НАУКА ДЛЯ КАЖДОГО

Г.В. Дорофеев

МАТЕМАТИКА ДЛЯ КАЖДОГО

Г.В. Дорофеев

МАТЕМАТИКА ДЛЯ КАЖДОГО

ИЗДАТЕЛЬСТВО АЯКС

УДК 51 (0.062) ББК 22.1я9 Д69

Серия «Наука для каждого» основана в 1999 году.

Дорофеев Г. В.

Д69 Математика для каждого. - Предисловие Кудрявцева Л. Д. - М.: Аякс, 1999. - 292 с. (Наука для каждого).

В книге собраны и систематизированы работы известного математика и методиста Г.В. Дорофеева, посвященные проблемам преподавания математики.

Пафос книги - в гуманитарной ориентации преподавания математики и в максимальном приближении этого ремесла к потребностям ученика и здравому смыслу.

УДК 51 (0.062) ББК 22.1я9

ISBN 5-8293-0013-3

©Дорофеев Г. В., 1999

© Оформление «Аякс», 1999

ПРЕДИСЛОВИЕ

Имя автора настоящей книги, составленной из его статей, вышедших в различных изданиях, хорошо известно уже нескольким поколениям наших соотечественников. С середины 60-х гг. звучит сложное имя Дорофеев-Потапов-Розов, знакомое практически каждому, кому довелось в соответствующее время сдавать вступительный экзамен по математике в вуз, используя пособие для поступающих этих авторов -Г. В. Дорофеева, М. К. Потапова, Н. Х. Розова.

Данное пособие резко выделилось в свое время из аналогичных материалов благодаря новому литературному стилю в жанре, нарушившему соответствующие традиции

математической литературы для школьников. Авторы разговаривают с абитуриентом живым, а не строгим и казенным математическим языком, не как требовательные математики с высот своей «священной науки», но как старшие, имеющие единственной целью помочь читателю ощутить себя внутри математики самостоятельной личностью - преодолеть «страх» перед трудным, увидеть подводные камни в простом, научить видеть и воспринимать математику не совсем так, как он ее видел в школе. А главное - авторы учат читателей думать, что вовсе не характерно для массового обучения математике в школе.

Именно в это время у автора настоящей книги, скорее всего, и стало складываться представление о «математике для каждого», давшее название настоящей книге. Конечно, математика нужна всем: все мы ходим в магазин и следим за процентом инфляции, - но математика каждому нужна своя, и если не совсем уж своя, то определенно по-своему, что совершенно не учитывалось в единой советской школе.

Подтверждением этой мысли может явиться помещенная в настоящей книге статья о комплексных числах, где главной является мысль, что изучать комплексные числа в школе целесообразно не столько для расширения знаний будущих математиков и инженеров, которые будут применять эту теорию для строительства плотин и самолетов, сколько именно для демонстрации каждому, какие странные, удивительные, но одновременно красивые и полезные понятия и теории созданы в математике за тысячи лет.

И даже абитуриенты, казалось бы, имеющие одну и ту же задачу - сдать экзамен по математике по одной и той же программе, нуждались в отношении математики в действительности каждый в чем-то своем, чем и определился, скорее всего, массовый успех этого пособия трех авторов-единомышленников.

Эти идеи уже явным образом реализовались в новой концепции школьного математического образования, стержнем которой стала гуманитарная ориентация обучения, направленность обучения математике на формирование интеллектуально развитой личности. Математика нужна каждому не потому, что она «царица наук» и не «служанка физики» (я, каждый, наукой вообще не собираюсь заниматься), не «язык науки» (пусть ученые говорят на своем языке - это меня, каждого, просто не касается). Она нужна каждому потому, что она «ум в порядок приводит».

Именно этой общеизвестной мысли, идущей по крайней мере от М. В. Ломоносова, фактически разделяемой многими учеными, писателями, философами, и следует гуманитарная ориентация обучения математике, выдвинутая и разрабатываемая автором в последнее десятилетие, что, в преломлении к практике современной российской школы, и отражено в первых двух разделах настоящей книги.

В третьем и четвертом разделах книги читатель ознакомится с постановкой и анализом проблем языка и логики, некоторых основных понятий и методических подходов, существующих или существовавших в соответствующее время в школьной математике: различиями между языком

математики и языком обучения математике, необходимостью следования грамматике и семантике текста задачи при рассмотрении методических проблем ее решения. Автор подробно анализирует связи между строгостью языка и строгостью логики математических рассуждений, правильность рассуждений и подробности изложения, отсутствие дидактической необходимости точных определений многих математических понятий и необходимости буквального следования определениям, если они есть, и т.п.

Особо отметим начинающую четвертый раздел статью «Понятие функции в математике и в школе», опубликованную в 1978 г., которая оказалась первой идущей против течения, вне модных исследований «во славу" так называемой модернизации школьного курса математики, проходившей в этот период в мировой школе обучения математике и связанной с именем Н. Бурбаки и впоследствии расцененной как «ошибка века».

Нельзя не подчеркнуть главное: анализ соответствующих проблем проводится автором не с точки зрения научной логики или лингвистики, хотя в процессе анализа конкретных проблем он, естественно, строго следует соответствующим законам, но под четко выраженным методическим углом зрения. Можно сказать, что и здесь проявляется целевая установка автора - служить не науке, а людям.

Большая часть статей пятого раздела - это, по существу, отдельные небольшие этюды, написанные для старшеклассников и поступающих в вузы. Исключение составляет фундаментальная статья о применении производных в школьном курсе математики, которая убедительно показывает «каждому», что знание соответствующей темы может оказаться полезным именно ему самому, для решения его собственных учебных проблем, внешне вовсе не связанных с производными.

Собирая эту книгу, мы не ставили задачи представить все труды автора, который известен и как профессиональный математик-алгебраист, и как лингвист-семантик, и как автор учебников для средней школы. Мы уверены, что работы Г.В. Дорофеева будут интересны достаточно широкому кругу читателей - не только школьным учителям и родителям, но и всем тем, кто до сих пор вспоминает уроки математики с содроганием, и кто хочет узнать, в каком направлении реформируется школьная математика, как она поворачивается лицом к ученику, выдвигая тезис «не ученик для математики, но математика для ученика», и вообще, «не математическое образование, а образование с помощью математики».

Именно этим школьная математика может оправдать столь высокое положение, которое она занимает в среднем образовании. Поэтому работы Г.В. Дорофеева значимы не только, да и не столько в узком "школьно-математическом, но и в более широком общекультурном подтексте, и мы хотели прежде всего зафиксировать этот «общекультурный вклад» в обучение математике в школе, а значит и в развитие нашего общества.

Член-корреспондент РАН доктор физико-математических наук, профессор Л. Д. Кудрявцев

РАЗДЕЛ 1

ГУМАНИТАРНАЯ ОРИЕНТАЦИЯ ШКОЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ: ОСНОВЫ КОНЦЕПЦИИ

Основной задачей перестройки школьного образования на современном этапе развития общества представляется переориентация методической системы обучения на приоритет развивающей функции обучения.

О приоритете развивающей функции обучения математике в школе

Гуманитаризация и дифференциация как важнейшие механизмы реализации развивающей функции обучения математике

Общие цели гуманитарно ориентированного обучения математике в школе

Структура и этапные цели гуманитарно ориентированного курса математики

Отбор содержания гуманитарно ориентированного курса математики

Математика в системе школьных предметов

Гуманитарно ориентированный курс математики и федеральный общеобразовательный стандарт математического образования

РАЗДЕЛ 1. ГУМАНИТАРНАЯ ОРИЕНТАЦИЯ ШКОЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ: ОСНОВЫ КОНЦЕПЦИИ

На рубеже веков, естественно, возрастает интерес к тем тенденциям и явлениям общественной жизни, которые предопределяют основные перспективы развития страны, ее народа, человеческой цивилизации в целом. Именно к такого рода общественным явлениям относится система математического образования, оказывающая огромное влияние на формирование интеллектуального потенциала подрастающего поколения, а следовательно, и будущего общества.

Совершенствование системы образования вообще и математического образования в частности — это непрерывный процесс, который с течением времени может развиваться с разной степенью глубины и интенсивности. И хотя образовательные доктрины сменяют друг друга весьма медленно, в истории математики как учебного предмета или педагогической науки в целом можно выделить несколько переломных этапов, по существу, эпохального характера, на которых реформистские течения и идеи приводили к кардинальным изменениям в структуре мировоззренческих позиций педагога как в плане нового понимания ценностных оснований образовательной парадигмы, так и в плане выявления иных приоритетов педагогической деятельности.

Например, введение арабских цифр вместо славянской нумерации оказало принципиальное воздействие на повышение математической грамотности в России, показав тем самым, что трудности в обучении этому предмету обусловлены вовсе не спецификой русской менталь-

ности, не генетической невосприимчивостью русского народа к математическим абстракциям, а скорее методическими ошибками и просчетами в постановке системы преподавания математики в русской школе тех лет. Известно также, какое большое, практически революционное значение имели труды Ф. Клейна, и в особенности его «Эрлангенская программа», которая явилась предвестником реформы математического образования начала 60-х гг.

Но справедливости ради заметим, что существенные преобразования в преподавании математики прошлых лет чаще всего касались в основном объектной стороны учебно-воспитательного процесса: содержания средств, методов обучения и т.д. Вопрос же об изменении статуса ученика в обучении вообще и в преподавании математики, в частности, вообще говоря, не ставился. В традиционной концепции математического образования господствовало видение ученика лишь как объекта образовательного процесса, а потому главным в этой парадигме было стремление «научить всех и всему». Эта призрачная цель наиболее явственно проявилась в 60—70-х гг. в лозунге: «Нет плохих учеников. Есть плохие учителя». В известном смысле этот лозунг выступил даже как лейтмотив масштабной политико-педагогической акции, связанной с переходом на новые «осовремененные» программы и учебники математики, перегруженные сведениями, лежащими далеко за пределами фактических возможностей и устремлений учащихся.

Примерно с середины 70-х гг. в педагогике математики можно констатировать появление интереса к тем аспектам учебно-воспитательного процесса, в которых на первый план выходит система ценностей индивидуального мышления. Именно в это время в методике математики стали более оживленно исследоваться гуманитарные проблемы, которые в своем развитии в 80-90-е гг. постепенно прошли эволюцию от «Математики для всех» (Г. Фройденталь) до «Математики для каждого».

Эта переориентация обусловила в 70—80-е гг. нашего столетия постановку таких психолого-педагогических проблем, как творчество и субъектная организация процесса обучения, уровневая дифференциация и образовательные стандарты, способность ученика самостоятельно выбирать объем и уровень усвоения образовательной программы и ответственность за свой выбор.

Ориентация курса математики на личность ученика, развитие его духовной сферы позволили создать ряд новых проектов, программ и педагогических концепций, в которых были обозначены такие нетрадиционные для педагогики проблемы, как «целеполагание», «гумани-

тарный потенциал математических знаний», «ориентиры математической культуры», «ментальность», «принцип культуросообразности» и др.

Появление концепций и исследований подобного рода свидетельствует о возникновении нового направления в педагогической науке, которое можно было бы назвать гуманитарно ориентированной дидактикой математики. К числу наиболее перспективных тем в этой области сейчас можно отнести такие, как формирование логико-языковой культуры школьников, использование личностно центрированного подхода в обучении математике, проблемы понимания в математике, гуманитарная подготовка учителя математики и др.

Степень интереса к этим проблемам в науке все время растет. Вопросам гуманитаризации математического образования посвящают свои труды ученые разных специальностей: философы, социологи, психологи, математики, филологи, педагоги и т.д. В настоящее время на стыке математики и гуманитарных наук рождаются новые дисциплины, имеющие своим предметом процессы общения между людьми, понимание текстов и т.д. Интенсивно ведутся исследования в области конвергенции математики и гуманитарных дисциплин.

Однако методологическая, теоретическая и прикладная разработки проблемы весьма далеки от состояния, позволяющего эффективно реализовывать идею гуманитаризации математического образования в практике работы школы.

1. О приоритете развивающей функции обучения математике в школе

Одной из основных целей учебного предмета «Математика» как компонента общего среднего образования является развитие мышления, прежде всего формирование абстрактного мышления, способности к абстрагированию и умения «работать» с абстрактными, «неосязаемыми» объектами. В процессе изучения математики в наиболее чистом виде может быть сформировано логическое (дедуктивное) мышление, алгоритмическое мышление, многие качества мышления, такие, как сила и гибкость, конструктивность и критичность и т.д.

Эти качества мышления сами по себе не связаны с каким-либо математическим содержанием и вообще с математикой, но обучение математике вносит в их формирование важную и специфическую компоненту, которая в настоящее время не может быть эффективно реализована даже всей совокупностью отдельных школьных предметов.

В то же время конкретные математические знания, лежащие за пределами, условно говоря, арифметики натуральных чисел и первичных основ геометрии, не являются «предметом первой необходимости» для подавляющего большинства людей и не могут поэтому составлять целевую основу обучения математике как предмету общего образования.

Итак, с одной стороны, изучение математики играет существенную и даже уникальную роль в развитии определенных интеллектуальных качеств личности, а с другой стороны, лишь небольшая часть математической информации, конкретных знаний имеет для человека практическое значение, поэтому главной проблемой школьного математического образования становится установление оптимального соотношения между развивающей и информационной функциями в реальном процессе обучения математике в школе.

Интеллектуальный уровень личности характеризуется в основном двумя параметрами: объемом приобретенной информации и способностью использовать эту информацию для достижения определенных целей — для решения возникающих в процессе деятельности задач, разрешения различного рода проблемных ситуаций.

Первый из этих параметров характеризует эрудицию человека, второй — его интеллектуальное развитие. Эрудиция как совокупность конкретных знаний, приобретаемых человеком в процессе обучения, представляет собой в определенном смысле его интеллектуальную «потенциальную энергию», тогда как развитие мышления создает возможность ее трансформации в необходимую для непосредственной умственной деятельности «кинетическую энергию».

Объем знаний, которые человек может усвоить в период школьного обучения, естественно, ограничен как абсолютно, так и в еще большей степени относительно: современное состояние науки и общества, динамичный научно-технический и социальный прогресс, увеличение объема новой информации по экспоненциальному закону резко сокращают долю знаний, получаемых человеком в период школьного образования по отношению к информации, необходимой ему для полноценной деятельности в изменяющемся обществе.

В этих условиях задача сообщения человеку на уровне среднего и даже высшего образования объема информации, достаточного для его будущей деятельности, оказывается нереальной. На первый план выходит задача интеллектуального развития, включающего, в частности, способность человека к усвоению новых знаний, к самостоятельному поиску и усвоению новой информации.

Высокий уровень интеллектуального развития, и прежде всего

таких его компонентов, как интеллектуальная восприимчивость, т.е. способность к усвоению новой информации, и интеллектуальная подвижность, гибкость мышления, является в современном обществе существенным условием относительно безболезненной адаптации человека к изменяющимся жизненным обстоятельствам.

Это касается равным образом ученого, сталкивающегося с лавинообразным нарастанием объема научной информации; инженера, конструирующего новые приборы, создающего технологии, которые опираются на качественно новые знания фундаментального характера; рабочего, осваивающего принципиально новые средства производства или приобретающего новую профессию; крестьянина, эффективность труда которого зависит от экономической образованности, от умения использовать современные достижения сельскохозяйственной науки и техники.

Таким образом, основной задачей перестройки школьного образования на современном этапе развития общества является переориентация методической системы обучения на приоритет развивающей функции обучения по отношению к его информационной функции, перенос акцентов с увеличения объема информации, предназначенной для усвоения учащимися, на формирование умений использовать информацию, т. е., в самых общих терминах, переход от экстенсивного школьного образования к интенсивному.

Традиционная ориентация школьного образования на изучение основ наук, в полной мере сохранившаяся в настоящее время в российском образовании, неизбежно предопределяет в связи со стремительным развитием науки в современном обществе экстенсивный характер школьного образования и в значительной степени перестала соответствовать потребностям общества в целом в условиях быстро развивающегося во всем мире движения за переход к полному среднему образованию.

С одной стороны, цель такой ориентации является, по существу, нереальной вследствие невозможности сообщить слишком большой объем информации. С другой стороны, знание основ наук в настоящее время для значительного, если не подавляющего, большинства выпускников школы стало бы мертвым грузом, большая часть которого в силу различных обстоятельств могла бы оказаться непосредственно полезной в жизни конкретного человека. «Самое глубокое обучение математике перестает быть педагогическим, как скоро оно образует обособленную группу идей и знаний, мало влияя наличную ценность человека, и скоро исчезает из памяти», - указывал еще И. Гербарт [6].

И хотя совершенно очевидно, что в современной развитой системе наук любые элементарные знания тем или иным образом систематизируются в соответствующих науках, т. е. представляют собой основы, на которых строятся эти науки, рассмотрение начальных знаний именно в этом качестве должно уступить место их трактовке как материала для интеллектуального развития учащихся.

Иначе говоря, обучение математике в школе должно быть ориентировано не столько на собственно математическое образование в узком смысле слова, сколько на образование с помощью математики.

В соответствии с этим принципом главной задачей обучения математике становится не изучение основ математической науки как таковой, а общеинтеллектуальное развитие — формирование у учащихся в процессе изучения математики качеств мышления, необходимых для полноценного функционирования человека в современном обществе, для динамичной адаптации человека к этому обществу.

При этом задача формирования условий для индивидуальной деятельности человека, основывающейся на приобретенных конкретных математических знаниях, для познания и осознания им окружающего мира средствами математики остается, естественно, столь же существенной компонентой школьного математического образования.

С точки зрения приоритета развивающей функции конкретные математические знания в «математике для каждого» рассматриваются не столько как цель обучения, сколько как база, «полигон» для организации полноценной в интеллектуальном отношении деятельности учащихся. Для формирования личности учащегося, для достижения высокого уровня его развития именно эта деятельность, если говорить о массовой школе, как правило, оказывается более значимой, чем те конкретные математические знания, которые послужили ее базой.

2. Гуманитаризация и дифференциация как важнейшие механизмы реализации развивающей функции обучения математике

Еще сравнительно недавно вопрос о значении науки и техники для развития цивилизации, улучшения жизни общества практически даже не ставился, настолько ответ на него представлялся бесспорным. Рост знания есть рост умения и могущества человека — эта истина, провозглашенная Ф. Бэконом, прочно вошла в сознание людей как необходимое и достаточное условие для счастливой, здоровой жизни.

Однако на рубеже третьего тысячелетия человечество все более явственно стало осознавать, что научно-технический прогресс обеспечивает лишь рост внешнего умения и могущества человека и не всегда служит истинному совершенствованию жизни.

«Теперь нам становится ясным вопреки еще недавно распространенным понятиям, — писал С.Л. Франк, — что в области техники владения силами природы прогресс знаний может служить подлинному улучшению условий человеческой жизни только в сочетании с доброй нравственной волей, в обратном же случае идет только на пользу адским силам, обрекая человечество на неслыханные доселе страдания и, может быть, на полное самоистребление. В настоящий момент человечество стоит под угрозой окончательной гибели в результате нежданного, почти чудесного торжества своей научной мысли, своей власти над силами природы» [75, с. 453—454].

Надо сказать, что идеи духовного возрождения общества постоянно обсуждались в научных и педагогических кругах, начиная еще с Платона и Аристотеля, Руссо и Гербарта. Однако наиболее полное звучание они приобрели именно сейчас, в эпоху господства технократической мысли, когда не какая-то конкретная страна или нация, а все человечество встало перед фактом: для сохранения гуманитарного потенциала знаний необходимо непрерывное «напряжение умственного взора и отчасти общих духовных сил» [75, с. 451 ].

Рассматривая духовность как основу развития человеческого общества, прогрессивные русские гуманисты XIX—XX вв.: В. Г. Белинский, А. И. Герцен, П. Ф. Каптерев, Н. И. Лобачевский, Л. Н. Толстой, К. Д. Ушинский и др. — настоятельно подчеркивали, что главная цель обучения математике в школе состоит в воспитании «культуры вкуса» и пополнении недостающих, но весьма важных звеньев в системе гуманитарного образования. «Математика имеет задачей не обучение исчислению, — говорил Л. Н. Толстой, — но обучение приемам человеческой мысли при исчислении», а именно эти знания нужны человеку для того, «чтобы жить хорошей жизнью» [73, с. 244 и 461].

Важно отметить, что эти утверждения вполне созвучны взглядам на истинную природу математического образования, высказанным великими математиками прошлого: Ж. Адамаром, Г.-В. Лейбницем, А. Пуанкаре и др.

Так, раскрывая гуманитарные ценности математических знаний, А. Пуанкаре пишет: «С одной стороны, математике приходится размышлять о самой себе, а это полезно, так как, размышляя о себе, она тем самым размышляет о человеческом уме, создавшем ее, тем

более что среди всех своих творений он создал математику с наименьшими заимствованиями извне. Вот в чем полезны некоторые математические исследования, каковы, например, исследования о постулатах, о воображаемых геометриях, о функциях со странным ходом. Чем более эти размышления уклоняются от наиболее общепринятых представлений, а следовательно, и от природы прикладных вопросов, тем яснее они показывают нам, на что способен человеческий ум, когда он постепенно освобождается от тирании внешнего мира, тем лучше мы ум познаем в его внутренней сущности» [70, с. 390].

Вместе с тем наша математическая школа в течение последнего столетия доказала, что может действительно претендовать на всеобщий интерес как вследствие своей оригинальности, так и по значимости своих результатов.

Отечественная педагогика математики в гораздо большей степени, нежели западноевропейская, является мировоззренческой теорией, и ее суть и основная цель никогда не лежали в плоскости чисто теоретического, беспристрастного познания законов формирования развивающейся личности, принципов и методов усвоения знаний, но всегда - в нравственно-эмоциональном толковании реального учебно-воспитательного процесса.

В определенном смысле явление гуманитаризации школьного математического образования можно рассматривать как исконно российскую традицию. В России издавна считали, что прогресс в знаниях и умственном развитии без прогресса в добрых нравах и нравственности есть регресс. Поэтому образование в российской школе традиционно рассматривалось как единый процесс умственного и нравственного развития ребенка. Воспитывающее обучение, по мнению русских педагогов, — это не выучка, оно должно иметь истинно гуманизирующий дух.

Современные подходы к организации системы школьного образования, в том числе и математического образования, изначально предопределенные отказом от единообразной, унитарной средней школы, ориентированы на гуманизацию и гуманитаризацию школьного образования. При этом гуманитаризация школьного математического образования реализуется как гуманитарная ориентация обучения математике.

Являясь одним из основополагающих принципов новой концепции обучения математике в школе, гуманитарная ориентация, образно говоря, может быть выражена тезисом: «Не ученик для математики, а математика для ученика». Этими словами, на наш взгляд, весьма

четко обозначена постановка акцента в преподавании математики на личность, на человека.

Таким образом, гуманитарная ориентация определяет переход от принципа «вся математика для всех» к внимательному учету индивидуальных параметров личности: для него конкретному ученику нужна и будет нужна в дальнейшем математика, в каких пределах и на каком уровне он хочет и/или может ее освоить, — к конструированию курса «математики для каждого» на основе приоритета развивающей функции обучения математике в школе.

Для успешного решения этой проблемы необходима, как мы уже отмечали выше, переориентация методической системы обучения математике с увеличения объема информации, предназначенной для «стопроцентного» усвоения учащимися, на формирование умений анализировать, продуцировать и использовать информацию. Эта идея не нова, она давно созрела в умах прогрессивно мыслящих педагогов, проникнутых заботой о будущем национальной системы образования. Еще в 1914 г. на Всероссийском съезде преподавателей математики отмечалось, что нужна «школа, которая поставит целью способствовать развитию творческих сил в своих воспитанниках, направит главное внимание на обучение искусству пользоваться методами, а не на увеличение количества материала, как это мы имеем в нашей школе» [77, с. 88].

Говоря о средствах реализации развивающей функции обучения математике в школе, нельзя обойти вниманием и проблему дифференциации. Мы рассматриваем дифференциацию обучения математике как составную часть и необходимое условие гуманизации и гуманитаризации образования, его перевода на новую культурообразующую базу.

Под дифференциацией обычно понимают такую систему обучения, при которой ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно меняющихся условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям.

В обучении математике дифференциация имеет особое значение, что объясняется спецификой этого учебного предмета. Математика объективно является одной из самых сложных школьных дисциплин и вызывает субъективные трудности у многих школьников. В то же время имеется большое число учащихся с явно выраженными способностями к этому предмету. Разрыв в возможностях восприятия курса учащимися, находящимися на двух «полюсах», весьма велик.

Заметим, что в преподавании математики накоплен определенный опыт дифференцированного обучения. Он относится в основном к работе с сильными школьниками (в стране имеется широкая сеть школ и классов с углубленным изучением математики, практикуются также кружковые и факультативные занятия, проводятся региональные и республиканские математические олимпиады). Однако дифференциацию обучения нельзя рассматривать исключительно с позиций интересующихся математикой учащихся и по отношению лишь к старшему звену школы. Ориентация на личность ученика, на его интеллектуальное развитие в рамках курса «математика для каждого» требует, чтобы дифференциация обучения математике учитывала потребности всех школьников — не только сильных, но и тех, кому этот предмет дается с трудом или чьи интересы лежат в других областях.

Иными словами, дифференциация обучения в школе является необходимым отражением демократизации системы школьного образования в целом, предполагающей приоритет личности в выборе направления и структуры ее деятельности в сфере получения образования, отвечающего ее склонностям и возможностям и ограниченного лишь строго определенными рамками требований, которые общество на конкретном этапе развития вправе предъявить каждому своему члену.

Признавая математику безусловно обязательным компонентом общего среднего образования и одновременно предоставляя каждому учащемуся свободу выбора уровня ее изучения по объему и глубине, для удовлетворения своих важнейших потребностей общество нуждается в создании новой, адекватной современным требованиям системы школьного математического образования.

Эта система должна обеспечить не только минимальную всеобщую математическую грамотность и соответствующее общее развитие учащихся, но и полноценную математическую подготовку контингента учащихся, способного составить кадровую основу социального и научно-технического прогресса в областях, требующих глубоких математических знаний и общекультурного развития, формируемого в процессе овладения математикой.

Иными словами, гуманитаризация школьного математического образования предполагает, что для достижения своих целей общество берет на себя обязательство предоставить каждому человеку все возможности для получения математической подготовки, максимально соответствующей его индивидуальным интересам и склонностям, способностям и возможностям.

Реализация этих целей делает неизбежным отказ от однообразного, уравнительного преподавания математики, унифицирующего как содержание обучения, так и уровеньтребований к математической подготовке учащихся. В то же время именно гуманитарная ориентация обучения математике в условиях развитой уровневой и профильной дифференциации, при создании эффективно действующих систем углубленного изучения математики, внеклассной работы и внешкольного образования позволит решить в динамике и глобальную задачу общества — воспроизводство необходимого кадрового потенциала.

3. Общие цели гуманитарно ориентированного обучения математике в школе

Идея приоритета развивающей функции обучения математике является, по существу, формой гуманитаризации математического образования, его ориентации на формирование подрастающего человека как интеллектуальной личности.

Гуманитарная направленность обучения математике, использование гуманитарного потенциала математической науки и соответствующих возможностей процесса обучения математике приводят к необходимости пересмотра целей и задач обучения математике в школе, и прежде всего их относительной ценности в математическом образовании каждого конкретного человека как в общеобразовательном звене, так и после выбора определенного профиля на старшей ступени обучения. Реализация гуманитарного потенциала, возможная, естественно, лишь на базе изучения определенного учебного материала, требует в настоящее время глубокой и научно обоснованной оценки роли конкретных компонентов математической науки в современной системе школьного математического образования.

Вся система преподавания математики, как и других школьных предметов, должна строиться как система разрешения диалектического противоречия между конкретным человеком и обществом в целом. Отношения между этими двумя субъектами процесса развития цивилизации, в котором каждый преследует свои интересы, строятся на признании взаимности их обязательств друг перед другом — необходимого условия демократизации системы образования в современном обществе. Динамическое разрешение этого противоречия требует установления гармоничного сочетания целей, которые преследуют конкретный человек и общество в целом.

С точки зрения общества, система школьного математического образования должна обеспечить расширенное воспроизводство кадрового потенциала, способного осуществлять на современном и перспективном уровне научно-технический прогресс во всех областях принципиальной применимости всего спектра математических знаний. Тем самым задача полноценной математической подготовки ставится не по отношению к конкретному человеку, но лишь по отношению к каждому новому поколению в целом.

Цель конкретного человека состоит, по существу, в том, чтобы занять в обществе положение, дающее возможность максимально раскрыть свои созидательные возможности и обеспечивающее одновременно адекватную оценку его вклада в развитие общества, должное уважение со стороны общества к его личности как к самостоятельной ценности.

Используя весь представляемый ему системой образования комплекс возможностей, молодой человек с правильно сформированной иерархией ценностей автоматически принимает на себя обязательство о возвращении обществу «долга», накопленного за период обучения, когда человек заведомо больше берет от общества, чем отдает ему. Это обязательство состоит в том, чтобы стать в процессе обучения максимально полноценным членом общества как в профессиональной, трудовой, так и в социальной сфере деятельности.

Залогом успешности функционирования системы образования, основанной на принципе «взаимной эксплуатации», является фактическое совпадение, во всяком случае в идеале, целей конкретного человека и его обязанностей по отношению к обществу: максимальное раскрытие творческих способностей и их реализация являются благом одновременно и для общества, и для самого человека. Разумеется, это совпадение может иметь место при обеспечении правильной социальной ориентации подрастающего человека в процессе его формирования как личности, что заставляет предъявлять весьма высокие требования к системе воспитания учащихся — и самостоятельной системе — и, что в нашем случае особенно важно, к подсистеме обучения математике в рамках общей системы образования.

Как мы уже отмечали, гуманитарная ориентация обучения математике как предмету общего образования и вытекающая из нее идея приоритета в «математике для каждого» развивающей функции обучения по отношению к его образовательной функции индуцируют переориентацию методической системы обучения математике на перенос акцентов с увеличения объема общей информации, предназначенной для усвоения учащимися, который в настоящее время уже представ-

ляется определенно завышенным, на формирование умений анализировать, продуцировать и использовать информацию, включая, разумеется, и видение возможностей применения приобретенных знаний.

Общие цели математического образования, естественно, определяются целями среднего образования вообще, а также спецификой функций обучения, имманентных самой математической науке, близкой во многих отношениях к естественным наукам, но имеющей мощную гуманитарную компоненту.

Среди общих целей математического образования центральное место занимает развитие абстрактного мышления, включающего в себя не только умение воспринимать специфические, свойственные математике абстрактные объекты и конструкции, но и умение оперировать с такими объектами и конструкциями по предписанным общим и конкретным правилам. Необходимой компонентой абстрактного мышления является логическое мышление, как дедуктивное, в том числе и аксиоматическое, так и продуктивное — эвристическое и алгоритмическое мышление.

В качестве общих целей математического образования рассматриваются также формирование видения математических закономерностей в повседневной практике и умения их использования на основе математического моделирования, освоение основных компонентов математической терминологии как слов родного языка и математической символики как фрагмента общемирового искусственного языка, играющего существенную роль в процессе коммуникации и необходимого в настоящее время каждому образованному человеку в дополнение к естественным языкам.

Мы считаем, что гуманитарная ориентация определяет парадигму конкретизации общих целей обучения математике в построении методической системы, отражающей приоритет развивающей функции обучения. С учетом очевидной и безусловной необходимости приобретения всеми учащимися определенного объема конкретных математических знаний и умений цели обучения математике в новой концепции формулируются следующим образом:

— овладение комплексом математических знаний, умений и навыков, необходимых: а) для повседневной жизни на высоком качественном уровне и профессиональной деятельности, содержание которой не требует использования математических знаний, выходящих за пределы потребностей повседневной жизни; б) для изучения на современном уровне школьных предметов естественнонаучного и гуманитарного циклов; в) для продолжения изучения математики в любой из форм

непрерывного образования (в том числе на соответствующем этапе обучения, при переходе к обучению по любому профилю на старшей ступени школы);

— формирование и развитие качеств мышления, необходимых образованному человеку для полноценного функционирования в современном обществе, в частности эвристического (творческого) и алгоритмического (исполнительского) мышления в их единстве и внутренне противоречивой взаимосвязи;

— формирование и развитие у учащихся абстрактного мышления, и прежде всего логического мышления, его дедуктивной составляющей как специфической характеристики математики;

— повышение уровня владения учащимися родным языком с точки зрения правильности и точности выражения мыслей в активной и пассивной речи;

— формирование у учащихся морально-этических качеств личности, адекватных полноценной математической деятельности;

— реализация возможностей математики в формировании научного мировоззрения учащихся, в освоении ими научной картины мира;

— формирование математического языка и математического аппарата как средства описания и исследования окружающего мира и его закономерностей, в частности как базы компьютерной грамотности и культуры;

— ознакомление с ролью математики в развитии человеческой цивилизации и культуры, в научно-техническом прогрессе общества, в современной науке и производстве;

— ознакомление с природой научного знания, с принципами построения научных теорий в единстве и противоположности математики и естественных и гуманитарных наук, с критериями истинности в разных формах человеческой деятельности.

Диалектическое сочетание потребностей конкретного человека и общества в целом, обеспечиваемое системой математического образования в условиях гуманитарной ориентации обучения, приводит к необходимости разделения целей обучения, ставящихся перед школой в целом, перед каждой ступенью образования в отдельности и перед каждым конкретным учащимся. Прежде всего необходимо сформулировать цели общего математического образования, понимаемого как образование «для всех».

Общим математическим образованием ограничиваются учащиеся, избирающие после единой, непрофилированной ступени обучения либо профессиональную школу, либо профиль обучения, не связан-

ный с использованием математики вообще или требующий минимального расширения или углубления отдельных компонентов математического знания, уже заложенных в непрофилированной ступени, но не реализованных в ней по тем или иным причинам.

Возникающая при этом возможность существенного ослабления роли математики в образовании значительного числа учащихся приводит к необходимости поставить перед обучением математике уже в непрофилированной школе достаточно серьезные цели: учащиеся должны не только овладеть базисными компонентами математического знания, но и сформировать в себе ряд личностных качеств, адекватных гуманитарному потенциалу обучения математике.

Поэтому сформулированные выше цели школьного математического образования фактически относятся именно к общему математическому образованию, однако мера их достижения на непрофилированной ступени обучения, естественно, должна быть согласована с возрастными возможностями учащихся. Разумеется, кроме того, что цели обучения математике в различных конкретных профилях нуждаются в модификации и дополнительной детализации.

4. Структура и этапные цели гуманитарно ориентированного курса математики

Этапные цели обучения математике, соответствующие ступеням школьного обучения, определяются общими целями обучения на этих этапах и возрастными особенностями учащихся, в частности их психофизиологическими и социокультурными характеристиками.

Начальный этап обучения математике имеет две основные цели: внутреннюю, дидактическую — подготовку к продолжению образования, и внешнюю, прагматическую — формирование математической грамотности.

Термин «математическая грамотность» понимается нами здесь примерно в том же смысле, что и при обучении родному языку: умение читать, писать и понимать прочитанное и написанное в определенных пределах. Эти пределы зависят, естественно, от ряда факторов многообразного характера — психологического, психофизиологического, социального и т.п. - и устанавливаются конкретными решениями программ и учебников. При этом минимальные требования к математической грамотности определяются на уровне федеральных стандартов образования.

Прагматическая цель начального обучения требует, чтобы содер-

жание было в определенном смысле замкнутым: оно должно обеспечивать простейшие потребности человека в его повседневной жизни - «магазинные» расчеты, расчет налогов, тарифов и штрафов и т.п., — простейшие случаи употребления математической терминологии и символики в естественном языке.

Другими словами, прагматическая цель — формирование математической грамотности — соответствует тезису о достаточности начального образования для повседневной жизни человека, для возможности его самообеспечения в современном обществе на примитивном уровне, для возможности выполнять элементарную трудовую деятельность на исполнительском уровне. В этом смысле математическая грамотность является необходимой компонентой функциональной грамотности, понимаемой как совокупность знаний и умений, составляющих основу возможности самостоятельного функционирования человека в обществе.

В настоящее время концепция начального обучения в целом идет именно в этом направлении, о чем свидетельствуют, в частности, активное внесение в начальную школу знаний об окружающем мире, об основах безопасной жизнедеятельности, экологических знаний и представлений, повышение внимания к коммуникативной компоненте образования, в рамках которой вводится раннее изучение иностранных языков. Меньшее внимание уделяется, однако, более прагматическим элементам начального образования, связанным с основами правовых знаний, с правами и обязанностями человека в обществе, с представлениями об организации общества как части окружающего ученика мира.

Формирование функциональной грамотности в результате начального обучения не может быть, по ряду объективных причин, в современной трех-четырехлетней начальной школе, и поэтому вполне естественной представляется уже получающая «права гражданства» идея перехода к шестилетней начальной школе1.

В плане обучения математике формирование функциональной грамотности уже давно происходит, по существу, в течение первых шести лет. Обучение в 5—6-х классах представляет собой, конечно, прежде всего своего рода введение в математику, имеющее целью подготовить учащихся к восприятию систематических курсов в 7—9-х классах, но в значительной своей части дополняет существующее

1 Более подробно о проблемах преемственности между начальной математической подготовкой и обучением в средней школе речь пойдет в разделе 2.

начальное математическое образование практически важными представлениями о дробях - обыкновенных и десятичных, и прежде всего о процентах, одного из наиболее «частотных» понятий математики в повседневной жизни человека.

Особенно явно идея формирования функциональной грамотности в начальном образовании отражена в учебном комплекте для 5—6-го классов, созданном сотрудниками лаборатории математического образования Института общего среднего образования РАО под редакцией автора этих строк и И. Ф. Шарыгина. В частности, именно эта идея определила радикальное изменение статуса геометрических знаний на этом этапе обучения математике, а также внесение в содержание обучения вероятностно-статистической (стохастической) линии.

Более того, объективное диалектическое противоречие между формированием функциональной грамотности и узко понимаемой математической подготовкой, проявляющейся прежде всего в умении решать определенные классы задач, и в «основном», традиционном содержании решается в этом учебном комплекте в целом в пользу функциональной грамотности.

В частности, с точки зрения приоритета развивающей функции обучения совершенно естественным является отказ от ранней алгебраизации как создания специального понятийного аппарата и формального математического аппарата для решения задач. Примером этому является возвращение к «старинной» практике арифметического, а точнее — логического, решения текстовых задач.

Таким образом, данный учебный комплект, будучи построен на идее формирования функциональной грамотности, в целом реализует в обучении математике перспективную идею шестилетнего начального обучения.

Базовый этап обучения математике в общеобразовательном курсе «математики для каждого» имеет целью общеинтеллектуальное и общекультурное развитие учащихся, в том числе повышение уровня абстрактного и логического мышления, формирование у учащихся культурологических представлений, связанных с математикой, включающих, в частности, представления о математике и ее месте в человеческой цивилизации и культуре, усвоение основ математического языка и математического аппарата как средства постановки и решения проблем реальной действительности. Необходимой целью базового обучения математике является также создание реальной возможности для продолжения обучения в любом профиле на старшей ступени школы.

Базовая ступень обучения предполагает также, в рамках углублен-

ного курса, начало осуществления профильной дифференциации в двух последних классах, соответствующих ориентационному и основному этапу углубленного изучения предмета. В системе углубленного изучения изменяются, в частности, критерии значимости изучаемого содержания за счет введения по крайней мере одного нового параметра — внутренних потребностей математики.

Продолжительность базового этапа может составить, как, по существу, и обстоит дело в настоящее время, 3 года, однако для более полного выявления возможностей обучения математике в формировании мышления учащихся, для более надежного осознания учащимися своих интересов, реальных способностей и возможностей самоопределения было бы более целесообразным продлить базовое обучение еще на один год. Существенным аргументом в пользу продления базового этапа является также и социальная обусловленность такого решения, в рамках существующей школьной системы этот этап образования, в отличие от начального, для многих учащихся может оказаться заключительным.

Третий этап обучения, проходящий в рамках старшей ступени, организуется, согласно уже фактически общепринятому в настоящее время мнению, по системе профильной дифференциации. Одним из основных и, как нетрудно предвидеть, наиболее массовым направлением станет общеобразовательное направление, которое часто называют, на наш взгляд, не совсем точно гуманитарным.

В этом направлении гуманитарная ориентация курса математики сохраняет свое приоритетное значение и должна быть лишь усилена за счет практической направленности обучения. Конкретное содержание обучения математике в общеобразовательном направлении должно быть подчинено задаче общеинтеллектуального и общекультурного развития учащихся и использования математики в повседневной жизни.

К примеру, результатом изучения тригонометрических, показательной и логарифмических функций должно быть не столько усвоение способов решения соответствующих уравнений и неравенств, сколько понимание взаимосвязей этих математических знаний с процессами, происходящими в реальном окружающем физическом мире и человеческом обществе. Точно так же результатом изучения начал анализа может считаться не умение самостоятельно исследовать придуманные специально для этого функции, а сформированное искреннее восхищение перед человеческим гением, перед мощью человеческой мысли.

Гуманитарный курс математики основной школы обеспечивает

учащимся возможность продолжения обучения в системе углубленного изучения математики на старшей ступени основной школы. Более того, по сравнению с существующим курсом гуманитарный курс, ориентированный прежде всего на полноценную математическую и общеинтеллектуальную деятельность учащихся, в большей степени способствует обоснованному выбору системы обучения математике на старшей ступени, поскольку в нем решаются одновременно две различные задачи: «передача» учащимся традиционного математического аппарата и демонстрация на доступном для учащихся уровне содержательности и увлекательности математики, которая вовсе не сводится к соответствующему техническому аппарату.

В то же время содержание гуманитарного курса математики в основном русле, вне углубленного изучения математики, вовсе не ограничивает возможностей учащихся в выборе профиля обучения в старшей школе: оно вполне достаточно для продолжения обучения не только в общеобразовательном, но и в любом другом направлении - естественнонаучном, гуманитарном или физико-математическом, — и право и ответственность выбора остаются за учеником, определяясь его интересами и возможностями.

Именно через выпускников школы, обучавшихся по этим направлениям и конкретным профилям, общество формирует корпус высокообразованной интеллигенции, решает задачи научного и технического развития.

Целью обучения математике в общеобразовательном, гуманитарном направлении, не предусматривающем продолжения обучения в высшем учебном заведении непосредственно после окончания школы, является дальнейшее повышение общекультурного и общеинтеллектуального развития учащихся средствами математики с целью повышения эффективности их социальной адаптации, создания условий для полноценного функционирования выпускников школы в современной жизни.

Необходимость продолжения изучения математики на старшей ступени обосновывается в новой концепции существенной гуманитарной компонентой математики как науки и еще более высоким гуманитарным потенциалом соответствующего учебного предмета. Она определяется возросшими психофизиологическими возможностями старшеклассников по сравнению с учащимися основной школы.

В каждом из трех научных направлений в качестве генеральной цели обучения математике предусматривается подготовка учащихся к получению высшего образования — как для совершенствования воз-

можностей учащихся в освоении на современном уровне избранной ими базовой науки, так и для преодоления барьера вступительных экзаменов по математике в высшие учебные заведения.

При существующем положении с конкурсными экзаменами, в условиях высокой самостоятельности вузов вторая цель, несмотря на свой чисто прагматический характер, в естественнонаучном и физико-математическом направлениях, а также в ряде конкретных профилей гуманитарного направления может оказаться в действительности даже приоритетной.

В естественнонаучном направлении основной целью обучения математике является построение научной математической базы для профильных курсов, дающее возможность их изучения на уровне, соответствующем высокому уровню математизации базовых наук. Однако в гуманитарном направлении базовые науки не достигли, как правило, высокого уровня математизации, и количественный аспект играет в них в основном вспомогательную роль, и поэтому наряду с созданием оптимальной научной математической базы для профильных курсов особое значение имеют гуманитарные цели обучения математике.

Существо этих целей состоит в повышении общеинтеллектуального уровня развития учащихся в процессе адекватно построенного изучения математики, и прежде всего в повышении уровня их абстрактного и логического мышления, ориентированном на обеспечение требований избранной ими науки к математической подготовке специалистов — как с точки зрения конкретных математических знаний, так и с точки зрения общей культуры мышления, необходимой для любого специалиста с высшим образованием.

В физико-математическом направлении цели обучения в целом в новой концепции остаются темп же, что и в существующей системе углубленного изучения математики, поскольку сложившаяся система в должной мере соответствует новой концепции профилированной школы.

В то же время заметим, что система углубленного изучения математики в свете современных представлений о школьном математическом образовании должна стать непрерывной, охватывая и среднюю и старшую ступени обучения. При этом углубленное изучение математики в 5-6-м классах, а также в 7-м классе представляется целесообразным осуществлять в рамках уровневой дифференциации, индивидуального подхода к обучению школьников, проявляющих повышенный интерес к изучению математики, к кружковой работе,

тогда как профильная дифференциация может начинаться с 8-го класса.

К этому времени учащиеся имеют возможность не только оценить привлекательность математики, ее интеллектуальную эстетику, широкое разнообразие интересных математических задач, но и близко соприкоснуться с систематическим изложением математики, где дедукция выступает как неотъемлемый и даже основной элемент предмета, а многие привлекательные стороны скрыты за внешней сухостью изложения и математическим формализмом.

5. Отбор содержания гуманитарно ориентированного курса математики

Содержание школьного математического образования представляет собой систему знаний — социально необходимое и дидактически обоснованное отражение определенной совокупности компонентов математической науки в учебном предмете «Математика». Правильное определение содержания обучения математике, обеспечивающее оптимальные возможности для достижения целей математического образования, является, безусловно, одной из главных проблем перестройки методической системы обучения математике на современном этапе развития школы.

Решение этой проблемы требует научно обоснованного вычленения из всего комплекса математических знаний — понятий, утверждений, приемов и методов рассуждений — своего рода квинтэссенции, достаточно представительной совокупности элементов, систематизация которых на основе психолого-педагогических, дидактических и логических требований позволила бы реализовать современные цели школьного математического образования.

Наиболее существенным новым аспектом проблемы разработки содержания обучения математике на базовой ступени является гуманитарный характер новых целей, реализация которого в существующей методической системе обучения математике совершенно недостаточна.

На современном этапе развития российской школы решающее влияние на сами принципы отбора содержания оказывает развитие и широкое внедрение уровневой дифференциации, предполагающей максимальную гибкость как в определении объема информации, сообщаемой учащимся, так и в предъявляемых кучащимся требованиям к освоению этой информации и основанных на ней способах деятельности.

Именно дифференциация обучения позволяет обеспечить в школьном математическом образовании сбалансированность интересов общества и конкретной личности.

Отсюда вытекают два ведущих социально обусловленных принципа отбора содержания — информационная емкость и социальная эффективность: обучение математике должно обеспечивать приобретение всеми учащимися объема знаний, достаточного для реализации целей математического образования, и формирование кадрового потенциала общества во всех сферах деятельности, требующих математических знаний и интеллектуальной культуры.

Если принять за точку отсчета действующие программы школьных математических курсов, то реализация принципа информационной емкости представляется возможной при существенном сокращении объема изучаемого материала, так что этот принцип отбора содержания, в особенности с учетом всеобщности поставленной в нем задачи, имеет в значительной степени минимизирующий характер: реализация гуманитарного потенциала обучения математике вполне возможна на достаточно ограниченном материале, не выходящем далеко за пределы потребностей повседневной жизни.

Что же касается принципа социальной эффективности, то при нынешнем унифицированном содержании математического образования его можно считать в достаточной степени реализованным: объем математических знаний, усвоение которых предусмотрено школьной программой, вполне достаточен для продолжения обучения в высшей школе, в том числе и по физико-математическим специальностям, а следовательно, и для воспроизводства кадрового потенциала общества (во всяком случае, при существующих взаимосвязях в системе «школа — вуз»). В то же время совершенствование системы высшего образования неизбежно повлечет за собой повышение требований к знаниям выпускников школы, и поэтому принцип социальной эффективности в динамике развития системы «школа — вуз» всегда будет иметь максимизирующий характер.

Таким образом, сочетание принципов информационной емкости и социальной эффективности в методической системе обучения математике имеет четко выраженный оптимизационный характер.

Наряду с этими двумя социально обусловленными принципами отбора содержания, отражающими взаимосвязи «школа - общество» и имеющими в силу этого внешний по отношению к системе обучения характер, следует сформулировать принципы внутренние, касающиеся самой системы школьного обучения и обусловленные пси-

холого-педагогическими, дидактическими и методическими требованиями.

На наш взгляд, перспективное содержание гуманитарного курса математики должно обеспечивать:

— широкие возможности для организации полноценной математической деятельности учащихся;

— реализуемость усвоения программных знаний всеми учащимися в условиях развитой уровневой и профильной дифференциации;

— широкие возможности для формирования, поддержания и развития интереса к изучению математики на каждом этапе обучения;

— возможность выявления математических и общеинтеллектуальных способностей учащихся с целью их обоснованной ориентации на профиль обучения и выбор специальности;

— возможность изучения других школьных предметов на современном уровне развития соответствующих наук и методик обучения.

Наконец, наряду со сформулированными внешними и внутренними принципами отбора содержания представляется совершенно необходимым руководствоваться принципом устойчивости, или разумного консерватизма. Этот принцип обусловлен, в первую очередь, тем объективным фактом, что традиционное содержание обучения математике, сложившееся в течение многих десятилетий и даже столетий, отражает тот объем математических знаний, который, с одной стороны, является фундаментом математической науки, а с другой — в принципе, доступен большинству учащихся. В то же время изменение содержания математического образования не может не учитывать естественную инерционность громадного механизма системы математического образования - прежде всего системы обучения математике в школе и системы подготовки и повышения квалификации учителей.

Из принципа разумного консерватизма следует, в частности, что отбору содержания, идеально соответствующего целям гуманитарно ориентированного математического образования, должен предшествовать достаточно длительный переходный период, учитывающий социальные реалии.

Принцип разумного консерватизма обеспечивает, безусловно, требования государственного стандарта школьного математического образования, законодательное принятие которого - вопрос ближайшего времени.

В то же время разумность консерватизма требует не столько приверженности к традиционному содержанию, а главное, к локальным

целям изучения отдельных его компонентов, к иерархии конкретных компонентов, сколько выявления и адекватной реализации значимости этих компонентов в процессе обучения.

Это требует, в частности, внесения в номенклатуру содержания компонентов, не входящих явно в существующие программы, определенным образом выходящих за пределы стандарта, однако не только способствующих интеллектуальному и общекультурному развитию учащихся, но и повышающих их возможности в освоении конкретных математических знаний, в том числе и совершенно традиционных.

В действительности достижение соответствующих знаний, а главное, интеллектуальных умений всегда входило и входит в цели обучения математике, однако способы достижения не выявляются на уровне конкретных формулировок содержания обучения. Интеграция этих интеллектуально-ориентированных знаний и умений с традиционными конкретными математическими знаниями и умениями — достаточно сложная проблема методики обучения, и решаться она должна прежде всего на уровне учебника.

Как уже говорилось, содержание обучения математике в школе является отражением определенных компонентов математической науки в соответствующем учебном предмете, точнее — в совокупности конкретных математических курсов. Для их реализации необходимо иметь своего рода механизм, совокупность критериев, более конструктивных по сравнению с общими соображениями о соответствии содержания сформулированным целям школьного математического образования.

Предлагаемый механизм основан на разделении заданной совокупности математических знаний — понятий, теорем, методов рассуждений — в соответствии с их ролью в математической подготовке учащихся. Исходная совокупность знаний определяется на основе принципа разумного консерватизма с учетом современных тенденций развития российского и зарубежного математического образования, а также целей гуманитарно ориентированного обучения. Из этой совокупности, естественно, несколько огрубленно вычленяется ряд групп основных знаний, освоение которых на определенном уровне — общепрагматическом (прикладном в «повседневной жизни»), дидактико-прагматическом (операционном в процессе обучения) или общекультурном (фактологическом) - соответствует реализации общих целей гуманитарно ориентированного обучения математике.

Из всего многообразия конкретных знаний прежде всего выделяются знания целевые, т.е. непосредственно отражающие цели обучения математике на современном этапе развития школы и общества в целом. В то же время вследствие специфики математической науки и вытекающих из нее особенностей соответствующего учебного предмета, выражающихся прежде всего в достаточно жесткой взаимозависимости и иерархии многообразных конкретных знаний, целевые знания не могут быть освоены учащимися без предварительного изучения существенно большого объема вспомогательных знаний, которые сами по себе не представляются необходимыми в плане достижения целей математического образования.

В качестве наиболее яркого примера здесь можно привести курс начал математического анализа, при полноценном изучении которого вспомогательные знания: теория действительных чисел, теория пределов, теория определенного интеграла — потребовали бы значительно большего времени по сравнению со знаниями целевыми: исследование функций с помощью производной, решение соответствующих оптимизационных задач, нахождение площадей и объемов геометрических фигур и тел. В достаточной степени велик относительный объем вспомогательных знаний по отношению к целевым и в традиционных курсах алгебры и геометрии.

В то же время разделение знаний на целевые и вспомогательные самым существенным образом зависит от конкретных форм профильной дифференциации, и поэтому вполне естественно, что определенные знания, безусловно вспомогательные на уровне общего математического образования, следует рассматривать как столь же безусловно целевые в математическом и естественнонаучных профилях на старшей ступени или в системе углубленного изучения математики на средней ступени.

Представление номенклатуры целевых знаний как основной задачи отбора содержания тесно связано с их структурированием, однако проблема структурирования заслуживает специального обсуждения. Поэтому мы ограничиваемся здесь лишь перечислением с очевидной группировкой элементов в содержательном плане.

На уровне общего математического образования целевыми представляются следующие группы знаний:

1. Арифметика: натуральные числа, округление натуральных чисел, обыкновенные и десятичные дроби, округление десятичных дробей, проценты и пропорции, целые числа, положительные и отрицательные рациональные числа.

2. Геометрия: плоские и пространственные фигуры и конфигурации, изображения на плоскости (на рисунках и чертежах), измерение длин, площадей и объемов, измерение углов.

3. Стохастика: вероятность и частота, вероятностно-статистическое прогнозирование, независимость событий и испытаний, условная вероятность, равномерное и нормальное распределения, статистические параметры, проверка гипотез.

4. Логика: равносильность и следствие, законы дедуктивных рассуждений, доказательство, определение, теорема, аксиоматика.

5. Алгоритмика: алгоритмы в математике и вне математики, алгоритмизация, элементы информатики.

6. Математический язык: терминология и символика.

7. Математический инструментарий: операции, выражения, тождественные преобразования, функции, графики, уравнения и неравенства, целые, рациональные, действительные и комплексные числа.

8. Начала математического анализа: измерение величин, действительные числа, приближения и приближенные вычисления, числовые функции, производная, интеграл, дифференциальные уравнения.

9. История математики: исторические факты, история возникновения и развития математических теорий, вклад выдающихся математиков.

10. Математика и внешний мир: математическое моделирование, математика в системе наук, специфика математической науки.

Перечисленные группы знаний, соответствующие различным разделам математики и ее связей с наукой, практикой и культурой (арифметика, алгебра, геометрия, математический анализ, теория вероятностей и математическая статистика, логика, информатика, язык, история и философия математики), составляют, на наш взгляд, в достаточной мере полноценную содержательную основу школьного математического образования.

В то же время исключение из предлагаемой системы отдельных элементов или целых групп знаний, очевидно, обеднит как собственно математическую, так и общеинтеллектуальную и общекультурную подготовку выпускников школы. Нельзя не учитывать также, что указанные элементы знаний в том или ином виде представлены в школьных программах с высоким уровнем математического образования, так что существенные расхождения в содержании обучения математике в российской и зарубежной школе стали бы труднопреодолимым препятствием в решении проблемы взаимного признания дипломов о среднем образовании.

6. Математика в системе школьных предметов

Гуманитарная ориентация обучения математике приводит к необходимости новой постановки классической проблемы межпредметных связей в общеобразовательном курсе и конструирования новых путей ее решения. Концепция гуманитарного курса далека от стремления к доказательству истинности как хрестоматийных высказываний типа: «Математика - царица наук», «Наука становится наукой только тогда, когда она пользуется математикой», — так и высказываний, находящихся на другом полюсе: «Математика — служанка физики», «Математика — это язык».

Наиболее близким к этой концепции является мнение М. В. Ломоносова, что «математику уже потому изучать нужно, что она ум в порядок приводит», в котором выделенные нами слова подчеркивают достаточность указанного аспекта для уделения максимального внимания к изучению математики на протяжении всего периода школьного обучения: для «приведения ума в порядок» не может быть ограничений во времени.

В том, что касается наиболее значимых в традиционном преподавании связей между обучением математике и физике, концепция гуманитарного курса не предусматривает в качестве характеристики обязательность предварительного создания математического аппарата для изучения конкретного физического материала. Это касается, разумеется, достаточно сложных математических понятий, например вектора или производной.

Напротив, формирование у учащихся представлений об этих понятиях в физике, части реального мира школьника, может служить базой для создания соответствующего математического аппарата и его применений в продвинутых разделах физики, выступая, таким образом, в качестве основы мотивации, что отражает, кроме того, и исторический процесс создания и развития математики. Аналогичное положение, впрочем, уже имеет место, например, в географии, где учащиеся знакомятся с масштабом до изучения математических понятий пропорции и подобия и даже со сферическими координатами, которые в курсе математики вообще не изучаются.

Использование математики при обучении химии в настоящее время ограничивается, по существу, применением пропорций и процентов. Между тем здесь имеются и иные возможности для организации межпредметных связей: например, при составлении уравнений реакций учащиеся фактически устно решают линейные урав-

нения или даже системы, не догадываясь даже, что именно этим они и занимаются.

Такого рода деятельность представляется весьма полезной с точки зрения обучения математике, однако оптимальным было бы сопоставление ее с уже имеющимся у учащихся математическим аппаратом, демонстрирующее реальную пользу математики не только для человечества, но и для человека. Стремление к реализации последнего тезиса — одна из характерных черт гуманитарной ориентации обучения математике.

Существенно новый аспект межпредметных связей возникает в связи с включением в содержание обучения математике элементов теории вероятностей и статистики, и в частности комбинаторики как базовой компоненты вероятности в дискретных моделях. Это не только создает очевидные новые возможности для построения статистических теорий в физике и изучения генетики в биологии, но, что представляется еще более важным, ставит проблему реализации взаимосвязей между математикой и предметами гуманитарного цикла, решающими, по существу, одну и ту же глобальную задачу социализации личности, формирования функциональной грамотности человека для полноценного его функционирования в современном обществе.

Гуманитарная ориентация обучения математике, приоритет развивающей функции обучения, создает еще один, представляющийся кардинально новым для традиционного обучения, аспект межпредметных связей — взаимосвязь между обучением математике и языку, как родному, так и иностранному. В свете неразрывности мышления и языка человека коммуникативный, языковой аспект обучения математике играет особую роль и в формировании мышления учащихся, в рамках выявления общекультурной значимости обучения математике.

Нет особой необходимости доказывать важность владения реальным математическом языком для развития логического мышления учащихся — этот тезис общепризнан, — однако не будет лишним подчеркнуть, что само слово «логика», столь существенное для математики, происходит от древнегреческого logos (слово), и вообще логика относится не только к математике, но и к языку и мышлению в целом в их неразрывном единстве. Поэтому обучение математическому языку как специфическому средству коммуникации в его сопоставлении с реальным языком является одним из требований разработанной концепции.

Грамотный математический язык является свидетельством четкого и организованного мышления, и владение этим языком, понимание

точного содержания предложений, логических связей между предложениями, распространяется и на владение естественным языком и тем самым вносит весомый вклад в формирование и развитие мышления человека в целом. «Ce qui se conçoit bien se prononce bien» — «То, что хорошо понимается, хорошо произносится», - эти слова принадлежат не ученому, а поэту. Чисто логически это утверждение эквивалентно утверждению: «То, что плохо произносится, плохо понимается».

В то же время связи между естественным и математическим языком настолько глубоки, что «улица межпредметных связей» между обучением математике и языкам - как родному, так и иностранным -имеет высокие потенциальные возможности оказаться с интенсивным двусторонним движением.

При этом существенное значение имеют две «противоположные» особенности математического языка: его точность и строгость как искусственного языка, особенно в части терминологии и символики, и определенная неоднозначность, свойственная математическому языку именно как средству коммуникации. В последнем отношении математический язык обладает всеми свойствами естественного языка.

Реальному математическому языку, языку общения математиков, а в рассматриваемом контексте языку обучения математике — и письменному, но в первую очередь устному, — свойственны многие особенности естественных языков: и метафоричность, и зависимость значений символов, содержания терминов и предложений от контекста, и многие другие языковые явления — метонимия, эллипсис и др. Важно подчеркнуть при этом, что речь идет не об абстрактных свойствах математического языка с точки зрения лингвистики, но лишь о свойствах дидактически значимых, способствующих в том числе и эффективности обучения математике.

Как и для естественных языков, для языка обучения математике весьма существенной является взаимозависимость между синтаксисом и семантикой. В этом плане особенно важны взаимосвязи между изучением всех трех предметов: сопоставление соответствующих явлений в математическом, родном и иностранном языке может способствовать и совершенствованию обучения школьников по всем этим предметам, причем не только через повышение общего уровня понимания, но и в чисто практическом аспекте — во всяком случае в том, что касается математики.

В частности, для обучения математике, и прежде всего для одного из важнейших его аспектов — логического развития учащихся, суще-

ственную важность имеют такие языковые понятия, как «имя», «артикль» (в особенности в силу отсутствия его в русском языке), «метонимия» и «эллипсис», «тема» и «рема».

Как показывает опыт, учащиеся, «чувствующие» артикль в иностранном языке, более успешно справляются с соответствующими средствами выражения функции артикля в русском математическом языке. Учащиеся, знакомые с понятиями темы и ремы — разумеется, на уровне самом примитивном с точки зрения лингвистики, но вполне достаточном (а на наш взгляд, и необходимом) для изучения математики, — допускают значительно меньше ошибок в связи с известной проблемой различения прямых и обратных утверждений.

С этой же проблемой методики обучения математике связаны и понятие логического ударения, и вопросы порядка слов в предложении. Эти вопросы, с другой стороны, также могут служить для установления живых межпредметных связей между математикой, родным и иностранными языками.

7. Гуманитарно ориентированный курс математики и федеральный общеобразовательный стандарт математического образования

Гуманитарно ориентированный курс математики, несмотря на его название, не относится только к тем учащимся, для кого математика не является, мягко говоря, любимым предметом. Напротив, содержание обучения в гуманитарно ориентированном курсе должно, скорее, напомнить несколько даже расширенные программы для углубленного изучения математики.

Это, однако, лишь первое впечатление, поскольку объем, а точнее, многообразие материала никоим образом не определяет глубину его изучения, которая будет совершенно иной в специализированных классах, т.к. математическое содержание любой математической темы практически неисчерпаемо.

Поэтому содержание гуманитарного курса основной школы, обеспечивая достаточную широту представления математики и создавая условия для разнообразной математической деятельности, предоставляет учащимся все возможности продолжения обучения в любом профиле старшей школы, в том числе и физико-математическом.

Включение же «дополнительных» вопросов в номенклатуру содержания преследует главную цель — показать учащимся богатство математики, разнообразие математических идей, пробудить и у многих

закрепить интерес к этой вечно живой и развивающейся науке.

Это особенно важно в условиях дифференцированного обучения: для пробуждения интереса к изучению математики и развития способностей к математике следует представить учащимся математику в виде, наибольшим образом соответствующем ее реальной сущности.

Такой подход разрушит в сознании учащихся (и, что не менее важно, их родителей) представление о математике как сухой науке, связанной с вычислениями, формулами и многочисленными рецептами, которые надо запомнить и строго выполнять. Между тем математика заставляет думать, и главное — занятия математикой учат думать, рассуждать, говорить и писать.

Что касается «неспециализированного» образования, то предлагаемый гуманитарный курс математики обеспечивает безусловное выполнение требований федерального общеобразовательного стандарта. Хотя в настоящее время этот документ еще не утвержден на официальном уровне (предполагается его законодательное принятие) и существуют лишь проекты, отобранные на конкурсе, проведенном Министерством образования РФ, основное содержание стандартов уже давно определено практикой работы школы, имеющимся содержанием образования. Окончательный вариант стандарта вырабатывается на основе согласования этих проектов.

В том, что касается математического образования, его содержание и соответствующие требования к математической подготовке учащихся уже много лет назад разработаны в рамках так называемых обязательных, или планируемых, результатов обучения сотрудниками лаборатории математического образования Института общего среднего образования (бывший НИИ СиМО) Российской академии образования. Эти требования, реализованные, в частности, в форме задач, остаются стабильными в течение многих лет и составляют основу стандартов школьного математического образования.

Одной из основных особенностей перспективного федерального общеобразовательного стандарта является наличие в нем двух уровней. Требования к подготовке учащихся представляют в нем второй, «нижний», уровень, тогда как первый, «верхний», уровень задает минимальные требования к содержанию обучения математике, предъявляемые к школе.

Тем самым каждому ученику предоставляется право на получение достаточно полноценного математического образования и одновременно право на самостоятельное определение уровня усвоения предлагаемого ему содержания. С другой стороны, школа обязана пред-

ложить учащемуся содержание обучения математике в пределах, определенных стандартом, что не лишает ее права выхода за эти пределы по номенклатуре. В то же время школа не имеет права предъявлять учащимся требования к математической подготовке сверх определенных стандартом — ни по уровню усвоения содержания, включенного в стандарт, ни тем более по расширенной номенклатуре.

Существенно также и то обстоятельство, что включение в стандарт конкретного компонента содержания в качестве безусловно необходимого условия предполагает обеспеченность школы соответствующими учебными материалами и наличие опыта его изучения в школе. Это совершенно естественное требование является, однако, серьезным препятствием к обновлению содержания в соответствии с современными требованиями к школьному математическому образованию, вытекающими из опыта российской и мировой школы.

Перспективное содержание гуманитарного курса математики учитывает не только современное положение с обучением математике в школе, но и закладывает основы его развития.

В частности, в содержание вносится новая для российской школы вероятностно-статистическая линия. Элементы теории вероятностей и математической статистики широко представлены в мировой школе, в особенности в странах с высоко развитой экономикой (например, в США, Японии, Великобритании).

Последнее обстоятельство, впрочем, вовсе не является решающим аргументом для включения этой линии в обучение математике в российской школе. В изменившемся в последнее десятилетие российском обществе вероятностное мышление, в частности комбинаторное мышление, стало необходимым каждому человеку - от подростка, для определения разумного поведения в отношении азартных игр, до взрослого, ведущего личную экономическую или политическую деятельность (хотя бы в качестве избирателя) или хотя бы принимающего участие в лотереях.

Немаловажное значение имеет вероятностное мышление и в социальном аспекте, поскольку позволяет противостоять некорректному давлению средств массовой информации с помощью результатов социологических исследований, где каждый грамотный человек должен понимать, что результаты таких исследований зависят от его методики, в частности от репрезентативности группы респондентов. Вероятностный подход существен и в мировоззренческом аспекте, позволяя правильно подойти к модным в наше время вопросам гороскопов, телепатии, экстрасенсорики, парапсихологии, НЛО и т.п.

В предлагаемом курсе математики для 5—9-го классов расширено и обучение геометрии — в основном за счет стереометрического материала. Однако при этом вовсе не имеется в виду, что этот материал механически переносится из старших классов в основную школу со всеми методическими подходами, и в частности с доказательствами. Напротив, изучение элементов стереометрии как описания предметов и явлений окружающего его мира направлено против искусственного замыкания учащихся в «плоскостном» мире, тормозящего имеющиеся у них с детства пространственные представления.

Особо отметим, что запоминание ряда формул — типа площади боковой поверхности или объема цилиндра и конуса — от учащихся не требуется. Такими формулами учащиеся должны уметь лишь пользоваться, так что соответствующий материал предназначен в большей степени для выработки общезначимого математического навыка — умения пользоваться формулами. В этой связи отметим, что в курсе алгебры естественно продемонстрировать учащимся даже формулу Кардано, отметив ее практическую бесполезность, но одновременно сгладив определенную неудовлетворенность в «слабости» школьной математики.

Большой раздел гуманитарного курса, точнее — содержательно-методическая линия «Математический язык и логика», является совершенно новым с точки зрения традиционной номенклатуры содержания. По существу, однако, новизна здесь далеко не революционная: логические понятия всегда являлись «теневыми» в курсе математики, но овладение логикой считается как бы естественным и автоматическим следствием изучения математики.

Практика обучения показывает между тем, что это вовсе не так, и поэтому привлечение специального внимания к этим вопросам может иметь в качестве следствия повышение уровня абстрактного мышления и логического развития учащихся, значимого вовсе не только с точки зрения изучения математики, но даже прежде всего не с точки зрения математики.

Логика рассуждений — и в математике, и в повседневной жизни — теснейшим образом связана с языком, с его коммуникативным аспектом. Многие недостатки в математической подготовке учащихся определяются их недостаточной языковой культурой и даже грамотностью, неумением адекватно понять или выразить содержащуюся в том или ином предложении информацию. Это касается и естественного языка, и математического языка, в котором практически полная однозначность символического языка сочетается с явлениями неод-

нозначности, в частности метафоричности, свойственными языку естественному.

Особенности символического языка, его требования к синтаксису вызывают у учащихся массу проблем с использованием скобок. С другой стороны, в особенности на начальном этапе изучения алгебры учащиеся с трудом различают в речи «квадрат суммы» и «сумму квадратов», даже при наличии символической записи соответствующего выражения, проявляя тем самым непонимание на уровне обычного языка.

Определенная расплывчатость, свойственная естественному языку и проявляющаяся в необходимости контекста для различения прямого и обратного утверждений или их одновременной формулировки, резко отрицательно сказывается на понимании математических утверждений, где контекст если и существует, то может иногда даже помешать правильному восприятию математической информации.

С точки зрения коммуникативного аспекта обучения математике самое главное состоит, однако, вовсе не в том, что выпускники школы плохо или неправильно понимают именно математические утверждения. Не обучившись «математическому стилю» восприятия информации из текста, устного или письменного, человек часто оказывается не в состоянии проанализировать информацию, не имеющую отношения к математике, но важную для него лично, и становится жертвой демагогии, политических или юридических спекуляций, недобросовестной рекламы.

Поэтому усиление коммуникативного аспекта в обучении математике наряду, естественно, с общими требованиями, вытекающими из целей обучения математике, требует создания нового подхода к определению стандарта математического образования, который учитывал бы не только наличие тех или иных конкретных умений в решении определенного круга чисто математических задач, но и проверял бы подготовленность выпускника «к жизни», где от него требуются не столько математические знания сами по себе, сколько высоко развитое мышление, формированию которого и служит прежде всего гуманитарно ориентированный курс математики.

РАЗДЕЛ 2

ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ

Принятое в начальной школе определение произведения соответствует вековым традициям методики обучения - как говорят, «всегда так делали». Однако это не совсем так.

Преемственность обучения математике: постановка проблемы

Преемственность в основной и старшей школе: проблема новых учебников и политика органов управления

Преемственность курса математики на переходе от начальной к основной школе

Единство методологических подходов как основа решения проблемы преемственности обучения математике

Символика начального курса математики: проблема преемственности

Программа непрерывного курса математики основной и старшей школы

РАЗДЕЛ 2. ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ

1. Преемственность обучения математике: постановка проблемы

Проблема преемственности обучения математике в настоящее время приобрела особое значение в связи с широкой диверсификацией школы, ставшей реальностью, с которой уже не могут не считаться и непосредственные участники учебного процесса — учителя и организаторы школьного образования, - и общество в целом.

Острота этой проблемы определена как минимум тремя обстоятельствами: широким распространением различных типов общеобразовательных учреждений, профильной дифференциацией обучения на старшей ступени и в основной школе, наличием большого числа учебников в одной и той же параллели, отражающих многообразные авторские дидактические подходы к обучению математике, подчас в значительной степени противоречащие один другому по достаточно существенным параметрам.

Поэтому относящаяся к разряду «вечных» проблема совершенствования обучения математике на современном этапе развития школы приобрела качественно иной аспект. В последние десятилетия, впрочем как и практически всегда, эта проблема решалась исходя, по существу, из единственной цели — сделать более эффективным так называемое традиционное обучение математике, с более или менее устоявшимися содержанием и соответствующими требованиями к математической подготовке школьников, адекватными столь же устоявшимся целям школьного математического образования и, главное, представлениям о роли математики в обществе и в жизни конкретного человека.

Однако стремительные социальные преобразования в Советском Союзе и затем в России кардинально изменили и образовательную

ситуацию. В парадигме отношений между обществом и личностью демократическая направленность преобразований потребовала изменения приоритета в сторону личности: демократическое общество должно решать свои задачи не только на основе, но и прежде всего с учетом интересов личности.

В аспекте школьного образования это означает, в первую очередь, определение новых целей, соответствующих на настоящем этапе и в перспективе интересам и общества, и каждого конкретного человека, а поскольку цели обучения являются основополагающим компонентом методической системы, то и все остальные компоненты должны определяться этими целями — притом реально, а не декларативно. Другими словами, действительно остроактуальной стала задача создания новой концепции школьного математического образования, соответствующей новой социальной ситуации.

Не учитывая этой необходимости, консервируя прежние методические, а главное, методологические представления, классический путь решения проблемы совершенствования курса математики, состоящий в стремлении получить лучшие результаты обучения в традиционной методической системе за счет локальных изменений — адаптации, исключения или перестановок отдельных тем, вариаций изложения, создания новых систем упражнений, «гуманизации» обучения за счет игры и общей развлекательности (даже театрализации) математики, — неизбежно должен был оказаться и действительно оказывается попыткой «влить новое вино в старые мехи», несмотря на декларации о дальнейшей гуманитаризации и гуманизации математического образования.

2. Преемственность в основной и старшей школе: проблема новых учебников и политика органов управления

Именно по классическому пути, за отдельными исключениями, развивается система обучения математике, в особенности в основной и старшей школе, в течение последних лет. И именно этот путь привел к возникновению проблемы преемственности и на переходе из основной школы на старшую ступень, и в собственных рамках основной школы, в особенности на ее «внутренней границе» — между 6-м и 7-м классами. Возникшие на практике многочисленные противоречия настолько усложнили работу учителя, что проблема преемственности, проблема методологического единства курса математики в настоящее время фактически стала первостепенной.

Многообразие учебников, каждый из которых по-своему решает проблему повышения качества математической подготовки учащихся, поставило учителей в чрезвычайно трудное положение: перед каждым из них возникла проблема выбора, для решения которой он часто не имеет ни необходимой информации, ни, как это ни печально, достаточной квалификации.

Последнее, впрочем, как правило, вина не столько самого учителя, сколько системы подготовки и повышения квалификации учителей, недостаточно отреагировавших на произошедшее качественное изменение образовательной ситуации. Как и прежде, значительно большее внимание уделяется в этих системах, за отдельными исключениями, методике обучения конкретным математическим знаниям и умениям при опоре на традиционные учебники, чем развитию методологических представлений, позволяющих квалифицированно оценивать различные методические подходы и, следовательно, конкретные учебники.

В результате выбор учителем того или иного учебника математики определяется не столько особенностями учебника, его соответствием современным целям школьного математического образования, сколько активностью авторов по его пропаганде. Более того, некоторые старые традиции во взаимоотношениях между учителями, методическими службами и руководителями образования регионального и местного уровней способствуют созданию упрощенной, «регионально или локально тоталитарной» схемы выбора учебников, что далеко не соответствует задаче сохранения единства образовательного пространства России.

Положение усугубляется тем, что стихийный процесс создания учебников неизбежно порождает фрагментарность в освоении учебного пространства. Реальная ситуация такова, что учебники создаются для отдельных ступеней школы, однако каждый из них предназначен, естественно, для начального класса соответствующей ступени, и учитель, которого привлек, например, тот или иной учебник для 7-го класса, должен принять на веру, что этот учебник, во-первых, будет иметь адекватное продолжение в следующих классах, во-вторых, будет соответствовать как минимум программе основной школы и, в-третьих, что весь комплект для 7—9-го классов будет издан и реально достижим, в том числе и с «экономической» точки зрения, что далеко не всегда гарантировано нынешней системой издания и распространения учебников.

Однако при всей важности и необходимости решения проблемы

ориентации учителя в вопросе выбора учебников в нынешней ситуации существует еще более серьезная проблема, к которой привела существующая фрагментарность учебного пространства. Эта проблема связана со сверхочевидным утверждением: учебник для той или иной конкретной ступени школы может быть создан только на основе курса математики предыдущей ступени.

И если прежде, когда обучение математике сводилось, по существу, к освоению учащимися конкретных знаний, умений и навыков, достаточно было просто очертить круг хотя бы минимальной подготовки учащихся по фиксированному содержанию, то в настоящее время, когда в соответствии с изменившимися целями школьного математического образования возникла необходимость существенного пересмотра всей методической системы обучения математике, отдельный учебник для старшего класса неизбежно будет основан на классических требованиях к предыдущему курсу, а значит, закреплять традиционную систему, не соответствующую новым социальным и образовательным реалиям.

Эта проблема полностью проигнорирована объявленным недавно конкурсом на гранты Министерства образования и Всемирного банка на создание новых учебников математики, заложившего условия для обострения проблемы преемственности обучения.

Внешне подход распорядителей грантов может представиться вполне приемлемым: предложено создать учебники для начального класса каждой ступени — «Математика-5», «Геометрия-7», и «Математика-10», и имеется в виду, что по крайней мере одно из двух — авторы лучших учебников либо будут создавать их продолжения для остальных классов только этой ступени, либо они будут развивать свой успех в последующих ступенях. Фраза из условий конкурса: «Обязательно участие авторского коллектива на следующих этапах конкурса на общих основаниях», — не дает возможности однозначно ответить, какой из этих вариантов подразумевается. Нельзя не отметить также, что совершенно непонятно, чем, кроме доброй воли авторов, может быть гарантировано выполнение этого «обязательства».

В первом случае, однако, чрезмерно оптимистической представляется надежда, что методологические, психолого-педагогические, дидактические и методические принципы одних авторов гармонично войдут в соответствующую систему принципов других авторов. Во втором случае возникает другое серьезное препятствие: далеко не всякий автор даже хорошего учебника для младших классов может

решиться на создание учебников для старших классов, и если авторы, вдохновленные первым успехом, будут больше ориентироваться на ситуативные внешние возможности, а не на внутренние ограничения, то это может привести к не меньшему драматизму в организации школьного математического образования, чем тот, что мы имеем в настоящее время.

Но как можно в настоящее время, например, создать учебник алгебры (или алгебры и начал анализа) для 10-го класса, не зная в достаточной конкретике всего курса математики основной школы: как в нем рассматриваются и рассматриваются ли вообще арифметическая и геометрическая профессии, корни произвольной степени, степени с дробным показателем, радианная мера угла и тригонометрические функции действительного и т. п.?

Впрочем, ответ может оказаться чрезвычайно простым, если не единственным: новый учебник не может не опираться на существующие традиционные учебники для основной школы, соответствующие прежним целям обучения. Тем самым неизбежно закрепляется нынешняя система обучения и практически игнорируются все обстоятельства, вызвавшие необходимость совершенствования школьного математического образования, создания его новой концепции.

И еще один, по существу, риторический вопрос: как авторы этого учебника должны учитывать «компьютерную», и в особенности стохастическую линию, необходимость которой уже заложена организаторами конкурса в условия для учебника 5-го класса? И здесь также напрашивается простейший ответ: достаточно «вставить» соответствующее содержание при издании учебника для школы.

Однако элементы комбинаторики — основы теории вероятностей — уже «вставляли» в учебник для 10-го класса в начале 60-х гг., но продержались они в школе лишь несколько лет ввиду полного провала их изучения. И лишь сравнительно недавно было осознано, что изучение элементов теории вероятностей и математической статистики может оказаться эффективным только при создании специальной содержательно-методической линии, начинающейся в младших классах, быть может, даже в начальной школе. Никакой создаваемый в настоящее время учебник для старшей ступени не может учесть наличие этой стохастической линии в основной школе и лишь окажется дополнительным препятствием в решении проблемы преемственности.

Что касается учебника для 5—6-го классов, то его будущие авторы,

находясь в потенциально более выигрышном и одновременно наиболее ответственном положении, могут (и, на наш взгляд, должны) попытаться действительно реализовать новые идеи в обучении математике, а следовательно, заложат в своем учебнике соответствующую базу для старшей ступени, которая практически наверняка не будет совпадать с нынешней. Тем самым снова возникнет проблема преемственности с курсом математики для старшей школы.

А с каким курсом алгебры должен быть согласован предложенный в конкурсе учебник геометрии для 7-го класса — с существующим? А на какие геометрические знания учащихся он будет опираться? Ответ на этот вопрос существенным образом зависит от взглядов авторов еще не существующего «лучшего» учебника для 5— 6-го классов на роль обучения геометрии на начальной ступени основной школы.

Впрочем, проблема обучения геометрии в школе еще более серьезна. В настоящее время уже фактически общепризнано, что действующие в массовой школе учебники неудачны и существуют в основном по инерции. Однако проблема состоит в действительности не столько в совершенствовании этих или создании новых учебников геометрии, сколько в определении целей обучения геометрии, т. е. имеет концептуальный характер.

Более того, кризис в обучении геометрии в школе в настоящее время имеет общемировой характер, и поэтому, в частности, водном из номеров ведущего международного журнала по дидактике математики «Educational Studies in Mathematics» («Исследования по математическому образованию») на всеобщее обсуждение предложен комплекс проблем, сформулированный в виде нескольких десятков вопросов, касающихся обучения геометрии в школе, и прежде всего целей обучения геометрии, роли геометрических знаний в образовании современного человека.

Другими словами, мировая школа, явным образом признавая существование кризиса в школьном геометрическом образовании, не знает сейчас ответов на самые фундаментальные вопросы, не имеет даже общих направлений его совершенствования.

Эту задачу — ответить на фундаментальные вопросы, указать правильные направления, — согласно идее распорядителей грантов, должны будут взять на себя авторы будущего учебника «Геометрия-7» для российской школы, и она, эта задача, не представляется нереальной, поскольку Россия располагает достаточно квалифицированными специалистами, авторами и экспертами, способными

на современном уровне создать и оценить учебники, которые должны явиться учебниками действительно нового поколения.

И при решении этой задачи возникает единственная трудность: российские специалисты по обучению геометрии в школе, от учителей до академиков, настолько квалифицированны, настолько убеждены в правильности своих методологических и методических представлений, настолько убедительны, как правило, в отстаивании этих представлений, что «привести их к общему знаменателю» может оказаться совершенно невозможным.

И экспертная комиссия, в состав которой, как совершенно правильно предусмотрено правилами конкурса, не могут входить авторы учебников, должна будет проявить недюжинную смелость и взять на себя громадную ответственность по выбору оптимального подхода к обучению геометрии — от «коня» аксиоматики до «трепетной лани» наглядности, не говоря уж о построении курса на основе векторов, координат или геометрических преобразований. Но, как говорится, дорогу осилит идущий... Однако и при максимально удачном учебнике «Геометрия-7» с точки зрения чисто геометрии проблема его преемственности с предыдущим и последующим учебником математики неизбежно возникнет.

Особо следует остановиться на том, что организаторы конкурса, понимая необходимость концептуального обновления школьного математического образования, взяли на себя ответственность, по существу, за провозглашение новых идей, выдвинув непременные требования к представляемым на конкурс учебникам.

В частности, учебник 5-го класса обязательно должен включать элементы работы с вычислительной техникой. Но во взглядах на проблему использования вычислительных устройств при обучении математике, в особенности в младших классах, среди российских специалистов имеются весьма широкие различия.

Для одних специалистов такой подход к формированию вычислительных умений школьников совершенно естествен. Они считают внимание российской школы к отработке обычных вычислительных навыков данью устаревшим традициям, а требование знать наизусть таблицу умножения относят даже к негуманным. Другие же специалисты рассматривают устные и письменные вычисления как прекрасный материал для формирования и творческого мышления, и исполнительской дисциплины школьников. По убеждению этой группы педагогов, вычислительные устройства должны применяться в обучении позже — не раньше, например, 6-го класса или еще позже.

Немалое число деятелей народного образования считают, что калькуляторы и компьютеры должны рассматриваться на уроках информатики и использоваться в основном на уроках предметов естественнонаучного цикла.

Сточки зрения концептуальной, здесь идет речь о соотношениях между целью и средствами ее достижения, об иерархии между особенностями процесса обучения и конкретными результатами обучения, его «сухим остатком», соотношением между развивающей и образовательной функциями обучения и т. п. Однако все «инакомыслящие», по сравнению с организаторами конкурса, из дальнейшего процесса создания учебников автоматически исключаются условиями конкурса, оставляя место сторонникам только одной точки зрения, среди которых наверняка окажутся и не столько мыслящие, сколько склонные к конформизму или требованиям современной моды.

Более того, концептуальный характер вопроса о применении средств вычислительной техники требует определения и дальнейших подходов к его решению, в частности, в геометрии. В настоящее время в мире имеется значительное количество учебных компьютерных программ по геометрии, в том числе достаточно удачных и вполне приемлемых для использования в определенных отношениях и в российской школе.

Означает ли требование организаторов конкурса, предъявленное к учебнику 5-го класса, что использование компьютеров представляется необходимым и в учебнике геометрии 7-го класса? Ясно, что либо «компьютерная линия» оборвется, либо возникнет проблема преемственности, либо алгебра и геометрия останутся отдельными пространствами математики.

Нельзя не отметить, наконец, что «компьютерное совершенствование» школьного курса математики может зайти и еще дальше, поскольку в мире существуют эффективные программы, позволяющие решать практически все школьные задачи с помощью кнопок.

Ясно, что здесь снова возникает вопрос о концепции школьного математического образования, и прежде всего о том, зачем нужен в общем образовании сам предмет математика. Другими словами, наложенное организаторами конкурса вполне невинное и естественное ограничение на учебник 5-го класса в действительности может иметь весьма серьезные последствия для всей системы школьного математического образования России.

На наш взгляд, здесь возникает серьезная опасность определен-

ной американизации российской школы, внедрения в нее методологических подходов, возможно адекватных образовательной или, еще более широко, экономической и социальной ситуации в США, но в значительной степени противоречащих многим позитивным традициям отечественной школы.

Образование в России, при всех очевидных его недостатках, необходимо подлежащих устранению, занимает далеко не последнее место в мире, а математическое и естественнонаучное образование можно поставить и на ведущее место. Потенциал, накопленный в системе математического образования России, является национальным достоянием, находящимся в одном ряду с ее сырьевыми ресурсами, однако, в отличие от последних, он неисчерпаем, и только мы сами можем его «нечаянно» ликвидировать.

Один уже тот основанный на массовых сообщениях факт, что наши троечники по математике, временно обучаясь на Западе, в Америке или в Европе, оказываются отличниками или обучаются в более старшем классе, должен заставить всех имеющих отношение к школьному математическому образованию серьезно задуматься над вопросами сближения российской и мировой школ, с тем чтобы не растерять уже накопленных достижений.

К учебнику 5-го класса организаторами конкурса предъявлено также требование о введении в курс элементов стохастики — элементов теории вероятностей и математической статистики. На наш взгляд, это можно только приветствовать, и реализация этой стохастической линии уже начата в существующем учебном комплекте для 5—6-го классов, созданном коллективом авторов из Института общего среднего образования РАО.

Стохастическая линия уже давно представлена в мировой школе, хотя и далеко не во всех странах. Однако ее необходимость в российской школе вытекает вовсе не из требований моды, но из требований кардинально изменившейся в последние годы социальной ситуации в России, где «вероятностно-статистическая грамотность» требуется уже в повседневной жизни каждого человека, так что ее формирование стало одной из задач общего среднего образования, обучения математике в школе.

Между тем мировой опыт вовсе не свидетельствует о больших успехах учащихся в освоении вероятностно-статистических знаний, и проблема создания эффективной системы их изучения весьма далека от своего решения. В частности, мировые специалисты по этому вопросу не придерживаются единого мнения по центральному

вопросу: какой из двух основных подходов — от вероятности к статистике или наоборот — является оптимальным для массового школьного обучения.

Этот вопрос условиями конкурса, к счастью, не предрешен, однако будущие авторы учебника для 5-го класса должны были бы, на наш взгляд, представить кроме концепции курса математики для 5—6-го классов и концепцию всей стохастической линии курса математики средней или хотя бы основной школы. В противном случае непременно возникнет все та же проблема преемственности.

Нельзя не добавить, однако, что включение стохастического содержания заслуживает, с нашей точки зрения, одобрения не как обязательное требование к учебнику 5-го класса, но лишь как «требование времени».

Вытекающее же из условий конкурса исключение инакомыслящих — тех, кто полагает, например, что эта линия должна начинаться в 7-м классе или уже в начальной школе (разве не может 9—10-летний ребенок осознать разницу между достоверным, невозможным или случайным событием и не является ли эта разница весьма значимой при формировании детского интеллекта?), — существенно ограничивает возможности достижения основной цели конкурса — создания нового поколения школьных учебников математики.

Условия конкурса, предъявленные к учебнику геометрии 7-го класса, предусматривают обязательный фузионизм — одновременное, по мере возможности, изучение планиметрии и стереометрии. Этот подход к обучению геометрии распространен в мировой школе, однако результаты обучения в целом оказываются неудовлетворительными, чем и объясняется упомянутый выше кризис в обучении геометрии в школе.

В то же время фузионизм в обучении геометрии, на наш взгляд, является определенно перспективным и реализуется в также упомянутом выше учебном комплекте для 5—6-го классов. Однако это не единственный, а следовательно, не необходимый способ достижения целей обучения геометрии в школе, и поэтому наложенное условиями конкурса концептуальное ограничение представляется произвольным.

Таким образом, организованный органами управления конкурс на создание новых учебников математики, избравшими путь фрагментарного заполнения учебного математического пространства, закладывает серьезную опасность обострения проблемы преемственности обучения математике.

3. Преемственность курса математики на переходе от начальной к основной школе

Особенно актуальной стала проблема преемственности на переходе из начальной школы в основную. Начальная школа занимает решающее место: проблема преемственности может не возникнуть только в случае, когда правильно организовано именно начальное обучение. Другими словами, на начальную школу возлагается высочайшая ответственность за все дальнейшее обучение математике.

В настоящее время в начальной школе достаточно широкое распространение уже получили учебники, качественно отличающиеся друг от друга и методологически, и методически, и по конкретному вложенному в них содержанию.

Если наиболее массовые в настоящее время учебники для 1—3-го классов отражают вполне традиционный взгляд на формирование вычислительных навыков как важнейшую задачу обучения математике (во всяком случае, в начальной школе) и следуют существовавшей в 60-х гг. бурбакистской моде на раннюю алгебраизацию, то в ряде других учебников, относящихся, как сейчас принято говорить, к развивающей системе обучения, представлена гораздо более широкая парадигма представлений о содержании и сущности математики, о роли обучения математике и вообще математической деятельности в формировании личности, в общеинтеллектуальном и общекультурном развитии учащихся.

Учебники перестали сводиться, по существу, к чистой арифметике в самом узком смысле этого слова — к счету. В большей степени они стали учебниками именно математики, а не арифметики с элементами геометрии. Однако в некоторых учебниках развивающая функция обучения математике реализуется достаточно экстравагантно. Например, при изучении чисел больший акцент делается на формировании общего понятия числа и меньший — на умении обращаться с числами.

Существенные различия имеются и в конкретном математическом содержании. В некоторых новых учебниках для начальной школы начинается изучение дробей, а алгебраическое содержание включает, например, решение линейных уравнений с переменной в обеих частях.

Учебники «развивающего типа» в настоящее время получают все более широкое распространение, однако большинство из них все же следует по классическому пути совершенствования, закрепляя, по су-

ществу, отжившие представления о роли математики в среднем образовании, о целях обучения математике в школе.

Как уже говорилось выше, наиболее распространенные в настоящее время учебники математики, отражающие устаревшие взгляды и на сущность математики, и на цели ее изучения в школе, создают практически непреодолимые препятствия для реализации новой концепции школьного математического образования, и подобная ситуация практически неизбежна без реформирования методической системы обучения математике в начальной школе.

В не меньшей мере это касается, однако, и большинства новых учебников математики для начальной школы. Написанные авторами с различными психологическими, педагогическими и дидактическими представлениями, они лишь в минимальной степени (практически только на уровне номенклатуры содержания) учитывают потребности обучения математике на следующих ступенях. Их авторы, как правило, не являются профессионалами-математиками и поэтому недостаточно ясно представляют себе архитектонику математики, а следовательно, и вытекающие из нее и из современной концепции школьного математического образования последствия для обучения предмету, в частности иерархию целей и задач математики как предмета общего образования.

Многие реализованные в новых учебниках для начальной школы подходы не удовлетворяют учителей основной школы — или несоответствием современным представлениям о целях школьного математического образования, новой системе работы школы в условиях реальной дифференциации и внедрения образовательных стандартов, или, наоборот, выходящими за допустимые пределы новациями. Эта неудовлетворенность чаще всего имеет, естественно, субъективный характер, однако реальное решение проблемы преемственности обучения в 5-м классе зависит в настоящее время прежде всего от учителя, от его мнения, будь оно сколь угодно субъективным.

Поэтому новые учебники для начальной школы в настоящее время, быть может, за несколькими исключениями, не имеют продолжения в основной школе. Поэтому о наличии преемственности в обучении математике между начальной и основной ступенями говорить даже не приходится. Нетрудно предположить, к чему может привести выполнение авторами требования об «обязательном участии на следующих этапах конкурса».

Организаторы конкурса грантов на создание учебников, о котором шла речь в предыдущем разделе, внесли свой теоретический вклад и

в концепцию начального образования, объявив несуществующими образовательные системы, основанные на деятельностном подходе и отличные от систем Занкова и Эльконина—Давыдова, почему-то присоединив к этим системам традиционную, весьма далекую от этого подхода, но «забыв» о гармоничном сочетании упомянутых систем, описанном недавно А. А. Леонтьевым [79].

4. Единство методологических подходов как основа решения проблемы преемственности обучения математике

С точки зрения задач общества простейшее решение проблемы преемственности обучения математике можно получить на пути реального внедрения стандартов математического образования, что формально снимает эту проблему как таковую. В самом деле, контролируя лишь одну сторону процесса обучения — обеспечение достижения стандартов, можно просто не обращать внимания на способы их достижения. Однако такое решение не соответствует глубинным интересам общества, если оно строится на уважении к личности, для которой результат обучения неотделим от способа его достижения, от процесса обучения.

Существенные отличия математического стиля мышления от «повседневного» мышления, абстрактность математических объектов и конструкций, отсутствие, а точнее, глубина материального происхождения этих объектов и конструкций, требования, предъявляемые математикой к языку, сложная взаимосвязь математического и естественного языков — все это наряду с почти религиозным общественным отношением к математике, в котором смешиваются страх и уважение, делает соответствующий учебный предмет трудным для большинства учащихся.

Поэтому усвоение математики учащимися часто протекает в условиях неоправданного насилия над личностью, когда значительное большинство учащихся, в особенности в старших классах, занимается математикой только потому, что «так надо». И их нельзя в этом обвинять, поскольку для большинства учащихся подавляющая часть собственно математических знаний не имеет и не будет иметь практического значения, применений в повседневной жизни или в трудовой деятельности.

Кому из нас в повседневной жизни хотя бы раз потребовалось сложить обыкновенные дроби, решать квадратное уравнение, решить с

помощью уравнений текстовую задачу, решить иррациональное, тригонометрическое или логарифмическое неравенство, продифференцировать или проинтегрировать функцию или, наконец, найти объем ведра как цилиндра или усеченного конуса?

И есть только два пути разрешения этого глобального противоречия в массовом школьном математическом образовании: традиционный, основанный, по существу, на насилии над личностью, на авторитарном внедрении в ученика некоторого комплекса математических знаний (концепция «ученик для математики»), и новый, ориентированный не на математическое образование, а на образование с помощью математики, на общеинтеллектуальное и общекультурное развитие человека, строящийся на абсолютном уважении к интересам, склонностям и способностям человека (концепция «математика для ученика»).

Этот новый путь в школьном математическом образовании, отдающий приоритет интересам личности, получил в работах Отдела математического образования ИОСО РАО название гуманитарной ориентации, направленности наличность и представляется в настоящее время наиболее соответствующим реалиям и перспективам российского общества.

Следует сразу же подчеркнуть, что гуманитарная ориентация обучения математике вовсе не относится только к массовой школе. Напротив, в ее рамках естественно может развиваться и система профильной дифференциации, в частности система углубленного изучения математики как основа для формирования кадрового потенциала общества, его научно-технического, культурного и социального развития: гуманитарная ориентация предполагает учет интересов и способностей всех учащихся, в том числе и тех, для кого изучение математики является интересным и продуктивным полем творческой деятельности, создающим перспективы для личного будущего.

Гуманитарная ориентация обучения является исходным, основополагающим принципом созданной в Отделе математического образования новой концепции школьного математического образования. Начало ее реализации положено созданием сотрудниками отдела упоминавшегося выше учебного комплекта по математике для 5—6-го классов, получившего продолжение в учебнике для 7-го класса. Завершение этой линии учебников и создание учебника математики для начальной школы, соответствующего этой концепции и являющегося адекватной базой для последующего обучения, может и должно снять проблему преемственности.

В то же время теоретически возможны, разумеется, и другие новые пути, другие концепции обучения математике в школе. Однако проблема преемственности может быть решена только при создании учебников именно в соответствии с конкретной концепцией, при создании библиотек учебников математики для всех классов начальной, основной и старшей школы, учитывающих уровневую и профильную дифференциацию и образовательные стандарты.

5. Символика начального курса математики: проблема преемственности

Начальная школа является, без сомнения, важнейшим звеном в системе школьного обучения, приоритетное положение которого определяется высочайшей ответственностью за подготовку учащихся к дальнейшему обучению в сложившейся системе преемственных связей.

Имея реальные возможности переложить решение проблемы преемственности исключительно на плечи специалистов старших звеньев, которые просто вынуждены продолжать начатое в первые годы обучения, организаторы обучения в начальной школе, на наш взгляд, должны даже не столько способствовать решению этой проблемы, сколько препятствовать ее возникновению.

В математике эти вопросы стоят достаточно остро, и построение непрерывного курса от начальной до старшей школы кардинальным образом зависит от первого этапа обучения, если, конечно, стремиться к осуществлению преемственности и не считать, например, что единственным результатом обучения в начальной школе является (или должно быть) освоение арифметики натуральных чисел.

Мы не будем, однако, касаться здесь этих серьезных вопросов, поскольку они заслуживают особых обсуждений, и, более того, мы отдаем себе отчет, что сведение различных представлений о способе их разрешения «к общему знаменателю» практически невозможно.

Ясно в то же время, что, выбирая конкретное решение того или иного вопроса — например, о построении числа на основе понятия множества или понятия величины, о месте появления букв в качестве переменных, о месте и уровне алгебраизации, - автор учебника математики для начальной школы должен иметь четкое представление о роли этих понятий и методов на старших этапах, о необходи-

мости, возможности и целесообразности их дальнейшего развития в курсе математики и, что немаловажно, в других школьных предметах.

В настоящей статье мы остановимся лишь на очень локальных вопросах символики начального курса математики в аспекте проблемы соблюдения преемственных связей в обучении с одной лишь целью — показать механизм, как в «малом» закладывается «великое», хотя это и не всегда заметно на первый взгляд.

Для начала — покушение на святая святых математической символики: символы, относящиеся к делению и умножению.

При всем разнообразии существующих в настоящее время учебников математики для начальной школы произведение двух натуральных чисел определяется и обозначается одинаково: например, 5 • 3 есть 5 + 5 +5, а не 3 + 3 + 3 + 3 + 3.

Между тем при использовании букв выражение а + а + а уже в самых началах алгебры всегда записывается в виде 3а, а не а • 3, как должно быть в соответствии с правилом записи из начальной школы. Это обязывает автора учебника 5-го или 6-го класса обратить специальное внимание на изменение способа записи произведения — за исключением, естественно, случаев, когда он или уверен, что это несоответствие записей несущественно и только отвлекает учащихся от главного, или полагает, что дети в этом сами разберутся, или считает, что разговор на эти темы слишком сложен для учащихся. Так или иначе, но в основной школе возникает определенная трудность, не соответствующая существу дела.

Принятое в начальной школе определение произведения соответствует вековым традициям методики обучения — как говорят, «всегда так делали». Однако это не совсем так. Не считая необходимым исследовать вопрос о появлении этого определения в историческом плане, отметим, что в генетическом, также как и в языковом, аспекте знак (+) используется в ситуации присоединения, объединения предметов.

Но «слон + слон + слон» — это 3 слона, 3 раза по одному слону, и точно так же 5 троек — это 3 + 3 + 3 + 3 + 3, 5 раз по 3. И в соответствии с порядком появления символов в русском предложении вместо 3 + 3 + 3 + 3 + 3 естественно записать 5 • 3, а не 3 • 5, по неизвестной причине меняя порядок.

Возможно и даже наверняка существуют аргументы против высказанной точки зрения, однако «потребовать» от математиков основной школы изменить свои обозначения с целью сохранения преемственности было бы наивно. Традиции основной школы в написа-

нии коэффициентов слева, а не справа от буквенного выражения вполне естественны в одном из важнейших видов учебной деятельности — при решении текстовых задач алгебраическим способом: математики Древней Греции говорили, например, о пяти неизвестных количествах, и при формировании алгебраической символики, введении буквы X в качестве «неизвестного количества» естественно было писать именно 5jc, а не 5.

Более того, эти традиции являются общепринятыми в символике математической науки, где в подавляющем большинстве случаев рассматриваются, например, левые, а не правые векторные пространства. Этот аргумент в пользу высказанной точки зрения, конечно, не является решающим, хотя он в определенном аспекте также относится к проблеме преемственности — на более высоком уровне.

Разумеется, рассматриваемый вопрос не заслуживает, быть может, детального обсуждения, поскольку изменение традиций начальной школы в пользу дальнейшего обучения в данном случае не представляется болезненным, а внимание к порядку сомножителей в учебном процессе постепенно пропадает, что совершенно естественно.

Впрочем, уже в начальной школе, на наш взгляд, целесообразно постепенно ослаблять внимание к «осознанному» использованию знака умножения и, например, при решении задачи типа: «На одной наволочке 4 пуговицы. Сколько пуговиц на 5 таких наволочках?» — не требовать в качестве обязательного ответа 4 • 5, считая ответ 5 • 4 некорректным. Представляется, что последний ответ не менее «осознан», если ученик уже полностью освоил перестановочность умножения, — в этом случае исправление со стороны учителя не может не восприниматься им, а тем более родителями как «придирка».

Еще один вопрос, относящийся к связи между символикой курса начальной школы и его продолжения в основной и старшей школе, может показаться весьма неожиданным. Дело в том, что классический знак деления — двоеточие — в символике математики старших классов и вообще в математической символике практически не используется, целиком уступая место обозначениям в виде дроби. Типичная ситуация его использования связана, в первую очередь, с удобством записи: пишут: например, а не соответствующую четырехэтажную дробь.

Однако наличие специального знака деления порождает весьма сложные проблемы при переходе к дробям. Так, обычное для учеб-

ников отождествление выражений заставляет проанализировать его последствия с логической точки зрения.

Например, основное свойство дроби, строго говоря, уже должно быть не просто разъяснено на материальном уровне или постулировано, но нуждается в логическом обосновании: после указанного отождествления равенство означает, что для любых натуральных чисел я, Ь, с выполняется равенство

Между тем это свойство, связывающее умножение с делением, в начальной школе даже и не рассматривается.

То же самое касается и сложения дробей с одинаковыми знаменателями. При всей очевидности этого правила сложения после отождествления а\Ъ = — оно является уже не определением, а теоремой: «Для любых натуральных чисел a\\ba\c + b:c=(a + Ь)\ с» — распределительным законом для сложения и деления.

Впрочем, в начальной школе не рассматриваются и более полезные с практической, а не с логической точки зрения, направленной все же в будущее, «совместные» свойства умножения и деления. Например, то же равенство, записанное «справа налево», т. е. в виде а\Ь = (а* с):(Ь* с), позволяет удобно делить на 25: например, 3875:25 = 3875 • 4:100. А свойство а.Ь = (а:с):(Ь:с) позволяет упрощать деление многозначных чисел — «говоря по-русски»: для вычисления частного можно делимое и делитель разделить сначала на одно и то же число.

Естественно, мы далеки от мысли о необходимости рассмотрения и приведенных свойств в начальной школе, и соответствующих логических тонкостей в учебнике 5-го класса, однако их существование нельзя игнорировать, а следовательно, нужно искать оптимальные пути решения этих вопросов, не забывая при этом известного афоризма: «Логика против педагогики».

Революционным решением поставленных вопросов могло бы стать исключение двоеточия как знака деления и полная замена классического обозначения а\Ь на —. Заметим, что знаменатель дроби, как в

любом случае объясняется учащимся в дальнейшем, показывает, на какое число равных частей делят целое, т. е. терминология на материальном уровне вполне соответствует арифметическому понятию деления.

Конечно, один недостаток этого символа очевиден - он записывается «в двух уровнях», что может само по себе представить определенную трудность для ученика 2-го класса. Кроме того, такая замена, конечно, исключила бы возможность постановки перед учащимися задачи вычисления выражений типа (48:2 - 3):6 — это выражение следовало бы записать в виде что, очевидно, неприемлемо, однако нельзя не иметь в виду, что подобные выражения встречаются исключительно в начальной школе. Кстати, в основной школе уже приходится специально разъяснять, что разделить в отношении 2:3:4 не означает разделить в отношении !.

Наконец, нельзя не учитывать, что начальная математическая символика едина практически во всем мире, и исключать из «русского математического языка» классический знак деления, конечно, нецелесообразно. Отметим, впрочем, что в некоторых странах в качестве знака деления употребляется «модный» знак -s-, часто встречающийся на клавишах калькуляторов и соединяющий классическое двоеточие с чертой дроби.

Выходом из описанной ситуации может служить одновременное использование обоих знаков — двоеточия и дроби. Такое решение вопроса может показаться даже еще более революционным: можно ли одно и то же математическое понятие обозначать разными символами, и если все же можно, то зачем?

О дидактической полезности наличия обоих знаков (ответ на вопрос зачем) мы уже говорили, но остается важный логический аспект - можно ли? Однако положительный ответ на этот вопрос становится очевидным при сопоставлении ситуации с любым естественным языком. Странно звучал бы вопрос: могут ли в обычном языке существовать синонимы? Не менее странным было бы мнение, что для учащегося достаточно хотя бы одного из имеющихся синонимов, чтобы не перегружать его память.

Иногда высказываемое утверждение, что математический язык должен быть максимально чист и не допускать внутри себя таких явлений естественного языка, как синонимия и в особенности омонимия, не имеет подсобой достаточных оснований, по крайней мере, по двум причинам. Во-первых, это просто не так, поскольку в реальном математическом языке оба этих языковых явления существуют. Во-вторых, математический язык как средство коммуникации, что особенно важно при обучении, подчиняется тем же законам передачи и восприятия информации, что и любой естественный язык.

Отметим также, что наличие двух знаков порождает при самостоятельной деятельности учащихся проблему выбора в записи выражений, например, при решении текстовых задач. Однако, как и всякая проблема выбора в процессе интеллектуальной деятельности, она приводит к задаче выработки индивидуальных приемов, наиболее соответствующих характерологическим особенностям ученика, с одной стороны, и оптимальному включению в традиции математического языкового социума, с другой стороны. В этом сочетании имеется определенное и весьма существенное противоречие: то, что в настоящий момент представляется человеку более естественным и удобным, хотя и не соответствует традициям социума, в будущем может принести значительные осложнения. Это касается, впрочем, не только обучающихся, но и обучающих.

Последний вопрос, который мы здесь затронем, связан с основным понятием математики начальной школы — с понятием натурального числа. Сразу же заметим, что словосочетание «натуральное число» для учителя и для учащихся с точки зрения русского языка имеет различную структуру: для учителя означает специальный вид рода «число», тогда как для учащихся оно должно быть нерасчленяемым, поскольку других чисел они еще не знают.

Тем не менее автор не думает, что так и обстоит дело в действительности, а скорее уверен в противоположном, поскольку чувство языка, в особенности его логики, у детей этого возраста, да и у большинства взрослых людей недостаточно развито для улавливания таких нюансов, и фактически словосочетание «натуральное число» является для учащихся младших классов полным синонимом слова «число».

В этом плане интересно было бы предложить учащимся для синтаксического разбора предложения типа: «12 является натуральным числом» или: «11 является простым числом», что к тому же было бы неплохим примером установления межпредметных связей, не нано-

сящим вреда изучению русского языка и одновременно весьма полезным для осознания очевидного факта: математический язык является частью языка естественного, а его особенности представляют специальный интерес.

Между тем толкование словосочетания вида «прилагательное + существительное», описание роли прилагательного при существительном, обычное для начальной, и не только для начальной, школы, в определенном смысле противоречит наличию сращений типа «натуральное число». Осознанное понимание таких сращений, достаточно типичных для математического языка, должно было бы привести учащихся к осознанию этого противоречия, к необходимости поиска выхода, а это, в свою очередь, заставило бы учащихся сделать шаг на пути преодоления «раскладывания знаний по полочкам».

Конечно, в практике начальной школы подобные языковые нюансы не приводят к каким-либо отрицательным последствиям, но в дальнейшем невнимание к ним неизбежно сказывается. Так, «стихийную» синонимию «натуральное число» = «число» математики с удовольствием используют, говоря, например, просто «четное число», а не «четное натуральное число». Однако в дальнейшем, в процессе расширения понятия числа, учащиеся автоматически понимают слово «число» в словосочетании «четное число» на том уровне обобщенности, которым они владеют. В результате оказывается, например, что и для школьников, и для многих студентов-первокурсников число у оказывается четным, в отличие, скажем, от —.

Отметим, что такое развитие терминологии встречается в математическом языке достаточно часто. Так, понятие «внешний угол треугольника» возникает на фоне понятия «угол треугольника», однако внешний угол треугольника как геометрическая фигура вовсе не является углом треугольника. Поэтому возникает термин «внутренний угол треугольника», полностью синонимичный с исходным термином «угол треугольника», но употребляющийся только в контексте противопоставления с внешним углом (внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним). Тем не менее общее понятие «угол треугольника» в качестве родового по отношению к двум видам — внутренний угол и внешний угол — не возникает, и словосочетание «внешний угол треугольника» так и не становится свободным, за исключением специальных контекстов.

Нельзя не отметить любопытный факт, в некотором смысле рекордный по невниманию к таким языковым «мелочам», как фразеологическое сращение и свободное словосочетание. Словосочетание «натуральный ряд» (имеется в виду последовательность натуральных чисел) в математике является нерасчленяемым, поскольку других рядов, составленных из чисел, нет, а в соответствующем контексте используется термин «последовательность» или «числовая последовательность».

Между тем в одном из распространенных в настоящее время учебников математики учащимся ставится задача, является ли заданный «ряд чисел» натуральным, т. е. автор воспринимает «натуральный ряд» как свободное словосочетание. Это, конечно, право автора, но при его осуществлении следует осознавать, что это противоречит дальнейшей математической терминологии.

Альтернативой к имеющемуся положению вещей является отказ в начальной школе от термина «натуральное число» в пользу термина «число». Нельзя не учитывать того исторического факта, что человечество изобрело именно числа, а эти числа стали называть натуральными только тогда, когда появились другие числа.

Это полностью соответствует языковым закономерностям: вряд ли возможно объяснить смысл понятия «большой» без противопоставления с понятием «маленький», названия «красный» без других цветов, изъявительного наклонения без других наклонений.

Мы не видим ничего страшного в том, что придется говорить, что при счете предметов появляются просто числа, а не натуральные числа, а термин «натуральное число» появится, когда возникнут другие числа. Таким образом, словосочетание «натуральное число» станет свободным, приобретет более простую с точки зрения грамматики родо-видовую логическую структуру. Точно так же термин «рациональное число» появится после изучения дробей — только тогда, когда возникнет необходимость расширения числового множества и появятся иррациональные числа.

Существенные тонкости этого подхода состоят в том, что «основной» род в этом контексте — понятие «числа» — не имеет, во-первых, точного определения, а во-вторых, в процессе построения числовых множеств постоянно расширяется. Первый аспект не представляется слишком важным, поскольку «число» как понятие не является, строго говоря, математическим и в математике не имеет точного определения.

Заметим, кстати, что одно из основных понятий математики -

функция — имеет строгое и притом вовсе не слишком сложное математическое определение, однако попытка внедрения его в школу оказалась безуспешной, и в новых учебниках это определение уже не встречается. И главное здесь в том, что владение понятием функции совершенно не зависит от наличия или отсутствия его строгого определения, как бы это ни казалось странным с точки зрения мифа о логической непогрешимости математики.

Это отсутствие необходимости математической дефиниции понятия числа определяет и позицию в отношении второго аспекта. Расширение объема того или иного понятия (расширение толкования слова) в процессе познания, в частности, в освоении языка — вполне естественное явление и для человечества в целом, и для людей.

К примеру, ребенок постепенно приходит от первичного понимания языка как языка естественного, на котором окружающие его люди и он сам говорят и пишут, к восприятию символики как части «расширенного» языка и, наконец, к общему пониманию языка символов или, точнее говоря, символического языка. В то же время понимание им таких выражений, как язык жестов, театра, кино, живописи или музыки, свидетельствует о владении общим понятием «язык», даже если он никогда не слышал, что язык — это специфическое средство коммуникации.

Таким образом, предложенная альтернатива не только имеет полное право на существование, но и вполне естественна с точки зрения и языка, и математики.

Последний вопрос, который мы намерены рассмотреть здесь, связан с особым числом — нулем. Общепринятым в современной российской методике обучения является положение, что число 0 не является натуральным. Между тем при подходе к натуральным числам как к «числам, появляющимся при счете предметов», число 0 действительно не является натуральным — счет начинается с единицы. Однако при подходе с точки зрения теории множеств 0 следует считать натуральным числом — он возникает в качестве ответа на общий вопрос: «Сколько элементов содержит множество?» в случае пустого множества. Поэтому в рамках теоретико-множественного подхода утверждение, что О не является натуральным числом, неверно, а «расширение» множества натуральных чисел с помощью нуля некорректно.

Эти два подхода отражают, как известно, двойственный характер натуральных чисел, которые можно рассматривать как порядковые и как количественные, и 0, таким образом, является количественным, но не является порядковым натуральным числом.

Апелляция к пустому множеству может, конечно, показаться «происками» математиков, однако это множество, независимо от нашего желания произносить или не произносить эти слова, возникает при решении уравнений, которые могут не иметь решений. Поэтому на вопрос: «Сколько корней имеет данное уравнение?» — ответ иногда дается натуральным числом, а иногда и не натуральным. Юмор этой ситуации не оценивается учащимися должным образом только потому, что они его не замечают.

Другими словами, для математики было бы удобнее иметь дело с нулем как с числом натуральным. Это касается не только терминологии в области уравнений, но и многочленов высших степеней, и прогрессий. В последнем случае первая же попытка применения математического аппарата для решения практической задачи описания роста банковского вклада при постоянном числе процентов приводит к противоречию с принятой в настоящее время символикой. В особенности удобно считать число 0 натуральным в комбинаторике -важной компоненте новой для российской школы содержательной линии «Анализ данных», включающей элементы теории вероятностей и математической статистики.

Сказанное не означает, однако, что тем самым в начальной школе предопределен именно теоретико-множественный, количественный подход к понятию натурального числа, и в рамках порядкового подхода вполне возможно и, на наш взгляд, даже более целесообразно говорить о нуле как о новом натуральном числе. Это число, конечно, не появляется при счете, и тем самым возникает определенное противоречие с основой порядкового подхода, но эту трудность следует предвидеть с самого начала и более корректно формулировать первые фразы о натуральных числах.

В действительности исторически числа использовались не просто для счета, но именно для подсчета (количественного счета), для определения количества элементов (естественно, непустого) множества, т. е. количественный характер натуральных чисел отражает цель деятельности человека, а порядковый — способ достижения этой цели. Недаром термин «натуральное число» в славянских языках (например, польское liczb, белорусское л1к) связан с количеством, а не с порядком.

В современной трактовке порядковые натуральные числа служат не для счета, а для нумерации, т. е. для определения места объекта в определенной иерархии — места, занятые спортсменами, всевозможные рейтинги и т. п. Ясно, что количественный характер натуральных чисел в этих вопросах не имеет никакого значения.

Таким образом, трактовка нуля как натурального числа одновременно и удобна для математики, и наиболее естественно «склеивает» два основных подхода к понятию натурального числа. Кроме того, учащимся «согласиться» с этим пониманием числа 0 будет значительно проще, чем многим учителям, уже привыкшим к иному толкованию этого понятия.

6. Программа непрерывного курса математики основной и старшей школы

Программа гуманитарно ориентированного курса математики содержит довольно большой объем математического и, формально говоря, внематематического содержания и может напомнить, скорее, программу углубленного изучения математики, причем даже существенно расширенную.

Многие темы имеют ярко выраженную общекультурную, общеобразовательную направленность, и именно поэтому их надо включать, но методика изучения этих тем должна в значительной степени отличаться от традиционно сложившейся «академической» системы.

Некоторые темы могут быть представлены лишь на ознакомительном уровне и рассматриваться в форме рассказа или беседы (например, о «сущности» понятия числа и величины), ученических докладов (например, исторический материал) и т. д. Другие темы, более непосредственно связанные с математикой, могут явиться лишь материалом для упражнений или для самостоятельной работы (например, остатки и сравнения, системы счисления). Все это определяется и учебником, и учителем.

5—9-й классы

I. АРИФМЕТИКА

1. Натуральные числа

Делимость натуральных чисел. Делители и кратные. Взаимная обратность отношений «делитель» и «кратное». Свойства делимости как отношения. Свойства делимости, связанные с арифметическими действиями. Признаки делимости на 10, на 2 и 5, на 3 и 9, на 100, 1000 и т. д.

Простые и составные числа. Особый статус единицы. Таблицы простых чисел и решето Эратосфена. Бесконечность множества простых чисел.

Степень числа. Простейшие свойства степени.

Разложение чисел на простые множители. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух и нескольких чисел. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Связь между наибольшим общим делителем, наименьшим общим кратным и произведением двух чисел. Два способа нахождения наименьшего общего кратного двух чисел. Взаимно простые числа.

Деление с остатком. Свойства остатков. Сравнения.

Позиционные системы счисления. Двоичная система счисления. Перевод десятичной записи чисел в двоичную и обратно.

2. Дроби и отношения

Доли и их запись. Обыкновенная дробь. Числитель и знаменатель дроби. Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями и одинаковыми числителями. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Смешанные дроби (смешанные числа). Целая и дробная части смешанной дроби. Алгоритмы перевода неправильной дроби в смешанную и смешанной дроби в неправильную. Сложение и вычитание смешанных дробей.

Основное свойство дроби. Приведение дробей к общему знаменателю. Условие равенства дробей. Сравнение дробей. Арифметические операции с обыкновенными дробями. Нахождение заданной доли величины и заданной дроби от числа. Нахождение целого по заданной части и числа по заданной дроби.

Проценты. Основные задачи на проценты.

Десятичные дроби. Мотивы изобретения десятичных дробей: стандартизация системы измерения величин, аналогия с десятичной системой счисления.

Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Округление десятичной дроби. Приближение десятичной дроби с заданной точностью.

Обыкновенные и десятичные дроби. Перевод десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную. Критерий возможности перевода обыкновенной дроби в десятичную.

Совместные вычисления с обыкновенными и десятичными дробями.

Отношение величин и чисел. Связь понятия отношения со сравнением «больше (меньше) в ... раз». Процентное отношение.

Пропорция. Крайние и средние члены пропорции. Основное свойство пропорции. Нахождение неизвестного члена пропорции.

3. Рациональные числа

Отрицательные числа. Целые и рациональные числа. Совпадение понятий «натуральное число» и «целое положительное число». Координатная прямая. Изображение чисел на координатной прямой.

Модуль целого числа. Геометрический смысл модуля. Сравнение целых чисел. Арифметические действия с целыми и рациональными числами. Сложение и вычитание чисел и движения по координатной прямой.

4. Действительные и комплексные числа

Десятичные приближения бесконечной десятичной дроби. Округление бесконечной десятичной дроби.

Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. Действительные числа. Рациональные и иррациональные числа. Перевод обыкновенной дроби в конечную или бесконечную десятичную дробь. Обращение периодической бесконечной десятичной дроби в обыкновенную.

Квадратный корень. Арифметический квадратный корень. Кубический корень. Корень степени п.

Комплексные числа. Арифметические действия с комплексными числами. Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Приложения комплексных чисел в математике.

II. АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

1. Алгебра как наука

Арифметика как источник зарождения алгебры. Алгебра — наука о преобразованиях буквенных выражений (выражений с переменными).

Перестановочный и сочетательный законы сложения и умножения. Распределительные законы умножения относительно сложения и

вычитания. Свойства 0 и 1. Противоположные выражения. Алгебраическая сумма. «Правило знаков» при умножении и делении выражений. Раскрытие скобок в произведениях и алгебраических суммах.

Подстановка значений переменных. Равенства и тождества. Подстановка выражения. Правила постановки скобок. Синтаксис алгебры.

2. Преобразования выражений

Целые алгебраические выражения (многочлены с одной и несколькими переменными). Тождества сокращенного умножения. Группировка. Разложение на множители.

Многочлены с одной переменной. Значения и корни многочленов. Вычисление значений многочленов. Нахождение целых и дробных корней многочленов с целыми коэффициентами. Разложение многочленов на множители. Выделение линейных множителей. Число корней многочлена.

Дробные алгебраические выражения. Равенство дробных выражений. Область определения выражения. Влияние преобразований на область определения.

Степень с натуральным, целым и дробным показателем. Радикалы. Преобразования степенных выражений и выражений с радикалами.

Преобразования тригонометрических выражений. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения.

3. Уравнения

Уравнение как предложение с одной или несколькими переменными. Область определения уравнения. Корень уравнения с одной переменной.

Основные приемы решения уравнений: преобразования, подстановка и замена переменной, подбор корней с применением свойств функций.

Преобразования уравнений. Равносильность уравнений. Следствие. «Посторонние» корни. Проверка как часть решения задачи.

Линейные уравнения. Линейные уравнения с параметром.

Квадратные уравнения. Дискриминант. Условие существования корней. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета и ее применения. Квадратные уравнения с параметром. Биквадратные уравнения.

Задача решения кубического уравнения как источник изобретения комплексных чисел. Формула Кардано и ее особенности.

Рациональные уравнения. Простейшие иррациональные уравнения.

Решение уравнения с несколькими переменными. Графическое изображение решения уравнений с двумя переменными. Уравнение прямой. Уравнение окружности.

4. Неравенства

Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств. Неравенства с переменными. Равносильность неравенств. Следствие.

Доказательство числовых неравенств. Основные приемы: преобразования, оценки сверху и снизу, поиск промежуточного числа. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим и его следствие о сумме взаимно-обратных чисел.

Неравенства с одной переменной. Область определения неравенства. Решение неравенства. Равносильные неравенства. Преобразования неравенств.

Линейные неравенства. Квадратные неравенства. Рациональные неравенства. Метод интервалов. Сведение решения неравенства крещению уравнения.

Неравенства с двумя или более переменными. Решение неравенства. Графическое изображение решения неравенств с двумя переменными. Аналитическое задание полуплоскости, внутренней и внешней частей круга.

5. Системы и совокупности уравнений и неравенств

Основные теоретические понятия. Общие приемы решения систем.

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Метод подстановки и алгебраического сложения. Графическое изображение системы и множества ее решений. Графическое решение системы. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Системы неравенств с двумя переменными. Аналитическое задание фигур на плоскости: координатных четвертей, полосы, угла. Система неравенств с двумя переменными. Многоугольник множества решений системы линейных неравенств. Выпуклый многоугольник. Выпуклая фигура.

6. Функции

Понятие функции. Способы задания функции: аналитический, табличный, графический, словесный. Кусочное задание функций. График функции.

Область определения и множество значений функции. Числовые промежутки. Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве. Свойства функций: возрастание и убывание, четность и нечетность, периодичность. Поведение функции в бесконечности. Асимптоты графиков функций.

Непрерывность функции и их свойства.

Приближенное вычисление значений функций. Допустимая погрешность вычисления. Скорость изменения функции. Касательная к графику функции. Представление о производной функции. Производная. Физические приложения производной: скорость, ускорение, плотность.

Прямая и обратная пропорциональность. Линейная функция, ее свойства и график.

Квадратичная функция, ее свойства и график. Функция у =х3.

Обратная функция. График обратной функции. Функции, связанные с извлечением корня.

Простейшие преобразования графиков функций.

Последовательности. Способы задания последовательности: аналитический и бесконечным перечислением. Общий член последовательности.

Рекуррентный способ задания последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессии. Формулы простых и сложных процентов.

Числа Фибоначчи. Решение рекуррентных соотношений второго порядка.

III. ГЕОМЕТРИЯ

1. Прямые на плоскости

Пересекающиеся прямые. Вертикальные углы. Смежные углы. Перпендикулярные прямые. Существование и единственность перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку.

Параллельные прямые. Существование и единственность прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку. Накрест ле-

жащие, односторонние и соответственные углы при пересечении двух прямых третьей. Свойства и признаки параллельности прямых. Направление.

2. Треугольник

Вершины, стороны, углы треугольника. Сумма углов треугольника.

Равенство треугольников. Построение треугольников по трем сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам. Признаки равенства треугольников.

Высота, медиана, биссектриса треугольника. Средняя линия треугольника. Замечательные точки треугольника. Биссектриса как геометрическое место точек. Медиана как отрезок, разбивающий треугольник на два равновеликих треугольника. Средняя линия треугольника.

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренных треугольников: равенство углов при основании, совпадение высоты, медианы и биссектрисы, проведенных к основанию. Равносторонний треугольник. Углы равностороннего треугольника.

Прямоугольный треугольник. Катеты и гипотенуза. Теорема Пифагора. Равнобедренный прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник с острым углом 30°.

3. Многоугольники

Ломаная линия. Простая ломаная. Замкнутая ломаная. Многоугольник.

Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, квадрат и ромб, их свойства и признаки. Трапеция. Дельтоид. Правильные многоугольники.

4. Окружность и круг

Хорды и диаметр окружности. Свойство диаметра, перпендикулярного хорде. Сегмент и сектор в круге.

Центральные и вписанные углы и их измерение. Вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Касательная к окружности. Свойство касательной. Угол между касательной и хордой. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки. Касательная к кривой.

Вписанная и описанная окружности многоугольника. Расположе-

ние центров вписанной и описанной окружности. Существование вписанной и описанной окружности для треугольника и для правильного многоугольника.

5. Пространственные тела

Многогранник. Вершины, ребра и грани многогранника. Теорема Эйлера. Поверхность и внутренняя область многогранника.

Прямоугольный параллелепипед и куб. Прямой параллелепипед. Диагонали параллелепипеда. Простейшие сечения куба. Обобщенная теорема Пифагора.

Шар и сфера, полушар и полусфера. Сечения шара и сферы.

Цилиндр и конус, усеченный конус. Сечения цилиндра и конуса. Эллипс, гипербола и парабола.

Пирамида, усеченная пирамида. Прямая и наклонная призма.

Правильная пирамида. Правильная призма. Правильные многогранники.

6. Геометрические величины

Расстояние между точками и длина отрезка. Периметр многоугольника. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Длина окружности.

Площадь геометрической фигуры и ее свойства. Палетка. Равновеликие фигуры. Равносоставленные фигуры.

Площадь треугольника. Площадь параллелограмма, прямоугольника, квадрата и ромба. Площадь круга и его частей. Площадь поверхности сферы, цилиндра, конуса.

Объем геометрического тела и его свойства. Объем параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, прямой призмы, шара, цилиндра, конуса.

Измерение углов. Градусная и радианная мера угла.

7. Геометрические построения

Геометрические инструменты. Построения циркулем и линейкой. Простейшие задачи на построение. Неразрешимость задач трисекции угла, квадратуры круга и удвоения куба.

Построения на компьютере. (Содержание этой темы зависит от конкретной используемой программы.)

IV. МАТЕМАТИКА И ОКРУЖАЮЩИЙ МИР

1. Измерение величин

Число как результат измерения величины. Потребности практических измерений как источник расширения понятия числа. Недостаточность рациональных чисел для геометрических измерений. Бесконечная десятичная дробь как «протокол» измерения величины.

«Идеальное» и практическое измерение. Приближенные вычисления. Абсолютная и относительная погрешность. Погрешность суммы, разности, произведения и частного. Простейшие правила приближенных вычислений.

2. Реальные процессы и функции

Линейная функция и равномерное движение. Квадратичная функция и равноускоренное движение. Показательная функция и соответствующие реальные процессы. Тригонометрическая функция и периодические процессы.

3. Представление и анализ данных

Сбор и регистрация данных. Формы представления информации: видео и аудио, письменный текст. Таблицы и диаграммы. Использование таблиц при решении текстовых задач и организации систематического перебора.

Линейные, столбчатые и круговые диаграммы. Использование таблиц и диаграмм для представления информации в повседневной жизни.

Статистические характеристики систем данных (медиана, мода, среднее арифметическое, размах). Проблема надежности системы сбора и анализа данных для обоснованных выводов. Статистика в экономических и социологических исследованиях.

4. Комбинаторика

Задача подсчета вариантов. Кодирование. Систематический перебор. Алфавитный порядок кодов. Использование таблиц для перебора кодов.

Дерево вариантов. Независимый выбор. Правило произведения. Число элементов объединения конечных множеств. Число подмножеств конечного множества. Особое число 0.

Перестановки. Формула числа перестановок. Размещения и сочетания. Формулы размещений и сочетаний. Формула бинома Ньютона.

5. Вероятность и статистика

Достоверные, невозможные и случайные события. Статистический эксперимент. Равновозможные (равновероятные) события. Генераторы случайных событий: кубик, монета, игры.

События и испытания. Благоприятный и неблагоприятный исходы испытания. Статистический эксперимент — серия испытаний. Частота и вероятность события. Устойчивость частоты события в статистическом эксперименте.

Классическая модель вероятности. Геометрическая модель вероятности. Элементарные и сложные события. Вероятность сложного события. Независимые события. Вероятность совместного наступления независимых событий.

Условная вероятность. Полная вероятность. Формула Байеса.

Независимые испытания. Схема Бернулли.

Случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия. Равномерное и нормальное распределения. Статистические методы оценки качества.

V. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК И ЛОГИКА

1. Множества

Множество. Элемент множества. Основные способы задания множества: перечисление и описание. Пустое множество. Число элементов множества.

Объединение и пересечение множеств. Непересекающиеся множества. Связь между объединением множеств и сложением натуральных чисел.

Подмножество. Связь между подмножеством и вычитанием натуральных чисел.

Взаимнооднозначное соответствие между множествами. Связь с понятием натурального числа.

2. Математический язык

Буквы как имена. Обозначение как собственное имя. Переменная.

Выражение с переменными. Равносильные предложения. Следствие. Правила записи и чтения выражений с переменными (синтаксис математического языка). Логические символы математического языка.

Перевод выражений и предложений с естественного языка на математический и обратно.

Языковые явления в математическом языке: синонимы, омонимы и антонимы, эллипсис, метонимия.

Построение моделей текстовых задач.

3. Элементы логики

Высказывание. Истинность и ложность. Тема и рема высказывания. Отрицание высказывания. Противоречие.

Общие высказывания и высказывания о существовании. Способы выражения общих высказываний и высказываний о существовании в естественном языке.

«Сложные» предложения: конъюнкция, дизъюнкция, импликация. Выражение «сложных» предложений с помощью союзов в естественном языке. Связь «сложных» предложений со сложными предложениями естественного языка и предложениями с однородными членами. Связь конъюнкции и дизъюнкции предложений с переменными с системами и совокупностями уравнений и неравенств.

Законы логики: закон контрапозиции, отрицание конъюнкции, дизъюнкции и импликации, отрицание общих высказываний и высказываний о существовании.

Определение. Называние и описание. (Номинальное и реальное определения.)

Свойства объектов (предметов). Характеристические свойства. Предложения с переменными.

Теорема. Связь между свойствами объектов. Обратное утверждение и обратная теорема. Формулировка обратных утверждений, заданных в универсальной и в импликативной форме. Логическое ударение в предложении и его роль в формулировке утверждения и ему обратного. Связь формулировки обратного утверждения в универсальной форме с темой и ремой предложения. Контрапозиция теоремы.

Аксиоматический метод. Неопределяемые понятия. Аксиома как высказывание, истинное по определению, и как очевидная истина. Аксиомы и неопределяемые понятия в алгебре и в геометрии. Аксиоматика в повседневной жизни.

4. Методы рассуждений: логический и формальный аппарат

Логическое (дедуктивное) доказательство. Математическая истина и «физическая» истина.

Индуктивный метод поиска закономерностей и установления фактов: случайный поиск и озарение, эксперимент и обобщение, сравнение, сопоставление и аналогия. Недостаточность индуктивного метода в математике. Метод полного перебора. Метод математической индукции.

Доказательство от противного.

Правдоподобные рассуждения и математика. Эвристика и логика. Алгоритмы.

РАЗДЕЛ 3

ЛОГИКО-ЯЗЫКОВОЙ АСПЕКТ В КОНТЕКСТЕ ГУМАНИТАРИЗАЦИИ ШКОЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Строгость не является единственным и даже главным критерием при построении школьного курса математики.

Язык преподавания математики и математический язык

Строгость определений математических понятий школьного курса

Проверка решения текстовых задач

О существовании конфигурации в геометрических задачах

О некоторых особенностях реального языка математики: кратные корни

Число 0 -действительное или чисто мнимое?

РАЗДЕЛ 3. ЛОГИКО-ЯЗЫКОВОЙ АСПЕКТ В КОНТЕКСТЕ ГУМАНИТАРИЗАЦИИ ШКОЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

1. Язык преподавания математики и математический язык

Одним из требований к современной методической подготовке студентов педагогических институтов является выработка у них правильных представлений не только о математическом содержании, логике и методике изложения школьного курса, но и о более глубинных аспектах преподавания математики. В этой связи представляется весьма важным понимание учителями — как нынешними, так и будущими - достаточно сложных вопросов, связанных с особенностями языка преподавания математики, с его отличиями от собственно математического языка.

Взаимосвязь между этими языками определяется, в первую очередь, тем, что математический язык является фактически лишь собственной частью языка преподавания математики. Математический язык использует точно определенные (или, во всяком случае, однозначно понимаемые) термины и описывает отношения между ними с помощью предложений естественного языка. Поскольку в процессе преподавания излагается конкретное математическое содержание курса, то язык преподавания включает в себя в качестве фрагмента («подъязыка») и собственно математический язык.

В то же время язык преподавания, или язык изложения математики, пользуется терминами и предложениями, не входящими в собственно математический язык, зачастую неопределяемыми и неуточ-

няемыми в той степени, какой требует язык математический. В частности, для языка преподавания типичны термины деятельностного характера, заведомо излишние и недостаточно точные для того, чтобы считаться собственно математическими: упростить выражение, разложить на множители, решить уравнение, доказать теорему, найти геометрическое место точек, построить сечение и т. п.

Эти предложения-требования, сформулированные на естественном языке, — в процессе преподавания считаются достаточно ясными для каждого владеющего родным языком, не разъясняются учащимся, а уточняются лишь по мере необходимости, в конкретных методических ситуациях. В собственно математический язык они не входят по крайней мере по двум причинам - логической и лингвистической: для математики они недостаточно корректны и, кроме того, в математическом языке нет целевых указаний или повелительного наклонения, возникающего при переформулировке этих требований в виде «упростите», «докажите» и т. д.

В то же время в обычном математическом языке имеются на первый взгляд такие термины, как выражение, теорема, доказательство, уравнение. Однако более внимательный анализ статуса этих терминов в математическом языке показывает, что и они являются в действительности терминами языка преподавания, если не иметь в виду разделы математики, связанные с математической логикой. Только в аксиоматических теориях дается строгое определение выражения в терминах заданного алфавита и четко сформулированных правил построения выражений. Только в таких теориях содержится формальное определение доказательства как некоторой последовательности формул и определение теоремы как формулы, для которой существует доказательство1.

Статус соответствующих терминов в классической математике таков же, как и в ее преподавании: выражение есть нечто, построенное по некоторым правилам, однако эти правила не уточняются, и главное — чтобы выражение имело смысл; теорема есть утверждение, подлежащее доказательству. Что же касается самого понятия доказательства, центрального для всего обучения математике, то единственным и психологически очень точным разъяснением этого понятия является крылатая фраза: «Доказательство — это рассуждение, которое

1 Интересно отметить, что в таких теориях обычно не делают противопоставления между теоремами и аксиомами, что в преподавании является, очевидно, весьма важным.

убеждает». Субъективность такого определения не нуждается в комментариях, но точного определения доказательства и невозможно дать, оставаясь в разумных методических рамках. Поэтому понятие доказательства не определяется в процессе преподавания, а формируется в сознании учащихся постепенно при изучении математики. Добавим, что и в математической науке понятие доказательства относится не к собственно математике, а к так называемой метаматематике.

Подчеркнем еще раз, что не только в школьном курсе, но и в обычной, классической, математике доказательствами считаются именно убедительные рассуждения, проведенные на принятом (т. е. опять-таки субъективном) уровне строгости. Яркими примерами, подчеркивающими субъективность понятия доказательства в математике, наполнена вся история ее развития, в частности история создания дифференциального и интегрального исчисления.

Таким образом, даже такие, казалось бы, чисто математические термины, как выражение и доказательство, входят, по существу, не в язык математики, а именно в язык преподавания, или, как мы уже говорили, в язык изложения математики. В еще большей степени это относится к терминам упростить выражение и решить уравнение.

Ясно, что слово «упрощение» в языке преподавания понимается как слово естественного языка, т. е. чисто интуитивно, на основе общечеловеческих представлений о простоте и сложности. Более того, уточнять его, стремиться дать более или менее формальное определение вряд ли было бы целесообразно с методической точки зрения.

Так, можно было бы попытаться определить некоторое выражение как более простое, если оно требует для вычисления меньшего числа операций. Но в этом случае пришлось бы более внимательно отнестись к слову операция: в частности, зафиксировать, о каком способе вычислений идет речь — на бумаге, на логарифмической линейке, микрокалькуляторе или большой ЭВМ, уточнить, входит ли в число операций «обращение к таблицам» и т. п. И что не менее важно, упростив то или иное выражение, мы должны будем доказывать, что большего упрощения добиться уже нельзя. Но какими средствами это можно сделать?

Термины решить уравнение и решить неравенство в преподавании математики имеют вполне четкий смысл — найти множество решений уравнения (неравенства). Однако считать эту фразу точным математическим определением, очевидно, нельзя. В самом деле, а что означает: «Найти множество решений»? Задать его одним из двух

стандартных способов — перечислением или описанием? Но перечислением можно задать только конечное множество, а описанием множество решений уравнения или неравенства уже задано: например, ответом на задачу «Решить уравнение х2 + х — 2 = 0» является множество {х\х2 +х — 2 = 0}.

Разумеется, ставя задачу решить уравнение, мы фактически имеем в виду записать множество его решений наиболее простым образом, и тем самым снова возникает проблема простоты, а эта задача, так же как и в случае простоты выражения, в разумных методических рамках, очевидно, неразрешима.

Аналогично обстоит дело с термином найти геометрическое место точек. Этот традиционный термин в настоящее время в школьном курсе не употребляется, и говорят просто: «Найти множество точек». Однако традиционный термин методически точнее, поскольку он более явно требует геометрического подхода, изображения соответствующего множества на плоскости или в пространстве (и таким образом, естественно, всегда понимается). Поэтому, в частности, учащемуся, давшему на задачу «Найти множество точек, равноудаленных от точек А и В» ответ х={ М\ \МА\=\МВ\}, мы можем сказать, что он не решил задачу, хотя в определенном смысле и нашел множество точек, удовлетворяющих условию задачи. Разумеется, на практике мы всегда имеем в виду не просто найти множество, но и изобразить его геометрически.

Проведенный анализ показывает, что рассмотренные словосочетания не входят в собственно математический язык, но являются терминами, достаточно четкими в языке преподавания математики, и как таковые нуждаются не в строгих определениях, а в разъяснениях, обеспечивающих их однозначное понимание всеми участниками процесса обучения. В конкретных математических теориях эти термины могут получать те или иные более строгие определения, однако этот факт не имеет большого значения для преподавания математики в школе.

Между тем это обстоятельство, вытекающее из существенного различия математического языка и языка преподавания математики, не учитывается в достаточной степени в методике преподавания. Особенно ярко проявилось это в методической трактовке классической триады понятий — равенство, уравнение, тождество. Важность правильного восприятия учащимися этих понятий не вызывает сомнений, и поэтому в истории методики преподавания они часто подвергались внимательному анализу.

В конце 50-х гг. на страницах журнала «Математика в школе» прошла оживленная дискуссия, посвященная понятию уравнения, итоги которой были подведены в статье С. И. Новоселова «О трактовке понятия уравнения» («Математика в школе», 1959,№ 1). Некоторые аспекты этой дискуссии с современной точки зрения представляются устаревшими: например, является ли уравнение предложением утвердительным или вопросительным. Толкование уравнения как вопросительного предложения основано на неприятии сторонниками этой концепции понятия «неверное равенство», на мнении о нецелесообразности использования его в школе. Однако в настоящее время это понятие активно применяется в школе как частный случай понятия ложного высказывания. Такая трактовка вполне соответствует математической практике и, как показывает опыт, не вызывает у учащихся никаких психологических трудностей — равенство может быть верным или неверным, как и любое высказывание, сформулированное на естественном языке. Надо сказать, впрочем, что в самое последнее время возражения против понятия «неверное равенство» вновь стали встречаться в методической литературе.

Главной целью участников описанной выше дискуссии было дать понятию уравнения строгое математическое определение, адекватное его использованию в школе. Это стремление особенно усилилось в связи с сильной тенденцией, имевшей место при обновлении курса школьной математики: по возможности максимально строго подойти к определениям основных понятий школьного курса. Отражением этой тенденции было, в частности, появление в учебнике «Математика-4» (М.: Просвещение, 1970) определения: «Равенство с переменной называют уравнением, если надо найти значения переменной, при которых оно верно». Следует отметить, что такое же, по существу, определение появилось в советской методической литературе и ранее — в книге Ю. А. Шихановича «Введение в современную математику» [78], в разделе «Основные понятия школьного курса математики» (М.: Наука, 1965), — а в настоящее время широко распространено.

Очевидно, однако, что с логической точки зрения это предложение не может быть определением математического понятия. Именно определение математического понятия должно быть объективным, не зависящим от субъекта, исследующего это понятие, тогда как приведенное определение учитывает не только объективную сторону явления (равенство с переменной), но и цель, с которой это равенство рассматривается, - момент, безусловно, субъективный.

Этот недостаток приведенного определения в действительности неустраним, поскольку субъективная сторона - точка зрения исследователя, его интерпретация явления — это и есть главный фактор, который превращает равенство с переменной в уравнение в нашем сознании и в нашем языке. Избавиться от него можно, только устранив сам термин уравнение и отождествив его с термином равенство с переменной. Такое соглашение о понимании уравнения обычно и принимается в настоящее время в методической литературе. Более того, ненужность самого термина уравнение подчеркивается еще и тем фактом, что в параллельной теории — теории неравенств — вообще нет термина, соответствующего термину уравнение.

Между тем с методической точки зрения, особенно в рамках школьного курса, такой выход из положения представляется, на наш взгляд, крайне неудачным ввиду значительных удобств, которые представляет этот термин в преподавании и, далеко не в последнюю очередь, в силу традиций соответствующего словоупотребления не только в школьном курсе, но и в самой математике.

Можно указать и еще по крайней мере на два недостатка отождествления понятия уравнения и равенства с переменными. При таком решении вопроса нет возможности разграничить два важнейших и действительно различных понятия — уравнение и тождество; оба этих объекта являются равенствами с переменными (тождество, конечно, может быть и без переменных), и различие между ними является именно субъективным — наша трактовка равенства с переменными зависит от того, какую цель мы ставим относительно этого равенства: доказать, что оно выполняется при заранее заданных значениях переменной, или найти значения переменной, при которых оно истинно.

Кроме того, при отождествлении уравнения с тождеством при решении уравнений возникают логические тонкости, связанные с тем, что «уравнение пропадает», т. е. получаются равенства, не содержащие переменной, как это бывает при решении уравнений, содержащих модули. В обсуждаемой трактовке уравнение действительно пропадает в буквальном смысле слова: равенство уже не содержит переменной, но как на это должен реагировать ученик, решающий уравнение? В математике есть выход из этого положения, и при возникновении подобных тонкостей разрешается считать, что полученные выражения все-таки содержат переменную, но «фиктивным» образом. Можно также, получив, например, в процессе решения уравнение 2=2, записать его в виде 2 + Ох = 2, однако методическая ценность подобных ухищрений сомнительна.

Таким образом, термин уравнение относится к понятию, глубинная структура которого имеет вид «объект плюс цель исследования: равенство с переменной и задача, ставящаяся относительно этого равенства», — и поэтому не является термином в строгом смысле математическим. Принадлежность его лишь к языку преподавания математики подчеркивается еще и тем фактом, что ни в одном реальном математическом, научном или учебном языке, ни об одном конкретном равенстве с переменной не ставится вопрос типа: «Является ли данное равенство уравнением или не является?» — бессмысленность этого вопроса очевидна. Между тем такой вопрос абсолютно осмыслен (и даже, более того, централен) во всех случаях, когда идет речь о собственно математическом понятии.

Приведем еще один пример, показывающий, что термин уравнение употребляется в языке преподавания как термин деятельностный, рабочий, но не в качестве обозначения математического объекта. Как показано в нашей статье «Проверка решения текстовых задач» (см. раздел 3 или [14]), где проведен детальный анализ схемы рассуждений при решении текстовых задач с помощью уравнений, в действительности при составлении уравнения мы записываем не уравнение, т. е. потенциально истинное равенство, а именно истинное равенство, характеризующее искомую величину в соответствии с условием задачи, которое мы также считаем истинным. И лишь затем — по многовековой традиции — рассматриваем букву, обозначающую искомую величину (точнее, число — меру этой величины) как переменную, для того чтобы применить теорию решения уравнений для нахождения требуемой величины, и поэтому начинаем называть рассматриваемое равенство уравнением, чтобы наиболее естественно с терминологической точки зрения войти в рамки этой теории. Точно так же обстоит дело и в математической науке. Например, при составлении дифференциального уравнения, описывающего тот или иной конкретный процесс: рассматриваемая в этом процессе функция фиксирована, получающиеся в результате соотношения являются истинными равенствами, свойствами этой функции, а для нахождения функции мы используем теорию решения дифференциальных уравнений, что делает вполне естественным интерпретацию ранее фиксированной функции как переменной и полученного равенства как уравнения.

Тот факт, что при создании теории нахождения значения переменных, при которых справедливо то или иное равенство, возник термин уравнение, хотя для построения теории вполне достаточно было бы

одного термина равенство,— это факт чисто исторический и в определенной мере случайный, хотя для него имеется, очевидно, несложное объяснение психолого-лингвистического характера.

Вполне возможно, что этот факт связан именно с применением уравнений к решению текстовых задач (т. е. задач, в историческом плане прикладных), где оказалось естественным использовать особенности внутренней формы слова уравнение, имеющего оттенок процесса уравнивания, стремления уравнять, тогда как термин равенство этого нюанса лишен, неадекватно статичен. Отметим, кстати, что и в иностранных языках, например в английском, французском и немецком, имеет место аналогичное лингвистическое явление, и «динамические» термины equation, équation и Gleichung сосуществуют со «статическими» терминами equality, égalité и Gleichheit.

Для преподавания математики, для ее изложения как процесса познания, а не только как языка записи уже открытых фактов указанная разница в оттенках терминов представляется весьма существенной. Не случайно в паре с термином уравнение появляется термин неизвестное (мы не вдаемся здесь в обсуждение вопроса о правильности, обоснованности выбора рода этого субстантивированного прилагательного): это лишний раз подчеркивает, что уравнение рассматривается как потенциально истинное равенство — при пока неизвестном, но искомом (цель исследования!) значении неизвестного. По этим соображениям, нам не представляется удачным переименование «уравнения с одним неизвестным» в «уравнение с одной переменной» в современных школьных учебниках.

Итак, термин уравнение входит в язык преподавания математики и как таковой не должен и не может иметь строгого логического определения, если, конечно, мы считаем необходимым сохранить его в том смысле, в каком он является общепринятым и в математике, и в ее преподавании.

Что же касается терминов тождество и равенство, то их вполне можно считать принадлежащими к собственно математическому языку. Логическая концепция понятия равенства как двуместного предиката со специальными свойствами раскрывается в курсе математической логики или в курсе типа «Основные понятия школьной математики». Для школьной практики достаточно, разумеется, менее формального представления о равенстве как о высказывании (истинном или ложном), в котором говорится о совпадении двух объектов, имеющих разные (а иногда и одинаковые) имена. В соответст-

вии с этим равенство с переменной рассматривается как высказывательная форма, значениями которой являются конкретные равенства.

Наконец, равенство с переменной называется тождеством, если оно выполняется при всех заранее заданных значениях переменной. Равенства, не содержащие переменной, также можно, разумеется, считать тождествами, но в действительности это будут просто истинные равенства. В то же время такое расширительное толкование тождества давало бы определенные удобства: например, оказались бы синонимичными формулировки: «Доказать, что два выражения тождественно равны» и «Доказать тождество».

При таком подходе к понятиям уравнение и тождество не возникает крайне неудачного, на наш взгляд, противопоставления между этими понятиями, когда равенство с переменной рассматривается как уравнение или как тождество в зависимости от того, выполняется ли оно на всем рассматриваемом множестве значений переменной или только на его собственном подмножестве. Известно, к каким неприятным последствиям приводит такой подход в практике решения уравнений, когда неожиданно для учащегося «уравнение пропадает» или «уравнение превращается в тождество».

Более того, этот подход совершенно невозможно осуществить при построении теории систем линейных уравнений - ни на школьном уровне, ни на уровне высшего образования, - где о противопоставлении внутри пары уравнение — тождество не может идти речи.

Отметим и чисто психологический момент: рассматривая равенство с переменной, мы заранее не знаем, выполняется ли оно на всем рассматриваемом множестве или лишь на его части, и в процессе решения все время называем его уравнением — и вдруг (!) обнаруживаем, что оно оказывается вовсе не уравнением! Но тогда мы должны начать все сначала и вместо задачи «решить уравнение» должны решать задачу «доказать тождество»; более того, сама исходная формулировка оказывается некорректной: нельзя говорить «решить уравнение», если соответствующее равенство является тождеством, а не уравнением. Нельзя не подчеркнуть, что такая переориентация должна производиться фактически в тот момент, когда исходная задача уже решена — мы уже нашли все значения переменной, при которых предложенное равенство верно!

Возвращаясь к понятию уравнения, заметим, что предлагаемая трактовка этого понятия помогает и в выяснении логической сущности уравнения с параметрами, в которых две буквы фактически являются переменными, однако одна из них предполагается фиксирован-

ной (параметром), а другая — неизвестной. Это обстоятельство предопределяет известное и логически весьма призрачное различие между уравнением с одним неизвестным и одним параметром, с одной стороны, и уравнением с двумя неизвестными, с другой стороны. Однако именно это различие с методической точки зрения существенно, поскольку требует от учащегося различной деятельности при решении задач этих двух типов — даже ответы к таким задачам должны быть записаны в разных формах (см. также статью «Задачи с параметрами» — раздел 5).

Нельзя не остановиться еще и на том факте, что термин уравнение употребляется в математике не только в указанном смысле, но и в таких словосочетаниях, как уравнение прямой, уравнение конуса и т. п. Однако в этих примерах естественно считать, что термин уравнение является фактически омонимом термина уравнения в рассмотренном выше смысле1: в приведенных словосочетаниях нет никакой речи о нахождении значений переменных, при которых, например, уравнение прямой превращается в истинное равенство, — это совсем другая задача.

В целях устранения этой омонимии логично было бы вместо уравнение прямой говорить: «Тождество, характеризующее прямую» или, короче, «Тождество прямой», — и такая терминология принята, например, в современной алгебре, где говорится именно о тождестве, определяющем то или иное многообразие — прямую, конус, многообразие ассоциативных колец. Однако мы далеки от мысли предлагать соответствующее изменение терминологии в школьной математике или в аналитической геометрии.

Укажем в заключение, что ситуации, аналогичные положению с термином уравнение в школьной математике, возникают и внутри самой математической науки. Подобно тому как равенство с переменной в определенной ситуации, определяемой целью исследования, называют уравнением, множество пар, составленных из элементов некоторого множества, называют и соответствием, и отношением, и графом — именно в зависимости от цели исследования этого множества, от тех его свойств, которые предполагается изучать.

В то же время в математике нет псевдоопределений типа: «Множество пар называется соответствием, если рассматриваются та-

1 В лингвистике для такой ситуации имеется более точное название - полисемия; так говорится в тех случаях, когда один из двух одинаково звучащих терминов возник как развитие, переосмысление другого, т. е. совпадение их звучаний не является фактом чисто случайным.

кие его свойства, как инъективность, сюръективность и т. п.» или «Множество пар называется бинарным отношением, если нас интересуют его рефлексивность, симметричность, транзитивность и т. п». Тем не менее математики при построении той или иной теории выбирают термин для множества пар именно в соответствии с дальнейшими задачами, и фактически применяемый термин рассматривается как термин языка изложения теории1.

Это ни в какой мере не противоречит употреблению слов соответствие, отношение, граф как терминов математического языка — но в этом случае они получают строгое определение как некоторое множество пар. Таким образом, рассматриваемые термины имеют двойственный статус: как термины языка изложения они используются для наилучшего соответствия между содержанием теории и ее описанием, а как термины математические они являются кратким обозначением соответствующего математического объекта. Такой же статус имеет и термин уравнение; смысл его в языке преподавания мы уже описали, а его логически строгим представителем в собственно математическом языке является термин равенство с переменными.

И еще об одной малозаметной омонимии, точнее, полисемии. Дело в том, что приведенные выше псевдоопределения соответствия и графа звучат вполне грамотно и осмысленно, если их рассматривать не как логически строгие определения математических понятий, но лишь как разъяснение соответствующего словоупотребления, характерного для развиваемой теории. Это объясняется двузначностью термина «называется»: этот термин является в собственно математическом языке языковой заменой, естественным сигналом логико-математического символа df, вводящего определение, а в языке изложения он имеет обычно назначение «условиться о словоупотреблении, о терминологии».

Безусловно, всякое определение, вводимое даже формальным образом, с помощью символа df, также является соглашением о дальнейшей терминологии или символике, но при анализе тонких моментов, тонких отношений между понятиями различение этих двух функций термина называется с методической точки зрения нельзя игнорировать. По-видимому, учитывая такой двойственный статус этого термина, в ряде случаев авторы вместо официального заголовка «Определение» предпочитают более мягкие формулировки типа назовем, будем называть, называют, говорят, что и т. д.

1 Заметим, что для изложения понятия функции на теоретико-множественной основе более естественно использовать термин соответствие, а не отношение.

Укажем в заключение, что для простоты анализа понятия уравнения мы не вскрывали один еще более глубокий факт: мы считали объективным понятие равенства с переменными. Однако в действительности понятие переменной определяется не спецификой буквы, а нашей интерпретацией этой буквы, ее ролью в проводимом исследовании, так что и это понятие несет в себе субъективный момент. Эта субъективность эмоционально подчеркнута в упомянутой выше книге Ю. А. Шихановича [78] — мы объявляем букву переменной. В то же время в математической логике понятие переменной является неопределяемым и, по нашему мнению, именно потому, что субъективный подход к понятию переменной и является сущностью этого понятия.

Наконец, в одном и том же математическом рассуждении буква может менять роль, и в частности из переменной превращаться в постоянную. Можно привести два типичных примера: доказательство по индукции, где при проведении индукционного шага переменную п далеко не всегда заменяют новой постоянной к, и доказательство равносильности уравнений, где также поступают (точнее, не поступают) с переменной х.

Мы не считаем, разумеется, что четкое различие терминов собственно математического языка всегда имеет существенное значение, однако в ряде случаев это различие представляется совершенно обязательным и способствует выбору правильной методической практики в изложении важных понятий школьного курса математики.

2. Строгость определений математических понятий школьного курса с методической точки зрения

Преподавание математики в школе в последние десятилетия во всем мире претерпело значительные изменения, целью которых было приближение школьного курса к современному состоянию математической науки. В ряде стран в программу школьного курса вошли элементы теории множеств и математической логики, основные понятия теории алгебраических структур, геометрические преобразования, начала векторной алгебры, основы дифференциального и интегрального исчислений.

Радикальное изменение содержания математики как учебного предмета не могло не коснуться и второго главного аспекта преподавания математики в школе: новое содержание привело и к новому

стилю изложения, также ориентированному на приближение к стилю современной математической науки. Многие черты традиционного преподавания были признаны устаревшими, не соответствующими новому уровню строгости, индуцированному новым содержанием, стали считаться противоречащими новым требованиям, которые предъявляются к преподаванию математики самой математической наукой.

Отражением этого стремления к строгости является одна из наиболее характерных черт нового стиля изложения школьного курса — подчеркнутое внимание к строгости определений изучаемых математических понятий. Основой для реализации этого логического акцента в методике преподавания явилось построение школьного курса на основе теории множеств. Теоретико-множественная концепция, обогащенная простейшими понятиями математической логики, обеспечила возможность дать четкие формальные определения многим понятиям школьного курса, трактовка которых в традиционном изложении представлялась недостаточно ясной, недостаточно строгой, а в свете новых требований стала считаться в ряде случаев вовсе недопустимой.

Среди таких понятий — центральные понятия курса: натуральное число, целое число, рациональное число, действительное число, функция, последовательность, геометрическая фигура, равенство геометрических фигур, вектор, числовое выражение, алгебраическое выражение, уравнение, система уравнений.

Безусловно, замена расплывчатых, иногда действительно туманных объяснений, вводящих то или иное понятие, его аккуратным определением через род и видовое отличие является желательной и даже необходимой с точки зрения абстрактно понимаемой строгости, однако не подлежит сомнению, что строгость не является единственным и даже главным критерием при построении школьного курса математики.

Более того, сама проблема строгости в школьном курсе математики исключительно сложна ввиду, по крайней мере, следующих обстоятельств: во-первых, эта проблема не имеет однозначного решения в самой математической науке; во-вторых, в преподавании математики на любом уровне — от начальной школы до университета -проблема строгости должна решаться иначе, чем в математической науке; в-третьих, само представление о строгости того или иного определения (и тем более рассуждения) является в значительной мере субъективным.

§ 1. Строгость определений и строгость изложения в математическом и педагогическом плане

Тенденция к формулированию строгих определений школьного курса основана, по нашему мнению, на поверхностном понимании одного из центральных вопросов, связанных с проблемой строгости, именно: в какой мере строгость изложения теории связана со строгостью определений понятий, лежащих в основе или изучаемых в этой теории ?

На первый взгляд представляется несомненным, что недостаточная строгость исходных определений неизбежно ведет к нестрогости и развиваемой на их основе теории. Ярким подтверждением этого тезиса является канторова теория множеств, ставшая базой практически всей классической математики, но неожиданно оказавшаяся внутренне противоречивой вследствие того, что ее основное понятие «множество» не было (и не могло быть) определено достаточно строго. В то же время столь же ярким отрицанием этого тезиса являются аксиоматические теории: исходные понятия в них не определяются1 и вообще не имеют «внутренней природы», а между тем именно в аксиоматических теориях, особенно в формальных, уровень строгости изложения максимально высок.

Таким образом, нельзя утверждать априори, что для строгого изложения теории логически необходимо иметь строгие определения всех ее понятий. В особенности, как это ни парадоксально, сформулированный тезис касается именно исходных, фундаментальных понятий — понятий, лежащих в самой основе теории.

Это находит подтверждение и в историческом плане. Трудно, например, утверждать, что теория чисел, интенсивно развиваемая в XIX в. и уходящая корнями во времена античности, была нестрогой, поскольку ее создатели опирались лишь на интуитивное представление о целом числе и не имели его строгого определения, например, как класса эквивалентных пар натуральных чисел. И можно ли считать это определение целого числа строгим, если учесть, что оно опирается на понятие натурального числа, не имеющее строгого определения? И является ли строгим определение натурального числа как класса эквивалентных множеств, основанное на «наивной» теории множеств, являющейся веще большей степени нестрогой, чем (в содержа-

1 Мы не касаемся здесь возможной трактовки системы аксиом как «аксиоматического определения» исходных понятий.

тельном смысле) конкретные математические теории, на ней основанные?

Интересно отметить совершенно иное положение, сложившееся в математике с теорией комплексных чисел. До конца XVIII и начала XIX в., до работ Весселя, Аргана и Гаусса, эта теория действительно имела основания считаться нестрогой, и именно потому, что ее основной объект л/—Г, возникший формально при решении кубических уравнений, не имел — в отличие от понятий натурального и целого числа — реального, содержательного прототипа вне математики. Между тем на этом этапе развития математики еще не сложились современные логические представления о природе изучаемых в математике объектов, и жесткое требование «реальности», предъявляемое в то время, предопределяло подход к комплексным числам как к объектам «мнимым», воображаемым, невоспринимаемым на интуитивном уровне. Эту «реальность» комплексным числам дала геометрическая интерпретация, и вместе с ней теория комплексных чисел получила в глазах математиков статус полноправной математической теории.

Нельзя, впрочем, не подчеркнуть, что сама математическая теория комплексных чисел успешно развивалась, например, в трудах Эйлера и Даламбера совершенно независимо от проблемы обоснования начал этой теории, отрешения вопроса «Что такое комплексное число?». Такое положение представляет собой, по существу, неявную реализацию основной концепции аксиоматического подхода — существенны лишь отношения между изучаемыми объектами, но не природа объектов.

Отметим еще, что отсутствие достаточно строгого определения предела приводило математиков XVIII—XIX вв. и к некоторым результатам, ошибочным с современной точки зрения (если не говорить, конечно, о теории суммирования расходящихся рядов): например, распространяя формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии на случай q = — 1, Эйлер считал, что сумма ряда

В педагогическом плане отсутствие однозначной связи между уровнем строгости в определениях и в изложении теории подтверждается, например, тем, что при чтении лекции, скажем, по математическому анализу на общепринятом уровне строгости преподаватель опирается, как правило, лишь на представления студентов о поня-

тии функции, сложившиеся у них в школьном курсе, и, в принципе, может даже не знать, какое именно определение принято в школьном учебнике: вводится ли функция как соответствие, как отношение или как зависимая величина. Известен, кроме того, и чисто эмпирический факт, что студенты, безусловно владеющие понятием функции на уровне, вполне достаточном для их учебно-практической деятельности, сами далеко не всегда могут сформулировать его точное определение, хотя изучали его не только в школе, но и в общих математических курсах.

§ 2. Фундаментальные и «технические» понятия

Для чего же нужны строгие формальные определения? С логической точки зрения ответ на этот вопрос, разумеется, очевиден: конечно, для строгости, но лишь, как мы уже говорили, для строгости в чисто абстрактном ее понимании, поскольку в преподавании существен не только логический аспект, но и аспект методический. Но и с методической точки зрения строгие определения имеют некоторые преимущества: в частности, они являются наиболее простым средством описания вводимого понятия, позволяют, грубо говоря, одной четкой фразой строго ограничить его объем. Это относится, разумеется, к главному и самому ясному виду определений — через род и вид, и именно таковыми являются определения фундаментальных понятий школьного курса на теоретико-множественной основе.

Строгие определения, кроме того, создают своего рода «психологический комфорт» преподавателю, фактически снимая с него серьезные методические трудности, возникающие при иных схемах формирования понятия. Сама же задача формирования понятия трансформируется при этом в более простую — закрепление понятия с помощью примеров и контрпримеров, специальной системы упражнений. Недаром поэтому в учебной литературе высокого уровня, например для студентов университетов, и тем более в научных статьях и монографиях (которые, впрочем, также используются в учебных целях) авторы зачастую ограничиваются именно строгими определениями, справедливо (а иногда и не совсем справедливо) полагаясь на стихийное формирование соответствующих понятий в сознании учащихся, — позиция, вряд ли приемлемая на уровне школы.

Безусловно, многие, если не большинство, понятия школьного курса математики допускают подход «определение плюс закрепление», однако это относится лишь, скажем условно, к «техническим»

понятиям — таким, как параллелограмм, окружность, пирамида, степень числа, корень из числа, логарифм, прогрессия и т. п. Логический анализ этих понятий в глубину (т. е. анализ генетический) показывает, что все понятия такого типа опираются, в конце концов, на некоторые фундаментальные понятия: множество, число, геометрическая фигура, функция (которые, впрочем, можно свести далее к единственному понятию «множество»). Именно владение этими фундаментальными понятиями (на любом уровне, строгом или интуитивном) и обеспечивает фактически необходимый уровень владения соответствующими производными, «техническими» понятиями без апелляции к их логической генеалогии, без обнажения корней их генеалогического древа.

Назвав эти понятия техническими, мы хотели лишний раз подчеркнуть тот общеизвестный факт, что определение через род и вид представляет собой, строго говоря, не более, чем сокращение речи, важное в педагогическом, прагматическом, но не в логическом плане, и является чисто номинальным определением, т. е. вводит одно слово или небольшую группу слов для называния объекта, подлежащего изучению.

Что же касается понятий фундаментальных, то определение их через род и вид иногда просто невозможно, а если и возможно, то далеко не всегда методически оправданно. По нашему мнению, именно принципиальная невозможность определения некоторых понятий и заставляет ставить вопрос о методической целесообразности других определений, даже если они и логически возможны: если «идеал» все равно недостижим, то в каждом конкретном случае следует дидактически обоснованно определять меру стремления к этому идеалу.

§ 3. Влияние строгих определений на методическую ситуацию

Важнейший, на наш взгляд, методический аспект формулирования строгих определений для фундаментальных понятий школьного курса состоит в том, что строгость определения того или иного понятия может коренным образом изменить всю методическую ситуацию в изучении этого понятия, особенно на начальном этапе построения теории1.

1 Как показывает практика, строгие определения фундаментальных понятий в терминах теории множеств требуют часто создания адекватной терминологии и символики, и поэтому приходится либо систематически ими пользоваться, что не всегда удобно и не всегда соответствует общепринятым традициям математической науки, либо вводить традиционную терминологию как «вольность речи».

Если, как показывает приведенный выше пример из теории чисел, теория может развиваться строго и без строгих определений ее фундаментальных понятий, то противоположная ситуация представляется невозможной — или, во всяком случае, нежелательной с дидактической точки зрения.

Уровень строгости определений исходных понятий необходимым образом предопределяет и уровень строгости их изучения, и, что еще более важно, содержание теории в начальных ее фрагментах. Снижение уровня строгости определения конкретного понятия при дальнейшем его изучении может полностью уничтожить положительный эффект логического характера и иметь отрицательные последствия для воспитания логического мышления.

Рассмотрим некоторые примеры изменения методической ситуации при наличии строгих определений. Начнем с одного из простейших понятий — понятия пары. Это понятие в школьном курсе обычно не определяется, но вовсе не потому, что оно является в принципе неопределяемым; напротив, его строгое определение в терминах теории множеств совсем просто: например, пару (а, Ь) можно определить как множество {{а},{а, Ь}}.

Дав это определение, мы уже не имеем права принимать стандартное соглашение о равенстве пар, так что «бывшее определение» (а, Ь) = (с, d) <=> а = с, Ь = остановится теперь теоремой. Эта теорема совсем не тривиальна: если одна ее часть (<=) вполне очевидна «графически»1, то доказательство второй части представляет собой весьма изысканное рассуждение из начальной теории множеств, хотя и не слишком сложное при определенном уровне логического или, скорее, абстрактного развития учащихся2. Подчеркнем, что с доказательства этой теоремы и необходимо начать изложение теории — опустить доказательство или посчитать утверждение теоремы очевидным было бы и логически, и дидактически недопустимо.

Этот подход к понятию пары, основанный на ее строгом определении в терминах теории множеств, не может быть, по-видимому,

1 При явном доказательстве, впрочем «для пущей строгости», придется опираться и на точный смысл знака равенства как символа высказывания о совпадении двух объектов с разными, быть может, именами, и на «правило подстановки» имен совпадающих объектов.

2 Ниже мы приводим это доказательство для явной демонстрации того стиля теоретико-множественных рассуждений, который оказывается здесь логически необходимым.

проведен существенно более просто, чем это сделано нами ниже, и поэтому достаточно ясно, что следование этому подходу ни в средней школе, ни на более высоких ступенях обучения было бы нецелесообразно (если, конечно, речь не идет о специальных построениях, связанных с теорией множеств).

Формальный подход к понятию пары мы выбрали для иллюстрации своих рассуждений как наиболее очевидный, характерный пример, когда абстрактное стремление к строгости не привело на практике к неразумной методической тактике, когда логически существующая возможность осталась в учебном процессе не реализованной вследствие ее очевидных методических недостатков и, конечно, благодаря простоте понятия пары при интуитивном подходе. Отметим, что реализация этой возможности привела бы к логическому завершению теоретико-множественной концепции функции в школьном курсе.

В качестве аналогичного примера в нынешнем школьном курсе можно указать ситуацию с понятием прямой. Именно с логической точки зрения это понятие можно было бы исключить из числа неопределяемых, поскольку в действительности оно может быть представлено как производное от понятий точки и расстояния. Ясно, что прямая может быть определена как множество точек, равноудаленных от некоторых двух различных точек:

Однако эта «экономия» на неопределяемых понятиях существенно усложнила бы методическую ситуацию: во-первых, это определение не так легко развернуть в форму, доступную для восприятия учащимися, только приступающими к изучению систематического курса геометрии, и, во-вторых, с самого начала пришлось бы вести трудную «борьбу» с неоднозначностью выбора пары точек, определяющих каждую конкретную прямую.

При этом возникли бы серьезные трудности как логического, так и геометрического характера, к преодолению которых учащиеся еще, безусловно, не готовы. И самое главное, такой подход вряд ли способствовал бы формированию самого геометрического понятия прямой — напротив, уводил бы в сторону от основных целей преподавания геометрии в школе. Поэтому включение понятия прямой в систему неопределяемых понятий методически абсолютно оправданно.

§ 4. Два примера из геометрии

В то же время в курсе геометрии имеется и пример противоположного характера. Фундаментальное понятие конгруэнтности, неизбежно нуждающееся в строгом определении при четко выраженном и последовательно проводимом теоретико-множественном построении курса геометрии, имеет логическую структуру, достаточно сложную для учащихся. Не только учащиеся 6-х классов, но и выпускники школы, обладающие значительно большим математическим и логическим опытом, в большинстве своем оказываются не в состоянии сформулировать, а тем более применить отрицание этого понятия. Между тем приведение примеров и контрпримеров является, безусловно, необходимым условием владения любым математическим (и не только математическим) понятием.

Поэтому, например, задачу типа «Доказать, что квадрат и треугольник не могут быть конгруэнтными» даже поставить перед учащимися практически невозможно: лишь немногие из них смогут это утверждение доказать, а большинство просто не поймут постановки вопроса — ведь это и так ясно. Учитывая логическую сложность понятия конгруэнтности, авторы учебного пособия «Геометрия-6» под редакцией А. Н. Колмогорова (М.: Просвещение, 1977), конечно, и не ставят перед учащимися подобных задач, но зато вынуждены специально указать, что «прямая конгруэнтна прямой»1.

Разумеется, реально учащиеся в основном вполне владеют понятием конгруэнтности, естественно отождествляя его в своем сознании с геометрическим равенством в традиционном смысле2. Трудно утверждать тем не менее, что правильные представления о геометрическом равенстве фигур формируются у учащихся благодаря понятию конгруэнтности, скорее наоборот, несмотря на это определение, ситуация, которая, по нашему мнению, вряд ли является методически удачной с точки зрения воспитания логического мышления.

Укажем еще один пример более частного характера, когда наличие строгого определения не способствует формированию адекват-

1 Эта формулировка представляется, кстати, логически не совсем ясной: имеется ли в виду, что фигура, конгруэнтная прямой, сама является прямой, или утверждается дополнительно, что любые две прямые конгруэнтны. Эта неясность немедленно выявляется, например, при попытке перевести формулировку на язык математической логики.

2 Интересно, что и в речи учащиеся часто заменяли термин «конгруэнтность» на «равенство», даже четко понимая неточность этого словоупотребления, а иногда и не чувствуя разницы между этими понятиями.

Рис. 1 Рис. 2

ного представления о соответствующем объекте. В учебном пособии «Геометрия-6» под редакцией А. Н. Колмогорова дано следующее определение ломаной: «Ломаной называется объединение отрезков A0Al9 AXAV A2AVАп_{Ап, таких, что конец каждого отрезка (кроме последнего) является началом следующего и смежные отрезки не лежат на одной прямой»1. Это формальное определение привело, например, к тому, что на вопрос, является ли фигура, изображенная на рис. 1, ломаной, чаще всего приходится слышать отрицательный ответ, хотя фигура А{А2... А1 удовлетворяет определению. Напротив фигуру АхА2АгАА (рис. 2) учащиеся не считают ломаной — и именно те из них, кто наиболее внимательно относится к определениям. В действительности эта фигура, разумеется, является по этому определению ломаной, но не ломаной А{А2А3А4, а ломаной А{А3А4.

Конечно, приведенное определение можно изменить так, чтобы устранить возникшую тонкость, однако это усложнило бы логическую структуру определения, и, главное, ни в приведенной, ни в уточненной формулировке определение ломаной не играло бы существенной роли. Для полноценного владения этим понятием, на наш взгляд, вполне достаточно интуитивного представления, сформированного у учащихся уже в начальной школе.

Самое любопытное состоит в том, что приведенному определению ломаной удовлетворяет и фигура, изображенная на рис. 2. Сознательно ли авторы включили в объем понятия ломаной столь экзотическую фигуру, весьма далекую от обычного представления о ломаной, или это получилось случайно — трудно сказать.

1 Кстати, возникает вопрос, естественный для «строгого стиля»: что такое начало и конец отрезка как множества точек?

§ 5. Два примера из алгебры и начал анализа

В курсе алгебры и начал анализа одним из наиболее характерных примеров отражения тенденции к строгости определений является теоретико-множественный подход к понятию функции. Этот подход проанализирован в нашей статье «Понятие функции в математике и в школе» (см. «Математика в школе», 1978, № 2, разд. 4), где показаны некоторые отрицательные аспекты формального определения функции на основе теории множеств. Здесь мы поэтому рассмотрим лишь понятие (бесконечной) последовательности, которое в рамках теоретико-множественного определения общего понятия функции также допускает простое и строгое определение как функция, заданная на множестве натуральных чисел.

Это определение кажется весьма привлекательным на фоне традиционного представления о последовательности како некоторой «картинке» специального вида. Однако выпущенный из бутылки злой джинн формального определения и здесь требует жертв, которые приходится приносить уже для развития теории в стиле этого определения.

Например, требуется уже специальное определение конечной последовательности, так как оказывается, что она не является последовательностью, поскольку определена лишь на отрезке натурального ряда1.

Далее, запрещается рассматривать последовательности с общим членом вида без предварительного доказательства того, что функция g не обращается в 0 при натуральных значениях аргумента. Между тем изучение последовательностей в школе связано в основном с теорией пределов, в которой совершенно несущественно то обстоятельство, что при конечном числе значений аргумента последовательность не определена.

Однако главное в том, что и последующие понятия теории последовательностей нуждаются в определениях на том же уровне строго-

1 Отметим, что в учебнике «Алгебра-6-8» (Ш. А. Алимова и др.) авторы вообще не вводят понятия конечной последовательности; поэтому, в частности, они не могут рассматривать как последовательность конечную прогрессию и, тщательно следя за этим, всегда говорят: «Три числа являются первыми членами прогрессии» (хотя, заметим, у прогрессии, строго говоря, один первый член) там, где всегда раньше говорили: «Три числа образуют прогрессию».

сти. Так, при анализе вопросов, связанных с длиной окружности и площадью круга, естественным образом возникает понятие подпоследовательности. И если при интуитивном подходе это понятие не вызывает никаких осложнений, то формальное определение подпоследовательности уже не так просто. Один из его вариантов может быть следующим: «Пусть/— последовательность, g — (строго) возрастающая последовательность натуральных чисел; тогда последовательность A: h-» f(g(n)) (или просто композиция fog) называется подпоследовательностью последовательности/, соответствующей последовательности g».

Эту формулировку, конечно, можно упростить стилистически, если, например, использовать специфику функции/как последовательности и обозначить ее через (ап), тогда последовательность Л может быть обозначена через (о<л)), однако и при таком упрощении понадобились бы специальные рассуждения, ведущие от этого строгого определения к формированию представлений о том, что такое подпоследовательность «на самом деле», какая «картинка» ей соответствует.

И что еще более важно, утверждение, что предел любой подпоследовательности сходящейся последовательности равен пределу самой последовательности, абсолютно очевидное при интуитивном представлении, станет при этом определении — в любой его форме — теоремой, для которой специальное доказательство представляется уже совершенно необходимым. Аналогичная ситуация будет иметь место и в других теоремах, связанных с подпоследовательностями.

Другими словами, строгое определение подпоследовательности, логически необходимое для поддержания уровня строгости, индуцированного строгим определением последовательности, требует значительных дополнительных усилий, не адекватных математическим трудностям вопроса, и не способствует формированию самого понятия подпоследовательности.

Таким образом, решая вопрос о формулировании строгих определений, следует учитывать не только локальные преимущества (простота и строгость изложения), но и «отдаленные результаты», необходимо иметь ясное представление о том, в какой степени принятые формальные определения отражаются на изучении теории:

1. Не слишком ли высок для учащихся данного класса и школы вообще индуцированный ими уровень строгости?

2. Способствуют ли они или, наоборот, препятствуют выработке у учащихся адекватных представлений о соответствующем математическом понятии?

3. Не уводят ли они в сторону от основных целей изучения соответствующего фрагмента теории или теории в целом, смещая в преподавании акценты от прикладного к логическому?

4. Соответствуют ли они определениям, принятым на более высоких ступенях обучения и в математической науке вообще?

5. Удобны ли соответствующие им терминология и символика и согласуются ли они с терминологией и символикой, принятой в математике?

§ 6. Теорема о равенстве пар

Для доказательства утверждения

(а, Ь) = (с, d) z=> а = с, b = d

отметим прежде всего, что в теории множеств и в ее применениях в конкретных математических теориях, в отличие от большинства ее изложений в учебной литературе, символ типа {я,о,й,а} считается вполне корректным и означает то же самое, что и символ {а, а}1.

При а = Ъ пара (а, Ь) представляет собой множество

{{*},{*,*}}= {{*},{*»= {{*}},

т. е. является, в частности, одноэлементным множеством (но не совпадает, разумеется, с множеством {а}). Это обстоятельство, между прочим, не позволяет в определении пары сказать «двухэлементное множество», хотя это явно напрашивается с точки зрения простоты восприятия. Если же а*Ь, то пара (я, Ь) содержит два элемента.

Пусть пары (я, Ь) и (с, d) совпадают. Если а = Ъ, то пара (о, Ь) состоит из одного элемента, а тогда и пара (с, d) состоит из одного элемента, так что и с — d; при этом из совпадения пар получаем последовательно

{W = {{с}}, {а} = {с}, a =c,a=b=c=d.

Если же афЪ, то, по доказанному, c*d, так что множества {а} и {с, d} содержат разное число элементов и, следовательно, различны. Из условия {{а},{а, Ь}} = {{с},{с, d}} следует тогда, что {а} = {с}, {а, Ь) = {с, d}. Но тогда из первого равенства получаем, что а = с, а затем из второго равенства — b=d.

1 Поэтому, в частности, задание множества |<7,,<72, ...,я„ J перечислением не дает однозначного ответа на вопрос о числе его элементов, если явно не оговорено или хотя бы не подразумевается, что употребленные символы являются именами разных объектов.

Простейшим следствием доказанной теоремы является обычное «разъяснение», делаемое при неформальном введении понятия пары:

3. Проверка решения текстовых задач

Вопрос о необходимости проверки решения текстовых задач и о содержании этой проверки неоднократно становился предметом обсуждения среди методистов и учителей средней школы. Последний обмен мнениями по этому вопросу состоялся в 1971 г., когда в № 1 и 3 журнала «Математика в школе» были опубликованы статьи Т. Н. Поляковой и В. Г. Болтянского, в которых они высказывали на первый взгляд диаметрально противоположные суждения на сущность обсуждаемого вопроса. Кроме того, в № 4 был опубликован обзор писем читателей, посвященных этой теме. Обзор также показал, что разнообразие мнений, высказываемых методистами и учителями, слишком велико, чтобы на такой основе можно было вести единую «политику» в преподавании этой важной темы учащимся и в предъявлении к ним соответствующих требований.

Между тем вопрос о содержании проверки и ее необходимости является вопросом не только методического, но прежде всего логического характера, и, следовательно, по этому вопросу должно существовать совершенно четкое единое мнение. В настоящей статье делается попытка сформулировать такое мнение, основываясь на бесспорном положении, что поскольку текстовая задача формулируется на реальном, естественном языке, то и логика ее решения должна основываться на смысле слов и предложений этого языка1. Оказывается, что именно игнорирование этого, казалось бы, совершенно тривиального положения и является источником разногласий и противоречий: вопрос о проверке часто ставится чисто абстрактно, без точного учета конкретной формулировки задачи.

Большинство участников обсуждения четко разделяют проверку как контроль вычислений и проверку «по смыслу задачи». Проверке, контролю и роли обратных задач в связи с ней посвящен § 3, а в остальной части мы говорим исключительно о логическом статусе

1 Окончательному формированию описываемого ниже подхода к вопросу о проверке способствовали содержательные беседы автора с В. Г. Болтянским и Н. Х. Розовым, которым автор приносит искреннюю благодарность.

проверки. Другими словами, мы предполагаем, что первая, «главная» часть решения задачи проводится абсолютно правильно — правильно составляются уравнения и правильно находятся их решения, после этого и возникает вопрос: что делать с этими решениями, считать ли задачу уже решенной или подвергать решения некоторой проверке?

В связи с выяснением логических аспектов вопроса о проверке оказывается целесообразным выделить два типа текстовых задач: задачи, в которых речь идет о некоторой реальной, а более точно, о реализованной жизненной ситуации, и задачи потенциального характера, в которых жизненную ситуацию требуется сконструировать, смоделировать, выяснить условия, при которых она реализуется. Принципиальное отличие задач этих двух типов состоит именно в том, что в первом случае наличие ситуации постулируется, а во втором — нет, и это обстоятельство является определяющим в вопросе о необходимости и содержании проверки. Надо заметить, впрочем, что подавляющее большинство задач, встречающихся в практике преподавания, относится к первому типу — к задачам с реализованными ситуациями.

Естественно, что тип задачи должен определяться исключительно ее условием, и в действительности при тонной формулировке задачи и при ее точном понимании не представляет труда определить, к какому типу эта задача относится.

§ 1. Задачи на реализованные ситуации

Рассмотрим задачу, послужившую началом дискуссии.

Задача 1. Артель лесорубов должна по плану ежедневно заготовлять 100 кубометров дров. Лесорубы, перевыполняя план, заготовляли ежедневно сверх нормы 10 кубометров дров, а потому закончили заготовку на 5 дней раньше намеченного планом срока. Сколько кубометров дров заготовили лесорубы ?

Согласно элементарным представлениям о грамматических структурах русского языка, в условии задачи речь идет о некоторой конкретной артели и некотором конкретном, уже прошедшем периоде ее деятельности. В этом смысле условие задачи содержит даже неточность — следовало бы сказать: «Артель лесорубов должна была по плану заготовлять...», подчеркнув завершенность, реализованность описываемой ситуации.

Таким образом, в задаче описана реализованная ситуация, и решающему предлагается найти некоторый, не заданный явно элемент этой ситуации. При постановке всякой задачи такого рода обычно подразумевается, что искомый элемент может быть определен из совокупности данных, известных о ситуации, причем, как правило, однозначно. В то же время представление о текстовой задаче как об отражении некоторых фрагментов человеческой деятельности позволяет задавать и такие условия, в которых требуемый элемент не определяется однозначно — в практике нередки случаи, когда исходные данные не являются достаточными для отыскания той или иной неизвестной величины.

Вернемся к задаче о лесорубах. Обычное решение этой задачи состоит в том, что, обозначив искомую величину через х, мы составляем уравнение и находим его (единственный) корень х = 5500. Решена ли уже задача, или есть необходимость в каком-то исследовании полученного корня, в проверке?

Для ответа на этот вопрос более детально проанализируем логическую структуру этого решения, опираясь на описанное выше представление о реализованности предложенной в задаче ситуации. В рассматриваемый период времени артель выполнила план, т. е. заготовила некоторое количество а м3 дров, и потратила на это а/110 дней. По условию, план был выполнен на 5 дней раньше срока, и, следовательно, справедливо равенство

Таким образом, число а является корнем уравнения

Однако это уравнение имеет единственный корень — число 5500, так что мы можем сделать однозначный вывод: артель лесорубов заготовила 5500 м3 дров.

Приведенная схема рассуждений показывает, что никакого дополнительного исследования полученного корня не требуется, и после нахождения этого корня задача уже решена. Вопрос же о проверке возникает исключительно потому, что при обычном изложении решения задачи его логическая структура не описывается столь явно, как это сделано выше. Естественно, на наш взгляд, считать, что обычная схема решения является кратким изложением описанной более детальной схемы, и, следовательно, в данной задаче никакого дополнительного исследования не требуется.

Так обстоит дело всегда, когда выполняются следующие два условия:

1) в условии задачи идет речь о некоторой завершенной, реализованной ситуации;

2) уравнение (или неравенство, или система уравнений и неравенств), составленное при решении задачи, имеет единственное решение.

Рассмотрим примеры, в которых нарушается второе условие.

Задача 2. Артель лесорубов должна была заготовить 5500 кубометров дров. Лесорубы, перевыполняя ежедневную норму на 10 кубометров, закончили заготовку на 5 дней раньше срока. Какова была ежедневная норма заготовок ?

Обозначив неизвестную величину через х, мы получаем уравнение

которое имеет два корня 100 и — 110; решена ли задача? Нет, но не потому, что второй корень «не имеет смысла», а потому, что мы еще «не знаем», чему именно была равна ежедневная норма: 100 или —110 кубометрам дров.

Поэтому мы проводим дополнительное рассуждение: норма заготовок не может быть числом отрицательным, и, следовательно, норма заготовок была равна 100 кубометрам в день. При этом, как было изложено выше, корень 100 ни в какой дополнительной проверке не нуждается.

Вопрос, является ли проведенное отбрасывание отрицательного корня «проверкой» — проверкой «по допустимым значениям» или «по физическим соображениям», — носит уже чисто терминологический, а следовательно, методический характер.

Более естественным представляется следующий подход: после получения двух корней уравнения задача не решена, поскольку мы не получили ответа на вопрос, и для окончательного вывода мы продолжаем решение. Последующее рассуждение является столь естественным и органическим продолжением предыдущих рассуждений, что давать ему специальное название «проверка» вовсе не обязательно.

Задача 3. Из пункта А в пункт В одновременно выехал велосипедист и вышел пешеход, и в тот же момент времени навстречу им из пункта В выехал автомобилист. Через час после начала движения автомобилист встретил велосипедиста, а затем, проехав еще 14^7 км, встретил пешехода, посадил его в машину, после чего они отправились вдогонку за

велосипедистом и настигли его. С какой скоростью двигался автомобиль, если скорость пешехода была равна 5 км/ч и AB = 100 км?

Пусть автомобиль двигался со скоростью и км/ч, велосипедист — со скоростью V км/ч. Тогда и + v = 100, а из условия встречи автомобилиста с пешеходом после необходимых преобразований получаем, что число и удовлетворяет уравнению 17х2 — 1375х + 1200 = 0. Это уравнение имеет корни 80 и у/ , следовательно, автомобиль двигался со скоростью либо 80, либо /^7 км/ч.

Ясно, что задача еще не решена, поскольку мы так и не узнали, с какой именно скоростью двигался автомобиль — 80 или км/ч?

Возникшее положение совершенно аналогично тому, с которым мы столкнулись при решении задачи 2, с той лишь разницей, что в задаче 2 корень — 110 отвергался по совершенно очевидным соображениям, а в данной задаче дело обстоит несколько сложнее.

Конечно, «физический» аспект задачи подсказывает, что вряд ли возможно движение автомобиля со скоростью /17 км/ч и тем более соответствующее этому случаю движение велосипедиста со скоростью 99/7 км/ч. Однако этот аргумент, очевидно, нематематического характера (более подробно «физический» аспект обсуждается ниже, в § 4), и не составляет особого труда подобрать в условии такие числа, при которых «физическая» бессмысленность полученных результатов будет не столь бесспорной.

Естественно проверить сначала, могли автомобиль в предложенной в задаче ситуации двигаться со скоростью /17 км/ч. Для этого «разыграем» с самого начала все условие задачи: первая фраза не содержит информации, связанной со скоростью автомобиля; далее, автомобилист встретится с велосипедистом в /17 км от Д затем (через 16 ч) встретит пешехода, но, посадив его в машину и развернувшись, он не настигнет велосипедиста. Следовательно, автомобиль не мог двигаться со скоростью у.- км/ч.

Полученный результат означает, что скорость автомобиля была равна 80 км/ч; подчеркнем, что исследование корня 80, аналогичное проведенному для /17, совершенно излишне, поскольку мы знаем, что автомобиль мог двигаться лишь с одной из двух найденных скоростей, а скорость /17 км/ч, как мы показали, противоречит условию задачи. Теперь задача полностью решена.

Задача 4. Турист проехал 100 км на автомобиле и 60 км на катере, причем дорога на автомобиле заняла у него на 15 минут больше времени, чем дорога на катере. Скорость автомобиля на 20 км/ч больше скорости катера. Найти скорость автомобиля.

Пусть скорость автомобиля была равна v км/ч. Нетрудно убедиться, что число v удовлетворяет уравнению

Это уравнение имеет два корня — 100 и 80, — и, таким образом, автомобиль двигался со скоростью либо 100, либо 80 км/ч. Как и в задаче 3, возникает вопрос: чему же в действительности была равна скорость автомобиля? И главное, не упустили ли мы из виду, как и в задаче 3, какое-либо условие?

Для выяснения этого вопроса снова «разыграем» все условия, данные в задаче, для значений скорости 100 и 80 км/ч. Это «разыгрывание» показывает, что оба значения согласуются со всеми условиями. После проведенных дополнительных рассуждений, таким образом, мы можем сделать вывод: автомобиль двигался либо со скоростью 100 км/ч, либо со скоростью 80 км/ч.

Следовательно, данные о ситуации, предложенной в задаче, не являются достаточными для (однозначного) определения скорости автомобиля — положение, которое вовсе не должно представляться странным с точки зрения на текстовые задачи как на возникающие из реальной жизненной практики.

Встает естественный вопрос: являются ли проведенные дополнительные рассуждения проверкой — «проверкой по смыслу задачи», точнее, надо ли их так называть? И здесь, как и выше, этот вопрос носит, очевидно, терминологический характер, и с методической точки зрения такое название, быть может, целесообразно. Подчеркнем, что необходимость дополнительных рассуждений определяется здесь исключительно тем фактом, что в первой части решения мы не

определили требуемого элемента изучаемой ситуации, т. е., попросту говоря, еще не решили задачу.

Для логического анализа решения двух следующих задач заметим, что, согласно излагаемой точке зрения, решение задачи на реализованную ситуацию является доказательством некоторой импликации, т. е. условного утверждения: «Если справедливы утверждения А, В и С, то справедливо утверждение D», и напомним, что в логике импликация считается истинной, если ее посылка ложна (так называемое правило ложной посылки).

Задача 5. В трех баках было вместе 50 л бензина, причем в первом было на 10 л больше, чем во втором. Когда из первого бака вылили в третий 26 л, во втором и третьем баках стало бензина поровну. Сколько бензина было первоначально в третьем баке?

Пусть в третьем баке первоначально было а л бензина. Нетрудно убедиться, что число а удовлетворяет уравнению х + (jc + 26) + (jc + 36) = 50. Это уравнение имеет единственный корень—4, и, следовательно, в третьем баке было... —4 л бензина.

Решена ли задача? Да, и этот вывод обоснован упомянутым выше правилом ложной посылки — с логической, математической стороны здесь не допущено никаких ошибок. Хотя такое положение несколько парадоксально, но ответ: «В третьем баке было — 4 л бензина» совершенно безупречен — несмотря на то, что звучит весьма странно. Однако эта «странность» легко устраняется следующей переформулировкой: «Если действительно в трех баках было 50 л бензина и т. д., то в третьем баке было —4 л бензина».

Разумеется, «нормальное» человеческое восприятие заставляет сделать немедленный вывод, что предложенная задача неправильна, некорректна, что описанная в ней ситуация не могла иметь места. Между тем исследование вопроса, может ли реализоваться ситуация, предложенная в задаче, не входит в обязанность решающего (если, конечно, специально не оговорено противное или условие задачи не требует этого явно, как это бывает в задачах потенциального характера). Поэтому с чисто логической точки зрения решение рассмотренной задачи представляется правильным, однако определенные методические трудности здесь налицо. Эти трудности возникают, очевидно, в любой задаче подобного рода, в любой задаче сложными данными.

Задача 6. В трех баках было вместе 50 л бензина, причем в первом было на 10 л больше, чем во втором. Когда из первого бака вылили в

третий 26 л, во втором и третьем баках стало бензина поровну. Сколько бензина было первоначально в первом баке?

Пусть в первом баке было а л бензина. Нетрудно убедиться, что число я удовлетворяет уравнению х— 10 = 50 — х— (х— 10) + 26. Это уравнение имеет единственный корень 32, и, следовательно, а = 32 — в первом баке было 32 л.

Задача решена, хотя мы и знаем (из предыдущей задачи), что эта задача с ложными данными; но этот факт в решении данной задачи не установлен, и установление его условием задачи не требуется.

Итак, мы выяснили, как обстоит дело с проверкой в задачах, названных нами задачами на реализованные ситуации, т. е. в задачах, где само условие подразумевает, что описываемая ситуация уже имела место.

§ 2. Задачи потенциального характера

Задачи этого типа отличаются от рассмотренных в предыдущем параграфе тем, что их формулировка не предполагает, что излагаемая в условии ситуация уже имеет или имела место. В них требуется обычно выяснить вопрос, можно ли осуществить то или иное действие, состоится ли то или иное событие. И, как мы увидим ниже, именно это обстоятельство определяет необходимость проведения во всех случаях дополнительных рассуждений, естественно называющихся исследованием или проверкой.

Задача 7. Артель лесорубов должна заготовлять ежедневно 100 кубометров дров, однако лесорубы решили заготавливать в день 110 кубометров. Какой план заготовок артель смогла бы выполнить на 5 дней раньше срока?

Не будем обращать внимания на несколько неестественную постановку задачи (план работы «подгоняется» под заранее определенное досрочное выполнение) — такая постановка нам нужна для более четкого противопоставления этой задачи задаче 1.

Предположим, что некоторый план а м3 артель выполнила на 5 дней раньше срока; тогда, как и в задаче 1, находим, что а = 5500. Однако в данном случае задача еще не решена: ведь мы сделали предположение, что артель выполнила некоторый план на 5 дней раньше срока, и поэтому мы установили лишь, как и в задаче 1, что если план выполнен на 5 дней раньше срока, то он равен 5500 м3. Между тем условие данной задачи, в отличие от задачи 1, не подразумевает, что план на

самом деле был выполнен, и мы нуждаемся в проверке, может ли быть выполнен план 5500 м3.

Наиболее естественный прием проверки — разыгрывание условий задачи подобно тому, как это делалось при решении задач 3 и 4: при плане 5500 м3 срок его выполнения составляет 55 дней, но лесорубы могут его выполнить за 50 дней, т. е. на 5 дней раньше срока. Теперь задача полностью решена.

В связи с этим решением сделаем еще три замечания. Часто высказывается мнение, что разыгрывание условий задачи является не проверкой «по смыслу задачи», а проверкой, действительно ли полученный корень удовлетворяет исходному уравнению, и поэтому предназначено лишь для контроля вычислений, но не выполняет функции действительной проверки. Это мнение, однако, представляется неверным: разыгрывание условий задачи едва ли не самый убедительный способ проверки того или иного полученного значения, а сходство с проверкой полученного при решении задачи уравнения является чисто внешним и к тому же неизбежным, поскольку процесс составления уравнения и есть разыгрывание условий задачи, но без фиксированного числового значения искомого элемента описываемой ситуации.

Далее, необходимость проверки в данной задаче определяется не только самой постановкой, но и предложенным способом рассуждений. И если рассуждения проводятся иначе (как это, впрочем, часто и бывает), то необходимость в проверке может отпасть. В самом деле, можно рассуждать и так: для того чтобы план а м3 был выполнен на 5 дней раньше срока, необходимо и достаточно, чтобы число а удовлетворяло уравнению

а это уравнение имеет единственный корень 5500, и, следовательно, на 5 дней раньше срока артель может выполнить план 5500 м3, и только этот план.

Сказанное означает, что вопрос о необходимости проверки является в определенной мере схоластическим, если не указано, о каком конкретном способе решения задачи идет речь, или если этот способ изложен без должных логических комментариев.

Наконец, необходимость проверки в данной задаче, казалось бы, можно исключить следующим соображением: существование плана, о котором идет речь, с практической точки зрения очевидно, поскольку маленький план можно выполнить раньше чем за 5 дней до срока, а большой — только за меньшее число дней до срока, и, следовательно, некоторый промежуточный, средний план можно выполнить на

5 дней раньше срока. Однако это рассуждение представляет собой просто иной способ проверки, а говоря более точно, является некоторым эвристическим соображением в пользу существования хотя бы одного решения данной задачи, заведомо менее строгим, чем разыгрывание условий задачи.

Задача 8. Требуется разлить по трем бакам 50 л бензина. Сколько бензина надо налить в первый бак, чтобы в нем было на 10 л больше, чем во втором, а после переливания 26 л из первого бака в третий в третьем баке стало столько же, сколько во втором ?

Предположим, что бензин разлит требуемым образом; тогда в первом баке находится а л бензина, и число а удовлетворяет уравнению, полученному при решении задачи 6. Это уравнение имеет единственный корень 32, так что в первом баке находится 32 л бензина.

Ясно, что задача еще не решена: мы не можем утверждать, что для выполнения всех условий надо в первый бак налить 32 л бензина. Это связано с тем, что в реальном языке слово «надо» часто имеет смысл, близкий к смыслу математического термина «необходимо и достаточно», а мы установили лишь одно: если бензин уже разлит требуемым образом, то в первом баке оказалось 32 л; остается неясным, будет ли разлит бензин требуемым образом, если в первый бак налить 32 л бензина.

Проводя дополнительные рассуждения, мы устанавливаем, что для осуществления требований задачи в третий бак придется налить —4 л бензина, что невозможно. Следовательно, мы можем сделать вывод: разлить бензин так, как это требуется в задаче, нельзя — и записать ответ: задача не имеет решения. Отметим, что такой ответ в задаче 5 или в задаче 6 был бы неверным; об этих задачах можно сказать скорее, что они «не имеют условия», хотя вряд ли такое словоупотребление целесообразно.

Особенно четко выступает необходимость дополнительных рассуждений — проверки по смыслу задачи — в задачах потенциального характера, содержащих параметры.

Задача 9. Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый имеет массу 3 кг и содержит 40% меди, второй, массой 7 кг, содержит 30% меди. Какие по массе куски этих слитков нужно взять, чтобы после совместной переплавки получить 8 кг сплава, содержащего г % меди ?

Пусть мы взяли а кг первого и (8 — а) кг второго сплава и после их совместной переплавки получили сплав, содержащий г% меди; тогда число а удовлетворяет уравнению 40л: + 30(8 — х) = 8г. Это уравнение

имеет единственный корень 0,8г— 24, и нам остается выяснить, действительно ли, взяв (0,8г — 24) кг первого сплава и (32 — 0,8г) кг второго сплава, мы получим после переплавки сплав, содержащий г% меди. Иными словами, мы должны сделать проверку по смыслу задачи.

Прежде всего указанные количества можно взять только тогда, когда выполняются неравенства:

Решением этой системы неравенств является множество г, таких, что 31,25 <г< 33,75.

Отсюда мы уже можем сделать вывод, что при г, не удовлетворяющих этому неравенству, требуемый сплав составить невозможно. В противном случае мы действительно можем взять куски сплавов полученной массы и убедиться непосредственным подсчетом, что после переплавки получится сплав, содержащий г% меди.

Заметим, что и при решении этой задачи можно вести рассуждения несколько иначе: заранее выписывать ограничения, возникающие при решении задачи, что позволит в дальнейшем обойтись без проверки. Некоторые комментарии о целесообразности такого способа решения содержатся в § 4.

Итак, получен ответ: при 31,25 < г < 33,75 следует взять (0,8г — 24) кг первого сплава и (32 — 0,8/-) кг второго сплава; при остальных г составить требуемый сплав невозможно (задача не имеет решения).

§ 3. Обратные задачи как средство контроля правильности решения

Как известно, задача, обратная данной, состоит в том, что величине, искомой в исходной задаче, придается значение, полученное в ходе решения, а одно из данных исходной задачи объявляется неизвестным. И если после решения обратной задачи окажется, что новое неизвестное принимает значение, которое дано в условии исходной задачи, то проверка считается «удавшейся», а исходная задача считается правильно решенной.

Между тем логика такого поведения представляется весьма неясной, если термину проверка придавать в данном случае логический смысл. Как правильно указывает в вышеназванной статье В. Г. Болтянский, уравнение, составленное при решении обратной задачи, всегда будет иметь своим корнем число, бывшее данным в исходной задаче.

Таким образом, проверка всегда «удается», точнее, почти всегда, поскольку может случиться, что уравнение, составленное при реше-

Рис. 3 Рис. 4

нии обратной задачи, будет иметь еще и другие корни. Надо ли и в этих случаях считать задачу решенной? Естественно, что и при удавшейся проверке может оказаться, что обратная задача не учитывает некоторых «неявных» ограничений и один из полученных корней не будет решением исходной задачи.

Таким образом, представляется очевидным, что к логике решения исходной задачи решение обратной задачи имеет достаточно отдаленное отношение. Однако составление обратной задачи может оказать существенную помощь в контроле проведенных вычислений и рассуждений. Для того чтобы не увеличивать объем статьи, мы не будем приводить конкретных примеров, но ограничимся абстрактными иллюстрациями графического характера.

Пусть буква X обозначает неизвестное исходной задачи, у — неизвестное обратной задачи; остальные данные исходной задачи будем считать фиксированными. Тогда решение исходной задачи состоит в выведении некоторой, как правило, «неявной» зависимости вида f\x,y) = 0, из которой получаются, вообще говоря, несколько «явных» функциональных зависимостей: х =fl(y),х =/к(у) (при подстановке вместо у его значения из условия исходной задачи во все эти зависимости и получаются несколько «кандидатов» на значение искомого неизвестного).

Мы рассмотрим наиболее простой и наиболее типичный случай, когда к = 1. Пусть кривая I на рис. 3 изображает зависимость F(x,y) =

О, и пусть в результате вычислительных или иных ошибок вместо правильной кривой I мы получили кривую II. Тогда, подставив вместо у число Ь, данное как значение у в условии исходной задачи, мы получим число а' в качестве значения неизвестного х исходной задачи.

И если теперь безошибочно составить и решить уравнение для обратной задачи, мы получим в ответе число Ь'ф Ъ и, следовательно, обнаружим, что при решении данной задачи была допущена ошибка.

Следует отметить, что здесь возможен и совершенно казуистический случай (рис. 4), когда и правильная, и ошибочно найденная зависимости приводят к одному и тому же значению х\ в этом случае решение обратной задачи не дает возможности обнаружить ошибку, однако искомое значение неизвестной величины фактически правильно (!), хотя получено из неверных рассуждений и вычислений. Считать ли теперь данную задачу решенной — вопрос весьма тонкий.

Заметим, что и в более сложных случаях (при к > 1) неправильно найденные «решения» исходной задачи отбрасываются в точности тогда, когда они в действительности не являются ее решениями (рис. 5). Однако, как видно из рис. 5 и 6, некоторые решения исходной задачи могут быть потеряны. При этом в ситуации на рис.6 совпадение корней я, и а\ заставит поверить, что задача решена правильно, и значение а2 так и не будет обнаружено. Если же такого совпаде-

Рис. 5 Рис. 6

ния не произойдет (как на рис. 5), то ошибка в решении будет обнаружена.

Мы видим, таким образом, роль обратной задачи в контроле вычислений и рассуждений такова: «лишние» решения отбрасываются, однако при наличии нескольких решений некоторые из них могут потеряться и, кроме того, может оказаться, что правильный ответ получен из неверных вычислений и рассуждений.

Таким образом, в достаточно простых случаях метод составления обратной задачи может быть средством контроля, но, вообще говоря, он недостаточен для гарантии правильного решения задачи. Подчеркнем дополнительно, что все рассуждения проводились нами в предположении, что обратная задача решена правильно, и ясно, что без этого предположения анализировать сущность любого метода контроля бессмысленно. Очевидно, кроме того, что всякий метод контроля ограничен в том смысле, что не дает полной гарантии в правильности проведенных вычислений и рассуждений.

§ 4. Дополнительные замечания

А. Текстовые задачи и уравнения. При предложенной трактовке текстовых задач на реализованные ситуации уравнения и текстовые задачи отличаются друг от друга не только формой записи, но и логикой постановки.

Задача 10. Ученик задумал число. После того как он возвел это число в квадрат, отнял 5, извлек квадратный корень и, наконец, прибавил 1, получилось задуманное число. Какое число задумал ученик ?

Пусть ученик задумал число а; тогда а является корнем уравнения V*2 -5 + 1 = X, и задача сводится к решению этого уравнения — сводится, но не эквивалентна этому уравнению: при решении этого иррационального уравнения обычным способом надо аккуратно исследовать знаки частей перед возведением в квадрат либо в конце решения обязательно сделать проверку.

В то же время в рассматриваемой задаче можно без всяких беспокойств возводить в квадрат и, получив в конце решения единственный корень X = 3, записать ответ без всякой проверки. Мы видим, таким образом, что логика решения текстовой задачи отличается от логики решения уравнения именно в вопросе о проверке. И это различие определяется различием в постановке задачи. Разумеется, мож-

но привести и примеры, где решение текстовой задачи по логике полностью совпадает с решением получающегося уравнения.

Б. Физические ограничения в текстовой задаче. При выполнении проверки «по смыслу задачи» могут возникнуть специфические трудности, связанные с естественными физическими ограничениями, которым подчинены известные и неизвестные величины, входящие в условие задачи, и преодоление этих трудностей представляет собой определенную методическую проблему.

Во многих случаях дело обстоит достаточно просто: так, в задаче 2 нетрудно «догадаться», что лесорубы не могли заготавливать —110 м3 дров в день. Однако уже в задаче 3 можно размышлять по поводу того, может ли автомобиль двигаться со скоростью у{1 км/ч и может ли велосипедист в течение часа поддерживать скорость 99УХ1 км/ч.

Конечно, в настоящее время и то и другое представляется невероятным, но нетрудно придумать задачу с несколько иными числами, в которых решение соответствующих вопросов потребует знания мирового рекорда скорости велосипедиста и высших достижений в соревнованиях автомобилистов на движение с наименьшей скоростью. И вовсе не ясно, как следовало бы поступить — отбросить корень у7 или нет, — если бы в задаче не было дополнительного условия, что автомобиль догнал велосипедиста.

При более внимательном анализе обнаруживается тонкий момент и при решении задачи 9: если число г очень близко к одному из полученных для него крайних значений, то можно ли взять необходимое количество соответствующего сплава? Физически говоря, нет, математически — да. Таким образом, здесь и во многих аналогичных случаях математическая абстракция не согласуется с физической конкретностью. Выходом из этого противоречия является, скорее всего, явное формулирование и использование так называемой потенциальной осуществимости или, быть может, принципиальной осуществимости.

В. «Полная» запись условия задачи. Часто высказывается мнение, что многие вопросы, связанные с проверкой, можно снять, если записывать условие задачи «полностью», т. е. не ограничиваться решением «основного» уравнения, но решать систему уравнений и неравенств, полностью описывающих ситуацию, предложенную в задаче.

Однако такой метод решения наталкивается на принципиальную трудность — как гарантировать, что составленная система действительно полностью описывает условие задачи? Не придется ли для этого проделывать фактически то же самое «разыгрывание условий задачи», но не в числах, а в буквах?

Кроме того, и это, пожалуй, более существенно, в большей части задач это было бы излишне сложно. Здесь уместно провести аналогию с уравнениями: если при решении уравнения мы применяем лишь такие преобразования, при которых не происходит потери корней, и в конце получаем «хорошие» корни, то самый простой путь решения состоит, очевидно, в непосредственной подстановке этих корней в уравнение, а исследование эквивалентности уравнений, возникающих в процессе решения, нахождение области определения и наблюдение за ее расширением — все это совершенно излишне. Точно так же разыгрывание условий задачи, если оно и понадобится, более просто, чем аккуратное составление системы, «полностью» описывающей ситуацию, данную в задаче.

Хорошей иллюстрацией является здесь задача 3: при проверке корня нам достаточно было убедиться, что в этом случае автомобиль движется медленнее велосипедиста и, следовательно, не догонит его; между тем условие «автомобиль догнал велосипедиста» не равносильно условию «скорость автомобиля больше скорости велосипедиста», поскольку при небольшой разности скоростей велосипедист приедет в В раньше, чем его догонит автомобиль. Конечно, здесь мы опираемся на естественный смысл слова «догнал» — догнал в пути, а не разыскал потом в городе.

Добавим, что запись условия «догнал» представляет собой в данном случае бульшие трудности, чем все решение задачи. И эти трудности будут к тому же совершенно не по существу задачи.

Г. Терминология. В этой статье мы ставили целью лишь выяснить логический статус проверки, но не имели в виду предлагать специальные термины. Поэтому употребляемые выше названия задачи на реализованные ситуации, задачи потенциального характера, проверка по смыслу задачи, разыгрывание условий задачи, задачи с ложными данными являлись для нас чисто рабочими.

Кроме того, предложенные при анализе задач решения — сначала предположить, что неизвестная величина имеет значение а, и потом убедиться, что число а является корнем уравнения, — преследовали

цель более четко установить логическую структуру решения, но рекомендовать такой стиль изложения вместо стандартного введения буквы X в качестве значения неизвестного вовсе не имелось в виду.

§ 5. Выводы

1. Текстовые задачи естественно разделяются на два класса: задачи, в которых идет речь о некоторой уже сложившейся ситуации (задачи на реализованные ситуации), и задачи, в которых требуется выяснить, при каких условиях некоторая ситуация может реализоваться (задачи потенциального характера). Принадлежность задачи к тому или другому классу определяется, разумеется, исключительно формулировкой задачи, и поэтому текст задачи должен исключать малейшую двусмысленность в этом отношении.

2. Задача, в которой речь идет о реализованной ситуации, должна считаться полностью решенной, если полученная в ходе ее решения система соотношений (уравнений или неравенств) имеет единственное решение. «Проверка» этого решения каким бы то ни было способом не является логически необходимой.

Если же полученная система соотношений имеет несколько решений, то каждое из них подлежит дальнейшему исследованию, «проверке». Это исследование может быть проведено, в принципе, единственным способом — «разыгрыванием» всего условия задачи для каждого из полученных решений, — однако этот процесс может быть закончен в самом начале, если проверяемое значение «не подходит» по очевидным физическим соображениям.

3. В задаче потенциального характера составление системы соотношений и ее решение являются лишь частью решения задачи: оно исходит из предположения, что ситуация, о которой идет речь в задаче, уже реализована. Поэтому, независимо от числа решений этой системы, все они нуждаются в дальнейшем исследовании, и, таким образом, в этом случае «проверка» является логически абсолютно необходимой.

4. Метод составления и решения обратных задач может, хотя и ограниченно, рассматриваться как метод контроля вычисления. Методическая целесообразность его применения проблематична.

«Полная» запись условия задачи в виде системы всех соотношений, которым удовлетворяют искомые величины, и всех ограничений, которым они должны удовлетворять по физическим или иным соображениям, на практике нецелесообразна: во-первых, обычно

трудно сказать, действительно ли выписаны все необходимые ограничения, и, во-вторых, это часто может излишне осложнить решение.

4. О существовании конфигурации в геометрических задачах

Авторы ряда писем, поступающих в редакцию журнала «Математика в школе», просят дать разъяснения, следует ли после решения геометрической задачи, в особенности задачи с буквенными данными, устанавливать условия существования заданной конфигурации, накладывая на определяющие ее параметры соответствующие ограничения.

По этому вопросу высказываются разнообразные мнения — от категорического требования необходимости такого рода исследования до столь же категорического ее отрицания. Если одни авторы писем при отсутствии исследования считают задачу решенной не полностью, то другие считают исследование не только излишним, но и свидетельствующим о недостаточном понимании условия задачи.

Для того чтобы дать правильный и исчерпывающий ответ на поставленный вопрос, следует прежде всего четко разделить два его аспекта — логический и дидактический. Первый аспект, на наш взгляд, достаточно полно отражен в предыдущей статье (см. также [39]) и в пособии [50] (§ 3, разд. III). В указанной статье детально обсуждается вопрос о логической необходимости проверки при решении текстовых задач, внешне отличный от рассматриваемого здесь, однако логика ситуаций в текстовых геометрических задачах совершенно идентична.

Напомним один из тезисов статьи [39]: «Текстовые задачи естественно разделяются на два класса: задачи, в которых идет речь о некоторой уже сложившейся ситуации («задачи на реализованные ситуации»), и задачи, в которых требуется выяснить, при каких условиях некоторая ситуация может реализоваться («задачи потенциального характера»). Принадлежность задачи к тому или другому классу определяется исключительно формулировкой задачи, и поэтому текст задач и должен исключать малейшую двусмысленность в этом отношении». От класса задачи и зависит в первую очередь логическая необходимость проверки.

Отметим, кроме того, что среди задач на реализованные ситуации встречаются иногда так называемые задачи с ложными данными, в которых предложенная ситуация в действительности не может осуществиться, хотя в условии она описывается как реализованная. Логика решения в этом случае не отличается от логики решения любых

задач на реализованные ситуации, однако парадоксальность, содержащаяся в самой постановке задач такого рода, явное противоречие между логикой и здравым смыслом требуют внимательного анализа целесообразности использования задач с ложными данными в школьной практике.

Совершенно аналогично обстоит дело и с геометрическими задачами, при решении которых вопрос о существовании конфигурации играет ту же самую роль, что и вопрос о проверке решений в текстовых задачах. Специфика геометрических задач состоит в данном случае лишь в том, что условия текстовой задачи не дают объективной возможности проверить, действительно ли «два трактора вспахивают поле в 100 га за 2 дня», тогда как условие геометрической задачи позволяет, хотя бы в принципе, доказать возможность реализации ситуации, заданной в нем. На наш взгляд, этой спецификой и объясняется сосуществование двух взаимоисключающих точек зрения на необходимость доказательства существования конфигураций, рассматриваемых в задачах.

Стандартные задачи на вычисление и доказательство в подавляющем большинстве случаев представляют собой задачи на реализованные ситуации: в них с самого начала речь идет о некоторой заданной конфигурации и требуется вычислить какой-либо ее неизвестный элемент или доказать какое-либо ее свойство.

Задачи на построение являются, естественно, задачами потенциального характера. Их формулировки не содержат указания на то, что рассматриваемая конфигурация существует, чем и объясняется наличие специального этапа — исследования — при традиционном подходе к их решению. На таких задачах здесь мы останавливаться не будем, поскольку вопрос о необходимости доказательства существования конфигурации в этом случае не вызывает никаких разногласий.

Что же касается задач на реализованные ситуации, то существование конфигурации предполагается в них самим условием, и в соответствии с выводами статьи [39] какие-либо исследования соотношений между параметрами или числовыми данными, задающими конфигурацию, ее конструктивное построение, совершенно излишни.

Рассмотрим некоторые примеры.

Задача 1. Дан треугольник со сторонами длины 3, 4 и 5. Чему равен периметр этого треугольника ?

Можно ли считать логически безупречным решение этой задачи, состоящее в «прямом» применении определения периметра треуголь-

ника без всяких комментариев? На наш взгляд, в логической правильности такого решения нет никаких сомнений, и, напротив, какое-либо дополнительное рассуждение на тему о том, что треугольник с заданными длинами сторон действительное существует, и тем более выяснение единственности такого треугольника, было бы «информационным шумом».

С противоположной точки зрения решение должно было бы выглядеть примерно следующим образом: «Так как треугольник со сторонами длины 3,4 и 5 действительно существует, то его периметр равен 12». Неестественность такого решения очевидна не только с точки зрения практики решения задач, но и исходя из здравого смысла: из каких соображений мы подчеркиваем существование треугольника, т. е. неявным образом подвергаем сомнению то, что дано нам самим условием.

Интересный логический эффект возникает в аналогичных задачах с параметрами.

Задача 2. Дан треугольник со сторонами длины а, Ь, с. Чему равен его периметр?

И в этом общем случае ответ Р = а + b + с без всяких дополнительных рассуждений и ограничений является логически безупречным, несмотря на то что не всякие положительные числа а, Ь, смогут служить длинами сторон треугольника.

Более того, рассуждение типа «Если каждое из чисел awe меньше суммы двух других, то Р = а + b + с», казалось бы, более полное, в действительности, как ни странно, является менее полным. В самом деле, утверждение «каждое из чисел а, о, с меньше суммы двух других» нет никакой необходимости оговаривать в качестве условия истинности вывода: это утверждение следует из условия задачи — поскольку если дан треугольник со сторонами длины a, Z>, с, то числа а и с уже связаны требуемыми неравенствами, так что указанное в решении ограничение истинно по условию.

Поэтому в действительности «более полное» решение необходимо продолжить. В общей логической ситуации если справедливы утверждение А и условное утверждение «Если А, то В», то справедливо и утверждение 5, и мы снова приходим к ответу без всяких дополнительных оговорок.

Приведенные два примера могут показаться излишне тривиальными из-за полной очевидности геометрического содержания, однако логика ситуаций не может зависеть от степени очевидности. Между тем неправильное решение обсуждаемого вопроса проникает в

школьную практику, в методические указания для учителей и даже на страницы журнала «Математика в школе». Так, в статье [12] рассматривается следующая задача.

Задача 3. Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус описанной окружности равен R. Найдите радиус вписанной окружности.

Эта задача содержится в учебном пособии «Геометрия-6—10» А. В. Погорелова (М.: Просвещение, 1985, № 26, §12). Автор статьи считает, что ответ приведенный в пособии, неточен, и к нему следует присоединить ограничение «если для некоторого натурального я>3». Однако это ограничение излишне, поскольку, так же как и в задаче 2, его истинность вытекает из самого условия задачи: числа а и R не произвольны, а являются стороной и радиусом описанной окружности правильного многоугольника с некоторым числом сторон, не заданным явно в условии задачи.

Более того, в данной задаче можно даже поставить вопрос, сколько сторон имеет данный многоугольник, ответ на который получается из «ограничения» ясно,что

Таким образом, равенство является не дополнительным ограничением, а следствием условия задачи.

Нельзя согласиться и с расплывчатой рекомендацией автора: «Следовательно, решая задачи типа 26 и 27, необходимо выяснять, существует ли такой правильный многоугольник». Здесь совершенно неясно, чем определяется этот «тип» задач, и, на наш взгляд, задачи 26 и 27 представляют собой обычные задачи на реализованные ситуации, в которых нет логической необходимости выяснять существование заданной в условии конфигурации.

Источником нечеткой логической концепции автора статьи [12] послужили, по-видимому, две другие рассмотренные им задачи, рекомендованные в статье [58]. Приведем одну из них.

Задача 4. Сторона правильного многоугольника а = 3 см, а радиус вписанной окружности г=2 см. Найдите радиус R описанной окружности.

Дело в том, что многоугольника, о котором идет речь в условии, не существует, но это означает лишь, что данная задача с ложными данными и ее включение в методические материалы [58] являются, по нашему мнению, следствием недосмотра авторов — в противном случае, если они сознательно рекомендовали задачу с ложными данными, ее нельзя было предлагать без необходимых комментариев.

Реализованность ситуации в условии задачи подразумевает, естественно, лишь существование соответствующей конфигурации, но вовсе не предопределяет ее единственность. Задачи этого класса могут иметь и несколько, и даже бесконечное множество решений, что, как мы сейчас увидим, может вызвать значительные трудности, связанные именно с необходимостью доказывать (или опровергать) существование конфигураций, соответствующих различным возможностям, полученным в ходе решения.

В статье [39] показано, что наличие нескольких корней у уравнения, составленного при решении текстовой задачи, требует дальнейшего исследования с целью выяснить, действительно ли полученные значения неизвестного элемента ситуации, реализованной в условии, согласуются с ним, а не являются следствием недостаточно полного учета всего комплекса данных задачи. Такая проверка проводится специальным рассуждением — разыгрыванием условия задачи — с каждым из полученных корней уравнения. Может оказаться, что условию задачи удовлетворяет несколько полученных значений неизвестного, т. е. ситуация, реализованная в условии, не определяется однозначно: существуют различные ситуации, удовлетворяющие условию, и невозможно сказать, какая именно из них имеется в виду.

Указанный способ рассуждений можно применять и в геометрических задачах, однако их специфика допускает применение и более стандартного приема, связанного с конструктивным построением искомых конфигураций.

Задача 5. В треугольнике ABC стороны ВС= 2, АС = 3, а радиус описанной окружности равен л/з. Найти длину стороны AB.

Если а, Ь, g — углы данного треугольника с вершинами А, В, С со-

ответственно, то

и по теореме косинусов:

Ясно, что

но условие задачи не содержит никакой информации о знаке косинусов (мы знаем лишь, что оба они не могут быть одновременно отрицательными, поскольку треугольник не может иметь двух тупых углов). Следовательно,

откуда AB равно или

Однако ответ еще не получен: в заданном треугольнике длина стороны AB не может иметь двух значений. Возникает гипотеза, что в действительности существуют два различных треугольника, удовлетворяющих условию задачи, и для проверки ее следует доказать или опровергнуть.

Применим сначала разыгрывание условий задачи. Из отрезков длины 2, 3, л/б -1, как легко проверить, можно составить треугольник АБС, и притом единственный, в котором ВС= 2, АС= 3,Л5= л/б -1, и поскольку sin у > О, то

откуда

Аналогично рассматривается возможность Л# = л/б + 1, и мы получаем, что ситуация, данная в условии задачи, реализуется двумя различными способами. Следовательно, ответ можно записать в виде: длина стороны AB равна л/б +1 или л/б -1.

Конструктивное доказательство существования двух различных конфигураций, удовлетворяющих условию данной за-

Рис. 7

дачи, можно провести следующим образом. Возьмем отрезок ВС длины 2 (рис.7), проведем через его концы окружность /радиуса л/з (это возможно, поскольку л/3 больше 1 — половины длины ВС) и окружность m радиуса 3 с центром в точке С. Так как радиус окружности m меньше диаметра окружности /, то они пересекаются в двух различных точках Ах и А2.

Треугольники АХВС и Л25Судовлетворяют условию задачи, однако, строго говоря, следует еще доказать, что они различны, хотя это и совершенно очевидно из рисунка. Отметим, что указанный момент представляет собой значительную психологическую трудность: часто трудно доказывать именно утверждения, абсолютно очевидные из рисунка, а значит, из методических соображений, возможно, и не следует акцентировать на этом внимание учащихся, однако логическая необходимость доказательства не исчезает.

Само доказательство, впрочем, может быть проведено достаточно просто от противного: если ВА{ = BAV то ВС — диаметр окружности /, что неверно, так как 2 ф 2л/з.

Мы видим, что логически необходимая вторая часть решения — исследование числа конфигураций — достаточно сложна даже в такой относительно простой задаче. Доказательство существования различных конфигураций с помощью разыгрывания условий требует преодоления определенных вычислительных трудностей (а также, разумеется, и предварительного поиска пути вычислений, технически наиболее простого), а использование конструктивного метода связано, по существу, с решением «дополнительной» задачи на построение, в которой помимо поиска способа построения требуется аккуратное исследование числа решений. Ясно, кроме того, что задача значительно усложнится, если вместо числовых данных в условии фигурируют параметры.

В связи с рассмотренной задачей сделаем одно терминологическое замечание. Ее формулировка типична для задач на реализованные ситуации и заставляет считать с самого начала, что речь идет о некотором фиксированном треугольнике. Однако, как показывает решение, условие задачи не позволяет однозначно определить искомый элемент этого треугольника, что дает основание говорить о задаче с недостающими данными.

Подчеркнем, что последний термин целесообразно применять вовсе не в каждом случае, когда существует несколько различных кон-

фигурации, удовлетворяющих условию задачи, но именно тогда, когда различны искомые элементы конфигураций. Например, если требуется найти радиус окружности, описанной около треугольника со стороной а и противолежащим углом ос, то искомый радиус во всех соответствующих конфигурациях имеет одно и то же значение, и называть такую задачу задачей с недостающими данными вряд ли естественно. Более естественно здесь говорить о задаче с неполной информацией.

Термин задача с недостающими данными нецелесообразно применять и к задачам потенциального характера, в частности к задачам на построение, как это делается, например, в статье [66] (задача 6). Заданные в условии задачи на построение элементы конфигурации позволяют описать все множество требуемых конфигураций, а единственность, конечность или бесконечность числа таких конфигураций с точки зрения постановки задачи несущественна.

Точно так же к задачам потенциального характера не имеет смысла употреблять термин задача с противоречивым условием, как это делается в [66] по отношению к задаче 1 : «Существует ли треугольник со сторонами 6 см, 3 см и 2 см?» В вопросе о существовании конфигурации с заданными свойствами еще нет никакого противоречия, и совершенно естественно, что на этот вопрос можно иногда дать и отрицательный ответ. Сам термин «задача с противоречивым условием» естественно считать синонимичным термину «задача сложными данными».

Если с логической точки зрения сущность задач с ложными данными достаточно ясна, то вопрос об их использовании в школьной практике нуждается во внимательном дидактическом анализе. Разумеется, учащиеся должны знать, что задачи с ложными данными иногда встречаются, — в противном случае малейшая ошибка в условии может вызвать растерянность, однако это еще не означает, что «вопросу воспитания у учащихся критического отношения к содержанию условия задачи» [41] следует уделять большое внимание.

Воспитать в данном случае «критическое отношение к содержанию условия задачи» означает фактически заставить учащихся до решения задачи на реализованную ситуацию всегда исследовать, не является ли она задачей с ложными данными, существует ли конфигурация, реализующая заданную ситуацию. Но тогда возникают серьезные трудности не только логического (логической необходимости этого исследования, как мы уже говорили, нет), но и математического, и методического характера.

Задача 6. Дана правильная треугольная пирамида SABC со стороной основания а и боковым ребром b(S— вершина). Первая сфера с центром в точке О, касается плоскостей SAB и SAC в точках В и С, а вторая сфера с центром в точке 02 касается плоскостей SAC и SBC в точках А и В. Найти объем пирамиды SBO{ 02.

«Критически» относящийся к условию учащийся должен здесь предварительно выяснить, при каких а и Ъ рассматриваемая конфигурация существует, и с большой вероятностью на этом этапе решения он и остановится, поскольку поставленный вопрос весьма сложен.

Если же учащийся, кроме того, достаточно развит логически, то он сможет продвинуться в решении, предположив, что конфигурация существует, вычислить требуемый объем и получить формулу

из которой следует, что

Другими словами, при ЪЪг< а2 заданная конфигурация не существует, однако неизвестно, существует ли она при ЪЪ1 > а2, что необходимо выяснить при «критическом» отношении к условию задачи. Возникшая геометрическая задача совсем не проста, но главное, на наш взгляд, состоит в том, что такой подход к решению неестествен психологически: почему же все-таки мы должны доказывать, что пирамида с рассматриваемыми свойствами существует, если это дано по условию?

Существенные методические трудности возникают и при оценке решений задач с ложными данными. В частности, как объяснить учащемуся его «ошибку», если в такой задаче он логически и математически правильно нашел требуемый элемент конфигурации и не заметил, что условие задачи в действительности невыполнимо? Ошибка в том, что его обманули, а он не заметил обмана?

Такого рода «воспитание» учащихся вряд ли целесообразно, и, на наш взгляд, именно поэтому, как констатируется в статье [66], «в учебных пособиях, сборниках задач, дидактических материалах задачи подобраны так, что фигуры, о которых идет речь в условии, всегда существуют».

В заключение остановимся на вопросах, связанных с необходимостью аккуратных формулировок задач, которые, как мы уже говорили, должны исключать всякую двусмысленность в отношении изначального предположения о существовании конфигурации, рас-

сматриваемой в условии. Разумеется, недостаточная точность естественного языка не всегда дает возможность обеспечить полную однозначность понимания условия, однако к этому, безусловно, надо стремиться.

Совершенно недопустимой является, на наш взгляд, формулировка задачи: «Одна сторона треугольника в 2 раза больше другой; угол между ними равен 50°. Существует ли треугольник?» [66]. В первой фразе здесь явно говорится, что треугольник дан, а во второй фразе его существование подвергается сомнению.

Разумеется, содержание задачи можно понять и из этой формулировки, которая, очевидно, означает следующее: «Существует ли треугольник, у которого одна сторона в 2 раза больше другой, а угол между ними равен 50°?» В такой формулировке задача имеет явно потенциальный характер, тогда как в исходной формулировке она представляет собой логически неясный тип — «реализованно-потенциальный».

Для большей гарантии однозначности понимания условия задачи целесообразно избегать в формулировке различного типа модальностей, выраженных обычно словами типа «должен», «может», «нужно» и т. п., поскольку логическое значение таких слов и в естественном и в математическом языке неоднозначно.

В пособии [50] рассматривается следующая задача, заимствованная из материалов вступительных экзаменов в Московский университет1.

Задача 7. В треугольнике ЛВС известны стороны AB = 4 и ВС — 5. Какова должна быть длина стороны А С, чтобы угол В был больше 120°?

Отметим сразу же нечеткость в постановке задачи: первая фраза очевидным образом утверждает, что треугольник ABC фиксирован, хотя одна из его сторон нам неизвестна, а во второй фразе обнаруживается, что угол В еще может изменяться. На самом деле вопрос следовало бы сформулировать так: «Какова длина стороны АС, если угол В больше 120°?» Вследствие этой нечеткости задача имеет тот же неясный «реализованно-потенциальный» тип, что, как мы сейчас увидим, существенно затрудняет оценку правильности ее решения.

В пособии [2] показывается, что условие «угол В больше 120°», равносильно неравенству АС > л/бТ, затем, в силу неравенства треугольника, добавляется неравенство АС<9, и окончательный ответ дается в виде л/бТ< АС<9.

1 Для упрощения выкладок мы несущественно изменили условие: в исходной задаче угол В должен быть больше 105°.

Мы видим, таким образом, что авторы пособия понимают слово должен как требование найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы отрезок А С мог служить стороной данного треугольника.

Между тем и в реальном, и в математическом языке слово должен может употребляться и в смысле лишь необходимого условия. Ясно, например, что для преодоления высоты 2 м 30 см спортсмен должен много тренироваться, но это означает лишь, что если спортсмен мало тренируется, то такую высоту он не преодолеет, тогда как истинность обратного утверждения вовсе не подразумевается. Точно также вполне характерным для математического языка является истинное утверждение: « Число, делящееся на 4, должно делиться на 2» (хотя и здесь лучше сказать «...делится на 2»).

В то же время для математического языка вполне типично и понимание слова должен как необходимого и достаточного условия, например: «Для того чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и на 3». Такая двусмысленность слова должен обычно не оказывает существенного влияния на понимание конкретного утверждения, поскольку контекст, как правило, позволяет уяснить точнее содержание утверждения, однако в вопросительном предложении употребление этого слова может создать неопределенность в понимании содержания, а следовательно, и в оценке правильности ответа.

В то же время понимание слова должен в условии рассматриваемой задачи как требование поиска только необходимого условия делает задачу бессодержательной, поскольку тогда можно ограничиться, например, ответом, что длина стороны ЛС должна быть меньше 9.

Отметим, что аналогичные трудности возникают и при замене слова должен в условии задачи на слово может: «Какой может быть длина стороны АС, если угол В больше 120°?» В этом случае модальный глагол «может» также допускает двоякое понимание условия: с одной стороны, теперь допустим, например, ответ: «Сторона АС может иметь длину 8» (в треугольнике со сторонами АВ=4, ЯС=5,у4С=8 угол В больше 120°) с другой стороны, в действительности длина АС может быть любым числом, заключенным между л/бТ и 9, что снова дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы угол В был больше 120°.

Интересно отметить, что обе формулировки задачи — и с должен, и с может — наиболее естественно понимаются как требование найти необходимое и достаточное условие, хотя модальности, выражаемые этими словами, по существу, совершенно различны.

Таким образом, свободная от неясностей формулировка рассматриваемой задачи может быть следующей.

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 4, ВС = 5. Найти длину стороны А С, если известно, кроме того, что угол В больше 120°.

В этой формулировке мы имеем задачу с реализованной ситуацией, но, как очевидно из геометрических соображений, с недостающими данными. При ее решении из условия cos£<-— легко получается неравенство АС> V6Ï, т. е. длина стороны АС не определяется однозначно, и следовательно, в соответствии с общей логикой решения задач на реализованные ситуации мы должны проверить, все ли полученные значения для длины АС могут реализоваться в соответствии с условием задачи. Ясно, что значения х = АС, большие или равные 9, не удовлетворяют сформулированному требованию, поскольку в этом случае отрезки длины 4, 5 и х не составляют треугольника, а при л/бТ < X < 9 треугольник с такими длинами сторон существует и его угол В больше 120°, поскольку

Впрочем, можно было рассуждать и более просто: треугольникЛ5С удовлетворяет условию задачи тогда, и только тогда, когда выполняются условия

где X = АС

Отсюда сразу же получаем ответ: длина стороны А С—любое число, большее V6Ï и меньшее 9.

Мы видим, что не слишком значительное изменение формулировки задачи сделало ее менее расплывчатой, обеспечило однозначное понимание ее содержания. Не подлежит сомнению, что к полной логической ясности следует стремиться при формулировке любой математической задачи, однако добиться этого не всегда можно, и прежде всего потому, что условие задачи формулируется на естественном языке, который не всегда достаточно точен, для того чтобы обеспечить одинаковое понимание содержания предложений всеми участниками коммуникации.

В практике обучения, на наш взгляд, необходимо придерживаться следующего положения: если учащийся решил задачу, понимая ее условие некоторым допустимым (с точки зрения естественного языка)

образом, то такое решение следует считать правильным независимо от того, соответствует ли его понимание тому, которое вкладывал в условие предложивший задачу, однако недостаточно четко ее сформулировавший. Разумеется, вопрос о допустимости того или иного понимания условия исключительно сложен и разными людьми может решаться по-разному, однако все сомнения, естественно, должны трактоваться в пользу ученика.

5. О некоторых особенностях реального языка математики: кратные корни

У героя фильма «Служебный роман» Анатолия Ефремовича Новосельцева было, как известно, двое детей — мальчик и... еще мальчик. А у квадратного уравнения х2 — О два корня — 0 и... еще 0. А функция у =iô принимает наименьшее значение в 0 в трех точках: ее производная у' =4х3 обращается в трех точках —трех корнях уравнения x3 = 0. Почему же мы смеемся или же сочувствуем косноязычию героя в первом случае, не видим ничего удивительного во втором случае и, очевидно, недоумеваем в третьем случае?

Ответ достаточно очевиден: язык, которым реально пользуются математики, и прежде всего обучающие математике, не так логичен и строг, как это многим кажется, и обладает практически теми же «недостатками», что и обычный, естественный язык: он не всегда последователен, содержит много специально оговоренных, а часто и неоговоренных условностей — «вольностей речи», фигур умолчания-подразумевания, метафор и т. п.

Достаточно напомнить, что «в функциональной ситуации»;; = f(x) математик и в устной речи, и в письменном тексте вполне может назвать функцией и переменную у, и «правило соответствия» /, и выражение f(x) — каким бы ни было ранее строгое определение понятия функции. Можно, конечно, как иногда делается, явно указать, что предложение «Рассмотрим функцию f(x)» означает: «Рассмотрим функцию, заданную равенством у =У(х)», но сделать все необходимые для «точности языка» указания практически невозможно — они могли бы составить полномасштабный математическо-русский словарь.

Нельзя не указать в этом контексте попытку устранения классической «некорректности» — отождествления функции и задающего ее аналитического выражения в учебниках «Алгебра и начала анализа». Как красиво смотрится формула sin' =cos и не менее красиво

смотрелись бы формулы ехр' = ехр и In' = inv! К сожалению, не все функции в математике имеют «личные» имена, и, как ни горько, приходится писать неграмотное равенство (х2)' = 2х, в котором дифференцируется не функция, а выражение.

Иной ситуации не могло и быть: математический язык является как и всякий язык, средством общения, коммуникации и как таковой должен быть удобен для участников общения. Он должен быть достаточно точен, чтобы адекватно передавать определенную информацию, но лишь достаточно, а не максимально точен — противоположным примером является, скажем, язык логики, значительно более точный, чем «бытовой» математический язык, но как средство общения, и в особенности при обучении математике, он неприемлем.

Легко ли ответить, скажем, на вопрос: «Верно ли, что

Между тем в переводе на русский язык этот «ребус» означает: «Верно ли, что уравнение х2 — 1 = 0 имеет два различных корня ?»

Ясно, что реальный математический язык является в действительности «расширением» естественного языка в основном за счет символики и, естественно, изменения лексических значений (как следствие и омонимии с естественным языком: например в мои функции это не входит). Вместе с тем он обладает теми же «недостатками», что и естественный язык, которые на самом деле — с точки зрения эффективности коммуникации — являются его достоинствами.

При этом важнейшее отличие математического языка состоит в том, что он располагает возможностями для максимальной точности, однако пользуется этими возможностями крайне редко. Другими словами, это отличие имеет в целом лишь потенциальный характер, и искусство владения этим языком состоит именно в определении меры точности, адекватной основной цели коммуникации.

Возвращаясь к конкретным вопросам о количестве корней уравнения X2 = 0 и о количестве точек минимума функции у = х4 (здесь вольность речи — надо «точек, в которых эта функция принимает наименьшее значение»), заметим сразу же, что на первый вопрос в разных контекстах мы отвечаем противоположным образом.

Именно в контексте общей «стройной» теории (иронические кавычки принадлежат авторам статьи [9]) мы считаем, что уравнение х2=0 имеет один корень, — и как можно объяснить на этом этапе учащимся, что оно имеет два равных корня? И вообще, что означает

выражение «два равных объекта» как словосочетание естественного языка? Имеет ли смысл говорить, что человек имеет две равные фамилии?

Другими словами, наличие в традиционном подходе на этом этапе именно одного корня у данного уравнения — это не стремление к стройности, а элементарный здравый смысл, вытекающий из свойств естественного языка. Кроме того, при ином решении рассматриваемого вопроса не слишком понятно, как говорить о равносильности уравнений.

Напротив, при рассмотрении уравнения х1 =0 как квадратного мы часто, хотя и не всегда, говорим, что оно имеет два равных корня. В этом контексте такое словоупотребление, касающееся всех соответствующих квадратных уравнений, во-первых, уже естественно, поскольку причины его появления уже объяснимы, во-вторых, удобно по разным причинам: в частности, и потому, что оно ориентировано на «качественные особенности» [9] реальных процессов, описываемых соответствующими моделями, и потому, что в будущем появится теорема о том, что алгебраическое уравнение степени п имеет п комплексных корней, и потому, что оно позволяет лучше формулировать и применять теорему Виета. (Если теорема Виета сформулирована только для различных корней, то, вычисляя, скажем, сумму квадратов корней уравнения, мы должны были бы предварительно проверить, не совпали ли эти корни, что было бы просто нелепо — при этом мы как раз бы и жертвовали математикой в угоду «стройности».)

Кроме того, в учебниках это словоупотребление практически всегда специально оговаривается и рассматривается, таким образом, как допустимая вольность речи, а в теореме Виета подчеркивается, что она применима и «в случае равных корней», так что применение ее в соответствующих случаях оправдано логически, а не только «лингвистически».

Такая же вольность речи допускается и во «внешкольном» языке, однако там выражение типа: «Уравнение имеет к корней, равных 1», имеет абсолютно точный синоним «Число 1 является корнем уравнения кратности к». И кстати, именно так говорят при формулировании основной теоремы алгебры многочленов с комплексными коэффициентами: «Многочлен степени п имеет п корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность» (или еще более точно: « Сумма кратностей корней многочлена степени п равна п»). А если «не считать», то он имеет — при наличии кратных корней — меньшее число корней.

Кроме того, в алгебре доказывается теорема, что многочлен степени п не может иметь более п корней, где, конечно, без всяких оговорок подразумевается, что речь идет о различных корнях. Аналогичная теорема формулируется и в теории чисел для алгебраических сравнений, но там уже явно оговаривается, что число решений определяется не количеством самих целых чисел, а количеством классов чисел, попарно несравнимых по заданному модулю.

Таким образом, как и в обычном языке, контекст в математическом языке также играет достаточно важную роль и не может не учитываться. Именно геометрический контекст не позволяет нам не согласиться с утверждением, что функция у = х* принимает наименьшее значение в трех точках: мы «слишком хорошо» видим, что такая точка одна. И вряд ли стоит искать выход в специальной оговорке, что мы считаем, что эта точка одна, несмотря на то что соответствующее уравнение имеет три корня. В «стройной» школьной теории это уравнение имеет один корень, так что алгебраическая терминология вполне согласована с геометрическим образом.

Интересно отметить также одно существенное расхождение алгебраической и геометрической терминологии в самом простом вопросе — толковании, например, ...слов два и три. Когда в алгебре говорят: «Возьмем два числа а и Ь», то практически никогда не имеют в виду, что эти числа различны, тогда как в геометрии в классической формулировке «Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой» подразумеваются именно три различные прямые — в противном случае это утверждение неверно, если прямая не считается параллельной сама себе.

Иное определение параллельности встречалось в школе в учебнике под редакцией А. Н. Колмогорова, и оно удобно именно с точки зрения алгебры — тогда отношение параллельности оказывается отношением эквивалентности, однако оно полностью не соответствует «реальному» представлению о параллельности, смыслу слова параллельные в обычном языке.

Наконец, в математическом языке имеется чрезвычайно оригинальный термин теорема существования и единственности. Разве может быть «единственность» без существования? Но общепринятое понимание этого странного с точки зрения языка словосочетания показывает, что «единственность» (а именно так озаглавливают соответствующую часть теоремы) — это в действительности «не более чем единственность».

В самом деле, теорема существования и единственности доказывается по логической схеме

а второй член конъюнкции истинен, даже если предложение Р(х) всегда ложно, и он означает в точности, что не может быть более одного объекта, обладающего рассматриваемым в теореме свойством.

Итак, математический язык устроен значительно сложнее, чем может представиться на первый взгляд, и ближе к естественному языку, чем многие полагают, и неточность языка не означает нестрогости рассуждений. Этот факт имеет важнейшее значение для обучения математике как процесса коммуникации, сообщения и усвоения информации.

Что касается конкретного вопроса о числе корней уравнения, то традиционный подход, при котором подсчитываются только различные корни уравнения, представляется нам и естественным, и удобным, и единственно возможным. Для алгебраических уравнений, на наш взгляд, наиболее удобной является терминология, в которой квадратное уравнение «с равными корнями» имеет один корень, а соответствующий квадратный трехчлен имеет два равных корня.

В заключение отметим, что авторы статьи [9], в благом намерении «спасти» школьников, вследствие традиционного подхода к числу корней уравнения, «лишенных возможности правильного счета», что «разрушает само предназначение математики», не сказали ни одного слова на тему о том, как ввести понятие кратности корня. Если говорить о произвольных функциях (о нулях функций), то обычно это делается с помощью высших производных, а если только о многочленах, то надо иметь теорию разложения многочленов на множители — и то, и другое достаточно далеко от программы общеобразовательного курса математики.

Вызывают удивление и некоторые конкретные комментарии. Так, конечно, «ответ к задаче не может зависеть от способа решения», но он может зависеть, очевидно, от понимания условия: в приводимом примере речь идет о числе корней уравнения sin2x = 1 на отрезке [0;2л] — и, естественно, зависит именно от интерпретации понятия число корней уравнения.

И если «студент, получивший ответ: «Два решения», будет иметь неудовлетворительную оценку в вузе», то ему можно лишь посочувствовать — не из-за ошибочного ответа, а из-за неправильной оценки. «Вторая сторона», увлеченная математикой, возможно, забыла о том, что студент в дальнейшем будет иметь дело со стройной (в данном отношении без кавычек) теорией.

6. Число 0 — действительное или чисто мнимое?

В редакцию журнала «Математика в школе» часто приходили письма читателей, в которых высказывалось недоумение в связи с определением чисто мнимого числа в учебнике «Алгебра и элементарные функции» Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочетковой. Многие из читателей даже не соглашаются с этим определением, считая его неправильным.

Совершенно ясно, однако, что определение не может быть неправильным. Оно может противоречить нашей языковой интуиции, нашему привычному словоупотреблению, может не совпадать с определением, данным в другой книге, но неправильным оно быть не может.

Недоумение в данном вопросе вызывается тем, что из определения, данного в учебнике, следует, что действительное число 0 является в то же время чисто мнимым. И если теперь ввести, как часто делают, понятие мнимого числа как комплексного числа, не являющегося действительным, то получится, что число 0 является чисто мнимым, но не мнимым. Такое положение в некотором смысле противоречит нормам языка, чем и объясняется «несогласие» с данным определением. Однако если внимательно рассмотреть некоторые математические термины, то можно заметить, что расхождение с языковой нормой имеет место достаточно часто — особенно в так называемых «крайних случаях». Например, множество (от слова много) может не содержать ни одного элемента; деление без остатка является частным случаем деления с остатком.

Такое расхождение, как показывает математическая практика, является удобным, поскольку позволяет избежать большого количества специальных оговорок, ограничений. Вообще, если при том или ином определении математик должен выбирать между стандартной языковой нормой и удобством, работоспособностью определения, то он, как правило, выбирает последнее. Поэтому можно сказать, что нормы математического языка несколько отличаются от норм обычного языка. В частности, для математики характерны «неразложимые» сочетания типа «прилагательное + существительное». Если в языке такое сочетание, как «синий карандаш», означает, что есть понятие карандаш и что данный представитель этого понятия синий, то в математике широко распространено и противоположное явление, и первый пример этому — комплексное число. Строгого математического понятия числа, как известно, не существует, и поэтому в математике комплексное число — это как бы одно слово; в лингвистике такое словосочетание называется фразеологическим единством.

Возвращаясь к определению чисто мнимого числа, заметим, что включение числа 0 в чисто мнимые более удобно, чем противоположное решение вопроса. Оно позволяет без всяких ограничений формулировать такие утверждения: всякое комплексное число является суммой действительного числа и чисто мнимого числа, и только они противоположны своим сопряженным; сумма двух чисел является чисто мнимым числом тогда и только тогда, когда их действительные части противоположны, и т. д.

Принятое в учебнике определение удобно и в «высшей математике»: можно сказать, например, что чисто мнимые числа образуют подгруппу в группе всех комплексных чисел и что группа комплексных чисел является прямой суммой этой подгруппы и подгруппы действительных чисел, не делая при этом никаких оговорок относительно нуля.

Итак, комплексное число 0 и действительное, и чисто мнимое, так что или в заголовке заметки следует заменить на и, а вопросительный знак — на восклицательный.

Заметим, наконец, что возникающее терминологическое «противоречие» имеет своим источником понятие мнимого числа (как «числа, не являющегося действительным»), использование которого вне изучения комплексных чисел и ведет к путанице. Эта путаница идет из практики изучения квадратных уравнений, когда учителя нередко говорят, что квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом имеет «мнимые» корни. Лучше в таком случае говорить, что уравнение не имеет действительных корней, а еще лучше — не имеет корней.

РАЗДЕЛ 4

ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ

При изучении любого материала следует совершенно представлять его место в системе преподавания математики, во всей системе образования учащихся.

Понятие функции в математике и в школе

О некоторых вопросах, связанных с формальным определением комплексных чисел

Многочлены с одной переменной в классах с углубленным изучением математики: мотивация темы

О двух вариантах реализации теоретико-множественного подхода к понятию натурального числа

О составлении циклов взаимосвязанных задач

О правильности рассуждений и подробности изложения в решении задач

Контрпримеры в математике

О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы

О корнях показательно-степенных уравнений

РАЗДЕЛ 4. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ

1. Понятие функции в математике и в школе

Во всех случаях, когда в математическом контексте — и в математике как науке, и в ее основах, излагающихся в школьном курсе, — речь идет о функции (точнее говоря, об однозначной функции), имеет место следующая ситуация: каждому элементу некоторого множества — будем называть это множество для краткости первым — определенным образом соответствует некоторый элемент другого, второго множества. Эти два исходных множества могут быть различны или совпадать, могут быть заданы явно или лишь подразумеваться. Соответствие между элементами первого и второго множества может быть задано специальным правилом, определением или вытекать из реальной, «физической», сущности задачи.

В формальных, «общих», обозначениях ситуация функция традиционно описывается равенством вида

(1)

В этом равенстве буква х рассматривается как переменная, принимающая значения в первом (или в более широком) множестве, буква/является обозначением (или названием, именем) рассматриваемого правила, способа соответствия, а составной символах) обозначает элемент второго множества, соответствующий элементу х первого множества по правилу/

Что касается буквы у, то в равенстве ( 1 ) она встречается в двух тол-

кованиях: это либо второе обозначение для элемента f(x), либо, так сказать, самостоятельная переменная, принимающая значения во втором множестве. При первом толковании равенство (1), по определению у, верно для любого элемента х первого множества; лри втором толковании это равенство представляет собой высказывание с двумя переменными х и у (или, что то же самое, высказывательную форму), истинное для тех и только тех пар значений х и у, в которых у есть элемент, поставленный в соответствие элементу л: правилом (1). В более современной записи х—>Д.х) буква у, впрочем, вообще не участвует.

На практике, при рассмотрении конкретных функций, обозначение для правила, определяющего соответствие, часто отсутствует — в этом случае в правой части равенства (1) стоит выражение, зависящее от X и позволяющее по заданному значению х вычислить соответствующий ему элементу, например: у =х2, y = sin.x + ^gx. Кроме того, отдельные функции получают индивидуальные обозначения и наименования: sin (синус), ch (гиперболический косинус), Li (интегральный логарифм), Г (гамма-функция) и т. д.

Такова сущность ситуации функция. Но что же именно из этой ситуации вычленить в качестве математического объекта функция? Каким должно быть определение функции как математического понятия? Иначе говоря, что такое функция? Ответ на этот вопрос, однако, совсем не однозначен и зависит от многих обстоятельств. Понятие функции в математике прошло долгий путь развития, и в разное время, оставаясь одним и тем же по содержанию, существенно меняло свою форму. Различные подходы к определению функции, принятые в настоящее время в методике преподавания математики, в школьном курсе математики, отражают отдельные исторические этапы развития понятия функции в математике.

§ 1. Развитие понятия функции в математике

Возникнув, как и большинство математических понятий, на основе практической деятельности человека, понятие функции отражало реально, объективно существующие зависимости между изменяющимися явлениями материального мира, между переменными физическими величинами. Сущность понятия функции в его первоначальном понимании характеризуется фразами типа: «площадь квадрата является функцией длины его стороны», «путь, пройденный телом в свободном падении, является функцией времени падения»,

«длина металлического стержня является функцией температуры окружающей его среды» и т. п.

В ситуациях, описываемых фразами такого рода, имеются две физические величины. Изменение одной из этих величин влечет соответствующее изменение другой, так что эти величины в ситуации участвуют несимметрично: одна из них — по физическому смыслу — является основной, определяющей, в то время как значения второй величины определяются значениями, принимаемыми первой величиной. Другими словами, вторая величина зависит от первой, является зависимой величиной, или функцией, от первой величины. Первая величина, естественно, рассматривается при этом как независимая.

При математической формализации этих ситуаций с помощью равенства (1) буква х интерпретируется как независимая переменная, или аргумент, буква у — как зависимая переменная1. Именно эта зависимая переменная у и называется в такой трактовке функцией — функцией от независимой переменной х. Таким образом, в описанном первоначальном понимании функция — это переменная у в равенстве (1).

Отметим, кстати, что при рассмотрении конкретных функций не возникает необходимости в наличии особой буквы для обозначения правила соответствия между значениями зависимой и независимой переменных. Поэтому довольно часто равенство (1) записывают в виде у=у(х), что достаточно полно передает требуемую информацию: переменная у рассматривается как функция переменной х, и никакого наименования ей, кроме уже имеющегося — функция у, — не дается. Такая запись характерна для многих традиционных курсов математического анализа, особенно в тех случаях, когда речь идет о физических приложениях математической теории; встречается эта запись и в ныне действующих учебных пособиях для средней школы.

Однако такой подход к понятию функции, явно ведущий свое происхождение от практических, и прежде всего физических, приложений и вполне достаточный для изучения конкретных функций, не мог служить основой для создания общей теории — математического анализа функций. В самом деле, переменная у сама по себе не может слу-

1 Более точно следовало бы сказать, что буква х интерпретируется как числовая переменная, значения которой пробегают множество значений независимой переменной физической величины, а буква у — как числовая переменная, значения которой определяются по соответствующим значениям переменной х с помощью равенства (1).

жить объектом изучения, и изучать математически функцию, заданную равенством (1), — это значит изучать правую часть fx) этого равенства. Поэтому при переходе от изучения конкретных функций — переменных физических величин — к созданию общей теории функций не могли не появиться и общие обозначения типа /х); отсутствие таких обозначений не позволило бы даже формулировать общие свойства функций.

Более точно следовало бы сказать, что буква х интерпретируется как числовая переменная, значения которой пробегают множество значений независимой переменной физической величины, а буква у — как числовая переменная, значения которой определяются по соответствующим значениям переменной х с помощью равенства (1).

При таком положении дела естественно и целесообразно называть функцией само выражение f(x), и, таким образом, в математике сформировалось понятие функции как некоторого выражения, значения которого зависят от значений, принимаемых переменной х. При этом в равенстве (1) переменная jc сохранила название независимой переменной или аргумента, а буква устала играть роль второго наименования рассматриваемой функции — более краткого, чем f(x)1. Нельзя не отметить, конечно, что содержание понятия функции осталось прежним, так что новый подход к определению функции вовсе не противоречил старому.

Последующее изменение подхода к определению функции связано с пониманием термина выражение. Если вначале этот термин понимался как аналитическое выражение, т. е. как некоторая формальная запись, составленная с помощью переменной и знаков операций, то постепенно стало ясно, что существенным в понятии выражение является не столько его «аналитический» вид, формальная запись, сколько возможность вычислять, которую дает эта запись.

Более того, сам термин «вычислять» в этом контексте постепенно лишился своего «вычислительного» происхождения и стал пониматься в следующем смысле: по определенному правилу находить по заданному значению переменной соответствующее ему значение выражения. Вместе с тем и термин выражение перестал должным образом соответствовать своему новому содержанию, и на первый план вышло само правило нахождения соответствующих значений, а не

1 Ярким отражением такого подхода к функции является обычная фраза — формулировка задания: «Изобразить на одном чертеже графики функции у = sinx и у = sin2x».

способ задания этого правила, как было ранее. Это правило и стали называть функцией.

Одним из преимуществ нового подхода к понятию функции была возможность рассматривать не только числовые функции числового аргумента, но и функции, определенные на множествах объектов произвольной природы и принимающие значения, являющиеся объектами также произвольной природы1.

С другой стороны, этот подход, полностью прояснив сущность понятия функции и освободив это понятие от всех наслоений, связанных с конкретной формой задания правила соответствия, привел одновременно и к созданию новой терминологии: правило соответствия стали называть чаще уже не функцией, а отображением. Что же касается традиционного термина функция, то он сохранился в основном лишь за «классическими» объектами — числовыми функциями числового аргумента2. Более того, при изучении этих функций практически оказалось более удобным — во всяком случае, с точки зрения языка — толковать понятие функции в прежнем смысле, т. е. как некоторого выражения, содержащего переменную.

На современном этапе развития математики, характеризующемся, в частности, повышенным вниманием к логической стороне построения теории, определение функции как правила соответствия с логической точки зрения считается неудовлетворительным, поскольку это «определение» просто заменяет один еще не определенный термин — функция — другим, также не определенным термином — правило.

В то же время понятие правила соответствия интуитивно достаточно ясно, и в терминах теории множеств оказалось нетрудным ввести понятие, вполне адекватно отражающее сущность понятия правило соответствия1. Именно с каждым правилом соответствия F, понимаемым в интуитивном смысле, можно сопоставить множество F, состо-

1 Функции, определенные не на числовых множествах, рассматривались и на более ранних этапах развития математики. Так, в задачах вариационного исчисления изучаются функции, определенные на множествах функций и принимающие числовые значения. Следует отметить, однако, что для этих функций использовался и другой термин — функционалы, как бы подчеркивающий необычность этих функций. Даже в современной математике для функций специальной природы иногда используют специальные термины - например, функтор в теории категорий.

2 Такова, во всяком случае, тенденция словоупотребления; в точной же терминологии понятия отображение и функция, как правило, являются синонимами в математическом смысле.

ящее из пар и определяющееся следующим условием: пара (х, у) принадлежит ^тогда и только тогда, когда элементу х правило /ставит в соответствие элемент у. Всякое множество пар, получаемых таким способом, обладает следующим характеристическим свойством: оно не содержит пар с одинаковыми первыми (но различными вторыми) компонентами. Это свойство означает, что одному элементу х правило ^не может ставить в соответствие два различных элемента ух и ут

Теоретико-множественный подход позволил исключить всякую расплывчатость в определении функции, отождествив функцию с множеством пар, не содержащих пар с одинаковыми первыми компонентами — с точностью до некоторых деталей, о которых речь будет идти ниже. Термин правило соответствия тем самым оказался для теоретических рассуждений излишним и был оставлен лишь в качестве допустимой вольности речи, для удобства изложения.

§ 2. Теоретико-множественная концепция функции

При теоретико-множественном подходе оказывается естественным определить функцию как частный случай более общего понятия соответствия. В свою очередь, определение соответствия также допускает два варианта, и мы остановимся сначала на варианте наиболее детализированном. Для краткости будем называть его основным, а второй вариант — упрощенным.

Основной вариант определения понятия соответствия восходит к известному трактату Н. Бурбаки и содержится в томе «Теория множеств» (М.: Мир, с. 86). Дальнейшая же терминология теории соответствий, связанная с понятиями функции и отображения, была позднее еще более детализирована в основном французскими авторами, создавшими вариант «еще более бурбакистский», чем Н. Бурбаки, а также Ю. А. Шихановичем в книге «Введение в современную математику» (М.: Наука, 1965). Ниже мы излагаем именно этот детализированный вариант.

Определение 1. Пусть X, Y— произвольные множества, G — произвольное подмножество их декартова произведения XxY. Тогда тройка (G, X, Y) называется соответствием между множествами Х и Y1.

Интерпретация тройки множеств (G,X, Y) как соответствия в привычном смысле этого слова состоит в том, что включение (х,у)е G

1 В этой статье мы оставляем в стороне все, что касается уточнения понятия правила как некоторого алгоритма.

рассматривается как «строгая» замена «нестрогого» словосочетания элемент у g Y соответствует элементу х е X. Вместо предложения (х,у) е G говорят также: элемент у является образом элемента х, элемент X является прообразом элемента у, элемент х переходит в элемент у И Т. п.

Мы будем обозначать соответствия «в общем виде» прописными буквами греческого алфавита — до тех пор, пока не начнем рассматривать частные виды соответствий — функции и отображения.

Каждая компонента соответствия имеет собственное название: если G = (G, X, Y) — соответствие, то X— его область отправления, Y— область прибытия, G — график.

Согласно определению 1, для задания соответствия следует задать три множества: произвольные множества Х и Y и произвольное подмножество Сих декартова произведения, т. е. любое множество пар (х, у), в которых хе X, у е Y. Подчеркнем особо, что нет необходимости давать специальное определение равных или различных соответствий: равенство соответствий определяется равенством троек, так что два соответствия равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые области отправления и прибытия и одинаковые графики.

Рассмотрим для иллюстрации несколько примеров соответствий.

1. Пусть Х= {1,2,3}, Г= {1,2, 3,4}, Г, = {1,2,4}, Y2 ={\, 2}, и положим G={(2, 1), (3, 2), (1, 1)}.

Тогда G = (G, X, Y) — соответствие между множествами Хм У, а G{ — (G, X, У,) — соответствие между множествами Хи Y{; при этом соответствия С и С, различны, поскольку они имеют различные области прибытия.

2. Пусть С — множество пар вида (х, х2), где х — произвольное действительное число, а Я — его подмножество, состоящее из пар, в которых число X неотрицательно:

(через R+ мы обозначаем множество неотрицательных действительных чисел).

Тогда Г, = (G, R, R) — соответствие между R и R, Г2 = (G, R, R+) — соответствие между R и R+, причем Г^Г2. Отметим также, что тройка (G, R+, R) не является соответствием, поскольку С не является под-

1 Математический объект, введенный этим определением, называется часто отношением на множествах X и У, или, более точно, отношением между элементами множеств X и Y. Мы предпочитаем, однако, термин соответствие, и некоторые комментарии по этому поводу делаются в § 4.

множеством произведения R+xR: например, пара ( —1,1) принадлежит G, но не принадлежит R+xR.

Укажем еще четыре соответствия с графиком Я:

Все эти соответствия, очевидно, отличны друг от друга и отличны от Г, и Г2.

3. Пусть X, Y— произвольные множества; тогда поскольку 0czXxY, тоГ=(0,Х, Y) есть соответствие между множествами Х и Y— в строгом согласии с определением 1, в котором нет никаких ограничений ни на множества Х и Y, ни на подмножество G их декартова произведения. Еще более «странные» примеры соответствий получаем, если одно из множеств Х и У или даже оба эти множества пустые:

Может показаться, что подобная «крайняя» ситуация объясняется излишней общностью понятия соответствия по сравнению с понятием функции. Однако мы увидим ниже, что, напротив, все приведенные в этом примере соответствия являются даже функциями. Если множество непусто, то соответствие Г является нигде не определенной функцией, а такого рода функции естественным образом возникают при рассмотрении понятия композиции (суперпозиции) функций. Интересно отметить также, что соответствие Г{ является всюду определенным (и одновременно нигде не определенным) соответствием, а соответствие Г3 есть даже взаимно однозначное отображение множества 0 на себя.

Примеры 1 и 2 иллюстрируют два естественных способа задания соответствия. В первом случае мы сначала фиксируем области отправления и прибытия и лишь затем задаем график соответствия — этот порядок в каком-то смысле индуцируется самой формой определения 1. Во втором случае порядок действий противоположный: мы задаем сначала график соответствия, т. е. некоторое множество пар, и лишь затем фиксируем области отправления и прибытия. Мы видим также, что при задании этих областей имеется определенный произвол, и конкретный выбор зависит от особенностей задачи или субъективного желания исследователя. Единственное ограничение состоит в том, что область отправления ^ должна быть не уже, чем множество первых компонент графика G, а область прибытия Y — не уже множества вторых компонент графика F.

В школьной математической практике второй способ распространен, очевидно, гораздо более широко, поскольку именно он фактически используется при аналитическом задании функции. Первый

способ удобен для построения примеров соответствий с теми или иными требуемыми свойствами.

Введем еще несколько терминов, связанных с соответствиями. Всякое множество, состоящее из пар, часто называют просто графиком, не указывая, графиком чего это множество является. Множество, составленное из первых компонент пар, входящих в график G, называется первой проекцией G и обозначается через пр, С ил и pr, G. Аналогично определяется и обозначается вторая проекция графика.

Если график С /является графиком соответствия Г, то первая проекция G называется областью определения Г и обозначается через В(Г); вторая проекция графика G называется областью значений и обозначается через Е(Г). Таким образом, если Г = (G, X, Y), то ДГ) = пр^, ДГ)=пр2С.

В примере 1 мы имеем

в примере 2

а в примере 3

Используя введенные термины, вышеуказанный второй способ задания соответствия можно описать следующим образом: берется произвольный график G, произвольное множество X, содержащее его первую проекцию, и произвольное множество Y, содержащее его вторую проекцию; тогда тройка (G, X, Y) будет соответствием между множествами Х и Y,

Дадим определения основных свойств соответствий.

Определение 2. Соответствие называется

— функциональным, если его график не содержит пар с одинаковыми первыми компонентами;

— инъективным, если его график не содержит пар с одинаковыми вторыми компонентами;

— всюду определенным, если каждый элемент его области отправления является первой компонентой хотя бы одной пары из его графика;

— сюръективным, если каждый элемент его области прибытия является второй компонентой хотя бы одной пары из его графика.

Нетрудно проверить, что соответствия Г и Г{ в примере 1 функциональны, не инъективны, всюду определены; при этом Г, сюръективно, а Г, — не сюръективно. Аналогично можно описать свойства соответствий Л,, А2, Л3, А4из примера 2. Мы отметим лишь, что соответствие А4обладает всеми четырьмя определенными выше свойствами.

Соответствие Г в примере 3 является, согласно определению 2, функциональным и инъективным: действительно, в его графике 0 нет ни пар с одинаковыми первыми, ни пар с одинаковыми вторыми компонентами. Точно так же функциональными и инъективными являются соответствия Г,, Г2,Г3. Соответствие Г,, кроме того, всюду определено, соответствие Г2 сюръективно, а соответствие Г3и всюду определено, и сюръективно. Эти утверждения являются следствием одного из положений математической логики, но их можно понять и из следующих (впрочем, не совсем строгих) соображений. Отрицание свойства всюду определенности соответствия означает, что не каждый элемент области отправления является первой компонентой хотя бы одной пары из его графика, или, что то же самое, в области отправления есть такой элемент, который не является первой компонентой ни в какой паре из графика соответствия. Отсюда следует, что соответствие с графиком 0 не является не всюду определенным, т. е. является всюду определенным. Точно так же обстоит дело с сюръективностью.

Свойства соответствий, введенные определением 2, удобно формулировать в терминах образов и прообразов. Именно соответствие функционально, если каждый элемент его области отправления имеет не более одного образа (или каждый элемент его области определения имеет ровно один образ); аналогично соответствие инъективно, если каждый элемент его области прибытия имеет не более одного прообраза (или каждый элемент его области значений имеет ровно один прообраз). Используя символику математической логики, функциональность и инъективность соответствия (G, X, У) можно записать соответственно в виде

(2) (3)

Далее, соответствие всюду определено, если каждый элемент его области отправления имеет по крайней мере один образ (т. е. область определения совпадает с областью отправления), и, наконец, соответствие сюръективно, если всякий элемент его области прибытия имеет по крайней мере один прообраз (т. е. область значений совпадает с областью прибытия). В символике математической логики всюду определенность и сюръективность соответствия (G, X, У) записываются соответственно в виде

(4) (5)

Также хорошо свойства соответствий описываются на языке стре-

лочных диаграмм. Если мы проведем из множества Хв множество Y стрелки по правилу «от элемента х gX к элементу у g У идет стрелка тогда и только тогда, когда пара (х, у) принадлежит графику соответствия», то определенные выше свойства соответствий будут означать, что на стрелочной диаграмме

а) нет стрелок с общим началом,

б) нет стрелок с общим концом,

в) от каждого элемента хе Н исходит стрелка,

г) к каждому элементу уе К приходит стрелка.

Отметим, кстати, что способ задания соответствия с помощью стрелочной диаграммы (использующийся, в частности, в учебнике «Алгебра-6») — это первый из указанных выше двух способов задания соответствия: фиксированы области отправления и прибытия, а график определяется проведенными на рисунке стрелками.

Подчеркнем важное различие между свойствами функциональности и инъективности соответствий, с одной стороны, и свойствами всюду определенности и сюръективности, с другой стороны. Из определения 2, а также из его логических записей (2) — (5) хорошо видно, что функциональность и инъективность соответствия определяются исключительно свойствами его графика и не зависят от областей отправления и прибытия, тогда как для всюду определенности и сюръективности эти области существенны.

В то же время, как мы уже отмечали, при задании конкретного соответствия вторым способом, т. е. при начальном фиксировании графика, в выборе областей отправления и прибытия имеется достаточно большой произвол, позволяющий нам по желанию получить и всюду определенное, и сюръективное соответствие. Для этого достаточно положить Х= npj(7 или Y = пр2<7, и задаваемое соответствие автоматически получится всюду определенным или сюръективным.

Введем еще два общих понятия, связанных с соответствиями. Первое из них — инверсия соответствия — в дальнейшей теории непосредственно связывается с понятием обратной функции, второе понятие — сужение (или ограничение) соответствия — также полезно при рассмотрении обратной функции, но часто употребляется и безотносительно к этому понятию.

Инверсией пары (х, у) будем называть «перевернутую» пару (у, х); если пара (х, у) принадлежит декартову произведению Хх У, то ее инверсия (у, х) принадлежит произведению YxXtcx же множеств-«сомножителей», но в обратном порядке. Аналогичное определение введем и для произвольных множеств пар (т. е. графиков): если G —

график, то множество инверсий входящих в него пар называется инверсией графика G и обозначается через G~x\ G~x =(у,х) I (х,у)е G

Ясно, что если GczXxY, то G^czYxX, и поэтому для любого соответствия Г = (С, X, Y) тройка (6м, Y, X) также будет соответствием — соответствием между множествами Ки X. Это соответствие и называется инверсией соответствия Г или соответствием, обратным Г; обозначается оно через Г1.

Таким образом, для получения инверсии соответствия, для обращения соответствия следует поменять местами jc и у в каждой паре, входящей в его график, и поменять местами область отправления и область прибытия. На языке стрелочных диаграмм это означает, что надо поменять местами начала и концы стрелок.

Понятие инверсии проливает свет на легко замечаемый параллелизм между основными свойствами соответствий. Именно, записав утверждения (2) и (3) в виде

мы немедленно замечаем, что первое из них означает инъективность соответствия Г1, а второе — функциональность этого соответствия.

Следовательно, соответствие Г функционально (инъективно) тогда и только тогда, когда его инверсия инъективна (функциональна). Поступив аналогично с утверждениями (4) и (5), мы автоматически получим, что соответствие Г всюду определено (сюръективно) тогда и только тогда, когда его инверсия Г1 сюръективна (всюду определена). Отметим, наконец, что при переходе к инверсии меняются местами также область определения и область значений соответствия:

В математической речи — и в письменной, и особенно в устной — нередко можно встретить фразу типа «рассмотрим данную функцию на более узком множестве»: например, при определении обратных тригонометрических функций область определения исходной функции сначала сужают до некоторого промежутка. Содержание этой фразы в контексте достаточно ясно, а ее точный смысл связан с общим понятием сужение соответствия.

Чтобы подойти к формальному определению этого понятия, рассмотрим некоторое соответствие Г = (G, X, Y) и некоторое подмножество А множества X. Наша задача состоит в построении объекта, который было бы естественным назвать сужением соответствия Г на множество А.

Но что значит рассмотреть соответствие Г на множестве AI Интуитивно понимаемое содержание этой фразы означает, что нас не ин-

тересуют элементы области отправления X, не входящие в ее подмножество Л, и поэтому из графика С следует удалить все пары, у которых первые компоненты не принадлежат А. Другими словами, в графике G надо оставить лишь пары, у которых первые компоненты не принадлежат /!, т. е. «сузить» С до пересечения Gn(AxY).

Таким образом, графиком сужения соответствия естественно считать множество Gr\(AxY), ачто касается выбора области отправления и области прибытия, то, как мы уже не раз отмечали, в этом допустим определенный произвол. В частности, мы имеем право взять в качестве области отправления само множество А или оставить прежнюю область отправления X. Выбор определяется обычно особенностями конкретной задачи, и мы примем одно из возможных определений.

Определение 3. Сужением соответствия V = (G,X, Y) на множество А называется соответствие Г I A = (Gr\(AxY), X, Y).

Отметим сразу же, что в этом определении мы опустили ограничение на множество А, наложенное в предыдущих рассуждениях, и теперь А не обязано быть подмножеством X. В теории это ограничение оказывается необязательным, а на практике обычно выполняется даже более сильное ограничение: множество А является подмножеством не только области отправления, но и области определения рассматриваемого соответствия.

С точки зрения принятого определения сужения соответствия, фраза, послужившая основой для рассмотрения этого понятия, является неточной: сужение Г IА — это уже другое соответствие, а не «то же самое соответствие на другом множестве». Более того, само словосочетание «то же самое соответствие на другом множестве», строго говоря, не имеет смысла. Однако эта исходная фраза вполне допустима как вольность речи, упрощающая изложение, если понимать ее как «рассмотрим сужение соответствия Г на такое-то множество».

Один из примеров сужения соответствия рассмотрен в примере 2: поскольку Н= Cn(R+xR),ToA|=ri R+ . Легко понять, что А{ — это как раз то сужение соответствия Г (т. е. в традиционной записи функции у=х2, которое выбирается для построения обратной функции у = 4х ).

Итак, общее определение соответствия достаточно естественным и наиболее общим образом описывает интуитивное представление о соответствии между множествами, когда одним объектам соответствуют — в общежитейском смысле этого слова — какие-то другие объекты. При этом определение 1 не вводит никаких ограничений на существование и единственность образов и прообразов, и вводимое этим определением понятие (называемое иногда много-многозначным

соответствием) встречается в некоторых разделах математики (и лингвистики). Однако для большинства областей математики оно является все же слишком общим, и интерес представляет важнейший частный случай соответствия — функция.

Определение 4. Функциональное соответствие между множествами Xи ^называется функцией типа Х-> Y.

Таким образом, функция — это просто другое название для функционального соответствия, и поскольку функциональность соответствия определяется, как мы указывали выше, исключительно свойствами его графика, то для задания функции мы имеем право взять в качестве графика произвольное множество пар, не содержащее пар с одинаковыми первыми компонентами, а области отправления и прибытия, как всегда, выбрать с определенным произволом. Этот произвол не повлияет на функциональность задаваемого соответствия, но скажется на «полном титуле» функции: в зависимости от выбора этих областей получаемая функция будет того или другого типа. Кроме того, от выбора областей отправления и прибытия зависят всюду определенность и сюръективность задаваемой функции.

Ниже мы будем иметь дело только с функциями и обозначать их привычными «функциональными» буквами/ gw т. п. Мы будем использовать также широко распространенное обозначение/: Х-* Y, имеющее в точности тот же смысл, что и предложение «/— функция типаЛГ—>У>>.

Как уже говорилось, функциональность соответствия означает, что всякий элемент области отправления имеет не более одного образа. Это позволяет ввести символ /х) для обозначения образа элементах при функции/ — недвусмысленность этого символа обеспечивается именно функциональностью соответствия /• если хеХ принадлежит области определения функции /, то /х) — это (единственный!) образ элементах при функции /, если же хне принадлежит области определения, то символах) не имеет смысла. Так или иначе, символах) корректен, поскольку он не может иметь двух смыслов.

Тот факт, что элемент у является образом элементах при функции /типа Л->Кс графиком F, записывают также в виде / х->у (или x_L_»v), и, таким образом, предложения

(6)

имеют одинаковый смысл. Третье из этих предложений наиболее близким образом соответствует формулировке: «Функция / элементу X ставит в соответствие элемент у», а четвертое — формулировке: «При функции f элемент х переходит в элемент у».

Рассматривавшиеся выше основные свойства соответствий в случае функций могут быть сформулированы и записаны несколько более простым образом. Предложение (2) «в функциональных обозначениях» принимает, очевидно, вид

(7)

т. е. превращается в тавтологию. Это и естественно, так как уже при переходе от предложения (2) к предложению (7) мы использовали символах), который определен лишь для функциональных соответствий. Далее, инъективность функции/означает, согласно предложению (3), что

и полученное выражение можно упростить еще следующим образом, вообще исключив переменную у:

(8)

Форма записи свойства инъективности в виде предложения (8) наиболее употребительна на практике для доказательства инъективности конкретных функций. Свойство (8) удобно сформулировать словесно, предварительно заменив его равносильным утверждением - контрапозицией

(8а)

Отсюда видно, что инъективность функции /равносильна утверждению, что разные элементы области определения имеют разные образы.

Предложения (4) и (5), выражающие всюду определенность и сюръективность соответствия, в функциональных обозначениях принимают вид

(9) (10)

и допускают следующие словесные переформулировки: «функция / имеет смысл при любом х еХ», и «уравнениеf(x) =ус неизвестным х и параметром у имеет решение при любом значении параметра уе Y». Отметим, что формулировка свойства сюръективности функции в терминах уравнения, неупотребляемая в математике как науке, полезна в школьной математике, поскольку оперируете достаточно знакомыми школьникам терминами и облегчает подход к доказательству сюръективности конкретных соответствий в примерах.

Определение 5. Всюду определенная функция типа Л"—^ называется отображением множества X в множество У (или отображением типа X->Y).

Сюръективное отображение типа Х^> / называется отображением множества Х на множество Y.

Мы видим, таким образом, что в соответствии с принятыми определениями, т. е. в рассматриваемом основном варианте теоретико-множественного подхода, соотношение между понятиями функции и отображения совершенно однозначно: всякое отображение является функцией, но не всякая функция является отображением. В этом вопросе проявляется отличие излагаемой здесь «модернизированной» терминологии от терминологии трактата Н. Бурбаки, где функцией называется всюду определенное функциональное соответствие, так что понятия функции и отображения просто совпадают.

Разумеется, говорить о том, является ли данная функция отображением или не является, можно лишь тогда, когда она уже задана полностью в виде (F, X, У) с фиксированными областями отправления и прибытия Х и Y (или, что то же самое, с указанием ее типа). Если же речь идет о задании функции — о выборе графика, областей отправления и прибытия, мы сами можем обеспечить, чтобы получаемая функция стала отображением или даже сюръективным отображением.

Между тем часто встречается фраза: «Всякую функцию можно рассматривать как отображение ее области определения в ее область прибытия (или на ее область значений)». Содержание этой фразы достаточно ясно: имеется в виду, что если сузить область отправления функции до ее области определения, рассмотрев тем самым вместо функции /= (F, X, Y) функцию (F, /)(/), Y), то эта последняя функция будет отображением. Но ведь это уже другая функция! Тем не менее приведенная фраза опять-таки вполне оправданна как полезная вольность речи, имеющая указанный точный смысл и допустимая для упрощения изложения, но, конечно, не для доказательства «совпадения» понятий функции и отображения.

Нельзя, впрочем, не отметить, что вряд ли можно однозначно ответить на вопрос, достоинством или недостатком рассматриваемого основного варианта подхода к понятию функции является описанное положение вещей — такая точность, строгость, даже ригористичность терминологии — и не только для школьной математики, но и для математики как науки. Совершенно очевидно, что строгость и удобство терминологии в известном смысле являются противоречивыми требованиями: чрезмерная строгость делает терминологию неудобной, чрезмерная вольность делают ее расплывчатой, и лишь разумное сочетание этих требований может сделать терминологию и достаточно строгой, и достаточно удобной.

Упрощенный вариант теоретико-множественного подхода к определению понятия функции является в этом смысле более удачным,

поскольку многие утверждения, являющиеся в основном варианте удобными вольностями речи, в упрощенном варианте совершенно точны и не теряют при этом своей интуитивной ясности и убедительности. Этот вариант проводился в жизнь и в учебных пособиях для средней школы, но отличие его от изложенного варианта состояло в том, что соответствие отождествлялось со своим графиком, а понятия область отправления и область прибытия вообще не рассматривались. Заметим сразу же, что в этом подходе соотношение между понятиями функции и отображения иное, чем в основном варианте: всякая функция является отображением и даже сюръективным отображением (отображением на).

Такой подход вполне оправдан тем обстоятельством, что наиболее существенным для соответствия - и в исходном, общежитейском смысле, и в математическом смысле этого слова — является именно график, т. е. пары соответствующих элементов, в то время как две другие компоненты соответствия — область отправления и область прибытия — определяются в конечном счете графиком, хотя и с некоторым, как мы видели выше, произволом.

Приведем соответствующие определения.

Определение 1а. Всякое множество пар называется соответствием.

Множество первых компонент пар, входящих в соответствие, называется областью определения этого соответствия, множество вторых компонент этих пар называется его областью значений.

Напомним, что функциональность и инъективность соответствия в смысле определения 1 зависят лишь от графика соответствия, т. е. от самого соответствия в смысле только что данного определения 1а. Поэтому определение этих свойств соответствий можно оставить фактически прежним, лишь заменив в нем слова «его график» на «оно».

Определение 2а. Соответствие называется функциональным, если оно не содержит пар с одинаковыми первыми компонентами, и инъективным, если оно не содержит пар с одинаковыми вторыми компонентами.

Сохраняется, естественно, и определение 4:

Определение 4а. Всякое функциональное соответствие называется функцией.

В противоположность функциональности и инъективности всюду определенность и сюръективность соответствия в смысле определения 1 зависят не только от графика, но и от областей отправления и прибытия, так что для соответствий в смысле определения 1а эти понятия просто лишены смысла. Однако полное отсутствие этих поня-

тий было бы неудобным, поскольку именно со всюду определенностью и сюръективностью соответствий непосредственно связаны такие важные понятия, как отображение и отображение на.

Выход из положения состоит в том, что термин соответствие практически никогда не употребляется без указания на то, между какими множествами устанавливается это соответствие, хотя в определении 1 а всякое упоминание об этих множествах отсутствует — в отличие от определения 1, где они участвуют с самого начала. Поэтому в рассматриваемом варианте словосочетание еще нуждается в специальном разъяснении, что делается, впрочем, вполне естественным образом: соответствие Gназывают соответствием между множествами X и У, если Xсодержит область определения, а / содержит область значений соответствия G

Но это определение позволяет, очевидно, одно и то же соответствие рассматривать как соответствие между различными множествами Х и У, и именно это дает возможность определить различные виды соответствий в зависимости от того, совпадает ли множество Х с областью определения, а множество Y с областью значений соответствия.

Определение 5а. Функциональное соответствие между множествами Х и / называется отображением множества X в множество Y, если его область определения совпадает с множеством X.

Отображение множества Хв множество /называется отображением Х на /, если его область значений совпадает с множеством У.

Употребляя термины, введенные ранее в основном варианте, говорят часто, что отображение множества Х в множество Y — это всюду определенная функция типа Х-+ Y, а отображение Х на. Y— это сюръективное отображение типа Л1—> Y.

Таким образом, функцию, т. е. функциональное соответствие, всегда можно рассматривать как отображение, если при задании ее «титула», т. е. множеств X и Y, между которыми устанавливается это соответствие, в качестве X выбрать область определения этой функции; при этом можно обеспечить и сюръективность этого отображения, взяв в качестве / ее область значений. Другими словами, в упрощенном варианте всякая функция является отображением своей области определения на свою область значений (или в любое множество, содержащее ее область значений).

Нельзя не подчеркнуть в то же время, что в методическом отношении было бы неудачным употреблять сокращенную фразу всякая функция является отображением, не упоминая о ее области опреде-

ления и области значений; при допустимости такого сокращения мы получили бы, например, и такое утверждение: всякое отображение является отображением на (или сюръективным отображением).

И хотя всякое отображение действительно является отображением своей области определения на свою область значений, однако без такого явного разъяснения указанное утверждение звучит несколько странно и может, очевидно, привести к большим недоразумениям. Поэтому, видимо, следует говорить более аккуратно: всякую функцию можно рассматривать как отображение.

Отметим еще, что фраза: «Всякую функцию можно рассматривать как отображение ее области определения на ее область значений» является в упрощенном варианте вполне точной, поскольку в этом варианте - в отличие от основного — одно и то же соответствие действительно можно рассматривать по-разному, как соответствие между разными множествами. В то же время в основном варианте эта фраза могла считаться лишь вольностью речи. В этом смысле упрощенный вариант ближе к практике словоупотребления в математике.

Как и ранее, тот факт, что элементу является образом элемента х при функции/, можно записать в следующем виде:

Первая из этих записей, однако, практически не употребляется, хотя она является не только вполне корректной, но с точки зрения исходных определений и наиболее естественной, наименее условной: ведь функция — это множество!

В школьной алгебре и началах анализа наиболее употребительна, конечно, вторая запись. Напротив, в геометрии часто более удобной является последняя запись.

Приведем еще два термина, встречающиеся в литературе, хотя и не так часто: инъективная функция называется также инъекцией, а сюръективная функция — сюръекцией. В ныне действующих школьных учебных пособиях инъективную функцию называют обратимой.

После введения термина соответствие между множествами мы можем и в упрощенном варианте воспользоваться в полной мере данным ранее определением 4: функциональное соответствие между множествами X и У будем называть функцией типа X->Y, а тот факт, что / рассматривается как функция типа Х-* Y, будем записывать в виде f:X-+Y.

Определения инверсии и сужения соответствия очевидным образом формулируются и в упрощенном варианте. Ясно также, что свойства соответствия и его инверсии связаны теми же соотношени-

ями, что и в детализированном варианте. В частности, инверсия функции всегда будет инъективным соответствием, но не обязана, конечно, быть функцией; но если исходная функция инъективна (и только в этом случае!), то ее инверсия будет функцией. Это обстоятельство оправдывает школьный термин обратимая функция как синоним термина инъективная функция.

Определение 6. Отображение множества Х в множество /называется биективным (или биекцией типа X->Y), если оно инъективно и сюръективно одновременно.

Биективное отображение множества Х в множество /называется также взаимнооднозначным соответствием между X и Y или взаимнооднозначным соответствием между элементами множеств X и Y. Другими словами, взаимнооднозначное соответствие между множествами Х и Y— это соответствие между Х и К, обладающее всеми четырьмя определенными выше свойствами соответствий, т.е. соответствие функциональное, инъективное, всюду определенное и сюръективное одновременно.

Заканчивая чисто математическое рассмотрение теоретико-множественного подхода к понятию функции, введем еще одно понятие -композиция функций.

Определение 7. Пусть /и g — функции, и пусть

множество пар (х, у), для которых существует элемент z, такой, что (х, z)eg, (z, y)ef.

Соответствие h называется композицией функций f и g и обозначается через fog.

Композицию функций f°g часто называют также суперпозицией этих функций или сложной функцией с внутренней функцией g и внешней функцией / Кроме того, вместо обозначения f°g для композиции h функций /и g в указанном порядке часто употребляют обозначение g °f.

Из принятого определения не сразу видно, что композиция двух функций сама является функцией. Тем не менее это утверждение верно: если две пары (х,у{) и (х, у2) с одинаковыми первыми компонентами, но различными вторыми компонентами принадлежат Л, то по определению h существуют г, и z7, такие, что

Но g — функция, и поэтому г, = zv а поскольку / — тоже функция, то и ух = yv что противоречит предположению, сделанному по поводу этих элементов.

В терминах образов мы можем записать равенство (f°g)(x) =Л?(л;)), которое и является, по существу, определением композиции fog. Эта форма записи определения делает очевидным доказанный выше факт, что композиция двух функций есть функция.

Заметим, что композиция двух функций может оказаться и нигде не определенной функцией, т. е. функцией 0; в качестве примера можно взять функции

или две еще более простые, «искусственные» функции /= {(1, 2)}, £={(1,3)}.

Это обстоятельство подчеркивает важность рассмотрения и такой необычной функции, как 0: при «запрещении» рассматривать эту функцию композиция двух функций могла бы и не оказаться функцией1.

Определение 7, как легко видеть, имеет смысл в действительности не только для функций, но и для произвольных соответствий. Естественным образом оно распространяется и на соответствия в смысле определения 1, т. е. на основной вариант, — в этом случае график композиции соответствий вводится согласно определению 7, в качестве области отправления композиции берется область отправления «внутреннего» соответствия, в качестве области прибытия — область прибытия «внешнего» соответствия.

Мы видим в результате, что система понятий, вводимых в упрощенном и в основном вариантах теоретико-множественного подхода к понятию функции, практически одна и та же, и единственное различие вариантов состоит в том, что в детализированном варианте области отправления и прибытия соответствия фиксируются с самого начала, а в упрощенном эти области фиксируются в процессе изучения. Таким образом, различие этих вариантов весьма призрачно, и преимущество того или иного варианта может состоять лишь в методических особенностях: в простоте, естественности, удобстве изложения, терминологии, т. е. в конечном счете доступности для учащихся.

§ 3. Методические аспекты теоретико-множественного подхода к понятию функции в средней школе

Мы уже видели, что понятие функции в математике проделало долгий путь развития, прежде чем оформиться в том современном виде,

1 Пустое множество является функцией и согласно определению функции, приведенному в учебном пособии «Алгебра и начала анализа-9» (с. 95).

как оно представлено в § 2. Какой же из этапов развития этого понятия выбрать в качестве основы для определения функции в школе? Для оптимального решения этой важной методической проблемы необходим всесторонний и тщательный анализ всех возможных путей, и было бы легкомысленным полагать, что в школе непременно должна использоваться теоретико-множественная концепция уже только потому, что она является «высшим этапом» развития понятия функции в математике1.

Трактовка понятия функции, принятая в ныне действующих учебниках для средней школы, ближе всего к теоретико-множественной, и поэтому мы рассмотрим здесь методические достоинства и недостатки именно теоретико-множественного определения функции.

Безусловное достоинство теоретико-множественного подхода к понятию функции — в его математической, логической строгости: все понятия, связанные с функцией, с помощью основных понятий теории множеств определяются логически безупречно, и в этом подходе не остается, таким образом, места столь неопределенным, расплывчатым понятиям, как «правило соответствия», «переменная величина», «зависимая переменная», «аргумент» и т. п. Представляется, однако, что это чисто логическое достоинство теоретико-множественного подхода является фактически его единственным более или менее существенным преимуществом перед остальными подходами к определению функции, и мы рассмотрим теперь его недостатки.

1°. Несоответствие формального определения интуитивным представлениям о функции

Основным недостатком теоретико-множественного определения функции является «психологическое» несоответствие между понятием функции в ее формальном определении как множества и интуитивным представлением о функции как о переменной величине, чрезмерная удаленность математической формализации этого понятия от «физического» представления о функции в неформальном виде. Подобная удаленность методически оправданна, если недостаточная четкость интуитивного представления приводит в конечном счете к искажению содержания понятия, и в этом случае достаточно строгий

1 Еще раз напомним, что в этой статье мы совершенно не касаемся алгоритмического подхода к понятию функции, являющегося в определенном смысле «еще более высшим этапом» развития этого понятия в математике.

и в должной мере формальный подход совершенно естествен ввиду необходимости уточнить, а иногда даже разрушить неправильные представления.

Между тем практика изучения функций в школе свидетельствует скорее о противоположном положении дел: учащиеся имеют в основном правильное содержательное представление о математическом объекте функция, но испытывают значительные трудности именно тогда, когда речь заходит об определении этого объекта.

Это касается и старого, «неточного» определения функции как правила соответствия или выражения, содержащего переменную, и в не меньшей степени нового, формального подхода к функции как частному случаю соответствия (или отношения). Подобная ситуация — владение понятием без знания его точного определения — вовсе не является странной, как это может показаться на первый взгляд; напротив, в большинстве видов человеческой деятельности, в частности в языковом общении, она является типичной.

Стоит особо подчеркнуть, что и математики нуждаются в теоретико-множественном определении функции лишь «для успокоения», для сознания того, что одно из их основных понятий и одновременно объектов изучения имеет строгое определение, точнее говоря, строгую теоретико-множественную основу. Об этом свидетельствует, в частности, тот факт, что уточнение понятия функции в теоретико-множественных терминах не изменило стандарта строгости математических рассуждений.

В то же время с точки зрения более высокого стандарта строгости, связанного с более критическим отношением к самой так называемой «наивной» теории множеств, используемой практически во всей современной математике, теоретико-множественное определение функции столь же нестрого, как и вся «наивная» теория множеств. Отметим еще, что даже Н. Бурбаки, дав строгое определение понятия функции на с. 86 упомянутой выше «Теории множеств», в «Сводке результатов» на с. 358 определяет функцию на почти традиционном уровне — как операцию, сопоставляющую всякому элементу jc некоторого множества Е элемент у множества F, находящийся с х в данном функциональном соотношении.

Ясно, конечно, что до придания понятию функции его современной теоретико-множественной формы это понятие было фактически неопределяемым, а достаточная его интуитивная четкость не делала особо насущной необходимость точного определения на базе предшествующих понятий.

Аналогичная ситуация, заметим, имеет место и с понятиями пары и кортежа произвольной длины п-ки («энки»): понятие кортежа длины п легко сводится к понятию пары, которое, в свою очередь, может быть определено в точных терминах «наивной» теории множеств, хотя, впрочем, и весьма искусственным образом: парой (а, Ь) можно называть множество {{а}, {а, Ь}}; заметим, что при этом определении известное утверждение

становится теоремой, а не определением равенства пар.

В то же время естественные интуитивные представления о паре и кортеже длины п достаточно точно отражают сущность этих понятий, и в учебных руководствах — особенно на начальном уровне -они практически никогда не определяются. Точно также обстоит дело с понятием прямая в нынешнем школьном курсе геометрии: это понятие принимается в качестве неопределяемого, хотя его можно вполне корректно определить в терминах точка и расстояние.

Таким образом, теоретико-множественное определение функции служит в действительности единственной цели — уменьшению числа основных, неопределяемых понятий. Эта цель, вполне естественная и понятная для математики как науки, не может быть, однако, главной для преподавания математики, тем более если речь идет об общеобразовательной школе. Напротив, удачный выбор тех или иных понятий в качестве неопределяемых с целью упрощения или большей естественности изложения может оказаться более эффективным в обучении школьников, чем стремление во что бы то ни стало определить все, что только можно определить.

С другой стороны, никакое более традиционное или менее «современное» изложение понятия функции в основной школе не помешает в старших классах, когда учащиеся уже владеют понятием функции на содержательном уровне и когда их общее логическое развитие значительно выше, чем в 8-м или 9-м классе, навести «лоск» и на определение функции на факультативных занятиях или при обсуждении вопроса о логическом строении математики.

В этом контексте уместно было бы также показать, что не определенные в курсе понятия пары и кортежа длины п («энки») также могут быть определены в теоретико-множественных терминах (может быть, даже и с доказательством необходимого и достаточного условия равенства пар и кортежей). Нельзя не отметить, что рассмотрение этих понятий обогатило бы и обсуждение самого вопроса о логическом строении математики, традиционно ограничивающееся проблемами построения геометрии.

2°. Отсутствие в теоретико-множественном определении функции ее важнейшей черты как математического и физического объекта — динамичности

Принципиальный недостаток теоретико-множественной концепции функции в методологическом плане состоит, на наш взгляд, в том, что теоретико-множественное определение полностью лишает функцию ее основной черты — динамичности, хотя именно эта черта и явилась основным стимулом для возникновения понятия функции в математике. Более того, динамическое представление о функции как о переменной величине, о величине изменяющейся, существенно не только как внематематический, «физический» материал для формирования строгого математического понятия функции, не только как представление, необходимое при решении прикладных задач. Оно является основополагающим элементом функционального мышления, к которому призывают уже целые поколения математиков, учителей и методистов и которое действительно является важной характеристикой современного математического мышления.

В этом смысле статичность определения функции как множества скорее мешает, чем способствует формированию у учащихся правильного представления о функции — того представления, которое имеет исследователь-теоретик и особенно практик. И если учащиеся получают все же правильное представление о функции, то не благодаря принятому определению, а, скорее, вопреки ему.

Причина такого положения дел состоит, видимо, в том, что теоретико-множественное представление о функции заканчивается практически в том же месте, где и начинается, — в исходных определениях. В дальнейшем, когда функции становятся рабочим аппаратом и объектом исследования, их теоретико-множественное происхождение практически полностью исчезает из учебников, а вслед за этим и из сознания учащихся.

В результате такой, казалось бы, существенный методический недостаток учебников, как недостаточная активизация определения одного из основных понятий курса, оборачивается достоинством: неудачное в методическом плане определение функции в конечном счете не препятствует формированию у учащихся правильных содержательных представлений об этом математическом объекте.

Нельзя, однако, недооценивать и отрицательных последствий ситуаций такого рода в более широком плане — для обучения математике в целом: отрыв использования понятий от определений не спо-

собствует воспитанию культуры мышления учащихся, приучая к мысли, и без того нередко возникающей в их сознании (или подсознании?), что определения существуют сами по себе, а доказательства теорем и решение задач — сами по себе.

3°. Несоответствие теоретико-множественной концепции функции общеупотребительной терминологии

Наиболее характерной чертой теоретико-множественной концепции функции с терминологической точки зрения является то, что эта концепция фактически не имеет терминологии, которая была бы семантически, внутренним образом связана с ее сутью.

Мы уже говорили о том, что самое естественное — с точки зрения теории множеств — обозначение (х, дОе/ практически не употребляется и вместо него немедленно вводятся обозначения f;x->y, х—f—>у, у —f(x), соответствующие представлениям о функции как о правиле соответствия и о выражении, содержащем переменную. Впрочем, именно отказ от специфической для этой концепции терминологии и возврат к обычному словоупотреблению и определяют, по существу, выработку у учащихся правильного представления о функции, так что с методической точки зрения использование классической функциональной терминологии можно лишь приветствовать.

Более того, иное решение вопроса — последовательное применение терминологии теории множеств — привело бы к значительному изменению математического языка, и стали бы естественными, например, следующие предложения: (2,4)е (ri1), (2,4) — элемент последовательности квадратов натуральных чисел, функция {(х, sinx) I хе [-— —]} является инъективным подмножеством (почему бы не инъективной подфункцией?) функции

Напротив, многие стандартные обозначения и словосочетания становятся в теоретико-множественной терминологии условными, неестественными и нелогичными, неточными и даже бессмысленными и могут быть «спасены» только с помощью специальных ухищрений или признания их допустимыми вольностями речи.

Так, привычная формула (sinx)/== cos* оказывается некорректной. В самом деле, sinx — это значение функции sin = {(х, sinx)UeR} на элементеxeR, т. е. число, а понятие производной и соответствующее

обозначение с помощью штриха к числам не применяется. С другой стороны, эту и подобные ей формулы можно оправдать следующим рассуждением: в действительности в математической практике вместо полного обозначения функции {(x,J(x)) I хеА} употребляется более краткое обозначение J[x) (и, как правило, без явного указания множества А), а тогда рассматриваемая формула вполне приемлема.

Однако это объяснение, как, впрочем, и сама математическая практика, признает и игнорирует двусмысленность обозначения^*): строго говоря, это значение функции/, а нестрого говоря — сама функция / Не слишком удачное положение вещей для концепции, целью которой является именно уточнение понятий, связанных с функцией! Разумеется, можно написать и совсем строгую формулу sin'= cos, но как поступить с формулой (х2)'= 2х и аналогичными формулами, которых в математике гораздо больше, поскольку конкретные функции редко имеют специальные обозначения? Неужели применять запись, употребленную нами несколькими строчками выше?

Далее, обозначения

также связаны, скорее с числовым выражением /^), чем с функцией / как множеством пар. Для определения же предела в теоретико-множественном стиле пришлось бы ввести специальное понятие так называемого фильтра х-> а, обозначить его символом типа 0(a), не использующим конкретной буквы для наименования переменной, и предел функции по фильтру 0(a) обозначать через

В качестве обозначения интеграла больше подошел бы символ вроде I(a,b), в котором не было бы и следа от набора букв dx, совершенно бессмысленного с точки зрения теоретико-множественного представления о функции. Нетрудно представить, как выглядели бы записанные в этих обозначениях, например, теоремы о пределе сложной функции и о замене переменной в определенном интеграле!

Значительные неудобства доставляет «чистая» теоретико-множественная терминология и символика при задании конкретных функций. В самом деле, в школьной математике наиболее распространено аналитическое задание функции, при котором прежде всего указывается выражение f(x), позволяющее по каждому элементу некоторого заданного (явно или неявно) множества вычислять соответствующее значение выражения.

Но вместо краткой «говорящей» формулы х-^fx), *еЛ задающей эту функцию, приходится писать/= {(*,f(x)) |хе Л}, и если, например, рассматривается уравнение f(x) =g(x), то для обозначения функции, стоящей в левой части уравнения (это выражение, впрочем, тоже неточно: левая часть уравнения в строгой теоретико-множественной терминологии вовсе не является функцией, она представляет собой выражение, или, «по-научному», терм), придется написать равенство вида/= {(*,/(*)) I хеА}, уже слегка напоминающее ребус и заведомо более сложное для восприятия.

Заметим, кстати, что и словосочетание «функция, задаваемая формулой у =fx)», типичное для учебников и являющееся своего рода переходным мостиком от «чистой» теоретико-множественной к традиционной функциональной терминологии, не несет фактически больше информации, чем краткое словосочетание «функция у = f(x)» или просто «функция fx)», и лишь утяжеляет, «канцеляризирует» язык. Интересно, что учащиеся прекрасно понимают и приведенное краткое словосочетание и в большинстве случаев сами им пользуются, избегая «более точной формулировки».

Мы видим теперь, что последовательное применение теоретико-множественной терминологии вызвало бы значительные трудности, совершенно не соответствующие объективному математическому содержанию вопроса. Поэтому авторы большинства учебных руководств и методических статей и не делают попыток в этом направлении, так как уже вскоре после принятия «строгого» определения функции изложение входит в русло обычной функциональной терминологии, характерной для «нестрогих» представлений о функции.

Итак, при оценке теоретико-множественной концепции как одного из вариантов подхода к определению функции в школе, безусловно, следует иметь в виду перечисленные недостатки этого варианта. На наш взгляд, проведенный выше анализ показывает, что эта концепция имеет ряд серьезных психолого-педагогических недостатков. Мы сознаем, однако, что этот анализ не является абсолютно исчерпывающим и, возможно, имеются достаточно существенные аргументы, подтверждающие преимущества этого подхода или опровергающие его недостатки.

Впрочем, окончательный выбор того или иного подхода к понятию функции в школьном преподавании и не может быть сделан на основе анализа только одного из них, но только при сравнительном анализе всех возможных подходов1.

§ 4. Несколько замечаний об изложении понятия функции в учебных пособиях для средней школы

Отметим прежде всего, что в теоретическом плане подход к понятию функции, о котором мы говорили выше, — это изложенный выше упрощенный вариант теоретико-множественного подхода: функция рассматривается в учебных пособиях как частный случай бинарного отношения (в нашей терминологии — соответствия). Однако авторами «Алгебры-6» этот подход не был доведен до логического завершения, поскольку формальное теоретико-множественное определение термина отношение в учебнике отсутствовало: в отличие от варианта, изложенного выше, авторы не отождествили отношение с соответствующим множеством пар, но, напротив, аккуратно употребляют выражения типа: «Отношение задается множеством пар».

В результате понятие функции фактически так и осталось в соответствующем учебнике и вообще в школьном курсе неопределяемым, и, таким образом, вариант изложения определения функции, принятый в учебнике, не уменьшил числа неопределяемых понятий. Логическое преимущество теоретико-множественного подхода осталось тем самым неиспользованным, тогда как объективные недостатки этого подхода так или иначе проявляются.

В то же время авторы обладают естественным чувством меры в использовании «строгой» терминологии, навязываемой теоретико-множественным определением функции. И если авторы «Алгебры» еще следуют аккуратным формулировкам типа «функция, заданная уравнением у =f(x)», то в «Алгебре и началах анализа» уже совершенно свободно говорится «функция у =f(x)» или даже просто «функция f(x)», так что теоретико-множественное определение функции в старших классах уже достаточно хорошо забыто.

Более того, по учебному пособию «Алгебра и начала анализа» вообще нельзя точно выяснить, какое именно определение функции принято в этом курсе — правило соответствия или выражение с переменной, — и труднее всего заподозрить, что функция определяется множеством пар. Впрочем, в точности то же самое можно сказать и о большинстве математических текстов, не посвященных специально определению функции.

1 Так, высказывается мнение, что при теоретико-множественном подходе более просто трактуется понятие обратной функции. Мы полагаем, однако, что это понятие излагается не более сложно и при подходе к функции как правилу соответствия или, в совсем традиционной форме, как к выражению, содержащему переменную.

Остановимся теперь на некоторых терминологических вопросах, и прежде всего на терминах соответствие и бинарное отношение (или просто отношение). Понятие соответствия, отражающее интуитивное представление о соответствии между какого-либо рода объектами, было создано в математике прежде всего с целью формализовать понятие функции, понятие правила соответствия, и термин соответствие, обозначающий это понятие, сохранил его историческое происхождение. Этот термин и в настоящее время согласуется со стандартным в математике выражением «поставим элементу х в соответствие элементу».

Что же касается термина отношение, или, более полно, отношение между элементами множеств X и Y, то его происхождение совершенно иное. Исходный внематематический материал для формирования математического понятия отношения — это прежде всего отношения равенства и неравенства между числами, параллельность и перпендикулярность прямых и не в последней степени — родственные и другие отношения между людьми. Уже из перечисления этих примеров видно, что понятие отношение генетически не имеет внутренней, семантической связи с понятием функции — ни как с правилом соответствия, ни как с выражением, содержащим переменную.

Между тем при формализации интуитивных, общежитейских понятий соответствие и отношение оказалось, что они имеют одинаковые математические модели — и то, и другое оказалось естественным трактовать как множество соответствующих пар. Но если в случае соответствия в пару (х, у) объединяются элемент х и поставленный ему в соответствие элементу, то в случае отношения пара (х, у) образована элементами х и у, находящимися (в данном порядке) в данном отношении. Однако множество пар «не помнит», по какому признаку оно формировалось, и, таким образом, математические понятия соответствие и отношение совпали, а термины соответствие и отношение стали синонимами.

Несмотря на это обстоятельство, в математической практике термины соответствия и отношения вовсе не отождествились, и это отражается прежде всего в содержании изучаемых вопросов и в употребляемой терминологии. В самом деле, соответствия изучаются в математике с точки зрения наличия или отсутствия у них свойств инъективности, функциональности и т. п., тогда как при рассмотрении отношений интерес представляет рефлексивность, симметричность, транзитивность и т.п.

Другими словами, при изучении конкретного множества пар ма-

тематики называют его соответствием или отношением в зависимости оттого, какие вопросы интересуют их в связи с этим множеством1. Напротив, никому не приходит в голову поставить такие вполне корректные вопросы, как: Является ли функция, заданная равенством у=х2, антирефлексивной? Или: является ли отношение «точка А принадлежит прямой» функциональным ?

Вообще, совпадение математических моделей двух различных по существу явлений реального мира далеко не всегда приводит к отождествлению самих явлений и языка изучающей их теории. Так, одним и тем же дифференциальным уравнением у" = ку описываются различные физические процессы; однако параметр к в различных случаях имеет особый физический смысл, и в случае колебаний в электрической сети он будет называться иначе, чем в случае колебаний пружины или маятника. Можно сказать, что совпадение математических моделей означает в определенном смысле изоморфизм соответствующих явлений, но не их тождество.

Добавим еще, что при Х = /отношение между элементами множеств X и / (называемое обычно бинарным отношением на множестве X) совпадает еще и с понятием графа с множеством вершин X, но было бы совершенно неуместно называть пары (х, у) ребрами, а в функциях типа R-> R искать гамильтоновы циклы. Представляется поэтому, что функцию более естественно рассматривать в качестве частного случая соответствия, как это было в учебном пособии «Алгебра-6», а не отношения, как это сделано в учебнике.

Представим себе, что учитель, обращаясь к ученикам 6-го класса, произносит: «Рассмотрим функцию «быть обратным числом». Эта функция называется обратной пропорциональностью». А ведь эта фраза совершенно корректна с точки зрения определений, принятых в учебнике: «быть обратным числом» — это действительно функция, она приведена в учебнике. Гораздо более естественно звучит все же фраза: «Рассмотрим функцию, которая каждому числу ставит в соответствие обратное ему число» — даже несмотря на то, что, как потом только выясняется, для нуля сделать это невозможно.

Говоря о терминологии, нельзя не отметить довольно распространенного, но несколько поверхностного «школьного» представления о сущности лингвистического понятия синоним. Дело в том, что

1 Напомним общеизвестную ситуацию с понятием уравнения: одно и то же равенство называется и уравнением, и тождеством, и просто равенством - в зависимости от задачи, которая в связи с этим равенством решается.

семантическая, смысловая, близость двух синонимов означает лишь, что замена одного синонима на другой в некоторой фразе не меняет смысла этой фразы, но, как показывают простейшие примеры, при такой свободной замене синонимов могут получиться фразы, недопустимые с точки зрения грамотного, литературного языка. Так, слова начальник, директор, заведующий, командир, декан, председатель достаточно близки по смыслу — все это частные случаи общего понятия руководитель, однако вряд ли допустимы в языке такие словосочетания, как начальник колхоза, директор кафедры, заведующий дивизией, декан лаборатории, председатель института.

Таким образом, как ни парадоксально это звучит, но синонимы во многих случаях нельзя заменять друг на друга: каждый из них имеет свою сферу употребления, каждый — благодаря некоторому имеющемуся в нем, хотя и не выраженному явно, оттенку — выделяет какую-то особую черту обозначаемого им, как правило, многогранного явления.

Термины соответствие и отношение, как и другие синонимы, в математическом языке подчиняются общим лингвистическим законам и также имеют свои сферы употребления, так что вряд ли целесообразно полностью исключать один из этих терминов из математического языка. И хотя в математике стилистическая характеристика предложений имеет гораздо меньшее значение, чем их смысл, содержание, в обучении математике эти лингвистические законы следует учитывать в полной мере, поскольку и они оказывают существенное влияние на эффективность усвоения материала учащимися.

В связи с проблемой употребления синонимов в математике остановимся еще на одной паре синонимов — функция и отображение. В самом деле, почему, несмотря на совпадение этих понятий в математике (точнее, при упрощенном варианте теоретико-множественного определения функции), ни один из соответствующих терминов не вытесняет другой? Почему в алгебре и началах анализа в большинстве случаев употребляется термин функция, а в геометрии, как правило, говорят об отображении!

На наш взгляд, сосуществование этих терминов в математике объясняется именно различием оттенков этих терминов: если термин функция в классическом его смысле выделяет сущность функции как выражения, содержащего переменную, то термин отображение больше подчеркивает сущность функции как правила соответствия. Но даже самый беглый взгляд показывает, что предметом изучения в школьной алгебре являются практически именно выражения с переменными, тогда как в геометрии подобные выражения фактически не встречаются.

Более того, в школьной геометрии вообще не интересуются, по существу, изменением выражения F(M) при изменении переменной точки М, тогда как изучение этого вопроса составляет суть математического анализа функций, и в частности начал анализа в школьном курсе. Поэтому, видимо, в школьном курсе следует сохранить, как и в математике, оба термина — и отображение, и функция, — указывая там, где это целесообразно, на их синонимичность.

Итак, мы указали на ряд недостатков теоретико-множественного подхода в свете его использования в практике средней школы. Эти недостатки представляются нам достаточно существенными, чтобы не считать такой подход оптимальным для школьного курса. На наш взгляд, понятие функции в первоначальном изложении должно остаться неопределяемым, а теоретико-множественная его трактовка может быть изложена в старших классах в факультативном порядке.

2. О некоторых вопросах, связанных с формальным определением комплексных чисел

Назначение курса математики в средней школе не исчерпывается сообщением учащимся определенного количества собственно математических знаний и приобретением ими соответствующих практических навыков в решении задач, специально подобранных в качестве упражнений или возникающих в практике и смежных науках. При отсутствии постоянных упражнений конкретные математические факты и тем более практические навыки быстро забываются, и поэтому делать в преподавании математики упор исключительно на конкретные знания значило бы сделать этот курс ценным для будущих математиков, в несколько меньшей степени — для будущих инженеров, и практически бесполезным для тех, чья будущая деятельность не будет связана с математикой столь непосредственно.

Безусловно, нельзя вынести из курса математики хоть минимальную пользу, не имея достаточного представления о ее основных понятиях, методах и результатах, но вместе с тем, увлекшись конкретной математикой, можно совершенно упустить из виду одну из главных целей преподавания математики — развитие абстрактного мышления.

Вообще проблема соотношения конкретных знаний и элементов общего развития стоит перед преподаванием не только математики, но и других школьных дисциплин. Географы и историки, биологи и

филологи решают практически эту проблему, определяя, чему учить, какие именно конкретные знания передавать учащимся на основе главной цели преподавания своего предмета — зачем учить, какой цели надо добиться при обучении.

Совокупность таких главных задач отдельных преподаваемых в школе дисциплин и составляет цель среднего образования. Достижение этой цели обязательно для каждого ученика, независимо от типа учебного заведения. Иначе обстоит дело с конкретными знаниями. На уроках истории каждый ученик должен получить достаточные представления о ходе развития общества, научиться историческому подходу к анализу действительности, но ни один преподаватель истории не может надеяться на то, что все его ученики всегда будут помнить все исторические факты и даты, когда-либо ими заученные. На уроках физкультуры школьник должен приобщиться к физической культуре, но не обязан научиться выполнять на перекладине «солнце». Короче говоря, решение проблемы «чему учить» и связанный с этим решением уровень предъявляемых к учащимся требований должны в значительной мере учитывать индивидуальности учеников, их возможности, способности, интересы — все то, что в дальнейшем определит их специализацию, выбор профессии.

Математика, естественно, не является исключением среди других школьных дисциплин. Разумеется, было бы неплохо, если бы все без исключения учащиеся смогли достаточно глубоко усвоить весь набор сообщаемых им фактов, но совершенно ясно, что реальных возможностей для этого нет. Впрочем, даже сама разумность постановки такой цели сомнительна. Не так уж далек от истины Ж. Дьедонне, утверждая, что «тригонометрические формулы совершенно необходимы для представителей трех очень почтенных профессий: для астрономов, для геодезистов, для составителей учебников тригонометрии» (см. [29]), и вряд ли кто-нибудь может всерьез утверждать, что знание этих формул непременно должно входить в культурный багаж современного образованного человека — даже «физика», а не «лирика». Суть дела, конечно, не в тригонометрических формулах — на определенном этапе обучения эти формулы, безусловно, необходимы; дело в том, что при изучении любого конкретного материала следует совершенно точно представлять его место в системе преподавания математики, в системе образования учащихся.

Одним из путей усиления роли преподавания математики в формировании и развитии абстрактного мышления учащихся является повышение внимания к таким аспектам изложения, которые, строго

говоря, даже и не относятся собственно к математике, но совершенно необходимы и для более глубокого понимания конкретного математического материала, и для ознакомления с некоторыми фундаментальными особенностями научных построений. К числу таких «внематематических» аспектов изложения относятся, например, общеизвестные комментарии к определениям степени с нулевым и отрицательным целым показателями, к «правилам знаков» при перемножении целых чисел и другие.

Благодатный материал для общеинтеллектуальных, «внематематических» рассуждений представляет собой введение в теорию комплексных чисел, которой, к сожалению, не нашлось места в школьной программе. Эти рассуждения в какой-то степени соприкасаются с историей, философией, семантикой, семиотикой, а простейшие понятия этих наук — в их проявлении в конкретных теориях (в частности, в математике) — могут быть вполне доступны учащимся и, безусловно, необходимы для их общего интеллектуального развития. Хотелось бы надеяться, что излагаемый ниже подход к определению комплексных чисел окажется полезным для тех учителей, которые будут вести соответствующий факультативный курс.

Основная идея предлагаемого построения комплексных чисел состоит в том, чтобы явно указать «тонкие» моменты теоретического характера, от обсуждения которых при обычных, наиболее распространенных способах построения принято уклоняться. Эти способы, как правило, преследуют цель дать как можно более содержательное определение комплексных чисел, показать школьникам, что ничего страшного, странного, «мнимого» в них нет — это всего лишь обыкновенные векторы (заметим в скобках, с несколько странной операцией умножения), или пары действительных чисел, или что-либо еще в этом роде.

Стремление к содержательному введению новых объектов, как можно более непосредственно опирающемуся на уже построенные объекты и понятия, смысл которых ясен из повседневной практики, совершенно естественно и преследует, очевидно, методические цели. При этом считается, что такой подход к введению новых понятий облегчает учащимся их усвоение.

Между тем содержательное изложение новых понятий зачастую сталкивается с существенными трудностями объективного характера. Эти трудности связаны с тем, что содержательное введение новых объектов - это далеко не то же самое, что содержательная интерпретация соответствующей структуры, тогда как именно интерпретация от-

ношений между объектами играет ведущую роль и с теоретической, и с методической точки зрения. Так, истолкование отрицательных чисел с помощью физических представлений об изменении температуры, о направлении движения и т. п. помогает уяснить множество изучаемых объектов, но ничего не дает для истолкования операции умножения, и последнюю все равно приходится определять формально. То же самое можно сказать и об определении комплексных чисел как векторов.

В пользу формального определения комплексных чисел можно привести и еще один аргумент. Представляется очевидным, что на определенном, достаточно высоком уровне развития учащихся, подкрепленном, разумеется, соответствующим багажом конкретных знаний, нет необходимости каждый раз при введении новых понятий отталкиваться от содержания. Более того, иногда полезно и просто необходимо поставить учащегося в такое положение, когда какое-либо понятие следует усвоить без предварительного осмысления того, откуда оно произошло и где в жизни или в другой математической теории оно встречается.

Именно при таком подходе можно каким-то образом проверить способность учащегося к абстрактным рассуждениям, к усвоению новых теорий. Можно проверить, другими словами, поднялся ли ученик на существенно более высокий уровень общего развития, или результат изучения им математики свелся лишь к запоминанию некоторых формул и приемов, которые ему в дальнейшем, быть может, никогда и не понадобятся.

Ниже, при изложении формального определения комплексных чисел, мы останавливаемся на следующих вопросах общего характера: соотношение между знаками и обозначаемыми объектами; отождествление объектов при исходных определениях и внутри построенной структуры; идея алгебраической операции; корректность определения операций; понятие числа. Особое внимание уделяется анализу соотношения между логикой, целесообразностью и естественностью в преподавании математической теории.

Вопрос о соотношении логики и целесообразности при создании математической теории — вопрос старый и относится, по существу, к общей проблеме связи математики с практической деятельностью, к проблеме отражения реального мира в математике. Ответ на этот вопрос следует искать не в математическом, а скорее в философском аспекте, в аспекте диалектической взаимосвязи исторического и логического.

В случае с комплексными числами, также, впрочем, как и в других случаях, первооткрыватели исходили прежде всего из целесообразности вводимых понятий. Комплексные числа возникли при решении алгебраических уравнений, и их арифметика формировалась именно так, как это нужно было для решения соответствующих задач. Точное же обоснование комплексных чисел было дано, как известно, гораздо позже, и за эти несколько веков логической «неясности» мы до сих пор расплачиваемся термином мнимые числа. Отметим сразу же, что и этот факт может стать предметом интересного разговора с учащимися — в соответствующем месте курса, разумеется.

Таким образом, концепция первооткрывателя такова: «Мы будем делать так, потому что так нужно, так полезно, так могут быть получены нужные нам результаты». В совершенно ином положении находится обучающий — человек, который имеет дело с точно обоснованной теорией, назначение которой, также как и круг решаемых ею задач, ему достаточно хорошо известно. Он должен передать свои знания другим людям, которым об этом ничего не известно и которые не могут, следовательно, сразу глубоко воспринять все то, что касается целесообразности вводимых понятий. Поэтому целесообразность в полной мере может стать предметом обсуждения сучащимися только после того, как теория будет достаточно далеко продвинута.

Конечно, в некоторых случаях ситуация позволяет почти сразу же показать целесообразность того или иного определения: так, нетрудно обосновать целесообразность определения нулевой и первой степени числа, не слишком далеко от определения логарифма находится формула логарифма произведения, которая уже проливает достаточный свет на цели введения этого понятия. Что же касается теории комплексных чисел, то убедительно показать ее целесообразность, ее полезность для решения задач, недоступных при использовании лишь запаса действительных чисел, можно лишь при полном построении не только основных определений, но и достаточного развития самой теории.

В то же время требования, связанные с логикой рассуждений, может выдвигать каждый слушатель или читатель, и никакие ссылки типа «Это станет ясно позже» здесь недопустимы. Поэтому концепция обучающего такова: «Мы делаем так, потому что так можно делать, а почему мы делаем именно так, а не иначе, будет ясно позже». Эта концепция, подчеркивающая примат логики над целесообразностью при изложении теории, вполне может быть доведена и до сведения учащихся.

Особое место между логикой и целесообразностью занимает естественность. Всякий мыслящий человек, даже если он прочно усвоил, что все требования, которые он может предъявлять к определениям, должны быть лишь логического характера, тем не менее склонен скептически относиться к определениям, «взятым с потолка», к определениям, смысл и происхождение которых ему непонятны. Поэтому «запрещенное» требование целесообразности он заменяет требованием некоторой естественности.

Если, например, определение суммы комплексных чисел не вызывает психологического протеста, то определение их умножения обычно несколько озадачивает. Между тем эти два определения имеют совершенно одинаковую логическую структуру, и различие в их восприятии объясняется именно естественностью первого определения и неестественностью второго. В самом деле, сложение выражений вида а + Ы напоминает простую перегруппировку и вынесение множителя /за скобки, т. е. проводится самым обычным образом (пусть даже в новой ситуации), а правило перемножения комплексных чисел непонятно ни в малейшей степени.

Отметим, что употребление ниже символа л вместо общепринятого символа / имело целью именно удалиться от вопросов, связанных с естественностью определения операций, максимально освободив выражение а + Ы от числовых ассоциаций, неизбежно возникающих при пользовании традиционным знаком /.

В конечном же счете все определения, естественные и неестественные, но логически безупречные, приводят к построению содержательной теории, которая и служит апостериорным оправданием исходных определений, убеждает учащихся в их целесообразности и естественности. Этот «счастливый конец» позволяет не слишком беспокоиться по поводу психологической необоснованности определений, а сам стиль такого построения теории — от внешне непонятного, возникающего неведомо откуда, к совершенно естественному и полезному — может произвести определенный эффект даже с эстетической точки зрения.

Предлагаемое изложение допускает, разумеется, много вариантов, не затрагивающих существа основных идей. Так, вместо одного знака (+), употребляющегося даже в трех смыслах, можно ввести три различных знака. Это избавит изложение от комментариев по поводу различия знаков и обозначаемых ими объектов, но вызовет некоторые затруднения в другом месте: после включения действительных чисел в комплексные возникает необходимость устранить два допол-

нительных знака — знак операции сложения комплексных чисел и формальный знак между двумя частями комплексного числа.

Можно также устранить идею отождествления объектов, рассматривая отдельно символы

и соответствующим образом определяя для них сумму и произведение. Однако это было бы чрезвычайно неудобно, поскольку, например, для определения суммы чисел а + Ьл и с + ал пришлось бы выписывать целую таблицу:

Аналогичные таблицы понадобились бы и для определения суммы чисел а и с + ал, а + Ьл и с, л и с + ал и т. д.

Перейдем теперь непосредственно к изложению.

Мы будем рассматривать формальные выражения вида а + Ьл, где а, Ъ — любые действительные числа (л — «домик»). Называя эти выражения формальными, мы подчеркиваем, что мы не придаем им никакого смысла, не ставим вопроса, что они означают, не задумываемся над тем, как эти выражения связаны с чем-нибудь практическим. Мы воспринимаем их именно чисто формально: чтобы получить такое выражение, надо взять два действительных числа а и Ъ, различных или равных, и с помощью вспомогательных знаков (+) и (л) составить из них выражение указанного вида.

Например, такими выражениями будут

Мы ничего не говорим также и о смысле вспомогательных знаков (+) и (л). Знак (л) встречается в первый раз, а знак (+) вовсе не знак сложения, как мы его всегда раньше понимали. В самом деле, знак сложения (+) может стоять только между двумя действительными числами, и его не ставят, например, между двумя прямыми, потому что складывать прямые бессмысленно, такого понятия — сумма прямых — не существует. Точно так же и здесь знак + есть не знак сложения, а просто формальный знак, «прямой крест», и ничего больше.

В связи с этим обдумаем следующий вопрос: можно ли вообще в совсем разных смыслах, для совершенно различных целей употреблять один и тот же знак? Конечно, чтобы избежать малейшей опасности смешения, лучше каждый раз использовать свои знаки, но тогда

на изображение всех нужных знаков не хватило бы человеческой фантазии и, кроме того, их невозможно было бы запомнить.

С другой стороны, что мешает нам использовать один и тот же знак в разных случаях? Только опасность смешения, опасность понять некоторое выражение двумя совершенно различными способами. В самом деле, нельзя, например, обозначить одним и тем же знаком (+) одновременно и сумму и произведение двух чисел: ведь в таком случае, увидев выражение 2 + 3, мы не могли бы точно сказать, равно оно 5 или 6.

В то же время в повседневной жизни, в обычном языке такое употребление двух одинаковых знаков, двух одинаковых слов для обозначения разных объектов, т. е. омонимов, встречается очень часто, и это не доставляет, как правило, никаких неудобств, поскольку различение омонимов легко проводится в общем контексте.

В математике также много примеров такого рода. Так, до недавнего времени словосочетание высота треугольника в школьном курсе могло пониматься и как отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на его основание, и как длина этого отрезка, и как сама прямая, проходящая через вершину треугольника и перпендикулярная его основанию.

Точно так же до сих пор мы употребляем термин решение уравнения в разных смыслах, однако не представляет никакого труда понять этот термин, скажем, в предложениях: «Данное уравнение имеет конечное число решений» и «Иванов привел остроумное решение этого уравнения». Таким образом, употреблять один и тот же знак в разных смыслах можно, но лишь тогда, когда есть возможность однозначно понять, в каком именно смысле употреблен этот знак.

Итак, мы рассматриваем формальные выражения вида а + Ьл, где а и b — действительные числа. Поскольку эти выражения являются для нас совершенно новыми объектами, мы должны договориться прежде всего, каким образом отличать их друг от друга, в каких случаях два выражения считать равными, а в каких случаях — различными. Подчеркнем, что мы должны именно договориться об этом, ввести свое собственное определение, а не вывести из каких-либо предыдущих аксиом или теорем — ведь по поводу этих объектов у нас и не может быть еще никаких теорем: мы только что их сами ввели, и это наше дело, как их различать.

Но любым ли способом можно определить, в каких случаях мы считаем два выражения равными? Разумеется, нет: совершенно необходимо, чтобы выполнялись три основных свойства равенств:

1) всякое выражение равно самому себе;

2) если одно выражение равно другому, то и это второе выражение равно первому;

3) два выражения, порознь равные третьему, равны между собой. Во всем остальном, если говорить чисто логически, мы не ограничены и можем поступать по собственному усмотрению.

Мы дадим следующее определение:

Определение 1. Выражения а + Ьл и с + ал будем считать равными в том и только в том случае, когда а = си b-d.

Равенство выражений а + Ьл и с + г/л будем записывать в виде

Таким образом, а + Ьл = с + dA тогда и только тогда, когда а = с и Ъ = d. Не представляет никакого труда проверить, что при таком определении выполняются важнейшие свойства 1) — 3).

После этого определения мы можем сказать, конечно, в каких случаях два выражения различны: а + Ьл и с + dA различны (это естественно записывать в виде а + Ьл ф с + */л, если выполняется хотя бы одно из двух «неравенств» аФс, btd.

Можно отметить сразу же, что определение 1, вполне естественное и даже «очевидное», на самом деле вовсе не является единственным из всех определений равенства, обеспечивающих выполнение условий 1) — 3). Как нетрудно проверить, эти условия выполняются, например, и при следующих определениях:

а + Ьл=с + dA тогда и только тогда, когда а2 + Ь2 =с2 + d1 (правило 1 ), а + Ьл = с + dA тогда и только тогда, когда {а} = {с}, {Ь} = {d} (правило 2) ({} — символ дробной части).

Поэтому, приняв определение 1, мы руководствуемся, разумеется, не его простотой и естественностью, но именно целесообразностью — в буквальном смысле этого слова—как сообразностью поставленной цели.

С другой стороны, принятие «неестественных» определений равенства формальных символов не является чисто логической, абстрактной возможностью. Напротив, в практике построения математических теорий это встречается довольно часто. Так, при определении дробей как символов вида мы договариваемся считать дроби равными не «естественным образом», когда р = r, q = s, но при выполнении условия ps = qr.

Возможен, конечно, и распространен, особенно при формальном построении теории дробей, и иной путь, когда дроби считаются рав-

ными именно при совпадении числителя и знаменателя: в этом случае при построении теории на множестве дробей вводится отношение эквивалентности

тогда и только тогда, когда

и в дальнейшем рассматриваются классы эквивалентности, соответствующие этому отношению. Ясно, однако, что эти два пути построения теории дробей отличаются только тем, на каком этапе построения проводится отождествление исходных объектов: в самом начале, при принятии определения равенства, или уже внутри теории, когда эквивалентные символы фактически отождествляются.

Нельзя не указать здесь аналогию с изложением курса геометрии на теоретико-множественной основе: если геометрические фигуры, переходящие друг в друга при перемещениях, не считаются равными с самого начала, а рассматриваются как формально различные, «всего лишь» конгруэнтные, хотя фактически такие фигуры все равно отождествляются. Но, строго говоря, подобно тому как при формальном определении дробей теория рациональных чисел изучает не сами дроби, а классы эквивалентных дробей, при теоретико-множественном определении фигур геометрия изучает не сами фигуры, а классы конгруэнтных фигур.

В то же время обсуждение этих вопросов с учащимися сразу после определения равенства формальных выражений представляется неуместным, поскольку их математический опыт является еще совершенно недостаточным для понимания идейной стороны этих рассуждений. Поэтому после определения равенства можно сразу же перейти к введению операций на множестве рассматриваемых выражений.

Заметим, что именно после того, как мы ввели определения равенства, научились различать формальные выражения, мы можем говорить о множестве формальных выражений, не опасаясь того, что в этом множестве элементы могут повторяться. Впрочем, совпадения некоторых элементов множества вовсе не следует так тщательно избегать, как это зачастую делается в нашей методической литературе. В определенном смысле вполне возможно рассматривать множество вида {а, а, Ь}, считая, скажем, его равным множеству {а, Ь).

В дальнейшем множество формальных выражений вида а + Ьл, где a, be R, мы будем обозначать через С.

Теперь мы научимся производить с рассматриваемыми выражениями некоторые действия, подобные тем, которые мы производили

с действительными числами. Поскольку мы впервые встречаемся здесь с необходимостью производить действия над формальными выражениями, то мы должны прежде всего определить, что означает производить действия над выражениями.

Конечно, и в этом вопросе можно поступить формально и сразу же ввести соответствующие определения. Однако в данном случае более естественным представляется оттолкнуться от уже имеющегося опыта учащихся при совершении действий с действительными числами. Этот опыт уже достаточен, чтобы позволить учащимся абстрагироваться от конкретных действий в конкретном множестве (разумеется, при необходимых пояснениях со стороны учителя) и осознать общую идею бинарной алгебраической операции на множестве: задать бинарную операцию на произвольном множестве M — значит каждой паре элементов этого множества каким-либо образом поставить в соответствие некоторый элемент этого же множества.

При этом снова возникает вопрос: любым ли способом можно задать операцию на рассматриваемом множестве С? Логически говоря, мы здесь ничем не ограничены, но целесообразность (совершенно еще не видная учащемуся, но известная обучающему) приводит нас к рассмотрению следующих двух операций: в первой из них паре

мы ставим в соответствие пару

а во второй — пару

Для того чтобы об этих операциях было удобно говорить, для них следует ввести названия; кроме того, для обеспечения возможности записи следует придумать название и обозначения и для композиций — результатов, получающихся при применении этих операций к двум конкретным выражениям. Подчеркнем, что обозначения для самих операций, как отображений типа Мх М-> М, обычно не рассматриваются, поскольку на практике достаточно иметь лишь их названия.

Разумеется, и здесь — в выборе названий и обозначений — мы совершенно свободны. Целесообразно, однако, сохранить для новых операций и соответствующих композиций «старые» названия, употреблявшиеся для действительных чисел; это связано, конечно, с тем, что в действительности новые операции являются продолжением «старых» на более широкое множество.

Итак, введем следующие определения:

Определение 2. Суммой выражений а + Ьл и с + ал будем называть выражение

Сумма выражений а+Ьл и с+ал обозначается через Таким образом, по определению,

(3)

Определение 3. Произведением выражений а + Ьл и с + ал будем называть выражение

Произведение выражений

будем обозначать через

Таким образом, по определению,

(4)

Обратим внимание на то, что в равенстве (3) знак (+) используется сразу в трех смыслах: как знак суммы действительных чисел (первый и третий + в правой части), как знак суммы комплексных чисел (второй + в левой части) и как формальный «прямой крест» (в остальных случаях). Таким образом, это равенство является еще одной иллюстрацией того, что один и тот же знак может употребляться в разных смыслах — лишь бы контекст позволял узнавать смысл этого знака в разных случаях его употребления. Аналогично можно обсудить и равенство (4).

По поводу определений 2 и 3 можно провести некоторые дополнительные рассуждения, часто возникающие при построении алгебраических теорий. Логическая полноценность, корректность этих определений не вызывает никаких сомнений исключительно благодаря принятому нами определению равенства рассматриваемых выражений. Строго говоря, сумма и произведение выражений а + Ьл и с + ал вычисляются в определениях 2 и 3 не по самим этим выражениям, а по их «действительным компонентам» а, Ь, с, d, т. е. определяются конкретным представлением выражений в форме а + Ьл. Но именно определение 1 и обеспечивает нам однозначность такого представления и вытекающую из этой однозначности корректность определений сложения и умножения на множестве С.

Напротив, если бы мы определили равенство выражений по правилу 1, то определение суммы оказалось бы некорректным: например, мы имели бы, что

и в то же время 6 + Ол ф 4 + 4л. Отсюда видно, что результат сложения двух элементов множества С по определению 2 зависит от формы представления этих элементов в виде а + Ьл. Можно показать, что определение произведения при этом остается корректным. Если же принять в качестве определения равенства правило 2, то, наоборот, некорректным будет определение произведения, тогда как определение суммы будет корректным.

Начиная с этого момента мы будем называть элементы множества С комплексными числами. Здесь возникает естественный вопрос: по-

чему термин «комплексные числа» мы ввели только сейчас, а не сразу, как только стали рассматривать формальные выражения а + Ьл, тем более что с точки зрения изложения это было бы даже удобнее? Мы предпочли, однако, назвать эти выражения числами только после того, как научились производить с ними действия, подобные арифметическим действиям над действительными числами, но с чисто логической точки зрения термином «комплексные числа» можно было бы пользоваться и с самого начала.

Между тем часто высказывается противоположное утверждение, что назвать вводимые формальные выражения комплексными числами можно только после того, как на множестве их определены операции сложения и умножения в соответствии с определениями 2 и 3. Это мнение, однако, представляется неверным. Дело в том, что само понятие «комплексное число», если говорить строго, не имеет точного математического содержания.

С теоретической точки зрения существует единственное с точностью до изоморфизма поле комплексных чисел, определяемое как наименьшее расширение поля действительных чисел, в котором имеет решение уравнение х2 + 1 = 0. В то же время существует много полей, построенных на совершенно различных множествах и являющихся конкретными моделями, «частными случаями» поля комплексных чисел, и элементы любого из этих полей имеют полное право называться комплексными числами.

Более того, на любом множестве, имеющем мощность континуума, в том числе и на множестве действительных чисел, можно так определить две бинарные операции, что оно превратится в поле комплексных чисел. Отсюда ясно, что термину «комплексное число» и не следует придавать точный математический смысл, а при построении любой конкретной модели поля комплексных чисел элементы основного множества можно называть комплексными числами.

Этим заканчивается определение комплексных чисел, точнее, поля комплексных чисел, и остается изучать это поле, развивать теорию комплексных чисел. Но прежде (и с точки зрения простоты дальнейшей теории, и с точки зрения чистой любознательности) разумно выяснить два вопроса: почему эти формальные выражения с такими довольно странными правилами действий называются числами; какова связь между комплексными числами и обычными действительными числами?

И конечно, непонятно еще и самое главное, для чего нужны комплексные числа. Но это станет ясно только после того, как теория

комплексных чисел будет достаточно далеко продвинута, после того как с применением комплексных чисел будут решены задачи, не поддающиеся при использовании только действительных чисел.

Первый из сформулированных вопросов совершенно не математический, так как, во-первых, здесь идет речь о названии, а это не предмет математических рассуждений, а во-вторых, чтобы ставить этот вопрос, нужно прежде всего знать, что такое число. Однако общего определения, что такое число, нет, так что и говорить о том, числа это или не числа, бессмысленно.

Мы начнем со второго вопроса: как связаны действительные и комплексные числа? До сих пор каждый раз при построении новых чисел (при переходе от натуральных чисел к целым, от целых к рациональным, от рациональных к действительным) оказывалось так, что множество старых чисел является частью множества новых чисел, всякое старое число является частным случаем нового: всякое натуральное число целое, всякое рациональное число действительное. Вполне естественно желание, чтобы и теперь при переходе от действительных чисел к комплексным множество действительных чисел оказалось частью множества комплексных чисел, чтобы всякое действительное число было в то же время комплексным.

Однако это не имеет места. В самом деле, действительные числа — это действительные числа, а комплексные числа — это некоторые формальные выражения а + Ьл, поэтому и не может быть речи о том, что действительное число является комплексным числом. Тем не менее оказывается, что положение можно спасти.

Будем рассматривать комплексные числа вида а + Ол. Эти числа будем называть «действительными» и вместо а + Ол для краткости будем писать просто а. Таким образом, одним и тем же символом мы обозначаем и действительное число а, и «действительное» комплексное число а + Ол. Поэтому в дальнейшем придется заботиться о том, чтобы всегда можно было различить, в каком именно смысле употреблен данный символ.

Например, вполне допустимо выражение 2 < 3. Здесь ясно, что речь идет о действительных числах 2 и 3, а не о комплексных числах 2 + Ол и 3 + Ол (в самом деле, мы ничего не говорили о неравенствах для комплексных чисел, и потому выражение 2 + Ол < 3 + Ол не имеет смысла). Точно также обстоит дело с равенством 4 — 3 = 1: знак — не может стоять (пока!) между двумя комплексными числами.

С другой стороны, такое выражение, как (2 • 3 + 2) • 4 + ^допускает два толкования — оно имеет смысл и в случае, когда символы 1, 2,

3,4 понимаются как действительные числа, и в случае, когда эти символы обозначают соответствующие «действительные» числа. В первом из этих случаев знаки (+) и (•) представляют собой знаки сложения и умножения действительных чисел, а во втором — знаки сложения и умножения комплексных чисел, и эти действия должны быть выполнены по правилам (3) и (4).

И здесь выясняется самое главное. Оказывается, что на самом деле безразлично, в каком именно смысле понимать это и все подобные выражения, составленные из символов действительных чисел с помощью знаков сложения и умножения.

Действительно, пусть а + Ол и Ъ + Ол — произвольные «действительные» числа. Вычислим (разумеется, по правилам (3) и (4)) их сумму и произведение:

Отсюда видно, что суммой двух «действительных» чисел а и Ъ является «действительное» число а + Ъ, а произведением — «действительное» число ab. Следовательно, для совершения сложений и умножений «действительных» чисел можно производить требуемые вычисления с соответствующими действительными числами. Поэтому, в частности, если в выражении, приведенном выше, символы 1, 2, 3, 4 понимать первым или вторым способом, то мы придем либо к действительному числу 33, либо к «действительному» числу 33 + Ол.

Таким образом, операции над «действительными» числами производятся точно также, как над действительными, и сами «действительные» числа отличаются от настоящих действительных чисел только обозначениями. Но для построения числовой системы самое главное не то, как обозначаются элементы этой системы, а как производятся действия с этими элементами. Если же объекты, разным образом обозначенные, ведут себя одинаково, то их можно считать равными, отождествить, принять, что а + Ол = а.

В результате этого отождествления мы получаем, что множество действительных чисел стало частью множества комплексных чисел, т. е. всякое действительное число является теперь комплексным числом. Таким образом, мы дали положительный ответ на вопрос, который на первый взгляд решался отрицательно.

В этом, однако, не следует видеть противоречия. Если говорить совершенно формально, то в нашем изложении действительное число все-таки не является комплексным, и речь идет лишь о том, что в множестве комплексных чисел выделена некоторая часть, элементы ко-

торой ведут себя так же, как действительные числа. При этом формальном подходе бессмысленно само понятие отождествления, являющееся решающим для включения множества действительных чисел в множество комплексных чисел. Однако такой подход не обязан даже и ставить подобную задачу — если уж говорить формально, то этого включения никто и ничто от нас не требует.

Выяснив связь между действительными и комплексными числами, мы имеем некоторый ответ и на первый вопрос: почему комплексные числа называются числами! Это название уже не так неестественно, как могло показаться раньше, так как построенное множество содержит как часть множество действительных чисел, и, следовательно, понятие комплексного числа можно считать обобщением понятия действительного числа и сохранить для нового понятия старое название, придавая тем самым этому названию уже более широкий смысл.

Такое расширение понятия с сохранением названия уже не раз происходило в школьном курсе, например при развитии понятия степени: если впервые степень появляется только как произведение равных чисел, то в конце общее понятие степени имеет к произведению очень отдаленное отношение. И тем не менее, расширяя понятие, мы всегда сохраняли старое название «степень», добавляя при необходимости некоторые подробности: степень с натуральным показателем, отрицательным показателем и т. д. Так же и здесь мы продолжаем называть новые объекты числами, а при необходимости говорим: целые числа, действительные числа, комплексные числа и т. д.

Есть и еще одно основание называть комплексные числа числами. Оно относится к уже затронутому нами вопросу, что мы понимаем под числом. Как уже сказано, общего понятия числа не существует, но не менее легко указать некоторые психологические основания, позволяющие употреблять это слово.

В самом деле, числа — это некоторые объекты (введенные формально, содержательно или аксиоматически), с которыми можно производить вычисления — сложение, умножение, причем эти действия коммутативны, ассоциативны, связаны дистрибутивным законом.

В числовых системах имеются обычно еще вычитание и деление, но эти действия выполнимы не всегда — и, кроме того, они являются производными от основных действий — сложения и умножения и, следовательно, полностью ими определяются. Поэтому, в частности, при введении комплексных чисел мы не только не говорили ни слова о вычитании и делении, но даже не ввели этих операций.

Необходимо отметить, что не всякая система объектов, на которой определены две операции, обладающие указанными свойствами, считается числовой системой. Например, безусловно, нечисловой системой является множество подмножеств некоторого фиксированного множества с операциями объединения и пересечения, хотя эти операции и обладают свойствами 1—5. Видимо, для признания некоторой системы числовой требуется еще наличие в ней самой или в некотором ее расширении операций, обратных сложению и умножению.

Легко проверить (это представляет чисто технические трудности), что действия над комплексными числами обладают указанными свойствами и поэтому их разумно называть числами. И даже более того, как выясняется в развитой теории комплексных чисел, комплексные числа лучше всех остальных, лучше в том смысле, что с ними можно производить большее количество вычислений, их арифметика богаче и позволяет решать более трудные задачи.

Для упрощения арифметики комплексных чисел, для облегчения действий с ними мы проведем еще некоторые рассмотрения.

Обозначим комплексное число 0 + 1л через (л). Теперь символ (л) имеет у нас два смысла: это и символ, ничего не обозначающий, и комплексное число 0 + 1 л. Конечно, эти два смысла нетрудно различить. Однако оказывается, что после этого обозначения вообще всякое выражение а + Ьл имеет два смысла. Это, во-первых, исходное формальное выражение, где знак (+) — это формальный знак, а действительное число Ъ и символ (л), разумеется, не перемножаются, а просто стоят рядом. Во-вторых, можно подумать, что а + Ьл получено так: комплексное число Ь (т. е. Ь + Ол) умножено по правилу (4) на комплексное число л (т. е. на 0 + 1л) и сложено (по правилу (3)) с комплексным числом а (т. е. а + Ол).

Нетрудно догадаться, что выход из этого положения в том, что, понимая выражение а + Ьл и в одном, и в другом смысле, мы получим одно и то же комплексное число. В самом деле,

Теперь можно по-новому взглянуть на правила (3) и (4). Именно, пользуясь свойствами действий над комплексными числами и рассматривая а, Ь, с, ûf и л как отдельные комплексные числа, сложим а + Ьл

Таким образом, пользуясь свойствами действий с комплексными

числами, мы приходим при сложении именно к тому, что требуется в правиле (3). Конечно, это не означает ни в коем случае, что тем самым доказано правило (3): прежде чем установить свойства действий, надо определить эти действия, т. е. ввести правила (3) и (4).

Прежде чем перейти к правилу (4), подсчитаем, чему равно

Теперь, учитывая, что л2 = — 1, перемножим числа рассматривая я, Ь, с, dw л как отдельные числа:

Таким образом, и здесь мы приходим к тому, что требуется в правиле (4). Это показывает, что правило (4), на «неестественность» которого мы специально обращали внимание, на самом деле оказывается вполне разумным. Более того, оно обязательно должно быть принято, если мы хотим, чтобы действия над комплексными числами обладали «обычными» свойствами и число л обладало свойством л2 = — 1, т. е. являлось бы корнем уравнения х2 + 1 = 0.

Из этих рассуждений следует также, что для совершения действий с комплексными числами нет надобности помнить правила (3) и (4): сними можно обращаться как с двучленами а + Ьл и где можно заменять л2 на —1.

В результате множество комплексных чисел построено, главные вопросы выяснены, арифметика упрощена до предела. Остается развивать теорию. Только предварительно стоит «раскрыть карты» и указать, что именно необходимость решения уравнения х2 = — 1 была целью построения комплексных чисел, была ориентиром, по которому мы вводили все определения. Будучи логически совершенно свободными, но имея определенную скрытую цель, мы поступали так, а не иначе именно для достижения этой цели. В этом месте еще раз встречаются логика, целесообразность и естественность, но встречаются уже не в противопоставлении, а в полном согласии друг с другом.

3. Многочлены с одной переменной в классах с углубленным изучением математики: мотивация темы

В течение последних десятилетий система школьного математического образования в России, и прежде всего ее основа — содержание обучения математике, — претерпели целый ряд кардинальных из-

менений, далеко не лучшим образом отразившихся на качестве математической подготовки выпускников.

В не меньшей степени эти изменения отразились — и это представляется не менее важным — на психологическом климате внутри сложного неформального объединения миллионов людей, деятельность которых непосредственно связана с обучением математике в школе: учащихся, учителей, специалистов по методике обучения, преподавателей высшей школы, математиков-профессионалов.

Между тем постоянное обновление содержания математического образования является необходимым и естественным процессом, который может протекать для школы совершенно безболезненно, если осуществляется мягким путем эволюции, при котором намечаемые изменения содержания не только заранее объявляются, но и обосновываются с точки зрения необходимости, целесообразности и возможности реализации в различных формах обучения в рамках профильной и уровневой дифференциации.

В наибольшей степени это касается расширения содержания, поскольку в современных условиях сокращение учебного времени, отводимого на изучение математики, становится реальностью, и следует признать, что этот феномен имеет серьезные причины и социального, и в не меньшей степени социально-психологического характера. Однако и не слишком значительные изменения содержания неизбежно вызывают в практике каждого учителя сложности, зачастую обесценивая результаты многолетнего труда.

Поэтому в качестве важного ограничителя изменений содержания следует рассматривать критерий, который известный советский математик Д. К. Фаддеев, много сделавший также и для развития советского школьного математического образования, называл принципом «презумпции виновности» — как противопоставление известному правовому принципу.

Именно этот принцип и предъявляет к процессу эволюции школьного математического образования требования, о которых мы говорили выше. Всякая новая математическая теория, новое понятие, новый метод рассуждений, предлагаемые к изучению в той или иной форме обучения должны прежде всего доказать свое «право на существование», или, в обычных терминах, их включение в содержание должно быть мотивировано во всех возможных аспектах — и прежде всего с точки зрения общих целей школьного математического образования. В настоящей статье делается попытка мотивации одной из тем, рекомендованных программой для системы углубленного изучения математики.

Тема «Многочлены с одной переменной» является одним из основных разделов элементарной математики и длительное время, в эпоху учебников А. П. Киселева, входила в содержание обучения на старшей ступени. В дальнейшем, во время реформы 60—70-х гг., в связи, в частности, с включением в курс математики основ математического анализа из школьной программы эта тема была исключена.

Существенные изменения в концепции школьного математического образования, произошедшие в последние десятилетия, заставляют вернуться к обсуждению вопроса об изучении многочленов в средней школе. В настоящее время рассматриваемая тема предлагается в системе углубленного изучения математики, однако в соответствии с существующей программой не является обязательной: она связана с расширением существующего содержания по сравнению с общеобразовательным курсом, и учитель имеет право ее не изучать.

Между тем, не имея достаточных знаний и умений, связанных с многочленами от одной переменной, выпускник школы будет иметь серьезные трудности при дальнейшем обучении в вузе, а может быть, и на более раннем этапе — при сдаче вступительных экзаменов по математике.

Аппарат многочленов в так называемой «высшей математике» и в приложениях математики имеет исключительную важность и входит в «азбуку» таких, например, разделов, как интегрирование рациональных функций, линейные операторы, дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, входящих в базовый курс математики большинства вузов.

При этом в подавляющем большинстве вузов как бы предполагается, что этот материал студентам известен, и, во всяком, случае вуз не располагает временем для его изучения с той же степенью тщательности, с какой это принято делать в школе. Неудивительно поэтому, что на вступительных экзаменах встречаются задачи, сводящиеся к решению кубических уравнений, которые, заметим, не выходят за рамки программы экзаменов, поскольку могут быть решены с помощью группировки.

Между тем группировка практически всегда является, как известно, чисто эвристическим, «внеалгоритмическим» приемом, и поиск удачной группировки далеко не всегда оказывается успешным. Отметим, что соответствующие упражнения в общеобразовательном курсе с точки зрения формирования умения решать кубические урав-

нения слишком примитивны и имеют другую цель — активизацию формул сокращенного умножения.

В то же время совершенно элементарная и вполне доступная для учащихся теория в данном случае вооружает их простым алгоритмом для решения кубических уравнений, т. е. превращает подобные задачи в алгоритмические. Разумеется, сказанное относится к кубическим уравнениям, имеющим хотя бы один рациональный корень, однако остальные уравнения не могут быть решены и с помощью группировки, если, конечно, учащийся не откроет самостоятельно способ решения, как это сделали итальянские математики XVI в., или какой-либо еще способ.

Нельзя не отметить также, что имеется целый класс задач, где фактически требуется доказать, что кубическое уравнение не имеет рациональных корней. Такие задачи иногда встречаются и на вступительных экзаменах в вузы «высокого уровня», обычно на устных экзаменах. Эти задачи также не выходят за пределы программы вступительных экзаменов, если считать, конечно, что теорема о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами — это не слишком сложная задача, которую абитуриент должен уметь решить самостоятельно.

Для выпускника, знакомого с основами теории многочленов, эта задача является алгоритмической и не представит, очевидно, никаких трудностей. Таким образом, одним из мотивов включения темы «Многочлены с одной переменной» в программу углубленного изучения математики является обеспечение преемственности между средней и высшей школой, вооружение учащихся простым и эффективным средством решения более широкого по сравнению с общеобразовательной школой класса задач.

Этот мотив представляется достаточно значимым, поскольку система углубленного изучения в целом направлена, в частности, и на подготовку будущих студентов. Изучение этой темы именно на средней, а не на старшей ступени, как это было ранее, представляется целесообразным ввиду ее очевидных тесных связей именно с материалом этих классов и по общему кругу идей, и по содержанию решаемых задач, квадратные уравнения и квадратный трехчлен, тождественные преобразования, разложение на множители.

Кроме того, теория многочленов по своей математической сущности примыкает к теории делимости целых и натуральных чисел и, таким образом, может рассматриваться как продолжение соответствующей линии, начатой в более младших классах. В этом плане нельзя

не отметить также, что теория многочленов является в определенном смысле прикладной по отношению к теории делимости в целых числах.

Это соответствует и историческому процессу развития математики, где разложение многочленов на множители применялось к решению различных задач теории чисел. Простейшие подходы к решению таких задач имеют элементарный характер, и их целесообразно использовать именно на этом этапе обучения.

Следует иметь в виду также и еще один аспект: на старшей ступени учащиеся уже сконцентрированы на проблеме сдачи вступительных экзаменов, и поэтому внутриматематические, эстетические, исторические аспекты теории для них уже гораздо менее значимы, чем чисто прагматический аспект подготовки к экзаменам, центром которых являются уравнения и неравенства, связанные с более широким классом функций.

Наконец, изучение многочленов с одной переменной в 8-м классе, овладение учащимися простейшими применениями этой теории, дают им возможность на протяжении всего дальнейшего обучения решать значительно более широкий круг задач и, что особенно важно, осваивать при этом новые математические идеи, т. е. качественно повышать уровень своей математической подготовки.

В этом плане значение темы «Многочлены с одной переменной» вполне сравнимо с изучением квадратного трехчлена и квадратных уравнений: сравнительно небольшой объем теории и практических навыков дает возможность решать разнообразные задачи, осваивать новое математическое содержание — решение уравнений высших степеней, рациональные числа, комплексные числа, бином Ньютона.

Разумеется, существует — во всяком случае, чисто логически — опасность, что изучение многочленов с одной переменной окажется для учащихся 8-го класса чрезмерно трудным, даже в классах с углубленным изучением математики. Однако при соответствующей методике изучения этой темы, ориентированной прежде всего на овладение практическими навыками на основе минимального объема теории, эта опасность не представляется, на наш взгляд, реальной — прежде всего в силу объективной простоты рассматриваемых в теме понятий и теорем.

Возникающие в этой теме немногочисленные трудности теоретического характера, связанные с поиском рациональных корней, с делением многочленов с остатком и теоремой Безу, не находятся на

более высоком уровне трудности по сравнению с остальным материалом алгебры 8-го класса. При этом практическая ориентация изучения вполне позволяет дидактически обоснованно «обходить» теоретические трудности, что сводит к минимуму необходимое для изучения время.

А самый трудный с вычислительной точки зрения алгоритм — деление «уголком» — многие учителя и в настоящее время рассматривают с учащимися; кроме того, этот алгоритм является существенно более простым и более формализованным, чем, например, алгоритм деления многозначных чисел, входящим в обязательную программу, причем на значительно более раннем этапе обучения.

В то же время мотив подготовки учащихся к поступлению в вуз, в котором от выпускников школы требуется достаточно высокая математическая подготовка, является в определенном смысле внешним по отношению к школьному курсу математики. Поэтому при всей его практической значимости этот мотив может не рассматриваться в качестве определяющего и наиболее существенного для включения темы «Многочлены с одной переменной» в содержание школьного обучения.

В действительности изучение этой темы имеет высокую дидактическую ценность и с точки зрения внутренних задач школьного курса, является необходимой частью «нормального», полноценного математического образования выпускника средней школы. Более того, изучение многочленов имеет высокую значимость и в гуманитарных аспектах — общеобразовательном и общекультурном, в частности в историческом и даже в эстетическом, хотя последний может выявиться только для школьников, для которых математика и эстетика субъективно еще не являются полярными противоположностями.

Эта тема создает в школьном курсе стройную и в определенном смысле вполне законченную в рамках элементарной математики линию целых алгебраических уравнений, которая не только обеспечивает необходимый для математики и ее приложений аппарат, но и сама по себе может служить почти идеальной иллюстрацией исторического процесса развития математики.

Возникнув из решения практических задач, по существу при зарождении математики как науки, задача решения алгебраических уравнений привела, с одной стороны, к созданию аппарата для решения прикладных задач (например, в теории устойчивости), а с другой стороны, послужила источником возникновения и развития современных разделов математической науки (например, теории групп).

Однако этот внешний прикладной аспект изучения многочленов мотивационной значимости фактически не имеет, поскольку довести изучение многочленов в школе до реального их приложения к указанным теориям невозможно и вряд ли целесообразно, если говорить об этих теориях как о мотивационном факторе: те, кто способен — например, на факультативном курсе — усвоить соответствующий материал, вряд ли нуждаются в мотивации изучения многочленов.

Тем не менее рассматриваемая тема предоставляет учителю богатые возможности реализации одной из важных целей школьного математического образования — освоение учащимися представлений о роли математики в жизни человечества, о внешних и внутренних источниках развития математики. Этот мотив включения темы «Многочлены с одной переменной» в содержание обучения представляется тем более значимым, что содержание общеобразовательного курса, в особенности курса алгебры 7—9-го классов, существенно ограничено в возможностях достижения целей общекультурного характера.

Прежде всего, содержание темы дает возможность провести исторически точную внутриматематическую мотивацию целесообразности построения комплексных чисел, связанную с поисками способа решения кубических уравнений. Достаточно очевидно, что абстрактные рассуждения о пользе применений комплексных чисел в науке и технике мотивационной значимости фактически не имеют, поскольку продемонстрировать эти применения на школьном уровне невозможно.

В связи с этим отметим, что распространенная мотивация введения комплексных чисел, связанная с необходимостью решения любого квадратного уравнения, искажает историческую истину: возможность решения любого квадратного уравнения — следствие введения комплексных чисел, а не источник их возникновения.

Более того, такое «оправдание» комплексных чисел ущербно и с психологической точки зрения: вряд ли учащиеся испытывают дискомфорт из-за того, что какие—то уравнения не имеют решения, и поэтому изучение искусственных, «мнимых» объектов для преодоления несуществующих трудностей психологически неоправданно.

Нельзя не отметить, что ситуация с введением комплексных чисел в действительности не является каким-то исключением, но, напротив, вполне типична для всей системы построения числовой линии, для расширения понятия числа. Разумеется, всякое расширение числового множества, знакомого учащимся, привносит дополнительные

возможности, расширяет круг решаемых задач, однако с точки зрения мотивации такие задачи должны возникать извне, и прежде всего — из реального мира.

Так, странно было бы мотивировать необходимость рассмотрения отрицательных и дробных чисел тем, что уравнения a+x=b и ax = b не всегда имеют решение — сначала следует сформировать потребность в его существовании, и только после этого можно обсуждать вопрос об эффективности нового математического аппарата.

Точно так же совершенно нецелесообразно мотивировать появление иррациональных чисел необходимостью решения уравнения X2 = 2, тем более что история открытия этих чисел дает точную и содержательную мотивацию: трудно смириться с тем, что диагональ квадрата существует, но измерить ее нельзя. Отметим также, что не более уместно мотивировать введение иррациональных чисел, опираясь на представление рациональных чисел в виде периодических бесконечных десятичных дробей и исходя, таким образом, из чисто умозрительной целесообразности рассмотрения непериодических дробей.

Что же касается комплексных чисел, то уже при решении несложных учебных задач, связанных с делением многочленов с остатком, в частности с методом доказательства теоремы Безу, учитель может создать проблемную ситуацию, в которой сам учащийся почувствует ограниченность своих возможностей, «пожалеет» о том, что не всякое квадратное уравнение имеет корень.

При разрешении этой ситуации учащийся сможет убедиться, как действия с «несуществующими» объектами загадочным образом приводят к правильному решению задачи, и тем самым оказаться в том же психологическом состоянии, что и итальянские математики XVI в., создавшие основы теории комплексных чисел. Эмоциональное воздействие этой ситуации, на наш взгляд, трудно переоценить.

Наконец, изучение многочленов с одной переменной существенно расширяет круг решаемых учащимися задач, создавая одновременно алгоритмические (или почти алгоритмические) методы и приемы решения традиционных задач. В этой связи особенно важно подчеркнуть, что традиционные задачи, связанные с тождественными преобразованиями рациональных дробей, с математической точки зрения относятся к теории многочленов (и рациональных дробей) с несколькими переменными.

Однако теория многочленов с одной переменной в действительности предоставляет учащимся все возможности для решения

и этих задач — во всяком случае, «на школьном уровне». Если в настоящее время многие задачи такого рода решаются в школе с помощью группировки, т. е. с помощью случайных, искусственных приемов, то знание элементарных подходов теории многочленов позволяет, по очень точному выражению Н. Бурбаки, «внести идеи в вычисления», в данном случае увидеть, если возможно, в искусственных приемах их более глубинную сущность. Такое стремление представляет собой не только один из мощных внутренних стимулов развития математики, но и существенный воспитательный фактор в обучении математике.

Нельзя не отметить также, что рассмотрение многочленов с одной переменной как алгебраических объектов, непосредственно связанных с алгебраическим уравнениями — функциональными объектами, позволяет решить и некоторые дидактические задачи логического характера — например, уточнить терминологический вопрос о числе корней алгебраического уравнения, обосновать метод неопределенных коэффициентов.

Особо следует отметить и такой методологически важный аспект теории многочленов, как возможность выявления глубинной взаимосвязи между такими разнородными внешне, в особенности для учащихся, математическими вопросами, как многочлены, натуральные и целые числа, соизмеримость и несоизмеримость отрезков, иррациональные числа.

При этом перед глазами учащихся ярко предстает исторический процесс развития математики, показывающий математическую науку не как застывший комплекс знаний, но как реальную деятельность реальных людей, внесших в действительности вклад не столько в математику, сколько в общечеловеческую культуру, в познание человеком самого себя. «Драмы людей и идей» не имеют ни временных, ни пространственных, ни тем более «профессиональных» ограничений — в противном случае никому не были бы уже интересны ни Шекспир, ни Пушкин, ни Достоевский, ни Толстой.

Разумеется, в одной статье нет возможности дать полный анализ более или менее значительного математического материала, и тем более серьезной теоретической темы с точки зрения необходимости или целесообразности ее вхождения в содержание школьного курса. В частности, следует внимательно проанализировать и возможные контраргументы, связанные, например, с доступностью изучения новой темы, наличием соответствующего учебного времени и т. д.

4. О двух вариантах реализации теоретико-множественного подхода к понятию натурального числа

Математика — наука своеобразная. Из всех наук только она одна располагает логическими, т. е. в максимальной степени точными и независимыми от исследователя, средствами для установления «окончательной» истины, для решения вопросов типа «правильно или неправильно», «верно или неверно», «доказано или не доказано».

Плата за это достоинство достаточно высока: истина в математике является категорией логической, а не физической. Грубо говоря, в математике истинно то, что доказано узаконенными методами на основе некоторой системы аксиом (исходных положений). Поэтому физическая истинность утверждений, доказанных в математике, зависит от истинности принятых в ней аксиом как отражения соответствующих фактов и закономерностей реального мира и правильности узаконенных методов доказательства. В качестве общеизвестного примера можно привести все проблемы, связанные с истинностью геометрии Евклида и геометрии Лобачевского.

Отражением этой особенности связи математики как науки и реального мира является дидактически эффективное понятие математического моделирования. И недаром поэтому решение средствами математики конкретной задачи, возникшей вне математики, предусматри- вает по крайней мере три этапа: формализацию заданной проблемной ситуации (построение математической модели), исследование модели и интерпретацию полученного результата. Наличие последнего этапа и подчеркивает разницу между логической, внутримодельной истиной и истиной реальной, проверяет правильность построенной модели, ее соответствие исходной проблемной ситуации.

Математическое моделирование как дидактическое понятие имеет самое непосредственное отношение и к процессу создания школьных учебников. Перед автором учебника, в том числе и для начального обучения, возникает большое число проблем, связанных с выбором подходов к трактовке фундаментальных понятий, в определенном смысле не чисто математических, хотя и считающихся свойственными именно математике — таких, как множество, число, величина, функция (как зависимость) и т. п. Не меньшие трудности связаны с выбором определений для собственно математических объектов — дробь, переменная, уравнение, тождество, геометрическая фигура, угол и т. п.

Выбор той или иной трактовки фундаментального понятия или конкретных определений собственно математических объектов представляет собой, по существу, первый этап математического моделирования — построение модели. И этот выбор вовсе не предопределяется «сущностью» соответствующего понятия, поскольку «сущность» — категория, лежащая вне математики, а автор делает выбор модели, лишь отражающей сущность понятия, с целью оптимального, по его мнению, решения поставленной им проблемы создания учебника. Поэтому выбор математической модели имеет, безусловно, субъективный характер.

Так, центральным понятием всего курса математики начальной школы является натуральное число. Это понятие, однако, не является математическим в строгом смысле слова: в математике есть строгое понятие системы натуральных чисел, а натуральным числом называется всякий объект, принадлежащий основному множеству этой системы в любой конкретной модели этой системы.

Классическое определение системы натуральных чисел дается системой аксиом Пеано, а в качестве интерпретации может быть рассмотрено любое (счетное) множество, например:

один, два, три, четыре... ; one, two, three, four...

Поэтому с формальной точки зрения каждый из употребленных выше знаков, как это ни странно, является натуральным числом — точнее говоря, одновременно и числом, и его именем, его записью.

Этот подход, основанный на аксиоматике Пеано, раскрывает «сущность» натурального числа, соответствует историческому процессу развития понятия числа в человеческой практике, отражает восприятие натурального числа, каким оно существует в мышлении человека. Более того, усвоение натуральных чисел ребенком, с самого раннего детства, соответствует именно аксиоматике Пеано: она является наиболее естественной формализацией процесса счета предметов.

Поэтому в классической форме аксиом Пеано в качестве «начального» элемента используется символ 1 — тот же самый, что для изображения числа «единица» в арабской нумерации. Символ 0 в этой аксиоматике не используется, и поэтому число, изображаемое в десятичной системе этим символом, не является натуральным, что является общепринятым в курсе математики российской школы.

Подчеркнем лишний раз, что истинность утверждения: «Число О не является натуральным» является не отражением факта реального

мира, свойством некоторой реальной «сущности» числа 0, а логическим следствием отсутствия этого числа в аксиоматике Пеано в ее классической форме: выше приведена модель системы натуральных чисел, в которой «начальный» символ есть 0, в силу чего число 0 является натуральным.

Совершенно очевидно, однако, что с дидактической точки зрения такой «рафинированный» математический подход к системе натуральных чисел и, что еще более важно, к самому понятию натурального числа, тем более на начальном этапе обучения, не только нереален, но и нецелесообразен. Поэтому курсы математики начальной школы основаны чаще на использовании конкретной модели системы натуральных чисел, и наиболее распространен в настоящее время выраженный в более или менее явной форме теоретико-множественный подход.

В этом подходе натуральное число есть, как иногда говорят математики, «то общее, что есть у всех эквивалентных друг другу множеств», или, в более точной математической терминологии, — «класс (иначе — инвариант) эквивалентных множеств». (Напомним, что два множества называются эквивалентными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.) Разумеется, всегда имеются в виду конечные множества — в интуитивном смысле этого слова.

Именно такое понимание натурального числа формируется в учебниках математики для 1-го класса с помощью разнообразных «картинок» — три кружочка, четыре яблока, пять пальцев и т. п., — а на уроках еще и с помощью действий с материальными предметами — пальцами, палочками, кубиками и т. п.

В рамках теоретико-множественного подхода натуральное число на содержательном уровне показывает количество элементов множества, и поскольку пустое множество в этом подходе появляется в дальнейшем совершенно естественно и необходимо, а для отсутствия чего-либо по многовековой традиции употребляется термин «нуль» и символ 0, то в теоретико-множественной модели системы натуральных чисел число 0 является натуральным.

Другими словами, теоретико-множественный подход к понятию натурального числа реализует модель аксиоматики Пеано, в которой в качестве «начального» элемента применяется символ 0. Сравнение с классической формой аксиоматики Пеано лишний раз показывает, что вопрос, является ли число 0 натуральным, имеет необъективный характер, может быть отнесен лишь к конкретной выбранной модели построения системы натуральных чисел.

Более того, в начальном курсе математики теоретико-множественный подход чаще всего смешивается с «естественным» для процесса счета подходом в стиле Пеано, что не совсем корректно с математической точки зрения: на основе теории множеств строятся кардинальные (количественные) натуральные числа, тогда как аксиоматика Пеано реализует ординальные (порядковые) натуральные числа. Впрочем, несмотря на наличие очевидного противоречия между этими двумя подходами — в статусе числа 0, мы далеки от мысли о необходимости выявлять это противоречие в начальном обучении или строить «более строгую» методику обучения.

Между тем при практической реализации теоретико-множественного подхода возникает весьма существенное препятствие методического характера, связанное с чрезмерной абстрактностью понятия множества для учащихся младшего возраста, независимо от того, вводится или не вводится соответствующий термин. Парадокс состоит в том, что понятие натурального числа, с которым на интуитивном уровне учащиеся знакомы с дошкольного возраста, строится на основе более сложного абстрактного понятия множества.

Для преодоления этих трудностей крупным советским математиком Н. Я. Виленкиным, вклад которого в школьное математическое образование хорошо известен, предложен некоторый адаптированный теоретико-множественный подход, близкий и к практике ребенка, и к его учебной деятельности. Этот подход реализован в учебнике для начальной школы Н. Я. Виленкиным и Л. Г. Петерсон.

С математической точки зрения речь идет о так называемых мультимножествах — «множествах», элементы которых не обязательно различны. В «школьной» интерпретации они проявляются как нечто вроде «мешков», в которых содержатся конкретные предметы. Этот «термин» является вполне удачной «материализацией» абстрактного понятия множества: с мешком можно производить привычные бытовые действия — складывать содержимое двух мешков в один, вынимать из мешка часть предметов.

Тем самым «мешки» позволяют подготовить действия сложения и вычитания натуральных чисел, опираясь на естественную практику ребенка, на его материальную деятельность. Напротив, в «обычном» теоретико-множественном подходе операции над числами строятся на основе нового абстрактного понятия — объединения множеств, и при этом неминуемо возникает необходимость разговора о непересекающихся множествах.

Можно также отметить, что «множества с повторяющимися эле-

ментами» являются совершенно естественными объектами в задачах комбинаторики — так называемые сочетания с повторениями, — и поэтому подход Н. Я. Виленкина имеет определенную перспективу в курсе математики основной школы, где в настоящее время уже с 5-го класса, а в будущем и в начальной школе приобретает гражданство новая содержательно-методическая линия, связанная с теорией вероятностей и статистикой и как следствие с комбинаторикой.

Преимуществом «адаптированного» варианта является также возможность изображения набора предметов в неупорядоченном виде, тогда как стандартное изображение множества уже индуцирует определенный порядок, что не свойственно множеству как математическому объекту. И если, например, ученикам надо специально объяснять, что {т, о, к} и {к, о, т} — это одно и то же множество, то в «адаптированном» варианте этого вопроса просто не возникает.

Между тем различия «обычного» и «адаптированного» варианта реализации теоретико-множественного подхода в учебнике внешне выражаются не слишком заметным образом и выявляются лишь при внимательном анализе соответствующих текстов, в том числе графических изображений. Это иногда приводит к неадекватной критике, содержащейся, в частности, в статье И. В. Шадриной, в которой весьма резким образом оценивается научный уровень упомянутого выше учебника Н. Я. Виленкина и Л. Г. Петерсон.

Источником этой критики является, скорее, невнимательность автора статьи, «с ходу» заметившей несоответствия изложения в учебнике обычному варианту теоретико-множественного подхода, но не увидевшей за этим принципиальных изменений методологического характера. Разумеется, в силу естественных особенностей учебника для 1-го класса, в частности практического отсутствия «объяснительных» текстов, эти различия, как мы уже сказали, не видны при поверхностном взгляде.

Однако достойно сожаления то, что в недостаточной математической грамотности заподозрен Н. Я. Виленкин — специалист не только высокой математической подготовки, но и не менее высокой методологической и общей культуры, что свойственно далеко не всем математикам такого или даже большего «академического» ранга. Как и всякий человек, Н. Я. Виленкин мог написать, что дважды два — пять, но сомневаться в его способности создать и реализовать математически безупречную (с учетом, естественно, дидактических параметров) концепцию понятия натурального числа было бы все-таки странно.

Нельзя не отметить при этом, что зрительные образы «мешков», использованные в учебнике, хотя и не совсем удачны по исполнению («мешки» на них выглядят слишком условно), все же дают основания задуматься над причинами, почему авторы не используют стандартного обозначения множества с помощью фигурных скобок, и на этом пути открыть отличие реализуемого авторами подхода.

Поэтому И. В. Шадрина совершенно права, когда утверждает, что объединение множеств {д, о} и {р, о, г, а} есть {д, о, р, г, а}, также как правы авторы учебника, считая, что при объединении — в бытовом, а не в математическом смысле — предметов из двух соответствующих «мешков» в третьем «мешке» получится {д, о, р, о, г, а}. Разве иначе обстоит дело, когда ребенок составляет слова с помощью букв из наборной кассы?

Особенно характерны с рассматриваемой точки зрения, скорее всего, бессознательно допущенные различия в рисунках статьи и учебника. Авторы учебника рисуют мешок, содержащий графически разделенные буквы — например, {т о к} и {к о т}, тогда как в статье в соответствующих множествах буквы написаны слитно: ток и кот, — а тогда, естественно, {ток}ф{кот}. Другими словами, авторами продумана даже эта мелкая деталь, на которую совершенно не обратила внимание критик.

Разумеется, «адаптированный» вариант теоретико-множественного подхода, будучи вполне корректным логически, не лишен определенных методических недостатков. В частности, при переходе к «нормальным» множествам все равно возникает необходимость рассмотрения и пересечения и объединения пересекающихся и непересекающихся множеств, и «слишком хорошая» память может создать у ученика проблемы различения между «мешками» и множествами.

Однако это произойдет значительно позже, для детей другого возраста и с другим опытом учебной деятельности, а в действительности, как уже показывает практика, с учениками не происходит, так что вопрос этот может обсуждаться лишь на уровне психологии и методики, но не на уровне практики. Ясно также, что понятие «мешка» является при обучении чисто рабочим и должно отмереть по мере развития курса математики и соответствующего интеллектуального развития учеников.

Возвращаясь к началу этой статьи, напомним, что при моделировании процесса обучения математике необходимый третий этап — интерпретация, проверка соответствия предложенной модели целям и задачам обучения математике — состоит в проверке эффективности

предложенной системы в достижении учащимися необходимой математической подготовки. Поэтому и сравнение «обычного» и «адаптированного» вариантов реализации теоретико-множественного подходов к понятию натурального числа в начальной школе — так же как и других подходов — может делаться только на уровне получаемых результатов. При этом, разумеется, необходимо учитывать не только конкретные знания и умения, демонстрируемые учащимися, но и возможность освоения ими дальнейшего курса математики, в котором умение «считать» является лишь необходимым, но далеко не достаточным.

5. О составлении циклов взаимосвязанных задач

Каждая задача, рассматриваемая сама по себе, обычно представляет некоторое изолированное утверждение или требование и предполагает выполнение определенных действий для ее решения. Между тем учитель, ставящий задачу перед учащимися (так же, как преподаватель вуза перед студентами), преследует, как правило, более общие цели, для него конкретная задача является лишь одной из многих, лишь узко частным средством для достижения более общих целей: формирования или закрепления нового понятия, получения новых или активизации старых знаний, демонстрации определенного метода рассуждений, активизации методов доказательства теорем, изложенных в курсе, и т. п.

В связи с этим и возникает проблема создания циклов взаимосвязанных задач, различных по формулировке, по сюжету, но имеющих общее дидактическое назначение, служащих достижению поставленной цели. В теоретическом плане составление таких циклов само по себе не является чем-то принципиально новым: именно таким циклом задач, связанных между собой методически и математически, и является всякая система упражнений, направленная на пропедевтику, формирование или закрепление того или иного понятия, утверждения или метода рассуждений.

Поэтому теоретический аспект проблемы состоит в описании методов конструирования таких циклов, в обобщении многочисленных отдельных приемов, используемых для их составления. Каждая конкретная задача имеет определенный набор связанных с ней задач, определенную окрестность — по содержанию, методам рассуждений, кругу используемых понятий. Более того, каждая задача входит в некоторый букет окрестностей, связанных с той или иной ее особен-

ностью, а выбор одной из многих окрестностей задачи для построения цикла определяется конкретной ситуацией преподавания. Разнообразие букета окрестностей задачи предопределяет широту ее использования и является, по нашему мнению, важным критерием ее дидактической ценности.

В то же время описание даже одной окрестности задачи, ситуационно полной в методическом отношении, представляет собой сложную проблему, решение которой проводится на чисто интуитивном уровне и существенно зависит от опыта учителя, от уровня его математического образования и методической подготовки.

Невозможно, очевидно, сформулировать какие-либо достаточно определенные «алгоритмы» построения окрестности конкретной задачи, и поэтому важной представляется систематизация разнообразных приемов варьирования задач, достаточно общая в теоретическом плане и в то же время эффективная в плане практическом. Такая систематизация является, по нашему мнению, необходимым средством обучения учителей (как настоящих, так и будущих) умению видеть взаимосвязи отдельных внешне разрозненных задач, самостоятельно составлять циклы задач, объединенных общими идеями.

Разумеется, описание системы приемов варьирования задач представляет собой исключительно сложную проблему прежде всего в силу ее оптимизационного характера; требуется найти наилучшее в дидактическом смысле сочетание минимизирующего и максимизирующего факторов — теоретической обобщенности приемов, с одной стороны, и возможности практической конкретизации, обеспечения действенности этих приемов, с другой стороны.

Несколько приемов варьирования задач рассмотрены в статье П. М. Эрдниева и др. «О постановке в университетах спецкурса по содержанию школьных учебников» («Математика в школе», 1981, № 5); они сформулированы следующим образом: «рассмотрение взаимнообратных задач», «обобщение вопроса задачи», «рассмотрение стереометрических аналогов», «изменение точки зрения на требование задания».

Первый из этих приемов хорошо известен и является эффективным средством анализа задачи, проясняющим ее математическую сущность. Известно также, насколько важным в дидактическом отношении является рассмотрение возможности доказательства обратных утверждений для теорем, изучаемых в школьном курсе или содержащихся в задачах. Более того, полноценный анализ той или иной теоремы непременно должен включать исследование не только

обратного утверждения, т. е. необходимости условия теоремы для ее заключения, но и выяснение существенности тех или иных ограничений, указанных в условии теоремы.

Таким образом, первый из названных приемов с учетом указанных дополнительных вариаций представляет собой один из самых простых примеров оптимального сочетания теоретической обобщенности и практической эффективности. В этом плане менее удачен также хорошо известный прием рассмотрения стереометрических аналогов: он является, по-видимому, частным проявлением некоторого более общего приема в применении к конкретным классам задач.

Другими словами, в теоретическом плане этот прием недостаточно обобщен, хотя с практической точки зрения он является эффективным средством варьирования задач. Отметим, что очевидное обобщение этого приема — «поиск аналогии» — характеризуется противоположным образом: в теоретическом плане эта формулировка вполне соответствует существу дела, однако для практического применения является недостаточно конкретной.

Прием «обобщение вопроса задачи» иллюстрируется авторами статьи, к сожалению, несколько упрощенно: в задаче на нахождение минимума ставится дополнительный вопрос о нахождении максимума. Между тем в действительности речь здесь идет, как указывают авторы в комментариях, о «понимании ситуации в целом»; конкретно говоря, в рассматриваемой задаче «Через точку внутри окружности провести хорду наименьшей длины» учитель (или студент) должен увидеть общую ситуацию: через точку внутри окружности можно провести бесконечное множество хорд, что приводит к целому спектру различных вопросов, касающихся отдельных сторон этой ситуации.

Самые естественные из вопросов — отыскание хорд наибольшей и наименьшей длины, однако можно поставить и другие, например о минимизации и максимизации произведения отрезков хорды, определяемых данной точкой, или площади отсекаемого хордой сегмента. При ответе на эти дополнительные вопросы обнаружится интересный математический факт — постоянство произведений отрезков хорд, и тогда проявится несколько неожиданная, а следовательно, эмоционально насыщенная взаимосвязь исходной задачи с «классической» задачей минимизации суммы двух слагаемых, произведение которых постоянно. Интересно подчеркнуть, кроме того, что в последней задаче максимизировать рассматриваемую сумму невозможно, тогда как в задаче о длине хорды максимум достигается. Это связано с тем, что в геометрической задаче слагаемые ограничены снизу

расстоянием от данной точки до окружности. Постановка таких дополнительных вопросов позволяет создать для исходной задачи фрагмент окрестности, связанной с методами решения, поскольку речь идет уже о нахождении экстремальных значений функции вида у = X: + — на некотором промежутке.

Таким образом, в теоретическом плане для варьирования задачи применяется не столько «обобщение вопроса задачи», сколько анализ ее условия и исследование всего комплекса вопросов, возникающих в ситуации, описываемой условием. Имея такой набор вопросов, учитель может использовать отдельные из них в соответствии с конкретной методической ситуацией, создавая циклы задач специального назначения. Частью этого комплекса является и поиск стереометрических аналогов; в рассматриваемой задаче естественно, в частности, поставить вопрос о проведении через данную точку сечений шара, имеющих максимальную и минимальную площадь.

Можно, сказать, что существенной стороной обсуждаемого методического приема варьирования задач является «отвлечение» от конкретного вопроса и анализ «ситуации в целом». Рассмотрение обратной задачи также является, впрочем, частным случаем прояснения «ситуации в целом», и специфика этого приема в том, что обращение задачи обычно почти однозначно определяется именно конкретным вопросом исходной задачи; следовательно, этот прием применим многократно при различных конкретизациях вопросов, возникающих в связи с данной ситуацией.

Четвертый прием, указанный авторами, — «изменение точки зрения на требование задания» — не представляется удачным ни с теоретической, ни с практической точки зрения. Неясен прежде всего смысл самой формулировки — что вообще значит изменить точку зрения на требование задачи? В иллюстрирующем примере авторы указывают, что этот прием «родствен постановке обратной задачи», однако в действительности здесь ставится именно обратная задача: в исходной задаче требуется установить некоторое свойство точки пересечения медиан треугольника, а в новой надо выяснить, только ли эта точка обладает заданным свойством. Поэтому авторское понимание приема остается неясным.

Помимо рассмотрения некоторых общих приемов варьирования авторы приводят некоторый цикл задач, объединенных методом решения, однако какой-либо теоретической формулировки для ис-

пользованного приема, идеи, на которой основано развитие исходной задачи, они не приводят.

Исходная задача заключается здесь в доказательстве тождества

При развитии этой задачи авторы прежде всего отказываются от ее точной постановки в учебном пособии «Алгебра и начала анализа-9-10», откуда она заимствована и где указано, что доказательство требуется провести методом математической индукции. В дальнейшем рассматривается задача о суммировании слагаемых такой же структуры, как в левой части приведенного тождества.

В то же время внутреннюю структуру задачи авторы не вскрывают, и поэтому остается неясным, в чем же в действительности состоит «метод решения приведенной серии задач», о котором они пишут в конце своего анализа. Напротив, остается впечатление, что решение подобных задач требует придумывания специальных тождеств, возникающих, грубо говоря, «неведомо откуда». И если до первого из них - тождества

догадаться довольно легко и не слишком трудно выписать аналогичное тождество для суммирования выражения

(сумма, разумеется, конечна), то для суммирования выражений

и

требуются тождества

(1)

и

(2)

найти которые уже весьма затруднительно.

Между тем в действительности эффективность рассмотренного приема решения этой серии задач связана с тем, что знаменатели дробей-слагаемых представляют собой произведения некоторого числа последовательных членов, арифметической прогрессии, т. е. дроби имеют вид

(3)

Поэтому для получения требуемых тождеств фактически следует разложить дроби вида (3) на отдельные слагаемые, которые в математическом анализе и в алгебре называются простейшими дробями.

Тем самым «вычислительная» задача суммирования неожиданным образом связывается с интегральным исчислением, где разложение дроби на простейшие используется для интегрирования рациональных дробей. В частности, в школьной практике появляется возможность использовать тождества (1) и (2), возникающие в задаче суммирования, для нахождения первообразных или для подсчета площадей соответствующих трапеций.

Что же касается математической стороны задачи, то в рассматриваемой ситуации возникают вопросы и значительно более интересные. Естественно прежде всего выяснить внутренние причины эффективности исследуемого приема: почему требуемое тождество всегда существует, почему, несмотря на то что коэффициенты разложения оказываются довольно сложными, промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, почему полученное тождество приводит к нужному результату? Исследование первого вопроса проведено в курсе математического анализа, где доказана соответствующая теорема существования; однако в данном случае ссылка на нее еще не дает ответа на второй вопрос, так что для решения задачи следует эффективным образом описать разложение дроби вида 77~т на простейшие.

Итак, поскольку многочлен

имеет различные действительные корни, то на основании упомянутой теоремы из математического анализа имеет место равенство

(4)

где а1уа2,...,ап+] —корни многочлена/a Cj,c2,...,c/I+1 —некоторые действительные числа. Докажем, что

для любого к = 1,2,п+ 1.

Действительно, поскольку

то, умножив обе части равенства (4) на /(х), заметим, что при х -» ак все слагаемые в правой части, за исключением слагаемого с номером к, стремятся к 0 (знаменатель имеет предел, отличный от 0, а в числителе есть множитель х - ак ), а слагаемое с номером к можно представить в виде

так что его предел равен ckf\ak). Поскольку предел левой части также равен 1, то ckf'(ak) = 1, и равенство (4) принимает вид

(5)

Отметим, что при доказательстве формулы (5) мы не пользовались конкретным видом корней многочлена / и опирались только на тот факт, что все его корни различны. При дальнейшем решении задачи специфику корней, естественно, придется использовать. Для вычисления значений ß от корней многочлена / нет необходимости явно выписывать формулу для производной, достаточно заметить, что ß представляет собой сумму слагаемых, каждое из которых является произведением всех двучленов, входящих в разложение многочлена /, кроме одного. Следовательно, при подстановке вß значения ак все

слагаемые, кроме одного, обратятся в 0, и мы будем иметь:

Равенство (5) принимает вид

и теперь понятно, что при суммировании «диагональные» слагаемые взаимно уничтожаются благодаря известному утверждению, что знакопеременная сумма биномиальных коэффициентов равна 0.

Решение этих задач само по себе представляет, на наш взгляд, значительный интерес для математического развития и для воспитания у учителей методического умения проникать при решении конкретной задачи в ее математическую сущность. Кроме того, решение задач такого рода важно и с воспитательной точки зрения — они показывают, что абстрактные математические курсы, читаемые в педагогических институтах и университетах, имеют самое непосредственное отношение к обычным школьным задачам, и не только в общетеоретическом, но и в чисто практическом плане.

Прием, использованный при варьировании исходной задачи в данном случае, может быть назван «анализом математической генеалогии задачи», поиском закономерности, частным проявлением которой является исходная задача. Этот прием можно рассматривать, конечно, как частный случай обобщения, однако обобщение само по себе является весьма абстрактной категорией, и далеко не всегда ясно, в каком направлении следует обобщать утверждение задачи. В данном случае термин «генеалогия» представляется нам более точным указанием на специфику проводимого обобщения.

Помимо теоретических трудностей, возникающих при попытках систематизации приемов варьирования задач, составление конкретных циклов сталкивается с большими трудностями чисто практического характера, связанными, в частности, с тем, что весь построенный цикл должен работать в основном на одну идею и все задачи цикла должны быть (как и всякие задачи) абсолютно корректными с математической точки зрения.

К сожалению, подбор иллюстрирующих примеров в статье с этой точки зрения не является удачным. В примере 2 исходная задача «построить параллелограмм, равновеликий данному треугольнику» развивается до задачи «построить треугольник, равновеликий данному многоугольнику» и ее стереометрического аналога. Между тем анализ исходной задачи начинается авторами с алгебраического подхода и делается вывод, что она имеет бесконечное множество реше-

нии. Это позволяет предположить, что авторы интересуются только существованием требуемого в задаче параллелограмма, не учитывая конструктивного оттенка термина «построить» в условии задачи (надо сказать, что условие действительно может привести к разночтению). Но в этом случае все дальнейшие обобщения становятся тривиальными, поскольку существование треугольника, равновеликого данному многоугольнику, и существование тетраэдра (если именно тетраэдр считать стереометрическим аналогом треугольника), равновеликого данному многограннику, абсолютно очевидно и вытекает из того, что каждый многоугольник имеет площадь, а каждый многогранник имеет объем. Поэтому совершенно необъяснимы ссылки авторов на теорему Бойяи-Гервина и тем более на теорему Дена, в которой общая постановка задачи приводит к отрицательному ответу. Возможно, они имеют в виду равносоставленность соответствующих фигур.

В примере 3 дано решение обратной задачи исходя из только что проведенного решения исходной. Между тем более естественно и более просто в данном случае воспользоваться не методом решения, а именно утверждением исходной задачи: если уже доказано, что точка О пересечения медиан треугольника ABC обладает свойством ОЛ + OB + ОС = 0, то для любой точки А' плоскости (или пространства, что важно подчеркнуть в контексте_статьи), такой, что

КА + КВ+КС = 0 имеем OK + КА + ОК + КВ+ OK + КС = ЗОК = 0 ,откуда К = О, так что О — единственная точка, обладающая рассматриваемым свойством.

Трудно согласиться с утверждением авторов, что в решении исходной задачи, сформулированной без использования векторов, самым простым и естественным является восстановление векторной структуры — не менее просто и более естественно другое решение, основанное на теореме о точке пересечения медиан: через данную точку плоскости следует провести отрезки, конгруэнтные сторонам данного треугольника, так, чтобы в этой точке они делились в отношении 2:1.

Наконец, совершенно неудачным является «обобщение» рассматриваемой задачи на четырехугольники в следующем виде: «Дан произвольный четырехугольник и точка О. Построить четырехугольник, у которого отрезки, соединяющие О с его вершинами, конгруэнтны сторонам данного». Эта задача значительно проще, чем обратная для исходной задачи, и, кроме того, вовсе не является ее обобщением; если «снизить» ее на треугольники, то в условии не появится главное ограничение: точка О является точкой пересечения

медиан. Кроме того, отметим, что, судя по приведенному авторами рисунку для случая четырехугольника, они решают «более сложную» задачу, в которой дополнительно требуется, чтобы рассматриваемые в условии отрезки были параллельны сторонам данного четырехугольника.

Несколько неожиданным является заключение анализа примера 5 (пункт Д); последняя задача не связана с общей идеей методом решения предыдущих задач: она основана лишь, по выражению авторов, на «общей идее сокращения одинаковых выражений» и проще всех предыдущих задач. Для ее решения достаточно заметить, что знаменатель каждого множителя является квадратом, а числитель на 1 меньше; после чего числитель «сам собой» раскладывается на множители, а выписывание первых множителей моментально показывает возможность сокращения равных выражений. Неудивительно поэтому, что для решения первой задачи требуется около 20 минут, а для решения последней — только 2—3 минуты, но это объясняется скорее ее объективной простотой, а не предварительной работой другими методами с другими выражениями. Общей в этих задачах является, пожалуй, только параллель «взаимное уничтожение — сокращение» равных выражений, существо же совсем различно. В то же время наличие пусть даже и слабой аналогии позволяет сделать анализ этого примера несколько более приемлемым, если начать именно с последней задачи.

Таким образом, проблема систематизации приемов варьирования задач, создания циклов задач различного назначения является весьма актуальной для совершенствования процесса обучения будущих учителей, но исключительно сложна как в теоретическом, так и в практическом плане.

6. О правильности рассуждений и подробности изложения в решении задач

В редакцию журнала «Математика в школе» регулярно поступают письма читателей с просьбой разъяснить некоторые «тонкие» вопросы, возникающие при решении конкретных школьных задач. Источником этих писем являются, как правило, разногласия учителей при оценке правильности решения задач и не удивительно поэтому, что особенно много таких писем приходит в связи со школьными выпускными экзаменами и вступительными экзаменами в высшие

учебные заведения. Вопросы, ставящиеся в письмах, представляют, на наш взгляд, интерес не только для их авторов, но и для широкого круга читателей журнала.

В письме группы учителей из г. Клайпеды, по поручению которых пишет 3. М. Ткачева, ставится несколько вопросов, возникших у них при проверке экзаменационных работ по алгебре и началам анализа за курс средней школы. Оценка этих работ вызвала серьезные разногласия при их обсуждении на городском методическом объединении учителей математики. Автор письма совершенно справедливо указывает, что «единого мнения и единых требований по оформлению решения и записи ответа задания нет».

Единых требований по данному вопросу действительно нет, хотя на первый взгляд это может показаться странным, даже недопустимым, поскольку речь идет о математике, где все, казалось бы, должно решаться однозначно: утверждение либо верно, либо неверно, доказано или не доказано. Между тем в действительности при анализе соответствующих вопросов речь идет не только и даже не столько о чисто математической стороне дела, сколько об изложении математических рассуждений, и поэтому проблема истинности того или иного утверждения органически переходит в проблему доказанности этого утверждения в данном конкретном тексте и, конечно, правильности, грамотности записи этого доказательства.

Разумеется, с точки зрения чисто математической формально все ясно — есть единое мнение и единые требования: все сформулированные утверждения должны быть доказаны либо непосредственно в тексте, либо ссылками на уже известные истинные утверждения. Но что значит «доказаны»? Точного определения самого понятия «доказательство» школьная математика не имеет и даже не располагает средствами для такого определения, и поэтому единственное требование, которое мы можем предъявить к доказательству, — это то, что оно должно аргументированно убеждать. И в конечном счете школьное понимание доказательства таково: «Доказательство — это рассуждение, которое убеждает». Необходимо подчеркнуть, что этот тезис ни в коей мере не является каким-то «принижением» школьной математики,- математическая наука, за исключением некоторых ее специальных разделов, связанных с математической логикой, пользуется именно таким пониманием доказательства. Поэтому и в математике при оценке доказанности той или иной теоремы фактически пользуются методом «экспертной оценки», а в роли экспертов выступают коллеги — математики, слушатели докладов на семинарах, рецензенты

и члены редколлегий математических журналов. Таким образом, механизм работы ученых-математиков в этом смысле ничем не отличается от механизма работы учителей математики.

Анализ указанного тезиса вскрывает, однако, его существенный, органический недостаток: то, что убеждает одного, может совершенно не убеждать другого, у разных людей могут быть разные «личные» представления о доказательстве, о мере его строгости, уровне подробности, существенности или несущественности пропуска некоторых фрагментов и т. п. Этот недостаток, безусловно, делает понятие доказательства в определенной мере субъективным, однако математика не существовала бы как наука, если бы не существовало более или менее единого мнения относительно того, является ли данное рассуждение доказательством. И в действительности в каждом разделе математики имеется определенный стандарт строгости, хотя формально он нигде не описан, нигде не зафиксирован. Более того, как показывает история математики, этот стандарт изменялся по мере развития математики, и то, что казалось строгим, скажем, в XVII — XVIII вв., подвергалось критике в XIX в., а многие рассуждения математиков XIX в. были сочтены совершенно неубедительными математиками и особенно логиками XX в.

Не является исключением и школьная математика, отражающая в практике преподавания требования, которые предъявляет к убедительности рассуждений математическая наука. Доминирующим фактором при оценке того или иного рассуждения является поэтому его истинность, правильность, и в этом смысле проблема оценки в школьной математике проще, чем в науке, поскольку факт истинности или ложности утверждения в школьной практике, как правило, устанавливается без особого труда, так что в этом вопросе обычно существует «единое мнение».

Жаркие споры, разногласия между учителями при оценке конкретных работ связаны обычно не с оценкой истинности содержащихся в них утверждений, а с оценкой обоснованности, доказанности этих утверждений в работе, но именно в этом вопросе у учителей, как зачастую и у математиков, отсутствует единый подход. Анализ трудностей, возникающих при попытке выработать такой подход, выявляет основной аспект проблемы — в какой степени истинность утверждения связана с подробностью изложения его доказательства, а оценка подробности имеет уже субъективный характер, зависит от личных представлений о том, насколько существенны те или иные конкретные детали.

Легче всего, казалось бы, выдвинуть тезис, что в доказательстве должны быть упомянуты все детали, однако его максималистский характер совершенно очевиден; кроме того, в вопросе о полноте «всех деталей» также не просто прийти к «единому мнению». Более того, практически следовать этому тезису просто невозможно, и в действительности требования к доказательству, безусловно, должны изменяться, во всяком случае от задачи к задаче: чем сложнее задача, тем большее количество деталей изложения представляется менее существенным, тем меньшими подробностями должно сопровождаться доказательство.

Вообще, необходимо подчеркнуть, что одной из целей воспитания математической (и общеинтеллектуальной) культуры у учащихся является выработка у них умения отличать существенное от несущественного, осознанного понимания того, о чем в данном доказательстве следует написать максимально полно, о чем можно лишь кратко упомянуть и что можно без всякого ущерба опустить. Мы считаем этот вопрос чрезвычайно существенным для школьной практики. Ясно, однако, что этот вопрос слишком сложен, чтобы его однозначно решить в общем виде, «на все случаи жизни», и, более того, жесткая унификация требований к доказательствам в школьной практике может привести лишь к отрицательным последствиям. Следует отметить, что нередко возникающие попытки стандартизации оформления письменных работ (делай так, и только так) — одно из проявлений формализма в руководстве работой учителя. Перейдем к конкретным задачам. Учителя математики средней школы № 91 г. Уфы Р. А. Саматова, Р. Н. Кривошеева и М. А. Сухорукова приводят в своем письме три варианта решения одного уравнения, встретившегося в экзаменационной работе (цитируем их с несущественными сокращениями):

Ответ: {2}.

Ответ: {2}.

3. Найдем значения переменной, при которых уравнение имеет смысл:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Ответ: {2}.

Как пишут авторы, некоторые их коллеги утверждают, что во всех трех вариантах решения есть ошибка — нет проверки, поскольку в случаях 1 и 2 нет еще одного условия х>0, а в случае 3 необходимо предложение: «...так как на данной области обе части уравнения положительны». Другие же учителя считают, что условие х>1 исключает необходимость условия х>0 (можно даже опустить условие Зх— 2> 0), и тем самым отвергают необходимость проверки. Кто же прав?

Отметим прежде всего, что с математической точки зрения первое решение абсолютно правильно: каждая последующая система равносильна предыдущей, и поэтому речь может идти только о том, насколько обоснованны эти равносильности. Единственный, на наш взгляд, тонкий момент состоит в переходе к третьей системе: понимает ли ученик, что из условия х> 1 следует, что обе части уравнения положительны, и поэтому новая система не будет иметь посторонних решений?

Надо сказать, что этот факт сам по себе и очевиден, и достаточно хорошо известен учащимся, так что вопрос заключается только в мере подробности, с которой они должны записывать свои рассуждения в экзаменационной работе. Надо сказать, что и математик, и хорошо

подготовленный ученик вполне могли бы посчитать эту деталь слишком очевидной, чтобы упоминать о ней - так же как, впрочем, и о том, что из л:>1 следует, что Зх — 2>0. В данном случае естественно предположить, что ученик, решающий уравнение способом смешанных систем, освоил этот способ и является достаточно подготовленным, чтобы понимать, почему рассматриваемые системы равносильны. Следовательно, мы имеем право лишь подозревать, что ученик не подумал в этом месте решения, однако против такого подозрения есть возражения, и, следовательно, оно не может служить основанием для снижения оценки. На наш взгляд, обсуждаемый момент в решении задачи нельзя считать не только ошибкой, но и недочетом.

Второе решение представляется несколько более сомнительным, хотя, казалось бы, оно отличается от первого только формой записи — уравнение решается «отдельно» от неравенства. Но с точки зрения реконструкции логики учащегося этот факт оказывается существенным. В данном случае уравнение «оторвано» от неравенства, и естественно заподозрить, что ученик не подумал о том, что его способ решения не гарантирует отсутствия лишних корней уравнения, удовлетворяющих неравенству. Однако и здесь подозрение не дает права признать рассуждение ошибочным или недостаточно обоснованным: наша реконструкция логики ученика не является и не может быть однозначной, а сомнения следует, естественно, толковать «в пользу учащегося». По рассматриваемому решению мы можем судить лишь о мере очевидности, свойственной данному ученику, и поскольку эта мера здесь не слишком отличается от общепринятой (автор, понимая, что лишние корни могут появиться, осуществляет логически необходимую проверку), то оснований для снижения оценки в этом случае, как и в первом, нет.

Третье же решение содержит весьма серьезный пробел: учащийся нашел область определения уравнения и убедился лишь, что полученные им корни входят в область определения. Но этого недостаточно: известно, что при возведении обеих частей уравнения в квадрат могут быть получены посторонние корни, входящие в область определения уравнения. Учащийся, по-видимому, не знаком с этим обстоятельством, т. е. логика его рассуждений неверна, так что решение следует признать ошибочным. Одновременно подчеркнем, что речь здесь идет об ошибочности не оформления, а логики решения.

Конечно, было бы лучше, разумеется, если бы и два первых ученика более подробно провели необходимые рассуждения, но доби-

ваться этого, учить требуемому стандарту строгости изложения следует при обучении решению иррациональных уравнений, подчеркивая важность соответствующей детали, но снижать экзаменационную оценку за ее опущение было бы несправедливо.

В том же письме из Уфы ставится и еще один конкретный вопрос: доказывая монотонность функции у = log4(2 — Зх) на ее области определения, ученик написал, что производная / = (2 - 3 г) In 4 отрицательна, так как 1п4>0 и в области определения 2 — 3х>0, но не объяснил, почему 1п4>0. Нам представляется, что высказанные выше соображения общего характера достаточны для оценки последней детали рассуждения. Прежде всего рассуждение совершенно правильно с математической точки зрения. Более того, ученик явно понимает, что неравенство 1п4>0 следует отметить в доказательстве, тогда как неравенство 3>0 недостойно даже упоминания, т. е. рассуждает на вполне естественном уровне строгости. Можно было бы, конечно, сослаться на соответствующее свойство логарифмов, но, на наш взгляд, уже общий уровень проведенного рассуждения свидетельствует о том, что требуемые факты для ученика достаточно очевидны.

Если бы мы не поверили ему в этом, то нам пришлось бы, скорее всего, требовать примерно следующее объяснение: «В области определения рассматриваемой функции 2 — 3х>0; кроме того, как принято без доказательства, е = 2,718... и, следовательно, по определению сравнения действительных чисел е> \ (так как 2>1 — кстати, почему?). Далее, 4> 1, а логарифмы чисел больших 1, по основанию, большему 1, положительны (известное свойство логарифмов). Следовательно, знаменатель рассматриваемой дроби положителен — по правилу умножения действительных чисел. Наконец, 3>0, и поэтому дробь положительна как частное двух положительных чисел, а тогда производная отрицательна при любом допустимом значении х, поскольку число, противоположное положительному, отрицательно.

Не стоит и говорить, что предъявлять такие требования к детализации рассуждений не только невозможно, но и не нужно — это уместно, пожалуй, лишь при изучении аксиоматических теорий, а в данной ситуации такое рассуждение показывает только, что его автор не усвоил общепринятого стандарта строгости. Ясно, что если бы изложение математических вопросов всегда строилось с подобными деталями, то они заслоняли бы существо дела, и рассуждения воспринимались бы хуже.

По существу, аналогичные вопросы содержатся и в письме группы учителей из г. Феодосии, от имени которых пишет в редакцию Т. А. Старостенкова. Первый вопрос: «Можно ли считать ошибкой тот факт, что при нахождении целых решений неравенства ученик не указал в тексте область определения рациональной функции, хотя на координатной прямой исключил значение х = —2 и верно записал решение неравенства?»

В данном случае ответ абсолютно однозначен — конечно, нет. Требование обязательного нахождения области определения уравнения или неравенства перед его решением или в процессе решения не имеет никаких логических оснований, и об этом неоднократно писалось и на страницах журнала, и в методической литературе (см., например, статью В. Г. Болтянского «Преодолеть заблуждения, связанные с ОДЗ» в № 5 журнала «Математика в школе» за 1975 г. или [50]).

Более того, даже если бы ученик и не исключил (с помощью светлого кружка) точку х = — 2 на координатной прямой, но верно записал ответ, это никоим образом не свидетельствовало бы о неправильности его рассуждений. Следует четко сознавать, что координатная прямая, как и всякий другой рисунок в математическом тексте, не является частью решения и представляет собой лишь дополнительное средство, облегчающее проведение и восприятие рассуждения, — средство наглядности, и поэтому на его выполнение не накладывается никаких логических требований.

Принятые в наше время стандарты на изображение, например, «выколотых» точек на координатной прямой следует рассматривать как рекомендации, а не как абсолютно обязательные требования. В частности, нельзя считать даже недочетом, если учащийся изображает «выколотую» точку не светлым кружком, а с помощью стрелки, как это делалось раньше; не является обязательным при решении неравенства методом интервалов проведение через точки деления вспомогательной кривой, также как и нельзя «наказывать» за проведение этой кривой. Нельзя считать недостатком решения и нарушение масштаба при изображении точек деления: ясно, что математически существен лишь порядок их расположения, а не расстояние между ними, и поэтому иногда лучше пожертвовать масштабом и сделать удобный, наглядный рисунок, чем «лепить» близкие точки одна на другую.

В этом же письме есть и еще один вопрос: обязательно ли при при-

менении метода интервалов переходить от дробно-рациональной функции к целой функции? Если ответить на поставленный вопрос кратко, то достаточно указать, что подход к методу интервалов, принятый в действующем в настоящее время учебном пособии «Алгебра и начала анализа-9—10», является настолько общим, что позволяет применять его к любой непрерывной функции независимо от ее вида, так что никакой необходимости в переходе к целой функции нет. При других подходах, основанных не на непрерывности функции, а на правиле знаков при умножении действительных чисел, возникший вопрос следовало бы обсудить более подробно, но мы на этом останавливаться не будем, отсылая интересующихся к уже упомянутому «Пособию для поступающих в вузы». И во всяком случае, при любом подходе возможность применения метода интервалов непосредственно к дробно-рациональной функции относится к мере детализации изложения, а не к математической стороне дела.

Вернемся теперь к письму учителей из г. Клайпеды. Один из вопросов в нем вполне традиционен: следует ли при доказательстве тригонометрического тождества указывать допустимые значения переменных? Надо сказать, что авторы письма сами отвечают на этот вопрос, ссылаясь на статью «О первых выпускных экзаменах по алгебре и началам анализа по новой программе» 3. И. Моисеевой и др. из №2 журнала «Математика в школе» за 1978 г.

Как известно, рабочим понятием в школьном курсе является понятие «тождество на данном множестве» — вполне разумное, точным образом определяемое понятие. Единственный, пожалуй, его недостаток состоит в том, что любое равенство является тождеством на некотором множестве — в крайнем случае на пустом. Указанный недостаток, однако, не сказывается на практической полезности этого понятия в школьном курсе. В то же время термин «тождество» часто употребляется без специального указания и даже упоминания о том, что оно не является «абсолютным», а выполняется лишь на некотором множестве (как, например, основное логарифмическое тождество, большинство тригонометрических тождеств). Нет ни возможности, ни необходимости сформулировать какое-либо простое стандартное правило для такого словоупотребления, но на деле термин «тождество» без дополнительных пояснений употребляется тогда, когда речь идет о достаточно «большом», «существенном» множестве, на котором оно выполняется. В этом смысле стандартные тригонометрические тождества вполне заслуживают такого наименования, поскольку они, как правило, выполняются «почти всюду», за исключением не-

которого дискретного множества значений переменных. Словосочетание «почти всюду» в математике может быть определено строго формально, однако все разумные способы его формализации выходят за пределы курса средней школы.

При постановке задачи на доказательство тригонометрического тождества имеются две возможности: либо «доказать, что при всех допустимых значениях переменных выполняется следующее равенство» (здесь употребление термина «тождество» уже неуместно), либо «найти («наибольшее») множество, на котором данное равенство является тождеством». Во втором варианте надо еще каким-либо образом подчеркнуть, что речь идет о «наибольшем» (в смысле отношения включения) множестве, поскольку тождество на некотором множестве является тождеством и на любом его подмножестве.

Совершенно очевидно, что вторая формулировка сложна сама по себе и ведет к более трудной задаче. Между тем при постановке задачи на доказательство тригонометрического тождества, как правило, преследуется лишь определенная цель — проверить знание учащимися формул, их технику преобразований, так что с педагогической точки зрения наложение дополнительных трудностей, связанных с поиском допустимых значений, нецелесообразно. Способ толкования формулировки «доказать тождество» в упомянутой статье является сокращением первой из указанных двух формулировок.

Интересный вопрос поднят в письме Л. Н. Кочуровой из г. Фрунзе. При решении уравнения 2cos2x — 3cos х + 1 = 0, сообщается в нем, cos X был обозначен через у и дальнейшее решение проведено правильно. Однако при проверке работы в качестве ошибки отмечено, что при введении новой переменной отсутствовало ограничение [И< 1.

Представляется, однако, что не только отсутствие этого ограничения не является ошибкой, но, наоборот, его наличие в решении явилось бы «информационным шумом». Дело в том, что введение новой переменной при решении уравнений есть чисто вспомогательный прием; оно служит в данном случае лишь для того, чтобы от заданного уравнения перейти к равносильной ему дизъюнкции (совокупности) уравнений

где ух и у2— корни вспомогательного квадратного уравнения. При записи такой дизъюнкции новая переменная из решения исчезает, но если окажется, что один или даже оба корня квадратного уравнения не входят в область значения косинуса, то это автоматически учтется тем, что соответствующее уравнение в полученной дизъюнкции не

будет иметь решений. Поэтому в том, чтобы заранее указывать область значений заменяемой функции, нет ни логической, ни практической необходимости. В противном случае как следовало бы поступить, если бы новая переменная вводилась для обозначения более сложной функции, для которой нахождение области значений было трудной задачей? Неужели пришлось бы считать, что новую переменную ввести нельзя? Таким образом, не отсутствие, а скорее наличие ограничения [у|<1 является недостатком решения рассматриваемого уравнения.

В этом письме содержится и еще один вопрос: при решении задачи выражениеf(x) = x^4R2 -х2 возникло как площадь прямоугольника со стороной X, вписанного в окружность радиуса R; на каком промежутке надо исследовать на экстремум функцию /, задаваемую этим выражением: на ]0; R[ или [-2R; 2R]?

Для теоретического анализа этого вопроса следует вспомнить, что выражение /х), строго говоря, еще не задает функцию /—до тех пор, пока не указано, какие значения принимает переменная х. В подавляющем большинстве случаев множество значений переменной однозначно понимается в контексте рассуждения, но в данном примере опущение именно этой детали и привело к разногласиям при оценке работ. Если говорить строго, то при решении исходной геометрической задачи возникла функция

Однако это вовсе не означает, что правильное решение задачи не может быть получено в результате исследования функции

Вообще не может быть никаких ограничений, какую функцию надо исследовать для решения той или иной экстремальной задачи, и в рассматриваемом случае более просто было бы исследовать функцию, заданную формулой x2(4R2 — х2), на всей ее области определения. Эта функция, квадратичная относительно х2, принимает наибольшее значение при X2 = 2R2. И если учащийся не напишет, как иногда случается, что наибольшую площадь имеют прямоугольники со сторонами R^2 и — Rojl, то решение задачи (в этом фрагменте) будет безупречным.

Мы надеемся, что некоторые общие соображения, высказанные в связи с отдельными задачами, будут полезны учителям при решении аналогичных вопросов в будущем и помогут им разрешать возникающие разногласия.

7. Контрпримеры в математике

Логическое развитие учащихся в процессе обучения всегда было больным местом обучения математике и потому привлекало внимание многих учителей и методистов. Поэтому любое обращение к этой теме в массовом журнале не может не вызвать особого интереса. Не является исключением и статья [74], предметом которой является обсуждение такого важного термина, как контрпример.

Заслуживает сожаления, что этот термин, важный не столько для самой математики как дедуктивной науки, но прежде всего для обучения математике (в широком смысле — как процесса передачи информации), до сих пор практически не представлен явным образом в школьных учебниках математики — автору известен лишь один учебник [20], в котором этот термин вводится и реально «работает».

Упомянутая статья, даже если судить по ее названию, имеет скорее теоретический, нежели практический, характер, хотя автор и приводит много примеров учебного характера. Многие из этих примеров настолько часто встречаются в практике и уже встречались в литературе, что их можно было бы без ущерба и не упоминать. То же самое можно сказать и о рассуждениях автора о пользе работы с контрпримерами. В то же время напомнить об этом учителям «лишний раз», сведя воедино многие разрозненные примеры, вполне целесообразно.

Однако практическая ценность статьи существенно снижается именно за счет излишней теоретизации вопроса, проведенной к тому же недостаточно корректно и глубоко. Так, в самом начале автор статьи ставит целью «развести» два понятия контрпримера, относящиеся соответственно к неверным суждениям и к «неверным» определениям. Считая это «целесообразным», автор не уточнил, какого именно адресата он имеет в виду — ученика, учителя или специалиста по дидактике или логике.

С точки зрения логики, конечно, никаких двух различных понятий контрпримера нет. Когда учащийся дает «неверное» определение, т. е. определенное им понятие не совпадает по объему с понятием, рассматриваемым в данном курсе, то фактически он утверждает противоположное, т. е. высказывает неверное утверждение, а соответствующий контрпример опровергает это утверждение. Другими словами, контрпример второго типа является одновременно и контрпримером первого типа.

Дидактическую значимость различения этих двух типов контр-

примеров мы здесь обсуждать не будем, поскольку, во-первых, автор ее не касается, а, во-вторых, о целесообразности выделения специального вида контрпримеров естественно говорить только после того, как учащиеся хотя бы в какой-то степени освоят обычное, весьма простое представление о контрпримерах.

Прежде всего само понятие контрпример относится не столько к логике математики, сколько к языку обучения математике, — это прежде всего и не более, чем пример чего-либо, а приставка контр лишь описывает назначение этого примера, показывает, с какой целью он приводится. Этот параметр имеет определенный дидактический статус, ведь эта приставка позволяет обучаемому лучше понимать учебный, устный или письменный, текст.

И употребление термина контрпример ясно и вполне доступно для учащихся: так называют пример, предназначенный для доказательства ложности, т. е. опровержения некоторого общего утверждения. Подчеркнем, что словосочетание «так называют» здесь более уместно, чем «так называется»: последнее дает иллюзию математического определения этого в действительности просто «рабочего» термина.

В этом смысле мы можем говорить и об иллюстрирующем примере, чем систематически пользуются после доказательства того или иного общего утверждения, и об аналогичном примере, и о серии примеров, на основании которых делаются некоторые обобщения, и т. п. Однако во всех этих случаях вряд ли стоит говорить о каких-либо определениях такого вида примеров и обсуждать конкретные детали, поскольку их назначение очевидно из их употребления и знания значений слов русского языка.

Автор статьи [74] тем не менее подходит к определению контрпримера весьма серьезно и даже приводит два определения из книг [5] и [67, 68]. При этом утверждается, что эти определения равносильны, хотя подобный «логический стиль» может вызвать лишь недоумение. Что вообще означает, что два определения равносильны?

Строго говоря, определение как логический феномен не является высказыванием: нельзя сказать, истинно или ложно определение «Квадратом называется прямоугольник с равными сторонами» или определение «Для всякого числа а имеет место равенство а1 = аа». Но предложение «Квадрат есть прямоугольник с равными сторонами» — это уже не определение, а высказывание, истинное по определению квадрата. Аналогично 22 = 4 — высказывание, истинное, однако, не по определению квадрата числа, поскольку числа 2 в этом определе-

нии нет: оно является частным случаем, специализацией этого определения, т. е. следует из определения квадрата числа.

Поэтому остается понимать формулировку «определения равносильны» не в строго логическом, а в обычном для «разговорного» математического языка смысле - так, как это делается, например, при употреблении фразы типа: «Определения квадрата как прямоугольника с равными сторонами и как ромба с прямыми углами равносильны».

Несмотря на указанную выше определенную логическую некорректность такой формулировки, мы считаем ее и аналогичные ей формулировки вполне уместными, удобными и естественными. То же самое мы можем сказать и о словосочетании «неверное определение», логически абсолютно некорректное, однако на практике понятное и удобное, если, конечно, его правильно понимать.

С этой точки зрения равносильность двух цитируемых автором статьи определений должна означать, что контрпример в смысле одного определения является контрпримером в смысле другого определения и обратно. Но определение в книге [67] сформулировано в терминах условия и заключения, а в книге [5] — в терминах включения множеств, где нет ни условия, ни заключения, так что к контрпримеру во втором смысле чисто формально неприменимо определение в первом смысле.

Конечно, утверждения AczB и хеА => хе В означают одно и то же, но если учесть это обстоятельство, то два определения, приведенные автором, — это одно определение, относящееся к разным способам выражения рассматриваемого общего утверждения. Поэтому даже ставить вопрос о равносильности этих определений вряд ли целесообразно.

Самое интересное, однако, состоит в том, что уже на следующей странице статьи автор приводит контрпримеры совершенно иного рода, не укладывающиеся ни в одну из приведенных им форм определений. Например, равенство lgl 1 = lg 10 + lgl рассматривается как контрпример равенству \g(a + b) = Iga + \gb, но здесь нет ни включения множеств, ни условия и заключения.

Конечно, «загнать» этот и следующие три приводимых автором примера в прокрустово ложе приведенных определений можно, записав, например, второе равенство в виде или

но к обучению в школе это уже, очевидно, не имеет отношения. В то

же время при обучении алгебре для появления контрпримеров эта ситуация весьма типична.

Кроме того, даже в простейших и математических и в бытовых ситуациях для использования цитированных автором определений приходится делать неестественные трансформации предложений. Скажем, любая черная кошка может рассматриваться как контрпример утверждению: «Все кошки рыжие», но чтобы «подогнать» это тривиальное утверждение к теоретико-множественному определению контрпримера, следует ввести обозначения для множества кошек и для множества, например, «рыжих животных». Ясно, что и такого рода примеры показывают дидактическую нецелесообразность ограничения понятия контрпримера именно указанными двумя формами опровергаемого утверждения.

Между тем приведенное выше толкование термина контрпример как примера, опровергающего некоторое общее утверждение, не зависит от формы этого утверждения, и автор статьи это прекрасно понимает, однако стремление придать рассуждениям какой-то ложно понимаемый научный статус привело его к указанным некорректностям.

Термин контрпример, при всей его важности, не входит пока в программы обучения математике в школе. Так что не слишком удачная трактовка автором статьи этих понятий не может принести вреда. Тем более, что, к большому сожалению, учителя редко внимательно и тем более критически читают «теоретические» рассуждения и ищут в журнале прежде всего практические советы.

Но и в этом аспекте в рассматриваемой статье не все удачно. Например, хотя учащиеся и способны на многое, трудно представить, как именно сформулировал определение параллелограмма ученик, если он опустил в нем слово «четырехугольник». Судя по приводимому автором рисунку, он не опустил это слово, а заменил его словом «многоугольник», однако такая ситуация представляется маловероятной.

И как ученик сформулировал определение диаметра, если он опустил слова «проходящая через центр»? Как «диаметр — это хорда» или как «диаметром называется хорда»? Дальнейшая тактика учителя зависит от ответа на этот вопрос: в первом случае его фраза не совсем корректна с точки зрения русского языка - что он подразумевал: диаметр — это некоторая хорда или диаметр — это любая хорда?

Эта неясность дает нам право утверждать, что первое предложение нельзя считать определением, а потому и говорить о контрпри-

мере бессмысленно. Во втором же случае ученик фактически отождествляет термины «диаметр» и «хорда». Но и здесь представляется более правильным говорить не о контрпримере, а о том, зачем же уже названному объекту «хорда» давать еще одно имя — «диаметр».

Поэтому в данном случае речь идет, скорее, о непонимании учеником синтаксиса определения, о том, что он не усвоил самой структуры определения через род и видовое отличие, а вовсе не о взаимоотношении между двумя геометрическими объектами: при грубо нарушенной форме определения вряд ли целесообразно анализировать его содержательно.

Трудно согласиться и с утверждением автора — пусть и весьма мягким, — что одной из причин потери учащимися корней уравнений является то, что «они не усвоили, что слово все в определении является необходимым». Слово все здесь настолько «ударное», что забыть его просто невозможно, хотя мы вполне допускаем, что при формулировке определения ученик может его опустить.

Но корни учащиеся теряют по другим причинам, значительно более существенным. Почему бы тогда не утверждать, что одной из причин приобретения учащимися лишних корней при решении уравнений является то, что они не усвоили, что слово «корень» не является необходимым?

В заключение остановимся на вопросе, связанном с математическим языком, общем и поэтому еще более важном, чем «сверхпрограммное» понятие контрпримера. Автор внес этот вопрос в заглавие статьи «О... неудачном определении из учебника» и «доказывает», что определение из учебника «Алгебра-9» (под ред. С. А. Теляковского): «Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции» — некорректно, поскольку, согласно этому определению, функция у — х2 является возрастающей на всей числовой прямой».

Весьма резкая критика этого определения, однако, совершенно несостоятельна, и автор в своих рассуждениях просто не учитывает одной особенности русского (и не только русского) языка, весьма важной и для математики. Дело в том, что слова, являющиеся сигналами общности (универсальности) утверждения, в языке очень часто лишь подразумеваются, но не формулируются. Например, утверждение «Люди смертны» означает, что «Все люди смертны».

Конечно, автор об этом знает, что вполне естественно, и тремя страницами ранее говорит о том, что в утверждении «Если число делится на 2, то оно делится и на 4» имеется в виду, что всякое число,

делящееся на 2, делится на 4. Тем самым он восстанавливает фактически квантор общности, подразумеваемый в данном утверждении, но опущенный в соответствии с законами русского языка.

Между тем в приведенном определении возрастающей функции точно так же подразумевается, что речь идет, во-первых, о двух значениях аргумента (поскольку говорится о большем), во-вторых, о любых двух значениях — в соответствии с теми же законами русского языка.

С другой стороны, сигналы утверждения о существовании (экзистенциальности утверждения) — существует, найдется, некоторый (последнее слово не всегда является сигналом такого типа), никогда не опускаются. Например, никто не скажет «Кошки рыжие», имея в виду, что некоторые кошки рыжие. Автор же, приводя свои вполне очевидные примеры, считает, будто в определении опущены (и подразумеваются слова) «для некоторых пар значений аргумента».

Поэтому дальнейшее разъяснение в учебнике этого определения является не «поясняющее описание», как полагает автор, а переформулировкой данного определения, переводом его на более формальный язык. Такой порядок формулировок авторы учебника приняли из очевидных дидактических соображений, однако из иных, но также дидактических соображений возможен был и другой, предлагаемый автором статьи порядок двух формулировок определения возрастающей функции.

Однако здесь ни в коем случае не идет речь о нарушении авторами учебника логических законов, о том, что они выдают «поясняющее описание» за логическое определение. Поэтому весь критический пафос автора в данном случае оказался совершенно неуместным. И достойно сожаления, что этим примером автор статьи приводил студентов в замешательство, вместо того чтобы поговорить с ними об особенностях русского языка.

Между тем незнание учителем подобного рода нюансов языка приводит зачастую к его ошибочному поведению в отношении к оценке устных ответов учеников, и их письменных рассуждений, и решений задач. Это является, однако, уже несколько другой темой, заслуживающей специального обсуждения.

Разумеется, мы разделяем в целом требовательность автора статьи к языку математических формулировок, и не меньшее зло, чем «придирки», не учитывающие элементарные свойства естественного языка, может принести и невнимательность многих достаточно квалифицированных авторов к точной формулировке своих утверждений.

В качестве иллюстрации приведем одну чрезвычайно распространенную в речи учителей фразу - аргумент при решении иррациональных уравнений. Ее буквальное звучание представляет собой абсолютно некорректное утверждение. В статье [74] авторы, отмечая конкретные недостатки подготовки поступающих в институт, пишут: «Некоторые абитуриенты, решая иррациональное уравнение, например, = X-1, забывали, что по определению арифметического корня х - 1>0, и получали посторонние корни».

Между тем в определении арифметического корня, естественно, нет выражения х — 1, и поэтому приведенное неравенство не может быть верно по определению. Точное содержание этой фразы легко реконструируется: авторы, конечно, имеют в виду, что по определению арифметического корня верно неравенство ^5-х2>0 (а говоря еще более точно, это неравенство следует из определения, а не верно по определению), и поэтому число х, не удовлетворяющее неравенству л: — 1 > 0, не может быть корнем данного уравнения, так что достаточно искать корни только среди решений этого неравенства.

Ясно, что указанное уточнение слишком далеко от буквально сказанного, чтобы его можно было считать синонимичным исходному, не говоря уж о том, что их синонимичность можно было обнаружить исходя из каких-либо особенностей русского языка. Другими словами, речь идет о серьезной языковой небрежности авторов, особенно недопустимой, поскольку многие ученики и учителя так говорят довольно часто.

8. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы

Читатель В. С. Соломоник прислал в редакцию журнала «Математика в школе» письмо, в котором приводит две задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в одном из московских технических вузов.

Задача 1. При каких действительных значениях а уравнение имеет не менее четырех различных решений, являющихся целыми числами?

Задача 2. При каких значениях а для всех хе [2; 2,5] выполняется неравенство

Главный вопрос, который задает в связи с этими задачами В. С. Соломоник, состоит в том, можно ли задачи такого рода предлагать на вступительных экзаменах в вузы. Проще всего ответить на этот вопрос формально: по формулировке и по математическому содержанию приведенные задачи не выходят за рамки программы для поступающих в вузы, их решения, как мы убедимся ниже, не требуют никаких средств, выходящих за пределы этой программы, и, следовательно, обе задачи допустимы в качестве экзаменационных.

Однако по существу, на наш взгляд, речь должна идти не столько о допустимости, сколько о целесообразности использования подобных задач на вступительных экзаменах, об их диагностической и прогностической ценности: в какой степени тот факт, что абитуриент решил или не решил эту задачу, свидетельствует об уровне его школьной подготовки и о перспективах овладения им математическим курсом института.

Приведенные задачи имеют повышенную сложность по сравнению с обычными школьными задачами прежде всего потому, что в их условиях фигурирует параметр, а в школе, как известно, решению задач с параметрами уделяется очень мало внимания. Такое положение дела представляется, безусловно, определенным недостатком школьного обучения: известно, какую роль играют такие задачи и с точки зрения приложений математики внутри и вне школьного курса, и особенно с точки зрения развития учащихся, в частности их логического развития.

Этими обстоятельствами определяется высокая диагностическая и прогностическая ценность задач с параметрами: если абитуриент успешно решает такие задачи, то он фактически самостоятельно овладел этим материалом, спецификой соответствующих рассуждений, он показывает весьма высокий уровень логического развития, и поэтому с большой вероятностью можно утверждать, что и в вузе будет учиться успешно. С другой стороны, если абитуриент не умеет решать таких задач, то более или менее вероятный прогноз, по-видимому, невозможен.

Нельзя в то же время утверждать, что в школе вообще не решаются задачи с параметрами, что отсутствует сама идея параметра. В самом деле, уже в 6-м классе учащиеся должны решать линейное уравнение общего вида ах = о, т. е. уравнение с двумя параметрами, а

задача решения общего квадратного уравнения представляет собой задачу с тремя параметрами.

Из схемы рассмотрения всех этих вопросов в теории совершенно очевиден и общий подход к решению задач с параметром: параметр рассматривается как число, значение которого фиксированно, но неизвестно решающему задачу. Фиксированность этого числа позволяет оперировать с ним как с известным числом, а неизвестность вносит в решение задачи некоторые осложнения, связанные с тем, что не любую операцию можно проделать с любым числом — не из всякого числа можно извлечь квадратный корень, не всякое число можно прологарифмировать, не у всякого числа существует арксинус и т. п.

Так, приведя квадратное уравнение к виду

мы приходим к необходимости извлечь квадратный корень из числа D = b2 — 4ас, знак которого нам неизвестен. Поскольку выполнимость этой операции зависит от знака Д мы вынуждены рассматривать отдельные случаи. В результате и получается стандартная форма записи решения квадратного уравнения:

Эта форма ответа является стандартной для решения любого уравнения и неравенства с параметром: при одних значениях параметра имеем один результат, при других — другой и т. д.

Таким образом, неизвестность для решающего фиксированных значений параметров приводит к необходимости разветвления решения и к соответствующему разветвлению ответа. Это обстоятельство, разумеется, осложняет задачу, но преодоление возникающих трудностей является, безусловно, развивающим моментом, активизирующим знания учащихся о функциях, об области определения, о выполнимости операций над числами, и является одним из средств борьбы против формализма в решении задач. Не так уж редко приходится видеть, как абитуриент решает уравнение sin.v = 2 «по общей форму-

ле», не обращая внимания на то, что aresin 2 не имеет смысла, — а между тем в этом уравнении параметра нет!

Эти соображения касаются, впрочем, самого простого вида задач с параметрами — стандартных задач с параметрами, когда учащемуся предлагается решить фактически не одно уравнение или неравенство, а целый класс уравнений или неравенств. Единственным усложняющим моментом, как мы уже говорили, является ветвление решения, требующее от учащегося более высокой математической и логической культуры, однако воспитание такой культуры является одной из важнейших целей обучения математике.

В школьном курсе, к сожалению, не уделяется достаточно внимания решению даже стандартных задач с параметрами, не делается акцента на специфику параметра и в теоретических рассмотрениях — там, где это методически необходимо. Разумеется, трудно рассчитывать на то, что правильные представления о сущности параметра учащиеся самостоятельно извлекут из теоретических рассуждений, и помочь им в этом должен учитель.

И если большие трудности вызывают у учащихся стандартные задачи с параметрами, то трудности уже фактически непреодолимые возникают в задачах с логически усложненными формулировками. Так, во многих задачах, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы, не требуется решить данное уравнение или неравенство, а нужно выяснить, например, при каких значениях параметра оно имеет решение, или имеет единственное решение, или все его решения принадлежат некоторому множеству и т. п.

Казалось бы, задачи такого рода не должны представлять особых трудностей: если непосредственно решить уравнение при всех значениях параметра, то далее часто бывает нетрудно отобрать подходящие значения параметра, т. е. значения, удовлетворяющие условию задачи. Однако логически усложненные задачи ставятся обычно именно тогда, когда «прямое» решение практически невозможно. Это на порядок повышает объективную сложность задачи, поскольку ее решение требует от учащегося качественно иных форм деятельности, с которыми он не встречался в ординарной школьной практике. Учащийся должен самостоятельно придумать новый тип рассуждений, изобрести новые для него пути решения, а иногда даже принципиально новые методы. Нельзя не учитывать также, что трудность задачи для учащегося существенно повышается и за счет непривычности, нестандартности самой формулировки.

Проанализируем теперь с этой точки зрения две приведенные

выше задачи. В первой из них приводит к цели прямое решение. Разумеется, трудность такого решения будет различной для учащихся с различным уровнем математической подготовки, и мы поэтому рассмотрим такой способ рассуждений, который можно ожидать от кандидата в студенты.

Если учащийся владеет лишь стандартным приемом решения уравнений с модулями — рассмотрением отдельных случаев — и не обращает внимания на специфику конкретного уравнения, он будет вынужден составлять несколько систем неравенств, в зависимости от расположения на координатной прямой чисел я3 и 1. При этом он неизбежно встретится с «тонким случаем», когда решением уравнения будет любое действительное число, однако и при таком «лобовом» решении учащийся, обладая должной техникой вычислений, придет к правильному решению, затратив, конечно, немалое время.

В то же время, предлагая такую задачу, экзаменационная комиссия вуза с повышенными требованиями к математической подготовке вправе рассчитывать на более высокий уровень развития абитуриента, на более высокий уровень владения знакомым материалом. Абитуриент, более подготовленный, избравший для продолжения образования высшее учебное заведение, обязан творчески подходить к решению задач даже стандартного вида, тем более что в данном случае уровень творчества не так уж высок.

Именно подготовленный абитуриент обязан заметить, что левая часть уравнения неотрицательна при всех значениях х, и поэтому уравнение может иметь решения лишь при аг< 1. Далее, число я2, стоящее в знаменателе, заставляет абитуриента сопоставить его с множителем а2 и преобразовать уравнение к виду |.v + д3| + |л +1| = 1 - аъ.

Решение этого уравнения еще раз дифференцирует абитуриентов: оно допускает несложное решение стандартным методом интервалов (поскольку я3< 1, то ветвления решения уже не происходит), однако абитуриент, «комплексно» владеющий понятием модуля, может получить решения этого уравнения устно на основе геометрической интерпретации модуля. В самом деле, на координатной прямой требуется найти все точки, у которых сумма расстояний до точек —я3 и —1 равна 1 - а\ т. е. длине отрезка [-1;—я3]. Совершенно ясно, что этому условию удовлетворяют все точки отрезка, и только они, так что множество решений уравнения есть отрезок [—1; —а3].

Последняя часть решения не представляет труда: отрезок [—1; —я3] содержит 4 целых числа, если ему принадлежат числа —1,0, 1,2,

т. е. выполняется неравенство 2 < — аъ. Поэтому условию задачи удовлетворяют значения a<-4l.

Проведенный анализ показывает, на наш взгляд, что сложность задачи не отличается качественно от сложности стандартных школьных задач с параметрами, и она вполне может быть использована на вступительных экзаменах — разумеется, в качестве сложной задачи. Более того, при ее решении происходит дифференциация абитуриентов по уровню подготовки, что свидетельствует о весьма высокой диагностической и прогностической ценности задачи.

Совершенно иное положение со второй задачей. Прямое решение здесь также возможно, однако ветвление решения настолько велико, что представляет уже существенные трудности объективного характера. В самом деле, предложенное неравенство равносильно совокупности систем

которые приводятся к виду

Решение этих систем зависит от взаимного расположения на координатной прямой шести чисел

и, как показывают простейшие прикидки, число фактически возможных случаев весьма велико. Ради экономии места мы не приводим здесь этого решения: оно занимает несколько страниц, но самое главное, требует поистине громадного объема работы, причем однообразной и скучной, но в то же время требующей большой аккуратности. Маловероятно, чтобы абитуриент, даже абсолютно владеющий необходимыми навыками решения задач, в ограниченное время экзамена

пришел к правильному ответу. Нельзя не сказать, что автор далеко не с первой попытки получил правильное решение задачи на этом пути.

Ясно, что большой объем работы в данном случае нетрудно предвидеть, и поэтому хорошо подготовленный абитуриент, скорее всего, сразу начнет искать более рациональные пути решения. Наиболее естественным кажется «отсечь» неподходящие значения параметра рассмотрением крайних значений х: данное неравенство должно выполняться при х=2их= 2,5, откуда

(1)

Далее, при любом хе [2; 2,5] должны выполняться условия

(2)

Их можно переписать в виде

Из

первого неравенства получаем, что а>—6, далее имеем

Поэтому условия (2) выполняются при

и, учитывая ( 1), получаем, что

(3)

Отметим, что в этом решении уже проделана значительная работа, однако задача далеко еще не решена: мы знаем лишь, что при полученных значениях параметра данное неравенство удовлетворяется в концах рассматриваемого отрезка. Идеи дальнейших рассуждений пока еще нет.

Для абитуриента, владеющего методами, рассматриваемыми в началах математического анализа, естественной представляется идея найти наибольшее значение функции /(*) = log|v+„|(3x2 +ах} на отрезке [2; 2,5] и показать, что при значениях а, удовлетворяющих условиям (3), это наибольшее значение не больше 2. Однако прямое исследование этой функции с помощью производной наталкивается на непреодолимые трудности: даже если абитуриент сможет продифференцировать логарифмическую функцию с переменным основанием, то

найти ее критические точки он все равно не сможет. Поэтому такой путь решения представляется тупиковым.

Можно попробовать рассматривать по отдельности полученные в (3) промежутки. Этот путь действительно приводит к цели, однако он тоже далеко не короток: надо четыре раза проделать примерно следующее рассуждение. При ае ]—3; — 2,5[ и х е [2; 2,5] выполняется неравенство -1 < х + а < 0, и поэтому данное неравенство принимает вид

Однако при рассматриваемых значениях х и а оба множителя в последнем неравенстве положительны, так что значения а е ] —3; —2,5[ удовлетворяют условию задачи.

Отметим еще, что при этом абитуриенту приходится в каждом случае не отбирать значения параметра, удовлетворяющие условию, а доказывать, что все рассматриваемые значения удовлетворяют условию — тоже в определенной степени нестандартный элемент рассуждения. Кроме того, надо иметь определенную смелость, чтобы предположить, что выполнение неравенств/(2)< 2, /(2,5) <2 достаточно для выполнения неравенства для f(x) < 2 для всеххе[2; 2,5].

Можно провести и более краткое, но более искусственное рассуждение: оказывается, что при рассматриваемых значениях я для выполнения неравенства f(x)<2 на всем отрезке [2; 2,5] все-таки достаточно его выполнения в концах этого отрезка. В самом деле, из стандартного решения этого неравенства (проводить его нет необходимости!) следует, что при любом значении а множество решений неравенства является объединением нескольких промежутков с концами 0, а, — ~, — — 1 — а, 1 — а. Если числа 2 и 2,5 являются решениями неравенства, но некоторое число из промежутка [2; 2,5] не является решением, то 2 и 2,5 лежат в разных промежутках, составляющих решение; поэтому либо между ними лежит по крайней мере одна из точек, разделяющих эти промежутки, либо 2 и 2,5 являются концами соседних промежутков. Однако

и, следовательно, при выполнении условий (3) ни одна из разделяющих точек не лежит между числами 2 и 2,5, а совпадать с одним из них может лишь одно число — а = 2,5. Поэтому при выполнении условий (3) весь отрезок [2; 2,5] целиком лежит внутри одного из промежутков, образующих решение неравенства, и, таким образом, условию задачи удовлетворяют значения я, выписанные в формуле (3).

Указанный способ решения нельзя назвать простым, поскольку он требует значительного объема вычислений, но самое главное — рассуждений подобного рода трудно ожидать даже от весьма подготовленного абитуриента. Возможно, впрочем, что существуют и более тонкие соображения, приводящие к более простому решению задачи, однако такое решение автору неизвестно. В то же время задача допускает чисто графическое решение, основанное на рассмотрении координатной плоскости хОа. В этом решении буква а рассматривается уже не как параметр, а как переменная, «равноправная» с х. Применяя этот прием, удобно новый статус буквы а зафиксировать, заменив в неравенстве букву а на букву у, и рассматривать привычную координатную плоскость хОу. Решения неравенства, т. е. пары (х, у), заполняют некоторые части плоскости, границы которых определяются прямыми х = О, у = х, у = -х, у = \ -х, у = -\ -х, у = -2х, у = -3х.

Отметив знаком (+) части плоскости, состоящие из решений неравенства, получим, что условию задачи удовлетворяют значения у = а, такие, что соответствующая горизонтальная прямая пересекает полосу 2 < X < 2,5 по отрезку, целиком лежащему внутри части, отмеченной знаком (+). Следовательно, решениями задачи являются указанные выше значения (при записи ответа следовало внимательно следить не столько за знаками (+), но и за граничными точками частей плоскости, отмеченными этим знаком).

Читатель, взявший на себя труд самостоятельно сделать рисунок, хорошо представит положение абитуриента, вынужденного делать его в экзаменационной обстановке, да еще без клетчатой бумаги и, быть может, без линейки! Но самое главное, чтобы решить задачу этим спо-

собом, абитуриент должен либо самостоятельно изобрести такой общий подход к задачам с параметром — в отличие от стандартного, этот подход не имеет аналогов в школьной практике, — либо ознакомиться с ним заранее — по книгам, на подготовительных курсах, в вечерней или заочной математической школе, школе будущего учителя или еще каким-либо способом. Ясно, что на изобретение этого приема на экзамене рассчитывать трудно, и, предлагая такую задачу, экзаменационная комиссия явно требует от абитуриента дополнительной, внешкольной подготовки, хотя по своему математическому содержанию задача не выходит за пределы программы для поступающих.

Что касается диагностической и прогностической ценности этой задачи, то если абитуриент ее решил, есть все основания думать, что он получил достаточно серьезную дополнительную подготовку (если, конечно, он не «натаскивался» ориентированно на данный вуз), что он овладел материалом, который поможет ему в дальнейшем осваивать вузовский курс математики.

Если же абитуриент ее не решил, а таких, можно полагать, большинство, то определенных выводов делать нельзя: даже при серьезной дополнительной подготовке можно пройти мимо рассмотренного графического приема решения задач с параметром, можно «заблудиться» в многочисленных случаях при стандартном методе решения, даже если применять указанные выше упрощения, особенно если учесть, что малейшая арифметическая ошибка может оказаться роковой. В соответствии с этим и прогноз на будущее не может быть достаточно определенным.

Надо сказать, что в последние годы на вступительных экзаменах в вузы, особенно в вузы с большим курсом математики, сложился некоторый класс «пятых задач» — задач сложных, нестандартных, требующих от абитуриентов исключительно высокого уровня математического и логического мышления, полной самостоятельности, изобретательности и, можно сказать, абсолютного владения школьным материалом. Среди этих задач имеются весьма удачные, настоящие математические «изюминки», однако многие из них, к сожалению, чрезмерно усложнены, зачастую громоздки и недоступны для подавляющего большинства абитуриентов.

В то же время «пятые задачи», как удачные, так и не очень удачные, могут оказать значительную помощь готовящимся к поступлению в вуз: при помощи учителя они могут овладеть различными, не совсем стандартными способами и приемами рассуждений. И если даже абитуриент не сможет уверенно решать эти «пятые задачи», то

нет сомнения, что такая подготовка существенным образом скажется на решении «обычных» задач.

9. О корнях показательно-степенных уравнений

Вопрос, о котором речь идет ниже, не имеет никакого принципиального значения. Но уже многие годы, как свидетельствует, в частности, почта журнала «Математика в школе», вокруг него идут постоянные споры, возникающие и в связи с практикой школьного преподавания, и в связи со вступительными экзаменами в высшие учебные заведения.

Суть вопроса состоит в следующем: какие значения неизвестного считать допустимыми для уравнений, содержащих неизвестное и в основании, и в показателе степени? Более конкретная форма этого вопроса: является ли число —\ корнем уравнения х2х = 1?

— Да, — отвечают на этот вопрос одни, — потому что при подстановке в уравнение вместо х числа —1 мы получаем верное числовое равенство.

— Нет, — отвечают другие, — потому что число — 1 отрицательно, а сложная показательная (или показательно-степенная, или степенно-показательная) функция у = ^определена только для х > 0.

— Спорить об этом бессмысленно, — утверждают третьи, — поскольку нет четкой договоренности, при каких значениях х будет употребляться запись у = х2х.

Кто же прав? Постараемся разобраться в этом, обратившись к самым исходным понятиям, относящимся к уравнениям. Мы не будем, впрочем, вдаваться в тонкости определения самого понятия уравнение — в данном случае это совершенно несущественно: нам важно лишь, что с каждым уравнением f(x) =g(*) обычно связываются две функции — f(x) и g(*).

Нельзя не отметить, однако, что в настоящее время, после введения в школьную практику такого понятия, как выражение с переменными, или, как более принято говорить в математике, форма, выражения f(x) и g(x) более естественно называть не функциями, а именно формами. Разумеется, связь между формами f(x) и определяемыми ими функциями *->f(x), которые каждому (допустимому) значению переменного вставят в соответствие число f(x), настолько тесна и естественна, что подобные различия в толковании термина уравнение имеют исключительно терминологический характер. Нам будет удобно смотреть на левую и правую части уравнений как на числовые формы.

Итак, каждое уравнение определяется соответствующей парой форм. Однако форма — это не просто некоторое выражение, в котором одна или несколько букв объявлены переменными. Выше мы уже упоминали о допустимых значениях переменных, и это чрезвычайно существенно: при объявлении одной или нескольких букв в данном выражении переменными необходимо еще указать, какие значения они могут принимать. Эти значения переменных (или наборы значений, если переменных несколько) и называются обычно допустимыми значениями; множество допустимых значений называют областью определения формы. Такие же термины употребляются, как известно, и для функций.

Таково требование теории. А на практике это требование почти никогда не выполняется, и ту или иную числовую форму рассматривают, как правило, без явного указания ее области определения. Однако при этом всегда имеется в виду, что область определения состоит из всех значений переменных, при подстановке которых в форму получается некоторое число, или, как говорят, при которых форма имеет смысл. Таким образом возникает понятие естественная область определения, т. е. «самое большое» множество допустимых значений.

Это понятие неявным образом часто используется. В частности, в типичной задаче: «Найти область определения...», безусловно, имеется в виду естественная область определения — в противоположном случае эта задача просто лишена смысла.

В то же время именно понятие естественной области определения и приводит к недоразумениям. Если нет четкой договоренности, то каждый человек имеет право по-своему трактовать, естественно или нет рассматривать те или иные значения переменных. Так, например, для младших школьников форма 2х имеет естественную область определения, состоящую из натуральных чисел, а для старших эта область состоит из всех действительных чисел. Основной вопрос, о котором мы собираемся здесь говорить, вызывает споры именно из-за разных представлений о естественной области определения форм специального вида, именно форм вида и\

Рассмотрим выражение и\ Мы хотим превратить его в форму с двумя переменными и и v. Но какими определениями следует при этом руководствоваться? Представляется несомненным, что ориентироваться надо на определения, принятые в действующем школьном учебнике, каковым является в настоящее время учебник «Алгебра и элементарные функции» Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочетковой1.

1 Этот пункт написан на материале статьи 1972 г.

Определения, данные в § 68, 84, 175, дают нам возможность считать допустимыми все пары и и v в которых и > О, а определения, данные в § 68 и 71, дают возможность считать допустимыми такие пары и и v, в которых и < О, a v — целое число. Никакие другие пары и и v не являются допустимыми, поскольку других определений в учебнике нет.

В самом деле, в § 75 определяется понятие корня из произвольного действительного числа, но не понятие степени с дробным показателем. И в § 84, где речь идет исключительно о степенях с положительным основанием, имеется специальное замечание, что определение степени с дробным показателем не распространяется на степени с отрицательными основаниями.

Подчеркнем особо, что мы говорим об определениях, данных в учебнике, а не об определениях, которые можно было бы дать. В частности, ничто не мешало положить 0" равным 0 для любого положительного г или явно отождествить некоторые виды степеней с дробными показателями с соответствующими корнями. Но это не сделано, и мы должны ограничиваться теми определениями, которые даны в учебнике.

Рассмотрим теперь форму u(x)v(x) с одним переменным х. Из вышесказанного вытекает, что естественная область определения этой формы состоит из значений х следующих трех «видов»:

1 ) и(х) X), v(x) имеет смысл; 2) и(х) <0, v(x) — целое число; 3) и(х) = О, v (х) — целое положительное число.

Таким образом, хотя в учебнике и нет специальных соглашений о том, что считать областью определения формы вида и(х)у(х), содержащиеся в нем определения вместе с общепринятым соглашением о том, что при отсутствии специальных оговорок рассматривается естественная область определения уравнения, позволяют решить этот вопрос однозначно. В частности, теперь можно сказать, что число —1 является корнем уравнения х 2v=l.

Аналогично из этих определений и соглашения вытекает, что

число —1 не является корнем уравнения х ъ/ь = 1, так как символ (— 1 )2/3 не определен, т. е. не имеет смысла;

число —8 не является корнем уравнения хх/ъ = х~8/3, так как символ (_8)-8/з не имеет смысла;

число 0 и —1/2 являются корнями уравнения х2х+5 = х4;

число 0 не является корнем уравнениях хх+5/2 = x*/y, так как символ 05/2 не имеет смысла, а число —1/2 является корнем этого уравнения;

числа 0 и — 1/2 не являются корнями уравнения

числа 0 и —1/2 являются корнями уравнения

Некоторые «противники» отрицательных оснований степени в показательно-степенных уравнениях основываются на том, что показательная функция определена только для положительных оснований. Ясно, однако, что этот аргумент к дел у не относится, поскольку здесь идет речь не о показательной, а об иной, показательно-степенной функции, а более точно — о числовой форме вида u(x)v(x). Заметим, что приведенный аргумент запрещает, кроме того, и такие значения X, при которых основание степени равно 1.

Часто возникает также следующий вопрос: «Как найти те корни уравнения, при которых основание степени отрицательно: ведь для отрицательных оснований «не работают» основные приемы решения таких уравнений, связанные с логарифмированием?» Наделе, однако, эту трудность можно обойти.

Действительно, пусть дано уравнение вида и(х)у(х) =ЛХ)- Будем искать те его корни, при которых и(х)<0. При этих х показатель степени v(x) должен быть целым числом; но при целом п и любом а имеет место формула \а"\ =\а\'\ и поэтому следствием данного уравнения (при рассматриваемых значениях х) является уравнение |t/(x)lr(v) = |f(x)|. В этом уравнении основание степени уже положительно, и достаточно, таким образом, решить его, а в заключение сделать проверку — при взятии модуля от обеих частей исходного уравнения могли появиться посторонние корни.

Рассмотрим в качестве иллюстрации несколько примеров.

Задача 1. Решить уравнение х4/5 — 7 х ~2/5 + 6х ~1 = 0.

Заметим сразу же, что это уравнение не является показательно-степенным, однако в нем фигурируют дробные показатели степени, и поэтому следует считать, что х принимает только положительные значения.

Формальное решение не представляет труда: умножив обе части на X и обозначив х3/5 через у, получим уравнение у3 — Ту + 6 = 0, или (У ~ 'Ху2 + У — 6) = 0. Корни этого уравнения j/,= 1, у= 2, у= -3. Однако у = X3/5 должен быть положителен, так что нас интересуют лишь у{\\ у2\ соответствующие значения х равны х= 1 и х = 2^4. Это и есть корни данного уравнения.

Задача 2. Решить систему уравнений

(1)

Найдем сначала решения системы (1), в которых х>0. Логарифмируя тогда оба уравнения, получаем равносильную систему

откуда (мы опускаем детали)

Теперь будем искать решения, в которых х<0. Тогда показатели степени 2у — 1 и 4у должны быть целыми, и, беря модули от обеих частей каждого из уравнений системы (1), получаем ее следствие:

(2)

Из этой системы, также как и выше, получаем

и, следовательно, система (2) (с учетом х<0) имеет одно решение:

Эта пара чисел является решением системы ( 1 ) в том и только в том случае, если числа 21g5/95 —1 и 41g5/95 целые, а это верно, очевидно, когда lg5/95 имеет вид к/2, где к — целое число. Равенство lg5/95 = к/2 несложными преобразованиями приводится к виду 25-9^= 5к, откуда видно, что оно не выполняется ни при каком целом к.

Таким образом, система ( 1 ) имеет единственное решение — то, которое найдено в первой части решения.

Задача 3. Решить систему уравнений

(1)

В отличие от предыдущего примера, где мы сначала нашли положительные решения, здесь мы сразу будем рассматривать систему

(2)

Эта система является следствием исходной: при х> О и у> 0 она просто совпадает с ней, а при остальных значениях х и у это вытекает из свойств модуля.

Заметим прежде всего, что если (х, у) — решение системы (2), тох*0 и >*0. Поэтому |х| > 0, [у|> 0, и при дальнейших преобразованиях мы можем пользоваться свойствами степеней с положительным основанием.

Из первого уравнения системы (2) имеем [у| = |.х|(х+>')/12, и второе уравнение принимает вид

(3)

Получившееся уравнение выполняется, очевидно, в следующих случаях: 1 ) |х| = 1, 2) х + у = 6, 3) х + у = —6. Рассмотрим эти случаи.

1. Из системы (2) имеем Ы12 = 1, откуда [у| = 1, и, следовательно, в рассматриваемом случае система (2) имеет четыре решения: (1,1), (1,-1), (-1, 1) и (-1,-1).

Подстановка этих пар в систему ( 1 ) показывает, что ее решениями являются только две из них — (1, 1) и (1, — 1).

2. В этом случае целесообразно вернуться к исходной системе (1): она перестает быть показательно-степенной и принимает вид х6 = У2, / = jc3.

Отсюда получаем уравнение х = у1 и, решая его совместно с уравнением X + у = 6, получаем две пары решений — (4, 2) и (9, —3). Обе эти пары являются решениями и системы (1).

3. В этом случае мы также можем вернуться к системе (1), получив теперь систему

(4)

Подстановка х = 6 — у в первое уравнение этой системы приводит к уравнению у3 + бу1 +1 = 0. Нетрудно убедиться, что это уравнение не имеет рациональных корней, так что обычными школьными средствами оно не может быть решено. В то же время средствами математического анализа можно установить, что оно имеет ровно один корень (в области действительных чисел, разумеется), и этот корень лежит в интервале (—7, —6).

В самом деле, функция Ху) = У + бу2 + 1 при у = — 7 и при у = — 6 принимает значения разных знаков и, будучи непрерывной, имеет в интервале (—7, —6) по крайней мере один корень. Единственность этого корня можно доказать, исследовав функцию Ху) с помощью производной, но можно поступить и проще.

Заменив в уравнении (4) у на -, получим г* + 6z + 1 = 0. В левой части этого уравнения стоит строго возрастающая функция, и, следовательно, уравнение не может иметь более одного корня. Поэтому и уравнение (4) имеет не более одного корня.

Окончательно получаем, что система (1) имеет следующие решения:

где а — корень уравнения

Разобранные примеры показывают, что решение показательно-степенных уравнений во всей естественной области определения может представить значительные трудности. Поэтому, предлагая такие

задачи учащимся, следует четко сознавать цели, которые при этом преследуются.

Если имеется в виду проверить, как учащиеся владеют приемом, связанным с логарифмированием обеих частей уравнения и формулами преобразования логарифмов, то целесообразно ограничиться отысканием только тех корней, при которых основания степеней положительны, и это следует явно указать в формулировке задачи, особенно если она дается на экзамене или в контрольной работе.

В то же время на занятии математического кружка уместно ставить такую задачу в полном объеме, поскольку, как показывают хотя бы разобранные выше примеры 2 и 3, при этом могут возникнуть интересные математические вопросы, имеющие, можно сказать, самостоятельное значение. Пример 3 показывает, как в решении элементарной задачи может пригодиться знание элементов математического анализа, а возникающий в примере 2 вопрос естественно приводит к постановке более общей задачи: при каких целых а и Ъ число \о%ьа рационально? Даже если вопросы такого типа учащимся уже известны, пример 2 показывает им, как задача, возникающая «из чистого любопытства», неожиданно используется «на практике».

Итак, мы изложили решение поставленного вначале вопроса, вытекающее из «законодательного» материала — учебника. Каждый математик, однако, вправе признавать такую систему определений разумной или нет, целесообразной или нет. Вообще в математике — и к этому можно приучать школьников - общность принятых определений, а иногда и сами определения не являются чем-то навсегда фиксированным, а зависят от задач и методов работы.

Так, например, выражение 0°, которому неразумно придавать какой-либо смысл в математическом анализе, в комбинаторных задачах удобно считать равным 1. Кроме того, в математическом анализе удобно считать, что функция вида и(х)у(х) определена только при тех х, для которых и(х) X), это нужно для того, чтобы представить эту функцию как суперпозицию ех<х)]пи(х) (например, для вычисления ее производной).

Нелишне упомянуть, что даже такое важное в современной математике понятие, как кольцо, в разных ее ветвях определяется по-разному.

В вопросах, связанных с определением степени (в школьном курсе математики), разумно условиться, что 0а = 0 при любом а>0; по моему мнению, следует сохранять различие между корнями и соответствующими дробными степенями, т. е. считать, например, что V* и х,/3 — различные формы, поскольку они имеют разные области определения.

Точно так же кажется ненужным распространенное в задачниках употребление символа радикала "V не для натуральных, а для всех действительных л; л 0.

Подчеркнем в заключение, что при решении задач и в теоретических рассуждениях, связанных со школьным преподаванием, единственно правильным является следование общепринятым соглашениям и принятым в учебнике определениям (независимо оттого, нравятся они или нет) до тех пор, пока они не будут изменены. Всякое же отклонение от этих определений и соглашений в формулировках задач необходимо специально и явно оговаривать.

РАЗДЕЛ 5

ПРАКТИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ: МЕТОДЫ И ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Одним из наиболее существенных недостатков в математической подготовке школьников, который часто и ярко проявляется на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, является чрезмерная прямолинейность в подходе к решению задач

Применение производных при решении задач в школьном курсе математики

Несколько замечаний к вычислению площадей с помощью интеграла

Обобщение метода интервалов

Взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов

Переформулировка задачи

Отношения отрезков, площадей, объемов

Системы двух уравнений с двумя неизвестными

Пределы последовательностей

Решение «нестандартных» уравнений

Задачи с параметрами

Прямые и плоскости в пространстве

Задачи на построение тени

РАЗДЕЛ 5. ПРАКТИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ: МЕТОДЫ И ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики

Внедрение элементов математического анализа в курс средней школы поставило перед математиками, методистами и учителями сложные и разнообразные задачи. Оптимальный выбор содержания этого раздела и методики его изложения требовал решения центральной проблемы методологического характера — четко определить назначение методов исследования функций в образовании и воспитании школьников, выяснить прежде всего, какой именно аспект —общеобразовательный или прикладной — должен превалировать в процессе обучения. И хотя эти два аспекта, разумеется, взаимосвязаны, спектр возможностей здесь достаточно широк — от полного, логически возможно более строгого изложения основ теории до сообщения набора формул дифференцирования и рецептов исследования функций.

Общеобразовательный аспект изучения элементов математического анализа состоит в первую очередь в том, что учащиеся приобщаются к богатствам, которые накопила многовековая история математики, видят, как наглядные, но нестрогие геометрические представления, связанные с понятием касательной, превращаются в формальный алгебраический аппарат, как облачаются в строгую форму многие физические понятия, как в физике возникают совершенно новые методы рассуждений.

Нельзя недооценивать также для качественного преобразования мышления учащихся значение, которое может иметь диалектика переменных величин, бесконечно малых и т. п., требующая от них нового уровня логической культуры. В прикладном же плане учащиеся знакомятся с применением новых методов исследования функций к различным задачам, имеющим непосредственное отношение к производственной деятельности человека, — политехническим, практическим задачам.

Однако в столь широком плане общеобразовательный аспект вряд ли может быть успешно реализован: нет достаточного времени для исторического подхода к проблеме, недостаточно разработаны в методическом плане взаимосвязи с физикой и, главное, должная логическая строгость изложения, по-видимому, недостижима вследствие объективных трудностей, которые представляют для учащихся соответствующие методы мышления; нельзя не отметить также, что общеобразовательное, точнее — воспитательное, значение методов математического анализа значительно ослабляется отсутствием предварительной подготовки, состоящей, например, в показе элементарных, искусственных методов исследования функций. Глубоко, эмоционально оценить значение элементов анализа можно только в контрасте с этими методами.

Прикладной аспект изучения элементов математического анализа в настоящее время осуществляется в большей мере: учащиеся получают достаточно твердые навыки дифференцирования функций, нахождения их экстремальных значений, интервалов монотонности, осваивают решение некоторых стандартных задач политехнического характера.

В то же время эта деятельность учащихся, не основанная на достаточно строгой теории, носит, как правило, весьма формальный характер, поскольку практически сводится к исполнению несложных предписаний алгоритмического типа. В результате теория, представляющая собой одно из важнейших созданий математической мысли человечества, превращается в школьной практике в рутину, в очередной набор стандартных и зачастую искусственных задач, пусть иногда и с жизненным сюжетом.

Между тем термин «прикладной» в школьной математике, в преподавании, должен толковаться несколько иначе, чем в науке. Если определенный математический аппарат применяется для достижения некоторых конкретных целей, стоящих перед учащимися, то уже можно считать, что этот аппарат имеет для них прикладное значение, т. е. приносит им вполне практическую пользу.

Нет, однако, сомнения в том, что практика человечества и практика отдельного человека — это совсем не одно и то же, и поэтому, не отрицая

необходимости и не умаляя полезности решения в школьном курсе стандартных политехнических задач (хотя подлинность их производственного характера несколько преувеличена), нельзя не иметь в виду, что в жизни школьника вопрос о том, как из данного материала скроить палатку максимальной вместимости, значительно менее важен, чем задача общая — как научиться решать задачи, которые встречаются ему на уроках и контрольных работах, на экзаменах в школе и высшем или среднем специальном учебном заведении, на олимпиадах и в кружках.

С точки зрения воспитания существенно также, что для привития учащимся любви к математике, интереса к ее понятиям и методам следует демонстрировать им яркие, эффективные, желательно неожиданные применения этих методов в их личной практике. И заведомо большее впечатление на сознание учащегося, на его эмоциональную сферу может произвести красивое решение трудной задачи, стоящей лично перед ним, чем стандартное применение стандартного метода к решению, можно сказать, псевдопроизводственной задачи о построении наиболее дешевой изгороди.

Таким образом, возникает проблема создания такого круга задач, органически связанных по содержанию с различными разделами школьного курса (и математики, и физики), для решения которых методы математического анализа явились бы эффективным аппаратом. Проблема эта непростая, но в случае ее успешного решения стало бы возможным более обоснованное выяснение вопроса об объеме изучения элементов математического анализа в школе и о глубине их теоретического изучения. Подчеркнем, что, в принципе, решение этой проблемы должно именно предшествовать созданию и программы, и учебников.

Задачи такого рода, конечно, встречались в методической литературе, например доказательство тождеств и тождественных неравенств, однако ресурсы методов математического анализа в этом направлении далеко не исчерпаны, и ниже мы приводим ряд задач, в которых весьма эффективно применяются производные.

В процессе решения этих задач возникает необходимость рассмотрения особенностей исследования функций на замкнутом отрезке и использования понятия непрерывности (в том числе, и даже прежде всего, односторонней); в них применяются производные высших порядков, теорема Лагранжа о конечных приращениях и (даже!) частные производные. При всей кажущейся невозможности включения этих понятий и соответствующих теорем в школьный курс они появляются при решении задач настолько естественным образом, что даже и не встает вопрос о том, чем оправдано было бы их рассмотрение с учащимися.

Самое существенное, однако, состоит в том, что эти понятия появляются в прикладном аспекте — не как дополнительный объект изучения, а как естественное средство решения конкретной задачи, и поэтому психологическая ситуация, в которой находится учащийся, вполне благоприятна для его дальнейшей деятельности в нужном направлении, для стимулирования его интереса к изучению предмета.

В самом деле, насколько целесообразно или возможно рассмотрение в школьном курсе производных высших порядков? Что касается возможности, то учащийся, который действительно освоил производную, понимает ее как «самостоятельную» функцию, не должен психологически воспротивиться вычислению производной от этой производной. С другой стороны, использование высших производных при решении задач, связанных с периодическими функциями, не должно оставить сомнений в целесообразности введения этого понятия в курс средней школы.

И даже, быть может, наименее естественное для школьного курса понятие частной производной, как показывают нижеприведенные задачи, вполне заслуживает хотя бы упоминания. В то же время математическая и логическая сущность частных производных связана фактически лишь с той ролью, которую мы предписываем конкретной букве в проводимом рассуждении, а в конечном счете лишь с обозначением этой буквы — как переменной или как постоянной, и уже именно поэтому рассмотрение частных производных приучает учащихся к активному и сознательному отношению к задаче, способствует их общему развитию.

В этой статье мы рассматриваем несколько типов задач, в которых используются производные. Некоторые из них отличаются от стандартных школьных задач только иной формулировкой, другие имеют существенно отличный от них характер. Приводя чисто математическое решение этих задач, мы попутно к каждой из них даем методические комментарии, где обсуждаются логические аспекты решения, теоретические понятия и утверждения, использованные в решении, указываются некоторые соображения по методике преодоления возникающих при решении трудностей.

Остановимся сначала на задачах, наиболее близких к стандартным школьным задачам на исследование функций. Эти задачи отличаются от стандартных фактически только формулировкой, и поэтому их решение играет двойную роль: расширяет для учащихся круг применения производных и одновременно способствует их общему развитию, поскольку умение перевести задачу с одного языка на другой или просто сформулировать ее в других терминах является важным

показателем математического развития учащихся, и прежде всего — в прикладном аспекте.

Наиболее простыми задачами такого рода являются задачи на доказательство функциональных неравенств. Они допускают естественную переформулировку: ясно, что для доказательства неравенства /(x)<g(x) достаточно показать, что на рассматриваемом множестве значений переменной наибольшее значение выражения f(x) — g(x) отрицательно. Таким образом, задача доказательства неравенства сводится к стандартной школьной задаче на исследование функций.

Задача 1. Доказать, что при х > О справедливо неравенство

Решение. Рассмотрим на промежутке [0; + ©о) функцию

Легко подсчитать, что во всякой внутренней точке этого промежутка

и следовательно,

функция/возрастает на открытом промежутке (0; + оо). Из непрерывности функции /следует, что свое наименьшее значение она принимает в левом конце рассматриваемого промежутка, т. е. при х = 0. Другими словами, для любого х > 0 выполняется неравенство f[x)>f{0) = 0, что и требовалось доказать.

Школьная программа не предусматривает детального ознакомления учащихся с логическими особенностями исследования функций на замкнутом промежутке, точнее — с тем, какую роль при этом играет непрерывность функции (а фактически даже односторонняя непрерывность). Формально говоря, это обстоятельство несколько сужает возможности применения рассматриваемого метода исследования: без обращения к непрерывности нельзя обосновать даже такое простое и очевидное утверждение, что функция, монотонная на открытом промежутке, принимает свои экстремальные значения в его концах.

Однако заострять на этом внимание учащихся, особенно на начальном этапе, и тем более требовать от них соответствующих точных логических обоснований педагогически совершенно нецелесообразно. Представляется вполне достаточным ограничиться наглядным уровнем рассуждений, показав поведение исследуемой функции на эскизе

графика (и явно подчеркнув при этом значение непрерывности функции), — в противном случае критико-логическая сторона деятельности учащегося полностью заслонит сторону творчески-математическую.

В то же время осознание необходимости непрерывности функции, воспринятое даже лишь на интуитивном уровне, может в дальнейшем явиться базой для пропедевтики самого понятия непрерывности. Нельзя не отметить психологически благоприятного обстоятельства для пропедевтики непрерывности при таком подходе — это понятие возникает не на основе каких-то соображений «высшего порядка», а непосредственно из личной практики учащегося, из его личных потребностей.

С другой стороны, в рассматриваемой задаче, как и в ряде других, преодолеть возникшие затруднения можно и сохранив «полный» уровень строгости: для этого следует рассмотреть функцию / на каком-либо открытом промежутке, содержащем точку 0, — например на (—1; +оо), — тогда точка 0 окажется внутренней, а поскольку функция/возрастает и на этом более широком промежутке, то неравенство J(x)>flQ) будет следовать непосредственно из условия возрастания функции на открытом промежутке. В то же время такое расширение области определения исследуемой функции далеко не всегда возможно, и поэтому в любой задаче учитель сам должен найти уровень строгости обоснования, ориентируясь на поставленные цели и учитывая возможности учащихся.

Следующий пример показывает, что рассмотренный только что прием доказательства неравенств иногда может потребовать итераций, т. е. неоднократного последовательного применения аналогичных рассуждений.

Задача 2. Доказать, что при любом х> О выполняется неравенство

Решение. Пусть функция /задается формулой

тогда

и далее следует исследовать функцию

Поскольку на промежутке

то функция g

на этом промежутке возрастает, и, так же как в задаче 1, опираясь на непрерывность функции g, получаем неравенство g(x) >g(0) = 0.

Но тогда на (0; +оо) функция / возрастает, так что /х,)>Д0)=0, что и требовалось доказать.

Отметим, что в задачах такого рода «само собой» возникает понятие второй производной, и если при этом при первом знакомстве можно и не вводить этого термина, то при приобретении некоторого опыта явное определение второй производной и использование этого понятия не представят для учащихся никаких трудностей.

В некоторых задачах процесс «итераций» может быть и более длинным, состоять из нескольких шагов — например, при доказательстве известных неравенств.

При рассмотрении задач с большим количеством «итераций» следует, конечно, явно пользоваться понятием производной любого порядка — иначе изложение будет излишне затрудненным.

После решения этой задачи полезно применить доказанное неравенство для оценки числа е: при х >]/2 из него получаем, что 4е = откуда е >2,64. При меньших значениях х можно получить более точные нижние границы для числа е, однако наиболее поучителен для учащихся здесь сам факт — доказанное неравенство дает возможность с помощью обычных вычислений оценить число, определенное в учебнике весьма необычным для школьников образом.

Обратим внимание еще на тот факт, что неравенство g(x)>0, или ех >1 +х (х>0), установленное в нашем решении, может быть использовано для исключительно простого доказательства неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим.

Целесообразно рассматривать и некоторые вариации формулировок задач на доказательство неравенств.

Задача 3. Решить неравенство

Решение. Рассмотрим функцию в ее естественной области определения

Поскольку

то и

Рассмотрев функцию g:

, с помощью дифференцирования получим, что на промежутке (1;+ оо) функция ^возрастает, и поэтому

Следовательно, на (1;+оо) функция / возрастает, так что X > 1=> f(x) > f(\) = 5 — lnlO > 0. Это означает, что при п> 1 данное в условии неравенство не выполняется, и остается рассмотреть значения пе{0; — 1; —2}.

Из неравенств 3 < 1п9, 1 < 1п8, — 1 < 0 справедливы последние два, так что решениями исходного неравенства являются числа —1 и —2.

Переформулировка этой задачи, скорее всего, доставит учащимся значительные трудности, и поэтому учителю целесообразно провести некоторые эвристические рассуждения, приводящие к новой формулировке более или менее естественным образом. Эти рассуждения можно провести примерно так: ясно, что при больших значениях х правая часть мало отличается от lnjc3 = 3 In jc, а логарифм, как это очевидно из графиков, растет медленнее, чем функция у = х; поэтому для больших значений X («на бесконечности») данное неравенство заведомо не выполняется. Остается теперь оформить эту идею в виде строгих рассуждений.

Для использования более сложной техники дифференцирования или для более детальной проверки знания учащимися свойств логарифмов можно рассмотреть логарифмы с основанием, отличным от е, и подобрать числа таким образом, чтобы заключительная непосредственная проверка была связана с техническими трудностями требуемого уровня.

Отметим, что в решении мы даже не сослались на непрерывность функций g, /, хотя, строго говоря, такая ссылка должна быть сделана. Тем не менее и в дальнейшем мы ссылки такого рода делать не будем, считая, что логическая и педагогическая ситуация здесь достаточно подробно описана в комментариях к задаче 1.

Обратим внимание еще на одну особенность решения задачи. Мы не придерживаемся здесь принятой в школе в настоящее время схемы

исследования: сначала найти критические точки и затем интервалы монотонности. Нам кажется, что в большинстве случаев решение неравенства f(x)>0 никоим образом не труднее, чем решение уравнения f(x) = 0, а нахождение интервалов монотонности автоматически дает точки экстремума, сразу при этом определяя их вид.

Впрочем, при нашем способе рассуждений приходится пользоваться — явным или неявным образом — понятием равносильности неравенств на некотором множестве, обычно на области определения исследуемой функции; однако это понятие является весьма естественным, ведь фактически в любом рассуждении мы всегда имеем в виду некоторое вполне определенное множество значений, которые принимает та или иная переменная.

Представляется поэтому, что понятие равносильности на множестве оправдано уже тем, что с его помощью исследование функций проводится естественно и компактно. Разумеется, учитель вправе придерживаться в работе с учащимися и других схем исследования.

Естественную переформулировку, стандартизацию допускают и многие задачи, в которых требуется выяснить, имеет ли решение то или иное уравнение или неравенство. Эти задачи также сводятся к нахождению экстремальных значений функций или к нахождению их областей значений.

При обосновании нужных утверждений в задачах такого рода часто возникает, как и в предыдущих задачах, необходимость опираться на непрерывность рассматриваемых функций и даже на некоторые свойства непрерывных функций — как правило, на тот факт, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения.

Задача 4. Имеет ли неравенство

решения на промежутке

Решение. Ясно, что неравенство f(x) >а имеет решение на некотором множестве в том и только в том случае, когда наибольшее значение функции/на этом множестве больше а (если, конечно, оно существует).

Положим /:

тогда

откуда с учетом области определения функции / получаем, что

Отсюда следует, что единственная критическая точка функции

является точкой макси мума, а Дх0) есть наибольшее значение функции/

Докажем, что

В самом деле,

Другими словами, исходное неравенство на отрезке [0; — ] решений не имеет.

В этой задаче несколько усложнена заключительная часть решения—доказательство неравенства /(jc0) < 1,75. Ясно, что это не имеет отношения к сущности применяемого метода, но при решении задач такого рода с учащимися, особенно на начальном этапе, трудности естественно разделять.

Кроме того, следует рассматривать и такие задачи, в которых фактически исследование не нужно, в которых можно обойтись подбором, т.е. явным указанием значения переменного, при котором данное неравенство выполняется. Например, если требуется выяснить, имеет ли решения неравенство

на отрезке

можно прежде всего испробовать отдельные «хорошие» значения переменной; так, при

и эта попытка оказалась неудачной, но при

и следовательно, данное неравенство имеет решения.

Рассмотрение таких «провокационных» задач представляется целесообразным именно с воспитательной точки зрения; учащиеся убежда-

ются в необходимости анализировать, исследовать задачу, а не следовать заранее предписанным схемам. Решение подбором следует иметь в виду и при составлении задач: если мы хотим заставить учащегося воспользоваться производной, цифры следует подбирать таким образом, чтобы рассмотрение «хороших» значений не приводило к цели.

Задача 5. При каких значениях ае R имеет решения уравнение

Решение. Область определения данного уравнения — отрезок [2; 4], и мы рассмотрим на нем функцию /, положив

Тогда на открытом промежутке (2; 4)

так что 8/3 — единственная критическая точка функции/, являющаяся, очевидно, точкой максимума. Поскольку

то / принимает наибольшее значение при х = 8/3, а наименьшее значение — при X = 4. Так как функция /непрерывна, то ее область значений представляет собой отрезок

между ее наименьшим и наибольшим значением. Другими словами, исходное уравнение имеет решения при

В этом внешне простом и естественном решении кроется чрезвычайно существенная тонкость, оставлять которую без внимания было бы методически неверно. Дело в том, что мы фактически без доказательства, только со ссылкой на непрерывность утверждаем, что область значений функции — это замкнутый промежуток между ее наименьшим и наибольшим значениями.

С точки зрения математической здесь все правильно, и наше утверждение обосновано одной из важнейших теорем о непрерывных

функциях — так называемой теоремой о промежуточных значениях, или теоремой Больцано-Коши: если функция / непрерывна на отрезке [а; Ь], Ла) = A, f(b) = ВиА<С<В, то существует число се (а; Ь), для которогоXс) = С. Однако этой теоремы в школьном курсе нет, и ее доказательство потребовало бы средств, заведомо выходящих за допустимый в школе уровень сложности.

В то же время свойство непрерывной функции принимать все промежуточные значения настолько естественно и геометрически очевидно, что использование его без доказательства (с явной оговоркой о нестрогости геометрической иллюстрации) не только, на наш взгляд, допустимо, но и целесообразно.

Впрочем, в учебнике «Алгебра и начала анализа» эта теорема сформулирована, формально говоря, для частного случая, когда С= 0, а числа А и В имеют разные знаки. Но совершенно очевидно, что общий случай легко сводится к этому частному заменой исследуемой функции f(x) на f(x) — С

С другой стороны, в этой задаче можно привести обоснование нужного утверждения, не опираясь на теорему Больцано-Коши, а с помощью теоремы, имеющейся в ныне действующем учебном пособии. Именно если функция определена, непрерывна и возрастает (убывает) на промежутке I, то множество ее значений есть некоторый промежуток I.

В нашем случае, согласно проведенному исследованию, непрерывная функция/ возрастает на отрезке [2; -], и поэтому множество

ее значений на этом отрезке есть отрезок между ее «крайними» значениямиУ(2) и.Лт)> т-е- [2; л/б ]. Точно так же находим, что множество значений функции/на отрезке

есть отрезок

Но

тогда

Нельзя не отметить, впрочем, что и в этом обосновании с точки зрения школьного курса есть логический дефект: фактически здесь использовано понятие односторонней непрерывности функции (в конечных точках отрезка), но эту деталь вскрывать явно перед учащимися, видимо, не следует.

Задача 6. Сколько решений имеет уравнение

Решение. Область определения данного уравнения — промежуток

Тогда на промежутке

и, таким образом, функция / — возрастающая, так что данное уравнение не может иметь более одного решения.

С другой стороны, взяв какое-нибудь «большое» значение х, например х =200, имеем

, так что / как непрерывная функция принимает все значения между/(1) = 0 и/(200), и в частности значение 4. Таким образом, заданное уравнение имеет ровно одно решение.

Решение задач такого рода — определение числа корней уравнения с помощью исследования его левой части (если в правой части постоянное число) — целесообразно начинать с самых простых случаев, когда монотонность левой части уравнения очевидна, как, например, в уравнениях

При этом полезно подбирать числа таким образом, чтобы иногда можно было найти корень уравнения подбором, т. е. полностью решить уравнение. В более сложных случаях, когда корень подобрать нельзя, следует, как и в задаче 5, иметь в виду аспекты решения, связанные с теоремой о промежуточных значениях.

После таких начальных примеров полезно, на наш взгляд, рассмотреть задачи, в которых монотонность левой части не очевидна, но может быть доказана несложным приемом без применения производных: например, уравнение V* + 18 - V* + 8 =2 имеет не более одного корня, поскольку его левая часть

[ — ;+«>); определим на этом промежутке функцию /, положив

является, как легко видеть, убывающей функцией. Точно так же для решения уравнения 3х + 4х = 5х следует сначала переписать его в виде

и заметить, что левая часть нового уравнения — убывающая функция.

В дальнейшем можно решать и более сложные задачи, в которых, например, исследуемая функция сначала убывает, а потом возрастает. В этих задачах важным рабочим инструментом являются графики, что дает возможность сделать построение графиков для учащихся не самоцелью, а средством исследования.

Задача 7. Решить уравнение

Решение. Построив графики функций /и g, заданных равенствами

мы заметим сразу же, что данное уравнение имеет один корень х, на промежутке [0; 5/6] и один корень х2, больший 5/6 (рис. 8). Сама формулировка задачи подсказывает, что эти корни должны быть «хорошими» — в противном случае их нельзя было бы найти, т.е. указать явно.

Непосредственный подбор и проверка показывают, что

и остается доказать, что других корней данное уравнение не имеет. Для доказательства заметим прежде всего, что уравнение может иметь решение, лишь если \6х — 5| ^4, т.е. на отрезке [ — ; — ], а для дальнейшего исследования уравнения целесообразно разбить этот отрезок на две части:

Рис.8

На промежутке [-7; 7], как легко видеть, функция /убывает, а функция g возрастает, так что уравнение f(x) =g(x) не может иметь более одного корня. Что же касается промежутка [ — ; — ], то на нем обе функции возрастают, и поэтому для исследования необходимо доказать очевидное из графика утверждение, что g возрастает медленнее, чем/ На строгом языке это означает, что </'(*), т. е. разность f—g — возрастающая функция.

Однако при.

и следовательно, h =/ — g действительно возрастает. Поэтому она принимает свое наибольшее значение в правом конце рассматриваемого промежутка: Атах= А(—) = 0, так что на промежутке (—; —) выполняется неравенство Л(х)<0, т. e./(;c)<g(jc), и исходное уравнение на этом промежутке решений не имеет.

Окончательно получаем, что исходное уравнение имеет два найденных выше корня

Задачи такого рода являются естественным продолжением задачи 6 и аналогичных ей. Если в последних речь идет о том, что монотонная функция принимает каждое свое значение не более одного раза, или, что равносильно, уравнение вида /х) =g(x), где функции / и # монотонны в разных смыслах, имеет не более одного решения, то в рассматриваемой задаче появляется принципиально новый момент: обе части уравнения представляют собой возрастающие функции. В связи с этим возникает необходимость сравнения скорости возрастания этих функций, нужно, иными словами, сформулировать на математическом языке, что именно означают сами эти слова: функция / возрастает быстрее, чем функция g.

К требуемому определению — выполнению неравенства /'(■*) > g'(x) — учащихся может подвести учитель, и их работа по «придумыванию» этого определения принесет существенную пользу, по-

скольку здесь действительно работает физический смысл производной как скорости возрастания функции, причем не как иллюстрация, а как средство исследования.

Отметим, что и в этой задаче возникают трудности, связанные с необходимостью ссылаться на непрерывность функций, но их можно частично избежать, если исследовать функцию f—g не на отрезке [5/6; 3/2], а на [5/6; 2].

Большую пользу для учащихся может принести рассмотрение задач, при переформулировке которых на геометрическом языке естественно возникает понятие касательной, а следовательно, в сознании учащихся активизируется методологически важнейшая взаимосвязь между понятиями касательной и производной.

Задача 8. При каких значениях aeR имеет решения неравенство

Решение. Построив график функции /:

(рис. 9), заметим, что число а не удовлетворяет условию задачи, если прямая у =х+а расположена всюду выше графика ff т.е. если эта прямая находится выше касательной к этому графику, проведенной под углом . Мы получили, таким образом, одну из стандартных школьных задач — о проведении касательной к данной кривой под данным углом.

Имеем

и поэтому искомая касательная проходит через точку А(1; 1); тогда ее уравнение у =х, а соответствующее значение а равно 0.

Таким образом, исходное неравенство имеет решения при а^О.

Поиск нужной переформулировки в этой задаче вряд ли возможен без геометрической иллюстрации, и, на наш взгляд, требовать строгого доказательства того фак-

Рис.9

та, что «критической» прямой из семейства прямых у = а +х является именно касательная к графику функции /, не следует. Здесь, так же как и в задаче 1, нельзя допускать, чтобы стремление к логической строгости превалировало над исследовательской идеей поиска способа решения.

Освобождение учащегося от необходимости доказывать это утверждение строго можно рассматривать как своего рода премию за открытие решения. Конечно, учащийся должен понимать необходимость соответствующего доказательства.

Провести доказательство можно следующим образом. Заметим сначала, что график функции / : х -> ^2х-1 лежит всюду ниже касательной к нему в точке А(\\ 1) — кроме, разумеется, самой точки касания: это следует из выполнения неравенства л/2х — 1 < х для любого X ф 1 из его области определения. Тем более график функции /лежит ниже прямой у=а +х при а>0; с другой стороны, при а<0 неравенство a/2jc-1 >а + х выполняется, например, при х=1. Отсюда и вытекает требуемое утверждение.

Проведенное доказательство не так уж сложно и само по себе представляет определенный познавательный интерес, однако при решении данной задачи рассматривать его методически нецелесообразно, поскольку идейно оно лежит в стороне от рассматриваемых здесь вопросов.

Задача 9. Найти расстояние между графиками функций у =л2 и у=2х-А.

Решение. Напомним, что расстояние между двумя геометрическими фигурами есть, по определению, наименьшее из расстояний между двумя точками, принадлежащими разным фигурам.

Геометрически очевидно, что искомое расстояние есть длина перпендикуляра AB к данной прямой / (рис. 10), где А —точка касания параболы у =х2 и прямой т, параллельной /. Таким образом, и здесь мы получаем стандартную задачу о проведении касательной, в данном случае под углом а таким, что tgoc = 2. Имеем (*2)' = 2 <=> 2х = 2 <=> х = 1, и поэтому точка А имеет координаты ( 1 ; 1 ).

Остается найти расстояние от точки А до прямой /, для чего уравнение прямой / перепишем в виде 2х—у — 4 = 0, а тогда, по известной формуле, искомое расстояние равно

В этой задаче, так же как и в предыдущей, нуждается в строгом обосновании центральное утверждение — возможность вычисления требуемого расстояния как расстояния от точки касания А прямой /. Методическая ситуация здесь также аналогична, и мы проведем строгое доказательство.

Заметим сначала, что парабола у = х2 всюду, за исключением точки касания, лежит выше касательной: действительно, касательная в точке х0 имеет уравнение у = 2х0(х-х0) + х%, а тогда неравенство х1 >2х0(х-х0) + х1, или X2 -2х0х + х% > О, выполняется при любом хк х0. Напротив, прямая / (рис. 10) лежит всюду ниже прямой w, так что парабола и прямая /лежат в разных полуплоскостях, определяемых прямой т. Отсюда следует, что расстояние \KL\ больше расстояния между прямыми / и т, так что найденное расстояние d = \АВ\ и есть искомое.

Нельзя не указать также, что и в этой, и в предыдущей задачах существенно расположение кривой по одну сторону от касательной к ней — геометрическое свойство, формализация которого приводит к понятию выпуклости, а в аналитическом плане — к понятию второй производной и к ее использованию при более детальном исследовании поведения функции.

Отметим, наконец, что постановка данной задачи может показаться довольно искусственной и потому не выполняющей важное назначение — естественное введение задачи о проведении касательной. Однако «политехническая» формулировка, точнее, беллетризация этой задачи, достаточно проста: например, можно сформулировать ее как задачу о проведении кратчайшего пути от прямолинейного шоссе до песчаного карьера, граница которого имеет форму параболы.

Большие сложности для переформулировки, для стан