В то же время Центральный Комитет партии и правительство отметили, что уровень учебной и воспитательной работы общеобразовательной школы все еще не отвечает возросшим требованиям жизни. Не приняты должные меры по преодолению образовавшегося несоответствия учебных планов и программ современному уровню научных знаний, по устранению перегрузки школьников обязательными учебными занятиями, что отрицательно сказывается на глубине, прочности знаний учащихся, на их здоровье.

Центральный Комитет КПСС и Совет Министров СССР обратили внимание партийных, советских, комсомольских и профсоюзных организаций на то, что в условиях бурного научно-технического прогресса как никогда возрастает роль школы, которая должна обеспечивать всестороннее развитие подрастающих поколений, достойных строителей коммунистического общества. «Интересы развития производительных сил и дальнейшего роста культуры народа,— сказано в постановлении,— настоятельно требуют значительного повышения качества знаний учащихся, лучшей подготовки их к общественно полезному труду».

Эти задачи являются актуальными и в настоящее время. Говоря об идейно-воспитательной работе партии в условиях развитого социализма, Генеральный секретарь ЦК КПСС товарищ Л. И. Брежнев сказал:

«Коммунистическое воспитание предполагает постоянное совершенствование системы народного образования и профессиональной подготовки. Это особенно важно сейчас, в условиях

научно-технической революции. Она придает иной, чем прежде, характер труду, а стало быть, и подготовке человека к труду. Мы многое делаем в этом отношении. Но то, что сделано и делается, еще не решает всех задач в этой области» (Отчет Центрального Комитета КПСС и очередные задачи партии в области внутренней и внешней политики. Доклад XXV съезду КПСС 24 февраля 1976 г. М., Политиздат, 1976, с. 93).

В упомянутом выше постановлении была намечена развернутая программа повышения качества работы средней общеобразовательной школы.

В системе предложенных мер нашли отражение новые, принципиально важные для советской школы формы учебной работы. Одной из них являются факультативные занятия. В постановлении сказано: «Для углубления знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, а также развития разносторонних интересов и способностей учащихся проводить в школах, начиная с VII класса, факультативные занятия по выбору учащихся».

Включение в учебный план факультативных занятий представляет собой дальнейшее развитие основополагающих идей советской общеобразовательной школы. Не нарушая принципа единства школы, введение предметов, изучаемых по выбору, способствует повышению уровня ее работы.

Вот уже несколько лет в нашей стране идет большая творческая работа по определению содержания, разработке методов и лучших путей организации факультативных занятий. В результате экспериментальной работы и опоры на изучение и обобщение передового педагогического опыта подготовлены и опубликованы программы, учебные пособия для учащихся и методические руководства для учителей.

Опыт организации и проведения факультативных занятий систематически обсуждается на всесоюзных и республиканских научно-практических конференциях, на сессиях Научного совета Академии педагогических наук по проблеме углубленного изучения учебных предметов, в Министерстве просвещения СССР, в министерствах просвещения (народного образования) союзных республик.

Материалы этих конференций, а также другие источники, в том числе полученные в результате проведенных Институтом содержания и методов обучения АПН СССР исследований, дают основание утверждать, что эта новая форма по углубленному изучению основ наук, по развитию разносторонних интересов и способностей учащихся вполне себя оправдывает.

Эффективность учебного процесса, в ходе которого формируется умственный и нравственный облик человека, во многом зависит от успешного усвоения одинакового, обязательного для всех членов общества содержания образования и всемерного удовлетворения и развития духовных запросов, интересов и

способностей каждого школьника в отдельности. Без факультативных занятий такой подход осуществить крайне трудно.

Введение факультативных занятий позволило решить целый ряд других педагогических проблем. Процессы обновления содержания образования и повышения научно-теоретического уровня программ являются, видимо, объективно необходимыми. Но это связано с учебной нагрузкой учащихся, с доступностью и посильностью возрастающего содержания общего образования. В этой связи перед педагогической наукой со всей очевидностью и остротой встала задача найти правильное решение в преодолении серьезного противоречия: неизбежности внесения нового материала в программы и необходимости предупреждения учебной перегрузки школьников.

Среди путей решения этой сложной проблемы одно из ведущих мест, несомненно, принадлежит введению в общеобразовательную школу факультативных занятий.

Разделение учебного материала на основной, обязательный для всех учащихся, и дополнительный, рассчитанный на удовлетворение повышенных интересов отдельных школьников (не являющийся обязательным), дает замечательную возможность повышать уровень общего образования, отвечающего требованиям научно-технического прогресса, не допуская перегрузки ребят обязательными учебными занятиями.

В обязательных программах должны даваться лишь основы, знание которых необходимо каждому современному образованному человеку. Более сложный, но не проверенный еще на доступность учебный материал следует изучать факультативно с учениками, проявляющими к нему повышенный интерес.

Справедливости ради необходимо отметить, что далеко не для всех учебных предметов, в том числе и математики, это требование было полностью реализовано. Зачастую в новые программы был включен учебный материал без учета того, что часть его можно было бы отнести к факультативам. Видимо, сказалось некоторое недоверие к этому важному нововведению.

Введение факультативных курсов позволяет лучше обеспечить стабильность основного содержания школьного образования, давая строго очерченный круг знаний.

В будущем новые учебные программы, а также новые темы и разделы должны проходить предварительную апробацию на факультативных занятиях, получая здесь «путевку» в обязательные курсы. К примеру, есть немало сторонников идеи введения в учебный план школы предмета «Кибернетика». Есть и противники этого. Сейчас создан такой курс и экспериментально проверяется в качестве факультатива. Практика покажет, насколько окажется полезным этот курс, получит ли он признание в школах. Аналогичное положение с курсами «Основы геологии», «Основы эстетики», «Основы логики» и т. д. Таким

образом, факультативы могут иметь большое прогнозирующее значение.

Одним из важных показателей развития факультативных занятий является охват ими учащихся. По статистическим данным Министерства просвещения СССР на 1 октября 1973 г. в школах страны работало 426 тыс. факультативных групп, в которых занималось 8,5 млн. учащихся, что составляет более 50% учеников VII—Х(Х1) классов восьмилетних и средних школ страны. При этом важно отметить, что с годами идет увеличение охвата учащихся факультативами во всех союзных республиках. Представление об этом дают следующие данные.

Таблица 1

Охват учащихся факультативами в союзных республиках

Союзные республики

Число факультативных групп (в тыс.)

Рост в %

Число учащихся в факультативных группах (в тыс.)

Рост в %

Охват учащихся VII-X(XI) классов факультативными занятиями в %

1971

1973

1971

1973

1

2

3

А

5

6

7

8

РСФСР

197

278

41

3672

5251

43

68

Украина

19

49

158

336

884

163

32

Белоруссия

16

18

17

287

342

19

54

Узбекистан

12

19

58

238

335

40

29

Казахстан

27

37

38

452

625

38

63

Грузия

11

11

0

133

175

31

32

Азербайджан

9,4

11

19

166

168

1

36

Литва

5,5

7,6

37

99

136

36

46

Молдавия

3,0

7,5

154

55

133

142

51

Латвия

1,6

2,4

51

28

44

59

40

Киргизия

4,4

5,3

21

77

94

21

36

Таджикистан

3,0

3,9

26

56

73

30

27

Армения

6,3

6,5

3

97

98

1

42

Туркмения Эстония

3,2

3,5

12

56

62

10

32

1.9

3.6

85

47

76

61

76

Всего в СССР

320

426

33

5804

8501

46

54

Из этих данных видно, что за два года число учащихся, посещающих факультативные занятия, возросло в 1,5 раза. Статистика говорит и о том, что охват факультативными занятиями увеличивается как в городских, так и в сельских школах. Большое отставание сельских школ в развитии факультативов, которое имелось в первые годы их становления, постепенно преодолевается.

Существенно отличается развитие факультативов в средних и восьмилетних школах. Во многих неполных средних школах факультативы даже не введены.

О сложности процесса развития факультативов можно судить по данным отдельных областей. Примером может служить Смоленская область, где Институтом содержания и методов обучения АПН СССР изучался этот вопрос (см. табл. 2).

Таблица 2

Развитие факультативов в школах Смоленской области

Учебные годы

Средние школы:

%

Восьмилетние школы

%

Число факульт. групп

Общий охват учащихся факульт. занятиями (в %)

всего школ

введены факульт. занятия

всего школ

введены факульт. занятия

в ср. школах

в 8-летних школах

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1969-1970

1970—1971

1971-1972

1972—1973

1973—1974

1974-1975

181

183

184

190

196

201

172

176

177

184

191

197

95

96

96

96

97

98

544

533

530

521

507

496

125

93

110

102

106

111

23

17

21

19

21

22

1530

1574

1693

1790

2030

2091

212

129

150

156

181

170

51,8

49,0

52,7

55,8

66,0

69,4

Из таблицы видно, что из года в год возрастает число факультативных групп и охват ими учащихся. Однако даже в 1974/75 учебном году четыре средние школы не имели факультативов. По сообщению облоно, это небольшие сельские школы.

Еще сложнее, как видно из приведенных данных, положение в восьмилетних школах. Из 496 школ данного типа в 1974/75 учебном году факультативы имелись менее чем в четвертой части.

Аналогичное положение во многих других областях, краях и республиках. Наиболее слабым местом в развитии факультативов по-прежнему остаются восьмилетние школы, особенно сельские.

С момента введения факультативных занятий проведена большая поисковая работа в определении наиболее целесообразного построения факультативных курсов, в определении их содержания и системы.

В первый период становления факультативов проявлялась тенденция к их безграничному расширению. Отсутствие четких программ, учебных и методических пособий нередко приводило к неудовлетворенности учащихся этими занятиями, а затем и к распаду факультативных групп. Поэтому вскоре стало ясно, что нужна основательная подготовка к введению каждого факультативного курса.

В результате длительной работы были отобраны и утверждены Министерством просвещения СССР в качестве типовых свыше 70 программ факультативных курсов. Почти столько же

программ утверждено Министерствами просвещения (народного образования) союзных республик. Большинство из них получили признание учителей и учащихся. По многим из этих курсов созданы учебные и методические пособия. Таким образом, общая номенклатура факультативов довольно значительна. Они созданы практически по всем предметам учебного плана.

Одновременно с ростом числа факультативных групп происходят изменения и в соотношении охвата учащихся различными факультативами. Если на первых порах явное предпочтение учащиеся отдавали предметам естественно-математического цикла, то теперь растет число школьников, посещающих другие факультативы.

Эта тенденция проявляется практически во всех союзных республиках, хотя в соотношении предметов, изучаемых по выбору, сложилось довольно большое разнообразие. Об этом можно судить, например, по данным за 1973 г. (см. табл. 3).

Из этих данных видно, что ни по одному предмету нет совпадений в различных республиках. Нет этих совпадений и в республиках, относящихся к одному региону. Скажем, родную литературу в Узбекистане изучают 6,9% учащихся, в Туркмении— 7,5%, а в Таджикистане—14,2%, хотя школы этих республик работают в сходных условиях. Родной язык в Узбекистане факультативно изучают 4,9%, в Туркмении— 10,4%, а в Таджикистане— 13,5% учащихся.

Факультативы по истории изучают в школах Литвы 6%, а в Эстонии только 2,8% учащихся. Математику в Армении изучают 23,0%, а в Грузии— 12,8%, т. е. почти в два раза меньше. Трудовым обучением через факультативные курсы в школах РСФСР охвачено 13,1% учащихся, а на Украине — 4,8%. Известно при этом, что в украинских школах вопросу трудовой подготовки учеников придается не меньшее значение.

Аналогичная ситуация складывается практически для большинства учебных предметов.

Столь большое расхождение в охвате учащихся по предметам говорит о том, что развитие этого нового вида учебной работы учащихся все еще находится в стадии становления. Об этом же, видимо, свидетельствует и тот факт, что в школах не нашли должного признания факультативы по таким важным предметам, как биология, география, черчение, изобразительное искусство. Даже факультативные курсы по трудовому обучению, имеющие особенно большое значение в профессиональной ориентации школьников, не получили соответствующего распространения, скажем, в школах таких республик, как Армения, Латвия, Узбекистан, хотя и здесь совершенствованию трудового обучения уделяется немалое внимание.

При этом необходимо обратить внимание на складывающиеся тенденции в развитии факультативов: по каким предметам охват учащихся возрастает быстро, а по каким — медленно.

Таблица 3

Число учащихся, изучающих факультативные курсы (в %)

Союзные республики

Учебные предметы

Родная литература

Родной язык

Русский язык и литература в национальной школе

Математика

Физика

Химия

История

Трудовое обучение

Иностранный язык

Биология

География

Изобрази тельное искусство

РСФСР

11,5

10,8

0,5

19,3

8,4

7,2

5,5

13,1

5,4

4,4

1,7

1.9

Украина

5,4

2,0

7,3

24,8

11,8

9,2

6,7

4,8

6,7

3,5

2,8

1,9

Белоруссия

8,9

7,5

6,2

21,7

8,3

10,2

7,2

8,6

4,1

3,1

2,6

1,7

Узбекистан

6,9

4,9

5,1

11,4

8,1

9,3

5,2

2,6

2,4

3,4

3,2

1,9

Казахстан

3,0

7.6

1,4

17,5

9,7

8,9

6,7

8,2

3,2

3,8

2,8

1,6

Грузия

15,9

3,3

4,6

12,8

5,6

9,2

5,8

8,8

3,6

з,з

2,8

0,4

Азербайджан

19,3

4,6

15,1

9,8

7,9

9,3

16,4

3,8

5,0

4,2

0,2

Литва

4,8

11,2

1,9

14,1

4,8

4,5

6,0

9,1

4,1

1,1

2,3

4,8

Молдавия

14,0

7,5

3,7

21,9

10,8

8,5

6,4

7,5

7,3

3,1

2.3

0,7

Латвия

6,4

2,3

1,5

12,9

6,2

8,3

5,4

2,6

7,2

5,0

1,2

4,2

Киргизия

9,4

14,3

5,7

18,4

10,5

9,4

9,7

3,2

3,8

3,6

2,4

1,1

Таджикистан

14,2

13,5

4,1

12,5

8,6

10,0

10,2

5,7

1,9

4,1

3,8

0,5

Армения

13,2

8,6

6,9

23,0

10,3

9,4

7,7

2,2

0,8

4,8

3,9

0,6

Туркмения

7,5

10,4

2,8

16,8

11,1

9.0

8,1

4,0

3,9

4,1

4,8

0,5

Эстония

3,4

11,5

0,5

9,5

4,4

3,2

2,8

7,5

6,6

1,5

0,6

4,8

Всего в СССР

10,6

8,9

2,1

19.1

8,9

7,8

5.9

10,6

5,1

2,9

2,1

1,8

Таблица 4

Охват учащихся факультативами по учебным предметам в общеобразовательных школах СССР (в %)

Учебные предметы

1969 г.

1973 г.

Изменение (+ или —)

Русский (родной) язык и литература

23,0

21,6

-1,4

Математика

24,1

19,1

—5

Физика

11,1

8,9

-2,2

Химия

9,1

7,8

-1,3

История

о,8

5,9

—0,9

Трудовое обучение

5,0

10,6

+5,6

Иностранные языки

4,5

5,1

+0,6

Биология

2,1

2,9

+ 0,8

География

2,0

2,1

+0,1

Изобразительное искусство

2,1

1,8

-0,4

Другие предметы

8,1

14,2

+ 6,1

Об этом дают определенное представление следующие показатели (см. табл. 4).

Из этих данных видна линия некоторого понижения процента охвата факультативами естественно-математического цикла. В то же время значительно возрос процент охвата по факультативам трудового обучения, хотя, как было отмечено, этот процесс в разных республиках идет довольно различно. И дело, наверное, не только в отношении органов народного образования, в их внимании или невнимании к данной проблеме, хотя это имеет порой решающее значение. Факультативы — новое и довольно сложное явление в жизни советской школы. По целому ряду вопросов трудно было, особенно на первой ступени развития факультативов, дать определенные ответы. В силу этого имели место факты, искажавшие порой саму суть факультативов.

В некоторых школах, большей частью в сельских восьмилетних, часы факультативов отдавались преподавателям русского языка и математики для улучшения подготовки учащихся по этим ведущим предметам. При этом все ученики автоматически «зачислялись» в группы по изучению факультативов. Нередко за счет факультативов организовывались дополнительные занятия. Тем самым вопрос о добровольности выбора в том и другом случае снимался. Да и содержание таких занятий ничего общего с факультативными курсами не имело. Под видом факультативов проводились кружковые занятия, а внеклассные формы работы свертывались.

Отмеченные недостатки оказались довольно живучими. Некоторые из них не преодолены до сих пор. В августе 1974 г. на заседании коллегии Министерства просвещения СССР говорилось фактически об этих же недостатках, и поэтому в своем ре-

шении коллегия записала: «Все еще имеют место факты превращения факультативов в дополнительные и кружковые занятия. Иногда факультативы по математике, физике, химии превращаются в репетиторские группы по подготовке в высшие и средние специальные учебные заведения. Работа на этих занятиях сводится фактически только к решению конкурсных задач без достаточных теоретических обоснований. Ни демонстрационный, ни лабораторный эксперименты не используются» (решение коллегии Министерства просвещения СССР от 2 августа 1974 г., № 25).

На этом заседании коллегия приняла за основу проект Положения о факультативных занятиях, подготовленный Институтом содержания и методов обучения АПН СССР. В этом Положении нашли решение многие организационные вопросы, позволяющие упорядочить работу факультативов.

В силу ряда обстоятельств более сложным является введение факультативных занятий в сельских школах.

В ряде сельских средних школ в связи с усилением внимания к изучению сельскохозяйственной техники — обучению учащихся IX—Х(ХI) классов автоделу и работе на тракторах и комбайнах — все часы, предусмотренные на факультативы, стали передавать на трудовое обучение. Однако вряд ли правильно решать одну задачу за счет другой. Идти по пути снятия факультативных занятий, лишать учащихся возможности более глубоко изучать отдельные предметы по своему выбору — значит наносить существенный ущерб их общеобразовательной подготовке. В принятом в 1973 г. постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О мерах по дальнейшему улучшению условий работы сельской общеобразовательной школы» отмечается, что сельская школа имеет важное значение в преодолении существенных различий между городом и деревней. И передовые сельские школы находят более правильные пути решения этой важной социально-политической задачи.

В Шумячской средней школе Смоленской области уже много лет дается хорошая трудовая подготовка, умело осуществляется профессиональная ориентация школьников. Выпускники этой школы охотно идут в сельскохозяйственные вузы и техникумы или сразу же поступают на работу по полученной специальности. В этой школе, опыт которой широко известен в стране, введение различных факультативных курсов не только не мешает, а, наоборот, помогает решению проблемы трудовой подготовки и удовлетворению разнообразных интересов и склонностей учащихся.

Вот как здесь складывается охват учащихся факультативными занятиями за последние пять лет (табл. 5).

В этой средней школе все учащиеся IX—X классов на уроках труда и частично за счет факультативов получают усиленную трудовую подготовку по сельскохозяйственным специаль-

ностям. В то же время многие из них изучают различные факультативные курсы, подбор которых сложился за ряд лет. В 1974/75 учебном году, например, в школе действовали следующие факультативы:

в VII классе — русский язык, математика, трудовое обучение;

в VIII классе — литература, химия и трудовое обучение;

в IX классе — литература, математика, химия, физика, трудовое обучение (агротехника полевых культур, сельхозмашины и техника тракторных работ);

в X классе — литература, химия, физика, математика и трудовое обучение.

Таблица 5

Участие в факультативах учащихся Шумячской школы в 1970—1975 гг.

Показатели

Учебные годы

1970 71

1971/72

1972/73

1973/74

1974/75

Всего учащихся VII—X классов

431

412

396

426

450

Охвачено факультативами

344

334

331

347

409

Процент охвата

80,0

81,1

86,1

81,4

90,9

В процессе изучения опыта этой школы было установлено, что не за счет отказа от факультативов решают в ней проблему подготовки ребят к труду, а путем повышения качества работы. Здесь факультативные занятия являются активной формой улучшения трудовой и общеобразовательной подготовки учащихся.

Подобно Шумячской школе забота о факультативных занятиях удовлетворяется и в других передовых сельских школах.

Сложнее этот вопрос решать в национальных школах. В ряде союзных республик на факультативы отводится значительно меньше времени, чем это предусмотрено типовым учебным планом. На Украине и в Белоруссии, к примеру, на факультативы отведено всего по шесть часов в неделю (по одному часу в VII и VIII классах и по два часа в IX и X классах). В Молдавии на факультативы в русских школах отводят восемь часов, а в нерусских школах — всего лишь пять часов в неделю. В этих условиях, особенно в сельской школе, крайне сложно осуществлять трудовую подготовку учащихся и одновременно удовлетворять их разнообразные интересы и склонности.

Поэтому Институт содержания и методов обучения, Научный совет АПН СССР по углубленному изучению отдельных предметов, возглавляемый действительным членом АПН СССР Д. А. Эпштейном, совместно с учителями и учеными союзных республик ведут изучение путей решения этой важной проблемы. В конце 1975 г. в Эстонии состоялось заседание этого

Научного совета. В ряде докладов был освещен опыт удачной постановки факультативных занятий в национальной школе. Кстати, именно в этой республике накоплен весьма ценный опыт факультативных занятий в русских и нерусских, городских и сельских школах.

При активном участии и заинтересованности представителей союзных республик, несомненно, будут найдены пути успешного осуществления этого нового вида учебных занятий во всех средних и восьмилетних, городских и сельских школах страны.

Предстоит большая исследовательская и организационная работа по совершенствованию содержания, организации и методов факультативных занятий — важного средства в повышении качества учебно-воспитательной работы.

В предлагаемой читателям книге известных методистов-математиков— члена-корреспондента Академии педагогических наук СССР заведующего лабораторией прикладной математики НИИ СиМО АПН СССР С. И. Шварцбурда и старших научных сотрудников этой лаборатории В. В. Фирсова и О. А. Боковнева — освещается (на основе изучения опыта учителей математики) состояние факультативных занятий, проводится научно-педагогический анализ и намечаются перспективы их развития.

Мы надеемся, что книга вызовет интерес учителей и окажется полезной для выявления места и роли факультативов в системе математического образования молодежи, в деле обнаружения и развития математических дарований учащихся — будущих специалистов народного хозяйства нашей страны, достойной смены советских ученых-математиков.

Член-корреспондент АПН СССР М. П. Кашин.

ВВЕДЕНИЕ

Новая форма учебной работы—факультативные занятия — была введена постановлением Центрального Комитета КПСС и Совета Министров СССР от 10 ноября 1966 г. «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы» (1)*) в целях углубления знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, развития разносторонних интересов и способностей учащихся. Введение факультативных занятий по выбору учащихся явилось важным шагом в деле дальнейшего совершенствования советской системы всеобщего среднего образования. Основанная на принципах предоставления всем учащимся равных образовательных возможностей, единая трудовая политехническая общеобразовательная школа направляет свои усилия на всестороннее развитие личности, развитие творческих способностей учащихся. Нет ничего более противоречащего идее равенства образовательных возможностей, чем нивелировка результатов образования, подгонка интеллекта детей, их общего развития к одному шаблону. Стимулируя познавательные интересы учащихся, развивая разнообразные способности, наша школа целым комплексом форм факультативной, внеклассной работы дополняет основные, классные формы обучения.

За десятилетие, прошедшее со времени введения факультативных занятий в школах, они получили значительное развитие. Миллионы учащихся VII—X классов углубили свои знания основ наук, расширили кругозор, проверили способности и с учетом опыта факультативного изучения тех или иных предметов выбрали свой жизненный путь. Миллионы бывших слушателей математических факультативов продолжают образование в вузах математического или технического профиля, работают программистами в вычислительных центрах, рабочими на станках с программным управлением, применяя полученные на факультативных занятиях знания и умения. Не менее важно и то, что факультативные занятия привили многим из них любовь к математике, расширили их представление о математической

*) См. указатель литературы в конце брошюры.

науке и профессиях, связанных с ней, сформировали стремление к постановке и решению творческих познавательных задач.

В 1976/77 учебном году завершается переход общеобразовательной школы и средних ПТУ на новые программы по математике.

Изучая состояние факультативов по математике, нельзя не обратить внимания на ту особую роль, которую они сыграли в деле перестройки среднего математического образования. Они явились фактически широким и естественным каналом проникновения в школу нового содержания курса математики и наиболее значительным звеном в общей системе подготовки и переподготовки учительских кадров.

Факультативам отводилась важная роль своеобразной педагогической лаборатории, действующей в условиях массовой школы, лаборатории по отработке, уточнению, «обкатке» материала, который со временем должен изучаться на уроках всеми учащимися. «Содержание факультативов, выверенное и ясное, должно войти в обязательные программы. Таков один из путей к качеству, к новому образованию»,— писал министр просвещения СССР М. А. Прокофьев (4).

Как ни в одном из школьных предметов, перестройка курса математики носила столь коренной характер, что ее осуществление потребовало значительной переподготовки учителей, разработки нового содержания за сравнительно короткие сроки и овладения учителями по существу новой методикой преподавания всего курса школьной математики, так как даже изложение традиционных тем потребовало изменений, новых подходов. Роль факультативных занятий как своеобразного полигона для подготовки к введению нового школьного курса математики бесспорна.

Изменение программы общеобразовательного курса математики вызывает изменение программ факультативных занятий. Предстоит большая работа по обновлению содержания факультативных занятий; необходимо учесть положительный опыт и некоторые просчеты математических факультативов, имевшие место до перестройки системы среднего математического образования (2).

Первый, переходный этап факультативных занятий по математике, начавшийся в 1966 г., завершается. С 1976 г. начинается новый период математических факультативов.

В исследованиях, посвященных проблемам математических факультативов, принимали участие ведущие научные учреждения страны — Академия наук СССР, Академия педагогических наук СССР, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова и другие университеты и педагогические институты. Непосредственной разработкой содержания и методики факультативных занятий по математике занимались такие видные ученые, как академик А. Н. Колмогоров, академик

АН УССР Б. В. Гнеденко, действительный член АПН СССР А. И. Маркушевич, член-корреспондент АН СССР И. М. Гельфанд, член-корреспондент АПН СССР В. Г. Болтянский. Вопросы углубленной теоретической и практической подготовки школьников, в том числе и на факультативных занятиях по математике, обсуждались на ряде научно-практических конференций — см., например, (2), (3).

Передовыми учителями страны была проделана большая творческая работа по проверке нового содержания и разработке методики факультативных занятий. Значение этой работы трудно переоценить. Выступая на XXV съезде партии Генеральный секретарь ЦК КПСС товарищ Л. И. Брежнев, говоря о необходимости приведения методов обучения в соответствие с требованиями жизни, особо подчеркнул необходимость глубокого изучения новаторского опыта учителей на современном этапе совершенствования системы народного образования и профессиональной подготовки.

Настоящая брошюра, в которую включены материалы статьи (5), опубликованной недавно журналом «Математика в школе», имеет целью осветить наметившиеся тенденции развития математических факультативов и описать выводы исследований, направленных на выявление специфики этой новой формы обучения и обобщение десятилетнего опыта работы общеобразовательных школ страны. В заключение приводится программа нового факультативного курса по математике, разработанная лабораторией прикладной математики научно-исследовательского института содержания и методов обучения АПН СССР и утвержденная математической комиссией Ученого методического совета Министерства просвещения РСФСР.

СОСТОЯНИЕ И РАЗВИТИЕ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФАКУЛЬТАТИВЫ И ПЕРЕСТРОЙКА ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

Вторая половина XX в. характеризуется бурной математизацией научного знания и практической деятельности человека. Являясь с незапамятных времен фундаментом естествознания и техники, математика в последнее время необычайно расширила сферы своей применимости. Математическое образование поэтому стало значительным средством повышения уровня подготовки будущих специалистов по большинству как естественнонаучных и технических, так и гуманитарных дисциплин. Взятый советской педагогикой курс на изучение основ наук, основанное на научном, а не чисто утилитарном подходе к образованию, в значительной степени способствовал развитию представлений о математике как об одном из ведущих предметов школьного цикла. Реформа содержания среднего математического образования, которая завершается ныне, определила построение нового школьного курса математики, отражающего на доступном для учащихся уровне современную математику и ее место в системе наук.

Еще до введения факультативных занятий в нашей стране сложился определенный комплекс форм повышенной математической подготовки учащихся. Повсеместное развитие получили не только кружки и школы юных математиков, математические олимпиады, но и школы и классы с математической специализацией. Повышенная математическая подготовка предоставляла возможность учащимся, проявляющим склонности и способности в области математики, поднять уровень своего математического развития, получить дополнительные по сравнению с требованиями обязательного курса знания, навыки и умения. Соответствующие формы повышенной математической подготовки учащихся нашли себе прочное место в советской школе, реализуя направление на развитие интересов, склонностей и способностей учащихся.

Если вначале повышенной математической подготовкой охватывался сравнительно узкий круг так называемых «математически одаренных» детей, то в последнее время ситуация изменилась коренным образом. Математизация знания и техники привела к пересмотру взглядов общества на изучение матема-

тики. Интерес к математике и стремление повысить свою математическую культуру стали характерными не только для тех учащихся, которые стремились стать впоследствии профессиональными математиками. Существенно увеличился контингент учащихся, стремящихся к повышенной математической подготовке, в то время как традиции ориентировали либо на развитие первоначального интереса к математике (который у этих учащихся уже наличествует), либо на работу с детьми, проявляющими особую одаренность в области математики.

Введение факультативных занятий сразу же заполнило указанный пробел. Первостепенное значение социальных и культурных закономерностей в бурном развитии математических факультативов, занимающих весьма заметное место в общей системе факультативных занятий, очевидно. Факультативы по математике охватывают сейчас до 20% всех учащихся факультативных групп, что дает весьма весомые абсолютные цифры. Поэтому в нашей стране были развернуты интенсивные научно-педагогические исследования, направленные на решение наиболее актуальных проблем, связанных с организацией, отборам содержания и разработкой методики проведения факультативных занятий по математике.

В связи с этим следует отметить важную особенность периода становления и развития математических факультативов, не имеющую полной аналогии с особенностями факультативов по другим предметам. Дело в том, что факультативные занятия появились в советской школе в момент осуществления коренной реформы математического образования, затрагивающей весь курс математики с I по X класс и по своей основательности не сопоставимой с реформами прошлых лет. Подобная перестройка неизбежно занимает много времени, сопровождается сложными процессами переходного периода, отнимает много сил у учителей, методистов и научных работников. С самого начала было ясно, что факультативные курсы по математике в этот период будут носить временный характер, поскольку последовательно вводились новые программы. Поэтому в первый период организации факультативных занятий по математике им сознательно была придана цель служить естественной массовой лабораторией разработки методики и содержания нового курса математики; иными словами, программы факультативов были ориентированы на новую школьную программу по математике.

Учитывая эту особенность, все исследования в области теории и практики факультативных занятий можно условно разделить на две группы. К первой из них можно отнести работы, направленные на решение актуальных методических задач начального периода развития математических факультативов, как-то: разработка содержания и методики проведения факультативных занятий, создание научно-методического обеспечения

математического факультатива, изучение и обобщение опыта факультативных занятий. Работы этой группы были ориентированы на исследование проблем преподавания общего курса математики. Тем не менее они явились хорошей базой для появления несколько позднее работ второй группы, направленных на выявление специфики собственно факультативных занятий, разработку теории этой формы обучения, исследование перспектив развития факультативных занятий по математике и разработку нового содержания и методики обучения. Реализация научно-педагогических положений, найденных в этих исследованиях, проводится в настоящее время. С переходом к новому содержанию факультативных занятий по математике начинается второй период развития математических факультативов.

2. ИЗМЕНЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОГРАММ ФАКУЛЬТАТИВОВ

Действовавшая до настоящего времени переходная система факультативных занятий по математике включала в себя факультативный курс «Дополнительные главы и вопросы к систематическому курсу математики» и специальные факультативные курсы «Вычислительная математика», «Программирование» и «Векторные пространства и линейное программирование» (6). Перейдем к характеристике этих курсов, заметив, что среди них подавляющее распространение получил курс «Дополнительные главы». Причины этого явления будут охарактеризованы ниже, а пока, говоря о математических факультативах, будем, не оговариваясь каждый раз, иметь в виду только курс «Дополнительные главы».

Целью изучения «Дополнительных глав» явилось: а) углубление программных вопросов; б) изучение вопросов, примыкающих к программным; в) изучение некоторых дополнительных вопросов, важных с общеобразовательной точки зрения и раскрывающих приложения математики.

Таким образом, содержание курсов «Дополнительных глав» должно было способствовать расширению кругозора и общему математическому развитию учащихся. Этот принцип был взят в качестве основополагающего при составлении программ факультативных занятий. Так, программа «Дополнительных глав» для VII—VIII классов была составлена из отдельных законченных тем с таким расчетом, чтобы учащиеся почувствовали вкус к активной работе по усвоению (а частично и самостоятельному построению) законченных математических «мини-теорий».

При составлении программы нового школьного курса математики в числе основных требований к ней А. Н. Колмогоровым было выдвинуто следующее положение: «Каждое направление работы учащегося, будучи начато, должно быть доведено до тех минимальных результатов, которые его действительно

оправдывают; школа не должна заниматься наполнением памяти учеников заготовками, которые в школьном курсе не найдут достойного употребления, в надежде, что они учащимся когда-либо пригодятся» (7; с. 6). Этому требованию не отвечала тема «Комплексные числа» в объеме старой программы; расширить же ее в новой программе (ввиду сокращения общего числа часов на обязательные занятия в старших классах) не представлялось возможным. Поэтому тема «Комплексные числа» была исключена из обязательной программы и введена в расширенном и углубленном виде в программу факультатива «Дополнительные главы» для IX класса, где комплексные числа широко используются как в чисто алгебраическом аспекте, так и в связи с тригонометрией и колебаниями.

Особенностью первых программ факультативных занятий было включение в них важнейших тем проекта программы школьного курса, не изучавшихся в то время в школе. К этим темам относятся следующие: «Множество и операции над ними» (VII и IX классы), «Начала дифференциального и интегрального исчислений (IX и X классы), «Геометрические преобразования» (VII—IX классы), «Принципы работы электронных вычислительных машин» (VII, X классы), «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» (X класс), «Метод координат» (VIII класс), «Принцип математической индукции» (IX класс). Имелось в виду, что это позволит учителям к моменту введения новых программ уже приобрести некоторый опыт в изложении новых программных вопросов, что должно было облегчить дальнейший переход школы на новое содержание математического образования.

Теперь уже можно со всей определенностью сделать вывод о том, что такие факультативы, как, например, «Множества и действия над ними», более всего способствовали подготовке перевода школьного курса на современные рельсы, повышению уровня научности курса и модернизации обучения. На этом примере мы видим, как введенные с целью повышения теоретического уровня преподавания математики понятия работают в последующем, способствуя общей перестройке содержания и методики обучения, уточнению языка многих разделов курса, более точному определению понятий математики и, что не менее важно, как введенные понятия служат более доступному для учащихся изложению ряда новых и традиционных понятий и фактов курса.

Не менее интересен другой пример. Включение элементов математического анализа в программу обязательного курса изменило лицо школьной математики, сделало курс существенно более прикладным, способствовало его политехнизации. Решение проблемы включения элементов анализа в обязательный курс математики — осуществление давней мечты нескольких поколений прогрессивных педагогов нашей страны—стало

возможно только в условиях методической обработки и «обкатки» различных систем изложения этого материала при углубленном его изучении, особенно на факультативных занятиях. На примере включения элементов математического анализа в школьную программу можно видеть, как приближение школьного курса математики к математической науке способствует повышению его политехнических функций, улучшению условий применения на практике изучаемого в курсе математики материала.

Имея в виду вырисовывающуюся тенденцию к непрерывному совершенствованию курса школьной математики, мы обязаны пользоваться столь результативной и в высшей степени полезной лабораторией передового педагогического опыта, какой являются факультативные занятия. При этом следует, разумеется, учитывать, что прямое перенесение педагогического опыта, накопленного при проведении факультативных занятий, особенно по вопросам введения нового содержания и разработке новой методики, в массовый курс без соответствующего эксперимента и исследования может привести к отрицательным явлениям. В целом же положительную роль факультативов в общем процессе совершенствования среднего математического образования невозможно переоценить.

В программах факультативов, утвержденных в 1967 г., была предусмотрена вариантность — в каждом классе учитель мог с учетом конкретных возможностей и интересов учащихся выбрать из нескольких предложенных тем те, изучение которых представлялось ему наиболее целесообразным.

Наряду с этим некоторые темы из курса «Дополнительные главы» для IX и X классов рассматривались как обязательные для всех, кто выбрал в качестве факультативных занятия математикой. Такими темами в IX классе были «Множества и операции над ними» и «Производная», а в X классе — «Интеграл», «Начала теории вероятностей с элементами комбинаторики», «Алгебраические уравнения высших степеней». Обязательность этих тем имела целью выработку определенных традиций их изучения, которые потом могли быть перенесены на работу со всеми учащимися.

По мере внедрения в жизнь новых программ обязательного курса математики программы факультативного курса «Дополнительные главы» претерпевали ряд изменений.

В 1973/74 учебном году в программы были внесены изменения в связи с переходом VII класса на новые, а IX класса на переходные программы. Программы для факультативных занятий были опубликованы и утверждены Министерством просвещения СССР как единые и обязательные для всех школ страны. Из программы для IX класса были исключены темы «Производная» и «Принцип математической индукции», так как они вошли в основной курс. Вместо этого была введена тема «Ком-

плексные числа», не включенная в основной курс, и связанная с ней тема «Алгебраические уравнения высших степеней», перенесенная из программы X класса.

В связи с дальнейшим переходом школы на новые программы в 1974 г. программы факультативов были изменены еще раз. К 1974/75 учебному году в издательстве «Просвещение» вышли сборники программ факультативных курсов, рекомендованных Главным управлением школ Министерства просвещения СССР. Из «Дополнительных глав» были исключены темы: «Метод координат» (VII класс), «Множества и операции над ними», «Бесконечные множества», «Геометрические преобразования» (VIII класс), «Производная» (IX класс); изучение этих тем предусматривалось в обязательных курсах. Темы, связанные с изучением множеств и операций над ними, первых сведений об интеграле, оставлены в программе IX—X классов только на 1974/75 и 1975/76 учебные годы, т. е. на время работы в этих классах по переходной программе. В программу X класса включена принципиально новая для школьного курса тема «Дифференциальные уравнения и их значение в естествознании», назначение которой — показать учащимся на ряде ярких примеров, как записываются с помощью дифференциальных уравнений законы природы, и дать таким образом представление о «математическом естествознании».

В настоящее время в связи с завершением перехода средней школы на новую программу по математике факультативный курс «Дополнительные главы и вопросы к систематическому курсу математики» исчерпал свои возможности и заменяется новым факультативным курсом.

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ КУРСОВ

В разработке программы и составлении учебных пособий к курсу принимали участие виднейшие советские ученые-математики и методисты. Так, учебные материалы по теме «Дополнительные вопросы арифметики целых чисел» подготовили действительный член АПН СССР А. И. Маркушевич и член-корреспондент АПН СССР В. Г. Болтянский, по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» — действительный член АН СССР А. Н. Колмогоров и академик АН УССР Б. В. Гнеденко. В целом авторами, Математической комиссией Ученого методического совета Министерства просвещения СССР и издательством «Просвещение» была проделана огромная работа по подготовке учебных пособий, что позволило выпустить в свет сборники (8), (9), (10) и (11).

Нельзя не отметить громадную работу, которую провел в этом отношении журнал «Математика в школе», опубликовавший многие учебные и методические материалы в помощь учи-

телю, ведущему факультативные занятия по математике. Полезные публикации можно найти в журнале АН СССР и АПН СССР «Квант». В числе рекомендованной литературы были публикации издательств «Педагогика», «Наука» и «Знание».

Опыт работы лучших учителей, ведущих факультативные занятия по математике, освещался на страницах журнала «Математика в школе», в изданиях научно-исследовательских институтов АПН СССР и союзных республик, университетов и педагогических институтов.

Можно констатировать, что в результате проведенной работы факультативный курс «Дополнительные главы и вопросы к систематическому курсу математики» был достаточно обеспечен как учебной литературой, так и изданиями для учителя.

Более сложными оказались задачи обеспечения учителя методической литературой. Дело в том, что все силы были брошены на разработку учебных пособий для общего курса математики. Поэтому методики обучения переходным программам факультативного курса разрабатывались и освещались в соответствующих книгах для учителя по мере перехода школы на новые программы по математике. Если учесть очевидные здесь трудности, подобное решение было для первого периода развития факультативных занятий по математике, на наш взгляд, единственно целесообразным и возможным.

Вместе с тем на данном этапе развития математических факультативов следует сделать вывод о необходимости комплексного обеспечения учебного процесса на факультативных занятиях, включающего в себя одновременную разработку и издание учебных и учебно-методических пособий. Однако создать подобное обеспечение возможно лишь в результате совместных усилий ученых и методистов. Опыт показывает, что излишнее дробление системы факультативных курсов по одному предмету, появление многих курсов, построенных на различных методических позициях, затрудняет создание комплексного обеспечения курсов, затрудняет их проведение в школе. Нам представляется, что возможность сравнительно полного обеспечения учителя (ведущего факультатив по математике) учебно-методическими пособиями была в большой степени связана с тем, что по существу был только один математический факультатив «Дополнительные главы», единый по своей структуре, целевым установкам, принципам отбора содержания и методики обучения.

Следует отметить, что сравнительно слабая распространенность специальных факультативных курсов по математике в какой-то мере была предопределена слабостью соответствующего учебно-методического обеспечения. Однако это не является, по нашему мнению, основной причиной подобного положения (о чем мы будем еще говорить). Таким образом, мы приходим к выводу о желательности иметь в будущем пусть мень-

шее число факультативных курсов, но непременно комплексно обеспеченных всем необходимым.

Первый период развития факультативных занятий показал также необходимость проведения специальной подготовки учителя для ведения факультатива. Колоссальная загруженность институтов усовершенствования учителей в связи с переходом на новые программы не позволила провести эту работу в необходимом объеме, что также следует учесть, обсуждая вопрос об учебно-методическом обеспечении учебного процесса на факультативных занятиях.

4. О БУДУЩЕМ ОБЩЕГО И СПЕЦИАЛЬНЫХ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ КУРСОВ

Специальные факультативные курсы по математике были рассчитаны на довольно развитый интерес учащихся к науке и на длительное время изучения весьма богатого в прикладном отношении материала. Актуальность их тематики не вызывала сомнения. Особенно это относится к специальному курсу «Программирование», обладающему громадными политехническими возможностями.

Вопросы программирования проникли в среднюю школу свыше пятнадцати лет назад. Первоначально элементы программирования изучались в школах с производственным обучением по специальности «вычислитель-программист». Основное содержание специального предмета в этих школах: вычислительные методы и программирование в кодах конкретных машин.

Постепенно были выявлены общеобразовательные аспекты в обучении программированию. В соответствии с этим стал отбираться материал по программированию для средней общеобразовательной школы. В период перестройки и обновления программ по математике стали происходить серьезные изменения в программах обучения школьников программированию. Основные причины обновления программ по программированию состоят в быстром расширении области применения ЭВМ в науке и производстве, совершенствовании форм общения человека с ЭВМ, усилении процесса автоматизации в программировании. Бурное развитие этой отрасли математики затрудняет работу по обучению программированию. Буквально каждый год в самом программировании происходят изменения, способные оказывать существенное влияние на содержание обучения. Поэтому подход, основанный на выявлении общеобразовательного содержания программирования в ущерб чисто техническим навыкам, представляется совершенно правильным.

Первоначально факультативный курс «Программирование» был ориентирован на обучение программированию в кодах конкретной ЭВМ. Это соответствовало принятой тогда методике

обучения программированию, предоставляло возможность выхода на машину и было, несомненно, правильным. В то же время трудности, связанные с необходимостью иметь машинное время, оказывались настолько велики, что приводили во многих случаях к срыву факультатива. Кроме того, факультатив в гораздо большей, чем это возможно в общеобразовательной школе, степени тяготел к профессионализации, к изучению частных технических вопросов программирования.

Содержание факультатива постепенно корректировалось. Вместе с тем наметились новые веяния, связанные в первую очередь с возможностью перехода на качественно новый уровень обучения — обучение алгоритмическим языкам программирования. Однако по-прежнему остается нерешенной проблема работы на машине, что, несмотря на обсуждаемые сейчас методы безмашинного обучения программированию, все-таки значительно ограничивает возможности распространения курса. (Не подлежит сомнению, что указанные трудности временного порядка и что в скором времени вопрос о широкой постановке курса «Программирование» можно будет обсудить на более реальной основе.) Тем временем и в обязательном курсе математики появились элементы программирования. Углубление этих понятий с упором на общеобразовательную сторону дела предлагается проводить и в факультативном курсе по новой программе.

Основные методические проблемы, связанные с разработкой содержания и методики обучения элементам программирования в школе, а также с разработкой учебно-методического обеспечения факультативного курса «Программирование», нашли свое решение в работах доктора педагогических наук В. М. Монахова (12). Вопросы обучения алгоритмическим языкам исследуются в работах кандидата педагогических наук И. Н. Антипова (13). В указанной области работают и другие видные ученые и педагоги.

Специальный факультативный курс «Программирование» обеспечен учебными материалами для учащихся и пособием для учителя (14, 15), правда, эти публикации были подготовлены лишь недавно.

В настоящее время в связи с завершением перехода школы на новое содержание обучения математике некоторые вопросы спецкурса нашли свое место в общем курсе математики. Кроме того, сама программа спецкурса нуждается в определенной корректировке, учитывающей новый уровень подготовки учащихся и дальнейшее развитие программирования.

Специальный факультативный курс «Вычислительная математика» был посвящен изложению круга вопросов, связанных с приближенными методами решения традиционных математических задач. Эти методы имеют громадную прикладную ценность, и с самого начала было ясно, что такие вопросы спец-

курса, как, скажем, «Приближенные вычисления», должны занять свое место в общем курсе математики. Вместе с тем старая программа по математике не обеспечивала той математической базы, на основе которой можно было методически целесообразным способом изложить вопросы вычислительной математики. Спецкурс оказался далеким от основных направлений школьного курса математики, излишне специальным. Несмотря на издание пособия (16) и соответствующего пособия для учащихся, учителя в целом не смогли подготовиться к проведению спецкурса.

В настоящее время наиболее важный с общеобразовательных позиций раздел спецкурса «Приближенные вычисления» включен в обязательную программу. В связи с завершением перехода на новые программы по математике программа спецкурса также нуждается в корректировке.

Специальный факультативный курс «Векторные пространства и линейное программирование» ставил своей задачей ввести на основе расширения понятия вектора основные математические представления, относящиеся к теории векторных пространств. Далее в спецкурсе изученный математический аппарат применялся к решению задач линейного программирования.

Общеобразовательное значение векторных представлений бесспорно. Это иллюстрируется хотя бы тем, что курс геометрии в старших классах строится теперь на векторной основе. В то же время постановка задач линейного программирования доставляет важный пример приложений математики к решению экономических задач.

Указанный специальный факультативный курс не был обеспечен учебной литературой для учащихся. Методического пособия для учителя (17), изданного небольшим тиражом, оказалось по этой причине недостаточно для сколь либо широкой постановки спецкурсов, поскольку материал его даже не входил в учебные планы математических факультетов педвузов.

К настоящему времени в связи с переходом на новые программы значительная часть материала этого спецкурса, связанная с понятием вектора, введена в обязательную программу. Кроме того, в основном курсе дается также представление о постановке задачи линейного программирования. Изучать же специальные алгоритмы решений задач линейного программирования, как показал опыт, вряд ли целесообразно ввиду их сложности.

Мы уже говорили о том, что специальные факультативные курсы по математике не получили достаточного распространения. Помимо отмеченных выше причин — переходного характера факультатива «Дополнительные главы», слабой учебно-материальной базы, неподготовленности преподавателей, — свою роль сыграли и другие причины, непосредственно связанные со спецификой этих курсов.

Сама идея математического спецкурса предполагает достаточно продвинутое изучение тематически связанного материала в течение длительного времени. Так, специальные факультативные курсы по математике были рассчитаны не менее чем на 70 часов. В этих условиях оказывается довольно трудным создать и сохранить факультатив, посвященный изучению пусть важного, но сравнительно узкого вопроса. Учащиеся в состоянии самостоятельно сделать выбор учебного предмета, по которому будут посещать факультатив (в нашем случае — математики). Однако им трудно сделать осознанный выбор «внутри предмета», поэтому предлагаемое им изучение одной темы оказывается зачастую навязанным. Длительное же изучение одной темы приводит к заметному отрыву от содержания основного курса математики, что также болезненно воспринимается учащимися. Поэтому оптимальным вариантом факультативного курса математики в настоящее время может быть курс, близкий по своей структуре и целям курсу «Дополнительные главы».

ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ

1. О ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТАТИВОВ

Говоря выше об общеобразовательной, политехнической, профессионально-ориентационной и т. п. направленности факультативных занятий, мы по существу определяли те важные педагогические функции, которыми они должны обладать.

Введение принципиально новой для советской школы формы обучения — факультативных занятий — и необходимость всестороннего изучения их педагогических функций привели к научно-педагогическим исследованиям, направленным на выявление специфики факультативов и разработку теоретических основ методики обучения. Фундаментом подобных работ явилось изучение и обобщение передового опыта проведения факультативных занятий, накопленного школами. Значительную роль в деле координации научных исследований сыграл созданный в Академии педагогических наук СССР Научный совет по проблеме углубленного теоретического и практического изучения отдельных предметов по выбору учащихся, руководимый действительным членом АПН СССР Д. А. Эпштейном. Советом было организовано целенаправленное изучение состояния факультативных занятий в школах страны, в ходе которого были получены многие интересные результаты (см. сборник (18) ).

Особую роль в деле научно-педагогического осмысления педагогического опыта и определения перспектив развития факультативов по математике сыграли научно-практические конференции: в 1966 г. в Москве (руководитель секции математики Г. Г. Маслова) и в 1971 г. в городе Черкассы (руководитель секции математики С. И. Шварцбурд).

Важнейшей научно-педагогической задачей, непосредственно связанной с практикой факультативных занятий, было установление специфики факультативных занятий как формы обучения, выявление общего и различий между ними и другими формами, сложившимися в советской школе. Исходя из этой специфики, можно было бы поставить вопрос о педагогически целесообразном достижении целей факультативов, определенных в постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 10 ноября 1966 г. «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы».

Проведенное сотрудниками НИИ содержания и методов обучения АПН СССР изучение показало, что в практике факультативных занятий складываются некоторые нежелательные тенденции, дискредитирующие эту форму обучения, как-то: методически необоснованный отбор содержания факультативов; смешение их с другими формами работы с учащимися (дополнительными занятиями или кружковой работой); своеобразный репетиторский уклон, особенно свойственный для математических факультативов; нарушения принципа добровольности формирования факультативных групп; недостаточный учет интересов учащихся. В значительной степени стихийное развитие факультативных занятий привело к возникновению различного рода отклонений, бороться с которыми можно было только ответив на вопрос, что есть факультатив, в чем его сходство и отличие от обязательного курса и внеклассных занятий. Дело осложнялось тем, что и в среде ученых-методистов не сформировался единый подход к вопросам углубленного изучения предметов по выбору учащихся.

Общеобразовательные функции факультативных занятий заключаются в предоставлении возможностей учащимся, проявляющим интерес и склонности к предмету, получить дополнительные знания, умения и навыки по этому предмету. В этом смысле факультативные занятия входят в систему повышенной подготовки учащихся, являясь одним из ее компонентов.

Обсуждавшиеся на страницах журнала «Математика в школе» различия между факультативами и кружками по математике, между факультативами и занятиями в классах с углубленным изучением математики лежат вне сферы образовательной функции. Поэтому, говоря об образовательной функции математических факультативов, не следует как-то выделять их из ряда других видов и форм повышенной математической подготовки.

Необходимость выполнения указанной образовательной функции проистекает из двух причин: во-первых, она связана с общим направлением на развитие интересов, склонностей и способностей учащихся, задаваемым требованиями научно-технического прогресса; во-вторых, она следует из рассмотренных выше закономерностей, связанных с повышением роли математики в практике.

В силу самого определения указанная выше образовательная функция не может быть присуща обязательному курсу математики. Она присуща различным формам повышенной математической подготовки учащихся, среди которых факультативы занимают ведущее положение.

Анализ специфических сторон факультативных занятий по математике был проведен в работах сотрудников лаборатории прикладной математики НИИ содержания и методов обучения АПН СССР. В основу такого анализа было положено рассмот-

рение различных форм занятий с учащимися с точки зрения организационной базы, принципов отбора учащихся и наличия интересов в рассматриваемой области (19). Рассмотрим эти вопросы подробнее.

2. СПЕЦИФИКА ОРГАНИЗАЦИИ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

Факультативные занятия, подобно обязательному курсу математики, должны проводиться на основе единых официальных программ, утвержденных Министерством просвещения СССР. Этими программами определяется тематика математических факультативов и фиксируется время, отведенное на рассмотрение той или иной темы. Тем самым определяется объем знаний и навыков, достигаемый учащимися при прохождении каждой темы.

Вместе с тем, сообразуясь с собственными возможностями, возможностями и желаниями своих учеников, учитель может выбрать для факультативных занятий любой из рекомендованных Министерством просвещения СССР (или данной союзной республики) курсов. Более того, возможность выбора с самого начала была заложена в материале основного курса «Дополнительные главы», где набор тем был избыточен. Тем самым программа предусматривала различные вариации содержания факультативного курса: отсутствовала подробная детализация разделов, большое время отводилось для решения задач повышенной трудности, содержание которых не оговаривалось и т. п. Поэтому каждый учитель мог варьировать содержание курса, не выходя за рамки программ факультатива. Важнейшей особенностью программы данного курса являлась независимость его разделов один от другого, что обеспечивало учащемуся возможность включиться в работу факультативной группы практически с начала любой темы.

Однако независимость разделов данного курса побуждала некоторых учителей по своему усмотрению изменять рекомендованный порядок прохождения тем, переносить различные разделы из одного класса в другой, а то и совсем исключать некоторые темы. Например, делимость чисел изучалась в X классе, комбинаторике вовсе не находилось места — таких примеров из практики работы учителей можно было бы привести много.

Нам представляется, что описанная тенденция вела в большинстве случаев к неоправданным отступлениям от целей факультативных курсов. Разработка содержания факультативного курса, определение оптимального объема и порядка расположения его глав — большая и трудная работа, исключающая произвольный, стихийный подход. Порядок изучения тем факультатива не случаен. Он продуман и по. возможности связан с построением общего курса математики.

Причина описанного явления лежит в смешении принципов организации факультативных занятий с принципами построении различных форм внеклассной работы.

Внеклассная работа с учащимися многообразна. Это и занятия математических кружков, и дополнительные занятия с отстающими, проведение математических олимпиад, организация математических вечеров, экскурсий, выпуск специальных стенных газет или журналов и т. п.

Содержание внеклассной работы не регламентируется. Оно целиком определяется задачами повышения уровня математического развития учащихся, которые могут решаться на достаточно разнообразном материале. Отбор подходящего для этих целей материала—дело учителя. При этом он руководствуется своими возможностями и желаниями, интересами учащихся, с которыми работает.

Отсюда проистекает многотемность содержания различных видов внеклассной работы, возможность рассмотрения вопросов, совсем удаленных от школьного курса, большая гибкость в отборе содержания, нежели возможно и разумно позволить для факультативных занятий.

Таким образом, мы приходим к важному выводу. Факультативные занятия роднит с основным курсом и разделяет с различными видами внеклассной работы наличие программы факультативных занятий, лежащей в их основе. При этом программа факультативных занятий обладает гибкостью, позволяющей варьировать содержание факультативного курса в направлении, отвечающем возможностям и желаниям учителей и учащихся факультативных групп.

Вместе с тем наличие программного обеспечения не должно исключать возможности квалифицированным учителям проводить занятия по экспериментальным программам. Ведь сейчас случается и так, что, к примеру, в журнале «Математика в школе» публикуется программа факультатива и учебно-методические разработки к нему, а отдельные представители органов народного образования не разрешают даже высококвалифицированным педагогам проводить занятия по этим материалам, мотивируя запрет тем, что этого нет в утвержденной министерством программе. Представляется целесообразным разработать определенную систему, решающую вопрос о возможности и целесообразности подобных экспериментов, обладающую достаточной гибкостью. Необходимо предоставлять возможность учителям привязывать факультативные занятия к имеющимся условиям. В частности, решение проблемы связи теории и практики непосредственно связано с учетом условий работы учителя, а также с возможностью учета учителем новых научных направлений развития математики и ее приложений.

Как и следует из самого названия, факультативные занятия не являются обязательными для учащихся. Их посещают

школьники, которые выбрали данный факультатив по своему желанию. Свободный выбор факультативного курса — черта, объединяющая факультативы с различными формами внеклассной работы и резко отличающая их от обязательных занятий.

Именно в этом корень того смешения факультативных занятий и кружков, которое часто наблюдается в практике.

Этой же особенностью определяется структура взаимодействия материала обязательного основного курса и факультативных занятий.

Факультативные занятия основываются на обязательном курсе. Но их содержание существенно углубляет и расширяет обычные школьные знания, иногда уходя от них сравнительно далеко в области с большим общематематическим или прикладным содержанием.

Разумеется, занятия на факультативе сказываются на уровне математического развития учащегося, а следовательно, и на его успехах в изучении обязательного курса. Однако уровень требований, предъявляемых учащимся при прохождении основного курса математики, не должен зависеть от того, посещает или не посещает данный школьник факультатив по математике. В частности, недопустимо требовать, чтобы при изучении основного курса учащиеся применяли знания, полученные на факультативных занятиях.

Возможность выбора накладывает определенные требования на систему факультативных занятий, диктуя ограничения, относящиеся как к содержанию, так и к методике этих занятий.

Во-первых, поскольку мы не может требовать от учащегося постоянного участия из года в год в одном факультативе и должны учитывать возможность появления новых слушателей, факультативные программы для разных годов обучения должны быть по возможности не зависимы друг от друга. Только в старших классах, учащиеся которых обладают уже сравнительно устойчивым, сформировавшимся интересом к математике, возможна постановка специальных курсов, рассчитанных на 1 — 2 года. При этом желательно, чтобы такие курсы носили прикладной характер, доставляя учащимся возможность профориентации в области математики и ее приложений. Однако и здесь возникает проблема обучения тех школьников, которые с запозданием выбрали факультатив по математике.

Во-вторых, содержание и методика проведения факультативных занятий должны привлекать учащихся.

Это обеспечивается включением в программу факультативов тем, имеющих большое общеобразовательное и прикладное значение. Изучение таких тем позволяет существенно повысить уровень математического развития учащегося, что и является главной задачей математических факультативов.

Поэтому совершенно недопустимым является превращение факультативных занятий в некое подобие дополнительных заня-

тий с отстающими по основному курсу математики. Тем самым факультатив ориентируется на слабых учащихся и не достигает своих целей.

Как показали исследования сотрудников НИИ содержания и методов обучения АПН СССР (18), в выборе тем пальму первенства учащиеся математических факультативов отдают решению задач повышенной трудности. По мере взросления их все больше привлекают различные формы самостоятельной работы, индивидуальные задания.

Итак, мы приходим к следующему выводу. Свободный выбор учащимися факультативного курса объединяет факультативы с различными формами внеклассной работы и резко отделяет их от обязательных занятий. Это условие налагает определенные (описанные выше) ограничения на содержание и методику факультативных занятий, на взаимодействие материала основных и факультативных курсов.

Коль скоро учащиеся посещают факультатив по своему выбору, то в его основе может лежать в большей или меньшей степени устойчивый интерес к математике, сформировавшийся до этого выбора.

Опора на такой интерес позволяет рассматривать темы, не соотносящиеся непосредственно со школьной программой, но имеющие общеобразовательное значение. У учащихся, которые интересуются математикой, возникает потребность, желание ею заниматься, а такое желание помогает как ученику, так и учителю. В результате темы факультативных занятий проходятся этими учащимися быстрее и усваиваются лучше, нежели темы обязательной программы остальными учениками.

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФАКУЛЬТАТИВЫ И ВОПРОСЫ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ К ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ЭКЗАМЕНАМ В ВУЗЫ

Многие учителя убеждены, что при выборе факультатива по математике учащиеся руководствуются в основном чисто утилитарными соображениями, связанными с подготовкой к вступительным экзаменам в вузы. Известно ведь, какую важную роль играют вступительные экзамены по математике в большинстве вузов. Следствием этого является превращение факультативных занятий в практикум по решению специфических конкурсных задач — одна из самых больших бед, угрожающих математическим факультативам.

Надо заметить, что поставленный здесь вопрос еще далек от однозначного решения. Обсуждать его почему-то не принято. Каков должен быть характер помощи посещающим факультатив в деле их подготовки к вступительным экзаменам в вуз?

Ответить на этот вопрос можно лишь рассматривая весь комплекс многообразных сторон этой проблемы, учитывая как общепедагогические и дидактические положения, так и сложив-

шуюся практику вступительных экзаменов по математике, не оставляя в стороне обсуждение того, какими средствами осуществляется подобная подготовка.

Экзамены по математике в общей системе вступительных экзаменов в большинстве вузов играют ведущую роль. Это объясняется теми же социальными и культурными закономерностями, что и распространение математических факультативов. Единство советской системы образования предполагает осуществление преемственности между средним и высшим образованием. Это должно означать, что содержание вступительных экзаменов в вузы основывается на школьной программе, и поэтому предпочтение отдается тем поступающим, которые лучше усвоили школьную программу. В указанном смысле вся школа готовит учащихся в вуз.

Математические факультативы, естественно, привлекают учащихся, которые проявляют склонность к математике. Понятно, что это коррелирует с успеваемостью учащихся по математике. Кроме того, уровень математического развития учащихся, изучающих факультатив, заметно возрастает. Поэтому нет ничего удивительного в том, что именно бывшие участники факультативных групп по математике большей частью становятся студентами вузов. Повышая уровень математического развития учащихся, математические факультативы в определенном смысле непосредственно готовят их к конкурсным экзаменам.

Отметим важное социальное значение, которое имеет такого рода подготовка, позволяющая на основе единых программ углубить и расширить математические знания учащихся школ, отдаленных от научных и культурных центров.

Однако зачастую подготовка в вуз на факультативах осуществляется не таким единственно правильным, хотя и трудоемким способом, обеспечивающим повышение уровня математического развития учащегося, а при помощи натаскивания на решениях все более распространяемых специфических конкурсных задач, содержание которых иногда далеко уходит от основной программы, опираясь на знания и навыки, не развиваемые в школе. При этом не следует недооценивать малочисленности подобных задач — именно их существование стимулирует развитие специфических «теорий», проникающих не только на факультативы, но и на обязательные занятия и деформирующих математическое образование в школе.

Явно лицемерны патетические призывы, с которыми обращаются иногда к учителям,— не заниматься решением подобных задач. Разумеется, учитель не может не учитывать целей продолжения образования, не может не учитывать сложившейся в данном вопросе ситуации, а также той роли, которую его работа играет для поступающих в вуз, для их родителей. Правильное решение этого сложного и наболевшего вопроса может быть осуществлено при помощи комплекса мер как со стороны

Министерства высшего образования, так и со стороны Министерства просвещения.

Распространенная утилитарная концепция, согласно которой учащиеся посещают факультатив по математике лишь исходя из стремления подготовиться к конкурсным экзаменам, является несостоятельной. Проведенное сотрудниками НИИ содержания и методов обучения АПН СССР исследование мотивов выбора учащимися факультативных курсов показало, что, хотя роль утилитарного мотива «подготовиться к конкурсным экзаменам» достаточно велика, все же не он играет основную, определяющую роль в выборе математических факультативов (20). В основе такого выбора чаще всего лежит любовь к математике, желание знать о ней больше.

Таким образом, основное допущение «утилитарной» концепции, по крайней мере, ставится под сомнение.

Необходимость «натаскивания» на решении специфических задач, часто выводимая из этого допущения, вовсе не очевидна. Мода на такие задачи преходяща, и посему натаскивание может служить лишь очень локальным целям. Только повышение уровня общей математической культуры способно освободить учащегося от требований этой моды и обеспечить ему реальные возможности участия в конкурсе — в этом заключается глубокое убеждение авторов. Практика математических кружков доставляет этому тезису массу подтверждений.

Программа распространенных сейчас факультативных занятий ориентирована на цели повышения уровня математического развития учащихся и поэтому может служить основой подготовки к вступительным экзаменам.

Заметим, что то же исследование (20) показало наличие значительной и четко определимой группы учащихся факультативных групп по математике, которые не собираются связывать свою дальнейшую судьбу с профессиональным изучением математики, а при выборе математического факультатива руководствуются общекультурными соображениями. Им-то специфика «конкурсного» натаскивания уж совершенно ни к чему!

Приведенные выше соображения касались лишь содержания интересов учащихся, лежащих в основе выбора факультативных или внеклассных занятий. Представляет интерес рассмотрение тех различий между факультативами и внеклассными занятиями, которые связаны со степенью устойчивости интересов учащихся.

4. РАЗВИТИЕ ИНТЕРЕСА К МАТЕМАТИКЕ НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ

В основе выбора учащимися факультативного курса по математике лежит в определенной степени устойчивый интерес к математике или ее приложениям. Наличие такого интереса у

значительной группы учащихся позволяет в рамках факультативных занятий рассматривать разделы математики на достаточно высоком уровне.

Углубление школьного курса математики, достигаемое на факультативных занятиях, возможно лишь при определенных затратах времени и энергии. Учащийся идет на эти затраты только тогда, когда интересуется математикой серьезно.

Поэтому наличие у учащихся серьезного интереса к математике— необходимое условие успешного проведения факультативных занятий. Забвение этого условия, вовлечение в факультативы учеников, не интересующихся математикой, приводит к отсеву учащихся и даже к полному распаду факультативных групп.

Внеклассные же занятия не предполагают наличия у учащихся интереса к математике, развитого до такой степени. Вообще многообразие форм внеклассной работы отражается и на многообразии требований к интересам учащихся. Так, участие в районной математической олимпиаде или в работе заочной математической школы предполагает интерес к математике, развитый в сравнительно большой степени. Вместе с тем принять участие в оформлении школьной математической газеты может любой учащийся, даже совсем не интересующийся математикой.

Основная же форма внеклассной работы со школьниками — школьные математические кружки—обычно предполагает наличие у учащихся лишь некоторого зачаточного интереса к математике, который и следует развивать.

Поэтому характерными особенностями работы таких кружков являются рассмотрение большого числа вопросов, зачастую не связанных между собой и со школьным курсом, внимание к занимательной стороне математики. На этих кружках не ставятся темы, требующие длительного и серьезного изучения. В большинстве случаев рассматриваемые здесь задачи допускают быстрое получение результата, осуществляемое самими учащимися.

Если учитель не осознает этих отличий и при проведении факультативных занятий пользуется методами, разработанными им для кружка, то наиболее серьезно относящиеся к математике учащиеся тяготятся поверхностным уровнем факультатива. Факультатив у такого учителя обращен к слабым учащимся; сильному ученику на нем скучно.

Разумеется, что эти соображения относятся не ко всем методическим находкам учителя, которые он применял на кружке и применяет на факультативе. Интересное и занимательное изложение, индивидуальная работа с учащимися и многое другое — разве можно возражать против них! Речь идет лишь о таких приемах, которые не учитывают наличия серьезного интереса к математике, свойственного учащимся факультативов.

У учащихся, приступивших к изучению математики на факультативных занятиях, несомненно, будут расти возможности интенсификации учения и, главное, трудоспособность в процессе занятий. Этим во многом определяется и подход учителя к ведению занятий. Отсюда следует необходимость разработки методики обучения, которая помогла бы повысить эффективность занятий. Опыт работы с учащимися показывает, что в арсенале учителя, ведущего занятия по любому из видов повышенной математической подготовки, особенно на факультативных занятиях или в классах с углубленным изучением, с успехом найдут свое место такие средства и методы обучения, которые приводят к наибольшей активности учащихся. Именно на факультативных занятиях можно ставить вопрос об ускорении изучения материала за счет значительной самостоятельности работы учащихся, большего внимания, уделяемого индивидуальному подходу к обучению.

Ряд учителей практикуют в своей работе с учащимися на факультативах задания значительного объема. При этом задание естественным образом делят на этапы, когда учащиеся сначала, например, изучают необходимую литературу, прежде чем приступить к разработке алгоритма решения задачи. Отчет о полученных знаниях заслушивается на занятиях. Потом учащиеся подбирают подходящий алгоритм решения задачи и рассказывают об этом. Затем они реализуют решение и, наконец, проводят анализ полученного ответа с точки зрения его реального смысла. Такой подход можно применить, когда речь идет о решении практической (производственной, экономической) задачи с помощью ЭВМ и в связи с другими приложениями математики, на межпредметных факультативах и т. п.

При углубленном изучении математики нарастание темпа обучения можно достичь за счет того, что часть материала не объясняется, а прорабатывается учащимися самостоятельно. Но что объяснять и как объяснять — это вопросы конкретной методики. Выявление наиболее общих вопросов методики углубленного изучения математики — неотложная задача педагогов, учителей и методистов, занимающихся факультативами.

Учителю, приступившему к ведению факультатива, необходимо владеть теми общими методами, которые отличают методику углубленного изучения от методики обязательного курса, хорошо усвоить конкретную методику изложения данной темы на факультативах.

Факультативные занятия служат не только приобщению огромного числа учащихся к углубленному изучению математики, но и важным средством индивидуализации обучения, а потому и освобождению от дополнительного к обязательному курсу материала тех учащихся, которые не проявляют интереса к математике, не проявили в ней способностей. Эту сторону дела нельзя забывать учителю, ведущему факультативы по математике.

Вместе с тем развитие интереса у слушателей факультативных групп позволяет естественно углублять материал обязательного курса. Используя это, учитель получает возможность придать большую законченность курсу школьной математики, показать его связи с большой наукой, показать перспективы курса и возможности развития его содержания.

Сказанное выше позволяет сделать такой вывод. В основе выбора учащимися факультативных занятий по математике лежит серьезный интерес к математике или ее приложениям. Этот интерес удовлетворяется и развивается при рассмотрении тем, имеющих большое общекультурное или прикладное значение. Он также требует не поверхностного, а достаточно глубокого рассмотрения изучаемых вопросов.

Вместе с тем возникает проблема развития интереса к математике — проблема дофакультативной подготовки, которая становится центральной для различных видов внеклассной работы с учащимися. По отношению к младшим классам указанная проблема решается путем включения специальных развивающих упражнений в дополнительные главы учебников математики, предназначенных для учащихся, проявляющих склонность к математике. Этой же цели служат учебные пособия по внеклассной работе с учащимися, подготовленные НИИ содержания и методов обучения АПН СССР (см., например, (21), (22), (23)).

О НОВОМ ФАКУЛЬТАТИВНОМ КУРСЕ

В связи с завершением перехода школы на новые программы и учебные пособия по математике в лаборатории прикладной математики НИИ СМО АПН СССР была развернута работа по определению содержания и структуры новых факультативных курсов.

Результатом проведенной работы явился проект факультативного курса «Избранные вопросы математики». При определении его содержания мы учитывали тот факт, что содержание программ для факультативов определяется из тех основных положений, которыми руководствуются составители обязательных программ, и не может им противоречить. Наш основной тезис, обоснованный выше, сводится к тому, что содержание общего образования (а следовательно, и содержание программ углубленного изучения) определяется потребностями общества. Хотя такие потребности могут быть достаточно специальны, общее образование должно содержать некий общий компонент, необходимый каждому члену общества. В основу выявления такого компонента может быть положен критерий многократной применимости на практике полученных в школе знаний, навыков и умений. Оговоримся сразу же, что практика понимается здесь достаточно широко — как совокупность всей умственной и физической деятельности людей.

В системе тех или иных знаний существует естественный приоритет — в определенные периоды одни компоненты математической культуры более ценны сравнительно с другими. Учитывая, что содержание обучения определяется не соображениями типа «все, что желательно», следует решительно отбрасывать всевозможные рассуждения по схеме «было бы неплохо». Было бы полезно досконально знать, скажем, сферическую тригонометрию или историю английской поэзии, но совокупность этих знаний выходит за пределы общей культуры. А вот владение элементарными приемами логического мышления — принципиальный компонент этой культуры, вследствие чего факультатив по логике и определенные логические вопросы математического факультатива заслуживают внимания. Таким образом, факультативные занятия по математике

должны «работать» на основных направлениях курса математики, их содержание должно развивать наиболее существенные и часто применяемые элементы математической культуры учащихся.

В связи с этим необходимо было исследовать собственно процесс применения математики к решению научных и практических задач с целью выявления указанных элементов математической культуры. В работах сотрудников лаборатории прикладной математики НИИ содержания и методов обучения АПН СССР —см., например, (24), (25), в основу такого анализа было положено известное членение процессов познания, предложенное В. И. Лениным. Исходя из этого, удалось описать компоненты математической культуры, относящиеся к различным этапам процесса применения математики к решению практических задач. Так, в результате проведенного исследования был сделан вывод о том, что необходимо введение в содержание факультативных курсов по математике элементов математической культуры, относящихся к «прикладным» этапам рассматриваемой схемы. Заметим, что выполнение этого позволило бы существенно усилить прикладную и политехническую направленность факультатива.

Важный вклад в решение проблемы профессиональной ориентации учащихся на факультативных занятиях был сделан в работах В. М. Монахова (12). Им было разработано содержание обучения, имеющее своей целью выход в прикладные математические области, связанные с использованием ЭВМ. Результаты этого исследования нашли отражение в разработке не только действующей, но и новой программы факультативного курса математики.

При разработке программы курса «Избранные вопросы математики» были учтены и другие педагогические положения, найденные методистами и педагогами.

Факультативный курс «Избранные вопросы математики» призван заменить курс «Дополнительные главы и вопросы к систематическому курсу математики», наиболее распространенный в период перехода на новые программы. Работа сучащимися по этому курсу предусматривается после перехода школ, средних ПТУ и средних специальных учебных заведений на новые учебные программы, хотя курс «Избранные вопросы математики» предназначается для факультативных занятий с учащимися средних общеобразовательных школ.

Факультативный курс «Избранные вопросы математики» можно рекомендовать в VII, VIII, IX классах; в X классе — после введения новой программы в 1976/77 учебном году.

Удачная в методическом плане структура курса «Дополнительные главы...» обеспечивала, как это было показано в предыдущем изложении, значительную вариативность материала обучения и возможность выбора начала занятий практически

с любой темы, что является важным условием факультативного обучения. Эта особенность и структура сохранены во вновь разработанном курсе «Избранные вопросы математики».

Приведенная ниже программа курса для каждого класса состоит из ряда независимых разделов. Предусматривается возможность изучения части разделов в тех случаях, когда в отведенное на факультативные занятия время не укладывается все содержание курса. Выбор тем для изучения в этих случаях производится учителем.

Вместе с тем в программе выделены основные темы, которые рекомендуется отбирать в первую очередь. К числу таких тем отнесены наиболее важные в математическом плане вопросы, углубляющие основные направления общеобразовательного курса математики.

Предполагается, что изучение любой темы сопровождается выполнением соответствующих упражнений. Кроме того, основная часть программы предусматривает выделение определенного времени на решение задач повышенной трудности в каждом классе.

Каждая тема обладает известной законченностью, что, впрочем, не мешает темам быть связанными между собой и образовывать своеобразные теоретические и прикладные линии, пронизывающие факультативный курс: алгебраическую, геометрическую, логическую, программирования для ЭВМ, вычислительной математики и т. п.

Однако еще раз подчеркнем, что обучение любому разделу не предполагает изучения предыдущих близких к нему тем.

Важнейшее назначение факультативных занятий по математике — пробуждать и укреплять интерес учащихся к науке, потребность и желание лучше знать материал. Поэтому факультативный курс «Избранные вопросы математики» содержит самые разнообразные темы как теоретического, так и прикладного плана. Предполагается, что в процессе занятий будет показана история возникновения ряда изучаемых методов, концепций и идей, обсуждено их развитие, их значение для математики, для других наук и областей практической деятельности.

Каждая тема факультатива непосредственно связана с материалом общеобразовательного курса математики. При этом программа предусматривает достижение двоякой цели: во-первых, довести материал до того уровня, на котором учащемуся становится ясным его принципиальная математическая важность, до известной степени завершенности; во-вторых, показать непосредственные выходы школьной математики в сферы серьезной науки и ее приложений.

Материал курса не дублирует вузовских программ, но позволяет с более общих позиций взглянуть на школьную математику и усмотреть единство предмета и методов матема-

тической науки. Поэтому существенно важно не развивать при обучении те специальные методы, приемы и навыки, которым обучают в вузах. При этом следует не адаптировать вузовские курсы, а показывать, как из материала курса математики возникают общие концепции, обладающие теоретической и прикладной ценностью.

Употребляемая в программе математическая терминология в основном соответствует принятой в самой науке. Однако абстрактность формулировок программы не должна проецироваться в соответствующие методы обучения. Эти методы должны использоваться в педагогически обоснованных пропорциях. В частности, существенное место в преподавании должны занять задачи, решаемые учащимися. Понятно, что реализация этих положений возможна лишь в комплексе учебных и методических пособий, а никак не вытекает из самой программы. Это служит одной из важных причин, по которой факультативный курс «Избранные вопросы математики» нуждается в учебном пособии для учащихся и методическом пособии для учителя, ведущего занятия.

В настоящее время издательством «Просвещение» организована работа авторских коллективов по написанию этих пособий.

В заключение приведем проект программы факультативного курса «Избранные вопросы математики», который учитывает изложенные в данной книге концепции. В ходе внедрения в союзных республиках эта программа будет уточняться с учетом подготавливаемых учебно-методических пособий. Методические пояснения к отдельным темам будут даны после окончательной редакции программы.

VII КЛАСС

Основные темы

1. Дополнительные вопросы арифметики целых чисел (12 час).

Признаки делимости. Единственность разложения на простые сомножители. Бесконечность множества простых чисел. Сравнения. Вычеты. Арифметика вычетов. Алгебраические свойства вычетов. Сведения из истории.

2. Симметрии (12 час).

Перемещения, отображающие данную фигуру на себя. Композиции перемещений. Алгебраические свойства симметрий. Наиболее распространенные типы симметрий. Группы симметрии конечных и бесконечных фигур. Сведения из истории.

3. Задачи повышенной трудности (13 час).

Дополнительные темы

4. Системы счислений (10 час).

История возникновения современных систем счисления. Позиционные системы счисления и их свойства (на примере десятичной системы). Системы счисления с недесятичным основанием. Восьмеричная и двоичная системы. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и обратно (на примерах).

Элементарные сведения о выполнении арифметических операций на ЭВМ.

5. Дополнительные вопросы из теории множеств, соответствий и отношений (16 час).

Счетные и несчетные множества. Соответствия между множествами. Граф соответствия. График соответствия. Операции над соответствиями. Обратные и противоположные соответствия. Отношения в множествах. Их свойства (рефлексивность, симметричность, транзитивность). Отношения эквивалентности. Отношение порядка. Примеры соответствий и отношений из окружающей действительности. Сведения из истории.

VIII КЛАСС

Основные темы

1. Элементы математической логики (12 час). Введение. Высказывания и высказывательные формы.

Логические операции. Формулы логики высказываний. Равносильные формулы. Некоторые законы логики. Логическое следование. Связь между логическими операциями и операциями над множествами. Отношения следования и равносильности между высказывательными формами. Кванторы. Сведения из истории.

2. Элементы аналитической геометрии (16 час).

Метод координат и его применение в геометрии. Линейные преобразования плоскости в координатной форме. Применение метода координат к построению графиков функций и уравнений. Эллипс как результат сжатия окружности. Сведения из истории.

3. Алгоритмы и программирование (12 час).

Общее представление об алгоритмах. Примеры различных алгоритмов. Формы описания алгоритмов. Блок-схемы.

Краткие сведения об ЭВМ. Основные устройства ЭВМ (на примере учебной модели ЭВМ). Команды машины. Программирование и программы. Составление простейших программ. Сведения из истории.

4. Задачи повышенной трудности (30 час).

Дополнительные темы

5. Замечательные кривые (15 час.).

Конические сечения: эллипс, гипербола, парабола и их свойства. Свойства эллипса и параболы, использование в оптике. Циклоида. Спирали. Сведения из истории.

6. Приложения теории графов (20 час).

Графы и сети. Постановка и решение транспортной задачи. Сетевой график. Построение сетевого графика. Расчет критического пути.

Беседы о применении математики к решению экономических задач. Сведения из истории.

7. Понятие о вычислительных методах (15 час). Вычисление значений многочлена. Организация вычислений и простейшие приемы контроля вычислений.

Методы приближенного решения уравнений. Итерация. Сходимость итерационного процесса. Сведения из истории.

IX КЛАСС

Основные темы

1. Элементы теории вероятностей (20 час). Вероятность. Непосредственное вычисление вероятностей.

Вероятность суммы событий. Условные вероятности. Независимость событий.

Повторение испытаний, схема Бернулли.

Случайные величины и их числовые характеристики. Понятие о законе больших чисел.

Сведения из истории.

2. Экстремальные задачи (20 час).

Задачи с практическим содержанием на максимум и минимум. Методы решения экстремальных задач: систематический перебор, аналитические методы. Геометрические задачи на максимум и минимум. Понятие о линейном программировании. Сведения из истории.

3. Решение задач повышенной трудности (30 час).

Дополнительные темы

4. Разные геометрии (12 час).

Инварианты преобразований. Группы преобразований: метрическая, аффинная, проективная. Метрические, аффинные и проективные свойства. Понятие о классификации геометрий. Сведения из истории.

5. Непрерывность (10 час).

Непрерывные функции и их свойства. Непрерывность элементарных функций. Применение непрерывности к решению уравнений и неравенств. Непрерывные отображения. Понятие о топологии,

X КЛАСС

Основные темы

1. Интеграл и простейшие дифференциальные уравнения (25 час).

Свойства интеграла. Геометрические и механические применения интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Нахождение координаты по данной скорости и скорости по данному ускорению. Интеграл как предел интегральных сумм. Работа переменной силы. Приемы вычисления интегралов. Понятие о дифференциальном уравнении. Уравнения показательного роста и гармонических колебаний.

Сведения из истории.

2. Комплексные числа и многочлены (20 час). Комплексные числа и операции над ними. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Эйлера. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Моавра.

Многочлены с комплексными коэффициентами. Основная теорема алгебры (без доказательства). Теорема Безу. Разложение многочлена на линейные множители. Формулы Виета. Сведения из истории.

3. Решение задач повышенной трудности (25 час).

Дополнительные темы

4. Математические структуры. Понятие об аксиоматическом методе (16 час).

Примеры конечных структур. Изоморфизм структур. Понятие об аксиоматическом методе. Логическое строение курса геометрии. Сведения из истории.

5. Элементы векторной алгебры и их приложения (15 час). Векторное произведение и его геометрическое применение.

Применение векторного аппарата в линейном программировании. Сведения из истории.

6. Языки программирования (20 час).

Общие сведения о языках программирования. Алгоритмические языки как средство описания алгоритмов. Элементы алгоритмического языка. Упрощенный вариант конкретного алгоритмического языка (АЛГОЛ-60, ФОРТРАН или др.). Основные приемы программирования на алгоритмическом языке. Составление программ. Сведения из истории.

УКАЗАТЕЛЬ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Постановление Центрального Комитета КПСС и Совета Министров СССР «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы». Собрание постановлений правительства СССР, 1966, № 23, с. 205.

2. Всесоюзная научно-практическая конференция по проблеме учебно-воспитательной работы в школах и классах с углубленным изучением отдельных предметов (тезисы докладов). Секция математики. М., 1972.

3. Динамика развития интересов учащихся и формирование их способностей в зависимости от содержания факультативных занятий и методики их проведения. Материалы конференции. М., 1973.

4. Новый экзамен (интервью М. А. Прокофьева). — «Юность», 1972, № 9.

5. Кашин М. П., Фирсов В. В., Шварцбурд С. И. Факультативные занятия — состояние и перспективы. — «Математика в школе», 1976, № 1.

6. Программы факультативных курсов средней школы. М., «Просвещение», 1973.

7. Колмогоров А. Н. Новые программы и некоторые основные вопросы усовершенствования курса математики в средней школе. — «Математика в школе», 1967, № 2.

8. Дополнительные главы к курсу математики по факультативному курсу для учащихся VII—VIII классов. Сб. статей. Сост. К. П. Сикорский. М., «Просвещение», 1974.

9. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся IX классов. Сост, П. В. Стратилатов. М., «Просвещение», 1974.

10. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся X классов. Сб. статей. Сост. З. А. Скопец. М., «Просвещение», 1974.

11. Сборник задач по математике. Пособие для учащихся (для факультативных занятий IX—X классов). Под ред. З. А. Скопеца. М., «Просвещение», 1971.

12. Монахов В. М. Введение в школу современных приложений математики, связанных с использованием ЭВМ. Диссертация на соискание ученой степени доктора педагогических наук. М., 1973.

13. Антипов И. Н. Проблема изучения алгоритмического языка в средней школе. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. М., 1970.

14. Монахов В. М. Программирование и ЭВМ. Пособие для факультативных занятий. М., «Просвещение», 1976.

15. Монахов В. М. Программирование. Пособие для учителя. М., «Просвещение», 1973.

16. Пулькин С. П. Вычислительная математика. Пособие для учителей по факультативному курсу. М., «Просвещение», 1972.

17. Монахов В. М., Боковнев О. А. Векторные пространства и линейное программирование. М., «Педагогика», 1971.

18. Факультативные занятия в средней школе. Сб. статей. Под ред.: М. П. Кашина, Д. А. Эпштейна. М., «Педагогика», 1973.

19. Шварцбурд С. И., Фирсов В. В. О характерных особенностях факультативных занятий. — «Математика в школе», 1972, № 1.

20. Сударкина А. А., Фирсов В. В. Мотивы выбора учащимися естественнонаучных факультативных курсов. — В сб.: Факультативные занятия в средней школе. Под ред.: М. П. Кашина и Д. А. Эпштейна. М., «Педагогика», 1973.

21. Внеклассная работа по математике в IV, V классах. Сост. С. И. Шварцбурд. М., «Просвещение», 1975.

22. Внеклассная работа по математике в VI—VIII классах. М., «Просвещение» (план издания 1977).

23. Колягин Ю. М. и др. Сборник задач по алгебре для VI—VIII классов. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1975.

24. Шварцбурд С. И. Проблема повышенной математической подготовки учащихся. Авторский доклад об опубликованных работах, представленных на соискание ученой степени доктора педагогических наук. М., 1972.

25. Шварцбурд С. И., Фирсов В. В. О проблемах совершенствования факультативных занятий по математике. — В сб.: Факультативные занятия в средней школе. Под ред.: М. П. Кашина и Д. А. Эпштейна. М., «Педагогика», 1973.

26. Фирсов В. В. и др. О факультативных занятиях по математике в 1975/76 учебном году в школах РСФСР. — «Математика в школе», 1975, № 4.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ФАКУЛЬТАТИВЫ И ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ СОВЕТСКОЙ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ (ПРЕДИСЛОВИЕ) . . 3

ВВЕДЕНИЕ................ 14

СОСТОЯНИЕ И РАЗВИТИЕ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ............. 17

1. Математические факультативы и перестройка школьного курса математики ............. —

2. Изменения переходных программ факультативов .... 19

3. Учебно-методическое обеспечение факультативных курсов . 22

4. О будущем общего и специальных факультативных курсов . 24

ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ 28

1. О педагогических функциях математических факультативов —

2. Специфика организации факультативных занятий по математике ............ ... 30

3. Математические факультативы и вопросы подготовки учащихся к вступительным экзаменам в вузы...... 33

4. Развитие интереса к математике на факультативных занятиях 35

О НОВОМ ФАКУЛЬТАТИВНОМ КУРСЕ........ 39

УКАЗАТЕЛЬ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ..... 46

Виктор Васильевич Фирсов, Олег Александрович Боковнев, Семен Исаакович Шварцбурд

СОСТОЯНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

Редактор Г. С. Уманский Обложка художника В. М. Прокофьева Художественный редактор Е. H. Карасик Технический редактор Р. С. Еникеева Корректор Р. С. Збарская

Сдано в набор 17/VIII 1976 г. Подписано к печати 9/XI 1976 г. 60X90'/ie. Бумага тип. № 3. Печ. л. 3,0. Уч.-изд. л. 2,96. Тираж 80 000 экз. А 07190.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Типография им. Смирнова Смоленского облуправления издательств, полиграфии и книжной торговли, г. Смоленск, пр. им. Ю. Гагарина, 2. Зак. 2511.

Цена 8 коп.