О.Б.Епишева В.И.Крупич

УЧИТЬ ШКОЛЬНИКОВ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

О.Б.Епишева В.И.Крупич

УЧИТЬ ШКОЛЬНИКОВ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

Формирование приемов учебной деятельности

Книга для учителя

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1990

ББК 74.262 E67

Рецензенты: учитель математики школы № 5 г. Люберцы В. В. Гузеев; кандидат физико-математических наук, доцент Л. А. Рязанова

Епишева О. Б., Крупич В. И.

E67 Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учеб. деятельности: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990. — 128 с: ил.—ISBN 5-09-002713-7

В книге рассматриваются основные вопросы методики формирования общих и специальных приемов учебной деятельности учащихся. На конкретных примерах раскрываются рациональные способы усвоения знаний.

ББК 74.262

ISBN 5-09-002713-7

© Епишева О. Б., Крупич В. И., 1990

Предисловие

Предлагаемое учителю математики пособие посвящено проблеме рациональной организации учебной деятельности учащихся в обучении математике.

Исследования советских психологов и педагогов, опыт учителей-новаторов показывают: чтобы научить учащихся самостоятельно и творчески учиться, нужно включить их в специально организованную деятельность, сделать хозяевами этой деятельности. Для этого нужно выработать у школьников мотивы и цели учебной деятельности («зачем учиться математике»), обучить способам ее осуществления и регулирования («как учиться»). Наиболее рациональные способы (приемы) учебной деятельности тесно связаны с содержанием предмета, помогают понять его логическую структуру, на их основе формируются необходимые умения и навыки.

Какие приемы усвоения математики необходимы учащимся? Как сформировать их у учащихся в процессе обучения? Какие задачи целесообразно решать на уроках математики с этой целью? Какие производить для этого умственные и практические действия? Какими методическими средствами этого можно достичь?

Возможные варианты решения этих и других, связанных с ними вопросов учитель математики найдет в данном пособии. Предлагаемые здесь методические рекомендации учитель может непосредственно использовать на уроках математики или варьировать их в зависимости от конкретных условий обучения. На их основе можно самостоятельно составлять как приемы учебной деятельности учащихся по усвоению математики, так и методические приемы включения их в учебный процесс.

В главе I раскрываются основные понятия, лежащие в основе методики формирования приемов учебной деятельности в процессе обучения математике. В главе II рассматриваются состав и методика формирования общих приемов умственной деятельности по усвоению математических понятий, приемов анализа и поиска решения задач, определения их сложности, а также некоторых общих приемов организации учебной деятельности учащихся. В главе III рассматривается процесс формирования обобщенных специальных приемов учебной деятельности учащихся в рамках одной содержательно-методической линии школьного курса математики (на примерах приемов решения уравнений и неравенств, задач на построение и измерение расстояний). Приложения содержат некоторые примеры, иллюстрирующие основные положения предлагаемой методики обучения.

Книга будет полезна учителям, а также студентам педагогических институтов.

Глава I

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Понятие деятельности — одно из основных в современной психологии. Деятельностью называют процесс активности человека, характеризуемый предметом (на что направлен данный процесс), потребностью и мотивом, целями и условиями их достижения, действиями и операциями. Предмет деятельности — то, на что направлен процесс (создание продукта деятельности, приобретение знаний, саморазвитие). Потребность в деятельности — это основной источник активности человека, его нужда в предмете деятельности. Форма проявления потребности — мотив — это то, что побуждает человека к деятельности, связано с удовлетворением определенной потребности. Цель деятельности — ее направленность на определенный результат.

Без умения ставить цели и достигать их потребности и мотивы остаются нереализованными. Цели деятельности определяют выбор действий, условия достижения цели — выбор операций (способов выполнения действий).

В каждом выполняемом человеком действии различают результат этого действия и общий способ, с помощью которого выполняется данное действие. Если усилия человека направлены на овладение общими способами действий, то его деятельность становится целенаправленной.

Одно и то же действие может осуществлять разные виды деятельности, переходить из одного в другой. У одних видов деятельности действия являются внутренними (например, мыслительная деятельность, действия которой отделены от практических действий над самими предметами), у других — внешними (трудовая деятельность, продукт которой воплощается в некотором предмете). Но в любой деятельности человека участвуют теоретические действия, и чем сложнее практика, тем значительнее роль предварительных теоретических действий.

Теоретические действия могут протекать как во внутренней, так и во внешней форме. Теоретические действия, проходя через внешнюю форму (например, речевую), постепенно становятся внутренними.

Под учебной деятельностью психологи понимают деятельность учащихся, направленную на приобретение теоретических знаний о предмете изучения и общих приемов решения связанных с ним

задач и, следовательно, на развитие школьников и формирование их личности.

Понятие «учебная деятельность» более широкое, чем понятие учебно-познавательная деятельность, так как в ходе учения применяются действия не только познавательного, но и тренировочного характера. Понятие познавательная деятельность более широкое, чем два предыдущих, так как познание осуществляется не только в целях учения, но и для открытия нового в науке. Для школьников познавательная деятельность протекает, как правило, в учебно-познавательной форме.

Правильная организация учебной деятельности основывается на потребности самих учащихся осуществлять творческое преобразование учебного материала с целью овладения новыми знаниями. Стимулирование этой потребности во многом зависит от постановки учебной задачи.

Учебная задача является основным структурным компонентом учебной деятельности. Ее цель — развитие ученика, подведение его к овладению обобщенными (основными) отношениями в рассматриваемой области, к усвоению и овладению новыми способами действий. (Сравните, например, с задачей трудовой деятельности. Ее цель — изменение предметов, с которыми действует человек.)

Учебная задача — это обобщенная цель деятельности, поставленная (сформулированная) перед учащимися в виде обобщенного учебного задания, например: осознать и усвоить способ действия по решению дробно-рациональных уравнений, приемы изучения теоремы по учебнику, план подготовки к зачету по математике и т. д. Такое обобщенное учебное задание создает учебную проблему (проблемную ситуацию). Разрешая ее, учащиеся овладевают соответствующими знаниями и умениями, развивают свои личностные качества, направленные на «умение учиться», т. е. достигают поставленной цели.

Учебная задача разрешается через систему учебных заданий, которые выполняются при решении конкретных предметных задач (математических, физических и др.). Учебное задание (с позиций методики обучения) есть синтез предметной задачи (задач) и учебных целей (цели). Например, при решении текстовой задачи с помощью составления уравнения на этапе ее анализа могут быть сформулированы следующие учебные задания: 1) вычленить условие и требование задачи; 2) установить зависимость между данными и искомыми величинами; 3) выявить способ составления уравнения и т. д.

Одна и та же предметная задача может служить достижению нескольких конкретных учебных целей и, следовательно, быть компонентом нескольких учебных задач. В то же время та или иная конкретная учебная цель может быть достигнута несколькими предметными задачами. Учебные задания помогают учащимся осознать цели учебной деятельности, что в свою очередь влияет на формирование ее положительных мотивов.

Постановка учебной задачи составляет мотивационно-ориентировочное звено — первое звено учебной деятельности. Вторым (центральным) звеном учебной деятельности является исполнительское, т. е. учебные действия для решения учебной задачи. Этими действиями являются следующие:

1) преобразование условий предметной задачи с целью выявления в ней основного отношения;

2) моделирование выделенного отношения в предметной, графической или буквенной форме;

3) преобразование модели отношения для изучения его свойств;

4) построение системы частных задач, решаемых общим способом.

Первое учебное действие направлено на анализ содержания задачи, установление связей между данными и искомыми величинами и выявление их особенностей.

Второе действие позволяет фиксировать внутренние характеристики задачи как целостного объекта, которые явно ненаблюдаемы, это — важное внутреннее звено этапа усвоения знаний и обобщенных способов действий.

Третье действие направлено на изучение свойств основного отношения учебной задачи с помощью его модели и служит основой формирования у учащихся общего способа ее решения.

Благодаря четвертому действию учащиеся конкретизируют исходную учебную задачу и тем самым превращают ее в систему частных задач, решаемых единым (общим) способом, усвоенным при осуществлении предыдущих учебных действий.

Установлено, что формирование учебных действий по решению учебной задачи целесообразно осуществлять вначале в условиях групповой формы деятельности учащихся под руководством учителя, когда каждый учащийся группы выполняет одно из указанных ему учебных действий. Постепенно учащиеся переходят от коллективно распределенных действий к индивидуально осуществляемому решению учебных задач.

Третье звено учебной деятельности — контрольно-оценочное. Оно включает в себя контроль за выполнением действий второго звена и оценку усвоения общего способа как результата решения данной учебной задачи. Учебные задания могут быть такие:

1) расскажите, какими знаниями вы воспользовались для решения данной задачи;

2) расскажите, в чем состоит способ решения задачи, которым вы воспользовались;

3) проверьте найденное решение задачи другим способом;

4) путем сравнения различных способов решения задачи выделите наиболее рациональный; дайте оценку принятого вами решения.

Кроме контроля на основе анализа результатов выполненных действий, в процессе обучения используется пооперационный кон-

троль на основе выявленного способа действий, представленного в виде правила, обобщенной схемы и т. п.

Из сказанного выше следует, что обучение и развитие ученика происходят только в процессе целенаправленной учебной деятельности. Это положение составляет основу деятельностного подхода к обучению. Он предполагает такую организацию деятельности учащихся в процессе обучения, при которой создаются условия для эффективного усвоения учащимися знаний и способов деятельности, для их развития.

§ 2. ПРИЕМЫ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Понятие «прием» вошло в психологическую науку в связи с разработкой проблем памяти, формирования у школьников приемов рационального запоминания и с исследованием проблемы приемов мыслительной деятельности. На современном этапе развития педагогической науки и школы особое значение приобрела проблема формирования у учащихся приемов учебной деятельности.

Прием деятельности определяется как система действий, выполняемых в определенном порядке и служащих для решения учебных задач. Отметим существенные признаки приема деятельности:

прием — наиболее рациональный способ работы, который состоит из отдельных действий (практических или умственных);

состав приема может быть выражен в виде правила, инструкции, предписания и т. п.;

правильный прием допускает обобщение, специализацию и конкретизацию;

прием обладает свойством переносимости на другую задачу; прием можно перестроить и создать на его основе новый прием.

В состав приема может входить не только определенная система действий, но и словесно сформулированное суждение о том, какие действия и как варьируются в зависимости от требований задачи. Таким образом, приемы деятельности допускают самостоятельный выбор учениками конкретных действий по решению учебных задач, и это отличает их от алгоритмов.

Под алгоритмом понимается общепонятное и однозначное предписание, определяющее процесс последовательного преобразования исходных данных в искомый результат. Алгоритм, таким образом, предполагает жесткое выполнение шагов, а прием дает общее направление деятельности по решению учебных задач, не регламентируя каждый ее шаг. Продолжим сравнение этих двух понятий по их роли в процессе обучения учащихся решению математических задач.

Здесь выделяются два основных подхода: обучение алгоритмам и формирование приемов решения задач.

С позиций деятельностного подхода к обучению школьные математические задачи можно разделить на алгоритмические, решение которых однозначно определяется некоторым алгоритмом, полуалгоритмические и полуэвристические, решение которых неоднозначно определяется той или иной схемой, содержащей как алгоритмические, так и эвристические указания; эвристические, решение которых не гарантируется конечным числом шагов, а предполагает их выбор из многих вариантов. В последнем случае необходимо не только логическое мышление, но и интуиция, изобретательность и т. п. Одна и та же задача для человека, знающего алгоритм ее решения, является алгоритмической, а для не знающего алгоритма — неалгоритмической. Поэтому одна и та же задача для различных учащихся может выступать как задача различного типа, хотя в действительности задача может быть алгоритмически разрешимой.

Отсюда следует, что для обучения всех учащихся умению самостоятельно решать задачи необходимо их обучать умению находить способ решения задачи.

Поиск способа решения — один из основных компонентов решения задачи. Научить учащихся решать задачи — значит научить их осознанному поиску способа решения. На рисунке 1 показано, как при переходе от алгоритмически разрешимых задач к эвристическим происходит постепенное расширение поля поиска способа их решения в связи с расширением множества его эвристических компонентов.

Таким образом, учащихся недостаточно обучать алгоритмам решения математических задач, так как последние не исчерпывают всех необходимых видов деятельности по их решению, а составляют лишь часть ее. Гораздо полнее эти виды деятельности ученика раскрыты в приемах решения задач. Это положение можно иллюстрировать графически с использованием некоторых общепринятых фигур схемы алгоритма. Например, овалом можно изображать

Рис. 1

Рис. 2

начало решения задачи (изучение ее содержания) и конец решения, анализ условия с целью выявления пути решения — ромбом, осуществление найденного плана решения — прямоугольником. Остается обозначить действия, связанные с поиском решения задачи и анализом найденного решения, которых нет в схеме алгоритма. Введем для этой цели треугольник и шестиугольник соответственно. Используя названные фигуры, изобразим графически, например, прием решения уравнения первой степени с одной переменной — алгоритмически разрешимой задачи (рис. 2).

Итак, часть деятельности ученика по решению математической задачи может протекать по готовому алгоритму. В случаях алгоритмически не разрешимых задач схема их решения не содержит той части, которая проходит по готовому алгоритму. Обобщая

сказанное, можно составить графическую схему общего приема решения школьных математических задач (рис. 3).

Приемы деятельности могут быть разной степени сложности и обобщенности. Более сложный прием состоит из большего числа действий, включает в себя в качестве составляющих другие приемы и т. п. Прием деятельности называют обобщенным, если он получен на основе анализа частных приемов путем выделения общего, неизменного содержания деятельности по решению конкретных (частных) задач.

Задача учителя — сформировать тем или иным путем обобщенный прием, так как именно он создает ориентировочную основу необходимой деятельности по решению ряда учебных задач и обеспечивает «переносимость» приема на широкий круг новых частных задач.

Рис. 3

Использование учащимися приемов деятельности в новых ситуациях называется переносом приемов. Он, с одной стороны, служит одним из этапов формирования приемов в процессе обучения, с другой — показателем их усвоения. Например, перенос приема решения уравнения первой степени с одной переменной (см. рис. 2) и приемов решения других видов уравнений, изучаемых в школьном курсе алгебры, заключается в том, что учащиеся используют их при решении других задач алгебры, а также геометрии, физики, химии.

Самостоятельный перенос знаний и приемов деятельности в новую ситуацию — это уже черта творческой деятельности. Организация обучения учащихся переносу усвоенных приемов служит одним из путей обучения их способам усвоения опыта творческой деятельности. На перенос приемов влияют как внешние (материал, методика обучения), так и внутренние (индивидуальные особенности учащихся, сознательность, самостоятельность) условия. Доказано, что переносу приемов деятельности в новую ситуацию способствует такая методика обучения, которая обеспечивает обобщение в процессе усвоения.

Степень овладения учащимися приемом учебной деятельности характеризуется терминами «умение» и «навык», что отражает разный уровень сформированности приема. Первый уровень — это умение, т. е. способность ученика выполнять действия в составе приема, зная способ их выполнения, под активным контролем внимания. Второй уровень — это навык, т. е. способность ученика выполнять действия быстро, автоматизированно.

Владение совокупностью общеучебных приемов учебной деятельности называют умением учиться. Школьник не просто должен владеть некоторыми умениями и навыками, но и уметь из многих способов деятельности выбрать наиболее подходящие для данной ситуации. Выбор и применение в каждом конкретном случае оптимального варианта решения учебных задач означают рациональную организацию учебной деятельности.

Существуют два пути усвоения учащимися приемов учебной деятельности — стихийный и управляемый. В первом случае приемы специально не изучаются, их формирование идет лишь по ходу усвоения знаний, в процессе решения задач и т. п. При этом они остаются недостаточно осознанными, недостаточно обобщенными и ограниченными в своем применении. Например, если обучение тождественным преобразованиям выражений осуществлять только на примерах задач одного и того же вида «Разложить на множители» («Представить в виде произведения»), то многие учащиеся не могут осознать способ действия по разложению многочлена на множители и допускают ошибки как в поиске решения, так и в самом решении. При этом приемы разложения многочлена на множители могут сформироваться лишь стихийно. Во втором случае приемы учебной деятельности являются предметом специального изучения и усвоения. В данном случае фор-

мулируется обобщенная цель деятельности (ставится учебная задача): осознать и усвоить способ действия по разложению многочленов на множители. Затем строится система учебных заданий с конкретными целями, направленными на достижение обобщенной учебной цели. Например, при изучении разложения многочлена на множители способом группировки это могут быть следующие задания, выполнение каждого из которых основано на предыдущем:

Пример 1. Разложите на множители многочлен

Задание 1. Выявите структуру данного многочлена.

Задание 2. Установите виды тождественных преобразований, которые необходимо выполнить, чтобы разложить данный многочлен на множители.

Задание 3. Раскройте состав приема разложения многочлена на множители группировкой его членов (перечислите по порядку действия, которые для этого нужно сделать).

Задание 4. Пользуясь полученным приемом, разложите данный многочлен на множители.

Пример 2. Разложите на множители многочлены:

Задание. Пользуясь составленным приемом, научитесь разлагать многочлен на множители группировкой его членов.

Пример 3. Решите уравнения:

Задание. Научитесь применять разложение многочлена на множители к решению уравнений.

Аналогично может быть построено изучение других способов разложения многочленов на множители, которые затем обобщаются. В таблице показано, как организуется деятельность ученика по разложению многочлена 4а — ab2 — 2а2+ab на множители с опорой на обобщенный прием разложения многочленов на множители:

Состав приема учебной деятельности

Деятельность ученика

1. Изучить структуру данного многочлена: каковы слагаемые и их коэффициенты, есть ли общий множитель у всех членов или отдельных их групп, есть ли структура какой-либо формулы сокращенного умножения.

В этом многочлене есть общий множитель а, после вынесения его за скобку первые два слагаемых будут представлять собой разность квадратов двух выражений.

2. Исходя из п. 1, установить, какие и в каком порядке нужно выполнить

Вынести за скобку общий множитель а, сгруппировать слагаемые по

Продолжение

Состав приема учебной деятельности

Деятельность ученика

тождественные преобразования, чтобы разложить многочлен на множители.

два (по порядку), учитывая знаки, разложить на множители разность квадратов.

3. Выполнить выбранные преобразования.

4. Если нужно, повторить пп. 1—3.

Вынести за скобку полученный общий множитель: а (2а — b) (2а + b —1).

5. Если нужно, сделать проверку.

6. Записать ответ.

В педагогической психологии отмечаются основные необходимые этапы обучения приемам: а) введение или нахождение приема; б) обучение его применению; в) обобщение приема; г) обучение нахождению новых приемов. В дидактике эти этапы детализируются на примере процесса формирования общеучебных приемов, в котором выделяется семь этапов.

Процесс постепенной передачи выполнения отдельных элементов учебной деятельности самому ученику для самостоятельного осуществления без вмешательства учителя в психологии называют формированием учебной деятельности. Следовательно, о сформированности учебной деятельности у ученика можно судить по тому, насколько самостоятельно и сознательно он выполняет все указанные выше элементы структуры учебной деятельности, т. е. соотносит мотивы с целями учения и владеет приемами учебной деятельности (по критериям, сформулированным в приложении 2).

§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРИЕМОВ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Задача обучения, включающего формирование приемов учебной деятельности в процессе изучения конкретной темы курса математики, состоит в том, чтобы организовать деятельность учащихся по усвоению изучаемого материала. С этой целью учителю необходимо раскрыть содержание и структуру учебной деятельности на данном этапе обучения, т. е. определить предмет

усвоения, включающий теоретические знания и соответствующие способы действий. Наиболее существенным здесь является умение учителя выделить приемы учебной деятельности учащихся по усвоению теоретических знаний. Помочь в этом учителю может следующая схема анализа изучаемого материала:

Типология учебных задач → Конкретный тип задач → Знания и умения, необходимые для решения задач данного типа → Соответствующий прием деятельности

Например, в такой содержательно-методической линии школьного курса геометрии, как геометрические построения, можно выделить задачи на построение методом геометрических мест, методом подобия, методом симметрии и т. д. В задачах на построение методом геометрических мест, в свою очередь, можно выделить два типа: найти точку, лежащую: а) на данной фигуре и на одном из изученных геометрических мест точек; б) на двух известных геометрических местах точек. Для решения задач первого типа учащимся необходимо:

знать определения геометрических фигур и геометрических мест точек и уметь их формулировать;

уметь строить известные геометрические фигуры и геометрические места точек;

уметь распознавать геометрическую фигуру и геометрические места точек на чертеже;

уметь находить точки пересечения геометрических фигур.

Таким образом, обобщенный прием решения задач первого типа можно сформулировать так:

1. Изучить условие задачи.

2. Назвать (указать на чертеже, построить) данную геометрическую фигуру, на которой по условию задачи лежит искомая точка.

3. Назвать геометрическое место точек, указанное в задаче.

4. Построить названное геометрическое место точек.

5. Найти искомую точку как пересечение данной фигуры и построенного геометрического места точек.

После такого анализа можно определить последовательность педагогических действий учителя, которая составит методику его работы по формированию приемов учебной деятельности учащихся по усвоению данного материала.

Приемы учебной деятельности должны составлять систему, адекватную системе изучаемого материала. Построение такой системы осуществляется с помощью классификации приемов учебной деятельности.

Классификация может быть проведена по различным основаниям.

В нашей книге дается классификация по двум основаниям: 1) характер (тип) учебной деятельности учащихся; 2) этапы

процесса усвоения знаний и способов деятельности. Первое отражает связь приемов с содержанием учебного предмета и типами учебных задач, второе — с организацией реального процесса обучения. Выбор этих оснований объясняется целью классификации — использованием ее для управления процессом формирования приемов учебной деятельности учащихся, что и показано в дальнейшем изложении (см. указания об этом к различным типам приемов).

По первому основанию в школьном курсе математики можно выделить следующие четыре группы приемов учебной деятельности:

I. Общеучебные приемы, не зависящие от специфики предмета математики и используемые поэтому в разных учебных предметах. Эту группу можно разделить на две подгруппы: 1) приемы общей (внешней) организации учебной деятельности — организация внимания, планирование, самоконтроль, работа с учебником и справочной литературой, организация домашней работы и т. д.; их можно также назвать приемами управления учебной деятельностью (гл. II, § 4); 2) приемы мыслительной (внутренней) деятельности — овладение и оперирование представлениями, понятиями, суждениями, умозаключениями, мыслительными операциями (гл. II, § 1).

II. Общие приемы учебной деятельности по математике (общематематические приемы) используются во всех математических дисциплинах. Это: 1) приемы работы с учебником математики и математическими таблицами, приемы организации домашней работы по математике, ведение тетради по математике и т. д. Они незначительно отличаются от соответствующих общеучебных приемов; 2) приемы мыслительной деятельности в сфере математических объектов: приемы работы с математическими понятиями, суждениями (аксиомами и теоремами разных видов), умозаключениями (индуктивными и дедуктивными доказательствами теорем), приемы характерных для математики мыслительных операций (анализ, абстрагирование, конкретизация и т. п.) (гл. II, § 2, 3).

III. Специальные приемы учебной деятельности по отдельным математическим дисциплинам (арифметике, алгебре, геометрии, началам анализа) — это такие общематематические приемы, которые принимают свою особую форму в соответствии со спецификой содержания курса и особенностями его задач. Они используются в любых разделах этого курса. Например, в школьном курсе алгебры — это приемы тождественных преобразований выражений, приемы решения уравнений, неравенств и их систем, приемы рационализации вычислений с использованием алгебраических преобразований, приемы решения задач с помощью уравнений и т. д. В курсе геометрии — это приемы построения геометрических фигур, выполнения чертежа по условию задачи, приемы чтения чертежа и т. д. В каждом из специальных приемов можно

выделить подгруппы частных приемов, соответствующих конкретным задачам. Например, из приемов тождественных преобразований выражений можно выделить приемы упрощения выражений, приемы разложения выражений на множители, приемы доказательства тождеств и т. д. Без усвоения специальных приемов учебной деятельности содержание предмета усваивается формально.

IV. Частные приемы учебной деятельности — это такие специальные приемы, которые конкретизированы для решения более узких задач и используются в определенных темах курса.

Покажем на примере соотношение между различными типами приемов.

Рассмотрим состав общего приема решения математической задачи. Умение представить ход решения задачи в виде некоторой схемы (см. рис. 2) дисциплинирует мышление, воспитывает алгоритмическую культуру, а наглядное ее изображение закрепляет в памяти специфические действия в составе приема. Можно использовать с этой целью и другой вариант — записывать действия, входящие в состав приема, не внутри соответствующей фигуры, а рядом с ней. Это позволит использовать два варианта фигур: незаштрихованная фигура обозначает начальный этап действия, а заштрихованная — конечный. Тогда состав общего приема решения математической задачи (используя условные обозначения) можно представить так:

1) изучить содержание задачи;

2) если нужно, провести анализ — поиск решения;

3) на основе анализа составить план решения или сформулировать известный план решения задач данного класса;

4) решить задачу по составленному плану;

5) записать решение;

6) если нужно, проверить или исследовать решение;

7) рассмотреть другие возможные способы решения, выбрать наиболее рациональный;

8) записать ответ.

Проследим, как изменятся действия в составе этого приема, если его специализировать. Например, состав специального приема алгебраического решения уравнений примет следующий вид:

1) определить, является ли данное уравнение простейшим уравнением какого-нибудь вида; если «да», выполнять п. 4, если «нет» — п. 2;

2) установить, какие и в каком порядке необходимо выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к простейшему данного вида;

3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение к простейшему;

4) решить известным способом полученное уравнение;

5) если нужно, сделать проверку, исследование;

6) записать ответ.

Частные приемы решения уравнений различных видов получаются из специального конкретизацией второго и третьего действий. Для этого указывают преобразования, которые следует применить для преобразования данного вида уравнений. В качестве примера запишем состав частного приема решения уравнений первой степени с одной переменной:

1) определить, является ли уравнение линейным; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;

2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к линейному: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов уравнения из одной части в другую, приведение подобных;

3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к линейному ах = b;

4) найти

5) если нужно, сделать проверку, исследование;

6) записать ответ.

Один и тот же прием деятельности в различных ситуациях может выступать как частный по отношению к более общему приему и как обобщенный по отношению к еще более узким приемам. Так, можно сформулировать частные приемы решения линейного уравнения на основе нахождения неизвестных компонентов действий в младших классах. По отношению к ним отмеченный выше частный прием решения линейного уравнения является обобщенным.

С накоплением теоретических знаний у учащихся расширяется «поле поиска» решения задач. Это создает условия как для обобщения приемов их решения, так и для специализации и конкретизации этих приемов учебной деятельности.

По второму основанию в школьном курсе математики можно выделить следующие три группы приемов учебной деятельности учащихся:

I. Приемы восприятия новых знаний и способов деятельности.

II. Приемы переработки и осмысления новых знаний и способов деятельности.

III. Приемы закрепления и применения знаний и способов деятельности.

Приемы, входящие в состав первой классификации, используются на различных этапах усвоения знаний и формирования приемов учебной деятельности. Претерпевая перестройку, они образуют приемы, входящие в состав второй классификации.

Например, на этапе восприятия нового понятия учащимся нужен общий прием определения понятия через указание рода и видовых отличий. В дальнейшем этот прием видоизменяется и на его основе строятся приемы подведения под понятие и запоминания определения понятия (гл. II, § 1).

§ 4. МЕТОДИЧЕСКИЕ ТРЕБОВАНИЯ К ОБУЧЕНИЮ ПРИЕМАМ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Рассмотренные выше основные положения теории учебной деятельности позволяют сформулировать следующие основные требования к методике формирования приемов учебной деятельности в процесе обучения математике.

Первое требование. Формирование приемов учебной деятельности должно быть основой обучения учащихся знаниям, умениям и навыкам. Приемы деятельности и их состав должны выделяться и фиксироваться в форме, наиболее удобной для усвоения их учащимися.

Второе требование. Обучение обобщенным приемам учебной деятельности должно планироваться так же, как обучение содержанию учебного предмета, — программой, тематическим и рабочим планом урока. Программа формирования основных приемов учебной деятельности учащихся на учебный год должна учитывать: а) данные возрастной педагогической психологии об особенностях учебной деятельности и умственного развития учащихся разных возрастных групп; б) программу общеучебных умений; в) содержание программ и требования к учащимся при изучении математики; г) классификацию приемов учебной деятельности в курсе математики. Это позволяет увидеть, какими приемами учебной деятельности могут овладеть учащиеся в силу своих возрастных особенностей, какими необходимо овладеть для усвоения теоретических знаний. Естественно, что обучение приемам нельзя начинать с произвольных приемов, так как внутри каждой системы знаний есть своя система приемов их усвоения, строго определенная последовательность, в которой один прием строится на другом, входит в состав другого и т. д.

Раздел «Содержание обучения» в действующей программе по математике для средней общеобразовательной школы не содержит перечня приемов учебной деятельности, которые необходимо сформировать у учащихся при изучении конкретного теоретического материала. В связи с этим в данном пособии приводится возможная программа основных приемов учебной деятельности при изучении уравнений и неравенств в школьном курсе алгебры (приложение 1).

Тематический план детализирует и конкретизирует общую программу формирования приемов учебной деятельности учащихся для изучения данной темы. Структура тематического плана может быть различной, однако она должна отражать работу учителя по формированию приемов учебной деятельности учащихся.

В приложении 3 приведен пример тематического планирования по теме «Квадратные уравнения».

При планировании урока уже в формулировке его целей нужно отразить перечень тех приемов учебной деятельности, над ко-

торыми будет проводиться работа на уроке. Затем следует отобрать такие методы обучения, которые лучше всего направлены на достижение поставленных целей. В данном случае речь идет о методах организации усвоения учащимися знаний, умений и навыков математического характера на основе формирования у них обобщенных приемов учебной деятельности. Примеры планирования урока даются в приложении 4.

В первом примере показано начало работы по формированию частного приема решения уравнения, во втором — использование в обучении обобщенных приемов работы над теоремой.

Третье требование. Выбор методов обучения должен быть тесно связан с этапами формирования приемов учебной деятельности. На основе анализа психолого-дидактических исследований можно выделить следующие этапы этого процесса:

1) диагностика сформированности приемов учебной деятельности;

2) постановка целей учебной деятельности и принятие их учащимися;

3) инструктаж о способах учебной деятельности — введение приема;

4) отработка приема;

5) оперативный контроль и коррекция процесса формирования приема;

6) применение приема;

7) обобщение и перенос усвоенного приема;

8) закрепление обобщенного приема;

9) обучение нахождению новых приемов.

На этапе диагностики выполняется анализ существующего положения, на этапе постановки целей осуществляется мотивация той стороны учебной деятельности учащихся, которая направлена на овладение необходимыми приемами этой деятельности, возбуждается интерес к ней. Инструктаж направлен на усвоение учащимися состава приема, для чего прием должен быть сформулирован и представлен в качестве предмета специального усвоения. На этапе отработки приема на основе его осознания формируется умение. На этапе контроля и коррекции происходит уточнение задач учебной деятельности и средств их решения, организуется необходимая помощь учащимся, т. е. осуществляется непрерывная «обратная связь» между учителем и учащимися. На этапе применения приема умение становится все более автоматизированным, т. е. превращается в навык. К обобщению приема учащиеся подводятся постепенно на предыдущих этапах. Обобщение, как известно, вообще играет большую роль в усвоении математического материала. Формулировка каждого приема учебной деятельности есть обобщение способа решения нескольких конкретных учебных задач в результате анализа составляющих действий. Дальнейший анализ самих приемов позволяет выделить общее содержание деятельности по решению учебных за-

дач и сформулировать обобщенный прием. Этап закрепления сливается с повседневной учебной деятельностью учащихся. Учащиеся не только применяют усвоенные приемы, но и обучаются находить новые, нужные им для учебной деятельности.

Реализация этого требования показана на примере формирования приемов работы с математическими понятиями в § 2 гл. II.

Четвертое требование. Контроль за процессом формирования приемов учебной деятельности у учащихся должен включать в себя специальные задания на проверку их усвоения. Примеры заданий для учащихся на этапах диагностики и контроля рассмотрены в § 2 гл. II.

Опыт обучения показывает, что формирование обобщенных приемов учебной деятельности должно начинаться с общеучебных и частных одновременно. Общеучебные приемы составляют основу организации всей учебной деятельности учащихся, «учат учиться» независимо от содержания предмета. Приемы же, связанные с содержанием изучаемого материала, легче усваиваются вначале как частные, что соответствует и структуре школьной программы по математике. Постепенно с накоплением знаний приемы должны обобщаться, становиться такими, чтобы на их основе учащиеся могли сами составлять любой прием для решения любой конкретной задачи.

Глава II

ФОРМИРОВАНИЕ ОБЩИХ ПРИЕМОВ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

§ 1. ОБЩИЕ ПРИЕМЫ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПО УСВОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

Общие приемы учебной деятельности учащихся формируют в процессе изучения всех школьных предметов. При этом содержание предмета и учебная деятельность учащихся по его усвоению дают возможность учителю определить, какие именно общие приемы учебной деятельности учащихся целесообразно формировать в учебном процессе.

Выделить подлежащие усвоению учащимися общие приемы учебной деятельности можно так, как описано в § 3 гл. I. В первую очередь необходимо определить типы учебных задач по усвоению материала, затем знания и умения, необходимые для их решения, и, наконец, соответствующие приемы учебной деятельности учащихся. В данном параграфе это показано на примере общих приемов работы над математическими понятиями.

Учебные задачи в процессе формирования понятий

Основными учебными задачами при формировании математических понятий являются следующие:

Наблюдение (измерение, построение, моделирование) объектов с целью выделения их свойств.

Анализ свойств объекта, в ходе которого нужно определить, какие из них являются общими, отличительными, существенными (важными) или несущественными (второстепенными).

Сравнение объектов и их свойств.

Установление и использование аналогии.

Абстрагирование от различных или несущественных свойств объектов.

Синтез объектов или их свойств.

Обобщение, формулировка суждения об общих существенных признаках объектов, введение термина или символа для обозначения понятия.

Использование индуктивного умозаключения.

Определение понятия — формулировка предложения, в котором перечисляются необходимые и достаточные признаки понятия.

Конкретизация понятия — подтверждение существования класса объектов, соответствующих понятию (доказательство теоремы существования, приведение примеров, решение задачи на построение) .

Приведение контрпримеров — примеров непринадлежности понятию.

Выведение следствий из определения понятия.

Подведение под понятие — соотнесение любого объекта с понятием, предполагающее наличие у этого объекта признаков данного понятия.

Формулировка другого определения известного понятия (нахождение новых характеристических признаков) и доказательство равносильности различных определений одного и того же понятия.

Классификация — разбиение множества изучаемых понятий на классы и виды.

Систематизация понятий, установление связей между ними.

Специализация — переход к рассмотрению понятий более узкого класса (вида).

Установление отношений между понятиями.

Использование определения понятия при доказательстве теорем и решении задач.

Запоминание определения понятия.

Контроль за усвоением определения понятия.

При формировании различных понятий значимость тех или иных из перечисленных учебных задач меняется в зависимости от возрастных особенностей учащихся, содержания курса и этапов работы над понятиями. Например, основным методом изучения геометрических понятий в V—VI классах является наглядно-индуктивный метод. Для обучения геометрии в этих классах характерно опытное обоснование фактов и индуктивное их обобщение. Поэтому при формировании геометрических понятий здесь на первый план выступают такие учебные задачи, как наблюдение, сравнение, обобщение и т. п. В систематическом курсе планиметрии постепенно возрастает роль дедуктивных методов обучения. Значит, при формировании геометрических понятий большую значимость приобретают такие учебные задачи, как определение понятий, выведение следствий, подведение под понятие и т. п.

Знания и умения, необходимые для решения указанных учебных задач

Знать, что такое свойства предмета — общие, различные, существенные, несущественные, необходимые, достаточные; уметь выделять свойства в изучаемых объектах и дифференцировать их.

Осознавать и знать суть мыслительных операций — анализа, синтеза, сравнения, обобщения и др. Уметь их выполнять.

Знать структуру логических форм мышления — определения понятий, формулировки суждений, выведения следствий, доказательства теорем. Уметь их выполнять.

Знать приемы запоминания и контроля усвоения изученного и уметь ими пользоваться.

Общие приемы учебной деятельности по усвоению математических понятий

Соответствующие приемы учебной деятельности сформулируем в виде перечня действий (памятки, правила-ориентира, алгоритмического предписания и т. д.).

Наблюдение:

1) определить (принять) цель наблюдения;

2) выделить объект наблюдения и организовать удобные условия наблюдения (расположение, освещение и т. п.);

3) определить наиболее целесообразные для данного случая способы фиксирования (кодирования) получаемой в процессе наблюдения информации (описание, зарисовка, запись данных в таблицу, фотографирование и т. п.);

4) выполнить наблюдение, сопровождая избранным способом фиксирования результатов;

5) произвести анализ результатов наблюдения;

6) сформулировать выводы.

Анализ:

1) расчленить изучаемый объект на составные элементы (признаки, свойства, отношения);

2) исследовать отдельно каждый элемент;

3) если нужно, включить изучаемый объект в связи и отношения с другими;

4) составить план изучения объекта в целом.

Сравнение:

1) используя наблюдение и анализ, выделить свойства объектов изучения или их частей;

2) установить общие и существенные свойства (признаки);

3) установить различные и несущественные свойства объектов;

4) сформулировать основание для сравнения (заданное или выделенное среди существенных признаков);

5) сопоставить объекты или их части по данному основанию;

6) сформулировать вывод.

Покажем использование этих приемов учебной деятельности при выполнении следующего задания: сравнить умножение чисел, оканчивающихся нулями:

Решение.

1. Для фиксирования результатов наблюдения используем таблицу:

Компонент

Количество нулей на конце

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Первый множитель

2

1

1

Второй множитель

1

2

1

Произведение

3

3

2

2. Общие свойства: все числа оканчиваются нулями, первый множитель содержит четыре цифры, произведение содержит шесть цифр, сумма нулей в обоих множителях равна количеству нулей в произведении. Из этих общих свойств существенными являются первое и последнее, так как от них зависит результат умножения.

3. Различным является число цифр в сомножителях; это свойство несущественно, так как не влияет на правило получения результата.

4. Сравним эти действия по заданному основанию — количеству нулей в сомножителях и в произведении.

5. В первом примере: 2+1 = 3, во втором: 1+2 = 3, в третьем: 1 + 1 = 2.

6. Вывод: произведение многозначных чисел, оканчивающихся нулями, содержит на конце столько нулей, сколько их в обоих сомножителях вместе.

Заключение по аналогии:

1) сравнить изучаемые объекты с какими-либо известными ранее;

2) сформулировать об известных объектах одно или несколько известных суждений (свойств);

3) выделить свойства, отличающие изучаемые объекты от известных;

4) сформулировать сходное суждение об изучаемых объектах с учетом их различий с известными.

Абстрагирование:

1) разделить существенные и несущественные свойства объектов;

2) выделить общие и различные свойства объектов;

3) отделить существенные и общие свойства;

4) отбросить несущественные и различные свойства;

5) сформулировать полученное суждение.

Синтез:

объединить свойства, полученные при анализе (сравнении, абстрагировании), в единое целое.

Обобщение:

1) на основе анализа и сравнения сформулировать общие и существенные свойства объектов;

2) объединить объекты с общими существенными свойствами в одно множество;

3) дать название полученному множеству (термин, символ);

4) сформулировать суждение — характеристическое свойство полученного множества объектов.

Индуктивное умозаключение:

1) рассмотреть изучаемые объекты;

2) выделить примеры наличия некоторого свойства у этих объектов;

3) сформулировать для каждого примера частное суждение — свойство, присущее данным объектам;

4) на основе сравнения и обобщения сформулировать общее суждение — свойство, вероятно, присущее всем рассматриваемым объектам.

Определение понятия

через указание ближайшего рода и видовых отличий:

1) назвать определяемое понятие (термин);

2) указать ближайшее множество объектов, элементом которого оно является (родовое понятие);

3) перечислить характеристические (необходимые и достаточные) признаки, выделяющие его из названного множества (видовые отличия);

генетическое:

1) назвать определяемое понятие (термин);

2) описать способ его образования (построения, происхождения);

через абстракцию:

1) рассмотреть возможно больше разнообразных классов объектов, подчиняемых определяемому понятию;

2) установить то общее, что имеется у всех этих классов;

3) объединить совокупность установленных общих признаков под одним названием;

через аксиомы:

1) назвать определяемые понятия;

2) сформулировать отношения, связывающие эти понятия с остальными рассматриваемыми понятиями (аксиомы);

3) сформулировать систему аксиом, определяющих названные понятия;

конструктивное:

1) указать способ построения некоторого объекта;

2) присвоить термин полученному указанным способом объекту;

индуктивное (рекурсивное):

1) назвать определяемое понятие;

2) определить (задать) его значение для 0 или 1;

3) выразить некоторым способом его значение для n + 1.

Имеются также приемы, сходные с определением, но не

раскрывающие содержания понятий: описание, характеристика и демонстрация. Описание — перечисление ряда заслуживающих внимания признаков единичных предметов. Характеристика — указание некоторых, важных в каком-либо отношении признаков. Демонстрация — наглядное разъяснение путем сравнения предметов. Такие приемы используются при введении понятий в I—V классах; в систематическом школьном курсе математики имеют место конструктивные, индуктивные, генетические определения, определения через абстракцию и аксиомы. Но самым распространенным случаем является определение через род и видовые отличия, который и используется в дальнейшем изложении в качестве основного примера. Конкретизация:

1) привести пример, иллюстрирующий понятие;

2) если возможно, доказать теорему существования (указать способ построения) объектов, иллюстрирующих понятие.

Приведение контрпримеров:

привести пример, не подходящий под понятие.

Выведение следствий из определения:

1) вспомнить определение необходимых свойств (признаков) понятия;

2) назвать все признаки (свойства), которые включены в определение;

3) назвать все другие существенные свойства, которые изучались (доказывались) на основе определения.

Пример. Выведем следствия из определений: а) отрезка; б) арифметического корня n-й степени.

а) Если какая-нибудь линия является отрезком, то 1) это часть прямой; 2) она ограничена с двух сторон.

б) b = √а — арифметический корень n-й степени, следовательно а ⩾ 0, b ⩾ 0, bn = а.

Подведение под понятие:

1) вспомнить (повторить, прочитать) определение понятия;

2) проверить принадлежность данного объекта указанному в определении множеству (родовому понятию);

3) проверить наличие у данного объекта характеристических признаков (видовых отличий) данного понятия; если при этом признаки понятия связаны союзом «и», то проверять нужно все признаки, если «или», то хотя бы один из них;

4) сделать вывод о принадлежности данного объекта понятию.

Пример. Является ли число а — b при любых значениях а и b корнем уравнения x2 — 2ах — b2 + a2 = 0?

Вспомнив определение корня уравнения, используя условие а — b — число, проверим, обращает ли оно данное уравнение в верное равенство. Подстановкой убеждаемся, что равенство (а — b)2 — 2а (а — b) — b2 + a2 = 0 верно. Следовательно, данное число является корнем данного уравнения.

Доказательство равносильности различных определений понятия:

1) сформулировать признаки понятия первого определения как условие теоремы;

2) сформулировать признаки понятия второго определения как заключение теоремы;

3) сформулировать целиком построенную теорему;

4) проверить, является ли полученная теорема известным (доказанным раньше) свойством, или следствием из него, или отрицанием его; если «да» — п. 6, если «нет» — п. 5 данного приема;

5) доказать истинность или ложность полученной теоремы;

6) сформулировать обратную теорему (условие и заключение теоремы п. 3 поменять местами);

7) выполнить пп. 4, 5 для обратной теоремы;

8) сделать вывод о равносильности определений.

При доказательстве равносильности определений понятий необходимо использовать различные приемы дедуктивного доказательства теорем.

Мы уже отмечали выше некоторые приемы правдоподобных рассуждений, используемые в работе с понятиями, — аналогию (с. 24) (умозаключение по сходству) и индукцию (с. 25) (умозаключение от частных суждений к общему). Из них, как известно, для доказательства теорем в математике может служить лишь рассуждение, называемое полной индукцией, а неполная индукция и аналогия не могут ввиду недостоверности выводов, полученных с их помощью. Поэтому, являясь хорошими эвристическими методами обучения и преобладая на отдельных его этапах, в частности в V—VI классах, такие умозаключения зачастую остаются недоказанными, хотя и достаточно убедительными для учащихся этого возраста. Постепенно эти методы становятся вспомогательными и уступают первенство дедукции (умозаключению от общего суждения к частному).

Преимущественное использование дедукции в математике обусловлено аксиоматическим построением математических теорий: из основных свойств первоначальных понятий (аксиом) дедуктивно выводятся все остальные предложения (теоремы) теории. Таким образом, дедуктивное доказательство теоремы представляет собой цепочку правильных умозаключений, в результате выполнения которой устанавливается ее истинность. Эту цепочку можно выстроить различными способами, что приводит к существованию различных способов дедуктивного доказательства.

Ниже мы приводим некоторые наиболее общие для школьного курса математики приемы дедуктивного доказательства теорем, не касаясь таких, как метод математической индукции, векторный, или координатный метод, и др., используемые в специальных дисциплинах и разделах.

Прямое доказательство:

последовательно выводить следствия из условия теоремы до тех пор, пока не получится ее заключение.

Косвенное доказательство от противного:

1) предположить, что заключение теоремы ложно;

2) сформулировать предложение, противоположное заключению теоремы;

3) выводить следствия из сформулированного предложения до тех пор, пока не получится противоречие с условием теоремы или с известным предложением;

4) сделать вывод о ложности сформулированного предложения;

5) сделать следующий из него вывод об истинности заключения теоремы.

Косвенное доказательство с помощью контрпримеров:

привести пример, не подходящий под заключение теоремы.

Доказательство теоремы существования:

указать способ конструирования искомого объекта или перейти к применению приемов косвенного доказательства.

Доказательство тождества:

выполнить одно или несколько из следующих преобразований:

1) преобразовать одну часть равенства так, чтобы получить вторую;

2) преобразовать обе части равенства так, чтобы получить верное равенство или известное тождество;

3) подобрать верное равенство или известное тождество и преобразовать его так, чтобы получить данное;

4) доказать, что разность частей равна нулю;

5) доказать, что отношение частей (при условии, что оно имеет смысл) равно 1;

6) доказать, что какая-то нечетная степень левой части равна той же степени правой части;

7) использовать метод неопределенных коэффициентов и т. д.

Классификация:

1) сформулировать на основе анализа и сравнения общие и различные признаки изучаемых объектов;

2) выбрать основание классификации (признак), по которому она будет проводиться;

3) разделить по этому основанию объекты на классы;

4) назвать каждый класс объектов и построить иерархическую классификационную схему (в форме таблицы, диаграммы и т. п.).

Систематизация:

1) произвести классификацию объектов (понятий);

2) выделенные классы объединить в группы по сходству их характеристических свойств;

3) установить связи между классами.

Специализация:

1) выделить в классе объектов подкласс (вид);

2) сформулировать характеристическое свойство его элементов.

Усвоение и запоминание определения понятия:

1) запомнить структуру определения понятия;

2) выделить составные части этой структуры в данном определении;

3) уяснить и запомнить отдельные составляющие части определения;

4) запомнить определение в целом.

Контроль за усвоением определения понятия:

1) правильно ли назван термин (определяемое понятие);

2) правильно ли указан род (является ли он ближайшим);

3) правильно ли указаны видовые отличия (являются ли они а) необходимыми; б) достаточными признаками понятия);

4) правильно ли сформулировано предложение.

Использование этого приема позволяет установить ошибки в следующих определениях:

«Равнобедренный треугольник — это когда все стороны равны» — отсутствует родовое понятие; «Отношением называется сравнение двух чисел посредством деления» — родовое понятие указано неверно (отношение — число, сравнение — процесс); «Квадратом называется равносторонний и равноугольный четырехугольник» — указано не ближайшее родовое понятие; «Два равных угла называются вертикальными, если стороны одного являются продолжением сторон другого» — указаны лишние видовые отличия (одно является следствием другого); «Медианой треугольника называется отрезок, делящий его сторону пополам» — недостаточно видовых отличий (привести примеры отрезков, делящих сторону треугольника пополам и не являющихся его медианой).

Использование определений понятий:

1) каждое понятие в тексте теоремы или задачи заменить его определением;

2) вывести следствия из определения каждого понятия;

3) если нужно, сформулировать равносильные определения и следствия из них;

4) выбрать из полученных предложений те, которые могут служить этапами доказательства теоремы или решения соответствующей задачи.

§ 2. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ПРИЕМОВ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ ПО УСВОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

В данном параграфе рассматривается содержание этапов формирования приемов учебной деятельности учащихся, выбор методов обучения, соответствующих этим этапам, их реализация на конкретных примерах.

В качестве основных примеров будем рассматривать методику формирования приема сравнения и приема определения понятий. К. Д. Ушинский считал, что в дидактике сравнение должно быть основным приемом, называл его основой всякого мышления. Сравнение широко применяется при введении новых понятий, изучении их свойств, формулировке и применении новых приемов учебной деятельности, при обобщении изучаемого материала. Не менее важную роль в обучении играет определение математических понятий, изучение которых пронизывает весь школьный курс математики.

Первый этап — диагностика сформированности приемов учебной деятельности

Методы диагностики, применяемые в обучении математике, основаны на общих методах, разработанных дидактами (например, анализ устных ответов и письменных работ учащихся, наблюдение за их повседневной учебной деятельностью и др.). а также на особенностях учебной деятельности учащихся по усвоению математики (например, учет количества решаемых учащимися за одно и то же время задач и др.). Рассмотрим примеры использования некоторых методов диагностики, связанных со спецификой математики.

Анкетирование

Одним из показателей сформированности приемов учебной деятельности у учащихся является осознание ими этих приемов, умение рассказать о своих действиях другому человеку. Этот показатель можно использовать в анкете. Приведем примеры вопросов для анкеты, диагностирующей осознание учащимися приема сравнения.

1) Что значит сравнить объекты или явления?

2) Какие действия вы выполняете, чтобы сравнить объекты или явления?

3) Какие приемы умственной деятельности входят, по-вашему, в состав сравнения?

4) Как выполняются приемы умственной деятельности, входящие в состав сравнения?

5) Как вы определите, что найденное вами свойство объекта или явления: а) необходимое; б) достаточное; в) необходимое и достаточное; г) существенное; д) несущественное; е) общее с другими объектами наблюдения; м) отличное от других объектов наблюдения?

6) Как правильно выбрать основание для сравнения?

Использование математических задач и упражнений

Математические задачи могут служить целям диагностики сформированности приемов учебной деятельности учащихся, если анализировать ход их решения. Удачно расположенные по возрастающей трудности задачи и упражнения позволяют определить уровень сформированности приемов их решения у учащихся, а также приема сравнения как самих задач, так и приемов их решений.

Пооперационный анализ устных и письменных работ учащихся по математике с помощью дополнительных вопросов

Рассмотрим содержание контрольной работы в IX классе по теме «Уравнения и неравенства второй степени и их системы»:

1) Разность двух чисел равна 5, а сумма их квадратов равна 157. Найдите эти числа.

2) Решите уравнение 4x4—37x2+9 = 0.

3) Покажите штриховкой на координатной плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств

4) Что представляет собой график уравнения x2 + y2 = 0? Дополнительные задания:

1) Поясните прием решения задачи в задании 1. В чем сходство и различие в решении системы уравнений в этом задании и решении уравнения в задании 2?

2) Является ли уравнение в задании 4 квадратным? Обоснуйте ответ.

3) Сравните решение системы уравнений и решение системы неравенств.

Первое задание предполагает выявить уровень осознанности учащимися обобщенного приема решения текстовых задач с помощью уравнений и их систем, совместно с третьим заданием — уровень применения приема сравнения в постановке и решении указанных задач. Второе задание проверяет уровень овладения приемом подведения под понятие.

Дидактическая игра

Дидактическая игра по математике (используемая чаще в младших классах) — это одна или несколько математических задач, предлагаемых учащимся в занимательной форме и, как правило, с элементами соревнования. Она не только обладает диагностическими свойствами математических задач — проверяет умения учащихся выполнять математические действия, анализировать, сравнивать, подмечать закономерности и т. п., но и способствует привитию интереса учащихся к математике.

Например, игра «Вставьте пропущенное число» (рис. 4). Чтобы определить, какое число поставить в последнем кружочке,

Рис. 4

ученик анализирует, как можно получить такое число в первом и втором кружочках. Комбинируя данные числа и производя вычисления, он находит: 6 = (9+ 7) — (4 + 6); проверяет, верен ли найденный способ для второго случая: 11 = (8+ 14) — (2 + 9) — верно. Следовательно, таким же образом можно найти пропущенное число: (8 + 9) —(2+ 4) = 11.

По результатам диагностики учащиеся класса делятся, как правило, на следующие группы:

с положительным отношением к учебе и владеющие приемами учебной деятельности;

с положительным отношением к учебе и не владеющие приемами учебной деятельности;

с отрицательным отношением к учебе, но владеющие приемами учебной деятельности;

с отрицательным отношением к учебе и не владеющие приемами учебной деятельности.

Это условное деление на группы дает учителю возможность организовать работу по формированию приемов учебной деятельности учащихся дифференцированно и с учетом их индивидуальных возможностей.

В практике работы этап диагностики не всегда имеет место, так как в ряде случаев изучение нового материала связано с формированием совершенно новых для учащихся приемов учебной деятельности.

Второй этап — постановка целей учебной деятельности и принятие их учащимися

На этом этапе используются методы мотивации учебной деятельности, привития интереса к овладению приемами этой деятельности. Назовем некоторые из них.

Словесные методы

В начале учебного года, четверти, перед изучением раздела, курса или перед уроком и отдельными его этапами учитель во время устной беседы или коллективного обсуждения задач учебной деятельности формулирует наряду с другими цель: овладеть необходимыми приемами деятельности по решению поставленных учебных задач.

Наглядные методы

Цели учебной деятельности можно представить наглядно, например с помощью таблиц и схем, демонстрируемых на стендах или с помощью ТСО. Перед учащимися ставятся цели овладения не только содержанием учебного материала, но и приемами его усвоения и применения. Например, на стенде «Учись учиться математике» можно поместить такую обобщающую таблицу:

Этапы учебного процесса

Приемы учебной деятельности по усвоению математических понятий

Восприятие новых знаний

Наблюдение, сравнение, анализ, абстрагирование, синтез, обобщение, формулировка определения понятия

Осмысление и переработка новых знаний

Конкретизация, приведение контрпримеров, выведение следствий, подведение под понятие, запоминание определения

Закрепление и применение изученного

Классификация, систематизация, специализация, обобщение, установление отношений между понятиями, использование понятий в теоремах и задачах

Таблица эта может быть использована (полностью или частично) в школьном курсе математики неоднократно (при изучении различных понятий). Систематическое обращение к ней показывает общность целей, методов и приемов изучения понятий, выделяет так называемые логические опоры, создает предпосылки для выработки у учащихся общих приемов учебной деятельности.

Проблемно-поисковые методы

Как известно, постановка целей учебной деятельности лучше всего осуществляется в процессе создания и разрешения проблемной ситуации. Помогая формулировать цель учебной деятельности, проблемная ситуация показывает, что старые способы деятельности недостаточны для ее достижения, и, следовательно, для решения поставленных задач необходимы не только новые теоретические знания, но и новые приемы деятельности по решению этих задач.

Другими приемами мотивации и стимулирования учебной деятельности при обучении математике служат: использование исторического и занимательного материала, решение задач с профессиональным содержанием, выявление практической значимости изучаемого материала, подведение итогов и поощрение достижений в учебной деятельности.

Третий этап — инструктаж, введение приема учебной деятельности

С позиций деятельностного подхода к обучению целесообразно не давать прием учебной деятельности в готовом виде, а организовать самостоятельное нахождение его учащимися. Тогда инструктаж распадается на три этапа, которые могут реализоваться как на одном, так и на нескольких уроках.

1. Решение учебной задачи «по соображению» — на основании изученной теории, по аналогии с известными ранее приемами, на

основании обобщения и переноса известного приема, интуитивно и т. п.

2. Осознание учащимися составляющих действий по решению учебной задачи, как правило, с помощью ответов на вопрос учителя: «Выделите и перечислите по порядку, какие действия вы делаете для решения данной задачи»; формулировка и оформление состава приема в виде перечня действий — в тетради, на карточках, на стенде, в учебнике.

3. Показ образцов применения приема — решение учебных задач, сопровождаемое устными указаниями и советами по его использованию.

Рассмотрим методику введения нового приема учебной деятельности на примерах.

Первый пример — прием сравнения. Уже в младших классах учащиеся часто стоят перед необходимостью сравнивать изучаемые объекты для выделения в них тех или иных свойств. Сначала достаточно поставить задачу: найдите, чем похожи эти объекты и чем отличаются друг от друга; позднее это называют общими и различными свойствами (признаками) объекта.

Например, для формирования понятия «треугольник» учитель использует предметы или модели в форме треугольника, прямоугольника, круга, разных цветов, сделанные из бумаги, дерева, проволоки, стекла и т. п. Первые сравнения могут быть по фактуре материала, по цвету, по твердости, по массе, по размерам, по форме. Далее учитель выделит существенные и несущественные свойства и будет учить отличать их. Таким образом осуществляется переход ко второму этапу инструктажа — осознанию составляющих действий приема сравнения. Наконец, можно сформулировать состав приема сравнения и показать образцы его применения.

Содержание изучаемого по математике материала дает возможность применять как общий прием сравнения, так и его специализированные варианты (сравнение чисел, углов, отрезков, выражений, площадей фигур, способов решения задач и др.). При этом учебник или учитель часто подсказывают учащимся основание сравнения.

Второй пример — прием определения понятия через указание рода и видовых отличий (с. 25). Работа над этим приемом также может быть начата в младших классах, где следует обращать внимание на отношения между родовыми и видовыми понятиями и их свойствами. После изучения достаточного числа определений в V—VI классах, т. е. в начале изучения систематических курсов алгебры и планиметрии в VII классе, выявляется наиболее типичная структура определения и соответствующий прием его построения. Используются такие методические приемы, которые помогают учащимся выявить родовое понятие, характеристические признаки нового понятия (видовые отличия) и характер их связи, показываются образцы построения определения нового понятия с опорой

на сформулированный прием, учащимся предоставляется возможность самим сформулировать определение нового понятия.

Важный момент третьего этапа — фиксация введенного приема учебной деятельности. Ученики должны не только понять его содержание, но и научиться правильно его выполнять. Для этого они должны иметь возможность обращаться к нему в любое нужное им время. Хорошо, чтобы учащиеся имели соответствующие памятки: например, приемы наблюдения, анализа, сравнения, обобщения, синтеза — учащиеся начальной школы; приемы обобщения, конкретизации, приведения примеров и контрпримеров — учащиеся V—VI классов; приемы абстрагирования, формулировки определения понятий и его усвоения, подведения под понятие, выведения следствий, использования определений, приемы доказательства теорем — учащиеся VII класса; приемы классификации, специализации, установления отношений между понятиями — учащиеся VIII класса.

Такие памятки можно выполнить на карточках и хранить в конвертах, наклеенных на обложку тетради.

На этом этапе преобладают словесные методы обучения — работа учащихся под руководством учителя, беседа, составление памяток и др.

Четвертый этап — практические упражнения по отработке введенного приема учебной деятельности

Эти упражнения можно условно разделить на три группы.

I. Упражнения, направленные на усвоение отдельных составляющих действий (более сложных) основного приема (так называемые подготовительные задачи для решения основных задач).

Приведем примеры таких упражнений для отработки приемов сравнения и определения понятий.

Упражнения на выделение общих и существенных свойств понятий.

1) Перечислите известные вам свойства параллелограмма. Какие свойства из всех четырехугольников принадлежат только параллелограмму?

2) Перечислите не менее 12 свойств квадрата.

3) Укажите свойства, принадлежащие всем (только некоторым) прямоугольникам.

4) Найдите общие свойства трапеции и ромба, треугольника и параллелограмма, прямоугольника и круга.

5) Найдите свойства, которые являются общими для всех выпуклых многоугольников.

6) Перечислите основные свойства прямоугольника и ромба. Сравните полученный список свойств с основными свойствами квадрата.

7) Укажите свойства, общие для прямоугольника и ромба.

Сравните найденные свойства с основными свойствами: а) квадрата; б) параллелограмма.

8) Перечислите существенные признаки понятий: ромб, прямоугольный треугольник, пирамида, параллелепипед.

9) Какие из приведенных ниже свойств трапеции являются существенными, а какие — несущественными: а) две стороны трапеции параллельны; б) оба угла при большем основании острые; в) сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°; г) основания трапеции горизонтальны; д) оба угла при меньшем основании трапеции тупые?

10) По какому основанию имеет смысл сравнивать следующие пары математических понятий: а) вертикальные и смежные углы; б) круг и квадрат; в) линейное уравнение и квадратное уравнение; г) линейное уравнение и тригонометрическое уравнение; д) линейное уравнение и линейное неравенство; е) линейное уравнение и прямоугольник; м) прямоугольный треугольник и функция

11) Найдите общее свойство в последовательностях чисел (фигур рис. 5), допишите (дорисуйте) в каждой из них по два числа (фигуры): а) 1, 4, 9, 16, 36, б) 82, 97, 114, 133, ...:

12) Выберите нужную фигуру из четырех пронумерованных (рис. 6).

13) Верно ли выражают смысл сказанного следующие высказывания: а) для того чтобы в зимние каникулы поехать в Ленинград, достаточно иметь деньги на билет; б) для того чтобы асфальт улицы был мокрым, достаточно, чтобы прошел дождь?

Упражнения на усвоение родовых и видовых признаков и связей между ними.

1) Для каждой из фигур упражнений 1—9 предыдущей группы укажите: а) родовые понятия; б) видовые понятия (из числа оставшихся понятий).

2) В приведенных ниже определениях выделите название определяемого объекта (термин), родовое понятие, видовые признаки и характер связи между этими признаками: а) угол, смежный с каким-нибудь углом многоугольника, называется внешним углом этого многоугольника; б) прямым углом называется угол, равный 90°; в) острым углом называется угол, меньший 90°; г) треугольник называется прямоугольным, если один из его

Рис. 5

Рис. 6

углов прямой; д) пятиугольник — это многоугольник с пятью сторонами; е) две различные прямые, лежащие в одной плоскости и непересекающиеся, называются параллельными; м) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией; з) два одноименных многоугольника называются подобными, если углы одного соответственно равны углам другого, а стороны, заключающие равные углы, пропорциональны; и) если точка О является серединой отрезка AB, то точки А и В называются симметричными точками относительно точки О; к) числа, которые можно записать в виде обыкновенных дробей, называются рациональными; л) тождеством называется равенство, верное при любых значениях переменной; м) уравнение вида ax = b, где х — переменная, а и b—числа, называется линейным уравнением с одной переменной; н) значение переменной, которое обращает уравнение в верное равенство, называется корнем уравнения; о) квадратное уравнение, приведенное к нормальному виду, называется неполным, если хотя бы один из его коэффициентов (кроме первого) равен нулю.

3) Укажите ближайшие родовые понятия для понятий: а) квадрат; б) вертикальные углы; в) хорда; г) степень с натуральным показателем; д) простое число; е) квадратный корень; м) уравнение; з) неравенство; и) равенство.

4) Для данных понятий укажите родовое понятие: шестиугольник, равносторонний треугольник, четное число, функция.

5) Назовите несколько видовых понятий для каждого из дан-

ных: геометрическая фигура, многоугольник, тождественное преобразование, функция, уравнение.

6) Для каждого из данных понятий подберите видовое отличие и дополните определение: а) квадрат — это четырехугольник, б) квадрат — это прямоугольник, ... .

7) Для каждого из данных понятий подберите родовое понятие и дополните определение: а) прямоугольник — это ..., у которого противоположные углы прямые; б) прямоугольник — это ..., у которого четыре стороны и углы прямые; в) треугольник — это ... с наименьшим числом сторон.

II. Упражнения, составленные методом варьирования (существенных или несущественных признаков понятий и их свойств), усложнением их содержания при сохранении приема решения. Этот прием означает, что формирование понятий должно протекать на разнообразном материале, подобранном так, что постоянными остаются лишь существенные признаки данного понятия. Например, при формировании понятия «прямоугольный параллелепипед» в V классе учитель демонстрирует несколько различных прямоугольных параллелепипедов с вытянутыми и квадратными гранями разных размеров, по-разному расположенных в пространстве, непрямоугольную призму, почтовый ящик. При формировании понятия биквадратного уравнения варьируется обозначение переменной: x4+х2 — 2 = 0, y4 — 7y2—144 = 0, 36z4 — 13z2+1 = 0.

На этом этапе появляется возможность показать учащимся, что понятие может быть определено с помощью различных характеристических признаков. С этой целью полезно выполнять упражнения следующего типа:

1) В определении «Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны» замените видовой признак.

2) Дайте несколько разных определений: а) ромба; б) параллелограмма; в) прямого угла; г) уравнения.

3) Сформулируйте генетическое определение: а) окружности; б) перпендикулярных прямых; в) конуса; г) арифметической прогрессии; д) геометрической прогрессии.

При выполнении упражнений этой группы учащиеся не только отрабатывают отдельные составляющие приема, но учатся различать основные (существенные) действия, входящие в данный круг приемов, и вариации этих действий в зависимости от требований задачи.

III. Обычные задачи по изучаемой теме, решаемые «вразброс», сопровождаемые проговариванием и объяснением вслух выполняемых действий в составе приема. Важность последнего подчеркивал Л. С. Выготский, когда говорил, что язык — это орудие мышления и речевые структуры, усвоенные ребенком, становятся основными структурами его мышления.

Рассмотренные виды упражнений можно предлагать учащимся

на различных этапах урока для устного решения, математического диктанта, дополнительных вопросов, включать в самостоятельные работы обучающего характера, в дидактические игры.

Пятый этап — оперативный контроль и коррекция процесса формирования приемов учебной деятельности

Контроль осуществляется с помощью методов и приемов диагностики (с. 30), методов взаимоконтроля и самоконтроля (с использованием критериев, сформулированных в приложении 2). Хорошим упражнением на этом этапе является упражнение вида «найти ошибку». Например, для контроля усвоения приема сравнения:

Верно ли произведено сравнение объектов, а если неверно, то в чем ошибка: а) сравнив треугольники ABC и MKL, установили, что △ ABC прямоугольный, a AMKL равнобедренный;

б) сравнив два прямоугольника, установили, что один из них имеет площадь 48 м2, а периметр другого равен 60 м; в) сравнив два круга, установили, что радиус одного из них равен 6 м, а радиус другого 8 м; г) сравнили два многочлена и установили, что степень первого из них равна трем, а второй есть сумма трех одночленов; д) сравнили треугольник и многочлен и установили, что площадь треугольника равна 10 м2, а значение многочлена при х = 2 равно 10?

Для контроля усвоения приема определения понятий: Найдите и исправьте ошибки в следующих определениях: а) диаметром круга называется наибольшая хорда, проходящая через центр; б) параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны; в) четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, называется параллелограммом; г) четырехугольник, у которого противоположные стороны равны, называется параллелограммом; д) ромбом называется равносторонний неправильный четырехугольник; е) прямые называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали; м) два равных угла называются вертикальными, если стороны одного являются продолжением сторон другого; з) медианой треугольника называется отрезок, делящий его сторону пополам; и) касательной к окружности называется прямая, которая касается окружности; к) угол, образованный двумя хордами, называется вписанным; л) равнобедренный треугольник— это когда две стороны равны; м) квадратом называется четырехугольник, у которого все стороны равны; н) десятичная дробь — это дробь с запятой между какими-нибудь ее цифрами; о) отношением называется сравнение двух чисел посредством деления; п) иррациональное число — это: 1) неизвлекаемый корень; 2) бесконечная десятичная дробь.

Для решения такого упражнения нужно обратиться к соответствующему приему учебной деятельности, в данном случае приему сравнения и приему определения понятий, и проверить правильность выполнения каждого из составляющих действий приема.

По результатам контроля проводятся корректирующие действия по отработке приема. С этой целью используются беседы, коллективный и индивидуальный анализ ошибок и работа по их исправлению, приведение примеров и контрпримеров, индивидуальные карточки-памятки, индивидуальные и дифференцированные задания и др.

Шестой этап — применение усвоенных приемов учебной деятельности

На этом этапе выделяются два основных вида деятельности учителя.

I. Теоретические обобщения, помогающие учащимся осознать ситуацию применения усвоенных приемов. С этой целью учитель использует: а) подведение итогов (урока, темы, решения проблемной ситуации и т. д.), показывающее, как с помощью сформулированных приемов учебной деятельности решаются поставленные в начале работы задачи; б) установление логических связей в изучаемом материале (между понятиями, свойствами, темами, предметами, приемами учебной деятельности) с применением для этой цели обобщающих таблиц и схем, ТСО, конспектов, устных бесед и лекций.

Например, при формировании приемов работы с математическими понятиями для этой цели используются классификация и систематизация, установление отношений между понятиями, что помогает учащимся осознать связи между изучаемыми приемами учебной деятельности.

II. Организация ситуаций для практического применения усвоенных приемов учебной деятельности. С этой целью учитель использует: а) самостоятельную работу учащихся по учебнику; б) самостоятельное решение задач учащимися, в) практические и лабораторные работы; г) уроки обобщения и повторения и т. п. Особенностью учебной деятельности учащихся в этих ситуациях является то, что для решения каждой из учебных задач они вспоминают усвоенный прием и выполняют систему составляющих его действий. Если прием еще не усвоен, можно воспользоваться памяткой, помощью товарища и учителя.

Для рассматриваемых нами примеров — приемов сравнения и определения понятий можно предложить следующие виды упражнений:

Упражнения на сравнение:

1) Как изменится величина правильной дроби, если к числителю и знаменателю прибавить одно и то же число?

2) Где располагается: а) точка пересечения высот треугольника (или их продолжений); б) центр описанной окружности;

в) центр окружности, вписанной в остроугольный треугольник? в прямоугольный треугольник? в тупоугольный треугольник? Упражнения на классификацию понятий:

1) Проведите классификацию понятия: а) треугольник (принимая во внимание одновременно два признака: сравнительную длину сторон и величину углов); б) угол; в) данных дробей по двум признакам: правильная дробь и дробь со знаменателем 5. Проиллюстрируйте классификацию круговыми схемами.

2) Проверьте правильность следующих классификаций: а) треугольники делятся на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, равносторонние и равнобедренные; б) ромбы могут быть равноугольными (квадраты) и неравноугольными; в) прямоугольники могут быть равносторонними (квадраты) и неравносторонними; г) треугольники по сравнительной длине их сторон делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние; д) параллелограммы делятся на прямоугольники, ромбы и квадраты; е) геометрические фигуры делятся на многоугольники и окружности. Проиллюстрируйте круговыми схемами.

3) Какого вида будет треугольник, в котором: а) один из его углов больше суммы двух других; б) один из его углов равен сумме двух других; в) сумма двух любых углов больше 90°; г) каждый из его углов меньше суммы двух других; д) сумма любых двух его углов меньше 120°?

4) Вывести следствия (необходимые свойства) из определения понятий: а) отрезок; б) равнобедренный треугольник; в) √a.

Упражнения на конкретизацию понятий:

1) Напишите три дробных решения неравенства |х| > 7.

2) Покажите на координатной прямой множество решений неравенства или уравнения:

3) Найдите на рисунке 7 вертикальные и смежные углы.

4) Сформулируйте теорему, которая служит теоремой существования, к определению; а) параллельных прямых; б) правильного многоугольника.

Упражнения на подведение под понятие:

1) Будет ли параллелограммом выпуклый четырехугольник, у которого: а) есть центр симметрии; б) противоположные углы попарно равны; в) каждой диагональю четырехугольник делится на равновеликие части?

2) Могут ли быть подобными неравные прямоугольные треугольники: а) с равными гипотенузами; б) с одной парой равных катетов?

3) Является ли одночленом стандартного вида выражение:

4) Является ли линейной функция, заданная формулой:

Рис. 7

5) Является ли каждое из данных уравнений квадратным:

10) Даны иррациональное уравнение и корни, полученные при его решении. Какие из этих корней являются посторонними:

6) Можно ли назвать иррациональным уравнение:

7) Являются ли числа —2, —1/5, 3/7 решениями неравенства |x| < 2?

8) Являются ли корнями уравнения x2 — у+2 = 0 числа x = 1, y = 3?

9) Являются ли данные числа корнями данного квадратного уравнения?

11) Уравнение имеет вид P(x)/Q(x) = 0, где Р (х) и Q (х) — много-

члены. При каком условии число x0, являющееся корнем уравнения Р(х) = 0, будет корнем данного уравнения?

12) Равносильны ли уравнения:

13) Равносильны ли неравенства:

Упражнения на обобщение и специализацию:

1) Правильно ли обобщены понятия: а) ромб, параллелограмм, четырехугольник, многоугольник; б) отрезок, прямая; в) равноугольный треугольник, равносторонний треугольник; г) параллельные прямые, скрещивающиеся прямые; д) полукруг, круг?

2) Правильно ли выполнена специализация понятий: а) равносторонний четырехугольник, ромб; б) трапеция, параллелограмм; в) равнобедренный треугольник, прямоугольный треугольник?

3) Проведите обобщение и специализацию понятий: треугольник, трапеция, многоугольник, выражение, равенство, уравнение, функция, геометрическая фигура, целое число.

Упражнения на применение приема определения понятия: Сформулируйте определение фигуры: а) заштрихованной на чертеже (рис. 8) и называемой сегментом; б) семиугольника; в) «крест», которая строится так: на двух пересекающихся прямых откладываются от точки пересечения по разные стороны от нее на каждой из этих прямых равные отрезки.

Седьмой этап — обобщение и перенос усвоенных приемов учебной деятельности

На основе обобщенных приемов учебной деятельности осуществляется обучение учащихся их переносу. Оно начинается еще на этапе применения приемов учебной деятельности не только в стандартных, но и в новых, нестандартных ситуациях. На этом этапе, как и на предыдущем, используются объяснительно-иллюстративные, проблемные частично-поисковые методы, методы практической и самостоятельной работы, репродуктивного и вариативного воспроизведения и применения усвоенных приемов.

Рис. 8

Восьмой этап — закрепление обобщенных приемов учебной деятельности

Организуя деятельность учащихся по самостоятельному применению приемов в повседневной учебной деятельности, учитель акцентирует внимание учащихся на ситуациях, в которых это можно делать. С этой целью используются:

1) обобщающие уроки;

2) самостоятельная учебная деятельность учащихся по изучению материала: изучение незнакомого текста учебника, самостоятельная формулировка определений понятий и теорем, самостоятельное доказательство и поиски различных способов доказательства теорем, подготовка докладов, рефератов и сочинений по математике;

3) самостоятельная учебная деятельность по решению математических задач: самостоятельные (проверочные) и контрольные работы, поиски различных (наиболее рациональных) способов решения задач, решение нестандартных задач, защита оригинальных решений, рассмотрение софизмов, составление задач учащимися;

4) практические и лабораторные работы исследовательского характера;

5) домашняя работа учащихся по усвоению теории и приемов решения учебных задач;

6) самостоятельное применение усвоенных приемов учебной деятельности в других предметах естественно-математического цикла.

Эти и другие ситуации создают не только условия для закрепления обобщенных приемов учебной деятельности и способов их переноса, но и предпосылки для нахождения на их основе новых приемов. Чем больше учащиеся самостоятельно применяют усвоенные приемы, тем больше закрепляются в их сознании не только основные существенные действия, входящие в состав приема, но и вариации этих действий. Следовательно, с накоплением опыта они смогут изменять и находить эти существенные действия, т. е. находить новые приемы на основе усвоенных.

Результатом этого этапа должно стать воспитание у учащихся привычки действовать самостоятельно и рационально в разнообразных учебных ситуациях.

Девятый этап — нахождение новых приемов учебной деятельности

Элементы обучения нахождению новых приемов содержатся на предыдущих этапах и позволяют наметить некоторые пути самостоятельного нахождения учащимися приемов учебной деятельности.

1. Обобщение частных случаев решения учебных задач. Этот путь использовался еще на этапах введения и обобщения приемов. При этом следует обращать внимание учащихся на вариа-

тивность действий в составе приема: в зависимости от требований задачи можно так изменить известный прием варьированием составляющих действий, что получится новый прием для решения данной конкретной задачи.

Так, перестраивая прием формулировки определения понятия, мы получили прием подведения под понятие, прием усвоения определения и прием контроля усвоения определения; прием доказательства равносильности различных определений понятия получен некоторой перестройкой приема доказательства необходимого и достаточного условия.

2. Перестройка и перенос известного приема — второй путь нахождения новых приемов.

3. Конкретизация и специализация общих приемов. Например, в общем приеме сравнения можно задавать по-разному основание для сравнения, необходимое для изучения свойств определенных математических понятий. Это могут быть длина отрезка, величина угла, расположение числа на числовой прямой, знак разности двух чисел и т. д. Сравнивая конкретные объекты по выбранному основанию и перечисляя все действия, которые для этого нужно сделать, мы получаем специальные приемы сравнения отрезков, углов, чисел и т. д.

Другой пример — специализация общего приема анализа для изучения различных математических объектов. Приведем примеры некоторых специальных приемов анализа.

Общий (восходящий) анализ доказательства теоремы или решения задачи:

1) задать вопрос: что достаточно знать, чтобы доказать заключение теоремы (ответить на вопрос задачи)? Сформулировать это предложение;

2) проверить, содержится ли нужное свойство в условии теоремы (задачи);

3) если «да» — теорема доказана (задача решена), если «нет» — задать следующий вопрос: что достаточно знать, чтобы доказать это предложение? Сформулировать ответ;

4) продолжать этот процесс (суть которого — выделение частей и выявление их свойств) до тех пор, пока не получится известное или содержащееся в условии свойство, из которого будет следовать заключение теоремы (ответ на вопрос задачи);

5) на основании пп. 1—4 составить план доказательства теоремы (решение задачи).

Расчленение условия (или заключения) теоремы (задачи) на части:

1) если можно, разделить условие (или заключение) на более простые части;

2) выяснить план доказательства (решения) каждой из них;

3) составить план доказательства (решения) в целом. Определение вида теоремы (задачи):

1) если можно, определить вид теоремы (задачи);

2) вспомнить, если существует, метод доказательства (решения) для данного вида теоремы (задачи);

3) при составлении плана использовать известный метод (прием).

Аналогия:

1) вспомнить теорему (задачу), аналогичную данной, метод (прием) доказательства (решения) которой известен;

2) сравнить эти теоремы (задачи);

3) составить план доказательства (решения) на основании общего и различного.

Варьирование условия теоремы (задачи):

1) изменить условие (или заключение) данной или известной теоремы (задачи) так, чтобы их можно было сравнить;

2) воспользоваться приемом аналогии.

Рассмотрение частных случаев:

1) выделить, если можно, частные случаи теоремы (задачи);

2) воспользоваться приемом расчленения на части.

Еще более конкретизируется прием анализа для решения специальных задач. Например, в курсе геометрии и алгебры: Анализ задачи на построение:

1) предположить, что задача решена, и выполнить эскиз;

2) рассмотреть эскиз, выделить данные и искомые элементы, установить зависимость между ними, если нужно, сделать дополнительные построения;

3) установить, какие и в каком порядке надо выполнить простейшие геометрические построения, чтобы по данным элементам построить искомую геометрическую фигуру.

Алгебраический анализ:

1) выделить в условии задачи величину (две и более), которую удобно принять за неизвестное;

2) выразить все величины, входящие в условие задачи (и связанные между собой с помощью формул, законов и т. п.), через данные и выбранное неизвестное;

3) на основе условия задачи установить равенство (два и более) между полученными алгебраическими выражениями одноименных величин.

4. Аналогия — еще один путь нахождения новых приемов. Аналогия помогает выделить свойства новых понятий в сравнении с известными и, таким образом, сформулировать как определение нового понятия, так и приемы оперирования с ним. Так, приемы решения неравенств аналогичны приемам решения уравнений, приемы тождественных преобразований рациональных дробей — приемам действий с рациональными числами и т. п.

5. Новый прием можно найти как обратный известному, чему способствует понимание структуры взаимно обратных задач в математике, таких общих приемов умственной деятельности, как анализ и синтез, обобщение и конкретизация, дедукция и индукция, и других взаимно обратных связей.

6. Наконец, новый прием можно найти самостоятельно, опираясь на анализ содержания изучаемого теоретического материала.

Последний этап в достаточной степени и на необходимом уровне может быть осуществлен в старших классах, где учебная деятельность предъявляет школьникам более высокие требования к их активности и самостоятельности, к умению самостоятельно анализировать факты и пользоваться самостоятельно полученными обобщениями. Сформированность к концу обучения в девятилетней школе основных обобщенных приемов учебной деятельности создает необходимый фундамент не только самостоятельной, но и творческой деятельности учащихся.

В заключение приведем пример урока, на котором приемы сравнения, определения понятий и некоторые другие применяются при изучении нового материала.

Тема урока: Определение геометрической прогрессии.

Цель урока: усвоение понятий «геометрическая прогрессия», «знаменатель прогрессии», характеристического свойства геометрической прогрессии.

Повторение: арифметическая прогрессия.

Знания и навыки: знать определение геометрической прогрессии, уметь приводить примеры и находить знаменатель прогрессии по двум последовательным членам, уметь формулировать свойства прогрессии.

Приемы учебной деятельности: определение понятий через указание рода и видового отличия, формулировка суждений и умозаключений и их запись, классификация, систематизация, конкретизация, сравнение (этап применения).

Содержание урока:

Урок изучения нового материала строится на организации учебной деятельности учащихся по его восприятию и усвоению. Перед началом урока на классной доске, разделенной на две части, выполнена таблица.

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Учитель поясняет, что в левой части таблицы систематизировано все изученное об арифметической прогрессии, и предлагает учащимся выполнить такую же таблицу в тетрадях (оставив после четвертой строчки место для записи). Затем учащимся дается задание: сформулировать словами то, что записано в каждой строке.

Примерные ответы учащихся:

В первой строке записан пример арифметической прогрессии с первым членом, равным 5, и разностью, равной 3.

Во второй строке записано определение и обозначение разности арифметической прогрессии. Здесь же дополнительное задание — сформулировать определение разности прогрессии.

Третья запись указывает элементы, определяющие арифметическую прогрессию. Дополнительное задание — сформулировать определение арифметической прогрессии (при необходимости повторяется прием определения понятия).

В четвертой строке классификация арифметических прогрессий в зависимости от разности: при d > 0 прогрессия возрастающая, при d < 0 убывающая, при d = 0 постоянная (выполняется дополнительная запись в таблице).

В пятой строке записано характеристическое свойство арифметической прогрессии и т. д.

Во время этой работы происходит повторение и систематизация изученного об арифметической прогрессии, отрабатывается математическая речь, проверяется усвоение математической символики, устанавливаются связи между понятиями и свойствами, отрабатываются и применяются приемы учебной деятельности. Дальше работа учащихся организуется с помощью следующих заданий:

1) Сравните примеры последовательностей, записанных в первой строке левого и правого столбцов таблицы. Используя приемы сравнения, учащиеся находят: а) общее — обе последовательности заданы рекуррентным способом и имеют одинаковые первые члены; б) различное — у последовательности (an) следующий член получается из предыдущего сложением с числом 3, у последовательности (bn) — умножением на число 3.

2) Назовите характеристические признаки последовательности (bn), сформулируйте ее определение. Данная последовательность имеет первый член b1 = 5, а каждый следующий получается из предыдущего умножением на 3.

3) Последовательность вида (bn) называется геометрической прогрессией. Найдите зависимость между каждым членом этой прогрессии и предшествующим ему. Как можно записать эту зависимость, при каких условиях она будет верна?

В процессе решения этого упражнения по аналогии с арифметической прогрессией выясняется следующее свойство: b2:b1 = b3 : b2 = . . . = bn : bn-1 = bn+1 : bn. Учитель вводит обозначение b2:b1 = q, и учащиеся дают определение знаменателя геометрической

прогрессии, замечая, что b1 ≠ 0 и q ≠ 0. Эти результаты записываются во второй строке правого столбца.

4) Опираясь на предыдущие рассуждения, по аналогии с определением арифметической прогрессии, используя прием определения понятий, сформулируйте определение геометрической прогрессии.

5) Выделите элементы, определяющие геометрическую прогрессию; в третьей строке появляется запись: b1 ≠ 0, q ≠ 0, bn+1 = bn*q.

6) Приведите примеры геометрической прогрессии (конкретизируйте новое понятие).

7) Подумайте, какой вопрос относительно геометрической прогрессии нужно теперь выяснить. Примерный ответ: отправляясь от четвертой строки левого столбца, можно сказать, что дальше должна следовать классификация геометрических прогрессий в зависимости от знаменателя. Рассматривая для определенности b1 > 0, опираясь на примеры, на основании неполной индукции получим следующую классификацию:

а) при q > 0 монотонная геометрическая прогрессия, при 0 < q < 1 убывающая, при q > 1 возрастающая, при q = 1 постоянная;

б) при q < 0 прогрессия колеблющаяся.

8) Выполните устно упражнения на подведение под понятие из учебника. При выполнении этих упражнений полезно дополнительное задание: определить вид каждой рассматриваемой последовательности. Это задание позволяет конкретизировать понятие геометрической прогрессии и ее знаменателя, иллюстрировать классификацию геометрических прогрессий.

9) Геометрическая прогрессия с положительными членами обладает характеристическим свойством, в некоторой степени аналогичным свойству арифметической прогрессии. Попробуйте сформулировать это свойство, подтвердить предположение примерами; затем свойство записывается в пятой строке. На дом дается задание — разобрать самостоятельно по учебнику доказательство свойства геометрической прогрессии.

Последние две строки таблицы подсказывают дальнейший план изучения геометрической прогрессии на следующих уроках, его структуру и систему понятий. Таким образом построенный урок позволяет увидеть общие закономерности в изучаемом материале и использовать общие приемы его усвоения.

Методическая схема формирования приемов учебной деятельности учащихся в процессе обучения, рассмотренная в данном параграфе на примере формирования приемов работы с математическими понятиями, представлена кратко таблицей (с. 50).

В таблице в обобщенном виде показан механизм реализации основных требований к методике формирования приемов учебной деятельности в процессе обучения математике, сформулированных в § 4 гл. I и моделируемые результаты обучения. Центральным в таблице является второй столбец, отражающий психолого-

Методическая схема формирования приемов учебной деятельности в процессе обучения

дидактическое требование о поэтапном формировании приемов учебной деятельности. Третий столбец и его связи со вторым конкретизируют первое требование к методике формирования приемов в процессе обучения. Первый столбец показывает, что анализ задач каждого этапа может служить одним из критериев выбора методов обучения (третье требование к методике). Наличие в таблице четвертого столбца иллюстрирует один из аспектов реализации четвертого требования к методике формирования приемов учебной деятельности учащихся.

Не следует понимать, что выделенные здесь этапы обучения четко отделены друг от друга и взаимодействуют только в указанной последовательности. Как сами приемы учебной деятельности учащихся, так и методы их формирования в процессе обучения переплетаются в самых различных сочетаниях. Мы уже отмечали этот факт при рассмотрении классификации приемов, а также при рассмотрении этапов формирования приемов в настоящем параграфе. Так, этап «применение» приема имеет место и при «отработке приема», и при «оперативном контроле» и др. С другой стороны, например, при закреплении одних приемов может происходить обобщение других и т. п., что создает диалектическую связь всех элементов схемы.

Таким образом, рассмотренная методическая схема служит основным стержнем, помогающим определить необходимые компоненты методики обучения математике на основе формирования приемов учебной деятельности учащихся. Она показывает, что закономерности процесса формирования обобщенных приемов учебной деятельности, последовательность этапов и их специфика предъявляют определенные требования к методике обучения.

В приложении 5 показано, как можно продолжить работу по формированию приемов учебной деятельности учащихся на внеклассных занятиях по математике.

§ 3. ПРИЕМЫ АНАЛИТИКО-СИНТЕТИЧЕСКОГО ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

В педагогической психологии установлено, что обучение учащихся решению задач наиболее эффективно в процессе поиска их решения. При этом, конечно, не следует отрицать и того факта, что накопление опыта решения задач учащимися также дает положительные результаты. Однако обучение поиску не только раскрывает механизмы умственной и практической деятельности учащихся, но и развивает их творческое мышление.

Поиск решения задач осуществляется в основном с помощью аналитико-синтетического метода, который в этом случае носит целенаправленный характер, а именно: анализ задачи состоит в том, что мы предполагаем ее уже решенной и находим различные следствия (или предпосылки) этого предположения,

а затем в зависимости от вида этих следствий пытаемся найти путь отыскания решения поставленной задачи. Здесь выделяются три этапа аналитико-синтетического рассуждения: 1) предположим, что задача решена; 2) посмотрим, какие из этого можно извлечь выводы; 3) сопоставляя полученные выводы (синтез), попытаемся найти способ решения задачи.

Рассмотрим приемы аналитического поиска следующих задач школьного курса математики: дробных рациональных уравнений, текстовых задач и геометрических задач на вычисление. (Термин «задача» понимается здесь достаточно широко. В него включаются любое упражнение, вопрос, теорема, любое задание, требующее осуществления какого-либо познавательного акта, любой учебный текст, подлежащий усвоению.)

Дробные рациональные уравнения.

Задача 1. Решить уравнение:

Для данного уравнения имеем:

(1)

(2)

(3) (4) (5) (6) (7)

Преобразование данного уравнения закончено. Получено квадратное уравнение, которое относится к классу алгоритмически разрешимых задач. Решив квадратное уравнение (7), предполагая, что общий знаменатель дробей исходного уравнения не равен нулю (в данном случае х ≠ — 1 и х ≠ 1), получаем x1 = — 4 и x2 = 9. Так как при х = — 4 и x = 9 общий знаменатель (х— 1) (х+ 1) (x2+х+ 1) ≠ 0, то числа —4 и 9 являются корнями данного уравнения.

Нетрудно заметить, что последовательный переход от данного уравнения к уравнению (7) есть анализ исходного уравнения, т. е. аналитический поиск его решения.

Действительно, приступая к решению данного уравнения, мы не знаем его корней. Однако, предположив, что задача решена и некоторое число x1 (или x2) является корнем этого уравнения, получаем, что числовое равенство

справедливо. Разложив в этом равенстве знаменатели дробей на множители, получаем новое равенство

Оно показывает, что x1 также является корнем уравнения (1). Далее, последовательно выполняя указанные преобразования, убеждаемся, что x1 является корнем каждого последующего уравнения. В итоге замечаем, что уравнение (7) принадлежит к известному типу, способ решения которого известен.

На этом процесс анализа предложенной задачи заканчивается, после чего следует нахождение корней уравнения (7) и их проверка. Так как процесс анализа на всех этапах поиска решения задачи связан с синтезом (сопоставление получаемых уравнений, обнаружение уравнения известного типа), то мы, по существу, имеем дело с аналитико-синтетическим поиском решения задачи.

Если проанализировать процесс поиска решения различных дробных рациональных уравнений, то можно выделить систему действий и операций, входящих в состав аналитического поиска их решения. Обобщая эти действия и операции, можно получить один из приемов аналитического поиска решения рассматриваемых уравнений. Он состоит в следующем:

1) если необходимо, то представить члены данного уравнения дробными выражениями вида P(x)/Q(x), где Р (х) и Q (х) — целые выражения;

2) если необходимо, разложить знаменатели дробей на множители; одновременно, если потребуется, изменить знак перед соответствующими членами уравнения;

3) привести дроби к общему знаменателю; одновременно, если необходимо, изменить знак перед соответствующими членами уравнения;

4) выполнить переход от дробного рационального к целому рациональному уравнению (предполагая, что общий знаменатель дробей не равен нулю);

5) если необходимо, возвести в степень соответствующие члены целого рационального уравнения, используя формулы квадрата (куба) суммы и разности двух выражений;

6) в целом рациональном уравнении раскрыть скобки с учетом знаков действия;

7) если числовые коэффициенты всех или некоторых членов уравнения есть дробные числа, то преобразовать их в целые числа;

8) перенести все члены уравнения из правой части, если они там имеются, в левую часть;

9) привести подобные слагаемые;

10) преобразования закончить, так как получено простейшее уравнение (например, вида аx+b = 0, ax2 + bx+c = 0 и др.).

Действия, входящие в прием, должны быть предварительно отработаны. Учащиеся должны знать, из каких операций состоит каждое действие и в какой последовательности их надо выполнять. Например, седьмое действие приема требует от учащихся умение выполнять следующие операции: 1) приведение дробей к наименьшему общему знаменателю; 2) умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель дробных коэффициентов. Конечно, учащиеся должны уметь выполнять указанные операции, входящие в состав данного действия. В противном случае необходимо выделить более детальную систему операций.

Система операций по выполнению того или иного действия, входящего в прием, составляет ориентировочную основу выполнения действия. Поэтому для эффективного использования приемов в обучении необходимо, чтобы учащиеся знали содержание ориентировочной основы каждого действия как условия его выполнения.

Выше был раскрыт механизм аналитического поиска решений как приема управления мыслительной деятельностью учащихся. Однако возможности аналитического поиска решения задач значительно шире. Поэтому мы считаем возможным раскрыть учителю математики некоторые новые научно-методические проблемы, связанные с обучением учащихся решению задач.

Школьную математическую задачу можно рассматривать как сложный объект, существующий в материальной форме независимо от субъекта, как систему. Этот подход к задаче не отрицает того, что задача может существовать в мышлении субъекта. Эта ситуация возникает тогда, когда человек принял предложенную ему задачу, т. е. понял ее суть, соотнес со своими возможностями и согласился ее решать, сделав целью своей деятельности.

Понимая задачу как некоторую систему, имеют в виду следующее. Задача как система представляет собой непустое множество элементов, на котором определено (реализовано) заранее данное отношение. Это отношение выполняет роль основного отношения. Действительно, школьная математическая задача содержит некоторое множество отношений. Например, в текстовых алгебраических задачах это отношение между данными, между искомыми, между данными и искомыми, т. е. между условием и требованием задачи. В этом множестве отношений на основе обобщения всегда можно выделить главное, ведущее отношение, которое принято называть основным. Основное отношение в общем случае выражает функциональную зависимость между величинами, входящими в условие и требование задачи, и реализовано на предметной области задачи. Под предметной областью задачи понимают класс фиксированных объектов (предметов), о которых идет речь в задаче. Для уравнений, неравенств и их систем предметная область состоит из области изменения переменной и чисел, входящих в их структуру. Например, для неравенства

х2 — х + 5 > 0 предметная область состоит из множества действительных чисел и числа 5.

Задача как сложный объект имеет не только внешнее строение (информационную структуру), но и внутреннее устройство (внутреннюю структуру). Информационная структура — это данные, искомые и отношения между ними, а также базис (теоретическая основа) решения и способ решения задачи. Она определяет степень проблемности задачи — один из основных компонентов трудности.

Трудность задачи является психолого-дидактической категорией и представляет собой совокупность многих субъективных факторов, зависящих от особенностей личности, таких, как степень ее новизны, интеллектуальные возможности учащегося, его потребности и интересы, опыт решения задач, уровень владения интеллектуальными и практическими умениями и др. Однако основными компонентами трудности задачи являются степень ее проблемности и сложность задачи.

Сложность задачи является объективной характеристикой, не зависящей от субъекта, она определяется числом элементов, связей и видов связей, которые образуют внутреннюю структуру задачи. Элементы — это такие минимальные компоненты задачи (системы), на которых реализовано основное отношение.

Внутренняя структура задачи определяет стратегию (ориентировочную основу способа) решения задачи и ее сложность.

Внешнее и внутреннее строения задачи взаимосвязаны, так как стратегия решения связана с базисом и способом решения задачи.

Внешняя (информационная) структура задачи сравнительно легко устанавливается в процессе анализа текста задачи, однако ее внутренняя структура при этом не выявляется.

Возникает вопрос: каков механизм выявления внутренней структуры задачи? Чтобы ответить на него, обратимся к аналитико-синтетическому поиску решения задач, ибо он позволяет дать ответ на поставленный выше вопрос. Предварительно заметим, что аналитико-синтетический поиск решения уравнений, неравенств и их систем содержит только два вида преобразований: тождественные и равносильные. Тождественные преобразования — это преобразования выражений, а равносильные — преобразования формул. Например, приведение рациональных дробей к общему знаменателю, входящих в дробное рациональное уравнение, есть тождественное преобразование, а замена дробного уравнения целым рациональным уравнением (умножением обеих его частей на общий знаменатель) есть равносильное преобразование.

В качестве примера вернемся к поиску решения данного выше дробного рационального уравнения. Любому уравнению (неравенству) присуще отношение равносильности. Это отношение является основным, т. е. оно управляет процессом поиска решений.

Аналитико-синтетический поиск решения данного выше уравнения содержит семь шагов. Каждый шаг — это действие. Действие — относительно завершенный элемент деятельности человека, направленный на достижение определенной осознаваемой цели.

Следовательно, деятельность учащихся по осуществлению поиска решения этого уравнения состоит из семи действий. Целью, например, первого действия является разложение знаменателей дробных выражений, входящих в структуру уравнения, на множители. Это позволяет выполнить второе действие, цель которого -привести дроби к общему знаменателю и т. д. Выполнив седьмое действие, получаем квадратное уравнение, которое мы решать умеем. Оно позволяет получить решение исходного уравнения. Значит, целью седьмого действия является получение уравнения, которое алгоритмически разрешимо.

Поиск решения данного уравнения позволяет установить следующее:

1) действия 1, 2, 4 и 6 — тождественные преобразования;

2) действия 3, 5 и 7 — равносильные преобразования;

3) равносильные преобразования порождают тождественные преобразования, т. е. переходы от второго тождественного преобразования (действие 2) к четвертому (действие 4) и от него к шестому тождественному преобразованию (действие 6) невозможны без соответствующих равносильных преобразований. Следовательно, равносильные преобразования выполняют роль связей порождения,

4) тождественные преобразования не нарушают равносильности уравнений, следовательно, уравнения, полученные в результате этих преобразований, можно принять в качестве элементов внутренней структуры исходного уравнения. В дальнейшем внутреннюю структуру задачи будем называть структурой.

Обозначим кружочком элементы данного уравнения и соединим отрезками прямой только те элементы, которые непосредственно следуют друг за другом (их не разделяют равносильные преобразования), — это явные связи в структуре уравнения. Элементы структуры уравнения, которые разделены равносильными преобразованиями, являются изолированными. Поэтому связи между ними называют неявными или связями порождения. Следовательно, в структуре задачи имеют место два вида связей: явные и неявные.

Например, рассматриваемое уравнение как система имеет структуру (внутреннюю структуру), показанную на рисунке 9.

Рис. 9

Зная структуру уравнения, можно определить его сложность как объективную характеристику, независимую от мнения субъекта. Сложность задачи может быть определена по формуле S = m + n + l, где m — число элементов, n — число явных связей и l — число видов связей в структуре задачи. Число l принимает только три значения: l = 0; 1; 2, а именно l = 0, когда структура задачи состоит лишь из одного элемента (т. е. явные и неявные связи не имеют места); l = 1, когда в структуре задачи имеют место либо одни явные, либо одни неявные связи; l = 2, когда в структуре задачи есть явные и неявные связи, т. е. два вида связей.

В данном уравнении согласно его структуре m = 4, n = 1, l = 2, поэтому сложность этого уравнения: S = 4+1+2 = 7.

Задача 2. Выполнить поиск решения уравнения

и определить его сложность.

Для данного уравнения имеем:

(1)

(2) (3) (4) (5)

Поиск решения уравнения закончен. Здесь действия 1, 3 и 5 тождественные, а действия 2 и 4 — равносильные преобразования. Следовательно, структура данного уравнения будет иметь вид, показанный на рисунке 10.

Сложность исходного уравнения: 5 = 3 + 0+1 = 4.

Зная структуру уравнений, их можно ранжировать по степени сложности. На каждом уровне сложности уравнения можно расположить по степени возрастания их трудности. Критерий трудности (как субъективная характеристика) в общем случае пока неизвестен, однако учет индивидуальных возможностей учащихся, степени новизны предложенного уравнения, количества и громоздкости выполняемых преобразований, опыта учителя и т. п. позволяют на интуитивном уровне решать в конкретных условиях также и проблему ранжирования задач по трудности. Эти вопросы имеют важное практическое значение в обучении математике.

Заметим, что описанный механизм выявления структуры дробного рационального уравнения пригоден для уравнений и нера-

Рис. 10

венств, решение которых связано с поиском простейшего уравнения (неравенства). К ним относятся целые и дробные рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства и их системы. Сложность простейших уравнений (неравенств) и их систем, очевидно, равна нулю. Однако алгоритмы их решения могут быть разной сложности.

Текстовые задачи.

Рассмотрим проблему поиска решения текстовых задач, решаемых алгебраическим способом, т. е. с помощью составления уравнений или их систем. Эти задачи имеют важное методическое и прикладное значение.

Процесс решения задач школьного курса математики обычно включает четыре основных этапа: 1) анализ текста задачи; 2) поиск способа решения задачи и составление плана ее решения; 3) осуществление найденного плана; 4) изучение (анализ) найденного решения.

Приемы аналитического поиска решения текстовых задач (как и любых других задач) включают первый и второй этапы процесса их решения. Рассмотрим пример.

Задача 1. Токарь должен был обработать 240 деталей к определенному сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать в час на 2 детали больше, чем предполагалось по плану, и поэтому выполнил задание на 4 ч раньше срока. Сколько деталей в час должен был обрабатывать токарь?

После чтения задачи проводится анализ:

Какие величины содержатся в задаче?

Как связаны между собой производительность труда, время и объем выполненной работы?

Сколько можно выделить в задаче различных ситуаций (событий, случаев, фактов)?

Какие величины известны в каждой ситуации?

В каком случае производительность токаря больше и на сколько?

В каком случае время работы токаря по выполнению заказа меньше и на сколько?

Какая неизвестная величина в задаче является искомой?

Выполненный анализ позволяет осуществить запись условия и требования задачи в виде таблицы:

Умение ученика самостоятельно составить подобную таблицу говорит о том, что он усвоил условие и требование задачи и может самостоятельно приступить к поиску ее решения путем записи ответов вместо вопросов, содержащихся в таблице. В результате таблица как модель поиска решения задачи позволяет получить соответствующее уравнение. С этой целью вводится обозначение искомой или другой неизвестной величины в зависимости от выбранной учителем совместно с учащимися стратегии решения задачи. Далее, пользуясь установленными зависимостями между значениями одноименных величин и зависимостью между разноименными величинами, на основе табличной записи текста задачи заполняется таблица поиска решения задачи:

Исходя из модели поиска решения задачи, выписывают неравенство

на 4, откуда получают уравнение

Поиск решения задачи закончен.

Задача 2. В первом элеваторе было зерна в 2 раза больше, чем во втором. Когда из первого элеватора вывезли 600 т зерна, а во второй привезли 400 т, то после этого в обоих элеваторах зерна стало поровну. Сколько тонн зерна было первоначально в каждом элеваторе?

Анализ задачи позволяет учащимся выполнить запись условия и требования задачи в виде таблицы:

Вводится обозначение искомой величины и вопросы, обозначенные в табличной записи текста задачи, заменяются соответствующими выражениями, т. е. заполняется таблица поиска решения задачи:

Модель поиска решения задачи дает уравнение

Поиск решения задачи закончен.

Таким образом, на двух задачах нами была раскрыта сущность аналитико-синтетического поиска решения текстовой задачи алгебраическим способом. Это позволяет сформулировать соответствующий прием поиска решения подобных задач.

Дадим предварительно дополнительные сведения о текстовой задаче.

В рассмотренных задачах описываются (или формализуются) два факта, случая или ситуации. Например, в первой задаче описывается работа мастера по изготовлению деталей в двух ситуациях: по плану и фактически.

Из текста задачи следует, что она содержит три физические величины: N — производительность, t — время работы и A — объем выполненной работы. Существенным здесь является то, что зависимость между данными и искомыми величинами выражается формулой Nt = A.

Если отвлечься от конкретного содержания задачи, то, обозначив первую величину буквой а, вторую — буквой b и третью — с, получим зависимость между этими величинами, выражаемую равенством ab = c. Это есть основное отношение, реализованное в задаче, где а — первый, b — второй и с — третий его компонент.

Заметим, что каждая из двух ситуаций данной задачи формализуется основным отношением ab = c, так как зависимость между величинами в первой и во второй ситуации определяется формулой Nt = А. Кроме того, каждая из этих ситуаций является минимальным компонентом задачи, ибо при их расчленении связь между величинами N, t и А разрушается, т. е. основное отношение ab = c прекращает свое функционирование. Следовательно, задачная ситуация является элементом текстовой алгебраической задачи как системы.

Изучение структур текстовых задач на основе процесса поиска их решения показывает, что в каждой задаче имеет место одна или несколько ситуаций. В общем случае может быть m ситуаций (m = 1, 2, 3,...), каждая из которых формализуется основным отношением, реализованным в задаче.

Обратимся к модели поиска решения первой задачи. Искомое

уравнение в данном случае получено путем сравнения двух значений выражений одной и той же величины (время работы), являющейся вторым компонентом основного отношения ab = c, а именно

Следовательно, между первой ситуацией (по плану) и второй ситуацией (фактически) имеет место явная связь. Так как каждая задачная ситуация является элементом структуры задачи, то структура первой задачи имеет вид, изображенный на рисунке 11. Отсюда сложность задачи: 5 = 2+1 + 1 = 4, так как в ней два элемента, между которыми установлена явная связь и неявных связей нет, т. е. в структуре задачи один вид связей.

Во второй задаче также две ситуации (элемента), каждая из которых формализуется основным отношением вида a1+а2 = a3, так как в обоих случаях рассматривается только одна величина — количество зерна, принимающая три различных значения. Из модели поиска решения следует, что между двумя ситуациями (элементами) задачи установлена явная связь путем сравнения двух значений выражений одной и той же величины, являющейся третьим компонентом отношения a1 + a2 = a3, а именно 2х — 600 = x + 400. Неявных связей нет, а значит, в структуре задачи один вид связей. Структура задачи показана на рисунке 11. Сложность задачи: S = 2+1+1 = 4.

Следует отметить, что механизм выявления структуры текстовой задачи позволяет ранжировать их по степени сложности. Однако при этом могут возникнуть определенные трудности. Это связано с тем, что большинство текстовых задач имеет переменную структуру, т. е. одна и та же задача имеет несколько структур, а значит, и сложностей. Это обстоятельство, вообще говоря, является важным, ибо это означает, что такая задача имеет несколько способов решения. Заметим, что задача с постоянной структурой имеет только один способ решения. При ранжировании текстовых задач с переменной структурой по степени сложности приходится принимать во внимание либо наименьшую, либо наибольшую ее сложность. Это зависит от системы задач, в которую входит такая задача. В общем случае можно вычислять среднюю арифметическую сложность задачи, округляя полученный результат с точностью до целых.

Приведем пример.

Задача 3. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 76 км. Через 2 ч они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного из них на 3 км/ч меньше скорости другого?

Заметим, что в данной задаче реализовано отношение ab = c, которое является основным, так как зависимость между величинами V, t и s есть vt = s.

Рис. 11

Как мы уже убедились, основой аналитического поиска решения текстовых задач являются две таблицы: табличная запись данных и неизвестных величин, о которых говорится в задаче, и таблица (модель) поиска решения задачи.

Ограничимся для данной задачи составлением этих таблиц:

Обозначим через х км/ч скорость первого велосипедиста, тогда модель поиска решения задачи будет следующей:

Искомое уравнение: 2x + 2(x + 3) = 76.

Уравнение в данном случае получено путем сложения двух значений выражений одной и той же величины (пройденный путь), являющейся третьим компонентом основного отношения ab = с. Следовательно, между первой и второй ситуациями установлена явная связь.

Если изменить стратегию поиска, обозначив через х км расстояние, пройденное первым велосипедистом до момента встречи со вторым то модель поиска решения задачи будет следующей:

Искомое уравнение:

Рис. 12

В данном случае уравнение получено другим способом: в составлении уравнения приняли участие все три компонента основного отношения ab = с. Однако это уравнение получено на основе анализа выражений величин второй ситуации без явного использования соответствующих значений величин первой ситуации. Это означает, что первая ситуация не имеет явной связи со второй. Между ними как элементами структуры задачи установлена неявная связь — связь порождения. Действительно, выражение величины скорости первого велосипедиста (x/2) требуется для получения выражения величины скорости второго велосипедиста (x/2 + 3).

Следовательно, в соответствии с первой моделью поиска решения третьей задачи ее структура имеет вид, представленный на рисунке 12, а. Сложность задачи: S = 2+1 + 1 = 4. Вторая модель поиска решения этой задачи выделяет структуру, показанную на рисунке 12,6. Сложность задачи: S = 2 + 0+l = 3.

Следовательно, данная задача имеет два способа решения, а ее сложность как среднее арифметическое: S = 4+3/2 = 3,5≈4.

Учитывая механизм поиска решения текстовых задач, можно сформулировать обобщенный прием аналитического поиска решения текстовых задач. Он состоит в следующем:

1. Выполнить анализ задачи, выявив:

а) названия величин, содержащихся в задаче;

б) функциональную связь между этими величинами, т. е. основное отношение, реализованное в задаче;

в) количество задачных ситуаций (элементов), имеющихся в задаче;

г) известные и неизвестные величины в каждой задачной ситуации;

д) связь между соответствующими неизвестными величинами;

е) искомую (искомые) величину.

2. Оформить (с учетом основного отношения и числа задачных ситуаций — элементов) табличную запись данных и неизвестных величин в каждой ситуации и сравнить между собой соответствующие значения неизвестных величин, используя знаки равенства, неравенства, арифметических действий.

3. На основе табличной записи текста задачи построить таблицу (модель) поиска решения задачи, для этого:

а) записать обозначение искомой (например, х) или другой неизвестной величины в зависимости от выбранной стратегии поиска решения задачи;

б) использовать установленные зависимости между значениями соответствующих неизвестных величин и основное отношение, реализованное в задаче.

4. Выписать, пользуясь моделью поиска, полученное уравнение или неравенство, являющееся основой для получения уравнения.

5. В последнем случае, используя выписанное неравенство, составить уравнение.

6. Поиск решения задачи закончить и перейти к решению полученного уравнения.

Предложенный прием аналитического поиска решения текстовых задач составляет лишь методические основы обучения учащихся их решению. Учитель, учитывая возможности своих учащихся, должен детализировать его основные этапы, отрабатывая их в коллективных формах деятельности обучаемых.

Геометрические задачи на вычисление.

Остановимся на методике применения аналитико-синтетического метода к поиску решения геометрических задач на вычисление.

В методике обучения математике под анализом и синтезом понимают два противоположных по ходу рассуждения, применяемых при решении задач и доказательстве теорем. Под анализом понимают рассуждение, идущее от искомого к тому, что дано. Синтез — это рассуждение, идущее в противоположном направлении. Анализ есть поиск решения задачи, доказательства теоремы.

Анализ и синтез неотделимы друг от друга, они сопутствуют друг другу, дополняют друг друга, составляя единый аналитико-синтетический метод.

Рассмотрим несколько примеров применения анализа к поиску решения указанных выше задач.

Задача 1. Определить радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, если основание и боковая сторона треугольника соответственно равны 6 см и 5 см.

Дано: △AВС, АВ = ВС = 5 см, АС = 6 см, OB — радиус описанной окружности.

Найти: OB.

Анализ. Выполненный чертеж по условию и требованию задачи (рис. 13) позволяет выдвинуть предположение о том, что радиус OB описанной около равнобедренного треугольника окружности

Рис. 13

целесообразно искать, исходя из подобия прямоугольных треугольников ABD и ОВЕ (∠OBE общий).

Так как △ОВЕ ~ △ABD, то -, откуда:

Поиск решения данной задачи закончен. Здесь не были выполнены обоснования каждого шага поиска, так как они очевидны. Было обращено внимание на другое, а именно на то, что неизвестно в каждой формуле, что надо искать. Действительно, обнаружив на первом шаге анализа, что величины BE и BD неизвестны, мы подбираем для их отыскания необходимые формулы. Этот процесс продолжается до тех пор, пока эти неизвестные величины не будут выражены через известные. Для того чтобы решить задачу, достаточно осуществить обратный (противоположный) переход от четвертого действия к первому. Для облегчения выполнения указанных в поиске решения действий можно последовательно выполнять соответствующие вычисления.

Анализ в процессе поиска решения задачи или доказательства теоремы может по форме быть либо нисходящим, либо восходящим. При нисходящем анализе, исходя из предположения об истинности доказываемого предложения, получают систему следствий, необходимых для существования доказываемого утверждения. Нисходящий анализ требует синтеза — противоположного хода рассуждения. Восходящий анализ имеет целью доказать, что известные (данные в условии) соотношения являются достаточными для существования заключения доказываемого предложения. Восходящий анализ содержит в себе и синтез, поэтому он не требует противоположного хода рассуждения.

Восходящий анализ имеет определенные методические преимущества: обеспечивает сознательное и самостоятельное отыскание доказательства; способствует развитию логического мышления; обеспечивает понимание и целенаправленность действий на каждом этапе рассуждения.

Схема метода проста. Она сводится к выяснению двух вопросов: что требуется найти, доказать и что для этого достаточно знать?

Однако необходимо отметить, что в младших классах целесообразно осуществлять поиск решения задач, доказательства теорем с помощью нисходящего анализа. Это связано с тем, что выводить необходимые признаки легче, чем подбирать достаточные основания для выполнения соответствующих заключений, утверждений.

Рис. 14

Аналитико-синтетический поиск решения геометрических задач позволяет, как и в случае других типов задач, получить механизм выявления их структуры (внутренней структуры) как сложных объектов.

Для выявления структуры рассмотренной выше задачи построим ориентированный граф поиска ее решения с помощью восходящего анализа. Используя выполненный ранее анализ, получаем граф-схему (рис. 14).

Полученная граф-схема представляет собой модель поиска решения задачи, где для каждой вершины определено то или иное отношение. Возникает вопрос: какие вершины графа поиска решения задачи определяют элементы задачи, входящие в ее структуру? Можно утверждать, что эту роль выполняют те вершины графа, на которых выполняется основное отношение, реализованное в задаче.

Выявим прежде всего основное отношение, реализованное в задаче. Оно, как отмечалось ранее, определяется функциональной зависимостью между данными и неизвестными величинами, имеющими место в задаче. В данной задаче такую зависимость выражает отношение подобия, которому соответствует свойство пропорциональности соответствующих сторон подобных треугольников.

В поиске решения задачи 1 равенство

(1)

является следствием указанного свойства. Величина AB в задаче имеет фиксированное значение (AВ = 5), поэтому ее можно рассматривать как коэффициент пропорциональности k. Отношение неизвестных величин BE и BD обозначим через х, т. е. BE/BD = x, а искомую величину OB — через у. Тогда равенство (1) примет вид y = kx. Это и есть основное отношение, реализованное в задаче, которое имеет вид ab = c. В равенствах ВЕ = 1/2 AB (2) и AD = 1/2 АС (4) коэффициент 1/2 не является константой, так как он

выражает лишь одно из значений величин соответственно BE и AD, не зафиксированное в задаче. Поэтому равенства (2) и (4) выражают в частных случаях основное отношение ab = c.

Таким образом, в граф-схеме поиска решения задачи имеются только три вершины, на которых выполняется основное отношение, реализованное в задаче. Этими вершинами являются OB, BE и AD (они обведены кружочком). Остальные вершины графа являются либо данными величинами (AB и АС), либо вспомогательными (число 1/2), либо такой, которой соответствует другое отношение, не являющееся основным (BD).

Следовательно, вершины OB, BE и AD графа поиска решения как минимальные компоненты задачи, на которых выполняется основное отношение аb = с, реализованное в задаче, являются ее элементами. Элемент (ситуация) задачи есть не что иное, как ее структурная единица.

Теперь необходимо установить связи между выделенными элементами структуры задачи. С этой целью используется граф поиска решения и чертеж к задаче. Из граф-схемы следует, что вершины OB и BE взаимосвязаны. Действительно, они являются элементами треугольника ОВЕ и их взаимосвязь учитывалась в процессе поиска решения. Что касается вершины AD, то следует признать, что она не имеет явной связи с вершинами OB и BE графа: вершины OB и AD разделяет вершина BD, не являющаяся, как было показано выше, элементом структуры задачи, а вершины BE и AD принадлежат различным ветвям графа. Чертеж к задаче подтверждает сделанный вывод.

Итак, на основе проведенных рассуждений приходим к выводу о том, что структура задачи имеет вид, показанный на рисунке 15. Сложность задачи: S = 3 + 1 + 2 = 6, так как m = 3, n—1, t = 2.

Задача 2. Определить объем правильной треугольной пирамиды, если плоский угол при вершине равен ос, а радиус окружности, описанной около боковой rрани, равен R.

Дано: SABC — правильная треугольная пирамида, MS — радиус окружности, описанной около боковой rрани, MS = R, ∠BSC = a.

Найти: V пирамиды.

Анализ. Искомое находят по формуле V = 1/3S-Н. Она в данном случае указывает основное отношение, реализованное в задаче. Это — отношение вида ab = с, так как в данной формуле

множитель является константой, который не влияет на вид отношения.

Рис. 15

Рис. 16

Выполним аналитический поиск решения задачи. С этой целью запишем формулу объема пирамиды в обозначениях рисунка 16, в которой площадь равностороннего треугольника (основания пирамиды) вычислим по формуле S = a2√3/4. Исходя из сказанного, имеем:

Поиск решения задачи закончен. Но чтобы выявить структуру (внутреннее устройство) задачи, необходимо построить ориентированный граф поиска ее решения.

На основе аналитической записи поиска решения задачи построим соответствующую граф-схему (рис. 17).

На граф-схеме (графе поиска решения) выделим кружком те вершины, в которых выполняется основное отношение а*b = с. Для этого вновь следует обратиться к аналитической записи поиска решения задачи. Сопоставление аналитической записи поиска и соответствующей ей граф-схемы позволяет сделать следующие выводы:

1) на вершине V первого уровня графа поиска реализовано основное отношение а-b = с, так как оно вытекает из равенства V = , где множитель √3/12 есть константа;

Рис. 17

2) на втором уровне графа из двух вершин ВС и SO, расположенных на этом уровне, только вершине ВС соответствует основное отношение а»b = с, так как в равенстве BC = 2SM-sin ∠BSC множитель 2—константа. Вершине 50 соответствует отношение вида а + b = с, не являющееся основным;

3) на третьем уровне графа расположены четыре вершины: ∠BSC, SM, SB и OВ. Среди них только вершине SB соответствует основное отношение а*b = с, ибо оно вытекает из равенства SB = — BЕ. Вершины ∠BSC и SM — данные задачи, где не выполняется основное отношение, реализованное в задаче. На вершине OB также не выполняется основное отношение, так как в равенстве OВ = 1/√3 ВС множитель является константой и, следовательно, ему соответствует отношение вида а = b, которое мы не рассматриваем как частный случай отношения а*b = с;

4) на четвертом уровне графа поиска расположены также четыре вершины: ∠BSE, BE, 1/√3 и ВС. Здесь только вершинам ∠BSE и BE соответствует основное отношение а«b = с, что следует из равенств ∠BSE = 1/2 ∠BSC и ВЕ = 1/2 ВС. Вершина выполняет на этом уровне графа поиска роль вспомогательного данного, заданного неявно, а вершина ВС является повтором аналогичной вершины второго уровня (уровня более высокого порядка) и поэтому во внимание не принимается;

5) на последующем пятом уровне расположены вершины графа, в которых не выполняется основное отношение, так как им отвечают либо данные (∠BSC и SM), либо вспомогательное данное (1/2)» либо повтор вершины (ВС).

Таким образом, выделенные вершины V, ВС, ∠BSE, SB и BE графа поиска решения задачи являются элементами ее структуры.

Рис. 18

Для получения структуры задачи необходимо установить также связи между ее элементами. Из граф-схемы следует, что между элементами ВС и V структуры задачи установлена явная связь. Явные связи установлены также между элементами /.BSE, SB и BЕ. Между элементами SB и V структуры нет явной связи, ибо их разделяет вершина SO графа, не являющаяся элементом задачи.

В структуре задачи 2, следовательно, выделились два типа связей между ее элементами: явные и неявные.

Так как между SB и V имеет место неявная связь, то связанные с SB элементы /.BSE и BE также не имеют явной связи с элементом V.

Итак, проведенный анализ позволяет сделать вывод о том, что структура задачи 2 имеет вид, показанный на рисунке 18.

Сложность задачи: S = 5 + 3 + 2 = 10, так как m = 5, n = 3, l = 2.

Механизм выявления структуры задачи, по существу, является приемом, позволяющим учителю решать проблему сложности задачи. Он состоит в следующем:

1) на основе анализа функциональных связей между величинами выявить основное отношение, реализованное в задаче;

2) осуществить аналитический поиск решения задачи (с помощью восходящего или нисходящего анализа) в виде последовательности равенств, содержащих переменную (назовем это аналитической записью поиска решения задачи);

3) на основе аналитической записи поиска решения задачи построить ориентированный граф поиска решения, используя при этом выбранный вид анализа;

4) последовательно, продвигаясь по уровням графа поиска, начиная с первого, вниз, а на каждом уровне слева направо, фиксировать элементы структуры задачи (обводятся кружочком) и отмечать их в аналитической записи поиска ее решения;

5) завершить фиксацию элементов задачи на том уровне, на котором оказался последний элемент, не отмеченный ранее в аналитической записи, исключая при этом повторение отмеченных элементов;

6) по графу поиска решения задачи установить явные и неявные связи между элементами задачи, определяемые ребрами и вершинами ориентированного графа поиска;

7) выписать полученную структуру задачи и определить ее сложность.

Задача 2 имеет несколько стратегий поиска. Некоторые из них меняют структуру задачи. Это означает, что задача имеет не-

Рис. 19

Рис. 20

сколько способов решения. Рассмотрим еще один путь поиска решения этой задачи:

7) ВС = 2ВЕ, где BE неизвестно;

8) BE = SB sin ∠BSE, где SB и ∠BSE неизвестны, но были найдены выше соответственно на 3, 4 и 5-м шагах поиска решения задачи.

Поиск решения задачи закончен. Это позволяет построить ориентированный граф поиска (рис. 19).

Анализ графа поиска решения задачи позволяет выписать структуру задачи (рис. 20).

Сложность задачи: 5 = 6 + 4 + 2 = 12, так как m = 6, n = 4, l = 2.

Задача 3. Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 10 см и 26 см, а диагонали перпендикулярны к боковым сторонам (рис. 21).

Рис. 21

Рис. 22

Дано: ABCD — трапеция, AB = CD, AC⊥CD, BD⊥АВ, ВС = 10 см, AD = 26 см. Найти: STp.

Анализ. В соответствии с приемом выявления структуры задачи сначала необходимо установить основное отношение, реализованное в задаче. В данной задаче искомое находят по формуле S = 1/2(BC + AD)-BЕ. Она и определяет основное отношение. Это — отношение вида а-ь = с, так как в данной формуле множитель у- является константой, а сумма величин BC + AD = k имеет фиксированное значение: k = 36. Поэтому k есть коэффициент пропорциональности в функциональной зависимости величин S и BE.

Выполним аналитический поиск решения данной задачи:

Поиск решения задачи закончен. Соответствующий граф поиска решения имеет структуру, показанную на рисунке 22. Структура задачи 3 показана на рисунке 23.

Рис. 23

Сложность задачи: S = 3 + 0+ 1 = 4, так как m = 3, n = 0, l = 1. Рассмотрим другой путь поиска решения задачи 3:

Рис. 24

Поиск решения задачи закончен. Зная, что отношение а-b = с является основным в данной задаче, получаем граф поиска ее решения (рис. 24).

В этом случае структура задачи 3 будет следующей (рис. 25) :

Сложность задачи: S = 3 + 2 + 1 = 6, так как m = 3, n = 2, t = 1.

Заметим, что связи более высокого порядка ограничиваются третьим уровнем графа поиска.

Выявленные структуры задачи 3 показывают, что она является задачей с переменной структурой и, следовательно, имеет не менее двух способов решения.

Выше было отмечено, что у учителя математики имеется теперь возможность ранжировать задачи по степени сложности. Так, при составлении систем упражнений для фронтальной, коллективной, групповой и индивидуальной форм деятельности учащихся на уроке задачи могут предлагаться учащимся с учетом постепенного возрастания их сложности.

Остановимся на приеме применения восходящего анализа к поиску решения геометрических задач на вычисление. Он содержит следующую последовательность действий:

1) записать формулу (в обозначениях чертежа) для нахождения искомого задачи;

2) в этой формуле выявить неизвестные величины, которые достаточно определить, чтобы найти искомое;

3) для каждой неизвестной величины, входящей в исходную формулу, подобрать формулы для нахождения этих величин (последовательно для каждой величины);

4) процесс поиска завершить в тот момент, когда:

а) для последовательности неизвестных величин, участвующих в поиске решения задачи, будут указаны формулы их нахождения и б) для последней неизвестной величины (в этой последовательности) указана формула, в которой неизвестные величины определяются данными задачи.

Рис. 25

В заключение отметим, что прием аналитико-синтетического поиска решения геометрических задач фактически аналогичен соответствующему приему поиска решения текстовых алгебраических задач. Имеет, конечно, место его перестройка, связанная со спецификой геометрических задач на вычисление. Поэтому осознание учащимися сущности приема поиска решения текстовых задач создает необходимые предпосылки его переноса на процесс поиска решения геометрических задач на вычисление.

Для прочного усвоения учащимися аналитико-синтетического поиска решения геометрических задач на вычисление необходима его отработка на конкретных задачах в условиях организации в обучении коллективных форм деятельности школьников. Переход к индивидуальной форме деятельности учащихся путем организации самостоятельной работы возможен лишь после того, как ими осознана сущность этого приема.

§ 4. ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

В дидактике разработана программа самообразовательных умений по классам, на основе которой приняты рекомендации «Развитие общих учебных умений и навыков школьников» [13]. Они содержат три раздела (по годам обучения): 1) организация учебного труда; 2) работа с книгой и другими источниками информации; 3) культура устной и письменной речи. Однако из этой программы неясно, как формирование самообразовательных умений и навыков включается в учебный процесс, в частности в процесс обучения математике.

В практике работы школ накопился положительный опыт использования различных программ типа «НОТ школьника», «Учись учиться» и др. [6, 8, 10]. Организуются специальные внеклассные занятия (например, раз в месяц или в четверть), материалы оформляются на стендах и включаются в уроки. В качестве примера приведем темы некоторых занятий по программе «Учись учиться», проводимых в средней школе № 4 г. Нижневартовска Тюменской области.

Темы занятий

Практические работы

I класс

Азбука организованности. Как хорошо учиться? Знакомство с краткими памятками.

Выполнение режима дня. Выполнение кратких памяток «Как готовить уроки дома», «Азбука организованности», «Контроль за временем работы».

II класс

Как стать наблюдательным, внимательным и настойчивым в учебном труде.

Выполнение памяток «Как стать внимательным?», «Как стать настойчивым?».

Продолжение

Темы занятий

Практические работы

III класс

Техника, умения и навыки рациональной организации труда школьника.

Заполнение анкеты «Хорошо ли ты умеешь учиться?». Выступление учащихся с кратким анализом недостатков в организации своей работы и работы других учащихся.

IV класс

Знания нужны, как винтовка в бою.

Составление личного плана учебной работы на неделю, на месяц. Усвоение приемов активной работы на запоминание учебного материала. Выполнение памяток самоконтроля за учебным трудом и поведением.

За страницами наших учебников.

Ведение дневника чтения, умение спланировать чтение и сделать обобщение о прочитанном на уроке.

V класс

Книга — источник знаний. Как работать с книгой.

Нахождение необходимой книги. Пользование каталогом, составление рецензий и аннотаций.

VI класс

Гигиена и культура умственного труда учащихся.

Подборка тезисов по данной теме, краткое конспектирование основных положений, подготовка и выступление по теме перед учащимися.

Приемы самоконтроля и взаимоконтроля.

Осуществление самоконтроля труда и поведения, контроль за учебой и поведением младших школьников в семье, взаимоконтроль в школе.

VII класс

Что такое НОТ в школе и на производстве?

Основные пути совершенствования учебной работы учащихся.

Хронометраж времени, письменный анализ причин потери времени учеников.

Обследование условий, необходимых для учебной работы дома и в классе. Подготовка рекомендаций по их улучшению в соответствии с требованиями НОТ. Подготовка письменного сообщения на собрании «Что нам мешает хорошо учиться».

VIII класс

Н. К. Крупская и А. С. Макаренко о НОТ в советской школе.

Составление конспекта, подборка тезисов, выставка литературы по НОТ.

Продолжение

Темы занятий

Практические работы

IX класс

Вопросы организации самообразования учащихся старших классов.

Составление личного плана самообразования, конспектирование. Нахождение нужной книги. Осуществление самоконтроля.

Повышение производительности труда — основное требование пятилетки.

Коллективное оформление папки или альбома материалов по теме «НОТ на производстве».

X класс

Требование НОТ к трудовой подготовке молодежи.

Планирование работы по внедрению НОТ в классе. Составление тезисов, докладов, ведение конспекта.

История зарождения и развития НОТ, современное состояние.

Ведение тезисного конспекта, составление докладов.

Научная организация труда и профориентация учащихся.

Подборка литературы для знакомства с предполагаемой будущей профессией.

На уроках продолжается отработка умений и навыков учебного труда учащихся. Дадим их примерный перечень:

1. Рациональное использование учебного времени.

2. Выделение учебной задачи (по всем предметам).

3. Выделение главной мысли в изучаемом тексте.

4. Составление планов прочитанного или изученного, пользование ими.

5. Смысловая группировка материала.

6. Нахождение смысловых опорных пунктов в материале.

7. Составление логической схемы материала.

8. Ведение полного или тезисного конспекта.

9. Владение техникой учебного труда в соответствии с требованиями данной программы.

10. Выполнение требований к ответу учащихся.

11. Использование приемов самостоятельности учебной деятельности.

12. Использование приемов коллективной учебной деятельности.

13. Самоконтроль и взаимоконтроль за учебной деятельностью.

14. Рецензирование ответов учащихся.

15. Выполнение требований к рабочему месту учащихся в школе и дома.

16. Пользование памятками.

17. Подготовка доклада, реферата или сообщения для выступления перед учащимися.

Для отработки указанных умений на уроке учителя школы планируют основную цель по НОТ. Например, при изучении основного свойства степени цель по НОТ — работа с учебником, контроль и самоконтроль в работе; при изучении применения формул сокращенного умножения к тождественным преобразованиям выражений — выполнение требований к устному ответу по алгебре, взаимоконтроль; при изучении производной показательной функции — составление конспекта, во всех классах на уроках, посвященных решению задач, одной из целей по НОТ может быть самоконтроль в работе.

Деятельность учащихся на уроке для достижения намеченной цели организуется по-разному: краткое коллективное или индивидуальное повторение памятки или ее демонстрация тем или иным способом, проверка выполнения домашнего практического задания, включение специальных заданий на использование памяток в самостоятельную работу учащихся на уроке и т. д. Учитель создает ситуации для практического использования памяток; например, на уроке учащиеся под руководством учителя составляют конспект соответствующего пункта учебника.

Анализ литературы и обобщение опыта преподавания математики показали, что для формирования общеучебных организационных умений учащихся учителя используют главным образом следующие приемы: работа с учебником, составление плана ответа по математике, ведение тетради по математике, организация домашней работы, выполнение письменной работы по математике, изучение содержания теоремы (задачи), усвоение теоремы, контроль за усвоением теоремы, общий прием контроля решения задачи и др.

Приведем примерный состав некоторых из этих приемов.

Работа с учебником математики:

1) найти задание по оглавлению;

2) обдумать заголовок (т. е. ответить на вопросы: о чем пойдет речь? Что мне предстоит узнать? Что я уже знаю об этом?);

3) прочитать содержание пункта (параграфа);

4) выделить все непонятные слова и выражения и выяснить их значение (в учебнике, справочнике, у учителя, родителей, товарищей);

5) задать по ходу чтения вопросы и ответить на них (О чем здесь говорится? Что мне уже известно об этом? Что именно об этом сообщается? Чем это можно объяснить? Как это соотносится с тем, что я уже знаю? С чем это нужно не перепутать? Что из этого должно получиться? Для чего это делается? К чему это можно применить? Когда и как применять?);

6) выделить (выписать, подчеркнуть) основные понятия;

7) выделить основные теоремы или правила;

8) изучить определения понятий;

9) изучить теоремы (правила);

10) разобрать конкретные примеры в тексте и придумать свои;

11) провести самостоятельно доказательство теоремы в тетради;

12) составить схемы, рисунки, таблицы, чертежи;

13) запомнить материал, используя приемы запоминания (пересказ по плану, чертежу, схеме, мнемонические приемы, повторение трудных мест);

14) ответить на конкретные вопросы в тексте;

15) придумать и задать себе такие вопросы.

Составление плана ответа по математике:

1) выделить понятия, которым нужно дать определение;

2) выделить теоремы или правила, которые нужно сформулировать и доказать;

3) выделить определения, теоремы, правила, на которые нужно сослаться при доказательстве;

4) составить доказательство теоремы или правила;

5) продумать записи на доске во время ответа;

6) показать, где и как применяется теорема (правило);

7) сделать вывод.

Прием усвоения теоремы:

1) прочитать теорему (по учебнику, тетради);

2) усвоить содержание теоремы (используя прием работы над теоремой);

3) выучить формулировку теоремы;

4) рассмотреть (если есть) чертеж, усвоить его;

5) прочитать доказательство, обосновывая каждый этап, следя по чертежу;

6) повторить доказательство;

7) сделать свой чертеж;

8) доказать с его помощью теорему самостоятельно;

9) если нужно, проверить себя, прочитав доказательство еще раз;

10) попробовать найти другой способ доказательства.

Контроль за усвоением теоремы:

1) проверить, правильно ли усвоена формулировка теоремы;

2) доказать теорему самостоятельно;

3) проверить, правильно ли использованы при доказательстве известные определения и предложения;

4) проверить правильность выполнения чертежа;

5) проверить ход доказательства;

6) проверить, удалось ли достичь цели.

Организация домашней работы по математике:

1) ознакомиться с заданием;

2) вспомнить, что изучали на уроке, просмотреть записи в тетради;

3) прочитать и усвоить материал учебника;

4) выполнить письменные задания;

5) составить план ответа.

Выполнение письменной домашней работы:

1) прочитать задания, изучить их;

2) продумать, какие правила и приемы следует применить для их выполнения, пользуясь, если нужно, предыдущей письменной работой, общими и частными приемами решения задач;

3) если нужно, выполнить задания полностью или частично на черновике;

4) проверить тем или иным способом решения задач;

5) записать выполненные задания в тетрадь, соблюдая правила ведения тетради по математике.

Общий прием контроля решения задачи:

1) проверить правильность записи условия;

2) проверить ход решения, правильно ли использован прием решения;

3) проверить правильность записей и чертежей;

4) проверить вычисления;

5) исследовать решение, рассмотреть частные случаи;

6) рассказать кратко ход решения задачи;

7) полезно проверить решение у товарища.

Подобные приемы организации учебной деятельности учащихся по изучению математики можно найти в методической литературе, некоторые учителя составляют их сами. Для достижения успеха в этой работе напомним, что в зависимости от особенностей изучаемого материала и этапа процесса обучения, от учебных задач, решаемых на этом материале и на данном этапе, приемы учебной деятельности могут быть различными способами получены один из другого. Это можно сделать (как показано в § 1 гл. II и § 1 гл. III) обобщением частных приемов, специализацией и конкретизацией обобщенного приема, перестройкой и варьированием действий в составе приема. Аналогично поступаем при составлении приемов организации учебной деятельности учащихся. Сравните, например, приведенные на с. 78 приемы усвоения теоремы и контроля за усвоением теоремы. Используя приемы дедуктивного доказательства теорем, описанные в § 1 гл. II, можно сформулировать приемы усвоения доказательства теорем и контроля за их усвоением и т. д.

Отметим, что среди этих приемов организации учебной деятельности учащихся наиболее важным в обучении являются приемы работы с книгой (учебником, справочником, популярной

книгой по математике и т. д.). Здесь можно выделить следующие основные виды упражнений, используемых на различных этапах формирования приемов учебной деятельности:

1) Найти ошибку («ошибающийся учитель»).

2) Найти незнакомые слова в тексте и выяснить их значение.

3) Найти непонятные словосочетания в тексте и выяснить их значение.

4) Выделить в тексте основные мысли.

5) Разделить текст на смысловые части.

6) Собрать текст (его варианты) из отдельных частей.

7) Составить схемы, рисунки, краткий конспект по тексту.

8) Сформулировать вопросы к тексту.

9) Найти в тексте ответы на данные вопросы.

Выбор видов упражнений на уроке диктуется самим учебным текстом, его доступностью и целесообразностью использования для самостоятельной работы учащихся, возможностями учащихся, уровнем сформированности у них приемов работы с учебником, целями учебной деятельности и т. д. Приведем примеры упражнения для работы с текстом учебника математики при изучении различных вопросов курса.

Тема: Уравнение с одной переменной.

Здесь происходит систематизация и обобщение изученного и определение основных понятий, уже знакомых учащимся. Текст учебника может быть дан для самостоятельного изучения. При этом нужно выполнить следующие упражнения:

1) Выделите в тексте главные смысловые части.

2) Найдите по тексту ответы на вопросы: что такое: а) линейное уравнение; б) корень уравнения; в) решить уравнение? Какие бывают случаи решения линейного уравнения? Сколько решений может иметь: а) линейное уравнение; б) нелинейное уравнение?

3) Найдите в тексте слова-ориентиры.

4) Найдите в тексте учебника разъяснение того, как решается: а) линейное уравнение; б) задача с помощью линейного уравнения.

5) Найдите по словарю-указателю второго тома Детской энциклопедии понятие «уравнение». Прочитайте в статье «Как люди учились решать уравнения» о решении линейных уравнений.

6) Найдите в литературе примеры старинных задач, решаемых с помощью уравнений.

Тема: Общие сведения о площадях фигур.

Здесь обобщается идея измерения геометрических величин, знакомая учащимся из предыдущего материала. Текст учебника может быть дан для самостоятельного чтения с последующими ответами на вопросы:

1) Что принимается за единицу измерения площади?

2) Какие единицы измерения площади вы знаете? Сравните с единицами измерения длины.

3) Перечислите свойства площади.

4) Обладает ли аналогичными свойствами длина отрезка?

Тема: Целая и дробная части числа.

Самостоятельно прочитать текст учебника и выполнить задания:

1) Дайте определение целой части числа и запишите обозначение.

2) Приведите пример числа и его целой части.

3) Дайте определение дробной части числа и запишите обозначение.

4) Приведите пример числа и его дробной части.

Хорошим упражнением с учебником математики является составление «родословных» теорем, определений, задач; другие конкретные рекомендации по организации работы с учебником математики широко представлены в литературе для учителя [например, 1, 11, 14, 20, 22].

Глава III

ФОРМИРОВАНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ ПРИЕМОВ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ

Выделение приемов решения уравнений

В данной главе рассматриваются примеры таких приемов учебной деятельности учащихся по усвоению математики, которые получаются путем обобщения частных приемов решения конкретных задач в рамках одной содержательно-методической линии школьного курса. Такие обобщенные приемы учебной деятельности мы назвали специальными (с. 15). Содержание этого параграфа составляет методика формирования обобщенного приема решения уравнений и неравенств с одной переменной.

Рассмотрим закономерность формирования обобщенного приема решения уравнений и неравенств с одним неизвестным алгебраическим способом. Она вытекает из следующего. Для того чтобы решить любое уравнение или неравенство с одной переменной, учащийся должен знать: во-первых, правило, формулы или алгоритмы решения простейших уравнений (неравенств) данного вида и, во-вторых, правила выполнения тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых данное уравнение (неравенство) можно привести к простейшим.

Таким образом, решение каждого уравнения (неравенства) складывается из двух основных частей: 1) преобразования данного уравнения (неравенства) к простейшим; 2) решения простейших уравнений (неравенств) по известным правилам, формулам или алгоритмам. При этом если вторая часть решения является алгоритмической, то первая — в значительной степени (и тем большей, чем сложнее уравнение или неравенство) — эвристической. Именно правильный выбор необходимых тождественных и равносильных преобразований, как и всякий поиск решения задачи, представляет наибольшую трудность для учащихся.

Обучение решению уравнений и неравенств начинается с простейших их видов, и программа обусловливает постепенное накопление как их видов, так и «фонда» тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение или неравенство к простейшим. В этом направлении

следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств в школьном курсе алгебры.

Обобщение приемов решения уравнений

Обобщение способов деятельности учащихся при решении уравнений и неравенств происходит постепенно. Выделим следующие этапы процесса обобщения приемов решения уравнений:

решение простейших уравнений данного вида;

анализ действий, необходимых для их решения;

вывод алгоритма (формулы, правила) решения и запоминание его;

решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;

анализ действий, необходимых для их решения;

формулировка частного приема решения;

применение полученного частного приема по образцу, в сходных ситуациях, в легко осознаваемых вариациях образца;

работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе;

сравнение получаемых частных приемов, выделение общих действий в их составе и формулировка обобщенного приема решения;

применение обобщенного приема в различных ситуациях, перенос и создание на его основе новых частных приемов для других видов уравнений.

Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на создание ситуаций (условий) для реализации этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики и контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения уравнения или неравенства, его формулировки, отработки и применения.

В V—VI классах при изучении числовых множеств в учебниках формулируется довольно много алгоритмов действий над числами и правил простейших тождественных преобразований выражений. Формулировка частных приемов решения различных простейших уравнений первой степени может естественно вписаться в этот процесс, не ограничиваясь, как это делают школьные учебники алгебры, объяснениями на примерах.

Проводя работу по этапам процесса обобщения, к концу изучения курса математики V—VI классов можно сформировать у учащихся, во-первых, обобщенный прием решения уравнения первой степени с одной переменной в следующем виде:

1) рассмотреть данное уравнение, отметить его особенности;

2) установить, какие из следующих упрощений уравнения можно сделать: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, приведение подобных слагаемых в левой и правой частях уравнения, раскрытие скобок, деление обеих частей на коэффициент при неизвестном;

3) упростить уравнение;

4) найти значение неизвестного;

5) записать ответ.

Во-вторых, можно сформулировать и обобщенный прием решения задан с помощью уравнений, например, так, как это сделано в учебнике «Алгебра-7» под редакцией С. А. Теляковского (М., 1989): «...поступают следующим образом: обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение; решают это уравнение; истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи».

В таком виде оба приема следует повторить в начале систематического изучения курса алгебры в VII классе, затем уточнить их с учетом того, что здесь дают определения основным понятиям (уравнения, корня, равносильности, линейного уравнения).

Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по алгебре объясняют также на примерах. Отработав частные приемы решения неполных квадратных уравнений и по дискриминанту, уместно сформулировать обобщенный прием решения квадратного уравнения (по аналогии с приемом решения уравнения первой степени):

1) определить, является ли уравнение простейшим (неполным или полным) квадратным уравнением; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;

2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к простейшему: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных;

3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к квадратному уравнению аx2 + bх + с = 0, где а > 0;

4) проверить равенство коэффициентов b и c нулю; если b = 0 или с = 0, то п. 5, если b ≠ с ≠ 0, то п. 6;

5) найти X по правилам: при b = с = 0 x1,2 = 0; при с = 0 и b ≠ 0

6) найти дискриминант уравнения

7) найти X по формуле:

8) если нужно, сделать проверку;

9) записать ответ.

Формирование этого приема не только помогает учащимся овладеть способом решения квадратных уравнений, но и подсказывает им общие компоненты деятельности при алгебраическом решении уравнений. Та же идея подкрепляется решением задач с

помощью квадратных уравнений, где уместно использовать перенос уже известного приема решения задач с помощью уравнений первой степени.

Изучение темы «Неравенства» дает возможность, проанализировав и обобщив действия в составе приемов решения уравнений, сформулировать соответствующие приемы решения неравенств. Это способствует еще большему обобщению приемов учебной деятельности, что в теоретическом плане приводит к усвоению учащимися более глубоких связей в изучаемом материале и создает предпосылки для дальнейшего обобщения приемов решения задач, а в практическом — к возможности запоминать меньшее количество приемов. Сформулируем обобщенный прием решения уравнений (неравенств) первой степени с одной переменной:

1) определить, является ли уравнение (неравенство) линейным; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;

2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение (неравенство) к линейному: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных;

3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение (неравенство) к линейному ax = b(ax > b);

4) найти

5) если нужно, сделать проверку, исследование;

6) записать ответ (если нужно, изобразив его на числовой оси).

После изучения алгоритма решения простейшего неравенства второй степени с одной переменной ах2 + bх + с<>0 можно сформулировать аналогично обобщенный прием решения уравнений (неравенств) второй степени с одной переменной.

Изучение рациональных уравнений вносит в процесс решения уравнений существенно новый компонент, связанный с рассмотрением области определения выражения, входящего в уравнение, и возможных посторонних корней.

Учитывая это, сформулируем прием решения рационального уравнения:

1) определить, является ли данное дробное уравнение простейшим, т. е. уравнением вида P(x)/Q(x) = 0; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;

2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к виду P(x)/Q(x) = 0: раскрытие скобок, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных, приведение к общему знаменателю;

содержащей: а) целое уравнение, полученное из данного умножением на общий знаменатель Q (x); б) неравенство, характеризующее область определения дроби;

3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к виду

4) заменить данное уравнение равносильной ему системой

5) решить полученную систему;

6) если нужно, сделать проверку;

7) записать ответ.

программа по математике 1л класса предусматривает знакомство и с некоторыми общими для всех видов уравнений приемами преобразования уравнений к простейшим (разложение левой части на множители и введение вспомогательной переменной), графическим способом решения уравнений, решения систем уравнений второй степени, решения задач с помощью систем уравнений на примерах.

Нетрудно заметить, что разложение левой части на множители и введение вспомогательной переменной служит очередным расширением «фонда» преобразований уравнений и неравенств к простейшим. Тогда к концу изучения курса алгебры неполной средней школы обобщенный прием алгебраического решения уравнений может иметь следующий вид:

1) определить, является ли данное уравнение простейшим уравнением какого-нибудь вида; если «да», выполнять п. 4, если «нет» — п. 2;

2) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к простейшим данного вида: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных, разложение левой части на множители, введение вспомогательной переменной, возведение обеих частей в степень, замена уравнения равносильной ему системой уравнений и неравенств;

3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение к простейшим;

4) решить известным способом простейшее уравнение;

5) если нужно, сделать проверку, исследование;

6) записать ответ.

Сформулировав обобщенный прием решения уравнений в теме

«Уравнения и системы уравнений», учащиеся могут его отрабатывать, применять, переносить и закреплять при изучении темы «Прогрессии» и при обобщающем повторении курса алгебры. С его повторения, причем в несколько свернутом виде (как это сделано на с. 17), следует начать изучение новых видов уравнений

в старших классах, так как на основе обобщенного приема частные приемы изучаемых здесь видов уравнений учащиеся могут сформулировать самостоятельно.

Так, изучив формулы и правила решения простейших тригонометрических уравнений sinx = a, cosx = a, tgx = a и основные тригонометрические преобразования, можно конкретизировать обобщенный прием решения тригонометрических уравнений:

1) определить, является ли уравнение простейшим тригонометрическим уравнением; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;

2) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к простейшим тригонометрическим уравнениям: общие для всех уравнений преобразования и специальные тригонометрические преобразования (с использованием основных тригонометрических тождеств, формул приведения, теоремы сложения и следствий из нее, формул понижения степени, преобразований тригонометрических сумм в произведение и обратно);

3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение к простейшим;

4) найти решения простейших уравнений по соответствующим формулам;

5) если нужно, сделать проверку, исследование;

6) записать ответ.

Аналогично можно организовать работу по формированию приемов решения иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.

В иррациональных и логарифмических уравнениях и неравенствах предъявляются свои требования к области определения входящих в них выражений, появляются различные сочетания этих требований, что создает предпосылки для формулировки обобщенного приема определения ОДЗ уравнения или неравенства и вносит дополнения в «фонд» преобразований их к простейшим. Сформулируем некоторые из них.

Обобщенный прием решения иррациональных уравнений и неравенств:

1) определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т. е. вида √f(x) ⩾ √φi(x); если «да» то п. 4, если «нет» — п. 2;

2) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшим иррациональным уравнениям (неравенствам): общие для всех уравнений и неравенств преобразования и специальные преобразования, основанные на свойствах арифметических корней;

3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) к простейшему;

4) заменить данное уравнение (неравенство) равносильной ему системой

(или уравнением (неравенством) f(x) ⩾ φ(x) для n = 2k+1), содержащей: а) рациональное уравнение (неравенство), полученное из данного возведением в соответствующую степень п\ б) неравенства, характеризующие область определения корня четной степени n = 2k;

5) решить полученную систему;

6) если нужно, сделать проверку;

7) записать ответ.

Обобщенный прием решения показательных уравнений н неравенств:

1) определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т.е. вида аf(х) ⩾ аφ(х); если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;

2) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшим показательным уравнениям (неравенствам) : общие для всех уравнений и неравенств преобразования и специальные преобразования, основанные на свойствах степеней, уравнивание оснований степеней, логарифмирование;

3) с помощью выбранных преобразовании привести уравнение (неравенство) к простейшему;

4) исходя из свойств показательной функции, перейти от простейшего показательного уравнения (неравенства) к уравнению f(x) = q > (x) (неравенству f(х) > φ(х) при а > 1 и f(x) ⩽ p(x) при 0 < а < 1);

5) решить полученное уравнение (неравенство);

6) если нужно, сделать проверку;

7) записать ответ.

Обобщенный прием решения логарифмических уравнений и неравенств:

1) определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т.е. вида lgf(x) ⩾ lgφ(x); если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;

2) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшим логарифмическим уравнениям (неравенствам): общие для всех уравнений и неравенств преобразования и специальные преобразования, основанные на определении и свойствах логарифмов, потенцирование;

3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) к простейшим;

4) заменить данное уравнение (неравенство) равносильной ему системой

содержащей: а) алгебраическое уравнение (неравенство), полученное из данного с помощью специальных преобразований (п. 2); б) неравенства, полученные на основе области определения логарифмической функции и ее свойств;

5) решить полученную систему;

6) если нужно, сделать проверку;

7) записать ответ.

Методика формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств

Отметим некоторые методические приемы формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств в соответствии с рассмотренными в § 2 гл. II этапами формирования приемов учебной деятельности учащихся.

На этапе диагностики уместны самостоятельные работы по алгебре с дополнительными диагностическими заданиями (гл. II, § 2), анализ этих работ, устные беседы с учащимися.

На этапе постановки целей можно использовать методические приемы, отмеченные в § 2 гл. II.

Рассмотрим пример введения приема графического решения уравнений с одной переменной на этапе инструктажа. Эту работу на уроке можно организовать следующим образом:

— Предложить учащимся рассмотреть предложенные в тексте учебника рисунки и прочитать пояснения к ним.

— На основании этого выполнить упражнения из учебника (решить графически уравнения 6/x = 2х+1 и x2 — 2х — 3 = 0, которые нужно (по указанию) представить в виде x2 = 2х + 3).

— Предложить учащимся самостоятельно сформулировать состав приема с помощью вопроса: какие действия были выполнены в процессе графического решения уравнения?

— Сформулировать состав приема в виде:

1) если нужно, преобразовать уравнение к виду f (x) = φ (x);

2) построить графики функций y = f(x) и у = φ(х) в одной и той же системе координат;

3) найти абсциссы точек пересечения графиков;

4) записать ответ.

Выполнить упражнения из учебника, используя состав приема.

Большую помощь в обучении приемам учебной деятельности оказали бы инструкции, содержащие состав приема. Приведем примерный перечень инструкций по теме «Уравнения и неравенства».

VII класс.

Частный прием алгебраического решения линейного уравнения (см. с. 17).

Обобщенный прием решения задач с помощью уравнений:

1) изучить содержание задачи (выявить: а) название величин, содержащихся в задаче; б) функциональные связи и основное отношение между ними; в) количество различных ситуаций в задаче; г) известные и неизвестные величины в каждой ситуации и связи между ними; если удобно, оформить полученные данные в виде таблицы — см. с. 58—60);

2) в зависимости от данных, полученных в п. 1, выбрать величину, которую удобно (наиболее выгодно для решения) принять за неизвестное, и записать ее обозначение;

3) выразить (на основе п. 1) все величины в задаче через неизвестное и данные;

4) используя основное отношение и найденные зависимости между величинами (или выписав их из таблицы поиска), установить равенство или неравенство однородных и записать на этой основе уравнение;

5) решить полученное уравнение;

6) вычислить значение искомой величины;

7) выполнить, если нужно, проверку, исследование;

8) рассмотреть возможность других способов решения задачи (на основе других зависимостей между величинами), выбрать наиболее рациональный;

9) записать ответ.

Обобщенный прием проверки решения текстовой задачи:

1) проверить этапы составления уравнения (по условию задачи, составлением другого уравнения);

2) проверить правильность выполнения тождественных и равносильных преобразований в решении уравнения;

3) проверить вычисления;

4) составить и решить арифметическую задачу, обратную данной;

5) если можно, решить задачу другим способом.

Следующие приемы можно сформулировать по аналогии или с небольшой перестройкой предыдущих, что мы предлагаем читателю сделать самостоятельно:

прием алгебраического решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля;

прием решения уравнений разложением левой части на множители; прием решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом алгебраического сложения;

прием решения задач с помощью системы уравнений.

VIII класс.

Прием решения рациональных уравнений (с. 85—86).

Прием алгебраического решения квадратных уравнений (см. с. 84).

Прием решения неравенств первой степени с одной переменной (см. с. 85).

IX класс.

Обобщенный прием алгебраического решения уравнений (см. с. 86). Обобщенный прием алгебраического решения системы уравнений с двумя переменными:

1) изучить особенности уравнений системы;

2) установить, какой из способов (подстановки, алгебраическое сложение, искусственный прием) использовать для получения одного уравнения с одной переменной;

3) применив выбранный способ, получить уравнение с одной переменной;

4) решить полученное уравнение с одной переменной;

5) найти значение второй переменной;

6) если нужно, сделать проверку;

7) записать ответ.

Обобщенный прием графического решения системы уравнений с двумя переменными:

1) изучить особенности уравнений системы;

2) если нужно, упростить уравнения системы;

3) построить графики уравнений системы в одной и той же системе координат;

4) найти координаты точек пересечения графиков;

5) записать ответ.

Обобщенный прием алгебраического решения уравнений и неравенств первой и второй степени с одной переменной (с. 85).

Такие инструкции можно поместить на обложках тетрадей по математике, на стендах в кабинете математики, на диапозитивах и кодопленках.

Новые возможности открываются здесь в связи с вопросами использования ЭВМ в учебном процессе. Предъявление учащимся приема учебной деятельности на экране дисплея позволяет более гибко управлять процессом сознания и усвоения учащимися различного уровня подготовленности, осуществлять обратную связь с каждым из них, особенно на этапах практических упражнений по отработке приема и контроля.

В приложении 6 в порядке эксперимента приводится пример учебной программы для ЭВМ, составленной на основе приема учебной деятельности. Мы рекомендуем учителю испробовать ее в процессе обучения как в данном виде, так и с необходимыми, с его точки зрения, изменениями. Программа полезна при организации самостоятельной работы учащихся. Там же приводится схема алгоритма программы.

В приведенной ниже таблице показано, как организуется деятельность ученика по решению неравенства с опорой на обобщенный прием решения уравнений и неравенств.

Состав приема деятельности

Деятельность ученика

1. Определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим какого-нибудь вида; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2.

Устанавливают, что это неравенство второй степени с одной переменной не является простейшим.

2. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшим данного вида: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных, разложение левой части на множители, введение вспомогательной переменной, замена уравнения (неравенства) равносильной ему системой уравнений и неравенств.

Устанавливают, что для приведения неравенства к простейшему нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые влево, оставив в правой части нуль, привести подобные.

3. С помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) к простейшим.

Выполняют преобразования:

4. Решить известным способом простейшие уравнения (неравенства).

Находят промежутки, в которых квадратная функция y = 8x2 — 2x + 9 положительна:

Продолжение

Состав приема деятельности

Деятельность ученика

Уравнение не имеет корней и 0 при любом x.

5. Если нужно, сделать проверку, исследование.

Подставляют в неравенство произвольное значение:

6. Записать ответ.

Ответ: (—∞; + ∞).

На этапе практических упражнений по отработке приемов решения уравнений и неравенств может быть использована система упражнений в действующих учебниках алгебры восьмилетней школы. Она содержит упражнения тех трех групп, которые отмечены в § 2 гл. II. Так, упражнения, направленные на усвоение отдельных составляющих действий основного приема, предусмотрены расположением учебного материала в учебниках; например, после изучения способов разложения целого выражения на множители рассматривается решение уравнений, приводящихся к виду (ax + b) (cx+d) = 0; после тождественных преобразований рациональных выражений — решение уравнений с переменной в знаменателе дроби и т. д.

Учитель сам может подобрать такие задачи. Например, для отработки составляющих действий приема решения задач с помощью уравнения полезно рассмотреть упражнения вида:

а) прочитать данное выражение, выяснить его смысл;

б) записать в виде выражения (формулы) данные (часто употребляемые), словесно формулируемые зависимости;

в) из данных величин составить новые;

г) записать решение арифметической задачи в виде формулы;

д) прочитать данное равенство, выяснить его смысл;

е) записать в виде равенства выраженные словами соотношения между числами, величинами (например: «Одна сторона прямоугольника х см, вторая — на 2 см больше. Выразить через X вторую сторону, периметр, площадь прямоугольника» или «Расстояние между пунктами х км, пешеход прошел а км. Какую часть пути он прошел?»);

ж) дана таблица:

Найти в таблице одинаковые числовые значения выражений 2x+1 и 3х — 2. При каком значении х это будет выполняться? Сколько и какие выражения записаны в таблице? Составить

равенство, используя эти выражения. Назвать части равенства. Можно ли их поменять местами? При каком значении х обе части равенства равны?

На этапе контроля и коррекции уместны традиционные самостоятельные и контрольные работы, в которые дополнительно включаются диагностирующие вопросы и задания.

Хорошим видом упражнения на этом этапе является задание «найти ошибку». Здесь необходимо проверить правильность выполнения каждого составляющего действия приема в применении к данной задаче.

Например, найти ошибку в решении уравнений:

Подобные задания формируют один из общих приемов самоконтроля. Учащиеся учатся самостоятельно анализировать свою работу по математике и корректировать ее.

На этапе применения приемов решения уравнений и неравенств используются все те методические приемы, которые описаны в § 2 гл. II. На этом этапе полезно использовать обобщающие таблицы.

Например:

В таблице показаны в обобщенном виде различные ситуации применения усвоенных приемов в изучении данной темы. Во-первых, здесь для решения уравнений, неравенств и их систем применяются приемы вычислений, тождественных преобразований и т. д. Во-вторых, приемы решения уравнений, неравенств и их систем применяются при решении текстовых задач алгебраическим методом. В-третьих, приемы решения таких задач применяются в смежных предметах и практике.

Использовать таблицу можно как по мере изучения материала, так и на специальных обобщающих уроках и уроках повторения.

Как происходит обобщение приемов решения уравнений, описано на с. 83. На основе обобщенных приемов осуществляется обучение их переносу. С этой целью полезно использовать нестандартные задачи. Приведем примеры нестандартных задач по теме «Уравнения».

Задача 1. Доказать, что если дискриминант квадратного уравнения ах2 +bx+c = 0 равен нулю, то левая часть этого уравнения есть полный квадрат.

Задача 2. Доказать, что квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 не может иметь более двух различных корней.

Задача 3. Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение x3 + ах2 +bх + с = 0 приводилось к виду (x2 + m) (х+п) = 0, и указать простейший способ получения корней уравнения.

Задача 4. Указать необходимое и достаточное условие того, чтобы один из корней многочлена был равен нулю.

Задача 5. Существуют ли такие значения а, при которых число а—1 является корнем уравнения x3—ах+1 = 0?

Задача 6. Показать, что число а — b при любых значениях а и b является корнем уравнения x3 + 3axb + b3 — a3 = 0.

Задача 7. Решить уравнения:

При решении таких задач нужно, распознав вид задачи, осуществить перенос известного приема — применить его в новой ситуации. Например, в задаче 1 нужно использовать прием прямого доказательства теорем (изучаемый в основном на уроках геометрии).

Прием решения. Выводить следствия из данных теоремы и из полученных следствий до тех пор, пока не получится ее заключение.

Решение.

что и требовалось доказать.

В задаче 2, представляющей собой теорему, обратную известному свойству о числе корней квадратного уравнения, нужно использовать (как во многих подобных случаях) прием доказательства от противного.

Прием решения.

1) Предположить противное тому, что надо доказать.

2) Выводить следствия из предположения до тех пор, пока не получится противоречие с каким-либо известным предложением.

3) Отметить полученное противоречие,

4) Сделать вывод.

Решение.

1) Предположим, что данное уравнение имеет три различных корня x1, x2, x3.

2) x1, x2, x3 — корни данного уравнения. Отсюда следует,

верные равенства, которые можно почленно вычитать. Значит,

верные равенства. Поэтому

3) Получили противоречие с определением квадратного уравнения, где а ≠ 0.

4) Следовательно, предположение неверно и верно то, что требовалось доказать: квадратное уравнение не может иметь более двух различных корней.

Аналогично непосредственным применением или переносом соответствующего приема решаются остальные задачи. В задаче 7 учащиеся должны, как это требует прием решения уравнения, главное внимание уделить пп. 1, 2 приема: определить (если данное уравнение не является простейшим), к какому виду уравнения его можно отнести и какие тождественные и равносильные преобразования нужно сделать, чтобы преобразовать его к простейшим. Так, можно определить, что иррациональное уравнение а) — показательное б) — не имеет решения, уравнения г) и м) можно решить разложением левой части на множители, уравнения в) и е) содержат переменную под знаком модуля, уравнения д), и), к) —уравнения с переменной в знаменателе дроби, уравнения з), м) —уравнения первой степени с одной переменной, л) — неполное квадратное уравнение. Выполнив это действие обобщенного приема, учащиеся уже без затруднений применяют его.

Для обобщения приемов и обучения учащихся переносу используются любые виды подведения итогов учебной деятельности учащихся, в частности обобщающие уроки, на которых предметом

обобщения является не только содержание материала, но и приемы учебной деятельности по его усвоению и применению.

Примерная методическая схема сдвоенного обобщающего урока:

1. Выборочная проверка выполнения домашних упражнений (3—4 учащихся).

2. Фронтальная беседа по материалу темы с целью его теоретического обобщения:

а) определение основных понятий, устные упражнения на подведение под понятие и выведение следствий из определения; при необходимости повторение соответствующих приемов деятельности;

б) формулировка основных задач в данной теме и обобщенных приемов их решения; при необходимости дополнительные вопросы: какие из составляющих действий приема являются в нем главными, приемы решения каких задач целиком входят в его состав, где применяются рассматриваемые приемы в других темах курса алгебры и смежных предметов?

3. Разбор решения упражнений на доске с комментариями относительно использования приемов решения; при необходимости дополнительное решение упражнений по теме у доски или демонстрации образцов решения с помощью кодоскопа или переносных досок с целью закрепления обобщенных приемов решения основных задач и приемов самоконтроля; желательна задача из смежного предмета.

4. Самостоятельное решение задач на уровне экзаменационных.

5. В домашнее задание (на основе анализа и обобщения итогов урока) по усмотрению учителя можно включить наряду с новой темой (может быть, для индивидуальной работы) еще упражнения по этому же материалу.

Этап закрепления обобщенных приемов решения уравнений, неравенств и их систем требует от учителя постоянно побуждать учащихся использовать приемы учебной деятельности и способы их переноса в различные ситуации.

Алгебраическим способом решаются многие задачи по геометрии, физике, астрономии, химии. В задачах различны только величины и их обозначения, типичные для данной науки, а математический аппарат, используемый для их решения, один и тот же (что не исключает некоторой перестройки общего приема решения таких задач при переносе).

Например, такие задачи из курсов геометрии и алгебры и начал анализа:

определить число сторон правильного многоугольника, если каждый из его внутренних углов имеет величину 150°, вычислить толщину дерева, обхват которого 2 м, вычислить сторону ромба, если его диагонали 4,6 см и 6,4 см, найти точку пересечения графика функции y = f(x) с осью Ох, найти критические точки функции y = f(x)

сводятся к решению уравнений соответственно:

Еще чаще используются в математическом анализе решение и доказательство неравенств.

В общей схеме решения физических задач выделяются: анализ физической сущности задачи и перевод значений физических величин в единицы С. И. Остальные действия, по существу, совпадают с действиями, определяемыми общим приемом решения задач с помощью составления уравнений в алгебре (с. 90). Сравнивая этот прием с приемом решения физической задачи, можно отметить, что в последнем действия 3 и 4 общего алгебраического приема иногда заменяют одним, а иногда вместо составления системы уравнения выписывают цепочку взаимосвязанных формул до тех пор, пока искомая величина не будет полностью выражена через известные (в задачах, для решения которых необходимо применить не менее двух физических законов).

Но во всех случаях учащимся нет необходимости разучивать специальные способы решения физических задач (в их математической части). Они должны сознательно применять приемы решения, сформулированные на уроках математики.

Рассмотрим примеры задач из школьных курсов физики и химии с комментариями отдельных действий приема решения задач составлением уравнений.

Задача 1. Вагон массой 20 т, движущийся со скоростью 0,3 м/с догоняет вагон массой 30 т, движущийся со скоростью 0,2 м/с. Какова скорость вагонов после взаимодействия, если удар неупругий?

1) При изучении условия задачи учащиеся особое внимание уделяют выяснению смысла физического термина «удар неупругий», что позволяет на основе ранее полученных знаний сделать заключение: после взаимодействия скорость вагонов стала одинаковой.

2) Вводятся обозначения для всех величин, участвующих в задаче: m1 и v1 — масса и скорость первого вагона до взаимодействия, m2 и v2 — масса и скорость второго вагона до взаимодействия, v — скорость вагонов после взаимодействия; выясняется, для каких величин из пяти даны конкретные значения, для какой требуется найти. Вывод сопровождается соответствующей записью.

3) Выясняется, что в данной ситуации к замкнутой системе, состоящей из двух вагонов, можно применить закон сохранения импульса; этот закон как раз и устанавливает связь между искомой v и известными m1, m2, v1, v2 величинами.

4) Согласно закону сохранения импульса полный импульс обоих вагонов до и после взаимодействия одинаков, т. е.

(1)

5) Чтобы произвести необходимые вычисления, учащиеся переходят от векторного уравнения к его скалярной записи, выбрав соответствующим образом систему координат. В данном случае координатную ось Ох направляют вдоль железнодорожного пути по направлению движения вагонов. Тогда уравнение (1) записывают через проекции скоростей так: m1v1+ m2v2 = (m1 + m2)v. Полученное уравнение является линейным относительно переменной v, его корень

(2)

Чаще всего для определения искомой величины находят сначала общую формулу (2), а затем следует п. 6.

6) В полную общую формулу подставляют числовые значения данных величин с их наименованиями и одновременно производят соответствующие операции над числами и наименованиями. В данном случае

7) Ответ:

Задача 2. Какой объем оксида серы при нормальных условиях получится при сгорании 1 кг серы?

1) Изучение условия задачи связано с составлением уравнения реакции, в данном случае S + O2 = SO2.

2), 3) Вводятся обозначения для искомой величины х и устанавливается ее связь с данными, исходя из уравнения реакции (32 г серы дают 1 моль SO2) и условия задачи (при нормальных условиях объем 1 моля SO2 равен 22,4 л):

4) Поскольку эти величины находятся в прямой пропорциональной зависимости, то уравнение, связывающее данные и искомые величины, получается в виде пропорции: 32:1000 = 22,4:x.

5) Полученное уравнение линейное, его решение

6) Ответ: 700 л.

Методика работы учителя по обучению учащихся нахождению новых приемов уже иллюстрировалась в § 2 гл. II и первой части настоящего параграфа. Это — обобщение частных приемов решения, аналогия, конкретизация и специализация обобщенных приемов для новых видов уравнений и неравенств.

Приведем примеры нахождения новых приемов путем аналогии и перестройки известных.

Прием графического решения уравнений с одной переменной может быть получен из приема графического решения системы уравнений с двумя переменными (или наоборот, в зависимости от расположения материала в программе). Из него, в свою очередь, можно получить прием графического решения неравенств и их систем, затем обобщенный прием графического решения уравнений, неравенств и их систем.

По аналогии с обобщенным приемом алгебраического решения уравнения с одной переменной, используя дополнительные виды преобразований и методы решения, можно получить обобщенный прием решения системы уравнений с двумя переменными:

1) определить вид системы уравнений; если система имеет стандартный вид, к которому применим конкретный метод решения, то п. 5, если нет — п. 2;

2) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести систему к какому-либо определенному виду: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов уравнений системы из одной части в другую, приведение подобных, разложение левой части уравнения на множители, возведение обеих частей уравнения в степень, введение вспомогательной переменной, выражение одной переменной через другую, уравнивание коэффициентов, деление уравнений на одно и то же число, вычисление определителей системы, замена данной системы равносильной ей системой уравнений и неравенств;

3) установить, какой метод решения системы целесообразно использовать после выполнения выбранных преобразований (подстановка, алгебраическое сложение, использование теоремы Виета для квадратного уравнения, метода Гаусса, правила Крамера);

4) с помощью выбранных преобразований привести систему к виду, к которому применим выбранный метод решения;

5) решить известным методом систему стандартного вида;

6) если нужно, сделать проверку, провести исследование;

7) записать ответ.

Следующий пример показывает, как можно получить новый прием деятельности перестройкой действий в составе известного.

Прием контроля решения уравнения алгебраическим способом (на основе обобщенного приема решения уравнений, с. 86):

1) проверить, правильно ли определен вид уравнения;

2) проверить, приводят ли выбранные тождественные и равносильные преобразования данное уравнение к простейшему;

3) проверить правильность выполнения преобразований;

4) проверить применение правила (формулы, алгоритма) решения простейшего уравнения;

5) проверить вычисления при проверке решения;

6) проверить запись ответа.

§ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ МЕТОДОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ

Приемы решения задач на построение методом геометрических мест основаны на понятии геометрического места точек.

Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.

Если фигура является геометрическим местом точек, то: 1) любая точка этой фигуры обладает указанным свойством и 2) все точки с указанным свойством принадлежат этой фигуре.

Например, окружность можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Действительно, любая точка окружности обладает свойством равноудаленности от данной точки и все точки, равноудаленные от данной точки, принадлежат окружности.

Для решения задач методом геометрических мест необходимо знать основные геометрические места точек. Назовем некоторые из них:

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

2. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, есть окружность с центром в этой точке и с радиусом, равным данному расстоянию.

3. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, есть биссектриса этого угла.

4. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть две прямые, параллельные данной и отстоящие от нее на данное расстояние.

5. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, есть прямая, параллельная данным прямым и одинаково отстоящая от них.

6. Геометрическое место точек, из которых отрезок AB виден под данным углом а и которые лежат по одну сторону от прямой AB, есть дуга окружности с концами в точках А и В.

Сущность метода геометрических мест при решении задач на построение состоит в следующем.

Пусть, решая задачу, мы должны построить точку x, yдовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть фигура F1, а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть фигура F2. Искомая точка X принадлежит и F и и F2, т. е. является их точкой пересечения.

Метод геометрических мест используется при решении задач на построение. Например, при построении треугольника ABC по трем сторонам мы, имея данные вершины А и В, находим положение третьей вершины С, которая удовлетворяет двум условиям:

1) точка С находится на данном расстоянии от точки A и 2) точка С находится на данном расстоянии от точки В.

Задачи на геометрические места точек можно разделить на два вида.

К первому виду относят задачи, в которых дана некоторая фигура и на ней требуется найти точку, удовлетворяющую определенным условиям. В этом случае искомая точка удовлетворяет следующим условиям:

1) принадлежит указанной в условии задачи геометрической фигуре;

2) принадлежит фигуре, все точки которой обладают определенным свойством.

Ко второму виду относятся задачи, в которых требуется найти точку, удовлетворяющую одновременно двум условиям:

1) принадлежит фигуре F1, все точки которой обладают определенным свойством;

2) принадлежит фигуре F2, все точки которой обладают определенным свойством.

Рассмотрим задачи, относящиеся к первому виду. (Для построения обобщенного приема ограничимся описанием двух этапов решения задач на построение — анализом и построением.)

Задача 1. На прямой, пересекающей стороны угла, найти точку, одинаково удаленную от сторон данного угла.

Анализ. 1) Искомая точка X принадлежит прямой MN, пересекающей стороны угла A; 2) точка X одинаково удалена от сторон AM и AN угла A, следовательно, ГМТ, удовлетворяющих этому условию, есть биссектриса угла А; 3) искомая точка X лежит на пересечении прямой MN и биссектрисы угла А.

Построение. 1) m — биссектриса угла А; 2) X — точка пересечения прямой MN и биссектрисы m (рис. 26).

Задача 2. Найти на данной прямой AB точку, которая находится на расстоянии m от другой данной прямой с, не параллельной AB.

Анализ. 1) Искомая точка X лежит на данной прямой AB; 2) точка X находится на данном расстоянии m от данной прямой с, следовательно, ГМТ, удовлетворяющих этому условию, есть две прямые, параллельные данной прямой и отстоящие от нее на данное расстояние m; 3) искомая точка X лежит на пересече-

Рис. 26

нии прямой AB и двух прямых, параллельных прямой с, отстоящих от нее на расстоянии m.

Построение. 1) Проведем а||с на расстоянии m от с; 2) проведем b||с на расстоянии m от с, 3) X1 и Х2— точки пересечения прямых а и b (а||b) и прямой AB (рис. 27).

Рассмотренные выше задачи позволяют построить обобщенный прием решения задач первого вида. Идея их решения состоит в том, что на данной фигуре необходимо найти точку, удовлетворяющую определенным условиям.

Поэтому обобщенный прием решения задан указанного вида методом геометрических мест состоит в следующем:

1) изобразить геометрическую фигуру, которой принадлежит искомая точка Х;

2) сформулировать, исходя из текста задачи, условие, которому удовлетворяет искомая точка Х;

3) назвать геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию;

4) построить названное геометрическое место точек;

5) найти точку (точки) пересечения данной фигуры и геометрического места точек.

Задача 3. На стороне данного острого угла найти точку, отстоящую от другой стороны на данное расстояние.

Пользуясь сформулированным приемом решения, выполняем последовательность действий:

1. Изобразим данный острый угол ABC (искомая точка X лежит на стороне AB этого угла) (рис. 28).

2. Искомая точка X удовлетворяет условию: она удалена от стороны ВС на данное расстояние d.

3. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, есть прямая, параллельная данной и отстоящая от нее на данное расстояние (в общем случае таких прямых две).

4. Построение названного ГМТ.

5. Точка X искомая, так как лежит на пересечении данной фигуры (стороны AB угла ABC) и названного геометрического места точек.

Рис. 27 Рис. 28

Приведем задачи, к решению которых применим указанный прием.

Задача 4. Дан треугольник ABС. На биссектрисе угла А найти точку, равноудаленную от вершин В и С.

Задача 5. На серединном перпендикуляре к стороне АС треугольника ABC найти точку, равноудаленную от сторон АС и ВС данного треугольника.

Задача 6. Дан треугольник MNК. На перпендикуляре, проведенном из вершины N к стороне МК или ее продолжению, найти точку, равноудаленную от вершин N и К.

В задачах второго вида требуется построить два геометрических места точек и найти точку (точки) их пересечения.

Задача 7. Построить точку, равноудаленную от двух данных параллельных прямых и находящуюся на данном расстоянии от данной точки.

Анализ. Пусть а||b — данные прямые, M — данная точка, d — данное расстояние.

1) Искомая точка X удовлетворяет двум условиям: а) одинаково удалена от параллельных прямых а и b; б) находится на данном расстоянии от точки М; 2) ГМТ, удовлетворяющих первому условию, есть прямая l, параллельная прямым а и b и одинаково отстоящая от них; 3) ГМТ, удовлетворяющих второму условию, есть окружность данного радиуса d с центром в точке М; 4) искомая точка X лежит на пересечении этих геометрических мест.

Построение. 1) Проводим прямую l, параллельную прямым а и b и равноудаленную от них; 2) окр. (M; d); 3) Х1 и Х2 — точки пересечения прямой l и окр. (М; d) (рис. 29).

Задача 8. На сторонах AB и ВС острого угла ABC даны соответственно точки M и N. Найти точку X, равноудаленную от сторон угла ABC и удовлетворяющую условию XM = XN.

Анализ. 1) Искомая точка X удовлетворяет двум условиям: а) она одинаково удалена от сторон AB и ВС данного угла; б) она удовлетворяет условию XM = XN; 2) ГМТ, удовлетворяющее первому условию, есть биссектриса l угла ABC; 3) ГМТ, удовлетворяющее второму условию, есть прямая, перпендикулярная к отрезку MN и проходящая через его середину; 4) искомая точка X лежит на пересечении этих геометрических мест.

Построение. 1) Биссектриса l; 2) отрезок MN; 3) DX — серединный перпендикуляр к отрезку MN; 4) X — точка пересечения биссектрисы l угла ABC и серединного перпендикуляра DX к отрезку MN, где XM = XN (рис. 30).

Процесс решения рассмотренных задач позволяет построить обобщенный прием решения задач второго вида методом геометрических мест:

1) на основе анализа задачи сформулировать два условия, которым удовлетворяет искомая точка Х;

2) назвать ГМТ, удовлетворяющих первому условию;

3) назвать ГМТ, удовлетворяющих второму условию;

Рис. 29 Рис. 30

4) построить названные геометрические места точек;

5) найти искомую точку (точки) пересечения этих геометрических мест.

Приведем задачи, для решения которых применим сформулированный прием.

Задача 9. Даны угол и тонка M внутри угла. Найти такую точку, которая была бы одинаково удалена от обеих сторон угла и отстояла бы от тонки M на данное расстояние а.

Пользуясь сформулированным приемом, получаем:

1. Искомая точка X удовлетворяет двум условиям:

а) она одинаково удалена от обеих сторон данного угла;

6) она удалена от данной точки M на данное расстояние а.

2. ГМТ, удовлетворяющих первому условию, есть биссектриса данного угла.

3. ГМТ, удовлетворяющих второму условию, есть окружность радиуса а с центром в точке М.

4. Построение названных ГМТ (рис. 31).

5. Точки Х1 и Х2 искомые, так как они лежат на пересечении названных геометрических мест точек.

Задача 10. Даны угол А и тонки В и С, расположенные одна на одной стороне угла, другая на другой. Найти точку Р, такую, чтобы каждая из точек В и С одинаково отстояла от А и Р.

Рис. 31

Задача 11. Даны четыре точки A, B, С, D. Найти точку X, которая одинаково удалена от точек А и В и одинаково удалена от точек С и D.

Задача 12. Построить треугольник по основанию, углу при вершине и высоте, проведенной из вершины этого угла.

Задача 13. Построить треугольник по основанию, углу при вершине и медиане, проведенной к основанию.

Задача 14. Построить параллелограмм по его углу и диагоналям.

Указание. При решении последних трех задач используется геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, т. е. строится сегмент, вмещающий данный угол.

Сформулированные выше приемы являются общими приемами решения задач методом геометрических мест, поэтому они названы здесь специальными приемами.

Для того чтобы учащиеся могли ими пользоваться, необходимо уверенное владение приемами элементарных (основных) построений и умение выявлять и строить основные геометрические места точек.

К основным построениям относятся: построение отрезка, равного данному; построение угла, равного данному; деление отрезка пополам; деление угла пополам; построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой; построение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой; построение треугольника по трем сторонам.

Важным является также умение учащихся выявлять (называть) геометрические места точек. С этой целью необходимо обучать учащихся определять положение искомой точки как точки пересечения двух геометрических мест. Например, пусть в данном треугольнике ABC из вершины В на основание АС опущена высота. Требуется выяснить, пересечением каких геометрических мест точек может быть найдена точка В. Учитель без особого труда может сформулировать для учащихся ряд подобных задач.

Умение строить основные геометрические места точек является завершающим этапом в подготовке учащихся к использованию специальных приемов решения задач на построение методом геометрических мест.

Заметим, что среди основных ГМТ геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, не является программным. Поэтому решение задач с использованием этого ГМТ может быть вынесено учителем на внеклассные занятия по математике.

§ 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ РАССТОЯНИЙ

Применение учащимися математических знаний имеет большое образовательное и практическое значение. В этом отношении приобретение учащимися знаний, умений и навыков в измерении геометрических величин является важным звеном в их математическом образовании.

Измерение геометрических величин может быть как непосредственным, так и косвенным. Непосредственное измерение расстояния осуществляется с помощью измерительных инструментов, например линейки, мерной ленты, штангенциркуля, транспортира и др.

Косвенное измерение расстояний осуществляется на основе свойств геометрических фигур с последующим использованием измерительных инструментов.

Остановимся на приемах косвенного измерения расстояний с использованием свойств равенства и подобия треугольников.

Измерение недоступного расстояния между доступными точками

Пусть А и В — доступные точки; AB — недоступное расстояние, которое необходимо определить (рис. 32).

Для решения поставленной задачи с использованием равенства треугольников необходимо выполнить следующую систему действий:

1) мысленно соединить доступные точки А и B;

2) построить произвольный треугольник ABC, одна из сторон которого является искомой, например АВ;

3) продолжить две другие стороны АС и ВС за точку их пересечения;

4) на продолжениях сторон АС и ВС отложить соответственно равные отрезки А'С = АС и В'С = ВС;

5) соединить концы полученных отрезков, т. е. точки А' и В';

6) доказать равенство треугольников А'В'С и АВС;

7) сделать вывод о числовом значении искомого расстояния (АВ = А'В') и найти его, измерив А'В';

Рис. 32

8) записать ответ.

Теперь воспользуемся для решения данной задачи подобием треугольников.

Решение этой задачи с помощью подобия треугольников включает следующую систему действий (рис. 33);

1) мысленно соединить доступные точки А и В;

2) построить произвольный треугольник ABC, одна из сторон которого, например AB, является искомой;

3) продолжить две другие стороны АС и ВС за точку их пересечения;

4) на продолжениях сторон АС и ВС отложить соответственно отрезки A'С = 1/n AС и B'C = 1/n BC (где n — натуральное число; например, если n = 4, то А'С = 1/4АС);

5) соединить концы полученных отрезков, т. е. точки А' и В';

6) доказать подобие треугольников ABC и А'В'С;

7) сделать вывод о том, что А'В' = 1/n АВ;

8) сделать вывод о числовом значении искомого расстояния (АВ = n-А'В') и найти его, измерив А'В';

9) записать ответ.

По существу здесь мы имеем два частных приема, реализующие соответственно два способа решения одной и той же задачи, не зависящие от вида треугольника.

Рассмотренные выше приемы позволяют получить обобщенный прием решения задачи на измерение недоступного расстояния между доступными точками. В состав обобщенного приема входит следующая система действий:

1) мысленно соединить данные (доступные) точки;

2) построить произвольный (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный) треугольник, одна из сторон которого — искомое расстояние (основной треугольник);

3) построить вспомогательный треугольник, равный или подобный данному, для этого:

а) продолжить две другие стороны основного треугольника за точку их пересечения;

Рис. 33

б) на продолжениях сторон от точки их пересечения отложить отрезки, находящиеся в данном отношении (n — натуральное число) с соответствующими сторонами основного треугольника (исходя из практических соображений 0 < 1/n ⩽ 1);

в) соединить концы полученных отрезков;

4) доказать соответственно равенство или подобие полученных треугольников;

5) записать формулу, выражающую зависимость искомого расстояния (т. е. искомой стороны основного треугольника) от соответствующей стороны вспомогательного треугольника;

6) найти числовое значение искомого расстояния, измерив соответствующую сторону вспомогательного треугольника;

7) записать ответ.

Измерение расстояния до недоступной точки

Пусть А — недоступная точка; В — доступная точка; AB — недоступное расстояние, которое требуется определить (рис. 34).

Воспользуемся для решения задачи равенством треугольников. При этом заметим, что способ ее решения не зависит от вида треугольника: будет ли он прямоугольным, остроугольным или тупоугольным.

В состав приема по решению этой задачи входит следующая система действий:

1) мысленно соединить недоступную и доступную точки;

2) построить ∠ABM = α (0° < α < 180°);

3) на стороне ВM угла ABM отложить последовательно два отрезка ВС и СВ' (ВС = СВ');

4) с вершиной в точке В' построить ∠BB'N = ∠АВМ;

5) провести луч АС до пересечения со стороной B'N угла BB'N в точке А' (получили △ABC основной, где сторона AB является искомой, и △А'В'С вспомогательный);

Рис. 34

Рис. 35

6) доказать, что треугольник ABC равен треугольнику A'B'С;

7) сделать вывод о том, что АВ = А'В';

8) измерить расстояние А'В';

9) сделать вывод о числовом значении искомого расстояния АВ;

10) записать ответ.

Теперь для решения данной задачи воспользуемся подобием треугольников.

В этом случае в состав соответствующего приема войдет следующая система действий (рис. 35):

1) мысленно соединить недоступную и доступную точки;

2) построить ∠ABM = α (0° < α < 180°);

3) на стороне ВМ угла АВМ отложить последовательно:

а) отрезок ВС произвольной длины и

б) отрезок СВ' = 1/n ВС (где n — натуральное число; например, если n = 2, то CB' = 1/2BC);

4) с вершиной в точке В' построить ∠BB'N = ∠ABM;

5) провести луч АС до пересечения со стороной B'N угла BB'N в точке А' (получили △АВС основной, где сторона AB является искомой, и △А'В'С вспомогательный);

6) доказать, что △А'В'С ~ △АВС;

7) сделать вывод о том, что А'В' = 1/n АВ;

8) сделать вывод о числовом значении искомого расстояния (АВ = nА'В') и найти его, измерив А'В';

9) записать ответ.

Рассмотренные выше приемы позволяют получить обобщенный прием решения задачи на измерение расстояния до недоступной

точки. В составе этого приема будет иметь место следующая система действий:

1) мысленно соединить недоступную и доступную точки;

2) построить произвольный (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный) треугольник, одна из сторон которого — искомое расстояние (основной треугольник);

3) построить вспомогательный треугольник, равный или подобный данному, для этого:

а) продолжить две другие стороны основного треугольника за точку их пересечения;

б) от точки их пересечения на продолжении стороны, содержащей доступную точку, отложить отрезок, находящийся в данном отношении 1/n (n — натуральное число) с соответствующей стороной основного треугольника (исходя из практических соображений 0 < 1/n ⩽ 1);

в) с вершиной в конце этого отрезка построить в другой полуплоскости угол, равный углу основного треугольника при вершине в доступной точке;

г) указать точку пересечения — вершину вспомогательного треугольника, соответствующую недоступной вершине основного треугольника;

4) доказать соответственно равенство или подобие полученных треугольников;

5) записать формулу, выражающую зависимость искомого расстояния (т. е. искомой стороны основного треугольника) от соответствующей стороны вспомогательного треугольника;

6) найти числовое значение искомого расстояния, измерив соответствующую сторону вспомогательного треугольника;

7) записать ответ.

Измерение расстояния между недоступными точками

Пусть А и В — недоступные точки; AB — недоступное расстояние, которое требуется найти.

Для решения данной задачи воспользуемся подобием треугольников. При этом рассмотрим два способа ее решения.

Прием, реализующий первый способ, состоит из следующей системы действий (рис. 36):

1) мысленно соединить недоступные точки A и B;

2) провести два взаимно перпендикулярных луча с началом в недоступных точках A и B, пересекающиеся в доступной точке С;

3) на луче с началом в недоступной точке В выбрать произвольную точку D и, соединив недоступную точку А с доступной точкой D, измерить угол ADC;

4) с вершиной в точке D построить угол CDF, равный уг-

Рис. 36 Рис. 37

лу ADC, где точка F принадлежит лучу с началом в недоступной точке A;

5) доказать, что △ADC = △FDC, и сделать вывод о том, что AC = CF;

6) соединить недоступную точку В и доступную точку F и доказать, что △АВС = △FBC;

7) сделать вывод о том, что искомое расстояние AB = BF;

8) провести CE⊥BF, т. е. высоту прямоугольного △FCВ, опущенную из вершины прямого угла на гипотенузу;

9) доказать, что △CBF со △ECF;

10) сделать вывод о том, что

11) найти числовое значение искомого расстояния AB, измерив доступные отрезки CF и EF;

12) записать ответ.

Прием, реализующий второй способ решения данной задачи, состоит из следующей системы действий (рис. 37):

1) мысленно соединить недоступные точки А и В;

2) провести два взаимно перпендикулярных луча с началом в недоступных точках А и В, пересекающиеся в доступной точке С;

3) на луче с началом в недоступной точке В выбрать произвольную точку D и, соединив недоступную точку А с доступной точкой D, измерить угол ADC;

4) с вершиной в точке D построить угол CDF, равный углу ADC, где точка F принадлежит лучу с началом в недоступной точке A;

5) доказать, что △ADC = △FDC, и сделать вывод о том, что AC = CF;

6) соединить недоступную точку В и доступную точку F и доказать, что △AВС = △FBC;

7) сделать вывод о том, что искомое расстояние AB = BF;

8) провести FE A-BF, где точка Е принадлежит лучу с началом в недоступной точке В;

9) доказать, что △BFE ~ △ECF;

10) сделать вывод о том, что

11) найти числовое значение искомого расстояния AB, измерив доступные отрезки EF, CF и СЕ;

12) записать ответ.

Анализ сформулированных приемов показывает, что их основное отличие состоит в выборе произвольной доступной точки D на луче с началом в недоступной точке В (в выбранных обозначениях). Если точка D выбирается на указанном луче за точкой С, то получаем первый способ решения задачи. Если точка D выбирается на этом луче между точками В и С, то имеем второй способ решения. Это приводит к тому, что приемы, реализующие первый и второй способы решения, отличаются действиями 8, 9 и 10. Поэтому в обобщенном приеме эти действия следует рассматривать как операции, входящие в действие, по построению подобных треугольников, необходимых для определения искомого расстояния AB, а именно:

8) построить два подобных прямоугольных треугольника, основой которых является прямоугольный треугольник BCF, для этого:

а) если точка D выбрана на луче с началом в недоступной точке В за точкой С, то в треугольнике BCF опустить высоту из вершины прямого угла на гипотенузу;

б) если точка D выбрана на луче с началом в недоступной точке В между точками В и С, то из вершины F треугольника BCF восставить перпендикуляр к гипотенузе BF до пересечения с указанным лучом в точке Е;

в) в первом случае доказать подобие треугольников CBF и ECF, во втором — треугольников BFE и ECF;

г) в первом случае сделать вывод о том, что AB = CF2/EF, во втором

9) найти числовое значение искомого расстояния AB, измерив в каждом случае соответствующие отрезки;

10) записать ответ.

Предложенные здесь приемы косвенного измерения расстояний имеют важное практическое значение в плане применения учащимися математических знаний. Усвоение этих приемов, как част-

ных, так и общих, представляет определенные трудности для учащихся, что требует постепенной отработки основных действий, входящих в тот или иной прием. Основными измерительными инструментами на местности являются: экер, астролябия, вехи и сантиметровая (мерная) лента. Соответственно в тетрадях чертежи учащиеся выполняют с помощью чертежного треугольника, транспортира, масштабной линейки, циркуля.

Предложенные здесь задачи на косвенное измерение расстояний выполняются соответственно после изучения учащимися равенства, а затем подобия треугольников. Обобщенные приемы косвенного измерения расстояний вводятся позже. Наиболее эффективное их формирование происходит в ходе выполнения учащимися измерительных работ на местности.

Учителем широко могут использоваться кружковые занятия по математике для отработки специальных приемов решения задач на косвенное измерение расстояний. С этой целью для решения рассмотренных здесь видов задач можно рекомендовать и другие приемы их решения. Например:

1) Для измерения недоступного расстояния между доступными точками можно рекомендовать приемы, использующие: а) свойства прямоугольного равнобедренного треугольника; б) свойства осевой симметрии; в) свойства параллелограмма; г) свойства средней линии треугольника; д) теоремы синусов и косинусов; е) графический способ (мензульная схемка) и др.

2) Для измерения расстояния до недоступной точки можно рекомендовать приемы, использующие: а) свойства равнобедренного прямоугольного треугольника; б) свойства отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла; в) теорему синусов; г) графический способ и др.

3) Для измерения расстояния между недоступными точками можно рекомендовать приемы, использующие: а) свойства параллелограмма; б) теоремы синусов и косинусов; в) графический способ.

В каждом случае учитель должен сформулировать приемы, соответствующие тому или иному способу решения задачи, вначале частные, а затем и обобщенные. На основе их применения учитель может более эффективно построить обучение решению задач на косвенное измерение расстояний.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЕМЫ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА АЛГЕБРЫ V—IX КЛАССОВ

ОБЪЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

V—VI классы

Для учащихся V—VI классов характерно обращение к своему внутреннему миру — у них начинает развиваться потребность в осознании своих личных качеств, интерес к кино и книге, наблюдательность, воля и целеустремленность, стремление хорошо учиться и участвовать в общественной работе. Большое место в жизни младшего подростка занимает игровая деятельность, этот возраст отличается повышенной эмоциональностью и возбудимостью, любознательностью и активностью, стремлением к действенности и самостоятельности. В мышлении младшего подростка преобладают наглядно-образный и практически действенный компоненты, оно в основном конкретно, с невысоким уровнем аналитико-синтетической деятельности, недостаточной способностью к абстрагированию и владению методами рассуждений; запоминание часто носит непроизвольный и механический характер, учащиеся не умеют ставить цели и установки на запоминание.

Программа по математике для V—VI классов ставит задачу обобщения и развития на новом материале полученных в начальной школе математических знаний, умений и навыков учащихся и проведения пропедевтического обучения с целью подготовки учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии. Большинство понятий в этом курсе вводится на примерах, задача научиться определять понятия не ставится, хотя ведется подготовка к ней на следующем этапе обучения и для некоторых понятий уже даются определения. Выводы относительно свойств изучаемых объектов (математические суждения) делаются, исходя из наглядного рассмотрения и опытного обоснования фактов, использования и обобщения жизненного опыта учащихся; сохраняется общий индуктивный характер изложения материала. Неполная индукция и аналогия (например, при доказательстве свойств арифметических действий, признаков делимости, геометрических фактов) являются основными видами умозаключений, но постепенно появляются и дедуктивные умозаключения, учащимся дается возможность почувствовать логику рассуждений и отличие дедуктивных доказательств от экспериментальных.

Постоянное обращение к опыту, практике, эксперименту дает возможность показать корни математических понятий в практической деятельности людей и их применение, что подготавливает воспитание элементов диалектико-материалистического мышления; в процессе обучения с развитием анализа, синтеза, обобщения, способности к конкретизации понятий обобщаются как образные, так и отвлеченные компоненты мышления, намечается постепенный переход от преобладания наглядно-образного и практически-действенного к преобладанию отвлеченного, понятийного мышления.

VII класс

Возраст учащихся VII класса — переходный возраст. В это время происходит не только физическое созревание человека, но и интенсивное формирование личности, убеждений, нравственных принципов. Стремление к самопознанию и самовоспитанию выше, чем у пятиклассников, познавательные интересы начинают определяться самим содержанием знаний. В деятельности, интересной для подростков, они всегда активны и внимательны, но в силу большой подвижности, сравнительно легкой возбудимости и большого стремления к необычному, спо-

собности к быстрому переключению внимания на другие объекты у ребят этого возраста может проявляться невнимательность к учебной деятельности.

В мыслительной деятельности семиклассника еще большую роль играют конкретно-образные компоненты, но в процессе обучения развивается абстрактное мышление. Многие учащиеся испытывают при этом затруднения — не всегда могут выделять существенные признаки предмета при определении понятия, с трудом усваивают дедуктивные умозаключения, отвлеченные от конкретных образов, часто их рассуждения необоснованны и непоследовательны.

Программа по математике VII класса осуществляет переход к более высокому уровню обобщения и абстрагирования, к построению точных определений и понятий и дедуктивных умозаключений. Первоначальные алгебраические сведения, с которыми учащиеся познакомились в пропедевтическом курсе, в курсе алгебры VII класса систематизируются и получают дальнейшее развитие. Уточняются понятия (выражения, уравнения, неравенства), раскрывается большое число новых понятий (тождество, числовые промежутки, пропорциональные переменные, функция, одночлен, многочлен и т. д.). Программа ставит задачей возбудить активный интерес у учащихся к поиску точных определений понятий, которые интуитивно изучались в курсе V—VI классов.

Курс математики VII класса дает большие возможности для убеждения учащихся в происхождении математических понятий из обобщения и идеализации реальных пространственных отношений и количественных зависимостей, для развития элементов диалектико-материалистического мышления.

VIII—IX классы

У учащихся этого возраста педагоги отмечают ярко выраженные различия по многим параметрам, в частности в интеллектуальной деятельности. Например, у значительной группы учащихся развиваются стойкие интересы к одному или нескольким учебным предметам, появляется устойчивая склонность к умственной работе, стремление овладеть новыми знаниями и умениями по этим предметам и соответствующими отраслями техники, науки или искусства. Другая группа способных подростков проявляет склонность к интеллектуальной деятельности, увлеченность, умение долго и сосредоточенно работать, познавательный интерес не при изучении школьных предметов, а в самостоятельной деятельности, выходящей за пределы программы. В общем развитии подростки той или другой группы достигают иногда очень высокого уровня, на котором они сознательно усваивают и запоминают материал.

Совершенно противоположная группа — это учащиеся с разбросанными или неопределенными интересами, неустойчивостью в профессиональных намерениях или с полным отсутствием познавательных интересов и очень ограниченным кругозором.

Одной из причин такого резкого различия в интеллектуальной деятельности старших подростков является, по мнению некоторых психологов и педагогов, отсутствие целенаправленной работы по формированию их учебной, в частности мыслительной, деятельности в предыдущих классах. В результате умение логически отрабатывать материал и организовывать свою учебную деятельность развивается у способных учащихся стихийно (или с помощью, оказываемой в семье), у менее способных может быть не развито совсем.

Для изучения курса математики от учащихся VIII—IX классов требуется умение формулировать математические предложения и выделять их математическую структуру, проводить дедуктивные рассуждения (доказательства теорем, тождеств, равносильности предложений с переменной), выполнять некоторые логические операции, самостоятельно проверять правильность решения задачи, самостоятельно пользоваться учебником, грамотно вести записи в тетради по математике.

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ

V—VI классы

Общеучебные приемы: а) приемы организации учебной деятельности: приемы работы с учебником (пользование оглавлением и предметным указателем, ответами к задачам, выделение главного в тексте, разделение текста на смысловые части, нахождение соответствующих объяснительному тексту упражнений); б) приемы мыслительной деятельности: сравнение (чисел, отрезков, углов, выражений и т. п.), обобщение (понятия числа, действий над числами, законов действий, наблюдений, понятий), анализ (не только общий в наблюдениях, экспериментах, при решении всех задач, но и специальный анализ, например при решении текстовых задач алгебраическим методом), синтез (полученных при анализе данных), классификация (чисел, выражений, углов), конкретизация, систематизация, примеры абстрагирования; приемы определения понятий на примерах, умозаключения по индукции, формулировка математических предложений на математическом языке, примеры определений понятий через род и видовое отличие, примеры дедуктивных умозаключений.

Общие приемы учебной деятельности по математике: общий прием работы над математической задачей, приемы поиска решения задачи, приемы контроля решения задачи.

Частные приемы учебной деятельности по алгебре: приемы решения линейных уравнений и неравенств, приемы вычисления числовых значений алгебраических выражений, простейшие приемы тождественных преобразований выражений — раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую.

Специальные приемы деятельности по алгебре: использование буквенной символики, проверка выполнения тождественных преобразований и решения уравнений, приемы решения текстовых задач алгебраическим методом. (Эти приемы формируются на уровне знакомства, в результате первых обобщений некоторых частных приемов, так же как и некоторые общие приемы организации математической деятельности, например ведение тетради по математике, организация домашней работы по математике.)

VII класс

Общеучебные и общие приемы учебной деятельности по математике: совершенствование указанных для V—VI классов приемов. Главное — овладение приемами абстрагирования, определения понятий через род и видовое отличие, подведение под понятие и выведение следствий, конкретизация понятий, дедуктивных умозаключений и приведение контрпримеров.

Частные приемы учебной деятельности по алгебре: рациональные приемы вычислений (должны быть отработаны до самого высокого уровня); приемы тождественных преобразований выражений: действия со степенями, раскрытие скобок и заключение в скобки, приведение подобных слагаемых, арифметические действия над многочленами и алгебраическими дробями, разложение выражения на множители различными способами; приемы решения уравнений указанных в программе видов (линейного, вида (ax + b) (cx+d) = 0, системы линейных уравнений с двумя переменными); приемы решения задач путем составления линейных уравнений и их систем; приемы исследования функций y = kx; y = k/x, y = kx+b, у = ах2, у = ах3 элементарными средствами; выражение в функциональной форме зависимостей между величинами, построение и чтение графиков указанных функций.

Специальные приемы учебной деятельности по алгебре: использование буквенной символики для изучения свойств математических объектов, приемы тождественных преобразований целых алгебраических выражений, приемы рацио-

нализации вычислений с помощью тождественных преобразований выражений, приемы доказательства тождеств и тождественных неравенств, приемы решения уравнений и их систем (особенно графически), приемы решения задач с помощью составления уравнений и их систем, приемы изучения свойств функций по их графику, построение и чтение графиков функций, оперирование способами задания функций.

VIII—IX классы

Систематический курс алгебры VIII—IX классов дает возможность учащимся совершенствовать и доводить до более высокого уровня все общеучебные и общие приемы учебной деятельности по математике, отмеченные для V—VII классов, овладеть значительным числом специальных приемов учебной деятельности, обобщать приемы учебной деятельности в рамках всех содержательных линий школьного курса алгебры.

С каждой темой курса алгебры связано повышение вычислительной культуры учащихся — приемы вычисления значений выражений, приемы приближенных вычислений, приемы использования неравенств к оценке точности приближенных вычислений по методу границ, приемы использования таблиц и логарифмической линейки, новые приемы тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений, приемы доказательства тождеств и тождественных неравенств и др. Закрепляются специальные приемы решения уравнений, неравенств и их систем (графический способ, способ замены переменных и т. п.), общие приемы алгебраического анализа задач, синтетической записи их решения с помощью специальной символики. С изучением широкого класса функций связано совершенствование специальных приемов построения и чтения графиков функций, постепенно вводятся элементы аналитического исследования функций. Значительное место, которое занимает в курсе материал функционального характера, позволяет формировать функциональный стиль мышления школьников.

В результате формирования обобщенных специальных приемов в курсе алгебры девятилетней школы должны быть созданы предпосылки для уверенного их применения в ходе изучения алгебры и начал анализа в X—XI классах. Изучаемые здесь частные приемы могут быть во многих случаях получены на основе соответствующих, уже известных учащимся специальных обобщенных приемов: новые приемы вычислений, тождественных преобразований новых выражений, приемы решения уравнений, неравенств и их систем указанных в программе видов, приемы проверки решения задач, частные приемы анализа на составление квадратных уравнений (на движение, на совместную работу, на нахождение двузначного числа и т. д.).

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

УРОВНИ СФОРМИРОВАННОСТИ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ У УЧАЩИХСЯ

Низкий

Средний

Высокий

Незнание или слабое осознание приема, неумение сформулировать его.

Осознание приема, умение вспомнить и сформулировать его с помощью извне.

Осознание приема, сохранение его в памяти, умение самостоятельно его сформулировать.

Выбор нужного приема и применение его по образцу только с помощью учителя.

Выбор нужного приема с небольшой помощью извне и самостоятельное применение по образцу. Осознание легко различимых связей между приемами.

Самостоятельный выбор нужного приема, усвоение способа деятельности по образцу с вариациями.

Продолжение

Низкий

Средний

Высокий

Непонимание связей между приемами.

Осознание легко различимых связей между приемами

Глубокое осознание связей между приемами.

Узнавание ситуаций применения приемов с большой помощью извне и в зависимости от ситуации.

Самостоятельное узнавание наиболее типичных ситуаций применения приемов.

Самостоятельное и творческое применение приемов в различных ситуациях.

Неумение самостоятельно обобщать способы деятельности при решении учебных задач.

Умение обобщить и сформулировать прием решения несложной учебной задачи с помощью учителя.

Обобщение и самостоятельное нахождение приемов решения учебных задач.

Неумение осуществлять перестройку и перенос приема.

Осуществление перестройки и переноса приема с помощью учителя и в несложных ситуациях.

Самостоятельное осуществление перестройки и переноса приема в различных ситуациях.

Отсутствие умения и навыка самостоятельного применения приема.

Самостоятельное применение приема на уровне умения.

Самостоятельное применение приема на уровне навыка.

Низкий темп учебной деятельности, ее исполнительский характер, отсутствие интереса к ней.

Средний темп учебной деятельности, неустойчивый интерес к ней.

Высокий темп учебной деятельности, устойчивый интерес, потребность в творческих действиях.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ОБУЧЕНИЯ ПРИЕМАМ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Тема «Квадратные уравнения» (фрагмент)

Уроки

Содержание материала

Повторение

Знания и навыки

Общеучебные приемы

Частные приемы

Специальные приемы по алгебре

Общие приемы учебной деятельности по математике

1, 2

Понятие о квадратном уравнении. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена

Понятия: уравнение, корень уравнения, линейное уравнение, прием решения

Понятия: квадратное уравнение, коэффициент. Решение квадратных уравнений выделением полного квадрата двучлена

Приемы работы с понятиями, суждениями, умозаключениями

Выделение полного квадрата из трехчлена

Общий прием решения уравнения. Оформление записи решения уравнений

Общие приемы работы над понятиями

3,4,5

Формула корней квадратного уравнения

Знать формулу корней, определение дискриминанта, зависимость между дискриминантом и корнями

Приемы работы с учебником

Решение квадратных уравнений стандартного вида по формуле

Вывод формулы общего вида корней квадратного уравнения

Общий прием прямого доказательства теоремы

6,7

Задачи, приводящие к решению квадратных уравнений

Решение задач составлением линейных уравнений и систем

Уметь решать задачи составлением уравнений

Приемы самоконтроля

Проверка правильности решения задач, квадратного уравнения

Общий прием решения задач с помощью составления уравнений

Общий прием работы над математической задачей

8

Контрольная работа

Приемы подготовки к контрольной работе

Приемы проверки правильности реше-

Общие приемы проверки правильности решения

Продолжение

Уроки

Содержание материала

Повторение

Знания и навыки

Обшеучебные приемы

Частные приемы

Специальные приемы по алгебре

Общие приемы учебной деятельности по математике

9,12

Решение задач

Материал по теме

Приемы работы над задачей

Приемы решения квадратных уравнений

ния уравнений и задач Приемы алгебраического решения уравнений

13,14

Теорема Виета

Квадратные уравнения, приемы работы над теоремой

Знать теорему Виета, уметь доказывать и применять к решению и исследованию квадратных уравнений

Приемы сравнения, обобщения индуктивных умозаключений, выведения следствий

Приемы решения квадратных уравнений, исследования квадратных уравнений на основании теоремы Виета

Приемы проверки правильности решения уравнений

Прием работы над теоремой

15,16

Уравнения, приводимые к квадратным

Квадратные уравнения, уравнения вида (ах + b) (cx + d) = 0, приемы их решения

Знать некоторые виды уравнений, приводимых к квадратным, и приемы их решения

Приемы работы с учебником, сравнения, обобщения

Приемы составления квадратных уравнений, решения биквадратных уравнений

Приемы решения уравнений с помощью: разложения левой части на множители, замены переменной

Общий прием работы над математической задачей

17

Контрольная работа

Материал по теме

Оформление записи решения

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ПЛАНИРОВАНИЕ УРОКА

Тема: Применение разложения на множители к решению уравнений.

Цель: усвоение приема решения уравнений вида

(ax + b)(cx + d) = 0.

Повторение: понятие уравнения и его решения.

Знания и навыки: знать, какие уравнения можно решать разложением на множители, и уметь использовать прием решения.

Приемы учебной деятельности: все приемы работы с линейным уравнением, приемы работы с учебником (этапы отработки и применения), приемы разложения выражения на множители (этапы отработки и применения), прием решения уравнений вида (ах+ b) (cx +d) = 0.

Содержание урока:

После фронтальной проверки домашнего задания (цель — проверить усвоение приема разложения многочлена на множители вынесением общего множителя за скобки) провести беседу примерно следующего содержания (этап диагностики и отработки необходимых приемов деятельности):

1) Дайте определения: а) уравнения; б) корня уравнения; в) уравнения первой степени; г) линейного уравнения с одной переменной.

2) Объясните, что значит «решить уравнение», вспомните прием решения уравнения первой степени с одной переменной.

3) Проверьте, является ли значение переменной х — b корнем уравнений 0,4х = 1,2; х-3 = 2х-6; 2x+1 = 3x-4; 7х = 0; 3) = 0; (х-1) (x-2) = 0; (х-2) (x + 5) = 0.

4) Проверьте, являются ли корнями уравнений (х — 1) (х — 2) = 0 и (x+2)(x — 5) = 0 значения переменной: 1,2, —2, 5.

5) Объясните, почему заданные значения переменной обращают уравнения в верное равенство.

6) Подумайте, нельзя ли использовать это свойство для решения некоторого вида уравнений.

После попыток сформулировать предполагаемый способ решения учащимся предлагается прочитать соответствующий пункт учебника, выделяя главное.

Решить у доски и в тетрадях один-два примера из учебника, в процессе решения которых выявить состав нового приема решения уравнений (введение нового приема). В итоге сформулировать его следующим образом (инструктаж):

1) если в правой части уравнения (выше первой степени) нуль, посмотреть, нельзя ли разложить его левую часть на множители;

2) если можно, разложить левую часть уравнения на множители;

3) последовательно приравнивая к нулю множители, содержащие переменную, решить соответствующие линейные уравнения;

4) записать ответ для данного уравнения, объединив все полученные решения линейных уравнений.

С использованием сформулированного приема решить еще один-два примера из учебника самостоятельно в тетрадях (отработка нового приема). Решение контролировать с помощью комментирования с места или с помощью решения на переносных досках (контроль усвоения).

В оставшееся время решить примеры самостоятельно в тетрадях.

Домашняя работа имеет целью усвоение приема и самостоятельное его применение в аналогичных примерах (этап отработки приема).

Тема: Теорема Виета.

Цель: усвоение теоремы Виета, ее доказательство и применение. Повторение: квадратное уравнение, приемы работы над теоремой. Знания и навыки: знать теорему Виета, уметь доказывать и применять к решению квадратного уравнения.

Приемы учебной деятельности: все приемы работы над теоремой, приемы

сравнения и индуктивных умозаключений, приемы работы с учебником, приемы тождественных преобразований алгебраических выражений (этап применения), приемы решения и проверки квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Содержание урока:

После проверки домашнего задания (цель — проверить усвоение общего приема решения задач с помощью составления уравнений) предложить учащимся (этап диагностики и постановки целей) решить несколько квадратных уравнений, например,

и др. Для каждого из уравнений найти суммы и произведения найденных корней, сравнить полученные числа с коэффициентами уравнений, подметить закономерности.

На основе выполнения этого задания силами учащихся сформулировать свойство корней квадратного уравнения, которое составляет теорему Виета. Доказательство теоремы рассмотреть для приведенного квадратного уравнения и записать на доске и в тетрадях. При этом побуждать учащихся использовать известные им приемы работы над теоремой (этап применения и закрепления усвоенных приемов). Формулировка теоремы кратко записывается так:

Дано: x2+bx+c = 0; x1, x2 — корни уравнения.

Доказать: x1+x2 = — b, x1х2 = с.

Анализ доказательства провести так, как в учебнике (для случая D ⩾ 0). Формулировку и доказательство теоремы для неприведенного квадратного уравнения учащиеся могут прочитать по учебнику, повторяя и применяя таким образом прием формулировки и доказательства теоремы еще раз. Затем дать задание: сформулировать обратную теорему, используя прием формулировки обратной теоремы (этап применения и закрепления усвоенных приемов); доказательство обратной теоремы дать для домашней работы отдельным учащимся.

На основании теоремы Виета можно решить несколько задач относительно квадратного уравнения. На данном уроке это задачи нахождения суммы и произведения корней. Часть этих задач (из учебника) можно решить в классе коллективно и часть дать в качестве домашней работы.

На втором уроке по этой теме целесообразно решить задачи на исследование знаков корней квадратного уравнения с помощью теоремы Виета и на составление уравнения по данным его корням; сформулировать частные приемы решения этих задач, которые будут отрабатываться и применяться в дальнейшем на многих уроках алгебры и смежных дисциплин.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

ОБУЧЕНИЕ ПРИЕМАМ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ВО ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЕ

В методике формирования приемов учебной деятельности перенос играет важную роль как условие и показатель умственного развития учащихся. Организуя на уроках ситуации для переноса приемов, учитель обеспечивает прежде всего его внешние условия. Но существует еще второй ряд условий, относящихся к овладению приемами, называемыми внутренними условиями переноса (особенности овладения приемами, индивидуальные различия между учащимися).

Внутренние условия в некоторой степени учитываются на уроке — на этапах отработки и применения приемов учитель дает учащимся индивидуальные дифференцированные задания, снабжает письменными консультациями, памятками по применению приемов решения задач и т. д.

Однако в большей степени особенности учебной деятельности школьников могут быть учтены во внеклассной работе; например, на факультативных занятиях методика занятий должна строиться таким образом, чтобы учащиеся могли самостоятельно применять известные приемы к новому для них содержанию, а также

составлять новые приемы и применять их к решению задач повышенной трудности.

Рассмотрим занятие по теме «Разложение на множители и теорема Виета для произвольного приведенного многочлена».

В начале занятия проводится повторение по плану:

1. Определение и свойства приведенного квадратного трехчлена.

2. Разложение квадратного трехчлена на множители.

3. Теорема Виета для приведенного квадратного трехчлена. В левой части доски ведется запись:

Затем перед учащимися ставится вопрос: справедливы ли эти свойства для произвольного приведенного многочлена? Деятельность учащихся по решению этой проблемы организуется с помощью следующих заданий:

1) Дать определение приведенного многочлена n-й степени.

2) Сформулировать свойство, аналогичное свойству 2, для произвольного приведенного многочлена; формулируется и доказывается лемма о разложении многочлена на множители: если x1, x2, ..., xn — корни приведенного многочлена Р(х) степени n, то Р (х) = (х — x1)(х — x2).(х — xn).

3) Составить приведенный многочлен по его корням:

Прием решения этой задачи составляется по аналогии с известным. 4) Используя разложение приведенного многочлена на множители, вывести соотношение между корнями и коэффициентами приведенного многочлена:

5) Подметить закономерность и сформулировать теорему Виета для многочлена произвольной степени (используя аналогию с теоремой Виета для приведенного квадратного трехчлена и прием формулировки теоремы).

6) Выполнить упражнения вида: x1, x2, x3 — корни многочлена Р (х) =

7) Проверить, можно ли, используя теорему Виета, отыскать корни многочлена степени выше второй (ответ на вопрос дает теорема о рациональных корнях многочлена, которая формулируется и доказывается).

8) Решить уравнения вида x3 — 5x2 — х+21 = 0. Сформулировать прием решения.

9) Решить задачи на составление уравнений и их систем, используя полученные свойства.

В ходе выполнения этих заданий используются как известные приемы, так и новые, в частности обобщенный прием решения алгебраических уравнений высших степеней:

1) определить, каким видом уравнений данной степени является данное уравнение (полным, неполным, простейшим, двучленным, трехчленным стандартного вида); если есть формула или прием решения такого уравнения, то п. 4, если нет — п. 2;

2) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к стандартному виду: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных, разложение левой части на множители, возведение обеих частей уравнения в степень, испытание делителей свободного члена и деление многочлена на двучлен, введение вспомогательной переменной, замена уравнения равносильной ему системой уравнений и неравенств, выделение

полного квадрата, составление «разрешающего уравнения» (резольвенты), отыскание границ корней, подбор, вывод из условия задачи (вида уравнения) о характере корней;

3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение к стандартному виду;

4) решить известным способом стандартное уравнение;

5) если нужно, сделать проверку, исследование;

6) записать ответ.

Такая методика проведения факультативных занятий по математике позволяет показать единство математики и ее методов, создает простор для сравнения, обобщения, аналогии и нахождения на этой основе новых приемов учебной математической деятельности.

Приложение 6

ОБУЧАЮЩАЯ ПРОГРАММА

10 REM "ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ"

20 PRINT "ЕСЛИ НУЖНО, ПРИВЕДИТЕ ВАШЕ УРАВНЕНИЕ К ВИДУ АХ = В И ЗАТЕМ"

30 PRINT "ВОСПОЛЬЗУЙТЕСЬ АЛГОРИТМОМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ"

40 PRINT "СЛЕДИТЕ ЗА ПРАВИЛЬНОСТЬЮ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И"

50 PRINT "ВЫ ПРИДЕТЕ К ПРАВИЛЬНОМУ РЕЗУЛЬТАТУ. ЖЕЛАЕМ УСПЕХА"

60 PRINT "СРАВНИТЕ ВАШЕ УРАВНЕНИЕ С КОНТРОЛЬНЫМИ ПРИМЕРАМИ"

70 PRINT "(1): 2Х = 3/4, (2): X-2 + 3X = 7X-8+2Х-2,"

80 PRINT "(3): 0,15 (Х-4) = 9,9—0,3 (Х-1), (4): (6Х-5)/7 = (2Х- 1)/3 + 2."

90 PRINT "ЕСЛИ ВАШЕ УРАВНЕНИЕ ВИДА (1) (АХ = В), НАБЕРИТЕ 1, ИНАЧЕ — "

100 PRINT "2, 3, 4 СООТВЕТСТВЕННО"\ INPUT Z

110 IF Z = 1 THEN 420

120 IF Z = 2 THEN 290

130 IF Z = 3 THEN 150

140 IF Z = 4 THEN 220

150 PRINT "РАСКРОЙТЕ СКОБКИ. СРАВНИТЕ С КОНТРОЛЬНЫМ ПРИМЕРОМ (3)"

160 PRINT "0,15Х-0,6 = 9,9—0,ЗХ + 0,3; ПРОВЕРЬТЕ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ"

170 PRINT "ПРАВИЛА: ЕСЛИ ПЕРЕД СКОБКАМИ СТОИТ ЗНАК +, ОПУСТИТЕ ИХ,"

180 PRINT "СОХРАНИВ ЗНАК КАЖДОГО СЛАГАЕМОГО, ЕСЛИ -, ОПУСТИТЕ ИХ,"

190 PRINT "ИЗМЕНИВ ЗНАК КАЖДОГО СЛАГАЕМОГО В СКОБКАХ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ "

200 PRINT "НАБЕРИТЕ 5, КОГДА БУДЕТ ГОТОВО"\INPUT Z

210 GO ТО 60

220 PRINT "НАЙДИТЕ ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ ДРОБЕЙ, ВХОДЯЩИХ В УРАВНЕНИЕ"

230 PRINT "ЗАМЕНИТЕ ДАННОЕ УРАВНЕНИЕ ЦЕЛЫМ, УМНОЖИВ ОБЕ ЕГО ЧАСТИ"

240 PRINT "НА ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ. СРАВНИТЕ С КОНТРОЛЬНЫМ ПРИМЕРОМ (4)"

250 PRINT "18X-15 = 14X-7 + 42; ПРОВЕРЬТЕ ПРАВИЛЬНОСТЬ ОТЫСКАНИЯ ОБЩЕГО"

260 PRINT "ЗНАМЕНАТЕЛЯ ДРОБЕЙ —НОК ВСЕХ ЗНАМЕНАТЕЛЕЙ"

270 PRINT "НАБЕРИТЕ 5, КОГДА БУДЕТ ГОТОВО"

280 GO ТО 60

290 PRINT "ПЕРЕНЕСИТЕ СЛАГАЕМЫЕ С ПЕРЕМЕННОЙ ВЛЕВО, ОСТАЛЬНЫЕ ВПРАВО"

300 PRINT "СРАВНИТЕ С КОНТРОЛЬНЫМ ПРИМЕРОМ (2): Х + 3Х-7Х-2Х = 2_8_2*"

310 PRINT "ПРОВЕРЬТЕ 'ПРАВИЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАВИЛА: ЧЛЕНЫ"

320 PRINT "УРАВНЕНИЯ МОЖНО ПЕРЕНОСИТЬ ИЗ ОДНОЙ ЧАСТИ В ДРУГУЮ,"

330 PRINT "ПЕРЕМЕНИВ ПРИ ЭТОМ ИХ ЗНАКИ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ"

340 PRINT "НАБЕРИТЕ 5, КОГДА БУДЕТ ГОТОВО"\INPUT Z

350 PRINT "ПРИВЕДИТЕ ПОДОБНЫЕ В КАЖДОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ"

360 PRINT "СРАВНИТЕ С КОНТРОЛЬНЫМ ПРИМЕРОМ (2): -5Х = —8"

370 PRINT "ПРОВЕРЬТЕ ПРАВИЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАВИЛА ПРИВЕДЕНИЯ"

380 PRINT "ПОДОБНЫХ СЛАГАЕМЫХ: НАЙТИ СУММУ ИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ"

390 PRINT "ЕСЛИ ВЫ ПОЛУЧИЛИ УРАВНЕНИЕ ВИДА АХ = В, НАБЕРИТЕ 1, ИНАЧЕ 0"

400 INPUT Z

410 IF Z = 0 THEN 20

420 REM ПОДПРОГРАММА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ АХ = В (ЛУР)

430 PRINT "ВВЕДИТЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ A, B"\INPUT А, В

440 IF А = 0 THEN 470

450 PRINT "Х = "; В/А

460 GO ТО 510

470 IF В = 0 THEN 500

480 PRINT "РЕШЕНИЙ НЕТ"

490 GO ТО 510

500 PRINT "РЕШЕНИЙ БЕСКОНЕЧНО МНОГО"

510 PRINT "ПРОВЕРЬТЕ ОТВЕТ ПОДСТАНОВКОЙ В УРАВНЕНИЕ ИЛИ В УЧЕБНИКЕ"

520 PRINT "ЕСЛИ ВАШ ОТВЕТ ПРАВИЛЬНЫЙ, ЗАПИШИТЕ ЕГО"

530 PRINT "ЕСЛИ ВСЕ ВЕРНО, НАБЕРИТЕ 5, ИНАЧЕ 0"\INPUT Z

540 IF Z = 0 THEN 20

550 PRINT "ВСЕ. РАБОТА ЗАКОНЧЕНА"

560 STOP

Предлагаем читателю составить по этому принципу и апробировать самостоятельно обучающие программы для отработки умений решать другие виды уравнений (второй степени с одной переменной, тригонометрических и т. д.), а также обсудить приемлемость самой идеи.

На рисунке 38 приводится схема алгоритма программы.

Рис. 38

ЛИТЕРАТУРА

1. Айзенберг М. И. Обучение учащихся методам самостоятельной работы с учебником //Математика в школе. —1982. — № 6. — С. 18—21.

2. Бабанский Ю. К. Рациональная организация учебной деятельности. — М.: Знание, 1981. — (Новое в жизни, науке и технике. Сер. «Педагогика и психология»; 3/1981).

3. Базисная программа содержания математического образования в средней школе//Математика в школе. —1981. — № 4. — С. 7—15.

4. Денищева Л. О. Приемы учебной работы как средство формирования частных умений при обучении началам математического анализа//Математика в школе.—1983.—№ 1.—С. 14—19.

5. Кабанова-Меллер Е. Н. Учебная деятельность и развивающее обучение.—М.: Знание, 1981. — (Новое в жизни, науке и технике. Сер. «Педагогика и психология»; 6/1981).

6. Колот В., Пунский В. Учить учиться//Народное образование. — 1983. — № 2. — С. 40—43.

7. Кострикина Н. П. Как учить школьников 4—5 классов решать задачи//Математика в школе.—1987. — № 1.—С. 15—18.

8. Куль ко Б. А., Цехместрова Т. Д. Формирование у учащихся умений учиться: Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1983.

9. Овсянникова Л. А., Шибаева Н. И. Выработка общеучебных и специальных умений и навыков учащихся в процессе обучения//Математика в школе, —1982. — № 4. — С. 48—49.

10. Паламарчук В. Ф. Школа учит мыслить. — М.: Просвещение, 1979.

11. Паравян Н. А. Выработка у школьников навыков работы с книгой// Математика в школе.—1982. — № 2. — С. 47—48.

12. Пидкасистый П. И. Организация деятельности ученика на уроке. — М.: Знание, 1985. — (Новое в жизни, науке и технике. Сер. «Педагогика и психология»; 3/1985).

13. Развитие общих учебных умений и навыков школьников: Рекомендации Министерства просвещения СССР//Воспитание школьников.—1984. — № 4. — С. 64—69.

14. Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике (Формирование умений самостоятельной работы): Сб. статей / Сост. С. И. Демидова, Л. О. Денищева. — М.: Просвещение, 1985.

15. Слепкань З. И. Психолого-педагогические основы обучения математике. — Киев: Рад. школа, 1983.

16. Современные проблемы методики преподавания математики: Сб. статей: Учеб. пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Сост. Н. С. Антонов и В. А. Гусев. — М.: Просвещение, 1985.

17. Столяр А. А. Методы поиска решения задач//Методы обучения математике.—Минск, 1981.—С. 119—146.

18. Талызина Н. Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. — М.: Знание, 1983. — (Новое в жизни, науке и технике. Сер. «Педагогика и психология»; 3/1983).

19. Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о психологии. — М.: Просвещение, 1983.

20. Фридман Л. М. Учись учиться математике: Кн. для учащихся. — М.: Просвещение, 1985.

21. Чуканцев С. М. Учить самоконтролю//Математика в школе. —1979. — № 6. — С. 27—30.

22. Якуба Э. Г. О вооружении учащихся навыками учебного труда в процессе обучения математике: Из опыта работы кабинета математики областного ИУУ/Математика в школе.—1981.—№ 5.—С. 12—14.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие.................. 3

Глава I. Основные понятия..........4

§ 1. Основные положения теории учебной деятельности ... 4

§ 2. Приемы учебной деятельности......... 7

§ 3. Классификация приемов учебной деятельности в школьном

курсе математики.............. 13

§ 4. Методические требования к обучению приемам учебной деятельности ................ 18

Глава II. Формирование общих приемов учебной деятельности в обучении математике ..............21

§ 1. Общие приемы учебной деятельности по усвоению математических понятий..............21

§ 2. Методика формирования приемов учебной деятельности учащихся по усвоению математических понятий ...... 29

§ 3. Приемы аналитико-синтетического поиска решения задач 51

§ 4. Основные приемы организации учебной деятельности учащихся................. 74

Глава III. Формирование специальных приемов учебной деятельности учащихся............... 82

§ 1. Обобщенные приемы решения уравнений и неравенств с одной переменной в школьном курсе алгебры........ 82

§ 2. Специальные приемы решения задач на построение методом геометрических мест.............100

§ 3. Специальные приемы косвенного измерения расстояний . . 106

Приложения..................114

Литература..................127

Учебное издание

ЕПИШЕВА ОЛЬГА БОРИСОВНА

КРУПИЧ ВЯЧЕСЛАВ ИОСИФОВИЧ

УЧИТЬ ШКОЛЬНИКОВ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. В. Туркестанская

Младшие редакторы О. В. Агапова, О. В. Котенкова Художники И. М. Наумова, Е. И. Титков Художественный редактор Ю. В. Пахомов Технический редактор Т. П. Локтионова Корректор Е. Г. Чернышова

ИБ № 12645

Сдано в набор 28.07.89. Подписано к печати 06.06.90. Формат 60×901/16. Бум. типограф. № 2. Гарнит. литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 8. Усл. кр-отт. 8,25. Уч.-изд. л. 8,69. Тираж 200 000 экз. Заказ 591. Цена 25 к. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.

25 коп.