АРХИМЕД

Научно-методический сборник

Выпуск 9

2013

Архимед

Научно-методический сборник

Выпуск 9

Москва 2013

Ответственные за выпуск: А.Бунчук, Т.Струков, П.Чулков, А.Шевкин

ISBN 978-5-85593-147-1

Архимед. Научно-методический сборник. Вып. 9. В настоящем сборнике представлены тезисы докладов участников семинара «Интеграция основного и дополнительного физико-математического образования», проходившего 6 февраля 2013 года в ФМШ № 2007 ЮЗОУО г. Москвы, а также другие публикации, посвященные вопросам дополнительного физико-математического образования.

© 2013, AHO Институт логики

© 2013, Редакция «Архимед»

Памяти С.М. Никольского

С.М. Никольский родился 30 апреля 1905 г. в поселке Завод Талица Пермской губернии (ныне г. Талица Свердловской обл.). Он окончил в 1929 г. Екатеринославский институт народного образования (ныне Днепропетровский университет), в 1935 г. — аспирантуру МГУ им. М.В. Ломоносова, в 1942 — докторантуру Математического института им. В.А. Стеклова Академии наук СССР. С 1940 г. и до последних дней его жизни он был сотрудником этого института.

За свою долгую жизнь Сергей Михайлович преподавал математику в школах и вузах. В последнее время он был профессором Московского физико-технического института и механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Основные научные достижения С.М. Никольского связаны с теорией функций и функциональным анализом, где им получены уже ставшие классическими результаты. Его фундаментальные труды обогатили мировую математику. Он был избран членом ряда иностранных академий наук. Созданная им научная школа имеет мировое признание.

Неоценимый вклад С.М. Никольский внес в совершенствование системы образования в нашей стране. Лекции по разным разделам математики, читавшиеся им в школах и в вузах, серии учебников для высшей и средней школы, написанные им, вошли в золотой фонд отечественной и мировой литературы по математике, благодаря их высокому научному уровню и доступности изложения.

Наряду с научной и педагогической деятельностью С. М. Никольский вел большую и плодотворную научно-организационную и общественную работу. Он являлся членом редколлегий многих отечественных и зарубежных математических журналов; заместителем председателя Национального комитета советских математиков; председателем секции средней школы по математике при Министерстве образования и науки.

С.М. Никольский награжден орденами Трудового Красного Знамени, Ленина, Октябрьской Революции, «За заслуги перед отечеством» II степени, медалями «За оборону Москвы» и «За доблестный труд в Великой отечественной войне 1941-1945 гг.».

Сергей Михайлович Никольский лауреат: Сталинской премии, дважды Государственной премии СССР, Премии правительства РФ по образованию, академических премий П.Л. Чебышева, А.Н. Колмогорова, И.М. Виноградова, премий ряда зарубежных академий, премии правительства Москвы «Легенда века».

С. М. Никольский был замечательным, уникальным человеком, его долго будет не хватать нам. Мы навсегда сохраним светлую память о нашем старшем товарище и учителе, учёном и гражданине.

М.К. Потапов, А.В. Шевкин.

Наглядные образы операций

А.К. Ковальджи,

Лицей «Вторая школа», город Москва

Образы делимости

Многим шестиклассникам не очевидно, что сумма двух нечетных чисел есть число четное. Причина, на мой взгляд, — в отсутствии наглядных представлений, которые формируют интуицию.

Понятие четного числа можно представить себе двумя разными способами:

1) число равно сумме двух одинаковых чисел, m = n + n, т.е. делится пополам;

2) число равно сумме двоек, m = 2 + 2 + ... + 2, т.е. разбивается на пары.

Соответственно получаем два разных образа:

1) число состоит из двух одинаковых частей, ⚫⚫⚫⚫⚫ + ⚫⚫⚫⚫⚫;

2) число состоит из пар, ⚫⚫ + ⚫⚫ + ⚫⚫ + ⚫⚫ + ⚫⚫.

Первый способ годится и для нецелых чисел или отрезков, но неудобен для представления нечетных чисел, а второй способ позволяет дать геометрический образ нечетного числа, что методически важно для объяснения детям.

Нечетное число — это несколько пар одинаковых объектов (кружочков) и один кружочек без пары. Тогда легко понять, почему сумма двух нечетных чисел дает четное число, — кружочки без пары образуют новую пару,

Аналогично, для делителя 3, m = n + n + n, m = 3 + 3 + .. + 3 и т.д.

За этим стоит фундаментальное свойство умножения чисел — коммутативность, в нашем случае: 2×n = n×2, которое и приводит к разным наглядным образам.

Коммутативность

В учебниках и на уроках обычно не объясняют важнейшее свойство умножения натуральных чисел — коммутативность (переста-

новочность), хотя это просто и поучительно. Вместо этого детям внушают, что это закон, — переместительный закон умножения. По нашему мнению, это большая методическая и математическая ошибка. Приятное исключение составляет учебник [Никольский], где говорится о подсчете клеток прямоугольника двумя способами.

Докажем перестановочность умножения натуральных чисел. Рассмотрим прямоугольник на клетчатой бумаге тхп клеток, например 4×3 :

Будем считать клетки по строкам, получим по 4 клетки в строке 3 раза. По определению умножения, общее число клеток равно 4×3 . Будем считать клетки по столбцам, получим по 3 клетки в столбце 4 раза. По определению умножения, общее число клеток равно 3×4. Но мы считали те же самые клетки, поэтому 4×3=3×4.

Порядок счета

Конечно, здесь по умолчанию предполагается, что результат счета элементов конечного множества не зависит от порядка, в котором мы их считаем. Это тоже теорема, а не аксиома. Докажем и ее.

Пусть у нас есть две разные нумерации конечного множества. Нумерация это когда на каждый элемент множества повесили номерок, как в гардеробе. При этом есть взаимно однозначное соответствие между элементами множества и номерками.

Для удобства первую нумерацию назовем местами, как в гардеробе, а вторую — номерками. Перевесим первый номерок на первое место, а тот, что висел на первом месте, — туда, где висел первый. В результате у нас сохранится взаимно однозначное соответствие между местами и номерками. Продолжая перевешивать номерки по порядку, мы получим, что первая нумерация соответствует второй, т.е. номерки висят на своих местах, и пустых мест нет.

Образы дроби

Важны наглядные представления и для деления. Например, как представить себе 2/3? Можно поделить шоколадку на три равные час-

ти и взять две из них, или взять две шоколадки, как одну большую, и поделить ее на три равные части. Кстати, в жизни обе эти интерпретации используются и соответствуют двум разным задачам:

1) как взять две трети одного пирога?

2) как поделить два пирога на троих?

Результаты, как числа, совпадают, но смысл у них разный. В первом случае мы сначала делим 1 на 3, потом умножаем на 2, а во втором — сначала умножаем 1 на 2, а потом делим на 3. Коммутативность здесь следует из того, что операция деления на 3 эквивалентна умножению на обратное число, т.е. 1/3.

Замечания

1. Как проверить, делится ли число а на число b? Первый подход нацеливает нас поделить а на b равных частей, а потом посмотреть одну часть, выражается ли она целым числом. Этот подход приводит к понятиям целой и дробной части числа. Можно дать определение: число а делится на число b, если дробная часть числа а/b равна нулю. Второй подход нацеливает нас поделить а на b с остатком. Тогда определение делимости выглядит так: число а делится на число b, если остаток от деления а на b равен нулю. На этом пути мы приходим к алгоритму Евклида и классической теории чисел.

2. Метод деления на равные части ближе к геометрии, например, отрезок можно поделить на несколько равных частей с помощью теоремы Фалеса. А метод получения остатка с помощью последовательного вычитания из делимого делителя более арифметичен, поскольку использует дискретную операцию.

3. Разбиение двух множеств на пары элементов — это взаимно однозначное соответствие между ними, с его помощью мы определяем равномощные множества. Простейший пример, с которого хорошо начинать разговор о мощностях множеств: На новогоднем празднике в детском саду много детей. Как быстрее всего узнать, кого больше, — девочек или мальчиков? Первый подход предполагает пересчет тех и других и сравнение результатов, а второй — дать команду: «Дети, встаньте парами, — мальчик с девочкой».

4. Разбиение на пары это и график функции, т.е. множество пар точек (х;f(х)) на координатной плоскости.

Обзор учебников

Два взгляда на деление присутствуют, например, в учебнике [Виленкин]: «Разделим 2 одинаковых яблока между тремя детьми. Число 2 не делится нацело на 3. Поэтому разделим каждое яблоко на 3 равные части и дадим каждому ребенку по одной части от каждого яблока».

Однако явного различия между двумя взглядами на дробь не проводится. Кроме того, присутствует странная логика: «если 2 не делится нацело на 3, то разделим 1 на 3». И причем здесь «два одинаковых» яблока, когда таким способом можно разделить на троих и два разных яблока? С другой стороны, если надо поделить 100 яблок на троих, то лучше это делать на весах, а не делить каждое яблоко на три части.

Есть только одна интерпретация дроби, например, у [Эрдниев], там говорится, что 2:3 это два раза по 1/3, и никак иначе. И в учебнике [Никольский] тоже только одна интерпретация дроби.

Заключение

Казалось бы, наши рассуждения тривиальны, однако на эту тему есть задача, которую и дети, и взрослые обычно решают с трудом:

Бабушка принимает утром и вечером два лекарства по одной таблетке каждого. Однажды она решила приготовить две порции, высыпав на стол по две таблетки каждого лекарства. И тут она обнаружила, что таблетки на вид абсолютно одинаковые. Как ей выпить утром и вечером по одной таблетке каждого лекарства, используя только эти четыре таблетки?

Литература

[Виленкин] — Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. — Математика 5. — Мнемозина, М. 2008, стр. 162.

[Эрдниев] — Б.П. Эрдниев, П.М. Эрдниев. — Математика 5 класс / книга для ученика и учителя. — М.: «Столетие», 1996, стр.122.

[Никольский] — С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. — Математика. 5 класс. — М.: Просвещение. 2009, стр. 20.

Геометрия в 7 физ-мат классе «по Колмогорову»

Ю.Б. Вейц,

Школа №192, город Москва

Введение. Краткая история проблемы

В 50-х годах XX века академик А.Н. Колмогоров предложил реформировать математическое образование в Советском Союзе с целью сблизить уровни ВУЗовской и школьной программ. Кроме того, предполагалось поднять качество математического образования в стране до уровня, уже достигнутого в университетах западноевропейских стран.

Идеи, положенные в основу предложенной Колмогоровым реформы, принадлежали, разумеется, не Колмогорову. Они выкристаллизовались в процессе глубокой структурной перестройки математики, начавшейся в конце XIX века. Главным изменением явилось резкое повышение требований к строгости математических доказательств. Имея в виду именно эту цель, Давид Гильберт выдвинул в самом начале XX века свою программу аксиоматизации математики. И, в частности, предложил свою систему аксиом евклидовой геометрии.

В процессе развития математики выяснилось, что программа Гильберта принципиально невыполнима из-за, например, теоремы Гёделя о неполноте формальных арифметик. Кроме того оказалось, что невозможно доказать абсолютную непротиворечивость системы аксиом: речь может идти лишь об относительной непротиворечивости. Обнаружились и другие проблемы, впрочем, это уже сюжет для совсем другого рассказа. Предпринятое в XX веке исследование оснований математики оказалось чрезвычайно плодотворным. Было установлено, что математика исследует только два понятия — числа и функции, и при этом говорит на языке теории множеств. (В качестве заметки на полях: в теории множеств также выявлены парадоксы, поэтому уже в середине ХХ-го века была сделана попытка положить в основание математики теорию категорий. Эта попытка потерпела крах по вине одного из советских ма-

тематиков и существовавшей в СССР системы защиты диссертаций. Следующая попытка — топосы. И это тоже совсем другая история.). Итак: выявлены три кита, на которых должна опираться математика, и школьная в том числе: множества, числа и функции.

Таковы внутренние, т.е. математические, основы колмогоровской реформы. Для реформирования геометрии А.Н. Колмогоров создал новую аксиоматику евклидовой геометрии. По сравнению с аксиоматикой Гильберта изменения вроде бы невелики, но чрезвычайно глубоки. Во-первых, аксиоматическое требование метрики, и именно евклидовой метрики. Евклидовость метрики означает, грубо говоря, вычисление расстояния (от точки до начала координат в пространстве) по формуле р = √х2 + у2 + х2 . В качестве примера неевклидовой метрики можно указать псевдоевклидовую метрику, где р = √z2 -у2 - x2 . А самое главное — аксиома подвижности плоскости. Оба нововведения функциональны. По поводу аксиомы подвижности будет сообщено далее, а расстояние, согласно аксиомам расстояния, является отображением пар точек плоскости во множество действительных чисел.

К сожалению, реформа Колмогорова не удалась. Главная причина провала — практически полная неготовность учительского корпуса к подобным нововведениям. Результатом стало выхолащивание геометрии, снижение уровня и качества геометрической подготовленности выпускников и, самое печальное — резкое возрастание роли методистов. В итоге общих усилий учителей и методистов все внимание было сосредоточено на соблюдении правил оформления работ учащихся. Содержательная часть математики оказалась оттесненной на задний план.

Тем не менее, при преподавании геометрии в математическом классе, на мой взгляд, следует вернуться к идеям колмогоровской реформы. Я опирался на аксиоматику Колмогорова при изложении геометрии практически в течение всей своей работы в качестве учителя геометрии, т.е. более 35 лет. Сопротивление учеников, их родителей и методистов, отсутствие сначала достаточного, а на сегодняшний день сколько-нибудь заметного количества учебников «Геометрия 6-8» под редакцией Колмогорова, безусловно, мешают, но это преодолимые препятствия.

1 Аксиоматика Колмогорова

Если учесть, что последнее издание учебника под редакцией А.Н. Колмогорова относится к событиям 40-летней давности, то на сегодняшний день существует очень немного учителей математики, знакомых с использованной в нём аксиоматикой. Поэтому в этом параграфе познакомимся с аксиоматикой Колмогорова.

Изложение аксиом и определений я буду сопровождать комментариями (они выделяются курсивом), сами формулировки — полужирным шрифтом.

Как известно, геометрия строится по следующему плану:

1. Перечисляются основные геометрические понятия, которые вводятся без определений. (Безусловно, требуются весьма развернутые пояснения.)

2. При их помощи даются определения всех остальных геометрических понятий. (Как известно, многие определения могут быть даны только как следствия аксиом или даже весьма трудных и объёмных теорий. Так, к примеру, обстоит дело с определением величины угла).

3. Формулируются аксиомы.

4. На основе аксиом и определений доказываются теоремы. (По крайней мере, должна присутствовать доказуемая возможность свести все рассуждения к определениям и аксиомам. В действительности, требование выполнить этот пункт полностью приведёт к колоссальному возрастанию объёма учебника).

Комментарий из учебника: В планиметрии изучаются только фигуры, лежащие в какой-либо одной плоскости. Эти фигуры Рассматриваются как подмножества множества Q всех точек этой плоскости. Так как другие точки мы не рассматриваем, то будем говорить, что «плоскость» и есть множество « Q » . Таким образом, неопределяемых понятий в планиметрии три:

1. Точка.

2. Прямая.

3. Расстояние.

И снова комментарий из учебника: «Следует только заметить, что при построении планиметрии мы будем пользоваться правилами логики и общими свойствами множеств как известными. После того, как в одной из аксиом будет сказано, что расстояние от точки

до точки есть неотрицательная величина, мы будем пользоваться также изучаемыми в алгебре свойствами величин (чисел)».

Помимо этого в учебнике Колмогорова предлагается весьма тщательно разработанная система обозначений. Эти обозначения будут появляться по мере необходимости. Для начала: точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита (и множества — тоже!), прямые — строчными буквами латинского алфавита. В краткой (символьной) записи аксиом я использую также общеизвестные (и сообщаемые ученикам) кванторы: общности, существования и единственности.

1.1 Аксиомы принадлежности (инцидентности)

Аксиома I1 . Каждая прямая есть множество точек. (Разумеется, речь идет о точках плоскости) Аксиома I2 . Для любых двух отличных друг от друга точек существует одна и только одна содержащая их прямая. Теперь возможно:

1. Доказать, что две различные прямые могут иметь не более одной общей точки.

2. Ввести новое обозначение для прямой, а именно: если В , то та единственная прямая, которая содержит эти точки, может быть обозначена (AB).

Аксиома I3. Существует хотя бы одна прямая, и каждой прямой принадлежит хотя бы одна точка.

(Вообще говоря, в этой аксиоме хотелось бы добавить ещё и требование существования хотя бы одной точки вне прямой. Но есть ещё и понятное желание сделать аксиомы независимыми. Указанное требование выполняется в силу аксиом порядка).

1.2 Аксиомы расстояния

Аксиома II1. Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В. Расстояние равно нулю в том и только в том случае, если точки А и В совпадают.

Расстояние от A до В обозначается | AB|.

Аксиома II2. Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А: |AB|=|ВА|.

Аксиома II3. Для любых трёх точек А, В, С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С.

Теперь возможно определить понятие «точка X лежит между точками A и В» и понятие «отрезок».

Определение. Точка X лежит между точками А и В, где А≠В , тогда и только тогда, когда | АХ | + |ХВ |=| AB |.

Определение. Отрезком с концами А и В (А≠В) называется множество точек, состоящее из точек А и В и всех точек, лежащих между ними, обозначаемое [AB].

(Тот факт, что все точки отрезка AB целиком лежат на прямой AB вытекает лишь из аксиом следующей группы).

1.3 Аксиомы порядка

Аксиома III1. Любая точка О прямой р разбивает множество всех отличных от О точек прямой р на два непустых множества так, что: а) для любых двух точек А и В, принадлежащих разным множествам, точка О лежит между А и В;

б) если точки А и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой точкой и точкой О.

С этой аксиомой связаны определения важных понятий «открытый луч» и «луч». Приняв аксиому III1, мы имеем право дать названия тем двум множествам, которые определяются заданием прямой р и принадлежащей ей точки О. Эти два множества называются открытыми лучами с началом О. Объединение каждого из них с точкой О называется лучом с началом О (было бы логично сказать «замкнутым лучом», но по традиции и для краткости замкнутый луч называют просто «лучом»).

Луч с началом О и содержащий точку А ≠ 0 обозначается [OA).

Аксиома III2 . Для любого расстояния а на заданном луче с началом О существует одна и только одна точка А, расстояние которой от точки О равно а: |OA|= а.

Из аксиом III1 и III2 вместе с аксиомами I2, II1 и II3 вытекает, что каждой прямой принадлежит бесконечно много точек.

Аксиома III3. Если точка С лежит между точками А и В, то точки А, В, С принадлежат одной прямой.

Из этой аксиомы легко вывести, что отрезок AB есть подмножество прямой AВ. Кроме того, из неё и аксиом расстояния вытекает важное следствие.

Следствие. Для любых трех точек А, В, С, не лежащих на одной прямой, выполняется неравенство: | AB |<| ВС | + | АС |.

Перед формулировкой последней аксиомы порядка введём следующее определение:

Определение. Прямая р разделяет не принадлежащие ей точки A и В, если отрезок AB имеет непустое пересечение с прямой р.

Аксиома III4. Любая прямая р разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на два непустых множества так, что: а) любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой р; б) любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены прямой р.

Множества, о которых говорит эта аксиома, называются открытыми полуплоскостями, ограниченными прямой р. Объединение каждой из этих открытых полуплоскостей с прямой р называется просто полуплоскостью, ограниченной прямой р.

При этом прямая р называется границей полуплоскости.

Полуплоскость с границей р, содержащая точку Ае р обозначается [рА) (аналогично обозначению луча).

Теперь можно дать определение угла.

Определение. Углом ABC (обозначение: ∠ABC), где В(£(АС), называется пересечение полуплоскостей (с пересекающимися границами):

Точка В называется вершиной угла ABC, а лучи [ВА) и [[ВС) — его сторонами.

Здесь изображён тупой угол ABC (рис. 1).

Рис. 1

К достоинствам такого определения угла следует отнести то обстоятельство, что, т.е. полуплоскость является выпуклым множеством, то и пересечение полуплоскостей тоже выпукло. Следовательно, угол по определению является выпуклым множеством. Следовательно, отпадает проблема выбора между углом и не углом, возникающая при определении угла как объединения двух лучей с общей вершиной. Развёрнутый угол определяется как пересечение двух экземпляров одной и той же полуплоскости (вершину можно взять в любой точке границы этой полуплоскости).

Более того, исчезают проблемы с выяснением расположения точек (фигур) относительно угла. Резко облегчается объяснение понятия суммы углов с общей вершиной (если их сумма меньше развёрнутого угла)...

Нетрудно определить и треугольник ABC:

Определение. Если В <£ (АС), то:

Точки А, В, С называются вершинами треугольника ABC, а отрезки [AB], [ВС], [CA] —его сторонами. 1.4 Аксиома подвижности плоскости

Для описания этой аксиомы требуется использовать понятия функции (отображения) плоскости на себя. (Здесь понятия «функция» и «отображение» используются как синонимы!)

Определение. Отображение плоскости на себя называется движением (перемещением), если оно сохраняет расстояния между точками.

Краткая формальная запись этого определения выглядит так: Отображение F плоскости на себя называется перемещением, если

Аксиома IV. Если расстояние | AB | положительно и равно расстоянию |A1B1 |, то существуют два и только два перемещения, каждое из которых отображает точку А на точку A1, а точку В на точку Вх.

Если а— полуплоскость, ограниченная прямой AB, то она этими двумя перемещениями отображается на две различные полуплоскости ах и ß1, ограниченные прямой A1B1.

Аксиома IV является довольно сильным допущением. На самом деле достаточно потребовать существование одной лишь осевой симметрии (одна из возможных формулировок теоремы Шаля на плоскости: Любое перемещение плоскости является осевой симметрией или ком позицией не более трёх осевых симметрий.) В самом учебнике, по сути, именно так и сделано. С другой стороны, эта аксиома удобна, так как её легко применять, и она сразу характеризует разнообразие перемещений плоскости.

В частности, из аксиомы IV можно вывести существование осевой симметрии. Пусть задана прямая р. Выберем на ней две точки А φ В . По аксиоме IV (когда А = A1, В = B1) существуют два перемещения, которые отображают каждую из точек А и В, на самих себя. Если аир — полуплоскости, ограниченные прямой р, то одно из этих перемещений отображает а на себя, а другое — на полуплоскость ß. Второе перемещение и будет искомой осевой симметрией. Остаётся доказать, что оно отображает на себя каждую точку X прямой р.

С этого момента мы получаем перпендикуляр к прямой (как прямую, соединяющую две симметричные точки) и теорему о том, что два перпендикуляра к одной прямой либо совпадают, либо не пересекаются. Далее можно определить параллельность прямых.

Определение. Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются или совпадают.

Заметим, что такое определение не может быть перенесено, например, в геометрию Лобачевского: в ней две непересекающиеся прямые не обязаны быть параллельными, т.е. они могут оказаться свехрпараллельными.

Требование параллельности прямой самой себе необходимо для того, чтобы отношение параллельности прямых было отношением эквивалентности. При таком определении, в частности, становится возможным в дальнейшем определить понятие направления.

Таким образом, в евклидовой геометрии плоскости оказывается доказанной теорема о существовании параллельных, и это сделано без каких-либо манипуляций с плоскостью — в отличие, скажем, от учебника Атанасяна. Для доказательства этой теоремы в этом учебнике требуется сгибать плоскость вдоль прямой. Понятно, что

такой подход, во-первых выводит рассуждения из плоскости (т.е. это уже не планиметрия!); во-вторых для сгибания плоскости необходимо умение выполнить это действие, что предполагает наличие известной ловкости рук у исполнителя. На мой взгляд такой подход годится, к примеру, для фокусников (чтобы не сказать больше).

1.5 Аксиома параллельных

Аксиома V. Через точку А проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой р.

Сформулированных двенадцати аксиом достаточно для построения всей планиметрии. (На самом деле, это не совсем так. Выше уже было упомянуто понятие меры угла. Для аккуратного построения теории угловой меры нужна ещё, как минимум, аксиома о делимости угла на произвольное количество равных частей. А для градусной меры —хотя бы на 60 равных частей.)

2. Почему все-таки Колмогоров?

Я могу указать довольно длинный ряд причин, по которым выбор аксиоматики (и стиля изложения) Колмогорова представляется наиболее разумным.

Начнём с того, что любые попытки осуществить, например, наложение фигур (как у того же Атанасяна), натыкаются на непреодолимые препятствия. Тонкость плоскости влечёт за собой высокие гибкость и растяжимость, которые придают процессу наложения черты, сходные по сложности с проблемой сдвига переводной картинки (все помнят, сколько таких картинок было загублено в детстве!). А с наложением (с целью совпадения) пространственных тел — просто беда (и с физической, и с технической стороны дела). В частности, даже перчатку с левой руки можно надеть на правую руку только вывернув её наизнанку. А с рукой — что делать? (Кости должны будут оказаться снаружи!) Ссылка на трудности с пространством правомерна, поскольку крайне желателен непрерывный переход от планиметрии к стереометрии.

Таким образом, видно, что наложение, скорее всего, несостоятельно как процесс.

Перемещение, будучи функцией, не знает подобных препятствий. Для каждой точки достаточно указать точку, в которую она должна прибыть, а траектория и способ доставки не играют никакой роли. (В самом конце учебника Атанасяна сделана попытка

описать наложение как функцию, но такой подход, увы, неудачен уже в силу выбора термина, да и, по сути, нигде в учебнике не используется).

Раннее введение функционального подхода позволяет очень многие (и достаточно трудные) результаты получать практически без усилий. Помимо этого, появляется возможность дать простые определения основным перемещениям плоскости. Например: центральная симметрия — композиция двух осевых симметрий со взаимно-перпендикулярными осями, поворот — композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями, вектор — композиция двух осевых симметрий с параллельными осями.

В действительности удобство колмогоровского подхода заключается не только в терминологической и математической ясности. Помимо этого имеется евклидова метрика как на плоскости, так и в пространстве; имеется удобное описание вектора (в отличие и от Погореловского, и от Атанасяновского подхода). Действительно, если давать определение вектора как направленного отрезка, то невозможно разумно объяснить способ, которым устанавливается равенство векторов. На самом деле надо говорить об отношении эквивалентности векторов-стрелок, а затем определять вектор как класс эквивалентности по этому отношению. Поскольку нигде в упомянутых учебниках нет об этом ни слова, то, безусловно, важный процесс факторизации оказывается без описания, подкрепления и возможности обобщения.

Что же касается обозначений — здесь тоже очень много бед (в тех же учебниках!). Например, в учебнике Атанасяна, вектор с абсциссой а и ординатой b обозначен как {а; b}. Проблема в том, что фигурная скобка употребляется для обозначения множества, т.е. в ситуации, когда порядок элементов не важен, а для вектора порядок координат — важнейшая деталь описания.

Наконец, следует отметить, что при колмогоровском подходе исключительно важную роль играют топологические мотивы. Здесь и различение открытого и замкнутого луча (перекликающееся с бесконечным числовыми промежутками), и различение открытой и замкнутой полуплоскостей, и понятие области, и многое другое. В частности, при колмогоровском подходе треугольник (и многоугольник) понимаются как части плоскости, содержащие все свои внутренние точки, что значительно лучше, чем подход к многоуголь-

нику как к его границе. Да и само понятие границы, по сути, нигде не определяется, за исключение колмогоровского подхода.

Имеются и другие выгоды для дальнейшего изучения математики (и физики): возможность практически сразу выйти на групповой подход, изучение симметрий дает простые выходы и на другие геометрии, и на современную физику...

Надеюсь, что вышеизложенного достаточно для признания разумности выбора аксиоматики Колмогорова.

3. 7-й физико-математический класс

Практическая работа в седьмом физико-математическом классе в 2011-12 учебном году велась следующим образом. Поскольку у детей в наличии были только учебники Атанасяна, то пришлось изобретать подход, сочетающий использование этих учебников и идеи Колмогорова. Сначала были прочтены лекции об аксиоматическом подходе и структуре геометрии. Затем — знакомство с системой аксиом, приведённой в конце учебника. Знакомство с углами и отрезками ничем не отличались от вышеизложенного. От учебника изложение отличалось в следующих деталях: настоятельная рекомендация использования вышеприведённых обозначений, использование аксиом расстояний для решения задач, связанных с отрезками.

При определении равенства фигур было использовано понятие наложения, при этом детям было указано на неудачность этого понятия и было обещано, что разумное определение будет дано позже. Причина заключается в том, что затраты времени на тщательную проработку понятия отображения без подкрепления сколько-нибудь интересными геометрическими задачами представляются мне неэффективными. Для аксиоматизации следует иметь предметную область, для которой, собственно, и нужна система аксиом. Поэтому главным направлением работы было создание достаточно обширной зоны геометрического кругозора. Для появления аксиомы подвижности плоскости, на мой взгляд, желательно иметь хорошо развитое представление о задачах «на доказательство и на построение». Кроме того, желательно иметь набор уже решённых задач, связанных с симметрией. Я имею в виду такие важные ГМТ, как серединный перпендикуляр к отрезку и биссектриса угла. Хорошо еще иметь в своем распоряжении и параллельность прямых,

признаки параллельности, свойства параллельных прямых, понятие расстояния от точки до прямой.

Трудно удержаться от демонстрации силы предлагаемого подхода, да и странно, если в статье, посвященной преподаванию геометрии, нет чертежей.

Начнём с вопроса о построении перпендикуляра к прямой. Обычно эта задача по-разному решается в случае, когда надо опустить перпендикуляр из точки вне данной прямой на эту прямую, и в случае, когда в точке данной прямой надо восставить перпендикуляр к этой прямой. Первая задача и в учебнике Колмогорова и в учебнике Атанасяна решается путём построения точек пересечения двух окружностей с центрами на данной прямой, проходящих через данную точку. Вторая задача для своего решения требует проведения уже трёх окружностей: первая — с центром в данной точке, а две другие — с центрами в точках пересечения первой окружности с данной прямой.

Всё это, конечно, неплохо. Но, как хорошо известно, учиться — значит приобретать или умение решать новые задачи, или умение решать уже решённые задачи проще. Среди решаемых детьми задач можно предложить им доказать, что середина гипотенузы равноудалена от всех вершин треугольника. После этого уже несложно доказать свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности («золотое свойство окружности» — так оно называется в учебнике Колмогорова). После этого решение задачи на восстановление перпендикуляра решается с помощью единственной окружности! (См. рис. 2).

Введём обозначение окружности с центром в точке О и радиусом R: со(O, R) (в учебнике Колмогорова предлагается окр.(0, R), но мне кажется, что использование кириллицы в формулах является дурным тоном, да и четыре символа вместо одного — явный перебор).

Рис. 2

Итак, задача. Даны прямая а и точка А на ней. Требуется восставить перпендикуляр к прямой а в точке А.

Построение

Это решение демонстрирует помимо метода записи ещё и следующее обстоятельство. Я считаю, что описание построения должно быть точной инструкцией по пользованию циркулем и линейкой (если не оговорено противное), выполнив которую любой человек получит (при разумных данных) искомую фигуру. В анализе и исследовании, разумеется, могут использоваться обобщающие высказывания. Например, можно предложить повернуть фигуру на некоторый угол. Но эта операция должна быть выполнена циркулем и линейкой, и использование инструментов должно быть чётко описано в разделе «Построение».

Указанная форма записи позволяет проводить доказательство правильности построения, используя номера пунктов построения. Вот как может быть оформлено доказательство для приведённого выше построения.

Доказательство

| АО|=| ВО |= | СО| (пп. 2, 3), Ое [AB] (п.3), следовательно вписанный угол ВСА опирается на диаметр окружности со(0, | OA |). По «золотому свойству окружности» этот угол — прямой. Что и требовалось доказать.

Наконец, наблюдение процесса построения позволяет оценивать выполнимость каждого из пунктов, и, как следствие, обнаруживать такие сочетания данных решаемой задачи, при которых, к примеру, построение становится невозможным (или приводит к нескольким различным решениям). Т.е. облегчается процесс создания «Исследования» — последнего и при этом самого сложного для детей раздела решения задачи «на построение».

Освоение столь обширного и богатого геометрическими идеями материала требует больших усилий и заметных временных затрат. Поэтому знакомство с движениями оказалось отложенным на последнюю четверть учебного года. В 7-м классе дети знакомятся

только с симметриями: осевой и центральной. Знакомство с последней полезно ещё и с той точки зрения, что облегчается и изучение линейных функций в курсе алгебры.

4. Заключение

Несомненно, эта статья может показаться несвоевременной. Текущие реформы школьного образования в нашей стране образуют весьма неблагоприятный фон для разговора о повышении качества образования, в особенности, математического. Тем не менее, мы все понимаем, что любые успехи достигаются у нас не в результате усилий властей, а вопреки им. В конце концов, совершенно неважно, насколько убита креативность у министра образования. Я думаю, что учителя математики продолжают (пусть наивно) верить, что их задача — воспитывать творцов, а не потребителей. Поэтому идеи одного из величайших математиков мира остаются актуальными. И хочется верить, что и учебник «Геометрия 6-8» будет переиздан и будет доступен учителям математики и их ученикам.

Литература

Список использованной литературы, к сожалению, слишком обширен. Поэтому я решил ограничиться максимально кратким перечнем.

1. (Под ред. А.Н. Колмогорова). Геометрия. — М.: Просвещение, 1974.

2. Л.С. Атанасян и др. Геометрия, 7-9. — М: Просвещение, 2004.

Урок, как первый шаг к олимпиаде, или как научить школьников решать нестандартные задачи

С.Е. Рукшин, М.Е. Суслина

РГПУ им. А.И. Герцена, ФМЛ № 239, город Санкт-Петербург

Столько раз приходилось слушать рассказы учителей вроде: «На уроках он думает замечательно, учится на "отлично", а на олимпиадах почему-то ничего решить не может»! Или: «Эти задачи требуют для решения знаний, далеко выходящих за рамки школьной программы!». Это не обязательно попытка оправдать неудачи своих учеников на олимпиадах и других научных соревнований. В большинстве случаев — это искренние и хорошо растиражированные заблуждения: и на уроках школьники, как правило, не думают, работая по указанному шаблону, и задачи не требуют никаких специальных знаний. А вот специальной подготовки — действительно требуют. Методической — от учителя, и психологической — от ученика. Где же взять время на такую подготовку учеников к решению трудных или нестандартных задач, если учебных часов с трудом хватает на прохождение программы и можно ли это делать на обычном школьном уроке и в домашних заданиях?

Попробуем разобраться с причинами этих двух заблуждений по порядку, и на основе анализа этих причин сформулируем некоторые рекомендации для учителей. Как уже отмечалось, к числу наиболее распространенных заблуждений относится мнение, что задачи математических олимпиад чем-то принципиально отличаются от школьных задач, требуют специальных знаний, далеко выходящих за рамки школьного курса (чуть ли не высшей математики!), и потому абсолютно не доступны подавляющему большинству учащихся. Между тем, большинство задач, встречавшихся на олимпиадах и конкурсных экзаменах, не требует никаких знаний, кроме тех, которые были получены на школьных уроках, а трудность их решения связана с совсем другими причинами.

Одна из этих причин связана с психологией и состоит в том, что для решения «олимпиадных» задач требуется гораздо более дли-

тельная концентрация внимания, чем на уроках или при выполнении домашних заданий. Если на уроке за 40-45 минут можно успеть обсудить до десятка задач по теме урока, то, например, на Международной Математической Олимпиаде участникам предлагается решить 3 задачи за 4,5 часа. Таким образом, на одну задачу дается в 50-60 раз больше времени, чем на школьном уроке! Средства решения этой проблемы лежат в области педагогической психологии и хорошо известны: создание устойчивой внутренней и внешней мотивации, побуждающей школьника к длительной, постоянной концентрации внимания на одной и той же (к тому же не поддающейся решению!) задаче вплоть до ее решения или до окончания времени олимпиады.

Вторая причина трудностей, возникающих при решении «олимпиадных» задач, представляет малоисследованную область на стыке математики, психологии и методики преподавания. Дело в том, что часть задач относится, пользуясь шахматной терминологией, к «одноходовкам»: для их решения достаточно одной идеи или технического приема, ведущего непосредственно к полному решению. Но встречаются задачи — «многоходовки», для решения которых одной, пусть даже самой блестящей идеи не достаточно. Для того, чтобы пройти весь путь от условия задачи до полного решения, необходимо разбить ее на более простые задачи — «одноходовки», каждую из которых приходится решать по отдельности. Искусство такого разбиения весьма редко проявляется у учащихся стихийно, а задача обучения ему до сих пор не решена. Известен лишь один метод — применение «задач-серий», описанный первым автором в начале 80-х годов в статье «Задачи-серии во внеклассной работе» («Математика в школе», 1982). Решение этой педагогической проблемы, видимо, еще ждет своего исследователя и является делом будущего.

Третья причина состоит в том, что в школе учащиеся не ищут метод решения задач самостоятельно: он обычно подсказан темой урока или названием того параграфа учебника или задачника, из которого взята задача домашнего задания. Именно в этом кроется причина такого явления, как «провал отсроченного контроля», описанного еще на рубеже 70-80-ых годов. Суть этого явления состоит в том, что на обобщающих или итоговых контрольных работах, состоящих из задач нескольких тем, а в еще большей степени — на экзаменах, школьники и абитуриенты часто не могут решить задачу, хотя такую же (а то и более сложную!) они без труда решали в

домашних заданиях или на уроке в процессе изучения темы. Долгое время считалось, что причиной этого является забывание пройденного материала, а естественным «противоядием» итоговое повторение с целью активизации пройденного материала. Истинная причина, — отсутствие «подсказки», — долгое время оставалась в тени, что заводило в тупик попытки радикально решения проблемы, как при подготовке к участию в олимпиадах высокого уровня, так и в средней школе. Но именно с этой из трех указанных причин можно успешно бороться не только средствами педагогической психологии, но и с помощью методики преподавания, т.е. средства для воздействия целиком доступны учителю или руководителю кружка, не имеющему специальной подготовки. Вкратце перечислим эти средства:

1. Объединение задач не по принципу похожести условий, а по основной (или первой) идее решения. Особенно успешно работает этот метод при организации итогового повторения и подготовке к олимпиадам. Примером такой организации материала является, скажем, сборник «Теория чисел в задачах», в котором вместо традиционного раздела «Диофантовы уравнения» задачи на решения уравнений в целых или рациональных числах разбросаны по десяти параграфам в соответствии не с видом задачи, а с методом ее решения. Также разбиты традиционные разделы задачника; в итоге последовательно проводится линия на приоритет метода, а не формулировки факта.

2. Решение одной и той же задачи разными способами. Принцип «задача одна — решения разные», последовательно проводимый на протяжении всего курса, нарушает жесткую связь «задача — подсказка — решение», способствует возникновению новых, гораздо более богатых ассоциативных связей в коре головного мозга. Эти связи впоследствии облегчают поиски решения по виду задачи, направляя поиск метода, идеи или технического приема не по одному, а сразу по нескольким путям: по мере тренировки происходит все более и более сознательный поиск метода и подсознательный отсев непродуктивных и «тупиковых» ассоциаций и, как следствие, поиск решения задачи ускоряется пропорционально богатству установленных ассоциативных рядов. Этот же принцип можно использовать при организации итогового повторения (в частности, при подготовке к олимпиадам): объем необходимого и подлежащего активизации материала настолько велик, что организовать полное, тотальное повторение не представляется возможным из-за то-

го, что при решении задач 10-11 классов используются и методы, формулы и теоремы 7-8, а то и 5-6 классов. Единственным выходом представляется не активизация знаний, а активизация возможно большего количества ассоциативных связей на основе имеющихся твердых базовых знаний, полученных при изучении отдельных тем. В этом, в своей основе, состоит метод подготовки команд к выступлению на олимпиадах высокого уровня: этап обучения состоит в сообщении базовых знаний, а этап тренировки — в активизации ассоциативных рядов на основе обсуждения всех возможных решений для довольно ограниченного набора задач.

3. Укрепление теоретических единиц в рубрикаторе задачника. В качестве простейшего шага, все еще сохраняющего подсказку, но делающего ее вариативной, можно рекомендовать укрупнение тем, которым выдается набор задач для самостоятельно решения. Так, скажем, общий задачник составляется по теме «Равенство треугольников» или «Признаки подобия треугольников», а не отдельно по каждому признаку равенства или подобия. При этом дальнейшая детализация подсказки и дифференциация вариантов на продуктивные и непродуктивные остается учащимся. Аналогичное укрупнение возможно при изучении большинства тем не только геометрии, но и тригонометрии, алгебры и анализа. Вместо отдельных задач на теорему синусов или теорему косинусов появляется раздел «тригонометрические методы решения треугольников», а вместо биквадратных, возвратных и однородных уравнений — «решение алгебраических уравнений с помощью понижения их степеней». В зависимости от целей и возможностей обучаемых, это укрупнение может дополняться тематическим указателем, соответствующим традиционным рубрикаторам. В необходимых случаях учащиеся могут снабжаться этим тематическим указателем в качестве средства индивидуализации и уровневой дифференциации обучения. Особенно эффективным становится последовательное проведение принципа укрупнения теоретических единиц в рубрикаторе задачника, если дополнить его параллельным изучением нескольких тем вместо последовательного общепринятого их изложения. Эта методика, в течении почти 40 лет успешно внедрявшаяся автором в системе дополнительно математического образования в Ленинграде — Санкт-Петербурге, уже применяется во многих городах России в работе с учащимися пятых — одиннадцатых классов, являясь (судя по статистике результатов) наиболее успеш-

ной методикой обучения одаренных детей, которым тесно в рамках традиционного изучения математических дисциплин.

4. Построение цепочек задач, соединяющих школьную формулу, теорему с ее приложениями. Суть этого принципа состоит в том, что для большинства задач можно построить цепочку возрастающих по сложности задач, изложенных в такой последовательности, что каждый шаг от задачи к следующей психологически обоснован, и, несмотря на отсутствие явных подсказок, учащийся самостоятельно может дойти, двигаясь по этой цепочке, до завершающей трудной задачи, которую не смог бы решить без предварительных указаний учителя. Поясним этот принцип на конкретном примере трудной олимпиадной задачи старших классов.

Задача. Выясните, является ли простым число: 53-83 109 + 40-66-96?

Формулировка этой задачи носит чисто арифметический характер и доступна учащимся 5-6 классов, в которых изучается понятие простого числа, составного числа, признаки делимости и т.д. Однако, попытка решить ее чисто арифметическими средствами, скорее всего, обречена на неудачу. Действительно, даже если мы правильно произведем все вычисления, то результат 732931 вряд ли на обрадует: таблиц простых чисел до такого значения у нас нет. Что дальше? Попробуем применить признаки делимости на 2, 3, 5, ... . Нет, не делится! А вот еще на занятиях кружка были признаки делимости на 7, 11, 13, 37. Не помогает! Начнем делить на все простые числа подряд (больше нас ни чему не учили): на 2, на 3, на 5, на 7, на 11. Докуда? Неизвестно. Пока не разделится нацело или не дойдем до самого числа 732931. Перспектива не из приятных, даже для старшеклассника. Тем более он будет ошарашен, увидев правильное решение в несколько строк:

Решение. Пусть х = 53, у = 83, z = 109. Тогда:

Так как число имеет простой делитель, отличный от самого числа, то оно является составным. Все!

У непосвященных вид такого решения вызывает ужас — как до этого додуматься?! И как этому научить??? Тем не менее, в этом решении можно выделить несколько ключевых моментов:

- алгебраический вид решения;

- разбиение чисел на пары с равными суммами;

- обозначение известных чисел буквами;

- раскрытие скобок для разложения на множители.

Если каждая (или какие-то) из этих идей уже отрабатывались, то путь к такому решению не представляет никаких затруднений.

Если мы построим цепочку задач, формирующих по виду условия «нежесткие алгоритмы», применяющиеся в решении, то сама задача станет вполне доступной. Тогда в процессе обучения решению задач школьник будет регулярно узнавать решения не в «стерильном» виде, а сопровождаемые психологически достоверными мотивировками применяемых приемов, и, независимо от условий, рано или поздно он сам начнет подсознательный поиск в условии задачи моментов истины «наталкивающих его на идеи решения»

Пример такой психологической мотивировки первого из ключевых моментов решения мы привели перед тем, как изложить решение. Действительно, если решение арифметической природы невозможно без сверхдлинных вычислений, то следует искать решение за пределами арифметики. Где? Естественно, в алгебре! Как можно установить, является ли число простым или составным? Разложить на множители! Как разложить? Если решение алгебраическое, то нужны алгебраические обозначения! Где их взять? Проанализировать характер и взаимосвязи чисел, входящих в наше выражение! Какие связи проще всего? Попарные! У подготовленного ученика эти вопросы с естественными ответами проносятся настолько мгновенно, что он не успевает осознать, как он пришел к решению. В итоге мы не только обучим школьника решению одной конкретной задачи, но и создадим прецедент для самостоятельного построения таких умозаключений, позволяющих по виду задачи определить неалгоритмические средства ее решения.

А пройдя через цепочку задач, в которой каждый раз прибавляется ровно одна новая психологически достоверная идея, доступная школьнику, ученик приобретает еще и чрезвычайно полезную иллюзию самостоятельности, которая пробуждает его к решению более трудных задач, т.е. работает на повышение внутренней мотивации. Примеры построения таких цепочек для конкретных задач заслуживают отдельной подробной статьи, относящейся уже не к теоретическим основам, а к практическому обучению решению нестандартных (и, в частности, олимпиадных) задач. Да и не статьи, а, пожалуй, цикла статей по различным темам школьного курса. Здесь же мы хотели бы привести лишь несколько таких задач и цепочек для учащихся 7 класса, которые иллюстрируют возмож-

ность проложить путь от школьной формулы до олимпиадной задачи. И, если уж разобранная выше задача показала нам возможности, которые предоставляет раскрытие скобок и вынесение за скобки общего множителя, то не меньшие возможности таит тема «Разложение на множители и формулы сокращенного умножения». Начнем с самых простых задач — в шаге от учебника. И для самых обычных классов.

Сравнение дробей.

1. Какая из дробей больше:

2. Сравните с 1 дробь

(Действительно ли это задачи на вычисления и на сравнение дробей с различными знаменателями?).

Арифметика + формулы сокращенного умножения

3. Докажите что число 1002 -1 составное.

4. Докажите что число 8999 составное.

(Интересно, откуда на конце числа возникает так много девяток подряд? Не из вычитания ли из числа ...000 единицы?)

5. Простое или составное число 359999? Если простое — докажите это утверждение, если составное — разложите его на простые множители.

6. Является ли число 57599 простым?

(Интересно, что традиционными средствами сделать это весьма затруднительно — оба простых множителя — и 239, и 241, — достаточно велики, чтобы найти их за обозримое время руками).

7. Докажите, что число 1002 +201 составное.

8. Докажите, что число 2002 -399 составное. (Опять же — откуда на конце эти девятки?)

9. Простое или составное число 8001 ? Если простое — докажите, если составное — разложите его на простые множители.

(И снова арифметика: ...001 = ...000+1 ).

10. Докажите что число 27001 составное

11. Докажите что число 343001 составное

12. Найдите все простые р такие, что число р2—4 тоже простое.

Разложение на множители + простые числа + линейные системы

13. Найдите все пары натуральных чисел х и у таких, что х2-у2 =19.

14. Найдите все пары натуральных чисел х и у таких, что х2-у2 =15.

(В отличие от 19, 15 уже не простое!)

15. Докажите, что уравнение х2 = у2 +38 не имеет натуральных решений.

16. При каких натуральных n уравнение х2 = у2 +п имеет натуральные решения?

Степени + разложение на множители

17. Докажите, что число 28 +25 +1 является точным квадратом.

18. Докажите, что число 28 -25 +1 составное.

(Тут можно и руками — но по формуле-то ни считать не нужно, ни выяснять, являются ли 225 и 289 точными квадратами)

19. Докажите, что число 216 +29 +1 составное и разложите его на простые множители. (А вот тут руками уже трудновато...)

20. Докажите, что число 216-29+1 составное.

21. Простое или составное число 28 + 25 ⋅ 73 + 76 составное.

Далее эти цепочки можно продолжать вплоть до задач уровня трудности Всесоюзных, Всероссийских и Международных олимпиад. Но это — дело будущего, требующее огромной методической работы.

Работа электрического тока и закон Джоуля-Ленца

А.В. Бунчук,

ФМШ 2007, город Москва

Пропустим электрический ток через участок цепи с сопротивлением R (см. рис.). Сняв показания амперметра (I) и вольтметра (U), нетрудно вычислить как полную работу тока на этом участке А = UIt, так и количество теплоты Q = I2Rt, выделившееся в нем за время t. Совпадут ли результаты этих вычислений, то есть будет ли работа тока целиком затрачена на нагревание участка?

Простой ответ на этот вопрос в школьных учебниках отсутствует. Более того, в некоторых из них приводится теоретический вывод закона Джоуля-Ленца из формулы, определяющей работу электрического тока (A = UIt). Вот типичный пример.

«Если ток течет через неподвижный проводник, то никакой работы проводник не совершает, а значит, работа электрического тока целиком идет на увеличение внутренней энергии проводника, то есть переходит в тепло. Если на концах проводника поддерживается напряжение U, то работа тока равна

(1)

Поскольку для нашего проводника справедлив закон Ома (I = U/R), то, подставив выражение U = IR в формулу (1), получим:

Формула Джоуля-Ленца доказана».

Из приведенной цитаты следует, что достаточным условием полного перехода в тепло работы, совершаемой электрическим током, якобы является неподвижность проводника. Так ли это? Электрический ток, проходящий по проводнику (металл, полупровод-

ник, жидкость, плазма), производит различные действия. Неужели все эти действия сводятся исключительно к тепловому эффекту при единственном условии, что проводник неподвижен?

На самом деле условие полного превращения работы тока в тепло на некотором участке цепи состоит в другом, и это условие простое. Как видно из той же приведенной цитаты, для выполнения равенства А = Q необходимо и достаточно, чтобы сила тока и напряжение на этом участке были связаны законом Ома I = UIR. С движением или неподвижностью проводника это условие никак не связано.

Возникает дополнительный вопрос: при каких условиях к данному участку цепи применим закон Ома? Таких условий несколько.

Во-первых, этот участок должен быть однородным, т. е. не должен содержать источников тока или электродвигателей, при работе которых на рассматриваемом участке может возникать ЭДС индукции.

Во-вторых, работа тока, проходящего по этому участку, не должна тратиться на совершение химических или механических действий, например, на движение проводника в магнитном поле.

В-третьих, при выделении тепла не должно происходить заметное изменение температуры участка, поскольку его электрическое сопротивление при этом может меняться, а это приведет к нарушению закона Ома.

Кстати, последнее условие ограничивает применимость и закона Джоуля-Ленца. Известно, что эксперименты по установлению закона Э.Х. Ленц проводил при комнатной температуре и при этом специально следил за отводом тепла, выделяющегося в проводниках, во избежание изменения их сопротивления. Пользоваться этим законом для подсчета количества теплоты, полученного от кипятильника или электролампы, нужно с осторожностью.

Понимание условий выполнения равенства A — Q приводит к определенным полезным выводам. Например, как показывают опыты, закон Ома справедлив для электролитов. Это означает, что работа электрического поля в электролитах не тратится на образование ионов и целиком расходуется на выделение теплоты. Электрическое поле лишь разделяет уже существующие в растворе ионы и собирает их на различных электродах. Если бы закон Ома не

выполнялся, то образование ионов начиналось бы только при наличии некоторой минимальной напряженности электрического поля, характерной для каждого вещества, ниже которой диссоциация отсутствовала бы.

Итак, если для участка цепи сопротивлением R закон Ома справедлив, то расчет как работы тока А, так и количества теплоты Q, выделившейся на участке за время t, можно производить с помощью любой из следующих формул:

В тех же случаях, когда рассматриваемый участок цепи включает в себя источник тока или электрический мотор, работа электрического тока превышает количество выделившейся теплоты (А > Q). В качестве примера решим следующую задачу.

Электромотор включен в сеть постоянного тока с напряжением U = 220 В. Сопротивление проводов мотора R = 5 Ом; сила тока, потребляемого мотором от сети, I = 10 А. Каковы механическая мощность и КПД электромотора?

Решение. В данном случае закон Ома несправедлив. В самом деле, отношение U/R = 220 В / 5 Ом равно 44 А, тогда как сила тока в цепи составляет всего 10 А. Во время работы мотора мощность электрического тока Р = UI, потребляемая мотором от сети, затрачивается на механическую мощность Рмех и на тепловую мощность I2R , то есть на нагревание проводов:

Из этого равенства находим искомую механическую мощность мотора

КПД мотора равен отношению полезной (механической) мощности к мощности, потребляемой мотором от сети:

Экспериментальная проверка законов сохранения механики на примере упругого столкновения

В.Л. Экелекян,

МГДД(Ю)Т, физфак МГУ, город Москва

Физика, как наука о наиболее общих законах природы, выступая в качестве учебного предмета в школе, вносит существенный вклад в систему знаний об окружающем мире. Знание физических законов необходимо для изучения химии, биологии, физической географии, технологии. Особенностью предмета «физика» в учебном плане образовательной школы является и тот факт, что овладение основными физическими понятиями и законами на базовом уровне стало необходимым практически каждому человеку в современной жизни.

Школьным учебным планом на изучение физики в средней школе на базовом уровне отводится весьма ограниченное количество часов. Поэтому очень важен элемент дополнительного образования по физике в виде организации физических кружков, в которых ставятся конкретные задачи по разным областям физики и проводятся эксперименты для проверки теоретических результатов.

Предлагаемая работа является очередной для научно-методического сборника «АРХИМЕД» где

*) уже традиционно ставится задача по физике;

*) применяются фундаментальные законы для ее решения;

*) указываются те математические нюансы, которые позволяют изящнее решать физическую задачу;

*) ученикам ставится прямая цель сконструировать установку для демонстрации опыта, лежащего в основе предложенной задачи;

*) проводится полномасштабный опыт, получаются числовые данные — результаты измерений;

*) эти результаты отрабатываются в программе «Microsoft Excel» получением таблиц и графиков;

*) обязательно проводится работа по выявлению погрешности.

В нашем случае рассматривается задача механики — динамика абсолютно упругого столкновения.

Два шарообразных маятника с массами m1 и m2 подвешены на нерастяжимых нитях длины l1 и l2. В вертикальном положении они соприкасаются так, что линия, соединяющая центры этих шаров горизонтальна. Первый маятник отводят на угол а и отпускают. Происходит центральный упругий удар, после чего шары отклоняются на углы а, и а2. Определить эти углы. Сопротивлением воздуха и потерями механической энергии пренебречь.

Решение:

Решение задачи опирается на применение

• закона сохранения полной механической энергии,

• закона превращения потенциальной энергии в кинетическую энергию и наоборот,

• закона сохранения импульса.

Решение задачи проведем в несколько этапов:

Первый этап.

Шар массы m1 двигается по дуге окружности радиуса l1 из точки Е в точку В.

В точке Е шар обладает только потенциальной энергией равной Епот =m1gh, тогда как в точке В эта энергия полностью превращается в кинетическую энергию Екинет =~m1v12. Здесь введены обозначения:

• V1 — скорость шара непосредственно до столкновения с шаром m2. Очевидно, что она имеет горизонтальное направление в правую сторону;

• высота h над горизонтальным уровнем, соединяющим центры шаров m1 и m2. Из геометрии и тригонометрии очевидно, что

Воспользуемся законом сохранения энергии:

Так что скорость левого шара перед соударением с правым шаром равна:

(1)

Формула (1) всегда справедлива для маятника длиной l, скоростью V груза в равновесном нижнем горизонтальном положении и углом а максимального отклонения.

Второй этап.

Рассмотрим абсолютно упругое столкновение шаров в горизонтальном направлении, когда шар массы m1, движущийся скоростью V1, столкнулся с шаром m2, после чего они начали двигаться с новыми скоростями

В горизонтальном направлении имеет место закон сохранения импульса:

а также закон сохранения кинетической энергии до и после столкновения:

(3)

Возведем обе стороны уравнения (2) в квадрат, а обе стороны уравнения (3) умножим на 2m1. Тогда после соответствующих алгебраических преобразований получим:

(4)

Совместное решение уравнений (2) и (4) позволяет выразить скорости шаров после столкновения через массы m1, m2 и через скорость первого шара непосредственно перед соударением:

(5)

откуда следует, что

• после соударения второй шар обязательно двигается слева направо,

• первый шар двигается вперед, если он массивнее второго — m1 > m2,

• первый шар отскакивает назад, если второй шар массивнее первого- m2 > m1.

В случае равенства масс шаров — m1 = m2 :

• прямо после столкновения первый шар останавливается — х = 0,

• а второй двигается со скоростью — у = v1.

Третий этап.

Углы максимального отклонения а1 и а2 согласно универсальной формуле (1) преобразуются:

или, имея в виду соотношения (5) и (1), окончательно получим:

(6)

(7)

Сделаем первые выводы:

• ускорение свободного падения в выражениях (6) и (7) отсутствует. Это последствие однородного гравитационного взаимодействия Земли с шарами m1 и m2 ;

• угол отклонения а1 левого шара не зависит от длин маятников l1 и l2 ;

• угол отклонения а1 левого шара меньше угла а первоначального отклонения

• угол отклонения а2 правого шара корень квадратично зависит от отношения длин l1 и l2 маятников.

• углы отклонения а1 и а2 зависят только от отношения масс z — — следующим образом:

(8)

где функция f(z) имеет вид:

(9)

Поведение специально введенной функции f(z) изображено на графике. Часть зависимости (9), представляющий физический интерес можно разбить на две части:

• 0<z<l, f(0) = -1, а1→а, (10)

когда легкий левый шар отскакивает назад; и

• 1<z<°о f(z)→1, (11)

когда тяжелый левый шар толкает правый шар так, что при очень большом значении массы m1 этот шар отклоняется на угол а, тогда как правый шар отклоняется на угол

(12)

Поставленная задача решена. Переходим к рассмотрению частных случаев:

1. Маятники подвешены на одинаковой высоте — l1 = l2

• Изменению подвергается только результат правого маятника:

(13)

поэтому физическим смыслом обладают только шары с массой m2 больше или равной m1, причем угол отклонения а2 стремится к нулю с увеличением массы m2.

С помощью соотношений (8) рассмотрим отношение синусов половинных углов отклонения а1 и а2 после первого соударения:

(14)

И еще обращает на себя внимание то обстоятельство, что при перемещении движения от правого шара к левому, формулы (8) легко преобразуются. За этим преобразованием следует обязательно заниматься экспериментально.

Четвертый этап.

Данная теоретическая работа была предложена

как экспериментальная для учащихся Дома Научно-технического Творчества Молодежи (ДНТТМ) при МГДД(Ю)Т.

Ученик седьмого класса Леонидзе Михаил сконструировал установку для опытного изучения поставленной задачи. Эта универсальная установка дает возможность варьировать параметры задачи:

• массы шаров m1 и m2,

• длины нитей l1 и l2,

а также непосредственно измерять углы а, а, и а2 с помощью специально установленных на стенде транспортиров.

Взвешивание масс m1, m2 и длин l1, l2 также производится в рамках установки. Каждый опыт снимается с помощью цифрового фотоаппарата и прямо вводится в память компьютера. Цифровой материал обрабатывается для более точного определения углов отклонения а, а1 и а2.

Значения углов а1 и а2, их синусов и арксинусов определяются с помощью "Четырехзначных математических таблиц" Брадиса и программы «Калькулятор» (инженерный режим) Относительная погрешность вычисляется по формуле:

Параллельно в программе Microsoft Excel вводятся формулы (6), (7), (9) и (14) и реализуется многоплановая работа измерений. Результаты записываются в рабочей таблице:

Таблица 1.

Первый опыт

Второй опыт

Третий опыт

m1

в граммах

250

100

100

m2

100

250

100

l1

в см-х

14,5

20

14,5

l2

20

14,5

20

а

в градусах

20

20

20

а1 эксп.

1

1

0

а1 теор.

2

2

0

а2 эксп.

8

5

7

а2теор.

6

4

5

0,42

-0,4

0

0,352

-0,639

0

относ. погрешность n1

в процентах

50

50

-

относ. погрешность n2

25

20

28

В конце отметим, что данная работа хорошо сочетается с другими работами автора:

1. Экелекян В.Л. О методике решения задач на тему «Теория относительности Галилея» // Архимед, 2010. Вып. 6. стр. 93—102.

2. Экелекян В.Л. Задача о раскручивании резинового шнура. // Архимед, 2008. Вып. 4. стр. 152—155.

3. Экелекян В.Л., Экелекян Л.В. Исследование одной головоломки. // Архимед, 2011. Вып. 7. стр. 110-114

4. Экелекян В.Л., Экелекян Л.В. Давайте пожонглируем немножко! // Архимед, 2009. Вып. 5. стр. 129—135.

5. Экелекян В.Л. Интегрированная лабораторная работа по информатике, математике и физике. // Информатика «Первое сентября», 2004. № 37. стр. 22-24, 31

6. Экелекян В.Л. Определение центра масс неправильного тела. // Физика «Первое сентября», 2004. № 48/04. стр. 19-20

7. Экелекян В.Л. Проверка уравнения теплового баланса. // Физика «Первое сентября», 2004. № 29/04. стр. 21-22

8. Экелекян В.Л. Относительность движения. // Физика «Первое сентября», 2006. № 1/06. стр. 14-16

9. Экелекян В.Л. Логика решения экзаменационных заданий типа В ЕГЭ — Математика. -М.: Департамент образования г. Москвы, ЮЗОУ, ОМЦ Единый государственный экзамен по математике: вчера, сегодня, завтра, 2009. стр. 104—109,

10. Экелекян В.Л., Экелекян Л.В. Как сделать уроки физики и математики в 5—7 классах более интересными и увлекательными // Теория и методика. Том 1. / Исследователь-ский подход в образовании: от теории к практике. Научно-методический сборник в двух томах. — М.: Общероссийское общественное Движение творческих педагогов «Исследователь», 2010. стр. 451—460

11. Экелекян В.Л. О методике решения пяти задач на тему «Относительность движения» в школьном курсе физики // Теория и методика. Том 1. / Исследовательский подход в образовании: от теории к практике. Научно-методический сборник в двух томах. — М.: Общероссийское общественное Движение творческих педагогов «Исследователь», 2010. стр. 469—478

12. Экелекян В.Л. Обобщение, математизация и компьютеризация одной кинематической задачи с целью создания проекта по экспериментальной физике. / Исследовательский подход в образовании: проблема подготовки педагога. Научно-методический сборник в двух томах./ Теория и методика в образовании: / — М.: Общероссийское общественное Движение творческих педагогов «Исследователь» МПГУ, 2012. Том 1.стр. 904-915

13. Экелекян В.Л. Методика интегрированного подхода в задачах физики или как задачу геометрии превратить в экспериментальную работу по физике в группах дополнительного образования различных возрастных категорий. / Исследовательский подход в образовании: проблема подготовки педагога. Научно-методический сборник в двух томах./ Теория и методика в образовании: / — М.: Общероссийское общественное Движение творческих педагогов «Исследователь» МПГУ, 2012. Том 1.стр. 916-933

14. Экелекян В.Л. Трансцендентные числа n и е — основные математические постоянные природы (определения, свойства, соотношения, история и мифы) / Исследовательский подход в образовании: проблема подготовки педагога. Научно-методический сборник в двух томах./ Теория и методика в образовании: / — М.: Общероссийское общественное Движение творческих педагогов «Исследователь» МПГУ, 2012. Том 1 .стр. 934—946

15. Экелекян В.Л. От геометрии к экспериментальной работе по физике и обратно Архимед, 2012. Вып. 8. стр. 106—115.

Проблема «темной энергии» и космологической постоянной

К.Н. Липкин, МПГУ, ГБОУ 794, город Москва

Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор О.В. Бабурова

Одной из фундаментальных проблем в современной теоретической физике является «проблема космологической постоянной» [1]. Суть этой проблемы заключается в том, что энергия физического вакуума (темная энергия), которая описывается космологической постоянной, в начальной стадии эволюции Вселенной отличается на 120 порядков от значения, которое определено на основании современных наблюдательных данных, то есть на сегодняшнем этапе развития Вселенной. Что же такое «темная энергия» и космологическая постоянная?

Представим себе вакуум — это то, что останется, если мы уберем все частицы и излучение. Для нас с вами это пустота, а вот для квантовой физики это поле активной деятельности. Допустим, что у нас есть коробка чистого вакуума, то есть мы убрали из неё все частицы и все фотоны (кванты электромагнитного излучения). Тогда можно предположить, что электрические и магнитные поля в нашей коробке строго равны нулю. Но это не так. Оказывается, что наш вакуум не находится в покое, в нем электрические и магнитные поля испытывают случайные рывки или квантовые флуктуации.

Впервые, такие квантовые флуктуации вакуума были измерены в 1990-х годах методом, который десятки лет назад предложил голландский физик Хендрик Казимир [2]. Энергию таких флуктуаций, а именно плотность этой энергии и принято назвать энергией вакуума или «темной энергией». Плотность энергии вакуума Альберт Эйнштейн назвал космологической постоянной, которую он ввел в уравнения поля фактически «руками». Много времени Эйнштейн

считал это самой большой ошибкой в своей жизни. Но позже оказалось, что это стало его гениальной догадкой.

Известно, что энергия вакуума или «темная энергия» влияет на темп расширения Вселенной. По оценкам квантовой физики значение плотности энергии вакуума достигает 1088 тонн на кубический сантиметр, и это означает, что Вселенная должна находиться на взрывной стадии расширения. Однако современный наблюдательный темп расширения Вселенной дает гораздо меньшую оценку космологической постоянной: она оказывается в 10120 раз меньше расчетного значения. Расхождение на 120 порядков и носит название проблемы космологической постоянной.

Для разрешения этой фундаментальной проблемы в квантовой физике существует несколько подходов. Мы будем придерживаться классического подхода: подхода в рамках так называемой геометрической парадигмы. Именно в данной парадигме работал и Эйнштейн. Он утверждал, что в качестве геометрического фона 4-х мерного пространства-времени лежит искривленное пространство.

В современной классической теории поля все большую роль играют обобщенные пространства, то есть пространства, обладающие не только характеристикой кривизны пространства, но и еще характеристиками кручения и неметричности. Из калибровочной теории гравитации Пуанкаре-Вейля следует, что геометрическим фоном 4-х мерного пространства-времени служит пространство Вейля-Картана, в котором присутствуют все три характеристики — кривизна, кручение и неметричность, связанные определёнными условиями [3].

Используя аппарат внешнего дифференциального исчисления, в пространстве Вейля-Картана можно построить функцию Лагранжа (в общем случае эта функция представляет собой сумму потенциальной и кинетической энергии системы), которая независима относительно конформных преобразований. Вывод уравнений поля основан на одном из фундаментальных принципов физики — принципе наименьшего действия, с помощью которого ищется экстремальное значения интеграла от функции Лагранжа. Далее с использованием леммы «о коммутативности операций варьирования и дуализации» выводятся уравнения поля, из которых следует уравнение, описывающее космологический член. При определен-

ном наборе констант исходной функции Лагранжа решение последнего уравнения имеет вид убывающей экспоненты. Это означает убывание энергии вакуума на ранней стадии эволюции Вселенной [4], [5].

Данный результат можно интерпретировать как попытку решения «проблемы космологической постоянной»

Литература

1. Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков, Введение в теорию ранней Вселенной. Теория горячего Большого взрыва. М.: ЛКИ, 2008.

2. А. Виленкин , Мир многих миров. Астрель, 2010.

3.Б.Н. Фролов, Пуанкаре-калибровочная теория гравитации. М: МПГУ, 2003.

4.О.В. Бабурова, К.Н. Липкин, Б.Н. Фролов. Теория гравитации со скалярным полем Дирака и проблема космологической постоянной. // Известия высших учебных заведений. Физика. 2012. Т. 55. № 7. с. 113-115.

5. Babourova O.V., Frolov B.N., Lipkin K.N. Gravitation theory with a Dirac scalar field in the exterior form formalism and the cosmological constant problem.//Gravitation & cosmology. 2012, V.18, P. 225-231.

Аналитический подход к довузовскому преподаванию программирования

И.Р. Дединский,

Кафедра информатики МФТИ ФМШ 2007, город Москва

Углубленный подход к преподаванию информатики в большинстве случаев применяется в учебных заведениях или группах физико-математической направленности и предполагает курс программирования, что связано с дальнейшим обучением по этому профилю в ВУЗе. В большинстве случаев способом реализации курса является решение большого количества изолированных алгоритмических задач (так называемый олимпиадный подход).

Однако, если ограничиваться только этим и игнорировать современные тенденции развития процесса разработки программного обеспечения, может получиться, что даже успешный олимпиадник будет испытывать серьезные проблемы с успешностью при попытках выйти за пределы олимпиадной стилистики. Это связано с тем, что участие в разработке ПО, как для научных целей, так и в качестве инженерной профессии — процесс проектно-ориентированный, а это требует многих качеств, которые в олимпиадном подходе не нужны и, как следствие, не развиваются.

В результате характерный для каждой профессии диссонанс между «тем, чему учили», «тем, что надо в работе», описывается непустым множеством образовательных разрывов, которые в настоящее время учащийся и студент должен преодолевать сам, и которые составляет его личный опыт. Такая ситуация существует и в школе, и в ВУЗе. В то же время, большинство разрывов типичны и легко обнаруживаются в ходе внимательного анализа.

Цель данной работы — проанализировать образовательные разрывы и построить курс таким образом, чтобы минимизировать эти разрывы и максимизировать набор конструктивного положительного опыта, не ограничивающимся лишь конкретными приемами, шаблонами и средствами. Это позволяет учащимся в дальнейшем ориентироваться в меняющемся мире ИТ-технологий, которые час-

то успевают развиться и умереть до того, как по ним выйдет первый учебник. В таких условиях главная учебная задача, и не только в сфере ИТ, — научить студента действовать грамотно и самостоятельно. Под грамотностью здесь понимается умение классифицировать проблемы, знать типовые решения, выбирать из них спектр адекватных решений, комбинировать их, придумывать новые решения, контролировать качество, мыслить не рецептами, а как минимум технологиями [1].

Для этого автором вводится понятие когнитивно-технологической единицы (КТЕ), как единицы действительного усвоения знаний. Она представляет собой совокупность ответов на следующие вопросы [2]:

1. Зачем это надо,

2. Что это такое,

3. На чем основано и с чем связано,

4. Как это применять,

5. Где это можно и где нельзя использовать,

6. Чем придется пожертвовать,

7. Что будет, если этого не делать,

8. Какие в этом «подводные камни» (чего опасаться).

Разработанный курс рассчитан на учащихся 7(8) — 10(11) классов, нагрузку минимум 4 учебных часа в неделю и систему факультативов. Он учитывает разнородную предварительную подготовку учащихся, и тот факт, что часть из них не изучали информатику и программирование вовсе. По этой причине в начале курса преподавание ведется «с нуля», в предположении, что учащийся не обладает какими-либо специальными знаниями в области программирования. По этой причине используются следующие принципы:

1. Во главу угла ставится задача, понимаемая как часть проекта, и, главное, путь от задачи к решению, а не кодирование алгоритма.

2. Для записи алгоритма на языке программирования выбирается минимальное подмножество средств языка, чтобы не акцентировать внимания на кодировании и для более легкого перехода на другие языки программирования.

3. Самостоятельность решения является ключевым условием, которое необходимо доказать при сдаче работы.

4. Понимание учащимся тех средств, с помощью которых он решил задачу, ставится выше уровня самих средств решения.

5. Аккуратность и надежность решения ставятся выше «программистских трюков», иногда позволяющих в отдельных случаях добиться несколько лучших результатов.

6. Задачи ставятся в нескольких вариантах различной сложности (от базового до творческого), при сдаче работы засчитывается решение на любом уровне (но удовлетворяющее п. 2-4). Уровень сложности фиксируется и используется как дополнительная информация к оценке, для выяснения и повышения уровня профессионализма ученика.

7. Главным методологическим принципом является системный подход.

8. В обучении активно применяются парные и групповые техники (обмен кодом и документацией, перекрестные peer review и тестирование, групповая разработка стандартов взаимодействия участников проекта). Эти же техники используются при подготовке к ЕГЭ по информатике.

Важнейшей задачей курса является формирование системы профессиональных ценностей (предпочтений) ученика. В конечном счете, это формирование и есть основная инвариантная методологическая задача курса, так как все остальное — технология и будет неотвратимо изменяться с течением времени.

Принятый подход, ориентированный на проектную работу, сильно увлекает многих учеников и дает не только высокие проектные результаты (призовые места на Всероссийских и международных конкурсах), но и высокие олимпиадные (победителей и призеров Всероссийского и регионального уровня). Однако надо отметить, что он не совпадает с традиционным подходом (ставящим во главу угла олимпиадное программирование) и не всегда одобряется приверженцами чисто олимпиадного подхода, которые зачастую хотят получить ученика «целиком и полностью» и воспринимают проектную работу такого уровня как конкуренцию. Тем не менее, действительно сильные олимпиадные школы России видят в нем большую перспективу.

Результатом прохождения курса становится не только понимание основных принципов программирования и владение основны-

ми алгоритмическими конструкциями, но и серьезные концептуальные и технологические навыки, позволяющие самостоятельно разрабатывать проекты достаточно большого для школьников объема (порядка курсовой работы 2-3 курса ВУЗа), успешно работать в групповых проектах, требующих активного взаимодействия участников, а некоторым — участвовать и побеждать в различных конкурсах Всероссийского и международного уровней, участвовать в научных конференциях РАН.

Методическое обеспечение, разработанное для поддержки курса.

Для первых двух лет обучения (7-8, 8-9 класс), где мотивация наиболее критична, автором разработана компактная библиотека двумерной графики для Win32 на С+, намеренно выдержанная в стиле сугубого минимализма (ТХ Library). Это небольшая «песочница» для начинающих, реализованная с целью помочь им в изучении простейших принципов программирования. Она также является методическим учебным пособием для обучения основам программирования на С+. Библиотека позволяет писать прямолинейный графический код, не заботясь о событийной модели приложений в Win32. Имеется система помощи на русском языке, не требуется компоновки с внешними библиотеками.

Философия ТХ Library — облегчить первые шаги в программировании и подтолкнуть к творчеству и самостоятельности. Исходный текст библиотеки может использоваться для иллюстрации элементарных приемов работы с окнами Windows, механизмом сообщений Win32, графикой, работой с меню, растровыми образами, простейшей многопоточностью.

Предупреждение, или TXLib — это всего лишь инструмент

Библиотека TXLib — это всего лишь инструмент для того, чтобы облегчить первые шаги в программировании. Однако этот инструмент, как и любой другой, может быть применен неправильно. (Тем не менее, в основу TXLib заложены некоторые принципы, помогающие конструктивному неиллюзорному обучению.) Сама по себе любая библиотека или язык программирования не научит начинающего писать программы грамотно. Научит этому разработка своих, достаточно больших проектов, в сочетании с тесным общением профессионалов, желающих помочь начинаю-

щим. Такие профессионалы должны обладать и опытом разработки больших программ, и педагогическими навыками, чтобы передать свой опыт начинающим. К сожалению, не всегда это совпадает. Профессионалы-программисты зачастую не хотят лезть в обучение, где хватает своих проблем. С другой стороны, недобросовестные учителя, иногда даже в сильных школах и курсах, хватаются за удобные инструменты обучения (чужие или свои библиотеки, среды и языки программирования), не удосуживаясь следить за качеством кода обучаемых, за стилем и направлением их мышления, ограничиваясь лишь видимостью обучения. Такие образовательные иллюзии очень вредны. Заметны они становятся достаточно поздно, когда выясняется, что ученик, легко пишущий небольшие программы (пусть даже логически насыщенные, олимпиадные), принципиально не способен написать что-то большее, путается в коде, а другие, в том числе и профессионалы, его не понимают в силу спутанности его мышления и неумения внятно выразить мысли на уровне современных стандартов. Чтобы преодолеть этот барьер, воздвигнутый нерадивым преподавателем (или вашей собственной нерадивостью), приходится серьезно и самостоятельно переучиваться — иногда будучи уже студентом или аспирантом. Либо смириться и «носить кофе программистам».

Искусство программирования — это искусство мышления, не надо это забывать, дорогие преподаватели и учащиеся.

Принципы, заложенные в TXLib для повышения качества обучения

Сделай сам. В TXLib многие вещи сделаны или оставлены не совсем удобными для применения. Это — предложение подумать, как сделать это самому, и, как правило, для этого в TXLib есть средства. Сделав, покажите решение другим, если они быстро поймут его и оценят — ваше решение удачное.

Загляни в Help. (Слово неспроста выбрано английским, потому что большинство информации в современном программировании -на английском языке. Учите его.) Под системой помощи понимается не только TXLib Help, но и весь Internet.

Посмотри, как сделано. Загляни в код библиотеки. Он создавался в том числе как пример программной системы со своей логикой и со своей реализацией, а некоторые функции можно понять

только по коду, потому что их нет в системе помощи. Не всегда решения, примененные в TXLib оптимальны даже с точки зрения автора — он надеется, что это убережет желающих обучиться качественно, но нетерпеливых учеников, от [Ctrl+C и Ctrl+V] плагиата.

Посмотри, как сделано иначе. TXLib — не единственная графическая библиотека, и реализация «простого графического холста», примененная в ней — не единственное решение. Посмотрите как устроены десятки других графических библиотек. Но избегайте плохого кода (его можно определить по тому, как морщатся профессионалы, глядя на него, если у вас нет более объективных средств такого определения) — он научит вас плохому. Хороший, но сложный код (глядя на него, профессионалы не морщатся, а вздыхают) — отложите до времени и вернитесь к нему позже.

Выйди за пределы «песочницы». Это усиление принципа «сделай сам» — «собери вместе свои мысли про хорошую библиотеку, посмотри, как устроен TXLib и его аналоги, сделай свою библиотеку, лучше TXLib'a.» Примеры таких библиотек можно найти на сайте TXLib и в Интернете, и некоторые из них сделаны как раз начинающими.

Литература

1. Хант Э., Томас Д. Программист-прагматик. Путь от подмастерья к мастеру. — СПб, Питер, 2007. — 288 с.

2. Дединский И. Р. Как хотеть учиться. // Компьютерра. -2005.-№24.

Произведение всей секущей на её внешнюю часть...

Ю.О. Пукас,

МАОУ «Гимназия г. Троицка»

Разбирая типичные геометрические задачи, встретившиеся в экзаменационных вариантах последних лет, можно обратить внимание на повторяющиеся геометрические конфигурации и наиболее часто используемые для вычисления неизвестных величин свойства и теоремы. Некоторые из них мы сейчас обсудим.

1. На стороне AB треугольника ABC взята такая точка D, что окружность, проходящая через точки А, С и D, касается прямой ВС. Найти AD, если АС = 9, ВС = 12 и CD = 6 . («Ломоносов», 2007)

Решение. Треугольники ABC и CBD подобны по двум углам: угол ABC у них общий, а вписанный угол CAD и угол DCB между касательной и хордой равны половине дуги CD. Поэтому CB/DB=AC/CD=AB/CВ. Из первого равенства находим, что DB = 8, из второго — АВ = 18, поэтому AD = AB — DB = 10. Заметим, что из равенства AC / ВС = ВС / DC следует утверждение известной и часто применяемой теоремы о касательной и секущей: СB2 = AB ⋅ DВ.

Ответ: 10.

2. Две окружности, касающиеся некоторой прямой в точках A и В, пересекаются в точках С и D. Известно, что AB = 8, CD = 15. Найдите медиану СЕ треугольника ABC.

Решение. Сначала покажем, что точки С, D и Е лежат на одной прямой. Пусть прямая CD пересекает отрезок AB в некоторой точке F. Тогда FА — это касательная к левой окружности, a FB — к правой. По теореме о касательной и секущей AF2 -FC FD-FB2. Получается, что AF = FB = 4, и точка F совпадает с точкой Е. Пусть длина отрезка СЕ (внешней части касательной) равна х. Получаем: 42 = х(х + 15) или х2+15х-16 = 0, откуда находим, что X = 1. Итак, медиана СЕ = 1.

А нет ли второго случая? Вот он! Точка D находится между точками С и Е:

В этом случае DE = х = 1, а медиана СЕ = х +15 = 16 . Ответ: 1 или 16.

3. В треугольнике АСВ угол С—прямой, СH—высота, BD — медиана. Прямые СВ и DH пересекаются в точке Е, лежащей на луче ВС. Окружность, проходящая через точки D и Н, касается прямой ВС. Найдите расстояние от вершины С до точки касания, если известно, что АС = 14 и ЕН = 16. (ЕГЭ-2011)

Решение. Вскоре станет ясно, что эта задача аналогична только что разобранной, но сначала надо понять, для чего проведены высота СН и медиана BD. Нередки задачи, в которых высота, опущенная на гипотенузу, играет особую роль, но здесь для решения важно лишь то, что треугольник СНА — прямоугольный, а точка D — середина его гипотенузы. В этом случае медиана HD треугольника СНА, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы PR: HD = AD = DC = 7. Тогда ED = EH — DH = 9 . Затем по теореме Пифагора в треугольнике DCE находим катет СЕ = 4√2 . Он нам ещё пригодится!

Обозначим буквами N и М точки касания. Теперь всё готово к применению теоремы о касательной и секущей:

Отсюда находим, что EN = ЕМ = 12. Тогда CN = EN+СЕ =

Ответ:

4.На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой ВС. (Задание C4 из демонстрационных вариантов 2009—2013 rодов.)

Здесь, как и в двух предыдущих задачах, две касательные (BF и ВН) и одна секущая ВА, общая для двух окружностей. Решение этой задачи (даже два) можно без труда найти на официальном сайте ФИПИ, а её ответ ( R1 = OF = 7 ; R2 = MM = MA = MD = 1 ) совпадёт с ответом следующей задачи (№ 5). Не удивительно, ведь это — одна и та же задача! Надо только понять, что от треугольника PQR нам нужен только угол QRP, на сторонах которого разворачивается действие, а длина 27 отрезка PR не играет никакой роли.

5. В треугольнике PQR известны стороны PR = 27 и QR = 3 . На стороне QR взята такая точка S, что QS : QR = 2:3 . Найти радиус окружности, проходящей через точки Q и S, и касающейся прямой PR, если угол PQR = 30° . (Тестирование мехмата МГУ, 2004)

В задачах 4 и 5 центры меньших окружностей совпадают с серединами отрезков AD и QS соответственно. Усложним задачу 5, изменив в её условии величину угла:

6. На стороне QR угла QRP, равного 60°, взята такая точка S, что QS = 2 и SR = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки Q и S, и касающейся прямой PR.

Решение. Точка M — середина отрезка SQ, поэтому RS = SM = MQ = 1. Центры окружностей, проходящих через точки Q и S (и касающихся прямой PR в точках N и К), лежат на прямой ME, перпендикулярной SQ. Обозначим R1 = ON и R2 = GK .

Так как угол QRP равен

Ответ:

7. Окружность с центром, лежащим на стороне ВС треугольника ABC, касается сторон AB и АС в точках D и Е, соответственно, и пересекает сторону ВС в точках F и G (точка F лежит между точками В и G). Найдите CG, если известно, что BF = 1, а DA : BD = ЕС : АЕ = 2 . (МГУ-2012)

Решение. Введём обозначения:

Тогда

Так как

получаем систему уравнений:

Но этого недостаточно. Необходимо ещё одно уравнение! Всё ли мы использовали из условий задачи? Во-первых, можно заметить, что АС = 2 ⋅ AB, во-вторых, введя обозначение R, мы никак не использовали то, что это радиус! Центр окружности лежит на стороне ВС, соединим его отрезком с вершиной A:

Окружность с центром О вписана в угол ВАС, поэтому отрезок АО — биссектриса треугольника ВАС. А по свойству биссектрисы ОС/OB = АС/AВ. Отсюда получаем недостающее соотношение: 2(1 + R) = X + R, или R = X — 2 . Исключив неизвестные R и a, получаем квадратное уравнение х2 -12х +16 = 0 . Его корни

но так как R = х — 2 > 0, подходит только больший корень.

Ответ:

8. Окружность радиуса 2 с центром на основании равнобедренного треугольника касается его боковых сторон. Одну из точек касания соединили отрезком с противолежащей вершиной основания. Этот отрезок делится высотой треугольника, проведённой к основанию, в отношении 4:3, считая от вершины. Найдите площадь треугольника. (МГУ-2009).

Решение. Как и в предыдущей задаче, центр окружности лежит на стороне треугольника, но касательные и секущие здесь не потребуются. Пусть АС — основание равнобедренного треугольника ABС. Так как окружность с центром О вписана в угол ABC (М и N — её точки касания со сторонами AB и ВС соответственно), отрезок АС является биссектрисой этого угла. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также и медианой, и высотой: АО = OС , ВО ⊥ АС.

По условию задачи КС : МК = 4:3. Опустим из точки M перпендикуляр на основание АС: МН ⊥ АС , следовательно, МН || ВО. Получается, что

КС : МК = 0С : НО = АО : НО = AB : AM = 4:3.

Обозначим АВ = 4х, АМ=х и МВ=3х. Соединим отрезками точки касания с центром окружности:

Радиус ОМ = 2 является высотой, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника АОВ. Поэтому

Тогда

Площадь найдена.

Ответ:

9. В треугольнике ABC известны стороны: AB = 4, ВС = 6, АС = 5 . Окружность, проходящая через точки А и С, пересекает прямые ВА и ВС соответственно в точках К и Z, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABС. Найдите длину отрезка KL. (ЕГЭ -2012)

Решение. Нам дано, что точки А, С, К и L лежат на одной окружности, но каково их взаимное расположение на двух секущих, проведенных к этой окружности из точки В?

Буквы Р и R на приведённом рисунке надо должным образом поменять на А и К, а Т и S — на С и Z. Но сначала отметим одну очень важную особенность изображённой на рисунке «стандартной» ситуации. Из того, что BP ⋅ BR = ВТ ⋅ BS , а «угол В — общий», следует подобие треугольников РВТ и SBR, а также — подобие треугольников PBS и TBR. Для установления первого подобия вместо свойства секущих можно использовать равенство углов ВРТ и RSB (следует из того, что четырёхугольник PRST— вписанный), а для второго подобия — равенство вписанных углов RPS и RTS, опирающихся на дугу RS (убедитесь в этом самостоятельно).

Теперь уточним взаимное расположение точек. Так как отрезок KL должен касаться вписанной в треугольник ABC окружности, обе точки К и L не могут находиться вне этого треугольника. Ситуация, когда точка L расположена на стороне ВС, а точка К — на продолжении стороны AB, показана на следующих рисунках:

Заметим, что в этом случае треугольники KBL и CBA не просто подобны, а равны, так как вписанная окружность треугольника ABC является оной и для треугольника KBL! Здесь даже вычисления не потребуются: KL = АС = 5 .

Если же точка К расположена на стороне AB, а точка L — на продолжении стороны ВС, то должны выполняться соотношения AB > KB = ВС. Но это невозможно, так как по условию AB < ВС. Нам осталось найти длину отрезка KL в ситуации, когда обе эти точки внутри треугольника:

Пусть вписанная окружность касается сторон треугольника AB, ВС и АС в точках Р, R и S соответственно. Зная стороны треугольника, надо уметь находить длины отрезков, на которые они поделены точками касания. Например, можно действовать так. Обозначив АР = AS = а, BP = BR = b, CR = CS — с, составим систему уравнений:

Сложив все три уравнения, получим 2(а + b + с) = 15, или (a + b + с) = 7,5.

Далее находим длины отрезков:

с = 7,5-4 = 3,5; а = 7,5-6 = 1,5; 6 = 7,5-5 = 2,5.

Теперь можно найти периметр треугольника KBL, который не зависит от того, как мы проведём касательную KL (М— точка касания), а определяется величиной угла и радиусом вписанной в этот угол окружности. Действительно, так как КМ = KP, а LM = LR, сумма ВК + КМ + ML + BL = BP + BR = 2b = 5 .

Так как треугольники LBK и ABC подобны, отношение сторон KL/АС равно отношению периметров этих треугольников, то есть, KL/AC = 5/15 = 1/3 . Отсюда получаем KL = 5/3.

Ответ: 3/5 ; 5.

Мне кажется, что эта задача, так подробно разобранная здесь, очень близка тем, что предлагались в нашем регионе на ЕГЭ-2011 :

10. Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в которой можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно 5/6. (ЕГЭ-2011).

Ответ: 9/2 или 21/4.

11. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника равен 12, а косинус острого угла равен 3/5 (ЕГЭ -2011).

Ответ: 8 или 9.

Приложение комплексных чисел к обобщенной теореме Птолемея для 4- и 6-угольников

В.Л. Десятник, С.Е. Рукшин

РГПУ им. А.И. Герцена, город Санкт-Петербург

Имя Клавдия Птолемея известно каждому человеку, занимающемуся математикой или астрономией. С этим человеком связано немало замечательных открытий, большая часть из которых вошла в основной трактат Птолемея «Мэгистэ» (греч. «мэгистос» — величайший). Нам он известен под названием «Альмагест», пришедшим от арабов.

«Альмагест» представляет собою большое сочинение из 13 книг по астрономии и математике. В частности, в нем содержится прообраз современных тригонометрических таблиц — таблицы хорд дуг окружности от 0° до 180°, для составления которых Птолемеем была доказана следующая теорема: «Прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника равен сумме прямоугольников, построенных на противоположных сторонах», — вошедшая в историю под его именем.

Привычная нам формулировка теоремы Птолемея такова: произведение длин диагоналей вписанного в круг четырехугольника равно сумме произведений длин его противоположных сторон.

Со времен написания «Альмагеста» появилось огромное количество различных доказательств этой теоремы: классическое доказательство (с помощью дополнительного построения с использованием подобия треугольников); с помощью теоремы косинусов или синусов; с помощью инверсии; с использованием соотношения Бретшнейдера; с помощью метода площадей; с привлечением теоремы Симсона и т.д. Оказывается, доказать теорему Птолемея можно и с использованием комплексных чисел. При этом, помимо несложного доказательства, на этом пути мы получим также многочисленные обобщения данной теоремы.

В процессе поиска новых доказательств теоремы на протяжении 2000 лет были получены и другие тесно связанные с нею результа-

ты. Первым из них, по всей видимости, стала теорема, обратная теореме Птолемея.

Теорема (обратная теореме Птолемея).

Выпуклый четырехугольник ABCD является вписанным, если для него выполняется следующее равенство:

АС ⋅ BD = AB ⋅ CD + AD ⋅ ВС.

Затем было получено неравенство, связывающее длины сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника.

Теорема (неравенство для выпуклого четырехугольника).

Для всякого выпуклого четырехугольника ABCD имеет место неравенство:

АС ⋅ BD < AB ⋅ CD + AD ⋅ ВС

Каждое из указанных утверждений (теорему Птолемея и ей обратную, неравенство для выпуклого четырехугольника) можно рассматривать и доказывать по отдельности, однако, оказывается, можно одним выстрелом убить сразу трех зайцев. Используя «геометрию» комплексных чисел, мы приведем интересное доказательство характеристического свойства для четырех точек плоскости, которое заключает в себе и теорему Птолемея, и обратную ей теорему, и неравенство для четырехугольника (причем не обязательно выпуклого!).

Теорема 1 (неравенство для четырех точек и характеристическое свойство вписанного четырехугольника).

Для любых четырех точек А, В, С, D на плоскости

АС ⋅ BD < AB ⋅ CD + AD ⋅ ВС. (1)

При этом равенство имеет место в том и только в том случае, когда либо четырехугольник вписанный, либо мы имеем дело с одним из вырожденных случаев, когда две точки совпадают или все точки лежат на одной прямой.

Доказательство.

Введем (см. рис. 1.) такую систему комплексных координат, чтобы: 1) точка А совпадала с началом координат; 2) точка D с комплексной координатой z3 лежала на положительном луче действительной оси. Пусть комплексные координаты точек В и С равны z1 и z2, соответственно.

Рис. 1

Рассмотрим следующее тождество:

которое проверяется очевидным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых.

Используя свойство модуля произведения и неравенство треугольника для суммы двух комплексных чисел, получаем:

Отсюда, получаем неравенство:

Учитывая, что

мы получили неравенство (1) для произвольных четырех точек плоскости. В частности, мы доказали, что неравенство имеет место для любого четырехугольника (не обязательно выпуклого!).

Далее, выясним, когда неравенство (1) обращается в равенство, предполагая, что все точки попарно не совпадают.

Заметим, что неравенство треугольника для комплексных чисел, которое мы использовали, обращается в равенство тогда и только тогда, когда аргументы слагаемых равны (с точностью до периода), т.е. argZ1(z3 -z2) = argz3(z2 -z1).

Дальнейшее доказательство проведем путем перебора значений arg(z2-z1).

Заметим, что возможны всего два случая: 1) когда прямая ВС пересекает прямую AD слева (или справа) от точки А, т.е.

2) когда прямая ВС

параллельна прямой AD, т.е.

Пусть, например, прямая ВС пересекает прямую AD слева от точки А и arg(z2 -z1)g (0;к) (см. рис.2.). Обозначим argz1=ß, arg(z3 — z2 ) = -(71 — а), arg(z2 — zx ) = φ. Тогда, из треугольника CKD, по теореме о внешнем угле треугольника, угол С равен (ос-ф). Отсюда, четырехугольник ABCD вписанный, если и только если ß + (а — φ) = к, т.е. ß + (-к + а) = φ, что то же самое, что

Аналогичным образом рассматривается случай, когда прямая ВС пересекает прямую AD справа от точки А.

Далее, пусть, например, ВС || AD, arg(z2 -z1) = 0 и точки В и С не лежат на прямой AD (см. рис. 3.). Обозначим argz1=ß, arg(z3 -z2) = a.

Рис. 2

Рис. 3

Заметим, что тогда четырехугольник ABCD вписанный, если и только если (к — ß) + (-а) = к, т.е. ß + а = 0 , что то же самое, что

Если ВС || AD, arg(z2 -z1) = 0 и точки В и С лежат на прямой AD, то мы имеем дело с двумя из вырожденных случаев, удовлетворяющих теореме: все четыре точки лежат на одной прямой в порядке А, В, С, D или В, А, D, С.

Наконец, теореме действительно удовлетворяет ряд вырожденных случаев, когда какие-то из точек совпадают. Например, A = D или В = С = D . Все подобные вырожденные случаи также несложно найти путем перебора вариантов совпадений двух из четырех точек.

Теорема доказана.

Следствие 1 (теорема Птолемея).

Для любого вписанного четырехугольника произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин его противоположных сторон.

Следствие 2 (теорема, обратная теореме Птолемея).

Выпуклый четырехугольник ABCD является вписанным, если для него выполняется равенство в неравенстве (1). Следствие 3 (неравенство для четырех точек).

Для любых четырех точек плоскости А, В, С и D имеет место неравенство:

АС ⋅ BD < AB ⋅ CD + AD ⋅ ВС.

В частности, это выполняется для всякого четырехугольника (не обязательно выпуклого!).

Доказательства следствий 1, 2, 3 непосредственно следуют из Теоремы 1.

Следствие 4.

Для всякой точки M на окружности, описанной вокруг правильного треугольника A1A2A3, расстояние до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других (например, если M лежит на меньшей из дуг A2A3 (см. рис. 4.), то

Доказательство.

Запишем теорему Птолемея для вписанного четырехугольника

A1A2МA3:

По условию, треугольник A1A2A3 правильный. Обозначим его сторону через а , т.е. A1A2 = а. Отсюда:

Сократив на а , получаем:

Следствие доказано.

Итак, комплексные числа действительно предоставляют большие возможности по доказательству теоремы Птолемея и связанных с нею утверждений. Однако можно пойти гораздо дальше, и, используя комплексные числа, обобщить теорему Птолемея, ей обратную и неравенство четырехугольника на случай произвольного шестиугольника.

Теорема 2 (неравенство для шести точек и характеристическое свойство вписанного шестиугольника).

Для любых шести точек A0, A1, A2, A3, A4, A5 на плоскости

(2)

При этом равенство имеет место в том и только в том случае, когда либо шестиугольник вписанный, либо мы имеем дело с одним из вырожденных случаев, когда точки совпадают или все точки лежат на одной прямой.

Доказательство.

Введем систему комплексных координат и обозначим комплексную координату точки Аk посредством zk, 0 < к < 5 . Записав длины отрезков АkАт в виде модуля разности их комплексных координат | zm —zk| и применив несколько раз неравенство для четырех точек (следствие 3 теоремы 1), получим:

Рис.4

Отсюда следует, что для шести точек имеет место неравенство, равносильное (2):

Из приведенных выше выкладок также следует, что равенство в неравенстве (2) выполняется тогда, и только тогда, когда одновременно достигаются равенства во всех промежуточных неравенствах. По характеристическому свойству для четырех точек (Теорема 1), всякое промежуточное равенство может быть достигнуто, если некоторые точки совпадают, четыре точки лежат на одной прямой или соответствующий четырехугольник вписанный. Путем перебора всех возможных случаев несложно прийти к следующим выводам: теореме удовлетворяют

1) ряд вырожденных случаев, когда какие-то из точек совпадают (например, A3 = A4 = A5 );

2) вырожденные случаи, когда все шесть точек лежат на одной прямой в определенном порядке (например, A0A1A2A3A4A5 );

3) случай, когда шестиугольник A0A1A2A3A4A5 вписанный. Теорема доказана.

Следствие 1 (обобщение теоремы Птолемея).

Для любого вписанного шестиугольника (рис.5.) произведение длин главных диагоналей равно сумме произведений длин сторон,

взятых через одну, и произведений длин пары противолежащих сторон на длину главной диагонали, с ними не пересекающейся.

Следствие 2 (обобщение теоремы, обратной теореме Птолемея).

Выпуклый шестиугольник A0A1A2A3A4A5 является вписанным, если для него выполняется равенство в неравенстве (2).

Следствие 3 (обобщение неравенства четырехугольника).

Для любых шести точек плоскости A0, A1, A2, A3, A4 и A5 имеет место неравенство:

В частности, это выполняется для любого шестиугольника (не обязательно выпуклого!).

Доказательства следствий 1, 2, 3 непосредственно следуют из Теоремы 2.

Таким образом, рассмотренные теоремы лишний раз убеждают нас в том, каким мощным инструментом в доказательствах содержательных геометрических результатов могут быть комплексные числа. Более того, их применение способно привести нас и к получению других новых результатов. Аналогичные доказательствам теорем 1 и 2 рассуждения позволяют получить для любого n > 2 неравенство для произвольного набора из точек плоскости и характеристическое свойство вписанного 2n -угольника. Более тщательные и тонкие рассмотрения позволяют перенести эти результаты и на случай нечетноугольника.

Рис. 5

Линеаризация неравенств

В.В. Трушков,

ФМШ 2007, город Москва

1 Метод линеаризации в действии

На различных математических соревнованиях встречаются задачи такого типа.

Задача 1 Докажите неравенство

(1)

При решении этих задач часто помогает следующее соображение. Пусть мы умеем доказывать неравенство

f(t)>kt + b (2)

для некоторых к и b и всех разрешенных в данной задаче значениях t. Тогда

Если получилось, что кА + пЪ = а , то неравенство (1) доказано.

Однако, когда читаешь в решении, что имеет место оценка для каких-то «страшных» к и b, складывается впечатление, что их, как кролика, вынул фокусник из шляпы. Ниже мы объясним, каким образом их можно найти.

Рассмотрим вспомогательную функцию

и заметим, что обычно минимальное значение в неравенстве (1) получается, когда все аргументы х1, х2, ..., xn равны. Поэтому возникает желание найти такие коэффициенты, чтобы в точке t0 = — функция g(t) имела свой минимум, равный нулю (равенство нулю возникает из-за того, что в этой точке по нашему предположению неравенство обращается в равенство). Для выполнения этих условий необходимо, чтобы

Получается система двух линейных уравнений относительно двух неизвестных к и b.

Нам останется лишь доказать выполение неравенства g(t) > 0 с найденными к и b для всех возможных в данной задаче t.

Замечание 1 Если в неравенстве (1) противоположный знак, то все рассмотрения остаются теми же, за исключением того, что у функции g(t) в точке t = t0 должен быть не минимум, а максимум.

Проиллюстрируем этот метод на примерах.

Задача 2 (Фестиваль юных математиков, 2011) Сумма положительных чисел а, b, с, d равна 4. Докажите, что

Решение. Рассмотрим функцию g(t)

и точку

Запишем систему для нахождения к и b :

откуда

Теперь нам надо доказать, что при t е [0,4] имеет место неравенство

Это неравенство равносильно неравенству

которое, очевидно, выполнено на отрезке t е [0,4]. В итоге получаем, что

Задача 3 (Олимпиада школы 239, 2011) Сумма положительных чисел а, b, с, d равна 4. Докажите, что

Решение. Рассмотрим функцию

и точку

Запишем систему для нахождения к и b :

откуда

Теперь нам надо доказать, что при tе[0,4] имеет место неравенство

Это неравенство равносильно неравенству , которое, очевидно, выполнено на отрезке t g [0,4].

В итоге получаем:

В книге [1] не объясняется, откуда взялась оценка дробно-рациональной функции линейной. Авторы решения написали лишь «заметим, что».

В том же сборнике в комментариях, посвященных этой задаче, задан вопрос

Задача 4 Сумма положительных чисел а, b, с, d равна 4. При каких s имеет место неравенство

Изложенный выше метод дает оценку

Приведем несколько упражнений на эту тему.

Задача 5 Сумма положительных чисел а, b, с, d равна 2. Докажите неравенство

Задача 6 Сумма положительных чисел а, b, с равна 1. Докажите неравенство

Задача 7 (Южная Корея, 2011) Найдите максимальное значение выражения

Задача 8 (Монголия, 1996) Сумма положительных а, b, с, d равна 1. Докажите, что

Задача 9 (Франция, отборы на ММО, 2007) Сумма положительных а, b, с, d равна 4. Докажите, что

2 Неравенство Иенсена

В рассмотренных выше примерах функция f(t) не была выпуклой (convex) или вогнутой (concave) на рассматриваемом промежутке. Докажем, что для выпуклых функций метод линеаризации также работает. А именно, докажем неравенство Иенсена.

Теорема 1 (Иенсен) Пусть f (х) — непрерывно дифференцируемая выпуклая функция на отрезке [а,b], х1, х2, xn g [а, b]. Тогда

Доказательство. Пусть х1 + х2 +... + xn = А . Линеаризуем функцию f(t) в точке t0 = —. Заметим, что прямая, у которой в точке t0 совпадают значение функции и значение производной, будет касательной. Так как функция выпуклая на отрезке [а,b], касательная будет проходить ниже графика функции f(t) на этом отрезке. Итак,

Просуммировав, получим

Теорема доказана.

3 Неравенства другого типа

Чтобы показать полезность линеаризации рассмотрим еще несколько задач

Задача 10 (Киевский физико-математический фестиваль, 2004)

Сумма положительных а, b, с, d равна 4. Докажите, что

Решение. Линеаризуя дробь получим

Задача 11 (Фестиваль юных математиков, 2007) Известно, что а, b, с> 0, ab + bс + са = 3. Докажите, что

Решение. Линеаризуя дробь получим

Осталось доказать, что

или, что то же самое, abc < 1 . Но это очевидное следствие неравенства Коши для трех чисел:

Задача 12 Сумма положительных х, у, z равна 1. Докажите неравенство

Решение. Линеаризуем дробь

Получим, что на отрезке [0,1] имеет место неравенство

Попытаемся доказать более строгое неравенство

Для этого умножим его на

и сделаем однородным:

После раскрытия скобок имеем

что следует, например, из неравенства Мюрхеда.

Задача 13 Пусть а, b, с>0, а2+b2+с2=3. Докажите неравенство

Решение. Прологарифмируем неравенство:

Так как в условии сумма квадратов, нам надо доказать неравенство вида

Аналогично изложенному выше рассматриваем функцию

и ставим в точке t0 = 1 условия g(t0 ) = 0, g'(t0) = 0. Получаем

Итак, если выполнено неравенство

для всех действительных t, то

Можно показать, что нужное нам неравенство верно.

Действительно, функция

имеет вертикальную асимптоту и две точки минимума t = 1 и t = -3/2, в которых она принимает неотрицательные значения.

Задача 14 Пусть а, b, с > 0. Докажите неравенство

Перепишем неравенство так :

Рассмотрим функцию

и линеаризуем её в точке t0 = 1. Получим, что при положительных t имеет место неравенство

Отсюда

В итоге:

Автор благодарит H.А. Ленскую и К.С. Маянцева за интерес к тексту и сделанные замечания.

Список литературы

[1] http://www.artofproblemsolving.com/Forum/index.php

[2] Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике 2011 года / Сост. С.Л. Берлов, Ф.В. Петров, А.В. Смирнов и др. — М: МЦНМО, 2012.

Модули (подборка олимпиадных задач)

П.В. Чулков,

ФМШ 2007, город Москва

В подборке представлены задачи, которые полезно использовать на занятиях со школьниками, интересующимися математикой. Материал предназначен учащимся 10-11 классов.

Задача 1. (Г. Штейнгауз). Докажите, что выражение

симметрично относительно переменных х, у и z .

Задача 2. (Московская математическая олимпиада, 1995, 11 класс). Докажите, что неравенство

верно при всех действительных х, у и z .

Задача 3. (Московская математическая олимпиада, 1986, 8 класс). Докажите, что система неравенств |x| < |у — z|, |у| < |z — х|, |z| < |х — у| не имеет решений.

Задача 4. (Всесоюзная олимпиада, 1999, окружной этап, 11 класс). Существуют ли такие действительные числа а, b и с, что равенство

верно при всех действительных х и у .

Задача 5. (Всесоюзная олимпиада, 2001, окружной этап, 9 класс). Пусть числа а , b с , d , е , f таковы, что равенство

верно при всех действительных х . Докажите, что ad = be.

Задача 6. (Всесоюзная олимпиада, 1974, 11 класс). Для каких действительных чисел а , b и с равенство

выполнено для всех действительных х, у и z .

Задача 7. (Вторая Соросовская олимпиада, первый тур, 1996, 10 класс). Найдите наименьшее значение, которое может принимать выражение

Указания, ответы и решения

1. Докажем сначала, что

- наибольшее из чисел X, у. Будем обозначать s = тзх(х;у). Действительно, если х > у , то

Преобразуем исходное выражение. Получим:

Таким образом, исходное выражение paвно 4max(x;y;z), а оно симметрично.

2. Обозначим a = x + y-z , b = y + z — х, с = z + х — у и воспользуемся неравенством \т\ + 1п\ >\т + п\.

3. Возведем неравенства в квадрат:

Перепишем неравенства в виде:

Перемножим неравенства. Получим противоречие.

4. Ответ: нет.

Докажем методом от противного.

Пусть такие действительные числа а , b и с существуют. Выберем такие х>0, y>0 такие, что х + a>0, х + у + b>0, у + c > 0 , тогда

Если же X < 0, у < 0 такие, что х + а<0 , х +y + Z>< 0 , y + с < 0, тогда

Противоречие, так как знаки а + b + с и -а-b-с различны.

5. Пусть , тогда

Следовательно,

6. Ответ: (±1;0;0), (0;±1;0), (0;0;±1).

Пусть при некоторых а, b и с равенство выполняется при всех х, у и z. Подставив:

1 ) X = у = z = 1, получим

2) X = >' = 1 и z = 0, получим

3) X = 1, >' = -!, z = 0, получим

Получим:

Следовательно, числа а, b и с либо одновременно неотрицательны, либо одновременно неположительны.

Пусть а>b>с>0, тогда

Получим: b + 2с = 0 и (в силу неотрицательности) b=с = 0, а = 1. Таким образом, (1;0;0) — решение задачи, и (в силу симметрии) (0;1;0), (0;0;1) — тоже решения. Неположительные решения получаются аналогично.

7. Ответ:

Рассмотрим выражение как функцию от с .

Функция

достигает своего наименьшего значения в точках «перелома» (то есть там, где один из модулей |с-3| или |3a + 2b + с| равен нулю. После преобразований получим:

Далее, рассмотрим полученное выражение как функцию от b :

Она достигает своего наименьшего значения в точках «перелома» (то есть там, где один из модулей |b — 2| или |3a + 2b + 3| равен нулю.

Рассуждая аналогично предыдущему, получим, что наименьшее значение может быть равно

Далее, рассмотрим полученные выражения как функции от а :

Наименьшее значение равно: p(1) = 10 или 2)

Наименьшее значение равно: t(1) = 5 или

Литература

1. Купцов Л.П., Нестеренко Ю.В., Резниченко С.В., Слинько А.М. Математические олимпиады школьников: Кн. для учащихся общеобразоват. учреждений. — М.: Просвещение, 1999.

2. Штейнгауз Г. Сто задач. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.

3. Федоров Р.М., Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Ященко И.В. Московские математические олимпиады 1993-2005 г. Под ред. В.М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006.

4. Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Кожевников П.А, Подлипский О.К., Терешин Д.А. Всероссийские олимпиады для школьников по математике 1993-2009: Заключительные этапы. — М.: МЦНМО, 2010.

5. Васильев Н.Б. Избранные задачи математических олимпиад. -М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999.

6. Вторая Соросовская олимпиада школьников 1995-1996. Задачи и решения. — М.: МЦНМО, 1996.

«Пятерочки» задач как средство подготовки школьников к олимпиадам

А.В. Шевкин,

ФМШ 2007, город Москва

Идею использования «пятёрочек» задач для подготовки учащихся к олимпиадам описал в газете «Математика» в середине 90-х годов прошлого века П.В.Чулков, не только описал, но и реализовал её на практике. Она и теперь успешно используется в нашей школе, имеющей реальные успехи в олимпиадном движении. Идея предельно проста. Если вы хотите, чтобы ваши учащиеся были успешными в олимпиадах и других конкурсах, то давайте им такие задачи один раз в неделю, отмечайте успех каждого ученика в их решении, разбирайте решения этих задач с классом — регулярная целенаправленная работа обязательно принесёт свои плоды. На еженедельных «пятёрочках» задач в нашей школе построена работа практикума по решению задач, но эта статья о другом способе реализации той же идеи.

В двух своих группах (5А и 5Б) один раз в неделю я даю «пятерочку» задач после уроков. Полное решение каждой задачи оцениваю в 5 баллов (неполное — в часть этих баллов). Каждые набранные учеником 20 баллов дают ему «5» в журнал. Причём неиспользованные баллы из разных «пятёрочек» суммируются. Правила выставления отметки могут варьироваться — суть не в этом. Главное здесь заключается в том, что я стараюсь подобрать известные или составить новые задачи, которые, по моему мнению, полезно решить моим учащимся, чтобы они освоили определённый тип задач, приём рассуждения и т.п. При этом можно подбирать разнообразные и интересные задачи, а также цепочки нарастающих по сложности задач на одну и ту же идею.

К концу учебного года накопилось больше двадцати «пятёрочек»1, удалось составить три тематические «пятёрочки» задач.

1 http://www.shevkin.ru/? action=Page&ID=384

С ними работали иначе. Первые задачи разбирали общими усилиями на уроке, чтобы освоить необычную идею — чётные и нечётные факториалы, или приём «рассмотрим крайний случай» — задачи про домино, или научиться применять «лишние» буквы — задачи на совместную работу. Две первые темы вполне по силам сильным пятиклассникам, причем задачи про факториалы дают учащимся опыт построения математической теории: здесь есть определения новых объектов и доказательства их свойств, а третья — «на вырост», её можно было дать и позже.

Разумеется, приведённые ниже задачи можно использовать и вне работы с «пятёрочками» задач, и в классах постарше.

Далее приведены задачи с решениями по трём упомянутым темам. Кроме заготовленных заранее способов решения задач, приведены и решения, предложенные учащимися. Они не укладываются в «прокрустово ложе» учительской задумки, но интересны своей самостоятельностью.

Задачи про чётные и нечётные факториалы

Назовём чётным факториалом натурального числа n (n>3) произведение всех чётных чисел, не превосходящих n (обозначим его n!!), а нечётным факториалом натурального числа n (n>2) произведение всех нечётных чисел, не превосходящих n (обозначим его n!!!).

Например, 6!!=2 4 65 6!!!=1-3-5, 7!!=2-4-6,7!!!=1-3-5-7 .

1. Докажите, что: а) n!! ⋅ n!!! = n!; б) если n — чётное число, то n!! >n!!!; в) если n — нечётное число, то n!! <n!!!.

Доказательство, а) n!! — это произведение всех чётных чисел, не превосходящих n, а n!!! — это произведение всех нечётных чисел, не превосходящих n. В этих произведениях множители не повторяются, поэтому n!!n!!! — это произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n, т. е. это n!, что и т. д.

б) Так как n — число чётное, то верны равенства

В этих произведениях равное число множителей и каждый множитель первого произведения больше соответствующего множителя второго произведения, поэтому n!!> n!!!, что и т. д.

в) Так как n — число нечётное, то верны равенства

Во втором произведении на один множитель больше, но если в нём убрать множитель 1, то в двух произведениях окажется равное число множителей, каждый множитель первого произведения меньше соответствующего множителя второго произведения, поэтому n!!< n!!!, что и т. д.

Замечание. Утверждение «если два произведения содержат равное число множителей и каждый множитель первого произведения больше соответствующего множителя второго произведения, то первое произведение больше второго» кажется очевидным, но в старших классах его надо доказывать.

2. Докажите, что: а) если n!!> n!!!, то n — чётное число; б) если n!!< n!!!, то n — нечётное число.

Доказательство а) Предположим, что число n — нечётное число, тогда из доказанного выше (задание 1,в) следует, что верно неравенство n!!<n!!!, а это противоречит условию, следовательно, n — число чётное, что и т. д.

3. а) Сколько лет Васе, если чётный факториал его возраста больше нечётного факториала его возраста в

б) Сколько лет Даше, если нечётный факториал её возраста больше чётного факториала её возраста в

Решение. а) Пусть Васе исполнилось n лет, тогда

Так как

тогда n — чётное число (задание 2,а).

Так как число n!!! не содержит чётных множителей, то дробь

не сокращалась на 2 и все множители 2 из разложения числа n!! на простые множители содержатся в разложении на простые множители числа 1024 = 210. Составим произведение последовательных чётных чисел, содержащее 10 множителей 2:

2-4-6-8-10-12.

Следовательно, n — 12 , то есть Васе 12 лет.

Ответ, а) 12 лет; б) 13 лет.

4. а) Определите последнюю цифру в записи числа 2007!!!.

б) Определите, на сколько нулей оканчивается запись числа 100!!.

Решение, а) Записи всех множителей в произведении 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅... ⋅ 2007 оканчиваются нечётными цифрами, среди них есть 5, поэтому запись числа 2007!!! оканчивается цифрой 5.

б) В произведении 100!! множителей 2 больше, чем множителей 5, поэтому число нулей в конце записи числа 100!! равно числу множителей 5 в произведении чисел:

10⋅20⋅30⋅40⋅50⋅60⋅80⋅100.

Это произведение содержит 10 множителей 5, поэтому запись числа 100!! оканчивается на 10 нулей.

Ответ, а) 5; б) на 10 нулей.

5. Определите последнюю отличную от нуля цифру в записи числа 30!!.

Решение. Будем определять последнюю отличную от нуля цифру, последовательно умножая множители в произведении 2-4-6...-30. В первой строке запишем все множители числа 30!!, во второй — последнюю отличную от нуля цифру, полученную после умножения на множитель, стоящий над этой цифрой. 2-4 = 8, 2-4-6 оканчивается на 8, 2-4-6-8 оканчивается на 4 и т. д.:

2-4-6-8-10-12-14-16-18-20-22-24-26-28-30 88448226246684 Итак, 4 — последняя отличная от нуля цифра в записи числа 30!!.

Ответ. 4.

Задачи про домино

1. Вася разложил домино в 4 ряда по 7 костей в каждом. Оказалось, что суммы очков в этих рядах относятся как 2:3:4:5. Какова сумма очков в каждом ряду?

Решение. В четырёх рядах 8-(0 + 1+ 2+ 3 + 4 + 5+ 6) = 168 очков. Пусть в первом, втором, третьем и четвёртом рядах суммы очков составляют 2, 3, 4 и 5 частей соответственно. Тогда на 14 частей приходится 168 очков, поэтому сумма очков в первом ряду равна 168:14—2 = 24 . Во втором 36, в третьем 48, а в четвёртом 60.

Ответ. 24, 36, 48, 60 очков.

2. Вася хочет разложить домино в 4 ряда по 7 костей в каждом так, чтобы суммы очков в этих рядах относились как 1:2:3:4. Но ему это пока не удалось. Сможет ли Вася выполнить своё желание?

Решение. В четырёх рядах 168 очков (задача 1). Пусть в первом, втором, третьем и четвёртом рядах суммы очков составляют 1, 2, 3 и 4 части соответственно. Тогда на 10 частей приходится 168 очков, поэтому в первом ряду должно быть 168:10 — дробное число очков, что невозможно. Следовательно, Вася не сможет выполнить своё желание.

Ответ. Нет.

3. Однажды А, Б, В и Г играли в домино и взяли каждый по 7 костей. Оказалось, что сумма очков у А на 54 больше, чем у Б, а у В и Г очков было поровну. Какова сумма очков у Г?

Решение. I способ. У четырёх игроков 168 очков. Рассмотрим «крайний» случай, когда у А наибольшая возможная сумма очков, а у Б наименьшая. В этом случае у А 12 + 11 + 10 + 10 + 9 + 9 + 8 = 69 очков, у Б 0 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 очков, т. е. у А как раз на 54 очка больше, чем у Б.

Если бы у А было хоть на одно очко меньше и/или у Б хоть на одно очко больше, то разность их сумм очков была бы меньше 54. Следовательно, у А и Б было 69 и 15 очков соответственно, а всего 84 очка. Оставшиеся 168-84 = 84 очка разделим поровну между В и Г, получим по 42 очка. Итак, у Г было 42 очка.

II способ (Кулямин А., 5Б). Если бы у четырёх игроков очков было поровну, то у них было бы по 168 : 4 = 42 очка. Чтобы у А и Б образовалась требуемая разность 54 очка, надо половину этой разности (27 очков) вычесть из суммы очков Б и прибавить к сумме очков А: 42-27 = 15, 42 + 27 = 69. Все условия задачи выполнены, у Г было 42 очка.

Нетрудно убедиться, что суммы очков 69, 15, 42 и 42 можно получить, используя набор костей домино.

Ответ. 42 очка.

4. Однажды А, Б, В и Г играли в домино и взяли каждый по 7 костей. Оказалось, что у А сумма очков на 53 больше, чем у Б, а у В на 13 очков больше, чем у Г. Какова сумма очков у Г?

Решение. У четырёх игроков 168 очков. Если бы у А была наибольшая возможная сумма очков, а у Б наименьшая, то у А было бы 69 очков, у Б — 15 очков (задача 3). В этом случае сумма очков

у А была бы на 54 очка больше, чем у Б. Разность 53 очка могла получиться только в двух случаях: 69-16 и 68-15 . Рассмотрим эти случаи.

1) У А 69 очков, у Б 16 очков, у А и Б вместе 85 очков, у В и Г вместе 83 очка. Так как у В на 13 очков больше, чем у Г, то у Г было (82-13): 2 = 35 очков.

2) У А 68 очков, у Б 15 очков, у А и Б вместе 83 очка, у В и Г вместе 85 очков. Так как у В на 13 очков больше, чем у Г, то у Г было (85-13): 2 = 36 очков.

Нетрудно убедиться, что оба случая реализуются с помощью костей домино, поэтому задача имеет два решения. Ответ. 35 или 36 очков.

5. Однажды А, Б, В и Г играли в домино и взяли каждый по 7 костей. У А оказались все дубли: (0, 0), (1, 1), ... , (6, 6), у Б на 40 очков больше, чем у В. Сколько очков было у Г?

Решение. У А было 0 + 2 + 4 + 6 + 7 + 10 + 12 = 42 очка из 168 очков. Если бы у Б была наибольшая возможная сумма очков, а у В наименьшая, то у Б было бы 11 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + 7 = 62 очка, у В — 1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 = 22 очка. В этом случае у Б было бы как раз на 40 очков больше, чем у В. Если бы у Б было бы хоть на 1 очко меньше и/или у В хоть на одно очко больше, то разность их сумм очков была бы меньше 40. Следовательно, у А, Б и В вместе было 42 + 62 + 22 = 126 очков, а остальные 168 -126 = 42 очка были у Г.

Ответ. 42 очка.

Задачи на совместную работу

Рассмотрим задачи на совместное или последовательное выполнение различных заданий разными работниками.

1. А выполнит своё задание за 15 ч, а задание Б — за 30 ч. Б выполнит своё задание за 25 ч. Во сколько раз производительность труда у Б больше, чем у А? За сколько часов Б выполнит задание А?

Решение. Пусть задание Б состоит из х ед., тогда производительности труда А и Б равны — и — ед. в час соответственно. У Б производительность труда больше, чем у А в — : — = — раза.

Так как А выполняет своё задание за 15 ч, то Б выполнит задание А

В решении задачи 1 неявно используется обратная пропорциональность. Эта тема будет изучаться в 6 классе, но учащиеся уже владеют ею после практикума по решению задач. Явное же использование обратной пропорциональности приводит к такому решению.

При постоянном объёме работы время работы обратно пропорционально производительности труда, поэтому производительность труда Б больше производительности труда А в 30:25 = — раза, а время выполнения задания А работником Б равно

Ответ.

2. А выполнит своё задание за 20 ч, Б выполнит своё задание за 12 ч, а при совместной работе они могут выполнить оба задания за 16 ч. Во сколько раз задание А больше задания Б?

Решение. I способ. Пусть задание А состоит из х ед., а задание Б из у ед. Тогда производительности их труда равны — и — ед. в час соответственно, а вся работа состоит из (х + у) ед., или из

Из равенства

получим, что

т. е. задание А в — раза больше, чем задание Б.

II способ (Мишакин М, 5А). За 16 ч совместной работы А выполнил — = — своего задания, а b за 12 часов выполнил свое задание и за 4 часа оставшуюся — задания А. Тогда Б на выполнение задания А требуется 4 : — = 20 ч, поэтому задание А больше задания Б в — = — раза.

Ответ.

3. А может выполнить своё задание за 20 ч, а задание Б — за 15 ч. Б может выполнить своё задание за 10 ч. За сколько часов они выполнят оба задания при совместной работе?

Решение. I способ. Пусть задание А состоит из х ед. Тогда задание Б состоит из —х = — х ед., а задание двух работников состоит из

За 1 час А выполняет

а вместе за 1 час А и Б выполнят

Оба задания при совместной работе они выполнят за

II способ (Касимов И., 5Б). Так как А может выполнить задание Б — за 15 ч, а Б может выполнить своё задание за 10 ч, то производительность труда Б в = раза больше, чем производительность труда А. Пусть А и Б работали 10 ч. А выполнил половину своего задания, Б выполнил всё своё задание, им осталось при совместной работе выполнить половину задания А. Так как производительность их совместной работы в ^+^ раза больше, чем производительность А, то при совместной работе половину задания А они выполнят за 10 : = 4 ч, а на всю работу затратят 10 + 4 = 14 часов.

Ответ. За 14 ч.

4. А, Б и В имеют каждый своё задание. А выполнит задание Б за 10 ч, Б выполнит задание В за 15 ч, В выполнит задание А за 20 ч, а при совместной работе они выполнят все три задания за 15 ч. За сколько часов совместной работы А и В могут выполнить задание Б?

Решение. За 15 часов Б выполнит задание В, поэтому за это время А и В выполнят задания А и Б при совместной работе. Пусть задание А состоит из х ед., а задание Б из у ед. Тогда производительности труда А и В равны — и — ед. в час соответственно, а

производительность их совместной работы равна

За 15 ч совместной работы они выполнят (х + у) ед., или

Из равенства

получим, что X = 2у, поэтому производительность совместной работы А и В равна ед. в час. Задание Б в у ед. будет выполнено А и В за^:у = 5 ч.

Ответ. За 5 ч.

5. А может выполнить задание Б за 10 ч, Б может выполнить задание А за 20 ч, при совместной работе они выполнили оба задания за 16 ч. Сколько часов потратили бы А и Б на последовательное выполнение своих заданий (сначала А выполнит своё задание, потом Б — своё)?

Решение. Пусть задание А состоит из х ед., а задание Б из у ед. Тогда производительности их совместной составляет

Оба задания состоят из (х + у) ед., или

Из равенства

получим, что

На последовательную работу будет затрачено

Ответ.

Содержание

ПАМЯТИ С.М. НИКОЛЬСКОГО............................................3

Взгляд на преподавание

Ковальджи А.К. НАГЛЯДНЫЕ ОБРАЗЫ ОПЕРАЦИЙ................ 5

Вейц Ю.Б. ГЕОМЕТРИЯ В 7-М ФИЗ МАТ КЛАССЕ «ПО КОЛМОГОРОВУ»................................................9

Рукшин С.Е., Суслина М.Е. УРОК, КАК ПЕРВЫЙ ШАГ К ОЛИМПИАДЕ, ИЛИ КАК НАУЧИТЬ ШКОЛЬНИКОВ РЕШАТЬ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ.........................................................................23

Физика и её преподавание

Бунчук А.В. РАБОТА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА И ЗАКОН ДЖОУЛЯ-ЛЕНЦА.............................................31

Экелекян В.Л. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИКИ НА ПРИМЕРЕ УПРУГОГО СТОЛКНОВЕНИЯ.............. 34

Липкин К.Н. ПРОБЛЕМА ТЕМНОЙ ЭНЕРГИИ И КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ..................45

Информатика в школе

Дединский И.Р. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ДОВУЗОВСКОМУ ПРЕПОДАВАНИЮ ПРОГРАММИРОВАНИЯ...................................48

Материалы к занятиям

Пукас Ю.О. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВСЕЙ СЕКУЩЕЙ НА ЕЕ ВНЕШНЮЮ ЧАСТЬ................................................54

Десятник В.Л., Рукшин С.Е. ПРИЛОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ К ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРЕМЕ ПТОЛЕМЕЯ

ДЛЯ 4- И 6-УГОЛЬНИКОВ........................................65

Трушков В.В. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕРАВЕНСТВ.............................73

Чулков П.В. МОДУЛИ (ПОДБОРКА ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ) 81

Шевкин А.В. «ПЯТЕРОЧКИ» ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВО ПОДГОТОВКИ ШКОЛЬНИКОВ К ОЛИМПИАДАМ...........................................................85

Изд. Лицензия ЛР № 066121 от 22.09.1998г. Подписано в печать 22.01.2013 Объем 6 п.л. Формат бумаги 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 250 экз. Заказ №105

Издание Института Логики, Когнитологии и Развития Личности Отпечатано в типографии ЕВСТИ, г. Москва.