Е. А. ДЫШИНСКИЙ

ИГРОТЕКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

ДЫШИНСКИЙ Е. А.

ИГРОТЕКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

Пособие для учителя

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1972

51(07) Д91

Дышинский Е. А.

Д91 Игротека математического кружка. Пособие для учителя. М., «Просвещение», 1972. 144 с. с ил.

В данной работе автор показывает возможность использования игровых форм занятий по математике во внеклассной работе с учащимися.

В ней содержится набор интересных математических игр и даются методические советы по их организации и проведению.

Книга может быть использована учителем во внеклассной работе по математике.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ ............................. 4

ВВЕДЕНИЕ С МЕТОДИЧЕСКИМИ УКАЗАНИЯМИ............. 5

Часть I. ОПИСАНИЕ ИГР И ИГРОВЫХ ФОРМ ЗАНЯТИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОСТЯЗАНИЯ ................... 19

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЛАБИРИНТЫ ................... 28

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СЛЕДОПЫТЫ ................... 34

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПОЕЗД ...................... 42

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРОСС ....................... 51

НАСТОЛЬНЫЕ И ПОДВИЖНЫЕ ИГРЫ.................. 57

Часть II. ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 (задания для игры «Математические лабиринты»)...... 63

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 (задачи для карточек-заданий)............... 82

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 (ответы и решения к задачам карточек-заданий)...... 113

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 (набор образцов таблиц)

ПРИЛОЖЕНИЕ 5 (разрезной материал для организации игр)

Евгений Александрович Дышинский

ИГРОТЕКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

Редактор И. С. Комиссарова

Переплет художника М. И. Гозенпута

Художественные редакторы В. С. Эрденко, Е. Н. Карасик

Технические редакторы В. И. Корнеева, В. Ф. Коскина

Корректор Т. М. Графовская

Сдано в набор I1/XII 1970 г. Подписано к печати 21/11 1972 г.

60 X 901/«. Бумага тиЯ № 2. Печ. л. 18 + вкл. 15. Уч.-изд. л. 14,71 + вкл. 7,37. Тираж 100 000 экз. Заказ 2136. A0714I.

Чеховский полиграфкомбинат Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР, г. Чехов, Московской области.

Издательство «Просвещение Комитета по печати при Совете Министров РСФСР, Москва, ГСП-110, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Цена 1 руб. 17 коп. (с приложением)

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое пособие для учителей математики восьмилетней школы обобщает некоторый опыт организации внеклассной работы с использованием игровых форм занятий.

Пособие состоит из введения и двух частей. Во введении обосновывается целесообразность использования игровых форм занятий во внеклассной работе по математике с подростками, перечисляются условия, при которых игровые формы являются эффективными, формулируются требования к дидактическим играм.

В I части даются подробные описания отдельных игровых форм занятий, методические советы по их организации и проведению. В конце описаний перечисляются примерные номера карточек-заданий, которые можно использовать при организации игр. В дальнейшем наборы задач можно изменить, сообразуясь со своими вкусами.

Кроме того, здесь же описано около 20 тихих (настольных) и подвижных игр.

Почти все предлагаемые игровые формы, а также некоторые настольные и подвижные игры публикуются впервые.

Чтобы облегчить работу учителя по организации проведения игр и игровых форм занятий, в пособии выделено несколько приложений, которые и составляют II часть.

В приложении 1 приведены цепочки вопросов и задач к четырем видам «Математических лабиринтов».

Приложение 2 состоит из 678 карточек-заданий, которые являются основой большинства описываемых игровых форм.

Всего же в пособии около 1200 разнообразных вопросов, упражнений, задач. Около половины из них заимствовано из разных источников (см. список литературы в конце книги), остальные составлены автором.

В приложении 3 даются ответы к задачам и вопросам карточек-заданий. Это приложение предназначено, главным образом, для учащихся, обеспечивающих организацию игр-вечеров, конкурсов (справочное бюро, кассы, бюро добрых услуг и др.). К большинству задач (№250—673) даны одно или несколько указаний (справок) и подробные решения (пункты а, б, в). При этом в справке (а) дается наводящий вопрос или вспомогательная задача (две задачи), в справке (б) — подсказка решения, в (в) — подробное решение задачи, ответ.

Отсутствие справок (а) или (б) означает, что задача легкая и ученик должен с ней справиться самостоятельно.

В приложении 4 (разрезное) приведены образцы таблиц исторического и практического содержания, образцы обучающих таблиц.

Приложение 5 (разрезное) содержит печатные основы для настольных игр (лото, развлечения со спичками и др.).

Описанные в пособии игры и игровые формы применялись в ряде школ города Перми и области (школы № 2, 9, 11, 12, 22, 82, 93, 117 и др.), на занятиях клуба «Математический огонек» при Пермском педагогическом институте, некоторые из них использовались в качестве утренников при проведении городской и областной математических олимпиад.

Автор рассматривает данное пособие как начало большой работы по созданию «Школьной математической игротеки» для подростков, сознавая, что только при активном участии большого коллектива учителей можно создать полноценную «Игротеку», способную оказать заметное влияние на активизацию всей внеклассной работы по математике. Поэтому он надеется получить от учителей отзывы об указанных в пособии игровых формах, советы, а также описания своих оригинальных игр.

Автор признателен своим коллегам А. М. Лурье и В. Ф. Козовой за участие в разработке игры «Математический кросс» и составлении описаний некоторых настольных и подвижных игр; благодаря Б. А. Кордемского, А. А. Колосова и Е. Г. Гонина за помощь, оказанную ими при подготовке рукописи к печати, автор считает своим долгом выразить особую признательность А. Я. Маргулису, воодушевившему его на создание данного пособия.

ВВЕДЕНИЕ

§ 1. ОСНОВНАЯ ПРОБЛЕМА ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В IV—VII КЛАССАХ

Отношение учащихся к тому или иному предмету определяется различными факторами: индивидуальными особенностями личности, особенностями самого предмета, методикой его преподавания.

По отношению к математике всегда имеются различные категории учащихся: учащиеся, проявляющие повышенный интерес к ней; занимающиеся ею по мере необходимости и особенного интереса к предмету не проявляющие; ученики, считающие математику скучным, сухим и вообще нелюбимым предметом.

С учетом этих групп учащихся строится методика преподавания, вырабатываются формы как классной, так и внеклассной работы. Удельный вес каждой из трех групп, количественное соотношение между ними находится в прямой зависимости от качества всей учебно-воспитательной работы. Изменение этого соотношения в пользу первой группы является важной задачей каждого учителя математики, а потому степень влияния форм, методов и приемов работы на это изменение можно считать одним из важнейших критериев их целесообразности и эффективности.

Внеклассная работа по математике призвана решать три основные задачи:

1) повысить уровень математического мышления, углубить теоретические знания и развить практические навыки учащихся, проявивших математические способности;

2) способствовать возникновению интереса у большинства учеников, привлечению некоторых из них в ряды «любителей» математики;

3) организовать досуг учащихся в свободное от учебы время (особенно в школах-интернатах, в группах с продленным днем, пионерских лагерях и др.).

Решение первой задачи преследует цель удовлетворить запросы и потребности первой категории учеников, решение двух других должно обеспечить создание дополнительных условий для возникновения и развития интереса к математике у оставшегося большинства.

Общеизвестно, что вторая и третья задачи внеклассной работы решаются менее успешно, чем первая. Основными формами внеклассной работы, носящими систематический характер, охвачены в основном только любители математики. На долю остальных учеников чаще всего остается «косвенное» влияние товарищей (любителей математики), да эпизодически проводимые мероприятия в виде вечеров, конкурсов, которые организуются 1—2 раза в год и не могут, естественно, оказать заметного влияния на развитие их интересов.

С сохранившейся еще тенденцией привлечения к систематической внеклассной работе по математике только сильных учащихся, интерес которых к предмету уже проявился, нельзя согласиться. Систематической внеклассной работой по математике должно быть охвачено большинство подростков, в ней должны быть заняты не только ученики, увлеченные математикой (что необходимо), но и те учащиеся, которые не тяготеют еще к математике, не выявили своих способностей и наклонностей.

Это особенно важно в подростковом возрасте, когда еще формируются, а иногда определяются постоянные интересы и склонности к тому или иному предмету. Именно в этот период нужно стремиться раскрыть притягательные стороны математики перед всеми учащимися, используя для этой цели все возможности, в том числе и особенности внеклассных занятий.

Действительно, почему разнообразие материала элементарной математики, истории математики и прикладных вопросов, которые все, естественно, не могут найти отражение в программе, но которыми так богата математика, должны стать достоянием сильных учеников?

Почему доступ к интересным, занимательным задачам — задачам, требующим серьезной мысли, задачам, начав решать которые трудно бросить, не дорешив до конца, предоставлять, в первую очередь, учащимся, уже интересующимся предметом?

Добиться, чтобы большинство подростков испытали и осознали притягательные стороны математики, ее возможности в совершенствовании умственных способностей, полюбили думать, преодолевать трудности,— сложная, но очень нужная и важная сторона обучения математике. Конечно, эта задача легче решается с учащимися первой группы, так как их интерес может поддерживаться самим содержанием, творческим характером предмета. Намного труднее добиться ее решения с большинством учеников. Возникновение интереса к математике у большинства учащихся зависит в большей степени от методики его преподнесения, от того, насколько тонко и умело будет построена учебная работа.

В «Занимательной математике» столько серьезного, способного заинтересовать и увлечь учащегося, что она по своим возможностям в развитии математического мышления может поспорить со многими разделами школьной программы.

Прелесть решения занимательных задач, парадоксов, фокусов, раскрытия головоломок и софизмов и т. д. должен испытать каждый учащийся. Даже развлекательность может быть частично использована для того, чтобы помочь понять своеобразие «сухой» науки. Нужно позаботиться о том, чтобы каждый ученик работал активно и увлеченно; и это использовать как отправную точку для возникновения и развития пытливости, любознательности, глубокого познавательного интереса.

Внеклассная работа, построенная на добровольных началах, при правильной организации должна способствовать решению этой задачи.

Массовость систематической внеклассной работы с подростками следует считать необходимым условием ее эффективности.

§ 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ФОРМАХ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ С ПОДРОСТКАМИ

Очевидно, что формы проведения внеклассных занятий и приемы, используемые на этих занятиях, должны удовлетворять ряду требований. Они должны быть разнообразными, выбираться с учетом возрастных особенностей учащихся, должны быть рассчитаны на различные категории учащихся: на интересующихся математикой и одаренных учащихся и на учащихся, не проявивших еще интереса к предмету. Они должны во многом отличаться от форм проведения уроков и других обязательных мероприятий. Последнее необходимо не только потому, что внеклассная работа строится на добровольных началах, но еще и потому, что она, как правило, проводится или после уроков, или в вечернее время после выполнения домашних заданий, т. е. после пятичасового, а иногда и восьмичасового умственного труда.

Эти общеизвестные и необходимые требования часто недооцениваются. Наблюдения показывают, что формы проведения кружковых занятий, вечеров, математических состязаний как в младших, так и в старших классах порой мало чем отличаются друг от друга. Более того, занятия кружков в IV—VII классах по форме часто напоминают уроки. Изменяется лишь содержание занятий путем включения ряда новых теоретических вопросов, привлечения исторического материала, решения занимательных задач и задач повышенной трудности, кратковременного использования математических игр, софизмов, головоломок и других математических развлечений. Организация математических вечеров нередко страдает парадностью и словесностью. На таких вечерах ученики много слушают, но мало делают.

Нарушение основных требований приводит к тому, что создающиеся в школах кружки нередко «усыхают» или распадаются, если не теряют добровольности (проводятся шестыми уроками, делаются обязательными и т. д.), конкурсы, вечера бывают малочисленными. Поэтому при организации внеклассных занятий важно не только серьезно задумываться над их содержанием, но обязательно над методикой их проведения, формой. Нужно использовать такие приемы, которые бы отвечали потребностям всех учащихся.

К формам, широкое использование которых является целесообразным во внеклассной работе по математике (особенно в IV—VII классах), относятся игровые формы занятий — занятия, пронизанные элементами игры, соревнования, содержащие игровые ситуации.

К сожалению, в нашей педагогической, и особенно методической, литературе незаслуженно мало уделено внимания игровой деятельности подростков, особенно в образовательной работе. Лишь за последнее время в ряде работ и журнальных статей делаются попытки анализа воздействия игр на процесс обучения подростков, рассматриваются вопросы о их месте, роли и возможностях. Появляется все больше сторонников этой формы.

Интерес этот вполне закономерен, так как при поисках активных форм обучения, приемов, создающих условия для творческой деятельности, трудно пройти мимо игровой деятельности подростков, по своей природе являющейся творческой.

В настоящей работе, на основе опыта по организации внеклассной работы в школах, делается попытка наметить некоторые пути и формы использования игр и игровых ситуаций во внеклассной работе по математике, показать целесообразность их применения в определенных условиях.

§ 3. ИГРЫ И ИГРОВЫЕ ФОРМЫ ЗАНЯТИЙ ВО ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ В IV—VII КЛАССАХ

А. Игровая деятельность подростков

Формирование личности школьника происходит в различных видах деятельности: учебной, трудовой, общественной и игровой. Каждая из них

имеет свои особенности и возможности, причем на различных этапах обучения, для различных возрастов различные.

Значение игр в подростковом возрасте, особенно их образовательное значение, изучено недостаточно. Имеется ряд исследований о роли игры в пионерской работе (Е. С. Махлах, Ф. И. Фрадкина. С. А. Шмаков, Н.С. Лукин, Т. Е. Конникова и др.). Лишь несколько работ посвящены исследованиям возможностей их использования в целях обучения (Ф. И. Фрадкина, 3. Упмане, Д. И. Трайнин и др.).

Несмотря на то что мы имеем большое количество примеров, когда игра помогает интересно и увлекательно провести любое начинание, имеется мало теоретических обобщений практического опыта.

Основные положения теории игровой деятельности были сформулированы и разработаны классиками русской и советской педагогики К. Д. Ушинским, Д. И. Писаревым, Н. К. Крупской, А. С. Макаренко и видными советскими психологами и педагогами Н. В. Левитовым, Л. С. Выготским, Л. С. Рубинштейном, А. Н. Леонтьевым. Н. Ф. Добрыниным и другими.

Большое значение придавали играм Н. К. Крупская и А. С. Макаренко. Многие их высказывания относительно игры пронизаны основной идеей о том, что игра является важным средством коммунистического воспитания, средством всестороннего развития личности. Игру они рассматривали как вид творческой деятельности, форму коммунистического воспитания.

Игра не самоцель, а средство воспитания. Игру не нужно путать с забавой, не следует рассматривать игру как деятельность, доставляющую удовольствие, для удовольствия. Такой подход к игре обедняет ее, делает бесполезной, дает повод для принижения ее роли как средства воспитания. На игру нужно смотреть как на вид преобразующей деятельности. Только при таком подходе к пониманию игры, при таком взгляде на игру можно правильно оценить ее значение и роль, говорить о возможностях использования ее в образовательной работе.

Игру нельзя рассматривать изолированно, в отрыве от других видов деятельности.

Виды деятельности необходимо рассматривать во взаимосвязи, взаимозависимости и взаимодополняемости. Только в этом случае более полно и всесторонне проявятся особенности отдельных видов деятельности, их возможности. Только в единстве видов деятельности успех воспитания и формирования личности.

Такой подход к различным видам деятельности является диалектическим, единственно верным. И если это правомерно для учебной и трудовой деятельности, учебной и общественной, трудовой и общественной, то в равной степени это относится и к игровой деятельности, особенно если речь идет о воспитании и обучении детей, для которых игровая деятельность является еще потребностью. На это не раз указывали Н. К. Крупская и А. С. Макаренко. Особенно это характерно для понимания роли игры в системе А. С. Макаренко. «Игра обязательно должна присутствовать в детском коллективе»,— писал он. «Детский коллектив не играющий не будет настоящим детским коллективом» [20 а].

«Мы почему-то убеждены,— писал он,— что для игры должно быть какое-то отдельное место, и этим все участие игры в воспитании ограничивается. А я утверждаю, что детская организация должна быть пропитана игрой» [20 б]. И далее: «В детском возрасте игра — это норма, и ребенок должен всегда играть, даже когда делает серьезное дело» [20 б].

Практика А. С. Макаренко, в руках которого игра была действенным средством коммунистического воспитания, является классическим примером использования игр в воспитании подростков.

Использование потребностей детей к игре порождает особый вид игр — дидактические игры и особую форму занятий— игровую форму.

Под дидактической игрой понимается игра, используемая в целях обучения и воспитания. Под игровым занятием понимается занятие, пронизанное элементами игры или содержащее игровую ситуацию.

Таким образом, следует различать игру, дидактическую игру и игровую форму занятий, хотя это деление условно.

Игра есть осмысленная деятельность, мотив которой лежит в самой деятельности. Она не связана с необходимостью, участие в ней определяется желанием.

Дидактическая игра отличается от первой тем, что участие в ней обязательно, и определяется требованием воспитателя. Но ее правила, содержание, методика проведения разработаны так, что для некоторых учащихся она воспринимается как игра (в том смысле, что мотив участия в деятельности будет определяться самой деятельностью), для других она будет не игрой, а деятельностью с другими мотивами (учебными, познавательными и др.). Здесь многое зависит от правил, содержания и методики проведения, а также от индивидуальных особенностей учащихся.

Эффективность дидактических игр и состоит в том, что они рассчитаны на более широкий диапазон мотивов. Например, у учащихся, не имеющих познавательных интересов, дидактические игры могут вызвать игровой мотив, деятельность будет творческой; для учащихся с устойчивыми учебными интересами игровой мотив будет лишь подкреплением к мотивам познавательным.

Игровые ситуации, правила, роли имеют в дидактической игре лишь вспомогательное значение, они вносят в деятельность некоторые особенности игры как творческой деятельности, иногда помогают сделать эту деятельность творческой, активной, эмоциональной, причем для различных учащихся в различной степени.

Игровое занятие может включать одну или несколько связанных между собой дидактических игр.

Так же как и дидактическая игра, игровое занятие является обязательным. Мотив деятельности может определяться игровыми моментами, игровыми ситуациями, а поэтому для некоторых учащихся такое занятие приобретает форму игры, учащихся увлекают и сюжет, и правила. Для других учащихся, особенно с устойчивыми познавательными интересами, мотив может лежать в содержании материала, рассматриваемого на занятии, в решении задач и т. д.

Наблюдения показывают, что дидактические игры и игровые занятия, разработанные с учетом особенностей игр подростков, особенностей предмета и конкретных условий, как правило, отличаются эмоциональностью, ибо они через игровые ситуации передают часть особенностей игры, у школьников они вызывают умственные напряжения, обостряют различные интеллектуальные процессы. Этим занятия, проводимые в игровой форме, напоминают игру. Занятия, проводимые в игровой форме, мы в дальнейшем и будем называть игровыми формами занятий.

Б. Влияние игровых ситуаций на учебную деятельность подростков

Элементы игры, соревнования, включенные в занятия, оказывают заметное влияние на деятельность учащихся IV—VIII классов. Игровой мотив является для них действенным подкреплением, познавательному мотиву, способствует созданию дополнительных условий для активности мыслительной деятельности учащихся, повышает концентрированность внимания, настойчивость, работоспособность, создает дополнительные условия для появления радости успеха, удовлетворенности, чувства коллективизма.

Для них большое значение имеют удачно выбранные игровые ситуации, наполненные элементами загадочности, таинственности. Это особенно характерно для учеников IV и V классов. Поэтому и большинство игр, предназначенных для них, имеет игровое название, а правила содержат игровые ситуации. Например, «Математические следопыты» и «Математический поезд», «Бюро добрых услуг» и «Математическая уха» и др.

Характерным для подростков IV—VI классов является то, что игровой мотив одинаково действен для всех категорий учащихся, как сильных и средних, так и слабых (несколько сильнее для средних). Учащиеся этих классов с большой охотой принимают участие в различных по характеру и форме играх. Интересно при этом, что у учащихся более сильных большим уважением пользуются индивидуальные игры-соревнования на личное первенство, в которых они могут показать свои умственные способности, проверить свои волевые качества.

Средние и особенно слабые учащиеся, наоборот, охотнее участвуют в коллективных играх, в которых они совместно с другими могут добиться победы, испытать радость успеха.

Учащиеся этих классов (в отличие от семиклассников) охотно участвуют в играх-состязаниях как между командами своего класса, так и между классами.

Влияние игровых ситуаций на учебную деятельность учащихся заметно снижается к концу VII класса. Игровые ситуации имеют здесь положительное влияние в основном для средних по успеваемости учащихся. Остаются эффективными игры с правилами — соревнования, конкурсы, турниры. Наибольший интерес для учащихся VII классов представляют игры-соревнования за личное первенство или первенство всего класса. Командные соревнования внутри класса не всегда оказывают заметное влияние на повышение активности.

Большой интерес у старших подростков вызывают и игры с четко поставленными учебно-познавательными целями.

В. Условия, при которых игры и игровые формы занятий являются целесообразными, порой необходимыми

Усвоение — процесс познавательной деятельности, включающий ряд психических процессов: восприятие, память, мышление и др. В нем принимают участие не только мыслительные процессы. Оно непосредственно связано со свойствами личности, ее чувствами, эмоциями, ее волевыми качествами.

Действительное усвоение происходит только в активной деятельности, т. е. только тогда, когда сам ученик активно действует с учебным материалом, проявляет максимум самостоятельности, пытается применить свои знания к решению разнообразных вопросов. Только в такой деятельности происходит сознательное усвоение знаний, вырабатываются приемы мыслительной работы.

Активность в деятельности определяется многими факторами и зависит от целого ряда условий, как объективных, так и субъективных [5].

Во-первых, она зависит от характера деятельности и ее организации. Известно, что деятельность, в которой ставятся вопросы, проблемы, требующие самостоятельного разрешения, деятельность, в процессе которой рождаются положительные эмоции (радость успеха, удовлетворения и др.), чаще всего вызывает активную мыслительную работу. И наоборот, деятельность однообразная, рассчитанная на механическое выполнение, запоминание, как правило, не может вызвать мыслительной активности; отсутствие положительных эмоций может привести к пассивности.

Во-вторых, активность определяется мотивацией деятельности, направленностью личности.

Известно, что только при наличии как близких мотивов — непосредственно побуждающих учебную деятельность (интересы, поощрения, похвала, оценка и др.), так и далеких — социальных мотивов,

ориентирующих ее (долг, потребность, ответственность перед коллективом, осознание общественного значения учения и др.), возможна устойчивая мыслительная активность. Отсутствие мотивов или ослабление их может привести к пассивности.

В-третьих, активность зависит от наличия знаний и умений, навыков самостоятельной умственной работы, т. е. от подготовленности личности к деятельности в данный момент.

Всем известно, что при наличии пробелов в знаниях, непрочности их, даже при положительном отношении к учению и других благоприятных условиях, активность может не возникнуть или, как это часто бывает, возникнув, потухнуть — перейти в свою противоположность.

При каких же условиях целесообразно использование игровых форм занятий во внеклассной работе по математике?

1. Предмет школьной математики представляет собой достаточно связную, выдержанную систему определений, правил и теорем. Логическая последовательность ее такова, что каждое новое определение, правило, теорема опираются на предыдущие, ранее введенные, выведенные, доказанные. Каждая новая задача включает элементы задач, ранее разобранных, решенных и т. д. Эта связность всех разделов предмета, их взаимозависимость и дополняемость, нетерпимость к пробелам и пропускам, недопустимость недопонимания как в целом, так и в ее частях, порождает ту особенность математики как школьного предмета, которая чаще всего является причиной неуспехов учащихся и, как следствие этого, причиной потери интереса к ней. Предмет математики — это не только связная, логически стройная система сведений — это система умственных задач, каждая из которых требует обоснований, доказательств, аргументаций, т. е. приложения умственных усилий. Каждая задача, вопрос в математике — проблема, решение которой требует усилий мысли, настойчивости, воли и других качеств личности.

Эти особенности математики создают благоприятные условия для возникновения активности мышления, но в то же время они нередко служат и основной причиной возникновения пассивности. Последняя может возникнуть особенно у тех учащихся (в тех классах), которые на предшествующих ступенях обучения не были приучены к систематическому умственному труду. В классах, где преобладают ученики с неустойчивым вниманием, отрицательным отношением к предмету, в классах, многие ученики которых имеют пониженный познавательный интерес к математике, для которых она обычно кажется «скучной», «сухой», а следовательно, и непреодолимой. Во всех таких случаях небесполезно использовать игровые формы занятий.

2. Известно, что подростки имеют далекую мотивацию. Они могут порой упорно и глубоко сосредоточиваться на трудной и неинтересной работе ради далекой цели, но это еще не очень сильно развито в них. Поэтому и понимание необходимости изучения математики, осознание важности для практической деятельности само по себе не является достаточным условием активного ее изучения подростками.

Недостаточная действенность общих мотивов, неустойчивость произвольного внимания, незрелость настойчивости подростков при некоторых условиях нередко приводят к разрыву между высокими мотивами и устремлениями, с одной стороны, и конкретными действиями — с другой.

Это можно наблюдать при выполнении однообразной, «скучной» работы, что нередко имеет место в математике (громоздкие вычисления, длинные расчеты, однотипные тождественные преобразования и др.).

Здесь близкие мотивы порой отсутствуют, ослаблен мотив практической значимости, т. е. мотивы деятельности в данный момент не имеют для учащихся «жизненного смысла». Наличие только далеких мотивов, подкрепляющихся словесно, не создает достаточных условий для проявления настойчивости и активности (вычисления остаются незаконченными, преобразования невыполненными). Подобное можно наблюдать и при решении задач повышенной трудности, которым отводится большое место на внеклассных занятиях. Эта работа осознается учащимися как нужная и полезная для «развития ума». Но трудности иногда оказываются настолько большими, что эмоциональный подъем, который мы наблюдаем в начале решения задач, снижается, что приводит к ослаблению внимания, волевого усилия и в конечном счете к пассивности.

В данных ситуациях с большим эффектом могут использоваться игровые ситуации, игровые формы, содержащие элементы соревнования.

3. Нередко после длительного умственного труда (после уроков и домашней работы) и доступный большинству учащихся материал не вызывает активности.

Такое явление инертности мышления учащихся можно часто наблюдать на дополнительных занятиях, которые сразу же проводятся после уроков, или на занятиях кружков, проводимых однообразными методами. Введение игровых элементов на занятии может помочь разрушить интеллектуальную пассивность учащихся.

Таковы лишь некоторые условия, в которых игровые формы, при умелом их использовании, учете конкретных условий, могут служить «аварийными» мерами воздействия на пробуждение (поддержание) интеллектуальной активности подростков.

Г. Требования к дидактическим играм и игровым формам занятий, используемым во внеклассной работе по математике

Внеклассная работа по математике должна быть массовой по охвату и познавательной, активной, творческой относительно деятельности учащихся. Это определяет и те требования, которые должны предъявляться к приемам и формам, используемым на внеклассных занятиях.

Игры и игровые формы должны включаться не для того, чтобы развлечь учащихся, а чтобы возбудить у них стремление к преодолению трудностей. Цель введения их состоит в том, чтобы удачно соединить игровые и учебные мотивы и в такой деятельности постепенно сделать переход от игровых мотивов к учебным, познавательным. Для этого нужно так разрабатывать методику игровых занятий, чтобы деятельность учащихся была игровой по форме, т. е. вызывала бы те же эмоции, переживания, что и игра, и в то же время давала возможность активно приобретать нужные сведения, восполнять пробелы в знаниях, способствовала бы воспитанию познавательных интересов.

Требования к игровым формам

1. Дидактическая игра, игровое занятие должны разрабатываться таким образом, чтобы к участникам были предъявлены определенные требования в отношении знаний.

Чтобы играть, нужно знать — вот первое требование, которое придает игре (занятию) познавательный характер и оправдывает наличие игровых моментов, игровых ситуаций.

2. Правила игр, игровые ситуации должны быть действенными, т. е. такими, чтобы у учащихся появилось желание участвовать в игре. Поэтому игровые занятия должны составляться с учетом вида игр детей данного возраста, с учетом их интересов, развития, знаний. Так, для младших подростков можно составлять дидактические игры с включением ролей, сюжетов, привлекающих учеников (расшифровка таинственных записей, путешествия и др.). Кроме того, полезно в дидактические игры включать элементы соревнования.

3. Правила и организация дидактических игр должны составляться и разрабатываться с учетом индивидуальных особенностей учащихся, т. е. с учетом различных групп (слабых и сильных, активных и пассивных и т. д.). Они по возможности должны быть такими, чтобы для каждой категории учеников были созданы условия для проявления самостоятельности, настойчивости, смекалки, возможности появления чувства удовлетворенности, успеха.

Необходимо предусмотреть более легкие, ослабленные варианты игры для слабых учащихся, чтобы несколько искусственно создать радость успеха, состояние уверенности в себя, в свои возможности, и, наоборот, трудные варианты для сильных учащихся. В исключительных случаях для учащихся с запущенными знаниями полезно на первых этапах предусмотреть такие варианты, где нужно думать, проявить смекалку, но не надо знать. В противном случае наличие пробелов в знаниях может оттолкнуть ученика от участия в играх.

Нужно предусмотреть этапы игры, подготавливающие к успешному участию в ней всех учащихся, а также этапы, назначение которых — поддерживать успех в игре, помогать отстающим в ходе игры (справочное бюро, справочный отдел, путеводитель и др.). Наличие подготовительных этапов необходимо еще и для того, чтобы все учащиеся были поставлены во время самой игры в сравнительно равные условия относительно знаний.

4. Дидактические игры и игровые занятия должны быть разнообразными и разрабатываться с учетом особенностей предмета и его материала. Все многообразие игр должно составлять продуманную систему. Это может повысить эффективность внеклассной работы, послужит дополнительным источником систематических и прочных знаний.

Система игр должна включать следующие виды:

а) обучающие и контролирующие (по назначению);

б) групповые (коллективные) и индивидуальные (по массовости) ;

в) подвижные и тихие (по реакции);

г) «скоростные» и «качественные» (по темпу);

д) одиночные и универсальные.

Такая классификация, проведенная по разным основаниям, не является строгой, так как каждую из дидактических игр, как правило, можно отнести к нескольким видам. Например, игра может быть и коллективной, и обучающей, и тихой и т. д.

Проведем краткое обоснование необходимости всех указанных выше видов игр. Перечислим некоторые их особенности и назначение.

а) Итак, по назначению будем различать игры обучающие и контролирующие.

Игра называется обучающей, если учащиеся, участвуя в ней, приобретают новые навыки, знания или вынуждены приобрести их перед игрой. Во втором случае игра используется как мотив, стимул для получения новых знаний.

Игра называется контролирующей, если для участия в ней достаточны известные учащимся знания. Цель ее состоит в закреплении ранее полученных знаний, в контроле.

Конечно, в практике чаще всего игры бывают одновременно и обучающими, и контролирующими. Только в зависимости от соотношения между целями можно говорить об обучающем или контролирующем характере той или иной игры.

Условно можно выделить и воспитывающие игры. Игра называется воспитывающей, если она имеет целью воспитание отдельных качеств личности (внимания, наблюдательности, смекалки и др.) и никаких конкретных (математических) знаний не требует, например игра «Веселый счет» (на внимание и быстроту ориентировки), «Головоломки со спичками» (на внимание и смекалку) и т. д.

б) Известно, что подросткам свойственно чувство коллективизма; заметно чувствуется желание участвовать в жизни коллектива в качестве его полноправного члена, стремление общаться с товарищами, участвовать в совместной с ними деятельности [19]. Поэтому и игры подростков чаще всего принимают коллективные формы.

С другой стороны, для подростка характерно стремление к самостоятельности, самоанализу и

самооценке, а отсюда потребность к проверке своих индивидуальных возможностей и качеств. Поэтому подростков увлекают и индивидуальные игры, но, как правило, связанные с умственными усилиями, т. е. интеллектуальные игры, в которых они могут проверить свои умственные способности.

Каждая из этих игр имеет свои особенности и возможности, а поэтому о предпочтении какой-нибудь из них говорить нельзя.

Так, если коллективные игры привлекают, как мы уже отмечали раньше, слабых учащихся тем, что при коллективной работе они могут добиться успеха — появится чувство удовлетворения, то индивидуальные, наоборот, привлекают сильных, так как они более самостоятельны.

в) Подростковый возраст известен как возраст кипучей деятельности и энергичных движений. Наиболее естественное состояние подростка —движение и реже можно наблюдать апатичного и вялого подростка. Это выражается и в игровой деятельности, которая, как правило, состоит из подвижных игр. Это естественно. Действительно, основной деятельностью подростков является учение. В школе учащиеся проводят 5—6 часов (уроков), да еще на выполнение домашних заданий уходит 2—3 часа. Растущий организм требует движений, что и находит выражение в спорте или подвижных играх. Учитывая, что внеклассные занятия по математике проводятся после уроков, естественно на них допускать элементы подвижности, которые можно включать в некоторые дидактические игры, но так, чтобы они не мешали сосредоточенной умственной работе.

Подростковый возраст известен и как «возраст пытливого ума, жадного стремления к познанию...» [19], а поэтому и чисто интеллектуальные игры вызывают большой интерес. Большинство из них можно отнести к тихим играм, или, как их еще называют, настольным. Это «Математическое лото», «Математические головоломки на спичках», кроссворды, чайнворды, игры на складывание и разрезание фигур и многие другие. Некоторые из таких игр способствуют закреплению навыков и умений.

Тихие игры служат хорошим средством перехода от одной умственной работы к другой, находят место перед началом занятий кружка, математического вечера, олимпиады и других массовых мероприятий, часто используются и в конце внеклассных занятий.

г) Мы уже отмечали, что характерной чертой подростков является стремление к различного рода состязаниям как в физической ловкости, так и в интеллектуальных умениях (конкурсы, турниры, олимпиады и др.). Поэтому и некоторые дидактические игры должны принимать форму состязаний, соревнований за личное первенство, первенство звена, команды, класса, школы и т. д.

Исходя из особенностей предмета математики следует различать два вида игр-состязаний: во-первых, это игры, победа в которых обеспечивается скоростью действий, без ущерба качеству решений (скоростью выполнения вычислений, преобразований, скоростью решения задач, доказательств теорем и т. д.), условно назовем их играми на скорость; во-вторых, это игры, победа в которых обеспечивается и скоростью действий, но главным образом качеством, правильностью решений, безошибочным их выполнением. Не столько быстро, сколько точно! Условно назовем их играми на качество.

Первые полезны тогда, когда нужен автоматизм действий, вторые направлены на серьезные вычисления и применимы тогда, когда требуется вдумчивая работа над громоздкими вычислениями, трудными задачами, теоремами и т. д. Они необходимы для воспитания серьезного отношения к вычислениям, по возможности ограничены от спешки, торопливости, которые могут помешать сосредоточенной работе.

Разновидности игр-соревнований достигаются правилами.

Наиболее важными являются игры на качество, так как они помогают решить основную задачу, из-за которой, собственно говоря, и вводятся игровые формы во внеклассную работу по математике,— пробудить мыслительную деятельность учащихся, заставить их активно думать над задачей, развивать настойчивость, упорство.

Каковы же особенности правил, которые ограждают учащихся от спешки, способствуют активизации мыслительной деятельности учащихся?

В одних играх все упражнения составляют такую цепочку заданий, что ошибка в одном (или ошибка одного члена команды при коллективной игре) приводит к ошибке в окончательном результате (неверный ответ), и для победы нужно все упражнения перерешать снова, чтобы найти и исправить ошибку.

Такое правило создает дополнительные условия для организации внимания, ответственного отношения к вычислениям.

В других играх правилами предусматривается максимально допустимое количество ошибок, которое можно сделать. Большее количество ошибок или штрафуется очками, или лишает права играть. Здесь жесткость правил побуждает к серьезной, ответственной работе.

Чтобы игровые занятия со строгими правилами и серьезным содержанием были действительно активными в смысле познавательной деятельности для большинства учащихся, нужно большое внимание обращать на создание игровой ситуации с тем, чтобы она служила дополнительным мотивом деятельности.

Наконец, следует различать игры одиночные и универсальные. К одиночным играм мы отнесем те, правила которых не дают возможности менять содержание игры, они разработаны с учетом особенностей конкретного материала (большинство настольных игр, некоторые игры-вечера).

К универсальным отнесем игры, которые могут быть разработаны по широкому кругу вопросов школьной программы, по любой теме, разделу и использоваться на различных видах внеклас-

сных занятий, в различных целях: для проверки знаний, для их закрепления, для изучения нового. Очевидно, что этот вид игр представляет большую ценность.

Таковы, в общих чертах, требования к играм и игровым формам занятий, используемым во внеклассной работе по математике.

С учетом видов игр и требований к ним в данном пособии описывается далеко не полная система игр и игровых форм занятий, которую мы назвали «Школьной математической игротекой».

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Описанные в пособии игры и игровые формы могут найти широкое применение в учебной работе по математике в IV—VII классах. Они могут использоваться на любых внеклассных мероприятиях (кружках, математических часах, состязаниях, вечерах и пр.).

Наблюдения показывают, что многие учащиеся, даже слабые, в свободное время охотно принимают участие в проведении игровых занятий. Даже дополнительные занятия становятся более активными и теряют принудительность, если они пронизываются элементами игры, соревнований, содержат игровые ситуации.

Сделаем несколько общих замечаний по методике проведения игровых форм занятий на различных внеклассных мероприятиях.

1. Игротека не должна определять содержание внеклассной работы. Наоборот, игры должны подбираться с учетом программы внеклассных занятий, их содержания. Они должны лишь облегчить организацию некоторых внеклассных мероприятий, помочь сделать их интересными и увлекательными.

Содержание и цель занятия должны определять необходимость проведения той или иной игры.

2. Следует помнить, что основой успеха любой игры является четкость ее организации. Этому указанию следует придавать самое серьезное значение и иметь его в виду при проведении игр, в особенности массовых.

Особую требовательность, начиная с проведения первых игровых занятий, нужно предъявлять к строгому соблюдению учащимися правил и дисциплины. Только при этом условии они будут относиться к игровым занятиям с большой ответственностью.

Отступления от правил, терпимость к мелким шалостям или нарушениям дисциплины (ненужные хождения, возгласы и др.) в конечном итоге могут привести к срывам занятий. Игровые формы будут не только не полезными, наоборот, они принесут вред.

Проведение большинства игр связано с решением разнообразных упражнений, а это приводит к выполнению построений и вычислений, иногда устно, но чаще всего письменно. Отсюда (особенно это касается занятий кружков, математических часов, состязаний) следует требовать от учащихся ведения тетрадей, в которых и должны выполняться все расчеты.

За небрежные записи, записи, выполненные в спешке, в правилах игр нужно предусмотреть наказания (штраф очками, жетонами, временем и пр.). Об этом учащиеся должны предупреждаться в начале игры.

Пренебрежение данным указанием приводит к небрежности в записях, отсюда к большому числу описок и ошибок, в конечном счете к потере интереса — к затуханию игры.

3. Основное внимание в пособии уделено универсальным играм. К ним относятся: игры-состязания («Математический огонек» и «Огонек», «Турнир смекалистых», «Математические тяжеловесы» и «Математические барьеры»); итоговые игры («Математические лабиринты» и «Математические следопыты»); игры-вечера («Математический поезд» и «Математический кросс»); настольные и подвижные игры («Математическая рыбалка» и «Математическое лото»).

Основой всех этих игр являются карточки-задания. В одних эти карточки размещаются на гранях куба («Лабиринт»), в других — на шнурах («Барьеры»), в третьих — на следах («Следопыты»), на рыбках («Математическая рыбалка») и т. д. В этом общность всех игр, которая, в частности, дает возможность достаточно просто менять их содержание, использовать одни и те же карточки для проведения различных игровых занятий.

Эти игры обладают еще одним, на наш взгляд, очень ценным качеством — они содержат элементы программированного обучения (в особенности «Турнир смекалистых», «Барьеры», «Лабиринты»). Правила их таковы, что обеспечивают обучающий характер игр, облегчают учителю осуществлять контроль за работой учащихся (наличие самоконтроля), позволяют доверять их проведение ученикам старших классов.

Последнее очень важно. Оно может помочь разрешить кажущееся противоречие между массовостью внеклассной работы и занятостью учителя. Используя актив старших учеников, можно, пользуясь системой игр, проводить занятия нескольких кружков одновременно, причем без резкого снижения качества знаний, активности мыслительной деятельности учащихся. Это замечание следует отнести к проведению и других внеклассных занятий.

В пособии приведены лишь образцы каждой игры с набором карточек-заданий по одной, реже нескольким темам. Можно надеяться, что учитель, исходя из конкретных условий и возможностей, будет составлять свои наборы карточек-заданий для различных игр, по различным темам, отвечающим его вкусам и интересам. Работа по составлению своих наборов задач будет необходимой еще и потому, что задачник пособия наполнен в основном арифметическим материалом. Правда, большинство арифметических задач можно предлагать для решения методом составления уравнений, но и в этом случае алгебраического материала

будет недостаточно. Это же замечание относится и к геометрии.

4. Математический кружок является основной формой систематической внеклассной работы. В нем, как правило, собираются любители математики. Последнее нередко приводит к ошибочному мнению. Считают, что для этой категории учащихся интерес к предмету может поддерживаться содержанием самого предмета, его внутренними особенностями и он в меньшей степени зависит от методики изложения. С этим можно согласиться, но только условно — обязателен учет конкретных условий (время занятий, состав учеников, возраст, содержание занятий).

Так, если занятие кружка проводится в V классе после уроков, когда ученики устали, и тема занятия, например, решение задач, то можно утверждать, что успех занятия в основном определится методикой его проведения.

Аналогично можно было бы сказать и о занятиях кружков VI и даже VII классов, например, по теме «Недесятичные системы счисления».

В этих условиях без боязни можно советовать как можно шире использовать игровые формы занятий. В качестве примеров проникновения элементов игры на первых занятиях математического кружка IV—V классов в работе приведены достаточно подробные планы этих занятий (см. стр.34 —41). Приведем еще краткие планы нескольких занятий кружка VI—VII классов по теме «Недесятичные системы счисления» с указанием игр к каждому занятию.

Занятие 1. 1) Различные системы счисления (сообщение учителя — 10—15 мин).

2) Перевод из одной системы счисления в другую (сообщение ученика — 10—15 мин).

3) Закрепление.

Игра «Математическое лото».

Занятие 2. 1) Сложение и вычитание систематических чисел (сообщение — 20 мин).

2) Игра «Математические тяжеловесы» (стр. 24— 26). или «Математическая рыбалка» (VI кл., стр. 44—45).

Примечание. Повторение материала 1-го занятия можно провести с использованием игры «Огонек».

Занятие 3. 1) Умножение и деление систематических чисел (сообщение — 20 мин).

2) Игра «Математические тяжеловесы» или «Математическая рыбалка». Можно подготовить игру «Математические барьеры».

В IV—VI классах большой настойчивости в решении примеров можно добиться в игре «Математические следопыты» (стр. 38—41), которую можно изменить применительно к системам счисления.

Занятие 4. Итоговое занятие по решению примеров на все действия с систематическими числами можно провести на игре «Математические барьеры».

Игры можно использовать на различных этапах занятия: при опросе или проверке домашнего задания, при самостоятельном изучении нового материала, при закреплении.

Игровые формы особенно хороши при проведении заключительных, обобщающих занятии кружков. В качестве итоговых игр могут быть рекомендованы: «Математические барьеры», «Математические тяжеловесы», «Лабиринты», «Следопыты» (особенно для V классов), «Турниры смекалистых».

В пособии приведены описания некоторых итоговых занятий, построенных на основе игр «Математические следопыты» (стр.38—41), «Лабиринт графиков» (стр. 31—32), «Математические тяжеловесы» (тематические).

Таковы в самых общих чертах пути использования игровых форм на занятиях кружков.

5. В практике работы учителей, стремящихся привлечь учащихся к работе по предмету, создать математическую атмосферу в школе, не последнее место занимают разнообразные формы математических состязаний (2; 28). Они внутренне связаны с особенностями самого предмета математики, усвоение которого не возможно без преодоления трудностей, совершения умственных усилий.

В пособии приводятся образцы конкурсов, турниров, содержащих игровые ситуации (стр. 20—27), даются описания викторины на основе игры «Лабиринт» (стр. 33), эстафеты-игры «Математический огонек», крупного массового состязания типа вечера «Математический кросс».

6. В большинстве школ стало традицией один-два раза в год проводить общешкольные математические вечера. За последние годы расширилась тематика таких вечеров, богаче и разнообразнее стало их содержание. Так, школьные вечера посвящаются не только выдающимся русским и советским математикам, но и математикам других стран, различным приложениям математики в жизни и технике.

Особенно тщательно должна продумываться организация первых вечеров для учеников IV—VI классов. Они, как правило, должны проводиться для параллельных классов, чтобы можно было лучше учесть возрастные особенности учащихся, их подготовку и интересы. Они должны быть яркими, запоминающимися, оставляющими чувство удовлетворения у всех его участников. Игры данного пособия помогут сделать математические вечера для подростков именно такими.

В пособии даны описания игр-вечеров «Математический поезд» и «Математический кросс».

Первый из них разработан в качестве первоначальной ступени математического вечера для учеников IV—V классов, второй—для VI—VII классов. В работе приводится также краткое описание еще одного вечера-игры для VI классов «Путешествие в царство смекалки» (стр. 32). Своеобразие этих вечеров состоит в том, что игровые ситуации пронизывают весь вечер. Он воспринимается учащимися как большая, увлекательная игра-состязание в математической смекалке.

В качестве элементов математического вечера могут быть использованы «Математические барьеры» (стр. 23—24). «Математический лабиринт» послужит хорошим аттракционом типа «Математическая карусель». Не должны остаться без внимания и мно-

гие настольные и подвижные игры, особенно такие, как «Математическая рыбалка», «Математическая лотерея» (стр. 57) и др.

7. Приводим план работы воскресного клуба «Математический огонек» при Пермском педагогическом институте (председатель правления клуба О. М. Поносова).

Клуб организован для учащихся IV—VII классов. Посещают все желающие.

Секция «Веселые математики»

№ занятий

Содержание

1

1. История возникновения устной и письменной нумерации. Египетская и вавилонская нумерации

2. Игра «Лото»

3. Решение задач (на взвешивание)

2

1. Римская нумерация

2. Решение занимательных задач (на диаграммах)

3. Игра «Лото»

3

1. Славянская нумерация

2. Решение занимательных задач на движение

3. Игра «Лото»

4

1. Арифметические ребусы

2. Игра «Лото» (по всем нумерациям)

5

Итоговая игра «Математические следопыты»

6

1. Возникновение дробей

2. Эстафета «Огонек»

7

День математических игр и развлечений (конкурс смекалистых, настольные и подвижные игры)

8

1. Из истории мер. Викторина

2. Занимательные вопросы и задачи по арифметике

3. Настольные игры (арифметическое лото)

9

1. Магницкий и его «Арифметика»

2. Решение исторических задач

3. Конкурс «Математические тяжеловесы» (в мире птиц и животных)

10

1. Решение логических задач

2. Викторина

3. Лабиринт «Смекалка»

11

1. Решение задач на движение

2. Глазомерная викторина

12

Подготовка к игре «Математический поезд»

Секция «Любители трудных задач»

№ занятий

Содержание

1

1. Числа-великаны и числа-карлики

2. Глазомерная викторина (из жизни птиц и животных)

2

1. Математические фокусы

2. Эстафета «Огонек»

3

1. Арифметика, в которой не нужно считать

2. Игра

4

1. Машины, которые умеют вычислять

2. Конкурс «счетоводов»

5

1. Электронные счетные машины

2. Электроэкзаменаторы

6

1. Рассказы о юных математиках

2. Концерт математической агитбригады

7

1. Занимательные задачи на проценты

2. Конкурс «Математические тяжеловесы»

8

1. Учебники арифметики и их авторы

2. Историко-математическая викторина

9

1. Возникновение алгебры

2. «Математическая охота»

10

1. Возникновение геометрии

2. «Геометрический лабиринт»

11

1. Геометрия ножниц

2. Игра

12

1. Восстановление фигур

2. Игра «Танграм»

Секция «Серьезные математики»

№ занятий

Содержание

1

1. Арифметические ребусы

2. Конкурс «Математические тяжеловесы» (в мире арифметических ребусов)

2

1. Загадка простых чисел

2. Историко-математическая викторина

3

1. Различные системы счисления

2. Игра

4

1. Электронные счетные машины

2. Игра

5

1. Электронные счетные машины и составление простейших программ

2. Посещение класса программированного обучения

6

1. Простейшие неопределенные уравнения

2. Математические фокусы

7

1. Логические задачи

2. Игра «Математическая рыбалка»

8

1. Простейшие задачи на максимум и минимум

2. Игра «Математические барьеры»

Продолжение

№ занятий

Содержание

9

1. Геометрические построения

2. Пятиминутный КВН (отгадывание абстрактных картинок, глазомерная викторина, сюрпризы)

10

1. От Евклида до Лобачевского

2. «Геометрический лабиринт»

11

1. Прямая и обратная теоремы

2. Софизмы

12

1. Ошибки в геометрических рассуждениях

2. «Конкурс смекалистых»

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ ЗАНЯТИЕ КЛУБА

1. Итоги работы клуба.

2. Награждение особо отличившихся участников клуба.

3. Массовая игра «Математический кросс» (для секций «Любители трудных задач» и «Серьезные математики»). Игра «Математический поезд» для секции «Веселые математики».

Можно надеяться, что наличие набора разнообразных игр и игровых форм даст возможность зажечь подобные «Математические огоньки» в каждой школе. Используя актив старших учеников, этого можно добиться при минимальной затрате усилий и времени.

8. Последнее замечание отнесем к использованию игр на дополнительных занятиях по математике.

Когда после занятий приходится оставлять 4—5 подростков, имеющих пробелы в знаниях или не имеющих особого стремления к «проведению умственной гимнастики», то методическая мысль учителя должна быть особенно острой. В поисках форм работы и здесь иногда следует присмотреться к некоторым играм. Так, из игр, описываемых в данной работе, можно рекомендовать такие: «Математическая рыбалка», «Математические следопыты», «Лабиринты», «Математический огонек», «Лото», «Математические барьеры», «Математические тяжеловесы». С учетом особенностей дополнительных занятий правила некоторых игр должны быть изменены.

Конечно, нельзя преувеличивать значение игры и игровых форм занятий в общеобразовательной работе. Учение есть и всегда должно быть трудом, полным творческого напряжения. Нельзя придавать учению игровой оттенок, нельзя учить играя, но использовать форму игры в целях учения, подчинить ее учению можно и нужно.

Часть I.

ОПИСАНИЕ ИГР И ИГРОВЫХ ФОРМ ЗАНЯТИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОСТЯЗАНИЯ

ИГРА «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ОГОНЕК»

Для проведения игры изготовляется несколько щитков (коробок) из фанеры и пластинки (вставыши) к каждой из них. Внутри коробки монтируется цепь проводников с батарейкой от карманного фонарика и лампочкой (рис. 1).

1, 2, 3, 4, 5 — номера заданий, числа 100,150, 200, 210—ответы заданий, написанные на листочках и кнопками прикрепленные к вставышам.

Сущность игры состоит в том, что члены кружка делятся на команды по 5 человек. Количество команд определяется наличием числа изготовленных щитков. Количество учеников в каждой команде определяется количеством ячеек щитка. Число учеников в команде может быть и меньшим, чем количество ячеек в каждом щитке. В этом случае на каждого ученика придется несколько заданий.

Для большей организованности и четкости проведения игры команды учащихся садятся за последние парты, пластинки с ответами кладутся на первые парты, щитки ставятся к доске.

Капитану каждой команды вручается конверт с пятью карточками (по количеству ячеек). Карточки в конверте нумерованы (от 1 до 5) и содержат задачи (упражнения), которые нужно решить. Каждый член команды получает одну карточку. Решив свою задачу, ученик подходит к первой парте, находит ответ на одной из пластинок и вставляет пластинку в ячейку щитка, номер которой совпадает с номером карточки. После этого он садится на свое место и может помочь своим товарищам. Если все члены команды правильно решат задачи своего конверта, то пластинки будут вставлены правильно, цепь замкнется и лампочка загорится. Если же при решении хотя бы одной задачи будет допущена ошибка, то ученик или не найдет ответа на пластинках, или возьмет путающую*, т. е. вставит не ту пластинку, которую нужно, и лампочка не загорится.

Последнее достигается расположением контактов в каждой ячейке и на соответствующей ей пластинке (рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

* Количество пластинок делается на несколько штук больше числа ячеек с тем, чтобы были путающие ответы (на возможные и наиболее распространенные ошибки). Путающие вставыши делаются без контактов.

В зависимости от цели занятия игра может иметь различный характер. Так, если проверяется автоматизм навыков, то «Огонек» можно использовать как своеобразное соревнование «Кто быстрей?». Победителем считается та команда, у которой быстрее зажжется лампочка. Такой же характер может иметь игра при проверке усвоения порядка действий, рациональных приемов вычислений, приемов устного счета, решения задач на смекалку, на тождественные преобразования, формулы сокращенного умножения и т. д.

При проверке умений решать сложные задачи игра принимает характер конкурса «Не ошибись!». Победителем считается та команда, которая зажжет огонек с наименьшим числом ошибок. Опыт показывает, что при постановке такой цели учащиеся V и особенно VI—VII классов очень серьезно, вдумчиво, без торопливости решают задачи, проверяя правильность решения каждой несколько раз.

Если учащихся много, например, на математическом вечере, и желательна массовость игры, то можно использовать «Математический огонек» для организации соревнования между классами. В этом случае каждый класс разбивается на 5 команд. Каждой команде выдается конверт с задачами, количество которых определяется числом членов команды, и указание: «Решите задачи и найдите сумму ответов» или «Решите задачи и найдите среднее арифметическое всех ответов» и др. Конверты вскрываются одновременно, по команде. После решения всех задач и выполнения указания капитан команды подходит к столу, находит пластинку с данным ответом и вдвигает ее в ячейку, соответствующую номеру конверта (1, 2, 3, 4, 5). Также поступают и другие команды. Победителем считается тот класс, который первым зажжет огонек, т. е. тот класс, который решит верно задачи всех пяти пакетов. Возможны и другие варианты организации игры.

Игра «Математический огонек» проходит при большой активности учащихся. Кружковцы согласны решать задачи «Огонька» по нескольку раз, несмотря на их трудность, а иногда и «скучность» вычислений. «Математический огонек» может служить активной формой работы и на дополнительных занятиях с отстающими учащимися. Здесь каждый ученлк получает щиток и пять карточек-заданий. Последовательность заданий и ожидание момента контрольной вспышки делают работу увлекательной.

Заданиями для «Огонька» могут быть любые задачи по одной или нескольким темам, в зависимости от цели занятия. Важно лишь, чтобы задания для всех команд были равносильными, а задачи, включенные в одно задание, были различной трудности из расчета на сильных и слабых учащихся.

Примечание. При объяснении учащимся хода игры полезно ввести два дополнительных правила.

1. Категорически запрещается перевертывать пластинки (смотреть контакты). Ученик, нарушивший это правило, выбывает из игры.

2. Ученик, подошедший к первой парте и ненашедший своего ответа, штрафуется двумя минутами (садится за одну из свободных парт).

Последнее правило предостерегает учащихся от поспешности решения, повышает ответственность.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТУРНИРЫ

Математические турниры являются одной из распространенных форм командных соревнований. Чаще всего они проводятся между пионерскими отрядами, звеньями, параллельными классами одной школы (реже различных школ). Основным содержанием турниров является решение разнообразных задач повышенной трудности. Иногда они бывают тематическими, т. е. организуются по какой-нибудь определенной теме, например: «Арифметические задачи», «Процентные вычисления», «Задачи на доказательство» и т. д.

Организуются математические турниры следующим образом. За 1—2 месяца до назначенного срока учащихся (например, VII классов) извещают о дне турнира, его цели, содержании (объявляется тема). После этого проводится подготовительная работа: организуются математические часы, выпускаются математические газеты и бюллетени, где сообщается список литературы, примерный набор задач, печатаются решения и т. д. К турниру готовятся все учащиеся класса.

За неделю до начала турнира каждым классом выделяется команда из 5—8 человек (в зависимости от количества параллельных классов и числа желающих). Команде доверяется защищать честь своего класса. Список членов команды сдается учителю. Каждый участник получает определенный номер (№ 1, № 2 и т. д.), соответствующий его порядковому номеру в списке.

В день турнира участники собираются в школе. Для проведения его выделяется несколько классных комнат. Все первые номера (или первые и вторые) располагаются в одном классе, все вторые (или третьи и четвертые)— в другом и т. д.

Каждому ученику дается конверт-задание (например, из трех задач). На решение их отводится определенное время, например 2 часа. Решение каждой задачи оценивается очками. Участники с одинаковыми номерами получают равноценные задания (или одно и то же задание).

Класс, команда которого наберет большее количество очков, объявляется победителем турнира. Более интересной формой проведения турниров, особенно для подростков, является форма, содержащая игровую ситуацию.

Приведем описание двух вариантов таких турниров.

«ТУРНИР СМЕКАЛИСТЫХ»

Для проведения турнира выделяется актовый зал (или несколько классов и коридор). Половина актового зала освобождается. В другой части ряды стульев оставляются для участников и болельщи-

Рис. 3

ков. В левой части, освобожденной от стульев, организуется «Математический киоск», «Справочное бюро» (или «Бюро проверки»), «Бюро добрых услуг», «Счетное бюро», «Уголок математических игр и развлечений» (рис. 3).

В назначенное время учащиеся собираются в актовом зале и занимают правую его часть, рассаживаясь по классам.

В торжественной обстановке объявляется начало «Турнира смекалистых», объявляются судьи соревнования, объясняются правила. По команде главного судьи первые номера подходят к «Математическому киоску» и получают конверты с тремя карточками-заданиями* (например, по арифметике, алгебре, геометрии). Вместе с задачами каждому выдается 15 жетонов (в форме квадратиков из цветной бумаги, размер 15 мм х15 мм).

Получив задания, учащиеся садятся за столы, на конвертах пишут свой номер, класс, фамилию и приступают к решению. Через 1—2 мин за первыми номерами получают задания вторые, затем третьи номера и т. д.

По мере решения задач ученики подходят к «Бюро проверки» и объясняют свои решения. Ученик, сидящий в «Бюро проверки», знает лишь два слова «верно» и «неверно», которые он говорит при просмотре каждой задачи. Если все задачи решены верно, то на конверте ставится штамп «проверено» и учащийся проходит в «Счетное бюро», где сдает конверт с решениями задач и все свои жетоны.

При неверном решении задач учащийся должен продолжить решение или, если он не может найти ошибку, не знает, как решить правильно, обратиться в «Бюро добрых услуг». Обращение в «Бюро добрых услуг» влечет за собой потерю жетонов.

Такса «Бюро добрых услуг»:

1. Наводящий вопрос — 1 жетон.

2. Нахождение ошибки — 2 жетона.

3. Напоминание правила, теоремы, формулы— 3 жетона.

4. Подсказка решения — 4 жетона.

5. Сообщение полного решения — 5 жетонов.

Штамп «Проверено» ставится в «Бюро проверки» только после правильного объяснения всех задач.

В счетном бюро фиксируют время сдачи работы и количество полученных очков. После двух часов работы определяется как личный победитель турнира, так и команда-победительница.

Обслуживают «Бюро проверки», «Киоск» и др. учащиеся старших классов, которых нужно соответствующим образом подготовить, вплоть до проведения репетиции.

Наиболее ответственным моментом при организации турнира является подбор заданий. Как правило, они должны быть повышенной трудности (типа олимпиадных) и равносильными для всех участников (особенно при выявлении наиболее смекалистого).

Большое внимание следует обратить на подготовку учащихся, занятых в работе «Бюро добрых услуг» и «Бюро проверки», так как здесь необходимо хорошо знать решение предлагаемых задач, уметь правильно оказать помощь.

* Задания для одинаковых номеров одни и те же.

«Бюро добрых услуг» должно работать под руководством учителя математики, причем количество учеников в нем, как и в «Бюро проверки», должно соответствовать количеству членов в каждой команде, т. е. чтобы один ученик отвечал за проверку одного номера (тогда каждому ученику достаточно будет в совершенстве разобраться в решении трех задач).

Количество учеников, занятых в счетном бюро, а также в математическом киоске, определяется количеством классов, участвующих в конкурсе.

Учащихся старших классов нужно использовать и для оформления турнира. Оно должно быть красочным, что очень важно.

Нужно заготовить вывески, оформить таксу «Бюро добрых услуг», полезно повесить ряд высказываний о математике, выпустить математические газеты и др.

Хорошо, если каждый класс придумает название своей команде, сделает эмблемы.

Наборы карточек-заданий для «Турнира смекалистых»:

№ конвертов

V класс

VI класс

VII класс

№ задач

1

2

3

1

2

3

1

2

3

I полугодие

1

152

411

250

163

509

450

174

439

643

2

153

412

251

164

510

451

175

440

644

3

154

413

252

166

514

452

176

441

645

4

155

415

253

167

515

453

177

442

646

5

156

416

254

168

519

454

178

553

647

6

157

417

257

169

520

476

179

555

648

7

158

418

258

170

521

479

180

558

649

8

159

419

260

171

522

495

181

559

653

9

160

420

261

172

523

496

182

560

656

10

161

572

262

173

524

498

183

561

657

№ конвертов

V класс

VI класс

VII класс

№ задач

1

2

3

1

2

3

1

2

3

II полугодие

1

163

423

388

174

338

436

184

325

664

2

164

424

389

175

345

536

185

342

665

3

166

309

390

176

405

550

186

379

666

4

167

311

391

177

406

551

187

380

667

5

168

313

392

178

502

552

188

381

668

6

169

314

393

179

503

562

189

406

669

7

170

315

394

180

504

563

190

414

670

8

171

317

395

181

505

564

192

449

671

9

173

326

434

182

569

565

193

416

672

10

173

327

435

183

570

566

194

568

673

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БАРЬЕРЫ»

Для проведения турнира «Математические барьеры» оборудуется часть коридора (рис. 4).

Поперек коридора на высоте глаз натягиваются шнуры («Барьеры»), к которым прикрепляются карточки-задания.

На каждом шнуре помещается 20—25 карточек. Это число определяет и количество участников соревнования.

На каждой карточке написаны числа и задания (рис. 5).

Карточки-задания пишутся на листах формата 128 ммх97 мм. Красочно оформляются. Состав-

Рис. 4

Рис. 5

лены они так, что ответ задания на карточке первого шнура записан на одной из карточек второго, ответ (число) задачи второго шнура — на одной из карточек третьего и т. д. В целом получаются цепочки заданий, связанных ответами, и при правильном решении всех задач одной цепочки (например, 5 заданий) каждому числу на карточке первого «барьера» соответствует определенное число (ответ) одной из карточек последнего*. (Образцы карточек-заданий см. в приложении 5, таблицы 24—27).

Порядок проведения турнира

Команды выстраиваются перед первым барьером, и каждому вручается номер, соответствующий одному из номеров карточек-заданий (рис. 5, номер карточки 12). Ученик находит полученный номер на карточке и решает написанное там задание.

Получив ответ, он проходит под шнуром, подходит к судье первого барьера и сообщает ответ. При правильном решении судья выдает жетон.

Получив жетон, ученик находит свой ответ на одной из карточек второго барьера и снова выполняет задание. По получении ответа он преодолевает второй барьер, сообщает ответ судье второго барьера. При правильном ответе получает два жетона. При прохождении третьего барьера выдается три жетона и т. д. Таким образом, при безошибочном преодолении всех барьеров ученик может получить 15 жетонов.

При неправильном решении задач судьи, находящиеся у барьеров, не выдают жетонов, а сообщают лишь ответ, что дает возможность продолжить конкурс, но с потерей очков (жетонов).

По мере преодоления барьеров сложность заданий увеличивается, причем первые задачи желательно давать для устного решения на сообразительность, смекалку, последнюю — повышенной трудности.

После преодоления всех барьеров ученики сдают свои номера и жетоны главному судье.

Результаты турнира по мере прохождения учащимися барьеров заносятся в таблицу

№ пп.

Фамилия

Класс

Время

Кол-во жетонов

Кол-во очков

1

Петров

VIA

17—0°

12

12

2

Степанова

VIБ

17—02

13

13

3

Игорева

VIA

17—06

14

14—1-13

4

Королев

VIБ

17—10

13

13 — 2= 11

За 5 мин до конца турнира всем участникам предлагается подойти к главному судье и сдать жетоны. После истечения 5 мин учащиеся, не зарегистрировавшиеся у главного судьи, получают 0 очков.

Личное первенство определяется количеством очков, класс-победитель — по сумме очков.

Время прохождения барьеров можно учитывать при подсчете очков следующим образом. За каждые пять минут после сдачи жетонов первым участником вычитать одно очко (см. таблицу).

Продолжительность турнира может быть различной в зависимости от его содержания и назначения, но не больше 2—2,5 ч.

Если конкурс рассчитан на решение трудных задач, то перед каждым барьером ставятся несколько столов с тем, чтобы учащиеся могли сесть и провести письменное решение.

Карточки-задания хорошо сделать сдвоенными (рис. 6). Сдвоенные карточки позволяют увеличить число участников, удобны для закрепления на шнуре, дают возможность организации турнира для двух соревнующихся классов.

В последнем случае одна команда (класс) движется в одном направлении, другая — в противоположном. Количество судей у барьеров в этом случае полезно увеличить вдвое.

«Математические барьеры» могут быть использованы и как элемент математического вечера, в особенности его начала.

На вечер пропускается тот, кто преодолеет барьеры. Соответственно назначению задания должны быть не очень сложными (для устного реше-

* Цепочки заданий можно взять из игры «Математические лабиринты» (приложение I).

Рис. 6

Рис. 7

ния, на смекалку, сообразительность). Упрощаются и правила, организация. Так, не нужно расставлять столы для решений, лишними являются судьи у барьеров.

Правила. При входе в коридор каждому участнику вечера дается талон с номером. Ученик находит этот номер на одной из карточек-заданий (первый барьер) и решает задачу. Получив ответ, проходит под шнуром и находит по ответу номер другой карточки (второй барьер). Так он преодолевает пять барьеров. После этого подходит к дежурному по вечеру (вместо главного судьи), сдает талон и сообщает ответ. Если ответ совпадает с контрольным числом, ученик пропускается на вечер. Если нет, то ученику предлагается возвратиться обратно и снова попытаться преодолеть препятствия (можно сменить талон). Конечно, если несколько заходов окажутся неудачными, то ученика придется пропустить. Не лишать же его удовольствия быть на вечере, тем более, что он потрудился, хотя и безуспешно!

КОНКУРС «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЯЖЕЛОВЕСЫ»

Игра-состязание «Математические тяжеловесы» является своеобразным конкурсом по решению задач различной трудности. Для проведения конкурса изготовляется стенд с прикрепляющимися карманами для задач (рис. 7).

Для удобства хранения он делается в виде складывающейся книги*. Карманы изготовляются отдельно и прикрепляются к стенду клапанами перед началом игры. В каждый карман кладется набор карточек-заданий: в один карман задачи одинаковой трудности, в разные — различной. Сложность задач «оценивается» в килограммах. Поэтому на каждом кармане пишется «вес содержимых задач».

Организация игры

Объявляется конкурс «Математические тяжеловесы». Назначаются судьи состязания. Объясняются правила игры. По команде учителя все

строятся в одну цепочку и без спешки, по одному, проходят мимо стенда, взяв при этом по одной задаче из любого кармана. Номер взятой задачи сообщается судьям. Участники садятся за парты и приступают к решению.

Участник игры, решивший задачу, подходит к судье соревнования и объясняет свое решение. Если задача решена правильно, то он считается взявшим данный «вес» и допускается к решению более трудной задачи — допускается к «взятию» большего веса. Если задача не решается или судья найдет ошибку в решении, то предлагается сменить задачу (т. е. взять другую задачу этого же «веса») — сделать вторую (последнюю) попытку.

Конкурс проводится в течение 30—45 мин. Победителем считается тот, кто «возьмет» больший вес.

Участник игры не имеет права возвращаться обратно. Так, если ученик решит, например, задачу в «40 кг», а затем сразу же возьмет для решения задачу в «90 кг» и после двух попыток не сможет ее решить, то считается, что он взял вес 40 кг и из дальнейших соревнований выбывает. Такое правило предостерегает от излишней самоуверенности некоторых учащихся, направляет их на последовательное решение задач, без спешки, с большой ответственностью.

Соревнование может быть командным. В этом случае выигрывает команда, набравшая большую сумму «весов», взятых каждым участником. Количество членов команды может быть произвольным (пятерки, звенья и т. д.).

Правила решения задач членами команд остаются прежними.

Для проведения конкурса полезно заготовить таблицу учета по следующей форме:

* Целесообразно использовать корки от старых книг.

№ пп.

Фамилия, имя

Вес

30 кг

40 кг

50 кг

60 кг

70 кг

80 кг

90 кг

100 кг

попытки

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2 3

Петров Саша Круглова Люда Среда Володя и т. д.

+

+

+

+

+

+

При взятии карточки-задания из кармана судья записывает фамилию и ставит знак (—) в столбце данного веса*. Если задача решена, то судья после проверки ставит знак (+). Такая таблица позволяет быстро подвести итоги конкурса, способствует четкости его проведения.

Задачи для конкурса могут быть самыми разнообразными: примеры на порядок действий, арифметические задачи, упражнения на тождественные преобразования, арифметические и алгебраические задачи, геометрические задачи, упражнения на чтение графиков и т. д.

Конкурс «Математические тяжеловесы» ценен тем, что задания здесь в отличие от ряда других игр могут быть не только такими, результат которых может выражаться числом, но и задачами на доказательство, построение, задачами и вопросами, требующими развернутого объяснения.

Большой интерес представляют тематические «тяжеловесы», например, по темам: «В мире животных и птиц», «Среди больших чисел», «В мире арифметических ребусов», «В мире техники» и т. д.

Игру «Математические тяжеловесы» полезно использовать как форму закрепления пройденного материала, проверки усвоения раздела, темы. Она может служить итогом не только одного занятия, но и нескольких.

Занятия в этом случае строятся по такому плану:

1. «Разминка» — беседа по теме с фронтальным решением задач.

2. Проведение конкурса «Математические тяжеловесы».

При такой структуре ожидание игры накладывает отпечаток на первую часть занятий. Учащиеся проявляют большую активность во время подготовки.

Нам приходилось наблюдать занятие кружка, которое начиналось так: «Ребята, сегодня мы проведем конкурс «Математические тяжеловесы». Чтобы показать силу своей смекалки, нужно подготовиться. На стенах висят таблицы с задачами и вопросами, аналогичные тем, которые встретятся в игре. Кто хочет победить, тот может приступить к «разминке»— решить задачи на таблицах, ответить на поставленные в них вопросы. Если будут затруднения, обращайтесь ко мне. Считайте меня вашим тренером».

С каким вниманием и настойчивостью большинство учащихся проводили «разминку»! Это была серьезная подготовка к трудному состязанию. (Образцы таблиц см. в приложении 4).

НАБОРЫ КАРТОЧЕК-ЗАДАНИЙ ДЛЯ КОНКУРСА «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЯЖЕЛОВЕСЫ»

ТЕМАТИЧЕСКИЕ КОНКУРСЫ

Условный «вес» задач

30 кг

40 кг

50 кг

60 кг

70 кг

80 кг

90 кг

100 кг

А) В мире природы (целые числа)

270—287; 346; 347

303; 348; 349—354; 356; 357; 364

299—301 358—361

362; 363; 365—367

323; 355; 368—372

373—378

318; 319; 330; 335; 340; 343; 344

379—382

Б) В мире птиц и животных (V—VII кл.)

270—274; 276—287; 303

288—292; 294-296-300

301; 302; 304—309; 312

413—422

324—330

337—341

342—345

Примечание. Наборы карточек - заданий по темам А) и Б) можно объединить.

* Для удобства контроля «вес» задач нужно написать на оборотных сторонах карточек.

Продолжение

Условный «вес» упражнений

30 кг

40 кг

50 кг

60 кг

70 кг

80 кг

90 кг

100 кг

В) В мире арифметических ребусов (V—VII кл.)

121-135; 139—142

136—138; 143—148

149—156; 160

157—159; 161—166

167—175

176—184

185-190

191-196

Г) Недесятичные системы счисления (V—VII кл.)

(несколько наборов для закрепления материала, пройденного на занятиях математического кружка)

1. Запись чисел в различных системах счисления

2. Сложение и вычитание

Упражнения на запись чисел в различных системах счисления и перевод из одной системы в другую

527; 528; 530; 532; 533—535; 408; 409

57-64;

65—70

71; 72; 75; 76; 531; 529

73; 74; 77; 78; 79; 80

3. Умножение и деление

57—64

65—70

71—80

525—528; 530; 532; 533—535

81—87

88; 89; 92—96

97—102; 90; 91

103—109

4. Все действия с целыми числами

57—70

71—80

81-87

88—89; 92—96

97-102; 90; 91

103—109

110—113

114—120

Д) Арифметические примеры и задачи (V кл., целые числа)

Примеры на порядок действий

384; 385; 401—403; 419; 434; 435; 491; 497;

537—540; 543—549

388—395; 399; 435; 445; 511; 480; 516; 517; 518; 541

398; 421; 422; 500; 512; 536; 542; 550; 572

411—413;

420; 425—427; 437; 443; 444; 501;

571; 11—13

410; 415—418;

438; 486; 490; 508—510; 513—514;

519; 14; 15

406; 414; 428; 506; 515; 520; 521; 551; 552

502—504; 522—524; 568; 16; 17

Продолжение

Условный «вес» упражнений

30 кг

40 кг

50 кг

60 кг

70 кг

80 кг

90 кг

100 кг

Набор карточек для VI классов

477; 478; 603; 1—3

476; 482; 483; 605; 615; 616; 627

450—454; 479; 494; 495; 496; 498; 11 — 13

409; 411; 412; 413; 471—473; 636; 637; 640

415—418; 486—490; 571; 14—15

446—499; 562—566; 569; 641

570; 635; 16; 17

568

Набор карточек для VII классов

476; 479; 1-3; 7; 28

429; 604; 607—614; 617—618; 629; 632; 642; 18—20; 29—31; 35—38; 46

1; 237; 421—424; 410—413; 427; 4—6; 11 — 13; 23; 32; 39—42; 44; 45

415—418; 446—449; 386—491; 493; 499; 639; 650; 651; 8; 14; 15; 21; 22; 25

2; 439; 448; 467;

469; 553—561;

635; 653—656; 659; 24; 26; 27

502-504; 643—646; 649; 652; 657; 667; 669; 16; 17; 33

244; 245; 638; 645; 660; 666; 670; 671; 673; 34; 47; 54

246; 658; 661—665; 672; 9; 10

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЛАБИРИНТЫ

Организация «лабиринта»

«Лабиринт» проводится в классной комнате. Парты или столы расставляются так, чтобы можно было свободно ходить между ними (рис. 8).

На каждый стол ставится картонный куб, на всех гранях которого (кроме основания) написаны числа и задания (рис. 9).

Игра проходит так. При входе в лабиринт ученик получает талон с написанным на нем числом (например, 50). Получив талон, находит куб, на одной из граней которого написано это число, и выполняет указанное там задание (найти 20% этого числа). Результат действия (ответ задачи) он должен найти на грани другого куба и снова выполнить написанное задание и т. д. После решения нескольких заданий, количество которых указывается заранее (например, пройти 5 кубов, т. е. выполнить 5 заданий), ученик подходит к контрольному пункту и сообщает ответ. Если цепочка заданий (упражнений) выполнена правильно, без ошибок, то ответ совпадает с контрольным числом, и ученик считается прошедшим лабиринт.

Если же при выполнении одного из заданий ученик сделает какую-либо ошибку, то он может пойти по ложному пути, его ответ не совпадет с контрольным числом, и лабиринт будет считаться не пройденным; ученик должен возвратиться и постараться исправить свою ошибку, чтобы найти верный путь.

Ученик, не нашедший ошибку или встретившийся при прохождении лабиринта с «непреодолимыми» трудностями, может обратиться в стол справок. Стол справок в этой игре имеет большое обучающее значение. Ответы здесь не даются. Для каждой задачи заранее продумываются вопросы, указания и вспомогательные задания, направляющие учащегося на правильный путь решения задачи.

Например:

1. Вспомни, как решается такая задача? (Дается задача, решенная раньше.) Нельзя ли использовать ее решение?

2. Подумай, как решается такая задача? (Дается задача, составляющая часть данной задачи.)

3. Можно ли решить эту задачу, если узнать, какую часть от всех денег составляет 20 руб.? Найди эту часть.

4. Тебе нужно доказать равенство отрезков. Подумай, нельзя ли эти отрезки включить в треугольники и доказать их равенство и т. д. Такие справки только направляют мысли учени-

Рис. 8 Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

ков, заставляют вспомнить пройденное и применить его к новой ситуации.

Количество заданий может быть различным и определяется многими факторами: целью лабиринта, наличием времени, его содержанием по степени трудности заданий, составом играющих и т. д. Как правило, оно колеблется от 3 до 5.

В игре одновременно могут участвовать от 15 до 25 человек. Большее количество участников может создать скученность, что отразится на продуктивности выполнения заданий.

Для организации проведения одного лабиринта достаточно иметь 15—20 кубов крупных размеров с ребром порядка 20 см. Ради простоты хранения их лучше сделать в виде разверток, чтобы можно было складывать после проведения игры*.

Изготовление кубов лучше выполнить так: дать каждому ученику задание вырезать из картона квадрат со стороной 20 см, для аккуратности окантовать, а затем на одну сторону наклеить квадрат из белой бумаги размером 19 смХ 19 см. Из сделанных таким образом заготовок (граней куба) нетрудно составить развертку путем склеивания их полосками марли или любого другого материала (рис. 10).

Для того чтобы кубы можно было использовать для лабиринтов, различных по содержанию, на боковые грани приклеиваются уголки, которые дают возможность менять карточки-задания, т. е. изменять содержание лабиринта (рис. 11).

Составление лабиринтов и методика их проведения

Составление лабиринта не представляет особых трудностей. Он может быть составлен по отдельной теме школьной программы, по отдельному ее разделу. Наиболее простой способ построения системы заданий для лабиринта состоит в том, что выписывают набор задач (например, состоящий из 75 задач, если мы имеем в наличии 15 кубов), группируют их по 3—5 (в зависимости от предполагаемого количества заданий), располагая задачи каждой группы по степени нарастания трудности.

Например, нужно составить геометрический лабиринт по теме «Треугольники». Составляем набор необходимых задач и группируем их по три. Например:

1. Сколько отрезков на рисунке? (6)

2. Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 80°. Найти угол при основании. (40°)

Дано: AB = BC = CA=CD, CD — продолжение АС.

Найти ^х. (30°)

1. Сколько треугольников на чертеже?

(8)

* Кубы выбраны ради простоты изготовления и хранения. Внешне лабиринт будет еще привлекательнее, если изготовить равличные многогранники: призмы, усеченные пирамиды, правильные многогранники и др.

2. Углы треугольника относятся как 3:7:8. Найти разность большего и меньшего углов.

(50°)

3. Дано: АВ±ВС- ВС = АВ\ CD = CE\ ^. BCD — развернутый; ^ АСЕ — развернутый. Найти ^ X. (67°, 5)

Ответы всех задач по порядку пишем крупно на карточках размера 102 ммх 144 мм, а затем под ответом первой задачи пишем вторую задачу, под ответом второй — текст третьей задачи и т.д., наконец, под ответом последней — содержание первой задачи. Получаем набор карточек (рис. 12).

Рис. 12

Заготовленные таким образом карточки перемешиваются и вставляются в грани кубов. Лабиринт готов.

Так, например, один ученик пусть получает талон, на котором написано 60. Это означает, что он должен найти это число на грани одного из кубов и решить написанное там задание. Ответ (6) должен найти на грани другого куба и решить следующее задание (ответ 40) и т. д.

Таким образом, получается цепочка чисел

по которым, как по ориентирам, ученик выходит из лабиринта.

Первое число — число-задание, последнее — контрольное число*, показывающее, что лабиринт пройден правильно.

Перечень таких цепочек-чисел для каждого входа должен быть составлен для контрольного пункта. Наличие перечня позволяет следить за успешностью прохождения лабиринта отдельными учащимися, быстро определять правильность его прохождения.

По такому способу составляются и проводятся разнообразные лабиринты: лабиринты графиков, лабиринты фигур, геометрические лабиринты, лабиринты смекалки и т. д. Вычислительные лабиринты могут составляться несколько иначе. Упражнения здесь могут быть составлены так, что каждое следующее задание (операция, действие) выполняется над ответом предыдущего. В качестве примера приведем кусочек цепочки алгебраического лабиринта по разделу умножения степеней и возведение степени в степень (рис. 13).

Игра «Математический лабиринт», как правило, не соревнование, рассчитанное на быстроту, а серьезное занятие. Основная цель игры — повторить раздел, закрепить навыки в решении задач. Игровая форма здесь является лишь средством побуждения у учеников известного желания решить задачу, настроить их на серьезную работу, требующую проявления внимания, воли, настойчивости. Лабиринт является своеобразной проверкой личных качеств учащихся, их умений и навыков. На такую работу и нужно ориентировать учеников, чтобы при прохождении лабиринта не было спешки, торопливости. Плакат: «Поспешишь — людей насмешишь»— тоже должен предостерегать от этого учащихся.

Лабиринт рассчитан на самостоятельное решение заданий и он выгодно отличается от обычных форм самостоятельной работы: во-первых, тем, что здесь имеется дополнительный мотив, пробуждающий активность мыслительной деятельности учащихся — игровой мотив, который для некоторых учащихся является ведущим (пройти лабиринт— их основная цель); во-вторых, он проводится в непринужденной форме, так как учащиеся могут в любое время, в случае затруднения, обратиться к учителю за помощью и советом (контрольный стол); в-третьих, в нем легко (незаметно для других) учесть индивидуальные особенности учащихся. Например, для слабых учащихся можно составить более простые варианты задач с тем,

Рис. 13

* Контрольное число одного ученика является номером задания для другого.

Рис. 14

чтобы они могли при достаточных усилиях наравне с другими учащимися выйти из лабиринта.

И наоборот, одаренные ученики могут рассчитывать при прохождении лабиринта на такие «головоломки», которые заставят работать мысль в полную силу.

Игра «Лабиринт» может быть как индивидуальной, так и командной (коллективной). Правила прохождения лабиринта командами остаются в основном те же. Каждый член команды проходит лабиринт самостоятельно. Контрольные числа сообщаются капитану и суммируются. Сумма индивидуальных контрольных чисел является контрольным числом всей команды. При прохождении лабиринта разрешается помощь отстающим. Правила командной игры накладывают большую ответственность на каждого члена, ибо ошибка, допущенная одним, отражается на результате всей команды.

Контроль правильности прохождения лабиринта может быть электрифицирован. Для этого можно использовать щитки от игры «Математический огонек». Каждая команда получает номер. На стене у контрольного пункта вывешиваются щитки (по количеству команд), к пластинкам прикрепляются контрольные числа (рис. 14).

Контрольные числа всего лабиринта размещаются на одном столе. Ученик, пройдя лабиринт, находит свое контрольное число (ответ последнего задания) и вставляет пластинку в ту ячейку шитка, которая соответствует его номеру в команде. Прошедшие лабиринт могут помочь своим товарищам.

Прошедшей лабиринт считается та команда, у которой вспыхнет огонек контрольного щитка*. Такой вид контроля доставляет учащимся большое удовлетворение.

Описанная игра является универсальной, так как может быть использована при проведении различных внеклассных мероприятий: на занятиях математического кружка, на математических вечерах, может иметь и самостоятельное значение. Она носит не только контролирующий характер, но и обучающий, а поэтому может быть использована не только в целях проверки, но и в целях закрепления и изучения нового материала.

Прохождение лабиринта, как правило, занимает лишь часть занятия кружка или является лишь элементом математического вечера, но может быть и отдельным занятием, или даже целый вечер можно построить на основе прохождения лабиринтов.

Приведем примеры.

Лабиринт — часть занятия

Пусть темой одного из занятий кружка VI класса является «История нумераций». Занятие может быть построено по такому плану:

1. Принципы десятичной нумерации. История счета (сообщение учителя).

2. Нумерация различных народов: древняя египетская, римская, славянская (краткие выступления учеников).

3. Прохождение «Исторического лабиринта». На этом занятии лабиринт занимает лишь часть времени и используется в целях закрепления материала темы.

Лабиринт — отдельное занятие

Планом математического кружка VII класса может быть предусмотрено несколько занятий по теме «Применение и чтение графиков». Занятия могут быть построены так:

Занятие 1. 1) Значение графиков в жизни и технике (сообщение учителя).

2) Чтение демонстрационных графиков со всем классом фронтально.

3) Самостоятельное чтение графиков.

Занятие 2. Прохождение «лабиринта графиков».

Для проведения этого занятия желательно приготовить две комнаты: одну — для подготовительной работы, условно назвав ее «Путеводителем», вторую — для размещения лабиринта.

Занятие кружка начинается в «Путеводителе». Учитель сообщает цель занятия и кратко напоминает правила прохождения лабиринта, после чего учащимся предлагается самостоятельно познакомиться с теми трудностями, которые им встретятся. На стены класса вывешивается ряд демонстрационных графиков (аналогичных графикам лабиринта) и вопросы к ним (рис. 15 а, б).

Рис. 15 а

* Игра может носить и вид соревнования. Победителем считается тот (та команда), который первым выйдет из лабиринта и зажжет огонек контрольного щитка.

Рис 15 б

Ученики подходят к графикам и самостоятельно читают их, решают задачи. При затруднениях обращаются к учителю, который в данном случае выполняет роль инструктора. В такой непринужденной беседе проходит подготовка к лабиринту. На подготовку отводится 15—20 мин, после чего учащимся предлагается пройти в лабиринт.

На этом примере видно, как можно использовать лабиринт не только в целях закрепления материала, но и изучения нового путем самостоятельной работы на протяжении всего занятия.

Лабиринты — часть математического вечера

Покажем использование лабиринтов для проведения вечера «Путешествие в царство математической смекалки» для учащихся VI класса.

Вечер-игра «Путешествие в царство смекалки» является как бы прощальным вечером с арифметикой как предметом и проводится в конце первого полугодия.

Цель — подвести итоги всей кружковой работы, еще раз раскрыть привлекательные стороны арифметики как «гимнастики ума», показать ее значение для практической деятельности.

Для проведения вечера готовятся четыре классных комнаты (одна — для «путеводителя», три — для лабиринтов) и актовый зал для игр и развлечений («Царство смекалки»).

Основой игры, как мы уже отмечали, является прохождение системы лабиринтов: «Лабиринта чисел» (исторический лабиринт), «Лабиринта фигур», «Лабиринта смекалки», что требует некоторых знаний, умений и навыков, а также знание правил игры. Организация «путеводителя» как раз и предназначена для того, чтобы познакомить учащихся с правилами игры, дать возможность самостоятельно повторить некоторые исторические сведения, решить логические задачи, задачи занимательного характера, проверить умения и навыки в выполнении измерений, т. е. дать возможность учащимся проверить свою готовность к участию в игре, подготовить себя к ней.

Оформление «Путеводителя» проводится в соответствии с ее назначением. На стенах развешиваются таблицы нумераций разных народов и задания к ним, занимательные задачи (красиво оформленные на больших форматах). На столах у стен размещаются модели параллелепипедов с вырезами и задания к ним, с тем чтобы учащиеся могли произвести непосредственные измерения с помощью линейки. На отдельный стол ставятся образцы кубов из каждого лабиринта.

Приведем примерные вопросы к таблицам нумераций:

1. Запиши год своего рождения в славянской нумерации.

2. Архимед прожил Q( лет. Прочитайте, сколько лет он жил?

3. Найди 2% от

4. Л. Ф. Магницкий родился в году. Прочитайте год рождения Магницкого

5. Найди

6. Пол-полчети составляют

Найди все число.

Задания к моделям параллелепипедов с вырезами:

1. Найди объем модели.

2. Вычисли плошадь красной поверхности.

3. Вычисли площадь полной поверхности.

Работа в «Путеводителе» завершается небольшими выступлениями учащихся и учителя по теме вечера. Учащиеся могут рассказать о роли смекалки в быту, на производстве, в военном деле. Учитель раскрывает роль математической смекалки («Смекалка и математика»).

Лабиринты организуются по общему правилу и проходятся в произвольном порядке. Треть учеников начинает с «Лабиринта чисел», другая треть — с «Лабиринта фигур», остальные — с «Лабиринта смекалки». «В «Царство смекалки» проходят при наличии трех жетонов (красный, желтый, синий), которые выдаются при прохождении соответствующих лабиринтов.

«Царство смекалки» — заключительная часть вечера. Разнообразные математические игры, аттракционы, фокусы, забавы с обязательной выдачей «призов» являются наградой за успешное преодоление математических «препятствий» юными «путешественниками».

Сделать «Царство смекалки» красивым, увлекательным, полным мысли, смекалки и смеха — дело творчества юных пионеров. Организовать это творчество — дело учителя.

В приложении 1 приведены образцы наборов карточек для нескольких лабиринтов:

1. Алгебраический лабиринт.

2. Геометрический лабиринт.

3. Лабиринт смекалки.

4. Лабиринт графиков.

Примечание 1. Особенностью лабиринтов графиков и фигур является то, что в них мы имеем дело с моделями или графиками. Поэтому график или модель кладутся на верхнюю грань куба, а карточки-задания к ним помещаются на боковых гранях этого же куба (рис. 16).

Рис. 16

Примечание 2. «Лабиринт смекалки» может быть использован в качестве своеобразной викторины, которую мы назвали «Лабиринт — викторина». Викторина проводится так.

Каждый участник викторины получает входной талон и начинает прохождение лабиринта. Если он сумеет пройти первый куб, то получает 1 очко, два куба — 3 очка, три куба —10 очков, 4 куба — 25 очков. Каждый участник не обязательно должен проходить до четвертого куба, а может ограничиться только двумя или тремя (если ему не под силу справиться с очередным заданием), а затем он имеет право взять второй, третий, ... талоны и пройти еще несколько кубов.

Выигрывает тот, кто за определенное время наберет большее количество очков.

(Образцы карточек-заданий см. в приложении 5 таблицу 28.)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СЛЕДОПЫТЫ

Данная игра может служить формой проверки и закрепления сведений и навыков, приобретенных учащимися на занятиях кружка. Данный вариант составлен применительно к первым занятиям кружка V (IV) классов.

Планы первых занятий кружка для IV—V классов

Занятие 1

Тема: «Как люди научились считать».

План

1) История устной и письменной нумерации (сообщение учителя)— 10 мин.

2) Египетская нумерация: а) сообщение — 5 мин\ б) игра лото («египетское»).

3) Составление и решение задач по макету весов с фруктами (2—3 задачи)— 10 мин.

4) Игра «Математический огонек».

Указания: 1) Игра («египетское») лото служит интересной и достаточно эффективной формой закрепления египетской нумерации. Учащиеся в процессе игры усваивают чтение чисел, записанных в этой системе.

Для проведения игры необходимо взять обычное лото, по образцу его изготовить нужное количество карточек, заменив числа арабской нумерации египетскими (рис. 17). «Боченки» остаются прежними, не изменяются и правила игры.

2) Для составления задач изготовляется макет весов с фруктами (рис. 18).

Чтобы можно было составлять разнообразные задачи, желательно иметь набор картонных моделей фруктов трех видов: яблоки мелкие и крупные (по 5 штук), груши (5 штук) и разновес (гири весом в 20, 50, 100, 200 г и др.) (рис. 19).

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Приведем примеры интересных и нешаблонных задач, решение которых требует наблюдательности и смекалки (рис. 20).

Все разнообразные варианты задач быстро составляются на глазах учащихся и привлекают их внимание. Но самое ценное состоит в том, что объяснение решений этих задач, проходящее с использованием макета, дает возможность наглядно раскрыть сущность метода решений задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

Пусть составлен такой вариант (рис. 21).

Составляем задачу. Яблоко и груша весят вместе 300 г. Яблоко на 50 г тяжелее груши. Определить вес яблока.

Объяснение решения.

1-й способ. Мы имеем яблоко и грушу общим весом 300 г. Если положить яблоко на левую чашку весов, а грушу на правую, то яблоко перетянет, и равновесие будет нарушено. Сколько же груза на весах? (300 г.)

Чтобы установить равновесие, нужно поставить гирю в 50 г. Сколько тогда груза будет на весах? (350 2.) Сколько граммов груза будет на каждой чашке? (175 г.) Но это и есть вес яблока.

2-й способ. Как можно еще поступить, чтобы установить равновесие весов? Можно отрезать от яблока 50 2. Сколько граммов фруктов будет на весах? (250 2.), а на каждой чашке? (125 г.) Следовательно, вес груши 125 г. Определим вес яблока (175 г). Опыт показывает, что макет весов с фруктами надолго запоминается учащимся и служит наглядным пособием при решении задач данного типа.

3) Закрепление навыков в решении задач можно провести в игровой форме, используя «Математический огонек». Заданиями служат задачи-картинки на фрукты и обычные задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

Окончание занятий игрой «Математический огонек» снижает усталость учащихся, повышает настроение и доставляет им удовлетворение. Споры о правильности решения задач, разборы решений, обсуждение ошибок — обычное явление после такого окончания.

Номера задач для проведения игры «Математический огонек»:

№ пп.

Команда 1

Команда 2

Команда 3

Команда 4

№ задач

ответы на пластинках

№ задач

ответы на пластинках

№ задач

ответы на пластинках

№ задач

ответы на пластинках

1 2 3 4 5

573 574 575 576 577

150 50 65 40

100

80 20

578 579 580 581 582

100

25 75 60 125

40 80

583 584 585 586 587

80 40 75 60 120

20 95

573 580 587 586 582

150 75

120 60

125

80 95

Путающие ответы

Занятие 2

План

1) Римская нумерация (сообщение ученика)— 5—7 мин.

2) Игра лото (по римской нумерации).

3) Решение задач по диаграммам (фронтально)— 10 мин.

4) Турнир по решению задач.

Указания. 1) Лото по римской нумерации составляется так же, как и по египетской.

2) Для составления задач полезно использовать диаграммы, составленные на основе сведений из занимательной зоологии (продолжительность жизни различных животных и птиц, их вес, рост и т. д.). Такой материал всегда вносит оживление и порождает любознательность.

Приведем примеры диаграмм для составления задач и их решения:

Сколько лет может прожить ворон?

Определить вес верблюда.

Определить длину крокодила.

Как и на предыдущем занятии, диаграммы следует использовать для того, чтобы еще раз наглядно раскрыть сущность методов решения задач на нахождение нескольких чисел по их сумме и разности, по их сумме и кратному отношению.

3) Закрепление навыков в решении задач можно провести в виде турнира.

Класс делится на две команды. Каждому члену обеих команд дается по одной задаче, которую он должен решить самостоятельно. С решениями остальных задач своей команды он должен познакомиться, знать решение и уметь объяснить. Задачи можно дать всей команде (капитану) для совместного решения. На это отводится 15—20 мин. Затем начинается турнир. Каждый член первой команды вызывает любого ученика второй команды. Обмениваются задачами. Через 5 мин подводятся итоги путем опроса каждой пары. Побеждает та команда, которая правильно решит и объяснит большее количество задач другой команды.

Номера задач для турнира: 270—287; 346, 347.

Занятие 3

План

1) Славянская нумерация (сообщение ученика) — 10 мин.

2) Игра лото (в славянской нумерации).

3) Решение арифметических ребусов (фронтально) 10—15 мин.

4) Игра «Математический огонек».

Указания. 1) Решение арифметических ребусов дает возможность проверить и закрепить зависимости между компонентами арифметических действий.

Примеры ребусов А. Найдите слагаемые:

Б. Восстановите пропущенные цифры:

В. Найдите произведение:

Г. Найдите частное:

Набор ребусов для «Математического огонька»:

№ пп.

Команда 1

Команда 2

Команда 3

Команда 4

№ задач

ответы

№ задач

ответы

№ задач

ответы

№ задач

ответы

1

2 3 4 5

121 122 123 124 125

74 352 15 003 17 271 29 308

374

75 342 16003

126 127 128 129 130

6 750

3 906 18 468 10 240 38 019

6 658

4 906

131 132 133 134 135

50 034 1 099 245

3 751 505

4 039

55

128 129 130 121 122

18 468 10 240 38 019

74 352 15 003

75 342 15 008

Путающие ответы

Занятие 4

План

1) Составление и решение задач на движение по таблице — 20 мин.

2) Конкурс «Математические тяжеловесы» по задачам на движение.

Указания. 1. Решение задач на движение представляет большие трудности для учащихся. Составление задач по таблице (макету) снижает трудности в решении этих задач, так как помогает лучше усвоить смысл составляемой задачи, представить ситуацию, более четко понять зависимости между величинами.

Приведем образец таблицы на движение (рис. 22) и примеры задач для разбора с классом.

Таблица делается из картона или плотной бумаги по возможности большего формата. Для составления разнообразных видов задач из картона изготовляются часы с подвижными стрелками, которые затем приклеиваются к таблице; силуэты автомобилей (легковых и грузовых), которые вставляются приклеенными к ним клапанами в прорези 2; бумажные вставки для скоростей (прорези 1), расстояний (прорези 3 и 4), вопросов (прорези 5). На рисунке даны образцы (рис. 23).

Примеры задач для разбора с классом (рис. 24).

2. Закрепление навыков в решении задач на движение можно провести в форме конкурса «Математические тяжеловесы».

Рис. 22

Номера задач на движение для включения в игру:

30 кг

40 кг

50 кг

60 кг

70 кг

80 кг

90 кг

100 кг

121—135

588; 589; 592—594; 597—601

590; 591; 595; 596; 602

503; 504; 505; 506; 507

510; 511; 512; 513; 514

508; 509; 515; 516

517; 518; 521

519; 520

Рис. 23

Рис. 24

Занятие 5

План

1) Игра лото (по всем нумерациям).

2) Решение наиболее трудных задач всех рассмотренных ранее видов.

3) «Математический огонек» или «Математические тяжеловесы».

Примечание. Это занятие является обобщающим и в то же время подготовительным к следующему занятию.

Номера задач для игры «Математические тяжеловесы»:

30 кг

40 кг

50 кг

60 кг

70 кг

80 кг

90 кг

100 кг

573—587

270—287; 346; 347

121-235

588—602

355-367

403—414

149—164

165-181

Занятие 6

Проводится итоговая игра «Математические следопыты». Она состоит из двух элементов: инструктажа и «поиска пакета». Для проведения игры приготовляются четыре комнаты (одна — для инструктажа и три — для размещения «следов») и коридор (рис. 25).

В комнате инструктажа проводится организационная часть игры: создаются «отряды следопытов», выбираются «командиры отрядов» и связные, учащиеся знакомятся с правилами игры и ее атрибутами (задания, следы, справочный отдел). Особого оборудования для проведения игры не требуется. В комнате инструктажа организуется стол для справочного отдела (приготовить табличку

Рис. 25

«Справочный отдел»), вывешиваются таблицы нумераций (египетской, римской и славянской) и одно-два высказывания о значении математики. К таблицам нумераций ученики могут подходить во время игры, если встретятся с какими-либо трудностями.

Приводим содержание беседы в комнате инструктажа. «Ребята, на предыдущих занятиях кружка мы познакомились с различными нумерациями, которыми пользовались люди в прошлом (египетской, римской, славянской). Кроме того, мы решали много разнообразных и интересных задач: занимательных, задач с фруктами, на движение, по диаграммам, решали арифметические ребусы. Сегодня проведем заключительную игру, которая называется «Математические следопыты».

Для проведения игры создадим «отряды следопытов». Каждый отряд должен состоять изб—6 человек во главе с командиром отряда. Командир отвечает за порядок и дисциплину в своем отряде и руководит поиском. Командира выбирайте сами. (Учащиеся разбиваются на отряды, выбирают «командира отряда следопытов» и отрядами рассаживаются по местам.)

Командиры, назначьте себе связных*.

Теперь послушайте внимательно правила игры.

В одной из классных комнат спрятан пакет. Перед каждой командой стоит задача найти его. Поиск пакета производится по следам, которые остались на полу, на стенах, на дверях классных комнат, в партах, в книгах и т. д. (показывают образцы следов).

Так как мы «Математические следопыты», то следы — это числа — ответы на задачи и примеры, записанные в различных нумерациях. Слушайте очень внимательно порядок поиска. Для поиска пакета командиру каждого отряда будет вручен конверт (показать образец). В нем содержится задание, состоящее из 5 задач, и указание. Командир вскрывает конверт, читает указание и сам раздает каждому члену отряда по одной задаче для решения. Задачи пронумерованы и расположены по степени трудности, первая самая легкая, последняя самая трудная (объяснение сопровождается показом).

После того как все задачи будут решены, выполняется указание. Полученное число является «следом», который нужно найти. «След» записан в одной из нумераций. На найденном «следе» вы увидите следующее задание (показать пример), после которого наметится новый след (показать пример) и т. д. Так, постепенно, выполняя цепочку заданий, отряд следопытов должен обнаружить пакет.

При проведении поиска должны соблюдать следующие правила:

1. Должна быть тишина и организованность. Решать нужно молча, очень внимательно, без спешки. Ошибка, допущенная одним, может повести весь отряд по ложному следу.

2. Конверты с заданием вскрывает только командир. После решения задач конверты обязательно сдаются в «справочный отдел» связным, где ему сообщат о правильности поиска.

3. Следы на полу, на стенках трогать нельзя! Ходить следует осторожно, чтобы не наступить на следы.

4. Если при выполнении задания встретятся затруднения или отряд не сможет найти следующий след, запутается, то командир отряда может послать связного в «справочный отдел». В зависимости от ошибки, которую допускает отряд, связной задерживается там от 1 до 5 мин. Поэтому обращаться в него нужно только в крайних случаях.

Повторяю, в «справочный отдел» могут обращаться только связные. Если отряд следопытов будет нарушать дисциплину и правила, то он будет лишен права участвовать в игре и удален.

У кого есть вопросы?

* Командирам отрядов и связным нужно сделать знаки отличия (например, повязки на рукава).

Итак, начинаем игру.

Внимание! Получено срочное задание найти спрятанный пакет. Командиры отрядов следопытов, получите задание и приступайте к поиску!» (Командиры подходят к столу, получают конверты. Поиск пакета начинается.)

Приводим последовательность заданий и «следов» для каждого отряда.

Отряд 1

Задание 1. Задачи № 573—577.

Указание. Следом является сумма всех ответов задач этого конверта.

Задание 2. След на полу (приложение 5, таблица 29).

Задание 3. Задачи № 588—592.

Указание. Решите задачи. Сумма ответов — след.

Задание 4. След на стене (таблица размером 180 лшх240 мм, см. приложение 4 таблица 13).

Задание 5. Задачи № 121—125.

Указание. След найдете, если сумму ответов всех ребусов разделите на четыре.

Задание 6. След на полу (приложение 5, таблица 29 2).

Задание 7. Задачи № 270—274.

Указание. Чтобы получить номер комнаты, в которой спрятан пакет, нужно к числу, записанному двумя первыми цифрами суммы ответов на задачи конверта, прибавить число, записанное двумя ее последними цифрами.

Отряд 2

Задание 1. Задачи № 588, 596—599. Указание. Сумма ответов всех задач — след.

Задание 2. След на стене (приложение 4, таблица 14).

Задание 3. Задачи № 578—582.

Указание. Из суммы ответов всех задач вычтите 25. Полученная разность — след.

Задание 4. След на полу (приложение 5, таблица 30^.

Задание 5. Задачи № 126—130.

Указание. Следом является сумма всех ответов задач этого задания.

Задание 6. След на полу (приложение 5, таблица 302).

Задание 7. Задачи № 275—278, 283.

Указание. Среднее арифметическое всех ответов уменьшить на 2. Полученное число — номер комнаты, в которой вы найдете пакет.

Отряд 3

Задание 1. Задачи № 279—282, 347.

Указание. К сумме всех ответов на задачи конверта прибавьте MMCLXIX. Полученное число — первый след.

Задание 2. След на полу (приложение 5, таблица 31х).

Задание 3. Задачи № 583—587.

Указание. Сумма ответов всех задач — след.

Задание 4. След на полу (приложение 5, таблица 312).

Задание 5. Задачи № 590—592, 597, 598.

Указание. К среднему арифметическому всех ответов прибавьте СС. Результат — след.

Задание 6. След на стене (приложение 4, таблица 15).

Задание 7. Задачи № 131—135.

Указание. Найдите сумму ответов. К сумме цифр суммы ответов прибавьте

Получите номер комнаты, в которой спрятан пакет.

Отряд 4

Задание 1. Задачи № 121, 122, 128, 129, 130.

Указание. Сумма всех ответов на задачи является первым следом.

Задание 2. След на стене (приложение 4, таблица 16).

Задание 3. Задачи № 575—579.

Указание. К среднему арифметическому всех ответов прибавьте LXXXIV. Найденная сумма — след.

Задание 4. След на полу (приложение 5, таблица 321).

Задание 5. Задачи № 270—274.

Указание. Сумма ответов всех задач — след.

Задание 6. След на полу (приложение 5, таблица 322).

Задание 7. Задачи № 594—598.

Указание. Отбросьте последнюю цифру суммы ответов и полученное число умножьте на 2. Получите номер комнаты, в которой спрятан пакет.

Отряд 5

Задание 1. Задачи № 283—287.

Указание. К сумме ответов всех задач прибавьте еще продолжительность жизни льва (в годах). Полученный результат — первый след.

Задание 2. След на полу (приложение 5, таблица 33х).

Задание 3. Задачи № 598—602.

Указание. К сумме всех ответов прибавьте ЛБ и разделите на VII. Полученное число—след.

Задание 4. След на полу (приложение 5, таблица 332).

Задание 5. Задачи № 123—127.

Указание. Следом является разность суммы всех ответов, уменьшенной на 1100, и числа

Задание 6. След на стене (приложение 4, таблица 17).

Задание 7. Задачи № 574, 575, 577, 581, 584.

Указание. Из среднего арифметического всех ответов вычтите его треть. Получите номер комнаты, в которой спрятан пакет.

Примечание. 1. Все задачи пишутся на плотной бумаге. На лицевой стороне, в углу, пишется номер задачи в данном задании (от 1 до 5), а на обратной стороне номер отряда и задания (например, задание 2, отряд 1). Последнее необходимо для того, чтобы не перепутать задачи при использовании карточек в других играх. Все карточки одного задания вкладываются в конверт, на котором снова, для удобства, пишут номер задания и номер отряда.

2. Следы на полу вырезают из бумаги и красочно оформляют. Следы на стенах пишут на листах бумаги формата 203 мм X 288 мм. Кроме описанных в разработке следов, следует сделать еще путающие (на возможные ошибки), чтобы исключить выбор следов по догадке.

3. Номера комнат и парт пишутся на небольших карточках, в различных нумерациях. Причем и здесь полезны путающие номера.

Для четкости проведения игры и быстроты ее организации полезно иметь сводную схему поиска каждого отряда. Она необходима для справочного отдела.

Схема поиска

Схема показывает последовательность заданий и следов, размещение их по комнатам, партам и т. д. Кроме того, она включает ответы всех задач и расшифровку следов.

Так, например, по схеме видно, что первый отряд должен пройти комнаты, отведенные для игры, в последовательности 28—77—18—42; видно, что в комнате 77 в парте 8 нужно разместить задание 4 первого отряда, в книге 33 (на окне) — задание 6 второго отряда, в парте 11 — задание 6 третьего отряда, в парте 7 — задание 2 четвертого отряда, а в парте 9 — задание 6 пятого отряда и т. д.

Мы привели описание упрощенного варианта игры. С учетом подготовленности классов правила поиска могут быть усложнены путем включения большего количества следов, разнообразием заданий.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПОЕЗД (ВЕЧЕР-ИГРА ДЛЯ IV—VI КЛ.)

Для проведения вечера нужно подготовить три классных комнаты, актовый зал и коридор. В коридоре размещается кассовый зал, классные комнаты служат вагонами: «мягкий», «плацкартный» и «жесткий» (или «холодильник»). При наличии большого актового зала вся игра может быть проведена в нем, для чего нужно разделить его, например перегородками из стульев, на 4 части (рис. 26).

При входе в кассовый зал на большом листе бумаги вывешены условия участия в игре-вечере.

«Ребята! Прочтите внимательно правила получения билетов для посадки в «Математический поезд».

1. При входе в кассовый зал получите посадочный талон-конверт с тремя задачами и шестью жетонами.

2. Садитесь за парту и, достав из конверта карточки-задания, ответьте на имеющиеся в них вопросы, решите задачи.

3. Запишите решения и ответы на листе бумаги и обратитесь в кассу за получением билета.

Примечание. Если вы не можете решить задачу талона или ответить на вопрос, обратитесь за помощью в «справочное бюро». В зависимости от содержания справки определяется «плата»:

а) Проверка правильности решения задачи и указание ошибки — бесплатно.

б) Просьба дать вопрос, помогающий найти путь решения задачи — 1 жетон.

в) Подсказка пути решения задачи — 2 жетона.

г) Просьба решить задачу — 3 жетона.

Знайте!*

Билет в «мягкий вагон» выдается при правильном решении всех трех задач и предъявлении в кассу не менее трех жетонов. Правильное решение всех задач и наличие двух жетонов дает право на получение билета с «плацкартой». Для получения билета в «холодильник» достаточно одного жетона при правильном объяснении решений всех задач.

4. Полученный билет предъявите проводнику вагона.

Итак, «Математический поезд» составлен из трех вагонов: мягкий, плацкартный и холодильник. Желающие совершить путешествие должны приобрести билеты. Каждый участник игры при входе в вокзал получает конверт, содержащий три карточки-задания: на первой — шуточный вопрос (задача), на второй — задача практического содержания и на третьей — занимательная задача.

ОБРАЗЕЦ КАРТОЧЕК В КОНВЕРТЕ

Карточка 1. В семье семь братьев, у каждого по одной сестре. Сколько детей в семье?

Карточка 2. Как, имея два ведра объемом 5 л и 9 л, принести из реки ровно 3 л воды?

Карточка 3. Поезд проходит мост длиной 450 м за 45 сек и за 15 сек проходит мимо телеграфного столба. Вычислить длину поезда и его скорость.

Подбор задач не случаен. Первые задачи — задачи-шутки, вопросы логического характера. Они не требуют больших вычислений и знаний, рассчитаны на внимательность, смекалку и решаются устно. Вторые и третьи задачи требуют рассуждений и знания программного материала (вопросы делимости, типовые задачи и т.д.). Одна из этих

Рис. 26

* Условия получения билета.

Рис. 27

задач — задача повышенной трудности. Это сделано для того, чтобы не все учащиеся сразу попали в «мягкий вагон».

К получению билета в «мягкий вагон» должны стремиться все учащиеся на протяжении всего вечера. На первом этапе в него попадут только наиболее сильные, сообразительные. Но, как будет показано в дальнейшем описании, правила игры предусматривают возможности достижения цели при некоторой настойчивости каждым участником игры.

Кассовый зал оборудуется примерно так. Размещаются кассы (лучше две-три, каждая для одного-двух классов, чтобы не было очереди), около них расставляются столы с чистой бумагой и карандашами.

Кассы оборудуются просто, но так, чтобы привлекали внимание. Можно, например, взять лист картона (или плотной цветной бумаги), вырезать окно, если можно, то красочно оформить (рис. 27). Получается простой, но очень удобный и устойчивый макет для кассы. Он ставится на стол. Каждая касса обслуживается одним человеком. У него имеются решения всех задач. Справочное бюро оборудуется так же, как и кассы. Здесь сидят 2—3 ученика. Они имеют весь необходимый справочный материал по предложенным вопросам и задачам: решения всех задач и ответы к ним, наводящие и подсказывающие вопросы к каждой задаче. Справочное бюро в этой игре имеет исключительно важное значение. Его назначение — помочь учащимся решить задачи самостоятельно и только в крайнем случае дать готовое решение, сообщить ответ. Ввиду обучающего характера справочного бюро желательно, чтобы руководил его работой учитель.

На стенах кассового зала нужно развесить таблицы, диаграммы и другой справочный материал с тем, чтобы некоторые данные, необходимые для решения задач, учащиеся могли взять из них.

Ученики, получившие билеты, могут, не дожидаясь других ребят, входить в свои вагоны.

Кассовый зал работает 45 мин. За 10 мин до конца работы дежурным по вокзалу дается три звонка и объявляется посадка. Затем через пять минут дается два звонка и, наконец, после очередной пятиминутки — последний звонок. Поезд отправляется !

Ученики, не получившие билетов, выбывают из игры (или производят посадку в холодильник).

В вагонах проводятся математические игры, математические викторины и другие развлечения. Различие вагонов состоит в том, что в «мягком» организуются лучшие игры и аттракционы, выделяются лучшие призы, нежели в «плацкартном» и тем более в «холодильнике».

Через каждые 15 мин после отправления поезда объявляются остановки (станции), например: «Головоломка», «Игровая», «Самодеятельная», «Танцевальная», «Рыболовная» и др.*. На остановках все выходят из «вагонов» и в соответствии с названием остановки проводят массовые игры, соревнования, танцы и т. д. Продолжительность остановки 10—20 мин. Остановки могут быть тематическими и отражать одну тему. Например, «поезд» может быть историческим. Остановки: «Вавилонская», «Египетская», «Римская», «Славянская» и др. В этом случае на остановках делаются небольшие сообщения из истории математики, проводятся «экскурсии». Под остановки отводятся классные комнаты, которые соответствующим образом оформляются.

Если остановки носят характер состязаний, строятся по принципу «лабиринта» или «математических барьеров», то в свои вагоны возвращаются те, кто за 10—20 мин пройдут «лабиринт», преодолеют барьеры. Остальные считаются отставшими от поезда, не успевшими в свой вагон и попадают в

* На одну игру достаточно сделать 2—3 станции.

вагоны на разряд ниже. (Красные билеты обмениваются на зеленые — плацкартные, зеленые—на черные.)

Чтобы учащиеся могли переходить в другие вагоны, следует организовать работу «кассиров-компостаторов». Они предлагают учащимся перекомпостировать свои билеты путем решения одной-двух задач (так, для перехода из «плацкартного» вагона в «мягкий» или из «холодильника» в «плацкартный» достаточно решить одну задачу и сменить соответственно зеленый билет на красный, черный на зеленый). Для компостирования билетов в «плацкартном» вагоне и «холодильнике» отводятся уголки, где ставится стол (парта) для решения предлагаемых задач. Пассажиры «мягкого» вагона могут переходить из вагона в вагон свободно. Переходы разрешается делать только на остановках.

Если остановки организуются в виде состязаний, то победители получают право перехода в вагон разрядом выше.

Игра заканчивается прибытием «Математического поезда» на конечную остановку, например станцию «Призовая». На этой станции (актовый зал) могут быть проведены заключительная викторина, математический концерт, танцы, подвижные игры. Здесь же подводятся итоги игры, объявляются победители, выдаются призы за лучшее оформление и организацию остановок, вагонов и т. д.

Успех любой массовой игры во многом определяется ее организованностью. Поэтому нужно очень четко продумать последовательность ее проведения, установить дежурство (контролеры, проводники, дежурные по вокзалу, станциям и др.), продумать последовательность и содержание объявлений.

Интерес к игре должен поддерживаться всей организацией вечера. Большое значение в этом отношении имеет оформление всех его атрибутов. Вывески, плакаты, макеты, повязки для обслуживающего персонала, даже карточки-задания и билеты должны быть красочными, яркими. Все объявления, которых достаточно много на данном вечере, как-то: объявление о посадке, об отправлении поезда, объявление остановок, должны делаться четко, громко и в игровой форме. Например: «Внимание! Внимание! «Математический поезд» прибывает на станцию «Рыболовная». Стоянка 15 мин. Прослушайте правила пребывания на этой остановке! (Сообщаются правила.) Товарищи пассажиры! Соблюдайте порядок!» и т.д.

Опыт показывает, что наличие игрового мотива в сочетании с активной работой мысли при решении задач поддерживает бодрое настроение учащихся на протяжении всей игры, и вечер доставляет им удовольствие.

Игровая форма описанного вечера содержит большие возможности для проявления творчества как учащихся, так и учителя. Правила игры, содержание остановок могут быть изменены с учетом конкретной обстановки.

Ниже приводится описание некоторых остановок, приводится и перечень оборудования. Набор карточек-заданий дается в приложении.

СТАНЦИЯ «РЫБОЛОВНАЯ»

На остановке проводится игра, которую образно можно назвать «Математическая рыбалка». Под остановку отводится классная комната (рис. 28) или часть коридора. Середину застилают несколькими полосами голубой бумаги (речка).

Из картона или плотной бумаги вырезают фигуры различных рыбок, к которым приделывают небольшие петли из проволоки. К тыльной стороне каждой рыбки канцелярскими скрепками прикрепляется карточка с задачей, сложность которой определяет и вес рыбки. Вес пишется на тыльной стороне (рис. 29). Рыбки разбрасывают по голубой бумаге.

Правила игры*

Пассажиры каждого вагона делятся на команды по два-три человека. Каждой группе выдается удочка. На остановке каждая команда должна поймать не менее 1,5 кг рыбы на «уху». Рыба считается пойманной, если ее вытащили из «реки» удочкой и правильно решили прикрепленную к ней задачу. В случае ошибочного решения рыба отпускается в «реку». Проверка правильности решения осуществляется в «приемном пункте», который находится при выходе. Команда, наловившая 1,5 кг рыбы, получает право возвратиться в свой вагон. Команда, не успевшая выполнить этого задания, переходит в вагон на разряд ниже своего. Команда, которая за 15 мин сумеет «поймать» больше 2,5 кг рыбы, получает право перехода в вагон на один разряд выше своего. Излишки улова могут быть переданы товарищам.

Обмен билетов производится в «приемном пункте» по предъявлению «улова».

Для проведения этой игры нужно приготовить достаточное количество удочек (не менее 20 штук) и нужное число рыбок. Для изготовления удочки берется тонкая палочка (около 1 м длины) и такой же длины нитка, к одному концу которой привязывается крючок из алюминиевой или медной проволоки. Рыбки делаются различной величины в соответствии с их видом (от 10 до 25 см длины) и обязательно раскрашиваются (см. приложение V, таблицы 34—39).

Рис. 28

* Сообщаются при выходе из вагонов, после объявления остановки.

Рис. 29

Таблица размеров рыб*

Наименование

Кол-во (шт.)

Вес (г)

Длина (см)

Сороги ...........

30

200

10

Окуни ...........

15

300

10

Окуни ...........

10

500

15

Лещи............

10

750

15

Щуки ...........

10

1000

20

Судаки ...........

5

2000

25

СТАНЦИЯ «ГЛАЗОМЕРНАЯ»

На остановке проводится викторина в виде игры, которую образно можно назвать «глазомерным базаром».

Правила**. Чтобы возвратиться в свой вагон, нужно за 10—15 мин набрать три жетона, которые выдаются за правильное определение на глаз длин, площадей, объемов, веса различных фигур, моделей, тел и т. д. Базар проводится так. В классной комнате (или другом помещении) организуется три «уголка»:

1. «Проверь свою наблюдательность!»

2. «Проверь остроту глазомера!»

3. «Проверь точность глазомера!»

ОРГАНИЗАЦИЯ И СОДЕРЖАНИЕ «УГОЛКОВ»

1. «ПРОВЕРЬ СВОЮ НАБЛЮДАТЕЛЬНОСТЬ!»

Здесь стоит стол с картотекой, сидит контролер, который проверяет правильность и точность ответов, выдает жетоны (например, в виде треугольников красного цвета).

Каждый участник игры подходит к картотеке и вытягивает карточку с вопросом. После обдумывания подходит к контролеру и сообщает ответ. Если ответ не является грубо ошибочным, о чем контролер может судить по нормам отклонений, которые у него имеются, то ученик получает жетон и может проверять свой глазомер в следующем уголке. Если ответ ученика превышает нормы отклонений, ему сообщается правильный ответ и предлагается взять другую карточку. Ученик, ответ которого будет отличен от истинного в 10 и более раз, наказывается контролером заменой его билета на билет в вагон разрядом ниже.

Чтобы настроить учеников на вдумчивую работу, полезно в комнате вывесить плакаты:

а) «Семь раз примерь, один раз отрежь!»

б) «Поспешишь — людей насмешишь!» и др. Полезно оформить в виде плаката-предупреждения правило этого уголка:

«Берегись ошибиться в 10 раз!»

Вопросы для картотеки «Проверь свою наблюдательность!»

№ пп.

Содержание вопроса

Ответ

Допустимый ответ

1

Каков диаметр пятикопеечной монеты?

25 мм

20—30 мм

2

Какова длина железнодорожного рельса?

12,5 м

10—15 м

3

Какова высота нашей школы?

4

Какова высота этого класса?

5

Какова ширина улицы, на которой стоит наша школа?

6

Какова высота четырехэтажного дома?

16 м

12—20 м

7

Чему равна высота пассажирского железнодорожного вагона?

3,5 м

2,5—4 м

8

Какова толщина стопки писчей бумаги в 100 листов?

7 мм

5—10 мм

9

Какова высота телеграфного столба?

6,4 м

4—8 м

10

Какова длина обычного карандаша?

178 мм

15—20 см

11

Какова длина четырехосного пассажирского вагона?

23,6 м

18—30 м

12

Какова средняя скорость пешехода?

5 км/ч

4—6 км/ч

* В приемном пункте должна находиться таблица веса.

** Сообщаются перед выходом из вагонов.

Продолжение

№ пп.

Содержание вопроса

Ответ

Допустимый ответ

13

За сколько времени спортсмен может пробежать пять километров?

14 мин

14—20 мин

14

Назовите среднюю скорость лыжника?

20 км/ч

15—25 км/ч

15

Назовите среднюю скорость электропоезда?

60 км/ч.

40—100 км/ч

16

Сколько весит ученическая тетрадь в 12 листов?

35г

20—50 г

17

Сколько весит сердце взрослого человека?

500 г

400—1000 г

18

Сколько весит кирпич?

4 кг

2—5 кг

19

Сколько весит футбольный мяч?

400 г

200—600 г

20

Сколько весит 1 дм3 железа?

7 кг 600 г

5—10 кг

21

Что тяжелее 1 м3 железа или автомобиль «Волга»?

1 м3. железа

22

Сколько весит воробей?

60s

30—100 г

23

Сколько весит слон?

5 т

2—7 т

24

Сколько весит крупная породистая свинья?

200 кг

100—300 кг

25

Сколько весит автомобиль «Волга»?

1460 кг

1—2 т

26

Сколько кубических сантиметров жидкости вмещает столовая ложка?

12—15 см3

10—20 см3

27

Какова грузоподъемность четырехосного товарного вагона?

60 т

40—80 т

28

Каков объем железнодорожной цистерны?

50 м3

40—60 м3

29

Сколько весит паровоз?

150—200 т

100—250 т

30

Какова суточная производительность одной доменной печи?

2000 т

1000—3000 т

31

Сколько груза может увезти лошадь?

500 кг

300—800 кг

32

Сколько человек живет в нашем городе (селе)?

33

Сколько человек живет в нашей области?

34

Сколько литров молока можно надоить от одной коровы?

10—15 л

8—20 л

35

Сколько рублей стоит строительство нашей школы?

50—100

36

Сколько ударов в минуту делает пульс взрослого человека?

70—80

37

Сколько литров бензина расходует «Москвич» на 100 км пути?

7 л

5—10 л

38

Сколько копеек (монетами в 1 копейку) можно уложить в одном дм3.

5400

3—8 тыс.

39

Сколько мест в одном плацкартном железнодорожном вагоне?

56

50—100

2. «ПРОВЕРЬ ОСТРОТУ ГЛАЗОМЕРА!»

В уголке оборудуются три стола. На первом разложены фигуры из картона и задание-плакат: «Найдите две фигуры одинаковой площади». Фигуры нужно брать самой разнообразной формы, размеров, цвета.

Например:

Фигуры пронумерованы. У контролера, который сидит за одним из столов, имеются ответы в виде таблицы пар равных по площади фигур; для приведенных на рисунке фигур в таблице будут пары (1; 4), (2; 3). Достаточно иметь 20 пар равных по площади фигур.

На втором столе расставлены тела (предметы), имеющие попарно равные веса, и приколот плакат: «Найдите два тела одинакового веса». Тела (предметы) также имеют нумерацию. Достаточно иметь 10 попарно равных по весу тел.

На третьем столе расставлены модели (предметы), имеющие попарно равные объемы. Прикреплен плакат: «Найдите два предмета одинакового объема». Достаточно иметь 10 попарно равных по объему предметов.

Порядок проведения. Каждый ученик подходит к одному из столов. Берет одну из фигур (модель, предмет) и находит равную ей (по площади, объему, весу). Контролеру сообщает номера взятых фигур. Если ответ верен, выдается жетон определенного цвета (например, треугольник синего цвета). Если ответ неверен, то предлагается выполнить задание другого стола и т. д., до правильного ответа!

3. «ПРОВЕРЬ ТОЧНОСТЬ ГЛАЗОМЕРА!»

Уголок организуется около доски. На доске написаны задания, например: начертите отрезок в 20 см, 40 см, 1 м и др. Нарисуйте квадрат площадью в 1 кв. дм, 4 кв. дм, прямоугольник площадью в 800 кв. см и др. Для выполнения заданий оставлено место. Кроме этого, вывешивается стенд из бумаги, на котором начерчены отрезки прямых (до 5), отрезки кривых (до 5), углы в 30°,

45°, 60°, 35°, 40° и др., прикреплены спирали из проволоки, пружины, бумажные ленты (кусочек серпантина), куски фотопленки от узкопленочного фотоаппарата и т. д.

Кроме стенда и доски, ставятся три стола. На первом раскладываются фигуры (из картона или бумаги) различной формы и размеров, например:

Прикалывается задание-плакат: «Определите площадь фигуры». На втором расставляются различные модели, например:

Задание-плакат: «Определите объем модели». На третьем размещаются тела из различного материала, различного веса (ком ваты, рулон бумаги, ком проволоки, металлические и деревянные предметы и др.).

Задание: «Определите вес предмета». Все задания (фигуры, модели, тела) нумеруются.

Правила контроля такие же, как и в предыдущем уголке*. Отличие в том, что ответы учеников будут приближенными, а поэтому у контролера должна быть таблица «точных» ответов и границы допустимых отклонений. Жетон (например, треугольник зеленого цвета) выдается за ответ, находящийся в допустимых границах точности.

Ученик, получивший три жетона различного цвета, получает право обмена своего билета (жетона) на билет более высокого разряда (из «холодильника» в «плацкартный», из «плацкартного» в «мягкий»). Ученик, не получивший за 10 мин трех жетонов, считается отставшим от поезда и обменивает свой билет на билет в вагон разрядом ниже. Обмен производится при выходе из станции «Глазомерная».

ПОДГОТОВКА К ИГРЕ

Основным содержанием игры «Математический поезд» является решение разнообразных задач. В ходе игры учащимся предлагаются задачи-шутки, успех решения которых зависит от внимательного чтения условия, и простейшие логические задачи, требующие рассуждений. Наряду с типовыми задачами, умение решать которые зависит от знаний приемов, изученных на уроках, даются неша-

* Этот уголок можно совместить с уголком «Проверь остроту глазомера», что менее желательно.

блонные задачи, задачи занимательного характера, практические задачи и т. д. Поэтому для успешного проведения игры нужна большая подготовительная работа.

Игра является как бы итогом, формой проверки эффективности всей предыдущей работы.

В процессе подготовительной работы нужно: во-первых, зажечь учащихся желанием участвовать в игре, добиться, чтобы в подготовке к ней, а следовательно, и в самой игре, принимало участие большинство учащихся. Во-вторых, подготовить необходимые материалы и оборудование. Для этого нужно использовать другие формы внеклассной работы, активизировать работу кружков. Так, в классах, участвующих в игре, необходимо провести несколько математических часов по решению задач повышенной трудности, логических задач, задач на смекалку. Их можно выбрать из карточек-заданий, используемых в игре. В этом нет ничего плохого. Наоборот, зная, что предлагаемые задачи будут использованы в игре и кому-нибудь попадутся, учащиеся с большим вниманием будут разбирать их решения. В этом мы неоднократно убеждались на практике.

ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА

I. Учись правильно рассуждать!

а) Решение логических задач:

1. Задача с шарами (№ 445).

2. Задача с ключами (№ 448).

3. Задача на переливание (№ 487).

б) Викторина (вопросы на смекалку и задачи-шутки, № 250—269).

II. Учись решать без вычислений!

а) Решение числовых логических задач (№ 439—442).

б) Решение примеров на нахождение последних цифр произведения (№ 550, 551).

III. Учись применять графики для решения задач !

а) Математика пассажира:

1. Задача на движение плота (№519, 521).

2. Задача на встречное движение двух поездов (№ 509).

б) Глазомерная викторина.

IV. Учись применять графики для решения задач !

а) Занимательные задачи:

1. Задача о лошади и муле (№ 410).

2. Задача на определение возраста (№ 419, 421).

б) Задачи на взвешивание рыб (из набора задач № 352, 362, 380).

Полезно в период подготовки к игре выпустить несколько математических бюллетеней. Достаточно, если каждый класс выпустит по два номера. При наличии хотя бы трех параллельных классов вы будете иметь 6бюллетеней, что даст возможность еженедельно менять их в каждом классе.

Все бюллетени должны выходить под лозунгами «Готовьтесь к путешествию на «Математическом поезде»! «Скоро игра пятых (или шестых) классов «Математический поезд»! и др.

Основным содержанием бюллетеней должен быть разбор вопросов и задач, аналогичных используемым на вечере, публикация задач для домашнего решения. В первых номерах должно быть дано краткое описание игры.

Для руководства подготовкой к игре и ее проведения, для подготовки необходимого оборудования целесообразно выделить один-два старших класса (VIII—X). В начале подготовки нужно провести с учащимися этих классов инструктивное занятие, на котором познакомить их с правилами игры и распределить поручения. Одну часть старшеклассников назначить для проведения самого вечера; другую — для подготовки учащихся к нему в качестве консультантов (по решению задач, выпуску бюллетеней); третью — для подготовки оборудования.

В конце подготовительного периода полезно провести генеральную репетицию (игру в целом).

ПЕРЕЧЕНЬ НЕОБХОДИМОГО ОБОРУДОВАНИЯ

Вывески

1. Кассовый зал.

2. Мягкий вагон

3. Плацкартный вагон

4. Холодильник

5. Станция «Глазомерная».

6. Станция «Рыболовная».

7. Приемный пункт.

8. Проверь свою наблюдательность!

9. Проверь остроту глазомера!

10. Проверь точность глазомера!

11. Выдача талонов.

12. Кассир-компостатор (2 экз.)

Вывески 1—7 пишутся крупно на бумаге размером 60 смх\5 см. Вывески 8—12 — на полосках бумаги размером 80 смХ 20 см.

Плакаты

1. Семь раз примерь — один раз отрежь!

2. Поспешишь — людей насмешишь!

3. Берегись ошибиться в 10 раз!

Задания-плакаты

1. Найдите две фигуры равные по площади!

2. Найдите два тела равного веса!

3. Найдите два предмета равного объема!

4. Определите площадь фигуры!

5. Определите объем модели!

6. Определите вес предмета! Задания-плакаты пишутся на бумаге формата

60 смХ 15 см.

Макеты

(из картона или плотной цветной бумаги)

1. Касса № 1 (для V А и V Б классов).

2. Касса № 2 (для V В и V Г классов).

3. Справочное бюро (2 макета).

Таблицы и стенды

1. Правила получения билетов (при входе в вокзал).

2. Такса справочного бюро (для макетов справочного бюро).

3. Условия получения билета (для макетов касс).

4. Таблица «Задачи на переливание»

5. Таблица «Задачи на движение».

6. Стенд «Проверь свой глазомер!»

Карточки-задания

1. 40 конвертов, по три карточки в каждом (посадочные талоны). Размер карточек 144 ммХ X 102 мм.

2. Карточки-задания для картотеки уголка «Проверь наблюдательность» — 40 штук. Размер 102 ммХ72 мм.

3. Карточки-задания для станции «Рыболовная»: а) 46 карточек размером 102 мм X 36 мм (для примеров), б) 34 карточки размером 102 ммх72 мм (для задач).

ФИГУРЫ И МАКЕТЫ ИЗ КАРТОНА, ТЕЛА

А. Для уголка «Проверь остроту глазомера!»

1. 40 попарно равных по площади фигур. Размеры различные.

2. 20 попарно равных по весу предметов (подобрать книги, стопки тетрадей, бруски из дерева, металлические предметы, коробки с гвоздями, песком и т. д.).

3. 20 попарно равных по объему предметов. Лучше сделать модели призм и параллелепипедов с вырезами из плотной бумаги (картона) или модели из дерева. Можно склеить модели различной формы из спичечных коробок или сколотить из брусков дерева и др. При соответствующей оклейке и покраске они будут приятно выглядеть.

Б. Для уголка «Проверь точность глазомера!»

1. 20—30 различных по величине фигур из картона.

2. 20 моделей параллелепипедов с вырезами, призм из картона или дерева.

3. 20 предметов для определения веса.

В. Для станции «Рыболовная»

Фигуры рыбок (80 штук) из плотной бумаги.

Билеты

Из цветной бумаги в форме прямоугольника размером 50 лшХ35 лш; для «мягкого» вагона — красные (80 штук); для «плацкартного» — зеленые (40 штук), для «холодильника» — черные (20 штук).

Жетоны

а) Для станции «Глазомерная» — из цветной бумаги в форме равностороннего треугольника со стороной 25 мм (трех цветов по 60 штук);

б) для конвертов (по 6 жетонов на участника)— из бумаги в форме квадрата со стороной 25 мм.

Удочки для станции «Рыболовная» (20 штук).

Повязки из материала (или бумаги) с соответствующими надписями (по списку обслуживающего персонала).

Примечание. Все оборудование вечера в дальнейшем может быть использовано на других вечерах, при проведении других игр, занятий кружков, а также при проведении уроков.

СПИСОК ОБСЛУЖИВАЮЩЕГО ПЕРСОНАЛА

1. Начальник вокзала (учитель) — отвечает за организацию всей игры.

2. Дежурный по кассовому залу (1 чел.)— следит за порядком в зале, отвечает на вопросы пассажиров.

3. Начальник поезда (учитель) — организует работу в вагонах, объявляет отправление поезда.

4. Проводники (6 чел.)— проверяют билеты, организуют игры в вагонах, объявляют остановки и рассказывают правила организации работы на остановках.

5. Кассиры (4 чел.)— проверяют правильность решения задач, выдают билеты.

6. Кассиры-компостаторы (2 чел.)— дают дополнительные задания, выдают билеты.

7. Работники справочного бюро (4 чел.)— проверяют ответы задач, дают консультацию по задачам.

8. Начальники станций (по количеству остановок) — отвечают за работу учащихся на остановках.

9. Контролеры на ст. «Глазомерная» (4 чел.): трое в уголках, четвертый на выходе для обмена билетов.

Проверяют правильность ответов, выдают жетоны. Контролер на выходе производит обмен билетов.

10. Контролеры «приемного пункта» на станции «Рыболовная» (2 чел.). Принимают «улов рыбы» (проверяют решения задач) и обменивают билеты.

Набор задач для игры «Математический поезд»

а) Для посадочных талонов

Задачи-шутки и легкие упражнения

Задачи практического содержания и задачи повышенной трудности

Занимательные задачи

250—269;

303; 430; 455;

386—395;

383—385;

457; 459—466;

397—403;

401—403;

468; 470; 474;

410—413;

430—432;

475; 480; 481;

419; 421;

434; 435;

485—493; 496—501;

422; 425—427;

443—445;

507; 508; 511—514;

573—576;

536—541;

516—519; 567; 571;

579—582;

543—550;

590; 591; 595; 596;

584—587

556; 557

602

б) Для «компостирования» билетов в «холодильнике» и «плацкартном» вагонах использовать задачи № 270—288; 589—602.

в) Для станции «Рыболовная»

Примечание. При большом количестве учеников на вечере для карточек-заданий посадочных талонов можно дополнительно брать примеры для устного счета (первые карточки), № 589 —602 (вторые) и № 270 — 288 (третьи карточки).

Условный «вес» задач

200 г

300 г

500 г

750 г

1 кг

2 кг

Примеры для устного счета

275;

345—348; 350; 351; 354; 356; 357; 366

349; 352; 355; 358—361; 363;

364; 365; 367

353; 362; 370—372; 374; 375; 377; 378

369; 373; 376;

379—382

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРОСС (ВЕЧЕР-ИГРА ДЛЯ VI—VII КЛАССОВ)

Математический кросс — это игра, основой которой является соревнование между классами и отдельными учащимися на правильность и быстроту решения различных задач. Игра состоит из пяти элементов: разминки, трех этапов (исторического, занимательной математики и практического), на каждом из которых предлагаются задачи в соответствии с его названием*, и финиша. Заканчивается вечер массовыми играми и развлечениями. Победителям и классу, завоевавшему первенство, в торжественной обстановке вручаются призы.

Для проведения математического кросса необходимо приготовить четыре классных комнаты (одну для разминки, три для этапов) и актовый зал для игр и развлечений. Примерное расположение комнат дано на рисунке 30.

Приведем подробное описание проведения игры и оформления комнат.

РАЗМИНКА

Перед любым спортивным соревнованием делают разминку. Своеобразная разминка проводится и перед математическим кроссом. Она преследует такие цели: напомнить учащимся правила кросса, познакомить с некоторыми «препятствиями» в виде вопросов и задач, которые могут встретиться им при «прохождении дистанции», дать возможность еще раз выполнить отдельные практические задания. Разминка нужна еще и для того, чтобы учащиеся, которые придут в школу раньше, могли сразу же включиться в игру. Следует иметь в виду, что разминка носит познавательный, обучающий характер, она является важной, существенной частью игры, а поэтому на ее организацию следует обратить серьезное внимание.

На дверях класса, отведенного для разминки, вывешивается лозунг, например: «Книга-книгой, а мозгами двигай!» (В.Маяковский), и красиво оформленная табличка «Разминка».

Комната может быть оборудована примерно так. Парты сдвинуть к середине, чтобы у стен остались свободные места. На стенах развесить таблицы, графики, карты, планы (можно воспроизвести те, что на этапах, а можно просто взять с этапов). Кроме того, желательно повесить портреты великих математиков, плакаты с их высказываниями о значении математики, обязательно таблицы с примерами вопросов, которые будут предлагаться на этапах, математические газеты и бюллетени, выпущенные классами во время подготовки к игре. Около стен нужно поставить несколько столов, на которых разложить вычислительные инструменты (счеты, арифмометр, счетные линейки), измерительные приборы (палетки, курвиметры, линейки, транспортиры, малки, столярные угольники, центроискатель кронциркули, штангенциркули и др.), вычислительные таблицы (таблицы простых чисел, таблицы квадратов и кубов, таблицы процентных расчетов, таблицы геометрических формул и т. д.). Чтобы четко организовать работу учеников с таблицами, графиками, нужно к некоторым из них написать заголовки-плакаты и вывесить таблицы вопросов и заданий. Так, к таблицам исторического этапа (см. исторический этап) можно предложить вопросы.

Сумеешь ли ты?

1. Записать год своего рождения римскими цифрами.

Рис. 30

* Содержание игры может быть изменено в зависимости от темы вечера. В данной разработке описывается вечер для VI—VII классов на тему «Математика на службе человека». Подобные вечера могут проводиться для любых классов восьмилетней школы, с V до VIII (лучше для параллельных классов).

2. Объяснить смысл высказывания В. П. Чкалова: «Полет — это математика».

3. Назвать фамилии не менее пяти великих русских математиков.

4. Вспомнить задачу, решение которой изображено на известной картине «Устный счет» художника Богданова-Бельского и решить ее.

5. Прочитать числа:

1. А. С. Пушкин родился в mdccxcix году, а умер в mdcccxxxvii году.

2. Учебник геометрии А. П. Киселева впервые был напечатан в ^ году.

К таблицам сложения и умножения в недесятичных системах счисления предлагаются упражнения:

1. Записать год своего рождения в двоичной системе счисления.

2. Перевести в десятичную систему счисления числа:

3. Составить таблицу умножения для шестеричной системы.

4. Выполнить действия:

5. Расшифровать «секреты» рекордов. «Мне 1111 лет, учусь в 111 классе. Я легко поднимаю 10 100 кг, прыгаю в высоту на 1 111 000 см. Правда, рост у меня небольшой — 10 001 100 см и вес петушиный — 100 000 кг.

Для подготовки к прохождению этапа занимательной математики полезно приготовить для разминки несколько тематических таблиц.

Например: «Арифметика, алгебра и геометрия на циферблате».

1. Часы показывают 2 ч 30 мин. Определить угол между стрелками часов.

2. Часы показывают 1 ч 15 мин. Какой угол между стрелками будет через 2 ч?

3. На часах 10 ч 25 мин. Через сколько минут стрелки часов будут показывать противолежащие числа циферблата?

4. Часы показывают 4 ч. Через сколько минут минутная стрелка догонит часовую?

5. На часах 2 ч 20 мин. Через сколько минут угол между стрелками увеличится в два раза?

6. В двенадцать часов обе стрелки часов совпадают. Через сколько времени они снова встретятся?

7. Сколько раз за сутки встречаются часовая и минутная стрелки часов?

8. «Который теперь час?»— спросил мальчик у отца. «До конца суток осталось на 5 ч меньше того времени, которое прошло от их начала». Который час был тогда?

Рис. 31

Таблицы практического этапа располагаются под заголовками: «Проверь себя, умеешь ли ты пользоваться таблицами».

1. Сколько хлеба потребляет человек в среднем за месяц?

2. Сколько литров сока можно получить из 10 кг слив?

3. Найти 762, 582.

4. Участок в 5 соток следует засеять морковью. Сколько потребуется семян?

5. Найти площадь кольца.

Графики и диаграммы сопровождаются заданием: «Используя график, вычисли!»

Например. Пользуясь графиком зависимости расхода бензина от скорости движения автомобиля «Москвич», изображенным на рисунке 31, ответь на следующие вопросы:

1. Какая скорость является более экономичной?

2. Сколько потребуется бензина для проезда от Перми до Кунгура и обратно (скорость 60 км/ч)?

3. В бак влили 10 л бензина. На сколько километров пути его хватит? и др.

Перед столами с приборами и инструментами нужно повесить плакат: «Вспомни название этих инструментов», а на столах разложить карточки с перечнем вопросов.

1. Вычислить на счетах: 825x112.

2. Вычислить на арифмометре: 5631x29.

3. Найти диаметр отверстия данной детали.

4. Измерить по карте курвиметром расстояние по Каме от Перми до Боткинской ГЭС.

Работой с графиками, таблицами, инструментами руководят «тренеры»— учащиеся старших классов и учитель математики, которые дают консультации, объясняют приемы работы с инструментами. В такой оживленной беседе проходит коллективная подготовка учащихся к прохождению дистанции.

На разминку можно отвести 25—30 мин. Разминка заканчивается небольшими выступлениями учащихся по теме: «Математика на службе человека».

Математика вокруг нас

(первое сообщение)

Несколько десятков лет назад была объявлена большая премия за сочинение на тему «Как человек без математики жил». Премия так и осталась невыданной, ибо, по-видимому, не нашлось ни одного сочинителя, который сумел бы описать жизнь человека, лишенного математических представлений. И действительно, с математикой мы встречаемся везде, на каждом шагу, с утра и до вечера. Просыпаясь, мы смотрим на часы; в трамвае или троллейбусе нужно рассчитаться за проезд; чтобы сделать покупку в магазине, нужно снова выполнить денежные расчеты и т. д. Без математики нельзя было бы изучить ни физику, ни географию, ни черчение.

Летом мы все любим совершать различные походы по родному краю пешком или на плоту по реке. Разве не приходится и здесь делать расчеты? Если мы пошли в поход пешком, то нужно наметить маршрут по карте, измерить расстояние, а для этого нужно уметь пользоваться линейкой или каким-нибудь прибором, например курвиметром, нужно суметь вычислить длину маршрута, пользуясь масштабом. Но это еще не все. Необходимо произвести расчет продуктов, с тем чтобы не брать лишнего, чтобы питание было вкусное и разнообразное.

Если решим плыть на плоту по реке, нужно определить длину маршрута, его продолжительность, скорость течения реки. Как это узнать? На помощь приходит математика. Даже в игре без математики трудно. Чтобы организовать спортивные игры в пионерском лагере, нужно суметь разметить спортивную площадку, для чего необходимо знание геометрии (построение прямых углов на местности, вешение прямых, измерение расстояний рулеткой и т. д.). Чтобы выиграть в военной игре, нужно хорошо ориентироваться по компасу, знать, как определить высоту дерева, расстояние до недоступного предмета, ширину реки и пр. Значит, математика нам нужна всюду: в магазине, в школе, в походе и в игре.

Математика на производстве

(второе сообщение)

Можно ли обойтись без математики на производстве, на работе? Конечно, нет! Соратник В. И. Ленина, видный деятель Коммунистической партии и Советского государства М. И. Калинин говорил:

«Какую бы науку вы ни изучали, в какой бы вуз ни поступали, в какой бы области ни работали, если вы хотите оставить там какой-нибудь след, то для этого везде необходимо знание математики. А кто из вас не мечтает теперь стать моряком, летчиком, артиллеристом, квалифицированным рабочим в различных областях нашей промышленности, строителем, металлургом, слесарем, токарем и т. д., опытным полеводом, животноводом, садоводом и т.д., путейцем, паровозным машинистом, торговым работником и т. д.? Но все эти профессии требуют хорошего знания математики. И поэтому, если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе»*.

И это действительно так! Если ты токарь и изготовляешь деталь на станке, то нужно соблюдать размеры, строго выдерживать точность обработки, а для этого необходимо уметь производить измерения кронциркулем, штангенциркулем и другими инструментами, более сложными и точными. Если ты плотник, то должен уметь измерять длину рулеткой или складным метром, измерять углы малкой, транспортиром или столярным угольником, проводить параллельные прямые и т. д. Еще глубже нужно знать математику землемеру и агроному. А инженеру или конструктору? Сколько различных расчетов приходится им выполнять, чтобы сконструировать какое-нибудь приспособление или машину!

Мы живем в удивительное время: в нашей стране строятся гигантские электростанции и домны, автоматические заводы, построен атомный ледокол «Ленин», запускаются спутники и ракеты, тяжеловесные корабли штурмуют космическое пространство. Первый — Юрий Гагарин, а за ним целая плеяда героев-космонавтов облетели земной шар по космической трассе. Во всех этих делах нам всегда помогала и помогает математика.

Наши ученые и инженеры создали такие вычислительные машины, которые за одну секунду могут выполнить десятки и сотни тысяч арифметических действий, что и позволило в кратчайшие сроки проделать сложнейшие технические расчеты, связанные со строительством различных сооружений, с полетами наших ракет, спутников, управляемых космических станций, космических кораблей с советскими героями на борту.

Вычислительные машины не только освобождают человека от утомительных и однообразных операций (одна такая машина может заменить армию вычислителей в несколько десятков тысяч человек), не только ускоряют процесс вычислений, но и, это, пожалуй, самое главное, могут управлять различными процессами производства, транспортом. Вычислительные машины настолько совершенны, что их часто называют «думающими». Это не случайно, ибо они могут быть использованы для переводов с одного языка на другой, могут играть в шахматы, причем достаточно успешно (об этом можно судить хотя бы по тому, что известный американский гроссмейстер Решевский в партии с вычислительной машиной смог добиться только ничьей). Но и всем этим их возможности не исчерпаны. С полным основанием можно сказать, что практические приложения математики не ограничены.

* М. И. Калинин. О коммунистическом воспитании. М. «Молодая гвардия», 1958, стр. 276.

После этих кратких сообщений, которые делают учащиеся, можно предложить послушать стихотворение из пьесы В. Королева и М. Львовского «Димка-Невидимка» (особенно, если на вечере присутствуют гости — ученики пятых классов).

Порядок проведения кросса

(сообщение учителя)

«Ребята, сейчас мы проведем кросс. Он называется математическим потому, что в нем вы должны показать не умение бегать, не свою физическую подготовку, а умение быстро отвечать на различные вопросы, показать навыки работы с различными инструментами, математическими приборами, таблицами и графиками.

Победителем будет тот, кто проявит смекалку, сообразительность, кто лучше знает математику. Победителем будет тот класс, который лучше готовился к этому состязанию.

Прослушайте внимательно порядок проведения кросса.

Старт кросса будет дан в комнате N (называется номер комнаты). Там каждый из вас сядет за парту, на которой заранее разложены карточки с вопросами из истории математики, листки бумаги и карандаши. После того как все разместятся за партами и будет полная тишина, главный судья на этапе поднимет флажок и даст команду: «На старт! Внимание!.. Марш!» Со словом «марш!» каждый берет свою карточку, переворачивает ее и решает предложенную задачу.

Предупреждаю: до команды «марш!» карточки с вопросами брать нельзя. За нарушение этого правила участник будет снят с дистанции. Для получения ответа можно воспользоваться справочниками, таблицами, которые развешаны на стенах или разложены на столах (об этом можно спросить у судьи этого этапа).

Ответив на вопрос, нужно обратиться в «медпункт», находящийся на этапе. Здесь вы как бы узнаете свое состояние после пройденного этапа и, если ответ верен, получите красный жетон с отметкой «Здоров» (5 очков). Если ответ неточен (допущена одна негрубая ошибка), то вам оказывается «первая помощь» в виде вопроса, после ответа на который получаете зеленый жетон с указанием на легкое повреждение — «Растяжение» или «Ушиб» (3 очка). Если решение вообще неверно и после оказания «первой помощи» вы не в состоянии справиться с заданием, то получаете коричневый жетон, свидетельствующий о серьезном повреждении,— «Перелом» (1 очко).

Получив один из трех жетонов, нужно поспешить на этап занимательной математики, а затем на практический этап. Порядок прохождения этих этапов тот же. На каждом из них имеется «медпункт», в котором нужно получить справку о своем состоянии в виде жетона.

Финиш кросса находится у входа в актовый зал. Здесь стоят столы, на которых для каждого класса имеются ящички, куда и нужно опустить полученные жетоны. Судьи на финише отметят время учеников, пришедших первыми с красными жетонами. Кроме того, они подсчитают количество очков, набранных каждым классом, для выявления класса-победителя.

А теперь, ребята, спокойно перейдем на исторический этап*. На старт!»

(Исполняется спортивный марш.)

ИСТОРИЧЕСКИЙ ЭТАП

Исторический этап игры подводит некоторые итоги работы по изучению элементов истории математики на уроках, в кружках, с помощью чтения математической литературы, выпуска математических стенных газет, бюллетеней, журналов. Кроме того, в ходе самого вечера учащиеся почерпнут новые исторические сведения, ликвидируют некоторые пробелы в своих знаниях.

На двери классной комнаты снаружи вывешивают табличку: «Исторический этап».

На стенах развешивают большой справочный материал, оформленный в виде таблиц, которые отражают развитие математических дисциплин, различные системы нумераций, иллюстрируют наиболее известные вспомогательные средства вычислений (абак, счеты, арифмометр). Здесь же вывешивают ранее изданные газеты и бюллетени, посвященные вопросам истории математики. Большое место отводится высказываниям о математике. Оформляется стенд «Великие математики».

На историческом этапе следует организовать два-три «медпункта», чтобы учащиеся не задерживались из-за проверки ответов, ибо на старте задания даются одновременно всем учащимся и может скопиться очередь.

Набор карточек-заданий и образцы некоторых таблиц и плакатов, используемых на этом этапе, даны в приложении.

ПРАКТИЧЕСКИЙ ЭТАП

Важнейшим принципом преподавания общеобразовательных предметов в советской школе является единство теории и практики. Поэтому практическому приложению математики отведен специальный этап.

Оформление комнаты, в которой проводится практический этап, по возможности должно быть таким, чтобы оно привлекало внимание учащихся своей красочностью, интересным содержанием и в то же время обеспечивало их всем необходимым для решения задач.

* Старт, одновременный для всех учеников на одном из этапов, можно проводить при небольшом числе участников (до 30 чел.). Если учеников много, то их можно разделить на 3 части, и старт давать на всех трех этапах в одно и то же время. Такой порядок позволит избежать скученности учеников на старте, даст возможность проводить состязание в спокойной обстановке.

Кроме таблиц, графиков, диаграмм, географических и топографических карт, которые развешиваются вдоль стен, желательно иметь ряд плакатов, отражающих наши успехи в различных областях народного хозяйства, данные о новейших машинах, и в первую очередь о счетных машинах.

Опыт показывает, что часть учащихся, пройдя все этапы, вновь возвращается к интересным таблицам, графикам.

Ученик, придя на этап, получает задание, прочитав его, выбирает стол, за который ему следует сесть, и ту таблицу, которой надо воспользоваться. За общим порядком в комнате следит судья этапа. Правила выдачи учащимся жетонов за решение задач — общие. Тематика задач практического этапа разнообразна. Перечень дан в приложении.

ЭТАП ЗАНИМАТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

В какой бы форме ни проводился математический вечер, решение интересных и оригинальных задач является важным его моментом. Это и естественно, ибо такого рода задачи способны привлечь внимание большинства учащихся, активизировать их мыслительную деятельность и в конечном счете возбудить интерес к изучению математики.

Билеты с задачами выдаются по мере прихода участников кросса на этап. Это делают судьи, сидящие за столом у входа в класс. Проверка правильности решения, оказание «первой помощи» осуществляется в «медпункте». Прохождение этапа отмечают выдачей соответствующего жетона.

Комнату для проведения этой части игры оформляют в соответствии с ее назначением. На стенах вывешивают лучшие бюллетени, посвященные занимательной математике, выпущенные классами за время подготовки к вечеру, красиво оформленные плакаты (софизмы, геометрические иллюзии, задачи с иллюстрациями и т. д.).

Весь этот наглядный материал должен быть, конечно, использован при составлении заданий для данного этапа. Полезно некоторые задачи, особенно те, которые требуют рассуждений, взять из бюллетеней. Это приучает школьников следить за стенной печатью, решать предлагаемые в газетах задачи. Перечень задач приведен в приложении.

ИГРЫ И РАЗВЛЕЧЕНИЯ

Пройдя три этапа, учащиеся собираются в актовом зале. Зал заранее подготовлен для проведения завершающей части вечера. Он празднично убран, на стенах висят плакаты, различные объявления, объясняющие правила отдельных массовых игр, правила участия в занимательных состязаниях, лотерее и др. У стен стоят столы с математическими настольными играми и развлечениями, с описаниями их. (Подробное описание некоторых игр дано в конце игротеки.)

ПОДГОТОВКА К ВЕЧЕРУ

Как и любое большое внеклассное мероприятие, предлагаемый вечер-игра требует серьезной подготовки в течение хотя бы учебной четверти. Для успешного преодоления этапов кросса учащимися следует дать определенные знания по истории математики, научить пользоваться таблицами, графиками, диаграммами, считать на счетах и арифмометре, обращаться с разными измерительными приборами, привить вкус к интересным, занимательным задачам.

Естественно, что на уроках всего этого добиться очень трудно: учитель ограничен во времени. Следовательно, нужна систематическая, глубоко продуманная и разумно спланированная работа по предмету.

Вечер является как бы итогом, проверкой знаний и навыков учащихся. Но проверка эта происходит в непринужденной игровой форме. Последнее накладывает отпечаток на всю подготовительную работу. Игровой мотив делает ее более близкой для учащихся, повышает эффективность. Правила игры создают условия для соревнования между классами за победу в кроссе.

Игру готовят в основном сами учащиеся. Идея ее, предложенная учителем, разрабатывается и уточняется учащимися и может быть видоизменена в соответствии с их интересами.

Желательно, чтобы сами учащиеся пришли к выводу о необходимости активизации работы математического кружка или проведения ряда математических часов. Пусть они сами предлагают задачи занимательного или практического характера, готовят небольшие сообщения, оформляют таблицы, плакаты.

Инициатива, максимальная активность большого числа учащихся в период подготовки игры, пожалуй, более важны, чем само ее проведение.

Для решения различных организационных вопросов создается судейская коллегия во главе с учителем математики.

Вот примерная тематика математических часов (занятий кружка) и литература по каждой теме.

1. Запись цифр и чисел у различных народов [4; 10; 12а; 35, т. 2].

2. Из истории математики (возникновение алгебры и геометрии) [10; 35, т. 2].

3. Вычисление на русских счетах [22а; 13; 33].

4. Арифмометр [7; 33].

5. Недесятичные системы счисления [2; 4; 15; 35, т. 2].

6. Построение, чтение и применение графиков [2; 9].

7. Измерительные приборы [38].

Каждый класс (или кружок), готовясь к вечеру, выпускает стенные газеты и бюллетени. Нами описан вечер на тему «Математика на службе человека». В этом случае следует познакомить учащихся через стенную печать с интересными моментами истории математики, особо подчеркнув ее возникновение из потребностей практики, позна-

комить с различными примерами использования математики в быту, промышленности, строительстве, сельском хозяйстве и т. д.

В каждой газете (бюллетене) следует отводить место биографическим справкам о великих математиках, приводить высказывания о математике, ее роли и значении.

Периодически следует освещать успехи нашей страны в осуществлении планов, намеченных XXIV съездом КПСС, выполнении постановлений ЦК КПСС.

Наглядно показывая, что скрывается за большими числами, встречающимися в отчетах, ученики могут понять величие и размах наших работ.

Вот два интересных примера, которые могут служить образцом для составления иллюстраций.

1. В первый год семилетки у нас было добыто почти на 16,5 млн. m нефти больше, чем в 1958 г. Если наполнить этой «добавкой» цистерны и выстроить их друг за другом, гигантский состав протянется по железным дорогам от Мурманска до Ленинграда, от Ленинграда до Москвы, от Москвы почти до Сочи. В 1965 г. добыча нефти достигла 243 млн. т. Если всю эту нефть налить в цистерны, то железнодорожный состав, как цепью, опояшет весь земной шар по экватору.

2. Мы говорим, что мощность одной электростанции равна 100 тыс. квт, а другой — 1 млн. квт. Каждый киловатт соответствует примерно мощности двух живых лощадей (1 л. с. ä 0,736 квтЫ). Работу скольких лошадей заменяет электростанция мощностью в 1 млн. квт? Лошадь способна работать в среднем по 8 ч в день. Значит, наша электростанция заменяет не 2 млн., а целых 6 млн. лошадей.

Шеренга из стольких лошадей не поместится вдоль железной дороги, протянувшейся от Ленинграда до Владивостока. А ведь в 1959—1965 гг. у нас построены станции не только в миллион, но и в 4,5 и даже 5 млн. квт!

Таблицы или диаграммы по данным примерам, как и все остальные, применяемые на отдельных этапах игр, легко могут быть изготовлены самими учащимися. В дальнейшем весь этот наглядный материал может быть использован в проведении ряда тематических уроков.

Жетоны (одинаковые для всех этапов) вырезают из цветной бумаги, например, красного, зеленого и желтого цветов. На них надписи:

здоров

растяжение

перелом

При подсчете очков они дают соответственно 5, 3 и 1 очко.

Задачи (по возможности одинаковой трудности для каждого из этапов) записываются на отдельных (желательно красочно оформленных) карточках. Эту работу, а также и выдачу билетов и проверку решений на самом вечере, обслуживание «медпунктов» выполняют учащиеся старших классов. Опыт показал, что деловой контакт подростков с учащимися VIII—IX классов сам по себе полезен.

«Врачи» на «медпунктах» должны быть одеты в белые халаты (их легко достать в каждой школе) и сидеть за столами, покрытыми белыми скатертями. Над столом «медпункта» должет висеть знак общества Красного Креста и Красного Полумесяца.

За месяц до вечера вывешивается объявление-призыв:

«Учащиеся седьмых классов! Готовьтесь к математическому кроссу! Победит класс самых дружных, самых смекалистых, самых любознательных».

О дне проведения вечера учащиеся узнают из второго объявления.

Примерные наборы карточек-заданий:

VI класс

VII класс

Этап исторический

Этап занимательной математики

Этап практический

Этап исторический

Этап занимательной математики

Этап практический

197—242; 244;

247—249

250—269; 355; 360; 362;

368-371; 374; 378; 383—395; 423; 427; 443—445

450—457; 459—466; 468; 470; 474; 475; 477; 478; 480—483; 485—501; 505;

507—515; 519-524

197—249

157—184; 396; 399; 404;

414—420; 428; 429; 433;

438—442; 446—449

450—456; 458; 467; 469; 471—473; 476—479; 484;

486—515; 519-524

Набор дополнительных вопросов для «скорой помощи»:

а) на историческом этапе — записать числа в различных нумерациях;

б) на занимательном — № 573—587;

в) на практическом—№ 588 — 602 (VI кл.); задания «Лабиринта графиков» (VI кл.).

НАСТОЛЬНЫЕ И ПОДВИЖНЫЕ ИГРЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ЛОТО

Арифметическое, алгебраическое и геометрическое лото построены по тому же принципу, что и обычное (см. приложение 5, таблицы 40—47). Вместо бочонков используются карточки, на которых оформляются задания в виде вопросов и примеров. Ответы на них помещаются на больших картах (см. приложение 1, страницы с 63 по 77).

Правила игры те же, что и при игре в обычное лото. Каждый участник игры получает карту с ответами. Ведущий берет пачку карточек-заданий, перемешивает их и читает по порядку, показывая карточку всем играющим. Играющие выполняют вычисления устно или на бумаге, и полученный ответ находят у себя на карте. Закрывают его заранее заготовленными фишками. Выигрывает тот, кто первым закроет ряд (или всю карту). Проверка правильности закрытия карты обязательна, ибо она является не только контролирующим моментом игры, но и обучающим.

Перед началом полезно провести «разминку»— решить несколько примеров или задач, вспомнить ряд формул, правил, теорем, знание которых необходимо для проведения игры.

Перед проведением геометрического лото рассмотреть такие упражнения.

1. Сколько острых углов на данном чертеже?

2. Сколько осей симметрии имеет прямая линия?

(Бесконечно много.)

3. Сколько осей симметрии имеет пара перпендикулярных прямых? (4)

4. Сколько различных параллелограммов на данном чертеже?

5. Какая фигура получится, если последовательно соединить отрезками середины сторон произвольного выпуклого четырехугольника?

(Параллелограмм.)

6. Найти геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности.

(Пара окружностей, концентрических данной.)

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОТЕРЕЯ

Лотерея — одна из распространенных и полезных форм массовых развлечений на математических вечерах. Для ее проведения нужно приготовить около 200 карточек с задачами (билетов), таблицу «выигрышей», в которую включить ответы к некоторым задачам (около 20 «счастливых» билетов) и плакат с правилами участия в лотерее.

Плакат

«Ребята! На нашем вечере вы можете принять участие в «Математической лотерее». Для этого нужно:

1. Пройти в комнату N и купить лотерейный билет. Цена билета — ответ на шуточный вопрос или занимательную задачу.

2. На лотерейном билете имеется задача. Решите ее. Ответ сверьте с таблицей «выигрышей», в которой указаны ответы к задачам «счастливых» билетов.

3. Если ответ вашей задачи имеется в таблице, получите приз.

Комнату, в которой проводится лотерея, желательно красочно оформить. Плакат с правилами проведения лотереи вывесить на видном месте.

В билеты лотереи можно включить следующие задачи:

V класс

VI класс

VII класс

153—162; 256; 259; 358-382; 406; 410—428; 434—436; 444; 445; 502—506; 510; 515; 520—524; 537; 541 и др.

163—169; 309—345; 404—406; 439—442; 444; 445; 502—506; 510; 515, 554; 555; 558—566; 568-570; 636—638 и др.

44; 46; 54; 84—89; 95-120; 170—196; 396; 439—442; 446; 447; 520—524; 551—555; 558—566; 568—570; 636—638 и др.

РАЗРЕЗАНИЕ И СКЛАДЫВАНИЕ

Любителям шахмат и шашек.

Имеются шахматы и 9 букв (рис. 32). Если хотите поиграть в шахматы (шашки), постарайтесь из этих букв составить шахматную доску.

Примечание. Шахматную доску размером 32 смх Х32 см изготовляют из плотного картона, а затем разрезают на буквы в соответствии с рисунком.

Второй вариант разреза.

Из букв (рис. 33) составьте шахматную доску.

Рис. 32

Рис. 33

ПОПРОБУЙ РАЗМЕСТИТЬ

Игровое поле, состоящее из 16 клеток (см. приложение 5, таблицы 48 и 49) и 16 маленьких квадратов (комплект), наклеивают на картон, а затем разрезают.

Маленькие квадраты первого комплекта имеют четыре цвета. На них помещены геометрические

фигуры, имеющие одну или несколько осей симметрии.

Задача состоит в том, чтобы разместить квадраты на клетках игрового поля так, чтобы ни по горизонтали, ни по вертикали не встречались, во-первых, квадраты одного цвета, во-вторых, фигуры, имеющие одинаковое количество осей симметрии.

Решение

На маленьких квадратах второго комплекта написаны числа. Нужно разместить их на клетках игрового поля так, чтобы ни по горизонтали, ни по вертикали не встречались числа, общий делитель которых отличен от единицы.

Решение

КОНКУРС БУКВ и слов

а) Назовите буквы, имеющие одну ось симметрии; две оси симметрии;

б) составьте слова, имеющие одну ось симметрии (вертикальную, горизонтальную).

Пример:

За правильно названную букву дается одно очко;

За слово, имеющее одну ось симметрии, количество очков совпадает с количеством букв. За неправильно названные буквы или слова вычитается соответственное количество очков. Победителем считается тот, кто за определенное время наберет большее количество очков. Количество участников конкурса не ограничено.

В приложении 5 на таблицах 50 и 51 дан набор букв.

РАЗВЛЕЧЕНИЕ СО СПИЧКАМИ

Коробка спичек или счетных палочек может быть с большой пользой использована для организации полезных игр и развлечений во внеклассной работе по математике.

В приложении 5 на таблицах 52—59 приведены образцы таких упражнений.

Организация соревнования

Для проведения соревнования каждая задача оформляется на карточке.

Заготовляется 4—8 коробочек спичек (по количеству участвующих) и жетоны.

Ход соревнования

Участники соревнования садятся вокруг стола. Ведущий кладет первую карточку-задание на середину стола. Ученики складывают из спичек указанную фигуру и решают задачу. Первый решивший поднимает руку. Решение проверяется. При правильном решении выдается определенное количество жетонов (указано на карточке). Ведущий кладет второе задание и т. д. Выигрывает тот, кто после решения определенного количества заданий получит большее количество жетонов.

Игра со спичками

На стол, вокруг которого садятся участники игры, кладется несколько коробок спичек (по одной на два человека).

На середину стола кладется последовательность фигур (рис. 34).

Каждый из играющих складывает первую из нарисованных фигур, после чего по команде ведущего нужно одной спичкой передвинуть спички первой фигуры (не дотрагиваясь до них пальцами) так, чтобы получить вторую фигуру, затем третью, четвертую и т. д. Выигрывает тот, кто перемещение спичек выполнит быстрее всех, получив при

Рис. 34

этом последнюю фигуру. О составлении каждой из фигур данной последовательности участники должны сообщать ведущему поднятием руки. Ведущий после проверки правильности решения дает разрешение на дальнейшее перемещение.

ВЕСЕЛЫЙ СЧЕТ

К двум одинаковым таблицам вызываются двое. По команде ведущего они начинают вслух считать от 1 до 24, показывая указкой называемое число. Закончивший счет первым выигрывает (рис. 35.).

Аналогично проводится счет до 40 по таблице (рис. 36).

Можно использовать таблицу 60 в приложении 5.

Примечание. Числа в таблицах пишутся различными цветами.

Рис. 35

Рис. 36

Часть II.

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ № 1

Алгебраический лабиринт (для VII кл.)

(по теме «Умножение степеней и возведение степени в степень»)

№ пп.

Число на карточке

Задание

Ответ

Продолжение

№ пп.

Число на карточке

Задание

Ответ

Продолжение

№ пп.

Число на карточке

Задание

Ответ

Образец карточек-заданий «алгебраического лабиринта» смотри в приложении 5, таблица 27.

Геометрический лабиринт (для VI кл.)

№ пп.

Число на карточке

Задание

Ответ

Сколько треугольников на чертеже?

Определить величину угла между стрелками через 30 мин.

Стороны равнобедренного треугольника 13 см и 29 см. Определить его периметр.

Дано: АВ = ВС^АВС = 50°; АЕ и С/7—биссектрисы. Определить ^ЕОС.

Сколько тупых углов на чертеже?

Продолжение

Задание

^ВОС = 122°, 5. Определить величину-^ 1, если известно, что ^2 большев! в 1,5 раза.

На основании равнобедренного треугольника, периметр которого равен 80 см, построен равносторонний треугольник с периметром в 30 см. Найти боковую сторону равнобедренного треугольника.

Дано: — = 37°, AB^BD. Определить ^DBC.

На сколько дуг больше на чертеже (1),чем на чертеже (2)?

Карусель делает 5 оборотов в 1 мин. На какой угол она повернется за 5 сек?

Дано: АО— прямая, ^CBD = =35°, ^МВА = 81°, HB — биссектриса ^МВС. Определить ^МВЫ.

Дано: ^ А > в 2 раза, ^ DBA = 80°; АВ = BD. Определить ^СВО.

Сколько сегментов на чертеже?

Начертить угол в 60° и вырезать его. На грани одного из кубов найти угол, равный вырезанному.

Продолжение

Задание

Дано: АК и ED — прямые, ВС— биссектриса ^ABD, ^CBD = 17°. Определить ^ DBK.

Внешний угол треугольника равен 68°. Найти величину большего из внутренних углов, не смежных с ним, если они относятся как 2,5:1,5.

Сколько треугольников на чертеже?

Какой угол будет между стрелками часов через 2 часа?

Найти угол, равный 25% своего смежного.

В равнобедренном треугольнике сумма внутренних углов вместе с одним из внешних при основании составляет 310°. Определить угол при вершине.

Сколько на чертеже углов, отличных от развернутого?

Один из смежных углов составляет -уу- другого. Найти величину большего из них.

Одна из сторон треугольника равна 24 см, другая сторона равна 42 см. Найти третью сторону треугольника, если известно, что она в два раза меньше одной из данных сторон.

Определить острый угол между двумя медианами равностороннего треугольника.

Сколько отрезков на чертеже?

Через вершину угла, равного 80°, вне его проведена прямая, образующая с одной из его сторон угол, равный 30°. Найти величину острого угла, образованного прямой с другой стороной данного угла.

Какой угол между стрелками будет через 2,5 часа?

Продолжение

Задание

Дано: -/1 =25°; ^2 = 73°; ^3 = 115°. Найти ^х.

Сколько отрезков на чертеже?

Начертить угол в 70°, вырезать его. Найти угол, равный вырезанному.

Дано: ДЛВС, = 38°, ^В = = 110°, BD=AD, BE = ЕС. Найти ^DBE.

Дано: ^1 = 22°, ^2 = 90°, ^3 = 17°. Найти ^х.

Какой угол образует минутная и часовая стрелки?

Один из смежных углов составляет 20% другого. Найти величину меньшего угла.

Сумма длин двух сторон треугольника 47 см, причем одна из них на 5 см длиннее другой. Определить третью сторону, если известно, что она в два раза больше одной из данных сторон.

Дано: ^1 = 122°, ^2 = 96°, ^3 = 7°. Найти ^х.

Продолжение

Задание

Какой угол образуют минутная и часовая стрелки?

Найти больший из смежных углов, если один из них на 20° больше другого.

Из вершины прямого угла проведены два луча, разделившие его в отношении 0,3:-у:3,7. Найти величину большего из них.

Дано: à ABC равнобедренный, AB = ВС.

AD + DC + AC —- 49 см, DB + BC + CD = 27 см. Определить AC.

Определить величину большего угла, образованного стрелками часов.

Найти больший из смежных углов, если один из них в 4 раза больше другого.

Дано: BDI ВС, BE А. AB, ^DBE = 21°.Найти ^АВС.

Дано: ^1 = 60°, ^2 = 50°, ^3=11°. Найти ^х.

Даны шесть точек. Через каждую пару точек можно провести прямую. Сколько прямых можно провести?

Колесо делает 7 оборотов в минуту. На какой угол оно повернется через 3 сек?

Продолжение

Задание

Дано: А ЛВС, AB = АС, ВК—медиана, AB + АК=36см, А"С + Cß = 23 см. Вычислить ВС.

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 93 см. Найти длину гипотенузы.

Дано 5 точек. Через каждую пару точек можно провести прямые. Сколько всего прямых можно провести?

Найти больший из смежных углов, если один из них на 30° меньше другого.

Дано: ^ ABC и ^ CBD смежные, ^CBD = 0,4d, NB 1 AD, MB — биссектриса ^ ABC. Определить^: M В M (ответ дать в градусах).

Дано: ^\ = 31°, ^2 = 81°, ^3 = 45°.

Найти ^ix.

Сколько пар смежных углов на чертеже?

Найти диаметр окружности, если известно, что радиус ее на 27 см меньше диаметра.

Из проволоки длиной 120 см надо изготовить равнобедренный треугольник, стороны которого относятся как 2,5:1. Найти основание.

Дано: Л£ = ЯС, ^АВС = 50°, АЕ и BD — биссектрисы углов А и В. Найти ^х.

Продолжение

Задание

Сколько пар вертикальных углов на чертеже?

На сколько градусов повернется минутная стрелка за 27 мин?

Периметр равнобедренного треугольника 63 см. Одна из сторон втрое больше другой. Найти большую сторону.

Дано: АВ±ВС, ВС = АВ, CD = CE, ^BCD )

^АСЕ I ~~ РазвеРнУтые-Найти ^х.

Образец карточек-заданий «геометрического лабиринта» смотри в приложении 5, таблица 26, 28.

Лабиринт смекалки (для V—VI кл.)

Задание

Когда турист прошел -g- всего пути, то до середины пути ему осталось идти 12 км. Найти длину всего пути.

Во сколько раз увеличится трехзначное число, если к нему приписать такое же число?

В делении 3**:*3 =3* восстановить делимое.

Червяк ползет по стволу липы. Ночью он поднимается на 4 м вверх, а днем спускается на 2 м вниз. На восьмую ночь червяк достиг вершины дерева. Определить высоту липы.

Я живу на шестом этаже, а мой друг Толя — на третьем. Возвращаясь домой, мне приходится пройти 60 ступенек. Сколько ступенек проходит Толя, когда он возвращается домой?

10 насосов за 10 мин выкачивают 10 т воды. За сколько мин 25 таких насосов выкачают 25 т воды?

В делении 3**:*3= 3* восстановить делитель.

Найти двузначное число, сумма цифр которого, сложенная с их разностью, равна 10. Если же между цифрами этого числа вставить цифру 9, то образовавшееся трехзначное число окажется в 11 раз больше искомого.

Ученик перемножил на доске два двузначных числа:

Найдите и вы произведение.

Пешеход прошел 1 км за-j^- часа. За сколько часов он пройдет 11 км?

Когда отцу было 37 лет, то сыну было три года, а сейчас сыну в три раза меньше лет,чем отцу. Сколько лет сейчас отцу?

Продолжение

Задание

Найти делимое:

Если число 12 345 679 умножить на 9, то получим число 111 111 111. На какое число нужно умножить 12 345 679, чтобы получить число, записанное при помощи одних девяток?

Путешественник проехал на лошади расстояние между городами за 20 ч Во сколько часов мотоциклист пройдет в 7 раз большее расстояние, если скорость его будет в 4 раза больше скорости лошади?

Дочери в настоящее время 3 года, а матери 31. Через сколько лет мать будет втрое старше дочери?

У Коли и Саши было поровну тетрадей. Коля из своих тетрадей дал 26 штук Саше. На сколько больше тетрадей стало у Саши, чем у Коли?

От примера на деление на доске сохранились лишь такие следы:

Найти делитель.

В правом и левом карманах у меня всего 38 коп. Если из правого переложить в левый столько копеек, сколько было в левом, то в правом кармане будет на 2 коп. больше, чем в левом. Сколько денег было в правом кармане?

Сколько будет полторы трети от 100?

Какую последнюю цифру имеет произведение всех нечетных двузначных чисел?

Окрашенный куб с ребром в 10 см распилили на кубики с ребром в 1 см. Сколько будет кубиков с двумя окрашенными гранями?

Найти произведение:

Во сколько раз увеличится двузначное число, если к нему приписать такое же число?

Собака погналась за лисой, находящейся от нее на расстоянии 480 м. Через сколько минут собака догонит лису, если лиса пробегает в минуту 320 ж, а собака 350 ж?

После того как пешеход прошел 1 км и половину оставшегося пути, ему еще осталось пройти треть всего пути и один километр. Чему равен весь путь?

Продолжение

Задание

Найти множимое:

Двум рабочим платили поровну за одинаковую работу. Первый сделал -у всей работы, второй остальную часть. Первый получил на 4 руб. больше второго. Сколько получил первый рабочий?

Книга в переплете стоит 18 коп.; переплет на 10 коп. дешевле самой книги. Сколько стоит книга без переплета?

На трех полках стоят книги. На нижней полке книг в два раза меньше, чем на остальных двух, на средней—в 3 раза меньше, чем на остальных двух, а на верхней полке стоит 30 книг. Сколько всего книг на трех полках?

Найти произведение:

На лесопильном заводе каждую минуту пила отпиливает от бревна кусок в 1 м. Через сколько минут она распилит бревно в 16 м?

Я задумал число; если к его половине прибавить четверть его, то получится 18. Какое число я задумал?

На двух кустах сидело 25 воробьев. После того как с первого куста перелетело на второй 5, а со второго совсем улетело 7, на первом кусте осталось вдвое больше воробьев, чем на втором. Сколько воробьев было на первом кусте первоначально?

Найти произведение:

Четыре гири весят 40 кг.

Определить вес самой тяжелой гири, если известно, что каждая следующая из них в три раза тяжелее предыдущей.

Я задумал число, увеличил его в 4 раза, к результату прибавил -g-и получил два. Какое число я задумал?

Найти множимое:

Кочан капусты на -g- кг тяжелее-g- этого кочана. Сколько килограммов весит кочан?

Продолжение

Задание

У Пети было на 10 тетрадей больше, чем у Миши. На сколько больше тетрадей будет у Миши, если Петя отдаст ему свои 36 штук?

Окрашенный куб с ребром в 10 см распилили на кубики с ребром в 1 см. Сколько будет кубиков с одной окрашенной гранью?

Найти множимое:

В коробке лежит 15 шариков: черных, белых и красных. Красных шариков в 7 раз меньше, чем белых. Сколько в коробке черных шариков?

Число 82** делится на 90. Восстановить делимое.

Определить вес верблюда.

В пяти ящиках лежит по одинаковому числу яблок. Если из каждого ящика вынуть по 60 яблок, то во всех ящиках вместе останется столько яблок, сколько раньше было в двух ящиках. Сколько яблок первоначально было в каждом ящике?

Сколько получится десятков, если два десятка умножить на два десятка?

На одну чашку весов положили кусок мыла, а на другую — такого же куска и еще -j- кг. Установилось равновесие. Сколько весит кусок мыла?

Определить вес

Найти частное в делении

Книга стоит 13 коп. и еще полкниги. Сколько стоит книга?

Найти число, зная, что -g- части от -j- этого неизвестного числа составляют 24.

Проехав половину всего пути, пассажир заснул. Когда он проснулся, то оказалось, что ему осталось ехать половину того пути, который он проехал спящим. Какую часть всего пути он проехал спящим?

Найти множимое:

Продолжение

Задание

Сколько всего имеется восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна двум?

Я задумал число, уменьшил его в 8 раз, результат разделил на 20 и получил -g-. Какое число я задумал?

Определить вес

Если на одну чашку весов положить кирпич, то для равновесия на вторую чашку придется положить гирю в 1 кг и полкирпича. Сколько килограммов весит кирпич?

Образец карточек-заданий «лабиринта смекалки» смотри в приложении 5, таблица 27.

Лабиринт графиков (для VII кл.)

Вопросы и задания

График № 1

Сколько часов отдыхал велосипедист в пути и в Краснокамске? Сколько часов велосипедист ехал со скоростью 5 км/ч? Сколько километров проехал турист за 10 ч после выезда из Перми? Сколько всего километров проехал турист?

График №2

Какова длина маршрута пионерского отряда? Сколько минут ехали пионеры поездом?

Сколько минут ждали пионеры парохода на пристани? (Ответ в минутах.) С какой скоростью шел поезд (в км/ч)?

График № 3

Сколько часов пионеры шли пешком? С какой скоростью шел пароход? (Ответ в км/ч.) Сколько минут пионеры отдыхали на станции Сылва? Какова скорость лодки (в км/ч)?

График №4

За сколько часов температура снизилась с +2°С до —4,5°С? На сколько градусов понизилась температура с Зч до 11 ч 30 мин? На сколько градусов ниже была температура в 12 ч, нежели в 2 ч? Во сколько часов была отмечена низшая температура?

Продолжение

Вопросы и задания

График №5

На какой высоте была температура—32°,5? (Ответ дать в км.) Какая температура была на высоте 6000 м? На какой высоте был стратостат в 7 ч? (Ответ дать в км.) Какую температуру записал термограф в 3 ч?

График№6

На сколько градусов понизилась температура при подъеме аэростата с 6000 м до 7800 м?

Какая средняя скорость подъема аэростата с высоты 3000 м до 11 500 м? (Ответ в км/ч.)

На какой высоте была отмечена нулевая температура? (Ответ дать в км.) Какая температура была при взлете?

График №7

Ученик весит 30 кг. Какой он должен иметь рост? Рост ученика 140 см. Какой он должен иметь вес?

Два брата весят вместе 80 кг, причем один тяжелее другого на 20 кг. Определить рост старшего.

Рост первого ученика и рост второго составляют 270 см, причем первый выше второго на 16 см. Определить вес меньшего.

График №8

Двум ученикам вместе 25 лет, причем один старше другого на 1 год. Определить вес старшего.

Двум братьям вместе 25 лет, причем один старше другого в 1,5 раза. Какой рост у младшего?

На сколько сантиметров должен вырасти ученик за 4 года, если сейчас ему 10 лет?

На сколько килограммов должен прибавить в весе ученик с 11 до 15 лет?

График №9

По маршруту Пермь—Лобаново—Насадка вышла «Победа». Подсчитать расход горючего, если от Перми до Лобаново она шла со скоростью 60 км/ч, а от Лобаново до Насадки 50 км/ч.

Сколько литров бензина израсходует «Победа» на маршруте Пермь — Голый Мыс при скорости 40 км/ч?

Сколько литров бензина расходует «Москвич» на маршруте Пермь—Лобаново— Мостовая, если от Перми до Лобаново скорость 76 км/ч, от Лобаново до Мостовой 30 км/ч?

Сколько литров бензина потребляет «Победа» на маршруте Голый Мыс-Пермь—Насадка при скорости 40 км/ч?

График № 10

Сколько литров бензина нужно для проезда от Перми до Кунгура со скоростью 40 км/ч на «Победе»?

Сколько литров бензина необходимо для поездки на «Победе» из Перми до Мостовой и обратно со скоростью 60 км/ч?

Продолжение

Вопросы и задания

Сколько литров бензина необходимо для поездки из Перми в Юго-Камский на «Москвиче» с наиболее экономичной скоростью?

На сколько литров бензина больше израсходует «Победа», чем «Москвич», на маршруте Пермь—Юго-Камский, если скорость первой 60 км/ч, а второй 30 км/ч?

График № 11

Пройдя 50 км пути с постоянной скоростью, «Москвич» израсходовал 4,7 л бензина. С какой скоростью он двигался?

На какой скорости «Москвич» потребляет бензина столько же, что и «Победа» на скорости 80 км/ч?

На сколько километров пути хватит 7,5 л бензина для «Победы», если ехать с постоянной скоростью 40 км/ч?

Сколько бензина израсходует «Москвич» на маршруте Юго-Камский—Пермь— Кунгур, если до Перми будет ехать со скоростью 40 км/ч, а от Перми до Кунгура со скоростью 80 км/ч? (С точностью до 1 л.)

График № 12

На сколько километров больше может проехать «Москвич» с наиболее экономичной скоростью, чем «Победа», если запас бензина у «Москвича» 12 л, а у «Победы» 9,8 л?

На какой скорости «Победа» расходует 14,2 л бензина на 100 км пути?

На сколько литров бензина расходует «Победа» больше, чем «Москвич», при скорости 70 км/ч?

Сколько литров бензина израсходует «Победа» на маршруте Кунгур—Лобаново— Насадка при скорости 60 км/ч?

График № 13

Сколько минут пассажирский поезд I стоял на остановках?

С пассажирского поезда II на станции С сошел пассажир. Сколько минут он должен ждать прихода скорого поезда III?

Через сколько минут после выхода товарного поезда V со станции С с этой же станции вышел товарный поезд VI?

С пассажирского поезда I на станции Т сошел пассажир. Через сколько минут он может отправиться в обратный путь?

График № 14

Какова скорость товарного поезда VI на перегоне Л—С? Какую скорость развивает скорый поезд III на перегоне С — Р? С какой скоростью прошел перегон Р — Т пассажирский поезд I? Какую скорость имел пассажирский поезд I на перегоне Л—П?

График № 15

За сколько часов пассажирский поезд II проходит путь от станции П до станции Р?

Турист пришел на станцию С в 12 ч. Сколько минут ему нужно ждать поезда, чтобы ехать на станцию П?

Рыбаки пришли на станцию Р в 11 ч 9 мин. На сколько минут они опоздали на скорый поезд IV?

Пионеры пришли встречать своих друзей на станцию Л в 10 ч 15 мин. Сколько минут им нужно ждать пассажирского поезда I?

Образцы графиков:

№ 1

График движения велосипедистов от Перми до Краснокамска и обратно

№ 2, 3

График дневного похода пионерского отряда

№ 4

График температуры

№ 5,6

График высоты График температуры

№ 7, 8

График среднего роста и веса детей

№ 9, 10, 11, 12

График расхода бензина автомашинами «Москвич» и «Победа» в зависимости от скорости движения

№ 13, 14, 15

График движения поездов между станциями П и Р

Примечание. 1) Некоторые графики делаются в нескольких экземплярах. 2) Все графики лучше выполнить на миллиметровой бумаге.

ПРИЛОЖЕНИЕ № 2

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ И ВОПРОСЫ ДЛЯ КАРТОЧЕК-ЗАДАНИЙ

1. Каждая точка с целочисленными координатами обозначена буквой. Например, точка с координатами (0; 0) есть Л, (2; 1)—Ж и т. д. и, наоборот, точка Ю имеет координаты (—2; 2), Щ (-1; 2) и т. д. Такую сетку можно использовать в качестве шифра.

Расшифруйте запись: (—1;—2) (2; —3)(—2; -3) (1;-1) (0; 1) (1;-1) (-1; 0) (-2; 0) (0; -2).

2. Какое слово зашифровано последовательностью точек с координатами: (2; 0) (1; —1) (-1;-1) (1; -1) (-2; -3) (2; -3).

3. Зашифруйте слово «алгебра».

4. Над точкой с координатами (—1; 1) выполните последовательно следующие преобразования симметрии: относительно начала координат, относительно оси ординат, еще раз относительно этой оси, затем относительно оси абсцисс, еще раз относительно оси абсцисс и, наконец, относительно начала координат. Координаты полученной последовательности точек запишите. Выполните чертеж.

5. Постройте треугольник с вершинами в точках: (1; —1); (—1; 2) и (—1; —1). Выполните симметрию его относительно начала координат. Запишите координаты вершин полученного треугольника. Выполните чертеж.

6. Постройте четырехугольник, вершины которого имеют координаты (—1; —1); (—1; 1); (1; 2) и (2; —2). Выполните симметрию его относительно оси абсцисс. Запишите координаты вершин полученного четырехугольника. Выполните чертеж.

7. Решите графически систему

8. Из пункта M вышел пешеход со скоростью 3 км/ч. Через 2 ч из M в том же направлении выехал велосипедист со скоростью 9 км/ч. Когда он догонит пешехода? Решить графически.

9. Группа туристов выехала в 9 ч от пристани А вверх по реке на пароходе, который делал в пути три остановки по 15 мин. В 12 ч 45 мин туристы сошли на берег и после часового отдыха поплыли на плотах по реке. (Собственная скорость парохода 30 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч.) Другая группа выехала с пристани А вверх по реке на моторной лодке в 13 ч. (Собственная скорость лодки 18 км/ч.) На каком расстоянии от А и в какое время произойдет встреча? Решить графически и аналитически.

10. Первый отряд вышел из лагеря в 12 ч 30 мин и через 2 ч, пройдя 11 км пешком по берегу реки вниз по течению, прибыл на пристань. После 20-минутного ожидания отряд продолжал путь на «Ракете», средняя скорость которой 58 км/ч. В 15 ч 30 мин сошел на берег и после часового привала на плотах продолжал путь.

Второй отряд в 15 ч того же дня отправился вслед за первым на катере. Определить, во сколько часов катер догонит плот? На каком расстоянии от лагеря? (Средняя скорость катера 16 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч.) Решить графически и аналитически.

11. Некоторые четырехзначные числа разбиты на группы следующим образом:

I группа 3721; 1732; 1723;

II группа 3271; 3172; 1273;

III группа 7213; 7132; 7231.

Определить признак, по которому произведена разбивка на группы.

12. Некоторые двузначные числа разбиты на три группы следующим образом:

I группа 31; 71; 23; 17;

II группа 33; 51; 21; 15; III группа 6; 42; 54; 30.

Определить признак, по которому произведена разбивка на группы.

13. Некоторые двузначные числа разбиты на три группы следующим образом:

I группа 11; 81; 36; 41;

II группа 12; 7; 22; 42;

III группа 13; 28; 93; 33.

По какому признаку разбиты числа на эти три группы?

14. Дана таблица

Признаки

При делении на 5 дает в остатке 1

Взаимно простое с 25

Делитель 120

Кратно трем Кратно четырем Кратно двенадцати

Заполнить числами:

8; 16; 24; 30; 33; 36; 44; 51; 60.

15. Дана таблица

Признаки

При делении на 5 дает в остатке 2

Делится на 3

Имеет больше 6 делителей

Сумма цифр кратна четырем

Произведение цифр делится на их сумму

Цифра десятков кратна цифре единиц

В пустые клетки вписать числа: 17, 22,36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.

16. Найти наибольшую из дробей:

17. Найдите наименьшую из дробей:

ПРОСТЕЙШИЕ КОМБИНАТОРНО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ

18. Сколькими способами можно посадить двух учеников на три свободных места?

19. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, не повторяя их?

20. Из четырех лыжников, показавших одинаковое время на отборочных соревнованиях, нужно выбрать троих в сборную школы. Сколькими способами это можно сделать?

21. В хоккейном школьном турнире в финал вышли четыре команды. Для определения победителя каждая команда должна сыграть две игры с каждой из остальных. Сколько игр увидят болельщики?

22. 15 пионеров из разных стран, уезжая из «Артека», решили обменяться открытками с адресами. Сколько открыток было роздано?

23. Пять групп туристов распределяются на два маршрута. По первому могут идти две группы, по второму—три. Сколько способов распределения?

24. Играя в военную игру, пионеры договорились подавать условные сигналы с помощью трех флагов — красного, синего, черного. Сколько различных сигналов можно передать, если на мачту нельзя вывесить одновременно более трех флагов?

25. На классной доске отмечено пять точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько различных треугольников можно построить с вершинами в этих точках?

26. На соревнованиях школьников разыгрывалось первенство по четырем видам спорта. Каждый из участников мог выбрать один, два, три, четыре вида по желанию. Сколько выборов он мог сделать?

27. В школе шесть предметных кружков. Каждый ученик может выбрать один или два кружка одновременно. Сколько выборов можно сделать?

28. В классе 40 учеников. Какова вероятность того, что на уроке повторения тебя спросят первым?

29. Я задумал двузначное число. Какова вероятность того, что ты угадаешь его с первого раза?

30. Набирая номер телефона своего друга, я забыл последнюю цифру и набрал ее наугад. Какова вероятность того, что я набрал нужную мне цифру?

31. Я задумал трехзначное число, записанное с помощью цифр 5, 5, 1. Какова вероятность того, что вы назовете его правильно с первого раза?

32. Задумано некоторое двузначное число. Какова вероятность того, что сумма его цифр равна 3?

33. Ребенок играет с тремя кубиками, на которых написаны буквы Р, А, У. Какова вероятность того, что, складывая их, он получит с первого раза слово «ура»?

34. Ребенок играет с четырьмя кубиками, на которых буквы А, А, К, М. Какова вероятность того, что, составляя кубики, он получит слово «Кама»?

Геометрия линейки на клетчатой бумаге*

35. Построить середину отрезка AB.

* Задачи № 35—54 нужно решать одной линейкой. Прямые разрешается проводить через две точки, являющиеся узлами сетки (вершины квадратов). Точки считаются построенными, если они служат точками пересечения данных или построенных линий.

36. Разделить отрезок AB на 5 равных частей.

37. Построить медианы ААВС.

38. Разделить треугольник на 3 треугольника равной площади.

39. Из точки А опустить перпендикуляр на отрезок CD.

40. Построить высоты треугольника.

41. Построить три прямоугольных треугольника с гипотенузой AB.

42. Из конца отрезка восставить перпендикуляр к нему.

43. АО — половина диагонали ромба, К — точка на одной из его сторон. Построить ромб.

44. Построить квадрат со стороной AB.

45. Найти середину хорды.

46. Через точку А провести прямую параллельно прямой CD.

47. Точки MyN,K— основания медиан Д ABC. Построить этот треугольник.

48. Л-—вершина прямоугольного А АБС, М—середина катета Л С, К — точка средней линии, параллельной гипотенузе. Построить ААВС.

49. ^iLAK — угол треугольника, M и Я —основания его высот. Построить треугольник.

50. В — вершина некоторого треугольника, К — основание высоты, М — основание медианы ВМ. Постройте этот треугольник.

51. H— основание высоты треугольника; M, N — основания его медиан. Построить треугольник, зная, что; M и H лежат на одной стороне.

52. M и N — основания высот ААВС\ С —вершина. Построить треугольник.

53. АС — диагональ параллелограмма ABCD. Точка Е — основание высоты, проведенной из вершины В на сторону AD. Построить параллелограмм.

54. MN — средняя линия прямоугольной трапеции, Л—одна из ее вершин. Построить трапецию.

Недесятичные системы счисления

Какое число больше и на сколько? 55. 56.

Найдите первое слагаемое:

Найдите второе слагаемое:

Найдите уменьшаемое:

Найдите вычитаемое:

Найдите сумму:

Выполните действия в двоичной системе счисления:

Выполните действия в троичной системе счисления:

Выполните действия в пятеричной системе счисления:

Выполните действия в шестеричной системе счисления:

Выполните действия в восьмеричной системе счисления:

Найдите произведение:

Выполните действия:

Выполните действия:

Арифметические ребусы

121. Найдите второе слагаемое:

122. Найдите уменьшаемое:

123. Найдите произведение:

124. Найдите вычитаемое:

125. Найдите делитель:

126. Найдите уменьшаемое:

127. Найдите вычитаемое:

128. Найдите произведение:

129. Найдите первое слагаемое:

130. Найдите делимое:

131. Найдите уменьшаемое:

132. Найдите разность:

133. Найдите множимое:

134. Найдите слагаемое:

135. Найдите частное:

136. Найдите произведение:

137. Найдите произведение:

138. Найдите частное:

139. Найдите уменьшаемое:

140. Найдите уменьшаемое:

141. Найдите первое слагаемое:

142. Восстановите второе слагаемое:

143. Найдите произведение:

144. Найдите произведение:

145. Восстановите цифры:

146. Восстановите цифры:

147. Восстановите неизвестные цифры:

148. Найдите произведение:

149. Найдите произведение:

150. Найдите частное:

151. Найдите произведение:

152. Найдите произведение:

153. Найдите произведение:

154. Найдите произведение:

155. Найдите произведение:

156. Найдите произведение?

157. Найдите частное:

158. Найдите частное:

159. Найдите частное:

160. Найдите частное:

161. Найдите произведение:

162. Найдите частное:

163. Найдите произведение:

164. Найдите частное:

165. Найдите частное:

166. Найдите произведение:

167. Найдите частное:

168. Найдите произведение:

169. Найдите произведение:

170. Найдите произведение:

171. Найдите произведение:

173. Найдите частное:

174. Найдите произведение:

175. Найдите произведение:

176. Найдите произведение:

172. Найдите частное:

177. Найдите частное:

178. Найдите произведение:

179. Найдите произведение:

180. Найдите произведение:

181. Найдите частное:

182. Найдите произведение:

183. Найдите произведение:

184. Найдите делимое:

185. Найдите произведение:

186. Найдите произведение:

187. Найдите произведение:

188. Найдите произведение:

189. Найдите произведение

190. Найдите частное:

191. Найдите делимое:

192. Найдите частное:

193. Найдите делимое:

194. Найдите делимое:

195. Найдите делимое:

196. Найдите делимое:

КАРТОЧКИ-ЗАДАНИЯ ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

197. Чьи это слова? Как ты их понимаешь? «Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики».

198. «Если вы хотите участвовать в большой жизни, то заполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность».

Кто дал этот мудрый совет? В чем его смысл?

199. «Химия — правая рука физики, математика ее глаза». Что ты знаешь об авторе этого изречения? Объясни его.

200. «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит». Чьи это слова? Как их понимать?

201. «Великая книга природы написана математическими символами». Что хотел сказать автор? Кто он?

202. «Математика — царица наук, а арифметика — царица математики». Кто автор этого изречения? Объясни, как ты понимаешь это выражение.

203. «В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии». Кто это сказал? В чем ты видишь красоту математики?

204. «Все, что без этого было темно, сомнительно и неверно, математика сделала ясным, верным и очевидным». Что хотел автор выразить этими словами? Кто он?

205. Кто автор «Начал»? Что ты знаешь об этой книге?

206. Расскажи об истории изобретения арифмометра. Где, когда и кем он был изобретен впервые?

207. Расскажи об истории первых счетных приборов.

208. Что ты знаешь о П. Л. Чебышеве? В каком веке он жил? Запиши эту дату в римской нумерации.

209. Что ты знаешь о Н. И. Лобачевском? Запиши год его рождения в славянской нумерации.

210. Что ты знаешь о Л. Ф. Магницком?

211. Каких древних математиков ты знаешь? Расскажи о них.

212. Назови фамилии выдающихся советских математиков. Что ты знаешь о них?

213. Расскажи о начальной стадии развития счета.

214. Что ты знаешь о десятичной системе нумерации? Какие ее преимущества перед другими системами?

215. Расскажи о возникновении десятичной системы мер.

216. Что ты знаешь о старинных русских мерах длины? Сколько верст в 10 км (с точностью до версты). Сколько аршин в пяти саженях?

217. Расскажи о старинных русских мерах веса. Сколько пудов в 160 кг (с точностью до 1 пуда)?

218. Каждый крестьянин царской России имел в среднем по 1,5 десятины земли. Сколько аров это составляет? Расскажи о старинных русских мерах площади.

219. Что ты знаешь о славянской нумерации? Найди разность:

220. Что ты знаешь о римской нумерации? Объясни на примерах.

221. Что ты знаешь о древнеегипетской нумерации? Приведи примеры чисел, записанных в ней.

222. Что ты знаешь о вавилонской нумерации? Объясни ее особенности на примерах.

223. Расскажите об истории возникновения геометрии.

224. Расскажите об истории алгебры.

225. Расскажите о знаменитых женщинах-математиках.

226. Расскажите об истории обыкновенных и десятичных дробей.

227. Найдите

228. Найдите сумму чисел:

Запишите в вавилонской нумерации число 1965.

229. Запишите год своего рождения в вавилонской, древнеегипетской, римской и славянской нумерациях.

230. Н. В. Гоголь родился в mdcccix году, а умер в mdccclii году. Запишите эти даты в слявянской нумерации.

231. Найдите частное данных чисел:

232. Сколько метров получится, если к полчетверти сажени прибавить полчетверти версты, да еще полпята аршина (с точностью до 1 ж)?

233*. Найти число, если известно, что от прибавления к нему ^ его и вычитания от полученной суммы i_ ее получается число п .

234. Задача древнего Египта.

Некто взял из сокровищницы ^тгГ . Из того, что осталось, другой взял <^ , оставил же он в сокровищнице Çnnnnn . Сколько было в сокровищнице первоначально?

235. Задача древней Греции.

— Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?

— Вот сколько,— ответил философ,— половина изучает математику, четверть — музыку, седьмая часть пребывает в молчании, и, кроме того, есть еще три женщины.

236. Задача древней Греции.

— Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?

— Дважды две трети того, что прошло, остается. (У древних греков день делился на 12 часов.)

237. Старинная русская задача.

В 336-ведерное водохранилище всякие два часа одной трубой втекает воды 70 ведер, а другою трубою вытекает 42 ведра. Спрашивается, в какое время то водохранилище наполнится.

238. Старинная русская задача.

Четыре путешественника: купец с дочерью да крестьянин с женою нашли без полушки 9 алтын да лапти, из которых крестьянке дали грош без полушки да лапти, а остальные деньги разделили между собой так: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купец — вполтретья больше крестьянина. Спрашивается, сколько которому досталось.

239. Задача Л. Ф. Магницкого.

Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в колико дней жена его особенно выпьет ту же кадь?

240. Задача Л. Ф. Магницкого.

Некий человек нанял работника на год, обещав ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот по случаю, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойную плату с кафтаном. Ему дали по достоинству 5 рублей и кафтан. Какой цены был оный кафтан?

241. Задача из старинного русского учебника.

У приезжего гасконца оценили богатство: модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки*, но фрак вполтретья дороже жилета; спрашивается каждой вещи цена.

242. Задача из старинного русского учебника. Куплено сукна полторажды полтретья аршина,

заплачено полчетвертажды полпята рубли. Спра-

* Задачи № 233—246 см. [32].

* См. приложение 4, таблица 11.

шивается, сколько должно заплатить за полсемажды полдевята аршина того же сукна?

243. Задача Л. Ф. Магницкого.

Окрест некоего града бяше водный ров, имеющий внешнее окружение 440 аршин, широта же его 14 аршин, и ведательно есть, колико аршин имать по внутреннему окружению? (Ответ дать с точностью до 1 метра.)

244. Задача Л. Н. Толстого.

Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделиласть пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

245. Задача И. Ньютона.

Некий торговец каждый год увеличивает на одну треть свое состояние, уменьшенное на 100 фунтов, которые ежегодно затрачивает на свою семью. Через три года он обнаруживает, что его состояние удвоилось. Спрашивается, сколько у него было денег вначале?

246. Задача Западной Европы.

Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трех воробьев заплачена 1 монета, за каждые две горлицы — также 1 монета и, наконец, за каждого голубя— по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?

247. Кто впервые ввел в употребление десятичные дроби?

248. Кто предложил использовать запятую как математический знак?

249. Кем были предложены знаки умножения и деления (•), (:)?

ЛЕГКИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ-ШУТКИ

250. Шесть рыбаков съели шесть судаков за шесть дней. За сколько дней 10 рыбаков съедят 10 судаков? (Аппетиты у всех одинаковы.)

251. Если в 12 час. ночи идет дождь, то можно ли через 72 часа ожидать солнечную погоду?

252. Яйцо всмятку варится три минуты. Сколько времени потребуется, чтобы сварить всмятку пять яиц?

253. Два отца и два сына купили три апельсина. Каждому из них досталось по апельсину. Как это могло случиться?

254. Самолет покрывает расстояние от города А до города В за 1 ч 20 мин. Однако обратный перелет он совершит в 80 мин. Как вы это объясните?

255. Двое подошли к реке. У берега стояла лодка, которая может вместить лишь одного. Но оба переправились. Как это могло случиться?

256. Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Посчитай, сколько всего летело уток?

257. Сколько получится десятков, если три десятка умножить на три десятка?

258. Представь себе, что ты машинист паровоза, ведущего пассажирский состав. Всего в составе поезда 13 вагонов. Обслуживается поезд бригадой в 30 человек. Начальнику поезда 46 лет. Кочегар на 3 года старше машиниста. Сколько лет машинисту поезда?

259. Если бы я купил три тетради, то у меня осталось бы пять копеек, а если бы я захотел купить 4 тетради, то не хватило бы 5 копеек. Сколько денег у меня было?

260. В семье семь братьев, у каждого по одной сестре. Сколько детей в семье?

261. У мальчика братьев нет, а у его сестры столько же братьев, сколько сестер. Сколько в этой семье братьев и сколько сестер?

262. Одного человека спросили, сколько у него детей. Ответ был замысловатый: «У меня сыновей столько, сколько дочерей, а у каждого сына по три сестры». Сколько детей в этой семье?

263. Отец старше сына на 23 года. Через сколько лет сын будет моложе отца на 25 лет?

264. Какой знак надо поставить между двумя пятерками, чтобы получить число, большее пяти, но меньшее шести?

265. Двое пошли — 5 гвоздей нашли. Четверо пойдут — много ли найдут?

266. Пуговица весит полтора грамма. Сколько тонн весит миллион таких пуговиц?

267. Птицелов поймал в клетку пять синиц, на дороге встретил пять учениц. Каждой подарил по синице и в клетке осталась одна птица. Как это могло случиться?

268. Число 666 увеличить в полтора раза, не производя над этим числом никаких арифметических действий. Как это сделать?

269. Раздели 188 пополам так, чтобы в результате получилась единица.

«В мире птиц и животных»

Определить вес тигра.

Определить вес белого медведя.

Определить вес бурого медведя.

Определить вес одного льва.

Определить вес верблюда.

Сколько может прожить сом?

Сколько лет может прожить верблюд?

Сколько лет может прожить тигр?

Сколько лет может прожить голубь?

Определить «рост» жирафы.

Определить длину крокодила.

Какую длину тела имеет носорог?

Какова длина моржа?

Сколько лет может прожить кит?

Сколько лет может прожить свинья?

Сколько лет может прожить слон?

Сколько лет может прожить щегол?

Сколько лет может прожить попугай?

288. Встретил старый волк старого осла и спрашивает: «Сколько тебе лет?»—«А тебе сколько?» — «Мне 15».— «Тогда я в три раза старше тебя, да еще на одну треть». Сколько лет ослу?

289. Предельный возраст соловья составляет yg возраста кукушки, ^ возраста лебедя и-^ возраста вороны. Определить предельный возраст кукушки, вороны и лебедя, если предельный возраст соловья 18 лет.

290. 3 яйца африканского страуса и 60 куриных весят 9 кг. Найти вес яйца страуса, если известно, что оно тяжелее куриного в 20 раз.

291. Длина тела карликовой игрунки (самая маленькая обезьянка) 16 см, что составляет 0,08 длины гориллы. Определить рост гориллы.

292. Высота африканского страуса 2,75 ж, что составляет ~ высоты слона. Определите высоту жирафы, который выше слона на 2,5 м.

293. В среднем щука может прожить до 80 лет, что составляет предельного возраста жизни белуги. Сколько лет может прожить белуга?

294. Предельный возраст жизни собаки 15 лет, что составляет предельного возраста свиньи.

Сколько лет может прожить свинья?

295. Продавца спросили: «Сколько весит лежащая на прилавке белуга?» Он ответил: «Четвертую часть тонны и еще -|- своего веса». Сколько весила белуга?

296. Самая крупная птица СССР — дрофа весит 16 кг. Вес самой маленькой обитательницы уральских лесов — королька составляет 32QQ веса дрофы. Сколько весит королек?

297. Самые крупные из оленей — лоси достигают веса 500 кг. Вес самого маленького из оленей— кабарги составляет ^ веса лося. Сколько весит кабарга?

298. Длина кобры составляет длины удава, а удав в полтора раза короче акулы. Определить длину акулы, если длина кобры 1,5 м.

299. Скворец догоняет шмеля, находящегося от него в 270 м. Через сколько секунд он его догонит, если известно, что скорость полета шмеля достигает 18 км/ч, а скворца 72 км/ч?

300. Ворона может пролететь 5 км за 6 мин, голубь 18 км за 12 мин, а орел 20 км за 15 мин. Во сколько раз скорость каждой птицы больше скорости товарного поезда, идущего со скоростью 36 км/ч?

301. Охотничья собака спугнула зайца, который сидел под кустом в 150 м от нее. Через сколько минут собака догонит зайца, если она за шесть минут пробегает 3,6 км, а заяц только 3 км?

302., Ворона спросила старого ворона: «До скольких лет ты можешь прожить?» Ворон ответил:

«Я могу прожить 25 лет и еще у того, что прожил» и умер. Сколько лет было ворону?

303. Гусеница бабочки-капустницы съедает за лето до 10 г капусты. Синица съедает ежедневно до 100 гусениц. Подсчитайте, сколько капусты «экономит» за один месяц работы (30 дней) семья синиц, состоящая из самца, самки и 5 птенцов, если считать, что птенец съедает в два раза меньше взрослой синицы.

304. Предельный возраст голубя 30 лет, что составляет предельного возраста орла или предельного возраста попугая. Сколько лет может прожить попугай и во сколько раз он проживет дольше орла?

305. Вес воробья составляет 0,0008 веса страуса, а вес самой маленькой птички — колибри составляет ^ веса воробья. Какой вес имеет колибри, если известно, что вес страуса достигает 75 кг.

306. Вес крупных черепах достигает 200 кг.

у веса составляет мясо, употребляемое в пищу.

Для скольких человек можно приготовить вторые блюда из одной черепахи, если рассчитывать 200 г мяса на одно блюдо?

307. Скорость стрекозы 10 ж в секунду, пчелы 400 м в минуту, а шмеля 18 км в час. Кто из них летает быстрее и во сколько раз по сравнению с другими?

308. Рыбака спросили: «Сколько может весить самый большой краб?» Он ответил: «2 кг и еще у своего веса». Сколько весит краб?

309. Свинья, баран да бурый медведь весят вместе 880 кг. Вес свиньи составляет веса медведя и в 1ураза больше веса барана. Определить вес каждого животного.

310. Лев съедает овцу за один час, волк — за 2 часа, а собака — за три часа. За сколько часов они съедят овцу вместе?

311. Вес волка составляет веса медведя. Свинья в 1,6 раза легче медведя и в 16 раз легче слона. Бык в Зу раза легче слона и в 1 у раза легче носорога, вес которого 2000 кг. Вычислить вес указанных животных.

312. Предельный возраст березы 150 лет, сосна живет в 4у раза дольше березы, ель в 1у раза дольше сосны, грецкий орех в 1у раза дольше ели, мексиканский кипарис живет в 1,5 раза дольше грецкого ореха, а самые долговечные растения велингтония и баобаб живут в среднем в 1у раза дольше мексиканского кипариса. Определить продолжительность жизни велингтонии и баобаба.

313. Зубр и лось весят вместе 1300 кг. Найти вес каждого, если у веса лося равна у веса зубра.

314. Жаба-ага и лягушка-бык, обитающие в болотах Америки, весят вместе 1,6 кг. Найти вес жабы, если у веса первой равна у веса другой.

315. Длина сухопутной черепахи меньше длины морской на 0,5 м. Найти длину морской черепахи, если у длины первой равна длины второй.

316. При разделке туши крупного синего кита получают до 100 т мяса, жира и костей, причем вес мяса равен весу жира и костей вместе. Сколько тонн жира получают от одного кита, если его больше, чем костей, в 1,5 раза?

317. Скорость полета скворца в 1,5 раза больше скорости ворона и составляет у часть скорости чайки. Скорость полета стрижа составляет скорости чайки и в 1-|- раза больше скорости голубя, которая равна 90 км/ч. Определить скорость полета указанных птиц.

318. Африканский слон и бегемот весят вместе 8 7. Определите вес бегемота, если известно, что слон и носорог весят столько же, сколько бегемот и 5 зубров. Носорог весит 2 г, а зубр 800 кг.

319. Вес новорожденного китенка равен весу 24 взрослых львов или 15 бурых медведей. Найти вес китенка, если известно, что бурый медведь весит больше льва на 150 кг.

320. Известно, что бурый медведь весит больше уссурийского тигра на 80 кг и веса первого равны -g веса второго. Найдите вес уссурийского тигра.

321. Морской слон тяжелее моржа в 1-^- раза, бегемота в 2у раза. Сколько весит морской слон, если морж тяжелее бегемота на 0,5 г?

322. Скорость сокола больше скорости чайки на 75 км/ч, а чайка летает быстрее стрижа в 1,5 раза. Найдите скорость сокола, если она больше скорости стрижа в 2 раза.

323. Предельный возраст золотой рыбки в два раза меньше предельного возраста сома, предельный возраст которого на 20 лет меньше предельного возраста щуки. Сколько лет могут жить указанные рыбы, если известно, что предельный возраст золотой рыбки составляет -|- предельного возраста щуки?

324. Длина африканской лягушки-голиаф на 7 см больше американской жабы-ага и на 12 см лягушки-бык. Определить длину каждой лягушки, если известно, что длина лягушки-бык составляет -g- длины лягушки-голиаф.

325. Собака преследует косулю, которая находится от собаки на расстоянии 40 своих прыжков. Собака делает 7 прыжков в то время, в какое косуля делает их 5, и четыре прыжка собаки равны по длине 3 прыжкам косули. Сколько прыжков придется сделать собаке, чтобы догнать косулю?

326. Тяжеловоз владимирской породы тяжелее породистой свиньи на 0,5 т. Зная, что 0,25 веса тяжеловоза равны или веса быка, или у веса свиньи, найти вес быка.

327. Общая длина китовой акулы, гребнистого крокодила и кобры 26,5 м. Определить длину китовой акулы, если у ее длины равна 0,5 длины крокодила, а длина кобры составляет 0,15 длины крокодила.

328. Морская черепаха может прожить в три раза меньше крокодила и в два раза больше кита. Сколько лет может прожить морская черепаха, если кит может прожить меньше крокодила на 250 лет?

329. Породистый бык тяжелее зубра на 200 кг, зубр тяжелее белого медведя на 200 кг, белый медведь бурого — в два раза. Породистый бык тяжелее бурого медведя в три раза. Найти вес зубра.

330. Жирафа, лев и антилопа весят вместе 1,25 т. Жирафа весит на 250 кг больше льва, а вместе со львом на 250 кг тяжелее антилопы. Сколько весит каждое животное в отдельности?

331. Если из веса кита вычесть вес 26 слонов, то получится вес 40 лосей. Определить вес одного лося, если известно, что он весит меньше кита в 300 раз, а слона на 4,5 т.

332. Стриж и чайка вылетели одновременно навстречу друг другу из противоположных точек залива, ширина которого 8 км. Через 1,2 минуты расстояние между ними было равно 500 м. Определите скорость полета птиц, если известно, что скорость стрижа составляет -у скорости чайки. (Скорость найти в км/ч.)

333. Ворон может прожить больше попугая на 10 лет, попугай больше орла на 60 лет, орел больше страуса на 40 лет. Сколько может прожить попугай, если известно, что ворон может прожить больше страуса в 3 раза?

334. Грызуны бобр, дикобраз и южноамериканская водосвинка весят вместе 95 кг. Бобр весит на 10 кг больше дикобраза, а бобр и дикобраз вместе на 5 кг больше, чем водосвинка. Сколько весит каждый грызун в отдельности?

335. Если к весу африканского слона прибавить вес африканского носорога, то получится вес 7 зубров. Определить вес носорога, если известно, что африканский слон тяжелее зубра в 5 раз, а африканского носорога на 24 ц.

336. Три быка костромской породы и шесть породистых свиней весят 5,1 т. Известно, что два быка и свинья тяжелее одного быка и 5 свиней на 200 кг. Найти вес быка костромской породы.

337. Вес двух уссурийских тигров составляет 0,8 веса белого медведя, а вес трех уссурийских тигров на 160 кг больше веса белого медведя. Определить вес белого медведя.

338. веса страуса и -jl- веса гориллы составляют 59 кг, a -g- веса страуса и ^ веса гориллы — 43 кг. Определите вес страуса и гориллы в отдельности.

339. Бенгальский тигр весит веса уссурийского тигра и еще 40 кг, уссурийский весит ~

веса бурого медведя и еще 20 кг, а бурый медведь тяжелее бенгальского тигра в 2 раза. Сколько весит бенгальский тигр?

340. Осел может прожить больше лошади на 20 лет, лошадь больше коровы на 5 лет, корова больше свиньи на 5 лет, свинья больше овцы на 5 лет, овца больше кошки на 5 лет. Сколько лет может жить свинья, если известно, что предельный возраст кошки меньше предельного возраста осла в 5 раз?

341. Жирафа выше страуса в 2,5 раза, страус выше гориллы в 1,2 раза, а горилла выше бегемота на 0,5 м. Определить высоту жирафы, если известно, что она выше бегемота на 4,5 м.

342. Тигр преследует барса, который находится от него в 10 м. Тигр делает 2 прыжка в то время, в какое барс делает их 3, и 11 прыжков тигра равны по длине 15 прыжкам барса. Определить длину прыжков барса и тигра, если известно, что после 60 прыжков тигра расстояние между ними стало 55 м.

343. Крокодил может прожить в 6 раз больше осла или столько, сколько попугай, орел, осел и верблюд в сумме. Попугай может прожить на 10 лет больше осла и орла вместе. Определите предельный возраст крокодила, если известно, что верблюд может прожить до 30 лет, а орел столько, сколько осел и верблюд в сумме.

344. Морская черепаха может прожить столько, сколько лет в сумме могут прожить осел, верблюд и свинья. Осел может прожить столько лет, сколько лет в сумме могут прожить верблюд и свинья, а верблюд на 10 лет больше свиньи. Сколько лет может прожить морская черепаха, если она может прожить больше свиньи в 5 раз?

345. Встретила ласка мышку-норушку землеройную крошку и спрашивает: «Сколько же ты весишь, крошка?»—«А вот посчитай! Если к весу моих сорока сестер ты прибавишь твоего веса, да еще 10 г, получишь свой вес. А вообще, я в 50 раз легче тебя». Посчитайте и вы!

«В рыбном царстве»

346. Кит

Сколько лет может жить кит?

347.

Определить длину акулы.

348. «Какой улов был у тебя вчера?» — спросил сосед соседа-рыбака. «Я поймал два крупных леща да щуку, общим весом 15 кг. Щука хороша! Она тяжелее каждого леща в три раза». «Сколько же весит щука?»— спросил сосед. «Посчитай сам !»— улыбнулся рыбак. Попробуйте вы ответить на вопрос соседа.

349. Три самых крупных сазана весят столько же, сколько 4 самых крупных налима. А вес одного сазана больше веса налима на 8 кг. Сколько весит самый крупный налим?

350. Два рыбака поймали 40 окуней, причем первый на 6 штук больше второго. Сколько окуней поймал каждый?

351. Мальчик поймал 20 ершей и окуней, причем окуней в 3 раза меньше, чем ершей. Сколько он поймал ершей?

352. Два рыбака решили сообща сварить на костре уху. Первый дал два окуня, а второй одного. Вес каждого окуня 400 г. На уху подошел охотник, который внес свою долю деньгами — дал 60 копеек. Как должны разделить эти деньги между собой два рыбака?

353. Предельная длина кеты тихоокеанской на 16 см меньше предельной длины семги и на 42 см больше предельной длины горбуши. Определить предельную длину семги, если она в два раза больше предельной длины горбуши.

354. Калорийность 100 г свежей севрюги и 100 г осетра составляют 644 ккал. Какова калорийность 100 г осетрины, если известно, что она меньше калорийности 100 г севрюги на 12 ккал?

355. Рыбак поймал 48 ершей и 36 окуней. Под руками оказались чашечные весы и гиря в 2 кг. Когда на одну чашку весов он положил гирю, а на другую 15 окуней и 10 ершей, то весы оказались в равновесии. Весы оказались в равновесии и тогда, когда он на одну чашку весов положил окуня, а на другую два ерша. Помогите подсчитать вес всего улова.

356. «Ну как, клюет?»— спросил один рыбак второго. «Да, 9 штук сорог и окуней! Причем сорог в два раза больше! А у тебя?» «А у меня улов почти такой же, лишь окуней на два побольше».

Попробуйте ответить на вопрос: а сколько окуней у этих рыбаков?

357. Отдельные экземпляры китовой акулы достигают в длину 30 м, а самая маленькая рыба — бычок пигмей мистихтис, обитающая в реках и озерах Филиппинских островов, имеет в длину 15 мм. Во сколько раз китовая акула длиннее бычка мистихтис?

358. Предельный вес налима больше предельного веса леща в 4 раза, предельный вес леща больше предельного веса окуня в 3 раза, а последний больше веса крупной сороги в 2 раза. Сколько может весить крупный лещ, если известно, что предельный вес налима больше предельного веса сороги на 23 кг?

359. Предельная длина трески больше предельной длины щуки на 30 см, предельная длина щуки больше предельной длины налима на 30 см, а предельная длина последнего на 30 см больше предельной длины морского окуня, обитающего в Баренцевом море. Определите предельную длину

трески, если она в два раза больше предельной длины морского окуня.

360. Два рыбака поймали вместе 33 карпа. Когда первый по своей оплошности выпустил 5 штук, а второй отдал первому 6 штук, то оказалось, что у них карпов поровну. Сколько карпов поймал каждый?

361. Два рыболова пошли удить рыбу. Один поймал 8 окуней, другой 10. Стали жарить их. Тут подошел прохожий и попросил позволения позавтракать с ними, обещая уплатить за еду. Рыболовы согласились, и, разделив жареную рыбу на три равные части, все сели завтракать. После завтрака прохожий дал рыбакам 60 коп. Как рыболовы должны разделить между собой деньги?

362. Сегодня я поймал в два раза больше рыбы, чем ты, а вчера на два килограмма меньше твоего. Причем вчера мы вместе поймали в два раза больше, чем сегодня. За два дня весь улов составил 18 кг. Кто же из нас поймал больше рыбы и на сколько?

363. В воскресенье я рыбачил три раза: утром, днем и вечером. Весь мой улов равен 3 кг. Причем утром я поймал в три раза больше, чем днем, а днем в два раза меньше, чем вечером. Сколько килограммов рыбы я поймал утром и вечером?

364. Один налим выметывает в пять раз больше икринок, чем щука, а щука в три раза меньше линя. Сколько икринок выметывает налим, если известно, что он выметывает на 200 тыс. икринок больше, чем линь?

365. Осетр мечет 7 млн. икринок, карп в 14 раз меньше осетра, а треска на 2500 тыс. больше карпа и осетра вместе. Сколько икринок выметывает треска?

366. Трое рыбаков поймали 75 окуней. Стали варить уху. Когда один дал 8 окуней, другой 12, а третий 7, то окуней у них осталось поровну. Сколько окуней поймал каждый рыбак?

367. Вес девяти самых крупных речных окуней равен весу двух крупных морских окуней. Сколько весит крупный морской окунь, если известно, что один самый крупный речной и два крупных морских весят вместе 20 кг?

368. Китовая акула в 3 раза длиннее полярной акулы, в 6 раз — голубой акулы и в 2 раза — акулы кархародон. Определите длину каждой акулы, если известно, что полярная акула длиннее голубой на 4 м.

369. Морская лисица в 5 раз длиннее морской собаки, которая в два раза короче морского ангела и в два раза длиннее колючей акулы. Определить длину каждой из акул, если известно, что морской ангел длиннее колючей акулы на 1 м и 50 см.

370. Морской черт в два раза длиннее морского кота, который в пять раз длиннее морской лисички и в четыре раза длиннее морской собачки. Как велик морской черт, если морская лисичка короче морской собачки на 5 см.

371. Предельный возраст щуки больше предельного возраста сома на 20 лет, сома меньше белуги на 40 лет, белуги больше золотой рыбки на 70 лет. Определить предельный возраст щуки, если известно, что предельный возраст сома больше предельного возраста золотой рыбки в два раза.

372. Сегодня я поймал окуней в два раза меньше, чем ершей, и в 5 раз больше, чем лещей. Сколько поймано окуней, если ершей было поймано на 18 штук больше, чем лещей?

373. Пять самых крупных щук весят на 15 кг больше восьми самых крупных судаков, а 5 самых крупных щук весят меньше 10 самых крупных судаков на 25 кг. Сколько весят самая крупная щука и самый крупный судак?

374. У мальчика-рыболова в котелке 12 сорожек, 10 голавлей и 8 окуньков. Подошел прохожий и попросил продать ему 5 рыбок, но обязательно одного какого-нибудь вида. Мальчик ответил: «Я не продаю, но если вы скажете, какое наименьшее число рыбок надо взять, не глядя в котелок, чтобы среди них обязательно было не меньше 5 рыбок одного вида, то получите их в награду».

Прохожий задумался. Какое наименьшее количество рыбок взяли бы вы?

375. Один рыбак поймал на 20 окуней больше, чем другой. Но когда он дал товарищу в обмен на щуку 15 окуней, то у него их стало вдвое меньше, чем у товарища. Сколько окуней было у каждого?

376. Щука вчетверо тяжелее окуня, но на 2 кг легче судака. Если к весу всех троих прибавить вес корзины, в которой они лежат — 1 кг 250 г, то получится 10 кг. Определите вес каждой рыбы в отдельности.

377. Рыбака спросили, сколько весит пойманный им окунь. Он ответил: «Окунь втрое легче пойманного мной судака и втрое тяжелее пойманного голавля. Судак же на 2 кг 400 г тяжелее голавля». Постарайтесь определить вес окуня.

378. Три рыбака поймали 96 ершей. Один из них был шутник. Он из котелка первого переложил в котелок другого 3 ерша, а потом из котелка второго в свой одного. После подсчета оказалось, что у всех стало ершей поровну.

Скажите, сколько ершей было первоначально?

379. У двух рыбаков спросили: «Сколько рыбы в ваших корзинах»? «В моей корзине половина числа того, что в корзине у него, да еще 10»,— ответил первый. «А у меня в корзине столько, сколько у него, да еще 20»,— сказал второй.

Я сосчитал. Посчитайте теперь вы!

380. Хвост рыбы весит 4 кг, голова весит столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище столько, сколько голова и хвост. Сколько весит вся рыба?

381. Сегодня я поймал столько рыбы, сколько ты вчера и сегодня, но зато позавчера ты поймал на 2 кг больше, чем я вчера и позавчера. Всего же мы поймали за три дня 18 кг рыбы. Подсчитайте, сколько рыбы поймал каждый из нас за три дня?

382. Белуга может прожить столько, сколько щука, да еще 20 лет, щука может прожить столько, сколько сом, да еще 20 лет, а сом в два раза больше золотой рыбки. Сколько лет могут прожить белуга и золотая рыбка в отдельности, если первая может прожить больше золотой рыбки в три раза да еще 10 лет?

НАБОР РАЗЛИЧНЫХ ЗАНИМАТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ

383. Если число 12 345 679 умножить на 9, то получим число 111 111 111. На какое число нужно умножить 12 345 679, чтобы получить число, записанное при помощи одних девяток?

384. Охотник прошел на север 8 км, затем повернул на юг и прошел 12 км, после чего на запад прошел 4 км и снова на север 4 км. На каком расстоянии от начала пути он находится?

385. Пешеход, идя по компасу, прошел на север 7 км, затем на восток 4 км, на юг 4 км, на запад 6 км и, наконец, на юг 3 км. На каком расстоянии от начала пути он находится?

386. Книга стоит рубль и еще полкниги. Сколько стоит книга?

387. Гусь стоит 4 руб. и еще треть того, что он стоит на самом деле. Сколько же он стоит?

388. При помощи арифметических действий составьте число 100 из пяти пятерок.

389. При помощи любых арифметических действий составьте число 100 из пяти единиц.

390. Написать число 2 тремя пятерками; написать 5 тремя пятерками; при записи применять знаки действий и скобки.

391. Напишите нуль тремя пятерками, используя при этом знаки действий и скобки.

392. Написаны подряд цифры 1 2 3 4 5. Не меняя порядка цифр, вставьте между ними знаки, употребляемые в арифметике, чтобы в результате получилось число 100.

393. Написаны подряд цифры 2 3 4 5 6. Не меняя порядка цифр, вставьте между ними знаки, употребляемые в арифметике, чтобы в результате получилась единица.

394. Написаны подряд цифры 3 4 5 6 7. Не меняя порядка цифр, вставьте между ними знаки, употребляемые в арифметике, чтобы в результате получилась единица.

395. Вместо кружков поставьте знаки арифметических действий так, чтобы было справедливо равенство: 3303303303303303=1. Можно использовать скобки.

396. На стадионе вдоль беговой дорожки расставлено 12 флажков на равных расстояниях друг от друга. Старт у первого флажка. У восьмого флажка спортсмен был через 8 секунд после начала бега. Через сколько секунд, при неизменной скорости, он окажется у двенадцатого флажка?

397. В квадратном зале для танцев поставить вдоль стен 10 стульев так, чтобы у каждой стены стояло стульев поровну.

398. Циферблат часов нужно разрезать на 6 частей так, чтобы во всех частях сумма чисел была одинакова.

399. «Который теперь час?»— спросил Петя у отца. «А вот сосчитай: до конца суток осталось втрое меньше того времени, которое прошло от их начала».

Который час был тогда?

400. Составьте из 12 спичек 4 квадрата так, как на рисунке. Отнимите 2 спички, чтобы осталось всего 2 квадрата. Остальные спички не трогать.

401. Расставить в клетках четные числа 4, 6, 8, 12, 16, 18 так, чтобы в любом направлении получилось в сумме 30.

402. В клетках расставить числа 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12 так, чтобы по любому направлению получить в сумме 24.

403. В этом квадрате нужно разместить еще числа 2, 2, 2, 3, 3, 3 так, чтобы по всем направлениям получить в сумме 6.

404. Собака и кролик.

Собака гонится за кроликом, который находится в 150 футах от нее. Собака каждый раз делает прыжок в 9 футов, когда кролик прыгает на 7 футов. Сколько прыжков сделает собака, чтобы догнать кролика?

405. В одной деревне в Армении каждый житель разговаривает либо по-русски, либо по-армянски, либо на обоих языках. 60% жителей разговаривают по-русски и 70% по-армянски. Какая часть жителей деревни разговаривает на обоих языках?

406. Сколько зайцев и уток убил охотник, если в корзине, куда он их положил, насчитали 10 голов и 28 ног?

407. В нашем классе 1000112 учеников. 1111002% из них учится на хорошо и отлично. Сколько учеников учится на хорошо и отлично?

408. «Странная» семья.

У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Что это за семья?

409. Разберитесь в этой арифметике!

410. Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? — спросил ее мул.— Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинакова с моей».

Скажите же, мудрые математики, сколько мешков несла лошадь и сколько нес мул?

411. Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет в 4 раза старше сына?

412. Когда моему отцу был 31 год, мне было 8, а теперь отец старше меня вдвое. Сколько мне лет теперь?

413. Когда деду было 65 лет, то внуку было 8 лет. Сейчас внук в 4 раза моложе деда. Сколько лет сейчас деду?

414. Всем членам одной семьи сейчас 73 года. Состав семьи: отец, мать, дочь и сын. Отец старше матери на 3 года, сестра старше брата на 2 года. Четыре года тому назад всем членам семьи было 58 лет. Сколько лет сейчас каждому члену семьи?

415. Отцу 45 лет, одному из его сыновей 15 лет, другому — 11 лет, третьему — 7 лет. Через сколько лет возраст отца будет равен сумме лет его сыновей?

416. Одного человека спросили: «Сколько вам лет?» Он ответил так: «10 лет тому назад я был в 4 раза старше своего сына, а через 10 лет я буду лишь вдвое старше его». Сколько лет этому человеку?

417. Через два года мальчик будет вдвое старше, чем он был два года назад. А девочка через три года втрое старше, чем три года назад. Кто старше: мальчик или девочка?

418. Тебе столько лет, сколько было мне тогда, когда ты родился. Во сколько раз я буду старше тебя через столько лет, сколько тебе сейчас?

419. Брат старше своей сестры во столько раз, сколько ему лет. Сколько лет сестре?

420. У мальчика столько же сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько в этой семье братьев и сколько сестер?

421. Я задумал число. Если это число разделить на 5, затем вычесть 21 и разность увеличить в три раза, то получится 12. Какое число я задумал?

422. Я задумал число. Если из него вычесть 5, разность разделить на 5, а затем прибавить 5, то получится 5. Какое число было задумано?

423. В корзине лежат яблоки. Утром мама взяла половину всех яблок и я взял еще 2 яблока. В обед мама взяла половину остатка и сестра взяла еще одно яблоко. На ужин в корзине осталось 3 яблока. Сколько яблок было в корзине первоначально?

424. Из корзины взяли 3 яблока, затем треть остатка и еще 3 яблока. После этого в корзине осталась половина первоначального количества яблок. Сколько всего яблок было в корзине?

425. В двух классах сидело 38 человек. Когда из первого перешло во второй столько человек, сколько было во втором, то в первом осталось на два человека больше, чем стало во втором. Сколько человек сидело во втором классе?

426. На двух кустах сидело 25 воробьев. После того как с первого куста перелетело на второй 5, а со второго совсем улетело 7, на первом кусте осталось вдвое больше воробьев, чем на втором. Сколько воробьев было на каждом кусте первоначально?

427. Прилетели галки и стали садиться на палки. Если на каждую палку сядет по галке, не хватит одной палки, а если на каждую палку сядет по две галки, то одна палка останется лишней.

Сколько было палок и сколько галок?

428. В доме трое часов. Сейчас все они показывают верное время, но верно идут только первые часы. Вторые часы отстают в сутки на 1 мин, третьи — на 1 мин спешат. Через сколько суток все часы снова покажут верное время?

429. Имеется квадратный пруд. По углам его близ воды растут четыре старых дуба. Пруд понадобилось увеличить, сохранив его квадратную форму. Но старых дубов трогать не желают. Можно ли увеличить площадь пруда, сохранив его форму? Как?

ЛОГИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

430. На берегу реки стоят трое взрослых и два мальчика. У них есть лодка, вмещающая лишь одного взрослого или двух мальчиков. Как всем пятерым переправиться на другой берег?

431. В одном из классов школы 23 ученика. Можно ли утверждать, что в этом классе найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной и той же буквы? А если бы в этом классе было 35 учеников?

432. В школе 500 учеников. Докажите, что среди них обязательно найдутся хотя бы два ученика, отмечающие свое рождение в один и тот же день. Обязательно ли найдутся три таких ученика?

433. У Петрова спросили: «Кто изображен на портрете, висящем на стене?» Петров ответил: «Отец висящего есть единственный сын отца говорящего». Чей это был портрет?

434. Сколько всего имеется пятизначных чисел, сумма цифр которых равна двум?

435. Сколько всего имеется трехзначных чисел, сумма цифр которых равна трем?

436. Сколько всего имеется шестизначных чисел, сумма цифр которых равна трем?

437. Произведение трех последовательных нечетных двузначных чисел равно 12 075. Найдите сомножители.

438. Произведение четырех последовательных целых чисел равно 3024. Найти эти числа.

439. Найти трехзначное число, в записи которого цифра сотен на 3 больше цифры десятков, а произведение трех чисел, выражаемых цифрами этого числа, равно 4.

440. Найти четное четырехзначное число, две средние цифры которого образуют число, в 3 раза большее числа тысяч и в два раза большее цифры единиц этого числа.

441. Средняя цифра трехзначного числа равна сумме крайних цифр. Сумма этого числа с числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке, есть четырехзначное число, которое требуется найти.

442. Найти трехзначное число, кратное 9, в котором цифра десятков на 4 больше цифры единиц, а произведение трех чисел, выражаемых цифрами этого числа, равно нулю.

443. В коробке лежат 4 цветных карандаша и 10 простых. Какое наименьшее число карандашей надо взять из коробки, чтобы среди них оказалось не менее трех цветных?

444. В ящике лежат 70 шаров, отличающихся лишь цветом: 20 красных, 20 синих, 20 желтых, остальные — черные и белые. Какое наименьшее число шаров надо взять, не видя их, чтобы среди них было не меньше 10 шаров одного цвета?

445. В коробке лежат 15 шариков: черных, белых и красных. Красных в семь раз меньше, чем белых. Сколько в коробке черных шариков?

446. Коменданту восьмиквартирного дома дали 8 ключей, каждый из которых открывает только одну квартиру. Ключи перепутаны. Выберите наиболее экономичный способ подбора ключей и укажите, сколько попыток (самое большее) придется сделать коменданту, чтобы открыть все квартиры.

447. К шести квартирам имеется три ключа. Каждый ключ подходит к двум квартирам, но не известно, к каким. Укажите наиболее экономичный способ подбора ключей. Сколько попыток (самое большее) нужно сделать, чтобы подобрать ключи.

448. К шести квартирам имеется 4 ключа. Два из них (известно, которые) подходят каждый к двум квартирам, а каждый из оставшихся двух к одной. Ключи перепутаны. Укажите наиболее экономичный способ подбора ключей. Сколько попыток (самое большее) нужно сделать, чтобы подобрать ключи ко всем квартирам?

449. К пяти чемоданам имеется три ключа. Один из них подходит к одному чемодану (известно, какой), а каждый из двух оставшихся к двум. Ключи перепутаны. Укажите наиболее экономичный способ подбора ключей. Сколько попыток (самое большее) нужно сделать, чтобы открыть все чемоданы? Чтобы подобрать ключи?

ЗАДАЧИ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

Непосредственные измерения.

450. Вычислить площадь данной фигуры с точностью до 1 кв. см.

451. Найти площадь фигуры с точностью до 1 кв. см.

452. Вычислить площадь данной фигуры с точностью до 1 кв. см.

453. Вычислить площадь заштрихованной фигуры с точностью до 0,5 кв. см.

454. Вычислить площадь заштрихованной части фигуры с точностью до 0,5 кв. см.

455. Определить, сколько необходимо взять стекла, чтобы изготовить данную модель призмы.

456. Из листа жести размером 40 см X 60 см нужно изготовить круги диаметром 10 см. Сколько кругов можно изготовить и какой процент отходов? (С точностью до 1%.)

457. Определить по карте расстояние по прямой от Перми до Ленинграда.

458. Найти объем цилиндрической банки. Диаметр основания измерить кронциркулем (штангенциркулем).

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ТАБЛИЦ

459. Определить калорийность завтрака, если в него входят следующие продукты: мясо 100 2, масло 20 г, картофель 50 г, сахар 20 г, яблоки 100 г, хлеб белый 150 г.

460. Сколько семян должны заготовить юннаты для пришкольного участка, если под кукурузу отведено 5 соток, под гречиху — 1 сотка, под морковь и свеклу — по полсотки?

461. Отряд пионеров в 12 человек отправился в двухнедельный поход по родному краю. Подсчитать, сколько необходимо взять с собой крупы, сахара, масла.

462. Подсчитать, сколько в среднем потребляет семья из четырех человек хлеба, сахара, масла и мяса за месяц.

463. Сколько тонн молока потребуется в среднем на один год городу с населением в 100 000 человек? А нашему городу?

464. Рабочий поселок с населением 20 000 человек получил 20 т сахара и 16 т крупы. На какое время хватит этих продуктов?

465. Сколько овса необходимо для того, чтобы засеять поле прямоугольной формы, длина которого 460 м, а ширина 110 м?

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ, ПЛАНОВ. ДИАГРАММ*

466. Начертить диаграмму, показывающую содержание витамина С в продуктах, по следующим данным (из расчета на 100 г):

арбуз 10 мг, зеленый горошек 25 мг, дыня 20 мг, картофель 10 мг, редис 20 мг, капуста 40 мг.

467. Построить график движения группы туристов, если от пункта А до станции В она дошла за 2 ч, идя со скоростью 5 км/ч. На станции В она ожидала отхода поезда 30 мин и приехала на станцию С, отстоящую от станции В на 15 км, через 15 мин.

468. Для получения бетона берут 1 т цемента, 2 т песку и 6 т щебня. Показать наглядно секторной диаграммой состав бетона.

469. Дан график движения велосипедиста, отправившегося из Перми в Краснокамск.

Рассказать, пользуясь графиком: 1) когда выехал из Перми велосипедист; 2) сколько времени от был в Краснокамске; 3) какова была скорость велосипедиста на отдельных участках; 4) отдыхал ли он в пути, как долго; 5) когда вернулся обратно; 6) сколько километров он проехал?

470. Сколько пойдет шнура на проводку для электрической лампочки? (Размеры на схеме даны в сантиметрах.)

471. Начертить график зависимости расхода бензина от скорости движения автомобиля «Москвич» по следующим данным:

Скорость в км/ч

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Расход бензина в л на 100 км пути

8,8

8,0

7,5

7,8

8,4

9,4

10,5

12,0

14,0

472. Начертить график зависимости расхода бензина от скорости движения автомобиля «Победа» по следующим данным:

Скорость в км/ч

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Расход бензина в л на 100 км пути

11,2

10,5

10,0

9,8

10,0

11,2

12,5

14,2

16,2

473. Построить график роста производства станков по следующим данным (в тыс. шт.):

1913 г.

1940 г.

1958 г.

1965 г.

1,5

58,4

138

200

474. Сравните расстояние от Перми до Горького по железной дороге и водным путем.

475. Диаграмма длин рек

Определить по диаграмме, во сколько раз Дунай короче реки Лены и на сколько километров Лена длиннее Волги (с точностью до 100 км).

ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО ФОРМУЛАМ

476. Составить формулу для вычисления площади пластинки данной формы

* Для построения выдавать клетчатую бумагу.

477. Стог сена имеет форму конуса. Вычислить объем сена в нем по формуле:

П—перекидка, равна 6 ж, L — длина окружности основания стога, равная 15 ж.

478. Объем стога сена вычисляется по формуле: V = (0,5П—0,46 Ш)-Ш-Д. Определить объем стога, если при измерении оказалось, что П — перекидка равна 8 ж, Ш — ширина стога — 4 ж, Д — длина стога— 8 ж.

479. Составить формулу для вычисления объема данного параллелепипеда с вырезами.

ВЫЧИСЛЕНИЯ НА СЧЕТНЫХ ПРИБОРАХ

480. Подсчитать на счетах расходы на приобретение учебных принадлежностей по следующей ведомости:

№ пп.

Наименование расходов

Кол-во

Стоимость одного предмета

руб. | коп.

Всего

1

Портфели

5

2

60

2

Альбомы для черчения

12

45

3

Готовальни

10

2

75

4

Логарифмические линейки

4

2

50

5

Краски

7

1

8

Итого:

481. Подсчитать на арифмометре расходы на организацию детской площадки по следующей смете:

№ пп.

Наименование расходов

Кол-во

Цена одного предмета (руб.)

Сумма (руб.)

1

Раскладные кровати

20

13,50

2

Одеяла

20

6,80

3

Простыни

80

2,00

4

Наволочки

40

0,80

5

Полотенца

40

1,25

6

Настольные игры

15,0

Итого:

ЗАДАЧИ С ВОЗМОЖНЫМИ ЖИЗНЕННЫМИ СИТУАЦИЯМИ

482. Имеется доска с параллельными краями. Плотнику надо отрезать конец доски под углом 45°. Как это сделать? (Имеется линейка, карандаш и пила.)

483. Нужно вычислить объем предмета неправильной формы. Подумай, как это сделать, если у тебя под руками имеется линейка и найдется пустая банка, имеющая форму параллелепипеда.

484. На клетчатой бумаге надо разместить вершины ромба. Как это сделать? (Указать не менее трех различных размещений.)

485. В клубе 28 рядов, по 32 места в каждом. Все места перенумерованы, начиная с первого ряда. В каком ряду находится место № 375?

486. Как, имея лишь два сосуда вместимостью 4 л и 9 л, налить из водопроводного крана 3 л воды?

487. Как, имея лишь только два сосуда вместимостью 5 л и 7 л, разлить из канистры 12 л бензина в баки двух автомашин поровну?

488. Как, имея лишь два ведра вместимостью 4 л и 9 л, принести из реки ровно 7 л воды?

489. Из полного сосуда емкостью 13 л надо отлить 7 л керосина, пользуясь двумя пустыми ведрами емкостью 4 л и 9 л. Как это сделать?

490. Имеется 9 кг крупы и гири в 50 г и 200 г. Как в три приема на чашечных весах отвесить 2 кг крупы?

491. Всего на весах 4 кг крупы. Сколько на весах риса?

492. Бутылка, наполненная растительным маслом, весит 950 г. Когда из нее вылили половину масла, она стала весить 550 г. Найти вес пустой бутылки.

493. Три семьи, собирая вместе, набрали 6 корзин земляники. После взвешивания оказалось, что они имеют различный вес. Как, не пересыпая

ягод, разделить их, если известно, что от первой семьи собирал один человек, от второй — два, а от третьей — три человека?

494. В сарае требуется сделать кирпичный пол в один слой, толщина которого равна наименьшему размеру кирпича. Сколько штук кирпича потребуется, если длина сарая 3,5 м, ширина 1,9 м? Размеры кирпича: 250ммХ 120лшх65лш. (Датьответ с точностью до 10 штук.)

495. Вычислить, сколько необходимо кирпичей для кладки стен гаража в пол кирпича (ширина). Размеры гаража даны на рисунке. Размеры кирпича: 250 мм X 120 мм X 65 мм. (Дать ответ с точностью до 100 штук.)

496. Пришкольный участок (см. план) нужно засеять горохом, гречихой, морковью и свеклой. Сколько потребуется семян каждого сорта, если гречихи нужно посеять в четыре раза больше, чем гороха, гороха вдвое больше свеклы, а свеклы на 10 соток больше, чем моркови?

497. Составьте смету на покраску полов в двух квартирах. Покраска 1 кв. м пола стоит 40 коп. Стоимость покраски коридора и кухни распределяется поровну на две квартиры.

498. Составьте смету на ремонт класса.

пп.

Наименование работ

Кол-во, кв. м

Стоимость, кв. м

Стоимость работы

1

Покраска полов

20 коп.

2

Штукатурка стен (частичная)

12 коп.

3

Побелка стен и потолков

6 коп.

Итого:

Размеры класса:

Длина — 12 м

Ширина — 6 м

Высота — 4 ,и Имеются 4 окна (2 мх2 м) и дверь (Зм xl м).

499. Утром привезли в магазин 6 бидонов молока, в которых было 25, 16, 18, 19, 20 и 31 л молока. До обеденного перерыва было полностью продано молоко из четырех бидонов, а к закрытию магазина продали целиком молоко еще из двух бидонов. Оказалось, что утром молока было продано вдвое больше, чем после обеда. Указать, из каких бидонов было продано молоко до обеденного перерыва?

500. На вывозке гравия работали две новые советские машины — самосвал «автомобиль-великан» и пять обычных грузовых машин. За один рейс вместе они привозили 75 т гравия, причем известно, что обычная автомашина берет гравия в 5 раз меньше, чем «автомобиль-великан». Определить грузоподъемность «автомобиля-великана».

501. В гараж позвонили, что для обеспечения работы двух шагающих экскаваторов в течение 8 ч необходимо выслать 12 автомашин. В гараже имеются пятитонные самосвалы и «автомашины-великаны». Сколько тех и других машин необходимо выслать, если известно, что на погрузку и разгрузку машин требуется 2 мин, а время, затрачиваемое на один рейс, равно 10 мин? (Шагающий экскаватор вынимал за 8 ч 2000 т гравия, грузоподъемность «автомашины-великана» — самосвала — 25 т).

502. Группа туристов рассчитывала совершить поход по родному краю в течение 20 дней, но так как они пробыли в пути на 4 дня дольше и делали

в день на 3 км больше намеченного, то маршрут удлинился на 132 км. Определить длину пройденного туристами маршрута.

503. На станции стояли два состава товарных вагонов (одинаковой длины). В одном составе было на 12 вагонов больше, чем в другом; когда от каждого состава отцепили по 4 вагона, то длина первого состава оказалась в два раза больше длины второго состава. Сколько вагонов было в каждом составе?

504. В гараже имеется 30 машин (без прицепов), которые могут вывести некоторый груз за 16 дней. Во сколько дней будет перевезен груз, если гараж пополнился шестью автомашинами с прицепами, причем машина с прицепом перевозит 6 г в то время, за которое машина без прицепа перевозит 36 ц?

505. Группа учеников была направлена на уборку картофеля на 12 дней. Но так как они поработали на 3 дня дольше и ежедневно сверх нормы убирали на 20 соток больше, то перевыполнили задание на 9 га. Какое задание получили школьники?

506. Из двух пунктов навстречу вышли два друга. Один из них вел собаку. Когда между друзьями осталось два километра, собака вырвалась и побежала навстречу другу своего хозяина. Добежав до него, она сразу же возвращалась к хозяину и снова бежала обратно. Так она бегала до встречи друзей. Сколько километров пробежала собака, если известно, что оба друга шли со скоростью 6 км, а собака бегала в 3 раза быстрее?

507. Я предполагал купить на базаре арбуз в 3 кг. Но арбуз, который мне понравился, весил 5 кг, да и цена 1 кг была выше на 5 коп., поэтому мне пришлось заплатить на 45 коп. больше предполагаемого. Сколько стоит купленный мной арбуз?

508. Товарный состав длиной в 400 м прошел мимо меня за 20 сек. Какова скорость поезда (в км/ч)?

509. Определить скорость поезда и длину состава?

510. По стуку колес можно вычислить скорость поезда. Пассажир насчитал за 2 мин 200 ударов. Определите скорость поезда (в км/ч).

(Длина рельса 12 м 50 см.)

511. Два поезда идут друг другу навстречу по параллельным путям, один со скоростью 50 км/ч, другой 40 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него в течение 6 сек. Какова длина первого поезда?

512. Определить длину моста.

513. Поезд проходит мост длиной в 450 м за 45 сек, а мимо будки стрелочника за 15 сек. Вычислить длину поезда и его скорость.

514. Сколько потребуется времени, чтобы поезд, длина которого 500 м, идущий со скоростью 60 км/ч, прошел тоннель длиной в 500 м?

515. Вы едете в пассажирском поезде. Сможете ли вы определить скорость встречного пассажирского поезда по следующим данным:

а) встречный поезд состоит из 15 вагонов и промелькнул мимо окна за 12 сек.

б) за 3 мин колеса вагона сделали 200 ударов о стык рельсов.

(Длина рельса 12 м 50 см, длина вагона 24 м.)

516. Мальчик выехал на лодке из пункта А в пункт В против течения реки. На каком расстоянии от В он будет находиться через 30 мин, если известно, что собственная скорость лодки 6 км/ч, скорость реки 2 км/ч, а расстояние от А до В 3 км?

517. Пассажир заметил, что расстояние, равное десяти промежуткам между столбами телеграфной линии, идущей вдоль берега реки, катер прошел по течению за 1 мин, а против течения за 2 мин. Определить скорость течения реки. (Расстояние между столбами 40 м.)

518. Мальчик выехал на лодке из пункта А в пункт В против течения реки. На каком расстоянии от В он будет находиться через 20 мин, если известно, что собственная скорость лодки 6 км/ч, скорость течения реки 2 м/сек, а расстояние от А до В 3 км?

519. Плот проходит пляж длиной 840 м за 55 мин и за 20 мин проходит мимо меня. Вычислить длину плота и скорость течения реки (в м/сек).

520. Плот сплавляется по реке. Я заметил, что, идя по берегу реки вниз (по течению), я прошел его за 6 мин, успев сделать за это время 600 шагов. Помогите вычислить длину плота, если я заметил, кроме этого, что щепка, брошенная в речку, за 2 мин проплывает 60 м. Длина моего шага 60 см.

521. Плот сплавляется по реке. Я заметил, что, идя по берегу, реки вверх (против течения), прохожу его за 6 мин, успевая сделать за это время 600 шагов. Определить длину плота, если я знаю, что щепка, брошенная в речку, за 2 мин проплывает 60 м, а длина моего шага 60 см.

522. Я шел вдоль железной дороги, по которой двигался, догоняя меня, товарный состав. Когда первый вагон поравнялся со мной, я засек время. Через 4 мин около меня прошел последний вагон. Помогите определить скорость поезда, если я успел сосчитать количество вагонов (60) и количество шагов, которые сделал за 4 мин (400). Длина товарного вагона 25 ж, длина моего шага 70 см.

523. По железной дороге идет товарный состав, а вдогонку ему по шоссе автомобиль «Волга». Когда машина поравнялась с последним вагоном, шофер засек время и, не изменяя скорости, поехал дальше. Через три минуты он поравнялся с первым вагоном.

Помогите шоферу вычислить скорость поезда, если он может сказать, по спидометру, скорость «Волги» (60 км/ч) и количество вагонов в составе (60).

Длина товарного вагона 25 м.

524. По железной дороге идет товарный состав, а навстречу ему по шоссе «Волга». Состав из 60 вагонов прошел около «Волги» за 40 сек. Вычислите скорость поезда, если спидометр показывал в это время 90 км/ч. Длина товарного вагона 25 м.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

525. Составьте таблицу умножения для троичной системы счисления.

526. Составьте таблицу умножения для четверичной системы счисления.

527. Как изменится по величине число2120003, если отбросить справа один нуль?

528. В какой системе счисления 2310 запишется как 212?

529. Установить, в какой системе счисления выполнено действие: 23+14=42.

530. Какие числа по шестеричной системе оканчиваются нулем, двумя нулями?

531. Установить, в какой системе счисления выполнено действие: 71—36=33.

532. В какой системе счисления 3310 запишется как 53?

533. Какие числа по двоичной системе оканчиваются нулем, двумя нулями?

534. Что больше, единица 3-го разряда четверичной системы или единица 4-го разряда троичной системы?

535. Что больше, единица 10-го разряда двоичной системы или единица 5-го разряда пятеричной системы? На сколько?

536. Найти сумму чисел от 100 до 200.

537. Сколько простых чисел находится в первой сотне?

538. Не производя делений, найти остаток от деления числа 3 456 789 на 9.

539. В каком десятке первой сотни имеется только одно простое число? Четыре простых числа?

540. Какой цифрой оканчивается произведение чисел от 1001 до 1026? Дайте объяснение.

541. Сколько нулей будет в конце произведения чисел 1-2-3-...-24-25?

542. Какое частное и какой остаток дает число 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10+1 при делении на 75?

543. Сколько раз встречается цифра 5 во всех двузначных числах?

544. Какое число делится на все числа без остатка?

545. В числе 127 334 сумма первых трех цифр равна сумме трех последних. Укажите следующее за ним число, обладающее этим же свойством.

546. Сумма каких двух натуральных чисел равна их произведению?

547. Сумма каких двух натуральных чисел больше, чем их произведение?

548. Два числа перемножили — получили 24. Затем одно из этих чисел разделили на другое, и снова получили 24. Что это за числа?

549. На сколько сумма всех четных чисел первой сотни больше суммы всех нечетных чисел этой сотни?

550. Какой цифрой оканчивается разность 1-2-3-....18-19—1-3-5-7. ...-17-19=?

551. Какой цифрой оканчивается произведение 222 двоек?

552. Какой цифрой оканчивается произведение ста троек?

553. К числу 11 справа и слева припишите по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 36. Найдите эти числа.

554. Какое двузначное простое число при умножении на 9 дает в произведении трехзначное число, состоящее из одинаковых цифр?

555. Надо найти такое целое число, которое было бы в 7 раз больше цифры единиц этого числа.

556. К двузначному числу приписано такое же число. Может ли образовавшееся четырехзначное число быть простым?

557. Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть простым числом?

558. Я задумал трехзначное число, которое при делении на 7, 8, 9 дает в остатке 1. Какое число я задумал?

559. Найти четырехзначное число, которое при делении на 11, 12, 13 дает в остатке 2.

560. Если неизвестное число разделить на 7 и частное сложить с делимым и делителем, то получится 263. Найти это число.

561. Если задуманное число умножить на 3, справа приписать два, полученное число разделить на 19 и к частному прибавить 7, то получится число втрое более задуманного. Какое это число?

562. Не выполняя умножения, найти результат:

563. Найти сумму:

564. Быстро найти сумму дробей:

565. Быстро найти сумму дробей:

566. Быстро найти сумму дробей:

567. Какой высоты получится столбик, если один кубический метр разрезать на кубические миллиметры и поставить их друг на друга?

568. Двое рабочих вышли одновременно из одного и того же дома и пошли на один и тот же завод. У первого из них шаг был на 10% короче, чем у второго, но зато он делал шагов на 10% больше, чем второй, Кто из этих рабочих раньше пришел на завод?

569. Четыре товарища купили футбольный мяч.

Первый внес у суммы, второй у того, что внесли все его товарищи, третий у того, что остальные трое, четвертый — оставшиеся 52 коп. Сколько стоит мяч?

570. Отец купил несколько яблок. Старшему сыну он дал половину всех яблок и еще пол-яблока, среднему — половину оставшихся и еще пол-яблока, младшему—половину оставшихся и еще пол-яблока, после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок купил отец?

571. В корзинах лежат яйца: в одних куриные, в других утиные. Какую корзину нужно продать, чтобы куриных яиц осталось в два раза больше, чем утиных?

572. Яношу Ровену из венгерской деревни Страдова и его жене Сарре в год их смерти (1825 г.) было вместе 336 лет. Яношу с сыном 288 лет, а Сарре с сыном 280 лет. Сколько лет в 1825 году было каждому члену семьи?

573. На весах 700 г фруктов. Определить вес одной груши.

574. Всего фруктов 400 г. Определить вес яблока.

575. Два яблока вместе весят 100 г. Определить вес большого яблока.

576. На весах 600 г яблок. Определить вес одного маленького яблока.

577. Определить вес одного маленького яблока.

578. На весах 600 г яблок. Определить вес одного большого яблока.

579. Определить вес одного маленького яблока.

580. Два яблока весят 100 а. Определить вес большого яблока.

581. Определить вес одного яблока.

582. Определить вес одной груши.

583. Определить вес одного маленького яблока.

584. Определить вес маленького яблока.

585. Сколько граммов весит большое яблоко?

586. Всего фруктов 720 г. Определить вес яблока.

587. На весах 600 г фруктов. Определить вес одной груши.

588. Скорость легковой машины 55 км/ч. Определить скорость грузовика.

589. Определить скорость легковой машины, если скорость ее в 2 раза больше скорости грузовой.

590. Скорость велосипедиста 8 км/ч. Определить скорость мотоциклиста.

591. Определить скорость легковой машины.

592. Скорость мотоциклиста в два раза больше скорости велосипедиста. Определить скорость велосипедиста.

593. Определить скорость легковой автомашины.

594. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а мотоциклиста 35 км/ч. Определить расстояние АС (в км.)

595. На сколько минут позднее грузовой вышла из А легковая машина?

596. Определить скорость легковой машины, если известно, что грузовая шла со скоростью 32 км/ч.

597. Скорость мотоциклиста 48 км/ч, а скорость велосипедиста в 4 раза меньше. Через сколько минут после своего выезда мотоциклист встретит велосипедиста?

598. Скорость грузовика на 12 км/ч меньше легковой. С какой скоростью шел грузовик?

599. Скорость мотоциклиста 44 км/ч. Определить расстояние AB.

600. Скорость грузовика 38 км/ч, а легковой машины 80 км/ч. На каком расстоянии от А встретятся автомашины?

601. Скорость велосипедиста 15 км/ч. Определите скорость мотоциклиста.

602. Определить скорость легковой автомашины.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

603. Стороны равнобедренного треугольника 2 см и 1 см. Определить его периметр.

604. Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Определить углы между диагоналями.

605. Из двух смежных углов один больше другого на 90°. Определить меньший из них.

606. Определить острый угол между двумя медианами равностороннего треугольника.

607. Определите величину тупого угла, составленного биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.

608. Во сколько раз сумма внешних углов треугольника больше суммы внутренних его углов?

609. Определите тупой угол параллелограмма, если он в 5 раз больше его острого угла.

610. Под каким углом пересекаются биссектрисы тупого и острого углов параллелограмма?

611. Сколько осей симметрии имеет пара взаимно перпендикулярных прямых?

612. В выпуклом /1-угольнике все внешние углы тупые, найдите п.

613. Вычислить вписанный угол, опирающийся на дугу, равную части окружности.

614. Из проволоки длиной 28 см надо изготовить параллелограмм, стороны которого относятся как 3:4. Найти длину большей стороны.

615. Сколько секторов на чертеже?

616. Сколько параллелограммов на чертеже?

617. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности в данной точке.

618. Какая фигура получится, если середины сторон ромба соединить последовательно отрезками прямых?

619. Указать геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся внешне данной окружности.

620. Укажите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности.

621. Какая получится фигура, если отрезками последовательно соединить между собой середины сторон равнобедренной трапеции?

622. Какая получится фигура, если отрезками прямой последовательно соединить между собой середины сторон произвольного четырехугольника?

623. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых.

624. Сколько сегментов на данном чертеже?

625. Сколько трапеций на данном чертеже?

626. Найти фигуру, имеющую три оси симметрии.

627. Сколько осей симметрии имеет фигура, состоящая из пары параллельных прямых?

628. Найдите выпуклый многоугольник, сумма внутренних углов которого 12 d.

629. Найдите выпуклый многоугольник, сумма внутренних углов которого равна 8 d.

630. Укажите фигуру, имеющую одну ось симметрии.

631. Укажите фигуру, имеющую пять осей симметрии.

632. Найдите выпуклый многоугольник, сумма внутренних углов которого 10 d.

633. Найдите фигуру, имеющую четыре оси симметрии.

634. Найдите фигуру, которая имеет бесконечно много осей симметрии.

635. Некоторые буквы алфавита разбиты на группы следующим образом:

I группа А, М, П, Т, Ш, Д, Л;

II группа В, Е, 3, К, С, Э, Ю;

III группа Ф, Ж, О, X, Н, И;

IV группа Г, Б, Р, У, Ц, Ч, Ь, Ы, Я.

Требуется определить, по какому принципу произведена разбивка букв на группы?

636. Часы показывают 11 час. Через сколько минут минутная стрелка догонит часовую?

637. Какой угол между стрелками часов будет через 40 мин?

638. Часы показывают 11 час. Через сколько минут стрелки часов покажут противолежащие числа на циферблате?

639. Теорема. «Если четырехугольник есть ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны». Сформулировать обратную теорему. Верна ли она?

640. Если стороны двух острых углов параллельны, то углы равны. Эта теорема верна. Верна ли ей обратная?

641. Теорема. «Смежные углы не могут быть оба острыми или оба тупыми». Докажите. Сформулируйте теорему, обратную данной. Верна ли она?

642.

Дано: АО±ОВ, SQ || ОЛ; ОР±ОВ; АО = 2\ ОР=\. Определить SP.

643. Три села А, В, С не расположены на одной прямой. Указать на чертеже, как надо провести прямую дорогу из А, чтобы кратчайшие расстояния от нее до В и С были одинаковы.

644. Построить ромб при условии, что две его противоположные вершины лежат в точках А и В, а третья вершина лежит на данной окружности.

645. Построить треугольник по двум сторонам и медиане между ними.

646. Два поселка А и В расположены по разные стороны и на разных расстояниях от реки. Где следует устроить лодочную станцию, чтобы она одинаково отстояла от обоих поселков?

647. На одном и том же берегу речки, на разных расстояниях от нее, расположены два колхоза А и В. Эти колхозы решили совместно построить мост через речку. Где следует построить этот мост, чтобы он отстоял от колхозов на одном и том же расстоянии?

648. На трибунах стадиона вокруг беговой дорожки сидят зрители, в том числе А и В. Укажите те места на дорожке, где бегун будет на одинаковом расстоянии от А и В.

649. Найти точку, равноудаленную от сторон данного угла и от концов данного отрезка.

650. Дан круг. Найти его центр, пользуясь лишь чертежным треугольником и карандашом.

651. По имеющейся части (сегменту) круглого шкива найти диаметр шкива.

652. В треугольнике проведена средняя линия. Найдите середину основания этого треугольника, пользуясь только линейкой (без делений).

653. Пользуясь только циркулем, постройте 3 точки, лежащие на одной прямой.

654. В равнобочной трапеции ABCD (AB— основание) была проведена средняя линия MN, после чего трапеция была стерта, оставлены только точки А, В и N. Восстановить трапецию.

655. Был начерчен треугольник ABC, проведены его медианы и отмечены их основания D, Р, Н. Потом треугольник был стерт, оставлены только три точки D, Р, Н. Восстановить треугольник.

656. На классной доске был приколот ромб ABCD, в котором проведена высота BE. Кнопки были воткнуты в точки В, D, Е. Ромб сняли, остались одни кнопки. Восстановить ромб.

657. Как провести в треугольнике, одна из вершин которого не уместилась на чертеже, медианы?

658. Угол, вершина которого не поместилась на чертеже, разделить пополам.

659. Пользуясь циркулем и линейкой, соедините точки А и В прямой, если длина линейки меньше расстояния AB.

660. У берега реки надо поставить водонапорную башню, из которой вода доставлялась бы по трубам в селения А и В. В какой точке нужно ее соорудить, чтобы общая длина труб до обоих селений была наименьшей? (Берег считать прямолинейным, А и В— по одну и ту же сторону реки.)

661. Дорога SA пересекает реку SB под острым углом. Гонец из пункта С (С— внутри угла ASB) должен по возможности скорее добраться до дороги SA (чтобы с попутной машиной передать письмо), но при этом сначала ему нужно напоить коня в реке SB. Как он должен ехать?

662. Гонец из пункта С должен добраться до дороги SA, напоить коня в реке SB и затем вернуться в С. Как он должен ехать, чтобы затратить по возможности меньше времени?

663. Два населенных пункта А и В расположены по разные стороны реки, берега которой параллельны. Где следует построить мост через реку, чтобы путь между двумя этими пунктами был кратчайшим?

664. Доказать, что если две стороны и медиана между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.

665. Доказать, что если две стороны и угол против большей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу против большей из них другого треугольника, то треугольники равны.

666. Доказать, что в равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на боковые стороны, равны. Составить обратную теорему и доказать ее.

667. Доказать, что середины всех хорд данной окружности, проходящих через данную точку А, лежат на окружности.

668. Определить вид четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон данного произвольного четырехугольника.

669. Доказать, что биссектриса прямого угла любого прямоугольного треугольника делит пополам угол между медианой и высотой, проведенных из вершины этого угла.

670. Доказать, что три точки, симметричные точке пересечения высот H произвольного треугольника ABC относительно его сторон, лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.

671. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена секущая CAD. Доказать, что отрезок CD виден из точки В под постоянным углом.

672. Доказать, что если разность между суммой двух сторон треугольника и его третьей стороной равна диаметру вписанного круга, то треугольник прямоугольный.

673. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Доказать, что их центры образуют квадрат.

674. Можно ли любой треугольник разрезать на два остроугольных треугольника?

675. Назовите фигуру, имеющую бесконечно много центров симметрии.

676. Сколько осей симметрии имеет пара взаимно перпендикулярных прямых?

677. Укажите ошибку в теореме: «Биссектриса угла равнобедренного треугольника является одновременно медианой и высотой».

678. Найдите лишние слова в определении: «Хорда, соединяющая две точки окружности и проходящая через центр, называется диаметром».

ПРИЛОЖЕНИЕ № 3

ОТВЕТЫ

1. Ты молодец. 2. Хоромы. 3.(0;0), (0;1),(2;2),(-2;0),(1;1), (—1; 1),(0;0). 4. (—1; 1),(1;—1), (-1; -1), (1; -1), (1; 1), (1; -1), (-1; 1). 5. (-1; 1), (1; - 2), ( - 1; - 1). 6. (-1;1), (-1;- 1), (1; -2), (2; 2). 7. X = 3; у = 2 . 8. Через 1 час. 9. 76 км от Л, в 17 ч 45 мин. 10. В 54 км от лагеря; 18 ч. И. По месту цифры 7. 12. По количеству общих делителей. 13. По величине остатка пои делении на 5.

* Задачи № 18—27 решать непосредственным перебором всех возможных комбинаций.

** Задачи № 28—34 требуют умения выражать вероятность некоторого события дробью.

=58 781. 197. Ф. Энгельс. 198. M. И. Калинин.

199. М. В. Ломоносов (1711—1765)—великий русский ученый — химик, физик, философ, поэт.

200. М. В. Ломоносов. 201. Галилео Галилей (1564—1642)— великий итальянский физик и астроном, создатель основ механики. 202. Карл Гаусс — крупнейший немецкий математик XIX в. 203. Н. Е. Жуковский. 204. М. В. Ломоносов. 205. Евклид— греческий геометр, живший в III в. до нашей эры. Первый составил стройный систематический курс геометрии, который изложил в своих 13 книгах. Эти книги называются «Началами» Евклида. 206. Блез Паскаль, известный французский физик и математик XVII в. В 1694 г. еще восемнадцатилетним юношей впервые построил счетную машину—первый арифмометр. 207. Счет «костьми», «дощаный счет», абак, счеты. 208. П. Л. Чебышев (1821—1894). XIX в. 209. Н. И. Лобачевский (1793—1856). уЩ*1Г 210. Л. Ф. Магницкий (1669 — 1739) — автор первой учебной книги по математике «Арифметика». 211.Фалес (VII—VI в. до н. э.), Архимед (VI в. до н. э.), Евклид (III в. до н. э.) и др. 212. И. М. Виноградов,С. Л. Соболев, Л. С. Понтрягин, М. В. Келдыш, А. Н. Крылов, А. Н. Колмогоров и др. 216. 9 верст; 15 аршин. 217. 10 пудов. 218. 164 а. 219. 29 970. 227. 7109;

230. Н. В. Гоголь.

233. Составить уравнение

237. 24 часа.

238. X коп. дали крестьянину. Уравнение

239. Муж выпивает в день ^ кади, а вместе с женой — кади. Жена выпивает в день — = (кади). Ответ. 35 дней.

240. X руб.— стоимость кафтана. Уравнение:

241. X алтын —цена жилета. Уравнение:

242. Составляем пропорцию:

243. 352 аршина («250 ж).

244. Так как большой луг косила полдня вся артель и полдня половина ее, то три полартели за полдня могут скосить весь большой луг, а полартели за полдня у луга. Отсюда следует, что на малом лугу остался нескошенным участок в у —j =у (части большого луга). Его скосил за день один косец. Значит, весь луг за один день могли бы скосить

245. Пусть состояние торговца х фунтов; в первый год его состояние будет

во второй год

в третий год

Уравнение:

246. Пусть X — число воробьев;

у — число горлиц; г — число голубей.

Система:

Ответ. X = 9; г/ = 10; г = 11.

247. Самаркандский математик Гиясэддин Каши Джемшид (умер в 1456 г.), а через полтора века фламандский ученый Симон Стевин (1548—1620).

248. Шотландский математик Джон Непер (1550—1617).

249. Немецким математиком Лейбницем в 1698 г. и 1684 г.

250. Решите задачу, а) Один рыбак съел судака за 5 дней. Сколько судаков съедят 10 рыбаков за 5 дней?

б) Узнайте, сколько судаков съел один рыбак за 6 дней? Отсюда сделайте вывод о 10 рыбаках.

в) Один рыбак съел 1 судака за 6 дней, а 10 рыбаков съедят за 6 дней в 10 раз больше, т.е. 10 судаков. (Ответ. За 6 дней.)

251. а) Сколько часов в сутках?

б) Какое время суток будет через 72 часа?

в) Так как в сутках 24 часа, то с 12 час. ночи данного дня пройдут 3 суток. Значит, солнечную погоду ожидать нельзя. (Ответ. Нет.)

252. б) Найти кастрюлю, в которую войдут все пять яиц!

в) Если все яйца поместить в одну кастрюлю, то время их варки не зависит от их количества. (Ответ. 3 мин.)

253. а) Кем приходится твой дедушка твоему отцу?

б) Внук, его отец и дедушка купили 3 апельсина. Значит, каждый получил по одному апельсину.

254. а) Сколько минут в 1 часе?

б) Сравни время.

в) Путь туда и обратно самолет пролетел за одно и то же время, так как 1 ч 20 мин =80 мин.

255. а) Как могут два человека подойти к переправе?

б) Сказано ли в условии задачи, к какому берегу подошли оба путника?

в) Двое подошли к разным берегам реки, поэтому оба переправились.

256. б) Сделай рисунок для первого условия и разбери по нему другие условия.

в) Летело 3 утки в один ряд (друг за другом).

257. б) Запиши эти числа. Выполни действие, в) 30-30=900. (Ответ. 90 десятков.)

258. а) Прочитай внимательно первую строчку и вопрос задачи!

в) Машинисту столько лет, сколько тебе, так как машинист — это ты!

259. б) Узнай из условия задачи, сколько стоит четвертая тетрадь.

в) Так как на покупку четвертой тетради не хватает 5 коп., то она стоит 5+5=10 (коп.). Значит, денег у меня было 10-3+5=35 (коп.).

260. б) В семье два сына и одна дочь. Сколько сестер у каждого брата?

в) У каждого из семи братьев одна и та же сестра. Значит, в семье восемь детей.

261. б) Определи по условию задачи, сколько братьев у этой сестры.

в) У сестры один брат, а следовательно, и одна сестра. В семье всего трое детей.

262. б) У тебя три сестры. Сколько сестер у твоего брата?

в) Если у каждого сына по три сестры, значит, у отвечающего три дочери. В семье всего 6 детей.

263. а) На сколько лет отец старше тебя сейчас? А через 5 лет? Через 10 лет?

в) Отец никогда не будет старше сына на 25 лет, если сейчас он старше на 23 года, так как разница в годах остается постоянной.

264. б) Не забывай о десятичных дробях, в) Нужно поставить запятую : 5,5.

265. Скорее всего, что ничего не найдут.

266. 1,5 т.

267. Одну синицу птицелов отдал вместе с клеткой.

268. в) Нужно повернуть листок с числом 666 на 180°.

269. а) Воспользуйся дробной чертой.

в) Провести горизонтальную черту деления.

270. а) Определите, на сколько килограммов лев легче бурого медведя.

б) Подумайте, как определить, сколько весят три льва.

в) Бурый медведь тяжелее льва на 80+70 = = 150 (кг).

Три льва весят 970—70—150 = 750 (кг). Один лев — 250 кг. Вес тигра — 320 кг.

271. а) Решите з а дач у. Во дворе школы посадили лип и березок 30 штук, причем лип в два раза больше, чем березок. Сколько было посажено лип?

б) Примем вес тигра за 2 части, тогда на 9 частей приходится 1520—80 = 1440 (кг), а на одну часть 1440 : 9 = 160 (кг). Белый медведь весит 160-5 = 800 (кг).

272. б) Подумайте, как по чертежу определить вес одного тигра.

в) Один тигр весит 240+80 = 320 (кг). Три тигра — 960 кг, а три бурых медведя 960+240 = = 1200 (кг). Вес бурого медведя 1200 : 3 = 400 (кг).

273. б) Подумайте, как по чертежу определить вес 24 львов.

в) 24 льва весят 6400—400 = 6000 (кг), а один лев 6000 : 24 = 250 (кг).

274. б) Подумайте, как можно по чертежу определить вес трех львов.

в) Три льва весят 1020—200—70 = 750 (кг). Вес одного льва 250 кг. Вес верблюда равен 450 кг.

275. а) Задача 1. Отцу с сыном вместе 35 лет, причем один старше другого в 6 раз. Сколько лет отцу?

Задача 2. Отцу и сыну вместе 37 лет. Если бы отец был моложе на два года, то он был бы старше своего сына в 6 раз. Сколько лет отцу?

в) Одно деление на графике примем за одну часть, тогда на 6 частей приходится 210—30 = = 180 (лет), а на одну часть 30 лет. Сом мажет прожить 60 лет.

276. а) См. задачу № 275 а).

б) Примите одно деление графика за одну часть.

в) Принимаем число лет жизни свиньи за одну часть. Тогда на 4 части будет приходиться 100—20=80 (лет). Свинья может прожить 80:4= =20 (лет), а верблюд 30 лет.

277. а) Задача. Отец старше сына на 20 лет, а вместе им 36 лет. Сколько лет сыну?

б) Определите с помощью чертежа, на сколько лет слон долговечнее льва.

в) Слон долговечнее льва на 40 лет. Если бы слон и тигр в отдельности могли бы жить столько, сколько лев, то в общей сложности все трое могли бы прожить лишь 150—40—20=90 (лет) и тигр жил бы до 90:3=30 (лет). Тигр же может прожить до 30+20=50 (лет).

278. а) См. задачу №275 а).

в) Если число лет, которое может прожить щегол, принять за 1 часть, тогда на 7 частей будет приходиться 195—15—5=175 (лет). Щегол может прожить 175:7 = 25 (лет). Голуби живут до 30 лет.

279. а) Задача. Если бы шест телевизионной антенны был на 1 ж короче, то она была бы выше высоты дома в 2 раза. Общая же их высота 7 ж. Какова высота антенны?

в) Если высоту журавля принять за одну часть, то на пять частей будет приходиться 10 ж 10 см — (\м 20сж+90 сж)=8 ж. Высота журавля 8 ж: 5= 1ж 60 см. «Рост» жирафы будет равен 1 м 60 еж-3+1 м 20 сж=6 м.

280. а) См. задачу № 275 а).

в) Если длину кобры принять за одну часть, то на 12 частей будет приходиться 19—1 = 18 (м). Длина кобры 1800 сж:12=1 м 50 см. Длина крокодила 1 м 50 сж-6+1 ж=10 м.

281. а) См. задачу № 277 а).

б) Подумайте, как по чертежу определить длину трех зубров.

в) Носорог длиннее зубра на 2 м. Длина трех зубров равна 12 м—(2ж+1 ж)=9 ж. Длина зубра — 3 ж. Длина тела носорога равна Зж+2ж=5 ж.

282. б) Подумайте, как по чертежу определить длину тел двух моржей.

в) Длина двух моржей 10 ж 50 см — 50 см— = 10 ж. Длина одного моржа 5 ж.

283. а) См. задачу № 277 а).

б) Определите по чертежу, на сколько лет слон долговечнее удава.

в) Слон долговечнее удава на 40 лет. Если бы слон и кит в отдельности имели такую же продолжительность жизни, что и удав, то в общей сложности все трое могли бы прожить 150—(40+ +20)=90 (лет), и удав жил бы до 90:3=30 (лет). Кит же может прожить 30+20=50 (лет).

284. См. задачу № 276. Ответ. Свинья может жить до 20 лет.

285. См. задачу № 277. Ответ. Слон может прожить до 70 лет.

286. См. задачу № 277. Ответ. Удав может жить до 30 лет.

287. См. задачу № 275. Ответ. Попугай может прожить 140 лет.

288. а) Задача. Мне 12 лет, а друг старше меня на одну треть. Сколько лет другу?

в) Ослу 50 лет.

289. а) Задача. Мне 12 лет, что составляет возраста отца. Сколько лет отцу?

б) Каким действием можно найти число по величине его дроби?

в) Предельный возраст кукушки 18:^=32 (года), вороны 18 : ^ =100 (лет), лебедя 18 : =300 (лет).

290. б) Сколько куриных яиц нужно взять, чтобы получить вес одного яйца страуса?

в) По весу 60 куриных яиц равны 3 яйцам страуса. Следовательно, 6 яиц страуса весят 9 кг. Вес яйца страуса равен 1,5 кг.

291. б) Смотрите № 289 б).

в) Рост гориллы равен 60:0,08=200 (см)=2 м.

292. б) Смотрите № 289 б).

в) высота слона 2,75 : ^=3,5 (м), высота жирафы 6 м.

293. б) Смотрите № 289 б).

в) Белуга может жить 80:у=100 (лет).

294. б) Смотрите № 289 б).

в) Свинья может жить 15 : =20 (лет).

295. а) Задача. После того как своих денег я израсходовал на покупку книги, у меня осталось 20 коп. Сколько у меня было денег?

б) Какую часть веса всей белуги составляет у г? в)|г составляет ^ веса белуги. Вес белуги равен -J" 1 T=1 (т)-

296. б) Каким действием находится дробь от числа?

в) Вес королька равен 16 000 • =^о=5 (г).

297. б) См. задачу № 296 б).

в) Кабарга весит 500-^=8 (кг).

298. б) Вспомни, каким действием находится число по данной величине его дроби.

в) Длина удава 1,5: g^= 10 (м), а длина акулы

10-1,5=15 (м).

299. а) Скорость поезда 72 км/ч. Сколько метров пройдет поезд за одну минуту? за секунду?

б) Мотоциклист догоняет велосипедиста. На сколько метров ежесекундно сокращается расстояние, если известно, что скорость мотоциклиста 20 м/сек, а велосипедиста 10 м/сек? На сколько метров сократится разрыв через 10 сек?

в) Шмель за секунду пролетает 18 000:3600= =5 (м), а скворец 72 000:3 600=20 (м). За каждую секунду скворец догоняет шмеля на 20—5=15 (м). Скворец догонит шмеля через 270:15=18 (сек). Ответ. 18 сек.

300. б) Скорость нужно выразить в км/ч.

в) Скорость вороны 5-10=50 (км/ч), голубя 18-5=90 (км/ч), орла 20-4=80 (км/ч). Ответ.

1-^ раза; 2,5 раза; 2-|- раза.

301. а), б) См. задачу № 299 а, б).

в) За минуту собака пробегает 3,6-1000:6 = = 600 (м), а заяц 3-1000:6=500 (м). Значит за каждую минуту собака догоняет зайца на 600—500 = = 100 (м). Собака догонит зайца через 150:100 = = 1,5 (мин).

302. а) Задача. Путешественник прошел -у всего пути и осталось идти еще 3 км. Определите весь путь.

б) Определите, какую часть всей жизни ворона составляют 25 лет.

в) 25 лет составляют -~ часть жизни ворона.

Продолжительность жизни ворона 25:-^-=150 (лет).

303. 135 кг.

304. б) Смотрите № 289 б).

в) Предельный возраст орла 30:-^- =80 (лет), попугая 30:-j-j = 140 (лет). Продолжительность жизни попугая больше продолжительности жизни орла в 140:80= 1-^- (раза).

305. б) Смотрите № 296 б).

в) Вес воробья равен 75 000-0,0008=60 (г), а колибри 60-^=2 (г).

306. б) Смотрите № 296 б).

в) Вес мяса крупной черепахи равен 200-у= = 120 (кг). Из него можно приготовить 120 000:200=600 (вторых блюд).

307. а) Поезд идет со скоростью 20 м/сек. Сколько он пройдет за 1 мин?

б) Выразите скорость пчелы и шмеля (в км/ч).

в) Скорость стрекозы 10-60-60=36 000 (м/ч)— —36 км/ч, пчелы 400-60=24 000 (м/ч)—24 км/ч.

Ответ. Стрекоза летает быстрее пчелы в 1,5 раза и быстрее шмеля в 2 раза.

308. а) См. № 302 а).

б) Определите, какую часть веса всего краба составляют 2 кг.

в) 2 кг составляют 1 веса краба. Вес краба 2;1=14 (кг).

309. а) Задача. Турист был в пути три дня. В первый день он прошел ^ всего пути или в 2^ раза больше, чем во второй. Какую часть всего пути прошел турист во второй день.

в) Вес медведя принимаем за 1 часть, тогда вес свиньи будет составлять 1*4 = 4 (части). Так как свинья тяжелее барана в 1^ раза, то баран легче свиньи в ц раза, а следовательно, вес барана будет составлять (части). На Ч~4 + 2б=2б (части) приходится 880 кг, тогда на одну часть придется 880 : = 400 (кг). Вес бурого медведя — 400 кг, вес свиньи 400x х|=300 (кг), вес барана 400-^ = 180 (кг).

310. а) Задача 1. Садовник вскопал свой участок за 3 дня. Какую часть участка он вскапывал за 1 день?

Задача 2. Туристы каждый день расходовали -gjr часть своих запасов. Как найти, через сколько дней они израсходуют весь свой запас?

Задача 3. Дедушка может приусадебный участок вскопать за 1 день, а его внук за 2 дня. За сколько дней они вскопали бы участок, работая вместе?

б) Определите, какую часть овцы съедят вместе лев, волк и пес за один час.

в) Лев съедает за 1 час целую овцу, волк за 1 час съедает ^ овцы, а пес только s овцы. Вместе за 1 час они могут съесть 1 + ^ + g = = lg (овцы). Одну овцу они съедят за 1:1g = =YÎ (часа).

311. а) Задача 1. Свинья в 1,6 раза легче медведя и в 16 раз легче слона. Во сколько раз слон тяжелее медведя?

б) Определите сначал вес быка, а затем вес слона.

в) Вес быка, который в 1^ раза легче носорога, равен 2000:1^=1200 (кг). Слон тяжелее быка в 3^ раза, значит, он весит 1200 • 3g= =4000 (кг). Свинья весит 4000:16=250 (кг), а медведь 250-1,6=400 (кг). Вес волка 400~ =40 (кг).

312. 4000 лет.

313. а) Задача 1. ^ веса отца составляют два моих веса. Какую часть веса отца составляет мой вес?

Задача 2. Известно, что ^ веса отца равна g моего веса. Найдите, какую часть веса отца составляет мой вес.

б) Узнайте, какую часть веса всего зубра составляет вес лося, и решайте задачу на части.

в) Вес лося составляет ^ : 5 = 3 (веса зубра). Вес зубра принимаем за одну часть. Тогда 1300 кг составляют (частей). Вес зубра равен 1300:l|=800 (кг), а вес лося 800^ = 500 (кг).

314. а) См. № 313 а).

в) Вес лягушки-бык составляет ^ : g = | (веса жабы-ага). Вес жабы принимаем за одну часть. Тогда 1,6 кг составляет 1 + ^ = g (части)

Вес жабы равен 1,6 : g=l (кг), а вес лягушки-бык bg=0,6 (кг).

315. а) См.№313 а). Дополнительно. Задача 3. Отец старше меня в три раза, а я моложе его на 20 лет. Сколько мне лет?

в) Длина сухопутной черепахи составляет 4:3=4 (длины морской). Длину морской черепахи принимаем за 1 часть. Тогда 0,5 м составляют 1—^=£ (части). Длина морской черепахи равна 0,5:^=2 (м), а сухопутной 2-^=1,5 (м).

316. а) Задача. На месяц семья покупает 5 кг сливочного масла и других жиров, причем масла в 1,5 раза меньше, чем других жиров. Сколько килограммов масла покупает эта семья?

в) При разделке туши синего кита получают 50 т костей и жира. Примем вес костей за одну часть, тогда 50 т составляют 1 + 1,5=2,5 (части). Вес костей равен 50:2,5=20 (7-), а вес жира 20-1,5 = =30 (т).

317. а) Задача. Скорость велосипедиста составляет -^- скорости мотоциклиста. Определить скорость мотоциклиста, зная, что скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

в) Скорость полета стрижа равна 90 • 1 g = = 150 (км/ч). Скорость чайки составляет 150: з=225 (км/ч). Тогда скворец летает со скоростью 225-^=75 (км/ч), а ворон 75:1,5=50 (км/ч).

318. а) Задача 1. На пришкольном участке Маша собрала ящик огурцов и еще 40 кг, а Миша корзину и еще 20 кг. После взвешивания оказалось, что они собрали поровну. Что тяжелее, корзина огурцов или ящик? На сколько?

Задача 2. Корзина и ящик с яблоками весят 70 кг. Известно, что корзина с яблоками тяжелее ящика яблок на 10 кг. Определите вес корзины яблок.

б) Задача. Слон и 2 г весят столько же, сколько бегемот и 4 г. На сколько тонн слон тяжелее бегемота? (Сделайте рисунок.)

в) Так как слон и 2 т весят столько же, сколько бегемот и 4 г, то слон тяжелее бегемота на 2 г. Следовательно, 2 бегемота будут весить 8—2= = 6 (г), а один бегемот 3 т.

319. а) Задача 1. Если кучу картофеля рассыпать по ящикам, то их потребуется 20 шт., а если в корзины, то 15 корзин. Известно, что в корзину входит на 12 кг больше, чем в ящик. Сколько килограммов картофеля останется в куче, если насыпать только 15 ящиков. Не сможете ли вы определить вес ящика картофеля?

Задача 2. На уборке урожая Маша собрала 24 ящика картофеля, а Миша 16 корзин. Выяснилось, что они собрали одинаковый вес. Не сможете ли вы определить вес одной корзины картофеля, если известно, что в корзину входит на 20 кг больше, чем в ящик?

б) 24 взрослых льва весят столько же, сколько 15 бурых медведей. Известно, что бурый медведь весит больше льва на 150 кг. Найдите, на сколько килограммов больше весят 15 бурых медведей, чем 15 львов? Не сможете ли теперь определить вес одного льва?

в) 15 медведей весят больше 15 львов на 150Х X 15=2250 (кг).Но это равно весу 24—15=9 (львов). Вес льва равен 2250:9=250 (кг), а вес новорожденного китенка 250-24 = 6000 (кг)—6 т.

320. а) См. № 315 а).

в) Вес тигра составляет т^:^^ веса бурого медведя. Вес медведя принимаем за одну часть. Тогда 80 кг составляет

Вес бурого медведя равен 80:^=400 (кг), а вес уссурийского тигра 400-g=320 (кг).

321. а) Задача. Белый медведь тяжелее верблюда в lg раза. Определите вес верблюда, если известно, что он легче белого медведя на 350 кг. в) Принимаем вес морского слона за 1 часть, тогда вес моржа составит l:l|=| (части), а бегемота 1 : 2^=? (части). 0,5 т составляют *—^=^ (часть).

Вес морского слона 0,5:^=3,5 (т).

322. а) Задача. Скорость мотоциклиста в 4 раза больше скорости велосипедиста и в 16 раз больше скорости пешехода. Определите скорость мотоциклиста, если известно, что велосипедист в час делает больше пешехода на 15 км.

в) Принимаем скорость стрижа за одну часть, тогда скорость чайки составит 1,5 части, а скорость сокола — 2 части. 75 км/ч составляют 2—1,5= =0,5 (части). Скорость стрижа 75:0,5=150 (км/ч), скорость сокола 300 км/ч.

323. а) Задача. В первый день я прошел в два раза больше, чем во второй, а в третий -g- того, что прошел в первый. Сколько я прошел в первый день, если во второй прошел больше, чем в третий, на 10 км?

в) За одну часть принимаем продолжительность жизни щуки. Тогда продолжительность жизни золотой рыбки составит

Щука может прожить 20:^=80 (лет), сом — 60 лет, а золотая рыбка 30 лет.

324. а) Задача 1. Высота страуса составляет j2 высоты жирафы. Определите высоту жирафы, если она на 3,5 м больше высоты страуса, в) Примем длину лягушки-голиаф за одну часть.

На 12 см придется 1—g=g (части). Длина лягушки-голиаф 12:^=32 (см), жабы-ага 32—7 = =25 (см) и лягушки-бык 32—12=20 (см.).

325. а) Задача 1. Одна собака догоняет другую, которая находится, от нее в 30 собачьих прыжках. Сколько прыжков должна сделать первая собака, чтобы догнать вторую, если она успевает сделать 5 прыжков в то время, как вторая делает только 3.

в) Длина прыжка косули составляет ^ Дли" ны прыжка собаки. Если собака делает 7 своих прыжков, то косуля за это время убежит на ^Х5 = 6^ (прыжков собаки). Следовательно, за каждые 7 прыжков собака нагоняет косулю на 7—6^=2 (длины своего прыжка). 40 прыжков косули составляют 40-^=«^ (прыжков собаки).

Значит, чтобы догнать косулю, собака должна сделать ^ : g= 160 (раз) по 7 прыжков.

Ответ. Собака догонит косулю, сделав 160-7 = = 1120 (прыжков).

326. а) См. задачу № 315 а).

в) Вес быка составляет 0,25:^=1^ (веса тяжеловоза), а вес свиньи 0,25:^=^ (веса тяжеловоза). Принимаем вес тяжеловоза за одну часть, тогда 0,5 т составят 1 —g=g (части).

Вес тяжеловоза равен 0,5:^=800 (кг), а вес быка 800-1^=1200 (кг).

327. а) См. задачу № 313 а).

в) Длина китовой акулы составляет 0,5:^ = 1,5 (длины крокодила), а длина кобры 0,15 его длины. Принимаем длину крокодила за одну часть. Тогда 26,5 м составляют 1 + 1,5+0,15=2,65 (части). Длина крокодила равна 10 м, длина китовой акулы 15 м.

328. Принимаем предельный возраст черепахи за 1 часть. Предельный возраст крокодила будет составлять 3 части, а кита ^ части. 250 лет составляют 3 — ^=2^ (части). Черепаха может прожить 250:2^=100 (лет).

329. а) Задача. На первой полке на 5 книг больше, чем на второй, на второй — в два раза больше, чем на третьей. Сколько книг на первой полке, если известно, что на ней книг в три раза больше, чем на третьей? (Сделайте рисунок.)

б) Вес бурого медведя примите за одну часть. Решение будет видно из чертежа.

в) Сделаем чертеж.

Из чертежа видно, что на одну часть приходится 400 кг. Вес зубра 1000 кг.

330. а) Постарайтесь определить, во сколько раз антилопа тяжелее льва.

б) Вес льва примите за одну часть. Решение постарайтесь найти с помощью чертежа.

в) Сделаем чертеж.

На 4 части приходится 1,25—0,25=1 (т). Вес льва 250 кг, антилопы 500 кг, жирафы 500 кг.

331. а) Задача 1. Вес страуса равен весу 3 дроф и 450 воробьев. Воробей легче страуса в 1250 раз. Скольким воробьям равен вес дрофы?

Задача 2. Бегемот тяжелее бурого медведя в 7, 5 раза. Определите вес бурого медведя, если он легче бегемота на 2,6 т.

б) Определите, весу скольких лосей равен вес слона.

в) Вес кита равен весу 300 лосей, значит, 26 слонов весят столько же, сколько 300—40 = = 260(лосей). Отсюда вес слона равен весу 10 лосей. 9 лосей весят 4,5 г. Лось весит 500 кг.

332. а) Задача. Из двух пунктов, А и В, расстояние между которыми 21 км, одновременно навстречу друг другу вышли дедушка и внук. Через 2 часа они встретились. Определите, с какой скоростью бежал к дедушке внук, если известно, что скорость дедушки составляла ^ скорости внука.

б) Если скорость стрижа составляет ^ скорости чайки, то за 1,2 мин он пролетит ^ того, что пролетит чайка.

в) За 1,2 мин птицы пролетят 7,5 км, а за 1 мин 7,5:1,2 = 6,25 (км). Если скорость чайки принять за I часть, то скорость стрижа составит ^ части.

Отсюда чайка за 1 мин пролетит 6,25: 1^ = =3,75 (км), а за 1 час 3,75-60=225 (км). Скорость стрижа равна 225-^= 150 (км/ч).

333. а) Продолжительность жизни страуса примите за одну часть.

в) Сделаем чертеж.

Ворон живет дольше страуса на 110 лет, что составляет 3^ —1=2^ (части). Можно узнать продолжительность жизни страуса: 110:2|= =40 (лет). Попугай может жить 40+40+60= = 140 (лет).

334. а) Определите, на сколько килограммов водосвинка тяжелее двух дикобразов.

б) Вес дикобраза примите за 1 часть.

в) Сделаем чертеж.

На четыре части приходится 95—10—5=80 (кг). Вес дикобраза 80:4=20 (кг), вес бобра 30 кг, а вес водосвинки 45 кг.

335. а) Задача. Тигр тяжелее волка в 8 раз, а бурый медведь в 10 раз. Медведь же тяжелее тигра на 80 кг. Определите вес волка. Решайте на чертеже.

б) Определите, вес скольких зубров равен весу одного носорога.

в) Вес африканского слона равен весу 5 зубров, вес носорога равен весу 2 зубров. Следовательно, вес слона больше веса носорога на вес 3 зубров или на 24 ц. Отсюда зубр весит 800 кг, а носорог 1,6 т.

336. а) Задача 1.2 альбома и 5 тетрадей стоят столько же, сколько альбом и 12 тетрадей. Во сколько раз альбом дороже тетради?

Задача 2. У моего товарища есть альбом, а у меня тетради. Известно, что 2 таких альбома и 5 тетрадей стоят дороже одного альбома и 10 тетрадей на 25 коп. Определите, сколько нужно отдать тетрадей и денег за альбом.

б) Выразите вес одного быка через вес свиней.

в) Бык и две свиньи весят 5,1:3=1,7 (т). Так как два быка и свинья тяжелее быка и 5 свиней на 200 кг, то бык тяжелее 4 свиней на 200 кг, т. е. вес быка равен весу 4 свиней и еще 200 кг. Но тогда 6 свиней будут весить 1,7—0,2=1,5 (7"). Вес одной свиньи 250 кг, вес быка костромской породы равен 1,7—2-0,25=1,2 (г).

337. а) Вес двух львов составляет g веса белого медведя. Какую часть веса белого медведя составляет вес одного льва? Вес трех львов?

в) Вес белого медведя принимаем за одну часть. Вес одного уссурийского тигра будет составлять 0,4 части, а на вес трех тигров придется 1,2 части. 160 кг составляют 1,2—1=0,2 (части). Вес белого медведя равен 160:0,2=800 (кг).

338. а) Задача. Тигр и 2 льва весят 820 кг, а 2 тигра и 3 льва — 1390 кг. Определите вес тигра.

б) Узнайте, сколько будут весить один страус и две гориллы, 2 страуса и одна горилла.

в) у^веса страуса и g веса гориллы составляют 59 кг, тогда 1 страус и 2 гориллы весят 590 кг, а 2 страуса и 4 гориллы будут весит 1180 кг. Но 2 страуса и горилла весят 430 кг. Отсюда 3 горил-

лы весят 1180—430=750 (кг). Вес гориллы 250 кг, а вес страуса 90 кг.

339. а) Задача 1. В первый день продавец продал ^ того, что продал во второй, и еще 20 кг крупы, а во второй 120 кг. Сколько крупы было продано в первый день?

Задача 2. В первый день продавец продал -1- того, что продал во второй день, и еще 20 кг крупы, а второй того, что в третий, и еще 40 кг.

В третий было продано 120 кг. На сколько килограммов крупы в первый день было продано меньше, чем в третий?

б) Примите вес бенгальского тигра за 1 часть и решайте с конца.

в) Принимаем вес бенгальского тигра за 1 часть.

Вес бурого медведя составляет 2 части, вес уссурийского тигра составит 2-^= 1,5 (части) да еще 20 кг. Вес бенгальского тигра будет равен 1 1,5• (части) Да еш«е 50 кг (10 + 40). Но отсюда следует, что на 1 часть приходится 50 кг. Вес бенгальского тигра равен 50:1=200 (кг).

340. а) Определите, на сколько лет продолжительность жизни осла больше продолжительности жизни кошки.

в) Сделаем чертеж.

Осел может прожить дольше кошки на (5+5+ +5+5+20)=40 (лет), что составляет 4 части. Отсюда кошки могут жить до 10 лет (40:4), а свиньи до 20 лет.

341. а) Задача 1. Отец выше дочери в 1,5 раза. Определите рост отца, если известно, что он выше дочери на 60 см.

Задача 2. Отец в 1,2 раза выше матери, а мать на 20 см выше сына. Определите рост отца, если известно, что он на 50 см выше сына.

б) Определите, насколько метров жирафа выше гориллы.

в) Жирафа выше гориллы на 4 м. Принимаем высоту гориллы за одну часть, тогда высота страуса составит 1,2 части, высота жирафы — 3 части. На 4 метра приходится 2 части. Высота гориллы 2 м, высота жирафы 6 м.

342. а) См. № 325 а).

б) Выразите длину прыжка барса через длину прыжка тигра.

в) Длина прыжка барса составляет yg длины прыжка тигра. Когда тигр делает 2 своих прыжка, то барс за это же время делает |1хЗ= =-2,2 (прыжка тигра), т. е. при каждом прыжке тигра барс убегает от него на (2,2—2):2=0,1 (прыжка тигра). За 60 прыжков тигра барс убежит на длину 6 тигровых прыжков или на 55— —10=45 (м.). Отсюда длина прыжка тигра равна 45:6=7,5 (м), а барса 7,5~=5,5 (м).

343. а) Продолжительность жизни осла примите за одну часть (обозначьте ее единичным отрезком). Строить чертеж начинайте с конца условия задачи.

в) Вычертим.

Так как крокодил может прожить в 6 раз дольше осла, то продолжительность жизни крокодила 300 лет; продолжительность его жизни составляет 6 частей. Из чертежа видно, что на 2 части приходится 100 лет (30 л.+30 л.+30 л. +10 л.). Отсюда осел может жить 50 лет, а продолжительность жизни крокодила 300 лет.

344. а) Продолжительность жизни свиньи примите за одну часть (обозначьте единичным отрезком). Постройте чертеж, начиная с конца условия задачи.

в) Вычертим.

Морская черепаха может прожить дольше свиньи в 5 раз. Следовательно, продолжительность жизни черепахи можно принять за 5 частей. Из рисунка видно, что на 1 часть приходится 20 лет. Продолжительность жизни морской черепахи достигает 100 лет.

345. а) Задача 1. Если к твоим 30 копейкам я прибавлю ? того, что у меня есть, то

я получу то, что у меня есть. Сколько у меня имеется денег?

б) Какую часть веса ласки составляют 10 г?

в) Вес мышки-норушки составляет веса ласки. Вес 40 сестер составит ^-40=^ (веса ласки). Итого можно сосчитать, что вес ласки состоит из своего веса (;=+т^) да еще 10 г.

Отсюда следует, что 10 г составляют веса ласки.

Вес ласки равен 10:~=100 (г). Вес землеройной крошки 2 г.

346. б) Примите возраст сома за 2 части, в) Тогда 6 частям будет соответствовать 210 —30= 180( лет). На одну часть приходится 30 лет. Кит может прожить 50 лет.

347. б) Примите длину белуги за одну часть.

в) Из чертежа видно, что 5 частям будет соответствовать 53—28=25 (м). На одну часть приходится 5 м. Длина акулы 15 м.

348. б) Вес одного леща примите за одну часть. Решайте задачу на части.

в) Ответ. 9 кг.

349. а) Задача. 5 окуней весят столько же, сколько два леща. Известно, что лещ тяжелее окуня на 360 г. На сколько граммов 2 окуня легче 2 лещей? Как узнать, сколько весит окунь?

б) Определите, на сколько килограммов больше весят три самых крупных сазана, чем три самых крупных налима.

в) Три сазана весят столько же, сколько три налима, да еще 8-3=24 (кг). Но три сазана весят столько же, сколько 4 налима. Отсюда один налим весит 24 кг.

350. б) Сколько окуней поймали бы два рыбака, если бы первый поймал столько же, сколько второй?

в) Если бы первый поймал столько же окуней, сколько второй, то вместе они поймали бы 40— —6=34 (окуня). Тогда каждый из них поймал бы по 17 штук. Но первый поймал на 6 штук больше. Значит, первый поймал 17+6=23 (окуня), а второй — 17 окуней.

351. б) Примите количество окуней, пойманных мальчиком, за одну часть. Решайте задачу в частях.

в) Принимаем количество окуней за одну часть, тогда 20 ершей и окуней составят 4 части. На одну часть приходится 5 рыбок. Ответ. Мальчик поймал 5 окуней и 15 ершей.

352. а) Задача. Три товарища зашли в столовую и взяли три одинаковых обеда. Один подсчитал стоимость и заплатил за свой обед 60 коп. Сколько стоил обед всех троих?

б) Во сколько копеек оценил рыбу, предназначенную для ухи, подошедший охотник?

в) Так как уху должны есть трое, а один (охотник) заплатил 60 коп., то и двое рыбаков должны были заплатить по 60 коп. Поэтому уха стоит 60-3=180 (коп.). В уху положили три окуня, значит, каждый окунь стоит 60 коп. Все деньги, вложенные охотником, должен получить первый рыбак.

353. а) Задача 1. Мать ниже отца на 10 см и выше меня на 22 см. На сколько сантиметров отец выше меня? Сделайте рисунок.

Задача 2. Отец выше меня на 80 см. Определите его рост, если я знаю, что он выше меня в 2 раза.

б) Определите разность длин семги и горбуши в сантиметрах и частях.

в) Сделаем чертеж.

Длина семги больше длины горбуши на 42+ + 16=58 (см). Но семга длиннее ее в два раза. Следовательно, длина семги 58-2=116 (см).

354. б) См. № 350 б\ в) Если бы калорийность севрюги была равна калорийности осетрины, то калорийность 100 г свежей севрюги и 100 а свежего осетра составляла бы 644—12 = 632 (ккал). Отсюда калорийность 100 г осетрины равна 632:2=316 (ккал).

355. а) Задача. Два одинаковых яблока и три одинаковые груши весят 400 2, причем известно, что груша тяжелее яблока в два раза. Определите вес яблока.

б) При развешивании можно вместо одного окуня класть два ерша.

в) Так как вес окуня равен весу двух ершей, то вместо 15 окуней можно положить 30 ершей. Тогда 40 ершей (30+10) будут весить 2 кг. Отсюда вес ерша равен 2000:40=25 (г), а окуня 50 2. Весь улов весит 48-25+36-50=3000 (г) = 3 кг.

356. б) Количество окуней, пойманных вторым рыбаком, нужно принять за одну часть. Задачу решать в частях.

в) Количество окуней, пойманных вторым рыбаком, принимаем за одну часть. Весь улов второго рыбака составит 3 части. Значит, второй рыбак поймал 9:3=3 (окуня), а первый — 5. Всего 8 окуней.

357. Ответ. 300 000:15=20000 (раз).

358. а) Задача 1. Мой дед в два раза старше отца, а отец в два раза старше меня. Во сколько раз дед старше меня?

Задача 2. Мой дед в два раза старше отца, а отец в два раза старше меня. Сколько лет моему деду, если я на 60 лет моложе его?

б) Вес крупной сороги примите за одну часть. Выразите вес налима в частях.

в) Вес крупной сороги принимаем за одну часть, тогда вес леща составит 6 частей, а налима 24 части. На 23 кг приходится 24—1=23 (части). Предельный вес сороги равен 1 кг, а леща 6 кг.

359. б) Примите длину морского окуня за одну часть. Для решения используйте чертеж.

в) Сделаем чертеж.

Так как предельная длина трески больше предельной длины морского окуня в два раза, то на одну часть приходится 90 см (30+30+30). Предельная длина трески 180 см.

360. а) Задача. У Маши и Даши вместе 12 воздушных шаров. Когда Маша отдала Даше 2 шара, то шаров у них стало поровну. Сколько шаров было у каждой девочки первоначально?

б) Узнайте сначала, сколько карпов осталось у рыбаков после того, как первый выпустил пять штук.

в) После того как первый рыбак выпустил 5 карпов, у обоих осталось 28 штук. После того как второй рыбак отдал первому 6 штук, у каждого стало по 28:2=14 (карпов). Перед этим у второго было 14+6=20 (карпов), а у первого 14—6= =8 (карпов). Первый поймал 8+5=13 (штук), второй 20.

361. а) Смотрите № 352 а).

б) Во сколько копеек оценил прохожий жареную рыбу?

в) Так как жареную рыбу разделили на три равные части и прохожий за свою часть заплатил 60 коп., то вся рыба стоит 60-3=180 (коп.). Всего было 18 окуней, значит, каждого окуня можно оценить в 10 коп. Но тогда первый как бы вложил 80 коп., а второй 1 рубль. Одна порция стоит 60 коп. Первый должен взять 20 коп., второй 40 коп.

362. а) Задача. За два дня пути я прошел 42 км, причем в первый в два раза больше, чем во второй. Сколько километров я прошел в первый день?

б) Определите улов в первый и второй день в отдельности.

в) Принимаем сегодняшний улов за 1 часть, тогда 18 кг составляют 3 части. Сегодня мы поймали 6 кг, а вчера 12 кг.

Принимаем твой улов сегодня за 1 часть, тогда наш общий улов (6 кг) составит 3 части. Сегодня ты поймал 6:3=2 (кг), а я 4 кг. Если бы я поймал вчера столько же, сколько и ты, то общий улов был бы равен 12+2=14 (кг). Значит, вчера ты поймал 14:2=7 (кг), а я только 5 кг. За два дня я поймал 9 кг (5+4), а ты 9 кг (2+7). Наш улов одинаков.

363. б) Примите дневной улов за одну часть, в) Принимаем дневной улов за одну часть, тогда утренний улов составит 3 части, а вечерний 2 части. Весь улов (3 кг) составит 6 частей. На одну часть приходится 500 г. Утренний улов равен 1 кг 500 г, а вечерний 1 кг.

364. б) Примите количество икринок, которое выметывает щука, за одну часть.

в) Принимаем количество икринок, которое выметывает щука, за одну часть. Количество икринок, которое выметывает налим, составит 5 частей, а линь — 3 части. 200 тыс. икринок составляют 2 части (5 ч.—3 ч.). На одну часть приходится 100 тыс. икринок. Налим выметывает 500 000 икринок.

365. в) Карп мечет 7 000 000:14=500 000 (икринок), треска 7 000 000+500 000+2 500 000= = 10 000 000.

366. в) Сделаем чертеж.

На уху отдали 27 окуней. Осталось 75—27= = 48 (штук). У каждого осталось по 48:3=16 (окуней). Первый поймал 24, второй — 28, а третий — 23 окуня.

367. б) Вместо двух крупных морских окуней можно взять девять самых крупных речных.

в) Два крупных морских окуня весят столько же, сколько 9 самых крупных речных. Из второго условия задачи видно, что 10 самых крупных речных окуней весят 20 кг. Один речной весит 2 кг, а крупный морской (2-9):2=9 (кг).

368. а) Задача. В первый день похода я прошел в три раза больше, чем во второй, и в 6 раз больше, чем в третий. В какой день я прошел больший путь, во второй или в третий? Во сколько раз?

б) Подумайте, во сколько раз полярная акула длиннее голубой. Примите длину голубой акулы за одну часть.

в) Так как китовая акула в 3 раза длиннее полярной и в 6 раз длиннее голубой, то длина полярной акулы больше длины голубой в 2 раза.

Принимаем длину голубой акулы за 1 часть, тогда длине полярной акулы будет соответствовать 2 части. Так как полярная акула длиннее голубой на 4 м, то одна часть (2 ч.—1 ч.) будет составлять 4 м.

Ответ. Длина голубой акулы 4 м, полярной 8 м, китовой 24 м и акулы кархародон 12 м.

369. а) Задача. В нашем классе в два раза больше отличников, чем в V Б, и в три раза меньше, чем в V В. Во всех трех классах 24 отличника. Сколько отличников в VB классе?

Задачу можно решить в частях, но для этого нужно подумать, за сколько частей нужно принять количество отличников в нашем классе, с тем чтобы количество отличников в других классах, выраженное в частях, было целым.

б) Подумайте, какая акула больше, морская собачка или морской ангел? Примите длину морской собачки за одну часть.

в) Так как морская собачка в два раза короче морского ангела и в два раза длиннее колючей акулы, то морской ангел в 4 раза длиннее колючей акулы.

Принимаем длину колючей акулы за 1 часть, тогда длине морского ангела будут соответствовать 4 части. Но морской ангел длиннее колючей акулы на 1 м 50 см; следовательно, на 3 части (4 ч.—1 ч.) будет приходиться 1 м 50 см, а одна часть составит 50 см (1 м 50 см: 3).

Ответ. Длина колючей акулы 50 см, морского ангела 2 м, морской собачки 1 м и морской лисицы 5 м.

370. а) Задача. У меня в два раза больше марок, чем у Миши, и в три раза больше, чем у Коли. Всего у нас 240 марок. Сколько у меня марок?

Задачу можно решить в частях, но для этого нужно подумать, за сколько частей нужно принять количество моих марок.

б) Примите длину морского кота за 20 частей, а затем выражайте в частях длины всех акул.

Примечание. Аналогичное указание можно дать и к задачам № 368, 369.

в) Принимаем длину морского кота за 20 частей. Длина морского черта будет соответствовать 40 частям, морской лисички 4 частям и морскСй собачки 5 частям. Одна часть составит 5 см. Длина морского черта 5-40=200 см = 2 м.

371. а) Найдите, на сколько лет сом может жить дольше золотой рыбки.

б) Примите предельный возраст золотой рыбки за одну часть.

в) Сделаем чертеж.

Предельный возраст сома больше предельного возраста золотой рыбки на 30 лет (70 лет— 40 лет). Отсюда одной части соответствует 30 лет.

Ответ. Предельный возраст золотой рыбки 30 лет, белуги 100 лет, сома 60 лет, щуки 80 лет.

372. а) Смотрите № 370 а).

б) Примите число пойманных окуней за 5 частей, а затем выражайте в частях количество пойманных ершей и лещей.

в) Принимаем число пойманных окуней за 5 частей, тогда числу пойманных ершей соответствует 10 частей, а числу пойманных лещей—1 часть. Так как ершей было поймано на 18 штук больше, чем лещей, то 18 штукам соответствует 9 частей (10 ч.— 1 ч.), на одну часть приходится 2 штуки.

Ответ. Было поймано 2 леща, 10 окуней и 20 ершей.

373. а) Задача. Если я куплю 8 альбомов, то у меня останется 60 коп., а если захочу купить, 10, то 40 коп. не хватит. Подумайте, сколько стоят 2 альбома.

б) 8 судаков весят меньше 5 щук на 15 кг, а 10 судаков весят больше 5 щук на 25 кг. На сколько килограммов увеличился вес от прибавления 2 судаков?

в) 8 судаков весят меньше 5 щук на 15 кг, а 10 судаков весят больше 5 щук на 25 кг. Значит, от прибавления 2 судаков общий вес увеличился на 40 кг, т. е. 2 судака весят 40 кг.

Ответ. Самый крупный судак весит 20 кг, а самая крупная щука весит (20-8+15) :5=35 (кг).

374. б) Если взять 10 рыбок, не глядя в котелок, то может оказаться, что вы возьмете 4 сороги, 4 голавля и 2 окуня. Значит, нужно брать больше. Сколько?

в) Какое наибольшее число рыбок можно взять, чтобы при этом не оказалось пяти одинаковых? 12. (По 4 рыбки каждого сорта.) А если взять 13 рыбок? Среди них обязательно будет 5 одного вида.

Ответ. 13 рыбок.

375. а) Задача. У меня орехов на 20 штук больше, чем у сестры. Я отдал ей 15 орехов. У кого стало больше орехов и на сколько?

б) Число окуней, которое осталось у рыбака после отдачи товарищу, — 15 штук — примите за одну часть.

в) Когда рыбак отдал 15 окуней, то у его товарища на 10 окуней стало больше. Примем число окуней, которое осталось у рыбака, за одну часть, тогда число окуней у его товарища соответствует двум частям. На одну часть приходится 10 окуней.

Ответ. Рыбак поймал 25 окуней (10+15), его товарищ только 5.

376. а) Изобразите вес судака, щуки и окуня графически (отрезками). Определите их общий вес.

б) Примите вес окуня за одну часть.

в) Делаем чертеж.

Без корзины вся рыба весит 10 кг — 1 кг 250 г = = 8 кг 750 г. Из чертежа видно, что на 9 частей приходится 6 кг 750 г рыбы (8 кг 750 г—2 кг). Одной части соответствует 6 кг 750 г : 9=750 г.

Ответ. Вес окуня 750 г, щуки 3 кг, судака 5 кг.

377. а) Подумайте, во сколько раз судак тяжелее головля.

б) Примите вес голавля за 1 часть.

в) Примем вес голавля за 1 часть. Тогда весу судака будет соответствовать 9 частей, а весу оку-

ня 3 части. Судак тяжелее голавля на 2 кг 400 г, что соответствует 8 частям (9 ч.—1 ч.). Отсюда, одной части соответствует 300 г. Ответ. Вес окуня 300 г.

378. а) Задача. На двух тарелках лежали яблоки. Когда с первой переложили на вторую 5 штук, а со второй на первую 8 и снова с первой на вторую 7, то на каждой тарелке оказалось по 20 штук. Сколько яблок было на каждой тарелке первоначально?

б) У каждого рыбака после шутки чудака осталось 32 ерша. Сколько же было у первого первоначально?

в) У каждого рыбака после шутки рыбака-чудака осталось по 32 ерша. Так как из котелка первого было взято три ерша, то у него первоначально было 35 ершей. Во второй котелок чудак положил только 2 ерша, значит, у второго было 32—2= =30 (ершей). В свой он положил одного ерша, значит, у него был 31 ерш.

379. а) «Сколько у тебя денег?» — спросил я друга. «У меня половина моих денег да еще 40 коп.», — ответил он. Сколько было у него денег?

б) Нарисуйте корзину второго рыбака в виде прямоугольника и разберитесь в ее содержимом.

В корзине второго рыбака столько рыбы, сколько у первого, да еще 20. А у первого половина числа того, что у второго, да еще десять.

Значит, у второго рыбака в корзине половина той рыбы, которая есть, да еще (20+10) штук. Это значит, что в половине корзины второго рыбака 30 штук.

Ответ. В корзине второго рыбака 60 штук, в корзине первого 40 штук.

380. а) Задача. «Сколько у вас в корзине яблок?»— спросили продавца. «Если к половине числа груш прибавить 10, то получим число яблок. А если к числу яблок прибавить еще 20, то получим число груш!».

Если хочешь узнать, сколько было яблок, то разберись сам.

б) Вторую часть условия (туловище весит столько, сколько голова и хвост) с учетом первой части условия прочитайте так: туловище весит столько, сколько половина туловища и два хвоста.

Сделайте вывод сами.

в) Вторую часть условия задачи прочитаем так: туловище весит столько, сколько половина туловища и два хвоста (8 кг). (Вместо головы, по первой части условия задачи, взяли половину туловища и хвост.)

Отсюда следует, что вес половины туловища равен 8 кг. Вес туловища 16 кг, головы 12 кг. Ответ. Вес рыбы 32 кг.

381. а) Задача. Мой дед вчера рыбачил утром и вечером, а я сегодня днем и вечером. Дед утром поймал на 6 кг больше, чем я вечером, а я днем столько же, сколько дед вечером. Всего мы поймали за два дня 12 кг. Сколько рыбы поймал мой дед?

б) Сделайте запись в дневнике рыбалки по схеме:

Мой улов: сегодня+вчера+позавчера)

Твои улов: сегодня+вчера + позавчера]

Теперь рассуждайте.

в) Составим схему в дневнике рыбалки.

Читаем условие и равные уловы вычеркиваем. Получится, что ты за три дня поймал на 2 кг больше, чем я. Отсюда решение. Я поймал (18—2):2= =8 (кг), а ты 10 кг.

382. а) Сделайте чертеж по условию задачи. Найдите, на сколько лет белуга может жить дольше сома?

б) Примите предельный возраст золотой рыбки за одну часть.

в) Сделаем чертеж.

Принимаем предельный возраст золотой рыбки за одну часть, тогда предельный возраст сома соответствует 2 частям, а предельный возраст белуги 3 частям и еще 10 годам. Но белуга может жить дольше сома на 40 лет, следовательно, на 1 часть и 10 лет приходится 40 лет. Отсюда 1 часть составляет 30 лет жизни.

Ответ. Предельный возраст золотой рыбки 30 лет, белуги 100 лет.

383. Ответ. Умножить на 81.

384. а) Нарисуйте. в)

385. а) См. № 334 а).

386. б) Можно принять, что книга состоит из двух полкниг.

в) Книга состоит из двух полкниг. Следовательно, половина книги стоит 1 рубль. Ответ. Книга стоит 2 руб.

387. в) Из условия следует, что ^ гуся стоят 4 руб. Весь гусь стоит 4 : ^=6 (руб.)

388. б) Используйте знаки умножения и вычитания.

в) Ответ. 5-5-5—5-5=100.

389. Ответ. 111—11 = 100.

390. Ответ. (5+5):5=2; 5-5:5=5; 5—5+5= -5.

391. Ответ. (5—5)-5=0.

392. а) Используйте скобки.

б) Используйте знаки сложения и умножения.

в) Ответ. (1+23—4)-5; (1-2+3)-4-5.

393. а) См. № 392 а).

б) Между первыми двумя цифрами поставьте знак умножения или сложения.

в) Ответ. 2-3—4+5—6; (2+3—4+5):6.

394. б) Используйте только знаки сложения и вычитания.

в) Ответ. 3+4—5+6—7.

395. б) Используйте знак деления один раз. в) Ответ. (33+33+33+33):33—3=1.

396. а) Сделайте рисунок. Сколько равных расстояний пробежал спортсмен?

б) К восьмому флажку он пробежал 7 равных расстояний между флажками. Найдите скорость или время, затрачиваемое спортсменом на один интервал.

в) 7 расстояний он пробежал за 8 сек. Значит, одно расстояние между двумя флажками он пробегает за ^ сек. К 12 флажку он пробежит 11 равных расстояний и затратит

* -11 = 12*(се/с).

397. б) Стулья в углу стоят одновременно у двух стенок.

в) Ответ смотрите на рисунке.

398. а) Подсчитайте, какая сумма чисел должна быть в каждой части.

в) Сумма всех чисел на циферблате равна 78. На одну часть приходится 13. Отсюда решение (см. рисунок).

399. а) В сутках 24 часа.

б) Число часов, которое осталось до конца суток, примите за одну часть.

в) Принимаем число часов, оставшихся до конца суток, за одну часть. Число часов с начала суток составит 3 части. Всего 4 части. На одну часть приходится 24:4 = 6 (ч). На часах был 19-й час.

404. а) Ты догоняешь товарища, который находится впереди тебя в 20 м. Оба идете в ногу. Через сколько шагов ты догонишь его, если известно, что твой шаг длиннее его шага на 10 см?

б) За каждый прыжок собака догоняет кролика на 2 фута.

в) Ответ. Собака догонит кролика, сделав 75 прыжков.

405. а) Все ученики нашего класса посещают кружки математический и краеведческий. В математический ходят 20 человек, а в краеведческий 25. Сколько учеников посещают оба кружка, если в классе 32 человека?

б) Сначала узнайте, сколько процентов жителей не говорят либо по-русски, либо по-армянски.

в) Не говорят по-русски 100%—60% =40% жителей. Тогда они обязательно говорят только по-армянски. Но по-армянски говорят 70% жителей. Значит, среди них 70%—40% =30% говорят и по-русски, и по-армянски.

406. а) Подумайте, сколько было бы ног, если бы в корзине находились одни утки.

б) Если бы в корзине находились одни зайцы, то мы насчитали 4-4=16 (ног). А в действительности 28 ног. Сколько лишних?

в) Вместо уток положим в корзину зайцев. Тогда получим 10 голов и 10-4=40 (ног). Прибавилось 40—28=12 (ног). Но если вместо утки по-

ложили зайца, то каждый раз число ног увеличивали на 2. Значит, уток было 12:2=6 (штук), а зайцев 4.

407. Ответ. 21 ученик.

408. а) Числа записаны в двоичной системе счисления.

в) Ответ. В семье 4 брата. Младшему 8 лет, а старшему 15 лет, учится в IX классе.

409. а) Действия выполнены в недесятичной системе счисления.

б) Так как в записи встречаются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, то основание системы больше шести. Так как 3+6=12, то действия выполнены в семеричной системе.

410. а) Задача 1. У сестры меньше воздушных шаров, чем у меня. Но когда я отдал ей один шар, шаров у обоих стало поровну. На сколько шаров было больше у меня, чем у сестры?

Задача 2. У меня на два шара больше, чем у тебя? Сколько у меня шаров, если их у меня в два раза больше, чем у тебя?

б) Если бы лошадь сняла со спины мула один мешок, то поклажи лошади и мула стали бы одинаковы. На сколько мешков у мула было больше, чем у лошади? У мула на... мешка больше, чем у лошади. Если лошадь отдаст еще один мешок, то на сколько мешков у мула будет больше, чем у лошади?

в) Из второй части условия видно, что у мула было на два мешка больше, чем у лошади. Если же лошадь еще отдала бы один мешок, то у мула было бы больше на 4 мешка или по условию задачи в два раза больше, чем у лошади. Отсюда у лошади осталось бы четыре мешка, а у мула восемь.

Ответ. Лошадь несла 5 мешков, а мул 7.

411. а) Отец старше меня в 4 раза. Сколько лет отцу, если он старше меня на 30 лет?

б) Через несколько лет отец будет в четыре раза старше сына. Тогда возраст сына можно принять за одну часть. Нельзя ли для решения задачи использовать разность в частях?

в) Когда отец будет старше сына в четыре раза, то число лет сына можно принять за одну часть. Число лет отца будет составлять 4 части. Но разница в годах останется прежней — 27 лет, что составляет 3 части. Отсюда на одну часть приходится 9 лет. Итак, когда отец будет старше сына в 4 раза, сыну будет 9 лет.

Ответ. Через 4 года.

412. а) Смотрите № 411 а).

б) Разница в годах остается постоянной. Примите число лет сына за 1 часть.

в) Отец старше сына на 31—8=23 (года).

Примем число лет сына за 1 часть, тогда число лет отца составит 2 части. Отсюда 23 года составляет 1 часть.

Ответ. Сыну 23 года, отцу 46 лет.

413. а) Смотрите № 411 а).

б) Дед на 57 лет старше внука. Эта разность остается постоянной. Примите число лет внука за 1 часть.

в) Примем число лет внука в настоящее время за 1 часть, тогда число лет деда составит 4 части.

На разность придется три части, что составляет 57 лет (65—8). Отсюда внуку сейчас 19 лет, а деду 76.

414. а) Подсчитайте, сколько лет должно быть всем членам семьи четыре года тому назад. По условию задачи — 58. Сколько получилось у вас? Как это могло быть?

б) Так как в семье четыре человека, то четыре года тому назад всем членам семьи должно быть на 16 лет меньше. Но по условию задачи 4 года тому назад им было на 15 лет меньше (73—58). Куда делся один год?

Здесь дело в том, что 4 года тому назад семья состояла из трех человек. Постарайтесь отсюда определить возраст самого маленького члена семьи.

в) Из указания б) следует, что самому младшему члену семьи (сыну) сейчас 3 года. Тогда дочери 5 лет. Матери с отцом вместе 73—(5+3) = = 65 (лет). Так как отец старше матери на 3 года, то матери сейчас (65—3):2=31 (год), а отцу —34.

415. а) Отцу 45, первому сыну 15, второму II, а третьему 7 лет. На сколько лет ежегодно уменьшается разность лет отца и суммы лет его сыновей?

б) Найдите разность лет отца и суммы лет его сыновей.

Определите, на сколько лет ежегодно уменьшается эта разность.

в) Отцу 45 лет. Сумма лет сыновей равна 33 годам. Разность 12 лет. Каждый год возраст отца увеличивается на 1 год, а сумма лет сыновей на 3 года. Значит, каждый год разность в летах уменьшается на 2 года. Она будет равна нулю через 12:2=6 (лет). Ответ. Возраст отца будет равен сумме лет его сыновей через 6 лет.

416. а) Задача. В настоящее время отец старше меня в 3 раза, а через 15 лет будет старше в 2 раза. Сколько сейчас лет моему отцу? Решайте с помощью чертежа.

б) Сделайте два чертежа к обоим условиям задачи. Примите возраст сына 10 лет назад за одну часть.

в) Выполним чертежи.

Так как отец через 10 лет стал в 2 раза старше сына, то видно, что отрезок в три части равен отрезку в одну часть и еще 20 годам. Откуда следует, что двум частям соответствует 20 лет. На одну часть приходится 10 лет. Следовательно, 10 лет назад сыну было 10 лет, а отцу 40. В настоящее время сыну 20 лет, а отцу 50.

417. Задача состоит из двух самостоятельных задач: «о возрасте мальчика» и «о возрасте девочки». Каждую решайте графически.

б) В первой задаче за 1 часть примите число лет мальчика два года назад, во второй — число лет девочки три года назад.

в) Графическое решение.

Через два года мальчику будет 8 лет. Сейчас ему 6 лет.

Через три года девочке будет 9 лет. Сейчас ей 6 лет.

Ответ. Мальчик и девочка ровесники. 418. а) Решайте графически.

б) Возьмите за одну часть число лет, которое мне было, когда ты родился.

в) Графическое решение.

Из чертежа видно, что я буду старше тебя в 3:2 = = 1,5 раза.

Ответ. В 1,5 раза.

419. б) Тебе 12 лет. Сколько лет твоей сестре, если ты старше ее в 12 раз?

в) Ответ. Сестре 1 год.

420. а) Решайте графически. Мальчиков обозначьте черными кружками, девочек — белыми.

б) Так как у мальчика столько же сестер, сколько и братьев, то прибавляйте их на рисунке парами.

в) Ответ. В семье 4 брата и 3 сестры.

421. а) Задача. Я задумал число. Если к этому числу прибавить 5, то получится 8. Какое число я задумал?

Задача 2. Я задумал число. Если это число умножить на 5, а к произведению прибавить 5, то получится 15. Какое число я задумал?

б) Решайте с конца. Можно рассуждать так. Неизвестное число увеличили в 3 раза и получили 12. Найдем неизвестное число (12:3=4). Число 4 — разность. Рассуждайте дальше.

в) Формула решения: (12:3+21)-5= 125. Было задумано число 125.

422. а) Смотрите № 421 а).

б) Задача решается с конца. 5 получили после того, как к неизвестному числу прибавили 5. Значит, неизвестное является одним из слагаемых. Оно равно 5—5=0. Рассуждаем дальше.

в) Формула решения: (5—5)-5+5=5. Было задумано число 5.

423. а) Задача решается с конца.

б) Сколько яблок взяла мама в обед, если известно, что к ужину в корзине осталось 3 яблока?

в) В обед мама взяла половину остатка. Из второй половины одно яблоко взяла дочь, и осталось 3 яблока. Значит, 4 яблока составляют половину остатка. К обеду осталось 8 яблок. Утром мама взяла половину всех яблок. Из второй половины сын взял два яблока, и осталось 8 штук. Значит, половина всех яблок равна 10 яблокам. Всего в корзине было 20 штук.

424. а) Задача. Из корзины взяли 3 яблока, а затем треть остатка. На сколько яблок меньше треть остатка, чем треть всех яблок?

б) Треть остатка меньше трети всех яблок на одно яблоко. Значит, второй раз взяли ^ всех яблок без одного.

в) Подсчитаем, сколько всего взяли яблок:

сначала 3 яблока, затем взяли ^ всего числа яблок да еще 5 штук (3+3—1). По условию взяли ^ всего числа яблок. Найдем, какую часть всех яблок составляют 5 штук: ^ — ^=g (часть). Итак, 5 яблок составляют ^ часть всего числа яблок. Ответ. В корзине было 5:g=30 (яблок).

425. а) В двух классах сидело 36 человек. Когда из первого перешло во второй столько человек, сколько было во втором, то в классах оказалось одинаковое количество человек. Сколько человек сидело во втором классе первоначально?

б) Всего в двух классах сидело 38 чел. После перехода в первом классе стало на 2 чел. больше, чем во втором. Сколько человек стало во втором классе?

в) Так как после перехода в первом классе стало на 2 чел. больше, чем во втором, то во втором сидело (38—2):2= 18 (чел.). До перехода в нем сидело в два раза меньше, т. е. 9 чел.

426. а) Смотрите № 425 а).

б) Число воробьев, оставшихся сидеть на втором кусте, примите за одну часть.

в) 7 воробьев улетело, на обоих кустах осталось сидеть 18 штук. Примем число воробьев, оставшихся сидеть на втором кусте, за одну часть. Тогда 18 воробьев составят три части. Отсюда на втором кусте стало 6 воробьев, а на первом 12.

Ответ. Первоначально на первом кусте сидело 12+5=17 (воробьев), а на втором 6+7—5= =8 (воробьев).

427. б) На сколько число галок больше числа палок?

в) Число галок на единицу больше числа палок. Когда галки стали садиться по две на каждую палку, то одна палка осталась лишней. Галка, которая сидела на этой палке, и галка, которой не хватило палки, займут вторые места на палках, где уже сидит по одной галке; для этого им нужно

только две палки. Отсюда следует, что галок было две пары.

Ответ. Всего было 4 галки и 3 палки.

428. б) Нужно вычислить, через сколько суток одни часы отстанут, а другие уйдут вперед на 12 ч, т. е. стрелки займут прежнее положение.

в) Ответ. Через 720 суток.

429. Ответ дан на рисунке.

430. б) Заметь, что пустую лодку может переправлять один мальчик.

в) Приводим схему переправы: ММ (два мальчика); М\ В (взрослый); M ММ; М; В ; М\ ММ.

431. а) Вспомните, сколько букв в русском алфавите.

в) Если в классе 23 человека, то нельзя утверждать, что в нем обязательно найдутся два ученика, фамилии которых начинаются с одной и той же буквы, так как в нашем алфавите 33 буквы (включая ь,ъ).Если в классе 35 учеников, то это утверждение будет верным.

432. в) В году 365 (366) дней, значит, самое большее 366 учеников могут иметь различные дни рождения. Дни рождения остальных учеников будут повторяться. Для того чтобы утверждать, что обязательно найдутся три ученика, отмечающие свой день рождения в один и тот же день, необходимо, чтобы число учеников было больше 732.

433. б) Отец человека, портрет которого висит на стене, есть и отец говорящего.

в) Ответ. На портрете сын Петрова.

434. а) Какие цифры могут использоваться для написания искомых чисел?

б) Можно использовать только цифры 0,1 и 2.

в) Пятизначные числа будут записаны с помощью двойки с четырьмя нулями или двух единиц с тремя нулями. Таких чисел 5:

20 000,11 000,10 100, 10 001, 10 010.

435. а) Смотрите № 434 а).

б) Используются цифры 0, 1, 2 и 3.

в) Трехзначные числа будут записаны с помощью тройки с двумя нулями, двойки и единицы с нулем, трех единиц. Таких чисел 6:

300, 210, 201,120, 102, 111.

436. а) Смотрите № 434 а).

б) Используются цифры 0, 1, 2, 3.

в) Шестизначные числа будут записаны цифрой 3 с пятью нулями, цифрой 2 и единицы с четырьмя нулями, трех единиц с тремя нулями.

Таких чисел будет 21:

300 000, 210 000; 120 000; 111 000; 101 100;

101 010; 201 000; 102 000; 110 100; 100 110;

101 001; 200 100; 100 200; 110 010; 100 011;

100 101; 200 010; 100 020; 110 001. 200 001; 100 002.

437. а) Вспомните признаки делимости на 3, 9, 5 и 25. Напишите три последовательных нечетных числа. Покажите их.

в) Число 12 075 делится на 25 и 75, значит, одно из этих чисел должно быть искомым сомножителем. Прикидка показывает, что 75 отпадает. Остается 25. Тогда имеем три возможных произведения: 23-25.27; 25-27-29; 21-23-25. Первые два варианта отпадают, так как 12075 не делится на 9, а 27 делится. Остается, что 12 075=21-23-25.

438. а) Выясни, могут ли быть все искомые числа двузначными.

б) Могут ли быть эти числа больше 10? Есть ли среди них 10? Может ли быть среди этих чисел число, оканчивающееся цифрой 5?

в) Все искомые числа больше 10 быть не могут, ибо 3024<10 000. Среди них нет 10, следовательно, они все меньше 10. Но среди них нет 5, в противном случае последняя цифра произведения была бы 0. Остаются две группы чисел: 1, 2, 3, 4 и 6, 7, 8, 9. Непосредственной проверкой убеждаемся, что 6-7-8-9=3024.

439. а) Какими цифрами может быть записано искомое число?

в) Так как произведение трех чисел, выражаемых цифрами искомого числа, равно 4, то оно может быть записано цифрами 2 и 1 или 4 и 1. Первому условию будет удовлетворять только число 411.

440. а) Для рассуждений четырехзначное число можно записать так: abed, где a, Ь, с и d — цифры.

б) Подумай, каким может быть двузначное число be, если d четное, a be в два раза больше d.

в) Последняя цифра искомого числа четная (8, 6, 4, 2, 0). Значит, две средние цифры могут образовывать одно из чисел: 16; 12; 08; 04. Из всех этих чисел удовлетворяет первому условию (кратно 3) только 12.

Искомое число 4126.

441. а) Трехзначное число запишите так: abc, где а, Ь, с — цифры. Если записать в обратном порядке, то получится число cba.

б) Запишите условие задачи так:

в) Так как Ь = а + с, то а + с^9.

Так как должно получиться четырехзначное число, то а+с=9. Отсюда Ь=9. Искомое четырехзначное число равно 1089.

442. а) Пусть дано число 2135. Произведением чисел, выражаемых цифрами этого числа, будет 2-1-3-5=30.

б) Среди цифр числа есть нуль. На каком месте он стоит?

в) Среди цифр искомого числа есть нуль. Он может быть только цифрой единиц. Значит, число имеет вид * 40. Но так как искомое число должно быть кратным 9, то цифра сотен есть 5. Итак, искомое число 540.

443. б) Если взять 10 карандашей, то можно ли утверждать, что среди них найдутся 3 цветных?

в) 13 карандашей.

444. б) Какое наибольшее число шаров вы можете взять, чтобы у вас не оказалось 10 шаров одного цвета?

в) Наибольшее число шаров, при котором 10 шаров одинакового цвета может и не оказаться,— 37 (все черные и белые, 9 красных, 9 синих, 9 желтых). Задача будет решена, если взять 38 шаров.

445. б) Допустите, что в коробке лежат два красных шарика.

в) Если допустить, что в коробке 2 красных шарика, то белых окажется 14, а красных и белых вместе 16. Этого быть не может. Следовательно, в коробке может быть только один красный, тогда белых и черных по 7. В коробке 7 черных шариков.

446. б) Не отходите от первой двери до тех пор, пока не откроете квартиру. Ключ оставьте в двери. Сколько попыток, самое большее, придется сделать?

в) Наиболее экономично сначала открыть одну дверь, перебрав все ключи (самое большее 8 попыток), затем вторую (7 попыток) и т. д. Всего нужно сделать, самое большее, 8+7+6+5+4+3+ +2+1=36 (попыток).

447. б) Сделайте рисунок и испытайте два способа: 1) можно испытать сначала один ключ ко всем дверям, 2) перебрать все ключи к каждой двери по порядку.

в) Наиболее экономично сначала испытать один ключ к каждой двери. Здесь можно встретиться с двумя случаями: 1) первый ключ не подходит к первым четырем квартирам. Тогда он подойдет к двум последним (всего 4 попытки). Второй ключ не подходит к двум первым, тогда подойдет к двум следующим (всего 2 попытки). Третий ключ не испытываем. Итого 6 попыток. Но это благоприятный случай.

2) Первый ключ подойдет к одной из первых четырех дверей, пусть к третьей (безразлично)— 3 попытки и к последней — еще две попытки. Всего пять попыток. Второй ключ снова может открыть одну из первых четырех квартир, пусть первую (одна попытка), и может не открыть вторую и четвертую (две попытки), тогда он подойдет к пятой. Всего три попытки. Третий ключ подойдет к двум оставшимся дверям (вторая и четвертая). Итак, в этом случае нужно сделать 8 попыток — это решение. Способ испытания всех ключей к каждой двери по порядку не экономичен.

448. а) Сделайте рисунок.

б) Проверьте, подходит ли первый ключ ко всем дверям. Начинайте с ключей, открывающих две двери.

в) Смотрите № 447 в).

Ответ. Самое большее 9 попыток, чтобы подобрать ключи, и 13 попыток, чтобы открыть двери.

449. а) Сделайте рисунок.

б) Проверьте, подходит ли первый ключ ко всем чемоданам. Начинайте с ключа, открывающего два чемодана.

в) Смотрите № 447 в).

Ответ. Самое большее 6 попыток, чтобы подобрать ключи, и 9, чтобы открыть двери.

456. а) Площадь круга S = nR2(nœ3,l4; R — радиус круга).

б) Чтобы найти процент отходов, нужно отношение площади отходов к площади листа жести умножить на 100%.

459. а) Воспользуйтесь таблицей калорийности продуктов.

в) Ответ. 750 калорий.

460. а) Воспользуйтесь таблицей «Нормы высева семян различных культур».

б) В одном гектаре 100 соток.

в) Ответ. Семян кукурузы 2 кг, гречихи 0,7 кг, моркови 50 г, свеклы 80 г.

461. а) Воспользуйтесь таблицей норм питания.

в) Ответ. Крупа — 8,4 кг, сахар — 15 кг, масло — 8,4 кг.

462. а) Смотрите № 461 а).

в) Ответ. Хлеб — 66 кг, сахар — 10,8 кг, масло — 6 кг, мясо — 18 кг.

463. а) Смотрите № 461 а), в) Ответ. 1095 т.

464. а) Смотрите № 461 а).

в) Ответ. Сахар ä 11 дней, крупа « 16 дней.

465. а) Смотрите № 460 а), в) Ответ. «11 ц.

466. Ответ.

467. а) Время откладывайте по оси абсцисс, а путь по оси ординат.

469. Ответ: 1) В 1 час; 2) 2 часа; 4) отдыхал 2 раза, всего 3 часа; 5) 14 час; 6) 120 км.

470. Ответ. 5,3 м.

471. а) Скорость откладывайте по оси абсцисс, расход бензина — по оси ординат.

472. а) Смотрите № 471 а).

473. а) По оси абсцисс откладываем время (в годах), по оси ординат — производство станков (в тыс. шт.).

б) Mасштаб. На оси абсцисс 2 мм—1 год, на оси ординат 1 мм—2 тыс. станков.

475. Воспользуйтесь масштабом в конце диаграммы. Используйте циркуль-измеритель.

б) Ответ. Дунай короче Лены в 2 раза, Лена длиннее Волги на 600 км.

479. б) Нужно из объема всего параллелепипеда вычесть сумму объемов его вырезов.

480. в) 63 руб. 46 коп. 481. в) 663 руб.

482. в) Построить равнобедренный прямоугольный треугольник.

483. б) Можно в банку налить воды.

в) Налить в банку воды и измерить ее объем. Затем в банку опустить предмет и снова измерить объем. Разность объемов даст объем предмета.

484. в) Смотрите рисунок.

Воспользоваться построением вспомогательного квадрата.

485. в) В 12-м ряду.

486. а) Смотрите таблицу «Задачи на переливание».

в) Три раза наливаем в 4-литровый сосуд и переливаем в 9-литровый. Третий раз в большой сосуд доливаем лишь 1л. В малом остается 3 л.

487. а) Смотрите № 486 а).

в) Наполняя сосуд в 7 л и отливая из него по 5 л в другой, оставшиеся 2 л выливаем в бак одной из машин (3 раза).

488. а) Смотрите № 486 а), в) Схема переливаний:

489. а) Смотрите № 486 а), в) Схема переливаний:

490. а) Имеется 4 кг крупы. Как без гирь отвесить 1 кг?

б) Первые два взвешивания провести без гирь.

в) Сначала разделить крупу взвешиванием на 2 равные части по 4 кг 500 г, затем 4 кг 500 г еще на две равные части по 2 кг 250 г. В третий раз отвесить 250 г. Останется 2 кг.

491. а) Составьте задачу и решите ее.

б) Сколько груза на обеих чашках весов? Сколько на правой чашке?

в) Всего на весах 5 кг 200 г груза, тогда на каждой чашке по 2 кг 600 г. Отсюда риса 1 кг 600 г.

492. в) Вес полбутылки масла 400 г. Всего в бутылке 800 г масла. Вес бутылки 150 г.

493. б) Узнайте, сколько килограммов ягод земляники приходится на одного человека.

в) Всего собрали 42 кг ягод. На одного человека приходится 42:6=7 (кг). Первая семья должна получить 7 кг, вторая 14 кг и третья 21 кг ягод. Первая семья возьмет корзину в 7 кг, вторая две корзины: 9 кг и 5 кг, третья — остальные три корзины.

494. в) 220 кирпичей.

495. а) Найдите объем стенок гаража как разность объема гаража по внешним размерам и объема гаража по внутренним размерам. Затем вычтите объем дверного проема.

в) Объем стенок гаража 2,8 куб. ж, в 1 куб. м содержится около 500 кирпичей.

Ответ. Требуется около 1500 кирпичей.

496. а) Воспользуйтесь таблицей «Нормы высева семян».

б) Площадь, предназначенную под свеклу, примите за одну часть.

в) Площадь участка 950 а.

Примем площадь, предназначенную для посева свеклы, за одну часть и увеличим площадь, занятую морковью, на 10 соток, соответственно этому увеличится и общая площадь участка (до 960 а). Выразим в частях площади, предназначенные под гречиху, горох и морковь. Площадь под морковь — 1 часть, под горох — 2 части, под гречиху — 8 частей. Тогда 960 а составят 12 частей, а на одну часть придется 80 а. Гречихой будет засеяно 640 а, горохом 160 а, свеклой 80 а и морковью 70 а. Для посева нужно: семян гречихи 44 кг 800 г, гороха 288 кг, свеклы 12 кг 800 г, моркови 3,5 кг.

497. в) Первая квартира — 13 руб. 20 коп. Вторая квартира — 18 руб.

498. в) 41 руб. 22 коп.

499. а) За день в магазине продали 100 кг крупы, причем до обеда в 3 раза меньше, чем после обеда. Сколько килограммов крупы было продано до обеда?

в) Всего продали 129 л молока. Примем число литров молока, проданных после обеда, за одну часть, тогда количество молока, проданное до обеда, будет составлять 2 части. 129 л составят 3 части. Отсюда до обеда было продано 86 л. Подбираем бидоны. Утром продали молоко из бидонов в 16 л, 19 л, 31 л, 20 л.

500. в) 25 г-

501. а) Задача. Колонна из 12 трехтонных и пятитонных грузовых автомашин за один рейс перевезла 44 т груза. Сколько трехтонных грузовиков было в колонне?

б) Вычислите, сколько тонн грунта должны были перевезти автомашины за один рейс.

в) Нужно вывезти 4000 т гравия. Так как на один рейс (вместе с погрузкой и выгрузкой) уходит 12 мин, то машины должны сделать 5-8=40 (рейсов). За один рейс все машины должны вывозить по 100 т гравия. Если выслать только пятитонные самосвалы, то за один рейс они смогут вывезти 5-12 = 60 (г), т. е. меньше необходимого груза на 40 г. Значит, нужно вместо нескольких пятитонных самосвалов выслать «самосвалы-великаны». «Самосвал-великан» берет на 20 т больше пятитонного. Значит, нужно выслать 40:20=2 («великана») вместо двух пятитонных машин.

Ответ. Выслать два «автомобиля-великана» и 10 пятитонных самосвалов.

502. а) Задача. Пионеры рассчитывали собирать лекарственные травы 7 дней, но так как они трудились на 3 дня дольше и в день собирали на 1 кг трав больше, то перевыполнили свой план на 19 кг. Сколько трав собрали пионеры в три дополнительных дня?

б) Определите, на сколько километров больше намеченного прошли туристы за 20 дней, а затем сколько километров они прошли за оставшиеся 4 дня.

в) За 20 дней туристы прошли на 3-20=60 (км) больше намеченного. За четыре дополнительных дня они прошли 132—60=72 (км). За один день они проходили 72:4=18 (км). Длина пройденного пути 18-24=432 (км).

503. а) Решайте по графику.

б) Примите количество вагонов во втором составе за 1 часть.

в) Сделаем чертеж.

На одну часть приходится 12 вагонов. Ответ. В I составе было 28 вагонов, во II — 16.

504. а) Задача 1. 10 машин вывезут груз за 24 дня, за сколько дней этот же груз вывезут 15 машин?

Задача 2. Лошадь может увезти 6 ц груза, а автомашина 27 ц. Сколько лошадей заменят 2 автомашины?

б) Узнайте, сколько машин без прицепа могут заменить 6 автомашин с прицепами.

в) Машина с прицепом перевозит 6 г за то время, которое машина без прицепа перевозит 36 ц. Отсюда 6 машин с прицепом могут заменить 10 машин без прицепов. Значит, пополнение гаража 6 машинами с прицепами равносильно пополнению 10 машинами без прицепов. Итак, 30 машин (без прицепов) могут вывезти груз за 16 дней, тогда 40 таких машин могут вывезти за 16-^= 12 (дней).

505. а) Смотрите № 653 а).

б) Определите, сколько гектаров сверх плана убрали ученики за 12 дней, а затем, сколько гектаров они убрали за 3 дополнительных дня работы.

в) За 12 дней ученики убрали 0,2-12=2,4 (га) сверх плана. За 3 дополнительных дня они убрали 9—2,4=6,6 (га), т. е. ежедневно по 2,2 га. По плану они должны ежедневно убирать 2 га, a за 12 дней — 24 га.

506. а) Вычислите, сколько минут бегала собака.

б) Собака бегала столько минут, сколько потребовалось друзьям, чтобы пройти 2 км до встречи.

в) Так как скорость собаки в три раза больше скорости пешеходов, то она за одно и то же время пробежит расстояние, в три раза большее, чем пройдет каждый из пешеходов. До встречи оставалось. 2 км, значит, каждый прошел 1 км, а собака пробежала 3 км.

507. б) На сколько копеек я бы заплатил дороже предполагаемого, если бы купил арбуз не в 5 кг, а только в 3 кг?

в) Если бы купили арбуз в 3 кг, то заплатили бы дороже предполагаемого на 15 коп. Значит, 2 кг купленного арбуза стоят 30 коп., a I кг — 15 коп. Купленный арбуз стоит 75 коп.

508. а) Сколько метров прошел поезд за 20 сек? Внимательно посмотрите таблицу «Задачи на движение».

Скорость поезда составляет

509. б) За сколько минут паровоз прошел мост? Вычислите скорость. За сколько минут прошел паровоз расстояние ВС (равное длине состава)? Вычислите длину состава.

в) Паровоз прошел мост за 1 мин 15 сек. Отсюда скорость поезда равна =20 (м/сек).

Расстояние ВС паровоз прошел за 15 сек. Отсюда длина состава равна 20-15=300 (м).

510. в) За одну минуту поезд прошел 1250 м. Скорость поезда равна 1250 -60=75000(ж/^)—75кжА*.

511. а) Задача. Два поезда идут навстречу друг другу. Скорость первого 60 км/ч, второго 75 км/ч. На сколько километров ежечасно сближаются поезда?

б) Поезда идут навстречу друг другу, потому скорость движения первого поезда относительно пассажира, сидящего во втором, равна сумме скоростей обоих поездов.

в) Скорость поезда относительно пассажира, сидящего во втором поезде, равна 40+50=90(км/ч)', 90-1000:3600=25 (м/сек). Длина первого поезда 25-6=150 (м).

512. а) Сколько метров прошел поезд (паровоз) за 15 сек?

б) За сколько секунд прошел паровоз (или последний вагон поезда) мост?

в) За 15 сек паровоз прошел 240 м. Отсюда скорость поезда равна 240:15=16 (м/сек). Последний вагон поезда прошел мост за 2 мин. Следовательно, длина моста равна 16-120=1920 (м).

513. а) Внимательно изучите таблицу «Задачи на движение».

б) Если поезд проходит мимо будки стрелочника за 15 сек, а мост за 45 сек, то паровоз поезда проходит 450 м за 30 сек.

в) 450 ж паровоз проходит за 45—15 = 30 (сек). Поэтому скорость поезда равна 450 : 30=15 (м/сек), или 54 км/ч. Длина поезда равна 15-15 = 225 (м).

514. а) Смотрите № 513 а).

б) Какой путь пройдет паровоз поезда от входа поезда в тоннель до выхода последнего вагона из тоннеля?

в) За время от входа паровоза в тоннель до выхода из него последнего вагона поезда паровоз пройдет 1 км (длина тоннеля плюс длина поезда). Отсюда поезд пройдет тоннель за одну минуту (60 км/ч или 1 км/мин).

515. а) Смотрите № 513 а).

б) По количеству ударов о стыки рельсов определите скорость вашего поезда. Скорость поезда относительно пассажира, сидящего во встречном поезде, равна сумме собственных скоростей обеих поездов.

в) За 3 мин ваш поезд прошел 12 м 50 смХ х200= 2500 м. Следовательно, его скорость равна 50 км/ч.

Определим скорость встречного поезда. 1) Длина поезда равна 24-15=360 (м).

2) Поезд относительно вас прошел со скоростью 360:12 = 30 (м/сек), или 108 км/ч. Эта скорость равна сумме скоростей вашего поезда и встречного. Вычисляем скорость встречного поезда: 108— —50=58 (км/ч).

516. а) Смотрите № 513 а).

в) Скорость лодки против течения реки равна 6—2=4 (км/ч). За 30 мин лодка пройдет 2 км. Следовательно, от пункта В лодка будет находиться в 1 км.

517. а) Смотрите № 513 а). Заметьте, что расстояние между соседними столбами телеграфной линии равно 40 м.

в) Скорость катера по течению реки 400 м/мин, а против течения реки 200 м/мин.Отсюда скорость течения реки равна (400—200):2= 100 (м/мин) — 6 км/ч.

518. а) Смотрите № 513 а).

б) Скорость лодки и скорость течения выразите в метрах в минуту.

в) Собственная скорость лодки равна 6 км/ч, или 100 м/мин, скорость течения 120 м/мин. Скорость течения больше собственной скорости лодки на 20 м. Это значит, что каждую минуту лодку сносит на 20 м. За 20 мин ее снесет на 400 ж и от пункта В лодка будет на расстоянии 3 км 400 м.

519. а) Смотрите № 513 а).

б) Подумайте, за сколько минут плот пройдет мимо наблюдателя и за сколько минут конец плота пройдет от начала пляжа до его конца.

в) Выполним рисунок.

Конец плота (значит, и весь плот) проплыл 840 м за 55—20=35 (мин). Следовательно, скорость плота (течения реки) равна 840:35=24 (м/мин). Около меня плот проплыл за 20 мин, значит он имеет длину 24-20=480 (м).

520. а) Смотрите № 513 а). Сделайте рисунок.

б) Пешеход прошел плот за 6 мин, сделал 600 шагов. Сколько метров за это время прошел плот?

в) Выполним рисунок.

За 6 мин пешеход прошел 600-60=36 000 (см), или 360 м. Скорость пешехода 360:6 = 60 (м/мин). Скорость плота (скорость течения реки) равна 60:2=30 (м/мин). За 6 мин плот пройдет 180 м. Отсюда длина плота равна 360—180=180 (м).

521. а) Смотрите № 513 а).

б) Пешеход прошел плот за 6 мин, сделал 600 шагов. Сколько метров за это время прошел плот?

в) Выполним рисунок.

За 6 мин пешеход прошел 360 м со скоростью 60 м/мин. Скорость плота (скорость течения реки) равна 30 м/мин. За 6 мин плот пройдет 180 м. Длина плота равна 360+180 = 540 (м).

522. а) Смотрите № 513 а).

б) За 4 мин паровоз прошел столько, сколько прошел пешеход, да еще расстояние, равное длине состава.

в) Выполним рисунок.

Длина поезда равна 25-60=1500 (м). Пешеход прошел 70-400=28 000 (см)—280 м. Поезд за 4 мин прошел 1500+280=1780 (м). Скорость поезда равна 1780:4=445 (м/мин)ж27 км/ч.

523. а) Смотрите № 513 а).

б) «Волга» за 3 мин прошла расстояние, равное сумме длины состава поезда и пути, пройденного поездом за это время.

в) Выполним рисунок.

Поезд имеет длину 25-60=1500 (м). За 3 мин «Волга» прошла 60:20=3 (км). Поэтому поезд за 3 мин прошел 3000—1500=1500 (м). Скорость поезда равна 1500-20=30 000 (м/ч)—30 км/ч.

524. а) Смотрите № 513 а).

б) Поезд за 40 сек пройдет расстояние, равное разности длины состава поезда и пути, пройденного «Волгой» за 40 сек.

в) Выполним рисунок.

Длина поезда 25-60=1500 (м). За одну минуту «Волга» пройдет 90 000:60= 1500 (м), а за 40 сек пройдет 1000 (м). Поэтому поезд за 40 сек пройдет 1500— —1000=500 (м). Скорость поезда равна 45 км/ч.

525. а) Смотрите таблицу умножения недесятичных систем счисления.

526. а) Смотрите № 676 а).

527. а) Как изменится число 2712010, если в записи числа отбросить нуль, стоящий на конце?

в) Уменьшится в 3 раза.

528. а) Смотрите № 525 а), в) 2310=2123.

529. а) Смотрите № 525 а).

в) 235+145=425. Действие выполнено в пятеричной системе счисления.

530. а) Какие числа оканчиваются нулем, двумя нулями в десятичной системе счисления?

в) Нулем в шестеричной системе оканчиваются числа, кратные 6, двумя нулями—числа, кратные 36.

531. а) Смотрите таблицы недесятичных систем счисления.

в) 718—368=33я. Действие выполнено в восьмеричной системе счисления.

532. а) Смотрите № 531 а), в) 3310—536.

533. а) Смотрите № 530 а).

в) Нулем в двоичной системе счисления оканчиваются числа, кратные 2, двумя нулями — числа, кратные 4.

534. а) Смотрите № 531 а).

в) Единицей 3-го разряда четверичной системы служит число 16, а единицей 4-го разряда троичной системы — число 27.

535. а) Смотрите № 531 а).

в) Единицей 10-го разряда двоичной системы служит число 29=512, а единицей 5-го разряда пятеричной системы—число 54=625. 625—512= 113.

536. б) Сколько слагаемых в сумме? Обратите внимание на сумму чисел, равноотстоящих от концов.

в) Нужно сложить 101 число: 100+101 + 102+ +... +150+... +198+199+200. Сумма чисел, равноотстоящих от концов, равна 100+200=101 + 199= = 102+198=...=300, таких пар 50. Число 150 пары не имеет, значит, 100+101 + ...+200=300Х X 50+150= 15 150.

537. в) В первой сотне 25 простых чисел.

538. б) Вспомните признак делимости на 9. в) Сумма цифр числа 3 456 789 равна 42, значит, остаток равен 6. [42:9=4 (6 ост.))

539. в) В десятом десятке; в первом десятке и во втором.

540. б) Какой цифрой оканчивается число, если при умножении его на любое число произведение оканчивается той же цифрой?

в) Произведение оканчивается нулем, так как среди перемножаемых чисел найдутся числа с нулем на конце (1010, 1020).

541. б) Какими цифрами могут оканчиваться числа, если их произведение оканчивается нулем?

в) В конце произведения шесть нулей, так как среди перемножаемых чисел два оканчиваются нулем, а три числа в своем разложении содержат четыре пятерки.

542. в) В частном 1-2-4-6-7-8-9-2; в остатке 1.

543. в) 18 раз.

544. в) Нуль.

545. в) Следующее число, обладающее этим свойством, 127 334+9= 127 343.

546. в) 2 + 2 = 4 1 Сумма и произведение одинаковы.

547. в) Любая пара чисел, в состав которой входит единица (например, 3 и 1, 6 и 1 и др.).

548. в) 24 • 1 = 24 ï Произведение и частное одинаковы.

549. б) Сколько четных и нечетных чисел в первой сотне?

в) В первой сотне 50 четных и 50 нечетных чисел. Так как каждое четное больше предыдущего ему нечетного числа на 1, то сумма всех четных на 50 больше суммы всех нечетных.

550. а) Подумай, какой цифрой оканчивается произведение 1 -2-3 -... • 19; 1 -3-5-7-... • 19.

б) Какой цифрой оканчивается произведение любого нечетного числа на пять?

в) Уменьшаемое оканчивается цифрой 0, вычитаемое цифрой 5, значит, разность оканчивается цифрой 5.

551. а) Подумайте, какими цифрами должны оканчиваться числа, чтобы их произведения оканчивались этими же цифрами. Нельзя ли заменить

данное произведение произведением таких чисел? Воспользуйтесь сочетательным законом.

б) Сгруппируйте по четыре сомножителя. Какой цифрой оканчивается каждое из этих произведений? Сколько двоек останется после группировки?

Произведение 55 первых сомножителей оканчивается цифрой 6, тогда все произведение — цифрой 4.

552. а) Смотрите № 551 а).

б) Смотрите № 551 б).

Произведение 25 сомножителей оканчивается цифрой 1.

553. б) Вспомните признаки делимости на 9 и 4.

в) Так как число кратно 36, то оно должно делится на 9 и 4. Учитывая признаки делимости на 9 и 4, получим два таких числа 5112 и 1116.

554. а) Используйте признак делимости на 9.

б) Найдите все трехзначные числа, состоящие из одинаковых цифр, делящиеся на 9, и подумайте, как решать дальше.

в) Чисел таких три: 999, 666, 333; 999:9= 111 — число трехзначное, 666:9=74—двузначное, но четное; 333:9=37—двузначное простое число.

Ответ. 37.

555. а) Ищите среди двузначных чисел.

б) Какое число при умножении на 7 дает произведение, оканчивающееся той же цифрой, что и множимое?

в) Ответ. 35.

556. б) Вспомните, какое число называется простым.

в) Полученное число делится на данное двузначное, поэтому простым не будет.

557. Смотрите № 556 б).

в) Пусть меньшее из чисел адогда а+(а+ 1)+(а+ +2)=3а+3 кратно 3; значит, сумма трех последовательных натуральных чисел простым числом быть не может.

558. б) Я задумал число, которое делится без остатка на взаимно простые числа 3, 2, 5. Какое это число?

в) Если бы задуманное число делилось на взаимно простые числа 7, 8, 9 без остатка, то оно было бы равно 7-8-9=504; задуманное число равно 504+1=505.

559. б) Смотрите № 558 б).

в) Если бы число делилось на взаимно простые числа И, 12, 13, то оно было бы равно 11-12-13 = 1716; значит, искомое число равно 1716+2= = 1718.

560. б) Число делится на 5. Во сколько раз делимое больше частного?

в) Сумма делимого и частного равна 263—7= =256. Делимое больше частного в семь раз. Приняв величину частного за 1 часть, а делимого за 7 частей, найдем делимое (256:8)-7=224.

Делимое равно 224.

561. а) Решить алгебраически.

б) За X принять неизвестное число.

в) Уравнение по условию задачи:

562. б) Произведите вычитание, не выполняя умножения: 378549-17548—378549.

563. б) В виде разности каких дробей можно представить дробь

564. б) Смотрите № 563 б).

565. б) Смотрите № 563 б).

566. б) Смотрите № 563 б).

567. б) Сколько кубических миллиметров в 1 куб. м?

в) 1000 км.

568. а) Два друга вышли из одного дома и пошли в школу. Шаг первого равен 60 см, а второго на 5 см шире. Но зато в минуту второй делал 15 шагов, а первый успевал делать 18. Найдите скорость каждого и укажите, который из друзей шел быстрее?

б) Длину шага второго примите за единицу. Проведите рассуждения, как и во вспомогательной задаче.

в) Принимаем длину шага второго за единицу, тогда шаг первого составляет шага второго, а количество шагов, сделанных первым, составляет числа шагов, сделанных вторым. Отсюда скорость первого составляет ^ • jq=]qq скорости второго. Следовательно, второй придет на завод раньше первого.

569. а) Определите, какую часть всей суммы внес второй.

б) Всю сумму обозначьте отрезком и постарайтесь определить, какую часть всей суммы внесли второй и третий товарищи.

в) Так как второй внес 1 того, что внесли все его товарищи, то он внес! всей суммы. Третий внес ! всей суммы. Это видно на рисунке.

4 внес второй, что составляет ^ того, что внесли его товарищи. Решение. 1) 1 — (^+5+i)= к; 2> 52:à=1040 (коп-) -10 руб-40 коп-

570. а) На тарелке лежали яблоки. Старшая сестра взяла половину яблок, а младшая половину остатка и еще два яблока, после чего яблок на тарелке не осталось. Сколько яблок было на тарелке?

б) Прочти конец задачи и подумай, сколько яблок осталось у отца, когда он отдал яблоки среднему сыну.

в) Так как младший сын получил половину остатка и пол-яблока, после чего у отца яблок не осталось, то очевидно, что ^ яблока составляет ! остатка; значит, остаток равен одному яблоку. Аналогично можно найти первый остаток: (1 + +0,5) -2 = 3 (яблока.) Так как старший сын получил половину всех яблок и еще ! яблока, то всего яблок у отца было (3+0,5)-2=7 (шт.).

571. б) Оставшиеся утиные яйца примите за 1 часть.

в) Если оставшиеся утиные яйца принять за 1 часть, то куриные составят 2 части, тогда общее число оставшихся яиц должно быть кратно 3. Подбором можно убедиться, что нужно продать корзину, в которой 29 яиц. Тогда куриных останется 12+23+5=40 (штук), утиных 14+6=20.

572. б) Постарайтесь из условия определить, на сколько лет Янош старше Сарры.

в) Если Яношу с сыном 288 лет, а Сарре с сыном 280 лет, то Янош старше Сарры на 8 лет, тогда Сарре (336—8):2= 164 (года), Яношу 172 года, их сыну 280—164=116 (лет).

573. б) Определите по рисунку, весу скольких яблок равен вес груши.

в) Из рисунка видно, что вес одной груши равен весу трех яблок, тогда на левую чашу можно положить 7 яблок. Их вес равен 350 2, отсюда вес одного яблока 350:7=50 (2), а вес груши 50-3= = 150 (г).

574. б) Определите вес одной груши.

в) Груша весит 100 2, тогда 3 груши весят 300 г, а яблоко (400—300):2=50 (г).

575. б) Определите, сколько груза на обеих чашах весов.

в) На каждой чаше по 85 г, значит, большое яблоко весит 85—20=65 (г).

576. б) Смотрите № 575 б).

в) На обоих чашах весов 800 г груза (вместе с гирей). Значит, пять маленьких яблок весят 200 г (400—200), а одно 200:5=40 (г).

577. б) Определите (по первому и второму рисункам), на сколько граммов большое яблоко тяжелее маленького.

в) Заменив (на втором рисунке) грушу большим яблоком и гирей в 20 2, получим, что большое яблоко тяжелее маленького на 60 г. Тогда (на третьем рисунке), положив на левую чашу весов вместо двух больших яблок и груши три маленьких яблока, нужно еще поставить гирю 60-3+20=200(2). Отсюда два маленьких яблока весят 200 г, одно 100 г.

578. в) 100 г.

579. б) Не нарушая равновесия, переложите яблоки так, чтобы на обеих чашах остались только маленькие яблоки.

в) Если (на первом рисунке) вместо двух больших яблок положить пять маленьких и 50 2, то семь маленьких яблок будут весить 225—50=175(г), одно 175:7=25 (г).

580. б) Смотрите № 575 б).

в) На каждой чаше весов по (100+100+50):2= = 125(2), значит, большое яблоко весит 125 — —50=75 (г).

581. б) Подумайте, как выразить вес груши через вес яблок.

в) Видно (из второго рисунка), что вес одной груши равен весу двух яблок, тогда, заменяя (на первом рисунке) две груши четырьмя яблоками, получим, что одно яблоко весит 60 г.

582. б) Определите вес двух груш.

в) Две груши весят 250 2, вес одной 125 г.

583. б) Подумайте, как выразить вес большого яблока через вес маленьких.

в) Видно (из второго рисунка), что вес большого яблока равен весу 2,5 маленьких. Заменяя (на первом рисунке) три больших 7,5 маленькими яблоками, получим, что 0,5 маленького яблока весят 40 2. Одно маленькое 80 г.

584. б) Смотрите № 579 б).

в) Заменяя четыре больших яблока четырьмя маленькими и грузом в 60-4=240 (г), получим, что вес маленького яблока 40 г.

585. б) Определите, на сколько граммов большое яблоко тяжелее маленького.

в) Большое яблоко тяжелее маленького на 50 г. Получим (по первому рисунку), что 4 маленьких весят 100 г, одно 25 г, а одно большое яблоко 75 г.

586. б) Определите вес одной груши.

в) Одна груша весит 720:2:3=120 (2), тогда яблоко весит (360—240):2=60 (г).

587. б) Подумайте, как выразить вес одного яблока через вес груши.

в) Одно яблоко легче двух груш на 200 2, тогда, если на левую чашу вместо яблока положить две груши, вес увеличивается на 200 г. Значит, пять груш весят 400+200 = 600 (г), одна груша 600:5= = 120 (2).

588. б) Сколько часов прошло до встречи?

в) До встречи машины были в пути 3 ч, значит, скорость грузовика 264:3—55=33 км/ч.

589. б) Смотрите № 588 б). Скорость грузовой примите за 1 часть.

в) В час обе машины проходили 342:3= 114 (км), тогда скорость легковой 114:3-2=76 (км/ч).

590. б) Определите, какой путь проделал мотоциклист до встречи.

в) Мотоциклист был в пути 3 ч и проехал до встречи 116—8=108 (км), значит, скорость 108:3=36 (км/ч).

591. б) Определите весь путь.

в) Весь путь равен 30- ( 16^—12?) = 105 (км), тогда скорость легковой машины 105: ( 16^—13^) =42 (км/ч).

592. б) Определите, на сколько скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста.

в) Так как мотоциклист догнал велосипедиста через час, то его скорость на 15 км/ч больше, чем скорость велосипедиста. Скорость велосипедиста 15 км/ч.

593. б) Определите, сколько километров обе машины проходили в час.

в) За 1 час обе машины проходили 312:4=78(/сж). Скорость легковой 78—26=52 (км/ч).

594. б) Определите, через сколько часов мотоциклист догнал велосипедиста.

в) Мотоциклист догнал велосипедиста через 1 ч 24 мин. Значит, расстояние ЛС=(35—10) X xl|=35 (км).

595. б) Определите, сколько часов была в пути легковая машина.

в) Легковая машина была в пути 136:68=2 (ч). Значит, она вышла из А в 8 ч 50 мин, т. е. на 50 мин позднее грузовой.

596. б) Определите время движения автомашин, в) Так как за один час обе машины проходят 11^—10^) =80 (км), то скорость легковой 80—32=48 (км/ч).

597. б) Определите расстояние СВ.

в) До встречи обоим осталось 76—12-3=40 (км).

Встреча произойдет через 40:(48+12)=^ (часа) =40 мин.

598. б) Смотрите № 596 б).

в) В час обе машины пройдут 400:4=100 (км), тогда удвоенная скорость грузовика 100—12= =88 (км/ч), скорость его 88:2=44 (км/ч).

599. б) Определите скорость велосипедиста, в) Скорость велосипедиста 24:2=12 (км/ч).

Расстояние Cß = (44+12)-^=28 (км), тогда АВ =24+28=52 (км).

600. б) Определите расстояние СВ.

в) Расстояние АС равно 38:2=19 (км), а СВ = =78—19=59 (км). Встреча произойдет через 59:(80+38)Ц (ч). AD=38 км.

601. б) Определите, через какое время мотоциклист догнал велосипедиста.

в) Мотоциклист догнал велосипедиста через час, значит, его скорость на 15 км/ч больше скорости велосипедиста и равна 15+15=30 (км/ч).

602. б) Определите скорость грузовой машины.

в) Скорость грузовика 27:^=54 (км/ч). Легковая догнала грузовую через 3 ч, значит, ее скорость больше скорости грузовой на 27:3= =9 (км/ч), т. е. равна 54+9=63 (км/ч).

603*. 5 см. 604. 120°. 605. 45°. 606. 60°. 607. 135°. 608. 2 раза. 609. 150°. 610. 90°. 611. 4. 612. 3. 613. 15°. 614. 8 см. 615. 6. 616. 10. 617. Прямая, проходящая через данную точку и центр данной окружности. 618. Прямоугольник. 619. Окружность, концентрическая данной, с радиусом, равным сумме данного радиуса и радиуса данной окружности. 620. Пара окружностей, концентрических данной. Радиус одной из них равен сумме соответствующих радиусов, радиус другой — разности.

621. Ромб. 622. Параллелограмм. 623. Пара взаимно перпендикулярных прямых, являющихся биссектрисами углов, образующихся при пересечении последних. 624. 12. 625. 16. 626. Правильный треугольник. 627. Бесконечно много. 628. Восьмиугольник. 692. Шестиугольник. 630. Равнобедренная трапеция. 631. Правильный пятиугольник. 632. Семиугольник. 633. Квадрат, пара взаимно перпендикулярных прямых. 634. Пара концентрических окружностей, окружность, пара параллельных прямых, прямая.

635. а) Вспомните симметричные фигуры, оси симметрии.

б) Определите, сколько осей симметрии имеют буквы каждой из указанных групп.

в) Буквы первой группы имеют одну вертикальную ось симметрии, буквы второй группы — одну горизонтальную ось симметрии. Буквы третьей группы имеют центр симметрии и две оси симметрии. Буквы четвертой группы не имеют осей симметрии.

* Ответы к задачам № 603—634 даны для геометрического лото.

636. 60 мин.

637. а) Изучите таблицу «Арифметика, алгебра и геометрия на циферблате».

в) За 40 мин минутная стрелка повернется на 6°.40=240°, часовая на (1)".40=20°. Сейчас минутная и часовая стрелки образуют угол в 60°. Через 40 мин между стрелками будет угол 240°— (60°+20°) = 160°.

638. а) Изучите внимательно таблицу «Арифметика, алгебра и геометрия на циферблате».

б) Нужно решить задачу на движение в одном направлении.

в) В 11 ч часовая стрелка отставала от минутной на 30°. За каждую минуту она дополнительно отстает на ( 5^) [б°—(g) =(%) ], поэтому на 150° она отстанет за 150 : $2 = 27— (мин). Итак, часы покажут противолежащие числа на циферблате через 27уу мин.

639. б) Даем другую формулировку прямой теоремы. Если четырехугольник — ромб, то диагонали его взаимно перпендикулярны.

в) Обратная теорема. Если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то этот четырехугольник ромб. Обратная теорема неверна. Для доказательства достаточно взять два произвольных, но взаимно перпендикулярных отрезка и концы их соединить. Полученный четырехугольник не будет ромбом.

640. Обратная теорема неверна.

641. б) Даем другую формулировку прямой теоремы. Если углы смежные, то они не могут быть оба острыми или оба тупыми.

в) Обратная теорема. Если два угла не острые или не тупые, то они смежные. Теорема неверна.

642. в) SP=2.

643. б) Возьмите отрезок ВС и через середину его проведите произвольную прямую. Докажите, что расстояния точек В и С до прямой равны.

в) Построение. Через точку А и середину отрезка ВС проводим прямую. Эта прямая искомая.

Доказательство следует из равенства Д BMD и A CND.

644. б) Вспомните свойства диагоналей ромба.

в) Построение. Через середину отрезка AB проводим прямую, перпендикулярную AB. Точки пересечения этой прямой (D и Dx) с окружностью— третьи вершины ромба. Отложив СД =DK и CxK=KDl9 получим четвертые вершины ромба. Доказательство вытекает из построения.

Исследование. Если CD пересекает окружность, получим два решения. Если CD касается окружности, одно решение. Если CD не имеет общих точек с окружностью, решений нет.

645. б) На чертеже продолжить медиану за ее основание и отложить отрезок, равный медиане.

646. б) Вспомните г. м. т., равноотстоящих от концов отрезка.

в) См. рисунок; *—положение лодочной станции.

647.

б) Смотрите № 646, б).

в) Смотрите рисунок.

648.

б) Смотрите № 646,6).

в) Смотрите рисунок.

649. б) См. № 646 б). Что является г. м. т., равноудаленных от сторон данного угла? в) См. рисунок?

ВХ — биссектриса ^ ABC, XD - медиатриса отрезка

650. б) Чем является гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в окружность? в) Смотрите рисунок?

AB и CD —диаметры, 0 = ABXCD—центр окружности.

651. б) Постройте центр окружности по ее дуге, в) Смотрите рисунок.

0 = £Юх £0-центр, ОМ — радиус шкива.

652. б) Воспользуйтесь медианами треугольника.

в) Строим медианы треугольника.

653. б) Можно взять две произвольные точки M и N и построить три точки Л, В, С, принадлежащие медиатрисе концов отрезка MN.

в) Смотрите рисунок.

Точки Л, В и С лежат на одной прямой.

654. в) Смотрите рисунок.

655. б) Вспомните свойства средней линии треугольника.

в) Смотрите рисунок.

656. б) Вспомните свойства диагоналей ромба, в) Смотрите рисунок.

657. б) Воспользуйтесь средними линиями треугольника.

в) Смотрите рисунок.

ЕС, BF и AD-медианы.

658. а) Постройте угол, равный данному, с вершиной на стороне данного угла, постройте биссектрису.

1. Дан равнобедренный треугольник, вершина которого не поместилась на чертеже. Постройте биссектрису угла при вершине.

2. Постройте равнобедренный треугольник с вершиной в недоступной точке, используя дополнительно построенный угол.

в) Смотрите рисунок.

659. б) Одним циркулем постройте еще одну или несколько точек, принадлежащих отрезку AB. в) Смотрите рисунок.

X и Y — принадлежат прямой AB.

660. б) Постройте точку, симметричную одной из данных точек (А или В) относительно прямой (берега реки). Используйте эту точку для решения задачи.

в) Смотрите рисунок.

Точка X —место водонапорной башни.

661. б) Постройте точку, симметричную точке С относительно реки SB. Используйте построенную точку.

в) Смотрите рисунок.

СХ Y — искомый маршрут.

662. а) Решается методом симметрии.

б) Постройте точки, симметричные точке С относительно прямых SB и SA. Используйте их для решения.

в) Смотрите рисунок.

С'С" — прямая, CYXC — искомый маршрут.

663. а) Как бы решалась эта задача, если бы речки не было? Какой путь был бы тогда кратчайшим?

б) Нужно перенести один из пунктов по направлению, перпендикулярному реке, на отрезок, равный ширине реки (как бы сдвинуть один берег к другому).

в) Смотрите рисунок.

664. а) Вспомните, какими методами доказывались признаки равенства треугольников.

б) Наложите Д А1В1С1 на Л ABC так, чтобы совпали их медианы (ВМ^В^^ и чтобы вершины А1% С и А лежали по разные стороны от совмещенных медиан (перевертываем А А^С^.

в) Выполняем наложение Д А1В1С1 на Л ABC так, как рекомендовано в б). Тогда

665. а) Примените наложение. Доказательство проведите методом от противного.

б) Пусть даны Л ABC и Д А1В1С1 и ^ А = = ^Alt АВ = А1В1, ВС^В^С^ Наложите Л ABC на Л А1В1С1 так, чтобы АВ^Аф^ а АС пошла по А1С1. Допустите, что СфСъ а займет положение точки CfczA1Cv Рассмотрите Д и приведите доказательство к противоречию. Используйте, что А > ^ С; Ах > ^ Сг.

в) Смотрите б).

Доказательство. Допустим, ЧТО О Щ L»i. Д В^С^С' — равнобедренный (В^С = ВХСХ и ^1 = ^2). ^2>^ЛЬ следовательно, и ^ 1>

>^ЛЬ но это противоречит условию, что ^Л1>^С1. Следовательно, С'=С1 и ДЛВС= - А А.В.С,.

666. б) Обратная теорема. Если высоты, опущенные на боковые стороны треугольника, равны, то треугольник равнобедренный.

в) Доказательство. Прямая теорема (см. чертеж).

Обратная теорема.

Доказательство. Л ADC = /\ВЕА (прямоугольные, ^ А — общий, BE = DC). Отсюда АВ = АС и A ABC равнобедренный.

667. б) Точку А соедините с центром О окружности. Проведите произвольную хорду и постройте середину ее (М). Рассмотрите Д ОАМ. в) Доказательство.

AM = MB, следовательно, ОМ ± AB и ^ ОМА =90°. Последнее означает, что точка M лежит на окружности с диаметром OA.

L/C NM — параллелограмм.

668. б) Проведите диагонали четырехугольника. Используйте свойства средней линии треугольника.

в) Доказательство.

669. а) Не забывайте, что медиана к гипотенузе равна ее половине.

б) Нужно доказать равенство углов ACH и ВСМ.

в) Доказательство.

^ АСР = ^ ВСР (по условию), ^3 = ^5 (острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами), ^ 5 = ^ 4 (АСМВ — равнобедренный).

Вывод: ^1 = ^2.

670. а) Постройте точку Hlt симметричную точке Н. Точку Нх соедините с В и С. Рассмотрите четырехугольник АВН^С.

б) Выделите прямые углы. Не забывайте теорему о том, что если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 2d, то около него можно описать окружность.

Постарайтесь доказать, что ^ А + ^ H1 = 2d.

в) Доказательство. Так как H и Нг симметричны относительно ВС, то ^Нх = ^ВНС, ^ ВНС = ^ EHF (как вертикальные). Но ^ ВАС+ ^ EHF = 2d, следовательно, Нх + + ^A = 2d.

Отсюда следует, что около четырехугольника АВНХС можно описать окружность. Этой окружностью является данная окружность.

Вывод. Точка НА лежит на окружности, описанной около д ABC. Аналогично проводится доказательство и относительно точек Н2 и Я3.

671. б) Постарайтесь доказать, что сумма двух других углов д BDC постоянна.

в) Доказательство. ^ D измеряется -i- KjAkB,^ С измеряется-^- w А1В. Величина дуг AkB и А1В не зависит от положения CD.

Отсюда следует, что сумма углов z D и ^ С постоянна и не зависит от положения секущей CD. Но ^ CBD = 180° - (^ D + С), следовательно, и ^ CBD — постоянный.

672. а) Не забывайте, что касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны между собой.

б) Проведите радиусы окружности в точки касания и докажите, что четырехугольник CMON — квадрат.

в) Доказательство. АС + СВ — AB = 2г, т. е. AM + MC + CN + NB - AL - LB = 2г. Но

AM = AL и NB = LB, следовательно,

MC + CN = 2г.

Так как MC = = CN, то СМ = CN = г и CMON- ромб. Но ^ СМО = 90°, следовательно, CMON — квадрат и ^ АС В = 90°.

673. б) Центры квадратов соедините с вершинами параллелограмма и докажите равенство полученных при этом треугольников (д АМК, Л BKL,/\ CLN, д DMN).

в) Доказательство. A DMN = Д CLN (DM = CL, DN = Л7С и ^ MDjV = ^ LCN). Отсюда ЛМ = NL. Аналогично и для других треугольников. Итак, MN = NL= LK = KM, MNLK — ромб. Кроме того, ^ MNL = 90° (^MNL=^DNL+^2 = ^ DNL+ ^1 = = ^DNC = 90°). Следовательно, MNLK — квадрат.

674. Нельзя. 675. Прямая, пара параллельных прямых и др. 676. 4. 677. Пропущено выражение: «при вершине». 678. Лишние слова: «соединяющая две точки окружности».

ЛИТЕРАТУРА

1. Абаляев Р.Н. Сборник задач по арифметике с практическим содержанием. М., Учпедгиз, 1960.

2. Балк М. Б. Организация и содержание внеклассных занятий по математике. М., Учпедгиз, 1956.

3. Березанская Е. С, Колмогоров А. Н., Нагибин Ф. Ф., Черкасов Р. С. Сборник задач и вопросов по геометрии. М., Учпедгиз, 1959.

4. Берман Г. Н. Число и наука о нем. М., ГИТТЛ, 1954.

5. Богоявленский Д. М., Менчинская Н.А. Психология усвоения занятий. М., Изд-во АПН РСФСР, 1959, стр. 110.

6. Богушевский К. С. и Сикорский К. П. Сборник задач по математике для повторения. М., Учпедгиз, 1953.

7. Брадис В.М. Средства и способы элементарных вычислений. М., Изд-во АПН РСФСР, 1948.

8. Германович П. Ю. Вопросы и задачи на соображение. М. Учпедгиз, 1957.

9. Гончаров В. Л. Начальная алгебра. М., Изд-во АПН РСФСР, 1955.

10. Депман И. Я. Рассказы о математике. М., Детгиз, 1954.

11. Доморяд А. П. Математические игры и развлечения. М., 1961.

12. Еленьский Щ. По следам Пифагора. Перевод с польского. М., 1961.

13. Иванов М. И. Русские счеты и их использование в школе. М., Учпедгиз, 1953.

14. Игнатьев В. А., Игнатьев Н. И., Шор Я. А. Сборник задач по арифметике. М., Учпедгиз, 1952.

15. Кобринский Н.,Пекелис В. Быстрее мысли. М., «Молодая гвардия», 1959.

16. Кордемский Б. А. а) Математическая смекалка. М., Гостехиздат, 1957; б) Очерки о математических задачах на смекалку. М., Учпедгиз, 1958.

17. Кордемский Б. А. и Русалев Н. В. Удивительный квадрат. М., ГИТТЛ, 1952.

18. Крупская Н. К. а) О воспитании и обучении. М., Учпедгиз, 1946; б) Коммунистическое воспитание смены. М., «Молодая гвардия», 1934.

19. Крутецкий В. А., Лукин Н. С. Психология подростка. М., Учпедгиз, 1959.

20. Макаренко А. С. а) Избранные педагогические произведения. М., Учпедгиз, 1946; б) Соч., т. V. М., 1951.

21. Махлах Г. С. Игровая мотивация в пионерской работе, «Вопросы психологии», 1962, № 3, стр. 117—127.

22. Нагибин Ф. Ф. Математическая шкатулка. М., Учпедгиз, 1964.

23. Перельман Я. И. а) Занимательная арифметика. М., Детгиз, 1954; б) Живая математика. М., 1955.

24. Песков Т. А. Сборник арифметических задач. М., Учпедгиз, 1952.

25. Песков Т. А., Совайленко В. К., Чураков Д. А., Калинин А. В. Сборник задач по арифметике для V—VI классов средней школы. М., Учпедгиз, 1959.

26. Поляк Г. Б. Занимательные задачи. М., Учпедгиз, 1955.

27. Рейнгард И. А. Сборник задач по геометрии и тригонометрии с практическим содержанием. М., Учпедгиз, 1960.

28. Серебровская Е. К. Опыт внеклассной работы по математике в V—VI классах. М., Учпедгиз, 1954.

29. Фрадкина Ф. И. Роль игры в формировании отношения учеников к учению и учебных интересов школьников. «Известия АПН РСФСР», 1955, вып. 73.

30. Хинчин А. Я. О воспитательном эффекте уроков математики. «Математическое просвещение». М., 1961, вып. 6.

31. Цингер Я.А. Занимательная зоология. М., Учпедгиз, 1957.

32. Чистяков В. Д. Сборник старинных задач по элементарной математике с историческими экскурсами и подробными решениями. Минск, 1962.

33. Юрьев Н. П. Счетная техника. М., Госстатиздат, 1952.

Журналы, энциклопедии, сборники

34. Большая советская энциклопедия.

35. Детская энциклопедия.

36. «Математика в школе».

37. «Наука и жизнь».

38. «Преподавание математики в свете задач политехнического обучения». Сборник статей, под ред. А. И. Фетисова, изд. 2. М., Изд-во АПН РСФСР, 1954, стр. 152-192.