В. ЕРМАКОВЪ.

О ПРЕПОДАВАНІИ АЛГЕБРЫ.

С.-ПЕТЕРБУРГЪ.

Типографія М. М. Стасюлевича Вас. Остр., 5 лин., 28.

1892.

Дозволено цензурою. Спб. 20 Апрѣля 1892 г.

Въ обществѣ сложилось убѣжденіе, что алгебра есть символическая наука, доступная только избраннымъ натурамъ; полагаютъ, что уже съ момента рожденія ребенокъ является съ математическими способностями или безъ такихъ способностей. Въ школахъ мы постоянно наблюдаемъ, что многіе ученики плохо понимаютъ математику, и отсюда выводимъ поспѣшное заключеніе, что ученики, не успѣвающіе въ математикѣ, не имѣютъ математическихъ способностей. Можно, однако, предложить вопросъ: не является-ли плохое пониманіе математики слѣдствіемъ неудовлетворительнаго преподаванія этой науки? Еще не такъ давно думали, что не всѣ дѣти способны даже къ воспріятію ариѳметики, но такое мнѣніе опровергнуто успѣшнымъ преподаваніемъ ея во многихъ первоначальныхъ школахъ. Въ шестидесятыхъ годахъ существовало въ Петербургѣ педагогическое общество, занимавшееся главнымъ образомъ разработкою первоначальныхъ пріемовъ преподаванія; той-же цѣли содѣйствовалъ графъ Л. Н. Толстой въ Ясной Полянѣ. Послѣ нѣсколькихъ попытокъ были созданы раціональные пріемы преподаванія, примѣненіе которыхъ въ народныхъ школахъ дало блестящіе результаты: въ нѣкоторыхъ школахъ всѣ безъ исключенія ученики оказали хорошіе успѣхи въ ариѳметикѣ.

Я утверждаю, что всѣ ученики, способные къ какой бы то ни было наукѣ, прежде всего должны быть способны къ воспріятію математики, что плохое преподаваніе математики служитъ единственною причиною дѣленія учениковъ на способныхъ и неспособныхъ къ математикѣ. Конечно, для пониманія алгебры нужно прежде всего хорошее знаніе ариѳметики.

Прежде всего я считаю нужнымъ сдѣлать нѣсколько замѣчаній о преподаваніи вообще. Вотъ мое первое положеніе:

Педагогическая литература основана на чистомъ умозрѣніи безъ участія опыта и наблюденія.

Постараюсь оправдать это положеніе. Припомнимъ, что методики и учебники большею частію пишутся молодыми педагогами, подвизающимися на педагогическомъ поприщѣ два или три года. Быть можетъ, эти педагоги въ столь короткое время успѣли уже запастись педагогическимъ опытомъ? Конечно, нѣтъ, да они объ этомъ и не заботятся. Прочитавъ нѣсколько педагогическихъ произведеній, молодые педагоги составляютъ собственный методъ преподаванія, выпускаютъ учебникъ, а затѣмъ примѣняютъ свой методъ на практикѣ. Но мнѣ возразятъ, что всякій методъ преподаванія, выработанный теоретически, повѣряется потомъ на практикѣ. Но такая повѣрка дала хорошіе результаты только въ начальныхъ школахъ, посѣщеніе которыхъ доступно для всѣхъ, интересующихся дѣломъ начальнаго преподаванія; такимъ образомъ методъ, созданный однимъ педагогомъ, подвергался критикѣ многихъ лицъ. Не то въ среднихъ школахъ, гдѣ самъ педагогъ является единственнымъ критикомъ своего метода.

Необходимы наблюденія надъ дѣтьми въ семьѣ и школѣ.

Въ чемъ должны состоять эти наблюденія и почему они не производятся? Причина, препятствующая подобнымъ наблюденіямъ и вообще правильной постановкѣ учебнаго дѣла, заключается въ обще-человѣческомъ недостаткѣ—въ самолюбіи. Этимъ недостаткомъ по преимуществу страдаютъ ученые и педагоги. Каждый ученый считаетъ себя непремѣнно геніемъ въ той области, которою онъ занимается. Каждый педагогъ считаетъ свой методъ преподаванія наилучшимъ. Но если самолюбіе для ученаго служитъ побудительною причиною къ занятію науками, то самолюбіе въ педагогическомъ дѣлѣ приноситъ только одинъ вредъ. Часто случается, что ученики не понимаютъ чего-либо. Что-же тогда происходитъ? Педагогъ начинаетъ сердиться... Убѣжденный въ превосходствѣ своего метода и видя, что ученики его не понимаютъ, педагогъ склоняется къ убѣжденію, что ученики лѣнивы и неспособны къ наукѣ. Дѣти, не испорченныя еще домашнимъ воспитаніемъ, относятся съ великимъ благоговѣніемъ къ своему учителю и стараются употребить всѣ усилія,

чтобы не раздражить учителя. Видя, что учитель сердится, дѣти стараются принять въ классѣ такой видъ, какъ будто они все понимаютъ; непонятое мѣсто ученики надѣются выяснить дома сами или съ помощью репетитора. Но если ученикъ и дома не выяснитъ непонятаго мѣста, то такой ученикъ приходитъ къ ложному убѣжденію, что онъ не способенъ къ такой-то наукѣ, напримѣръ, къ алгебрѣ. Разъ засѣло въ голову подобное убѣжденіе, дѣло педагога проиграно; мальчикъ, быть можетъ, и очень способный, можетъ оказывать прекрасные успѣхи въ другихъ наукахъ, но въ математикѣ будетъ плохъ. Вотъ одна изъ причинъ, способствующихъ появленію неуспѣшныхъ учениковъ въ математикѣ.

Педагогъ не долженъ раздражаться. Мало этого. Педагогъ долженъ наблюдать и записывать тѣ именно моменты, когда ученики чего-либо не понимаютъ. Прежде всего нужно задать вопросъ: нельзя-ли непонятое мѣсто изложить въ другой, болѣе ясной формѣ? Отвѣтъ на этотъ вопросъ всегда долженъ быть утвердительнымъ, въ чемъ я убѣдился и на основаніи собственныхъ, хотя и малочисленныхъ опытовъ1). Непонятое мѣсто всегда можетъ быть изложено иначе—въ формѣ болѣе доступной для учениковъ. Такимъ образомъ методъ преподаванія хорошаго педагога долженъ постепенно измѣняться и улучшаться.

При правильной постановкѣ учебнаго дѣла не должно быть неуспѣшныхъ учениковъ.

Выше я уже указалъ на одну изъ причинъ, способствующихъ появленію малоуспѣшныхъ учениковъ; но есть еще и другія причины. Успѣшное прохожденіе наукъ въ сильной степени зависитъ отъ первоначальной домашней подготовки. Необходимо еще дома развить мышленіе мальчика или дѣвочки рѣшеніемъ подходящихъ ариѳметическихъ задачъ. Ариѳметическія задачи могутъ быть приведены къ двумъ типамъ. Задачи перваго типа надъ большими числами не требуютъ большой сообразительности, служатъ лишь примѣрами для упражненія въ четырехъ дѣйствіяхъ. Задачи второго типа надъ небольшими числами требуютъ часто большой сообразительности и направлены къ развитію мыслительной способности дѣтей (десять яблокъ

1) Съ 1874 по 1881 годъ я преподавалъ въ Кіевскомъ кадетскомъ корпусѣ.

раздѣлить двумъ дѣвочкамъ такъ, чтобы одна получила однимъ яблокомъ болѣе другой). Задачи второго типа съ успѣхомъ примѣняются въ народныхъ школахъ; но на такія задачи слишкомъ мало обращаютъ вниманія въ среднихъ школахъ. Кромѣ того передъ поступленіемъ въ гимназію или реальное училище мальчикъ долженъ основательно знать родной языкъ—почти всю этимологію. Основательное знаніе родного языка облегчитъ мальчику въ гимназіи изученіе латинскаго языка (съ перваго класса), а въ реальномъ училищѣ—изученіе новыхъ языковъ (также съ перваго класса). На все это достаточно два часа ежедневныхъ правильныхъ занятій въ продолженіе года, если предъ этимъ мальчикъ умѣлъ уже читать и писать. Если родители имѣютъ возможность сами заниматься дома съ дѣтьми, то я не совѣтую отдавать дѣтей въ приготовительный классъ, такъ какъ тамъ вмѣсто двухъ часовъ они должны ежедневно просиживать четыре часа въ душной атмосферѣ. Къ тому же правильное домашнее обученіе всегда должно быть успѣшно.

Третья причина, вліяющая на малоуспѣшность занятій, — несоотвѣтствіе между физическими и душевными силами. Дѣтямъ необходимы продолжительныя движенія на свѣжемъ воздухѣ. Но многіе-ли родители понимаютъ это? На практикѣ мы видимъ противоположное явленіе. Если ученикъ начинаетъ оказывать плохіе успѣхи, то родители засаживаютъ его за книгу на болѣе продолжительное время. Ученикъ засиживается сначала до 11 часовъ вечера, потомъ до полуночи. Наконецъ и это время оказывается недостаточнымъ для приготовленія уроковъ, и тогда ученикъ остается въ томъ-же классѣ.

Мой совѣтъ: если хорошій ученикъ начнетъ понижаться въ успѣшности своихъ занятій, то первымъ дѣломъ надо заставить такого ученика употребить болѣе продолжительное время на прогулки. Движеніе на открытомъ воздухѣ настолько укрѣпляетъ физическія, а вмѣстѣ съ тѣмъ и умственныя силы ученика, что у него явятся большая сообразительность и большая память, и онъ будетъ тратить меньше времени на приготовленіе уроковъ.

Рѣдко встрѣчается обратное явленіе, когда мальчикъ слишкомъ упитанъ и выхоленъ; всѣ силы такого мальчика направлены не на науку, а на забавы, бѣганье и т. п. Такого маль-

чика полезно держать впроголодь: сытое брюхо къ ученію глухо. Мнѣ могутъ, однако, возразить, что нельзя сдѣлать всѣхъ учениковъ успѣшными, что дѣти уже рождаются съ разными способностями. На это я долженъ прежде всего замѣтить, что не доказано, чтобы дѣти рождались съ различными способностями: нельзя проникнуть въ мозгъ живого ребенка, а потому и нельзя утверждать, чтобы мозги новорожденныхъ были разнообразны по устройству. Если же въ школьномъ возрастѣ мы замѣчаемъ у дѣтей различныя способности, то нельзя-ли подобное явленіе объяснить неизвѣстными намъ причинами, оказывающими свое вліяніе на дѣтей уже послѣ появленія ихъ на свѣтъ? Каждое явленіе природы, каждый предметъ такъ или иначе вліяетъ на психическую жизнь ребенка; изъ совокупности такихъ ничтожныхъ вліяній складывается характеръ ребенка. Дѣло психолога—изучить, какое вліяніе оказываетъ на ребенка данный предметъ, или данное явленіе природы; въ этомъ состоитъ трудная, но высокая задача психологіи. Но я спорить не стану: положимъ, что дѣти дѣйствительно рождаются съ различными способностями. Въ такомъ случаѣ священный долгъ педагога состоитъ въ томъ, чтобы исправить природные недостатки. Велика-ли заслуга педагога, если онъ обращаетъ исключительное вниманіе на способныхъ учениковъ? Нѣтъ, гораздо большая заслуга того педагога, который съумѣетъ обучить малоспособныхъ учениковъ. На основаніи собственныхъ опытовъ, я утверждаю, что неослабнымъ вниманіемъ и любовью къ своему предмету и ученикамъ педагогъ всегда можетъ подогнать мало способныхъ учениковъ къ среднему уровню; всегда можно достигнуть того, повидимому, недосягаемаго идеала, чтобы въ классѣ не было неуспѣшныхъ учениковъ.

На математику до сихъ поръ смотрятъ, какъ на своеобразную символическую науку, имѣющую свой особый языкъ, особую логику и особую грамматику. Такое мнѣніе ложно, уже хотя бы потому, что вездѣ и во всемъ логика должна быть одинакова, если подъ логикой подразумѣвать науку о законахъ мышленія. Если математикъ мыслитъ иначе, чѣмъ остальные люди, то такой математикъ либо психически больной человѣкъ, либо, по меньшей мѣрѣ, плохой мыслитель, плохой ученый.

Нужно, однако, сознаться, что подобное ложное мнѣніе сильно распространено даже въ средѣ спеціалистовъ-математиковъ. Такой ложный взглядъ имѣетъ историческое происхожденіе. Двѣсти съ лишнимъ лѣтъ тому назадъ Ньютонъ и Лейбницъ создали алгебру безконечно малыхъ величинъ, иначе дифференціальное и интегральное исчисленіе. Созданы новыя могущественныя формулы и новые математическіе законы. Примѣненіе новаго исчисленія къ изученію физическихъ явленій оказалось въ высшей степени плодотворнымъ: были открыты новыя явленія (двойное лучепреломленіе, планета Нептунъ), которыя потомъ подтвердились на опытѣ. Математики возликовали. Явилось убѣжденіе, что математика дастъ возможность проникнуть въ тайны мірозданія. Стоитъ только облечь данное явленіе въ формулы (составить дифференціальныя уравненія), вывести при помощи математическихъ законовъ возможныя слѣдствія изъ формулъ (найти интегралы) и дать надлежащее толкованіе результатамъ; послѣ этого разсматриваемое явленіе раскроется предъ нами во всей полнотѣ. Такъ думали математики! Но уже на первыхъ порахъ имъ пришлось натолкнуться на такія дифференціальныя уравненія, интегралы которыхъ трудно найти. Они обратили всѣ свои силы на интегрированіе дифференціальныхъ уравненій и полагали, что въ близкомъ или далекомъ будущемъ создадутся пріемы для нахожденія интеграловъ всякихъ уравненій. Напрасная мечта! Математика можетъ быть примѣнена къ изслѣдованію простыхъ явленій природы; всѣ же сложныя явленія приводятъ къ такимъ сложнымъ формуламъ, изъ которыхъ часто невозможно вывести никакихъ заключеній.

Однако, еще въ прошломъ столѣтіи существовало убѣжденіе въ непреложности формулъ и математическихъ законовъ. Всѣ ученые отдали математикѣ пальму первенства и мечтали лишь о томъ, какъ бы и другія науки облечь въ формулы. Не только естествоиспытатели, но даже нѣкоторые юристы и филологи до сихъ поръ мечтаютъ о примѣненіи математики къ ихъ наукамъ.

Но въ недавнее время вѣра въ непреложность формулъ и математическихъ законовъ пошатнулась. Оказалось, что, дѣйствуя сообразно математическимъ законамъ и не справляясь съ обыкновенною логикою, мы иногда приходимъ къ ложнымъ за-

ключеніямъ. Уже въ началѣ 18-го столѣтія математики были приведены въ сильное смущеніе такъ называемою петербургскою задачею1). Ложный результатъ, полученный въ этой задачѣ, заставилъ математиковъ усумниться въ принципахъ математической теоріи вѣроятностей и ввести никуда ненужное правило нравственнаго ожиданія.

Каждая формула есть сокращенное мышленіе, выраженное символическими знаками; каждая формула можетъ быть выражена словами. Хорошій математикъ ни на одну минуту не долженъ забывать истиннаго значенія находимыхъ имъ формулъ; словомъ, математическое разсужденіе при помощи символовъ должно сопровождаться и провѣряться обыкновеннымъ мышленіемъ.

Математика примѣнима къ изученію такъ называемыхъ прикладныхъ наукъ: къ механикѣ, астрономіи и физикѣ; всѣ эти науки въ настоящее время причисляются къ разряду математическихъ наукъ. Далѣе математика приложима къ изученію кристаллографіи (собственно сферическая тригонометрія, да немногія формулы аналитической геометріи). Сверхъ того, математика можетъ быть примѣнена къ изученію нѣкоторыхъ вопросовъ физіологіи, собственно тамъ, гдѣ идетъ рѣчь о физическихъ явленіяхъ. Многіе думаютъ, что математика примѣнима къ статистикѣ; но здѣсь можно ограничиться одною ариѳметикою съ прибавленіемъ простыхъ законовъ теоріи вѣроятностей. Математика приложима также къ строительному искусству, если считать эту отрасль знаній отдѣльною отъ практической механики. Но если представители другихъ наукъ мечтаютъ о примѣненіи математики, то такая мечта является положительнымъ безуміемъ и напрасною тратою времени. Правда, появляются трактаты даже по юридическимъ и филологическимъ наукамъ, наполненные математическими формулами; но можно смѣло утверждать, что такіе трактаты никуда негодны.

Въ настоящее время математика въ высшемъ своемъ развитіи удалилась отъ практическихъ потребностей жизни и прикладныхъ наукъ. Такъ, математики съ особенною охотою занимаются теоріею чиселъ, которая не можетъ имѣть ровно ника-

1) Montmort. Analyse sur les jeux de hasards, стр. 402, задача 5.

кихъ приложеній и привлекаетъ вниманіе математиковъ только трудностью предъявляемыхъ ею задачъ. Чѣмъ труднѣе для рѣшенія какой-либо вопросъ, тѣмъ охотнѣе математики имъ занимаются, при чемъ нисколько не руководятся практическимъ значеніемъ рѣшаемаго вопроса. Впрочемъ, математики конфузятся подобнаго направленія и неохотно въ томъ признаются. Берлинскому профессору Вейерштрассу предложили вопросъ: какое примѣненіе можетъ имѣть его теорія функцій? На это ученый отвѣтилъ, что въ настоящее время его теорія ни къ чему непримѣнима, но такія примѣненія могутъ найтись въ будущемъ.

Повторяю вкратцѣ высказанныя мною отрицательныя стороны математики: 1) математика непримѣнима къ изученію сложныхъ явленій природы, 2) математическіе законы и формулы могутъ привести къ ложнымъ результатамъ, 3) за исключеніемъ немногихъ наукъ, къ другимъ наукамъ математика не примѣнима, 4) нѣкоторые высшіе отдѣлы математики не могутъ имѣть никакого примѣненія.

Въ чемъ же міровое значеніе математики? Посмотримъ.

Богъ надѣлилъ каждаго человѣка частицею разума. Нашъ разумъ мы должны укрѣплять и развивать мышленіемъ. Мышленіе для каждаго человѣка является насущною потребностью. Но только глупецъ можетъ думать, что его мышленіе безошибочно. Кто сколько-нибудь знакомъ съ исторіею развитія какой бы то ни было науки, тотъ легко пойметъ, что нашъ умъ склоненъ скорѣе къ ошибкамъ, чѣмъ къ правильнымъ выводамъ: прежніе мыслители часто дѣлали ошибочныя заключенія. Исторію индуктивныхъ наукъ можно назвать исторіею человѣческихъ заблужденій. Почти всѣ воззрѣнія Аристотеля на физическую природу ошибочны; между тѣмъ Аристотель до сихъ поръ считается величайшимъ мыслителемъ. Если мы убѣждены, что нашъ умъ склоненъ къ ошибкамъ, то въ каждомъ частномъ случаѣ для насъ весьма важно знать, правильно-ли ваше мышленіе. Но только одна математика даетъ возможность повѣрить результаты нашего мышленія. Если объектомъ нашего мышленія есть видимая природа, то результатъ мышленія можетъ быть провѣренъ опытомъ. Если же мышленіе направлено на предметы отвлеченные, то и здѣсь математика даетъ возможность провѣрить

мышленіе при помощи обратнаго метода разсужденія. Такъ, напримѣръ, положимъ, что мы ищемъ рѣшеніе уравненія; если мы желаемъ убѣдиться въ вѣрности рѣшенія, то стоитъ только найденное рѣшеніе подставить въ уравненіе и произвести въ обѣихъ частяхъ уравненія указанныя дѣйствія; если обѣ части выйдутъ одинаковы, то найденное рѣшеніе вѣрно. Но въ высшихъ частяхъ математики не всегда возможенъ обратный способъ разсужденія; въ такомъ случаѣ на подмогу являются различные методы разсужденія. Если, рѣшая одинъ и тотъ же вопросъ двумя различными методами, мы приходимъ къ одному и тому же результату, то это служитъ лучшимъ доказательствомъ, что наше мышленіе въ обоихъ случаяхъ правильно. Но можетъ случиться, что результаты, найденные различными методами, не сходятся между собою; въ такомъ случаѣ, при болѣе внимательномъ анализѣ мы убѣждаемся, что одно изъ нашихъ разсужденій ошибочно. Иногда случается и такъ, что прежніе математики дѣлали ошибки, которыя замѣчались послѣдующими математиками, когда они приступали къ рѣшенію того же вопроса новымъ методомъ. И въ этомъ случаѣ математикъ извлекаетъ для себя пользу: собственныя ошибки и ошибки прежнихъ мыслителей научаютъ его болѣе осторожному и правильному мышленію. Случается часто, что результаты нашего мышленія правильны, но само мышленіе слишкомъ сложно и длинно. Умъ нашъ склоненъ идти къ истинѣ не прямою дорогою, но извилистыми путями. Прогрессъ каждой науки, въ особенности математики, состоитъ не столько въ расширеніи области изслѣдованій, сколько въ болѣе простомъ и ясномъ изложеніи уже добытыхъ результатовъ. Недостаточно открыть и доказать новую теорему; необходимо еще быть убѣжденнымъ, что данное доказательство — самое простое. Чѣмъ меньше формулъ, чѣмъ проще сами формулы, тѣмъ пріятнѣе читать математическое сочиненіе. Необходимо также избѣгать слишкомъ сложныхъ чертежей. Плохіе математики не понимаютъ этихъ истинъ и часто переполняютъ свои трактаты сложными и ненужными формулами; дѣло иногда доходитъ до того, что сочиненіе, написанное однимъ математикомъ, остается непонятымъ другими.

Изъ всего сказаннаго вытекаетъ слѣдующее положеніе:

Математика учитъ правильному мышленію.

Вотъ великая цѣль математики! Теперь становится понятнымъ, почему математики съ особенною охотою занимаются рѣшеніемъ трудныхъ вопросовъ, не обращая вниманія на ихъ практическое значеніе. Иной вопросъ кажется неразрѣшимымъ тѣми пріемами, которые извѣстны въ математикѣ; но вотъ является ученый, который создаетъ новый пріемъ и даетъ простое рѣшеніе вопроса. Нѣсколько такихъ изслѣдованій,—и ученый пріобрѣтаетъ всемірную извѣстность.

Лица, изучающія часть высшей математики съ цѣлью сдѣлать примѣненіе къ своимъ спеціальнымъ наукамъ, сильно ошибаются: можно предсказать ранѣе, что никакихъ примѣненій они не сдѣлаютъ, но извлекутъ только ту пользу, что будутъ понимать нѣкоторыя сочиненія съ математическими формулами. Представителямъ другихъ наукъ я совѣтую одно изъ двухъ: либо оставить вовсе математику, либо изучать ее вполнѣ, не заботясь о приложеніяхъ; приложенія найдутся впослѣдствіи сами собою.

Итакъ, правильное занятіе математикою дѣлаетъ человѣка хорошимъ мыслителемъ. Мыслитель же годится ко всякому дѣлу и на всякомъ мѣстѣ. Наоборотъ, плохой мыслитель, обладай онъ хотя бы большими энциклопедическими познаніями, вездѣ принесетъ мало пользы; онъ можетъ быть полезенъ своими знаніями и быть хорошимъ исполнителемъ, но его нельзя поставить во главѣ какого бы то ни было дѣла.

Говорятъ, что гимназія даетъ общее образованіе. Но что нужно подразумѣвать подъ общимъ образованіемъ? На этотъ вопросъ даются лишь неопредѣленные отвѣты. На самомъ дѣлѣ наши гимназіи даютъ неполное и непрочное знаніе: неполное— потому, что исключены естественныя науки; непрочное—потому, что многое забывается по выходѣ изъ гимназіи. Быть можетъ, найдутся такія лица, которыя станутъ утверждать, что не слѣдуетъ гоняться за прочнымъ знаніемъ, что молодой человѣкъ по выходѣ изъ гимназіи тотчасъ же спеціализируется и потому удерживаетъ въ памяти только то, что относится къ его спеціальности. Однако было бы гораздо лучше, если бы гимназіи по всѣмъ наукамъ давали лишь такія знанія, которыя потомъ никогда не забывались бы. Для достиженія этой цѣли необходимо

изъ теоретическаго преподаванія каждой науки исключить массу мелочей и отнести таковыя къ практическимъ упражненіямъ.

Гимназія можетъ и должна давать прочную систему знаній. Въ настоящее время все заражено единствомъ: единство матеріи, единство силъ, единство законовъ и т. д. Педагоги также стремятся создать единую теорію, способную обнять всѣ мелочи данной науки. Но такой теоріи въ математикѣ не существуетъ, да и не можетъ существовать. Полагаю, что и въ другихъ наукахъ едва-ли возможно создать теорію, объединяющую всѣ факты.

Въ разнообразіи методовъ и пріемовъ — вся сила и прелесть науки.

Въ самомъ дѣлѣ, для насъ весьма пріятно, если мы результаты нашего мышленія, найденные однимъ методомъ, можемъ провѣрить другимъ методомъ: такая провѣрка развиваетъ и укрѣпляетъ наше мышленіе. Единая теорія вредна, ибо она не даетъ возможности критически отнестись къ собственному мышленію.

Гимназическое преподаваніе должно быть направлено къ развитію мыслительной способности.

Математика наилучшимъ образомъ удовлетворяетъ этой цѣли, ибо эта наука преимущественно предъ другими науками отличается разнообразіемъ методовъ изложенія и пріемовъ рѣшенія задачъ.

Но стремленіе къ единой теоріи вредно еще въ другомъ отношеніи. Замѣчая, что нѣкоторые факты не подходятъ подъ эту теорію, педагогъ для объясненія ихъ вводитъ все новыя и новыя правила. Теорія растетъ, соотвѣтственно этому растутъ учебники; теоретическое преподаваніе усиливается въ ущербъ практическимъ занятіямъ и самостоятельнымъ упражненіямъ. Все это оказываетъ вредное вліяніе на умственное развитіе учащихся.

Въ свое оправданіе педагоги утверждаютъ, что единая теорія дисциплинируетъ умъ. Подъ дисциплинированнымъ умомъ нужно подразумѣвать такой умъ, который способенъ сосредоточиваться надъ даннымъ вопросомъ и не разбрасываться въ стороны. Но такую-ли дисциплину даетъ гимназія? Нѣтъ, ибо умъ лица, получившаго аттестатъ зрѣлости, пасуетъ предъ каждымъ вопросомъ, выходящимъ изъ узкой среды гимназическаго преподаванія.

Ратуя за разнообразіе методовъ и пріемовъ, я однако же

далекъ отъ той мысли, что все это разнообразіе слѣдуетъ вводить въ учебники. Учебникъ долженъ содержать основныя положенія науки, изложенныя въ краткой формѣ. Различные методы и пріемы рѣшенія могутъ быть выяснены на практическихъ занятіяхъ.

Теорія должна быть доведена до минимума; учебники должны быть кратки.

Что такое алгебра? На этотъ вопросъ нѣтъ яснаго отвѣта ни въ одномъ учебникѣ. Нѣкоторые учебники алгебры вовсе не опредѣляютъ этой науки. Такое неясное представленіе объ алгебрѣ можетъ быть объяснено исторически. Алгебра возникла не цѣликомъ, но постепенно: сначала появились уравненія первой степени съ одною неизвѣстною, потомъ уравненія второй степени, далѣе уравненія со многими неизвѣстными, биномъ Ньютона, прогрессіи, логариѳмы. При такомъ послѣдовательномъ развитіи алгебры, до сихъ поръ не сложилось яснаго представленія о цѣлой наукѣ. Если мы не умѣемъ опредѣлить алгебры, то намъ въ туманномъ свѣтѣ представляются и окончательныя цѣли этой науки. Не зная ни опредѣленія науки, ни ея цѣлей, мы по этой причинѣ не можемъ создать стройной теоріи этой науки. Если мы сами не имѣемъ яснаго представленія объ алгебрѣ, то мы не можемъ преподать эту науку въ ясной формѣ дѣтямъ. Въ этомъ обстоятельствѣ кроется причина, почему до сихъ поръ алгебра считается самою трудною наукой, доступною лишь немногимъ. Алгебра Эйлера до сихъ поръ считается образцовымъ учебникомъ; по такому плану составлялись позднѣйшіе учебники. Въ учебникѣ Эйлера не выяснены основныя положенія алгебры; особенно трудно понять отрицательныя числа и дѣйствія надъ ними. Въ послѣднее время нѣмецкіе педагоги создали въ алгебрѣ особое направленіе, представителемъ котораго является Грасманъ. Теорія, созданная Грасманомъ, чрезвычайно сложна и потому недоступна не только дѣтямъ, но и взрослымъ. Увлекаясь строго систематическимъ изложеніемъ, Грасманъ совѣтуетъ ввести отрицательныя числа уже въ ариѳметику.

Я противникъ тяжеловѣсныхъ нѣмецкихъ учебниковъ, но я долженъ воздать должную дань справедливости нѣмецкимъ ученымъ: они выяснили природу отрицательныхъ чиселъ и по-

казали, что въ математикѣ много условнаго. Прежде думали, что математика есть строгая, вполнѣ опредѣленная наука, что все въ математикѣ непремѣнно вытекаетъ одно изъ другого. Теперь мы знаемъ, что въ математикѣ много условнаго, зависящаго отъ нашего произвола, что, давъ другія опредѣленія и условія, мы можемъ получить многіе отдѣлы математики въ новой формѣ, отличной отъ теперешней. Излагая алгебру, необходимо выяснить подробно, что въ этой наукѣ условно и что вытекаетъ изъ основныхъ положеній. Каждая мелочь должна быть выяснена ученикамъ такъ, чтобы у нихъ не оставалось ни малѣйшихъ сомнѣній. Сверхъ того, необходимо теорію алгебры довести до возможной краткости и простоты.

Прежде всего посмотримъ, какъ педагоги приступаютъ къ преподаванію алгебры.

Многіе педагоги уже въ ариѳметикѣ рекомендуютъ изображать ходъ рѣшенія задачи при помощи формулъ, состоящихъ изъ цифръ, знаковъ и скобокъ; такія упражненія считаютъ переходною ступенью къ алгебрѣ. Вредное заблужденіе! Ученика заставляютъ писать формулы, когда онъ еще не знаетъ, что нужно дѣлать, когда нѣсколько чиселъ соединены знаками сложенія, вычитанія, умноженія и дѣленія. Съ какого дѣйствія начать и какъ поступать далѣе? Передъ такимъ вопросомъ многіе ученики становятся втупикъ. Между тѣмъ скобочныя упражненія, съ легкой руки Евтушевскаго, рекомендуются уже въ первомъ классѣ. Цѣль ариѳметики, во-первыхъ, научить дѣйствіямъ надъ числами, во-вторыхъ, хорошимъ подборомъ задачъ развить, на сколько возможно, мышленіе учащихся. Формулы въ ариѳметикѣ неумѣстны; онѣ служатъ только пугаломъ для посредственныхъ учениковъ.

Приступая къ преподаванію алгебры, многіе педагоги даютъ типическія задачи изъ ариѳметики, обозначаютъ числа буквами и заставляютъ учениковъ находить рѣшеніе, т.-е. собственно составить формулу, указывающую ходъ рѣшенія задачи. Такой пріемъ противорѣчитъ элементарнымъ педагогическимъ правиламъ: ученика заставляютъ писать формулы, о которыхъ онъ не имѣетъ еще яснаго представленія.

Какъ же приступить къ преподаванію алгебры?

Нѣсколько первыхъ уроковъ алгебры нужно посвятить рѣшенію ариѳметическихъ задачъ, преимущественно такихъ, которыя рѣшаются различными пріемами. Не соглашаясь со многими педагогами, стремящимися къ созданію однообразныхъ пріемовъ рѣшенія, я рекомендую каждую задачу, если возможно рѣшать различными пріемами. Разнообразіе пріемовъ рѣшенія, какъ я уже выше сказалъ, содѣйствуетъ развитію мышленія. Но въ данномъ случаѣ это разнообразіе имѣетъ еще другое весьма важное значеніе. Для поясненія возьмемъ слѣдующую задачу.

Куплено 280 зеркалъ, по 19 р. за зеркало; 5 зеркалъ разбилось; почемъ проданы остальныя, если получено 730 р. прибыли?

Задача рѣшается двумя способами.

Первый способъ. Задача рѣшается четырьмя дѣйствіями:

Первымъ дѣйствіемъ узнаемъ стоимость всѣхъ зеркалъ; вторымъ дѣйствіемъ узнаемъ, за сколько проданы всѣ зеркала; третьимъ дѣйствіемъ узнаемъ число цѣлыхъ зеркалъ; четвертымъ дѣйствіемъ узнаемъ, за сколько продано каждое зеркало.

Второй способъ. Задача рѣшается пятью дѣйствіями:

Первымъ дѣйствіемъ узнаемъ стоимость разбитыхъ зеркалъ; вторымъ дѣйствіемъ узнаемъ прибыль, полученную при продажѣ цѣлыхъ зеркалъ; третьимъ дѣйствіемъ узнаемъ число цѣлыхъ зеркалъ четвертымъ дѣйствіемъ узнаемъ прибыль на каждое цѣлое зеркало; пятымъ дѣйствіемъ узнаемъ, за сколько продано зеркало.

Послѣ рѣшенія нѣсколькихъ подобныхъ задачъ ученики должны придти къ слѣдующему заключенію:

Рядъ однихъ дѣйствій надъ какими бы то ни было числами можетъ быть замѣненъ рядомъ другихъ дѣйствій надъ тѣми же числами.

Теперь является вопросъ: нельзя-ли дать какія либо правила, которыми можно было бы руководствоваться при замѣнѣ однихъ дѣйствій другими? Такія правила, дѣйствительно, существуютъ и составляютъ предметъ алгебры.

Алгебра даетъ правила для замѣны однихъ дѣйствій рядомъ другихъ дѣйствій надъ тѣми же числами.

Вотъ точное опредѣленіе алгебры!

Такъ какъ въ алгебрѣ безразлично, надъ какими числами производятся дѣйствія, то вмѣсто чиселъ употребляются буквы, выражающія какія угодно числа. Впрочемъ въ алгебрѣ вмѣстѣ съ буквами употребляются и числа.

Въ алгебрѣ дѣйствія на самомъ дѣлѣ не производятся, а только обозначаются знаками. Для сложенія двухъ чиселъ употребляется знакъ Для вычитанія минусъ —. Для обозначенія умноженія употребляется косой крестъ X или точка, знакъ умноженія вовсе опускается, если числа обозначены буквами; поэтому произведеніе числа а на число Ъ можетъ быть написано такъ: а\Ъ, или а.Ь, или аЪ. Для обозначенія дѣленія пишутъ двоеточіе а : Ъ. Но чаще всего дѣленіе въ алгебрѣ принято обозначать въ формѣ дроби: пишутъ дѣлимое вверху, дѣлителя внизу и ставятъ между ними черту. Такъ -^-означаетъ, что число а нужно раздѣлить на число Ъ, Числа а и Ъ сами могутъ быть дробныя, а потому выраженіе называется алгебраическою дробью въ отличіе отъ обыкновенной ариѳметической дроби, когда числитель и знаменатель суть цѣлыя числа.

Выраженіе, состоящее изъ чиселъ и буквъ, соединенныхъ разными знаками, называется алгебраическимъ выраженіемъ или формулою. Простѣйшія формулы, состоящія только изъ двухъ буквъ, будутъ:

Каждая формула выражаетъ рядъ дѣйствій, произведенныхъ надъ какими бы то ни было числами, выраженными буквами.

Но въ алгебрѣ есть тоже свои дѣйствія; такъ нѣсколько

формулъ можно складывать, вычитать, умножать и дѣлить между собою. Такія дѣйствія называются алгебраическими дѣйствіями въ отличіе отъ ариѳметическихъ дѣйствій, которыя совершаются надъ числами.

Упростить формулу значитъ рядъ дѣйствій, указанныхъ этою формулою, замѣнить рядомъ возможно простѣйшихъ дѣйствій.

Цѣль алгебры—дать для каждой задачи самое простое рѣшеніе. Положимъ, что мы знаемъ какой-нибудь пріемъ рѣшенія задачи; рядъ дѣйствій, служащихъ для рѣшенія этой задачи, мы можемъ выразить формулою, причемъ самыя числа удобнѣе обозначить буквами. Если мы упростимъ найденную такимъ образомъ формулу, то получимъ новую формулу; рядъ дѣйствій, выражаемый упрощенною формулою, даетъ самое простое рѣшеніе задачи.

Вся математика состоитъ изъ положеній, условій, опредѣленій и задачъ.

Положеніе или теорема есть неизмѣнная истина въ наукѣ.

Условіе есть то, что зависитъ отъ нашего произвола. Въ математикѣ часто мы приходимъ къ такому пункту, когда дальнѣйшія разсужденія могутъ быть разнообразны въ зависимости отъ того условія, которое мы положимъ въ основу этихъ разсужденій.

Для сокращенія нашихъ разсужденій мы часто вводимъ новыя названія — термины; въ такомъ случаѣ необходимо условиться, что мы будемъ подразумѣвать подъ вновь введеннымъ терминомъ. Это и будетъ опредѣленіемъ.

Въ задачѣ по нѣкоторымъ даннымъ требуется найти нѣкоторое слѣдствіе.

Каждая математическая наука развивается изъ основныхъ положеній.

Основныя положенія, очевидныя сами по себѣ, называются аксіомами. Таковы основныя положенія геометріи.

Нѣкоторыя математическія науки берутъ свои основныя положенія изъ другихъ наукъ. Такъ алгебра беретъ свои основныя положенія изъ ариѳметики. Но эти основныя положенія такъ ясны, что я не считаю нужнымъ доказывать ихъ и въ ариѳметикѣ.

Перечислимъ положенія, условія и опредѣленія, необходимыя для того, чтобы составить ясное понятіе объ алгебрѣ.

Положеніе первое. Результатъ сложенія нѣсколькихъ чиселъ не зависитъ отъ порядка дѣйствій и отъ перестановки слагаемыхъ.

Это положеніе можно считать извѣстнымъ изъ ариѳметики. Пояснимъ, что нужно подразумѣвать подъ порядкомъ дѣйствій. Возьмемъ выраженіе:

5 + 7 + 3.

Произведя сначала дѣйствіе надъ первыми двумя числами и къ результату прибавивъ третье число, получимъ:

Произведя теперь дѣйствіе подъ послѣдними двумя числами, и прибавляя результатъ къ первому числу, находимъ:

Такимъ образомъ имѣемъ тожество.

Сверхъ того, въ положеніи говорится, что результатъ не зависитъ отъ перестановки слагаемыхъ, что можетъ быть выражено тожествомъ:

гдѣ а и Ъ какія угодно числа.

Но если нѣсколько чиселъ соединены знаками сложенія и вычитанія, то результатъ зависитъ отъ того порядка, въ которомъ производятся указанныя дѣйствія. Для примѣра возьмемъ выраженіе:

10 — 6 + 3.

Если произведемъ сначала надъ первыми двумя числами дѣйствіе, указанное знакомъ, стоящимъ между ними, и полученный результатъ соединимъ съ третьимъ числомъ, то найдемъ:

Но если сначала произведемъ надъ послѣдними двумя числами дѣйствіе, указанное знакомъ, стоящимъ между ними (сложеніе), и полученный результатъ соединимъ съ первымъ числомъ (при помощи оставшагося знака вычитанія), то получимъ:

Для избѣжанія всякихъ недоразумѣній, необходимо условиться, какъ поступать съ числами, соединенными знаками сложенія и вычитанія.

Условіе первое. Если нѣсколько чиселъ соединены знаками сложенія и вычитанія, то условимся производить дѣйствія въ томъ порядкѣ, какъ они написаны, начиная съ лѣвой стороны.

При соблюденіи этого условія можно дѣлать нѣкоторыя перестановки, отъ чего результатъ не измѣнится. Такъ изъ ариѳметики извѣстно, что если мы къ а прибавимъ Ъ и отъ полученной суммы отнимемъ с, то результатъ получился бы тотъ же самый, если бы мы сначала отъ а отняли с и къ полученной разности прибавили b:

Отсюда легко вытекаетъ

Положеніе второе. При соблюденіи сказаннаго выше условія результатъ сложенія и вычитанія нѣсколькихъ чиселъ не измѣнится, если переставимъ числа вмѣстѣ со знаками, стоящими передъ ними.

Перестанавливая указаннымъ способомъ числа вмѣстѣ съ знаками, стоящими передъ ними, мы можемъ достигнуть того, что впереди будутъ стоять слагаемыя, а позади вычитаемыя; напр.,

Положеніе третье. Чтобы вычесть послѣдовательно нѣсколько чиселъ, можно сразу вычесть ихъ сумму.

Это положеніе можно считать извѣстнымъ изъ ариѳметики.

На основаніи послѣднихъ двухъ положеній имѣемъ:

Отсюда вытекаетъ слѣдующее правило: чтобы простѣйшимъ способомъ найти результатъ сложенія и вычитанія нѣсколькихъ чиселъ, нужно прежде всего сложить всѣ слагаемыя (первое число и числа съ предшествующимъ знакомъ + ), потомъ сложить вычитаемыя (со знакомъ — ) и изъ первой суммы вычесть вторую.

Къ подобнымъ же результатамъ можно прійти и относительно чиселъ, соединенныхъ знаками умноженія и дѣленія.

Положеніе четвертое. Результатъ перемноженія нѣсколькихъ чиселъ не зависитъ отъ порядка дѣйствій и отъ перестановки множителей.

Это положеніе можно считать извѣстнымъ изъ ариѳметики: оно заключается въ двухъ тожествахъ:

Но если нѣсколько чиселъ соединены знаками умноженія и дѣленія, то результатъ уже зависитъ отъ того порядка, въ которомъ производятся дѣйствія, указанныя знаками. Для примѣра возьмемъ выраженіе:

Если мы сначала произведемъ надъ первыми двумя числами дѣленіе (какъ это указано знакомъ, стоящимъ между ними) и полученное частное умножимъ на третье число, то найдемъ:

Но если мы сначала произведемъ надъ послѣдними двумя числами умноженіе и на полученное произведеніе раздѣлимъ первое число, то найдемъ:

Для избѣжанія недоразумѣній необходимо условиться, какъ нужно производить дѣйствія надъ числами, соединенными знаками умноженія и дѣленія.

Условіе второе. Если нѣсколько чиселъ соединены знаками умноженія и дѣленія, то условимся производить дѣйствія въ

томъ порядкѣ, въ которомъ они написаны, начиная съ лѣвой руки.

При соблюденіи этого условія можно дѣлать нѣкоторыя перестановки, не измѣняя результата. Такъ, изъ ариѳметики извѣстно, что если мы а умножимъ на & и полученный результатъ раздѣлимъ на с, то получимъ тотъ же результатъ, если бы мы сначала а раздѣлили на с и полученное частное умножили на Ъ:

Отсюда легко вытекаетъ

Положеніе пятое. Результатъ перемноженія и дѣленія нѣсколькихъ чиселъ, при соблюденіи указаннаго условія, не измѣнится, если мы переставимъ числа вмѣстѣ съ стоящими передъ ними знаками.

Перестанавливая подобнымъ образомъ числа, мы можемъ достигнуть того, что впереди будутъ стоять множители, сзади дѣлители; напр.

Положеніе шестое. Раздѣлить послѣдовательно на нѣсколько чиселъ—все равно, что раздѣлить на ихъ произведеніе.

Это положеніе можно считать извѣстнымъ изъ ариѳметики.

Припоминая, что знакъ умноженія между буквами можно пропускать, что дѣленіе изображается въ формѣ дроби, на основаніи послѣднихъ двухъ положеній имѣемъ:

Къ такой формѣ условились въ алгебрѣ всегда приводить результатъ перемноженія и дѣленія нѣсколькихъ чиселъ, обозначенныхъ буквами.

Положимъ теперь, что дано выраженіе, состоящее изъ нѣсколькихъ чиселъ, соединенныхъ знаками всѣхъ четырехъ дѣйствій. Какъ производить эти дѣйствія? Ясно, что здѣсь нужно новое условіе, ибо результатъ всецѣло зависитъ отъ порядка дѣйствій.

Условіе третье. Въ выраженіи, состоящемъ изъ чиселъ, сое-

диненныхъ знаками всѣхъ четырехъ дѣйствій, математики условились прежде всего производить дѣйствія надъ числами, стоящими рядомъ и соединенными знаками умноженія и дѣленія.

Опредѣленіе первое. Совокупность чиселъ, соединенныхъ знаками умноженія и дѣленія, принято называть членомъ или одночленомъ.

Опредѣленіе второе. Нѣсколько членовъ, соединенныхъ знаками + и —, составляютъ многочленъ. Смотря по числу членовъ, многочленъ называется двучленомъ, трехчленомъ и т. д.

Итакъ, математики условились вычислять сначала каждый членъ отдѣльно. Вычисливъ каждый членъ и замѣнивъ его однимъ числомъ, мы получимъ въ результатѣ выраженіе, состоящее изъ чиселъ, соединенныхъ знаками сложенія и вычитанія; съ этимъ выраженіемъ нужно поступать по правиламъ, вытекающимъ изъ первыхъ трехъ положеній.

Теперь мы знаемъ, какъ производить дѣйствія надъ числами, соединенными знаками всѣхъ четырехъ дѣйствій. Но иногда случается, что по смыслу задачи нужно произвести дѣйствія не въ томъ порядкѣ, какъ это сказано въ нашихъ правилахъ. Въ такомъ случаѣ употребляются скобки. Для примѣра возьмемъ выраженіе:

По даннымъ выше правиламъ прежде всего нужно перемножить послѣднія два числа и полученное произведеніе прибавить къ 3:

Но если по смыслу задачи требуется сначала произвести сложеніе надъ первыми двумя числами и полученную сумму умножить на третье число, то для этой цѣли первыя два числа заключаются въ скобки:

Общее правило при употребленіи скобокъ таково, что прежде всего нужно вычислить содержимое скобокъ и замѣнить его однимъ числомъ, послѣ чего скобки можно отбросить.

Я рекомендую ограничиться на первое время только простыми скобками; сложныя же скобки слѣдуетъ употреблять лишь въ крайней необходимости.

Вотъ сколько необходимо сообщить ученикамъ свѣдѣній, чтобы они имѣли ясное представленіе о скобкахъ и дѣйствіяхъ надъ числами, соединенными разными знаками! Теперь, полагаю, будетъ ясна причина, почему я возставалъ противъ употребленія скобокъ и формулъ въ ариѳметикѣ.

Чтобы покончить съ основными положеніями, приведу еще пять положеній и одно опредѣленіе, которыя понадобятся намъ впослѣдствіи.

Положеніе седьмое. Два члена, равные и съ противоположными знаками (впереди), взаимно уничтожаются:

Въ самомъ дѣлѣ, число не измѣнится, если мы къ нему прибавимъ второе число и потомъ отнимемъ такое же число.

Опредѣленіе третье. Вычитаніе есть дѣйствіе обратное сложенію, гдѣ по данной суммѣ и одному слагаемому ищется другое слагаемое.

Положеніе восьмое. Чтобы умножить сумму чиселъ на какой нибудь множитель, нужно каждое слагаемое умножить на этотъ множитель и полученныя произведенія сложить:

Положеніе девятое. Чтобы умножить разность двухъ чиселъ на третье число, нужно уменьшаемое умножить на третье число, потомъ вычитаемое умножить на третье число, и изъ перваго произведенія вычесть второе:

Положеніе десятое. Разность двухъ чиселъ не измѣнится, когда мы отъ каждаго числа отнимемъ поровну.

1) Положеніе девятое можетъ быть выведено изъ положенія восьмого и опредѣленія третьяго.

Положеніе одиннадцатое. Если одинъ изъ множителей равенъ нулю, то и все произведеніе равно нулю:

Перейдемъ теперь къ алгебраическимъ дѣйствіямъ. На первыхъ порахъ мы ограничимся только тремя первыми дѣйствіями и исключимъ дѣленіе.

Изъ ариѳметики извѣстно: 1) чтобы прибавить сумму, нужно прибавить каждое слагаемое; 2) чтобы прибавить разность, нужно прибавить уменьшаемое и отъ суммы отнять вычитаемое:

Обобщая эти положенія, мы легко найдемъ слѣдующее, болѣе общее:

Положеніе двѣнадцатое. Чтобы прибавить многочленъ, нужно приписать его члены со стоящими передъ ними знаками; напр.

Примѣчаніе. Передъ первымъ членомъ многочлена нѣтъ никакого знака. Чтобы послѣднее положеніе и всѣ дальнѣйшія положенія имѣли мѣсто, необходимо передъ первымъ членомъ подразумѣвать +.

Перейдемъ теперь къ вычитанію многочленовъ. Будемъ подразумѣвать подъ А какой либо многочленъ; положимъ, что къ нему нужно прибавить другой многочленъ : Ъ — c-\-d. По опредѣленію вычитанія (опредѣленіе третье) нужно найти такой многочленъ, къ которому прибавивъ вычитаемое, получимъ уменьшаемое. Чтобы составить такой многочленъ, припишемъ къ уменьшаемому члены вычитаемаго съ обратными знаками:

Въ самомъ дѣлѣ, если мы къ найденному многочлену прибавимъ вычитаемое, то на основаніи двѣнадцатаго положенія получимъ:

Уничтоживъ здѣсь, согласно седьмому положенію, равные члены съ противоположными знаками, мы дѣйствительно получимъ уменьшаемое. Отсюда вытекаетъ

Положеніе тринадцатое. Чтобы отнять многочленъ, нужно къ уменьшаемому приписать члены вычитаемаго съ обратнымъ знакомъ:

Перейдемъ теперь къ умноженію многочленовъ.

Положеніе восьмое и девятое можно обобщить и вывести изъ нихъ правило для перемноженія многочленовъ. Для примѣра покажемъ, какъ находится произведеніе

Обозначая с — d одною буквою А, на основаніи положенія девятаго, находимъ:

Переставивъ множители (первое положеніе) въ каждомъ членѣ второй части и подставивъ вмѣсто h его значеніе с — d, получимъ:

Произведя во второй части умноженія, на основаніи девятаго положенія, находимъ:

Сдѣлавъ во второй части вычитаніе, на основаніи тринадцатаго положенія, и переставивъ въ каждомъ членѣ множители, получимъ:

Изъ подобныхъ разсужденій мы выводимъ

Положеніе четырнадцатое. Чтобы умножить многочленъ на многочленъ, нужно каждый членъ множимаго умножить на каждый членъ множителя; при чемъ члены съ одинаковыми (впереди) знаками даютъ въ произведеніи членъ со знакомъ -j-(впереди), члены же съ разными знаками даютъ въ произведеніи членъ со знакомъ —.

Двучленъ, въ которомъ числа соединены минусомъ, напр.

означаетъ, что изъ а нужно вычесть Ъ. Вычитаніе возможно только въ томъ случаѣ, когда уменьшаемое а болѣе вычитаемаго Ъ. Но въ алгебрѣ намъ придется встрѣтить и такой двучленъ, когда изъ меньшаго числа вычитается большее, напр.

Дадимъ такому двучлену особое названіе.

Опредѣленіе четвертое. Отрицательнымъ двучленомъ назовемъ такой двучленъ, въ которомъ изъ меньшаго числа приходится вычитать большее. Вообще отрицательнымъ многочленомъ мы назовемъ такой многочленъ, въ которомъ, совершая дѣйствія въ указанномъ порядкѣ, начиная съ лѣвой стороны, мы приходимъ къ невозможному вычитанію, напр.

Здѣсь указаны два вычитанія и одно сложеніе. Первое вычитаніе возможно, 7 — 5 = 2; но второе вычитаніе, 2 — 8, уже становится невозможнымъ.

Опредѣленіе пятое. Положительнымъ многочленомъ называется такой многочленъ, въ которомъ всѣ дѣйствія въ указанномъ порядкѣ, начиная съ лѣвой стороны, возможны, напр.

здѣсь имѣемъ три возможныхъ дѣйствія:

Положительный многочленъ послѣ перестановки членовъ по правилу, указанному во второмъ положеніи, можетъ иногда перейти въ отрицательный. Такъ положительный многочленъ:

послѣ перестановки двухъ послѣднихъ членовъ переходитъ въ отрицательный:

Всѣ наши положенія имѣютъ мѣсто лишь для положительныхъ многочленовъ. Если мы желаемъ избѣжать отрицательныхъ многочленовъ, тогда въ положеніяхъ алгебры мы должны сдѣлать нѣкоторыя ограниченія. Такъ второе положеніе остается вѣрнымъ до тѣхъ поръ, пока положительный многочленъ не переходитъ въ отрицательный. Тѣ же выкладки, гдѣ, не смотря на всѣ предосторожности, встрѣчаются отрицательные многочлены, слѣдовало бы отбросить.

Алгебра стремится къ простотѣ и общности.

Простота и общность достигаются въ томъ случаѣ, когда правила не многочисленны и не имѣютъ исключеній. Для достиженія этой цѣли въ кругъ нашихъ разсужденій необходимо включить и отрицательные многочлены.

Условіе четвертое. Распространимъ всѣ положенія, найденныя для положительныхъ многочленовъ, и на отрицательные многочлены.

Прежде всего, согласно положенію десятому, отрицательный двучленъ

3 — 8

не измѣнится, когда мы отъ обоихъ чиселъ отнимемъ по 3, слѣдовательно

3 - 8 = 0 — 5.

Условіе пятое. Въ выраженіи

0 — 5

условимся отбрасывать нуль и писать такъ:

— 5.

это и будетъ простѣйшимъ выраженіемъ для отрицательнаго двучлена:

3 — 8 = — 5.

Опредѣленіе шестое. Число со знакомъ минусъ впереди назовемъ отрицательнымъ числомъ.

Опредѣленіе седьмое. Въ отличіе отъ отрицательныхъ чиселъ, положительными числами называемъ обыкновенныя числа, упо-

требляемыя въ ариѳметикѣ; передъ ними нужно подразумѣвать впереди знакъ плюсъ.

Покажемъ, какъ складываются отрицательныя числа съ положительными.

Распространяя правило сложенія многочленовъ на отрицательные двучлены (положеніе двѣнадцатое), находимъ:

Отбрасывая нули, имѣемъ:

Отсюда вытекаетъ

Положеніе пятнадцатое. Чтобы сложить положительное число съ отрицательнымъ, нужно на самомъ дѣлѣ ихъ вычесть и поставить знакъ большаго количества.

Чтобы показать, какъ складываются отрицательныя числа между собою, беремъ два отрицательныхъ двучлена съ нулями впереди и складываемъ ихъ по правилу, изложенному въ положеніи двѣнадцатомъ:

Переставивъ во второй части второй членъ съ третьимъ, получимъ:

Примѣнивъ ко второй части третье положеніе, получимъ:

Отбросивъ нули, найдемъ окончательно:

Отсюда вытекаетъ

Положеніе шестнадцатое. Чтобы сложить отрицательныя числа между собою, нужно ихъ на самомъ дѣлѣ сложить и предъ суммою поставить знакъ минусъ.

Перейдемъ теперь къ вычитанію отрицательныхъ чиселъ.

Пусть А означаетъ положительный или отрицательный многочленъ, или положительное или отрицательное число. Положимъ, что изъ А требуется вычесть отрицательное число—Ъ. Примѣняя положеніе тринадцатое, находимъ:

Отбрасывая нули, имѣемъ:

Отсюда вытекаетъ

Положеніе семнадцатое. Чтобы вычесть отрицательное число, нужно прибавить равное ему по величинѣ положительное число.

Остается дать правило для перемноженія положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ между собою.

Прежде всего замѣтимъ, что произведеніе положительныхъ чиселъ даетъ также положительное число.

Распространивъ девятое положеніе на отрицательные двучлены, находимъ:

Но первый членъ на основаніи положенія одиннадцатаго обращается въ нуль; отбросивъ нули, найдемъ:

Распространивъ положеніе четвертое и на отрицательныя числа, найдемъ:

Отсюда заключаемъ, что произведеніе двухъ чиселъ съ разными знаками есть число отрицательное.

Распространивъ четырнадцатое положеніе на отрицательные двучлены, найдемъ:

Принявъ во вниманіе одиннадцатое положеніе и отбросивъ нули, получимъ:

Изъ сказаннаго вытекаетъ

Положеніе восемнадцатое. Чтобы умножить два числа, каж-

доѳ изъ которыхъ можетъ быть и положительнымъ, и отрицательнымъ, нужно ихъ на самомъ дѣлѣ перемножить и поставить знакъ плюсъ, если оба числа имѣютъ одинаковые знаки, и знакъ минусъ, если—разные знаки.

Мы изложили дѣйствія надъ отрицательными числами; теперь необходимо выяснить ихъ реальное значеніе.

Есть такія величины, которыя могутъ быть отсчитываемы до безконечности въ двѣ противоположныя стороны, напр., время. Къ данному времени мы можемъ прибавлять сколько угодно разъ по одному часу и будемъ получать будущія времена; отъ даннаго времени мы можемъ также отнимать сколько угодно разъ по одному часу и будемъ получать прошедшія времена. Какъ же отсчитывать время? Что подразумѣвать подъ нулемъ времени?

Произвольный моментъ времени можно принять за нуль; отъ этого момента время можно отсчитывать и въ одну, и въ другую сторону; времена, отсчитываемыя въ одну сторону, считаются положительными, въ другую—отрицательными. Въ исторіи принято отсчитывать времена отъ Рождества Христова. Когда говорится о времени, то дѣйствительно можно изъ меньшаго времени вычитать большее. Возьмемъ примѣръ.

Разрушеніе Іерусалима случилось въ 70-мъ году по P. X., а покореніе Іудеи случилось 133-мя годами ранѣе. Въ какомъ году случилось покореніе Іудеи?

Для рѣшенія нашей задачи нужно изъ 70 вычесть 133. По данному раньше правилу имѣемъ

70 — 133 = — 63.

Получилось отрицательное число, а это показываетъ, что покореніе Іудеи случилось не послѣ, а до P. X. въ 63-мъ году.

Но не всѣ величины могутъ быть отсчитываемы до безконечности въ обѣ стороны. Такъ, къ данному вѣсу можно прибавлять сколько угодно разъ по одному фунту, но отнимать отъ даннаго вѣса по одному фунту можно лишь до тѣхъ поръ, пока получится или нуль, или меньше одного фунта, дальнее вычитаніе уже становится невозможнымъ.

Величины, могущія отсчитываться до безконечности только

въ одну сторону, называются абсолютными величинами. Нуль для такихъ величинъ означаетъ отсутствіе величины. Такой нуль называется абсолютнымъ нулемъ.

Величины, могущія подобно времени отсчитываться въ обѣ стороны до безконечности, называются относительными величинами. Такія величины не имѣютъ абсолютнаго нуля. Для отсчитыванія подобныхъ величинъ нужно за исходный пунктъ принять произвольную величину. Величины, отсчитываемыя въ одну сторону, считаются положительными, въ другую—отрицательными. Величина, принятая за исходный пунктъ отсчитыванія, называется относительнымъ нулемъ.

Положительныя и отрицательныя числа суть абстракціи положительныхъ и отрицательныхъ величинъ.

Познакомившись съ отрицательными числами, мы можемъ теперь перейти къ высшей ступени символизаціи: подъ буквами будемъ подразумѣвать не только положительныя, но и отрицательныя числа.

Все изложенное здѣсь я предлагаю принять гг. педагогамъ въ руководство при первоначальномъ преподаваніи алгебры. Думаю, что мною выяснены мельчайшія подробности начальной алгебры, и въ умахъ учениковъ не останется никакихъ сомнѣній.