Чулков П. В. Математика. Школьные олимпиады, 5—6 классы : метод. пособие. — М. : НЦ ЭНАС, 2004. — 88 с. — (Портфель учителя). — Список лит.: с. 84 (14 назв.).

ПОРТФЕЛЬ УЧИТЕЛЯ

П. В. Чулков

Математика

Школьные олимпиады

5-6 классы

П. В. Чулков

Математика

Школьные олимпиады

Методическое пособие

5-6 классы

Москва

«Издательство НЦ ЭНАС»

2004

УДК 372.8(072):51 ББК 74.202.5 489

Рецензент

заведующий лабораторией ОМЦ Юго-Западного округа Управления народного образования, заслуженный учитель Российской Федерации, доцент Е. В. Юрченко

Чулков П. В.

489 Математика: Школьные олимпиады: Метод, пособие. 5-6 кл. -М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2004. - 88 с. - (Портфель учителя).

ISBN 5-93196-090-2

Приведены рекомендации по подготовке и проведению в 5-6 классах математических соревнований - школьных, домашних и командных олимпиад, математических регат. Представлено более 300 задач различной трудности на развитие логики и математического мышления.

Пособие предназначено для учителей, организующих внеклассную работу по математике. Может быть использовано учащимися при подготовке к школьным олимпиадам.

УДК 372.8(072):51 ББК 74.202.5

ISBN 5-93196-090-2

© П. В. Чулков, 2001

© ЗАО «Издательство НЦ ЭНАС», 2001

Оглавление

КАК ОРГАНИЗОВАТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

СОРЕВНОВАНИЯ В ШКОЛЕ....................................................................4

ШКОЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА......................................................................7

Первый тур. Подготовительный......................................................7

Второй тур. Школьный математический праздник........................7

КОМАНДНЫЕ ОЛИМПИАДЫ.................................................................9

Лично-командная олимпиада. 5 класс.......................................................9

Математическая регата. 6 класс...............................................................10

ДОМАШНЯЯ ОЛИМПИАДА...................................................................12

Особенности задач....................................................................................13

Разбор задач...............................................................................................14

ЗАДАЧИ.........................................................................................................15

Школьная олимпиада. 5 класс..................................................................15

Школьная олимпиада. 6 класс..................................................................18

Командная олимпиада. 5 класс................................................................20

Математическая регата. 6 класс...............................................................21

Домашняя олимпиада. 5 класс.................................................................23

Домашняя олимпиада. 6 класс.................................................................35

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.............................................................................47

Школьная олимпиада. 5 класс..................................................................47

Школьная олимпиада. 6 класс..................................................................49

Командная олимпиада. 5 класс................................................................51

Математическая регата. 6 класс...............................................................52

Домашняя олимпиада. 5 класс.................................................................54

Домашняя олимпиада. 6 класс.................................................................69

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..........................................................................84

Как организовать математические соревнования в школе

Основная цель олимпиады в школе - повышение интереса к математике как учебному предмету. И дело не только в том, чтобы выявить учащихся, хорошо разбирающихся в учебном материале и пригласить их в кружок. Для этого не нужно проводить олимпиаду. Важно создать в школе атмосферу праздника, ощущение причастности к происходящему, помочь избавиться от неуверенности в себе, вызвать желание участвовать в таком соревновании.

При правильной организации олимпиады интерес к математике возрастает не только у тех школьников, для кого она проводится, но и у всех, кто как-либо к ней причастен: администрации школы, учителей, старшеклассников и студентов, родителей.

Если в подготовке и проведении школьной олимпиады участвуют старшеклассники и выпускники школы, многие из них впервые понимают, что это очень интересное и полезное дело.

Но, кроме того, олимпиада- это учебное мероприятие: мы редко учим детей мыслить и принимать решения в нестандартных ситуациях. Конечно, этому учебному навыку (умению показать знания в неординарной ситуации) надо учить, как и любому другому.

Давно замечено также, что проведение олимпиад «является прекрасным средством повышения деловой квалификации учителей»1. Чтобы подготовить школьников к участию в олимпиаде и организовать саму олимпиаду, необходимо решать и разбирать вместе со школьниками нестандартные задачи, вести кружки, читать книги по математике.

Организация олимпиады доставляет радость всем участникам. А если им сопутствует успех, то это радость вдвойне. В этом и есть основной смысл школьной олимпиады: «создать условия для самореализации, для успеха как можно большему числу людей, дать им познать чувство радости от победы, зачастую самой трудной победы -победы над самим собой»2.

Наиболее эффективно воздействие школьных математических соревнований, если они происходят в течение всего учебного года.

1 Петраков И.С. Математические олимпиады школьников.-M, 1982.-С. 5.

2 Постникова А.Л. Олимпиада «Успех»/Архимед:/Сб.: Математические соревнования. - М., 2000. - Вып. 2. - С. 5.

Самое главное на школьной олимпиаде - задачи. Ведь - «известны случаи, когда решение одной занимательной задачи определило весь жизненный путь человека»1. Что здесь важно?

Во-первых, в задания олимпиады необходимо включать задачи разного уровня трудности, чтобы каждый ребенок мог что-то решить. Если задачи слишком трудны, ребята теряют интерес к олимпиаде.

Во-вторых, задачи, при всей их нестандартности и занимательности, должны опираться на пройденный школьниками программный материал и быть достаточно разнообразными по тематике, чтобы учащиеся могли сделать выбор с учетом своих пристрастий.

Кроме того, на олимпиаде должны быть обеспечены самостоятельность учащихся, одинаковые условия работы для всех. Хорошо, если тексты задач напечатаны заранее и выдаются каждому участнику.

При проверке работ оценивается прежде всего правильность решения задачи. Нельзя снижать оценку за «оформление» (олимпиада-это не контрольная); следует отличать логические ошибки от технических. Не нужно требовать больше, чем принято в обычной школьной практике. Однако важно поощрять умение логично излагать решение, используя при этом рисунки и черновые записи. Если позволяют обстоятельства, полезно проверять работу в присутствии ее автора (что происходит на устных олимпиадах).

К числу недостатков многих «больших» олимпиад относится то, что разбор задач и объявление победителей проводятся через значительный промежуток времени. Однако олимпиада для школьников 5-6 классов может быть проведена за один день.

Награждение победителей (примерно 10 % участников) должно проходить в торжественной обстановке, но важно, чтобы как можно больше детей получили утешительные призы за участие в олимпиаде: книги по математике, грамоты.

В пособии рассказано об организации школьных математических соревнований: домашней олимпиаде, школьном математическом празднике, командных олимпиадах.

Цель «домашней олимпиады» - помочь детям увидеть красоту математики, ощутить удовольствие от решения математических задач, подготовиться к школьному математическому празднику.

Школьный математический праздник удобно проводить в два тура. В первом туре, подготовительном, участвуют практически все ученики школы; во втором - те, кто хорошо зарекомендовал себя в первом туре (решил одну-две задачи).

Командные олимпиады в школе можно проводить по-разному.

1 Кордемский Б.А. Очерки о математических задачах на смекалку. -М., 1958.-С. 10.

Например, можно подсчитывать сумму баллов, набранных представителями каждой команды в личной олимпиаде, и так определять победителей. Но лучше, на наш взгляд, дать возможность школьникам проявить себя в совместной деятельности.

При написании пособия учтен опыт организации «турниров Архимеда», цикла математических олимпиад, организуемых учителями Москвы, начиная с 1992 г.

Школьная олимпиада

Первый тур. Подготовительный

Подготовительный тур проводится на одном из уроков математики. В нем участвуют все ученики 5-6 классов. Соревнование следует организовать так, чтобы у детей не пропало желание и в дальнейшем участвовать в таких олимпиадах.

По тематике задания должны быть близки к программному материалу. В 5 классе это в основном задачи на действия с натуральными числами с небольшими вкраплениями «олимпиадных» идей: принципа Дирихле, четности, логики, разрезаний и т. д., в 6 классе особое внимание следует уделить примерам на делимость, дроби и проценты, задачи на движение и процессы, пропедевтике геометрии. Материалы первого тура готовятся в двух вариантах.

Проводит олимпиаду учитель, привлекая ассистентов.

Итоги олимпиады подводятся в тот же день (или в крайнем случае на следующий). Тогда же происходят разбор задач и награждение победителей.

Выступление школьника в первом туре считается успешным, если полностью решена хотя бы одна задача. Каждому участнику олимпиады вручается сборник подготовительных задач ко второму туру.

Второй тур. Школьный математический праздник

Во втором туре участвуют школьники, успешно выступившие в первом туре.

Второй тур проводится обычно в третьей четверти, и его можно рассматривать как подготовительный этап к районной олимпиаде.

Программа олимпиады

Время

Участники

Жюри

10.00-11.30

Решение задач

Обсуждение критериев оценки

11.30-12.45

Мультфильмы и разбор задач

Проверка работ

12.45-13.00

Апелляция и показ работ

12.45-13.00

Награждение победителей

Каждый участник олимпиады должен работать за отдельной партой, чтобы никому не мешать. Если у школьников возникнут вопросы, желательно, чтобы на них отвечал специально назначенный член жюри (в этом случае все участники будут в равном положении).

Пока жюри проверяет работы, организуется культурная программа: в основном показ мультфильмов, концерт и др.

Разбор задач и показ работ участникам необходимо организовать так, чтобы каждый участник олимпиады был уверен, что все работы проверены правильно и победители честно заработали награды (а при необходимости рассмотреть апелляции).

Проверяют работы два члена жюри, а работу, претендующую на призовое место, - трое. Основное внимание при этом следует обращать на ход мысли ученика, даже в том случае, когда решение неаккуратно записано.

Каждая работа может оцениваться в баллах - в идеале, чем труднее задача, тем больше баллов за нее дается, но, учитывая, что трудность задачи - величина субъективная, можно каждую задачу оценивать 5 баллами, при несущественных недостатках - 4, при верно понятой, но не до конца оформленной идее решения - 3 и т.д.

Перед проверкой проходит разбор решений всех задач, после чего проверяющие договариваются о критериях оценок.

Результаты проверки удобно оформить следующим образом на титульном листе тетради:

Проверка

Номера задач

Ф.И.О.

1

2

3

4

5

Первая

Вторая

Итог

Награждают победителей в тот же день в актовом зале школы, в присутствии администрации и родителей.

Итоги олимпиады с поздравлениями победителей вывешиваются на видном месте, а организаторам и победителям выносится благодарность приказом директора школы.

Командные олимпиады

Лично-командная олимпиада. 5 класс

В команде может быть 6-8 человек. Соревнования проходят в два этапа. Очки, полученные на первом этапе (личном), складываются в общую «копилку» команды. После небольшого перерыва школьники приступают ко второму (командному) этапу.

Тематика задач этого этапа может быть различна. Главное, чтобы в их решении могла принять участие вся команда.

Программа олимпиады

Время

Участники

Жюри I

Жюри II

10.00-11.00

Решение задач I этапа

11.00-11.10

Перерыв для отдыха

Обсуждение критериев

11.10-12.10

Решение задач 11 этапа

Проверка работ I тура

Проверка работ II тура

12.10-12.20

Перерыв для отдыха

Подведение итогов

12.20-12.30

Награждение победителей

Примерные темы задач: кросснамберы, числовые ребусы, задачи на разрезание и склеивание, раскрашивание, изготовление моделей фигур из разверток, танграм и оригами, вычерчивание линий одним росчерком и др.

Каждая команда работает в отдельном помещении (школьном классе), чтобы не мешать друг другу. В классе должно быть все необходимое для работы: бумага, ножницы, клей и т.д.

Жюри олимпиады делится на две части. Одни оценивают решение заданий индивидуального, другие - командного этапов. Как только команда справилась с каким-либо заданием, в класс приходит представитель жюри и определяет; можно ли считать задание выполненным. Задание может быть принято со второго или даже третьего раза, при этом количество баллов, которые команда получает за задачу, уменьшается.

Награды получают команды-победительницы личного и командных этапов соревнований, а также те, кто показал лучший суммарный результат.

Вся олимпиада, включая награждение, продолжается 2,5 часа.

Математическая регата. 6 класс

В этом соревновании может участвовать большое количество команд одной параллели по 4 человека в каждой. Задачи школьники решают совместно (только один из них - капитан команды - имеет право вести переговоры с жюри).

Соревнование проходит в несколько туров по 10-15 мин (для шестиклассников - в 4 тура). В каждом туре участникам предлагается три задачи из различных разделов математики.

Время, отведенное для решения, и «стоимость» каждой задачи в баллах указываются на листах с условиями задач, которые выдаются каждой команде.

По окончании тура капитаны команд сдают в жюри три листа с решениями задач (каждая задача на отдельном листе - если команда не решила какую-либо задачу, сдается чистый лист).

Листы должны быть заготовлены заранее, на каждом из них сверху крупно пишется название команды, а ниже - номер задачи и ее решение. Условие задачи не переписывается.

Программа олимпиады

Время

Участники

Жюри

Координатор

10.00-10.15

Решение задач I тура

10.15-10.25

Разбор задач I тура

Проверка работ I тура

Разбор задач I тура

10.25-10.30

Подача заявок на апелляцию

Объявление итогов тура

10.30-10.45

Решение задач II тура

Подготовка к апелляции

10.45-10.55

Разбор задач II тура

Проверка работ II тура

Разбор задач II тура

10.55-11.00

Подача заявок на апелляцию

Объявление итогов тура

11.00-11.15

Решение задач III тура

Подготовка к апелляции

Продолжение

11.15-11.25

Разбор задач III тура

Проверка работ III тура

Разбор задач III тура

11.25-11.30

Подача заявок на апелляцию

Объявление итогов тура

11.30-11.45

Решение задач IV тура

Подготовка к апелляции

11.45-11.55

Разбор задач IV тура

Проверка работ IV тура

Разбор задач IV тура

11.55-12.00

Подача заявок на апелляцию

Объявление итогов тура

12.00-12.10

Апелляция

12.10-12.20

Награждение победителей

Проверяются работы после каждого тура. Жюри состоит из трех комиссий по 3-4 человека в каждой, специализирующихся на проверке одной из задач тура. В состав комиссий входят учителя математики, старшеклассники и студенты.

Пока идет проверка, один из членов жюри или специально выбранный ведущий (координатор) проводит для учащихся разбор решений задач очередного тура. Затем результаты команд вносятся в протокол и вывешиваются на доску для всеобщего обозрения.

После объявления итогов тура команды, не согласные со своей оценкой, могут подать заявки на апелляцию; окончательное решение жюри принимает по завершении последнего тура, но до объявления победителей. В обсуждении участвует представитель команды, подавшей протест. По итогам апелляции оценка за задачу может быть изменена (повышена или понижена).

Победители регаты определяются по сумме баллов, набранных командой во всех турах, и награждаются сразу после подведения итогов.

Для регат пригодны задачи с яркими, запоминающимися решениями, которые можно рассказать за короткое время. Они должны быть разнообразны по тематике, методам и способам изложения решения, а их сложность должна нарастать от тура к туру.

Домашняя олимпиада

Домашняя олимпиада - это конкурс по решению задач, проходящий в течение всего учебного года: каждую неделю - пять задач.

Задачи ученики решают дома, что не исключает возможности консультаций с родителями, обсуждения с товарищами, заимствования решений из книг и т.д.

Идеально, когда ребенок выполняет конкурсные задачи самостоятельно, но иногда учитель вдруг обнаруживает, что некоторым детям помогают родители. Если такой помощи слишком много, это означает, что предлагаемые задачи чересчур сложны, и следует несколько снизить трудность предлагаемых задач. Однако многие родители с удовольствием решают нестандартные задачи вместе с детьми, потому что занимательная математика интересна не только детям, но и взрослым.

Но олимпиада-это не только конкурс с призами, но и учебное задание (выполнение которого обязательно для всех учащихся). За решение конкурсных задач еженедельно выставляется оценка, а по итогам четверти подсчитывается средний балл, который влияет на итоговую оценку в четверти.

Каждый ученик может улучшить свою оценку (но не результат в конкурсе), решая дополнительные задачи. Дополнительные баллы начисляются за решение даже одной задачи.

Решение задач конкурса школьники записывают в специальную тетрадь: по одной на странице, а для нерешенных задач оставляют место.

За оформление тетради в конце четверти выставляется оценка: решения всех задач должны быть записаны, все недочеты устранены.

В этой тетради ученики записывают и другие интересные задачи. В конце учебного года у каждого составлен собственный сборник нестандартных задач с решениями (не менее 150 задач).

Каждую неделю итоги конкурса заносятся в таблицу:

Ф.И.

1

2

3

4

5

6

7

Балл

Доп. балл

Итог

3

3,5

2

4

3,5

3

4

23

+5

4

4

3,5

4

4

5

4

4

28,5

+7

5

3

4

3

2,5

3,5

4

4

24

+4

4

Здесь учитываются количество решенных задач, средний балл за неделю. Это и есть оценка. Если ученик недоволен ею и хочет внести исправления, он может решить дополнительную задачу.

За верное решение одной задачи ставится 1 балл (оригинальное и красивое решение может быть оценено выше), неполное или даже неверное решение, но содержащее интересные мысли оценивается 0,5 балла.

Умение догадываться не менее важно, чем оформление работы, поэтому не следует слишком «придираться» к оформлению.

Итоги подводятся постоянно, первое время - еженедельно, в дальнейшем - по результатам месяца, четверти, полугодия, учебного года. Призы (это очень важно, особенно для пятиклассников) - книги по математике, грамоты, конфеты. Важно не пропустить каждое, пусть небольшое, но продуктивное усилие ученика.

Особенности задач

Задачи расположены сериями, т.е. их можно решать, опираясь на решенные ранее.

Две-три задачи каждой «пятерки» подобраны так, что их решение доступно большинству школьников. Одна же задача в «пятерке» более трудная, обычно связана с иллюстрацией темы, ранее не встречавшейся.

Много задач «на смекалку»: шанс начать «новую жизнь» для тех учеников, кто не проявляет особого интереса к учебе. Здесь требуется немного сообразительности и желание преодолевать трудности.

Присутствуют задачи, подготавливающие школьников к систематическому изучению нового программного материала. Идеи и факты, содержащиеся в этих задачах, получат в дальнейшем естественное обобщение.

Много логических задач и задач на составление алгоритмов (переливания, разрезания, взвешивания).

Дополнительные задачи обычно похожи на уже разобранные в основном курсе. Это позволяет и не слишком сильным, но старательным ученикам добиваться хороших оценок (подавляющее большинство учеников 5-6 классов хотят учиться на 4 и 5).

В первом полугодии 5 класса задачи сравнительно просты: дети должны научиться правильно записывать их решения, грамотно оформлять свои мысли, что для 10-11-летних детей не так легко.

Каждый учебный год предлагается новый набор задач, при этом сохраняется общая направленность курса.

Разбор задач

При разборе задач с учащимися автор старался придерживаться следующих правил.

1. Ссылаться на уже решенные задачи. В этом случае материал лучше усваивается.

2. Когда возможно решение без уравнений, показывать такое решение. Воспроизведение материала в словесной форме требует от учеников значительно больших логических усилий и поэтому лучше развивает их мышление. Это умение - важнейший показатель уровня развития математического мышления. Заметим, что в первоначальном обучении математике и так слишком много уравнений и слишком мало логики, что сказывается в дальнейшем.

3. Показывать различные способы решения задач. Так, почти в большинстве текстовых задач кроме «арифметического» можно рассмотреть решение «алгебраическое» (уравнение). Роль учителя - дать сравнительный анализ таких способов.

4. Анализировать собственные (пусть неполные) решения учеников, выделять то ценное, что в них содержится.

Каждый учитель с учетом собственного опыта и особенностей своего класса внесет в данный список правил необходимые изменения.

Задачи

Школьная олимпиада. 5 класс

Вариант 5.1

1. На доске написано число 3 728 954 106. Зачеркните в нем три цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке образовали как можно меньшее число.

2. Команда провела три матча. Один из них выиграла, один проиграла и один свела вничью, забив три мяча и один пропустив. С каким счетом закончились матчи?

3. Разрежьте фигуру (рис. 1) по линиям сетки на три одинаковые части.

4. Какая цифра стоит в последовательности 12 341 234 ... на 2001-м месте?

5. С числом, записанным на доске, можно производить следующие операции: заменить его удвоенным или стереть в нем последнюю цифру. Как с помощью нескольких таких операций получить из числа 458 число 14?

Рис. 1

Вариант 5.2

6. Можно ли заменить несколько минусов на плюсы в равенстве 2002 -1 -2-3-4-5-6-7-8 = 2001 так, чтобы оно стало верным?

7. Разделите фигуру (рис. 2) по линиям сетки на четыре одинаковые части так, чтобы в каждой из частей оказалось по одной точке.

8. Было 9 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на три части. Получилось 15 кусочков. Сколько листов бумаги разрезали?

9. Известно, что 7 карандашей дороже 8 тетрадей. Что дороже: 8 карандашей или 9 тетрадей?

10. В стране 27 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в стране?

Рис. 2

Вариант 5.3

11. Сложили 111 тысяч, 111 сотен и 111 единиц. Что за число получилось?

12. Можно ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы каждая часть соприкасалась с тремя остальными (части соприкасаются, если у них есть общий участок границы).

13. В коробке лежат 4 красных и 3 синих карандаша. Их берут в темноте. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них был один синий?

14. Во сколько раз лестница, ведущая на шестой этаж дома, длиннее лестницы, ведущей на второй этаж того же дома?

15. Найдите наименьшее четырехзначное число, у которого сумма цифр больше, чем у любого меньшего числа.

Вариант 5.4

16. Как разложить семь алмазов в четыре одинаковые шкатулки, чтобы вес всех шкатулок получился одинаковым, если вес алмазов 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 граммов.

17. Цифра десятков в записи некоторого двузначного числа втрое больше числа единиц. Если эти цифры переставить, получится число, меньше данного на 36. Найдите исходное число.

18. В феврале некоторого года было 2 505 600 секунд. Високосным ли был этот год?

19. Три пятиклассника купили 14 пирожков, причем Коля купил в 2 раза меньше, чем Вася, а Женя - больше Коли, но меньше Васи. Сколько пирожков купил каждый?

20. Нарисуйте 8 точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались и из каждой точки исходили ровно 4 отрезка.

Вариант 5.5

21. Десять работников должны были закончить работу за 8 дней. Когда они проработали 2 дня, выяснилось, что надо закончить работу через 2 дня. Сколько еще надо нанять работников?

22. Компьютер умножает число на 2, затем из этого результата вычитает число я, затем умножает результат на 2 и снова вычитает п и т.д. Эту операцию он выполняет 100 раз. Придумайте число, которое после работы на компьютере не изменится (результат будет равен исходному числу).

23. Из 18 одинаковых кубиков сложили прямоугольный параллелепипед высотой 3 кубика. Найдите площадь поверхности параллелепипеда, если площадь поверхности одного кубика равна 1 см2.

24. На одной чаше весов лежит кусок мыла, на другой такого же куска и еще ~ кг. Сколько весит весь кусок?

25. Решите уравнение: (х -(х - ... - (х - 1)...)) = 1, где в левой части 10 пар скобок.

Вариант 5.6

26. Двузначное число в 5 раз больше суммы своих цифр. Что это за число?

27. Сколько прабабушек и прадедушек было у всех ваших прабабушек и прадедушек?

28. Решите уравнение: 2 + ^^ =22.

29. В газете было написано, что в школе № 2001 обучается 3 688 учащихся, причем мальчиков на 373 больше, чем девочек. Вася Иванов сразу (не считая) сказал, что в отчете допущена ошибка. Как он догадался?

30. В корзине лежат 13 яблок. С помощью весов можно узнать общий вес любых двух яблок. Как выяснить общий вес всех яблок за 8 взвешиваний?

Вариант 5.7

31. Света выполнила действия: 1997-1999-2001 - 1998-2000. Какова последняя цифра ответа?

32. Пять кошек поймали 5 мышек за 5 минут. Сколько кошек поймают 10 мышек за 10 минут?

33. Среднее арифметическое шести чисел равно 345, а среднее арифметическое четырех других чисел равно 555. Чему равно среднее арифметическое всех десяти чисел?

34. На кондитерской фабрике в каждую коробку шоколадных конфет вкладывают талон. За 10 накопленных талонов покупателю бесплатно выдается коробка конфет. Какую часть стоимости коробки составляет стоимость одного талона?

35. Напишите в строку пять чисел, чтобы сумма любых двух соседних была отрицательной, а сумма всех чисел положительной.

Вариант 5.8

36. Сколько всего воскресений может быть в году?

37. Средний возраст 11 игроков футбольной команды 22 года. Когда одного игрока удалили с поля, средний возраст оставшихся игроков составил 21 год. Сколько лет удаленному игроку?

38. У двух мальчиков был один велосипед, на котором они отправились в соседнюю деревню. Ехали по очереди, но всякий раз, когда один ехал, другой шел пешком, а не бежал. При этом они ухитрились прибыть в деревню намного быстрее, чем если бы оба шли пешком. Как им это удалось?

39. Расставьте числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 в вершинах куба так, чтобы суммы чисел на каждой грани были равны.

40. Дано 2001 число. Известно, что сумма любых четырех из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Школьная олимпиада. 6 класс

Вариант 6.1

41. На листе бумаги написаны двадцать чисел 1,1 и двадцать чисел 1,11. Зачеркните несколько чисел так, чтобы сумма оставшихся была равна 19,93.

42. Из 15 шариков можно сложить равносторонний треугольник (рис. 3), но нельзя сложить квадрат: одного шарика не хватит (рис. 4). Из какого количества шариков, не превосходящего 50, можно сложить и треугольник, и квадрат?

43. Расставьте скобки в выражении 2:3:4:5:6=5 так, чтобы получилось верное равенство.

44. Число А на 400 % больше числа В. На сколько процентов В меньше A?

45. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 2000. Найдите уменьшаемое.

Рис. 3

Рис. 4

Вариант 6.2

46. Двадцать трехметровых бревен распилили на полуметровые поленья. Сколько распилов при этом сделали?

47. Может ли среднее арифметическое 35 целых чисел равняться 6,35?

48. Малыш может съесть банку варенья за 6 минут, а Карлсон - в два раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе?

49. Сколько воды нужно добавить к 120 г 75 %-ного раствора сахара, чтобы получить раствор, содержащий 25 % сахара?

50. Можно ли прямоугольную стену размером 1998 х 1999 покрыть плитками размером 1 х 4 и 2 х 2?

Вариант 6.3

51. В 3 ящиках лежат орехи. В первом на 6 орехов меньше, чем в двух других вместе, а во втором - на 10 меньше, чем в первом и третьем. Сколько орехов в третьем ящике?

52. Из двух положительных чисел одно увеличили на 1 %, другое - на 5 %. Могла ли их сумма увеличиться на 3 %?

53. Вася сказал, что уравнение 19х2 + 91 х = 1997 в натуральных числах не имеет решений. Прав ли Вася?

54. Автомобиль едет со скоростью 60 км/ч. На сколько он должен увеличить скорость, чтобы проезжать 1 км пути на полминуты быстрее?

55. В круге отметили точку. Можно ли разрезать круг на три части так, чтобы из них можно было сложить новый круг, у которого точка в центре?

Вариант 6.4

56. Вычислите:

57. Окрашенный куб с ребром 10 см распилили на кубики с ребром 1 см. Сколько среди них окажется кубиков с одной окрашенной гранью?

58. Решите уравнение: |jc - 5| = 4.

59. Федя хотел разделить некоторое число на 4 и прибавить к нему 15, а вместо этого умножил его на 4 и отнял 15, но ответ тем не менее получил верный. Что за число?

60. Сможет ли Вася Иванов разложить 44 монеты по 9 карманам так, чтобы количество монет в каждом кармане было бы различным?

Вариант 6.5

61. Известно, что 2 % от натурального числам больше, чем 3 % натурального числа В. Верно ли, что 5 % от числа А больше, чем 7 % от числа В?

62. В клетках квадрата 3x3 были записаны натуральные числа так, что они образовали магический квадрат. Некоторые числа стерли (рис. 5). Восстановите квадрат.

63. Делится ли на 1999 сумма чисел: 1 + 2 + ... + + 1999?

64. Известно, что 50 одинаковых книг стоят 17 руб. с копейками. Сколько стоит одна книга?

Рис. 5

65. Можно ли натуральные числа от 1 до 100 выписать в строку так, чтобы разность любых двух соседних была не меньше 50?

Вариант 6.6

66. В стаде 8 овец. Первая съедает копну сена за 1 день, вторая -за 2 дня, восьмая - за 8 дней. Кто быстрее съест копну сена: две первые овцы или все остальные вместе?

67. В начале забега вперед вырвался Антон, вторым шел Борис, а третьим - Виктор. За время забега Антон и Борис менялись местами 8 раз, Борис и Виктор - 7 раз, Антон и Виктор - 6 раз. В каком порядке они финишировали?

68. Придумайте число, которое делится на 109, чтобы сумма его цифр также делилась на 109.

69. Числа а и Ъ - целые. Известно, что а + b = 500. Может ли сумма \1а + \ЪЪ равняться 1999?

70. На окружности расположены 2000 белых точек и одна красная. Рассматривают многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше: с красной вершиной или без нее?

Командная олимпиада. 5 класс

71. Из данного набора фигур (рис. 6) сложите фигуры, изображенные на рисунке. Фигуры можно переворачивать, но нельзя накладывать друг на друга или оставлять между ними пустые места.

Рис. 6

72. Заполните графы числами так, чтобы суммы чисел, стоящих в любых трех соседних клетках, были равны 20.

73. Все цифры от 1 до 9 включительно впишите в кружочки так, чтобы сумма цифр, стоящих в вершинах каждого квадрата, была одним и тем же числом (рис. 7).

Рис. 7

74. Впишите в кружочки (рис. 8) цифры от 1 до 9 так, чтобы сумма цифр в любых двух соседних кружочках равнялась числу, написанному между этими кружочками.

75. Расставьте цифры 1,2,3,4, 5, 6, 7, 8 в вершинах куба (рис. 9) так, чтобы суммы цифр на каждой грани были равны.

76. В коробке лежат 7 костяшек домино из одного комплекта, но границ между ними не видно (рис. 10). Нарисуйте, где проходят границы между костяшками. Ответ объясните.

77. Вася решил пример на черновике, но, переписывая решение в тетрадь, забыл поставить скобки. Вот что у него получилось: 6 • 8 + 20 : 4 - 2 = 40. Расставьте нужные скобки.

Рис. 9

Рис. 8

Рис. 10

78. Разрежьте фигуры (рис. 11 и 12) по линиям сетки на две одинаковые части.

Рис. 11 Рис. 12

79. Как с помощью прямоугольной плитки размером 7 х 9 см начертить на листе бумаги отрезок, длина которого 1 см?

80. Как с помощью угольника, угол которого равен 19°, отмерить угол 1°?

Математическая регата. 6 класс

Вариант 6.1

Тур 1

81. Из чисел 2,3,9,27,81,243,567 выберите делимое, делитель, частное и остаток.

82. Среднее арифметическое двух чисел равно 10, а одно из чисел равно 4. Чему равно другое число?

83. На линейке длиной 9 см нет делений. Нанесите на нее три промежуточных деления так, чтобы ею можно было измерять расстояния от 1 до 9 см с точностью до 1 см.

Тур 2

84. Число 9 876 543 210 разделили на 86 420, остаток разделили на 6 420, новый остаток разделили на 420 и последний остаток разделили на 20. Какой остаток получили?

85. Можно ли обойтись меньшим числом делений в задаче № 43?

86. Установите правило, по которому составлена таблица, и впишите недостающие числа:

9

16

11

6

5

2

2

3

3

81

256

121

216

Тур 3

87. Известно, что числа jc + у и Ах + у положительны. Может ли число Sx + 5у быть отрицательным?

88. Найдите значение суммы: l + -^ + j + ^-+---+ j ?

89. Вдоль прямой дороги стоят 6 домов. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до домов была наименьшей?

Тур 4

90. Делится ли число 44 • • • 44 на 8?

91. Вдоль прямой дороги стоят 7 домов. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до домов была наименьшей?

92. На конференции 85 % делегатов знают английский язык и 75 % - испанский. Какой процент делегатов знают оба языка?

Вариант 6.2

Тур 1

93. Предположим, что у вас и у меня имеется некоторая сумма денег. Сколько денег я должен вам дать, чтобы у вас стало на 10 рублей больше?

94. Некоторое трехзначное число после зачеркивания одной цифры уменьшилось в 10 раз. Какую цифру и в каком месте числа зачеркнули?

95. Часы бьют каждый час и отбивают столько ударов, сколько показывает часовая стрелка. Сколько ударов отобьют часы за 12 часов?

Тур 2

96. Сварили 19 банок варенья и расставили их на трех полках так, чтобы на каждой полке было одинаковое количество варенья. На первую полку поставили 1 большую и 4 средние банки, на вторую - 2 большие и 6 литровых, а на третью - 1 большую, 3 средние и 3 маленькие банки. Сколько литров варенья сварили?

97. Некоторое трехзначное число после зачеркивания одной цифры уменьшилось в 71 раз. Что это было за число?

98. Может быть в каком-либо месяце 5 понедельников и 5 четвергов?

Тур 3

99. Рабочий стал делать в час на 40 % деталей больше. На сколько процентов быстрее он выполнит норму?

100. Делимое и делитель увеличили в 3 раза. Как изменились частное и остаток?

101. Два землекопа за 2 часа выкопали 2 м канавы. Сколько землекопов за 5 часов выкопают 5 м канавы?

Тур 4

102. После каждой стирки кусок мыла уменьшается на 20 %. После скольких стирок он уменьшится не меньше чем на треть?

103. В двузначном числе переставили цифры и полученное число сложили с исходным. Получили квадрат натурального числа. Какого?

104. Найдите закономерность в построении последовательности: 111,213, 141,516, 171,819, 202, 122, ....

Домашняя олимпиада. 5 класс

Задание 1

1.1. Разрежьте фигуру (рис. 13) на две одинаковые части.

1.2. Найдите два натуральных числа, если известно, что их сумма равна 179, а одно больше другого на 61.

1.3. Для покупки мороженого Пете не хватало 7 руб., а Маше - 1 руб. Тогда они сложили все свои деньги, но их тоже не хватило на покупку даже одной порции. Сколько стоила одна порция мороженого?

Рис. 13

1.4. Из трех монет одна фальшивая, она немного легче настоящей. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить, какая монета фальшивая?

1.5. Расстояние между двумя машинами, едущими по шоссе, равно 200 км. Скорости машин: 60 км/ч и 80 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час?

Задание 2

2.1. Разбейте фигуру (рис. 14) на три равные части.

2.2. Для покупки 8 воздушных шариков у Тани не хватило 20 руб. Если она купит 5 шаров, то у нее останется 100 руб. Сколько денег было у Тани? Сколько стоит один шарик?

2.3. В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь, отмерить 9 кг гвоздей?

2.4. Восстановите пример: 6*5*-*8*4 = 2 856.

Рис. 14

2.5. Сумма двух натуральных чисел 213. Одно из них меньше другого на 38. Найдите эти числа.

Задание 3

3.1. Как из целого прямоугольного листа бумаги сделать фигуру, изображенную на рис. 15?

3.2. Запишите все числа, на которые число 24 делится без остатка.

3.3. За чашку и блюдце уплачено 250 руб., а 4 чашки и 3 блюдца стоят 887 руб. Найдите цены чашки и блюдца.

3.4. Из 9 монет одна фальшивая, она легче остальных. Можно ли за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить какая именно?

3.5. Расставьте скобки всеми возможными способами; выберите наибольший и наименьший результаты: 100-20-3 + 2.

Рис. 15

Задание 4

4.1. Разрежьте треугольник на 2 треугольника, четырехугольник и пятиугольник, проведя 2 прямые линии.

4.2. Наблюдая за амебами, биолог выяснил, что каждая из них делится на две один раз в минуту, и, если в пустую пробирку положить одну амебу, ровно через час пробирка заполнится амебами. Через какое время заполнится пробирка, если в нее положить две амебы?

4.3. Если из одной стопки тетрадей переложить в другую 10 штук, то тетрадей в стопках будет поровну. На сколько больше тетрадей в первой стопке, чем во второй?

4.4. Для покупки альбома Маше не хватило 2 руб., Коле - 34, а Васе - 35. Тогда они сложили свои деньги, но их все равно не хватило. Сколько стоил альбом?

4.5. Расстояние между Атосом и Арамисом, едущими по дороге, равно 20 лье. За час Атос проезжает 4 лье, а Арамис - 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час?

Задание 5

5.1. Разделите фигуру (рис. 16) натри равные части.

5.2. Запишите все числа, на которые число 72 делится без остатка.

5.3. Из 3 монет одна фальшивая, но неизвестно, легче она остальных или тяжелее. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить, какая именно фальшивая и легче или тяжелее она остальных?

Рис. 16

5.4. Толщина книги в 60 страниц - 1 см. Какова толщина книги, если в ней 240 страниц?

5.5. Расставьте скобки различными способами и выберите наибольший и наименьший результаты: 60 + 40 : 4 - 2.

Задание 6

6.1. Разделите головку сыра (рис. 17) тремя разрезами на 8 равных частей.

6.2. Восстановите пример: ** + * = 197.

6.3. 4 карандаша и 3 тетради стоят 96 руб., а 2 карандаша и 2 тетради - 54 руб. Сколько стоят 8 карандашей и 7 тетрадей?

6.4. Три сосуда вместимостью 20 л наполнены водой, причем в первом - 11 л, во втором - 7, а в третьем - 6 л. Как разлить воду поровну по трем сосудам, если разрешается переливать в сосуд только такое количество воды, сколько в нем уже имеется?

6.5. Вася задумал число, прибавил к нему 1, сумму умножил на 2, произведение разделил на 3 и отнял от результата 4. Получил 6. Какое число задумал Вася?

Рис. 17

Задание 7

7.1. Разделите фигуру (рис. 18) на 4 одинаковые части.

7.2. Спускаясь по лестнице с пятого этажа, Алиса насчитала 100 ступенек. Сколько ступенек она насчитала бы, падая со второго этажа?

7.3. Есть 9 кг крупы и чашечные весы с гирями 50 и 200 г. Как в три приема взвесить 2 кг крупы?

7.4. В озере растет волшебная лилия. Ее размеры увеличиваются каждый день ровно в 2 раза. Если посадить одну такую лилию в пруд, то через 20 дней она заполнит его полностью. За сколько дней весь пруд закроется, если сразу посадить четыре такие же лилии?

Рис. 18

7.5. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Петя сосчитал количество голов, их оказалось 30. Потом он сосчитал, сколько всего ног, их оказалось 84. Можете ли вы узнать, сколько гусей и сколько поросят было на скотном дворе?

Задание 8

8.1. Миша говорит: «Позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13 лет». Может ли такое быть?

8.2. Используя цифру 4 четыре раза, скобки, знаки действий, представьте все числа от 0 до 10.

8.3. Брат нашел на 36 грибов больше, чем сестра. По дороге домой сестра стала просить брата: «Дай мне несколько грибов, чтобы у меня стало столько же грибов, сколько и у тебя». Сколько грибов должен дать брат сестре?

8.4. Найдите сумму: 1+2 + 3 + ... + 111.

8.5. Два летчика вылетели одновременно из одного города в разные пункты. Кто из них долетит до места своего назначения быстрее, если первому нужно пролететь вдвое большее расстояние, но зато он летит в 2 раза быстрее, чем второй?

Задание 9

9.1. Во сколько раз 1 км больше 1 мм?

9.2. Учитель задал на уроке трудную задачу. В результате количество мальчиков, решивших задачу, оказалось равно количеству девочек, ее не решивших. Кого в классе больше: решивших задачу или девочек?

9.3. Найдите сумму: 1 + 2 + 3 + ... + 181 -96-95 - ... - 1.

9.4. Крестьянин купил корову, козу, овцу и свинью, заплатив 1325 руб. Коза, свинья и овца вместе стоят 425 руб.; корова, свинья и овца - 1225 руб., а коза и свинья -275 руб. Вычислите цену каждого животного.

9.5. Ваня разложил на столе камешки по прямой на расстоянии 2 см друг от друга. Сколько камешков лежит на протяжении 10 см?

Задание 10

10.1. Сумма двух чисел равна 80, а их разность равна 8. Найдите эти числа.

10.2. На поляне паслись ослы. К ним подошли несколько ребят. «Сядем по одному на осла», - предложил старший из ребят. Двум мальчикам ослов не хватило. «Слезайте, сядем по двое на осла», -снова предложил старший. Один осел остался без седока. Сколько ослов и сколько мальчиков было на поляне?

10.3. На складе хранятся гвозди в ящиках по 24, 23, 17 и 16 кг. Можно ли отправить со склада 100 кг гвоздей, не распечатывая ящики?

10.4. Как, имея пятилитровую банку и девятилитровое ведро, набрать из реки ровно 3 л воды?

10.5. Два муравья отправились в гости к стрекозе. Один всю дорогу прополз, а второй половину пути ехал на гусенице, что было в 2 раза медленнее, чем ползти, а вторую половину скакал на кузнечике, что было в 10 раз быстрее. Какой муравей первым придет в гости, если они вышли одновременно?

Задание 11

11.1. Разделить фигуру (рис. 19) на 8 равных частей.

11.2. Известно, что 4 персика, 2 груши и 1 яблоко вместе весят 550 г, а 1 персик, 3 груши и 4 яблока весят вместе 450 г. Сколько весят 1 персик, 1 груша и 1 яблоко вместе?

11.3. На какую цифру оканчивается произведение всех нечетных чисел от 1 до 1997?

11.4. Расстояние между двумя велосипедистами, едущими по шоссе, равно 35 км, их скорости равны 12 км/ч и 15 км/ч. Какое расстояние может быть между ними через 2 часа?

11.5. В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что вместе у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?

Рис. 19

Задание 12

12.1. Как, используя цифру 5 пять раз, представить все натуральные числа от 0 до 10 включительно?

12.2. Костя разложил на столе 5 камешков на расстоянии 3 см один от другого. Каково расстояние от первого камешка до последнего?

12.3. 3 курицы снесли за 3 дня 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

12.4. В 3 ящиках находятся мука, крупа и сахар. На первом написано «Крупа», на втором - «Мука», на третьем - «Крупа» или «Сахар». Причем содержимое каждого ящика не соответствует надписи. В каком ящике что находится?

12.5. Поезд проходит мост длиной 450 м за 45 с, а мимо светофора за 15 с. Вычислите длину поезда и его скорость?

Задание 13

13.1. Разделите фигуру (рис. 20) на 6 равных частей.

13.2. Сумма двух последовательных натуральных чисел равна 75. Найдите их.

13.3. Найдите сумму: 1 + 3 + 5 + + ... +97 + 99.

13.4. Известно, что 6 карасей тяжелее 10 лещей, но легче 5 окуней; 10 карасей тяжелее 8 окуней. Что тяжелее: 2 карася или 3 леща?

13.5. В магазин привезли 141 л масла в бидонах по 10 и 13 л. Сколько было всего бидонов?

Рис. 20

Задание 14

14.1. Разделите на 5 равных частей фигуру (рис. 21).

14.2. Дочери 10 лет, а матери - 36. Через сколько лет мать будет вдвое старше дочери?

14.3. Ехали 2 всадника - один со скоростью 12 км/ч, другой - 15 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 2 часа после встречи?

Рис. 21

14.4. В пакете содержится 3 кг 600 г крупы. Как разделить крупу на 2 части по 800 г и вес 2 кг, сделав три взвешивания на чашечных весах, имея одну гирю 200 г?

14.5. Если учащихся посадить по одному на стул, семерым места не хватит. Если на каждый стул посадить двоих, свободными останутся 5 стульев. Сколько учащихся и сколько стульев?

Задание 15

15.1. В магазин привезли 223 л масла в бидонах по 10 и 17 л. Сколько было бидонов?

15.2. В одном ряду 8 камешков на расстоянии 2 см один от другого. В другом ряду 15 камешков на расстоянии 1 см один от другого. Какой ряд длиннее?

15.3. Как из восьмилитрового ведра с молоком отлить 1 л с помощью трехлитровой банки и пятилитрового бидона?

15.4. Сумма двух последовательных четных чисел равна 150. Найдите их.

15.5. Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, выехали одновременно навстречу друг другу 2 всадника, скорость одного -15 км/ч, другого - 10 км/ч. Вместе с первым бежала собака со скоростью 20 км/ч. Встретив второго всадника, она повернула назад и побежала к первому, добежав до него, она снова повернула и так бегала между ними до тех пор, пока всадники не встретились. Сколько километров пробежала собака?

Задание 16

16.1. Сумма трех последовательных чисел равна 348. Найдите эти числа.

16.2. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 26. Найдите уменьшаемое.

16.3. Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 м - за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость.

16.4. Из 81 монеты одна фальшивая: она тяжелее остальных. Найдите ее за 4 взвешивания на чашечных весах без гирь.

16.5. На прямой через равные промежутки поставили 10 точек; они заняли отрезок длиной а. На другой прямой через такие же промежутки поставили 100 точек, они заняли отрезок длиной Ъ. Во сколько раз а больше, чем Ы

Задание 17

17.1. Разделите фигуру (рис. 22) на 2 равные части.

17.2. Когда отцу было 27 лет, сыну - 3 года, а сейчас сыну в 3 раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет каждому из них?

17.3. Как набрать из озера 8 л воды с помощью девятилитрового и пятилитрового ведер?

17.4. Установите закономерность в последовательности и запишите еще три числа: 253, 238, 223, 208, 193, ....

17.5. Встретились три друга: Белов, Чернов и Рыжов. Один из них - блондин, другой - брюнет, а третий - рыжий. Брюнет сказал Белову: «Ни у одного из нас цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого?

Рис. 22

Задание 18

18.1. Разделите фигуру (рис. 23) на 4 равные части.

18.2. Сумма четырех последовательных четных чисел равна 196. Найдите эти числа.

18.3. Пять лет назад брату и сестре вместе было 8 лет. Сколько лет им будет вместе через 5 лет?

18.4. Если к половине моих денег прибавить 80 руб., сумма составит 3/4 всех моих денег. Сколько денег у меня в наличии?

18.5. В ящике лежат 100 черных и 100 белых шаров. Какое наименьшее число шаров надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка было 2 шара одного цвета?

Рис. 23

Задание 19

19.1. Вася построил сооружение из кубиков, поставленных один на другой. Из скольких кубиков оно могло состоять, если судить об этом по рис. 24.

19.2. Является ли число 12 345 х X 6 789 + 789 X 654 321 простым?

Рис. 24

19.3. Что быстрее: проехать весь путь на велосипеде или половину пути проехать на мотоцикле, а вторую половину пройти пешком, если скорость мотоцикла в 2 раза больше скорости велосипеда, а скорость велосипеда в свою очередь в 2 раза больше скорости пешехода?

19.4. На некотором острове коренными жителями являются только лжецы, которые всегда лгут, и рыцари, которые всегда говорят правду. Один человек говорит: «Я лжец». Может ли он быть коренным жителем острова?

19.5. Используя цифру 3 пять раз, знаки действий и скобки, представьте все числа от 0 до 11 включительно.

Задание 20

20.1. Разделите фигуру (рис. 25) на 4 равные части.

20.2. Сейчас 6 ч вечера. Какая часть суток прошла? Какая осталась? Какую часть составляет оставшаяся часть суток от прошедшей?

Рис. 25

20.3. Установите закономерность в последовательности и запишите еще три числа: 15, 29, 56, 109, 214, ....

20.4. В ящике лежат 100 белых, 100 красных, 100 синих и 100 черных шаров. Какое наименьшее число шаров надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них было не меньше чем 3 шара одного цвета?

20.5. Какую цифру надо поставить вместо А в число A3 7, чтобы оно делилось: а) на 6, б) на 9?

Задание 21

21.1. Разрежьте фигуру (рис. 26) на 4 равные части и сложите из этих частей квадрат с квадратным отверстием посередине.

21.2. Найдите наибольшее число, которое при делении на 31 в частном дает 30.

21.3. Пятилитровый бидон и трехлитровая банка наполнены молоком. Как отмерить 4 л с помощью пустого восьмилитрового ведра?

Рис. 26

21.4. Кирпич весит 2 кг и еще полкирпича. Сколько весит кирпич?

21.5. В бутылке, стакане, кувшине и банке налиты молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке - не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость?

Задание 22

22.1. Замените знак звездочки (*) в числе *43* цифрами, чтобы оно делилось на 45.

22.2. Расстояние между автобусами в полдень - 20 км, скорость одного 40 км/ч, другого - 60 км/ч. Какое расстояние будет между ними в 13.00?

22.3. Числа 100 и 90 разделили на одно и то же число. В первом случае получили в остатке 4, во втором - 18. На какое число делили?

22.4. В ящике лежат 100 черных и 100 белых шаров. Сколько шаров надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка было 2 шара белого цвета?

22.5. Какие фигуры (рис. 27) являются развертками куба?

Рис. 27

Задание 23

23.1. Разделите фигуру (рис. 28) на 2 равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

23.2. Найдите наименьшее трехзначное число, кратное 3, чтобы первая его цифра была 7.

Рис. 28

23.3. Произведение четырех простых последовательных чисел оканчивается нулем. Что это за числа? Найдите их произведение.

23.4. Когда трехзначное число 5АА разделили на однозначное число, в остатке получили 8. Найдите делимое, делитель и частное.

23.5. Который сейчас час, если до конца суток осталось 3/5 того, что уже прошло от начала суток?

Задание 24

24.1. Сколько выстрелов надо сделать, чтобы при игре в «морской бой» наверняка попасть в четырехклеточный корабль?

24.2. Когда у пастуха спросили, сколько у него овец, он ответил, что 60 овец пьют воду, а остальные 0,6 всех овец пасутся. Сколько же всего овец?

24.3. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если цифру десятков умножить на 2, а цифру единиц на 3 и сложить оба произведения, то в сумме получится 29. Найдите это число.

24.4. Перед нами два жителя некоторого острова, каждый из них либо рыцарь, либо лжец. (Рыцарь всегда говорит правду, лжец всегда лжет.) А высказывает утверждение: «Я лжец, а В не лжец». Кто из островитян А и В- рыцарь и кто - лжец?

24.5. Используя цифру 7 четыре раза, знаки действий и скобки, представьте все числа от 0 до 10.

Задание 25

25.1. Разделите фигуру (рис. 29) на 6 равных частей.

25.2. Напишите наибольшее пятизначное число, кратное 9, чтобы его первая цифра была 3.

25.3. На одной чаше весов лежит кусок мыла, а на другой 3/4 такого же куска и еще 3/4 кг. Сколько весит весь кусок?

25.4. Что быстрее: проехать весь путь на велосипеде или 2/3 пути - на мотоцикле, что в 2 раза быстрее, чем на велосипеде, а 1/3 пути - пешком, что в 2 раза медленнее?

Рис. 29

25.5. Плоскость окрашена в 2 цвета. Докажите, что найдутся 2 точки на расстоянии 1 м друг от друга, окрашенные одинаково.

Задание 26

26.1. Разрежьте фигуру (рис. 30) на 4 равные части так, чтобы в каждой из них оказалось 3 помеченные клетки.

26.2. Кошка весит 0,5 кг и еще 0,8 своего веса. Сколько весит кошка?

26.3. Мальчик заменил каждую букву своего имени порядковым номером этой буквы в русском алфавите. Получилось число 510 141. Как звали мальчика?

26.4. В 3 коробках лежат шары: в одной - 2 белых, во второй -2 черных, в третьей - 1 белый и 1 черный. На коробках написано: ББ, ЧЧ и БЧ, но содержимое каждой коробки не соответствует надписи. Как, вытащив только 1 шар, определить, в какой коробке что лежит?

26.5. Если из некоторого трехзначного числа вычесть 7, полученная разность будет делиться на 7. Если вычесть 8, разность будет делиться на 8. Если вычесть 9, разность будет делиться на 9. Найдите наименьшее такое число.

Задание 27

Рис. 30

27.1. Разделите фигуру (рис. 31) на 2 равные части так, чтобы из них можно было составить квадрат.

27.2. Разложите 80 тетрадей на 2 стопки так, чтобы количество тетрадей в одной из них составляло 60 % тетрадей в другой.

Рис. 31

27.3. В сенате заседают 100 сенаторов. Каждый из них либо продажен, либо честен. Известно, что: 1) по крайней мере один из сенаторов честен; 2) из каждой произвольно выбранной пары сенаторов по крайней мере один продажен. Сколько в сенате честных сенаторов?

27.4. Из городов, расстояние между которыми 320 км, одновременно навстречу друг другу вышли 2 поезда, причем скорость первого 45 км/ч, второго - 35 км/ч. Одновременно с первым поездом из города вылетела ласточка со скоростью 50 км/ч и полетела навстречу второму поезду. Встретив его, повернула назад и полетела навстречу первому и т.д. Какое расстояние пролетела ласточка до момента встречи поездов?

27.5. Делится ли число 101998 + 8 на 9? Ответ объясните.

Задание 28

28.1. Расшифруйте пример, если одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами: один + один = много.

28.2. К числу 13 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 36.

28.3. Поезд длиной 18 м проезжает мимо столба за 9 с. За какое время он проедет мост длиной 36 м?

28.4. На вопрос, сколько у него учеников, Пифагор ответил: «Половина моих учеников изучает математику, четверть - изучает природу, восьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют три девы». Сколько учеников было у Пифагора?

28.5. Барон Мюнхгаузен утверждал, что ему удалось найти такое натуральное число, произведение всех цифр которого равно 6552. Докажите, что барон ошибся.

Задание 29

29.1. Известно, что произведение двух взаимно простых чисел равно 864. Найдите эти числа.

29.2. Товар стоил 1000 руб. Продавец поднял цену на 10 %, а через месяц снизил на 10 %. Сколько стал стоить товар после этого снижения?

29.3. Три подруги вышли в белом, зеленом и синем платьях и туфлях тех же цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Какого цвета платья и туфли каждой из подруг?

29.4. Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат - 40 мин. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?

29.5. Проставьте, где требуется, знаки действий и скобки, чтобы все равенства стали верными:

5555 = 26 5555 = 50 5555 = 120 5555 = 625 5555 = 30 5555 = 55 5555 = 130 5555 = ?

Какие еще числа вы могли бы получить таким способом?

Задание 30

30.1. Разрежьте прямоугольник (рис. 32) на фигуры данного вида.

30.2. Сумма квадратов двух простых чисел оканчивается на 3. Найдите все такие простые числа.

Рис. 32

30.3. Вода при замерзании увеличивается на 1/10 своего объема. На какую часть объема уменьшается лед при превращении в воду?

30.4. Из чисел 21, 19, 30, 25, 3, 12, 9, 15, 6, 27 выбрать такие три числа, сумма которых будет равна 50.

30.5. При делении на 2 некоторое число дает в остатке 1, а при делении на 3 - остаток 2. Какой остаток дает это число при делении на 6?

Домашняя олимпиада. 6 класс

Задание 1

1.1. Найдите сумму: 1 + 2 + ... + 870 + 871.

1.2. Если Аня идет в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то на дорогу она затрачивает полтора часа. Если же она едет в оба конца на автобусе, весь путь занимает у нее полчаса. Сколько времени тратит Аня на дорогу, если и в школу, и из школы она идет пешком?

1.3. Картофель подешевел на 20 %. На сколько процентов больше можно купить картофеля за ту же сумму?

1.4. В шестилитровом ведре содержится 4 л кваса, а в семилитровом - 6 л. Разделите квас пополам, пользуясь этими ведрами и пустой трехлитровой банкой.

1.5. Можно ли ходом шахматного коня попасть из левого нижнего угла доски в правый верхний, побывав на каждом поле ровно один раз?

Задание 2

2.1. Разделите фигуру (рис. 33) на 9 равных частей.

2.2. На какое однозначное число надо умножить 12 345 679, чтобы получилось число, записанное одними единицами?

2.3. Пассажир, проехав половину пути, лег спать и спал, пока не осталось ехать половину того пути, что он проехал спящим. Какую часть пути он ехал спящим?

Рис. 33

2.4. Вася написал на доске пример на умножение двузначных чисел. Затем он стер все цифры и заменил их буквами. Получилось: ab-cd = mnpkt. Докажите, что он ошибся.

2.5. На весах кувшин уравновешивает графин и стакан, два кувшина уравновешивают три чашки, а стакан и чашка уравновешивают графин. Сколько стаканов уравновешивают графин?

Задание 3

3.1. Какое слово зашифровано в числе 222 122 111 121, если каждая буква заменена ее номером в алфавите?

3.2. Является ли число 19961994 + 19941994 простым?

3.3. Школьник прочитал книгу за 3 дня. В первый день он прочитал 0,2 всей книги и еще 16 страниц, во второй день - 0,3 остатка и еще 20 страниц, а в третий - 0,75 нового остатка и последние 30 страниц. Сколько страниц в книге?

3.4. Три бегуна А,БиС соревновались в беге на 100 м. Когда А добежал до финиша, Б отставал от него на 10 м. Когда Б достиг финиша, С отставал от него на 10 м. На сколько метров отставал С от А, когда А финишировал?

3.5. Окрашенный куб с ребром 10 см распилили на кубики с ребром 1 см. Сколько среди них окажется кубиков с одной окрашенной гранью? А с двумя?

Задание 4

4.1. Машина идет со скоростью 60 км/ч. На сколько надо увеличить скорость, чтобы выигрывать на каждом километре по 1 мин?

4.2. В шахматном турнире участвовали 7 человек. Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько партий они сыграли?

4.3. В классе число отсутствующих учеников составляет 1/6 часть от числа присутствующих. После того как из класса вышел один ученик, число отсутствующих стало равно 1/5 числа присутствующих. Сколько учеников в классе?

4.4. Можно ли разрезать шахматную доску на прямоугольники размером 3x1?

4.5. К доске для игры «крестики-нолики» добавлена одна клетка (рис. 34). Как нужно играть первому игроку, чтобы обеспечить себе выигрыш?

Рис. 34

Задание 5

5.1. Делится ли число 12 345 678 987 654 321 на 9?

5.2. За книгу заплатили 1 руб. и осталось заплатить столько, сколько осталось бы заплатить, если бы за нее заплатили столько, сколько осталось заплатить. Сколько стоит книга?

5.3. Племянник спросил дядю, сколько тому лет. Дядя ответил: «Если к половине моих лет прибавить 7, узнаешь мой возраст 13 лет назад». Сколько лет дяде?

5.4. Если между цифрами некоторого двузначного числа вписать 0, то полученное трехзначное число будет в 9 раз больше первоначального. Найдите двузначное число.

5.5. Имеется 6 палочек длиной по 1 см, 3 палочки - по 2 см, 6 палочек - по 3 см, 5 палочек - по 4 см. Можно ли из этого набора составить квадрат, используя все палочки, не ломая их и не накладывая одну на другую?

Задание 6

6.1. Можно ли прямоугольник размером 4x8 разрезать на 9 квадратов?

6.2. Множимое увеличили на 10 %, а множитель уменьшили на 10 %. Как изменилось произведение?

6.3. Туристы шли по маршруту, проходящему на 2/3 по полю и на 1/3 по болоту. Они затратили на движение по полю вдвое меньше времени, чем на движение по болоту. Во сколько раз скорость движения по болоту меньше скорости движения по полю?

6.4. На весах арбуз уравновешивает дыню и свеклу. Дыня уравновешивает кочан капусты и свеклу. Два арбуза весят столько же, сколько три кочана. Во сколько раз дыня тяжелее свеклы?

6.5. В саду растут яблони и вишни. Если взять 1/2 всех вишен и 1/4 всех яблонь, то тех и других будет поровну, а всего в саду 360 деревьев. Сколько яблонь и вишен в саду?

Задание 7

7.1. Цену товара уменьшили на 10 %, а потом еще на 10 %. Стал бы товар дешевле, если его цену сразу снизили на 20 %?

7.2. Из 23 монет одна фальшивая: она легче остальных. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить, какая именно?

7.3. Гребец, плывя по реке, потерял под мостом шляпу. Через 15 мин он заметил пропажу, вернулся и поймал шляпу в 1 км от моста. Какова скорость течения реки?

7.4. Можно ли выложить в цепь все 28 костей домино по правилам игры так, чтобы на одном конце оказалась «шестерка», а на другом - «пятерка»?

7.5. Можно ли попарно соединить 19 телефонов так, чтобы каждый был соединен с 13 другими?

Задание 8

8.1. В соревнованиях по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвуют 47 боксеров. Сколько надо провести матчей, чтобы определить победителя?

8.2. Главный инженер завода обычно приезжает поездом в 8 часов утра. К 8 часам к вокзалу подъезжает автомобиль и отвозит его

на завод. Однажды инженер приехал на вокзал в 7 часов и пошел навстречу машине, сел в машину и приехал на завод на 20 мин раньше обычного. В какое время инженер встретил машину?

8.3. Коля, Боря, Вова и Юра заняли 4 первых места в соревновании, причем никакие два мальчика не делили между собой какие-нибудь места. На вопрос, кто какое место занял, Коля ответил: «Ни первое, ни четвертое». Боря сказал: «Второе», а Вова заметил, что он был не последним. Какое место занял каждый из них, если все они сказали правду?

8.4. Какой цифрой оканчивается сумма 135^ + 31^ + 5 6*у9 если х и у -натуральные числа?

8.5. Разрежьте прямоугольник 9 х 4 на 2 равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Задание 9

9.1. Заготовители собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99 %. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98 %. Каким стал вес грибов после подсушивания?

9.2.Можно ли числа 1, 2, 3, 11, 12 расставить в таблицу из 3 строк и 4 столбцов так, чтобы сумма чисел в каждом из столбцов была одинаковой?

9.3. В одном месяце три среды пришлись на четные числа. Какого числа в этом месяце будет второе воскресенье?

9.4. Из пятерых мальчиков одному был 1 год, другому - 2 года, остальным - 3, 4 и 5 лет. Володя - самый маленький, Диме столько лет, сколько Андрею и Гене вместе. Сколько лет Боре? Возраст кого еще из них можно определить?

9.5. У шахматной доски отпилены два поля: левое нижнее и правое верхнее. Можно ли покрыть такую шахматную доску плитками размером 2x1?

Задание 10

10.1. Можно ли числа 1,2,3,..., 11,12 расставить в таблицу из 3 строк и 4 столбцов так, чтобы сумма чисел в каждой строке была одна и та же?

10.2. В двух мешках находится 140 кг муки. Если из первого мешка переложить во второй 1/8 часть муки, то в мешках будет поровну. Сколько муки в каждом мешке?

10.3. На какую цифру оканчивается число 2100?

10.4. Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились в 70 км от пункта А. Продолжив движение с теми же скоростями, они достигли конечных пунктов и, отдохнув равное время, вернулись назад. Вторая встреча произошла в 90 км от пункта В. Найдите расстояние от А до В.

10.5. На часах 9 ч 15 мин. Чему равен угол между минутной и часовой стрелками?

Задание 11

11.1. Продолжите ряд чисел 10, 8, 11, 9, 12, 10 до получения восьмого числа. По какому правилу составлен ряд?

11.2. Из дома Юра вышел на 5 мин позже Лены, но шел в два раза быстрее, чем она. Через сколько минут Юра догонит Лену?

11.3. На какую цифру оканчивается число 3100?

11.4. Ученики двух шестых классов купили 737 учебников, причем каждый купил одинаковое количество учебников. Сколько было шестиклассников и сколько каждый из них купил учебников?

11.5. Найдите площадь изображенного треугольника, (рис. 35) (площадь клетки 1 см2).

Задание 12

12.1. Влажность свежескошенной травы - 60 %, а сена - 15 %. Сколько сена получится из одной тонны свежескошенной травы?

12.2. Пять учеников купили 100 тетрадей. Коля и Вася купили 52 тетради, Вася и Юра - 43, Юра и Саша - 34, Саша и Сережа - 30. Сколько тетрадей купил каждый из них?

12.3. Сколько шахматистов играли в круговом турнире, если всего в этом соревновании было сыграно 190 партий?

12.4. Мне сейчас вдвое больше лет, чем вам было тогда, когда мне было столько лет, сколько вам сейчас. Нам сейчас вместе 35 лет. Сколько лет каждому из нас?

12.5. Известно, что длины сторон треугольника - целые числа, причем одна сторона равна 5, а другая - 1. Чему равна длина третьей стороны?

Задание 13

13.1. Делится ли число 111... 111 (999 единиц) на 37?

13.2. От Нижнего Новгорода до Астрахани теплоход идет 5 суток, а обратно - 7 суток. Сколько времени будут плыть плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?

13.3. Три пятницы некоторого месяца пришлись на четные даты. Какой день недели был 18 числа этого месяца?

Рис. 35

13.4. Алеша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один ездит домой из школы на автобусе, другой - на трамвае, третий - на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадь!» Кто на чем ездит домой?

13.5. Разделите прямоугольник размером 18x8 так, чтобы из частей можно было сложить квадрат.

Задание 14

14.1. Когда велосипедист проехал 2/3 пути, лопнула шина. На остальной путь пешком он затратил в два раза больше времени, чем на езду на велосипеде. Во сколько раз велосипедист ехал быстрее, чем шел?

14.2. Имеются двухчашечные весы и гири массой 1, 3, 9,27 и 81 г. На одну чашу весов кладут груз, гири разрешается класть на обе чаши. Можно ли уравновесить весы, если масса груза равна: а) 13 г, б) 19 г, в) 23 г, г) 31 г?

14.3. Среди музыкантов каждый седьмой - шахматист, а среди шахматистов каждый девятый - музыкант. Кого больше: музыкантов или шахматистов? Почему?

14.4. Вася написал на доске пример на умножение, заменив при этом одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные цифры - разными буквами: cd - ab - effe . Не ошибся ли он?

14.5. Дано 2001 число. Известно, что сумма любых четырех из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Задание 15

15.1. Длину прямоугольного участка увеличили на 35 %, а ширину уменьшили на 14 %. На сколько процентов изменилась площадь участка?

15.2. У числа 109 вычислили сумму цифр. Затем у полученного числа тоже вычислили сумму цифр. И так далее до тех пор, пока не получилось однозначное число. Что это за число?

15.3. Юра взял книгу на 3 дня. За первый день он прочитал полкниги, за второй - 1/3 оставшихся страниц, за третий - количество страниц, равное половине количества страниц, прочитанных за первые два дня. Успел ли Юра прочитать книгу?

15.4. Известно, что 6 шурупов весят больше, чем 7 гвоздей. Что тяжелее: 7 шурупов или 8 гвоздей?

15.5. Детали вкладывались в коробку сверху (рис. 36), причем каждая двигалась строго по вертикали: сверху вниз. В какой последовательности укладывались детали?

Рис. 36

Задание 16

16.1. Если человек, стоящий перед вами, выше человека, стоящего за тем человеком, который стоял перед вами, был ли человек, стоящий перед вами, выше вас?

16.2. В классе учатся менее 50 школьников. За контрольную работу 1/7 учеников получили оценку «5», 1/3 - «4», а половина- «3». Остальные получили «двойки». Сколько школьников получили «двойки»?

16.3. На балу каждый кавалер танцевал с 3 дамами, а каждая дама - с 3 кавалерами. Кого больше: дам или кавалеров?

16.4. В школе 33 класса, 1 150 учеников. Найдется ли в этой школе класс, в котором не менее 35 учеников?

16.5. Какую наибольшую площадь может ограничивать прямоугольник, сложенный из 26 спичек длиной 1 см каждая?

Задание 17

17.1. Переложите пирамиду из 10 кубиков так, чтобы ее форма осталась прежней, но каждый кубик соприкасался только с новыми кубиками (рис. 37).

17.2. Задумано трехзначное число, у которого с любым из чисел 543, 142 и 562 совпадает один из разрядов, а два других нет. Какое число задумано?

17.3. В одном районе города более 94 % домов имеют больше 5 этажей. Каково наименьшее число домов, возможное в данном районе?

17.4. В темной комнате 10 арбузов и 8 дынь (дыни и арбузы не различимы на ощупь). Сколько нужно взять фруктов, чтобы среди них было не менее 2 арбузов?

17.5. Найдите все треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами и не превышают 2 см.

Задание 18

18.1. Найдите два простых числа, сумма и разность которых тоже является простым числом.

18.2. Самолет летел из пункта ^ в пункт В сначала со скоростью 180 км/ч. Но когда ему осталось лететь на 320 км меньше, чем он пролетел, он увеличил скорость до 250 км/ч. Оказалось, что средняя скорость самолета на всем пути - 200 км/ч. Определить расстояние от А до 5.

18.3. Число ***9 равно кубу целого числа. Какого?

18.4. Милиционер обернулся на звук бьющегося стекла и увидел подростков, убегающих от разбитой витрины. В отделении милиции Андрей заявил, что стекло разбил Виктор, Виктор же утверждал, что

Рис. 37

виноват Сергей. Сергей заверял, что Виктор лжет, а Юрий твердил, что это сделал не он. Из дальнейшего разговора выяснилось, что лишь один из четверых сказал правду. Кто разбил стекло?

18.5. На доске выписаны все натуральные числа от 1 до 99. Каких цифр на доске больше: четных или нечетных?

Задание 19

19.1. Два крестьянина вышли из деревни в город. Когда прошли 1/3 пути, сели отдохнуть. «Сколько нам осталось идти?» - спросил один. «На 12 км больше, чем прошли», - был ответ. Каково расстояние между городом и деревней?

19.2. Верно ли утверждение: «Если к отрицательному числу прибавить квадрат этого же числа, то получится положительное число»?

19.3. Докажите, что число 7777 + 1 не делится на 5.

19.4. В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на 3?

19.5. Периметр участка прямоугольной формы - 160 м. Как изменится его площадь, если длину каждой стороны увеличить на 10 м?

Задание 20

20.1. Найдите сумму: 1 + 3 + 5 + ... + 97 + 101.

20.2. Когда Ваню спросили, сколько ему лет, он сказал: «Я втрое моложе папы, но зато втрое старше Сережи». Тут подбежал маленький Сережа и сообщил, что папа старше его на 40 лет. Сколько лет Ване?

20.3. На 3 склада был доставлен груз. На первый и второй было доставлено 400 т, на второй и третий вместе - 300 т, а на первый и третий - 440 т. Сколько тонн груза было доставлено на каждый склад в отдельности?

20.4. От потолка комнаты вниз по стене ползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и той же скоростью, а вторая поднималась вдвое медленней первой, но зато спускалась вдвое быстрее. Какая из мух раньше приползет обратно?

20.5. На склад привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежат яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?

Задание 21

21.1. Что больше: 2 379 • 23 782 378 или 2 378 • 23 792 379?

21.2. Вчера число учеников, присутствовавших в классе, было в 8 раз больше, чем отсутствующих. Сегодня не пришли еще 2 ученика, и оказалось, что отсутствуют 20 % от числа присутствующих. Сколько учеников в классе?

21.3. Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части длиной 15 и 12 см, но так, чтобы обрезков не было. Как это сделать? Сколько решений имеет задача?

21.4. Верно ли, что число 1 234 537 896 543 является квадратом некоторого натурального числа?

21.5. На доске расставлены шашки, как показано на рис. 38. Требуется поменять белые и черные шашки местами, делая ходы по следующим правилам: любую шашку можно ставить на соседнее незанятое поле. Если это поле занято шашкой другого цвета, то можно перепрыгивать через шашку, если следующее за ней поле свободно.

Рис. 38

Задание 22

22.1. Что больше: 3200 или 2300?

22.2. Автомобиль из пунктов А в В ехал со средней скоростью 50 км/ч, а возвращался со скоростью 30 км/ч. Какова его средняя скорость?

22.3. В коробке лежат 7 красных и 5 синих карандашей. В темноте из коробки берут карандаши. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не менее 2 красных и 3 синих?

22.4. Даны 1993 числа, каждое из которых равно 1 или -1. Можно ли разбить их на две группы так, чтобы суммы чисел в группах были равны?

22.5. Сколько диагоналей у 34-угольника?

Задание 23

23.1. Сократите дробь: - — т .

23.2. Сначала отпили 1/6 чашки черного кофе и долили ее молоком. Потом выпили 1/3 чашки и опять долили молоком. Затем выпили еще 1/2 чашки и снова долили молоком. Наконец выпили полную чашку. Чего выпили больше: кофе или молока?

23.3. Можно ли любую сумму из целого числа рублей больше 7 уплатить без сдачи купюрами 3 и 5 рублей.

23.4. Из числа 12 345 678 910 111 213 ... 5 960 вычеркнуть сто цифр так, чтобы полученное число было наибольшим.

23.5. На участке квадратной формы устроена цветочная клумба в форме квадрата. Чему равна площадь клумбы, если ее сторона вдвое меньше стороны участка, а площадь участка равна 100 м2.

Задание 24

24.1. К двузначному числу слева приписали 3, и оно увеличилось в 9 раз. Что это было за число?

24.2. В одном сосуде 2а л воды, другой пустой. Из первого сосуда переливают 1/2 воды во второй, затем из второго переливают 1/3 воды в первый, затем из первого переливают 1/4 во второй и так далее. Сколько литров воды будет в первом сосуде после 1997-го переливания?

24.3. Может ли дробь, в которой числитель больше знаменателя, быть равной дроби, в которой знаменатель больше числителя?

24.4. Десять команд участвуют в турнире по футболу. Докажите, что при любом расписании игр всегда есть две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.

24.5. На склад привезли бревна двух видов: длиной 6 и 7 м. Их нужно распилить на метровые чурбаки. Какие бревна выгоднее пилить?

Задание 25

25.1. На какое число нужно умножить 12 345 679, чтобы получить число, которое записывается с помощью одних пятерок?

25.2. Из пункта А в пункт В ползут два жука и возвращаются обратно. Первый жук прополз в обе стороны с одинаковой скоростью. Второй полз в пункт В в 1,5 раза быстрее, чем первый, а обратно - в 1,5 раза медленней. Какой жук вернулся в пункта раньше?

25.3. Числа 100 и 90 разделили на одно и то же число. В первом случае получили в остатке 4, во втором - 18. На какое число делили?

25.4. Вася сказал, что он знает решение в натуральных числах уравнения ху2 + х2у = 1999. Не ошибся ли Вася?

25.5. Площадь квадрата -16 м2. Чему будет равна его площадь, если сторону квадрата увеличить: а) в 2 раза? б) в 3 раза? в) на 2 дм?

Задание 26

26.1. Сумма нескольких чисел равна 1. Может ли сумма их квадратов быть меньше 0,01?

26.2. Имеется 10 мешков монет. В 9 мешках монеты настоящие (по 10 г), а в одном - фальшивые (по 11 г). Одним взвешиванием на электронных весах определите, в каком мешке фальшивые монеты.

26.3. Докажите, что сумма любых четырех последовательных натуральных чисел не делится на 4.

26.4. Самолет летит из города А в пункт В, а затем обратно. Его собственная скорость постоянна. Когда самолет пролетит весь путь быстрее: при отсутствии ветра или при ветре, постоянно дующем в направлении от А к В?

26.5. Докажите, что нельзя провести прямую так, чтобы она пересекла все стороны 1997-угольника (не проходя при этом через его вершины).

Задание 27

27.1. Бригада косцов в первый день скосила половину луга и еще 2 га, во второй день - 25 % остатка и последние 6 га. Найдите площадь луга.

27.2. Нарисуйте многоугольник и точку внутри него, чтобы ни одна из сторон многоугольника не была видна из этой точки полностью (на рис. 39 из точки О не полностью видна сторона AB).

27.3. Простое ли число 1 234 567 891 011?

27.4. Имеется 11 мешков монет. В 10 мешках монеты настоящие (по 10 г), а в одном -фальшивые (по 11 г). Найдите мешок с фальшивыми монетами.

27.5. Гриша с папой пошел в тир. Уговор был такой: Гриша стреляет 5 раз и за каждое попадание в цель получает право сделать еще 2 выстрела. Всего Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз он попал в цель?

Задание 28

28.1. В темном шкафу лежат салфетки: 10 красных, 8 синих и 4 желтых. Какое наименьшее число салфеток надо взять, чтобы среди них заведомо было не менее: а) 4 салфеток одного цвета? б) 6 одного цвета? в) одной салфетки каждого цвета? г) 6 синих салфеток?

28.2. Лист бумаги разрезали на 4 части, потом некоторые из них тоже разрезали на 4 части и так далее. Могло ли в результате получиться ровно 50 кусочков бумаги?

28.3. Первую половину пути всадник скакал со скоростью 20 км/ч, вторую - 12 км/ч. Найдите среднюю скорость всадника.

Рис. 39

28.4. Имеется 4 арбуза разной массы. Как, пользуясь чашечными весами без гирь, за 5 взвешиваний расположить их по возрастанию массы?

28.5. Из числа 12 345 678 910 111 213...5 960 вычеркните сто цифр так, чтобы полученное число было наименьшим.

Задание 29

29.1. В одной банке белая краска, в другой - красная. Капнем одну каплю красной краски в белую, а затем из полученной смеси вернем одну каплю в красную краску. Чего больше: белой краски в красной или красной краски в белой?

29.2. Докажите, что, если сумма двух натуральных чисел меньше 13, произведение их не больше 36.

29.3. Сократите дробь:

29.4. Купили несколько одинаковых книг и одинаковых альбомов. За книги заплатили 10 руб. 56 коп. Сколько купили книг, если цена одной книги более чем на рубль превосходит цену альбома, а книг купили на 6 больше, чем альбомов.

29.5. Нарисуйте многоугольник и точку вне его так, чтобы ни одна сторона многоугольника полностью не была видна из этой точки.

Задание 30

30.1. Можно ли число 203 представить в виде суммы нескольких чисел, произведение которых также равно 203?

30.2. Сто городов соединены авиалиниями. Докажите, что есть два города, через которые проходит одинаковое число авиалиний.

30.3. Из четырех внешне одинаковых деталей одна отличается по массе от трех остальных, однако неизвестно, больше ее масса или меньше. Как выявить эту деталь двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь?

30.4. На какую цифру оканчивается число I3 + 23 + ... 9993?

30.5. Проведите 3 прямые так, чтобы тетрадный лист разделился на наибольшее число частей. Сколько получится частей? Проведите 4 прямые с тем же условием. Сколько теперь получилось частей?

Ответы и решения

Школьная олимпиада. 5 класс

1.3 728 954 106.

2. Победа 3-0; поражение 0-1; ничья 0-0.

3. См. рис.: I—I—I—I

4. Каждая четвертая цифра в последовательности - 4, а за ней стоит 1.

5. 45=>90=> 180=>360=>720=> 1440=* 144=> 14.

6. Это невозможно. Числовое выражение 2002 ±1±2±3±4±5± ± 6 ± 7 ± 8 принимает четные значения при любом сочетании плюсов и минусов.

7. См. рис.: |А| I I I

8.3 листа. При разрезании одного листа бумаги получается 3 новых, а всего новых листов 6.

9. 8 карандашей дороже. Из условия следует, что карандаш дороже тетради.

10.351 авиалиния. Каждый город соединен авиалинией с остальными, итого: 27-26. Но при таком способе подсчета мы каждую авиалинию считаем дважды.

11. 122 211.

12. Да. См. рис.:

13. 5 карандашей. Если взять 4 карандаша, то может оказаться, что все они красные.

14. В 5 раз. Высота одной лестницы - 5 этажей, второй - 1.

15.1999. У всех чисел, меньших этого числа, сумма цифр не превышает 27, а у 999 она составляет 27.

16.7 + (1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4). Вес одной доли алмазов равен 7 г.

17. 62. Числа-кандидаты: 93, 62 и 31.

18. Да. Так как число 2 505 600 не кратно 28.

19. Коля - 3 пирожка, Женя - 5 пирожков, а Вася - 6 пирожков.

20. См. рис.:

21. 20 человек. За 4 дня 10 человек могут выполнить половину всей работы, следовательно, вновь принятым работникам за оставшиеся два дня нужно сделать вторую половину работы.

22. п. Если число не изменится после первой операции, то оно не изменится и после ста операций. Число не изменится после первой операции, если 2х - п = jc.

23. 54 и 42 см3. Условию задачи удовлетворяют параллелепипеды с размерами Зх1х6иЗх2хЗ.

24. 2 кг X j куска мыла весит у кг.

25. X - любое число. Заметим, что все соседние х после раскрытия скобок получат разные знаки и, следовательно, сумма подобных слагаемых, содержащих jc, равна 0, а перед числом 1 будет стоять 10 минусов. Иначе говоря, после раскрытия скобок получим равенство 1 = 1.

26. 45. Заметим, что искомое кратно 5 и оканчивается на 5.

27. 64 прабабушки и прадедушки.

28. X = 20. Найдем сначала неизвестное слагаемое - 20, затем неизвестный делитель - 9.

29. Пусть девочек х, тогда мальчиков х + 387, а всего школьников 2х + 387, что не может быть равно 3 688.

30. 1) За 5 взвешиваний можно узнать суммарный вес первого и второго яблока, третьего и четвертого, пятого и шестого, седьмого и восьмого, девятого и десятого, а, значит, суммарный вес первых десяти яблок. Найдя суммарные веса одиннадцатого и двенадцатого яблок, одиннадцатого и тринадцатого, двенадцатого и тринадцатого яблок, мы можем, сложив результаты трех последних взвешиваний, получить удвоенный суммарный вес последних трех яблок, а, значит, сможем вычислить и общий вес всех яблок.

31. 3. Первое слагаемое оканчивается на 3, а второе на 0.

32. 5 кошек. Если 5 кошек поймали 5 мышек за 5 мин, то за 10 мин они поймают мышек в два раза больше.

33. 429. Сумма всех десяти чисел равна 345 • 6 + 555 • 4 = 4290.

34. Стоимость талона соответствует 1/9 стоимости коробки шоколада. В «призовой» коробке тоже находится талон, т.е. покупатель получает приз за 9 талонов.

35. Например: -3; 5; -3; 5; -3.

36. 52 или 53, т.е. за 364 дня (52-7) будет 52 воскресенья.

37. 32 года. Общий возраст 11 игроков 242 года, а 10 игроков—210 лет.

38. Первый на велосипеде проезжает половину пути и остаток идет пешком.

39. См. рис.:

40. Да. Среди этих чисел имеется одно положительное, а остальные числа можно разбить на четверки, в каждой из которых сумма положительна.

Школьная олимпиада. 6 класс

41. Нужно зачеркнуть пятнадцать чисел 1,1 и семь чисел 1,11. Если 19,93 = 1,1 \п + 1,Im, то п оканчивается на 3. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что п = 3 не удовлетворяет условию задачи.

42. Из 36. См. рис.:

43. (2:3):(4:5:6) = 5.

44. На 80 %. Заметим, что В = 0,2Л.

45. На 1000. Сумма вычитаемого и разности равна уменьшаемому, а значит, 2000 - это удвоенное уменьшаемое.

46. 100 распилов. Чтобы распилить одно бревно, нужно 5 распилов.

47. Нет. Если бы среднее арифметическое 35 целых чисел равнялось бы 6,35, то их сумма была бы равна 6,35-35, что невозможно.

48. За 2 мин. Карлсон ест варенье, как ели бы два Малыша.

49. 360 г. В 120 г 75%-ного раствора сахара содержится 90 г сахара (3/4). В новом растворе то же количество сахара составляет уже 1/4.

50. Нет. Площадь плитки кратна 4, а площадь стенки нет.

51. 8 орехов. Пусть х9у> z - количество орехов в первом, втором и третьем ящиках соответственно. Составим два уравнения: х + 6 = = y + z,y + 10 = х + z. Сложив их, получим: 2z= 16.

52. Да. Докажем, что это будет так в том и только в том случае, когда числа равны. Требования задачи равносильно условию: 0,01а + + 0,056 = 0,03(я + Ь), откуда после преобразований получим, что b = а.

53. Да. В левой части уравнения стоит четное число, в правой - нечетное.

54. На 60 км/ч. Прежняя скорость - 1 км/мин.

55. См. рис. Из большого круга вырежем два маленьких одинаковых кружка и поменяем их местами.

56. 2. Заметам что 2 + j + f+ ^ = 2(l + I + l +X), а 4-1 + ^__1_ = = 4(1-^ + ^- ^), следовательно, после сокращения каждой из дробей получим 0,5 • 4 = 2.

57. 384 кубика. Сделайте рисунок.

58. 9 и 1. Найдем точки на координатной оси такие, что расстояние от нее до числа 5 равно 4.

59. 8. Решим уравнение: ^х + \5 = 4х-\5.

60. Нет. Если в 10 карманах различное количество монет, то монет не меньше, чем 1 + 2 + ... + 9 = 45.

61. Верно. Пусть А = IOOjc, а В = ЮОу, тогда из условия задачи следует, что 2х > Зу, а значит, 5х > Зу • 2,5 > 1у.

62. Решение проведем в несколько этапов (см. рис.): 1. Восстановим число в ячейке cl (рис. а). Заметим, что сумма чисел в ячейках cl, 62, аЪ равна сумме цифр в ячейках сЗ, ЬЪ и аЗ, откуда: 9 + 24=15+хих=18. 2. Далее восстановим число в al (рис. б). Рассуждая аналогично, получим, что 9 + 15 = 18 + у иу = 6. Таким образом, сумма чисел на диагонали - 45, откуда и получим: рис. в.

63. Делится. Данную сумму запишем в виде (1 + 1998) + ... + + (999+ 1000)+ 1999.

64. 3 руб. 50 коп. 17 руб. с копейками делится нацело на 50.

65. Да: 1,51,2, 52, ...,50, 100.

66. Две первые овцы справятся быстрее. Сравним ежедневные рационы. Проверим, что больше: 1+1 или y + j+"|+"£+"y + "£- Заметим, что 1=1+1, а 1+1+!+1<1.4 = 1.

67. Антон, Виктор, Борис. Последовательность бегунов сохраняется, если (и только если) они меняются местами четное число раз.

68. 109... 109 (набор 109 повторяется 109 раз).

69. Нет. Так, четность чисел а + Ь и 17а + \ЪЪ должна быть одинакова.

70. С красной вершиной больше. Каждому белому многоугольнику соответствует многоугольник с добавленной красной точкой. Но треугольнику с красной точкой ни один белый многоугольник не соответствует.

Командная олимпиада. 5 класс

71.-75. См. рис.:

76. См. рис.

1) Заметим, что слева находятся две кости 0-0 и 4-4 в горизонтальном положении (в наборе не может быть двух костей 4-0);

2) следовательно, в крайнем правом положении находится кость 4-0;

3) рядом на ней может стоять кость 4-0, следовательно, там кости 1—4 и 1-0 в горизонтальном положении; 4) следовательно, рядом в вертикальном положении кости 3-0 и 1-1.

77. 6(8 + 20):4-2 = 40.

78. См. рис.:

79. Отложим от точки А 4 отрезка по 7 см влево: AAVAXAV А7Аг и Лу44, так что АА4 = 28 см. Затем от точки А4 отложим три отрезка по 9 см вправо: Aßv BXBV B-fiy т^к 4X0 ^453 = 27 см. Отрезок АВЪ = 1 см -искомый отрезок.

80. Отложим с помощью угольника ZAOA = 19°, затем от стороны ОАх снова отложим угол ZA ОА2 = 19° и так далее, всего 19 углов. Заметим, что 1919 = 361, следовательно, ААхОА{9 = 1°.

Математическая регата. 6 класс

Вариант 6.1

Тур 1 (10 мин, 5 баллов)

81. 567 = 243-2 + 81.

82. 16. Сумма двух чисел равна 20.

83. 1, 4 и 7 см. Или: 1, 2 и 6 см. Кроме отрезков длиной 1, 4 и 7 см, мы сможем измерять отрезки 2, 5 и 8 см (от правого конца линейки, а также 3 и 6 см (расстояния между промежуточными делениями), а также 9 см.

Тур 2

84. 10. Пусть 9 876 543 210 = 86 420jc +у, тогда остаток у оканчивается на 0. Далее: у = 6 420z +1, t = 420w + v, v = 20m + n и все остатки /, V и п оканчиваются на 0. При этом исходное число не кратно 20.

85. Меньшим числом делений обойтись нельзя. Заметим, что 4 точки Av Аъ и АА (концы линейки и два деления) определяют

только 6 различных отрезков AjA^ AXAV А}А4, A^AV А^^ А3АЛ, а нам требуется научиться измерять 9 отрезков.

86. Правило: первая строка - основание степени, вторая - показатель, а третья - результат.

9

16

11

6

5

2

2

2

3

3

81

256

121

216

125

Тур 3

87. Нет. Число 8х + 5>> = 4(х + у) + {Ах + у) положительно как сумма положительных чисел.

88. Пусть S = l+l+i+i + ...+T^, тогда 2S = 2 + . +1 + 1 + ТГТ- Вычитая из второго равенства первое, получим: 5 = 2- Л.. .

89. Колодец следует строить между третьим и четвертым домом. Чтобы сумма Х4 +ЛУ была наименьшей, точка X должна находиться на отрезке XY.

90. Нет. Представим данное число в виде 44... 44000 + 444. При этом первое слагаемое на 8 делится, а второе - нет.

91. Колодец следует вырыть рядом с четвертым домом.

92. Не менее 60 %. Если 85 % + 75 % = 160 %. Это означает, что не менее 60 % делегатов мы посчитали дважды.

93. 5 руб. Заметим, что (х + 5) - (х - 5) = 10.

94. 5 руб. Пусть в числе х зачеркнули некоторую цифру и х = 1 Oy. Это означает, что зачеркнули один из 0, стоявших в конце числа.

95. 78 ударов.

96. 54 л. Пусть X и у л - вместимость большой и средней банки варенья соответственно. Из условия следует, что х + 4у = 2х + 6 = = X + Зу + 3, откуда у = 3, а х = 6. Значение выражения Ах + 1у + 9 при таких X и у равно 54.

97. 710. Пусть X = 7 \у. Пусть зачеркнута первая цифра а, числа abc, тогда 100а +у=11 у, а 10а=1у, откуда а=7, а^ = 10. Аналогично проверяется, что, если зачеркнуть вторую или третью цифру, равенство невозможно.

98. Нет. Если в месяце 5 понедельников, то первый понедельник месяца может прийтись на 1-е, 2-е или 3-е числа месяца, тогда первый четверг будет не ранее 4-го числа.

99. 28у%. Рабочий делает за час 1,4 часовой нормы, таким образом, за 5 часов он сделает 7 часовых норм. Следовательно, прежнюю часовую норму он сделает за у часа. Выигрыш времени - у часа.

100. Частное не изменилось, остаток увеличился в 3 раза. Пусть а, Ь, с и d - делимое, делитель, частное и остаток соответственно. Тогда а = Ъс + d, откуда За = (ЗЬ)с + 3d.

101. 2 землекопа. 2 землекопа за 1 час выкопали 1 м канавы, следовательно, за 5 часов они выкопают 5 м.

102. После второй. Пусть х см3 - объем куска мыла, тогда после первой стирки объем куска составит 0,8jc, а после второй - 0,64* см3.

103. 121. Заметим, что ab + ba = 11(а + 6) и а + b кратна 11.

104. В последовательности 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22... переставили запятые.

Домашняя олимпиада. 5 класс

Задание 1

1.1. См. рис.:

1.2. 69 и 130. Если бы оба числа были равны меньшему из них, то их сумма составила бы 138, следовательно, меньшее число равно половине от 138, т.е. 69.

1.3. 7 руб. Если бы у Пети был хотя бы рубль, то им бы хватило на мороженое (ведь Маше не хватало на мороженое 1 руб.).

1.4. Одно взвешивание. Положим на каждую чашку весов по монете. Возможны два случая: 1 ) равновесие, тогда третья монета фальшивая; 2) равновесия нет, значит, фальшивая более легкая монета.

1.5. Все зависит от того, в какую сторону ехали автомашины (сделайте рисунок), если: 1) навстречу друг другу, то 60 км; 2) в разные стороны, то 340 км; 3) вторая догоняет первую, то 180 км; 4) вторая «уходит» от первой, то 220 км.

Задание 2

2.1. См. рис.:

2.2. У Тани было 300 руб.; один шарик стоит 40 руб. Если Таня купит 5 шаров, у нее останется 100 руб., и, чтобы купить еще 3 шара, ей надо добавить 20 руб., следовательно, 3 шара стоят 120 руб., а один - 40 руб.

2.3. Что мы можем делать? Делить гвозди на равные кучки: 1) 24 кг = 12 кг + 12 кг; 2) 24 кг = 12 кг + (6 кг + 6 кг); 3) 24 кг =\2кг + + (6 кг + (3 кг + 3 кг); 4) Объединим две кучки: 9 кг = 6 кг + 3 кг. Хорошо бы обсудить вопрос, всегда ли можно разделить гвозди на две равные по весу кучки. А вдруг, например, их количество нечетно? Не совсем правильная задача, но полезная.

2.4.6750 - 3894 = 2856. «Проверим» вычитание сложением: 2856 + *8*4 = 6*5*; 1)6 + 4=10, значит, последняя цифра уменьшаемого 0 и 2856 -ь *8*4 = 6*50; 2) 5 + 1 + * оканчивается на 5, следовательно, 9 - предпоследняя цифра вычитаемого: 2856 + *894 = = 6*50; 3)8 + 8 + 1 оканчивается на 7, следовательно, вторая цифра уменьшаемого - 7. Иначе говоря, 2856 + *894 = 6750.

2.5. Таких нет. Сумма этих чисел нечетна, следовательно, они разной четности; разность этих чисел четна, следовательно, они одной четности. Противоречие.

Задание 3

3.1. Фигуру можно получить, если прямоугольный лист разрезать по отрезкам а, Ъ и с и согнуть по пунктирной линии:

3.2. 1,2,3,4, 6, 12 и 24 (см. 5.2).

3.3. Цена блюдца-113 руб., чашки-137 руб. Заметим, что 4 чашки и 4 блюдца стоят 1000 руб., а 4 чашки и 3 блюдца - 887 руб., следовательно, одно блюдце стоит 113 руб.

3.4. Да. Первое взвешивание: на каждую чашку положим по 3 монеты весов. Возможны два случая: 1 ) равновесие, тогда на весах только настоящие монеты, а фальшивая среди остальных; 2) одна из кучек легче, фальшивая монета в ней. Далее требуется найти фальшивую среди 3 монет, что мы умеем делать (см. 1.4).

3.5. Наименьший - 0, наибольший - 400. Скобки нужны, чтобы менять порядок действий:

1) EES, тогда: (100 - 20) х 3 + 2 = 242;

2) Е±а, тогда: (100 - 20) х (3 + 2) = 400;

3) тогда: 100-20x3 +2 = 42;

4) [x±Z3, тогда: 100 - (20 х 3 + 2) = 38;

5) L±x^J, тогда: 100 - 20 х (3 + 2) = 0.

Порядок действий! + -х| невозможен.

Задание 4

4.1. См. рис.:

4.2. 59 мин. В начале опыта в пробирке одна амеба, а через минуту их уже 2, поэтому 2 амебы «заполнят» пробирку на 1 мин быстрее, чем одна.

43. На 20 больше. Первая стопка уменьшилась на 10 штук, а вторая увеличилась на 10 штук, после чего они сравнялись в «росте».

4.4. 35 руб. У Коли на 1 руб. больше, чем у Васи, и к Машиным деньгам добавилось не меньше 1 руб. Но Маше на альбом денег не хватило, т.е. ей дали меньше 2 руб., значит, у Васи денег нет (см. 1.3).

4.5. Либо 11, либо 19, либо 21, либо 29 лье (см. 1.5).

Задание 5

5.1. См. рис.:

5.2. 1,2,3,4,6,8,9,12,36,72. Делителями числа 72 являются делители числа 24 и числа, полученные из них умножением на 3 (см. 3.2).

5.3. За два. Первое: положим по монете на каждую чашку. Возможны два случая: 1 ) равновесие, тогда на весах настоящие монеты, и останется узнать, легче фальшивая монета настоящей или нет, что можно сделать, сравнив ее по весу с третьей монетой (фальшивой); 2) одна из монет оказалась легче, тогда третья монета настоящая. Сравним ее вес, например, с более легкой монетой. Если равновесие, то фальшивая более тяжелая, если нет - более легкая (см. 1.4).

5.4. 2 см. Страниц 240, лист - это 2 страницы, следовательно, листов 120. Толщина 120 листов в 2 раза больше, чем 60.

5.5. Наименьший - 23, наибольший - 80. Скобки нужны, чтобы менять порядок действий:

1) ЕЕШ, тогда: (60 + 40):4 - 2 = 23;

2) ГТ^П, тогда: (60 + 40):(4 - 2) = 50;

3) Е±~3, тогда: 60 + 40:4 - 2 = 68;

4) QZ±], тогда: 60 + (40:4 - 2) = 68;

5) EU], тогда: 60 + 40:(4 - 2) = 80. Порядок действий Е±3 невозможен (см. 3.5).

Задание 6

6.1. См. рис.:

6.2. 99 + 98 = 197. Сумма двух чисел, меньше 200 на 3. Так как числа различны, это 99 и 98.

6.3. 204 руб. Заметим, что 4 карандаша и 3 тетради стоят 96 руб., а 4 карандаша и 4 тетради - 108 руб. (См. 3.2.)

6.4. Первоначально в сосудах было 11 л + 7 л + 6 л; затем 4 л + + 14 л + 6 л (перелили из 1-го во 2-й); затем 8 л + 14 л + + 2 л (из третьего в первый сосуд); затем 8л+12л + 4л(из второго в третий); и, наконец, 8л + 8л + 8л(из второго в третий).

6.5.14. Будем двигаться «от ответа»: 1) от какого числа надо отнять 4, чтобы получить 6? От 10; 2) какое число надо разделить на 3, чтобы получить 10? 30; 3) какое число надо умножить на 2, чтобы получить 30? 15; 4) к какому числу нужно прибавить 1, чтобы получить 15? Или, кратко: (4 + 6) х 3:2 - 1 = 14.

Задание 7

7.1. См. рис.:

7.2.25 ступеней. Сделайте рисунок. Когда Алиса находится на пятом этаже, она фактически стоит на «крыше» четвертого, а когда на втором - на «крыше» первого. Таким образом, падать с пятого этажа в 4 раза «выше», чем со второго.

7.3. С помощью операции деления пополам (см. 2.2) за два взвешивания отвесим 2 кг 250 г. С помощью гирь 50 и 200 г уберем «лишние» 250 г.

7.4. За 18 дней. Если посадить одну лилию в пруд, то 4 лилии будут через 2 дня, а еще через 18 дней лилии заполнят его полностью (см. 4.2).

7.5. Поросят - 12, а гусей - 18. Если бы на дворе гуляли бы только гуси, то было бы 60 ног, «лишние» ноги (их 24) принадлежат поросятам - по 2 на каждого.

Задание 8

8.1. Да. Пусть Миша родился 31 декабря, тогда позавчера (30 декабря прошлого года) ему 10 лет, а 1 января (сегодня) уже 11 лет, 31 декабря этого года - 12 лет; в следующем же году - 13 лет.

8.2.Например: 4 + 4 - 4 - 4 = 0; 4:4 + 4 - 4 = 1 ; 4:4 + 4:4 = 2; (4 + 4 + 4):4 = 3;(4-4)х 4 + 4 = 4; 4 + 4 х 1 : 4 = 5; 4 + (4 + 4): 4 = 6; 4 + 4 - 4:4 = 7; 4 + 4 + 4 - 4 = 8; 4 + 4 + 4:4 = 9; (44 - 4):4 = 10.

8.3.18 грибов. Если бы у брата не было «лишних» 36 грибов, грибов у детей было бы поровну, значит, и эти грибы следует разделить пополам.

8.4.6216. Если5=1+2 + ... + 111,тогда, записав слагаемые в обратном порядке, получим: 5=111 + . ..+2+1и 2S = (1 + 111) + + (2 + 110)+ ... +(111 + 1). Откуда S= 56-111.

8.5. Одновременно. Так как у первого скорость в два раза больше, за одно и то же время он пролетит расстояние в 2 раза больше, чем второй.

Задание 9

9.1. В 1 000 000 раз. 1 см в 10 раз больше 1 мм; 1 м в 100 раз больше 1 см; 1 км в 1000 раз больше 1 м.

9.2. Одинаково. Из таблицы понятно, что количество девочек а + Ъ совпадает с количеством решивших задачу.

Решили задачу

Да

Нет

Мальчики

а

Девочки

Ъ

а

9.3.11676. ПустьS= 1 + 2 + 3 + ... + 181 -96-951, тогда S= 97 + 98 + 99 + ... + 181. Далее аналогично (см. 8.4).

9.4. Корова - 900 руб., овца - 150 руб., коза - 100 руб., свинья -150 руб. Заметим, что все животные вместе стоят 1325 руб., без коровы -425 руб.; коза, свинья и овца стоят 425 руб., без овцы - 275 руб. и т.д.

9.5. 6 камешков. Ваня разложил на столе камешки на расстоянии 2 см один от другого, следовательно, между ними промежутков 5 (сделайте рисунок).

Задание 10

10.1. 36 и 44. Если разность двух чисел равна 8, следовательно, одно из них на 8 больше другого. Если оба числа были бы равны меньшему, их сумма была бы на 8 меньше, удвоенное меньшее равно 72 (см. 1.2 и 2.5).

10.2.6 мальчиков, 4 осла. Если мальчики сядут по одному на осла, не хватит места двоим. Когда они сядут вдвоем, один осел станет лишним. Иначе говоря, мальчик, сидевший на нем раньше, и двое стоявших подсаживаются «вторыми» на других ослов.

10.3. Можно. Например, 4 ящика по 17 кг (итого 68 кг) и 2 ящика по 16 кг (итого 32 кг).

10.4. Ход решения: 1) 0 л + 0 л; 2) 0 л + 9 л; 3) 5 л + 4 л; 4) 0 л + 4 л; 5) 4 л + 0 л; 6) 4 л + 9 л; 7) 5 л 4- 8 л; 8) 0 л + 8 л; 9) 5 л + 3 л.

10.5. Первый. Пока второй муравей ехал на гусенице, первый уже добрался до места: второй проехал на гусенице полпути, а первый в это время полз в два раза быстрее и, следовательно, прополз весь путь.

Задание 11

11.1. См. рис.:

11.2. 200 г. 4 персика, 2 груши и яблоко весят 550 г, а 1 персик, 3 груши и 4 яблока - 450 г; 5 персиков, 5 груш и 5 яблок - 1000 г.

11.3. 5 км. Нечетное число при умножении на 5 дает в произведении число с цифрой 5 на конце.

11.4. На 5 км. Если едут в разные стороны, то 89 км; если навстречу друг другу, то 19 км; первый позади, тогда - 41 км; второй позади -29 км (см. 1.5 и 4.5).

11.5. 12 и 23. У фазана 2 ноги, у кролика - 4. Если бы все животные были фазанами, ног было бы 70, но их на 24 больше (см. 7.5).

Задание 12

12.1. Например:

12.2. 12 см. Из 5 камешков 2 лежат по краям, 3 - между ними, значит, между камешками 4 промежутка, каждый по 3 см (см. 9.5).

12.3.48 штук. 3 курицы за 12 дней снесут яиц в 4 раза больше, чем за 3, а 12 кур - в 4 раза больше, чем 3 курицы. Итого: в 16 раз больше.

12.4. Сахар, крупа, мука; 1) В третьем не крупа и не сахар, следовательно, мука; 2) В первом не крупа, судя по надписи, но и не мука, так как мука в третьем, следовательно, в первом мешке сахар.

12.5.225 м; 15 м/с. За 45 с поезд проходит расстояние, равное длине моста и длине поезда вместе, а за 15 с - равное длине поезда (сделайте рисунок). Следовательно, мост (450 м) он проходит за 30 с. Себя же поезд «протягивает» мимо светофора за 15 с со скоростью 15 м/с.

Задание 13

13.1. См. рис.:

13.2. 37 и 38. Если бы каждое число было равно меньшему, их сумма была бы на 1 меньше, т.е. 74.

133.2500. Пусть5'= 1+ 3 +... + 99, тогда5'=99 + 97 + ...+ 1; далее: 2S=(l +99) + (3 +97)+... +(99+ 1)= 100-50.

13.4. 2 карася тяжелее 3 лещей. Так как 6 карасей тяжелее 10 лещей, то 6 карасей тем более тяжелее 9 лещей. Два из трех условий в задаче лишние!

13.5.7 тринадцати- и 5 десятилитровых. Пусть в тринадцатилитровых бидонах - а л молока, а в десятилитровых - Ь л. Тогда Ъ кратно 10, и следовательно, число а оканчивается на 1 ; количество тринадцатилитровых бидонов оканчивается на 7. Проверяем, что 17 не подходит.

Задание 14

14.1. См. рис.:

14.2. Через 16 лет. Мать старше дочери на 26 лет, следовательно, когда мать будет вдвое старше дочери, ей будет 52 года, а дочери 26.

14.3.54 км. После встречи они поедут в разные стороны из одного и того же пункта; за 2 часа один проедет 24 км, а другой - 30.

14.4. Разделив один вес пополам (см. 2.2), получим два веса по 1,8 кг. Затем с помощью гири «перекинем» 200 г из одной кучи в другую (получим 1,6 кг + 2 кг). Далее деление пополам.

14.5. 17 стульев и 24 ученика. Когда все сели по двое, 5 стульев освободилось, а люди, на них сидевшие (как и те 7 человек, кому не хватало места), сели «вторыми», следовательно, образовалось 12 пар.

Задание 15

15.1. 9 семнадцати- и 7 десятилитровых (см. 13.5).

15.2. Одинаковы (см. 9.5 и 12.2).

153. Ход решения: 1)8л + 0л + 0л;2)5л + 0л + 3л;3)5л + 3л + 0л; 4)2л + 3л + 3л;5)2л + 5л+1л, что и требовалось.

15.4. 74 и 76. Если бы оба числа были равны меньшему, сумма была бы меньше на 2 (см. 13.2).

15.5. 80 км. За час всадники сближались на 25 км, следовательно, они встретились через 4 часа.

Задание 16

16.1. 109, 110 и 111. Если бы каждое из трех последовательных чисел было равно меньшему из них, сумма их была бы на 3 меньше (см. 13.2 и 15.4).

16.2. 13. Вычитаемое и разность в сумме дают уменьшаемое.

16.3. 75 м и 15 м/с (см. 12.5).

16.4. Решение аналогично (см. 3.4).

16.5. В 11 раз. Между 10 точками 9 промежутков, а между 100 точками - 99 (см. 9.5 и 12.2).

Задание 17

17.1. См. рис.:

17.2.12 и 36. Разница в возрасте между отцом и сыном постоянна. Так как сыну в 3 раза меньше лет, чем отцу, то 24 - это удвоенный возраст сына.

17.3. Ход решения: 1) 0 л + 9 л; 2) 5 л + 4 л; 3) 0 л + 4 л; 4) 4 л + 0 л; 5) 4 л + 9 л; 6) 5 л + 8 л, что и требовалось.

17.4. Разность между соседними числами - 15. Продолжение последовательности: ... 178, 163, 148.

17.5. Белов - рыжий, Чернов - блондин, Рыжов - брюнет; 1) Белов не блондин, так как у него цвет волос не может соответствовать фамилии, он также не брюнет, так как сам разговаривал с брюнетом; 2) Чернов не брюнет и не рыжий.

Задание 18

18.1. См. рис.:

18.2. 46; 48; 50; 52. Второе число больше первого на 2, третье больше первого на 4, четвертое - на 6. Если бы все четыре числа были равны меньшему, то сумма чисел была бы меньше на 12.

18.3. 28 лет. За 10 лет к возрасту каждого прибавится по 10 лет (см. 17.2).

18.4. 320 руб. 80 руб. составляют 1/4 всех денег.

18.5. 3 шара. Из трех шаров обязательно найдутся два шара одинакового цвета. Заметим, что двух шаров недостаточно, так как они могут быть разного цвета.

Задание 19

19.1. Количество кубиков может быть равно любому натуральному числу от 13 до 25. Сооружение, удовлетворяющее условию задачи и состоящее из наибольшего количества кубиков, изображено на рисунке. Заметим, что часть кубиков можно убрать так, что вид спереди и сбоку не изменится.

19.2. Нет. Данное число четно.

19.3. Быстрее на велосипеде. Мотоциклист половину пути и велосипедист четверть пути проезжают за одно и то же время. Велосипедист половину пути и пешеход четверть пути также преодолевают за одно и то же время. Следовательно, 3/4 пути будут пройдены в первом и втором случаях за одинаковое время. Остается проехать 1/4 пути, которую на велосипеде можно проехать быстрее (см. 10.5).

19.4. Нет. Сказавший: «Я лжец» не мог быть лжецом, так как те никогда не говорят правду. Не мог он быть и рыцарем, так как рыцари никогда не лгут.

19.5. Примеры:

Задание 20

20.1. См. рис.:

20.2. Прошло 3/4 суток, осталась 1/4, что составляет 1/3 от того, что прошло.

20.3. Чтобы получить очередное число, нужно предыдущее умножить на 2 и из результата вычесть 1. Последующие числа: 423, 840 и 1623.

20.4.9 шаров. Если вытащить наугад 8 шаров, может не оказаться трех шаров одного цвета (см. 18.5).

20.5. а) Невозможно; б) 8; а) какую бы цифру мы ни поставили вместо А, число А31 нечетно; б) сумма цифр данного числа должна делиться на 9.

Задание 21

21.1. См. рис.:

21.2. 960. Если число кратно 31 и в частном получается 30, то 31-30 = 930. Но в условии не сказано, что оно должно делиться нацело, тогда при делении на 31 оно может иметь остатки, а наибольший возможный остаток равен 30.

21.3. Продолжение задачи (см. 15.3). Ход решения: 5) 2 л + 5 л + 1 л; 6)7л + 0л+1л;7)7л+1л + 0л;8)4л+1л + 3л;9)4л + 0л + 4л.

21.4. 4 кг. Из условия следует, что вес половины кирпича - 2 кг.

21.5. Из условия задачи следует: 1) вода и молоко не в бутылке; 2) лимонад находится между кувшином и квасом, следовательно, лимонад и квас не в кувшине; 3) в банке не лимонад и не вода; 4) стакан стоит около банки и сосуда с молоком, следовательно, молоко не в стакане и не в банке; результаты запишем в таблицу:

Напиток

Бутылка

Стакан

Кувшин

Банка

Молоко

Нет (из 1)

Нет (из 4)

Да (из 5)

Нет (из 4)

Лимонад

Да (из 6)

Нет (из 6)

Нет (из 2)

Нет (из 3)

Квас

Нет (из 6)

Нет (из 2)

Да (из 6)

Вода

Нет (из 1)

Да (из 6)

Нет (из 5)

Нет (из 3)

5) из таблицы видно, что молоко может быть только в кувшине и, следовательно, в кувшине не вода. Продолжим заполнение таблицы (обычный шрифт); 6) вода не в кувшине, значит, вода может быть только в стакане, следовательно, в стакане не лимонад и не квас, поэтому лимонад - в бутылке, а квас - в банке.

Задание 22

22.1. 6435 или 2430; 1) чтобы *43* делилось на 45, требуется, чтобы оно делилось на 5 и на 9; 2) число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5; 3) число делится на 9, если сумма цифр, его составляющих, делится на 9.

22.2. 120 км, 80 км, 40 км и 0 км (см. 1.5 и 4.5).

22.3.24. Пусть х - искомое число. Тогда: 1) при делении 100 на х в остатке 4, значит, 96 делится на х без остатка; 2) при делении 90 на jc в остатке получили 18, поэтому 72 делится на jc без остатка; 3) делитель больше остатков, т.е. больше 18; 4) числа 96 и 72 делятся над:, поэтому их разность 24 тоже делится на jc, причем jc > 18.

22.4. 102 шара. Может случиться, что вначале мы вытянем 100 черных шаров и лишь затем 2 белых.

22.5. Развертками куба являются фигуры 1, 2, 4.

Задание 23

23.1. См. рис.:

23.2. 702. 700 - самое маленькое трехзначное число с первой цифрой 7 - не делится на 3; 701 на 3 тоже не делится.

23.3.2,3, 5 и 7; 210. Так как произведение оканчивается на 0, среди сомножителей должно быть четное число. Единственное простое четное число - это 2.

23.4. 566. Так как остаток равен 8 и делили на однозначное число, делитель 9 (так как остаток меньше делителя). Число 5АА, как и его сумма цифр 5 + 2А9 при делении на 9 дает остаток 8. Отсюда следует, что 2А + 3 кратно 9. Перебором убеждаемся, что А = 6.

23.5. 15 часов. Если до конца суток осталось 3/5 того, что уже прошло, то от начала суток прошло 5/5. Следовательно, сутки составляют 8/5 того, что прошло от начала суток.

Задание 24

24.1. Если мы выстрелим 24 раза, как показано на рис. 1, то наверняка поразим корабль, где бы он ни находился. Понятно также, что на доске можно разместить 24 корабля так, чтобы они не пересекались (рис. 2), поэтому меньшим количеством выстрелов обойтись не удастся.

Рис 1

Рис. 2

24.2. 150 овец. Если 0,6 от числа овец пасутся, то остальные 0,4 пьют воду, следовательно, 0,4 от общего числа равно 60.

24.3. 75. Если бы и цифры единиц и десятков умножили на 2, получилось бы 24. Получилось же 29, так как цифру единиц умножили не на 2, а на 3, т.е. взяли на «цифру» больше, следовательно, единиц 5.

24.4. А - не коренной житель, кто 5, неизвестно. А не может быть рыцарем, так как в этом случае он не может сказать про себя: «Я лжец» (ведь рыцари могут говорить только правду). Не может он быть и лжецом, так как лжец не мог сказать правду (см. 19.4).

24.5. Примеры:

Задание 25

25.1. См. рис.:

25.2. 39 873. Наибольшее пятизначное число с первой цифрой 3 и остальными различными - это 39 876. Оно не кратно 9, но кратно 3, так как сумма цифр этого числа равна 33. Из 9 подряд идущих чисел одно обязательно делится на 9. Если из числа 39 876 вычесть 6, получится 39 870 - искомое число.

25.3. 3 кг. 1/4 куска мыла весит 3/4 кг.

25.4. Одновременно. Пока едешь 2/3 пути на мотоцикле, на велосипеде проедешь в два раза меньше, т.е. 1/3 пути. Поэтому велосипедисту останется ехать в 2 раза больше, но скорость его в 2 раза меньше (см. 19.3).

25.5. Рассмотрите треугольник (сделайте рисунок) со сторонами, равными 1 м. Из трех его вершин две окрашены одинаково. Но расстояние между ними как раз равно 1 м.

Задание 26

26.1. См. рис.:

26.2. 2,5 кг. 0,5 кг составляет 0,2 веса кошки. Следовательно, кошка весит 2,5 кг.

26.3. Дима. Первая буква имени имеет номер 5, а последняя - 1 (так как в алфавите всего 33 буквы); вторая буква - номер 10 (так как нет буквы с номером 0).

26.4. В коробке с надписью БЧ шары одного цвета, так как иначе надпись соответствовала бы содержанию. Из этой коробки и надо вынуть 1 шар. Возможны два случая: 1) вытащили черный шар, тогда в коробке БЧ - 2 черных шара, в коробке ББ - белый и черный шары, а в коробке ЧЧ - 2 белых шара; 2) вытащили белый шар, тогда в коробке БЧ - 2 белых шара, в ЧЧ - шары разного цвета в ББ - 2 черных.

Задание 27

27.1. См. рис.:

27.2. 30 и 50 тетрадей. Число тетрадей в одной стопке должно составлять 60 % (т.е. 3/5 числа тетрадей другой) и в двух стопках вместе будет 8/5 от числа тетрадей во второй стопке, т.е. 80 тетрадей.

27.3. Один сенатор. Двух честных сенаторов не может быть, так как в соответствии с фактом в каждой произвольно выбранной паре сенаторов хотя бы один продажен.

27.4.200 км. Каждый час поезда сближаются на 80 км. Встретятся они через 4 часа (см. 15.5).

27.5. Да. Сумма цифр числа а = 101998 + 8 равна 9, а следовательно, число а кратно 9.

Задание 28

28.1. 6823 + 6823 = 13 646; 1) Н+ H оканчивается на О, следовательно, О - четно; 2) И+ И,Д+Д, О - четные числа, следовательно, из разряда десятков в разряд сотен перехода 1 не было и И < 4, а.Г-тоже четно; 3) так как Г четно, то не было перехода из единиц в десятки иЯ<4. Кроме того: М- 1 ; 4) заметим, что О + О оканчивается на H или на H- 1, следовательно, О < 6, а с учетом того, что есть переход 1 из разряда тысяч в разряд десятков тысяч: 0 = 6иЯ=3. Получим: 6Д//3 + 6ДЯЗ = 136Г6 ; 5) Есть переход из разряда сотен в разряд тысяч, следовательно, Д= 8; 6) И + И= Г означает, что Г четно и Г< 8. Пример принимает вид: 68#3 + 68#3 = 136Г6. Далее учтем, что разные цифры обозначены разными цифрами.

28.2.3 132 и 8 136. Используя признак делимости на 4, заключаем, что последняя цифра искомого числа либо 2, либо 6.

28.3. 27 с (см. 12.5).

28.4. 24 ученика. Если к половине всех учеников (4/8) прибавим четверть (2/8), затем прибавим 1/8 пребывающих «в размышлении», получим 7/8; следовательно, 3 девы составляют 1/8.

28.5. Чтобы проверить утверждение барона, разложим число 6552 на простые множители. Получим: 6552 = 23-32*7-13. Так как число 13 простое, его нельзя представить в виде произведения однозначных множителей, и само оно не цифра, значит, Мюнхгаузен ошибся.

Задание 29

29.1. 32-27. Разложим число 864 на простые: 864 = 2632. Так как множители должны быть взаимно просты, то все «двойки» должны быть в одном множителе, а все «тройки» - в другом.

29.2. 990 руб. После подорожания товар стал стоить 1100 руб.

29.3. Будем решать задачу, последовательно заполняя графы:

Девочки

Туфли

Платье

белые

зеленые

синие

белое

зеленое

синее

Аня

Да (3)

Да (5)

Валя

Нет (2)

Да(4)

Да (6)

Наташа

Да(1)

Да (7)

1) так как у Наташи туфли зеленого цвета, а у Вали не белого, то у Ани туфли белые, а у Вали синие;

2) так как у Ани цвета платья и туфель совпадали, у нее платье белое, у Вали платье не синее (так как у нее цвета платья и туфель не совпадали) и не белое (как у Ани), следовательно, оно зеленое. У Наташи платье синее.

29.4. Через 15 мин. Брат выходит раньше на 5 мин и проходит за это время 1/8 часть пути до школы; за минуту я прохожу 1/30 часть пути, брат - 1/40 часть пути, следовательно, я нагоняю брата: 1/30 - 1/40 = 1/120 часть пути в минуту.

29.5. Проставьте, где требуется, знаки действий и скобки, чтобы все равенства стали верными:

Задание 30

30.1. См. рис.:

30.2. Так как сумма квадратов двух простых чисел оканчивается на 3, то одно из простых чисел четное, т.е. 2. Последняя цифра второго

простого числа 9, так как только 9 + 4 оканчивается на 3. Если квадрат простого числа оканчивается на 9, то само простое число оканчивается на 7 или на 9. Таких чисел много: 3, 7, 13, 17, 23, 37, ... Полностью решить задачу, т.е. найти все такие числа, мы не можем.

30.3. На 1/11. При замерзании объем воды увеличится на 1/10 и станет равен 11/10, что означает, что 1/10 объема воды соответствует 1/11 объема льда.

30.4. 19, 25 и 6.

30.5. 5. Пусть X - данное число. Так как х при делении на 3 имеет остаток 2, то х + 1 четно и кратно 3, следовательно, jc + 1 кратно 6.

Домашняя олимпиада. 6 класс

Задание 1

1.1.379 756 (см. 5 кл. 13.3).

1.2. 2 ч 30 мин. Если Аня едет в оба конца на автобусе, то весь путь занимает у нее 30 мин, следовательно, в один конец на автобусе она добирается 15 мин. Если она идет в школу пешком, а обратно едет на автобусе, на дорогу она затрачивает полтора часа, значит, в один конец пешком она добирается за 1 ч 15 мин.

1.3. На 25 %. После того как картофель подешевел на 20 %, то количество картофеля, которое купили ранее, теперь можно купить, истратив 80 % денег, а на оставшиеся 20 % можно купить еще 1/4 этого количества.

1.4. Ход решения: 1)4л + 6л + 0л;2)1л + 6л + 3л;3)1л + 7л + 2л; 4)6л + 2л + 2л;5)5л + 2л + 3л;6)5л + 5л + 0л.

1.5. Нет. Для того чтобы обойти все 64 клетки шахматной доски, побывав на каждом поле один раз, конь должен сделать 63 хода. При каждом ходе конь переходит с белого поля на черное (или с черного поля на белое), поэтому после ходов с четными номерами конь будет попадать на поля того же цвета, что и исходные, а после «нечетных» ходов - на поля противоположного цвета.

Задание 2

2.1. См. рис.:

2.2. На 9. (Вопрос для учащихся: почему «проверять» следует только число 9?)

2.3. Треть. Пассажир проспал 2/3 от второй половины пути, т.е. 1/3 всего пути.

2.4. Равенство abcd = mnpkt получиться не может, так как наибольшее возможное произведение двузначных чисел равно 10 000.

2.5. 5 стаканов. Кувшин = графин + стакан; стакан + чашка = графин; кувшин = 2 стакана + чашка; 2 кувшина = 4 стакана + 2 чашки; 3 чашки = 4 стакана + 2 чашки; 4 стакана = 1 чашка. Следовательно, 5 стаканов уравновесят графин.

Задание 3

3.1. Фуфайка. В зашифрованном слове могут встретиться только 2, 22, 21, 1, 11, 12-я буквы алфавита, т.е. б, ф, у, а, й, к.

3.2. Нет. Оно четно.

3.3. 270 страниц. Решаем «с конца». 30 страниц - это четверть последнего остатка, поэтому последний остаток - 120, прибавим 20, получим, что 140 - это 0,7 первого остатка, значит, первый остаток-200 страниц, прибавим 16, получим, что 216 - это 0,8 всей книги.

3.4. С одной стороны окрашены 384 кубика, с двух - 96. К каждой грани кубика примыкают 64 (8 х 8) кубика, окрашенных только с одной стороны.

3.5. На 19 м. Когда А пробежал 100 м, Б отставал от него на 10 м, т.е. пробежал 90 м. Следовательно, его скорость составляет 0,9 скорости А. Скорость С также составляет 0,9 скорости В; значит, скорость С составляет 0,81 скорости Л, и, когда А финишировал, С пробежал 81 м.

Задание 4

4.1. Это невозможно. «Выигрывать по минуте на каждом километре» означает «проезжать 1 км на минуту быстрее». В нашем случае за 0 мин (при скорости 60 км/ч машина проезжает 1 км/мин).

4.2. 21 партия. Подсчитаем, сколько партий сыграно в турнире. Каждый участник играл с 6 партнерами. Итого: 6 х 7 = 42, но при этом каждую партию мы считаем дважды (в партии участвуют двое).

4.3. 30 учеников. Один ученик составляет 1/5 - 1/6 = 1/30 часть учеников класса.

4.4. Нет. Пусть шахматная доска разрезана на п прямоугольников размером 3x1, тогда сумма площадей всех прямоугольников - 3«, что не может равняться 64.

4.5. Первый игрок выигрывает при ходе:

Задание 5

5.1. Да. Сумма цифр данного числа равна: 2((1 + 8) + (2 + 7) + + (3 + 6) + (4 + 5)) + 9, следовательно, кратна 9.

5.2. 2 руб. Из условия следует, что за книгу осталось заплатить 1 руб. 5.3.40 лет. Дядя мог сказать и так: «Если к половине моих лет прибавишь не 7, а 20, то узнаешь мой возраст не 13 лет назад, а сейчас». Следовательно, половина дядиного возраста - 20 лет.

5.4.45. Последняя цифра двузначного числа не изменилась при умножении на 9, значит, это 5. Сумма цифр трехзначного числа равна сумме цифр двузначного, следовательно, двузначное число тоже делится на 9.

5.5. Нет. Сумма длин палочек равна 50; у квадрата четыре равные стороны, поэтому периметр квадрата должен делиться на 4.

Задание 6

6.1. Да. См. рис.:

6.2. Уменьшилось на 1 %. Новые множители будут равны 1,1л: и 0,9jv, а новое произведение - 0,99лу.

6.3. В 4 раза. Часть маршрута, проходящая по полю, в два раза длиннее части, проходящей по болоту, и преодолена в 2 раза быстрее.

6.4. В 5 раз. Арбуз = дыня + свекла; дыня = капуста + свекла; далее: арбуз = капуста + 2 свеклы, а 2 арбуза = 2 капусты + 4 свеклы. Но 2 арбуза = 3 капусты, следовательно, капуста = 4 свеклы (см. 2.5).

6.5. Яблонь - 240, а вишен - 120. Заметим, что яблонь в 2 раза больше, чем вишен.

Задание 7

7.1. Да. Если до первого снижения цена товара составляла х руб., то после него - 0,9л: руб., а после второго - 0,8\х руб. Если снизить цену на 20 %, то она составит 0,81л: руб.

7.2. За 3 взвешивания. Если при первом взвешивании (см. таблицу) достигается равновесие, то фальшивая находится среди монет, оставшихся на столе; если же нет, то среди тех монет, общий вес которых меньше. Теперь надо найти фальшивую из 8 (или даже 7) монет. Добавим 1 (или 2) монеты, чтобы их стало 9. Получилась задача, которую мы решать умеем (см. 5 кл., 3.4).

Количество монет

Взвешивание

на чашах весов

на столе

левой

правой

Первое

8

8

7

Второе

3

3

3

Третье

1

1

1

7.3. 2 км/ч. Гребец заметил пропажу через 15 мин, следовательно, и догонит он ее через 15 мин. Таким образом, шляпа за 30 мин проплыла 1 км, а скорость течения реки 2 км/ч.

7.4. Нет. По правилам домино все «шестерки» (не считая дубля) в цепи расположены парами, если только они не с краю. Если одна «шестерка» с краю, то другая остается без пары, а значит, тоже должна быть с краю.

7.5. Нет. Если бы каждый из 19 телефонов был соединен с 11 аппаратами, то соединений: 192п (считаем каждое соединение дважды).

Задание 8

8.1.46. Все, кроме победителя, по одному бою проиграли и выбыли из соревнования.

8.2. 7 ч 50 мин. Заметим, что машине не пришлось ехать от места встречи до вокзала и обратно. (10 мин туда и 10 мин обратно) (см. 1.2).

8.3. Вова, Боря, Коля, Юра. Так как Боря занял второе место, Коля - третье (он по условию задачи не мог занять ни первого, ни четвертого); Вова занял не четвертое, значит, первое, а Юре остается четвертое.

8.4. На 2. Число 135х оканчивается на 5; 3 V - на 1 ; 56^ - на 6.

8.5. См. рис. Так как площадь прямоугольника 36 см2, сторона квадрата равна 6 см.

Задание 9

9.1. 50 кг. Вес сухого вещества, содержащегося в 100 кг грибов, -1 кг (при влажности 99 %); после сушки эта величина не изменяется, но при влажности 98 % она составляет 2 % от общего веса грибов.

9.2. Нет. Сумма чисел в таблице не кратна 4 (см. 2.2 и 4.2).

93. Второе воскресенье пришлось на 13-е число. Если в одном месяце три среды пришлись на четные числа, то первая среда - 2-е число, третья -16-е, пятая - 30-е число (если первая среда-4-е, то пятая - 32-е).

9.4. Володе 1 год, Боре - 4, Диме - 5. Только число 5 можно представить в виде суммы двух других чисел, следовательно, Диме 5 лет, Андрею и Гене - 2 и 3 года, но не известно, кому сколько.

9.5. Нельзя. Каждая плитка накрывает одно белое и одно черное поле шахматной доски. От шахматной доски отпилены два черных поля. Следовательно, белых полей осталось на два больше (см. 1.5).

Задание 10

10.1. Да. См. таблицу:

1

6

7

12

2

5

8

11

3

4

9

10

10.2. 80 и 60 кг. Если из первого мешка взять 1/8 часть муки, то там останется 7/8, что составляет 70 кг (в мешках поровну); следовательно, 1/8 - это 10 кг.

103. На 6. Число 2100 = (24)25 = 1625.

10.4. 120 км. Заметим, что сумма расстояний, которые проехали велосипедисты до первой встречи, равна AB, а до второй встречи -ЗАВ. Поэтому от начала движения до второй встречи прошло в три раза больше времени, чем до первой. Велосипедист, выехавший из пункта Л, проехал до первой встречи 70 км, следовательно, до второй встречи он проехал 210 км, причем из пункта В он преодолел 90 км.

10.5. 82°30'. Угол между положениями минутной стрелки в 9.00 и 9.15 равен 1/4 части круга, т.е. 90°, а между положениями часовой стрелки в это же время - 1/48 части круга, т.е. 7°30/.

Задание 11

11.1. 10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; 11. Правило: на нечетных местах ряда стоят последовательные натуральные числа, начиная с 10, а на четных, начиная с 8.

11.2. 5 мин. Заметим, что за 5 мин Юра пройдет такое же расстояние, как Лена за 10 мин.

11.3. На 1. Число З100 = (З4)25 = 8 1 25 (см. 10.3).

11.4. 67 учеников купили 11 учебников. Число 737 = 1167, all и 67 - простые. Случай, когда каждый из 11 учеников купит по 67 учебников, маловероятен.

11.5. 22 см2. Площадь прямоугольника равна 48 см2. Чтобы найти площадь треугольника, следует из площади прямоугольника вычесть площади трех прямоугольных треугольников. Их площади равны половинам площадей соответствующих прямоугольников, т.е. 12,6 и 8 см2.

Задание 12

12.1. 47о|у кг. В 1 т свежескошенной травы сухого вещества40%, что составляет 400 кг. В сене это же количество сухого вещества составляет 85 %. Ответ найдем из пропорции: 100:85 =х\400.

12.2. Коля, Вася, Юра, Саша и Сережа купили 27, 25, 18, 16 и 14 тетрадей соответственно. Из условия задачи следует: Коля, Вася, Сережа, Юра и Саша купили 100 тетрадей; Коля и Вася - 52; Вася и Юра - 43; Юра и Саша - 34; Сережа и Саша - 30. Далее (из равенств 2 и 4) получаем, что Коля, Вася, Юра и Саша - 86, следовательно, Сережа купил 14 тетрадей. Отсюда, учитывая равенство 5, получаем, что Саша купил 16 тетрадей. Учитывая равенство 4, получаем, что Юра купил 18 тетрадей, по равенству 3 Вася приобрел 25 и, наконец, по равенству 2, Коля купил 27 тетрадей (см. 2.2 и 6.3).

12.3. 20 шахматистов (см. 4.2 и 7.5).

12.4. Мне 20, а вам 15. Пусть сейчас мне 2х, а вам у лет, значит, тогда мне было у, а вам х лет. Время для нас с вами течет одинаково. Следовательно, 2х-у = у-х, откуда 2у = Зх. С другой стороны, нам вместе 2х +у = 35 лет. Получим уравнение 2(35 - 2х) = Зх.

12.5. 5 см. В треугольнике сумма длин двух любых сторон больше третьей, поэтому длина искомой стороны треугольника меньше 6 см, но больше 4 см (так как неверно, что 4 + 1 > 5). Здесь полезно сформулировать неравенство треугольника.

Задание 13

13.1. Да. Данное число делится на 111, а значит, и на 37.

13.2.35 суток. Из Нижнего Новгорода до Астрахани (по течению реки) пароход за сутки проходит 1/5 часть пути, а обратно - 1/7 часть. Поэтому 1/5 — 1/7 = 2/35 соответствует «двум скоростям течения реки». (Дети часто спрашивают: при чем здесь плоты?)

13.3. Воскресенье (см. 9.3).

13.4. Алеша на трамвае, Боря на автобусе, Витя на троллейбусе. Алеша не может ездить ни на автобусе, ни на троллейбусе.

13.5. См. рис.

Задание 14

14.1. В 4 раза. Заметим, что на ходьбу велосипедист затратил в 2 раза больше времени, чем на езду на велосипеде, но при этом прошел в 2 раза меньшее расстояние (см. 6.3).

14.2. Груз 13 г = 1 г + 3 г + 9 г; груз 31г=1г + 3г + 27г; груз 19 г + 9 г = 1 г + 27 г; груз 23 г + 1 г + 3 г = 27 г.

14.3. Шахматистов больше. Пусть х - количество шахматистов, которые являются еще и музыкантами, тогда музыкантов 7jc, а шахматистов 9х.

14.4. Вася ошибся. Так как данное число, равное 1000е + 100/+ + I0f+e = 11(91е+ 10/), кратно 11, а числам и cd нет.

14.5. Да; 1) Сумма всех 2000 чисел положительна, поэтому среди них есть хотя бы одно положительное число; 2) По условию задачи остальные 2000 чисел можно разбить на группы по четыре числа так, чтобы сумма чисел в каждой группе была положительна.

Задание 15

15.1. Увеличилась на 16,1 %. Длина нового прямоугольника-1,35jc; ширина -0,86у, а площадь - 1,161ху.

15.2.9. Число 109 кратно 9, следовательно, его сумма цифр тоже кратна 9, и так далее.

15.3. Да. За три дня Юра успел прочитать (1/2 + 1/2-1/3) + (1/2 + + 1/2-1/3)-1/2 = 1/2 (1 + 1/3X1 + 1/2) часть книги.

15.4. 8 шурупов. Так как один шуруп тяжелее одного гвоздя.

15.5. 2 -> 7 -> 5-> 6 -> 4 -> 1-> 3.

Задание 16

16.1. Да. Человек, стоящий за тем человеком, который стоял перед вами, - это вы сами.

16.2. Один ученик. Количество учеников в классе кратно 7,2 и 3, а так как эти числа попарно взаимно простые, и на 42, но лишь одно такое число меньше 50.

16.3. Пусть к- количество кавалеров, тогда танцевавших пар - Зк (каждый кавалер танцевал с тремя дамами). Пусть m - количество дам, тогда танцевавших пар - Зт. Так как Зт = 3к,т = к.

16.4. Да. Предположим противное: в каждом из 33 классов школил меньше 35 учеников, тогда в данной школе будет не более чем 34 X 33 = 1122 учеников, что противоречит условию.

16.5. 42 см2. Площадь такого прямоугольника равна (13 - а)а, где а - его длина, причем 11 > а > 7. Рассмотрев случаи, найдем наибольшее значение.

Задание 17

17.1. См. рис.:

17.2.163. Если первая цифра искомого числа - 5, то либо вторая - 4, либо третья - 2 (так как требуется совпадение разряда со вторым числом). И то и другое приводит к противоречию: совпадение либо с первым, либо с третьим будет в двух разрядах, следовательно, первая цифра не 5. Рассуждая аналогично, убедимся, что вторая цифра искомого числа не 4, а третья не 2.

17.3. 17 домов. Пусть в районе п домов, из них только 1 имеет не более 5 этажей. Тогда \1п < 6/100 и п > 100/6.

17.4. Не менее 10. Если взять меньше 10, среди взятых фруктов могут оказаться все 8 дынь, и тогда арбузов будет меньше 2.

17.5. 1) 2, 2 и 2 см; 2) 1, 2 и 2 см; 3) 1, 1 и 1 см. Стороны могут принимать значения 1 и 2 см; кроме того, не может существовать треугольника со сторонами 1, 1 и 2 см (2 = 1 + 1 - не выполняется неравенство треугольника), все остальные случаи возможны (см. 12.5).

Задание 18

18.1. 2 и 5. Пусть рх и р2 - искомые числа, тогда, если они оба нечетны, их сумма и разность будут четны, что невозможно, так как 2 -единственное четное простое число. Следовательно, рх = 2. Таким образом, числа р2,р2-2ир2 + 2 простые, но одно из них делится на 3. Значит, одно из них равно 3.

18.2. 1120 км. Пусть а - время, за которое самолет преодолел первый участок пути, а Ъ - второй участок, тогда 180а- 2506 = 320 и 180а + 2506 = 200(а + Ъ). Откуда 56 = 2а и 80а = 320. Следовательно, а = 4, а Ъ = 1,6. Расстояние между А и В равно 200-5,6 км.

18.3. 19. Заметим, что последняя цифра искомого натурального числа п равна 9 и п = а9 < 30. Далее убедимся, что 29 не подходит.

18.4. Виновен Юрий. Так как правду сказал только один мальчик, это либо Виктор, либо Сергей (их высказывания противоречат друг другу и не могут быть одновременно ни правдой, ни ложью), следовательно, все остальные лгут.

18.5. Нечетных больше. Заметим, что среди чисел от 11 до 90 четных и нечетных цифр поровну:

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

Среди оставшихся чисел четные и нечетные цифры легко расположить парами, за исключением 10 нечетных, которым пар не находится.

Задание 19

19.1.12 км. Им осталось идти 2/3 пути. Это на 1/3 больше, чем они прошли, следовательно, 1/3 пути составляет 12 км.

19.2. Неверно. Пример: -0,5 + (-0,5)2 < 0.

19.3. Число 7777 + 1 = (74)194-73 + 1 = 2401194-343 + 1 не делится на 5, так как оканчивается на 4 (см. 10.3 и 11.3).

19.4. Вере 5 лет, Боре - 8, Ане - 13, а Гале - 15. Так как младшая в семье - девочка, а Аня старше Бори, Ане либо 13, либо 15 лет. Ане не может быть 15, так как сумма возрастов Ани и Веры должна быть кратна 3. Следовательно, Ане 13 лет, а Боре - 8.

19.5.900 см2. Пусть длина прямоугольника-je, тогда ширина - 80 - х. Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 10 см, площадь прямоугольника увеличится на сумму площадей двух полосок (см. рис.). Площадь первой полоски равна 10(х + 10), второй 10(80 -jc), откуда следует, что добавится 10(х + 10 + 80 - jc) = 900 см.

Задание 20

20.1. 1326 (см.5кл„ 13.3).

20.2. Ване 5 лет. Папа в 3 раза старше Вани, который в свою очередь в 3 раза старше Сережи, следовательно, папа в 9 раз старше Сережи. Таким образом, папа старше Сережи на 8 возрастов Сережи, что составляет 40 лет. Отсюда возраст Сережи - 5 лет.

20.3.270, 130 и 170т(сл*. 12.2). Пусть х,у и z доставлено соответственно на первый, второй и третий склады, тогда х +у = 400, у + z = 300, a z + X = 440. «Сложив» эти три равенства и разделив сумму на 2, получим: jc + у + z = 570.

20.4. Первая муха. Так как скорость второй мухи при спуске вдвое больше, когда вторая будет уже на полу, а первая на полпути вниз. Поскольку скорость первой мухи в 2 раза больше, чем скорость второй при подъеме, когда первая будет на полу, вторая поднимется на 1/4 пути вверх, а на полпути вверх первая настигнет вторую (см. 14.1).

20.5. Можно. Предположим, что нельзя найти 9 ящиков яблок одного сорта. Отсюда следует, что яблок каждого сорта имеется не более ящиков, т.е. всего не более 24 ящиков.

Задание 21

21.1. Равны. Пусть а = 2378, Ъ = 2379, тогда: 10 001а = 23 782 378, а 10 001Ô = 23 792 379, а исходные выражения равны, каждое 10 OOlab.

21.2. 36 учеников. Иногда удобно решать задачу, задавая себе вопросы: 1 ) какая часть от общего количества учеников отсутствовала вчера? - 1/9; 2) какая часть от общего количества учеников отсутствовала сегодня? - 1/6; 3) на сколько это больше, чем вчера? -на 1/6 - 1/9 = 1/18, что соответствует 2 ученикам.

21.3.1 и 6; 6 и 2. Пусть х - количество кусков длиной 12 см, тогда 102 - 12jc кратно 5. Следовательно, у числа 102 - 12jc последняя цифра - 0 (на 5 оно оканчиваться не может, так как делится на 2). Число 102 — 1 2jc оканчивается на 0, если jc = 1 или х -6.

21.4. Нет. Квадрат натурального числа может оканчиваться только на цифры 0, 1, 4, 5, 6 и 9.

21.5. Пусть буквами бич указан цвет передвигаемых шашек, тогда решение можно записать, например, так: бччбббччччбб бббчччччбббббччччбббччб.

Задание 22

22.1. З200 > 2300. З200 = 9100 , а 2300 = 8100.

22.2. 37,5 км/ч. Участок длиной 25 автомобиль преодолел за время 5/30 + 5/50 = 45/75.

22.3. Не менее 10. Если меньше, то среди них может оказаться 3 синих.

22.4. Нет. Сумма 1993 нечетных чисел нечетна.

22.5.527 диагоналей. Каждая вершина многоугольника соединена диагоналями со всеми остальными вершинами, кроме двух соседних. Поэтому у 34-угольника 34 х 31:2 диагоналей.

Задание 23

23.1.

23.2. Поровну. Выпили одну чашку кофе, а молока сначала долили 1/6 чашки, затем 1/3 чашки и, наконец, 1/2 чашки, т.е. тоже всего одну чашку.

23.3. Да. Пусть х>1. Если х кратно 3, его можно представить в виде X = 6 + Зк. Если х при делении на 3 дает остаток 1, его можно представить как х = 10 + 3/:, если х при делении на 3 дает остаток 2, то X = 6 + Зк. Отсюда следует, что любую сумму из целого числа рублей больше 7 можно уплатить без сдачи купюрами 3 и 5 рублей.

23.4. 99 999 785 960. Искомое число начинается с наибольшего возможного количества девяток. Будем «двигаться» по числу слева направо, вычеркивая все цифры, кроме 9. Вначале мы вычеркнем 27 цифр 12 345 6789101 И 213 141 516 171 819...5960 И получим число 9 9 20 212 223 242 526 272 829... 5960 и т.д. Таким образом, до каждой очередной девятки мы «добираемся», вычеркивая 19 цифр. Сделав еще два шага, мы зачеркнем 38 цифр и получим число 99 9995 051 525 354 555 657 585 960. За предыдущие шаги мы вычеркнули 84 цифры (нам осталось вычеркнуть еще 16 цифр), следовательно, до очередной девятки мы не «доберемся». Наибольшая цифра, до которой мы можем «добраться», вычеркнув 15 цифр, - это 7. Далее, вычеркнув 5, мы получим наибольшее возможное число.

23.5.25 м2. Так как площадь квадрата 100 м2, его сторона равна 10 м, тогда сторона клумбы -5 м.

Задание 24

24.1. 87. Рассуждения проведем в два этапа: 1 ) ab х 9 = аЪЪ, следовательно, ô = 7, так как только 7x9 оканчивается на 3; 2) al х 9 = <з73, следовательно, а = 8, так как исходное число кратно 9.

24.2. Поровну. После первого шага воды в сосудах поровну. Докажем, что, если на каком-либо нечетном шаге в сосудах воды поровну, на следующем нечетном шаге в сосудах будет тоже поровну. Действительно, разделив воду в одном сосуде на п частей

и добавив эту часть в другой сосуд, мы в нем получим п + 1 такую часть (так как перед этим воды в сосудах было поровну). Следовательно, когда на следующем шаге из второго сосуда одну из частей возвращаем обратно, мы просто восстанавливаем предыдущее состояние.

24.3. Да. 1«-=|.

24.4. Так как в турнире участвует 10 команд, количество игр, сыгранных каждой, может быть равно любому целому числу от 0 до 9 (всего 10 чисел). Однако не может быть ситуации, когда одна из команд не участвовала ни в одном матче, а другая играла во всех.

24.5. Выгоднее пилить шестиметровые. Чтобы напилить 42 метровых чурбака, из шестиметровых бревен требуется сделать 35 распилов, а из семиметровых - 36.

Задание 25

25.1. На45. 12 345 679x9= 111 111 111, значит, 12 345 679 х 45 = = 555 555 555 (см. 1.1).

25.2. Первый жук. Пусть s - расстояние А В, v - скорость первого жука, tx - время путешествия первого жука в обе стороны, t2 -время путешествия второго жука в обе стороны. Тогда: и = — = ^, а

25.3. 24. Пусть х - неизвестное число. Из условия задачи ясно, что: 1 ) числа 96 и 72 делятся на х без остатка; 2) число х > 18 (так как делитель всегда больше остатка).

25.4. Вася ошибся. Число ху2 + х?у четно.

25.5. а) 8 м и 64 м2; б) 12 м и 144 м2; в) 4,2 м и 17,64 м2.

Задание 26

26.1. Да. Например: сумма 1000 десятичных дробей, каждая из которых равна 0,001, равна 1. Сумма квадратов этих же дробей составляет 0,001 < 0,01.

26.2. Пронумеруем мешки и возьмем из каждого количество монет, соответствующее номеру мешка. Всего мы возьмем 1+2 + .. . + 10 = 55 монет. Если бы все они были настоящие, их общий вес составил бы 550 г, но среди них есть фальшивые, поэтому вес будет больше. Если фальшивые монеты в первом мешке, разница в весе составит 1 г, если во втором - 2 г, и так далее. Определив эту разницу, мы и узнаем, в каком мешке фальшивые монеты.

26.3. Пусть первое число - jc, тогда второе - (jc + 1 ), третье - (jc + 2), четвертое - (jc + 3). Тогда сумма этих чисел - 4jc + 6. Это число на 4 не делится, следовательно, сумма четырех последовательных натуральных чисел не может делиться на 4.

26.4. В безветренную погоду. Пусть s - расстояние между городами, v - скорость первого самолета, и - скорость ветра, t- время полета в обе стороны в безветренную погоду, t и t2 - время полета в одну сторону по ветру и без ветра соответственно. Тогда 2s = vf=v(t{ + t2)-u(t2 - /,). Если мы «уберем» слагаемое - u(tx -12\ левая часть равенства увеличится. Получим: vt < v(tx +12), откуда t<tx + tr

26.5. Предположим, что это возможно. Всякий многоугольник разбивает плоскость на две части. Будем «двигаться» вдоль прямой. В начале «движения» мы находимся вне многоугольника. Когда пересечем первую сторону, мы окажемся внутри многоугольника, затем снова вне и так далее. Пересекая сторону в четный раз, мы оказываемся вне многоугольника, в нечетный - внутри. Следовательно, после встречи с последней стороной мы окажемся внутри многоугольника, и прямая пересечет, как минимум, еще одну сторону. Получается, что прямая должна пересечь одну из сторон многоугольника 2 раза, что невозможно.

Задание 27

27.1. 20 га. Так как 25 % - это 1/4 остатка, 6 га - 3/4 остатка, а весь остаток - 8 га, тогда половина луга - 10 га.

27.2. См. рис.:

27.3. Нет. Число составное, так как сумма его цифр делится на 3.

27.4. Присвоим одному из мешков номер 0, другому - номер 1 и так далее. Поступим так же, как в задаче 26.2. При этом, если фальшивые монеты в мешке 0, общий вес всех взятых монет составит 550 г (см. 26.2).

27.5.6 раз. Гриша сделал на 12 выстрелов больше, чем предполагалось вначале.

Задание 28

28.1. 12 салфеток; 16 салфеток; 19 салфеток; 20 салфеток.

28.2. Нет. Если разорвать лист на 4 части, станет на 3 куска больше. Так как вначале был всего 1 лист, то после п разрывов будет Зп + 1 кусков, что ни при каком п не равно 50.

28.3. 15 км/ч.

28.4. За первое и второе взвешивание, составив из арбузов пары, создадим пару «легких» и пару «тяжелых» арбузов (выяснили, что: ах < а2 и Ь] < Ь2). За третье и четвертое взвешивание найдем в паре «легких» и в паре «тяжелых» арбузов более легкие. Возможны четыре варианта:

Вариант

Легкие арбузы

Тяжелые арбузы

I

a1

b1

b2

а2

II

а1

b1

а2

b2

III

b1

а1

b2

а2

IV

b1

а1

а2

b2

В первом и четвертом вариантах взвешиваний больше делать не надо, во втором сравним вес арбузов Ьх и av в третьем - ах и br

28.5. 0 000 123 450. Для получения меньшего числа выгодно оставлять 0 в начале числа.

Задание 29

29.1. Поровну. После переливания уровень краски в банке остался прежним, следовательно, белая краска, перелитая в банку с красной краской, была заменена таким же количеством красной краски.

29.2. Пусть m + п < 13. Докажем, что тп < 36. Предположим, что тп > 36, тогда хотя бы одно из чисел m или п больше 6. Предположим, что m > 6. Рассмотрев случаи, m = 7; 8; 9; 10 или 11, заметим, что при этом п < 5; 4; 3; 2 или 1. В каждом из этих случаев тп будет не больше 35; 32; 27, 20 или 11. Это противоречит тому, что произведение двух натуральных чисел больше 36.

29.3.

29.4. 8 книг. Так как каждая книга дороже рубля, то куплено не более 10 книг. Кроме того, понятно, что приобретено не менее 7 книг (так как куплено не менее одного альбома). Число 1056 делится на 8 и не делится на 7, 9 и 10.

29.5. См. рис.:

Задание 30

30.1. Да. Например: 203 = 29-7 и можно домножить еще на 167 единиц. Но 203 = 29 + 7 + 1 +...+ 1 (число 1 повторяется 167 раз).

30.2. См. 24.4.

30.3. Положим на чашки весов по одной детали. Возможны следующие случаи: 1) равновесие, тогда отличающаяся по весу деталь осталась «на столе»; 2) одна из монет перевесила, тогда отличающаяся по весу деталь «на весах». В каждом из этих случаев мы точно знаем, что две монеты настоящие. Второе взвешивание. Сравним одну из настоящих деталей с одной из сомнительных. Возможны еще два случая: 1 ) равновесие, нужная деталь - вторая из сомнительных; 2) если нет, то первая.

30.4. При умножении (а возведение в степень и есть умножение) последняя цифра произведения зависит только от последней цифры сомножителей. Следовательно, число I3 + 23 + ...9993 оканчивается на ту же последнюю цифру, что число (I3 + 23 + ...93)-100, т.е. на 0 (заметим, что слагаемые 103, 203...9903 не влияют на последнюю цифру числа).

30.5. На 7; на 11. См. рис.:

Список литературы

1. Фомин Д.В. Санкт-Петербургские математические олимпиады. -СПб., 1994.

2. Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении. - М, 1994.

3. Русанов В. Математические олимпиады младших школьников. -М., 1990.

4. Савин А.П. Занимательные математические задачи. - М., 1996.

5. Спивак А. Математический праздник. -М., 1995.

6. Шарыгин И., Ерганжиева Л. Наглядная геометрия. - М., 1992.

7. Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи. 60-я Московская математическая олимпиада. Подготовительный сборник. -М.: МЦНМО, 2001.

8. Ященко И.В. Приглашение на математический праздник. - М., МЦНМО, ЧеРо, 1998.

9. Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе математики 4-5 кл.: Кн. для учителя. - М., 1986.

10. Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. -М., 1992.

11. Бугаенко В. О. Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике. -М., 1995.

12. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика. Задачи на смекалку. -М., 1995.

13. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике: задачи логического характера: Кн. для учащихся 5-11 кл. - М., 1996.

14. Произволов В.В. Задачи на вырост. - М., 1996.

Учебное издание

Чулков Павел Викторович

Математика

Школьные олимпиады

Методическое пособие

5-6 классы

Редактор Л. В. Доценко Художественный редактор В. Е. Горин Художники: В. Е. Горин, Г В. Котлярова Технический редактор Ж. М. Голубева Компьютерная верстка С. П. Аникиной Корректоры: Г Ю. Копьева, H. Н. Смолина

Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.02.953.Д.002265.03.03 от 31.03.2003 г.

Подписано в печать 13.10.2003. Формат 60x90V,6. Бумага офсетная № 1. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 5,5. Уч.-изд. л. 5,6. Тираж 10 000 экз. (3-й завод 7 001-10 000 экз.). Изд. № 92/2. Заказ № 109.

ЗАО «Издательство НЦ ЭНАС». 115201, г. Москва, Каширское ш., д. 22, корп. 3. Тел./факс: (095) 113-53-90, 234-71-82. E-mail: adres@enas.ru http: // www.enas.ru

Отпечатано в типографии ООО «Галлея-Принт» с готовых диапозитивов. 111024, г. Москва, 5-я Кабельная ул., д. 26.

Впервые в России - новинка!

Вниманию классных руководителей и директоров школ!

Для безопасности Ваших учеников издательство НЦ ЭНАС выпустило в свет памятку

ЛИЧНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ ШКОЛЬНИКА

Допущено Департаментом образовательных программ и стандартов общего образования Минобразования России

Жизненно важные для школьника сведения изложены в алгоритмической форме, сочетающей иллюстрации с краткими комментариями. Это помогает школьникам лучше запомнить приведенные рекомендации по безопасному поведению. Книжка выпущена в карманном формате, и каждый подросток может постоянно носить ее с собой.

^ уметь предвидеть опасности

^ Оыть предельно внимательным и собранным

f знать правила поведения в критических ситдациях и способы выхода из них

ВСЕМУ ЭТОМУ ДОСТУПНО И ПРОСТО УЧИТ

ПАМЯТКА ШКОЛЬНИКА

Содержание:

• Куда звонить в экстремальных ситуациях

• Правила безопасности дорожного движения

• Правила поведения на транспорте

• Правила пожарной безопасности и поведения при пожаре

• Правила поведения при угрозе и во время взрыва (террористического акта)

• Правила безопасного поведения в быту

• Правила поведения в криминогенных ситуациях

• Безопасность при вооруженных конфликтах

• Правила поведения на природе

• Правила поведения на воде

• Правила поведения в чрезвычайных ситуациях

ПРИОБРЕСТИ ПАМЯТКУ МОЖНО В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ:

115201, г. Москва, Каширское ш., д. 22, корп. 3. Тел. (095) 234-71-82, Тел./факс: 113-30-72, 113-53-90. E-mail: pr@enas.ru Internet: www.enas.ru

Серия учебно-методических пособий

Вниманию педагогов-предметников!

Издательство НЦ ЭНАС

предлагает

ПОРТФЕЛЬ УЧИТЕПЯ

английский язык

• Занимательный урок. Сборники дополнительных материалов. 6-7 кл.; 8-9 кл.; 10-11 кл. / Сост.: Е.А. Балк, М.М. Леменёв.

ЛИТЕРАТУРА

• Смирнова Н.Е., Ципенко H.H. Легенды, мифы, эпос. Игровые уроки. 5-9 кл.

• Смирнова Н.Е., Ципенко H.H. Русские и зарубежные произведения. Игровые уроки. 5-6 кл.; 7кл.; 8 кл.

БИОЛОГИЯ

• Пименов A.B., Пименова И.Н. Дидактические материалы к разделу «Человек». 9 кл.

• Пименов A.B., Пименова Е.А. Дидактические материалы к разделу «Животные». 7 кл.

• Бабенко В. Г. и др. Материалы к урокам-экскурсиям.

• Шорина Н.И., Пятунина С.К., Ключникова Н.М. Практикум по ботанике. 6-7 кл.

• Шарова И.Х., Мосалов A.A. Практикум по зоологии. 7 кл.

ЭКОЛОГИЯ

• Фадеева Е.О., Бабенко В.Г. Организмы и среда их обитания: Практикум. 9 кл.; 10-11 кл.

ХИМИЯ

• Интересные уроки: Из зарубежного опыта преподавания /

Авт.-сост. В.Н. Головнер.

ЧЕРЧЕНИЕ

• Ройтман И.А. Задания на деталирование сборочных чертежей.

ОБЖ

• Дидактические материалы. 10-11 кл.

• Сборник нормативных и правовых документов по основам военной службы. 10-11 кл.

• Журнал планирования уроков.

Информация о выпуске книг

Преподавателям математики, учащимся!

Издательство НЦ ЭНАС

предлагает

Шейнина О.С, Соловьева Г.М. МАТЕМАТИКА

ЗАНЯТИЯ ШКОЛЬНОГО КРУЖКА 5-6 кл.

Серия «Портфель учителя»

Книга написана с целью помочь руководителю школьного математического кружка в проведении систематических (не менее двух раз в месяц) занятий, заинтересовать учеников дополняющими обязательный учебный материал сведениями о математике и математиках, выработать у них навыки устного счета, развить начала математического и логического мышления, расширить кругозор и, главное, пробудить желание заниматься изучением одной из основных наук.

Для учителей математики. Будет интересна ученикам и родителям - большая часть материала изложена в доступной форме.

ПРИОБРЕСТИ КНИГУ МОЖНО В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ:

115201, г. Москва, Каширское ш., д. 22, корп. 3. Тел. (095) 234-71-82, Тел./факс: 113-30-72, 113-53-90. E-mail: pr@enas.ru Internet: www.enas.ru

Уважаемый учитель!

Вы держите в руках книгу из серии «Портфель учителя».

Назначение серии — передать российскому учителю-предметнику разнообразный дополнительный материал, с помощью которого можно украсить, оживить урок, организовать увлекательные внеклассные занятия, школьные соревнования, олимпиады, наладить кружковую работу.

Начинающему учителю будут полезны методические и дидактические разработки авторов серии — талантливых ученых, опытных педагогов, учителей-новаторов, победителей конкурсов «Учитель года».

Обмен опытом через книгу — вот главная задача серии. «Портфель учителя» постоянно пополняется. Приглашаем учителей, которым есть чем поделиться со своими коллегами, стать авторами будущих книг серии.

«Издательство НЦ ЭНАС». 1 15201, Г. Москва, Каширское ш.. д. 22, корп. 3,

Тел. факс (095)113-53-90, www.enas.ru E-mail: cnaspr(5 cit\ linc.rii