Бекаревич А. Н. Уравнения в школьном курсе математики. — Минск : Нар. асвета, 1968. — 152 с. — Библиогр.: с. 147—148 (32 назв.).

А. Н. Бекаревич

УРАВНЕНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Минск-1968

А. H. БЕКАРЕВИЧ

УРАВНЕНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАРОДНАЯ АСВЕТА»

МИНСК 1968

ПРЕДИСЛОВИЕ

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

Цель настоящего пособия состоит в том, чтобы обратить внимание учителя на наиболее сложные вопросы, связанные с изучением уравнений в школе, и помочь ему преодолеть встречающиеся трудности. Оно содержит полный объем сведений об уравнениях, изучаемых во всех классах средней школы.

В книге приводится специальная система упражнений, способствующая уяснению идеи равносильности, по-новому доказаны основные свойства уравнений. Способы решения систем уравнений первой степени обосновываются исходя из свойства транзитивности равенств, которое в применении к уравнениям дает возможность находить общие их корни. Кроме того, дается обоснование способов решения всех видов уравнений с привлечением минимального теоретического материала. В частности, оказалось возможным обосновать решение уравнений без применения теорем о равносильности уравнений, связанных с тождественными преобразованиями алгебраических выражений. Широко используются такие преобразования уравнений, которые при-

водят к появлению посторонних решений и к потере решений. Указываются способы отыскания потерянных корней Во всех случаях дается полное решение уравнений.

Много внимания уделено вопросам исследования и графическому истолкованию изучаемых закономерностей.

В пособии содержится также материал для внеклассной работы по математике.

В книге даются методические советы и замечания по всем вопросам школьного курса уравнений, проводится анализ некоторых распространенных в школьной практике ошибок, показываются образцы решения наиболее трудных задач.

Все замечания, имеющие целью улучшить качество книги, прошу направлять по адресу: г. Минск, Ленинский проспект, 83а, издательство «Народная асвета», редакция физики и математики.

Автор.

ГЛАВА I

ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МЕТОДА К РЕШЕНИЮ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

1. Пропедевтический курс уравнений

Уже в I классе приходится решать задачи: Сколько надо прибавить к трем, чтобы получить пять? Сколько надо вычесть из семи, чтобы получить три? и т. д.

Условия этих задач записываются в виде равенств

3+?=5; 7— ? = 3; 3 + D =5; 7— Д =3

или

3 + * = 5; 7 — х = 3

и т. д.

Это по существу уравнения. Программа по математике начальной школы предусматривает изучение таких вопросов, как «Нахождение неизвестного слагаемого по данной сумме и одному из слагаемых», «Нахождение неизвестного вычитаемого по данному уменьшаемому и разности» и т. д. Отсюда вытекает, что учащихся начальной школы нужно научить решать уравнения следующих типов:

х + а = Ь\ а + х = Ь\ (1)

а — X = b\ X — а = Ь\

ах = Ь\ ха = Ь\

а : х = Ь\ X : а = Ь.

Такие уравнения решаются на протяжении всего периода обучения и в V—VII классах вплоть до изучения темы «Уравнения первой степени с одним неизвестным».

Ознакомившись с методами решения уравнений вида (1), учащиеся могут перейти к решению и более сложных уравнений.

Пусть, например, требуется решить уравнение:

47 + 5*= 147.

При этом можно рассуждать так. Неизвестное слагаемое 5л: равно разности между известной суммой 147 и известным слагаемым 47, то есть

Ьх= 147—47; Ъх = 100.

Следовательно, произведение двух сомножителей равно 100. Неизвестный сомножитель х равен частному от деления известного произведения на известный сомножитель, то есть

X = 100 : 5 = 20.

Аналогичные рассуждения проводятся при решении уравнений:

ах—b = с; а — Ьх = с; а(Ь+х)=с; а(Ь — х) = с;

(а + х)Ь = с; (а — х)Ь = с; (а + х):Ь = с;

(а — х):Ь = с; а:(Ь+х)=с; а: (Ь — х) = с.

Постепенно усложняя упражнения, давая компонентам сначала целые, а затем дробные значения, можно научить учащихся решать и более сложные примеры. Рассмотрим один из них.

Найти X из уравнения:

Для решения таких уравнений важно знать порядок действий. Прежде всего устанавливаем, как следует назвать выражение, в состав которого входит неизвестное. Название выражения определяется последним по порядку действием, которое следует выполнить, чтобы получить значение выражения при данном значении х. В этом примере последним действием будет деление, причем неизвестное входит в состав делимого. Следовательно, все делимое можно считать неизвестным. Оно равно произведению известного частного 235 на известный делитель -^г-, то есть

Теперь слева уже разность, причем неизвестное входит в состав уменьшаемого. Неизвестное уменьшаемое равно сумме известной разности 11^- и вычитаемого, то есть

Таким же путем находим последовательно неизвестный сомножитель (множимое), затем неизвестное вычитаемое, делимое, уменьшаемое и, наконец, неизвестное число х:

До изучения уравнений в VII классе можно было бы обходиться и без термина «уравнение». В этом случае пришлось бы говорить о нахождении неизвестного значения х из равенства. Однако ничего непонятного для учащихся не будет, если такие равенства (которые содержат неизвестные, обозначенные буквами) назвать уравнениями. После этого дается определение корня уравнения.

Хотя изложенные теоретические сведения и можно использовать при решении текстовых задач, однако их недостаточно для того, чтобы учащиеся смогли понять и оценить преимущества алгебраического метода при решении разного рода задач. Чтобы уравнения неформально могли быть применены на практике, нужно научиться наиболее элементарными средствами выполнять следующие операции:

приведение подобных членов, умножение и деление одночлена на число и перенесение любого члена уравнения из одной его части в другую с противоположными знаками.

Как это сделать в курсе арифметики без использования каких бы то ни было алгебраических сведений? И можно ли этого добиться вообще?

Оказывается, можно научиться достаточно сознательно выполнять каждую из названных операций.

Рассмотрим сначала приведение подобных членов.

Прежде всего необходимо повторить правило сложения и вычитания именованных чисел:

15м + 10м + 3м = (15 + 10 + 3) м = 28м.

Чтобы сложить несколько именованных чисел, достаточно сложить сначала отвлеченные числа, соответствующие именованным, а затем поставить общее наименование.

23 кг— \3кг = (23 — 13) кг = 10кг.

Чтобы вычесть из одного именованного числа другое, достаточно из отвлеченного числа, соответствующего уменьшаемому, вычесть число, соответствующее вычитаемому, и после полученной разности поставить их общее наименование.

Сформулированные правила запоминать нет надобности, но необходимо, чтобы учащиеся вполне сознательно и быстро этими правилами пользовались.

Здесь же следует показать, что сложение и вычитание производится только над числами одного и того же наименования.

После повторения и закрепления правил действий (сложения и вычитания) над именованными числами разъясняем учащимся, что любое неизвестное число мы можем считать условной единицей, обозначенной буквой х. Действительно, совершенно очевидно, что запись 15 усл. ед. означает то же самое, что и 15 х при условии, что 1 усл. ед. обозначает неизвестное число х.

Таким образом, учащиеся убеждаются в аналогии следующих форм записи:

48 усл. ед. + 12 усл. ед. = (48 h 12) усл. ед. = 60 усл. ед. и

48л: +12х= (48 + \2)х = 60х,

а также

83 усл. ед. — 56 усл. ед. = (83—56) усл. ед. = 27 усл. ед. и

83* — 56* = (83 — 56)* = 27*.

Далее можно сообщить, что произведение известного числа на неизвестное или выражения вида 5*, 7,5* и т. д. в математике называют неизвестными членами.

Нахождение суммы или разности нескольких неизвестных членов называется приведением подобных членов. Приведением же подобных членов называется в некоторых случаях и обычное сложение и вычитание чисел.

Прежде чем перейти к изложению вопроса «Умножение и деление одночлена на отвлеченное число», необходимо повторить тему «Умножение и деление именованного числа на отвлеченное». Рассматриваем несколько примеров, аналогичных следующим:

16 см • 3 = (16 . 3) см = 48 см; 54 см : 2 = (54 : 2) см = 27 см

После этого приходим к правилу:

Чтобы умножить (разделить) именованное число на отвлеченное, достаточно умножить (разделить) число, стоящее при наименовании, на отвлеченное и после полученного произведения (частного) поставить то же наименование.

Это правило не нужно заучивать наизусть, однако необходимо, чтобы все учащиеся поняли смысл производимых действий. Указываем, что при умножении или делении именованного числа на отвлеченное в произведении или частном получается число того же наименования, что и исходное.

Разъясняем, что неизвестное число * также может быть принято за условную единицу. Сразу же становятся понятными преобразования

25* . 4 = (25 - 4)* = 100*; 75* : 5 = (75 : 5)* = 15*,

равносильные преобразованиям

25 усл. ед. • 4 = (25 • 4) усл. ед. = 100 усл. ед.;

75 усл. ед. : 5 = (75 : 5) усл. ед. = 15 усл. ед.

Термины «Умножение и деление одночлена на отвлеченное число» учащимся можно не сообщать. Достаточно добиться умения выполнять соответствующие действия вполне сознательно.

К рассмотренным преобразованиям можно подвести учащихся, исходя и из других соображений.

Действительно, выражение 5* следует понимать как произведение числа 5 на (отвлеченное) число *, то есть 5 *=

= 5 • * = * • 5 = * + * + * + * + *.

Пусть требуется вычислить сумму:

12*+ 7*+ 6* = 12 - х + 7-х +6.*. (2)

Учащимся известен распределительный закон умножения по отношению к сложению:

12. X + 7- X + 6.*= (12 + 7 + 6)*. (3)

В справедливости полученного равенства они убеждаются, применяя распределительный закон умножения к правой части равенства.

Затем очевидно, что

(12+ 7+6)* = 25*. (4)

Следовательно:

12* + 7* + 6* = (12 + 7 + 6)* = 25*.

Аналогично, применяя распределительный закон умножения по отношению к вычитанию, получаем:

37*— 15* = 37 . * — 15 • * - (37— 15)* = 22*.

Пусть теперь требуется 15* увеличить в 4 раза, то есть 15* умножить на 4. Будем иметь:

15*. 4= 15.*. 4 = (15-4)*.

Здесь применены переместительный и сочетательный законы умножения. Далее:

(15 - 4)* = 60 • * = 60*

или

15*. 4 = (15-4)* = 60*.

Отмечаем, что знак умножения между двумя сомножителями, второй из которых обозначен буквой, как правило, опускается.

Аналогично, пусть 50* следует разделить на 5. Имеем:

50* : 5 = (50 . х) : 5.

Но чтобы произведение двух чисел разделить на третье, достаточно разделить на это число один из сомножителей, то есть

(50 . х) : 5 = (50 : 5)* = 10* или 50* : 5 = (50 : 5)* = 10*.

После изучения приведения подобных членов появляется возможность решать уравнения более сложного вида:

(3*+ 17) +23*-75; 12* — (7 + Ах) — 2* = 9 и др. Вот как следует рассуждать при решении последнего уравнения.

Чтобы вычесть из числа сумму, достаточно вычесть из данного числа каждое слагаемое одно за другим. Следовательно, имеем, если слагаемые в скобках поменять местами:

12* — Ах — 7 — 2х = 9; (8* —7) —2* = 9.

Чтобы из разности двух чисел вычесть третье, достаточно вычесть это число из уменьшаемого и из полученной разности вычесть вычитаемое. Получим:

6х — 7 = 9,

откуда

6* = 16, * = 2-у.

Изучив умножение и деление одночлена на число, учащиеся уже могут решать любые линейные уравнения, содержащие неизвестное в одной части, при условии, что здесь не содержится деление на неизвестное. Для решения текстовых задач достаточно ограничиться уравнениями вида

(ах + Ь)с + ах = f при различных значениях а, Ь, с, d и /.

Учащимся понятно, что левую и правую части уравнения можно менять местами. Поэтому решение уравнения

a = (bx + c)d + f

также не вызовет затруднений.

Остается рассмотреть вопрос о перенесении членов уравнения из одной части в другую.

Пусть дано равенство (безразлично, содержащее неизвестное или нет):

а + Ь = с. (5)

По определению вычитания имеем:

а = с — Ь. (6)

Сообщаем учащимся, что равенства (5) и (6) выражают одну и ту же связь между числами, или, как говорят, зависимость между ними, но эта связь (зависимость) выражена по-разному. В равенстве (5) она выражена действием сложения, а в равенстве (6) — вычитания.

В связи с этим говорят, что любое слагаемое можно перенести из одной части равенства в другую, сделав его вычитаемым. Вычитаемое можно перенести из одной части равенства в другую, сделав его слагаемым.

Например, уравнение

Sx — 8 = 2*

можно решить так.

Вычитаемое 8 перенесем в правую часть, сделав его слагаемым. Получим:

За: = 8 + 2х.

Слагаемое 2х перенесем в левую часть равенства, сделав его вычитаемым. Будем иметь:

Ъх — 2х = 8.

Выполнив в левой части вычитание (то есть приведя подобные члены), получим решение уравнения:

х = 8.

Теперь уже появляется возможность решать любые уравнения первой степени с одним неизвестным. Если проводить эту работу уже с I—II классов, начиная с самых простых уравнений, то к концу изучения уравнений в VII классе можно добиться беглости в решении не только уравнений первой степени, но и задач алгебраическим методом.

Разумеется, что предполагаемое более раннее изучение уравнений, начиная с I—II классов, потребует применения соответствующих наглядных пособий в виде таблиц, иллюстрирующих изложенное на небольших, доступных учащимся числах, а главное, новых задачников по арифметике (математике).

Даже начиная работу по решению уравнений и задач на составление уравнений с IV или V класса, можно до VII класса научить учащихся решать задачи алгебраическим методом.

Если сведения об уравнениях сообщать учащимся сразу при изучении связанных с ними теоретических вопросов, например правил действий над именованными числами, то на это не потребуется много времени. Изучая же эти сведения, учащиеся лучше усваивают программный материал, увязывают его с практикой. Некоторая экономия времени получается также за счет упрощения методов решения задач с применением уравнений.

Естественно, что вплоть до изучения уравнений в VII классе вопрос о равносильности не может быть поставлен. Единственность решения уравнений (а следовательно, и полнота решения предлагаемых уравнений) будет вытекать для учащихся из единственности результатов арифметических действий и справедливости законов этих действий.

Изученный таким образом пропедевтический курс уравнений поможет учащимся вникнуть в суть преобразований уравнений, изучаемых в систематическом плане.

2. О применении алгебраического метода решения арифметических задач

Умение решать полученные из условия задачи уравнения является необходимым условием для решения задач алгебраическим методом. Чтобы учащиеся смогли воспользоваться уравнениями при решении текстовых задач, нужно научить их выражать в математической (аналитической) форме зависимость между числами (величинами). Эта ра-

бота может проводиться параллельно с изучением способов решения уравнений.

Работа по изучению способов выражения зависимости между числами и величинами может проводиться в такой последовательности.

Разъясняем учащимся, что при выполнении арифметических действий мы пользуемся знаками действий и знаком равенства, например:

5 + 7=12. (1)

Это равенство истолковывается весьма просто, Оно означает, что сумма чисел 5 и 7 равна 12, или, что одно и то же, что в результате прибавления к 5 числа 7 получается 12.

Следовательно, равенство (1) устанавливает указанную связь между числами, или, как говорят, зависимость между числами 5, 7 и l£. Однако связь между этими же числами, устанавливаемую равенством (1), можно сформулировать иначе, Вот несколько предложений, выражающих ту же связь между числами 5, 7 и 12, что и равенство (1): 12 больше 5 на 7; 12 больше 7 на 5; 5 меньше 12 на 7; 7 меньше 12 на 5; 5 в сумме с 7 дает 12 и т. д.

Таким образом, любое из приведенных предложений, устанавливающее связь между числами 5, 7 и 12 или зависимость между ними, может быть математически (аналитически) выражена равенством (1).

Рассмотрим обратную задачу. Выразить математически зависимость между числами, установленную предложением: 12 больше 5 на 7. Один из возможных ответов мы уже знаем. Равенство (1) является ответом на вопрос задачи. Эту зависимость можно выразить иначе, притом двояким образом, не считая формулы 7+5=12, являющейся видоизменением формулы (1):

12-7 = 5; 12-5 = 7.

Для практических целей вполне достаточно уметь выражать словесно сформулированную связь между числами в виде хотя бы одной формулы (равенства).

После соответствующего разъяснения на протяжении длительного времени необходимо решать примеры на выражение зависимости между числами (величинами) в математической форме.

Приведем несколько примеров такого типа без использования буквенной символики (в предположении только, что неизвестное число обозначается буквой х).

1. Сформулировать зависимость между числами, выраженную равенствами:

а) 15 + 8 = 23;

б) 24 — 8= 16;

в) 2 . 3 = 6;

г) 24 : 12 = 2;

д) * + 7 = 24;

е) 5 + X = 20;

ж) 38 — *= 18;

з) х-7= 15;

и) 5* = 20;

к) 27 : X = 9; л) * : 4 = 8; м) 2х + 3 = 5.

2. Выразить в аналитической форме следующие зависимости между числами:

а) 10 больше 8 на 2.

б) 7 меньше 11 на 4.

в) 40 впятеро больше 8.

г) Неизвестное число меньше 10 на 4.

д) Неизвестное число вдвое больше 25.

е) 30 вчетверо меньше неизвестного числа.

3. Какие из написанных равенств выражают одну и ту же зависимость между числами:

а) 10 . 2 = 20;

б) 18 + 2 = 20;

в) 20 : 2 = 10;

г) 18 — 8= 10;

д) 19-7 = *;

е) 2 = 20 : 10;

ж) х + 7= 19;

з) 19 —* = 7?

Сформулируйте зависимость, выраженную каждой из этих формул.

4. Какими равенствами может выражаться зависимость: неизвестное число втрое больше 15?

5. Напишите сумму чисел 7 и 18, не вычисляя ее значения.

6. Напишите число, в 6 раз большее 23, не вычисляя его значения.

7. Напишите число, втрое меньшее неизвестного числа.

8. Напишите число, на 7 меньшее неизвестного числа.

9. Напишите разность удвоенного неизвестного числа и 14.

10. Напишите сумму 17 и утроенного неизвестного числа.

11. Напишите произведение 9 на разность неизвестного числа и 12.

12. Что означает запись:

а) 15—11;

б) X + 13;

в) 7г,

г) 13 — х\ Д) X : 5; е) 18 : X?

Аналогичные упражнения можно предлагать в качестве математических диктантов, устных фронтальных бесед, самостоятельных работ. Их следует решать систематически при изучении других вопросов.

Первую задачу на применение алгебраического метода при решении арифметической задачи можно предложить только при выполнении следующих двух условий:

1) Учащиеся умеют решать уравнения хотя бы типа (1) из предыдущего параграфа.

2) Учащиеся научились выражать зависимость между числами и величинами хотя бы в простейших случаях.

Вот пример такой задачи (для I—II классов): найти неизвестное число, которое на 8 больше 12.

Учащиеся сами смогут решить такую задачу:

12+8=20.

Предложенную задачу можно решить и другим путем, выразив в виде равенства указанную в условии зависимость, а именно:

je = 12 + 8.

Эта формула дает то же решение, которое было получено раньше. Однако указанная в условии зависимость могла быть записана и иначе:

х-8= 12.

Из этого равенства х также находится сложением чисел 12 и 8. Если задача простая, то составление уравнения по ее условию почти не облегчает решения, однако во многих случаях применение уравнений делает решение даже громоздкой задачи весьма простым и удобным. Поэтому наряду с другими методами мы часто будем пользоваться методом уравнений.

На первых порах алгебраическим методом следует решать наиболее простые задачи, легко сводящиеся к уравне-

ниям, например: после того как задуманное число я увеличил в 5 раз и из полученного произведения вычел единицу, разность оказалась равной 36. Какое число я задумал?

Уже при решении задач, аналогичных приведенной, учащиеся убеждаются в целесообразности рассматриваемого метода решения задач.

Особенно необходимым этот метод оказывается при решении таких задач, для которых трудно указать рациональные «арифметические» приемы решения.

Приведем примеры таких задач.

1. Старинная задача. Летело стадо гусей, навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» — «Нас не сто гусей,— отвечает ему вожак стада,— если бы нас было столько, сколько теперь, да еще столько, да полстолька, да четверть столька, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей». Сколько было в стаде гусей?

Пытаясь решить эту задачу арифметическим путем, многие учащиеся встретятся с затруднениями. Алгебраический же метод сразу приводит к цели. Обозначив искомое число гусей буквой X, легко получаем уравнение

х + х + -^-х + -^х + 1 = 100,

решение которого затруднений не вызывает.

2. Отец старше сына на 24 года. Сколько лет сыну, если через 3 года он будет в 5 раз моложе отца?

Эта задача может быть решена так. Пусть через 3 года сыну будет X лет, тогда отцу будет Ъх лет. Следовательно, отец будет старше сына на (Ъх—х) лет, или на 24 года, откуда:

Ах = 24, X = 6.

Теперь же сыну 6—3, или 3, года.

3. У одного мальчика на 8 орехов больше, чем у второго. Сколько орехов у каждого из них, если известно, что число орехов второго мальчика составляет числа орехов первого мальчика?

Эта задача решается аналогично предыдущей.

Обычно такие задачи решаются с помощью условных единиц или частей. Но это фактически замаскированный алгебраический метод. Зачем же скрывать его сущность от учащихся?

Можно было бы привести много задач, решение которых вызывает у учащихся большие затруднения. Алгебраический метод значительно облегчает решение таких задач.

К их числу относятся задачи на части, на предположение, на смешение, на пробы и сплавы, на проценты и т. д.

Время, затраченное на изучение в курсе арифметики пропедевтических сведений об уравнениях и зависимости между числами и величинами, будет не только окуплено упрощением методов решения задач, но и создаст действительные предпосылки для прочного и глубокого усвоения программного материала по арифметике и алгебре.

Огромный труд по усвоению специальных приемов решения типовых арифметических задач приносит мало пользы, так как эти приемы не находят практического применения после знакомства учащихся с алгебраическим методом. Гораздо целесообразнее эти усилия учащихся направить на изучение необходимых теоретических сведений, находящих более широкое практическое применение.

Конечно, из сказанного вовсе не следует, что нужно категорически отказаться от арифметических приемов решения задач. Наоборот, там, где эти приемы целесообразны и легко приводят к цели, они полезны и даже необходимы.

ГЛАВА II

УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

1. Начало систематического курса уравнений

Понятие о допустимых значениях букв для равенств

Прежде чем перейти к изучению систематического курса уравнений, следует повторить с учащимися определение равенства, а также выяснить понятие о допустимых значениях букв. Для лучшего уяснения понятия равенства предлагается придумать и записать в тетрадях несколько (например, пять) примеров равенств, в состав которых входили бы как буквы, так и числа. Некоторые из придуманных учащимися равенств записываются на доске:

Если среди них не окажется равенств, содержащих буквы в знаменателе, то примеры (4) и (5) придется записать самому учителю.

Устанавливаем, что если при каком-либо значении буквы алгебраическое выражение равно определенному числу, то говорят, что это выражение имеет смысл при данном значении буквы. Например, алгебраическое выражение имеет смысл при а = — 5; —1; 0; 1 и т. д., так как при этих значениях а выражение принимает такие числовые значения:--g-;------2~ и т. д. (Эти значения учащиеся находят устно.)

Если же при каком-либо значении буквы алгебраическое выражение не является определенным числом, то говорят, что при этом значении буквы данное выражение не имеет

смысла. Например, при а = 3 выражение -^ не имеет смысла, так как знаменатель его при а = 3 обращается в 3 — 3 = 0, а деление на нуль невозможно. Учащиеся вспоминают определение действия деления и выясняют, что делитель не может быть равным нулю, так как в этом случае (когда делимое отлично от нуля) частное найдено быть не может. Аналогично, выражение 2 при а = — 2 не имеет смысла по той же причине.

Если, наконец, при каком-либо значении буквы выражение может принимать любое значение, то также говорят, что при этом значении буквы выражение не имеет смысла. Например, выражение-г не имеет смысла при х = 1, так как при этом значении х оно принимает вид -g-, которому удовлетворяет любое число.

Числовые значения букв, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называются допустимыми значениями для этих букв.

Равенство представляет собой совокупность двух алгебраических выражений, соединенных знаком равенства. Поэтому допустимыми значениями букв для него будут только те, при которых обе части его имеют смысл.

В качестве упражнения предлагается найти множество допустимых значений букв для всех записанных на доске равенств.

Если равенство составлено из условия конкретной задачи, то чаще всего буквы не могут принимать любых числовых значений даже из числа допустимых. Пусть, например, в задаче речь идет о возрасте человека, обозначенном буквой. Ясно, что она не может принимать достаточно больших значений, скажем, больших 300, так как люди до такого возраста не доживают. Если говорится, например, о количестве людей, кораблей и т. д., то буквы, обозначающие это количество, не могут принимать отрицательных или дробных значений. Таким образом, в тех случаях, когда алгебраическое выражение составлено из условия конкретной задачи, допустимые значения букв определяются не только видом этого выражения, но и условием задачи.

Упражнения для закрепления:

1. Найти множество допустимых значений букв для выражении: 5т + 1; ——=—; —гу.

2. Найти допустимые значения букв для равенств:

3. Найти множество допустимых значений букв для выражения ' обозначающего число яблонь, растущих на пришкольном участке.

4. Найти множество допустимых значений букв для равенства —Ц^- = ——г, в котором буква х обозначает ширину классной комнаты.

Уравнения и тождества

В методической и учебной литературе уравнения, тождества, системы уравнений и т. д. определяются по-разному. Это усложняет работу учителя, затрудняет использование не только старых учебных пособий, но и вышедших в последнее время.

По отношению к понятиям равенства и тождества большого разнообразия нет. Почти во всех пособиях учебно-методического характера приводятся определения этих понятий, близкие к тем, которые даются в учебнике алгебры А. Н. Барсукова [2].

Определения же уравнения в различных пособиях весьма разнообразны. Однако почти все существующие определения уравнения можно разбить на две группы.

Первая из них прямо или косвенно отождествляет понятие уравнения с понятием равенства, установленным, например, в смысле определения этого понятия в учебнике А. Н. Барсукова.

Вторая группа определений основывается на разделении понятия «равенство» на два вида — «уравнения» и «тождества».

К первой группе относятся все определения уравнения в учебниках XVIII и первой половины XIX века, а также многие определения в учебниках, вышедших в самое последнее время. Сюда же можно отнести и определение уравнения, приведенное в учебнике алгебры А. Н. Барсукова.

В самом деле, всякое равенство, содержащее буквы, по этому определению можно считать уравнением, так как любую букву, входящую в его состав, можно считать неизвест-

ным. Если же в состав равенства буквы совсем не входят, то всегда можно дописать, например, член 0-л; со знаком + или — и считать х неизвестным. Этим доказано, что всякое равенство в смысле определений А. Н. Барсукова является уравнением. Обратное очевидно: любое уравнение удовлетворяет определению равенства. Следовательно, в смысле рассматриваемых определений понятия «уравнение» и «равенство» совпадают.

Ко второй группе относится подавляющее большинство определений второй половины XIX и первой половины XX века. Сюда же можно отнести и определение, имеющееся в учебнике алгебры А. П. Киселева [16].

Если в качестве определения уравнения взять любое определение первой группы, то на одно и то же равенство приходится смотреть по-разному в VI и VII классах. Действительно, равенство (х + у)2 = х2 + 2ху + У2 выступает вначале как тождество, а затем как уравнение. Главное же (методическое) неудобство такого определения состоит в том, что оно как бы принуждает нас сразу изучать все равенства, в то время как гораздо целесообразнее изучать их по классам: изучить до некоторой степени один из классов, например тождества, а затем перейти к изучению равенств второго класса и т. д. Последнее возможно, однако, только при условии, что уравнения и тождества будут считаться равноправными видами более общего понятия «равенства».

Кроме того, всякое уравнение, содержащее несколько букв, выражает какую-то связь между ними, функциональную зависимость, в то время как тождество никакой зависимости между переменными не выражает. В самом деле, уравнение х+у=3 устанавливает определенную зависимость между X и у, в тождестве же х+у=у+х переменные X и у фактически не связаны никакой зависимостью, так как каждая из них может принимать произвольные значения независимо от другой.

Совершенно очевидно, что все теоремы о равносильности уравнений (которые считаются читателю известными) имеют место для уравнений, определенных как в смысле определений первой, так и в смысле определений второй группы. Отсюда следует, что теоремы о равносильности уравнений в одинаковой мере относятся и к уравнениям, и к тождествам и поэтому с одинаковым успехом могут применяться как для решения уравнений, так и для доказательства тождеств.

Формы равенств могут быть довольно сложными, и по их виду иногда трудно определить, к какому типу они относятся — к уравнениям или тождествам. В некоторых случаях при решении задач мы тождество принимаем за уравнение, или наоборот, уравнение — за тождество. Несмотря на это, мы получаем также правильный результат, но более сложным путем.

Действительно, если принять данное равенство, например, за тождество, то решается вопрос, верно ли поставлен знак равенства между двумя выражениями, то есть при всех ли системах значений букв, взятых из области существования равенства, оба выражения равны? Здесь могут быть два случая:

1) Исследуемое равенство справедливо при любых системах значений букв, взятых из области существования.

2) Существуют такие системы значений букв, при которых знак равенства не имеет места.

В первом случае перед нами тождество, во втором — уравнение, несмотря на то, что вначале мы рассматриваем его как тождество.

Аналогично, если мы равенство считаем уравнением, то решаем следующий вопрос: при каких системах значений входящих в равенство букв, взятых из области существования, оно оказывается верным?

При исследовании могут быть три случая:

1) Исследуемое равенство справедливо при всех системах значений букв, взятых из области существования.

2) Равенство справедливо при некоторых (не при всех) системах значений букв, взятых из области существования.

3) Равенство несправедливо ни при каких системах значений букв, взятых из области существования.

Несмотря на то, что данное равенство считалось уравнением, в первом случае оно оказывается тождеством, а во втором и в третьем случаях уравнением.

Определение тождества учащимся известно из VI класса. Перед началом изучения систематического курса уравнений устанавливается, что под тождеством следует понимать не только равенства, справедливые при всех допустимых значениях входящих в них букв, но и все верные числовые равенства.

Примеры тождеств:

Равенства, не являющиеся тождествами, называются уравнениями.

Желательно при формулировке определения уравнения не употреблять требующий специального разъяснения термин «тождество». Лучше поэтому определение уравнения сформулировать так: уравнением называется равенство, справедливое не при всех допустимых значениях букв.

Примеры. Равенство 2х + 1 = 9 справедливо при X = 4 и несправедливо, например, при х = 0; 1; 2; —5 и т. д., а следовательно, является уравнением. Уравнением является также и равенство* + 3 = 17, так как оно справедливо при л:= 14 и несправедливо при других значениях х, в чем легко убедиться проверкой.

Имеются уравнения, справедливые при многих (но не при всех) значениях букв. Например, равенство х + у = 18 справедливо при х = 2, у = 16; х = 3, у = 15; х = —5, у = 23 и т. д., но несправедливо при х = 2, у =* 3 и т. д. Следовательно, данное равенство является уравнением, но не тождеством.

Иногда при решении различных задач получаются равенства, несправедливые ни при каких значениях букв, как например л; + 3 = л: + 5; 2х+у = 5 + 2х + у и т. д. Такие равенства также считаются уравнениями.

Из сформулированных определений вытекает, что равенства бывают только двух видов: уравнения и тождества. Никаких других равенств не существует.

Если равенство справедливо при многих значениях букв, то это не значит еще, что оно является тождеством, как, например, в случае уравнения х + у=18.

Тождественность двух алгебраических выражений должна быть доказана для каждого отдельного случая, проверка же на частных примерах может дать неверный результат. Например, равенство

X2 (*2 — Зх + 2) = (х* — Зх + 2) (7л;— 12)

справедливо при х= 1; х = 2\ х = 3; х = 4. Несмотря на это, оно не является тождеством, так как при х = 0 левая часть его равна 0, а правая — 24, то есть при х = 0 данное равенство несправедливо, хотя это значение х для него допустимо.

Упражнения.

1. Определить тип следующих равенств: 1) 5 + 7 = 12;

2. Показать, что написанные равенства являются тождествами: 1) 2- (х + 7) — 19 = 2х— 5; 2) (х+1)* = х2 + + 2Х+1; 3) 45 — 3.(8 — 2) = 27.

3. Можно ли сделать вывод о том, что равенство X2 + 6 = 5х является тождеством, если известно, что оно справедливо при х = 2 и х = 3?

4. Решить задачи:

1) При каких значениях а двучлен 5а—1 принимает числовое значение, равное 14?

2) При каких значениях m квадрат суммы чисел m и 2 равен квадрату числа m, сложенному с учетверенной суммой чисел m и 1?

Какого типа равенства получаются при решении последних задач?

Свойства числовых и буквенных равенств

Основные свойства равенств: рефлексивность, симметричность и транзитивность, фактически определяющие соотношение равенства между числами,— относятся к числу таких, которые кажутся учащимся совершенно очевидными. Кроме того, перечисленные свойства, хотя и не сформулированные в явном виде, применялись при изучении арифметики и алгебры в V—VI классах.

Нет смысла приводить формулировки этих свойств и в VII классе, так как, во-первых, семиклассникам было бы не совсем ясно, почему эти свойства сформулированы теперь, а не тогда, когда впервые появилась необходимость их применения, и, во-вторых, учащиеся правильно и с пониманием пользуются перечисленными свойствами, не прибегая к их формулировкам.

Остальные свойства равенств следует рассмотреть подробнее.

1. Если к равным величинам прибавить равные, то и результаты будут равны, то есть если а*=й, то и а + m = Ь + т.

В справедливости сформулированного свойства можно убедиться, например, таким путем. Всякое равенство мож-

но представить как находящиеся в равновесии весы (черт. 1), левую часть его — как груз, положенный на левую, а правую — как груз, положенный на правую чашки весов. Очевидно, что равновесие не нарушится, если на каждую чашку весов положить равные грузы. Например, если на правую чашку весов положить две разновески по 500 г, а на левую 1 кг хлеба, то весы придут в равновесие, которое может быть записано в виде равенства:

1 кг = 500 г • 2.

Черт. 1.

Если затем на левую чашку весов положить дополнительно 300 г хлеба, а на правую три разновески по 100 а каждая, то равновесие не нарушится. Эту операцию условно можно выразить при помощи такого равенства:

1 /сз + 300г = 500г.2+ 100г-З.

Понятно, что прибавлять можно не только положительные, но и отрицательные числа. Но прибавление отрицательного числа, как известно из курса алгебры VI класса, всегда можно заменить вычитанием положительного числа (противоположного вычитаемому). Вычитание же из обеих частей равенства равных чисел может быть проиллюстрировано как снятие с обеих чашек весов, находящихся в равновесии, равных грузов. Очевидно, что от этого весы не выйдут из равновесия.

Примеры.

так как 4 — х = А — х, то и 4=4; так как х + 5 = 7 и — 5 = — 5, то # + 5 — 5 = 7 — 5, или х = 2 и т. д.

2. Если равные числа умножить на равные, то и результаты будут равны, то есть если а — Ъу то и ат — Ьт.

В справедливости этого свойства также можно убедиться, рассматривая равенство как находящиеся в равновесии весы.

Примеры. Так как 13 = 8 + 5, то и 13- 2 = (8 + + 5) . 2; так как 500 = 200 + 300, то и 500 • 0,01 = (200 + 300) • 0,01; так как Ах =16, то и Ах • -~ = = 16 • -i-, или X = 4.

3. При умножении произвольных чисел на нуль получаются произведения, равные нулю. Это свойство есть не что иное, как известное из V и VI классов правило умножения любого числа на нуль.

Примеры. 7.0 = 3-0; 81-0 = — 3,2-0.

Вопросы и упражнения для закрепления изученного материала.

1. Сформулировать изученные свойства равенств.

2. Как убедиться в справедливости этих свойств? Привести примеры.

3. Справедливы ли перечисленные свойства для равенств, содержащих буквы, для уравнений?

4. Решить уравнения №206 (1—6), 207(1, 3, 6) и задачу № 1981.

Уравнения учащиеся могут решать либо известными из VI класса способами, либо на основании изученных свойств равенств. Вопрос о нахождении всех корней уравнения пока что не ставится.

Понятие о решении уравнений

Уравнения представляют собой один из видов равенств, таких, которые справедливы не при всех допустимых значениях входящих в них букв. Уравнения получаются при решении конкретных практических задач. При этом каждое уравнение оказывается справедливым как раз при тех

1 Нумерация задач дается по задачнику П. А. Ларичева [15].

значениях букв, которые являются ответом на вопрос задачи, из которой оно получено. В связи с этим естественно возникает вопрос о нахождении таких значений букв (при которых уравнение обращается в верное числовое равенство). Таким образом, буквы, входящие в уравнение, в отличие от букв, входящих в тождество, обозначают не произвольные числа из множества допустимых значений, а лишь те из них, которые обращают уравнение в тождество. Такие буквы (а также величины, ими обозначенные) называются неизвестными, а числа, которые они обозначают, называются решениями или корнями уравнения.

Таким образом, устанавливаются определения: Корнем, или решением, уравнения называется то значение буквы, которое обращает уравнение в тождество. Буквы, обозначающие корни уравнения, называются неизвестными.

Решить уравнение — это значит найти его корни.

Остается выяснить вопрос о количестве корней уравнения с одним неизвестным. Учащиеся вспоминают, что уравнение может иметь один корень, ни одного корня или же много корней. (Этот вопрос фактически был рассмотрен при изучении темы «Закрепление и углубление представлений учащихся об уравнении и тождестве», только там не вводился термин «корень» или «решение».)

Если в состав уравнения входит несколько букв, то решение уравнения состоит не из одного числа, а из совокупности такого количества чисел, которое равно количеству букв, входящих в состав уравнения. Совокупность чисел, обращающая уравнение с несколькими неизвестными в тождество, называют решением уравнения (но не корнем уравнения или корнями уравнения). Буквы, которые обозначают любые числа, а не только корни уравнения, обычно не называют неизвестными.

Упражнения.

1. Показать, что уравнение 6*+3=27 имеет единственный корень: х = 4.

Решение. При х = 4 уравнение обращается в тождество 6-4+3=27. При X <4 имеем б* + 3<27, так как если одно слагаемое уменьшить на какое-либо число, то и сумма уменьшится на это же число. (Следует выяснить, какое из двух слагаемых уменьшится и почему.) Аналогично, при всех X > 4 имеем б* + 3 > 27. Итак, никакое число, кроме X = 4, не может быть корнем данного уравнения.

2. Показать, что уравнение х + 13 = 25 имеет единственный корень: х = 12.

3. Показать, что уравнение х2 + 4 = 5х имеет два корня: х=\ и X = 4. (Показывается проверкой.)

4. Сколько решений имеет уравнение 2х + у = И?

5. К какому типу равенств относится равенство (х + у)2 — =х2 + 2ху + у2?

6. Являются ли в предыдущем примере числа х и у неизвестными? Почему?

7. К какому типу относится равенство х + Ъу = = (5 + 2#) + (л: + у)? Являются ли в этом примере числа х и у неизвестными? Почему?

Равносильность уравнений

Определение равносильности уравнений не вызывает методических затруднений и обычно легко усваивается учащимися. Однако для полного уяснения равносильности этого недостаточно. Нужно еще усвоить теоремы о равносильности уравнений, известные в школьном курсе под названием основных свойств уравнений. Обычно семиклассники хотя и запоминают формулировки этих свойств, однако с трудом усваивают их смысл и доказательство.

Изучение равносильности уравнений вызывает трудности не только у семиклассников, но и у учащихся старших классов. Однако само по себе доказательство этих свойств не трудное. Трудности в усвоении доказательств теорем о равносильности уравнений объясняются тем, что учащиеся не подготавливаются к восприятию самой идеи о необходимости такого доказательства.

Без специальной подготовки даже старшеклассники не отличают свойств равносильности уравнений от свойств равенств. Многие из них убеждены, что раз прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа ведет к сохранению равенства между левой и правой его частями, то это автоматически сохраняет неизменными все корни уравнения. То же можно сказать и относительно умножения обеих частей уравнения на одно и то же число или даже выражение.

Учащиеся убеждены, что если над обеими частями уравнения выполнить преобразование, при котором равенство между левой и правой частями не нарушается, то и корни остаются неизменными. Это, однако, не так.

Существуют преобразования трех типов.

1) Преобразования, в результате которых получается новое уравнение, содержащее все корни исходного и, кроме того, быть может, еще и посторонние, то есть такие, которые удовлетворяют полученному уравнению, но не удовлетворяют данному. Например, умножая уравнение х— 1 = = 2 почленно на уравнение x = 3, получим новое уравнение (л:^-1)х = 6, которое кроме лс=3 имеет еще и корень х*=—2.

2) Преобразования, ведущие к потере корней. Примеры. Разделив обе части уравнения

(* + 2) = 5(* + 2)

на х+2, получим новое уравнение

х- 1 =5,

имеющее только один корень х = 6. Корень же х =—2 потерян.

Взяв от обеих частей уравнения

х2 + 3х—3 = х

логарифм, получим новое уравнение

№ + 3*-3) = lg*,

имеющее только один корень я=1, в то время, как корень х=—3 потерян.

3) Преобразования, ведущие к сохранению равенства между частями уравнения, но приводящие к новому так, что некоторые корни (или даже все) исходного уравнения теряются и появляются посторонние. Например,

х - к — X.

Это уравнение имеет единственное решение х = ~t а уравнение tg х = tg (тг — х) уже имеет множество решений X = k~. При переходе от первого уравнения ко второму появился ряд корней вида х = k ~, не имеющих к исходному никакого отношения, а корень х = -~- потерян.

Приведенный пример показывает, что сохранение равенства между частями уравнения и само решение уравне-

ния могут не иметь ничего общего, а это обычно является источником многих логических ошибок.

Путем целесообразно подобранных примеров, которые будут приведены в дальнейшем, отмеченные трудности можно устранить.

Для лучшего уяснения идеи равносильности полезно изменить формулировки следствий из основных свойств уравнений. В старших классах после изучения свойств равносильности, которые имеют место для любых равенств (так как эти свойства верны и тогда, когда понятия уравнения и равенства отождествляются), целесообразно сообщить такие важные следствия:

1. Если к обеим частям тождества (уравнения) прибавить одно и то же выражение, то полученное равенство будет оставаться тождеством (уравнением).

2. Если после прибавления к обеим частям равенства одного и того же выражения получилось тождество (уравнение), то и исходное равенство было тождеством (уравнением).

3. Если обе части тождества (уравнения) умножить на одно и то же выражение, неравное тождественно нулю, то полученное равенство будет оставаться тождеством (уравнением).

4. Если после умножения обеих частей равенства на одно и то же выражение, неравное тождественно нулю, получилось тождество (уравнение), то и исходное равенство было тождеством (уравнением).

Указанные следствия можно предложить учащимся старших классов (IX—X), когда им придется доказывать тождества обычным путем. Это поможет им уяснить то, что не может быть «превращения» тождеств в уравнения и наоборот.

Приведенные следствия дают возможность отказаться от обязательного требования при доказательстве тождеств переписывать левую (правую) часть и доказывать, что она равна правой (левой) части в тех случаях, когда это упрощает доказательство.

Пример. Доказать тождество:-= г~г——•

Вместо обычного можно допустить и такой способ доказательства тождества. Умножая обе части исходного равенства на неравное тождественно нулю выражение cos а (1 + sin а), получим равенство (1 —sin а) • (1 -f- sin а) «

= cos2a или cosaa = cos2a, являющееся тождеством. На основании 4-го следствия из теорем о равносильности уравнений делаем вывод, что и исходное равенство является тождеством.

Заметим, что обосновывать способы решения уравнений без использования теории равносильности, непосредственно исходя из свойств «числовых» равенств, методически нецелесообразно, хотя вообще говоря логически возможно. Отказ от изучения свойств равносильности уравнений обязательно ведет к одному из двух нежелательных последствий:

1. Если учитель обосновывает решение уравнений, то он вынужден в каждом случае проводить те же рассуждения, что и при доказательстве свойств равносильности уравнений.

2. В противном случае способы решения уравнений даются учащимся без всякого обоснования.

Если первое последствие возможно только теоретически (практически для последовательного обоснования решения каждого уравнения нет времени), то второе — вполне реально и приводит к формальному усвоению важнейшего раздела школьного курса алгебры.

Конечно, доказательство теорем о равносильности уравнений в общем виде для семиклассников недоступно. В связи с этим общие рассуждения следует проводить на частном примере, конкретные особенности которого не принимаются во внимание. Такие рассуждения имеют доказуемую силу, являются достаточно строгими.

В VII классе этот материал может быть изложен в такой последовательности. Сообщаем, что при решении уравнений как на основании зависимости между компонентами действий, так и на основании свойств равенств мы предполагали, что х (или какая-либо другая буква) обозначает вполне определенное число. В таком предположении одно уравнение мы заменяем другим так, чтобы знак равенства не был нарушен. Наше решение оправдано (полезно) только тогда, когда корни полученного после преобразования уравнения будут те же, что и исходного уравнения.

Два уравнения называются равносильными, если всякое решение первого из них является решением второго и, наоборот, всякое решение второго является решением первого.

Другими словами, наше решение имеет смысл (то есть дает возможность действительно найти все корни) только

тогда, когда полученное после упрощения уравнение будет равносильно исходному. Тот факт, что при преобразовании уравнения сохранение знака равенства не всегда ведет к новому уравнению, равносильному первоначальному, можно показать на примерах.

1. Умножив обе части уравнения х—1 = 2 на х, мы знака равенства не нарушим (второе свойство равенств), однако получим уравнение (х— \)х = 2ху неравносильное первоначальному. Действительно, полученное уравнение, как это нетрудно проверить, имеет два корня: х = 3 и х = 0, последний из которых не является корнем исходного уравнения:

0 - 1 ф 2.

2. Перемножив почленно уравнение

x-2=l (1)

и уравнение

х = 3, (2)

имеющие один и тот же корень х = З1, получим новое уравнение

(х — 2)х = 3, (3)

неравносильное заданным уравнениям, несмотря на то, что знак равенства сохраняется. Действительно, уравнение (3) имеет, как легко убедиться проверкой, два корня: #==3и X = —1, второй из которых не удовлетворяет ни уравнению (1), ни уравнению (2).

3. Разделив уравнение (3) на уравнение (2), то есть на одно и то же неравное нулю число х = 3, получим уравнение (1), неравносильное уравнению (3).

Однако нас интересуют такие преобразования, которые ведут не только к сохранению знака равенства, но и к новому уравнению, равносильному первоначальному.

А вот примеры равносильных пар уравнений.

1) Уравнения (1) и (2) равносильны.

2) Уравнения х + 5 = х и Зх2 + х + 6 = 15 + х (За: + 1) равносильны, так как каждое из них не имеет корней.

Упражнения.

1. Доказать, что уравнения —^— = ^ и х — 5=6 равносильны.

1 Другими словами, мы обе части уравнения (1) умножаем на одно и то же число X = 3.

Многие учащиеся будут считать задачу решенной после того, как известным из VI класса способом найдут, что каждое из них имеет корень х = 11. Семиклассникам следует разъяснить, что доказательство в таком случае нельзя считать законченным, так как возможно, что какое-либо из уравнений имеет, кроме корня #=11, еще и другие корни. Для завершения доказательства поэтому достаточно установить, что никакое число, кроме #=11, не удовлетворяет ни первому, ни второму уравнению. (Аналогичная задача решалась в предыдущем пункте.)

2. Будут ли равносильны уравнения х—1=6 и (x_ 1)2 = 36?

3. К уравнению х + 3 = 11 подобрать другое, ему равносильное.

4. Можно ли утверждать, что получится уравнение, равносильное данному, если его преобразовать так, что равенство между его частями не нарушится? (Привести примеры, подтверждающие сказанное.)

Первое свойство уравнений

Из рассмотренных примеров видно, что преобразования уравнения, приводящие к сохранению знака равенства между левой и правой его частями, могут привести это уравнение к новому, ему неравносильному.

Эту же мысль можно проиллюстрировать и на таком примере.

Дано уравнение х — 1 =3. Разделим его почленно на равносильное ему уравнение 4 = х. Другими словами, обе части данного уравнения разделим на одно и то же число X = 4 Ф 0. Получим новое уравнение —^— = — , неравносильное первоначальному, так как оно, как легко установить проверкой, имеет два корня: х = 4 и лс = — 3, в то время как второй из них первоначальному уравнению не удовлетворяет.

Для решения уравнений очень важно установить те преобразования, которые приводят данное уравнение к новому, ему равносильному.

Докажем следующее основное свойство уравнений.

Если к обеим частям уравнения прибавить один и тот

же (произвольный) одночлен1, то получится новое уравнение, равносильное данному.

Доказательство. Возьмем произвольное уравнение:

Ъх+ 1=2*+ 4. (1)

Прибавим к обеим частям его какой-либо одночлен, например —2л:. Получим новое уравнение:

Зх + 1— 2х = 2х + 4 — 2xt

или

* + 1 = 4. (2)

Очевидно, что уравнение (1) также может быть получено из уравнения (2) путем прибавления к обеим частям его одного и того же одночлена 2х.

Докажем, что уравнения (1) и (2) равносильны. Действительно, если бы это было не так, то нашлось бы такое значение X, при котором было бы верным только одно из двух равенств (1) или (2). Но по первому свойству равенств этого быть не может. Требуемое доказано.

Наглядно доказательство сформулированного свойства можно иллюстрировать следующим образом. Если бы уравнения (1) и (2) были неравносильными, то есть если бы при каком-либо значении х было верным только одно из равенств: (1) или (2), то отсюда бы следовало, что весы можно вывести из равновесия, если положить на обе чашки их один и тот же груз (равный в данном случае двум каким-либо единицам веса), что невозможно (черт. 2).

Черт. 2.

1 Любое число, записанное цифрами, можно рассматривать как одночлен.

Из доказанного свойства можно вывести два следствия, которыми часто пользуются при решении всякого уравнения.

1. Если любой член уравнения перенести из одной его части в другую с противоположным знаком, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Действительно, перенос второго члена уравнения

5* —3=17 (3)

вправо с противоположным знаком есть не что иное, как прибавление к обеим частям его одного и того же одночлена (числа) 3, так как Ъх— 3 + 3= 17 + 3, или

Ъх = 17 + 3. (4)

В силу доказанного уравнение (4) равносильно уравнению (3).

2. Если два одинаковых члена, стоящих в разных частях уравнения, уничтожить, то полученное уравнение будет равносильно данному, так как указанное здесь уничтожение есть не что иное, как прибавление к обеим частям первоначального уравнения одного и того же одночлена. Например, уравнение 2х + 5х = 6 + 5х равносильно уравнению 2х = 6.

Члены считаются одинаковыми, если они имеют равные абсолютные величины и одинаковые знаки.

Упражнения.

1. Решить уравнения № 724 (2,4).

2. Обязательно ли проводить доказательство первого свойства уравнений на примере уравнения Sx + 1 = 2х + 4? Провести доказательство этого же свойства на примере X + 3 = 6. Зависит ли справедливость доказываемого утверждения от того примера, которым доказательство иллюстрируется?

3. На каком свойстве равенств основано доказательство первого свойства уравнений?

4. Устно решить уравнения: 1) 7 + х = 13; 2) Зх = 7 + 2х\ 3) 1,5х — 4 = 0,5; 4) 2х + 3 = 45 + х\ 5) — 2 + Ах = 6 + Ъх.

Второе свойство уравнений

Рассмотренные примеры показывают, что от умножения обеих частей уравнения на равные числа может получиться новое уравнение, неравносильное первоначальному. Вот еще один пример такого типа. Умножив обе части уравнения

X + 1 = 2

на одно и то же число х — 2, получаем новое уравнение

{х+ 1) (х — 2) = 2-(* — 2),

неравносильное первоначальному, так как второе уравнение, как это легко установить проверкой, имеет два корня: X = 1 и X = 2, второй из которых не является корнем первого уравнения. Тем не менее справедливо следующее свойство уравнений.

Если обе части уравнения умножить на одно и то же выражение (тождественно равные выражения не считаются различными), неравное нулю и не содержащее неизвестных, то получится новое уравнение, равносильное данному.

Доказательство. Пусть дано произвольное уравнение, например

6* + 3 = 9. (1)

Умножив обе части его на какое-либо выражение, не содержащее неизвестного, например на -3~, получим новое уравнение:

(6*+3).-i-=9.-J, (2)

Уравнение (1) также может быть получено из уравнения (2) путем почленного умножения его на одно и то же выражение, в данном случае равное числу 3.

Докажем, что уравнения (1) и (2) равносильны. Действительно, если бы это было не так, то нашлось бы такое значение X, при котором одно из равенств (1) или (2) было бы верным, а второе — нет. Но по второму свойству равенств этого быть не может.

Легко понять, почему выражение, на которое умножаются обе части уравнения, не должно быть равным нулю и содержать неизвестных. Действительно, любое число, умноженное на нуль, дает нуль. Поэтому, умножая обе

части уравнения на нуль, получаем тождество, которому удовлетворяют любые значения неизвестных, в том числе и те, которые не являются корнями данного уравнения. Если же обе части данного уравнения умножить на выражение, содержащее неизвестное, например на #—5, то полученное уравнение

(6* + 3) (х — 5) = 9 - (х — 5) (3)

может не быть равносильным исходному. В самом деле, уравнение (3) обращается в тождество при тех значениях х, при которых выражение х—5 равно нулю, то есть при х-=5, в то время как это число может не быть корнем исходного уравнения.

Доказательство второго свойства уравнений, как и первого, можно проиллюстрировать с помощью находящихся в равновесии весов.

Мы знаем, что деление на 3 можно заменить умножением на -g- и т. д. В связи с этим утверждаем:

1. Если все члены уравнения разделить на неравный нулю делитель, не содержащий букв, то получится новое уравнение, равносильное данному. Отметим, что деление всех членов уравнения на одно и то же число, неравное нулю, называют сокращением уравнения. Только что сформулированное свойство можно выразить иначе: После сокращения на неравный нулю делитель, не содержащий букв, получается новое уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение

400* —2000 = 800

равносильно уравнению

х-5 = 2

по второму свойству уравнений. (Здесь обе части уравнения умножаются на одно и то же число щ.)

Оговорка об отсутствии букв в делителе нужна потому, что выражение, содержащее буквы, может обращаться в нуль при одних значениях букв и терять смысл при других значениях этих же букв, а по второму свойству в этих случаях полученное после умножения уравнение может не быть равносильным исходному.

2. Уравнение с дробными членами, не содержащими в знаменателе неизвестных, можно всегда заменить равносильным уравнением с целыми коэффициентами путем почленного умножения на наименьшее кратное знаменателей.

Действительно, если каждый член уравнения

(3)

умножить на 10, то получится новое уравнение

4*4-5 = 5* — 8, (4)

равносильное данному по второму свойству уравнений.

При переходе от уравнения (3) к уравнению (4), кроме второго свойства уравнений, используются правила умножения суммы и разности, произведения и дроби на число. Учащиеся иногда допускают ошибки, забывая умножать на наименьшее общее кратное знаменателей членов уравнения те члены, у которых нет знаменателей. Возможность такой ошибки следует иметь в виду.

Вопросы и упражнения.

1. Объяснить, будет ли полученное уравнение равносильно уравнению х— 3= 1, если обе части его умножить на одно и то же число: 1) х— 1; 2) х = 4; 3) 5.

В первом случае уравнение (х — 3) (х— 1) = х— 1 не будет равносильным первоначальному, так как при х = 1 множитель X—1 обращается в нуль. Во втором случае уравнение (х — 3)х = 4 неравносильно исходному, так как обе части его умножаются на разные выражения х и 4. В третьем случае полученное уравнение 5х—15 = 5 равносильно по второму свойству исходному.

2. Какие условия накладываются на множитель, после умножения на который обеих частей уравнения получается новое уравнение, равносильное данному?

3. Почему на указанный множитель накладываются перечисленные условия?

4. Решить уравнения:

5. Решить уравнения и задачи № 207(2), 723(5), 726(2—4), 750, 727(2,4), 738(1,2), 751.

6. Найти ошибку в рассуждениях: При х = 5 уравнение Sx = 2х + 5 обращается в тождество. Прибавим к обеим частям его по — 15. Получим Sx— 15 = 2х— 10, или после вынесения общих множителей за скобки 3 (л: — 5) = 2(х — 5). После сокращения на х — 5 будем иметь 3 = 2.

7. Можно ли считать уравнение (л:— I) (х + 3) (2х— 17) = 0 решенным, если известно, что х = 1 является его корнем? (Нет, так как упомянутое уравнение имеет еще и другие корни:X =—Зи х = 8~уВ чем легко убедиться проверкой.)

Решение уравнений первой степени с одним неизвестным

При решении уравнения мы заменяем данное уравнение другим, ему равносильным, но более простым. При этом очевидно, что корни данного уравнения не могут изменяться.

Условимся преобразования уравнений, не изменяющие их корней, называть равносильными.

Определения.

Всякое уравнение, которое после ряда равносильных преобразований приводится к виду ах=Ь, где афОу называется уравнением первой степени с одним неизвестным.

Всякое уравнение, которое после ряда равносильных преобразований приводится к виду 0-л:=6, где 6=^0, называется уравнением нулевой степени.

Здесь а называется коэффициентом при неизвестном, Ъ — свободным членом.

Например, уравнение =-^- после умножения на 4 приводится к виду

X + 3 = 4 — 6jc,

и после перенесения —б* влево, а 3 вправо с противоположными знаками получим

X -f- 6х = 4 — 3,

или после приведения подобных членов уравнение

7х = 1

вида ax = b, то есть уравнение первой степени с одним неизвестным. Следовательно, и исходное уравнение является уравнением первой степени с одним неизвестным.

Уравнение ах = 6, где а не равно нулю, называется каноническим (или нормальным) видом уравнения первой степени с одним неизвестным.

Чтобы решить уравнение первой степени с одним неизвестным, приведенное к каноническому виду, достаточно разделить его почленно на коэффициент при неизвестном. Так как коэффициент, по определению, отличен от нуля, то отсюда вытекает очень важное следствие:

Уравнение первой степени с одним неизвестным всегда имеет корень и притом только один.

Чтобы решить любое уравнение первой степени с одним неизвестным, достаточно после ряда равносильных преобразований привести его к каноническому виду, а затем разделить на коэффициент при неизвестном.

Совершенно очевидно, что любое уравнение нулевой степени вида 0- х — b (который также можно назвать каноническим видом уравнения нулевой степени) решений не имеет, так как стоящее в правой части уравнения отличное от нуля число b не может оказаться равным нулю, то есть левой части этого же уравнения.

Решим теперь более сложное уравнение:

Из предыдущего известно, что, для того чтобы решить уравнение первой степени с одним неизвестным, его надо первоначально привести к каноническому виду. Но как это сделать?

Прежде всего на основании второго следствия из второго свойства уравнений избавимся от дробных членов. Получим:

2*—3.5 (2*—3) + (х — 2) = (1 — 3*) — 2.3.

Раскроем скобки:

2х — ЗОх + 4 5 + X — 2 = 1 — За: — 6.

Все члены, содержащие неизвестное, перенесем влево (можно переносить вправо), а остальные члены вправо (или

соответственно влево) с противоположными знаками. Будем иметь:

2х — Ш + х + Зх = 1—6 — 45 + 2.

После приведения подобных членов получим: — 24* = —48.

Остается лишь почленно разделить на —24. По первому следствию из второго свойства уравнений получим новое уравнение х=2, решение которого очевидно, причем оно является также и корнем исходного уравнения.

Учащимся предлагается выполнить проверку.

На доске и в тетрадях записываются только уравнения и проверка. Объяснение же проводится устно.

В наиболее сложных случаях решение уравнения можно выполнить по следующей схеме:

1) Привести уравнение к целому виду.

2) Раскрыть скобки.

3) Собрать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены в другой.

4) Привести подобные члены.

5) Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Следует отметить, что приведенная схема не является обязательной, так как часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными. При решении же других уравнений бывает проще отступить от этой схемы, как, например, в уравнении:

7(х — 2) = 42.

Здесь проще сначала воспользоваться первым следствием из второго свойства уравнений, разделив обе части уравнения на 7:

л:—2=6,

откуда лс=8.

Упражнений на решение уравнений приводить не будем, так как их вполне достаточно в задачнике [15] и других пособиях.

Выработка умений и навыков в решении уравнений и задач на составление уравнений

Для изучения изложенных теоретических сведений достаточно примерно десяти уроков. Однако работу по усвоению всеми учащимися изученных положений нельзя считать законченной. Наоборот, теоретическим выкладкам, изученным на первых уроках, необходимо уделять время на протяжении всего периода изучения уравнений в VII классе.

Без кропотливой и настойчивой работы на каждом последующем уроке изученные теоретические сведения быстро забываются, и в памяти учащихся остаются только формулировки свойств и правил. При вдумчивом отношении к последующим урокам учащиеся с течением времени усваивают теоретический материал все глубже, уясняют новые факты и явления, которые не могли быть осмыслены при первоначальном знакомстве с темой.

При изучении теоретических вопросов и при обосновании способов решения уравнений первой степени с одним неизвестным на каждом уроке целесообразно решать несложные текстовые задачи, легко сводящиеся к уравнениям, способы решения которых известны из курса I—VI классов. Это несколько оживляет материал, который вначале носит отвлеченный характер.

В дальнейшем же следует провести несколько специальных уроков, посвященных решению более сложных задач на составление уравнений.

Для оживления уроков практического характера (решение уравнений и задач на составление уравнений) важное значение имеет прежде всего подбор задач и примеров. Не следует отводить несколько уроков подряд решению только уравнений, а затем только текстовых задач. Урок, на котором учащиеся знакомятся с применением алгебраического метода при решении текстовых задач, нельзя откладывать до того момента, пока все учащиеся приобретут прочные навыки в решении уравнений первой степени с одним неизвестным.

В число задач должны входить и такие, которые допускают отрицательные ответы. Как правило, эти задачи в школе не решаются, и учащиеся поэтому привыкли формально относиться к отрицательным корням уравнений, по-

лученных из условий решаемых задач. Сплошь и рядом, получив отрицательный корень уравнения, они отбрасывают его только на том основании, что он отрицательный, даже не вдумываясь в смысл задачи. Часто учащиеся считают задачу не имеющей решения, если полученное из ее условия уравнение имеет отрицательный корень. Есть, однако, много таких задач, при решении которых другим путем получаются положительные ответы. (Пример такой задачи будет приведен.)

Не научив учащихся вдумчиво относиться к отрицательным корням уравнений, мы не научим их рационально пользоваться алгебраическим методом решения задач практического характера.

Значительно повышает интерес к математике решение задач, требующих элементов исследования, задач, не имеющих решения. Конечно, таких задач не должно быть слишком много, однако решать их надо на протяжении всего периода обучения в VII классе, а также и во всех последующих.

Кроме того, целесообразно предлагать учащимся самостоятельно составлять задачи на заданную тему, по заданному чертежу, сводящиеся к данному уравнению.

Наконец, полезно проводить на уроках творческие самостоятельные работы, математические диктанты, фронтальные и индивидуальные беседы по изученному материалу.

Хотя раньше и решались текстовые задачи, однако после изучения основных теоретических сведений навыки учащихся по их решению следует углубить и расширить. Сущность алгебраического метода можно изложить, например, таким образом.

Прежде всего сообщаем учащимся, что на протяжении I—VII классов часто приходилось решать задачи путем составления уравнений. Арифметическим же путем такие задачи решались при помощи более громоздких вычислений и требовали большого умственного напряжения. Решение задач при помощи уравнений значительно облегчает работу и сводится к следующему.

Обозначаем буквой (обычно х) неизвестное число, которое требуется определить в задаче1. С помощью этой буквы

1 Иногда решение задачи упрощается, если через к обозначить другую неизвестную величину.

и данных в задаче чисел выражаем другие неизвестные числа, о которых говорится в задаче.

Составляем два равных по значению выражения, одним из которых может быть данное число. Приравниваем составленные выражения друг другу и получаем уравнение, решив которое найдем ответ на вопрос задачи.

Если в задаче требовалось найти несколько чисел, то, узнав одно из них, определяем остальные.

Сказанное поясняем на конкретном примере. Решаем задачу № 772. После уяснения условия задачи проводим беседу в таком плане.

Выясняем, значение какой величины лучше обозначить через х. Указываем, что через х в данной задаче, как и в любой другой, можно обозначить каждую из величин, значения которых неизвестны. В частности, через х можно обозначить либо количество деталей, которые токарь должен был обтачивать за 1 час или за всю смену, либо количество деталей, которые стал обтачивать токарь за 1 час или за всю смену и т. д. Чаще всего бывает удобнее обозначать через X ту величину, о которой спрашивается в задаче.

Положим, например, что токарь стал обтачивать за час х деталей. Ясно, что выбор неизвестного определяет вид уравнения, из которого это неизвестное может быть найдено.

Далее следует наметить, значения какой величины будем сравнивать для получения уравнения. Другими словами, надо выяснить, значения какой величины следует выразить двумя различными способами. Постановка такого вопроса сделает целенаправленными наши дальнейшие выкладки. Если же этого не сделать, то нам придется выражать через X и через известные числа сколько угодно других неизвестных, которые для составления уравнения могут и не потребоваться.

В частности, имея в виду выбранное нами значение х, можно сравнивать различным образом выраженное количество деталей либо обточенных токарем за 6 часов рабочего времени при предполагавшейся производительности труда, либо время, в течение которого токарь обточит какое-либо количество деталей, и т. д.

Попытаемся выразить, например, различными способами количество деталей, которые стал токарь обтачивать за 6 часов, применяя новый резец. План решения, таким образом, составлен.

Ясно, что требуется узнать, сколько деталей обточил токарь в действительности за 6 часов, применяя новый резец. Это будет 6* деталей. Но эти б* деталей составляют 1,2 дневной нормы. Уравнение будет составлено, если мы через X выразим дневную норму выработки. Как это сделать? Очевидно, надо знать, сколько деталей за час должен был обтачивать токарь. Легко сообразить, что это число составит (х — 4) деталей, а за 7 часов —7 • (х — 4) деталей. Следовательно, за 6 часов работы с применением нового резца токарь обточит 7- (а: — 4)« 1,2 деталей, откуда нетрудно получить уравнение.

Сравнивая значения другой величины, мы получили бы другое уравнение, имеющее то же решение. Как видим, способов решения одной и той же задачи бывает много.

Желательно, чтобы учащиеся решение этой задачи записали в таком виде.

Пусть токарь стал обтачивать за час х деталей. Тогда он должен был бы обтачивать (а: — 4) деталей за час, а за семичасовой рабочий день — 7 • (а: — 4) деталей. Но за 6 часов он стал обтачивать 6а: деталей. Учитывая, что он стал обтачивать за 6 часов 1,2 дневной нормы, имеем уравнение

6аг=7. (а: —4) ■ 1,2,

решив которое найдем а: =14.

Ответ. Применяя новый резец, токарь стал обтачивать за час 14 деталей.

После этого выясняем вопрос о том, как убедиться в правильности решения задачи. Показываем, что подстановка найденного значения в составленное уравнение не может убедить нас в правильности решения даже в тех случаях, когда уравнение обращается в тождество. В самом деле, мы могли неправильно составить уравнение и правильно его решить. Очевидно, что в таком случае корень уравнения не будет являться ответом на вопрос задачи. Отсюда ясно, что проверку следует проводить не по уравнению, а по условию задачи. Для этой цели следует составить проверочную задачу, в которой искомое данной задачи должно быть включено в состав данных, а одно из данных сделано искомым. Таким образом, проверочных задач может быть столько, сколько данных имеется в задаче. Вот пример проверочной задачи к только что решенной.

За семичасовой рабочий день токарь должен был по нор-

ме обточить некоторое количество деталей. Применив новый резец, токарь стал обтачивать в каждый час по 14 деталей, а потому за 6 часов работы выполнил 1,2 дневной нормы. На сколько деталей в час больше, чем предполагалось, стал обтачивать токарь, применив новый резец?

Условие проверочной задачи обычно не записывается, а ее решение считается проверкой данной задачи. Учащиеся должны записать:

Проверка.

1) 14 ■ 6 = 84 (детали); 3) 70 : 7 = 10 (деталей);

2) 84 : 1,2 = 70 (деталей); 4) 14— 10 = 4 (детали).

Вывод. Задача решена правильно.

Уже на следующем уроке наряду с решением задач из задачника (например, задач №761, 764) целесообразно приступить к решению задач, не имеющих решений, а также задач, ответами на которые являются отрицательные числа.

Приведем несколько примеров таких задач:

1. Для посадки фруктового сада юннаты доставили к первому участку 45 саженцев, а ко второму 30 саженцев фруктовых деревьев. Все эти саженцы решили посадить на двух участках поровну. Сколько саженцев следует переложить из первой партии во вторую?

2. 10 человек, работая ежедневно по 5 часов, могут выполнить некоторую работу в срок. По скольку часов ежедневно должны работать 2 человека, чтобы выполнить ту же работу в назначенный срок?

3. Числитель дроби составляет -g- знаменателя. После того как к числителю и знаменателю прибавили по 15, дробь стала равной 1. Найти дробь.

4. Имеется 4 кг кипятка и 6 кг холодной воды при температуре 12°. На сколько градусов следует подогреть холодную воду, чтобы после смешения ее с имеющимся кипятком установилась температура 46°?

5. На школьной математической олимпиаде было предложено для решения 10 задач. За каждую правильно решенную задачу засчитывалось 5 очков, а за нерешенную списывалось 3 очка. Сколько задач было правильно решено учащимся, который при окончательном подсчете получил 33 очка?

Число таких задач может быть увеличено путем изменения некоторых данных в задачах № 770 — 773, 776 — 778 и других по задачнику П. А. Ларичева [15].

Рассмотрим только один пример задачи, при решении которой может получиться уравнение с отрицательным корнем.

Угол при основании равнобедренного треугольника равен а; найти угол между одной боковой стороной и высотой, опущенной на другую (боковую) сторону, полагая а = 35° (черт. 3).

Решение будет иметь вид:

DA С =*= а — х. Следовательно, а — х + а = 90°, откуда * = — 90° +2а.

При а = 35° имеем х = — 90° + 70° = —20°.

Выясняем, имеет ли эта задача решение. Устанавливаем, что она имеет решение при любом а, в том числе и при а < 45°. Отрицательный корень здесь свидетельствует не о том, что задача не имеет решения, а лишь о том, что составленный нами чертеж не соответствует условию задачи. Уравнение показывает, что угол в 20° должен быть направлен в сторону, противоположную той, в которую он направлен на чертеже. Во избежание ошибок (в целях проверки) в таких случаях рекомендуется составить чертеж в соответствии с условием задачи и решить вновь полученное уравнение. Совпадение абсолютных величин найденных корней свидетельствует о правильности полученного ответа. Искомый угол равен 20°.

Отмечаем, что аналогичные случаи появления отрицательного корня уравнений при решении алгебраическим методом геометрических задач встречаются довольно часто, если составлять чертеж без полного учета соотношений между данными в задаче элементами. Если правильно проводить исследование, то это не приведет к ошибкам.

Разумеется, что если бы учащийся сразу стал вычерчивать на доске треугольник, соответствующий углу при основании а < 45° (что маловероятно), то решение по невер-

Черт. 3.

ному чертежу должен был бы проиллюстрировать учитель или ученик, решивший задачу нужным нам способом.

Приведем несколько примеров работ творческого характера, пригодных в качестве математических диктантов, самостоятельных работ учащихся.

1. а) Записать в символической форме предложение: Прибавить почленно к уравнению, левая часть которого есть сумма неизвестного числа и трех, а правая 5, выражение, представляющее собой частное от деления единицы на разность между неизвестным числом и числом 2.

Определить, будет ли первоначальное уравнение равносильно полученному? Почему? (Первоначальное уравнение не будет равносильно полученному, так как в этом случае к обеим частям его прибавлен не многочлен, а выражение » не имеющее смысла при х = 2.)

б) Ответить на этот же вопрос, заменив первоначальное выражение многочленом, представляющим собой разность неизвестного числа и единицы.

в) Перемножить первоначальное уравнение па равносильное ему уравнение х = 2. Определить, будет ли полученное уравнение равносильным данному?

2. Составить уравнение, корень которого был бы равен 3.

3. Будут ли равносильны уравнения:

4. а) Написать уравнение, левая часть которого есть полусумма утроенного неизвестного числа и единицы, а правая — разность между числом 8 и этим же неизвестным.

б) Написать уравнение, левая часть которого есть удвоенное неизвестное число, а правая — сумма этого же неизвестного числа и трех.

в) Определить, будут ли написанные уравнения равносильны.

г) Сложить почленно написанные уравнения. Будет ли новое уравнение равносильно первоначальному? (Вопрос о прибавлении к обеим частям уравнения нетождественно равных выражений может быть рассмотрен на занятиях математического кружка.)

5. Можно ли отбросить знаменатели в следующих случаях:

6. Привести пример, когда прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения приводит к новому уравнению, неравносильному данному.

На одном из уроков следует сообщить учащимся краткие исторические сведения об уравнениях в том объеме, в котором они содержатся в стабильном учебнике или же в книге [30]. На этом же уроке можно решить несколько старинных задач, например, № 1236, 1238. Хороший подбор задач на эту тему имеется в книге [31].

Решение уравнений, содержащих неизвестное в знаменателе

Прежде чем перейти к установлению правила решения уравнений, содержащих неизвестное в знаменателе, нужно повторить формулировку (и, по возможности, доказательство) второго свойства уравнений. Затем выясняем, будут ли равносильны уравнения:

и (х— 1) (х — 2) = 2.(л: — 2).

Устанавливаем причину появления корня х = 2, удовлетворяющего второму уравнению, но не удовлетворяющего первому: выражение, на которое умножены обе части уравнения, обращается в нуль при х = 2, а поэтому второе свойство уравнений здесь неприменимо. Следовательно, умножение обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может привести к новому уравнению, имеющему больше корней, чем данное, так как, очевидно, любой корень данного уравнения не может не оказаться корнем полученного уравнения, если выражение определено для всех значений неизвестного. Это значит, что в данном случае потеря корней произойти не может. Корни, удовлетворяющие полученному уравнению, но не удовлетворяющие данному, называются посторонними.

Решаем уравнение:

Чтобы привести уравнение к целому виду, умножим каждый член его на х—2, что, как мы видели, может привести к новому уравнению, содержащему больше корней, чем данное. Имеем:

\+8х— 16 = 3 — х\ (2)

9х = 18; х = 2.

Так как полученное уравнение (2) может иметь больше корней, чем уравнение (1), то найденные корни необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение, чтобы определить, какие из найденных корней являются посторонними. Проверкой устанавливаем, что найденный корень является посторонним, так как при х = 2 обе части уравнения (1) теряют смысл.

Так как уравнение (2) содержит все корни исходного уравнения, то можно утверждать, что уравнение (1) корней не имеет.

При решении уравнений, содержащих неизвестное в знаменателе, в обязательном порядке среди других должны встречаться и такие уравнения, при решении которых действительно появляются посторонние корни, так как в противном случае учащимся кажется излишним требование учителя выполнять проверку решения таких уравнений.

На следующем уроке объяснение нового материала заключается в установлении наиболее рационального способа проверки найденных корней. Решаем пример № 1166 (1).

Устанавливаем, что полученное после приведения к целому виду новое уравнение может оказаться неравносильным данному только в том случае, когда один из знаменателей членов обращается в нуль при найденном значении неизвестного, так как число, на которое умножали обе части уравнения, оказалось бы равным нулю. При всех же других значениях х равносильность не нарушается. Для того чтобы установить, что данный корень не является посторонним (а потеря корней, по доказанному на предыдущем уроке, произойти не может), достаточно убедиться, что при найденном значении х ни один из знаменателей не обращается в нуль. Разумеется, что такая проверка не дает гарантии, что в вычислениях не допущена ошибка. Для устранения ошибки проверку следует выполнять полностью.

Надо добиться, чтобы учащиеся поняли логическую (и практическую) необходимость проверки при решении урав-

нений, содержащих неизвестное в знаменателе. В этом случае нельзя записывать ответ раньше, чем выполнена проверка. Если же она проводится с целью выявления вычислительных ошибок, то записывать ее можно и до ответа и после него. Условимся, однако, в последнем случае проверку записывать после ответа.

Уравнения с буквенными коэффициентами

Всякое уравнение, содержащее несколько букв, можно рассматривать как неявное выражение функциональной зависимости между величинами (обозначенными буквами), входящими в состав этого уравнения. В силу равноправия входящих в него букв любую из них можно считать функцией остальных. Те буквы, которые мы считаем аргументами, могут принимать произвольные (из области существования) значения. Значения же буквы, принятой за функцию, определяются значениями аргументов. Решить уравнение относительно какой-либо буквы, входящей в его состав,— это значит выразить зависимость этой буквы как функции остальных в явном виде.

Для этого поступают, как известно, следующим образом: буквы-аргументы предполагают известными числами, и решают уравнение относительно буквы, считающейся неизвестной по обычному правилу, используя теоремы о равносильности и другие преобразования.

Однако буквы бывают равноправными только тогда, когда неизвестно, из условия какой задачи уравнение составлено. Если же оно составлено из условия конкретной задачи, то это на каждую букву накладывает определенные ограничения. Некоторые из указанных в задаче величин предполагаются известными, хотя и не даются их числовые значения, другие же требуется определить.

Как известные, так и неизвестные величины берутся только из множества допустимых значений, определяемых условиями задачи. Решить такую задачу — значит выразить в явной форме зависимость каждой из величин, считающихся неизвестными, от значений величин, предполагаемых известными. Они, по существу, будут являться аргументами, область допустимых значений которых определяется конкретными условиями задачи.

Таким образом, условие задачи делит буквы, входящие в состав уравнений, на две категории: одни из них (неиз-

вестные) являются функциями других, другие же (известные) — аргументами. Неизвестные величины, или функции, обозначаются последними буквами, известные же, или аргументы,— начальными или средними буквами латинского алфавита.

Очень важно подготовить учащихся к решению таких задач в общем виде. С этой целью в качестве тренировочных упражнений им предлагаются такие уравнения (или системы), которые также характеризуются неравноправием букв: одни из них считаются известными (аргументами), а другие неизвестными (функциями). Неравноправие букв, как и в текстовых задачах, подчеркивается их обозначением.

Такие уравнения обычно называются уравнениями, содержащими параметры, или параметрическими уравнениями. Здесь параметры — это буквы, обозначающие значения аргументов. Под параметрами понимают такие постоянные величины, которые не изменяют своего значения только в условиях данной задачи. Но так как при решении задач в общем виде требуется дать ответ на любую задачу указанного в условии типа, то следует установить, как изменяется искомая величина в зависимости от изменения величин, входящих в условие задачи.

Иногда под решением параметрического уравнения понимают только выражение в явной форме зависимости неизвестной величины от параметров, как аргументов, в виде одной общей формулы, несмотря на то, что она не дает ответа для всех допустимых значений параметров. Пусть, например, требуется решить уравнение:

ах + х = ab. (1)

Решение.

х(а -f 1) = ab\

(2)

если а ф — 1.

Или еще пример. Решить уравнение:

пх + m = п — 2х.

Решение.

х(п + 2) = п — m;

Такое решение называется неполным. Однако обычно под решением уравнения, содержащего параметры, понимают полное решение, или решение с исследованием.

«Решить уравнение, содержащее параметры, — значит, во-первых, найти все те значения параметров из заданного множества чисел, при которых уравнение имеет решение, и, во-вторых, определить корни уравнения для каждого из найденных значений параметров» [5, стр. 177].

Приведем полное решение уравнения (1). Формула (2) дает ответ только для случая, когда а Ф—1. Но а—1 для уравнения (1) является допустимым значением. Следовательно, мы не решили уравнение для случая, когда а = —1. Найдем корни предложенного уравнения для этого частного значения а. В случае, когда а = —1, исходное уравнение принимает вид:

—X + X = —Ъ или 0 • X = Ь.

Если при этом Ь ф О, то уравнение (1) окажется уравнением нулевой степени и иметь решений не будет.

Если а = —1 и 6=^0, то уравнение (1) примет вид 0-х=0. При таких значениях а и Ъ уравнение оказывается тождеством и, следовательно, удовлетворяется любыми значениями X.

Ответ для уравнения (1): Если а = — 1 и Ь Ф 0, то уравнение не имеет решения; если а = — 1 и Ь = 0, то уравнение обращается в тождество; если а Ф — 1, то решениями уравнения являются числа, определяемые по формуле х--^.

Из того, что при некоторых системах значений параметров уравнение становится тождеством, можно сделать поспешный вывод о том, что понятие «уравнение» является более широким, чем понятие «тождество», которое включается в связи с этим в понятие «уравнение». Создается впечатление, что тождество есть не разновидность равенств, а вид уравнений. В действительности же наш вывод оказывается верным только для того случая, когда понятия «уравнение» и «равенство» отождествляются.

Однако понятия «уравнение» и «равенство» не являются тождественными. В связи с этим логически более оправдано последовательное разделение всех равенств на два вида: уравнения и тождества. Поэтому на равенство, содержа-

щее параметры, нельзя смотреть как на одно равенство, так как оно представляет собой семейство равенств. Одни из них могут быть уравнениями, другие — тождествами. На самом деле это семейство равенств ничем не отличается от уравнения с несколькими неизвестными, кроме указания о том, какие буквы могут обозначать и значения аргументов и значения функций, а какие — только значения аргументов.

Если, например, уравнение ах-\-5Ь = с обращается в тождество при а = О и 56 = с, то это значит лишь, что решением данного уравнения (с четырьмя неизвестными) являются четверки чисел вида (0; х\ Ь\ 56), где числа, входящие в четверку, обозначают соответственно а, ху Ь и с, причем X и Ъ могут иметь произвольные значения. От этого исходное уравнение не перестало быть уравнением, так как существуют четверки чисел, не обращающие его в тождество. Примерами могут служить четверки чисел вида (0; а; 2а; За) при любом а.

Приведем пример из геометрии. Все четырехугольники можно разделить на два класса, не имеющие общих элементов: параллелограммы и непараллелограммы. Пусть стороны параллелограмма определяются параметрами а, 6, с, d.

Из того, что при афЬ фсФ d параллелограмм превращается в непараллелограмм, совсем не следует, что непараллелограмм является частным случаем параллелограмма и что понятия «четырехугольник» и «параллелограмм» тождественны. Это значит лишь, что параллелограмм и непараллелограмм есть два вида одного и того же рода.

Аналогично из того, что при некоторых значениях параметров уравнение может превращаться в тождество, не следует, что тождество является частным случаем уравнения, а понятия «уравнение» и «равенство» совпадают. Это говорит лишь о том, что «тождество» и «уравнение» являются двумя видами одного и того же рода.

В VII классе решаются уравнения с буквенными коэффициентами. Решение их, на наш взгляд, желательно сопровождать элементами исследования.

Учащимся разъясняем, что решить уравнение с буквенными коэффициентами — значит найти все его корни для любой допустимой системы значений букв.

Семиклассников не следует знакомить с понятием «параметр», смысл которого не может быть раскрыт. Неверным является определение параметра как буквы, обозначаю-

щей известные числа. Действительно, имеются буквы, обозначающие известные числа и не являющиеся параметрами. Примерами таких букв могут служить ic, еу i и т. д. Отсюда следует, что в VII классе не должен вводиться и термин «параметрические» уравнения. Такие уравнения целесообразно называть просто уравнениями с буквенными коэффициентами.

О характере решения уравнений с буквенными коэффициентами можно сказать следующее.

Во-первых, нельзя ограничиться только неполным решением, так как оно не способствует развитию у учащихся идеи функциональной зависимости, может привить им формальный подход к решению многих задач.

Во-вторых, неполное решение создает ложное представление о том, что найденная формула может быть применена для любой задачи рассматриваемого типа при всех значениях букв. В самом деле, пусть, например, задача сводится к уравнению ах = Ь. Ответ х =— при а Ф О не является исчерпывающим, так как при а — О и b = 0 условию задачи удовлетворяет какое угодно число, и она имеет поэтому бесчисленное множество решений. Поэтому уже в VII классе надо научить учащихся давать полное решение простейших уравнений с буквенными коэффициентами. Однако элементы исследования должны являться органической частью решения. Их не следует выделять в особый этап «исследование». Ответы целесообразно давать полные, как в примере (1).

Объяснение способов решения уравнений с буквенными коэффициентами в VII классе можно провести на конкретном примере. Решаем уравнение:

Зх + а = 5х + Ь.

Указываем, что уравнение содержит три буквы, однако они не равноправны: а и b считаются известными, х — неизвестное число. Решаются уравнения с буквенными коэффициентами на основании тех же свойств, что и уравнения с числовыми коэффициентами. Решение уравнения записывается на доске:

Полученный корень уравнения является алгебраическим выражением, определяющим его числовые значения для любых (допустимых) значений букв.

Для решения на этом уроке подбираются такие уравнения, корни которых можно представить в виде одной формулы. К числу таковых можно отнести уравнения № 993 (1,2), 997 (1, 2), 1121 (9, 10) и многие другие.

Кроме того, можно решить еще уравнение типа:

Второй урок посвящается решению уравнений, корни которых не могут быть выражены при помощи одной формулы.

Объяснение нового материала начинаем с решения уравнения:

Зах = Ь — 2ах. (3)

Выясняем, какие значения букв являются допустимыми для данного уравнения. Убеждаемся, что таковыми являются все числа. Далее обычным путем решаем:

5ах=Ь. (4)

Деля почленно обе части уравнения на 5а, находим:

Будет ли полученное уравнение (5) равносильно уравнению (4)? Оказывается, что это будет не всегда, а лишь в том случае, когда а Ф 0. Если же а = 0 (обращаем внимание на то, что а = 0 является допустимым значением для а), то формула (5) теряет смысл. В связи с этим учащиеся должны убедиться, что формула (5) не дает исчерпывающего ответа на то, какие значения х удовлетворяют уравнению (3) при любых значениях букв. В частности, уравнение (3) оказывается нерешенным при а = 0. В этом случае решение уравнения (3) не может выражаться, как мы уже видели, одной формулой (5). Подставляя вместо а нуль, получим из уравнения (3):

3-0. х= b — 2'O'X.

Очевидно, что если b Ф 0, то уравнение решения не имеет. Если же 6 = 0, то уравнение (3) принимает вид:

0.х = 0 — 0-х.

В таком случае оно удовлетворяется любыми значениями х, то есть обращается в тождество.

Ответ. X = если а Ф 0; решений нет, если а = 0,

но Ь Ф 0; X — любое число, если а = 0, 6 = 0.

Аналогичным образом решаются другие уравнения, содержащие параметры, в том случае, когда их корни не могут быть выражены одной формулой.

На следующем уроке по данной теме целесообразно привести пример задачи, содержащей буквенные данные. Таких задач вполне достаточно в задачнике.

2. Исследование уравнений первой степени с одним неизвестным

Изложение вопроса «Уравнения первой степени с одним неизвестным» находится в непосредственной связи с тем, каким методом и на каком уровне излагалась соответствующая тема в VII классе. Если бы в VII классе не были проведены доказательства основных свойств уравнений, то в IX классе эти свойства в обязательном порядке следовало бы дать с доказательством в общем виде. Если же эти свойства в VII классе давались с доказательством, то в IX классе нет нужды приводить его повторно в ином виде. Действительно, приведенное выше доказательство имеет общий характер, так как мы не учитывали особенности примеров, на которых проводили рассуждения.

Если учесть объем материала, предусмотренный программой по данной теме и количество часов, отведенное для его изучения, то целесообразность предлагаемого нами порядка изучения уравнений в VII классе становится очевидной.

В самом деле, в IX классе достаточно повторить доказательства свойств уравнений, решить несколько уравнений с числовыми и буквенными коэффициентами. Решение уравнений с буквенными коэффициентами должно быть полным. Здесь же указываем, что если уравнение получается из условия конкретной задачи, содержащей параметрические данные, то мало дать полное решение полученного уравнения, так как некоторые из чисел, определяемых уравнением, не являются решением задачи, из которой оно получено. Если, например, неизвестное число, обозначающее массу тела, определяется из уравнения формулой х=^—

то ясно, что при всех значениях а, больших 3, задача решений иметь не будет, так как масса не может принимать отрицательных значений. Поэтому необходимо научиться определять характер корней для любой допустимой системы значений параметров, или, как говорят, проводить исследование уравнений (решения уравнений или задач). Указываем, что:

Исследовать уравнение — это значит установить характер корней для любой допустимой системы значений параметров, то есть установить, при каких системах значений параметров корни уравнения будут принимать нулевые, положительные, отрицательные значения. При решении текстовых задач иногда приходится определять, при каких значениях параметров корни будут принимать значения, удовлетворяющие некоторым иным условиям.

Задача решения и исследования уравнения первой степени с одним неизвестным может быть пояснена следующим образом.

Пусть требуется решить уравнение ах = Ь. При а^О это будет уравнение первой степени с одним неизвестным.

Корень его определяется формулой х = -iL. В этом случае каждой паре чисел Ь, аФ0 будет соответствовать единственное значение корня. При а = 0 и Ь ф 0 получим уравнение нулевой степени, которое, как известно, решений не имеет. При а = 0 и ô=0 получим тождество 0 • х = 0, удовлетворяющееся всеми значениями X.

Это и есть полное решение уравнения ах = Ь.

Проведем теперь его исследование, то есть установим, при каких значениях параметров а и Ь уравнение имеет нулевое, положительное, отрицательное решения. Последнее, очевидно, будет нулевым, если в формуле х = -~- при а Ф 0 положить 6=0. Действительно, тогда х = — = 0.

Чтобы установить, при каких значениях параметров а и Ь уравнение имеет положительное решение, достаточно вспомнить правило знаков при умножении и делении рациональных чисел. Если а и Ь имеют одинаковые знаки, то дробь — положительна, то есть положительное решение уравнение ах = Ъ будет иметь лишь в том случае, когда одновременно а > 0 и Ь > 0 или же а < 0, b < 0. Если же а и b имеют противоположные знаки, то дробь-^-<0, то

есть решение уравнения ах = Ь имеет отрицательное значение при а > О, Ь < О или же при а < О, b > 0. Впрочем, всегда второй случай может быть сведен к первому, если заменить данное уравнение новым, ему равносильным, путем умножения обеих частей его на — 1.

После установления смысла исследования решения уравнения следует решить несколько примеров, иллюстрирующих изложенное. Однако для решения таких примеров потребуются некоторые сведения по решению неравенств первой степени с одним неизвестным. В связи с этим целесообразно начинать изучение темы «Уравнения первой степени и неравенства» с вопроса о «Числовых неравенствах. Свойствах числовых неравенств и их применении к доказательству неравенств и решению неравенств первой степени. Примерах, приводящих к системе неравенств». Разумеется, что если под «исследованием» уравнения понимать только его полное решение и не заниматься выяснением характера корней уравнения, то в перестановке программных вопросов необходимости не будет. Однако решение текстовых задач с параметрическими данными почти всегда требует установления тех систем значений параметров, при которых корень уравнения может удовлетворять условию.

При изучении неравенств следует учитывать, что не всякие свойства числовых неравенств могут быть использованы для их решения.

Приведем пример.

Пусть требуется решить неравенство:

Решение. Сложив почленно данное неравенство с очевидным неравенством 7 > — 3, получим неравенство того же смысла -у- х > х. Точно так же смысл неравенства не изменится, если обе части его умножим на положительное число 3. Получим X > 3*. Кроме того, после вычитания из обеих частей полученного неравенства 3* и почленного деления на — 2 получим х < 0.

В абсурдности такого решения можно убедиться, например, путем подстановки вместо х значений —1; —2; —3 и т. д.

Однако то, что применение одних свойств изменяет решение исходного неравенства, а других — нет, прямо или

косвенно приведет к выяснению вопроса о равносильности неравенств. Поэтому целесообразно перед изучением способов решения неравенств сформулировать определение равносильности неравенств и теоремы о равносильности неравенств. Теоремы следует доказывать.

Приведем несколько примеров исследования уравнений первой степени с одним неизвестным.

1. Решить уравнение и исследовать решение:

ах — 2=Зх.

После преобразования получим

ах — За: = 2, *(a_3) = 2,

откуда X =-о» если а ф 3.

CL — О

Если а = 3, то очевидно, что решений нет.

Исследование. Нулевое решение невозможно, так как ни при каких значениях параметра а числитель дроби в нуль не обращается. При а > 3 решение будет положительным, при а<3 — отрицательным. Ни при каких а уравнение не может иметь более одного решения, так как при любом знаменателе, отличном от нуля, дробь -^ имеет единственное значение.

2. Решить и исследовать уравнение:

2Ьх + ах = х(а+Ь) + а + сх.

Решение. Имеем

2Ьх + ах — ах — Ъх — сх =а; х(Ь — с) = а,

откуда X = ъ°_с , если b Ф с.

Если b = с, но а Ф 0, то решений нет. Если же b = с и л = 0, то решаемое уравнение примет вид: 2Ьх + 0 • х = = xb + Ьх.

Ясно, что это уравнение в таком случае имеет своим решением любое число, так как при этих значениях параметров оно обращается в тождество.

Ответ. х = b___c , если b Ф с\ решений нет, если 6= с, но а Ф 0; любое число, если b = с и а = 0.

Исследование. Нулевое решение получим, если а = 0 и b Ф с. Если а<0 и 6 — с<0, то есть 6<£ или если а > 0, 6 — с > 0, то есть b > с, то решение будет положительным. Если же а<0, но b — с>0, то есть b > с, или если а > 0, но 6 < с, то решение будет отрицательным.

3. Решить уравнение:

(1)

Решение. Умножая обе части уравнения на (За + х) ■ (Ь + х), получим

ab + ах = 6а + 2х, (2)

откуда

(3)

При а=2 уравнение (1) принимает вид:

(4)

Очевидно, что при b = 6 уравнение (4) обращается в тождество и, следовательно, удовлетворяется любыми отличными от—6 значениями х. Если же b Ф 6, то уравнение (4) не удовлетворяется никакими значениями х. Другими словами, при а = 2 и b ф 6 уравнение решений не имеет.

Но формула (3) содержит множество значений х для каждой допустимой системы значений параметров а и 6, причем не всякое значение х, вычисленное по формуле (3), будет удовлетворять данному уравнению (1), так как переход от уравнения (1) к уравнению (2) связан С умножением обеих частей на выражение, содержащее неизвестное, что может привести к новому уравнению (2), неравносильному данному (1). Чтобы отделить те значения х, вычисленные по формуле (3), которые удовлетворяют данному уравнению (1), от посторонних, необходимо выполнить проверку путем подстановки (3) в данное уравнение.

Будем иметь:

Так как а — 2 Ф О, то

Полученное равенство является тождеством, если афО и За — ЬфО, или За Ф Ь.

Таким образом, формула (3) дает посторонние корни при а = 0 и b = За.

Ответ. X = °e JTg^ » если я 0, а 2, 6 За; любое отличное от — 6 число, если а = 2 и b = За = 6; решений нет, если а = 2 и ^ 6, a также при любом 6, если а = 0 и 6 = За при а ф 2.

Выяснением условий, при которых х принимает нулевые, отрицательные, положительные и т. д. значения, заниматься не будем, так как этот вопрос особых трудностей не вызывает.

Рассмотренный способ решения параметрических уравнений прост по идее и дает всегда гарантированный (ведь выполняется полностью проверка) ответ. Однако в более сложных случаях, например при решении параметрических уравнений второй степени, он слишком громоздкий. В последнем случае целесообразнее применять второй способ, вытекающий из второго способа отделения посторонних корней при решении уравнений, содержащих неизвестное в знаменателе.

Поясним его на том же примере (1), который решен первым способом.

Действительно, из условия (1) вытекает, что

X ф — За; хф —Ь. (5)

Те значения параметров а и 6, при которых х принимает значения— За и —Ьу должны быть исключены. Найдем эти значения параметров, подставляя в формулу (3) вместо х исключенные значения

откуда видно, что а=0 и — За+ 6 = 6 — 6, или b = За;

откуда

—ab + 2b = 6a — ab, или b = 3a.

Следовательно, решение уравнения (1) по формуле (3) получается только при a Ф 0 и b Ф За. Затем рассматриваем исключенные значения и находим решения уравнения (1) для этих частных случаев. Ответ получается тот же.

Сравнивая оба приема решения уравнения (1), видим, что первый лучше, так как он короче и дает уверенность, что при решении не допущена ошибка. Второй способ несколько труднее и не дает гарантии в том, что уравнение решено верно.

Однако если решать более сложные уравнения (второй степени), например

(б)

то преимущества второго способа очевидны. (Этот пример можно решить на занятиях математического кружка.)

Действительно, приводя уравнение к целому виду, находим (после преобразований)

откуда

Затем исключаем значения параметров, при которых 3* = 36+ 2а, 2* = — b — 2a и х = 2Ь — а. Это можно сделать путем подстановки в написанные равенства найденного значения X и определения тех соотношений между параметрами, при которых эти равенства выполняются: a(5a— 36)=0; b = 0; b (5a — 3b) = 0, то есть a = 0, b = 0 и 5a = 36.

Испытывая исключенные значения параметров, получаем ответ:

X = ± Уаг + ab + б2, если a + b Ф0, а Ф 0, b Ф0 и 5а Ф 3b\ X = — by если а = 0, b ф 0; х = а, если 6=0, 7 а ф 0; X —--^-а, если 5а = 36, а Ф 0; любое число, отличное от чисел -у и 36, если а + b = 0, а ф 0; любое отличное от нуля число, если а = 0, 6=0.

При решении уравнения (6) первый способ был бы еще более громоздким. Второй способ короче, но он не дает уверенности в том, что в вычислениях не допущено ошибки.

Если уравнение получено из условия конкретной задачи, то она накладывает на множество допустимых значений букв ограничения, которые следует учитывать при исследовании. В этом последнем случае задача исследования формулируется несколько иначе.

Решить текстовую задачу с параметрическими данными — это значит установить множество значений параметров, при которых задача имеет решения, а также найти все эти решения и определить их характер.

Но иногда уравнение, полученное из условия конкретной задачи, исследуется по тому же приему, что и уравнение как таковое. Можно наблюдать, например, что, несмотря на то, что корень уравнения х обозначает количество людей, подробно рассматриваются случаи отрицательного и даже бесконечно большого корня. Аналогичные явления наблюдаются и по отношению к параметрам. Иногда, несмотря на то, что тир обозначают, например, массу соли и соответственно концентрацию раствора, подробно «исследуются» случаи, когда т<0 и р<0, несмотря на то, что такое исследование, кроме вреда, ничего не дает, так как приучает учащихся к шаблону, к выполнению предписанных операций.

Задача. 1. Для технических целей взяли а литров серной кислоты концентрации р% и добавили b литров воды. Определить процентную концентрацию получившегося раствора.

Обозначив процентную концентрацию через х%> получим уравнение т^г = — . ' 7, а вследствие а + b > U и

Ответ. Концентрация получившегося раствора равна

Исследование. Так как по условию задачи а>0, р>0 и 6>0, то очевидно, что задача всегда имеет единственное решение. Если р = 0, то решение будет нулевым.

Однако проведенное исследование не дает нам гарантии в том, что задача решена верно. Чтобы убедиться в этом, нужна проверка. Не всегда исследование задач проводится так просто.

Задача 2. Один рабочий изготовляет в день а деталей, другой b деталей. Первый изготовил уже р деталей, второй — q деталей. Через сколько дней после этого число деталей, изготовленных каждым рабочим при одновременной их работе, будет одинаковым?

Обозначив через х количество дней, через которое число деталей, изготовленных каждым рабочим, будет одинаковым, получим уравнение:

ах + р = Ьх + q. (5)

Если а Ф Ь, то X = q~~p..

а — о

Если а = by но р Ф qy то очевидно уравнение (5), а следовательно, и задача решений иметь не будет. При а= b и р = q решением уравнения (и задачи) будет любое число.

Ответ. Количество деталей, изготовленных двумя рабочими, будет одинаковым через qa~2fb дней, если а Ф Ь. Если а = 6, но q ф р, то задача решений иметь не будет. Если же а = b и q = р, то решением будет являться любое число.

Исследование. Решение будет положительным, если q — р > О и а — 6 > О, то есть q > р и а > 6, или q — р<0 и а — b < 0, то есть q < р и а < Ь. Другими словами, одинаковое количество деталей будет через дней, если q > р и а > by или <7 < р и а < 6.

Решение будет отрицательным, если 9—р>0 и а — — b < 0, то есть q > р и а < 6, или <7 — р < О и а — 6 >0, то есть q < р и а > 6. Другими словами, одинаковое количество деталей было д~ % = (дней) назад, если 9>р и а < by или <7<р и а > Ь.

Решение будет нулевым, если q = р и а Ф Ь. При этих условиях одинаковое число деталей изготовлено в настоящее время.

Если а = b и q Ф р, то никогда не будет одинакового числа изготовленных деталей у обоих рабочих.

Если а = b к q = ру то всегда у обоих рабочих будет одинаковое число изготовленных деталей.

Даже такое подробное исследование не может гарантировать правильности решения задачи, поэтому нужна проверка.

Большой интерес представляет исследование задач геометрического и физического характера. В некоторых случаях здесь параметрам можно приписывать произвольные числовые значения. При исследовании таких задач желательно для каждого частного случая приводить особые чертежи.

Достаточное количество примеров на исследование данного типа задач имеется в книге [12].

Замечание к главе II. Как при обосновании способов решения уравнений, так и при их исследовании мы пользовались определением уравнения, основанным на разделении равенств на два класса: уравнения и тождества. Понятие «Уравнение» в нашем понимании является математическим в такой же степени, как и понятия «число», «равенство» и т. д.

В последнее время в учебно-методической литературе на уравнение начинают смотреть не как на чисто математическое понятие, а как на понятие логико-математическое. В частности, понятия «уравнения», «неравенства» относят к категории логических функций. «Под уравнением f(x) — у(х) следует понимать логическую функцию: «числовые значения f(x) и у(х) находятся в отношении (связаны предикатом) равенства» [28, стр. 126].

На базе этого определения также может быть построена теория уравнений. Целесообразность использования такого пути в школе нуждается еще в опытной проверке.

ГЛАВА III

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ, ОСНОВАННЫЕ НА СВОЙСТВЕ ТРАНЗИТИВНОСТИ РАВЕНСТВ

1. Первоначальные сведения о системах уравнений

В VII классе учащиеся обычно заучивают только правила решения систем уравнений либо без всякого обоснования, либо обосновывают свойствами равносильности систем, предлагаемых без доказательства.

Однако имеется полная возможность изложить способы решения систем уравнений с обоснованием, которое не опирается на свойства равносильности систем уравнений, но использует понятие равносильности уравнений.

Излагать предусмотренный программой материал по теме «Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными» можно в следующем порядке.

Уравнение с двумя неизвестными

Сформулированное нами определение уравнения не предполагает, чтобы в его состав входило лишь одно неизвестное. Наоборот, очень часто встречаются и такие уравнения, которые содержат два и большее число неизвестных. Например, изученные нами формулы зависимостей у = ах, у = ах + Ь и у = представляют собой фактически уравнения с двумя неизвестными, если буквы а и Ь обозначают определенные (известные) числа, и уравнение с тремя (во втором примере с четырьмя) неизвестными в противном случае.

В самом деле, ни одна из написанных формул (равенств) не удовлетворяется всеми допустимыми значениями букв, а следовательно, не является тождеством. (Учащимся в виде упражнения предлагается подобрать несколько систем зна-

чений букв как удовлетворяющих написанным равенствам, так и не удовлетворяющих им.) Система значений букв, удовлетворяющая уравнению, называется его решением. Решением уравнения с двумя неизвестными является пара чисел.

Обычно уравнение с двумя неизвестными имеет бесчисленное множество решений, однако встречаются уравнения, имеющие одно или не имеющие ни одного решения. Вот примеры таких уравнений:

(*— I)2 + (у — 2)2 = 0; х2 + у2 = — 17 и т. д.

Доказанные ранее основные свойства уравнений имеют место и по отношению к уравнениям с несколькими неизвестными, так как при доказательстве их мы не предполагали, что уравнение, о котором шла речь, обязательно должно содержать только одно неизвестное. Это значит, что уравнение х + у = 5 равносильно уравнению у = 5 — х. Доказанные ранее свойства уравнений дают возможность решать уравнение с двумя неизвестными относительно любого из них.

В этой главе нас будут интересовать только уравнения первой степени с двумя неизвестными.

Уравнение, которое после ряда равносильных преобразований может быть приведено к виду ах + by = с, где an b не обращаются в нуль одновременно, называется уравнением первой степени с двумя неизвестными.

Уравнения вида 0 - х + 0 • у = сф0 можно назвать уравнениями нулевой степени с двумя неизвестными. Ясно, что они решений не имеют.

Примеры уравнений первой степени с двумя неизвестными: X — I = у, I + X2 — X + у = Злг + лс2; 2ху— 3 = л: + + у + 2х(у+1).

Уравнения у = -^-» х = ^~^ и т. д. не являются уравнениями первой степени с двумя неизвестными, так как они не могут быть путем равносильных преобразований приведены к виду ах + by = с.

Любое уравнение с одним неизвестным можно рассматривать также как уравнение с двумя неизвестными. В самом деле, уравнение ах — Ь при а Ф 0 всегда можно представить как уравнение 0-у-\-ах = Ь, решением которого будет уже пара чисел у, —, где у — произвольное число.

График уравнения ax + by + c = 0

Пусть дано произвольное уравнение первой степени с двумя неизвестными -^-х — у — 3 = 0. Решив это уравнение относительно у> получим линейную функцию у = -^-х—3, график которой строить умеем. Построить график какого-либо уравнения — это значит найти геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Доказательство же прямолинейности графика линейной функции в VII классе приведено быть не может и заменяется опытной проверкой.

Понятие о системе уравнений

При решении многих задач приходится составлять два (или несколько) уравнения, для которых следует отыскать общие решения, то есть такие, которые обращают каждое из данных уравнений в тождество. Такие совокупности уравнений называются системами. Пусть требуется решить задачу: Сумма двух чисел, первое из которых больше удвоенного второго на 2, равна 8. Найти эти числа.

Обозначив искомые числа через х и уу легко составляем два уравнения:

X — 2(/ = 2, X + у = 8.

Каждое из полученных уравнений имеет бесчисленное множество решений, однако условию задачи будут удовлетворять только те пары чисел, которые каждое из уравнений обращают в тождество, например х = 6, у = 2. (В этом можно убедиться проверкой.) Если для совокупности уравнений нужно отыскать общие решения, то ее заключают в фигурные скобки, например:

(1)

Вопрос о том, всякая ли пара уравнений имеет общие решения и сколько таких общих решений она может иметь, еще будет изучен. Пока рассмотрим определения:

Совокупность уравнений, для которых нужно отыскать общие решения, называется системой уравнений.

Решением системы уравнений называется совокупность чисел, которая при подстановке их вместо букв в уравнения системы обращает каждое из них в тождество.

Например, решением системы (1) является пара чисел 6; 2, или X = 6; у ~ 2.

Решить систему уравнений — значит найти все ее решения.

Замена одного уравнения системы другим, ему равносильным

Если одно уравнение системы заменить другим, ему равносильным, то решения системы от этого не изменятся. Пусть дана, например, система уравнений:

(2)

Заменим одно из ее уравнений, например второе, новым уравнением, ему равносильным: у = 2х — 2. Получим новую систему:

(3)

имеющую те же решения, что и система (2). В самом деле, каждое из уравнений (3) имеет те же решения, что и соответствующие уравнения системы (2). Но отсюда следует, что и общие решения уравнений, то есть решения систем, не могут оказаться различными.

Сказанное можно проиллюстрировать при помощи логических кругов. Пусть множество решений первого уравнения содержится внутри круга, покрытого вертикальной штриховкой, а множество решений второго — внутри круга, покрытого горизонтальной штриховкой. Решения системы изобразятся областью, покрытой двойной штриховкой (черт. 4). Очевидно, что при замене любого уравнения

Черт. 4,

системы ему равносильным ни один из кругов не изменится, а следовательно, не изменится и общая их часть, то есть решения системы.

Для закрепления изложенного материала, кроме задач из задачника, может быть решено несколько систем типа:

(А)

Способ сравнения

Пусть дана система уравнений:

Очевидно, что х будет иметь общее значение для обоих уравнений при всех тех и только тех значениях у, при которых верно равенство:

(4)

В самом деле, при любом значении у, при котором левая часть равенства (4) равна правой его части, х имеет общее значение для каждого из уравнений системы. Обратно, при любом значении у, при котором левая часть равенства (4) не равна правой его части, х имеет различные значения для каждого из уравнений системы.

Но равенство (4) есть уравнение первой степени с одним неизвестным, и его решением является единственное число у = 2, определяющее также единственное (общее) значение X = 5 для обоих уравнений системы. Итак, мы нашли единственную пару чисел, удовлетворяющую нашей системе, то есть ее решение.

Предложенную систему решили весьма просто потому, что каждое ее уравнение было решено относительно х. Если бы этого сделано не было, то каждое из ее уравнений можно было бы заменить ему равносильным, решенным относи-

тельно одного и того же неизвестного, и применить рассмотренный метод, называемый методом сравнения. На основании доказанного выше свойства следует, что полученная таким образом система имеет те же решения, что и данная. Таким образом, метод сравнения дает возможность решить любую систему уравнений первой степени.

Чтобы решить систему уравнений первой степени с двумя неизвестными способом сравнения, достаточно:

1) из каждого уравнения системы выразить одно и то же неизвестное через второе;

2) приравнять полученные выражения и решить уравнение с одним неизвестным;

3) подставив найденное значение неизвестного в одно из уравнений системы, найти другое неизвестное.

Во многих случаях оказывается более выгодным решать каждое из уравнений системы не относительно неизвестного, а относительно алгебраического выражения (одного и того же), содержащего одно или даже два неизвестных.

Покажем это на примерах.

1. Решить систему уравнений:

Решение. Решая каждое из уравнений относительно Ъху получим 5* = 55 — 10у; 5х = 3 + Зг/, откуда

3 + Ъу = 55 - 10//, у = 4.

Подставляя найденное значение у в любое из уравнений, решенное относительно 5а:, будем иметь 5х=15, а:=3.

Ответ. X = 3, у = 4.

2. Решить систему уравнений:

Решение. Разрешая каждое из уравнений относительно Ъх + 2у, получим Ъх + 2у = 10 — у, Ъх + 2у = 4, откуда 10 — у = 4, у = 6. Далее: 5х + 12 = 4, откуда х = — 1-^-.

Ответ.

Способ подстановки

Пусть требуется решить систему уравнений

Решим ее сначала способом сравнения. Для этого умножим почленно второе уравнение на — 2 и к обеим частям его прибавим один и тот же одночлен Зх. Согласно доказанному свойству систем получим новую систему:

(6)

имеющую те же решения, что и система (5).

Сравнивая правые части обоих уравнений системы (6), получим, как это установлено при обосновании способа сравнения, равенство (уравнение)

3* —2. (5а:— 13) = 5, (7)

определяющее те значения ху при которых у принимает общие значения для каждого из уравнений данной системы.

Равенство (7), однако, может быть получено и более коротким путем непосредственно из системы (5), если вместо у в первое уравнение подставить его значение, определяемое вторым уравнением.

Такой способ получения равенства (уравнения) (7), определяющего значение одного из неизвестных системы, называется способом подстановки. Ясно, что этим способом можно решить не только систему вида (5), но и любую другую систему, так как каждое из уравнений любой системы всегда можно решить относительно одного из неизвестных (перед которым стоит отличный от нуля коэффициент) и подставить его значение в другое уравнение.

Наши рассуждения носят общий характер, не зависят от значений коэффициентов системы (5), если только коэффициент при у в первом уравнении отличен от нуля. В противном случае решение системы находится непосредственно, как и систем (Л), хотя можно было бы применить и способ подстановки, если коэффициент при х отличен от нуля.

Во многих случаях способ подстановки дает возможность решить систему быстрее, и поэтому его часто предпо-

читают способу сравнения. Сущность способа подстановки может быть изложена по учебнику алгебры А. Н. Барсукова [2].

Количество решений системы

Рассмотренные системы имели лишь по одному решению. Но это не всегда бывает так.

В самом деле, пусть требуется решить систему уравнений:

(8)

Выражая, например, из каждого уравнения 2у и сравнивая полученные результаты, будем иметь равенство

10 — 2*= 10 — 2%,

являющееся тождеством, то есть при любых х второе неизвестное у имеет общие значения для каждого из уравнений системы, и она имеет бесчисленное множество решений. Это бывает лишь тогда, когда оба уравнения системы равносильны. Несмотря на то, что система имеет бесчисленное множество решений, ей удовлетворяет не всякая пара чисел, то есть систему в данном случае нельзя рассматривать как совокупность двух тождеств. Например, при х = —1, у = 0 ни одно из уравнений системы в тождество не обращается. Чтобы найти все решения данной системы, нужно в любое из уравнений подставить вместо одного из неизвестных произвольные числовые значения, которые будут определять соответствующие значения другого неизвестного. Подставляя, например, вместо х в первое уравнение значения —1; 0; 2; 3 и т. д., получим соответствующие значения у: 6; 5; 3; 2 и т. д. Решениями системы являются пары чисел ( —1; 6), (0; 5), (2; 3), (3; 2) и т, д. Выражая из каждого уравнения системы

(9)

Ъх и сравнивая полученные результаты, будем иметь равенство

Зг/+15 = Зг/-8, (10)

являющееся уравнением, не имеющим решений. Это значит, что ни при каких значениях неизвестного ух не может иметь общего значения для каждого уравнения системы (9). Действительно, если бы X имело при каком-либо значении у общее значение для первого и второго уравнений системы, то при этом значении у уравнение (10) должно обратиться в тождество, как это установлено при обосновании способа сравнения при решении систем уравнений. Отсюда ясно, что уравнения системы (9) не имеют общих решений, то есть система (9) вообще не имеет решений.

Вывод. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными может иметь одно, ни одного или бесчисленное множество решений.

Подробным исследованием систем уравнений будем заниматься в IX классе.

Решение систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными способом алгебраического сложения

Пусть требуется решить систему уравнений:

(11)

Решая эту систему способом сравнения (выражая из каждого уравнения системы Ау и сравнивая между собой результаты), получим уравнение

5х — 6 = 8 — 2х, или 5л: + 2л; = 6 + 8, (12)

определяющее то значение ху при котором у принимает общее значение для каждого из уравнений системы.

Однако уравнение (12) можно получить из системы (11) непосредственно, путем почленного сложения обоих уравнений. Такой способ получения уравнения (12), определяющего значение х для системы уравнений, называется способом алгебраического сложения. Этим способом также можно решать любую систему, так как путем почленного умножения каждого из уравнений систему (первой степени) всегда можно привести к виду (11), где коэффициенты при

одном из неизвестных равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Сущность способа алгебраического сложения можно изложить по учебнику алгебры А. Н. Барсукова. Решение рекомендуется оформлять так.

Решить систему уравнений:

Решение.

Ответ. X = 3, у = 2.

Решение должно сопровождаться устным объяснением. Несколько первых примеров решаются также и методом сравнения. Это убеждает учащихся в том, что метод алгебраического сложения также дает возможность находить все решения системы.

Дальнейшее изучение темы

На изучение каждого вопроса темы потребуется примерно по одному уроку. После этого два-три урока посвящаются углублению и закреплению пройденного материала. Здесь следует показать, что при решении систем уравнений общего вида любым способом требуется одинаковая затрата времени. При решении же систем уравнений частного вида выбор метода решения значительно упрощает выкладки. Учащиеся должны научиться решать системы наиболее рациональным путем. Наряду с решением систем уравнений целесообразно решать и текстовые задачи на составление систем уравнений. Это оживляет изложение и, следовательно, способствует лучшему усвоению изучаемого материала.

После изучения основных приемов решения систем уравнений следует провести контрольную работу, в состав которой можно включить одну несложную текстовую задачу и один-два примера на решение систем уравнений.

Остальное время, отведенное на изучение данной темы, можно распределить следующим образом: два-три урока

отвести на решение систем различными методами и задач на составление систем уравнений, три урока посвятить решению более сложных систем типа № 1371 — 1381 [15], а также задач на составление уравнений и систем уравнений, два последующих — графическому методу решения систем и геометрическому истолкованию числа решений системы.

Перед объяснением этого метода следует повторить материал о количестве решений системы и о графике уравнения первой степени с двумя неизвестными.

При прохождении графического метода решения систем следует подчеркнуть взаимную связь математики и физики. Для этой цели необходимо решить аналитически и графически несколько задач с физическим содержанием. Такими задачами являются все задачи на движение, а также задачи № 1415, 1419 и др. по задачнику. Закончить тему «Системы уравнений первой степени» можно контрольной работой.

Наряду с задачами, взятыми из задачника, полезно решить несколько задач, для которых отрицательные решения систем имеют смысл, а также задач, не имеющих решений. Такие задачи учитель может составить сам, изменяя некоторые числовые данные задач, помещенных в задачнике.

Изменяя, например, числовые данные задачи № 1396, получим задачу: В школьном зале поставлены скамейки. Если на каждую скамейку посадить по 5 учеников, то не хватит 9 скамеек; если же на каждую скамейку посадить по 7 учеников, то две скамейки останутся свободными. Сколько скамеек было поставлено в зале и сколько было учеников?

Вот примеры задач, которые допускают отрицательные решения:

1. В один день 2 рабочих и 3 ученика, работавшие на изготовлении одних и тех же деталей, перевыполнили задание на 7 деталей. В другой день 4 рабочих и 2 ученика работали на изготовлении тех же деталей и перевыполнили задание на 18 деталей. Оба дня рабочие работали с одинаковой производительностью. Производительность учеников, отличная от производительности рабочих, была также одинаковой оба дня. На сколько деталей перевыполнял свое задание каждый рабочий и каждый ученик?

2. Рабочий за месяц сверх плана изготовил 50 деталей. Если бы за вторую половину месяца перевыполнение плана

удвоилось, то за месяц было бы изготовлено рабочим сверх плана ПО деталей. Сколько деталей было изготовлено рабочим сверх плана за первую и вторую половины месяца?

2. Исследование систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Решить систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными с параметрами — это значит найти решения для всех допустимых систем значений параметров.

Прежде всего целесообразно решить несколько систем уравнений первой степени с двумя неизвестными, содержащих лишь один параметр. Приведем пример решения такой системы.

Решить систему уравнений:

(1)

Решение. Из первого уравнения выразим у и подставим его значение во второе уравнение. Будем иметь:

у = 3 — ах; X + а (3 — ах) = а.

Решая второе уравнение, получим х = g2^_ , если а ф Ф ± 1. Подставляя найденное значение х в первое уравнение системы, найдем у = д2 1 при тех же значениях а.

Ответ. X = —0—г, у =—0—г, если аФ 4- 1.

При а = ± 1 система решения не имеет.

Затем можно перейти к решению систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, содержащих два параметра.

Например:

(1)

Решение. Складывая почленно оба уравнения, получим новое уравнение 2ах = 2а2, содержащее одно неизвестное. Если а Ф 0, то X = а.

Если же а = 0, то х— любое число. Подставляя при а Ф О во второе уравнение вместо х его значение х = а> получим уравнение а2 + by = а2 + б2, откуда by = b2. Если b ф О, то у = Ь. Если 6 = 0, то у — любое число. Таким образом, при а Ф 0 и b Ф 0 решением системы (1) является пара чисел х = а, у = Ь. При а = 0, 6 0 решением системы является любая пара чисел, в которой второе число равно 6. При а Ф 0, Ь= 0 решением системы является любая пара чисел, в которой первое число равно а. Если а = 0 и b = 0, то решением системы является любая пара произвольных чисел. (В этом случае система вырождается в совокупность двух тождеств.)

После решения ряда таких примеров учащиеся убеждаются, что при наличии большого числа параметров рассмотрение всех возможных случаев при различных допустимых системах значений параметров вызывает затруднения.

В некоторой степени эта работа облегчается тем, что устанавливаются специальным исследованием признаки, которым должны удовлетворять коэффициенты при неизвестных в случае, когда система имеет единственное решение, не имеет решения или же имеет бесчисленное множество решений.

Прежде чем перейти к такому исследованию систем, следует повторить материал о системах, изученный в VII классе.

В IX классе уже имеется возможность ввести понятие о равносильности систем уравнений, а также привести формулировку и доказательство второго свойства систем уравнений. Система

равносильна системе

где А и В — выражения, содержащие неизвестные. (Доказательства сформулированного свойства приводить не будем, так как оно общеизвестно.)

Если раньше (в VIII классе) преподаватель пользовался функциональной символикой у = /(*), то в таком случае выгоднее вместо А и В ввести символы / (х,у) и ф (х, у).

Однако изучение указанных вопросов не является обязательным, так как они не включены в программу. Они могут явиться темой для занятий математического кружка VII—IX классов.

После повторения теоретических сведений о системах можно перейти к исследованию систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Для этого условимся, что под системой уравнений первой степени будем понимать систему уравнений, содержащую по крайней мере одно уравнение первой степени, при условии, что остальные уравнения степени не выше первой.

Этим определением мы исключим из рассмотрения тривиальные случаи, когда оба уравнения системы

(2)

нулевой степени (в этом случае система решений не имеет) или же система вырождается в совокупность двух тождеств.

Затем формулируется задача исследования системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными: исследовать систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными с параметрами — значит установить количество решений и их характер для всех допустимых систем значений параметров.

Однако в связи с тем, что характер решений системы определяется тем же путем, что и корней уравнения, эта задача не представляет такого интереса при исследовании, как вопрос об определении количества решений для любой допустимой системы значений параметров. Таким образом, обычно задача исследования системы на практике совпадает с задачей полного решения системы.

Пусть дана система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

(3)

где, по определению, не все числа а, 6, ах и Ьх обращаются в нуль.

Пусть, например, ЬХФ 0. В этом случае решать систему (3) придется способом подстановки, так как нет гарантии, что среди чисел at Ь, ах есть отличные от нуля.

Будем иметь из второго уравнения системы (3):

Подставляя это значение у в первое из уравнений системы (3), получим (после преобразований) уравнение

характерное тем, что при всех значениях х, ему удовлетворяющих, у для первого и второго уравнений системы (3) имеет общее значение (как это было установлено в VII классе).

Из последнего уравнения находим

Из (4), учитывая (6), имеем

Отсюда ясно, что если D = abl — аф (назовем это число определителем системы, а числа Dx = cb1 — cxb и Dy = = асх—ахс соответственно определителями х и у) неравно нулю, то система (3) имеет единственное (для каждой системы значений параметров) решение, определяемое по формулам:

Или короче * = £f> У =

Если D = 01, то при Dx=t=0 уравнение (5), a следовательно, и система (3) решений не имеет.

Аналогично устанавливается, что при D = 0 и Dy ф 0 система (3) решений не имеет.

Вот примеры систем, не имеющих решений:

(8) (9)

1 В этом случае формулы (7) теряют смысл.

В обеих системах D = 0. В системе (8) оба определителя Dx и Dy отличны от нуля, так как Ьх = 7, Dy = —7. В системе же (9) Dx = 5, Dy = 0.

Рассмотрим теперь случай, когда все определители (D, Dx и Dy) равны нулю. Так как нас интересуют только системы уравнений первой степени с двумя неизвестными, то случая, когда все коэффициенты неизвестных обращаются одновременно в нуль, мы рассматривать не будем (почему?).

Пусть Ьх Ф 0. Если при этом а и Ъ одновременно равны нулю, то при этих условиях и свободный член с не может быть отличен от нуля, так как в противном случае cbx— схЬ не могло бы быть равным нулю (cbx Ф 0 при с Ф 0 и Ьх Ф 0, а схЬ = 0, так как b = 0). Но тогда система (3) принимает вид:

Очевидно, что ее решением является любая пара чисел вида [ху у-—"]~~ä:)> гДе х — любое число и Ь1 Ф 0.

Если же, кроме Ьх Ф 0, одно из чисел а или b отлично от нуля, то и все остальные коэффициенты при неизвестных отличны от нуля. В самом деле, если, например, а ф 0, то из равенства abx — аф = 0 следует, что abx = аф ф 0.

Но это возможно лишь при ах ф 0, b Ф 0. В таком случае при сх ф 0 из асх — ахс = 0 следует, что асх = ахс ф 0, откуда ясно, что с ф 0. Обратно, из q = 0 следовало бы также и с=0, так как в противном случае мы имели бы схф0у что противоречит предположению. При q ф 0 из аЪх — ахЬ = 0 и ахс—асх = 0 имеем аЬх = аф и асх = ахс, откуда вытекает

Из последних двух равенств по свойству транзитивности получаем — = = — = k ф 0, откуда а = kax\ b =

При этом условии первое уравнение системы (3) можно переписать в виде kaxx + kb^ = kcv откуда следует его рав-

носильность второму уравнению той же системы. Это значит, что в таком случае любое решение каждого из уравнений системы (3) является решением и второго уравнения, то есть в этом случае система (3) имеет бесчисленное множество решений, совпадающее со множеством решений одного уравнения первой степени с двумя неизвестными. Точно так же и при с = с1 = 0из^- = £ =k Ф О получаем, что первое уравнение системы (3) оказывается равносильным второму kaxx + kbxy = 0.

Примером, иллюстрирующим сказанное, может служить система

имеющая своим решением любую пару чисел вида ^5 ~ Зу,

где у — произвольное число.

Итак, при решении системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными могут представиться следующие случаи:

1. Определитель системы D = abx— аф отличен от нуля. В этом случае система уравнений имеет единственное решение — пару чисел х и у, определяемых по формулам (7).

2. Определитель системы D = abx — аф равен нулю, однако по крайней мере один из определителей Dx или Dy отличен от нуля. В этом случае система решений не имеет.

3. Определитель системы D, а также Dx и Dy равны нулю. В этом случае система уравнений имеет бесчисленное множество решений, определяемое любым из ее уравнений (равносильных между собой), если все коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, либо одним уравнением первой степени с двумя неизвестными, если второе уравнение вырождается в тождество.

Наибольший интерес на практике представляют такие системы, у которых в каждом уравнении не все коэффициенты обращаются в нуль одновременно. В таком случае, как показано выше, из равенств D = 0; Dx = 0; Dy = 0 вытекает, что все коэффициенты a, b, av Ьх отличны от нуля. Все эти случаи легко могут быть проиллюстрированы на графиках.

Если определитель системы D Ф 0, то графики обоих уравнений пересекаются в одной точке. Это легко доказать, если оба уравнения системы (3) разрешить относительно у:

На основании первого свойства систем заключаем, что система (3') равносильна системе (3). Так как коэффициент при X линейной функции определяет величину угла наклона графика функции (прямой) к оси абсцисс, то ясно, что вследствие соотношения abx — аф Ф О вытекает неравенство коэффициентов при х линейных функций -у- Ф y-, а следовательно, и углов а и olv которые являются соответственными при прямых у =--yx^r~Y и У —--у~х +

По признакам параллельности прямых делаем вывод о существовании точки пересечения этих прямых. Обратно, если существует точка пересечения графиков линейных функций, соответствующих уравнениям системы (3), то соответственные углы а и а1 fie равны, а следовательно, не равны и угловые коэффициенты -у Ф у-, или ab1 — аф Ф Ф О, то есть определитель системы (3) в таком случае отличен от нуля.

Так как решением системы (3) является совокупность чисел X ц уу удовлетворяющая каждому из уравнений системы, то это значит, что решением системы является пара чисел, служащих координатами точки M пересечения графиков обоих уравнений системы (черт. 5).

Рассуждая аналогично, убеждаемся, что если D = О, а по крайней мере один из определителей Dx или Dy отличен от нуля, то прямые, являющиеся графиками уравнений системы (3) или (3'), параллельны и точки пересечения их не существует, то есть система в этом случае решений не имеет.

На чертеже б дано графическое истолкование решения системы в случае, когда D = О, Dx Ф О, Dy = 0. Примером такой системы может быть следующая:

Черт. 5.

Черт. 6.

На чертеже 7 дано графическое истолкование решения системы в случае, когда D = О, Dx = О, Dy Ф 0. Примером может служить система:

На чертеже 8 дан общий случай, когда D = 0, Dx ф 0, Dy ф 0. В этом случае, как мы видели выше, все коэффи-

циенты при неизвестных отличны от нуля. Вот пример такой системы:

Черт. 7.

Черт. 8.

Если все три определителя равны нулю, то система представляет собой либо одно уравнение, переписанное два раза, либо одно уравнение и одно тождество, которое фактически никакой зависимости не выражает. Поэтому можно сказать, что тождеству удовлетворяют координаты любой точки плоскости. Отсюда ясно, что решениями такой системы (когда D = О, Dx == 0, Dy = 0) будет совокупность координат всех точек графика уравнения первой степени с двумя неизвестными (черт. 9).

В качестве закрепления изученного материала в классе нужно решить задачи № 1188 — 1195 по задачнику П. А. Ларичева [15, ч. II].

Текстовые задачи на исследование, решаемые при помощи систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, решаются и исследуются так же, как и задачи на составление уравнений первой степени. В самом деле, любую задачу, которая решается при помощи составления системы двух линейных уравнений, можно решить и при помощи одного уравнения с одним неизвестным, так как всегда можно выразить одно неизвестное через другое и получить, таким образом, одно уравнение с одним неизвестным.

Черт. 9.

ГЛАВА IV

ИЗУЧЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ И УРАВНЕНИЙ, ПРИВОДИМЫХ К КВАДРАТНЫМ

1. Квадратные уравнения

Первоначальные сведения о некоторых типах квадратных уравнений учащиеся должны получить еще в VII классе, так как в противном случае они не смогли бы воспользоваться для решения задач по геометрии и физике теоремой Пифагора. А ведь более раннее знакомство с этой важнейшей теоремой геометрии и нужно как раз для улучшения связи между отдельными дисциплинами: алгеброй, геометрией, физикой и др. К задаче решения простейших квадратных уравнений приводит также нахождение стороны квадрата по заданной его площади. Правда, для решения задач в VII классе достаточно ограничиться нахождением положительных корней квадратных уравнений. Для этой цели в тему «Площадь многоугольника. Поверхность и объем прямой призмы» включен вопрос об извлечении квадратного корня из чисел, который рекомендуется находить по таблицам. Термины «квадратное уравнение», «неполное квадратное уравнение» в VII классе можно не вводить.

В VII классе решать квадратные уравнения можно таким путем.

Решить уравнение: 9 + *2 = 25.

Решение. По следствию из первого свойства уравнений имеем X2 = 16. Неизвестное же основание находится при помощи извлечения корня х = ]/16 = 4.

Проверка. 9 + 42 = 9 +16 = 25.

В более сложных случаях значение квадратного корня находится приближенно по таблицам.

Перед прохождением темы «Квадратные уравнения» учащиеся должны повторить основные сведения по теории

уравнений первой степени с одним неизвестным, в том числе определение равносильности уравнений и два основных свойства уравнений (с доказательством). Изложение новой темы начинаем с определения квадратного уравнения.

Уравнение, которое после ряда равносильных преобразований может быть приведено к виду ах2 + Ьх + с = О, где а Ф О, называется квадратным (или уравнением второй степени).

Затем определяются полные и неполные, приведенные квадратные уравнения.

Восьмиклассники, как правило, сравнительно быстро усваивают практические приемы решения неполных квадратных уравнений. Однако эти приемы логически не обосновываются. Поэтому при дальнейшем изучении математики учащиеся даже неполные квадратные уравнения решают по тем же формулам, что и полные. Вывод формул они просто заучивают. Вопрос же о том, почему эти формулы дают возможность найти все корни, остается невыясненным.

Рассмотрим обоснование способов решения неполных квадратных уравнений. Пусть дано уравнение вида

X2 = а2. (1)

Требуется найти все его корни.

Учащиеся уже знают, как найти положительный корень этого уравнения, и поэтому сразу назовут число а (если а отрицательно, то они назовут число —а). Выясняем, что не только а, но и —а является корнем уравнения (1). В этом они убеждаются проверкой. Затем показываем, что никакое число, абсолютная величина которого не равна \а\, не может быть корнем уравнения (1). В самом деле, пусть \Ь\ < < \а\. Тогда Ь2 < а2, так как каждый сомножитель левого произведения \b\>\b\ = b2 меньше каждого сомножителя правого произведения \а\ • \а\ = а2. Аналогично показывается, что решением уравнения (1) не может быть никакое число, абсолютная величина которого больше \а\.

Таким образом, доказали, что уравнение (1) имеет два и только два корня, если только а Ф 0. В этом последнем случае говорят также, что уравнение (1) имеет два корня, каждый из которых равен нулю.

После решения нескольких уравнений типа № 347 (1), 348 (1) переходим к решению уравнений вида:

ах2 + с = 0. (2)

Решая уравнение (2) относительно х3, получим уравнение

равносильное первоначальному. Если--— > 0, то по доказанному уравнение (3), а следовательно, и (2) имеет два и только два корня:

Если же--< 0, то уравнение (3), а значит, и (2)

решений не имеет, так как неотрицательное число х2 не может быть равным отрицательному

Затем переходим к решению квадратного уравнения вида:

ах2 + Ьх - 0. (4)

Для этой цели, вынося х за скобки, получим новое уравнение

X (ах + Ь) = 0, (5)

равносильное уравнению (4).

Найти все корни уравнения (5) не представляет труда. В самом деле, ему будут удовлетворять все значения х, при которых по крайней мере один из сомножителей левой части равен нулю. Это возможно в двух случаях. Если первый сомножитель равен нулю, то независимо от того, какое значение будет принимать второй сомножитель, все произведение будет равно нулю. Следовательно, х = 0 является корнем уравнения (5). Аналогично убеждаемся, что корнем уравнения (5) является то значение х, при котором обращается в нуль второй сомножитель левой части уравнения (5), то есть ах + b = 0, или х =* ——'

Мы нашли, таким образом, два значения для х (хг = 0, ) удовлетворяющих уравнению (5).

Никакое значение ху отличное от хг = 0 и х2 = —-, не может служить корнем уравнения (5), так как ни при каких значениях X, кроме найденных, ни один из сомножителей в нуль не обратится, а поэтому и произведение не

может обратиться в нуль. В самом деле, произведение отличных от нуля чисел, согласно правилу знаков, есть либо положительное, либо отрицательное число, но не нуль.

После изучения изложенных теоретических сведений необходимо закрепить их решением достаточного количества примеров на нахождение корней неполных квадратных уравнений. На изучение неполных квадратных уравнений следует отвести четыре-пять уроков, причем один-два последних урока посвятить решению полных приведенных квадратных уравнений путем сведения их к неполным. Это нужно для того, чтобы учащиеся поняли сущность преобразований, применяемых при выводе формул для решения квадратных уравнений, а также целесообразность решения квадратных уравнений по формулам. Сводить же полное квадратное уравнение к неполному можно двояким образом. Покажем это на примерах.

1. Решить уравнение:

я* + 8* — 33 = 0. (6)

Решение. Перепишем левую часть уравнения в виде: х2 + 2х . 4 + 16 — 16 — 33 = 0 (7)

или

X2 + 2х - 4 + 16 = 49;

(х + 4)2 = 49. (8)

Уравнения (6) и (7) учащиеся не должны рассматривать как различные, так как левая часть уравнения (7) не отличается по существу от левой части уравнения (6), правые части их также одинаковы. Уравнение (8) равносильно уравнению (7), а следовательно, и (6). Остается решить уравнение (8). По доказанному, для х + 4 имеется два и только два значения: 7 и —7. Таким образом,

хх+ 4 = 7, х2 + 4 = —7,

откуда ^ = 7 — 4 = 3, х2 = —7 — 4 = —11. Найденные корни хх = 3 и х2 = —11 являются корнями уравнения (8), а значит, и уравнения (6).

Проверка. 32+ 8 - 3 —33 = 9 + 24 — 33 = 0;

(—11)2+ 8. (—11) _зз= 121 —88 — 33 = 0.

2. Решить уравнение:

*2—11*+ 30 = 0. (9)

Решение. Представим левую часть данного уравнения в виде:

или

(10)

Разложим левую часть уравнения на множители:

Корни полученного уравнения находим так же, как и неполного квадратного уравнения (5).

Так как уравнение (11) равносильно (10) и, следовательно, (9), то уравнение (9) решено полностью. Оно имеет два и только два корня: хх = 5, х2 = 6.

Проверка. 52 — 11 • 5 + 30 = 25 — 55 + 30 = 0;

б2—И -6 + 30 = 36 —66 + 30 = 0.

В число уравнений, решаемых таким способом, желательно включить одно-два уравнения, не имеющих корней.

Рассуждения можно вести так. Пусть требуется решить уравнение:

*2 — 12* + 40 = 0. (12)

Пытаясь разложить его левую часть на множители, убеждаемся, что это невозможно, так как она представляет собой (в данном случае) не разность квадратов двух чисел, а сумму квадратов (х — б)2 + 4 = 0.

Разъясняем, что в этом случае уравнение (12) корней не имеет, так как его левая часть при любых значениях х положительна.

Отмечаем, что при решении любого полного квадратного уравнения выполняются одни и те же операции.

Весьма желательно, уяснив сущность выполняемых операций, в дальнейшем просто иметь их в виду и не повторять при решении каждого уравнения. Для этой цели выведем правило и формулу для решения квадратного уравнения. Пусть требуется решить квадратное уравнение

х2 + рх+ q = 0, (13)

где р и q—произвольные числа. Решаем его первым или вторым способом. Получим:

если I ~y 1 — g > 0 или,

(15)

Очевидно, что уравнение (14) равносильно уравнению (13). Но уравнение (15), по доказанному, имеет для х+~ два и только два значения: х + -~ = "j/ _q\ х + = — V^l'f-)2— ^' Из полученных равенств находим два корня уравнения (15), а следовательно, и (13):

Если же ^-^-j — q < 0, то ни при каких значениях х уравнение (14) в тождество не обратится, так как неотрицательное число [х + не может оказаться равным отрицательному числу (-^-j — q < 0.

Итак, уравнение (13) имеет два и только два корня:

если (-тМ — q > 0, или же если р2 — Aq > 0. В случае, когда р2 — Aq = 0 будем говорить, что уравнение имеет два равных корня: хг =--х2 =--не имеет корней, если р2 — Aq < 0. Оба найденные корня обычно записывают в виде одной формулы

(16)

1 Уравнения (14) и (15) не рассматриваются как различные, так как у них соответственно левые и правые части совершенно одинаковы, только записаны в разных формах (тождественны).

Проверка.

Затем формулу (16) следует выразить в виде правила (по учебнику). Формулировку этого правила учащиеся должны выучить наизусть и уметь ею пользоваться при решении квадратных уравнений. Важно отметить, что применять формулу (16) можно только тогда, когда после ряда равносильных преобразований квадратное уравнение приведено к каноническому виду х2 + рх + q = 0, причем под коэффициентами понимают не только абсолютные величины их, но и знаки. Первые несколько уроков в классе должна висеть таблица, иллюстрирующая вывод формулы (16), изготовленная на большом листе чертежной бумаги. Для закрепления этой формулы два-три урока посвящаются решению квадратных уравнений (по этой формуле) и текстовых задач, сводящихся к квадратным уравнениям. При решении каждого уравнения от учащихся надо требовать обоснования выполняемых операций на основе формулировки соотношения (16).

До вывода второй (основной) формулы для решения квадратных уравнений преимущественно следует решать уравнения с четным вторым коэффициентом, хотя несколько квадратных уравнений общего вида решить необходимо. Текстовые задачи в это время нужно решать самые простые, чтобы главное внимание учащихся было сосредоточено на процессе решения квадратного уравнения, а не на его составлении.

Вывод основной формулы следует давать вскоре после усвоения первой, так как было бы нецелесообразно решать нерациональным путем многие квадратные уравнения. После решения нескольких квадратных уравнений общего вида по формуле (16) вывод второй формулы затруднений не вызывает.

Учащимся предлагается решить квадратное уравнение

Решая его по известной формуле, они получат х = если Ь2 — Аас > 0. Эту формулу нужно выразить словами и запомнить формулировку.

Учащиеся склонны решать любое приведенное квадратное уравнение по формуле (16). Следует показать на конкретном примере, что она целесообразна лишь при решении таких приведенных квадратных уравнений, у которых второй коэффициент четный. Если же второй коэффициент нечетный, то, как правило, проще получить числовой ответ по второй формуле, хотя в случае, когда коэффициенты уравнения — многозначные числа, выбор формулы зависит от наличия вспомогательных средств и от желаемой точности результата.

Ввиду недостатка времени третью формулу (для решения неприведенного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом) можно не давать учащимся или дать ее после прочного запоминания первых двух формул.

После установления аналитических способов рзшения квадратных уравнений следует ознакомить учащихся с графическими способами решения квадратных уравнений. Объяснение этого вопроса можно провести следующим образом. Пусть дано уравнение:

(17)

После приведения его к виду

остается вычертить графики функций, стоящих в правой и левой частях уравнения, и найти абсциссы точек А и В их пересечения. Это и будут искомые корни (черт. 10).

Указываем, что если для каждого уравнения составлять отдельный график у = а:2, то этот способ применять невыгодно. Однако если один раз весьма аккуратно в большом масштабе вычертить этот график тушью на чертежной бумаге, то он может быть использован как вычислительный инструмент, дающий возможность с практически достаточной точностью решать квадратные уравнения в том случае, когда коэффициенты уравнения — многозначные числа.

Для уяснения этого приема примеры подбираются так, чтобы оба корня располагались в пределах чертежа.

Черт. 10.

Следует решить один-два примера на нахождение корней квадратного уравнения с многозначными коэффициентами. Так как в задачнике таких примеров нет, то их должен подобрать сам учитель. Нужно только следить, чтобы составленное уравнение имело (действительные) корни и чтобы они не были слишком большими по абсолютной величине. Вот пример одного из таких уравнений:

10а:2— 16,36* — 20,24 = 0.

Указанный способ графического решения квадратного уравнения применим и в том случае, когда корни имеют какую угодно абсолютную величину. Однако в этом случае данное уравнение придется преобразовать при помощи подстановки X = 10*/.

Например, решить (графически) уравнение:

л:2 —500л:+ 60 000 = 0.

Решение. Положим х = 100/. Тогда имеем 10 ООО/2 — 50 000/ + 60 000 = 0,

или

/2_5/ + 6==о.

Если корни данного уравнения имели большую абсолютную величину (^ = 200, х2 = 300), то корни преобразованного уравнения имеют малую абсолютную величину /х = 2, /2 = 3. Такие корни располагаются вблизи начала координат и, следовательно, в пределах чертежа. Переход же от корней полученного уравнения к корням данного уравнения по формуле X = 100/ '(или, вообще, х= 10*/, где k подбирается так, чтобы корни полученного уравнения располагались в пределах чертежа) труда не представляет.

Более удобный способ графического решения квадратного уравнения, освобождающий учащихся даже от вычерчивания графика линейной функции, изложен в «Четырехзначных математических таблицах» В. М. Брадиса [8].

В этом пособии приведена номограмма («считающий» чертеж), к которой даны краткие пояснения как по поводу ее устройства, так и по поводу использования. Чтобы эта таблица служила инструментом для решения уравнений в классной и домашней работе учащихся, необходимо, чтобы они усвоили принцип ее построения. Изучению этого вопроса целесообразно посвятить один-два урока.

Объяснение нового материала можно провести следующим образом.

Черт. 11,

Учащимся предлагается начертить посередине листа бумаги горизонтальный отрезок длиной а см и через концы его провести перпендикуляры. Число а может быть произвольным. Откладываем отрезки ОС = р; ED — q\ OB = yqjp AB =—J z^_z и рассматриваем пару подобных треугольников CGD и СНА (по лемме, так как по построению НА И GD). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон (черт. 11):

Подставляя вместо ОС, DE, AB, OB и ОЕ их значения, получим

откуда z2 + рг + q = 0.

Это значит, что число г, соответствующее точке Л, является корнем квадратного уравнения, коэффициенты ко-

Черт. 12.

торого равны соответственно отрезкам ОС и ED. Давая z целые положительные значения 1; 2; 3;... и вычисляя значения соответствующих коэффициентов р и q, мы можем построить точки, соответствующие числам 1; 2; 3;... Соединив все эти точки кривой при помощи лекала, получим инструмент, дающий возможность находить положительные корни уравнения z2 + pz + q = 0 с точностью до целых единиц (можно учесть даже десятые доли).

Практически это можно сделать следующим образом. Составим сначала уравнение (х—1) (х — 2) = 0, или х2 — —Злс+2=0, имеющее своими корнями числа 1 и 2, а коэффициентами числа — 3 и 2. В соответствии с изложенным проводим прямую CD, на которой располагаются оба корня: 1 и 2. Затем составляем какое-либо второе уравнение, имеющее своим корнем число 1, например (х— 1) (х + 3) =0, или X2 + 2х— 3 = 0. Для нового уравнения р = 2, q = —3. Через точки на соответствующих прямых + 2 и —3 проводим прямую, на которой также будет расположен корень хх= 1. Точка пересечения прямых CD и CJ^ и есть точка кривой, соответствующая корню хг = 1. Аналогично можно построить и другие целочисленные точки кривой, на которой прочитываются корни уравнений по наперед заданным значениям р и q (черт. 12).

Если построить аналогичным образом точки, соответствующие корням 0,1; 0,2;...; 1,0; 1,1; 1,2;..., то номограмма будет готова.

После проведенной работы практическое использование номограммы, имеющейся в сборнике таблиц В. М. Брадиса, затруднений не вызовет. Весьма желательно проиллюстрировать правило использования номограммы на наглядном пособии, представляющем такую же номограмму, но выполненную на большом листе чертежной бумаги. При изготовлении такой номограммы можно ограничиться лишь целочисленными точками кривой, на которой прочитываются корни уравнений.

В качестве домашнего задания предлагается вычертить номограмму, дающую возможность находить с точностью до целых положительные корни уравнения z2 + pz + q = 0, а также решить с использованием номограммы, имеющейся в сборнике таблиц В. М. Брадиса, несколько квадратных уравнений с положительными корнями.

На следующем уроке рассматриваются всевозможные случаи, которые могут встретиться при решении уравнений по интересующей нас номограмме.

Важно добиться, чтобы учащиеся пользовались этой номограммой всегда, когда нужно найти корни уравнения с точностью, не превышающей трех значащих цифр.

Доказательство теоремы Виета затруднений у учащихся не вызывает, и на этом вопросе останавливаться не будем.

В этой же теме впервые вводится понятие квадратного трехчлена. Сообщаем, что выражение вида ах2 + Ъх + с, где а ф 0, Ъ и с — данные числа, называется квадратным трехчленом. Отмечаем, что х в выражении ах2 + Ьх + с нельзя считать неизвестным, так как х может принимать какие угодно числовые значения, а не только те, при которых трехчлен обращается в нуль. Для уяснения существа вопроса возьмем конкретный пример, в котором «данные» числа принимают определенные значения, и составим таблицу зависимости значений трехчлена от значений xt которые могут быть произвольными. Положим а = 1, b = —5. с = 6. Получим трехчлен х2 — Ъх + 6.

Зависимость его значений от значений х представим в виде таблицы:

Указываем, что среди значений х имеются и такие (в нашем примере хг = 2, х2 = 3), при которых значение трехчлена равно нулю. Эти значения х называются корнями квадратного трехчлена. Устанавливаем аналитический способ нахождения его корней. Чтобы найти корни квадратного трехчлена, достаточно приравнять его нулю и решить полученное квадратное уравнение. Отсюда следует, что коэффициенты квадратного трехчлена, как и квадратного уравнения, могут быть выражены через его корни по теореме Виета. Так как х или какая-либо другая буква в квадратном трехчлене может принимать любые числовые значения (изменяться), то эту букву называют переменной или аргументом.

Тему «Разложение квадратного трехчлена на линейные множители» можно изложить следующим образом.

Пусть дан квадратный трехчлен ах2 + Ьх +с, имеющий корни хх и х2. Его можно преобразовать так:

Трехчлен, стоящий в скобках, имеет те же корни, что и данный. Тогда, по теореме Виета, будем иметь:

откуда

Подставляя вместо коэффициентов — и — их найденные значения, получим

откуда

Вывод. Квадратный трехчлен разлагается на произведение трех множителей, первый из которых есть коэффициент при квадрате переменного, а два других — разности между переменным и корнями трехчлена.

Указываем, что два последних множителя называются линейными, так как если каждый из них обозначить через уу то получится уравнение у = х — xv график которого при определенном значении хх (или х2) является прямой линией,

как это было установлено в VII классе. Кроме того, сообщаем, что если квадратный трехчлен не имеет корней, как например х2—12*+ 40, то он не может быть разложен на линейные множители, так как в противном случае мы бы нашли его корни (как и при решении неполного квадратного уравнения), чего быть не может.

Опыт подтверждает целесообразность такого способа изложения этой темы и приведенной формулировки. Если же при разложении трехчлена рассматривать сначала случай, когда коэффициент при квадрате переменного равен единице, то учащиеся привыкают к тому, что квадратный трехчлен разлагается на произведение лишь двух множителей, и забывают приписывать к этому произведению коэффициент при квадрате переменного.

Изучение вопроса о системах, содержащих одно уравнение первой степени и одно второй, ничего принципиально нового по сравнению С системами уравнений первой степени с двумя неизвестными не вносит. В самом деле, любую из таких систем можно решить хорошо известным из курса VII класса способом подстановки. Несколько отличается от изученного в VII классе только вопрос о количестве решений такой системы. На примерах учащиеся убеждаются в том, что система, содержащая одно уравнение первой степени и одно второй, может не иметь ни одного решения или же иметь одно, два и бесчисленное множество решений. Приведем по одной системе каждого типа:

Параллельно с изучением способов решения квадратных уравнений целесообразно решать и текстовые задачи, не вызывающие у учащихся затруднений со стороны техники составления уравнений. Важно, чтобы уже первые задачи имели по два равноправных ответа. Цель решения таких задач состоит в отработке навыков решения квадратных уравнений, в показе того, что квадратные уравнения являются хорошим средством для решения многих важных задач практического порядка, а также в том, чтобы учащиеся научились после решения соответствующего уравне-

ния давать правильный ответ на вопрос задачи. Целесообразно начинать с таких простейших задач.

Задача. Квадрат неизвестного числа на 63 больше удвоенного неизвестного. Найти это число.

Учащиеся без труда находят два числа 9 и — 7, являющихся равноправными ответами на вопрос задачи.

В задачнике П. А. Ларичева [15, ч.1] мало задач, имеющих по два ответа, причем для многих из них, например № 1689, 1696, 1743, приведено только по одному ответу вместо двух. Такие задачи можно найти, например, в задачнике Н. Д. Шапошникова и Н. К. Вальцова [32] и в статье И. И. Иванова,«Об исследовании задач на составление уравнений в курсе алгебры VIII класса» [14].

Большинство же задач, помещенных в задачнике, имеют по одному ответу, причем во многих из них второй корень уравнения отрицательный и не принадлежит множеству допустимых значений задачи. Ни в коем случае нельзя ограничиваться решением только такого типа задач, так как в этом случае у учащихся может выработаться привычка всегда отбрасывать отрицательный корень уравнения, как непригодный, не задумываясь над смыслом условия задачи и не вникая в природу отрицательных чисел.

Весьма поучительными являются такие задачи, которые сводятся к квадратным уравнениям, имеющим по два положительных корня, один из которых не входит во множество допустимых значений задачи. Иногда учащиеся, не задумываясь над условием задачи, дают два ответа, хотя один из них является явно абсурдным. Приведем пример.

Задача № 1709. Два автомобиля вышли одновременно из городов А и В навстречу друг другу. Через час автомобили встретились и, не останавливаясь, продолжали путь с той же скоростью. Первый прибыл в В на 27 минут позже, чем второй прибыл в город Л. Определить скорость каждого автомобиля, если известно, что расстояние между городами 90 км.

Обозначив скорость первого автомобиля через х км в час, учащиеся без труда получают уравнение

Однако многие из них, не задумываясь, записывают неверный ответ: Скорость первого автомобиля 40 км в час, а второго 450 км в час.

В таких случаях надо потребовать от этих учащихся, чтобы они вспомнили, какую величину они обозначили через х, а также подумали над вопросом о том, может ли (в условии данной задачи и вообще в настоящее время) скорость автомобиля оказаться равной 450 км в час. Надо каждый раз подчеркивать, что решением даже правильно составленного уравнения никогда решение задачи не заканчивается. В некоторых случаях (по указанию учителя) решение задачи может заканчиваться только после того, как найден полный ответ на вопрос задачи. Как правило, должна проводиться проверка.

Наиболее интересными с методической точки зрения являются задачи, сводящиеся к решению квадратных уравнений с двумя корнями, принадлежащими множеству допустимых значений задачи, в том случае, когда они имеют только по одному ответу. Приведем пример.

Задача. Периметр прямоугольника равен 46 см, а диагональ его равна 17 см. Найти стороны прямоугольника.

Обозначив одну из сторон прямоугольника через х см, учащиеся легко получают уравнение (23 — х)2 + х2 = 298, имеющее два корня хх = 20, х2= 3, принадлежащие множеству допустимых значений для данной задачи. Если учащийся сразу напишет ответ, что одна сторона прямоугольника равна 20 см, а вторая — 3 см, то он формально совпадет с приведенным в задачнике. Такие задачи в большей степени, чем другие, способны выработать у учащихся ложный навык «быстрого» перехода от решенного уравнения к ответу на вопрос задачи.

Как и при решении других задач, следует обратить внимание учащихся на то, что принято за х. Важно, чтобы они поняли, что хх и х2 обозначают длины одной и той же стороны. Затем по смыслу задачи вычисляем вторую сторону прямоугольника-^-= 3 (см) и-^-= 20 (см). Получилось, что если первая сторона прямоугольника равна 20 сму то вторая —3 см, а если первая сторона 3 см, то вторая — 20 см. Теперь только стало очевидно, что обоими корнями уравнения определяется один и тот же прямоугольник со сторонами 20 см и 3 см.

Правда, в этом случае мы могли бы убедиться в однозначности ответа и другим путем. Именно, через х можно было бы, например, обозначить большую сторону. Тогда второй

корень пришлось бы отбросить, как не удовлетворяющий условию задачи, так как при х=*3 вторая сторона оказалась бы равной 20 см, то есть большей (вопреки предположению). По-видимому, первый способ получения ответа более общий, и его предпочитают при решении задач рассматриваемого типа.

Вот примеры задач, не имеющих решений:

1. Учет урожая двух соревнующихся колхозных бригад показал, что на участке первой бригады было собрано 200 ц пшеницы, а на участке второй бригады, площадь которого на 2 га больше, собрано 300 ц пшеницы при урожае на 7 ц с гектара больше, чем на первом участке. Найти площадь каждого участка и количество собранной пшеницы с 1 га того и другого участка.

2. Найти двузначное число с одинаковыми цифрами единиц и десятков, если известно, что произведение цифр этого числа в 5 раз больше их суммы.

Приведем, наконец, пример задачи, которой удовлетворяют отрицательные корни:

Моторная лодка проплыла по реке 30 км, а затем обратно 35 км, затратив на весь путь (без остановок) 5 часов. Собственная скорость лодки 15 км в час. Определить скорость течения реки.

Если бы лодка плыла вначале по течению, а затем против течения, то, обозначив скорость течения реки через X км в час, получили бы уравнение х—1~ \s — x = 5, имеющие корни х1 = 5, х2 = — 6.

Это значит, что в случае, если лодка вначале плыла по течению, то скорость течения реки 5 км в час. Если же вначале лодка плыла против течения, то скорость реки была равна 6 км в час.

Как видим, умение правильно истолковывать отрицательные корни уравнений не только помогает глубже исследовать задачи, но и во многих случаях значительно упрощает решение, освобождая нас от повторного составления уравнения. В самом деле, если бы мы в последней задаче отбросили отрицательный корень уравнения —6, то пришлось бы заново составлять уравнение по условию задачи, предполагая, что лодка вначале плыла против течения. Это второе уравнение имело бы уже корни 6 и —5. Ответ получили бы тот же, но более длинным путем.

2. Исследование квадратного уравнения

После повторения способов решения квадратных уравнений целесообразно перед исследованием решить несколько более трудных уравнений с числовыми коэффициентами, содержащими неизвестное в знаменателе, а затем перейти к решению уравнений с буквенными коэффициентами. Важно научить учащихся при решении уравнений рассматривать все случаи, какие при этом могут встретиться. Приведем примеры.

1. Решить уравнение:

bx2 — a = (a — b)x. (1)

Решение. Сначала приведем уравнение к каноническому виду, а затем применим известную формулу. Получим:

При b ФОи а = — b уравнение (1) имеет один (кратный) корень — 1. Если 6 = 0, то уравнение (1) принимает вид:

0-х2 —ах = а, (2)

откуда при а Ф 0 имеем х = — 1; при а = 0 уравнение (2) обращается в тождество, а следовательно, его решением можно считать любое число.

Ответ. Если b ф 0 и а Ф — Ьу то хх = —9 х2 =» — 1 ;

если Ьф 0 и а = — о, то х1 = х2 = — 1 ; если Ь = 0 и а Ф 0, то X = — 1; если b «* 0 и а = 0, то решением является любое число.

2. Решить уравнение:

Решение.

Если а «= 0, то X = 0; если а — —1, то х = 2.

Исследование состоит в выяснении знаков корней при всех (допустимых) значениях параметра а.

При а < —1 первый корень отрицательный, а второй положительный; при —1 < а < 0 оба корня положительны; при 0 < а < 1 оба корня отрицательны; при а > 1 первый корень отрицательный, а второй положительный,

В целях упрощения исследования всевозможных случаев можно сразу накладывать на параметры некоторые дополнительные ограничения [15, ч. I], однако несколько квадратных уравнений следует решить без каких бы то ни было ограничений. Это заставит учащихся вдумчиво относиться как к условию каждой задачи, так и к совершаемым ими алгебраическим преобразованиям.

После решения ряда квадратных уравнений как с числовыми, так и с буквенными коэффициентами ставим перед учащимися вопрос о том, всегда ли квадратные уравнения имеют корни, и выясняем, при каких условиях они не имеют корней. Учащиеся придумывают несколько квадратных уравнений, не имеющих решений, и устанавливают, что они не имеют корней только тогда, когда подкоренное выражение формулы, определяющей его корни, отрицательно, так как в этом случае невозможно извлечь квадратный корень и найти его решения. Сама формула выведена нами только в предположении, что б2— \ас неотрицательно.

Далее исследуются все возможные случаи, которые могут встретиться при решении уравнения:

ах2 + Ъх + с = 0, а Ф 0. (3)

Этот вопрос в методической литературе изложен достаточно полно, и на нем мы останавливаться не будем.

Затем рассматривается вопрос о решении и исследовании задач с параметрическими данными. Приведем решение нескольких задач.

1. Решить и исследовать задачу.

Перевозка одной тонны груза от пункта M до пункта N по железной дороге на b копеек дороже, чем водным путем. Сколько тонн груза можно перевезти от M до N по железной дороге на сумму в s рублей, если водным путем на ту же сумму можно перевезти на k тонн больше, чем по железной дороге?

Обозначая через х m искомое количество груза, которое можно перевезти от M до N на сумму в 5 рублей, получаем уравнение

имеющие корни

По условию s^O. Случай 5 = 0 интереса не представляет. Параметры же b и k могут принимать произвольные значения, однако их знаки должны совпадать: если b > 0, то и k > 0, если b < 0, то и k < 0. Равенство нулю одного из чисел b или k неизбежно влечет за собой равенство нулю и второго из них. Если b = 0 и k = 0, то для решения задачи недостает данных: в этом случае необходимо знать стоимость перевозки 1 m груза по железной дороге (или же водным путем). Если же b ф 0 и k ф 0, то задача всегда имеет решения, так как b2k2 + 400 bks > 0.

Очевидно, что условию задачи удовлетворяют только положительные значения корня. Следовательно, при b > 0 условию задачи удовлетворяет число хх=- Ъь -* так как Y b2k2 + AOObks > bk и хг > 0. Второй корень *2<0, так как — bk — V^k2 + 4006ks < 0. При b < 0 условию задачи удовлетворяет число х2 =-2^—-* так как и числитель и знаменатель дроби отрицательны. Первый корень xv очевидно, отрицателен.

Ответ. Если buk положительны, то на сумму s рублей от M до TV можно перевезти-■ 2Ь—!- тонн груза; если b и k отрицательны, то на ту же сумму от M до N можно перевезти -—!-— тонн груза.

Если b = О и k = О, то для решения задачи не хватает данных и решить ее нельзя.

Проведенное таким образом исследование не дает гарантии в том, что задача решена верно. Чтобы убедиться в правильности решения, необходимо выполнить проверку.

Проверка. Если по железной дороге на s рублей можно перевезти-———■-— (тон груза), то водным путем на ту же сумму можно перевезти k =-—--2^—- (тонн). Перевозка одной тонны груза по железной дороге составит 5 :-■-^—- =- ~Ьк+УьГ(ь*+Щ (рублей), а водным путем s: bk + Vbk(bk + ms) =_ m _ (рублей). Перевозка же одной тонны груза по железной дороге стоит дороже, чем водным путем на --s = у—: (рублей), или на b копеек, что соответствует условию задачи. Аналогично проверяется решение --—^—!- при b и k отрицательных. Теперь можно быть уверенным, что задача решена верно.

2. Решить и исследовать задачу.

Две молотилки обмолачивают собранную пшеницу за m дней. Если бы одна из них обмолотила половину всей пшеницы, а затем вторая остальную часть, то вся работа была бы окончена за п дней. За сколько дней каждая молотилка в отдельности смогла бы обмолотить всю пшеницу?

Обозначая через х дней время, в течение которого первая молотилка смогла бы обмолотить всю пшеницу, получаем уравнение ~~г Л—?г~—v = ~> имеющее корни лгь2 = п ± Yn (п—2т).

Так как по условию задачи тип — положительные числа, то ясно, что задача будет иметь решения только в том случае, когда п > 2т. Если п = 2т, то оба корня будут равны п. В этом случае первая молотилка обмолотила

бы всю пшеницу за п дней, а вторая — за 2п — п= п (дней), то есть обе молотилки имели бы одинаковую производительность. При условии же п > 2т уравнение, полученное из условия задачи, имеет два положительных корня, так как п=Уп2> V п2 — 2тп. (Впрочем, к этому же результату можно прийти, применяя теорему Виета к уравнению, которое получается из составленного по условию задачи путем приведения его к каноническому виду.) Чтобы установить, оба ли найденные корня уравнения удовлетворяют условию задачи, вычислим, за сколько дней обмолотила бы всю пшеницу вторая молотилка. Имеем:

или

Получили те же значения, что и для первой молотилки, но в обратном порядке. Этот результат истолковывается следующим образом. Если первая молотилка обмолачивала бы всю пшеницу за [п + У п(п — 2т)] дней, то вторая выполнила бы ту же работу за [п — У п(п — 2т)] дней. Наоборот, если первая молотилка обмолачивала бы всю пшеницу за [п — |/ п(п — 2т)] дней, то вторая эту же работу выполнила бы за [п + Y п(п — 2т)] дней. Однако эти два ответа нельзя считать разными, так как безразлично, какую из двух молотилок считать первой, а какую второй.

Ответ. Одна молотилка обмолотила бы всю пшеницу за [п — у п(п — 2т)] дней, а вторая — за (п — 2т) ] дней.

Проверка. Первая молотилка половину всей пшеницы обмолачивает за--—^-- дней, а вторая — за n + V п(п — 2т) дней. Обе молотилки обмолотили бы всю пшеницу за--—^-- -\--——^-- = п (дней), что соответствует условию задачи. Задача решена верно.

3. Решить и исследовать задачу.

Сторона квадрата ABCD равна / см. От его вершин в направлении по часовой стрелке (черт. 13) отложены

равные отрезки AK, BL, CM, DN, и точки К, L, M и N соединены прямыми. Площадь квадрата KLMN равна S см2. Определить длину отрезка Л/С.

Обозначая длину отрезка АК, откладываемого от точки А в направлении Ô, через X см, получаем уравнение

/2 = S + 2jc (/ — x),

имеющее корни

Черт. 13.

Чтобы задача имела решение, необходимо, чтобы было выполнено условие 25 — I2 > О, или S > -5-. Это условие, однако, является вместе с тем и достаточным, так как при выполнении его задача всегда имеет два решения. Наличие двух решений (определяющих один и тот же квадрат1) очевидно при л'2>0, что возможно при I2 > S. Однако задача имеет два решения и в том случае, когда х2 < О, что возможно лишь при S > /2. Действительно, в таком случае очевидно, что хг > 0 и является ответом на вопрос задачи. В этом случае точка К расположена на продолжении стороны AB за точкой В. Отрицательное значение корня х2=-2- означает, что отрезок длиной -2- см следует отложить в сторону, противоположную той, в которую был отложен отрезок длиной

Ответ. Отрезок АК имеет длину

или

см, если только 5 > -s-. В противном случае задача решения не имеет.

Чтобы убедиться в правильности решения, нужно выполнить проверку.

На занятиях математического кружка может быть использован метод исследования задач, сводящихся к урав-

1 Равные фигуры не считаются различными.

нениям второй степени, основанный на теореме Декарта. Описание и обоснование его можно найти в книге И. А. Гибша «Исследование решений задач с параметрическими данными» (М., Изд-во АПН РСФСР, 1952).

3. Иррациональные уравнения

Прежде чем перейти к изучению иррациональных уравнений, нужно повторить из курса алгебры VII класса определение равносильности уравнений и основные свойства уравнений (с доказательством). Изложение нового материала начинаем с рассмотрения задачи, приводящей к иррациональному уравнению.

Задача. Гипотенуза прямоугольного треугольника на 2 м больше катета, периметр его равен 12 м. Определить стороны треугольника.

Принимая длину одного из катетов за х метров, учащиеся легко получают уравнение

2 + X + (х + 2) = 12. (1)

После этого формулируется (например, по книге [171) определение иррационального уравнения.

Записываем уравнение х\г 2 +(х — 2) ]/ 3 = 2 и выясняем, что оно не является иррациональным. Уравнения же х + ]/~х = 5, V 1 + *2 = X + 1, V (1—х2) = 2х+2— иррациональные. Иногда учащиеся не считают последнее уравнение иррациональным, так как, по их мнению, его можно переписать в виде 1 — х = 2х + 2. Следует показать, что здесь возможны два варианта: 1 — х = 2х + 2и х — — 1 = 2х + 2, так как мы условились под радикалом понимать его арифметическое значение.

Затем переходим к решению уравнения (1). Сами учащиеся могут это уравнение лишь привести к виду: угх+1 = 5 - х.

Если они затрудняются продолжить решение, им предлагаются вопросы: не нарушится ли равенство, если обе части уравнения возвести в квадрат? Можно ли применять такое преобразование уравнения? Учащиеся обычно отвечают, что равенство не нарушится, а следовательно, такое преобразование применять можно. Дальнейшее решение затруднений не вызывает; решив полученное квадратное уравнение, найдем хх= 8; х2= 3.

После этого предлагается сделать проверку. Вначале она выполняется по условию задачи: раз катет равен 8 лс, то гипотенуза составит 8+2=10 (м). Сразу видно, что это значение х не является ответом на вопрос задачи. Второе значение х удовлетворяет условию и является ответом на вопрос задачи. Проверяем оба найденные значения х также подстановкой и в уравнение (1). Убеждаемся, что х=*8 не удовлетворяет не только условию задачи (как это часто бывало при решении текстовых задач на квадратные уравнения), но и доставленному уравнению.

Указываем, что такой корень для уравнения (1) называется посторонним, и выясняем причину его появления. Учащимся предлагается разыскать то преобразование, которое привело данное уравнение к новому, ему неравносильному. Выясняем, что посторонний корень появляется в результате возведения обеих частей уравнения в квадрат. В качестве иллюстрации сравниваем решения уравнений х+1=2 и jc2+2x+1=4 и убеждаемся, что х=—3 является посторонним для первого уравнения.

После этого устанавливаем, как отличить корни, удовлетворяющие данному уравнению, от посторонних. Учащиеся приходят к выводу, что это можно сделать путем подстановки найденных корней в исходное (или ему равносильное) уравнение, что подстановка корней в последнее уравнение бесполезна. Кроме того, указываем, что если при решении уравнения приходилось обе части его возводить в одну и ту же степень, то проверка является обязательным этапом решения, что, не сделав проверки найденных корней подстановкой в исходное уравнение, мы не можем быть уверены, что среди найденных корней нет посторонних. Такая проверка, как и в случае решения уравнений, содержащих неизвестное в знаменателе, выполняется перед записью ответа в отличие от проверки, проводимой с целью выявления ошибок в решении, которая записывается после ответа.

Закрепляем новый материал решением примеров №543 (3), 544(4) с полным объяснением всех применяемых преобразований. При решении примера № 543(2) указываем, что необходимо уединить радикал.

Задание на дом. Повторить формулировки и доказательство основных свойств уравнений, изученных в VII классе. Решить примеры №543 (1, 3), 544 (3), а также одну несложную текстовую задачу.

На следующем уроке проверка домашней работы сопровождается беседой по выяснению теоретических сведений, изученных на предыдущем уроке, а также решением уравнений № 544 (1, 2).

Объяснение нового материала проводим в форме беседы по вопросам, связанным с преобразованиями уравнений при их решении.

Прежде всего еще раз вспоминаем, какие преобразования приводят данное уравнение к новому, ему равносильному. Учащиеся приходят к выводу о том, что им известны только два вида таких преобразований: прибавление к обеим частям уравнения одного и того же многочлена и умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение, не равное нулю и не содержащее неизвестных.

Выясняем, можно ли обе части уравнения умножать на одно и то же выражение, содержащее неизвестное. Некоторые учащиеся считают, что полученное уравнение может оказаться неравносильным первоначальному, например: х-1=2 и (х— 1) (х+3)=2(х+3), х+2-3 и (х+2)х X (х—4)=3 (х—4) и т. д. Однако указываем, что в некоторых случаях такое преобразование применять можно и нужно, так как других, более коротких путей решения нет. Примером могут служить уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе. Показываем, что рассматриваемое преобразование может привести к новому уравнению, содержащему как корни исходного уравнения, так и посторонние (обращающие в нуль сомножитель, на который умножаются обе части уравнения), которые отделяются от корней данного уравнения проверкой.

Дальнейшую часть урока посвящаем решению иррациональных уравнений. Решаем примеры № 545 (1, 3), 547 (1, 2) с подробным объяснением, считая проверку неотъемлемой частью решения. Наиболее интересными являются примеры №547. Приведем решение одного из них.

Решить уравнение:

УТ=1 . У 2*+ 6 = X + 3.

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим:

(*-1).(2х+6Ы*+3)8,

или

х*—2х—15=0, откуда хх=Ъ, jc2=—3.

Проверкой убеждаемся, что первый корень удовлетворяет исходному уравнению, а второй не удовлетворяет ему, так как при х=—3 первый радикал теряет смысл. Некоторые учащиеся считают и второй корень не посторонним на том основании, что при х=—3 второй радикал обращается в нуль, а любое число, умноженное на нуль, равно нулю. В этом случае сформулированное правило применить нельзя., так как первый радикал не является (действительным) числом.

На следующем уроке при проверке домашнего задания можно выяснить, что после возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень (натуральную) или после умножения на одной то же выражение, определенное для всех значений неизвестного, получается новое уравнение, обязательно содержащее, кроме посторонних, все корни данного уравнения. Можно также решить примеры № 543 (4) из задачника и №476 из учебника Е. С. Кочеткова и др.

Объяснение нового материала проводим на тему «Преобразования уравнений, приводящие к потере корней». На ряде конкретных примеров типа (х—1){х—3)=2(х—3) выясняем, что при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное (не в знаменателе), может получиться новое уравнение, неравносильное данному: происходит потеря корней. Устанавливаем, что потерянные корни легко найти путем приравнивания нулю того выражения, на которое делят. Учащиеся приходят к следующему выводу: если обе части уравнения имеют общий множитель, содержащий неизвестное (не в знаменателе), то на этот множитель можно сократить, приравняв его нулю и найдя корни полученного уравнения. Эти корни будут являться также и корнями данного уравнения. После этого нужно решить уравнение, полученное после сокращения, и присоединить к его корням найденные ранее корни.

Многие считают, что сокращать на выражение, содержащее неизвестное, нельзя, так как деление на нуль невозможно. Но ведь на самом деле мы делим не на нуль, а на одночлен в смысле деления многочленов. Такое же возражение можно было бы выдвинуть и против деления на любой другой многочлен на том основании, что он, вообще говоря, может обратиться в нуль при некоторых значениях букв, доказательства теоремы Безу и в некоторых других случаях (см. книгу [20]).

Практическая же ценность такого способа решения урав-

нений несомненна. Пусть, например, требуется решить уравнение:

(х + 2) (х— 1) (х2 — 5х + 7) = (х + 2) (*—1).

Обычно рекомендуется такой способ: переносят выражение (х + 2)(х—1) в левую часть, затем выносят его за скобки, после чего приравнивают нулю каждый сомножитель и т. д. Гораздо проще сначала сократить на х + 2 и устно найти потерянный в результате этого корень хх = — 2, затем сократить на х—1 и найти второй потерянный корень х2 = 1. После этого уже нетрудно решить полученное после сокращения квадратное уравнение х2 — 5х+7 = 1, имеющее корни х3 = 2 и х4 = 3. Таким путем ответ находится проще, чем первым способом.

На этом же уроке можно рассмотреть и второе преобразование, иногда приводящее к потере корней, которое заключается в извлечении корня одной и той же степени из обеих частей уравнения. Лучше всего подвести учащихся к этому преобразованию путем решения конкретных уравнений типа x4 (х—2)4=81, все корни которых сразу найти не удается. Важно отметить, что потерянные в этом случае корни не всегда могут быть легко найдены, как в случае деления обеих частей уравнения на одно и то же выражение, содержащее неизвестное. К данному типу преобразований целесообразно прибегать лишь тогда, когда нет иных путей для отыскания всех корней данного уравнения, а также и тогда, когда потерянные корни могут быть легко найдены.

Остальную часть урока посвящаем решению иррациональных уравнений. Решаем задачи № 548 (4), 549 (2), 556 (1, 2).

Объяснение материала на тему «Решение иррациональных уравнений, содержащих два и более радикалов» проводим путем решения примеров типа № 550 или 551. Они решаются способом уединения одного из радикалов и возведения каждой части уравнения в квадрат. При этом необходимо делать проверку и выяснять причину ее необходимости.

В числе решаемых примеров должны встречаться и такие, отсутствие решения которых очевидно, а также примеры, для которых ответ можно найти устно, не производя записи решения. В числе других предлагаем примеры № 540

(1 —4), 542 (2, 4), а также примеры типа \f х—4+ У 4—х=0. Некоторые из них будут заданы на дом.

Из параметрических иррациональных уравнений на уроках рассматриваются простейшие. Приведем пример такого типа.

1. Решить уравнение:

(1)

Решение. Возводя обе части уравнения в квадрат, получим:

откуда

Следует иметь в виду, что отрицательные значения а не являются допустимыми для уравнения (1), так как правая часть его теряет смысл. Отсюда вытекает, что а>0. Проверкой убеждаемся, что среди найденных корней нет посторонних.

На изучение темы потребуется примерно пять уроков. Включение в нее вопросов, связанных с появлением посторонних корней и потерей корней данного уравнения, является вполне целесообразным, так как без выяснения их нельзя считать вопрос о решении и исследовании уравнений исчерпывающим в той мере, как это необходимо для решения различных практических задач. Опыт показывает, что учащиеся без особых затруднений усваивают эту тему в том объеме, какой предлагается здесь для изучения, и приобретают навыки решения несложных иррациональных уравнений.

В некоторых классах, а также на занятиях математического кружка можно решать и более сложные иррациональные уравнения, в том числе и параметрические.

2. Решить уравнение:

Решение. Пусть

Тогда

и исходное уравнение принимает вид:

откуда

Далее:

Проверкой убеждаемся, что среди найденных корней нет посторонних.

3. Решить уравнение:

(2)

Решение. Так как

(в противном случае второй радикал потерял бы смысл), то

Разделив почленно обе части уравнения (2) на выражение и найдя потерянный от этого корень ^»1, получим уравнение

откуда после перенесения единицы вправо, возведения обеих частей в квадрат и умножения на х получим

Проверка показывает, что х3 — посторонний корень. 4. Найти все вещественные корни уравнения

где р — вещественный параметр. (Это уравнение предлагалось на V международной математической олимпиаде в 1963 году.)

Решение. После возведения обеих частей исходного уравнения в квадрат и уединения радикала получим

откуда

При р=»2 уравнение (3) решений не имеет.

Так как уравнение (4) может иметь, кроме корней уравнения (3), еще и посторонние корни, то необходима проверка.

Подставляя вместо х в исходное уравнение значение хг - у*~_- * получим при р Ф 2:

У (Зр-4)2 + 2V72 = p-4.

Следовательно, р > О1. Так как ни Зр — 4 + 2р ф р—4, ни 4 — Зр + 2р Ф р — 4, то ясно, что корень - == = посторонний. Второй корень удовлетворяет исходному уравнению, если 0 < р < —•:

4 —Зр + 2р = 4 —р.

Ответ. Если р< 0 или р>-|-, то уравнение корней не имеет. Если 0 < р < то уравнение имеет решение, определяемое формулой х =■= —.

5. Решить уравнение:

уа+х- У^ = VbT+S. (5)

Решение. Если а=*0, то уравнение (5) принимает вид

и его решением .является любое положительное число.

1 Об этом можно сделать вывод непосредственно из равенства (3), так как, очевидно, при р < О равенство (3) невозможно ни при каких действительных х,

Если а > О, то уравнение (5) приводится к виду

так как а + х > 0. Затем

откуда

Проверкой убеждаемся, что этот корень для уравнения (5) является посторонним, и, следовательно, при а>0 уравнение корней не имеет.

Пусть, наконец, а < 0. Тогда исходное уравнение принимает вид

откуда

Проверка показывает, что найденный корень удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ. Если а=0, то * — любое положительное число; если а > 0, то уравнение решений не имеет; если а < 0, то X = — 2а.

Описанных в этом параграфе теоретических сведений вполне достаточно для решения самых сложных иррациональных уравнений. Применение же смешанных систем уравнений и неравенств при решении иррациональных уравнений требует дополнительных теоретических сведений и практически не упрощает способов решения уравнений. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить приведенное выше решение примера 4 с решением этого же примера в журнале «Математика в школе» (1963, №6, стр. 88—89).

4. Другие виды уравнений, приводящиеся к квадратным

Программа предусматривает изучение большого класса уравнений, которые можно решать методом замены. Путем замены многие уравнения, имеющие часто сложный вид,

можно свести к квадратным уравнениям или системам уравнений первой или второй степени, решение которых не вызывает затруднений.

Простейшими примерами таких уравнений являются биквадратные, трехчленные уравнения более высоких степеней, а также некоторые другие виды алгебраических уравнений, как например уравнения вида

(х2 + 2х)2 — Щх2 + 2х) — 15 = 0. (1)

Путем замены х2 + 2х на z последнее уравнение легко сводится к квадратному уравнению z2 — 14z— 15=0, корни которого zx = 15 и г2 = — 1 определяются по первой формуле для решения квадратных уравнений. Так как мы положили x2 + 2х = z, то, подставляя вместо z его значение, получим два квадратных уравнения:

х2 + 2х=15 и х2 + 2х = — 1у (2)

дающих возможность найти все корни уравнения (1).

В самом деле, как корни первого из уравнений (2) хх = 3, х2 = — 5, так и второго х3 = — 1, х4 = — 1 являются корнями уравнения (1). Убеждаемся в этом проверкой. Следовательно, в данном случае посторонние корни не появились. Не произошла ли при этом потеря корней? Выяснить это значительно труднее. Возможность потери корней не исключена. Покажем это на примере. X 4-1 3

Уравнение — = — (3) имеет два и только два корня: хг = 2, х2 = — 3. (Установить это можно путем приведения уравнения (3) к каноническому виду и решения полученного уравнения по формуле для решения квадратных уравнений.) В этом случае имеет место равенство х + 1=3. Подставляя в уравнение (3) вместо х + 1 его значение, равное 3, получим новое уравнение -у = — (4), имеющее единственное решение х = 2. Корень х2 = — 3 оказался потерянным в результате подстановки.

Подставляя же в уравнение (4) вместо 3 его значение, получим новое уравнение 2 = * ' имеющее два корня х1 = 2, х2 =— 1, или же уравнение *^1 = = —, также имеющее два корня хх = 2, х2 = — 3.

Таким образом, при использовании способа замены возможна как потеря, так и появление посторонних корней.

Способом замены в старших классах приходится пользоваться довольно часто: при решении алгебраических уравнений, некоторых иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических и др.

Для уяснения сущности вопроса введем следующие определения.

Решением совокупности уравнений

Аг = 0, Л2 = 0, Ап = 0 (5)

называется всякая система значений букв, при которой хотя бы одно из равенств (5) оказалось верным, а остальные имели смысл.

Уравнение А =0(6) равносильно совокупности уравнений А 1=0, А2=0, Ап=0у если всякое решение этого уравнения является решением совокупности и, наоборот, всякое решение совокупности является решением уравнения (6) (здесь Л, Аъ Аъ Ап — выражения, содержащие буквы).

Возможность использования на практике способа замены объясняется следующей теоремой.

Теорема 1. Уравнение

а[<р(х)]2 + 6ср (х)+с = 0 (7)

равносильно совокупности уравнений

ср (х) = гц ср (х) = z2, (8)

где гг и z2—корни квадратного уравнения, полученного из (7) путем замены ср (х) на z, а а Ф 0, b и с — данные числа.

Доказательство. Пусть а — корень уравнения (7), то есть а[ф (а)]2 + b ср (а) + с= 0. Это значит, что ср (а) = zlt или ср (а) = z2, так как, по условию, трехчлен az2 + bz + с обращается в нуль только при значениях z, равных zi или z2. Мы доказали, что всякое решение уравнения (7) является решением по крайней мере одного из уравнений совокупности (8). Очевидно также, что при этом значении z второе уравнение совокупности (8) не теряет смысла, так как в противном случае и первое из них не имело бы смысла.

Обратно, пусть ß — корень одного из уравнений совокупности (8), например первого, то есть пусть ср (£) = zv

Но так как по условию zt есть корень трехчлена az2 + + bz + с, то при подстановке вместо z его значения гх% или равного ему числа ср (ß). получим равенство a[<p(ß)l* + + Ь <р (?) + с = 0, обозначающее, что ß является также корнем и уравнения (7). Этим теорема полностью доказана.

В примере (1) <р (je)I = х2 + 2х, а = 1, Ь = —14, с = —15, zi = 15, z2 = —1.

Доказательство этой теоремы лучше всего привести в X классе во время изучения первой темы алгебры и элементарных функций «Тригонометрические теоремы сложения и их следствия» при изучении вопроса «Доказательство тождеств и решение уравнений. Примеры графического решения уравнений (igx=ax + b и др.)».

Действительно, в курсе алгебры и элементарных функций учащиеся познакомились с решением простейших тригонометрических уравнений, и теперь нужно свести тригонометрическое уравнение к алгебраическому относительно тригонометрических функций неизвестного аргумента. Неважно, если в IX классе было решено несколько уравнений такого типа без использования только что доказанной теоремы. В X классе задача учителя состоит в том, чтобы показать, что указанная замена, дающая возможность такого сведения тригонометрического уравнения к алгебраическому (квадратному) уравнению, требует обоснования, так как неясно, все ли корни можно найти названным методом. После этого учащиеся будут уже психологически и логически подготовленными к восприятию сформулированной выше теоремы.

Кроме того, при изучении последнего раздела алгебры и элементарных функций в X классе желательно привести доказательство еще одной теоремы, причем для проведения ее доказательства придется вспомнить доказательство (если оно проводилось раньше) теоремы, устанавливающей, что:

Если произведение двух сомножителей равно нулю, то по крайней мере один из них должен быть равен нулю.

Доказательство. Пусть ab = 0. Предположим, что а ф 0. Разделив обе части исходного равенства на а, полупим b = 0. Требуемое доказано.

Теорема 2. Если левая часть уравнения

f(x) = 0 (9)

разлагается на множители

f(x)4i(*)-h(x)> fn(x), (Ю)

имеющие смысл в области M существования уравнения (9), то уравнение (9) равносильно в M совокупности уравнений, полученных путем приравнивания нулю каждого из сомножителей, содержащих неизвестное

М*) = о, М*) = о, /„W-o. (11)

Доказательство. Пусть а — произвольный корень уравнения (9), то есть /(а) = 0. Тогда на основании (10) имеем:

/Н = Д(а)-/2(а)...../» = 0.

Но так как, по доказанному, из равенства нулю произведения вытекает равенство нулю по крайней мере одного из сомножителей, то имеем fK(x) = 0, где 1 < k < п. Кроме того, по условию, при этом значении х все остальные сомножители имеют смысл. Отсюда непосредственно вытекает, что всякое решение уравнения (9) является решением совокупности (11).

Пусть, обратно, ß— решение совокупности (И). Это значит, что при х = ß один из сомножителей (10) обращается в нуль, а остальные имеют смысл. Но тогда и все произведение равно нулю, то есть /(ß) = 0. Теорема доказана.

При использовании теоремы 2 следует после нахождения всякого решения каждого из уравнений (11) проверять, не теряют ли смысл при этих значениях букв другие уравнения совокупности. Особую осторожность нужно соблюдать при использовании теоремы 2 для решения тригонометрических уравнений, так как учащиеся часто забывают выполнить проверку именно при решении тригонометрических уравнений.

Теоремы 1 и 2, наряду с теоремой Безу, лежат в основе решения простейших типов алгебраических и трансцендентных уравнений, изучаемых в старших классах.

Полное решение уравнения во многих случаях является весьма затруднительным. Поэтому ограничиваемся неполным, частичным решением некоторых уравнений. Простой способ нахождения целых корней алгебраического уравнения на основе теоремы Безу должен быть подробно рассмотрен на примерах.

Целесообразно привести ряд кубических уравнений, имеющих по одному целому корню. Важно, что нахождение этого целого корня дает возможность разыскать и остальные корни уравнения. Такое же значение имеет на-

хождение двух целых корней уравнения 4-й степени, дающее возможность определить и остальные его корни. Рассмотрим один пример такого типа. Решить уравнение:

я3 — Зх2 + 6х — 4 = 0.

Решение. Отыскиваем целый корень уравнения среди делителей свободного члена. Таковым является число Xi = 1. В этом случае многочлен х3 — Зх2 + 6х— 4 делится на X—1. В частном получается х2 — 2х+4. Сокращая уравнение на х—1, получим новое уравнение х2 — 2л: + + 4 = 0, содержащее остальные корни данного уравнения

х2 = 1 + /1Аз7 х2 = 1 — IV зГ

ГЛАВА V

НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ ПОЛНОГО РЕШЕНИЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Показательные и логарифмические уравнения

К числу трансцендентных уравнений, изучаемых в школе, относятся показательные, логарифмические и тригонометрические.

Решение показательных, логарифмических и частично тригонометрических уравнений даже в частных случаях опирается в основном на такие приемы, которые чаще всего приводят к появлению посторонних корней, а иногда и к потере корней. Это вызывает затруднение при изучении данной темы.

Рассмотрим решение показательных и логарифмических уравнений в области действительных чисел, то есть установим способы, дающие возможность находить все действительные корни уравнений.

Вопрос о решении показательных уравнений находится в тесной связи с показательной функцией, и поэтому определение этой функции следует дать такое, чтобы оно способствовало отысканию всех действительных корней показательных уравнений.

В самом деле, если при определении показательной функции у = ах считать допустимыми значениями а только положительные числа, то у учащихся создается впечатление, что отрицательные числа нельзя возводить ни в какую степень. Они воспринимают выражения «не определено» и «не имеет смысла» как синонимы, что неверно. Однако в школе разграничить понятия, выражаемые этими терминами, трудно.

Чтобы избежать противоречий в школьном курсе математики, достаточно несколько изменить определение показательной функции. Оно может быть сформулировано так:

Показательной функцией от независимого переменного X называется выражение ах> где а — данное число, причем если X принимает дробные значения с четными знаменателями, то соответствующие значения корня считаются арифметическими.

Здесь на а не накладывается никаких ограничений, и в зависимости от характера а определяется множество допустимых значений аргумента.

Не следует думать, что сформулированное определение показательной функции обязывает нас заниматься изучением ее свойств при отрицательных значениях а, малоупотребительных на практике.

Достаточно сообщить учащимся, что изучение показательной функции при а^Ои а= 1 не представляет интереса по причине своей простоты, а при отрицательных значениях а изучать свойства этой функции не будем по той причине, что она мало применяется на практике при таких значениях а. К тому же изучение ее свойств в этом случае слишком громоздко прежде всего потому, что не все действительные значения X будут для нее допустимыми. Например, при а <0 выражение ах при х =-|- не имеет смысла (в области действительных чисел), так как a2 = Yа не существует в этой числовой области.

Сформулированное определение показательной функции дает возможность находить все действительные корни показательных уравнений, а не только положительные, как это принято в большинстве методических и учебных пособий.

В учебниках алгебры теория показательных и логарифмических уравнений излагается после прохождения всей темы «Логарифмы». Однако без предварительного знакомства с показательными уравнениями учащиеся не могут решать задачи па нахождение логарифма по числу и основанию. Это необходимо для прочного усвоения темы «Логарифмы».

С решением показательных уравнений желательно познакомить учащихся сразу же после прохождения темы «Показательная функция и ее свойства», как это рекомендуется в книге (Методика преподавания математики» [19].

После прохождения всей темы «Логарифмы» следует решить несколько показательных уравнений способом логарифмирования; среди них должны быть и такие, которые

нельзя решить способом уравнивания оснований, как например № 913, 970 (2) и др. Кроме того, желательно решить несколько уравнений типа №903 (1), 904 (3, 4), где предполагаются элементы исследования.

Следует отметить, что при обосновании способов решения показательных уравнений учащимися допускается логическая ошибка. Суть ее в том, что обычно для обоснования таких уравнений считается достаточным положение: Если основания двух степеней равны, причем основания а ^= 0 и а =^ 1, то показатели степеней равны, то есть если ат = anf то т п

Дело в том, что здесь неизвестно, какое из двух уравнений ат = ап или m = п имеет большее количество корней при условии, что тип — выражения, содержащие неизвестные. Не появятся ли при замене первого уравнения вторым посторонние корни, как это было, например, при решении уравнений, содержащих неизвестное в знаменателе, а также при решении иррациональных уравнений? Если же происходит потеря корней, то такой переход не оправдан, так как он не дает возможности найти потерянные корни.

Эта ошибка может быть исправлена, если указанное положение заменить теоремой:

Уравнение af{x)=a*w равносильно уравнению f(x) = = ср (х) (где f(x) и <р (х) — выражения, содержащие неизвестные), если 0 < а Ф 1.

Доказывается эта теорема так. Пусть х = а корень первого уравнения. Тогда а!^ = а?(а>, откуда Да) = ср(а), так как в противном случае предыдущее равенство невозможно. Обратно, пусть х = ß — корень второго уравнения. Тогда /(ß) =(p(ß)l откуда af® =a*tf>. Требуемое доказано.

Однако эта теорема не может быть применена к уравнениям, содержащим в основании отрицательные числа, а также буквы (параметры и неизвестные). Поэтому ее целесообразно заменить другой теоремой, достаточной для исчерпывающего решения многих показательных уравнений и их систем.

Теорема. Всякое решение уравнения а^х) = а'*{х) является решением уравнения f(x) = ср (х) (где а может быть выражением, содержащим неизвестное), если только а ф 0 иа#±1.

Доказательство. Пусть х = а является корнем первого уравнения. Тогда а'(а> = а?(а), откуда = 1.

Если 0 < а ф 1, то очевидно, что / (а) — ср (а) = 0 и Да) = ср(а)

(свойство монотонности показательной функции). Последнее равенство доказывает теорему для 0 < а Ф 1. Пусть для а < 0 имеем Да) ф ф(а). Тогда из аКа)-*<«) = 1 следует, что /(а) — ф(а) не может быть ни дробным, ни иррациональным числом. Возможны только два случая: /(а)— ф(а) = = 2k или Да) — ф(а) = 2k + 1, где k некоторое целое число. В первом случае будем иметь аКа>-*(а)=(—\a\)2k =а2*^ 1, если а Ф 1. Во втором случае аКа)~?(а> = ( — | а \)2k + 1 ~ = — I a \2h + 1 < 0. Следовательно, при а < 0 также должно быть / (а) — ср (я) = 0 или / (а) = ср(а), что и доказывает теорему.

Из доказанной теоремы следует, что при переходе от уравнения о!^ = а'*(х) к уравнению /(x)=cp(x) могут появляться посторонние корни, что легко установить проверкой.

Например, решая уравнение (—4)2*1 = (—4)5*-2 путем перехода к уравнению 2х2 = Ъх — 2 или 2х2 — 5л: + 2=0, получим два корня: хх = 2, х2 = второй из которых является посторонним, так как при этом значении х обе части уравнения теряют смысл.

Распространенной является и другая ошибка, когда учащиеся используют для обоснования уравнений свойство: Если у равных степеней равны показатели степени (т Ф 0), то равны и основания степеней, то есть если ат = frm^ то а = 6. Во-первых, оно справедливо только для положительных а и Ь. Во-вторых, это свойство, важнее, например, для установления многих свойств радикалов, не имеет к уравнениям (тем более к показательным) никакого отношения, так как неизвестно, какое из них ат = Ь'п или а = b имеет больше корней при условии, что а и b — выражения, содержащие неизвестное. В действительности же здесь возможна как потеря, так и появление посторонних корней в зависимости от значения m и от того, какое уравнение считать первым.

Например, при переходе от уравнения (х — I)2 = 22 к уравнению jc — 1 = 2, имеющему единственный корень X = 3, происходит потеря корня х = —1, удовлетворяющего первому уравнению.

Заметим, что до изучения логарифмов можно научить учащихся решать показательные уравнения различными способами, о которых подробно говорится в книге [19], кроме способа логарифмирования. К нему придется вернуться после изучения всей темы «Логарифмы». Так

как текстовые задачи, как правило, сводятся к показательным уравнениям, решаемым способом логарифмирования, то их решение также следует отнести к концу изучения темы «Логарифмы».

Простейшие из логарифмических уравнений должны решаться в процессе прохождения других вопросов о логарифмах. Таких примеров много в задачнике [15, ч. III. Это задачи № 823 (2), 825, 833 (4), 834 (2, 4), 837 и многие другие, а также более сложные примеры, решаемые способом потенцирования, как например № 917 (1, 4), 919 (3, 4) и др.

Решение большинства логарифмических уравнений, которые имеются в задачниках, может основываться на теореме, которую нужно сообщить учащимся па первом же уроке, посвященном решению логарифмических уравнений (кроме тех, которые решаются параллельно с прохождением других вопросов, связанных с изучением логарифмов).

Теорема. Всякое решение уравнения

logH=logöß (2)

(где Л, В и а — выражения, содержащие неизвестные), является решением уравнения

А = Я, (3)

если а ф О тождественно.

Доказательство. Пусть при некотором значении неизвестного (системы значений неизвестных) уравнение (2) обращается в тождество, то есть пусть loga' А' = loga- В\ где А', В' и а' являются значениями выражений Л, В и а при данном значении неизвестного Тогда из последнего равенства имеем

toga* Л' — log*. В' = О

и

loga' -^7 =0,

так как значения неизвестного, обращающие В (а также и Л и а) в нуль, не являются допустимыми для уравнения

(2)

Из последнего равенства имеем = (а')°, или -gr = 1, откуда А' =ß', то есть всякое решение уравнения (2) является решением уравнения (3), что и требовалось доказать. Можно было бы вместо Л, В и а, как и выше, ввести символы f(x)9 (р(х) и 6(х)

После этого целесообразно привести пример текстовой задачи, приводящей к логарифмическому уравнению. Если

при изучении показательной функции учащиеся рассматривали конкретные примеры зависимости между величинами в виде у = ах, где а — данное число (закон радиоактивного распада, барометрическая формула, движение в сопротивляющейся среде и др.), то решение текстовых задач много времени не отнимает. Такие задачи можно найти в книге «Алгебра для 8—10 классов средней школы» [6], а также в статьях Н. Я. Виленкина и С. И. Шварцбурда [10].

Мы ограничимся наиболее простыми примерами задач такого типа. При этом будем предполагать, что учащимся ранее сообщались формулы зависимости давления от высоты подъема:

р = 760 . 0,8818* (4)

или

lg р = lg 760 + h lg 0,8818. (5)

Задача 1. Определить, на какой высоте находится альпинист, если давление воздуха составляет 380 мм рт ст. (Ответ, h = 5,52 км.)

Задача 2. Высота Казбека равна 5047 м. Определить давление на вершине этой горы, считая давление на уровне моря нормальным. (Ответ, р = 403 мм рт. ст.)

При решении задачи 1 формула (4) дает показательное уравнение:

380 = 760 - 0,8818*

При решении задачи 2 формула (5) представляет собой логарифмическое уравнение, корень которого является ее решением.

Затем решаем логарифмические уравнения способом потенцирования и делаем проверку, выясняя ее цель.

Следующие два урока можно посвятить решению более сложных показательных и логарифмических уравнений, в которых неизвестное входит как в основание, так и в показатель степени, а также систем таких уравнений.

Докажем на втором уроке, посвященном решению логарифмических уравнений, теорему, которая дает возможность находить все действительные решения не более трудным путем, чем нахождение положительных решений, для широкого класса показательных уравнений и их систем.

Теорема. Всякое решение уравнения AM=B,vy не обращающее А (или В) в нуль, является решением уравнения loga I А I м = \oga \B\N (где А, Ву M и N — выражения, содержащие неизвестные), если 0 < а Ф 1.

Доказательство. Действительно, если при каких-либо значениях (системах значений) неизвестных первое уравнение обращается в тождество, то из Ахм* = BtN* (гдеЛь В1у Мх и Nx— значения выражений AyByMuN при данных системах значений неизвестных1) будет следовать I Ai I м* = I Вх I N*t так как по свойству показательной функции ах > 0 при а > 0 для всех значений ху числа | Ах | м« и Ißil^1 можно рассматривать как абсолютные величины чисел AiM* и ß^, а равные числа не могут иметь разных абсолютных величин. Из последнего же равенства вытекает l°ga 1^! Iм* = loga I Bt \N*. Требуемое доказано.

Покажем, что, применяя эту теорему, мы можем решать показательные и логарифмические уравнения полностью, то есть находить не только положительные, но и отрицательные решения. Рассмотрим несколько примеров.

№920 (1). Решить уравнение: хх = х.

Решение. Так как х = 0 не является допустимым значением неизвестного ху то по только что сформулированной теореме утверждаем, что всякое решение данного уравнения будет являться также и решением уравнения X lg| х\ = lg|х\. Сократим полученное уравнение (то есть разделим обе части его) на lg|x| и приравняем этот множитель нулю, чтобы найти потерянные от этого корни. Будем иметь: 1)х = 1 и 2) lg|х\ = 0, откуда х = ± 1.

Проверкой убеждаемся, что среди найденных корней нет посторонних. Потерянных корней по доказанной теореме нет.

№ 921 (3). Решить уравнение:

0,1 . *1**-2= ЮО.

Решение. Имеем: х lß*-2 = 1000. Так как отрицательные значения х не являются допустимыми, то при логарифмировании нет нужды брать абсолютные величины логарифмируемых чисел:

1 Весьма удобно вместо Л, В, M и N употреблять применявшуюся выше символику /(*), <p(x), g(x) и \(х). Тогда при х = m их значения будут равны /(m), <f(m), g(m) и Цт)у если уравнение содержит одно неизвестное.

(lg* — 2) lgx = 3,

откуда

lg2* — 21gx — 3 = 0; lg*i = 3, lgx2 = — 1 и xx = 1000, x2 = 0,1. Проверкой убеждаемся, что среди найденных корней нет посторонних. Очевидно, что потерянных корней нет. № 925 (3). Решить систему уравнений:

Решение. Так как х = 0, у = 0 не являются допустимыми значениями неизвестных, то по сформулированной теореме все решения данной системы будут являться решениями системы:

Подставляя вместо \g\y\ его значение во второе уравнение, находим у lg \х\ = 41g \х\. Сокращая на lg|x| и приравнивая этот множитель нулю, получим у = 4 (1) и lg W = 0(2).

Подставляя найденное значение у в первое уравнение системы, будем иметь: а) х2 — 4, откуда хх 2 = ± 2; б) х~2 = 4, откуда

Из уравнения (2) находим * = ± 1. Подставляя значение д: = 1 в первое уравнение системы, найдем соответствующее значение у=1. Значение х = —1 не удовлетворяет первому уравнению системы. Таким образом, получили хъ = = 1, уь = 1. Проверкой убеждаемся, что посторонних решений нет, если условиться считать операцию извлечения корня четной степени из положительного числа двузначной.

Наряду с решением уравнений с числовыми коэффициентами следует решить несколько уравнений с параметрами. Приведем решение двух примеров.

№ 903 (1). Решить уравнение:

VIF** = V!s=z- (6)

Решение. Сразу замечаем, что если понимать только арифметическое значение корня четной степени, то при а<0 уравнение решений не имеет. Действительно, чтобы левая часть уравнения являлась определенным числом, необходимо, чтобы показатель степени подкоренного выражения был целым числом вида х + 1 = 2/?, откуда

x = 2k—1, где k — произвольное целое число. Но тогда показатель подкоренного выражения правой части будет числом вида л — 2 = 2&—1—2 = 2 (k—1) — 1. Так как левая часть уравнения в этом случае будет числом положительным, а правая отрицательным, то ясно, что ни при каких значениях х при а< 0 равенство невозможно. Если же операцию извлечения корня четной степени из положительного числа считать двузначной, то при а = —1 уравнение (6) будет иметь своим решением любое число вида х = 2k— 1, где k — целое число, так как при таких значениях х уравнение (6) обращается в тождество —1 =—1. (Для этого достаточно взять отрицательное значение корня четной степени из положительного числа.) При а = \ или а = 0 уравнение (6) обращается в тождество и его решениями будут являться любые допустимые значения х. При а = 1 допустимыми значениями х будут все действительные числа, а при а = 0 только те из них, при которых показатели подкоренных выражений уравнения (6) положительны, то есть числа, большие 2, так как 0~~т, где m > 0, обращается в выражение ~г, лишенное смысла. Если же афО и а ф 1, то все корни уравнения (6) или а 4 =а 3 содержатся на основании доказанной теоремы среди корней уравнения:

или

Но последнее уравнение имеет единственный корень х= 11. Проверкой убеждаемся, что он не посторонний и для уравнения (6), если а > 0.

№ 970 (1). Решить систему уравнений:

Решение. Так как система не имеет решений, обращающих левую и правую части каждого уравнения системы в нуль, то все ее решения по доказанной теореме содержатся среди решений системы:

Найдем из первого уравнения lg \у\ и подставим его значение во второе. Будем иметь lg | у | = -~ lg jjcj и р lg \х\ = ~rlgl*l- Сократив на lg|*| и приравняв этот множитель нулю, получим:

" = f (7)

lg|*l=0. (8)

Из уравнения (7) находим у = если q фО. Подставим это значение во второе уравнение системы, будем иметь

хр = хя> откуда x = (~)Р~~Я у если р Ф q и -у >0.

Подставляя в формулу для у вместо х его значение, получим у = \д) при тех же ограничениях параметров.

Если — < 0, то выражения для х и у будут иметь вполне определенные числовые значения только в том случае, когда выражения p*Lq и p — q ^ будут являться целыми числами, то есть

где m и /г — целые числа разных знаков, так как знаки р и q различны (в противном случае ~- было бы положительно).

Из первого уравнения (9) находим р = т ^ . Подставляя это значение р во второе уравнение совокупности (7), получим после упрощений соотношение m = п + 1. Но это невозможно, так как два последовательных целых числа m и п не могут оказаться разных знаков.

Если 9 = 0, то из уравнения (7) будем иметь и р = 0. Получилось, таким образом, что р = q = 0. А это и есть частный случай условия р = q. Рассмотрим его подробнее. Данная система в этом случае запишется в виде:

Очевидно, что в этом случае решением будет являться любая пара равных между собой чисел, причем если р= q — число нецелое, то х = у должны быть положительны.

Из уравнения (8) имеем х= ± 1. Из второго уравнения системы также получается у= + 1. Из первого уравнения системы заключаем, что знаки х и у не могут быть разными. Таким образом, дс=» 1, г/ = 1 при любых р и с; х = — 1, у = — 1, если р и с — целые числа одинаковой четности.

Ответ. хх = 1, ух = 1 при любых р и #2 = (—У я при целых р и q, если р ф q и — > 0; х3 = — 1, (/з = — 1 при целых р и q одинаковой четности; любая пара равных между собой чисел, если р = q, причем эти числа должны быть положительны, если р = q — нецелое число.

При решении рассмотренной системы в классе целесообразно считать числа р и q целыми по условию. Исчерпывающее решение может быть дано на занятиях математического кружка.

Последний урок данной темы посвящается графическому способу решения уравнений вида ах = kx + bt \gx = kx + + b и т. д. На этом вопросе подробно останавливаться не будем, так как он изложен в книгах [6], [7].

Для прохождения всей темы «Показательные и логарифмические уравнения» в указанном объеме потребуется примерно шесть уроков, не считая времени, затраченного на решение показательных и логарифмических уравнений в процессе изучения темы «Логарифмы».

2. Тригонометрические уравнения

С необходимостью решать тригонометрические уравнения учащиеся встречаются впервые в VIII классе, когда им приходится находить (построением и по таблицам) значение угла, соответствующего данному значению тригонометрической функции. Однако решение уравнений дается неполное. Из всех корней разыскивается только наименьший положительный. Очень важно, чтобы учащиеся научились находить его быстро и безошибочно, так как в про-

тивном случае это явится препятствием для полного решения тригонометрических уравнений.

Особое внимание следует уделить решению (полному) простейших тригонометрических уравнений. Пробелы в знаниях учащихся по этому вопросу порой делают бесполезной всю дальнейшую работу по теме: часто учащиеся уверенно сводят сложные тригонометрические уравнения к совокупности простейших, однако ответа получить не могут, так как не обладают навыком решения простейших уравнений.

Поэтому следует с особой тщательностью рассмотреть простейшие тригонометрические уравнения сначала вида sin X = m, cos X = m, tg x = m и ctg x = m, a затем и вида sin ср (x) = m, cos ср (x) = m, tg cp (x) = m и ctg ср (x) = m, где ср (x) — линейная, или, в крайнем случае, квадратная функция.

Основой успешного усвоения способов решения тригонометрических уравнений является сознательное и глубокое понимание вопроса об общем выражении тех значений аргумента, которым соответствует данное значение тригонометрических функций. Очень важно, чтобы к началу изучения тригонометрических уравнений учащиеся освоились с понятием «главного значения аргумента», соответствующего данному значению тригонометрических функций, а также с символами arc sin a, arc cos а, arctga и arc ctg а. Для усвоения указанной символики должно быть решено достаточное количество задач, которые имеются в книге [28, § 7].

Материал об общем выражении значений аргумента, соответствущего данному значению тригонометрической функции, может быть изложен в такой последовательности.

1. Задача. Найти все решения уравнения:

sin x = а; — 1 < а < 1. (1)

Решение. При решении рассмотрим два случая.

1) Пусть а > 0. Построим угол, соответствующий данному значению синуса. Из предыдущего известно, что в пределах одной окружности таких углов будет два, один из которых, а именно тот, который лежит в первой четверти, мы назвали главным и обозначили символом arc sin а.

Из свойств периодичности тригонометрических функций известно, что если значение угла х удовлетворяет урав-

нению (1), то ему будет удовлетворять и любое другое значение, отличающееся от х на целое число периодов. Отсюда ясно, что уравнению (1) удовлетворяют две серии углов:

хг = arc sin а + 2 Ы\ х2 = п — arc sin а+2£тг, (2)

так как Z BßCx = Z ВОС = arc sin а (по абсолютной величине), откуда Z BßC =■ к — arc sin а (черт. 14).

Вторую из формул (2) лучше записать в таком виде:

х2 = — arc sin а + (2k + 1) тс. (3)

Теперь ясно, что обе формулы для хх и х2 удобно записать в такой эквивалентной форме:

X = arc sin а • (—l)m + тгт. (4)

Учащиеся убеждаются в эквивалентности полученной формулы с двумя формулами (2), давая целому числу m произвольные (целые) значения. При всяком четном m получаются те же значения х, что и по первой формуле (2). При всяком нечетном m значения х совпадают со значениями, вычисленными по второй формуле (2), записанной в форме (3).

Легко сообразить, что никакое иное значение х, отличное от тех, которые вычисляются по формулам (2), не могут удовлетворять уравнению (1). Действительно, пусть некоторое число х8> отличное от тех, которые могут быть вычислены по формуле (4), а следовательно, и по формулам (2), является решением уравнения (1). Если х3 > 2тг, то, вычитая надлежащее число раз период, получим число х\ < 2тс, удовлетворяющее уравнению (1). Из чертежа 14 видно, что при значениях * = #'3sin Х3 не может быть равным а (это можно установить и аналитически, так как на каждом из участков от --^- до -у- и от до -g" Функция sin л: монотонна и поэтому не может иметь в пределах одной окружности более двух значений, равных а).

2) Пусть а<0. В этом случае главное значение угла определяется формулой —arc sin | а | . В пределах одной окружности будем, как и раньше, иметь два значения угла, удовлетворяющие уравнению (1):

хх = — arc sin I а | + 2k те,

Черт. 14. Черт. 15.

х2 = тг + arc sin I а \ + 2k тг = arc sin | а \ + (2k + 1) тс, (5)

так как Z В'ОС = Z ВОС = Z ВхОСх= arc sin j а | (по абсолютной величине). Это следует из равенства треугольников OBCt OB'С и OfîiQ по гипотенузе и катету (черт. 15).

Так же, как и в случае (1), обе формулы (5) равносильны одной формуле:

x = — arc sin I а I • ( — l)m + тс m. (6)

Как и в предыдущем случае, устанавливаем, что уравнению (1) не удовлетворяют никакие другие значения х, кроме тех, которые могут быть вычислены по формуле (6),

Попутно с решением уравнения (1) мы доказали теорему.

Теорема 1. Уравнение sin х = а равносильно уравнению jc=arcsina • (—1)"Ч-тс m, если 0<a< 1, и уравнению x —— arc sin I а | • (—1)т + тст, если —1 <а < О (т — произвольное целое число).

Значения arc sin а или aresin \а\ определяются обычно по таблицам.

Такая формулировка теоремы удобна для практического применения при решении тригонометрических уравнений, сводящихся к алгебраическим относительно sin х.

Аналогичные рассуждения проводятся и при решении уравнения:

cos x = й\ — 1<а<1. (7)

Рассматриваем два случая.

Если 0 < а < 1, то все решения уравнения (7) и только они определяются по формуле х « ± arc cos а + 2кк, где k — произвольное целое число.

Если —1 < а <0, то все решения уравнения (7) и только они определяются по формуле х = тс ± arc cos \а\ + + 2&1Г, где k— произвольное целое число.

Результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 2. Уравнение cosx = а равносильно уравнению X = ± arc cos а + 2k~, если 0 < а < I, и уравнению X = к ± arc cos \а\ + 2&тг, если —1 < а < О (k может принимать любые целые значения).

Если учащимся известна только одна формула общего вида углов, имеющих данное значение косинуса, то они часто затрудняются дать ответ в том случае, когда правая часть уравнения (7) отрицательна. Если же учащиеся усвоят формулировку теоремы 2, то они легко справятся с решением уравнений вида (7) при любом а.

При |а| > 1 уравнения (1) и (7) решений не имеют.

Решая уравнение tg х = а, попутно получаем доказательство теоремы, лежащей в основе решения уравнений соответствующего типа.

Теорема 3. Уравнение tgx = а равносильно уравнению X = arc tg а + &г, если а > 0, и уравнению х = = —arc tg|a| + Ыу если а < 0 (k может принимать произвольные целые значения).

Решая уравнение ctg х = а, получаем доказательство следующей теоремы.

Теорема 4. Уравнение ctg* = а равносильно уравнению X = агс ctg а + кк, если а > 0, и уравнению х = = тс— arc ctg|a| + for, если а < 0 (k может принимать произвольные целые значения).

После установления перечисленных теорем и усвоения учащимися приемов решения простейших тригонометрических уравнений следует перейти к решению тригонометрических уравнений вида sincp (х) = a, coscp (х) = а и т. д., где ф(х) — линейная или, в крайнем случае, квадратная функция. Решение таких уравнений основывается на только что установленных теоремах, а также основных свойствах уравнений (теоремах о равносильности), доказанных в VII классе.

Решить уравнение: ctg (За: + 1) = |/~3\

Решение. По теореме 4 находим, что данное урав-

нение равносильно уравнению Зх + I — arc ctg Y 3 + кк, или Зх +1 = — + kit. Из последнего находим:

Так как все написанные уравнения равносильны между собой, то полученная формула является, по существу, решением исходного уравнения. Проверка решения в этом случае не является этапом решения и может быть выполнена с целью устранения возможной вычислительной ошибки.

В IX классе не следует решать сложных тригонометрических уравнений. Вполне достаточно, если учащиеся научатся сознательно решать простейшие тригонометрические уравнения, уравнения типа cosy (х) = а, где ф(х) — линейная или, в крайнем случае, квадратная функция, а также такие уравнения, которые путем применения основных тригонометрических формул сводятся по теореме о замене к алгебраическим уравнениям первой и второй степени.

Следует указать, что если при решении простейших тригонометрических уравнений правая часть принимает значения 0 или ±1, то решения их принимают более простой вид. Например, решение уравнения sin л: = 1 можно записать в виде формулы х = + 2 &тг, так как обе формулы (2) в этом случае дают одно и то же значение, определяемое только что установленной формулой. Решение уравнения cos х = 1 определяется формулой х = 2^ит. д.

В X классе можно рассматривать и более трудные примеры, хотя не следует злоупотреблять решением громоздких уравнений, требующих большой затраты времени.

При решении показательных и логарифмических уравнений мы часто применяли неравносильные преобразования, ведущие к появлению посторонних корней, и такие способы решения считали вполне удовлетворительными. Это объясняется тем, что при решении алгебраических, а также показательных и логарифмических уравнений проверка корней трудностей не представляет. Проверка же решений тригонометрических уравнений является более трудной задачей, так как обычно тригонометрическое уравнение имеет бесчисленное множество решений, определяемое иногда рядом формул. В связи с этим ясно, что по возможности при решении тригонометрических уравнений нужно избегать не

только преобразований, ведущих к потере корней, но и преобразований, ведущих к появлению посторонних корней. Наиболее целесообразны равносильные преобразования.

На способах решения различных типов тригонометрических уравнений останавливаться не будем, так как в методической литературе этот вопрос освещен достаточно подробно1.

В школьные задачники включены также и такие уравнения, которые содержат неизвестное под знаком обратной тригонометрической функции.

Решение их основывается на следующих теоремах.

Теорема 5. Всякое решение уравнения / (х) = ф (х) является решением уравнения sin /(л:) =sincp(*).

Доказательство. Пусть х = ос является решением первого из данных уравнений, то есть пусть при этом значении X оно обращается в тождество /(а) = ср(а). Равные числа не могут иметь разных синусов ввиду монотонности функции у = sin X на каждом из участков + п тг < х <

<;-|-+ (п + 1) тс при любом целом п. Отсюда следует равенство sin/(а) = sincp(a), доказывающее теорему.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно. Не всякое решение второго из данных в условии теоремы 5 уравнения является решением первого, так как равные синусы могут быть и для неравных значений аргумента. Например, из равенства sin = sin не следует, что =

= Это значит, что те значения х, при которых, например, /(x)=-g-, а ф(*)=-£-> являются корнями второго из рассматриваемых уравнений, но не являются корнями первого из них.

Теорема 6. Всякое решение уравнения /(jc) = ф(х) является решением уравнения cos f{x) = cos ф (х).

Теорема 7. Всякое решение уравнения Дх)=ф(л;), отличное от чисел вида —f-77 при целых значениях é, является решением уравнения tg[{x) = tgф(л;).

Теорема 8. Всякое решение уравнения / (х) = ф (х), отличное от чисел вида при любых целых значениях k, является решением уравнения ctg/(x) =^ф (х).

1 См., например, книги [1, гл. IX], [19, ч. II] и многие другие.

Доказательство теорем 6—8 аналогично доказательству теоремы 5.

Надо иметь в виду, что при применении этих теорем возможно появление посторонних корней, которые отделяются от корней данного уравнения проверкой. Она в этом случае является обязательным этапом решения. При использовании теорем 5—6 потеря корней невозможна.

Применяя же теоремы 7—8, мы должны ожидать не только появления посторонних корней, но и их потери. Однако в случае использования теоремы 7 теряться могут только корни вида —^—тс, а в случае же использования теоремы 8 — корни вида &тг.

Возможен даже такой случай, когда все корни исходного уравнения f{x) = <ç{x) теряются, а полученное уравнение tg f{x) = tgq> (jc), или же ctg / (jc) = ctgcp (x) содержит только такие корни, которые к исходному уравнению никакого отношения не имеют.

Из сказанного следует, что, прежде чем применить теорему 7, необходимо убедиться в том, что ни одно из чисел вида —^—к не является корнем исходного уравнения. Если такие числа найдутся, их нужно записать в ответ и перейти к отысканию остальных корней, применяя эту теорему. После проверки полученных корней по исходному уравнению запись полного ответа затруднений не вызовет.

Аналогичным путем поступают и при использовании теоремы 8.

Таким образом, каждая из теорем 5—8 дает возможность полного решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение:

arc tg(l + x) + arc tg(l — x) = -j-.

Решение. Возьмем тангенсы от обеих частей уравнения. Получим:

tg lare tg(l +х) + arc tg (1 — x)) = 1.

Применяя формулу тангенса суммы двух аргументов, будем иметь:

откуда X = ± YY.

Так как ни при каком значении х правая часть уравнения не может иметь значении вида —^— тс, то ясно, что проверку следует провести только по выяснению посторонних корней. Проверка.

Очевидно, что второе значение х также не является посторонним, так как arctg(l —У 2) +arctg(l +[/2)^

Промежуточное выражение аргумента в градусах является излишним, если воспользоваться таблицей XII «Четырехзначных математических таблиц» [8].

На занятиях математического кружка старших классов могут быть сформулированы и доказаны теоремы о равносильности уравнений, аналогичные следующей.

Теорема 9. Если функции }(х) и ф(л:) при любых допустимых значениях х удовлетворяют неравенствам

(2k- < f{x) < (2k + 1) (2k- 1)-^- «p(x)<(2k+ 1) -у-

при одном и том же целом значении k, то уравнения f(x) = cp(jc) и sin f(x) = sin ф(х) равносильны.

Доказательство. При доказательстве теоремы 5 мы установили, что всякое решение первого уравнения является решением второго. Остается доказать, что всякое решение второго уравнения является решением первого. Действительно, пусть второе уравнение удовлетворяется значением

x = а, то есть пусть sin Да) = sin ф(а). Если бы при этом f(i) Ф =£ф(а), то и синусы этих чисел не могли бы оказаться равными в силу монотонности синуса на каждом из отрезков (2k—l)^-(2k + которым принадлежат Да) и <р(а).

Теорема доказана.

Аналогично доказываются также и следующие теоремы.

Теорема 10. Если функции f(x) и <р(х) при любых допустимых значениях х удовлетворяют неравенствам Ы < Да:) < (k + 1)тг, Ы < 4>(x)<(k + 1)тт при одном и том же целом значении k, то уравнения

/М = *(*)

и

cos/(x) = COScp(jt)

равносильны.

Теорема 11. Если функции f(x) и ф(х) при любых допустимых значениях х удовлетворяют неравенствам

(2k- l)-f < f(x) < (2k + 1) (2ft- l)^-«p(*)<(2/H+ 1) -g-

при одном и том же целом значении k> то уравнения

m=<р(*)

и

tg/(*)=tg<p(x)

равносильны.

Теорема 12. Если функции f(x) и у(х) при любых допустимых значениях х удовлетворяют неравенствам Ы < f(x) < (k + 1)тг, Лтг < ср(х) < (k + 1)тг при одном и том же целом значении k, то уравнения

/(*) = ?(*)

и

ctg/(x) = ctg<p(x)

равносильны.

Рассмотрим пример на применение сформулированных теорем.

Решить уравнение: arc cos (л: — 1) = 2 arc cos*. (8)

Решение. Прежде всего установим область допустимых значений для х. С одной стороны, имеем— 1 < х —

— 1 < 1. С другой — 1 < x < 1. Следовательно, 0 < х < 1.

Для каждого х из области допустимых значений выполняются неравенства:

О < arc cos (je — 1) < щ (9)

О < arc cos je < ~\

0 < 2 arccos x < ir. (10)

В силу неравенств (9) и (10) можно применить теорему 7, полагая k = 0. Получим из (8) уравнение

cos [arc cos (х — 1)1 = cos [2arc cos x],

равносильное уравнению (8). Далее:

x — 1 = cos2 (arc cos x) — sin2 (arc cos *); (11)

x— 1 = x2— 1 +jc2,

так как из arc cos x = а вытекает:

cos a = x, cos2 a = x2, sin2pt = 1 — cos2a = 1 —x2.

Решим теперь уравнение (11). Имеем:

2х2 — х = 0, х{2х— 1) =0, ■^î — 0; x 2 = ~2~-

Ответ. Корнями исходного уравнения являются числа хх = 0, х2 =

Заметим, что использование теорем 9—12 освобождает от необходимости выполнять проверку. Несмотря на это, на практике они применяются реже, чем теоремы 5—8, так как последние также дают возможность полного решения уравнений рассматриваемого вида. Поэтому теоремы 9—12 заучивать не стоит. Они интересны как задачи на доказательство для внеклассной работы.

Литература

1. Андронов И. К. и Окунев А. К. Основной курс тригонометрии. М„ Учпедгиз, 1960.

2. Барсуков А. Н. Алгебра. Учебник для VI — VII классов. Под ред. С. И. Новоселова. М., Учпедгиз, 1961.

3. Барсуков А. Н. Уравнения первой степени в средней школе. М., Учпедгиз, 1952.

4. Бондарев А. Л. Общее учение об уравнениях в средней школе. Краснодар, «Советская Кубань», 1958.

5. Бронштейн С. С. Алгебра и ее преподавание в семилетней школе. М., Учпедгиз, 1946.

6. Брадис В. М., Истомина И. С, Маркушевич А. И., СикорскийК. П. Алгебра для VIII — X классов средней школы, изд. 2-е. М., Учпедгиз, 1960.

7. Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней школе. М., Учпедгиз, 1954.

8. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы, изд. 32-е. М., Учпедгиз, 1961.

9. Буданцев П. А. и Щипакин Г. М. Квадратные и иррациональные уравнения. М., Учпедгиз, 1956.

10. Виленкии Н. Я. и Шварцбурд С. И. О некоторых приложениях показательной и логарифмической функций. «Математика в школе», 1959, № 5.

11. Гибш И. А. Исследование решений задач с параметрическими данными. М., Изд-во АПН РСФСР, 1952.

12. Давыдов У. С. Задачи на исследование уравнений, изд. 2-е, Минск, Учпедгиз БССР, 1962.

13. Денисова Т. Н., Георгиевская В. Р. Планы уроков по алгебре в VII классе. М„ Учпедгиз, 1956.

14. Иванов И. И. Об исследовании задач на составление уравнений в курсе алгебры VIII класса. Сб. статей «Из опыта преподавания алгебры в средней школе». М., Учпедгиз, 1958.

15. Ларичев П. А. Сборник задач по алгебре, ч. I, ч. II. М., Учпедгиз, 1962.

16. Киселев А. П. Алгебра, ч. I, ч. II. М., Учпедгиз, 1953.

17. Кочетков Е. С, Кочеткова Е. С. Алгебра и элементарные функции, ч. I, ч. II, М. «Просвещение», 1966.

18. Лобачевский Н. И. Полное собрание сочинений, т. 4., М.—Л., Гостехиздат, 1949.

19. Ляпин Е. С. (ред.). Методика преподавания математики, ч. 1, ч. 2. Л., Учпедгиз, 1955—1956.

20. Маркушевич А. И. Деление с остатком в арифметике и в алгебре. М., Изд-во АПН РСФСР, 1949.

21. Новоселов С. И. Специальный курс элементарной алгебры. М., «Советская наука, 1956.

22. Новоселов С. И. О понятиях уравнения и тождества. «Математика в школе», 1954, № 1.

23. Онищенко М. Н. Эквивалентность уравнений, их решение и исследование. Горький, Книжное изд-во, 1959.

24. Петров В. П. Об определении равенства, тождества и уравнения в VI—VII классах средней школы. Сб. «Из опыта работы учителей математики». Под ред. И. А. Гибша. М., Изд-во АПН РСФСР, 1959.

25. Полякова Т. Н. Замечания о работе П. А. Буданцева и Г. М. Щипакина «Квадратные и иррациональные уравнения». «.Математика в школе», 1957, № 4.

26 Сб. «Из опыта работы учителей математики. Алгебра. Тригонометрия». Под ред. И. А. Гибша, М.. Изд-во АПН РСФСР, 1959.

27. Столяр А. А. Логические проблемы преподавания математики. «Высшая школа», Минск, 1965.

28. Стратилатов П. В. Сборник задач по тригонометрии. М., Учпедгиз, 1957.

29. Туманов С. И. Элементарная алгебра. М., Учпедгиз, 1960.

30. Чистяков В. Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. Минск, Учпедгиз БССР, 1959.

31. Чистяков В. Д. Сборник старинных задач по элементарной математике с историческими экскурсами и подробными решениями. Минск, Изд-во Министерства высшего, среднего специального и профессионального образования БССР, 1962.

32. Шапошников Н. А. и Вальцов Н. К. Сборник алгебраических задач, ч. 2. М.—Л., Учпедгиз, 1950.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Предисловие........................ 3

ГЛАВА I. Применение алгебраического метода к решению арифметических задач

1 Пропедевтический курс уравнений............. б

2. О применении алгебраического метода решения арифметических задач ............ ........... 13

ГЛАВА II. Уравнения первой степени с одним неизвестным

1. Начало систематического курса уравнений......... 19

2. Исследование уравнений первой степени с одним неизвестным 58

ГЛАВА III. Способы решения систем уравнений, основанные на свойстве транзитивности равенств

1. Первоначальные сведения о системах уравнений...... 68

2. Исследование систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными ...................... 79

ГЛАВА IV. Изучение квадратных уравнений и уравнений, приводимых к квадратным

1. Квадратные уравнения.................. 89

2. Исследование квадратного уравнения........... 106

3. Иррациональные уравнения............... . 112

4. Другие виды уравнений, приводящиеся к квадратным ... 120

ГЛАВА V. Некоторые приемы полного решения трансцендентных уравнений

1. Показательные и логарифмические уравнения....... 126

2. Тригонометрические уравнения.............. 136

Литература..................... 147

Бекаревич А. H.

Уравнения в школьном курсе математики. Минск, «Нар. асвета», 1968.

152 с. с илл. 47 000 экз. 21 к.

В пособии рассмотрены наиболее важные вопросы методики преподавания уравнений в средней школе.

Особое внимание автор обращает на научность их изложения, дает обоснование способов решения уравнений и их систем, начиная линейными и кончая тригонометрическими.

Книга предназначена для учителей математики.

С-6

112-68 м

512 (07) Б 42

Алексей Никифорович Бекаревич

Уравнения в школьном курсе математики

Издательство «Народная асвета» Государственного комитета Совета Министров БССР по печати, Минск, Ленинский проспект, 83а.

Редактор З. В. Старинская Обложка художника А. И. Евменова Технический редактор В. Н. Жук Корректор Л. С. Калиновская

Сдано в набор 29/ХП 1967 г.

Подписано к печати 8/Х 1968 г. Формат 84X!08Vs2. Физ. печ. л. 4,75. Усл. печ. л. 7,98. Уч.-изд. л. 7,63. Тираж 47 ООО экз. Заказ 861. Цена 21 коп.

Полиграфкомбинат им. Я. Коласа Государственного комитета Совета Министров БССР по печати, Минск, Красная, 23.