И.В. ДРОБЫШЕВА

ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ

КАЛУГА 2009

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

КАЛУЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ К.Э.ЦИОЛКОВСКОГО

И.В. ДРОБЫШЕВА

ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ

КАЛУГА 2009

ББК 74.262.21 Д72

Печатается по решению учебно-методического Совета университета

Дробышева И.В. Д72 Дифференцированное обучение математике: Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак-та. - Калуга: КГПУ им.К.Э.Циолковского, 2009. - 104с. ISBN 978-5-88725-170-7

В пособии описаны возможности реализации дифференцированного подхода к учащимся при овладении ими компонентами содержания школьного курса математики. Показаны особенности моделирования дифференцированного урока математики. Предназначено студентам физико-математических факультетов педагогических вузов, учителям школ.

Рецензенты:

И.М.Смирнова, доктор педагогических наук, профессор кафедры методики преподавания математики МПГУ

Е.И.Санина, доктор педагогических наук, доцент кафедры методики преподавания математики МПГУ

© Дробышева И.В., 2009

© КГПУ им.К.Э.Циолковского, 2009

ВВЕДЕНИЕ

Особенностью современного этапа развития теории и практики обучения является его направленность на развитие индивидуальности обучающихся, их личностных качеств. Исходя из этого, учитель должен знать, каким образом осуществлять обучение, реализующее эту задачу, какие индивидуальные особенности обучающихся необходимо учитывать и на каких этапах процесса обучения, какие из них имеется возможность формировать в процессе учебной математической деятельности. В данном пособии представлены материалы, позволяющие ответить на эти вопросы.

§. 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ

1.1. Дифференцированное обучение как средство достижения индивидуального подхода к обучающимся

В отечественной педагогике появление понятия "дифференцированное обучение" отмечено в конце 50-х годов вместе с понятием "дифференциация обучения", которое пришло на смену понятию "фуркация" и в переводе с латинского означает различение, разделение.

Н.К.Гончаров, начавший одним из первых употреблять новые термины, рассматривает дифференциацию как разделение содержания образования, как обучение учащихся по различным учебным планам, отвечающим "как индивидуальным склонностям, способностям и интересам учащихся, так и задаче воспитания в школе будущих новаторов производства, талантливых математиков, техников и физиков, механиков и историков и т.д."([31], с.23). Обучение, осуществляемое на основе дифференциации, т.е. разделения содержания образования, называют дифференцированным. Особенностью дифференцированного обучения, имевшей место в 50-60г.г., как отмечает Н.К.Гончаров, является то, что оно осуществлялось для того, "чтобы найти наиболее рациональные пути связи обучения с общественно-производительным трудом, которые бы вместе с тем обеспечивали бы высокую общеобразовательную, политехническую и профессиональную подготовку учащихся в соответствии с их склонностями и интересами"([30], с.40). На эту же особенность указывает и М.А.Мельников, который говорит об особенной эффективности системы дифференцированного обучения для средних школ, работающих в составе IX-X классов. "Организация в такой школе обучения по нескольким направлениям общего, политехнического и профессионального образования открыла бы

учащимся более широкие возможности для выбора профессии в соответствии с их склонностями и интересами"([112], с. 12).

Е.А.Иванович, Д.А.Эпштейн, исследуя возможности осуществления дифференцированного обучения старших классов по научно-техническим направлениям производственной подготовки учащихся, отмечают, что "школа, в которой обучение соединяется с производительным трудом, помогает овладеть теорией в тесной связи с практикой, выбирая область труда в соответствии с личными способностями и склонностями"([51], с. 17).

В 70-90 годы происходит дальнейшее развитие теории дифференцированного обучения. Это, в первую очередь, касается определения понятия "дифференцированное обучение" и форм его осуществления. Анализ психолого-педагогической литературы позволяет выделить четыре точки зрения на сущность этого понятия, имеющие место в анализируемый промежуток времени.

В соответствии с первой точкой зрения трактовка понятия "дифференцированное обучение" остается той же, что была в 50-60 годы.

Так, в "Педагогической энциклопедии" говорится, что дифференцированное обучение - это "разделение учебных планов и программ в старших классах средней школы" ([87], с.700).

Н.Н.Рогановский, говоря о дифференцированном обучении, не дает его определения, а характеризует различные формы осуществления. На первом - подготовительном этапе, главная задача которого выявить и сформировать наклонности и интересы учащихся, такими являются факультативные курсы и классы с углубленным изучением отдельных предметов. На втором, основном этапе, автор предлагает разделить все курсы по двум направлениям академическому и профессиональному, выделить блок обязательных предметов и предметов по выбору и излагать все предметы, входящие в них, на двух уровнях - общекультурном и повышенном [104]. Анализ описанных автором форм дифференцированного обучения дает возможность утверждать, что их использование реализует идею разделения содержания образования.

Н.В.Метельский также связывает дифференцированное обучение с идеей разделения содержания образования. В частности, под дифференцированным обучением математике он понимает обучение учащихся старших классов в классах с углубленным изучением математики ([73], с.27).

Таким образом, согласно первой точке зрения, дифференцированное обучение рассматривается как обучение, связанное с разделением содержания образования.

Согласно второй точке зрения понятие дифференцированного обучения трактуется более широко, нежели в 50-60 годы.

Так, Н.М.Шахмаев "учебно-воспитательный процесс, для которого характерен учет типичных индивидуальных различий учащихся"([124], с.269-270) называет дифференцированным, а обучение в условиях этого процесса - дифференцированным обучением. Далее он говорит о делении дифференциации на внутреннюю и внешнюю. Характеризуя внутреннюю дифференциацию как "такую организацию учебного процесса, при которой учет индивидуальных особенностей учащихся производится в условиях работы учителей в обычных классах"([124], с.270), он делает вывод, что этот вид дифференциации есть не что иное, как индивидуализация обучения. С термином "внешняя дифференциация" автор связывает "такую организацию учебного процесса, при которой для учета индивидуальных особенностей учащихся последние объединяются в специальные дифференцированные учебные группы ([124], с 270). Сравнивая введенные Н.И.Шахмаевым определения, мы приходим к выводу, что дифференцированное обучение - это обучение, имеющее место как при осуществлении внутренней, так и внешней дифференциации; оно связано с учетом любых типичных индивидуальных особенностей учащихся, обучающихся в обычных классах, и с организацией и обучением учащихся в специальных классах (группах).

В.М.Монахов также выделяет два вида дифференциации: внешнюю и внутреннюю. Под внешней дифференциацией он понимают "создание на основе определенных принципов (интересов, склонностей, способностей...) относительно стабильных групп, в которых содержания образования и предъявляемые к школьникам учебные требования различаются"([75], с.43). Говоря о внутренней дифференциации, имеет в виду "различное обучение детей в достаточно большой группе учащихся (классе), подобранных по случайным признакам"([222], с.42). Согласно точке зрения автора эта форма основана на возможно более полном учете индивидуальных и групповых особенностей учащихся. Внутреннюю дифференциацию, говорит В.М.Монахов, можно осуществлять как в традиционной форме учета индивидуальных особенностей учащихся, так и в форме системы уровневой дифференциации.

Единой точки зрения на сущность уровневой дифференциации в настоящее время нет. Наиболее разработаны концепции В.М.Монахова, В.Г. Дорофеева, Л.В.Кузнецовой, С.Б.Суворой и В.В.Фирсова, В.Г.Болтянского и Г.Д.Глейзера, Н.В.Метельского, Н.М.Рогановского, М.И.Башмакова.

Согласно точке зрения первой группы авторов "уровневая дифференциация предполагает такую организацию обучения, при которой школьники, обучаясь по одной программе, имеют право и возможность усваивать ее на различных планируемых уровнях, но не ниже уровня обязательных требований"([75], с.43). Особенность данного подхода к уровневой дифференциации состоит в "явном выделении уровня обязательной подготовки и формировании на этой основе повышенных уровней овладения материалом"([43], с. 16).

В.Г.Болтянский и Г.Д.Глейзер в качестве критериев уровней усвоения материала предлагают рассматривать определенный уровень культуры и знаний. Исходя из этого, авторы выделяют три уровня знаний по математике, называя их условно общекультурным, прикладным и творческим.

Усвоение знаний на общекультурном уровне предполагает понимание учащимися ведущих идей курса и умение их объяснить.

Прикладной уровень знаний характеризуется глубоким пониманием ведущих идей, аргументированной иллюстрацией основных фактов, проведением доказательств и умением применить полученные знания в различных жизненных и производственных ситуациях.

Творческий уровень усвоения знаний связан не только с глубоким пониманием учебного материала и умением проводить основные доказательства, но и с умением применять знания, как в прикладном, так и чисто математическом аспектах [9].

Н.В.Метельский говорит, что осуществление концепции трех уровней знаний возможно при обучении "алгебре и геометрии обычных 7-8 классов массовой школы по одному трехуровневому учебнику для каждого предмета"([73], с.28).

Н.М.Рогановский [104] предлагает рассматривать все предметы, вне зависимости от того, к каким блокам они относятся: блоку обязательных предметов или предметов по выбору, - на двух уровнях: общекультурном и повышенном. В содержание общекультурного уровня должно входить не менее 75-80% содержания повышенного уровня, что позволит при необходимости перейти от первого ко второму уровню.

М. И. Башмаков рассматривает три уровня школьной математики: базисный, основной и углубленный. Для каждого уровня автор определяет объем основных знаний (планируемые минимальные результаты обучения, список основных алгоритмов) через систему задач, задачи творческого исследовательского характера ([7], с.9).

Сравнение позиций различных авторов на сущность уровневой дифференциации позволяет утверждать, что общим в них является явное выделение каждым из авторов нескольких уровней усвоения

учебного материала и представление характеристик, позволяющих судить о достижении учеником того или иного уровня. Различные критерии, положенные авторами в основу выделения уровней, представляют принципиальные отличия в их позициях.

Таким образом, введение понятий "внешняя дифференциация", "внутренняя дифференциация" и их дальнейшее развитие привело к неоднозначной трактовке термина "дифференцированное обучение", под которым стали понимать и обучение, связанное с разделением содержания образования, и обучение, осуществляемое на основе более полного учета индивидуальных особенностей учащихся, и обучение в системе уровневой дифференциации.

В работе [74] также просматриваются два аспекта понятия "дифференцированное обучение". С одной стороны, авторы выделяют такие его формы как математические кружки, лектории, факультативные занятия по выбору, классы с углубленным изучением математики, свидетельствующие о разделении содержания образования, а с другой стороны, говорят о все большем распространении дифференциации обучения на уроках, что проявляется в выборе методов, средств обучения.

В подходе Н.Г.Огурцова и Т.М.Бунтовской к определению дифференцированного обучения и построению модели его реализации прослеживается синтез внешней и внутренней дифференциации. Под дифференцированным обучением, согласно их точке зрения, "понимается совокупность содержания, форм и методов обучения, организуемая с учетом возрастных и индивидуальных особенностей учащихся, их интересов, способностей и возможностей, направленных на всестороннее развитие и воспитание" ([79], с.4). Говоря о реализации дифференцированного обучения, авторы в качестве положений, являющихся основой построения модели, берут следующие:

1) организация определенных направлений обучения, направленных на повышение или углубление уровня близких или интегрированных учебных предметов при едином базовом образовании;

2) создание для старшеклассников специализированных классов с углубленным изучением одного или нескольких предметов;

3) развертывание широкой сети факультативов, кружков для удовлетворения интересов учащихся и компенсации содержания образования в профильных классах;

4) построение методики обучения, учитывающей особенности обучения учащихся различных способностей, уровня подготовленности, протекания психических процессов ([79], с.8-9).

Н.И.Кузьмичева также говорит о двух аспектах понятия "дифференцированное обучение". С одной стороны, оно трактуется как особая форма, направленная на повышение уровня профессиональной и политехнической подготовки, а с другой стороны, как "действенное средство и условие реализации дидактического принципа индивидуального подхода к учащимся"([68], с. 12).

И.М.Осмоловская считает, что "учет индивидуальных особенностей, присущих группам учеников, и организация вариативного учебного процесса в этих группах" ([83], с.7) составляет специфику дифференцированного обучения. В условиях этого вида обучения, по словам автора, могут различаться все или только некоторые элементы дидактической системы (цели, содержание, методы, формы, результаты). Из такого понимания дифференцированного обучения следует возможность существования различных его форм: классов с углубленным изучением отдельных предметов, профильных классов, классов гибкого состава, элективной дифференциации, лицейских классов, классов коррекционно-развивающего обучения, внутриклассной дифференциации по различным основаниям (уровню сложности выполняемых учениками заданий, дозе помощи учителя ученику, индивидуальным психофизиологическим особенностям учеников, модели усвоения знаний, уровню усвоенного содержания).

Таким образом, И.М.Осмоловской характерно широкое понимание термина "дифференцированное обучение", как обучения, реализующего различные формы внешней и внутренней дифференциации.

Идея широкой трактовки данного понятия также присуща Г.К.Селевко, согласно точке зрения которого "дифференцированное обучение - это: 1) форма организации учебного процесса, при которой учитель работает с группой учащихся, составленной с учетом наличия у них каких-либо значимых для учебного процесса общих качеств (гомогенная группа); 2) часть общей дидактической системы, которая обеспечивает специализацию учебного процесса для различных групп обучаемых" ([113], с.78). В зависимости от особенностей детей, положенных в основу формирования гомогенных групп, автор говорит о дифференциации по: возрастному составу; полу; области интересов; уровню умственного развития; личностно-психологическим типам; уровню здоровья.

Анализ определения и оснований дифференциации, выделенных Г.К.Селевко, позволяет утверждать, что понимание им дифференцированного обучения находится в рамках второго подхода к трактовке этого понятия.

Таким образом, особенностью второго (широкого) подхода к трактовке понятия "дифференцированное обучение" является отсутствие однозначности, что требует уточнения рассматриваемого аспекта при каждом использовании данного термина.

В соответствии с третьей точкой зрения дифференцированное обучение связано с реализацией дифференцированного подхода к учащимся в обучении.

Е.С.Рабунский под дифференцированным подходом понимает "дидактическое положение, предполагающее деление класса на группы, например, по интересам, успеваемости и пр." ([99], с 18), а под дифференцированным обучением - обучение, реализующее дифференцированный подход. Так как индивидуальный подход означает внимание к каждому ученику, его творческой индивидуальности, то, по словам автора, дифференцированный подход является необходимым условием успешной реализации индивидуального подхода. Исходя из этого, в конечном счете, дифференцированное обучение - это обучение, необходимое для реализации индивидуального подхода.

Р.А.Утеева понятие дифференцированного подхода к учащимся определяет как "целенаправленное отношение учителя к учащимся с учетом их типологических особенностей, т.е. отношение к типологическим группам учащихся, проявляющееся в дифференциации заданий на различных этапах урока, при организации домашней и внеклассной работы по математике"([119], с.40). Дифференцированное обучение - это обучение, реализующее дифференцированный подход.

Г.Д.Глейзер под дифференцированным подходом к учащимся понимает "систему управления их познавательной деятельностью с учетом как индивидуальных психологических различий (особенностей) отдельных обучаемых, так и доминирующих особенностей групп учащихся"([55], с. 11), а под дифференцированным обучением - учебно-воспитательный процесс, протекающий с подобной системой управления познавательной деятельностью учащихся.

Из сравнения определений Р.А.Утеевой и Г.Д.Глейзера видно, что их отличия состоят, во-первых, в том, что в определении Г.Д.Глейзера предлагается учитывать не только доминирующие (типологические) особенности групп учащихся, но психологические различия отдельных учащихся, что, без сомнения, с одной стороны, усложняет задачу учителя, а, с другой стороны, позволяет приблизить процесс обучения к каждому ученику. Вторым существенным отличием является то, что в определении, сформулированном Г.Д.Глейзером, вся система управления познавательной деятельностью

учащихся, а не только дифференциация заданий, как в определении Р.А.Утеевой, является средством реализации дифференцированного подхода.

В.А.Гусев, анализируя в своей докторской диссертации понятия индивидуализации, дифференциации, индивидуального подхода, дифференцированного обучения, утверждает, что "практически индивидуализацию можно (и приходится) осуществлять через дифференциацию, дифференциация - необходимый и правомерный путь к индивидуализации...([34], с.249). Другими словами, как говорит автор, дифференцированное обучение можно считать средством достижения индивидуального подхода. Уровень эффективности этого обучения зависит как от возможностей выявления и учета индивидуальных особенностей учащихся, так и от уровня разработки средств управления учебно-познавательной деятельностью учащихся.

В определении дифференцированного обучения, сформулированном В.П.Стрезилкозиным, также отражена идея рассмотрения его в качестве средства реализации индивидуального подхода. Согласно точке зрения автора, дифференцированное обучение - это "обучение, состоящее в том, чтобы, зная индивидуальные особенности каждого ученика ... определить для него наиболее целесообразный и эффективный характер работы на уроке"([115], С.21).

Этой же точки зрения придерживаются В.П.Лебедев, В.А.Орлов, В.И.Панов, которые дифференцированное обучение рассматривают в контексте проблемы развивающего образования. Они используют его в качестве "средства становления индивидуальной системы знаний, опыта школьника"([69], с.25). К условиям, обеспечивающим эффективность дифференцированного обучения, авторы относят обеспечение научно-достоверной психологической диагностики; моделирование на основе полученных диагностических материалов образовательной среды, учитывающей типические, особенные и индивидуальные различия между учащимися; своевременное диагностирование и формирование коррекционных программ и т.д.

Г.И.Щукина, характеризуя дифференцированное обучение, пишет, то это "обучение, которое направлено на то, чтобы постоянно и постепенно поднимать слабых до уровня средних, средних - до уровня сильных, а сильным давать задачи повышенной трудности, чтобы их мысль, их волевые усилия постоянно находились в активном состоянии" ([86], С.318). В этом определении в явном виде не использованы термины "индивидуальные особенности", "индивидуальный подход", "дифференцированный подход", однако утверждения о разделении учащихся на сильных, средних и слабых и о

необходимости "поднятия" представителей каждой группы на более высокий уровень свидетельствуют о том, что дифференцированное обучение в понимании Г.И.Щукиной представляет реализацию дифференцированного подхода.

Таким образом, существенной чертой третьего подхода к пониманию понятия "дифференцированное обучение" является утверждение, что дифференцированное обучение - это обучение, реализующее дифференцированный, а в условиях классно-урочной системы, индивидуальный подход к учащимся.

Сравнение точек зрения представителей второго и третьего подходов к определению понятия "дифференцированное обучение" показывает, что третий подход согласуется с одной из трактовок второго подхода, а именно, с пониманием дифференцированного обучения как обучения, осуществляемого на основе возможно более полного учета индивидуальных и групповых особенностей учащихся.

Сторонники четвертой точки зрения разводят понятия "дифференцированное обучение" и "дифференцированный подход".

И.С.Якиманская, С.Г.Абрамова, Е.В.Шиянова, Н.И.Юдашина при употреблении термина "дифференцированное обучение" имеют в виду такие социально-экономические, правовые, организационно-управленческие и дидактические аспекты обучения, как "статус учебных заведений разного типа, условия набора, содержание и организация учебно-воспитательного процесса, сроки обучения, наполняемость групп, классификация, нагрузка, оплата преподавателей и т.п.([111], с.46). Термин "дифференцированный подход в обучении" они используют, если речь идет о научной разработке дифференцированного подхода к каждому ученику для решения проблем отбора, формирования и коррекции развития личности в избранной области обучения.

Аналогичный подход к определению понятий "дифференцированное обучение" и "дифференцированный подход" представлен в работе [42]. Так, ее авторы используют первый термин для характеристики комплекса организационно-управленческих, социально-экономических, правовых аспектов обучения, создающих статус определенного среднего учебного заведения, а второй - в случае, когда речь идет о "технологии индивидуального подхода к учащимся с целью определения уровня их способностей и возможностей, их профильной ориентации, максимального развития каждой личности на всех этапах обучения ([42], ч.II, с.3).

Таким образом, особенностью четвертого подхода к определению понятия "дифференцированное обучение" является его отождествление с комплексом проблем, решаемых при создании средних учебных заведений разного типа.

Итак, на современном этапе развития отечественной педагогической мысли существуют четыре подхода к трактовке понятия "дифференцированное обучение". Первый из них характеризует обучение, связанное с разделением содержания образования; второй, наиболее широкий - обучение, осуществляемое как в условиях внешней, так и внутренней дифференциации; третий -обучение, реализующее индивидуальный подход в условиях классно-урочной системы; четвертый - комплекс организационно-управленческих, социально-экономических и правовых аспектов обучения, которые создают статус определенного среднего учебного заведения.

В зарубежной педагогике с термином "дифференцированное обучение", как правило, связывают дифференциацию по содержанию.

В английских школах дифференцированное обучение основывается на интересах и способностях учащихся. Там "можно выделить два типа дифференциации обучения: 1) обучение разных групп учащихся знаниям неодинакового уровня и даже различным знаниям в зависимости от их способностей; 2) углубленное изучение ряда предметов или циклов предметов..."([21], с.118).

В школах Франции дифференциация осуществляется благодаря наличию разнопрофильных потоков и направлений обучения. В рамках неполной средней школы - коллежа - наряду с дисциплинами, изучаемыми по единым учебным программам, учащиеся в обязательном порядке изучают одну из дисциплин по выбору факультативно. В лицеях также наряду с циклом обязательных дисциплин введен набор элективных (по выбору школьников) учебных курсов [102. 132, 133].

В начальных школах Германии существуют единые учебные программы. Для развития индивидуальных способностей каждого ребенка наряду с классной работой имеют место формы индивидуального, парного и группового обучения. Это значит, что дифференцированное обучение в начальной школе проявляется в варьировании и сочетании форм обучения учащихся.

С Y класса начинается вторая ступень обучения, и ученики распределяются в школы разных типов в зависимости от способностей и успеваемости. Во всех типах школ (основной школе, реальной школе, гимназии, интегрированной школе) дифференциация осуществляется по содержанию [11].

Таким образом, сравнивая подход к понятию "дифференцированное обучение", имеющий место в зарубежной педагогике, с особенностями трактовки этого понятия в отечественной педагогике, можно сделать вывод, что он согласуется с первым из выделенных нами подходов к определению данного понятия в

исследованиях отечественных педагогов. Другими словами, дифференцированное обучение зарубежными педагогами трактуется как обучение, связанное с разделением содержания образования.

Мы в дальнейшем, используя термин "дифференцированное обучение", будем иметь ввиду, что речь идет об обучении, реализующем индивидуальный подход к учащимся.

Определение дифференцированного обучения, сформулированное в рамках третьего подхода Г.Д.Глейзером, является наиболее полным с точки зрения средств, используемых для осуществления этого вида обучения. Поэтому, конкретизируя его применительно к обучению учащихся математике, имеем следующее определение дифференцированного обучения математике.

Дифференцированное обучение математике - это учебно-воспитательный процесс, при котором управление математической учебно-познавательной деятельностью учащихся осуществляется на основе учета как индивидуальных психологических различий (особенностей) отдельных обучаемых, так и доминирующих особенностей групп учащихся.

Так как при дифференцированном обучении математике в основе управления математической учебно-познавательной деятельностью учащихся лежит учет их индивидуальных психологических особенностей, то проблема выбора индивидуальных особенностей учащихся, подлежащих учету при дифференцированном обучении математике, является одной из основных в теории дифференцированного обучения. Решение этой проблемы мы начнем с анализа понятия "индивидуальные особенности".

1.2. Индивидуальные особенности - основное понятие теории дифференцированного обучения

Под "индивидуальными особенностями человека" в психолого-педагогической литературе понимают свойства, четко отличающие индивида от других, которые могут быть весьма устойчивы и существенны (например, черты характера, свойства нервной системы), или быть существенными только в определенных условиях, или быть совсем несущественными" ([90],с.58). Разновидностью индивидуальных особенностей являются индивидуально-психологические особенности (различия), под которыми понимают "существенные и устойчивые психические свойства, характеризующие того или иного человека в отличие от других людей" ([88], с.423).

Рассматривая природу индивидуальных особенностей, психологи утверждают, что:

1) развитие психических свойств "детерминируется не только... физиологической основой, но прежде всего условиями жизни, а у человека эти условия имеют общественный характер" ([117], с.38);

2) "индивидуально-психологические различия, имея своей природной предпосылкой особенности нервной системы, мозга, формируются и развиваются в ходе жизни, в деятельности, под влиянием обучения и воспитания..." ([96], с. 129).

Таким образом, обучение и воспитание оказывают определяющее влияние на формирование и развитие индивидуально-психологических особенностей человека.

Каждый человек обладает огромным числом индивидуальных особенностей, которые, с одной стороны, оказывают разное влияние на успешность осуществления той или иной деятельности. С другой стороны, различные виды деятельности в разной степени оказывают влияние на формирование тех или иных свойств человека. Следовательно, для успешного решения задачи отбора индивидуальных особенностей учащихся, подлежащих учету и формированию в процессе учебной математической деятельности, необходимо выяснить, какими индивидуальными особенностями (группами особенностей) обладает каждый человек, какова их природа и особенности формирования.

В психологии существуют различные подходы к решению проблемы выделения видов индивидуальных особенностей. Однако в большей части психологических работ выделены:

а) психофизиологические особенности, связанных в первую очередь со свойствами нервной системы. Отличительной чертой этой группы свойств является то, что они, как указывал Б.М.Теплов, достаточно стабильны, и их изменение может совершаться очень медленно в результате существенных изменений условий жизни;

б) индивидуальные особенности, характеризующие свойства психических процессов, в том числе познавательных. Эти свойства обусловлены, в первую очередь, биологическим фактором. Они имеют решающее значение при осуществлении человеком различных видов деятельности и многие из них подлежат совершенствованию в результате целенаправленной работы;

в) особенности в области мотивов, интересов, склонностей. Для них определяющим является социальный фактор, и в процессе деятельности они могут изменяться;

г) особенности межличностных отношений, черт характера, поступков и т.д. Эти свойства, как правило, обусловлены как

биологическим, так и социальным факторами, они в разной степени подлежат изменению в ходе деятельности.

1.3. Направления и средства учета индивидуальных особенностей учащихся

Основными направлениями учета и формирования индивидуальных особенностей учащихся в процессе обучения являются специальном образом подобранное, сконструированное содержание и соответствующая организация процесса обучения.

Содержание обучения в данном случае рассматривается на двух уровнях: уровне учебного предмета и уровне учебных материалов. Это значит, что речь идет не только о перечне и последовательности вопросов, тем, материалом которых должен овладеть ученик, а также о строгости изложения материала, форме его представления, сложности заданий, предлагаемых учащимся для выполнения, форме их представления, последовательности предлагаемых заданий, наличии или отсутствие вспомогательных указаний, подсказок и других видов помощи и т.д.

Наиболее часто используемым средством дифференцированного обучения являются дифференцированные задания, при выполнении которых дифференцирование может осуществляться либо по виду помощи, оказываемой ученику, либо по сложности задач, включенных в задание, либо по последовательности их предъявления, либо по тематике заданий, либо по форме их представления и т.д.

Основными приемами помощи, оказываемыми при выполнении дифференцированных заданий, являются:

- общие указания по организации деятельности, направленной на поиск решения задачи и его осуществление;

- указания по делению задачи на подзадачи;

- предъявление вспомогательных задач;

- подсказки, советы, направленные на поиск решения задачи;

- показ образца поиска в аналогичной ситуации [41].

- указание ответов к заданиям,

- указание порядка действий в задании,

- сообщение общего принципа решения задачи,

- указание правила, формулы, определения, теоремы, которые необходимо использовать при решении задач;

- представление образца решения, рисунка.

Вторым средством учета индивидуальных особенностей учащихся являются самостоятельные работы.

Самостоятельные работы при этом дифференцируются по разным основаниям:

1) по соотношению в решении задач приемов "анализа" и "синтеза" задания, составляющие содержание самостоятельных работ, проводимых как с целью формирования умений и навыков, так и с целью контроля, делятся на три уровня.

К первому уровню относятся задачи, выполняемые "чистым синтезом", они представляют обязательные результаты обучения или их составные части. Ко второму уровню - задания, решаемые с использованием приема "синтез через анализ" с преобладанием синтетической деятельности. Задания третьего уровня решаются с использованием приема "анализ через синтез".

2) по уровню знаний, умений и навыков учащихся.

В этом случае самостоятельные работы направлены либо на ликвидацию пробелов, либо на учет предварительных знаний. Задания первой группы призваны ликвидировать пробелы не только по изучаемому предмету, но и оставшиеся при изучении других предметов. Их надо предлагать учащимся не только при переходе к новой теме, но и в профилактических целях в ходе прохождения темы.

Задания, учитывающие предварительные знания, делятся на три типа в зависимости от характера предварительных знаний:

- позволяющие ученику интегрировать свои предварительные знания и жизненный опыт с новым материалом;

- заставляющие ученика кратко повторить новый учебный материал, после чего ему представляется материал для обогащения;

- заставляющие ученика сразу выполнять обогащающее задание.

Задания первого типа даются ученикам, которые имеют неточные предварительные знания; второго типа - если ученик в основном знает материал; третьего типа - если ученик владеет учебным материалом.

3) по общим и специальным способностям. Работы в этом случае делятся на общие и трудные, творческие. Так как более способным ученикам для усвоения знаний, умений и навыков требуется меньше повторений и упражнений, то им целесообразно давать меньше общих заданий, а больше заданий на более высоком уровне.

4) по сформированности учебных умений. Для учета учебных умений автор возможно использование следующих приемов: различный объем дозы заданий при ознакомлении с новым учебным материалом; различное количество вопросов по тексту; детальное или менее детальное рабочее руководство для самостоятельной работы.

5) По направленности познавательных интересов.

Самостоятельные работы, учитывающие познавательные

интересы учащихся, предусмотрены для удовлетворения имеющихся интересов, стимулирования возникающих интересов и создания

предпосылок к возникновению интересов. Для реализации этих целей используются работы, целью которых является дополнение и углубление учебного материала, а также работы, знакомящие ученика с новой точкой зрения на изучаемый вопрос. К сам. Работам этого вида относятся: чтение дополнительной научно-популярной литературы; работа со словарями, справочниками и другой справочной литературой; составление докладов, сочинений; отбор различного материала, проведение опытов, выполнение заданий на основании экскурсий и т.д.

6) по степени самостоятельности учеников.

Самостоятельные работы могут быть воспроизводящими, эвристическими, творческими.

Третьей группой средств дифференцированного обучения являются программированные пособия, компьютерные обучающие программы. При работе с ними возможно индивидуализировать скорость работы, тем обучения. Кроме того, при использовании КОПов возможен учет свойств нервной системы, психических процессов, особенностей познавательного интереса.

При организации обучения учет индивидуальных особенностей учащихся возможен за счет сочетания форм учебной работы, а также использования методов, приемов обучения, адекватных особенностям учеников.

Кроме того, при моделировании и осуществлении учебной деятельности учет индивидуальных особенностей проявляется в:

а) продолжительности временных интервалов, отводимых учащимся для выполнения заданий, для перехода от одного вида заданий к другому;

б) стратегии обучения, разработанные для различных групп учащихся;

в) установлении тех фрагментов урока, являющихся оптимальными для опроса различных учащихся;

г) количество однотипных заданий, предлагаемых для выполнения учащимся;

д) использование приемов укрупнения воспринимаемой учащимися информации, выделения в ней главного и т.д.

§ 2. УЧЕБНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧАЮЩИХСЯ

2.1. Критерии отбора приоритетных индивидуальных особенностей учащихся

Человек обладает огромным числом индивидуальных особенностей, которые в разной степени влияют на успешность различных видов деятельности. Для отбора тех из них, которые наиболее значимы при осуществлении учебной деятельности, используют соответствующие принципы и критерии. В психолого-педагогической литературе выделяются различные принципы, на основе которых целесообразно осуществлять отбор индивидуальных особенностей учащихся, подлежащих учету при их обучении. Однако наиболее представлены такие принципы, как принцип существенности и практической реализуемости.

Первым принципом, лежащим в основе процесса отбора индивидуальных особенностей учащихся, является принцип существенности. Выделение индивидуально-психологических особенностей на основе принципа существенности предполагает, что должны быть учтены такие особенности, от которых непосредственно зависят результаты обучения. Так, "только косвенно влияют на результаты обучения такие особенности, как характер с его разнообразными проявлениями, эмоциональные черты, темперамент" ([65], с.48). В соответствии с данным принципом категория "учебная деятельность" должна быть исходным пунктом при выявлении существенных индивидуально-психологических особенностей учащихся.

Вторым принципом, лежащим в основе процесса отбора индивидуальных особенностей, является принцип практической реализуемости.

Он означает, что должны существовать способы диагностики, учета и развития выделенных индивидуальных особенностей в реальном процессе обучения.

Практическая реализация второго принципа не вызывает затруднений. Она предполагает тщательный анализ и отбор соответствующего материала в работах по дифференциальной психологии. Реализация первого принципа связана с выполнимостью двух критериев: содержательного соответствия и предметной приоритетности. В соответствии с критерием содержательного соответствия подлежать учету на том или ином этапе обучения должны в первую очередь те индивидуальные особенности учащихся, которые адекватны сущности, содержанию данного этапа.

Применительно к структуре учебной деятельности это означает, что отбор индивидуальных особенностей учащихся, являющихся приоритетными при осуществлении ими учебной математической деятельности, должен происходить на основе анализа сущности компонентов структуры этой деятельности.

Анализ возможностей учета и формирования различных индивидуальных особенностей учащихся показывает, что для части из них это - определение оптимального объема времени, необходимого ученику для выполнения той или иной деятельности, определение количества однотипных заданий, выполнение которых необходимо для приобретения запоминания соответствующего материала, выбор и использование адекватных методов и форм обучения. Учет индивидуальных особенностей другой группы требует в первую очередь использования соответствующего учебного содержания, учебных материалов (задач, вопросов, указаний, подсказок, образцов решений, текстов, и т.д.), а, следовательно, адекватных методов, форм и средств обучения.

Таким образом, по средствам, используемым для учета в обучении учащихся их индивидуальных особенностей, последние можно разделить на две группы: группу надпредметных и группу предметных индивидуальных особенностей.

Очевидно, что при моделировании компонентов структуры учебной деятельности, направленной на овладение компонентами содержания школьного курса математики, наиболее важен учет предметных индивидуальных особенностей, а при конструировании уроков - совокупности предметных и надпредметных индивидуальных особенностей. Таким образом, вторым критерием, необходимым для реализации принципа существенности является критерий предметности.

Итак, принципами отбора индивидуальных особенностей учащихся, подлежащих учету при осуществлении учебной математической деятельности, являются принципы существенности и практической реализуемости. Реализация принципа существенности осуществляется на основе критериев содержательного соответствия и предметности.

2.2. Индивидуальные особенности обучающихся на этапе мотивации учебной деятельности и постановки учебной задачи

Первым компонентом структуры учебной деятельности являются мотивы. Они делятся на познавательные и социальные, каждый из которых имеет различные уровни: широкие познавательные, учебно-познавательные, самообразования, широкие

социальные, узкие социальные (позиционные), социального сотрудничества. При этом мотивом, которому, по словам Г.И.Щукиной, отдается предпочтение, является познавательный интерес.

"Познавательный интерес представляет собой избирательную направленность личности, обращенную к познанию одной или нескольких научных (учебных - в школе) областей, к их предметной стороне (содержанию), а также к процессу деятельности". Он как мотив побуждает ученика не только к восприятию определенного круга явлений, но, что особенно важно для обучения, располагает его к самостоятельной учебной деятельности, которая в состоянии удовлетворять и поддерживать его познавательный интерес. Можно выделить различные виды познавательных интересов в зависимости от критериев, лежащих в основании классификации. Основными из них являются характер и направленность познавательного интереса.

1. По характеру (обращенности к конкретным школьным предметам) они делятся на аморфные, широкие и стержневые;

2. По направленности выделяют 3 группы учащихся. Первая имеет ярко выраженную направленность к научно-теоретическим основам знаний, у второй - интерес направлен на их практическое использование, у третьей - даже при хорошей успеваемости познавательный интерес как мотив учебной деятельности не является превалирующим.

Таким образом, наличие разных видов познавательных интересов, приводящих учащихся к учебным потребностям, представляют индивидуальные особенности, подлежащие в первую очередь учету при организации работы по реализации первого компонента учебной деятельности.

Этап мотивации учебной деятельности завершается постановкой учебной задачи, основное отличие которой "от всяких других задач заключается в том, что ее цель и результат состоят в изменении самого действующего субъекта, а не в изменении предметов, с которыми он действует" ([127], с. 12). Как указывает Д.Б.Эльконин, "решение учебной задачи направлено на усвоение или овладение школьниками способами действий" ([126], с.216). В психологии выделяют различные уровни овладения компонентом "учебная задача" (понимание задачи, поставленной учителем, принятие ее "для себя", самостоятельная постановка учебной задачи, постановка системы задач). Они, как утверждается в психологии, тесно связаны с мотивацией учения, преобладающим у ученика уровнем познавательных и социальных мотивов. Иногда для характеристики второго компонента учебной деятельности, используется термин "цель". Выделяют два типа целеполагания, которые соответственно обеспечивают:

1) возможность принятия лишь частных задач на усвоение заданных кем-то образов действий, "готовых" знаний;

2) принятие и затем самостоятельную постановку новых учебных задач.

Внутри каждого из типов целеполагания авторы выделяют различные уровни их сформированности (отсутствие цели, принятие практической задачи, переопределение познавательной задачи в практическую, принятие познавательной задачи, переопределение практической задачи в познавательную, самостоятельная постановка новых учебных целей).

Анализ целей и их уровней, уровней овладения компонентом «учебная задача» показывает тесную их связь с мотивацией учения, а именно с уровнем познавательного и социального мотива, с индивидуальными особенностями познавательного интереса ученика.

Возможности учета уровня познавательного мотива, особенностей познавательного интереса на этапе мотивации учебной деятельности проявляются в основном в использовании адекватного им содержания и учебных материалов, что в свою очередь требует применения соответствующих методов и форм организации учебной деятельности учащихся.

В случае стержневого познавательного интереса к математике это могут задачи, ситуации "чисто" математического содержания. Например, при введении понятия параллелограмм в качестве мотивационных могут быть использованы задачи вида:

• В четырехугольнике известны длины а и b двух смежных сторон. Какой должна быть форма четырехугольника, чтобы по этим данным можно было бы определить его периметр?

• В каких случаях для нахождения всех элементов четырехугольника достаточно знать две его смежные стороны и угол между ними?

При изучении теоремы Пифагора, при наличии у учащихся стержневого интереса к математике, в качестве мотивационных можно использовать такие задачи как:

• Найдите высоту равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной Ь, проведенную к основанию треугольника.

• В треугольнике ЛВС из вершины В проведены медиана ВЦ и высота В К. Найдите длину отрезка ЦК, если известно, что ВЦ = т, ВС = а.

В случае, если познавательный интерес является стержневым по отношению к другим дисциплинам естественного или гуманитарного циклов, полезно в качестве мотивационных создавать ситуации, разрешение которых, во-первых, требует от учащихся применения

знаний и умений из интересующих их областей, а, во-вторых, дает способ решения новых видов задач из этих областей.

Так, учащимся, у которых познавательный интерес является стержневым в области исторических наук, полезно для создания у них положительного мотива к изучению нового материала предлагать для выполнения творческие самостоятельные работы, связанные с историей развития того или иного математического понятия, открытия того или иного факта. Например, при изучении теоремы Пифагора можно предложить подготовить сообщения а) о Пифагоре и его школе; б) о теореме Пифагора и различных способах ее доказательства. При изучении квадратных уравнений такие ученики могут выступить с сообщением на тему "История квадратных уравнений", а также осуществить подбор соответствующих исторических задач.

Учащимся, познавательный интерес которых связан с филологическими науками, полезно предлагать задания, связанные с анализом текстов и составлением математических моделей подмеченных закономерностей. Также созданию положительных мотивов способствуют задания, направленные на выяснение происхождения термина, его сущности, нахождение эквивалентных терминов, их использование в других науках.

Например, при изучении обратной пропорциональности таким учащимся можно предложить провести сравнение таких стихотворных отрывков, как:

Чтоб более меня читали, Я стану менее писать.

(П. Вяземский) Чем меньше женщину мы любим, Тем легче нравимся мы ей (А.Пушкин)

При изучении понятия "предел" полезно провести анализ литературных текстов, содержащих этот термин, с целью выяснения смысла его использования. В качестве примера могут быть взяты следующие стихотворные отрывки: Как я хотел себя уверить, Что не люблю ее, хотел Неизмеримое измерить, Любви безбрежной дать предел (М.Лермонтов) Люблю в мечтах предел. Меня страшит безмерность...

(В.Брюсов) Предел на белом свете есть всему:

любви, терпенью, сердцу и уму,

и мнимой беспредельности простора.

...Есть у любого гения предел -

лишь подлость человечья беспредельна.

(Е. Евтушенко)

Учащимся, познавательный интерес которых является стержневым в области естественных дисциплин, в качестве мотивационных наиболее часто предлагаются задачи с содержанием из этих дисциплин. Так, при изучении понятия "квадратное уравнение" учащимся, увлекающимся физикой, полезно предложить задачи из различных ее разделов. Это могут быть такие задачи, как:

• Равнодействующая двух взаимно-перпендикулярных сил, равна 13н. Если одну из этих сил увеличить в три раза, а другую уменьшить на ее 1/3, то равнодействующая будет равна 17н. Найти величину этих сил.

• Удар от падения камня, брошенного в колодец глубиной 13м, был услышан через Зс. Определить начальную скорость падения камня.

• В вогнутом зеркале с фокусным расстоянием, равным 40см, предмет и его изображение располагаются на расстоянии 65см один от другого. Определить их расстояния от зеркала.

Учащимся, интересующимся экономикой, в качестве мотивационных могут быть предложены задачи экономического характера. Например:

• Неизвестный капитал, отданный в рост, обратился через 5 лет, в 11200 рублей. Найти капитал и процентную ставку, если известно, сто она составляет тысячную долю числа рублей капитала.

• Человек положил в Сбербанк 500 рублей. По истечении года к его вкладу были причислены процентные деньги, и в то же время он увеличил свой вклад еще на 500 рублей, а по истечении еще одного года попросил выдать ему накопленные процентные деньги. Сколько процентов в год начисляет Сбербанк, если вкладчик получил 30р. 2Ок. процентных денег, оставив вклад в 1000 р. на новый срок?

При наличии у ученика широкого познавательного интереса, спектр заданий, предлагаемых ему в качестве мотивационных, значительно расширяется. Это могут быть как задачи, сюжет которых взят из отдельных, интересующих его областей, так и задачи межпредметного, интегрированного характера.

В случае аморфного познавательного интереса или его отсутствия по отношению к математике полезно использовать задания, привлекающие ученика как своей фабулой, так и

необычностью способа решения, показывающего преимущества математических методов над обыденными, житейскими.

Например, при введении понятия параллелограмм задача, предлагаемая учащимся со стержневым интересом к математике, для учащихся с аморфным интересом может быть представлена в виде:

Заяц и лиса устроили соревнования по бегу. Они договорились, что победителем будет тот из них, кто, пробежав по двум смежным сторонам поляны, имеющей форму четырехугольника, первым прибежит из одной вершины в противоположную. Известно, что две смежные стороны AB и ВС поляны связаны соотношением ВС=2АВ. Какой формы должна быть поляна, чтобы можно было установить соотношение скоростей зайца и лисы, при котором заяц победит лису?

Для создания положительного мотива при изучении учащимися, обладающими аморфным познавательным интересом, понятия квадратное уравнение" можно использовать следующие задачи:

• Участники заседания обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. Сколько человек явилось на заседание?

• Внук-девятиклассник возвращается из школы и рассказывает дедушке, что они всем классом решили обменяться фотографиями. Дедушка говорит: "Это хорошо. Память будет. Но сколько же это карточек надо?". "650,- отвечает внук, - нас в классе ... " "Подожди, не говори, - просит дедушка, - я сам сосчитаю". Сколько учеников в 9 классе? Каким способом мог дедушка найти их число?

• На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась. Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали. Сколько было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае? Учет индивидуальных особенностей направленности познавательного интереса должен проявляться в сущности заданий, ситуаций, предлагаемых учащимся для анализа и выполнения. В случае направленности познавательного интереса на научно-теоретические основы знаний это должны быть ситуации, в результате рассмотрения которых возникает необходимость в открытии новые фактов, сведений, позволяющих решать широкий класс математических задач, в расширении знаний учащихся о математических объектах, о связях между ними. При практической

направленности познавательного интереса для этапа мотивации целесообразно использовать задания с практическим содержанием.

Например, при введении понятия "параллелограмм" учащимся, познавательный интерес которых имеет практическую направленность, может быть предложена для решения задача вида: "Человек ранней весной купил дачный участок четырехугольной формы. Из-за распутицы он не смог измерить длины двух соседних сторон, но длин двух других сторон (20м и 30м) ему оказалось достаточно, чтобы определить, какое количество сетки-рабицы достаточно купить для ограждения участка. Какой может быть форма участка? Сколько сетки-рабицы необходимо купить для ограждения участка?

Изучение понятия "параллелограмм" с учащимися, познавательный интерес которых направлен к научно-теоретическим основам знаний, имеет смысл начать с анализа возможных отношений между элементами четырехугольника, выделения соответствующих видов четырехугольников и установления между ними связи.

При изучении теоремы Пифагора учащимся с практической направленностью познавательного интереса могут быть предложены задачи вида:

• Между двумя цехами, расположенными в разных зданиях, необходимо установить транспортер для передачи изделий и материалов. Расстояние между зданиями 8м, один конец транспортера должен быть приподнят над землей на 7м, а другой -на 1м. Какой длины должна быть транспортерная лента?

• Для укрепления Новогодней елки длиной 20м с двух противоположных сторон на расстоянии 4м от елки вбили в землю два металлических полукольца. Какой должна быть длина тросов, протянутых от верхушки елки к полукольцам? Радиусом колец пренебречь.

• Какой должна быть длина пожарной лестницы для тушения пожара в трехэтажном здании, высота которого 11м, если известно, что пожарная машина должна отстоять от здания на расстоянии не менее 3м?

С учащимися, познавательный интерес которых направлен на овладение научно-теоретическими основами знаний, этап мотивации при введении понятия "квадратное уравнение" может быть реализован в форме беседы, в ходе которой выясняется, что, во-первых, алгебраические выражения подразделяются на целые и дробные. Во-вторых, если уравнение рассматривать как равенство вида f(x) = 0, то в качестве f(x) может быть любое алгебраическое выражение, как целое, так и дробное. В-третьих, до настоящего времени имеем способ решения уравнений, для которых f(x) - многочлен от одной

переменной первой степени. В-четвертых, возникает вопрос, существуют ли способы решения уравнений, если f(x) - многочлен более высокой степени или дробное выражение.

Проведенный анализ индивидуальных особенностей познавательного интереса и возможностей их учета позволяет утверждать, что для реализации дифференцированного подхода к учащимся на этапе мотивации не обойтись без сочетания индивидуальной, индивидуализированной и групповой форм работы. Кроме того, возможно и необходимо включение мотивационных заданий в содержание предшествующей домашней работы. Обобщение результатов, полученных учащимися при выполнении индивидуальных мотивационных заданий дома и на уроке, позволит, во-первых, у всего класса в целом сформировать положительный мотив изучения нового математического содержания и, во-вторых, очертить круг возможных приложений рассматриваемого материала.

2.3. Индивидуальные особенности обучающихся при выполнении учебных действий

Решение учебной задачи (достижение цели) осуществляется в результате выполнения учеником учебных действий, которые "направлены на выделение всеобщих отношений, ведущих принципов, ключевых идей данной области знаний, на моделирование этих отношений, на овладение способами перехода от всеобщих отношений к их конкретизации и обратно, способами перехода от модели к объекту и обратно и т.д." ([40], с. 19). На успешность овладения учеником учебными действиями влияют многие факторы: преобладающие мотивы, направленность и характер познавательного интереса, о чем уже мы говорили выше, а также особенности эмоционально - волевых, познавательных процессов, психофизиологические особенности и т.д.

Так как при выполнении учениками учебных действий, являющихся компонентом структуры учебной математической деятельности, происходит процесс познания ими окружающей действительности, моделями которой являются математические понятия и отношения, то, руководствуясь критерием содержательного соответствия, необходимо из множества индивидуальных особенностей выбрать те, которые наиболее значимы с точки зрения познания.

Учебная математическая деятельность направлена на овладение школьниками математическими методами, понятиями, утверждениями, правилами и алгоритмами, составляющими теоретический блок школьного курса математики, а также способами решения математических задач. В силу абстрактности понятий,

утверждений, с одной стороны, и их связи с объектами реального мира, с другой стороны, а также логической доказательности утверждений, большое значение при выполнении учебных действий имеют свойства восприятия и мышления. Так как познание нового представляет непрерывный процесс, который невозможен, с одной стороны, без опоры на имеющиеся знания и представления человека, а с другой стороны, без использования вновь полученных знаний, то, очевидно, что успешность усвоения новых знаний и умений зависит также в большой степени от свойств памяти.

Следовательно, с точки зрения познания при выполнении учащимися учебных действий наиболее актуален учет особенностей их восприятия, мышления, памяти.

В силу того, что школьный курс математики представляет синтез элементов различных математических дисциплин (алгебры, начал математического анализа и геометрии), каждая из которых имеет свою специфику, то к приоритетным индивидуальным особенностям учащихся, позволяющим успешно усвоить эти дисциплины, надо прибавить особенности, отражающие специфику овладения ими.

Так как многие понятия математического анализа характеризуются большой степенью абстрактности, затрудняющей овладение ими, то в этом случае большая роль отводится воображению учащихся. Аналогичным образом при рассмотрении геометрического материала, решении геометрических задач также требуется от учеников умение представить, вообразить объект, его элементы, связи между ними. Воображение позволяет воссоздать образы, максимально приближающиеся к тем, которые были в восприятии, или на основе ранее воспринятых, созданных образов конструировать новые, отвечающие новым задачам.

На успешность овладения геометрическим материалом также в большой степени влияет сформированность пространственных представлений учащихся.

Применяя критерий предметной приоритетности, можно выделить те особенности восприятия, мышления, памяти, воображения, учет и формирование которых в явной или неявной форме связаны с отбором, конструированием учебного содержания.

К индивидуальным особенностям восприятия относят его тип (аналитический, синтетический, аналитико-синтетический, смешанный), предпочитаемую форму восприятия информации (наглядно-образная или словесно-логическая), предпочитаемый вид наглядности (рисунки, чертежи, модели, буквенно-символический, графический), точность, полноту и обобщенность восприятия.

К предметным индивидуальным особенностям мышления можно отнести преобладающий у человека вид мышления (наглядно-

действенное, наглядно-образное, словесно-логическое), тип (эмпирическое, теоретическое) мышления, сформированность мыслительных операций (приемов мыслительной деятельности), сформированность качеств мышления (гибкости, глубины, критичности и др.). Более детальное изучение отдельных видов мышления позволило выделить их предметные индивидуальные особенности. Для наглядно-действенного мышления - это направленность практических действий на получение либо практического, либо познавательного эффекта. Для наглядно-образного мышления - это тип оперирования образом и сформированность таких качеств, как широта оперирования образом, обобщенность, полнота, динамичность образа. Компонентами словесно-логического мышления, характеризуемыми различными уровнями сформированности, являются логические операции и приемы логического мышления (классификация, выделение главного и др).

К предметным индивидуальным особенностям памяти в первую очередь относятся преобладающий у человека тип (наглядно-образный, словесный или гармонический) и вид (зрительный, слуховой, моторный, смешанный) памяти, а также скорость запоминания. К надпредметным особенностям памяти относится прочность запоминания.

Так как "воображение - есть процесс создания новых образов на основе преобразования уже известных" ([121], с. 109), то говорить об его индивидуальных особенностях надо с позиции рассмотрения его механизмов, овладение которыми представляет основу процесса создания учащимися новых образов. К механизмам воображения, находящим широкое применение в математической деятельности, относят комбинирование подбор и соединение определенных черт, признаков, свойств, которые характеризуют весь образ), агглютинацию (склеивание, соединение частей разных образов), типизацию (создание сложного целостного образа, носящего синтетический характер), реконструкцию(воссоздание целого по его части), гиперболизацию (преувеличение отдельных черт). Исходя из того, что данные механизмы связаны с работой над образами (подбором и соединением отдельных черт, соединением частей разных образов, воссозданием целого по частям и т. д.), следует, что они относятся к предметным индивидуальным особенностям воображения.

Характеристика выделенных индивидуальных особенностей, возможности их учета и формирования будут представлены в §3.

2.4. Действия контроля и оценки и их зависимость от индивидуальных особенностей учащихся.

Действия контроля и оценки составляют четвертый компонент учебной деятельности. "Контроль заключается в определении соответствия других учебных действий условиям и требованиям задачи... Действие оценки позволяет определить, усвоен или не усвоен (и в какой степени) общий способ решения данной учебной задачи, соответствует или нет (и в какой мере) результат учебных действий их конечной цели... Выполнение действий контроля и оценки способствует тому, что учащиеся обращают внимание на содержание соответствующих действий с точки зрения их соответствия решаемой задаче" ([36], с. 163). В.В.Давыдов отмечает, что действия контроля и оценки "осуществляются благодаря такому основополагающему качеству человеческого сознания, как рефлексия" ([36], с. 163-164). Характеризуя уровни сформированности действия оценки, Г.В.Репкина и Е.В.Заика пишут, что они зависят от того, испытывает или нет ученик потребность в оценке своих действий, учитывает ли при оценке содержание выполненных им действий или лишь случайные сопутствующие признаки, может или не может заранее оценить свои возможности относительно решения предстоящей задачи ([103], с.П). Таким образом, выполнение действий контроля и оценки в первую очередь связано с такими свойствами мышления как рефлексия и критичность.

Проведенный нами анализ состава учебной деятельности в контексте выявления факторов, влияющих на успешность осуществления различных ее компонентов, показывает, что для каждого из них (компонентов) существует своя приоритетная группа индивидуальных особенностей.

§ 3. ПРЕДМЕТНО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ УЧАЩИХСЯ: ВОЗМОЖНОСТИ УЧЕТА И ФОРМИРОВАНИЯ

В п.2.3. были представлены индивидуальные особенности восприятия, мышления, памяти, воображения, являющиеся приоритетными при выполнении учащимися учебных действий, входящих в содержание учебной математической деятельности. В данном параграфе мы раскроем сущность выделенных индивидуальных особенностей и покажем возможности их учета и формирования в процессе обучения.

3.1. Индивидуальные особенности восприятия

"Основой любого познавательного процесса, его отправной точкой всегда является восприятие" ([10], с.61), под которым "отражение предметов и явлений в совокупности их свойств и частей при непосредственном воздействии на органы чувств" ([93], с.31 ). Хотя содержание и характер протекания восприятия зависят от мотивационной сферы человека, его прошлого опыта, интересов, они, как отмечает Д.Брунер, "не оказывают на восприятие прямого влияния, т.е. не детерминируют непосредственным образом организацию восприятия" ([10], с.83). Оно имеет "свои" особенности - свойства, в различной степени представленные у разных людей.

В работах Б.Г.Ананьева, Л.А.Венгера, В.А.Ганзена, Е.Н.Кабановой-Меллер, Г.Клаусса, В.А.Крутецкого, Б.Ф.Ломова, Ф.Н.Шемякина, Е.Б.Шияновой, И.С.Якиманской выделены и охарактеризованы типы восприятия: аналитический, синтетический, аналитико-синтетический, смешанный и эмоциональный, а также представлены возможности учета в обучении ученика преобладающего у него типа.

Людям с аналитическим типом восприятия характерно стремление выделить и проанализировать детали; они замечают малейшие различия, особое внимание обращают на признаки, отличающие друг от друга классы однородных объектов. Такие учащиеся при предъявлении графического изображения детально фиксируют все его конкретные особенности, постепенно воссоздают образ из отдельных деталей, объединяя их в единое целое. Они имеют меньшую склонность к обобщенной характеристике явлений, нередко затрудняются понять основной их смысл.

Синтетический тип восприятия проявляется в склонности к обобщенному отражению явлений, "внимание в этом случае направляется в первую очередь на конфигурацию стимулов как единое целое" ([16], с.53). Представители этого типа сначала схватывают объект в целом, зачастую не придают значения деталям, с трудом выделяют в зрительном образе составные части.

Аналитико-синтетическому типу восприятия характерно в равной мере стремление к пониманию, как основного смысла явления, так и его фактического подтверждения. Представители этого типа соотносят анализ отдельных частей с выводами, установление фактов -с их объяснениями [15].

Представители смешанного типа реагируют то на отдельные детали, то на объект в целом [15].

Эмоциональный тип восприятия характеризуется тем, что люди, обладающие им, повышенно возбудимы в ответ на раздражение, прежде всего они воспринимают то, что близко их прошлому опыту. Их образы путаны, неорганизованны, они больше стремятся выразить свои переживания [78].

Так как каждому человеку присущ определенный тип восприятия, то при организации его деятельности должен осуществляться учет этого типа. С другой стороны, "индивидуальные особенности восприятия ни в коей мере не являются раз и навсегда данными и неизменными свойствами личности. Они складываются в процессе онтогенеза, изменяются не только в ходе развития, но и в результате упражнений и через педагогические воздействия" ([63], с.55). Таким образом, учителю при организации учебной деятельности учащихся необходимо опираться на эти два положения: учитывать имеющийся у ученика тип восприятия и при необходимости его совершенствовать.

В.А.Ганзен, говоря об учете типа восприятия при обучении, замечает, что людей с глобальным (синтетическим) восприятием лучше обучать по схеме "от общего к частному, с локальным (аналитическим) - от "частного к общему", с широким диапазоном (аналитико-синтетическим) - с равной успешностью любым способом, "но оптимальным для них будет комбинированный, сочетающий обе схемы" ([23], с. 133).

В.А.Крутецкий утверждает, что учащимся, обладающим аналитическим типом восприятия, "необходимо ставить специальную задачу на связывание математических элементов задачи" ([67], с.250), при этом неспособные учащиеся решают эту задачу с большим трудом даже с посторонней помощью.

Анализ проявлений разных типов восприятия и возможностей их учета в обучении показывает, что тип восприятия может быть отнесен к группе предметных индивидуальных особенностей.

Вторая, не менее важная индивидуальная особенность восприятия, отмеченная психологами, связана с тем, в какой форме: наглядной или словесной, предъявлен учебный материал. В работах В.И.Зыковой, В.А.Крутецкого, И.С.Якиманской и других отмечается, что "одни учащиеся испытывают трудности при анализе чертежа, другие - при анализе условия задачи, выраженного в словесной формулировке" ([130], с.219). Первые, как правило, опираются на словесную формулировку, а вторые исходят в основном из анализа чертежа. Учет этой особенности должен проявиться в том, что учащимся надо давать возможность "выбирать тип задания, выполняя которое можно использовать предпочитаемую форму (словесную, наглядную)" ([130], с.72).

Следующая индивидуальная особенность восприятия, отмеченная во многих исследованиях, состоит в том, что между школьниками имеются существенные различия даже при восприятии различных видов наглядного материала. Так, И.С.Якиманская на основе результатов экспериментального исследования утверждает, что "одни школьники испытывают большие затруднения при переходе от наглядного (объемного) изображения к чертежу... Другие затрудняются в условиях перехода от чертежа к условно-схематическому изображению. Третьи осуществляют эти переходы легко и свободно..." ([130], с.79-80). Есть ученики, для которых решение задач с опорой на символические обозначения осуществляется легче, чем решение задач с опорой на наглядные образы.

В исследовании В.И.Каплунович показано, что даже при обучении, организованном специальным образом, не удается нивелировать различия, связанные с необходимостью использования различных видов наглядности. Одним учащимся требуется значительное число упражнений на моделях, другим - с иллюстративными изображениями, третьим - с символическими изображениями, некоторым - достаточно несколько упражнений на иллюстративных изображениях, чтобы перейти к иллюстративно-знаковым и символическим [60].

Анализируя индивидуальные особенности восприятия, проявляющиеся при усвоении алгебры, Е.Б.Шиянова пишет, что "одни школьники легко обращаются с наглядными изображениями любого типа, другие предпочитают какой-либо один тип изображения, чаще всего условно-символический, что проявляется в предпочтительном выборе заданий, где используются условно символические изображения, в негативном отношении к заданиям, которые решаются на основе графических изображений" ([16], с. 107).

Таким образом, учет второй и третьей особенностей восприятия предполагает, во-первых, работу ученика с учебным материалом, представленным в предпочитаемой им форме (виде наглядности), и, во-вторых, наличие заданий на перевод информации из одной формы (вида наглядности) в другую (другой вид). В настоящее время в школе, к сожалению, "не уделяется должного внимания индивидуальным предпочтениям ученика в работе с материалом разного вида и формы" ([16], с.190-191).

Представленные возможности учета данных индивидуальных особенностей восприятия свидетельствуют о том, что они относятся к группе предметных индивидуальных особенностей.

Продуктивность восприятия определяется такими его свойствами, как объем, быстрота, точность и полнота. В силу

различной степени выраженности их у разных людей, они также, являются индивидуальными особенностями восприятия.

Под объемом восприятия понимают "количество объектов, которое может воспринять человек в течение одной фиксации или в единицу времени" ([93], с.33). Значение объема восприятия, с одной стороны, влияет на то количество объектов, которое целесообразно предоставить ученику для ознакомления, а, с другой стороны, на время, необходимое для восприятия учебного материала в нужном объеме. Как видно, со свойством объема соотносится свойство быстроты (скорости) восприятия, т.е. времени, необходимого для адекватного восприятия предмета или явления. В.А.Крутецкий, касаясь этого свойства пишет, что даже при наличии единого аналитико-синтетического типа восприятия у разных учащихся, их отличает количество времени, затраченного на этот процесс: либо он осуществляется свернуто, максимально ограниченно во времени, как "видение", либо как процесс, более или менее развернутый во времени [67].

Из характеристик объема и быстроты восприятия следует, что эти свойства не относятся к группе предметных индивидуальных особенностей.

Точность и полнота представляют свойства, характеризующие качество восприятия. Точность - это соответствие возникшего образа особенностям воспринимаемого объекта и задаче, стоящей перед человеком; полнота - степень такого соответствия, т.е. количественная характеристика точности. Конкретизация этих свойств относительно чтения геометрического чертежа позволяет выделить две группы учащихся: одни ученики имеют четкий план осмотра, выделяют и группируют фигуры, как по свойствам формы, так и по признакам образования. Они из состава чертежа выделяют как "рядоположенные", так и "взаимопроникающие" фигуры. У других учеников отсутствует четкий план осмотра чертежа, что приводит к повторному выделению одних и тех же фигур. Они затрудняются в выделении фигуры из общего фона, в основном выделяют "рядоположенные" фигуры, не замечая "взаимопроникающих" ([16], с. 190-191). Говоря о свойстве полноты восприятия в контексте усвоения курса алгебры, Е.Б.Шиянова замечает, что "одни ученики плохо вычленяют структуру алгебраических выражений..., другие с трудом производят пространственное размещение и относительное размещение компонентов, третьи - затрудняются в определении их уровня абстрактности" ([16], с. 109).

В случае, если точность и полнота восприятия, характерная данному человеку, не позволяют ему создать образ, адекватный объекту в контексте поставленной задачи исследования, необходима

дополнительная помощь, выражающаяся в указании или системе заданий, ориентирующих ученика на всестороннее рассмотрение объекта (всех его элементов, связей, отношений). В случае неточного восприятия одного из параметров (формы, взаимного расположения элементов, размеров и т.д.) необходима помощь только в данном направлении. Другими словами, учет точности и полноты восприятия может быть осуществлен за счет конструирования учебного содержания (заданий, указаний), что говорит о принадлежности этих свойств группе предметных индивидуальных особенностей.

К свойствам восприятия, имеющим различную степень выраженности у разных людей, также относят обобщенность -отражение единичных объектов как особого проявления общего, представляющего определенный класс объектов, однородных с данным по какому-либо признаку. Как отмечает Е.Б.Шиянова, одни школьники, воспринимая условно-символические изображения, видят за знаками только те числа или переменные, которые ими выражены. В этом случае "возникающие образы отражают связи и отношения конкретных чисел или переменных... Другие школьники абстрагируются от этой конкретности, они видят за теми же знаками некоторые абстрактные "единицы", своеобразные "блоки", определенным образом связанные между собой. Образы... несут в себе существенные признаки отражаемых алгебраических объектов" ([16], с. 108-109). При работе с учащимися, для которых характерна низкая степень обобщенности воспринимаемого материала, необходимо:

- рассмотрение большего числа объектов, относящихся к рассматриваемому классу, но представленных в различном виде;

- выполнение заданий на нахождение общих существенных и несущественных признаков объектов и представление их в виде, максимально отражающем существенные признаки.

Представленные возможности учета свойства обобщенности свидетельствуют о том, что это свойство относится к группе предметных индивидуальных особенностей.

Таким образом, на основе анализа сущности индивидуальных особенностей восприятия и возможностей их учета при обучении учащихся нами выделены предметные индивидуальные особенности восприятия и намечены пути их учета и формирования.

3.2. Индивидуальные особенности мышления

Так как восприятие, представляя отражение действительности в наглядно-чувственной форме, является первой ступенью познания, "над которой надстраивается вторая - отражение мира в абстрактно-логической или теоретической форме"([13], с.5), то вслед за

рассмотрением особенностей восприятия мы рассмотрим индивидуальные особенности мышления.

В работах И.Я.Каплуновича, А.З.Зака, А.Н.Леонтьева, В.В.Пе-тухова, Н.Н.Поддъякова, Б.М.Теплова, Е.Б.Шияновой, И.С.Якиманской и др. представлены критерии определения вида мышления, преобладающего у ученика, уровня его развития и даны характеристики видов мышления (наглядно-действенного, наглядно-образного и словесно-логического).

Каждый вид мышления определяется двумя критериями. Первым является та конкретная форма, в которой нужно предъявить субъекту познаваемый объект или ситуацию, чтобы им можно было оперировать. Второй критерий связан со способом, пользуясь которым " человек представляет и познает окружающий мир:

- через практические действия с объектом;

- с помощью образных представлений;

- логических понятий и других знаковых образований"([89], с. 10).

А.З.Зак, рассматривая проблему развития различных видов мышления, говорит о целесообразности выделения уровней их сформированности, о достижении которых можно судить по тому, как ребенок решает соответствующие данному виду мышления задачи (легкие или сложные). Для каждого вида мышления он вводит три уровня развития. Если при решении легких задач ребенок плохо разбирается в условии, путается и теряется при поиске решения, это свидетельствует о наличии у него первого уровня соответствующего вида мышления. В случае успешного решения легких задач, но затруднений при решении более сложных задач из-за того, что не удается представить все решение целиком, имеем второй уровень развития соответствующего вида мышления. Успешное решение легких и сложных задач, умение помочь другим в решении легких задач, объясняя причины допускаемых ими ошибок, умение составить легкие задачи свидетельствует о наличии третьего уровня соответствующего вида мышления.

Соотнося уровни развития различных видов мышления, можно, во-первых, сделать вывод о преобладающем у ученика виде мышления и, во-вторых, осуществлять обучение, ориентированное на формирование у учащихся более высоких уровней каждого вида мышления. Так, А.З.Зак пишет, что при наличии у ребенка первого уровня развития того или иного вида мышления его необходимо тренировать в полноценном разборе и анализе условий задач; при наличии второго уровня - следует направить усилия на то, чтобы научить его последовательно рассказывать о ходе решения легкой задачи, побуждать ребенка к составлению плана решения сначала

легкой задачи, а потом и более сложной; в случае третьего уровня -предлагать для решения более сложные задачи, а также задания на составление сначала легких задач решаемого типа, а затем и сложных [48].

Рассматривая особенности наглядно-действенного мышления, психологи отмечают, что его основным признаком является "тесная неразрывная связь мыслительных процессов с практическими действиями (преобразующими познаваемый предмет), принципиальная невозможность решить поставленную задачу без участия практических действий" ([92],с.23). Другими словами, наглядно-действенное мышление представляет "способ решения задач, предполагающий зрительное изучение ситуации и практические действия в ней с материальными предметами"([77], с.559).

В зависимости от того, на что направлены практические действия: на получение познавательного или практического эффекта -выделяют два вида наглядно-действенного мышления.

Сравнение функций восприятия и наглядно действенного мышления показывает, что последнее имеет отношение "в основном к добыванию фактов о скрытых свойствах и связях вещей"([92],с.86). Другими словами, основное назначение этого вида мышления -формирование умений добывать факты.

Таким образом, в случае успешного решения учащимися задач, связанных с реальными преобразованиями объектов, с выполнением практических действий, можно говорить о высоком уровне развития наглядно действенного мышления. Кроме того, в зависимости от направленности практических действий, которые в большей степени представлены у ученика, его можно условно отнести к одной их трех групп. К первой относятся те, у которых осуществление практических действий с предметами наиболее успешно происходит в случае необходимости решения практической задачи. Ко второй группе относятся школьники, успешно осуществляющие практические действия безотносительно решения практический задачи. Последняя третья группа учеников не может самостоятельно проводить целенаправленные практические действия. При работе с учащимися первой группы процесс добывания фактов о свойствах объектов целесообразно строить на основе решения ими практической задачи, который может проходить в форме самостоятельной работы с большой долей их самостоятельности; для учащихся второй группы - это может быть работа по решению задачи любого содержания; с учащимися третьей группы работу лучше проводить под руководством учителя, в случае использования самостоятельной формы работы должна быть большая доля помощи, связанная как с выбором необходимых действий, так и с их реализацией.

Особенностью наглядно-образного мышления является то, что решение мыслительных задач основано на образном материале, но без участия практических действий. Другими словами, этот вид мышления представляет "способ решения задач, включающий наблюдение за ситуацией и оперирование образами составляющих ее предметов без практических действий с ними"([77], с.559).

Сравнение наглядно-действенного и наглядно-образного мышления показывает, что в первом случае имеем дело с реальными объектами и практическими действиями с ними, а во втором - с умственными действиями над образами, которые "создаются на основе использования различных предметных, условно-графических знаково-символических изображений (плоскостных и объемных)"([16], с.9). Образ, создаваемый на основе восприятия, фиксирует своим содержанием те стороны, свойства, признаки объектов, которые необходимы для деятельности субъекта, значимы для него.

Образное мышление, по словам И.С.Якиманской, следует рассматривать как "сложный процесс преобразования чувственной информации"([16],с.11), его основным содержанием является оперирование образами, слова используются только как средство выражения выполненных в образах преобразований.

К индивидуальным особенностям этого вида мышления, имеющим место, как при усвоении курса алгебры, так и при усвоении курса геометрии, психологи (Е.Б.Шиянова, И.С.Якиманская) относят широту оперирования образом, полноту образа, его обобщенность и динамичность.

Широта оперирования проявляется в легкости и быстроте перехода от одного наглядного изображения к другому. Показатель широты оперирования образом является положительным, если учащиеся не испытывают трудностей в оперировании образом вне зависимости от формы (вида) его представления, если они легко переходят от одной формы к другой при выполнении заданий. Учащихся по данному показателю можно разделить на три группы. К первой относятся те, которые не испытывают трудностей при оперировании образами в различных знаковых системах. Представители второй группы характеризуются свободным оперированием только в рамках одной знаковой системы(буквенно-символической или графической) и негативно относятся к заданиям, решаемым на основе использования языка другой знаковой системы. К третьей группе относятся учащиеся, испытывающие трудности при оперировании образами в различных формах (цифровой, буквенной, смешанной) внутри одной буквенно-символической системы. Они при выполнении заданий опираются на предпочитаемую форму наглядного изображения. Очевидно, что учащимся выделенных групп требуется:

- различное число упражнений, направленных на формирование умений оперировать образом в разных знаковых системах (в разных формах внутри одной системы);

- различное количество времени на выполнение заданий по оперированию образом в разных знаковых системах, или внутри одной системы, но в различных формах.

Кроме этого, работа с учащимися второй и третьей групп имеет свои особенности. Учащимся, включенным во вторую группу, необходимо предлагать для выполнения задания:

- на сравнение решений одной задачи в разных знаковых системах и выбор из них наиболее рационального;

- на объяснение решений, проведенных в различных знаковых системах;

- решения которых невозможно без использования "нелюбимой" знаковой системы;

- решения которых требуют совместного использования разных знаковых систем.

Представителям третьей группы полезно выполнение заданий:

- решение которых невозможно без использования той формы представления материала, работа с которой вызывает у них затруднения;

- на объяснение записи информации, представленной в непредпочтительной для ученика форме;

- на перезапись информации с сохранением формы ее представления, но с использованием других символов (замена одного числа (буквы, знака) другим числом (буквой, знаком)) и сравнение полученных изображений;

решение которых требует совместного использования различных форм изображения.

При введении нового материала желательно опираться на предпочитаемую форму изображения, а при его закреплении проводить работу по параллельному использованию и других форм, при этом степень самостоятельности различных групп, очевидно, будет различной.

Широта оперирования образом тесно связана с его обобщенностью, т.е. с тем, насколько ученик абстрагировался от конкретных свойств условно-символической записи или графика, насколько общими ему представляются соотношения, зафиксированные в них. По этому показателю учащихся можно разделить на две группы.

К первой относятся те, которые за знаками (буквами, цифрами) видят только те числа, переменные, которые этими знаками выражены. Образы, возникающие у них, отражают свойства, связи и отношения

конкретных выражений, чисел. Эта группа учащихся испытывает затруднения при выделении существенных признаков изучаемых объектов. Учет данных особенностей в процессе обучения состоит в том, что с этими учениками необходимо проводить специальную работу по формированию умения обобщать. Для этого им предлагаются для выполнения задания на:

- анализ наглядных изображений (выяснение их формы представления, структуры, символики, входящей в состав, возможностей замены одних символов другими;

- сравнение одинаковых по структуре выражений;

- сравнение графиков, являющихся формами представления одинаковых по структуре выражений;

выделение общих и различных свойств объектов, представленных с использованием разных символов;

- выделение существенных и несущественных свойств объектов в контексте поставленной задачи исследования;

- запись образа в виде, максимально отвлеченном от конкретности, и формулировку его свойств.

Работу с данной группой учащихся желательно проводить под руководством учителя; в случае использования самостоятельной формы работы должны быть указания, рекомендации, направляющие деятельность ученика.

Ко второй группе относятся учащиеся, которые свободно абстрагируются от конкретности образа, поэтому эта работа может осуществляться ими, во-первых, с большой долей самостоятельности и, во-вторых, без дополнительных вспомогательных упражнений и указаний.

В том случае, если в процессе обучения необходимо обратиться к образу, показатель обобщенности которого у ученика не является положительным, то должна быть проведена корректирующая работа по выполнению заданий, аналогичных рассмотренным выше.

Третьим показателем образного мышления является полнота образа, которая проявляется в том, насколько представлены в нем все характеристики: структура, т.е. набор элементов и связей между ними, пространственная размещенность компонентов, их размеры, уровень абстрактности.

В случае, если образ, с которым далее предстоит оперировать, представлен у учащихся не полно, то необходима дополнительная работа по выделению всех недостающих его характеристик. Для этого надо выполнить задания, направленные на определение элементов, входящих в состав образа, на выяснение связей между ними и т.д.

Аналогичная работа должна проводиться и при создании образа с теми учащимися, которые затрудняются в самостоятельном полном

выделении всех его характеристик. Очевидно, что выполнение упражнений, имеющих цель сформировать полный образ, с двумя выделенными группами учеников, полезнее проводить под руководством учителя.

Для учеников, у которых процедура создания полного образа не вызывает затруднений, целесообразна самостоятельная форма работы. При необходимости учителем могут быть даны указания о необходимости выявления всех характеристик образа и о способах их выявления.

Четвертым показателем, характеризующим особенности образного мышления, является его динамичность, "которая проявляется в возможности перехода от условно-символических изображений к графическим, от одной формы условно-символического изображения к другой"([49], с. 107). Очевидно, что динамичность образа связана с его обобщенностью.

По показателю динамичности учащихся можно условно разделить на три группы. К первой группе относятся учащиеся, имеющие затруднения при переходе от одной знаковой системы к другой. При работе с этой группой необходимы специальные упражнения на:

- соотнесение образов, представленных с использованием наглядных изображений, соответствующих разным знаковым системам;

- перевод информации с языка одной знаковой системы на язык другой;

- осуществление процесса решения в знаковой системе, отличной от той, в которой представлено условие задачи.

Успешному выполнению этих заданий будет способствовать ООД, позволяющая сопоставлять символы разных знаковых систем (условно-символической и графической).

Ко второй группе относятся учащиеся, не испытывающие трудностей при переходе от одной знаковой системы к другой. Следствием этого является меньшее количество времени, необходимого для выполнения заданий, связанных с перекодированием учебного материала.

К третьей группе относятся ученики, испытывающие трудности при переходе от одной формы условно-символической записи к другой. Дополнительные задания для этой группы учащихся аналогичны тем, которые предлагались первой группе.

Таким образом, при работе с классом учет этой особенности будет проявляться в:

а) наличии дополнительных упражнений для первой и третьей групп учащихся;

б) количестве времени, отводимом на выполнение заданий, связанных с перекодированием;

в) степени самостоятельности учащихся различных групп.

И.Я. Каплунович к индивидуальным особенностям образного мышления при усвоении геометрии относит тип оперирования образом. Он выделяет три типа оперирования образами. I тип характеризуется тем, что образ подвергается преобразованиям, касающимся только его пространственного положения, при II типе преобразования направлены на изменение структуры образа, при III типе преобразования осуществляются и по пространственному расположению и по структуре одновременно. В соответствии с данными типами оперирования образами выделяют три группы учащихся. К первой группе относятся школьники, которые без труда оперируют образами по I типу, но не могут самостоятельно выполнить задания, связанные с изменением структуры исходного образа. Образы, сформированные у них, статичны, что проявляется в их неподвижности, "закрепленности" на плоскости или в пространстве. У учащихся отсутствует осознанность совершаемых операций1), типичной является ситуация, когда учащиеся пытаются совершить над образами известные им преобразования без учета особенностей самого образа, требований задачи. Создание образов у этих учащихся осуществляется, как правило, с опорой на модели или чертежи-иллюстрации. Ко второй группе относятся учащиеся, которые успешно справляются со всеми заданиями на I тип оперирования образами и некоторыми задачами на II тип. Для этой группы характерна легкость в дополнении образа новыми элементами, его видоизменение, их образы легко перемещаются на плоскости и в пространстве. Выполняемые операции учащиеся хорошо осознают, они у них достаточно обобщены, что проявляется в свободе их использования в разных ситуациях. Результаты своих действий они могут выразить словом. В качестве наглядной опоры эти учащиеся одинаково хорошо используют разнотипные графические изображения. К третьей группе относятся учащиеся, успешно выполняющие все преобразования I и II типов и некоторые по III типу. В качестве наглядной опоры они, как правило, используют схематические изображения, реже иллюстративные.

И.С.Якиманская, говоря о развитии индивидуальных особенностей наглядно-образного мышления, отмечает, что они "отражают стойкие индивидуально-психологические свойства личности, которые могут быть развиты под влиянием обучения, но только при его специальной организации..."([130],с.131).

Таким образом, наглядно-образному виду мышления учащихся характерны индивидуальные особенности, связанные с преобладающими у

1) Имеются в виду операции: параллельный перенос, поворот, центральная симметрия, осевая симметрия, гомотетия, ортогональное проецирование, параллельное проецирование, сложение графиков функций, умножение графика функции на число, сжатие графиков функций к прямой.

них типами оперирования образами и со степенью сформированности таких качеств образного мышления, как широта оперирования образом, обобщенность, полнота и динамичность образа. Учет сформированности этих показателей должен лежать в основе работы (ее содержании и организации) по созданию новых образов и оперированию с созданными ранее.

Третий вид мышления - словесно-логическое - характеризуется тем, что "реальность становится доступной человеку в словесном оформлении, и он, оперируя логическими понятиями, может познавать ее существенные закономерности и взаимосвязи"([89], с.11). Преобладание у человека данного вида мышления свидетельствует о большой степени обобщенности отражения существенных связей и отношений [101]. Однако этот вид мышления сосуществует у человека наряду с наглядно-образным и наглядно-действенным. С.Л.Рубинштейн, отмечая эту связь, писал, что "человек не может мыслить только в понятиях без представлений, в отрыве от чувственной наглядности; он не может также мыслить одними лишь чувственно-наглядными образами, без понятий"([107], с.334).

Так как словесно-логическое мышление есть мыслительная деятельность, связанная с использованием понятий, логических конструкций, то о его сформированности можно судить по успешности решения человеком задач, требующих индуктивных, дедуктивных и традуктивных умозаключений [49].

На необходимость учета в обучении преобладающего у ученика вида мышления указывают все исследователи. В частности, Н.А.Менчинская пишет, что "очень важно обращать внимание на то, не преобладают ли образные (конкретные) или словесно-логические, обобщающие компоненты мыслительной деятельности... По отношению к этим особенностям, - говорит она, - нужно действовать в двух направлениях: добиваться того, чтобы в учебной работе развивались обе стороны мыслительной деятельности, и в то же время давать более богатый материал для развития какой-либо одной из них, имея в виду, что она может развиться в специальную способность"([72], с. 181). Реализация в практике обучения идеи учета

преобладающего у ученика вида мышления предполагает, что при введении нового материала, очевидно, надо опираться на него, а при освоении - и на другие виды. Кроме того, полезны упражнения на осуществление перехода от одного вида мышления к другому.

Вне зависимости от преобладающего у ученика вида мышления, в процессе познавательной деятельности ему приходится анализировать, сравнивать, обобщать и т.д. Другими словами -осуществлять мыслительные операции.

Характеристика мыслительных операций и возможностей их развития представлены в работах С.Л.Рубинштейна, Е.Н.Кабановой-Меллер, Н.А.Менчинской, Н.Н.Поспелова, И.Н.Поспелова, М.Н.Шардакова и др. В методических исследованиях В.А.Гусева, О.Б.Епишевой, В.И.Крупича, В.Н.Осинской, 3.И.Слепкань, В.И.Таточенко, А.В.Фаркова и др. также обсуждаются вопросы, связанные с формированием приемов мыслительной деятельности.

В психолого-педагогической и методической литературе анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстрагирование и т.д. называют мыслительными операциями, приемами мыслительной деятельности, приемами умственной деятельности. Такое расхождение в терминологии, как отмечают Н.Н.Поспелов и И.Н.Поспелов, связано с тем, что имеют место, с одной стороны, процесс формирования анализа, синтеза и т.д., а с другой стороны, их применение в качестве инструмента познания. В первом случае используется термин "мыслительная операция", во втором - "прием мыслительной (умственной) деятельности".

Дифференцированное обучение предполагает два процесса: обучение на основе учета индивидуальных особенностей обучаемых и формирование у них соответствующих свойств. Поэтому мы будем рассматривать анализ, синтез, сравнение, абстрагирование и т.д. в качестве индивидуальных особенностей учащихся с двух позиций: и как мыслительных операций, и как приемов мыслительной деятельности.

Для того, чтобы говорить о мыслительных операциях (приемах мыслительной деятельности) как об индивидуальных особенностях, необходимо выделить различные их виды и уровни сформированности. В позициях ученых по этому вопросу нет единства.

Н.Н.Поспелов, И.Н.Поспелов сформулировали восемь критериев развития мышления (всех его компонентов). В том случае, если речь идет о каком-либо одном из его компонентов, то, по мнению авторов, число критериев может быть уменьшено. В качестве таких компонентов в их исследовании рассматриваются мыслительные операции. Говоря об операции сравнения, они на основе четырех

критериев (объема сравнения, характера основания сравнения, способа проведения сравнения, понимания сути сравнения) выделили шесть уровней ее сформированности.

Для установления сформированности операции обобщения Н.Н.Поспелов и И.Н.Поспелов опираются на такие критерии, как глубина понимания сущности операции обобщения; умение выявить связи между обобщением и другими операциями мышления; умение сравнивать объекты обобщения, находить в них общее, выделять существенные, варьировать несущественные признаки, давать определение образованному понятию; умение выделять из единичного общее и подводить частное под общее; умение осуществлять обобщение и делать выводы из других фактов или явлений данного предмета, а затем и из других предметов ([94], С.97).

Анализ подхода Н.Н.Поспелова, И.Н.Поспелова к выявлению уровня сформированности мыслительных операций позволяет утверждать, что из общих критериев они для каждой мыслительной операции выбирают "свой" набор критериев, в соответствии с которым и определяется уровень сформированности операции. Единого набора критериев, позволяющего судить о сформированности каждой мыслительной операции, авторами не предлагается.

В.Ф.Паламарчук также для каждого приема мыслительной деятельности выбирает свой набор критериев, в соответствии с которым выделяет уровни овладения им. В частности, она выделяет пять уровней овладения приемом сравнения. На первом уровне ученик описывает свойства объектов последовательно, не сравнивая их. На втором уровне - называет сначала свойство одного понятия, а потом соответствующее свойство другого понятия, используя при этом систему признаков. Для третьего уровня характерно то, что ученик называет или только общие свойства объектов, или только отличительные, или те и другие, но не полностью (неполные сравнения). На четвертом уровне ученик называет все общие свойства, все отличительные, указывает цель сравнения, делает выводы, сравнивая существенные признаки (полное сравнение). О наличии пятого уровня можно говорить, если ученик не только умеет правильно сравнивать, но и применяет это умение при изучении других школьных предметов [84].

Анализируя данную классификацию, можно предположить, что ее автор считает, что ученики владеют действием выделения свойств объектов, так как именно его выполнение свидетельствует о наличии первого уровня овладения приемом сравнения.

Сравнивая классификации уровней сформированности операции сравнения, предложенные Н.Н.Поспеловым, И.Н.Поспеловым и В.Ф.Паламарчук, можно сделать следующие выводы:

1) классификации близки по критерию "способ проведения сравнения";

2) первая классификация является более детальной в силу учета большего количества факторов.

М.Н. Шардаков [123], характеризуя каждую мыслительную операцию, говорит о различных их видах. Так, он различает элементный, комплексный и системный виды анализа в зависимости от того, анализируется какая-либо часть целого, их комплекс как некоторая сумма признаков или части в определенной системе связей и отношений; элементарный и сложный синтез в зависимости от объема синтезируемых элементов; частичное и комплексное сравнение в зависимости от количества признаков, по которым оно проводится.

Описанные виды каждой из мыслительных операций можно рассматривать в качестве уровней их сформированности, если в основу деления положить критерий объема.

Н.А.Менчинская также выделяет элементный или бессистемный и комплексный или системный виды анализа, частичный и многосторонний виды синтеза, которые, по ее словам, представляют уровни развития данных мыслительных операций. Характеризуя элементный анализ, она говорит, что он имеет место либо в случае тенденции выделения какого-либо одного признака, который по тем или иным причинам оказался для учащихся более "сильным", либо в случае выделения учащимися ряда признаков, составляющих содержание данного понятия, но выделения рядоположенного, "без отделения существенных от несущественных, без понимания зависимости одних признаков от других"([8], с.57).

Г.П.Антонова, проанализировав уровни развития мыслительных операций анализа, синтеза, обобщения, абстрагирования, выделила три группы учащихся. В первую входят ученики, характеризующиеся частичным анализом, синтезом, слабым развитием процессов обобщения и абстрагирования. Они вычленяют только отдельные элементы задачи, устанавливают единичные связи между ними, не умеют разграничивать существенные и несущественные признаки. Во вторую группу объединены учащиеся с хорошо развитыми процессами анализа и синтеза, высоким уровнем развития обобщения и абстрагирования. Третью группу составляют ученики со средними показателями, для которых характерен довольно полный анализ признаков, обобщение у них носит дифференцированный характер, но осуществляется не сразу, а в результате упражнений, они легче

выделяют существенные признаки, нежели отграничиваются от несущественных ([4], [5]).

Е.Н.Кабанова-Меллер выделяет три уровня владения приемами умственной деятельности. На первом, низшем уровне находятся учащиеся, которые не знают сути приема, не могут о нем рассказать и применяют только под руководством учителя; на втором - те, которые понимают суть приема, но применяют его неполно и не всегда осознанно. Для третьего уровня характерно знание учащимися сути приема, его структурной составляющей и умение самостоятельно применять на практике. "Показателем сформированности приема,- по словам Е.Н.Кабановой-Меллер,- является его перенос в новые условия"([57], с.29).

В. Н. Осинская в своем исследовании ([81], посвященном формированию у старшеклассников приемов умственной деятельности в процессе обучения математике, придерживается точки зрения Е.Н.Кабановой-Меллер и говорит об этих же трех уровнях овладения приемами умственной деятельности.

В.И.Таточенко ([116], также решая проблему формирования приемов умственной деятельности при обучении математике, выделяет три уровня их сформированности. К первому он относит учащихся, не знающих сути приема и применяющих его только под руководством учителя. Ко второму - тех школьников, которые понимают суть приема, знают правило-ориентир, но применяют его не всегда полно и осознанно. Третий уровень характерен тем, что учащиеся знают суть приема, правило его реализации и умеют самостоятельно его применять.

О.Б.Епишева, В.И.Крупич ([44], говоря о сформированности приемов учебной деятельности у школьников, делят их на две группы. К первой относятся те, которые владеют приемом, ко второй - не владеющие им. Показателями сформированности приемов они считают осознание учеником сути приема, умение рассказать о своих действиях другому человеку, а также умение решать задачи, требующие применения данного приема.

Таким образом, общим в подходах Е.Н.Кабановой-Меллер, В.Н.Осинской, В.И.Таточенко, О.Б.Епишевой, В.И.Крупича является то, что они выделяют единые критерии для выявления уровней сформированности всех приемов мыслительной деятельности, а следовательно, имеют одинаковое их (уровней) число для всех приемов.

Итак, анализ материалов и результатов исследований, в которых в той или иной мере решается проблема выявления уровней сформированности мыслительных операций (приемов мыслительной деятельности) позволяет сделать следующие выводы:

1. Хотя авторы всех исследований выделяют уровни развития (сформированности) мыслительных операций (приемов), однако единой точки зрения в выборе критериев и количества уровней нет;

2. Показателями, которые лежат в основе выделения различными исследователями уровней сформированности (развития) мыслительных приемов (операций), являются следующие: понимание сущности приема; знание структуры приема; умение выполнять действия, входящие в структуру; объем (количество признаков, "участвующих" в операции); умение применять прием в новых условиях и т.д.

Полученные выводы позволяют выделить такие общие критерии сформированности приемов мыслительной деятельности, как:

- знание сути приема;

- знание структуры приема;

- умение выполнять каждое входящее в структуру действие;

- умение увидеть возможность применения приема.

Исходя из данных критериев сформированности приемов мыслительной деятельности, имеет смысл говорить о последних как об индивидуальных особенностях учеников, если выделить следующие уровни их сформированности:

1 - ученик не знает сути операции, ее структуры, не может применять самостоятельно в качестве приема умственной деятельности для познания окружающей действительности;

2 - ученик знает суть операции, ее структуру, но выполняет ее не всегда осознанно и полно;

3 - ученик знает суть операции, умеет использовать в качестве приема для познания окружающей действительности.

Очевидно, что учет индивидуальных особенностей, характеризующих каждый из четырех уровней, должен найти место в содержании и организации учебной деятельности школьников.

В том случае, если у ученика 1-ый уровень сформированности мыслительной операции, то работа, требующая применение соответствующего приема мыслительной деятельности, должна осуществляться совместно с учителем, который по ходу ее выполнения поясняет ученику суть приема, раскрывает его логическую структуру и дает образец выполнения каждого действия. Это может быть рассказ или лекция учителя.

В случае 2-ого уровня - возможна либо совместная работа с учителем, предпочтительно в форме беседы, либо самостоятельная, но с опорой на ООД и пошаговой проверкой результатов. Если не все действия, входящие в структуру, освоены учеником, то должны быть представлены либо соответствующие разъяснения, либо указания, либо образцы выполнения.

При 3-ем уровне сформированности возможно и целесообразно самостоятельное выполнение учеником соответствующего приема мыслительной деятельности. Проверка может быть осуществлена по конечному результату. В крайнем случае может быть оказана помощь со стороны учителя в виде указания о необходимости применения приема.

Необходимо отметить, что при закреплении нового материала учащимся полезно предлагать задания, направленные на понимание смысла, на отработку действий, входящих в структуру приема,

Как можно видеть из представленного описания возможностей организации учебной деятельности учащихся, ориентированной на различные уровни сформированности у них мыслительных операций, мы параллельно решаем задачу формирования мыслительных операций.

Заканчивая обсуждение индивидуальных особенностей, связанных со сформированностью мыслительных операций, выясним мнение психологов о существовании между ними какой-либо связи, которая может быть учтена при конструировании процесса обучения.

С.Л.Рубинштейн, характеризуя мыслительные операции, заметил, что основными являются анализ и синтез, а обобщение зависит от них вне зависимости от его вида [106].

Л.С.Выготский, описывая процесс мышления, также указал, что "основными логическими формами, в которых реализуется мысль, принято считать аналитическую и синтетическую деятельность ума"([22], С.210).

В результате сравнения коэффициентов продуктивности различных мыслительных процессов школьников Г.П.Антонова пришла к выводу, что "уровень развития обобщения и абстрагирования находится в соответствии с уровнем анализа и синтеза"([4], с.60).

А.Ф.Говоркова, изучая операцию обобщения, также отметила, что "умение анализировать ... является составной частью умения обобщать"([27], с.90).

Эта точка зрения психологов нашла отражение и в методических исследованиях. Так, В.А.Гусев в докторской диссертации рассматривает синтез, анализ, анализ через синтез, синтез через анализ в качестве основы формирования более сложных видов учебной деятельности, в частности, исследовательской деятельности [34].

А.В.Фарков, занимаясь методикой выявления основных показателей обучаемости на уроках геометрии, также пришел к выводу, что сформированность таких приемов умственной деятельности, как анализ и синтез, представляет один из основных показателей обучаемости [120].

Таким образом, в том случае, если успешность выполнения какого-либо учебного действия зависит от сформированности ряда приемов мыслительной деятельности, в том числе анализа и синтеза, мы в качестве ведущих будем рассматривать два последних и, исходя из этого, конструировать деятельность учащихся.

Особенности мыслительной деятельности человека проявляются не только в преобладающем у него виде, но и типе мышления: эмпирическом или теоретическом. Сложившийся у ученика тип мышления влияет на выбор оптимальной для него стратегии обучения.

Характеристика эмпирического и теоретического типов мышления, их диагностика представлены в работах В.В.Давыдова, А.З.Зака, В.С.Гончарова, А.Я.Пономарева и др. Мы, опираясь на эти исследования, выясним особенности каждого из типов, их компоненты и на этой основе определим индивидуальные особенности детей, имеющих теоретический (эмпирический) тип мышления, а также возможности их учета и формирования при обучении учащихся.

Эмпирическое мышление, по словам В.В.Давыдова, есть "рассудочное мышление, опирающееся на наглядные образы"([36], с.62), ему соответствуют формально-эмпирические мыслительные действия. Этот тип мышления характеризуется тем, что отражает объекты со стороны их внешних проявлений и связей. При эмпирическом мышлении осуществляется процесс сравнения предметов, что позволяет выделять в них одинаковые общие свойства. Выделение этих свойств и образование класса предметов связано с мысленным отвлечением от множества других свойств реальных предметов, т.е. абстрагированием. Для эмпирического мышления "характерно образование и использование родовых слов-наименований, позволяющих придать чувственному опыту абстрактную форму. Благодаря этой форме опыт можно обобщать в суждениях, использовать в умозаключениях. Такая обобщенность чувственного опыта, - как отмечает В.С.Гончаров, - является особенностью эмпирического мышления"([29], с. 16).

В процессе теоретического мышления также участвуют действия абстрагирования и обобщения, которые выполняют иные функции, нежели соответствующие действия в процессе эмпирического мышления, и поэтому их называют содержательными абстрагированием и обобщением.

Содержательное абстрагирование вычленяет исходное отношение в некоторой целостной системе, а содержательное обобщение открывает некоторые закономерности, необходимые взаимосвязи особенных и единичных явлений с общей основой некоторого целого. Таким образом, содержательное обобщение совершается путем анализа некоторого целого с целью открытия его

генетически исходного, существенного, всеобщего отношения. "Абстракция и обобщение содержательного типа получают свое выражение в форме теоретического понятия, которое служит способом выведения особенных и единичных явлений из их общей основы"([36], С.67).

Проводя сравнение эмпирических и теоретических абстракций, обобщений и понятий, В.В.Давыдов сформулировал основные различия между ними:

"1. Эмпирические знания вырабатываются при сравнении предметов и представлений о них, что позволяет выделить в них одинаковые, общие свойства. Теоретические знания возникают путем анализа роли и функции некоторого особенного отношения внутри целостной системы, которое вместе с тем служит генетически исходной основой всех ее проявлений.

2. Сравнение выделяет формально общее свойство некоторой совокупности предметов, знание которого позволяет относить отдельные предметы к определенному их классу... Анализ открывает генетически исходное отношение целостной системы как ее всеобщее основание или сущность.

3. Эмпирические знания...отражают внешние свойства предметов и опираются на наглядные представления. Теоретические знания...отражают их внутренние отношения и связи...

4. Формально общее свойство выделяется как рядоположенное с особенными и единичными свойствами предметов. В теоретических знаниях фиксируется связь реально существующего всеобщего отношения целостной системы с ее различными проявлениями, связь всеобщего с единичным.

5. Конкретизация эмпирических знаний состоит в подборе иллюстраций, примеров... Конкретизация же теоретических знаний -это выведение и объяснение особенных и единичных проявлений целостной системы из ее всеобщего основания.

6. Необходимым средством фиксации эмпирических знаний являются слова-термины. Теоретические знания, прежде всего, выражаются в способах умственной деятельности..."([36], с.72-73).

Как отмечают все исследователи, основными компонентами теоретического мышления, позволяющими судить об его сформированности, являются анализ, рефлексия и планирование (внутренний план действий).

Теоретический анализ - это "такой анализ, который, будучи выполненным на каком-либо одном конкретном событии или на одной задаче, вместе с тем вскрывает внутреннюю связь, лежащую в основе многих частных проявлений этого события или этой задачи. Благодаря

этому человек как бы "с места" обобщает определенный круг событий и задач"([37], с. 184).

Для развития у учащихся действия анализа, как указывает А.З.Зак, полезно предлагать им задачи с недостающими или избыточными данными в условии (требовании), а также задания на перевод обычных задач в такие и наоборот.

Рефлексия - это "такое осмысление человеком своих действий, при котором он выясняет их основания"([37], с.51). При теоретическом мышлении такими основаниями являются существенные отношения объектов, на основе которых строятся и решаются задачи некоторого типа. Следовательно, знание учеником типа решаемой задачи может служить показателем того, как он осмысливает свои действия, понимает их правомерность.

А.В.Захарова и М.Э.Боцманова в процессе экспериментального исследования выделили два уровня рефлексии. "Первый, наиболее высокий, включает в себя полный анализ ситуации задачи, регулируемую на этой основе смену гипотез и постоянный поиск общего принципа решения... Второй уровень характеризуется частичным анализом ситуации задачи, комбинации типов смены гипотез"([50], с. 156-157). Если же собственные действия не подвергаются анализу, гипотезы способа действия выдвигаются и сменяются хаотически, то это свидетельствует, по мнению авторов, о несформированности рефлексии, ее нулевом уровне.

Как отмечает А.З.Зак, в процессе обучения имеется возможность формировать у детей рефлексию. Для этого применяются следующие приемы:

- отчет ученика о ходе проведенного решения задачи;

- обсуждение разных способов решения задач;

- выяснение ответа на вопрос, являются ли решаемые задачи задачами одного или разных типов;

- выяснение схожести и различия в способах решения задач.

Внутренний план действий - это способность человека действовать "в уме", которая обеспечивает планирование без использования внешних опор. Эмпирическому мышлению, по сравнению с теоретическим, свойственно пошаговое планирование действий, осуществляемое путем проб и ошибок.

А.З.Зак по степени сформированности данной характеристики делит учащихся на три группы. К первой, с нулевым уровнем развития планирования, он относит тех детей, которые мысленно не могут спланировать минимальную последовательность (из двух действий). Ко второй, с частичным, поэлементным, пошаговым планированием -тех, кто может успешно спланировать эту последовательность, но затрудняется представить последовательность из трех и более дейс-

твий. К третьей группе, с "целостным" планированием, относятся дети, умеющие планировать последовательность из трех и более действий.

Формирование у школьников способности планировать действие, как отмечает А.З.Зак, возможно в условиях классной работы. Для этого "полезно организовывать ситуации, где ребенку необходимо описывать последовательность действий после решения задачи"([49], с. 109). К таким ситуациям автор относит групповую или попарную работу, в ходе которой один ребенок сначала решает несложную задачу практически, а затем объясняет всем выполненные действия. Другие дети, следуя описанию, должны решить эту же задачу. В результате такой регулярной работы и при условии, что дети меняются ролями, осмысление плана, происходящее после решения задачи, превращается в планирование, предшествующее решению. Кроме этого, полезно решение задач, имеющих несколько решений; решение легких задач с постепенным увеличением количества данных в условиях и требуемых действий; придумывание задач по данному условию или требованию, а также задач, где известны лишь общие характеристики данных.

В зависимости от сформированности теоретического анализа, рефлексии и способности действовать "в уме", В.С.Гончаров выделяет три группы учащихся:

I группа - "теоретики". У ее представителей сформированы теоретический анализ, рефлексия и развитый внутренний план действий.

II группа - "эмпирики". Ее представители не выполняют задания, выявляющие наличие анализа, рефлексии, и показывают неустойчивое решение заданий на выявление внутреннего плана действий.

III группа - промежуточная между "теоретиками" и "эмпириками". Одни представители этой группы правильно выполняют задания на рефлексию, но не справляются с заданиями на анализ или наоборот. Другие - успешно справляются с заданиями на выявление внутреннего плана действий, но не справляются с заданиями на рефлексию или анализ. Третьи - не показывают высокий уровень развития внутреннего плана действий.

Представленный подход к выявлению преобладающего у человека типа мышления интересен для нас еще и тем, что он позволяет выявить сформированность отдельных компонентов теоретического мышления, что дает возможность и их рассматривать в качестве индивидуальных особенностей и осуществлять обучение, с одной стороны, ориентированное на эти показатели, а с другой стороны, - направленное на их формирование.

Еще одну группу свойств мышления представляют его качества, такие как гибкость, глубина, критичность, самостоятельность, целенаправленность, широта и др. Их сущность, особенности проявления, возможности формирования исследовались Г.А.Антоновой, Ю.К.Бабанским,Д.Н.Богоявленским, Н. Гарнец, Е.С.Ермаковой, Л.Г.Жабицкой, Е.Н.Кабановой-Меллер, З.И.Калмыковой, Ю.М.Колягиным, Н.Д.Левитовым, Н.А.Менчинской, С.Л.Рубинштейном, Б.М.Тепловым и др. Так как нашей целью является рассмотрение этих качеств с позиции индивидуальных особенностей, то мы на основе анализа сущности отдельных качеств, их индивидуальных проявлений, рассмотренных в психолого-педагогических исследованиях, а также общности между проанализированными и другими качествами, сформулируем общий подход к выявлению уровней сформированности качеств ума, а, следовательно, и возможностей их учета в обучении.

Н.А.Менчинская, говоря о гибкости мышления, отмечает, что она проявляется "в легкости перестройки знаний и умений в соответствии с измененными условиями"([72], с.49). Е.С.Ермакова [45] также под гибкостью мышления понимает качество мышления, позволяющее преобразовывать способы решения задач и находить новые средства мыслительной деятельности в соответствии с измененными условиями.

Аналогичная точка зрения на понятие "гибкость ума" представлена в работах З.И.Калмыковой, которая пишет, что "гибкость ума проявляется в степени изменчивости мыслительной деятельности, соответствующей меняющимся условиям исследуемой ситуации, в поисках оригинального подхода к анализу материала, в возможности совершенствовать найденный способ решения и отказаться от него, если найден другой способ решения, в переосмыслении получаемых данных, относительной легкости преодоления "барьера прошлого опыта", если он пришел в противоречие с новыми данными"([58],с.35).

Ю.Б.Бабанский, В.Ф.Харьковская считают, что гибкость мышления связана с умением выявлять скрытые свойства объектов, реорганизовывать известные элементы (свойства) для функционирования по-новому, находить различные решения[6].

По-мнению Ю.М.Колягина, "гибкость мышления обнаруживается в быстроте ориентировки в новых условиях, в умении видеть новое в известном, выделять существенное, находящееся в скрытой форме"([66], с. 17).

Таким образом, в психолого-педагогических исследованиях, посвященных изучению гибкости мышления, выделены следующие показатели, характеризующие это качество:

1) подход к задаче, как к проблеме; целесообразное варьирование способов действия;

2) легкость перестройки знаний или навыков и их систем в соответствии с измененными условиями;

3) способность к переключению или легкость перехода от одного способа действия к другому;

4) совершенствование способа решения, повышение уровня обобщенности первоначального способа решения, легкость отказа от ошибочных формулировок;

5) переключение с одного способа решения на другой, с прямого хода мысли на обратный, нахождение различных вариантов решения задачи, легкость переключения с одного способа действия на другой, быстрота приспособления к изменившимся условиям, умение перестраивать способ действия в соответствии с изменившимися условиями;

6) умение выходить за привычные способы действия, оригинальность подхода к анализу ситуации, возможность переосмысления ситуаций, усовершенствование найденного способа решения, повышение уровня обобщенности самостоятельно получаемых выводов;

7) умение разнообразить попытки решения, легкость и свобода переключения от одной умственной операции к другой, наличие многообразия подходов к решению задач;

8) способность к целесообразному варьированию способов действия;

9) легкость перестройки системы знаний, умений и навыков при изменении условий действия;

10) легкость перехода от одного способа действия к другому, умение выходить за границы привычного способа действия.

11) способность удерживать сразу несколько вариантов решения, "взвешивая" их и пробуя проследить хотя бы несколько первых шагов каждого.

Сравнение показателей гибкости мышления, предложенных различными авторами, дает возможность выделить общие, наиболее существенные. Это легкость перехода от одной умственной операции к другой, от одного способа действия к другому, умение перестраивать способ действия в соответствии с изменившимися условиями.

Степень сформированности данных показателей позволяет судить о сформированности у человека гибкости мышления. Так, З.И.Калмыкова говорит о людях с гибким или инертным умом. "При гибком уме человек легко переходит от прямых связей к обратным, от одной системы действий к другой, если этого требует решаемая задача, он может отказаться от привычных действий, и т.д."([59],с.28). В

случае инертности ума наблюдается склонность к шаблону, трудность при переходе от одних действий к другим, задержка на выполнении известных действий, несмотря на наличие отрицательного результата.

О.Н.Гарнец ([24], с. 121-122) выделяет четыре уровня сформированности гибкости мышления:

1. Уровень спонтанной гибкости. Характеризуется тем, что обращение к новому способу действия происходит по инициативе ученика, который постоянно нацелен на рационализацию своей деятельности.

2. Уровень вызванной гибкости. Характеризуется тем, что человек обращается к новому способу умственного действия под давлением обстоятельств. Индивид может изменить ход своих мыслей, способов действия лишь под влиянием подсказки, наталкивающей его на мысль о возможности существования других способов решения.

3. Уровень возобновляющейся ригидности. Проявляется в тех случаях, когда произведенная под давлением обстоятельств замена способа умственного действия не закрепляется в познавательной структуре человека. Когда тупиковая ситуация остается позади, он возвращается к привычному, установленному способу действия.

4. Уровень стойкой ригидности. Характеризуется тем, что человек не в состоянии изменить привычный способ действия даже в тупиковой ситуации, наличие которой он, как правило, не осознает.

Ю.К.Бабанский ([6], с.24) рассматривает три уровня сформированности гибкости мышления.

Учащиеся, у которых первый уровень, не умеют переключаться с одного известного способа решения на другой, использовать необходимые знания в изменившихся условиях, не могут найти различные варианты решения одной задачи.

Учащиеся, находящиеся на втором уровне, испытывают затруднения в выборе рационального способа действия, в варьировании решений.

Если у ученика третий уровень, то он легко перестраивает способ действий в соответствии с изменившимися условиями, проявляет творчество, оригинальность в решении учебных задач.

В.А.Крутецкий, рассматривая гибкость мыслительных процессов в качестве компонента структуры математических способностей, говорит о трех группах учащихся.

Представителей первой группы (способных учеников) отмечает большая гибкость, подвижность мыслительных процессов при решении математических задач. "Она выражается в легком и свободном переключении с одной умственной операции на другую, качественно иную, в многообразии аспектов в подходе к решению

задач, в свободе от сковывающего влияния шаблонных и трафаретных способов решения "([67], с.312).

Вторая группа учащихся испытывает затруднения при необходимости переключения на новый способ решения уже решенной задачи, при необходимости отказа от традиционного, шаблонного способа решения.

Для третьей группы характерна инертность, скованность мысли в сфере математических отношений и действий, устойчивый, стереотипный характер действий, навязчивое удержание в сознании предшествующего способа действия, решения.

Г.П.Антонова, рассматривая проблему продуктивности мышления, говорит о трех уровнях развития гибкости мышления: низком, среднем и высоком. Для учащихся с низким его уровнем характерно неумение "целесообразно варьировать способы действия, перестраивать знания и умения в соответствии с изменением условий "([5], с.50). Высокий уровень гибкости мышления характеризуется целесообразным варьированием способов действий, умением легко перестраивать имеющиеся системы знаний или навыков в соответствии с новыми условиями, легким образованием прямых и обратных связей, свободным переходом с прямых на обратные связи.

Г.П.Антонова, сравнивая уровень развития мыслительных процессов анализа, синтеза, обобщения с уровнем развития гибкости мышления, сделала вывод о том, что "показатели гибкости в значительной степени совпадают с особенностями мыслительных процессов" ([4], с.61).

Сравнительный анализ рассмотренных классификаций учащихся с точки зрения сформированности у них гибкости мышления позволяет говорить, что преобладающей является точка зрения, согласно которой учащихся можно условно разделить на три группы: с высокой степенью сформированности гибкости мышления, со средней и низкой.

Очевидно, что в процессе обучения возможно формирование гибкости мышления. В результате анализа психолого-педагогической литературы нами были выделены следующие меры, направленные на формирование гибкости мышления учащихся в процессе обучения:

- чередование задач, требующих противоположных действий;

- осуществление работы по сопоставлению сходных случаев и выделению их дифференцирующего признака;

- чередование сходных задач, требующих различных способов действий;

- решение задач различными способами и выбор из них наиболее рационального;

- решение задач с разнообразной структурой, включая задачи с недостающими и лишними данными;

- проведение работы по совершенствованию известного способа решения, повышению его обобщенности.

Выделение уровней сформированности гибкости мышления позволяет рассматривать ее в качестве индивидуальной особенности мышления, а наличие мер, способствующих формированию этого свойства мышления, дает нам возможность говорить об осуществлении процесса обучения адекватного его уровню.

При обучении учащихся с высокой степенью сформированности гибкости мышления оптимальным, как мы считаем, является самостоятельное решение ими задач, являющихся нестандартными, оригинальными, требующих комбинации различных методов решения. Этим учащимся полезны и посильны задания на обобщение известных или полученных ими способов решения.

При работе с учащимися второй (средней) группы особое внимание должно быть уделено задачам, имеющим несколько способов решения, и обоснованию выбора наиболее рационального из них. При обучении этих детей возможна либо коллективная работа под руководством учителя на этапе поиска способа решения задачи, либо самостоятельная, но при наличии помощи (указаний), направленной на отыскание идеи решения. При определении рационального способа решения необходимо обсуждение с учащимися критериев рациональности (минимальное количество шагов в решении, наиболее простые преобразования, опора на известный факт, решенную задачу и т.д.).

При обучении учащихся третьей группы, для которых характерна инертность ума, необходимо использование всего комплекса мер. В первую очередь, необходимо чередование задач, требующих противоположных действий, и чередование сходных задач, требующих различных действий. При анализе проведенного решения полезно повторное соотнесение условия задачи и выполненных действий. Наряду с решением задач полезно выполнение заданий:

а) по составлению задач сходных по фабуле, но решаемых с использованием различных действий;

б) по составлению задач отличных по фабуле, но требующих для решения одинаковых действий;

в) на классификацию задач.

Вся работа с этой группой учащихся должна проводиться под руководством учителя.

При решении задачи различными способами полезно на этапе поиска идеи решения обозначить вместе с учениками возможные

способы решения и после реализации одного из них возвратиться к оставшимся.

Глубина мышления, по-мнению З.И.Калмыковой, является одним из важнейших качеств ума, которое "проявляется в степени существенности признаков, которые человек может абстрагировать при овладении новым материалом, при решении проблем, и в уровне их обобщенности"([59], с.27).

Л.Г.Жабицкая также считает, что для глубокого ума характерно умение вычленять ведущие закономерные отношения явлений [46].

С.Л.Рубинштей не употреблял в своих работах термин "глубина мышления". Однако он говорил о таком свойстве мыслительной деятельности, как обобщаемость, которое характеризуется легкостью формирования обобщений. Сравнений сущности свойств "глубина мышления" и "обобщаемость" показывает их тождественность.

Ю.М.Колягин отмечает, что "глубина мышления характеризуется способностью глубокого понимания каждого из изучаемых математических фактов в их взаимосвязи с другими фактами"([66], с.21), она проявляется в умении отделять главное от второстепенного, обнаруживать логическую структуру рассуждения.

Таким образом, важнейшим показателем глубины мышления является умение выделять главные существенные признаки, отношения, обобщать их.

Авторы всех исследований, посвященных изучению особенностей глубины мышления, говорят о существовании противоположного качества - поверхностного мышления, которое характеризуется выделением внешних, лежащих как бы на поверхности наблюдаемых явлений признаков, установлением случайных связей между ними, что отражает низкий уровень их обобщенности.

Анализ показателей, характеризующих глубину мышления, позволяет утверждать, что ее сформированность тесно связана со сформированностью таких мыслительных операций, как анализ, сравнение, абстрагирование, обобщение. В связи с этим, средства, способствующие формированию данных операций, будут направлены и на формирование глубины мышления. К ним, в частности, относятся задания на:

- выделение признаков объектов;

- выделение общих (отличительных) признаков;

- сравнение объектов;

- выделение существенных общих (отличительных) признаков;

- установление связи между объектами, фактами;

- установление основной идеи решения задачи.

Существование двух полюсов - глубины и поверхности мышления - позволяет говорить об индивидуальном проявлении свойства глубины мышления, которое, как было отмечено выше, связано, в первую очередь, с умением и легкостью выделения и обобщения существенных признаков и отношений. Очевидно, что по аналогии с гибкостью мышления можно говорить о трех уровнях сформированности этого свойства.

Высоким уровнем сформированности глубины мышления обладают учащиеся, которые могут самостоятельно выделить главные существенные признаки и отношения объектов действительности, установить связи между отдельными фактами.

Для учащихся со средним уровнем сформированности глубины мышления характерна неустойчивость в выделении главных существенных признаков и отношений, зачастую они их путают с внешними, случайными.

Учащиеся, у которых низкий уровень глубины мышления, выделяют, как правило, несущественные, внешние, лежащие на поверхности признаки, случайные связи между объектами, фактами.

Очевидно, что учет уровня сформированности глубины мышления, во-первых, должен проявиться в степени самостоятельности учащихся при осуществлении ими работы по выделению существенных свойств объектов, отношений между ними, связей между математическими фактами. Для первой группы учащихся оптимальной будет самостоятельная форма работы; для второй - либо самостоятельная работа, но с пошаговой проверкой со стороны учителя, либо работа совместная с учителем; для третьей -коллективная работа совместно с учителем. Вторая возможность учета сформированности глубины мышления состоит в выполнении учащимися второй и третьей групп специальных заданий, направленных на формирование данного свойства.

Не менее важным качеством ума является его критичность, которая позволяет оценить правильность осуществляемой деятельности.

С.Л.Рубинштейн, характеризуя критичность, писал, что она представляет "существенный признак зрелого ума. Некритичный, наивный ум, - по его мнению, - легко принимает любое совпадение за объяснение, первое подвернувшееся решение - за окончательное"([107], с.323).

Критичность мышления, как отмечают Ю.К.Бабанский и В.Ф.Харьковская, "характеризуется способностью оценить правильность намеченных путей решения, эффективностью способов действия, правильностью полученного результата; склонностью к

постоянной корректировке действий и подцелей; способностью к оценке степени правдоподобности выдвинутой гипотезы, умением критически оценить свои возможности и способности"([6], с.24).

Такой же трактовки понятия придерживается Ю.М.Колягин, который считает, что в процессе обучения математике имеются большие возможности для формирования этого качества мышления. Средствами, позволяющими это осуществлять, являются:

- постоянное использование в обучении различных видов проверок;

- выполнение заданий на нахождение и исправление ошибок;

- осуществление прикидок искомого результата;

- проверка умозаключений, полученных с помощью индукции, аналогии, интуиции;

- оценивание результатов своей работы и работы одноклассников;

- решение задач с противоречивыми или нереальными данными.

Как и другие качества мышления, критичность имеет антипод -некритичность, а поэтому имеет смысл говорить об уровнях ее сформированности. Ю.К.Бабанский, В.Ф.Харьковская выделяют три таких уровня. Учащиеся, у которых первый уровень сформированности критичности мышления, не умеют оценивать правильность путей решения, эффективность способов действий, правильность результатов. Они не корректируют выполняемые действия, некритично оценивают свои способности и возможности.

Учащиеся, имеющие второй уровень сформированности критичности мышления, в основном, правильно оценивают выбираемые пути решения, результаты, способы действий, но при этом допускают ошибки, редко корректируют свои действия и недостаточно критично оценивают свои возможности и способности.

Учащихся, имеющих третий уровень сформированности критичности мышления, характеризует умение правильно оценить намеченные пути решения, эффективность выбранных способов действий, правильность результатов. Они корректируют свои цели, действия и критически оценивают свои возможности и способности.

Мы в соответствии с точкой зрения Ю.К.Бабанского, В.Ф.Харьковской и по аналогии с рассмотренными ранее качествами мышления будем в дальнейшем говорить о высоком, среднем и низком уровнях сформированности критичности мышления.

Из характеристики данного качества мышления следует, что при работе над компонентами математического содержания оно имеет преобладающее значение на этапе анализа проведенного решения математической задачи (анализа доказательства теоремы). Именно

здесь необходимо выяснить рациональность, эффективность проведенного решения, оценить его правильность. Кроме того, умение адекватно оценить свои возможности необходимо ученику при выполнении им самостоятельных работ, предполагающих свободу выбора заданий, способов действий.

Обобщая материал, раскрывающий сущность отдельных качеств мышления (гибкость, глубину, критичность) и показывающий возможность выявления уровней их сформированности на основе существования двух полюсов для каждого качества (гибкость -инертность, глубина - поверхностность, критичность - некритичность, самостоятельность - подражательность, широта - узость, целенаправленность - бесцельность и т.д.) и некоторого среднего между ними положения, можно сделать вывод, что для каждого качества мышления может иметь место следующая иерархия уровней его сформированности:

- высокий уровень. Для него характерно то, что ученик свободно владеет умениями, определяющими данное качество. Он может самостоятельно выполнять соответствующие действия;

- средний уровень. Нет полного, свободного владения учеником соответствующими умениями. Наряду с правильным выполнением действий он допускает ошибки;

низкий уровень. Ученик не владеет умениями, характеризующими данное качество мышления.

Предложенный подход к выявлению уровней сформированности качеств мышления позволяет рассматривать их с позиции индивидуальных особенностей и дает возможность сформулировать некоторые общие положения, касающиеся осуществления обучения, учитывающего данные особенности.

При обучении учащихся, имеющих высокий уровень сформированности того или иного качества мышления, целесообразна самостоятельная форма работы. Задания, предлагаемые им для выполнения, должны быть достаточно сложны в плане использования умений, характеризующих соответствующее качество мышления.

При обучении учащихся, имеющих средний уровень сформированности качества мышления, возможна либо самостоятельная их работа, но с достаточной долей помощи и постоянным контролем со стороны учителя, либо коллективная деятельность вместе с учителем.

Учащиеся, обладающие низким уровнем сформированности качества мышления, должны работать вместе с учителем.

Формированию у учеников второй и третьей групп умений, соответствующих тому или иному качеству мышления, способствует

выполнение ими специальных заданий, которые должны быть использованы как при работе в класса, так и дома.

Итак, наряду с различной организацией процесса обучения учащихся, отличающихся уровнем сформированности качеств мышления, должна иметь место дифференциация по учебному содержанию.

Таким образом, обобщая материалы исследований, посвященных изучению различных характеристик мышления, можно сформулировать следующие выводы:

1. Все индивидуальные особенности мышления могут быть отнесены к группе предметных индивидуальных особенностей, т.к. возможности их учета и формирования предполагают работу учащихся со специально отобранным или сконструированным учебным содержанием;

1. При осуществлении процесса обучения, направленного на учет и формирование свойств, представляющих индивидуальные особенности мышления, необходимо ориентироваться на преобладающий у ученика вид мышления, уровень сформированности каждого из видов мышления, преобладающий у ученика тип мышления и сформированность его показателей, сформированность приемов мыслительной деятельности (мыслительных операций) и качеств мышления.

3.3. Индивидуальные особенности памяти

Необходимым условием успешного познания действительности является опора на имеющиеся у человека знания и умения, а возможность этого, в первую очередь, определяется его памятью. Этой же точки зрения придерживаются психологи, исследовавшие вопросы взаимосвязи успешности обучения и процессов памяти. Это -Е.В.Зайка, Е.Ф.Иванова, С.А.Изюмова, Г.Клаусс, В.А.Крутецкий, В.Я.Ляудис, А.А.Смирнов и др. Г.Клаусс по этому поводу замечает, что "память явлется необходимым условием учения. Она позволяет сохранять присвоенную на более ранних этапах информацию и учитывать ее в последующих действиях"([63], с.63).

К основным индивидуальным особенностям памяти психологи относят преобладающий у человека тип, вид памяти, скорость и прочность запоминания, а также объем и точность памяти.

Между учащимися существуют значительные различия в успешности запоминания учебного материала. С.Л.Рубинштейн по этому поводу замечает, что одним из оснований дифференциации памяти является характер запоминаемого материала, в соответствии с

чем "память на наглядно-образные и абстрактные содержания... может быть различна"([108], с.290).

В.А.Крутецкий [67], наряду с наглядно-образным и словесно-логическим, выделяет гармонический тип памяти, представители которого хорошо запоминают материал любого характера.

А.А.Смирнов [114], Э.А.Фарапонова, П.И.Размыслов [20] также отмечают, что индивидуальные различия между школьниками в запоминании наглядно-образного и абстрактного материала весьма значительны, довольно устойчивы и не зависят от содержания запоминаемого материала. Э.А.Фарапонова по результатам экспериментального исследования, в зависимости от соотношения в успешности запоминания наглядного и словесного материала, выделяет четыре группы испытуемых. Представители первой группы не имеют значительных различий в запоминании наглядно-образного и словесного материала. У представителей второй группы показатели восприятия наглядного материала преобладали над показателями словесного материала. К третьей группе относятся те, у которых результаты воспроизведения абстрактного материала ниже результатов воспроизведения наглядного материала. Четвертую группу составляют испытуемые, у которых показатели воспроизведения словесного материала превышают показатели воспроизведения наглядного материала.

С.А.Изюмова, рассматривая в своем исследовании индивидуальные особенности памяти учащихся в контексте разных типов познавательных способностей, говорит о двух типах учащихся. Представители I типа обладают хорошими способностями к запечатлению, для них характерно точное детальное запоминание зрительных объектов. У этих учащихся преобладает чувственно-конкретный вид мышления, они испытывают "трудности при словесном изложении материала"([53], с.314). Представители II типа хорошо запоминают абстрактно-логический материал, у них развито словесно-логическое мышление. Слабой стороной учащихся этой группы является одностороннее восприятие, проявляющееся в неспособности отражать зрительные объекты во всей полноте их признаков, плохая непосредственная зрительная память.

Все исследователи, отмечающие различия в памяти учащихся в зависимости от характера (наглядный, абстрактный) запоминаемого материала, говорят о том, что они "проявляются в успешности учебной деятельности, и учителя должны учитывать их в своей работе"([63], С.76).

А.Н.Рожкина [105] отмечает важность учета этой индивидуальной особенности памяти в контексте проблемы дифференцированного обучения.

С.А.Изюмова указывает, что при работе со школьниками с "образными способностями" должна быть опора на все виды наглядности и наглядно-образное мышление. Работа с учащимися с вербальным типом способностей должна быть направлена на развитие наглядно-действенных компонентов познавательных процессов ([53], с.315-316).

Так как задача учета особенностей памяти в зависимости от характера запоминаемого материала включает и такой аспект, как совершенствование менее развитого вида памяти, то в процессе обучения учащимся должны предлагаться для выполнения задания, направленные на формирование у них приемов запоминания, основой при этом может и должен быть как образный, так и словесный материал. К основным приемам запоминания в психологии относят прием смыслового соотнесения, классификации, составления плана и пользования им [100].

Работа, направленная на совершенствование недостаточно развитого типа памяти, имеет большое значение для успешности осуществления процесса обучения учащихся, так как согласно рекомендациям психологов желательно вербальную информацию связывать с наглядными образами. Это, по-мнению Г.Клаусса, открывает большие возможности в усвоении и запоминании информации. А.А.Смирнов по этому поводу писал, что "наилучший эффект запоминания наблюдается при совместной работе обеих сигнальных систем"(114], с.195).

Наряду с дифференциацией памяти в зависимости от характера запоминаемого материала, имеет место дифференциация, связанная с тем, "какая сенсорная область служит наилучшей основой для воспроизведения. Одни люди лучше запоминают зрительные, другие -слуховые, третьи - двигательные данные..."([107], с.292).

На эту же особенность памяти указывают А.М.Вейн и Б.И.Каменецкая, которые пишут, что "у одних людей более развита слуховая память, у других зрительная или, например, двигательная память..."([12], с.87). Людьми со зрительной памятью лучше запоминается материал, если они видят его написанным, со слуховым -если они его слышат, с моторным (двигательным) - если они воспроизводят соответствующие движения (пишут, произносят, рисуют и т.д.). Чистые типы (виды) памяти, как замечает С.Л.Рубинштейн, встречаются редко, обычно наблюдаются смешанные: зрительно-двигательные, двигательно-слуховые, зрительно-слуховые.

В обучении следует, с одной стороны, развивать все виды памяти, "давая задания, включающие нагрузку на различные виды. С другой стороны, следует помочь ученику эффективно использовать тот

вид памяти, который у него лучше развит"([78], с.230). Этой же точки зрения придерживается и Л.С.Выготский, который, рекомендуя педагогу пользоваться при запоминании различными путями, говорит, что "учителю полезно узнать индивидуальный тип памяти у ученика и прибегать чаще всего именно к этому типу"([22], с. 173). Очевидно, что опора на преобладающий у ученика вид памяти возможна, если будет использован тот метод (прием) обучения, при котором он будет задействован. При зрительной памяти - это чтение текста учебника, пособия, специальным образом подобранной литературы, карточек, содержащих нужную информацию, т.д. При слуховом - это прослушивание лекций, магнитофонных записей, использование в обучении таких приемов, как беседа, работа учеников в парах и др. При двигательном виде памяти полезны задания по составлению плана, конспекта изучаемого материала, по формулировке вопросов и ответов на заданную тему. Кроме того, формируя умения учащихся на основе теории поэтапного формирования умственных действий, особое внимание надо обращать на речевой этап (внешней и внутренней речи) их деятельности. При закреплении изученного материала учащимся этой группы надо предлагать задания на запись сформулированного правила, теоремы, существенных признаков понятия, схемы, изображающей те или иные связи, и т.д.

Как было отмечено выше, скорость и прочность запоминания представляют еще одну группу индивидуальных особенностей памяти. Скорость запоминания - это время, необходимое для полного запоминания материала, прочность - максимальная длительность сохранения запоминаемого материала. Очевидно, что по уровню развития каждого из этих свойств учащихся можно разделить на три группы. К первой относятся учащиеся, имеющие высокий уровень скорости (прочности) запоминания; ко второй - средний уровень; к третьей - низкий. Исходя из имеющихся у ученика уровней скорости и прочности запоминания, целесообразно строить его процесс обучения, организуя или нет специальную работу, направленную на запоминание изучаемого материала, на повторение ранее пройденного. В психологии имеет место также подход, учитывающий соотношение скорости и прочности запоминания. Так, С.Б.Бархатова [54] говорит о полной представленности двух групп учащихся:

- быстро запоминающих и прочно сохраняющих информацию в памяти;

- медленно запоминающих и непрочно сохраняющих заученное.

Большая часть исследователей делит учащихся на четыре группы. К первой они относят быстро запоминающих и быстро забывающих учеников; ко второй - медленно запоминающих и медленно забывающих; к третьей - быстро запоминающих и медленно

забывающих; к четвертой - медленно запоминающих и быстро забывающих. Работа с учащимися на основе учета соотношения между скоростью и прочностью запоминания предполагает своевременную организацию повторения с первой группой; специальную работу по заучиванию небольшими порциями со второй группой; возможность быстрого прохождения материала с третьей группой; заучивание материала небольшими порциями с использованием для этого специальных приемов и систематическое повторение материала.

Очевидно, что прочность запоминания влияет, в первую очередь, на конструирование таких этапов урока, как актуализация знаний и формирование умений. Кроме того, от уровня развития этого свойства зависит содержание домашнего задания, предлагаемого ученикам.

Наряду со скоростью и прочностью запоминания к индивидуальным особенностям памяти относят такие ее свойства, как объем и точность. На существование различий в памяти людей по этим свойствам указывали Э.А.Голубева, Р.Клацки, С.Л.Рубинштейн, А.А.Смирнов и др.

Под объемом памяти понимают "предельное число элементов, запоминаемых сразу"([64], с. 15). В зависимости от этого значения можно говорить о разных уровнях объема памяти, причем, как отмечает П.И.Размыслов, индивидуальные различия по объему памяти не зависят от характера (эмоционально-образный или абстрактный) запоминаемого материала [20].

Исходя из того, что число 7+2 (число Миллера) характеризует объем памяти, то относительно него можно говорить об уровнях сформированности этого показателя.

Очевидно, что учет уровня объема памяти должен осуществляться по двум направлениям. Во-первых, от этого показателя зависит объем информации, подлежащий изучению и запоминанию, а это, в свою очередь, определяет метод обучения: лекцию, демонстрацию фильма, содержащую большой объем информации, или беседу, рассказ, чтение текста, самостоятельную работу, содержащую небольшой объем материала, подлежащего запоминанию, с последующим его закреплением. Очевидно, что возможность изложения материала крупным блоком или необходимость его расчленения на более мелкие влияет на выбор учителем стратегии обучения, на структуру уроков, и в первую очередь тех, на которых осуществляется изучение нового материала.

Так как объем памяти зависит от числа запоминаемых символов, то, как отмечено в работах Дж.А.Миллера, объединение, группировка запоминаемых символов представляет практический путь увеличения объема памяти [134]. Исходя из этого, вторым направлением учета

объема памяти является обучение учащихся укрупнению единиц информации, что позволяет увеличить объем их памяти. "Единица информации, - замечает Ю.К.Пугач, - может укрупняться как на образном, так и на логическом уровне с помощью внутреннего или внешнего проявления"([98], с. 12). Укреплению единиц информации, по его мнению, способствует в большой мере прием образного группирования, который уменьшает количество единиц информации, увеличивая тем самым объем памяти. Очевидно, что такая работа может проводиться при актуализации знаний, их закреплении и в ходе выполнения учащимися домашних заданий.

Для оценки результатов запоминания Л.Б.Невельский предлагает использовать три меры объема памяти: 1) число воспроизведенных при одном повторении символов; 2) число единиц информации, переданной при одном повторении; 3) отношение числа воспроизведенных при одном повторении символов ко всему числу запоминаемых символов"([76], с.86).

Под точностью памяти понимают "способность без искажения, в тех же самых словах, воспроизвести информацию"([78], с.231). Очевидно, что если у ученика низкий уровень точности памяти, то он будет испытывать затруднения в тех видах деятельности, результатом которых должно быть "абсолютное" воспроизведение информации: формулировок теорем, правил, определений. Для преодоления отмеченных трудностей у таких учащихся должна быть сознательная установка на запоминание, концентрация внимания на изучаемом материале [12]. Кроме того, при заучивании наизусть надо стараться избегать механического заучивания, представлять материал образно, использовать группирование. При запоминании правил и определении полезно сочетать образное запоминание с запоминанием цепочек опорных слов [98]. Так как учащимся с низким уровнем точности памяти необходимо большее количество времени на запоминание, то при проведении опроса, связанного с воспроизведением только что изученных формулировок, их спрашивать не рекомендуется.

Подводя итог рассмотрению индивидуальных особенностей памяти, можно сделать вывод, что они играют существенную роль на различных этапах обучения. Их учет проявляется в выборе оптимальной стратегии обучения, в конструировании структуры урока, в используемых формах и приемах обучения, в содержании и форме представления учебного материала, в выборе учащихся, привлекаемых к опросу на различных этапах урока и т.д. Исходя из критерия предметности, к предметным индивидуальным особенностям памяти в первую очередь относятся преобладающий у человека тип (наглядно-образный, словесный или гармонический) и вид (зрительный, слуховой, моторный, смешанный) памяти.

§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЙ ПОДХОД К ОБУЧАЮЩИМСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ОПРЕДЕЛЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

Специфика овладения учащимися различными компонентами содержания школьного курса математики связана с успешностью выполнения ими соответствующих учебных действий. Исходя из этого в данном параграфе представим индивидуальные особенности учащихся, являющиеся приоритетными при выполнении ими учебных действий, направленных на овладение математическими понятиями.

4.1. Этапы изучения математических понятий

Формирование понятия - это длительный во временном отношении процесс, включающий как этап формулировки определения и его усвоения, так и этап обогащения понятия. На этапе обогащения понятия: при изучении его новых свойств, отношений -учащиеся имеют дело с такими компонентами содержания учебного материала, как теоремы, правила, поэтому здесь, в первую очередь, должны быть учтены те их индивидуальные особенности, которые имеют приоритетное значение при изучении данных компонентов.

Таким образом, проблема выбора и учета индивидуальных особенностей учащихся при формировании понятий распадается на две:

- выбор и учет особенностей, имеющих решающее значение при формулировке и усвоении определения, что является нашей непосредственной задачей;

выбор и учет особенностей учащихся, являющихся приоритетными при изучении других компонентов учебного математического содержания, используемых на этапе обогащения понятия. Решение этого вопроса будет рассматриваться в процессе рассмотрения возможностей осуществления дифференцированного подхода при изучении других компонентов содержания школьного курса математики.

Введение определения понятия и усвоение его учащимися осуществляется в процессе выполнения ими следующих основных учебных действий:

1) выявление существенных свойств понятия;

2) формулировка определения понятия;

3) проведение логико-математического анализа структуры определения;

4) подведение под определение понятия;

5) выведение следствий из того факта, что объект относится к классу объектов, характеризуемых определением;

6) сравнение понятия с понятиями, изученными ранее;

7) формулировка эквивалентных определений.

Выявление индивидуальных особенностей учащихся, имеющих приоритетное значение при выполнении ими учебных действий, в первую очередь должно осуществляться в соответствии с критерием содержательного соответствия, т.е. на основе анализа содержания этих действий.

4.2. Учет и формирование индивидуальных особенностей на этапе введения определений математических понятий.

Действие выявления существенных свойств понятия может быть осуществлено одним из двух способов: либо в процессе выявления, сравнения свойств единичных объектов и определения среди них общих существенных, либо в ходе анализа единичного частного случая с целью выявления у него всеобщего отношения, существенных свойств нового понятия.

Выбор одного из двух данных способов выполнения действия определяется преобладающим у учеников типом мышления и, в первую очередь, уровнем сформированности теоретического анализа

Учащимся, у которых высокий уровень теоретического мышления ("теоретики"), может быть предложен второй способ выполнения действия. Работа выполняется ими самостоятельно без дополнительной помощи со стороны учителя. Для учеников, относящихся к группе "эмпириков", более продуктивным будет первый способ выполнения действия, а для промежуточной группы возможна работа и на основе второго способа, но совместно с учителем, направляющим и контролирующим действия школьников. Очевидно, что в этом случае в ходе беседы процесс "открытия" существенных свойств понятия будет наиболее эффективным. Желательно, чтобы уже при проведении этапа мотивации учитывался тип мышления. Это в первую очередь возможно за счет содержания задач, ситуаций, подлежащих анализу с целью выявления недостающих знаний и постановки учебной задачи.

Преобладающие у ученика вид мышления (наглядно-действенный, наглядно-образный, словесно-логический), форма восприятия информации определяют форму предъявления учебного материала. В случае наглядно-действенного мышления ученикам полезно предлагать объекты, производя с которыми практические действия, они могли бы открывать их свойства. Преобладание наглядно-образного мышления требует опоры на образы, либо

воссоздающиеся учениками, либо создаваемые ими в процессе творческого воображения, либо создаваемые на основе различных изображений. При этом желательно опираться на предпочитаемый учеником вид наглядности.

Таким образом, выполнение действия выявления существенных свойств понятия на основе работы с реальными предметами или их образами предполагает, что процесс познания может начинаться с восприятия. Из этого следует необходимость учета его типа. Так, при синтетическом типе ученику необходимо дать указания (задания) на выявление отдельных элементов (фигур), входящих в объект рассмотрения, при аналитическом - указания на установление связи между элементами (фигурами), входящими в объект изучения, при смешанном - указания обоих видов, при аналитико-синтетическом -дополнительная помощь в виде указаний (заданий) не требуется.

В том случае, если ученик воссоздает образ некоторого объекта, на который можно опираться при введении нового понятия, то необходимо учесть индивидуальные особенности, связанные с этим образом. В первую очередь, это такие особенности образного мышления, как широта оперирования образом и его полнота. Если образ, на который предстоит опираться при выявлении существенных свойств понятия, не полный, то необходима предварительная работа с учащимися, направленная на выделение недостающих его характеристик. Этому будет способствовать выполнение заданий, требующих определения элементов, входящих в состав образа, установления связей между ними, выяснения их размеров, взаимного расположения и т.д.

В случае, если недостаточная сформированность показателя "широта оперирования образом" будет затруднять выполнение действия выявления существенных свойств понятия, то также в ходе работы, предшествующей выполнению действия, необходимо предложить учащимся задания, направленные на преодоление этого недостатка. Это могут быть задания на представление образа в определенной знаковой системе, на представление образа в заданной знаковой системе, но с использованием различных символов, на представление образа в различных знаковых системах, на перевод образа из одной знаковой системы в другую.

Если для выделения существенных свойств понятия ученику надо с помощью творческого воображения создать образ, то необходимо учесть сформированность у него необходимых для этого механизмов воображения. В случае недостаточной их сформированности такая работа может быть проведена под руководством учителя или с некоторой долей помощи с его стороны.

Преобладание у ученика словесно-логического вида мышления позволяет при выполнении действия выявления существенных свойств понятия не опираться на наглядные образы и оперировать понятиями, лежащими в основе изучаемого, и взаимосвязями между ними.

Очевидно, что при первом способе выполнения действия успешность процессов выявления свойств объектов, их сравнения, выделения общих и необходимых, существенных и несущественных свойств связана со сформированностью у ученика таких приемов мыслительной деятельности, как анализ, сравнение, абстрагирование и обобщение. Поэтому уровень сформированности этих приемов также должен определять специфику деятельности ученика.

Во-первых, это проявляется в степени его самостоятельности, а соответственно, в выборе формы организации этого фрагмента работы по изучению понятия (самостоятельная работа или коллективная под руководством учителя), во-вторых, - в степени получаемой им помощи, которая определяется его знанием ориентировочной основы действия (ООД) по выполнению соответствующих приемов мыслительной деятельности, в третьих, - в виде контроля за его деятельностью (пошаговый или по конечному результату). В результате выполнения действия выявления существенных свойств учащиеся должны иметь набор существенных свойств понятия, составляющих его определение. Так как следующим учебным действием является формулировка определения, то эти свойства желательно представить в словесной форме.

Таким образом, исходя из анализа содержания действия выявления существенных свойств, нами определены предметно-математические индивидуальные особенности учащихся, имеющие приоритетное значение при его выполнении. К ним относятся тип мышления, вид мышления, тип восприятия, сформированность аналитико-синтетической деятельности и сформированность таких приемов мыслительной деятельности, как сравнение, абстрагирование и обобщение. Учет этих особенностей проявляется в выборе способа выполнения действия, формы предъявления учебного материала, методов и форм организации данного фрагмента деятельности учащихся, а также в содержании и мере помощи, предлагаемой учащимся. Кроме этого, анализ содержания данного учебного действия позволил выявить нам индивидуальные особенности (широта оперирования образом, полнота образа, сформированность механизмов воображения), влияющие на успешность его выполнения и подлежащие учету в предшествующей работе (при выполнении домашних заданий, при осуществлении актуализации знаний, при их закреплении и т.д.).

Действие формулировки определения состоит в объединении существенных свойств понятия в связное предложение. Очевидно, что успешность выполнения данного действия связана, в первую очередь, с уровнем сформированности у ученика аналитико-синтетической деятельности, позволяющей ему "собрать" все существенные свойства понятия, установить между ними связи и отношения. Этот фактор определяет степень самостоятельности ученика и форму организации учебной деятельности. Соотнося факторы, определяющие эти показатели при выполнении данного и предшествующего действий, можно сделать вывод, что метод, форма учебной работы, мера и содержание помощи являются для обоих учебных действий одинаковыми. Например, если выявление существенных свойств понятия осуществлялось учениками в ходе самостоятельной работы с опорой на указания учителя о последовательности шагов, то и формулировать определение им предлагается также самостоятельно и при этом дается указание о тех шагах, которые для этого надо выполнить.

Так как два первых учебных действия завершают первый этап работы над понятием - введение его определения, то здесь вне зависимости от использованных методов и форм организации учебной деятельности должен быть осуществлен контроль полученных результатов и при необходимости их коррекция.

4.3. Овладение математическими понятиями при дифференцированном обучении

Действие проведения логико-математического анализа структуры определения является первым действием, направленным на усвоение введенного определения. В результате его выполнения учащиеся должны выявить структуру определения и составить ООД для выполнения действия подведения под определение понятия. Решение первой части этой задачи, т.е. выделение термина, родового понятия, видовых отличий и логических связей между свойствами в первую очередь зависит от сформированности аналитико-синтетической деятельности учащихся. Кроме того, проведение осознанного анализа структуры определения предполагает наличие у учащихся знаний о логической структуре определений. При наличии обоих факторов логико-математический анализ структуры определения может быть проведен школьниками самостоятельно, в качестве помощи могут быть предложены указания о последовательности операций, входящих в это учебное действие, об их содержании. В противном случае целесообразна коллективная работа под руководством учителя. Полученные в результате признаки и

логические связи между ними составляют основу ООД, конструирование которой есть вторая часть задачи, решаемой при выполнении данного действия. В зависимости от того, какой форме восприятия информации и какому виду наглядности отдает предпочтение ученик, ООД может быть составлена либо в словесной форме (описательно), либо в табличной, либо в виде схемы, либо в словесной, но с использованием символических обозначений и т.д.

Учащиеся, имеющие высокий уровень сформированности операций анализа и синтеза, это учебное действие выполняют самостоятельно. В случае затруднений, связанных с содержанием действия, им может быть предложена ООД для его выполнения, которая включает следующие шаги:

1. Укажите термин (слово), которое мы использовали для названия нового класса объектов;

2. Укажите понятие, которое является родовым (определяющим) по отношению к вновь введенному понятию;

3. Укажите признаки (свойства), какими должен обладать объект, чтобы его можно было отнести к данному классу объектов;

4. Укажите, все ли выделенные признаки (свойства) должны выполняться, для того чтобы объект можно было отнести к данному классу;

5. Составьте ООД (признаки понятия, правило распознавания) для выполнения действия подведения под определение понятия.

В том случае, если у учащихся низкий уровень сформированности синтеза и они затрудняются в составлении ООД, то по аналогичным вопросам с ними проводится беседа.

Действие подведения под определение понятия направлено на формирование умений распознавать объекты, относящиеся к классу объектов, характеризуемых определением. Для этого необходимо, используя ООД, определить наличие у объекта свойств и логических связей между ними, характеризующих данное понятие. В процессе выполнения этого действия также происходит запоминание ООД, а следовательно, и определения нового понятия. Формирование действия подведения под определение понятия в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий осуществляется в несколько этапов (материализованный, внешней речи, внутренней речи, умственный), причем, как отмечает Н.Ф.Талызина, форма предъявления учебного материала должна соответствовать этапу, в рамках которого идет процесс.

Задания, предлагаемые учащимся для формирования данного действия, можно разбить, как минимум, на две группы. К первой относятся такие, в которых у распознаваемых объектов требуемые признаки присутствуют явно, а ко второй - те, в которых требуемые

признаки получают в результате получения следствий из явно обозначенных свойств. При решений этих задач, очевидно, с одной стороны, должна быть опора на уровень сформированности гибкости мышления, его критичности, а, с другой стороны, осуществляться работа, направленная на формирование этих качеств.

Таким образом, из анализа содержания действия подведения под определение понятия следует, что при организации его выполнения полезно осуществлять учет таких предметных индивидуальных особенностей учащихся, как скорость запоминания, вид памяти, сформированность аналитико-синтетической деятельности.

Учет скорости запоминания должен иметь место при определении содержания и количества заданий, предлагаемых учащимся на материализованном этапе выполнения действия. При работе с медленно запоминающими учениками полезно выполнение заданий не только на отработку всего алгоритма распознавания, но и отдельных логически завершенных его частей. Кроме того, количество заданий, предлагаемых для выполнения на этом этапе медленно запоминающим ученикам, должно быть большим, чем быстро запоминающим.

На материальном (материализованном) и внешнеречевом этапах уместен учет типа памяти. К чтению и проговариванию ООД вслух следует привлекать учащихся с преобладанием моторного типа памяти, а учащиеся со слуховым типом выступают в качестве слушателей. Исходя из этого, при решении задач на этих этапах целесообразна либо коллективная работа всего класса, либо работа в группах, в каждой их которых есть учащиеся и со слуховым, и с моторным типами памяти.

Возможность успешного решения заданий второй группы связана с умением осуществлять аналитико-синтетическую деятельность, а это, следовательно, определяет и особенности организации работы по их выполнению: либо самостоятельная работа учащихся с различной мерой помощи, оказываемой им, либо коллективная работа под руководством учителя, либо их сочетание в процессе решения задачи. Кроме того, от сформированности аналитико-синтетической деятельности зависит сложность задач, предлагаемых учащимся для решения.

Таком образом, учет индивидуальных особенностей учащихся при выполнении действия подведения под определение понятия проявляется в количестве заданий, предъявляемых учащимся на различных этапах его формирования, в делении учащихся на группы "слушателей" и "озвучивателей" ООД, в принципах объединения учеников в группы для работы на материализованном и внешнеречевом этапах, в сложности задач, предлагаемых различным

ученикам для самостоятельного решения на речевом этапе и при выполнении действия в умственном плане, а также в выборе методов обучения, форм организации учебной деятельности и мере помощи, оказываемой ученикам при самостоятельной работе.

Выполнение действия получения следствий предполагает выделение в конкретном объекте свойств, входящих в определение понятия. Овладение этим действием имеет большое значение, так как оно, во-первых, способствует формированию умения по переформулировке задач, необходимого для успешного их решения, и, во-вторых, позволяет открывать новые свойства изучаемого понятия.

Формирование данного действия, как указывает М.Б.Волович, целесообразно осуществлять в процессе решения задач, требующих "разворачивания" условия. Таковыми могут быть задачи на конструирование объектов, характеризуемых определением, на нахождение соотношений между элементами объектов, о свойствах которых говорится в определении понятия.

Сформированность аналитико-синтетической деятельности учащихся, а также знание ими существенных свойств понятия и логических связей между ними влияют на степень самостоятельности учащихся, меру помощи, оказываемой им, и сложность задач, решаемых при выполнении действия получения следствий. Кроме того, здесь также уместна работа по развитию у учащихся свойства воспринимать информацию, заданную в различных формах (словесной, наглядной). Для этого используются различные формы предъявления условия задач, предлагаемых для решения учащимся, а также задания, в которых требуется признаки объекта представить в определенной форме.

Овладение действиями получения следствий и сравнения создает базу для выполнения действия формулировки эквивалентных определений. Его реализация предполагает, во-первых, получение следствий из определения, т.е. выделение всех существенных свойств, входящих в определение, и логических связей между ними; во-вторых, получение следствий, если возможно, из этих полученных свойств и, наконец, объединение свойств с целью формулировки новых эквивалентных определений. Рассмотренное содержание действия позволяет сделать вывод, что сформированность аналитико-синтетической деятельности и приема сравнения являются решающими условиями успешности его выполнения.

Успешность выполнения действия по формулировке эквивалентных определений понятия в первую очередь определяется уровнем сформированности у учащихся словесно-логического мышления, поэтому учащиеся с преобладанием данного вида мышления могут

выполнять это действие самостоятельно. Со всеми остальными учащимися класса работа по формулировке эквивалентных определений проводится коллективно под руководством учителя, как правило, в форме беседы.

Итак, нами на основе анализа содержания учебных действий, направленных на формулировку и усвоение определения понятия, выявлены предметные индивидуальные особенности учащихся, являющиеся приоритетными при выполнении каждого из учебных действий, и показаны возможности их учета и формирования.

Предметные индивидуальные особенности учащихся при изучении понятий

Учебные действия

Индивидуальные особенности

1. Выявление существенных свойств понятия

Тип мышления, вид мышления, тип восприятия, сформированность аналитико-синтетической деятельности мышления, приемов

2. Формулировка определения

сравнения, обобщения, абстрагирования

3. Проведение логико-математического анализа структуры определения

Сформированность аналитико-синтетической деятельности мышления

Предпочитаемая форма восприятия учебного материала, сформированность аналитико-синтетической деятельности мышления

4. Подведение под определен. понятия

5. Получение следствий

Скорость запоминания, вид памяти, сформированность аналитико-синтетической деятельности мышления

6. Сравнение понятий

7. Формулировка эквивалентных определений

Сформированность аналитико-синтетической деятельности мышления, предпочитаемая форма восприятия учебного материала Сформированность приемов анализа, сравнения Сформированность аналитико-синтетической деятельности мышления, приема сравнения

§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЙ ПОДХОД К УЧАЩИМСЯ ПРИ ОВЛАДЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ УТВЕРЖДЕНИЯМИ.

5.1. Методика изучения теорем в условиях дифференцированного обучения.

В соответствии со структурой учебной деятельности процесс овладения школьниками такими математическими утверждениями, как теоремы, включает следующие этапы:

1. Мотивация;

2. Раскрытие содержания теоремы;

3. Формулировка теоремы;

4. Логический анализ структуры теоремы;

5. Мотивация необходимости доказательства теоремы;

6. Построение чертежа и краткая запись условия теоремы;

7. Поиск идеи доказательства теоремы;

8. Оформление (запись) доказательства;

9. Закрепление теоремы;

10. Применение теоремы.

К индивидуальным особенностям, подлежащим учету на этапе мотивации, как было указано в §2, в первую очередь относятся характер и направленность познавательного интереса.

При раскрытии содержания теоремы в результате анализа и обобщения:

результатов практических работ, опытов,

заданий, выполненных на уроке,

решенных ранее задач, рассмотренных теорем,

результатов наблюдений -

осуществляется открытие свойств, присущих изучаемому объекту и составляющих содержание теоремы. В соответствии с критерием содержательного соответствия на основе сущности этапа выявим те индивидуальные особенности учащихся, которые оказывают наиболее существенное влияние на успешность выполнения учащимися соответствующего учебного действия (открытие свойства).

Т.к. открытие свойства осуществляется в процессе анализа и обобщения результатов, полученных эмпирически или представляющих какие-либо частные случаи общей закономерности, то сформированность приемов мыслительной деятельности (анализа, синтеза, сравнения, обобщения) представляет первую группу индивидуальных особенностей, подлежащих учету на этом этапе. В случае высокого уровня сформированности приемов мыслительной деятельности открытие свойства может проводиться учащимися самостоятельно. При среднем уровне - с незначительной помощью

учителя, выражающейся в виде указаний о последовательности шагов, которые необходимо выполнить. При низком уровне сформированности приемов мыслительной деятельности открытие свойства осуществляется в процессе коллективной работы под руководством учителя.

Преобладающий у ученика вид мышления и форму восприятия информации (наглядно-действенное, наглядно-образное, словесно-логическое) желательно учесть при выборе способа открытия свойства. Если мышление наглядно-действенное, то желательно проведение лабораторных работ, в ходе которых осуществляются практические действия (измерение, разрезание, конструирование и т.д.) с моделями или реальными объектами. Для того, чтобы эта работа наряду с познавательной имела определенную практическую ценность, можно ее предварить соответствующей задачей с практическим содержанием. В случае преобладания наглядно-образного мышления возможно открытия свойства с опорой на средства наглядности (рисунки, чертежи, модели), но без практических действий с ними. При словесно-логическом виде мышления открытие свойства можно проводить без использования средств наглядности с опорой на решенные ранее задачи, доказанные утверждения, подмеченные закономерности.

При моделировании этого этапа, конструировании учебных материалов необходимо также учесть тип мышления. При теоретическом типе мышления ученику достаточно рассмотреть и проанализировать единичную ситуацию, чтобы открыть свойство, характерное для всех объектов некоторого класса. При эмпирическом типе открытие свойства идет на основе сравнения нескольких конкретных примеров, ситуаций.

Таким образом, при раскрытии содержания теоремы подлежат учету: сформированность мыслительных операций (приемов мыслительной деятельности), вид мышления (преобладающая форма восприятия информации), тип мышления.

Учет сформированности приемов мыслительной деятельности влияет на степень самостоятельности учащихся; вид мышления - на выбор метода, используемого при открытии свойства, опоры на средства наглядности), тип мышления - на содержание учебных материалов (заданий, вопросов).

При формулировке теоремы осуществляется синтез выявленных на предыдущем этапе свойств и объединение их в связное предложение. Для учащихся с преобладающей зрительной памятью полезно не только устное проговаривание формулировки теоремы, но и ознакомление с ней по тексту учебника.

Коллективная работа под руководством учителя по проведению логико-математического анализа структуры теоремы в первую очередь осуществляется с учащимися, испытывающими затруднения при анализе словесной информации. Остальные могут на этом этапе работать самостоятельно, при условии, если известна последовательность шагов, составляющих действие логико-математического анализа структуры теоремы.

При осуществлении краткой записи условия и требования теоремы, а также при построении чертежа учащиеся, которые испытывают затруднения при переходе от одной формы (словесной) представления информации к другой (буквенно-символической, в виде чертежа, графика), работают вместе с учителем или под его непосредственным наблюдением. Другие могут работать самостоятельно.

Успешность осуществления поиска способа доказательства, в первую очередь, определяется сформированностью аналитико-синтетической деятельности мышления, т.к. при аналитическом и при синтетическом методах рассуждений идут соответственно процессы получения следствий из условий, объединения полученных утверждений или "разложения" требования на составные части. А это есть ни что иное, как анализ и синтез. При поиске способа доказательства большую роль играет гибкость мышление, т.к. это качество позволяет отойти от стандартных методов, найти нетрадиционный подход к решению проблемы. Как утверждают психологи, между сформированностью анализа, синтеза, с одной стороны, и гибкостью мышления, с другой стороны, существует тесная взаимосвязь. Следовательно, взяв один из показателей в качестве основного, можно говорить о различных способах организации учебной деятельности учащихся при поиске способа решения задачи. Учащиеся, у которых высокий уровень сформированности мыслительных операций, имеют все возможности осуществлять этот этап самостоятельно. Учащимся со средним уровнем их сформированности необходима помощь со стороны учителя, содержащая указания либо о необходимости рассмотрения определенных фигур, свойств, либо об установлении связи между ними и т.д. При низком уровне сформированности мыслительных операций, гибкости мышления поиск способа доказательства проводится совместно с учителем, под его руководством.

Если при поиске способа доказательства используются механизмы воображения (реконструирование, комбинирование, агглютинация и др.), то учащимся, работающим самостоятельно, также может быть оказана соответствующая помощь.

При закреплении формулировки теоремы и хода доказательства необходима ориентация на вид памяти (зрительный, слуховой, моторный, смешанный), что отражается в выборе используемых приемов обучения (беседа с классом, устное выполнение заданий, работа по заполнению таблиц, письменная переформулировка теоремы и т.д.). Для осознанного запоминания полезно учащимся, работавшим несамостоятельно, выполнение заданий на доказательство теоремы (или восстановление отдельных шагов доказательства) с опорой на другой чертеж. Учащимся, у которых достаточно высокий уровень сформированности гибкости и критичности мышления, на этом этапе может быть предложена работа по поиску других способов доказательства теоремы.

Условия первых задач, требующих применения только одного математического факта - изученной теоремы, желательно представлять в предпочитаемой для ученика

Предметные индивидуальные особенности учащихся при изучении теорем

Учебные действия

Индивидуальные особенности

1. Открытие свойства

Тип мышления, вид мышления, тип восприятия, сформированность приемов мыслительной деятельности (анализа, синтеза, сравнения, аналогии, абстрагирования, обобщения), глубины мышления Сформированность аналитико-синтетической деятельности

2. Формулировка теоремы

3. Проведение логико-математического анализа структуры теоремы

Сформированность аналитико-синтетической деятельности

4. Построение чертежа и выполнение краткой записи условия теоремы

5. Поиск идеи доказательства и

Широта оперирования образом, полнота образа

запись доказательства

6. Переформулировка теоремы, формулировка для конкретных объектов и сравнение различных формулировок

7. Анализ доказательства теоремы

8.Распознавание объектов, к которым применима теорема

Сформированность аналитико-синтетической деятельности, приемов сравнения, аналогии, гибкости мышления, словесно-логического мышления, тип восприятия, сформированность механизмов воображения Вид памяти, скорость запоминания, тип памяти, сформированность аналитико-синтетической деятельности, приемов сравнения, конкретизации

Сформированность аналитико-синтетической деятельности, гибкость и критичность мышления, вид памяти

Сформированность аналитико-синтетической деятельности, приема сравнения, вид памяти, предпочитаемая форма восприятия учебного материала

форме, причем на последнем этапе работы над задачей полезна работа по переводу условия задачи в другую форму. Формы представления условий последующих задач, для решения которых наряду с изученной теоремой применяются и другие математические факты, чередуются.

5.2. Математические задачи как средство учета и формирования индивидуальных особенностей обучающихся

Математические задачи и их серии играют ведущую роль в формировании приемов мыслительной деятельности, качеств мышления, типов и видов мышления, в формировании аналитико-синтетического типа восприятия, умения воспринимать и представлять информацию в различных формах, в формировании свойств памяти.

В зависимости от роли задач в дифференцированном обучении их можно разделить на три группы. Первую группу составляют задачи и их серии, ориентированные на целенаправленную работу по формированию определенных свойств. Например, задачи, целью решения которых является формирование аналитико-синтетического типа восприятия, задачи, на формирование умений анализировать, сравнивать, обобщать, т.е. задачи, направленные на формирование приемов мыслительной деятельности; задачи, направленные на формирование умений по переводу информации из одной формы представления в другую, задачи, ориентированные на формирование таких качеств мышления, как критичность, гибкость и т.д.

Вторую группу составляют задачи, при решении которых, в основном, преобладают процессы учета индивидуальных особенностей учащихся.

Третью группу отличает сочетание обоих процессов: и учета, и формирования свойств, представляющих индивидуальные особенности учащихся.

Выясним возможности учета и формирования индивидуальных особенностей учащихся на различных этапах решения математических задач.

Этап анализа состава задачи.

При аналитико-синтетическом типе восприятия, умении работать с информацией в той форме, в которой представлено условие задачи, - самостоятельная работа учащихся. При затруднениях, связанных с формой представления условия задачи, - помощь со стороны учителя, выражающаяся либо в предъявлении соответствующего чертежа (рисунка), либо его отдельных фрагментов, либо в указаниях по построению чертежа. В случае неполноты образа понятия, о котором идет речь в задаче, необходимы указания о рассмотрении всех возможных ситуаций, случаев, свойств.

В случае аналитического типа восприятия необходимы указания, подсказки, помогающие ученику связать свойства объекта в единое целое, т.е. в целом охарактеризовать объект, определить его вид, принадлежность тому или иному классу.

При синтетическом типе восприятия необходимы указания, помогающие ученику увидеть все необходимые свойства объекта, о котором идет речь в задаче.

При смешанном типе восприятия анализ состава задачи учащиеся либо проводят самостоятельно, но по плану, составленному учителем или вместе с учителем, либо работают совместно с учителем под его руководством.

Поиск способа решения задачи.

Работа осуществляется также как при поиске способа доказательства теоремы.

Оформление решения задачи.

Имеется возможность формировать критичность мышления за счет использования различных видов проверок, видов самоконтроля и взаимоконтроля.

Анализ решения задачи.

На этом этапе имеется возможность по формированию:

- умений переводить информацию из одной формы представления в другую;

- гибкости мышления (поиск других способов решения; выбор рациональных способов, составление обратных задач, составление задач, требующих применения данного способа решения, и т.д.);

- критичности мышления (составление и решение задач, аналогичной данной, но с недостающими или лишними данными, с противоречащими данными, поиск ошибок в другом варианте решения и т.д.);

- умений обобщать за счет анализа математической модели, имеющейся в задаче, приемов, используемых для решения, составления и решения других задач, требующих применения данных приемов.

Предметные индивидуальные особенности учащихся при решении математических задач

Учебные действия

Индивидуальные особенности

1. Анализ состава задачи

2. Поиск решения задачи

3. Оформление решения

4. Анализ проведенного решения

Сформированность аналитико-синтетической деятельности, тип восприятия, полнота образа, предпочитаемая форма восприятия учебного материала

Сформированность аналитико-синтетической деятельности, гибкость мышления, сформированность приемов сравнения, аналогии, механизмов воображения

Вид памяти, критичность мышления Вид памяти, тип памяти, гибкость мышления, сформированность приемов анализа, сравнения, аналогии, обобщения, предпочитаемая форма восприятия учебного материала, тип памяти

5.2. Методика изучения правил и алгоритмов при дифференцированном подходе к учащимся.

На этапе мотивации в первую очередь подлежат учету направленность и характер познавательных интересов учащихся, а также тип мышления. С ориентацией на эти свойства формулируются задачи, создающие проблемную ситуацию, приводящие к необходимости открытия нового или более рационального способа действий.

На этапе подготовки к введению алгоритма необходимо на основе анализа нескольких или одного частного случая выявить общий способ решения задач определенного типа. Очевидно, что успешность учебной деятельности учащихся на этом этапе определяется теми же их индивидуальными особенностями, что и на этапе подготовки к введению определения и этапе раскрытия содержания теоремы. Это в первую очередь сформированность аналитико-синтетической деятельности восприятия и мышления, преобладающий тип и вид мышления, сформированность приемов сравнения абстрагирования, обобщения.

При формулировке алгоритма необходимо опираться на сформированность аналитико-синтетической деятельности мышления и преобладающую форму восприятия информации, в которой желательно представить изучаемое правило или алгоритм.

Этап усвоения алгоритма осуществляется в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий. На количество задач, решаемых на материализованном этапе, влияет скорость запоминания. Условия задач, направленных на усвоение алгоритма, должны быть такими, чтобы они способствовали формированию обобщенного, полного образа. Объекты, выполнение действий с которыми осуществляется на основе алгоритма, должны быть максимально разнообразными: величины, характеризующие их, должны принимать различные значения (целые, дробные, положительные, отрицательные, иррациональные), выражения, участвующие в алгоритме должны быть разнообразны как по структуре, так и по используемым обозначениям...

На этапе применения алгоритма сложность предлагаемых для самостоятельного решения задач определяется сформированностью аналитико-синтетической деятельности мышления, его гибкостью, усвоением соответствующего опорного материала, прочностью запоминания.

Предметные индивидуальные особенности учащихся при изучении алгоритмов

Учебные действия

Индивидуальные особенности

1. Открытие алгоритма

2. Формулировка алгоритма

3. Применение алгоритма для осуществления действия над конкретными объектами

4. Распознавание ситуаций, требующих применение алгоритма

Тип мышления, вид мышления, сформированность приемов мыслительной деятельности (анализа, синтеза, сравнения, обобщения) и глубины мышления Сформированность аналитико-синтетической деятельности, тип памяти, вид памяти, предпочитаемая форма восприятия учебного материала Скорость запоминания, вид памяти, сформированность аналитико-синтетической деятельности

Сформированность аналитико-синтетической деятельности, сформированность приемов сравнения, аналогии

§ 6. УРОК МАТЕМАТИКИ В УСЛОВИЯХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ

6.1. Учет индивидуальных особенностей учащихся при моделировании урока математики.

Процесс моделирования любого урока математики, как правило, осуществляется в 7 этапов:

1) определение целей урока и его типа;

2) определение стратегии обучения и дидактической структуры урока;

3) отбор содержания, адекватного целям и структуре урока;

4) выбор методов, приемов и форм обучения, использование которых позволяет овладеть содержанием и достичь целей урока;

5) конструирование методической подструктуры урока;

6) моделирование элементов методической подструктуры урока;

7) деление учащихся класса на типологические группы в соответствии с их индивидуальными особенностями, являющимися ведущими для различных этапов урока.

Выясним, какие индивидуальные особенности учащихся и каким образом могут и должны быть учтены при реализации каждого из этапов моделирования урока.

При определении целей урока индивидуальные особенности учащихся влияют как на постановку его образовательных, так и развивающих и воспитательных целей. В зависимости от степени овладения ранее изученным материалом, полноты сформированных образов, их обобщенности в образовательные цели включается или нет цель, связанная с коррекцией сформированных ранее знаний.

Анализ подлежащего усвоению математического содержания позволяет сформулировать развивающие цели, которые также должны быть соотнесены с индивидуальными особенностями учеников. В зависимости от психологической характеристики класса эти цели могут быть либо одинаковыми для всех, либо варьироваться в зависимости от степени овладения учащимися приемами мыслительной деятельности, преобладающего типа восприятия, сформированности качеств мышления и т.д.

Соотнесение содержания изучаемого материала с познавательными интересами учащихся класса, особенностями межличностных отношений между ними влияет на формулировку воспитательных целей урока.

Таким образом, реализация первого этапа процесса моделирования урока математики (формулировка целей урока) предполагает

а) соотнесение изучаемого учебного содержания с уровнем усвоения (полнотой, обобщенностью) учащимися опорного материала с целью формулировки как общих, так и индивидуальных образовательных целей урока;

б) анализ содержания с целью формулировки развивающих целей и их уточнение на основе психологической характеристики учащихся класса;

в) анализ учебного содержания с точки зрения возможностей учета и формирования познавательного интереса учащихся;

г) выявление возможностей учета межличностных отношений между учащимися при реализации образовательных целей урока.

Второй этап моделирования урока предполагает определение стратегии обучения, в соответствии с которой конструируется дидактическая структура урока. Изучение нового материала (восприятие, осмысление и овладение им) может осуществляться двумя способами. Первый способ предполагает сначала введение крупного блока новой информации, а затем его закрепление. При втором способе идет порционное ознакомление с новой информацией с последующим ее закреплением. Выбор стратегии обучения, являющейся оптимальной для учеников, определяется в первую очередь их работоспособностью и объемом памяти. В случае высоких показателей обоих свойств целесообразно изучение материала крупным блоком, при низкой работоспособности - порционно, при высокой работоспособности и низком объеме памяти необходимо искусственно уменьшить количество единиц информации, подлежащих восприятию, осмыслению и запоминанию. Для этого воспринимаемую информацию надо предварительно проструктурировать, установить логические связи между элементами знаний. В этом случае также уместно использование приемов мнемоники. Стратегия обучения определяет в свою очередь дидактическую структуру урока (количество и последовательность этапов ФНЗиСД и ФУН).

Таким образом, при моделировании дидактической структуры урока необходим учет работоспособности и объема памяти учащихся.

На третьем этапе моделирования урока (определение содержания, адекватного целям урока) выявляется 1) объем теоретических сведений, ознакомлению и усвоению с которыми посвящен урок, 2) типы и виды задач, обучение решению которых должно осуществляться на уроке. В зависимости от направленности познавательного интереса учащихся возможно повышение объема теоретических сведений по теме. Сформированность приемов мыслительной деятельности, логического мышления позволяют повысить уровень строгости изложения материала для отдельных учащихся. Направленность познавательного интереса на практическую значимость математики предполагает рассмотрение более широкого класса практических приложений изучаемой теории.

Итак, при определении содержания, адекватного целям урока, необходим учет направленности познавательного интереса учащихся, сформированности у них логического мышления, приемов мыслительной деятельности.

Выбор методов обучения, форм организации учебной деятельности, являющихся оптимальными для достижения каждым учеником целей обучения, должен осуществляться на основе учета как особенностей содержания (его сложности, новизны, значимости),

так и учета многих индивидуальных особенностей учащихся. Выбор устного, письменного или практического метода определяется типом памяти ученика (слуховой, зрительный, моторный). Выбор метода с точки зрения самостоятельности учащихся зависит в первую очередь от сформированности у них аналитико-синтетической деятельности мышления. Определение оптимальной формы работы (индивидуальной, фронтальной, групповой) в большой степени зависит от лабильности нервной системы и работоспособности.

На этапе конструирования методической подструктуры осуществляется синтез результатов, полученных на предыдущих этапах процесса моделирования урока. Здесь учитываются стратегии обучения, оптимальные для различных групп учащихся, методы и приемы обучения, адекватные индивидуальным особенностям учащихся, темп работы учеников, связанный со свойством лабильности нервной системы, возможности овладения учащимися опорным материалом. На этом этапе должна быть установлена связь, в том числе временная, между работой отдельных групп учащихся на всех этапах урока; выявлены особенности деятельности учителя, его роль и участие в работе, выполняемой различными учениками.

Таким образом, на данном этапе моделирования урока должны быть построены:

- модели деятельности всех микрогрупп, созданных на основе учета ведущих индивидуальных особенностей для всех этапов урока,

- обобщенная модель учебной деятельности всего класса, включающая модели деятельности всех микрогрупп и учителя.

Реализация этапа моделирования элементов методической подструктуры предполагает:

1) конструирование учебных материалов, необходимых для подготовки к восприятию материала урока. При их создании необходимо учесть обобщенность изученного материала, полноту образов, уровень усвоения опорного материала, характер и направленность познавательных интересов учащихся.

2) конструирование учебных материалов, необходимых для восприятия и осмысления нового материала. Они в первую очередь должны быть адекватны таким индивидуальным особенностям учащимся, как сформированность аналитико-синтетической деятельности восприятия и мышления, тип и вид мышления, предпочитаемая форма восприятия информации, тип памяти;

3) установление оптимального количества и последовательности задач, необходимых для овладения учащимися новым материалом, в соответствии со скоростью запоминания, лабильностью нервной системы, работоспособностью учащихся;

4) конструирование задач, необходимых для овладения учебным содержанием, на основе направленности и характера познавательных интересов учащихся, предпочитаемой формы восприятия информации, сформированности аналитико-синтетической деятельности мышления;

5) конструирование средств оказания учащимся помощи при решении задач в соответствии с преобладающими типом восприятия, формой восприятия, уровнем сформированности приемов мыслительной деятельности, гибкости, критичности, широты мышления;

На последнем этапе моделирования урока на основе психологической характеристики учащихся класса, для различных этапов урока в соответствии с ведущими индивидуальными особенностями учащихся формируются типологические группы. Здесь же необходимо выявить учащихся, а) привлекаемых к устному опросу в начале урока; б) для которых целесообразна письменная форма проверки знаний и умений; в) привлекаемых к опросу по вновь изученному материалу, г) которые могут быть объединены в одну группу в силу межличностных отношений между ними.

Итак, на всех этапах моделирования дифференцированного урока математики необходим учет индивидуальных особенностей учащихся.

6.2. Формирование и учет индивидуальных особенностей обучающихся на различных этапах урока математики.

Дидактическая структура современного урока математики включает три этапа: A3, ФНЗиСД, ФУН. Выясним возможности учета и формирования индивидуальных особенностей учащихся, исходя из назначения и сущности каждого из этапов.

Целью этапа A3 является подготовка к восприятию материала урока. Исходя из этого, на данном этапе необходимо повторить опорный материал, показать необходимость и значимость рассматриваемого на уроке материала, осуществить контроль усвоения опорных знаний и осуществить при необходимости коррекцию уровня их усвоения. В соответствии с данными методическими задачами, здесь в первую очередь необходимо учесть прочность запоминания, полноту образа опорного понятия, обобщенность опорных знаний, уровень их усвоения. При выявлении уровня усвоения опорных знаний, выборе форм контроля и его осуществлении необходим учет таких свойств, как лабильность нервной системы, переключение внимания.

На этапе ФНЗиСД, целью которого является восприятие и осмысление нового материала, работа осуществляется в соответствии с этапами работы над компонентами содержания школьного курса математики. Следовательно, подлежат учету в первую очередь те индивидуальные особенности, которые выделены в качестве приоритетных и ведущих для разных этапов работы с компонентами содержания школьного курса математики. Кроме того, при организации этапа полезен учет устойчивости внимания, работоспособности учащихся, межличностных отношений между ними. Это позволит правильно распределить задания между учениками при кооперированно-групповой форме работы, установить соответствие между сложностью рассматриваемого материала и фрагментами урока, когда работоспособность учеников растет, максимальна, падает. Учет особенностей межличностных отношений позволит создать "спокойные" и максимально активные группы.

При подборе и конструировании заданий, выполнение которых направлено на "открытие" новых знаний и способов действий, необходимо, с одной стороны, руководствоваться имеющимся уровнем сформированности мыслительных операций, а, с другой стороны, составлять их так, чтобы при их выполнении шел процесс формирования соответствующих свойств. При изучении нового материала необходимо, опираясь на имеющийся уровень объема памяти учеников, проводить работу, направленную на его повышение (за счет установления логических связей, составления обобщающих таблиц, схем).

На этапе ФУН, целью которого является приобретение опыта применения теоретических знаний к решению математических задач, решаются следующие методические задачи: 1) формирование умений по решению стандартных задач, 2) формирование умений по решению нестандартных задач; 3) формирование умений по решению прикладных задач и задач с практическим содержанием; 4) проверка и контроль усвоения знаний и умений; 5) коррекция знаний и умений учащихся.

При решении всех этих задач должны быть учтены особенности, характерные для организации учебной деятельности по решению математических задач, а также особенности, связанные с работоспособностью учащихся, свойствами нервной системы, направленностью познавательных интересов. Учащимся с пониженной работоспособностью не рекомендуется в конце работы предлагать для решения наиболее сложные задачи, тем более с целью контроля, они испытывают затруднения при решении сложных и контролирующих заданий в ограниченное время.

Лабильные (подвижные) дети испытывают затруднения при однообразной монотонной работе, поэтому задачи, предлагаемые им, должны быть разнообразны как по фабуле, так и по используемым способам решения. Большое количество однотипных задач, в решении которых используются однотипные преобразования, понижает интерес и активность таких детей. Инертные дети склонны к однообразной монотонной работе, поэтому при кооперированно-групповой форме работы им имеет смысл предлагать для решения задачи, требующие большого количества преобразований. Таким детям не рекомендуется частая смена заданий, им по сравнению с лабильными требуется большее количество времени на выполнение всех видов заданий, в том числе и решение задач.

Формированию познавательного интереса к математике способствуют либо задачи, фабула которых соответствует склонностям (прикладным, практическим, гуманитарным и т.д.) ученика, либо задачи, имеющие оригинальное решение, либо задачи занимательного содержания.

При организации учебной деятельности на этом этапе имеются большие возможности по формированию свойств учащихся, являющихся их индивидуальными особенностями. Это возможно, т.к. по мнению психологов при изучении нового материала надо опираться на имеющиеся особенности ученика, а при его закреплении - формировать не достаточно развитые.

Таким образом, на этапе ФУН необходимо:

1) решать задачи, условия которых представлены в различной форме (словесной, наглядной);

2) выполнять задания на перевод информации из одной формы представления информации в другую;

3) выполнять задания, направленные на формирование приемов мыслительной деятельности, качеств мышления;

4) выполнять задания, направленные на формирование различных видов и типов мышления;

5) выполнять задания, направленные на систематизацию знаний и повышение объема памяти;

6) выполнять задания, направленные на развитие различных типов и видов памяти и т.д.

ЛИТЕРАТУРА

1. Акимова М.К., Козлова В.Т. Учет психологических особенностей учащихся в процессе обучения // Вопросы психологии, 1988.-N6.- с.71-77

2. Акимова М.К., Козлова В.Т. Индивидуальность учащихся и индивидуальный подход. - М.:3нание, 1993.-N3.- 80с.

3. Актуальные вопросы формирования интереса в обучении / Под ред. Г.И.Щукиной. - М.:Просвещение, 1984.- 176с.

4. Антонова Г.П. Индивидуальные особенности мыслительной деятельности младших школьников // Вопросы психологии. - 1966.-N6.- С.52-64

5. Антонова Г.П. О соотношении индивидуальных различий в мыслительной деятельности школьников и особенностей их высшей нервной деятельности // Вопросы психологии. - 1966.- N1.-с.49-61

6. Бабанский Ю.К., Харьковская В.Ф. Проблема оптимизации процесса обучения математике//Изучение возможностей школьников в усвоении математики.Сб.научн.тр.НИИ школ. -М.,1977.-с.З-28.

7. Башмаков М.И. Уровень и профиль школьного математического образования // Математика в школе. - 1993.- N2.-С.8-9

8. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959.- 347с.

9. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. К проблеме дифференциации школьного математического образования // Математика в школе. -1988.- №2.- с.9-13.

10. Брунер Д. Психология познания. - М.: Прогресс, 1977.- 412с.

11. Васильева М.А. Структура школьного образования в Западной Германии// Советская педагогика. - 1991.-№5.- с. 130-135

12. Вейн А.М., Каменецкая Б.И. Память человека.- М.:Наука, 1973.-208с.

13. Величковский Б.М., Зинченко В.П., Лурия А.Р. Психология восприятия. - М.: Изд-во Моск.ун-та, 1973.- 246с.

14. Венгер Л.А. Восприятие и обучение.- М.:Просвещение, 1969.-365с.

15. Венгер Л.А. Об экспериментальном выявлении типов восприятия // Доклады АПН РСФСР.- М.:АПН РСФСР, 1957, выпуск 2.- с.85-89

16. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся / Под ред.И.С.Якиманской. - М.: Педагогика, 1989.-224с.

17. Возрастные и индивидуальные различия памяти/Под ред.А.А.Смирнова.-М.: Просвещение, 1967.-300с.

18. Волович М.Б. Математика без перегрузок. - М.: Педагогика, 1991.- 144с.

19. Волович М.Б. Наука обучать. Технология преподавания математики. - M.: LINKA-PRESS, 1995.- 280с.

20. Вопросы психологии памяти. - М.: Изд. АПН РСФСР, 1958.-216с.

21. Воскресенская Н.М. Дифференциация обучения в школах Англии // Советская педагогика. - 1988.- №12.- С. 118-123

22. Выготский Л.С. Педагогическая психология. - М.: Педагогика, 1991.-480с.

23. Ганзен В.А. Восприятие целостных объектов. - Л.:Изд-во ЛГУ, 1974.- 153с.

24. Гарнец О.Н. Развитие гибкости мыслительных действий у школьников: Дисс.канд.псих.наук. - Киев, 1979.- 151с.

25. Глейзер Г.Д. Методы формирования пространственных представлений взрослых в процессе изучения геометрии в школе:Дисс....докт.пед.наук.- М., 1984.- 333с.

26. Глейзер Г.Д. Проблемы индивидуализации и дифференциации обучения в вечерней школе. - М.: Изд-во АПН СССР, 1991.- 81с.

27. Говоркова А.Ф. Опыт изучения некоторых интеллектуальных умений // Вопросы психологии, 1962.- №2.- с.83-91

28. Гончаров В.С. Зависимость стратегии поиска решения от типа мышления//Вопросы психологии, 1981.-N4.-С. 132-136

29. Гончаров В.С. Типы мышления и учебная деятельность. -Свердловск: СГПИ, 1988.-72с.

30. Гончаров Н.К. Еще раз о дифференцированном обучении в старших классах общеобразовательной школы//Советская педагогика. - 1963.- №2. - с.39-50.

31. Гончаров Н.К. О введении фуркации в старших классах средней школы // Советская педагогика. - 1958.- №6.- с. 12-37

32. Гуревич К.М. Индивидуально-психологические особенности школьников. - М.: Знание, 1988.- 80с.

33. Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику? - М.: Авангард, 1994.- 168с.

34. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: Дисс....докт.пед.наук. М.,1990.-364с.

35. Гусев В.А. Методическая подготовка будущих учителей математики в педагогическом институте //Современные проблемы преподавания математики /Сост. Н.С.Антонов, В.А.Гусев.-М.:Просвещение, 1995.- с.8-10

36. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. - М.:ИНТОР, 1996.-544с.

37. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. - М.: Педагогика, 1972 .-423с.

38. Давыдов В.В. О понятии развивающего обучения. - Томск: Пеленг, 1995.- 144с.

39. Давыдов В.В. Психологическая теория учебной деятельности и методов начального обучения, основанных на содержательном обобщении. - Томск: Пеленг, 1992.- 112с.

40. Давыдов В.В., Маркова А.К. Концепция учебной деятельности школьников // Вопросы психологии, 1981.- N 6.- С. 13-26

41. Данилочкина Г.А. Индивидуализация обучения как средство развития познавательной самостоятельности учащихся (на материале преподавания математики в старших классах): Дисс... канд. пед.наук. - М.,1973.- 207с.

42. Дифференциация как система. - М,: Творческая педагогика, 1992. - 4.1. - 68с; Ч.II.-58с.

43. Дорофеев Г.Д., Кузнецова Л.В., Суворова СВ., Фирсов В.В. Дифференциация в обучении математике // Математика в школе.-1990.-№4.-С. 15-21

44. Епишева О.Б.,Крупич В.И. Учить школьников учиться математике. - М.: Просвещение, 1990.- 128с.

45. Ермакова Е.С. Развитие гибкости мыслительной деятельности детей дошкольного возраста: Дисс.канд.пед.наук.- М.,1988.- 173с.

46. Жабицкая Л.Г. Психодиагностика для учителя. - Кишинев: Лумина, 1990.- 128с.

47. Зак А.З. Развитие теоретического мышления у младших школьников. - М.: Педагогика, 1984.- 152с.

48. Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников. - М.: Просвещение: ВЛАДОС, 1994.- 320с.

49. Зак А.З. Различия в мышлении детей. - М.: Изд-во Российского открытого университета, 1992.- 128с.

50. Захарова А.В., Боцманова М.Э. Особенности рефлексии как психического новообразования в учебной деятельности // Формирование учебной деятельности школьников/Под ред. В.В.Давыдова, И.Ломпшера, А.К.Марковой. - М.: Педагогика, 1982.- с.152-163

51. Иванович К.А., Эпштейн Д.А. Дифференциация профессиональной подготовки учащихся средних общеобразовательных школ по научно-техническим направлениям//Основные направления производственного обучения в средней школе. - 2-е изд., перер. и дополн. - М.: АПН РСФСР,1963.- с.5-19.

52. Избранные лекции по методике преподавания математики. -М.: Прометей, 1993.- 117с.

53. Изюмова С.А. Природа мнемических способностей и дифференциация обучения. - М.: Наука, 1995.- 382с.

54. Изюмова С.А. Мнемические способности усвоения знаний в школе // Вопросы психологии, 1986.- N3.- с.53-63.

55. Индивидуализация и дифференциация обучения в вечерней школе / Под ред. Г.Д.Глейзера. - М.: Просвещение, 1985.- 143с.

56. Кабанова-Меллер Е.Н. О способах переноса приемов умственной деятельности // Новые исследования в психологии и возрастной физиологии. - М.: Педагогика, 1970.- №1.- с.41-44

57. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. - М.: Просвещение, 1968.-288с.

58. Калмыкова З.И. Проблема преодоления неуспеваемости глазами психолога. - М.: Знание, 1982.- 96с.

59. Калмыкова З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. - М.: Педагогика, 1982.- 200с.

60. Каплунович И.Я. О структуре пространственного мышления при решении математических задач // Вопросы психологии. - 1978.-№3.-С.75-84.

61. Каплунович И.Я. Показатели развития пространственного мышления школьников // Вопросы психологии. - 1981.- N5.- с. 151 -157

62. Каптерев П.Ф. Дидактические очерки: (Теория образования). 2-е изд.- Пг., 1915.-434с.

63. Клаусс Г. Введение в дифференциальную психологию учения: Пер.с нем./ Под ред. И.В.Равич-Щербо. - М.: Педагогика, 1987. -176с.

64. Клацки Р. Память человека: структура и процессы. - М.: Мир, 1975.-319с.

65. Колишев Н.С. Индивидуально-дифференцированный подход в процессе обучения старшеклассников. - Тула, 1993.- 216с.

66. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Часть 1.- М.: Просвещение, 1977. - 110с.

67. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. - М.: Просвещение, 1968.- 432с.

68. Кузьмичева Н.И. Дифференцированный подход к учащимся в процессе обучения математике в средних профтехучилищах. - М.: Высшая школа, 1980.-60с.

69. Лебедев В.П., Орлов В.А., Панов В.И. Практико-ориентированные подходы к развивающему образованию // Педагогика. - 1996.- №5.- с.24-26

70. Маркова А.К., Матис Т.А., Орлов А.Б. Формирование мотивации учения. - М.: Просвещение, 1980.- 192с.

71. Мельников М.А. Опыт дифференцированного обучения в советской средней школе // Советская педагогика. - 1962.- №9.-с.98-109

72. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника: Избранные психологические труды. - М.: Педагогика, 1989.-224с.

73. Метельский Н.В. Реализм - основа перестройки школьного математического образования // Математика в школе. - 1989.- №3.-с.23-30

74. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / Сост. Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. - М.: Просвещение, 1985.- 336с.

75. Монахов В.М., Орлов В.А., Фирсов В.В. Дифференциация обучения в средней школе // Советская педагогика. - 1990.- №8.-с.42-47

76. Невельский Б.П. Объем памяти и количество информации // Вопросы психологии, 1965.-№4.- с.85-97

77. Немов Р.С. Психология. Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений. В 3 книгах. Кн.1.- 2-ое изд-е.-М.: Просвещение; Владос, 1995.-576с.

78. Общая психология: Уч.пособие для ст-тов пед.инст-тов / Под ред. В.В.Богословского и др. - М.: Просвещение, 1981. -383с.

79. Огурцов Н.Г., Бунтовская Т.М. Дифференцированное обучение в школе: опыт, проблемы, перспективы. - Минск: Знание, 1970.-22с.

80. Оконь В. Введение в общую дидактику: Пер. с польск. Л.Г.Кашкуревича, Н.Г.Горина. - М.:Высшая школа, 1990. -382с.

81. Осинская В.Н. Формирование у старшеклассников приемов умственной деятельности в процессе обучения математике: Автореф.дисс.канд.пед.наук. - Киев, 1979.- 24с.

82. Осинская В.Н. Формирование умственной культуры в процессе обучения математике. - Киев: Радянска школа, 1989.- 192с.

83. Осмоловская И.М. Организация дифференцированного обучения в современной общеобразовательной школе. - М.: Изд-во "Институт практической психологии"; Воронеж: Изд-во НПО "МОДЭК", 1998.- 160с.

84. Паламарчук В.Ф. Школа учит мыслить.- М.:Просвещение, 1987.-208с.

85. Паламарчук В.Ф. Дидактические основы формирования мышления учащихся в процессе обучения: Дисс....докт.пед.наук.-Киев, 1983.-392с.

86. Педагогика школы /Под ред.Г.И.Щукиной.- М.: Просвещение, 1977.-384с.

87. Педагогическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия. -Т.1.- 1964.- 832с, Т.2.- 1965.- 912с.

88. Педагогический словарь. Т.1.- М.: Изд-во АПН РСФСР, 1960. - 774с.

89. Петухов В.В. Психология мышления: Учебно-методическое пособие. - М.: Изд-во Моск.ун-та, 1987.- 90с.

90. Платонов К.К. Структура и развитие личности. - М.: Наука, 1986.-255С.

91. Подгорецкая Н.А. Изучение приемов логического мышления у взрослых. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.- 150с.

92. Поддьяков Н.Н. Мышление дошкольника. - М.: Педагогика .-272с.

93. Познавательные процессы и способности в обучении: Учеб.пособие для студентов пед.институтов/ Под ред. В.Д.Шадрикова.-М.: Просвещение, 1990.- 142с.

94. Поспелов Н.Н., Поспелов И.Н. Формирование мыслительных операций у старшеклассников. - М.: Педагогика, 1989.- 152с.

95. Практикум по методике преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов /Под ред.В.И.Мишина. - М.: Просвещение, 1993.- 192с.

96. Психологический словарь / Под ред. В.В.Давыдова, А.В.Запорожца, Б.В.Ломова и др. - М.: Педагогика, 1983.- 448с.

97. Психолого-педагогические основы обучения математике в средней школе. Часть 1.- М.: Прометей, 1992.- 112с.

98. Пугач Ю.К. Развитие памяти. Система приемов. Часть I.-Минск: РИФ "Сказ", 1995.- 96с.

99. Рабунский Е.С. Индивидуальный подход в процессе обучения школьников. - М.:Педагогика, 1975.- 184с.

100.Развитие логической памяти у детей / Под ред. А.А.Смирнова. -М.: Педагогика, 1976.-256с.

101.Развитие психофизиологических функций взрослых людей/Под ред. Ананьева Б.Г., Степановой Е.И.- М.: Педагогика, 1972. -248с.

102.Ремизова Н.И. Дифференциация обучения в средней школе Франции // Советская педагогика. - 1988.- №6.- с. 129-135

103.Репкина Г.В., Заика Е.В. Оценка уровня сформированности учебной деятельности. - Томск: Пеленг, 1993.- 63с.

104.Рогановский Н. Дифференцированное обучение - как его осуществить? // Народное образование. - 1991.- №3.- с.41-43

105.Рожкина Л.Н. Память и ее воспитание у школьников // Актуальные вопросы дифференцированного обучения. - Минск: Народна асвета, 1992.- с.38-64

106.Рубинштейн С.Л. Избранные философско-психологические труды. Основы онтологии, логики и психологии. - М.: Наука, 1997.-463с.

107.Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии. - Спб: Питер Ком, 1998.- 688с.

108.Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии. В 2т. T.I.- М.: Педагогика, 1989.-488с.

109.Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. - М.: Просвещение, 1995.-240с.

1 Ю.Саранцев Г.И. Формирование математических понятий в средней школе//Математика в школе. - 1988.- №6.- с.27-30 111.Саранцев Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях //Математика в школе. - 1999.- №6.- с.36-41 112.Связь обучения с трудом в средней школе с дифференцированным обучением / Под ред.М.А.Мельникова. - М.: АПН РСФСР, 1962.-44с.

113.Селевко Г.К. Современные образовательные технологии Учебное пособие. - М.: Народное образование, 1998.- 256с.

114.Смирнов А.А. Избранные психологические труды. В 2-х томах. T.I.- М.: Педагогика, 1987.- 172с.

115.Стрезиткозин В.П. Актуальные вопросы дальнейшего совершенствования урока. - М.: ИУУ,ГорОНО, 1966.- 19с.

116.Таточенко В.И. Методика формирования у учащихся 6-8 классов приемов умственной деятельности при обучении математике: Дисс....канд. пед.наук. - Киев, 1989.- 179с.

117.Теплов Б.М., Небылицын В.Д. Изучение основных свойств нервной системы и их значение для психологии индивидуальных различий//Вопросы психологии. - 1963.- №5.- с.38-47

118.Унт И.Э. Индивидуализация и дифференциация обучения. - М.:Педагогика, 1990.- 192с.

119.Утеева Р.А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе: Дисс. ... доктора.пед.наук. - М.,1998.-351с.

120.Фарков А.В. Методика выявления основных показателей обучаемости учащихся на уроках геометрии в основной школе: Дисс.канд.пед.наук. - М.,1994.- 235с.

121.Цукарь А.Я. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием образного мышления: Дисс....докт.пед.наук.- Новосибирск, 1999.-430с.

122.Шадриков В.Д. Психология учебной и трудовой деятельности.-Ярославль:ЯГПИ, 1985.- 159с.

123.Шардаков М.Н. Мышление школьника. - M.: Учпедгиз, 1963.-255с.

124.Шахмаев Н.М. Дифференциация обучения в средней общеобразовательной школе//Дидактика средней школы.-М.Просвещение, 1982. - С.269-286.

125.Щукина Г.И. Проблема познавательного интереса в педагогике. - М: Педагогика, 1971.- 352с.

126.Эльконин Д.Б. Избранные психологические труды. - М.: Педагогика, 1989.- 560с.

127.Эльконин Д.Б. Психологические вопросы формирования учебной деятельности в младшем школьном возрасте // Вопросы психологии обучения и воспитания/Под ред. Костюка Г.С, Чаматы П.Р..- Киев, 1961.- с.12-13

128.Якиманская И.С.Личностно-ориентированное обучение в современной школе. - М., 1996.- 95с.

129.Якиманская И.С. Основные направления исследований образного мышления // Вопросы психологии, 1985.- №5.- с.5-16 130.Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. - М.: Педагогика, 1980.- 240с.

131.Якиманская И.С. Требования к учебным программам, ориентированным на развитие // Вопросы психологии.-1994.-№2.-с.64-77

132.Henry M. Didactique des mathématiques.- BesancomIREM, 1991.-90p.

133.Le system éducatif en France et son administration.-Paris: CTF, 1993.- 130p.

134.Miller G.A. The magical number seven, plus or minus two//Psichol. rev., 1956.-№63.- p.77-89

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ........................................................................3

§1.ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ................................3

§2.УЧЕБНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ И ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ УЧАЩИХСЯ......................................................................18

§3.ПРЕДМЕТНО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ УЧАЩИХСЯ: ВОЗМОЖНОСТИ УЧЕТА И ФОРМИРОВАНИЯ.............................................................29

§4.ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЙ ПОДХОД К УЧАЩИМСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ОПРЕДЕЛЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ.........................................................................68

§5.ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЙ ПОДХОД К УЧАЩИМСЯ ПРИ ОВЛАДЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ УТВЕРЖДЕНИЯМИ.....77

§6.УРОК МАТЕМАТИКИ В УСЛОВИЯХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ............................85

ЛИТЕРАТУРА....................................................................92

Учебное пособие

Дробышева И.В.

Дифференцированное обучение математике

Издательство КГПУ им.К.Э.Циолковского Подписано в печать 25.11.2009. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л.6,5. Тираж 250экз. Зак № 140.

Отпечатано «Наша Полиграфия», г.Калуга, Грабцевское шоссе, 126.