ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЕ ОБУЧЕНИЕ

коллективная монография

Российская Академия Естествознания

Издательский дом Академии Естествознания

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЕ ОБУЧЕНИЕ

Коллективная монография

Москва 2016

УДК 372.851 ББК 74.262.21 Э41

Рецензенты:

Сергеева Т.Ф. — доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой естественнонаучных и общематематических дисциплин ФГБОУ ВПО МО «Академия социального управления»;

Гроздев С.И. — доктор педагогических наук, профессор, проректор по научной работе и карьерному росту Университета финансов, бизнеса и страхования, София, Болгария

Экспериментальная математика в школе. Исследовательское обучение: коллективная монография / М.В. Шабанова, Р.П. Овчинникова, А.В. Ястребов, М.А. Павлова, А.Е. Томилова, Л.В. Форкунова, Л.Н. Удовенко, H.H. Новоселова, Н.И. Фомина, М.В. Артемьева, Т.С. Ширикова, О.Л. Безумова, С.Н. Котова, В.В. Паршева, H.H.Патронова, М.В. Белорукова, В.В. Тепляков, Т.П. Рогушина, Е.А. Тархов, О.Н. Троицкая, Л.Н. Чиркова. - М.: Издательский дом Академии Естествознания, 2016. — 300 с.

ISBN 978-5-91327-377-2

DOI 10.17513/пр.141

Монография посвящена изложению историко-научных предпосылок, теоретических основ и практического опыта исследовательского обучения математике в стиле экспериментальной математики. В монографии изложена история развития экспериментального подхода в математике и математическом образовании, представлена теоретическая модель исследовательского обучения в стиле экспериментальной математики, дана характеристика содержательных и технологических основ ее реализации в системе основного и дополнительного общего образования, внеурочной деятельности учащихся общеобразовательных школ, организации конкурсных мероприятий. Материалы монографии будут интересны и полезны специалистам в области теории и методики обучения математике, аспирантам и студентам, а также учителям математики.

Монография подготовлена в рамках реализации Российско-Болгарского проекта «Методики и информационные технологии в образовании».

© Коллектив авторов, 2016 ISBN 978-5-91327-377-2 © ИД «Академия Естествознания»

© МОО «Академия Естествознания»

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ........................................................................................4

Глава 1. ПРЕДПОСЫЛКИ СОЗДАНИЯ ДИДАКТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ.............................................................................7

1.1. История математики как история развития представлений о специфике математического эксперимента..............................7

1.2. Методология экспериментальной математики в высказываниях математиков и философов.............................25

1.3. История становления и развития идей исследовательского подхода к обучению математике в России и за рубежом..................................39

Глава 2. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЕ ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ В СТИЛЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ...........................................................................65

2.1. Дидактическая модель исследовательского обучения

в стиле экспериментальной математики.....................................66

2.2. Содержательные основы воспитания математика-экспериментатора...................................................80

2.3. Методические особенности организации исследовательского обучения математике в модели «Экспериментальная математика» на разных этапах обучения........................................................110

2.4. Эффекты и риски исследовательского обучения в стиле экспериментальной математики...................................133

2.5. Эксперимент как средство предупреждения экспериментально-теоретического разрыва.............................141

Глава 3. ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ СЦЕНАРИИ РЕАЛИЗАЦИИ ДИДАКТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ...................................................................161

3.1. Турнир по экспериментальной математике.............................161

3.2. Создание виртуальных лабораторий и динамических тренажеров учащимися.............................................................191

3.3. Лабораторные работы по математике с GEOGEBRA..............209

3.4. Организация исследовательской работы учащихся

с учетом идей экспериментальной математики.......................223

3.5. Технология разработки и проведения исследовательского урока..........................................................240

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК..................................................281

ПРИЛОЖЕНИЕ......................................................................................291

ПРЕДИСЛОВИЕ

Переход на использование в общеобразовательной школе идей проектного и исследовательского обучения является не только одним из требований новых Федеральных государственных образовательных стандартов (2010—2012 гг.), но и общемировой тенденцией.

Серьезное внимание к интеллектуальному развитию учащихся на всех ступенях общего образования — залог успеха стран, являющихся мировыми лидерами по качеству естественнонаучного и математического образования. По результатам исследований PISA 2012 года к числу таких стран относятся Китай, Сингапур, Япония, Финляндия, Эстония, Республика Корея. Территории Российской Федерации занимают лишь 34—38 места в рейтинговой таблице.

Это объясняется тем, что система образования в нашей стране долгое время делала ставку на достижение высокого уровня эрудированности школьников (перечень научных фактов, который они должны усвоить, составляли основу не только учебных программ, но и образовательных стандартов предыдущих поколений). При этом выбор способа передачи научных знаний учащимся оставался за самими учителями.

И конечно же лишь наиболее талантливые из них заботились о том, чтобы образовательный процесс не только обогащал подрастающее поколение новыми знаниями, но и предоставлял им достаточно возможностей для интеллектуального и духовного роста. Расширению круга учителей, способных к достижению этих образовательных результатов, способствовали проекты, связанные с внедрением в практику общеобразовательных школ различных технологий обучения в продуктивной деятельности (дидактические системы развивающего обучения Л.В. Занкова, Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова, технология обогащающего обучения и др.). Однако, их использование в системе Российского образования так и не приобрело массового характера, во-первых, в силу сложности их освоения и реализации, во-вторых,

из-за несоответствия приоритетно достигаемых результатов обучения, способам измерения, которые предлагали органы управления образованием.

Те изменения, которые произошли и происходят с системой российского образования сегодня, заставляют нас не только вновь обратиться к возможностям, которые предоставляют различные дидактические системы и технологии обучения в продуктивной деятельности, но и искать пути их использования при изучении всех предметов на всех ступенях обучения.

Наибольшие сложности в решении этой задачи несет в себе предмет «Математика», как с точки зрения разгрузки программ по математике, так и с точки зрения определения видов и способов осуществления продуктивной математической деятельности, которые доступны большинству школьников и потому могут быть положены в основу их обучения.

Авторы данной монографии представляют свой взгляд на решение этой задачи, основанный на идее усиления внимания к экспериментальному подходу в математике.

В первой главе монографии раскрывается история применения экспериментальных методов в математике. На многочисленных примерах авторы монографии доказывают, что экспериментальный подход в математике не только не утратил своего значения сегодня, но и приобрел новое качество, обусловленное широким использованием возможностей компьютерной техники. Накопление в математической науке результатов, полученных на основе компьютерных экспериментов, привело к выявлению специфики методологии экспериментального подхода, которую стали обозначать термином «экспериментальная математика».

В этой же главе раскрывается история и современные теоретические основы исследовательского и проектного обучения. Доказывается, что появление программного обеспечения, относимого к классу систем динамической математики, открывает сегодня дорогу проникновению идей исследовательского обучения в математику. Этот тезис подтверждается обзором международных научно-образовательных проектов, реализуемых при поддержке Европейского Союза.

Вторая глава монографии посвящена описанию дидактической модели исследовательского обучения в стиле экспериментальной математики, а также раскрытию содержательных и организационных условий ее реализации.

Представленная в монографии модель является результатом обобщения и теоретического осмысления опыта обучения математике с использованием систем динамической математики, который накоплен участниками Российско-Болгарского проекта «Методики и информационные технологии в образовании», в период его реализации (2010—2015 гг.), а также обобщения результатов диссертационных исследований, выполненных и выполняемых в рамках идеологических основ данного проекта на базе Северного (Арктического) федерального университета имени М.В.Ломоносова и Ярославского государственного педагогического университета имени К.Д. Ушинского.

В третьей главе представлен опыт практической реализации модели исследовательского обучения математике в стиле экспериментальной математике в рамках урочной и внеурочной деятельности.

Авторы считают, что данная монография будет интересна и полезна не только специалистам в области теории и методики обучения математике, аспирантам и студентам, но также и учителям-практикам, так как в ней достаточно полно представлены не только теоретические основы реализации исследовательского подхода в обучении математике с использованием систем динамической математики, но и содержится большое количество фактического материала, который может быть использован в практике общего образования.

Глава 1.

ПРЕДПОСЫЛКИ СОЗДАНИЯ ДИДАКТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

1.1. История математики как история развития представлений о специфике математического эксперимента1

Многие математические результаты, как на заре развития математики, так и на протяжении всей истории ее развития, вплоть до сегодняшних дней были получены посредством экспериментов и индуктивных рассуждений, лишь позднее они были доказаны дедуктивно. Правда, прямых свидетельств этому мало. Во все времена ученые не любят рассказывать о процессе своего творчества, показывать, как создавались те или иные математические теории, путем каких догадок, проверок, отбраковки ошибочных догадок приходили они к своим выводам. Публикуются только конечные результаты. Среди математиков, наверное, только Л. Эйлер писал о процессе своего творчества. Этим и уникальны его работы.

Рассмотрим более подробно как на основе экспериментов, наблюдений, догадок формулировались математические результаты, и начнем с древности.

1.1.1. Древность. Натурные эксперименты в математике

Математические знания существовали во многих древних землевладельческих государствах, однако восстановить уровень знаний, который в них существовал, можно лишь по сохранившимся документам, найденным при археологических раскопках. Далеко не всегда документы сохранялись, и поэтому сколько-нибудь подробные данные мы имеем лишь о математике Древнего Египта и Древнего Вавилона. Вавилоняне умели правильно вычислять площади прямоугольников, треугольников, трапеций, объемы куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды. Однако мы не найдем у них самого привычного нам элемента математики — доказательства. Правила вычисления, по всей видимости, возникали как эмпирические соотношения в результате многочисленных измерений,

1 © Томилова А. Е.

затем заучивались как догма и передавались от одного поколения писцов к другому Порукой истинности утверждений также служила вековая практика их использования. При этом не разделялись точные и приближенные формулы, при этом приближенная формула должна была удовлетворять практическим требованиям.

Характерным примером служит использовавшееся еще в древнем Египте правило для вычисления площади произвольного четырехугольника со сторонами я, Ь, с, d. Египтяне считали, что площадь четырехугольника равна произведению полусумм пар противоположных сторон, то есть

Эта формула дает точные результаты лишь для прямоугольников, в остальных случаях результат приближенный, и можно привести примеры четырехугольников, для которых ее погрешность сколь угодно велика. Так, например, площадь ромба с острым углом. Чем меньше острый угол, тем больше погрешность. Однако на практике эта формула применялась в Египте для расчета площади земельных участков, форма которых обычно была близка к прямоугольнику, а в этом случае формула давала достаточную точность. Сознавали ли древние землемеры, что формула является приближенной, этого мы не знаем.

На основе натурных экспериментов египетским математикам удалось решить и другую, гораздо более трудную задачу. Они нашли способ, хоть и приближенный, вычисления площади круга по поперечнику (диаметру): по их правилам площадь круга считалась равной площади такого квадрата, сторона которого есть — поперечника круга. В данном случае я ~ 3,16. Правило было получено, скорее всего, эмпирически. Его происхождение пытались объяснить по-разному, но почти все гипотезы неубедительны. Одна из наиболее правдоподобных гипотез описана в книге А.Е. Раик [73].

Сначала впишем круг в квадрат со стороной 1. Вырежем из этого квадрата четыре квадратика со стороной —. Площадь оставшейся части равна но она еще явно больше площади круга. Вырежем еще восемь квадратиков со стороной —. Их площадь равна, а площадь оставшейся части равна

Возможно, что египтяне поступали именно так, и решили, что площадь оставшейся части равна площади круга [72, с. 14].

В Древнем Вавилоне площадь круга находилась по формуле S =L2/\2, где S — площадь круга; L — длина окружности. Логика рассуждений ученых, приведшая к получению этой формулы, пока не воссоздана.

Самое удивительное, что египтяне и вавилоняне умели находить объем пирамиды, а египтяне даже объем усеченной пирамиды с квадратными основаниями. Точный вывод формул требует знаний, которыми египтяне и вавилоняне наверняка не обладали, поскольку для нахождения объема усеченной пирамиды требовалось применение предельного перехода.

Объем пирамиды, вообще говоря, нельзя найти путем разрезания куба. Это можно сделать лишь для некоторых пирамид. Например, в вавилонских глиняных табличках вычисляется лишь объем пирамиды, угол между основанием (квадратным) и боковыми гранями которой равен 45°, а куб можно разрезать на шесть таких пирамид, взяв в качестве их общей вершины центр куба, а в качестве оснований — его грани. Так поступали при нахождении правила для вычисления объема пирамиды и египтяне. И хотя этот вывод годится не для всех пирамид, египтяне спокойно пользовались этим правилом для любой пирамиды [72].

1.1.2. Древняя Греция. Мысленный эксперимент в форме механических интерпретаций

Важный шаг в развитии научных представлений об экспериментальных методах в математики был сделан Архимедом. Им были найдены площади круга и параболических сегментов, объемы шара, эллипсоида, сегментов шара. В сочинениях Архимеда все найденные им зависимости для площадей и объемов доказываются строго геометрически, Например, методом исчерпывания, по Евдоксу доказывается, что разность между объемом шара и величиной ~пг?> может быть сделана сколь угодно малой, но откуда берется сама величина ^яг3 ~~ не поясняется. И поскольку Архимед нашел не только объем шара, но и объемы многих других тел (а также площади целого ряда фигур), то ясно, что Архимед владел способом, позволяющим находить (а не только доказывать) формулы для площадей и объемов. Но в чем состоял этот способ, долгое время оставалось неясным. И лишь в 20 веке (1908 год) была найдена рукопись Архимеда «Послание к Эратосфену». Это была работа о механическом

методе решения геометрических задач. В ней приводятся следующие эвристические рассуждения.

Пусть, например, необходимо вычислить объем шара. Одновременно с шаром строят конус и цилиндр, радиусы оснований и высоты которых, равны диаметру шара (рис. 1). Через все эти тела проводят сечение, параллельное основаниям, на некотором произвольном фиксированном расстоянии от оснований.

AK2 = OK2 + OA2 = 01? + OL2.

В то же время А К1 = А BOA, что позволяет сделать вывод о том, что

OK2 + OL2 = АВОА.

Таково же соотношение между величинами, пропорциональными слагаемым

к AB2 OA = ъОЮАВ + 7iOL2AB.

Так получается соотношение между горизонтальными сечениями шара, цилиндра и конуса.

Этому соотношению Архимед дает механическую интерпретацию, основанную на правиле рычага, или, что то же самое, двуплечных весов. Другими словами, если принять точку А за точку опоры рычага, то элемент цилиндра, закрепленный в точке О, уравновесит элементы шара и конуса, закрепленные в Т(АТ= AB). Переходя к объемам тел как к суммам всех произвольных сечений, параллельных друг другу, он получает

УщаАС = (уш + Гкон ). AT = (Гш + Гкон )• 2 АС,

отсюда

Но так как

Тот же способ механической аналогии Архимед применил в сочинении «О квадратуре параболы». Параболическая пластинка представляется подвешенной к одному плечу неравноплечного рычага и разделенной на элементы, каждый из которых уравновешен соответствующей нагрузкой на другом плече [76].

Рис. 1. Вычисление объема шара

В соответствии с научной традицией своего времени Архимед переводил доказательства, полученные методом механической аналогии, на общепринятый язык метода исчерпывания с обязательным завершением последнего в каждом отдельном случае доказательством от противного.

Вместе с тем Архимед продолжал широко использовать для получения соотношений и натурные эксперименты. Так, например, он очень ясно и понятно описал, как измерить угловые размеры Солнца [54, с. 23]. Он определил видимый поперечник Солнца, как заключенный между 1/200 и 1/164 долями прямого угла (или между 27 и 35 минутами, в действительности 32 минуты).

«Укрепив длинную линейку на вертикальной подставке, расположенной в месте, откуда виден восход Солнца, поставим на линейку вертикально небольшой точенный цилиндр. Когда Солнце близко к горизонту и на него можно смотреть, линейка поворачивается в сторону Солнца и глаз располагается на краю линейки. При этом цилиндр, находясь между Солнцем и глазом, закрывает все Солнце. Затем постепенно перемещают цилиндр от глаза, пока Солнце не начнет слегка показываться со всех сторон цилиндра; на этом месте цилиндр закрепляется» [55, с. 13—14].

Сходным образом рассуждал и Эратосфен при определении размеров Земли. Эратосфен жил в Александрии в III веке до н.э. Южнее Александрии на берегу Нила лежит город Сиена. В день летнего солнцестояния — самый длинный день года — в Сиене солнце заглядывает на дно самых глубоких колодцев, а в Александрии в этот день дно колодцев остается в тени. Там солнечные лучи падают на Землю не отвесно, как в Сиене, а под углом и освещают только стенку колодца. Эратосфен измерил угол между направлением солнечного луча и стенкой колодца. Оказалось, что этот угол равен 1/25 развернутого угла. Вероятно, Эратосфен рассуждал так: солнечные лучи всюду параллельны, а колодцы всегда копают по отвесу. Солнце может по-разному освещать колодцы в Сиене и Александрии только потому, что Земля не плоская. Скорее всего, она круглая, как шар. Но раз угол между Солнечным лучом и отвесом в Александрии равен — развернутого угла, то расстояние между Александрией и Сиеной в 25 раз меньше длины меридиана, соединяющего полюсы земного шара. Расстояние от Александрии до Сиены было приблизительно известно. Умножив его на 25, Эратосфен определил длину меридиана. Ошибка, сделанная Эратосфеном, была совсем невелика, особенно если учитывать, как неточны были в то время измерения расстояний и углов [39, с. 149.].

1.1.3. Численные эксперименты в трудах Пифагорейцев

Пифагорейцы сопоставили три последовательности чисел:

1) натуральный ряд;

2) квадраты чисел натурального ряда;

3) разности последовательных квадратов:

1) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

2) 1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

121

144

169

196

3) 3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

Наблюдение обнаружило следующий факт: когда число третьей последовательности квадратное, то оно в сумме со стоящим над ним квадратным числом даёт квадратное число, стоящее во второй последовательности на следующем справа месте:

9 + 16 = 25; 25 + 144 = 169 или З2 + 42 = 52; 52 + 122 = 132.

Этот факт можно доказать и в общем виде.

Также на основе многочисленных вычислений были изучены свойства некоторых групп натуральных чисел, которые получили название «Треугольники Тартальи».

1) 1 +2 = 3

4+5+6=7+8

9+ 10+ 11 + 12= 13+ 14+ 15

16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24

2) З2 + 42 = 52

102 + 1 12 + 122 = 132 + 142

212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272

362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442

552 + 562 + 572 + 582 + 592 + 602 = 612 + 622 + 632 + 642 + 652

3) Существует еще такой «числовой треугольник»:

13= 1

V = 3 + 5

33 = 7 + 9+ 11

43= 13+15+17+ 19

53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29

..................[38, с. 182-183].

1.1.4. Математика в Западной Европе к XVI—XVII векам. Рождение методологии прикладной математики

Ученые Западной Европы XVI—XVII веков — это, прежде всего, инженеры, изобретатели, астрономы, философы. К математическим задачам их толкала потребность решить встававшие перед ними практические проблемы, которые они решали в тесном контакте с мастерами и ремесленниками того времени. Решение практических задач открывало новые математические объекты, которые становились предметом дальнейшего изучения, в свою очередь, стимулируя теоретическую мысль.

Рассмотрим характерный пример, связанный с работами Христиана Гюйгенса (1629—1695). Началом послужила одна из важнейших практических задач XVII века — усовершенствование маятниковых часов. Было подмечено, что период колебаний простого кругового маятника зависит от размаха и не позволяет ему быть точным измерителем времени. А между тем, именно в это время точные часы были очень нужны,

прежде всего, для целей навигации. Широту в XVII веке уже умели определять довольно точно, измеряя высоту над горизонтом небесных светил. Теоретически долготу любого места в ходе плавания можно определять путем сравнения местного времени, определяемого по кульминации Солнца или звезд, со временем пункта отправления, если только это время достаточно точно хранят хорошие часы. В качество часов долгое время все и упиралось: обычные маятниковые часы, в которых центр тяжести маятника движется по окружности, нужной точности не обеспечивали, особенно в условиях качки корабля. Лучше других это понимал Христиан Гюйгенс, соединивший в своем лице талант изобретателя, выдающегося часового мастера с талантом математика. Гюйгенс предположил и разработал несколько остроумных конструкций маятниковых часов, повышающих точность, и он же заметил, что главным препятствием к дальнейшему увеличению точности служит принципиальное свойство обычного маятника — зависимость периода колебаний от их амплитуды. На качающемся корабле не удавалось сохранить постоянную амплитуду колебаний, и часы неизбежно теряли точность. Гюйгенс поставил интереснейшую задачу: «По какой кривой (вместо окружности) должен двигаться центр тяжести маятника для того, чтобы период колебаний не зависел от амплитуды?» Гюйгенс нашел эту кривую с помощью удивительно остроумных рассуждений, приведенных в его трактате «Маятниковые часы», опубликованном в 1673 году. Искомая кривая оказалась циклоидой — кривой, которую описывает закрепленная точка окружности, катящаяся по прямой без скольжения. Заметим, что Гюйгенс весьма живо и остроумно определял циклоиду: это та кривая, «которую описывает в воздухе гвоздь, вбитый в обод колеса, при его качении». Как раз незадолго до этого, в работах учеников Галилея Вивиани и Торричелли эта кривая была впервые описана, название «циклоида» было придумано самим Галилеем. Однако, как заставить центр тяжести маятника двигаться точно по циклоиде? Гюйгенс нашел оригинальное решение: Пусть нить подвеса маятника колеблется между двух «щек», изогнутых по кривым — эволютам циклоиды. Для того, чтобы правильно изогнуть «щеки», нужно было найти эти кривые — эволюты циклоиды. Гюйгенс нашел их, создав по пути теорию эволют и эвольвент. Эта теория позволила Гюйгенсу построить часы, в которых центр тяжести маятника двигался по циклоиде, в результате чего период колебаний перестал зависеть от амплитуды. Работа Гюйгенса показала с особенной наглядностью пользу соединения математики и практики, плодотворность применения математических методов и теорем к решению конкретных технических задач [70, с. 45—47].

Метод «неделимых» И.Кеплера, В 1613 году И.Кеплер женился. Когда он покупал вино для свадьбы, он был изумлен тем, как продавец определял вместимость бочки. Продавец брал палку, на которой были нанесены деления, и с ее помощью узнавал расстояние от наливного отверстия до самой дальней точки бочки — края днища. Проделав это одно измерение, он сразу же говорил, сколько литров вина в данной бочке.

Кеплера заинтересовало, насколько точно торговец определил объем бочки при помощи всего одного измерения. Так ученый первым обратил внимание на класс задач, исследование которых привело к созданию интегрального исчисления. Вначале Кеплер нашел формулу для вычисления объема бочки, а затем и других тел вращения (всего для 92 тел вращения), которым он дал названия «лимон», «яблоко», «груша», «айва», «слива», «земляника» и т.п. Для нахождения объемов этих неправильных тел ученый применял метод исчерпывания, разбивая тело на множество элементарных частей и заполняя его фигурами, объемы которых поддавались вычислению.

Так, для нахождения объема тора Кеплер разбил его меридиальными сечениями на бесконечное количество кружков, толщина которых с внешней стороны несколько больше, чем с внутренней. Объем такого кружка равен объему цилиндра с основанием, равным сечению тора, и высотой, равной высоте кружка в его средней части. Отсюда сразу получается, что объем тора равен объему цилиндра, у которого площадь основания равна площади сечения тора, а высота равна длине окружности, которую описывает точка — центр круга, образующего тор [54, с. 63].

1.1.5. Численные эксперименты и вопросы аддитивной арифметики

Аддитивная арифметика — это область арифметики, которая в основном занимается вопросами о представлении целых чисел в виде суммы целых чисел наперед заданного вида. Многие теоремы этой арифметики были сформулированы на основе рассмотрения различных частных случаев.

Проблема Варинга. Еще у Диофанта возникла идея о представлении натуральных чисел суммами квадратов натуральных же чисел, в частности, о представлении суммой не более четырех квадратов. Клод Гаспар Баше (1625) проверил это положение для всех чисел, не превышающих 325. В 1636 году П. Ферма заявляет, что имеет доказательство этой теоремы, но в 1659 году сообщает о трудностях её доказательства. Доказательство теоремы, что всякое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов натуральных же чисел, было дано Л. Эйлером в 1751 году и уточнено Ж. Лагранжем в 1772 году с указанием об использовании

им идеи доказательства Л. Эйлера. Очень многие математики занимались в дальнейшем родственными этой теореме вопросами (Э. Варинг, Д. Гильберт, И.М. Виноградов, Ю.В. Линник).

Проблема Гольдбаха, Христиан Гольдбах (1690—1764) в 1742 году в письме к Л. Эйлеру о разных недоказанных математических предложениях, которые подтверждаются проверкой, упоминает и о предложении, что всякое число есть сумма трех простых чисел, причисляя к простым числам единицу. Л. Эйлер отвечает: «Предложение о том, что всякое четное число есть сумма двух простых чисел, я считаю настоящей теоремой, хотя я и не в состоянии ее доказать». Л. Эйлер указывает, что если эта теорема доказана, то из нее вытекает, что всякое нечетное число есть сумма трех простых чисел.

Накопился громадный эмпирический материал, подтверждающий высказанное X. Гольдбахом предположение. С тех пор как X. Гольдбах выдвинул эту гипотезу, математики не сомневались, что она, как и Великая теорема Ферма, верна. Тем не менее, в отличие от теоремы Ферма, никто никогда не претендовал на то, что сумел ее доказать. К решению этой проблемы существует подход «в лоб» — надолго запустить компьютерную программу, которая бы последовательно проверяла это утверждение на всё больших и больших четных числах. Таким способом можно было бы опровергнуть теорему, будь она неверна. Но невозможно и доказать, поскольку никогда нельзя гарантировать, что очередное число, проверяемое программой, не окажется первым исключением из правила. В действительности мы знаем, что гипотеза Гольдбаха верна, по крайней мере, для всех четных чисел, не превышающих 100 ООО. В 30-е годы XX века группа русских математиков установила, что существует такое конечное п, что любое четное число может быть представлено в виде суммы не более чем п простых слагаемых, а также что гипотеза Гольдбаха верна для большого класса четных чисел. Однако доказательство теоремы до сих пор не найдено [38, с. 174—175].

1.1.6. Численные эксперименты как основа создания генераторов простых чисел

Простые числа так причудливо расположены в натуральном ряду, что у математиков не было надежды вывести формулу, которая давала бы все такие числа и никакие другие. Поэтому попытались достичь более легкой цели — найти формулу, подставляя в которую вместо п одно за другим натуральные числа, получать каждый раз простое число. Одну из

первых таких формул предложил П. Ферма. Она имела вид: Fn = 22" + 1. Но в данном случае интуиция подвела ученого. При я = О, 1, 2, 3, 4 действительно получаются простые числа, но значение п = 5 он не проверял, иначе он обнаружил бы, что число 232 + 1 = 4294967297 делится на 641. Не удались попытки записать желанную формулу и в виде многочлена. Л.Эйлер установил, что многочлен f(n) = n2 — п + 41 принимает простые значения для всех п = 0, 1, 2, 40. Но/(41) = 412 — 41+41 — составное число. Еще больше простых чисел дает многочлен g(n) = п2 — 19п + 1601 — они получаются при всех целых п от 0 до 79. Но при л? = 80 получаем составное число. Неизвестно, бесконечно ли множество простых значений многочленовf(n) и g{n).

В дальнейшем попытки отыскать формулу для простых чисел в виде многочленов были оставлены в связи с результатами Л. Эйлера и X. Гольдбаха [27, с. 33].

1.1.7. Статистические эксперименты в разрешении парадоксов теории вероятностей

Рассказывают, что однажды к Галилею обратился один игрок с просьбой разъяснить ему непонятное явление: почему при бросании трех игральных костей сумма 10 выпадает чаще, чем 9? Это кажется странным, ведь сумма 10, так же как и сумма 9, выпадает в шести комбинациях:

10=1+3 + 6=1+4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4; 9=1+2 + 6=1+3 + 5=1+4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3.

Галилей разъяснил этот парадокс в работе «О выходе очков при игре в кости». Оказывается, не все перечисленные комбинации равновозможны. Работа Галилея была опубликована в 1718 году.

До этого Ж. Мере обращался к Б. Паскалю с такими задачами:

— почему при бросании трех костей чаще выпадает сумма, равная 11, чем 12?

— подтвердить наблюдение, что вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях игральной кости больше 1/2;

— сколько раз надо подбросить две игральные кости, чтобы число случаев, благоприятствующих выпадению хотя бы однажды двух шестерок сразу, было больше, чем случаев, когда ни при одном бросании не появляются две шестерки одновременно? [99, с. 164—166].

1.1.8. Математика XVIII века. Эксперименты с бесконечностью

Математики XVIII века — это, прежде всего математики-прикладники. Все они много работали над решением прикладных задач, и их теоретические работы возникали на основе обобщения этих решений. Тесная связь с практикой влияла на стиль и характер изложения математических работ того времени. Первостепенное внимание уделялось не строгости изложения, а получению новых результатов.

Л. Эйлер довольно свободно обращался с бесконечными величинами и рядами, его методы были далеки от современных требований к строгости, и, тем не менее, окончательные выводы Л.Эйлера были, безусловно, верны.

Иногда говорят, что «от ошибок Эйлера оберегала интуиция». Сами по себе эти слова верны. Надо лишь уточнить, что речь идет не об интуиции как о каком-то врожденном качестве, присущем Эйлеру от природы. Интуиция Эйлера — это результат огромного количества выполненных им реальных расчетов и всесторонних проверок, которым подвергались результаты этих расчетов. Рассмотрим для иллюстрации одну работу Л. Эйлера. Она представит путь, на котором Л. Эйлер и другие математики XVIII века достигали правильных результатов.

Еще Я. Бернулли поставил задачу о вычислении суммы ряда обратных квадратов:

(1)

Однако задача оказалась трудной, и самим Я. Бернулли не была решена. Для ее решения Л. Эйлер использовал новый метод, основанный на смелом предельном переходе от конечных полиномов к бесконечным степенным рядам.

Современникам Эйлера было хорошо известно, что если полином степени 2п имеет вид

b0-blX2+...(-iybnx2"

и имеет 2п различных корней:

ß,; -ß,; ß2; -ß2; ...; ß„; -ß„,

то его можно представить в виде:

при этом коэффициент:

(2)

Л. Эйлер рассматривает функцию sinx =х - как «полином бесконечной степени», имеющий бесконечное число корней: 0; я; —я; 2я; — 2л... и т.д.

Далее Эйлер переходит к полиному

имеющему корни: ±л; ±2л; ±пп, и по аналогии с конечными полиномами заключает, что

(3)

тогда с учетом равенства (2) имеем:

откуда и следует

(4)

Л. Эйлер сам понимал, что его заключение о сумме ряда (1) «дерзко». Перенос свойств конечных полиномов на бесконечные степенные ряды мог привести и к ошибке, поэтому Эйлер счел необходимым многократно проверить свой метод и свой результат. Вот каковы были проверки, проделанные Эйлером.

1. Л. Эйлер вычислил сумму (1) приближенно, с точностью до шестого знака и нашел полное совпадение во всех знаках.

2. Пользуясь тем же методом исследования, но, сравнивая коэффициенты при X2 в равенстве (3), Л. Эйлер нашел сумму ряда = —, и снова, вычисляя приближенно эту сумму прямым подсчетом, нашел полное совпадение до шестого знака.

3. Применяя тот же метод перехода от конечного полинома к бесконечному ряду для функции 1-sinjc = 1-jch-----h..., имеющей двойные корни, Л. Эйлер нашел сумму ряда 1 — н----+---+ ... = —, что

совпало с уже известным результатом Г. Лейбница. «Для нашего метода, — писал об этом совпадении Л. Эйлер, — который некоторым может показаться недостаточно надежным, здесь обнаруживается великое подтверждение. Поэтому мы вообще не должны сомневаться в других результатах, выведенных тем же методом».

И все же Л. Эйлер не жалел сил для дальнейших проверок своего метода.

4. Л. Эйлер другим путем вычислил сумму ряда (1) и снова нашел, что / — ——. Совпадение результатов, полученных двумя разными методами, было дополнительным доводом в пользу их правильности.

5. Даниил Бернулли (1700—1782) обсуждая результат Л. Эйлера, обратил внимание, что Л. Эйлером не доказано отсутствие комплексных корней в уравнении sinx = 0, наличие которых поставило бы под сомнение равенство (4). В ответ на эти сомнения Эйлер дополнительно доказал, что уравнение sinx = 0 не может иметь комплексных корней.

Легко убедиться, что все проверки, проделанные Л. Эйлером, не абсолютны, например, ясно, что из совпадения первых шести десятичных знаков суммы ряда (1) и числа — еще не следует с абсолютной достоверностью, что совпадут и все остальные знаки. Такие же замечания можно высказать и по поводу остальных пяти проверок. Но в целом проверки, проделанные Л. Эйлером, обеспечивали (по выражению А.Н. Крылова) «ту разумную строгость, которая, избавляя от ошибок, сообщает непреложность выводам».

Проверки, проделанные Л. Эйлером, для подкрепления достоверности вычисления суммы (1) с особенной ясностью проявляют характерную черту математики XVIII века — преобладание прикладной математики и ее методов. Тщательные и многосторонние проверки — характерная черта прикладной математики (прикладной математикой мы называем решение задач физики, техники и т.п. математическими средствами). Естественно, что в прикладной математике проверка окончательного результата необходима и именно она гарантирует, что задача решена правильно. Пример с суммой ряда (1) показывает, насколько глубоко проникнут Л. Эйлер духом прикладной математики. Он применяет ее методы прямых проверок даже к задаче чистой математики — суммированию ряда несмотря на то, что любая прямая проверка относительна; она лишь повышает степень достоверности результата, не гарантируя его абсолютной истинности. Эйлер это понимал и именно поэтому не ограничивался одной единственной проверкой, он проверял свои результаты всесторонне, самыми различными методами.

Это приводит к пониманию причин того, что практически все результаты Эйлера (за самыми ничтожными исключениями) оказались справедливыми [70, с. 71—75].

1.1.9. Статистический эксперимент и вычисление числа π

Французский естествоиспытатель Ж. Бюффон (1707—1788) в 1777 году опубликовал оригинальный способ вычисления числа я, известный в литературе под названием «задача Бюффона». Существо этого способа кратко можно изложить так. Лист бумаги (плоскость) разграфлен параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На него бросается («наудачу») игла длины 21 (/ < а). Требуется найти вероятность пересечения иглы с какой-либо из этих прямых.

При решении этой задачи обозначают через х расстояние от центра иглы до ближайшей параллели, а угол, составленный иглой с этой параллелью, через ф. Требуется найти вероятность пересечения иглы с какой-либо из этих прямых. Все возможные положения иглы определяются точками прямоугольника со сторонами а и я. Из рис. 2 видно, что для пересечения иглы с параллелью необходимо и достаточно, чтобы

X < /sin ф.

Из сделанных предположений следует, что искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной области к площади прямоугольника со сторонами а и я. Следовательно, вероятность

Рис. 2. Задача Бюффона

Поскольку вероятность р приближенно (в зависимости от числа бросаний иглы) равна отношению числа пересечений к числу бросаний иглы, то получается приближенная формула для вычисления числа я:

где п — число бросаний иглы; m — число наблюдаемых при этом пересечений. Этот способ в дальнейшем проверялся многими лицами. Так, например, Лаццарини в 1901 году бросал игру 3408 раз и получил значение я = 3,1415929 [18, с. 95-96].

Многие способы приближенного вычисления числа я были получены в результате большого числа проб. Например, итальянский геометр Маскерони (1750-1800) в 1779 году дал простой и практически ценный прием приближенного спрямления окружности с помощью одного циркуля. Как это делается? Описываем окружность с радиусом r= 1 (см. рис. 3). Этим же раствором циркуля, начиная от некоторой точки окружности А делаем засечки В, С, D. Тогда точки А, В, С, D будут вершинами правильного шестиугольника. Из точек А и Z), как из центров, радиусом АС = DB проводим дуги СЕ и BE. Затем из точки В, как из центра, радиусом BE проводим дугу ЕМ, где M — точка пересечения этой дуги с основной окружностью. Тогда

(«точное» же значение — = 1,57079...) [18, с. 96].

Рис. 3. Приём Маскерони приближенного спрямления окружности

1.1.10. Численный эксперимент как основа получения теорем геометрии

Теорема Л. Эйлера о многогранниках. Каждый многогранник имеет определенное число граней (Г), вершин (В) и ребер (Р). Соотношение между ними подметил впервые Л. Эйлер в 1750 г., оно выражалось формулой:

Г + В - Р = 2. (5)

Зная методы работы Эйлера (напомним, что из всех математиков Л. Эйлер писал о своих методах наиболее откровенно), нетрудно восстановить тот путь, которым Л. Эйлер пришел к формуле (5). Он начал с подсчета числа вершин, граней и ребер у конкретных многогранников. Экспериментируя с конкретными многогранниками, Л. Эйлер мог составить, например, следующую таблицу:

Многогранники

Г

В

Р

Трехгранная пирамида

4

4

6

Четырехгранная пирамида

5

5

8

Трехгранная призма

5

6

9

Куб

6

8

12

Октаэдр

3

6

12

Икосаэдр

20

12

30

Додекаэдр

12

20

30

Внимательно рассматривая подобные таблицы, он и подметил соотношение (5). От частного эксперимента к обобщению — это обычный путь естествоиспытателя. Однако для математики этого мало: формула (5) должна быть установлена не только для приведенных в таблице семи видов многогранников, но и для всех видов, а это означает, что формулу (5) требуется доказать. И Л. Эйлер представил такое доказательство, усовершенствовал которое О. Коши в 1811 году [70, с. 142—143].

Л. Эйлер обладал удивительной способностью открывать новые соотношения для натуральных чисел, изучая свойства некоторых первых чисел. Лишь потом ему (далеко не всегда!) удавалось найти строгие доказательства угаданных свойств. Так, с помощью индукции Л. Эйлер открыл замечательное тождество, связанное с суммой делителей натурального числа. Эйлер заметил, что для любого п выполняется равенство

Здесь числа 1, 2. 5. 7, 12, 15, 22, 26, ... попеременно выражаются формулами-и-, где к= 1, 2, а знаки чередуются так, что после двух положительных слагаемых идут два отрицательных. Суммирование ведется до тех пор, пока аргументы функции g неотрицательны; если последнее значение аргумента окажется нулем, то считается, что g(0) = п.

Эйлеру не удалось сразу найти доказательство формулы, он нашел его через год. Сам Эйлер по поводу наблюдений, приведших его к замечательным открытиям, написал следующее: «...в теории чисел, которая все еще не совершенна, наши самые большие надежды мы можем возлагать на наблюдения, они непрерывно будут вести нас к новым свойствам, которые позже мы будем стараться доказать. Этот вид знания, которое подкрепляется только наблюдениями и все еще не доказано, следует тщательно отличать от истины; оно, как обычно говорим, приобретается индукцией. ... мы должны пользоваться таким открытием как возможностью более точно исследовать эти открытые свойства и доказать их или опровергнуть; в обоих случаях мы можем научиться кое-чему полезному» [27, с. 21—22].

1.1.11. Математика XIX—XX веков. Рождение компьютерного эксперимента

Проблема четырёх красок — математическая задача, предложенная Ф. Гутри в 1852 году. Теорема утверждает, что на сфере достаточно четырех красок для правильной раскраски любой возможной географической карты (т.е. такой раскраски, при которой любые две страны с общей границей не закрашены в один цвет). Первое доказательство было опубликовано А. Кемпе в 1879 году. Оно было признано достаточным выдающимися математиками того времени, и теорема считалась строго доказанной более десяти лет, пока в 1890 году П. Хивудом не была обнаружена ошибочность доказательства А. Кемпе. С тех пор, несмотря на многочисленные и упорные попытки многих математиков, доказательства теоремы не удавалось построить вплоть до семидесятых годов двадцатого века, когда к поиску были подключены быстродействующие цифровые вычислительные машины. Найденное с их помощью доказательство было опубликовано в 1976 году.

На этот раз «мысленный эксперимент» — математическое доказательство — оказался столь сложен, что оказалась полезной и необходимой помощь вычислительных машин.

Теорема о «четырех красках» оказалась первой, но, безусловно, не последней важной теоремой, доказанной уже не только человеком, но и машиной, а точнее — человеком, прибегнувшим к помощи вычислительной техники при доказательстве [70, с. 149—150].

Приведенные примеры из истории развития математической науки показывают, что к математическому решению и прикладных проблем, и теоретических ученые часто приходили используя эксперимент с объектами исследования (числовыми последовательностями, рядами, аналитическими выражениями, геометрическими фигурами, их реальными прототипами, моделями и т.п.). В математике, в отличие от естественных наук, эксперимент принимал и принимает самые различные формы: натурные эксперименты для получения эмпирических соотношений, модельные имитационные эксперименты для получения выводов по аналогии, численные эксперименты для получения обобщенных выводов и др.

Это ставит вопрос о связи естественнонаучных экспериментов и экспериментов, проводимых в математике. Требует раскрытия содержания понятие «математический эксперимент». В этой связи нашу точку зрения мы представим в следующем параграфе, исследуя специфику компьютерных экспериментов и методологии экспериментальной математики.

1.2. Методология экспериментальной математики в высказываниях математиков и философов2

В предыдущем параграфе мы привели множество примеров, доказывающих, что математике присущи не только теоретические, но и экспериментальные начала, так как экспериментальные методы использовались учеными на всем протяжении истории развития математической науки.

На значимость этих начал как для самой науки, так и для математического образования обращали внимание многие видные ученые (Ж. Адамар, Н. Бор [22], Г. Вейль, Д. Гильберт и др.). Приведем в доказательство весьма категоричное высказывание В.И.Арнольда: «Математика является экспериментальной наукой — частью теоретической физики и членом семейства естественных наук» [10, с. 28]. Этим высказыванием он хотел подчеркнуть пагубность как для развития математической науки, так и для математического образования разделение математики и физики, которое было предпринято в середине XX века и наиболее ярко проявилось в стиле работы научной группы Н. Бурбаки и в реформировании математического образования Франции [11]. В своем

2 © Шабанова М.В., Ширикова Т.С., Ястребов А.В.

выступлении «О преподавании математики» В.И.Арнольд привел примеры, доказывающие, что «непостижимая эффективность математики в естественных науках», о которой говорил Ю. Вигнер [25], наблюдается лишь тогда, когда не только математическая модель, но и исходные положения аксиоматических теорий, дедуктивные выводы получают экспериментальное подтверждение: «математики-схоласты (мало знакомые с физикой) верят в принципиальное отличие аксиоматической математики от обычного в естествознании моделирования (всегда нуждающегося в последующем контроле выводов экспериментом). Не говоря уже об относительном характере исходных аксиом, нельзя забывать о неизбежности логических ошибок в длинных рассуждениях (скажем, в виде сбоя в компьютере, вызванного космическими лучами или квантовыми осцилляциями). Каждый работающий математик знает, что если не контролировать себя (лучше всего — примерами), то уже через какой-нибудь десяток страниц половина знаков в формулах будет переврана, а двойки из знаменателей проникнут в числители. Технология борьбы с подобными ошибками — такой же внешний контроль экспериментами или наблюдениями, как и в любой экспериментальной науке, и ему следует с самого начала учить школьников младших классов» [11].

В трудах В.И.Арнольда не только много внимания уделено экспериментальным методам в математике, но фигурирует и интересующий нас термин «Экспериментальная математика» [12, 13]. Контексты использования данного термина свидетельствуют о том, что его смысловое значение В.И. Арнольд тесно связывал с широким использованием в решении математических проблем вычислительных (статистических) экспериментов.

Впервые термин «экспериментальная математика» был произнесен в России на открытии Уральского отделения Академии Наук СССР (решение о создании принято в 1969 г.). Первым его популяризатором выступал H.H. Красовский — директор института математики и механики УНЦ АН СССР (в период с 1970 по 1977 гг.), основоположник идей информатизации математического образования. Это объясняет, почему данный термин первоначально получил распространение в образовательной сфере (например, использовался в названии клуба, которым руководит Г.Б. Шабат с 1983 г. — «Клуб экспериментальной математики»).

Общественное признание и широкое распространение в научном мире данный термин получил лишь в последнее десятилетие XX века. Это связано с появлением программных пакетов для математической обработки данных (Maple, Mathematica, Mathcad и других). Они, существенно расширив возможности ученых в экспериментировании

с объектами математических исследований, оказали, по свидетельству основоположников данного направления Дж. Борвей и Д. Бейли (J. Borwein, D.Bailey) [111], существенное влияние на сам стиль математического мышления и вызвали парадигмальный сдвиг математической науки.

Дж. Борвей и Д. Бейли описали методологию экспериментальной математики, опираясь на собственный опыт исследований в этой области. Они отметили, что хоть эксперименты и использовались в математике всегда как основа интуитивных выводов, но в описании своих результатов математики, в отличие от физиков, химиков и представителей других естественных наук об их роли не упоминали: «Аll mathematicians build their intuition about problems and objects by looking at examples. When this intuition becomes strong enough, we know the result before we have a proof of it. And once we have the theorem we set about proving it. Arguably mathematics has been this way for a very long time; while it is different from other areas of knowledge in that it has the certainty of proof as practitioners we are not immune from getting our hands a little dirty with some experimentation — though we are generally not willing to admit it and tend to hide it if possible»3.

Решающим фактором изменения отношения математиков к экспериментам явилось появление в конце 70-х годов XX века автоматизированных систем научных исследований. Первоначально они использовались лишь для компьютерной поддержки проведения и обработки данных экспериментов в области химической технологии (институт им. М. Планка, ФРГ, 1968 г., центр научных исследований компании Du Pont, США, 1970 г.). Затем они стали быстро распространяться и на другие сферы научной деятельности, а также на другие этапы экспериментальных исследований. Это привело к возникновению понятия «компьютерного эксперимента». Под компьютерным экспериментом первоначально понимали модельный эксперимент, при котором объект исследования полностью моделируется в цифровом виде на ЭВМ. Главным отличием компьютерного эксперимента от экспериментов других видов является полное снятие задачи установления связи объекта

3 «Все математики стимулируют свою интуицию при решении проблем и исследовании объектов, глядя на примеры. Когда эта интуиция становится достаточно сильной, мы получаем результат, прежде чем получаем возможность его доказать. Только после того, как у нас сформулирована теорема, мы приступаем к ее доказательству. Возможно, математика шла этим путем очень долгое время. Главным отличием математики от других областей знания являлось то, что ее положения имеют убедительные доказательства. Однако, как практики мы не застрахованы от того, чтобы запачкать руки экспериментами, хотя мы, как правило, не готовы признать это и скрываем этот факт, если возможно».

исследования с ЭВМ, что устраняло погрешности, связанные с влиянием случайных факторов. Благодаря этой особенности эксперимент, основанный на создании и экспериментировании с математической моделью объекта исследования, называется иногда «чистым экспериментом».

Появление компьютерных экспериментов сделало возможным не только включение описания экспериментов в математические публикации, но и представление результатов, способ формального доказательства которых пока неизвестен. Об этом свидетельствует обращение к авторам редколлегии журнала «Expérimental Mathematics», который начал издаваться в Нью-Йорке в 1992 году. В нем говорится, что редколлегия в отборе статей опирается на следующие философские представления об экспериментальной математике: «Expérimental Mathematics was founded in the belief that theory and experiment feed on each other, and that the mathematical community stands to benefit from a more complete exposure to the experimental process. The early sharing of insights increases the possibility that they will lead to theorems: An interesting conjecture is often formulated by a researcher who lacks the techniques to formalize a proof while those who have the techniques at their fingertips have been looking elsewhere. Even when the person who had the initial insight goes on to find a proof a discussion of the heuristic process can be of help, or at least of interest, to other researchers. There is value not only in the discovery itself, but also in the road that leads to it»4. Это позволяет принимать к публикации не только результаты, которые получены на основе экспериментов, но также и гипотезы, к выдвижению которых привели экспериментальные исследования в различных областях математики, описания самих экспериментов, результаты которых поддерживают выдвинутые ранее гипотезы, а также статьи, которые содержат описания алгоритмов и программного обеспечения для поддержки математических исследований.

Особое отношение к экспериментам — заметная, но не самая главная черта ученых, занимающихся экспериментальной математикой.

4 «Экспериментальная математика основана на убеждении, что теория и эксперимент влияют друг на друга, и что математическое сообщество лишь выиграет от более полного их взаимодействия. Ранний обмен идеями увеличивает вероятность того, что они приведут к появлению новых теорем: интересно, что гипотеза часто формулируется исследователем, которому не хватает техники для ее формализованного доказательства, в то время как те, кто хорошо владеет техникой доказательств, будут искать в другом месте. Даже если человек не имеет представлений о способе доказательства, обсуждение эвристического процесса может помочь ему, или, по крайней мере, вызовет интерес других исследователей. Значимым является не только само открытие, но и дорога, ведущая к нему» http://www. emis.de/journals/EM/expmath/philosophy.html.

Специфичным является использование компьютерных экспериментов практически на всех этапах исследования: «То be precise, by experimental mathematics, we mean the methodology of doing mathematics that includes the use of computations for:

1. Gaining insight and intuition.

2. Discovering new patterns and relationships.

3. Using graphical displays to suggest underlying mathematical principles.

4. Testing and especially falsifying conjectures.

5. Exploring a possible result to see if it is worth formal proof.

6. Suggesting approaches for formal proof.

7. Replacing lengthy hand derivations with computer-based derivations.

8. Confirming analytically derived results»5.

Одним из наиболее важных преимуществ экспериментального подхода является возможность уже на ранних этапах исследования исключить использование ложных гипотез (пункт 4). Одно компьютерное вычисление может уберечь ученого от напрасной траты времени и сил для поиска доказательства утверждения, полученного на основании ложных представлений. Что касается пункта 5, то математики в начале пути не имеют достаточного количества лемм (опорных утверждений) для проведения рассуждений, они должны в традиционных исследованиях на что-то опираться в своих выводах, для того, чтобы быть уверенными в том, что путь, по которому они идут, имеет смысл. Методы экспериментальной математики предоставляют им возможность поддерживать рассуждения на достаточно высоком уровне в отсутствии такой опоры. Затем уже они решают, заслуживает ли полученный ими результат поиска доказательства, создания поддерживающей его теории.

Центральной проблемой экспериментального подхода в математике является вопрос о допустимости привлечения компьютеров к проведению доказательств (пункт 7). Многие математики испытывают дискомфорт от появления в научных публикациях фраз: «доказано с использованием пакета Mathematica» или «установлено с применением

5 Чтобы быть точным, говоря об экспериментальной математике, мы имеем в виду особую методологию математической деятельности, которая включает в себя использование компьютеров для: 1. Достижения понимания и поддержки интуиции. 2. Открытия новых моделей и отношений. 3. Графической визуализации основных принципов. 4. Тестирования и предотвращения фальсификации гипотез. 5. Изучения возможного результата, чтобы увидеть, стоит ли он поиска формального доказательства. 6. Выдвижения гипотез о подходах к формальному доказательству. 7. Замены технически сложных выкладок компьютерными расчетами входе доказательств. 8. Подтверждения аналитически полученных результатов.

пакета Maple». Однако такое использование компьютеров представляет уже своего рода тенденцию, противостоять которой не только довольно сложно, но и контрпродуктивно, по мнению Дж. Борвей и Д. Бейли.

Заявления о «компьютерных доказательствах» можно было бы понимать как достаточно вольные утверждения о том, что опубликованные результаты прошли проверку компьютерными экспериментами, были верифицированы, но не доказаны. Однако проблема состоит в том, что в математической науке стали накапливаться подобным образом проверенные, но недоказанные результаты, т.е. результаты, не подкрепленные описанием способа или программы формального доказательства. Первый прецедент создала теорема о четырех красках, для которой сегодня существует только компьютерное доказательство.

Первое компьютерное доказательство этой теоремы было представлено на суд научной общественности в 1976 году К. Аппелем (Kenneth Appel) и В. Хакеном (Wolfgang Haken) [105, 106]. И, как и следовало ожидать, навлекло на себя массу критики. Суть этой критики раскрыл в предисловии к своей статье другого компьютерного доказательства этой теоремы Джордже Гонтир (Georges Gonthier) [117, с. 1]: «The Appel and Haken proof attracted a fair amount of criticism. Part of it concerned the proof style: the statement of the Four Colour Theorem is simple and elegant so many mathematicians expected a simple and elegant proof that would explain, at least informally, why the theorem was true — not opaque IBM 370 assembly language programs. Another part, however, was more rational skepticism: computer programming is known to be error-prone, and difficult to relate precisely to the formal statement of a mathematical theorem. The fact that the proof also involved an initial manual case analysis that was large (10,000 cases), difficult to verify, and in which several small errors were detected, also contributed to the uncertainty6.

В силу этих причин дальнейшие попытки ученых были направлены на поиск более изящных доказательств, как можно меньше зависящих

6 Доказательство Аппеля и Хакена привлекло изрядное количество критики. Часть ее касалась стиля доказательства: формулировка теоремы о четырех красках проста и элегантна, поэтому многие математики ждали простого и изящного ее доказательства, объясняющего, по крайней мере неформально, истинность данного утверждения, но программа, написанная на языке ассемблера IBM 370, была вовсе непрозрачна. Другая часть критики имела более рациональные основания для скептицизма: компьютер и программы, как известно, подвержены ошибкам, их трудно связать с формальным утверждением математической теоремы. Кроме того, доказательство в первой части включало выделение невероятно большого количества частных случаев (10000 случаев), правильность этой части было трудно проверить. Однако в этой части были обнаружены, хоть и небольшие, все же ошибки, что также способствовало недоверию».

от компьютерных вычислений. Второе доказательство этой теоремы, предложенное в 1995 году Н. Робертсоном, Д. Сандерсом, П. Сеймуром и Р.Томасом (N.Robertson, D.P.Sanders, P.Seymour, R.Thomas) [130] в сочетании с изданием монографии, содержало исправленное доказательство К. Аппеля и В. Хакена [106], и по свидетельству Д. Гонтира, сняло большую часть возражений.

Некомпьютерная часть нового доказательства была уже более прозрачной и допускала проверку. Компьютерная программа была написана на языке Си, и применялась для анализа большого количества случаев. Однако полностью исключить компьютерную часть из доказательства авторам также не удалось.

Д. Гонтир поставил перед собой принципиально иную задачу — не отказаться от использования компьютера, а закрыть вопрос о допустимости его применения [117, с. 2]: «Our work can be seen as an ultimate step in this clarification effort, completely removing the two weakest links of the proof: the manual verification of combinatorial arguments, and the manual verification that custom computer programs correctly fill in parts of those arguments. To achieve this, we have written a formal proof script that covers both the mathematical and computational parts of the proof. We have run this script through the Coq proof checking system, which mechanically verified its correctness in all respects. Hence, even though the correctness of our proof still depends on the correct operation of several computer hardware and software components (the processor, its operating system, the Coq proof checker, and the Ocaml compiler that compiled it), none of these components are specific to the proof of the Four Colour Theorem»7.

Программа проверки доказательства теоремы о четырех красках, предложенная Д. Гонтиром, сняла все сомнения в истинности данного утверждения, однако оставила открытым вопрос о статусе «компьютерных доказательств» и их месте в математических исследованиях.

7 «Наша работа может рассматриваться как последний шаг в разъяснении усилий ученых, полностью удаляющий два слабых звена предыдущих доказательств: ручную проверку комбинаторных аргументов, и ручную проверку правильности использования этих аргументов компьютерной программой. Чтобы добиться этого, мы написали скрипт формального доказательства, который включает в себя как математическую, так компьютерную части. Мы запустили этот скрипт через систему Coq, которая механически проверила его правильность во всех отношениях. Таким образом, хотя правильность нашего доказательства все еще зависит от правильной работы нескольких аппаратных и программных компонентов компьютера (процессора, операционной системы, программы проверки доказательств Coq, компилятора Ocaml), ни один из этих компонентов не является специально созданными для доказательства теоремы о четырех красках».

Сегодня этот вопрос активно обсуждается не только математиками, но и философами всего мира. Яркими примерами этого обсуждения являются следующие публикации: [40, 113, 119, 125].

Поиск решения проблемы «компьютерного доказательства» идет сразу в нескольких направлениях:

— создания и совершенствования программного обеспечения, позволяющего проводить не только вычислительные эксперименты, но осуществлять символьную и логическую обработку данных («Логик-теоретик», GeoProof, Geometry Expression's и др., а также идеи С. Вольфрама (S.Wolfram) [136]);

— создания и совершенствования экспертных систем для проверки формальных доказательств (Agda, Coq, HOL, Isabelle, LCF, Mercury, Vampire и др.);

— расширения самого понятия доказательства так, чтобы в его объем вошли компьютерные способы обоснования (автоматические доказательства, вероятностные доказательства [115], доказательства с нулевой информацией [128] и др.

Несмотря на нерешенность проблемы «компьютерного доказательства», уже сегодня можно положительно оценить то влияние на развитие математики, которое оказало привлечение компьютеров к математической деятельности. Использование компьютерных экспериментов значительно упростило работу математиков, несмотря на постоянное повышение уровня сложности решаемых ими проблем. Ярким свидетельством этого является массовое появление в математике результатов, полученных не только учеными, но и простыми любителями математики, и даже школьниками. Одним из интересных сборников таких результатов является электронная энциклопедия Кларка Кимберлинга [122]. За приростом результатов в этой энциклопедии можно следить в режиме реального времени. На 2 февраля 2015 года энциклопедия включала 5001 новый результат.

Компьютерные средства предоставили ученым новые возможности для манипулирования объектами исследования вне зависимости от их сложности и масштабности.

Все это сделало доступным реализацию программ формального доказательства, а также обоснования ряда известных в математике утверждений, дедуктивные доказательства которых не были найдены учеными. Например, также как и теорема о четырех красках, в 1998 году была доказана Т. Халесом гипотеза Кеплера о максимальной плотности упаковки шаров, сформулированная в 1611 году. Из-за долгой проверки редакционной коллегией журнала Annals of Mathematics

представленного автором доказательства, статья была опубликована лишь в 2005 году [118].

По отношению к компьютерным средствам проблемы математики, таким образом, разделились на три категории:

— задачи, решение которых не требует привлечения компьютера;

— задачи, решение которых значительно облегчается при применении компьютерных средств;

— задачи разрешимые только компьютерными средствами.

Появление компьютеров привело к распространению в математике экспериментального подхода, который сблизил методологию математики с методологией естественных наук ([108, 120, 121, 134, 135]), сняв опасность закрепления и развития методологических представлений Н. Бурбаки, против которых выступал В.И.Арнольд. Наиболее ярко, как показали Дж. Борвей и Д. Бейли в [111], это сближение проявляется при решении задач последнего типа.

Сближение методологий поставило перед учеными задачу уточнения понятия «компьютерный (математический) эксперимент», проведя его сопоставление с экспериментами, применяемыми в естественных науках.

Традиционно в науковедческой литературе [129] выделялись четыре вида экспериментов, связанных с именами Канта (Kantian), Бэкона (Baconian), Аристотеля (Aristotelian) и Галилея (Galilean).

Бэконовские эксперименты (Baconian Experimentation) — это натурные эксперименты. Они призваны ответить на вопрос: «Что произойдет, если ...».

Исторически они возникли из представлений о том, что истина лежит вокруг нас. Она сама проявит себя, если мы только сможем видеть вещи такими, какие они на самом деле, отказавшись от предубеждений и предвзятости. Однако для усмотрения закономерных связей явлений недостаточно удачного стечения обстоятельств, нужно «вытянуть» истину из опыта. Ярким примером эксперимента данного вида является открытие электричества при проведении опыта с натиранием янтаря. Это открытие приписывается древнегреческому ученому Фалесу Милетскому (624—547 гг. до н.э.), который обратил внимание на то, что янтарное веретено, на котором пряла шерсть его дочь, притягивает клочки шерсти.

Эксперименты Аристотеля (Aristotelian Experiments) — это лабораторные эксперименты, позволяющие в искусственных условиях воссоздать явления и управлять ими. Ярким примером эксперимента данного вида является открытие условных рефлексов И.П. Павловым. Изучая пищеварение у собак, И.П. Павлов заметил, что у них начинается слюноотделение при появлении даже пустой миски. Тогда он поставил задачу

научить собаку ассоциировать пищу с другим раздражителем — зажжённой лапочкой. В своем ставшем классическим эксперименте И.П. Павлов вживил в слюнную железу собаки фистулу, чтобы измерять количество выделенной слюны. Затем перед собакой ставили миску, в которую автоматически подавалась еда. Экспериментатор сначала включал свет, а затем, через несколько секунд, в миску подавалось немного пищи, а свет выключался. Эту процедуру повторяли многократно. В результате у собаки вырабатывался требуемый условный рефлекс.

Эксперименты Галилея (Galilean Experiments) — это эксперименты, применяемые для подтверждения гипотез или для получения данных, корректирующих гипотезу. Ярким примером эксперимента данного вида является эксперимент, опровергший утверждение Аристотеля о том, что легкие тела падают на землю медленнее, чем тяжелые. Г. Галилей для проверки этого утверждения сбрасывал с Пизанской башни пушечное ядро весом 80 кг и мушкетную пулю весом 200 г. Оба тела достигли земли одновременно.

Кантовские эксперименты (Kantian Experiments) — это мысленные эксперименты. Их правомерность обосновывалась существованием априорного знания (истины разума, по толкованию Лейбница). Яркими примерами экспериментов данного вида являются рассуждения, которые привели к появлению неевклидовых геометрий. Данный вид экспериментов является типичным для математики (см. параграф 1.1), однако он находит применение и в естественных науках. Его результаты являются аргументом в пользу проведения реальных экспериментов или против них, поскольку реальные эксперименты зачастую бывают очень дорогостоящими.

Судя по описанию кантовских экспериментов, которые дает П. Медаар (P. Medawar), компьютерные эксперименты следует отнести к кантовским: «Kantian experimentation requires по apparatus except sometimes a computer»8. Однако такое отнесение не вполне правомерно.

Представленная классификация четко разграничивает функции экспериментов в исследовании. Так, эксперименты Бэкона и Аристотеля являются разведочными. Они предназначены для открытия новых фактов и закономерностей (Discovery). Эксперименты Галилея и Кантора — контрольными. Они предназначены для проверки гипотез (Justification).

В методологии экспериментальной математики, как показывает X. Соренсен (H. Sorensen) [133], эта граница размывается (см. схему на рис. 4). На его схеме толстые стрелки указывают традиционные функции

8 «Кантовские эксперименты не требуют аппаратуры, кроме, иногда, компьютера».

эксперимента в естественных науках (оправдание, проверка адекватности теорий) и математике (открытие фактов). Пунктирные стрелки — это новые функции экспериментов, а вертикальные стрелки — изменения самого понятия эксперимента, что проявляется в размывании границ между экспериментами для открытия фактов и экспериментами для их верификации.

Возможность компьютерных (математических) экспериментов выполнять сразу несколько функций объясняется тем, что в отличие от экспериментов, проводимых в естественных науках, его результаты являются более надежными, это означает, что каждое из полученных данных может рассматриваться как единичный пример проявления некоторой общей закономерности, которую мы собираемся открыть или верифицировать.

Конечно, результаты компьютерных экспериментов не всегда точно представляют эту закономерность или даже могут свидетельствовать о ее кажущемся нарушении. Однако эти ошибки носят систематический, а не случайный характер. Они детерминированы либо ошибками работы процессора, либо особенностями вычислительного алгоритма, лежащего в основе программы, либо недостатками виртуальной модели объекта исследования.

Ненадежность данных, получаемых в ходе естественнонаучных экспериментов, как показывают Дж. Борвей и Д. Бейли, приводит к необходимости ограничения анализа получаемых данных статистическими методами. При этом вычислительные эксперименты математиков, в силу

Рис. 4. Схема экспериментов Галилея и Кантора

их надежности, допускают применение аналитических методов исследования результата, а также индуктивных обобщений.

В отличие от естественнонаучных экспериментов компьютерные (математические) эксперименты позволяют за короткий срок получать очень большое количество данных, что делает психологически убедительным индуктивный вывод, однако вопрос об истинности получаемых таким образом утверждений остается открытым в большинстве случаев. Это обусловлено тем, что часто математические абстракции обладают свойствами (бесконечности, непрерывности и т.п.), исключающими возможность полного перебора всех вариантов.

Подводя итог обзора различных мнений о специфике методологии экспериментальной математики, следует отметить, что отношение к этой области математического знания и к термину, ее обозначающему, пока не устоялось. Наряду с термином «экспериментальная математика» часто используется термин «компьютерная математика», что позволяет определяющим признаком считать широкое использование компьютеров, но не экспериментального подхода. Значимость этого факта подчеркивает X. Соренсен [133]: «It is по coincidence that the name of the sub discipline under consideration is often given as experimental mathematics or sometimes as computer based or computer-assisted mathematics»9.

Некоторые математики склонны считать, что экспериментальную математику целесообразно рассматривать как новый раздел математической науки, другие полагают, что это есть принципиально новое качество современной математики в целом.

Первую точку зрения представляют, например, Дж. Борвейн и Р. Борвейн [112]: «Expérimental Mathematics is that branch of mathematics that concerns itself ultimately with the codification and transmission of insights within the mathematical community through the use of experimental (in either the Galilean, Baconian, Aristotelian or Kantian sense) exploration of conjectures and more informal beliefs and a careful analysis of the data acquired in this pursuit»10. Сторонником второй точки зрения является Mark McEvoy [127]. Отвечая

9 «Это не совпадение, что названная субдисциплина иногда называется экспериментальной математикой, а иногда математикой основанной на использовании компьютера или компьютерной математикой».

10 Экспериментальная математика является то, что отрасль математики, которая касается себя, в конечном счете с кодификации и передачи идеи в рамках математического сообщества посредством использования экспериментальных (в любом Галилея, Бэкона, Аристотеля или кантовском смысле) разведки домыслов и более неформальных убеждений и осторожны анализ данных, полученных в этом стремлении.

на вопрос «Что такое экспериментальная математика?», он доказывает, что это новое качество всей современной математики, которое, сделав основным инструментом математического познания эксперимент, вскрыло ложность философских представлений об априорности математического знания. Этой же точки зрения придерживается и С. Вольфрам. В [29] он отмечает, что «применение компьютеров способно вывести чистую математику в новый золотой век».

Пока «компьютерная математика» отвоевывает свои позиции в науке, меняя взгляды на методологию научного исследования, как термин всё шире используется в общественной и научной практике, давая названия научным группам, подразделениям образовательных, научных и исследовательских организаций, научным мероприятиям и журналам.

Мы взялись за освещение методологических основ экспериментальной математики с гораздо более скромной целью, нежели желание разрешить споры вокруг ее статуса, области применимости и характерных для нее методов, руководствуясь теми соображениями, что всякие изменения парадигмы научного познания рано или поздно должны повлиять на систему образования. Методы экспериментальной математики существенным образом меняют характер математического исследования, получение результатов и способы проведения доказательств. В этой связи нам представляется очевидным существенное воздействие «компьютерной математики» на систему образования в целом и на отдельные ее элементы. Видим, что сегодня методы и средства экспериментальной математики все чаще находят применение в обучении математике, открывая дорогу проникновению идей исследовательского обучения в массовую школу.

Решая задачу сближения методической системы исследовательского обучения математике с чертами экспериментальной математики, мы посчитали необходимым не только представить читателям источники наших представлений о методологии экспериментальной математики, но и зафиксировать наши намерения в отношении ее использования.

Эти намерения представлены в Мягком манифесте экспериментальной математики, который размещен для обсуждения на сайте проекта «Методики и информационные технологии в образовании» [144]. Приведем здесь кратко его содержание.

«Манифест. Хорошо известно, что математика, как и всякая наука, имеет двойственную природу. С одной стороны, она представляет собой деятельность по получению нового знания в своей специфической области, а с другой стороны, она является суммой знаний, накопленных к данному моменту. Из этого следует, что в процессе преподавания

математики на всех уровнях целесообразно добиваться от студентов и школьников как усвоения математических фактов, так и овладения исследовательскими умениями в области математики, причем то и другое должно происходить одновременно и в равной мере. В частности, процесс обучения должен включать в себя математические эксперименты, поскольку математика в процессе своего становления была наукой экспериментальной и до настоящего времени сохранила оба свои начала, теоретическое и экспериментальное.

Деятельность исследователя с объектами материального мира или их идеальными образами будем относить к области экспериментальной математики, если ее результатами являются гипотезы о свойствах математических объектов и/или математические предпонятия или понятия.

В разное время и у разных народов существовали различные инструменты проведения математических экспериментов. К ним относятся кубики для игры в кости, игральные карты и монеты; квадратные листы бумаги для оригами; реальные циркуль, линейка и папирус, а впоследствии бумага; идеальные циркуль и линейка; транспортир, двусторонняя линейка и шаблон прямого угла; компьютер и т.д.

Среди инструментов, с помощью которых ставятся математические эксперименты, особая роль принадлежит компьютеру. Его возможности в постановке экспериментов настолько велики, с его помощью получены настолько интересные и разнообразные результаты, что в последнее время стали говорить о возникновении экспериментальной математики как об особой области математики и об отождествлении математического эксперимента с компьютерным экспериментом. По-видимому, слова «возникновение» и «отождествление» представляют собой некую гиперболу и в этом смысле не точны, однако они отражают новую реальность — резкое возрастание роли экспериментального компонента математики.

Важно, что математические эксперименты стали активно использоваться в сфере образования. Цифровые образовательные ресурсы позволяют организовать математический эксперимент в рамках реального учебного процесса. Это обстоятельство породило сильные позитивные эффекты, с одной стороны, и выявило серьезные риски, с другой стороны.

Перед математическим и педагогическим сообществами стоит благородная цель — научиться использовать экспериментальные методы для развития математики и педагогики математики».

1.3. История становления и развития идей исследовательского подхода к обучению математике в России и за рубежом11

Требованиями Федеральных государственных образовательных стандартов общего образования нового поколения определена необходимость формирования у учащихся опыта исследовательской деятельности. Для реализации этих требований в образовательных организациях начального общего образования должна быть реализована программа формирования универсальных учебных действий (УУД), к числу которых отнесены и действия постановки и решения проблем [2]. Программа реализуется за счет внеурочной деятельности учащихся по подготовке и выполнению учебно-исследовательских проектов, а также через включение элементов исследовательского обучения в предметную подготовку. В примерной основной образовательной программе [145] раскрыта связь формируемых универсальных учебных действий с содержанием учебных предметов. В частности в программе указано, что овладению начальными формами исследовательской деятельности должно содействовать изучение предмета «Окружающий мир», в то время как «Математика» рассматривается лишь в качестве предмета, способствующего формированию логических и алгоритмических УУД, а также УУД, связанных со знаково-символической деятельностью.

Однако, в примерной основной образовательной программе основного общего образования [146] уже указана иная расстановка приоритетов в формировании у учащихся опыта исследовательской деятельности. Математика рассматривается не только как основной предмет в овладения основами проведения теоретических исследований, но и как равноправная с предметами естественно-научного цикла область для формирования умений проводить эксперименты и исследования в виртуальных лабораториях, навыков сбора, обработки и анализа эмпирических данных на основе знаний элементов статистики.

Хотя для старшей школы примерная основная образовательная программа пока не разработана, содержание стандартов [1] позволяет предположить, что перед предметной областью «Математика и информатика» будет поставлена задача формирования опыта проведения модельных и статистических исследований, в том числе, и с проведением компьютерных экспериментов, и с применением компьютерной обработки статистической информации.

11 © Шабанова М.В., Павлова М.А., Форкунова Л.В., Артемьева М.В.

Таким образом, новыми федеральными государственными образовательными стандартами перед системой общего математического образования поставлена непростая задача формирования у обучающегося в гармоничном единстве основ исследовательского опыта математика-теоретика, и опыта математика-экспериментатора.

Является ли эта задача новой для методики обучения математики ?

Подготовлено ли ее решение методической теорией и образовательной практикой ?

Ответы на эти вопросы мы постараемся найти в истории становления и развития идеи исследовательского подхода в обучении математике в России и за рубежом.

Отправной точкой развития идеи включения учащихся в исследовательскую деятельность в процессе обучения математике можно считать введение М.В.Ломоносовым в середине XVIII века «экспериментального метода» в систему преподавания физико-математических наук учащимся гимназии (для дворян и разночинцев) при Академии наук Петербурга, а затем при Московском университете, которые великий русский ученый возглавлял с 1758 по 1765 г.

Необходимость использования экспериментального метода как отправной точки познания М.В.Ломоносов обосновывал тем, что весь процесс человеческого познания определяется потребностями практической деятельности [23, с. 123]. Он предлагал начинать объяснение нового материала с обращения гимназистов к их житейскому опыту, а также с постановки специальных демонстрационных экспериментов, делающих истинность научных положений наглядной. В практике преподавания М.В. Ломоносов широко использовал постановку творческих задач, требующих от учащихся самостоятельного проведения экспериментов. Это, по его мнению, должно было способствовать развитию творческого мышления у детей, выработке интереса и потребности к знаниям. Такие взгляды были передовыми для того времени, так как наиболее распространенными были метод «зубрежки», бессмысленного заучивания.

В связи с этим можно считать, что идея исследовательского обучения математике в России зародилась в середине XVIII века как идея сближения обучения с чертами научного исследования.

В XIX веке в образовательной практике постепенно накапливались представления о формах, методах и средствах реализации этой идеи.

Так, в 1864 г. в главе «О первоначальном обучении счету» своей знаменитой книги «Родное слово» К.Д. Ушинский делает наброски программы новой методики арифметики, в которых рекомендует применять наглядный метод обучения. Описывая предлагаемый методический

подход формирования у учащихся знаний о мерных единицах К.Д. Ушинский говорит: «Пусть они меряют, весят и считают». Задачи, по его мнению, должны иметь практический, наглядный характер; их нужно брать из мира, окружающего детей. Он рекомендует включать учащихся в деятельность вычислений, измерений и счета окружающих их реальных объектов: классной комнаты, дверей, окон, скамеек; или страниц книг и тетрадей; или недель, дней и часов до праздников и т.п. [51, с. 41].

В 1886 г. вышла первая методическая работа С.И. Шохор-Троцкого, в которой им был введен метод целесообразных задач и описаны его методические возможности. Вот как автор описывает свой метод в работе «Методика начального курса математики». «Истинная метода, — говорит он, — состоит в том, чтобы ставить ребенка в условия, при которых ум человеческий начал изобретать арифметику, сделать его «свидетелем этого изобретения». Но теперь этого уже недостаточно: в настоящее время надо стремиться к тому, чтобы метода поставила учащегося в такие условия, при которых он мог бы быть не только свидетелем, но, по возможности, активным участником этого изобретения» [51, с. 69]. В методических трудах С.И. Шохор-Троцкого по геометрии можно также обнаружить рекомендации по использованию в учебном процессе таких форм организации деятельности учащихся, которые сближают учебную деятельность с исследовательской: лабораторные работы, работы по измерениям на местности и др. С.И. Шохор-Троцкий в работе «Разделение полного курса арифметики на отделы и некоторые предварительные замечания» так описывает «лабораторную методу обучения математике» при работе учеников над наглядными пособиями: «... а) из простейших материалов и с помощью простейших инструментов ученики сами изготавливают те наглядные пособия, которые нужны и целесообразны на данной ступени обучения; б) они изготовляют чертежи и рисунки, иллюстрирующие данный вопрос, и модели единиц меры (длины, поверхностей, объемов и веса), которые поддаются изготовлению; в) они, пользуясь приемами ручного труда, сближают вопросы учебного предмета с жизнью, производят измерения, взвешивания и приучаются смотреть на ежедневные явления в мире величин и чисел с точки зрения математической» [93, с. 188].

В 1910—1911 гг. вышли труды Д.Д. Галанина «Методика арифметики» (1-й и 2-й год обучения) с описанием применения лабораторного метода. Он считает, что «... даже понятие о числе нужно вырабатывать с помощью процесса измерения. Например, рекомендует на уроках измерять емкость сосудов с водой или песком, переливая воду или высыпая песок из одного сосуда в другой, измерять длину бумажной ленты

и т.д.» [51, с. 134]. Д.Д. Галанин пишет: «Вода, вытекая из сосуда непрерывной струей, самим фактом своего вытекания дает идею непрерывности, а прерывания этого вытекания дает идею измерения, идею соотношения между объемом и количеством жидкости, идею зависимости вытекания и времени ...» [93, с. 67].

Таким образом, на начальном этапе под исследовательским обучением математике понималось обучение посредством экспериментов и конкретно-индуктивных рассуждений. Об этом свидетельствуют и труды К.Ф. Лебединцева, в которых эти методы названы исследовательскими и противопоставлены абстрактно-дедуктивному методу обучения. Так в его «Систематическом сборнике задач и других упражнений по курсу алгебры» мы находим такое описание: «Элементы исследования вводятся сразу же при решении задач с помощью составления уравнений 1-й степени...», «... формальное учение о логарифмах излагается на основе исследования показательной и логарифмической функций ...» [51, с. 110].

Обобщение и теоретическое осмысление эти представления об исследовательском обучении получили в период клейновской реформы математического образования (начало XX века). В работах отечественных педагогов и методистов-математиков, принимавших участие в обсуждении направлений реформирования математического образования на I и II съездах учителей математики: А.В.Васильева, М. Осинского, С.Н. Полякова, В.Н. Рутковского, Б.Е. Райкова, Н.Г. Панкова, СИ. Шохор-Троцкого, Ф.В.Филипповича и др., обсуждаются два направления развития идеи исследовательского обучения математике:

1) включение в содержание общего математического образования на старшей ступени гносеологических и логических основ элементарной математики, наиболее распространенных эвристик математического творчества с целью развития философского мышления учащихся, пробуждения их интереса к изучению и развитию математики;

2) использование на всех ступенях обучения математике «методов способных поднять самодеятельность, активность учащихся, а также усилить наглядность преподавания» (резолюция I съезда).

Значимым является то, что уже тогда был поднят и серьезно обсуждался вопрос о соотношении эмпирических и теоретических методов в обучении математике.

Так, например, С.Н. Поляков, в своем докладе «Методологическое значение математики» относительно целесообразности использования несложных лабораторных экспериментов при обучении математике отмечал: «...я сомневаюсь в целесообразности упражнений, в результате которых должны быть эмпирически установлены геометрические

истины; не говоря уже о погрешностях измерений, я подчеркну в особенности, что эмпирические приемы нередко будут мешать развитию дедуктивных приемов, развитие у учащихся увлечения наглядностью и сделают таким путем их более легкомысленными в применении дедукции» [89, с. 163-168].

Тем не менее, для теоретического оформления идеи исследовательского обучения бесспорно важно, что на I Всероссийском съезде педагогов-естественников известный отечественный педагог Б.Е. Райков в своем докладе «Исследовательский метод в преподавании естествознания и его современное положение» предложил ввести в научный оборот термин «исследовательский метод», который был призван заменить все указанные термины, обозначавшие сходные по идеям методы обучения. Он определил исследовательский метод как «... метод умозаключения от конкретных фактов, самостоятельно наблюдаемых и изучаемых школьниками» [74, с. 328]. Им были выделены следующие этапы применения исследовательского метода:

1) наблюдение и постановка вопросов;

2) построение предположительных решений;

3) исследование предположительных решений и выбор одного из них как наиболее вероятного;

4) проверка гипотезы и окончательное ее утверждение [74].

Широкие возможности для развития идеи включения учащихся не только в исследовательскую, но и проектную деятельность предоставило упразднение предметного обучения в период с 1923 по 1931 годы.

Исследовательский метод был возведен в ранг принципа беспредметного обучения, что можно считать началом становления исследовательского обучения как такового. Специфика научного понимания исследовательского обучения в тот период определялась стоящими перед страной задачами ускоренной подготовки специалистов для производственной сферы.

Тогда же с целью наилучшей подготовки к профессиональной деятельности было введено проектное обучение — обучение через выполнение учащимися череды исследовательских проектов. Оно было положено в основу построения программ для фабрично-заводских семилеток [50]. Формы обучения были большей частью заимствованы из американской педагогики и были отнесены к проектной деятельности: «Дальтон-план» (Э.Дьюи, X. Паркхерст), проектное обучение (Д. Дьюи, У.Х. Килпатрик и др.) [42].

Так, в 1925 году «лабораторный план» был положен в основу построения программ обучения математике в Ленинградской областной совпартшколе (Е. Брюнелли, С. Цыбульский).

Внимательно анализируя идеи западных педагогических и психологических школ и основываясь на отечественном научном опыте, П.П. Блонский утверждал, что исследования учащихся (как и обучение в целом) должны носить не предметный, а комплексный характер, являться частью реализуемого проекта. Объясняя нецелесообразность проведения чисто математических исследований, он говорил, что математика: «....должна изучаться исключительно как метод познания и технический язык ...» [20, с. 56]. Математические задачи, по его мнению, должны рождаться из ручного труда или индуктивных исследований ребенка и быть записью этих исследований. Рассмотрим в качестве примеров несколько проектов, которые приводили к постановке перед учащимися заданий на проведение проектных работ исследовательского характера, предлагаемых П.П. Блонским [20].

Пример 1. Учащиеся выполняют работы по составлению плана квартала или деревни. Учитель, заметив неточность во взаимном расположении двух объектов на плане, останавливает внимание учеников. Вопрос об отражении на плане расстояний между объектами формулируется как математическая задача о масштабировании.

Пример 2. Учитель предлагает учащимся совершить воображаемую поездку в ближайший уездный город. С целью планирования такой поездки организуется исследовательская математическая работа: определение продолжительности дороги, стоимости поездки, необходимого количества и стоимости провианта и т.п.

Подобные исследовательские работы являлись в то время единственным источником научных знаний для учеников. Считалось, что решение задач на движение, скорость, ускорение, работу должны привести их к знаниям по аналитической геометрии, дифференциальному и интегральному исчислению. Решение задач на поступательное движение, скорость и ускорение, вращательное и колебательное движение, работу, электричество — привести к знаниям о линейной, квадратичной функции, об уравнениях кривых трансцендентных функций, о дифференцировании и интегрировании.

Использование таких исследований в качестве основы обучения и полный отказ от предметного обучения привели к резкому снижению качества общего образования в России из-за прагматической направленности, рецептурности, фрагментарности получаемых знаний.

К середине 1931 года обозначился отход от неоправданно широкого использования исследовательского и проектного методов обучения в системе общего образования, что проявилось в возврате к традиционным,

большей частью словесным методам обучения. Идея вовлечения учащихся в исследовательскую и проектную деятельность на последующие 20 лет оказалась в некотором забвении.

Этот опыт можно было бы расценивать как негативный. Однако использование исследовательского и проектного методов обучения позволило ученым определить методические возможности исследовательской и проектной деятельности при обучении с учетом целесообразного их соотношения с учебной деятельностью, разумного и гармоничного сочетания средств включения учащихся в исследовательскую и проектную деятельность в процессе учебной при соответствующих формах обучения.

Было установлено, что проектная и исследовательская деятельность учащихся оказывает наибольшую пользу там, где требуется подготовить их к выбору будущей профессии. В этой связи П.П. Блонский пишет: «... трудовая школа второй ступени (соответствует старшей ступени общего образования) в ее идеальном виде есть органическое соединение работы в мастерской с занятиями в доме юношества. В нем проводятся научные работы в связи с осмысливанием производительного труда. Подросток, с одной стороны, знакомится с различными видами производства, а с другой стороны, имеет возможность специализироваться в какой-либо одной профессии» [20, с. 108]. Исследовательскую и проектную деятельность учащихся в рамках учебного процесса П.П. Блонский представлял функционально-распределенной. Учитель должен дать учащимся шаблон исследования, исследуют же сами дети и сами они, по возможности, ищут и находят материал для исследования. Кроме того, учитель играл роль критика и идейного вдохновителя ученика.

В период колмогоровской реформы (60—70 гг. XX века) на смену принципу исследовательского обучения (действовавшему в период с 1923 по 1931 гг.) пришел более «мягкий» принцип развития активности и самостоятельности учащихся в их познавательной деятельности. Он требовал лишь постановки проблем в процессе обучения, стимулирования и поощрения инициативы обучаемых к поиску новых решений и обеспечения их самостоятельной деятельности. Этот принцип нашел свое выражение в разработке теоретических основ проблемного обучения и развитии знаний о его методах (Г.И. Ибрагимов, И.Я. Лернер, A.M. Матюшкин, М.И. Махмутов и др.).

Возрождение идеи использования исследовательского метода в обучении в этот период было связано с развитием дидактического подхода к проектированию содержания общего образования (И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин, В.В. Краевский и др.). Реализация этого подхода привела к включению в структуру содержания образования нового компонента —

опыта творческой деятельности. И.Я. Лернер утверждал, что для его формирования должны быть созданы специальные условия обучения, к числу которых относил использование методов проблемного обучения, в том числе и исследовательского метода как основного метода обучения опыту творческой деятельности [53].

Ведущими образовательными функциями исследовательского метода, по мнению И.Я. Лернера, являются следующие:

1) формирование черт творческой деятельности (т.е. овладение специфическими умениями, базовыми для осуществления творческой деятельности);

2) организация творческого усвоения знаний, (т.е. обучение применению известных знаний для решения проблемных задач и добывания новых в результате такого решения);

3) овладение методами научного познания в процессе деятельности по поиску этих методов;

4) формирование интереса, потребности в творческой деятельности.

Реализация функций исследовательского метода должна быть обеспечена, по представлениям И.Я. Лернера, систематическим включением учащихся в самостоятельное выполнение поисковых заданий, проводящих учащихся через все или хотя бы большинство этапов научного исследования. При этом формы заданий могли быть различными:

— задания, поддающиеся быстрому решению в классе и дома;

— задания, требующие целого урока;

— домашние задания на определенный, но ограниченный срок [53].

Эти новые представления изменили взгляд на сущность исследовательского метода. Он стал рассматриваться как предельная форма проблемного обучения, в которой учащиеся наиболее активны и самостоятельны. В доказательство приведем цитату из монографии М.И. Махмутова, Г.И. Ибрагимова и М.А. Чошанова: «Общие методы проблемного обучения как система принципов и правил взаимодействия обучающего и обучающегося включают в себя: монологический, показательный, диалогический, эвристический, исследовательский. Общие методы по возрастанию уровня активности учащихся располагаются (следуют) от монологического (самый низкий уровень познавательной активности) до исследовательского (самый высокий уровень)» [57, с. 9].

Еще одним направлением методических поисков ученых в этот период явились разработка, постановка и изучение математических задач, которые могли бы быть положены в основу проблемного обучения математике (исследовательские задачи, творческие задачи, нестандартные задачи, проблемные задачи и т.п.). К раскрытию специфики

конструирования этих задач ученые (Г.А. Балл, В.Г. Болтянский, Ю.М. Колягин, А.А. Столяр, E.H. Турецкий, Л.М. Фридман и др.) подходили через построение целостной теории математических задач. Так, например, Ю.М. Колягин предлагал выделять в структуре задачи четыре основных компонента: начальное состояние, конечное состояние, решение задачи и базис решения задачи, и классифицировать все задачи по количеству неизвестных компонентов. Такой подход привел его к пониманию исследовательской задачи, как задачи в которой «... остаются определенными (известными) лишь целевое указание и, может быть, общее описание некоторой ситуации, но один из названных компонентов которой неизвестен (или почти неопределен)» [46, с. 61]. Сходного взгляда на структуру математических задач придерживался и Л.М. Фридман. В зависимости от наличия или отсутствия в математической теории правил решения, все задачи он подразделял на стандартные и нестандартные. В отличие от обоих этих авторов, Г.А. Балл считал возможным вводить подобные классификации лишь при условии рассмотрения задачной ситуации относительно решающего задачу человека (решателя). «Из того, что две знаковые модели задач имеют один и тот же нормативный смысл, вовсе не следует, что они обязательно будут обладать одинаковым смыслом для воспринимающего их субъекта» [14, с. 36]. Это позволило ему дать определение понятия «нерутинной (проблемной) задачи» как отнесенной задачи, решатель которой не обладает соответствующим алгоритмом решения.

Попытки построения классификации исследовательских задач встречаются в диссертационных исследованиях того времени (Б.А. Викол, В.В.Успенский). Б.А. Викол определяет исследовательские задачи в курсе обучения математике, как «... задачи, при решении которых деятельность учащихся полностью или частично недетерминирована» [26, с. 6]. В соответствии с этим определением он выделяет два класса исследовательских задач:

— задачи первого класса направлены на знакомство с элементами исследовательской деятельности и операциями их составляющими и представляют собой «образцы», «рецепты» действий;

— задачи второго класса направлены на вовлечение учащихся в учебную исследовательскую деятельность, имитирующую работу ученого-исследователя. Решение таких задач требует выбора необходимых действий, умения ориентироваться в проблемной ситуации.

По мнению В.В.Успенского, школьные исследовательские задачи — это «... такие вопросы и задания учителя или вопросы, вытекающие из личных познавательных побуждений ученика, которые вызывают его активную творческую поисковую деятельность, направленную на разрешение познавательных проблем, на самостоятельные открытия, осуществляемые путем

постановки опытов, сбора, анализа и обобщения знаний» [91, с. 2]. Он делит исследовательские задачи на два класса:

1) в зависимости от характера поисковой деятельности: учебно-познавательные, экспериментальные, рационализаторские, изыскательские;

2) в зависимости от источника пополнения знаний: теоретические, опытно-лабораторные и жизненные.

В рассматриваемый период решался также и вопрос о месте исследовательского метода в процессе обучения математике, поэтому многие исследователи (Б.А. Викол, А.П. Карп, А.А. Окунев и др.) убедительно обосновывали целесообразность применения исследовательского метода при обучении математике в школах и классах с углубленным изучением этого предмета. Б.А. Викол в своем диссертационном исследовании отмечает: «Предпосылкой к исследовательской деятельности в области математики является развитая математическая культура учащихся, интерес к науке и склонность ею заниматься. В силу этого для первоначальной постановки вопроса наиболее естественно ограничить наше исследование рамками обучения в школах и классах с углубленным теоретическим и практическим изучением математики, где возможности приобщения учащихся к исследовательской деятельности и формирования ее элементов несравненно богаче по сравнению с общим курсом математики» [26, с. 5—6].

Период колмогоровской реформы ознаменован весьма серьезными успехами ученых в решении вопросов, связанных с реализацией обсуждаемой идеи, и, что весьма существенно, созданием системы подготовки наиболее способных учащихся к научно-исследовательской деятельности. Получила развитие выдвинутая А.Н. Колмогоровым идея привлечения таких учащихся к математическим исследованиями либо в рамках кружковой работы, либо посредством использования возможностей научно-популярных периодических изданий (например, журнала «Квант»). Это было вызвано необходимостью пополнения инженерно-технических кадров, призванных поддерживать работу военно-промышленного комплекса страны. Главной особенностью этого направления является то, что основным продуктом исследовательской деятельности для учащихся становится результат: техническое изобретение, рационализаторское предложение и т.п. Организация обучения наиболее способных школьников проведению исследований была возложена в это время на учреждения дополнительного образования, на базе которых создавались юношеские научные, научно-технические общества и малые академии наук. Однако в период перестройки (конец 80-х — начало 90-х гг.) эта система подготовки учащихся к проведению научно-исследовательской деятельности была разрушена из-за недостатка ее финансирования.

В конце 90-х гг. были предприняты шаги по возрождению системы формирования опыта исследовательской деятельности учащихся. Так, в 1996 году на коллегии Министерства образования Российской Федерации был утвержден план действий по развитию учебно-исследовательской деятельности учащихся в Российской Федерации [64]. Согласно этому плану предполагалось возрождение координационного центра — Научно-методического совета Минобразования России, в задачи которого входили: поддержка работы существующих малых академий наук и научных обществ учащихся, обобщение и распространение их опыта работы, стимулирование деятельности в этом направлении других образовательных учреждений, в первую очередь, учреждений дополнительного образования школьников. Кроме того, было принято решение обратиться в президиум РАО с просьбой о разработке концепции развития учебно-исследовательской деятельности учащихся, которая была разработана к 2002 году творческой группой в составе Н.Г. Алексеева, А.В. Леонтовича, A.C. Обухова и Л.Ф. Фоминой и получила название «Концепция развития исследовательской деятельности учащихся» [6]. Основные содержательные положения данной концепции в большой степени опираются на зарубежный опыт исследовательского обучения: The Inquiry-based education или The Inquiry-based learning. Термины The Inquiry-based education, The Inquiry-based learning в зарубежной педагогике стали использоваться начиная с 60-х годов XX века. Их смысловое значение раскрывает специфику понимания исследовательского обучения в зарубежной педагогике как обучения, базирующегося на поисковых действиях учащегося. Такое обучение начинается с открытых вопросов и может моделировать научную деятельность с разной степенью приближения.

Методический поиск и экспериментальные исследования позволили ученым X. Банчи и Р. Беллу (Heather Banchi and Randy Bell) [109] говорить о возможности выделения уровней исследовательского обучения. В описаниях этих уровней учитывается степень полноты отражения в исследовательском обучении черт исследовательской деятельности ученых.

Уровень 1. Проведение контрольных, подтверждающих исследований (Confirmation Inquiry). На данном уровне поисковые действия учащихся направлены на проверку истинности результатов исследований ученых, предъявленных учителем в готовом виде. Учитель сам определяет задания и порядок их выполнения, что помогает учащимся убедиться в истинности получаемых результатов. Этот уровень исследовательского обучения направлен на достижение понимания содержания вводимых с помощью учителя теоретических положений в ходе деятельности по сбору, регистрации и анализу подтверждающих эти положения фактов.

Уровень 2. Проведение исследований по заданному плану (Structured Inquiry). На этом уровне учащиеся решают исследовательскую задачу, поставленную учителем по строго намеченному плану, который определяет характер применяемых исследовательских процедур. Учащиеся собирают данные, дают им оценку, анализируют их, делают выводы и объясняют полученные результаты с опорой на известные теоретические положения. Этот уровень исследовательского обучения создает условия для формирования исследовательских умений практического характера, а также для формирования потребности и навыков теоретического осмысления экспериментально установленных фактов или наблюдаемых феноменов.

Уровень 3. Проведение исследований под руководством учителя (Guided Inquiry). На этом уровне задача учителя состоит лишь в постановке исследовательской задачи и некоторой корректировке направления поисковой активности учащихся в случае затруднений. При этом корректировка направления осуществляется через ведение сократовского диалога с учащимся, прямые указания или инструкции исключены. Учащиеся сами планируют исследование, определяют порядок работ, распределяют обязанности, а затем докладывают о полученных промежуточных и итоговых результатах, защищают их. Весь ход исследования определяется учащимися, роль учителя состоит лишь в контроле и поддержании выбранного направления исследования.

Уровень 4. Свободные (подлинные) исследования (Open/True Inquiry). На этом уровне учащиеся сами формулируют исследовательские вопросы в проблемной области, планируют и реализуют исследовательские процедуры, докладывают о своих выводах и результатах. Этот тип исследовательского обучения применяется в основном для подготовки учащихся к конкурсам научно-исследовательских работ.

Опираясь на эти положения, разработчики концепции развития исследовательской деятельности учащихся дали характеристику отличительных особенностей и назначения исследовательской деятельности учащихся от деятельности ученых. Они отметили, что:

— главной целью исследовательской деятельности учащихся является овладение соответствующим способом освоения действительности, а не только получение объективно нового знания;

— исследовательская деятельность учащихся является упрощенной моделью научного исследования, в которой сохраняются формально все основные этапы научно-исследовательской деятельности, используются адекватные целям исследования научные методы, но уровни активности и самостоятельности учащихся при реализации этих этапов могут быть различными.

В качестве основной цели вовлечения учащихся в этот вид деятельности было провозглашено повышение качества общего образования за

счет создания условий, способствующих овладению учащимися основными исследовательскими процедурами: техникой работы с информацией, навыками самообразования, целеполаганием и мотивацией собственной познавательной деятельности.

Введение «Концепции развития исследовательской деятельности учащихся» послужило толчком не только к возрождению системы научно-исследовательской работы школьников, к развитию конкурсного движения, но и к дальнейшему развитию идеи исследовательского обучения в рамках отдельных учебных предметов, правда, в основном относящихся к естественно-научному циклу [147]. Такое ограничение предметной области реализации концепции определено зарубежными представлениями об образовательных возможностях различных предметов. Западные ученые долгое время полагали, что при обучении математике может быть реализовано только проблемное обучение (Problem-Based Learning). Это объяснялось тем, что представления об исследовательском обучении жестко связывались с наличием экспериментальной составляющей, которая, казалось, не могла быть реализована в условиях обучения математике.

В подтверждение приведем цитату из доклада члена Европейского парламента и бывшего премьер-министра Франции Мишеля Рокара «Научное образование сегодня: новая педагогика для будущего Европы»: «In mathematics teaching, the education community often refers to "Problem-Based Learning" (PBL) rather than to I BSE. In fact, mathematics education may easily use a problem based approach while, in many cases, the use of experiments is more difficult. Problem-Based Learning describes a learning environment where problems drive the learning. That is, learning begins with a problem to be solved, and the problem is posed in such a way that children need to gain new knowledge before they can solve the problem. Rather than seeking a single correct answer, children interpret the problem, gather needed information, identify possible solutions, and evaluate options and present conclusions»12 [131, p. 9].

12 «Преподавание математики часто рассматривается как «Проблемно-ориентированное обучение», а не исследовательское обучение. В самом деле, математическое образование может легко использовать подход, основанный на постановке проблем, а использование экспериментов в большинстве случаев является более трудным. Проблемно-ориентированное обучение создает условия для активизации учебной деятельности. Обучение начинается с проблемы, которую необходимо решить, и ставится задача таким образом, чтобы дети получили новые знания в ходе ее решения. Вместо того, чтобы искать правильный ответ, учащиеся анализируют проблему, собирают необходимую информацию, определяют возможные способы решения и оценивают их, представляют свои выводы».

Представление о роли математики в формировании исследовательского опыта учащихся стало меняться совсем недавно под влиянием международных научно-образовательных проектов, связанных с разработкой моделей исследовательского обучения математике (Inquiry-Based Mathematics Education (IBME)). Наиболее значимыми из них являются: DynaMat [149], Inno Math Ed [152], KeyCoMath [153], Mascil [154], Scientixl [155], Fibonacci [156].

Рассмотрим более подробно имеющиеся модели исследовательского обучения математике с точки зрения целесообразности их использования в российской системе математического образования в условиях новых требований федерального образовательного стандарта.

Проект Фибоначчи (Fibonacci Project). Был реализован в 2010— 2013 гг. Его целью явилась разработка модели исследовательского обучения математике и ее распространение в Европе. За основу создания модели участники проекта приняли модель обучения через исследование, представленную схемой на рис. 5.

Схема показывает, что процесс исследовательского обучения начинается с попытки понять суть явления или ответить на вопрос о его причинах. Первые же попытки отыскать причины возникшего вопроса актуализируют у учащихся идеи из предыдущего опыта, которых может быть несколько. В ходе их обсуждения учащимися выбирается основная идея (рабочая гипотеза), позволяющая определить рамки исследовательского процесса и/или условия наступления ожидаемого явления. Другими словами, рабочая гипотеза является основой для прогнозирования условий получения ожидаемого результата. Далее для проверки прогноза планируется и проводится исследование, в ходе которого собираются дополнительные данные. Затем данные интерпретируются и сопоставляются с прогнозом, при этом может произойти уточнение рабочей гипотезы. На основе сопоставления прогноза и полученных данных делается вывод о правильности ответа. Обратные стрелки показывают, что под воздействием полученных данных может уточняться прогноз или меняться гипотеза. Первоначально выдвинутые гипотезы могут заменяться другими, не связанными напрямую с прежним опытом.

В ходе проекта были установлены специфические особенности реализации этой модели при обучении математике.

1. Стартом математических исследований могут являться как внешние (external), так и внутренние (internal) вопросы. В этой связи под внешними понимают вопросы относительно реальных проблем и явлений: природных (например, как понять и чем объяснить изменения тени

одного и того же объекта), практических (например, как измерить недоступные величины и величины недоступных объектов), технических (например, как работает GPS навигатор), искусствоведческих (например, какой вид должен иметь элемент для создания периодической мозаики. Под внутренними понимаются вопросы о математических объектах, возникающие в процессе изучения этих объектов (например, каково наибольшее значение произведения натуральных слагаемых натурального числа? Всякое ли натуральное число может быть представлено как разность квадратов натуральных чисел? Что означает утверждение «две фигуры имеют одну и ту же форму»? Если периметры треугольников равны, то равны ли их площади?).

2. Характер вопроса оказывает влияние на ход исследования. Если стартом является внешний вопрос, то процесс учебного математического исследования сходен по своей структуре с циклом исследовательского обучения естественнонаучным предметам (IBSE). Он имеет вид, представленный на рис. 6.

Рис. 5. Модель исследовательского подхода получения научных знаний

Рис. 6. Циклическая модель IBME M. Blomh0j & Т.Н. Jensen [110]

Схема показывает, что первый шаг исследования, следующий из внешнего вопроса, состоит в формулировке задачи на основе восприятия реальности и целей ученого. Формулировкой задачи определяется область исследования. Второй шаг состоит в изучении объектов области исследования и представлении их в виде системы свойств и отношений, значимых для исследования. Это создает основу для третьего шага — математизации, то есть описания выделенной системы свойств и отношений в терминах математики. На четвертом шаге применяются математические методы с целью получения математических результатов. Пятый шаг состоит в их интерпретации и оценке применимости (адекватности) модели путем сопоставления с данными о поведении системы, которые получены с помощью натурных экспериментов, или доказаны теоретически. Только после этого модель используется для получения новых утверждений о поведении системы.

Главным отличием этого цикла от IBSE является построение «вторичной» модели реальности, которая лишена всякой вещественности, для применения методов математики к изучению этой модели. В этой процедуре меньше субъективизма, однако, полученные результаты, как и результаты естественно-научных исследований, в этом цикле подвергаются проверке путем сопоставления с реальностью.

3. Внутриматематические исследования, т.е. исследования, начинающиеся с постановки внутренних вопросов, имеют следующие основные особенности:

— важность планирования и правильной организации поисковых действий для погружения в проблему и продвижения в ней;

— прагматизм исследовательских действий и их нелинейность;

— диалектическое использование доказательств и опровержений посредством контрпримеров;

— доказательный характер полученных результатов, который убеждает в надежности полученных выводов, а также дает интеллектуальное удовлетворение от обнаружения иных оснований полученного утверждения;

— поиск возможных обобщений для каждого найденного решения, с учетом как результатов, так и использованных методов;

— переосмысление результата, т.е. изменение точки зрения на него под влиянием обобщений;

— невозможность стандартизации формы исследования в математике даже в простейших случаях, так как его ход и результаты определены уровнем математической подготовки, доступными средствами поддержки экспериментов, индивидуальным стилем рассуждений, характером знаково-символической деятельности.

Участники проекта предлагают строить IBME с учетом этих особенностей, стимулируя учащихся в следующих видах деятельности: постановка вопросов, изучение объектов, наблюдение за изменением их свойств, обнаружение закономерностей, выдвижение гипотез, объяснение обнаруженных закономерностей и их доказательства. Исследовательский цикл обучения математике, по мнению участников проекта, должен начинаться с постановки ключевой проблемы или с практического эксперимента (hands-on experiments), сходного с восприятием реальности в естественных науках: складывание листа бумаги, склеивание, раскрашивание, использование инструмента (например, пантографа), игры-головоломки (например, танграм), экспериментирование с компьютерными динамическими моделями математических объектов. Роль учителя на этом этапе состоит в постановке вопросов, стимулирующих учащихся к формулированию исследовательской задачи: Что произойдет, если ...? Что делать, если не ...? Почему ...? Сколько ...? От чего зависит...? Всегда ли верно...? Есть ли сходство с ...? Каково максимальное (минимальное) значение ...? Поиск ответов на возникающие вопросы рекомендуется организовывать как групповую работу учащихся. В ходе исследования учитель играет роль партнера, а не человека, который знает готовый ответ. Учитель не оценивает ответы учащихся, он лишь задает

вопросы, подводящие учащихся к верификации своих ответов и обоснованию своих выводов.

Представленная модель ориентирована на относительно самостоятельное формирование двух видов исследовательского опыта учащихся в процессе обучения математике: опыта математика-прикладника и опыта математика-теоретика.

Приведем пример реализации предложенной авторами модели в ситуации организации деятельности учащихся по решению внутриматематической задачи.

Пример 1. Изучение по представленной схеме Теоремы Фалеса.

Учащимся предлагается динамический лист, созданный в интерактивной геометрической среде GEONExT, содержащий динамический чертеж с пояснениями (крайние точки А и В диаметра окружности соединены с произвольной точкой С, лежащей на окружности) и краткие инструкции:

— перемещайте по окружности точку С;

— наблюдайте за величиной внутренних углов треугольника;

— запишите свои наблюдения (рис. 7).

Рис. 7. Рабочий динамический лист для экспериментального исследования

Проводя предложенный в инструкции эксперимент, школьники рисуют эскизы, записывают свои наблюдения в «журнале исследования», выдвигают гипотезы.

Далее учащиеся сравнивают друг с другом результаты исследований, при необходимости дополняют свои записи. После этого они получают следующий динамический лист (рис. 8). Учащимся предлагается сравнить свои наблюдения с формулировкой теоремы: «Если одна из сторон вписанного в окружность треугольника является ее диаметром, то треугольник имеет прямой угол». Помимо формулировки теоремы на этом листе содержатся исторические сведения о том, в каких странах и почему это геометрическое открытие называется теоремой Фалеса. Затем предлагается подсказка, какое дополнительное построение нужно сделать, чтобы доказать выдвинутую гипотезу (соединить отрезком точки С и М).

Рис. 8. Рабочий динамический лист для проверки выводов

Далее урок проходит в традиционном стиле. Ученики демонстрируют свои результаты, учитель показывает традиционное доказательство теоремы.

Проект Математика и наука для жизни (Mascil), осуществляется с 2013 по 2016 гг. Целью проекта является не только содействие внедрению в систему общего образования технологии исследовательского обучения, но и создание исследовательских заданий, решение которых вводит математику в практическую и профессиональную сферу, делая ее изучение более значимым для учащихся. В связи с этим участники проекта опираются на следующие представления об элементарном IBML (см. рис. 9). Из схемы видно, что решение прикладных проблем состоит из четырех этапов:

1) формализация проблемы (Formulating), которая заканчивается постановкой на ее основе математической задачи или созданием математической модели исходной проблемы;

2) внутримодельное исследование (Reasoning Analysing Procedures), которое заканчивается получением математического результата (математического решения проблемы);

3) интерпретация результата (Interpreting), итогом которого являются рекомендации по решению исходной проблемы;

4) оценка (Evaluating) предложенного решения проблемы.

Рис. 9. Цикл решения проблемы

Роль учителя в ходе реализации цикла, представленного на рис. 9, первоначально состоит в постановке перед учащимися практически значимых проблем, в предоставлении им возможности решать самостоятельно задачу настолько, насколько им позволяют имеющиеся знания

и практический опыт решения задач. Затем — в организации помощи учащимся путем постановки наводящих вопросов. Перечень наводящих вопросов составляется в направлении от более общих к более частным.

Учителям при этом даются следующие практические рекомендации по стимулированию поисковой активности учащихся во время решения задачи:

1. Предоставьте ученикам время для понимания проблемы и работы над ней. Препятствуйте ученикам в их желании слишком быстро отказаться от решения проблемы и обратиться за помощью

— Используйте предоставленное вам время, не спешите.

— Вы знаете что делать?

— Что вы пытаетесь сделать?

2. Предлагайте ученикам стратегии, а не технические советы. Избегайте упрощения проблемы для учеников, разбивая ее на шаги

— Может быть попробовать на конкретном примере?

— Может стоит попытаться систематизировать?

— Может представить все как-то иначе?

3. Поощряйте учеников к рассмотрению альтернативных методов и подходов к решению проблемы. Поощряйте учеников в сравнениях своих собственных методов

— Есть ли другие способы?

— Какой из этих двух методов вы предпочитаете? Почему?

4. Поощряйте объяснения учеников. Стимулируйте учеников объяснять свои выводы, поощряйте их объяснения друг другу

— Можешь ли ты объяснить свой метод?

— Поясни, что сказал Петр

5. Модель мышления и мощные методы. Когда ученики сделали все от них зависящее в решении проблемы, они готовы воспринимать новые мощные и элегантные подходы к ее решению, которые представляет им учитель. Если это будет сделано вначале, то они будут просто подражать применению метода, и не смогут понять, почему он был необходим

— Теперь я собираюсь попробовать решить эту проблему сам, размышляя вслух.

— Я могу сделать какие-то ошибки здесь в ходе рассуждений. Попробуйте найти их для меня

Результатом данного проекта явилось создание банка исследовательских задач практического и профессионально ориентированного характера.

Пример 2. Помогите археологам восстановить утраченную часть блюда по оставшемуся фрагменту (рис. 10).

Для решения этой задачи учащиеся помещают изображение в GeoGebra, используя инструменты среды для исследования особенностей оставшейся части. Затем используют результаты для построения недостающей части.

Рис. 10. Задача о реставрации

Проект Развитие ключевых компетенций в математическом образовании (KeyCoMath). Целью данного проекта является разработка базовой концепции, создание учебных и методических материалов для решения задачи развития ключевых компетенций в соответствии с Европейскими рамками отсчета ключевых компетенции для непрерывного образования, утвержденными 18.12.2006 г. ЕС [150]. Этими рамками определено восемь компетенций, включая математическую и основные компетенции в области науки и техники, а также цифровую: «mathematical competence and basic competences in science and technology. Mathematical competence is the ability to develop and apply mathematical thinking in order to solve a range of problems in everyday situations, with the emphasis being placed on process, activity and knowledge. Basic competences in science and technology refer to the mastery, use and application of knowledge and methodologies that explain the natural world. These involve an understanding of the changes caused by human activity and the responsibility of each individual as a citizen. Digital competence involves the confident and critical use of information society technology (IST) and thus basic skills in information and communication technology (ICT)...»13.

13 Математические компетенции — это способность порождать математические идеи и методы и применять их для решения проблем в повседневных ситуациях, с акцентом на процесс, деятельность и знания. Основные компетенции в области науки и техники — мастерство использования и применения знаний и методологий для объяснения окружающего мира. Эта компетенция включает в себя понимание изменений, вызванных деятельностью человека и гражданской ответственности каждого индивида. Цифровая компетентность включает в себя уверенное и критическое использование технологий информационного общества, владение основными навыками в области информационных и коммуникационных технологий.

В рамках реализации этого проекта создана концептуальная модель виртуальной школьной математической лаборатории [157]. Она предназначена для формирования синтетических (математико-цифровых) компетенций в рамках исследовательского обучения учащихся [114].

Ресурс «Виртуальная школьная математическая лаборатория» включает набор динамических сценариев (dynamic scenarios) — исследовательских задач по различным темам школьного курса математики, а также динамический рабочий лист для проведения компьютерных экспериментов.

Для развития синтетических компетенций средствами ресурса предполагается, что учителя будут его использовать для организации исследовательского обучения с постепенным продвижением от низших уровней к высшим:

— динамические сценарии используются для проведения подтверждающих исследований, т.е. поиска способов проверки и подтверждения утверждений;

— динамические сценарии изменяются предписанным образом для поиска ответов на исследовательские вопросы, которые формулируются учителем;

— учащиеся самостоятельно создают динамические сценарии для поиска ответов на исследовательские вопросы учителя.

Наивысший уровень сформированности синтетической компетенции проявляется тогда, когда учащиеся сами начинают создавать и использовать динамические ресурсы для решения собственных исследовательских задач.

Рис. 11. Виртуальная школьная математическая лаборатория

Модель исследовательского обучения математике «Тайбэй» (Taipei (DMT), Б. Назаров [124]) выгодно отличается от представленных моделей исследовательского обучения математике. Она имеет два существенных достоинства по сравнению с рассмотренными моделями:

1) ориентирована на формирование синтетических математико-цифровой компетенций (Math-and-ICT competence);

2) в ней четко структурирована логика когнитивного движения исследователя (индивидуальная образовательная траектория) при реализации исследовательского цикла, основанного на внутренних вопросах;

3) система направляющих вопросов учителя составлена в соответствии с канонами сократовского диалога.

Единственным слабым местом этой модели является ее ориентация на исследовательское обучения лишь четвертого уровня.

Модель Тайбэй представляет когнитивное движение в процессе решения исследовательской задачи происходящим сразу в двух направлениях: «вертикальном» и «горизонтальном».

«Вертикальное» перемещение представляется состоящим из шагов (итераций) последовательного приближения к намеченной перспективной цели через постановку и достижение ближайших познавательных целей:

... (к - 1) (к + 1) ...

k-ая итерация представляет собой шаг (к — 1) —> к, который состоит в постановке ближайшей цели исследовательского обучения на актуальном уровне развития синтетической компетенции учащегося (competences — KSC), затем в выполнении всех необходимых мероприятий для развития своей KSC до уровня, обеспечивающего достижение ближайшей цели. Далее учащийся использует этот компетентностный рост для достижения ближайшей цели и анализа полученных результатов. Представленное когнитивное движение неоднозначно, оно определяется:

1) индивидуальной информационной средой;

2) индивидуализацией дидактических ресурсов, в том числе выбором индивидуальных исследовательских или поисковых инструментов;

3) индивидуализацией постановки образовательной цели, в том числе гибким подходом к ее достижению;

4) индивидуализацией темпа обучения, исследовательских действий, стиля планирования;

5) индивидуальными рефлексивными способностями и способностью к самоорганизации.

В связи с этим каждый шаг итерации может иметь несколько вариантов завершений (рис. 12). Компоненты (1)—(5) обеспечивают гибкость вертикального когнитивного движения. Дополнительная гибкость обеспечивается горизонтальным движением.

Процесс построения индивидуальных образовательных траекторий при решении исследовательских задач описывается в модели Тайбэй горизонтальным когнитивным движением. Модель горизонтального когнитивного движения учитывает влияние нескольких (но не всех) факторов окружающей, т.е. локальной, поведенческой среды (local behavioral environment (LBE)):

— социальное окружение учащегося (учителя, родители, одноклассники и т.д.);

— место организации исследовательского обучения (школа, клубы и т.д.);

— мероприятия, предоставляющие возможности продемонстрировать свои достижения (турниры, конференции и т.д.);

— система ценностей, составляющая культурный контекст работы учащегося (мотивы исследовательской работы, связь темы исследования с профессиональным выбором учащегося и т.д.).

Горизонтальное движение обеспечивается тройкой (ЕС; SS; ER) составляющих образовательного процесса, где ЕС — условия проведения исследования (Stands for the educational context); SS — сократовский стиль

Рис. 12. Структура модели исследовательского обучения Тайбэй в сравнении со структурой одноименного небоскреба

общения преподавателя с учащимся (Socratic style interaction between the teacher and the student), ER — образовательные ресурсы (Educational resources).

Тройка (EC; SS; ER) задает внешний контекст исследовательской и творческой деятельности учащегося (learning and creativity interface, LCI). Текущие значения этих составляющих постоянно меняются. Они определяют движение вдоль индивидуальной образовательной траектории в локальной поведенческой среде (LBE). Учащиеся приобретают знания, умения и компетенции (knowledge, skills and competences, KSC), которые меняют локальную поведенческую ситуацию (LDE'). Структура этого движения представлена на рис. 13.

Рис. 13. Структура горизонтального движения в модели Тайбэй

Проведенный нами анализ истории становления и развития теории исследовательского обучения математике показал, что отправной точкой этой идеи являлось привлечение к процессу учебного познания математических экспериментов. Компьютерные технологии сегодня открыли новые возможности для реализации этой идеи. Об этом свидетельствует бурный рост числа моделей исследовательского обучения математике, практическая реализация которых предполагает использование компьютерных экспериментов [124]. Это подсказывает идею построения модели исследовательского обучения математике в соответствии с методологией экспериментальной математики.

Глава 2.

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЕ ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ В СТИЛЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Повышение значимости экспериментальных методов в математической науке, которое произошло под влиянием развития компьютерной техники, привело, как показано в параграфе 1.3, к постановке задачи создания таких условий обучения математике, которые будут способствовать воспитанию у обучающихся качеств «математика-экспериментатора» в дополнении к качествам «математика-теоретика».

Важнейшими из таких качеств являются:

— обладание знаниями о возможностях и ограниченности возможностей экспериментальных методов и средств в математике;

— способность ставить и проводить математические эксперименты разных типов с использованием подручных и компьютерных средств, в соответствии с их ролью и местом в процессе учебного познания;

— способность рационально сочетать применение экспериментальных и теоретических методов в процессе решения учебно-исследовательских задач;

— способность делать адекватные выводы на основе экспериментальных данных с учетом ограниченности возможностей экспериментального метода, а также различий экспериментов, проводимых подручными и компьютерными средствами.

Достижение этих образовательных результатов требует, во-первых, включения в практику математического образования форм организации учебных занятий (или части занятий), которые аналогичны формам, используемым при изучении дисциплин естественно-научного блока для формирования качеств естествоиспытателя (демонстрационные эксперименты, самостоятельные лабораторные работы, лабораторные практикумы, экспериментальные исследования учащихся) [8]. Во-вторых, организации на таких занятиях учебно-исследовательской деятельности в стиле экспериментальной математики, обеспечивающей постепенное формирование у учащихся перечисленных выше качеств. В-третьих, решения вопросов отбора содержания таких занятий с учетом роли экспериментальных методов в истории развития математики и деятельности в сфере математики и ее приложений сегодня.

Описанию наших взглядов на решения этих важнейших методических задач и посвящена данная глава монографии.

2.1. Дидактическая модель исследовательского обучения в стиле экспериментальной математики14

При построении модели мы будем опираться на следующие исходные данные, которые вытекают из информации, представленной в первой главе:

1. Исследовательское обучение математике в массовой школе — это включение на всех или некоторых этапах дидактического цикла в деятельность, сходную с деятельностью ученых в области экспериментальной математики.

2. Своеобразие методологии экспериментальной математики состоит в целесообразном использовании возможностей, предоставляемой экспериментальным и теоретическим подходами с привлечением средств компьютерной техники.

3. При проектировании каждого дидактического цикла учитель всякий раз принимает решение, какой подход: репродуктивный или исследовательский, и с какой степенью полноты применять на каждом из этапов с учетом, по крайней мере, трех основных факторов: М-уровня базовой математической подготовки учащихся (для обозначения фактора выбрана первая буква слова «mathematics», I-уровня сформированности у учащихся качеств математика-экспериментатора и математика-теоретика (для обозначения фактора избрана первая буква слова «inquiry») и Т-лимита учебного времени, отведенного на изучение материала (для обозначения уровня избрана первая буква слова «time»).

Метод компьютерного эксперимента применим для достижения целей любого этапа дидактического цикла.

Целью построения дидактической модели является исследование влияния сочетания текущих значений факторов: M(t); I(t); T(f), на принятие учителем решения о степени отражения стиля экспериментальной математики на отдельных этапах дидактического цикла обучения математике.

Теперь разберемся с тем, какой смысл мы будем вкладывать в термин «модель». Наиболее часто, в основу кладут определение, данное В.А. Штоффом: «Под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отражая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об объекте» [100, с. 19].

Данное определение включает в себя четыре свойства этого понятия:

— мысленная или материальная система;

— заместитель объекта исследования;

14 © Шабанова М.В., Павлова М.А.

— носитель значимых свойств объекта исследования, отраженных в исходной информации о нем;

— средство для получения новой информации об объекте исследования. В данном параграфе мы вынуждены будем несколько отойти от такого понимания модели в силу следующих причин:

1. Дидактическая модель, которую мы собираемся представить, является заместителем не одного, а двух объектов: дидактического цикла обучения математике (А) и гносеологического цикла экспериментальной математики (В).

2. Описываемая нами дидактическая может быть призвана отражать не только основные свойства этих объектов, но и тесноту связи (С) между их свойствами.

3. Значение тесноты связи между свойствами этих объектов не может быть зафиксировано в модели однозначно, так как зависит от текущих (изменяющихся во времени t) значений набора, по крайней мере, трех факторов: M (t) — уровня базовой математической подготовки учащихся достигнутого к моменту времени I(t) — уровня сформированности у них качеств математика-экспериментатора и математика-теоретика достигнутого к моменту времени t и T(t) — имеющегося в данный момент лимита учебного времени на изучение материала.

4. Назначение этой модели также отличается от указанного В.А. Штоффом, так как дидактическая модель носит предпроектный характер, то есть призвана служить информационной основой для проектирования такого процесса исследовательского обучения математике в стиле экспериментальной математики, который обеспечивает становление у учащихся элементов стиля мышления математика-экспериментатора, находящихся в зоне ближайшего развития в момент времени t.

В рамках данного исследования, в связи с этими причинами, под дидактической моделью исследовательского обучения в стиле экспериментальной математики мы будем понимать информационную систему, характеризующую полноту реализации на этапах дидактического цикла обучения математике гносеологического цикла экспериментальной математики.

В основу представления данной модели мы положили граф соответствия, предложенный А.В. Ястребовым:

«Определение. Графом соответствия между двумя рядами объектов Av А2, Ак и Bv Bv Вп называется прямоугольная таблица, обладающая следующими свойствами:

1) строки таблицы занумерованы с помощью объектов Av А2,Ак\

2) столбцы таблицы занумерованы с помощью объектов Вх, В2,Вп\

3) в клетке, соответствующей строке А. и столбцу содержится информация Со взаимосвязи этих объектов» [104, с. 92].

В качестве объектов графа будут выступать две группы однородных элементов, между которыми должна быть раскрыта связь:

— Этапы дидактического цикла процесса обучения15, описанные Л.Я. Зориной в [41], которые мы адаптировали к особенностям процесса обучения математике: Ах — постановка дидактической цели и принятие ее учащимися; А2 — актуализация базовых знаний; А3 — изучение нового; А4 — освоение нового материала в ходе решения задач на его применение; А5 — рефлексия результатов обучения и определение направлений дальнейшей работы.

— Этапы элементарного цикла научного познания в экспериментальной математике: Вх — постановка математической задачи; В2 — обоснование необходимости привлечения компьютерного эксперимента; В3 — планирование эксперимента; В4 — создание или выбор средств проведения компьютерного эксперимента; В5 — сбор и анализ данных эксперимента; В6 — использование результатов компьютерного эксперимента для решения задачи; В1 — развитие идеи решенной задачи.

Для решения главного вопроса о том, целесообразна ли организация исследовательского обучения в стиле экспериментальной математики на данном этапе дидактического цикла и насколько полно должны быть представлены в нем все этапы гносеологического цикла экспериментальной математики, нам придется воспользоваться числовым представлением значения тесноты связи (С.) между А. и В. Теснота связи представляет собой расчетную переменную, так как ее значение зависит от значений факторов M (t); L(t); T..(t).

А1

А2

А3

А4

А5

в,

с„

с,2

с,,

с14

с2,

с22

с2,

с24

с25

с„

с,2

с,,

с,4

с35

в4

с4,

с42

с43

с44

с45

В.

с5,

с52

с53

с54

с55

в6

с6,

с()2

с(„

си

с65

в7

с72

с74

с75

15 Дидактический цикл процесса обучения — это единство взаимосвязанных элементов процесса обучения, его структурная единица, обладающая всеми качественными характеристиками этого процесса. Процесс обучения развертывается во времени как поступательное движение его не замкнутых дидактических циклов (это скорее виток спирали).

Силой тесноты связи С., определяется целесообразность включения учащихся на этапах дидактического цикла в деятельность проведения эксперимента и их степень самостоятельности в реализации его этапов.

Смысл рассматриваемых нами величин С., несколько варьируется и определяется занимаемой в матрице позицией:

С1у, у=1;5 — характеризуют наличие действий учащихся по постановке исследовательской математической задачи и степень отражения в этих действиях методологии экспериментальной математики.

С2, j = 1;5 — характеризуют наличие в деятельности учащихся по решению поставленной задачи действий, направленных на обоснование необходимости привлечения компьютерного эксперимента и степень отражения в этих действиях методологии экспериментальной математики.

Сзу, у = 1 ; 5 — характеризуют вовлеченность учащихся в деятельность планирования компьютерного эксперимента.

С4, 7=1; 5 — характеризуют вовлеченность учащихся в деятельность выбора или создания средств проведения компьютерного эксперимента.

С5., 7=1; 5 — характеризуют степень полноты реализации учащимися действий по проведению эксперимента и анализа его результатов.

C6j, 7=1; 5 — характеризуют степень отражения методологии экспериментальной математики в деятельности учащихся по использованию результатов экспериментального исследования для дальнейшего решения задачи.

C7j, 7 = 1; 5 — характеризуют наличие и степень отражения методологии экспериментальной математики в деятельности учащихся по постановке новых задач на базе решенной.

Значения С , при фиксированном значении j в некоторой степени зависят от значения Су Например, если С1у=0, то и остальные С = 0.

и

Смысл C.j, при фиксированном значении j определяется видом эксперимента, который проводится на у-м этапе дидактического цикла.

Перечень образовательно значимых видов экспериментов представлен нами в табл. 1 с указанием их возможных функций, отнесенных к этапам дидактического цикла.

Приведем примеры перечисленных видов экспериментов в табл. 1.

Таблица 1

Виды экспериментов, применяемых в ходе исследовательского обучения математике

А

Вид

Функции

AVA.

Конструктивный эксперимент

конструктивная проверка существования объекта исследования (изучения), оценка адекватности модели объекта исследования (изучения) исходным данным, конструирование инструментов (средств, оборудования) или объяснение механизмов их работы, разработка инструкций, рекомендаций по их использованию

Иллюстративный эксперимент

визуализация утверждений как поддержка работы памяти или достижение понимания

Разведочный эксперимент

использование модели для сбора экспериментальных данных, позволяющих выдвинуть гипотезы о свойствах и связях изучаемых объектов

Контрольный эксперимент

контроль преобразований и вычислений, фальсификация, верификация гипотез

AVA.

Модифицирующий эксперимент

обнаружение ограниченности знаний, определение направления развития идеи, постановка новых задач

Пример 1 (модифицирующий эксперимент этапа А}).

Тема урока «Взаимное расположение прямых в пространстве». Решите серию заданий на динамическом листе GeoGebra (рис. 14 и 15) и сформулируйте вопросы, поиску ответов на которые будет посвящен этот урок.

Рис. 14. Задание для актуализации планиметрических понятий

В ходе решения первой задачи учащиеся актуализируют знания о существовании двух видов отношений взаимного расположения прямых на плоскости (пересечение, параллельность). Иллюстрируют актуализированные понятия построением прямых, проходящих через представленные на экране точке с использованием инструментов GeoGebra: «Прямая», «Параллельная прямая».

При выполнении второго задания, ученики обнаруживают, что выразительных возможностей их математического языка недостаточно для записи результатов наблюдения за изменением отношения взаимного расположения построенных прямых при «выходе в пространство». Это приводит к постановке познавательных вопросов: «Какие прямые можно называть параллельными в пространстве?», «Существуют ли в пространстве прямые, которые нельзя назвать ни пересекающимися, ни параллельными?»

Рис. 15. Задание для «выхода в пространство»

Пример 2 (иллюстративный эксперимент этапа Аг).

В учебнике геометрии для 9 класса дано следующее определение правильного многоугольника: «Правильным называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны». Покажите, что все свойства, указанные в этом определении важны. Для этого постройте: 1) невыпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны; 2) равноугольный, но не равносторонний выпуклый многоугольник; 3) равносторонний, но не равноугольный выпуклый многоугольник.

Учащиеся могут выполнять построение как на клетчатой бумаге, пользуясь только линейкой и карандашом, или на нелинованной бумаге с использованием циркуля и линейки, так и на компьютере (рис. 16). В результате формируется набор фигур, которые не удовлетворяют определению правильного многоугольника, но обладают некоторыми свойствами данного понятия. Это примеры звездчатых и полуправильных многоугольников.

Рис. 16. Пример результата иллюстративного эксперимента

Пример 3 (разведочный эксперимент этапа А3).

Проведите эксперимент, позволяющий выяснить, существует ли неравносторонний треугольник, в котором наименьшая медиана равна наибольшей высоте [19]. Найдите способ доказательства справедливости Вашей гипотезы.

Создадим модель треугольника ЛВС с наибольшей стороной АС и наименьшей — AB. Проведем к его наибольшей стороне медиану BE, а к наименьшей — высоту CH. Меняя положение вершины С при фиксированном положении точек Aw В можно добиться такого положения точки С чтобы медиана BE имела длину равную высоте СН с заданной точностью (рис. 17).

Малые шевеления точки С показывают, что при малых изменениях длины СН длина отрезка BE также меняется не значительно. Это наводит на мысль о непрерывности, связывающей их функции.

Рис. 17. Результат разведочного эксперимента

Допустим, что длины отрезков СН и Я£ связаны непрерывной функцией. Пусть вершина С движется по окружности радиуса ВС (рис. 18). Тогда, если угол ЛВС прямой, то С H и ВС совпадают. Так как ВС — больший катет, то BE < CH. Если угол ABC близок к развернутому, то BE приближается по длине к BS, S — середина AD, СН — приближается к нулю. Следовательно, BE > CH. В силу непрерывности функции существует такое промежуточное значение, при котором ВЕ= CH.

Рис. 18. Чертеж для поддержки доказательных рассуждений

Пример 4 (контрольный эксперимент этапа А4).

Обобщим теорему Пифагора. Получим следующее утверждение: «Если на сторонах прямоугольного треугольника построены правильные многоугольники с одинаковым числом сторон, то площадь многоугольника построенного на гипотенузе равна сумме площадей многоугольников, построенных на его катетах». Проверьте допустимость такого обобщения компьютерным экспериментом.

Для проверки утверждения, учащиеся должны сначала подготовить динамический чертеж, позволяющий просмотреть ситуацию для целого спектра прямоугольных треугольников. Для этого можно задать прямоугольник по произвольно выбранному катету и угловому параметру a g [0; 90°], h = 1°. Ha сторонах треугольника во внешнюю сторону с помощью инструмента «правильный многоугольник» отложить многоугольники, число сторон которых зависят еще от одного параметра п,

принимающего целочисленные значения, например из промежутка [3; 300]. С помощью инструмента «Площадь» вычислить их площади. Затем, пользуясь строкой ввода, создать переменную, равную сумме площадей многоугольников, построенных на катетах (рис. 19). Эксперимент состоит в изменении значений параметров п и а (последовательном или хаотичном) с оценкой сохранения равенства при разных наборах значений параметров.

Рис. 19. Рабочий динамический чертеж для проведения контрольного эксперимента

Пример 5 (конструктивный эксперимент этапа Л5).

Создайте инструмент для построения ГМТ, равноудаленных от заданной окружности и некоторой точки плоскости.

Построение данного инструмента требует от учащихся сначала переосмысления имеющегося знания о понятии «расстояние», формулировании на этой основе понятия «расстояние от точки до окружности», а затем создания способа построения элемента ГМТ (рис. 20).

Полученный динамический чертеж и становится основой для создания требуемого виртуального инструмента (рис. 20).

Текущие значения тройки основных факторов (M(t); I(t); T(t)) позволяют определить целесообразность включения в процесс обучения экспериментов разных видов, перечисленных выше, а также выявить и осмыслить степень самостоятельности, с которой учащиеся могут

и должны участвовать в этих экспериментах на отдельных этапах. Рассмотрим подробнее значения, которые может принимать каждая из этих переменных.

Возможность всякого исследования, как известно, определяется уровнем математической подготовки исследователя и уровнем овладения математическими основами исследования. В этой связи мы будем говорить не об общекультурном уровне математической подготовки учащегося, а об уровне его математической подготовки, достаточном для освоения запланированного учителем элемента предметного содержания в исследовательской деятельности.

Объем имеющихся у учащихся знаний должен быть таким, чтобы обеспечить им возможность создания чувственного образа объекта исследования на основе исходных данных, конструирования его исследовательской модели, преобразования исходных данных и чувственного образа. Этими соображениями определяется принятие следующей квалиметрической шкалы оценки уровня математической подготовки учащегося (М) (см. шкалу 1).

Значения 0 и 3 в этой шкале являются предельными, так как М= О закрывает возможность организации продуктивной деятельности не только теоретического характера, но и экспериментального; М= 3 предоставляет возможность свободного выбора или даже сочетания стилей продуктивной деятельности в учебном познании.

Рис. 20. Чертеж для создания нового инструмента

Шкала 1

Значения

Характеристика достаточности теоретического базиса для осуществления исследовательских действий

Mt

M,

0

0

Учащийся не обладает математическими знаниями, которые необходимы для осознанного восприятия исследования в стиле экспериментальной математики

1

0,17

Учащийся имеет знания для осознанного восприятия образца исследования, но этих знаний недостаточно для самостоятельной реализации данного этапа исследования

2

0,33

Учащийся не имеет знаний для самостоятельной реализации теоретической части исследования, но обладает знаниями для реализации его экспериментальной части

3

0,5

Учащийся обладает знаниями как для реализации экспериментальной, так и теоретической частей исследования

6

1

Сумма

Вторым важнейшим фактором, обеспечивающим возможность освоения содержания в исследовательской деятельности, является владение методологическими основами исследования. Степень самостоятельности учащихся в проведении учебных исследований, отнесенных к стилю экспериментальной математики, определяется уровнем развития у них соответствующих методологических знаний об экспериментальных методах в математике. В монографии [96] нами было показано, что развитие методологических знаний сопровождается изменением формы их существования (неявные личностные знания — неявные; затем частично-выявленные межличностные знания — объективизированные надличностные знания), сопровождаемым двумя процессами: их рационализацией и генерализацией. Методологические знания зарождаются в момент инсайта (озарения) или передаются в процессе восприятия образцов деятельности, предъявляемых учителем. Осознание экстрапознавательной значимости методологического знания происходит постепенно в ходе накопления представления о других ситуациях успешного применения возникшей идеи. Объективизация методологического знания начинается со столкновения с ситуациями его неэффективности при попытках вскрытия причин этой неэффективности. Объективизация является необходимой основой для возникновения способности к осознанной саморегуляции использования методологических знаний, включая способность критической оценки типичного стиля, варьирования и сочетания стилей. Эти соображения положены нами в основу построения квалиметрической

школы уровня сформированности опыта исследовательской деятельности (/) в стиле экспериментальной математики (см. шкалу 2).

Шкала 2

Значения

Показатели уровня методологических основ деятельности в стиле экспериментальной математики

It

h

0

0

Учащийся не имеет образца деятельности в стиле экспериментальной математики в сходной ситуации

1

0,07

Учащийся обладает представлениями (неявными методологическими знаниями), которые тесно связаны с конкретным образцом познавательной деятельности

2

0,13

Учащийся обладает частично-выявленными методологическими знаниями, которые являются отражением речевых комментариев учителя при демонстрации образцов, но не имеет собственного опыта их использования

3

0,2

Учащийся обладает частично-выявленными методологическими знаниями, которые являются отражением текста инструкций, наводящих вопросов, указаний учителя, а также имеет опыт реализации плана экспериментального исследования по инструкции

4

0,27

Учащийся обладает частично-выявленными методологическими знаниями, которые являются отражением результата эвристических бесед и методологической саморефлексии в сократовском диалоге, а также опытом использования этих знаний для планирования познавательной деятельности в стиле экспериментальной математики

5

0,33

Учащийся обладает объективизированными методологическими знаниями, а также опытом их использования для определения методологической базы исследования, включающей методы, отнесенные как к экспериментальному, так и теоретическому подходам

15

1

Сумма

Значения 0 и 5 являются предельными в данной шкале: /=0 делает невозможным включения учащихся в продуктивную деятельность в стиле экспериментальной математики даже при активной помощи учителя; /= 5 обеспечивает учащимся возможность самостоятельного выбора и сочетания подходов к исследованию для решения поставленной проблемы.

Исследовательская деятельность даже при достаточном уровне подготовки учащегося требует значительных затрат времени. В связи с этим выбор способа учебного познания и степень самостоятельности учащихся определяются лимитом учебного времени, который целесообразно описать с использованием шкалы 3.

Шкала 3

Значения

Лимит времени на достижение цели дидактического этапа

Tt

0

0

Нет времени на организацию продуктивной деятельности учащихся

1

0,17

Организация продуктивной деятельности возможна, но на ее реализацию отведена лишь часть урока

2

0,33

На реализацию продуктивной деятельности отведен целый урок или учебная пара

3

0,5

Продуктивная деятельность осуществляется во внеурочное время, т.е. не ограниченна лимитом времени

6

1

Сумма

Значения 0 и 3 также являются предельными в данной шкале. Т= 0 требует организации на уроке лишь репродуктивной деятельности или предъявления учащимся готовых образцов исследовательской деятельности в стиле экспериментальной математики; Т= 3 позволяет реализовать гносеологический цикл в полном объеме с наибольшей степенью самостоятельности учащегося.

Таким образом, принятие решения о степени отражения методологии экспериментальной математики в процессе обучения (С.) является многокритериальной задачей оптимального выбора, т.е. (С.) =f(M; 7; 7). Формальное решение этой задачи требует использования такого обобщенного критерия, при котором (С.) =f(M; 7; 7), где /(Л/; 7; Т) е [0; 1], поскольку значения функции/(М; /; 7) интерпретируются нами как теснота связи элементов дидактического цикла с элементам гносеологического цикла в стиле экспериментальной математики.

Кроме того мы задали начальные значения шкал таким образом, что (С.) =/(0; /; 7) =f(M; 0; 7) =f(M; 7; 0) = 0. Это определяет необходимость использования мультипликативного критерия: (С) = k • M • I • T. Значение коэффициента к определено тем, что/(0,5; 0,33; 0,5) = 1. В результате получаем формулу:

(С.) = к- MIT. (*)

Классификация уровней исследовательского обучения по степени полноты отражения в нем черт исследовательской деятельности ученых X. Банчи и Р. Белла [109] позволяет нам интерпретировать значения

мультипликативного критерия для средних значений C.|c^.j с фиксированным значением у следующим образом:

Уровень 1 (Reproductive education or Confirmation Inquiry). Репродуктивное обучение или Экспериментальное подтверждение элемента содержания, вводимого в готовом виде на данном этапе дидактического цикла

((^)е[0;0,02)).

Поскольку в условиях, соответствующих значениям С~ g (0; 0,02), элемент дидактического цикла / не может быть реализован в соответствии с элементом j гносеологического цикла экспериментальной математики при активном участии учащихся, учитель предъявляет учащимся информацию в готовом виде, дополняя ее демонстрацией образца применения экспериментального подхода для ее получения или понимания.

Уровень 2 (Structured Inquiry). Проведение исследований в стиле экспериментальной математики по заданному плану g [0,02; 0,33)).

Условия, соответствующие значениям Сг g [0,02; 0,34), требуют инструктивной помощи учащимся при осуществлении ими исследовательских действий элемента j на этапе дидактического цикла /. Степень и характер этой помощи определяется конкретным набором значений (M; I; 7). Он варьируется от синхронных действий учителя и учащихся до действий, степень свободы которых определяется свойствами динамического рабочего листа или степенью подробности плана.

Уровень 3 (Guided Inquiry). Проведение исследований в стиле экспериментальной математики под руководством учителя ^Cfj g [0,34; 0,8) j.

Условия, соответствующие значениям Ctj g[0,34; 0,8) определяют возможность реализации этапа / дидактического цикла в соответствии с характером исследовательской деятельности элемента j гносеологического цикла экспериментальной математики, но с помощью учителя. Однако, в отличие от предыдущего этапа, помощь реализуется посредством вовлечения учащихся в эвристическую беседу или сократовский диалог, оказанием им помощи за счет предъявления динамического листа ограниченного уровня интерактивности без указания способа его использования.

Уровень 4 (Open/True Inquiry). Свободные подлинные исследования

(С>[0,8;1| _

Условия, соответствующие значениям C^g[0,8;1] достаточны для реализации /-го этапа дидактического цикла в полном соответствии с характером исследовательских действий, определенным у-м этапом экспериментального исследования. Они достаточны также и для принятия учащимся решения об отказе от использования экспериментального подхода или сочетания с теоретическим подходом.

В зависимости от набора конкретных значений С. при фиксированном j исследовательское обучение на каждом уровне реализуется по-разному:

— учащимся предоставляется различная степень самостоятельности с учетом актуального уровня математической подготовки и подготовки к исследовательской деятельности;

— для оказания помощи учащимся при деятельности в зоне ближайшего развития используются разные средства помощи: образцы, инструкции, планы, динамические листы разного уровня интерактивности, эвристические и сократовские диалоги.

Для простоты использования модели все возможные значения С., определяемые наборами (Л/, /, 7), нами рассчитаны и представлены в приложении 1.

Прежде чем переходить к демонстрации конкретных примеров использования представленной модели нам необходимо осветить вопросы, связанные с отбором тех экспериментов, методологией которых учащиеся общеобразовательной школы должны овладеть в период обучения в школе. Также важно раскрыть суть разработки и применения предлагаемых нами средств оказания помощи учащимся. Эти вопросы мы собираемся осветить в последующих параграфах.

2.2. Содержательные основы воспитания математика-экспериментатора16

В данном параграфе мы остановимся на содержательных основах исследовательского обучения в стиле экспериментальной математики.

Для того, чтобы становление мировоззрения математика-экспериментатора не проходило стихийно и бесконтрольно, в содержании школьного курса математики, по нашему мнению, должна быть выделена и специально спроектирована особая содержательно-методическая линия. Мы ее назвали линией экспериментальной математики.

Выделение данной линии, по нашему мнению, может быть осуществлено без каких-либо существенных расширений учебных программ по математике, а лишь за счет «вывода из подполья» математических экспериментов, так или иначе привлекаемых к процессу обучения. Для демонстрации этого обратимся к теоретическим основам проектирования содержательно-методических линий.

16 © Шабанова М.В., Ястребов А.В., Безумова О.Л., Котова CH., Павлова M .А., Патронова H.H., Троицкая О.Л., Фомина Н.И.

Данное понятие вошло в теорию и методику обучения математике в 50-е годы XX века в результате длительного поиска учеными (В.Л. Гончаров и др.) специфической категории, при помощи которой можно было бы вводить требования к реализации внутрипредметных связей при проектировании содержания обучения математике и описывать результаты логико-дидактического анализа развертывания содержания обучения в учебниках математики разных авторов [34].

А.Я. Блох определил это понятие как «сечение курса школьной математики, в которое попадают тематически и идейно связные, но композиционно разъединенные фрагменты учебников. Материал, относящийся к каждой линии, изучается длительное время, нередко на протяжении всего курса, так что ее можно рассматривать с точки зрения установления и внутрипредметных преемственных связей» [21, с. 35].

Первоначально данное понятие применялось только к раскрытию связей тех элементов содержания математического образования, которые представлены учебным материалом учебников, объединенным вокруг фундаментального понятия математики (ведущего понятия линии):

— определениями или, по крайней мере, описаниями, фундаментального понятия и видовых понятий;

— свойствами и признаками, по крайней мере, видовых понятий;

— утверждениями о связи данного понятия с другими понятиями математики.

Выделялись семь основных линий: числа и выражения, выражения и их преобразования, уравнения и неравенства, функций и элементы математического анализа, геометрические фигуры и измерение геометрических величин, позднее стохастическая линия.

Впоследствии стали говорить о целесообразности рассмотрения линий, которые представлены в учебниках лишь задачным материалом и описаниями образцов математической деятельности, что является проявлением деятельностно-продуктивного дуализма математики: алгоритмическая (ведущее понятие «алгоритм»), прикладная (ведущее понятие «математическая модель»), логическая (ведущее понятие «доказательство») и др.

Далеко не все фундаментальные понятия этих линий терминологически обозначены в учебниках, об их содержании и объеме учащиеся могут получить представление лишь в результате саморефлексии, а также рефлексивного анализа представленных в учебниках образцов деятельности.

А.Я. Блох назвал такие содержательно-методические линии невыявленными, обратив при этом внимание на относительность разделения линий на выявленные и невыявленные: «Следует сказать, что выявленность —

относительная характеристика линии. Она зависит от многих причин, в частности, от той эпохи или исторического периода, к которой относится создание анализируемого курса, от учебника, в которых эти курсы реализованы» [21, с. 51]. В подтверждение этому он привел пример функциональной линии, которая до 50-х годов XX века была представлена в учебниках лишь образцами применения линии функциональной зависимости.

Е.И. Лященко описала содержательно-методологические линии, подчеркнув тем самым их деятельностный характер, отнеся к ним линию математического языка, доказательств, сюжетных задач: «Материал этих линий и его функции находятся «над» конкретным математическим содержанием, организованным в содержательно-методические линии, и помогает раскрыть специфику и общность материала разных предметных линий. Реализация методологических линий помогает лучше познать и понять предметные линии» [56, с. 129].

Обращая внимание на связь содержательно-методических линий школьного курса математики с математическими структурами, В.А. Тестов назвал линии этого типа «схемами мышления». Значимость их выделения и целенаправленного формирования обосновывается им следующим образом: «... для обеспечения математического развития школьников и студентов должны быть сформированы не только алгебраические, порядковые и топологические структуры, которые представляют собой, прежде всего, системы хранения знаний. Необходимо сформировать и структуры, которые выше мы назвали математическими когнитивными схемами (термин М.А. Холодной) и которые представляют собой определенные качества математического мышления, которые являются, прежде всего, средствами, методами познания. Поэтому такие структуры можно также назвать схемами математического мышления» [87, с. 82]. К математическим схемам мышления от отнес: логические, алгоритмические, комбинаторные и образно-геометрические структуры.

Таким образом, речь не идет о дополнении учебных программ по математике новым содержанием, а об оформлении в отдельную содержательно-методическую линию образцов деятельности, раскрывающих содержание и объем фундаментального (ведущего) понятия «математический эксперимент», с целью создания условий для формирования на этой основе у учащихся качеств математика-экспериментатора.

Сегодня, на наш взгляд, сложились исторические условия, благоприятные для решения этой задачи, подобные тем, которые в математической науке вывели «из подполья» экспериментальные методы и привели к оформлению методологии экспериментальной математики.

Подчеркивая эту аналогию, а также аналогию с экспериментальной и теоретической частью школьного курса физики и химии, мы посчитали возможным назвать ее линией экспериментальной математики.

Таким образом, под линией экспериментальной математики мы понимаем содержательно-методологическую линию школьного курса математики, ведущим понятием которой является понятие математического эксперимента.

А.Я. Блох сформулировал несколько проблем проектирования таких линий. По его мнению, главной проблемой является «выбор материала, на котором происходит формирование содержания этой линии. Этот материал может быть специфическим для ведущего понятия линии, характеризующим его теоретическое содержание, или неспецифическим, относящимся к основному содержанию курса» [21, с. 51].

Проблему проектирования неспецифического содержания данной линии мы решаем, опираясь на данные о той роли, которую сыграли экспериментальные методы в получении научных результатов, описанных в параграфе 1.1 и составляющих сегодня содержание школьного курса математики. Специфическое содержание линии определяется нами на основе данных о методологических основах экспериментальной математики, представленных в параграфе 1.2.

Второй, из обозначенных А.Я. Блохом проблем, является определение оптимального уровня и полноты выявленности специфического содержания ведущего понятия данной линии — понятия «математический эксперимент».

В решении этого вопроса мы будем опираться на разработанную нами концепцию проектирования методологической составляющей школьного курса математики [97].

Главным положением этой концепции является постепенность выявления элементов специфического содержания содержательно-методологической линии, подчиняющегося общим закономерностям процессов рационализации и генерализации методологических оснований деятельности.

Процесс рационализации — это процесс эволюции методологических знаний (МЗ), сопровождающийся изменением формы их существования и содержания.

Поскольку методологическое знание исторически возникло в связи с потребностью обобщения опыта (генерализации) познавательной деятельности для его передачи, установления условий эффективности, решения вопросов выявления фальсификаций и верификации гипотез, то процесс рационализации сопровождается и генерализацией методологических знаний.

Характеристика методологических знаний на различных этапах их эволюции и условия наступления этапа представлены в табл. 2.

Таблица 2

Основные этапы эволюции методологических знаний

Этапы

Характеристика

Условия

Форма

Содержание

Зарождение

Неявное личностное

Личностные и процессуальные компоненты. Частное, конкретное, не воспроизводимое

Восприятие образцов или инсайт

Распространение

Неясное межличностное

Процессуальные компоненты, МЗ частное, эмпирически обобщенное, частично обратимое

Подражание, репродукция, осознание экстра-познавательной значимости

Выявление

Частично-объективизированное надличностное

Процессуальные и информационные компоненты, эмпирически обобщенное, абстрактное, обратимое

Сомнения в правильности, обнаружение ситуаций неэффективности

Опредмечивание

Объективизированное предметное или метапредметное знание

Информационные компоненты, теоретически обобщенное, формализованное, обратимое

Потребность в адекватном выражении и обосновании

Кроме того, процесс эволюции методологических знаний характеризуется следующими основными особенностями:

— основным условием, обеспечивающим динамику этого процесса, является развитие научных знаний;

— одновременно в процессе познания функционируют методологические знания, находящиеся на разных стадиях процесса своего развития;

— процесс эволюции различных методологических знаний наряду с общими чертами имеет и свои особенности;

— некоторые методологические знания могут быть опредмечены математической наукой (т.е. превращены в предметные знания математики).

В монографии «Методология учебного познания как цель изучения математики» М.В. Шабановой показано, что по характеру ведущей формы познания в школьном курсе математике можно выделить: метаэмпирическую форму познания (1—6 классы) и метаэмпирическую

форму познания с элементами дедукции (7—11 классы). Первые создают благоприятную содержательную основу реализации первых двух этапов развития методологических знаний об экспериментах (зарождение и распространение), использовавшихся в период зарождения математики. Вторые актуальны для реализации третьего этапа (объективизация) сформированных неявных знаний, а также для развития представлений (с последующей объективизацией) о специфике математических экспериментов, включая мыслительные и компьютерные; о возможностях и ограничениях экспериментальных методов, их связи с теоретическими методами познания; возможностях и условиях рационального использования экспериментов на разных этапах гносеологического цикла.

Анализ рабочих программ по математике позволяет наметить неспецифическое содержание линии экспериментальной математики, обеспечивающее развитие перечисленных выше методологических знаний.

1. Развитие линии экспериментальной математики в начальной школе. Изучение математики в начальной школе предоставляет возможности и условия для продуктивного формирования базовых умений, связанных с реализацией экспериментального подхода при изучении математики, так как все правила математических действий формируются в этот период как индуктивные обобщения частных закономерностей, к обнаружению которых учащиеся пришли случайно или по заданию учителя.

Первые математические знания складываются у учащихся на основе предметных действий (пересчет и сравнение групп предметов). Это является благоприятной основой для зарождения и накопления представлений опыта использования натурных экспериментов бэконовского типа. К потребности их проведения обычно приводят вопросы, типа «Что, если попробовать сделать так?» «А что произойдет, если ...?» и т.п., которые возникают в ходе решения задач других линий.

Овладение этим видом экспериментов проявляется в способности подмечать закономерности при выполнении одних и тех же заданий с объектами разной природы, абстрагируясь от их природы, а также в способности видеть причины сходства и различия результатов одних и тех же практических действий в, казалось бы, сходных условиях и использовать их для рационализации рутинных действий.

Зарождению представлений об экспериментах бэконовского типа способствует постановка заданий на выполнение серии практических действий, с последующей вербализацией способа их выполнения.

Пример 1. Задание на сравнение количеств объектов.

1. На столе лежат коробочки со счетными палочками. Определите, в какой коробочке палочек больше всего, в какой — меньше всего.

2. На столе расставлены куклы, машинки и кубики. Определите, каких игрушек на столе больше всего, каких — меньше всего.

3. На столе разбросаны разные письменные принадлежности и стоят три стаканчика. Соберите в стаканчики письменные принадлежности так, чтобы в каждом оказались принадлежности только одного вида. Определите, каких игрушек на столе было больше всего, каких — меньше всего.

Расскажите, что общего в этих заданиях. Расскажите, как вы сравнивали множества предметов в каждом задании.

Переход от осуществления действий с предметами к действиям с числами и геометрическими фигурами, который начинается с вопроса изучения нумерации чисел в пределах десятка, создает условия для распространения бэконовского типа экспериментирования на деятельность с вещественными моделями математических объектов и математическими символами. Для этих целей могут быть использованы задания, в ходе выполнения которых у учащихся возникают естественные потребности рационализации выполняемых математических действий.

Пример 2. Найдите сумму пересчетом:

а) 6 + 2;

6) 7 + 3;

в) 3 + 5;

г) 1 + 8; д) 3 + 7; е) 2 + 6.

Предложите способ, который позволит сэкономить время.

Данное задание выполняется учащимися на основе сформированных навыков вычисления суммы пересчетом предметов. Серия примеров составлена так, чтобы, вовлекая учащихся в деятельность применения метода пересчета в концентре «Десяток», вызвать у них неудовольствие от определения суммы данным методом. Это неудовольствие усиливается в серии примеров за счет включения в нее пар, содержащих одинаковые результаты, но значительно отличающихся по трудности пересчета (а—е; б—д). Это создает условия для обнаружения учащимися переместительного закона сложения, который позволяет сократить пересчет присоединяемой группы объектов.

Подобного типа задания могут быть использованы на более поздних этапах изучения математики.

Пример 3. На листе бумаги нарисовано три многоугольника (рис. 21). Найдите их площади. Придумайте способ, как сделать это быстро.

Рис. 21. Многоугольники

Эта задача может быть предложена ученикам 8 класса при изучении темы «площадь». Они легко найдут площадь прямоугольника по известной формуле. Так как виды остальных фигур им неизвестны, то им придется придумывать способы, связанные с достраиванием фигур до известной или разрезанием на части. В ходе реализации второй идеи они быстро догадаются, что все фигуры состоят из одного и того же набора частей, а значит, площади их равны. Этот вывод, как полезный и важный, будет зафиксирован с помощью учителя в виде теоремы о равенстве площадей равносоставленных планиметрических фигур.

Следующим видом экспериментов, с которыми знакомятся учащиеся при изучении математики в начальной школе, являются эксперименты аристотелевского типа. Их главным отличием от экспериментов бэконовского типа является активный характер по отношению к объекту изучения. На этом этапе происходит обучение планированию экспериментов, целенаправленному их проведению и получению адекватных выводов. Вводится специальные термины, учащиеся узнают о различном назначении экспериментов в математическом познании, кроме того учащиеся знакомятся с различными видами вещественных (интерпретационные) модели изучаемых математических объектов, осваивают способы их создания и целесообразного использования.

Зарождению первых представлений о возможности активного воздействия на объект изучения способствует введения правил математических действий, которые на первый взгляд кажутся искусственными. Для их оправдания требуется найти подходящую интерпретацию. Первым примером такого правила является правило нахождения неизвестного слагаемого. Оно оправдывается интерпретацией этой задачи как задачи нахождения длины части отрезка.

Пример 4. Придумайте правило нахождения неизвестного слагаемого х, т.е. а + X = Ь, где а — известное слагаемое; b — известная сумма.

Для этого представьте, что b = AB, а = АС, х = DC (рис. 22). Изменяйте отрезок АС, заполняя таблицу (см. табл. 3). Придумайте, как найти ВС не измеряя его. Проверьте свои выводы измерениями.

Рис. 22

Таблица 3

АВ(b)

8

8

8

8

8

АС(а)

ВС(х)

Аналогичные задачи могут быть поставлены для организации деятельности учащихся при изучении правил решения других задач на нахождение неизвестного компонента арифметического действия: неизвестного уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого, делителя.

Активный характер постановки экспериментов аристотелевского типа требует формирования частично-выявленных знаний об экспериментальном методе: введении и раскрытии содержания терминов эксперимент, цель эксперимента, таблица экспериментальных данных, экспериментальное оборудование, план проведения эксперимента, количество испытаний, модель объекта изучения.

Распространение знаний об экспериментальном методе идет в трех взаимосвязанных направлениях:

1) развитие представлений о функциях экспериментальных методов в учебном познании (оправдание, объяснение, разведка, контроль);

2) развитие представлений о видах интерпретационных моделей математических объектов (геометрические, физические, вещественные, аналитические);

3) накопление представлений о частных разновидностях экспериментов и условиях их использования (метод оригами, метод разрезания и складывания, метод измерения, метод наложения, метод взвешивания, метод переливания / пересыпания, численный эксперимент и т.п.).

Содержательной основой для реализации этих направлений выступают вопросы, связанные с изучением различных конструктивных и измерительных инструментов, оперирования с мерными величинами.

Пример 5. Придумайте, как использовать детские качели-качалки (рис. 23) для того, чтобы методом эксперимента:

1) сравнивать массы детей на них качающихся;

2) сравнивать длины плеч самой качели (если они регулируются);

3) решать задачи на определения отношения, в котором точка делит отрезок.

Рис. 23. Детская качель-качалка

Пример 6. Из бумаги вырезаны несколько треугольников (рис. 24).

1) Найдите методом наложения и отметьте стороны, которые у всех этих треугольников равны.

2) Придумайте способ сравнения длин их высот, опущенных на отмеченные стороны, без использования линейки.

3) Придумайте эксперимент, который позволяет сравнить их площади, и показать, что площади таких треугольников равны.

Рис. 24. Равновеликие треугольники

Все выше сказанное позволяет описать развитие линии экспериментальной математики в начальной школе в терминах целей, специфического и неспецифического содержания и результатов обучения (табл. 4).

Таблица 4

Развертывание линии экспериментальной математики в начальной школе (1—4 классы)

Начало этапа ( 1—2 классы)

Цель развития линии: формирование базовых умений, связанных с реализацией экспериментального подхода в ходе изучении математики

Элементы содержания

неспецифического

специфического

Задания на пересчет предметов, сравнение и измерение величин

Обнаружение закономерностей методом непланомерных проб с вещественными моделями объектов изучения, наблюдений их проявления в сериях примеров, повторяющихся практических действий

Результаты:

1) способность подмечать закономерности при выполнении одних и тех же заданий с объектами разной природы, абстрагируясь от их природы;

2) способность видеть причины сходства и различия результатов одних и тех же практических действий в, казалось бы, сходных условиях и использовать их для рационализации рутинных действий

Конец этапа (3—4 классы)

Цель: формирование умений, связанных с реализацией экспериментального подхода в ходе изучении математики.

Элементы содержания

неспецифического

специфического

Правила математических действий,способы использования измерительных и конструктивных инструментов

Эксперименты с вещественными моделями математических объектов: на разрезание фигур, наложение, взвешивание, складывание, измерение. Понятия: эксперимент, таблица данных, модель. Представления о выборочном методе, индуктивных выводах

Результаты:

1) способность создавать вещественные модели изучаемых математических объектов, формировать репрезентативную выборку, формулировать цель эксперимента, планировать его ход, делать выводы на основе экспериментальных данных, применяя при этом метод индукции, распространять выводы о свойствах на оригинал;

2) понимание смысла терминов: эксперимент, таблица данных, модель и т.п.;

3) знания о видах интерпретационных моделей и соответствующих методах: оригами, разрезания, взвешивание, наложение и т.п.;

4) представление о роли экспериментов: разведка, проверка, объяснение, оправдание.

2. Развитие линии экспериментальной математики в основной школе. Основная школа является наиболее важным периодом в развитии линии экспериментальной математики, так как здесь учащимся предстоит не только освоить компьютерное экспериментирование во всем его многообразии, но и осознать ограниченность экспериментального подхода, значимость разумного сочетания экспериментальных методов с теоретическими.

В 5—6 классах учащиеся продолжают экспериментировать с вещественными моделями математических объектов, делают выводы о математических закономерностях, убеждаются в целесообразности вводимых правил математических действий с опорой на различные типы интерпретационных моделей (диаграммы, графики, масштабные и схематичные изображения геометрических фигур, изображение чисел точками числовой прямой, игральная кость, монета, урна с шарами, дерево вариантов и т.п.). Большие возможность для решения этих задач предоставляет линия числа и вычислений в органичном сочетании с мерными величинами и геометрическими фигурами, введение буквенного обозначение числа, пропедевтика функциональных зависимостей, начала комбинаторики и теории вероятностей.

Пример 7. Пусть два игрока играют в такую игру: Точка находится в начале координат. Первый игрок бросает красный игральный кубик и передвигает точку вправо по координатной прямой на столько единиц, сколько выпало на кубике. Затем записывает свой ход, прибавляя к первоначальной координате точки количество выпавших на кубике единиц (например, «5 + 4»). Второй игрок бросает синий кубик и передвигает эту же точку влево по координатной прямой на столько единиц, сколько выпало на его кубике. Затем он также записывает свой ход, вычитая из координаты точки количество выпавших единиц. Выигрывает тот игрок, которому удалось за 10 ходов перетянуть точку на свою сторону координатной прямой. Если точка окажется на положительной полуоси, то выигрывает первый игрок, если на отрицательной полуоси, то выигрывает второй.

1) Сыграйте в эту игру со своим соседом по парте.

2) Повторите игру, но точку при этом не перемещайте. Можно ли узнать, кто победил в игре лишь по записям ходов? Объясните, как.

В 5—6 классах учащиеся должны получить представления об особенностях компьютерного эксперимента (вычислительных в Excel, геометрических в DGS). Об его преимуществах по сравнению с экспериментами на вещественных моделях, об ограниченности компьютерных экспериментов по сравнению с дедуктивными и аналитическими методами.

Пример 8. Зависит ли сумма углов треугольника от его формы? Что покажут эксперименты, в основе каждого из которых лежит один из трех разных методов (метод измерения, метод оригами, компьютерный метод)?

Эксперимент 1 (метод измерения). Нарисуйте на листе бумаги три треугольника: тупоугольный, остроугольный и прямоугольный. Измерьте транспортиром углы каждого и найдите их сумму. Результаты занесите в таблицу (см. табл. 5):

Таблица 5

Вид

Угол 1

Угол 2

Угол 3

Сумма

Остроугольный

Прямоугольный

Тупоугольный

Сделайте вывод.

Эксперимент 2 (метод оригами). Вырежьте из листа бумаги три треугольника: тупоугольный, остроугольный и прямоугольный. Найдите и отметьте наибольшую сторону каждого. Наметьте сгибанием на отмеченной стороне основание высоты каждого треугольника. Уложите в эту точку все вершины треугольников (рис. 25). Сделайте вывод.

Рис. 25. Складывание треугольника

Эксперимент 3 (компьютерный). Постройте в графическом окне GeoGebra произвольный треугольник, измерьте его углы. С помощью строки ввода создайте величину, равную сумме всех углов. Перемещайте по экрану вершины треугольника и следите за изменением суммы углов. Повторите эксперимент несколько раз, меняя настройки точности измерения. Сделайте вывод. К одинаковым ли выводам привели вас все три эксперимента? Какой из экспериментов позволил получить более надежные выводы? Почему?

Систематическое применение компьютерных экспериментов приводит к постепенному накоплению представлений о ситуациях появления парадоксальных результатов (см. пример 9, подробнее об этом написано в параграфе 2.4), которые порождают мотивационную основу для выявления знаний о причинах ограниченности метода компьютерного эксперимента, его возможностях и ограниченности; для развития знаний в курсе информатики и ИKT о возможных причинах появления ошибок при проведении компьютерного эксперимента (ошибки процессора, ошибки программы, ошибки модели); для развития знаний в курсе математике о статистических методах обработки экспериментальных данных.

Пример 9. В ходе компьютерного эксперимента была обнаружена ситуация, показанная на рис. 26.

Рис. 26. Ситуация, полученная в ходе компьютерного эксперимента

Какой из выводов является правильным:

1. На отрезке AB можно найти такое положение точки С, при котором АС + СВф AB.

2. Неравенство АС + СВф AB является следствием неточности измерения.

3. Неравенство АС + СВф AB, является следствием округления данных о величинах отрезков?

С развитием знаний учащихся 7—9 классов, во-первых, о дедуктивном методе и его роли в математике, во-вторых, о месте натурных и модельных экспериментов в естественнонаучном познании, об автоматизированных системах поддержки экспериментальных исследований, начинают складываться обобщенные представления об экспериментальном и теоретическом подходах к исследованию, о видах экспериментов и специфике компьютерных экспериментов. Компьютерный эксперимент

предстает перед учащимися, как разновидность модельного эксперимента, отличительной особенностью которого является изучение поведения не вещественной, а математической модели объекта исследования или самого математического объекта в той или иной его интерпретации. Компьютерный эксперимент направлен на получение дискретного конечного набора данных о согласованных значениях двух или большего количества параметров, которые характеризуют поведение модели. Погрешности данных носят систематический (а не случайный) характер и обусловлены особенностями программно-аппаратного комплекса, избранного способа моделирования, степени точности модели.

В этот период содержание в линии экспериментальной математики целесообразно включить лабораторные работы (подробнее в параграфе 3.3). Это облегчит учащимся понимание сходства и различий применения экспериментальных методов в математике и дисциплинах естественнонаучного цикла.

С развитием визуального, логического и абстрактного мышления учащихся ситуации, в которых учащиеся могут отказаться от реального экспериментирования с вещественными или компьютерными моделями математических объектов и перейти к мысленному экспериментированию по канторовскому типу, все более усложняются.

Зарождению представлений о мысленном экспериментировании способствуют ситуации, в которых построение модели является более трудоемким, чем получение данных о результатах экспериментирования с этой моделью, а также ситуации столкновения с неэффективными алгоритмами построения модели.

Пример 10. Придумайте физический эксперимент, позволяющий выяснить, существует ли многоугольник и такая точка внутри него, из которой перпендикуляры, проведенные ко всем его сторонам, попадают только на продолжения сторон.

Решение данной задачи требует доказательства невозможности существования такого многоугольника. В основу может быть положен следующий мысленный эксперимент. Допустим, что такой многоугольник и такая точка внутри него существуют. Представим, что такой многоугольник вырезан из тонкого материала и поставлен на ребро. Так как линия действия силы тяжести не пересекает ребро, то многоугольник перевернется на соседнее ребро. Но, следующее ребро, линия действия силы тяжести снова не пересекает. Многоугольник вновь поворачивается. Так будет продолжаться бесконечно. Таким образом, если такой многоугольник существует, то существует вечный движитель. Вечного движителя не существует, следовательно, не существует и такого многоугольника.

Таблица 6

Развертывание линии экспериментальной математики в основной школе

Начало этапа (5—6 классы)

Цель этапа: формирование представлений компьютерных экспериментах, его преимуществах перед экспериментами с вещественными моделями, ограниченностях экспериментального подхода

Элементы содержания

неспецифического

специфического

расширение понятия числа, введение буквенного обозначение числа, пропедевтика функциональных зависимостей, начала комбинаторики и теории вероятностей, приближенные вычисления

модельные эксперименты с типовыми вещественными моделями (игральная кость, урна с шарами), интерпретациями (дерево вариантов, график, диаграмма, геометрическая фигура), компьютерные эксперименты

Результаты:

1) критическое отношение к результатам экспериментов, потребность в теоретическом осмыслении экспериментальных данных;

2) знания о приближенности экспериментальных данных, причинах появления приближенных значений, систематических и случайных ошибках экспериментов, зависимость надежности выводов от массовости данных;

3) умения делать выводы, адекватные собранным экспериментальным данным, теоретически осмысливать их

Конец этапа (7—9 классы)

Цель этапа: формирование обобщенных представлений об экспериментальном и теоретическом подходах к исследованию, видах экспериментов и специфике компьютерных экспериментов

Элементы содержания

неспецифического

специфического

геометрия, функции и графики, задачи с параметрами, элементы теории вероятностей и статистики и т.п.

эксперименты с вещественными моделями и компьютерные эксперименты, мысленные эксперименты

Результаты:

1) представление о компьютерном эксперименте, как разновидности модельного эксперимента, о систематическом характере погрешностей компьютерного эксперимента;

2) формирование умений рационально сочетать экспериментальный и теоретический подходы;

3) умение экспериментировать не только с вещественными или компьютерными моделями, но и с образами математических объектов

Таким образом линия экспериментальной математики в основной школе имеет следующий вид (см. табл. 6).

3. Развитие линии экспериментальной математики в старшей школе. Изучение в старшей школе начал математического анализа создает условия для распространения мысленных экспериментов на новую область, а также для развития представлений учащихся о значимости компьютерных экспериментов в расширении возможностей мысленного экспериментирования.

Благоприятные условия складываются под влиянием необходимости работы с абстракциями актуальной и потенциальной бесконечности.

Как известно, ознакомление с началами математического анализа в старшей школе может быть осуществлено только с опорой на правдоподобные рассуждения и наглядность. Базовая математическая подготовка учащихся недостаточна не только для доказательства теорем математического анализа, но даже и для введения строгих определений фундаментальных понятий: переменной, функции, бесконечности, предела, производной и интеграла. В этих условиях авторы учебников по Алгебре и началам анализа используют методические решения, которые способствуют формированию адекватных представлений об идейной основе математического анализа. Так, например, в учебнике А. Г. Мордковича [58, с. 140], предлагается сопроводить введение определения понятия предела последовательности образами «точки сгущения» для членов числовой последовательности и асимптоты графика функции, заданной на множестве натуральных чисел.

Подобные методические решения создают благоприятные условия для дальнейшего развития линии экспериментальной математики.

По существу, они основаны на использовании эвристических возможностей метода неделимых, опирающегося на идею геометрического атома; метода исчерпывания, неявно апеллирующего к понятию предела; нестрогого метода линейной аппроксимации, исторически предопределивших появление интегральных и дифференциальных методов.

С первыми образцами применения методов, основанных на интуиции бесконечно малой, учащиеся сталкивались уже в основной школе: вывод формул длины окружности и площади круга, установление факта существования иррационального числа, получение формулы для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Переход к изучению начал математического анализа создает условия для расширения области применения этих методов, выявления и уточнения смысла используемых математических абстракций.

Так, например, введение понятия предела функции на бесконечности (аналогично, введение понятий предела последовательности, предела функции в точке) может быть предварено постановкой заданий на экспериментальное исследование поведения функции при неограниченном увеличении значения аргумента, на создание визуализаций, иллюстрирующих это поведение.

Пример 11. Исследуйте поведение функции у = \/х5 при неограниченном увеличении и уменьшении значения аргумента. На этом основании сделайте вывод о значении liml/д:5.

Подобные задания довольно распространены в школьных учебниках (например, учебник СМ. Никольского, М.К. Потапова и др. [1]). При этом авторами предполагается, что учащиеся будут проводить исследование, заполняя таблицу соответственных значений. Однако сделать выводы на основе данных, которые учащиеся могут собрать за отведенное время, довольно сложно. В этом случае могут помочь компьютерные расчеты или визуализация процесса перебора значений. Например, они могут проводить наблюдение за изменением координат при перемещении точки по графику функции, неограниченно расширяя наблюдаемую область с помощью инструмента Переместить чертеж ф (рис 27).

Экспериментирование позволяет учащимся обоснованно отказаться от применения компьютерных инструментов и заменить их математическим инструментом создания образа поведения функции за пределами наблюдаемой области, которым, как известно, является понятие «асимптота».

Несколько экспериментов, подобных представленному на рис. 27, приведут учащихся к обнаружению общего правила отыскания уравнения горизонтальной асимптоты: у = к, где к = lim f(x).

Аналогичным образом, при рассмотрении вопроса о пределе функции в точке могут быль сформированы представления о непрерывности функции в точке и видах разрывов функции, а также обнаружено аналитическое условие существования вертикальных асимптот.

В некоторых случаях компьютерный эксперимент выступает не столько условием, облегчающим проведение правдоподобных рассуждений и мысленного экспериментирования, сколько условием выхода за пределы возможностей, предоставляемых образами. Например, в случаях, когда вывод о предельном значении нужно сделать относительно функции неизвестного вида (I и II замечательные пределы).

Рис. 27. Рабочий динамический лист для наблюдений

Пример 12. В точке х = О, как известно, не определены функции sinx / vi =-и у = [1 + х]х. Экспериментально установите поведение каждой функции при приближении значения аргумента к нулю. На этой основе сформулируйте гипотезу о существовании и значении предела каждой из этих функций в точке 0.

Наиболее естественно для учащихся провести эксперимент по аналогии с тем, что был представлен в примере 11. Перемещая точку по графику, легко убеждаемся, что в момент, когда х = 0, точка с экрана пропадает. При этом видим, что график функции кажется непрерывным в этой точке, приближаясь слева и справа, к конкретному значению (рис. 28).

Этот факт является основанием для выдвижения гипотез о существовании пределов данных функций в точке х = 0 и о том, что

lim Sm Х = 1 и lim (l + jc)* » 2,7-

Выводы относительно первого замечательного предела могут быть верифицированы учащимися посредством эксперимента, основанного на геометрической интерпретации исследуемого выражения (рис. 29).

Компьютерный эксперимент может быть использован и для распространения ранее изученных понятий на новые объекты. Например, для введения понятия касательной к графику функции.

Рис. 28. Рабочий динамический лист для определения значений I и II замечательных пределов

Рис. 29. Рабочий динамический лист для верификации значения I замечательного предела

Пример 13. На динамическом чертеже изображена окружность с и отмечена точка А на ней. Проведите касательную к окружности через эту точку. Меняя значение параметра а, исследуйте, зависит ли и как, взаимное расположение построенной прямой от вида коники. Уточните условия существования этой прямой.

Результат выполнения этого задания представлен на рис. 30.

Рис. 30. Результат выполнения задания

Возможность применения инструмента «касательная» к построению касательных к кривым, не являющимся кониками, подсказывает учащимся направление дальнейшего обобщения данного понятия. Мотивационной основой такого обобщения является необходимость обращения к идее линеаризации, позволяющей заменить вопрос об исследовании локальных свойств функции (свойств функции в точке) вопросом об исследовании глобальных свойств касательной, проведенной к графику функции в данной точке. Ситуация, приводящая учащихся к необходимости обращения к данной идее, может возникнуть, например, при постановке следующей задачи.

Пример 14. Пользуясь представленным на динамическом чертеже графиком движения автомобиля, найдите момент времени, в который его скорость впервые превысила допустимую скорость для движения по прилегающей территории — норму 6 км/ч.

Системы динамической математики позволяют создавать динамические визуализации для сопровождения рассуждений и аналитических выкладок в ходе вывода формул, апеллирующих к понятию предельного перехода. Такая необходимость, например, возникает при решении задачи о нахождении уравнения касательной. Образ касательной для этого должен быть соотнесен с образом секущей графика функции и осмыслен как ее предельное положение.

Рис. 31. Динамическая визуализация

Пример 15. Мы можем, пользуясь инструментом «Касательная», построить касательную к графику любой функции в выбранной точке и увидеть на панели объектов уравнение этой касательной. Однако хотелось бы иметь возможность получать уравнения касательных без помощи компьютера. Для этого нужно получить формулу, описывающую зависимость координат точек касательной от формулы, задающей функцию /(х), и координат точки касания А (х0;/(х0)).

Для вывода этой формулы поступим следующим образом. На динамическом чертеже построим график функции f(x). Отметим на нем A (х0;/(х0)). Придадим аргументу х0 малое приращение Ах. Это позволит нам получить еще одну точку Ä (xQ + Ах;/(х0 + Ах)). Теперь вместо задачи о нахождении уравнения касательной, мы можем решить хорошо знакомую нам задачу о разыскании уравнения секущей графика функции, заданной двумя точками Aw А'.

Решая систему уравнений:

получаем:

Будем уменьшать заданное приращение Ах. Для того, чтобы увидеть, как это влияет на изменение положения секущей AÄ построим динамический чертеж, на котором Ах задано с помощью инструмента «Ползунок» и принимает значения из промежутка [0; 1], с шагом 0,0001 (рис. 32).

Рис. 32. Динамическая визуализация к выводу формулы

Видим, что секущая осуществляет поворот вокруг точки А, постепенно приближаясь к положению, занимаемому касательной. Обозначим предел отношения при Дх—>0 символом /'СО-

Уравнение касательной примет вид:

.У = /'(*о)(*-*о) +

Докомпьютерные эксперименты при изучении начал математического анализа в школе целесообразно использовать не только для демонстрации новых возможностей инфинитезимальных методов и идей

математического анализа, лежащих в основе современных представлений о дифференциальном и интегральном исчислении, но для формирования представлений о недостаточной строгости их описания.

Пример 16. Разрешите софизм: «Если треугольники имеют хотя бы одну пару равных сторон, то их площади равны».

Доказательство (методом неделимых). Представим, что каждый из данных треугольников состоит из отрезков, параллельных сторонам AB и DE, таким, что AB = DE (рис. 33). Длины отрезков, которые заполняют эти треугольники, пробегают все значения от 0 до АВ= DE. Следовательно, для каждого отрезка из треугольника ABC, найдется равный ему в треугольнике DFE. Площадь треугольника равна сумме длин отрезков, которые его заполняют, следовательно, площади треугольников равны как суммы, состоящие из попарно равных слагаемых. Что и требовалось доказать.

Рис. 33. Динамическая визуализация парадоксов метода неделимых

Важным элементом развития представлений учащихся о значении компьютерных экспериментов в математике является постановка аналитически неразрешимых задач на уровне общего образования.

К числу таких задач относится интересный для учащихся вопрос о раскрытии неопределенностей, который вытекает из обсуждения причин запрета деления на ноль, о сравнении бесконечно малых, скоростей изменения функций и т.п.

Пример 17. Расположите данные функции в порядке убывания скорости их возрастания на плюс бесконечности: у = х, у = х3, у = х10, у = 2х.

Сначала задача кажется учащимся не сложной, так как для решения вопроса о сравнении скоростей изменения пар функций у = х иу = х\у = хиу = X10, у = X и у = 2х, достаточно найти их производные

и сравнить их значения при х—>оо. Чуть сложнее решение задачи для пары у = х и у = X10. Здесь нужно догадаться о возможности рассмотрения отношений функций и выработать новый критерий: «Пусть даны две бесконечно большие на + оо функции f(x) и g(x) одного знака. Если lim-= +00, то f(x) имеет более высокий порядок роста, чем g(x). Если lim = M Ф О, то функции имеют одинаковый порядок роста. Если lim-= 0, то функция имеет более высокий порядок роста». Однако во всех этих случаях ответ может быть получен учащимися аналитически. Сравнение скоростей изменения пар функций y = xw и у = 2х; у = х2 и у = 2х является для них аналитически неразрешимой задачей. В этом случае естественным будет обращение к компьютерному эксперименту (рис. 34 и 35).

Рис. 34. Компьютерный эксперимент для решения задачи о сравнении скоростей изменения первой пары функций

Вывод может быть получен на основе чтения графиков отношений этих функций с опорой на предположение, что поведение графиков за пределами области наблюдения сохраняется.

Рис. 35. Компьютерный эксперимент для решения задачи о сравнении скоростей изменения второй пары функций

На старшей ступени общего образования развиваются знания учащихся и о модельных экспериментах в математике. В их перечень включаются статистические эксперименты, идеи стохастического моделирования и метод Монте-Карло.

Пример 18. Дан отрезок ОЕ, равный единице. Оцените вероятность события, состоящего в том, что две случайно выбранные на отрезке ОЕ точки разобьют его на части, из которых можно будет составить треугольник.

Решение задачи может быть начато с использования статистического способа оценки вероятности, который опирается на данные компьютерного эксперимента (рис. 36).

В качестве счетчика благоприятных исходов опыта задается функция Если[периметрмногоугольник1 =И vпериметрмногоугольник3^1,1,0].

Результаты статистического эксперимента позволяют выдвинуть гипотезу о том, что вероятность приблизительно равна 1 /4.

Для аналитического обоснования справедливости выдвинутой гипотезы учащимся необходимо обнаружить иную интерпретацию опыта, описанного в условии задачи.

Рассмотрим случайное событие Л = «из полученных отрезков можно составить треугольник». Совместим точку О отрезка с началом координат оси X, тогда координата точки Е равна 1. Мы можем рассмотреть отрезок [0; 1].

Рис. 36. Компьютерный статистический эксперимент для решения задачи об оценке вероятности существования треугольника

Опыт состоит в том, что отрезок [0; 1] случайным образом делят на три части. Это равносильно случайному выбору двух точек на отрезке [0; 1]. Координату левой точки В обозначим х, а правой точки С — у (см. рис. 37).

Рис. 37

Таким образом, множество точек (х; у) задается системой:

Данная система определит треугольник площадью S, который является областью всевозможных исходов опыта (рис. 38).

Треугольник из полученных трех отрезков можно составить, если каждая сторона меньше суммы двух других сторон (неравенство треугольника). Следовательно, координаты точки (х; у) должны удовлетворять условиям:

Построим фигуру, описанную системой неравенств средствами GeoGebra. Она представляет собой треугольник площадью s, который изображает множество благоприятных исходов опыта (см. рис. 38).

Рис. 38

Полученное изображение позволяет оценить вероятность интересующего события с использованием геометрического способа:

Курс стереометрии также представляет массу возможностей для развития знаний учащихся об экспериментальных методах. В силу ограниченности познавательных функций статических проекционных изображений, изучение стереометрии осуществляется с применением вещественных моделей, а также компьютерных динамических моделей геометрических фигур.

Пример 19. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки К, F и L. Исследуйте зависимость вида сечения от положения данных точек на ребрах куба.

Рис. 39. Рабочий динамический лист для решения задачи на построение сечений куба и его исследования

Проведение экспериментов с использованием проекционных динамические моделей (рис. 39) требует от учащихся знания свойств, сохраняемых и не сохраняемых проекционных чертежом, а также использования возможностей изменения ракурса изображения, введения дополнительных построений и построения развертки для «настройки» проекционных изображений по заданным метрическим свойствам геометрических фигур, получения данных об этих свойствах в ходе компьютерного эксперимента.

Таким образом, линия экспериментальной математики в старшей школе имеет следующий вид (табл. 7).

Таблица 7

Развертывание линии экспериментальной математики в старшей школе

Цель этапа: распространение мысленных экспериментов на новые области, развитие знаний о роли компьютерных экспериментов в поддержке мысленного экспериментирования и выхода за границы возможностей, определенных уровнем теоретической подготовки

Элементы содержания

неспецифического

специфического

стереометрия, начала математического анализа (работа с абстракциями актуальной и потенциальной бесконечности), элементы математической статистики, задачи этих разделов, неразрешимые на уровне общего образования

мысленные и компьютерные эксперименты, стохастическое моделирование, инфинитезимальные методы и т.п.

Результаты:

1) способность к компьютерной визуализации мысленных экспериментов и их результатов;

2) способность к использованию компьютерных экспериментов в качестве вспомогательного средства для расширения возможностей мысленного экспериментирования;

3) способность использования компьютерных экспериментов в качестве средства выхода за пределы возможностей, определяемых уровнем теоретических знаний

Представленное описание содержательно-методической линии экспериментальной математики, не претендует на полноту. Оно призвано лишь наметить и проиллюстрировать примерами основные ориентиры ее развертывания в содержании базовых математических курсов по ступеням общего образования.

Отметим лишь, что данная линия с полным правом относится к методологической составляющей математического образования, что определяет необходимость реализации при ее проектировании следующего набора принципов [96].

Принцип функциональной значимости — включение в школьный курс лишь тех знаний об использовании экспериментального подхода в математике, которые значимы для ее изучения (в соответствии с идеями исследовательского обучения в математике)

Принцип функциональной полноты — включение в школьный курс такого комплекса знаний об экспериментальном подходе в математике, который обеспечит готовность учащихся к саморегуляции деятельности по использованию экспериментальных методов в рациональном сочетании с теоретическими.

Принцип предметной обусловленности — использование для развития содержания линии тех возможностей, которое предоставляет методика обучения содержанию основных линий школьного курса математики.

Принцип комплексности источников — использование в качестве источников содержания линии образцов реализации экспериментального подхода к математике, которые предоставляются научными данными, опытом деятельности создателей учебников и учителей.

2.3. Методические особенности организации исследовательского обучения математике в модели «Экспериментальная математика» на разных этапах обучения17

В данном параграфе, мы остановимся на организационно-деятельностных условиях, которые, по нашему мнению, обеспечат постепенное становление качеств математика-экспериментатора.

Эти качества должны обеспечивать учащимся ту степень самостоятельности в исследовательской деятельности, которая определена X. Банчи и Р. Беллом [109] для различных уровней исследовательского обучения и позволять учащимся выход в зону ближайшего развития их исследовательской компетентности.

X. Банчи и Р. Белл в своем исследовании отмечают, что на первом уровне — уровне конфирматорного исследования — учитель должен продемонстрировать учащимся образец решения исследовательской задачи или предъявить результат исследования ученых в готовом виде, организуя их деятельность по сбору подтверждающих этот результат фактов, конструированию примеров и контрпримеров. На втором уровне — уровне проведения исследований по плану учителя — учитель должен поставить перед учащимися задание на проведение исследования по готовому плану, инструкции или направлять учащихся в исследовании с помощью указаний.

На третьем уровне — уровне проведения исследований под руководством учителя — должен быть организован сократовский диалог/полилог с учащимися, вовлекающий их в деятельность постановки исследовательской задачи на основе уточнения условий поиска ответа на вопрос учителя, разработки и реализации замысла ее решения, оценки полученных результатов. На четвертом уровне — уровне свободных исследований — учащиеся сами ставят исследовательские вопросы, планируют ход поиска ответов на них, оформляют и представляют результаты, учитель выступает при этом в роли более опытного партнера, предлагая альтернативные стратегии деятельности, но, не отвергая стратегий учащихся.

17 © Шабанова М.В., Павлова М.А., Форкунова Л.В., Удовенко Л.Н.

Описанный авторами характер взаимодействия учителя и учащихся на разных уровнях исследовательского обучения позволяет осмыслить уровневую модель организации исследовательского обучения с позиции теории Л.С. Выготского [31] о связи обучения с зонами психического развития. Положения этой теории позволяют описать каждый уровень исследовательского обучения с точки зрения достигнутых результатов формирования опыта исследовательской деятельности (зона актуального развития) и тех результатов, на достижение которых должны быть направлены обучающие воздействия (зона потенциального развития). Они представлены в табл. 8.

Достижение образовательных результатов, находящихся в зоне ближайшего развития, как было показано Л.С. Выготским, обеспечивается вовлечением учащихся в исследовательскую деятельность, которую они осуществляют с помощью учителя. При этом помощь должна быть дозирована и адекватна поставленным образовательным задачам.

Остановимся более подробно на тех методах и средствах, которые могут быть использованы учителем для оказания помощи учащимся в исследовательской деятельности на разных уровнях исследовательского обучения в стиле экспериментальной математики.

Одним их специфических средств являются рабочие динамические листы — электронные образовательные ресурсы, созданные средствами систем динамической математики и допускающие активность пользователя по отношению к контенту. Рабочие динамические листы могут иметь различное устройство, которым определяется уровень допустимой активности пользователя. Это позволяет классифицировать их по уровням интерактивности.

В своем изложении мы будем придерживаться общей шкалы уровней интерактивности электронных образовательных ресурсов, предложенной А.В. Осиным:

1 уровень — условно-пассивные формы деятельности.

«Сценарий воспроизведения контента предусматривает лишь простейшие реакции, повышающие комфортность восприятия и управления. Такой контент нельзя называть интерактивным: пользователь лишь выбирает фрагмент для усвоения, но не оперирует с его элементами» [68, с. 68]. Примерами ЭОР, разработанных на базе систем динамической геометрии, и относящихся к данному уровню являются анимированные изображения. и линейные манипуляторы. Главным назначением таких динамических листов в исследовательском обучении является визуализация закономерности, выявленной в ходе исследования, представление работы с образом объекта, которая привела к получению результата, наведение на обнаружение ситуации, мотивирующей к поиску доказательства. Таким образом, динамические листы этого уровня интерактивности мы рекомендуем использовать на уровне конфирматорного исследования.

Таблица 8

Зоны актуального и потенциального развития опыта исследовательской деятельности учащихся, отнесенные к различным уровням исследовательского обучения

Уровень

Зона актуального развития

Зона потенциального развития

I

Учащийся способен адекватно понимать высказанное утверждение, представляемый учителем образец способа его получения в исследовании; готов подбирать подтверждающие утверждение примеры, опровергать высказывание с помощью контрпримеров, понимать инструкции и действовать в соответствии с ними

Освоение исследовательских действий практического характера (исследовательских процедур): создание по заданной схеме, алгоритму несложных экспериментальных установок, включая динамические модели объектов исследования; проведение сбора, и регистрации экспериментальных данных, заполнение протоколов наблюдений, осуществление поиска информации указанным способом

II

Учащийся способен понимать и принимать к исполнению план практических исследовательских действий, представленный учителем в различных формах (инструкции, алгоритмы, указания)

Освоение исследовательских действий интеллектуального характера: выбор среди известных утверждений теоретической основы построения модели, выделение характеристического набора элементов для построения модели, оцен ка репрезентативности выборки, полноты и согласованности экспериментальных, получение несложных выводов на основе данных экспериментов, оценка степени их обоснованности, реализация несложных схем построения дедуктивных выводов

III

Учащийся обладает способностью к исполнительной самостоятельности в исследовательской деятельности, к описанию и оценке результативности осуществляемых исследовательских действий

Освоение ключевых действий сферы саморегуляции исследовательской деятельности: выбора подходов, методов и средств исследования, действий планирования и самоконтроля, коррекции

IV

Учащийся готов к саморегуляции деятельности по решению исследовательских задач

Формирование способности к постановке новых задач на базе решенной задачи, к оценке и представлению результатов исследования

2 уровень — активные формы деятельности.

Данный уровень характеризуется простым взаимодействием пользователя с контентом на уровне элементарных воздействий/откликов. К активным формам автор относит следующие: множественный выбор, вращение объемных тел, изменение угла зрения, активизация различных элементов композиции по выбору пользователя, изменение состава, компоновки элементов и др. К ЭОР данного уровня интерактивности, разработанным на базе систем динамической геометрии, можно отнести нелинейные манипуляторы. Примером нелинейного манипулятора предназначенного для целей исследовательского обучения может служить динамический лист с системой подсказок, которым по желанию может воспользоваться учащийся на различных этапах исследования. Нелинейный манипулятор мы относим к уровню исследований, проводимых по плану учителя, так как большая степень самостоятельности учащихся в исследовании делает невозможным предварительное задание системы подсказок.

3 уровень — деятельностные формы.

Деятельностные формы «характеризуются конструктивным взаимодействием пользователя с учебными объектами/процессами по заданному алгоритму с контролем отклонений» [68, с. 69]. Деятельностные формы, как отмечает А.В. Осин, отличаются от активных форм тем, что создают у пользователя иллюзию свободы действий. Предоставляют ему право самостоятельно принимать решения, связанные с планированием деятельности, выбором средств реализации плана. Однако свобода пользователя ограничена набором предоставленных ему инструментов. Они заданы таким образом, что каждый шаг, не позволяя отклоняться от цели, ведет к единственно верному решению, и путь решения учебной задачи предопределен. Ярким представителем ЭОР этого уровня интерактивости являются интерактивные чертежи, в которых ограничен набор инструментов, доступных пользователю. Динамические листы этого уровня интерактивности хороши для организации исследовательского обучения на третьем уровне, так как они не содержат прямых указаний относительно характера деятельности учащихся, лишь направляя ее, создавая иллюзию самостоятельного и свободного принятия решений.

4 уровень — исследовательские формы.

«Исследовательские формы взаимодействия с контентом характеризуются возможностью получения множества комбинаций / состояний объектов / процессов, в том числе — не определенных заранее. Пользователь манипулирует представленными или сгенерированными в процессе взаимодействия с ЭУМ объектами и процессами. Учебные цели не внедрены в контент, т.е. пользователю не навязывается последовательность

действий, которая заведомо приведет к заданному результату На любом шаге позволяется сделать любой выбор и далее производить следующие шаги до получения некоторого результата. При этом ни один выбор не квалифицируется как неверный» [68, с. 70]. Этот уровень интерактивности по нашему мнению, может быть представлен готовыми динамическими чертежами (шаблонами многогранников, развертками и т.п.), которые каждый учащийся может использовать по своему усмотрению.

Безусловно, готовый динамический чертеж несколько ограничивает исследовательскую свободу пользователя, так как он обладает уже заданным характером динамики и способом контроля изменений. Между тем работа с самой средой позволяет поддерживать практически все этапы цикла, все этапы учебного математического познания при реализации исследовательского подхода к обучению.

Таким образом, можно говорить о возможности установления соответствия между уровнями интерактивности рабочих динамических листов, создаваемых средствами систем динамической математики, и уровнями исследовательского обучения математике (см. табл. 9).

Представленные виды рабочих динамических листов являются средствами помощи, имеющими невербальный характер. Кроме них на разных уровнях исследовательского обучения применимы и средства, оговоренные в самой модели X. Банчи и Р. Белла. Для первого уровня — это инструкции и указания по выполнению исследовательских действий практического характера. Для второго уровня — планы хода исследования, представленные перечнем шагов решения, серией вспомогательных задач и т.п. Для третьего уровня — методической схемой построения сократовского диалога или полилога. На четвертом уровне — тематикой консультаций с научным руководителем, вопросов для обсуждения на семинарах.

Остановимся на описании специфики сократовского метода построения беседы как наиболее трудного для практической реализации и наиболее ценного с точки зрения развивающих воздействий.

Основу сократовского метода построения беседы составляет восходящее к Сократу убеждение, что процесс приобретения истинного знания человеком — это процесс рождения этого знания в самом человеке. Именно поэтому, как утверждают ученые [47], сам Сократ называл этот метод ведения диалога «майевтикой» — повивальным искусством. Сегодня термин «майевтика» применяется для обозначения ключевых приемов ведения сократовского диалога/полилога:

— «Положительная майевтика» — демонстрация непонимания, побуждающая собеседника к конкретизации (детализации) или обобщению высказанных положений.

— «Деструктивная майевтика» — демонстрация непонимания, побуждающая собеседника к переоценке и корректировке своих позиций, к переосмыслению высказанных положений.

Таблица 9

Классификация рабочих динамических листов и рекомендации по их использованию в исследовательском обучении

Виды динамических листов

Доступные средства взаимодействия с программой

Рекомендации по использованию

Анимированные изображения

Средства запуска / остановки

Презентация результатов и образцов деятельности на первом уровне исследовательского обучения

Линейные манипуляторы

Средства линейной навигации по контенту: ползунок, флажок

Наведение на обнаружение конкретной ситуации или общей закономерности на первом уровне исследовательского обучения

Нелинейные манипуляторы

Средства нелинейной навигации по контенту: набор ползунков, флажков, активных клавиш

Оказание дозированной помощи учащимся при реализации плана исследовательских действий на втором уровне исследовательского обучения

Динамические листы с ограниченным набором инструментов

Ограниченный набор инструментов среды, невозможность экспорта и импорта элементов контента

Поддержка исследовательской деятельности учащихся в направлении, заданном учителем, на третьем уровне исследовательского обучения

Динамические чертежи-заготовки

Контент среды, дополненный готовой исследовательской моделью

Оказание помощи учащимся в создании исследовательской модели на четвертом уровне исследовательского обучения

Система динамической геометрии

Контент среды

Предоставление учащимся возможности использования экспериментального подхода на четвертом уровне исследования

Наряду с этими приемами при ведении сократовского диалога используются такие приемы как «ирония» и «агон». Они выполняют те же функции, что и положительная и деструктивная майевтики соответственно, но имеют более прямолинейный характер: прямая критика представленного способа изложения позиции, прямое противоречие высказанной позиции.

Структуру сократовского метода беседы мы представили следующей обобщенной методической схемой (см. табл. 10).

Таблица 10

Методическая схема построения сократовского диалога/полилога

Учитель (Сократ)

Ученик или коллективный ученик (Собеседник Сократа)

1 этап. Актуализации субъектного опыта

Задает вопрос о смысле термина

Раскрывает смысл термина на основе обобщения субъектного опыта

2 этап. Вербализация, конкретизация и обобщение опыта в зоне актуального развития

Использует положительную майевтику или иронию для вовлечения в деятельность уточнения первичной характеристики

Уточняет, детализирует или обобщает первичное толкование термина на актуальном уровне своего развития

3 этап. Переоценка опыта в зоне ближайшего развития

Использует деструктивную майевтику или агон для вовлечения в деятельность переосмысления своих позиций

Выходит в зону ближайшего развития и переосмысливает свои позиции в отношении смысла термина

Данная схема показывает, что сократовский метод построения беседы (или каждый его виток) состоит из трех этапов. Первые два этапа отнесены к уровню актуального развития субъектного опыта учащихся и предназначены для того, чтобы актуализировать его, побудить его к вербализации, конкретизации (детализации) и обобщению. Третий этап имеет целью вывести собеседника в зону ближайшего развития за счет демонстрации искусственности барьеров, созданных опытом.

Проиллюстрируем теперь все описанные средства помощи конкретными примерами методики работы с задачей на различных уровнях исследовательского обучения в стиле экспериментальной математики.

1. Уровень конфирматорного исследования

Пример 1. Изучение теоремы о площади круга (8 класс).

Выбор первого уровня реализации исследовательского обучения определен следующей ситуацией (см. табл. 11):

На этапе постановки задачи учитель представляет учащимся проблему поиска квадратуры круга. Здесь целесообразно актуализировать их знания об известных формулах вычисления площадей фигур в логике их изучения, а также напомнить учащимся, что все они получены с использованием метода квадратур, основанного на теореме о равновеликости равносоставленных планиметрических фигур.

Таблица 11

Этапы гносеологи ческого цикла

A3 изучение нового

Комментарии

В 1. Постановка задачи

М= \,1 = 1, Т=0

Представления о методе квадратур не выявлены и напрямую связаны с образцами. Проблема поиска квадратуры круга неизвестна

В 2. Обоснование необходимости обращения к компьютерному эксперименту

М=2,1 = 1, Т= 1

Знают теорему о равновеликости равносоставленных фигур, знают формулы площади треугольника и параллелограмма, не имеет опыта приближенного вычисления площадей криволинейных фигур

В 3. Планирование эксперимента

М = 1,1=0, т=о

Нет знаний идейных основ метода исчерпывания

В 4. Создание динамической модели

М = \,1= 1, т=о

Нет времени и навыков для построения модели

В 5. Сбор и анализ данных, получение выводов

М=2,1= 1, Т= 1

Имеют опыт и знания для проведения эксперимента

В 6. Использование результатов

М = 1,1=0, Т= 1

Имеют базовые знания для понимания хода доказательства

В 7. Развитие идеи

М=0,1=0, т=о

Не предусмотрено программой, нет знаний, нет опыта

На этапе обоснования необходимости перехода к компьютерному эксперименту полезно организовать деятельность учащихся по проверке формулы площади круга с помощью эксперимента, связанного с разрезанием вырезанного из бумаги круга на сектора и складыванию из них модели параллелограмма или прямоугольника (рис. 40). Погрешность, которую они получат при измерении и вычислении, станет достаточным основанием для обращения к компьютерному эксперименту.

Рис. 40. Результат замены круга равновеликой фигурой для сведения вопроса о вычислении его площади к вопросу о вычислении площади прямоугольника

Этапы планирования компьютерного эксперимента и разработки средств для его проведения целесообразно реализовать в форме представления учащимся готового рабочего динамического листа (рис.41) и рассказа учителя об идее метода исчерпывания со ссылкой на Евдокса Книдского.

Рис. 41. Линейный манипулятор для представления вывода формулы площади круга

Для организации деятельности учащихся по сбору и анализу данных может быть поставлено задание на поиск значения п, начиная с которого площадь круга может быть определена с заданной точностью (до целых, десятых, сотых и т.п.). На этапе использования результатов компьютерного эксперимента учащимся можно предложить прокомментировать доказательство теоремы по его представленной динамической записи.

В представленном примере активность учащихся ограничена проведением модельных экспериментов двух типов: компьютерного и модельного (с вещественной моделью). Оба эти эксперимента направлены на верификацию утверждения, предъявленного в готовом виде, и обеспечение понимания идейного сходства и различия метода квадратур и метода исчерпывания.

Пример 2. Методика работы с теоремой о сумме углов треугольника (7 кл.).

Причины выбора первого уровня организации исследовательского обучения сходны с указанными в предыдущем примере (см. табл. 12).

Таблица 12

Этапы гносеологи ческого цикла

A3 изучение нового

Комментарии

В 1. Постановка задачи

М=2,1= 1, Т= 1

Есть опыт деятельности методом проб и ошибок, имеется знание принципов построения треугольника по стороне и двум углам

В 2. Обоснование необходимости обращения к компьютерному эксперименту

М=2,/=0, Т= 1

Нет опыта обоснований. Имеется понимание роли примеров и контрпримеров

В 3. Планирование эксперимента

М= 1, /=0, т=о

Нет опыта планирования эксперимента. Имеются знания об области изменения углов треугольника

В 4. Создание динамической модели

М= 1,7= 1, Т=0

Опыт деятельности по инструкции, недостаточно знаний о математических основах построения динамических чертежей

В 5. Сбор и анализ данных, получение выводов

М=2,1= 1, Т= 1

Имеются опыт и знания для проведения эксперимента и выводов по индукции

В 6. Использование результатов

м=з,/=о, Т= 1

Имеются знания математических основ доказательства, нет опыта применения дополнительных построений

В 7. Развитие идеи

м=з,/=з, т=о

Есть опыт и математическая база для поиска других доказательств, но нет времени

Однако здесь имеется возможность вовлечь учащихся в деятельность не только по проведению компьютерного эксперимента, но и по созданию динамической модели, а также средств фиксации данных эксперимента.

Мотивационной основой для поиска свойства суммы углов треугольника может служить задача на оценку возможности определения вида треугольника, если известно соотношение его углов, например: 1:2:3. На этапе докомпьютерного решения данной задачи можно попросить учащихся попросить подобрать опорные углы так, чтобы в результате получался: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольник. Для проверки существования треугольников с выбранными углами учащимся предлагается выполнить компьютерные построения по инструкции (см. табл. 13).

Обобщая и уточняя объяснения учащихся, учитель формулирует теорему и просит использовать изготовленный ресурс для проверки этого утверждения. С этой целью нужно лишь дополнительно создать вычисляемую переменную — сумму углов треугольника с помощью строки ввода. Затем учитель предъявляет одно из доказательств теоремы и организует работу учащихся по поиску других способов доказательства в литературе.

Таблица 13

Построение треугольника

Шаг

Результат шага

Пользуясь инструментом «Ползунок», создайте параметр — опорный угол, принимающий значения от 0° до 180° с шагом в 1°

Постройте отрезок AB и пользуясь инструментом «Угол заданной величины» отложите углы ВАВ' равный а, угол ABA' равный 2а. Отметьте точку С — точку пересечения лучей AB' и ВА'

Измерьте угол С инструментом «Угол»

Меняя значение параметра, найдите треугольники, для которых выполняется соотношение углов 1:2:3. Определите их вид. Объясните полученный результат

Объяснения учащихся

2. Уровень проведения исследований по плану учителя.

Пример 3. Методика работы на занятии кружка с исследовательской задачей: «Лестница вертикально стоит возле стены. На нее забрался котенок. Вдруг лестница начала соскальзывать. Установите, зависит ли траектория движения котенка, не перемещающегося по лестнице, от места его положения на лестнице. Если да, то как?»

Методику работы с данной задачей мы отнесли ко второму уровню исследовательского обучения в связи со следующими соображениями (см. табл. 14).

Таблица 14

Этапы гносеологического цикла

A3 изучение нового

Комментарии

В 1. Постановка задачи

М= 1, 1=2, Т=2

Учащиеся не обладают достаточными знаниями и опытом постановки задач на нахождение ГМТ

В 2. Обоснование необходимости обращения к компьютерному эксперименту

М = 1, 1=3, Т=2

Учащиеся не обладают математическими знаниями для распознавания вида траектории, имеют опыт экспериментирования с вещественными моделями по плану учителя

В 3. Планирование эксперимента

М= 1, /= 1, Т= 1

Учащиеся не имеют собственного опыта планирования эксперимента. Имеют знания для восприятия плана учителя

В 4. Создание динамической модели

М=3, 1=3, Т= 1

Учащиеся обладают знаниями для построения динамической модели, достаточным опытом ее создания

В 5. Сбор и анализ данных, получение выводов

М= 1, 1=3, Т=2

Нет знаний для формулировки гипотезы. Достаточный опыт проведения экспериментов, поиска информации в Интернет

В 6. Использование результатов

М=2, 1= 1, Т=2

Достаточно знаний для понимания вывода формулы, нет опыта

В 7. Развитие идеи

М=2, /=2, Т = 2

Достаточно опыта для развития идеи на основе преобразования модели, знаний для экспериментирования с ней

Данная задача имеет сюжетную постановку. Для перевода ее на язык математики полезно включить учащихся в деятельность проигрывания ситуации, описанной условием задачи. Для моделирования ситуации учащиеся используют картонную коробку, из которой вырезают трехгранный угол. Лестницу изображает карандаш, а котенка — кусок пластилина, к которому прикреплен еще один небольшой карандаш так, чтобы при движении лестницы он вычерчивал на задней стенке траекторию движения котенка. Проигрывание ситуации создает у учащихся образ, на основе которого учитель вводит понятие геометрического места точек (ГМТ), рассказывает о способах задания ГМТ, раскрывает смысл требования «Найти ГМТ». Все это необходимо для осмысления учащимися заданной ситуации как математической задачи и предъявления учащимся плана исследования:

1. Создать динамическую модель задачной ситуации, зависящую от двух параметров: с — высота расположения верхней части лестницы (меняется от 0 до /, где / — выбранная длина лестницы); к — величина части лестницы от верхнего ее края до места расположения котенка.

2. Провести серию экспериментов по исследованию зависимости формы ГМТ от места положения котенка. Для формулировки гипотезы определить вид кривой, являющейся искомым ГМТ, используя инструмент «Коника по пяти точкам».

3. Собрать в сети Интернет информацию о способах задания кривых данного вида.

4. Использовать информацию для описания зависимости ГМТ от к уравнением кривой.

5. Постановить новые задачи, развивающие идею решенной.

Помощь учащимся в реализации данного плана может оказать нелинейный манипулятор (рис. 42). Если ученик не может самостоятельно создать динамическую модель ситуации или хочет проверить себя, то он может вывести на экран готовую модель, отобразить вспомогательные элементы модели или протокол построения. Если ученик затрудняется в получении уравнения кривой, то он может вывести на экран Аналитическое решение и исследовать последовательность производимых шагов/действий. Если затрудняется в формулировке гипотезы или результата исследования, то он выводит на экран готовый результат.

Рис. 42. Нелинейный манипулятор с подсказками к решению задачи

Все эти средства помощи учащимся могут быть дополнены прямыми указаниями учителя или наводящей системой вопросов. Необходимость этих дополнительных воздействий наиболее вероятна на этапе выбора теоретических оснований получения уравнения и их применения к конкретной ситуации.

3. Уровень проведения исследований под руководством учителя.

Пример 4. Методика работы на занятии кружка с исследовательской задачей: «На необитаемый остров, имеющий форму правильного треугольника, каждая сторона которого представляет собой пляж, попали двое. Питер, занимаясь сбором моллюсков, хочет построить хижину так, чтобы суммарное расстояние до всех трёх пляжей было минимально. Майкл проводит всё время на мысах (в вершинах треугольника) в ожидании спасительного корабля. Он хочет построить хижину так, чтобы суммарное расстояние до мысов было минимально. Где каждому из них нужно построить хижину? Существует ли на таком острове место для их общей хижины? Зависит ли результат решения задачи от формы острова? Если да, то как?».

Возможность реализации исследовательского обучения третьего уровня при работе с данной задачей определяется следующей ситуацией (см. табл. 15).

Таблица 15

Этапы гносеологического цикла

A4 освоение нового

Комментарии

В 1. Постановка задачи

М=4, 1=4, Т=2

Учащийся обладает знаниями о свойствах правильного треугольника, умеет его строить, имеет опыт математизации условия сюжетной задачи под руководством учителя

В 2. Обоснование необходимости обращения к компьютерному эксперименту

М=3, 1=4, Т=2

Учащийся имеет знания для измерения расстояний и вычисления суммы расстояний, имеет опыт индуктивных выводов

В 3. Планирование эксперимента

М = 4, 1=3, Т=2

Учащийся имеет знания о способах задания треугольников, имеет опыт постановки компьютерных экспериментов в среде под руководством учителя

В 4. Создание динамической модели

М=3, 1= 1, Т=2

Учащийся не владеет понятием «расстояние от точки до отрезка», не имеет опыта задания логических функций в среде

Окончание табл. 15

Этапы гносеологического цикла

A4 освоение нового

Комментарии

В 5. Сбор и анализ данных, получение выводов

М=4, 1=4, Т=2

Учащиеся имеет опыт проведения экспериментов, обладает знаниями для обобщения результатов

В 6. Использование результатов

М = 4, 1=4, Т=2

Учащийся обладает знаниями для проведения доказательства методом площадей и опыт применения этого метода под руководством учителя

В 7. Развитие идеи

М=3, 1=4, Т=2

Учащийся не имеет достаточных знаний для постановки задач с параметрами, имеет опыт постановки задач модификацией чертежа под руководством учителя

На данном уровне для оказания помощи учащимся используется сократовский метод построения беседы и рабочий динамический лист с ограниченным набором инструментов (рис. 43).

Рис. 43. Рабочий динамический лист для проведения эксперимента с ограниченным набором инструментов

Выбор параметров, задающих треугольник, ориентирует учащихся в выделении значимых условий для исследования зависимости. Готовый динамический чертеж снимает трудности учащихся, связанные с заданием

отрезков, изображающих расстояние от точки внутри треугольника до его сторон. Оставленные инструменты ориентируют в поиске способа построения точки Торричелли, а также в исследовании свойств второго ГМТ.

В рамках данного примера на первом этапе работы с задачей учащиеся должны преодолеть психологические трудности, связанные с осмыслением поставленных вопросов в сюжетной задаче как вопросов математической задачи на нахождение геометрических мест точек и с исследованием зависимости виды ГМТ от параметров, задающих треугольник. Результат решения первоначально кажется учащимся очевидным — центр равностороннего треугольника (центры вписанной и описанной окружностей для треугольников других видов). Однако требуется более глубокое осмысление задачи через преодоление психологических трудностей. С этой целью учитель использует сократовский метод построения беседы (в форме полилога), методическая схема которого представлена ниже в табл. 16.

Таблица 16

Методическая схема сократовского метода построения беседы (в форме полилога)

Учитель

Коллективный ученик

1 этап. Актуализации субъектного опыта учащихся

Поясните, как вы понимаете слова: «Построить хижину так, чтобы суммарное расстояние до мысов (пляжей) было минимально?» Почему выполнение этих условий так важно для героев?

Обычно ученики приходят к следующему пояснению условия после обсуждения: «Каждый день Питер посещает по одному разу все три пляжа, а Майкл — все три мыса. После каждого посещения они возвращаются в хижину. Значит, длина их ежедневного пути представляет удвоенную сумму расстояний от точки, где расположена хижина до трех сторон (вершин) треугольника. Чтобы тратить меньше сил на переходы они хотят минимизировать этот путь»

2 этап. Вербализация, конкретизация и обобщение опыта в зоне актуального развития

Ваши объяснения весьма убедительны, но мне бы хотелось понять, как искать такие точки. Создайте модель острова и покажите на ней места, где бы вы разместили хижины Майкла и Питера? Почему вы выбрали именно эти точки?

Учащиеся изображают правильный треугольник, отмечают точки внутри него, которые по предположению удовлетворяют требованиям задачи. Проверяют гипотезу измерениями и расчетами. Выдвигают гипотезу. Наиболее популярна гипотеза о том, что хижина должна быть общей и располагаться в центре правильного треугольника

Окончание табл. 16

Учитель

Коллективный ученик

3 этап. Переоценка опыта в зоне ближайшего развития

А если Майкл с Питером поссорятся и захотят жить отдельно, то можно ли найти подходящие места для их собственных хижин на острове? Как найти все такие точки треугольника?

Главным результатом беседы является постановка задачи на поиск не одной точки, а ГМТ, сумма расстояний от которых а) до сторон; б) до вершин треугольника являлась бы наименьшей. Попытки учащихся описать ГМТ, их разногласия приводят к идее использовать компьютерный эксперимент

На этапе сбора данных компьютерного эксперимента и получения выводов учащихся подстерегают трудности, связанные с осмыслением понятия «расстояние от точки до отрезка», а также с отказом от первоначальной гипотезы о единственности точки, сумма расстояний от которой до сторон треугольника является наименьшей. Для снятия этих затруднений вновь можно обратиться к организации, теперь уже индивидуальной беседы (диалога) по схеме сократовского метода (см. табл. 17).

Таблица 17

Организация индивидуальной беседы (диалога) по схеме сократовского метода

Учитель

Учащийся

1 этап. Актуализации субъектного опыта учащегося

Поясните, каким образом на данном динамическом листе организовано измерение расстояний от точки до стороны треугольника?

Наиболее популярный вариант ответа: «Построен перпендикуляр из данной точки на сторону треугольника. Измерена его длина»

2 этап. Вербализация, конкретизация и обобщение опыта в зоне актуального развития

Покажите это на динамическом чертеже

Ученик перемещают точку и показывают, что каждый раз изображением расстояния является перпендикуляр

3 этап. Переоценка опыта в зоне ближайшего развития

Можно теперь я попробую? Нам ведь нужно будет исследовать и треугольники другой формы. Сделаю его тупоугольным и буду перемещать точку. Странно, но изображением расстояния не для всех точек является перпендикуляр. Может модель работает некорректно?

Учащийся корректирует свои представления и формулирует определение расстояние от точки до отрезка на основе более общего понятия «расстояние от точки до фигуры». Демонстрирует работу модели. Проверяет ее, пользуясь инструментом «Расстояние или длина»

На этапе послекомпьютерного решения сократовский метод используется:

— для подведения учащихся к необходимости доказательства выдвинутых гипотез;

— в поиске способа проведения доказательства.

Наличие двух последовательных целей требует реализации на этом этапе двух циклов сократовской беседы. Первый направлен на то, чтобы зародить у учащихся сомнения в полноте и согласованности экспериментальных данных, а второй на то, чтобы навести их на идею использования метода площадей. Представим пример первого цикла (см. табл. 18).

Таблица 18

Подведение учащихся к необходимости доказательства выдвинутых гипотез

Учитель

Коллективный ученик

1 этап. Актуализации субъектного опыта учащихся

Сформулируйте выводы, к которым вы пришли. Можно ли считать задачу решенной?

Мы установили, что ГМТ для строительства хижины Майкла состоит лишь из одной точки — центра треугольника, а для строительства хижины Питера — это весь треугольник. Эксперимент был очень убедителен. У нас сомнений нет

2 этап. Вербализация, конкретизация и обобщение опыта в зоне актуального развития

Не кажутся ли эти выводы вам странными? Покажите, почему вы так убеждены, что выводы правильные

Один из учеников повторяет эксперимент в демонстрационном режиме

3 этап. Переоценка опыта в зоне ближайшего развития

Можно теперь мне поэкспериментировать тоже? Похоже, что у Майкла тоже есть варианты для размещения хижины (перемещает точку, используя метод малых шевелений). Да и для строительства хижины Питера не все точки подходят (показывает точку, в которой из-за округлений сумма имеет другое значение)

Учащиеся переоценивают убедительность экспериментальных данных, приходят к мысли о необходимости доказательства гипотез

Сократовский диалог на этапе развития идеи задачи применяется для оказания помощи учащимся в определении направлений дальнейших исследований за счет частичного видоизменения задачной ситуации. В данном случае он направлен на оказание помощи учащимся в выделении свойств треугольников, значимых для изменения вида ГМТ (см. табл. 19).

Таблица 19

Учитель

Группа

1 этап. Актуализации субъектного опыта учащихся

Как вы думаете, какие виды треугольников нужно исследовать, чтобы ответить на вопрос о зависимости ГМТ от формы треугольника?

Наиболее часто учащиеся говорят о необходимости рассмотреть равнобедренные и разносторонние тупоугольные, прямоугольные и остроугольные треугольники

2 этап. Вербализация, конкретизация и обобщение опыта в зоне актуального развития

Возможно, вы правы. Но, если так, то для каждого случая ГМТ различны. Покажите, что это так

Учащиеся проводят эксперименты с треугольниками разных видов. Формулируют гипотезы о виде ГМТ для каждого случая

3 этап. Переоценка опыта в зоне ближайшего развития

Давайте систематизируем ваши выводы

Из-за безуспешности попыток систематизации выводов учащиеся отказываются от привязки случаев к принятым классификациям треугольника. Осмысливают задачу как задачу исследования зависимости вида ГМТ от параметров, задающих треугольник (соотношение двух сторон и угол между ними)

В заключение заметим, что наиболее типичными целями применения сократовского метода при работе с задачей экспериментальной математики являются:

— переосмысление гипотез, выдвинутых под влиянием экспериментов, проводимых вручную;

— переоценка степени убедительности результатов эксперимента;

— преодоление ограниченности привычных поисковых стратегий и базовых знаний.

4. Уровень свободных исследований.

Рассмотрим организацию помощи учащимся на этом уровне на примере исследования, являющегося продолжением рассмотренной выше задачи о строительстве хижин (см. табл. 20). Данная работа получила диплом третьей степени на конкурсе «Математика и проектирование» в 2015 году.

Для подготовки учащегося к систематизации данных компьютерного эксперимента учитель организует подготовительный семинар, на котором представляет особенности решения алгебраических и геометрических задач с параметрами, вводит понятие контрольной оси,

Сократовский диалог на этапе развития идеи задачи

критических значений параметра, демонстрирует образцы решения задач и записи результатов решения. В заключении предлагает осмыслить возможность рассмотрения исследовательской задачи как геометрической задачи с параметрами.

Таблица 20

Организация помощи учащимся на этом уровне

Этапы гносеологического цикла

А5 рефлексия и определение направления дальнейшей работы

Комментарии

В 1. Постановка задачи

М= 3,7=4, Г=3

Учащийся не имеет достаточно знаний для самостоятельной постановки задачи исследования как задачи с параметрами, имеет опыт постановки задач под руководством учителя

В 2. Обоснование необходимости обращения к компьютерному эксперименту

М= 3,7=5, Г=3

Учащийся имеет знания и опыт решения несложных задач с одним параметром, есть представления об особенностях решения задач с несколькими параметрами

В 3. Планирование эксперимента

Л/=4,7=5, Г=3

Учащийся имеет знания о контрольных значениях параметров и опыт планирования экспериментов для их выделения

В 4. Создание динамической модели

Л/=4,7=5, Г=3

Учащийся имеет опыт и знания для построения модели треугольника и использования инструментов среды для измерения расстояний

В 5. Сбор и анализ данных, получение выводов

М= 3,7=4, Г=3

Учащиеся имеет опыт проведения экспериментов, требуется руководство учителя для их систематизации. Нет знаний о степени новизны полученных результатов о свойствах точки Торричелли

В 6. Использование результатов

Л/=4,7=5, Г=3

Учащийся обладает знаниями и опытом для доказательства утверждений с использованием метода площадей

В 7. Развитие идеи

Л/=4,7=5, Г=3

Учащийся обладает способностями и возможностями для развития идеи задачи, знания для постановки задач на поиск новых интересных точек в треугольнике, для поиска ГМТ этого типа в других видах плоских фигур

Результаты своих размышлений учащийся представляет на следующем семинаре. Здесь же представляются результаты компьютерных экспериментов, уточняется и обосновывается набор критических значений параметров. Создается схема систематизации данных экспериментов (рис. 44 и 45).

Рис. 44. Результаты компьютерного эксперимента для определения ГМТ, сумма расстояний от которых до вершин треугольника наименьшая

Рис. 45. Результаты компьютерного эксперимента для определения ГМТ, сумма расстояний от которых до сторон треугольника наименьшая

Следующий этап исследования — это оценка степени новизны полученных результатов. Учащемуся предлагается найти в Интернет информацию, касающуюся постановки и решения сходных задач и представить ее на семинаре. Результатом сбора данных является историко-научное сообщение о теореме Вивиани и теореме Б. Кавальери, П. Ферма, Э. Торричелли, Т. Симпсона, Ж. Бертрана: вклад ученых, доказательство, построение точек. Результатом семинара является выделение недоказанных ранее утверждений (рис. 46).

Рис. 46. Схема выделения части недоказанных утверждений

Результаты поиска учащимся способа доказательства оставшихся утверждений также обсуждаются на семинаре или целой серии семинаров.

Завершающий семинар — это предзащита исследовательской работы.

Таким образом, учащийся имеет возможность обсудить с научным руководителем, другими учащимися и специалистами, присутствующими на семинаре, результаты каждого этапа исследования, а также получить задания для его продолжения (см. табл. 21).

Таблица 21

Этапы гносеологического цикла экспериментальной математики

Этап исследования

Вопросы семинаров

Задания на продолжение исследования

Докомпьютерное решение

Задачи с параметрами и особенности их решения

Постановка задачи как задачи с параметрами и ее компьютерное решение

Компьютерное решение

Результаты компьютерного эксперимента и их систематизация

Поиск информации, свидетельствующей о степени новизны полученных утверждений

После компьютерное решение

История постановки и решения задач на поиск ГМТ треугольника, сумма расстояний от которых до вершин/сторон треугольника наименьшая

Поиск доказательства недоказанных утверждений

Доказательство новых утверждений

Подготовка научного сообщения о результатах исследования

Презентация результатов исследования

Оформление научного отчета

В заключение хотелось бы отметить, что описанными в параграфе педагогическими сценариями не описывается все многообразие способов реализации модели исследовательского обучения в стиле экспериментальной математики. Опыт применения модели, накопленный участниками Российско-Болгарского проекта «Методики и информационные технологии в образовании», будет представлен в третьей главе.

2.4. Эффекты и риски исследовательского обучения в стиле экспериментальной математики18

В этом параграфе мы хотим, во-первых, обозначить основные эффекты и риски, связанные с применением предлагаемой нами модели исследовательского обучения математике в условия образовательной практики, а, во-вторых, опираясь на опыт учителей-экспериментаторов Российско-Болгарского проекта «Методики и информационные технологии в образовании» [144], дать некоторые рекомендации по профилактике возникновения этих рисков.

2.4.1. Формирование опыта исследовательской деятельности в области математики и риск деформации исследовательского стиля

Исследовательское обучение в стиле экспериментальной математики позволяет целенаправленно формировать у учащихся опыт математика-экспериментатора. Основой для этого служит широкое вовлечение учащихся в деятельность проверки существования математических объектов с заданными свойствами, построением их виртуальных моделей; установления свойств, инвариантных относительно заданной динамики изменения параметров модели; исследования характера зависимости одних свойств модели от других; контроля аналитических выкладок компьютерными расчетами; верификации выдвинутых гипотез экспериментальными данными, постановки новых задач на базе решенных, модификацией исследовательской модели.

Однако при освоении экспериментального подхода в отрыве от теоретического возникает риск деформации стиля математического мышления учащихся.

Экспериментальный подход к познанию окружающего мира является врожденным, реализация представленных возможностей лишь

18 © Безумова О.Л., Котова CH., Шабанова М.В., Ширикова Т.С., Ястребов А.В.

переносит его в область математических абстракций, но не обогащает теоретическим подходом. Более того, нами установлено, что его привлекательность настолько сильна, что даже учителя математики с большим стажем работы быстро отказываются от применения более трудных теоретических методов при собственном решении задач и объяснении нового материала школьникам.

Для снижения данного риска, по нашему мнению, желательно насытить школьную программу задачами, решение которых делает экспериментальный поиск бесполезным, или требует привлечения теоретических соображений для его реализации. Приведем примеры таких задач.

Пример 1. Существуют ли нетождественные нулю функции, композиция которых тождественна нулю? Если существуют, то каковы ориентиры для подбора таких пар функций?

Решение данной задачи начинается с перебора пар известных функций, т.е. с мысленного эксперимента. Результатом этой работы является обнаружение примеров, положительно решающих вопрос о существовании. Например, у = [х] и у = {х}. Следующий этап — это попытки сконструировать для каждой известной функции парную известными учащимся способами: сужением естественной области определения или созданием кусочно-заданной функции. Результатом этой работы является обнаружение функций, для которых сконструировать парную функцию не удалось. Например, у = X2. Это направляет мысль на собственно теоретический поиск, поиск необходимых и достаточных условий, обеспечивающих возможность подбора парной функции: у(0) = О, Eff Я,Зх0Ф 0: у(х0) = 0.

2.4.2. Расширение математического кругозора учащихся и риск утраты потребности к дедуктивному обоснованию математических утверждений

Средства экспериментальной математики в науке наиболее часто привлекаются к решению тех задач, попытки решения которых аналитическими методами долгое время оставались безуспешными (см. параграф 1.1 и параграф 1.2).

Подобное использование компьютерных средств особенно соблазнительно в педагогических ситуациях, когда учителям недостаточно учебного времени или уровня базовой математической подготовки учащихся для представления дедуктивного доказательства утверждения. Компьютерные динамические визуализации не только делают утверждения легко воспринимаемыми, но и убеждают учащихся в их истинности.

Пример 2. Теорема о сумме углов треугольника.

Учитель просит детей изобразить в GeoGebra произвольный треугольник, измерить его углы и создать на панели объектов функцию, вычисляющую их сумму (рис. 47). Он просит нескольких учащихся сообщить ему результат вычисления суммы углов треугольника. Затем просит всех убедиться в справедливости гипотезы, проведя эксперимент со свободным перемещением вершин построенного треугольника, изменением в каждой серии экспериментов настроек точности отображения данных. Для того чтобы развеять последние сомнения и скорректировать формулировку утверждения он просит найти и прочитать теорему в учебнике.

Рис. 47. Компьютерная визуализация теоремы о сумме углов треугольника

Психологические критерии убедительности, к которым учитель обращался в представленном сценарии, сродни тем, что использовались в древнем Египте и Индии: авторитетный источник и наглядность. Однако массовость полученных таким образом экспериментальных данных и степень их согласованности столь высока, что создается иллюзия превалирования этих критериев над дедуктивным доказательством. Ситуация усугубляется низким уровнем строгости представляемых в некоторых учебниках дедуктивных выводов данного утверждения, искусственностью предлагаемых дополнительных построений.

Несмотря на очевидность опасности частого обращения к таким сценариям для формирования потребности и навыков дедуктивных

доказательств, учителя часто злоупотребляют ими. Свои действия они объясняют тем, что введение математических утверждений посредством компьютерных визуализаций и контрольных экспериментов позволяет:

— экономить учебное время, высвобождая его для обучения решению задач;

— значительно расширить спектр известных учащимся опорных утверждений без существенной потери учебного времени;

— расширить математический кругозор учащихся за счет ознакомления с красивыми утверждениями, которые ранее могли быть включены в программу лишь для школ и классов с углубленным изучением математики.

Уменьшению обозначенных рисков, на наш взгляд, будут способствовать следующие профилактические мероприятия:

— демонстрация везде, где это возможно, неполной согласованности экспериментальных данных (подробнее об этом будет рассказано в параграфе 2.5);

— представление зависимости выводов от степени адекватности модели объекту исследования;

— расширение представлений учащихся о спектре функций дедуктивных рассуждений в математике: объяснение экспериментально установленных фактов, систематизация утверждений, логический контроль алгоритмов деятельности и т.п.

2.4.3. Помощь математическому видению учащихся и риск деградации визуального мышления

Системы динамической геометрии часто привлекаются к образовательному процессу не только для обеспечения возможности организации исследовательского обучения, но и в качестве средств создания динамической наглядности, которая позволяет компенсировать недостаток развития способности учащихся к математическому видению.

Так, например, разработчики программного продукта 1С: Математический конструктор включают в комплект электронных образовательных ресурсов не только саму среду, но и коллекцию готовых динамических листов, анимаций для постановки задач, а также наглядного представления аксиом и теорем. Подобные коллекции размещены и на официальных сайтах аналогичных программных продуктов [143, 151], а также в блогах учителей математики [139, 138], на сайтах профессиональных сообществ [142].

Динамическая наглядность в отличие от статической позволяет учащимся преодолеть сложившиеся стереотипы воображения, обнаружить

множественность и многовариантность ситуаций, определяемых условием задачи, сделать видимой динамику реконструкции образов объекта исследования в ходе решения задачи.

Приведем конкретный пример, иллюстрирующий преимущества динамической наглядности над статической.

Пример 3. ABCD — параллелограмм, AB = 1, ВС = 2, а угол ABC — тупой. BE и /^перпендикулярны ВС, BFw DE — стороне ВС. Найти площадь параллелограмма BEDE, подобного ABCZ).

Стереотипным для учащихся является образ, представленный на рис. 48.

Рис. 48. Стереотипный образ задачной ситуации

Использование стереотипного чертежа приводит к уравнению:

где а = ZABC.

Результат решения этого уравнения противоречит условию «угол ABC — тупой». Обнаружить другую возможность образного представления задачной ситуации помогает динамический чертеж (рис. 49).

Однако увлечение учителей использованием готовой динамической наглядности, как показали проведенные нами исследования, негативно сказывается на развитии собственного визуального мышления учащих. Понятие визуального мышления было введено в научный оборот Р. Арнхеймом [107], под визуальным мышлением он понимает невербальное (не языковое) мышление, которое направлено на переработку информации, полученной от зрительных каналов восприятия. Несмотря на то, что математика имеет дело с абстракциями, высокий уровень развития визуального мышления имеет большое значения для математической

деятельности и успешного овладения математикой. Этот факт убедительно доказан исследованиями В.А. Далингера [37]. В своей монографии он показывает, что визуальное мышление выполняет в математической деятельности ряд важнейших операций: подбор зрительных образов для оказания помощи вербальному мышлению, создание чувственно не воспринимаемых образов или их частей под воздействием информации, хранящейся в памяти, упорядочивание, оценка и переоценка значимости образов, варьирование их структуры, перекодирование образов и др.

Рис. 49. Динамический чертеж для выделения ситуаций, соответствующих условию задачи

Снижению риска деградации визуального мышления, на наш взгляд, способствует уменьшение доли готовых динамических изображений в системе средств обучения математике. А именно, замещение их заданиями на самостоятельного создание динамических визуализаций и постановка задач, требующих внесения изменений в готовый динамический чертеж для решения задачи: изменения в наборе скрываемой части элементов, введение дополнительных построений, варьирование динамики изменений чертежа.

2.4.4. Формирование навыков компьютерного моделирования математических объектов и риск утраты навыков построения классическими конструктивными инструментами

Системы динамической геометрии обладают богатым набором инструментов для построения моделей геометрических объектов и геометрической интерпретации математических объектов иной природы. Они удобны и просты в использовании. Так, например, для построения графика функции достаточно записать ее уравнение в строке ввода. Для построения правильного многоугольника достаточно указать две его соседние вершины и общее количество вершин.

Однако набор инструментов среды не исчерпывает многообразие всех учебных объектов, поэтому наиболее часто визуализация объектов изучения требует построения собственных динамической моделей с использованием комплекса инструментов. Создание таких моделей в большинстве своем требует от учащихся знаний определений и признаков математических понятий.

Пример 4. Построить график производной функции y=f(x), представленной своим графиком.

Решение задачи начинается с построения точки Z), принадлежащей графику производной функции и опирается на знания учащихся о том, что координатами такой точки являются: (лс0; tga), где a — угол наклона касательной к графику функции в точке А с абсциссой х0 (рис. 50).

Постановка подобных заданий очень полезна для освоения теоретических положений, поэтому изучение приемов построения динамических моделей целесообразнее всего осуществлять на уроках изучения нового материала или формирования навыков использования изученных фактов. Проведенные нами исследования показывают, что такая работа не требует больших затрат учебного времени. Однако обучение компьютерному моделированию не должно подменять обучение использованию классических конструктивных инструментов, так как в основе использования инструментов среды лежат принципы построения циркулем и линейкой. Полезно начинать осваивать инструменты среды с обучения построению циркулем и линейкой, затем освоенные приемы учиться реализовывать виртуальными инструментами. И лишь только после того, как сформированы прочные навыки использования приема, можно разрешить учащимся создать и применять виртуальный инструмент, представляющий собой результат решения базовой задачи на построение.

Рис. 50. Построение точки D, принадлежащей графику касательной заданной функции

Снижению риска утраты способности учащихся к построению классическими инструментами способствуют также задачи, где построения в среде носят лишь вспомогательный характер.

Пример 5. Построить окружность, которая проходит через точки А и 5, и касается окружности с.

Компьютерное решение данной задачи оказывается весьма простым. Достаточно отметить на заданной окружности произвольную точку С, затем построить окружность, проходящую через три точки А, В и С соответствующим инструментом программы. Построенная окружность пересекает данную (в общем случае) в двух точках С и Е. Для решения задачи нужно найти положение точки С на данной окружности с, при котором она совпадет с точкой Е. Проблема состоит в использовании этого построения для обнаружения идеи построения циркулем и линейкой. На рис. 51 представлен компьютерный эксперимент, позволяющий обнаружить неподвижную точку F, которая будет использована для построения классическими инструментами.

Рис. 51. Обнаружение неподвижной точки F в ходе компьютерного эксперимента

Подведем итог представленному обзору эффектов и рисков переноса в условия массового обучения методологии экспериментальной математики. Мы их намеренно представили попарно для того, чтобы обратить внимание на то, что вовсе не нужно отказываться от возможностей, предоставляемых новой методологией из-за опасения негативных последствий. Нужно лишь разумно ее применять, помня о том, что «лучшее враг хорошего».

2.5. Эксперимент как средство предупреждения экспериментально-теоретического разрыва19

2.5.1. Постановка задачи

Системы динамической математики, открыв дорогу исследовательскому подходу в обучении математике, принесли с собой ряд проблем, которые были кратко представлены в предыдущем параграфе. Здесь мы

19 ©А.В. Ястребов, H.H. Новоселова

остановимся лишь на одной из них — проблеме риска возникновения экспериментально-теоретического разрыва. Его основное проявление, как было показано выше, состоит в том, что у школьников резко падает мотивация к проведению дедуктивных доказательств, что влечет за собой целый ряд негативных следствий: уменьшение способности к дедуктивным рассуждениям, падение интереса к теоретическому поиску, трудность или даже невозможность постановки новых задач путем логического преобразования решенной задачи и т.д.

Мы считаем, что феномен экспериментально-теоретического разрыва — это пятно на репутации педагогического сообщества, поскольку он происходит от недостаточно продуманного использования систем динамической математики. С этической точки зрения очевидно, что если один человек воздействует на другого, то он должен знать свойства инструментов воздействия, и при этом совершенно неважно, будет ли это физик со своим полигоном, хирург со своей операционной или преподаватель математики, использующий программный продукт образовательного назначения.

Очевидно, что не только он сам должен знать свойства этого программного обеспечения, но и позаботиться о том, чтобы его воспитанник, выступая в роли экспериментатора, знал свойства тех инструментов, которые он использует. Он должен знать и пределы измерений, и погрешность измерений, и участок линейности характеристики прибора, и многое другое. Кроме того, он должен понимать, что инструмент влияет на свойства изучаемого объекта, причем как на макроуровне, так и на микроуровне.

Настоящий параграф посвящен описанию результатов исследования свойств систем динамической математики, на примере GeoGebra, и демонстрации разнотипных эффектов их применения в изучении математики.

В данном параграфе мы сосредоточимся на важном свойстве GeoGebra, а именно, на приблизительности вычислений.

2.5.2. GeoGebra как ансамбль инструментов

Школьник «докомпьютерных» времен экспериментировал на стандартных листах бумаги с тремя инструментами: циркулем, линейкой и карандашом. При этом свойства инструментов были весьма немногочисленны и настолько просты, что не требовали для их изучения дополнительного времени. Прежде всего, очевидно, что размеры бумаги, длина линейки и величина циркуля не позволяли построить отрезок большой длины (например, длиной в 1 м) или провести окруж-

ность большого радиуса (например, радиусом 2 м). Кроме того, очевидно, что при измерении длин отрезков невозможно было надеяться на высокую точность, поскольку человеческий глаз не может дать разрешение менее 0,25 мм. Очевидно, наконец, что толщина линий зависела от свойств карандаша. Если карандаш представлял собой грифель в деревянной оболочке, то толщина линии обязательно была переменной в силу физических свойств рисования. Если же использовался автоматический карандаш, то толщина линии была постоянна и равна толщине грифеля, которая, согласно стандартам, равнялась либо 0,5 мм, либо 0,7 мм. Попытка отметить на отрезке какую-либо индивидуальную точку приводила к необходимости рисовать закрашенный кружочек, радиус которого был чуть больше, чем толщина линии.

Парадоксально, но с помощью несовершенных реальных инструментов приходилось формировать представления об идеальных геометрических объектах, например о бесконечно длинной прямой, состоящей из исчезающе малых точек. Еще более парадоксально, что эта задача разрешима, пусть и с некоторыми оговорками, о чем свидетельствует тысячелетний опыт преподавания математики.

При переходе к экспериментированию с помощью ИГС GeoGebra ситуация меняется довольно сильно. Прежде всего, резко возрастает количество инструментов, с помощью которых возможна организация экспериментов. Так, горизонтальное меню версии 4.4 содержит 12 иконок, за каждой из которых скрывается несколько конкретных инструментов. В результате общее количество инструментов, которыми может воспользоваться школьник, равняется 71-му, что в десятки раз превышает «докомпьютерные» возможности. Кроме того, появляется возможность строить «большие» объекты. Например, можно построить отрезок длиной 10 м с помощью инструмента «Отрезок с фиксированной длинной» и просмотреть его по частям с помощью инструмента «Переместить чертеж». Наконец, GeoGebra дает возможность производить вычисления с огромной точностью. Настройки по умолчанию предполагают, что длины отрезков выражаются в сантиметрах и могут быть найдены с точностью до 2-х десятичных разрядов. При этом предусмотрена возможность изменить количество разрядов и находить длины с точностью до 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10 и 15 разрядов.

Для учителя очевидно, что GeoGebra представляет собой Ансамбль Инструментов (АИ), с помощью которых можно добиваться разнообразных педагогических целей. Однако даже если читатель не знаком ни с какими ИГС, содержание предыдущего абзаца означает, что главная характеристика описываемого продукта заключена в слове «среда». Для

школьника, например, это действительно среда обитания, «населенная» многочисленными разнотипными инструментами, многие из которых имеют индивидуальные настройки. Для учителя очевидно, а хороший учащийся догадывается или чувствует, что многое нуждается в изучении: каждый отдельный инструмент, взаимодействие пар (или даже групп) инструментов, сопоставление показаний инструментов с известными математическими фактами... При этом заранее нельзя гарантировать, что такое изучение не выявит каких-либо обстоятельств, которые будут столь же неприятны, как кривизна пластмассовой линейки или толстая линия грифельного карандаша.

Последнее пессимистическое замечание вступает в определенное противоречие с опытом использования ИГС. Действительно, цель их создания состояла в том, чтобы ввести в процесс обучения геометрии возможность постановки математических экспериментов, с помощью которых школьники обучались бы формулировке гипотез о свойствах геометрических фигур и их последующей проверке. Эта цель была с блеском достигнута, о чем свидетельствуют результаты многочисленных исследований, проводимых учеными разных стран, например, В.И. Рыжиком [77], М.В. Шабановой [65], Th. Gawlick [116], С. Laborde [123], A. Mariotti [126] и многими другими. Тем не менее, в рамках данной главы мы сосредоточимся на выявлении странных, необычных, дисгармоничных, парадоксальных свойств АИ GeoGebra. Цель такого сосредоточения вполне позитивна, поскольку состоит в том, чтобы использовать парадоксальные показания инструментов для профилактики экспериментально-теоретического разрыва.

2.5.3. Внутренние и внешние конфликты ИГС

Искомые свойства ИГС могут быть выявлены пользователями в процессе выполнения ряда заданий. Они разбиваются на несколько групп, смысл которых будет выявлен по мере их возникновения.

Примем следующее терминологическое соглашение. Словосочетание «стандартная настройка» будет означать, что длины отрезков находятся с точностью до 2-х разрядов, а словосочетание «тонкая настройка» — до 15-ти разрядов.

Парадоксальные показания некоторых инструментов Задание 1. Постройте произвольный отрезок AB (инструмент «Отрезок»). Отметьте на отрезке точку С (инструмент «Точка на объекте»). Найдите длины отрезков АС, СВ и AB с помощью инструмента «Расстояние или длина» и прокомментируйте полученные результаты.

Обсуждение. Варьируя точки А, В или С с помощью инструмента «Перемещать», нетрудно получить результаты двух типов.

В первом случае мы получаем, что \АС\ + \СВ\ = \АВ\ (см. рис. 52), а во втором - что \АС\ + \СВ\ ф \АВ\ (см. рис. 53).

Парадокс: инструмент «Расстояние или длина» показывает, что существуют отрезки, для которых свойство аддитивности длины не выполняется.

Всюду в дальнейшем естественные, ожидаемые результаты эксперимента мы будем записывать в основном тексте, а парадоксальные, «неправильные» результаты будем фиксировать на отдельных рисунках в виде скрин-шотов.

Рис. 52

Рис. 53

Задание 2. Постройте лучи [OA) и [ОБ), а также луч [ОС), лежащий внутри ZAOB (инструмент Луч). Найдите меры углов ZAOC, ZCOB и ZAOB с помощью инструмента Угол и прокомментируйте полученные результаты.

Обсуждение. Варьируя точки А, В или С с помощью инструмента Перемещать, нетрудно получить либо ожидаемый результат типа

либо неожиданный результат, изображенный на рис. 54.

В первом случае мы получаем, что ZAOC + ZCOB= ZAOB, а во втором - что ZAOC + ZCOB ф ZAOB.

Парадокс: инструмент Угол показывает, что существуют углы, для которых свойство аддитивности меры угла не выполняется.

Рис. 54

Задание 3. Постройте ААВС (инструмент Многоугольник). На стороне ВС отметьте точку D (инструмент Точка на объекте). Постройте треугольники AABD и AACD (вновь инструмент Многоугольник). Найдите площади всех трех треугольников с помощью инструмента Площадь и прокомментируйте полученные результаты.

Обсуждение. Варьируя точки А, В, С или D с помощью инструмента Перемещать, нетрудно получить либо ожидаемый результат типа

либо неожиданный результат, изображенный на рис. 55.

Рис. 55

В первом случае мы получаем, что SABD + SABD = SABC, а во втором — что

sabd + sabd ï sАвс.

Парадокс: инструмент «Площадь» показывает, что существуют треугольники, для которых свойство аддитивности площади не выполняется.

Итак, эксперименты с инструментами Расстояние или длина, Угол и Площадь показывают, что, якобы, существуют объекты, для которых нарушаются фундаментальные свойства геометрических фигур. Для учителя важно, что эксперимент с ИГС на уроке не может быть пущен на самотек, иначе могут получиться результаты, противоречащие тем фактам, которые следует усвоить. Для ученика важно, что любые, самые простые эксперименты нуждаются в теоретическом осмыслении. Для обоих экспериментаторов, учителя и ученика, важно понять, что происходит при возникновении парадоксальных результатов: обнаружение неожиданных геометрических свойств, сбои в работе инструмента или что-то еще.

Вышеописанные парадоксальные результаты выявляют конфликты между АИ GeoGebra и математическими теоремами/аксиомами. Они являются внешними по отношению к GeoGebra. Рассмотрим теперь конфликты другого типа, а именно, конфликты между двумя инструментами, которые естественно трактовать как внутренние конфликты АИ GeoGebra.

Конфликты инструментов. Когда два субъекта противоборствуют в суде, используется юридический термин versus — против, сокращенно vs. Так, выражение Brown vs the United States означает дело «Браун против Соединенных Штатов» (пример заимствован их электронного словаря ABBYY Lingvo х5). В соответствии с этой традицией мы будем описывать конфликты инструментов.

Задание 4 (Расстояние или длина vs Отношение объектов). Найдите расстояние между точками Л(0, 0) и Я(0, 0.000000000000001) и определите, совпадают ли они.

Обсуждение. Выбрав инструмент Расстояние или длина и нажав на обозначения точек на панели объектов, мы найдем, что

\АВ\ = 0,000000000000001 = Ю-15 см.

Это означает, что точки А и В не совпадают между собой. Если же выбрать инструмент Отношение объектов и применить его к точкам А и В, то получим такой ответ: «А и В идентичны (численное совпадение)» (рис. 56).

Парадокс: два разных инструмента АИ GeoGebra дают разные ответы на один и тот же вопрос.

Результаты выполнения задания 4 позволяют понять, что делает АИ GeoGebra, измеряет расстояния или вычисляет их. Дело в том, что расстояние 10"15см примерно в 1000 раз меньше, чем размеры атомного ядра! В настоящее время не существует инструментов для непосредственного измерения таких расстояний, и в обозримом будущем такие инструменты не появятся. Следовательно, школьник может почти самостоятельно прийти к выводу, известному специалистам: при определении расстояний АИ GeoGebra вычисляет расстояния, исходя при этом из некоторых данных. Как только в рассуждениях появляется слово «вычисляет», сразу возникают вопросы о том, с какой точностью производятся вычисления, как изменятся результаты при изменении точности и т.п. В частности, мы будем заниматься влиянием точности вычислений на геометрическую трактовку результатов экспериментов.

Рис. 56

Парадоксальные результаты работы инструмента Расстояние или длина (задание 1) позволяют предположить, что он может вступить в конфликт с инструментом Середина или центр. Для выяснения справедливости или несправедливости нашего предположения выполним следующее задание.

Задание 5 (Расстояние или длина vs Середина или центр). Постройте отрезок AB. С помощью инструмента Середина или центр найдите его середину С. С помощью инструмента Расстояние или длина определите длины отрезков AC, CB и AB и прокомментируйте полученные результаты.

Обсуждение. Варьируя точки А или В с помощью инструмента Перемещать, нетрудно получить либо ожидаемый результат типа

либо неожиданный результат, изображенный на рис. 57.

В первом случае мы получаем, что точка С равноудалена от концов отрезка, поэтому она действительно является его серединой. Во втором случае отрезок AB «слишком короток» для того, чтобы точка, удаленная от его концов на 4,3 см, была его серединой.

Рис. 57

Все предыдущие примеры использовали стандартную настройку округления. Если же применить тонкую настройку, то можно получить, что середина отрезка, определяемая с помощью инструмента «Середина или центр», не является равноудаленной от концов отрезка. Например, на рис. 58, полученном авторами, об этом говорят последние разряды в длинах отрезков АС и СВ.

Рис. 58

Парадокс: точка, являющаяся серединой с точки зрения одного инструмента, может не быть серединой с точки зрения другого инструмента.

Парадоксальные результаты работы инструмента Угол (задание 2) позволяют предположить, что он может вступить в конфликт с инструментом Биссектриса. Для выяснения справедливости или несправедливости нашего предположения выполним следующее задание.

Задание 6 (Угол vs Биссектриса). Постройте лучи [OA) и [ОБ). С помощью инструмента Биссектриса проведите биссектрису угла ZAOB и обозначьте её [ОС). С помощью инструмента Угол найдите величины ZAOC, ZCOB и ZAOB и прокомментируйте полученные результаты.

Обсуждение. Варьируя точки А или В с помощью инструмента Перемещать, нетрудно получить либо ожидаемый результат типа

либо неожиданный результат, изображенный на рис. 59.

В первом случае мы получаем, что луч [ОС) образует равные углы со сторонами ZAOB и является его биссектрисой. Во втором случае раствор угла ZAOB «слишком мал» для того, чтобы луч [ОС) мог служить его биссектрисой.

Рис. 59

При тонкой настройке округления нетрудно получить разные значения углов ZAOC и ZCOB.

Парадокс: луч, являющийся биссектрисой с точки зрения одного инструмента, может не быть биссектрисой с точки зрения другого инструмента.

Задание 7 (Расстояние или длина vs Правильный многоугольник). Постройте равносторонний треугольник с помощью инструмента Правильный многоугольник. Найдите длины сторон с помощью инструмента Расстояние или длина. Прокомментируйте полученные результаты.

Обсуждение. При стандартной настройке округления получим ожидаемый результат: все стороны имеют одинаковую длину Однако при тонкой настройке нетрудно получить странный результат, изображенный на рис. 60.

Рис. 60

Странность состоит в том, что длины сторон равностороннего треугольника, будучи измеренными, оказываются различными.

Парадокс: существуют треугольники, которые являются равносторонними с точки зрения одного инструмента и не являются таковыми с точки зрения другого инструмента.

Задание 8 (Расстояние или длина vs Окружность по центру и радиусу). С помощью инструмента Окружность по центру и радиусу постройте окружность с центром в точке Л радиуса, например, 4. Постройте точку В на окружности (инструмент Точка на объекте). С помощью инструмента Расстояние или длина найдите расстояние \ЛВ\. Двигая точку В по окружности (инструмент Перемещать), проследите, меняется ли расстояние \ЛВ\. Прокомментируйте полученный результат.

Обсуждение. При стандартной настройке расстояние \ЛВ\ всегда постоянно и равно 4. Однако при тонкой настройке (и медленном движении точки) удается найти такие положения, при которых

\АС\ = 4,000000000000001 или \AD\ = 3,999999999999999

(рис. 61).

Парадокс, точка В, которая по построению обязана оставаться на окружности, может приближаться к центру или удаляться от него.

Рис.61

Задание 9 (Расстояние или длина vs Отражение относительно точки). Постройте точки Л и В. С помощью инструмента Отражение относительно точки отразите точку Л относительно центра В, обозначив искомый образ через Л'. С помощью инструмента Расстояние или длина найдите расстояния \ЛВ\ и \Л'В\. Прокомментируйте полученный результат.

Обсуждение. При стандартной настройке всегда получаем ожидаемый результат \ЛВ\ = \А'В\. Однако при тонкой настройке результаты могут оказаться неожиданными, например, такими, как на рис. 62.

Рис. 62

Парадокс: при центральной симметрии точка и ее образ могут находиться на разном расстоянии от центра.

Разумеется, список «конфликтующих» пар инструментов далеко не исчерпан, и мы предоставляет читателю возможность поискать другие пары, подобно тому, как мы делали это выше. Перейдем теперь к описанию противоречий между показаниями АИ GeoGebra и известными теоремами школьного курса математики.

«Опровержение» известных теорем. В учебно-методическом пособии Е.В. Потоскуева, посвященном геометрической подготовке учителя математики, содержится раздел «Рабочие теоремы планиметрии» [71, с. 369—376]. В нем собраны 50 теорем, которые, по мнению автора, наиболее часто используются при решении задач. Естественно, что первичное изучение всех их или многих из них могло бы использовать ИГС. Покажем, что эксперименты с АИ GeoGebra могут приводить к «опровержению» известных теорем. Разумеется, мы не будем проверять все 50 теорем, хотя это вполне возможно. Для примера выберем три из них, относящиеся к важным плоским фигурам — окружности, треугольнику и параллелограмму.

Задание 10. Постройте окружность по ее центру Л и точке В на ней. Постройте точки С и D на окружности. Измерьте углы ZCAB и ZCDB с помощью инструмента Угол и прокомментируйте полученный результат.

Рис. 63

Обсуждение. Варьируя точки В, С или D с помощью инструмента Перемещать, нетрудно получить результаты двух типов. Во-первых, может получиться ожидаемый результат, показывающий, что вписанный угол вдвое меньше центрального. Во-вторых, может получиться неожиданный результат, изображенный на рис. 63, который показывает, что не всякий центральный угол вдвое больше вписанного.

Парадокс: отношение мер центрального и вписанного угла не является постоянным.

Задание 11. Постройте треугольник и проведите биссектрисы его углов. Каково взаимное расположение биссектрис?

Обсуждение. Очевидно, что биссектрисы пересекаются в одной точке, и это свойство сохраняется при любой вариации вершин треугольника. В попытке «разрушить» эту очевидность найдем точки Д Е и F, являющиеся попарными пересечениями биссектрис. При стандартной настройке, а также при почти всех других настройках, одноименные координаты точек одинаковы, то есть D=E=F, а значит, биссектрисы действительно пересекаются в одной точке. Только при тонкой настройке мы можем получить парадоксальный результат, изображенный на рис. 64. Последние цифры в записи ординат точек Z), Е и F показывают, что эти точки попарно различны.

Рис. 64

Парадокс: существуют треугольники, у которых биссектрисы не пересекаются в одной точке.

Задание 12. Постройте параллелограмм, проведите его диагонали и найдите их середины. Прокомментируйте полученный результат.

Обсуждение. Если работать без панели объектов, то очевидно, что обе середины совпадают. Тем самым мы получаем красивый результат: точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам, откуда мгновенно получается, что параллелограмм является центрально-симметричной фигурой и что его противоположные стороны попарно равны. Для проверки чисто визуальных наблюдений найдем середины диагоналей Е и F и отобразим их на панели объектов. При стандартной настройке, а также при почти всех других настройках, одноименные координаты точек одинаковы, то есть Е= F, а значит, первоначальное наблюдение оказывается верным. Только при тонкой настройке мы можем получить парадоксальный результат, изображенный на рис. 65, который показывает, что ЕФ F.

Парадокс: существуют параллелограммы, не имеющие центра симметрии.

Очевидно, что парадоксы, обнаруженные при выполнении заданий 10—12, выявляют конфликты, внешние по отношению к АИ GeoGebra.

Рис. 65

Отступим от основной линии нашего изложения и отметим еще один конфликт, который относится не столько к математическому экспериментированию, сколько к отступлению от математических традиций.

Конфликт интерфейса и математических традиций. Хорошо известно, что задачи на построение циркулем и линейкой занимают достаточно важное место в курсе геометрии. Для этого существует несколько причин. Во-первых, такие задачи приобщают школьников к достаточно изощренной логике. Действительно, в процессе решения задачи учащемуся придется ответить на ряд вопросов.

1) Разрешима ли задача? Более точно, каковы дополнительные условия, необходимые и достаточные для разрешимости данной задачи?

2) Если задача разрешима, то сколько решений она имеет?

3) Каков алгоритм построения искомой геометрической фигуры? Во-вторых, выявляется неочевидное для учащихся обстоятельство:

сходство геометрической задачи на построение и алгебраической задачи по решению уравнения. Действительно, в процессе изучения уравнения Л(х) = В(х) учащиеся обязательно отвечают на ряд вопросов, весьма сходных с вопросами предыдущего списка.

1. Каков критерий разрешимости уравнения данного типа?

2. Если уравнение разрешимо, то каков критерий единственности решения?

3. Если уравнение разрешимо, то по каким формулам можно получить список решений (конечное множество решений) или описание множества решений (бесконечное множество решений)?

По этой схеме изучаются линейные уравнения, уравнения вида ах + b = 0 (это не одно и то же), квадратные уравнения, тригонометрические уравнения, системы линейных уравнений и т.д. Интересно, что изучение дифференциальных уравнений, в частности, задачи Коши, следует той же логике, пусть и с некоторыми модификациями.

Таким образом, задачи на построение циркулем и линейкой, при всей своей специфике, приобщают школьников к математической культуре. Элементом этой культуры являются «запретительные» теоремы. Например, известно, что с помощью циркуля и линейки можно построить равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник, однако нельзя построить правильный семиугольник. Именно наличие этого философского аспекта позволяет В.А. Успенскому утверждать, что «задачи на построение должны занимать достойное место в школьном курсе геометрии» [90, с. 108].

На этом фоне странным выглядит инструмент «Правильный многоугольник» АИ GeoGebra, который предлагает построить правильный многоугольник, указав одну его сторону и число вершин. В частности, этот инструмент предлагает построить правильный семиугольник! Неопытный пользователь, каковым является школьник,

может приобрести иллюзию, что такое построение может быть реализовано с помощью циркуля и линейки. К счастью, от этой иллюзии можно избавиться, измерив длины сторон (см. задание 7). По-видимому, разработчикам интерфейса следовало назвать инструмент иначе, включив в название указание на приблизительность построения.

Вернемся к основной линии нашего изложения. Парадоксальные результаты, полученные в процессе выполнения заданий 1 — 12, хорошо иллюстрируют некий

ГЛОБАЛЬНЫЙ ПАРАДОКС: для каждого позитивного эксперимента, выполненного с целью получения формулировки той или иной теоремы школьного курса геометрии, существует негативный эксперимент, опровергающий справедливость этой формулировки.

На первый взгляд, наличие глобального парадокса бросает тень на ИГС. К счастью, это не так. Ниже мы покажем, что именно наличие этого парадокса может быть использовано для профилактики экспериментально-теоретического разрыва.

2.5.4. Эксперимент как профилактика экспериментально-теоретического разрыва

В настоящее время ИГС легко доступны для каждой школы и каждого учителя. В этих условиях для учителя становится важным вопрос об отношении к ИГС, о выборе той ли иной стратегии их использования (или неиспользования). Перечислим некоторые из возможных стратегий.

1. Первая из возможных стратегий состоит в отказе от ИГС или в очень ограниченном их использовании, строго дозированном и обусловленном теми или иными конкретными причинами. Условно назовем такую стратегию консервативной.

При всей кажущейся неестественности консервативной стратегии она имеет под собой серьезные основания и, следовательно, право на существование. Прежде всего, следует помнить, что основной массив геометрических знаний сложился в те времена, когда компьютеры еще не были изобретены. В настоящее время этот массив продолжает интенсивно пополняться из разных источников, в частности, из тех, которые не имеют отношения к вычислительной технике. Кроме того, именно благодаря «безкомпьютерному» изучению математики все население приобщилось к достаточно изощренной логике, а также приобрело первоначальный опыт доказательных рассуждений и полноценной аргументации, которые так нужны в сложной социальной среде любому человеку независимо от его профессии. Наконец, следует помнить,

что устойчивость сложных систем пропорциональна их полиморфизму Например, современное супертехнологичное общество имеет с первобытным по крайней мере две общие черты: основным источником энергии является сжигание продуктов органического происхождения, а важным источником пищи — рыболовство, древнее апробированное занятие. Естественно предположить, что в будущем традиционный способ изучения математики будет иметь свою собственную нишу в системе образования.

2. Вторая из возможных стратегий состоит в том, чтобы во главу угла поставить позитивные компьютерные эксперименты, благодаря которым школьники будут обучаться формулировке гипотез о свойствах геометрических фигур. При этом визуальная убедительность экспериментов считается достаточным обоснованием истинности гипотез, а дедуктивные обоснования предоставляются особо талантливым, любознательным, заинтересованным детям. Условно назовем такую стратегию инновационно-пассивной.

По мнению авторов, инновационно-пассивная стратегия не только неэффективна, но и просто вредна. Дело в том, что она полностью лишает учащихся культуры дедуктивных рассуждений. Трудно даже представить себе тот вред, который может нанести обществу массированное и/или длительное применение такой стратегии. К счастью, инновационно-пассивная стратегия не приобрела сколько-нибудь широкого распространения, хотя доводы в ее пользу не раз звучали в научных дискуссиях.

3. Третья стратегия также делает акцент на позитивные компьютерные эксперименты с последующим обязательным дедуктивным обоснованием выдвинутых гипотез. Условно назовем такую стратегию инновационно-активной.

По мнению авторов, именно инновационно-активная стратегия используется в настоящее время той частью педагогического сообщества, которая применяет в обучении компьютерные эксперименты. С этической и эмоциональной точки зрения такая стратегия выглядит весьма привлекательной. Повторимся: она приносит вполне ощутимые положительные результаты. К сожалению, практически неизбежным следствием такой стратегии является вышеупомянутый экспериментально-теоретический разрыв. Дело в том, что визуальная убедительность позитивных компьютерных экспериментов весьма высока, в силу чего исчезает мотивация для дедуктивных обоснований их результатов. Добавим к этому, что дедуктивные доказательства сами по себе могут оказаться достаточно сложными и трудоемкими, что еще больше снижает потребность в обосновании тех утверждений, которые и без того кажутся очевидными.

Прежде чем описывать четвертую стратегию, остановимся на одном из свойств чертежей античных математиков. По мнению авторов, чертежи античных математиков побуждали их создателей к дальнейшим исследованиям, и это стимулирующее воздействие было достаточно мощным. Действительно, чертежи выполнялись в лучшем случае на папирусе, то есть на не очень ровном шероховатом материале небольшого размера. Они выполнялись с помощью заточенного стебля тростника, вследствие чего линии имели достаточно большую толщину. В результате чертеж имел противоречащие друг другу свойства: с одной стороны, он помогал сформулировать гипотезу о свойствах изучаемых геометрических объектов, а с другой стороны, не давал никакой уверенности в том, что она соответствует действительности. В этих условиях дедуктивное доказательство было единственным способом установления истины.

4. Четвертая стратегия состоит в том, чтобы при изучении свойств геометрических фигур проводить оба эксперимента, и позитивный, и негативный. Позитивный эксперимент позволяет сформулировать гипотезу о свойствах геометрических фигур. В рамках школьной математики все такие гипотезы чрезвычайно красивы и привлекательны для учащегося-экспериментатора. Негативный эксперимент показывает, что выдвинутая гипотеза отнюдь не очевидна. Конфликт экспериментов не может быть разрешен в рамках экспериментального компонента математики. Для установления истины придется проводить дедуктивные рассуждения. Условно назовем такую стратегию исследовательской.

Отметим основную идею исследовательской стратегии: отрицательный компьютерный эксперимент призван играть ту же стимулирующую роль, какую играло несовершенство чертежей в античные времена.

По мнению авторов, содержательная (а отнюдь не административная) необходимость проводить дедуктивные рассуждения вызовет у учащихся интерес к ним, в результате чего будет освоен теоретический компонент математики. Предшествующие эксперименты будут способствовать освоению экспериментального компонента математики, а процесс самостоятельного выдвижения гипотез приобщит учащихся к исследовательской деятельности. В результате можно надеяться на повышение интереса к изучению математики и гармоничного ее освоения.

Отметим, что четвертая стратегия не обсуждалась ранее в научной литературе. При всей привлекательности ее теоретического обоснования, ее эффективность нуждается проверке посредством педагогического эксперимента.

Глава 3.

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ СЦЕНАРИИ РЕАЛИЗАЦИИ ДИДАКТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

3.1. Турнир по экспериментальной математике20

Одной из форм работы по реализации модели исследовательского обучения в стиле экспериментальной математики во внеурочной деятельности является турнир по экспериментальной математике. Его основная задача — привлечение внимания учащихся к экспериментальным методам, демонстрация их роли в решении математических задач, а также оценка уровня сформированности умений учащихся применять эти методы при решении математических задач.

Задания турнира составляются таким образом, чтобы не только представить учащимся экспериментальные методы, но и вовлечь учащихся в различные виды деятельности, связанные с их использованием:

— разрешение парадокса, порожденного несогласованностью выводов, основанных на теоретических фактах и экспериментальных данных;

— планирование решения поставленной математической задачи указанным экспериментальным методом;

— решение математической задачи указанным экспериментальным методом;

— решение серии взаимосвязанных задач («снежного кома» задач) на построение ограниченным набором инструментов компьютерной среды;

— привлечение компьютерного эксперимента к решению исследовательской задачи в качестве вспомогательного метода;

— постановка новых исследовательских задач на основе экспериментирования с компьютерной моделью объекта исследования.

Данный турнир был впервые проведен в 2015 году [148]. Приведем примеры задач этого турнира с решениями и критериями оценки.

3.1.1. Задачи турнира для учащихся 7 класса

Задание 1 (max 8 баллов). Вырежьте из листа бумаги квадрат. Измерьте его сторону и вычислите площадь. Затем разрежьте его так, как

20 © Павлова М.А., Овчинникова Р.П., Шабанова М.В.

показано на рисунке (рис. 66). Составьте из полученных частей прямоугольник, измерьте его стороны и вычислите площадь. Сравните полученные значения площадей прямоугольника и квадрата, объясните результат.

Рис. 66. Квадрат для задания 1

Критерии оценивания

Баллы

Содержание критериев

1

Выполнены: разрезание, перекладывание, измерения и вычисления (все действия правильные)

или сформулировано утверждение, которое делает бессмысленным выполнение практических действий

3

Сделан вывод о том, что полученное приближенное равенство (неравенство) площадей — результат погрешностей практических действий, а не нарушения теоретического факта

5

Названа одна причина появления погрешности

8

Указаны несколько причин появления погрешности

Решение задания 1. Известно, что равносоставленные планиметрические фигуры равновелики. Однако на практике можно говорить лишь о приближенном равенстве равносоставленных фигур. Это и подтвердил проведенный нами эксперимент, в котором требовалось измерить стороны данного квадрата, найти произведение приближенных значений длин для вычисления его площади, разрезать квадрат и составить из него новую фигуру, похожую на прямоугольник, применить для вычисления ее площади формулу прямоугольника, измерением найти его стороны.

Все выделенные действия являются неустранимыми причинами появления (нарастания) погрешностей: погрешность измерения, погрешность выбора метода вычисления, погрешность вычисления. Ими объясняется полученное в ходе эксперимента неравенство площадей.

Задание 2 (max 10 баллов). Отрезок AB (тонкая легкая однородная трубка) разделен точкой С на два отрезка в отношении m : я, где тип целые числа. Опишите эксперимент, позволяющей методом взвешивания найти значения т и п. Перечислите оборудование, которое Вам для его проведения понадобится.

Критерии оценивания

Баллы

Содержание критериев

3

Найдена идея применения взвешивания

6

Перечислен полный набор необходимого оборудования

10

Описан план проведения экспериментальных работ и обработки данных эксперимента

Решение задания 2 (один из возможных вариантов). Оборудование:

1) набор гирь одинаковой массы;

2) штатив для закрепления нити;

3) нить для подвеса трубки и гирь;

4) инструмент для того, чтобы проделать отверстия на концах трубки и в точке С.

Ход эксперимента: подвесить трубку, закрепив нить в точке С. Добиться равновесия, подвешивая гири в точках А и В. Подсчитать количество одинаковых гирь, подвешенных в точках А и В. Пусть, после подсчета оказалось, что в точке А подвешено кх гирь, а в точке В — к2 гирь. Считая, что точка С является центром масс системы двух материальных точек (А; кх (ед. массы)) и (В; &2(ед. массы)). Опираясь на правило рычага (рис. 67), приходим к выводу:

Рис. 67. Иллюстрация правила рычага

Задание 3 (max 15 баллов). Возьмите лист бумаги с неровными краями. Проведите на нем произвольно прямую, отметьте две точки О и А. Пусть О — центр воображаемой окружности, точка А — точка, лежащая на этой окружности. Опишите, как перегибанием листа бумаги узнать, пересекает ли прямая воображаемую окружность. Пользуясь этим методом найдите точки пересечения построенной прямой и воображаемой окружности с центром О и радиусом OA, или покажите, что их нет.

Критерии оценивания

Баллы

Содержание критериев

5

Правильно решена задача сгибанием для случая, представленного на листе бумаги

10

Способ решения задачи обобщенно описан

15

Способ решения задачи теоретически обоснован

Решение задания 3. Сложить лист бумаги, проведя одну линию сгиба по прямой /, а другую через точки О и А. Удерживая точку О, постараться согнуть лист так, чтобы точка А попала на прямую /. Отметить на / все возможные места расположения точки А (рис. 68).

Если уложить не удалось, то точек пересечения окружности и прямой нет.

Рис. 68. Иллюстрация решения задачи 3

Если удалось отметить только одно место расположения точки А, то прямая / касается окружности с радиусом OA.

Если удалось отметить два места, то окружность и прямая пересекаются в этих точках.

Задание 4 (шах 20 баллов). Панель инструментов GeoGebra состоит только из пяти инструментов: Точка • , Отрезок по двум точкам «г ,

Луч по двум точкам , Окружность по центру и точке 0 и Пересечение двух объектов ^*\. Решите следующую последовательность задач на построение в GeoGebra:

1) Построить правильный треугольник данными инструментами. Использовать результат решения задачи, чтобы дополнить панель инструментов своим инструментом Правильный треугольник. Сохранить файл под своей фамилией, например, Ivanov_4.1.ggb.

2) Убрать с панели инструмент Окружность по центру и точке 0. С помощью оставшихся инструментов построить произвольный отрезок и разделить его пополам. Использовать результат решения задачи, чтобы дополнить панель инструментов своим инструментом Середина отрезка. Сохранить файл под своей фамилией, например, Ivanov_4.2.ggb.

3) Убрать с панели инструментов инструмент Правильный треугольник. Добавить инструмент Окружность по центру и точке. Построить произвольную прямую и точку, не лежащую на ней. Провести через эту точку прямую, параллельную данной. Использовать результат решения задачи, чтобы дополнить панель инструментов своим инструментом Параллельная прямая. Сохранить файл под своей фамилией, например, Ivanov_4.3.ggb.

4) С помощью набора инструментов, полученных в результате решения задачи 3, построить произвольный угол и точку, лежащую вне его. Построить угол равный данному, с вершиной в этой точке. Сохранить файл под своей фамилией, например, Ivanov_4.4.ggb.

5) С помощью набора инструментов, полученных в результате решения задачи 3, построить произвольный угол и провести его биссектрису. Сохранить файл под своей фамилией, например, Ivanov_4.5.ggb.

Критерии оценивания

Номер задания

Баллы

Содержание критериев

1

3

Правильно построен равносторонний треугольник

5

Создан корректно работающий инструмент Правильный треугольник

2

8

Найден способ построения середины отрезка с помощью инструмента Равносторонний треугольник

10

Создан корректно работающий инструмент Середина отрезка

3

13

Найден способ построения прямой, параллельной данной с помощью указанного набора инструментов

15

Создан корректно работающий инструмент Параллельная прямая

Номер задания

Баллы

Содержание критериев

4

17

Правильно решены все предыдущие задачи. Угол, равный данному, создан с опорой на результаты решения предыдущих задач

5

20

Правильно решены все предыдущие задачи. Найден способ построение биссектрисы угла с помощью заданного набора инструментов

Решение задания 4

1. Построить правильный треугольник данными инструментами. Использовать результат решения задачи для того, чтобы дополнить панель инструментов своим инструментом Правильный треугольник.

Чтобы построить правильный треугольник, необходимо выполнить следующие шаги:

а) Построить окружность с центром в точке А и радиусом AB.

б) Построить окружность с центром в точке В и радиусом AB. с) Найти точку пересечения этих окружностей.

д) Соединить эту точку с концами отрезка AB (см. рис. 69).

Затем создать инструмент согласно выданной на Турнире инструкции.

Рис. 69. Построение правильного треугольника

2. Убрать с панели инструментов инструмент Окружность по центру и точке. С помощью оставшихся инструментов построить произвольный отрезок и разделить его пополам. Использовать результат решения задачи, чтобы дополнить панель инструментов своим инструментом Середина отрезка.

Чтобы построить середину отрезка, необходимо выполнить следующие шаги:

а) Построить два правильных треугольника на одной стороне AB.

б) Соединить противоположные вершины этих треугольников (см. рис. 70).

Затем создать инструмент согласно выданной на Турнире инструкции.

3. Убрать с панели инструментов инструмент Правильный треугольник. Добавить инструмент Окружность по центру и точке. С помощью оставшихся инструментов построить произвольную прямую и точку, не лежащую на ней. Провести через эту точку прямую, параллельную данной. Использовать результат решения задачи, чтобы дополнить панель инструментов своим инструментом Параллельная прямая.

Чтобы построить прямую, параллельную данной через точку, не лежащую на этой прямой, необходимо выполнить следующие шаги:

а) Построить окружность с центром в точке А и радиусом AB.

б) Найти точку пересечения окружности с прямой (точка С).

в) Построить окружность с центром в точке С и радиусом СВ.

г) Найти точку пересечения этих окружностей (точка D).

д) Провести луч DC.

е) Найти точку пересечения луча с окружностью с центром в точке С (точка F).

ж) Построить луч FB.

з) Построить луч BF(см. рис. 71).

Затем создать инструмент согласно выданной на Турнире инструкции.

Рис. 70. Построение середины отрезка

Рис. 71. Построение параллельной прямой

4. С помощью набора инструментов, полученных в результате решения задачи 3, построить произвольный угол и точку, лежащую вне его. Построить угол равный данному, с вершиной в этой точке.

Чтобы построить угол, равный данному (угол ВАС) с вершиной в точке (точка D), лежащей вне его, с помощью инструмента Параллельная прямая, необходимо:

1) провести через эту точку прямые, параллельные сторонам угла, а затем

2) отложить на них лучи DE и DF (см. рис. 72). Угол EDF равен углу ВАС по теореме о соответственных углах.

Рис. 72. Построение угла, равного данному

5. С помощью набора инструментов, полученных в результате решения задачи 2, построить произвольный угол и провести его биссектрису.

Чтобы построить биссектрису угла с помощью инструмента Середина отрезка, необходимо выполнить следующие шаги:

а) Построить угол CAB.

б) Построить окружность с центром в точке А и радиусом АС.

в) Отметить точки пересечения окружности со сторонами угла (точки С и D).

г) Найти середину отрезка CD (точка Е).

д) Провести луч АЕ — искомую биссектрису угла CAB (см. рис. 73).

Рис. 73. Построение биссектрисы угла

Задание 5 (max 30 баллов). Даны две точки A и В. Экспериментально установите вид фигуры, образованной основаниями перпендикуляров, которые опущены из точки А на всевозможные прямые, проходящие через точку В. Обоснуйте правильность выводов, сделанных на основе эксперимента.

Критерии оценивания

Баллы

Содержание критериев

10

Построена правильная динамическая модель по условию задачи или гипотезы выдвинута, но ее источник не раскрыт

20

На основе эксперимента выдвинута правильная гипотеза

30

Гипотеза теоретически обоснована

Решение задания 5

Эксперимент: Пусть СВ — одна из прямых, проходящих через точку В. Опустим на нее перпендикуляр из точки А с основанием Н. Введем функцию для точки H «оставлять след» и будем перемещать точку С.

Гипотеза: Основания перпендикуляров описывают окружность с диаметром AB (см. рис. 74).

Рис. 74. Иллюстрация выдвинутой гипотезы

Доказательство:

1. Пусть H лежит на окружности с диаметром AB, тогда треугольники АОН и ВОН — равнобедренные. Следовательно, в этих треугольниках

равны углы при основаниях. Пусть угол при вершине А равен a, a при вершине В — ß. Тогда угол при вершине Я равен (а + ß). Применим к треугольнику AHB теорему о сумме углов треугольника, тогда получаем: а + ß = 90°, т.е. H — основание перпендикуляра, опущенного из точки А на некоторую прямую, проходящую через точку В.

2. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую ВС, проходящую через точку В. Докажем методом от противного, что Я лежит на окружности с диаметром AB. Для этого допустим, что H не лежит на окружности с диаметром AB. Если прямая ВС пересекает окружность в некоторой точке Я,, то согласно доказанному в пункте 1, АНХ перпендикулярна ВС. Если точки Я и Я, различны, то из одной точки проведено два различных перпендикуляра к одной прямой, что противоречит известной теореме. Следовательно, Я и Я, совпадают, т.е. Ялежит на окружности с диаметром AB. Если ВС не имеет других общих точек с окружностью диаметра AB, то В является основанием перпендикуляра, проведенного к ВС из точки А. Ни В в этом случае также совпадают. Таким образом доказано, что Я лежит на окружности с диаметром AB при любом расположении прямой ВС.

Задание 6 (по 10 баллов за каждую корректно поставленную задачу).

Изменяя чертеж к заданию 5, составьте как можно больше новых задач. Формулировки своих задач можно записать или на листе бумаги, или в графическом окне GeoGebra с помощью инструмента Надпись .

Параметры изменения чертежа и примеры задач, которые могли бы быть составлены:

A. Изменение положения точки, описывающей фигуру.

5.1. Пусть Я — основание перпендикуляра из задания 5. Установите вид фигуры, образованной серединами отрезков АН и ВН.

5.2. Пусть Я — основание перпендикуляра из задания 5. Установите вид фигуры, образованной точками Е и F, лежащими на АН и ВН соответственно, где НЕ= к-HB, aAF= к-НА.

B. Изменение характеристического свойства описываемой фигуры:

5.3. Даны две точки А и В. Какую фигуру образовывает множество точек Я таких, что ZAHB = а.

5.4. Даны две точки А и В. Какую фигуру образовывает множество точек Х таких, что ZHAB = kZHBA.

C. Изменение данных объектов:

5.5. Дана точка А и окружность со. Постройте фигуру, образованную основаниями перпендикуляров, опущенных из точки А на всевозможные касательные к данной окружности. Как зависит вид фигуры от взаимного расположения точки и окружности.

3.1.2. Задачи турнира для учащихся 8 класса

Задание 1 (max 8 баллов). Вырежьте из бумаги квадрат со стороной 8 см. Разрежьте его так, как показано на рис. 75, а. Сложите из его частей прямоугольник так, как показано на рис. 75, б. Сравните площади квадрата и прямоугольника. Объясните результат.

Рис. 75

Критерии оценивания

Баллы

Содержание критериев

1

Выполнены: разрезание, перекладывание, измерения и вычисления (все действия правильные) или сформулировано утверждение, которое делает бессмысленным выполнение практических действий

3

Сделан вывод о том, что полученное приближенное равенство (неравенство) площадей — результат погрешностей практических действий, а не нарушения теоретического факта

5

Названа одна причина появления погрешности

8

Указаны несколько причин появления погрешности

Решение задания 1. Известно, что равносоставленные планиметрические фигуры равновелики. Однако на практике можно говорить лишь о приближенном равенстве равносоставленных фигур. Это и подтвердил проведенный нами эксперимент, в котором требовалось вырезать квадрат, разрезать его и составить из него новую фигуру, похожую на прямоугольник, применить для вычисления ее площади формулу прямоугольника, измерением найти его стороны.

Все выделенные действия являются неустранимыми причинами появления (нарастания) погрешностей: погрешность измерения, погрешность выбора метода вычисления, погрешность вычисления. Ими объясняется полученное в ходе эксперимента неравенство площадей.

Задание 2 (max 10 баллов). В равностороннем треугольнике ЛВС (тонкой треугольной однородной пластине) провели медиану AM. На ней отметили точку О, так что АО : ОМ = m : п, где т и п — целые числа. Опишите эксперимент, позволяющий методом взвешивания найти значения т и п. Перечислите оборудование, которое Вам для его проведения понадобится.

Критерии оценивания

Баллы

Содержание критериев

3

Найдена идея применения взвешивания

6

Перечислен полный набор необходимого оборудования

10

Описан план проведения экспериментальных работ и обработки данных эксперимента

Решение задания 2 (Один из возможных вариантов) Оборудование:

1) набор гирь одинаковой массы;

2) штатив для закрепления нити;

3) нить для подвеса пластины и гирь;

4) инструмент для того, чтобы проделать отверстия в пластине.

Ход эксперимента: Подвесить пластину на нити, прикрепленной в точке О. В вершинах пластины подвешивать гири до тех пор, пока пластина не примет горизонтальное положение. Подсчитать количество гирь подвешенных в каждой из вершин. Пусть, после подсчета оказалось, что в точке А подвешено k гирь, а в точках В и С — к2 гирь. В этом случае точка О может рассматриваться как центр масс системы трех материальных точек (А; кх (ед. массы)), {В; /с2(ед. массы)) и (С; к2(ед. массы)). Так как M середина ВС, то эту систему можно заменить системой двух точек: (А; кх (ед. массы)) и (M; 2k2{tjx. массы)) с центром масс в точке О. Применяя правило рычага (см. рис. 67) для этой системы, приходим к выводу: АО: ОМ= 2к2: ку

Задание 3 (max 15 баллов). Возьмите лист бумаги с неровными краями. На нем произвольно отметьте три точки А, В и С. Перегибанием листа бумаги найдите центр окружности, проходящей через эти три точки. Обоснуйте правильность построений.

Критерии оценивания

Баллы

Содержание критериев

5

Правильно решена задача сгибанием для случая, представленного на листе бумаги

10

Способ решения задачи обобщенно описан

15

Способ решения задачи теоретически обоснован

Решение задания 3

Построение: Нужно перегнуть лист бумаги два раза. Первый раз перегнуть так, чтобы совместились точки А и В, второй — чтобы совместились точки В и С. Точка пересечения линий сгибов — центр окружности, проходящей через точки А, В и С (см. рис. 76).

Обоснование: О — точка равноудаленная от каждой пары точек А и В; В и С по определению окружности. Множество точек плоскости, равноудаленных от двух данных, есть серединный перпендикуляр к отрезку. Линии сгиба являются серединными перпендикулярами к отрезкам AB и ВС, поэтому точка О определяется как точка их пересечения.

Рис. 76. Иллюстрация решения задания 3

Задание 4 (max 20 баллов). См. задачу 4 для учащихся 7 класса.

Задание 5 (max 30 баллов) (Задача предложена В. И. Рыжиком). В квадрат ABCD вписан треугольник AMN (точки M и N лежат на сторонах квадрата). В треугольнике AMN из вершины А проведена высота АН. Известно, что угол NAM равен 45°. Какую кривую опишет точка Я, если перемещать точку N по периметру квадрата?

Решение задачи 5

Эксперимент. Для точки H зададим функцию «оставлять след» и будем перемещать точку N по периметру квадрата. Пусть точка N лежит

Рис. 77. Результат эксперимента

на стороне, противолежащей вершине А. Точка H опишет дугу DB (рис. 77). Если же точка N лежит на стороне с концом А, то точка H опишет дугу DAB.

Гипотеза. Основание перпендикуляра описывает фигуру, состоящую из двух дуг: дуги окружности с центром в точке А радиусом AD и дуги с центром О (центр квадрата) и радиусом OA.

Случай 1. Точка N лежит на стороне, противолежащей вершине А

Докажем, что основание перпендикуляра лежит на дуге BD окружности с центром в точке А. Пусть точка TV лежит на стороне, противолежащей вершине А (например, ВС). На прямой ВС отложим отрезок ВЕ= MD, как показано на рис. 78. Прямоугольные треугольники ABE и ADM равны по двум катетам. Откуда следует, что АЕ = AM. Легко доказать, что треугольники AEN и AMN равны по двум сторонам и углу между ними. Так как в равных треугольниках соответственные элементы равны, то высоты AB и АН тоже равны. Таким образом, высота АН равна стороне квадрата, следовательно, лежит на дуге BD окружности с центром в точке А.

Докажем, что точка Я, лежащая на дуге, является основанием высоты, описываемого в задаче треугольника с углом 45°. Пусть точка Я лежит на дуге BD окружности с центром в точке А (см. рис. 79). Построим треугольник, в котором АН является высотой, а вершины N и M лежат на сторонах ВС и CD. Треугольники ABN и AHN равны по гипотенузе и катету. Аналогично равны треугольники AHM и ADM. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. Рассмотрим углы при вершине А. В сумме они составляют 90°, следовательно, сумма углов NAH и МАН равна половине, то есть 45°.

Рис. 78 Рис. 79

Случай 2. Точка N лежит на стороне с концом в точке А.

Докажем, что основание перпендикуляра лежит на дуге BAD окружности с центром в точке О. Пусть точка N лежит на стороне, содержащей вершину А (например, ВА). Точка N в данном случае совпадает с вершиной С. Построим высоту АЕ треугольника AMN. Получившийся треугольник АМЕ — прямоугольный, его вершина лежит на окружности с диаметром AM = АС и центром О (см. рис. 80).

Докажем, что точка Е, лежащая на дуге BAD, является основанием высоты, описываемого в задаче треугольника с углом в 45°. Пусть точка £ лежит на дуге BAD окружности с центром в точке О. Соединим точку Е с точками М и А. ЕМ пересекает AB в точке N. Треугольник AM N является треугольником с углом в 45°, &АЕ— его высота.

Рис. 80

Задание 6 (по 10 баллов за каждую корректно поставленную задачу). Изменяя чертеж к задаче 5, составьте как можно больше новых задач. Формулировки своих задач можно записать или на листе бумаги, или в графическом окне GeoGebra с помощью инструмента ABC — Надпись.

Некоторые из задач, которые могли бы быть составлены:

5.1. Изменится ли и, если изменится, то как ответ в задаче 5, если угол NAM равен 30°? 60°?

5.2. В квадрат ABCD вписан треугольник AMN (точки M и N лежат на сторонах квадрата). В треугольнике AMN из вершины А проведена медиана АН. Известно, что угол NAM равен 45°. Какую кривую опишет точка Я, если перемещать точку N по периметру квадрата?

3.1.3. Задачи турнира для учащихся 9 класса

Задание 1 (max 8 баллов). Вырежьте из бумаги прямоугольник со сторонами 8 и 13 см. Затем разрежьте его так, как показано на рис. 81.

Сложите из его частей прямоугольник так, как показано на рис. 82. Сравните их площади. Объясните результат.

Рис.81 Рис.82

Критерии оценивания

Баллы

Содержание критериев

1

Выполнены: разрезание, перекладывание, измерения и вычисления (все действия правильные) или сформулировано утверждение, которое делает бессмысленным выполнение практических действий

3

Сделан вывод о том, что полученное приближенное равенство (неравенство) площадей — результат погрешностей практических действий, а не нарушения теоретического факта

5

Названа одна причина появления погрешности

8

Указаны несколько причин появления погрешности

Решение задания 1. Известно, что равносоставленные планиметрические фигуры равновелики. Однако на практике можно говорить лишь о приближенном равенстве равносоставленных фигур. Это и подтвердил проведенный нами эксперимент, в котором требовалось вырезать квадрат, разрезать его и составить из него новую фигуру, похожую на прямоугольник, применить для вычисления ее площади формулу прямоугольника, измерением найти его стороны.

Все выделенные действия являются неустранимыми причинами появления (нарастания) погрешностей: погрешность измерения, погрешность выбора метода вычисления, погрешность вычисления. Ими объясняется полученное в ходе эксперимента неравенство площадей.

Задание 2 (max 10 баллов). На стороне AB произвольного треугольника ABC (тонкой однородной треугольной пластине) отметили точку К, так что АК: КВ = m : п, где т и п — целые числа. На отрезке CK отметили точку О, так что СО : ОК = р : /с, где р и к — целые числа. Опишите

эксперимент, позволяющей методом взвешивания определить, в каком отношении точки К и О делят отрезки AB и САГ соответственно. Перечислите оборудование, которое Вам для его проведения понадобится.

Критерии оценивания

Баллы

Содержание критериев

3

Найдена идея применения взвешивания

6

Перечислен полный набор необходимого оборудования

10

Описан план проведения экспериментальных работ и обработки данных эксперимента

Решение задания 2 (Один из возможных вариантов). Оборудование:

1) набор гирь одинаковой массы;

2) штатив для закрепления нити;

3) нить для подвеса пластины и гирь;

4) инструмент для того, чтобы проделать отверстия в пластине.

Ход эксперимента: Подвесить пластину на нити, прикрепленной в точке О. В вершинах пластины подвешивать гири до тех пор, пока пластина не примет горизонтальное положение. Подсчитать количество гирь, подвешенных в каждой из вершин. Пусть, после подсчета оказалось, что в точке А подвешено кх гирь, в точке В — к2 гирь, а в точке С — к2 гирь.

В этом случае точка О может рассматриваться как центр масс системы трех материальных точек (А; кх (ед. массы)), (В; &2(ед. массы)) и (С; /с3(ед. массы)), а точка К как центр масс системы двух материальных точек (А; кх (ед. массы)), (В; /с2(ед. массы)). Применим правило рычага (рис. 67) сначала для системы точек с центром К. Приходим к выводу:

AK: KB = k2\kv

Затем сосредоточим всю массу системы двух точек (А; к{ (ед. массы)) и (B;k2{tjx. массы)) в центре масс этой системы — в точке К. Тогда точка О может рассматриваться как центр масс системы двух точек: (К; к2 + кх (ед. массы)) и (С; &3(ед. массы)). Пользуясь также правилом рычага, приходим к выводу, что

СО \ОК=къ\(к2 + кх).

Задание 3 (max 15 баллов). С помощью сгибов разделите сторону квадратного листа бумаги на 9 равных частей. Обоснуйте правильность построений.

Критерии оценивания

Баллы

Содержание критериев

5

Правильно решена задача сгибанием для случая, представленного на листе бумаги

10

Способ решения задачи обобщенно описан

15

Способ решения задачи теоретически обоснован

Решение задания 3

Построение: Разделим сначала сторону квадрата на три части. Для этого сложим угол квадрата к середине противоположной стороны. В этом случае точка пересечения другой стороны, противоположной этому углу и стороне, прилегающей к нему, делит сторону квадрата в отношении один к двум (см. рис. 83).

Чтобы разделить сторону квадрата на девять частей, поступим аналогично, но угол квадрата сложим к точке, делящей сторону в отношении 2:1. В этом случае сторона угла разделится точкой перегиба в отношении 4 : 5. Разделить отрезок, равный 4 на четыре равные части не составляет труда — два раза пополам (см. рис. 84).

Рис. 83. Деление отрезка на три равные части

Рис. 84. Деление отрезка на четыре равные части

Обоснование: Пусть сторона квадрата равна 1. По теореме Пифагора для треугольника AGE (см. рис. 85) имеем: х +— = (1-х). Отсюда получаем: х= 3/8. Рассмотрим далее треугольники AGE и BEF. Они подобны по двум углам. Составим пропорцию -I— = —, откуда у = — Аналогично, используя только теорему Пифагора, легко доказать отношение частей стороны квадрата, получаемое на втором шаге.

Рис. 85

Задание 4 (max 20 баллов). Панель инструментов GeoGebra состоит только из пяти инструментов: Точка • , Отрезок по двум точкам «г , Луч по двум точкам , Окружность по центру и точке 0 и Пересечение двух объектов Решите следующую последовательность задач на построение в GeoGebra:

1) Построить правильный треугольник данными инструментами. Использовать результат решения задачи, чтобы дополнить панель инструментов своим инструментом Правильный треугольник. Сохранить файл под своей фамилией, например: Ivanov_4.1 .ggb.

2) Убрать с панели инструментов инструмент Окружность по центру и точке. С помощью оставшихся инструментов построить произвольный отрезок и разделить его пополам. Использовать результат решения

задачи, чтобы дополнить панель инструментов своим инструментом Середина отрезка. Сохранить файл под своей фамилией, например: Ivanov_4.2.ggb.

3) Убрать с панели инструментов инструмент Правильный треугольник. Добавить инструмент Окружность по центру и точке. Построить произвольную прямую и точку, не лежащую на ней. Провести через эту точку прямую, параллельную данной. Сохранить файл под своей фамилией, например: Ivanov_4.3.ggb.

4) С помощью имеющихся инструментов построить произвольный угол и его биссектрису. После чего дополнить панель инструментов своим инструментом Биссектриса. Сохранить файл под своей фамилией, например: Ivanov_4.4.ggb.

5) Построить окружность, вписанную в треугольник, имеющимися инструментами.

Сохранить файл под своей фамилией, например: Ivanov_4.5.ggb.

Критерии оценивания

Номер задания

Баллы

Содержание критериев

1

3

Правильно построен равносторонний треугольник

5

Создан корректно работающий инструмент Правильный треугольник

2

8

Найден способ построения середины отрезка с помощью инструмента Равносторонний треугольник

10

Создан корректно работающий инструмент Середина отрезка

3

13

Найден способ построения прямой, параллельной данной, с помощью указанного набора инструментов

4

15

Правильно решены все предыдущие задачи. Биссектриса угла построена с опорой на результаты решения предыдущих задач

17

Создан корректно работающий инструмент Биссектриса

5

20

Правильно решены все предыдущие задачи. Найден способ построения окружности, вписанной в треугольник, с помощью заданного набора инструментов

Решение задания 4

1. См. решение задачи 4.1 для 7 класса.

2. См. решение задачи 4.2 для 7 класса.

3. См. решение задачи 4.3 для 7 класса.

4. С помощью имеющихся инструментов построить произвольный угол и его биссектрису. После чего дополнить панель инструментов

своим инструментом Биссектриса. Сохранить файл под своей фамилией, например: Ivanov_4.4.ggb.

Построить биссектрису угла можно двумя способами. С помощью инструмента Окружность по центру и точке необходимо выполнить следующие шаги:

а) Построить окружность с центром в точке А и произвольным радиусом.

б) Найти точки пересечения окружности со сторонами угла (точки В и Q.

в) Построить окружность с центром в точке В и радиусом ВС.

г) Построить окружность с центром в точке С и радиусом ВС.

д) Найти точку пересечения этих окружностей (точка D).

е) Построить луч из вершины угла (луч AD) — биссектрису угла ВАС (см. рис. 86).

Затем создать инструмент согласно выданной на Турнире инструкции.

Рис. 86. Построение биссектрисы угла

Построение биссектрисы угла с помощью инструмента Середина отрезка описано нас. 158.

5. Построить окружность, вписанную в треугольник, имеющимися инструментами. Сохранить файл под своей фамилией, например: Ivanov_4.5.ggb.

Для того чтобы построить окружность, вписанную в треугольник, необходимо выполнить следующие шаги:

а) Построить произвольно треугольник с помощью инструмента Отрезок.

б) Провести биссектрисы с помощью полученного в задании 5 инструмента «Биссектриса».

в) Отметить точку пересечения биссектрис (точка D).

г) Построить две окружности с центрами в вершинах треугольника (точках А и С) и радиусами AD и CD соответственно.

д) Найти точку пересечения этих окружностей (точка Е).

е) Построить отрезок DE.

ж) Найти точку пересечения этого отрезка со стороной треугольника АС (точка F).

з) Построить окружность с центром в точке D и радиусом /^(рис. 87).

Рис. 87. Построение окружности, вписанной в треугольник

Задание 5 (max 30 баллов) (Задача составлена А.В. Ястребовым). Определить вид фигуры, которую образуют точки, равноудаленные от окружности произвольного радиуса и точки, лежащей вне этой окружности.

Решение задания 5. Пусть X — одна из искомых точек. Для решения задачи необходимо сначала сформулировать определение расстояния от точки Xjxo окружности (А; г).

Определение. Расстоянием от точки X, лежащей вне области ограниченной окружностью (А; г), до этой окружности будем называть внешнюю часть отрезка АХ, соединяющего эту точку с центром окружности, то есть отрезок СХ(см. рис. 35).

Построение. Это определение позволяет построить точку X по следующему правилу:

1) Отметим на окружности произвольно точку С.

2) Проведем луч АС.

3) Построим геометрическое место точек, равноудаленных от точки С и В — серединный перпендикуляр к отрезку СВ.

4) Точка X будет лежать на пересечении луча АС и серединного перпендикуляра.

Эксперимент. Введем для точки X команду Оставлять след и будем перемещать точку С по окружности. Траекторией точки С будет кривая, похожая на гиперболу (см. рис. 88).

Гипотеза: искомая фигура — гипербола.

Обоснование. Известно, что гипербола — это геометрическое место точек, абсолютное значение разности расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, постоянно. Примем за фокусы точки А и В. \АХ-ХВ\ = АС = г, так как по построению треугольник СХВ — равнобедренный. Следовательно, гипотеза справедлива.

Рис. 88. Построение траектории точки Х с помощью команды Оставлять след

Задание 6 (по 10 баллов за каждую корректно поставленную задачу).

Изменяя чертеж к заданию 5, составьте как можно больше новых задач. Формулировки своих задач можно записать или на листе бумаги, или в графическом окне GeoGebra с помощью инструмента — «Надпись».

Задачи, составленные путем изменения чертежа к задаче 5 (один из возможных наборов):

5.1. Определить вид фигуры, которую образуют точки, равноудаленные от окружности произвольного радиуса и точки, лежащей внутри этой окружности.

5.2. Определить вид фигуры, которую образуют точки, равноудаленные от окружности произвольного радиуса и точки, лежащей на этой окружности.

5.3. Определить вид фигуры, которую образуют точки, равноудаленные от двух окружностей разного радиуса. Исследуйте случаи различного взаимного расположения этих окружностей.

5.4. Определить вид фигуры, которую образуют точки, равноудаленные от данной окружности и прямой. Исследуйте все возможные случаи взаимного расположения окружности и прямой.

3.1.4. Итоги проведения первого турнира

В 2015 году в турнире приняли участие 68 учащихся, из них 24 — из школ г. Архангельска, 44 — из школ г. Северодвинска, г. Коряжмы Котласского района, школ Холмогорского и Верхнетоемского районов Архангельской области. Около 50% учащихся, участвовавших в турнире, впервые воспользовались программой GeoGebra (30 чел.).

Итоги подводились отдельно по каждой базе проведения турнира (см. табл. 22):

(1) — Институт математики, информационных и космических технологий САФУ имени М.В. Ломоносова;

(2) — Средняя общеобразовательная школа № 24 г. Северодвинска;

(3) — Верхне-Матигорская средняя общеобразовательная школа Холмогорского района;

(4) — Корниловекая СОШ Верхнетоемского района;

(5) — Средняя общеобразовательная школа № 1 г. Коряжмы Котласского района.

Таблица 22

Результаты первого областного турнира по Экспериментальной математике

Характеристики

1

2

3

4

5

Доля учащихся, владеющих GeoGebra

42%

100%

75%

0%

0%

Высший балл

44

26

38

13

20

Средний балл

15,8

7,9

21,2

5,5

20

Наименьший балл

1

0,5

6

1

20

Представленная таблица показывает, что результаты как подготовленных, так и неподготовленных учащихся достаточно низки. Это объясняется, главным образом, субъективной новизной предложенного способа деятельности. Экспериментальные методы находят весьма ограниченное применение в обучении математике. Если они и привлекаются

к обучению математике, то в качестве методов, подводящих учащихся к открытию математических соотношений (теоремы о сумме углов треугольника, теоремы Пифагора и т.п.), а также при решениях задач в ситуациях, когда аналитические методы еще не известны учащимся (измерение площади фигуры палеткой, построение графиков функций по точкам и т.п.). Поскольку использование этих методов в математике носит эпизодический характер, и они играют роль вспомогательных, то опыт их применения у учащихся формируется только под влиянием лабораторных работ, проводимых при изучении дисциплин естественно-научного блока. Одной из целей проведенного турнира по Экспериментальной математике явилось выявление возможностей переноса навыков применения экспериментальных методов, освоенных в курсах физики, химии, биологии на решения математических задач в отсутствии специального обучения этим методам на уроках математики.

Первая задача турнира провоцировала столкновение в сознании учащихся противоречивости знаний о равновеликости равносоставленных планиметрических фигур, полученных на уроках математики теоретически, с результатами экспериментальных действий. Учащиеся должны были объяснить несоответствие теории и практики. Анализ работ учащихся показал, что все полученные результаты можно разделить по трем группам. В первую группу попадают работы учеников, склонных безгранично доверять экспериментам, подгоняя теорию под результаты экспериментов и признавая ложным то, что противоречит экспериментальным данным. Примером этой позиции является решение первой задачи, представленное на рис. 89.

Рис. 89. Позиция безграничного доверия экспериментам

Представители другой группы показали, что безгранично доверяют положениям теории, подгоняя под нее данные эксперимента или вовсе отказываясь от его проведения. Пример этой позиции представлен на рис. 90.

Рис. 90. Позиция безграничного доверия теории

Третью группу составили учащиеся (их количество оказалось очень незначительным), которые понимают, что выводы, основанные на теоретических фактах и экспериментальных данных должны быть согласованы. Пример описания решения задачи 1 представителя этой группы представлен на рис. 91.

Рис. 91. Позиция согласованности экспериментальных данных с теоретическими фактами

Вторая задача была направлена на проверку умений планировать физический эксперимент применительно к ситуации, описанной на языке математики. Предполагалось, что учащиеся в этой деятельности

будут опираться на знания, полученные в курсе физики, о расположении центра масс системы материальных точек или на правило рычага (оно было актуализировано у учащихся рисунком, расположенным под условием задачи). Однако никто из учеников не воспользовался этой подсказкой. Те из них, кто справился с задачей, предложили разрезать фигуру на части и взвесить их. Затем доказали, опираясь на математические знания, что отношение исследуемых отрезков равно отношению масс частей фигуры, их содержащих (см. рис. 92).

Рис. 92. Одно из решений второго задания участниками турнира

Третья задача проверяла умение применять метод оригами к решению задач на основе знаний, приобретенных в курсе математики. Для того чтобы при решении задачи, учащиеся не пользовались отношением параллельности и перпендикулярности краев листа, линиями его разметки, им выдавались белые листы с неровными краями.

Эта задача оказалась самой простой для восьмиклассников. Ее решили практически все участники. Для учащихся 7 класса эта задача оказалась неожиданно трудной. Им оказалось трудным работать

в отсутствии образа самой окружности или хотя бы ее дуги. Для воссоздания образа окружности они выполняли дополнительные построения, используя при этом криволинейные края листа (см. рис. 93).

Рис. 93. Одно из решений третьего задания участниками турнира

Ученикам оказалось непросто при решении четвертой задачи именно в построении объектов ограниченным набором инструментов. Причем факт, что сами инструменты были виртуальными, не вызвал сложности у учащихся, тем более, что организаторы турнира предоставили им возможность пользоваться инструкциями по управлению панелью инструментов и созданию своего инструмента GeoGebra. Школьники легко справились лишь с теми задачами, для построения которых требовалось воспользоваться инструментами сходными с циркулем и линейкой (см. рис. 94).

Сложности возникли на третьем уровне, когда принципы использования набора инструментов перестали быть очевидными. Большинство учащихся после нескольких бесплодных попыток подобрать нужные построения ограничивались построением динамически неустойчивой конструкции, используя возможность перемещения объектов для «подгонки» результата под заданные параметры (см. рис. 95).

Рис. 94

Рис. 95

Пятая задача потребовала привлечения мысленных или компьютерных экспериментов. Однако опыт компьютерных построений, приобретенный учащимися, при решении предыдущей задачи оказался недостаточным для построения динамически устойчивой модели объекта исследования. Это привело их к неверным гипотезам

Рис. 96

(см. рис. 96). Никто из участников турнира даже не попытался дать теоретическое обоснование или объяснение выдвинутой гипотезе о виде геометрического места точек.

Полученные данные еще раз доказывают необходимость целенаправленного формирования у учащихся правильных представлений о роли и месте теоретических и экспериментальных методов в математической деятельности, а также умений рационально использовать сочетание этих методов.

Несмотря на то, что решить задачу 5 оказалось многим не под силу, попытку составить свои задачи на ее базе сделали многие участники турнира, некоторые из них использовали для этих целей и модифицирующие возможности GeoGebra (см. рис. 97).

Рис. 97

Наиболее типичными способами составления задач являлась модификация конструктивного объекта.

Подводя итог представленному анализу результатов первого турнира по экспериментальной математике следует отметить, что это соревнование может быть использовано не только в качестве формы работы, позволяющей привлечь учащихся к изучению экспериментальных методов и средств экспериментальной математики, но также и в качестве диагностического средства оценки степени подготовленности учащихся к применению этих методов и средств в процессе познания.

3.2. Создание виртуальных лабораторий и динамических тренажеров учащимися21

В этом параграфе мы опишем опыт включения учащихся в проектную деятельность, направленную на создание собственных интерактивных электронных образовательных ресурсов в среде GeoGebra. Такая работа более полезна, чем использование готовых ресурсов, так как в ходе ее выполнения у учащихся формируется опыт проектно-исследовательской деятельности, а также повышается уровень предметных результатов обучения.

3.2.1. Создание учащимися виртуальных лабораторий

по теме «Интерференция волн» как способ интеграции знаний учащихся по физике, математике и информатике

Готовые виртуальные лаборатории по физике для школьников сегодня предлагают многие компьютерные кампании. Хорошо известны такие ресурсы как «1С: Лаборатория», «Живая физика», VirtuLab, Sense Disc Physics и другие.

Наиболее часто виртуальная лаборатория представляет собой «рабочий стол», на котором обучающийся с помощью специализированных программ может моделировать объект исследования, имитировать процесс проведения лабораторного исследования с помощью виртуальных измерительных инструментов.

Пример 1. Виртуальная лаборатория для проведения работы на тему «Прибор Атвуда. Проверка Второго закона Ньютона».

Ресурс (см. рис. 98) включает модель лабораторной установки, описание назначения установки и цели лабораторной работы, инструкцию по проведению опытов, а также инструменты для управления опытом: «Запустить», «Остановить», «Привести в исходное состояние».

21 © Рогушина Т.П., ЧирковаЛ.Н., Форкунова Л. В., Тархов Е.А., Шабанова MB.

При наличии этого ресурса лабораторная работа учащихся наиболее часто включает три этапа:

— подготовительный, на котором учащиеся актуализируют знания Второго закона Ньютона, знакомятся с назначением, историей создания и устройством прибора Атвуда, виртуальной лабораторией, осваивают способ ее использования для проверки закона;

— основной, на котором учащиеся имитируют свои действия по проведению лабораторного эксперимента на приборе Атвуда;

— заключительный, на которому учащиеся делают выводы о справедливости закона на основе полученных экспериментальных данных.

Рис. 98

При таком использовании работа с реальным прибором Атвуда заменяется работой с ее виртуальной моделью, созданной на основе представлений об идеальной машине Атвуда (нить, переброшенная через блок,

невесома и нерастяжима; блок невесом; если массы тел равны, то вне зависимости от их положения система находится в состоянии равновесия, если не равны, то система тел приходит в поступательное движение). В результате использования виртуального прибора, учащиеся получают данные, которые далеки как по своим характеристикам, так и по своей природе от экспериментальных. Они получены методом компьютерных вычислений (скрытых от учащихся), и потому, повторение опыта в одних и тех же заданных условиях не меняет значения измеряемых величин.

В связи с этим подмена реальных лабораторных работ их компьютерной имитацией не только обедняет образовательные результаты, состоящие в формировании умений, относящихся к экспериментальному способу познания, но часто и искажает их. По этой причине учителя не спешат перейти на использование готовых виртуальных лабораторий, несмотря на очевидную возможность сэкономить финансовые ресурсы школы и учебное время.

Мы предлагаем не отказываться от использования виртуальных лабораторий в процессе обучения, а вовлекать учащихся в деятельность их создания, мотивированную сложностью или даже невозможностью постановки натурного эксперимента, возможностью использовать созданный ресурс для поддержки решения задач.

Пример 2. Постановка проектного задания на создание виртуальной лаборатории «Интерференция волн» средствами GeoGebra.

Для создания мотивирующей ситуации проектное задание включает все необходимые теоретические сведения по интерференции волн, а также практические задания на проведение наблюдений интерференции в двух случаях:

1) механических волн, возникающих на поверхности воды при наличии двух источников вибрации;

2) световых волн, возникающих при использовании бипризмы Френеля.

После выполнения подготовительных работ учащимся предлагается создать инструментами GeoGebra ресурс — виртуальную лабораторию, позволяющий моделировать интерференционную картину, возникающую в результате наложения волн длиной X, исходящих от двух источников монохроматического света, которые расположены на расстоянии h друг от друга и удалены от экрана на расстояние s.

В качестве средства оказания учащимся дозированной помощи в выполнении этого задания выступает инструкция по созданию виртуальной лаборатории. Ее содержание должно быть по возможности индивидуализировано и согласовано с зонами актуального и потенциального развития учащихся. Очевидно, что на практике речь может идти только

о дифференциации. Мы предлагаем исходить из предположения, что учащиеся обладают относительно одинаковым уровнем подготовленности при изучении темы «Интерференция волн» (для этого момент постановки проектного задания совмещают со временем изучения данной темы). Однако могут иметь разный уровень базовых знания по математике и информатике. Таким образом, инструкции должны быть составлены так, чтобы предоставлять учащимся в случае необходимости восполнить пробелы в базовых знаниях.

Шаг 1. Для создания интерференционной картины в графическом поле GeoGebra надо задать четыре параметра. Три из них указаны в условии задачи, а четвертым будет m — порядок отображаемого интерференционного максимума. Области изменения значений параметров выбираются следующими: X g [3,8; 7,8] с шагом 0,05; h g [0; 5] с шагом 0,1; s g [10; 20] с шагом 0,1; m g [—30; 30] с шагом 1.

Итог этой работы представлен на рисунке (рис. 99).

Задание параметра X g [3,8; 7,8] с шагом 0,05 позволит задавать длины волн в 100 нм и рассматривать волны всех цветов спектра: фиолетового (380-440 нм), синего (440-480 нм), голубого (480-510 нм), зеленого (510-550 нм), желтого (575585 нм), оранжевого (585-620 нм), красного (620—780 нм).

Рис. 99

Примечание (для начинающих пользователей GeoGebra). Для задания параметра необходимо воспользоваться инструментом «ползунок». Выбрав его на панели инструментов нужно нажать на желаемое место расположения в графическом окне. Появится диалоговое окно (см. рис. 100). Оно позволяет выбрать нужное имя параметра, указать область его изменения и выбрать шаг изменения.

Шаг 2. Получить динамическое изображение взаимного расположения источников и экрана, определенное текущими значениями h и s. Цвет источников должен также быть динамичным, т.е. изменяться в зависимости от значений X. Результат этого шага представлен на рисунке (рис. 101).

Рис. 100

Рис. 101

Примечание (для начинающих пользователей GeoGebra). Динамическая окраска объектом может быть получена путем задания дополнительных свойств построенного объекта. Для этого нужно, указав объект, вызвать диалоговое окно и войти во вкладку «Свойства». Далее имеется две возможности:

1) задать нужный цвет объекта, а затем, используя опцию «Дополнительно», задать условия его отображения; затем создать такой же объект, но другого цвета, и задать новые условия его отображения;

2) выбрав опцию «Дополнительно», указать промежутки значений параметра от которого зависит окраска объекта (этот способ позволяет варьировать лишь красный, зеленый и синий цвета).

Шаг 3. Построение точки, указывающей положение интерференционного максимума, порядок которого определяется текущим значением т, требует выражения его расстояния от нулевого максимума через заданные параметры.

Идея расчета видна из рис. 102, на котором изображена интерференция от двух когерентных источников.

Рис. 102

Запишем условие максимума для некоторой точки С на экране:

Ad = тХ,

где Ad — геометрическая разность хода; m — целое число, порядок максимумов; X — длина волны.

Ad=d2- dv

где d] — расстояние, проходимое волной от первого источника до т-го максимума; d2 — расстояние, проходимое волной от второго источника до т-то максимума.

Воспользуемся теоремой Пифагора. Из треугольников S{CE и S2CB выразим:

(1)

(2)

где s — расстояние от экрана до линии, соединяющей источники когерентных волн; h — расстояние между источниками; 1т — расстояние от нулевого максимума до максимума w-ro порядка.

Вычитаем почленно из равенства (1) равенство (2) и выполняем преобразования

так как

отсюда получаем формулу, выражающую расстояние точки т-го максимума от нулевого максимума:

Эта формула позволяет построить изображение на экране точки т-го максимума интерференции волн.

Примечание 1 (для начинающих пользователей GeoGebra). Построить точку m-го максимума можно с помощью инструмента «Окружность по центру и радиусу». В качестве центра окружности выбирается точка О — место положения нулевого максимума, радиус задается как вычисляемая переменная: lm_тах =---(см. рис. 103).

Рис. 103

Для получения интерференционной картины, на которой отображены максимумы, достаточно для построенной точки ввести функцию «Оставлять след», а затем пробежать все значения m (см. рис. 104).

Рис. 104

Аналогичным образом может быть получена интерференционная картина с изображением минимумов. Для построения точек минимума необходимо воспользоваться формулой:

Шаг 4. Построить изображение самих волн. Для этого необходимо сначала рассчитать формулу, задающую синусоиду, которая будет изображать волну. Используем формулу электромагнитной волны:

Выразим период колебаний через длину волны:

Для того, чтобы отображалась лишь часть синусоиды, соответствующая длине луча, необходимо ввести ограничения на область изменения аргумента функции для волны каждого цвета. Затем подвергнуть каждый из отрезков синусоиды геометрическим преобразованиям (см. рис. 105).

Рис. 105

Примечание (для начинающих пользователей GeoGebra). Задать ограничение области изменения аргумента функции можно с помощью логической формулы. Например, для волны фиолетового цвета нужно построить два фрагмента, со следующими ограничениями:

Для определенности примем, что Л = 0,1 мкм, скорость света с ~ 3* 108 м/с. На чертеже F — точка, определяющая место положение одного из источников фиолетового света, Е и D — точки, изображающие максимум интерференции т-го порядка.

Примечание (для школьников, имеющих математические трудности). Для получения изображения световой волны необходимо отрезок синусоиды подвергнуть двум преобразованиям:

1) сначала совместить начало синусоиды (точку А) с источником света (например, с точкой F), для этого осуществить параллельный перенос на вектор с началом в точке А и концом в точке, изображающей источник света (например, на вектор AF');

2) затем осуществить поворот синусоиды вокруг источника света на нужный угол (например угол между АО и FE).

Для создания изображения всего спектра цветов необходимо повторить шаги 2—6 семь раз, задавая соответствующий цвет и условия отображения источникам, точкам максимума и синусоидам.

После того, как виртуальная лаборатория готова учащимся предлагается с ее помощью решить следующие задачи.

1. Два когерентных источника Sx и S2 излучают монохроматический свет с длиной волны 600 нм. Определить, на каком расстоянии от центрального максимума на экране будет первый максимум освещённости, если S= 4 м и h = 1 мм.

2. Голубые лучи с длиной волны 480 Нм от двух когерентных источников, расстояние между которыми 120 мкм, попадают на экран. Расстояние от источников до экрана равно 3,6 м. В результате интерференции на экране получаются чередующиеся тёмные и светлые полосы. Определить расстояние между центрами соседних тёмных полос на экране. Каким будет это расстояние, если голубые лучи заменить оранжевыми с длиной волны 650 нм?

3. Когерентные источники белого света, расстояние между которыми 0,32 мм, имеют вид узких щелей. Экран, на котором наблюдается интерференция света от источников, находится на расстоянии 3,2 м от них. Найдите расстояние между красной (длина волны 760 нм) и фиолетовой (длина волны 400 нм) линиями второго интерференционного спектра.

4. Две узкие щели расположены так близко друг к другу, что расстояние между ними трудно установить прямыми измерениями. При освещении щелей светом с длиной волны 5-107 м оказалось, что на экране, расположенном на расстоянии 4 м от щелей, соседние светлые полосы интерференционной картины отстоят друг от друга на 2 см. Каково расстояние между щелями?

3.2.2. Создание учащимися динамических тренажёров для подготовки к государственному выпускному экзамену по математике

Традиционно подготовка учащихся к сдаче основного государственного экзамена по математике основана на организации их деятельности по решению задач открытого банка экзаменационных заданий, размещенных на сайте ФИПИ [141] и включенных в соответствующие сборники.

Мы предлагаем другой путь — включение учащихся в деятельность создания собственных дидактических материалов средствами GeoGebra.

Анализ контрольно-измерительных материалов ОГЭ по математике показывает, что целесообразно организовать деятельность учащихся вокруг создания тренажеров трех видов (см. табл. 23).

Таблица 23

Вид тренажера

Цель использования

Требования к контенту

Тренировочный тест

Самопроверка фактологических знаний

1. Перечень утверждений.

2. Средства визуальной проверки.

3. Средства выбора ответа из предложенных альтернатив.

4. Счетчик правильных ответов

Динамический генератор однотипных задач

Освоение обобщенного способа решения задач

1. Динамическая модель задачной ситуации.

2. Динамическое условие задачи.

3. Возможность вывода теоретических основ, описания способа решения, полученного результата

Динамический модификатор задач

Выявление границ применимости освоенного способа деятельности

1. Динамическая модель задачной ситуации, допускающая модификации.

2. Возможность вывода формулировок модифицированных задач.

3. Возможность вывода подсказок, получаемых результатов

Приведем примеры инструкций, которые предлагались учащимся для выполнения проектных заданий по созданию тренажеров этих видов.

Пример 1. Создайте средствами GeoGebra тренировочный тест, содержаний задания на проверку истинности утверждений:

«Для каждого утверждения установите, истинное оно или ложное:

1. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

2. В равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.

3. Если два угла равны, то они являются вертикальными.

4. Если углы вертикальные, то они равны».

Тест должен содержать средства для предварительной проверки правильности выбора ответа, а также включать счетчик правильных ответов (см. рис. 106).

Рис. 106

Инструкция

Шаг 1. Создайте перечень утверждений с помощью инструмента Текст ABC.

Шаг 2. Создайте средства выбора ответа для каждого утверждения. Для этого выберите на панели инструмент Ползунок а#2. Параметр п. должен принимать три значения: 0 — ложь, 1 — истина, 2 — не знаю.

Шаг 3. Создайте средства визуальной проверки утверждений. Например, средством проверки первого утверждения может служить динамическое изображение треугольника с выведенными на экран значениями длин сторон. Для простоты наблюдений с помощью строки ввода полезно создать переменные, равные сумме длин каждой пары сторон.

Поскольку визуальная проверка нужна только при неправильном выборе учащегося, то необходимо задать в качестве условия их отображения на экране значения п., соответствующего неверному ответу. Например, для первого утверждения нужно задать п. = 0.

Шаг 4. Создайте счетчик правильных ответов. Для того, чтобы правильным ответам соответствовал всегда 1 балл, задайте логическую функцию, которая будет сопоставлять правильному ответу на третий вопрос 1, в остальных случаях — 0: у = Если [я3 = 0,1,0]. Затем, создайте переменную 5, равную сумме пх + п2 + у. Для вывода ее в графическое поле создайте текст: «5 правильных ответов из 4». Для того, чтобы этот результат не был виден сразу, используйте инструмент Флажок 0 ,.

Пример 2. Создайте средствами GeoGebra динамический генератор однотипных задач с заданным прототипом:

«В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а боковая сторона — 10 см. Вычислите радиус вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами».

Подсказка. Для получения обобщенной задачи замените числовые данные параметрами: «В равнобедренном треугольнике основание равно а, а боковая сторона — Ь. Вычислите радиус вписанной и описанной окружностей, и расстояние между их центрами».

Генератор задач должен включать динамическое условие, чертеж, подсказки и ответ, которые выводятся на экран по мере необходимости (см. рис. 107).

Рис. 107

Инструкция

Шаг 1. Создайте два ползунка а и Ь. Пусть область изменения параметра а от 0 до 10 с шагом 0,1; область изменения параметра b от а/2 до 15 с шагом 0,1.

Шаг 2. Постройте равнобедренный треугольник с основанием b и боковыми сторонами а, пользуясь инструментами: Отрезок фиксированной длины S , Окружность по центру и радиусу Q), Пересечение двух объектов ^*\, Многоугольник (см. рис. 108). Вспомогательные элементы можно убрать с экрана.

Рис. 108. Построение равнобедренного треугольника

Шаг 3. Для построения описанной окружности надо воспользоваться инструментом Окружность по трем точкам Ç^. Центр этой окружности может быть построен с помощью инструмента Середина или центр .# .

Шаг 4. Для построения вписанной окружности нужно построить две биссектрисы инструментом Биссектриса угла , затем отметить точку их пересечения инструментом Пересечение двух объектов . Получим центр окружности. Затем с помощью инструмента Середина или центр • # нужно отметить середину основания равнобедренного треугольника. Вписанная окружность может быть построена инструментом Окружность по центру и точке 0.

Шаг 5. Радиусы вписанной и описанной окружности, а также расстояние между их центрами может быть измерено инструментом Расстояние или длина >

Шаг 6. Для создания текста с условием задачи воспользуйтесь инструментов Надпись ABC (см. рис. 109).

Рис. 109

Шаг 7. Для того, чтобы скрыть ответ задачи воспользуйтесь инструментом Флажок 0 J).

Шаг 8. Для того чтобы дополнить задачу списком необходимых для ее решения формул, создайте еще одну надпись. Для того чтобы формулы имели привычный вид, поставьте флажок вкладки «LaTeX-формула» и пользуйтесь ниспадающим списком (см. рис. 110).

Рис. 110

Шаг 9. Для того чтобы решающие видели, что нахождение расстояния между центрами окружностей зависит от вида треугольника, можно создать визуальную подсказку: изобразить отрезки FG— расстояние между центрами, FC — радиус описанной окружности и GE — радиус вписанной окружности (см. рис. 111).

Шаг 10. Скрыть формулы и визуальную подсказку можно снова с помощью инструмента Флажок 0 ,.

Рис. 111

Пример 3. Создайте средствами GeoGebra динамический модификатор задачи: «В прямоугольнике ABCD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К. Найдите длину отрезка АК, если AD = 11, а периметр ABCD равен 38».

Модификатор должен содержать условия модифицированных задач, а также ответы для самопроверки их решения (см. рис. 112).

Инструкция

Шаг 1. Создайте в графическом окне три ползунка:

а — отвечает за длину стороны AD прямоугольника ABCD; его минимальное значение 1, максимальное — 20, шаг — 1.

Р — отвечает за изменение периметра прямоугольника ABCD; его минимальное значение — 15, максимальное — 80, шаг — 1.

а — отвечает за изменение угла А; его минимальное значение — 0°, максимальное — 180°, шаг — 1°.

Придайте ползункам значения, соответствующие условию задачи (а= 11, Р= 38, а = 90°), и начните построение описанных в условии задачи объектов.

Рис. 112. Модификатор задач

Шаг 2. Постройте сторону AD длины а с помощью инструмента Отрезок фиксированной длины щГ .

Шаг 3. Постройте угол DAB величины а с помощью инструмента Угол заданной величины «û^.

Шаг 4. Проведите луч AD', и с помощью инструмента Окружность по центру и радиусу @ сделайте на нем засечку на расстоянии от А, равном длине второй стороны прямоугольника.

Шаг 5. С помощью инструментов Пересечение двух объектов ^Ç", Параллельная прямая и Многоугольник 1> завершите построение АВС/)(см. рис. 113).

Шаг 6. С помощью инструмента Биссектриса угла постройте биссектрису угла А.

Шаг 7. С помощью инструмента Пересечение двух объектов постройте точку пересечения биссектрисы угла А и прямой (покажите на прямую за пределами отрезка ВС), на которой лежит сторона ВС Переименуйте ее в точку К.

Шаг 8. Измерьте длину отрезка АК инструментом Расстояние или длина „

Шаг 9. Спрячьте ответ с помощью инструмента Флажок 0 ,.

Рис. 113. Построение четырехугольника

Шаг 10. С помощью инструмента Надпись ABC создайте тексты, соответствующие всем возможным формулировкам задач-модификаций. Для полученной надписи откройте диалоговое окно и, пройдя во вкладку Дополнительно, задайте условия отображения нужного текста.

Рис. 114. Окно дополнительной настройки отображения текста

Например, условием отображения задачи «Дан прямоугольник АBCD, его сторона AD = а, а периметр Р. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К. Найдите длину АК». Имеем условие, представленное на рисунке ниже (рис. 114).

Данную работу целесообразно организовать в форме коллективного проекта (каждый учащийся или микрогруппа) работает над своим набором тренажеров, затем передает свой набор другой группе для тестирования. Созданная классом в результате этого проекта коллекция тренажеров может быть использована в учебном процессе или самостоятельной работе учащихся для подготовки к экзамену.

3.3. Лабораторные работы по математике с GEOGEBRA22

Лабораторные работы широко используются в практике обучения дисциплинам естественнонаучного блока (физике, химии, биологии). Они представляют собой практические занятия, в ходе которых учащиеся индивидуально или в группах ставят эксперименты с целью практического освоения теории, приобретения опыта экспериментальной работы, овладения навыками работы с приборами и др.

Проведенный нами анализ текстов лабораторных заданий, предлагаемых в различных учебных пособиях по этим дисциплинам, показал, что все эксперименты, которые предлагается поставить учащимся, носят конфирматорный характер, т.е. направлены на проведение экспериментов, подтверждающих ранее введенные теоретические положения. Приведем в подтверждение пример одной из лабораторных работ, имеющейся в тексте учебника физики [69] (см. рис. 115).

Пример 1.

В отличие от физики, химии, биологии обучение математике не предусматривает организацию и проведение лабораторных работ. Хотя вопрос о возможности и целесообразности проведения лабораторных работ по математике поднимался в методике обучения математике неоднократно в связи с усилением прикладной и практической направленности обучения. Так, например, к периоду Колмогоровской реформы (70-е годы XX века) относится методическая разработка Ф.И. Яковлева, Д.М. Кирюшкина и Г.В. Воробьева [102], в которой предложено большое количество лабораторно-практических работ по разным темам школьного курса математики. Однако увлечение новыми идеями обучения математике, связанными с внедрением аксиоматического подхода,

22 © Шабанова М.В., Фомина Н.И., Удовенко Л.Н.

Лабораторная работа № 8

Выяснение условий плавания тела в жидкости

Цель работы — на опыте выяснить условия, при которых тело плавает и при которых тонет.

Приборы и материалы: весы с разновесами, измерительный цилиндр (мензурка), пробирка-поплавок с пробкой, проволочный крючок, сухой песок, фильтровальная бумага или сухая тряпка.

Указания к работе

1. Повторите по учебнику § 50 «Плавание тел».

2. Насыпьте в пробирку столько песка, чтобы она, закрытая пробкой, плавала в мензурке с водой в вертикальном положении и часть ее находилась над поверхностью воды.

3. Определите выталкивающую силу, действующую на пробирку. Она равна весу воды, вытесненной пробиркой. Для нахождения этого веса определите сначала объем вытесненной воды. Для этого отметьте уровни воды в мензурке до и после погружения пробирки в воду. Зная объем вытесненной воды и плотность, вычислите ее вес.

4. Выньте пробирку из воды, протрите ее фильтровальной бумагой или тряпкой. Определите на весах массу пробирки с точностью до 1 г и рассчитайте силу тяжести, действующую на нее, она равна весу пробирки с песком в воздухе.

5. Насыпьте в пробирку еще немного песка. Вновь определите выталкивающую силу и силу тяжести. Проделайте это несколько раз, пока пробирка, закрытая пробкой, не утонет.

6. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 12. Отметьте, когда пробирка плавает и когда тонет или всплывает.

Таблица 12

№ опыта

Выталкивающая сила, действующая на пробирку, F, Н,

Вес пробирки с песком Р, Н, P = gm

Поведение пробирки в воде (плавает пробирка или тонет)

1

2

3

7. Сделайте вывод об условии плавания тела в жидкости.

Рис. 115. Текст лабораторной работы

с абстрактными теоретическими построениями, широким использованием теоретико-множественных представлений и логического языка, сделало невозможным распространение в широкой педагогической практике предлагаемых работ. Благоприятные условия сложились в период контрреформы (80-е годы XX века). Тогда в практику учебной работы школы и, соответственно, в систему подготовки учителей математики в вузах были введены измерительные работы на местности (элементы геодезических измерений). Некоторые авторы данного параграфа являлись непосредственными участниками этих экспериментов и имели возможность оценить это новшество с позиций ученика, а затем и студента. Работы выполнялись в рамках бригадной формы организации занятий и занимали два академических часа. Первый час — инструктаж и измерение на местности с использованием геодезического оборудования. Второй час — анализ собранных данных, составления отчета. Эти работы были мало эффективны, это было очевидно даже ученикам. Во-первых, подготовка учащихся к использованию специализированного оборудования и специальных методов анализа данных требовала много времени. Во-вторых, закупка такого оборудования и поддержание его в рабочем состоянии была сопряжена с немалыми затратами. В-третьих, бригадный метод предоставлял большинству учащихся возможность пассивного участия и/или выполнения заданий, не имеющих ни прямого, ни косвенного отношения к математике. Эти причины обусловили довольно быстрое «исчезновение» лабораторно-практических работ по математике из школьной практики. Тогда же появились новые «модные» формы обучения математике, связанные с применением тестовых устройств.

Вновь интерес к лабораторным и практическим работам по математике возник в годы перестройки и демократической реформы системы образования (90-е годы XX века — начало XXI века). В этот период в журнале «Математика в школе» было опубликовано множество статей, посвященных разработке лабораторных и практических работ, связанных с различной тематикой, и описанию достоинств этих видов организации учебной работы. Приведем некоторые из них:

— лабораторные работы по стереометрии, как метод развития пространственного мышления учащихся в процессе моделирования фигур, построения их разверток, постановки и решения вычислительных задач на основе измерения (Т. И. Симакова [82]);

— лабораторные работы для пропедевтического изучения геометрии в 1—6 классах (Л.П. Котельникова [45], Р.К. Фахрутдинова [48], Л. Кокорева [92]);

— лабораторные работы для вовлечения учащихся в деятельность исследовательского характера, связанную со сбором фактов для формулировки утверждений посредством индуктивных выводов, самостоятельного открытия теоретических положений (Р. Катаева, А. Конакош [43], А.А. Окунев [66]; М.В. Шабанова [95]);

— лабораторно-графические работы для формирования измерительных и конструктивных навыков, применения правил приближенных вычислений (А. Морозова [59]; Н. Андреева [9]).

Результатом этих предложений учителей и ученых явилось введение некоторыми авторами школьных учебников лабораторных работ в программы по математике. Например, в курс математики для 5—6 классов [63], в курс алгебры и начал анализа для 10—11 классов [17]).

Однако по-прежнему в школьной практике лабораторные и практические работы по математике являются одной из наиболее редко применяемых форм работы. Особенно редки лабораторные работы при изучении систематических курсов алгебры, геометрии, алгебры и начал математического анализа. Объяснение этому мы нашли в ответах учителей математики на вопрос о причинах их отказа от использования таких видов работ. Отказ от проведения лабораторных и практических работ объясняется соображениями экономии учебного времени, а также причинами, связанными с трудностями организации самого процесса сопровождения деятельности ученика, каждый из которых по-своему дисциплинирован, имеет свои психофизиологические и психоэмоциональные особенности, свой темп работы и т.д. При этом многие учителя отдают должное дополнительным образовательным возможностям, которые предоставляются как самим процессом выполнения лабораторных и практических работ, так и их результатом. Отказываясь от организации и проведения лабораторных и практических работ на уроке, учителя все же используют их для постановки домашних заданий.

Обобщая опыт внедрения лабораторных работ в практику учебной работы, учитывая и множественные неудачные попытки такого внедрения, видим, что в системе общего математического образования вновь назрел момент, когда целесообразно переосмыслить с новых позиций накопленный опыт постановки лабораторных заданий и организации такой работы с учащимися с учетом идей экспериментальной математики. Это связано с информатизацией математического образования, включением в систему требований ФГОС ООО и ФГОС С(П)ОО требований формирования умений применять компьютерную технику для решения математических задач, проникновением в школу идей экспериментальной математики.

Крайне важно определиться с пониманием сути понятия «лабораторная работа по математике», главным образом, для правильного отражения содержанием работ методологии экспериментальной математики. Разумеется, существуют риски и опасения, связанные с немотивированным использованием компьютерных средств. Опасность включения в школьные учебники заданий на применение компьютера без предварительного обсуждения продемонстрируем на учебниках-«пионерах» информатизации (авторский коллектив Г.К. Муравин, О.В. Муравина).

Итак, пример типичного задания на применение компьютерных средств.

Пример 2 (задание №39 [60]): «Напишите уравнения касательных к графику функции у = 2х2 — х + 3, проходящих через точку: аМ(-1;6);

6)0(0; 3) А».

Символ означает, что задание под буквой б) авторы рекомендуют учащимся решить с использованием компьютера. Программа GeoGebra (рекомендованная авторами) позволяет выполнить это задание следующим образом:

1) построить график функции у = 2х2 — х+3, записав уравнение в строке ввода;

2) отметить в графическом окне точку D (0; 3), для этого координаты точки также задаются с помощью строки ввода; 3) построить касательную к графику функции, проходящую через точку D с помощью инструмента «касательная». На панели объектов и в самом графическом окне автоматически появится уравнение построенной касательной (см. рис. 116).

Как видно из представленного описания, такое решение задачи вовсе не требует от учащихся знаний об общем виде уравнения касательной к графику функций, умения находить производную функции в точке, определять является ли заданная точка точкой касания. Уровень сложности задания под буквой б) не отличается от уровня сложности задания под буквой а). В связи с этим мотив обращения к компьютеру, как к средству решения задачи, вызывает недоумение, сомнительны образовательно-ценностные выводы, к которым должны прийти учащиеся по результатам сравнения аналитического и компьютерного способов решения задач. Такой подход к организации практической деятельности ученика может и будет провоцировать устойчивое неприятие идей экспериментальной математики профессиональным педагогическим сообществом.

Рис. 116. Решение примера 2

Компьютерный лабораторный практикум по математике, по нашему мнению, должен включать лишь те задания, которые не могут быть решены с применением одних аналитических методов, осваиваемых школьниками на уровне базовых знаний.

В связи с тем, что экспериментальные методы сегодня используются на самых разных этапах математических исследования, мы считаем возможным и целесообразным не ограничиваться постановкой заданий на проведение конфирматорных экспериментов. Полезно и важно говорить о возможности организации лабораторных работ, имеющих различные образовательные цели. В зависимости от образовательных целей и учебной ситуации полезными для практики обучения математике могут оказаться как лабораторные работы с вещественными моделями математических объектов, так и лабораторные работы с виртуальными моделями. В некоторых случаях целесообразно использовать их сочетания.

Мы выделяем несколько видов лабораторных работ (которые вполне согласуются с традиционной терминологией):

—лабораторно-исследователъские работы, направленные на проведение учащимися компьютерных экспериментов с целью выдвижения гипотез:

о существовании и видах математических объектов, обладающих указанным в условии исследовательской задачи набором свойств; об общих свойствах математических объектов, составляющих объем изучаемого математического понятия; о закономерных связях свойств математических объектов;

— лабораторно-иллюстратывные работы, направленные на проведение учащимися экспериментов с целью подтверждения математических положений: осмысление математических правил с точки зрения правил практических действий; адекватность результатов, получаемых по вычислительным формулам, результатам непосредственных измерений; возможность конструирования моделей математических объектов, на которые распространяются положения;

— лабораторно-практические работы, направленные на проведение учащимися экспериментов с целью овладения практическими навыками: использования конструктивных и измерительных инструментов; разработки способов практических действий, основанных на математических положениях; оценки правдоподобия результатов практических действий с использованием математических положений;

— обобщающие лабораторные работы, направленные на проведение учащимися экспериментов с целью систематизации и обобщения изученного в ходе: разработки практических способов распознавания моделей объектов, принадлежащих родственным математическим понятиям; создания модели-трансформера, принимающего вид разных математических объектов (известных и новых); получения новых фактов, объясняемых на основе имеющихся математических знаний.

Для сравнения приведем примеры лабораторных работ, проводимых с вещественными и с виртуальными моделями в программе GeoGebra.

Пример 3. Лабораторно-исследовательская работа на тему «Определение вида треугольника».

Цель: сформулировать признак для определения вида треугольника по соотношению длин его сторон.

Постановка задачи: Теорема Пифагора гласит, что, если треугольник ЛВС — прямоугольный, то а2 + Ь2 = с2, где а, Ь,с — длины его сторон.

Данное утверждение приводит к постановке естественных вопросов: «Верно ли обратное утверждение?», «Какой вид будет иметь треугольник, если а2 + Ь2 > с2 или а2 + Ь2 < с2, при условии, что a<b<ct Ответ на эти вопросы Вам предстоит найти экспериментально.

Вариант 1 (без использования компьютера)

Ход работы.

1. Изобразите два отрезка произвольной длины. Измерьте их линейкой. Запишите результаты измерений. Обозначьте за b отрезок большей длины, за а — отрезок меньшей длины. Вычислите у/а2 + Ь2 •

2. С помощью линейки постройте отрезок с:

1) равный вычисленному значению;

2) больший Ь, но меньший вычисленного значения;

3) больший вычисленного значения, но меньший суммы а и Ь.

3. Для всех трех вариантов постройте циркулем и линейкой треугольник со сторонами a, b и с.

4. Измерьте транспортиром угол против стороны с.

5. Занесите свои экспериментальные данные и выводы в сводную таблицу результатов:

Ученик

а

b

Ja2+b2

с

угол С

вид ААВС

6. Сделайте вывод о виде треугольника (для каждого случая).

Вариант 2. (с использованием компьютера) Ход работы.

1. Создайте в GeoGebra динамическую модель треугольника, зависящую от трех параметров a, b и с — длин его сторон. Установите области изменений параметров так, чтобы выполнялось неравенство

а<Ь<с <а + Ь.

Выведите на экран текущее значение большего угла треугольника (у).

2. Выберите и зафиксируйте значения параметров а и Ь. Включите опцию запись в таблице исследуемых величин: у; а2 + Ь2\ с2. Изменяйте значение с.

3. Скопируйте таблицу данных эксперимента (см. рис. 117) в файл Excel.

4. Повторите эксперимент несколько раз для различных сочетаний значений а и Ь.

5. Используйте собранные данные, чтобы сделать выводы, отвечающие на поставленные вопросы.

Приведенные примеры показывают, что задания на проведения экспериментов в лабораторных работах этого вида существенно не различаются. Главным отличием является форма организации работ. Поскольку

в большинстве случаев объект математического исследования — класс эквивалентности, то для выдвижения гипотез о его свойствах необходимы массовые данные. В условиях ограниченного времени (урок или часть урока) получить достаточное количества данных, экспериментируя с вещественными моделями (моделями единичных представителей этого класса) можно лишь путем организации коллективной работы. Виртуальные модели математических объектов за счет задания и варьирования динамики, позволяют формировать репрезентативные выборки представителей изучаемого класса достаточно большого объема, и оперативно формировать массивы экспериментальных данных. Экспериментирование с такими моделями занимает не более 1—3 минут. Основное время тратится на создание адекватной модели. Все это позволяет использовать индивидуальную форму организации компьютерной лабораторной работы.

Рис. 117. Решение примера 3

Различия иллюстративных лабораторных работ, проводимых с компьютером и без него, не ограничиваются различием форм организации работы учащихся. Здесь выбор средств создания модели объекта изучения для проведения контрольных экспериментов имеет принципиальное значение. Покажем это на конкретных примерах.

Пример 4. Лабораторно-иллюстративная работа на тему «Равносильные преобразования».

Цель: Найти практическое подтверждение правилу:

«Для того, чтобы упростить уравнение или неравенство можно из обеих его частей вычесть одно и тоже число. Множество корней уравнения/неравенства при этом не изменится, то есть

Вариант 1 (без использования компьютера)

Постановка задачи: Решение уравнений и неравенств в большинстве случаев требует их сведения к простейшему стандартному или каноническому виду, т.е. к такому виду, для которого установлено правило описания множества корней (решений). Для того, чтобы множество корней (решений) не исказилось в процессе этой работы необходимо пользоваться правилами равносильных преобразований. Истинность этих правил должна быть подтверждена доказательством, или хотя бы проиллюстрирована аналогичными правилами практических действий на моделях уравнений и неравенств. Поскольку слева и справа от знака равенства (неравенства) находятся некоторые переменные, выраженные количественно, то логично интерпретировать процесс решения уравнений (неравенств) как поиск объектов, массы которых находятся в указанном отношении, методом взвешивания на весах. Ход работы.

1. Поставьте на чашки весов два любых предмета так, чтобы весы находились в равновесии (рис.118). Один предмет назовите Л, другой В. Поставьте на обе чашки весов по гире одинаковой массы (назовите ее с). Запишите, изменилось ли и как показание весов.

2. Повторите эксперимент, подобрав предметы так, чтобы масса А была меньше массы В. Запишите изменение показания весов.

3. Повторите эксперимент для А> В. Запишите результат.

А

В

А? В

с

(А+с)?(В+ с)

Рис. 118. Весы в равновесии

Вариант 2 (с использованием компьютера)

Постановка задачи: Решение уравнений и неравенств в большинстве случаев требует их сведения к простейшему стандартному или каноническому виду, т.е. к такому, для которого установлено правило описания множества корней (решений). Для того, чтобы множество корней (решений) не исказилось в процессе этой работы необходимо пользоваться правилами равносильных преобразований. Истинность этих правил должна быть подтверждена доказательством, или хотя бы подтверждена достаточно большим количеством примеров. Для испытания работы правила для различных значений с проведем компьютерный эксперимент.

Ход работы.

1. Задайте в GeoGebra изображения двух параметром:

1) параметра с, принимающего значения из произвольно выбранного вами промежутка с шагом 0,05;

2) параметрах, принимающего значения с шагом 0,01 из области допустимых значений уравнения (1):

(1)

2. Создайте в панели объектов GeoGebra зависящие от значений параметрах вычислимые переменные:

3. Создайте в панели объектов GeoGebra зависящие от значений параметров X и с вычислимые переменные:

4. Используйте эти четыре переменных для создания динамических текстов (см. рис. 119).

Рис. 119. Решение примера 4

5. Зафиксируйте произвольно значение с. Найдите корни представленных уравнений, перебором значение переменной х. Запишите результат.

6. Измените значение с. Снова найдите перебором корни нового уравнения. Опыт повторите несколько раз. Сделайте вывод о существовании или отсутствии значений с, нарушающих равносильность уравнений.

Представленные примеры показывают, что в лабораторные работы иллюстративного плана, проводимые с компьютером и без него, не всегда взаимозаменяемы. Они предоставляют разные с идейной точки зрения способы верификации математических утверждений. В связи с этим их лучше использовать в сочетании. Это позволит добиться более высокого уровня понимания материала учащимися, обладающими различными стилями мышления.

Заметим, что в лабораторных работах иллюстративного характера сочетание заданий на проведение компьютерных экспериментов с экспериментированием над вещественными моделями является хоть и желательным, но не обязательным. Обязательным оно является при проведении работ другого типа — лабораторно-практического. Здесь компьютерные эксперименты выполняются вспомогательную роль, позволяя получать дополнительные сведения о свойствах объектов исследования. Натурные эксперименты служат для проверки практической реализуемости предложенных решений проблемы и оценки условий их эффективности. Покажем это на конкретном примере.

Пример 5. Лабораторная работа по теме «Площадь треугольника».

Цель: освоение особенностей практического применения метода вспомогательных площадей.

Постановка задачи: В сельской местности расположено три небольших населенных пункта Л, В и С. Каждые два поселка соединены автомобильной дорогой. В связи с планами организации движения общественного транспорта по этим дорогам, необходимо определить места строительства автобусных остановок. Они должны быть расположены на каждой дороге так, чтобы расстояние от населенного пункта, через который дорога не проходит, было наименьшим. Разработайте типовой план, считая:

— не существенными размеры населенных пунктов;

— расстояние между каждой парой из них известным с точностью до 100 м. Ход работы.

1. Решите задачу аналитически, используя метод вспомогательных площадей.

2. Создайте компьютерную модель ситуации (см. рис. 120). Используйте ее для построения геометрических мест расположения автобусных остановок, определенных погрешностями измерения.

Рис. 120. Решение к примеру 5

3. Найдите в Интернет правила арифметических действий с приближенными значениями. Пользуясь ими, объясните величину результирующей погрешности.

4. Найдите на карте своего района три населенных пункта, соответствующих условию задачи. Пользуясь расчетами, укажите возможные места расположения автобусных остановок с указанием погрешности измерения.

Последним из названных нами видов являются лабораторно-обобщающие работы. Для достижения обобщений предпочтительнее виртуальные модели объектов исследования и серии модифицирующих компьютерных экспериментов. Это позволит избежать влияния неточности практических действий, снизит трудоемкость работ по получению и обследованию множества модификаций объекта исследования. Продемонстрируем это на конкретном примере.

Пример 6. Лабораторная работа на тему «Графический метод решения уравнений и неравенств».

Цель: обобщить графический метод решения уравнений на случай неравенств.

Постановка задачи: Известен графический метод решения уравнений вида:

f(x)=g(x). (2)

Этапы применения метода:

1) Заменить уравнение (2) равносильной ему системой

где у =f(x) и y = g(x) — функции.

2) Построить графики функций на их общей области определения.

3) Найти абсциссы точек пересечения графиков функций.

4) Проверить подстановкой, являются ли они приближенным/ точными значениями корней уравнения или являются посторонними корнями.

Если у =f(x) и у = g(x) являются функциями известного вида, то для решения уравнения (2) могут быть использованы эскизы их графиков, построенные в ручную. Если нет, то для построения графиков привлекаются компьютерные средства.

Логично предположить, что возможности компьютера могут быть использованы не только для этих целей, но и для решения вопроса о том, как изменится план действий, если применять графический метод к решению неравенств f(x) <g(x). Вам предстоит, опираясь на это предположение, обобщить графический метод на случай неравенств.

Ход работы.

1. Используя возможности программы GeoGebra, решите графическим методом какое-либо уравнение, например: 2x+l = yjllx5 +22 (см. рис. 121).

2. Измените графическую модель задачи так, чтобы она могла быть использована для решения аналогичного неравенства 2x+l < y/llx5 +22 (рис. 122).

3. Проанализируйте полученное изображение, сделайте вывод об изменениях, которые нужно внести в описание графического метода для его распространения на случай неравенств.

Резюмируя представленный в данном параграфе обзор видов лабораторных работ, считаем важным обратить внимание читателей еще раз на тот факт, что лабораторный практикум по математике ни в коем случае не может состоять их одних заданий на проведение компьютерных экспериментов. Каждый раз нужно рассматривать все методические возможности математических задач, принимая решение с учетом целевого назначения лабораторной работы, особенностей объекта исследования, возможностей имеющихся в распоряжении средств моделирования и экспериментирования с моделями.

Рис. 121 Рис. 122

3.4. Организация исследовательской работы учащихся с учетом идей экспериментальной математики23

Данный параграф посвящен описанию опыта включения учащихся основной и старшей школы в деятельность по подготовке исследовательских работ с применением GeoGebra. Таких работ за годы реализации проекта MITE под руководством учителей — экспериментаторов накопилось уже достаточно большое количество для обобщения накопленного опыта.

Тема работы

ФИО исполнителя и руководителя

Лучший конкурсный результат

Исследование положения ортоцентров треугольников, вписанных в гиперболу

Пятин Илья (10 класс), науч. руководитель — Паршева В. В.

2 место в международном конкурсе «Математика и проектирование», 2013 г.

Сангаку — математические секреты японских храмов

Попова Анна (10 класс), науч. руководитель — Петрова М.В.

2 место в международном конкурсе «Математика и проектирование», 2014 г.

23 © Белорукова М.В., Овчинникова Р.П., Паршева В.В., Тепляков В.В., Шабанова М.В.

Тема работы

ФИО исполнителя и руководителя

Лучший конкурсный результат

Геометрия дельтоида

Евсикова Дарья (10 класс), науч. руководитель — Белорукова М.В.

1 место на городской научной конференции «Юность Архангельска»; 2014 г.;

2 место на областной конференции «Юность Поморья», 2014 г.;

3 место в международном конкурсе «Математика и проектирование», 2014 г.

Свойства касательной к гиперболе

Максимовский Константин (9 класс), науч. руководитель— Паршева В.В.

2 место в международном конкурсе «Математика и проектирование», 2015 г.

Замечательные точки и линии в треугольнике: золотой ключ Леонарда Эйлера

Плесов Илья (9 класс), науч. руководитель — Паршева В.В.

3 место в международном конкурсе «Математика и проектирование», 2015 г.

Такая простая и сложная кардиоида

Евсикова Дарья (11 класс), науч. руководитель — Белорукова М.В.

3 место на городской научной конференции «Юность Архангельска», 2015 г.; 1 место на областной конференции «Юность Поморья», 2015 г.; 1 место в международном конкурсе «Математика и проектирование», 2015 г.

Опишем опыт работы наиболее успешных научных руководителей на конкретных примерах постановки ими исследовательских задач в сфере экспериментальной математики и организации деятельности учащихся по подготовке исследовательских работ.

3.4.1. Постановка задач на исследование некоторых свойств гиперболы учащимися 9—10 классов

Кривые второго порядки с древних времен привлекали к себе внимание ученых. Замечательные геометрические объекты — кривые линии привлекают внимание не только изяществом своей формы, но и многими удивительными свойствами. В школьном курсе математики в качестве кривых второго порядка рассматриваются графики квадратичной функции и обратной пропорциональности — парабола и гипербола. Они

изучаются на уроках алгебры как графики элементарных функций, и поэтому основное внимание уделяется их аналитическим свойствам. Изучение геометрических свойств этих кривых ограничивается лишь двумя вопросами:

— рассмотрением случаев их взаимного расположения с прямыми, так как эти случаи часто используется при графическом решении уравнений, построении графиков этих функций;

— выделением осей и точек симметрии в качестве геометрической интерпретации свойств четности и нечетности функций.

Парабола и гипербола как геометрические объекты рассматриваются лишь в классах с углубленным изучением математики. Здесь они трактуются как геометрические места точек, обладающих определенными свойствами. Учащиеся знакомятся с каноническими уравнениями этих кривых, с такими понятиями как фокус и директриса кривых. Изучают оптические свойства, необходимые для курса физики [3, с. 18—28]. В то же время парабола и гипербола имеют и другие интересные геометрические свойства, которые остаются за страницами школьных учебников.

Применение GeoGebra позволяет включить учащихся в деятельность комплексного изучения кривых второго порядка, поиска большого количества их геометрических свойств, оценки значимости знания этих свойств для решения разного типа задач, прежде всего задач на построение [137].

Рассмотрим исследование некоторых свойств гиперболы, которое было проведено учащимися 9—10 класса еще до изучения производной.

Постановка задачи переноса известных свойств окружности на гиперболу. Для подведения учащихся к постановке задачи исследования было организовано повторение известных свойств гиперболы:

— Гипербола — это график функции, называемой обратной пропорциональностью.

— Гиперболу можно задать уравнением у = — ,к ф 0.

— Гипербола состоит из двух бесконечных кривых, разделенных осями координат.

— Гипербола располагается в I и III координатных углах, если к > 0, и во II и IV координатных углах, если к < 0.

— График имеет две асимптоты: х = 0 и у = 0.

— График имеет центр симметрии — начало координат О (0;0).

— График имеет две взаимно перпендикулярных оси симметрии: у = X и у = —X.

Актуализация знаний учащихся об уравнении, задающем гиперболу, позволяет ввести по отношению к ней, а также по отношению к окружности термин «кривая второго порядка» — линия задаваемая уравнением второй степени: ах2 + by2 + сх + dy + к = 0. Наличие обобщающего термина ставит перед учащимися задачу переноса известных свойств окружности на гиперболу

В частности, ученики, на уроках геометрии знакомясь с тем фактом, что в окружность можно вписать треугольник, могут задаться вопросами: Можно ли в другие кривые второго порядка вписать треугольник? Какими свойствами обладает такой треугольник?

Искать ответы на эти вопросы помогает компьютерный эксперимент, проведенный в GeoGebra. Ученикам предлагается с помощью инструментов программы построить динамический чертеж гиперболы у = — с параметрически заданным значением к. На гиперболе отметить произвольно три точки — это вершины треугольника, вписанного в гиперболу.

С помощью инструмента Перпендикулярная прямая ._ - - найти ортоцентр этого треугольника. Варьируя значения параметра к и положения вершин треугольника на гиперболе, учащиеся легко приходят к выдвижению гипотезы: Ортоцентр треугольника, вписанного в гиперболу, принадлежит этой же гиперболе (рис. 123).

Рис. 123

После этого ученикам может быть предложено доказать справедливость гипотезы, для чего учащимся потребуются знания формул прямой, заданной двумя точками, уравнения прямой, перпендикулярной данной и проходящей через заданную точку, умение находить координаты точки пересечения двух прямых и умение определять принадлежность точки кривой.

Постановка задачи изучения геометрического способа задания гиперболы. В GeoGebra есть целый набор инструментов, позволяющих строить окружность из геометрических соображений. Предусмотрен также инструмент и для построения гиперболы. Особенностью этого инструмента является то, что он не снабжен указаниями по его использованию.

Пиктограмма •> явно подсказывает, что гипербола задается тремя точками, лишь одна из которых является точкой самой гиперболы. Исследовательская задача, решаемая учащимися средствами GeoGebra, может быть связана с выяснением смысла остальных двух точек и их значения для задания гиперболы.

Постановка задачи на исследование свойств касательной к гиперболе. Данная задача возникает вновь из соображений возможности переноса известных свойств окружности в новую ситуацию. В данном случае внимание учащихся обращается на случаи взаимного расположения окружности и прямой.

Экспериментируя с моделями гиперболы и прямой в GeoGebra, ученики убеждаются в том, что прямая и гипербола (также как прямая и окружность) могут иметь не более двух общих точек. Это позволяет ввести понятие касательная к гиперболе. Экспериментируя с изменением положения точки касания, учащиеся могут обнаружить интересные свойства касательной к гиперболе:

1. Касательная, проведенная в любой точке гиперболы, образует с осями координат треугольник постоянной площади, не зависящей от точки касания, и эта площадь равна \ 2k | (рис. 124).

2. Отрезок любой касательной к гиперболе, заключенный между осями координат, делится точкой касания пополам.

3. Касательная, проведенная к гиперболе в точке (х0; к/х0) пересекает ось абсцисс в точке (2х0; 0) и ось ординат в точке (0; 2к/х0).

4. Точка касания является центром окружности, описанной около треугольника, отсекаемого касательной от осей координат (рис. 125).

К доказательству справедливости выдвинутых гипотез учащиеся смогут вернуться позже (после изучения понятия производной и уравнения касательной к графику функции).

Рис. 124

Рис. 125

Отсутствие знаний об уравнении касательной ставит перед учащимися интересную исследовательскую задачу — придумать способы построения касательной к графику у = к/х в любой точке графика без нахождения уравнения касательной. Приведем несколько способов, предложенных учащимися.

Способ первый. Точка касания является центром окружности, описанной около треугольника, отсекаемого касательной от координатных осей, а радиусом является отрезок с началом в данной точке и концом в точке (0; 0). Построив такую окружность, мы получаем вершины треугольника, лежащие на координатных осях. Прямая, проходящая через них — искомая касательная (см. рис. 125).

Способ второй. Опустить перпендикуляр на ось Ох из данной точки касания. Полученный перпендикуляр будет являться средней линией треугольника, отсекаемого касательной от координатных осей. По найденной середине катета строят вершину треугольника и через нее и точку касания проводят искомую касательную (рис. 126).

Рис. 126

Способ третий. Площадь треугольника, который отсекается касательной, равна I 2к |. Значит, произведение катетов такого треугольника равна |4&|. Для гиперболы у = — произведение катетов равно 72. Если один катет равен 12, то другой равен 6. Отметим на оси Ох точку (6; 0), а на оси Oy — точку (0; 12). Через точки (6; 0) и (0; 12) проведем прямую. Это и будет касательная. Выбираем другие значения: один катет 18, другой 4. Через точки (18; 0) и (0; 4) проводим вторую касательную. Ученики приходят к выводу, что задача имеет множество решений (рис. 127).

Так мы приходим к еще одному интересному свойству гиперболы: гипербола является огибающей прямых, отсекающих от прямого угла треугольники одной площади S, т.е. гипербола касается всех таких прямых. Ученикам предлагается найти способ построения гиперболы, используя понятие огибающей.

Найденные учащимися способы построения касательных с опорой на «открытые» ее свойства могут быть использованы для поиска уравнений касательных.

Все перечисленные исследовательские задачи составляют одну «цепочку», поэтому целесообразно их ставить и реализовывать этап их компьютерного решения на одном установочном занятии (продолжительность 1,5 академических часа). Форма организации работы учащихся

на таком занятии — групповая. Каждая группа решает свою задачу в отведенное ей время. Затем подготавливается делает отчет о выполненной работе. После отчета каждой группы подводится общий итог работы: «Какое открытие было сделано на занятии?»

Рис. 127

Практика организации такой работы показывает, что микроисследования, проведенные на занятиях, часто становятся для учащихся стартом к выполнению ими проектно-исследовательских работ во внеурочное время.

Так, например, данная «цепочка» задач послужила отправной точкой для выполнения двух работ: «Свойства касательной к гиперболе» и «Исследование положения ортоцентров треугольников, вписанных в гиперболу».

3.4.2. Применение GeoGebra в постановке и решении задач Сангаку

Сангаку — это цветные деревянные дощечки, выставляемые в синтоистских святилищах, а иногда и в буддийских храмах в Японии, изображающие математические задачи (см. рис. 128 и 129).

Искусство Сангаку называют Японской храмовой геометрией. Знакомство учащихся с Сангаку на научно-популярных занятиях установочного характера приводит учащихся к постановке целой серии исследовательских вопросов: Зачем и для кого в храмах выставляли эти таблички? Связаны ли представленные на них геометрические задачи с религиозными учениями? Если связаны, то как? Кто составлял эти задачи? В чем особенность постановки и решения задач Сангаку? Все ли они имеют решение? Если да, то какое?

Рис.128 Рис.129

Поиск ответов на эти вопросы может стать предметом не только культурологических, но и математических исследований учащихся. Исследовательская работа по математике начинается с поиска информации о задачах Сангаку в сети Интернет. Результатом этой работы является создание коллекции задач, заимствованных из российских и зарубежных источников с решениями и без них. Анализ этой коллекции приводит учащихся к выводу, что словестная постановка задач Сангаку чаще всего является неполной, порой даже вовсе отсутствует. Это ставит перед ними проблему поиска значимых для решения задачи данных. Решение этой проблемы может быть осуществлено путем воссоздания чертежа классическими конструктивными инструментами (циркулем и линейкой) или средствами интерактивной математической среды (например, GeoGebra).

Представим работу ученика над одной из задач Сангаку на следующем примере: «Дан квадрат со стороной 1. Найдите радиусы кругов на рис. 130, если известно, что они равны».

Поверхностный анализ конфигурации, представленной на этом рисунке, приводит к предположению о равенстве углов, на которые разделен угол квадрата лучами, исходящими из его вершины, т. е. гипотезы о том, что лучи, исходящие из вершины квадрата, проведены под углом 30° к его сторонам.

Для проверки этой гипотезы учащийся строит динамический чертеж, выбирая в качестве параметра угол, из которого проведены лучи, и проводит компьютерный эксперимент. Результаты этого эксперимента представлены на рис. 131. Они свидетельствуют о сомнительности первой гипотезы (не позволяя, однако полностью от нее отказаться).

Это мотивирует ученика к поиску аналитического решения, которое также сопряжено с некоторыми трудностями. Для того чтобы продемонстрировать их, представим решение, предложенное иным исследователем.

Рис.130 Рис.131

Пусть прямая, исходящая из вершины квадрата под углом а (острым), отсекает от квадрата прямоугольный треугольник, в который может быт вписан круг с радиусом г. Тогда получаем уравнение (1):

(1)

Так как из одной вершины квадрата проведены две прямые под углом а к смежным сторонам квадрата, то при смежных сторонах квадрата образуются равные прямоугольные треугольники. Также получаем ромб, острый угол которого равен

Так как в ромб вписан круг радиуса г, то получаем уравнение (2):

(2)

Составим из уравнений (1) и (2) систему для получения уравнения относительно искомой переменной г. Используя тождества

приведем тригонометрические функции к одному аргументу:

(3)

Из (3) окончательно получаем уравнение относительно г.

(4)

Подбором легко находится один из корней этого уравнения г= 0,5, который, очевидно, не удовлетворяет условию исходной задачи. Однако его обнаружение позволяет свести уравнение (4) к уравнению третьей степени:

4r3-6r2+6r-l = 0. (5)

Других рациональных корней обнаружить не удалось. Используем GeoGebra для нахождения приближенного значения корня полученного уравнения:

Рис. 132

Полученный приближенный результат вполне согласуется с результатами компьютерного эксперимента, однако не позволяет говорить о завершенности работы над задачей. Данная ситуация ставит перед

учащимся задачу сбора данных о методах нахождения корней многочленов с целыми коэффициентами и их самостоятельного освоения. Числовое выражение для искомого корня может быть получено, например, с использованием формулы Кардано [7].

С помощью подстановки: г = у + 0,5 приведем уравнение к каноническому виду:

у3 + 0,75j + 0,25= 0. (9)

Данное уравнение имеет один действительный корень, так как

Он имеет вид:

Тогда

3.4.3. Моделирование кардиоиды в GeoGebra

Кардиоида, улитка Паскаля, астроида, нефроида — эти линии были известны ещё древним математикам, и многочисленные проблемы механики, астрономии, геодезии, оптики, возникшие в XVII—XVIII веках, стимулировали глубокий интерес к исследованию свойств этих линий. Эти проблемы привели также к открытию новых линий, возникших при рассмотрении чисто практических вопросов, а также в теоретических исследованиях. Крупнейшие математики эпохи с необыкновенным рвением занимались изучением кривых, открывая всё новые и новые их виды и свойства. Но не только практические потребности века поддерживали постоянный и глубокий интерес к исследованию кривых, но и та «радость созерцания формы», которая, по словам Клейна, характеризует истинного геометра [78].

Итак, рассмотрим задачу: Пусть окружность катится с внешней стороны по другой окружности того же радиуса. Нарисуйте кривую, которую описывает при этом точка, закреплённая: на окружности; на радиусе внутри катящейся окружности; на продолжении радиуса катящейся окружности [84].

Для решения используем интерактивную геометрическую среду GeoGebra. Построив модель катящейся окружности по другой окружности, получаем следующий результат: точка В' катящейся окружности описывает кривую, изображённую на рис. 133, а. Полученную кривую из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца (от греч. «кардиоида» — сердце) называли кардиоидой.

Изменив в модели положение точка В', получим следующее: Если точку В' брать не на катящейся окружности, а на радиусе или его продолжении, то получим кривые, изображённые на рис. 133, б и в. Первую из них называли укороченной, а вторую — удлинённой кардиоидой.

Все три вида кривых получили название улиток Паскаля. Такое название им дал французский математик Жюль Роберваль (1602—1675) по имени их открывателя Этьена Паскаля — отца Блеза Паскаля.

Рис. 133. Кардиоиды

Рассмотрим случай, когда неподвижная окружность и катящаяся по ней имеют произвольные радиусы R и r. Эти окружности могут касаться друг друга внешним или внутренним образом. В зависимости от отношения радиусов окружностей R : г точка, лежащая на подвижной окружности, описывает различные кривые, которые называются в первом случае эпициклоидами (см. рис. 134), а во втором — гипоциклоидами (см. рис. 135).

Рис. 134. Эпициклоиды, R:r = 6

Если точка находится не на катящейся окружности, а лежит вне или внутри ее, то кривая называется удлиненной или укороченной эпи-, гипоциклоидой.

Рис. 135. Гипоциклоиды, R:r = 3

Построенную модель и её модификации можно назвать кинематическими моделями. Известно, что существуют и другие модели кардиоиды. Например, алгебраическая модель — уравнение кардиоиды в полярной системе координат [3]:

р = 2г(\ ± coscp).

Чем отличаются кардиоиды, построенные по этим двум уравнениям? Существуют ли другие уравнения?

К сожалению, ИГС GeoGebra не строит кривых, заданных в полярной системе координат. Вопрос решает уравнение кардиоиды, заданное параметрически, и возможности среды строить траектории движения точки с помощью инструментов Оставлять след ^ и Локус параметрические уравнения кардиоиды.

Теперь в ИГС GeoGebra можно задать координаты точки M с помощью полученных формул, а саму кривую построить с помощью инструментов Оставлять след или Локус. Полученные кардиоиды отличаются друг от друга только началом построения: из вершины или каспа (см. рис. 136).

Рис. 136

Исходя из определения кардиоиды, данная кривая может иметь различные положения на плоскости. На рис. 136 касп располагается слева, а вершина — справа. Возникает вопрос: как будут выглядеть уравнения кардиоиды при других её расположениях? Рассмотрим следующие расположения кардиоиды:

Рис. 137

Начнём компьютерный эксперимент с изменения знака. Пусть р = —2r(cos ф ± 1). Тогда параметрические уравнения примут вид:

Получим кардиоиду, изображённую на рис. 137,а. Вывод: изменение знака симметрично отображает кардиоиду относительно вертикальной оси, и уравнение кардиоиды имеет вид

р = ±2a*(cos ф ± 1).

Продолжим экспериментировать с уравнением кардиоиды. Заменим функцию cos ф на sin ф: р = ±2r(sin ф ± 1). Получим следующие параметрические уравнения:

Данным уравнениям соответствует кардиоида, изображённая на рис. 137, б и в.

Вывод: Если в уравнении кардиоиды заменить функцию cos ф на sin ф, то кардиоида поворачивается на 90° по или против часовой стрелки. Объяснить это можно с помощью формул приведения: cos (ф ± 90°) = ±sin ф.

Что может получиться, если к углу ф прибавить произвольный угол а? Компьютерный эксперимент показывает, что в этом случае кардиоида поворачивается на угол а.

Таким образом, уравнение кардиоиды в полярной системе координат может принимать вид:

Поиграем в ИГС GeoGebra с параметром 2г. Раскроем скобки в уравнении кардиоиды р = 2r(cos ср ± 1) = 2rcos ср ± 2г и заменим слагаемое 2г на параметр а: р = 2rcos q> ± а. Построим кривую, заданную полученным уравнением в ИГС GeoGebra. Координаты точки М, лежащей на этой кривой будут задаваться уравнениями:

Проведём компьютерный эксперимент: будем менять численные значения параметра а и наблюдать, как при этом меняется форма кривой.

В ходе компьютерного исследования, мы получили следующие результаты:

1) если а < 2г, то полученная кривая является удлинённой кардиоидой (см. рис. 138, а);

2) если а = 2г— кардиоидой (см. рис. 138, б);

3) если а > 2г— укороченной кардиоидой (см. рис. 138, в).

Рис. 138

Поэкспериментируем с уравнением р = 2rcos ф ± а так же, как и с уравнением кардиоиды.

24 Запись в данной записи означает выбор функции

В ходе этого эксперимента получили различные расположения улитки Паскаля на плоскости и обобщённое уравнение:

Статья С.В. Ларина «Геометрическое моделирование действий с комплексными числами средствами GeoGebra» [65], подсказала идею ещё одного способа моделирования кардиоиды: построим в среде многочлен второй степени от комплексного переменного, модуль которого равен 1:

Эксперимент, проведённый в среде GeoGebra, показывает, что многочлен w(z) описывает кривую, похожую на улитку Паскаля. Попробуем доказать, что это действительно улитка Паскаля. Пусть z = X + />, тогда z2 = x2 — у2 + lixy.

Перейдем к полярной системе координат: х = rcos q>, у = rsin ф. Так KaK|z| = 1, г = 1,

Выполнив преобразования, получим:

Получили уравнение, похожее на параметрическое уравнение кардиоиды:

правда, с комплексными коэффициентами а и Ь. Дальнейшие преобразования в общем виде являются сложными, так как требуется введение вспомогательного аргумента угла. Если же данную задачу решить для конкретного многочлена, то гипотеза подтверждается.

Решение следующих задач [24] даёт ещё несколько способов построения кардиоиды и формулировки её определения.

Задача 1. Что представляет собой множество оснований перпендикуляров, опущенных из точки данной окружности на всевозможные касательные к ней ?

Задача 2. Что представляет собой множество всех точек, симметричных определённой точке данной окружности относительно всевозможных касательных к этой окружности ?

Задача 3. Если на каждой прямой I, проходящей через точку Л данной окружности ô радиуса г, отложить от точки Q пересечения I и ô (A*Q) отрезок QM длины 2г, то множество всех полученных таким образом точек M будет кардиоидой.

Итак, моделирование в ИГС позволило наглядно продемонстрировать различные определения кардиоиды, рассмотреть способы её построения и всевозможные расположения кардиоиды в системе координат, исследовать многочлены второй степени от комплексного переменного z, \z\ = 1.

3.5. Технология разработки и проведения исследовательского урока25

Я хотел бы, чтобы изобретатели дали историю путей, по которым они дошли до своих открытий. В тех случаях, когда они вовсе не сообщают этого, нужно попробовать отгадать эти пути.

Готфрид Лейбниц

Мозг хорошо устроенный стоит больше, чем мозг хорошо наполненный.

Мишель Монтень

3.5.1. Введение. Основные понятия

В настоящее время в школьном образовании происходит переоценка роли и места исследовательской деятельности в процессе обучения учащихся, что обусловлено требованиями модернизации образования и Федерального государственного стандарта основного общего. В соответствии с ФГОС ООО совершенствование форм и методов учебной работы, повышение эффективности учебно-воспитательного процесса, главным образом, нацелено на формирование у учащихся навыков и способностей к определенным видам деятельности, обладающим свойством универсальности и могущим быть реализованными на различном

25 © Овчинникова Р.П.

содержании и перенесенными в будущую учебную и профессиональную деятельность. К таким видам деятельности относится исследовательская деятельность.

Система современного общего образования, опираясь на личностно-ориентированный подход в обучении, ориентируется на когнитивные возможности и особенности учащихся при освоении ими определенного содержания. Это выражается в отказе от авторитарных методов обучения, в построении методики, опирающейся на психологические закономерности процесса познания, в предоставлении учащимся достаточной степени свободы в выборе способов овладения знаниями, в опоре на личностный (жизненный и учебный) опыт учащихся при осуществлении обучения. Реализация личностно-ориентированного подхода требует выбора таких методов обучения, которые бы ставили ученика в активную позицию, создавали условия для его равноправного участия в планировании, организации, проведении и корректировке образовательного процесса. К таким методам, в частности, относится исследовательский метод. Исследовательский подход в обучении способствует:

— раскрытию наиболее существенных сторон, характеристик изучаемого понятия, их взаимосвязей с другими понятиями с одновременным установлением ценности нового знания для учащихся;

— формированию научного мышления, через аккумулирование, компиляцию и обобщение приобретаемых знаний;

— развитию творческой активности учащихся в процессе учебного познания и созданию условий для научно-образовательной, поисково-творческой деятельности;

— активному использованию различных форм учебной работы в сочетании с разными организационных формами обучения;

— стимулированию готовности и способности проявлять учащимися познавательную и деятельностную инициативу в создаваемых условиях гармоничного соотнесения научно-образовательной, поисково-творческой деятельности в условиях учебной и внеучебной работы по изучению основных понятий предметной области.

В связи с этим важным является целенаправленное стимулирование познавательной активности у обучаемых с целью формирования у них ряда определенных исследовательских умений непосредственно на уроке и вне его. Формирование исследовательских умений в условиях организации образовательного процесса осуществлялось нами через организацию учебно-исследовательской деятельности.

Под учебно-исследовательской деятельностью понимается активная, целенаправленная, недетерминированная учебно-познавательная

деятельность, которая направлена на открытие нового для учащегося знания об объекте исследования, способе или средстве деятельности и характеризуется наивысшей степенью самостоятельности и творческим отношением к процессу исследования [85].

Урок, на котором целенаправленно организуется знакомство учащихся с методикой исследовательской деятельности, называют уроком-исследованием.

Основными отличиями урока-исследования от исследовательской деятельности являются временные рамки и конечный результат. Исследовательская деятельность почти не ограничена во времени и результат её неизвестен. Урок-исследование ограничен — это, обычно, один или два спаренных урока. На таком уроке перед учащимися ставится исследовательское задание (задача), решение которого в науке известно, но для учащихся оно является субъективно новым.

В соответствии с основными структурными элементами исследовательской деятельности и требованиями к современному уроку, можно выделить следующие этапы урока-исследования:

1. Актуализация знаний.

2. Этап мотивации и постановки проблемы исследования.

3. Сбор фактического материала.

4. Систематизация и анализ полученного материала.

5. Выдвижение гипотезы.

6. Проверка гипотезы.

7. Доказательство истинности гипотезы.

8. Вывод по результатам исследовательской работы, о применении полученных знаний.

9. Подведение итогов урока.

10. Домашнее задание.

На уроке, как правило, лучше, если исследовательские задания представляют собой небольшие исследовательские задачи, требующее прохождения через все или большинство этапов процесса исследования.

Урок, на котором учащиеся отрабатывают отдельные учебно-исследовательские умения, называют уроком с элементами исследования.

3.5.2. Цели и задачи урока-исследования

Целями урока-исследования являются:

— формирование знаний об исследуемых объектах и способах оперирования ими;

— формирование знаний о структуре и компонентах исследовательской деятельности,

— развитие исследовательских умений,

— развитие универсальных учебных действий.

Под учебно-исследовательскими умениями понимают умения полностью или частично реализовывать этапы исследовательской деятельности на различном предметном содержании.

Н.Л. Стефанова подразделяет исследовательские умения на:

— обобщенные (общие) исследовательские умения, инвариантные относительно различного содержания,

— специфические, используемые в отдельных дисциплинах и предметных областях и

— инструментальные умения (умения работы с оборудованием).

Конкретизируем список исследовательских умений, наиболее часто используемых учащимися в процессе изучения учебного математического материала, относящихся к этим видам на основе анализа научных исследований в данной области [26, 36, 85, 88]. Обобщенные умения:

— работать с учебной, справочной и научно-популярной математической литературой, поисковыми системами;

— осуществлять основные логические операции;

— ставить вопросы к данным;

— формулировать учебную проблему в общем виде и выделять подпроблему;

— искать всевозможные направления поиска решения проблемы и выделять то, которое приведет к желаемому результату и будет наиболее рациональным;

— проводить наблюдения, различного вида эксперименты;

— различными способами организовывать данные;

— грамотно выражать свои мысли (формулировать суждения);

— выдвигать гипотезу и проверять в частных случаях;

— находить контрпримеры;

— проводить доказательство;

— делать обобщающие заключения, выводы;

— представлять результаты исследования. Специфические умения в области математики:

— выявлять существенные свойства понятий;

— устанавливать существование объекта;

— видеть динамику задачи;

— организовывать перебор;

— выявлять математические закономерности;

— находить закономерности: способ упорядочивания объектов, продолжение ряда объектов, наличие лишнего объекта;

— выявлять общие или аналогичные свойства объектов;

— формулировать, записывать в различных формах, математических моделях одно и то же утверждение;

— устанавливать отношения между понятиями;

— выделять понятия, свойства, теоремы, применимые к решению задачи, доказательству теоремы;

— обнаружение структурного сходства внешне различных систем (задач);

— устанавливать аналогию методов решений задач,

— разбивать задачу на подзадачи;

— строить алгоритм решения задачи, проблемы;

— находить различные варианты решения задач, доказательства теорем;

— проверять полноту решения и достаточность доказательств;

— выявлять избыточные и недостающие данные;

— видеть связь изучаемого материала с окружающей жизнью, с практической деятельностью людей, оценивать практическую значимость изучаемого материала;

— выполнять перенос знаний в другие ситуации;

— устанавливать границы применения новых знаний.

К инструментальным умениям на этапе бурного развития информационных технологий следует отнести не только умения работать с традиционными инструментами, с которыми в условиях математической учебной и иной деятельности чаще всего работаем, а именно: с линейкой, циркулем, транспортиром и др., но и умения работать с программным обеспечением универсального и специального назначения:

— умения создавать текстовые документы, содержащие формулы, рисунки, чертежи, диаграммы, таблицы и пр.;

— умения создавать электронные расчетные таблицы;

— умения представлять результаты исследования с помощью презентационных программ;

— умения разрабатывать интеллект-карты с помощью таких программ как XMind, FreeMind и др.;

— умения работать в одной из так называемых интерактивных геометрических сред: GeoGebra, Математический конструктор, Живая математика и др.

Е.В. Баранова [15] выделяет следующие наиболее значимые дидактические функции учебных исследований:

1) открытие новых (неизвестных учащимся) знаний (установление существенных свойств понятия, выделение математических закономерностей, отыскание доказательств математических утверждений и т.п.);

2) углубление изучаемых знаний (получение определений, эквивалентных исходному, обобщение изученных теорем, нахождение различных доказательств изученных теорем и т.д.);

3) систематизация изученных знаний (установление отношений между понятиями, выявление взаимосвязей между теоремами, структурирование изученного материала и т.п.).

В результате проведенных нами исследований можно констатировать, что урок-исследование может быть уроком ознакомления с новым материалом, закрепления изученного, обобщения и систематизации знаний. Отметим, что при изучении понятий и теорем целесообразно проводить учебные исследования на этапах:

— выявления существенных свойств понятий, установления связей данного понятия с другими;

— ознакомления с фактом, отраженном в теореме, доказательства теоремы (в том числе и разными способами), обобщения теоремы, составления обратной теоремы и проверки ее истинности, установления связей изучаемой теоремы с другими.

Важнейшим средством развития учебно-исследовательских умений считают учебно-исследовательскую задачу.

Учебно-исследовательскую задачу относят к одному из видов проблемных задач. Учебно-исследовательская задача требует поиска, объяснения и доказательства закономерных связей и отношений экспериментально наблюдаемых или теоретически анализируемых фактов, явлений, процессов, в результате решения которых учащиеся открывают новое знание об объекте исследования, способе или средстве деятельности.

3.5.3. Структура урока-исследования

В структуре урока-исследования нами выше были выделены основные десять этапов. Исследователями в данной области [44, 85] установлено, что каждый из этапов исследования может быть реализован по-разному. Такая вариативность определяется разными причинами: спецификой предмета, изучаемой темой, дидактической целью урока, возрастом учащихся и др. Приведем примеры вариантов организации учебно-исследовательской деятельности на различных этапах урока-исследования.

1. Актуализация знаний. Готовясь уроку, учитель определяет, какое на этом уроке новое знание должно быть открыто: понятие, закономерность, правило, алгоритм, свойство или признак и т.п. Для открытия такого «нового знания» учащимся необходимо воспроизвести имеющуюся базовую информацию относительно изучаемого объекта. Например,

чтобы получить правило умножения обыкновенных дробей, учащиеся должны понимать сущность таких категорий, как «обыкновенная дробь», «умножение», уметь моделировать величины, заданные обыкновенной дробью и т.д. Задача учителя в начале урока — актуализировать, т.е. дать возможность ученикам вспомнить имеющиеся у них теоретические знания, практические умения, навыки, опыт, необходимые для изучения нового материала.

2. Этап мотивации исследования и постановки проблемы исследования. Мотивацию исследовательской деятельности можно осуществить различными способами:

— предложить оригинальное или неожиданное задание;

— использовать исторический или занимательный материал (факты биографии математиков, математические фокусы и т.п.);

— заострить внимание на значимости ожидаемых результатов;

— использовать с целью теоретического обоснования задачи межпредметного, прикладного, профессионального и иного характера;

— сравнить различные математические тексты с целью доказательства эквивалентности предложений;

— использовать контекстные задачи, т.е. задачи, в условии которых описаны конкретные жизненные ситуации, явления, факты, интересные для учащихся. Требованием такой задачи является анализ, осмысление и объяснение заданной ситуации или выбор способа действия в ней, а результатом ее решения — встреча с учебной проблемой и осознание её личностной значимости. Контекстная задача призвана приблизить академическую абстрагированность условия задачи к реальной жизненной ситуации, помочь ученику найти своё собственное решение «задачи на смысл», осознать необходимость изучения математики, один из способов пробуждения у школьников познавательного интереса.

С помощью мотивационной задачи на уроке создаётся ситуация, которая требует от школьников применения соответствующих данной ситуации знаний и опыта. В ходе деятельности учащимися обнаруживается недостаточность имеющихся у них знаний. Наступает осознание проблемности сложившейся ситуации, что, в свою очередь, порождает вопросы. Это должны быть собственные вопросы ученика, на которые ему необходимо найти ответы для выхода из проблемной ситуации.

В реальной практике очень многим учащимся сложно самостоятельно сформулировать проблему. По этой причине проблемная ситуация должна быть продумана настолько тщательно, что каждый ученик мог бы подойти к формулированию проблемы урока через формулирование

темы урока, цели урока или в виде вопроса. Деятельную помощь учащимся учитель может оказать, предлагая выполнить такие виды заданий:

— формулировка дополнительных вопросов к задаче: Сформулируйте к предложенной задаче ещё один или несколько вопросов;

— постановка вопросов к предложенной задачной ситуации: Поставьте вопросы к условию задачи. Что можно найти по предложенным данным?

— формулировка более общего или частного вопроса к содержанию предложенной задачи: Измените условие (требование) задачи так, чтобы вы могли её решить. Измените условие (требование) задачи так, чтобы с помощью её решения можно было найти ответ в каждом частном случае.

3. Сбор фактического материала. Исследовательская деятельность учащихся на уроке начинается с накопления информации. Сбор фактического материала зависит от вида данных и может осуществляться:

— при изучении соответствующей учебной или специальной литературы, источников информации сети Интернет и пр.;

— при наблюдении за свойствами каких-либо объектов, предложенных учащимся или демонстрируемых в виде выполненных статических, динамических и анимированных чертежей, анимации, фрагментов учебных видеофильмов и пр.;

— посредством проведения эксперимента, лабораторной работы в интерактивных геометрических средах. При этом считаем эксперимент тем методом исследования, который предполагает активное воздействие на объект исследования. Этим эксперимент принципиально отличается от наблюдения, не предполагающего такого воздействия;

— при организации практической работы исследовательского характера, в ходе которой учащиеся приходят к эмпирическим выводам, требующим теоретического обоснования;

— при решении серии исследовательских задач, цель которых — обнаружение закономерностей, требующих теоретического обоснования.

Прежде чем организовать изучение источников, наблюдение, эксперимент, важно поставить перед учащимися цель: установить, какие знания следует получить; за какими объектами, величинами, отношениями при этом следует наблюдать (например, как изменяется величина вписанного угла при изменении положения его вершины); проверить, при каких условиях существует изучаемый объект, выполняются те или иные свойства объекта; зачем нужно это знание, где оно в последующем будет использовано и др.

При планировании эксперимента следует тщательно продумывать ход испытаний, всевозможные пробы, попытки рассмотрения частных случаев, изменение числовых данных, рассмотрение предельных положений,

изменение взаимного расположения фигур или частей фигуры, каких-либо параметров. Испытания при проведении эксперимента не должны быть хаотичными, лишенными какой-либо логики, им необходимо задать направление посредством указаний, чертежей, пояснений и т.п.

4. Этап систематизации и анализа полученного материала. На этом этапе учащиеся осуществляют и совершенствуют основные мыслительные операции. Это сравнение, установление связей, классификация, обобщение, получение следствий; определение непротиворечивости, необходимости и достаточности условий.

Для оформления результатов наблюдения, эксперимента, решения задачи следует выбрать способ кодирования информации, получаемой в ходе наблюдения: запись в виде текста, построение графика, использование таблиц, диаграмм, схем, чертежей и т.п. для того, чтобы визуально представить обнаруженные в ходе исследования свойства, связи, соотношения, закономерности. Первоначально способ систематизации и представления фактического материала может быть указан учителем, в дальнейшем этот способ выбирается самим учеником.

5. Выдвижение гипотезы. Слово гипотеза происходит от древнегреческого hypothesis — основание, предположение, суждение о закономерной связи явлений. Гипотеза — это предположительное, вероятностное значение, ещё не доказанное логически и не подтверждённое опытом. Гипотеза — это мысленное представление основной идеи, к которой может привести исследование, предположение о результатах исследования. Выдвижение гипотез, предположений и нетрадиционных (провокационных) идей — важные мыслительные навыки, обеспечивающие исследовательский поиск и, в конечном счёте, прогресс в любой творческой деятельности.

Выдвижение гипотез может происходить как в процессе проведения испытаний или при систематизации фактического материала, так и входе выявления особенностей уже систематизированного фактического материала. Полезно прививать учащимся стремление записывать гипотезы на математическом языке, что придаст высказываниям точность и лаконичность.

Выдвижение гипотезы осуществляется посредством выделения общих свойств объектов, нахождения закономерностей (способ упорядочивания объектов, возможность продолжения ряда объектов, наличие лишнего объекта), высказывания предположений о возможности использовать определенные теоретические знания для решения поставленной задачи.

Для того чтобы научиться вырабатывать гипотезы, надо уметь задавать вопросы. Приведём примеры вопросов, тренирующих умение строить гипотезы:

— Почему...?

— Какова причина следующего явления?

— Что изменилось бы, если ...?

— Чем отличается ...?

— Какие условия необходимы для ...?

— Какой вывод вы предлагаете сделать из предположения о ...?

— Какой вывод вы предлагаете сделать из имеющихся фактов о ...?

— Как вы относитесь к этому высказыванию ...?

— Как это получается из ...?

— Как взаимное расположение данных фигур влияет на вывод о том, что ...?

— Можно ли выделить такие объекты ... в нашем случае?

— Какими особенностями обладают данные объекты?

— Появились новые объекты, давайте их исследуем. Попытайтесь описать словами данные объекты. Какими особенностями они обладают?

— Какие вопросы вы хотели бы задать относительно данных фигур?

— Перечислите существенные признаки данного понятия. Какие при этом признаки можно считать несущественными ...?

— Найдите возможную причину факта, свойства (равенства, параллельности, перпендикулярности, принадлежности и пр.).

В связи с появлением такого инструментария как ИГС математика стала предоставлять больше возможностей для осуществления данного этапа исследования. На уроке учащиеся с помощью ИГС могут генерировать различные гипотезы. Для этого учащимся предлагаются готовые модели или ставится задача конструирования нужной модели с помощью возможностей ИГС. Воздействуя на эти модели, учащимся удается находить некоторые закономерности, инварианты. Методика выдвижения гипотез может быть различной:

— после постановки проблемы ученикам предлагается самостоятельно выдвигать гипотезы возможного решения проблемы и сразу же их проверять;

— сначала учащимся предлагается решить серию однотипных задач, а затем ставится вопрос о выдвижении гипотез для объяснения наблюдаемых закономерностей.

На этапе выдвижения гипотез следует рассматривать любые предлагаемые для рассмотрения гипотезы, даже самые абсурдные. Подтверждать или опровергать их должны сами учащиеся. При этом недопустимо делать учащимся замечания типа «это неправильный ответ», «твоя

гипотеза неверна», «такая формулировка не нравится», «этого не может быть». Важно стимулировать и поддерживать рассуждения учащихся при анализе выдвигаемых ими гипотез.

6. Проверка гипотезы. Проверка гипотезы может быть теоретической и экспериментальной. На этом этапе деятельность учащихся согласуется с образовательными целями и реализуется по сценарию, организуемому учителем.

Теоретическая проверка гипотезы предполагает соотнесение полученного результата с ранее известными фактами. В данной ситуации гипотезу может подтвердить или опровергнуть учитель, подтверждение гипотезы может быть найдено в учебнике.

Экспериментальная проверка может быть организована через:

— проведение вычислительного эксперимента;

— проведение компьютерного эксперимента;

— проведение проверки получения определенного результата при изменении параметров (значения коэффициентов, значения величин и др.) с помощью выполнения математических действий.

7. Доказательство истинности гипотезы. Этот этап заключается в проведении обоснований на основе имеющихся у учащихся теоретических знаний; в сравнении полученных результатов с имеющимися в соответствующей учебной литературе. На первых порах самостоятельный поиск и построение необходимых доказательств для многих учеников представляет значительные трудности. Для их предупреждения учителю важно предусмотреть всевозможные подсказки: здесь могут помочь наводящие вопросы, схематические изображения проблемной ситуации, чертежи с особыми пометками, подсказывающими идею доказательства и т.п. Идея доказательства может также зародиться в процессе выполнения испытаний, может возникнуть и при анализе систематизированного фактического материала, и на этом следует акцентировать внимание учащихся.

Мотивом доказательства гипотезы может служить напоминание, что опровергнуть гипотезу можно одним примером, для которого гипотеза не справедлива. И как бы много примеров, подкрепляющих гипотезу, не было бы обнаружено, для доказательства гипотезы этого недостаточно. А вдруг где-то найдётся контрпример? Есть ли уверенность, что гипотеза верна для любого случая?

8. Вывод по результатам исследовательской работы. Этот этап связан с формулированием обобщенных выводов и их письменным представлением также в обобщенной форме. Выводы могут включать установление границ применения новых знаний, а также непосредственном

применение этих новых знаний в различных условиях или постановке новых вопросов и представлении результатов исследования.

9. Подведение итогов урока. Подведение итогов урока учителю следует провести в виде рефлексивного диалога, где учащиеся:

— высказывают собственные мысли, соображения, что способствует раскрытию личного субъектного исследовательского опыта;

— корректируют результаты учебно-исследовательской деятельности с учетом мнений других её участников;

— под управлением учителя развивают свои умения аргументировать идеи, слушать оппонентов, извлекать полезную информацию и делать необходимые выводы из предложений других членов группы, класса.

Важными компонентом на уроке является установка учащихся на кооперирование в решении исследовательских задач, а не на конкуренцию; создание в группе, классе отношений, подразумевающих доступность своего опыта для другого и открытость другого опыта для себя. Учитель при этом должен находиться внутри группы, быть не сторонним наблюдателем, а активным участником её деятельности, занимать сотворческую позицию.

Возможные вопросы для подведения итогов:

— С какими трудностями встретились? Что показалось наиболее трудным?

— Что помогло справиться?

— Можно ли было решить задачу другим способом?

— Что возьмёте на будущее из работы над задачей/заданием?

— Были ли ошибки? Какие? В чем причина ошибок?

— Как помочь себе избавиться от ошибок?

— Чему учились на уроке?

— Что помогало при этом?

— Можно ли по аналогии перейти к новой задаче? Что это за задача?

— Какие задания вы бы выбрали для самостоятельной (домашней) работы для своих товарищей?

10. Домашнее задание. Кроме решения задач на применение изученного понятия, метода и т.п. домашнее задание может содержать:

— самостоятельный поиск новых доказательств теорем, выводов новых формул, отыскание способов решения задач; при этом допустимо указать теоремы, идеи, методы, которые возможно использовать при решении;

— работу с дополнительной математической литературой, энциклопедиями, книгами по истории математики, использование информационных Интернет-ресурсов;

— проведение исследований, подготовку сообщений, проектов для выступления на факультативных занятиях, научно-практических конференциях.

Проведение урока-исследования требует тщательной подготовки, включающей разработку соответствующего методического обеспечения. Учитывая ответственность, с которой приходится подходить к подготовке и проведению подобных уроков, отметим определяющие дидактические принципы конструирования исследовательского урока [33]:

— реконструкция содержания учебного материала в комплекс исследовательских задач;

— организация продуктивного взаимодействия учителя и учащихся на основе актуализации личностных функций (выбор, оценка, рефлексия, прогноз); проектирование системы вопросов, ролей, действий.

Понимая важность учета указанных принципов при организации исследовательского обучения на примере уроков-исследований, рассмотрим подробнее их содержание.

3.5.4. Реконструкция учебного материала в комплекс исследовательских задач

Под исследовательской задачей будем понимать разновидность учебно-познавательной задачи, содержащей познавательное противоречие, процесс разрешения которого способствует формированию у учащихся исследовательских умений.

Учебно-исследовательская деятельность в области математики, по мнению ученых [16, 36, 44, 86, 88], связана с:

— введением новых для учащихся математических объектов и понятий;

— обоснованием существования или невозможности существования абстрактных математических объектов;

— сравнением математических понятий, установлением связей данного понятия с другими, классификацией математических объектов;

— нахождением свойств или признаков математических объектов;

— выявлением отношений между понятиями;

— нахождением закономерностей и зависимостей между метрическими характеристиками объекта;

— выяснением влияния одного или нескольких определенных условий на выполнение некоторого свойства объекта;

— классификацией геометрических объектов, отношений между ними, основных фактов из различных разделов геометрии;

— поиском различных способов решения, доказательства;

— ознакомлением с фактом, отраженным в формулировке или доказательстве теоремы;

— исследованием математических предложений;

— построением контрпримеров;

— составлением обратной теоремы и проверке ее истинности;

— обобщением и выделением частных случаев;

— составлением новых задач, вытекающих из решения данной;

— решением конструктивных задач различными способами;

— многовариантностью гипотез, способов решения, ответов;

— поиском новых способов действий, приёмов, догадок, эвристик;

— применением теоретических знаний к решению практических задач и т.д.

Анализ задачного материала школьных учебников геометрии показывает, что в них можно встретить исследовательские задачи:

— на нахождение некоторых свойств математических объектов, задачи типа «существует ли», «верно ли», «может ли»: «Существует ли треугольник со сторонами: а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм и 4 дм?»;

— на поиск геометрических мест точек, задачи типа «что представляет собой»: «Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии отданной прямой?»;

— с многовариантным ответом: «Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен 40°»;

— прикладного характера, например, «Два населенных пункта A и В находятся по одну сторону от прямой дороги. Где на дороге надо расположить автобусную остановку С, чтобы сумма расстояний от населенных пунктов до остановки была наименьшей?» [32, № 248, 283, 228, 303].

Очевидно, что для организации учебно-исследовательской деятельности такого набора задач недостаточно. Решить вопрос о составлении учебно-исследовательских задач могут помочь действующие школьные учебники. Путем преобразования задачи с закрытым условием в задачу с открытым условием, где требование не сформулировано в явном виде, задача из школьного учебника превращается в исследовательскую задачу. Так, задачи с явным требованием «Доказать» свойство (признак) некоторого математического объекта можно преобразовать в задачи с неявным требованием «Сколько ... ?», «Найдутся ли ... ?», «Может ли ... ?», «Для любого ли ... ?» или в задачи неопределенного типа «Найти», «Исследовать» свойство или признак. Открытые формулировки задач «провоцируют» ученика на анализ данных, выдвижение и проверку гипотезы, то есть на осуществление элементов учебно-исследовательской деятельности, тогда как исходная задача была направлена лишь на построение логического обоснования предъявленного явно истинного математического утверждения.

Приведём несколько примеров реконструкции традиционных задач путем переформулирования требования, условия и постановки дополнительного исследовательского вопроса.

Задача 1 [32, № 110]. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.

В требовании задачи в явном виде указан вид геометрической фигуры. Чтобы вид геометрической фигуры был неопределённым, следует переформулировать требование, например, так: Определите вид данного треугольника. Аналогично можно поступить и с условием задачи, если скрыть отношение между медианой и высотой. В результате получаем задачи 1Л и 1Б.

Задача 1А с открытым требованием. Известно, что в треугольнике медиана совпадает с высотой. Определите вид данного треугольника.

Задана 1Б с открытым условием. Как в треугольнике ЛВС должна быть расположена высота ВН относительно медианы ВМ, чтобы он стал равнобедренным?

В процессе решения задачи 1А может быть первоначально проведен эксперимент в ИГС, где учащиеся на модели треугольника ЛВС, изменяя положение вершины В замечают, что треугольник становится равнобедренным в случае совпадения точек Ни M (см. рис. 139).

Рис. 139. Проведение эксперимента в ИГС

Дополнительными исследовательскими вопросами к задачам могут быть такие: Сформулируйте условие так, чтобы вид данного треугольника был равносторонним. Изменится ли вид треугольника, если медиану/ высоту заменить на биссектрису?

Исследовательский характер многовариантных задач заключается в выделении по условию задачи всех возможных вариантов расположения данных элементов и поиск ответа в каждом отдельном случае. Получить многовариантную задачу можно, реконструируя условие снятием части характеристик (соответствие величин элементам фигуры, порядок следования) или их обобщением (например, заменой одного объекта на другой, более общий по сравнению с первым). Приведем примеры

реконструкции одновариантных задач по теме «Вписанная окружность» в многовариантные задачи.

Задача 2 [32, № 689]. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Убрав соответствие между сторонами и их величинами, получим:

Задача 2А. В равнобедренном треугольнике со сторонами 10 и 13 см найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

По условию полученной задачи можно построить 2 чертежа (см. рис. 140, а), и она будет иметь два разных решения: 3— или -см.

Задача 3 [32, № 690]. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Опустив порядок следования, получаем:

Задача 3А. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см. Найдите периметр треугольника.

Опять получаем 2 альтернативных чертежа (см. рис. 140, б).

Рис. 140. Чертежи к условиям задач 2 и 3

Учебники геометрии содержат немало задач и теорем, допускающих использование дополнительных построений и имеющих несколько способов решения/доказательства. Для поиска и исследования этих способов может быть использовано задание типа: «Докажите используя дополнительные построения, представленные на рисунках. Что общего в данных дополнительных построениях? Как можно догадаться именно об этом способе доказательства? Можно ли запомнить этот способ/приём доказательства?

Рассмотрим, например, свойство биссектрисы треугольника.

Задача 4 [32, № 535]. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Переформулируем задачу введением подсказок в виде чертежей к решению и постановкой дополнительных вопросов.

Задача 4А. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, используя дополнительные построения, показанные на рис. 141. Что общего в предложенных дополнительных построениях? Использование каких теорем «подсказывает данное дополнительное построение»?

Рис. 141. Дополнительное построение — высота

Или другой вариант формулировки

Задана 4Б. Сформулируйте гипотезы о способах доказательства свойства биссектрисы треугольника.

Рис. 142. Дополнительное построение — параллельная прямая

Рис. 143. Дополнительное построение — равнобедренный треугольник

Первый чертеж, представленный на рис. 141, соответствует доказательству, которое дано в учебнике [32, §1 Гл. VII]. Два других закрепляют идею доказательства:

1) использование теорем об отношении площадей треугольников, имеющих равные высоты (углы);

2) дополнительное построение — высота треугольника соответствуют идее доказательства, основанной на использовании понятия подобных треугольников и их признаков, что является предметом изучения школьниками следующего параграфа.

Задана 4В. Можно ли доказать свойство биссектрисы треугольника с помощью дополнительного построения — описанной около данного треугольника окружности (см. рис. 144)?

Постановка задач на исследование геометрических конструкций с использованием ИГС помогает выявить неопределенность условия, способы его реализации, исследовать задачи со сложной конструкцией, найти лишние данные и формулировать обобщённые задачи, так как динамическая модель, выполненная по данным задачи, позволяет изменять значения величин и взаимное расположение отдельных элементов чертежа.

Приведём пример задачи с избыточными данными и исследовательское задание, которое можно выполнить в ИГС.

Рис. 144. Дополнительное построение — описанная окружность

Задача 5 [№ 86, с. 135, 98]. В треугольники ЛВС и CDA (В и D по одну сторону от CA) вписаны окружности. Найдите длину общей внешней касательной к этим окружностям, если АВ= 7, ВС = CD, DA = 9.

Задача 5А. Исследуйте аналогичную геометрическую конструкцию, в которой точки В и D находятся по разные стороны от CA.

Эксперимент, проведенный в ИГС с данной конструкцией, показывает, что ответ не только не зависит от длины отрезков АС, ВС и CD, но и не зависит от взаимного расположения точек В, D и прямой CA, что позволяет снять некоторые условия данной задачи и дать ей более общую формулировку.

Рис. 145. Динамическая модель к задаче 5

Следующий пример — с противоречивыми данными, определить которые тоже можно с использованием ИГС.

Задача 6 [№ 690, 32]. Прямые AB и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки AB и АС в точках M и N. Докажите, что периметр треугольника AMN и угол MON не зависят от выбора точки X на дуге ВС.

Задача 6А. Прямые AB и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки AB и АС в точках M w N. Исследуйте зависимость периметра треугольника AMN и угла MON от выбора точки X на дуге ВС.

Исследовательский потенциал содержится и в обучении учащихся составлению задач: «Новые понятия и свойства математических объектов являются предметом специального исследования: какие задачи могут быть составлены на их основе? Какие новые связи при этом появляются?» [101].

Рассмотрим пример задачи, построение модели которой в ИГС позволяет определить не только избыточность условия, но и поставить новые вопросы к условию.

Задача 7. В треугольнике ABC АВ= 12, ВС= 5, CA = 10. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC= 4 : 9. Окружности, вписанные в треугольники ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.

Неопределенность в условии данной задачи показана на рис. 146.

Рис. 146. Два альтернативных чертежа к условию задачи 7

Построение динамической модели данной задачи в ИГС таким образом, что положение точки D можно изменять, дает возможность увидеть, что длина отрезка EFbo втором случае не изменяется. То есть данная задача имеет избыточное условие BD : DC = 4 : 9 для второго случая26. При этом сама ситуация порождает несколько вопросов исследовательского характера:

— чему равна длина отрезка ЕЕ, если точка D лежит на прямой ВС вне одноименного отрезка;

— в каком отношении должны быть BD и DC, чтобы окружности, вписанные в треугольники ADC и ADB, касались друг друга?

Сформулированные вопросы порождают новые задачи (см. рис. 147).

Рис. 147. Касание окружностей

Табл. 24 демонстрирует примеры реконструкции теоретического и задачного материала к уроку по теме «Сумма углов треугольника».

26 Все опубликованные решения данной задачи используют заданное отношение.

Таблица 24

Примеры реконструкции содержания учебного материала по теме «Сумма углов треугольника» в серию исследовательских задач

Вид учебного материала

Содержание учебного материала в учебнике [32]

Исследовательская задача

Нахождение свойств или признаков математических объектов

§ 1. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА.

Теорема о сумме углов треугольника. Докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему о сумме углов треугольника. Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°. № 223. Найдите угол С треугольника ABC, если

а) ZA = 65°, ZB = 57°;

б) ZA = 24°, ZB= 130°;

в) ZA = a,ZB= 2a; r)Z/l = 60 + ao,Z£ = 60o-a

1. Найдите величину угла, вершина которого не досягаема. Найдите несколько способов решения проблемы27.

2. Постройте треугольник ABC с данными углами ZA = 65° и ZB = 57°. Измерьте величину угла С. Измените величину угла В на а°. Как при этом изменилась величина угла С? Повторите наблюдения, изменив величину угла А. Сформулируйте гипотезу, являющуюся причиной такого изменения. Сформулируйте гипотезу о том, чему равна сумма углов треугольника. Обоснуйте её

Поиск различных способов доказательства теоремы

Доказательство....

Перечислите известные вам теоретические положения, с помощью которых можно доказать теорему о сумме углов треугольника. Сформулируйте гипотезу о способе доказательства теоремы. Докажите гипотезы, используя рисунки:

27 Данное задание выполняется учащимися и демонстрируется им на готовой модели с ограниченной областью, выполненной заранее учителем в ИГС.

Продолжение табл. 24

Вид учебного материала

Содержание учебного материала в учебнике [32]

Исследовательская задача

Поиск новых способов действий, приёмов, догадок, эвристик28

Обоснуйте способ доказательства теоремы методом оригами по рисунку:

Введение новых для учащихся математических объектов и понятий

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника

Охарактеризуйте угол 4, выделенный на рис. 125 учебника [32]. Как бы вы его назвали по отношению к треугольнику ABC. Сформулируйте определение данного нового понятия. Исследуйте вопрос о том, сколько внешних углов у треугольника. Сформулируйте гипотезу. Обоснуйте её [75, с. 43]

28 В данном случае новыми являются дополнительные построения: 1) проведение через точку прямой/луча, параллельной/параллельного данной прямой, 2) откладывание угла, равного данному

Продолжение табл. 24

Вид учебного материала

Содержание учебного материала в учебнике [32]

Исследовательская задача

Обоснование существования или невозможности существования абстрактных математических объектов

Из теоремы о сумме углов следует, что если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то сумма двух других углов не превосходит 90° и, значит, каждый из них острый. Таким образом, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий прямой или тупой. № 225. Докажите, что углы при основании равнобедренного угла острые

Исследуйте вопрос о том, сколько в треугольнике может быть:

а) прямых углов;

б) тупых углов;

в) острых углов [75, с. 44]

Классификация математических понятий

Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным. Если один из углов....

На основе выполненного исследования выделите виды треугольников и дайте им названия

Нахождение свойств или признаков математических объектов

№ 233. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию

Используя динамическую модель, исследуйте вопрос о расположении биссектрисы внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника относительно основания. Вывод обоснуйте [75, с. 107]

Многовариантность ответа на вопрос задачи, введение параметра в условие задачи

№ 228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен:

а) 40°;

б) 60°;

в) 100°.

№ 234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника

Задачи № 228а и № 234 являются исследовательскими, так как подразумевают неоднозначный ответ. Усилить исследовательскую линию задач можно введением параметра в условие задач: № 228:

г) а°; № 234: 115° заменить на а°

Продолжение табл. 24

Вид учебного материала

Содержание учебного материала в учебнике [32]

Исследовательская задача

Выяснение влияния определенного условия на выполнение некоторого свойства объекта

№ 231. Медиана AM треугольника ЛВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник ЛВС прямоугольный

Используя динамическую модель, исследуйте вопрос о виде треугольника, в котором медиана равна половине стороны, на которую она опущена. Вывод обоснуйте [75, с. 105]

Обобщение и выделение частных случаев. Составление новых задач

№ 227. Найдите углы равнобедренного треугольника, если:

а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию;

б) угол при основании в три раза меньше угла, смежного с ним

Сформулируйте на основе данной задачу с параметром. Поставьте новые вопросы исследовательского характера

Нахождение закономерностей между метрическими характеристиками объекта

№ 230. Биссектрисы углов А и В треугольника ЛВС пересекаются в точке М. Найдите ZAMB, если ZA = 5%°, ZB = 96°

1. Можно ли уменьшить количество данных в задаче? Обоснуйте свое мнение.

2. Биссектрисы углов А и В треугольника ABC пересекаются в точке М. Исследуйте зависимость величины угла ZAMB от ZC

Исследование математических предложений. Построение контрпримеров

№ 232. Докажите, что если один из внешних углов треугольника в два раза больше угла треугольника, не смежного с ним, то треугольник равнобедренный. Верно ли обратное утверждение?

Вторая часть задачи заключает в себе исследование математического предложения

1. Используя динамическую модель, сравните величину внешнего угла равнобедренного треугольника и внутреннего, не смежного с ним. Вывод обоснуйте.

2. Верно ли, что внешний угол равнобедренного треугольника в два раза больше угла треугольника, не смежного с ним

Окончание табл. 24

Вид учебного материала

Содержание учебного материала в учебнике [32]

Исследовательская задача

Поиск ошибок

Учебник не содержит материалов с заданиями такого типа. Найдите ошибку в следующем доказательстве теоремы: Рассмотрим произвольный треугольник ЛВС, разобьем его отрезком CD на два треугольника. Получим треугольник ACD и треугольник BCD.

Пусть x — неизвестная сумма углов треугольника. Тогда

Z1+Z2 + Z6=jc,

Z3 + Z4 + Z5=jc.

Складывая левую и правую части этих равенств, получаем:

Z1 + Z2 + Z6 + Z3 + Z4 + Z5 = 2х.

Учитывая, что

Z1 + Z2 + Z3 + Z4 = x и Z5 + Z6 = 180°,

имеем:

x + 180° = 2х или ;с= 180°

Источниками исследовательских задач и идей их составления служат различные дидактические материалы, рабочие тетради к учебникам, пособия для учителей [35, 84, 94, 101] и пр.

3.5.5. Организация учебно-исследовательской деятельности на уроке-исследовании

Исследования Е.В. Барановой и М.И. Зайкина показывают, что организация учебных исследований при изучении понятий наиболее эффективна на этапе установления связей данного понятия с другими, так как позволяет ввести полученные новые знания в систему уже известных ранее знаний. При изучении теорем учебные исследования целесообразны при ознакомлении с фактом, отражённом в теореме, доказательстве теоремы и установлении её связи с другими математическими фактами. В качестве методического обеспечения они предлагают использовать учебно-исследовательские карты. Такие карты состоят из фрагментов учебного материала, соответствующих основным этапам учебного исследования. Например, такие этапы: 1 — задача, 2 — проблема, 3 — пробы, 4 — таблица результатов, 5 — гипотезы, 6 — проверка гипотез, 7 — доказательство

(опровержение) гипотез. Карты представляют собой фрагментарный текст, часть которого учащимся следует записать самостоятельно. В зависимости от возможностей ученика, соотношение текста и пропусков в карте может варьироваться. Примеры учебно-исследовательских карт по темам «Отрезок», «Прямоугольник», «Многоугольник» приведены в статьях авторов [15, 16], а в рамках данной работы - на рис. 148.

Использование учебно-исследовательских карт уменьшает затруднения, возникающие у учащихся при выполнении исследовательских заданий, поскольку такие карты выполняют роль алгоритмических предписаний и рекомендаций, задающих учащимся этапы или направления их деятельности.

Эффективным дидактическим средством развития самостоятельной познавательной деятельности учащихся являются, по мнению В.И. Тараник [86], задания для организации практических работ по геометрии, удовлетворяющие требованиям:

— постановка вопроса в задаче должна быть такой, чтобы ответ на него предполагал проведение исследования;

— условие задачи должно предполагать рассмотрение различных геометрических конфигураций, использование различных методов и способов решения;

— в условиях задачи должны отсутствовать прямые указания на использование известных теорем и формул;

— содержание задачи определяет необходимость самостоятельной познавательной деятельности.

Автором разработан комплекс заданий, включающих задания пяти типов:

— формирование понятий и усвоение их определений;

— выдвижение следствий из факта принадлежности объекта объему понятия;

— формулирование, усвоение, «переоткрытие» формулировок теорем и их доказательства;

— выдвижение гипотез, их доказательство и опровержение;

— усвоение методов решения задач.

Представим пример организации и проведения практической работы по теме «Сумма углов треугольника», которая демонстрирует одну из форм проведения экспериментальной работы при обучении математике. Целью этой экспериментальной работы является наглядное подтверждение выводов науки, указание на связь учебного материала с окружающей действительностью.

Рис. 148. Примеры учебно-исследовательских карт по организации опытно-индуктивных (слева) и дедуктивных исследований (справа)

Практическая работа.

1. Начертите три треугольника — остроугольный, прямоугольный, тупоугольный.

2. Перечертите с доски таблицу (см. табл. 25).

Таблица 25

Образец таблицы к заданию

Номера углов

Виды треугольников

остроугольный

прямоугольный

тупоугольный

Величины углов треугольников

1 -й угол

2-й угол

3-й угол

Сумма трёх углов

3. Измерьте каждый угол начерченных треугольников, и результаты измерения занесите в соответствующую графу таблицы. Измерение производить с точность до одного градуса.

4. Найдите сумму внутренних углов.

5. Сравните результаты измерений по каждому треугольнику и сделайте вывод.

К моменту окончания практической работы учитель либо сам составляет на доске сводную таблицу результатов измерений нескольких учащихся (см. табл. 26), либо предлагает внести данные своих измерений учащимся, выполнивших задание ранее других.

Таблица 26

Сводная таблица результатов измерений учащихся

Номер учащегося

Сумма углов остроугольного треугольника

Сумма углов прямоугольного треугольника

Сумма углов тупоугольного треугольника

1

2

3

Вписав в таблицу результаты, учитель организует с классом эвристическую беседу по анализу полученных данных.

Примерные вопросы для эвристической беседы

1. Чему примерно равна сумма углов остроугольного треугольника? прямоугольного треугольника? Чему равна сумма углов тупоугольного треугольника?

2. Какой можно сделать вывод о сумме внутренних углов треугольника? Зависит ли сумма внутренних углов треугольника от формы фигуры? От чего она еще не зависит?

3. Чем объяснить небольшие отклонения от 180°, которые имели место в нашем эксперименте?

4. Вас в классе 25 человек; вы начертили всего 75 треугольников. Следовательно, если принять во внимание неточность измерений, то можно утверждать, что каждый из 75 треугольников обладает свойством, которое мы подметили. Но тогда возникает вопрос: будет ли найденный нами вывод верен для всех треугольников? Таким образом учащихся подводим к принятию необходимости проведения доказательства справедливости полученного вывода для всякого треугольника, независимо от его размеров и формы. Далее учитель совместно с учащимися дает точную формулировку теоремы, записывает на доске условие и заключение теоремы, проводит доказательство.

Организацию решения учебно-исследовательских задач младшими подростками И.В. Клещёва предлагает осуществить в игровой форме [44]. Автором описан следующий интересный приём организации решения определенной учебно-исследовательской задачи. На отдельных карточках предлагаются некоторые возможные шаги (некоторые математические и логические операции) для решения данной задачи. Каждая карточка содержит один шаг. Учащиеся должны выбрать подходящие карточки, составить из них цепочку, указывающую на последовательность действий, в результате выполнения которых задача будет решена. Выполнение подобных заданий можно организовать в небольших группах по 4—5 человек при решении не очень сложных исследовательских задач. Например, решение исследовательской задачи на обнаружение свойства равенства вертикальных углов сопровождается выдачей учащимся карточек с заданиями в произвольном порядке. Карточки содержат описания таких действий:

— Нарисуйте равные углы.

— Нарисуйте смежные углы.

— Нарисуйте несколько пар вертикальных углов.

— Измерьте транспортиром каждый из вертикальных углов. Сравните градусные меры вертикальных углов в каждой паре.

— Нарисуйте не равные между собой вертикальные углы.

— Сформулируйте гипотезу о свойстве вертикальных углов.

— Объясните свою гипотезу.

Некоторые карточки не имеют прямого отношения к поставленной задаче. Учащимся необходимо выбрать только подходящие карточки, что способствует развитию умений прогнозировать, планировать, анализировать, обосновывать, оценивать, выделять существенное.

Другой пример — игра «Чёрный ящик». Организуется для осуществления поиска математического объекта с заданными свойствами, содержит возможности пропедевтики нахождения необходимых и достаточных условий существования математических объектов. Суть игры состоит в том, что ведущий (учитель или ученик), загадывает некоторый математический объект. Сам объект или его название фиксируется ведущим на листе бумаги, и этот лист бумаги ведущий прячет в «чёрный ящик». Далее игра может развиваться по двум сценариям. Первый вариант: ведущий изначально описывает игрокам все свойства объекта, необходимые для его определения, игроки не могут уточнять дополнительные свойства, а только называют предполагаемые варианты до тех пор, пока не отгадают заданный объект. Второй вариант: ведущий дает некоторую подсказку об объекте, например, одно из свойств, затем игроки называют по одному из возможных свойств загаданного объекта, а ведущий определяет, обладает ли объект названным свойством или не обладает. После этого игрок может попробовать назвать сам объект. Например, на уроке в 8 классе учитель проводит описанный во втором варианте игровой момент:

— Я начертил трапецию на листе бумаги. Задайте только один вопрос и, выслушав ответ, скажите, будет ли она равнобокой.

Учащиеся могут задать вопросы:

— Будут ли углы при основании равны?

— Будут ли диагонали равны?

Ученик, задавший вопрос, должен обосновать его, то есть доказать, что при утвердительном ответе трапеция будет равнобокой, а при отрицательном — не будет. Выигрывает игрок, назвавший загаданный объект. После этого полезно определить минимальный набор свойств, характеризующих объект.

Т.Ф.Сергеева [81] в организации учебно-исследовательской деятельности школьников в процессе обучения геометрии с использованием ИГС выделяет два этапа — репродуктивный и продуктивный, которые характеризуются различными видами деятельности учащихся и типами заданий.

Этап 7. Репродуктивный

На этом этапе можно организовать:

— просмотр видеодемонстраций, используемых в качестве наглядной основы для формирования представлений о геометрических объектах, их сущностных характеристиках, свойствах и отношениях между ними. Знакомство с инструментами ИГС;

— перевод наглядных представлений в плоскость теоретических знаний о геометрических объектах, их свойствах и отношениях.

К возможным типам заданий на данном этапе можно отнести:

— пассивное наблюдение видеодемонстрации и знакомство с понятиями, определениями, признаками, свойствами и отношениями геометрических объектов (1);

— задания на воспроизведение операций чертежной плоскости в соответствии с увиденным образцом (2);

— задачи на определение геометрического объекта при помощи родового и видового отличия в процессе динамического моделирования (3);

— применение комплекса изученных операций и знаний о свойствах геометрических объектов (4).

Приведём примеры соответствующих заданий и задач из электронного издания «Наглядная планиметрия. 7 класс», предназначенного для организации учебно-исследовательской деятельности с использованием интерактивной геометрической среды GeoGebra.

Пример 1. Видеодемонстрации понятий, сопровождаемые формулировками определений и алгоритмом использования инструмента ИГС для его построения изображения рассматриваемого понятия (см. рис. 149).

Рис. 149. Видеодемонстрация смежных углов

Рис. 150. Видеодемонстрация правильного многоугольника

Пример 2.1. Даны четыре точки. Постройте вертикальные углы, стороны которых проходят через данные точки.

Пример 2.2. Постройте ромб такой, чтобы данный угол был одним из углов ромба, а одна из сторон была равна длине данного отрезка.

Пример 2.3. Проверьте утверждение: около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Пример 3.1. Проведите три луча с общим началом. Назовите углы, образованные этими лучами.

Пример 3.2. Используя данные чертежи (см. рис. 151), получите изображение параллелограмма.

Пример 4.1. Верно ли утверждение, что сумма смежных углов равна 180°?

Пример 4.2. Как определить, является ли четырёхугольник параллелограммом? Проверьте, являются ли эти четырёхугольники параллелограммами.

Пример 4.3. Исследуйте вопрос о том, как расположен отрезок, соединяющий середины боковых сторон относительно оснований трапеции.

Пример 4.4. Исследуйте вопрос о том, можно ли описать окружность около многоугольника, который является равносторонним, но не равноугольным.

Рис. 151. Динамические чертежи электронного издания «Наглядная планиметрия. 8 класс»

Этап 2. Продуктивный

На этом этапе происходит:

— выдвижение гипотез в процессе исследования и экспериментирования с динамическими моделями геометрических объектов как основа для постулирования и доказательства утверждений геометрии;

— решение задач с использованием динамического моделирования, способ решения которых заранее неизвестен или требует нестандартных подходов к анализу условий задачи (для которых нельзя построить чертеж, исходя только из условий, содержащихся в тексте задачи).

К возможным типам заданий на данном этапе можно отнести:

1) задачи, требующие самостоятельного формулирования гипотезы;

2) задачи на выявление граничных условий, анализа единственности (множественности) вариантов выполнения построения;

3) задачи с заранее неизвестным ответом.

Пример 1.1. Исследуйте вопрос о том, сколько в треугольнике может быть прямых углов, тупых углов, острых углов.

Пример 1.2. Исследуйте вопрос о виде трапеции, если её диагонали равны.

Пример 1.3. Постройте правильный шестиугольник и шесть квадратов на его сторонах вне шестиугольника. Исследуйте вопрос о виде многоугольника, образованного вершинами квадратов, не совпадающих с вершинами шестиугольника.

Пример 2.1. Дан луч и отрезок. Постройте вертикальные углы, стороны которых содержат данные луч и отрезок. В каком случае задача не имеет решения?

Пример 2.2. Постройте параллелограмм с диагоналями, равными длине данных отрезков. Сколько решений имеет задача?

Пример 3.1. Придумайте способ построения прямого угла без использования инструментов «Перпендикуляр» и «Перпендикулярная прямая».

Пример 3.2. Придумайте способ построения ромба.

Пример 3.3. Как из правильного шестиугольника получить: восемь равных трапеций; шесть равных трапеций.

Основой организации взаимодействия на исследовательском уроке, по мнению Н.И. Голавской [33], является учебный диалог. Под учебным диалогом понимается создание ситуаций общения с целью разрешения учеником проблемы и поиска личностного смысла, содержащегося в изучаемом материале. Средствами активизации участия школьников в учебном диалоге являются:

— проблемные вопросы, которые у учащиеся вызывают затруднения, возможность неоднозначного ответа;

— анализ рассуждений сверстников, письменных работ учащихся, выполненных чертежей, моделей. Например, «Чьё рассуждение является правильным? Обоснуй свою точку зрения»;

— анализ противоречивых высказываний, решений (ученых, педагогов, писателей, философов, политиков). Например, «Какой ответ не верен? Объясните появление ошибки в решении»;

— незаконченное доказательство, решение задачи, эксперимент. Учащиеся заканчивают его по-своему, а затем результаты сравниваются и проверяются.

О некоторых идеях, набросках учебных исследований можно ознакомиться в статье Л.Э. Орловой [67].

Формами организации исследовательской деятельности учащихся являются:

— индивидуальная работа;

— работа парах (например, пара «теоретик-практик» при организации исследовательской работы в ИГС);

— работа в группах;

— коллективная (фронтальная) работа.

В зависимости от участия учителя в процессе исследования, можно выделить следующие виды уроков-исследований:

— знакомство учащихся с процессом исследования на уроках «Образец исследования»;

— отработка отдельных приёмов учебно-исследовательской деятельности на уроках «Элементы исследования»;

— использование исследовательского подхода в процессе обучения на уроках «Исследование».

В табл. 27 представлен вариант организации деятельности и выбора формы работы на исследовательских уроках разного уровня.

Таблица 27

«Образец исследования»

«Элементы исследования»

«Исследование»

Деятельность учителя

Готовит к уроку учебную карту с выделенными этапами исследования.

Сам формулирует проблему, тему и цель исследования.

Использует в учебном диалоге вопросы: В чём состоит проблема ? Что такое гипотеза ? Какое можно выдвинуть предположение? Как проверить гипотезу? и т.д.

Готовит к уроку схему (на доске, в презентации) с названиями этапов исследования. Помогает учащимся сформулировать проблему, тему и цель исследования, корректирует их. Направляет деятельность учащихся в русло исследовательской работы. Может дать направление в поиске доказательства гипотезы.

Использует вопросы: С чего обычно начинают исследование? Что нужно выяснить ? Как это можно сделать ? Верный ли вывод вы сделали ? Все ли случаи рассмотрели ? и т.д.

Подводит учащихся к самостоятельной формулировке проблемы, темы и цели исследования.

Создает условия для исследовательской деятельности: использование карточек-подсказок, вспомогательных задач, дополнительного материала, ссылок на Интернет-источники, организует деловое общение в группе

При наблюдении за работой учащихся использует вопросы: Ясна ли цель работы ? Все ли понятно в выданных материалах ? и т.д.

Деятельность учащихся

Следуют алгоритму работы, предложенному учителем. Заполняют учебные карты, листы, рабочие тетради и пр.

Сверяют свои действия с образцом исследования, записанным на доске, учебной карте и пр. Отвечают на вопросы учителя

Самостоятельно планируют и выполняют исследовательскую работу.

Сами выбирают способ представления информации. При необходимости могут попросить помощь у учителя. Получают оценку учителя за каждый этап исследовательской работы

Планируют и проводят исследовательскую деятельность самостоятельно, без помощи и консультации учителя. Оформляют результаты исследования и представляют их классу в виде презентации, плаката и пр. Получают оценку класса за результат исследования и его защит

Организация деятельности на уроке-исследовании

Окончание табл. 27

«Образец исследования»

«Элементы исследования»

«Исследование»

Форма работы

Фронтальная на первых и последних этапах, в парах — на этапах сбора, систематизации материала исследования и формулировки гипотезы

Фронтальная на первых этапах; в парах или группах — на этапах сбора, систематизации и формулировки гипотезы

Групповая, парная или индивидуальная работа. Фронтальная — на этапе выводов по результатам исследовательской работы

3.5.6. Конспект урока-исследования по теме «Неравенство треугольника»

Цель урока: исследовать связь между сторонами треугольника и найти применение новому знанию.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: компьютеры, интерактивная доска, рабочие тетради для исследовательских работ.

План урока

1. Актуализация опорных знаний: решение задач на готовых чертежах по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».

2. Мотивация и постановка проблемы исследования: решение конструктивной задачи в ИГС.

3. Эксперимент по исследованию зависимости сторон треугольника в ИГС (парная работа).

4. Выдвижение и проверка гипотезы.

5. Доказательство теоремы неравенства треугольника (групповая работа).

6. Вывод по результатам исследовательской работы.

7. Домашнее задание.

Ход урока 1. Актуализация опорных знаний

В ходе фронтального опроса организуется повторение учащимися знаний и умений на соотношения между сторонами и углами треугольника, сравнение катета и гипотенузы прямоугольного треугольника, свойство и признак равнобедренного треугольника с помощью заданий:

Задача 1. Найдите соответствие между сторонами треугольника и их длинами, если известны величины углов.

Рис. 152. Иллюстрация к задаче 1

Задача 2. Найдите соответствие между углами треугольников и их величинами, вычислите недостающие величины, если известны длины сторон данных треугольников.

Рис. 153. Иллюстрация к задаче 2

2. Мотивация и постановка проблемы исследования

Учащимся предлагается задача 3. Ученик 7 класса Иван Иванов построил в интерактивной геометрической среде треугольник, две стороны которого равны 4 и 1, длина третьей стороны тоже выражается целым числом. Может ли эта сторона равняться 1? 2? 3? 4? 5? 6?

Учащиеся могут предложить построить треугольники с заданными сторонами в ИГС. Учителю следует обратить внимание учащихся на способ решения. Если такой треугольник существует, то его можно построить, и пример этого треугольника может служить доказательством. Если же такой треугольник не существует, следует объяснить, почему треугольник с заданными сторонами нельзя построить.

Итогом работы должна быть сформулированная учащимися проблема: Существует ли зависимость между длинами сторон треугольника? Если существует, то какая?

3. Эксперимент по исследованию зависимости сторон треугольника в ИГС

Учащимся предлагается найти нужную закономерность с помощью ИГС. Данную работу учащимся предлагается выполнять в парах.

Эксперимент. Исследуйте в ИГС модель треугольника со сторонами а и Ь. (В данной модели вы можете изменять положение вершин треугольника, измерять третью сторону треугольника, изменять длины данных сторон треугольника с помощью одноимённых ползунков).

Рис. 154. Модель треугольника с фиксированными сторонами, выполненная в ИГС GeoGebra

Опыт 1. Пусть в треугольнике ЛВС ВС= а = 4 и АС= Ь = 7. Измерьте длину стороны с. Измените положение точек Aw В. Снова измерьте длину стороны с. Повторите проделанное ещё раз. Данные занесите в таблицу и сделайте вывод:

а

Ъ

с

Сравнение (больше, меньше, равно)

а + Ь

4

7

13

4

7

4

7

Вывод:

Опыт 2. Измените длины сторон АС и ВС треугольника ЛВС. Повторите опыт. Данные занесите в таблицу и сделайте вывод:

а

Ь

с

Сравнение (больше, меньше, равно)

а + Ь

Вывод:

Опыт 3. Измените ещё раз длины сторон АС и ВС треугольника ABC. Повторите опыт. Данные занесите в таблицу:

а

Ь

с

Сравнение (больше, меньше, равно)

а + Ь

Вывод:

4. Выдвижение и проверка гипотезы

Гипотеза. В треугольнике_сторона_суммы двух других сторон.

Проверка гипотезы.

Опыт 4. Постройте в ИГС произвольный треугольник ABC. Измерьте его стороны. Данные занесите в таблицу:

Сторона

Измерение

Сравнение (больше, меньше, равно)

Значение суммы

Сумма сторон

а

Ь + с

Ь

а + с

с

а + Ь

Вывод:

5. Доказательство истинности гипотезы (групповая работа) Для нахождения способа доказательства теоремы, класс разбивается на группы. Группам предлагается выбрать один из вариантов чертежа (см. рис. 155 и 156) и с его помощью доказать гипотезу. Ключевым в доказательстве теоремы в обоих вариантах является дополнительное построение, а чертёж выступает в роли подсказки к его поиску.

Рис. 155

Рис. 156

По окончании работы группы представляют свои доказательства с обоснованием роли дополнительного построения в доказательстве теоремы (в первом варианте удлинение стороны с на длину, равную а, позволяет сравнить b и (с + а) как стороны, противолежащие углам треугольника; во втором варианте построение высоты дает возможность сравнить катет с гипотенузой, то есть свести доказательство новой теоремы к теоремам, доказанным ранее).

6. Вывод по результатам исследовательской работы о применении полученных знаний

Результатом работы должно явиться «открытие» теоремы: её формулировка и отыскание идеи её доказательства. Окончательные выводы о проделанной учениками работы производятся в процессе ответов на следующие вопросы учителя:

— Сформулируйте доказанную теорему. Данная теорема называется неравенством треугольника.

— Что общего в вариантах доказательства теоремы?

— Как запомнить, какое дополнительное построение надо выполнить для доказательства теоремы?

— Какую роль играют применяемые в доказательстве дополнительные построения?

— Как сформулировать подобную теорему для любых трёх точек?

— Вернёмся к задаче 3. Почему сторона треугольника не может быть раной 5? 6? Может ли сторона равняться 3? 2? Почему?

— Будет ли выполняться аналогичное свойство для любого треугольника? Сформулируйте свойство для произвольного треугольника.

— Какой вопрос к задаче 3 следует поставить, чтобы ответ звучал так: «Больше 3, но меньше 5»?

— Какие задачи можно ещё решать с использованием теоремы о неравенстве треугольника? Сформулируйте несколько таких задач (задачи на определение существования треугольника, доказательство геометрических неравенств и др.).

7. Домашнее задание. Теорема о неравенстве треугольника и её следствия (с доказательствами). Задачи на определение существования треугольника, доказательство геометрических неравенств с использованием дополнительных построений (удлинение стороны, проведение перпендикуляра).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего полного общего образования [Электронный ресурс]. URL: http://mинобрнауки.рф/документы/2194/файл/521/12.05.03-ФГОС.pdf (дата обращения: 02.11.15).

2. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования [Электронный ресурс]. URL: ппр://минобрнауки. рф/документы/922/файл/748/ФГОС_НОО.pdf (дата обращения: 02.11.15).

3. Акопян А. Геометрия кардиоиды [Электронный ресурс]// Сайт МЦНМО. Режим доступа: http://www.mccme.ru/~akopyan/papers/ cardioid.pdf (дата обращения: 02.11.15).

4. Акопян А.В. Геометрические свойства кривых второго порядка. М.: МЦНМО, 2007. 136 с.

5. Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов, H.H. Решетников, А.В. Шевкин. 6-е изд. М.: Просвещение, 2007. 448 с.

6. Алексеев Н.Г. Концепция развития исследовательской деятельности учащихся / Н.Г. Алексеев, А.В. Леонтович, A.C. Обухов, Л.Ф. Фомина // Исследовательская работа школьников. 2002. № 1. С. 24—33.

7. Алексеев. В.Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. МЦМНО, 2001. 192 с.

8. Альтшулер О.Г. Школьный эксперимент (конспекты лекций): Электронное учебно-методическое пособие [Электронный ресурс] / О. Г. Альтшулер, Н.И. Гордиенок. Кемерово: КемГУ, 2005. URL: http://physic.kemsu. ru/pub/library/learn_pos/ds_pos/school/index.html (дата обращения: 02.11.15).

9. Андреева И. Лабораторные работы. 5-6 классы // Математика. 2003. № 7.

10. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. М.: МЦНМО, 2000. 32 с.

11. Арнольд В.И. О преподавании математики: выступление на дискуссии о преподавании математики в Palais de Découverte в Париже 7 марта 1997 [Электронный ресурс]. URL: http://ega-math.narod.ru/Arnold2.htm (дата обращения: 02.11.15).

12. Арнольд В.И. Что такое математика? 2-е изд., стереотип. М.: МЦНМО, 2008. 104 с.

13. Арнольд В.И. Экспериментальная математика. М.: ФАЗИС, 2005. 64 с.

14. Балл Г.А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. М.: Педагогика, 1990. 183 с.

15. Баранова Е.В. Особенности организации учебных исследований по геометрии в условиях модернизации школьного образования // Современные проблемы теории обучения, воспитания и методики математики. Под ред. М.И. Зайкина. Арзамас: Изд-во АГПИ, 2012. С. 192—197.

16. Баранова Е.В., Зайкин М.И. Как увлечь школьников исследовательской деятельностью // Математика в школе. 2004. № 2. С. 7—10.

17. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10—11 кл. сред. шк. 2-е изд. М.: Просвещение, 1992. 351 с.

18. Белозеров С.Е. Пять знаменитых задач древности (История и современная теория). Изд-во Ростовского ун-та, 1975. 320 с.

19. Блинков А.Д., Гуровиц В.М. Непрерывность// Серия «Школьные математические кружки». М.: МЦНМО, 2015. С. 54-55.

20. Блонский П. П. Избранные педагогические и психологические сочинения в 2-х томах. Т. 1. / под ред. А.В. Петровского. М.: Педагогика, 1997. 304 с.

21. Блох А.Я. Школьный курс алгебры: метод, разраб. для слушателей ФПК. М.: МПГУ, 1985.90с.

22. Бор И. Избранные научные труды. T. II. М.: Наука, 1971. С. 280-288.

23. Буторина Г.С. М.В. Ломоносов и педагогика: монография. 2-е изд. Архангельск: Изд-во АГТУ, 2001. 223 с.

24. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. 3-е изд. М.: МЦНМО, 2000. 128 с.

25. Вигнер Ю. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // Этюды о симметрии / пер. с англ. Ю.А. Данилова М.: Мир, 1971. С. 182-199.

26. Викол Б.А. Формирование элементов исследовательской деятельности при углубленном изучении математики: автореф. дис. канд. пед. наук. М., 1977. 22 с.

27. Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра: пособие для учащихся 10—11 кл. / Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. М.: Просвещение, 2008. 192 с: ил.

28. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. для учащихся 10—11 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, Учебная литература, 1996. 320 с.

29. Вольфрам С. [Wolfram S.] Вычисляемые знания и будущее чистой математики [Электронный ресурс]. Пер. В. Глаголева, И. Марчевского, С. Шевчука, А. Коваленко // Блог компании Wolfram Research. URL: http:// habrahabr.ru/company/wolfram/blog/236199/ (дата обращения: 02.11.15).

30. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. 12-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1972. 870 с.

31. Выготский Л.С. Взаимосвязь процессов обучения и когнитивного развития. Психическое развитие детей в процессе обучения. М.-Л.: Учпедгиз, 1935. С. 33-52.

32. Геометрия. 7—9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев и др. 20-е изд. М.: Просвещение, 2010. 384 с.

33. Голавская H.И. Дидактические принципы конструирования исследовательского урока // Вестник Бурятского государственного университета. 2010. № 1. С. 226-228.

34. Гончаров В.Л. Математика как учебный предмет// Известия Академии педагогической науки РСФСР. Вопросы общей методики. Вып. 92. М., 1958. С. 37-66.

35. Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7—9 классы. 3-е изд., испр. М.: МЦНМО, 2006. 416 с.

36. Далингер В.А. Поисково-исследовательская деятельность учащихся по математике: учеб. пособие. Омск: Ом ГПУ, 2005. 456 с.

37. Далингер В.А. Теоретические основы когнитивно-визуального подхода к обучению математике: монография. Омск, 2006. 73 с.

38. Депман И.Я. История арифметики. М.: Учпедгиз, 1959. 424 с.

39. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5—6 кл.сред.шк. М.: Просвещение, 1989. 287 с.

40. Доказательство: Очевидность, достоверность и убедительность в математике. Труды Московского семинара по философии математики / Под ред. В.А. Бажанова, А.Н. Кричевца, В.А. Шапошникова. М.: ЛИБРОКОМ,2014. 432 с.

41. Зорина Л.Я. Дидактический цикл процесса обучения и его элементы // Советская педагогика. 1983. № 10. С. 31.

42. История педагогики и образования. От зарождения воспитания в перво-бытном обществе до конца XX века: учеб. пособие для пед. учеб. зав. / под ред. А.И. Пискунова. 3-е изд., испр. и доп. М.: Сфера, 2007. 490 с.

43. Кашаева Р., Конакош А. Лабораторные работы-исследования // Математика. 2007. № 12. С. 42-44.

44. Клещёва И.В. Организация учебно-исследовательской деятельности учащихся при изучении математики: дисс. ... канд. пед. наук. СПб., 2003. 176 с.

45. Кокорева Л. Уроки «Практической геометрии». 5—6 классы // Математика. 2005. № 21.

46. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике: Ч1: Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. М.: Просвещение, 1977. 111 с.

47. Корнетов Г. Б. Реформаторы образования в истории западной педагогики: Учеб. пособие. М.: АСОУ, 2007. 119 с.

48. Котельникова Л.П. Практическая геометрия в VI классе// Математика в школе. 1999. № 4. С. 46-47.

49. Краля H.А. Метод учебных проектов как средство активизации учебной дея-тельности учащихся: Учеб.-метод, пособие / под ред. Ю.П. Дубенского. Омск: Изд-во ОмГУ, 2005. 59 с.

50. Лабораторный план в коммунистической школе / под. ред. Е.Л. Брюнелли. Л.: Госиздат, 1926. 172 с.

51. Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики: Пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1951. 151 с.

52. Леонтович А.В. Проектирование исследовательской деятельности учащихся: дисс.... канд. псих, наук: 19.00.13. М., 2003. 210 с.

53. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. М: Педагогика, 1981. 186 с.

54. Лишевский В.П. Охотники за истиной: Рассказы о творцах науки. М.: Наука, 1990 228 с.

55.Льоцци М. История физики. М.: Мир, 1970.

56. Лященко Е.И. Содержательно-методологические линии школьной математики // Проблемы теории и практики обучения математике: Сб. науч. работ межд. науч. конф. «59 Герценовские чтения». СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2006. С. 128-132.

57. Махмутов М.И., Ибрагимов Г.И., Чошанов М.А. Педагогические технологии развития мышления учащихся. Казань: ТГЖИ, 1993.

58. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч.1. Учеб. для общеобразоват. учреждений (базовый уровень). 14-е изд. М.: Мнемозина, 2013. 400 с.

59. Морозова А. Лабораторно-графические работы. 6 класс // Математика. 2005. № 19.

60. Муравин Г.К. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый уровень / Г.К. Муравин, О.В. Муравина. М.: Дрофа, 2015. 192 с.

61. Научно-исследовательская деятельность школьников в области математики и ее приложений: материалы Первой региональной научно-практической конференции/ сост. С.Н. Котова; отв. ред. М.В. Шабанова. Архангельск: Поморский ун-т, 2009. 118 с.

62. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования: Учеб. пособие для студ. пед. вузов и системы повыш. квалиф. пед. кадров/ Е.С. Полат, М.Ю. Бухаркина, В.М. Моисеева, А.Е. Петров; под ред. Е.С. Полат. М.: Академия, 1999. 224 с.

63. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика: Учебник для 5 класса средней школы. 3-е изд. М.: Просвещение, 1992. 304 с.

64. О развитии учебно-исследовательской деятельности учащихся в системе дополнительного образования// Вестник образования. 1996. №5. С. 31-34.

65. Обучение математике с использованием возможностей GeoGebra: коллективная монография / М.В. Шабанова, О.Л. Безумова, Е.H. Ерилова, С.Н. Котова, С.В.Ларин, Р.П.Овчинникова, H.H. Патронова, М.А. Павлова, А.Е. Томилова, О.Н. Троицкая, Л.В. Форкунова, Т.С. Ширикова. М.: Перо, 2013. 128 с.

66. Окунев А.А. Введение в геометрию. Лабораторные работы. 6 класс // Математика. 1998. № 32-33.

67. Орлова Н.Э. Маленькие исследования на геометрическом материале // Математика в школе. 1990. № 6. С. 29—31.

68. Осин А.В. Открытые образовательные модульные мультимедиа системы. М.: Издательский сервис, 2010. 328 с.

69. Перышкин А.В. Физика. 7 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений. 13-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2009. 192 с.

70. Петров Ю.П. Лекции по истории прикладной математики. СПб.: НИИ Химии СПБГУ, 2001. 338 с.

71. Потоскуев Е. В. Геометрический компонент профессиональной подготовки учителя математики в педагогическом вузе: учеб.-метод, пособие. Тольятти: ТГУ, 2009.

72. Прасолов В.В. Геометрические задачи древнего мира. М.: ФАЗИС, 1997. 225 с.

73. Раик А.Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск: Мордов. кн. изд-во, 1967. 350 с.

74. Райков Б.Е. Пути и методы натуралистического просвещения. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1960. 487 с.

75. Розов, Н.Х., Ягола, А.Г., Сергеева, Т.Ф., Сербис, И.Н. Наглядная планиметрия. Рабочая тетрадь для 7 класса. М: АСОУ, 2013. 120 с.

76. Рыбников К.А. История математики: Учеб. М.: Изд-во МГУ, 1994.496 с.

77. Рыжик В.И. Геометрия и компьютер// Компьютерные инструменты в образовании. 2000. № 6. С. 7—11.

78. Савелов А.А. Плоские кривые. М.: Физматлит, 1960. 294 с.

79. Савенков А.И. Путь к одаренности: исследовательское поведение дошкольников. СПб.: Питер, 2004. 272 с.

80. Санина Е.И. Основы исследовательской деятельности в физико-математическом образовании: Учеб. пособие для самост. раб. студ. / Е.И. Санина, Т.А. Воронько, Е.А. Рогова. М.: МПГУ, 2005. 52 с.

81. Сергеева, ТФ. Проектирование исследовательского обучения школьному курсу геометрии на основе использования интерактивной геометрической среды // Synergetics and Reflection in Mathematics Education. September 10-12, 2010, Bachinovo, Bulgaria, Plovdiv (Bulgaria). C. 291-298.

82. Симакова Т.И. Лабораторные работы по стереометрии в VII—IX классах // Математика в школе. 1996. № 2. С. 60—61.

83. Скарбич С.H. Формирование исследовательских компетенций учащихся в процессе обучения решению планиметрических задач в условиях личностно-ориентированного подхода: автореф. дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02. Омск, 2006. 23 с.

84. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Нестандартные и исследовательские задачи: Учебное пособие для 7—11 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2004. 148 с.

85. Стефанова Н.Л. Проблема развития исследовательских умений учащихся с позиции метаметодического подхода // Известия РГПУ им. А.И. Герцена. 2002. Вып. 3. Т. 2. С. 167-175.

86. Тараник В.И. Практические работы по геометрии как средство развития самостоятельной познавательной деятельности учащихся основной школы: автореф. дисс.... канд. пед. наук. Волгоград, 2010. 18 с.

87. Тестов В.А. Стратегия обучения математике. М.: Технологическая Школа Бизнеса, 1999. 304 с.

88. Тимофеева Л.Н. Развитие исследовательских умений учащихся классов с углубленным изучением математики: автореф. дис. ... канд. пед. наук. СПб., 2003. 19 с.

89. Труды 2-го Всероссийского съезда преподавателей математики. Доклады. Москва, 1915. 320 с.

90. Успенский В.А. Апология математики. СПб: Амфора, 2011. 48 с.

91. Успенский В.В. Школьные исследовательские задачи и их место в учебном процессе: автореф. дис.... канд. пед. наук. М., 1967. 19 с.

92. Фахрутдинова Р. К. Курс наглядно-практической геометрии // Математика в школе. 1999. № 4. С. 49-53.

93. Хрестоматия по методике математики: Методы обучения: учеб. пособие для вузов / сост.: М.И. Зайкин, С.В. Арюткина. Арзамас: АГПИ, 2008. 285 с.

94. Цукарь А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования для 7 класса. М.: Просвещение, 1998. 79 с.

95. Шабанова М.В. Лабораторные работы творческого характера по теме «Интеграл и его приложения». Архангельск, 1992. 39 с.

96. Шабанова М.В. Методология учебного познания как цель изучения математики: Монография. Архангельск: Поморский университет, 2004. 402 с.

97. Шабанова М.В. Формирование методологических знаний при изучении математики в системе «школа-вуз»: дис. .. докт. пед. наук: 13.00.02. М., 2005. 422 с.

98. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 кл. 3-е изд. М.: Дрофа, 1999. 352 с.

99. Шибасов Л.П. За страницами учебника математики: Математический анализ. Теория вероятностей: пособие для учащихся 10—11 кл. / Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. М.: Просвещение, 2008. 223 с.

100. Штофф В.А. Моделирование и философия. М.-Л.: Наука, 1966.

101. Шуба М.Ю. Учим творчески мыслить на уроках математики: пособие для учителей общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2012. 218 с.

102. Яковлев Ф.И., Кирюшкин Д. М., Воробьев Г.В. Лабораторно-практические работы учащихся. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. 229 с.

103. Ястребов А.В. Задачи по общей методике преподавания математики: Учеб. пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2009. 148 с.

104. Ястребов А.В., Фёдорова О.Н. Граф соответствия между рядами объектов и его использование в методике преподавания математики // Ярославский педагогический вестник. 2013. № 3. Том II (Психолого-педагогические науки).

105. Appel К. and Haken W. Every planar map is four colourable. Part I: Discharging. Illinois Journal of Mathematics 21. 1977. P. 429-490.

106. Appel К. and Haken W. Every planar map is four colourable. American Mathematical Society, 1989.

107. Arnheim R. Visual thinking. Berkley: Univ. of California Press, 1969.

108.Atiyah M. et al. Responses to: by A Jaffe and F. Quinn "Theoretical Mathematics" // Bulletin of American Mathematical Society. Vol. 30. № 2. 1994. P. 178-207.

109. Banchi H., Bell R. The Many Levels of Inquiry. Science and Children. 46(2). 2008. P. 26-29.

110. Blomhej M., Jensen Т.Н. Developing mathematical modelling competence: Conceptual clarification and educational planning, Teaching Mathematics and its applications 22 (3), 2003. P. 123-139.

111. Borwein J., Bailey D. Mathematics by Experiment: plausible reasoning in the 21st century, 2004// Book Reviews. P. 199-201. URL: http://www. austms.org.au/Gazette/2005/Jul05/bookreviews.pdf (date of access: 02.11.15).

112. Borwein J., Borwein P., Girgensohn R., Parnes S. Experimental Mathematics: A Discussion. URL: http://www.cecm.sfu.ca/organics/vault/expmath/ expmath/ html/expmath.html (date of access: 02.11.15).

113. Bundy A., Atiyah M., Macintyre A., MacKenzie D. (Eds.) The Nature of Mathematical Proof// Philosophical Transactions: Mathematical, Physical, and Engineering Sciences. Vol. 363. № 1835. Oct. 15, 2005. P. 2329-2461.

114. Chehlarova T. et al. A Virtual School Mathematics Laboratory. In: 5th National Conference on Electronic Education, Rousse, Bulgaria, 16—17. June 2014. URL: http://www.keycomath.eu/ (date of access: 02.11.15).

115. Fallis Don. The Epistemic Status of Probabilistic Proof // The Journal of Philosophy. 1997. Vol. 94, № 4. P. 165-186.

116.Gawlick Th. Connecting Arguments to Actions — Dynamic Geometry as Means forthe Attainment of Higher van Hiele Levels. ZDM, 37(5), 2005. P. 361-370.

117. Gonthier G A computer-checked proof of the Four Colour. Theorem Microsoft Research Cambridge. 2005. URL: http://research.microsoft.com/ en-us/um/people/gonthier/4colproof.pdf (date of access: 02.11.15).

118. Hales T.C. A proof of the Kepler conjecture // Annals of Mathematics. 2005. Vol. 162-3. P. 1063-1183. URL: http://annals.math.princeton. edu/2005/162-3 (дата обращения: 02.11.15).

119. Hanna G, Jahnke H.N., Pulte H. (eds.) Explanation and Proof in Mathematics: Philosophical and Educational Perspectives. Springer Science + Business Media, LLC 2010.

120.Jaffe A., Quinn F. 'Theoretical Mathematics": Toward a Cultural Synthesis of Mathematics and Theoretical Physics // Bulletin of the American Mathematical Society. 1993. Vol. 29, № 1. P. 1-13.

121. Jaffe A., Quinn F. Response to Comments on "Theoretical Mathematics". In Bulletin of the American Math. Soc. 1994. Vol. 30. P. 208-211.

122. Kimberling С Encyclopedia of Triangle Centers — ETS. URL: http:// faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html (date of access: 02.11.15).

123. Laborde, C. Integration of technology in the design of geometry tasks with cabri-geometry // International Journal of Computers for Mathematical Learning, 6(3), 2001. P. 283-317.

124. Lazarov B. Socratic style teaching and synthetic competence building of advanced students in mathematics. DARYN, Astana. 2013. P. 18—19.

125. Lupacchini R., Corsi G (eds.) Deduction, Computation, Experiment: The Effectiveness of Proof. Springer-Verlag Italia, 2008.

126. Mariotti, A.M. Introduction to proof: The mediation of a dynamic software environment // Educational Studies in Mathematics, 44(1), 2000. P. 25—53.

127. McEvoy M. Experimental mathematics, computers and the a priori — Received: 25 April 2011 / Accepted: 5 October 2011 / Published online: 20 October 2011 — Springer Science + Business Media B.V 2011.

128. McGeoch C. Zero-Knowledge Proofs // The American Mathematical Monthly. Vol. 100, № 7 (Aug.-Sep. 1993). P. 682-685.

129. Medawar P. Advice to a Young Scientist. Harper & Row, San Francisco CA. 1979. URL: http://www.evolbiol.ru/medawar_advice/medawar. htm (date of access: 02.11.15).

130. Robertson N., Sanders D.P., Seymour P., Thomas R. A new proof of the four-colour theorem // Electronic research announcements of the American mathematical society. Vol. 2, Number 1, August 1996. URL: http://aimsciences.org/journals/pdfs.jsp?paperID=2461&mode=full (date of access: 02.11.15).

131. Rocard M, Csermely P., Jorde D., Lenzen D., Walberg-Henriksson H. & Нетто V. Scientific education now: a renewed pedagogy for the future of Europe. Commission Européenne, Direction générale de la recherche, cience, économie et société, 2007.

132. Shabanova M., Yastrebov A., Bezumova O., Kotova S., Pavlova M. Experimental Mathematics and Mathematics Education // International Multidisciplinary Scientific Conferences on Social Sciences and Arts, 3—9 September 2014, Bulgaria. Conference Proceedings, Volume III. P. 309—321.

133. Sorensen H.K. Exploratory experimentation in experimental mathematics: Aglimpse at the PSLQ algorithm. In: B. Löwe, T. Müller (Eds.), Phi MSAMP. Philosophy of mathematics: Socio logical aspects and mathematical practice. London: College Publications. Texts in Philosophy, 11. 2010. P. 341-360.

134. Synthese. Vol. Ill, № 2, May 1997.

135. Thurston W.P. On Proof and Progress in Mathematics // Ibid. — vol. 30, № 2 (Apr. 1994), pp. 161-177.

136. Wolfram S. Computational Knowledge and the Future of Pure Mathematics. URL: http://habrahabr.ru/post/236199/ (date of access: 02.11.15).

137. Гроздев С, Ненков В. Една зависимост, породена от конични сечения. Математика и математическое образование, 2008, 37, 312-319.

138. Блог И.С. Храповицкого «Живая геометрия». URL: http:// janka-x.livejournal.com (дата обращения: 02.11.15).

139. Блог учителя математики М.А. Метс «Копилка». URL: http:// marinmets. blogspot.com (дата обращения: 02.11.15).

140. Виртуальные лабораторные работы по физике// АП-Физика, 2009-2014. URL: http://www.all-fizika.com/article/index.php7id_article = ПО (дата обращения: 02.11.15).

141. Открытый банк заданий ГИА. URL: http://opengia.ru/ (дата обращения: 02.11.15).

142. Электронные образовательные ресурсы: Математический конструктор// Национальный фонд подготовки кадров, 2011. URL: http:// www.eor-np.ru/node/3126 (Дата обращения: 4.11.2015).

143. Официальный сайт программы GeoGebra. URL: http://www. geogebra.org/cms (дата обращения: 02.11.15).

144. Технология обучения математике с использованием интерактивной геометрической среды: официальный сайт Российско-Болгарского

проекта MITE (Методики и информационные технологии в образовании) // Институт математики, информационных и космических технологий САФУ имени М.В. Ломоносова. URL: http://itprojects.narfu.ru/ mite/ (дата обращения: 02.11.15).

145. Примерная основная образовательная программа начального общего образования. URL: http:// минобрнауки.рф/ документы/543/ файл/227/роор_reestr. doc (дата обращения: 02.11.15).

146. Примерная основная образовательная программа основного общего образования. URL: http://window.edu.ru/resource/594/75594 (дата обращения: 02.11.15).

147. Портал Исследовательской деятельности учащихся «Исследователь.ru»: офиц. сайт. ФИЗТЕХ-ЦЕНТР, ДНТТМ МГДД(Ю)Т, Лицей № 1553 «Лицей на Донской», корпорация Intel, 2002—2011. URL: http:// www.researcher.ru/ (дата обращения: 02.11.15).

148. Турнир по экспериментальной математике // Институт математики, информационных и космических технологий САФУ имени М.В. Ломоносова. URL: http://itprojects.narfu.ru/turnir/index.php (дата обращения: 02.11.15).

149. DynaMAT: офиц. сайт. DynaMAT, 2011. URL: http://www.dynamathmat.eu/ (date of access: 02.11.15).

150. European Reference Framework of Key Competences for Lifelong Learning. URL http://europa.eu/legislation_summaries/education_training_ youth/lifelong_learning/c11090_en.htm (date of access: 02.11.15).

151. Geometry Expressions: офиц. сайт программы. Saltire Software, 2015. URL: http://www.geometryexpressions.com (дата обращения: 02.11.15).

152. InnoMathEd: innovations in mathematics education on European level: official website. URL: http://www.math.uni-augsburg.de/prof/dida/innomath/ (date of access: 02.11.15).

153. KeyCoMath: the project «Developing Key Competences by Mathematics Education» офиц. сайт. Universität Bayreuth, 2013-2014. URL: http://www.keycomath.eu/

154. Mascil project: Mathematics and science for life): official website. Germany, 2013. URL: http://www.mascil-project.eu/project.html (date of access: 02.11.15).

155. Scientix URL: http://www.scientix.eu/web/ (date of access: 02.11.15).

156. The Fibonacci project: official website. URL: http://www.fibonacci-project.eu/ (date of access: 02.11.15).

157. Виртуален училищен кабинет по математика (Виртуальная школьная математическая лаборатория). ИМИ-БАН, секция «Образование по математика и информатика», 2013. URL: http://www.math.bas.bg/ omi/cabinet/ (дата обращения: 02.11.15).

ПРИЛОЖЕНИЕ

Условия принятия решения о выборе оптимального уровня исследовательского обучения

Признаки

Значения (M; I; T)

Нормированные значения (M; I; T)

Значения критерия

Репродуктивное обучение или исследовательское обучение 1 уровня

Нет математической базы для восприятия модели, нет образца применения стиля ЭМ, нет времени

0

0

0

0

0

0

0

Нет математической базы для восприятия модели, нет образца применения стиля ЭМ, часть урока

0

0

1

0

0

0,17

0

Нет математической базы для восприятия модели, нет образца применения стиля ЭМ, урок

0

0

2

0

0

0,33

0

Нет математической базы для восприятия модели, нет образца применения стиля ЭМ, время не ограничено

0

0

3

0

0

0,5

0

Нет математической базы для восприятия модели, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, нет времени

0

1

0

0

0,07

0

0

Нет математической базы для восприятия модели, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, часть урока

0

1

1

0

0,07

0,17

0

Нет математической базы для восприятия модели, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, урок

0

1

2

0

0,07

0,33

0

Нет математической базы для восприятия модели, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, время не ограничено

0

1

3

0

0,07

0,5

0

Нет математической базы для восприятия модели, есть знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, нет времени

0

2

0

0

0,13

0

0

Нет математической базы для восприятия модели, есть знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, часть урока

0

2

1

0

0,13

0,17

0

Признаки

Значения (M; I; T)

Нормированные значения (М; I; T)

Значения критерия

Нет математической базы для восприятия модели, есть знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, урок

0

2

2

0

0,13

0,33

0

Нет математической базы для восприятия модели, есть знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, время не ограничено

0

2

3

0

0,13

0,5

0

Нет математической базы для восприятия модели, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, нет времени

0

3

0

0

0,2

0

0

Нет математической базы для восприятия модели, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, часть урока.

0

3

1

0

0,2

0,17

0

Нет математической базы для восприятия модели, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, урок

0

3

2

0

0,2

0,33

0

Нет математической базы для восприятия модели, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, время не ограничено

0

3

3

0

0,2

0,5

0

Нет математической базы для восприятия модели, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, нет времени

0

4

0

0

0,27

0

0

Нет математической базы для восприятия модели, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, часть урока

0

4

1

0

0,27

0,17

0

Нет математической базы для восприятия модели, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, урок

0

4

2

0

0,27

0,33

0

Нет математической базы для восприятия модели, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, время не ограничено

0

4

3

0

0,27

0,5

0

Нет математической базы для восприятия модели, есть опыт сочетания стилей исследования, нет времени

0

5

0

0

0,33

0

0

Нет математической базы для восприятия модели, есть опыт сочетания стилей, часть урока

0

5

1

0

0,33

0,17

0

Признаки

Значения (M; I; T)

Нормированные значения (М; I; T)

Значения критерия

Нет математической базы для восприятия модели, есть опыт сочетания стилей, урок

0

5

2

0

0,33

0,33

0

Нет математической базы для восприятия модели, есть опыт сочетания стилей, время не ограничено

0

5

3

0

0,33

0,5

0

Есть математическая база для восприятия готовой модели, нет образца применения стиля ЭМ, нет времени.

1

0

0

0,17

0

0

0

Есть математическая база для восприятия готовой модели, нет образца применения стиля ЭМ, часть урока

1

0

1

0,17

0

0,17

0

Есть математическая база для восприятия готовой модели, нет образца применения стиля ЭМ, урок

1

0

2

0,17

0

0,33

0

Есть математическая база для восприятия готовой модели, нет образца применения стиля ЭМ, время не ограничено

1

0

3

0,17

0

0,5

0

Есть математическая база для восприятия готовой модели, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, нет времени

1

1

0

0,17

0,07

0

0

Есть математическая база для восприятия готовой модели, знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, нет времени.

1

2

0

0,17

0,13

0

0

Есть математическая база для восприятия готовой модели, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, нет времени

1

3

0

0,17

0,2

0

0

Есть математическая база для восприятия готовой модели, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, нет времени

1

4

0

0,17

0,27

0

0

Есть математическая база для восприятия готовой модели, есть опыт сочетания стилей исследования, нет времени

1

5

0

0,17

0,33

0

0

Есть математическая база для создания модели, нет образца применения стиля ЭМ, нет времени

2

0

0

0,33

0

0

0

Признаки

Значения (M; I; T)

Нормированные значения (М; I; T)

Значения критерия

Есть математическая база для создания модели, нет образца применения стиля ЭМ, часть урока

2

0

1

0,33

0

0,17

0

Есть математическая база для создания модели, нет образца применения стиля ЭМ, урок

2

0

2

0,33

0

0,33

0

Есть математическая база для создания модели, нет образца применения стиля ЭМ, время не ограничено

2

0

3

0,33

0

0,5

0

Есть математическая база для создания модели, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, нет времени

2

1

0

0,33

0,07

0

0

Есть математическая база для создания модели, знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, нет времени.

2

2

0

0,33

0,13

0

0

Есть математическая база для создания модели, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, нет времени

2

3

0

0,33

0,2

0

0

Есть математическая база для создания модели, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, нет времени

2

4

0

0,33

0,27

0

0

Есть математическая база для создания модели, есть опыт сочетания стилей исследования, нет времени

2

5

0

0,33

0,33

0

0

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, нет образца применения стиля ЭМ, нет времени

3

0

0

0,5

0

0

0

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, нет образца применения стиля ЭМ, часто урока

3

0

1

0,5

0

0,17

0

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, нет образца применения стиля ЭМ, урок

3

0

2

0,5

0

0,33

0

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, нет образца применения стиля ЭМ, время не ограничено

3

0

3

0,5

0

0,5

0

Признаки

Значения (М; I; T)

Нормированные значения (М; I; T)

Значения критерия

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, нет времени

3

1

0

0,5

0,07

0

0

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, нет времени

3

2

0

0,5

0,13

0

0

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, нет времени

3

3

0

0,5

0,2

0

0

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, нет времени

3

4

0

0,5

0,27

0

0

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, есть опыт сочетания стилей исследования, нет времени

3

5

0

0,5

0,33

0

0

Уровень исследовательского обучения 2

Есть математическая база для восприятия готовой модели, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, участь урока

1

1

1

0,17

0,07

0,17

0,02

Есть математическая база для восприятия готовой модели, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, урок

1

1

2

0,17

0,07

0,33

0,04

Есть математическая база для восприятия готовой модели, знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, часть урока.

1

2

1

0,17

0,13

0,17

0,04

Есть математическая база для создания модели, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, часть урока.

2

1

1

0,33

0,07

0,17

0,04

Есть математическая база для восприятия готовой модели, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, время не ограничено

1

1

3

0,17

0,07

0,5

0,07

Признаки

Значения (M; I; T)

Нормированные значения (М; I; T)

Значения критерия

Есть математическая база для восприятия готовой модели, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, участь урока

1

3

1

0,17

0,2

0,17

0,07

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, участь урока

3

1

1

0,5

0,07

0,17

0,07

Есть математическая база для создания модели, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, урок

2

1

2

0,33

0,07

0,33

0,09

Есть математическая база для создания модели, знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, участь урока

2

2

1

0,33

0,13

0,17

0,09

Есть математическая база для восприятия готовой модели, знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, урок

1

2

2

0,17

0,13

0,33

0,09

Есть математическая база для восприятия готовой модели, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, участь урока

1

4

1

0,17

0,27

0,17

0,09

Есть математическая база для восприятия готовой модели, есть опыт сочетания стилей исследования, часть урока

1

5

1

0,17

0,33

0,17

0,11

Есть математическая база для восприятия готовой модели, знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, время не ограничено

1

2

3

0,17

0,13

0,5

0,13

Есть математическая база для создания модели, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, время не ограничено

2

1

3

0,33

0,07

0,5

0,13

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, участь урока

3

2

1

0,5

0,13

0,17

0,13

Признаки

Значения (M; I; T)

Нормированные значения (М; I; T)

Значения критерия

Есть математическая база для создания модели, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, часть урока

2

3

1

0,33

0,2

0,17

0,13

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, урок

3

1

2

0,5

0,07

0,33

0,13

Есть математическая база для восприятия готовой модели, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, урок

1

3

2

0,17

0,2

0,33

0,13

Есть математическая база для восприятия готовой модели, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, урок

1

4

2

0,17

0,27

0,33

0,18

Есть математическая база для создания модели, знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, урок

2

2

2

0,33

0,13

0,33

0,18

Есть математическая база для создания модели, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, часть урока

2

4

1

0,33

0,27

0,17

0,18

Есть математическая база для восприятия готовой модели, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, время не ограничено

1

3

3

0,17

0,2

0,5

0,2

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, часть урока

3

3

1

0,5

0,2

0,17

0,2

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, представления о стиле ЭМ, связанные с образцом, время не ограничено

3

1

3

0,5

0,07

0,5

0,2

Есть математическая база для восприятия готовой модели, есть опыт сочетания стилей исследования, урок

1

5

2

0,17

0,33

0,33

0,22

Есть математическая база для создания модели, есть опыт сочетания стилей исследования, часть урока

2

5

1

0,33

0,33

0,17

0,22

Признаки

Значения (M; I; T)

Нормированные значения (М; I; T)

Значения критерия

Есть математическая база для восприятия готовой модели, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, время не ограничено

1

4

3

0,17

0,27

0,5

0,27

Есть математическая база для создания модели, знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, время не ограничено

2

2

3

0,33

0,13

0,5

0,27

Есть математическая база для создания модели, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, урок

2

3

2

0,33

0,2

0,33

0,27

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, урок

3

2

2

0,5

0,13

0,33

0,27

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, часть урока

3

4

1

0,5

0,27

0,17

0,27

Есть математическая база для восприятия готовой модели, есть опыт сочетания стилей исследования, время не ограничено

1

5

3

0,17

0,33

0,5

0,33

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, есть опыт сочетания стилей исследования, часть урока

3

5

1

0,5

0,33

0,17

0,33

Уровень исследовательского обучения 3

Есть математическая база для создания модели, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, урок

2

4

2

0,33

0,27

0,33

0,36

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, знания, для характеристики стиля ЭМ, но нет опыта его применения, время не ограничено

3

2

3

0,5

0,13

0,5

0,39

Есть математическая база для создания модели, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, не ограничено

2

3

3

0,33

0,2

0,5

0,4

Признаки

Значения (M; I; T)

Нормированные значения (M; I; T)

Значения критерия

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, урок.

3

3

2

0,5

0,2

0,33

0,4

Есть математическая база для создания модели, есть опыт сочетания стилей исследования, урок

2

5

2

0,33

0,33

0,33

0,44

Есть математическая база для создания модели, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, время не ограничено

2

4

3

0,33

0,27

0,5

0,53

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, урок

3

4

2

0,5

0,27

0,33

0,53

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, есть опыт реализации плана исследования в стиле ЭМ, время не ограничено

3

3

3

0,5

0,2

0,5

0,6

Есть математическая база для создания модели, есть опыт сочетания стилей исследования, время не ограничено

2

5

3

0,33

0,33

0,5

0,67

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, есть опыт сочетания стилей исследования, урок.

3

5

2

0,5

0,33

0,33

0,67

Уровень исследовательского обучения 4

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, есть опыт планирования исследования в стиле ЭМ, время не ограничено

3

4

3

0,5

0,27

0,5

0,8

Математическая база достаточна для применения теоретических методов, есть опыт сочетания стилей исследования, время не ограничено

3

5

3

0,5

0,33

0,5

1

Научное издание

Шабанова Мария Валерьевна Овчинникова Раиса Петровна Ястребов Александр Васильевич Павлова Мария Александровна Томилова Анна Евгеньевна Форкунова Лариса Валентиновна Удовенко Лариса Николаевна Новоселова Нина Николаевна Фомина Наталья Ивановна Артемьева Марина Владимировна Ширикова Татьяна Сергеевна Безумова Ольга Леонидовна Котова Светлана Николаевна Паршева Валентина Васильевна Патронова Нина Николаевна Белорукова Марина Васильевна Тепляков Вячеслав Васильевич Рогушина Тамара Петровна Тархов Евгений Александрович Троицкая Ольга Николаевна Чиркова Лидия Николаевна

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЕ ОБУЧЕНИЕ

Коллективная монография

Компьютерный набор, корректура и форматирование авторов Технический редактор Кулакова ГА. Подписано в печать 19.02.2016 Бумага офсетная. Гарнитура NewtonC Формат 60x84 1/16 Печать трафаретная. Печ. л. 18,75. Тираж 500 экз. Заказ № 005-16.

Отпечатано в типографии ИД «Академия Естествознания», 440026, г. Пенза, ул. Лермонтова, 3