Е.С. БЕРЕЗАНСКАЯ И Ф.Ф.НАГИБИН

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ УСТНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО АЛГЕБРЕ

ДЛЯ VI-VII КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

УЧПЕДГИ3-1949

Е. С. БЕРЕЗАНСКАЯ и Ф. Ф. НАГИБИН

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ УСТНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО АЛГЕБРЕ

ДЛЯ VI и VII КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

Утверждено Министерством просвещения РСФСР

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1949

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение................................... 3

Глава I. Буквенные выражения................. 14

Глава II. Положительные и отрицательне числа...... 39

Глава III. Одночлены и многочлены............... 67

Глава IV. Алгебраические дроби................. 93

Глава V. Пропорции......................... 108

Глава VI. Уравнение первой степени............... 114

Глава VII. Системы уравнений первой степени. Неравенства 132

Глава VIII. Извлечение квадратного корня............ 139

Редактор А. Л. Борисов. Техн. редактор Н. И. Махова.

Подписано к печати 23/IV 1949 г. A-U120S. Печатных листов 9. Учётно-издат. листов 7,94. Тираж 25 тыс. экз. Заказ № 60.

2-я типография „Печатный Двор“ им. А. М. Горького Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Ленинград, Гатчинская, 26.

ВВЕДЕНИЕ

I. Устные упражнения на уроках алгебры сводятся к двум основным типам. Первый тип — арифметико-алгебраические вычисления и преобразования; применение их к разрешению разнообразных вопросов школьного курса математики, а также некоторых вопросов практики. Второй тип — это упражнения-вопросы по содержанию того алгебраического материала, который изучается в средней школе.

Значение устных занятий на уроках алгебры велико.

Во-первых, эти занятия повышают общий уровень математического образования в средней школе и, что особенно важно, способствуют сознательному усвоению курса алгебры. Как известно, одним из самых распространённых и наиболее тяжёлых недостатков современного преподавания алгебры в средней школе является формализм. Одной из эффективных мер борьбы с этим недостатком и являются устные занятия на уроках алгебры.

Во-вторых, устные занятия на уроках алгебры совершенно законно признаются рациональным средством для развития и закрепления вычислительных навыков и навыков алгебраических преобразований.

В-третьих, устные занятия на уроках алгебры, если их правильно проводить, будут культивировать навыки быстрой и рациональной ориентировки в вопросах приложений алгебры к разрешению разнообразных практических вопросов.

В-четвёртых, рассматриваемый вид занятий по алгебре имеет, несомненно, и воспитательное значение, так как развивает внимательность, наблюдательность, сообразительность, инициативу и вместе с тем способствует развитию речи.

В-пятых, устные упражнения на уроках алгебры дают преподавателю немалые возможности для более экономного использования времени, отводимого для изучения алгебры,

в частности значительно облегчают систематические повторения пройденного и проверку усвоения изученного.

Далее, рассматриваемый вид работы вносит известное разнообразие в занятия и возбуждает у учащихся определённую заинтересованность.

Наконец, введение устных занятий на уроках алгебры может способствовать устранению крупного недостатка специального характера, наблюдаемого в настоящее время при изучении алгебры в массовой средней школе, а именно — увлечение подробными записями. Преувеличенная любовь к подробным алгебраическим записям, проявляемая многими преподавателями и культивируемая ими у своих учащихся, приносит вред в отношении овладения техникой алгебраических преобразований и вычислений.

Кроме того, скрупулёзность в записях и боязнь опустить даже самые простые этапы вычислений приводят к значительной потере времени.

Конечно, в начале изучения определённой операции записи должны быть полными, но затем они могут и должны сокращаться. Отдельные этапы этих операций должны выполняться устно, а следовательно, их можно не отражать в записях.

Всё сказанное о значении устных занятий на уроках алгебры заставляет сделать следующий вывод: этот вид работы должен стать составной и неотъемлемой частью всего процесса преподавания алгебры в нашей средней школе.

Значение устных занятий на уроках алгебры и некоторые общие вопросы методики проведения их неоднократно освещались как на страницах методических руководств по математике, так и во многих статьях различных периодических изданий.

Передовые преподаватели математики советской школы в последние годы начали довольно широко практиковать устные алгебраические занятия. Практика преподавания алгебры убедила их в необходимости такого рода занятий. Однако устные занятия на уроках алгебры в массовой средней школе всё ещё остаются неиспользованным резервом. Значительная часть преподающих алгебру либо совсем не практикует устные занятия, либо практикует их в гомеопатических дозах. Почему? Надо думать, прежде всего, потому, что вопросы методики проведения устных занятий на уроках алгебры конкретного разрешения ещё не получили. Опыт передовых преподавателей математики в этом отношении должным образом не изучен, а потому и не распространён.

До самого последнего времени не вышло в свет ни одного сборника устных упражнений по алгебре. Преподаватели, понимающие значение устных занятий на уроках алгебры, вынуждены поэтому много сил и времени расходовать на самостоятельное составление, а также на разыскивание в распространённых алгебраических задачниках таких упражнений, которые могут быть выполнены устно.

Предлагаемый нами сборник и имеет своей целью устранить одну из причин, мешающих устным упражнениям по алгебре стать органической частью процесса преподавания алгебры в нашей средней школе.

II. Содержанием устных упражнений на уроках алгебры являются: 1) повторение усвоенных в начальной школе и в V классе приёмов устного счёта, для чего можно воспользоваться имеющимися сборниками для устных вычислений. В настоящем сборнике с той же целью дана в небольшом объёме глава I; 2) закрепление этих известных учащимся приёмов на новом, алгебраическом материале, более серьёзное обоснование этих приёмов и дополнение их новыми (алгебраическими) приёмами устных вычислений.

В настоящем сборнике даны упражнения для устного решения и для полуписьменного. Упражнения расположены по темам ныне действующей программы алгебры VI и VII классов. Кроме того, во всех главах данного сборника даны упражнения подготовительного характера для последующего сознательного усвоения понятия функции, уравнения, неравенства, а также даны задачи на составление уравнений.

В данном сборнике имеются упражнения несколько повышенной трудности. Эти упражнения учитель математики может использовать в своей работе и в последующих классах, в частности при повторении курса алгебры предыдущих лет.

Составной частью устных занятий на уроках алгебры мы считаем разбор вопросов-упражнений, помещённых в сборнике. Эта работа должна способствовать математическому развитию учащихся и повышению уровня их алгебраических знаний.

Методика разбора вопросов-упражнений может быть достаточно разнообразной. Обычный приём состоит в том, что на уроке преподаватель математики формулирует вопросы один за другим и, дав учащимся возможность подумать, спрашивает ответ. Ответ одного ученика, если это окажется необходимым, исправляют или уточняют другие учащиеся и сам преподаватель. При этом обращается внимание на то, чтобы учащиеся для иллюстрации своих ответов приводили

конкретные примеры. Эти примеры, если они удачны, весьма часто свидетельствуют о сознательном усвоении программного материала. Иллюстрации учениками своих ответов на вопросы преподавателя конкретными примерами можно признать одним из способов преодоления формализма в их знаниях.

Рассмотренный приём имеет своей целью углубление алгебраических знаний. С той же целью вопросы-упражнения могут включаться в домашние задания, в устный опрос, проводимый для проверки знаний учащихся.

Применение его содействует воспитанию находчивости у учащихся и быстрой ориентировки в пройденном материале.

Следует подчеркнуть ещё возможность использовать вопросы-упражнения для индивидуальной работы с учащимися. Преподавателю, отчётливо представляющему пробелы в знаниях своих учеников, нужно давать отдельным учащимся на дом или во время самостоятельной работы в классе специально подобранные для них вопросы.

III. Устные занятия на уроках алгебры следует проводить так, чтобы время, отводимое для них, использовалось достаточно экономно. С этой целью необходимо: 1) заблаговременно подготовлять всё то, что понадобится при проведении устных занятий (заранее подобрать упражнения, продумать вопросы организации работы, заготовить таблицы, карточки и другие пособия, если предположено воспользоваться ими перед проведением занятий, выполнить необходимые записи на классной доске и т. д.); 2) не задерживаться на таких упражнениях, приёмы выполнения которых учащимися уже достаточно усвоены; 3) не решать заведомо лёгких для учащихся примеров и задач, не ставить заведомо лёгких вопросов, выполнять только упражнения, бьющие в намеченную цель; 4) до минимума свести различные записи; 5) из различных возможных приёмов решения примеров и задач пользоваться наиболее рациональным.

Само собой разумеется, что все числовые ответы к задачам и буквенные формулы должны быть также заранее подготовлены учителем.

Устные занятия на уроках алгебры проводятся в разное время: иногда в начале урока, иногда после рассмотрения теоретического вопроса, нередко в конце урока, в зависимости от характера урока и особенностей материала, подлежащего усвоению. Если основная цель урока — повторение изученных ранее вопросов, то устные занятия удобнее провести после проверки домашней работы. Если же на уроке пред-

положено познакомить учащихся с такими алгебраическими операциями, которые в некоторых случаях целесообразно выполнять устно, то естественно провести устные занятия сразу же после рассмотрения этих операций.

IV. Устное выполнение всякого упражнения распадается на три этапа: 1) ознакомление с упражнением, 2) выполнение упражнения, 3) проверка правильности выполнения упражнения и выводы из проделанной работы.

Для ознакомления учащихся с упражнениями применяются разнообразные приёмы. Иногда учащиеся усваивают упражнение со слов преподавателя. Этот приём практикуется в том случае, если упражнение достаточно просто по своей структуре и данным. Преподаватель чётко и ясно читает упражнение по задачнику или передаёт его своими словами. Упражнение, чтобы развивать внимание и память учащихся, читается один раз, при этом никакие записи ни на классной доске, ни в тетрадях не производятся. В случае, когда структура упражнения проста, но данные сложны для запоминания, одновременно с чтением упражнения преподаватель записывает данные на классной доске.

Нередко с упражнениями, предназначенными для устного выполнения, учащиеся знакомятся при помощи специальных пособий. К числу таких пособий можно отнести: 1) классные настенные таблицы1, 2) демонстрационные карточки и 3) карточки для индивидуального пользования. Классные настенные таблицы — это большие листы бумаги, на которых настолько крупно и чётко, чтобы видно было всем учащимся класса, определённым образом записаны числа и алгебраические выражения.

Используются такие таблицы довольно просто. Перед началом устных занятий соответствующая таблица вывешивается в классе. Преподаватель, вооружившись указкой, показывает учащимся определённые числа или алгебраические величины и сообщает, какие над ними операции должны быть выполнены. Учащиеся прочитывают по таблице указанное преподавателем и выполняют необходимые операции.

Демонстрационные карточки — это полоски бумаги, на которых достаточно крупно записаны упражнения для устного выполнения. В подходящий для этого момент по ходу урока преподаватель показывает учащимся одну за другой

1 См. гл. II — „Положительные и отрицательные числа“, №№ 278, 295 и гл. III — „Одночлены и многочлены“, № 421.

эти карточки, а учащиеся прочитывают и выполняют упражнения, записанные на них.

Индивидуальные карточки — листочки бумаги, на которых записаны некоторые упражнения для устного выполнения. Эти карточки перед устными занятиями раздаются учащимся. Получив такую карточку, учащийся последовательно знакомится с упражнениями и выполняет их. На следующий раз или даже на том же занятии те же самые карточки могут быть розданы учащимся в ином порядке. В данном сборнике имеется большой материал для индивидуальных карточек по всем разделам программы алгебры. Следует подчеркнуть, что индивидуальные карточки особенно ценны в работе с учащимися, имеющими пробелы в знаниях по пройденному ранее курсу.

Классные таблицы, демонстрационные и индивидуальные карточки ценны также тем, что устные занятия с помощью этих пособий могут проводиться молча, что иногда бывает полезно, а главное, время, отведённое по ходу урока для таких занятий, будет использовано весьма рационально.

Приёмы ознакомления учащихся с упражнениями, предназначенными для устного выполнения, от урока к уроку следует, конечно, разнообразить. Выбор приёма обусловливается, прежде всего, характером упражнений.

Относительно выполнения упражнений можно ограничиться несколькими замечаниями: 1) Немаловажное значение для правильного выполнения учащимися упражнений в классе имеет обстановка, в которой проходит работа. Устные занятия требуют от учащихся значительного напряжения внимания и особой сосредоточенности. Поэтому всё то, что отвлекает внимание учащихся от выполнения упражнений, должно устраняться. В классе должна быть тишина; с парт должно быть убрано всё ненужное для работы. 2) Время, отводимое для устного выполнения каждого упражнения, определяется характером его и натренированностью учащихся. 3) При устном выполнении упражнений важно добиваться применения учащимися наиболее рациональных приёмов вычислений и преобразований. Одного получения правильного результата, конечно, недостаточно; важно ещё получить этот результат возможно проще. Следует всемерно поощрять учащихся подходить к выполнению упражнений не формально, а творчески.

Ответственным этапом проведения устных занятий на уроках алгебры является третий этап работы — проверка. Этот этап имеет своей целью выяснение следующих вопросов: все

ли учащиеся выполняли упражнение, какие результаты получались, как эти результаты были найдены и какими приёмами целесообразнее было воспользоваться для выполнения предложенных упражнений. Поэтому следует говорить о двух сторонах проверки выполнения упражнений: количественной и качественной.

Количественная проверка проводится обыкновенно так: учащиеся, выполнив упражнение, поднимают в знак этого руки; преподаватель по числу поднятых рук устанавливает, кто выполнил упражнение. Конечно, следует всемерно добиваться того, чтобы выполнением упражнений занимались все учащиеся. Особое внимание при этом должно быть обращено на таких учащихся, которым свойственна некоторая инертность мышления, а также неверие в свои силы, но нет необходимости ожидать, чтобы все учащиеся подняли руки. Проверку можно начинать, когда большинство учащихся даст знать о выполнении упражнения.

Качественная проверка чаще всего проводится так: преподаватель предлагает 3—5 учащимся сообщить, какие у них получились результаты. Может оказаться, что среди названных ответов будут как верные, так и неверные. Преподавателю важно установить, кто из неспрошенных учащихся получил правильный результат и кто неправильный. С этой целью преподаватель повторяет некоторые из названных учащимися ответов и предлагает каждый раз поднять руки тем учащимся, у которых получился указанный ответ; иногда учащиеся приучаются поднимать руки вслед за ответами своих товарищей, спрошенных преподавателем, если у них получился тот же ответ. Затем сообщается, какой ответ справедлив, и обычно выясняется, как некоторыми учащимися этот ответ был получен и почему у некоторых получились неверные ответы, т. е. какие ошибки были допущены. В заключение преподаватель подвергает сравнению указанные учащимися приёмы выполнения упражнения и выделяет наиболее рациональные из них.

Иногда этот приём несколько видоизменяется: сокращаются отдельные этапы, устное сообщение учащимися ответов заменяется записью их на доске и т. д.

Существенный недостаток такого способа проверки выполнения упражнений — невозможность быстрого ознакомления с результатами, полученными каждым учащимся. Для устранения этого недостатка некоторые преподаватели математики перед устным выполнением упражнений учащимся раздают

небольшие чёрные дощечки или кусочки чёрного линолеума и мелки. Выполнив очередное упражнение, каждый учащийся достаточно крупно записывает на этой доске или линолеуме найденный результат и поднимает свою запись так, чтобы она была видна преподавателю. Окидывая взглядом эти записи, преподаватель устанавливает, какие результаты получены учащимися. Чтобы предупредить возможное при этом списывание ответов, иногда рядом сидящим учащимся дают различные упражнения. Чаще применяется более простой приём. Перед устным выполнением упражнений учащимся раздаются небольшие листочки бумаги. На этих листочках вначале записываются номера упражнений, а затем, по мере выполнения упражнений, против соответствующих номеров записываются найденные ответы. Эти листочки в конце устных занятий преподаватель собирает для проверки. Впрочем, возможна коллективная проверка этих записей.

Когда какой приём проверки целесообразен, зависит прежде всего от характера упражнений, а также от цели, которая ставится перед этими упражнениями. В начале усвоения новых приёмов удобен опрос учащихся. Если же устные занятия преследуют цель закрепления приобретённых навыков или проводятся как контрольные, удобен последний из рассмотренных приёмов. Навыки, приобретаемые учащимися в устных вычислениях, должны найти широкие и разносторонние применения на каждом уроке алгебры. Хорошо известно, что для овладения каким-либо инструментом необходимо пользоваться им достаточно часто и во всех тех случаях, когда это целесообразно. В противном случае инструмент окажется, во-первых, бесполезным, а, во-вторых, оставаясь без употребления, покроется ржавчиной, испортится. Аналогично, если не пользоваться навыками устных вычислений и преобразований в повседневных алгебраических занятиях, то они окажутся ненужным украшением алгебраических знаний, они будут бесполезными. Следовательно, преподавание алгебры должно проходить так, чтобы устное выполнение различных алгебраических упражнений или отдельных этапов их было составной и неотъемлемой частью этого процесса. Практически это означает, что во всех тех случаях, когда оказывается возможным и целесообразным устное выполнение различных алгебраических упражнений или отдельных этапов их, преподавателю следует настаивать на устной работе, всемерно поощряя учащихся в этом отношении. В частности, выполнение многих алгебраических упражнений по

своему характеру должно быть полуписьменным, при котором некоторые этапы выполнения упражнений не должны записываться; соответствующие вычисления и преобразования должны выполняться устно.

Указания к отдельным главам.

Глава I. В § 1 даны арифметические задачи с текстом, решаемые различными приёмами, известными учащимся из курса арифметики. Примеры, помещённые в этой главе, дают возможность повторить основные приёмы рациональных вычислений с целыми и дробными числами. Те и другие помещены в настоящем сборнике лишь для восстановления в памяти учащихся пройденного ими в курсе арифметики, на базе которого строится изучение алгебры.

Примеры №№ 24—29 учитель может использовать на уроке математики, проводя устные вычисления со всем классом. При этом, как обычно, или учитель сообщает ученикам условия упражнений, или сами учащиеся один за другим читают по задачнику текст упражнений и дают ответы. Эти же упражнения могут быть перенесены на заранее заготовленную стенную таблицу, пользуясь которой учитель проводит устные занятия с классом. Кроме того, приведённые примеры-упражнения могут быть использованы и для работы с отдельными учениками, если тексты примеров перенести на индивидуальные карточки. Например, 15 упражнений № 27 и др. можно дать на трёх карточках, по 5 упражнений на каждой. Из примеров этого номера можно также составить несколько карточек для того, чтобы одновременно раздать их нескольким ученикам. Так, на одной карточке можно поместить упражнения №№ 1 —10, на второй №№ 5—15, на третьей №№ 10—15 и 1—5, или сочетать их иначе (как правило, первые примеры на карточках не должны быть одинаковыми). В этом случае проверка работы учеников незатруднительна: учитель имеет у себя только один последовательный ряд ответов на все примеры. Подойдя к ученику, молча записавшему ответы решённых примеров, например №№ 5—15, учитель сличает их с имеющимися у него ответами, начиная с № 5 и далее.

Сделанные указания относятся ко многим упражнениям всех глав данного сборника.

Задачи на составление буквенных формул распределены по содержанию; они даны в §§ 3, 4 и 5 этой главы. Решать их следует, конечно, параллельно, беря упражнения из всех указанных параграфов.

Глава II. „Положительные и отрицательные числа“.

1. Для успешного проведения упражнений №№ 187, 188, 203, а также №№ 197, 198 и некоторых других полезно заранее заготовить на большом листе „числовую ось“. Упражнения №№ 232, 233, особенно №№ 277, 278 и аналогичные, целесообразно проводить с помощью заранее заготовленных стенных таблиц.

В этой главе имеется много упражнений, которые могут быть перенесены на индивидуальные карточки, о которых сказано выше; таковы, например №№ 191; 205; 219—224; 238—240; 244—245; 248—252 и многие другие.

2. Упражнения на составление и решение уравнений даны в § 8 этой главы (II). При желании преподаватель математики может дополнить число их упражнениями, помещёнными далее в главе VI настоящего сборника, специально посвященной вопросу изучения уравнений.

В то же время некоторые упражнения с рациональными числами, помещённые в главе II, учитель может использовать значительно позже для повторения и закрепления навыков учащихся в операциях с рациональными числами и для углубления многих вопросов теории (в соответствии с математическим развитием учащихся).

Сделанные замечания относятся и к последующим главам данного сборника.

3. В § 5 главы II („Степень числа“) помещено больше упражнений на вычисление степени числа, чем это требуется при изучении действий с рациональными числами. Учитель математики может постепенно использовать эти упражнения в процессе дальнейшей работы по алгебре. К тому времени, когда учащиеся приступят к изучению темы „Извлечение квадратного корня“, вопрос о „степени числа“ должен быть ими усвоен в указанном объёме.

Глава III. „Одночлены и многочлены“.

1. Для выполнения разнообразных упражнений с алгебраическими выражениями можно с успехом использовать стенную таблицу № 421.

2. В §§ 3, 4, 5 и 7 данной главы имеются задачи и примеры на уравнения. Как сказано выше, при желании дополнить число их, учитель может располагать задачами главы VI.

Глава IV. „Алгебраические дроби“.

В данной главе, в § 3, при изучении умножения алгебраических дробей предлагается сделать несколько упражнений на возведение в степень алгебраической дроби. Уместно до выполнения этих упражнений, повторить с учащимися соответствующие упражнения, имеющиеся в § 7 главы I и в § 5 главы II.

Глава VI. „Уравнения первой степени“.

Упражнения, данные в этой главе, в § 1, №№ 578—582, № 588 и некоторых других, оформлены в виде таблиц. Эти таблицы могут быть нанесены на индивидуальные карточки и даны отдельным учащимся для решения; они могут быть также использованы для работы всего класса в виде заранее заготовленных стенных таблиц.

Глава VII. „Системы уравнений первой степени“.

В §§ 1 и 3 этой главы даны упражнения в форме таблиц для отыскания числовых значений алгебраических выражений (§ 1, №№ 716, 719 и § 3, № 741). Можно рекомендовать учителю математики имеющиеся аналогичные упражнения (несколько первых упражнений в указанных § 1 и § 3, как, например, № 714, 715, 740 и др.), но сформулированные словесно, также оформить в виде таблиц. Как и в других подобных случаях, эти таблицы могут быть нанесены на индивидуальные карточки, но могут быть даны и в виде стенных таблиц.

Глава VIII. „Извлечение квадратного корня“.

Как уже выше сказано, прежде чем приступить к изучению вопроса об извлечении квадратного корня, следует повторить упражнения на возведение числа в степень (гл. I, § 7; гл. II, § 5; гл. IV, § 3). Большая часть упражнений §§ 1 и 2 этой главы может быть дана учащимся или на индивидуальных карточках, или на заранее заготовленных таблицах.

ГЛАВA I.

БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ.

§ 1. Арифметические задачи и примеры.

1. Найти произведение трёх последовательных нечётных чисел, большее из которых равно 11. (693)

2. Произведение двух чисел 0,683. Каждый сомножитель разделили на 0,01. Найти новое произведение. (6 830)

3. При делении некоторого числа на 2,5 получили в частном 11 и в остатке 0,5. Найти делимое. Проверить полученный ответ.

4. Произведение двух чисел равно 375. Если к одному из них прибавить 5, то в произведении получится 500. Какие это числа? (25 и 15)

6. В полдень от пристани отошёл пароход, скорость которого IS/см в час. В 3 часа дня от той же пристани отошёл второй пароход, нагнавший первый в полночь. Определить скорость второго парохода. (24 км в час)

6..а) Сумма двух чисел 48, а отношение большего числа к меньшему 1у. Найти большее из этих чисел. (27)

б) Разность двух чисел 6, а их отношение у. Найти меньшее число. (21)

7. Бак, длина которого 2 м, ширина 15 дм и высота 1 м, наполнен доверху водой. Сколько литров воды налито в этот бак? (3 000 л)

8. Сколько центнеров прессованного сена, 1 кубометр которого весит 60 кг, поместится в сарае, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда, если длина сарая 10 м, ширина 6 м, а высота 5 м? (ISO ц)

9. Прямоугольный участок земли размерами 100 м и 25 м огорожен изгородью. На сколько меньше по длине понадо-

бится изгороди для огораживания квадратного участка такой же площади? (На 50 м)

10. Расстояние в 25 м на плане изображено отрезком в 1 см. Найти числовой масштаб плана. ( 0 САА

11. Расстояние между двумя пунктами на плане, масштаб которого -J-QQQ- > равно 8,5 см. Определить действительное расстояние между этими пунктами. (85 м)

12. Найти у от числа, равного^ от 99. (44)

13. Найти неизвестное число, зная, что -g части от 4 этого неизвестного числа составляют 24. (80)

14. При размоле зерна от его веса получается муки. Сколько надо размолоть зерна, чтобы получить 2 m муки?

15. Из бака, наполненного доверху водой, вылили сначала 60°/о всей воды, а затем ещё 25°/0 остатка. Сколько процентов всей наполнявшей бак воды осталось в нём? (30°/0)

16. Сколько граммов борной кислоты следует взять на стакан воды (250 смъ), чтобы приготовить трёхпроцентный раствор для полоскания горла? (7,5 г)

17. Серебряный стакан весит 40 г; чистого серебра в нем 24 г. Определить пробу стакана. (0,600 = 600%о)

18. Двое рабочих должны выполнить некоторое задание. Если бы работал один первый рабочий, то он выполнил бы задание в 3 дня. Один второй рабочий справился бы с порученной работой в 2 дня. Во сколько дней выполнят поручение оба рабочие при совместной работе?

19. Чтобы из трюма парохода откачать воду, можно воспользоваться двумя насосами. Если воспользоваться одним первым, то вся вода будет удалена за 4 часа, а если одним вторым, то за 12 часов. Во сколько часов будет удалена вся вода при совместной работе обоих насосов? (За 3 часа)

20. Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода. Один проходил в час 4 км, а другой 5 км. Через сколько часов они встретились? Достаточно ли в задаче данных? Ввести недостающие данные в условие задачи и решить её.

21. Смешано 3 кг чаю I сорта по 60 руб. за I кг и 5 кг чаю II сорта. Какова стоимость 1кг смеси? Доста-

точно ли в задаче данных? Ввести недостающие данные в условие задачи и решить её.

22. Выполнить указанные действия:

23. а) Сколько раз 25 содержится в: 1) 400? 2) 800?

3) 750? 4) 925? 5) 1 000? 6) 1 275?

б) Сколько получится в частном и остатке при делении: 1) 436:50; 2) 436:25.

в) Сколько получится в остатке при делении на 3 и на 9 следующих чисел: 1) 10; 100; 1 000; 2) 198; 3) 549;

4) 945; 5) 765; 6) 361; 7) 275; 8) 814; 9) 903; 10) 726; 11) 512; 12) 1 239.

Указание. Дать ответ, не вычисляя „суммы цифр“.

24. Выполнить указанные действия:

25. Выполнить указанные действия:

26. Выполнить указанные действия:

27. Разделить:

28. Выполнить указанные действия:

Ответы:

29. Решить:

Ответы:

Указания. Пример записать; все вычисления выполнить устно.

Составить числовую формулу решения каждой из следующих задач:

30. Телеграфная проволока длиной 1 км весит 160 кг. Определить вес такой проволоки, протянутой в 4 линии на расстоянии 100 м. (160 • 0,1 • 4 кг)

31. На заводе имеется запас мазута 840 т. За каждые 5 дней расходуется 42 т. На сколько дней обеспечен завод мазутом? (—^—Дней)

32. 200 м медной проволоки весят 0,03 кг. Сколько метров такой проволоки будет в мотке, который весит 2,4 кг?

33. Найти площадь огорода прямоугольной формы, если ширина его равна 20 м, а длина на 7% больше.

[20 • (20 + 20 . 0,07) лс2]

34. Купили 24 м ситца по 9 руб. 25 коп. за метр и некоторое количество сатина по 11 руб. За всю покупку заплатили 222 руб. Сколько метров сатина купили?

35. Два велосипедиста выехали одновременно из двух пунктов навстречу друг другу. Расстояние между этими пунктами 21 км. Скорость одного велосипедиста 13 км в час, другого 14 км в час. Через сколько минут они встретятся?

36. Поезд проходит некоторое расстояние за 7 час. На сколько должна быть увеличена скорость поезда, чтобы это же расстояние было пройдено за 5 час?

37. На двух полках 96 книг. Если с одной полки снять 12 книг, то на обеих полках книг будет поровну. Сколько книг на каждой полке? (—^—ï —2--^ /

38. Составить задачу на смеси, которая решалась бы по такой числовой формуле:

39. Составить задачу на движение, которая решалась бы по такой числовой формуле:

40. Составить такую задачу на совместную работу, для решения которой нужно было бы произвести вычисления:

41. Составить задачи на проценты, которые решались бы по таким числовым формулам:

42. Составить задачу на прямо пропорциональную зависимость двух величин по числовой формуле:

43. Составить задачу на обратно пропорциональную зависимость двух величин по числовой формуле:

44. Составить задачу на нахождение двух чисел по их сумме и разности, если числовые формулы решения задачи:

45. Составить задачу на нахождение двух чисел, если известны их сумма и отношение, по следующим числовым формулам:

§ 2. Составление формул.

I. В следующих задачах дать решение сначала в виде числовой, затем буквенной формулы:

46. Столяр разрезал доску на три части. Одна часть длиной а = 75 см, другая Ъ = 90 см и третья с = 85 см. Найти длину доски.

47. Скорость пешехода составляет v = 6 км в час. Найти путь s, пройденный пешеходом в t = 4 часа.

48. Двумя насосами накачивали воду в резервуар. Первый насос в час накачивал а = 50 вёдер, a второй b = 80 вёдер. Сколько воды (Р) накачивали оба насоса, действуя одновременно, за t = b час?

[(50 + 80) -5 вёд.; Р = (а + Ъ) t]

49. Поезд шёл t час. со скоростью v км в час, а затем ещё t1 час. со скоростью vl км в час. Какова средняя скорость (л:) поезда за всё время?

50. Метр ситца стоит m руб., а метр сатина на п руб. дороже. Покупатель купил р метров сатина. Сколько метров ситца (л:) мог бы он купить на ту же сумму?

II. В нижеследующих задачах сперва дать решение в виде буквенной формулы, а затем найти числовые ответы при данных значениях букв:

51. 1) а рабочих выполнили работу за t дней. Во сколько дней (у) выполнят ту же работу при одинаковых условиях b рабочих?

2) а =16 человек; t = 9 дней; £=12 человек.

62. 1) За m метров сукна уплачено с руб. Сколько нужно уплатить за п метров того же сукна?

2) Вычислить ответ при условии, что m =12 м\ с = 240 руб.; л = 9 м.

[l> лг=^-л; 2) х=\80 руб.

53. 1) В одном ящике а килограммов чаю, а в другом b килограммов. Сколько выйдет пачек (у), если распределить весь чай по с килограммов в каждой пачке?

2) а = 36; 6 = 24; с = 5;

3) а = 180; 6 = 120; с= 10.

54. 1) В одном пионерском лагере а девочек и b мальчиков; в другом — m девочек и п мальчиков. Во сколько раз в одном лагере пионеров больше, чем в другом?

III. Выразить формулами следующие зависимости:

55. 1) Между месячной зарплатой s, числом дней работы в течение месяца t и средним дневным заработком с.

2) Между стоимостью 5 перевозки по железной дороге на расстояние / километров m тонн, и стоимостью перевозки с 1 m на расстояние в 1 км.

3) Между годовым доходом г с некоторого вклада, этим вкладом a руб., положенным в сберкассу на год, и процентной таксой р.

56. Завод по плану за t дней должен был выпустить п тонн готовой продукции. Фактически завод За t дней перевыполнил план на m тонн. Что показывают выражения:

57. 5 обозначает путь, пройденный равномерно движущимся телом; t — время движения и v — скорость движения. Что выражают формулы: 1) s= v-t; 2) v = j ; 3) / = - ?

58. 5 обозначает общую стоимость п килограммов товара по цене с руб. за 1 кг. Что выражают формулы: 1) s = c-n\

59. На какой вопрос отвечает формула:

1) x = a-b, если a — длина прямоугольника и b — его ширина (в метрах)?

2) лг = а2, если а — длина стороны квадрата (в сантиметрах)?

3) х = с-п, где с — окружность колеса (в метрах); п — число оборотов, сделанных колесом?

4) x = — f где 5 — путь (в метрах), пройденный колесом, окружность которого с метров?

5) х = — у если колесо прошло s метров, сделав (без скольжения) п оборотов?

6) x = ~~t если v — скорость движения колеса (метров в час), a t — число минут его вращения?

I) x=-~, где V — объём комнаты в кубических метрах, a s — площадь пола в квадратных метрах?

8) V=ad, где а — длина ребра куба в дециметрах?

§ 3. Математические зависимости.

60. Назвать число, которое:

1) на 17 больше 4л:; 4) в л: раз больше 50;

2) на За: меньше, чем 21; 5) в jc раз меньше 50;

3) в 4 раза меньше 7лг; 6) на Зл: больше суммы чисел а и 2.

61. Какое число: 7) составляет р°/а от q?

1) на р больше q? 8) относится к числу Ь, как

2) на р меньше^? 2:3?

3) в р раз больше д? 9) составляет _| числа Зж?

4) в р раз меньше q? о

5) на 2р меньше 5/;? Ю) составляет— частей от

6) составляет #-ю часть от числа т?

62. Первое число содержит а единиц, второе на b единиц больше его, а третье на с единиц меньше первого. Чему равна сумма этих трёх чисел?

63. Выразить формулой, что разность двух чисел а и Ь> будучи умножена на сумму тех же чисел, составляет т.

64. Выразить формулой следующее предложение: произведение трёх чисел делится на их сумму и в результате получается число а.

65. Даны два числа: а и Ь. Представить алгебраическим выражением: 1) произведение этих чисел, 2) частное их, 3) произведение суммы этих чисел на их разность, 4) частное от деления их суммы на разность, 5) полусумму этих чисел, 6) половину произведения этих чисел.

66. Представить алгебраическим выражением:

1) частное от деления суммы чисел m и п на произведение их;

2) разность между числом t и частным от делении х на у\

3) разность между частным от деления х на у и числом /.

67. Представить алгебраическим выражением:

1) сумму трёх последовательных натуральных чисел, первое из которых (т—1);

2) сумму трёх последовательных чётных чисел, первое из которых 2k\

3) сумму трёх последовательных нечётных чисел, первое из которых (2k—1).

Ответы: 1) (т — 1) + m + (m +1); 2) 2k + (2k + 2) + (2k + 4); 3) (2k — 1) + (2k + 1) + (2k + 3).

68. Представить алгебраическим выражением натуральное число, занимающее в натуральном ряде:

1) 2-е место после числа п\

2) 5-е место после р\ 4) k-e после т\

3) 6-е после 10а; 5) Ь-е после 10а. Ответы: 1) п-\-2; 2) р + 5; 3) \0а + 6; 4) m + k; 5) 10а + Ь.

69. Представить алгебраическим выражением натуральное число, которое:

1) в 5 раз меньше 10/г, 2) в m раз меньше 10тп\ 3) в п раз больше Ът\ 4) в натуральном ряде чисел занимает от начала п-е место; 5) в натуральном ряде чисел занимает п-е место после п.

Ответы: 1) 2п; 2) iO/i; 3) Зтп; 4) п; 5) 2п.

70. Дать ответ:

1) сколько месяцев в t годах?

2) сколько суток в m неделях?

3) сколько часов в х сутках?

4) сколько лет составляют b месяцев?

5) сколько часов составляют п минут?

6) сколько секунд составляют m часов?

7) сколько часов составляют t секунд?

71. Дать ответ: 1) сколько всего сантиметров в а метрах, b дециметрах, с сантиметрах?

2) выразить в килограммах составное именованное число: а тонн, b центнеров, с килограммов;

3) сколько квадратных метров в а арах?

4) сколько квадратных метров в а гектарах и b арах вместе?

5) сколько граммов в а килограммах и b граммах вместе?

6) сколько минут в m сутках и п часах?

7) сколько секунд в t сутках?

8) сколько кубических сантиметров в m кубических метрах?

72. Дать ответ: 1) Число делится без остатка на 3 и в частном получается х. Какое это число?

2) Число делится без остатка на m и в частном получается п. Какое это число?

3) Как обозначить число, которое в 7 раз больше Зу?

4) Какое число при делении на m даёт в частном 3 и в остатке 2?

5) Какое число при делении на х даёт в частном у и в остатке 1?

6) Какие числа при делении на 4 дают в частном q и в остатке 3; 2; 1; 0? Почему в этом случае не могут быть другие остатки?

Ответы: 1) Зл:; 2) тп; 3) 2\у; 4) Зт + 2; 5) ху + 1; 6) 4q + 3; 4*7+2; 4q+l; \q.

73. 1) Как обозначить число, у которого

а) X сотен, 5 десятков и 3 единицы;

б) 4 сотни, у десятков и 7 единиц?

2) Как обозначить числа, записанные теми же цифрами, какие указаны в предыдущей задаче, но в обратном порядке (обращенные числа)?

74. 1) Сколько всего единиц в числе, содержащем 5 десятков и 7 единиц? Сколько единиц в сумме цифр этого числа?

2) Сколько всего единиц в числе, содержащем а десятков и Ъ единиц? Сколько единиц в сумме цифр этого числа?

3) Сколько всего единиц в числе, содержащем х сотен, у десятков и z единиц? Сколько единиц в сумме цифр этого числа?

75. 1) Какое число при делении на b даёт в частном q и в остатке г?

(à.q + r)

2) Какое число составляет: а) п-ю часть числа 10? в) ^-ю часть числа р?

76. Какое число:

1) при умножении на 4 даёт число т?

2) при умножении на 5 даёт число k?

3) при умножении на m даёт число р?

77. 1) Сколько натуральных чисел между двумя числами: а) 9 и 12; б) 7 и 10; в) 4 и 9?

[а) 2; б) 2; в) 4]

2) Сколько натуральных чисел между двумя натуральными числами m и пу из которых первое меньше второго?

(п — m — 1)

78. Как обозначить произведение трёх последовательных целых чисел, из которых:

а) меньшее число т? б) большее число т? в) среднее число т?

79. Как обозначить:

1) трёхзначное число, в котором х сотен, у десятков и z единиц;

2) трёхзначное число, в котором х сотен, 0 десятков и z единиц?

3) трёхзначное число, в котором х сотен, у десятков и цифра единиц О?

4) трёхзначное число, в котором х сотен, число десятков и число единиц равно О?

80. Какой знак надо поставить между данными числами, чтобы выразить следующее:

1) число а больше числа 6, 2) число b меньше числа а, 3)число а больше 0?

Ответы: 1) а > Ь, 2) b < а, 3) а > 0.

81. О числе 10 а -\-Ь известно, что число десятков его меньше числа единиц. Выразить это неравенством. (а<Ь)

82. Выразить формулами, пользуясь любыми буквами, следующие математические предложения:

1) переместительный закон сложения;

2) переместительный закон умножения;

3) сочетательный закон сложения;

4) сочетательный закон умножения;

5) распределительный закон умножения по отношению к сумме;

6) основное свойство дроби;

7) правило умножения двух обыкновенных дробей;

8) правило деления двух обыкновенных дробей;

9) зависимость между делимым а, делителем Ьу частным q и остатком г.

83. Что можно сказать о числах, которые изображаются следующими алгебраическими выражениями, если все буквы обозначают целые числа:

§ 4. Задачи.

84. Сколько всего спичек на складе, если в одной коробке 50 спичек, в ящике п коробок, а на складе всего m ящиков? (50 тп)

85. Путь в 5 километров пройден за t часов. Какой путь можно пройти при той же скорости за п часов?

86. За X дней рабочий заработал Р рублей. Сколько он заработает за v дней, работая с той же производительностью и то же число часов в день? -у\

87. Для а человек сделан запас хлеба на t дней. На сколько дней хватит этого запаса для b человек? {^\

88. 1 кг муки даёт 400 г припёка. Сколько выйдет хлеба из а килограммов муки? (1,4 а)

89. От куска материи в M метров отрезали п раз по d метров. Сколько метров осталось в куске? (M — dn)

90. Сыну а лет; отец в 4 раза старше сына. Сколько лет будет отцу через t лет? (ia + t)

91. Сыну было а лет 4 года назад. Отец в п раз старше сына. Сколько сейчас лет отцу? [(а-\-4)-п]

92. Из имевшегося запаса сахара в M центнеров выдали в 2 магазина по m центнеров в каждый. Оставшийся сахар продали поровну трём колхозам. Сколько сахару купил каждый колхоз (у)? [у =-^-1

93. Чистый вес товара (нетто) Р центнеров, вес тары р килограммов. Найти вес товара вместе с тарой (брутто). (100 Р + р)

94. Стоимость отправления телеграммы определяется следующим образом: плата за каждое слово составляет а копеек, дополнительно плотят ещё b копеек. Сколько придётся заплатить при отправлении телеграммы, содержащей п слов? (ап-\-Ь)

95. На X рублей куплено а килограммов сливочного масла по 21 руб. за килограмм и b килограммов сахара.

Какова цена 1 кг сахара? —^—-j

96. Двое вышли одновременно из двух городов навстречу друг другу. Расстояние между городами / километров. Скорость первого vl км в час, скорость второго х>2 км в час.

Через сколько часов они встретятся?

97. Собака погналась за зайцем, находившимся на расстоянии / метров впереди её. Через сколько времени она догонит зайца, если скорость зайца vt м в минуту, а скорость собаки г>2 м в минуту (v2^>vt)? I—-—)

98. Поезд проходит 1 км в t минут. Сколько километров он пройдёт в у часов?

99. Расстояние между двумя пристанями по реке 5 километров. По течению от одной пристани до другой пароход идёт со скоростью vx км в час, а возвращается со скоростью v2 км в час. Сколько времени понадобится для прохождения всего пути? f~ + ~j

100. Смешано т1 граммов воды температуры tt °С и /я2 граммов воды температуры /2°С. Определить температуру получившейся смеси. ——

101. На концах расстояния в / метров стоят телеграфные столбы, причём расстояние между любыми двумя соседними столбиками равно 50 ж. Сколько всего столбов стоит на этом расстоянии, считая и крайние?

102. На расстоянии / метров через каждые m метров вбиты колья. Затем в каждом из образовавшихся промежутков вбито ещё по одному колу. Выразить формулой, сколько всего вбито кольев (я), считая и крайние. (^п=-^-\- 1 +

103. Бак содержит а вёдер воды. Через сколько минут выльется вся вода из бака, если каждые 4 минуты выливается Ь вёдер? [4- ==нгЧ

104. 3Д м материи стоят п рублей. Сколько стоят а метров этой материи? \^а^

105. Составить задачи, для решения которых нужно было бы воспользоваться формулами: \)x = ab-\-c; 2)х= а — - 9

106. В каждом из данных упражнений выразить любую букву через остальные:

§ 5. Задачи с геометрическим содержанием.

107. Длина комнаты а метров, ширина b метров, высота с метров. Побелка стен и потолка этой комнаты обошлась в m рублей. 1) Какую площадь побелили? 2) Сколько стоила побелка каждого метра?

Ответы:

108. / — длина комнаты в метрах. Как выразить ширину этой комнаты, если известно, что она на k дециметров меньше длины? [l — ~j

109. Из железного листа прямоугольной формы размерами а и b сантиметров вырезали квадрат со стороной k сантиметров. Найти площадь оставшейся части (х). (x = ab—&2)

110. Длина прямоугольного участка земли а метров, ширина на b метров меньше длины. Выразить формулой площадь этого участка s в арах. [$= ~ ^*qq^ )

111. Определить объём куба, ребро которого: 1) 6 дм; 2) а см; 3) м.

112. Определить объём прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого: 1) 5 см; 7 см; 8 см; 2) 2 см; а см; b см; 3) а дм; 3 см; b см; 4) р дм; q дм; г дм.

113. Площадь сечения колодца s квадратных метров, а объём воды в нём v кубических метров. Какова его глубина? (I)

114. Поле имеет прямоугольную форму. Его длина а километров, ширина b километров. Сколько аров содержит это поле?

115. Как велика площадь квадратного участка, сторона которого имеет длину m километров? Ответ дать в арах; в гектарах.

116. Выразить формулами правила для вычисления следующих площадей:

1) треугольника — надо взять полупроизведение чисел, измеряющих его основание (а) и высоту (h);

2) квадрата — надо взять квадрат его стороны (а);

3) поверхности куба с ребром а — надо взять сумму площадей всех его граней;

4) поверхности прямоугольного параллелепипеда, измерения которого а, Ь, с,— надо взять сумму площадей всех его граней.

117. Выразить формулами следующие правила, а именно для вычисления объёма:

1) куба с ребром х — надо взять куб его ребра;

2) прямоугольного параллелепипеда, измерения которого т, п, р,—надо взять их произведение.

118. 1) Прочесть правило вычисления длины окружности С ^3,14 d, где d — её диаметр;

2) Правило вычисления площади круга Q==^-r, где г—радиус круга.

119. Длина комнаты равна х метрам, ширина меньше длины на у метров, а высота меньше ширины на z метров. Выразить формулой объём комнаты V. [V=x(x—y)(x—y—z)\

120. Если а сантиметров и b сантиметров — стороны двух квадратов, то чему равно отношение площадей этих квадратов? ^yj- Два куба имеют рёбра соответственно а сантиметров и b сантиметров. Чему равно отношение объёмов этих кубов? [j^j

121. Прочесть правило вычисления объёма цилиндра V=B'H, где В—площадь круга, лежащего в основании цилиндра, H—высота цилиндра, и вычислить объём цилиндра (1/), если высота его Н=Ъ см, а диаметр d= 10 см.

Ответ: Длина окружности С = 3,14« 10 = 31,4(см); Я = ^. 10 = 31,4.5= 157(кв. см); К= 157-5 = 785 (куб. см).

122. 1) Вычислить площадь боковой поверхности 5 цилиндра, если высота цилиндра H = 20 см, а длина окружности основания С = 31,4 см. [5= 31,4-20 = 628 (кв. см)]

2) Прочесть правило вычисления площади боковой поверхности цилиндра S=C*H, где С — длина окружности основания, H—высота цилиндра.

§ 6. Порядок действий. Употребление скобок.

123. Произвести вычисления:

124. Произвести вычисления:

126. Вычислить:

Ответы: 1) 3000; 2) 7800; 3) 10.

Дать решение задач №№ 126 — 135 двумя способами. Показать, как можно записать решение с помощью скобок. Указать порядок действий в каждом ответе.

126. 1) Сколько было куплено печенья (Р), если сперва купили а килограммов, затем ещё b килограммов и ещё 10 КЗ?

2) Как прибавить сумму двух чисел к данному числу?

Ответ: Р = а + (£ + 10) = (а + £) + 10.

127. 1) Для учеников I, II и III классов купили m килограммов печенья. I классу дали п килограммов, II классу дали на 3 килограмма больше. Сколько печенья осталось для III класса (х)?

2) Как от данного числа отнять сумму двух чисел?

Ответ: х — m — п — (п-\-3) = (т — п — п) — 3.

128. 1) В I классе было m учеников, во II — п учеников. Из II класса двух учеников перевели в другую школу. Сколько учеников (х) осталось вместе в I и II классах?

2) Как к данному числу прибавить разность двух чисел?

Ответ: х = m + (п — 2) = (т -\-п) — 2.

129. 1) Высота комнаты с метров, длина а метров, ширина b метров. Найти площадь (S) стен этой комнаты.

2) Как сумму двух чисел умножить на третье число?

Ответ: 5 = 2ас + 2Ьс = (2а + 2Ь)-с.

130. Одновременно из двух пунктов А и В вышли друг другу навстречу 2 поезда: скорый, проходивший v км в час, и почтовый — со скоростью с км в час. Оба поезда встретились через 5 часов. Найти расстояние между пунктами А и В.

Ответ: L = (vс)-5.

131. 1) В кооператив привезли муку на четырёх грузовиках. На каждом грузовике было по m мешков, в каждом мешке по п килограммов муки. Сколько муки (Р) привезли в кооператив?

2) Как умножить число на произведение двух или трёх чисел?

Ответ: Р — п-(тЛ) — (п-т)Л.

132. 1) На четырёх грузовиках привезли всего m мешков муки. В каждом мешке было п килограммов муки. Сколько килограммов муки привезли на каждом грузовике?

2) Как можно разделить произведение двух чисел на третье число (не вычисляя произведения)?

Ответ: х = —т— — п • -.- • 4 4

133. Из склада, в котором было Р центнеров картофеля, продали часть картофеля, которую увезли на двух грузови-.ках. На каждый грузовик положили b тонн картофеля. Сколько центнеров картофеля осталось на складе (х)?

Ответ: х = Р— (\00Ь)-2 = Р— 100.(6-2).

134. Указать порядок действий и прочесть данные выражения:

135. Указать порядок действий:

§ 7. Возведение в степень.

136. Вычислить и запомнить ответ:

137. Вычислить:

138. Вычислить:

139. Вычислить:

140. Даны числа

Сколько получится, если: 1) возвести каждое из этих чисел в квадрат? 2) сперва удвоить каждое из данных чисел, затем полученные результаты возвести в квадрат?

Ответы:

141. Найти отношение данных чисел, а затем найти отношение их квадратов:

142. Указать порядок действий:

143. Указать порядок действий:

144. Вычислить:

145. Вычислить:

146. Прочесть следующие выражения и указать порядок действий в каждом из них:

147. Как выразить числовыми формулами:

1) разность квадратов чисел 13 и 12?

2) квадрат разности чисел 13 и 12?

3) квадрат произведения чисел 15 и 8?

4) куб произведения чисел 100 и 5?

5) произведение квадратов чисел 10 и 12?

6) удвоенную разность квадратов чисел 36 и 11?

7) утроенное произведение квадрата 15 на куб 2?

8) сумму квадратов чисел 270 и 310, увеличенную в 5 раз?

148. Как выразить формулами:

1) квадрат разности двух чисел к и г; и разность квадратов этих чисел?

2) куб суммы двух чисел m и п и куб разности этих же чисел?

3) сумму кубов двух чисел m и п и разность кубов тех же чисел?

4) утроенное произведение разности квадратов чисел а и b на сумму этих чисел?

§ 8. Числовые значения буквенных выражений.

149. Вычислить алгебраические выражения:

150. Вычислить алгебраические выражения:

Ответы: 1) 6; 2) 32; 3) 0.

151. Заполнить таблицу (произведя вычисления устно):

152. Заполнить таблицу:

153. Заполнить таблицу:

154. Каковы наименьшее и наибольшее значения выражения х-\-у, если X может быть равен любому целому числу, начиная с 8 и кончая 20, а у — любому целому числу, начиная с 10 и кончая 32? (18 и 52)

155. Каковы наименьшее и наибольшее значения выражения Щ— 1, если р может быть равно любому целому числу, начиная с 10 и кончая 30, a q — любому целому числу, начиная с 1 и кончая 10? (0 и 29)

156. Сумма двух чисел а-|-£ = 40; а принимает все целые значения от 1 до 39. Какие значения при этом принимает Ь? (От 39 до 1)*

157. Какие значения принимает алгебраическое выражение 0,01 *при*=1000;*=100;*=10;л;= 1; jc=0,1;jc=0,01?

158. Какие значения принимает алгебраическое выражение b , —, если а =10, a b принимает последовательно целые значения от 25 до 31?

159. Сумма чисел тип равна 144; m принимает последовательно значения 80; 85; 90; 95; 100; 105;... 140. Как должно изменяться при этом п?

Ответ: п должно принимать значения 64; 59; 54; 49;... 4.

160. Вместо букв в равенство а(Ь-\-с) = аЬ-\-ас подставить числа: 1) а = 10; b = 4; 2) а = 20; b = 2. Получатся ли одинаковые числа в левой и правой части? (Да)

161. Вместо а и b в выражении 2а-{-36 и 26-f-За подставить числа: 1) а = 20; 6 = 5; 2) а = 14; 6 = 6. Будут ли равны числовые значения этих выражений? (Нет)

162. Вместо m и п в выражения (/я-}-/г)2и /я2-{-/г2 подставить числа: 1) яг = 12; п = 2; 2) m = 9; п — 6. Будут ли равны числовые значения этих выражений? (Нет)

163. Путь, пройденный свободно падающим телом, приближённо вычисляется по формуле: 5=где 5 выражается в метрах, t — время падения в секундах. Вычислить путь, пройденный падающим камнем за 2 секунды от начала падения. (19,62 л)

164. Площадь трапеции вычисляется по формуле 5 = Л, где а и 6 — основания трапеции, a h—высота. Вычислить площадь трапеции: 1) а — 24 дм; b = А дм; h = 8 дм; 2) а = 105 м; 6=15 м; h = 32 м.

Ответ: 1) 112 дм2; 2) 1920 м*.

165. Площадь фигуры, ограниченной двумя концентрическими окружностями, радиусы которых R и г (R — радиус внешней окружности, а г—внутренней), вычисляется по формуле: 5= 3,14(/?* — г2). Вычислить площадь такой фигуры, если: 1) R = 8cm; г=1 см; 2) # = 6дм; г=5дм.

Ответы: 1) 5 = 3,14-15 = 31,4 + 15,7 = 47,1 (см*);

2) 5 = 3,14-11 =31,44-3,14 = 34,54 (см2).

166. В нижеследующих упражнениях придавать х значения чисел натурального ряда, начиная с 1. Какие значения при этом будет принимать у?

§ 9. Изменение результата действия при изменении данных. Уравнения.

167. В сумме tn-\-n = a m принимает все целые значения от 1 до 10, п остаётся постоянным. Как при этом изменяется сумма? (Сумма увеличивается, на 1, 2, 3 ... 9)

168. Длина прямоугольника а сантиметров, ширина его — b сантиметров. Как изменится площадь прямоугольника, если 1) длину и ширину увеличить в 2 раза; 2) длину и ширину увеличить в k раз; 3) длину увеличить в 3 раза, не изменяя ширины; 4) длину увеличить в 3 раза, а ширину уменьшить в 3 раза; 5) длину и ширину уменьшить в 5 раз; 6) длину увеличить в 4 раза, а ширину уменьшить в 2 раза?

Ответы: 1) увеличится в 4 раза; 2) увеличится в № раз; 3) увеличится в 3 раза; 4) не изменится; 5) уменьшится в 25 раз; 6) увеличится в 2 раза.

169. Длина ящика — а метров, ширина — b метров, высота— с метров. Как изменится объём ящика, если: 1) длину, ширину и высоту его увеличить в 3 раза; 2) длину, ширину и высоту уменьшить в 2 раза; 3) длину и ширину увеличить в 4 раза, оставив без изменения высоту; 4) длину увеличить в 5 раз, оставив без изменения ширину и высоту; 5) длину увеличить в 3 раза, ширину в 2 раза, высоту в 4 раза?

Ответы: 1) увеличится в 27 раз; 2) уменьшится в 8 раз; 3) увеличится в 16 раз; 4) увеличится в 5 раз; 5) увеличится в 24 раза.

Обозначить неизвестное число буквой х и найти его, зная, что оно:

170. 1) больше 9 на 5; 171. 1) вдвое меньше 0,01;

2) меньше 17 на 9; 2) на а больше 10;

3) больше 7 в 8 раз; 3) на 9 меньше Ь\

4) меньше 5 в 8 раз; 4) в m раз больше 11;

5) втрое больше 39. 5) в 5 раз меньше у.

В нижеследующих задачах 1) обозначить неизвестное число буквой х\ 2) составить уравнение для нахождения х и 3) найти неизвестное число.

172. Найти число, зная, что:

1) удвоенное число равно 10;

2) утроенное число составляет 10;

3) половина этого числа равна 7;

4) 0,3 искомого числа составляют 6.

Ответы: 1) 5; 2л: = 10; 2)3 i; Зс = 10;3) 14; £ =7; 4) 20; 0,3лг==6.

Найти число по следующим условиям:

173. 1) если к искомому числу прибавить 2,5, то получится 3,2;

2) если от искомого числа отнять 2, 5, то получится 3,2;

3) если искомое число отнять от 3, 2, то получится 2,5;

4) если искомое число разделить на 3, то получится ;

5) если 4 разделить на это число, то в частном получится 16.

174. Найти число по следующим условиям: 1) если к удвоенному искомому числу прибавить 4,5, то получится 9;

2) если утроенное искомое число разделить на 11, то получится 9 Yi ;

3) если 1000 разделить на искомое число, то получится 8;

4) если от 100 отнять утроенное искомое число, то получится 10;

5) если от половины искомого числа отнять 50, то получится 20.

175. Найти х: 176. Найти х:

177. Найти неизвестное число:

178. Найти х:

179. Найти х:

180. Найти х:

Решить пропорции (и проверить):

ГЛАВА II.

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

§ 1. Основные сведения.

183. Катер, отойдя от пристани, продвинулся на а километров вверх (против течения реки), а затем повернул обратно и продвинулся на b километров вниз (но течению реки). На сколько километров выше или ниже пристани находится катер, если: 1) а = 25 км; 6=18 км; 2) а = 25 км\ 6 = 44 км?

Ответы: 1) Выше пристани по реке на 7 км;

2) ниже пристани по реке на 19 км.

184. Человек имеет наличных денег а рублей и долгу b рублей. Сколько у него будет денег после уплаты долга? Вычислить при условии, что: а) а = 500; b = 300; б) а = 450; 6 = 450; в) а = 300; 6 = 500.

Ответ: а) +200 руб.; б) 0 руб.; в) — 200 руб.

185. Днём температура воздуха была -{-17 °С. К полуночи температура воздуха изменилась на —5,5 °С. Какова была температура воздуха в полночь? (-(-11,5°)

Наружный термометр показывает — 5 °С, а комнатный -|-17°С. На сколько градусов отличается комнатная температура от наружной? (Ha-J-22°)

186. Направление движения по течению реки принимается за положительное, а против течения — за отрицательное. Определить расстояние между двумя пароходами, если известно, что: 1) первый отошёл от пристани на -[- 32 км, второй на — 48 км

Показать искомые расстояния на числовой оси.

187. В полдень аэростат находился на высоте а метров над поверхностью земли. С 12 часов до 1 часу высота его изменилась на b метров, а с 1 часу до 2 часов — на с метров. На какой высоте находился аэростат в 2 часа, если: 1) а = 1200 м; Ь = -\- 400 м; с = -f300 м; 2) а =1200 м; b = — 500 м\ с = 600 м; 3) а = 1200 м; b = — 700 м; с = — 500 м?

Ответы: 1) 1900 м; 2) 1300 м; 3) 0 м.

188. Маневрирующий паровоз отошёл от станции в северном направлении, принятом за положительное, на а километров. Затем он прошёл b километров и наконец с километров. Где оказался паровоз в результате всех этих перемещений, если: 1) а = 30 км; b = — 20 км\ с =16 км; 2) а = 25 км; Ь = Ъ км; с = — 30 км; 3) а = 25 км; Ь = — 45 км; с = 5 км? Показать перемещения паровоза и результат на числовой оси.

Ответы: 1) 26 км; 2) 0 км; 3) — 15 км.

189. Продолжительность дня в Москве (от восхода до захода солнца):

1 января 7 час. 2 мин. 1 апреля 13 час. 3 мин.

1 февраля 8 час. 36 мин. 1 мая 15 час. 19 мин.

1 марта 10 час. 39 мин. 1 июня 17 час. 7 мин.

Выразить изменение продолжительности дня за указанные месяцы года.

Ответы: 1) за январь +1 час 34 мин.; 2) -f-2 часа 3 мин.; 3) -|-2 часа 24 мин.; 4) -f-2 часа 16 мин.; 5) + 1 час 48 мин.

190. Какие числа противоположны числам:

1) +5; 2) —8; 3) —1,82; 4) 0; 5) +0,017; 6) —0,017?

191. Какие числа обратны числам:

1) 5; 2) J; 3) 1; 4) 2 5) 0,5; 6) 3,4; 7) I; 8) 0,3?

192. Какие числа противоположны числам:

1) а — Ь; 2) а + Ь — с; 3) —Ь — с; 4) а — Ь + с; 5) —2л: + 5у?

Ответы: 1) 6 — а; 2)—а — Ь + с; 3)6 + с; 4)—а + Ь — с.

193. Чему равно число —а, если:

1) а = 5; 2) а=11; 3) а = — 7; 4) а = —18; 5) а = 0?

191. Какое число больше: 195. Какое число больше:

1) +5,4 или -f-8,2 1) —6 или 2

2) -|-5 или 0 2) —7 или —10

3) —8 или 0 3) —4,2 или —5

196. Вычислить длину отрезка числовой прямой, концами которой служат точки, изображающие числа:

1) 18; 64 4) — 19; —45

2) —14; 25 5) 0; —7

3) 16; —32 6) + 8; 0

Показать искомые отрезки на числовой оси.

Ответы: 1)43; 2)39; 3)48; 4)23; 5)7; 6)8.

197. 1) Даны числа: —5; —1^-; 8; 0; —5,3. Какое из этих чисел будет наибольшим и какое наименьшим?

2) Даны числа: —6; -j- 7,5; —9,2; —0,5. Какое из этих чисел наибольшее, какое наименьшее? У какого из этих чисел наибольшая абсолютная величина? У какого наименьшая абсолютная величина?

Ответы: 1) наибольшее 8, наименьшее — 5,3; 2) наибольшее 7,5, наименьшее — 9,2; наибольшая абсолютная величина у числа — 9,2, наименьшая абсолютная величина у числа — 0,5.

198. 1) Числа: —4; —1,25; 0; —5; 8; —0,4 расположить в порядке возрастания. Показать на числовой оси.

2) Числа: —4; 0,25; —6; 0; -j-; 5 расположить в порядке возрастания абсолютных величин.

3) Числа: —3,5; 5; —6; 2; —“2 » “f расположить в порядке убывания абсолютных величин.

199. 1) Какое целое число больше — 34, но меньше — 32? Показать ответ на числовой оси.

2) Какие целые числа заключены между —29 и —23? Показать ответ на числовой оси.

3) Какое целое число больше — 32 и меньше — 34?

4) Число с — d равно -J- 15. Чему равно число d— с?

5) Число а — b равно—10,5. Чему равно число b — а?

Ответы: 1) —33; 2) —28; —27; —26; —25; —24; 3) такого числа не существует; 4) —15; 5) + 10,5.

200. Какой знак неравенства надо поставить между данными числами:

§ 2. Сложение положительных и отрицательных чисел.

201. В сосуде имеется вода определённой температуры. Вначале температура этой воды изменилась на а°, затем на Ь°.

1) Каково общее изменение температуры воды? Вычислить ответ при условии:

202. Денежная сумма, находящаяся в кассе, вначале изменилась на а рублей, затем на b рублей. Найти: 1) общее изменение наличности кассы. Вычислить её при условии:

203. Выполнить сложение:

204. Выполнить сложение наиболее рациональным путём:

205. Выполнить сложение:

206, Выполнить действие:

207. В алгебраическое выражение х-\-у, затем в выражение у -4- X подставить:

и сравнить результаты, получившиеся при подстановке одних и тех же числовых значений букв. Формулировать закон, выраженный формулой х-\-у =у -\- х.

208. В алгебраические выражения (x-{-y)-\-z и х~г~ СУ ~f“z) подставить:

произвести вычисления и сравнить результаты, получающиеся при подстановке одних и тех же чисел.

Формулировать закон, выраженный формулой (х-\-у)-\-+ z = x + (y + z).

§ 3. Вычитание.

209. В 6 часов утра температура воздуха была а в полдень t%.

1) Как изменилась температура воздуха с 6 часов утра до 12 часов дня?

2) Вычислить ответ, если

a) tt = 11°; *2 = 14,3°; б) tx = 11°; t2 = 10,5°?

210. Утром уровень воды в реке был hx сантиметров, а вечером /г2 сантиметров.

1) Как изменился уровень воды в реке за день?

2) Вычислить ответ, если:

Ответы:

211. В течение учебного года в школу было принято р учащихся, а выбыло за то же время q учащихся.

1) Как изменилось число учащихся этой школы за год?

2) Вычислить ответ, если: а) р = 29, ^=15; б) /? = 29, q = W

Ответы: 1) на (р—q) учащихся; 2) а) + 14 учащихся, б) — 14 учащихся.

212. В полдень термометр показывал a0, a вечером Ь°. Дать ответ в общем виде и вычислить, как изменилась температура за время с полудня до вечера, если:

1)а = 22°; 6 = 18°; 2) а = 22°; £ = 24°; 3)а = -15°; £ = —19°; 4) а = — 5°; Ъ = Т\ 5) а = 6°; £ = -3°?

Ответы: b — a; 1) — 4°; 2) 2°; 3) — 4°; 4) 7°; 5) — 9°.

213. Наличность денег в кассе утром была а рублей, а вечером b рублей. Как изменилась наличность денег в кассе в течение дня, если:

1) а = 3 200 руб.; £ = 4 400 руб.;

2) а = 3 200 руб.; Ь= 900 руб.?

Ответы: Ь — а; 1) 1200 руб.; 2) —2300 руб.

214. Один человек проехал 300 км направо от станции М, а другой проехал 260 км налево. На каком расстоянии друг от друга они оказались? (560 км).

215. Утром температура воздуха была tx°, вечером t°v На сколько изменилась температура за день?

Вычислить результат при условии:

1) *, = + 3°, 2) <i= + SJ 3) tt=— 3°, 4) tl= — 3°, /2 = -|_5°; ^2 = — 5°; /2 = -]~5°; t% = — 5°.

Указание. Положительным считать ответ в том случае, если ртуть в термометре поднимается; отрицательным — если она опускается. Число делений (градусов) проверить на термометре.

216. Римский поэт Гораций родился в 65-м году до н. э. и умер в 8-м году до н. э. Сколько лет жил Гораций?

Ответ: (—8) —(— 65) = 57 (лет).

217. Римский поэт Овидий родился в 43-м году до н. э. и умер в 17-м году н. э. Сколько лет жил Овидий?

Ответ: (+ 17) — (— 43) = 60 (лет).

218. Днём 5 декабря 1947 г. у нас в РСФСР в Игарке было —37°, а в Туапсе 4-18°. Какова была разность тем-

ператур этих двух пунктов нашей страны днём 5 декабря? (По абсолютному значению.) 219. Выполнить вычитание:

220. Выполнить вычитание:

221. Вычислить:

222. Выполнить действие:

223. Вычислить:

224. Вычислить:

225. Выполнить действие:

226. Вычислить:

227. Вычислить:

228. Вычислить:

229. Представить в виде разности:

230. Представить в виде алгебраической суммы:

231. Дать ответ:

232. Вычислить:

233. Вычислить:

234. Между двумя данными числами вставить их среднее арифметическое:

Ответы упражнений 1) —3) показать на числовой оси.

§ 4. Умножение.

235. Пароход курсирует по линии, направление которой совпадает с направлением меридиана, и перемещается ежедневно на а°. В настоящий момент пароход находится на экваторе. Указать, на какой широте был пароход t дней назад (или будет через t дней), если

236. Температура воздуха изменяется каждый час на с°. Сейчас термометр показывает 0°. Какая температура будет через t часов, считая от данного момента (или была / часов назад)? Дать ответ в общем виде и вычислить, если:

237. Высота аэростата изменяется в течение некоторого времени равномерно на h метров в час. 1) Как изменится высота за t часов? Вычислить результат, если:

238. Вычислить:

239.

240. Вычислить:

241. Какой знак у произведения, если число сомножителей положительных 0 0 4 3 2 5, отрицательных 8 7 0 0 5 2?

242. В алгебраические выражения:

подставить вместо букв числовые значения:

произвести вычисления и сравнить получившиеся числа. Формулировать законы действий, выраженные указанными формулами.

§ 5. Степень числа.

243. Назвать квадраты последовательных натуральных чисел, начиная с 1 и кончая 20.

244. Вычислить:

245. Вычислить:

246. Вычислить разности между квадратами рядом стоящих натуральных чисел, первое из которых 1, а последнее 20.

Ответы: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39.

247. 1) Длина ребра ящика кубической формы m дециметров. Каков объём этого ящика (/я = 6)?

2) Каков объём пластинки с квадратным сечением, сторона которого а дециметров; высота пластинки b дециметров (а = 8; 6=1)?

3) Комната имеет следующие размеры: длина и ширина её а метров; высота b метров. Каков объём этой комнаты (в куб. метрах) и сколько воздуха по весу вмещает эта комната, если 1 мъ воздуха весит 1,2 кг?

4) Сказать, используя показатель степени, чему равна площадь каждой стены и всех стен комнаты, если длина и высота её х метров; ширина у метров. Вычислить ответ, если х = 4;у = 2,5.

248. Вычислить:

249. Вычислить:

250. Вычислить:

251. Вычислить:

252. В нижеследующих упражнениях указать порядок действий и вычислить:

253. В следующих упражнениях

1) указать порядок действий, затем

2) вычислить результаты:

1) (— 7)2 + (— 8)2 4) 2* + 0,72

2) (_ 13)* + 14* 5) 8* — 0,8*

3) (3*)* — (22)* 6) (7 + 9)2

Ответы: 1) 113; 2) 365; 3) 65; 4) 4,49; 5) 63,36; 6) 256.

254. В нижеследующих упражнениях

1) указать порядок действий, затем

2) вычислить результат:

1) 0,2* — 0,3* 4) ^ + 1

2) (0,2 — 0,3)* 5) 0,6* :(— З)2

3) (—l,l)2-f-(0,6)2 6) — 0,2*.0,3*

255. 1) Какова длина стороны квадрата, если площадь его 25 дм2?

2) Какой длины ребро куба, если объём его 27 дм2? 64 смъ? 125 мъ? 0,125 мъ?

256. Какие числа надо возвысить в квадрат, чтобы получить:

1) 16; 2) 36; 3) 100; 4) 121; 5) 625; 6)|5; 7) 1; 8) |g; 9) 0,04; 10) 0,25?

257. Какое число надо возвысить в куб, чтобы получить: 1) —8; 2) +8; 3) —27; 4) 125; 5) -216; 6) _i;7) l;8)

258. Определить знак результата:

259. Сравнить:

260. Поставить знак равенства или неравенства между числами:

261. Вычислить:

262. Вычислить:

где п — число натуральное.

263. Поставить знак равенства или неравенства между числами:

264. Найти числовое значение выражений:

265. Найти числовое значение выражения:

266. Вычислить:

§ 6. Деление.

267. Высота снежного покрова в течение п суток изменилась на а сантиметров. Как изменялась высота снежного покрова за сутки, если в этот промежуток времени она изменялась равномерно?

268. Температура воды в котле за t часов изменилась на т°. Как изменялась температура за 1 час, если известно, что это изменение происходило равномерно?

269. Вычислить:

270. Вычислить:

271. Вычислить:

272. Найти числа, обратные данным:

273. 1) Какое число получится, если 3 умножить на противоположное ему число? (—-g j

2) Какое число получится, если — умножить на обратное число? (1)

3) Какое число получится, если 1 -g- разделить: а) на противоположное число? б) на обратное число?

Ответы: а) — 1; б) 1.

274. В алгебраические выражения:

1) (а-\-Ь)\с и а:с-\-Ь:с

2) (а — Ь)\с и а:с — Ъ\ с

подставить числовые значения букв:

1) а = — 5; 6 = 6; с = — 4

2) а = 5; Ь = — 2\ с = 3,

произвести вычисления и сравнить получившиеся числа. Сказать правило деления суммы и разности двух или нескольких чисел.

276. Деление заменить умножением:

§ 7. Упражнения на четыре действия.

276. Дать ответ:

277. Таблица для беглого счёта на четыре действия с положительными и отрицательными числами:

Например:

278.

Таблица для упражнений в действиях над положительными и отрицательными числами

279. Вычислить среднее арифметическое чисел:

280. Найти числа, противоположные и обратные следующим числам:

282. Вычислить:

283. Вычислить:

284. Установить, какой из результатов больше (объяснить ответ):

285. Какой знак должен быть у множителя je, для того чтобы выражения были положительны?

286. Какой знак должен быть у множителя je, для того чтобы выражения были отрицательны?

287. Вычислить сумму:

1) 5 и числа, ему противоположного;

2) чисел, противоположных — 3 и -|-6;

3) чисел, противоположных —11 и —25;

4) числа —7 и противоположного —1.

288. Вычислить разность:

1) числа 3 и ему противоположного;

2) чисел, противоположных —5 и —2;

3) чисел, противоположных —7 и -f-9;

4) чисел, противоположных -f-1 и —у.

289. Вычислить произведение:

1) числа 3 и ему противоположного;

2) числа—-g- и ему противоположного;

3) числа -у и ему обратного;

4) — 2 ~ и ему обратного.

290. Вычислить частное от деления:

1) числа, противоположного — 28, на число, противоположное —£ î

2) числа, обратного — 28, на число, обратное--^ ;

3) произведения — 7 и ^ на произведение чисел, им обратных;

4) произведения —3 и —“5 на произведение чисел, им противоположных.

291. Вычислить среднее арифметическое чисел, пользуясь положительными и отрицательными числами:

292. Найти среднюю температуру и отклонение каждого показания термометра от средней по следующим данным; 1) 35°,7; 35°,6; 35°,9; 35°,8; 35°,5.

§ 8. Числовые значения алгебраических выражений. Уравнения.

293. При каких значениях х следующие выражения будут равны нулю?

1) 5-(-7)лг; 2) ( 8 х) • ( 5); 3) (4+ *):(-2)

294. Найти числовые значения выражений:

295. Найти числовые значения алгебраических выражений при заданных значениях входящих в них букв:

296. Найти числовые значения выражений:

297. Найти числовые значения алгебраического выражения '—^— при:

298. Вычислить:

299. Обозначить неизвестное через х, составить уравнение и решить его.

1) Какое число нужно прибавить к -|~ Ю, чтобы получить -f- 7?

2) Какое число следует прибавить к — 8, чтобы получить — 5?

3) К какому числу надо прибавить — 19, чтобы получить 8 ?

4) Из какого числа нужно вычесть — 25, чтобы получить 16?

5) Какое число нужно вычесть из —14, чтобы получить 12?

6) Какое число надо умножить на —9, чтобы получить 81?

300. 1) На какое число следует разделить — 120, чтобы получить — 24?

2) На какое число разделили — 65, если в ответе получили -J-5?

3) Какое число нужно разделить на —J— 10, чтобы получить — 7?

4) Какое число нужно разделить на — 15, чтобы получить — а?

301. В следующих задачах обозначить неизвестное через х, составить, решить уравнение и проверить ответ.

1) Сколько стоил 1 м материи, если известно, что покупатель имел 7 руб. и для покупки 4 м у него нехватило 1 руб.? (7-4лг = -1; х = 2)

2) Какая температура была утром, если к вечеру температура повысилась на 3° и термометр показал 1° тепла?

(аг + 30 = 1°; лг = -2°)

3) Сколько стоил 1 карандаш, если у покупателя, имевшего 3 руб., при покупке 20 карандашей нехватило 1 руб.?

(300 — 20л: = 110; л:=10)

302. Составить задачу с текстом, которая решается следующим уравнением (составить и проверить решение):

1) 68 — 5х = — 14;

2) лг° +4°=1°; 3) х° — 2° = — 8°.

303. Какие значения нужно придать х в выражениях:

чтобы получить нуль?

304. Чему равно число х, если:

306. Найти х:

306. Найти х:

307. Решить следующие уравнения и проверить ответ:

308. Найти число х, если:

309. Определить, для каких числовых значений х справедливы равенства:

§ 9. Вопросы.

310. 1) Взяв дробь у , отбросили знаменатель её, в результате получили число 3. а) На сколько новое число больше данного? б) Во сколько раз новое число больше данного?

2) В числе 5,26 зачеркнули запятую и получили целое число, а) На сколько новое число больше данного? б) Во сколько раз новое число больше данного? в) Сколько процентов составляет новое число от данного?

3) Какой получится результат: а) при вычитании из любого числа того же самого числа? б) при умножении любого числа на 0? в) при делении 0 на любое число, отличное от 0? г) при делении любого числа на то же самое число? (Привести примеры.)

4) Какой получится результат: а) при умножении любого числа на 1? б) при делении любого числа на 1? в) при возведении любого числа в степень, равную 1? г) при возведении 1 в любую натуральную степень? д) при возведении (— 1) в натуральную степень?

5) В каком случае х-у = х

Ответ: при л: = 0 или при у = 1.

311. В каких случаях:

1) Произведение а на b равно 1?

Ответ: а и b — числа взаимно обратные.

2) Произведение а на b равно О?

Ответ: число а или b равно 0.

3) Частное от деления a m b равно 0?

4) Частное от деления a m b равно—1?

Ответ: а и b — противоположные числа.

5) Сумма двух чисел а и b равна 0?

Ответ: а и b — числа противоположные.

6) Разность чисел а и b равна 0? (Привести примеры.)

Ответ: а = Ь.

7) В каком случае частное от деления неравных чисел — число целое? (Привести пример.)

Ответ: Делимое—число, кратное делителю.

8) В каком случае произведение целого числа а на дробь ~ будет: 1) больше, чем а? 2) меньше, чем а? 3) равно а? (Привести примеры.)

Ответы: 1) m > п; 2) /п < п; 3) m = п.

9) В каком случае сумма двух чисел меньше их разности? (Привести примеры.)

Ответ: Когда второе число отрицательное.

10) В каком случае сумма двух чисел равна их разности?

Ответ: Когда второе число 0.

11) В каком случае разность двух чисел а и b равна удвоенному уменьшаемому а?

Ответ: b = — а.

312. 1) Если а 9£ 0 и é ^ 0, то в каком случае а -\-Ь==0? Может ли а*Ь = О?

Ответ: а = — Ъ\ нет.

2) Известно, что а ^>Ь. Какое из трёх чисел: а, —£—,b наибольшее и какое наименьшее?

Ответ: а— наибольшее, b — наименьшее.

3) Известно, что а^>Ь. Какие знаки следует поставить между ас и be, если: 1) с^>0? 2) с = 0? 3) с<^0? (Привести примеры.)

Ответ: 1) ао be; 2) ас = be; 3) ас < be.

4) Известно, что а<^Ь. Какие знаки следует поставить между ас и be, если: 1) с^>0? 2) £=0? 3) с<^0?

Ответ: 1) <; 2) =; 3) >.

5) Что можно сказать о двух рациональных числах, если известно, что абсолютные значения их равны?

Ответ: Числа или равны, или противоположны друг другу.

6) Какое получится частное при делении — , если а ^0?

Ответ: dt 1.

7) Когда частное от деления а на b (а и b — числа положительные) больше а?

Ответ: b< 1.

313. 1) О числе X известно, что | х \ = 2. Где на числовой прямой может лежать точка, изображающая число х?

2) О числе X известно, что |jc|<^2. Где на числовой прямой может лежать точка, изображающая х?

3) О числе X известно, что |л;|^>2. Где на числовой прямой может лежать точка, изображающая х?

314. 1) Даны два числа: — 0,2 и —0,21. Указать: 1) отрицательное число, превосходящее каждое из этих чисел; 2) число, которое меньше каждого из этих чисел; 3) число, заключённое между этими числами; 4) положительное число, превосходящее данные числа. Показать ответы на числовой оси.

2) Как доказать, что между любыми двумя различными рациональными числами всегда найдутся другие рациональные числа?

3) Один и тот же смысл или разный имеют выражения:

1) прибавить и увеличить, 2) вычесть и уменьшить?

Указание: Рассмотреть примеры с целыми числами и дробными.

4) Чему равна разность любого рационального числа и противоположного ему?

Ответ: Удвоенному рациональному числу, которое взято.

5) Если один из двух сомножителей равен—1, то чему равно произведение?

Ответ: Числу, противоположному другому сомножителю.

6) Известна разность двух чисел. Что можно сказать о разности тех же чисел, если уменьшаемое принять за вычитаемое, а вычитаемое за уменьшаемое? (Привести пример.)

Ответ: Разностью будет число, противоположное данной разности.

7) Известно частное от деления одного числа на другое. Что можно сказать о частном, полученном при делении тех же чисел, если делимое принять за делитель, а делитель за делимое? (Привести пример.)

Ответ: Частным будет число, обратное данному частному.

315. Какой знак (равенства или неравенства) можно поставить между данными выражениями:

316. Если а — положительное число, а п — натуральное число, то чему равны степени:

1) (+аГ; 2) (-аГ; 3) (+ а)»“1; 4) (—а)*“; 5)(+а)ая+|; 6) (—а)2Л+1?

Ответы: 1)а2П; 2) а2п; 3)ашп'1; 4) — а2П~1; 5) аю+1; 6) — aw+K

317. 1) Какое число не изменяется при изменении его знака? (0)

2) Какое число равно своему обратному? (± \)

3) Равны ли числа — а1 и (—а)5? Проверить свой ответ на примере. (Да)

4) Равны ли числа — а4 и (—а)4? Проверить свой ответ на примере. (Нет)

5) Всё ли равно сказать: „произведение удвоенных чисел“ (а и Ь) или „удвоенное произведение чисел“ (а и 6)? Проверить свой ответ на примере.

Ответ: Нет, ибо 2а • 2Ь ф 2 ab.

6) Равны ли числа 43 и З4? 54 и 4В? Обладает ли действие возведения в степень переместительным свойством?

7) В каком случае: а) т-\-п<^т ? б) m — п^>т? (Привести пример.)

Ответ: При п < О-

8) В каком случае: а) 10«я<40? б) — ^>10? (Привести пример.)

Ответ: а) при ж 1; б) при 0 < п < 1.

318. 1) При каких условиях выражения: а) — а; б) — За; в) a-j-4; г) 4 — а; д) а— 10 изображают отрицательные числа?

Ответы: а) а > 0; б) а < 0; в) а < — 4; г) а > 4; д) а < 10.

2) Какой знак имеет произведение: а) двух взаимно обратных чисел? б) двух противоположных чисел, не равных 0?

Ответ: а) плюс; б) минус.

3) Каково наименьшее возможное значение следующих выражений: а) а2; б) (а— I)2; в) (а+3)2; г) (2а —4)2; д) (За — 5)2 и при каких значениях а оно получается?

Ответ: При значениях: а) а = 0; б) а = 1; в) а = — 3; г) а = 2; 5

д) а = -g- получается 0.

4) Какие значения имеет сумма а -f-1 а | при: а) а <^ 0; б) а>0; в) а = 0?

Ответ: а) 0; б) 2; в) 0.

5) Какие значения имеет разность \а\ — а при: а) а<^0; б) а>0?

Ответ: а) 2 | а |; б) 0.

319. Привести числовые примеры и указать условия, при которых:

320. Привести примеры и указать условие, при котором:

321. Привести числовые примеры и указать условие, при котором:

Указание: I. Вопросы 3), 4), 5) можно задать в такой формулировке: в каком случае число меньше, больше или равно своему утроенному (учетверённому, упятерённому и т. д.) числу?

II. Вопросы 6) и 7) можно задать в такой формулировке: в каком случае абсолютное значение числа равно самому числу? равно числу, ему противоположному?

322. Указать условие, при котором:

1) Сумма двух чисел меньше их разности: а-\-Ь<^а — Ь. (Привести примеры.)

2) Сумма двух чисел равна их разности: a-\-b = а — Ь.

Ответы: 1) £<0; 2) £=0.

ГЛАВА III.

ОДНОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ.

§ 1. Основные сведения.

323. Соединить подобные члены:

324. Записать следующие выражения с показателями степеней и коэфициентами:

325. Преобразовать алгебраические выражения, введя числовые коэфициенты и показатели степеней:

326. Указать, какие числовые коэфициенты имеют одночлены:

327. Преобразовать алгебраические выражения так, чтобы не было числовых коэфициентов и показателей степеней:

328. Представить без числовых коэфициентов (за исключением численного коэфициента, равного 1 ) и показателей степени следующие выражения:

329. Найти числовые значения одночлена — 7х*у*, при

1) х = — 2; у = 1 3) х = — 1; у= 1

2) х=1; у = —1 А) х = — 4; у = 0

330. Найти числовые значения многочлена 2х1— л;3 + + 2jc2— 6jc —f- 1 при

1) х= 1; 2)jc = 2; 3) * = —1; 4) * = — 2; 5) jc = 0.

331. Представить в виде разности:

1)7 + 3 4) (-а) + Ь

2)-5 + (-1) 5) (-«) + (-«) 3) (+а) + (-Ь) 6) т +

332. Представить в виде алгебраической суммы:

1) 3 — 9 4) 10 — 2 — 3 + 7 2)—3—1 о) a — b — c-\-d

3) a — b 6) 15 —(+24) —(—20)

333. Преобразовать:

1) а+£ представить в виде разности;

2) X — 2у — 5 представить в виде суммы;

3) а • b представить в виде частного; лч ЗаЧ abc*

4) и---у представить в виде произведения нескольких сомножителей.

334. Прочесть данный многочлен, представив его в виде алге1раической суммы:

1) а + 2 + ô — 3 — с; 2) — m + л — р — 4 + 3.

335. Даны числа:

1) + 3;+а; — 2;— Ь\ 2) — m; + 1; +/г, —3; —/7.

Составить из них алгебраические суммы.

336. Равны ли двучлены: (k — m) и (—/я + £)? (Да)

337. Заключить в скобки в данном многочлене а4 — — За3 — 2а + 7 последние два члена, поставив знак „—и перед ними.

338. Не изменяя значения выражения, переменить знаки перед скобками:

339. Переменить знаки перед скобками так, чтобы величина выражения не нарушилась:

1) 3*+ (у— 2z) — (2z — у)

2) m—(п — m) -[- (m — п)

340. Заключить члены в скобки так, чтобы в скобках получить одинаковые выражения:

1) a(p — q) + q — p; 2) p — q — a(q — p).

341. Представить в виде разности двух чисел следующие многочлены (двумя способами каждый):

1) a — b — c-\-d\ 2) a + b + c — d.

342. В каждом члене многочлена ах2 -\- bx* -f- сх назвать буквенные множители (коэфициенты), стоящие перед членами, содержащими букву х.

343. Выделить одночлены и многочлены из следующих целых рациональных алгебраических выражений:

1) а2 + а3; 2) — \тЧ\ 3) —0,1.

344. Определить степень одночлена — §а?Ькх2у относительно 1) а; 2) Ь\ 3) х\ 4) у\ 5) г.

345. Определить степень многочлена

Aaxzyz2 — -| Ьх*у*г + cz* относительно: 1) х\ 2) у\ 3) z.

346. Какого измерения следующие одночлены:

1) — ЗаЧ3с\ 2) 1тп*р; 3) ЪатЬп\ 4) xmynz?

347. Расположить многочлены:

I. По убывающим степеням буквы а:

1) за* _ 4а + а3; 2) 2а362 — -J аЪЧ +5а4^.

II. По возрастающим степеням буквы а:

3) 4a3ô2_3aô4_|_6a2ô_7. 4) 4/m3_|_„2a2_5/m_l

348. Указать числовые коэфициенты каждого члена алгебраической суммы:

349. Выделить однородные многочлены относительно X и у из следующих многочленов и указать измерение каждого из них:

Ответ: Однородные многочлены: 1) б-го измерения, 3) 2-го измерения, 4) 3-го измерения, 6) 3-го измерения.

350. Привести пример однородного многочлена относительно букв а и Ь\ 1) 2-го измерения; 2) 3-го измерения.

§ 2. Сложение и вычитание одночленов и многочленов.

351. Привести подобные члены в следующих многочленах:

352. Если возможно, соединить подобные члены в следующих выражениях:

353. Найти сумму одночленов:

354. Найти сумму и разность чисел вида:

355. Найти сумму многочленов:

356. Вычесть и проверить ответ сложением:

357. Освободиться от скобок и привести подобные члены в следующих алгебраических выражениях:

358. Соединить подобные члены, где это возможно:

359. Проверить, правильно ли выполнено действие (двумя способами):

360. Раскрыть скобки:

361. Многочлен а — Ь-\-с — d представить:

1) в виде суммы двух разностей, первая из которых равна (а — Ь)\

2) в виде суммы двух разностей, из которых первая равна (а — d)\

3) в виде разности, в которой а является уменьшаемым;

4) в виде разности, в которой а-\-с является уменьшаемым;

5) в виде разности, в которой а — b является уменьшаемым.

§ 3. Уравнения.

362. Решить уравнения:

363. Решить уравнения:

364. Решить уравнения и проверить ответ:

365. Решить уравнения:

366. Проверить, будет ли число:

1) —4 корнем уравнения 4х-—16—(2л: -f-10) = —34?

2) 0,5 корнем уравнения 2л: — (16л: -)- 14) — 6л: = —24?

367. В нижеследующих задачах обозначить неизвестное буквой X, составить и решить уравнение. Проверить полученный ответ.

1) Из двух смежных углов один в четыре раза больше другого. Какие это углы? (л+4л:=180°; 36°; 144°)

2) В вагоне ехало 65 человек, причём число женщин, ехавших в вагоне, было в два раза больше, чем число детей; женщин и мужчин было поровну. Сколько детей ехало в вагоне? сколько женщин? мужчин?

(jc+2jt+2;c=65; 13; 26; 26)

3) Три брата разделили между собой 48 руб. так, что старший брат получил в 3 раза, а средний в 2 раза больше, чем младший. Сколько денег получил младший брат? сколько получил средний? старший?

4) Мать старше сына на 20 лет. Дочь родилась на 3 года позже сына. Сколько лет сыну, дочери, матери, если сыну и дочери вместе 17 лет?

[х + (х — 3)=17; 7, 10, 30 лет].

5) На одной чашке весов лежат три одинаковых по весу куска мыла и гиря в 0,5 лгг, а на другой — гири, общим весом в 1,7 кг. Весы находятся в равновесии. Сколько весит один кусок мыла? (Зл;-f-0,5= 1,7; л:= 0,4)

6) В магазине было 36 кг сахару. Привезли ещё несколько мешков сахару, весом 50 кг каждый. После этого сахару в магазине оказалось 336 кг. Сколько мешков было привезено? (35 + 50лг = 336; л: = 6)

7) 120 лимонов необходимо разложить в две корзины так, чтобы в первой оказалось лимонов в 4 раза больше, чем во второй. Сколько лимонов нужно положить в каждую корзину? (4лг + лг=120; 96 и 24 лимона)

8) В трёх корзинах 178 яблок. Во второй втрое больше, а в третьей на 3 яблока больше, чем в первой. Сколько яблок было в каждой корзине?

[jt + 3jt + (jt 4-3) =178; 35, 105 и 38 яблок]

9) На складе была 1 m крупы трёх сортов. Сколько крупы было каждого сорта, если 2-го сорта было на 40 кг меньше, чем 1-го, а 3-го в 3 раза больше, чем 1-го?

[х + (х— 40) + Зл: = 1000; 208 кг; 168 кг; 624 кг]

10) Из одного города одновременно вышли 2 поезда, один со скоростью 60 км в час, другой со скоростью 40 км в час. Через сколько часов расстояние между поездами будет составлять 100 км?

(60л: — 40л: =100; х = 5 час.)

11) Найти 3 последовательных нечётных числа, сумма которых 75.

[X + (X + 2) + (X + 4) = 75; 23; 25; 27]

12) Найти 3 последовательных чётных числа, сумма которых 42.

[х + (х + 2) + (х + 4) = 42; 12; 14; 16]

13) Число 120 разделить на 2 части, из которых одна больще другой в 3 раза, и ещё на 20.

14) Из двух смежных углов один в 2 раза и ещё на 30° больше другого. Найти эти числа.

[х + (2х + 30°) = 180°; 50°; 130°]

15) Длина прямоугольника на 4 см больше его ширины. Периметр этого прямоугольника равен 28 см. Найти ширину и длину его. [2х + 2 (х + 4) = 28; 5 см и 9 см]

16) Периметр треугольника равен 20 см. Первая его сторона на 2 см больше, а вторая на 3 см меньше, чем третья. Узнать длину третьей стороны.

[х + (х + 2) + (х — 3) = 20; 7; 9; 4]

17) Найти число, если известно, что -g его и вместе составляют 36 единиц. х-\~^х = 36; х = 80^

18) От куска сукна отрезали сначала его, а затем ещё -g- и после этого осталось 25 м. Сколько метров было во всём куске? [х — ~ х—^х — 25; х = 40mJ

19) Найти число, третья часть которого на 2 больше пятой части его. --g-= 2; #= 15J

20) Какое число на 6 больше своей четвёртой части?

(х- ^=6; лг=8)

21) Частное от деления некоторого числа на 7 на две единицы меньше частного от деления того же числа на 5.

Найти это число. (у— -у =2; лг = 35^

22) Сумма двух чисел 64. При делении большего числа на меньшее получается в частном 3 и в остатке 4. Найти эти числа. [* + (Зл; + 4) = 64; 15 и 49]

23) Бригада выполнила данный ей план по добыче угля на 215°/0» что составило 4300 т. Какой план был дан бригаде? (2,15л; = 4300; jt = 2000 m)

24) Яблоки при сушке теряют 84°/0 своего веса. Сколько надо взять яблок, чтобы получить 32 кг сушёных?

(jt-0,16 = 32; X = 200 кг)

25) В сберкассу была положена некоторая сумма денег по 3°/0 годовых. Через 8 месяцев вклад и начисленные на

него процентные деньги составили 306 руб. Какая сумма была положена в сберкассу?

(X + 0,03*. \ =306; X = 300 руб.)

§ 4. Умножение одночленов и многочленов. Квадрат одночлена.

368. Вычислить:

369. Перемножить:

370. Выполнить умножение:

371. Выполнить умножение:

372. Перемножить:

373. Вычислить результат:

374. Возвести в квадрат: 1) — Ъху\ 2) — -^аЧ\ 3) 0,3а3£2; 4) — ЪхъуЧ\ 5) — 2а W; 6)— \атЬ*псъп.

376. Найти высший и низший члены произведений двух многочленов, не перемножая многочлены: 1) (Зл: — 5*2 + 2л3 — 5).(2*2 — 4л;4+10); 2) (Зу — 7у3 + + 4у2). (2у2 — 7у) . (— 4 + 2у + Зу9 — 5у3).

376. Определить коэфициент члена, содержащего л;3, в произведении многочленов 2л;3—л2 + 5 и —л;+ 5.

Указание: 2л:3 • 5 + х2 • л: = 11лг3. Ответ: 11.

377. Найти коэфициент при а2 в произведении многочленов За3 —5а2 + 6а—10 и а2 —а+ 2.

378. Заменить в выражении 19—2ал; букву х через:

1) 2у; 2) а*Ь; 3) 4а3; 4) 1 Ь) z—1.

379. При каких значениях а и b 1) произведение (ал + £)»(2л;—1) будет тождественно равно произведению (—4л; — 0,5) • (2л;—1)? 2) произведение (ах + Ь) • (1—л:) будет тождественно равно произведению (л;—1)-(2л; + 3)?

380. Вычислить произведение (а2 + Ь) (а4 — о2) (а2 — Ь) при а = 2; b = 4, не перемножая двучлены.

381. Решить уравнения и проверить ответ:

1) х(х — 2) = 0 3) 9(3 —2л;) = 27

2) 2(7л — 61)= 18 4) 5(3лг—1)—13л; = 0

382. 1) Каждый из трёх учащихся задумал число. Им предложили: утроить это число, отнять от полученного произведения 5, полученную разность удвоить и сказать окончательно получившийся результат. Один сказал, что у него получилось 14, у другого —4, у третьего —6. Какое число задумал каждый из трёх учащихся?

Ответы: (Зл: — 5) • 2 = 14; — 4; — 6. Задуманные числа: 4;

2) Составить самостоятельно аналогичные упражнения.

§ 5. Формулы сокращённого умножения. Уравнения.

383. Выполнить умножение:

384. Выполнить умножение:

386. Вычислить, пользуясь формулой:

386. Вычислить, пользуясь формулой:

387. Возвысить в квадрат:

1) (а —2) (2а+ 36)*;

388. Возвысить в квадрат:

389. Вычислить, пользуясь формулами сокращённого умножения:

390. Вычислить:

Указание: По формуле (10а + о)2 = а (а + 1) . 100 + 25; например, 7) 1152 вычисляем так: 11 • 12 = 132 и, приписывая справа 25, имеем 13 225; 5) ^8 =;8,5а вычисляем: 8 .9 = 72 и, приписывая справа 0,25 или ~, имеем 72,25, или 72 . 391. Выполнить действие:

392. Выполнить действие:

393. Вычислить:

394. Вычислить:

395. Вычислить:

Указания к упражнениям с 6) по 16): у сомножителей переставлены цифры десятков и единиц:

Указания к упражнениям с 17) по 20): у сомножителей число десятков в сумме составляет 10, а единиц поровну:

(10а + с) (ЮЬ + с) = ЮОаЬ + Юс (а + Ь) + с2 = (100а* + с2) + + Юс (а + Ь) = (ЮОаЬ + с2) + ЮОс; 43 . 63 = (2 400 + 9) + 300; 37 . 77 = 2 149 + 700 = 2849; 86 . 26 = 1636 + 600 = 2236.

Указания к упражнениям с 21) по 28): у сомножителей по ровну десятков, а единицы в сумме составляют 10:

(10а + Ь) (10а + с) = 100а2 + 10а . (Ь + с) + be = 100а2 + 100а + + Ьс=Ю0а(а + \) + Ьс; 64 . 66 = (6 . 7) • 100 + 4 . 6 или сразу 4224; 83. 87= 7 221; 12,7 . 12,3 = (12 • 13- 100 + 21) : 100= 156,21.

396. Вычислить: 1) 55 . 56; 2) 75 . 79; 3) 85 • 89.

Решение: 1) 552 + 55 = 3025 + 55 = 3080; 2) 752 + 75 - 4 = = 5625 + 300 = 5925; 3) 852 + 85 ■ 4 = 7225 + 340 = 7565.

397. Решить уравнение и проверить ответ:

1) (jc + 3)2 = Jt2 — 9 4) (х + 5)(х — 5) = х* — х

2) (х+1)* — ^ = 5 5) (у — 3)(у + 3)— у* = 3у

3) (x+2f = xl — 20

398. Решить нижеследующие задачи и проверить ответ:

1) Если сторону квадрата уменьшить на 1, то площадь его уменьшится на 5 кв. единиц. Какой длины сторона этого квадрата? Ответ: (x-\f = ^-5; х = 3.

2) Длина прямоугольника в 2 раза больше его ширины. Если к длине его прибавить 1 м, то площадь увеличится на 6 л*2. Найти ширину и длину этого прямоугольника.

Ответ: х (2х + 1) = 2х . х + 6; 6 м; \2 м.

3) Имеется земельный участок квадратной формы. Каждая его сторона удлинена на Юм; при этом площадь его увеличилась на 2 а. Сколько метров в стороне этого квадрата и какова его площадь?

Ответ: (х + 10)2 — х2 = 200; 5 м; 25 м*.

4) Сторона одного квадрата на m сантиметров больше стороны другого квадрата, а площадь первого квадрата на /г2 кв. сантиметров больше площади второго квадрата. Найти сторону первого квадрата.

399. Выполнить действие:

400. Какие члены надо добавить к следующим двучленам, чтобы получились квадраты суммы (или разности) двух выражений?

401. Выделить из данного трёхчлена квадрат суммы (или разности) двух чисел:

402. Объяснить, почему верны следующие равенства:

403. Назвать цифры результата:

404. Сказать результат:

405. Выполнить указанные действия:

406. Перемножить:

407. Произведение двух чисел представить в виде разности квадратов:

1) 26 - 14; 2) 43 . 37; 3) 42 . 38; 4) 39 . 37; 5) Доказать тождество: ху = [^~^^ j—2 ^У' ^ ^и каких Условиях X и у в формуле 5 будут целыми числами?

Ответы: 1) (20 + 6) (20 — 6) = 20s —6£; 2)40а — 3*; 3)40а —2а; 4) 38а— 1а; 6) X и у — оба чётные и нечётные числа.

§ 6. Деление одночленов и многочленов. Формулы сокращённого деления. Упражнения на четыре действия.

408. Разделить:

409. Разделить:

410. Выполнить деление:

411. Почему в данных примерах деление не выполняется нацело? Как записать ответ?

412. Выполнить деление:

413. Выполнить указанные действия:

414. Выполнить деление:

416. Выполнить деление:

416. Выполнить деление:

417. Для каких значений букв а и b не применимы формулы сокращённого деления 1) на (а — Ь) и 2) на (а-[-#)?

418. Выполнить деление:

419. Найти частное от деления:

420. Найти высший и низший члены частного от деления многочлена на многочлен, не производя деления многочленов, если известно, что деление выполняется нацело:

421. Таблица для упражнений в действиях над одночленами и многочленами.

§ 7. Вопросы и упражнения.

422. 1) Привести пример рационального алгебраического выражения.

2) Привести пример целого рационального алгебраического выражения.

3) а) Сказать в общем виде целый рациональный многочлен второй степени относительно буквы х\ третьей степени; первой степени.

(ах2 + дх+ с; ахг + Ьх2 + сх + d; ах + Ь)

б) Сколько членов в каждом из этих многочленов?

4) В каком случае сумма двух слагаемых равна одному из этих слагаемых? (Если другое слагаемое 0)

5) Когда сумма двух слагаемых равна 0? (Когда слагаемые — противоположные числа или нули)

6) Какое число надо вычесть из а, чтобы получить число, противоположное а? (2а)

7) К чему приводит умножение многочлена на (— 1)? (К перемене знака у всех его членов)

8) Чему равно произведение данного числа на число, обратное ему? (1)

9) Чему равно произведение данного числа на число, противоположное ему?

(Квадрату данного числа, взятому со знаком минус)

10) Сколько членов в произведении четырехчлена и трёхчлена (до приведения подобных членов)? (12)

11) Каково наименьшее возможное число членов в произведении двух многочленов? Почему?

(Два члена — произведения высших и низших членов многочленов — не имеют себе подобных)

12) Даны: делимое Л, делитель В, частное Q и остаток R. Как выразить зависимость между этими числами?

(Привести примеры.)

13) Всегда ли при делении многочленов безразлично, расположить ли оба многочлена по возрастающим или по убывающим степеням буквы, принятой за главную? В каком случае это не безразлично? (Привести пример.)

(Не безразлично в случае деления с остатком)

14) Даны два двучлена: ах-\-Ъ и cx-\-d.

а) Каким двучленом первой степени относительно буквы X выражается их сумма?

б) Каким трёхчленом второй степени относительно буквы X выражается их произведение?

Ответ: асх2 + (ad-fbe)х + bd.

15) Найти сумму любого двузначного числа и числа, полученного из него перестановкой цифр? (Привести пример.)

Ответ: (\0х +у) + (\0у -f х) = 11 (х + у).

423. 1) (—4аЬ-\-Ъ):(—1). Каков будет ответ? (\аЬ — 3)

2) Как изменится произведение abc, если каждый сомножитель умножить на х? (abc • xz)

3) Как изменится произведение abc, если к одному из сомножителей прибавить х? [(a + x)bc = abc + x • be]

4) В выражении Зал;2 положить х = ЪаЬ. (27 azb2)

5) Как, зная формулы для вычисления (а-\-Ь)* и (а-\-ЬУ> получить формулы для вычисления (а — Ь)* и (а—Ь)г?

Ответ: Заменить b через (— Ь).

6) Как, зная правило умножения (а — Ь)(с — rf), получить произведение (— Ь) • (— d) = bd?

Ответ: Положить а = с = 0.

7) Почему для отыскания высшего члена частного надо высший член делимого делить на высший член делителя?

Ответ: Потому, что высший член делимого есть произведение высших членов сомножителей.

8) В каком случае можно сразу найти низший член частного делением низшего члена делимого на низший член делителя?

Ответ: В случае деления нацело.

9) Берутся два произвольных многочлена с целыми коэфициентами. Какие коэфициенты будут иметь сумма, разность и произведение этих многочленов? Показать на примере и объяснить свой ответ.

10) Какие коэфициенты имеют сумма, разность и произведение двух многочленов с чётными коэфициентами?

Ответ: Чётные коэфициенты.

11) Какое выражение надо прибавить к (а — б)2, чтобы получить (a-f-£)2? (4ab)

424. Даны два числа: первое а, второе Ь. Выразить алгебраически: 1) сумму и разность квадратов их, 2) квадрат суммы и разности их, 3) произведение квадратов этих чисел и квадрат произведения их, 4) удвоенное произведение этих чисел, 5) сумму кубов этих чисел и куб суммы их, 6) утро-

енное произведение квадрата первого числа на второе, 7) сумму квадрата суммы этих чисел и квадрата разности их, 8) утроенную сумму кубов их и куб утроенной суммы их.

425. Обозначить данные числа в действиях сложения и умножения буквами а, Ь, с и выразить в виде формул:

1) Правила, как можно прибавить к данному числу сумму или разность двух других чисел, не вычисляя предварительно этой суммы или разности.

2) Как умножить или разделить произведение двух данных чисел на третье число.

426. Дать формулировки следующим равенствам, начиная с правой стороны, затем с левой:

1) (a-\-b)(a — b) = a2 — Ь2

2) (a — b){a2 + ab-\-b2) = a? — b*

3) (a-\-b)(a2 — аЬ-\-Ь*) = аъ-\-Ь*

4) (x-\-a)(x+b)==x2-\-(a + b).x+ab

427. 1) Какие коэфициенты у членов двучлена (а-\~Ь)? 2) Тот же вопрос для членов разложения биномов (a-f~#)2;

3) (a + by.

4) Вставить в треугольник Паскаля коэфициенты членов разложения бинома (а -\- й)4.

Зная коэфициенты членов в разложении (a-j-#)4 и закон составления разложения, сказать формулу для (а-\-Ь^.

Примечание. Желающие могут продолжить составление треугольника Паскаля и разложить (а-\~Ь), например, до п =10.

Ответ даётся треугольником Паскаля:

§ 8. Разложение алгебраических выражений на множители. Уравнения.

428. Одночлен 6х*у^г* представить в виде произведения двух множителей, один из которых равен:

1) 2ху\ 2) 3x2z2\ 3) — x*yz; 4) — 6x*yl] 5) —6xyz.

429. Разложить на множители следующие двучлены:

430. Разложить на множители следующие многочлены, вынося общий множитель за скобки:

431. Вынести за скобки множитель:

432. Вычислить:

433. Разложить на множители:

434. Разложить на множители:

435. Разложить на множители многочлены:

436. Разложить на множители двучлены:

437. Разложить на множители двучлены:

438. Разложить на множители:

439. Вычислить:

440. Представить в виде произведений следующие трёхчлены:

441. Разложить на множители:

442. Разложить на множители:

443. Разложить на множители:

444. Разложить на множители:

445. При каких значениях х обращается в нуль каждое из следующих произведений:

446. Решить уравнения:

447. 1) Произведение трёх последовательных чисел равно 0. Какие это числа? (Проверить ответ.)

2) Произведение трёх чисел, из которых каждое следующее на две единицы меньше предыдущего, равно 0. Какие это числа?

448. Найти корни двучлена:

449. Решить уравнения:

450. 1) Найти число, зная, что при умножении его на а получится на 10 больше, чем при умножении его на 3. Может ли а равняться 3?

2) Сумма произведений искомого числа на m и на 5 составляет Ь. Найти это число. 451. Решить уравнения:

452. Найти корни следующих двучленов и трёхчленов: (а и b— постоянные числа):

453. Решить уравнения:

454. Разложить на множители:

455. Разложить на множители:

456. 1) Доказать, неделя, что выражение (х*—-чу-Ку2)3-{-\-(х*-\-ху-\-у'2)2 делится нацело на многочлен 2л;2-]-2-у2.

Ответ: Делится, потому что делитель данного многочлена равен (х2 — ху +у2) + (jc2 + ху +у2) = 2х* + 2у2.

2) Доказать, не деля, что выражение а2 — с2 ~\- b (2а -\- Ь) делится нацело на трёхчлен а-\-Ь — с.

457. Разложить на множители:

458. Вычислить наиболее рациональным путём:

459. Указать, при каком условии данное уравнение имеет определённое решение, и найти его:

\) ах — Ь— с 5) ах -\-Ьх = аъ-\-Ьъ

2) ах — Ьх = а — b 6) ах — Ьх — а*—Ьъ

3) ах — Ьх = а* — Ь* 7) ax — bx = (a — bf

4) ах — bx = a*-\-b* — 2ab 8) a<2x+abx+b*x=a*—б3

460. Доказать, что: 1) сумма и произведение двух чётных чисел — число чётное; 2) сумма двух нечётных чисел — число чётное, а произведение — нечётное.

Ответы: 1) 2п + 2т = 2 (п + т); 2п-2т = \пт\ 2) (2п + 1) + + (2т + 1) = 2 (п + m + 1); (2/2+1) (2т + 1) = \тп + 2 (я + /и) + 1.

461. Доказать, что: 1) сумма двух последовательных натуральных чисел — нечётное число, а 2) произведение — чётное.

Ответы: 1) п-|~(п + 1) = 2п + 1; 2) п • (п~\-\)\ если п — чётное, то (п-\-\) нечётно; если п нечётно, то (п-{-\)— число чётное.

462. 1) Доказать, что произведение двух последовательных чётных чисел делится на 8.

Ответ: 2п • (2п -|- 2) = 4п • (п + 1), которое делится на 8, так как из двух последовательных натуральных чисел одно чётное (или я, или п 4- 1).

2) Доказать, что квадрат нечётного числа без 1 делится на 8.

463. 1) Доказать тождество (/я2— л2)2 -4- (2тп)* =

2) Доказать, что числа вида п*-\-п, где п—любое целое положительное число, являются чётными.

Ответ: п(п-\-\)— число чётное.

3) Доказать, что числа вида я3—я, при п — натуральном числе, делятся нацело на 6.

Ответ: /г8 — п = п(п + \)(п~ 1).

464. Из листа жести крестообразной формы (см. чертёж 1) перегибанием по пунктирным линиям сделана коробка.

1) Вывести формулу, выражающую площадь всех стенок и дна этой коробки.

2) Вычислить эту площадь при: 1) а =15 см; Ь = 2 см\ 2) при а = 17 см; £ = 3,5 см.

Ответ: S = а2 — \Ъ2; 1) 20Э см2; 2) 276,75 см2. 465. Вывести формулу для площади кольца, внешняя окружность которого имеет радиус /?, а внутренняя г. Вычислить площадь, если /?=25,2 см} а г = 24,8 см.

Ответ: S = к (R2 — г2); 5^3,14 . 50 . 0,4= 162,8 (см2).

466. Проверить, что на чертеже 2 представлены в виде площадей прямоугольников (и квадратов) следующие формулы:

Чертёж 1

Чертёж 2

сочетательный закон и

распределительный закон умножения;

ГЛАВА IV.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ.

§ 1. Основные сведения.

467. Привести к нормальному виду дроби:

468. Вычислить наиболее рациональным путём:

469. 1) Найти отношение следующих чисел: а к 7; 8 к Ъ. 2) Сколько процентов составляет 20 от 500?

3) Сколько процентов составляет число а от 500?

4) Сколько процентов составляет а от Ь?

470. 1) Найти Число (х), зная, что р процентов его составляет а?

2) Яблоки при сушке теряют 80°/0 своего веса. Сколько надо иметь свежих яблок, чтобы получить пуда сушёных? п кг сушёных?

Указание. 1 иуд 16 кг.

3) Сколько надо взять муки, дающей припёк в 45°/0, чтобы получить а килограммов хлеба? 29 кг хлеба?

4) Какова номинальная цена книги, если за неё уплатили m рублей при 15°/0 скидки? (Вычислить результат при m =1,7 руб.) (JÏL; 2 руб.)

471. Составить формулу для вычисления процентных денег с суммы в k рублей за п лет при процентной таксе р процентов (простых). (а=~ТЖ~~)

472. Размеры одного прямоугольного бруса а см, b см, и с см, а другого — ау см, bt см и ct см. Выразить формулой отношение их объёмов. (k=-a 'f СЛ

473. Груз, вес которого d килограммов, опирается на площадку в с кв. дециметров. Какое давление оказывает груз на 1 СЛ»? «г)

474. Моток железной проволоки, длина которой п метров, весит р килограммов. Сколько весит обрывок этой проволоки, длиною в 2 м7 (— кг)

476. Сколько вёдер воды вмещает прямоугольный бак, длина которого а метров, ширина b метров и высота с метров, если емкость ведра а литров? (-^---J

476. Пассажирский поезд проходит в tx час st километров, а товарный делает в /2 часа s2 километров. Во сколько раз пассажирский поезд движется быстрее товарного?

477. Рабочий и его ученик, работая одновременно, некоторую работу выполняют за t часов. Один рабочий ту же работу выполняет за п часов. Какую часть работы выполнит за 1 час ученик? —— = . 1

478. Один рабочий может выполнить некоторую работу в а дней, второй в b дней. Во сколько дней выполняют эту работу оба рабочие, работая одновременно?

479. В совхозе с участка в а гектар получен урожай ржи b тонн. Каков урожай ржи с I га этого участка в центнерах? [~~~а~~ **)

480. Выразить формулой отношение двузначного числа к сумме его цифр, если число десятков этого числа k, а число единиц п. 1 k + n )

481. Число зубцов одного из двух сцепленных зубчатых колёс п, а другого т. Сколько оборотов сделает второе колесо за время, в течение которого первое сделает k оборотов? оборотов j

482. Объём прямоугольного бруса v куб. дециметров. Длина основания а сантиметров, ширина основания b сантиметров. Составить формулу для определения высоты бруса.

483. Рабочий за / минут изготовляет п штук гвоздей. Сколько рабочему понадобится времени для изготовления m штук гвоздей? (LlüL мин.)

484. Кривизной дуги окружности называется число, обратное радиусу. Во сколько раз кривизна одной дуги радиуса тх больше кривизны второй дуги радиуса г2?

485. Представить в виде дробей следующие частные:

486. Вычислить -г при:

487. Указать, какие из следующих рациональных выражений целые:

488. Преобразовать дроби так, чтобы в числителе и знаменателе были одночлены с целыми коэфициентами:

489. Преобразовать дроби так, чтобы в числителе и знаменателе не было дробных коэфициентов:

490. Освободить рациональные дроби от дробных коэфициентов в числителе и знаменателе:

491. Установить, равны или нет следующие дроби:

492. Какая дробь не изменит своего значения, если:

1) к её числителю прибавить 3, а к знаменателю 5?

2) к её числителю прибавить х, а к знаменателю у?

493. Не изменяя величины дроби, преобразовать дробь так, чтобы перед ней стоял знак минус:

494. Верны ли следующие преобразования:

496. При каких значениях х данные дроби обращаются в О?

496. При каких значениях а или х не имеют смысла следующие выражения?

497. Исключить целую часть:

498. Сократить дроби:

499. Сократить дроби:

500. Делится ли нацело числитель на знаменатель в следующих дробях? (В случае деления нацело — дать ответ.)

501. Сократить дроби:

502. Сократить дроби:

503. Сократить дроби:

504. Сократить дроби:

505. Доказать, что дробь при любых числовых значениях х и у, при которых она имеет смысл, равна одному и тому же числу. Найти это число.

506. Не изменяя величины дроби, преобразовать дробь так, чтобы ни в числителе, ни в знаменателе её не было знака минус:

507. Пояснить тождества:

508. Найти несколько общих кратных для следующих одночленов:

509. Привести к общему знаменателю дроби:

510. Найти наименьшее общее кратное для следующих одночленов и многочленов:

511. Найти наименьший общий знаменатель следующих дробей:

512. Привести дроби к общему знаменателю:

§ 2. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Решение уравнений.

513. Найти алгебраические суммы дробей:

514. Выполнить указанные действия:

515. Выполнить указанные действия:

516. Выполнить указанные действия:

517. Доказать, что:

518. Выполнить указанные действия:

519. Выполнить указанные действия:

520. Решить уравнения и проверить ответ:

521. Решить уравнения:

§ 3. Умножение и деление алгебраических дробей. Упражнения на все действия.

523. Преобразовать произведения дробей в рациональные дроби:

524. Дать ответ:

525. Возвысить дроби в указанные степени:

526. Найти частное от деления дробей:

527. Выполнить указанное действие:

528. Выполнить деление:

529. Выполнить указанные действия:

530. При каких значениях входящих букв теряют смысл следующие выражения:

531. Выполнить действие:

532. Вычислить:

533. Вычислить:

534. Выполнить указанные действия:

535. Преобразовать:

536. Вычислить непрерывные дроби:

537. Указать, в каком случае (и привести примеры):

Ответы: \) а и b одинаковых знаков; 2) а = 0, b ф 0; 3) а и b различных знаков; 4) а кратно Ь; 5) а = 0, b ф 0; 6) а и b различных знаков; 7) = — у ; 8) л: = 0; 9) х=~\ 10) л: = — .

538. 1) Почему при делении многочлена на одночлен не может получиться одночлен? (Привести примеры.)

2) В каком случае алгебраическая дробь ~ (Ь ф 0) принимает значение, равное 0? (Когда а = 0)

3) При каком значении b выражение ~ не имеет смысла? (Ь = 0)

4) Будут ли тождественно равны:

Ответ: При а = b первое выражение теряет числовой смысл, второе же равняется 2а. Тождественны при a=fcb. X2 4- 1

5) Почему дробь ^ _ ^ ни при каком действительном значении х не может равняться 0? (х*-\-1^Ь0)

6) Почему дробь х2_^_ 1 при любых значениях х имеет смысл? (х2+1 ^=0)

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ.

539. 1) Какие действия над целыми числами дают всегда в результате целое число? (Показать на примерах.)

Ответ: Сложение, вычитание, умножение.

2) Какие действия над положительными числами дают всегда в результате положительное число?

Ответ: Три действия из четырёх (кроме вычитания).

3) Какие действия над рациональными числами дают всегда в результате рациональное число?

Ответ: Четыре действия, кроме деления на 0.

4) На какие числа достаточно делить каждое из следующих чисел, для того чтобы проверить, простое ли оно число: 139; 193; 223; 397; 619. Почему?

Ответ: Число 619 достаточно делить на 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; ибо 25я уже даёт 625.

5) Как доказать, что два чётных числа в сумме, разности и произведении дают тоже чётные числа?

Ответ: 2п ±2т = 2(п±т) 2п • 2т = \пт.

6) Как доказать, что два числа, кратные 3, дают в сумме и произведении тоже число, кратное 3?

Ответ: Зп -f- Зт = 3 (п + т) Зп • 3/71 = 9пт.

7) Как доказать, что чётное и нечётное числа в сумме дают нечётное число, а в произведении — чётное?

Ответ: 2п+(2k + I) = 2n + 2k + l = 2(/i + £) + l; 2п - (2k + 1) = Ш + 2п = 2п (2k + 1).

8) Как быстро высчитать сумму первых 20 натуральных чисел и сколько получится? Ответ: 21 • 10 = 210.

9) Найти среднее арифметическое пяти чисел: 1) 75; 74; 75; 77; 79; 2) 83; 84; 85; 82; 81.

540. 1) В каком случае произведение двух чисел равно частному от деления одного из них на другое? (Доказать.)

Ответ: у = Д • Ь(ЬфО)\ a = ab2; а(1 — Ь2) = 0; при а = 0; или b = ± 1.

2) Если а^>Ь. Что можно сказать об обратных им числах (а и b одинаковых знаков)?

Ответ: —<-,-. a b

3) Если а^>Ь\ в каком случае может быть а*<^Ь*? (Привести пример.)

Ответ: Ь<0 и |а |< [b|.

4) 5^>3; оба эти числа умножены на третье число х. В каком случае 5х%3х1

Ответ: х > 0; х = 0; х < 0.

5) Назвать несколько восьмизначных чисел, зная, что каждое из них не будет точным квадратом числа.

Указание: Взять последней цифрой: 2, 3, 7, 8, один 0.

6) Почему квадрат числа, оканчивающегося на 6, оканчивается такой же цифрой, как квадрат числа, оканчивающегося на 4?

Ответ: б2 = (10 — 4)2 = 102 — 2 • 10 • 4 + 42, или в общем виде (10а + б)а = [10 (а + 1) — 4]2.

7) Почему квадрат числа, оканчивающегося на 7, оканчивается такой же цифрой, как квадрат числа, оканчивающегося на 3? (Доказать.)

Ответ: 72 = (10 — З)2 = 102 — 2 . 10- З + З2.

8) Какими цифрами могут оканчиваться числа, если последние цифры их квадратов 4? 1?

Ответ: 2 и 8; 1 и 9.

9) Вычислить средний рост учеников III класса по данным, указанным в таблице: (Как вы считали?)

а)

б)

ГЛАВА V.

ПРОПОРЦИИ.

§ 1. Отношения.

541. Найти отношения: 1) у к -g ; 2) квадратного метра к гектару; 3) 5 квадратных метров к 10 арам; 4) одного кубического сантиметра к двум кубическим метрам; 5) пяти

центнеров к тонне;

542. Подобрать два числа, отношение которых было бы равно: 1) 2у; 2) 3^-.

543. Сумма двух чисел 0,5; разность их 0,1. Найти отношение большего из этих чисел к меньшему.

544. Отношение числа х к числу у равно z. Чему равно:

1) обратное отношение; 2) отношение обратных чисел?

Ответы: 1) — ; 2) — км

545. Найти отношение скоростей движения: 1) 1 —

1М \ КМ 1 л — ; 2) а— и Ь —. сек' 9 час сек

Ответ: 1)1:3,6; 2)^=^-.

546. Отношение дробных чисел заменить отношением целых чисел: 1) 0,25 :0,125; 2) -i : 0,05; 3) 2 у : 1-J ; 4) у : у •

547. Найти неизвестные члены отношений: 1) х: 1,5 = = 1,2; 2) 7:у = ^; 3) 4:х = 8; 4).у:-*- = 15.

Ответы: 1) 1,8; 2) 10-g-; 3) i-; 4) 7,5.

548. Найти неизвестное х из отношений: 1) 4л::5 = 8;

2) 3:0,5л: = 6; 3) а:2х = Ь; 4) 3x:2c = d; 5) т:3х = п.

Ответы: 1) 10; 2) 1; 3) ^; 4) Ç; 5) i .

549. Найти а\Ъ\су если известно, что

§ 2. Пропорции.

550. Проверить пропорции: 1) 16: 6 = 24 : 9; 2) 3,5 : 0,5 =

561. Данные пропорции заменить равенствами произведений:

552. Составить пропорции из следующих чисел:

553. Равенства произведений заменить пропорциями:

554. Найти х:

555. Найти неизвестные члены пропорций:

556. Дана пропорция а : b = х : d\ принимая за неизвестное Ь, выразить этот член через остальные. (b = —\

§ 3. Пропорциональная зависимость.

567. Удельный вес сухой сосны 0,5. Выразить формулой вес р(кг) сухой сосновой доски, если объём её у(дмд).

558. Один аршин равен 0,71 м. Составить формулу для перехода от измерения длин аршином к измерению тех же длин метром (Ь = 0,71а, где а — число аршин, b — число метров в той же длине).

559. Один фунт равен 0,41 кг. Выразить формулой зависимость между р — весом в фунтах и Я — весом того же вещества в килограммах. (Р = 0,41р)

560. Между двумя классами пропорционально числу учащихся распределены перья. В первом из этих классов а учащихся, во втором Ь. Сколько перьев получил второй класс, если первому выдано п перьев?

561. Длина тени, отбрасываемой вертикальным шестом, высотой в h метров, равна а метрам, а длина тени, отбрасываемой в то же время деревом, равна b метрам. Определить (у) высоту дерева.

Ответ: y:h = o:a; у = —.

562. Любая окружность длиннее своего диаметра в 3,14 раза (приближённо). Выразить формулой зависимость между длиной окружности С и диаметром этой окружности d.

(С<^3,Ш)

563. Один дюйм равен 2,54 см. Составить формулу для перехода от измерения длин предметов в дюймах а к измерению тех же длин в сантиметрах (/). (/ = 2,54ö)

564. Дано изменение пути (5), проходимого пешеходом в зависимости от времени его движения (t):

Будет ли путь прямо пропорционален времени движения? (Да)

565. Переменная величина z прямо пропорциональна переменной величине у. Если у = 2, то 2 = 5. Определить коэфициент пропорциональности и значения переменной величины z при у, равном: 1) 4; 2) 10; 3) 0,5. [2,5; 1) 10; 2) 25; 3) 1,25]

566. Стоимость товара в рублях прямо пропорциональна весу его в килограммах. Коэфициент пропорциональности

равен 0,8. Сколько стоят: 1) 15 до; 2) 60 кг; 3) 100 кг этого товара?

Ответы: 1) 12 руб.; 2) 48 руб.; 3) 80 руб.

567. Зависимость между переменными величинами X и у выражается формулой: у=2х-\-1. Являются ли величины X и у прямо пропорциональными? (Нет)

568. В сосуд, вес которого 50 г, наливается вода. Будут ли вес сосуда с водой и вес воды в сосуде прямо пропорциональными величинами? (Нет)

569. Разделить число х на части, пропорциональные числам а и о. —=—L; —=—= )

570. Зарплата трёх рабочих находится в отношении m:p\q. Какова зарплата каждого из рабочих, если всем им вместе было выплачено TV рублей?

571. 1) Отношение двух чисел равно у. Какую дробь первое число составляет от второго? Сколько процентов составляет первое число от второго? Какую дробь второе число составляет от первого? Сколько процентов второе число составляет от первого?

Ответ: 1; 80%; |; 125%.

2) Как изменится отношение, если: а) к предыдущему члену прибавить последующий? б) из предыдущего члена вычесть последующий? (Привести примеры.)

Ответы: а) увеличится на 1;

б) уменьшится на 1.

3) Как изменится отношение, если один из членов его умножить на число а, отличное от нуля? (Привести примеры.)

4) Изменится ли отношение, если члены его разделить на (— 1)? на а ф 0? (Нет)

5) Какая существует зависимость между отношением чисел, являющихся обратными относительно членов данного отношения, и отношением, обратным относительно данного? (Привести примеры.)

Ответ: Оба отношения будут обратны данному.

6) Сколько и какие пропорции можно получить из данной путём перестановки её членов? (Показать на примере.) (7)

7) Доказать справедливость производных пропорций:

4) —— =—-—; 5) ~i= c_d> если справедлива пропорция

Указание. Прибавить (и отнять) 1 от обеих частей пропорции.

572. В какой зависимости при равномерном движении находятся:

1) пройденный путь и скорость движения при постоянном времени движения?

2) время и скорость движения при постоянном пути?

3) пройденный путь и время движения при данной скорости?

Ответы: 1) и 3) —в прямо пропорциональной,

2) — в обратно пропорциональной зависимости.

573. В какой зависимости находятся:

1) площадь прямоугольника и его основание, при неизменной высоте?

2) площадь прямоугольника и его высота, при неизменном основании?

3) основание и высота, при неизменной площади?

574. Выделить прямо пропорциональные величины из следующих пар переменных величин:

1) длина окружности и радиус этой окружности;

2) начальный капитал и процентные деньги, получаемые с него за год, при неизменной процентной таксе;

3) площадь квадрата и сторона его;

4) объём куба и ребро его;

5) площадь круга и радиус его;

6) величина дроби и ее знаменатель, при постоянном числителе;

7) величина дроби и её числитель, при постоянном знаменателе.

575. Зависимость между переменными a, b и с выражается формулой ab = с. Какие из этих величин оказы-

ваются прямо пропорциональными и какие обратно пропорциональными, если:

1) а сохраняет постоянное значение?

2) b сохраняет постоянное значение?

3) с сохраняет постоянное значение?

Ответы: 1) с и b — прямо пропорциональны друг другу;

2) с и а — прямо пропорциональны и

3) а и b — обратно пропорциональны.

576. Зависимость между переменными a, b и q выражается формулой a: b = q. Какие из этих величин оказываются прямо пропорциональными и какие обратно пропорциональными, если: 1) а — постоянно; 2) b — постоянно; 3) q — постоянно?

Ответы: \) b и q — обратно пропорциональны друг другу;

2) а и q — прямо пропорциональны и

3) а и b — прямо пропорциональны.

577. Указать, какие из величин, входящих в левые (а затем в правые) части равенств, прямо пропорциональны и какие обратно пропорциональны величинам, записанным в правых (а затем в левых) частях:

ГЛАВА VI.

УРАВНЕНИЕ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.

§ 1. Понятие уравнения.

578. Подставить в линейный двучлен бх—10 данные числа: —2; —1; 0; 1; 2; 3; 4; 5, вычислить соответствующие значения двучлена и результаты внести в таблицу:

Как изменяется величина двучлена бх—10 при возрастании X? При каком значении х числовое значение двучлена дх—10 равно 0?

Ответ: Возрастает; при х = 2 двучлен равен 0.

579. Заполнить таблицу:

При каком значении х линейные двучлены Зх—12 и — 2х-\-3 имеют одно и тоже числовое значение? (При * = 3)

580. Какие значения принимает выражение ^ , если п принимает значение всех целых чисел от 0 до 9?

581. Зная значения х} вычислить соответствующие значения у=х*— 2х (и подставить в таблицу):

582. Вычислить т__п Для данных значений тип. Заполнить таблицу:

583. Зависимость у от х выражается формулой: 1) у = = л: + 3; 2) у = 2х — 3; 3) у = — * + 6. Выразить х в зависимости от у.

584. Зависимость между хау выражается формулой: 1) ху = 60; 2) jc = y ; 3)yx* = k. Как выразить явно зависимость у от X?

585. Даны зависимости у от х: 1) у = 2л;-(- л:3; 2) у = = Зл* — лг4 -}- 5; 3) у = 2л;3 — 4л;5. В каком из этих трёх случаев у изменяет знак при изменении знака х?

586. Какие значения принимает у = ——-г, если х — числа натурального ряда, начиная cl?

587. Каково наибольшее значение

588. Составить разность между числами натурального ряда и числами, им обратными: п — —, где п принимает значения от 1 до 10.

589. Показать, что данные равенства всегда верны:

590. При каком значении х двучлен 1-й степени 2х -{-10 численно равен: 1) 0; 2) 10; 3) —5?

Ответы: 1) — 5; 2) 0; 3) — 7 у .

591. Найти значение л:, при котором двучлены Ъх—1 и 2л;+1 имеют одинаковое числовое значение. (л: = 2)

592. Какое число надо подставить вместо х в двучлены X — 7 и 7—Ху чтобы числовые значения этих двучленов оказались равными? (7)

593. При каких значениях х выражения 3* — 4 и 4(х—1) — X будут иметь одно и то же числовое значение?

(При любых)

594. Указать степень уравнения:

1) бл:+5 = 12 4) х(х—2) = х*—16

2) X* — Зх —|- 5 = 0 5) (х — 1 )3 -|- 2х* — 1 = (х 1 )3

3) 4л;3 = 5 6) (х+3)* = х*+Ш

695. Какова степень уравнения у*-\-х*у*-\-1=0; 1) относительно неизвестного х? 2) относительно неизвестного у?

596. Является ли число — 7 корнем уравнения лг-|- 10 = 3? (Да)

597. Будет ли число 2 корнем уравнения ^ = 2х — 2

598. Какие из чисел: 2; —3; 0; —1; 0,5 будут корнями уравнения (х — 2)(х-\- 1) = 0?

Ответ: [2 и — 1].

599. Какие из чисел: 0; — 5; 4; — 3 будут корнями уравнения je2-J-3x = 0?

Ответ: [0 и —3].

600. Будет ли число 2 корнем уравнения 2х = 2(х-{- 1)? Имеет ли вообще это уравнение корни? (Нет)

601. Какие и сколько корней имеет уравнение \х\—л: = 0?

Ответ: Все положительные числа и число 0.

602. Какие и сколько корней имеет уравнение —3-— = 0?

Ответ: Все отрицательные числа и 0.

603. Какие и сколько корней имеет уравнение g =jc?

Ответ: Все положительные числа и 0.

604. Какие корни имеет уравнение 2х-\- 4 = 2 (jc —j— 2)?

Ответ: Любое число — корень этого уравнения.

605. Составить уравнение, корнем которого было бы число:

1) 5; 2) -2; 3) 0,5; 4) -|.

606. Выразить уравнениями следующие вопросы: при каких значениях х\ 1) х—11 составляет 10? 2) Зл: — 6

составляет столько же, сколько составляет х-\- 24? 3) дважды взятое х-\-\ составляет одну треть от jc —[— 12?

Ответы: 1) лг— 11 = 10; 2) Злг —6 = jc + 24; 3)2(дг+1) = = ~(х+\2).

607. Найти значение а, при котором двучлен 2а—1: 1) составляет 9; 2) составляет столько же, сколько составляет 4а— 1; 3) составляет столько же, сколько составляет удвоенная сумма 2а и 1.

Ответы: 1) а = 5; 2) а = 0; 3) а = — -|-.

608. Не решая уравнений, сказать, равносильны ли два уравнения:

1) X +3 = 0 и (л;+3).(л; + 2) = 0

2) (л:— 1)(jc+ 1) = 0 и X1 — 1=0

3) X — 2 = 0 и X1 — 4 = 0

Объяснить свой ответ.

Ответы: 1), 3) нет; 2) да.

609. Не решая уравнений, сказать, равносильны ли два уравнения, и объяснить свой ответ:

1) ^±| = Lzzf hjc+3 = 1—jc; Jx — 2 x—2 1 '

2) jc+3=1— X и (Jt-f 3).(лг— 2) = (1— x).(x — 2).

Ответы: 1) да; 2) нет.

610. Не решая уравнений, сказать, равносильны ли попарно следующие уравнения:

1} Й!=|3 2) x + G = 2-x

3) (jc+6) .(х-3) = (2— Jc)(jc — 3).

Ответ: 1) и 2) равносильны; 2) и 3), 1) и 3) не равносильны.

611. Вводятся ли посторонние корни при освобождении от знаменателей в следующих уравнениях:

1)1 + Л=° 2>FF5-4 = 0?

(Нет)

§ 2. Уравнения первой степени с одним неизвестным.

612. Привести к нормальному виду (ах = Ь) уравнения:

613. Найти * и проверить ответ:

1) 5 — * = 5 — 4 3) 0 = 0,8*— 1,4*

2) 3 + 2* = 3 —7 4) 14 —4,5* = 5

614. Найти X и проверить ответ:

1)*:7 = 0,5 4)5^=1 g м

2) 7:* = 0,5 5) 2*:7 = 5 5±*-21

3) 10* = 0 6)7:2*=5 У)04*_л

615. Решить уравнения и проверить ответ:

1) 4*+2 = 5* 3) 23 + 5* = бх

2) 15— J= J 4)5*—12 = 3*

616. Решить уравнения:

1) 3,5*—14=1,5* 3) 7—1,5*=3 —*

2) 15 — 5и = 2,5и 4)2*—1 = J

617. Решить уравнения:

1) 3.(2у + 4) = 12.у + 27 2) 4 (т — 1) = 3 (т — 1)

618. Решить уравнения:

1)2 = } 3)1=4 б) | = 1

619. В записи стёрт коэфициент при * в одном члене каждого из данных уравнений. Восстановить его.

1) 3* — 5 = ...*—3, если * = 2

2) i-*-[-6 = ...* — 3, если * = 6

3) 7 — 3* = 8 — ...*, если *=1

620. Почему следующие уравнения не имеют корней:

1ч * I х_5х , Пв пч 13*+Н _ . * + 9. lj “2 “Г з —“6““Г 1А> ^ 12 — х~г 12 '

3) Су + 2)2 + (з/-2)2 = (з; + 3)2 + Су-3)2?

621. Имеют ли следующие уравнения корни среди натуральных чисел:

622. Имеют ли следующие уравнения корни в области целых чисел:

1) Зх = 27; 2) 5л = — 20; 3) 6* = 0; 4) За: = 0,5?

623. Имеют ли корни в области положительных рациональных чисел следующие уравнения:

1) 2*+ 4 = 0; 2) 6л —6 = 0; 3) 4* — 4=-4?

624. Имеют ли корни в области отрицательных рациональных чисел такие уравнения:

1) 4л: —5 = 0; 2) 2х+ 1=0; 3) 6л; — 8 = —10?

625. Имеют ли корни в области рациональных чисел следующие уравнения:

1) 2л; —8 = 0; 2) Зл; —0,1=0; 3) 4л; = 0; 4)**=1; 5) л;а = 3; 6) л2 = —2?

626. Решить уравнения:

1) 11л; + а = 8лг 5) 2,5с = 1,5с + лг

2) 2ал;=6а3 6) ~ — а — Ь

3) тх -\-п = р 7) (с — d)x = c — d

4) ах —а = ab 8) х— 2£2 = а2 — Ь*

627. Решить уравнения относительно х:

1) 2ал; — т = ах-\-п 3) (а — 1)-л; = а— х

2) mhx=(m-\-h)* — (m*-\-ti*) 4) тх-\-п = рх-\- q

628. Решить уравнения:

1ч х X л\ х+т л

2) ах + Ь* = Ьх + а* 5) х, = (х +

3) с = Ь + ±

629. Составить уравнение, корнем которого было бы число: 1) 5; 2) —3; 3) |; 4) а; 5) Ь; 6) —с; 7) of*;

630. Составить уравнение, которое совсем не имеет корней.

631. Решить уравнение s = vt, принимая за неизвестное: 1) V) 2) t.

632. Решить уравнение p=vd} принимая за неизвестное; 1) v\ 2) d,

633. Решить уравнение К=^^> принимая за неизвестное: 1) а; 2) р.

Ответы: 1) а =-; 2) р =-.

634. Решить уравнение 5 = , принимая за неизвестное: 1) а; 2) А.

Ответы: 1) = —- ; 2) й = —.

636. Уравнение = ajc -{- ô решить относительно: 1 ) a; 2) b.

Ответы: 1) а = ^ ^ - ; 2) b =у — ах.

636. Уравнение У — ~ решить относительно: 1) а; 2) х.

Ответы: 1) а = ху; 2) лг = у.

637. Из курса геометрии известны формулы для вычисления площади прямоугольника S = aA, квадрата 5 = а2, треугольника 5=, где а — длина основания фигуры, А— высота. 1) Вычислить 5, если a = 0,5; А = 0,8; 2) выразить сперва а, затем А через остальные буквы.

Ответы: 1) 5 = 0,4 кв. ед.; 5 = 0,25 кв. ед.; S = 0,2 кв. ед. 5 ,Аег 2S . S 2S

2)a = r; a = VS; a = -y; Л = -; A = —.

638. Из уравнения С = 2тсг (С — длина окружности, г—радиус) выразить: 1) г в зависимости от С (и т:); 2) тс в зависимости от С и г.

Ответы: 1) г=-^-; 2) .

639. Имеем формулу для вычисления объёма цилиндра У=тсг9А. Выразить А в зависимости от V и г.

Ответ: h = —^.

640. Решить уравнение S=abc, принимая за неизвестное Ь.

641. Решить уравнение V= - QH относительно: 1) Q; 2) Я.

642. Решить уравнение ах1-\~Ьх-{-с = 0 относительно: 1) а; 2) Ь.

643. Решить уравнение s = а ^ Л, принимая за неизвестное: 1) а; 2) £; 3) /г.

Ответы: а= - ; 2)*=—^—; 3) A—j^y.

644. Уравнение -5- = — 4- — решить относительно: 1) /?;

2) г,.

Ответы: D R-flfcl 2) г, = -^-.

645. Уравнение ajç-[-£y = c решить, принимая за неизвестное: 1) 2) у.

Ответы: 1) xf=-— : 2)у = —=■-.

646. Найти корень уравнения х-\-b = а. Вычислить этот корень при: 1) а = 5; b — — 2; 2) а = 1; b —0;

3) а = —4; Ь = — 5.

Ответы: 1) 7; 2) 1; 3) 1.

647. Какое значение должен иметь параметр а, чтобы уравнение 4х-|- 7а = 9а имело корень х = 2? (а = 4)

648. Какое значение должен иметь параметр Ь, чтобы уравнение бу — b = 9b имело корень у = 6? (£ = 3)

649. Какое значение должен иметь параметр с, чтобы уравнение 2с -{-3z = 25 имело корень 2 = 5? (с = 5)

650. Что можно сказать о знаках параметров а и b в уравнении ах-\- b = 0, если корень этого уравнения: 1) положительный, 2) отрицательный?

Ответы: 1) знаки а и b различны; 2) знаки одинаковы.

651. При каких значениях параметра а следующие уравнения имеют нулевое решение:

1) 8д: = 5^ + 7а 2) Sx—ax-\-3a (а = 0)

652. В уравнении ах = Ь — с, а^>0. Что можно сказать о параметрах b и с, если это уравнение имеет корень: 1)*>0; 2) jt<0; 3) * = 0?

Ответы: 1) ^>с; 2) Ь<с; 3) Ь = с.

653. В уравнении ах = Ь — с, а<^0. Что можно сказать о параметрах b и с, если это уравнение имеет корень:

1) л:>0; 2) *<0; 3) х = 0?

Ответы: 1) b < с; 2) b > с; 3) b = с.

654. Что можно сказать о параметрах а и b в уравнении Зх-{-а = Ь-{-ху если это уравнение имеет: 1) корень О,

2) отрицательный корень, 3) положительный корень?

Ответ ы: 1) b = a; 2)b<a; 3)Ь>а.

§ 3. Составление уравнений.

I. Упражнения для повторения.

655. Выразить равенством каждое из следующих соотношений:

656. Выразить равенством следующие соотношения: 1) 15°/о qt а равны Ъ\ 2) от к составляют п.

657. Как выразить при помощи знаков равенства, что три числа а, Ь, с равны между собой и каждое из них равно 0? (а = Ь = с=0)

658. 1) Известно, что число m больше 15. На сколько m больше 15?

2) Известно, что число 2т меньше 50. На сколько 2т меньше 50?

Ответы: 1) m — 15; 2) 50 — 2т.

659. Решить задачи:

1) Действуя одним насосом, можно накачать в резервуар воду за X часов, а другим — за у часов. Какую часть резервуара можно наполнить за один час, если действовать вместе обоими насосами? если накачивать обоими насосами в течение трёх часов?

2) Мой ежедневный расход составляет 5х руб. У меня m рублей. Сколько денег у меня останется по истечении недели ? Ответ: (т — 35лг).

3) Колесо делает а метров в час. Сколько метров оно делает за х минут? Ответ: ^-щ-х^ •

4) Колесо делает а метров, в час. Во сколько минут оно сделает х метров? Ответ: —— .

660. За m метров сукна уплатили с рублей. Сколько (у) нужно уплатить за х метров этого сукна?

661. а рабочих выполняют работу за t дней. Во сколько дней (у) выполнят ту же работу х рабочих (при тех же условиях работы)?

662. В одном ящике а килограммов чаю, в другом — b килограммов. Сколько выйдет пачек (у), если распределить весь чай по X килограммов в каждой пачке?

663. Из прямоугольного железного листа, длина которого X сантиметров и ширина z сантиметров, вырезали квадрат

со стороною m сантиметров. Какова (у) площадь оставшейся части ? (у = xz — /л8)

664. Поезд шёл х часов со скоростью v километров в час, а затем ещё z часов со скоростью vt километров в час. Какова средняя скорость поезда (у) за всё время?

№1

665. I) 1 м ситца стоит х рублей, а 1 л сатина z рублей. Купили поровну сатина и ситца, всего на А рублей. Сколько (у) метров купили сатина? ситца?

2) 1 м ситца стоит х рублей, а 1 м сатина на z рублей дороже. Купили р метров ситца. Сколько (у) метров сатина можно было бы купить за эти деньги?

666. Числа, данные в I и II рядах, прямо пропорциональны друг другу:

I 4 8 12 16...

II 12 24 36 48... Что можно сказать о числах, обратных им?

(Они также прямо пропорциональны друг другу.)

667. Выразить формулой зависимость между путём s, скоростью v и временем t при равномерном движении, зная, какие величины находятся друг к другу в прямо пропорциональной зависимости и какие в обратно пропорциональной.

s s Ответ: s = vt; v = — ; t — —.

668. 1) Выразить формулой зависимость между количеством выполненной работы (/?), временем её выполнения (t)> производительностью труда одного рабочего (с) и числом рабочих (я), выполнявших эту работу.

[R = c.t-n]

2) В предыдущей задаче выразить каждый множитель через остальные буквы и сказать, какие величины находятся в прямо пропорциональной зависимости друг к другу и какие— в обратно пропорциональной?

669. Выразить формулой зависимость между весом вещества (Р), его объёмом (v) и удельным весом (d).

[P=v-d]

670. 1) Какой формулой выражается зависимость между делимым (Л), делителем (£), частным (Q) и остатком (/?)?

[A = B.Q + R]

2) Как выразить из этой зависимости частное (Q) через данные числа (Л) и (В) и остаток от деления (/?)? (Привести пример.)

3) Как выразить остаток от деления чисел Ли В? Частное обозначить Q.

Ответ: R = A — B-Q.

671. Выразить формулами зависимость между путём s, пройденным точкой, расположенной на окружности равномерно вращающегося вокруг центра круга, числом оборотов этого круга в единицу времени п> длиной окружности С и временем вращения t.

Ответ: s = Cnt, откуда С = ; n — ; t = .

672. Выразить формулами зависимость между собственной скоростью парохода vu скоростью течения х>2 и скоростью парохода: а) по течению vz\ б) против течения z>4.

Ответ: а) v3 = Vi + vt\ б) vA = vt — v2.

II. Составление уравнений по условиям задач,

673. 1) Какое число следует прибавить к 37, чтобы получить 12?

2) К какому числу следует прибавить 29, чтобы получить 14?

3) Какое число следует вычесть из чтобы получить 2 *

4) Из какого числа нужно вычесть — 3, чтобы получить— 2 у ?

5) На какое число следует умножить — 3, чтобы получить 3 t

6) На какое число следует разделить — у, чтобы полу-чить 1 ? Чтобы* получить--5- ?

674. 1) Найти делимое, если делитель — 5, а частное i.

(-1).

2) Найти делитель, если делимое 12, а частное — .

(-48).

675. Задумано некоторое число. Если увеличить это число втрое и к результату прибавить 20, то получится 8. Какое число задумано? (—4)

676. Требуется разделить между 4 рабочими 6300 рублей так, чтобы второй получил вдвое больше первого, третий втрое больше второго и четвёртый в 2 раза больше третьего. Сколько рублей должен получить первый и четвёртый рабочие?

[300 руб ; 3600 руб.]

677. Разделить число а на три части так, чтобы вторая часть была в 2 раза больше первой, а третья в 5 раз больше первой.

678. Разделить m рублей трём лицам так, чтобы второй получил в 3 раза больше первого, а третий в 2 раза больше первого. 1) Сколько рублей получит каждый? 2) Каким числом должно быть т, чтобы каждый получил целое число рублей?

Ответы: 1) ; ; 2) m должно быть кратно 13.

679. Сумма трёх чисел, из которых каждое следующее на 10 больше предыдущего, составляет т. 1) Какие это числа? 2) Вычислите их, зная, что m = 159.

680. Сумма трёх чисел, из которых каждое следующее в 10 раз больше предыдущего, составляет т. 1) Какие это числа? 2) Вычислить их при условии, что т = 999.

Ответы: 1) х + 10х+\00х = т; * = -щ-; 2) 9; 90; 900.

681. Два поезда вышли одновременно друг другу навстречу из городов, отстоящих один от другого на 5 километров. Первый поезд шёл со скоростью v км в час, второй — со скоростью vx км в час. Через сколько времени (л:) после выхода оба поезда встретятся?

Ответы: vx + vtx = s; х= —;-_

682. Найти два числа, из которых одно больше другого на &, а сумма их равна а.

Ответы: х + (х + Ь) = а; лг = —^—'> Х + Ь = —£—.

683. Найти три последовательных чётных числа, сумма которых М.

Ответы: А- + (лг + 2) + (л: + 4) = М; х = ^^; х + 2 = ^-;

684. Сумма двух чисел равна 68, а частное от деления большего числа на меньшее равно 3. Найти эти числа.

685. Сумма двух чисел равна 50, а их разность 8. Найти эти числа.

686. На складе имеется 200 ц угля. Каждый день расходуется 24 ц. Через сколько дней на складе останется 80 ц угля?

[5 дней]

687. Расстояние между двумя городами равно 150 км. Велосипедист, передвигаясь из одного города в другой, после 6 часов движения узнал, что ему осталось проехать ещё 60 км. Определить среднюю скорость движения велосипедиста.

[15 км в час]

688. Ученик прочитал 160 страниц книги и подсчитал, что ему осталось читать ещё Д книги. Сколько страниц было в книге?

689. Турист расстояние между двумя городами прошёл за два дня. В первый день он прошёл у всего пути, во второй ^2 всего пути и ещё 15 км. Определить расстояние между городами.

[72 км]

690. Кооператив продал сначала -g- имевшегося запаса кофе, а потом — треть остатка, после чего осталось от имевшегося запаса 6 кг. Сколько было кофе?

[24 кг]

691. Со склада выдали в первый день имевшегося запаса соли; во второй день -i- остатка, а в третий день -С первоначального запаса соли и ещё -у центнера, после чего соли на складе не осталось. Каков был запас соли на складе?

[5 Ц]

692. Бассейн наполняется одной трубой в 4 часа, другой в 2 часа. Во сколько времени наполнится бассейн, если открыть одновременно обе трубы?

[1 ^ часа]

693. Некоторую работу один рабочий может выполнить в 8 часов, а другой в 7 часов. Сколько времени понадобится обоим рабочим для совместного выполнения этой работы?

[3-|i-4aca = 3 час. 44 мин.]

694. Бассейн наполняется водой через одну трубу в 4 часа, а через другую вся вода может вытечь в 6 час. Через сколько времени наполнится бассейн при одновременном действии обеих труб? [12 час]

695. Одна сторона прямоугольника на 6 см больше другой. Периметр прямоугольника 48 см. Найти стороны.

[9 см; 15 см]

696. Ширина прямоугольника на 2 см меньше его длины. Определить стороны прямоугольника, если периметр его равен 24 см.

[7 см; 5 см]

697. Основание равнобедренного треугольника на 5 см меньше боковой стороны. Периметр этого треугольника равен 55 см. Определить стороны треугольника.

[20 см; 15 см]

698. Периметр прямоугольника равен 24 см* Длина прямоугольника равна 8 см. Определить ширину.

[4 см]

699. Боковая сторона равнобедренного треугольника вдвое больше основания, а периметр равен 8,5 см. Определить стороны треугольника.

[3,4 см; 1,7 см]

700. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Определить угол при основании.

[70°]

701. 1) В треугольнике ЛВС угол Л на 15° больше угла Z?, а угол С на 12° меньше угла В. Определить углы треугольника.

[59°, 74°, 47°]

2) В треугольнике один угол вдвое меньше другого и втрое меньше третьего. Сколько градусов содержит каждый угол этого треугольника?

[30°; 60°; 90°]

702. Периметр треугольника 180 см. Стороны его относятся, как 9:11:16. Вычислить стороны треугольника.

[45, 55 и 80 см]

703. Длина и ширина прямоугольника относятся, как 5 : 3, а периметр его 96 см. Вычислить длину и ширину прямоугольника.

[30 и 18 см]

704. В равнобедренном треугольнике основание составляет 3 боковой стороны. Периметр треугольника равен 16 см. Найти стороны треугольника.

[6; 6 и 4 см]

705. Найти углы треугольника, если они относятся, как 2 ~2 • 3 : 3 ~2 •

[50°, 60°, 70°]

706. Задача из старинного русского учебника математики Войтяховского: „Капитан на вопрос, сколько имеет в команде

своей людей, ответствовал, что -g- его команды в карауле, у в работе, в лазарете, да 27 человек налицо; спрашивается число людей его команды“.

[420]

707. Пифагор, греческий математик, живший в VI в. до н. э., по преданию на вопрос о том, сколько у него учеников, ответил: „Половина их изучает прекрасную науку математику; четвёртая часть отдаёт себя познанию бессмертной природы; седьмая часть проводит время в молчании, предаваясь размышлениям; кроме того, есть ещё три девицы. Вот число моих учеников“. Сколько было учеников у Пифагора?

[28]

Дать решение и проверить ответ.

708. 1) Какое число следует отнять от а, чтобы получить Ь?

2) На какое число надо разделить а, чтобы получить &?

3) Какое число при делении на а даёт в частном b и в остатке с?

709. Задумали число. Умножив его на а, получили на с единиц больше, чем при умножении его на Ь. Какое число задумано? (Что можно сказать о числах а и Ь?)

Ответ: х-а — х-Ь=с; х = а_у афЬфО.

710. Если искомое число сперва умножить на а, затем на b и полученные произведения сложить, то в сумме получится число К. В каком случае сумма К может равняться 0?

Ответ: лг = —г—г ; АГ=0, если а и b—числа противоположные.

711. Придумайте сами уравнение первой степени с одним неизвестным. Решите его и проверьте решение.

712. 1) Составить задачу с текстом, которая решается уравнением:

Решить задачу и проверить ответ.

2) Прочесть все данные уравнения, используя математические термины.

Ответы: 1) 18; 2) 19; 3) 15; 4) 4 ~ ; 5) 91; 6) 9.

713. Составить задачу с текстом, которая решается уравнением:

Решить и проверить решение.

Указание. По уравнениям 5) и 6) можно составить задачи на вычисление времени, необходимого для выполнения работы; к 7) можно составить задачу на смешение.

ГЛАВА VII.

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ. НЕРАВЕНСТВА.

§ 1. Основные понятия.

714. Найти числовое значение выражения 5х-\-2у при: 1)х = 0; д, = —1; 2) л: = 4; у = 0,5; 3) х = — 3; у = —8.

Ответы: 1) — 2; 2) 21; 3)—31.

715. Какие значения принимает двучлен 6к— Av при: 1) и = 5; v = 0; 2) и = 9; v = 6; 3) и = 7; *> = 3?

716. Заполнить таблицу:

717. Из уравнения х-{-5у= 15 найти уу если: 1)х=0-2) х=5; 3) х = — 5; 4)х=15.

Ответы: 1) 3; 2) 2; 3) 4; 4) 0.

718. Найти такое решение уравнения 10х-{- Ну = 73, чтобы л; был равен 4. (je =4; ^=3)

719. Заполнить таблицу:

Ответы: 7; — 21; 2; —1; — 3; — 2.

720. Найти такое решение уравнения Зх — 2у = 20, чтобы неизвестное у было равно 8.

(лг=12;^ = 8)

721. Могут ли числа: 1) 2 и 3; 2) —2 и 3; 3) 3 и 2; 4) 3 и —2 быть решениями уравнения 5л: — З.у=1?

Ответы: 1) да; 2), 3) и 4) нет.

722. Найти несколько пар значений х и у, для которых двучлен Зх-{-4у был бы равен 0; равен 28; равен 15.

723. Найти несколько пар значений х и у, для которых двучлен Ъх-\-2у был бы равен 20.

724. Указать несколько решений уравнений:

1) 5л: — 2у=12; 2) 6л: +5>/= 20; 3) 7л —5^=18.

725. Какие корни имеет уравнение ax-\-by = 0 при любых а и Ь?

(х = 0; у = 0)

§ 2. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

726. Решить следующие системы уравнений:

727. Решить следующие системы уравнений и проверить полученные решения:

728. Решить следующие системы уравнений:

1) u-\-v=2m 2) ах -f-by = с 3) ах-{-by —с и — v = m у — X у = тх

Ответы: 1) и =-j- ï v = у ; 2) * =*У = T+b * az£b; _ с __cm _

729. Найти два числа, сумма которых а, разность Ь.

Ответ: дг = —^—; у = —^—•

730. Применить полученные в предыдущей задаче формулы для случая, когда: а) сумма двух чисел 100, а разность 30; б) когда сумма двух чисел 200, а разность 30.

Ответы: а) 65; 35; б) 115; 85.

731. Указать какое-либо решение каждой из данных систем:

1) х-\-у = 0 2) 5х—3у = 0 3) ax-{-by = 0

2х-\-Зу = 0 Ах -f 7у = 0 а1х-\-Ь1у = 0

(х=у = 0)

732. Выразить словами соотношения, записанные каждой системой уравнений, и найти неизвестные числа:

Ответы: 1) Полусумма двух чисел 10, а полуразность 2. Сумма этих чисел 20, а разность 4; одно число 12, другое 8. 2) В сумме два числа составляют 15, их отношение 2:3.

733. Найти сумму неизвестных (х-\-у) данной системы:

734. 1) Имеет ли решения уравнение х-\-у = х-\-у-\-7? Объяснить свой ответ.

2) Имеет ли решения система уравнений:

Объяснить свой ответ.

3) Имеет ли решения система уравнений:

4) Сколько решений имеет следующая система двух уравнений с двумя неизвестными:

5) Единственное ли решение имеет система:

Ответы: 1) Нет, потому что х-\-у не может равняться х-\~у + 7.

2) Нет, потому что х-{-у не может одновременно равняться 9 и 15.

3) Нет, потому что 8л:—16jf = ll противоречит условию, что 2х — 4у = 5.

4) Бесчисленное множество; придавая любое значение х, можно найти соответствующее значение для у, и обратно.

5) Нет.

735. Почему не могут иметь решения следующие системы уравнений:

Ответы: 1) Второе уравнение противоречит первому: бл: + 9у должно равняться 10,5; 2) если у = 2х, то 2у не могут равняться 4а:+ 5.

736. Дана система уравнений:

Из первого уравнения имеем х = 20 —у; подставив во второе, получаем

Что показывает ответ?

[Предложенная система не имеет решений]

737. К каждому из данных уравнений присоединить второе уравнение, противоречащее данному:

1) х+у = 10 2) 2jc=10 + 3j/

738. К каждому из данных уравнений присоединить второе уравнение так, чтобы полученная система имела единственное решение:

1) х+у=10 2) 2л:=10 + 3у

739. К каждому из данных уравнений присоединить второе уравнение так, чтобы получившаяся система имела множество решений: 1) х-\-у = Ь\ 2) 2х — Зд/ = 7.

§ 3. Уравнения первой степени с тремя неизвестными.

740. Найти числовое значение трёхчлена 3jc -f- 4у — 2z при:

741. Заполнить таблицу:

742. Из уравнения 2х — Зу -\-5z= 10 найти значение третьего неизвестного, зная, что

743. Из уравнения Ъх — 7у -)- 9z = 0 найти значение третьего неизвестного, если

1) х = 0; 2) х = 9; 3) х = 3;

z = 0; z = — 5; У — — 2.

Ответы: 1) у = 0; 2) у = 0; 3)z = — 3 Я.

744. Назвать одно решение уравнения ax-\-by-\-cz = 0 при любых значениях а, о, с.

[*=у = г = 0]

746. Найти какие-либо решения уравнения х-\-2у — z = 6, если известно, что 1) х=10; 2) 2 = 2.

746. Найти несколько таких значений а, Ь, с, чтобы трёхчлен а — 2Ь-(-бе при этих значениях был равен 10.

747. Найти несколько таких значений к, v и до, чтобы трёхчлен и — 3zj -f- 2w при этих значениях был равен 0.

748. Найти по два решения каждого из уравнений:

1) 2х-\-у — z = l\ 2) x + 3y-\-z = 5.

749. Решить следующие системы уравнений:

750. Решить системы трёх уравнений с тремя неизвестными:

751. Указать какое-либо решение каждой из данных систем:

§ 4. Уравнения степени выше первой.

752. Решить уравнения:

753. Решить уравнения:

§ 5. Неравенства.

754. Поставить знак неравенства между буквами а и если:

1) а — b положительное число;

2) а — b не равно 0;

3) а—b — отрицательное число.

Ответы: 1) а >Ь; 2) афЬ\ или a b; 3) a <zb.

755. Какому неравенству удовлетворяет:

1) любое положительное число а?

2) любое отрицательное число а?

Ответы: 1) а > 0; 2) а < 0.

756. Дано неравенство 8 ^> 5. Какой знак следует поставить между частями неравенства после умножения их:

1) на 3; 2) на (—3); 3) на * ; 4) на (—у); 5) на О?

Ответы: 1) >; 2) <; 3) >; 4) <; 5) =.

757. Те же вопросы, что в предыдущем упражнении для неравенства — 4 <^ 5.

Ответы: 1) <; 2) >; 3)<; 4) >; 5) = .

758. Как выразить при помощи одного знака неравенства, что знаки двух чисел а и b: 1) одинаковы? 2) различны?

Ответы: 1) ab > 0; 2) ab < 0.

759. Как выразить с помощью одного знака равенства ту мысль, что по крайней мере одно из чисел а, Ь, с равно 0? [abc=0]

760. Как выразить при помощи знаков неравенства, что число X меньше 1 и больше — 1? [—1<СХ<С.1]

761. Известно, что 9>5, но -g-<C“5“ или 3^>7, но ■g- <^ у. Привести пример, когда при сравнении чисел, обратных данным, знак неравенства не меняется ^например

9>-5; i>-i].

762. Решить неравенства:

Показать ответ на числовой оси.

763. При каких значениях х следующие дроби положительны, равны 0, отрицательны:

ГЛАВА VIII.

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ.

§ 1. Извлечение квадратного корня.

764. Найти два числа, квадрат которых:

765. Найти два числа, квадрат которых равен:

766. Извлечь квадратный корень:

767. Извлечь квадратный корень:

768. Есть ли среди рациональных чисел такое число, квадрат которого равен: 1) 25; 2) 36; 3) 5; 4) 6; 5) 11?

769. Вычислить:

770. Вычислить:

771. Найти наибольшее целое положительное число, квадрат которого меньше числа:

1) 3 3) 20 5) 150 7) 5,8

2) 8 4) 30 6) 650 8) 98,9

772. Найти два целых положительных приближённых значения корня, отличающихся на единицу — один с недостатком, другой с избытком:

1) /56 2) /90 3) /Т20

773. Найти положительное приближённое значение корня с избытком (с точностью до 1):

1) /98“ 2) /Т75 3) /300

774. Указать арифметические значения квадратного корня с точностью до 1 — с недостатком и с избытком:

1) /1^25; 2) /2^5; 3) /ббДб; 4) /Ш^З; 5) /ЩД.

775. Найти положительное приближённое значение корня с недостатком (с точностью до 0,1):

776. Проверить, что среднее арифметическое (С. А.) двух различных чисел больше их среднего геометрического (С. Г.) для следующих чисел:

1) 4 и 9; 4 и 8; 4 и 6; 4 и 4; 4 и 2;

2) 10 и 6; 10 и 8; 10 и 10; 10 и 12; 10 и 14.

Что можно сказать о С. А. и С. Г. двух равных чисел?

777. Вычислить:

!) /45*_зба; 2) /32,5* — 16,5*; 3) /82*— 18*.

Ответы: 1) ± 27; 2) ± 28; 3) ни 80.

778. Решить непрерывные пропорции:

i\ n_* о\ 121_ и *\ х —32 А' х~99 “7Г~~Тб ö) 50-х

779. Найти среднее геометрическое следующих чисел:

1) 8; 72 2) 100; 64 3) 0,4; 40.

780. Извлечь квадратный корень:

781. Извлечь квадратный корень:

782. Извлечь квадратный корень:

783. Как записать арифметическое значение:

784. Вычислить арифметическое значение:

785. Показать, что:

за исключением каких трёх случаев?

§ 2. Уравнения.

786. 1) Найти два числа, квадраты которых равны 7-*-. 2) Найти числа, -j- квадрата которых равны 12.

787. При умножении удвоенного неизвестного числа на утроенное тоже неизвестное число получилось число 1014. Найти неизвестное число.

788. 1) Найти сторону квадрата, площадь которого равна 196 см2? 1,96 м2? 0,0196 м2?

2) Найти сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 36 см и 49 см, 25 см и 64 см.

789. Зная, что площадь круга вычисляется по формуле 5=3,14 R2, где R— радиус круга, вычислить R круга, если площадь его 12,56 кв. ед.

[Я = 2]

790. С квадратного поля собрали 5 = 480 ц ржи. Урожай в среднем составлял m = 30 ц с 1 га. Вычислить в метрах длину границы этого поля (Р). Представить решение в виде буквенной формулы.

791. Найти корни уравнений:

792. Решить уравнения:

793. Решить уравнения:

794. Найти три числа, которые относятся между собой как 1 относится к 2 и к 3, если сумма квадратов этих чисел 56.

795. Сумма площадей трёх квадратов равна 3500 см*. Сторона одного квадрата в 3 раза больше, а сторона другого квадрата в 5 раз больше стороны третьего квадрата. Найти площади этих квадратов.

796. На 12 руб. куплена крупа. Число рублей, которое платили за 1 кг крупы, составляет -у от числа купленных килограммов крупы. Сколько купили крупы и сколько стоил 1 кг? (4 кг по 3 руб.)

797. Ширина прямоугольника составляет половину его длины. Вычислить длину и ширину прямоугольника, если его площадь равна: а) 50 дм2; б) 72 см?\ в) 84 ~ м2.

798. Сумма квадратов двух чисел равна квадрату 25.

1) Одно из чисел 24. Найти другое число, не возводя данных чисел в квадрат. [±7]

2) Та же задача при условии, что сумма квадратов равна квадрату 113; одно из чисел 112. [±15]

§ 3. Вопросы.

799. 1) Почему при возвышении отрицательного числа в степень с чётным положительным показателем получается положительное число, а при возвышении в нечётную степень отрицательного числа получается отрицательное число?

2) Почему при возвышении в квадрат несократимой дроби не может получиться целое число? сократимая дробь?

3) В каких случаях при возвышении в квадрат целого числа получается: а) чётное число? б) нечётное число?

4) В каком случае при возвышении дробного числа в квадрат получается число, а) больше данного? б) меньше данного?

800. 1) В каком случае квадраты неравных чисел окажутся равными?

2) Почему квадратный корень из положительного числа имеет два значения?

3) Как проверить правильность извлечения квадратного корня из числа?

4) Почему при извлечении квадратного корня как из трёхзначного, так и из четырёхзначного числа (точных квадратов) получается двузначное число?

5) Можно ли на основании равенства (а — Ь)* = (т— п)% заключить, что (а — Ь) = (т — /г)?

6) Найти ошибку в таком „доказательстве“ : пусть а и b — два произвольных числа и i>a; тогда а*— 2ab-\-b* = = b* — 2ab-\-al\ (a — bf = {b — af; a — b = b — a\ 2a = — 2b; a = b.

7) Как извлекается квадратный корень из смешанных чисел?

8) В каком случае а3 не будет положительным числом?

[При а = 0]

9) В каком случае: 1) (а — Ь)*; 2) (а + &)2; 3) (а — З)9; 4) (а-|-3)2 не будут положительными числами?

Ответы: 1) а = Ь; 2) а = — Ь; 3) а = 3; 4) а = — 3.

10) Когда а2 + 62 = (а-|-£)2?

Ответ: Когда а = 0 или Ь = 0 или а = 0 и b = 0,

801. 1) Какой цифрой оканчивается квадрат целого числа, последняя цифра которого 1?9?2?8?3 или 7?

2) Какими цифрами не может оканчиваться квадрат ни одного целого числа? [2, 3, 7, 8, одним нулём]

3) Можно ли точно извлечь квадратный корень в таких случаях: