А. К. АРТЕМОВ

СТЕПЕНИ И КОРНИ

УЧПЕДГИЗ-1959

А. К. АРТЁМОВ

СТЕПЕНИ И КОРНИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Москва 1959

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА.

В работе А. К. Артемова «Степени и корни» даются некоторые методические установки к изучению одной из сложных тем школьного курса алгебры.

При составлении настоящего пособия использован личный опыт работы автора, а также опыт работы заслуженной учительницы школы РСФСР А. Н. Московченко.

Все отзывы и пожелания просьба направлять по адресу: Москва, И-18, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, редакция математики.

ВВЕДЕНИЕ.

Тема «Степени и корни» является одной из трудных в программе по математике: в этой теме разбираются вопросы, имеющие принципиально важное значение для математики.

Можно выделить две основные руководящие идеи, объединяющие всю тему «Степени и корни»: 1) расширение понятия числа (к рациональным числам добавляются числа иррациональные); 2) расширение понятия степени. В связи с этим перед учителем возникает один из труднейших методических вопросов: как на практике реализовать эти идеи?

Не менее важное значение имеют вопросы политехнической подготовки учащихся: работа с таблицами, с графиками, элементы приближенных вычислений и др.

По теме «Степени и корни» имеются отдельные журнальные статьи и методические указания. Однако эти материалы в основном посвящаются разрозненным вопросам темы. В настоящей работе сделана попытка в едином плане осветить узловые вопросы методики изложения данной темы.

Пособие составлено применительно к ныне действующей программе по математике для средней школы и адресуется прежде всего начинающим учителям. В самом начале пособия дается поурочная разбивка темы, в дальнейшем описывается методика изложения материала на отдельных уроках, а также основные вопросы методики изложения отдельных подтем, охватывающих несколько уроков (например, степень с рациональным показателем и др.). В последнем случае предлагается самому учителю наметить содержание и методику изложения применительно к конкретному уроку.

При использовании пособия необходимо иметь в виду следующее:

1) Поурочная разбивка темы является ориентировочной. В зависимости от сложившихся условий учитель может сам определить конкретное содержание каждого урока.

В эту разбивку не включены часы (2—3 часа), обычно отводимые учителем на общее знакомство с классом и на повторение наиболее важных вопросов математики, изученных в предшествующих классах (чтение графиков и др.).

2) Описываемая методика изложения не является единственно возможной.

3) Значительно раньше, чем это предусмотрено программой, вводится понятие степени с дробными показателями, которые используются при действиях с радикалами.

В объяснительной записке к программе сказано, что в теме «Степени и корни» сосредоточено все учение о степенях с рациональными (целыми положительными, нулевыми, целыми отрицательными и дробными) показателями.

«При этом действия над степенями с дробными положительными показателями рассматриваются совместно с действиями над радикалами не только в целях упрощения изложения, но и для того, чтобы замену радикалов степенями с дробными показателями внедрить в практику при выполнении учащимися преобразований радикалов и действий над ними, особенно при умножении, делении и возведении в степень»1).

Однако если строго следовать порядку изложения, определяемого программой, то остается слишком мало времени, чтобы замену радикалов степенями с дробными показателями внедрить в практику учащихся, и теряются некоторые возможности для упрощения изложения. Кроме того, изучение радикалов в таком случае представляется учащимся оторванным от степеней с дробными показателями, а различные предложения о радикалах представляются разрозненными. Эти недостатки можно устранить, если изучение степеней с дробными показателями предпослать изучению действий с радикалами. При этом учение о степенях с рациональными показателями приобретает большую стройность и целостность, а все предложения о радикалах охватываются единой руководящей идеей. Такой порядок изложения предлагается в проб-

1) «Программа средней школы на 1958/59 учебный год. Математика», Учпедгиз, 1957, стр. 15.

ном учебнике алгебры под ред. проф. А. И. Маркушевича1).

В настоящем пособии изложение материала о степенях с дробными показателями (и в некоторых других случаях) проводится на частных примерах и в общем виде. В зависимости от состава класса учитель может выбрать ту или иную форму изложения. Практика показывает, что изложение учения о степенях с дробными показателями на основе разбора частных примеров не вызывает серьезных затруднений со стороны учащихся.

4) Учение об арифметическом корне рассматривается несколько шире, чем предусмотрено стабильным учебником. Объясняется это тем, что в стабильном задачнике алгебры имеются примеры, которые невозможно решить, если не знать соотношение Уа2 = \ а \.

Кроме того, такое изучение понятия арифметического корня дает возможность в простейших случаях рассматривать тождественные преобразования иррациональных выражений с функциональной точки зрения.

В настоящем пособии упражнения даны по «Сборнику задач по алгебре», ч. II, П. А. Ларичева, Учпедгиз, 1958. В тексте для краткости задачник указывается буквой Л.

1) В. М. Брадис, Н. С. Истомина, А. И. Маркушевич, К. П. Сикорский, Алгебра. Учебник для VIII—X классов средней школы, Учпедгиз, 1957.

ПОУРОЧНЫЙ ПЛАН РАБОТЫ.

№ урока

Тема урока

Возведение чисел в квадрат.

1

2

Понятие о возведении чисел в квадрат. Возведение в квадрат целых и дробных чисел.

Нахождение квадратов чисел по таблице и по графику у = X2.

Точное извлечение квадратного корня.

3

4

Понятие об извлечении квадратного корня. Извлечение квадратного корня из целого числа а, когда 100 <а< 10 000.

Извлечение квадратного корня из целого числа, большего 10 000.

5

6

7

8

Нахождение приближенного значения квадратного корня.

Приближенное значение корня с точностью до 1 и 0,1.

Приближенное значение корня с точностью до —.

Округление результата с недостатком и с избытком с заданной степенью точности.

Упражнения на извлечение квадратного корня с заданной степенью точности. Извлечение квадратного корня из обыкновенной дроби.

Нахождение квадратного корня по таблице и по графику y = Yx-

Продолжение

№ урока

Тема урока

9

10

Контрольная работа.

Решение уравнений вида ах2 = с.

11

12

13

14

15

16

17

Действительные числа.

Выполнение подготовительных упражнений.

Изображение чисел десятичными дробями. Теорема: «Не существует рационального числа, квадрат которого равен двум».

Понятие об иррациональном числе.

Понятие о действительных числах. Изображение действительных чисел на числовой оси.

Сравнение действительных чисел.

Сложение действительных чисел.

Упражнения. Самостоятельная работа.

18

19

Степень с натуральными показателями.

Свойства степени с натуральными показателями.

Возведение в степень произведения и дроби. Таблица кубов чисел. Нахождение кубов чисел по графику.

20

21

22

23

Степень с нулевым и целыми отрицательными показателями.

Свойства степени с нулевым показателем. Свойства степени с целыми отрицательными показателями.

Действия над степенями с целыми отрицательными показателями.

Таблица обратных чисел. График 3/ = — .

Контрольная работа.

24

25

26

Корень /г-й степени.

Понятие корня л-й степени. Простейшие свойства.

Арифметическое значение корня. Основное свойство арифметического корня. Упражнения.

Продолжение

№ урока

Тема урока

27, 28

29

Степень с дробными показателями.

Понятие о степени с дробными показателями. Свойства степеней с дробными показателями.

Возведение в степень с дробными показателями произведения и дроби.

30

31

Преобразования радикалов.

Подведение множителя под знак радикала и вынесение множителя из-под радикала.

Приведение радикалов к простейшему виду. Подобные радикалы.

32

33

34

35

36

37

38, 39

40—43

44

Действия с радикалами.

Извлечение корня из произведения и дроби. Работа с таблицами квадратных корней.

Извлечение корня из корня и степени.

Сложение и вычитание радикалов.

Умножение радикалов. Возведение радикалов в степень.

Деление радикалов.

Упражнения. Самостоятельная работа.

Освобождение от иррациональности.

Упражнения на все действия с радикалами и степенями с дробными показателями.

Контрольная работа.

§ 1. ВОЗВЕДЕНИЕ ЧИСЕЛ В КВАДРАТ.

Рассмотрим основные вопросы методики изучения этой подтемы. Возведение чисел в квадрат удобно начать с повторения ранее изученного материала. С этой целью могут быть использованы упражнения из задачника П. А. Ларичева, № 78, 79.

Желательно познакомить учащихся с возведением в квадрат чисел, мало отличающихся от единицы, по приближенным формулам.

Рассмотрим квадраты десятичных дробей, мало отличающихся от единицы, например 1,003; 1,0025 и т. д. Их можно представить в виде суммы двух слагаемых: 1,003 = 1 +0,003; 1.0025 = 1 +0,0025 и т. д. Тогда 1,0032 == (1 + 0,003)2 = = 1 +2 . 0,003 + 0,000009.

Последним слагаемым можно пренебречь. Поэтому 1.0032» 1,006.

Вообще (1+а)2£^1+2я, где а — число, весьма малое по сравнению с единицей.

Если первое слагаемое отлично от единицы, а второе по-прежнему весьма малое, то формула примет вид:

Желательно обратить внимание учащихся на погрешность от замены точной формулы квадрата суммы двух чисел приближенной формулой. Эта погрешность будет равна а2, так как до точного значения квадрата данного числа недостает квадрата второго слагаемого.

Аналогично предыдущему получаем формулы:

Упражнение. Найти приближенные значения квадратов следующих чисел: 1,014; 0,998; 2,091; 3,02; 5,085; 4,023.

Работа с таблицами и графиками.

Наиболее трудным в работе с таблицами является учет поправок: в одних случаях поправки прибавляются (таблица квадратов, кубов, корней квадратных), в других вычитаются (таблица обратных чисел, т. е. таблица значения дробей вида — V Эти трудности можно преодолеть следующими приемами:

1) Анализ содержания данной таблицы, из которого следует вывод о необходимости прибавить или вычесть поправку.

2) Применение графических иллюстраций, по которым наглядно видно, как следует поступать в том или ином случае.

Рассмотрим эти приемы применительно к таблице квадратов.

После ознакомления с общим устройством таблицы и решения упражнений на нахождение квадратов трехзначных чисел ставится задача: выяснить, как изменяются квадраты чисел, если данные числа увеличиваются. Непосредственное наблюдение над табличными данными показывает, что с увеличением чисел квадраты их увеличиваются. Например,

8,56 > 8,51. 8,562 = 73,27,

8,512 = 72,42; 73,27 > 72,42 и 8,562 >8,512.

Дальше ставится задача: найти 1,4832.

Непосредственно в таблице нет квадрата этого числа. Берем ближайшее меньшее к нему трехзначное число, квадрат которого дан в таблице—1,48.

1,482 = 2,190. Но 1.483 > 1,48. Значит, 1.4832 > 1.482.

В то же время 1,483 < 1,49. Следовательно, для нахождения 1,4832 нужно к 1,482 прибавить некоторое число.

Какое именно? В колонках справа указаны числа, которые следует прибавлять к квадрату ближайшего трехзначного табличного числа. Так как четвертая цифра данного числа 3, то на пересечении правого столбца с пометкой 3 и строки с пометкой 1,4 находим число 9. Это число следует понимать как краткую запись 0,0091). Его следует прибавить к квадрату числа 1,48. Получим 1,4832 = = 1,482 + 0,009 = 2,190 + 0,009=2,199. Чтобы убедить учащихся, что поправки даются в тысячных долях единицы (для данного случая), можно разобрать 1—2 примера на вычисление поправок: 1,4832= =(1,48+0,003)2=1,482+2 • 0,003 • 1,48 + + 0.0032.

Вычисляя два последних слагаемых и округляя их сумму с точностью до 0,001, получаем 0,009.

Точно так же найдем: 1,5882 = (1,58 + 0,008)2 = 1,582 + + 2.0,008.1,58 + 0,0082= 1,582 + 0,025, что соответствует табличному значению поправки.

К этим же результатам можно прийти и при рассмотрении графических иллюстраций. Будем откладывать на оси абсцисс данные числа, а по направлению оси ординат их квадраты. Получим чертеж 1.

По чертежу отмечаем закономерность: с возрастанием чисел их квадраты также возрастают, чему соответствуют большие вертикальные отрезки.

Если теперь взять другие значения чисел, найти их квадраты, а затем полученные точки плавно соединить, то получится график квадратов чисел у = х22). Необходимо с учащимися выяснить, как пользоваться графиком: по данному числу найти отрезок, соответствующий квадрату этого числа, и, обратно, найти число, соответствующее данному вертикальному отрезку (квадрату числа).

Переходя к нахождению, например 1,4832, выясняем:

Черт. 1.

1) Поправки даются в разрядах последней цифры табличного значения величины.

2) Этот график необходимо заготовить заранее в крупном масштабе.

1,482 изображается отрезком AM (черт. 2), 1,4832 — отрезком BF, BF = BN+ NF. Но AM = BN. Тогда BF = = AM + NF.

В данном случае отрезок NF изображает поправку, равную 0,009, которую прибавляют к 1,482.

Работа с таблицами дает богатый материал для развития глазомера учащихся. Достигается это путем предварительной прикидки ожидаемого результата. Например, требуется найти 56.732. Так как 50<5б,73<60, то 2500<56,732<3600.

По таблице находим 5.6732 = 32,18. Значит, 56,732^3218.

Необходимо приучать учащихся к четкой записи вычислений, производимых с помощью таблиц, так как небрежность в этом нередко является источником ошибок: знак равенства ставится между неравными числами. Например,

0.23512 = (2,351 - 0,1)2 =

= 2,3512 - 0,12 = 5,523 + 5 5,528

5,528 . 0,01 =0,05528.

В первой строчке допущена ошибка: 2,3512 • 0,12^=5,528. Можно применить такую запись:

Черт. 2.

§ 2. ТОЧНОЕ ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ.

Подвести учащихся к определению понятия квадратного корня можно через решение конкретной задачи практического характера. Например, площадь жилой комнаты квадратной формы равна 36 кв. м. Вычислить длину стороны этой комнаты, не прибегая к измерениям. Обозначим искомую длину стороны квадрата буквой х. Тогда х • х — х2 = 36. Нельзя ли представить число 36 в виде произведения двух равных сомножителей? Получим (л; = 6 м) число, квадрат которого равен 36.

Точно так же: если х2 равен 25; 64; 100; 144 и т. д., то X будет равен, соответственно, 5; 8; 10; 12 и т. д.

В этих задачах был дан квадрат некоторого числа и требовалось найти это число. Найденные числа (6; 5; 8;...) называются квадратными корнями из чисел 36; 25; 64; . . .

Определение. Квадратным корнем из числа а называется такое число, квадрат которого равен а.

Квадратный корень из а обозначается знаком Y а. Знак У называется еще квадратным радикалом. По определению (Yâf = a. Число а называется подкоренным числом. Действие, с помощью которого находят квадратный корень, называется извлечением квадратного корня.

Упражнения. Л., № 84.

Необходимо сразу же обратить внимание на проверку результата извлечения квадратного корня: если действие выполнено правильно, то квадрат полученного числа согласно определению должен быть равен подкоренному выражению.

Дальше необходимо отметить, что квадратный корень из положительного числа имеет два противоположных значения, например, ]/81 = ± 9, так как (±9)2 = 81; квадратный корень из нуля равен нулю.

Квадрат положительного и отрицательного числа есть число положительное. Поэтому квадратный корень из отрицательного числа среди рациональных чисел не существует.

Дальнейшее изложение вопроса о точном извлечении квадратного корня смотрите в учебнике А. П. Киселева, Алгебра, ч. I.

Упражнения. Л., № 85.

§ 3. НАХОЖДЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ.

Приведем примерные планы уроков по данной подтеме. Урок 1(5)1).

Тема. Приближенное значение корня с точностью до 1 и 0,1.

1) Число в скобках означает порядковый номер урока во всей теме «Степени и корни».

Цель. Научить находить значение корня с точностью до 1; 0.1.

1. Составим таблицу квадратов натуральных чисел от 1 до 10.

п

1 2

3

4

5

6

7

8

9

10

п?

1 4

9

16

25

36

49

64

81

100

Все ли натуральные числа от 1 до 100 выписаны во второй строчке? Какие числа пропущены? Квадратом какого числа является число 20, т. е. чему равен 1^20? Из первой строчки таблицы видно, что среди натуральных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 20, так как 42< 20 <52.

Может ли У^20 быть равным какой-либо обыкновенной дроби?

Теорема. Если из натурального числа не извлекается точный целый (квадратный) корень, то из такого числа не извлекается и точный дробный корень.

Допустим, что l/Л =~г> гДе ~ — несократимая дробь, А — натуральное число.

По определению квадратного корня Л = -^- = ^-^. Так как р и q не имеют общих множителей, то в правой части равенства несократимая дробь ~9 тогда как в левой части целое число А. Однако этого быть не может: целое число не может равняться несократимой дроби.

Вывод. Из «пропущенных» в таблице натуральных чисел (2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, ...) не извлекается ни точный целый, ни точный дробный корень.

Корни из таких чисел находятся приближенно с заданной точностью.

2. Извлечение квадратного корня с точностью до 1. Используя приведенную выше таблицу, выпишем два последовательных натуральных числа, между которыми находятся

Получим:

Полученные пары чисел обладают свойствами:

а) они отличаются на единицу (4 — 3=1, 6 — 5=1 и т. д.);

б) квадрат первого (меньшего) числа меньше подкоренного выражения;

в) квадрат второго числа больше подкоренного выражения. Например, 52 < 27 < б2.

Числа, обладающие указанными свойствами, называются приближенными значениями корня с точностью до единицы. При этом первое (меньшее) число дает значение корня с недостатком, а второе — с избытком. Нахождение приближенного значения корня с точностью до единицы производится по тому же правилу, что и нахождение точного значения корня.

Упражнения. Найти квадратные корни с точностью до единицы: ]Л10, "^254, У"428,7.

В последнем случае корень извлекается только из целой части, т. е. из 428, так как 202<428 < 212 и 202<428,7<212.

3. Извлечение квадратного корня с точностью до 0,1. Найдем 1^17 с точностью до 1.

Нельзя ли найти |/"l7 точнее, например, с указанием десятых долей? Так как 4,12 = 16,81, а 4,22 = 17,64, то 4,1</Ï7<4,2.

Полученные два числа 4,1 и 4,2 обладают свойствами:

а) они отличаются друг от друга на 0,1;

б) квадрат первого (меньшего) из них меньше 17 (1б,81< 17);

в) квадрат второго больше 17 (17,84 > 17).

Числа, обладающие такими свойствами, называются приближенными значениями квадратного корня с точностью до 0J. Меньшее число дает значение квадратного корня с недостатком, большее — с избытком.

Как находить квадратный корень с точностью до 0,1?

Пусть требуется найти "^28 с точностью до 0,1. Запишем значение корня с недостатком как -т^-, с избытком —

Тогда по определению

Умножим обе части неравенства на 100. Получим а2 < 2800 < (a-f- I)2, т. е. числа а и а+1 дают значение корня из 2800 с точностью до 1. Разделим их на 10, получим значение 1/^28 с точностью до 0,1.

Значит, 52 < "j/2800 < 53. Тогда 5,2 < /28 < 5,3.

Проверка. 5,22 = 27,04 < 28; 5,32 = 28,09 > 28.

Таким образом, для нахождения квадратного корня с точностью до 0,1 следует подкоренное выражение умножить на 100, извлечь квадратный корень с точностью до 1 и полученный результат разделить на 10,

Упражнения. Л., № 87.

Урок 2(6).

Тема. Приближенное значение корня с точностью 10к

Цель. Научить извлекать квадратный корень с точностью до —- .

По аналогии с предыдущим дается определение: приближенным значением корня с точностью до 0,01 называются два числа, обладающие свойствами: а) разность между ними равна 0,01; б) квадрат первого из них меньше подкоренного числа; в) квадрат второго — больше подкоренного числа.

Найти "^32 с точностью до 0,01. По определению (^щ^ < 32 < (^щр)* • Или: а2 < 320 000 < (a 1)2, где a и а+1 — значения корня с точностью до 1 из 320 000. Для нахождения ]/32 с точ-

ностью до 0,01 следует а и a-f-l разделить на 100.

Ответ.

Проверка. 5,652 < 32 < 5,6б2.

Положение запятой в окончательном результате может быть определено в процессе извлечения корня. Например, найти V 14.732 с точностью до 0,01. Извлекая квадратный корень из целой части числа, получим 1^14,732 = 3,. . . Для нахождения десятых долей следует подкоренное выражение умножить на 100 и извлекать корень из 1473, для чего по правилу извлечения корня из целого числа приписывают справа к первому остатку число 73. Получим

Для нахождения сотых долей подкоренное выражение следует умножить на 10 000 и извлекать корень, как из целого числа. Это влечет за собой приписывание ко второму остатку справа числа 20. Тогда

Число 3,83 дает значение корня с недостатком, так как при извлечении получился остаток. Поэтому

Таким же путем может быть найдено значение корня

с точностью до 0,001; 0,0001 и вообще до —!-г-. В этом случае окончательное правило дается по учебнику А. П. Киселева, ч. I, § 117.

Из двух значений корня (с недостатком и с избытком) обычно выбирается более точное.

Упражнения. Л., № 87.

При нахождении квадратного корня с точностью до ^ уместно ставить вопросы об округлении полученного результата и об оценке погрешности округления.

Пример 1.

Округляя с точностью до 0,01; 0,1; 1, получаем соответственно 4,12; 4,1; 4. Какая допущена погрешность при округлении?

Если округляли с точностью до 0,01, то отбрасывали тысячные и более мелкие доли. Но если взять половину единицы последнего оставленного разряда (0,01), то получим 0,005. Так как 0,005 > 0,003, то погрешность не превосходит половины единицы последнего оставленного разряда.

То же самое получим при округлении с точностью до 0,1; 1, так как 0,023 < 0,05; 0,123 < 0,5.

Пример 2.

При округлении с точностью до 0,01 отбрасывается 0,009. Половина от 0,01 составляет 0,005. 0,009 > 0,005. Нельзя ли уменьшить погрешность округления? Если последнюю оставленную цифру усилить на 1, то получим 3,48. Тогда погрешность округления будет равна 3,48 — 3,479 = 0,001 <0,005, т. е. в этом случае погрешность снова не превосходит половины единицы последнего оставленного разряда.

Пример 3.

Если округлить с точностью до 1, то погрешность округления не превосходит 0,5 независимо от того, будет ли последняя оставленная цифра усилена на единицу или нет (2,5 — 2 = 0,5; 3 — 2,5 = 0,5).

В этом случае руководствуются правилом четной цифры: последняя оставляемая цифра должна быть четной, так как при делении числа на два (что часто приходится делать на производстве, например, при разметке детали) удобнее иметь последнюю цифру четной.

Пример 4.

При округлении до 1 получим 1/^12,25^4.

Результатом такой работы должно быть получение правила округления: если первая из отбрасываемых цифр меньше 5% то последнюю из оставшихся цифр не изменяют; если первая из отбрасываемых цифр 5 или больше «5, то последнюю из оставшихся цифр усиливают на 7; если отбрасывают только одну цифру 5, то руководствуются правилом четной цифры.

Урок 3(7).

Тема. Упражнения на извлечение квадратного корня с заданной степенью точности. Извлечение квадратного корня из обыкновенной дроби.

Цель. Закрепление ранее изученного материала.

1. Набор упражнений по данной теме имеется в задачнике П. А. Ларичева, № 87, а также в учебнике А. П. Киселева, Алгебра, ч. I. № 204, 205, 206, 207, 210.

2. Извлечение квадратного корня из обыкновенных дробей, а) Данная несократимая дробь есть точный квадрат, например

Какое число нужно возвести в квадрат, чтобы получить

Получим, соответственно,

С другой стороны,

Поэтому

Таким образом, для нахождения квадратного корня из обыкновенной дроби можно извлечь его отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй.

б) Данная несократимая дробь не является точным квадратом, например

В этом случае

нельзя найти точно значение корня, потому что корень из числителя или знаменателя (или из того и другого) не извлекается точно (урок № 1). В таких случаях значение корня находится приближенно.

Для нахождения квадратного корня в данном случае можно поступить по-разному:

1) обратить обыкновенную дробь в десятичную и извлекать корень с заданной степенью точности;

2) умножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы знаменатель стал точным квадратом. Затем извлекают корень из числителя и знаменателя отдельно и первый результат делят на второй.

Оба способа рассмотрены в учебнике А. П. Киселева, ч. I. При недостатке времени второй способ можно не рассматривать.

3. На данном уроке уместна самостоятельная работа учащихся в течение 10—15 минут, как подготовка к предстоящей контрольной работе.

Урок № 4 (8).

Тема. Нахождение квадратного корня по таблице и графику.

Цель. Научить учащихся пользоваться таблицей и графиком для нахождения квадратных корней.

1. О приемах работы с таблицами и графиками смотрите страницу 10.

2. Упражнения. Л., № 89, 90.

3. Нахождение квадратов чисел по таблице (повторение).

4. При первом знакомстве с таблицей квадратных корней целесообразнее не рассматривать случаи, когда данное число отличается от табличного в 10п раз, например V 132,4, так как приходится извлекать квадратный корень из произведения, что изучается позднее. Поэтому после вывода правила об извлечении корня из произведения к данной таблице необходимо возвратиться еще раз, чтобы научиться пользоваться ею в любых случаях.

Урок № 5 (9).

Контрольная работа.

Содержание работы может быть примерно следующее: 1) Найти с точностью до 0,01 с недостатком и с избытком:

2) Найти по таблице:

3) Округлить данные десятичные дроби до сотых и десятых долей: 3,1416; 0,085; 17,4512.

Урок 6 (10).

Тема. Решение уравнений ах2 = с.

Цель. Научить решать уравнения вида ах2 = с.

1. Припоминается определение уравнения, свойства уравнений по материалу VII класса.

2. Задача. Л., № 431. Высота прямоугольника составляет 75% его основания. Найти периметр этого прямоугольника, зная, что площадь прямоугольника равна 48 кв. м.

Если через х обозначить основание прямоугольника, то высота его будет равна х.

Тогда х-^х = 48, или Злг2=192.

Полученное равенство является уравнением с одним неизвестным; неизвестное входит в уравнение во второй степени. Поэтому такое уравнение называется уравнением второй степени или квадратным. Как решить его?

Основываясь на ранее изученных свойствах уравнений, разделим обе части уравнения на 3, получим: jc2 = 64.

Квадрат какого числа равен 64? По определению квадратного корня искомое число х = ^64, откуда хх = 8; х2 = — 8. Полученное квадратное уравнение имеет два корня. Условию задачи удовлетворяет х = 8л, так как длина основания прямоугольника может выражаться лишь положительным числом. Тогда зысота прямоугольника равна 6 м, периметр — 28 м.

Упражнения. Л., № 347—350.

3. Запишем общий вид рассматриваемых уравнений:

ах2 = с.

Всегда ли это уравнение имеет решение?

Очевидно а Ф 0, так как при а = 0 и с Ф 0 получаем противоречивое равенство, а при а — с = 0 неопределенность: 0-jt2 = 0 при любых X.

Перепишем уравнение в виде х2 — — !

а) с — 0; ах2 = 0; х2 = 0, х = 0 — уравнение имеет единственный корень.

б) а и с имеют разные знаки. Тогда ~<0 и уравнение решений не имеет, так как квадрат положительного и отрицательного числа всегда является положительным числом.

Например, 2х2 = — 3; х2 = — . Решений нет.

в) Если а и с имеют одинаковые знаки, то — > 0; квадратный корень из такого числа имеет два равных, но противоположных по знаку значения.

Примеры. 4х2=100; хг = 2Ъ\ х = ± У 25; хх = 5, х2 — — 5,

В последнем случае находят приближенное значение х с заданной степенью точности по правилу извлечения квадратного корня из обыкновенной дроби.

На дом к следующему уроку дается повторить о преобразовании обыкновенной дроби в десятичную и об изображении рациональных чисел на числовой оси (по материалу арифметики V класса и алгебры VI класса).

§ 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

В теме «Степени и корни» рассматривается расширение множества рациональных чисел до множества действительных чисел: к рациональным числам добавляются числа иррациональные. В связи с этим возникает целый комплекс вопросов, изложение которых встречает значительные трудности у учащихся. К ним относятся: введение новых чисел, обоснование новых определений, которые раскрывают смысл действий над действительными числами, показ общей структуры множества действительных чисел. Во многих случаях появляется необходимость обращаться к наглядности, интуиции учащихся, подменяя строгие доказательства некоторых предложений их иллюстрацией на частных примерах.

Введение новых чисел обосновывается необходимостью поставить в соответствие каждому отрезку число, являющееся его длиной. Причем эти числа должны охватывать все случаи, в том числе случай несоизмеримости данного отрезка с единицей длины. Поэтому очень важно, чтобы содержание

уроков по геометрии и алгебре было тщательно согласовано. Качество знаний учащихся о действительных числах можно считать удовлетворительным, если ими четко усвоены следующие положения:

1) Имеющегося множества рациональных чисел недостаточно для измерения отрезков; их необходимо дополнить новыми числами, чтобы каждый отрезок имел длину (уметь проиллюстрировать это на примерах).

2) Иррациональные числа изображаются бесконечными непериодическими десятичными дробями, рациональные числа — конечными десятичными или бесконечными периодическими десятичными дробями. (Знать обоснование этого утверждения на примерах, уметь практически записывать в виде десятичной бесконечной дроби и рациональные и иррациональные числа. Уметь распознавать данные числа, записанные в форме десятичных дробей, если указан закон образования цифр.)

3) Всякое иррациональное число можно заменить его приближенным значением (рациональным числом) с недостатком или с избытком с заданной степенью точности (уметь практически делать это).

4) Каждой точке на числовой оси соответствует определенное действительное число, и, наоборот, каждому действительному числу соответствует определенная точка на оси (уметь практически находить на оси точку, соответствующую данному числу).

5) Действительные числа можно сравнивать, складывать (знать соответствующие правила и уметь применять их на практике).

Приведем краткие ориентировочные планы уроков по теме «Действительные числа».

Урок № 1 (11).

Тема. Выполнение подготовительных упражнений1).

Цель. Подготовить учащихся к изучению темы «Действительные числа».

1. Повторить из курса арифметики обращение обыкновенной дроби в десятичную.

2. Показать, как в простейших случаях по данным десятичным дробям конечным или бесконечным периодическим

1) Часть из этих упражнений по усмотрению учителя может быть рассмотрена на предшествующих уроках.

находить те обыкновенные дроби, из которых они получены. В случае периодических дробей проще это сделать, как указано в следующих книгах: «Алгебра» (учебник для VIII—X классов средней школы), под ред. А. И. Маркушевича, Учпедгиз, 1957, стр. 20; «Методика арифметики» Е. С Березанской, Учпедгиз, 1955, стр. 351. Можно воспользоваться и учебником «Арифметика» А. П. Киселева, Учпедгиз, любое издание, стр. 138.

3. Решить несколько примеров на запись любого рационального числа в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Если даны целое число или конечная десятичная дробь, то путем приписывания нулей справа их можно записать в виде бесконечных периодических дробей. Например,

28 = 28,0000 ...

3,75 = 3,750000 . ..

Следовательно, всякое рациональное число изображается десятичной конечной или бесконечной периодической дробью; обратно: всякая конечная или бесконечная десятичная периодическая дробь является изображением некоторого рационального числа.

Если условиться приписывать нули справа, то получим: всякое рациональное число изображается бесконечной десятичной периодической дробью; обратно: всякая бесконечная периодическая десятичная дробь изображает некоторое рациональное число.

Примечание. Дроби, у которых период состоит из одних девяток, не рассматриваются: такие дроби можно заменить натуральным числом или конечной десятичной дробью, в чем можно убедиться на примерах:

0,(9) = 1; 0,(99) = 1; 2,2 (9) =2,3 и т. д.

4. Повторить о геометрическом представлении рациональных чисел на числовой оси. Уметь находить на оси точку, соответствующую данному рациональному числу.

5. Решить следующие задачи на доказательство:

а) Доказать, что всякое четное число записывается в виде 2п\ всякое нечетное 2д + 1. Вывод делается на основании рассмотрения частных примеров.

б) Доказать, что квадрат нечетного числа есть число нечетное.

в) Доказать, что все числа, делящиеся на 3, имеют вид 3&.

г) Найти общий вид чисел, не делящихся на 3.

При делении на 3 в остатке могут получить числа 1 и 2. В таком случае числа, не делящиеся на 3, имеют вид 3/^ —I— 1. 3£ + 2.

Примеры. 19 = 3-6+1; 44 = 3-14 + 2;

25 = 3-8 + 1; 50 = 3- 16 + 2.

д) Доказать, что квадрат числа, не делящегося на 3, не делится на 3.

(3& +1)2 = 9£2 + 6&+1 =3m + l не делится на 3. Çdk + 2)2 = 9k2 + \2k + 4 = 9k2 + 126 + 3 + 1 = Зя + 1 не делится на 3.

Желательно также установить общий вид чисел, делящихся и неделящихся на 5; доказать, что квадраты чисел, не делящихся на 5, не делятся на 5.

Урок № 2 (12).

Тема. Изображение чисел десятичными дробями.

Цель. Показать недостаточность рациональных чисел для нахождения квадратных корней.

1. Повторяется, какие числа относятся к рациональным.

2. Напоминаются выводы предыдущего урока о представлении рациональных чисел десятичными дробями.

3. Попытаемся найти квадратный корень из 2. Получаем: У 2 = 1,4142 ... Будет ли процесс извлечения корня конечным? Знаки 1,4142 ... образуют десятичную дробь. Какая эта дробь? Конечная или бесконечная? Периодическая или непериодическая?

4. Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен двум, т. е. Y<2 не является рациональным числом.

Доказательство (от противного). Пусть существует рациональное число х, квадрат которого равен 2. Это число не может быть равным 0, так как 02 = 0. Оно не может быть целым, так как 1 < |/^2 < 2. Допустим, что число х несократимая дробь ~, где р и g — натуральные числа.

Тогда х2 — -^ = 2. Или p2 — 2q2, т. е. р2 — четное число.

Тогда р — также четное, так как квадрат нечетного числа есть число нечетное. Следовательно, р = 2kt р2 = 4&2. Тогда 4k2 = 2q2 и 2k2 = q2t т. е. число q также четное. Получили: рид имеют общий делитель 2, что противоречит допущению.

Вывод. "^2=1,4142 ... не является ни конечной, ни бесконечной периодической десятичной дробью.

"1^2 = 1,4142 ... выражается десятичной бесконечной непериодической дробью.

Упражнения.

1) Не существует рациональных чисел, квадраты которых равны 3 и 5. Доказать.

Доказательство1). Пусть У^З = — — несократимая дробь. Отсюда 3 = -£yt p2 = Zq2% р2 делится на 3. Тогда р делится на 3 (если бы р не делилось на 3, то его квадрат также не делился бы на 3).

Следовательно, p = 3k, p2 = 9k2; 9k2 = 3q2; q2 = 3k2, т. e. q делится на 3. Получили: ~—сократимая дробь, что противоречит допущению.

Для случая Y§ доказательство аналогично.

Вывод. Некоторые квадратные корни (например, "^2, У^З, 1^5 и др.) не являются рациональными числами; они представляются десятичными бесконечными непериодическими дробями.

2) Придумать и записать несколько бесконечных непериодических десятичных дробей.

Например, 0,202002000200002...;

2,31331333133331 ...; 17,52552555255552555552....

Эти дроби удовлетворяют поставленному условию: одни и те же цифры повторяются через разное число знаков — дроби непериодические.

3) Округлить дроби, приведенные во втором упражнении, с точностью до 0,1; 0,01; 0,001.

4) Найти

(повторение).

Примечание. Уроки по геометрии должны быть спланированы так, чтобы между первым и вторым уроками о дей-

1) При невозможности рассмотреть доказательство в классе это утверждение приводится без доказательства.

ствительных числах был бы урок геометрии на тему «Понятие об измерении отрезков», где устанавливается, что в случае соизмеримости отрезков длина отрезка выражается рациональным числом; в случае несоизмеримости процесс измерения отрезка приводит к бесконечной непериодической десятичной дроби. Термин «Иррациональное число» пока не вводится.

Урок № 3 (13).

Тема. Понятие об иррациональном числе.

Цель. Обосновать необходимость введения новых чисел в связи с измерением отрезков. Дать определение иррациональных чисел.

Рассмотрим несколько примеров.

1) Найти длину стороны квадрата, площадь которого равна 2 кв. см.

Для построения такого квадрата строим сначала квадрат со стороной в 1 см (черт. 3). На его диагонали как на стороне строим новый квадрат ACEF. Площадь квадрата ACEF в 2 раза больше площади квадрата ABCD, которая равна 1 кв. см. Если АС = х, то х2 = 2. Отсюда х = У2.

2) Найти длину стороны квадрата, площадь которого равна 5 кв. см.1).

Сначала строим квадрат со стороной 3 см (черт. 4). Затем соединяем точки А, В, С, D, как показано на чертеже. Д MNB = Д EKB MBN = Z. КВЕ — углы с взаимно перпендикулярными сторонами, ВК = МВ).

Черт. 3. Черт. 4.

1) Такой квадрат можно построить. Чертеж квадрата заготавливается заранее. См. П. А. Ларичев, Сборник задач по алгебре, ч. II, Учпедгиз, 1958, стр. 23.

Поэтому площадь фигур NFKB и КВЕ составляет вместе 1 кв. см. Тогда весь квадрат будет иметь площадь 5 кв.см. Если длина его стороны у, то у2 = 5. Откуда

Из этих примеров наглядно видно существование отрезков— сторон квадратов. Следовательно, должны существовать числа, измеряющие эти отрезки. Однако среди рациональных чисел нет таких, которые выражали бы длины этих отрезков.

Если отложить на числовой оси отрезки "|/*2, Y 5, являющиеся сторонами квадратов, то точки, соответствующие концам этих отрезков, нельзя обозначить никакими известными до сих пор числами. Следовательно, прежних чисел недостаточно для выражения длин любых отрезков. Чтобы во всех случаях можно было бы измерить отрезок (каждому отрезку поставить в соответствие число), необходимо к рациональным числам добавить новые числа — иррациональные. Но Y%> Y 5 выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Следовательно, эти новые числа можно определить так: число, которое может быть выражено бесконечной непериодической десятичной дробью, называется иррациональным1).

Возвращаясь к предыдущему уроку геометрии, отмечаем, что длина отрезка, несоизмеримого с единицей, выражается иррациональным числом. Например:

1) Если взять сторону квадрата за единицу, то длина его диагонали выразится иррациональным числом.

2) Если принять длину боковой стороны равнобедренного треугольника с углом при основании в 36° за единицу, то длина основания выразится иррациональным числом, так как эти отрезки несоизмеримы2).

3) Доказано, что число тс = 3,14 ... также является иррациональным. На практике берут приближенное значение иррационального числа, например тс = 3,14 взято с точностью до 0,01.

Упражнения. 1) Л., № 92.

1) Здесь уместно напомнить учащимся о введении дробных и отрицательных чисел (V, VI классы).

2) См. В. М. Брадис, Методика преподавания математики Учпедгиз, 1954.

2) Придумать и записать несколько иррациональных чисел.

12,424424442...; 25,131331333133331...; 0.7070070007. . .

3) Что неточно в следующем определении: «Иррациональным называется число, которое может быть записано бесконечной десятичной дробью»? Как исправить это определение, чтобы оно было верным?

Подводя итоги извлечения квадратных корней, необходимо отметить и закрепить на соответствующих примерах следующее утверждение.

Квадратный корень из рационального числа может быть выражен:

1) целым числом, например ]/25 = 5; ]/81=9;

2) конечной десятичной дробью, например 1/0,36 = 0,6;

3) бесконечной периодической десятичной дробью, например

Во всех этих случаях квадратный корень представляет собой рациональное число;

4) бесконечной десятичной непериодической дробью, например

В последнем случае квадратные корни представляют собой иррациональные числа.

В то же время неверно считать, что иррациональные числа получаются лишь при извлечении корней в том случае, когда эти корни не извлекаются точно. Приведенные ранее примеры показывали возможность получения иррациональных чисел без обращения к процессу извлечения корня.

Урок № 4(14).

Тема. Понятие о действительных числах.

Цель. Ввести понятие действительного числа, дать классификацию действительных чисел, научить изображать эти числа на числовой оси.

1, Числа рациональные и иррациональные вместе называются действительными (вещественными).

2. Как изобразить действительные числа на числовой оси?

Мы уже знаем, как можно изобразить на числовой оси рациональные числа. Как же изобразить на числовой оси иррациональные числа?

Извлекая |/2, 1^5 с недостатком и с избытком, получаем:

Анализируя неравенство 1<^2<2, устанавливаем, что точка, соответствующая числу |^2, находится на числовой оси между точками с пометками 1 и 2. Из второго неравенства устанавливаем, что эта точка находится между точками с пометками 1,4 и 1,5 и т. д. (черт. 5).

Черт. 5.

Наглядно ясно, что по мере увеличения точности приближенного значения "^2 соответствующие точки сгущаются около одной точки, которая будет соответствовать числу ]^2.

Аналогично находится точка ]^5 (черт. 5).

Любая точка на оси вместе с точкой 0 определяет некоторый отрезок, который может быть соизмерим или несоизмерим с единицей. В обоих случаях ему соответствует определенное действительное число.

Следовательно: 1) каждому иррациональному числу соответствует точка на оси;

2) каждому действительному числу соответствует точка на оси;

3) каждой точке на оси соответствует единственное действительное число.

Единственность следует из наглядно-интуитивного утверждения о том, что длины равных отрезков выражаются равными числами.

Каждой точке на оси можно указать симметричную точку относительно точки 0. Числа, соответствующие таким точкам, будут равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку, так как они выражают длины равных отрезков, имеющих противоположные направления. Определение абсолютной величины числа распространяется и на действительные числа. Таким образом, для 1,414... противоположным будет —Y2 =—1,414... и т. д.

Из каких чисел состоит совокупность (множество) действительных чисел? Ответ на этот вопрос удобно сопровождать схемой.

Упражнения.

1) Указать на числовой оси точки, соответствующие числам — У7. У"Г0, — VIE, УТЗ. -|, 0,5, — 3~ и т. д.

2) Округлить значения Y 5 с точностью до 0,1; 0,01; 0,001. Какими будут полученные числа?

Ответ. Все числа 2,2; 2,3; 2,23; 2,24; 2,236; 2,237 будут рациональными, так как они представляют собой конечные десятичные дроби; их легко обратить в обыкновенные дроби.

3) Установить, какие из нижеследующих чисел являются рациональными и какие иррациональными: Y4; Y^', 1^12,

Урок № 5(15).

Тема. Сравнение действительных чисел.

Цель. Установить правило сравнения и научить применять его в конкретных случаях.

1. Берем сторону квадрата, площадь которого равна 2 кв. см. Длина стороны будет 1/^2=1,414...

Берем квадрат, площадь которого 5 кв. см. Его сторона равна V^5 = 2,23... Откладывая на числовой оси длины сторон этих квадратов (практически данные отрезки переносятся циркулем на числовую ось), убеждаемся, что отрезок, длина которого Y§* больше отрезка, длина которого 1^2. Сравнивая эти числа, отмечаем, что целая часть Y Ь больше целой части ]/"2 (2 > 1).

2. Возьмем теперь ]Л2, |Лз и найдем на числовой оси соответствующие им точки.

При десятичном представлении этих чисел выясняется, что целые части у них равны; тогда необходимо сравнить десятые доли: 0,7 > 0,4. Убеждаемся, что отрезок, длина которого |/з, больше отрезка длиной |^2 (черт. 6).

Черт. 6.

Естественно поэтому определить: из двух иррациональных чисел большим считается то, у которого целая часть больше; если целые части равны, то большим считается то, у которого десятые доли больше и т. д.

Отрицательные иррациональные числа меньше 0 и любых положительных иррациональных чисел.

Упражнения.

1) Сравнить 1^2 и тт.

2) Сравнить

3. Учитывая, что всякое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, можно дать следующее определение равенства и неравенства чисел.

Положительные действительные числа скитаются равными, если у них равны целые части, десятые и т. д. доли.

Большим считается то число, у которого больше целая часть. Если целые части равны, то большим считается то, у которого больше десятые доли. Если десятые доли равны, то большим считается тот, у которого больше сотые доли и т. д.

Пример. Сравнить числа У~33; —; 5,83; 5.

Находим: |/"зЗ = 5,74 . . .

5 = 5.66...

Ответ. 5,83 > V^33 > 5 > 5.

Всякое положительное действительное число считается больше нуля и любого отрицательного числа.

Из двух отрицательных действительных чисел большим считается то, у которого меньше абсолютная величина.

На числовой оси: из двух действительных чисел большим считается то, для которого соответствующая на оси точка расположена правее.

Упражнения из задачника П. А. Ларичева.

Урок № 6(16).

Тема. Сложение действительных чисел.

Цель. Ввести понятие суммы действительных чисел, научить складывать действительные числа.

Возьмем квадраты с площадями 2 кв. см и 5 кв. см и изобразим их, как показано на чертеже 7.

Чему равен отрезок АС?

Из чертежа ясно, что АС—АВ-\-ВС. Дадим определение.

Определение. Суммой двух положительных действительных чисел называется число, выражающее длину отрезка, полученного от сложения двух отрезков, длины которых выражаются данными числами.

Но длины данных отрезков AB и ВС равны соответственно 1^2 и 1^5. Тогда длина отрезка АС должна быть равна 1^2 + 1^5. Как найти эту сумму?

Черт. 7.

Так как практически приходится складывать числа рациональные с иррациональными, иррациональные с иррациональными, то нужно дать такое правило нахождения суммы действительных чисел, чтобы оно не нарушало ранее известное правило сложения рациональных чисел. Припоминаем это правило. Например,

Если записать данные числа в форме десятичных дробей, то получим (с точностью до 0,0001):

Тогда, очевидно, для нахождения суммы любых действительных чисел должно быть такое правило:

При сложении действительных чисел складывают их приближенные значения, выраженные десятичными дробями с недостатком или избытком с одной и той же степенью точности. Полученная сумма будет больше суммы любых приближенных значений, взятых с недостатком, и меньше любых приближенных значений, взятых с избытком.

Пример. Найти

Таким образом,

Если продолжать этот процесс дальше, то будем получать более точные значения суммы:

Полученная сумма будет единственной, так как на числовой оси ей соответствует единственный отрезок — сумма данных отрезков. Существование суммы интуитивно-наглядно подтверждается существованием отрезка, являющегося суммой данных отрезков.

Сложение любых действительных чисел производится так же, как сложение любых рациональных чисел. Например, /2+ ( — У"2) = 0.

Упражнения.

1) Найти сумму тг + З; у+2; 0,75-{-У" 5. Изобразить значение этой суммы на числовой оси.

2) Убедиться, что 1 + /2 = V2 + j; 3-+-* = те + 3. Сформулировать полученный вывод.

Урок № 7(17).

Тема. Упражнения на закрепление ранее изученное материала. Самостоятельная работа.

С этой целью можно использовать упражнения № 92, 93, 94 из задачника П. А. Ларичева, ч. II. На этом уроке уместно рассмотреть нахождение суммы двух или нескольких приближенных значений чисел, взятых с различной степенью точности.

Пример. Найти сумму у если тг взято с точностью до 0,1, a У 7 с точностью до 0,001: т: = 3,Г, У 7 = 2,646.

Так как сотые и тысячные доли числа тг не известны (не даны), то вместо них ставим знаки вопроса. Но тогда нельзя точно сказать, какими будут десятые и сотые доли

суммы, т. е. запись в сумме тысячных и сотых долей не имеет смысла,

При этом цифра 7 внушает некоторое сомнение, так как если сотые доли первого слагаемого больше 5, то в сумме десятых долей будет 8.

После разбора 2—3 примеров делается вывод: при сложении двух (или нескольких) приближенных значений чисел в результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их имеется в слагаемом с наименьшим числом десятичных знаков.

Для упрощения вычислений приближенное данное с большим числом десятичных знаков предварительно округляют, оставляя одну запасную цифру. Так, в предыдущем примере у! следовало бы предварительно округлить с точностью до 0,01, после чего произвести сложение.

Изучение других действий над действительными числами программой не предусматривается.

§ 5. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ.

При изучении расширения понятия степени перед учителем возникают следующие основные трудности:

1) Разъяснить, что соотношения а°=\;

являются определениями.

2) Обосновать целесообразность вводимых новых определений.

3) Показать единство свойств степеней с рациональными показателями.

Определение степени с натуральным, нулевым, целым отрицательным и дробным показателями указывают, как следует понимать степень при соответствующем рациональном показателе, т. е. какой смысл следует придавать выражениям ап, а0, а~п, ап . Введение новых понятий должно быть таким, чтобы все степени с рациональными показателями обладали одними и теми же свойствами. Так как степени с натуральными показателями обладают свойствами

обходимо выражениям a°t a~w, ап придать такой смысл, чтобы эти же свойства степеней остались справедливыми для степеней с любыми рациональными показателями. Таковы основные руководящие соображения при изучении темы о степенях. Отсюда ясно, что начинать следует с изучения свойств степеней с натуральными показателями.

Определение. Степенью числа а с натуральным показателем п называется произведение п сомножителей, равных а, т. е. ап — а • а ... а,

Если я = 1, то а1=а.

Далее необходимо рассмотреть свойства степеней с натуральным показателем1).

Эти свойства должны быть хорошо усвоены учащимися, в противном случае трудно будет уяснить основную идею расширения понятия степени.

Наряду с приведенными выше свойствами необходимо рассмотреть еще одно, которое будет использовано в дальнейшем.

4) Если основания а и b двух степеней положительны, то при натуральном показателе равным основаниям соответствуют равные степени, большему основанию

1) Словесные формулировки этих свойств смотрите в учебнике А. П. Киселева, Алгебра, ч. II, любое издание.

соответствует большая степень, т. е.: 1) если а = Ь, то ап _ £п. 2) если а > Ь, то ап > Доказательство.

1) Пусть а = b

ап — а ... а = Ь • b ... b = bn.

п раз я раз

2) Пусть

а > Ь

а - а ... а = а ... а. Если в правой части каждый сомножитель заменить на Ь% то от этого произведение уменьшится, так как по условию b < а. Получим: а-а...а>&...£.

Отсюда по определению степени ая > Ьп. Рассмотрим обратное утверждение.

Если основания a u b степени — положительные числа, то при натуральном п равным степеням соответствуют равные основания, большей степени соответствует большее основание, т. е.:

Доказательство.

1) Пусть ап = Ьп. Допустим, что а > Ь. Тогда ап>£п, что противоречит условию.

2) Пусть ап>Ьп. Допустим, что а — Ь. Тогда ап = Ьп, что противоречит условию. Если допустить, что а < тогда Ьп > ап, что опять несовместимо с условием. (В случае необходимости эти свойства могут быть рассмотрены на частных примерах.)

Для чисел а и Ь, имеющих разные знаки, это свойство не имеет места. Например, (—2)4 > 23, но —2 < 2. Упражнения.

1) При каких X *2>100; л:3 > 1000; л;5 > 32; *4>81; х3< 0,008 и т. д.?

2) В каком ряду числа растут быстрее? Почему?

Далее необходимо рассмотреть возведение в степень произведения и дроби

Здесь же должна быть рассмотрена таблица кубов чисел. Работа с этой таблицей и графиком у = хг проводится аналогично с таблицей квадратов, квадратных корней и соответствующих графиков.

При возведении чисел в куб имеется возможность ознакомить учащихся с приближенной формулой куба суммы двух чисел:

(1+д)з= 14-За + За2 + а3,

(1 + а)3~ 1 + За, если а— весьма малое по сравнению с единицей.

Примеры. 1,0093 = (1-4-0,009)3^ 1 + 3.0,009 = 1,027, 1,0033 = (2+0,003)3^ 1 +3-0,003 = 1,009 и т. д.

Погрешность результата равна За2 + а3 или, приближенно, За2, так как а3 ввиду его малости можно не учитывать.

§ 6. СТЕПЕНЬ С НУЛЕВЫМ И ЦЕЛЫМИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ.

Степень с нулевым показателем.

Отправным пунктом может служить известное учащимся свойство степени с натуральным показателем: ат:ап = — ат-п(т > п).

Примеры. Найти а5 : а3; а5 : а4; а5 : а5.

При выполнении этих упражнений выясняется, что при т = п получается степень с нулевым показателем. Нуль не

является натуральным числом, поэтому не может быть использовано ранее известное определение степени: выражение «повторить сомножителем нуль раз» не имеет смысла. Как же в таком случае понимать а0?

Подобная задача возникала при изучении иррациональных чисел: что следовало понимать под суммой иррациональных чисел? Эта задача была решена с помощью введения определения суммы, после чего стало ясно, какой смысл вкладывается в понятие суммы иррациональных чисел.

Какое же определение следует дать а0?

По этому вопросу некоторые соображения приведены в учебнике А. П. Киселева. Однако необходимо помнить о том, что нельзя доказать, что а°=\ (аФО), ибо такая постановка вопроса не имеет смысла. Далее, если ограничиться только таким указанием, то для учащихся остается неясной основная идея расширения понятия степени — сохранение свойств степеней с натуральными показателями. В связи с этим целесообразность определения а0 — 1 можно обосновать с двух сторон: 1) соображениями, изложенными в учебнике А. П. Киселева; 2) а° следует придать такой смысл, чтобы сохранились известные свойства степеней, например, ат . ап — ат+пл Пусть m = 0. Должно быть а°ат + а0+т; но так как а0+т = ат (от прибавления нуля к натуральному числу значение последнего не меняется), то а°-ат = ат. На какое число нужно умножить ат, чтобы получить то же самое число? Очевидно а°=11).

Определение. Всякое число в нулевой степени {кроме нуля) равно единице, т. е. а°=1 (а Ф 0).

Если бы считать, что а0 = 2, то атап Ф ат+п, так как а°ат = 2ат; но a°+w = ат и 2ат Ф ат, тогда а0+т Ф а°ат.

Точно так же, если считать а° = 0, то опять а°атФа°+т, так как в левой части имели бы 0, а в правой ат Ф 0. Следовательно, если бы мы приняли, что а0 =2 или а° = 0. то пришлось бы иметь одни правила действий над степенями с натуральными показателями и другие — над степенями с нулевым показателем, что создало бы большие неудобства.

И те и другие соображения показывают целесообразность определения а0 = 1 (а Ф 0).

Рассмотрим свойства степеней с нулевым показателем.

1) атап = ат+п.

1) См. В. М. Брадис, Методика преподавания математики, Учпедгиз, 1954, стр. 300.

Пусть т=0. Требуется доказать а°ап = а0+п. а°ап=ап, так как а°=\ (по определению); а0+п = яЛ.

Но два числа, равные третьему, равны между собой, т. е. а°ап — а0+п.

Если т = п = 0, то а°а° =1-1 = 1 и а°+о = а°=1.

2) ат : ûn = ûw~n.

Пусть а = 0. Требуется доказать ат : а° = aw"°. аот : ао = ат : 1 — aw. а?и-о _ Тогда а"* : а° = ащ-°.

3) (о™)я = атп.

Пусть m = 0. (а°)п = Iя = 1 ; атп = а° = 1.

Пусть т = п = 0 (а°)° = 1°= 1; а00 = а° = 1.

Вывод. Степени с нулевым показателем обладают теми же свойствами, что и степени с натуральными показателями.

Степень с целыми отрицательными показателями.

Соображения о целесообразности определения аналогичны предыдущим: а^п = ~ (а Ф 0).

На примерах деления степеней с натуральными показателями (а4 : аь и т. п.) показывается необходимость изучения степеней с отрицательными показателями.

Какой смысл придавать выражению а*~п? (п — натуральное).

Как и в предыдущем случае должно иметь место ат . ап = а,п+п.

Например, а~5 • я6 = а~ъ+6 = д. На какое число нужно умножить а6, чтобы получить а?

Очевидно, что число равно —j . Тогда естественно считать я-* = _.

Определение. а~п — -^ (а Ф 0).

Рассмотрим свойства степеней с целыми отрицательными показателями:

Вывод. Степени с целыми отрицательными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с натуральными и нулевым показателями.

Действия над степенями с целыми отрицательными показателями.

Предварительно необходимо убедиться, что при возведении в степень произведения достаточно возвести в ту же степень каждый сомножитель в отдельности и результаты перемножить; при возведении в степень дроби, достаточно возвести в ту же степень числитель и знаменатель в отдельности и первый результат разделить на второй. Эти предложения являются следствиями определения и свойств степеней с целыми показателями

С другой стороны,

Из определения а~п — -^ следует: чтобы возвести число в целую отрицательную степень, достаточно возвести число, обратное данному, в степень с показателем противоположным данному.

Так как числом, обратным данной дроби ^ , будет а то возведение -г- в целую отрицательную степень сводится

к перестановке числителя на место знаменателя, а знаменателя на место числителя с показателем степени, противоположным данному. Например,

Полученные ранее свойства должны быть явным образом использованы при действиях над степенями с целыми показателями. Это даст возможность закрепить знания учащихся и избавить их от громоздких преобразований.

Пример.

(возведение в степень произведения) = 4х6у12 (возведение степени в степень, возведение дроби в целую отрицательную степень).

Если же каждый раз осуществлять переход а~п = -^, то получим:

Очевидно, второе решение более громоздкое.

Таблица обратных чисел. График у = ~.

Упражнения на степени с отрицательными показателями удобно связать с работой по таблице значений дробей вида — > , так как а-1 =— .

Например, найти значение — при а равном 1; 1,2; 1,22; 1,225; 4,52 ...

Непосредственно по таблице получим: 1; 0,8333; 0,8197; 0,8163; 0,2212 ...

Рассмотрим более подробно нахождение поправок в таблице обратных чисел. По аналогии с предыдущим можно начать с рассмотрения примеров. Для числа 2,82 обратным будет 2^2=0,3546; для числа 2,81 = 0,3559, 2,82 > 2,81. Но 0,3559 > 0,3546. Тогда -"^-г.

1) См. В. М. Брадис, Четырехзначные математические таблицы, Учпедгиз. Любое издание.

После рассмотрения нескольких примеров делается вывод: при возрастании данных чисел обратные им числа убывают.

Пример. Найти в таблице число, обратное числу 2,854. Как и в предыдущем случае, берется ближайшее к нему меньшее трехзначное табличное число. Таковым будет 2,85.

По таблице ^ = 0,3509. Данное число 2,854 > 2,85.

Значит,

Следовательно, для нахождения значения гго^г из числа следует вычесть поправку. Значение этой поправки равно 0,0005.

Тогда

Графически изображается гиперболой (обратная пропорциональная зависимость величин)1).

Так как значения х в таблице положительны, то рассматривается лишь одна ветвь гиперболы (черт. 8).

g-^g изображается отрезком AB, 2 g——отрезком CD.

Но AM = DC. Тогда DC = AB — BM.

В рассматриваемом примере ВМ = 0,0005.

Замечание. В дальнейшем при изучении темы «Арифметическое значение корня» от учащихся потребуется умение решать простейшие неравенства, содержащие абсолютную величину. Поэтому целесообразно заранее провести небольшую подготовительную работу, чтобы создать условия для более успешного изучения материала в дальнейшем. Эту работу следует проводить при изучении степеней с нулевым и целым отрицательными показателями. Упражнения по этому материалу необходимо взять из задачника П. А. Ларичева, ч. II. № 31-38.

Черт. 8.

1) Известно учащимся из курса VII класса.

§ 7. КОРЕНЬ n-й СТЕПЕНИ

Понятие корня я-й степени (п — натуральное). Простейшие свойства.

1. По аналогии с определением понятия квадратного корня устанавливаем:

Определение. Корнем степени п из числа а называется такое число Ь% п-я степень которого равна а. Обозначение: у а = Ь. По определению: Ьп = а или (уга)Л = а — символическая запись определения. При четном п должно быть а ^ 0.

Необходимо добиться прочного знания того, что (j/ö)w = a. С этой целью можно поупражняться в решении задач вида: дан yäl\ чему равна третья степень этого числа? Если обозначить у а2 = х, то по определению корня хг = а2, т. е. (УН2 )3 = а2. Точно так же:

Желательно обратить внимание учащихся на то обстоятельство, что определение корня степени п полностью согласовывается с прежним определением корня второй степени; оно не противоречит определению квадратного корня, а, наоборот, включает его как частный случай.

Рассмотрим простейшие свойства корня я-й степени.

1. Корень четной степени из отрицательного числа не существует среди действительных чисел.

Это следует из того, что четная степень любого действительного числа не может быть отрицательным числом.

2. Корень четной степени из положительного числа имеет два противоположных значения, так как четная степень двух противоположных чисел будет одной и той же.

3. Корень нечетной степени из положительного числа будет положительным (проверяется на основании определения корня).

4. Корень нечетной степени из отрицательного числа равен взятому со знаком минус корню той же степени из противоположного числа.

Примеры.

В общем виде.

Пусть число а > 0. Тогда — а < 0. Требуется доказать у —а = — у а.

Пусть у а = х\ тогда

Решить несколько примеров из задачника П. А. Ларичева.

Во всех рассматриваемых случаях извлечение корня степени п сводилось к извлечению корня из положительного (точнее, неотрицательного) числа. Поэтому естественно поставить вопрос: всегда ли существует корень степени п из любого неотрицательного числа и будет ли этот корень (если он существует) единственным? Ответом на эти вопросы является теорема о том, что корень /z-й степени из любого неотрицательного числа существует и притом имеет единственное неотрицательное значение у а, где а ^ 0 и п — натуральное (п > 1).

Эта теорема в школьном курсе не доказывается, а лишь иллюстрируется на частном примере.

Арифметическое значение корня.

1) Найти сумму

Получим:

Если учитывать все знаки перед каждым корнем, нахождение суммы становится затруднительным ввиду неоднозначности ответа.

Во многих случаях нет необходимости рассматривать всевозможные комбинации знаков; можно ограничиться лишь положительными значениями. Тогда

Определение. Арифметическим значением корня степени п из неотрицательного числа называется неотрицательное значение этого корня.

Для закрепления полезно рассмотреть примеры на выделение арифметических значений корней из данных чисел:

Арифметический корень всегда существует и имеет лишь единственное значение.

Примечание. В дальнейшем все рассматриваемые радикалы предполагаются арифметическими.

Упражнения. 1) Найти допустимые значения буквы с» при которых следующие выражения будут арифметическими корнями.

Так как извлекаются корни нечетной степени, то для получения арифметических корней необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Следовательно, ответ на поставленный вопрос получится в результате решения неравенств

2 + а>0; 3 —û>0 и т. д.

Откуда а^>— 2; я<]3 и т. д.

2) Найти арифметические значения корней:

При решении последнего примера отмечаем, что значения а могут быть положительными и отрицательными: ")/а2 и У(—а)2- Но так как арифметический корень не может быть числом отрицательным, то Ya2 = а* если û>0 и Ya2 = — а, если а < 0, т. е. Ya'2 = \a\ (по определению абсолютной величины числа).

Следовательно, арифметический квадратный корень из выражения, представляющего собой квадрат некоторого числа, равен абсолютной величине этого числа.

6) Найти арифметическое значение корней:

По определению арифметического корня

4) Вычислить:

Арифметический корень:

б) Вычислить

5) Доказать, что

Предварительно найдем арифметический корень:

Тогда

т-\-п-\-т—п = 2т, если т>п

т-\-п-\-п — т — 2п, если m < п.

6) Найти допустимые значения х для выражений:

Так как извлекаются корни четной степени, то подкоренные выражения не должны быть отрицательными. Тогда

Решая эти неравенства, получим а) лг<;2 (черт. 9); б) jc>.-j (черт. 10).

Основное свойство арифметического корня.

Можно наметить примерно следующий план урока на эту тему.

1. Возьмем два радикала у б и У 8. Радикалы имеют разные показатели. Нельзя ли преобразовать их так, чтобы показатели были одинаковы? Если показатель первого корня умножить на 2, то оба корня будут иметь одинаковые показатели. Но что нужно сделать с подкоренным выражением первого корня, чтобы значение у 6 не изменилось?

2) Рассмотрим примеры1):

Следовательно,

Напрашивается вывод.

Черт. 9. Черт. 10.

1) Рассматриваются только арифметические корни.

Значение арифметического корня не изменится если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число.

Докажем это на частном примере и для общего случая.

Требуется доказать, что

Обозначим левую часть равенства через х, правую — через у

Тогда по определению корня:

х° = т2\ у1Ь = т* I xn — ak\ yPn = a^k.

По свойству степени с натуральным показателем будем иметь:

3. Пользуясь этим основным свойством, можно упрощать данные радикалы, приводить их к одному и тому же показателю.

4. Отмеченное свойство не всегда имеет место по отношению к неарифметическим корням.

Например,

5. Выполнить упражнения из задачника П. А. Ларичева. При выполнении упражнений на основное свойство корня учащиеся иногда делят на одно и то же число показатель корня и показатель отдельного сомножителя подкоренного выражения, забывая про остальные. Для предупреждения таких ошибок целесообразно при выполнении первых упражнений выделять общий множитель показателей степени всех сомножителей подкоренного выражения и только после этого ставить вопрос о делении показателя корня и показателя степени всего подкоренного выражения на одно и то же число.

Пример

§ 8. СТЕПЕНЬ С ДРОБНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ.

Понятие о степени с дробными показателями.

Указания остаются такими же, как и для степеней с целыми отрицательными показателями.

Используя основное свойство корня, получаем

Эти результаты получены путем деления показателя подкоренного выражения и показателя корня на одно и то же число (на показатель корня), т. е. |^24 = 22 = 21 ;

Рассуждая аналогично, устанавливаем ]/23 = 2'- ; }/32 = 3:j и т. д. Получили степень с дробными показателями. Как же следует понимать ап? Смысл этого выражения раскрывается через определение. Какое же следует дать определение? Желая сохранить неизменными ранее установленные свойства степеней, должны получить, например, \2 4/ = 24 = 23. Но с другой стороны = 23. Поэтому естественно считать (определить) 24 = у 23. Вообще ап — У ат% где m и п — натуральные числа, а > 0, т. е. степень с дробным показателем ап есть радикал, у которого показатель равен знаменателю, а показатель степени подкоренного выражения — числителю дробного показателя.

Оговорка относительно а > 0 необходима, так как при а < 0, п четном и m нечетном выражение а11 во множестве действительных чисел лишено смысла. Например, —22 = У—23 = уг—8 среди действительных чисел не существует.

Свойства степеней с дробным показателем.

1. Величина степени с дробным показателем не изменится, если числитель и знаменатель показателя степени увеличить или уменьшить в одно и то же число раз.

По основному свойству корня

m рт

Полученное равенство можно записать ап — а?п (по определению степени с дробным показателем). Используя это свойство, можно приводить дробные показатели к одному знаменателю.

Упражнения.

1) Привести дробные показатели к общему знаменателю

2) Следующие радикалы записать в виде степеней с дробными показателями и привести их к общему знаменателю

2. При умножении степеней с одним и тем же основанием показатели степеней складываются.

Рассмотрим это свойство на частных примерах и в общем случае.

Требуется доказать:

Обозначим:

Приведем показатели степени к одному знаменателю (свойство 1)

Возведем каждую часть равенства в степень 12 {nq)

Так как в правой части первого равенства произведение возводится в степень с натуральным показателем, то

По определению степени с дробным показателем:

По определению корня и свойству степеней с натуральным показателем:

Отсюда

По свойству степени с натуральным показателем получим

Упражнения.

1) Произвести указанные действия над степенями с дробными показателями:

2) Следующие радикалы записать в виде степени с дробными показателями и произвести указанные действия:

3. При делении степеней с одним и тем же основанием показатель делителя вычитается из показателя делимого, т. е. требуется доказать:

Рассуждая аналогично предыдущему, получим:

Упражнения.

Произвести указанные действия и записать результат в виде радикалов:

4. При возведении степени в степень показатели перемножаются, т. е. требуется доказать:

Обозначим:

Упражнения.

Произвести указанные действия:

Вывод. Степени с положительными дробными показателями обладают теми же свойствами, какими обладают степени с натуральными, нулевым и целыми отрицательными показателями.

Степени с дробными отрицательными показателями в школе обычно не рассматриваются. Если же ввести определение

где m и п — натуральные числа, то

можно установить, что и в этом случае сохраняются ранее полученные свойства степеней. Тогда можно сформулировать общий вывод: степени с рациональными показателями обладают одними и теми же свойствами.

Степень произведения и дроби.

Чтобы возвести произведение в степень с дробным показателем, достаточно возвести в эту степень каждый сомножитель в отдельности и результаты перемножить.

Обозначим:

Упражнения.

Произвести указанные действия:

Чтобы дробь возвести в степень с дробным показателем, достаточно возвести в эту степень числитель

и знаменатель в отдельности и первый результат разделить на второй.

Обозначим:

Упражнения.

Произвести указанные действия и результат записать в виде радикалов:

Упражнения на закрепление всех свойств степеней с дробными показателями смотрите в задачнике П. А. Ларичева, ч. II, § 15.

§ 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДИКАЛОВ.

Преобразование иррациональных выражений может производиться как в форме радикалов, так и в форме степеней с дробными показателями. Выбор той или иной формы записи диктуется рационализацией процесса вычисления в каждом конкретном случае. Выше были рассмотрены правила действий над степенями с дробными показателями. Теперь рассмотрим правила преобразования иррациональных выражений, записанных в форме радикалов.

Простейшими преобразованиями радикалов являются: введение множителя под знак радикала, вынесение множителя

за 8нак радикала, приведение радикалов к простейшему виду. Все эти преобразования легко могут быть обоснованы путем применения свойств степеней с дробными показателями.

Подведение множителя под знак радикала.

Следовательно, чтобы подвести под знак радикала стоящий перед ним множитель, достаточно возвести этот множитель в степень, равную показателю корня, и полученный результат умножить на подкоренное выражение.

Необходимость такого преобразования может быть обоснована требованием получить более точное значение иррационального выражения. Например, требуется найти значение 2)^5. "^5 = 2,23 (с точностью до 0,01 с недостатком). Умножим 2,23 на 2, получим 4,46 — приближенное значение 21^5, причем погрешность этого результата в 2 раза больше погрешности найденного значения 1^5. Чтобы получить более точное значение 2)^5, целесообразно предварительно подвести множитель под знак радикала. В этом случае погрешность, полученная от извлечения корня, не увеличивается

Кроме того, подведение множителя под знак радикала может упростить данное выражение. Например,

Вынесение множителя за знак радикала.

Пусть требуется вычислить \^аъ при а =16. Подставляя значение а в подкоренное выражение, получим

Извлечение корня из семизначного числа представляет трудоемкую операцию. Однако вычисление можно упростить,

если воспользоваться следующим преобразованием

При а =16 получим

Такое преобразование носит название вынесения множителя за знак радикала. Пример

Из приведенных примеров видно, что вынесение множителей за знак радикала сводится к выделению целой части неправильной дроби, полученной от деления показателя какого-либо множителя подкоренного выражения на показатель корня.

При выполнении первых упражнений можно приводить дополнительную запись, которая впоследствии заменяется устными вычислениями. Приведем примеры.

Радикал числителя оставляем без изменения.

Радикал знаменателя можно преобразовать

Тогда Окончательно

Приведение радикалов к простейшему виду.

Данные иррациональные выражения необходимо приводить к простейшему виду, в частности, бывает целесообразно приводить подкоренное выражение к целому виду, что упрощает последующие вычисления. При этом используются ранее изученные преобразования радикалов. Например,

Числитель и знаменатель умножаются на такую степень с дробным показателем, чтобы в знаменателе получилось выражение с целым показателем.

Это же преобразование можно обосновать, исходя из других соображений: числитель и знаменатель подкоренного выражения умножается на знаменатель в такой степени, чтобы в результате знаменатель подкоренного выражения был в степени, кратной показателю корня. Например,

Определение подобных радикалов смотрите в учебнике А. П. Киселева, ч. II, Упражнения на преобразование радикалов и подобие радикалов смотрите в задачнике П. А. Ларичева, ч. II, № 190 и др.

§ 10. ДЕЙСТВИЯ С РАДИКАЛАМИ.

Все предложения о радикалах обосновываются путем использования степеней с дробными показателями. Извлечение корня из произведения:

Извлечение корня из дроби:

Извлечение корня из корня и из степени:

В последнем случае извлечение возможно, если m кратно п. Умножение радикалов с одинаковыми показателями:

Деление радикалов с одинаковыми показателями:

Умножение и деление радикалов с различными показателями проще выполнять при записи выражения в форме

1) Формулировки этих правил смотрите в учебнике А. П. Киселева, Алгебра, ч. II, Упражнения смотрите в задачнике П. А. Ларичева, Сборник задач по алгебре, ч. 11.

степеней с дробными показателями

Возведение радикала в степень:

После вывода каждого из этих правил преобразования иррациональных выражений могут производиться либо в форме радикалов, либо в форме степеней с дробными показателями.

Выбор формы записи зависит от конкретных условий: предпочтение отдается более простому способу решения.

Освобождение от иррациональности.

Необходимость освобождения от иррациональности может быть обоснована следующим образом.

При выполнении действий с радикалами иногда бывает удобным предварительно преобразовать данное иррациональное выражение так, чтобы его знаменатель или числитель стали рациональными. Например, найти Вычисление можно вести двумя способами:

а) Найти значение |/^2^ 1,414, а затем 20 разделить на 1,414.

б) Умножить числитель и знаменатель на 1^2. Тогда

Второй способ оказался более простым. Точно так же при вычислении выражения

предварительное освобождение от иррациональности в знаменателе значительно упрощает процесс вычисления

Иногда бывает удобным предварительно освободиться от иррациональности в числителе. Например, пусть требуется найти —о-. Умножим числитель и знаменатель на У"3. Получим

Значения Уз и уу находятся непосредственно по таблицам.

Если же не освобождаться от иррациональности в числителе, то найденное значение Уз придется делить на 3.

Упражнения. Л., ч. II, § 17.

§ 11. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ.

1) Каким числом выразится длина диагонали квадрата, если сторону этого квадрата принять за единицу? [Иррациональным].

2) Какими будут числа, представляющие собой квадратные корни из натуральных чисел, из которых не извлекается точный целый корень? [Иррациональными.]

3) Какие из следующих чисел являются рациональными и какие иррациональными:

4) Можно ли квадратный корень из некоторых рациональных чисел записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби? Всегда ли это возможно? Привести примеры.

5) Какими числами могут быть квадратные корни из натуральных чисел? Привести примеры. [Рациональными и иррациональными.]

6) Может ли сумма двух иррациональных чисел быть числом рациональным? [Может, например.

7) Почему можно утверждать, что на числовой оси имеются точки, которым не соответствуют рациональные числа?

8) Что больше

9) Как понимать выражение: «Извлечь квадратный корень с точностью до 1; 0,1; 0,01?» Ответ иллюстрировать на примерах.

10) Сформулировать правило округления чисел. Иллюстрировать его на конкретных примерах.

11) Почему приняты определения а°=1 (а Ф 0);

Почему в последнем определении необходимо, чтобы а > 0? 12) Найти допустимые значения х в выражениях:

Показать на числовой оси.

13) Используя теорему на странице 38, доказать:

14) При каких значениях m справедливы соотношения: m5 > т\ ть < т\ т* = т\ тъ > т2\ тъ < т2?

15) Возвести в степень наиболее рациональным путем: 402; 2002; 8002; 303; 204. [Воспользоваться правилом возведения в степень произведения: 303 = (3 • 10)3 = 27 000 и т. д.]

16) Имеем: х12=у12. Всегда ли при этом условии х =у?

17) При каком а справедливо равенство ]Лх2 = а? [При в>0.]

18) Чему равен арифметический корень из Yd1 при а< 0?

19) Какое значение имеет выражение - при agO?

20) Найти ошибку в следующем рассуждении:

Умножим числитель и знаменатель дроби ~- на 2. Получим:

Так как (— 32)5 = (— 32)ш, то —2 = 2. [В определении ап =У ат предполагается, что а > 0. В данном случае а = — 32 <0.]

21) Число У 2 иррациональное. Каким будет число 23?

[Иррациональным, так как 23 —другая форма записи того же числа.]

22) Выражение {а Ф 0. m — натуральное) является дробным. По определению ~ = а~т. Правая часть по внешнему виду не напоминает дробь. Не получается ли здесь противоречие: целое равно дроби? |^Нет, так как а~т другая форма записи выражения ^«]

§ 12. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ КРУЖКОВОЙ РАБОТЫ.

1) Доказать, что ]/^2 является иррациональным числом. Предварительно доказывается предложение: куб нечетного числа есть число нечетное

(2x4- 1)3 = 8л:3+12х2+ 6*4-1 = 2ю-+-1.

Допустим 1^2=—, где —— несократимая дробь; р и q— натуральные числа.

По определению корня ~ — 2\ p* = 2q*. Получили: куб числа р является четным числом, тогда р — четное число (если бы р было нечетным числом, то его куб был бы нечетным). р — 2к. Или: 23&3 = 2<73, т. е. q3 = 2L Но тогда q = 2m. Получили: р и q имеют общий множитель, что противоречит допущению; — — несократимая дробь.

В таком же плане может быть рассмотрено доказательство иррациональности

и др. Желательно рассмо-

треть также вычитание, умножение и деление действительных чисел по стабильному учебнику.

2) Установить, что степень с дробным отрицательным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с натуральным показателем, т. е..

Пример:

3) Вычислить:

д) Найти числовое значение выражения 4лг -|—"j/^l — 2х-\-х2 при X =■ 5.

Первый способ. Подставляя вместо х число 5, получим

Второй способ. Предварительно извлекая корень, получим:

4*+1 — х — Зх + 1. При х = 5 3*+1 = 16. Почему получились разные ответы?

При втором способе вычисления допущена ошибка: было принято У(1—х)2= 1—X, что имеет место лишь при X < 1. Так как

то при X = 5 > 1 следует считать у (1 — х)2 — х — 1. Тогда

4) Доказать:

если а > 0, b > 0, а2 > Ь. Обе части каждого из доказываемых равенств положительны (берутся арифметические

корни). Тогда: если будут равны квадраты этих частей, то равенства будут справедливы:

Аналогично доказывается второе равенство. Примеры на использование полученных формул.

а) Вычислить:

б) Доказать, что

5) Найти сумму чисел l+2-r-3-f-4-f-...-T-tt.

Отложим на горизонтальной оси равные отрезки с отметками 1, 2, 3, 4 . . . На полученных отрезках строим прямоугольные фигуры, состоящие из квадратиков (как показано на черт. 11). Тогда нахождение суммы l-f-2-f- ... -\-п сведется к подсчету числа квадратиков. Дополним полученную фигуру до прямоугольника, у которого стороны будут равны п и й-f-l. В нем уложится п(п-{-\) квадратиков.

Тогда: 1+2+ ... +„ = £L^+I>.

6) Найти сумму квадратов п первых чисел натурального ряда.

1) Материалы на применение полученных выше формул можно найти в книге М. А. Шапошников и Н. К. Вальцов, Сборник алгебраических задач, ч. II, Учпедгиз. Любое издание.

Рассмотрим равенства:

Складывая правые и левые части, получим после упрощения

Обозначим: Тогда

После преобразований:

Черт. 11.

7) Найти сумму квадратов п первых нечетных чисел натурального ряда I2 —|— З2 —|— 52 —f— ... + (2я— I)2. Имеем:

После сложения получим:

Или

Окончательно:

8) Найти сумму 2°4 2""1+2"2+ ... -f 2~п. Запишем эту сумму по-другому:

Возьмем на числовой оси (черт. 12) точки, соответствующие числам 1 и 2.

Находим на оси последовательно значение сумм Sx=l +17»

Отмечаем, соответственно, что от точки Si до точки 2 не хватает -g-,

Черт. 12.

9) Найти сумму 3° +■ З"1 + 3~2-f ... +3"Л

Умножаем на 2.

В данном случае сумма чисел в правой части меньше 3

на

В том же плане может быть рассмотрено нахождение сумм:

и т. д.1).

10) Доказать, что при любом натуральном п имеет место неравенство:

Обозначим:

1) И. В. Арнольд, Логарифмы в курсе элементарной алгебры, изд. АПН РСФСР, 1949-

Рассмотрим неравенство:

Тогда

После сложения получим

11) Доказать, что

Для нахождения плана доказательства можно исходить из рассматриваемого неравенства

Тогда доказательство надо вести в обратном порядке. Рассмотрим неравенство (а—Ь2)^>0. Отсюда

а2_2а£ + £2>0.

Тогда

Окончательно

Хорошим материалом для кружковых занятий могут служить вопросы выполнения различных действий над приближенными числами, рассматриваемые в связи с умножением, делением и возведением в степень действительных чисел1).

1) М. Г. Васильев, Правила подсчета цифр, сокращенное умножение и деление в курсе VIII класса, «Математика в школе», 1953, № 4.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ..................... 3

Поурочный план работы................ 6

§ 1. Возведение чисел в квадрат ........... 9

§ 2. Точное извлечение квадратного корня...... 12

§ 3. Нахождение приближенного значения квадратного корня...................... 13

§ 4. Действительные числа.............. 22

§ 5. Степень с натуральными показателями...... 36

§ 6. Степень с нулевым и целыми отрицательными показателями .................... 39

§ 7. Корень л-й степени............... 45

§ 8. Степень с дробными показателями........ 51

§ 9. Преобразования радикалов............ 57

§ 10. Действия с радикалами............. 61

§ 11. Вопросы для повторения............. 63

§ 12. Упражнения для кружковой работы....... 65

Алексей Кириллович Артёмов

СТЕПЕНИ и КОРНИ

Редактор И. И. Лепешкина Художественный редактор П. В. Любарский. Технический редактор Г. Л. Татура. Корректор М. В. Голубева

Сдано в набор 14/V 195J г. Подписано к печати 21/1X 1959 г. Бум. 84 X 103V32. Печ. л. 4,5 (3,69). Уч.-изд. л. 3,20. Тираж 35 тыс. экз. А-08535. ^аказ 553. Цена 85 коп.

Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза. Ленинград, Измайловский пр., 29,