Дубнов Я. С. Беседы о преподавании математики / [сост. и ред. И. М. Яглом]. — М. : Просвещение, 1965. — 236 с., [1] л. портр. — Список работ Я. С. Дубнова: с. 25—29.

Я. С. ДУБНОВ

БЕСЕДЫ О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»

МОСКВА 1965

Составление и редакция И. М. Яглома

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

Настоящий сборник содержит статьи видного советского математика и выдающегося педагога Якова Семеновича Дубнова (1887—1957). Статьи писались в разные годы и не предназначались автором для совместного публикования; поэтому естественно, что в них иногда встречаются сходные высказывания или близкие примеры. Однако в целом собранные здесь работы хорошо дополняют друг друга, давая достаточно цельную картину педагогических взглядов и устремлений их автора.

Основное место в книге занимают статьи, специально посвященные вопросам преподавания геометрии. Другие статьи касаются также вопросов преподавания алгебры и тригонометрии; однако и в них затрагиваются вопросы преподавания геометрии, глубоко волновавшие Я. С. Дубнова, научной специальностью которого являлась именно геометрия. Эти статьи особенно актуальны сегодня, когда серьезно обсуждаются вопросы коренной перестройки школьного курса геометрии и в программу этого курса вводятся новые большие разделы, ранее никогда в школе не проходившиеся. Очень актуальна также большая статья «Содержание и методы преподавания элементов математического анализа и аналитической геометрии в средней школе», написанная еще в 1948—1952 гг. и посвященная вопросу о модернизации школьного курса математики за счет введения в него элементов так называемой «высшей математики». Научно-популярная статья «Бесконечно удаленные элементы в геометрии» — одна из самых ранних статей Я. С. Дубнова — включена в этот сборник потому, что ее построение хорошо характеризует педагогические установки автора.

Расположение статей не является хронологическим (см. «Библиографическую справку» в конце книги); оно подсказано соображениями тематического порядка и преследует своей целью облегчить пользование книгой. В некоторых случаях большие статьи сопровождаются напечатанными мелким шрифтом дополнениями, развивающими или дополняющими содержание основ-

ной статьи; эти дополнения, представляющие собой извлечения из других работ Я. С. Дубнова, играют сравнительно второстепенную роль и поэтому не указаны в оглавлении книги (но перечислены в «Библиографической справке»). Немногочисленные подстрочные примечания редактора всюду отмечены звездочками; сноски автора нумеруются.

ЯКОВ СЕМЕНОВИЧ ДУБНОВ — МАТЕМАТИК И ПЕДАГОГ

Эта книга представляет собой сборник статей известного советского ученого Якова Семеновича Дубнова. Крупный ученый-математик, профессор Московского университета, внесший значительный вклад в науку (его работы по теории сетей заметно изменили лицо этого большого раздела дифференциальной геометрии1), Я. С. Дубнов одновременно являлся вдумчивым педагогом, много и плодотворно размышлявшим над проблемами математического образования. Устные и письменные выступления Якова Семеновича по вопросам школьного образования, блестящие по форме, часто полемически заостренные и неожиданные в части содержащихся в них рекомендаций, но всегда глубоко продуманные и тщательно аргументированные, были хорошо знакомы нашим учителям и высоко ценились учительской аудиторией. Собранные здесь статьи Я. С. Дубнова написаны в разное время и относятся к различным темам, но даже те из них, которые имеют, казалось бы, частный характер (рецензии на книги, некоторые из которых ныне уже почти забыты) или связаны с конкретными фактами из прошлого нашего математического образования (критика программы по геометрии, принятой в нашей семилетней школе в 1943 г.), звучат ныне вполне современно, как будто они написаны только вчера и устремлены в наше сегодняшнее «завтра». При этом во всех статьях чувствуется живой и заинтересованный голос автора, беседующего с читателем о волнующих их обоих проблемах, предупреждающего возможные вопросы и возражения, неустанно толкающего читателя на самостоятельную работу мысли, стимулирующего нешаблонный, творческий подход к вопросам математического образования.

1 Сетью на плоскости или на иной поверхности называется система из двух семейств линий, «в малом» устроенных так, как система «координатных линий» х = const к у — const на плоскости. Значение теории сетей для геометрии в известном смысле аналогично большой роли системы взаимно перпендикулярных прямых х = const и у = const в евклидовой планиметрии.

Предисловие к (ненаписанной) книге «Длина, площадь, объем» Яков Семенович Дубнов начал следующим образом:

Приступая к привлекательной для автора задаче — беседовать с настоящим или будущим педагогом о важных вопросах преподавания, я поставил себе за правило: не «вещать» с неких научных или методических высот, а именно беседовать. Поэтому я не останавливался перед некоторыми длиннотами и отступлениями в сторону, если мне казалось, что они могут быть полезны моему собеседнику. Конечно,, основной канвой служит тема, указанная в заглавии. Однако вокруг нее вырастает множество сопоставлений и аналогий, от рассмотрения которых я не счел нужным отказываться...

Эти слова могут служить превосходной характеристикой всех собранных в настоящей книге статей Я. С. Дубнова, относящихся к вопросам математического образования; они определили и само название книги.

Яков Семенович Дубнов родился 1 декабря 1887 г. в Одессе, в семье известного в свое время историка и общественного деятеля Семена Марковича Дубнова, убитого в возрасте 83 лет гитлеровцами во время второй мировой войны. В гимназию Я. С. Дубнов поступил довольно поздно, но зато здесь он встретил человека, знакомство с которым сыграло огромную роль в его жизни. Математику в одесской гимназии, в которой учился Я. С. Дубнов, преподавал широко известный впоследствии советский математик и педагог Вениамин Федорович Каган. И уже в гимназии, на уроках математики, были заложены основы той долголетней дружбы учителя и ученика, которая прошла через всю жизнь Якова Семеновича и в значительной степени определила выбор им своей научной специальности. И тогда же, на вдохновенных уроках В. Ф. Кагана, молодой Дубнов усвоил те педагогические принципы, борьбе за реализацию которых он отдал много лет своей жизни.

Я. С. Дубнов очень любил впоследствии вспоминать один эпизод из своей гимназической жизни. В. Ф. Каган излагал на уроках математики теорию непрерывных (цепных) дробей. Описав конечные непрерывные дроби, В. Ф. Каган определил затем величину бесконечной цепной дроби %+---р как

предел значений подходящих дробей при п-^оо и доказал существование этого предела. После этого он рассмотрел в качестве примера простейшую бесконечную дробь -Ц— ; обозначив ее величину через дс, В. Ф. Каган с помощью известных, достаточно беззаботных рассуждений, основанных на внешней аналогии конечных и бесконечных дробей, получил, что х—1 +—. или х2 — х— 1 =0, откуда вытекало, что х — 1 • Тогда гимназист Дубнов, с немалой робостью, как признавался он позже, спросил: «Вениамин Федорович, но ведь при вычислении величины х Вы нигде не использовали определение значения бесконечной цепной дроби?» Учитель улыбнулся в ответ и сказал: «А я думал, что ты этого не заметишь», после чего не пожалел времени на подробное доказательство того, что

если

и

то

где бесконечные цепные дроби У и у определены как пределы соответствующих конечных цепных дробей. Этот эпизод недаром запомнился Якову Семеновичу на всю жизнь; он иллюстрирует один из его основных педагогических принципов, горячо им отстаивавшийся во многих устных и письменных выступлениях: учитель в своей педагогической практике вправе использовать и неточные или не совсем полные доказательства; однако сам он обязан полностью осознавать их дефектность и должен быть готов раскрыть ее по требованию вдумчивого учащегося, не удовлетворенного проведенным рассуждением!

В 1906 г. Я. С. Дубнов окончил среднюю школу и поступил на физико-математический факультет Новороссийского (Одесского) университета. Лицо этого факультета в те годы в значительной мере определяли гимназический учитель Я. С. Дубнова

B. Ф. Каган и долголетний друг и соратник Вениамина Федоровича, яркий и оригинальный ученый и непревзойденный лектор, Самуил Осипович Шатуновский1. Влиянием В. Ф. Кагана и C. О. Шатуновского можно объяснить своеобразную научную атмосферу Новороссийского университета, в котором больше, чем где-либо еще в России, интересовались в те годы вопросами логических основ математики, — не случайно основные научные интересы В. Ф. Кагана лежали тогда в области оснований геометрии, а С. О. Шатуновский активно интересовался вопросами обоснования анализа. Привитые в студенческие годы требования безукоризненной логической отточенности математических теорий сохранились у Я. С. Дубнова до конца жизни — и нам, математикам совсем другого поколения, нетрудно было распознать знакомый лишь по литературе научный стиль Новороссийского университета, скажем, в темпераментных и глубоко продуманных выступлениях Я. С. Дубнова против «V-алгорифма» в векторном анализе — алгорифма эффектного и весьма удобного, но основанного скорее на внешних аналогиях, чем на строгой логической базе2. С другой стороны, для Новороссийского университета тех лет было характерно повышенное внимание к вопросам преподавания математики — и не случайно из стен его вышли такие превосходные педагоги, глубоко интересующиеся проблемами математического образования и в средней и в высшей школе, как Яков Семенович Дубнов, Григорий Михайлович Фихтенгольц или Игорь Владимирович Арнольд.

В Новороссийском университете В. Ф. Каган и С. О. Шатуновский официально занимали лишь скромное положение внештатных сотрудников (приват-доцентов), поскольку в дореволюционной России евреи не могли быть зачислены в штат высшего учебного заведения. Связанные с этим материальные затруднения побудили В. Ф. Кагана взять на себя некоторые дополнительные обязательства — и все начинания этого замечательного человека нашли отражение в последующей деятельности Я. С. Дубнова, с пристальным вниманием следившего за делами своего глубоко уважаемого учителя, а впоследствии любимого старшего друга и товарища по работе. В. Ф. Каган являлся преподавателем и заведующим учебной частью (инспектором) гимназии, которую, во всяком случае в части

1 Характеристику и обзор деятельности В. Ф. Кагана читатель сможет найти во вступительной статье А. М. Лопшица к книге: В. Ф. Каган, Очерки по геометрии, изд. МГУ, М., 1963. Выразительный портрет С. О. Шатуновского нарисовал его ученик Н. Г. Чеботарев («Успехи математических наук», вып. VII, 1940, стр. 316—321).

2 См., например, принадлежащую перу Я. С Дубнова реплику «Как иногда обучают заочников» в сборнике «Математическое просвещение», вып. 2, 1957, стр. 226.

организации математического образования, смело можно было назвать образцовой; эту одесскую гимназию широко знали во всей России как «гимназию Кагана». Я. С. Дубнов пронес через всю свою жизнь горячий интерес к вопросам школьного образования, и интерес этот зародился у него еще в одесские годы под сильным влиянием В. Ф. Кагана. Далее, В. Ф. Каган был фактическим руководителем известного одесского книгоиздательства «Матезис», роль которого в деле становления научной книги в России трудно переоценить, и еще в студенческие годы Я. С. Дубнову была привита горячая любовь к научной книге и высокая требовательность к ней, требовательность, находившая отражение как в его работе над собственными сочинениями, так и в остроте реакции на малокультурные или небрежные издания. Наконец, В. Ф. Каган долгие годы редактировал научно-популярный журнал «Вестник опытной физики и элементарной математики» — бесспорно, лучший из всех журналов такого типа, когда-либо существовавших в России; и в последние годы своей жизни Я. С. Дубнов любил подчеркивать, что рассматривает сборники «Математическое просвещение», одним из редакторов которых он являлся, как наследника и продолжателя одесского «Вестника».

1910 г. был годом первого научного успеха Я. С. Дубнова: за студенческое сочинение «Теория простых определенных интегралов, зависящих от параметра» он был удостоен серебряной медали. Однако наукой не исчерпывались интересы и увлечения студента Дубнова, и другие стороны его деятельности также были «отмечены» — тот же год явился и годом исключения Я. С. Дубнова из университета. 1910 г. был годом подъема революционного движения в стране, выразившегося, в частности, в массовых манифестациях студентов, так называемых «студенческих беспорядках». Я. С.Дубнов с его обостренным общественным темпераментом не мог остаться в стороне от этих событий. Он явился одним из организаторов и руководителей выступлений одесского студенчества, направленных против группы черносотенных, реакционных профессоров Новороссийского университета. Отклик на это выступление не заставил себя ждать: двое студентов, в том числе и Я. С. Дубнов, были арестованы и заключены в тюрьму. Просидев несколько месяцев в одесской тюрьме, Я. С. Дубнов был выпущен из заключения; однако при этом он был исключен из университета и выслан из Одессы «без права проживания в университетских городах». Лишь в 1913 г. Я. С. Дубнову удалось сдать экстерном государственные экзамены в Новороссийском университете и получить диплом. После этого он должен был снова вернуться в провинцию, поскольку в паспорте его оставалась отметка о «политической

неблагонадежности», исключавшая возможность проживания в крупных центрах. Тем не менее Я. С. Дубнов переехал в Москву, где проживал несколько лет полулегально, зарабатывая на жизнь частными уроками и неофициальной литературной деятельностью (поскольку возможность открытого поступления на работу была для него исключена).

Один вид работы, которым занимался в те годы Я. С. Дубнов, заслуживает того, чтобы рассказать о нем более подробно. Известный издатель и педагог А. А. Лямин выпускал до революции в Москве многотомную «Физико-математическую хрестоматию»; это интересное по содержанию и доброкачественное по выполнению издание и сейчас хорошо помнят старые преподаватели математики. Мало кто, однако, знает, как создавалась эта книга. А. А. Лямин был предприимчивым и инициативным человеком; однако он совсем не был ученым и не мог, разумеется, сам составить всеобъемлющую «Хрестоматию», затрагивающую многие вопросы, в то время освещенные лишь в статьях, напечатанных в специальных журналах. Для своей «Хрестоматии» (единственным автором которой он считался) А. А. Лямин подыскивал талантливых молодых сотрудников, чаще всего студентов, которые писали ему отдельные статьи по составленному А. А. Ляминым списку; деньги авторам выплачивались сразу же по сдаче работы, однако имя их нигде не указывалось. Одним из этих авторов и явился Я. С. Дубнов, которому было поручено написание большого числа геометрических статей. Я. С. Дубнов говорил впоследствии, что первым его литературным трудом явилась вторая книга третьего («геометрического») тома «Физико-математической хрестоматии», основным автором которой он являлся; эта книга содержала статьи по проективной геометрии, дифференциальной геометрии, векторному исчислению, неевклидовой геометрии и т. д. Лишенный какого бы то ни было личного честолюбия, Я. С. Дубнов никогда не сожалел о том, что его участие в этой книге нигде не было отмечено; скорее он был благодарен А. А. Лямину, предложившему ему интересную и полезную работу. В настоящем сборнике впервые печатается под именем истинного автора одна из статей1, написанных Я. С. Дубновым для «Хрестоматии» А. А. Лямина.

Если до 1917 г. педагогическая деятельность Я. С. Дубнова сводилась, в основном, к частным урокам, то после революции она приняла более широкие размеры. В 1918 г. он в качестве консультанта отдела по реформе средней школы Наркомпроса принимал участие в перестройке преподавания математики. Он также с энтузиазмом работал на рабфаке, организованном при

1 Статья «Бесконечно удаленные элементы в геометрии», стр. 188—196.

Московском университете; здесь он имел возможность проверять на опыте свои педагогические идеи, сложившиеся за предшествующие годы. И хотя Я. С. Дубнов преподавал на рабфаке университета лишь до 1923 г., практические уроки этого периода сыграли значительную роль в окончательном формировании его взглядов на вопросы преподавания математики в средней школе. Начиная с 1923 г. Я. С. Дубнов работает (сначала в качестве доцента, а с 1930 г. — профессора) во 2-м Московском государственном университете (ныне — Московский государственный педагогический институт имени В. И. Ленина); эта работа, которую он оставил только в 1937 г., принесла ему много удовлетворения, и он охотно вспоминал ее. Лекции Я. С. Дубнова помнят многие московские учителя и работники в области народного просвещения. Глубоко продуманные по существу и доставляющие чисто художественное наслаждение совершенной формой изложения, эти лекции заостряли внимание слушателей в первую очередь на методах, а не на результатах, развивали критическое чутье и умение усмотреть движущие пружины, составляющие существо той или иной математической теории. Для Я. С. Дубнова-педагога всегда на первом плане стоял вопрос «как?», а не «что?»; он считал, что студенты высшего учебного заведения в первую очередь должны «уметь», а не «знать». Эти установки как нельзя более подходили для воспитания будущих учителей, для которых лекции Я. С. Дубнова служили превосходным уроком не только, скажем, аналитической или дифференциальной геометрии, но также и методики в широком смысле этого слова, уроком высокого педагогического мастерства.

Еще раньше, в 1921 г., Я. С. Дубнов начал педагогическую деятельность в высшей технической школе, которую он не прекращал до 1930 г. Здесь Я. С. Дубнов также обращал основное внимание на методическую сторону изложения, на воспитание навыков самостоятельной работы. Методические установки Я. С. Дубнова легко усмотреть из его книги «Задачи и упражнения по дифференциальному исчислению», впервые вышедшей в свет в 1927 г. и выдержавшей 9 изданий. Эта книга представляет собой далеко не только сборник задач: каждый цикл задач в ней предваряется экономным, но содержательным вступлением, где не только перечислены основные факты, используемые при решении задач, но и даны ценные рекомендации методического характера. Тщательно продуман и порядок расположения задач, где почти каждая задача в чем-то развивает содержание предшествующих; удачно выбраны разбираемые примеры решений, также содержащие ценные методические указания. При этом в ряде случаев приводятся несколько решений одной и той же задачи, которые интересно сопоставить между собой.

В 1923 г. в Московский государственный университет был приглашен из Одессы старый учитель Я. С. Дубнова профессор В. Ф. Каган. Он сразу привлек Якова Семеновича к научной работе в области дифференциальной геометрии. С 1924 г. Я. С. Дубнов является аспирантом МГУ; аспирантуру он закончил в 1928 г. с представлением заключительной аспирантской работы (ныне это называется «диссертационная работа») «Дифференциальная геометрия прямолинейных конгруэнции в тензорном изложении». В 1929 г. Я. С. Дубнов принял активное участие в организации созданного В. Ф. Каганом научно-исследовательского семинара по тензорной дифференциальной геометрии, с которым была тесно связана вся его последующая научная работа.

С 1928 г. началась многолетняя преподавательская деятельность Якова Семеновича на механико-математическом факультете МГУ, профессором которого он являлся с 1931 по 1952 г. Эта деятельность вдохновлялась теми же принципами, о которых мы говорили выше. Многочисленные лекционные курсы Я. С. Дубнова — аналитической геометрии, дифференциальной геометрии, теории поверхностей, теории сетей, векторного или тензорного анализа — отличались повышенным вниманием к логической структуре предмета, обстоятельностью мотивировок поставленных задач и избранных методов их решения. Лекции Я. С. Дубнова редко поражали богатством рассмотренного фактического материала, ибо он никогда не гнался в своих курсах за количеством доказанных теорем. Однако слушатели его всегда могли составить себе полное представление о самой сущности излагаемых теорий, о движущих пружинах всех доказательств и истинном смысле определений. Можно сказать, что Я. С. Дубнов в своих лекциях никогда не стремился к «математической экспансии», к расширению любыми средствами занятой «математической территории»; вместо этого он добивался столь полного освоения каждого занятого «математического плацдарма», что после этого дальнейшее продвижение вперед становилось почти само собой разумеющимся — слушателям казалось, что они сами участвуют в разработке излагаемых теорий. Эти драгоценные черты Дубнова-лектора в полной мере проявились и в его последнем лекционном курсе «Введение в методы дифференциальной геометрии», о котором мы еще скажем впоследствии, — здесь Яков Семенович сумел на сравнительно скромном фактическом материале продемонстрировать (можно даже сказать — раскрыть) целый ряд глубоких идей, вдохновлявших деятельность целого поколения геометров.

Все математическое воспитание Я. С. Дубнова, присущий ему повышенный интерес к методологии научного исследования и к методике преподавания математики подготовили его к участию в решении одной большой проблемы, стоящей в 20-х и 30-х годах перед преподавателями нашей высшей школы, — речь идет о внедрении в практику преподавания векторных методов1. Любое изменение устоявшейся системы изложения вызывает естественное противодействие преподавателей, зачастую склонных видеть в своей приверженности к привычной и хорошо знакомой системе построения курса доказательство того, что эта система является более простой для усвоения, а следовательно, и методически более оправданной, чем всякая другая. Разумеется, такой значительный отказ от традиций, как переход от координатного изложения к векторному, также первоначально вызвал враждебное отношение у многих ученых и педагогов; можно напомнить, что в числе противников векторных методов числился некогда даже такой выдающийся деятель науки, как академик А. Н. Крылов2. Автору настоящих строк еще в 50-х годах приходилось встречать преподавателей педагогических институтов, активно выступающих за чисто координатное изложение, скажем, аналитической геометрии и отказывающихся от использования в лекционном изложении векторного аппарата. И если в настоящее время тенденции такого рода кажутся нам недопустимым анахронизмом, то большая заслуга здесь принадлежит Я. С. Дубнову, явившемуся одним из самых активных пропагандистов векторных методов в нашей высшей школе.

В 1933 г. вышла в свет первая часть замечательных «Основ векторного исчисления» Я. С. Дубнова. Книга эта (которую автор впоследствии неоднократно переиздавал и перерабатывал) представляет собой образец тщательно продуманного, мастерского изложения предмета, рассчитанного на малоподготовленного читателя. В предисловии к 3-му изданию книги Я. С. Дубнов писал:

...векторная алгебра, как ни элементарен ее базис, представляет собой принципиально новый алгорифм — в этом источник тех затруднений (часто неожиданных для преподавателя), которые испытывает начинающий при изучении этой дисциплины, — затруднений, которые можно преодолеть, не ослабляя, а усиливая внимание к логической

1 В настоящее время аналогичная задача стоит также перед преподавателями нашей средней школы — и можно лишь глубоко сожалеть, что решать ее приходится без участия Я. С. Дубнова.

2 Следует, впрочем, указать, что впоследствии А. Н. Крылов кардинально изменил свою позицию в этом вопросе.

структуре предмета (автор убежден, что это следует делать и в тех случаях, когда преподавание векторной алгебры преследует главным образом прикладные цели...).

В этих словах («не ослаблять, а усиливать внимание к логической структуре предмета») содержится целая педагогическая платформа, определившая своеобразие книги, написанной, казалось бы, на достаточно избитую тему. В большинстве начальных изложений векторной алгебры явственно видно стремление обыграть сходство между операциями над числами и операциями над векторами, приучить учащихся действовать просто «по аналогии». Основные установки Я. С. Дубнова диаметрально противоположны. В своей книге он стремится заставить учащихся понять различие между числами и векторами, заостряя внимание на специфичности, своеобразии нового алгорифма. Разумеется, он не обходит и сходства алгебры векторов и алгебры чисел; однако читатель его книги воспримет это сходство как неожиданное и ценное достоинство построенного аппарата, в то время как при чтении иных книг начинающий может иногда решить, что, скажем, коммутативность или ассоциативность сложения векторов автоматически обеспечивается чисто терминологическими соглашениями (употреблением слова «сложение»). В известном смысле вершиной логической требовательности автора является (отсутствующее, поскольку нам известно, во всех других руководствах) доказательство того, что стремление приблизить свойства операций над векторами к свойствам операций над числами с необходимостью приводит к принятому определению действий над векторами.

К числу достоинств замечательной книги Я. С. Дубнова надо отнести также превосходный, почти художественный язык и своеобразный стиль, по которому автора легко узнать, не глядя на обложку книги. «Стиль Я. С. Дубнова — это стиль неторопливой, но весьма обдуманной беседы с читателем», — писал известный советский геометр П. К. Рашевский в рецензии на книгу «Основы векторного исчисления»1. «Читатель никогда не ставится — мы уже не говорим перед ребусом, смысл которого трудно разгадать, — но даже и перед неожиданным новым понятием, неизвестно откуда появившимся и неизвестно для чего предназначенным. Нет, читатель все время ощущает присутствие руководителя, мы готовы сказать даже, старшего друга, слышит его голос, своевременно разъясняющий цель и особенности предстоящего пути и предостерегающий от ошибок. Часто

1 Н. В. Ефимов, П. К. Рашевский, Курс векторного исчисления Я. С. Дубнова (рецензия), «Математическое просвещение», вып. 5, 1960, стр. 302.

сопоставляются и оцениваются различные варианты взглядов на те или иные понятия, методы, обозначения. И в то же время этот стиль непринужденной беседы не мешает строгой корректности изложения, которой книга Я. С. Дубнова выделяется из числа других руководств.

Проявлением заботы о читателе является также богатый подбор примеров и задач, во многих случаях оригинальных, составляющих немалую долю ценности книги».

Читатель простит эту затянувшуюся цитату — трудно лучше охарактеризовать сочинение, о котором идет речь!

Здесь нам кажется уместным остановиться также на некоторых общих установках, которых всегда придерживался в своей деятельности Я. С. Дубнов. Началу его работы над «Основами векторного исчисления» предшествовал ряд лекционных курсов по аналитической геометрии, дифференциальной геометрии, векторному исчислению, на которых отрабатывались отдельные разделы будущей книги. Яков Семенович органически не умел спешить; каждое устное или письменное его выступление потому и покоряло глубокой внутренней логикой, неотразимой убедительностью, что оно было предварительно «выношено», чуть ли не «выстрадано». В предисловии к первому изданию 1-й части своего сочинения автор обещал посвятить его вторую часть векторному анализу (теории поля) — и можно не сомневаться, что уже тогда в голове его был готов план этой 2-й части книги. Однако прошло немало времени, прежде чем Яков Семенович счел себя вправе заняться этой работой. Между появлением первой и второй частей его книги прошло почти 20 лет (2-я часть «Основ векторного исчисления» вышла в свет только в 1952 г.) — и все это время Я. С. Дубнов продолжал шлифовать и отделывать 1-ю часть книги (каждое из трех последующих изданий 1-й части «Основ векторного исчисления» в деталях заметно отличается от предшествующего издания) и обдумывать ее 2-ю часть. Зато, когда Я. С. Дубнов наконец решил, что он вправе приступить к составлению второй части своей книги, он написал ее весьма быстро — к удивлению всех своих друзей, знавших, с какой высокой ответственностью относится Яков Семенович к каждому вышедшему из-под его пера слову. Однако эта быстрота, обусловленная высокой степенью продуманности материала, ни в коей мере не отразилась на качестве работы: несмотря на то, что Я. С. Дубнов в последние годы жизни неоднократно сетовал на невозможность переиздания второй части своей книги, выпущенной сразу весьма значительным тиражом, эта книга и в первоначальном своем виде производит впечатление мастерского произведения, не имеющего равных в

мировой литературе, столь богатой учебниками векторного анализа1.

Указанные особенности характера Я. С. Дубнова сыграли, к сожалению, роковую роль в его работе над книгой об измерении геометрических величин, рассчитанной на преподавателей математики средней школы и студентов педагогических институтов. Мысли об этой книге, которая должна была носить название «Длина, площадь, объем», бесспорно лежали в центре всех педагогических устремлений Я. С. Дубнова в последние десятилетия его жизни. Обнаруженная в его бумагах машинописная копия первой главы книги, возникшая в результате обработки лекций, прочитанных учителям средних школ республики Коми, была датирована 1947 годом; по-видимому, еще более ранним является также сохранившийся в бумагах Я. С Дубнова рукописный текст этой главы. В последующие годы Яков Семенович охотно возвращался в мыслях и разговорах к этой книге, снова и снова тщательно продумывая относящиеся сюда научные и методические вопросы. Следы работы над книгой об измерении величин заметны в ряде последних выступлений Я. С Дубнова, например в нескольких его докладах в секции средней школы Московского математического общества или в подборе примеров для брошюры «Ошибки в геометрических доказательствах», о которой мы еще скажем ниже. Он начал писать предисловие к книге, составил ее оглавление и написал развернутый проспект. Автор настоящих строк неоднократно пытался побудить Якова Семеновича поскорее приступить к написанию книги, но тот не торопился. Он считал, что эта работа не займет у него много времени: «Книга настолько продумана, — говорил он обычно, — что остается только сесть и записать ее». Я. С. Дубнова даже более заботила заказанная ему на ту же тему статья для Энциклопедии элементарной математики, поскольку она требовала какого-то отбора из полностью сложившегося у него в голове материала. И эту последнюю свою работу Я. С. Дубнов так и не успел закончить; опубликованная отдельной книгой в 1962 г., — уже после смерти автора, — ее первая глава «Измерение отрезков» никак не заменяет всего сочинения, в котором так остро нуждается наша школа.

Возвратимся, однако, к хронологической канве педагогической деятельности Я. С. Дубнова. Он принадлежал к той, в его

1 Одна черта, резко выделяющая книгу Я. С. Дубнова из числа прочих учебников, состоит в полном отказе от «V -алгорифма» и в полной логической отточенности всего развитого аппарата. Не меньшую ценность составляет свежая точка зрения на классические «интегральные теоремы» теории поля, положенные в основу весьма естественного определения всех основных операций векторного анализа.

время довольно немногочисленной группе ученых-математиков, которых глубоко волнуют практические вопросы школьного преподавания1. Не удивительно поэтому, что, когда на математическом отделении Московского государственного университета в программу подготовки студентов был включен курс методики математики, Я. С. Дубнов явился первым лектором, которому было поручено вести этот курс. В бумагах Я. С. Дубнова сохранился черновик программы курса, который он читал в МГУ в военном 1943 году:

Общая методика. Подготовка преподавателя математики; роль высшего математического образования.

Задачи преподавания математики в средней школе: приобретение навыков, необходимых в повседневной жизни; дисциплина мышления и речи; инициатива в исследовании; развитие пространственных представлений; «функциональное мышление»; подготовка к усвоению других предметов школьного курса; понимание структуры современной науки; подготовка к высшей школе.

Природа школы. Эволюция школы в дореволюционной России; математика в школе. Основные течения в начале XX века; «реформистское» движение; направление Перри. Эволюция преподавания математики в советской школе; сопоставление с современной зарубежной школой.

Методы обучения математике. Индукция и дедукция. Конкретно-индуктивный метод. Анализ и синтез. Эвристический метод. Построение урока (лекция; лекция-беседа; ответы учеников по теории; решение задач). Записи ученика на доске. Дисциплина речи, письма, чертежа. Домашние задания и их проверка. Классные контрольные работы. Внеклассная работа: занятия с отстающими; математический кружок.

Арифметика. Ее самодовлеющее значение и требования, предъявляемые со стороны алгебры. Научная теория натурального числа; построения натурального ряда: конструктивное и дескриптивное (аксиоматическое). Дроби — простые и десятичные. Периодические дроби. Научные теории дробей (операторы; пары); их отражение в школьной практике.

Алгебра и начала Анализа. Пропедевтика алгебры в курсе арифметики. Отрицательные числа; теории 1) операторов,. 2) пар. Отражение этих теорий в преподавании. Тождественные преобразования. Классификация алгебраических выражений. Уравнения; теория эквивалентности уравнений (основные теоремы). Применение уравнений к решению задач. Иррациональные числа; научное обоснование; формы приближения к нему в школьном преподавании. Графики функций. Неравенства. Основные понятия Анализа.

Расширение понятия о степени. Логарифмы. Функции показательная и логарифмическая.

Комплексные числа в науке и в школьном преподавании.

Комбинаторика. Основные понятия теории вероятностей.

1 Автор с удовлетворением отмечает, что за последние годы положение в этом отношении решительно изменилось, — и сегодня уже нетрудно назвать многих видных ученых, активно сотрудничающих со средней школой в деле постановки математического образования.

Геометрия и тригонометрия. Пропедевтический («наглядный») курс. Систематический курс; влияние Евклида. Роль определений и аксиом в геометрии. Модели евклидовой геометрии. Идея точечного преобразования (движение; симметрия; гомотетия). Измерение длин прямолинейных отрезков (несоизмеримость). Длина кривой линии. Измерение площадей. Метод интегрирования и принцип Кавальери. Элементы тригонометрии в курсе геометрии. Алгебраический метод решения конструктивных задач. Однородность геометрических формул. Введение в стереометрию. Метрические вопросы в стереометрии.

Расширение понятия об угле в ориентированной плоскости. Периодичность прямых тригонометрических функций и бесконечная многозначность обратных; графики. Решение треугольников.

С момента создания в 1948 г. секции средней школы Московского математического общества и до самой своей смерти Я. С. Дубнов являлся бессменным членом правления этой секции, в работе которой он всегда принимал весьма активное участие. После создания в 1945 г. кабинета математики Академии педагогических наук РСФСР (ныне сектор методики математики) Я. С. Дубнов активно включился в деятельность кабинета — сегодня этот первый период деятельности кабинета математики, которым заведовал тогда А. Я. Хинчин и сотрудниками которого состояли И. В. Арнольд, В. Л. Гончаров, Д. И. Перепелкин, Я. С. Дубнов и другие, кажется уже почти легендарным. Я. С. Дубнов работал в кабинете математики с присущей ему добросовестностью — он много выступал и писал по вопросам преподавания математики1; по написанным Яковом Семеновичем материалам (в настоящее время, к сожалению, утерянным) в некоторых школах Москвы проводилось экспериментальное обучение геометрии. В последние годы своей жизни Я. С. Дубнов был членом Учебно-методического совета Министерства просвещения РСФСР; он выполнял также много эпизодических, но достаточно ответственных поручений, например по рецензированию новых учебников.

Особо надо сказать о борьбе Я. С. Дубнова за введение в курс средней школы элементов так называемой «высшей математики», т. е. дифференциального и интегрального исчисления и аналитической геометрии. Многие московские учителя хороша помнят блестяще аргументированные выступления Якова Семеновича, в которых он отстаивал необходимость решительной модернизации курса средней школы. Не случайно, когда в 1933 г. встал вопрос о включении в курс средней школы про-

1 В настоящий сборник включены две статьи, написанные Я. С. Дубновым в период его сотрудничества в кабинете математики Академии педагогических наук РСФСР («Геометрия в семилетней школе» и «Содержание и методы преподавания элементов математического анализа и аналитической геометрии в средней школе»).

стейших сведений из математического анализа и аналитической геометрии, Я. С. Дубнов одним из первых откликнулся на этот призыв и в короткий срок написал свое «Введение в аналитическую геометрию», которое должно было стать учебником для средней школы. К сожалению, возникшая было идея оказалась на долгие годы похороненной, и книжка Я. С. Дубнова (как и написанные тогда же «Основы анализа бесконечно малых» И. И. Привалова и С. А. Гальперна) прошла мимо нашей средней школы. В годы работы в кабинете математики Яков Семенович снова занялся вопросом о преподавании в курсе средней школы элементов «высшей математики» и написал на эту тему большую статью, которую мы печатаем в настоящем сборнике. Наконец, нельзя обойти вниманием и подготовленную Я. С.Дубновым публикацию старой статьи знаменитого французского математика и педагога Эмиля Бореля «Как согласовать преподавание в средней школе с прогрессом науки»1; перевод этой статьи Яков Семенович заново отредактировал и снабдил кратким, но выразительным вступлением. Статья Бореля была написана еще в 1914 г., но в 1958 г. она, к сожалению, еще нисколько не устарела для нашей школы и весьма действенно агитировала за необходимые реформы.

Хочется еще сказать несколько слов о деятельности Я. С. Дубнова в школьном математическом кружке при МГУ. Этот кружок был создан еще в 1934 г.; он состоял из собирающихся еженедельно небольших секций, руководимых, в основном, студентами механико-математического факультета, из проводившихся два раза в месяц по воскресеньям «пленарных» собраний, на которых читались лекции профессорами и преподавателями университета— отдельно для учащихся VII—VIII классов и для учащихся IX—X классов; в конце учебного года проводилось самое массовое мероприятие кружка — Московская математическая олимпиада (здесь речь идет о том периоде, когда Я. С. Дубнов принимал участие в работе кружка). При приглашении лекторов бюро кружка сталкивалось с особыми затруднениями в тех случаях, когда речь шла о лекции для учащихся VII—VIII классов: весьма ограниченная подготовка слушателей сильно затрудняла большинство лекторов, поскольку она значительно ограничивала выбор возможных тем и налагала повышенные требования на методическую сторону лекции.

Я. С. Дубнов весьма охотно откликался на все предложения руководителей кружка; он часто выступал с лекциями перед школьниками и неоднократно входил в состав оргкомитета Московской олимпиады. В частности, Я. С. Дубнов считался не-

1 См. «Математическое просвещение», вып. 3, 1958, стр. 89—100.

превзойденным лектором для учащихся VII—VIII классов. Его основные педагогические установки, согласно которым основной упор делался на методы и идеи, а не на конкретные результаты, весьма подходили к этому роду деятельности, и столь смущавшая большинство других лекторов бедность математической базы, на которой приходилось воздвигать целое здание, придавала особую привлекательность стоящей перед ним педагогической задаче. Сказанное не означает, что Я. С. Дубнов не выступал также часто и весьма успешно и перед учащимися старших классов, но казалось, что лекции для младших школьников доставляли ему даже большее удовлетворение.

В школьном математическом кружке при МГУ Яков Семенович прочитал много разнообразных лекций, всегда ярких и оригинальных по содержанию и блестящих по форме. Так, например, лекцию по неевклидовой геометрии (для учащихся старших классов) он начинал с рассказа о геометрии на цилиндре и на конусе (по существу с изложения внутренней геометрии этих простейших поверхностей евклидова пространства), приходя после разбора ряда содержательных задач (в первую очередь — задач о кратчайших путях, соединяющих две точки цилиндра или конуса) к выводу о большой близости рассматриваемой геометрии к геометрии на плоскости. После этого тщательно обсуждалась геометрия на сфере, где доказывалась, в частности, пропорциональность площади сферического треугольника его угловому избытку. Лишь затем Я. С. Дубнов переходил к геометрии на поверхности, на которой сумма углов (геодезического) треугольника меньше 180°; он рисовал на доске псевдосферу и кратко, но выразительно характеризовал основные особенности геометрии Лобачевского. Можно лишь глубоко пожалеть, что лекции Я. С. Дубнова не были опубликованы их автором и сейчас существуют лишь в памяти его слушателей.

Только одна группа лекций была им литературно обработана и выпущена в виде отдельной брошюры — это лекции, посвященные разбору геометрических софизмов. Я. С. Дубнов (вслед за знаменитым Феликсом Клейном) высоко ценил педагогическое значение софистических (т. е. неправильных) доказательств и охотно пользовался такими доказательствами в своих выступлениях на методические темы1. Лекции, о которых здесь идет речь, строились им следующим образом. Сначала он излагал (учащимся VII—VIII или IX—X классов) ряд неправильных доказательств, а на следующей лекции, через две недели, просил слушателей выступать с критикой предложенных дока-

1 Ср., например, ниже, стр. 51—53.

зательств, активно участвуя в развернувшейся дискуссии и умело ее направляя. Родившаяся в результате этих лекций брошюра «Ошибки в геометрических доказательствах» (она воспроизведена и в настоящем сборнике) по содержанию близка к популярным сборникам математических софизмов (например, к соответствующей статье из 1-й книги геометрического тома упоминавшейся выше «Физико-математической хрестоматии» А. А. Лямина) — но насколько отличается она от них по своей направленности! В то время как А. А. Лямин (или иной автор статьи в его «Хрестоматии») ставит себе целью развлечь, позабавить читателя, Я. С. Дубнов хочет научить его. И этой последней цели автор брошюры достигает с выдающимся успехом.

Педагогический путь Я. С. Дубнова отнюдь не был «усыпан розами». Его высокая принципиальность, сокрушительная логика его критических выступлений создали ему немало врагов. Яков Семенович был признанным борцом по своему темпераменту— он боролся за светлое будущее нашей школы, против всего того, что стояло на ее пути, и при этом не щадил тех, кто являлся балластом на трудном пути вперед. В настоящий сборник включен один большой, принципиальный библиографический обзор Я. С. Дубнова, к которому приложены отрывки из двух его рецензий — по ним можно судить как о внимательности Якова Семеновича ко всему тому, в чем он видел ростки нового и передового, так и о полемическом задоре, отличавшем его неустанную борьбу против формализма и начетничества в преподавании математики. Я помню его краткую реплику в журнале «Математика в школе»1, когда, разобрав «инструктивную» статью двух признанных методистов на тему о требованиях, какие следует предъявлять к письменным работам по математике, Я. С. Дубнов закончил свое выступление так:

Здесь не исчерпаны все возражения, которые я мог бы сделать; оставлены в стороне те, которые потребовали бы более пространных разъяснений. Но уже можно подвести итоги. В качестве примерного ученика нам рисуют молодого человека, хорошо знающего формулы и приемы решения стандартных задач, еще лучше усвоившего требуемые схемы письменного изложения, но 1) не уверенного в своих «математических правах» (боится упростить уравнение), 2) лишенного инициативы, 3) слепо следующего правилам, 4) готового делать ненужную работу ради «схемы», 5) логически слабого, 6) не способного (или не умеющего) критически отнестись к условию задачи, 7) с хитрецой (где не сумею объяснить, возьму апломбом).

Можно было бы впасть в уныние, если бы таков был действительный облик нашего школьника. На самом деле «примерный ученик» обсуждаемой статьи это еще абстракция, для одних педагогов — недостигнутый идеал, для других — сигнал об опасности.

1 «Математика в школе», 1947, № 6, стр. 52—54.

Резкие выступления Я. С. Дубнова по вопросам школьного образования, его принципиальность и настойчивость в проведении той линии, которую сам он считал правильной (так, Яков Семенович не пропускал буквально ни одной возможности для того, чтобы высказаться на тему о необходимости включения в курс средней школы элементов математического анализа), вызывали уважение и любовь у многочисленных его друзей; но они же породили и ряд недоброжелателей, некоторые из которых в сложной атмосфере конца 40-х и начала 50-х годов чувствовали себя весьма свободно. Написанная для журнала «Математика в школе» замечательная статья «К истории постулата о параллельных в связи с практикой современного преподавания» (см. ниже, стр. 30—45) была первоначально возвращена на механико-математический факультет МГУ с рецензией, призывающей принять меры против профессора, позволившего себе клеветнические выпады против неевклидовой геометрии Лобачевского (?), и только принципиальная позиция руководства факультета привела к ее опубликованию. Рукопись четвертого издания 1-й части «Основ векторного исчисления» также первоначально была возвращена автору с анонимной рецензией, утверждающей, что ни один читатель не станет читать эту книгу (причем речь здесь шла о книге, первые три издания которой давно исчезли из магазинов и пользовались заслуженной известностью!). В 1952 г. Я. С. Дубнову после почти 25-летней безупречной работы пришлось прекратить преподавание на механико-математическом факультете Московского университета. Но и в последующей деятельности в качестве заведующего кафедрой математики педагогического института в г. Сыктывкаре Я. С. Дубнов проявил ту же принципиальность в отстаивании своих позиций, тот же полемический темперамент и молодой задор.

В 1955 г. Я. С. Дубнов вышел на пенсию и поселился в Москве. Но выход на пенсию совсем не означал для этого замечательного человека отказ от серьезной педагогической деятельности. Он по-прежнему активно участвовал в деятельности секции средней школы Московского математического общества и Учебно-методического совета Министерства просвещения РСФСР. Но наряду с этим у него появилось еще одно большое увлечение, под знаком которого прошли последние годы его жизни.

В 1956 г. группа московских математиков и педагогов обратилась в Государственное издательство технико-теоретической литературы с предложением о возобновлении издания выходивших ранее сборников «Математическое просвещение», рассчитанных на широкую аудиторию: на учащихся и преподавателей

средней и высшей школы и на всех любителей математики. Издательство пошло навстречу этому пожеланию, и с 1957 г. возобновилось издание этих сборников, однако на совершенно новой основе — старая серия «Математического просвещения» (1934—1939 гг.) была гораздо менее содержательной, чем новая, выпуски которой многократно превышали по объему тоненькие книжки, издававшиеся до войны.

Я. С. Дубнов был одним из инициаторов возобновления «Математического просвещения». Он являлся душой нового издания, в создание которого им была вложена вся его большая культура ученого и педагога. Яков Семенович написал предисловие к первому выпуску, в котором говорилось:

Рост математической культуры, охват ею все более широкого круга лиц вызвали к жизни еще в прошлом веке появление журналов, рассчитанных не только на ученых, но и на всех получивших или получающих специальное математическое образование. Тематике таких журналов естественно был присущ широкий диапазон: от элементарной математики и ее преподавания до вопросов, разумеется, не слишком специальных, современной науки. Тем самым между средней и высшей школами осуществлялась жизненно необходимая связь, находившая себе выражение не только в содержании журналов, но и в составе авторов и в круге читателей...

В наши дни советский читатель, избравший своей специальностью математику, найдет в журнального типа литературе издания, посвященные либо методике школьного преподавания, либо истории математики, либо оригинальным научным исследованиям и их обзорам, написанным для специалистов. Между тем многочисленные кадры нашей математической интеллигенции — большинство преподавателей вузов и старших классов средней школы, студенты университетов и пединститутов, инженеры, имеющие вкус к математике, — испытывают потребность в постоянном источнике, который расширял бы их научный кругозор, освежал и восполнял знания, наконец, стимулировал бы педагогическую и научную активность читателя в самых широких рамках: начиная от решения нешаблонных задач и кончая самостоятельными исследованиями. Именно на этого читателя мы и рассчитываем, возобновляя издание выпусков «Математического просвещения»...

В деле развития математической культуры через печать решение проблемы «писатель — читатель» не менее важно, чем в области художественной литературы. Мы надеемся слышать голос читателя и ждем проявлений его активности в самых разнообразных формах: от присылки статей и заметок до откликов на наши дискуссии и пожеланий относительно содержания сборников.

В первых трех выпусках новой серии «Математического просвещения», подготовленных к печати при участии Я. С. Дубнова, он поместил целый ряд статей и заметок1; он редактировал

1 В настоящем сборнике помещены статьи «Тригонометрия в школьном, курсе геометрии» и «К проблеме создания учебников по геометрии для средней школы», написанные Я. С. Дубновым для сборников «Математическое просвещение».

также множество других материалов и внимательно читал всю рукопись каждого сдающегося в печать выпуска. И друзья Якова Семеновича, вместе с ним редактировавшие новое издание, знают, с какой любовью и настойчивостью, радостью и самоотверженностью трудился Я. С Дубнов на этом общественно-полезном поприще, как стремился он реализовать широкую программу, сформулированную в предисловии к первому выпуску.

Однако существовать без непосредственного общения со слушателями, без устного преподавания Я. С. Дубнов также не мог. В декабре 1957 г. он ненадолго покинул Москву для того, чтобы выступить перед студентами и преподавателями Саратовского государственного университета с небольшим курсом лекций на предложенную им самим тему «Введение в методы дифференциальной геометрии». 13 декабря он прочел последнюю лекцию курса, прошедшую с большим успехом, а ночью того же дня проф. В. В. Вагнер, на квартире которого остановился Я. С. Дубнов, услышал стук в соседней комнате и, войдя, обнаружил Якова Семеновича мертвым на полу. Почувствовав себя плохо, Яков Семенович попытался подняться, чтобы принять сердечные капли, но уже не успел этого сделать. Врач, вскрывавший тело, говорил, что он обнаружил мозг молодого человека, но настолько истощенное сердце, что приходилось удивляться, как катастрофа не наступила раньше.

5-й выпуск «Математического просвещения» содержал некролог Якова Семеновича Дубнова и ряд статей, посвященных его памяти.

В заключение хочется позволить себе несколько слов личного характера. Автор настоящих строк относится совсем к другому поколению, чем Яков Семенович; свою преподавательскую деятельность в высшей школе он начал в 1943 г. в качестве молодого ассистента, ведущего упражнения по курсу дифференциальной геометрии, который читал один из уважаемых представителей «старой гвардии» механико-математического факультета МГУ профессор Я. С. Дубнов. Однако 35-летняя разница в возрасте не помешала нашему сближению, и в 50-х годах я воспринимал Якова Семеновича как старшего друга и товарища, к которому можно обратиться со всеми своими недоумениями и вопросами. Я. С. Дубнов в последние годы жизни имел весьма своеобразный «режим дня» (точнее было бы сказать «режим ночи») — он очень мало спал и высоко ценил ночные часы, которые использовал и для работы, и для общения с близкими людьми. Я никогда не забуду, как, зная об этой его «особенности, позвонил ему однажды в начале первого ночи, же-

лая прийти к нему в гости, на что получил ответ: «Приходите, но только, пожалуйста, попозже» — приглашение, которым, разумеется, не преминул воспользоваться. И никогда я не забуду этих ночных часов в квартире Я. С. Дубнова в одном из старых уголков Москвы — часов, заполненных неторопливой беседой, причем казалось, что к каждому возникшему у вас вопросу у Якова Семеновича уже давно заранее приготовлен развернутый и убедительный ответ. Эти ночные беседы были мне бесконечно дороги — и им я обязан многими своими мыслями, чувствами, убеждениями!

И. М. Яглом

СПИСОК РАБОТ Я. С. ДУБНОВА

А. Научные работы*

1927

1. О симметрично сдвоенных ортогональных матрицах, в кн. В. Ф. Кагана «О некоторых системах чисел, к которым приводят лоренцовы преобразования» (ч. 2 и 3), изд. Ассоц. н.-и. ин-тов I МГУ, М., стр. 33—35.

2. О совместных инвариантах системы аффиноров, Труды Всерос. съезда математиков в Москве, Госиздат, М.—Л., стр. 236—237.

3. О тензорах с векторными компонентами, там же, стр. 190—192.

1929

4. О соотношении между кривизнами линии, лежащей на данной гиперповерхности, Матем. сб., 36, вып. 3—4, стр. 417—423.

1931

5. Тензорные характеристики некоторых классов поверхностей и сетей (на франц. яз.), С. R. Acad. Sci., Paris, 192, № 5, стр. 251—264.

6. Основные тензоры прямолинейной конгруэнции (на франц. яз.), там. же, № 7, стр. 399—401.

1933

7. О циклическом аффиноре, Уч. зап. Моск. ун-та, 1, стр 16—17.

8. О тензорах с нескалярными компонентами (на нем. яз.), Труды сем. по вект. и тенз. анализу, вып. I, стр. 196—222.

9. Дифференциальная геометрия прямолинейных конгруэнции в тензорном изложении (на нем. яз.), там же, стр. 223—303.

10. Геометрические свойства экстремалей некоторых вариационных задач, там же, стр. 8.

11. О тензорах с единственной дивергенцией (на франц. яз.), Rendiconti Acad. d. Lincei, 17, № 7, стр. 507—508.

* В список включены напечатанные в «Трудах семинара по векторному и тензорному анализу» резюме докладов Я. С. Дубнова на заседаниях семинара, содержащие достаточно развернутое содержание результатов.

1934

12. О матрицах Дирака, Уч зап. Моск. ун-та, 2, стр. 43—48.

1935

13. К дифференциальной геометрии сетей (теоремы приведения; геодезические сети) (на русск. и франц. яз.), ДАН СССР, 4, № 1—2, стр. 7—10.

14. Ковариантное интегрирование в римановых пространствах двух и трех измерений (на франц. яз.), Труды сем. по вект. и тенз. анализу, вып. II—III, стр. 174—199.

15. Обобщение уравнения Гамильтона — Кэли и совместные инварианты нескольких аффиноров (на франц. яз.), там же, стр. 351—367.

1936

16. О парах и пучках сетей (совм. с Н. В. Ефимовым), ДАН СССР, 4, № 2, стр. 43—46.

17. Тензорные признаки некоторых поверхностей и сетей, в кн. «Труды 2-го Всесоюзн. матем. съезда, Ленинград, 24—30 июня 1934 г.», т. 2, Секционные доклады, изд. АН СССР, Л.—М., стр. 113—114.

1937

18. Об особенных геодезических сетях и поверхности Ли (совм. с Н. В. Ефимовым, на русск. и франц. яз.), ДАН СССР, 15, № 8, стр. 415—416.

19. Тензорные характеристики некоторых классов поверхностей и принадлежащих им сетей (на франц. яз.), Труды сем. по вект. и тенз. анализу, вып. IV, стр. 197—202.

20. О тройках попарно сопряженных сетей, там же, стр. 13.

21. О преобразовании чебышевского тензора при изменении аффинной связности, там же, стр. 15.

1939

22. К теории шаровых конгруэнции (совм. с М. А. Сабировым, на русск. и франц. яз.), ДАН СССР, 22, № 8, стр. 478—480.

1940

23. О пространственных аналогах чебышевской сети (совм. с С. А. Фуксом), ДАН СССР, 28, № 2, стр. 102—104.

1941

24. Полная система инвариантов двух аффиноров в центроаффинном пространстве двух и трех измерений, Труды сем. по вект. и тенз. анализу, вып. V, стр. 250—270.

25. Интегральные инварианты Картана в пространстве гиперплоскостей, там же, стр. 6.

26. Об одном обобщении сферического отображения, там же, стр. 9.

27. О двух обобщениях сети Чебышева, там же, стр. 9—10.

28. Геометрическое значение тензора Чебышева, там же, стр. 10.

29. О тензорах, инвариантно связанных с сетью, там же, стр. 13—14.

30. О метриках, порождаемых данной сетью, там же, стр. 16.

1943

31. О понижении степени аффинорных полиномов (совм, с В. К. Ивановым), ДАН СССР, 41, № 3, стр. 99—102,

1945

32. Основные тензоры в метрической теории шаровых конгруэнции (совм. с М. А. Сабировым), ДАН СССР, 49, № 9, стр. 639—641.

1946

33. Сети равных путей на поверхности, Уч. зап. Моск. ун-та, вып. 100, Математика, т. 1, стр. 212—216.

1949

34. Сети равных площадей, Труды сем. по вект. и тенз. анализу, вып. VI, стр. 16.

35. Об одной геометрической интерпретации уравнений Кодацци, там же, стр. 17.

36. Поле дублетов на поверхности, там же, стр. 18.

37. О некоторых системах линейных тензорных уравнений в бинарной области, там же, стр. 19.

38. О кривизне бинарных форм, встречающихся в теории поверхностей, там же, стр. 19—20.

39. Об изгибании с сохранением главных кривизн, там же, стр. 20.

40. О некоторых многоточечных тензорах в аффинной теории кривых, там же, стр. 22—23.

41. Тензоры и геометрические объекты в одномерном пространстве,. Труды сем. по вект. и тенз. анализу, вып. VII, стр. 3.

42. Алгебра девиаторов и ее приложения к теории сетей, там же, стр. 4.

43. О моделях гиперболической геометрии, там же, стр. 5.

44. Центроаффинная геометрия кривых и поверхностей, там же, стр. 9.

45. Дифференциальная геометрия многообразий уровня, там же, стр. 14.

1950

46. Центроаффинная геометрия кривых на плоскости, Труды сем. по вект. и тенз. анализу, вып. VIII, стр. 106—127.

47. Центроаффинная теория поверхностей (совм. с В. Н. Скрыдловым), там же, стр. 128—143.

48. Дифференциально-геометрические свойства траекторий в позиционном поле, там же, стр. 3—4.

49. Дифференциально-геометрические объекты и системы импримитивности, там же, стр. 9.

1951

50. Прямолинейная конгруэнция аффинного градиента, ДАН СССР, 819 № 3, стр. 349—352.

1952

51. Диагональные свойства сетей, Труды сем. по вект. и тенз. анализу, вып. IX, стр. 7—48.

1954

52. По поводу уравнений Петерсона, Усп. матем. наук, 9, № 1, стр. 101—106.

1955

53. Теория полутензоров сети, Уч. зап. Каз. ун-та, 115, кн. 10, стр. 16—17,

1958

54. Полутензоры двумерной сети, Изв. высш. уч. зав. (Математика), № 3 (4), стр. 74—83.

1961

55. Модель евклидовой геометрии на гиперболической плоскости, «Математическое просвещение», вып. 6, стр. 181 —190.

Б. Статьи методического содержания, рецензии, энциклопедические статьи и др.

56. О разложении на множители некоторых тригонометрических выражений. Сборник «Вопросы математики и ее преподавания», под ред. И. И. Чистякова и К. М. Соловьева, М.—Пг., стр. 41—67 (год издания не указан).

57. Геометрия в семилетней школе, Изв. Акад. пед. наук РСФСР, 1946, вып. 6, стр. 57—76.

58. О требованиях, предъявляемых к письменным работам по математике, «Математика в школе», 1947, № 6, стр. 52—54.

59. Д. И. Кутилин, Теория конечных деформаций (рецензия), «Сов. книга», 1948, № 7, стр. 14—15.

60. О двух учебниках геометрии для педвузов, «Математика в школе», 1949, № 6, стр. 43—49.

61. В. Ф. Каган, Краткий обзор научной биографии (К 80-летию со дня рождения; совм. с П. К. Рашевским), Труды сем. по вект. и тенз. анализу, вып. VII, 1949, стр. 16—30.

62. О книге Г. Л. Невяжского «Неравенства» (рецензия), «Математика в школе», 1949, № 3, стр. 44—45.

63. К истории постулата о параллельных линиях в связи с практикой современного преподавания, «Математика в школе», 1950, № 5, стр. 1—8; также — «Математическое просвещение», вып. 5, 1960, стр. 57—71.

64. Объем, БСЭ, 2-е изд., 1954, т. 30, стр. 443.

65. Сети линий, БСЭ, 2-е изд., 1955, т. 33, стр. 614.

66. Вениамин Федорович Каган (некролог, совм. с А. М. Лопшицем), Труды сем. по вект. и тенз. анализу, вып. X, 1956, стр. 3—14.

67. Тригонометрия в школьном курсе геометрии, «Математическое просвещение», вып. 1, 1957, стр. 45—56.

68. Ньюэлл, Векторный анализ (рецензия), «Новые книги за рубежом», серия А, № 9, 1957, стр. 15—19.

69. К статье Э. Бореля «Как согласовать преподавание в средней школе с прогрессом науки», «Математическое просвещение», вып. 3, 1958, стр. 89—91,

70. К проблеме создания учебников по математике для средней школы, там же, стр. 275—300.

71. Содержание и методы преподавания элементов математического анализа и аналитической геометрии в средней школе, «Математическое просвещение», вып. 5, 1960, стр. 17—55.

72. Два новых учебника алгебры (рецензия), там же, стр. 275—292.

73. «Величина и число», «Метод параллельных сечений в теории площадей и объемов» (тезисы выступлений в секции средней школы Московского математического общества), там же, стр. 212—214.

74. Римановы геометрии (рукопись).

В. Книги

75. Задачи и упражнения по дифференциальному исчислению, Госиздат, М.—Л., 1927, 312 стр. (вышло 9 изданий; поел. изд:. Гостехиздат, М.—Л., 1942, 240 стр.).

76. Основы векторного исчисления, ч. 1 (векторная алгебра), М.—Л., Гостехиздат, 1933, 212 стр. (вышло 4 издания; начиная со 2-го издания книга имела подзаголовок: «Векторная алгебра. Элементы векторного анализа». Посл, издание — Гостехиздат, М.—Л., 1950, 368 стр.).

77. Введение в аналитическую геометрию, Учпедгиз, М., 1934, 101 стр.;. 2-е изд., Физматгиз, М., 1959, 139 стр.

78. Ошибки в геометрических доказательствах, Гостехиздат, М., 1953, 68 стр.; 2-е изд., Гостехиздат, М., 1955; 3-е изд., Физматгиз, М., 1961. (Книга переведена на китайский, чешский, немецкий, румынский, английский языки.)

79. Основы векторного исчисления, ч. 2 [линейные функции вектора, векторный анализ (теория полей), начала тензорного исчисления], Гостехиздат, М., 1952, 415 стр.

80. Измерение отрезков, Физматгиз, М., 1962, 100 стр.

81. Введение в методы дифференциальной геометрии (рукопись).

Г. Книги, написанные при участии Я.С.Дубнова

82. А. А. Лямин, Физико-математическая хрестоматия, т. III (геометрия), кн. 2. «Сотрудник школ», М., 1914. (В книге без указания автора напечатан ряд статей Я. С. Дубнова.)

83. П. С. Моденов и Г. Л. Невяжский, Теория кривых в векторном изложении (Ученые записки физ.-мат. ф-та МГПИ им. А. С. Бубнова, вып. 2, 1938, стр. 51—229). (В предисловии указано, что книга составлена по лекциям Я. С. Дубнова.)

84. В. Ф. Каган, Основы теории поверхностей, ч. 2, Гостехиздат, М.—Л., 1948. (В предисловии к первому тому этой книги старшего друга и учителя Я. С. Дубнова отмечено участие в ней последнего.)

К ИСТОРИИ ПОСТУЛАТА О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ В СВЯЗИ С ПРАКТИКОЙ СОВРЕМЕННОГО ПРЕПОДАВАНИЯ1

1. Принято думать, что на исходе шестого десятилетия прошлого века приблизилось к завершению победоносное шествие идей Н. И. Лобачевского и научный мир принял его тезис о логической равноправности евклидовой и неевклидовой геометрий. Вместе с тем должны были прекратиться, по крайней мере в среде серьезно образованных математиков, попытки доказательства постулата о параллельности. И однако в 1869—1870 гг. видный французский математик, член Парижской академии Ж. Бертран2 защищал такое доказательство, предложенное мало известным автором Картоном*. В двух докладах, напечатанных в «Отчетах» (Comptes rendus) Академии за 1869 и 1870 гг., Бертран сначала излагал доказательство Картона, а затем полемизировал с критиками этого доказательства. Оба доклада были переведены на русский язык и напечатаны без комментариев в 4-м томе «Математического сборника» (1869—1870 гг.). Значительно позднее (1887 г.) киевский про-

1 Изложение доклада, сделанного автором в школьной секции Московского математического общества (в заседаниях 21 апреля и 19 мая 1949 г.). Уже после того как доклад был сделан, а изложение подготовлено к печати, появилась статья Э. К. Хилькевича «Из истории распространения и развития идей Н. И. Лобачевского в 60—70-х годах XIX столетия» (сборник «Историко-математические исследования», вып. II, ГТТИ, 1949), которая содержит исторические и библиографические сведения более подробные, чем приведенные в исторической части этого доклада.

2 Книги Бертрана переводились на русский язык и в свое время оказали известное влияние на нашу школу. Таковы: 1) Дифференциальное исчисление, Спб., 1911; 2) Алгебра, Спб., 1899.

В связи с этим следует упомянуть о книгах, сыгравших заметную роль в те годы, когда в наших гимназиях преподавалась теоретическая арифметика: Билибин, Теоретическая арифметика, составлена по Бертрану и др., изд. 9-е, 1914. Его же, Алгебра для гимназий и реальных училищ, составлена по Бертрану и др., изд. 3-е, 1899.

* J. Carton, Nouveau moyen de lever la difficulte de la theorie des paralleles, Comptes rendus Ac. Sc., Paris, 69, 1869.

фессор В. П. Ермаков1, основатель «Журнала элементарной математики» (впоследствии получившего название «Вестник опытной физики и элементарной математики»), изложил для своих читателей рассуждения Картона*, причем, сохраняя идею доказательства, заметно его упростил. В. П. Ермаков не считает это доказательство убедительным, а только «наилучшим» в том смысле, что ошибку труднее обнаружить, чем в других случаях. Однако он сам не вскрывает порочности доказательства, предлагая сделать это читателям. Действительно, вскоре в журнале (№ 41 за 1888 г.) появилась заметка преподавателя В. Соллертинского («наставника гатчинской учительской семинарии»), который, по собственному признанию, пытался сначала усовершенствовать доказательство, но на этом пути пришел к убедительному его опровержению. Более того, в статье остроумными соображениями доказывается, что, принимая постулат Лобачевского в форме: «сумма углов треугольника меньше двух прямых», мы делаем построение Картона, упрощенное Ермаковым, неосуществимым. Ниже изложен вариант доказательства, предложенный Ермаковым.

Предварительно вспомним следующие результаты, полученные Лежандром в начале прошлого века и доказанные им строго без апелляции к постулату о параллельности**.

1) Сумма углов треугольника не может превышать я (здесь и в дальнейшем к — числовая мера развернутого угла); если назовем дефектом треугольника разность между л и суммой его углов, то эту теорему можно выразить еще так: дефект треугольника не может быть отрицательным.

2) Если для одного хотя бы треугольника дефект равен нулю, то он равен нулю для любого треугольника, и тогда геометрия окажется евклидовой, т. е. будет выполняться постулат о параллельности. Отсюда следует (от противного), что если постулат о параллельности не выполняется, то у всех треугольни-

1 Василий Петрович Ермаков родился в 1845 г., умер в 1929 г. В возрасте 25 лет привлек к себе внимание научного мира открытием очень сильного признака сходимости рядов, который и теперь иногда воспроизводится в курсах анализа. В дальнейшем — многолетний профессор Киевского университета, автор многих научных работ по вариационному исчислению и теории чисел, член-корреспондент Академии наук. Неоценимой заслугой В. П. Ермакова перед нашей школой и математической культурой надо считать создание первого у нас устойчивого журнала, освещавшего вопросы элементарной математики и ее преподавания. Отказавшись позже от редактирования журнала, В. П. Ермаков на протяжении многих лет оставался деятельным его сотрудником.

* В. П. Ермаков, О сумме углов треугольника, «Вестник опытной физики и элементарной математики», 31, 1887.

** См., например, В. Ф. Каган, Основания геометрии, ч. I, Гостехиздат, М—Л., 1949, стр. 133 и 141.

ков дефекты положительны (и, вообще говоря, различны, как показывает несложное рассуждение).

Если бы теперь удалось доказать, что не существует треугольника с положительным дефектом, то этим была бы обоснована евклидова геометрия; приведем «доказательство» от противного, следуя в основном Картону и Ермакову.

Пусть AAiB\ — треугольник с положительным дефектом 8 (рис. 1). На прямой АА\ отложим п— 1 раз подряд отрезок,

Рис. 1.

равный ЛЛЬ так, что образуется последовательность, состоящая из п равных между собой отрезков:

ААг = АХА2 = А2Аг = ... — Ап_2Ап_х = Ап_1Ап.

В интересах дальнейшего выберем число п таким, чтобы выполнялось неравенство

/го>Зтг. (1)

Каким бы малым ни было положительное (по допущению) б, этого всегда можно достигнуть, если взять п > -у- •

На каждом из отрезков А\А2, A2A3i ..., Ап-\Ап построим треугольник, равный исходному ААА\В\ и лежащий по ту же сторону от прямой ААп-у получим последовательность равных ме« жду собой треугольников:

Д ААХВХ = Л АХА2В2 = ... = Д Ап_2Ап_хВп.х = Д Ап_гАпВп. (2)

вершины которых соединим отрезками В\В2, В2ВЪ, ..., Вп-\Вп (заметим: мы не утверждаем, что эти отрезки расположатся на одной прямой; последующие рассуждения в этом утверждении не нуждаются).

В плоскости чертежа возьмем точку Р под единственным условием, чтобы она лежала выше ломаной (может быть, прямой) В\В2 ... Вп\ очевидно, это можно сделать с большой степенью произвола. Соединим точку Р со всеми вершинами Ви В2, ..., Вп и получим п — 1 треугольников:

ЛРВгВ2, ЛРВ2ВЪ, ЛРВп-гВп, (3)

которые вместе с ранее построенными заполняют внутренность пятиугольника АВ\РВпАп (заметим: мы не утверждаем, что этот пятиугольник — выпуклый, но он во всяком случае «простой многоугольник», т. е. ограничивающая его ломаная сама себя не пересекает).

Теперь двумя способами подсчитаем сумму углов всех треугольников, заполняющих внутренность пятиугольника (образно его можно было бы назвать «шатер Ермакова», — в доказательстве Картона этой фигуры нет).

1-й способ. Мы имеем п равных треугольников (2), у каждого из которых сумма углов есть тс — 8; это дает в общую сумму слагаемое п(тс— 8). Сюда надо присоединить углы п— 1 треугольников А\ВХВ2, А2В2В3, .. ., An-iBn-iBn (нетрудно было бы показать, что эти треугольники равны между собой, но в этом нет надобности) и углы такого же числа треугольников (3), образующих «верх шатра». Таким образом, надо присоединить углы 2 (п— 1) треугольников, у каждого из которых, в силу нашего допущения, сумма углов меньше я, а потому у всех этих треугольников, вместе взятых, сумма углов меньше, чем 2л (п — 1); обозначим ее через

2тг(/г —1) —а, где а>0. (4)

Итак, первый способ подсчета суммы углов всех треугольников, заполняющих «шатер Ермакова», дает

/ф_8) + 2тс(/г— 1) — а (8>0, а>0). (5)

2-й способ. Будем сначала складывать углы, расположенные по три около точек (рис. 1) Аи А2, ..., Ап-\ по одну сторону от прямой ААп. Таких точек имеем п— 1, а сумма трех углов около каждой из них равна тс, что дает в общую сумму тс(п— 1). Далее сложим углы, расположенные по пяти вокруг точек В2у jB3, .. ., Вп-\. Число точек теперь п — 2, а сумма углов вокруг каждой из них равна 2л, так что к общей сумме прибавляется 2л (я — 2). Рассмотренными до сих пор углами еще не исчерпываются все подлежащие сложению, например не учтен ZAAiB; обозначим сумму всех неучтенных углов (во всяком случае по-

ложительную) через 2, и тогда результат второго способа подсчета представится выражением

тс (п — 1) + 2тг {п — 2) + Е. (6)

А так как первый и второй способы должны давать одинаковые результаты (в обоих случаях — сумму углов всех треугольников, входящих в состав «шатра»), то [приравнивая (5) и (6)]

я(тг — 8) + 2тс (п — 1) — а = 1г(/г — 1) + 2тс (п — 2)+ 2.

После элементарных упрощений находим:

<х + £ + (/г8 — 3тт) = 0.

Первые два слагаемые положительны согласно своему смыслу [см. (4)]; разность, выделенная скобками, положительна в силу нашего выбора числа п [см. (1)]. Получается, что сумма трех положительных слагаемых равна нулю; это противоречие показывает, что наше предположение о возможности положительного дефекта неправильно. Дефект треугольника может быть равен только нулю, а это равносильно утверждению, содержащемуся в постулате о параллельности. Этим доказательство завершено.

Здесь у меня появляется соблазн остановиться и, подобно тому как это сделал в свое время В. П. Ермаков, предложить читателям собственными силами вскрыть ошибку в приведенном доказательстве. Однако тогда вторая из задач этой статьи — выводы, относящиеся к современному преподаванию геометрии,— не была бы достигнута. Поэтому следующий раздел посвящаю анализу доказательства (не теряя надежды на то, что найдутся читатели, которые прервут здесь чтение статьи, чтобы попытаться самостоятельно провести этот анализ), с тем чтобы в третьем разделе изложить некоторые педагогические соображения.

2. Вдумываясь в изложенное выше доказательство [первая часть которого — построение цепи треугольников (2) — явным образом заимствована у Лежандра], нетрудно нащупать слабый его пункт, это — появление точки Р. Ведь не при всяком выборе этой точки доказательство может быть проведено. Если, например, считать для простоты, что цепь (2) состоит из трех треугольников (п = 3), а точку Р взять, как на рис. 2 (в остальном этот чертеж повторяет обозначения рис. 1), то фигура существенно изменится: пятиугольник AB{PB^A3 уже не будет простым {стороны его АВ{ и РВЪ пересекаются), треугольники, которые в случае рис. 1 не имели общих внутренних точек, теперь частично налегают друг на друга — прежнего доказательства повторить нельзя. Значит, точка Р должна быть выбрана с соблюдением

каких-то условий, которые мы в своем изложении доказательства охарактеризовали малозначащими словами: «выше ломаной B\B2...Bn»; теперь необходимо эти условия уточнить.

Для того чтобы треугольники PBkBh+\ и AkBkBh+\ с общей стороной BkBk+i не налегали друг на друга, необходимо и достаточно, чтобы точки Р и Ak лежали по разные стороны от прямой BkBh+\ и чтобы это имело место при всех допустимых зна-г чениях k. Таким образом, точка должна лежать по определенную сторону от каждой из п — 1 прямых ВХВ2, В2В3, ..., Вп-\Вп. Если учесть, что цепь треугольников (2) может быть сколь угодно длинной, т. е. число п — сколь угодно большим, то возникает вопрос: существует ли точка Р, удовлетворяющая одновременно всем этим п — 1 условиям? Наша евклидова интуиция подсказывает положительный ответ на этот вопрос.

Рис. 2.

На основе этой интуиции мы представляем себе, а опираясь на постулат о параллельности, можем строго доказать, что точки В и B2l . .., Вп (равноудаленные от прямой ААп) лежат на одной прямой, и тогда вопрос о существовании точки Р разрешается очень просто: достаточно взять эту точку где угодно в той из двух полуплоскостей, определяемых прямой ВхВп, где не лежат точки Л, Аи ..., Ап. Но ведь в рассуждениях Картона — Ермакова мы не имеем права ссылаться на постулат о параллельности (который является конечной целью этих рассуждений), а ссылка на интуицию вообще незаконна в строго дедуктивном доказательстве; значит, подчеркнутый выше вопрос о существовании точки Р остается открытым. Таким образом, доказательство содержит логический пробел, и пока он не заполнен, мы имеем право объявить это доказательство несостоятельным, а дискуссию о нем законченной.

Однако, кроме логической стороны, дискуссия имеет другую, которую можно назвать психологической. Нас беспокоит вопрос: не может ли быть заполнен отмеченный выше пробел? Если бы это случилось, то наше торжество над сторонниками доказательства Картона оказалось бы временным. Другими словами, нам хотелось бы удостовериться в том, что, отказываясь от постулата Евклида в пользу постулата Лобачевского, мы уже не можем: утверждать, что всегда [т. е. при всяком числе п треугольников; (2)] существует точка Р с требуемыми свойствами.

Косвенным доказательством этого служит то обстоятельство, что в геометрии Лобачевского теорема Картона («дефект тре-

угольника не может быть положительным») есть заведомый софизм, а если бы точка Р всегда существовала, то теорема была бы верна. Но нет ли прямого доказательства? Ниже даются два таких доказательства, причем от читателя требуются самые скромные сведения из геометрии Лобачевского1.

Для первого доказательства воспользуемся известной моделью, осуществляющей плоскость Лобачевского внутри евклидова круга*. Дадим беглое описание этой модели (условимся в знак того, что старый термин употребляется в новом смысле, ставить кавычки), отсылая за подробностями к литературе.

«Плоскость» (Лобачевского) — внутренность некоторого круга К (рис. 3); «точка»—точка внутри круга (но не на его окружности!); «прямая» — открытая (т. е. лишенная концов) хорда, например АВ. Эта «прямая» разбивает «плоскость» на две «равные» («конгруэнтные») «полуплоскости», которые на чертеже изображаются двумя

Рис. 3.

отнюдь не равными (в евклидовом смысле) сегментами круга. Уже отсюда видно, что критерии равенства (отрезков, углов) на этой модели существенно отличаются от евклидовых. Более полное представление об этом дает рис. 3, где проведена «прямая» — диаметр CD, на ней отложен отрезок (он же «отрезок») PPi и затем выполнены следующие евклидовы построе-

1 Если предполагать эти сведения более глубокими, то наиболее коротким и изящным является, вероятно, опровержение доказательства Картона, данное в 1870 г. французским пропагандистом геометрии Лобачевского Юэлем (G. Houel — Гуэль в цитированной статье Э. К. Хилькевича, откуда заимствовано приводимое ниже изложение идеи этого опровержения).

Как известно, в геометрии Лобачевского площадь треугольника не может превысить некоторой границы; следовательно, площадь простого пятиугольника — пять раз взятой этой границы. Между тем, складывая площади равных треугольников, взятых в достаточно большом числе, можно получить сколь угодно большую площадь. В силу этого цепь треугольников (2) может оказаться настолько длинной, чтобы никакой простой пятиугольник («шатер») не мог ее охватить.

* См., например: И. М. Яглом, Геометрические преобразования, II, Гостехиздат, М., 1956. Приложение к гл. 1.

ния: последовательно проводятся прямые: PMLCD, МРиЧ2, PiMilCD, MP2N3, N2P2M2±CD, M2PzNk, N3P3M3±CD, M3P,M5 и так далее неограниченно, причем все точки, обозначенные буквами М и Ny лежат на окружности, а все точки, обозначенные буквой Р,— на диаметре CD. «Вырожденные треугольники» PPiM, Р\Р2Ми Р2Р3М2, . .. , Р5Рб^5, ... все «равны» между собой (при этом РМ и PiM «параллельны», равно как Р\М{ и Р2М2 и т. д.). Описанное выше евклидово построение дает возможность откладывать данный «отрезок» неограниченное число раз вдоль «прямой» — диаметра, а последняя оказывается в этом смысле такой же бесконечной, как и евклидова прямая (это происходит за счет того, что по мере удаления от центра «отрезки», оставаясь «равными» в смысле геометрии Лобачевского, убывают быстро и притом неограниченно в евклидовом смысле).

Теперь нетрудно понять, что цепь «равных» «треугольников» (2) на нашей модели Рис. 4. может дать картину, изображенную на рис. 4, где для удобства сопоставления сохранены обозначения рис. 1 (более детальный анализ обнаружил бы, что точки Si, В2у ..., Вп лежат на полуэллипсе, который касается круга К в концах диаметра ААп). Если теперь на этом чертеже попытаемся построить «шатер Ермакова», то для выбора точки будем иметь весьма ограниченный простор. Например, эта точка должна лежать в «полуплоскости», представленной на модели заштрихованным сегментом с хордой В\В2\ с другой стороны, точка Р должна находиться внутри такого же сегмента (тоже заштрихованного на чертеже) с хордой Вп-\Вп. Легко представить себе, что при достаточно длинной цепи треугольников, т. е. при достаточно большом числе п (а оно действительно может быть сколь угодно большим при достаточно малом дефекте 6), оба упомянутых сегмента не будут иметь общих точек, как показано на рис. 4. В этом случае не существует точки Р, удовлетворяющей поставленным условиям, и доказательство Картона — Ермакова не может быть проведено.

Во времена Лобачевского для неевклидовой геометрии еще не знали моделей вроде той, которую мы применили. Тогда пользовались, чтобы придать наглядность рассуждениям неевклидо-

вой геометрии, чертежами, близкими к обычным, при надобности жертвуя нашими зрительными привычками, например, искажая углы или искривляя на чертеже прямые линии (последнего, впрочем, Лобачевский избегал). Поэтому интересно представить себе, как обосновывал бы сам Лобачевский, если бы ему пришлось столкнуться с доказательством картоновского типа, невозможность провести это доказательство в его геометрии. Можно думать, что рассуждения были бы близки к следующим.

Рис. 5.

Рассмотрим сначала два левых треугольника AA{Bi и А\А2В2 цепи (2) (рис. 5). Соединим вершины Bt и В2 прямолинейным отрезком (на чертеже слегка искривлен) и опустим перпендикуляры В\С\ и В2С2 (на чертеже прямые углы отмечаются малыми зачерненными прямоугольниками). Образуется четырехугольник BiCiC2B2 с прямыми углами при вершинах CiC2 и равными боковыми сторонами С\В\ = С2В2 (так называемый «четырехугольник Саккери»). Такой четырехугольник имеет ось симметрии MN, перпендикулярную одновременно к нижнему основанию С\С2 и верхнему В\В2. Теперь через точку М проведем луч MQ, параллельный (в смысле Лобачевского) лучу В\В2 (сильно искривленному на чертеже в целях экономии места; направлен ние параллельности отмечено стрелками). Для этого достаточно построить середины М и N отрезков С\С2 и ВХВ2, а затем угол NMQ, равный углу параллельности отрезка MN [в обозначениях Лобачевского ZNMQ = U(MN)]. Далее, к прямой А{А2 восстав вим перпендикуляр RS, параллельный (снова в смысле Лобачев-

ского) лучу MQ\ для этого достаточно отложить отрезок MR, такой, чтобы угол параллельности этого отрезка, т. е. П(М/?), был равен построенному уже углу QMA2. Вершина Р «шатра» должна находиться выше прямой В\В2 (в полуплоскости, заштрихованной на рис. 5 слева) и, значит, во всяком случае — левее перпендикуляра RS. Теперь легко представить себе, что правый конец цепи треугольников (2) (не изображенный на чертеже) настолько удален от левого, что, повторив для двух последних треугольников то же построение, что и для двух первых, мы вынуждены будем искать точку Р в полуплоскости, заштрихованной на чертеже справа, т. е. во всяком случае правее перпендикуляра R'S\ который сам лежит справа от RS. Ясно, что при таких обстоятельствах мы точки Р не найдем, — рассуждение Картона — Ермакова отпадает.

3. Итак, мы теперь не только знаем, что доказательство Картона с вариантом Ермакова содержит логический пробел, но еще и то, что этот пробел не может быть заполнен (до тех пор, пока не принят постулат о параллельности). Должны ли мы строго судить Бертрана, взявшего это доказательство под свою защиту? Прислушаемся к аргументации этого ученого. Он исходит из убеждения, что геометрия (в противоположность учению о числе) не есть строго дедуктивная наука, что она создает и оправдывает свои положения на двоякой основе: логике и очевидности (зрительной). Вспомним, что в годы выступления Бертрана еще не оформилось современное аксиоматическое обоснование геометрии, полностью изгоняющее интуицию как элемент доказательства (настолько, что принципиально вся геометрия может быть построена без единого чертежа). Вершиной не только школьного, но и научного построения геометрии в то время все еще были «Начала» Евклида, взятые вместе с позднейшими комментариями1, и Бертран был бы прав, если бы сказал своим оппонентам: «Доказательство Картона не хуже тех доказательств Евклида, которые вы считаете классическими и в качестве образцовых преподносите учащимся».

В самом деле, оставим Бертрана, а вместе с ним историю и обратимся к современному преподаванию.

Доказывается теорема о сумме внутренних углов многоугольника (рис. 6, левая фигура). Разбиваем многоугольник ABCDEF на треугольники таким образом, что внутри многоугольника берем точку Р и соединяем ее со всеми вершинами. При этом существенным является то обстоятельство, что треугольники не

1 Конечно, Бертрану (и не ему одному из ученых второй половины XIX в.) должно быть вменено в вину, что он не понял значения той глубокой бреши, которую открытие Лобачевского пробило в здании Евклида.

налегают друг на друга; именно потому мы можем утверждать, что сумма тех углов этих треугольников, которые лежат вокруг общей вершины Я, равна 4d.

Однако откуда берется уверенность в том, что существует внутри многоугольника такая точка Р, исходя из которой мы получим неперекрывающийся треугольник? Вот, например, для многоугольника ABCDEFGH (рис. 6, правая фигура) такой точки найти нельзя (между прочим, теорема о сумме внутренних

Рис. 6.

углов для него верна, потому что это простой многоугольник). На это нам говорят: при правильной формулировке теоремы указывается, что речь идет о выпуклом многоугольнике, а для него такая точка заведомо существует. Возражаю: это есть типичное «педагогическое лицемерие» (заимствую выражение у Лебега1)—о выпуклости многоугольника в условии теоремы действительно говорится, но в доказательстве эта выпуклость не используется, обычно даже не упоминается; во всяком случае она работает не как логический элемент доказательства, а только как зрительный (нарисован выпуклый многоугольник2). Так чем же это доказательство лучше картоновского? В логическом отношении они стоят на одинаковом уровне, так как в обоих случаях остается недоказанным существование точки Р\ в отношении же зрительной наглядности — тоже на одинаковом уров-

1 См.: А. Лебег, Об измерении величин, Учпедгиз, М., 1938, стр. 33 [2-е изд. — 1960, стр. 37. — Ред.]

2 Пусть читатель попробует доказать теорему: выпуклый л-угольник разбивается из внутренней точки на п неперекрывающихся треугольников. Доказательство представляется мне не столь уже трудным, но и не совсем простым; придется использовать определение выпуклости, уточнить понятие «неперекрывающиеся треугольники» (как не имеющие общих внутренних точек) и т. д.

не: существование требуемой точки представляется здесь и там очевидным из чертежа.

Менее всего я хотел бы, чтобы из этого сопоставления был сделан следующий вывод: «Так как в преподавании геометрии мы обречены на то, чтобы давать логически неполноценные доказательства, то можно разрешить себе доказывать в школе постулат о параллельности по Картону; мы согрешим при этом, но не больше, чем при выводе формулы для суммы внутренних углов многоугольника». Нет, между этими двумя случаями имеется принципиальная разница, которая и приводит к противоположным педагогическим выводам. Правда, теорема о многоугольнике доказывается с логическим пробелом, но теорема верна, потому что мы знаем, как этот пробел восполнить. Теорема же Картона (имеется в виду утверждение: «независимо от того, выполняется или нет постулат о параллельности, дефект треугольника не может быть положительным») доказывается с таким же логическим пробелом, но эта теорема не верна, т. е. пробел не может быть восполнен. А заниматься в школе софистическими рассуждениями, выдавая их за доказательства, недопустимо. Короче говоря, обманывать нельзя.

На этом расстанемся с теоремой Картона, для того чтобы сделать еще некоторые педагогические выводы. Хотя современная математика хорошо знает, как должна быть построена научная система геометрии и насколько эта система далека от «Начал» Евклида, равно как и от «Геометрии» А. Киселева, однако подавляющее большинство педагогов сходится на том, что упоминавшаяся выше «геометрия без чертежей» и даже какие-либо приближения к ней не могут найти себе места в элементарном преподавании.

Школьная геометрия осуждена оставаться логически неполноценной; в ее построении интуиция не может и не должна быть окончательно вытеснена логикой. Трудная задача преподавания состоит в том, чтобы разумно дозировать (на разных ступенях обучения по-разному) эти два образовательных элемента и по возможности их разграничивать. Во всяком случае пора преодолеть прочную еще иллюзию, будто евклидово здание является «непревзойденным образцом логического совершенства», а «Геометрия» А. Киселева или любой другой учебник — подлинной «школой дедуктивного мышления». По поводу последнего мнения хочу заметить, что хорошо объясненный (без особых мудрствований) вывод формулы

(a-\-b)2 = a2+2ab+b2

представляет собой гораздо более совершенный образец дедукции, чем любая теорема из школьного курса геометрии. В связи

с этим следует пересмотреть традиционный взгляд, согласно которому преимущественно геометрия, а не алгебра1 призвана воспитывать дедуктивное мышление. Этот пересмотр надо вести с двух концов. Во-первых, преподавание алгебры должно усилить элемент рассуждений и обоснования правил в противовес часто наблюдаемой склонности к рецептуре. В учебниках алгебры должен чаще (а к слову сказать, в учебниках геометрии — реже) появляться заголовок «теорема», совершенно так же, как это происходит в научной литературе, где названный заголовок

Рис. 7.

вовсе не специфичен для геометрических сочинений. Во-вторых, при изложении доказательств геометрических теорем должны быть более четко отграничены логические элементы от интуитивных, отмечаемых словами «примем за очевидное», «примем без доказательства» и т. п. Это разграничение не следует проводить в одинаковой мере на различных стадиях обучения. На старшей ступени подчеркивание ссылок на интуицию может быть исчерпывающим или почти таковым; почва для этого подготовлена как накоплением большого числа геометрических фактов, на которые можно ссылаться, так и выросшим у школьников пониманием природы математического доказательства. В начальной же стадии обучения нагромождение подобных оговорок будет воспринято 12—14-летними детьми как отталкивающий педантизм. Вот, например, как выглядело бы доказательство теоремы: «Внешний угол треугольника больше внутреннего, с ним не смежного»2, если бы сопроводить его некоторыми оговорками, отмечающими ссылки на интуицию (рис. 7). «...Примем без доказательства, что существует точка делящая отрезок ВС пополам3. Соединим точки А и Е пря-

1 Говоря о школьной алгебре, я всегда имею в виду тот пестрый конгломерат из алгебры и введения в анализ, который у нас составляет единый предмет преподавания; сюда же отношу теоретические вопросы арифметики (например, признаки делимости).

2 Оставляю в стороне вопрос о том, насколько вообще эта теорема уместна в курсе геометрии. Вместе со многими я думаю, что ее давно пора передать в музей древностей, заменив более сильной: «Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных», основанной на теории параллельности.

3 Тем из читателей, которым эта фраза покажется шаржем, не имеющим прообраза в нашей практике преподавания, напомню, что в длинном ряде прежних изданий учебника А. Киселева одной из первых была теорема; «Из точки, взятой на прямой, можно восставить к ней перпендикуляр...». По существу здесь доказывалось, что «для каждого развернутого угла суще-

молинейным отрезком АЕ (аксиома) и продолжим его за точку Е. Примем без доказательства, что на луче, составляющем продолжение отрезка АЕ, можно отложить отрезок EF, равный отрезку АЕ. Примем без доказательства, что при этом точка F поместится внутри угла CBD. Соединим В с F (аксиома) и примем без доказательства, что луч, соединяющий вершину угла с внутренней его точкой, лежит внутри этого угла и т. д.». Достаточно прочитать этот отрывок, чтобы понять его педагогическую абсурдность!

Еще один вывод, которому я придаю большое значение, хочется сделать из этих исторических и педагогических рассмотрений. Раз интуиция является одним из источников геометрического познания и законным базисом дедуктивного построения при условии, что явно формулируется суждение, принимаемое без доказательства, то следует шире использовать в преподавании проистекающие отсюда возможности. Для начального курса геометрии это означает, что может быть принято без доказательства (сверх традиционных аксиом) предложение, которое а) верно, б) подтверждается интуицией (тех, кому это доказательство сообщается). Пункт а) надо понимать так, что нам известно исчерпывающее доказательство, но из педагогических соображений мы воздерживаемся от того, чтобы излагать его ученику. Пункт б) предполагает, что либо сообщаемый геометрический факт представляется всякому ученику непосредственно очевидным, либо может быть сделан таковым после некоторых иллюстрирующих пояснений (не носящих характера доказательства, быть может, апеллирующих к другим интуитивным представлениям). Например, ученику представляется очевидным равенство углов при основании равнобедренного треугольника, равенство диагоналей прямоугольника и др. (здесь действует, пусть неосознанное, интуитивное, представление об осевой симметричности этих фигур1). Менее очевидным представляется начинающему такой, например, факт: «если две стороны тре-

ствует луч, делящий этот угол пополам», т. е. утверждение, вполне аналогичное тому, которое в тексте формулировано для отрезка. Да и само (шаткое) рассуждение А. Киселева легко могло бы быть приспособлено для доказательства существования середины отрезка. Напомню еще, что доказательство существования перпендикуляра, исчезнувшее из учебника А. Киселева, возродилось в наши дни в «Методике геометрии» Н. М. Бескина, Учпедгиз, М., 1947, стр. 89—90.

1 Этим я никак не хочу сказать, что следует отказаться от доказательства этих теорем. Доказательства даются не только с познавательной целью (овладение новыми фактами), но и с образовательно-воспитательной (упражнение в рассуждениях, выяснение связей между фактами). Подобно этому физкультурные упражнения делаются не для того, например, чтобы переместить тяжелое ядро из одного пункта поля в другой.

угольника, сохраняя свои длины, вращаются вокруг общей вершины так, что угол между ними возрастает от нуля до развернутого, то третья сторона возрастает от разности первых двух сторон до суммы». (Здесь, в частности, содержится теорема: «Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, а углы... не равны, то...», доказательство которой трудно для начинающего.) Однако достаточно учителю взять в руки два карандаша (неодинаковой длины) и, зажимая между двумя пальцами их соединенные концы, раздвигать два других конца, чтобы справедливость утверждаемого предстала перед учениками со всей очевидностью.

Подчеркиваю, что эта манипуляция не есть экспериментальная проверка (я решительно отвергаю эксперимент как единственную базу для обучения геометрии, даже на самой ранней ступени; теперь мы знаем, что уже вавилонская геометрия не была чисто экспериментальной), никаких измерений расстояния между движущимися концами карандашей она не предполагает. Назначение этой примитивной модели — заставить работать интуицию ученика, т. е. неосознанные, но прочные (в результате многократного наблюдения) пространственные представления. В описанном случае мы имеем дело с предложением, удовлетворяющим обоим требованиям а) и б), поэтому я считаю возможным (а на первой стадии обучения — даже рекомендую) принять его без доказательства. Но вот по отношению к теореме Пифагора я ни на какой ступени не решился бы отказаться от доказательства. Хотя эта теорема, конечно, удовлетворяет требованию а) (и сколько угодно раз может быть подтверждена измерительным экспериментом), однако мне неизвестны способы сделать ее содержание очевидным: она не удовлетворяет требованию б). Чтобы привести пример обратного положения (удовлетворено требование б), но не а)), выделим из доказательства Картона — Ермакова следующее утверждение: «какова бы ни была цепь равных треугольников (2) (рис. 1), всегда можно выбрать точку Р так, чтобы...». Здесь интуиция вводит нас в заблуждение, внушая веру в безусловную справедливость этого утверждения, будто бы не зависящую от наших допущений о параллельности. Требование б) выполнено, но утверждение никем не доказано (нам известно больше: его нельзя доказать без постулата о параллельности, а если постулат принят, то оно бесполезно), и мы, даже не зная того, что только что сказано в скобках, не можем принять это утверждение без доказательства.

На старшей ступени обучения запас сведений уже настолько велик, а учащиеся настолько созрели для понимания более сложных рассуждений, что не возникает настоятельной необхо-

димости в том, чтобы то или иное предложение частного характера (например, какую-нибудь формулу площади или объем) принять без доказательства. Однако, поскольку на этой ступени знакомство с методами науки становится не менее важным, чем знакомство с фактами, особое значение приобретают те общие предложения, которые лежат в основе какого-либо метода. А эти предложения нередко могут быть обоснованы только средствами, выходящими за рамки средней школы. В вопросе о том, допустимо ли применять такое предложение без доказательства, мне кажутся решающими те же критерии а) и б). Например, известно, какую роль играют в современном преподавании геометрии понятие о пределе (впрочем, не беру традиционное использование этого понятия под свою защиту) и постоянно применяющееся предложение: «если числа некоторой последовательности монотонно возрастают (убывают), оставаясь меньше (больше) некоторого числа, то последовательность имеет предел». Отказ от доказательства этого предложения представляется мне вполне обоснованным, так как здесь удовлетворяются оба требования а) и б) (полная наглядность предложения достигается, например, если иллюстрировать его на числовой прямой).

Из тех же соображений я не поколебался бы ввести в преподавание «принцип Кавальери», именно ради идейной ценности основанного на нем метода, а вовсе не ради экономии времени и упрощения доказательств. Этот принцип верен [требование а)] для всех фигур и тел, рассматриваемых в элементарной геометрии (на самом деле — для гораздо более широкого класса), и он может быть сделан вполне наглядным [требование (б)] с помощью самых простых иллюстрирующих моделей из палочек (для плоскости) или из пластинок (для пространства). А вот как ни соблазнительно ввести в среднюю школу «теорему Симпсона», которая действительно объединяет все изучаемые там формулы для объемов, я не решился бы сделать это без доказательства (безукоризненное проведение которого сложно): теорема удовлетворяет требованию а), но не б).

Хотелось бы, чтобы те педагоги, которые, например, при упоминании о принципе Кавальери морщатся («Еще одна теорема без доказательства!»), — чтобы в свете приведенных здесь исторических данных и примеров из современности эти педагоги подумали, не защищают ли они призрак «евклидовой строгости» против требования честных и добрососедских границ между логикой и интуицией.

ГЕОМЕТРИЯ В СЕМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ

Математика в семилетней школе еще не имеет собственного лица. В принципе все признают, что преподавание этого предмета, как и любого другого, должно носить законченный характер, так как неполная школа для значительной массы учащихся будет последним этапом их общего образования. На деле же математика, в особенности геометрия, остается, пожалуй, единственным предметом, который в неполной средней школе изучается как механически отсеченная часть курса десятилетней школы.

Такое положение отражает и учебная литература: не существует учебников математики, предназначенных для семилетней школы: их функцию выполняют написанные в совершенно другой перспективе учебники, из которых используется несколько первых глав. Можно ли представить себе аналогичное явление в преподавании другого учебного предмета, скажем физики (ближайшего к математике соседа)? Допустимо ли, чтобы оканчивающий семилетнюю школу, изучая в намеченном для средней школы объеме механику, ничего не знал об электричестве? А ведь именно такого рода несообразностью страдает существующая программа геометрии: оканчивающий семилетнюю школу обязан знать пять признаков взаимного расположения окружностей и в качестве апофеоза — четыре «замечательные» точки треугольника, но никогда не слышал о подобных треугольниках, о площади трапеции, о длине окружности, а вся стереометрия останется для него «высшей математикой». Правда, в недавнее время была сделана попытка исправить это положение, введя в план V—VI классов пропедевтический курс «наглядной геометрии» (46 час. по проекту 1943 г.1). Но даже этот скромный паллиатив не получил осуществления.

Однако не только со стороны содержания, но и со стороны метода можно возражать против существующей системы преподавания.

1 «Программы средней школы. Математика» (проект на правах рукописи), Наркомпрос РСФСР, М., 1943.

Страх перед жупелом «концентризма» заставляет начинать с 12-летними детьми изучение «формально-логического» построения геометрии, выдержанного в едином стиле от VI до X класса. Можно расходиться во мнениях относительно образовательной ценности такого построения (об этом ниже), но со времен Гербарта и по мере демократизации школы педагогическая мысль укреплялась в убеждении, что насилием над психикой 12— 13-летнего школьника является навязывание ему евклидовой системы, как бы она ни модернизировалась в учебнике А. Киселева или, чтобы взять лучший образец, Н. А. Глаголева. Прискорбные результаты такого обучения не раз отмечались в литературе1.

* * *

Критиковать существующую систему преподавания и намечать пути реформы можно, разумеется, лишь после того, как точно сформулированы задачи этого преподавания. Ниже перечислены те задачи преподавания геометрии, которые представляются нам основными и бесспорными:

1. Развить правильные геометрические (в том числе трехмерные) представления.

2. Ознакомить со способами прямого и косвенного измерения длин, углов, площадей, объемов.

3. Сообщить знания и навыки, необходимые в повседневной жизни и при изучении других предметов школьного курса (физика, география).

4. Дисциплинировать мышление, устную и письменную речь.

5. В процессе решения задач воспитывать активное мышление.

6. Заложить основу для дальнейшего обучения — в школе или путем самообразования (в частности, подготовить к усвоению идеи функциональной зависимости).

7. Дать представление о путях развития геометрии, о ее роли в естествознании и технике.

Если эти принципы являются руководящими в вопросе о содержании курса, то при выборе методов преподавания решающую роль играют соображения, относящиеся к возрасту учащихся (11—14 лет).

Для характеристики возможных методов будем исходить из рациональной классификации, которой пользовалась Междуна-

1 См., например: Т. М. Шидловская, О преподавании геометрии в VI классе. Сб. «Материалы совещания преподавателей математики средней школы», Учпедгиз, М., 1935.

родная комиссия по преподаванию математики на Миланской конференции 1911 г.1.

Направление А — выдержанное формально-логическое; полный отказ от интуиции; основные понятия (точка, прямая и т. д.) определяются только аксиомами (Пеано, Гильберт, Хальстед).

Направление В — основные понятия и связи заимствованы из опыта, дальнейшее построение должно быть дедуктивным. Различают три градации:

ВА) перечисляются все необходимые аксиомы (Санниа, Д'Овидно, Веронезе, Энрикес — Амальди);

Вв) только часть аксиом указана в явном виде (Евклид2, Тиме, А. П. Киселев, Н. А. Глаголев);

Вс) формулируются только те аксиомы, содержание которых не представляется очевидным (Кэмбли, Мюллер).

Направление С — интуиция переплетается с дедукцией, без попыток отделить одну от другой (Борель3, Берендсен — Гёттинг, Выгодский4).

Направление D — интуитивно-экспериментальное; геометрические факты устанавливаются путем эксперимента; логические связи отсутствуют (Пери, Астряб5).

Миланская конференция констатировала6 полный неуспех двух крайних направлений А и D, по крайней мере, в странах Запада (добавим — и в России того времени; D оказывало некоторое влияние на советскую школу в первый период ее существования). Причины этого явления понять нетрудно. Действительно, в школьном преподавании направление А (как, впрочем, и близкое к нему ВА) могло выродиться только в мелочный педантизм, отталкивающим образом действующий на ученика. Если же говорить об идее «определения через аксиомы», составляющей действительно драгоценное ядро направления Л, то она

1 См.: Compte Rendu du Congres de Milan, 18—21 сентября 1911 г.; напечатано в журнале L'Enseignement Mathematique, т. XIII, 1911, стр. 437—511.

Характеристики направлений (см. стр. 462 указанной статьи) приведены в сокращении; имеющиеся в журнале L'Enseignement Mathematique ссылки на иностранных авторов дополнены фамилиями русских авторов.

2 Очевидно, здесь имеются в виду так называемые «школьные» издания Евклида (Англия). Следует согласиться с Веронезе, который, выступая на конференции в Милане (L'Enseignement Mathematique, т. XIII, 1911, стр. 464), считал Евклида идейно более близким к направлению BAl чем Вв.

3 См.: Э. Борель, Элементарная математика, ч. II, Геометрия, Одесса, Mathesis, 1912 [2-е изд. — Одесса, 1922. — Ред.].

4 См.: М. Я. Выгодский, Геометрия, Гостехиздат, М.—Л., 1944.

5 См.: А. Астряб, Курс опытной геометрии, ГИЗ, М.—Л., 1925. В этой книге приводятся и доказательства ряда теорем, но каждый раз после того, как утверждение теоремы проверено опытом.

6 L'Enseignement Mathematique, т, XIII, 1911, стр. 463 и след.

доступна только высокоразвитому интеллекту: ни Евклид, ни его последователи на протяжении 2000 лет не могли подняться до осознания этой идеи. По сравнению с А направление ВА несколько ослабляет дидактические трудности, но достигает этого ценой утраты того идейного ядра, которое так импонирует нам в первом. В начале нашего века направление В имело сторонников в Италии, а также в Англии, если причислить к этому направлению и преподавание по школьным изданиям Евклида. Больше шансов на успех имело направление D, здоровое зерно которого заключалось в том, что оно было реакцией против евклидовой схоластики (поэтому не случаен тот факт, что «движение Перри» зародилось в Англии). Для того чтобы уяснить себе, в чем именно это направление оказалось неприемлемым для общеобразовательной школы, присмотримся ближе к судьбам его в нашей стране. Наиболее серьезный у нас представитель экспериментального направления, А. Астряб ставит эпиграфом к своему учебнику цитату из «Положительной философии» О. Конта: «Для того чтобы определить отношение площади циклоиды к площади производящего круга, Галилей взвесил две пластинки: одну, имеющую форму круга, а другую — описанной им циклоиды, и нашел, что последняя в три раза тяжелее первой. Отсюда Галилей заключил, что площадь циклоиды равна тройной площади производящего круга». Трудно было придумать пример, более компрометирующий ту систему, которую автор хочет защитить. Если не говорить о геометрии египетского периода, то не требуется глубоких познаний в истории науки для того, чтобы уяснить себе, насколько пример Астряба не типичен для путей действительного развития геометрии. Начиная с греческого периода геометрия не была экспериментальной наукой, и в этом именно ее принципиальное отличие от физики, с которой в остальном она имеет много общего: пользование абстракциями (твердое тело, светящаяся точка), дедукцией (теоремы статики), алгебраическим аппаратом (формулы геометрической оптики). Попытка придать геометрии характер опытной науки извращает историческую перспективу и препятствует выполнению одной из задач, поставленных выше перед преподаванием геометрии: «дать представление о путях развития и т. д.». Другая отрицательная сторона этого направления (здесь мы говорим уже не об учебнике Астряба; см. сноску на стр. 48) заключается в том, что, отказываясь даже от доступных ученику образцов дедукции, оно не подготовляет его к продолжению образования. Таким образом, отказ школы от «движения Перри» в его чистом виде следует считать вполне обоснованным.

Итак, перед первой мировой войной в преподавании господствовали направления ВВу Вс и С. Но в то время как на Западе все более склонялись к последним двум, по крайней мере в начальной стадии обучения, в России решительно преобладало направление Вв. Так как это направление в нашей школе ныне снова господствует, то становится необходимым более детальное критическое рассмотрение пригодности направления Вв для первого концентра геометрии.

Одну из отрицательных сторон существующей системы обучения мы уже отмечали: несоответствие ее умственному развитию учащихся. Происходящий отсюда низкий коэффициент полезного действия приводит к тому, что даже формальный успех может быть достигнут только за счет крайнего замедления темпов обучения, в результате чего семилетняя школа должна ограничиться небольшой и бедной содержанием частью планиметрии. Ведь мыслительные ресурсы 12—13-летнего ученика должны быть мобилизованы на то, чтобы усвоить текст: «Геометрическое тело, поверхность, линия и точка не существуют раздельно. Однако при помощи отвлечения (подчеркнуто нами) мы можем рассматривать поверхность независимо от геометрического тела и т. д.»1. Позже: «Хотя симметричные фигуры ... могут быть приведены в совмещение, однако они не тождественны в своем расположении на плоскости»2. Какой способностью к абстракции должен обладать тот же малолетний школьник для того, чтобы понять, что «геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, называется ...»3? В другом учебнике, написанном, надо признать, более доступным языком, ученику VII класса предлагается выучить следующую формулировку теоремы: «Угол, образованный хордой и касательной, равен половине центрального угла, опирающегося на дугу, заключенную между хордой и касательной»4. Одним и тем же языком говорят, обращаясь к ученикам VI и X классов!

Очевидно, вслед за составителем программы авторы цитированных учебников заботились только о нуждах десятилетнего обучения, игнорируя нашу нынешнюю школьную систему. Но и эту заботу надо признать плохо осуществленной. Действительно, спросим себя, насколько обоснован даже в едином курсе геомет-

1 А. П. Киселев, Геометрия, ч. 1, Учпедгиз, М., 1938, стр. 4 — первый урок!

2 Tам же, стр. 21.

3 Там же, стр. 33.

4 Н. А. Глаголев, Элементарная геометрия, ч. 1, Учпедгиз, М., 1944, § 140; то же повторяется в § 141 —143.

рии этот возврат на 50 лет назад1. Здесь мы подходим к наиболее принципиальному пункту нашей критики, относящейся уже не только к семилетней, а ко всей общеобразовательной школе. Именно полвека назад, когда неоевклидовское направление (Вв) утверждалось в русской школе, в то же самое время в самой науке завершался процесс радикального пересмотра наших взглядов на природу геометрии. На историческом этапе, отделяющем Гильберта от Лобачевского, евклидово здание как научная система рассыпалось под ударами критики. Евклидов список аксиом оказался только грубым приближением к тому, на чем действительно может быть построена формально-логическая система геометрии. Из-за отсутствия у Евклида аксиом порядка, недостаточности аксиом конгруэнтности и непрерывности почти все его доказательства, перешедшие в наши учебники, оказываются неполноценными. Впрочем, давно уже было замечено, что в обычных евклидовых доказательствах существенную роль играют чертежи, на которых расположение частей ничем не обосновано (и не может быть обосновано — при отсутствии аксиом порядка), вследствие чего не гарантированы ни допустимость предположенного чертежа, ни исчерпание всех возможных случаев. На этом основаны и общеизвестные геометрические софизмы, к которым многие склонны относиться как к «математическим развлечениям»; особняком стоит Ф. Клейн, оценивший эти софизмы как орудие серьезной критики2. Быть может, значительность этой критики ускользает от внимания большинства потому, что обычные софизмы основаны на так называемых «неправильных чертежах», т. е. предполагают такое расположение частей фигуры, которое при углубленном анализе оказывается противоречащим условию теоремы. Поэтому небесполезно привести пример софизма, основанного на чертеже, хотя и возможном, но не единственно возможном*.

Излагая ниже доказательство заведомо ошибочного утверждения, мы для удобства сравнения будем пользоваться той же формой изложения, какая принята в наших учебниках.

Теорема. Два треугольника равны, если две стороны и лежащий против одной из них угол одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника.

1 Обращаем внимание на то, что в нашей школе математика является единственным предметом, по которому обучение опирается на учебники полувековой давности (Киселев, Шапошников, Рыбкин). [Эта статья была опубликована в 1946 г. — Ред.]

2 См.: Ф. Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей, т. II, ГТТИ, М.—Л., 1934, стр. 333—335.

* Ср. ниже, стр. 93—94 и 105—108.

Даны треугольники ABC и А^ВхСи причем АВ = А{Ви АС = A{Ci и ZB = ZB{. Требуется доказать, что ААВС = = AAlBlCl.

Доказательство. Приложим треугольник А\В\С\ (см. рисунок) к треугольнику ABC так, чтобы их равные стороны (как раз те, которые лежат против равных по условию углов) АС и А\С\ совместились, причем точка А\ совпала бы с точкой Л, точка С\ — с точкой С. Треугольник А\В\СХ займет положение АВ2С, причем АВ = АВ2 и ZB = ZB2. Соединив точки В и В2, получим равнобедренный треугольник АВВ2, в котором углы при основании равны между собой, т. е. ZABB2 = ZAB2B. Отнимая эти углы соответственно от равных углов В и В2у получим равные остатки: ZB—ZABB2 = ZB2—ZAB2B или ZB2BC = ZBB2C. Отсюда заключаем, что треугольник ВСВ2 равнобедренный, именно ВС = jB2C, следовательно, ААВС = = ААВ2С по трем сторонам. Но ААВ2С отличается от AAiB\C\ только положением, значит, теорема доказана.

Ошибка здесь заключается в том, что рассмотрено только одно из возможных расположений треугольников ABC и АВ2С и упущены другие, среди них — тот случай, когда точки 5, С, В2 оказываются лежащими на одной прямой и когда доказательство нельзя ни повторить, ни видоизменить. Входя в большие детали, можно заметить, что фигура АВСВ2 кажется единственно возможной только в результате того, что мы заранее изобразили треугольники ABC и л1в1с1 равными, но ведь это то самое, что обычно делается при подобных доказательствах, в част-

ности при выводе всех признаков равенства треугольников. Бросается в глаза сходство только что приведенного доказательства с выводом «третьего признака» равенства треугольников (Киселев, стр. 24—25; Глаголев, стр. 57). Теперь позволительно спросить, не преувеличена ли воспитательная ценность рассуждения, которое приводит один раз к верному, другой раз к ошибочному выводу1?

В борьбе за реформу преподавания геометрии уже не в первый раз традиционной системе делался справедливый упрек в отставании от современной науки. Обычно под этим понимают игнорирование более молодых отраслей науки, какими, например, являются аналитическая и проективная геометрии. Однако эти пробелы имеют место на старшей ступени обучения; здесь же, в применении к первому концентру, главным злом является другая форма «отставания». Это — неоправдываемый нынешним состоянием науки пиетет к евклидовой системе, нашедший выражение в следующей цитате из наших учебников (Киселев, стр. 8 или Н. А. Глаголев, Геометрия, ч. II, Учпедгиз, М., 1945, стр. 28): «... он (Евклид) дал полное логически строгое построение геометрии, по форме в высшей степени совершенное и с точки зрения современной науки»2. Евклидов гипноз, или, чтобы употребить более мягкое выражение, «власть средневековой евклидовой традиции»3, — вот что стоит на пути рациональной реформы преподавания геометрии. В свете современной науки школьная геометрия должна отказаться от претензии служить привилегированной «школой дедукции», дедуктивное мышление можно и следует воспитывать также в преподавании арифметики, алгебры, реже — физики.

1 Небезынтересно отметить, что в ранних изданиях учебника Киселева теорема о равенстве треугольников по трем сторонам была изложена с большей полнотой (рассматривались три случая) и потому с воспитательной точки зрения представляла большую ценность (конечно, при обучении школьника более старшего возраста, чем в наших V и VI классах). В издании 1938 г. эта полнота принесена в жертву краткости с оговоркой (см. сноску на стр. 25), которая, однако, не спасает положения, так как содержит ссылку на недоказываемую теорему более сложного содержания, чем подлежащая доказательству. В учебнике Глаголева нет и этой оговорки; неполнота доказательства просто утаивается от ученика.

2 Чрезмерная категоричность этой фразы смягчается тем, что несколькими строками ниже автор признает евклидовы определения понятий «точка», «прямая» и т. д. «несовершенными с точки зрения современной науки» (можно было сказать резче — лишенными всякой научной ценности). Сопоставление этих двух трудносогласуемых цитат оставляет все же у читателя неправильное представление, будто определения являются единственным слабым местом у Евклида.

3 Ф. Клейн, Цитированное сочинение, стр. 352.

* * *

После этих критических замечаний перейдем к положительной программе. Констатируя вслед за М. Симоном, что «геометрия (школьная) есть химическое соединение интуиции и логики»1, мы менее всего склонны занять позицию «все или ничего». Другими словами, мы не видим себя поставленными перед альтернативой «направление А или D» (если следовать миланской классификации). Не дедукция гильбертовского типа, а именно упомянутое «химическое соединение» может быть усвоено младшим школьником. Но ведь таким соединением «стихийно» является преподаваемая у нас ныне геометрия, скажет иной читатель. Нет, эта геометрия не достигает педагогической цели, потому что она: 1) вводит интуицию, маскируя ее как неполноправный составной элемент, и выдает за чистую дедукцию то, что таковой не является, 2) игнорирует возрастные особенности ученика и одновременно лишает его той духовной пищи, которую он может с пользой усвоить. Вместо этого мы предлагаем в качестве первого концентра геометрии законченный курс, построенный на равноправии интуиции и дедукции, с постепенным повышением удельного веса последней. В дальнейшем будет изложен проект учебной программы, осуществляющей это задание. Предпошлем тексту этой программы несколько тезисов, которые помогут уяснить ее структуру и содержание. Другие пояснительные замечания, более узкого методического характера и требующие ссылок на отдельные пункты программы, будут помещены вслед за ее текстом2.

1. Курс рассчитан на V—VII классы школы при 180—200 учебных часах. Предполагаются усвоенными лишь те сведения по арифметике и отчасти геометрии, которые дает современная начальная школа. По своему содержанию и порядку изложения курс должен быть согласован с одновременно преподаваемыми курсами арифметики и алгебры.

2. В методическом отношении курс геометрии может быть охарактеризован как наглядно-дедуктивный. Без доказательства принимается ряд геометрических фактов, в справедливости которых можно убедить (не всегда сразу!) учащегося, опираясь на его геометрическую интуицию. Таковы, например: 1) возраста-

1 См.: М. Симон, Дидактика и методика математики в средней школе, Спб., изд. «Физика», 1912, стр. 158.

2 При редактировании тезисов и программы я был во многом обязан советам товарищей по работе в кабинете математики Института методов обучения АПН РСФСР.

ние стороны треугольника при возрастании противолежащего угла с сохранением длин двух других сторон; 2) существование подобных фигур; 3) принцип Кавальери. Дедукция вступает в свои права постепенно, по мере того как в ней возникает надобность и для ее применения создается возможность. Этим не исключаются отдельные случаи применения дедукции (в целях воспитания дедуктивного мышления) к доказательству и таких предложений, справедливость которых представляется ученику очевидной (пример: прямолинейный отрезок короче ломаной, соединяющей его концы).

3. В целях согласованности преподавания с историческим ходом развития науки и общим принципом перехода от простого к сложному, сохраняется последовательность «планиметрия — стереометрия». При этом, однако, следует избегать догматизма: трехмерные образования могут привлекаться всюду, где они помогают изучению плоских фигур (пример: в главе о площади — задача: по данным трем измерениям прямоугольного параллелепипеда определить его полную поверхность).

4. Везде, где к этому представляется повод, должна быть выдвигаема идея функциональной зависимости (может быть, без упоминания термина «функция»): изменение длины отрезка, отсекаемого сторонами угла на параллельно перемещающейся секущей; изменение площади сечения тела параллельно перемещающейся плоскостью (необходимо для применения принципа Кавальери) и т. п.

5. Задача воспитания геометрических представлений обычно возлагается на два школьных предмета: геометрию и черчение. Структура предлагаемой программы такова, что позволяет сосредоточить решение этой задачи в рамках одной геометрии. Вычерчивание учениками комбинированных фигур (орнаментов, паркетов) может здесь опереться не только на интуицию, но и на теоретическую базу (симметрия осевая и центральная). Упражнения подобного рода обогащают курс геометрии, придают ему более живое содержание и большую увлекательность.

6. Программа связывает преподавателя лишь в смысле объема знаний, сообщаемых ученикам, и принципиальных установок, но в остальном допускает изменение порядка отдельных вопросов или иную их трактовку. Например, можно отказаться от применения принципа Кавальери, если удастся заменить это изложение другим, равноценным в научно-педагогическом отношении и укладывающимся в те же рамки времени.

7. Учебник геометрии, особый для семилетней школы, не должен быть сухим конспектом, состоящим из определений и

теорем1 (как, например, книги Киселева), столь невыгодно контрастирующим с принятыми в нашей школе учебниками по другим предметам. Новый учебник должен приблизиться к живой повествовательной форме изложения (хотя бы ценой значительного увеличения объема); пусть наряду с чертежами появятся рисунки, вызывающие в ученике ассоциации геометрических схем с представлениями, получаемыми из внешнего мира. Приближения к этому типу учебной книги мы уже имеем: (Борель, Астряб, Выгодский, Бурле2). В тексте учебника автор должен обращаться всегда к учащемуся, а не к преподавателю. Для последнего пусть будет написана тем же автором другая книга (комментарий к учебнику), содержащая все указания, способные облегчить труд преподавателя, начиная от общих методических принципов и кончая дополнительными задачами и упражнениями. Это — лучшая форма методики предмета.

Проект программы

1. Сведения по ранней истории геометрии. (2 часа)

2. Геометрическое тело и его поверхность. Плоская поверхность. Изображение тела посредством: 1) модели, 2) плоского чертежа. Линии и точки. Прямолинейный отрезок, ломаная, кривая. (2 часа)

3. Чертежная линейка. Продолжение прямолинейного отрезка. Луч, прямая. Перенос отрезка. Сравнение отрезков наложением. Сложение и вычитание отрезков. (3 часа)

4. Измерительная линейка и ее применение к действиям над отрезками (включая деление отрезка на равные части). (2часа)

5. Чертежный циркуль. Окружность, радиус, диаметр, хорды. Перенос дуги вдоль окружности. Сложение и вычитание дуг на одной и той же окружности. Дуговой градус. Измерение дуг в градусах. (5 час.)

6. Пучок лучей. Угол. Отображение лучей пучка на точки окружности; соответствие между центральными углами и дугами. Угловой градус. Транспортир. Перенос угла. Сравнение наложением. Сложение и вычитание углов. (4 часа)

7. Углы с общей вершиной: смежные, вертикальные. Углы: прямой, развернутый, полный. Сумма смежных углов; обратное предложение. Равенство вертикальных углов. Деление угла по-

1 Нетрудно понять, как эта форма изложения исторически сложилась под влиянием необоснованных претензий геометрии как предмета преподавания служить образцовой школой дедукции.

2 См.: С. Bourlet, Elements de geometrie, Paris, Hachette, 1910. [Книги Э. Бореля, А. Астряба, M. Я. Выгодского названы в подстрочных примечаниях на стр. 48. — Ред.]

полам; биссектриса. Перпендикуляр. Чертежный треугольник. Эккер. (6 час.)

8. Параллельные отрезки, лучи, прямые. Признаки параллельности двух прямых, пересеченных третьей: 1) по перпендикулярности к секущей; 2) по равенству соответственных углов. Построение параллели к данной прямой с помощью: а) рейсшины, б) линейки и угольника. Углы с соответственно параллельными сторонами. (5 час.)

9. Треугольник, многоугольник. Сумма углов треугольника и многоугольника. Внешние углы. (4 часа)

10. Осевая симметрия. Оси симметрии: 1) прямолинейного отрезка; 2) прямой линии; 3) угла; 4) пары параллельных прямых; 5) равнобедренного треугольника; 6) круга и окружности; 7) круговой дуги. (4 часа)

11. Сравнение расстояний. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно. Сравнительная длина перпендикуляра и наклонных; расстояние точки от прямой. Сторона треугольника меньше суммы двух других и больше их разности. Прямолинейный отрезок короче ломаной, соединяющей его концы. Если треугольник изменяется так, что две его стороны остаются без изменения, а угол между ними увеличивается от 0 до 180°, то третья сторона увеличивается (от разности до суммы двух других сторон). (6 час.)

12. Три признака равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников. (5 час.)

13. Построения циркулем и линейкой: разделить отрезок пополам (построить ось симметрии отрезка); восставить перпендикуляр из данной точки на данную прямую; через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой; разделить данный угол пополам; построить: 1) окружность, проходящую через две, три данные точки, 2) центр начерченной окружности, 3) середину круговой дуги. (8 час.)

14. Касательная к окружности. Перпендикулярность касательной к радиусу, проведенному в точку касания; обратное предложение. Вписанный и описанный углы. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Частный случай: угол, опирающийся на полуокружность. Измерение с помощью дуг: 1) угла между касательной и хордой; 2) между двумя касательными. (5 час.)

15. Параллелограмм, свойства углов и диагоналей. Отличительные признаки параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат; их отличительные свойства; оси симметрии. Трапеция. Равнобедренная трапеция; существование оси симметрии и вытекающие отсюда свойства. (6 час.)

16. Деление отрезка на несколько равных частей. Средние линии треугольника и трапеции. (2 часа)

17. Центральная симметрия. Центр симметрии отрезка, круга, параллелограмма. Правильные многоугольники. Деление окружности на несколько равных частей. (6 час.)

18. Измерение одного отрезка другим. Общая мера и отношение двух отрезков. Пропорциональность отрезков двух пар. Теорема: если прямая, пересекающая стороны угла, перемещается, сохраняя постоянное направление, то 1) длина отрезка, отсекаемого прямой от одной из сторон угла, 2) длина отрезка этой прямой, заключенного внутри угла, изменяются пропорционально расстоянию секущей от вершины. Поперечный масштаб. (5 час.)

19. Подобие фигур: отношение подобия. Увеличение — уменьшение фигуры в данном отношении: 1) с помощью квадратных сеток (приближенно), 2) посредством лучевого растяжения — сокращения (гомотетия). Гомотетия отрезка, треугольника, угла. План. Пантограф. (8 час.)

20. Площадь прямоугольника. Измерение (приближенное) площади любой фигуры с помощью палетки. Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции. Правило Кавальери для плоских фигур. Изменение формы фигуры с сохранением площади (превращение многоугольника в треугольник; превращение в прямоугольник). Измерение площади многоугольника посредством разбивки на: 1) треугольники, 2) трапеции. (7 час.)

21. Теорема Пифагора, противоположная ей и обратная. (6 час.)

22. Отношение площадей подобных фигур. Отношение площадей двух кругов. Число я и его приближенная оценка. Длина окружности и площадь круга. (5 час.)

23. Задача «решения треугольника»: 1) построением, 2) вычислением. Синус, косинус и тангенс острого угла; примеры их вычисления (углы в 45°, 30°, 60°). Формулы sin2 л: + cos2х = 1,

Натуральные таблицы: применение к решению прямоугольных треугольников. (8 час.)

24. Разделение прямоугольного треугольника на два высотой, опущенной на гипотенузу. Соотношение между катетами, гипотенузой, высотой и проекциями катетов на гипотенузу. Второе доказательство теоремы Пифагора. (4 часа)

25. Теорема синусов и косинусов для остроугольного треугольника. Случай тупого угла. Обобщение понятий sin и cos на случай прямого и тупого углов. Площадь треугольника и параллелограмма по двум сторонам и углу между ними. (6 час.)

26. Плоские и кривые поверхности. Прямые и плоскости в пространстве. Перпендикулярность и параллельность. Двугранные и многогранные углы. Угол между двумя прямыми (скрещивающимися), между прямой и плоскостью. (10 час.)

27. Призма и цилиндр (прямые и наклонные). Сечения этих тел плоскостями, параллельными основаниям. Перпендикулярное сечение. Объем прямоугольного параллелепипеда. Правило Кавальери для сравнения объемов. Объем любой призмы и цилиндра. Развертки прямой призмы и цилиндра вращения; площадь боковой поверхности. Боковая поверхность наклонной призмы. (8 час.)

28. Пирамида и конус. Сечения этих тел плоскостями, параллельными основанию; закон изменения площади сечения. Объем пирамиды и конуса. Развертка правильной пирамиды и конуса вращения. (8 час.)

29. Шар. Сечение плоскостью. Закон изменения площади сечения при параллельном смещении секущей плоскости. Равновеликость полушара с телом, образуемым вращением прямоугольного треугольника. Объем шара. (6 час.)

30. Поверхность шара. (2 часа)

31. Объем тела произвольной формы. Подобные тела, отношение их объемов и поверхностей. (4 часа)

Разъяснения и методические указания1

1. Возникновение приемов косвенных измерений.

2. Вместо псевдоопределений евклидова стиля примеры употребления терминов «точка», «прямая» и т. д. в повседневной жизни. Условное изображение линий и точек в геометрии.

3. Проверка линейки (переворачиванием). Различные способы проведения и продолжения прямолинейных отрезков: натянутая нить (веревка); провешивание; сгибание листа бумаги и т. п. Перенос отрезка с помощью: 1) бумажной полоски, 2) мерительного циркуля.

4. Приближенный характер измерения и результатов действий, осуществляемых посредством измерений. Глазомерная оценка длин отрезков, в дальнейшем повторяемая.

5. Скольжение дуги вдоль окружности. Отсюда равенство хорд, стягивающих равные дуги. Обратное утверждение (для дуг, не превышающих полуокружности) постулируется и служит основанием для переноса дуги с помощью циркуля. Функциональная формулировка: если один конец дуги закреплен, а другой удаляется от него, двигаясь по окружности, то стягивающая

1 Нумерация пунктов та же, что в программе.

дугу хорда возрастает, пока не сделается диаметром (модель). Следует подчеркнуть, что градусная мера дуги не есть мера ее длины (принципиальное отличие от измерения отрезков).

6. Перенос угла с помощью: 1) прозрачной бумаги; 2) малки; 3) циркуля и линейки. Измерение угла на чертеже и на местности. Астролябия. Глазомерная оценка градусной меры угла, в дальнейшем повторяемая.

7. Равенство вертикальных углов получается в результате решения задачи: по одному из четырех углов, образуемых пересечением двух прямых, найти остальные. Деление угла пополам перегибанием листа бумаги (приближенно — измерением с помощью транспортира). Деление пополам развернутого угла. Бумажная модель прямого угла — складыванием листа бумаги вчетверо. Проверка угольника. Решение с помощью угольника (и, если понадобится, линейки) задач: 1) к данной прямой из данной на ней точки восставить перпендикуляр, 2) на данную прямую из данной вне ее точки опустить перпендикуляр. Кроме обычных вычислительных задач, относящихся к углам с общей вершиной, задачи типа: найти угол между биссектрисами двух смежных углов, двух вертикальных углов.

8. В связи с определением параллельности уместно сказать о скрещивающихся прямых в пространстве. Признаки параллельности могут быть доказаны от противного или же приняты без доказательства. Единственность параллели постулируется (говорить здесь об аксиоме не обязательно). При доказательстве теоремы об углах с соответственно параллельными сторонами точно формулируется понятие об одинаковой или противоположной направленности двух лучей (в первом случае лучи лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала, во втором — по разные стороны). Эти определения используются при доказательстве.

9. Доказательству теоремы о сумме углов треугольника может предшествовать (или за ним следовать) эксперимент: измерение углов треугольника транспортиром, опыты с бумажным треугольником. Из многоугольников достаточно рассмотреть выпуклые, пояснив на примерах справедливость формулы 2d(n—2) для более широкого класса многоугольников.

10. Определение симметрии — с помощью перегибания плоскости. Желательно рассмотреть примеры наличия или отсутствия осевой симметрии у известных ученику фигур (например, букв печатного алфавита; круга с хордой; с двумя параллельными хордами и т. п.). Особо выделить случаи бесконечного множества осей симметрии (прямая, пара параллельных прямых, круг). После того как из соображений симметрии установлено равенство углов при основании равнобедренного треуголь-

ника (и обратная теорема), решаются задачи на определение углов этого треугольника, когда дан один из внутренних или внешних его углов. Частный случай — равносторонний треугольник. В дальнейшем к осевой симметрии плоских фигур возвращаются всякий раз, как к тому представится случай.

11. Сравнение стороны треугольника с суммой и разностью двух других сторон, в обоих случаях — геометрически. Для сравнения длины отрезка с длиной ломаной — упрощенное доказательство (типа АВ < АСВ < ACDB < ACDEB), или же вовсе опустить эту теорему. Теорему о треугольнике с изменяющимся углом можно дать без доказательства, но обязательно с демонстрацией модели (две линейки, соединенные шарниром, с нитью, натянутой между их концами). Связать эту тему с предыдущей (осевая симметрия), решая заинтересовывающие школьников задачи о «кратчайших путях» (типа «кратчайший путь из /1 в В с заходом на данную прямую»).

12. Доказательствам предшествуют построения треугольников — каждый раз по тем элементам, которые предполагаются одинаковыми у сравниваемых треугольников. Равенство по трем сторонам может быть сведено к равенству по двум сторонам и углу между ними на основании последней теоремы предыдущего раздела. Однозначная определенность треугольника с тремя заданными элементами демонстрируется на моделях (например, для равенства по трем сторонам — шарнирный треугольник; противопоставление жестких систем нежесткими, с примерами из жизни и техники). Приложения к измерениям на местности.

13. Кроме перечисленных задач, предлагается для самостоятельного решения ряд доступных задач на построение, которые с этого момента входят в постоянный обиход. Разъясняются требования, предъявляемые к решению таких задач: описание построения; доказательство его правильности; выяснение (в доступных случаях) условий разрешимости и числа решений.

14. Симметрия фигуры, состоящей из круга и двух касательных. Центроискатель. Построение касательных: 1) в точке, лежащей на окружности, 2) из внешней точки. Построение перпендикуляра к отрезку в его конце, прямоугольного треугольника — по гипотенузе и катету. При недостатке времени измерение центральных углов с помощью дуг может быть опущено.

15. При изучении параллелограмма широко пользоваться шарнирными моделями («параллельные линейки», весы Роберваля).

16. Практические способы деления отрезка (деление доски на полосы одинаковой ширины; параллельные линейки, соединенные нитями).

17. Выяснение наличия или отсутствия центра симметрии у знакомых ученику фигур. Деление окружности на 3, 4, 6, 8 равных частей. Вычерчивание орнаментов и паркетов.

18. Независимость отношения от выбора общей меры не доказывается. Отмечается возможность несоизмеримости (для сильного состава класса — пример: если бы диагональ квадрата была соизмерима с его стороной, то нашлось бы целое число, квадрат которого равен удвоенному квадрату другого целого числа). Материально заданные отрезки практически соизмеримы. В дальнейшем случай несоизмеримости игнорируется.

19. Подобие двух фигур произвольной формы характеризуется пропорциональностью всех сходственных отрезков и равенством всех сходственных углов. Вычерчивание фигуры, подобной данной, с помощью обоих приемов, указанных в программе. Съемка плана; астролябия, мензула. Основанное на интуиции перенесение гомотетии в пространство (проекционный фонарь).

20. К тому, что учащийся уже знает о площади прямоугольника (когда длины сторон выражаются целыми числами), добавляется случай измерений, выражаемых дробями. Правило Кавальери поможет уяснить ряд случаев эквивалентного преобразования фигур и служит пропедевтикой к аналогичному правилу для сравнения объемов.

21. Первая формулировка и доказательство с помощью площадей (но не по Евклиду). Разнообразные применения к вычислительным задачам: прямоугольный треугольник; равнобедренный; равнобедренная трапеция и т. д. Знакомство с противоположной и обратной теоремами: 1) позволяет определить вид каждого угла (острый, прямой или тупой) треугольника, когда известны три его стороны, 2) устраняет опасность неправильных ссылок (на прямую теорему вместо обратной).

22. Теорема об отношении площадей не доказывается, а иллюстрируется наложением на обе фигуры квадратных сеток, имеющих то же отношение подобия, что и рассматриваемые фигуры.

23. Многочисленные приложения к задачам геометрическим и практическим.

24. Соотношения появляются в результате сравнения формул, получаемых для синуса и тангенса острого угла, одного и того же для трех прямоугольных треугольников. Теорема Пифагора ввиду ее важности заслуживает второго доказательства.

25. Обобщение представляет, кроме практической ценности, также методологическую, являясь хорошим образцом «принципа перманентности». Решаются вычислительные задачи, в том числе определение периметров и площадей правильных многоугольников (сравнение с окружностью и площадью вписанного или

описанного круга). При недостатке времени пункты 24, 25 могут быть перенесены в курс VIII класса.

26. Эта часть курса носит преимущественно описательный характер, опираясь на знакомство ученика с несколькими телами (прямоугольный параллелепипед, пирамида, конус, цилиндр, шар), определения которых уточняются. Широко используются модели. Решаются стереометрические задачи, включая и требующие применения тригонометрии.

27. Призма и цилиндр объединяются законом постоянства сечения, параллельного основаниям. Правило Кавальери позволяет свести задачу измерения объемов этих тел к такой же задаче для прямоугольного параллелепипеда. Сюда же можно присоединить изучение трехгранной призмы, у которой за основание принята четырехугольная грань (с такой именно терминологией ученик встретится в оптике); объем равен половине произведения площади основания на высоту.

28. При выводе формулы объема можно воспользоваться «расширенным правилом Кавальери» (площади сечения обоих тел одной и той же плоскостью находятся в постоянном отношении).

29. В качестве задач могут быть выведены формулы для вычисления объема частей шара (шаровой сегмент и шаровой слой).

30. Порядок тем 29—30 установлен в предположении, что формула для поверхности шара будет выведена из формулы для объема.

31. Аналогия с определением плоской фигуры (вместо квадратной сетки кубическая решетка). Отсюда — отношение объемов подобных тел (ср. п. 22). При недостатке времени этот пункт может быть опущен.

Теперь мы можем на базе определенного проекта программы вернуться к спору о двух системах преподавания и рассмотреть те возражения, которые делаются в защиту существующей и против новой системы.

Возражение 1-е. Образовательное значение модернизированной евклидовой системы состоит в том, что она является незаменимой школой дедуктивного мышления. Поэтому изучение даже фрагмента из евклидова наследия дает свой воспитательный эффект. Образующийся при этом пробел в запасе геометрических фактов может быть восполнен кратким курсом

«наглядной геометрии», построенным на экспериментально догматической базе1.

Мы оспариваем оба тезиса этого возражения. Из того, что было сказано выше о научной ценности евклидовой системы, следует, что стремление сохранить ее ценой стольких жертв ничем не оправдано. По поводу пропедевтического курса геометрии надо прежде всего задуматься над причинами неуспеха попыток осуществить такой курс в нашей дореволюционной, а затем и в советской школе. Если, как это делалось и снова предлагается проектом 1943 г.2, пропедевтике геометрии уделяется небольшое число часов в V—VI классах, причем в основу преподавания положены эксперимент и догматически сообщаемые правила, то курс оказывается бледным и слабо закрепляется в сознании учащихся. Если же значительно увеличить продолжительность курса и шире применять дедукцию, то получится нечто близкое к предлагаемой нами программе и не соответствующее обычному пониманию пропедевтики. Такой курс, во всяком случае, поглотил бы все время, отводимое геометрии в семилетней школе.

Возражение 2-е. Предлагаемый курс настолько насыщен содержанием, что осуществление его в рамках отведенного времени нереально.

Это возражение не находит себе опоры в опыте нашей и особенно зарубежной школы. Можно привести несколько примеров преподавания, которое близко к нашему проекту по объему, по продолжительности и по возрасту учащихся.

а) В дореволюционных городских и высших начальных училищах преподавался «сокращенный» курс геометрии, который, страдая многими недостатками, был, однако, законченным, достаточно насыщенным и при этом не встречал препятствий в виде недостаточной продолжительности или недоступности для учащихся.

б) В настоящее время для наших ремесленных и железнодорожных училищ принят учебник геометрии Выгодского3. Книга предназначена для учеников той же подготовки и того же возраста, что и в семилетней школе. Остальные условия преподавания в семилетней школе, пожалуй, более благоприятны, чем в ремесленной, где общеобразовательные предметы поглощают гораздо меньшую долю времени и внимания учащихся. Между тем объем сведений, содержащихся в учебнике Выгодского, рав-

1 Мы уже отмечали, что сторонники существующего преподавания геометрии, декларируя эту поправку, легко мирятся с тем, что на деле она не осуществляется.

2 См. сноску на стр. 46.

3 См. сноску на стр. 48.

но как и уровень изложения, очень близки к тем, которые предложены нами. Если в нашей программе иногда больше подчеркиваются общеобразовательные элементы, то у Выгодского зато немало внимания уделено техническим приложениям, которые для семилетней школы не обязательны. Не разделяя взглядов автора на трактовку отдельных вопросов, я считаю книгу очень удачной реализацией направления С. Хотя еще рано говорить об итогах преподавания по этому учебнику, однако «педагогическая интуиция» подсказывает осуществимость такого преподавания1, быть может, в семилетней школе с большей уверенностью, чем в ремесленной.

в) В австрийской Untergymnasium начала века2 первый концентр геометрии преподается на протяжении 31/2 лет и при 11/2 учебных часах в неделю. Судя по программе и инструкции к ней, объем преподавания в некоторых отношениях выше предлагаемого нами (в курс входят: прямоугольные координаты, более сложные задачи на построение; элементы сферической геометрии; правильные многогранники), в других — ниже (отсутствуют элементы тригонометрии); в целом отклонения компенсируются.

г) Для первого концентра геометрии во французской школе начала нашего века характерны учебники Бореля и, в особенности, Бурле3. Второй из этих учебников, написанный по программам 1909 г., рассчитан на 4 года обучения в мужских школах и (с небольшими сокращениями) на 3 года в женских. Большей продолжительности обучения соответствует заметно большее содержание. Например, у Бурле находим: теоремы о биссектрисах внутреннего и внешнего углов треугольника; степень точки относительно окружности; теоремы о трехгранных и многогранных углах; тригонометрию, включая теоремы синусов и косинусов4 (напомним, что у нас последние теоремы отнесены к факультативным). Степень трудности задач во многих случаях предполагает более высокую подготовку, чем та, на которую мы можем рассчитывать в семилетней школе.

Возражение 3-е. Если бы удалось выполнить предлагаемую программу, то оказалось бы обескровленным преподавание геометрии в VIII—X классах. Повторение тех же фактов,

1 По-видимому, таково же впечатление тех компетентных органов и специалистов, которые апробировали издание книги большим тиражом в качестве единственного учебника, отвечающего своему назначению.

2 См. Сборник программ и инструкций по преподаванию математики в Западной Европе, М., 1914, стр. 61—88; более поздними сведениями мы не располагаем.

3 См. сноску на стр. 56.

4 В программе упоминается также синусоида.

хотя бы с более глубоким обоснованием, не заинтересует учащихся. Накладывать заплаты в виде дополнений к тем или другим главам — потеря цельности. Отказаться от этих дополнений — ущерб для подготовки к высшей школе.

Боязнь того, что во втором концентре ослабеет интерес учащихся к предмету, ни на чем не основана. Почему не проявляют этой боязни физики, которые в своем втором концентре преподают те же разделы, что в первом: механику, теплоту, электричество и т. д.? Более того, некоторые из окончивших среднюю школу будут изучать в вузе третий концентр физики с той же номенклатурой разделов, и никогда мы не слышим об упадке интереса, вызванного этой концентрической системой. Обратимся, наконец, к опыту, который накоплен за рубежом в деле преподавания самой геометрии. В австрийской школе, после того как Untergymnasium дает 3 72-летний насыщенный содержанием курс геометрии (см. выше), начинают снова с параллельных прямых и равенства треугольников в Obergymnasium (4 года). Борель в предисловии к немецкому изданию своего учебника рекомендует в качестве следующего концентра классический курс Адамара, излагающий всю элементарную геометрию ab avo1. По поводу беспокойства за подготовку к высшей школе надо, наконец, ясно сказать, что 10-летняя общеобразовательная школа не может ставить задачу полностью вооружить учащихся для конкурсных экзаменов в те вузы, которые предъявляют повышенные требования к математической тренировке2 (и это

1 См. стр. XVIII книги, названной в сноске 3 на стр. 48. [Ab ovo (лат.) — «с яйца», т. е. с самого начала. — Ред.]

Здесь не место обсуждать проблему второго концентра геометрии во всей ее полноте, что вывело бы нас далеко за рамки этой статьи. Тем не менее разрешим себе сказать, что упомянутая в тексте система не кажется нам наилучшей. Можно было бы, не возвращаясь к планиметрии (подобно тому как не возвращаются к арифметике, не смущаясь тем, что в младших классах ее теоретический уровень по необходимости намного ниже, чем в последующем преподавании), посвятить один год (VIII класс) углубленному изучению той части стереометрии, которая, по общему признанию, составляет наиболее слабое место в современном преподавании: прямые и плоскости в пространстве, многогранники, параллельная проекция — с направленностью в сторону: а) развития пространственных представлений, б) выяснения роли аксиом (которые именно здесь не тривиальны), в) укрепления связи с тригонометрией. После этого IX класс посвятить введению в аналитическую геометрию, которая должна изучаться .в первую очередь как новый метод и только во вторую очередь как источник новых геометрических образов (конические сечения). В X классе — единый курс математики, куда геометрия войдет в качестве составного элемента (например, вычисление объемов с помощью интегрирования).

2 Иная точка зрения привела бы к тому, что представители гуманитарных дисциплин могли бы с основанием потребовать возрождения классического образования (латинский и греческий языки).

обстоятельство надо учесть уже при построении программы семилетней школы). Составитель программы должен иметь перед собой не только облик будущего математика или инженера, но и юриста, историка, врача. Задачу специально математической тренировки и расширения объема знаний может взять на себя бифурцированный XI класс, а пока его нет — I курс высшей школы (вспомним, что на этот путь стали дореволюционные высшие женские курсы, а позже — наши педагогические институты).

Возражение 4-е. Радикальная ломка преподавания опасна. Школа допускает только медленную эволюцию, в процессе которой создаются новые учебники, методическая литература, переучиваются педагогические кадры.

Здесь содержится, собственно, не отрицание реформы, а только призыв к осторожности в ее проведении. К этой осторожности (не переходящей, однако, в робость) мы присоединяемся. Массовой реформа может стать, конечно, после создания новых учебников, но к экспериментальной проверке новой программы в немногих школах следует приступить немедленно. Против характеристики наших предложений как радикальных спорить не будем. Этот радикализм имеет корни в действительно исключительной ситуации: полувековой застой в преподавании геометрии может быть преодолен только исключительными средствами.

ТРИГОНОМЕТРИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ1

Нередко преподаватели средней школы выражают недовольство по поводу включения в курс геометрии VIII класса главы, посвященной тригонометрии острого угла. Указывают на то, что: 1) эта глава является инородным телом, нарушающим стиль изложения геометрии (на время исчезают теоремы, леммы и пр.); 2) полученные учениками сведения из тригонометрии повисают в воздухе на протяжении остальной части курса VIII класса и потому легко улетучиваются; 3) в лучшем случае память учащихся сохраняет определения тригонометрических функций как отношений сторон в прямоугольном треугольнике, а это не помогает, иногда даже мешает усвоению более общих определений в IX классе (где поэтому приходится «переучивать»); 4) вообще, отрывок тригонометрии в VIII классе есть проявление концентризма, к которому большинство наших педагогов относятся отрицательно.

Когда критикам указывают на образовательную ценность осуждаемой ими главы, в частности на открывающиеся в ней возможности политехнизации (измерения на местности, пользование таблицами, построение графиков и сопоставление их с таблицами, работа силы в физике), они возражают, что ведь никто не предлагает изъять эту тематику, речь идет только о том, чтобы отсрочить ее менее чем на один год, включив в единый «систематический» курс тригонометрии.

Существующую программу я также склонен подвергнуть пересмотру, но не с позиций изложенных выше четырех пунктов. По поводу последних хочу сделать следующие замечания. 1) Об ущербе для евклидового стиля построения геометрии вряд ли стоит беспокоиться. Наоборот, следует желать, чтобы от этого стиля все более освобождалось преподавание геометрии, чтобы все более стирались различия в способах изложения геометрии

1 Расширенное изложение доклада, сделанного 19 января 1956 г. в школьной секции Московского математического общества,

и остальных математических дисциплин. В наше время немного уже остается людей, полагающих, что внутри математики геометрия выделяется какой-то особой логической структурой. 2) Констатация того, что сведения из тригонометрии не находят себе приложений в курсе VIII класса, справедлива. Но отсюда должны быть сделаны другие выводы: не ликвидировать надо эту тему, а, наоборот, расширить ее плацдарм, ввести ее в курс геометрии органически. Как это сделать с пользой и для тригонометрии и для геометрии, будет сказано ниже. 3) Верно и то, что ограничение функциями острого угла порождает некоторые трудности в деле предстоящего расширения области определения этих функций. Но это только дает толчок к тому, чтобы уже в VIII классе ввести функции тупого угла. Ниже будет показано, как это можно сделать — снова с выигрышем для геометрии. 4) Не могу присоединиться к огульному осуждению концентризма, который в ряде случаев педагогически обоснован, а иногда канонизирован современным преподаванием (концентрическое расширение запаса чисел, обобщение понятия о степени и др.).

Дальнейшее изложение распадается на две части: в первой содержатся предложения, осуществимые в рамках действующей программы; они могут уже сейчас быть полезными для преподавателя, склонного отказаться от шаблона. Здесь, как и всюду, я избегал стиля «методразработки», чтобы оставить преподавателю достаточную свободу действий. Вторая часть содержит проект изменения программы, точнее, перегруппировки внутри программы геометрии и тригонометрии в VIII—IX классах. Нигде эти изменения не направлены в сторону увеличения общего объема этих курсов, наоборот, основная тенденция их — упрощение, рационализация и существенное сокращение программы по математике (в этом отношении как особенно радикальная будет, вероятно, воспринята заключительная часть этой статьи).

1. Функции острого угла. В VIII классе непосредственно вслед за подобием треугольников (и многоугольников) становится возможным определить функции sin a, cos а, tg а (0<а<90°) как отношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения закрепляются упражнениями на: 1) графическое нахождение числовых значений (в грубом приближении) функций для углов, заданных на чертеже или же в градусах (удобно пользоваться миллиметровой бумагой); 2) построение острого угла по заданному значению той или другой функции; при этом выясняется, в каких пределах можно задавать эти значения для каждой из функций.

Затем изучаются таблицы трех функций и попутно объясняются формулы tg а = sin а : cos а, sin (90° — а) = cos а,

cos (90° — a) = sin a с проверкой их на таблицах для частных значений а. С помощью таблиц можно построить графики трех функций в промежутке (0, 90°), считая абсциссы пропорциональными углам, например, откладывая по оси абсцисс значения угла в градусах, а по оси ординат числовые значения функции, каждый раз в удобных для нас масштабах1. Уместно также поручить учащимся строить графики без таблиц, пользуясь линейкой, циркулем, угольником и транспортиром, например так, как

Рис. 1.

это показано для sin а на рис. 1. Предполагается, что после этого решают с помощью таблиц десяток-другой задач с линейными и угловыми данными и искомыми, ограничиваясь прямоугольным и равнобедренным треугольниками и ромбом. Если время позволяет, то решают несколько задач «на местности», с воображаемыми или действительными измерениями.

На этом обычно заканчивается первое и слишком кратковременное знакомство учащихся с тригонометрией, возобновляясь уже только в IX классе. Такое именно положение дела вызывает, как отмечалось, справедливые нарекания. Между тем существуют широкие возможности применять сведения по тригонометрии острого угла в непосредственно следующих главах геометрии, не разрывая этой нити до конца курса VIII класса. Преподавателю, который стал бы на этот путь, никто не мог бы предъявить обвинение в произвольном расширении рамок программы, так как не будет затронут ни один вопрос, выходящий из этих рамок, и не потребуется дополнительной затраты време-

1 Тем педагогам, которые отказываются от таких графиков и считают единственно законными графики функций числового (а не углового) аргумента с одинаковыми масштабами по обеим осям, можно напомнить, что этим создается нежелательный разрыв между математикой и физикой, которая никогда не согласится с тем, чтобы аргумент и функция были обязательно одинаковой природы,

ни. Помещенные ниже предложения относятся: а) к решению задач, считающихся по традиции чисто геометрическими; б) к изучению средствами тригонометрии геометрических фактов, намеченных программой.

а) Начну с примера, заимствуя его из геометрического задачника Н. Рыбкина (ч. I, § 11, № 45, изд. 6, 1937).

Радиус окружности 8 дм\ хорда АВ = 12 дм. Через А проведена касательная, а из В хорда ВС параллельно касательной. Найти расстояние между касательной и хордой ВС.

Предлагаю решение (с анализом; рис. 2): в качестве искомого расстояния возьмем длину перпендикуляра BD из В на касательную (AD). Так как в треугольнике ABD гипотенуза АВ известна, то для нахождения BD достаточно (и необходимо) знать sin а (а = /.BAD). Но этот угол измеряется половиной дуги АВ и, следовательно, равен половине центрального угла ЛОВ, т. е. а = Z.EOB, где Е — середина хорды АВ. Теперь sin а легко найти из треугольника ОВЕ, в котором известны ОВ = 8 и BE = 6. Итак, sina =-g-=-^-, откуда BD = АВ sin а = 12*-j = 9 (дм). Как видим, решение устное.

Конечно, здесь можно было обойтись подобием треугольников (ABD и ОБЕ), как это происходит в большинстве других задач, решаемых с помощью тригонометрических функций без применения таблиц этих функций. Но разве одно отношение (тригонометрическая функция) не проще, чем равенство двух отношений (пропорция)1. И следует ли после того, как произошло знакомство с тригонометрическими функциями, избегать их применения, а не пользоваться каждым подходящим для этого случаем?

б) Но и при доказательстве теорем имеется много упускаемых нами возможностей применять тригонометрические функции с пользой для дела. Поясним это на примере вывода соотношений между элементами прямоугольного треугольника.

Рис. 2.

1 С аналогичным положением можно встретиться в арифметике, например, при решении следующей задачи: 7 тетрадей стоят 91 коп.; сколько стоят 5 тетрадей? 1-й способ: 91:7= 13 (коп.); 13 • 5 = 65 коп.; 2-й способ: 7:91 = Б:х и т. д.

Рассмотрим хорошо знакомую фигуру (рис. 3), где С = 90°, а привычные обозначения легко вспомнить по чертежу (высота h разбивает треугольник ABC на два треугольника I и II). Угол а встречается во всех трех треугольниках; поэтому каждая из его

Рис. 3.

тригонометрических функций может быть трояко выражена через отмеченные на чертеже элементы (выбор этих элементов как раз объясняется стремлением к тому, чтобы была отмечена каждая сторона каждого треугольника), как показывает следующая схема:

Функция

Из треугольника

АВС

I

II

sin а

а с

h b

a' a

cos а

Ь с

V b

h a

tga

а J

h b'

a' h

Приравнивая друг другу три выражения для каждой из трех функций, получим соотношения между а, 6, с, а\ Ьг и h в виде девяти пропорций. Не все они представляют интерес; выделим прежде всего непрерывные пропорции:

или вместо них

а2 = са', b2 = cb', h2 = a'b'; (1)

словесная формулировка этих соотношений приводит к известной теореме. Но и среди остальных пропорций одна заслуживает внимания: сравнивая первые два выражения для sin а, имеем:

или

(«произведение катетов равно произведению гипотенузы на соответствующую ей высоту») — полезный при решении задач факт, знакомство с которым обычно откладывается до главы о площадях и там часто проходит незамеченным.

Как видим, и здесь тригонометрические функции освобождают только от рассмотрения подобных треугольников, но рассуждение кажется мне лучше организованным и не опирающимся на предварительно формулируемую теорему. Более того, желательно, чтобы словесная формулировка следовала за полученными соотношениями, а не предшествовала им (здесь также пора порвать с евклидовой традицией).

Из первых двух равенств (1) обычным путем получается теорема Пифагора: а2 + Ь2 = с2, а от нее снова возвращаемся к тригонометрии:

Последнее равенство позволяет по одной из функций sin, cos вычислять другую, а в соединении с уже упоминавшимся равенством tga = sin a : cos a — по значению одной из функций sin, cos, tg — вычислять значения остальных. Можно предлагать ученикам упражнения типа: в совместной для трех функций таблице один столбец закрыт полоской бумаги; в указанной преподавателем строке восстановить закрытое число (более сложный вариант: закрыты два столбца). Полученные вычислением результаты проверяются по таблицам, разумеется, с учетом приближенного характера помещенных там значений.

Теперь нетрудно составить и постепенно запомнить полную таблицу значений (точных и приближенных) sin, cos, tg для углов 30°, 45°, 60° и в дальнейшем пользоваться ею при решении задач, где встречаются эти углы.

Непосредственное применение найдет себе эта таблица в главе о правильных многоугольниках. Обозначая для круга радиуса R через ап и Ьп стороны правильных n-угольников соответственно вписанного и описанного, легко вывести:

Отсюда с помощью упомянутой таблицы сразу находим аз, 63, а4, Ъ\, 06, ^6 (конечно, некоторые из этих результатов получаются проще геометрически, и это надо сделать).

Полезно также в виде упражнения получить выражение для Ъп через ап и /?; достаточно исключить —— из (2), например, так: из первого равенства (2) находим:

(3)

а отсюда и из второго равенства (2)

Те же формулы (2) могут быть применены, когда в связи с длиной окружности мы захотим, например, найти периметры правильных вписанного и описанного 180-угольников. Они окажутся равными соответственно

360/?sinl° и 360iRtgl°;

конечно, заимствуя sin 1° и tg 1° из таблиц, необходимо учесть увеличение имеющейся там погрешности при умножении на 360.

Таким образом, вплоть до конца планиметрии мы имеем неоднократный повод возвращаться к тригонометрическим функциям острого угла и извлекать отсюда пользу для геометрии.

2. Функции тупого угла. Однако изучение зависимостей между элементами произвольного треугольника останется неполным, пока не введены тригонометрические функции тупого угла: ведь и такой может появиться в треугольнике. Искусственное ограничение функциями острого угла приводит к раздвоению таких теорем, как о нахождении квадрата стороны по двум другим и образуемому ими углу1. Предлагая в дальнейшем план включения функций тупого угла в курс геометрии, я выхожу за рамки программы VIII класса, но не за рамки программы по математике в целом.

1 В своей «Методике» (изд. 1949 г.) В. М. Брадис предлагает даже формулу для площади треугольника писать двояко: 5 = 0,5 ab sin С при С<90° и S — 0,5 sin (180° — С) при 90° < С < 180°, «так как учащиеся в VIII классе еще не знают, что sin (180°—С) = sin С». Пользуюсь случаем сказать, что к пожеланиям В. М. Брадиса относительно более широкого применения тригонометрии к решению геометрических задач в рамках существующей программы (стр. 392—393 цитированной книги) я, конечно, присоединяюсь, но считаю, что на этом не следует останавливаться.

Со стороны учебного плана реальность перегруппировки некоторых вопросов тригонометрии и геометрии не может вызвать сомнений, так как к программе старших классов ничего не прибавляется (наоборот, кое-что окажется возможным изъять), а уничтожение «водонепроницаемых переборок» (Ф. Клейн) между двумя родственными предметами способно только рационализировать преподавание, сберечь время и силы учащихся.

Формальная сторона перехода от острого угла к тупому не представляет затруднений: достаточно объявить синус тупого угла равным синусу смежного острого, а косинус тупого угла равным косинусу смежного, взятому со знаком минус. Таким образом, по определению

sin (180° — а) = sin а, cos (180° — а) = — cos а (4)

для 0 < а < 90°; тут же (особенно в связи со словесными формулировками: «синусы смежных углов равны друг другу, косинусы... отличаются только знаком») выясняется, что равенства (4) остаются в силе и для 90° < а < 180°. Теперь покажутся естественными (особенно в связи с построением графиков для расширенной области измерения а) соглашения

sin 0° = sin 180° = 0, sin 90° = 1, cos 90° = 0, cos0°=l, cos 180° = — 1,

в результате чего sin а и cos а становятся определенными для 0<а<^180°. Функцию tg а в том же промежутке можно определить как sin а : cos а с оговоркой а Ф 90°.

Более трудная педагогическая задача состоит в том, чтобы убедить учеников в разумности декларированных определений (впрочем, это не сложнее, чем, например, при обобщении степени на случай ненатурального показателя). Достаточно дать для тригонометрических функций такие обобщающие определения, которыми охватывались бы все до сих пор рассмотренные. По-видимому, наиболее простой путь лежит через координаты, с которыми учащийся уже хорошо знаком: помещаем угол в координатной плоскости так, чтобы его вершина попала в начало координат, одна из сторон совпала с положительной полуосью X, а другая сторона расположилась в 1-й или 2-й четверти. Если на этой последней стороне отложить от вершины О отрезок ОМ = 1, то определяем синус и косинус угла а как соответственно ординату и абсциссу точки М. Легко доказывается, что этим определением охватываются все предыдущие. (Попутно ликвидируется одно неудобство, о котором упоминалось в начале статьи: координатное определение при небольших пояснениях годится для любых углов, так что после обобщения понятия об

угле «переучивать» не придется.) В силу формул (4) новых таблиц для функций тупого угла не потребуется.

Теперь мы в состоянии развить полную систему зависимостей между элементами треугольника, в качестве каковой можно взять (не считая равенства Л + В + С = 180°) либо теорему синусов, либо теорему косинусов. Первая доказывается одним из общеупотребительных способов: на основании формулы а : 2R = sin А или же с помощью проведения высоты (два случая). Теорема косинусов — снова с помощью высоты (два случая) или (несколько длиннее, но поучительнее) на основании предварительно выведенной (два случая) формулы

а = b cos С + с cos В.

Вместе с двумя аналогичными

b = a cos С + с cos Л, с —a cos В + b cos А

имеем систему трех уравнений, линейных неоднородных относительно cos Л, cos В, cos С и линейных однородных относительно а, 6, с. Принимая косинусы за неизвестные и решая систему> найдем формулу

cosC=a2+£b~c2 <5>

и еще две аналогичных, составляющих вместе с (5) теорему косинусов (чаще записываемую в форме с2 = а2 + b2— 2ab cos С). Если же считать Л, В, С данными, а а, 6, с искомыми, то для однородной системы прежде всего встает вопрос об условии существования ненулевого решения: это условие имеет вид

cos2 А + cos2 В + cos2 С + 2 cos A cos В cos С — 1=0 (6)

и при 0 < Л + В < 180° равносильно очевидному заранее условию Л + В + С = 180°. Если (6) выполнено, то по углам однозначно определяются отношения сторон, что опять-таки геометрически очевидно:

а : b : с = sin А : sin В : sin С К

С помощью теорем синусов и косинусов можно исчерпать все «основные» случаи решения треугольников, пользуясь только натуральными таблицами, а для возведения многозначных чисел в квадрат и извлечения квадратных корней — таблицами этих действий. Именно, теорема синусов достаточна для решения тре-

1 Второй вариант теоремы косинусов не предлагается для включения в обязательный курс.

угольника: 1) по стороне и двум углам; 2) по двум сторонам и углу против одной из них (как обычно, здесь обращают внимание на двузначность угла, определяемого в промежутке (0, 180°) по синусу). С помощью теоремы косинусов можно решать треугольники: 1) по двум сторонам и углу между ними; 2) по трем сторонам [см. (5)].

Отметим еще возможность нахождения теми же средствами медиан, биссектрис, высот треугольника, предполагая заданными три его стороны:

1) Пусть (рис. 4) AM = та — искомая медиана. Находим по (5) cos С и подставляем в полученное из треугольника АСМ равенство

Рис. 4.

Вспомним, что формулу для медианы обычно выводят, дополняя треугольник до параллелограмма и применяя теорему о сумме квадратов его диагоналей; эта теорема становится теперь излишней.

2) Сохраняем обозначения рис. 4 (хотя теперь он уже плохо отражает условие задачи), и пусть AM = (За— искомая биссектриса. В треугольнике АСМ легко определяются СМ= ь°^с и угол С по (5), после чего

3) При обозначениях рис. 4 пусть AM = ha — искомая высота. Из треугольника АСМ имеем ha = b sin С, причем cos С определяется по (5); значит, sin С = у 1—I—-I и т. д. (остаются алгебраические преобразования, обычные при выводе формулы Герона).

Рассмотрим еще несколько примеров приложений. Теорема косинусов позволяет найти модуль R вектора — равнодействующей двух сил, зная их модули Fu F2 и угол а между направлениями сил:

/?2 = f\ + f\ cos а

(обратим внимание на знак + в последнем члене правой части). Если хотим еще найти углы между направлениями равнодей-

ствующей и составляющих, то достаточно применить теорему синусов.

Легко (и без проведения вспомогательных линий) доказывается теорема о биссектрисе внутреннего угла треугольника. Пусть на рис. 5 CD — биссектриса, т. е. 1 = 2, остальные обозначения понятны из чертежа. Из треугольников ACD и BCD

b : Ь' = sin 3 : sin 1, a : a' = sin 4 : sin 2.

Ho sin 3 = sin 4, sin f = sin 2, следовательно, a : a' = b : b\ a': b' = a: b. Небольшое видоизменение этого давно известного доказательства дает теорему о биссектрисе внешнего угла.

Возвращаясь к правильным /г-угольникам, мы можем теперь ис« пользовать не только их центральные углы (острые при я>4), но и внутренние (тупые при я>4). Именно, из вписанного в круг равнобедренного треугольника с основанием аПу боковой стороной а2п, углом при вершине 180°--— и углом при основании — находим сначала а2п = ап : 2 cos —, (180°\ 1 + cos-^— J, откуда

Рис. 5.

(7)

или [см. (3)]

(7')

Из (7) или (7') легко получаются а8, а затем и значения cos 22°,5; cos 15°. Отсюда и из (7) находим ai6> a2k и т. д.

Наконец, в теории площадей должна быть прочно усвоена формула для площади треугольника 5= -g-aftsinC, не менее важная при решении задач, чем 5 =^ah (из которой получается первая формула). Полезны также выражения для площади параллелограмма по двум смежным сторонам и углу между ними, для площади любого четырехугольника по двум диагоналям и углу между ними.

Оставляю в стороне приложения к стереометрии, где при решении задач роль тригонометрии давно узаконена. К сожале-

нию, в теоретическом курсе по-прежнему избегают тригонометрии; например, обычно отсутствует важная теорема о площади проекции плоской фигуры на плоскость (не нашел я этой теоремы и в вузовских учебниках геометрии С. А. Богомолова и Д. И. Перепелкина; иное в книге Ж. Адамара «Элементарная геометрия», ч. II, изд. 2, М., 1951, п. 381).

Таким образом, речь идет о включении всей тригонометрии треугольника (не считая решения треугольников с помощью логарифмо-тригонометрических таблиц) в курс геометрии. Здесь уместно привести несколько историко-библиографических справок. Полвека тому назад один из крупнейших французских математиков и выдающийся деятель математического просвещения Э. Борель включил в свой учебник элементарной геометрии1 тригонометрические функции острого и тупого угла, теорему косинусов, некоторые приложения к планиметрии (правильные многоугольники, площадь треугольника) и стереометрии (площадь проекции). Учебник этот, хотя и не получивший широкого распространения в школах Франции, был переведен на несколько языков и оказал значительное влияние на преподавание и на программы. Во всяком случае, известный во Франции того времени ученый и педагог, автор распространенных учебников К. Бурле мог, ссылаясь на официальную программу 1909 г., включить в курс геометрии2 тригонометрические функции острого и тупого угла, теоремы синусов и косинусов. Из русских авторов можно назвать А. Горста, который в своем интересном, хотя не безупречном учебнике3 вводит тригонометрические функции для углов от 0 до 360° и теорему косинусов. Впрочем, у всех названных авторов геометрические приложения не доведены до объема, намечаемого в этой статье.

В соответствии с заголовком статьи здесь не место детально обсуждать, какие изменения претерпел бы школьный курс математики в целом, если бы были осуществлены изложенные выше предложения. Тем не менее, чтобы читатель не остался неудовлетворенным из-за отсутствия общей перспективы, намечу ее хотя бы в первом приближении и без подробных мотивировок.

1 Э. Борель, Элементарная математика, ч. II. Геометрия, перевод с нем. изд., обработ. П. Штеккелем, Одесса, «Матезис», 1912. [2-е изд.— Одесса, 1922. — Ред.]

2 Carlo Bourlet, Elements de geometrie, 2-е изд., Париж, 1910.

3 A. M. Горст, Элементарная геометрия, Спб. — Киев, «Сотрудник», 1911

.

Из тригонометрии треугольника осталось не включенным в курс геометрии решение треугольников с помощью логарифмо-тригонометрических таблиц вместе с техникой этих вычислений и специально выводимыми формулами, «удобными для логарифмирования». Этой почти лишенной образовательного (а в век машинной математики и практического) значения трудоемкой главой легко пожертвовать.

Остается гониометрия, точнее: обобщение понятия об угле в ориентированной плоскости; радианная мера; тригонометрические функции числового аргумента, их периодичность (графики); формулы приведения; формулы сложения — вычитания и умножения — деления аргумента на 2; тождественные преобразования тригонометрических выражений; «аркусы»; тригонометрические уравнения. Но ведь хорошо известно, что вся гониометрия может быть построена на чисто аналитическом фундаменте (бесконечные ряды или дифференциальные или функциональные уравнения). В этом отношении она ближе к тому курсу, который в школьной практике называется алгеброй, хотя он включает в себя и некоторые вопросы введения в анализ, например изучение трансцендентных функций — показательной и логарифмической. Тригонометрические функции, знакомство с которыми необходимо для общего образования в силу их значения для многих областей математики и физики, также принадлежат к числу трансцендентных. Так не следует ли в преподавании поставить тригонометрические функции рядом с показательной (глубокая связь этих функций обнаруживается в комплексной области), т. е. включить в условную «алгебру»1. Во всяком случае — не в геометрию: на заблуждения, порождаемые иллюзией об органической зависимости тригонометрических функций от евклидовой геометрии, именно от существования подобных фигур (которых нет ни в геометрии Лобачевского, ни в сферической), не раз указывалось2.

Во всяком случае, то, что стоит сохранить в общеобразовательной школе из традиционного курса тригонометрии (по поводу перечисленных выше гониометрических тем вспомним, что «аркусы» уже исчезают из нашего преподавания, за ними, вероятно, последуют тригонометрические уравнения), не требует наличия этого предмета как отдельного, а легко и с пользой

1 Один из убедительных доводов в защиту сохранения здесь главы о комплексных числах — это возможность вывода формул для синуса и косинуса суммы и кратных аргументов с помощью умножения и возведения в степень комплексных чисел, взятых в тригонометрической форме.

2 См., например, Н. М. Бескин, Методика геометрии, М—Л., 1947, стр. 219—220,

(для геометрии — безусловно) укладывается в рамки двух школьных курсов.

Итак, предлагается наряду с сокращением нынешней программы разделить тригонометрию между геометрией и алгеброй: в геометрию — функции углового аргумента для промежутка (О, 2d), в алгебру — функции числового аргумента для промежутка (—со, +оо).

ОШИБКИ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ1

Введение

Сорок лет назад известный тогда педагог-математик Н. А. Извольский в статье, посвященной преподаванию геометрии, воспроизвел характерный разговор, происшедший у него со знакомой школьницей. Девочка перешла из V в VI класс гимназии и один год обучалась геометрии; разговор происходил на каникулах, в непринужденной обстановке. Педагог спросил свою собеседницу, что она запомнила из курса геометрии. Девочка долго думала, но, увы, ничего вспомнить не могла. Тогда вопрос был изменен: «Что же вы делали весь год на уроках геометрии?». На это последовал очень скорый ответ: «Мы доказывали». Ответ маловразумительный, но отражающий в своей наивности те представления, которые складываются у многих школьников: в арифметике решают задачи, в алгебре, кроме того, решают уравнения и выводят формулы, а вот в геометрии— доказывают теоремы. Надо сказать, что такое представление о строении математики давно уже перестало отвечать состоянию этой науки. В математических исследованиях нашего времени, идет ли там речь о числах или же о фигурах, заголовок «теорема» с последующим ее доказательством можно встретить одинаково часто. Во всех областях математики решают задачи, а в геометрии нередко прибегают к решению уравнений. Иначе было 2000 лет назад, когда завершалось создание так называемой геометрии Евклида, которая и поныне составляет основу школьного курса. С тех пор и вплоть до современных школьных учебников геометрия (именно она, а не другие математические предметы) излагается как цепь теорем (некоторые из них называются леммами или же следствиями), построенных по плану, настолько хорошо известному, что достаточно ограни-

1 В основу положены лекции, неоднократно читанные автором учащимся — участникам школьного математического кружка, при Московском государственном университете.

читься кратким напоминанием. Каждая теорема содержит условие («дано...») и заключение («требуется доказать...»), при доказательстве можно ссылаться только на аксиомы или на ранее доказанные теоремы; нельзя опираться ни на «очевидность», которая иногда нас обманывает, ни на теоремы, хотя бы и верные, но еще не доказанные (ведь последние могут в свою очередь опираться на доказываемую теорему, и тогда получается «логический круг»).

Известно, какую роль играет в доказательстве чертеж: он делает наглядным не только содержание теоремы, но и ход доказательства. Иногда приходится для одной теоремы делать несколько чертежей, так как доказательство видоизменяется в зависимости от взаимного расположения частей фигуры (пример: теорема о вписанном угле, при доказательстве которой обычно рассматривают три возможности: центр круга лежит на стороне угла, внутри его или вне его). В таких случаях важно, чтобы были исчерпаны все возможные расположения частей фигуры; пропуск одного какого-нибудь варианта, для которого прежние рассуждения не могут быть повторены, лишает, разумеется, силы все доказательство — ведь как раз при этом варианте теорема может оказаться неверной.

Не следует ни преувеличивать, ни преуменьшать роли чертежа. Преувеличением было бы считать чертеж необходимой составной частью доказательств. Теоретически говоря, любое геометрическое доказательство можно провести, не пользуясь никаким чертежом, и это даже имело бы ту положительную сторону, что устранило бы ссылки на «очевидность», которая иногда бывает кажущейся и служит источником ошибок. Однако практически отказ от чертежа привел бы к таким же затруднениям, какие мы испытали бы, если бы, например, захотели действия над многозначными числами производить всегда «в уме» (или чтобы взять пример из более далекой области — играть в шахматы, «не глядя на доску») — опасность ошибиться при этом сильно возросла бы. Говоря о помощи, которую чертеж оказывает доказательству, я имею в виду, конечно, хороший чертеж, выполненный с достаточной тщательностью. Ученик иногда думает, что, заботясь о правильности чертежа, он делает только уступку требованиям учителя. На самом же деле плохим чертежом ученик наказывает прежде всего себя самого, так как вместо помощи он получает иной раз помеху. И пусть этот ученик не обольщает себя тем, что в том или другом случае ему удавалось провести доказательство на плохом чертеже — так будет не всегда. Здесь читатель встретит наряду с правильными чертежами другие, несколько искаженные, но они сделаны такими сознательно. Дело в том, что наше внимание

будет сосредоточено на ошибочных доказательствах, а для них нужны иногда неточные чертежи (подобно тому как к намеренно искаженным чертежам прибегают в доказательствах «от противного»).

В дальнейшем, в §§ 1 и 3, будет приведен ряд примеров ошибочных геометрических доказательств. О типах ошибок предпочтем говорить позже, когда в нашем распоряжении будут эти примеры. Но уже сейчас следует предупредить читателя относительно характера доказываемых (ошибочно) здесь предложений.

Среди этих предложений встретятся такие, ложность которых будет для читателя сразу очевидной, например «Прямой угол равен тупому». В этих случаях наша задача — вскрыть ошибку в доказательстве. Подобные доказательства утверждений, заведомо неправильных, известны с древних времен под названием «софизмов».

В других примерах читатель не будет заранее знать, верно ли доказываемое утверждение или ложно, если только оно этому читателю раньше не встречалось. Здесь наша задача усложняется: надо проверить как несостоятельность доказательства, так и ошибочность утверждения1.

Наконец, будут приведены примеры доказательств, ошибочность которых коренится в том, что доказываемое никак не может быть обосновано средствами, находящимися в распоряжении доказывающего. Как это может случиться, попытаюсь объяснить на примере, далеком от геометрии и вообще от науки.

Известна шуточная задача: «Пароход находится на 42°15/ с. ш. и 17°32' з. д. (числа взяты наудачу; обычно добавляют еще ряд данных, усложняющих условие). Сколько лет капитану?». Для наших целей изменим несколько вопрос задачи: «Верно ли утверждение, что капитану больше 45 лет?». Каждому ясно, что сделать такой вывод из данных, содержащихся в условии предложенной задачи, нельзя и что всякая попытка доказать формулированное утверждение невыполнима. В самом деле, ведь пароходное управление (о котором из условия задачи мы ничего не знаем) может составить маршрут, проходящий через указанный географический пункт, и назначить в рейс капитана того или другого возраста (предполагая, что управление располагает для подобных плаваний капитанами как молодыми, так и старыми).

1 Недостаточно сделать только первое: ведь и верное утверждение можно обосновывать ошибочными доводами (например, из ошибочного равенства 3 + 5 = 12 можно сделать правильный вывод: 3 + 5 есть число четное).;

Иными словами, можно допустить, что капитан моложе 45 лет, и ни в какое противоречие с данными, касающимися широты и долготы, это, конечно, не вступит. Другое дело, если бы условие задачи содержало еще иные данные, например название парохода и точную дату его прохождения через указанный пункт; тогда можно было бы надеяться, что по судовому журналу удастся установить личность капитана, а затем и его возраст.

Итак, существуют утверждения, справедливость которых можно или нельзя доказать, в зависимости от того, какими средствами для доказательства мы располагаем.

Возвращаясь ближе к нашему предмету, спросим: верно ли, что сумма углов любого треугольника равна 2d? Всякий школьник, изучивший главу о параллельных прямых, знает доказательство этой важной теоремы, но немногим известна ее 2000-летняя история. Доказательство основывается на свойствах углов, образуемых параллельными прямыми с секущей, а эти свойства в свою очередь опираются на так называемую «аксиому параллельности»: через точку, лежащую вне прямой, можно провести к этой прямой только одну, параллельную ей1. Со времен Евклида на протяжении более чем двух тысячелетий пытались сделать из этой аксиомы теорему, т. е. доказать ее, опираясь только на те утверждения, которые у Евклида и в наших школьных учебниках предшествуют аксиоме параллельности. Тем самым запрещалось вводить вместо этой аксиомы какую-нибудь другую, сколь бы очевидным ни казалось ее содержание. Все эти попытки были безуспешны и обнаружили только, что приведенную выше аксиому параллельности можно на много ладов заменять другими аксиомами. В частности, если одно из свойств углов, образуемых двумя параллельными прямыми и секущей, или же теорему о сумме углов треугольника принять за аксиому, то прежняя аксиома параллельности станет теоремой. И только в 20-х годах прошлого века великому нашему соотечественнику, казанскому математику Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792—1856) удалось вскрыть источник неудачи всех попыток доказать аксиому параллельности. Он построил обширную и глубокую теорию, о которой я не пытаюсь здесь дать даже отдаленное представление. В этой теории содержалось, между прочим, в неявном виде доказательство невозможности доказать аксиому параллельности так, как это пытались сделать до Лобачевского (и при его жизни) многие ученые. Как

1 Обращаем внимание на то, что аксиоматический характер этому предложению придается словом «только»: то, что одну параллельную всегда можно провести, доказывается раньше, хотя бы на основании теоремы «два перпендикуляра к одной и той же прямой параллельны»,

ни сложна теория Лобачевского и как, с другой стороны, ни наивна задача о возрасте капитана, однако «доказательство невозможности доказательства» в обоих случаях — одинаковой природы: на конкретных примерах («моделях») обнаруживается, что с одними и теми же исходными данными могут находиться в согласии как одно, так и другое из двух противоречащих друг другу суждений. В применении к нашей аксиоме это означает: из того, что в обычном курсе геометрии предшествует аксиоме параллельности, не вытекает ни справедливость, ни ошибочность утверждения, содержащегося в этой аксиоме.

Теперь мы знаем, что любое доказательство аксиомы параллельности или какой-нибудь равносильной ей ошибочно, если оно ссылается только на предложения, предшествующие этой аксиоме. Ниже будет приведено несколько простейших примеров таких ошибочных доказательств.

§ 1. Ошибки в рассуждениях, доступных начинающему

Перейдем к изложению примеров ошибочных доказательств, помня, что критический разбор их откладывается до § 2. Читатель уже предупрежден, что некоторые из чертежей в этой книжке сделаны с искажениями, подчас не сразу заметными.

Рис. 1.

Пример 1. Квадрат со стороной 21 (см) имеет ту же площадь, что прямоугольник со сторонами 34 (см) и 13 (см).

Квадрат Q разрезан на два прямоугольника размерами 13 X 21 и 8 X 21 (рис. 1; наименование «еж» в дальнейшем опускаем); первый прямоугольник разрезан на две одинаковые прямоугольные трапеции с основаниями 13 и 8, второй прямоугольник— на два одинаковых прямоугольных треугольника с катетами 8 и 21. Из полученных четырех частей складываем

прямоугольник R, как показано на рис. 1 справа (одинаковые части квадрата и прямоугольника помечены одинаковыми римскими цифрами).

Точнее говоря, к прямоугольной трапеции / прикладываем прямоугольный треугольник /// так, чтобы прямые углы при общей стороне 8 оказались смежными, — образуется прямоугольный треугольник с катетами 13 и 13 + 21 = 34. Точно такой же треугольник складывается из частей // и IV; наконец, из полученных двух равных прямоугольных треугольников складываются прямоугольник R со сторонами 13 и 34. Площадь этого прямоугольника равна 34 X 13 = 442 (см2), между тем как площадь квадрата Q, состоящего из тех же частей есть 21 X 21 = 441 (см2). Откуда же взялся лишний квадратный сантиметр? Рекомендуем читателю произвести опыт: вырезать из бумаги (удобно — из клетчатой, принимая, например, длину клетки за 1 см) квадрат Q, разрезать его на 4 части, точно соблюдая указанные размеры, и из этих частей сложить прямоугольник R.

Пример 2. Доказательство аксиомы параллельности.

Дана прямая АВ и точки С вне ее; требуется доказать, что через точку С можно провести единственную прямую, параллельную АВ. Применим известное построение: из точки С на прямую АВ опустим перпендикуляр CD (рис. 2; здесь, а часто и дальше, прямые углы на чертежах отмечаются зачерненными квадратиками); к этому перпендикуляру из точки С в свою очередь восставим перпендикуляр СЕ. Последний и будет параллелен прямой АВ в силу известной теоремы о

Рис. 2.

двух перпендикулярах к одной прямой (заметим, что ссылаться на эту теорему здесь законно, так как она доказывается до аксиомы параллельности). Но ведь из точки на прямую можно опустить единственный перпендикуляр, а к прямой из лежащей на ней точки можно восставить тоже единственный перпендикуляр (то и другое доказывается до аксиомы параллельности), значит, полученная параллельная прямая СЕ— единственная.

Пример 3. Если параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 2d (доказательство, не опирающееся на аксиому параллельности).

Пусть Л В || CD, линия EF — секущая (рис. 3); внутренние углы отмечены на чертеже цифрами. Возможны1 три допущения:

1) сумма внутренних односторонних углов >2d\

2) сумма внутренних односторонних углов <2d;

3) сумма внутренних односторонних углов = 2d.

При первом допущении имеем:

/ 1 + / 4 > 2d, /2+/3>2яГ,

откуда

Z 1+ Z 2+-Z3+Z4>4tf, Рис. 3.

между тем как сумма четырех внутренних углов (две пары смежных углов) на самом деле равна \d. Полученное противоречие показывает, что 1-е допущение должно быть отброшено. По такой же причине мы должны отказаться от 2-го допущения, так как оно приводит к выводу, что сумма четырех внутренних углов меньше 4d. Единственно возможным остается 3-е допущение (оно к противоречию не приводит), в результате чего теорема доказана.

Рис. 4t

Пример 4. Сумма углов треугольника равна 2d (доказательство, не опирающееся на аксиому параллельности).

Произвольный треугольник ABC разобьем на два треугольника с помощью отрезка, выходящего из вершины, обозначим углы цифрами, как сделано на рис. 4. Пусть х— неизвестная нам пока сумма углов треугольника; тогда

Zl+Z2+Z6 = x, Z3+Z4+Z5 = a:.

1 Здесь и дальше, говоря о возможных допущениях или о возможных случаях, мы вовсе не утверждаем, что все они действительно возможны в условиях данного примера. Наоборот, не раз случится, что допущенный нами сначала в качестве возможного случай потом окажется фиктивным, т. е. противоречащим условию или тому, что считается установленным, как это часто бывает в доказательствах «от противного». Таким образом, речь идет всегда о так называемых «априорных возможностях» (от a priori — заранее), т. е. о возможностях, которые представляются заранее, до учета остальных условий вопроса.

Складывая, получаем:

/ 1 + Z 2 + / 3+ / 4+/5+/6 = 2л\

Но сумма Zl + Z2 4- Z3 + Z4 есть сумма углов треугольника ABC, т. е. снова х\ а углы 5 и 6, как смежные, в сумме составляют 2d. Таким образом, для нахождения х получаем уравнение х + 2d = 2х, откуда х = 2d.

Пример 5. Существует треугольник, у которого сумма углов равна 2d (доказательство, не опирающееся на аксиому параллельности).

Начнем с замечаний исторического характера. В XVIII и начале XIX в. некоторые математики старались выяснить, что можно сказать о сумме углов треугольника, не опираясь на аксиому параллельности1. Было установлено, что сумма углов треугольника не может быть больше 2d. Оставались три возможности: эта сумма 1) всегда (т. е. для всех треугольников) равна 2d, 2) всегда меньше 2d, 3) иногда равна, а иногда меньше 2d. В дальнейшем обнаружилось, что третья из этих возможностей исключается. Тогда усилия сосредоточились на том, чтобы дать хотя бы один пример треугольника, у которого сумма углов равна 2d. Одна из попыток такого построения будет сейчас изложена; если бы она удалась, аксиома о параллельности стала бы лишней.

Так как сумма углов треугольника не превышает 2d, то пусть ABC (см. рис. 4) будет треугольник с наибольшей суммой углов (если таких треугольников несколько, то берем любой из них), обозначим эту сумму через а. Таким образом, у всякого другого треугольника сумма углов не превышает а, поэтому, сохраняя обозначения рис. 4, имеем:

Zl + Z2 + Z6<cc, Z3 + Z4 + Z4 + Z5<a. Отсюда Zl + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 + Z6<2a; но по допущению Z 1 + Z2 + Z3 + Z4 = a, а, кроме того, Z5 + Z6 = 2d; следовательно, a + 2d<^2a, a^2d. А так как a не может быть больше 2d, то a = 2d, т. е. сумма углов треугольника ABC равна 2d.

Пример 6. Все треугольники — равнобедренные. Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 5, или 6, или 7); проведем биссектрису угла С, затем ось симметрии стороны

1 Новейшие исторические данные, а также указания на роль Н. И. Лобачевского в этих исследованиях читатель найдет в статье Б. Л. Лаптева «Теория параллельных прямых в ранних работах Н. И. Лобачевского», «Историко-математические исследования», вып. IV, Гостехиздат, М 1951.

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7«

АВ (т. е. прямую, перпендикулярную к АВ в середине М отрезка АВ) и рассмотрим различные случаи взаимного расположения этих прямых; так как в рассуждениях участвуют только одна биссектриса и одна ось симметрии, то разрешим себе называть их просто «биссектриса» или «ось».

Случай 1. Биссектриса и ось не пересекаются, т. е. либо параллельны, либо сливаются. Так как ось перпендикулярна к АВ, то и биссектриса перпендикулярна к АВ, т. е. совпадает с высотой, а в таком случае треугольник ABC — равнобедренный (СА = СВ).

Случай 2. Биссектриса и ось пересекаются внутри треугольника ABC (рис. 5), пусть в точке N. Так как эта точка равноудалена от сторон угла АСВ, то, опустив из нее перпендикуляры NP и NQ соответственно на СВ и СА, имеем NP = NQ. Но точка N в то же время равноудалена от концов отрезка АВ, т. е. NB = NA. Прямоугольные треугольники NPB и NQA равны по катету и гипотенузе; следовательно, ZNAQ = NBP. Прибавляя к этим равным углам равные между собой (как углы при основании равнобедренного треугольника ANB) углы NAB и NBA, получим ZCAB=ZCBA; значит, треугольник ABC — равнобедренный (именно СА = = СВ).

Случай 3. Биссектриса и ось пересекаются на стороне АВ, т. е. в середине М этой стороны. Это означает, что в треуголь-

нике ЛВС медиана и биссектриса, проведенные из вершины С, совпадают, а отсюда следует, что этот треугольник — равнобедренный.

Замечание. Предостерегаем читателя от возможной ошибки. Хорошо известно, что в равнобедренном треугольнике медиана и биссектриса совпадают. Но мы ссылаемся здесь не на это, а на обратное утверждение: «если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то треугольник — равнобедренный». В такой формулировке обратная теорема также верна, но доказательство ее может затруднить читателя, поэтому приводим одно из возможных. Пусть в треугольнике ABC отрезок СМ — одновременно медиана и биссектриса. Опустив из точки М перпендикуляры MP и MQ на стороны СВ и С А (можно воспользоваться рис. 5, считая там точки М и N совпадающими; при этом прямая MN становится лишней), получаем равные прямоугольные треугольники MP В и MQA, а затем из равенства углов МБР и MQA заключаем, что треугольник ABC — равнобедренный. Это рассуждение будет неполным, если не показать, что точки Р и Q попадут именно на стороны СВ и СЛ, а не на их продолжения. Одна из этих точек могла бы попасть на продолжение соответствующей стороны, если бы один из углов А и В был тупым. Пусть, например, угол В — тупой, так что точка Р лежит на продолжении стороны СВ; по-прежнему получается ZMAQ = ZMBP, но теперь это. приводит к противоречию, так как первый из этих углов — внутренний для треугольника ЛВС, а второй — внешний, с первым не смежный.

Случай 4а. Биссектриса и ось пересекаются вне треугольника ABC; перпендикуляры, опущенные из точки N пересечения на стороны СВ и СЛ, падают на эти стороны (рис. 6), а не на их продолжения. Как и раньше, получаем равные треугольники NPB и NQA, равнобедренный треугольник ANB. Углы при основании АВ треугольника ABC равны теперь как разности (а не как суммы в случае 2) соответственно равных углов.

Случай 46. Биссектриса и ось пересекаются вне треугольника АБС; перпендикуляры, опущенные из точки N пересечения на стороны СВ и СЛ, падают на продолжения этих сторон (рис. 7). Те же построения и рассуждения приводят к выводу о равенстве внешних углов при вершинах Л и В треугольника ABC. Отсюда сейчас же вытекает равенство внутренних углов Л и В, следовательно, СЛ = СВ.

Пример 7. Прямой угол равен тупому.

Из концов отрезка АВ (рис. 8 или 9) проведем два равных между собой отрезка АС и BD, лежащих по одну сторону от

Рис. 8.

Рис. 9.

прямой АВ и образующих с ней прямой угол DBA и тупой САВ\ равенство этих углов мы и будем доказывать. Соединив С с D, получим четырехугольник ABDC, у которого стороны AC, BD, очевидно, не параллельны, равно как и стороны АВ, CD (в противном случае ABDC был бы равнобедренной трапецией с неравными углами при основании АВ). Для каждого из отрезков АВ, CD построим его ось симметрии. Так как отрезки не параллельны, то и перпендикулярные к ним оси не параллельны и не сливаются, а пересекаются, пусть в точке N. Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1. Точка N лежит «выше» прямой АВ, точнее говоря, по ту же сторону от прямой АВ, по какую лежит четырехугольник ABDC (см. рис. 8, где точка N помещена внутри четырехугольника). Соединим эту точку со всеми вершинами четырехугольника; так как она одинаково удалена от концов отрезка АВ и одинаково — от концов отрезка CD, то треугольники NAC и NBD равны по трем сторонам. Отсюда следует, что ZNAC = ZNBD. Прибавляя к первому углу угол NAB, ко второму— угол NBA и учитывая, что ZNAB = ZNBA но свойству равнобедренного треугольника, приходим к равенству ZCAB = ZDBA.

Случай 2. Точка N лежит на АВ, т. е. служит серединой отрезка АВ. Предыдущее доказательство упрощается — равенство ZCAB — ZDBA получается сразу из равенства треугольников NAC и NBD.

Случай 3. Точка N лежит «ниже» АВ, т. е. не по ту сторону от прямой АВ, по какую лежит четырехугольник ABDC (рис. 9). Снова из равенства треугольников получается ZNAC— ZNBD, но теперь от этих углов надо отнять углы NAB и NBA, равные между собой, и снова получится ZCAB =* «= ZDBA.

Пример 8. Если между элементами двух треугольников установлено такое соответствие, что две стороны и лежащий против одной из них угол одного треугольника равны соответствующим элементам другого, то треугольники равны. Короче: треугольники равны по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них.

Относительно треугольников ABC и А{В{С{ (рис. 10, или 11, или 12) пусть известно: АВ = А^Ви АС = А{Си ZC = ZC{\ докажем равенство треугольников. Для этой цели воспользуемся приемом, известным из обычного доказательства равенства треугольников по трем сторонам: приложим треугольник AiBiCi к треугольнику ABC так, чтобы равные стороны (именно— те, которые лежат против равных по услових углов) АВ и AiB\ совпали соответственными концами (А с Ai и В с В{); тогда треугольник AiBid (перевернутый) займет положение АВС2. Соединив точки С и C2l рассмотрим три возможных случая.

Случай 1. Прямая СС2 пересекает сторону А В во внутренней ее точке (рис. 10).

Треугольник АСС2 — равнобедренный, следовательно, ZACC2 = ZAC2C; отнимая эти равные углы соответственно от равных по условию углов АСВ и АС2В, получим ZBCC2 = = ZBC2C. Последнее равенство означает, что треугольник СВС2 также равнобедренный, именно СВ = С2В, значит, СВ = CtBu и треугольники ABC и А^В^С{ оказываются равными по трем сторонам.

Случай 2. Прямая СС2 пересекает продолжение стороны АВ за точку В (рис. 11).

Рассуждение остается прежним, только меняется порядок вычитания: от равных углов АСС2 и АС2С отнимаются равные углы АСВ и АС2В.

Случай 3. Прямая СС2 пересекает продолжение стороны АВ за точку А (рис. 12). Рассуждение то же, что в случае 1, только вычитание заменяется сложением: к равным углам АСС2 и АС2С прибавляются равные углы АСВ и АС2В.

Пример 9. Прямоугольник, вписанный в квадрат, есть также квадрат1. Точнее, если прямоугольник MNPQ (черт. 13) вписан в квадрат ABCD так, что на каждой стороне квадрата лежит одна из вершин прямоугольника (у нас — М на АВ, N на ВС, Р на CD, Q на DA), то последний также есть квадрат.

1 Будем надеяться, что никому из читателей не покажется противоречивым уже сочетание слов «прямоугольник... есть ... квадрат». Конечно, не все прямоугольники, но некоторые из них суть квадраты.

Рис. 10.

Рис- 11.

Рис. 12.

Рис. 13.

Рис. 14.

Для доказательства опустим перпендикуляры PR и QS из Р и Q соответственно на АВ и ВС. Эти перпендикуляры, из которых каждый равен стороне квадрата ABCD, равны между собой. Они служат катетами в тре- р угольниках PRM и QSM, где гипотенузы также равны между собой как диагонали прямоугольника MNPQ-, отсюда следует равенство треугольников (заштрихованных на чертеже), а затем и равенство углов:

IPMR= / QNS.

Рассмотрим теперь четырехугольник MBNO (на чертеже обведен утолщенными линиями; О — точка пересечения диагоналей прямоугольника MNPQ); у него внешний угол при вершине N равен внутреннему при вершине М, значит, сумма двух внутренних углов при вершинах М и N равна 2d. Такой же должна быть сумма внутренних углов при вершинах В и О, но один из них (ZB) — прямой, следовательно, и угол О — прямой, т. е. диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны, а этим признаком среди прямоугольников характеризуется квадрат — доказательство завершено.

Пример 10. Перпендикуляр и наклонная к прямой не пересекаются. Это видоизменение древнего софизма, дошедшего до нас благодаря греческому математику Проклу (Vb. н.э.)1. Уточним содержание нашего утверждения: в точках А и В прямой АВ (рис. 14) по одну сторону от нее построены два луча (чтобы подчеркнуть, что это именно лучи, направления их на чертеже отмечены стрелками): AQ под острым углом BAQ к прямой АВ, затем BP, перпендикулярный к АВ; будем доказывать, что эти лучи не пересекаются.

1 Об изложении этого софизма у Прокла см.: Бонола, Неевклидова геометрия, Спб., 1905, стр. 5 русск. перевода.

Разделим отрезок АВ пополам и на каждом из лучей AQ, BP отложим 2" АВ; таким образом, АА1 = ВВг = АВ. На протяжении отрезков AAi и BBi не может произойти пересечения перпендикуляра с наклонной, т. е. отрезки AAi и BBi не могут иметь общей точки. Действительно, если бы существовала такая общая точка (К), то получился бы треугольник (AKB), у которого сумма двух сторон (АК + KB) меньше третьей стороны (АВ) или равна ей, а это невозможно. Соединив точки А\ и Ви повторим предыдущее построение: от точек Л4 и В{ на каждом из лучей AQ, BP в его направлении отложим -i AXBV будем иметь: А\А2=В\В2 = -^А\В\. По соображениям, один раз уже изложенным, отрезки А\А2 и В\В2 не могут иметь общей точки, в частности не могут совпасть А2 с В2; в таком случае разделим отрезок А2В2 пополам, отложим А2А3 = B2BZ== = ~ А2В2 и т. д. (следует особо подчеркнуть, что откладывание равных отрезков ЛпАп+1 = ВпВп+1 = ^ АпВп на том и другом луче производится каждый раз в направлении этого луча и, следовательно, не может встретить препятствий). Процесс будет длиться без конца; он мог бы остановиться, если бы исчез отрезок АпВп, т. е. если бы совпали точки Ап и Вп одинакового номера, но это, как мы видели, невозможно (впрочем, невозможность такого совпадения ясна непосредственно из того, что тогда получился бы прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза ААп равна катету ВВп). Итак, на каждом шаге этого бесконечного процесса не произойдет пересечения перпендикуляра с наклонной, значит, оно не произойдет никогда.

Перед нами прошел ряд рассуждений, которые подчас кажутся не менее убедительными, чем доказательства из учебника геометрии. В некоторых случаях эти рассуждения направлены на доказательство явных несуразностей, в других неверность доказываемого видна не сразу, но по отношению ко всем примерам читатель предупрежден, что каждый раз делается ошибка. Теперь настало время эти ошибки вскрыть.

Прежде чем заняться (в § 2) разбором всех приведенных до сих пор примеров, настойчиво приглашаю читателей попытаться в каждом случае найти ошибку собственными силами. Быть может, не всегда и не всем и не со всей полнотой это удастся; но даже в случае неудачи собственные размышления над каким-нибудь примером подготовят хорошую почву для чтения того, что будет сказано об этом примере в § 2. А в случае успеха чи-

тателю, вероятно, захочется сопоставить свое толкование с изложенным в § 2. Предлагая эту работу, в которой большинство читателей не имеет опыта, считаю полезным дать несколько предварительных указаний и советов.

1. Опровергнуть неправильное геометрическое доказательство— значит найти в нем логическую ошибку. Трудность заключается в том, что такое доказательство почти всюду правильно, но обязательно в каком-то месте содержит пробел — его-то и следует обнаружить.

2. Критикуя доказательство, часто указывают, что оно проведено «на неверном чертеже». Это не очень удачная формулировка; во всяком случае, ограничиться ею нельзя. Когда говорят, что чертеж Л неверен и должен быть заменен чертежом Ву то этим обычно маскируется следующее положение дел: в доказательстве рассмотрены не все возможные случаи (и это логическая ошибка!), именно, учтены и изображены на чертеже Л те, которые окажутся впоследствии противоречащими условию теоремы, а пропущены те, которые (чертеж В) согласуются с этим условием. Таким образом, источник ошибки не в чертеже, а в неполном перечислении возможных случаев.

3. Если случай, изображенный на чертеже Л, приводит к абсурдному выводу, то достаточно показать, что на чертеже В такого вывода не получается, чтобы считать косвенно («от противного») доказанной невозможность случая Л. При этом желательно (но не обязательно!) получить и прямое доказательство того, что условие теоремы приводит с необходимостью к случаю В (образцы такого доказательства — в § 2).

4. Хотя чертеж сам по себе не может обнаружить ни правильности утверждения, ни его ошибочности, однако следует рекомендовать делать по возможности точные чертежи (с помощью инструментов). Там, где мы имеем дело с явным софизмом, полезно делать чертеж так, чтобы он резко подчеркивал абсурдность вывода, скажем, т примере 7 изобразить тупой угол близким к 180°; в примере 10 начертить перпендикуляр и наклонную пересекающимися уже в пределах чертежа и т. п. Такой чертеж может подсказать, в каком направлении искать ошибку.

5. В некоторых случаях ошибка не имеет никакого отношения к чертежу, а состоит, например, в следующем: доказывается (правильно) не то утверждение, которое брались доказать, а родственное ему, причем либо сам доказывающий не замечает сделанной подмены, либо рассчитывает на то, что ее не заметят другие.

6. Если неизвестно, верно ли доказываемое предложение,

то лучше (однако не обязательно) начать с выяснения этого вопроса. Следует помнить, что утверждение будет опровергнуто, если построить хотя бы один противоречащий ему пример.

Читатель лучше уяснит себе смысл сделанных указаний после того, как проделает предлагаемую самостоятельную работу и прочитает следующий параграф. Поэтому рекомендую возвращаться к этим указаниям при чтении и еще раз обдумать их после его окончания.

§ 2. Анализ примеров, приведенных в § 1

К примеру 1. Утверждая, что из частей I, II, III, IV квадрата может быть сложен прямоугольник, мы доверяемся кажущейся наглядности или грубо произведенному опыту (если занимались вырезыванием из бумаги). Какое основание мы имеем считать, 4то приложенные друг к другу фигуры / и /// (или, что то же, // и /V) образуют треугольник, т. е. что наклонная боковая сторона трапеции / и гипотенуза треугольника /// при этом составят одну прямую, а не дадут «излом» в общей точке этих отрезков? То, что мы этого излома не видим на чертеже или не наблюдаем на выкройке из бумаги, конечно, доводом служить не может: даже оставляя в стороне несовершенство наших зрительных впечатлений, заметим, что ведь они относятся не к геометрическим фигурам, а к их физическим моделям, значит, для строгих геометрических доказательств не годятся1.

Достаточно обнаружить этот пробел, для того чтобы признать все доказательство несостоятельным и, пока пробел не восполнен, даже отказаться от дальнейшего обсуждения. Мы, однако, на этот путь не станем и постараемся выяснить вопрос об «изломе» до конца.

Если бы, например, удалось доказать, что изображенные на рис. 1 углы аир составляют в сумме 2d или, вместо этого, что изображенные там же углы а и а! равны между собой, то отсутствие «излома» было бы обосновано и доказательство восстановлено в своих правах. Возможно ли это? Рассуждая косвенным образом, именно — от противного, следует ответить на этот вопрос отрицательно: ведь положительный ответ пришел бы к равенству 441 = 442.

Впрочем, можно и прямым путем убедиться в неравенстве углов а и а7, а заодно выяснить, который из них больше. Бли-

1 В истории человечества это было понято далеко не сразу. При раскопках древнеиндийского храма, существовавшего за 1000 лет до н. э., были обнаружены некоторые математические записи, в том числе геометрическая фигура, изображенная на стене храма. Рисунок, по-видимому, относился к правилу нахождения площади круга; вместо доказательства около фигуры было написано «смотри».

жайшие несколько строк будут понятны читателю, хоть немного знакомому с тригонометрией, например в объеме VIII класса средней школы (вместо тригонометрии можно было бы применить свойства подобных треугольников). Из треугольника /// на рис. 1 находим тангенс угла

Если же в трапеции / опустить перпендикуляр (на рис. 1 не изображенный) из вершины угла р на большее основание, то

Рис. 15.

образуется прямоугольный треугольник с катетами 13 и 13 — 8 = 5, из которого

А так как > ^ > именно у— ^- = ^, то tg а > tg а', а отсюда следует, что

а > а', а + р > 2d

Теперь картина ясна: части /, //, ///, IV квадрата действительно можно расположить внутри прямоугольника, но при этом они не покрывают полностью этот прямоугольник, а оставляют «просвет» в форме очень узкого параллелограмма, «щель», идущую вдоль диагонали прямоугольника. Не удивительно, что мы не замечаем этой щели: ведь при протяжении ее в 36,4... (см) она занимает площадь всего 1 (см2)—тот самый излишек, который обнаружился при переходе от квадрата Q к прямоугольнику /?. Читатель, который пожелает сделать для себя картину еще более наглядной, пусть изменит числовые данные рис. 1, например так, как это сделано на рис. 15, где

«щель» имеет площадь, равную 99 (см2), при площади 540 (см2) всего прямоугольника.

К примеру 2. Допущенная здесь ошибка принадлежит к числу распространенных и уже в классической логике носила мудреное латинское название (ignoratio elenchi), которое в вольном переводе звучит так: «непонимание того, что доказано». В самом деле, что же обосновано рассуждением, к которому относится рис. 2? Доказано только, что если строить параллельную прямую тем способом (с помощью двух перпендикуляров) , который там описан, то получается единственная прямая. Но разве сам этот способ единственный? Нет, хорошо известно, что существуют другие построения, приводящие к той же цели. рис 1б Например, вместо основания D перпендикуляра CD (см. рис. 2) мы могли бы взять любую другую точку D/ (рис. 16) на прямой АВ, соединить ее с С прямой DfF и на луче CF при точке С построить угол FCE', равный углу CDfB (притом так, чтобы лучи СЕ' и D'B лежали по одну сторону от FD'). На основании теоремы (доказываемой до аксиомы параллельности) о параллельности прямых при равенстве соответственных углов можем утверждать, что прямая параллельна АВ. Но где гарантия того, что прямые СЕ рис. 2 и СЕ' рис. 16 совпадают? Утверждать, что различные построения приведут к одной и той же прямой1,— это значит принять без доказательства то, что мы хотели доказать.

К примеру 3. Уточним наши допущения: каковы бы ни были параллельные прямые и секущая, какую бы пару внутренних односторонних углов ни взять, сумма этих углов либо всегда больше 2d, либо всегда меньше 2d, либо всегда равна 2d. Но здесь только на первый взгляд исчерпаны все возможные случаи: упущена возможность того, что сумма внутренних односторонних углов иногда больше, иногда меньше, а иногда, быть может, и равна 2d.,Это допущение ни к какому противоречию не приводит. Например, если предположить, что Zl + Z4>2d,

1 В геометрии Лобачевского прямые СЕ и СЕ' заведомо не совпадают.

a Z2 + Z3<2d (см. рис. 3), то это нисколько не противоречит тому, что Z1 4- Z2 + Z3 + Z4 = 4d.

Заметим, что, не вникая в подробный разбор доказательства, можно было с самого начала обнаружить его несостоятельность по одному внешнему признаку: доказательство это совершенно не использует параллельности прямых АВ и CD. Если бы оно было верным, то была бы доказана следующая теорема: «При пересечении любых двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2d», а это заведомо неправильно. Как раз, если отбросить предположение о параллельности прямых АВ и CD, то, как правило, будет осуществляться та четвертая возможность, которая была упущена в опровергнутом нами доказательстве: по одну сторону от секущей сумма углов будет больше, по другую — меньше 2d.

К примеру 4. Мы привыкли к тому, что сумма углов треугольника одинакова (именно равна 2d) для всех треугольников независимо от их формы и размеров, поэтому большинство из нас не протестует, когда слышит: «обозначим через х сумму углов (любого) треугольника». Но ведь в момент доказательства интересующей нас теоремы ничего не известно о сумме углов треугольника и нет никаких оснований предполагать ее одной и той же для всех треугольников. Конечно, мы могли бы принять факт одинаковости суммы без доказательства, и тогда приведенное рассуждение действительно доказывало бы, что эта сумма равна 2d. Но это только означало бы, что вместо аксиомы параллельности мы ввели другую аксиому, не имеющую перед первой никаких преимуществ.

К примеру 5. История математики знает несколько случаев, когда допускалась одна и та же ошибка: без оснований принимали, что среди чисел данной бесконечной совокупности должно существовать наибольшее (в других случаях — наименьшее). Впрочем, никому не придет в голову искать наибольшее среди чисел 1, 2, 3, ... натурального ряда. Но отсутствие такого числа объяснят тем, что ведь числа здесь >все время возрастают, а ряд этот не имеет конца. Однако ряд дробей, у которых числитель на 1 меньше знаменателя, тоже можно продолжать без конца, прибавляя каждый раз по 1 к числителю и к знаменателю, причем, как и в первом случае, числа будут возрастать, но наибольшего среди них нет. Вообще, не существует наибольшей правильной дроби.

Более близок к нашему следующий пример из геометрии: внутренний угол правильного многоугольника1, равный —^- где п — число сторон, всегда меньше 2d, но не существует правильного многоугольника с наибольшим внутренним углом.

В разбираемом доказательстве слабым местом как раз является утверждение, что среди треугольников, о которых мы знаем только то, что сумма углов каждого не превышает 2d, существует треугольник с наибольшей суммой углов. Это недоказанное утверждение, которое мы могли бы принять за новую аксиому взамен аксиомы параллельности.

Объединяя результаты, полученные при разборе примеров 4 и 5, приходим к выводу: можно доказать, что сумма углов треугольника равна 2d, и тем самым сделать аксиому параллельности лишней, если принять без доказательства одно из двух утверждений: 1) у всех треугольников сумма углов одна и та же; 2) существует треугольник (хотя бы один) с наибольшей суммой углов.

К примеру 6. Рассмотрены не все возможные случаи (по поводу последних двух слов полезно вспомнить сказанное в сноске на стр. 88), именно, не учтена возможность того, что из двух перпендикуляров NP и NQ один упадет на сторону треугольника ЛВС, а другой — на продолжение стороны (рис. 17, где пока не надо принимать во внимание окружность). Если это произойдет, то один из углов при основании АВ треугольника ABC окажется разностью двух углов, а другой — будет смежным для суммы тех же углов. Отсюда, разумеется, никаких выводов, относящихся к углам при основании, а значит, и к равенству боковых сторон, сделать нельзя. Достаточно установить этот пробел в доказательстве, для того чтобы оно было опорочено. Более того, если данный треугольник неравнобедренный, то можно утверждать (рассуждая от противного), что

Рис. 17.

1 Так называется многоугольник, у которого равны между собой все стороны, а также и все углы.

все рассмотренные случаи (рис. 5, 6, 7) невозможны, а единственно возможный случай (рис. 17) упущен1.

Впрочем, мы дадим сейчас прямое доказательство того, что в неравнобедренном треугольнике расположение частей фигуры именно таково, каким оно изображено на рис. 17. Действительно, пусть СА > СВ. Опишем около треугольника ABC окружность; по свойству вписанных углов, биссектриса угла С должна пройти через середину N дуги ЛВ, на которую этот угол опирается. Но через ту же середину должна пройти ось симметрии хорды АВ. Таким образом, пересечение биссектрисы с осью происходит на описанной окружности, т. е. заведомо вне треугольника ABC. Перпендикуляры из N на СВ и СА упадут на эти стороны или на их продолжения в зависимости от того, будут ли острыми или тупыми углы NAC и NBC. Вместо этих вписанных углов будем рассматривать дуги, на которые они опираются. Так как мы предположили .СА > СВ, то СА > СВ, а отсюда и из AN = BN следует, что CAN > CBN. Это означает, что дуга CAN больше полуокружности, а дуга CBN меньше ее, следовательно, угол CBN тупой, а угол CAN острый. Поэтому перпендикуляр NQ падает на продолжение стороны СВ, а перпендикуляр NQ на самоё сторону АС (в качестве упражнения предлагаем читателю доказать, что точки Р, М, Q лежат на одной прямой).

К примеру 7. Доказательство кажется поначалу убедительным, так как создает иллюзию, будто рассмотрены все существенно различные случаи2 (точка N лежит выше, ниже, на прямой АВ). Между тем в нашем примере ход доказательства зависит не только от положения точки N. Можно заметить, что в случае 3 прямой угол ABD в сумме с острым углом ABN всегда даст тупой угол DBN; однако относительно тупого угла CAB можно допустить, что при сложении с острым углом NAB он даст снова тупой угол (рис. 9), но может дать и «сверхту-

1 На первый взгляд может показаться, что упущены еще и те случаи, когда точка N лежит внутри или на основании треугольника, а точки Р и Q находятся по разные стороны от ЛВ (разумеется, ничего невозможного нет в том, чтобы перпендикуляр, опущенный из внутренней точки треугольника на его сторону, упал на продолжение стороны — достаточно вспомнить о тупоугольном треугольнике). Однако в ближайшем тексте будет установлено, что для неравнобедренного треугольника пересечение оси с биссектрисой не может произойти иначе, как вне треугольника. Читатель, знакомый с теоремой «биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам», пусть попытается иным путем установить это свойство точки пересечения.

2 Два случая следует считать существенно различными, если доказательство, годное для одного случая, нельзя буквально повторить для другого.

Рис. 18.

пой» (т. е. больший 180° — рис. 18), а это коренным образом меняет дело.

Таким образом, случай 3 необходимо разбить на два подслучая: тупой угол CAB и треугольник CAN лежат 1) по одну сторону (рис. 9) от прямой АС, 2) по разные стороны от нее (рис. 18, где сначала надо оставить без внимания пунктирные линии). Первый подслучай, при котором угол CAB составляет часть угла CAN, рассмотрен и приводит к равенству углов DBA и CAB. Однако второй подслучай к этому выводу не приводит: прямой угол DBA по-прежнему представляется разностью двух углов (ZDBN и ZABN), а тупой угол CAB дополняет до Ad сумму двух таких же углов (ZCAN и ZBAN). Рассуждая от противного, следует заключить, что второй подслучай является единственно возможным.

Произведем дополнительное построение, позволяющее лучше обозреть расположение частей фигуры. Из точки А восставим перпендикуляр к АВ (теперь вступают в дело пунктирные линии, рис. 18), отложим на нем отрезок АЕ, равный BD и одинаково с ним направленный; очевидно, имеем также АЕ =» АС. Соединим Е с точками D, N и С; так как ABDE — прямоугольник, то ось симметрии отрезка АВ будет такой же для отрезка ED, следовательно, NE = ND, г отсюда NE = NC. Итак, каждая из точек А и N одинаково удалена от концов отрезка СЕ, следовательно, прямая AN служит осью симметрии этого отрезка. Треугольник DBN в результате отражения от оси симметрии отрезка АВ переходит в треугольник EAN (противоположной ориентации1), а этот последний после отражения от прямой AN — в треугольник CAN (той же ориентации, что у треугольника DBN). Таким образом, CAN получается из DBN просто поворотом последнего вокруг вершины N

1 Читатель, не владеющий понятием «ориентация треугольника», может либо пройти мимо слов, заключенных в скобки, либо обратиться к книгам (см., например, Д. И, Перепелкин, Курс элементарной геометрии, Гостехиздат, М.—Л., 1948, § 8).

на угол BNA (равный ZEAC, т. е. равный разности между первоначально взятыми тупым и прямым углами).

К примеру 8. Удостоверимся прежде всего в том, что теорема не верна. Для этого достаточно привести «противоречащий пример», т. е. указать случай, когда условия теоремы выполнены, а заключение нет. Такой пример мы получим, если какой-нибудь равнобедренный треугольник LMN (LN = MN, рис. 19) разобьем на два отрезком NP, выходящим из вершины, но отличным от медианы. У полученных треугольников LNP и MNP (соответствие устанавливается порядком перечисления вершин) сторона NP общая, кроме того, LN = = MN и LL = LM — условия теоремы выполнены, между тем треугольники, конечно, не равны (хотя бы потому, что LP Ф MP).

Однако, даже не зная, верна ли теорема или нет, можно было обнаружить пробел в доказательстве, заключающийся в

Рис. 19.

том (возвращаемся к обозначениям рис. 10—12), что упущены случаи, когда прямая СС2 проходит через один из концов (А или В) отрезка АВУ т. е. стороны СА и С2А или же СВ и С2В составляют продолжение одна другой.

В первом из этих двух случаев (лежат на одной прямой две равные стороны — АС и АС2 на рис. 20) заключение теоремы все же верно: после прикладывания треугольника Л1В1С1

Рис. 20.

к ABC получается треугольник BCC2l равнобедренный в силу равенства углов С и С2, следовательно,

ВС = ВС 2= BjCp

Добавим, что это может иметь место только в случае прямоугольных треугольников (на рис. 20 слева углы при точке А равны и смежны)1.

Иная картина получается, когда лежат на одной прямой те стороны (ВС и ВС2, рис. 21), о которых нам из условия теоремы ничего не известно. Конечно, получится равнобедренный

Рис. 21.

треугольник ЛСС2, но сделать отсюда какие-нибудь выводы относительно сторон СВ и С2В невозможно. Более того, читатель сразу вспомнит фигуру равнобедренного треугольника (рис. 19), разбитого на две неравные части, и заключит, что треугольники ABC и AiBiCi в этом случае, вообще говоря, не равны (разве только углы при вершинах В и Bi окажутся прямыми — тогда снова равенство).

Замечание 1. Предыдущие рассуждения подсказывают, как можно было бы «исправить» нашу теорему, т. е. какими родственными ей, но верными теоремами можно было бы ее заменить. Приведем два примера такого «исправления».

а) Если между элементами двух треугольников установлено такое соответствие, что две стороны и лежащий против одной из них угол одного треугольника равны соответствующим элементам другого, то углы, лежащие против равных сторон второй пары (на всех рис. 10—12 и 20—21 эти углы отмечены буквами

1 Заметим, что эту возможность (вершины С, Л, С2 — на одной прямой) следует предусмотреть и в обычном доказательстве равенства треугольников по трем сторонам. При таком допущении там, как и здесь, доказательство благополучно завершается, причем также обнаруживается, что равные треугольники в этом случае должны быть прямоугольными.

В и Si), либо равны между собой (и тогда треугольники равны, рис. 10—12 и 20), либо в сумме составляют 2d (рис. 21).

б) Если между элементами двух треугольников установлено такое соответствие, что две стороны и лежащий против большей из них угол одного треугольника равны соответствующим элементам другого, то треугольники равны.

Действительно, теперь случай, изображенный на рис. 21, исключается: ни один из углов В и Si не может быть тупым (и даже прямым), так как не лежит против наибольшей стороны. Эта теорема приводится иногда в учебниках геометрии под названием «четвертого признака равенства треугольников».

Замечание 2. Следующее обстоятельство кажется на первый взгляд странным: случай равенства треугольников может быть сделан в известном смысле «сколь угодно близким» к случаю их неравенства. Например, если сравнивать рис. 10 с рис. 21, то ведь точка В рис. 10 могла бы лежать сколь угодно близко к прямой СС2; сколь бы «узким» ни был треугольник СВС2, он непременно будет равнобедренным, и доказательство равенства треугольников сохранит силу. Но стоит точке В упасть в точности на прямую СС2 (рис. 21), как равенство отрезков СВ и С2В, а вместе с тем и равенство треугольников становится не обязательным. Сейчас будут приведены некоторые соображения, имеющие целью разъяснить это явление.

Иногда бывает удобно рассматривать три точки Р, Q, R, лежащие на одной прямой, как вершины «выродившегося треугольника»; если при этом Q лежит между Р и /?, то углами «треугольника» считают ZP = 0, ZR = 0, ZQ = 2d. Смысл этой терминологии ясен: пока точки лежат «почти» на одной прямой, они все же определяют треугольник с двумя «весьма малыми» углами и третьим, «близким» к развернутому (2d). При непрерывной деформации фигуры эти три точки могут оказаться в точности на одной прямой, и для такого случая желательно сохранить прежние названия. При этом некоторые теоремы оказываются одинаково справедливыми для «настоящих» и для «выродившихся» треугольников; такова, например, теорема: сумма углов треугольника равна 2d. Зато другие теоремы при переходе к выродившимся треугольникам теряют силу. Сюда, в частности, относится теорема: треугольник с двумя равными углами равнобедренный. Теорема эта верна, когда равные углы отличны от нуля; но в выродившемся треугольнике PQR, о котором недавно говорилось, из равенств ZP = ZR = = 0 вовсе не следует, что PQ = QR, т. е. что точка Q служит серединой отрезка PR — она может лежать на этом отрезке где угодно. Этот пример имеет прямое отношение к интересующему нас вопросу. Пока на рис. 10 или 11 точка В не лежит на пря-

Рис. 22.

мой СС2, то, сколь бы малыми ни были углы при стороне СС2 в треугольнике ВСС2, из равенства этих углов следует, что СВ = = С2В. Но если, как на рис. 21, треугольник ВСС2 вырождается, то оба рассматриваемых угла обращаются в нуль, и вывод о равнобедренности, а с ним и заключение теоремы теряют силу.

К примеру 9. Утверждение теоремы ошибочно, так как легко построить прямоугольник, вписанный в квадрат и имеющий неравные стороны, — достаточно взять стороны прямоугольника параллельными диагоналям квадрата (но и при этом не делящими сторон квадрата пополам).

Подробнее (рис. 22): от двух противоположных вершин квадрата, например от Л и С, вдоль его сторон откладываем четыре равных отрезка AM = AQ = = CN = CP произвольной длины, „ а не равной у, где а — длина стороны квадрата; оставшиеся части сторон квадрата также будут равны между собой: MB = BN = PD = DQ^=^. Соединяя последовательно точки М> N, Р, Q, М, получаем четыре равнобедренных прямоугольных треугольника, попарно равных между собой: AAMQ = ACPN, ABNM^ADQP. Отсюда QM = PN, MN = QP, четырехугольник MNPQ — параллелограмму именно прямоугольник, так как, например, ZMQP = 180°—45°—45° = 90° (одновременно замечаем, что стороны четырехугольника MNPQ, будучи наклонены к сторонам квадрата под углами в 45°, должны быть параллельны диагоналям квадрата; отсюда получается новое доказательство того, что MNPQ — прямоугольник).

Независимо от только что изложенного построения можно было заметить следующий логический дефект в доказательстве на стр. 94—95: только доверившись случайному рис. 13, мы считали, что из двух проекций — точки Р на АВ и точки Q на ВС— одна (R) лежит на стороне четырехугольника MBNO, а другая (5) — на продолжении его стороны; иными словами, что из двух равных углов ZOMR и ZONS один является внутренним, другой — внешним для четырехугольника MBNO. Никакими доводами это расположение точек или углов не было обосновано

и не могло быть: ведь с тем же условием теоремы согласуется рис. 22, где упомянутые углы — оба внутренние.

Подводя итог, мы можем в нескольких вариантах формулировать исправленную теорему, например:

1) Если прямоугольник вписан в квадрат так, что одна из сторон первого не параллельна ни одной из диагоналей второго, то этот прямоугольник есть квадрат, или

2) если прямоугольник с неравными сторонами вписан в квадрат, то стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата.

К примеру 10. Ошибка — той же логической природы, что и в примере 2: «непонимание того, что доказано»; иначе говоря, подмена того, что требуется доказать, другим предложением, которое действительно обосновывается, но из которого доказываемое никак не вытекает. Вдумаемся еще раз в ход рассуждений и облегчим себе работу обнаружения ошибки, заменяя рис. 14 другим (рис. 23), где лучи AQ и BP пересекаются (чтобы избежать обвинения в том, что чертеж предрешает вопрос о существовании точки пересечения, сделаны небольшие разрывы при вычерчивании лучей AQ и BP). Если именовать для краткости AAU AiA2, Л2Л3, ... первым, вторым, третьим, ... отрезками наклонной, а ВВи BiB2, В2В3, ... — первым, вторым, третьим, ... отрезками перпендикуляра, то следует признать доказанным: 1) что процесс откладывания этих отрезков не имеет конца, так что могут быть получены отрезки сколь угодно высокого порядкового номера, 2) что при этом одноименные отрезки друг с другом не пересекаются, т. е. не имеют общей точки, ни первый отрезок перпендикуляра с первым отрезком наклонной, ни второй со вторым, ..., ни сотый с сотым и т. д. Но почему же не могут пересекаться разноименные отрезки, скажем 20-й отрезок перпендикуляра с 25-м отрезком наклонной? А ведь когда

Рис. 23.

мы утверждаем, что перпендикуляр и наклонная нигде не пересекаются, то обязаны показать, что ни один из отрезков перпендикуляра не имеет общей точки ни с одним из отрезков наклонной. И мы не можем удовлетвориться вместо этого доказательством того, что ни один из отрезков перпендикуляра не пересекается с одноименным отрезком наклонной. Если обратимся к рис. 23 (на котором сохранены обозначения рис. 14; оба чертежа выполнялись без намеренных искажений), то убедимся, конечно «на глаз», что там как раз 2-й отрезок перпендикуляра пересекается с 4-м отрезком наклонной1. Этот софизм замечателен контрастом между элементарностью ошибки и трудностью ее обнаружения.

Замечание. Как уже было сказано (см. сноску на стр. 95), здесь заимствована только идея софизма, воспроизведенного Проклом. Последний рассматривает две произвольно взятые прямые (фактически два луча, не лежащие на одной прямой и имеющие разные начала) и доказывает с помощью описанного выше бесконечного процесса откладывания отрезков, что эти прямые не пересекаются. Прокл правильно характеризует логическую ошибку, допущенную в этом софистическом рассуждении, когда говорит, что доказана только недостижимость точки пересечения с помощью данного построения, но это вовсе не означает, что такой точки не существует. Однако, судя по изложению Бонола, нельзя быть уверенным в том, что Прокл глубже проник в геометрическую сущность допущенной ошибки; во всяком случае, близкий к нам по времени итальянский автор явно ошибается, когда говорит, что недостижимость точки пересечения здесь имеет тот же характер, что и в знаменитом софизме «Ахиллес и черепаха». Этим сопоставлением Бонола, конечно, хочет сказать следующее: точка пересечения (назовем ее К) лучей AQ и BP именно потому недостижима в данном построении, что при неограниченном возрастании п точки Лп и Вп стремятся к точке К, как к своему пределу, никогда не достигая этого предела. В нашем варианте такое допущение невозможно, так как при наличии равенства ЛЛп = ВВп, справедливого при любом л, отсюда вытекало бы, что ЛК = ВК, т. е. гипотенуза равна катету. Но эта невозможность сохраняется и в построении Прокла—Бонола, за исключением того частного случая, когда треугольник АКВ оказывается равнобедренным. Таким образом, и здесь происходит, вообще говоря, пересечение разноименных отрезков, а не стремление концов одноименных отрезков к общему пределу.

Выводы. Читатель может спросить: если ошибки в математических рассуждениях оказываются иногда настолько замаскированными, что их можно обнаружить лишь после тщательного анализа, то является ли математика тем надежным фундаментом для точных наук (физики, техники и др.)> каким мы ее привыкли считать?

Конечно, ни один научный метод не гарантирует от ошибочных выводов: необходимо еще, чтобы этим методом пользовались правильно. Это только означает, что следует изучать источ-

1 Зная угол Л, можно было бы средствами тригонометрии найти номера пересекающихся отрезков вычислением.

ники возможных ошибок, быть более требовательным к обоснованию своих утверждений. А для того чтобы уяснить себе, насколько реальна опасность допустить ошибку, которая может остаться незамеченной, надо обратиться к истории нашей науки.

История знает в трудах математиков отдельные ошибки, но никогда они не останавливали поступательного движения науки и на более высокой ступени разоблачались. Внушительным примером может служить уже упоминавшаяся история многовековых попыток доказать аксиому параллельности. Об этой аксиоме Лобачевский писал в 1823 г.: «Строгого доказательства сей истины до сих пор не могли сыскать. Какие были даны, могут называться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами». К такому убеждению Лобачевский пришел за несколько лет до завершения своего замечательного открытия. В истории геометрии оно и послужило той новой ступенью, с высоты которой — сначала для Лобачевского, а позже для всего математического мира — стала очевидной несостоятельность самых хитроумных проектов доказательства аксиомы параллельности.

Дальнейшие иллюстрации к этим выводам читатель найдет в § 3 и 4.

§ 3. Ошибки в рассуждениях, связанных с понятием предела

Примеры этого параграфа доступны уже только ученикам двух старших классов: здесь нам понадобится знакомство с длиной окружности, с понятием предела, с тригонометрией, а в одном случае и со стереометрией.

Пример 11. Все окружности имеют одинаковую длину. Это старинный софизм, приписываемый греческому философу Аристотелю (IV в. до н. э.) и по причине, которая скоро выяснится, называемый «аристотелевым колесом».

Вспомним задачи из арифметики, где в числе данных была длина окружности (там обычно говорили просто «окружность») колеса едущей по дороге телеги или автомашины, а найти требовалось пройденный путь, или наоборот. За основу решения брался тот кажущийся очевидным факт, что при каждом полном обороте катящегося колеса оно проходит путь, равный (длине) окружности колеса; если, например, колесо имеет «в окружности» 2 м и, катясь, сделало 30 полных оборотов, то пройденное расстояние равно 60 м. Надо сказать, что там, где движение происходит по прямой линии и где не требуется особой точности, эти расчеты подтверждаются опытом. Окружность колеса

можно измерить тесьмой; о том, что колесо сделало полный оборот, можно судить, следя за какой-нибудь отмеченной спицей этого колеса или, вместо этого, закрепив в каком-нибудь месте обода накладку, оставляющую след на земле (многие счетчики, устанавливаемые на отдельных видах транспорта, учитывают именно числа оборотов, а показывают расстояния или же, в соединении с часовым механизмом, скорости). Конечно, все эти расчеты практически правильны, если колесо катится «нормально», т. е. не «подпрыгивает» и не «буксует»; на языке механики это выражают словами «колесо катится без скольжения».

Рис. 24.

Теперь обратимся к софизму. Рассмотрим две скрепленные одна с другой концентрические окружности С и Ci разных радиусов (рис. 24). Одновременно представим себе физическую модель: два цилиндрических вала насажены на общую, пусть горизонтальную, ось и наглухо скреплены друг с другом (или даже так: часть цилиндрического вала обточена в форме нового цилиндрического вала с той же осью, но с меньшим радиусом; см. рис. 24). К окружностям С и Ci соответственно в точках М и Ми лежащих на одном радиусе ОМ, проведены касательные MN и MiNu Так как окружности скреплены между собой, то они движутся как одно целое: на какой угол поворачивается одна окружность, на такой же — другая. Если поэтому окружность С катится по прямой MN, то окружность Ci катится по прямой MiNi (на рис. 24 оперенной стрелкой показано, в каком направлении катятся скрепленные окружности; пунктиром изображено одно из их промежуточных положений, причем М и Mi — новые положения точек М и Mi).. На физической модели надо представлять себе это так, что под каждой из цилиндрических валов подведен горизонтальный рельс, и когда больший вал катится по своему рельсу, то он заставляет меньший вал

катиться по своему. Пусть окружность С, катясь по прямой MN, сделает полный оборот, в результате чего точка М займет положение М*;при этом окружность Ci также сделает полный оборот, а точка Mi займет положение Mi на радиусе 0*М*, параллельном ОМ (так как оба эти радиуса перпендикулярны к MN). Отсюда заключаем, что

ММ* = М\Ми

т. е. обе катящиеся окружности при полном обороте прошли одинаковые пути и, значит, имеют одинаковые длины. А так как окружности С и Ci взяты совершенно произвольными, то требуемое доказано.

Указание. Не будем предрешать вопроса о том, какой выход найдет читатель из полученного явного противоречия (относящиеся сюда соображения автора будут изложены в § 4). Следующее замечание будет, кажется, полезным при любом ходе размышлений над этим софизмом.

Часто рассматривают окружность как предел последовательности вписанных в нее (или описанных около нее) правильных многоугольников, когда число их сторон неограниченно возрастает1. Это наводит на такую мысль: чтобы уяснить себе процесс качения окружности, будем катить вместо нее правильный многоугольник; чем большее число сторон у него мы возьмем, тем более точно можно будет представить себе картину качения окружности.

Что значит «многоугольник (выпуклый) катится (без скольжения) по прямой» — представляется очевидным: устанавливаем определенный порядок обхода вершин (а значит, и сторон) многоугольника, например против часовой стрелки, и пусть в исходном положении одна из сторон лежит на прямой; вращаем многоугольник вокруг вершины, общей для этой стороны и следующей за ней, пока на прямую не ляжет следующая сторона;

1 Здесь намеренно употреблен термин «предел» (вместо распространенного «предельное положение»), которому придается совершенно точный смысл: каким бы (узким) ни было кольцо, ограниченное двумя окружностями, концентрическими с данной и имеющими одна больший, другая меньший радиус, чем у данной (например, кольцо может быть заключено между окружностями радиусов R — б и R + е, где R — радиус данной окружности, а е — какое-то заданное, быть может очень малое, положительное число), найдется такое число я, что все вписанные (описанные) правильные многоугольники с числом сторон п или большим будут умещаться целиком внутри названного кольца, являясь объемлющими для его внутреннего края и объемлемыми для внешнего края. Этого не надо смешивать с широко известным предложением (чаще определением): «длина окружности есть предел последовательности длин периметров правильных вписанных (описанных) многоугольников, когда...»; как увидим (см. ниже примеры 12—14), термину «предел» придается в обоих случаях неодинаковый смысл.

затем вращаем вокруг следующей вершины и т. д. Короче говоря, многоугольник «перекладывается» с одной стороны на другую, вращаясь каждый раз вокруг вершины, общей для этих сторон, и в результате этого перемещаясь вдоль прямой в определенном направлении.

В случае правильного д-угольника (рис. 25, где п = 8) перенумеруем его вершины: Ль Л2, ..., Лп_ь Ап и пусть в исходном положении сторона Л4Л2 лежит на прямой, по которой будет катиться многоугольник в направлении Л4Л2 (оперенная

Рис. 25.

стрелка на рис. 25). В радианной мере внешний угол многоугольника, как и его центральный угол, равен — (при других единицах измерения--— ,или —^-\\ поэтому достаточно повернуть многоугольник вокруг вершины А2 на угол чтобы сторона Л2Л3 легла на прямую. После этого поворота центр О многоугольника займет положение О, а вершины Ль А2, Л3, ... ..., Ап — соответственно положения А\, А2 (совпадающее с Л2), Лз, .. ., Л„. Новый поворот вокруг вершины Лз на угол приведет многоугольник AiA2A3... К'п в положение Л1Л2Л3 ... . .. Ап (на рис. 25 отмечены только вершины: Лз, совпадающая с Лз, и Л4, лежащая на прямой). Продолжая этот процесс, мы после (п—1)-го поворота приведем многоугольник в положение А[п~1)А2п~1) ... Лл~\ при котором центр будет находиться в точке 0(п~1\ а сторона Апп~1Ат[~1 будет лежать на прямой; так как при этом вершина ЛА возвращается на прямую, то нет надобности продолжать движение; легко понять, что отрезок АхА{п-1 равен периметру многоугольника.

Читатель заметит, что положение каждой вершины отмечается двумя индексами: нижним, показывающим, какой номер

имела эта вершина в исходном положении, и верхним (сначала штрихи, а позже их число, заключенное в скобки), позволяющим судить о числе сделанных поворотов; например, символом Л6(4) отмечается положение вершины Л6 после 4-го поворота. На рис. 25 можно наряду с существенными свойствами описанного движения наблюдать и некоторые случайные, связанные с выбранным там значением п; читателю рекомендуется сделать чертеж для какого-нибудь другого, пусть теперь нечетного, числа сторон, например для п = 5.

Возвращаясь к занимающему нас софизму, возьмем теперь вместо двух концентрических окружностей два правильных концентрических л-угольника с соответственно параллельными сторонами, иначе говоря, два правильных многоугольника, получающихся один из другого преобразованием подобия (гомотетии) с центром подобия в центре второго многоугольника. Считая многоугольники наглухо скрепленными друг с другом, заставим больший из них катиться по прямой так, как описано выше, и постараемся уяснить себе, как при этом будет перемещаться меньший многоугольник. Будет ли последний также «перекладываться» с одной стороны на другую? Будет ли периметр меньшего многоугольника «развертываться» по прямой, как это происходит у большего? Можно поступить наоборот: заставить катиться меньший многоугольник и проследить, каково при этом будет движение большего.

Задача. Сейчас будет сформулирована задача, в которой для другой цели применяется замена катящейся окружности катящимся многоугольником. С тематикой настоящей главы эта задача имеет то общее, что содержит некоторые предельные переходы, требующие обоснования (ср. последующие примеры).

Известно, что когда окружность катится по прямой, то каждая точка этой окружности движется по кривой, которую называют циклоидой.

Рис. 26.

Если проследить за движением той точки, которая в начальном положении катящейся окружности находится «внизу», т. е. совпадает с точкой касания (рис. 26, ср. с рис. 24), то траектория этой точки между двумя последовательными положениями М и М * (последнее, как и на рис. 24, соответствует полному обороту катящегося круга) представится в виде «циклоидальной арки» ММ'М *А Средствами высшей математики установлено, что длина этой

арки ровно в 8 раз превышает радиус катящегося круга, а площадь, заключенная между аркой и прямой ММ *, равна утроенной площади круга. Задача заключается в том, чтобы получить эти результаты элементарным путем. Для этого предлагается заменить катящийся круг радиуса R вписанным в него правильным п-угольником.

В обозначениях рис. 25 траектория точки А\ будет слагаться из круговых дуг (числом п—1; на рис. 25 эти дуги не изображены): АХА[ с центром А2А[А'[ с центром А^ .... А[п~2)А[п~1У) с центром А%~2\ В своей совокупности эти круговые дуги составят кривую, идущую от Ах до А^~1\ похожую на циклоиду, но отличающуюся от нее наличием «точек излома» (в местах стыка двух соседних дуг). По мере увеличения числа п изломы сглаживаются, и кривая, составленная из круговых дуг, приближается к арке циклоиды. Можно ожидать, что последняя служит пределом первой при п—►оо. Но средствами элементарной тригонометрии нетрудно найти для любого п длину траектории, описываемой при полном обороте вершиной многоугольника, как составленную из круговых дуг, а также площадь, заключенную между этой траекторией и прямой АгА[п~1К Если в полученных выражениях для длины и площади перейти к пределу при п—*оо, то найдем соответственно SR и Зя/?2, т. е. правильные результаты1. Однако полноценным выводом формул длины и площади для циклоиды эти рассуждения могут считаться только после того, как будет обоснован предельный переход, т. е. будет доказано, что при п—»оо длина и площадь, найденные для катящегося я-угольника, имеют своими пределами искомые длину и площадь. Сделать это, оставаясь в рамках элементарной математики, быть может, доступно, но вряд ли легко.

Задача допускает расширение: в случае катящейся окружности рассматривают также траектории точек, лежащих внутри или вне окружности и неподвижно с ней скрепленных, — приходят к так называемым «удлиненным» и «укороченным» циклоидам. Можно попытаться и эти кривые изучать, заменяя катящийся круг вписанным в него правильным многоугольником, а затем переходя к пределу.

1 В варианте решения, который наметил себе автор,, кроме формул, известных из школьного курса тригонометрии, участвуют еще следующие:

(читатель легко проверит справедливость этих тождеств, например индукцией от k к k + 1);

(0 — радианная мера угла)

(эту формулу можно найти во многих руководствах по тригонометрии).

Пример 12. Длина гипотенузы равна сумме длин катетов.

В прямоугольном треугольнике ЛВС (рис. 27; С = 90°) из. середины D гипотенузы опустим перпендикуляры DE и DF на катеты; получится четырехзвенная ломаная BEDFA, длина которой, очевидно, равна сумме длин катетов. Повторим это построение для каждого из треугольников DBE и ADF: из середин гипотенуз DB и AD опустим перпендикуляры на катеты, получим восьмизвенную ломаную прежней длины. Процесс можно сделать бесконечным: гипотенуза будет последовательно разделена на 2, 4, 8, 16, ... равных частей; появится последовательность пилообразных ломаных — будем для краткости называть их просто «пилами»,— соединяющих точку Л с В и состоящих соответственно из 2, 4, 8, 16, ... «зубьев» (т. е. 4, 8, 16, 32, ... звеньев). Все «пилы» имеют одинаковую длину (т. е. одинаковую сумму длин звеньев), равную сумме длин катетов. С увеличением числа звеньев «пила» все более приближается к гипотенузе АВ, так что при очень больших значениях этого числа трудно будет практически отличить ломаную линию с мельчайшими звеньями от прямолинейного отрезка (так же, как трудно отличить от окружности вписанный в нее правильный многоугольник с очень большим числом сторон).

Это наглядное представление положим в основу точного высказывания: последовательность «пил» имеет своим пределом отрезок АВ в том смысле, что наибольшее из расстояний от точек «пилы» до прямой стремится к нулю по мере возрастания порядкового номера «пилы» (действительно, это наибольшее расстояние есть не что иное, как опущенная на гипотенузу высота какого-нибудь из равных прямоугольных треугольников, образующих «зубья пилы», а высота «зуба» меньше его гипотенузы, которая стремится к нулю). Другими словами, какую бы (узкую) полосу между гипотенузой АВ и пересекающей катеты параллелью к ней (рис. 27) мы ни назначили, найдется в последовательности «пила» такая, которая вместе со всеми следующими за ней уместится на всем протяжении от Л до В целиком внутри этой полосы (ср. сноску на стр. 11З). Но у всех «пил» длина одинакова, значит, последовательность их длин состоит из равных чисел и имеет пределом то же число, равное сумме

Рис. 27.

длин катетов. С другой стороны, пределом «пилы» служит гипотенуза, длина которой также должна быть пределом для последовательности длин «пил», а двух различных пределов последовательность иметь не может. Этим наше утверждение доказано.

Замечание 1. Не существенно то, что взят прямоугольный треугольник ABC (единственное преимущество которого состоит здесь в том, что его стороны имеют определенные названия). В случае косоугольного треугольника можно было строить последовательность «пил», проводя через точки деления одной стороны параллели к двум другим сторонам. Не существенно также то, что мы делили сторону на 2, 4, 8, ... равных частей; можно было бы делить на 2, 3, 4, 5, ... и даже на неравные части, лишь бы число их неограниченно возрастало, а наибольшая часть стремилась к нулю.

Замечание 2. Читатель, может быть, станет искать источник ошибки в том, что длина «пилы» остается неизменной, а потому якобы нельзя говорить о ее пределе. На это следует возразить, что математика рассматривает и такие последовательности, которые состоят из равных чисел; это же самое число будет пределом последовательности согласно точному смыслу понятия «предел». Впрочем, нетрудно было бы так видоизменить наше построение, чтобы длина «пилы» стала переменной, я все остальное сохранилось бы в силе. Достаточно было бы, например, у каждой «пилы» отломить один из зубьев, скажем первый, считая от точки Л; точнее говоря, заменить первые два звена отрезком гипотенузы, начинающимся в А (отчего число звеньев каждой «пилы» уменьшится на единицу). По-прежнему «испорченная пила» будет иметь пределом отрезок АВУ а длина ее, отличаясь от суммы длин катетов АС + ВС на «бесконечно малое», будет стремиться к этой сумме как к пределу.

Пример 13. Число л равно 2.

На отрезке АВ как на диаметре построим полуокружность (рис. 28); затем разделим отрезок АВ пополам и на каждой половине как на диаметре построим по полуокружности, располагая их по разные стороны от АВ. Эти две полуокружности составят волнообразную линию (напоминающую по внешнему виду синусоиду), длина которой от Л до В равна длине первоначальной полуокружности, т. е. АВ\ действительно, каждая меньшая полуокружность вдвое короче большей, так как имеет диаметр вдвое меньший. Теперь разделим отрезок АВ на четыре равные части и построим волнообразную линию, состоящую из четырех полуокружностей (рис. 28), с прежней суммой

длин 5 АВ. Будем продолжать этот процесс неограниченно, деля отрезок АВ на 8, 16, ... равных частей и строя на них полуокружности, поочередно расположенные с одной и с другой стороны прямой АВ. Получится последовательность волнообразных линий, все более приближающихся к отрезку АВ и имеющих его своим пределом в том смысле, что наибольшее из расстояний точек каждой волнообразной линии от прямой АВ (это наибольшее расстояние, очевидно, равно радиусу полуокружностей, составляющих линию) стремится к нулю по мере удаления от начала последовательности (на рис. 28 изображена полоса между двумя параллелями к АВ; как бы ни была узка эта полоса, найдется в нашей последовательности такое место, начиная с которого все волнообразные линии на всем своем протяжении от Л до В будут целиком умещаться внутри полосы). Но длина у всех волнообразных линий одинакова и равна ^)АВ; такова же должна быть длина предела этих линий, т. е. отрезка АВ. Из равенства -^АВ = АВ находим я = 2.

Замечание. Этот пример можно дополнить соображениями, аналогичными замечаниям 1 и 2 к примеру 12: не играет существенной роли ни способ деления отрезка АВ на части, ни постоянство длины волнообразной линии. Как и в предыдущем примере, можно было бы одну из полуокружностей, составляющих волнообразную линию, заменять каждый раз ее диаметром, и тогда длина этой линии стала бы переменной. Предоставляем читателю рассмотреть другие варианты: вместо полукругов, т. е. сегментов, вмещающих прямой угол, строить сегменты, вмещающие какой-нибудь другой угол (постоянный или же изменяющийся по определенному закону в зависимости от числа делений, однако не стремящийся к 180°); тогда для числа ir будут получаться иные значения.

Пример 14. «Цилиндр Шварца».

Когда хотят измерить дугу АВ кривой линии (рис. 29, слева), то поступают почти так же, как при измерении окружности

Рис. 28.

или ее частей: вписывают в эту дугу ломаные линии (здесь — не обязательно правильные, потому что для некруговой дуги это может удасться только случайно) и строят бесконечную последовательность таких ломаных, неограниченно сближая вершины, т. е. заботясь о том, чтобы длина наибольшего звена ломаной стремилась к нулю по мере удаления от начала последовательности. Последовательность длин этих ломаных и будет иметь своим пределом длину измеряемой дуги.

Рис. 29.

Повышая размерность на единицу, приходим к родственной задаче: найти меру (площадь) для фигуры F, лежащей на кривой поверхности (рис. 29, справа). По аналогии с дугой ка-» жется естественным действовать так: вписывать в данную фигуру многогранные поверхности1 с гранями все более и более мелкими; площадь фигуры F будет пределом для площади переменной многогранной поверхности (т. е. для суммы площадей ее граней). Это, конечно, надо уточнить: внутри фигуры F и на ее границе берем множество точек и соединяем их по три плоскостями так, чтобы образовалась многогранная поверхность с треугольными гранями, из которых никакие две не имеют общих внутренних точек и никакие три — общего ребра. Строим бесконечную последовательность вписанных в фигуру F многогранных поверхностей Fu F2, ..., Fny ... так, чтобы длина наибольшего ребра (т. е. наибольшей из всех сторон всех треугольных граней) поверхности Fn стремилась к нулю при п-^оо и чтобы каждая точка фигуры F служила пределом для некоторой последовательности точек, взятых соответственно на Fiy F2, ..., Fn, ... (при этом можно устроить так, чтобы граница

1 Многогранная поверхность считается вписанной в кривую поверхность, если все вершины первой лежат на второй.

многогранной поверхности всегда была вписана в границу фигуры Fy ср. рис. 29). Кажется почти очевидным, что последовательность площадей многогранных поверхностей Fir F2, ..., Fn, . .. имеет предел, именно площадь фигуры F. Здесь действуют те же, что и в предыдущих примерах, представления о «практической неотличимости» кривой поверхности от вписанной в нее многогранной, когда грани последней становятся очень мелкими. Однако 'в конце прошлого века немецкий математик Г. А. Шварц показал на простом примере, что очевидность здесь нас обманывает; к изложению этого примера мы и перейдем.

Рассмотрим прямой круговой цилиндр радиуса R и высоты Н (рис. 30); будем искать площадь его боковой поверхности по способу, изложенному выше. С этой целью разделим высоту на п х равных частей и через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные к образующим; в пересечении с боковой поверхностью цилиндра получим п—1 окружностей, которые вместе с основаниями разделят эту поверхность на п равных цилиндрических поясов. В одну из окружностей впишем правильный т-угольник и через вершины его проведем образующие, которыми каждая из остальных окружностей разделится на т равных частей — примем точки деления за вершины правильных многоугольников, вписанных в эти окружности. Отрезки проведенных образующих вместе со сторонами вписанных многоугольников составляют тп одинаковых прямоугольников (один из них MNPQ отмечен на рис. 30), вершины которых лежат на поверхности цилиндра. Остается разделить каждый прямоугольник диагональю на два треугольника, чтобы получить многогранную поверхность, вписанную в боковую поверхность цилиндра и состоящую из 2тп (одинаковых) треугольных граней. Когда числа тип оба неограниченно возрастают, стороны этих треугольных граней стремятся к нулю, равно как и расстояния всех принадлежащих им точек от боковой поверхности цилиндра1.

Рис. 30.

1 Расстояние какой-либо точки от боковой поверхности цилиндра измеряется разностью между его радиусом и расстоянием этой точки от оси цилиндра.

Среди упомянутых вписанных многогранников каждый определяется значениями двух индексов т и я, но можно бесконечным множеством способов выделять отсюда последовательности многогранников, делая один из индексов функцией другого (разумеется, так, чтобы оба индекса принимали натуральные значения, одновременно стремящиеся к бесконечности), например, полагая m = n, или п = Ът, или т = п2 и т. п. Читатель, вероятно, уже заметил, что наши многогранные поверхности в сущности совпадают с боковыми поверхностями правильных вписанных в цилиндр m-гранных призм, так что разбивка каждой прямоугольной грани такой призмы на 2п треугольников имела единственной целью подчинить способ вписывания общей схеме, изображенной на рис. 29. Таким образом, перед нами лишь несколько усложненный вариант общепринятого вывода формулы для площади боковой поверхности цилиндра [Sqok. цил.= — 2nRH) посредством вписывания правильных вписанных призм, с последующим переходом к пределу. До сих пор в наших рассуждениях нет ничего софистического.

Теперь изменим несколько способ вписывания многогранной поверхности. По-прежнему разделим высоту Я на я равных частей, проведем п — 1 круговых сечений, что вместе с основаниями цилиндра дает п + 1 окружностей; впишем в каждую из них по правильному m-угольнику, но вершины их расположим иначе: так, чтобы образующая, проведенная через любую вершину многоугольника, вписанного в какую-нибудь из окружностей, делила пополам дугу, стягиваемую стороной многоугольника, вписанного в соседнюю окружность (например, на рис. 31 образующая через Р делит пополам дуги MN и QS; не изображенные прямые QM и SN — образующие). Другими словами, в то время как раньше многоугольник, вписанный в какую-нибудь окружность, получался из многоугольника, вписанного в соседнюю окружность, просто путем параллельного переноса в направлении образующей на расстояние-^-» теперь к этому переносу присоединяется поворот вокруг центра многоугольника на угол, равный половине его центрального угла, т. е. на —.

Расположив таким образом правильные вписанные многоугольники, строим многогранную поверхность (невыпуклую!) из треугольных граней, соединяя каждую вершину с двумя ближайшими к ней, лежащими на соседней окружности. Эта многогранная поверхность (напоминающая по виду складной бумажный фонарик в растянутом состоянии), состоящая из 2тп равных между собой равнобедренных треугольников (по 2т в каждом из п поясов), для кривой поверхности цилиндра является

вписанной в точном смысле этого слова (см. сноску на стр. 120).

Имея в виду найти площадь многогранной поверхности, займемся одной из ее равных граней MNP, изображенной на рис. 31 и отдельно на рис. 32, где MN — сторона правильного m-угольника, вписанного в круговое сечение центра О, точки К и L — соответственно середины дуги MN и хорды MN; РК — отрезок образующей. Треугольник MNP равнобедренный (РМ = PN, так как эти отрезки имеют равные проекции КМ и KN

Рис. 31.

Рис. 32.

на плоскость круга О); высоту его PL найдем из треугольника PKL, где

откуда

А так как

то

Обозначая через Sm, п площадь всей многогранной поверхности, получающейся при делении окружности на т, а высоты на п частей, находим:

Как уже отмечалось по другому случаю, из совокупности чисел Sm,n можно бесконечным множеством способов выделять последовательности, устанавливая зависимость между индексами т и п; рассмотрим два таких варианта.

а) п = т2, т. е. деля окружность последовательно на 3, 4, 5, ... частей, мы будем высоту делить соответственно на 9, 16, 25, ... частей. Площадь многогранной поверхности — уместно теперь обозначить ее через Sm, так как она зависит только от индекса т — выразится формулой

Теперь следует выполнить предельный переход т-*~ооу при котором ^-i а значит, и sin , sin стремятся к нулю. Желая применить последнюю из формул, приведенных в сноске на стр. 116, преобразуем выражение для Sm:

после чего находим:

Этот предел очевидным образом больше, чем 2nRH — общеизвестное выражение для площади боковой поверхности цилиндра. Можно было бы получить для предела и другие значения, в том числе сколь угодно большие; например, полагая п = km2 (k — натуральное число), имели бы б) п = ап3, так что по сравнению с предыдущим вариантом число делений высоты возрастает еще быстрее. В выражении для Sm это вызовет только появление добавочного множителя т2 во втором слагаемом подкоренной суммы. Благодаря этому упомянутое слагаемое, а с ним и Sm будет стремиться к бесконечности, когда т-+оо. Это означает, что можно установить такой закон вписывания многогранных поверхностей, чтобы площади их, неограниченно возрастая, не стремились ни к какому пределу. Выходит, что боковая поверхность цилиндра не имеет ллощади.

Мы пришли к явным несообразностям и должны теперь искать ошибку.

Пример 15. Площадь сферы радиуса R равна я2/?2. Рассмотрим полусферу (рис. 33) с центром О, «экватором» q и «полюсом» Р (это означает, что радиус ОР перпендикулярен к проходящей через О плоскости экватора q). Разделим окружность q на очень большое число п равных частей и соединим Р.

Рис. 33.

со всеми точками деления посредством дуг больших кругов (каждая дуга — -j «меридиана»); тогда полусфера разделится на п очень узких сферических треугольников, из которых каждый ограничен малой дугой экватора и двумя дугами меридианов (несколько таких треугольников изображено на рис. 33; один из них РАВ выделен штриховкой). За счет ничем не ограниченного увеличения числа п делений можно сделать эти сферические треугольники сколь угодно узкими («тоньше паутинки»), а «бесконечно узкий» искривленный треугольник можно распластать, или, как говорят, «развернуть», на плоскость с сохранением всех размеров (т. е. длин, углов, площади). Получится (равнобедренный) плоский треугольник, у которого основанием служит распрямленная дуга длиной-^-, а высотой — распрямленная дуга, равная четверти окружности, т. е. длиной -g- (см. заштрихованный треугольник на рис. 33 слева). Площадь такого треугольника есть • —— • -g- = "gjf я " ' следовательно, общая площадь всех п треугольников, заполняющих полусферу,

равна у л2/?2, а площадь всей сферы — n2R2. Это находится в противоречии с общеизвестной формулой, согласно которой эта площадь равна 4nR2 (а ведь п = 4).

§ 4. Анализ примеров, приведенных в § 3

К примеру 11. В своей классической форме этот софизм относится собственно не к геометрии, а к механике (точнее, к кинематике, т. е. к учению о движении), поскольку речь идет о колесе, движущемся особым образом. С другой стороны, заранее можно предвидеть, что при ближайшем рассмотрении кинематическая оболочка окажется чисто внешней, так как время здесь не играет существенной роли (безразлично, например, быстро или медленно катится колесо); весь софизм может быть изложен на языке геометрии, что и будет сделано несколько позже.

Несомненно, слабой стороной наших рассуждений является расплывчатость выражения «окружность катится (без скольжения) по прямой». Стоит только договориться относительно точного смысла последней фразы, как тотчас же обнаружится, что если одна из скрепленных между собой окружностей в этом смысле катится, то другая не катится — и софистическое доказательство рухнет.

Будем сначала говорить на языке кинематики. Окружность катится по прямой без скольжения — это означает: окружность движется так, что в любой момент она касается прямой, причем та лежащая на окружности точка, в которой происходит касание, имеет в этот момент скорость, равную нулю. Другими словами, то точка окружности, которая в данный момент находится «внизу», т. е. совпадает с точкой касания, служит для катящейся окружности «мгновенным центром вращения». Последнее означает, что скорость любой точки, связанной с окружностью (не обязательно, чтобы эта точка лежала на окружности), в каждый момент такова, как если бы в этот момент окружность вращалась вокруг своей точки касания. В частности, направление этой скорости перпендикулярно к прямой, соединяющей данную точку с точкой касания; так, при обозначениях рис. 24, скорость точки, пришедшей в положение ЛГ, направлена по перпендикуляру к прямой ЬЛ'Р (таким образом, для циклоиды рис. 26 нормалью в точке М' служит прямая М'Р).

В противоположность этому, если та лежащая на окружности точка, которая в данный момент оказалась «внизу», имеет скорость, отличную от нуля, то говорят, что движение происходит «с положительным скольжением», когда эта скорость направлена в сторону движения, или же «с отрицательным скольже-

нием», когда она направлена в противоположную сторону. Только в том случае, когда отсутствует скольжение, можно утверждать, что путь, пройденный по прямой за любой промежуток времени, равен длине круговой дуги, соответствующей центральному углу, на который повернулся за этот промежуток какой-нибудь радиус окружности; например, на рис. 24 и 26, MP = РМ', в частности ММ* равен по длине всей катящейся окружности. В случае положительного скольжения MP < РМ', а при наличии отрицательного скольжения MP < РМ'.

Теперь мы в состоянии чисто геометрически описать различные виды качения, хотя ради наглядности будем сохранять иногда кинематический язык. Рассмотрим (рис. 24 и 26) отрезок ММ* = 2тх/? и в каждой его точке Р построим касательную окружность с центром О', лежащим по определенную сторону от ММ*, и радиусом R; на этой окружности отложим дугу РМ', равную по длине отрезку РМ и имеющую с ним в точке Р одинаковое направление1. Если мы выполним это построение для всех возможных положений точки Р на отрезке ММ*, то скажем (возвращаясь только к кинематическому языку, но по существу оставаясь в области геометрии), что совокупность всех касательных окружностей получена в результате одного оборота окружности радиуса R, катящейся без скольжения по прямой MN, а геометрическое место точек М', соответствующих различным положениям точки Р, назовем траекторией точки М. Если бы в предыдущем построении мы заменили равенство MP = РМГ пропорциональностью MP = kPM' (k — постоянный множитель, отличный от 1), то сказали бы, что окружность катится «с постоянным скольжением коэффициента k», причем скольжение будет положительным или отрицательным, смотря по тому, положительна или отрицательна разность k— 1.

Вооруженные этими точными определениями, вернемся к «аристотелеву колесу». С кинематической точки зрения если большая из концентрических окружностей, изображенных на рис. 24, катится без скольжения по прямой MN, то меньшая заведомо не катится так по прямой M^N^ Действительно, если бы и меньшая окружность катилась без скольжения, то в момент, когда общий центр окружностей находится в О', движущаяся фигура имела бы одновременно два мгновенных центра вращения Р и Pi (а тогда скорость точки М' была бы направлена перпендикулярно как к РМ', так и к Р\М', что невозможно). Более

1 Это означает, что дуга РМ' (а если она больше полуокружности, то часть дуги, примыкающая к Р) и отрезок РМ лежат по одну сторону от диаметра РО' (в случае другой катящейся кривой мы сказали бы: по одну сторону от нормали).

того, можно сказать, что меньшая окружность катится с положительным скольжением, так как всегда M{Pi = MP = РМ' и, значит, М\Р\ > Р\М\* Наоборот, если бы мы заставили меньшую окружность катиться по M^Ni без скольжения, то увлекаемая ею большая окружность катилась бы с отрицательным скольжением.

К тем же выводам придем, отправляясь от геометрических определений: если большая окружность (черт. 24) «катится» так,

Рис. 34,

что в любом ее положении MP = РМ\ то для меньшей окружности МхРг> Р\Ми именно МхРг = - РхМи где R и г —радиусы большей и меньшей окружностей. Таким образом, меньшая окружность катится с положительным скольжением коэффициента — (> 1). Если бы, наоборот, меньшая окружность катилась без скольжения, то большая катилась бы с отрицательным скольжением коэффициента -4 (< 1).

К указанию на стр. 113. Рассмотрим два концентрических и гомотетичных я-угольника ЛИ2... Ап и а^а2... ап с центром О (рис. 34, где п = 8 и для большего многоугольника сохранены обозначения рис. 25). Пусть больший многоугольник катится так, как описано на стр. 113—114: сначала вершина А2 остается неподвижной, являясь центром вращения до тех пор, пока многоугольник не повернется на угол — (для сравнения

вспомним, что при качении окружности «нижняя» ее точка также была центром вращения, но только мгновенным). В результате такого поворота больший многоугольник ляжет на прямую другой своей стороной A2A3i новое положение которой, обозначенное на чертеже через А2А3, составляет продолжение стороны А{А2; благодаря этому по мере качения многоугольника периметр его будет «развертываться» вдоль прямой.

Существенно иначе будет двигаться при этом скрепленный с большим меньший многоугольник: он также повернется вокруг центра Л2 на угол —, в результате чего сторона а2а3 займет положение a'2a>'v но она не составит продолжения отрезка аха2. В противоположность многоугольнику АхА2... Лп, который «перекладывается» с одной стороны на другую, многоугольник аха2... ап одновременно «перекладывается» и «перепрыгивает» из одного положения в другое (на рис. 34 обозначены два последовательных положения большего многоугольника и три положения меньшего; при этом изображены начальные звенья траекторий для вершин аи а2у а3: каждая из отмеченных частей траекторий образована двумя круговыми дугами радианной меры —, например для вершины а2 — это дуги а2а2 с центром А2 и й'2а'2' с Центром Аг'^, как и в случае рис. 25, предлагаем читателю не придавать значения некоторым особенностям рис. 34, проистекающим из принятого там частного значения п = 8, и сделать другой чертеж, например для п = 5). Благодаря этим «скачкам» многоугольник аха2... ап, двигаясь вдоль прямой а^"-1), «покрывает расстояние», большее, чем его периметр; такова приближенная модель «качения с положительным скольжением». Предоставляем читателю выяснить, как двигался бы многоугольник АхА2... Ап, если бы мы заставили многоугольник aia2... ап катиться без скольжения по прямой: можно предвидеть, что после каждого поворота на угол — вокруг вершины меньшего многоугольника сторона большего будет частично налегать на предыдущую сторону этого многоугольника, в результате чего путь, пройденный при полном обороте, окажется меньше периметра; мы получим приближенную картину «качения с отрицательным скольжением».

К задаче на стр. 115. Достаточно привести чертеж и некоторые промежуточные результаты.

На рис. 35 изображена траектория Л^Л^' ... A*f~l) вершины Ах катящегося треугольника (частный случай п = 8), более подробно описанная на

стр. 116. Длина этой состоящей из круговых дуг траектории равна

Рис. 35.

Площадь фигуры, ограниченной этой траекторией и отрезком Ч

слагается из

1) площадей круговых секторов A2AXA'V A!zA[A[t ..., A^'^A^'^Af'^ 2я с центральными углами —; сумма этих площадей равна

2) площадей треугольников с общей суммой

К примеру 12. Логическая ошибка кроется в последней фразе доказательства (предшествующей замечанию 1) и состоит в двояком употреблении термина «предел». В одном случае рассматривается последовательность линий (здесь это «пилы» с изменяющимся числом «зубьев»), точки которых неограниченно приближаются к некоторой определенной линии. В другом случае речь идет о последовательности чисел (длины «пил»), неограниченно приближающихся к некоторому определенному числу (относительно того, можно ли считать, что длины пил образуют последовательность, см. замечание 2, стр. 118).

Из того, что последовательность линий стремится (в одном смысле) к определенной линии, мы не имеем никакого основания заключить, что последовательность длин первых линий стремится (в другом смысле) к длине последней.

Пусть нас не смущает то обстоятельство, что при очень мелких зубьях «пила» практически неотличима от прямолинейного отрезка; это не геометрический, а физический и даже физиологический факт, зависящий от свойств нашего зрения (сильный микроскоп изменил бы положение). Но если говорить о наглядности, подкрепляя ее рассуждением, то дело представится в следующем виде. Верно то, что в каждом малом треугольнике («зубе пилы») разность между суммой катетов и гипотенузой ничтожна, но таких разностей очень много, а самые малые слагаемые при очень большом их числе могут, очевидно, дать любую сумму. Если бы мы захотели глубже проникнуть в суть дела, то обратили бы внимание на то, что звенья «пилы» приближаются к прямой АВ по расстоянию, но отнюдь не по направлению: какими бы мелкими ни были эти звенья, они (на рис. 27) всегда по очереди горизонтальны и вертикальны, между тем как гипотенуза АВ наклонна.

К примеру 13. Ошибка — того же рода, что и в предыдущем примере. Последовательность волнообразных линий неограниченно приближается к прямолинейному отрезку, но длины их не имеют своим пределом длину этого отрезка. Как и раньше, здесь происходит приближение одной линии к другой по расстоянию, но не по направлению: если отрезок АВ горизонтален, то направление волнообразной линии, как бы мелки ни были ее круговые звенья, всегда колеблется между горизонтальным и вертикальным.

К примеру 14. Хотя картина значительно сложнее, чем в двух предыдущих примерах, однако логическая природа софизма прежняя: многогранная поверхность действительно приближается к цилиндрической неограниченно, но отсюда вовсе не следует, что площадь многогранной поверхности неограниченно приближается к площади цилиндрической. Чтобы лучше уяснить себе связь между тем и другим приближением, заметим, что и при том способе вписывания многогранной поверхности, который показан на рис. 31, можно было получить правильную формулу для площади боковой поверхности цилиндра, если бы, например, мы положили п = m или п = Ют, вообще, если бы считали числа делений по высоте и по окружности изменяющимися пропорционально одно другому. Например, при

п = 10m имели бы

и при т-> со получили бы lim Sm = 2тс/?# = Scok. цил- Чем же объясняется, что при другом законе вписывания, определяемом формулой п = т2, площадь Sm многогранной поверхности стремилась к пределу, большему, чем 2и/?Я, а при п = т3 — даже к бесконечности? Разрешим себе ответить на языке не математическом, отказываясь от претензии на какие-либо доказательства, а лишь выделяя то, что доступно наглядному представлению (и что после математической обработки может стать основой доказательства). Когда п = т или п = Ют и т. п., то густота делений по окружности и по высоте возрастает в одинаковом темпе; благодаря этому многогранная поверхность, будучи невыпуклой, обладает все же гранями почти вертикальными, если предполагать цилиндр поставленным вертикально (предоставляем читателю доказать, пользуясь рис. 32, что грань MNP составляет с горизонтальной плоскостью MKN угол, который стремится к у, когда т—*оо). Таким образом, многогранная поверхность приближается к цилиндрической не только по расстоянию, но и по направлению. Иная картина получится, когда п = т2 или п = т3 и т. п.; теперь деления по высоте сгущаются в гораздо более быстром темпе, чем деления по окружности. В результате этого многогранная поверхность становится заметно более «зазубренной», за счет чего и получается излишняя площадь. Треугольные грани теперь уже не стремятся стать вертикальными; можно показать, что при п = т2 угол PLK (рис. 32) неограниченно приближается к некоторому острому, а при п = т3 — даже к нулю (т. е. грань стремится стать горизонтальной), когда т-*~оо.

В заключение рассмотрим один вопрос, который возникает естественным образом: в чем источник отсутствия аналогии между вписыванием ломаных линий в кривую линию и многогранных поверхностей в кривую поверхность? Почему в первом случае сгущением вершин обеспечивается сближение линий не только по расстоянию, но и по направлению, а во втором случае сближение по расстоянию может происходить без сближения по направлению? Не входя в подробности, отметим лишь следующие факты. Когда на кривой линии две точки, из которых одна неподвижна, стремятся к совпадению, то Прямая, соединяющая эти точки, имеет пределом касательную к кривой в неподвижной точке. Когда же на кривой поверхности три точки (пусть ни-

когда не оказывающиеся на одной прямой), из которых одна неподвижна, стремятся к совпадению, то плоскость, соединяющая эти точки, не обязательно стремится стать касательной плоскостью. Чтобы убедиться в этом, достаточно представить себе, что на сфере проведено какое-нибудь круговое сечение и на его окружности взяты неподвижная точка и две другие, неограниченно приближающиеся к первой; плоскостью таких трех точек будет все время плоскость сечения*.

К примеру 15. Перед нами злоупотребление такими не имеющими математического смысла выражениями, как «очень большое число», «очень узкий треугольник», «малая дуга», «бесконечно узкий треугольник», которые уместны, когда мы стремимся наглядно описать геометрическую фигуру (этот прием описания выше не раз применялся), но совершенно непригодны как орудие доказательства или для вывода формулы. Прямая ошибка состоит в утверждении, будто бесконечно узкий треугольник можно развернуть на плоскость, т. е. заменить плоским треугольником с теми же длинами сторон, теми же углами и той же площадью, что у сферического. На самом деле, никакой сферический треугольник (как бы мал он ни был) не может быть в указанном смысле развернут на плоскость; это видно уже из того, что сумма углов плоского треугольника всегда равна 2d, а у сферического всегда больше 2d. В нашем примере у сферического треугольника РАВ (рис. 33 справа) углы А и В прямые; если бы такой треугольник мог быть развернут на плоскость, то получился был плоский (равнобедренный) треугольник (рис. 33 слева) с прямыми углами при основании.

* Подробное обсуждение рассмотренных здесь вопросов содержится в статье: В. Г. Болтянский, Длина кривой и площадь поверхности. Энциклопедия элементарной математики, т. V, изд. «Наука», М., 1965.

ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ

(педагогические замечания)

В практике нашей школы теория измерения отрезков занимает особое положение. С чисто внешней стороны для ученика, уже привыкшего (о чем, на наш взгляд, следует пожалеть) видеть в геометрии цепь теорем, определений и задач, этот строй изложения сменяется повествовательным, свойственным в его (ученика) представлении арифметике и алгебре. Еще более радикальным образом меняется содержание изучаемого: геометрия переплетается с алгеброй (иррациональные числа), некоторые рассуждения проводятся не в общем виде (что сделало бы их малодоступными), а на числовых примерах; кое-что принимается без доказательства; еще чаще для ученика остается неясным, доказано ли или принято на веру то или иное утверждение. Подлинным источником трудностей при этом является невозможность обойтись без иррациональных чисел, теория которых излагается в школе с существенными пробелами, а иногда и несогласованно во времени. При таком положении дел не только ученик, но часто и учитель стремится поскорее миновать этот раздел.

С этим трудно мириться по двум мотивам: 1) теория измерения гораздо богаче идейным содержанием (достаточно назвать факт существования несоизмеримых отрезков), чем многие тщательно изучаемые частности; 2) в дальнейшем ученику предстоит усвоить ряд других вопросов метрической геометрии (площади, объемы), для которых измерение отрезков служит фундаментом.

С точки зрения узких интересов преподавания геометрии (а не математики в целом) можно было бы в вопросе об измерении отрезков ограничиться минимумом формальных определений и принимаемых без доказательства теорем, перекладывая все трудности на алгебру. Так именно поступает Ж. Адамар, в энциклопедическом трактате которого об измерении отрезков

говорится совершенно поверхностно в нескольких строках1. Гораздо ближе к интересам школьного преподавания другой выдающийся французский математик А. Лебег2, настаивающий на том, чтобы измерение величин, и прежде всего отрезков, было положено в основу изучения не только иррациональных, но даже рациональных чисел. Отвлекаясь от частностей лебеговой системы, можно думать, что это и есть ближайшая ступень прогресса в школьном преподавании. Преподаватель должен на некоторое время отказаться от раздельных уроков алгебры и геометрии. Наряду с традиционной невозможностью извлечения квадратного корня из любого рационального числа, измерение отрезков становится еще одним стимулом для расширения области рациональных чисел. Так как в обоих случаях начинают с десятичных приближений, то естественно, что иррациональное число появляется как бесконечная непериодическая десятичная дробь. На такую именно позицию становятся, примыкая к Лебегу, наши новые, хотя и не вошедшие еще в обиход, учебники, в частности статья П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова3 «Иррациональные числа» («Математика в школе», 1941, № 3) и учебник Н. А. Глаголева «Элементарная геометрия», ч. I (Учпедгиз, М., 1940, § 160—161)4, а также книга С. И. Новоселова «Алгебра» (Учпедгиз, М., 1947, см. гл. IV—V)*.

Сопоставим эту систему с господствующей у нас (А. П. Киселев, Геометрия, ч. 1, § 144—150 и § 155). Начинают с понятия об общей мере двух отрезков, пользуясь для нахождения общей наибольшей меры алгорифмом Евклида (последовательное откладывание). Как ни почтенен этот алгорифм (образовательная ценность которого, впрочем, сильно снижается из-за того, что в арифметике теперь не знакомят с нахождением общего наибольшего делителя способом последовательного деления), нет никаких оснований отягчать им и без того сложный раздел курса. Могут сказать, что без алгорифма Евклида труд-

1 См.: Ж. Адамар, Элементарная геометрия, Учпедгиз, М., ч. 1, 1936, стр. 21—22. [4-е изд.: М., 1957; также стр. 21— 22. — Ред.]

2 См.: А. Лебег, Об измерении величин, Учпедгиз, М., 1938, гл. II и VI. [2-е изд.: М., 1960. — Ред.]

3 Фрагмент из (до сих пор, к сожалению, не законченной) второй части учебника алгебры П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова.

4 В учебнике Н. А. Глаголева бесконечным десятичным дробям, появляющимся в связи с измерением отрезков, предполагалось посвятить особое дополнение в конце книги, как видно из сноски на стр. 138; это, однако, не осуществлено.

* См., также (высоко ценившуюся Я. С. Дубновым) статью: Г. М. Фихтенгольц, Иррациональные числа в средней школе, «Математическое просвещение» вып. 2, Гостехиздат, М., 1957, стр. 133—148.

но было бы доказать существование несоизмеримых отрезков, чем действительно ни в коем случае не следует жертвовать. Но эта трудность мнимая: у П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова или С. И. Новоселова несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной превосходно доказывается на совершенно ином пути. То обстоятельство, что при этом выясняется связь рассматриваемого случая несоизмеримости с несуществованием (в области рациональных чисел) корня квадратного из 2, является для педагога чистым выигрышем. Ригористы будут недовольны по поводу использования в этом доказательстве понятия площади (квадрата); они даже попытаются сделать свое возражение принципиальным, указывая на неправомерность ссылки на формулу S = а2 для площади квадрата, в то время как а может быть иррациональным. Однако достаточно было бы внимательно проследить за доказательством (от противного!), чтобы убедиться, что речь идет там только о площадях квадратов с целочисленными сторонами, а это известно ученику из начальной школы, и притом с обоснованием, к которому впоследствии ничего не будет прибавлено1. А вот по поводу «классического» доказательства, связанного с алгорифмом Евклида, можно утверждать, что для подавляющего большинства учеников

1 Можно было бы даже вовсе не говорить о площадях. Сравнивая (см. рисунок) квадрат /, построенный на диагонали (d)r с удвоенным квадратом //, построенным на стороне (а), убеждаемся, что обе фигуры состоят из одинаковых частей (четырех равных треугольников). Если бы а и d были соизмеримы, например, если бы (как показывает грубое измерение) было 7 d = -^а, то квадрат / можно было бы разбить на 49 ( = 7 X 7) малых квадратиков со стороной iа, а прямоугольник // на 50 (= 2 X 5 X 5) таких же квадратиков. Получается, что 49-ю квадратиками (разрезая их при надобности на части) можно покрыть 50 таких же квадратиков, — приходим к противоречию (невозможность такого покрытия составляет содержание известного «принципа де Цольта»). Не представляет труда провести это рассуждение в общем виде (— вместо т2 и 2п2 вместо 49 и 50). по

оно остается недоступным, будучи воспринятым только формально. Пусть даже ученик усвоил, что процесс последовательного откладывания здесь продолжается без конца. Он склонен на этом остановиться и считать несоизмеримость доказанной на том основании, что в случае конечности процесса отрезки соизмеримы. Это серьезная логическая ошибка: подмена прямого предложения «из конечности процесса вытекает соизмеримость» противоположным ему «из бесконечности процесса вытекает несоизмеримость» (как известно, из прямой теоремы противоположная не следует). Правда, в современных изданиях учебника Киселева это противоположное предложение доказывается (конец § 147), но доказательство довольно деликатно (поэтому проводится в основном на числовом примере), а главное — средний ученик не понимает его необходимости1. И как можно ожидать иного, если на протяжении многих лет применения старых изданий учебника отмеченный выше логический пробел оставался незаполненным, и тысячи учителей, а за ними десятки тысяч учеников этого не замечали? Еще раз спросим: во имя чего навязывают неокрепшему уму в трудный момент обучения логические тонкости, таящие в себе явную опасность чисто внешнего, формального их усвоения? Ведь вслед за этим идет (§ 150) описание десятичного измерения отрезка, нисколько не нуждающегося в понятии общей меры.

Закончим это сопоставление двух методов измерения, обращая внимание на арифметическую природу того или другого алгорифма. Если записывать результаты последовательных откладываний, составляющих алгорифм Евклида, то придем к так называемой непрерывной (или цепной) дроби, вообще говоря бесконечной. Например, измеряя диагональ квадрата его стороной, получим дробь (равную У^2)2:

1 Не можем отказать себе в удовольствии привести в связи с этим слова Лебега, сказанные им по аналогичному поводу: «Тут мы имеем дело с настоящим лицемерием, столь обычным в преподавании математики: учитель словесно принимает все нужные предосторожности, действительные, если они имеют смысл, который он им придает, но который несомненно не будет понят учениками».

2 То, что в данном случае непрерывная дробь оказывается периодической, есть обстоятельство случайное, обусловленное квадратичным характером иррациональности V2- При разложении числа }/"2 (задача удвоения куба) получилась бы непрерывная дробь также бесконечная, но непериодическая.

В этом же случае десятичное измерение дало бы разложение У 2 в десятичную (бесконечную непериодическую) дробь

1,414214...

По своей арифметической структуре второй результат не только является более привычным для ученика, но имеет еще то преимущество, что непосредственно дает рациональные приближения с точностью до 1, до до в то время как в

случае непрерывной дроби вычисление рациональных приближений и оценка их степени точности требуют значительных усилий.

Полная теория измерения отрезков, конечно, может быть предназначена только для учителя*. Ученику она недоступна не только потому, что предполагает предварительное знакомство с иррациональными числами и пределами числовых последовательностей, но главным образом вследствие сложности своей логической структуры, которая будет воспринята учеником как навязанный педантизм. Тем не менее многие существенные элементы этой теории могут быть отражены в преподавании, которое представляется нам осуществимым по следующей схеме (заголовки выделены курсивом, остальное — пояснительный текст).

а) Дескриптивное определение1 длины отрезка; постановка задачи измерения2. Случай соизмеримости с эталоном длины. Существование несоизмеримых отрезков (диагональ и сторона квадрата — доказательство с помощью площадей).

У нас уже вошли в обиход дескриптивные определения площади и объема (А. П. Киселев, Геометрия, ч. 1, § 243, ч. 2, § 82). Правда, изложение здесь большей частью таково, что свойства площади (объема) трактуются не как определяющие, а как присущие этим понятиям, для которых даются иллюзорные, совершенно бессодержательные определения, вроде «площадью фигуры называется величина части плоскости...». Между тем концепция дескриптивного определения, как содержащего формулировку некоторой задачи («установить такое соответствие.., чтобы выполнялись требования...»), вполне доступ-

* Эта теория изложена в § 2—5 книжки Я. С. Дубнова «Измерение отрезков», Физматгиз, М., 1962.

1 Термины «дескриптивный», «конструктивный» мы не решаемся рекомендовать для школьной практики. Их можно заменить переводом буквальным («описательный», «построительный») или же свободным («неявный», «явный»),

2 В интересах школьного преподавания требование аддитивности (§ 2) может быть усилено: длина суммы (не только двух, но и любого числа слагаемых) отрезков должна быть равна сумме их длин.

на пониманию ученика, стоит только фиксировать его внимание на дескриптивном характере уже знакомых определений. Более того, ученику знаком и метод перехода от дескриптивного определения к конструктивному, осуществляемого, например, при решении любой задачи на построение. Во многих случаях достаточно только слегка изменить принятое изложение, чтобы идея дескриптивного определения выступила с полной отчетливостью. Например, главу о параллельных прямых можно начать с постановки вопроса: на плоскости даны прямая и точка вне ее; можно ли через эту точку провести прямую, не пересекающую данной прямой? Здесь уже содержится дескриптивное определение параллельности. На вопрос о существовании искомой прямой ответ дается известным построением (перпендикуляр к перпендикуляру), а единственность решения утверждается постулатом о параллельности. Мы не закрываем глаза на необходимость преодолеть некоторый барьер в сознании ученика: в известных ему случаях дескриптивно определяется число или фигура, здесь же речь идет об определении «соответствия» или «системы измерения», т. е. о понятиях значительно более абстрактных. Другая трудность состоит в том, что в задачах измерения (длина, площадь, объем) мы не имеем возможности исчерпывающим образом установить эквивалентность дескриптивного определения с последующим конструктивным. Но раз признается желательным строить на дескриптивном определении теорию площадей и объемов, то не следует ли начинать с простейшего случая — измерения отрезков? Если этого не делают, то, вероятно, потому, что недооценивается образовательное значение самой идеи дескриптивного определения, которое одновременно служит инструментом исследования и преддверием к пониманию аксиоматического метода. Между тем этот метод является блестящим достижением современной математики, а ведь школа не может уклоняться от обязанности приобщить учеников к методологии науки нашего времени. Не много можно назвать случаев, где так явно сказывались бы схоластичность и устарелость преподавания математики, как в распространенных убеждениях, будто и в этой науке все определения построены по древнему принципу «per genus proximam et differentiam specificam»1.

б) Десятичное измерение отрезка; аксиома Архимеда. Бесконечная десятичная дробь как результат измерения. Если существует длина отрезка, то она должна заключаться между лю-

1 «Через ближайший род и видовое отличие». См., например, статью: В. К. Матышук, Определения в преподавании математики, «Математика в школе», 1947, № 3. На стр. 17 этой статьи сказано: «Только эти определения и имеют место при научном изложении математики».

бым десятичным приближением по недостатку и любым таким же приближением по избытку.

в) Иррациональное число (сначала положительное) как бесконечная десятичная непериодическая дробь. Вещественные числа положительные и отрицательные. Неравенства между вещественными числами. Четыре действия над вещественными числами.

г) Конструктивное определение длины отрезка. Проверка выполнения требований дескриптивного определения. Аксиома Кантора; взаимная однозначность соответствия между отрезками и вещественными положительными числами. Числовая прямая.

При проверке аддитивного свойства длины следует отказаться от полного доказательства, ограничиваясь случаем, когда оба слагаемых отрезка выражаются рациональными (или даже целыми) числами; ведь и при изучении иррациональных чисел существование суммы обычно принимается без доказательства (см. у П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова § 21, мелкий шрифт).

Отметим здесь одну черту различия между научным и школьным изложением. Дело в том, что уже первое требование дескриптивного определения «каждому отрезку соответствует в качестве длины определенное положительное число» содержит некоторую (намеренную) недоговоренность, заключающуюся в слове «число». В научной теории надо было бы сразу сказать, что речь идет о вещественном числе. Именно в этой постановке задача оказывается имеющей решение, и притом единственное. Иное положение складывается при осуществлении предлагаемой здесь схемы преподавания. В момент постановки задачи мы не располагаем никакими другими числами, кроме рациональных, следовательно, это требование можно понимать только в том смысле, что мы желаем каждому отрезку поставить в соответствие рациональное число. Однако в ходе решения задачи выясняется неосуществимость этого требования (наличие несоизмеримых отрезков). Это служит поводом к расширению понятия о числе, в результате чего появляется совокупность вещественных (сначала положительных) чисел. Теперь мы возвращаемся к нашей задаче, и в новой постановке она оказывается разрешимой. Таким образом, в процессе решения изменяется самое содержание задачи. Этим, конечно, нарушается логическая стройность конструкции, но педагогические преимущества такой системы очевидны: ученик ощущает те мотивы, которые приводят к расширению области рациональных чисел, и даже видит естественный способ этого расширения.

д) Отношение отрезков как отношение чисел. Независимость отношения длин от выбора эталона (частичное доказательство— для случая, когда эталон длины уменьшается или увеличивается в целое число раз). Умножение отрезка на вещественное положительное число. Понятие о принципе однородности на данном этапе преподавания вполне естественно, но с педагогической точки зрения оно получит оправдание только при условии, что этот принцип будет в дальнейшем систематически применяться как при изучении теории (пропорциональные отрезки; в особенности — метрические соотношения между элементами треугольника), так и при решении задач (обнаружение неправильности формул по их внешнему >виду). Тенденция отодвинуть во времени знакомство с принципом однородности, по-видимому, связана с желанием обосновать его требованием инвариантности формул относительно преобразования подобия (см. цитированный выше учебник Н. А. Глаголева, ч. 1, § 246). Такое обоснование не кажется нам уместным, так как оно оставляет в тени подлинный источник однородности — инвариантность относительно изменений масштаба. Отсюда может возникнуть неправильное представление, будто в других геометриях постоянной кривизны (например, в геометрии Лобачевского), где нет подобных фигур, принцип однородности не имеет места1.

ПРИЛОЖЕНИЕ*

Величина и число

Изложение в школе последовательных этапов эволюции числа, по-видимому, стабилизировалось. Никто не пытается теперь развертывать в школе строго научную теорию вещественного (а позже комплексного) числа; вместе с тем известны методически приемлемые суррогаты этой теории. Шагом вперед является тенденция лучших учебников идти к понятию вещественного числа не только изнутри арифметики, но отправляясь также от задач измерения. И хотя практически пользуются всегда измерением отрезков, но предпочитают говорить об измерении «величин». В противоположность «числу» «величина» не только не стабилизировалась в преподавании, но этот термин нельзя Даже считать удовлетворительно определенным. Старое определение

1 На самом деле в формулах этих геометрий там, где эталон длины не специализирован, участвует, как правило, длина некоторого постоянного отрезка (параметра), подвергающаяся при изменении эталона тому же преобразованию, что и длины остальных отрезков; с учетом этого обстоятельства формулы, конечно, и здесь должны удовлетворять требованию однородности.

* Тезисы доклада, прочитанного Я. С. Дубновым 20/1 1955 г. на заседании секции средней школы Московского математического общества.

(«то, что может быть большим и меньшим») явно недостаточно. Под такое определение подходят и красота, аппетит, познания ученика в алгебре и т. п., которые, однако, не являются величинами, так как не допускают точных числовых оценок. Законно оспаривают также применимость термина «величина» к температуре, высоте местности, потенциалу и т. п. вследствие существующей здесь зависимости числовых оценок от произвола в выборе нулевой точки (поэтому, например, не имеет прямого физического смысла сумма температур). Конечно, признак «больше — меньше» является существенным для величины (поэтому комплексные числа не образуют величины; тем не менее говорят часто «комплексная величина», «мнимая величина», «векторная величина», подтверждая этим сбивчивость самого понятия), но не единственным.

Современная научная теория величины покоится на аксиоматике этого понятия, содержащей не только свойства сравнимости (>, =, <), но и сложения — вычитания, а также непрерывности. Один из вариантов такой аксиоматики (10 аксиом!) можно найти в статье А. Н. Колмогорова «Величина» во 2-м издании БСЭ (он воспроизведен в «Теоретической арифметике» В. М. Брадиса). Конечно, не может быть речи о том, чтобы эту сложную аксиоматику излагать в школе. Да и стоит ли создавать обобщающее понятие для трех случаев (длина, площадь, объем), встречающихся в геометрии? Другие дело — физика, но и для ее целей нет надобности в обобщении, а достаточно каждый раз описывать процесс измерения, т. е. для каждого случая давать «конструктивное» определение физической величины.

В геометрии подчеркиваются (и это делают почти все учебники) «дескриптивные» (описательные) определения — с помощью свойств, которые мы желаем приписывать числу, измеряющему отрезок, или угол, или плоскую фигуру и т. п. Например, в случае прямолинейных отрезков мера (длина) должна обладать свойствами: 1) инвариантности относительно движений; 2) аддитивности (мера отрезка равна сумме мер его частей); 3) однозначной определенности, после того как один отрезок выделен в качестве эталона. Доказательство эквивалентности конструктивного и дескриптивного определений длины вряд ли может быть проведено в школе.

Дескриптивное определение важно потому, что в новых вопросах измерения именно оно является рабочим аппаратом. Это видно на примере, выходящем за рамки школьной математики: для некоторых двупараметрических множеств прямых на плоскости (таким будет, например, множество всех прямых, пересекающих данный отрезок) удается установить меру (числовую оценку), удовлетворяющую трем требованиям, аналогичным тем, которые приведены выше в качестве дескриптивного определения длины отрезка*. Оказывается, например, что мера множества прямых, пересекающих данный выпуклый контур, пропорциональна длине этого контура. Вопросы этого рода (установление меры для неточечных множеств) составляют содержание новой ветви геометрии — так называемой интегральной геометрии, развившейся в XX в. и нашедшей разнообразные приложения, в том числе и к теплотехнике (лучистая энергия). У истоков этой дисциплины стоят старые задачи о «геометрических вероятностях» (такова классическая задача Бюффона о бросании иглы, позволяющая экспериментально находить приближения числа я). На этом примере видно, что работают именно свойства меры, а не аксиомы величины.

Следует прийти к выводу, что термин «величина» отживает свой век, подобно тому как не столь давно стал исчезать из математической речи термин количество (говорили: «мнимое количество», «бесконечно малое количество» и т. п.; в общенаучной терминологии, например в философской, «ко-

* См. § 7 указанной выше книжки Я. С. Дубнова «Измерение отрезков».

личество», конечно, сохраняется). Косвенное подтверждение этому прогнозу докладчик видит в обозначившейся у нас тенденции заменять женский род средним в таких выражениях, как «неизвестная» (подразумевается величина), «переменная» (величина); вместо этого говорят «неизвестное», «переменное».

[Примечание после дискуссии. Докладчик признает убедительными возражения Н. Н. Николаевой, указавшей, что в арифметике V класса трудно было бы обойтись без термина «величина» (пропорциональные величины). Но на этой «дологической» стадии обучения, разумеется, вполне допустимо, не пытаясь дать общее определение, ограничиться примерами (длина, вес, стоимость и т. д.) и признаком «больше — меньше».]

СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

I. Введение

1. Начала высшей математики как элемент общего образования. В истории математики нет эпохи, которая могла бы сравниться по своему решающему значению с XVII—XVIII вв. н. э. В этот именно период сложились в основных чертах аналитическая геометрия и анализ бесконечно малых (дифференциальное и интегральное исчисление) — фундамент не только современной математики, но и всего точного естествознания: механики, астрономии, физики, а с ними и инженерных наук. С последним обстоятельством сразу столкнется окончивший нашу среднюю школу, когда откроет научную книгу, относящуюся к одной из только что названных областей: он найдет там много математики, но большей частью не той, которой его обучали. Именно з результате такого положения высшая школа вынуждена откладывать преподавание механики и физики до того момента, когда студенты I курса овладеют элементами аналитической геометрии и анализа, т. е. математики XVII—XVIII вв.

Общеизвестна та историческая обстановка, в которой происходил отмеченный расцвет математической науки. Закат феодализма и зарождение фабричного производства, открытие заморских земель и возникновение колониальной системы, возрастающее значение военной техники — таковы были предпосылки небывалого подъема точных наук в ту эпоху. Одни только нужды дальнего мореплавания и судостроения предъявляли требования одновременно к астрономии, механике, физике. Старая греческая математика с ее геометрией неподвижных «классических» фигур и арифметикой целых чисел, даже пройдя в средние века через освежающее влияние Востока (индусы и арабы), не могла служить опорой для изучения непрерывных процессов («движения» в широком смысле слова), протекающих в сплошной мате-

риальной среде. Основные физические понятия «скорость» и «плотность» в результате математической абстракции создали дифференциальное исчисление1, в то время как «длина пути» и «масса» породили интегральное исчисление. Как это всегда бывает в истории науки, творцы анализа бесконечно малых Ньютон и Лейбниц, конечно, имели предшественников: идею интегрирования в применении к частным задачам можно найти у Архимеда (III в. до н. э.), в еще более явном виде — у Кеплера и Кавальери (первая половина XVII в.). Однако лишь в конце XVII и начале XVIII в. был обнаружен всеобъемлющий характер этих идей и стала очевидной их решающая роль в точных науках (ньютонова теория тяготения, механика Эйлера).

Несколько раньше произошел переворот в методологии математики, без которого были бы невозможны дальнейшие ее успехи. Мы имеем в виду создание в первой половине XVII в. аналитической геометрии, связанной с именами Декарта и Ферма. Древние ревниво оберегали геометрию от вторжения арифметики (позднее — алгебры, которая в XVII в. называлась «общей арифметикой»). Это догматическое разделение хотя и покоилось на некоторых научных мотивах2, однако было реакционным и надолго задержало развитие науки. Декарт перешагнул через этот порог и своим методом координат (т. е. чисел, определяющих геометрический образ) создал то направление, которое мы теперь характеризуем словами «арифметизация геометрии». В творчестве Декарта интерес к методологии науки вообще доминировал над стремлением к открытию отдельных, хотя бы и важных, фактов. Это сказалось уже в том, что знаменитая его «Геометрия»3 составляет одно из приложений к книге, озаглавленной «Рассуждения о методе... для отыскания истины в науках». То, что не удовлетворяло Декарта в математике древних, живет и в наше время в ощущениях школьника, который может выучить доказательство теоремы, но не в состоянии понять, чем руководствовались, проводя те, а не другие вспомогательные линии (обстоятельство, которое позже дало Шопенгауэру повод говорить о «доказательствах-мышеловках»). Декарт видел выход в создании «универсальной математики», и первым шагом

1 Еще в конце XIX в. знаменитый английский физик В. Томсон убеждал своих слушателей оставить в стороне математическую изощренность позднейшего времени и усвоить, что «производная — это просто скорость».

2 На современном языке мы сказали бы, что препятствием к слиянию двух ветвей математики служило отсутствие теории иррациональных чисел, без чего применение арифметики к геометрии не могло быть полноценным. Однако боязнь нарушить чистоту евклидовой системы могла бы быть оправдана, если бы эта система на самом деле была столь совершенной, какой она представлялась людям того времени.

3 Р. Декарт, Геометрия, ГОНТИ, М.—Л., 1938.

к этому должно было служить глубокое взаимопроникновение науки о числе и науки о пространстве, осуществленное в его «Геометрии» (термин «Аналитическая геометрия» появился значительно позднее)1. Именно в этой методологической революции, перенесенной на всю область точного естествознания, видел Декарт — в большей степени философ, чем математик, — свою научную миссию. Он не жалел мрачных красок для того, чтобы охарактеризовать методологическую слабость современной ему науки:

«Смертными настолько владеет слепое любопытство, что они направляют свой ум на неизведанные пути без всякого основания для надежды, просто лишь для того, чтобы испытать, не подвернется ли им под руку то, что они ищут... Так трудятся почти все химики, многие геометры и немалое число философов»2.

Отсюда видно, что создание в XVII в. новой математики имело значение, далеко выходящее за рамки этой науки. Несмотря на глубокие расхождения между Декартом и Ньютоном во взглядах на физику мира, оба творца новой математики подготовили расцвет рационализма и механического материализма, которые были прогрессивными течениями в XVIII в. Поэтому не является неожиданным то внимание, которое уделяли описываемой эпохе классики марксизма. К. Маркс в 40-летнем возрасте взялся за изучение «высшей» математики и не оставлял этих занятий «до самой смерти, занимаясь ею в свободное время или во время болезни, когда систематическая работа над «Капиталом» была для него невозможна»3. Конечно, «ошибки в подсчетах ... при разработке основных начал экономики» (письмо к Ф. Энгельсу от 11/1 1858 г.) были только поводом для этих занятий. Судя по тому, что Маркс изучал не счетную технику, а начала аналитической геометрии и дифференциального исчисления, устойчивый интерес к этим дисциплинам питался не политико-экономическими, а философскими запросами великого ученого. В этот же круг интересов Маркс вовлек Энгельса, высказывания которого в «Диалектике природы» не оставляют сомнений относительно той роли, какую отводили творцы диа-

1 Ту же тенденцию и с большей смелостью продолжал впоследствии Лейбниц, когда пытался построить «геометрическое исчисление», которое «давало бы возможность выражать непосредственно положение, подобно тому как с помощью алгебры выражают величину» (письмо к Гюйгенсу). Этот замысел был осуществлен значительно позднее созданием векторного исчисления точно так же, как другая мечта Лейбница «заменять спор вычислением» предвосхитила современную математическую логику.

2 Декарт, Правила для руководства ума. Перев. В. Пикова, М, 1936 (цитировано по книге «Геометрия», стр. 268).

3 С. Яновская, О математических рукописях К. Маркса, «Под знаменем марксизма», 1933, № 1, стр. 74.

лектического материализма эпохе Декарта — Лейбница — Ньютона.

«Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем»1.

«Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изобразить математически не только состояния, но и процессы: движение»2.

Быть может, этого беглого исторического обзора достаточно для того, чтобы дать представление о роли, принадлежащей новой математике (будем так условно называть математику XVII и последующих веков) в формировании научного мировоззрения. Когда говорят о математике как о фундаменте точного знания, то надо иметь в виду именно эту математику, а не геометрию Евклида и тригонометрию Региомонтана (математик XV в.). Последние, правда, являются необходимой ступенью к усвоению первой и, обладая собственным образовательным значением, должны сохранить то место, которое им отводится в средней школе. Однако отсутствие в курсе школы элементов новой математики ставит эту дисциплину в такое же положение, в каком находилось, например, в дореволюционной России (до 1912 г.) преподавание русской литературы, когда оно заканчивалось Лермонтовым и Гоголем. Но если можно было почти не сомневаться, что воспитанник той школы без ее участия познакомится с Толстым и Чеховым, то гораздо меньше шансов на то, что юрист или врач собственными силами восполнит пробелы своего математического образования. А без этого он не поймет структуры современной науки, довольствуясь каждый раз ссылкой на то, что и радио, и авиация, и атомная физика опираются на какую-то неведомую ему даже в элементах «высшую» математику. Мы имеем здесь в виду не овладение этой математикой как рабочим аппаратом (что необходимо для физика и инженера, но не для врача и юриста*), а знакомство с ее руководящими идеями и методами.

1 Ф. Энгельс, Диалектика природы, Госполитиздат, М., 1950, стр. 206 (курсив в цитате принадлежит Энгельсу).

2 Там же, стр. 218.

* Эта (своевременно не опубликованная) статья была написана в период 1948—1952 гг. В настоящее время уже нельзя столь безоговорочно утверждать, что врачу или юристу в его деятельности не понадобится знакомиться с элементами «высшей математики»; однако та математика, которая изучается в вузах будущими медиками или юристами (по крайней мере некоторыми из них), во многом отлична от проходимой на физических факультетах и в технических вузах.

Но может быть эти идеи и методы настолько малодоступны, что не могут быть предметом изучения даже в старших классах? Против этого предположения говорит прежде всего история нашей и зарубежной школы, накопившей за полвека солидный опыт преподавания начал аналитической геометрии и анализа (подробнее об этом — в следующем пункте). Если этот опыт не всегда приводил к бесспорным результатам, то никак не из-за малодоступности предмета, а из-за неправильной постановки его преподавания. В речи, содержащей непревзойденную по убедительности аргументацию за преподавание начал новой математики, известный французский ученый Э. Борель говорил:

«Эти страшные науки, по крайней мере в своих элементах, стоят в гораздо большей близости к усваиваемым в элементарной школе простым математическим сведениям, чем многочисленные рассуждения об объемах круглых тел или об уравнениях второй степени1 и даже чем вычисления с обыкновенными дробями2 и множество других вопросов, которые внушают ученикам ужас и в девяносто девяти случаях из ста обречены на забвение сейчас же по окончании экзаменов»3.

Констатируя далее «резкое несоответствие между положением математики в жизни современного общества и тем интересом, который питает к ней огромное множество лиц, играющих в этом обществе руководящую роль», Борель продолжает:

«Это печальное явление объясняется тем, что математика, преподаваемая в нашей средней школе, есть лишь схоластический пережиток, тогда как миром правит другая математика, и лишь очень малому числу избранных дано восторгаться гордой мощью той математики. Но всякий образованный человек должен бы по крайней мере знать, что эта математика существует» [добавим: конечно, знать не по названию, а по идейному содержанию]*.

Таково мнение специалиста; а вот голос — для нас авторитетнейший— так сказать «учащегося»: «... Это гораздо более легкая часть математики (поскольку речь идет о чисто технической стороне), нежели, например, высшие отделы алгебры», — пишет К. Маркс в письме к Ф. Энгельсу от 6/VII 1863 г., т. е. в резуль-

1 По-видимому, речь идет о системах таких уравнений.

2 Которые противополагаются здесь десятичным. Во французской школе уже в то время велась борьба за преобладающее внимание к десятичным дробям (в связи с метрической системой мер; см., например, А. Лебег, Об измерении величин, Учпедгиз, М., 1938). [2-е изд.: М., 1960. — Ред.]

3 Э. Борель, Как согласовать преподавание в средней школе с прогрессом науки, «Вестник опытной физики и элементарной математики», № 623—624, Одесса, 1914, стр. 254—264. [Воспроизведено в «Математическом просвещении», вып. 3, стр. 97—98. — Ред.] Эта блестящая речь, произнесенная более 40 лет назад, ничуть не устарела и имеет самое прямое отношение к нашему предмету.

* Там же, стр. 98—99.

тате пяти лет занятий математикой. Педагог не затруднится объяснить себе, почему эти вопросы математики воспринимались Марксом как «более легкие»: не потому, чтобы лежащие в их основе идеи были более примитивными — как раз наоборот,— а потому, что они интереснее, глубже, содержательнее, имеют более очевидное значение для познания мира, чем многое из традиционного курса школьной математики. Между тем известно, в какой мере интерес к предмету облегчает его усвоение1. Наконец, мы не должны пройти мимо приведенных выше указаний на философское и теоретико-познавательное значение знакомства с элементами новой математики2. Сюда можно присоединить еще одну выдержку из цитированной речи Бореля*:

«Вот уже более двух веков, как принципы механики, аналитической геометрии и дифференциального исчисления с торжеством выдержали испытание временем... И лишь после того, как эти насущные учения займут подобающее им место, преподавание точных наук в нашей средней школе будет действительно современным и получит поистине воспитательное значение»3,

1 В применении к интересующему нас вопросу косвенным подтверждением могут послужить опубликованные данные о контрольных работах, выполненных в США студентами колледжа в первый год после окончания средней школы (И. Я. Депман, Уровень математических знаний у кончающих американскую среднюю школу, «Математика в школе», 1946, № 4). На фоне общего низкого уровня математической подготовки, обнаруженного в этих работах, выделяется относительно лучшее усвоение элементов высшей математики. К сожалению, статья не содержит некоторых данных, необходимых для окончательного суждения (например, сведений о давности изучения контролируемых разделов курса), однако влияние момента «интереса к предмету» представляется наиболее вероятным.

2 В связи с идеологическим содержанием этой математики хотим предупредить одно возможное недоразумение. В «Материализме и эмпириокритицизме» В. И. Ленин пишет (Сочинения, т. XIV, изд. 4, Госполитиздат, 1947, стр. 294):

«Г. Коген, восторгающийся ... идеалистическим духом новой физики, доходит до того, что проповедует введение высшей математики в школы — для ради внедрения в гимназистов духа идеализма, вытесняемого нашей материалистической эпохой». Отдельно взятая, эта цитата может породить впечатление, будто и В. И. Ленин готов видеть в изучении высшей математики источник идеализма. Однако последующий текст («вздорное мечтание реакционера», «утопающий хватается за соломинку») и другие места книги («электричество объявляется сотрудником идеализма», стр. 270) не оставляют сомнения в том, что В. И. Ленин так же далек от мысли об отказе в школе от высшей математики, как и об изгнании из нее учения об электричестве.

* «Математическое просвещение», вып. 3, стр. 99.

3 В задачу этой статьи не входит обсуждение всех сторон той реформы преподавания математики, в которой нуждается средняя школа. Однако нельзя умолчать о другой ветви «высшей» математики — теории вероятностей, т. е. науки о математических закономерностях в массовых явлениях, которая рядом с аналитической геометрией и анализом уже более 200 лет как заняла прочное место в научном естествознании. Возрастающее значение «статистического мышления» заставляет желать, чтобы и это завоевание науки (в ко-

2. Из истории школы. Эволюция средней школы в конце XIX в. характеризовалась медленным, иногда зигзагообразным, но неуклонным отступлением латино-греческого классицизма под натиском естественных и точных наук. Пришедшая, а в других случаях идущая к власти промышленная буржуазия не могла мириться с тем, чтобы общеобразовательная школа готовила только чиновников для государственного аппарата; ей нужны были инженеры и техники, люди, владеющие современной наукой, вплоть до тех, кто создает эту науку. Между тем для сторонников классицизма математика в школе была главным образом «гимнастикой ума» рядом с логикой и грамматикой1, и с этой точки зрения испытанная веками евклидова схоластика казалась наиболее надежным орудием воспитания. Однако к концу века давление новых требований привело к тому, что рядом с классическими гимназиями возникли «реальные» и «модернизованные» школы без древних языков, но с усилением математики и естествознания. Иногда это были самостоятельные школы особого типа, как у нас в России («реальные» и «коммерческие» училища), в других случаях разделение принимало форму специализации («полифуркация») на старшей ступени обучения (четыре секции во французской школе). Не сразу обрело свое лицо и неодинаковым образом происходило усиление математики в новых школах. Например, в наших реальных училищах оно первоначально шло в сторону начертательной геометрии и расширения курса алгебры. На рубеже XIX и XX вв. новые течения педагогической мысли вылились в так называемое «реформистское движение», выступившее с определенной программой: генетический метод, отправляющийся от живого конкретного созерцания; возможное взаимопроникновение («фузионизм») отдельных математических дисциплин; приближение к естествознанию и технике; развитие «функционального мышления», начинающегося с раннего возраста и завершающегося изучением начал анализа и аналитической геометрии. В 1908 г. сторонники этой программы создали «Международную комиссию по преподаванию математики», объединявшую в 1914 г. представителей 26 стран, в том числе России. На

тором, кстати, крупную роль сыграла русская математика) не осталось за рамками школы. [Для первоначального ознакомления рекомендуем читателю книгу: Б. В. Гнеденко и А. Я. Хинчин, Элементарное введение в теорию вероятностей, изд. 4, Гостехиздат, М., 1957. — Ред.]

1 Еще 50 лет назад известный итальянский математик (!) Энрикес писал: «В наш век еще не найдено, чем можно было бы заменить интеллектуальную школу грамматики. Мы имеем в виду особенно греческую грамматику...». (Сб. статей «Вопросы элементарной геометрии» под ред. Ф. Энриквеса [архаическая транслитерация итальянской фамилии Enriques — Ред.], Спб., 1913, стр. 26.)

парижской конференции 1914 г. эта комиссия могла уже подвести итоги 10—15-летнего опыта преподавания начал новой математики в большинстве культурных стран мира1. По поводу преподавания анализа теневые стороны его были отмечены только в тех случаях, когда в погоне за объемом сведений допускали поверхностное изучение предмета. В связи с этим конференция пришла к выводу, что «курс анализа в средней школе должен быть не велик, но проходить его нужно основательно; полузнание хуже незнания»2. На этой же конференции вновь прозвучал мотив, подчеркивающий общеобразовательное значение реформированного курса в противовес господствующей системе специализации.

«...Реформа преподавания математики в средней школе должна рассматриваться не с точки зрения интересов будущих математиков или техников, а с точки зрения интересов общей культуры. В средней школе изучение математики и естествознания должно содействовать образованию человека»3.

Уже не как мнение отдельных лиц, а как суждение коллектива, та же мысль с полной определенностью была высказана русскими педагогами в п. III резолюции 2-го Всероссийского съезда преподавателей математики:

«Съезд признает начала аналитической геометрии и анализа необходимыми в курсе средней школы всех типов»4.

«Стало очевидным, что в настоящее время основные понятия исчисления бесконечно малых, аналитической геометрии и теории вероятностей должны быть достоянием каждого образованного человека»5.

В дальнейшем мы остановимся на судьбе новых разделов школьного курса в нашей стране, отсылая по поводу зарубежной школы к литературе6.

1 А. Поляков, Международная конференция по преподаванию математики, состоявшаяся в Париже с 1 по 4 апреля 1914 г., «Математическое образование», 1914, № 6.

2 Там же, стр. 266.

3 Ф. Клейну это было ясно уже на первом этапе реформистского движения: «Подготовительное изложение понятия о функции и первое введение в аналитическую геометрию с началами дифференциального и интегрального исчисления должно бы быть общим всем видам школ» (цит. по книге «Доклады, прочитанные на 2-м Всероссийском съезде преподавателей математики в Москве», М., 1915, стр. 12).

4 Резолюции 2-го Всероссийского съезда преподавателей математики, «Математическое образование», 1914, № 1. (Курсив мой. — Я. Д.)

5 Из речи председателя проф. Б. К. Млодзеевского при открытии 2-го съезда (стр. 3 книги А. Полякова — см. сноску 1).

6 Журнал L'Enseignement mathematique — официальный орган «Международной комиссии»; «Сборник программ и инструкций по преподаванию

Русская педагогическая мысль пришла к сознанию необходимости модернизировать школьное преподавание математики раньше и шире, чем это сделали официальные программы. Киевское физико-математическое общество в 1906 г., Варшавский кружок преподавателей физики и математики в 1908 г., Педагогический музей военно-учебных заведений в 1908 г. выступили с разработанными проектами программ, включавшими преподавание начал анализа и аналитической геометрии. Общими чертами для большинства этих и других аналогичных проектов были: 1) стремление распространить реформу на основную массу средних учебных заведений (мужские гимназии); 2) признание необходимости функциональной пропедевтики; 3) отказ от сосредоточения новых частей курса в последнем классе. Так, киевский проект1 предлагал ввести понятие о функциональной зависимости начиная с IV класса гимназии, производную и интеграл в VII классе, начала аналитической геометрии в VIII классе2. Правительство лишь частично пошло навстречу этим требованиям: в 1907—1908 гг. начала анализа и аналитической геометрии были введены в программу выпускного (VII) класса реальных училищ, а в 1910—1911 гг. — в программу кадетских корпусов, в обоих случаях без необходимых изменений в предшествующем курсе математики.

Таким образом, большинство средних учебных заведений осталось незатронутым реформой. Впрочем, даже этот робкий Шаг сопровождался опасениями, среди которых наиболее распространенное состояло в том, что те из преподавателей, кто давно отошел от университетской науки, не справятся с новыми задачами. Жизнь не подтвердила этого опасения; зато реформа вызвала несомненное оживление в работе преподавателей и создала подъем, сказавшийся, между прочим, в появлении исключительного обилия учебников по новым предметам, появившихся в свет на протяжении менее чем 10 лет и написанных большей частью преподавателями средней школы (Д. Горячев, Воинов, К. Н. Рашевский, К. Б. Пенионжкевич, А. Киселев, М. Г. Попруженко, Д. М. Синцов, В. П. Свенцицкий, И. Н. Богослов-

математики в Западной Европе», под ред. Д. М. Синцова, М., 1914; доклад Д. М. Синцова на 2-м съезде преподавателей математики (стр. 4—20 указанной книги А. Полякова); Ф. Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей, перев. с нем., т. I, II, ОНТИ, 1934.

1 Из доклада Ф. В. Филипповича на 2-м съезде преподавателей. Доклады, читанные на 2-м Всероссийском съезде преподавателей в Москве, М., 1915, стр. 114.

2 Ограничиваясь теми сведениями, которые опираются на русскую литературу, мы заранее принимаем на себя упрек в отсутствии данных о современном состоянии интересующих над сторон преподавания за рубежом.

ский)1. Если результаты реформы не оправдали всех ожиданий ее сторонников, то причины лежали в другом: 1) вопреки предостережениям передовых педагогов отсутствовала функциональная пропедевтика; 2) программа была чрезмерно насыщена фактическим содержанием и, копируя I курс высшей школы, уделяла преувеличенное внимание технике дифференцирования и интегрирования2.

Когда с 21/XII 1911 по 3/1 1912 г. заседал 1-й Всероссийский съезд преподавателей математики, явных противников реформы не было слышно; проблема заключалась в том, чтобы распространить ее действие на всю среднюю школу, как об этом можно судить по осторожной, правда, резолюции:

«Съезд признает своевременным... провести через курс и ярко осветить идею функциональной зависимости, а также... ознакомить учащихся с простейшими и несомненно доступными им идеями аналитической геометрии и анализа»3.

Более категорическую резолюцию собравшегося два года спустя 2-го съезда мы уже цитировали.

Естественно, что на всем протяжении борьбы за реформу представители математики пользовались безоговорочной поддержкой со стороны физиков4.

1 Это явление заслуживает внимания. Когда дискутируется реформа преподавания, то, естественно, на первом плане стоит вопрос о том, что она дает ученику. Но не следует забывать и о вторичном действии: на расширении идейного содержания предмета растет не только ученик, но и его учитель, а это снова благотворно действует на преподавание, объектом которого является ученик.

2 В качестве иллюстрации приведем несколько задач из книги К. Н. Рашевского «Основания анализа бесконечно малых». Учебник для VII кл. реальных училищ, составленный применительно к программе М. Н. Пр.,. Москва (1913):

Стр. 67: Найти производные функций

найти

из уравнения

Стр. 93: Найти

3 Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики, Спб., 1913, т. I, стр. 568—569.

4 Из доклада А. И. Бачинского «Запросы преподавателя физики в области математики» на 2-м съезде (стр. 65): «...Введение основ анализа бесконечно малых в курс общеобразовательной средней школы есть дело назревшей необходимости ... лишенная их общеобразовательная школа в XX веке может не удивлять нас только в силу застарелой привычки». (Доклады, читанные на 2-м Всероссийском съезде преподавателей математики в Москве, М., 1915, стр. 65.)

В дооктябрьский период последним значительным этапом в деле реорганизации школьной математики были произведенная в 1915 г. комиссией П. Н. Игнатьева (министра народного просвещения) работа по пересмотру программ средней школы1 и последовавшая затем дискуссия. Комиссия наметила 7-летнюю среднюю школу (над 3-летней начальной) с разветвлением в старших классах на два отделения: гуманитарно-классическое и реальное. Для последнего была предусмотрена несколько урезазанная (изъято понятие об интеграле) программа реального училища со всеми ее недостатками; все же на анализ и аналитическую геометрию было отведено 3 недельных часа для физико-математической ветви и 2 недельных часа для естественно-исторической ветви реального отделения. Работа комиссии подверглась серьезной критике со стороны наиболее крупного коллектива преподавателей математики — Московского математического кружка2.

Великая Октябрьская революция принесла сторонникам реформы полное признание их позиции. Конечно, в духе советской школы были и требование единообразного обучения, и его общеобразовательный характер, и стремление приблизить школу к науке и технике. Согласно программе 1920 г. для Единой трудовой школы, знакомство с важнейшими функциями начиналось на 6-м году обучения, умеренная программа по аналитической геометрии входила в план 9-го года, такая же программа по анализу — в план 10-го года. В объяснительной записке сказано:

«При отсутствии разветвлений на старшей ступени единой школы программа по математике должна ограничить свои цели только интересами общего образования. Именно в этих интересах, а отнюдь не в интересах тех учащихся, которые в своей дальнейшей деятельности будут нуждаться в специальных математических сведениях, в последних классах 2-й ступени вводятся элементы аналитической геометрии и анализа, главным образом дифференциального исчисления»3.

К сожалению, эти превосходные принципы остались на бумаге: общеизвестные трудности, пережитые школой в период гражданской войны, позже — извращения в школьной политике привели к тому, что восстановительная работа 1931—1932 гг. вернула преподавание математики (именно этой дисциплины, а

1 См. «Материалы по реформе средней школы», журн. Мин. нар. просв., ноябрь 1915 — февраль 1916.

2 «Доклады в заседаниях комиссии Московского математического кружка», «Математическое образование», 1926, № 4. В них содержатся отзывы членов кружка о программах комиссии Игнатьева. Анализу и аналитической геометрии посвящены доклады А. К. Власова и А. П. Полякова.

3 Н. Н. Никитин, Преподавание математики в советской школе 1917—1947 гг., «Математика в школе», 1947, № 5, стр. 11.

не других) к урезанным программам и слегка переработанным учебникам начала нашего века. Правда, в 1933—1934 гг. намечалось восстановление анализа и аналитической геометрии в старшем классе, и с этой целью были изданы два учебника1, но позже Наркомпрос от этого плана отказался. Такое положение продолжалось до 1947 г., когда в одном из двух проектов программы Министерства просвещения РСФСР2 элементы анализа и аналитической геометрии возрождаются, впрочем, в очень скромном объеме (54 уч. часа в XI кл.).

3. Пропедевтика анализа и аналитической геометрии. В тех случаях, когда преподавание этих дисциплин осуществляется как завершение курса школьной математики, надо избежать педагогической ошибки, которая наблюдалась много раз, в частности в наших дореволюционных реальных училищах. Начала аналитической геометрии и анализа появились (обычно — в выпускном классе) как пристройка к традиционному курсу математики и как бледная (иногда—вульгаризированная) копия университетского преподавания. Если искать здоровое зерно в аргументации тех, кто возражал и продолжает возражать против включения новой математики в школьный курс, то в разнообразии доводов можно будет выделить два основных направления, идущих из двух противостоящих друг другу источников. Представители средней школы бывают недовольны тем, что на заключительной стадии обучения внимание учеников отвлечено в сторону совершенно новых идей вместо того, чтобы сосредоточиться на укреплении и обобщении изученного. Они опасаются, что новое будет усвоено поверхностно, а старое потускнеет или даже будет частично забыто. С другой стороны, высшая школа боится доверить средней преподавание принципиально важных вещей; высокий научный уровень изложения она считает своей привилегией и хочет учить, но не «переучивать». По поводу последнего возражения надо сразу сказать, что оно продиктовано узко «ведомственной» точкой зрения. Ведь далеко не все окончившие среднюю школу будут изучать математику в высшей. Если признать знакомство с новой математикой необходимым

1 Я. С Дубнов, Введение в аналитическую геометрию, Учпедгиз, 1934; И. И. Привалов и С. А. Гальперн, Основы анализа бесконечно малых, Учпедгиз, 1935. Эти книги предназначены в качестве учебников для средней школы, но в результате отказа Наркомпроса РСФСР от ранее напечатанной программы получили подзаголовки «Пособие для учителей». [Обе книги позже были переизданы Физматгизом уже без этого подзаголовка (первая в 1959, вторая в 1949 г.). — Ред.]

2 Программа средней школы. Математика (проект, 1-й вариант, составленный Институтом методов обучения Академии педагогических наук), Учпедгиз, 1947.

элементом общего образования, то становится очевидным, что мы не имеем права урезывать это образование в интересах одной группы учащихся. Несправедливо также утверждение, будто средняя школа не в состоянии обучать элементам новой математики на достаточно высоком научном уровне: ни содержание этой математики, ни дух школьного преподавания не дают оснований для такого скептицизма, — к этому мы не раз будем возвращаться в дальнейшем, обсуждая отдельные стороны обучения. Впрочем, здесь уместно ответить одновременно на возражения, идущие как из средней, так и из высшей школы. Эти возражения мы считаем направленными не против возможности преподавать в средней школе элементы новой математики, а против реальной опасности извращения такого преподавания. Опасность же эту можно, преодолеть, если положить в основу следующий тезис: новая математика должна быть не пристройкой к традиционному курсу, а надстройкой над ним — надстройкой, на которую заблаговременно должен быть рассчитан фундамент всего здания. Тем самым мы подходим к проблеме пропедевтики анализа и аналитической геометрии.

Идеальной была бы такая постановка преподавания математики, при которой представлялось бы невозможным установить момент перехода старой математики в новую. Такие фундаментальные для современной математики понятия, как функция, предел (по крайней мере, предел числовой последовательности, т. е. функции натурального аргумента), координаты, график функции, должны войти органической частью в преподавание математики задолго до того, как появится производная, интеграл и уравнения линий. Материал для формирования этих понятий в изобилии доставляется всеми разделами школьного курса — алгеброй, геометрией, тригонометрией. Не вдаваясь в подробности, мы ограничимся здесь несколькими замечаниями, иллюстрирующими характер и возможности интересующей нас пропедевтики.

Идея функциональной зависимости заложена уже в арифметике (изменение результата каждого из четырех действий в связи с изменениями компонент; позднее — прямая и обратная пропорциональности), но в чистом виде она выступает в тот момент, когда появляется алгебраическая формула или «алгебраическое выражение» (здесь пропедевтика следует историческому ходу развития: именно через эти ворота понятие функции вошло в науку). Правда, при этом возникает чрезмерная общность, так как сразу появляется функция нескольких переменных (например, (Ь — с)а есть функция трех переменных), чего мы постарались бы избежать, если бы на первых уроках алгебры понятие о функции было главной, а не побочной педагогической целью, —

мы начали бы тогда с функции одного переменного (т. е. с алгебраического выражения, содержащего только одну букву). Тем не менее уже на этой стадии обучения уместно фиксировать внимание ученика на том, что одно и то же алгебраическое выражение принимает различные числовые значения в зависимости от того, какие числа мы подставляем в это выражение вместо букв; на языке «зрелой» математики эта подстановка есть не что иное, как нахождение частного значения функции1. Позже, но все еще в пределах 8-летней школы, в центр внимания становится уравнение с одним неизвестным, а вместе с ним функция одного переменного. Здесь ресурсы педагога получают мощное подкрепление в виде графического изображения такой функции. Необходимое при этом знакомство с декартовыми координатами точки на плоскости облегчит в будущем усвоение аналитической геометрии и геометрических приложений анализа. Но, конечно, не ради этой отдаленной цели графики вводятся и в дальнейшем неизменно сопутствуют изучению квадратной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций. Следует только предостеречь от иллюзии, будто широко поставленным изучением графиков функций можно заменить ту аналитическую геометрию, о которой идет речь в этой статье. В грубых чертах аналитическая геометрия есть «приложение алгебры к геометрии», в то время как графики — «приложение геометрии к алгебре». Внешним образом это различие сказывается в том, что в последнем случае мы имеем дело с графиком функции (одного переменного), а в аналитической геометрии (на плоскости) с графиком уравнения, связывающего два переменных. Этим, конечно, не умаляется пропедевтическое значение графиков: как знакомство с координатами, так и расширение запаса геометрических образов (парабола, равносторонняя гипербола) будут использованы в преподавании аналитической геометрии.

Другое важное для анализа понятие — предел последовательности — также может быть хорошо подготовлено в курсе алгебры (например, в связи с бесконечной геометрической прогрессией при широком использовании неравенств), и именно здесь, а не преимущественно в курсе геометрии, как предлагает сильная еще традиция. При этом мы имеем в виду не теоремы о пределах, которые можно отодвинуть до изучения начал анализа, а самое понятие предела. Как раз алгебра доставляет нам образцы эффективного вычисления предела с оценкой разности

1 В. Л. Гончаров, Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика в средних классах школ, изд. АПН РСФСР, 1946, № 6. [Эта точка зрения выдержана и в написанном тем же автором учебнике алгебры для средней школы. См.: В. Л. Гончаров, Начальная алгебра, изд. АПН РСФСР, М, 1955. - Ред.]

между пределом и общим членом последовательности, между тем как в геометрии обычно устанавливается лишь существование предела (классический пример — длина окружности) и то на основании теоремы (принимаемой без доказательства) о монотонной ограниченной последовательности.

Принято думать, что подобными примерами предельного перехода исчерпывается участие геометрии в функциональной пропедевтике. Это верно, если исходить из принятого у нас изложения геометрии (по учебнику А. Киселева). Между тем стоит лишь несколько изменить (с пользой для дела) формулировку ряда геометрических теорем, для того чтобы идея функции и здесь выступила в отчетливой и поучительной форме. Например, вместо традиционной леммы о подобии треугольников можно формулировать следующее предложение: если прямая, пересекающая стороны угла, перемещается, оставаясь параллельной данному направлению, то отрезки, отсекаемые этой прямой от сторон угла, а также отрезок секущей, заключенный внутри угла, изменяются прямо пропорционально расстоянию ее от вершины угла. Аналогичная теорема стереометрии говорит о плоскости, параллельно перемещающейся и пересекающей многогранный (общее — телесный) угол; здесь площадь сечения изменяется пропорционально квадрату расстояния плоскости от вершины (уместно связать эту теорему с законом освещенности в физике). Именно в такой формулировке обе теоремы хорошо приспособлены для применения так называемого «метода Кавальери», столь плодотворного в теории площадей и объемов. Заодно отметим, что этот метод, кроме того, что создает превосходную ступень к идее интеграла, ценен еще тем, что заставляет каждый раз изучать площадь сечения как функцию расстояния секущей плоскости от некоторой неподвижной точки и таким образом вносит в геометрию функциональное начало.

Наконец, тригонометрия в значительной своей части (именно— в так называемой гониометрии) занимается изучением простейших периодических функций, роль которых в естествознании общеизвестна (в физике — периодические явления, в частности простое гармоническое колебание). Как раз здесь, а не в решении треугольников, лежит главное идейное содержание предмета, вопреки исторически сложившемуся названию (тригонометрия — измерение треугольников) и традиции преподавания.

В заключение этих, не претендующих на полноту, замечаний сопоставим их с практикой нашей школы. В программах 1947 г. элементы пропедевтики в известной мере представлены (координаты, графики функций, пределы и др.), во всяком случае, преподаватель имеет возможность поднять их удельный вес. На практике мы наблюдаем иное: пониженное внимание к этим во-

просам, доходящее до минимального, а иногда чисто формального выполнения относящихся сюда пунктов программы. Не объясняется ли это положение тем, что пропедевтика не получает здесь естественного завершения в виде концентрированного изучения начал анализа и аналитической геометрии? Можно ли ожидать жизнеспособности от той подготовительной работы, которая будет полностью1 использована лишь частью учащихся и притом за пределами средней школы?

II. Начала аналитической геометрии

4. Метод координат. Когда мы настаивали выше на общеобразовательном значении новой математики, то имели в виду прежде всего знакомство с методами, господствующими в современной науке, и лишь во вторую очередь — усвоение новых математических фактов. Конечно, в преподавании методы не могут быть оторваны от добываемых с их помощью фактов, но педагог в каждом случае должен иметь ясное представление о том, где проходит магистральная линия его усилий. Когда, например, от решения двух уравнений с двумя неизвестными переходят к трем уравнениям с тремя неизвестными, то в принципиальном отношении очень немногое прибавляется к тому, что ученик уже усвоил; здесь главная задача состоит в расширении опыта ученика и в приобретении им дополнительных навыков. Иную цель ставит себе преподавание аналитической геометрии: если бы даже оно не вывело нас за рамки тех фигур (в планиметрии — образованных прямыми линиями и окружностями), которые изучаются в традиционном курсе, а только дало бы учащимся в руки новые и более совершенные средства для решения задач, относящихся к таким фигурам, то и тогда преподавание этой дисциплины было бы оправданным. На самом же деле, мы легко можем средствами аналитической геометрии познакомить ученика с такими кривыми, как эллипс, гипербола, спирали, и, разумеется, нет никаких оснований к тому, чтобы отказываться от этих полезных сведений2.

1 Именно «полностью», так как мы вовсе не собираемся отрицать собственного образовательного значения перечисленных в тексте вопросов, отнесенных там к пропедевтике.

2 Такое положение, при котором оканчивающий среднюю школу не имеет представления об эллипсе, неприемлемо даже с точки зрения нынешних программ. Ведь без этого он не поймет ни законов Кеплера в космографии, ни описания структуры атома в физике. Однако если бы речь шла только о пробелах в геометрических познаниях, то их можно было бы восполнить и на базе старых методов. На этот именно путь вступила еще в конце прошлого века немецкая школа, вводя в курс старших классов такие разделы, как «синтетическая теория конических сечений», «сферическая тригонометрия». Лежащая здесь в основе педагогическая концепция — «новые факты старыми методами» — диаметрально противоположна нашей.

В чем же состоит метод аналитической геометрии? Ученик старших классов имел уже не один случай убедиться в значительности той помощи, которую геометрия получает со стороны алгебры. Одна только теорема Пифагора, записанная в виде равенства

a2 + b2 = c2. (1)

служит источником ряда новых соотношений и средством решения многих задач. Причина успеха здесь в том, что формула является алгебраическим эквивалентом геометрического факта, точнее, условием, необходимым и достаточным для того, чтобы треугольник ABC был прямоугольным (с прямым углом, лежащим против стороны с). Как только геометрический факт переведен на язык алгебры, весь аппарат последней с хорошо разработанными приемами тождественных преобразований и решения уравнений поступает в наше распоряжение. Отсюда недалеко до мысли — составить возможно более полный «словарь» для перевода с геометрического языка на алгебраический. Эта задача была разрешена в первой половине XVII в. французскими математиками Декартом и Ферма, положившими в основу своего словаря «координаты» как числовой эквивалент первичного геометрического понятия — точки1.

Идея координат возникла очень давно, когда астрономы, а затем географы стали пользоваться «широтой» и «долготой» для определения положения точки на поверхности сферы. Еще в XIV в. н. э. французский математик Оресм применял эти термины к точкам на плоскости; следовательно, по существу он уже пользовался абсциссой и ординатой. Конечно, это еще не аналитическая геометрия Декарта. Последняя появляется в тот момент, когда мы получаем возможность находить расстояния, углы, площади по координатам точек, и входит в полную силу, когда вместо линий и поверхностей выступают уравнения, выражающие зависимости между координатами.

В хронологическом порядке аналитическая геометрия была развита сначала для плоскости, позже (начало XVIII в.) для

1 Название «аналитическая геометрия», появившееся в начале XVII в., нельзя признать удачным. Считая логические категории «анализа» и «синтеза» характерными соответственно для науки о числе и науки о пространстве, противопоставляли аналитическую геометрию «синтетической», основанной на чисто геометрических методах. С точки зрения школьной терминологии, включающей в алгебру и трансцендентные функции (показательную, логарифмическую), более подходящим было бы название «алгебраическая геометрия», однако оно употребляется теперь в ином смысле. В современной литературе появился термин «координатная геометрия», который не получил, однако, широкого распространения, хотя, по-видимому, он наилучшим образом отражает существо предмета.

пространства, и только в XIX в. авторы некоторых руководств из педагогических соображений стали присоединять сюда «аналитическую геометрию на прямой». Выдвигая на первый план усвоение метода, средняя школа может ограничиться геометрией на плоскости; переход к пространству, требуя значительного усложнения аппарата, не дает существенно нового в смысле метода (впрочем, ради укрепления идеи координат стоит затратить час-другой на определение координат точки в пространстве и соответствующие упражнения). Зато принятие в качестве исходного пункта «аналитической геометрии на прямой» как педагогический прием вполне себя оправдало. Нужды нет, что ученики, занимаясь графиками, уже давно практически овладели координатами на плоскости; если мы хотим с надлежащей полнотой и систематичностью изложить введение в аналитическую геометрию, то необходимо уточнить и углубить понятие о координатах, а для этого вряд ли можно найти лучший пункт отправления, чем координаты на прямой. Как это сделать, будет намечено немногими строками ниже, но сначала выскажем несколько общих соображений относительно научного уровня преподавания в средней школе, тем более уместных, что эти соображения определяют нашу позицию не только в данном случае, но и в ряде последующих. Быть может, на первый взгляд покажется парадоксальным мнение, что в деле преподавания начал «высшей» математики средняя школа должна добиваться более выдержанного научного уровня, чем тот, который имеет место в технической школе. Для последней математика — рабочий инструмент, которым студент должен овладеть с достаточной полнотой и притом в кратчайший срок, чтобы не задерживать изучение прикладных дисциплин. Вероятно, этими особенностями объясняется тот факт, что учебники высшей математики для технической школы часто стоят на низшем научном уровне, чем достигаемый в старших классах средней школы1.

1 Приведем один только иллюстрирующий это положение пример. Когда в средней школе занимаются иррациональными уравнениями, то настойчиво обращают внимание учеников на тот факт, что при возведении обеих частей уравнения в квадрат могут появиться посторонние решения. Между тем в высшей школе, когда от уравнения, скажем, эллипса, написанного в виде У(х + с)2 -\- у2 -f- г С* — с)2 -\-у2 = 2а, переходят к уравнению + -р- = 1, то приходится дважды возводить в квадрат, причем большинство учебников (даже университетских) замалчивает здесь существенно важный вопрос о возможности появления посторонних решений. На самом деле их в данном случае не получается, что может быть выяснено дополнительным исследованием, основанным на неравенстве с < а. Однако вдумчивый студент заметит, что та требовательность, которую в нем воспитывала средняя школа, здесь снижена.

Именно отсюда может идти тот скептицизм, который проявляют иногда академические круги по отношению к преподаванию элементов новой математики в средней школе. Однако казалось бы, что из этого положения следовало бы сделать другой вывод: преподавание математики в средней школе должно быть иного стиля, чем в техническом и в других вузах, где в качестве подсобного читается «сокращенный курс высшей математики». Добавим к этому, что оно не должно копировать и преподавания на I курсе физико-математических факультетов, рассчитанного на особую аудиторию будущих специалистов. К счастью, все эти требования не создают для средней школы никакой коллизии. Будучи общеобразовательной, эта школа может сосредоточить внимание на идейной стороне предмета (разумеется, в меру ее доступности среднему ученику старших классов), не гоняясь, например, при изучении анализа за достижением беглости в дифференцировании и интегрировании. Специфика классных занятий (беседа, постоянный контроль и опрос, сравнительно медленный темп изучения) также создает обстановку, более благоприятную для овладения новыми идеями, чем лекционная система высшей школы. Нижеследующие строки, содержащие набросок одного из вариантов введения в аналитическую геометрию, пусть послужат иллюстрацией к этим общим соображениям.

Прямая линия называется «ориентированной», если на ней выделено (и обозначено стрелкой) одно из двух возможных направлений. Если на такой прямой даны две точки А и В, то, после того как выбран эталон длины, можно рассматривать наряду с обыкновенным («абсолютным») расстоянием АВ (или В А) между А и В также «относительное расстояние от А до В»у определяя его как положительное или отрицательное число, равное +АВ или —АВ, смотря по тому, совпадает ли направление, идущее от Л к Б, с направлением ориентированной прямой или противоположно ему. Обозначая относительное расстояние символом АВ,

АВ = — ВА или АВ + ВА = 0.

С какой целью вводится это понятие, нетрудно объяснить. Если на прямой даны три точки А, В и С, то между абсолютными расстояниями АВ, ВС, АС имеет место то или иное соотношение, смотря по тому, какая из этих точек лежит между двумя другими. В противоположность этому относительные расстояния всегда связаны одной и той же зависимостью

(«теорема Шаля»). Эта теорема, позволяющая, «не глядя на чертеж», утверждать нечто об относительных расстояниях, имеет фундаментальное значение для обоснования аналитической геометрии, в частности для доказательства общности ее формул1.

Теперь мы имеем возможность каждой точке, взятой на прямой, поставить в соответствие определенное число — координату (абсциссу) этой точки. Для этого достаточно установить на прямой «систему координат», слагающуюся из трех элементов: 1) направление (одно из двух возможных), называемое «положительным»; 2) эталон длины (масштаб); 3) определенно выбранная на прямой точка — «начало координат». Для любой точки (А), лежащей на прямой, назовем координатой (хА или просто х) относительное расстояние от начала координат (О) до этой точки:

хА = ОА.

Естественно встает вопрос: как отзывается на координате точки изменение системы координат («преобразование координат»), которое может иметь здесь троякий характер: изменение 1) положительного направления (на противоположное); 2) эталона длины; 3) положения начала координат. Наиболее важным является третий тип преобразования (хотя и первые два заслуживают упоминания и разъяснения, скажем, на примере перехода от одной температурной шкалы к другой) — остановимся на нем подробнее.

Рис. 1.

Если начало координат перенесено из точки О в точку О' (рис. 1), имеющую в старой системе абсциссу а, то, обозначая через х и х' соответственно координаты точки А в старой и в новой системе, имеем:

х' = х— а, х = х'-\-а (2)

1 Меньшее значение имеет «обобщенная теорема Шаля»: если на ориентированной прямой имеется п точек Ли А2, ..., Лп, то

А{А2 + А2А3 + ... +А~Ап = А^Ап.

Однако и этим обобщением не следует пренебрегать, так как вывод его дает хороший повод для доказательства методом математической индукции (методом перехода от п к п + 1), а содержание его — благодарный материал для упражнений.

(можно рекомендовать и словесную формулировку, которая позже будет повторяться для случаев плоскости и пространства).

Справедливость этих формул очевидна, если исходить из расположения точек О, О', Л, показанного на чертеже. Остается, однако, открытым вопрос, сохранят ли эти формулы силу при ином расположении точек. Воспользуемся этим случаем для того, чтобы высказать несколько общих соображений о характере вывода формул аналитической геометрии.

1-й метод. Вывод основывают на чертеже, изображающем одно из возможных расположений частей фигуры, и притом такое, при котором результат получается с наибольшей легкостью и наглядностью [в нашем случае таков вывод формул (2) из рис. 1]. Вслед за тем перечисляют все другие возможные расположения частей фигуры и предлагают для каждого из них убедиться, каждый раз на основании нового чертежа, в справедливости той же формулы. Недостатки этого метода: а) перечисление и классификация всех существенно различных случаев могут оказаться затруднительными (в нашем примере, для точек О, О', А следовало бы рассмотреть 13 возможных расположений на прямой, включая сюда и случаи совпадения точек); б) число подлежащих проверке случаев бывает значительным, что на практике приводит к отказу от исчерпывающего доказательства; в) простая констатация совпадения результатов при различии в их выводе производит впечатление счастливой случайности и оставляет ощущение невыясненности действительного источника этих совпадений (дефект не логического, а психологического порядка).

2-й метод. Пользуясь общими предложениями вроде теоремы Шаля, дают сразу для общего случая вывод формулы, не опирающийся на чертеж. В нашем примере такой вывод немедленно получается, если написать

ОА = дЬ' + 0'А

и заметить, что OA = х, 00/ =* а, О'А = х'1

Этому выводу, безупречному в смысле полноты, не хватает одного элемента, в деле преподавания далеко не безразличноного, — наглядности. Можно поэтому думать, что педагогически оправданным, по крайней мере на первом этапе изучения аналитической геометрии, явилось бы получение формулы из благо-

1 Можно заметить, что тяжесть рассмотрения отдельных случаев переносится теперь на теорему Шаля. Однако роль ее в том и заключается, чтобы, выполнив эту кропотливую работу один раз, освободиться от нее в ряде последующих доказательств.

приятного чертежа с последующим выводом ее без всякого чертежа. И хотя логически второй вывод делает излишним первый, однако при необходимости восстановить содержание формулы ученик призовет на помощь именно благоприятный чертеж (например, формулу х' = х — а он восстановит, представляя себе, что начало координат переместилось вправо на расстояние а, вследствие чего для всех точек, лежащих правее нового начала, абсциссы уменьшались на а).

Теперь, после того как основные методические установки формулированы и пояснены на примерах, дальнейший обзор содержания курса можно сделать кратким. Из геометрии на прямой достаточно рассмотреть три задачи: 1) о расстоянии (абсолютном и относительном) между двумя точками (формулы АВ = = хв — хА, АВ = \хв — хА\); 2) о делении отрезка пополам х _ + j и более общую 3) о делении отрезка в данном отношении ус — | _|_ х или х== п-\-п )' пРичем здесь можно ограничиться случаем внутреннего деления (К > 0)1. Полученные результаты будут позже использованы в геометрии на плоскости. Самостоятельное значение третьей из перечисленных задач можно иллюстрировать на примере нахождения центра масс (или центра тяжести) двух, а затем нескольких материальных точек, для которых известны массы и координаты2.

Обращаясь к геометрии на плоскости, следует вернуться к уже знакомым ученику понятиям: абсцисса и ордината. Система координат состоит здесь из двух взаимно перпендикулярных ориентированных прямых (оси координат Ох и Оу) и эталона длины, одного и того же для всех направлений3. Одновременно естественным образом возникает система координат на каждой из осей Ох, Оу, и мы получаем возможность свести определение координат в двумерном случае к одномерному: если Ах к Ау — соответственно проекции (ортогональные) точки А на оси Ох и Оу, то по определению (которое полезно формулировать и словами)

х = ОАх, у = ОАу.

1 От соблазна познакомить учащихся с двойным (ангармоническим) отношением четырех точек, а тем более с бесконечно удаленной точкой, следует воздержаться: в первом случае — из принципа строгой экономии в сообщении новых фактов; во втором — из-за трудности дать подлинно научное изложение.

2 См., например, § 4—6 учебника Я. С. Дубнова, указанного на стр. 155.

3 При построении графиков нередко пользуются разными масштабами для осей Ох и Оу; в аналитической геометрии это ненужным образом усложнило бы изложение.

Было уже указано, что знакомство с координатами в пространстве можно не считать обязательным для нашего курса; но если это делать, то именно сейчас — для укрепления идеи координат. Ничего не придется менять в определении координат; прибавится только новая формула, z = ОЛг, и новый термин — аппликата (так часто называют третью координату г). Однако некоторое время необходимо затратить на решение простых задач проекционного черчения: построение точки по данным ее трем координатам и обратная задача.

Теперь предстоит вывести формулы, посредством которых выражаются длины отрезков, углы между прямыми и площади прямолинейных фигур по координатам точек и по координате направления («подъему» — см. ниже). В интересах полноценного вывода этих формул полезно с самого начала иметь в своем распоряжении формулы преобразования координат для специального случая — параллельного переноса осей:

х' = х — а, у' = у — Ь или х = х'-\-а, у = у'-\-Ь> (3)

вывод которых уже подготовлен [см. (2)]1. Например, формулу для расстояния (разумеется, абсолютного) между двумя точками можно получить в два этапа: 1) расстояние точки А (х, у) от начала координат О выражается формулой ОА= Ух2-\-у2 2) пользуясь (3), легко получить для точек А(хиу{) и В(х2,у2)

Рис. 2,

Исходя из соображений, развитых выше (стр. 36), полезно предпослать этому вывод той же формулы из благоприятного чертежа (рис. 2).

1 Не представляло бы большого труда получить более общие формулы преобразования координат, включающего поворот осей. Следует, однако, отказываться от всякого расширения курса, не оправдываемого в дальнейшем существенными приложениями.

В задаче о делении отрезка в данном отношении вывод формул подготовлен решением той же задачи в одномерном случае. Хорошей иллюстрацией может служить координатное доказательство теоремы о пересечении медиан треугольника. Ученик, уже знакомый с элементарно-геометрическим доказательством, будет иметь поучительный случай сравнить два метода.

Несколько отклоняясь от традиции, мы предлагаем включить в этот раздел курса понятие о подъеме (угловом коэффициенте1) прямой. В учебниках обычно откладывают знакомство с этим понятием до встречи с уравнением прямой, и эта ассоциация в сознании ученика оказывается настолько прочной, что он, например, вычисляет подъем прямой по двум точкам, составляя уравнение этой прямой. Между тем подъем также является координатой, но только не точки, а прямой, рассматриваемой как элемент одномерного образа — пучка прямых. Поэтому включение этого понятия в главу об основных координатных формулах кажется естественным, тем более, что подъем (т) сейчас же связывается с координатами точек в силу формул т0А = — [для прямой, соединяющей точку А (х, у) с началом координат О] и тАВ = У2~У{ [для прямой, соединяющей точки А(хиу{) и В(х2, у2)1

За этим следуют признаки параллельности (т = т') и перпендикулярности \т' = — —) прямых; наконец, формула для угла между двумя прямыми, подъемы которых известны: tg<p= ± (двойной знак здесь неизбежен, поскольку мы считаем прямые неориентированными).

Главу можно закончить формулой, выражающей площадь треугольника через координаты его вершин. Чтобы не усложнять изложения, следует ограничиться элементарно-геометриче-

1 Этот тяжеловесный термин, по-видимому, доживает последние дни (вслед за «дифференциальным коэффициентом», как еще в XIX в. называли «производную»). В зарубежной литературе все чаще предпочитают термин, состоящий из одного слова (slope, pente, Steigung). У нас термин «подъем» встречается в учебниках А. Киселева «Элементы алгебры и анализа» и Я. С. Дубнова «Введение в аналитическую геометрию». В учебнике И. И. Привалова и С. А. Гальперна «Основы анализа бесконечно малых» мы находим вместо этого «наклон»; однако наклоном обычно называют угол, а не его тангенс.

ской точкой зрения на площадь (положительное число), вследствие чего в формулах появляется знак абсолютной величины. Сюда же естественным образом примыкает условие, необходимое и достаточное для прямолинейного расположения трех точек1.

5. Уравнение линии. Две основные задачи аналитической геометрии. Вводная глава курса, обзор которой только что был дан, составляет звено, необходимое для дальнейшего изучения предмета, но еще не содержит центральной его идеи: соответствия между линиями и уравнениями. За отправной пункт возьмем давно знакомое ученику понятие — геометрическое место точек, обладающих данным свойством. Десяток-другой примеров геометрических мест, появляющихся в школьном курсе, создает впечатление, что область применения этого понятия узка. Между тем теперь эта область беспредельно расширяется: стоит написать какое-нибудь уравнение вида F(x,y) = 0, для того чтобы возник вопрос о геометрическом месте точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению (при подстановке абсциссы вместо х, ординаты вместо у). Это геометрическое место, состоящее обычно из одной или нескольких линий, называется графическим изображением или графиком уравнения F(x, у) = 0. Заметим — уравнения, а не функции, как было до сих пор; конечно, первое понятие является обобщением второго: если уравнение имеет вид у = f(x), то говорят о графике функции f(x). Обратно, если задана линия (геометрическими свойствами, которые ее определяют), то можно искать уравнение, для которого эта линия служит графиком, — оно и называется уравнением данной линии.

В силу этого определения уравнение линии выражает такую зависимость между координатами (л: и у) точки, которая является условием необходимым и достаточным для того, чтобы точка принадлежала этой линии. Как ни прозрачны по своей ло-

1 По всему разделу курса см. § 7—15 учебника Я. С. Дубнова, где порядок и детали изложения несколько отличаются от предложенных в настоящей статье; там же имеется большое число задач. По поводу решения задач позволим себе привести выдержку методического содержания из предисловия к этому учебнику: «Решение задач, которое по общему замыслу не отделимо от изучения текста, должно всякий раз сопровождаться чертежом — точным или схематическим, выполняемым до выкладки или после нее»,

гической структуре эти определения, опыт показывает, что они медленно и лишь через большое число иллюстрирующих примеров входят в сознание ученика. Отсюда — необходимость сопроводить изучение этих новых понятий решением достаточного числа задач двоякого рода:

1. Линия определена своими (геометрическими) свойствами— составить ее уравнение. При этом система координат может быть указана в условии задачи, а в других случаях выбор ее предоставляется нам. В начальной стадии мы не ставим себе целью расширить запас изученных линий; поэтому можно ограничиться задачами, относящимися к прямой и окружности, например: составить уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R(x2 + у2 = R2)\ то же для случая, когда центр окружности лежит в точке (a, b) [(х — а)2+(у — b)2= R2]; написать уравнение оси симметрии двух точек (а, Ь) и (аи Ь\)\

[2(a — al)x+2(b—bl)y + a2 + b2 — a\—b\=0\

2. Дано уравнение линии — изучить ее (геометрические) свойства (или взаимоотношения с другими линиями, входящими в условие задачи, например с осями координат). Эта задача имеет несколько расплывчатый характер (до каких пределов должно быть доведено «изучение линии»?), как, впрочем, и другие вопросы школьной математики, относящиеся к так называемому «исследованию уравнений». Во всяком случае ученик должен хорошо уяснить себе на ряде примеров, что все свойства изучаемой линии, вплоть до мельчайших деталей, могут быть «вычитаны» из ее уравнения, которое, таким образом, содержит полное описание линии.

Теперь своевременно -установить два общих результата этого рода:

a) Всякое уравнение вида

Ах2 + Ау2 + Вх -\-Cy-\-D = 0 (АФО)

выражает окружность, если оно вообще принадлежит какой-либо линии1. В ходе доказательства [путем преобразования этого уравнения к виду (х — а)2 + (у — b)2 = R2] выясняется, как для этой окружности найти координаты центра и радиус.

b) Всякое уравнение вида

Ах + Ву + С = 0 (А2 + В2Ф0)

1 Такое уравнение, как, например, х2 + у2 + 1 — 0, не удовлетворяется никакими вещественными значениями х и у и, следовательно, не принадлежит никакой линии. О мнимых геометрических элементах в нашем курсе, конечно, не может быть речи.

выражает прямую линию. Доказать это можно, приводя уравнение к виду (см. выше)

2(а — ах)х + 2ф— bx)y+a2 + b2 — а2 — А? = 0,

т. е. рассматривая искомую прямую как ось симметрии двух точек, что можно сделать на бесчисленное множество ладов1.

Именно взаимодействие задач 1-го и 2-го рода создает силу координатного метода, которую уже теперь можно демонстрировать на ряде задач, где геометрическим местом является прямая или окружность (один из поучительных примеров — «аполлониева окружность»)2. Ученик должен ощутить, насколько он теперь лучше вооружен при решении таких задач, которые могли бы быть поставлены перед ним и до изучения аналитической геометрии. (Пример: по какой линии должна двигаться точка для того, чтобы сумма квадратов ее расстояний от вершин данного прямоугольника оставалась постоянной? — задача не из легких, если ограничить себя элементарными методами, но без всяких усилий решаемая средствами аналитической геометрии.) Вслед за этим большинство учебников переходит к детальному изучению посредством уравнений отдельных типов линий: прямая, окружность, эллипс, гипербола, парабола. Если в университетских курсах такая последовательность оправдывается тем, что теория кривых 2-го порядка доводится до большой полноты и завершает аналитическую геометрию на плоскости, то в нашем случае возможен и даже, по-видимому, предпочтителен другой порядок. После того как сила координатного метода продемонстрирована на задачах привычного содержания (прямая и окружность), показываем, как этот же метод делает доступным изучение новых (или известных только по названию) линий. Канонические уравнения параболы {у2 = 2рх), эллипса (^2~ + jt = 1, гиперболы — аГ= 0 выводятся из их фокальных

1 Задача сводится к решению системы трех уравнений

2р (а — ах) = А 2р(Ь — Ьх) = В, р (а2 + Ь2 — а\ — bty = С

с пятью неизвестными a, b, аи blf р при дополнительном требовании (a — ai)2+ (6 — ^i)2 =т^= 0 [точки (a, Ь) и (ai, b{) не совпадают]. Простыми преобразованиями система приводится к виду

откуда видно, что можно произвольно задаться значениями а и Ь, после чего ах и bi однозначно (в силу А2 4- В2 =£)) определяются, и точка (alt bx) не совпадает с (a, Ь)у если только Аа -f Bb -f С ф 0.

2 См. учебник Я. С Дубнова, § 20.

свойств. Впрочем, в случае эллипса представляется в высшей степени желательным, чтобы фокальному определению предшествовало рассмотрение эллипса как кривой, получаемой из окружности преобразованием «осевого растяжения — сжатия»1 (откуда получается и наиболее простой вывод канонического уравнения). Гипербола дает повод обогатить геометрическое развитие ученика важным понятием асимптотического приближения (желательно привести и другие примеры — тангенсоида и пр.). Поскольку известны формулы преобразования координат при параллельном переносе осей, не представляет труда написать уравнения трех кривых соответственно в виде

(первое связать с графиком квадратного трехчлена), что даст возможность определять тип любой кривой, заданной уравнением

тх2 + пу2 -f - рх + qy + г = О

(при этом поучительным образом появится пара прямых как линия 2-го порядка). Интерес к этим кривым можно стимулировать многочисленными примерами появления их в природе и технике2.

Теперь своевременно расширить сферу действия координатного метода в двух направлениях:

1) На примере эллипса (х = a cos и, у = b sin и) следует познакомить с «параметрическим заданием кривой», которое, например, в механике имеет преобладающее значение. Параметрические уравнения эллипса можно связать как со сложением гармонических колебаний, так и с поучительным чертежным прибором — эллиптическим циркулем3.

2) Даже при минимальном объеме курса желательно не создавать у начинающего такое впечатление, будто декартова прямоугольная система является единственной реализацией идеи координат. После беглого упоминания о косоугольной системе следует остановиться подробнее на полярных координатах и воспользоваться ими для знакомства с некоторыми типами спиралей (архимедова, логарифмическая, гиперболическая).

1 При разумном построении курса геометрии это преобразование и связанное с ним определение эллипса должны появиться значительно раньше (в VIII—IX классах).

2 См. учебник Я. С. Дубнова, § 28.

3 Там же.

6. Прямая и окружность. Точечные преобразования. Первый цикл задач, относящихся к прямой линии, имеет целью показать, как составляется уравнение этой линии по наиболее естественным данным: 1) по точке и подъему; 2) по начальной ординате и подъему; 3) по двум точкам; 4) по начальной абсциссе и начальной ординате1.

Мы не включили в этот перечень «нормального уравнения» (х cos а + у sin ос— р = 0), так как усилия, требующиеся для его вывода, а позже для «приведения уравнения 1-й степени к нормальному виду», не оправдываются возможными в нашем курсе приложениями2.

Второму циклу задач предпосылается важная теорема: всякое уравнение 1-й степени (вида Ах + By + С = 0, где Л и В не равны одновременно нулю) выражает некоторую прямую; доказательство основывается на приведении этого уравнения к одному из видов, полученных при решении задач первого цикла (впрочем, каждый раз приходится рассматривать исключительный случай; другое доказательство намечено в этой статье выше, стр. 169—170). Теперь можно для двух прямых, заданных своими уравнениями, искать точку пересечения (задача, эквивалентная решению и исследованию двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными, чем обычно занимаются в курсе алгебры), угол между прямыми, решать ряд задач с применением условий параллельности или перпендикулярности прямых и т. п.

О прямой и обратной задачах, связанных с уравнением окружности, мы уже говорили. Остается присоединить сюда вопросы взаимного расположения прямых и окружностей, в частности задачи касания.

Теперь вся известная ученику область планиметрии становится принципиально доступной для исследования методом координат. Не следует жалеть времени на задачи, которые формулируются в терминах элементарной геометрии, но наилучшим образом решаются средствами аналитической (например, большинство задач на отыскание геометрических мест, особенно б тех случаях, когда они сводятся к прямым или окружностям).

Внушительным завершением курса было бы обращение к одной из руководящих идей современной геометрии — точечному преобразованию — в координатной трактовке. Эта объединяющая идея, к сожалению, недостаточно представлена в традиционном преподавании. Оставаясь все время в пределах планимет-

1 См. учебник Я. С. Дубнова, § 29.

2 Задача «найти расстояние точки от прямой», ради чего главным образом и вводится нормальное уравнение, разрешима и другими средствами (см., например, § 32, п. 3 учебника Я. С. Дубнова).

рии, мы имеем там дело исключительно с «коллинеациями», т. е. преобразованиями, сохраняющими прямолинейное расположение точек; среди них — в первую очередь с «конгруэнтными преобразованиями» (трансляция, вращение, симметрии осевая и центральная) и с одним только неконгруэнтным: центральное растяжение — сжатие, или гомотетия. Сюда следовало бы присоединить другое неконгруэнтное преобразование: «осевое растяжение— сжатие», о котором мы уже упоминали в связи с преобразованием круга в эллипс. В координатах эти преобразования выражаются формулами, вывод которых не представляет затруднений:

х' = х + Л, у' = у + k (трансляция);

х' = х cos а — у sin а, у' = sin а + у cos а (вращение на угол а около начала координат);

х' = х1у' = —у (симметрия относительно оси Ох);

х' — —х, yf = —у (симметрия относительно начала координат);

х' = х, у' = Ху (растяжение — сжатие относительно оси Ох);

х' = %ху у' = Ку (гомотетия с центром в начале координат).

Не только свойства каждого из этих преобразований в отдельности (например, свойство преобразовывать прямую в прямую), но и их взаимоотношения (например, возможность заменить центральное растяжение — сжатие двумя осевыми) получаются из написанных выше формул совершенно непосредственным образом.

Представляется также желательным дать пример неколлинеарного преобразования, скажем «инверсии», из геометрического определения которой легко получается:

*>' = Я2 о Т 2 • У' = О? -2-1-2 •

х2-{-у2 * х2-\-у2

Пользуясь этими формулами, без труда выясняем, как действует преобразование инверсии на прямые и окружности. Более углубленное изучение этого преобразования может быть темой кружковых занятий1.

Если удастся присоединить сюда несколько примеров2, вводящих в идею «инвариантности» функций или уравнений относительно данной «группы преобразований», то будет сделан

1 В связи с этим следует отметить, что для занятий школьного кружка наш курс в изобилии доставляет темы: синтетические теории (планиметрическая и стереометрическая) эллипса, гиперболы и параболы; оптические свойства этих кривых; общее для них определение с помощью фокуса и директрисы и т. д. (см., например, Ж. Адамар, Элементарная геометрия, ч. II, Учпедгиз, 1938, пп. 502—561 и 757—798).

2 Ср., например, учебник Я, С. Дубнова, стр, 128—129 (2 го издания).

важный шаг в сторону приближения к современной науке (с этими понятиями учащийся встретится, например, при чтении научно-популярной литературы по теории относительности).

III. Начала математического анализа

7. Содержание и структура курса. Те общие соображения, которые были высказаны в п. 4 по поводу содержания (стр. 159—160) и уровня изложения (стр. 161 —162) аналитической геометрии, относятся в равной мере к школьному курсу анализа. Однако задача отбора материала для этого курса становится более сложной вследствие обширности предмета и разнообразия его приложений. Необходимо избежать ошибки нашей дореволюционной и ряда зарубежных школ, строивших свои программы под лозунгом «все дифференцировать и кое-что интегрировать». Этот максимализм мог быть осуществлен только за счет вульгаризации изложения и формального усвоения предмета учащимися. С другой стороны, надо показать руководящие идеи анализа в действии, а для этого необходим некоторый минимальный инструментарий. Поэтому мы не можем согласиться ни с предложением комиссии П. Н. Игнатьева1 совершенно отказаться в средней школе от интегрального исчисления, ни с тем ничтожным запасом средств дифференцирования, который дан в советском издании учебника А. Киселева2 (дифференцируются только функции ах + Ь и ахп при п = 2, 3, —1). Заметно содержательнее проект программы средней школы, составленный Институтом методов обучения Академии педагогических наук3: умение дифференцировать полином любой степени и функции sin тх, cos тх открывает возможность показать приложения к исследованию хода изменения функций, к геометрии и физике, решать задачи на отыскание максимумов и минимумов (одно из эффектнейших применений дифференцирования — к сожалению, не упомянутое явно в этой программе). Небольшое усиление техники дифференцирования (производные от степени с целым отрицательным показателем, от квадратного корня, от сложной функции), включение в курс теорем Ролля и Лагранжа, наконец, определенного интеграла, рассматриваемого как предел суммы (важнейшая для естествознания идея анализа), сделали бы эту программу полнокровной и в то же время оставили бы ее легко реализуемой. По сравнению с дореволюционным курсом и даже с советским учебником И. И. Привалова и С. А. Галь-

1 См. выше, стр. 154.

2 А. Киселев, Элементы алгебры и анализа, ч. II, изд. 3, ГИЗ, М.—Л., 1928.

3 См. стр. 155.

перна это означало бы отказ от числа е и натуральных логарифмов, от дифференцирования степени с любым показателем, а также функций логарифмической, показательной, обратных тригонометрических и в связи с этим почти полное изъятие техники интегрирования.

Вместе с тем определяется и структура курса. В противоположность университету, где с полным основанием начинают изучение анализа с теории вещественных чисел1, средняя школа едва ли может позволить себе роскошь развить эту трудную теорию до уровня, существенно превышающего то, что излагалось в младших классах. Такая попытка грозила бы не только значительно отодвинуть знакомство с анализом, но и ослабить интерес к нему у большинства учащихся. Впрочем, за отказ от этой теории мы вынуждены будем позже расплачиваться необходимостью принимать некоторые предложения без доказательства, с чем, однако, можно мириться, если только мы не создаем иллюзии доказательства.

Необходимым и в то же время доступным введением в предмет является анализ понятий «функция» и «предел». За этим следует операция дифференцирования с ее разнообразными и импонирующими применениями. Курс заканчивается знакомством с определенным и неопределенным интегралом, что снова дает пищу для поучительных приложений.

Последующая часть статьи содержит детализацию этой программы.

8. Функция. Предел. С этими понятиями учащиеся уже встречались не раз. Однако, приступая к изучению элементов анализа, мы должны вернуться к фундаментальным для него понятиям с целью уточнить и углубить их содержание.

Идея функции, сопутствующая анализу с первых его шагов, прошла длинный путь, прежде чем достигла своего современного оформления. Для Эйлера (XVIII в.) «функция переменной величины есть аналитическое выражение, составленное как-либо из этой переменной и постоянных чисел или же величин». В силу этого определения («оперативного») функция задана, если из-

1 См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, Гостехиздат, 1947. Введение. (В этом руководстве особое внимание уделено пределам последовательностей; для последних вводится, следуя Мерэ, специальный термин «варианта», гл. 1, стр. 50— 107. Много хорошо подобранных примеров, доступных ученику старшего класса.) А. Я. Хинчин, Восемь лекций по математическому анализу (изд. 2, ГТТИ, 1946), Лекция 1, первый пункт которой имеет заголовок «Почему математический анализ должен начинаться с изучения континуума?». (Для нас наибольший интерес представляют лекции 2 и 3 — пределы и функции.)

вестно, какие операции надо произвести над значением независимого переменного для того, чтобы получить соответствующее значение функции. Здесь многое остается неясным, и прежде всего смысл термина «операции»; конечно, можно их просто перечислить (например, четыре рациональных действия, затем операции, приводящие к функциям: степенной с любым вещественным показателем, показательной и логарифмической с положительным основанием, тригонометрическим и обратным им), но тогда определение может оказаться слишком узким. Так, при только что приведенном перечне дозволенных операций пришлось бы отказаться от рассмотрения функций, определяемых равенствами:

у=\х\ или у= lim ■ , 2Л.

Л-»со 1 I Л

Далее, перечисленные операции не всегда выполнимы — во всяком случае, если не выходить из области вещественных чисел, как это обычно делается в элементарном изложении примеры х__2 или У *—х* или aTcsmx ПРИ * — 2); значит, мы должны каждый раз выяснять «область определения функции», т. е. совокупность (множество) тех значений, которые мы вправе приписывать независимому переменному. Наконец, результаты некоторых операций (извлечение корня, обратные тригонометрические функции) многозначны — в этих случаях надо договориться, рассматриваем ли мы все значения функции или же по какому-нибудь признаку выделяем одну «ветвь функции», например «главное значение» обратной тригонометрической функции1.

Другой особенностью старого взгляда на функцию была существенная роль «переменного» [числа, количества]2. До сих пор авторы многих учебников считают подходящим введением в изучение функций фразу вроде: «в математике рассматривают величины двоякого рода: постоянные и переменные». К расплывчатости, сопутствующей термину «величина», здесь присоединяется интуиция изменения и постоянства с течением времени —

1 Большинство педагогов предпочитает (в вещественной области) рассматривать многозначную функцию как совокупность однозначных. Иная точка зрения представлена в статье А. И. Маркушевича «Понятие функции», «Математика в школе», 1947, № 4.

2 У иных авторов — «переменной» (величины). Нам представляется что, после того как в преподавании утвердился оборот речи «уравнение с одним неизвестным» (а не «одной неизвестной»), единство стиля заставляет предпочесть «переменное».

ход мыслей, берущей начало от ньютоновых флюэнт и флюксий1. Верно то, что изменение с течением времени таких величин, как путь, скорость и т. п., доставляет нам простые и наглядные примеры функций — обстоятельство, которым педагог не преминет воспользоваться; однако нет никаких оснований (и никакой необходимости) подчинять математическое понятие функции физическому— времени. Поэтому современная трактовка функции обходится без понятия «переменного» (а если вводить этот термин, то несущественным образом, как дань словоупотреблению, еще до сих прр широко распространенному), выдвигая на передний план в качестве первичных понятий «множество» и «соответствие».

Если ограничиться для простоты функциями с числовым аргументом и числовыми значениями, то в современном понимании функцией (одного аргумента) называется правило, в силу которого каждому числу из заданного множества («область задания») ставится в соответствие некоторое число («значение функции»). Так, например, формула у = х3 ставит в соответствие каждому числу х число у, равное произведению трех множителей, из которых каждый есть х\ за область задания здесь можно принять множество всех (вещественных) чисел или любую часть этого множества. Таким образом, функция определяется двумя характеристиками: 1) правило соответствия, 2) область задания2.

Последняя «почти» не зависит от первого с единственным ограничением: в область задания не должны входить такие числа, к которым наше правило соответствия неприменимо. Например, если функция определена только формулой

У—(х-2)(х-7) '

то в область задания не должны входить числа 2 и 7; в остальном она совершенно произвольна, например, это может быть вся

1 См.: И. Ньютон, Сборник статей к трехсотлетию со дня рождения, изд. АН СССР, 1943, статья Н. Н. Лузина.

2 Стоя на этой позиции, мы, в сущности, должны были бы определить, какое содержание вкладывается в выражение «сумма, произведение... функций», так как вовсе не ясно, что, например, означает «сумма двух правил» и т. п. Если этого, однако, не делают даже в серьезных руководствах [как на редкое исключение укажем на лекции К. Менгера (К. Меngеr, Algebra of Analysis, Notre Dame Math. Lectures, № 3, 1944)], то, вероятно, потому, что сама математическая символика подсказывает, что под суммой, например, функций у = х3 и z = х2 естественно разуметь функцию и = у + г = = х3 + х2. Тем меньше оснований преподавателю средней школы брать на себя инициативу в постановке этих тонких вопросов; но он должен быть готов к таким вопросам со стороны вдумчивого ученика.

числовая прямая, из которой исключены точки 2 и 7 («максимальная область задания») или промежуток 2 < х <^ 5 и т. п. Если об области задания ничего не сказано, то возникает вопрос о нахождении максимальной области, а именно так надо понимать традиционные задачи вроде: найти область задания функции у = У 4 — х2 при вещественных х и у (ответ: —2<л:<2).

Сравнивая «оперативное» определение Эйлера с только что рассмотренным, можно заметить, что они не так уж далеко отстоят одно от другого. Если отвлечься от «области задания» (которую в случае оперативного определения понимают как максимальную), то стоит только расширить смысл термина «операция» настолько, чтобы он охватывал любое правило преобразования одного числа в другое независимо от того, выражено ли это правило одной или несколькими формулами или описано словами, и различие исчезнет.

В средней школе круг рассматриваемых функций настолько ограничен, что казалось бы можно удовлетвориться узким оперативным определением. Однако общее определение (понятно, мы не настаиваем на приведенной выше его редакции) имеет настолько очевидное преимущество простоты, соединенной с исчерпывающей полнотой, что его следует предпочесть. После того как это определение сформулировано, пояснено на достаточно разнообразных примерах и связано с графическим изображением, в дальнейшем мы почти всегда будем иметь дело с функциями, заданными формулой, причем круг операций, входящих в состав этой формулы, будет постепенно расширяться («элементарные» функции, затем предельный переход, дифференцирование, интегрирование). Конечно, при этом функциональная символика должна быть развернута с достаточной полнотой: в результате специальных упражнений и постоянного применения такие символы, как f(x), F(x,y), /(3), f[<p(x)], должны стать для ученика привычными1.

С другим основным понятием анализа — пределом функции («пределом переменного» в старой терминологии) ученик знаком в частной и наиболее доступной форме предела последовательности (суммирование членов бесконечной убывающей прогрессии, площадь круга как предел последовательности площадей правильных многоугольников и т. п.). Мы назвали эту

1 Не можем поддержать обычая знакомить в самом начале с классификацией функций, доведенной до разделения их на алгебраические и трансцендентные. Корректное проведение этой классификации требует усилий, не оправдываемых необходимостью. Впрочем, для школьного кружка эта тема вместе с доказательством трансцендентности таких функций, как sin х, 2*, представляется и доступной и благодарной,

форму частной потому, что п-н член последовательности ап есть не что иное, как функция натурального аргумента (п) с областью задания (1, 2, 3,...), а единственно возможный здесь предельный переход состоит в неограниченном возрастании п (условная запись п -> со). Возвращая внимание учеников к примерам последовательностей, имеющих предел, мы в состоянии — именно потому, что это понятие не является новым, — подняться от прежнего определения1 к более точному: число А называется пределом последовательности ап, если для любого положительного е, сколь бы малым оно ни было2, можно указать такое N, что | ап — А | < е для всех значений п, удовлетворяющих неравенству п > N. Эта формулировка, подготовляющая к «эпсилон-определению» предела в более общем случае . lim/(*), может быть связана с ранее усвоенным решением неравенств. Для этого достаточно рассматривать проверку соотношения lim ап = А как задачу: для неравенства \ап — А\ < е с известным п найти частичное решение3 вида п> N.

Нетрудно подобрать достаточное число примеров, где задача этого рода может быть доведена учащимся до конца, причем поучительным образом обнаружится зависимость числа N от е, а также от параметров, которые могут входить в выражение ап4.

В других случаях для предела последовательности довольствуются «доказательством существования», основанным на лемме о монотонной ограниченной последовательности. Эта лемма, содержание которой хорошо известно ученику из курса геометрии5, будет, по-видимому, и здесь принята без доказательства, так как оно опирается на теорию иррациональных чисел более развернутую, чем обычно излагаемая в школе.

От предела последовательности легко перейти к пределу функции: предполагая, что функция f(x) задана во всех точках некоторого промежутка, за исключением, может быть, точки а, число А называют пределом функции f(x) при х, стремящемся к а [пишут: \\mf(x) = А], если для любой последовательности

1 Например, такого: число А называется пределом последовательности, если члены ее отличаются от А сколь угодно мало, начиная с некоторого места.

2 Эта вставка, будучи излишней логически, не лишена психологического значения и потому педагогически оправдана.

3 Под частичным решением мы понимаем здесь такое, которое охватывает не обязательно все значения неизвестного, удовлетворяющие неравенству.

4 Ср. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, ГТТИ, 1947, стр. 57 и след.

5 Алгебраические примеры см. там же, стр. 87 и след.

(хп)1, имеющей пределом а, последовательность соответствующих значений функции стремится к пределу А:

lim f(xn) = A.

Важно подчеркнуть, что соотношение lim f(x) = А гарантировано только в том случае, если (4) выполняется для любой сходящейся к а последовательности, лишь бы члены ее принадлежали к области задания функции (например, при х~>0 функция sin — не стремится ни к какому пределу, несмотря на то что при хп = — последовательность sin— состоит из нулей и, значит, имеет пределом нуль).

Как ни соблазнительно свести новое и сложное понятие к ранее известному и более простому, однако нельзя ограничиться только что приведенным определением предела функции, которое более приспособлено к доказательству отсутствия предела, чем к проверке соотношения lim/(x) = А. Формулируем другое определение (сравните определение предела последовательности на стр. 48 и относящуюся к нему сноску): число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к а, если при любом положительном е, сколь бы малым оно ни было, можно найти для неравенства

\/(х) — А\ <е (х — неизвестное)

частичное решение вида

0 < \х — а\ <6.

Например, lim я2 = 9, потому что достаточно взять в качестве Ь меньшее из чисел 1 и -у г для того, чтобы было \х—3|<ув, \х + 3\ < 7; следовательно, \х2 — 9| < е.

Если даны оба определения, то эквивалентность их, по-видимому, должна быть принята без доказательства.

Мы не останавливаемся на условных записях, отличающихся от прежнего тем, что вместо чисел а или А стоят символы

1 Конечно, при этом предполагается, что числа хп принадлежат к области задания функции / (х).

+ со или —со; во всех этих случаях смысл соотношения должен быть определен особо, но принципиально нового здесь нет1.

На практике отыскание предела производится обычно с помощью теорем о пределах (суммы и разности, произведения и частного двух функций). По поводу этих привычных теорем отметим только два варианта изложения. Иногда предпосылают им леммы о бесконечно малых, т. е. о функциях, стремящихся к нулю (сумма бесконечно малых, произведение бесконечно малого на ограниченную функцию); затем доказывают теоремы о пределах, опираясь на то, что разность между функцией и ее пределом есть бесконечно малое. В других случаях излагают сразу теоремы о пределах, справедливо замечая, что здесь уже содержатся леммы о бесконечно малых. При этом указывают на нежелательность самого термина «бесконечно малое», действительно неудачного и отражающего детский возраст анализа. В этом методическом споре не хватает данных относительно того, с какой целью вводится понятие бесконечно малого. Если только для того, чтобы облегчить доказательство теорем о пределах, то действительно следует подумать, прежде чем идти на такое расчленение доказательств, и без того нетрудных. На самом же деле понятие это становится ценным само по себе (и не только в историческом аспекте, который, заметим, также нельзя игнорировать в преподавании), если рассмотреть сравнение бесконечно малых по их порядкам малости и в особенности ввести понятие об эквивалентности (по определению бесконечно малые аир эквивалентны, если litn|^ == 1; в символической записи а~Р). Уже знакомство с такими эквивалентностями, как sin а~ a, tga~a, 1—cosa~^„ jzr^—1—а> У* Н~а—*~"5" а' существенно облегчает отыскание пределов и дает повод заняться несколькими важными приближенными формулами, применяемыми при вычислениях с малыми величинами.

Завершением этой главы курса служит определение непрерывности функции, которое не представляет уже трудности,, если усвоены понятия функции и предела: функция f(x) непрерывна при х = а, если: 1) число а принадлежит к области задания; 2) существует lim/(a); 3) lim/(jc) = f(a). Вслед за исследованием элементарных функций с точки зрения их непрерывности надо рассмотреть несколько примеров разрывов, не огра-

1 О том, как все случаи объединяются с помощью понятия «окрестности», можно прочитать в лекции 2 книги А. Я. Хинчина «Восемь лекций, по математическому анализу».

ничиваясь при этом случаем так называемого «бесконечного разрыва»^—, tgx и т. n.j. Можно использовать для этой цели пределы некоторых последовательностей, состоящих из непрерывных функций, например функцию, определяемую для всех значений х формулой у = lim 1 , у2я .

9. Производная и дифференциал. Исторически дифференциальное исчисление возникло из нескольких задач, среди которых «задача о касательной» со времен Декарта приобрела следующее содержание: найти общий метод построения касательной к кривой, заданной своим уравнением. Если говорить о простейших уравнениях, вроде у = ах2, то, в самом деле, геометрическая интуиция настолько действенным образом подкрепляет здесь и постановку задачи и ее решение, что следует признать педагогически оправданным обычай связывать воедино первое знакомство с производной и задачу о касательной. Выигрышные стороны этого параллельного рассмотрения настолько бесспорны, что не раз предлагалось вводить понятие о производной как о подъеме кривой (т. е. подъеме касательной к кривой) значительно раньше, чем начинается систематическое изучение начал анализа. Теперь нас интересует именно старшая ступень обучения, и здесь надо предостеречь от подмены аналитически определяемой производной ее геометрическим образом, который при ближайшем рассмотрении оказывается не столь уж простым. Во всяком случае при определении касательной должен быть точно разъяснен смысл термина «предельное положение секущей», так как из знакомого ученику понятия предела этот смысл вовсе не вытекает. Если понимать это выражение так, что угол, образуемый касательной с секущей и рассматриваемый, например, как функция абсциссы, стремится к нулю, то необходимо, чтобы именно такое понимание работало в последующих рассуждениях1. В дальнейшем часто прибегают к этой геометрической модели, когда желают иллюстрировать дифференциальные свойства функций, — прием, не вызывающий сомнений, если только эти иллюстрации не выдаются за доказательства.

1 Некоторое представление о возникающих здесь трудностях и способах их преодоления (выходящих за рамки школьного преподавания) читатель может получить по книге: М. К. Гребенча и С. И. Новоселов, Курс математического анализа, 1, Учпедгиз, 1941 (книга предназначена для будущих педагогов и проникнута стремлением углубить и модернизировать трактовку основных понятий анализа), § 71 и 72; изложение в этой книге достаточно сложное,

После того как геометрическая задача дала к этому повод, формулируется обычным образом определение производной (функции)1 или же сначала производного числа, причем желательно, чтобы ученик овладел несколькими записями:

За этим должны последовать достаточно разнообразные примеры реализации нового понятия: 1) в механике (кинематике) — скорость и ускорение в прямолинейном движении, угловая скорость вращения вокруг оси; 2) в физике — плотность (линейная), теплоемкость, коэффициент расширения (линейного) и т. п. Здесь преследуются две педагогические цели: 1) дать представление о диапазоне применения понятия производной в естествознании; 2) оторвать в сознании ученика понятие о производной от геометрической модели как единственной.

Объем техники дифференцирования (вычисления производных) был уже намечен выше (п. 7). Отправляясь от определения, непосредственно находим производные для функций хп (п — натуральное число), — > Yx> sin л:, cos*.

В соединении с теоремами о производных (суммы, произведения, частного, сложной функции) эти формулы открывают уже доступ к решению широкого класса задач. Из перечисленных теорем спорной (с точки зрения режима строгой экономии) может показаться, пожалуй, теорема о дифференцировании сложной функции. Однако если от нее отказаться, то: 1) ученик окажется не в состоянии дифференцировать ни (ах + б)5, ни sin (а* + Ь) (физика!) или вынужден будет делать это кустарным способом; 2) исчезнет единственное доступное в нашем курсе оправдание для появления дифференциала (о нем — ниже).

1 Если хотят сразу ввести понятие о производной как о функции, то следует начать с функции двух переменных и рассмотреть (с несколькими упражнениями) предельный переход по одному из этих переменных: lim F (х, у) — <р (у). После этого схема построения производной /'(*) представляется в следующем виде: 1) из функции f(x) одного переменного образуем функцию двух переменных f(x + h)—/(*); затем 2) функцию тех же / (х 4- h) — / (х) переменных -^- (заметим, не определяемую этой формулой для h = 0); наконец, 3) переходим к пределу при h ->0, что дает снова функцию одного переменного.

К той же категории вынужденных расширений программы относятся включение в курс теоремы Лагранжа о среднем:

f(b) — f(a)=f'(c)(b-a), a<c<b,

с обычно предпосылаемой ей теоремой Ролля. Доказательства должны быть максимально упрощены, пусть даже ценой ограничения общности (например, при допущении непрерывности производной в теореме Ролля) или принятия на веру некоторых свойств непрерывных функций. Усилия, затраченные на вывод теоремы о среднем, окупятся при изложении признаков возрастания— убывания, максимума — минимума, на чем основано исследование хода изменения функции — важнейшее приложение анализа в нашем курсе. Не менее существенно то, что без теоремы о среднем мы лишимся наиболее простого доказательства фундаментальной для интегрального исчисления теоремы: две функции с общей производной отличаются только постоянным слагаемым.

Спорным является вопрос о включении в программу понятия о дифференциале. Появляясь в конце курса (против более раннего срока говорит обоснованное нежелание педагога распылять внимание начинающего усвоением двух параллельных символов), это понятие воспринимается учащимися как ненужное усложнение, ничего не меняющее в существе дела. Только длительная практика, каковой в школе не будет, постепенно побеждает антипатию к дифференциалу1. С другой стороны, игнорирование дифференциала закрыло бы перед нами возможность сообщить о важных для истории науки фактах; в частности, мы затруднимся даже объяснить происхождение символа ff(x)dxy с которым ученику неизбежно предстоит встретиться.

Остается сказать несколько слов о подборе задач для этой части курса. В соответствии с общим его направлением очень скромная роль должна быть отведена упражнениям, посвящен-

1 Это явление, наблюдаемое и в высшей школе, имеет психологическим источником то обстоятельство, что в нашем преподавании производная появляется как первичное и притом совершенно отчетливое понятие (предел отношения), в то время как дифференциал определяется не непосредственно, а через производную с привлечением осложняющих понятий (главная часть, функция двух переменных). При этих обстоятельствах нам представляется интересной методической и экспериментальной задачей попытка обернуть этот порядок: определить дифференциал как первичное понятие и именно как предел по образцу Коши:

При этом производная появится в качестве вторичного понятия:

ным чистой технике дифференцирования. Что касается текстовых задач, то педагогическая проблема заключается здесь не в подыскании таких задач, а, наоборот, в отборе их из чрезвычайного обилия доступных и поучительных. Наряду с умеренным числом задач на вычисление скоростей и нахождение касательных к знакомым кривым (благодарный случай для контакта с аналитической геометрией) следует главное внимание уделить текстовым задачам на отыскание максимумов и минимумов (а также наибольших значений в замкнутом промежутке), вообще — задачам, требующим исследования хода изменения функции (промежутки возрастания и убывания, построение графиков с учетом их дифференциальных свойств). Эти задачи настолько импонируют ученику, что они сами по себе способны оправдать в его глазах затраченные усилия.

10. Интеграл. Старый методический спор о том, начинать ли изучение интегрального исчисления с неопределенного интеграла (т. е. обращения задачи дифференцирования) или же с определенного (предел интегральной суммы), теряет здесь свою остроту. В самом деле, преподавание этих вещей в средней школе должно ограничиться настолько скромным объемом и таким коротким отрезком времени, что оба понятия могут быть ©ведены одновременно и в дальнейшем рассматриваться параллельно. Наметим один из вариантов такого изложения.

Исходим из конкретной геометрической задачи, например: найти площадь «криволинейной трапеции», ограниченной отрезком х, дугой параболы у = kx2 и двумя ее ординатами (остальные обозначения показаны на рис. 3). Строим обычным способом интегральную сумму Sn = kh{na2 + + 2ah{\ + 2 + ... + п—l) +/г2[12 + 22 + ...+(Аг_1)2]} (Где hn = b — а) и после легких преобразований [с привлечением формулы I2 + 22 + ... + (n — l)2 =1д(/г — 1)(2л— 1)] находим: lim Sk = -г- (b3 — а3).

Рис. 3.

Другое решение той же задачи получим, рассматривая площадь криволинейной трапеции как функцию (пока неизвестную) S(x) абсциссы х [с областью задания х ^>а при естественном соглашении S(a) = 0]; если удастся найти эту функцию, то искомая площадь будет S(b). Общеизвестным способом (рис.4) устанавливаем, что

5/ (х) = у = kx2.

Теперь перед нами типичная задача интегрального исчисления: найти функцию, зная ее производную. В данном случае легко подбираем частное решение 5 (х) = -j kx3, а отсюда общее S (х) = -у х3-\-С1. Постоянное С определяется из условия S(a) = 0 и дает S (х) = -j- (х3 — а3), откуда S (Ь)= (Ь3 — а3), т. е. тот же результат. Учащийся оценит преимущества этого решения по сравнению с первым и легко воспримет обобщение: если площадь криволинейной трапеции рассматривать как функцию наибольшей абсциссы, то производная этой функции совпадает с функцией, выражающей ординату кривой через абсциссу2. Теперь учащийся подготовлен к восприятию: 1) определен-

Рис. 4.

ного интеграла как предела суммы 2) неопределенного интеграла как примитивной (первообразной) функции [F(x) — ff(x)dx— другая запись равенства F'(х) = /(*)]. Все это должно быть иллюстрировано

1 Мы видим, таким образом, что упомянутая выше (стр. 184) теорема о двух функциях с общей производной имеет здесь решающее значение. Попытки обойти эту теорему вызывают серьезный логический пробел (например» в учебнике А. Киселева «Элементы алгебры и анализа», ч. II, изд. 5, ГИЗ, 1928, § 377, 379).

2 Ни в коем случае нельзя рассматривать этот результат как доказательство существования интеграла; наоборот, на существовании интеграла для некоторого класса функций основано наше право приписывать площадь фигурам соответствующего класса.

на примерах, заимствованных из разных областей: выражения для пути через скорость; для скорости через ускорение; для массы неоднородного стержня через плотность (линейную); для объема тела вращения через площадь параллельного круга и др. В качестве доступных приложений укажем на вывод формул для пути и скорости в равномерном движении, для объемов круглых тел и их частей (кроме тел, обычно рассматриваемых в элементарной геометрии, заслуживает внимания сегмент параболоида вращения со ссылкой на Архимеда).

При этом не предполагается никаких специальных приемов интегрирования (ни «по частям», ни «заменой переменного») — все задачи должны быть таковы, чтобы интегрирование могло быть выполнено «по соображению», на основе известных ученику формул дифференцирования (примеры максимальной трудности: j (2j/— З)3' / s*n(~3Х тРебующие «подбора с поправками»).

В настоящий момент не существует еще окончательной обязательной программы для курса анализа и аналитической геометрии в общеобразовательной школе. Изложенный здесь вариант учитывает как опыт старой школы, так и тенденции современной.

БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ГЕОМЕТРИИ

Многим из читателей, вероятно, приходилось слышать выражение: «параллельные прямые пересекаются в бесконечности» (или «в бесконечно удаленной точке»). Понятно, этим вовсе не хотят сказать, что параллельные прямые действительно пересекаются, хотя бы и очень далеко. Приведенное выражение однозначаще (синоним) со словами: параллельные прямые нигде не пересекаются. В том же смысле, при первоначальном изложении теории квадратного уравнения1, объясняется, что сказать: «квадратное уравнение имеет мнимые корни» — значит сказать, что оно среди вещественных чисел корней не имеет. И в том и в другом случае поневоле, конечно, утаивается часть истины. В старших классах уже указывается, что мнимые величины не просто «способ выражаться», а целая отрасль математики.

Настоящая статья имеет целью показать, что такое же более глубокое содержание вложено и в понятие «бесконечно удаленной точки».

Современная высшая (проективная и аналитическая) геометрия принимает, что на всякой прямой, кроме обыкновенных точек, имеется еще одна бесконечно удаленная. К понятию о бесконечно удаленной точке можно прийти следующим образом:

Представим себе неограниченную прямую АВ и вне ее точку О (рис. 1). Если через эту точку будем проводить различные

1 Мы имеем здесь в виду изложение квадратного уравнения для средних классов нашей школы, где теория комплексных величин не развивается. [Настоящая статья была написана Я. С. Дубновым не позднее 1914 г. В настоящее время в средних классах средней школы не употребляют указанного в тексте выражения. — Ред.]

прямые, пересекающие АВ в точках Аи Л2, ..., Ви В2> ..., то по мере приближения секущей ОХ (или OY) к параллельности с линией АВ точка пересечения будет бесконечно удаляться от любого из своих прежних положений (например, от Л4). Казалось бы на первый взгляд, что мы должны приписать прямой две бесконечно удаленные точки — «правую и левую». Но, сде-»

Рис. 1.

лав так, мы погрешили бы против так называемого «принципа перманентности» математических обобщений (в данном случае обобщается понятие о точке), который гласит: всякое математическое обобщение по возможности не должно нарушать ранее принятых аксиом. Между тем, приписав прямой две бесконечно удаленные точки и приняв, что параллельные прямые имеют пересечение в бесконечности, мы нарушили бы аксиому: две прямые могут пересекаться только в одной точке.

Следует отметить, что к тем аналогиям, которые служат нам материалом для обобщений, всегда нужно относиться с осторожностью и в конце концов подвергать их логической переработке.

Дело в том, что две аналогии могут привести к совершенно различным результатам. Для примера, подойдем к бесконечно удаленной точке с другой стороны.

Возьмем окружность и проведем прямую N2NZl касательную к окружности в точке А\ точку, диаметрально противоположную точке касания, обозначим буквой М (рис. 2). Установим теперь такое соответствие между точками прямой и окружности: точки N\ на прямой и Mi на окружности будем считать соответствующими, если три точки М, М\ и N\ лежат на одной прямой (принцип так называемой «стереографической проекции»). Ясно, что каждой точке прямой отвечает вполне определенная точка окружности, но обратное

Рис. 2.

справедливо за одним исключением: точке М окружности не соответствует никакая точка прямой. Чтобы устранить этот недостаток, т. е. сделать соответствие взаимно однозначным, относят точке М «несуществующую» — бесконечно удаленную точку прямой, и при этом, конечно, естественно считать, что такая бесконечно удаленная точка на нашей прямой — одна.

Приведенный пример любопытен тем, что приводит во взаимно однозначное соответствие точки прямой с точками замкнутой кривой; это дает некоторым геометрам повод смотреть на прямую как на линию, «замкнутую в бесконечности».

Попытки представить себе место бесконечно удаленной точки в пространстве так же бесплодны, как попытки найти среди вещественных чисел что-нибудь похожее на мнимые или вообразить в нашем пространстве фигуру, простирающуюся в четвертое измерение.

Из сказанного видим, что на каждой прямой имеется по бесконечно удаленной точке; у двух параллельных прямых эта точка будет общей, у двух пересекающихся — бесконечно удаленные точки различны; так, на рис. 3 пучок параллелей А определяет одну бесконечно удаленную точку, а пучок параллелей В — другую.

Если на плоскости через какую-нибудь точку проведем прямые во всевозможных направлениях и на каждой прямой возьмем ее бесконечно удаленную точку, то совокупность последних образует так называемую бесконечно удаленную прямую. Все плоскости, параллельные между собой, пересекаются по общей бесконечно удаленной прямой. Наконец, совокупность всех бесконечно удаленных прямых пространства называется бесконечно удаленной плоскостью (по самому определению такая плоскость единственна). И здесь попытки вообразить себе пространственные образы, соответствующие этим понятиям, могут привести только к недоразумениям: бесконечно удаленная прямая должна как бы «охватывать» всю плоскость, а бесконечно удаленная плоскость — все пространство, что противно обычному представлению о прямой и плоскости.

Ниже будет показано, что введение в геометрию таких условных понятий вполне законно. Это не значит, конечно, что на бесконечно удаленные элементы можно без оговорок переносить все, что справедливо для конечных. Так, например, нельзя утверждать, что из бесконечно удаленной точки на всякую прямую можно опустить перпендикуляр (точно так же, как не все

Рис. 3.

преобразования над вещественными числами могут быть распространены на мнимые1).

Всякий раз, как мы вводим в математику какое-нибудь новое понятие (например, в алгебре дробные и отрицательные показатели, комплексные числа и т. п.), следует поставить себе на разрешение два вопроса: 1) о законности и 2) о целесообразности (полезности) этого нововведения.

Вопрос о «законности» надо понимать так: не получится ли какого-нибудь противоречия от присоединения к старым понятиям нового, связанного, конечно, со старыми некоторыми свойствами. Пока этот вопрос не выяснен, новое детище математики будет всегда на подозрении. Так, например, при самом возникновении теории комплексных величин многие выдающиеся математики не решались ими пользоваться, несмотря на всю соблазнительность получающихся выводов. Такая осторожность была вполне законна: не хватало уверенности, что действия над новыми числами не приведут к противоречию. И только после того, как комплексным числам было дано геометрическое истолкование, они получили право гражданства в математике и теперь развились в огромную ее отрасль.

Новейшая математика выработала особый метод для решения вопросов о «законности» нововведений. Прежде чем перейти к изложению этого в высшей степени важного метода (сыгравшего, между прочим, решающую роль и в теории «неевклидовых» геометрий), вернемся подробнее к примеру с комплексными числами.

Как известно, всякое комплексное число может быть изображено точкой («аффикс») на плоскости, если последняя снабжена координатными осями, причем каждому комплексному числу будет отвечать определенный «вектор» (направленный отрезок), идущий от начала координат к аффиксу. Каждому действию (сложение, вычитание, умножение и т. д.) над комплексными числами отвечают чисто геометрические преобразования (параллельное перенесение, поворот вокруг точки и т. п.) над соответствующими векторами. Теперь понятно, откуда проистекает наше убеждение в непогрешимости метода комплексных чисел; если бы теория их приводила к какому-нибудь про-

1 Например, заключение о том, что из равенства а2 + Ъ2 = 0 следует, что а = Ь = 0, будет справедливо лишь в области вещественных (но не комплексных или мнимых!) чисел. Аналогично этому, если ограничиться лишь положительными числами, то из равенства а + Ь — О будет следовать, что а = b = Q,

тиворечию, то аналогичное противоречие содержалось бы и в геометрической теории векторов, а в правильности этой последней мы уверены. Для сравнения приведем следующий пример: имея два языка, одинаково развитых (например, русский и французский), так что можно каждое слово одного перевести на другой, мы уверены, что французская книга, не содержащая противоречий, не будет содержать их и после перевода (правильного, конечно) на русский язык.

Перейдем теперь к общей теории. Пусть мы имеем ряд математических понятий (например, точка, прямая, плоскость), связанных известными свойствами; совокупность этих понятий обозначим буквой А. Положим, что мы хотим присоединить к системе А новое понятие а, которому приписываются некоторые свойства по отношению к старым понятиям (например, вводя в алгебру мнимую единицу /, мы приписываем ей свойство i2 = — 1, связующее символ i с вещественными числами). Чтобы решить вопрос, не заключается ли в «обобщенной» системе (А +а) внутреннего противоречия, поступаем так: стараемся подыскать в математике логически законченный отдел, который был бы построен на другой системе понятий — назовем ее В — и удовлетворял бы следующим требованиям:

1) каждому из понятий группы А должно отвечать некоторое понятие (иногда то же самое1) в группе В и каждому из свойств, связывающих между собой понятия Л, должны отвечать такие же свойства между аналогичными понятиями В; кроме того,

2) в группе В должно существовать такое понятие (3, которое по отношению к понятиям этой группы обладало бы теми самыми свойствами, какие мы приписываем нововводимому понятию а по отношению к понятиям группы А.

Как только такая система В найдена, можно утверждать, что, вводя в систему А понятие а, мы не придем к противоречию; ведь, если бы таковое существовало, то оно обнаружилось бы и в системе В.

Вот таким-то путем и были недавно узаконены бесконечно удаленные элементы. Не имея в виду дать здесь полное изложение того, как это было сделано2, постараемся сообщить ос-

1 Не все понятия системы В должны быть отличны от понятий системы Л; например, как увидим ниже, в интересующем нас случае понятия прямой и плоскости входят как в Л, так и в В (только роль точки в системе А играет «связка» в системе В).

2 Интересующихся отсылаем к книге: Г. Вебер и Вельштейн, Энциклопедия элементарной математики, т. II, Одесса, «Mathesis», 1909. Дополнение 1. [См. также: «Энциклопедия элементарной математики», т. IV, Физматгиз, М., 1963, стр. 112—114, или И. М. Я глом, Геометрические преобразования, II, Гостехиздат, М., 1956, стр. 51—56. — Ред.]

новную идею доказательства, и притом только в части, касающейся бесконечно удаленных точек (а не прямых и плоскости).

Роль системы В в нашем рассуждении будет играть «совокупность связок», учение о которых развито немецким геометром Пашем. Под связкой разумеют совокупность всех прямых пространства*, которые либо проходят через одну точку, называющуюся «центром» связки (связка 1-го рода), либо параллельны между собой (связка 2-го рода).

И тех и других связок существует бесконечное множество; через каждую точку в пространстве можно провести связку 1-го рода, а в любом направлении — связку 2-го рода.

Связки 1-го рода обладают по отношению к прямым и плоскостям свойствами, вполне аналогичными свойствам обыкновенных точек. Для примера сопоставим некоторые из этих свойств в следующей таблице.

1) Две точки пространства вполне определяют прямую !(именно прямую, проходящую через эти точки).

2) Если даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой, то из точки к прямой можно провести один перпендикуляр и одну параллель.

И т. п.

1) Две связки 1-го рода в пространстве вполне определяют прямую (именно прямую, принадлежащую как той, так и другой связке, т. е. соединяющую их центры).

2) Если даны прямая и связка 1-го рода, к которой данная прямая не принадлежит, то среди прямых связки есть одна перпендикулярная и одна параллельная данной прямой.

Чтобы понять глубже эти аналогии, заметим, что выражение «точка лежит на прямой» (или, что то же, «прямая проходит через точку») заменяется во втором столбце выражением «прямая принадлежит связке» (т. е. проходит через центр связки). Таким образом, точке «обыкновенной геометрии» соответствует связка 1-го рода в «геометрии связок».

Какому же понятию «обыкновенной геометрии» отвечает связка 2-го рода, т. е. система параллельных между собой прямых?

Следующая таблица покажет, что связки 2-го рода играют в «геометрии связок» ту роль, какую мы в нашей геометрии: приписываем бесконечно удаленным точкам.

* Евклидова.

1) На каждой прямой имеется одна и только одна бесконечно удаленная точка.

2) Две параллельные прямые имеют общую бесконечно удаленную точку.

И т. п.

1) Каждая прямая принадлежит одной и только одной связке параллелей.

2) Две параллельные прямые принадлежат к одной и той же связке 2-го рода.

Заметим, наконец, что сопоставления, вроде предыдущих, дают нам превосходный критерий для решения вопроса: можно ли данную теорему обыкновенной геометрии перенести на бесконечно удаленные точки. Например, предложение «две прямые*, имеющие общую точку Му другой общей точки иметь не могут» справедливо и тогда, когда точка М бесконечно удаленная, так как в переводе на язык связок оно означает: «две прямые, принадлежащие к одной связке параллелей, ни к какой другой связке одновременно принадлежать не могут». А упоминавшееся выше предложение — «из данной точки на данную прямую всегда можно опустить перпендикуляр», вообще говоря, неверно, когда точка бесконечно удаленная, так как ему соответствует предложение «в данной связке параллелей всегда есть прямая, перпендикулярная к другой данной прямой», а это справедливо только при условии, если последняя прямая лежит в плоскости, перпендикулярной к данной связке параллелей.

Какие же выгоды извлекаем мы от введения бесконечно удаленных элементов?

Объяснить это, не выходя из рамок элементарной геометрии, затруднительно. Мы воспользуемся поэтому в качестве иллюстрации тем частным случаем знаменитой теоремы Паскаля, который приводится и в некоторых элементарных руководствах (см., например, «Геометрию» Давидова**). Теорема эта о «шестиугольнике Паскаля» (или «мистическом шестиугольнике») гласит1:

«Если в шестиугольнике ABCDEF, вписанном в окружность, продолжим три последовательно взятые стороны АВ, ВС и CD

* Различные.

** См.: А. Ю. Давидов, Геометрия, М., 1913, § 114 (стр. 112—113), а также И. М. Яглом, Геометрические преобразования, II, задача 145; Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом, Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии, ч. 2, Гостехиздат, М., 1952, задача 129.

1 В более общей формулировке, в каковой теорема и была открыта Паскалем, вместо окружности фигурирует любое коническое сечение (эллипс, парабола или гипербола).

до пересечения соответственно с тремя другими последовательно взятыми сторонами DE, EF и FA, то точки пересечения L, М и N лежат на одной прямой» (рис. 4).

Формулировка теоремы не вызывает сомнений, если каждая из пар прямых (их называют часто парами «противоположных» сторон) АВ и DE, ВС и EF, CD и FA действительно имеет точку пересечения. Но что будет, если, например, АВ параллельна DE?

Рис. 4.

Оказывается, что в этом случае прямая MN, соединяющая точки пересечения пар (ВС, EF) и (CD, AF), параллельна сторонам АВ и DE. Если же одновременно AB\\DE и BC\\EF, то, как показывают простые соображения1, прямые CD и FA третьей пары противоположных сторон также параллельны между собой. Переведем эти два случая на язык бесконечно удаленных элементов. В первом случае (когда АВ || DE) три параллельные прямые АВ, DE и MN пересекаются в общей бесконечно удаленной точке; можно сказать, что и здесь точки L, М и N лежат на одной прямой, причем L есть бесконечно удаленная точка этой прямой. Во втором случае (когда АВ || DEwBC || EF) три пары параллельных сторон определяют собой три бесконечно удаленные точки; но последние по определению лежат на одной прямой — именно, на бесконечно удаленной прямой нашей плоскости. Итак, вводя бесконечно удаленные элементы, можно сказать, что, каков бы ни был шестиугольник, вписанный

1 В этом случае угол ABC равен углу DBF, как углы с параллельными сторонами (предположение, что ZABC -f ZDEF = 2d, исключается, так как /.ABC + ZAEC = 2d)t следовательно, дуга АБС равна дуге FBD. Отбрасывая от этих равных дуг общие части AF и CD, найдем, что ABC « FEDf откуда следует, что в этом случае CDWFA^

в окружность, три точки (конечные или бесконечно удаленные) пересечения пар противоположных сторон лежат на одной прямой (конечной или бесконечно удаленной). Выгода от введения бесконечно удаленных элементов здесь налицо: получается вместо трех теорем одна. На самом же деле выгода эта еще глубже и далеко не исчерпывается сокращением формулировки; если ввести бесконечно удаленные элементы с самого начала (как это и делается в современной проективной геометрии), то теорема Паскаля получает для всех случаев не только одну формулировку, но, что гораздо важнее, одно доказательство*. В лице бесконечно удаленных элементов мы имеем, таким образом, не только упрощение речи, но и новое орудие математической мысли.

* См., например, И. М. Яглом, Геометрические преобразования, II, решение задачи 179.

К ПРОБЛЕМЕ СОЗДАНИЯ НОВЫХ УЧЕБНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

20 лет назад математическая общественность была встревожена попыткой Наркомпроса РСФСР и Учпедгиза навязать школе недоброкачественный учебник геометрии. В печати этот учебник, а заодно и некоторые другие книги по математике, изданные Учпедгизом для школы или для преподавателей, были подвергнуты суровой критике1.

Авторитетные научные организации (Московское математическое общество, Сектор математики Академии наук СССР) потребовали изъятия этих книг из школьного обихода и создания новых учебников. В частности, по отношению к геометрии было признано возможным сохранить лишь на 2—3 года переработанный учебник А. Киселева. Война, а позже бездеятельность Наркомпроса задержали выполнение этой задачи почти на 20 лет. Только изменение программы по математике заставило Министерство просвещения с лихорадочной поспешностью и путем закрытых конкурсов выпустить в 1956 г. новые учебники по алгебре, геометрии и тригонометрии2.

1. А. Н. БАРСУКОВ, Алгебра, ч. I. Учебник для VI и VII классов, тираж 1 900 000 экз.

2. Н. Н. НИКИТИН и А. И. ФЕТИСОВ, Геометрия, ч. I. Учебник для VI—IX классов, тираж 2 000 000 экз.

3. С. И. НОВОСЕЛОВ, Тригонометрия. Учебник для IX—X классов, тираж 1 600 000 экз.

1 «Успехи математических наук»г вып. III (1937), «Математическое просвещение» (старая серия), вып. 12 (1937) и 13 (1938), «Правда» от 4/1II 1937 г.

2 В дальнейшем все книги, занумерованные здесь и на следующей странице, будут обозначаться своими номерами, заключенными в квадратные скобки.

Исходя из характера этой статьи, я не прилагал усилий к тому, чтобы располагать последним изданием каждой книги: научно-педагогический облик ее, — а именно он находится здесь в поле зрения, — конечно, не меняется существенным образом от издания к изданию.

Печальная судьба этого мероприятия у всех в памяти1. Нижеследующие строки нисколько не претендуют на то, чтобы составить рецензию на все или некоторые или даже на одну из этих книг. Задача этой статьи заключается только в постановке вопроса, обращенного к руководящим организациям (Министерство просвещения, Академия педагогических наук) и почти не затронутого в дискуссии об учебниках: почему при создании новых учебников игнорировались книги, изданные (почти все — этими же организациями) за последние 20 лет? Речь идет о следующих книгах:

4. П. С. АЛЕКСАНДРОВ и А. Н. КОЛМОГОРОВ, Алгебра, ч. 1. Пособие для средней школы, Учпедгиз, М., 1939.

5. А. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ, Алгебра, ч. I. Пособие для учителей семилетней школы; ч. II. Пособие для учителей средней школы, Учпедгиз, М.—Л., 1951 и Л., 1954.

6. В. Л. ГОНЧАРОВ, Начальная алгебра, для VI и VII классов. Пособие для учителей математики, изд. АПН РСФСР, М., 1955.

7. Н. А. ГЛАГОЛЕВ, Элементарная геометрия, ч. 1. Планиметрия, для VI—VIII классов, Учпедгиз, М., 1944.

8. М. Я. ВЫГОДСКИЙ, Геометрия для самообразования, Гостехиздат, М.—Л., 1950.

9. А. Ф. БЕРМАНТ и Л. А. ЛЮСТЕРНИК, Тригонометрия, Учебник для средней школы, изд. 2, М.—Л., 1947.

Правда, перечисленные книги были изданы низкими тиражами (эту оценку можно лишь несколько ослабить по отношению к [7] и [9]), что воспрепятствовало основной массе учителей, а также научных работников познакомиться с этими книгами и вызвало совершенно недостаточный отклик в печати2.

Никто не организовал массовой проверки новых учебников, да она была и неосуществима при имевших место тиражах. Почему же, когда возникла острая потребность в новых учебниках, не вспомнили об этом внушительном фонде с тем, чтобы повторно издать лучшую его часть в редакции, согласованной с программами (а иногда разумнее, наоборот, программу согласовать с ценным учебником), организовать экспериментальную проверку в сотнях школ, обсудить книги и результаты экспериментов в научно-педагогических коллективах, на конференциях, в печати. Могут сослаться, пожалуй, на то, что в подзаголов-

1 См. «Успехи математических наук», 12, вып. 3 (1957), стр. 273—277; «Математическое просвещение», вып. 1 (1957), стр. 195—209.

2 Вспоминаю печатавшиеся в журнале «Математика в школе» сообщения об опыте преподавания по учебнику [7]. Там же (№ 4, 1941 г.) были помещены сводка отзывов о первом издании [9] и рецензии на вторую часть учебника [5] (№ 5, 1955 г.). Книга [6], изданная в виде печатного макета в 1949— 1951 гг., дождалась рецензии только в 1957 г, («Математическое просвещение», вып. 1, стр. 243).

ках книги [4], [5], [6] они охарактеризованы не как учебники, а как пособия для учителей, но это будет формальной отговоркой: достаточно присмотреться к содержанию и стилю этих трех книг для того, чтобы стало ясно, что они написаны именно как учебники с выделением необязательного текста и методическими указаниями, сосредоточенными в предисловиях и послесловиях. А ярлык «пособий», вероятно, был наклеен издательскими или министерскими инстанциями; иначе трудно объяснить себе, почему в [4] и [6] текст, предназначенный для ученика, так тщательно (и успешно) приспособлен к уровню учащихся VI и VII классов с отчетливым выделением того, что адресовано преподавателю, а в аннотации к [5] ч. I книга охарактеризована как «первый вариант нового учебника алгебры для VI и VII классов». И действительно, странна было бы писать методические указания к учебникам, которые еще не существуют хотя бы в первом приближении. То же подтверждается отношением авторов к существовавшим в то время программам: последние точно соблюдены (иногда слегка превзойдены в факультативной части), хотя трудно думать, чтобы ученые и оригинально мыслящие авторы не имели в некоторых программных вопросах особого мнения. Из привлеченных здесь к рассмотрению книг единственной, написанной вне программы средней школы является учебник [8] М. Я. Выгодского. И тем не менее первая его половина (стр. 9—86) представляет собой превосходный курс (с задачами и практическими приложениями) для VI и VII классов. Там же, где наблюдается расхождение между программой и этим учебником1, мы имеем большей частью как раз упомянутый выше случай, когда разумнее было бы программу приспособить к учебнику, а не наоборот. Что касается доступности и в то же время корректности изложения, то они обеспечиваются здесь не только широко известным научно-педагогическим обликом автора, но еще и тем обстоятельством, что в основу книги положен учебник, выпущенный в 1945 г. для ремесленных училищ и уже прошедший некоторое испытание временем (впрочем, считаю себя некомпетентным судить о том, насколько книга достигает цели именно в условиях ремесленного училища). Если же заглянуть немного вперед и предста-

1 При сопоставлении учебника [8] с программой следует учесть, что он содержит значительное число (около 150 в рассматриваемой части) хорошо продуманных задач, составляющих иногда существенное дополнение к предшествующему тексту. Например, задача 144 содержит теорему о средней линии трапеции; здесь же—-указание и чертеж с выразительной аннотацией под ним (как и под остальными чертежами, — традиция, идущая из научно-популярной литературы и незаслуженно избегаемая нашими учебниками геометрии). Таким образом, дело сводится к тому, чтобы расширить сферу активности учащихся.

вить себе осуществленным имеющий много сторонников проект общеобязательной 8-летней школы, то книга [8] потребовала бы совсем небольших изменений в своей второй половине, для того чтобы стать полноценным учебником и для такой школы (впрочем, то же я готов повторить относительно учебника [6]).

Вернемся к вопросу о том, почему же не сделано было попыток непосредственно использовать книги [4]—[9] при создании новых стабильных учебников. Так как мне неизвестно, чтобы Учпедгиз формулировал публично принципы, руководившие им при решении этой задачи, то позволительно выдвинуть гипотезу, которая кажется достаточно правдоподобной.

Широко распространено мнение, что в деле создания учебника наилучших результатов можно ожидать от сотрудничества ученого с педагогом-практиком1. Правда, опыт такого сотрудничества недостаточно распространен и не всегда удачен (далеко не всех, например, удовлетворял учебник геометрии педагога А. П. Киселева, переработанный профессором Н. А. Г л аголевым), однако новые попытки в этом направлении были бы небезнадежны. Между прочим, следовало бы испробовать и обратное сочетание: учебник, написанный человеком науки, адаптируется для школы опытным педагогом. Но Учпедгиз своеобразно истолковал тезис о соединении научности с педагогичностью. Для участия в конкурсах он отобрал авторов, которые (иногда в действительности, иногда в представлении издательства) «близки к школе», а задачу их понял как компилирование с постоянной оглядкой на учебники, написанные в предшествующие годы работниками науки. Позже мы увидим, какое заметное влияние (к сожалению, поверхностное) имели некоторые из учебников [4]—[9] на авторов книг [1]—[3].

Однако компиляция редко имеет всюду выдержанный стиль и уровень научности. Велик риск того, что компилятором смысл воспроизводимого не будет до конца уяснен, изложение окажется формальным или даже искаженным. Если обратиться к старому опыту нашей учебной литературы, то, например, своеобразный учебник геометрии проф. А. Ю. Давидова был для своего времени (60-е годы прошлого века) более передовым, чем «Геометрия» А. П. Киселева (заимствовавшая многое, в том числе положительное, у французских авторов Руше и Комберусса, позднее — у Адамара) для своего (конец прошлого века и первая половина настоящего).

1 См., например, выступление А. И. Маркушевича, упомянутое на стр. 199 1-го выпуска «Математического просвещения», 1957,

Остальная часть статьи будет посвящена сопоставлению (на ряде цитат) «новейших» учебников [1]—[3] с «новыми» [4]—[9] для иллюстрации того положения, что лучше было переиздать вторые, чем издавать первые.

I. Алгебра (для VI и VII классов)

1. Допустимые значения. Учебно-методическая литература последнего времени уделяет обоснованное внимание понятию о числовых значениях, «допустимых» для той или иной буквы, входящей в состав буквенного выражения. На научном языке сказали бы, что здесь речь идет об «области задания функции». Конечно, в средней школе не следует считать эту область совершенно произвольной: выбор ее обычно обусловлен: 1) требованием выполнимости действий (например, для выражения х_2 значение х = 2 не является допустимым); 2) в текстовой задаче— смыслом, который придается числу, обозначенному буквой (например, если а — число учеников в классе или государств, представленных на конференции, то а прежде всего должно быть натуральным числом).

В [4] и [6] термин «допустимые значения» в явном виде отсутствует, но в обеих книгах сделаны оговорки об отказе от рассмотрения для букв тех числовых значений, при которых знаменатель дроби обращается в нуль, и о соответствующем уточнении понятия «тождество» ([4], § 70; [6], § 60). В [5] уже на стр. 28, ч. 1, говорится о допустимых и недопустимых значениях букв; определений нет, вместо них — примеры.

А. Н. Барсуков, очевидно, считает эти вещи настолько важными, что в [1] уже на стр. 7 появляется:

«§ 3. Допустимые значения букв

Определение. Числовые значения, которые могут принимать буквы в данном алгебраическом выражении, называются допустимыми значениями для этих букв»1

На этой же странице читаем:

«Если о значениях букв в данном выражении ничего не сказано, то... допустимыми считаются все - те..., при которых выражение не теряет смысла».

Оставляя в стороне вопрос о том, не поторопился ли автор со своим § 3, я не имею возражений против цитированных мест. Однако недоумеваю по поводу сказанного в первом абзаце этого параграфа в качестве преамбулы к «Определению»:

1 Жирный шрифт автора книги. Разрядка моя. — Я. Д.

«...буквы, входящие в какое-либо алгебраическое выражение, могут принимать.., иногда одно-единственное значение (третий пример)».

Разъясним читателю, что под «третьим примером» здесь подразумевается приведенный на стр. 4 вопрос, записываемый уравнением х + 3 = 11.

«Здесь буквой х ... обозначено неизвестное число — слагаемое».

О каком же «алгебраическом выражении» идет речь в данном случае? — Очевидно, это х + 3, причем автор считает, что единственным допустимым для х значением служит число 8, т. е. корень уравнения. Происходит смешение двух понятий: «корень уравнения с неизвестным х» и «допустимое для х значение» в выражении, содержащем эту букву и входящем в состав уравнения, — с ущербом для обоих понятий. И автор противоречит себе, когда говорит на стр. 19 (строки 7—9 св.), что

«После решения уравнения... устанавливается, какие именно из допустимых значений может принимать неизвестное, чтобы равенство было верным».

Окончательно будет ввергнут в недоумение читатель, когда на стр. 102 узнает, что тождество

«...это — уравнение, корнями которого являются любые допустимые значения неизвестного».

А так как автор считает, что в уравнении х + 3 = 11 единственным допустимым для х значением является 8, то оказывается, что это уравнение есть тождество (!).

Итак, попытка «модернизировать» первые шаги в изучении алгебры привела здесь к путанице в важных понятиях.

2. Алгебраическая сумма. Определение этого понятия дано по существу одинаковым и корректным образом в [4], § 20, [5], ч. 1, гл. II, § 9 и [6], стр. 116. Например, в [4] после напоминания о том, как можно заменить вычитание сложением1, сказано (жирным шрифтом)

«... совокупность алгебраических выражений, соединенных знаками -f- или —, называется алгебраической суммой...»

А вот [1] после примера, показывающего, как можно заменить одними сложениями последовательность сложений и вычитаний, производимых над числами (в цифрах), читаем (жирным шрифтом):

1 Полезным для формулировок оказывается здесь понятие «противоположного числа»: про символы а и —а нельзя, конечно, сказать, что первый обозначает положительное, а второй — отрицательное число; можно только утверждать, что при любом значении а получатся числа противоположные.

«Определение. Сумма, в которой слагаемыми являются положительные и отрицательные числа (в частности [?], и нуль), называется алгебраической суммой».

Затем следует пример, приводящий к сумме а + (—Ь) + + ( + с) + (—d) + (—е). Можно не сомневаться, что подавляющим большинством учащихся это будет воспринято так, что а и ( + суть те самые положительные, а (—6), (—d) и (—е)—те самые отрицательные числа, о которых говорится в цитированном определении. Тем самым школьникам будет подсказано одно из наиболее злокачественных заблуждений.

3. Деление расположенных многочленов. Относительно этого методически спорного вопроса существуют различные мнения, начиная с предложения перенести его из VII класса в один из старших и кончая отказом от включения в курс средней школы. Эти мнения серьезно обоснованы: научная постановка вопроса, состоящая в нахождении многочленов Q и R по данным А и В (с соблюдением известных многочленов Q и /?, из них достаточно напомнить: А = BQ + R), должна показаться ученику искусственной. Если же исходить из (вообще говоря, не оправдывающегося) допущения А = BQ, то неудача в отыскании Q с помощью определенного алгоритма не означает ни неразрешимости задачи, ни разрешимости видоизмененной задачи (выделение целой части из неправильной дроби). Не говорю о том, что при той функциональной (а не чисто алгебраической) точке зрения, которой мы вынуждены держаться в курсе средней школы, не хватает теоремы о тождественных полиномах.

Как же решаются эти трудности нашими учебниками алгебры? По той позиции, которую занимают авторы в вопросе о делении многочленов, можно в большей степени судить о научном и методическом уровне их книг. Никто не решился полностью исключить вопрос из курса VII класса, возможно, ради того, чтобы не закрыть по формальным основаниям учебнику доступ в школу.

Так, в методической части [6] сказано (стр. 395), что автор предпочел бы отнести деление многочленов в курс VIII класса, но в качестве компромисса готов рекомендовать изучение этого вопроса при повторении в VII классе. В учебной части [6] автор еще раз подчеркивает свое отношение к этому пункту программы, печатая весь § 52 мелким шрифтом. Исходя из задачи А = BQ (см. выше; мои обозначения несколько отличаются от принятых в [6]), автор на примерах показывает алгоритм деления, с помощью которого решается либо эта задача, либо точно сформулированная: А = BQ + R (конец параграфа, стр. 189).

Можно пожалеть, что отсутствие доказательства единственности многочленов Q и R (последняя утверждается на стр. 396) не оговаривается.

В противоположность этому авторы [4], показав (§ 75) на примере случай невозможности продолжать цепь делений до нулевого остатка (и подчеркивая в конце параграфа, что именно этот случай — общий), заявляют, что теперь «\ . .частное... можно представить только в виде дроби», и достойным подражания образом отмечают: «Доказательства этого утверждения мы не даем» (сноска на стр. 119).

В книге [5], ч. I, читатель с самого начала (предисловие, п. 10, стр. 6) предупреждается, что «деление целых алгебраических выражений отнесено в главу о преобразованиях дробных алгебраических выражений». И действительно, в § 9, гл. V, на примере показано, как неправильная дробь типа (А и В— целые многочлены) может быть представлена в виде суммы целого многочлена («неполное частное» или «целая часть») и правильной дроби (термины «правильная дробь», «неправильная дробь» в книге отсутствуют). Предварительно (§ 8 той же главы) было установлено, что правильная дробь не может быть равна целому многочлену (конечно, и здесь скрывается теорема о тождественных полиномах).

Подводя итог рассмотрению вопроса в трех учебниках [4], [5] и [6], следует констатировать, что авторы всюду учитывают связанные с ним логические и методические трудности. В противоположность этому изложение в [1] § 44 бездумно упрощено. Постановка задачи (даже для случая деления нацело) отсутствует. Параграф начинается словами:

«При делении многочленов обычно располагают их по убывающим степеням одной и той же буквы. Покажем на примерах, как (курсив мой. — Я. Д.) выполняется деление расположенных многочленов».

Не что мы делаем, а как делаем! Ведь, пока задача не поставлена, на вопрос, содержащийся в примере 1 (стр. 78): «Пусть требуется разделить 6а3 — 4а2 на За — 2», проще всего ответить так: Зд_2 - Правда, изучая примеры 1—3 (стр. 78—80), ученик может догадаться, что от него требуется, но уже совсем маловероятно, чтобы в примере 4-м («деление с остатком») он собственными силами пришел к правильной постановке задачи. После того как там третий остаток оказался имеющим низшую степень, чем делитель, утверждать

«Это и показывает, что в данном случае деление нацело невозможно» —

значит спекулировать на логической незрелости читателя (опасность именно в том, что он сразу согласится с цитируемым утверждением). И здесь не поможет произведенная на стр. 80 проверка, так как, выполнив ее не после третьего остатка, а после первого или второго, мы получили бы также положительный результат. Вот где сказывается различие между формальным усвоением алгоритма и пониманием его существа. И если теперь скажут: учебник А. Н. Барсукова доступнее для учащихся, чем другие, сравниваемые с ним, я возражу: невелика (чтобы не сказать отрицательна) цена этой доступности, — конечно, заучивать легче, чем думать!

4. Алгебраические дроби. Алгебраическая дробь определяется по существу одинаково в [4], стр. 82 и в [5], ч. I, стр. 106: согласно [4] это — «Частное (отношение) двух алгебраических выражений, записанное при помощи черты...». В [6] определяется сначала (стр. 231) «дробное алгебраическое выражение», отличительным признаком которого является наличие «деления (на буквенное выражение)». Алгебраическая дробь входит сюда как частный случай («если последнее действие, указываемое выражением, есть деление...»). Как видим, имеется некоторое терминологическое расхождение: например, приводится в [4] как один из примеров алгебраической дроби, между тем как в [6] это не будет даже признано «дробным алгебраическим выражением». Можно пожелать, чтобы школьная терминология в этом пункте была, наконец, унифицирована, но это дело соглашения, а пока надо признать приведенные определения законными.

Однако это признание нельзя распространить на сказанное по тому же поводу в [1]. Наука не знает частного и остатка в применении к полиномам, зависящим от нескольких аргументов. Конечно, всегда можно выбрать одну букву за «главную», расположить по ней оба полинома и делить согласно алгоритму деления расположенных многочленов, но результат будет зависеть от выбора главной буквы, а частное и остаток будут целыми, разумеется, только относительно этой буквы. Не смущаясь этим, автор [1] в § 41, посвященном «делению целых алгебраических выражений», содержащих несколько букв, смело говорит о частном и остатке, причем деление расположенных многочленов еще впереди (§ 44). Опытный глаз заметит, что в примере 2 (стр. 74) делимое и делитель молчаливо расположены по степеням Ь; а если бы расположить их по степеням а, то получился бы другой результат: частное 2а -f- у и остаток 0. Между тем именно на этом шатком фундаменте построено в [1], § 51 поня-

тие об алгебраической дроби: в первом абзаце сказано, что «...частное записывается в виде дробного выражения...», если «...остаток [?] от деления не равен нулю» (непосредственно следующие примеры содержат как раз несколько букв в делимом и делителе).

5. Равносильность уравнений. Вот — деликатный пункт, в котором автор учебника должен проявить и глубину понимания и педагогическое чутье. Логическая сложность состоит в том, что при обычных приемах замены одного уравнения другим корни могут приобретаться и теряться не только в общеизвестных случаях, но и в результате вызванного тождественными преобразованиями изменения области значений, допустимых для каждого неизвестного. Так, в случае одного неизвестного замена — на х или — — — на 0 делает (точнее, может сделать) значение х = 0 из недопустимого допустимым для х. Педагогическая же проблема заключается в затруднительности для учащихся уяснить себе различие между содержанием теорем о равносильности и такими предложениями, как: «если к равным числам прибавить поровну, то получатся равные», и т. п. Мы убедимся скоро, что и лица, математически более зрелые, могут испытывать в этом вопросе ту же неясность, в основе которой лежит смешение вопросительного предложения, каким является уравнение (скажем, х + 7 = 4 или х2 + 7 = 4), с утвердительным, записанным в форме равенства [например, 4 + 5 = З2 или (х + I)2 = х2 + 2х + 1].

Обращаясь к учебникам, можно заметить, что наиболее радикальную позицию занимает автор [6]. «Введение» к этой книге содержит ряд занумерованных и осуществленных в ней методических предложений, из которых к нашей теме относятся (стр. 11):

«30) Отказаться от „теории равносильности уравнений" в начальном курсе алгебры.

34) Прекратить рассмотрение дробных уравнений с так называемыми „паразитными" корнями».

Таким образом, допускается только замена данного уравнения его следствием; проверка корней становится принципиально необходимой.

Очень осторожной, хотя и не полностью негативной, является позиция авторов [4]. В предисловии (стр. 5) говорится:

«Термин равносильные уравнения не вводится в главах 13 и 14. Тем не менее с полной отчетливостью устанавливается, при каких преобразованиях уравнения его корни остаются неизменными, а при каких могут появиться посторонние корни и т. д, Слова „уравнение,

равносильное данному", произносятся в главе 161 по поводу уравнений с двумя неизвестными, но тоже не в качестве термина для запоминания».

К этому добавим, что упоминаемый в цитате отрывок гл. 16 содержит 10 строк, напечатанных мелким шрифтом. В качестве тех свойств уравнения, на которых основано его решение, формулируются два (§ 89 и 90): «...можно прибавить к обеим частям одно и то же число (в другом случае «обе части ... можно умножать на одно и то же число, не равное нулю»); корни уравнения от этого не изменятся».

Близкое к этому изложение мы находим поначалу в [5], ч. I (гл. VII, § 1), но уже в следующем § 2 вводится определение равносильности уравнений, а в § 3 на примерах рассматриваются случаи приобретения и потери корней. В предисловии на стр. 6 авторы так описывают свою установку:

«Основные свойства уравнений... излагаются сначала без употребления термина „равносильность уравнений". Соответствующие теоремы не доказываются в общем виде... Объяснение сути дела по существу здесь полезнее формального заучивания доказательств. Если учащийся сможет объяснить, почему при данном конкретном преобразовании уравнение не может потерять или приобрести решение или, наоборот, может потерять или приобрести его, то цель можно считать достигнутой».

Положение усложняется при переходе к системе уравнений. Здесь учебники [4] и, конечно, [6] фактически отказываются (с полным основанием) от попыток строить теорию равносильности систем. Различные способы решения и исследования системы разъясняются на примерах с помощью соображений, достаточно убедительных для школьников VII класса и не выдаваемых за формальные доказательства. В [5] сделана интересная попытка предпослать изучению двух уравнений с двумя неизвестными графический способ решения такой системы, а на нем обосновать решение «способом сравнения» (гл. VIII, § 3—5). Кроме того, здесь мы встречаемся (§ 6) с понятием «выводного уравнения», которое, конечно, неявно присутствует и в [4] и в [6].

Таким образом, авторы учебников [4]—[6] отдают себе полный отчет в серьезности вопроса и находят несколько по-разному, но всегда корректные решения.

В учебнике [1] систематическое рассмотрение уравнений начинается с гл. 6. Первый ее § 60 мало отличается по содержанию от [4], § 88, но уже в следующем § 61 вводится (жирным

1 По оглавлению [4]: «гл. 13. Одно уравнение с одним неизвестным; гл. 14. Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателях; гл. 16. Система уравнении с несколькими неизвестными».

шрифтом) определение «равносильных уравнений» (ср. [5], ч. I, гл. VII, § 2) и доказывается

«Теорема. Два уравнения, равносильные третьему, равносильны».

Это, конечно, делает честь логической требовательности автора, но не его педагогическому такту: этак, пожалуй, в геометрии следовало бы после определения равновеликих фигур, как имеющих одинаковую меру площади, доказывать теорему: две фигуры, равновеликие третьей, равновелики.

Параграф 62 содержит в терминах равносильности «два основных свойства уравнения» (...можно прибавить ... одно и то же число .. .; ...можно умножить ... на одно и то же не равное нулю число). В § 63 содержание первого свойства расширяется в том смысле, что можно прибавить к обеим частям уравнения «один и тот же многочлен относительно неизвестного»1. Здесь же утверждается, что «любой член уравнения можно перенести из одной части ... в другую ...» и т. д., но, очевидно, не «любой член», а только целый относительно неизвестного (то же повторяется для случая многих неизвестных на стр. 144, где появляется «многочлен от неизвестных»).

На каком же основании в дальнейшем переносятся члены, содержащие неизвестное в знаменателе? или, заглядывая вперед, члены в тригонометрическом уравнении? Такое основание отсутствует в [1], так как, обращаясь позже (§ 67) к обсуждаемому случаю, автор интересуется только возможностью освободить уравнение от дробей. А вот можно ли в уравнении х + —^j = 1 ~\-х]_ i вычеркнуть в обеих частях по х]_ 1 (на самом деле нельзя), читатель учебника [1] так и не узнает (в [4] этому случаю посвящен мелкий шрифт на стр. 138; в [5], ч. I — гл. VII, § 3).

Столь же беззаботен автор в случае систем уравнений (гл. 8); уже на первой странице этой главы появляется § 80, озаглавленный «Равносильные системы» и начинающийся без всяких предисловий с «определения» равносильности. Далее, в применении к двум уравнениям с двумя неизвестными устанавливается (стр. 147, жирный шрифт), что «можно любое из уравнений системы заменить суммой или разностью данных уравнений», и вот здесь совершенно недопустимым является (проведенное на примере) обоснование этого утверждения. Рассматривается система Ах— 6у = 8, 9х + 6у = 57, затем уравне-

1 Ср. [5], ч. I, § 2; в противоположность этому авторы [4], стр. 138, разрешают прибавлять «любое буквенное выражение», которое «в частности,., может содержать неизвестное», с необходимыми при этом оговорками.

ния почленно складываются, получается система 13* = 65, Ах— 6у = 8 и говорится:

«Так как 9* + 6у = 57, то, прибавляя к левой части первого уравнения 9* + 6#, а к правой 57, мы фактически (разрядка моя. — Я. Д.) прибавляем к обеим частям одно и то же число 57)».

Не говоря о том, что остается открытым вопрос о законности сложения — вычитания уравнений, не приведенных еще к виду ах + by = с (ведь это нередко приходится делать), здесь обнаруживается то самое заблуждение относительно природы уравнений, о котором говорилось на стр. 279—280 как о свойственном не только школьному возрасту. Вместе с тем искажается самая идея доказательств равносильности и открывается путь для прямых ошибок, как показывает следующий пример. Рассмотрим систему х — у = 0, х + у = 10, имеющую единственное решение х = у = 5; умножим почленно первое уравнение на второе, т. е. образуем систему х — у = 0, х2 — у2 = 0, которая не равносильна данной, так как удовлетворяется любыми равными значениями х и у. Между тем, имитируя приведенную выше цитату из [1], можно было бы сказать, что, «умножая левую часть уравнения х — у = 0 на х + у, а правую на 10, мы фактически умножаем обе части на одно и то же число 10 (Ф 0)».

Опять-таки неубедительно обосновывается в конце § 80 «способ подстановки»: «... в первом уравнении х заменено равным ему (?) выражением 2у + 1».

II. Геометрия

Учебник [2] более подробно, чем другие, обсуждался на собраниях, а теперь и в печати1. Наряду с серьезной критикой этого учебника отмечались некоторые прогрессивные его тенденции, впрочем, представленные — часто более удачно — и в предшествующей литературе, например в [7]2 и [8]. Ограничимся несколькими сопоставлениями трактовки одних и тех же вопрос сов в [2], [7] и [8].

1. Углы. Все три учебника определяют угол, следуя Д. Гильберту, как фигуру, образованную лучами (в [7], § 9, добавлено:

1 См. «Математика в школе», 1957, № 4, а, также материалы, указанные в сноске1 к этой статье на стр. 210.

2 Чтобы не оставлять неясности относительно моей оценки учебника [7], скажу, что не все там кажется мне приемлемым с научной и педагогической стороны; в частности, не могу присоединиться к «геометрическому империализму», стремящемуся расширять программу вместо того, чтобы сокращать ее.

или двумя отрезками)1, выходящими из одной точки. Соблазняясь простотой этого определения, не замечают, что оно в сущности закрывает путь к рассмотрению сверхтупых (т. е. больших 180°) углов, о чем, например, Гильберт говорит явно2 и в чем он не нуждается. А между тем обойтись без сверхтупых углов в школьном курсе трудно уже хотя бы потому, что сумма двух тупых углов больше 180°. Наибольшую беззаботность проявляет здесь учебник [2]: в § 6 рассматривается вращение одной из сторон угла около его вершины и после получения развернутого угла (черт. 40) говорится:

«Если будем продолжать вращение..., будем получать новые углы (черт. 41)...»

Это неубедительно, так как при взгляде на черт. 41 и вспоминая определение угла, здравомыслящий ученик скажет, что угол CAB, но только иначе помещенный, уже встречался в процессе вращения (позже он назовет этот угол тупым). А прочтя еще несколько строк (о равенстве углов3), добавит, что угол CAB равен тому из «старых» углов, который получится из CAB при перегибании чертежа по линии АС. Но к особенно неприятным последствиям приводит гильбертово определение в вопросе о сложении углов, если его трактовать так, как это сделано в [2], стр. 17:

«Если один угол приложить к другому так, что они будут иметь общую вершину и сторону, а две другие стороны расположатся по разные стороны от их общего луча, то полученный таким образом угол будет называться суммой этих углов».

Если, следуя этому определению, захотим сложить два угла по 2 -о- развернутого (120°) каждый, то необщие стороны приложен-

1 Это добавление, не принося ощутительных выгод, служит источником ненужных усложнений: так, уже в [7], § 10, где говорится о «внутренней области угла», конечно, имеются в виду стороны как лучи, а не как отрезки; в следующем § 11 приходится по поводу совмещения сторон двух углов специально оговаривать, что речь идет не о совпадении отрезков и т. д.

2 Д. Гильберт, Основания геометрии, М.—Л., 1948, стр. 68.

3 Не могу пройти мимо неправильного оборота речи, встречающегося здесь, а затем повторяющегося в нескольких местах книги [2]: «Углы называются равными, если при наложении... они могут быть совмещены» (жирный шрифт на стр. 16). Слова «при наложении» говорят о том, что какое-то наложение уже осуществлено, но какое? — ведь один кусок плоскости можно наложить на другой многими способами. Та же неудачная формулировка в [7], § И, несколько смягчается тем, что в последующих (жаль, что не в предыдущих) строках рассказывается, какое наложение имеется в виду. Безукоризненную редакцию находим в [8] (курсив на стр. 31): «два угла равны между собой, если их можно путем перенесения совместить» (перед этим описано рекомендуемое перенесение).

ных углов образуют фигуру, которую мы в силу определения угла должны также признать углом в -д- развернутого (120° + 120° = 120°?!).

Несколько лучше изложение в [7]: сначала (§ 13) рассматривается только случай, когда сумма меньше развернутого угла; к сожалению, это явным образом не сказано, читатель должен догадаться по контексту; впрочем, в § 17 развернутый угол оказывается равным сумме двух смежных, и это незаконно, так как участвующее в § 13 и определенное в § 10 понятие «внутри угла» неприменимо к развернутому. Только в § 28 («Расширение понятия об угле. Угол как мера1 поворота луча») сказано, что «два луча определяют не один, а два угла»... Сомнительно, чтобы изложение почти рядом двух различных точек зрения на угол было педагогически оправданным.

Учебник [2] пытается объединить эти точки зрения в своем § 6, но получается еще хуже.

Думаю, что правильно поступает автор [8], когда изучению углов предпосылает знакомство с окружностью, ее частями (дугами) и переносом дуги по окружности (§ 3—11). Двузначность дуги, заданной своими концами, совершенно наглядна, а сложение дуг одной окружности (хотя и отсутствующее в [8]) вполне подготовлено «переносом дуги». Затем вводится транспортир, градусное измерение углов и дуг (§ 13—16), после чего действия над углами становятся достаточно прозрачными (впрочем, примеры § 17 ограничены случаями, когда результат действия меньше развернутого угла).

2. Аксиомы, теоремы, доказательства. Никто не должен добиваться того, чтобы уже в средней школе (и уж, конечно не в VI классе) учащиеся достигли в этих вопросах уровня понимания, свойственного современной науке. Большинство математиков сходится на том, что: 1) не следует торопиться с введением этих понятий до того момента, когда можно будет иллюстрировать их примерами из области хорошо усвоенного; 2) на любой стадии обучения не должно быть внушаемо по этому поводу (как, впрочем, и по любому другому) ничего антинаучного.

Первое требование удовлетворительно выполняется в [2] и [8], где слова «аксиома», «теорема» впервые появляются соответственно на стр. 60 и 65; в [7] эти термины вводятся значительно раньше (стр. 10 и 27) — непонятно, с какой целью.

1 Терминология здесь и дальше в [7] плохо согласована: § 31 озаглавлен «Измерение.» углов», Что же, «измерение мер»?

Хуже обстоит дело со вторым требованием. В [7] и [8] аксиома определяется как истина (а в [2] — как предложение), которая (-ое) принимается без доказательства. Здесь я оспариваю применение слова «истина» (вместо «предложение», «утверждение», «суждение», также встречающихся в [7] и [8]). Ведь ученик услышит позже в классе или прочитает в популярной книжке как об «аксиоме параллельности Евклида», так и об «аксиоме параллельности Лобачевского» и спросит себя: что же, то и другое — истины? Для неискушенного ума не могут быть истинами два противоречащих друг другу суждения об одном и том же. На самом деле названные аксиомы уже потому не могут находиться в противоречии, что они относятся к разным объектам: одна к прямым Евклида, другая к прямым Лобачевского. Однако подняться до понимания этого предстоит даже не всем из тех, кто будет продолжать свое математическое образование. В представлении остальных существует только один род прямых — это те, которые появляются в результате идеализации «физических прямых», т. е. туго натянутых нитей, световых лучей, линий сгиба сложенного пополам листа бумаги и т. п. Но если в определении аксиомы можно оспаривать одно слово, то по поводу сказанного в учебниках о происхождении аксиом возникают глубоко идущие возражения. В [7], стр. 33, об аксиоме параллельности говорится:

«На опыте можно убедиться, что, каким бы способом ни производить построение параллельной прямой1 и как бы тщательно его ни выполнять, на чертеже всегда получается одна и та же прямая».

И дальше:

«...Лобачевский сделал величайшее открытие, показав, что это утверждение никаким способом доказать нельзя и что его нужно принимать как новую аксиому геометрии».

В [2], стр. 61, по поводу любых аксиом сказано, что

«Справедливость аксиом подтверждается многовековым опытом человечества»,

а фраза из [7], относящаяся к Лобачевскому, воспроизведена ([2], стр. 62) почти буквально2.

Здесь все поверхностно и дезориентирует ученика: не говоря о том, что опыт (чертежный?) не может убедить в един-

1 Через данную точку.

2 Заодно отмечу историческую погрешность, допущенную в [2], стр. 61: в «Началах» Евклида нет аксиомы о единственности параллели — это гораздо более поздняя формулировка Плейфера. Не падает ли часть ответственности за эту ошибку на, неосторожную формулировку в [7], стр. 33: «В своих «Началах» Евклид принимал аксиому, в силу которой такая прямая может быть только одна».

ственности параллели уже потому, что производится не над прямыми, а над отрезками «материальных прямых», но разве мы умеем различать на чертеже прямые, образующие угол в миллиардную долю секунды? Не о подобных ли странных экспериментах говорит учебник [2] как о «многовековом опыте человечества»? На самом деле опытом человечества подтверждались не отдельные аксиомы, а выводы из совокупности аксиом, притом задолго до того, как последние были все явным образом сформулированы (на рубеже XIX и XX веков). И по поводу «недоказуемости» аксиомы о параллельных учебники [2] и [7] вводят ученика в заблуждение: хорошо известно, что эта аксиома становится доказуемой, если принять без доказательства одно из многих других предложений. Если уже говорить о недоказуемости аксиомы, то нельзя умолчать об ее эквивалентах и о том, что требование доказать эту аксиому могло означать только одно: доказать ее на основании ранее принятых аксиом. Но во времена Лобачевского никто не мог перечислить эти «ранее принятые» — ясность в этом вопросе наступила не прежде чем через полвека.

При этих обстоятельствах, не прав ли автор [8], когда он отказывается от соблазна привлечь внимание начинающих к имени Лобачевского, а по поводу происхождения аксиом ограничивается краткой напечатанной курсивом фразой: «Эти утверждения нам подсказывает опыт» ([8], стр. 65)? Конечно, это лучше, чем сказать, что аксиомы «вытекают из опыта» или «подтверждаются опытом».

3. Геометрическое место точек. Эти три слова, взятые сами по себе, лишены смысла. Фраза «данная фигура (в частности, линия) есть геометрическое место точек» имеет не больше смысла, чем, например, утверждение «данное число есть предел». Точно так же, как последняя фраза станет содержательной только после того, как она будет продолжена, например, так: «...(предел) такой-то последовательности», так в интересующем нас случае осмысленным можно признать только словосочетание «геометрическое место точек, обладающих таким-то свойством». Таким образом, правильным я счел бы, например, такое определение: «Геометрическим местом точек, обладающих данным свойством (Л), называется фигура, все точки которой обладают этим свойством и вне которой нет таких точек» (на более высоком уровне: «...фигура такая, что принадлежность ей точки М есть условие, необходимое и достаточное для того, чтобы М обладала свойством Л»).

Нередко в этих формулировках слово «фигура» заменяют словами «совокупность (или множество) точек»; но тогда правы

те, которые говорят, что выражение «геометрическое место» становится излишним. Чем, в самом деле, формулировка «Множество всех точек, равноудаленных от концов отрезка, есть прямая, перпендикулярная к отрезку в его середине» хуже обычной, использующей термин «геометрическое место»? И все-таки имеется основание сохранить этот термин, так как не всегда желательно рассматривать фигуру как множество точек. Например, в гильбертовой аксиоматике прямая появляется вовсе не как точечное множество, а как самостоятельный объект, и только в качестве одного из основных отношений вводится сопринадлежность (инцидентность) точки и прямой.

Эти, казалось бы, бесспорные замечания, к сожалению, плохо учитываются нашими учебниками. В [7], стр. 74, сказано:

«...Совокупность всех точекг удовлетворяющих условиям неопределенной задачи, называется геометрическим местом точек» (подчеркнуто автором).

А в [2], стр. 72, еще хуже:

«Совокупность всех точек, обладающих одним и тем же свойством, называется геометрическим местом точек» (жирный шрифт).

Но ведь точки любой совокупности «обладают одним и тем же свойством», например свойством принадлежать к этой совокупности или тем свойством, что через каждую из этих точек можно провести прямую и т. д. Разумеется, в конкретных случаях, где применяются геометрические места, формулировки по необходимости становятся полными.

В [8] понятие геометрического места отсутствует.

4. Измерение прямолинейных отрезков. В школе применяются два способа изложения: 1) евклидов алгоритм нахождения общей меры (арифметический эквивалент — непрерывная дробь, конечная или бесконечная) и 2) десятичные приближения (эквивалент— десятичная дробь, конечная или бесконечная). В обоих случаях появляются иррациональные числа, так что возникает необходимость согласования в преподавании алгебры и геометрии, ведущая, по мнению многих, даже к желательности временного слияния уроков того и другого предмета1. К сожалению, в наших учебниках эта взаимозависимость двух предметов часто сводится к перекладыванию трудностей с одного предмета на другой.

Например, учебник [7] по поводу бесконечных десятичных дробей и действий над ними каждый раз отсылает к алгебре

1 Ср. [5], ч. II, гл. 1; см. также статью Г. М. Фихтенгольца во 2-м выпуске «Математического просвещения», М., 1957, стр. 133.

(стр. 138, 139, 142), а существование несоизмеримых отрезков обосновывает (§ 161) ссылкой на теорему Пифагора, доказательство которой еще предстоит (§ 214), и предполагает ранее установленными все случаи измерения отрезков. Это делает все изложение шатким, так как неизвестно, на какие именно сведения из алгебры опирается автор.

В учебнике [2] делается попытка обойтись без ссылок, для чего излагаются (§ 47, 48) попутно те алгебраические сведения, которые кажутся авторам достаточными для теории измерения отрезков. Как увидим, из-за явно непродуманного изложения получается ущерб и для геометрии и для алгебры. Определение 1, стр. 111 [2] гласит:

«Длиной отрезка... называется число, на которое надо умножить . единичный отрезок для того, чтобы получить измеряемый отрезок» (жирный шрифт).

Чтобы эта подлежащая заучиванию формулировка приобрела смысл, необходимо определить, что понимается под умножением отрезка на число: 1) натуральное, 2) дробное, 3) иррациональное. Первое делается удовлетворительно, второе с некоторой шероховатостью: «умножение отрезка производится по тем же правилам, как и умножение чисел» (стр. 112; ученик сейчас же подумает: числитель отрезка умножается на числитель дроби и т. д.; только следующий за цитированной фразой пример разъяснит ему, в чем дело, и, пожалуй, наведет преподавателя на полезную мысль о том, что «правилу» должно предшествовать определение действия). Однако умножение отрезка на иррациональное число (а ведь это — общий случай!) замалчивается, и иначе здесь не могло быть, потому что эти числа появляются только на стр. 118. Сказанное там о них ничтожно мало даже для целей измерения; например, ни критерии сравнения (больше, меньше), ни действия над вещественными числами не определяются. Поэтому разговоры о приближенных значениях отношения, т. е. числа (стр. 115), или такое утверждение, как «длина суммы нескольких отрезков ... равна сумме длин слагаемых» (стр. 112), лишенные подлинного своего содержания на указанных местах, остаются без обоснования и в дальнейшем. Превратные представления могут быть вызваны у школьников и неосторожными выражениями вроде «иррациональное число, заданное десятичной дробью с достаточно большим числом знаков после запятой ...» (стр. 119; так может быть задано не число, а только его приближенное значение) или «... можно найти отношение отрезков в том случае, когда известна их длина с достаточной степенью точности» (стр. 115; опять-таки — по этим данным можно найти только приближенное значение отношения).

На всем протяжении книги [8] иррациональные числа игнорируются. Не будучи сторонником такого решения вопроса в рамках общеобразовательного курса математики1, хочу отметить, что это делается не только в самых элементарных учебник ках геометрии, но и в полных (чаще всего французских), таких например, как известный курс Ж. Адамара. Во всяком случае, эта позиция кажется мне более приемлемой, чем хромающее на обе ноги изложение в только что рассмотренном учебнике.

5. Гомотетия и подобие. Следует доставить в заслугу Н. А. Глаголеву стремление ввести в обиход школы геометрические преобразования (различные виды симметрии, гомотетию), осуществленное им уже в роли редактора «Геометрии» А. П. Киселева. Правда, гомотетия (в учебнике «подобное преобразование» — неудачный термин, воспринимаемый сразу как «такое преобразование» или «такого рода преобразование») появляется здесь в качестве придатка к традиционной теории подобия треугольников и многоугольников. К тому же большая часть того, что относится к гомотетии, напечатанная мелким шрифтом, игнорировалась преподавателями. В учебнике [7] гомотетия (по-прежнему «подобное преобразование», а не «преобразование подобия») занимает уже более почетное место: в гл. 6 она предшествует подобию фигур и не может быть отброшена без ломки всего изложения.

Той же схеме следует учебник [2], где, однако, добрые намерения авторов ослабляются непродуманностью структуры и формулировок гл. VII. Конечно, очень желательно, чтобы в известный момент было введено понятие о соответствии между элементами двух множеств, и точечное преобразование дает для этого подходящий повод. Но на стр. 129 [2] нет определения «соответствия» или «отображения», а определяется и притом неудовлетворительно «взаимно однозначное соответствие» (вместо «каждой точке второй фигуры соответствует одна и только одна точка первой...» надо было: «каждая точка второй фигуры служит соответствующей для одной только точки первой...»). Далее:

«Прямые..., определяемые соответственными точками..., называются соответственными или сходственными».

Но ведь прямая определяется не одной, а многими парами точек, и две соответственные прямые могут определяться парами, вовсе не состоящими из соответственных точек. Если, на-

1 Приемлемое, на мой взгляд, решение содержит, например, статья Г.М. Фихтенгольца, упомянутая в предыдущей сноске.

пример, прямая / в первой фигуре проходит через точки Л, В и С, которым во второй фигуре соответствуют точки А', В\ С, то мы не знаем, какую из трех прямых А'В', В'С или А'С следует принять за соответствующую прямой /. А ведь в общем случае точечного соответствия из коллинеарности точек Л, В, С вовсе не вытекает коллинеарность точек А', В\ С.

Так как соответствие углов определяется там же с помощью соответствия их сторон, то и это определение дефектно.

Вместе с тем дефектным становится определение подобия фигур, напечатанное в [2] жирным шрифтом на стр. 130, и то же следует сказать о теореме 2, стр. 133. Но упомянутое определение содержит еще один тяжелый недостаток (к сожалению, хронический — см. стр. 133, 135), для выяснения которого придется воспроизвести первую часть формулировки полностью:

«Две фигуры называются подобными, если между их точками можно установить взаимно однозначное соответствие и если при этом...».

Намеренно обрываю цитату, для того чтобы подчеркнуть, что перед нами первое условие подобия (на стр. 133, строки 8—6 снизу, в родственном случае это условие выделено номером 1; такой же самостоятельный характер оно носит в теореме 2 той же страницы). На самом деле здесь никакого условия нет: хорошо известно, что любые два континуума конечных (пусть даже разных) размерностей можно поставить во взаимно однозначное соответствие. Надо было сказать так: «... если ... можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором ...».

Не останавливаюсь на других погрешностях, менее органических, вроде того, что коэффициент гомотетии, определенный на стр. 131 как отношение отрезков, т. е.'положительное число, вдруг (на той же странице внизу) оказывается отрицательным и т. п.

В [8] подобию фигур посвящена небольшая гл. VII; описано там и преобразование гомотетии (этот термин отсутствует). Нет ни одной теоремы, зато много выразительных рисунков, изложение чисто описательное, но иногда более богатое содержанием, чем в «полных» учебниках (например, линейный масштаб; прием копирования, основанный на том, что все квадратные сетки подобны между собой).

6. Длина окружности и ее частей; площадь круга и его частей. Связанные с этим методические вопросы все еще остаются «в повестке дня». Одно время казалось, что понятие предела последовательности дает прочную основу для теории, в которой длина окружности и площадь круга определяются как пределы

известных последовательностей (этот подход переносится позже в стереометрию). Однако уничтожающая критика А. Лебега1 обнаружила иллюзорность этого благополучия. Не только логический базис этих теорий является несовершенным (из определения меры некоторой фигуры ничего не следует относительно мер ее частей), но даже интуитивный их источник таит в себе опасность ложных выводов. Мысль о том, что неограниченное приближение переменной фигуры к совпадению с постоянной влечет за собой такое же приближение меры первой фигуры к мере второй, лежит в основе общеизвестных софизмов [«пила», «цилиндр Шварца»2 и др.]. И хотя многие из этих предосторожностей известны давно, наши учебники часто их игнорируют.

В [7], стр. 201, говоря о правильном вписанном в окружность многоугольнике, автор продолжает:

«Чем больше вершин в таком многоугольнике, тем больше он имеет общих точек с окружностью (вершины) и тем более по своему виду он похож на окружность. Поэтому периметр правильного вписанного многоугольника принимается за приближенное значение длины окружности».

Эту аргументацию можно буквально перенести, например, на упомянутые выше софизмы. Еще откровеннее это повторено в [2], стр. 193:

«Контур правильного многоугольника с достаточно большим числом его сторон очень близко прилегает к описанной окружности. Поэтому вполне естественно допустить, что длина периметра такого многоугольника весьма мало отличается от длины окружности».

Как склонны мы злоупотреблять словом «естественно»! Не сказать ли в случае «пилы»: «Естественно допустить, что сумма длин двух сторон треугольника весьма мало отличается от длины третьей его стороны»?

В дальнейшем изложение в [2] отличается от изложения в [7] тем, что не применяется понятие предела, а число рассматривается как определяемое двумя последовательностями, состоящими из рациональных чисел. Что такое изложение возможно, показывает хотя бы пример наших вузовских учебников Д. И. Перепелкина и С. А. Богомолова3. Однако для этого нужна более серьезная алгебраическая база, чем полтора

1 А. Лебег, Об измерении величин. Перев. с франц., Учпедгиз, М., 1938. См. гл. III и V. [2-е изд., М., 1960. —Ред.]

2 См., например, книгу А. Лебега, названную в предыдущей сноске, стр. 119 и 116—117. [2-е изд.: стр. 117—121.—Ред.]

3 Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, I, Гостехиздат, М.—Л., 1948- С. А. Богомолов, Геометрия (систематический курс), М,—Л., 1949.

десятка строк на стр. 118 учебника [2]; в частности, не хватает аксиомы Кантора или ее эквивалента. Кроме того, например, из этих строк не следует, что при умножении членов определяющих последовательностей на некоторый множитель определяемое ими число умножается на тот же множитель ([2], теорема 2 на стр. 196).

Есть еще одно различие между трактовкой этих вопросов в [2] и [7]. Н. А. Глаголев твердо стоит на позиции «условных определений»: длиной окружности, длиной ее дуги, площадью круга, площадью сегмента ... называется ...». Позицию же учебника [2] нельзя охарактеризовать иначе, как половинчатую: для длины окружности и для площади круга даются условные определения (стр. 196 и 199, жирным шрифтом), впрочем, совершенно неудовлетворительные по форме:

«Определение 1. Постоянное [по отношению к какому процессу изменения? — Я. Д.] число С, определяемое последовательностями периметров вписанных [куда? — Я. Д.] и описанных [около чего? — Я. Д.] многоугольников, называется длиной данной окружности».

Этому предшествует неточное утверждение, относящееся к вписыванию неправильных многоугольников1.

«Определение 3. Число я/?2, определяемое при помощи последовательных приближений площадей вписанных и описанных правильных «-угольников, называется площадью круга».

Трудно разобраться в этих семи идущих подряд родительных падежах; кроме того, приближения теперь — иррациональные.

В дальнейшем авторы [2] уже не считают нужным определять меры частей окружности и круга, а доказывают (стр. 198, 199), что эти меры выражаются такими-то формулами2.

В обоих учебниках [2] и [7] отсутствует общее определение площади (пусть дескриптивное, как у А. П. Киселева). В [2], § 55, рассказано, как находить площадь, но умалчивается, что же собственно мы ищем.

Таким образом, в обоих учебниках [2] и [7] изложение вопросов о длине окружности и площади круга не достигает желательного уровня, но в [2] оно хуже, чем в [7].

1 Ср. Г. М. Фихтенгольц, Основы математического анализа, т. 1, М., 1955, стр. 371.

2 Отметим курьез: на стр. 197 [2] утверждается, что (очевидно, по данному радиусу окружности) «при помощи циркуля и линейки нельзя построить отрезок, равный по длине целой окружности или какой-нибудь ее части». Неужели нельзя спрямить дугу, соответствующую углу в 1 радиан (о котором говорится на следующей стр. 198)?

III. Тригонометрия

Только по сравнению с безыдейным курсом тригонометрии Н. Рыбкина и только в глазах молодого поколения преподавателей, в массе своей незнакомого с более старой учебной литературой, могут показаться новаторскими учебники [9] и [3]. На самом же деле большая часть отступлений от традиционного преподавания, отличающих эти учебники: 1) векторы (под этим названием или под псевдонимом) и их проекции; 2) апелляции (явные или подразумевающиеся) к тождествам Шаля для попарных расстояний точек на прямой и на окружности; 3) извлекаемая отсюда возможность выводить гониометрические формулы с полной общностью; 4) определение тригонометрических функций с помощью координат (или проекций — разница несущественна); 5) внимание к графикам и к приложениям (землемерные задачи, сложение сил, гармоническое колебание)—все это уже встречалось в учебной литературе первого 20-летия нашего века1.

При рассмотрении учебников [3] и [9] я отклоняюсь от схемы, примененной в случаях алгебры и геометрии. В то время как там мои возражения относились главным образом к теоретическому уровню учебников [1] и [2], здесь, в [3], я считаю этот уровень удовлетворительным и имеющиеся снижения его не органическими. Однако в педагогическом отношении учебник [3] кажется мне слабым и заметно уступающим ближайшему к нему по духу (тоже не бесспорному) предшественнику [9].

В противоположность «новым» учебникам «новейшие» считают излишним (опираясь на мощь стабильности?) обратиться к преподавателям с изложением своих педагогических установок (в форме предисловий или послесловий). Поэтому да не посетуют авторы на читателя за попытку извлечь эти установки из содержания учебника. Например, можно с большой вероятностью предположить, что автор [3] недоволен появлением тригонометрической главы в курсе геометрии VIII класса2. Однако,

1 Ограничиваясь литературой, имеющейся на русском языке, назову: Э. Борель, Тригонометрия (перев. со 2-го франц. изд.), М., 1909; В. А. Крогиус, Тригонометрия (курс средней школы), Пг., 1919; А. Гесс, Тригонометрия для машиностроителей и электротехников (перев. с нем. изд. 1910 г.), Одесса,. 1923.

2 Свои взгляды на место тригонометрии в школьном курсе геометрии я изложил в статье, помещенной в «Математическом просвещении», вып. 1, стр. 45. [См. выше стр. 6S—81. — Ред.] Пользуюсь случаем добавить, что, если бы в то время у меня под рукой был учебник В. А. Крогиуса (см. предыдущую сноску), где предложенная мной программа в значительной степени осуществлена, я не преминул бы это отметить. Впрочем, В. А. Крогиус стоит, по-видимому, на позиции единого самостоятельного курса тригонометрии и притом в объеме, который кажется мне сильно преувеличенным.

нравится ему это обстоятельство или нет, ввести на стр. 13 [3] функции любого угла и умолчать при этом, что в случае острого угла это те самые синус, косинус и т. д., которые знакомы школьнику из курса VIII класса, это, я сказал бы, педагогическая бестактность.

На стр. 63 [3] приводятся как новые соотношения между элементами прямоугольного треугольника типа s\nA = -^r и их словесные формулировки (формулы — в рамках, формулировки— жирным шрифтом), затем идут (стр. 64) хорошо известные ученику задачи на решение прямоугольных треугольников, по поводу которых автор, наконец, в сноске напоминает, что применение к этим задачам натуральных таблиц «известно из курса геометрии VIII класса».

Значительно лучше построен учебник [9]: функции острого угла и их применение к решению прямоугольных треугольников составляют в книге первую главу, которую можно просто включить в курс VIII класса вместо имеющегося по тому же вопросу разделу учебника геометрии; если этого не делать, то использовать для повторения.

Каждый педагог знает, с какой тщательностью надо вводить исходные понятия новой дисциплины; неясности, создающиеся на первых шагах, могут вызвать если не антипатию, то отсутствие интереса к предмету — главную угрозу его усвоению. Не хочу быть понятым так, что всегда от определений новых или употребляемых в новом смысле терминов требуется логическая завершенность, но пусть по крайней мере это будут определения-описания, вызывающие устойчивые наглядные представления. Пусть не будет нагромождения терминов, беспорядочно употребляемых один вместо другого. Посмотрим, как эти требования выполняются на первых страницах [3].

а) В первых строках учебника читаем:

«В тригонометрии угол рассматривается как путь, описанный лучом, вращающимся в плоскости вокруг его начальной точки» (стр. 3, курсив).

По своей логической ценности это определение стоит не выше, чем определение «точки» у Евклида, а что касается наглядности, то вряд ли слово «путь» вызовет здесь нужные ассоциации. Другое дело, если бы обобщалось сначала понятие не угла, а дуги окружности — там понятие «путь при движении точки по окружности» представляется совершенно отчетливым. Однако автор предпочитает говорить о связи вращающегося луча с движущейся по окружности точкой только в следующем параграфе (стр. 4). В [9] не делается попыток определить обоб-

щенный угол и обобщенную дугу, а рассматриваются они все время параллельно ([9], § 18—20).

б) Из того, что ученик знает о положительных и отрицательных числах, не следует, что для него имеют смысл такие словосочетания, как «положительное (отрицательное) направление вращения», «положительный угол», «отрицательная дуга». А между тем читатель должен владеть смыслом этих выражений для того, чтобы понять такие фразы: «Одно из двух ... направлений вращения ... будем считать положительным ...» (стр. 3, курсив) [заметим: не «будем называть», а «будем считать»];

«... угол ... считается положительным» ... (стр. 4, курсив);

«Дуга ... считается отрицательной» (там же).

В [9] (за одним исключением, стр. 38) применяется в этих случаях глагол «называться» вместо «считаться», см. начало § 20.

в) Неясность усиливается вследствие того, что в [3] на протяжении страниц 3—6 без точного разграничения употребляются термины «угол» (т. е. «путь»), «величина угла», «мера угла» (т. е. число, стр. 6), причем «Величина ... угла выражается ... числом ...» (курсив на стр. 5; а мера тоже числом? в чем же разница?). Может быть, в смутившей нас выше фразе «угол ... считается положительным» следовало сказать «мера угла считается положительной»? Но тогда виноваты нечеткость терминологии и позднее появление «меры». В [9] выражения «величина угла» (действительно ненужного) я не встретил.

г) Особенно недопустимым представляется мне терминология и символика в § 5 учебника [3]. Вводятся понятия «вектор» (направленный отрезок) и символ АВ для него. Затем

«Определение. Проекцией вектора АВ на ось I называется величина отрезка А\ Вх, соединяющего проекцию начала данного вектора с проекцией его конца на ось /» (стр. 10, жирный шрифт).

Воздержимся от литературной оценки этой фразы и только спросим автора: «Отрезок А\В^> какой — «направленный» или нет? Из непосредственно следующего текста и чертежа 15 можно заключить, что имеется в виду первое (там же — «направление отрезка Л^»), но тогда почему (2 раза) AiBu а не Л1В1? И что такое «величина проекции», т. е. «величина вектора» (заметим: не «длина вектора» — для нее в [3] особое обозначение)? Вероятно, число, но тогда почему же (стр. 10) «Величина проекции считается положительной (или отрицательной), если ...», ведь число не может «считаться», а может только «быть» положительным или отрицательным. Впрочем, через несколько строк автор делает странное заявление:

«Иногда тем же словом „проекция" называют не только величину отрезка AiB{ оси 1Г но и вектор Л^».

Как будто достаточно один раз извиниться, чтобы потом произвольное число раз наступать вам на ногу!

К сожалению, автор имел здесь плохой пример — книгу [9]. Там (§21) для «направленных отрезков» (в сноске на стр. 37 указан термин «вектор», в дальнейшем не применяющийся) даже не введено обозначения, которое позволяло бы отличать их от «ненаправленных». Затем для направленного отрезка, лежащего на оси, вводится «алгебраическая величина», снова обозначаемая так же, как отрезок. В § 22 [9] появляется «проекция направленного отрезка» как «направленный отрезок», и опять это странное извинение: «Часто вместо слов „алгебраическая величина проекции" говорят просто „ проекция"» — вот это и плохо: вместо числа называют вектор! Например, в теореме § 31 [9], конечно, речь идет о проекции как о числе.

д) Выше уже упоминалось, что в основе гониометрии, построенной на теории проекций, лежат теоремы Шаля для прямой и окружности. В [3] отсутствуют не только доказательства, но даже формулировки этих теорем. Вместо теоремы Шаля для прямой сказано (стр. 11):

«По правилу сложения величин направленных отрезков на одной оси имеем: ОМ{ +M\N\ =ONi».

Конечно, взглянув на черт. 18, ученик согласится с этим, но за счет настоящего «педагогического лицемерия» (А. Лебег) — где же и когда он усвоил это «правило» для любого расположения (включая и случаи совпадения) точек О, Ми М?1 (не в VI ли классе?). В [9] теорема для прямой по крайней мере сформулирована (конец § 21), но не доказана. В обоих учебниках [3] и [9] теорема Шаля для окружности отсутствует, и у искушенного читателя возникает вопрос, стоило ли прилагать столько усилий для достижения «общности», если в результате этого отсутствия вывод формул сложения ([3], § 15 и [9], § 50), существенно опирающийся на эту теорему, все же остается неполноценным.

В начале статьи я уже имел случай высказаться о взаимоотношении между учебником и программой. Отклонения от про-

1 См., например, упомянутый в сноске на стр. 220 учебник В. А. Крогиуса, где в § 34 дано доказательство, нуждающееся лишь в незначительных дополнениях.

граммы в ту и другую сторону дают представление о педагогическом кредо автора. И вот автор [3] предстает перед нами как сторонник вливания «старого вина в новые меха»: в действующей сейчас программе ничего не сказано о логарифмо-тригонометрических таблицах, о решении с их помощью треугольников по формулам, удобным для логарифмирования; в учебнике [3} все это сохранено (стр. 59—60, 68—70, 73).

Те же претензии можно предъявить и к авторам [9]; правда, учебник был написан в годы, когда гнет традиций в преподавании тригонометрии еще не ослабел.

С. И. Новоселов, быть может, считает своим достижением то, что он создал учебник примерно того же направления и содержания, что и [9], но зато вдвое меньший по объему. Пиррова победа! Мы уже познакомились с некоторыми сторонами изложения, за счет которых достигнута эта краткость. В целом получился учебник формальный, зачастую просто скучный для читателя; учебник, в котором автор больше заботился о «чистоте своих риз» (а они оказались вовсе не белоснежными), чем о том, чтобы сделать изучение тригонометрии привлекательным и не перегружать мозг школьника наследием Региомонтана.

Читатель, который согласится с критическими высказываниями этой статьи или хотя бы со значительной частью их, признает, что не было никаких оснований ставить учебники [1]—[3] в привилегированное положение по сравнению с другими, здесь рассмотренными. Впрочем, нельзя же жить одними нареканиями на происшедшее, надо подумать о завтрашнем дне нашей школы.

Уже потеряны годы, на протяжении которых в преподавании математики могла бы производиться экспериментальная работа крупного масштаба по учебникам лучшим, чем изданные в 1956 г. Надо хоть с опозданием исправить это положение, не отказываясь от заботы о создании новых учебников, но не в условиях лихорадочной спешки и закрытых конкурсов.

Практические предложения издательствам, вытекающие из сказанного

Следующие учебники мне представляется необходимым переиздать в тиражах не «стабильных», но все же достаточных для того, чтобы каждый учитель математики мог ознакомиться с ними и, буде пожелает, провести по какому-нибудь из них

экспериментальное преподавание, обеспечить этим учебником своих учеников. Само собой разумеется, что ныне здравствующие авторы должны быть в первую очередь привлекаемы к работе над этими переизданиями. Редактирование же трудов, покойных авторов (Н. А. Глаголев, В. Л. Гончаров) следует поручать зарекомендовавшим себя с научно-педагогической стороны их ученикам и последователям.

По алгебре переиздать: [4] для VI и VII классов1; [6] с небольшой переработкой, приближающей эту книгу к типу учебника для VI и VII классов, соединенного с задачником; обе части [5], с переработкой (особенно существенной в ч. II) опять-таки для окончательного приспособления к роли школьного учебника.

По геометрии переиздать обе части учебника [7]; издать в качестве учебника-задачника для VI и VII классов часть (примерно стр. 9—86) книги [8].

По тригонометрии переиздать учебник [9], устранив имеющиеся в гл. I перекрытия с курсом геометрии в VIII классе. Желательно также переиздать упомянутый выше учебник В. А. Крогиуса, быть может, отделив там 1-ю часть («О функциях острого угла и решении треугольников») от 2-й («Учение о тригонометрических функциях»).

Одновременно надо стимулировать появление новых учебников по всем предметам школьной математики, не слишком связывая авторов программами и структурой учебника (например, следует испытать применяемую в ГДР систему единого учебника-задачника по математике, разбитого на части в соответствии не с предметами, а с классами).

ПРИЛОЖЕНИЕ I

Новый учебник алгебры

А. Н. Барсуков, Алгебра, часть II. Учебник для 8—10 классов средней школы, Учпедгиз, М, 1957, 327 стр., тираж 10 000 экз.

Потребность в новом учебнике алгебры возникла не только из-за того, что несколько изменились программы, но еще и в результате эволюции педагогических взглядов, переросших устарелый учебник А. Киселева. Здесь я имею в виду давно уже признанную необходимость воспитания «функционального мышления», обязательность для культурного человека быть знакомым с идеями высшей математики,, наконец, требование практики о создании навыков в пользовании числовыми таблицами, графиками и логарифмической линейкой. Одновременно шел процесс, направленный к освобождению школьной математики от балласта, вроде (если говорить об алгебре) гипертрофиро-

1 Можно надеяться, что отсюда появится добавочный стимул для авторов к завершению 2-й части учебника (VIII—X классов), фрагменты которой уже давно были опубликованы (в журнале «Математика в школе», 1941)

ванной техники логарифмических вычислений, формулы бинома, разложения многочлена на множители и т. п. Подлинно новый учебник призван был отразить не только букву, но и дух новой программы, тенденции ее развития.

Если подойти с этим критерием к учебнику А. Н. Барсукова, то трудно будет усмотреть существенное различие между установками многолетнего редактора учебника А. Киселева, с одной стороны, и автора нового учебника — с другой. Правда, буква программы соблюдена. Осуществлена, сверх того, внешняя модернизация: вместо «относительных» чисел говорится о «рациональных» (смена терминов спорная, но имеющая влиятельных сторонников); термины «одночлен», «многочлен» употребляются в смысле, более привычном для высшей школы; соблюдено предложенное официальной программой разграничение эпитетов «комплексное», «мнимое» и т. п. Чтобы покончить с внешней стороной изложения, скажу, что книга написана доступным и (за исключением отдельных срывов) литературно гладким языком — достоинство отнюдь не маловажное, однако не решающее. В тех случаях, когда у читателя возникнут недоумения, они будут вызваны не литературными, а педагогическими и математическими пробелами изложения.

Соотношения между старым и новым в учебнике поясним несколькими примерами. На весь раздел, посвященный новой эре в истории математики — элементам Анализа, включая вводный § 106 (предел функции) и заключительные § 118—119 (максимум и минимум), отведено 23 страницы, а на идейно убогие преобразования иррациональных выражений — 32 страницы (§ 26—37). Для сравнения заметим, что в учебнике алгебры коллектива авторов под ред. А. И. Маркушевича (1957 г.)1 на те же две темы приходится соответственно 60 стр. (§ 149—178) и 11 стр. (§ 35—40). В частности, «Приведению к рациональному виду числителей или знаменателей дробных иррациональных выражений» уделено в учебнике А. И. Барсукова свыше 4 страниц с 11 примерами (§ 37), а производным тригонометрических функций— iv2 страницы и ни одного примера (§ 116), максимуму и минимуму (§ 118) — 27г страницы и 3 решенные задачи (§ 119, 2 страницы), где исследуемая функция — многочлен 2-й или 3-й степени. Алгоритм извлечения квадратного корня из числа (путем разбивки на грани) вместе с его «теорией» занимает 9 страниц (§ 4—9), а «другие способы» (табличный, графический, приближенная формула), которыми как раз и будет пользоваться ученик, если ему когда-нибудь придется извлекать квадратный корень, — около 3 страниц (§ 10). В то же время «Пределы» (гл. VIII) занимают всего 10 страниц, а «Комплексные числа» (гл. XII) — 13 страниц (у «М» соответственно 15 и 22 страницы, а ведь размеры обеих книг разнятся не сильно).

Прежде чем перейти к деталям, хочу остановиться на одном принципиальном вопросе, в котором оба новых учебника сделали, на мой взгляд (хотя и не в одинаковом масштабе), шаг назад по сравнению с тем, что было до сих пор: отказались в школе от определения функции как соответствия между двумя множествами [взгляд, который А. И. Маркушевич поддерживал 10 лет назад2] и вернулись к «переменной величине» или просто «переменной»3, изменяющейся в каком-то туманном «процессе». Конечно, задача учебника усложнилась в связи с появлением начал Анализа: нельзя было ограничиваться последовательностями (т. е. функциями натурального аргумента), которых было достаточно до сих пор для нужд средней школы;

1 В дальнейшем буду несколько раз ссылаться на этот учебник, обозначая его для краткости буквой «М».

2 См. журнал «Математика в школе» № 4 за 1947 г.

3 Заметим: «переменная», а не «переменное», как чаще встречается в современной литературе; однако рядом с этим — «неизвестное», а не «неизвестная».

понадобился lim/(*). Однако для этого не было необходимости возвращаться к концепции «переменной величины», как прекрасно показано, например, в «Восьми лекциях по математическому анализу» А. Я. Хинчина, где, между прочим, сказано:

«...в точном определении понятия предела, конечно, не может быть места таким терминам, как «явление» или «процесс», математический смысл которых совершенно неясен»1.

Добавляю, что неясность усугубляется еще и появлением термина «величина», который, конечно, может быть математизирован, но, по-видимому, дорогой ценой2. К тому же остающееся важным для школы понятие числовой последовательности лишь с натяжкой укладывается в прокрустово ложе непрерывно протекающего «процесса».

В учебнике А. Н. Барсукова этот рецидив неясности протекает особенно неприглядным образом, и глава VIII («Пределы») живо напоминает полувековой давности главу из «Геометрии» А. Киселева: как там говорится об отношении переменных без упоминания о том, что эти переменные участвуют в одном и том же «процессе» и что берутся значения переменных, принимаемые ими в один и тот же момент процесса, так и здесь (§ 76) формулируются теоремы о пределах, как если бы само собой было понятно, что такое сумма, произведение, ... переменных [в «М» указания на участие в общем «Процессе» включены в условия теоремы3]. Этот пробел тем более опасен, что при отсутствии в § 76 доказательств он почти наверняка не будет восполнен учеником, а может быть, и учителем.

Теперь я могу формулировать, что именно для меня неприемлемо в учебнике: он в лучшем случае обучает, но не воспитывает. А воспитывать нужно не только самостоятельность мышления, но и ту «математическую совесть», которая запрещает произносить пустые, лишенные точного смысла слова или: выдавать за доказанное то, что только намечено. Между тем многие места книги не только не воспитывают, но подрывают дисциплину мышления...*.

После сказанного понятно, что я считал бы тяжелой ошибкой принятие учебника А, Н. Барсукова в качестве стабильного. Между тем такая опасность существует благодаря отмеченной выше привлекательности книги по первому впечатлению и духовному родству ее с привычным для школы учебником А. Киселева. Борьба с положительной оценкой книги должна вестись средствами общественности: в печати, на конференциях, при обсуждении в научно-педагогических коллективах, но только не средствами механического воздействия; если требуется дополнительный тираж для того, чтобы познако-

1 Цитирую по 2-му изд., 1946, стр. 28. Эта мысль повторена в университетском «Кратком курсе математического анализа» того же автора, 1953, стр. 53.

2 10 аксиом у А. Н. Колмогорова в статье «Величина» в БСЭ, 2-е изд. [О точке зрения Я. С. Дубнова на понятие величины см. стр. 141—143 настоящей книги. — Ред.]

3 В «Алгебре» А. К. Фаддеева и И. С. Соминского (Учпедгиз, 1958), хотя там речь идет только о последовательностях, специально определяются (на стр. 149—150, ч. II) действия над ними.

* Далее автор приводит многочисленные цитаты из рецензируемого учебника, демонстрирующие те или иные его погрешности: поверхностное или неполное изложение; педагогические дефекты; усложненное изложение; привитие ученику дурного вкуса в образцах решения задач; ошибки; погрешности языка литературного или математического.

мить с книгой более широкий круг читателей или организовать по ней экспериментальную работу, то такой тираж, по моему мнению, должен быть выпущен.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

О двух новых учебниках геометрии для педвузов1

Около полувека тому назад достиг известного завершения тот глубокий переворот во взглядах на природу геометрии, который был вызван открытием неевклидовой геометрии Лобачевского. Появилась возможность вложить точное содержание в тысячелетний вопрос: зависит или нет постулат о параллельности от остальных аксиом геометрии? Хотя Лобачевским был по существу подготовлен исчерпывающий ответ на этот вопрос, однако он мог быть оспариваем, пока не хватало полного списка этих «остальных аксиом». К концу XX в. были построены полные системы аксиом, из которых наибольшее распространение впоследствии получила аксиоматика Д. Гильберта (одновременно у нас в России другая аксиоматика, достаточная для обоснования евклидовой геометрии, была создана В. Ф. Каганом). Вместе с тем аксиома о параллельности закончила свою историческую миссию, так как теперь вопросы о независимости, непротиворечивости, полноте ставились по отношению ко всей системе аксиом. В свете этой научной революции историческая евклидова аксиоматика предстала в виде грубого приближения к той, которая действительно требовалась для обоснования геометрии. Однако еще более глубокий переворот заключался в идее (совершенно чуждой Евклиду) «определения через аксиомы»: первичные геометрические понятия (точка, прямая, между и т. п.) определяются не по старой аристотелевской схеме («через ближайший род и видовое отличие»), а именно с помощью тех аксиом, которыми эти понятия (явно не определяемые) связаны.

Как отразились эти новые идеи на школьном преподавании геометрии, в основе которого сначала лежала евклидова система, а позднее ее лежандров вариант? Подавляющее большинство педагогов сходилось на том, что высокоабстрактная гильбертова система с ее стремлением к минимальному числу аксиом не может быть предметом преподавания в средней школе, даже на старшей ступени. Однако некоторые думали, что если отказаться от требования минимальности, т. е. принять без доказательства (и, значит, объявить аксиомами) ряд утверждений, которые хотя и доказуемы, но требуют больших усилий, то все остальное изложение школьного курса геометрии можно сделать безукоризненным в том смысле, чтобы каждая теорема выводилась строго дедуктивным образом из принятых аксиом и ранее доказанных теорем. Попытки создать на этой основе школьные учебники делались в Италии 40—50 лет тому назад (Веронезе, Санниа, Энрикес и др.). Хотя авторами были нередко крупные ученые и выдающиеся педагоги, однако следует считать это направление не оправдавшим себя. Современные учебники избавились от некоторых архаизмов, вроде бессодержательных определений точки или прямой, расплывчатых аксиом, таких, как «целое больше части»; однако школьная геометрия очень далека от аксиоматического построения, основанного на полном перечне неопределяемых терминов и недоказываемых

1 Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, ч. 1. Геометрия на плоскости, Гостехиздат, М.—Л., 1948, стр. 343. А. Н. Перепелкина и С. И. Новоселов, Геометрия и тригонометрия (для учительских институтов), Учпедгиз, М., 1947, стр. 368.

суждений. Преподавание этой дисциплины по-прежнему остается «химической смесью логики и интуиции» (М. Симон). Однако будущий преподаватель математики должен произвести анализ этой смеси для того, чтобы в своей дальнейшей деятельности сознательно воспринимать неизбежное расхождение между школьной геометрией и научной. В нашей системе педагогического образования этой цели служат два курса: 1) неевклидова геометрия и выросшая на ее почве современная аксиоматика излагаются в курсе «Основания геометрии»; 2) преподаваемый в пединститутах повышенный курс «Элементарная геометрия» должен дать изложение этого предмета в большем объеме и на более высоком теоретическом уровне, чем это делается в школе.

Нужды второго из двух названных курсов обслуживались у нас до сих пор только переводной литературой, точнее, двумя книгами, которые, даже вместе взятые, не решали поставленной задачи. Двухтомная «Элементарная геометрия» Ж. Адамара имеет характер энциклопедии и, пожалуй, чрезмерно насыщена (в особенности второй том) сведениями, имеющими только косвенное отношение к школьному предмету. В то же время теоретический уровень ее немногим отличается от того, который свойствен доброкачественным школьным учебникам; все более тонкие и принципиальные вопросы выделены в виде дополнительных статей, помещенных в конце книги и не сливающихся органически с основным ее текстом. Студент, который затратит время и силы на изучение этой книги, получит в руки авторитетный справочник и обширный сборник задач, но мало подвинется в понимании геометрии как дедуктивной науки. Другая переводная книга — «Элементарная геометрия» В. Ш в а н а, не ставящая себе задачей систематическое изложение предмета, наоборот, уделяет главное внимание вопросам обоснования, но с узкой теоретико-групповой точки зрения, которая при всей ее научной значимости не может быть положена в основу школьного преподавания.

Таким образом, Д. И. Перепелкиным предпринят первый опыт создания учебника, который полностью отвечал бы задачам курса элементарной геометрии в пединститутах. Хочется сразу сказать, что этот опыт представляется мне выполненным с выдающимся успехом. Более высокий, чем в школьных учебниках, уровень изложения выражается здесь прежде всего в том, что приводится точный перечень первичных понятий (стр. 9—10) и аксиом (стр. 12, 14, 16, 36—37, 42г 61, 64, 80, 154, 160). Правда, в настоящее время гильбертов список можно найти даже в приложении к школьному учебнику геометрии А. Киселева, но там этот список только «демонстрируется», здесь же он работает, и читатель действительно может уяснить себе, как осуществляется аксиоматическое построение геометрии. Аксиоматика, избранная автором, близка к гильбертовой, но отличается от нее тем, что является «заведомо избыточной» (предисловие, стр. 7), как, впрочем, и у некоторых авторов упомянутых выше итальянских учебников. Например, от аксиом 5 и 6 (стр. 61 и 64; текст аксиомы 5: «Если один конец отрезка лежит внутри окружности, а другой — вне окружности, то отрезок имеет с окружностью общую точку») можно было бы избавиться, но это значительно усложнило бы изложение и заставило бы сдвинуть аксиомы непрерывности (Архимеда и Кантора, стр. 154 и 160) с их естественного места — в теории изменения отрезков. Уже из этих беглых замечаний читатель мог заметить, что аксиомы в этой книге вводятся не сразу, а по мере того, как они начинают играть решающую роль; такая система дает более отчетливую картину зависимости отдельных глав геометрии от той или другой группы аксиом.

Однако экономия, достигаемая с помощью лишних аксиом, еще недостаточна для того, чтобы сделать изложение одновременно строгим и не слишком тягостным. Другим источником упрощения служит сознательный и явно оговариваемый отказ от некоторых особо сложных доказательств или проведение их с меньшей общностью, чем это было бы возможно. «Доказательство этой теоремы, основанное на введенных нами аксиомах, довольно громоздко

и носит весьма формальный характер. Поэтому мы его опускаем» (стр, 31, мелкий шрифт). «...Можно совершенно строго доказать следующую теорему» (стр. 34, внизу) — дальше теорема формулируется, но не доказывается. «Несмотря на то что эти теоремы справедливы для всех простых многоугольников, мы будем формулировать и доказывать их только для выпуклых многоугольников, так как в случае невыпуклых многоугольников доказательства представляют большие трудности» (стр. 188, перед теоремой 118). Отсюда видно, что автором руководили вполне законные педагогические мотивы (например, «весьма формальный характер»), когда он опускал отдельные доказательства. В результате удачного отбора этих купюр изложение не угнетает читателя чрезмерным педантизмом, но воспитывает в нем здоровую требовательность к дедуктивному построению. Именно воспитывает, потому что студент не сразу привыкает к необходимости доказывать такие теоремы, как 3—5 на стр. 16—21 (об областях, определяемых на плоскости двумя пересекающимися прямыми, углом, треугольником), и к стилю этих доказательств. На этом же примере можно видеть, что хотя книга не предполагает у читателя никакой предварительной математической подготовки, кроме школьной, однако она предъявляет к его математическому развитию такие требования, которым вряд ли удовлетворяет и студент первого курса. Еще менее можно думать о том, чтобы в этом духе строить школьный курс геометрии (вспомним снова об итальянском направлении), — и этот отрицательный вывод очень поучителен, в особенности для молодого преподавателя. Ни в коем случае это не следует понимать так, что книга не содержит положительных указаний, полезных для практики преподавания. Наоборот, можно утверждать, что и молодой и старый преподаватель найдут в этой книге немало такого, что уже сейчас может быть использовано в преподавании геометрии. Сюда прежде всего относятся определения, хорошо продуманные и доброкачественные в научном отношении, чего нельзя сказать без оговорок о ряде определений в наших школьных учебниках. Для примера сопоставим две формулировки, относящиеся к родственным понятиям — «сферическая поверхность» и «окружность». По А. Киселеву («Геометрия», ч. 2, изд. 3, 1940, стр. 69), сферическая поверхность есть «геометрическое место точек, одинаково удаленных от одной и той же точки»; у Д. И. Перепелкина (стр. 86) окружность есть «геометрическое место точек, расстояния которых от данной точки О равны одному и тому же отрезку» (еще лучше бы сказать: «данному отрезку»). Конечно, вторая формулировка правильна, а первая — нет: ведь в понятие геометрического места всегда входит некоторое свойство, которым может обладать (или не обладать) отдельно взятая точка. Между тем об одной точке бессмысленно говорить, что она «одинаково отстоит от данной точки» (только две или большее число точек могут «одинаково отстоять»)1. Другой пример: мы говорим о параллельных лучах, что они могут быть одинаково или противоположно направлены («углы с параллельными и одинаково направленными сторонами...»), обычно не вкладывая сюда никакого содержания, кроме зрительного. В результате этого доказательство, например, теоремы о равенстве углов с параллельными и одинаково направленными сторонами — фиктивно; по крайней мере, логические его элементы ничтожны по сравнению с интуитивными. Между тем школьнику вполне доступно точное определение: два параллельных2 луча АВ и А'В' называются одинаково (противоположно) направленными, если они лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой АА\ соединяющей начала этих лучей. Это по суще-

1 С этой точки зрения неправильным является выражение, которое можно встретить в современной книге (Н. М. Бескин. Методика геометрии, 1947, стр. 61): «геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой...»

2 Параллельных в узком смысле слова, т. е. не лежащих на одной прямой.

ству и сделано у Д. И. Перепелкина на стр. 79, причем тут же даны настоящие определения углов «соответственных», «накрест лежащих» и т. д. вместо распространенного у нас «тыканья пальцем» (вроде «Z1 и ^5 называются соответственными» — как будто из такого определения можно сделать какие-нибудь выводы!).

Ограничимся этими примерами. Внимательный читатель книги найдет в ней много других: начиная с самых элементарных понятий (треугольник, многоугольник, простой многоугольник и т. д.) и кончая более специальными (симметрия, стр. 128; подобие фигур, стр. 237; радикальная ось, стр. 287—288), можно встретить определения, которые большей частью отличаются от обычных лишь деталями, однако всегда направленными в сторону улучшения.

Хотелось бы перенести в школьную практику и более компактные части курса, столь явно возвышающегося над уровнем наших учебников, но сделать это возможно только в отдельных случаях: книга предназначена для другой цели, и текст ее представляет связное целое. Тем не менее инициативный преподаватель без труда (и с пользой для дела) заменит, например, обычное изложение теорем о равных отрезках на сторонах угла и о средней линии трапеции другим, которое дано в § 28 («Параллельная проекция», стр. 99— 102; на стр. 101, строка 20 сверху — опечатка: вместо «многоугольника» надо «четырехугольника»). Более радикальным и вполне осуществимым нововведением было бы последовать за Д. И. Перепелкиным в его отказе от понятия о пределе в теории длины окружности и площади круга (§ 51—52 и 61). Многими не раз воспринималось как ненормальное такое положение, при котором это важнейшее для математики понятие появляется впервые в геометрии, а не в алгебре. Однако до сих пор широко распространено мнение о неизбежности обращения к «пределу», как только дело доходит до длины окружности и площади круга.

Но, конечно, главная задача книги — расширить научный кругозор читателя и обогатить его сведениями из области, вплотную охватывающей школьный курс. В первом из этих двух направлений важнейший шаг заключается в аксиоматическом построении курса, мало отличающемся от современного научного. Другой руководящей идее — преобразованиям — уделены многие страницы: гл. IV (движения и симметрия), большая часть главы VIII (гомотетия и подобие), вторая половина главы X (инверсия, расширение). Наконец, теория измерения длин и площадей изложена здесь на высоком научном уровне и, как уже отмечалось, может быть частично перенесена б школьную практику.

Еще одно замечание необходимо для понимания структуры этой книги в ее идейно-теоретической части. Автор, несомненно, старался избежать параллелизма (о чем вскользь сказано в предисловии) с другим учебным предметом, преподаваемым в педвузе, — «Основаниями геометрии». Только этим можно объяснить, что на протяжении всей книги ни разу не упоминается имя Лобачевского. Разделяя с автором мысль о нежелательности упомянутого параллелизма, я тем не менее думаю, что эта позиция осуществлена в книге с излишним педантизмом. Ведь о Лобачевском знают теперь школьники, а в ближайшие годы будут знать еще больше. Между тем во многих случаях понимание фактов евклидовой геометрии выиграло бы от сопоставления с родственными фактами гиперболической (иногда и сферической), пусть даже известными понаслышке или сообщаемыми без доказательства.

Уже в рассмотренных до сих пор частях книги появляются, наряду с идейным содержанием, теоремы (например, теорема Птолемея в связи о инверсией, стр. 319), формулы и задачи, выходящие за рамки школьного курса, но принадлежащие, безусловно, к области элементарной геометрии. Преподавателю не придется излагать в классе теорем Стюарта, Менелая, Чевы и др., но с их помощью он объединит в своем сознании и, зна-

чит, глубже поймет такие традиционные задачи, как вычисление длин медиан и биссектрис треугольника по трем его сторонам, или группу предложений относящихся к «замечательным» точкам треугольника. Автор проявил чувство меры, когда из необъятных запасов «околошкольной геометрии»1 извлек немногое и притом наиболее ценное для преподавателя (впрочем, затрудняюсь отнести сюда § 74 — теорему Эйлера о вписанной и описанной окружности и обратную ей).

Именно потому, что я желаю этой книге успеха и переизданий, охотно выскажу свои претензии к ней и пожелания.

1. Жаль, что теорема 2 (стр. 13) не сопровождается доказательством. Оно представляется мне нетривиальным, и нельзя быть уверенным, что всякий читатель получит его самостоятельно. Одновременно выяснилась бы желательность такого уточнения аксиом 1 а, Ь, с (стр. 12), которое исключило бы геометрию с одной точкой и ни одной прямой (в такой геометрии теорема 2 не верна; уточнение могло бы заключаться, например, в том, чтобы в формулировке аксиомы 1с добавить после «существуют» слово «три»).

2. Ссылки на школьные учебники геометрии не вызывают возражений только в тех случаях, когда в изложении учебника не требуется ничего изменить или к нему добавить. Этого нельзя сказать, например, про обратную теорему об описанном четырехугольнике; если, отсылая к школьному курсу (стр. 95, внизу), автор имеет в виду старые издания учебника А. Киселева (в новых изданиях этой теоремы нет) или «Элементарную геометрию» Н. А. Глаголева, то он, видимо, не замечает, что в обоих случаях доказательство несостоятельно.

3. Может быть, следовало бы наряду с гомотетией (которую можно назвать «центральным растяжением — сжатием») рассмотреть также «осевое растяжение — сжатие» как простейшее аффинное неэквиформное (г. е. не сохраняющее форму фигуры) преобразование и показать, что гомотетия является произведением двух таких преобразований.

4. Понятие площади определено только для многоугольника, круга и намечено для кругового сектора. Читатель не узнает из этой книги, что он должен понимать под площадью фигуры, ограниченной хотя бы прямолинейными отрезками и круговыми дугами (такие фигуры встречаются в школьных задачниках), не говоря о площади эллипса. Между тем дать для широкого класса фигур определение площади в духе всего изложения, казалось бы, нетрудно (например, по Лебегу: «Об измерении величин», Учпедгиз, М., 1938*).

5. Теорема 164 (стр. 276), которая вместе с обратной ей (стр. 277) призвана охарактеризовать круг конструктивных задач, разрешимых циркулем и линейкой, сформулирована2 так, что не видно, как применять ее ко многим часто встречающимся задачам. Например, что считать «данными отрезками» в задачах, где даны углы, или в такой: построить правильный треугольник, вершины которого лежали бы на трех данных параллельных прямых?

Как видим, ни одно из этих замечаний не входит в противоречие с тем, что говорилось выше о достоинствах книги. Язык ее я считаю безукоризнен-

1 Широко распространен предрассудок, будто элементарная геометрия — исчерпанная область. На самом деле над ее обогащением работали и работают многие тысячи математиков, главным образом учителей средней школы. Далеко не полный обзор (на немецком языке) М. Симона «О развитии элементарной геометрии в XIX веке» содержит свыше двух тысяч имен,

* 2-изд., Учпедгиз, М., 1960.

2 Одна деталь формулировки для меня не ясна: что прибавляет символ лП1 к уже выведенному ать?

ным как в литературном, так и в математическом отношении. Наша высшая педагогическая школа получила превосходный учебник по элементарной геометрии, который косвенным образом должен оказать положительное влияние и на преподавание этого предмета в средней школе.

Диаметрально противоположную оценку я вынужден дать второй из рецензируемых книг в ее геометрической части (автор — А. Н. Перепелкина). Конструкция этой части (250 страниц из общего, числа 364) определяется ее назначением — дать систематический курс геометрии, умеренно расширенный по сравнению со школьным и завершаемый сведениями о современном научном построении этой дисциплины. Расширение осуществлено несколько односторонним образом, с явно выраженной симпатией к окружностям: окружность Эйлера, § 36, стр. 77—78; метод изопериметров для вычисления я, § 61, стр. 132—134; геометрия окружностей (степень точки, пучки и связки, инверсия, задача Аполлония, гл. X, стр. 136—155). Разве менее полезны были бы и разве не ближе к школьному курсу теоремы Чевы и Менелая или вопросы размерности геометрических формул (однородность)? Современному обоснованию геометрии посвящен отдел третий (стр. 226—252), который по замыслу автора должен охватывать: 1) краткий исторический очерк от Евклида до Лобачевского, 2) элементы неевклидовой геометрии, 3) гильбертову аксиоматику.

Таким образом, если не говорить о деталях, то план книги можно было бы не оспаривать. Но до чего он выполнен неумело, некомпетентно, иногда попросту неряшливо! Понимая ответственность за это резкое суждение, я постараюсь обосновать его с помощью иллюстраций, достаточно полных, хотя и не исчерпывающих (этого не позволяют размеры рецензии).

Начнем с первых страниц Введения (стр. 3—6), где уже вторая строка вызывает неясность: «Фигурой называется совокупность точек, прямых и плоскостей». Можно спросить: является ли в силу этого определения фигурой круг или треугольник, о котором сказано на стр. 10, что это «фигура, образованная тремя отрезками, попарно соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой» (ведь отрезки нельзя отождествить с прямыми, о которых говорится в определении). Возможно, что автор ответит: и круг, и треугольник подходят под определение фигуры потому, что их можно рассматривать как «совокупности точек». Но тогда зачем же было включать в формулировку «прямые и плоскости» — ведь их тоже можно трактовать как совокупности точек? Специалисту нетрудно догадаться, откуда идет этот «звон»: несколько ниже о понятиях «совокупность», «точка», «прямая» и «плоскость» говорится как о «неопределимых» (то же з начале § 88). И с этим нельзя согласиться: не существует понятий, принципиально неопределимых, но верно то, что в каждой аксиоматике участвуют неопределяемые понятия (точнее, определяемые косвенно данной системой аксиом; см. начало этой статьи). В гильбертовой системе такими действительно являются «точка», «прямая» и «плоскость», причем последние две не рассматриваются как точечные совокупности. Но ведь здесь, на стр. 3 учебника, никакой гильбертовой системы нет и не может быть; почему же автору было не сказать: «фигурой называется совокупность точек» — и поставить точку? Дальнейшие строки стр. 3 имеют целью разъяснить опытное происхождение геометрических понятий. Так, образованию понятия о прямой предшествуют наблюдения над «прямо проложенным рельсом» (значит, наблюдатель уже знает, что такое «прямо»?), над «корешком книги» (хочется спросить — толстой?). Но больше всего шокирует здесь легкое обращение со словами «абстракция», «абстрагировать» и т. д., без заботы об их смысле и просто о грамматике. «Отдельные камни в груде камней, ...след пера... — все это создает представление о предмете, абстракцией которого (подчеркнуто здесь и далее мной.— Я. Д.) является математи-

ческая точка». Что же этот таинственный «предмет», промежуточный между наблюдаемыми вещами и геометрической точкой, уже есть «абстракция» или еще нет? Далее, «крышка стола, ...лист бумаги и т. д. абстрагируются нами как плоскость» — странное употребление глагола. Воспроизведя определение точки по Евклиду, автор добавляет, что оно «является таким же описанием абстрагируемых нами из опыта свойств точки, как приведенные нами ранее», — теперь уже «абстрагируются свойства», которых, между прочим, читатель тщетно будет искать «ранее» (да и трудно догадаться, о каких свойствах точки, взятой сама по себе, могла бы идти речь). Для характеристики стиля приведу еще несколько выражений: «...к понятию плоскости приходим, рассматривая границы двух прилегающих друг к другу соответственных (?) пространственных тел...» (стр. 3), — может быть, «границу, разделяющую два тела»? И потом — какие бывают «непространственные» тела? «К понятию прямой мы приходим также, рассматривая границу (или линию пересечения) между двумя плоскостями...» (стр. 3), — разве можно назвать линию пересечения двух плоскостей границей между ними? «Элементарная геометрия допускает возможным...» (стр. 4). Новым источником недоумений служат аксиомы на стр. 5; приведу их дословно:

«Аксиома 5. Всякую фигуру можно перемещать в пространстве, не меняя ее формы и размеров».

«Аксиома 6. Равными фигурами называются такие, которые при наложении совмещаются».

Первая из этих «аксиом» просто бесплодна из-за присутствия в ее формулировке сложных понятий «форма» и «размеры фигуры», которые нигде в дальнейших доказательствах участвовать не будут. Но уже совсем странное впечатление производит аксиома 6. Сначала хочется предположить, что это промах типографии, которая поставила заголовок «аксиома» вместо «определение», но нет: на стр. 7 и И находим ссылки именно на «аксиому 6». Впрочем, и как определение равенства фигур эта формулировка слаба: ведь не при всяком наложении равные фигуры совмещаются, а только при надлежащем наложении могут быть совмещены. Этот дефект повторяется позже в каждом частном случае, где определяется равенство — конгруэнтность. Например, на стр. 189 дается определение: «Равными трехгранными углами называются такие, которые при совмещении совпадают».

Мы обозрели первые три страницы учебника. Читатель понимает, что при сохранении тех же темпов рецензия разрослась бы в трактат, а этого книга не заслуживает...

«Геометрия» А. Н. Перепелкиной не только не воспитывает будущего учителя, она его деморализует. Чем скорее этот учебник будет изъят из употребления, тем лучше.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА

«К истории постулата о параллельных линиях в связи с практикой современного преподавания». Впервые опубликовано в журнале «Математика в школе», 1950, № 5, стр. 1—8. Перепечатано — «Математическое просвещение» (новая серия), вып. 5, 1960, стр. 57—71.

«Геометрия в семилетней школе». Опубликовано в «Известиях Академии педагогических наук РСФСР», вып 6, 1946, стр. 57—76.

«Тригонометрия в школьном курсе геометрии». Опубликовано в «Математическом просвещении», вып. 1, 1957, стр. 45—56.

«Ошибки в геометрических доказательствах». Впервые опубликовано отдельной брошюрой в 1953 г., Гостехиздат, М., 68 стр. Последующие издания (стереотипные)—Гостехиздат, М., 1955; Физматгиз, М., 1961.

«Измерение отрезков (педагогические замечания)». Написано не позже 1947 г. Вошло в состав опубликованной посмертно брошюры «Измерение отрезков», Физматгиз, М., 1962, редакция и дополнение И. М. Яглома, стр. 59—67.

«Величина и число». Написано в 1955 г. Опубликовано (посмертно) в «Математическом просвещении», вып. 5, 1960, стр. 212—214.

«Содержание и методы преподавания элементов математического анализа и аналитической геометрии в средней школе». Написано в конце 40-х годов для подготавливавшейся (но не вышедшей в свет) Академией педагогических наук РСФСР «Педагогической энциклопедии». Опубликовано (посмертно) в «Математическом просвещении», вып. 5, 1960, стр. 17—55.

«Бесконечно удаленные элементы в геометрии». Опубликовано (без указания имени автора) под названием «О бесконечно удаленных элементах (точках, прямых, плоскости)» во 2-й книге III тома («Геометрия») «Физико-математической хрестоматии» А, А. Лямина, изд. «Сотрудник школ», М., 1914, сгр. 105—114.

«К проблеме создания новых учебников по математике для средней школы». Опубликовано в «Математическом просвещении», вып. 3, 1958, стр. 275—300.

«Новый учебник алгебры». Написано в 1957 г. Опубликовано (посмертно) в «Математическом просвещении», вып. 5, 1960, стр. 275—286 как первая часть более полной рецензии «Два новых учебника алгебры». Печатается в сокращении.

«О двух новых учебниках геометрии для педвузов». Опубликовано в журнале «Математика в школе», 1949, № 6, стр. 43—49. Печатается в сокращении.

СОДЕРЖАНИЕ

От издательства....................... 3

И. М. Яглом. Яков Семенович Дубнов — математик и педагог 5

К истории постулата о параллельных линиях в связи с практикой современного преподавания ............ 30

Геометрия в семилетней школе............... 46

Тригонометрия в школьном курсе геометрии......... 68

Ошибки в геометрических доказательствах.......... 82

Измерение отрезков (педагогические замечания)....... 134

Содержание и методы преподавания элементов математического анализа и аналитической геометрии в средней школе 144

Бесконечно удаленные элементы в геометрии........ 188

К проблеме создания новых учебников по математике для средней школы..................... 197

Библиографическая справка ................. 235

Яков Семенович Дубнов

БЕСЕДЫ О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

Редактор Ю. А. Гастев Художник М. Ф. Ольшевский Художественный редактор Б. Л. Николаев Технический редактор В. Ф. Егорова Корректор А. М. Кудрявцева

Сдано в набор 28/VIII 1964 г. Подписано к печати 31/XII 1964 г, бОхЭО'Де- Печ. л. 14,75+0,125 вкл. Уч.-изд. л. 14,42+0,06 вкл. Тираж 20000 экз. Пл. 1965 г. № 213. А-11678. Заказ № 688.

Издательство „Просвещение" Государственного комитета Совета Министров РСФСР по печати. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров СССР по печати. Измайловский проспект, 29.

Цена без переплета 39 коп., переплет 15 коп.