АРХИМЕД

Научно-методический сборник

Выпуск 7

2011

Архимед

Научно-методический сборник

Выпуск 7

Москва 2011

Ответственные за выпуск: А.Бунчук, В.Бусев, Т.Струков, П.Чулков, А.Шевкин

Архимед. Научно-методический сборник. Вып. 7. В настоящем сборнике представлены тезисы докладов участников семинара «Интеграция основного и дополнительного физико-математического образования», проходившего 26 января 2011 года в ФМШ № 2007 ЮЗОУО г. Москвы, а также другие публикации, посвященные вопросам дополнительного физико-математического образования.

© 2011, AHO Институт логики © 2011, Редакция «Архимед»

Всероссийский съезд учителей математики

Завершил Всероссийский съезд учителей математики в МГУ (28-30 октября 2010 года)1. На съезде принята резолюция, которую мы предлагаем вашему вниманию.

Резолюция Всероссийского Съезда учителей математики Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова 28-30 октября 2010 г.

Всероссийский Съезд учителей математики созван по инициативе Ректора Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова вице-президента РАН академика В.А. Садовничего и призван возродить традиции Первого и Второго Всероссийских Съездов преподавателей математики (1911-1912 гг. и 1912-1913 гг.) и Первой Всероссийской Конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков» (2000 г.).

На Съезд прибыли 1218 участников из 75 субъектов Российской Федерации и из других государств: Белоруссии, Украины, Азербайджана, Армении, Казахстана, Узбекистана, Туркмении, Монголии, Финляндии, Швейцарии, Сирии, Израиля, США. В работе Съезда приняли участие учителя школ, преподаватели вузов и ученые-математики, специалисты по педагогике и методике преподавания математики, руководители образовательных учреждений и представители органов управления образованием.

В адрес Съезда поступили 365 тезисов докладов, на заседаниях 5 секций Съезда заслушано в общей сложности 189 докладов и сообщений, работали 10 круглых столов. В дискуссиях высказаны различные мнения по актуальным вопросам математического образования в России.

Ректор Московского университета академик В.А. Садовничий выступил на Съезде с пленарным докладом «О математике и ее преподавании в школе», в котором он осветил историю развития математики, проанализировал тенденции развития зарубежных

1 Информацию о съезде см. в интернете по адресу: http://math-congress-2010.msu.ru

систем образования в сравнении с российской школой, обрисовал современные горизонты математической науки и ее приложений. Для обсуждения на Съезде докладчиком был предложен целый ряд актуальных проблем современного математического образования, включая падение интереса учащихся к математике, их ориентацию исключительно на сдачу ЕГЭ, идею всеобщей профилизации средней школы и переход на новые образовательные стандарты. Кроме того, в докладе была дана информация о программе «МГУ — школе», о деятельности Российского совета олимпиад школьников и комиссии РАН по экспертизе школьных учебников.

Все участники Съезда объединены идеей консолидации учительского и преподавательского математического сообщества на благо возрождения и развития математического образования и математической науки в России XXI века.

1. Съезд подчеркивает, что математическое образование есть:

— важнейший и необходимый компонент развития личности, представляющий собой не только способ общения и взаимодействия с окружающими, но и основу подготовки к будущей профессии, интеллектуального и творческого развития, понимания законов мироздания;

— стратегический ресурс инновационного развития России, что многократно доказано отечественным и всемирным историческим опытом;

— благо, на которое имеет право каждый человек и которое Российское государство должно гарантировать каждому своему гражданину.

2. Съезд обеспокоен существенным снижением уровня математической подготовки выпускников средней школы, что ставит под удар способность России к воспроизводству высококвалифицированных кадров, ее технологическую и информационную модернизацию, наукоемкое и инновационное экономическое развитие.

3. Съезд подчеркивает, что прямое влияние на снижение качества математического образования оказывают:

— сокращение числа часов, отводимых на изучение математики, особенно в начальной школе;

— совмещение в ЕГЭ итоговой аттестации и вступительного испытания;

— непосредственное использование результатов ЕГЭ при оценке работы учителя, а также недостатки при введении новой системы оплаты его труда.

4. Съезд считает важным:

— повысить государственный статус учителя, включая улучшение условий его труда и повышение заработной платы, модернизацию системы оценки его труда и значительное упрощение системы отчетности, формирование отношения к профессии учителя как к государственной миссии;

— рассматривать математическое образование в средней школе как важнейшую общественную и государственную функцию, которую осуществляет и отдельно взятый учитель, и все педагогическое сообщество в целом, а ответственность за исполнение которой несут государственные органы образования;

— поддерживать и укреплять систему высшего педагогического образования, повышая качество подготовки в педагогических вузах, усиливая в них изучение школьного курса математики и соответствующую методическую подготовку.

5. Съезд считает целесообразным создание постоянно действующей Ассоциации Преподавателей Математики, задачами которой должны стать:

— консолидация учителей и преподавателей математики, создание условий для их профессионального общения и обмена опытом;

— активное участие в разработке и обсуждении стратегических проблем математического образования;

— общественный мониторинг состояния математического образования в целом по стране и на местах.

С этой целью Съезд поручает Организационному комитету сформировать инициативную группу будущей Ассоциации Преподавателей Математики.

6. Съезд считает недопустимым сокращение числа часов, отводимых на изучение математики в школе, — это число, напротив, должно быть увеличено с учетом отечественных традиций и мировых тенденций математического образования.

7. В связи с введением ЕГЭ по математике Съезд:

— выражает озабоченность тем, что перечень реально изучаемых в школах вопросов программы по математике фактически сужается только до вопросов, фигурирующих в заданиях ЕГЭ;

— предлагает отделить в ЕГЭ итоговую аттестацию от вступительных испытаний;

— просит Министерство образования и науки Российской Федерации принять решение об официальной публикации вариантов ЕГЭ прошлых лет;

— считает целесообразным применять дифференцированный подход при проведении ЕГЭ по математике для различных групп выпускников;

— считает нужным создание специальных условий (в том числе с использованием компьютера) для выполнения заданий ЕГЭ лицами с ограниченными возможностями здоровья.

8. Съезд считает необходимым, чтобы при подготовке и утверждении новых образовательных Стандартов:

— была исключена неоправданная поспешность;

— были обеспечены широкая профессиональная экспертиза, общественное обсуждение всех вводимых стандартов и их апробация;

— был четко обозначен и конкретизирован в виде задач минимальный объем необходимых знаний и умений учащихся, учитывающий их реальные возможности.

Съезд отмечает, что введенный в действие образовательный Стандарт начального образования нуждается в существенной доработке.

9. Съезд предлагает:

— провести профессиональное обсуждение содержания школьного математического образования на общенациональном уровне с участием Ассоциации Преподавателей Математики;

— сохранить изучение алгебры, геометрии и информатики как отдельных предметов с отдельными оценками в аттестате;

— сохранить обязательный экзамен по математике в 9-м и 11-м классах, а также восстановить устный экзамен по геометрии;

— законодательно закрепить сохранение возможности углубленного изучения математики в 8-11-х классах, включая его повышенное финансирование.

10. Съезд считает необходимым:

— развитие сложившейся системы работы с одаренными детьми в области математики — движения энтузиастов: ученых, преподавателей вузов, учителей школ, руководителей кружков;

— сохранение духа математических олимпиад как праздников творчества и науки;

— создание системы государственной поддержки работы с одаренными детьми на федеральном уровне;

— обеспечение внимательного подхода к детям с ограниченными возможностями здоровья.

11. При введении новых учебников по математике Съезд считает необходимым:

— проведение их компетентной общественной экспертизы;

— проведение продолжительной и массовой их апробации, предшествующей замене на них грифа «допущен» грифом «рекомендован». Съезд отмечает большую работу по качественной экспертизе учебников математики, проделанную комиссией Российской академии наук.

12. Съезд:

— подтверждает востребованность инициативы МГУ имени М.В. Ломоносова по проведению Всероссийских съездов учителей-предметников на регулярной основе;

— постановляет созвать следующий Всероссийский Съезд учителей математики через 3-5 лет и поручает Организационному и Программному комитетам настоящего Съезда провести для этого необходимую подготовительную работу;

— обращается к МГУ имени М.В. Ломоносова с предложением стать одним из координаторов всестороннего обсуждения хода модернизации школьного образования в рамках программы «МГУ — школе».

13. Съезд призывает всех математиков России принять активное участие в открытом обсуждении «Закона об образовании» и выразить свою профессиональную и гражданскую позицию.

14. Съезд обращается с предложением к Московской Городской Думе рассмотреть вопрос об увековечении в Москве памяти автора первого учебника математики России Л.Ф. Магницкого.

15. Съезд приглашает педагогические и методические издания, а также все средства массовой информации к сотрудничеству в распространении идей и документов Съезда в учительской среде, а также к обсуждению предложений по реальному позитивному реформированию отечественного математического образования.

16. Съезд поручает Организационному комитету Съезда опубликовать настоящую Резолюцию в сети Интернет и профильных изданиях, а также подготовить и издать все материалы Съезда в электронном и печатном виде.

17. Съезд поручает Организационному комитету Съезда направить настоящую Резолюцию во все образовательные учреждения России, органы управления образованием субъектов Российской Федерации, в Государственную Думу и Совет Федерации Федерального Собрания Российской Федерации, в Министерство образования и науки Российской Федерации, Правительство Российской Федерации и Администрацию Президента Российской Федерации.

Председатель Программного комитета Съезда профессор И.Н. Сергеев

Секретарь Съезда И.Ю. Самоненко

Л.Б. Слуцкий

методист лаборатории математики ОМЦ ЮЗОУО, г. Москва

А вы все про ЕГЭ, господа?

Читая произведения известного педагога и психолога Ш.А.Амонашвили, я обнаружил следующее наблюдение (не буду цитировать дословно) — Когда маленькие дети приходят в школу, их глаза светятся. Они хотят узнать от взрослых много нового, интересного. Они уверены, что впереди счастливая дорога к знаниям. Всматриваясь в унылые и равнодушные лица старшеклассников на многих уроках, невольно задаешь себе вопрос: «Кто погасил их лучезарные взгляды? Почему пропало желание и стремление?».

То есть, желания и стремления вроде очевидны и понятны, приоритеты расставлены, задачи определены. Требуется только не отбить охоту учиться.

В том то и дело, что эта книга была написана уже достаточно давно. С тех пор еще больше поменялась жизнь, а вместе с ней цели и задачи образования, а значит и школа, и ученики, и учителя. Впрочем, очень долгое время наше математическое образование не желает меняться. Ведь вроде бы не может измениться математика ни как наука, ни как преподаваемый предмет. Но нужна ли она в таком объеме нынешнему прагматичному поколению, главный вопрос которого: «А зачем нас этим грузят?». Вот одно интересное наблюдение. Часто заходя на уроки в начальную школу, я предлагал детям простой вопрос — Вы живете в некотором доме. Если вы идете справа, то ваш подъезд третий, если слева, то ваш подъезд второй. Сколько в доме подъездов? Обязательно находился кто-либо, кто говорил, что подъездов 5, так как 2+3=5. Ну да ладно. Задав недавно аналогичный вопрос, получаю ответы: 8(ого!), 10, и так далее. Все активны, стараются ответить. Но почему такие дикие ответы? Вывод очень прост — никто не пытается вникнуть в смысл вопроса. Все (по крайней мере многие!) стараются благодаря быстрому перебору чисел получить правильный ответ. Вот вам штрих к портрету многих, кто придет в среднюю школу заниматься алгеброй и геометрией! У большинства этих детей нет проблем с ком-

пьютерной грамотностью, но есть большие проблемы с логическим мышлением, пространственным воображением, мотивацией и т.д.

Но ведь никто не собирается делать на это скидку! Мы попрежнему утверждаем учебные планы, сверстываем программы, определяем базовые уровни, которые давно не соответствуют ни среднему уровню современных учеников, ни целям и задачам математического образования в условиях изменившейся жизни.

Пойдем дальше. Вывод, как обычно, вроде прост. Убрать математику из обязательного перечня предметов. Изучать и сдавать ее по выбору. Зачем нам она? Все равно мало кто ее понимает и вообще пригодится ли она в жизни? Многие говорят, что нет! Дискуссия на эту тему уже сильно затянулась. Я не собираюсь опять в нее вступать и доказывать, что основы математики необходимы в системе образования на всех ее этапах, так как это конструкция логического мышления человека. Речь сейчас о другом. Мы живем в 2011 году, при этом структура, программа и большинство учебных пособий по математике «живут» в семидесятых-восьмидесятых годах прошлого века, когда перед математическим образованием ставились совершенно другие задачи.

Конечно, не только ваш покорный слуга об этом задумался. Предпринимаются различные попытки пересмотреть (хоть частично) содержание. Например: Введены основы Теории вероятностей и математической статистики. Делаются попытки увеличить количество простых задач с практическим содержанием, а также задач, связанных с различного рода стратегиями. Успешны ли эти эксперименты? Посетив многие уроки и пообщавшись со многими учителями, отчетливо убеждаюсь, что введение этих вопросов в общеобразовательную программу является попыткой не слишком успешной. У большинства детей не хватает знаний и интеллектуального потенциала. В головах царит хаос и разруха. При этом не хватает времени на отработку простых вопросов алгебры, без которых дальнейшее изучение математики вообще невозможно.

Что касается геометрии, то здесь разговор особый. Давным-давно я услышал историю о том, как одного ученика седьмого класса спросили о том, что они сегодня делали на уроке геометрии. Ученик ответил так: «Учитель нарисовал на доске два равных треугольника и целый урок доказывал, что они равны!». В те времена я «покатил бочку» на учителя. Он, конечно, делает что-то не то.

Боюсь, что сейчас почти каждый семиклассник ответит аналогично. И дело тут не в методике. Недавно мы приглашали на совещание МО учителей нашего округа одного из разработчиков новой концепции в преподавании геометрии. В ее основе лежат, прежде всего, элементарные наглядные представления. Цель-овладение элементарными компетенциями. Такими задачами наполнены пособия по подготовке к первой части ЕГЭ. Действительно, чтобы найти площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге, не обязательно знать свойства и формулы. Достаточно разбить фигуру на прямоугольники или прямоугольные треугольники. Аналогично можно найти расстояние от точки до прямой, построив его чисто визуально. И так далее и тому подобное. Вот такая вот бездоказательная математика. Тоже и стереометрия. Нарисовали «типа» кубик и поехали находить разные углы и расстояния. Мысль ясна. Минимум теории, максимум практики и наглядных представлений.

Теперь наглядно представим. У нас два часа геометрии в неделю (в лучшем случае)! Урок первый тире двадцатый (то есть 10 недель!) рисуем кубики и делаем однообразные упражнения, забросив действующие учебники и программы куда подальше. При этом, что мы пишем в журнале? Как обычно, то, что положено было писать с 1977 года. Например: «Скалярное произведение векторов. Нахождение углов между векторами». Это должны освоить наши ученики по программе. Итак, живем в условиях сумасшедшего дома и при этом по-прежнему реализуем и перевыполняем программу XXVI съезда КПСС: Думать одно, говорить другое, делать третье, записывать четвертое, изучать пятое, а главное составлять длинные и бессмысленные отчеты в электронном виде для администрации и родителей! Получается, что учителям большинства школ дана негласная команда о замене программы по математике на изучение вопросов, которые вроде еще могут освоить учащиеся старших классов. Например: Сколько сырков по цене 7р50к можно купить на 700р?

Кстати, если действительно строго следить за использованием микрокалькуляторов, то выяснится, что мало кто получит правильный ответ. Ведь надо правильно поделить в столбик с остатком!

При этом в аттестат может быть поставлена любая оценка! А кто проверит? В школах, где действительно учат математике, вы-

даются аттестаты с такими же оценками. Но ведь аттестаты не имеют значения? Тогда плевать на все, кроме деления с остатком. Круг замкнулся.

Недавно с высокой трибуны было сказано, что в высшие учебные заведения можно будет поступать не только на основании результатов ЕГЭ.

Вроде правильно. Правда, я подумал о том, что коррупцию на олимпиаде ВУЗА допустить проще, чем на ЕГЭ. Но это уже вопрос вроде бы другой. Прервал мои размышления один мой ученик известного лицея Юго-Западного округа, в котором я делал выпуск в этом году. Он не шибко занимался математикой и физикой. Уровень его знаний (с моей точки зрения) был достаточно низким. Вроде бы он интенсивно занимался с репетиторами, но результата особого (да и не особого) было не видно. В конце первого семестра он обратился ко мне с просьбой поставить ему четверки, если это возможно, потому что это ему крайне необходимо. «Занимайся!»; -ответил я по привычке, и задумался: «А зачем ему это нужно?». Разъяснения я получил очень быстро. Оказывается, он будет поступать в МВТУ им. Баумана через какую-то систему проектов и наличие хорошей оценки в аттестате является необходимым условием. Ну, прямо кандидатский минимум!

Какой же проект может сотворить троечник? И какой же будет потенциал МВТУ? Вспоминается старый анекдот о том, как один клиент портного, померив сшитый им костюм, в сердцах заметил: «Зачем вы так бессмысленно прожили свою жизнь?». На это портной ему спокойно ответил: « Я очень осмысленно прожил свою жизнь, потому что я окончил Авиационный институт. Так вы что хотите носить такие костюмы или летать на таких самолетах?».

Да, что-то сильно неладно в нашем королевстве кривых зеркал. И вроде никто не собирается болезнь лечить. В лучшем случае придумываются временные обезболивающие средства, от которых через некоторое время больному становится еще хуже. Например, ЕГЭ. Сколько же тут развернулось полемики! Хорошо это или плохо? И вот спорят до хрипоты и в прессе и на телевидении, мешая при этом все проблемы в одну кучу. Ну, прямо «Западники» и «Славянофилы»! Не собираюсь эту полемику сейчас продолжать, а хочу сказать только то, что итоговая аттестация в любом ее виде никак не решает тех проблем, которые повисли тяжелым грузом на

плечах школы и с которыми ей справиться в нынешних условиях не под силу. Вершиной среди новаторских идей «по выходу из кризиса» является следующая гениальная идея. Оказывается, в новом понимании учитель это не тот, кто дает знания ученикам. Главной его задачей является создание информационного пространства, в котором благодарные ученики, не покладая рук, будут трудиться с утра до вечера, сидя дома или в Интернет-кафе. В конечном итоге мы придем к дистанционному обучению, как к единственно правильному и прогрессивному из методов. Все это я слышал собственными ушами от внешне вполне респектабельных людей. Остап Бендер и не предполагал, что его проект «Новые Васюки» станет настолько актуальным в Российском образовании XXI века.

Господа! По моему «слабоумному» разумению учителя с тридцатилетним стажем и методиста с шестилетним стажем сейчас дистанционное обучение годится только для очень сильно мотивированных учащихся (Сколько их даже в гимназиях и лицеях?) а также для детей-инвалидов. На сегодняшний день нам пока еще нужен учитель, причем человек, а не киборг, личность которого является решающим фактором того, что ученик захочет и сможет заниматься преподаваемым предметом. И нам пока от этого никуда не уйти. При этом я ни в коем случае не против использования новых технологий в обучении. Как раз успешному овладению учителями этими методами уделяется много внимания в нашем Юго-Западном округе.

Итак, мы плавно подошли к вопросу: «Что же на самом деле надо пытаться делать?».

Сначала выскажу банальную, но необходимую мысль: Надо перестать друг друга обманывать. Перестать трясти паровоз, делая вид, что мы едем, перестать оперировать бессмысленными цифрами, а честно признать, что сегодня далеко не все учащиеся, выходящие из начальной школы, способны успешно усваивать программу по математике, которая заявлена. Давайте проведем независимое тестирование сначала «на входе». Дальнейшие действия понятны, а главное адекватны новым концепциям ЕГЭ и ГИА-9. С одной группой учащихся (на сегодняшний день, к сожалению, достаточно многочисленной) занимаемся по условному уровню — «А», который соответствует приобретению элементарных компетенций. Уверяю вас, что и это совсем немало для многих. Можно и нужно

учить задачам на проценты, давать элементарные геометрические представления, учить решать несложные практические задачи (в том числе и с избыточным условием), давать основы алгебры и статистики. Уже есть разработанные пошаговые методики, модульные программы. Необходимо учитывать, что количество детей, для которых русский язык не является родным, с каждым годом становится все больше, следовательно, необходимы учебные пособия с несколько более упрощенными, а порой и совсем схематичными формулировками задач. И это вовсе не простое дело. Эта группа учащихся требует того, чтобы постоянно тренироваться и повторять. Уверяю вас, что содержательной работы хватит до одиннадцатого класса включительно. Никогда не забуду, как, будучи молодым специалистом, работал в пятом классе. В начале марта я пришел к своему наставнику — очень грамотному и опытному учителю и сказал: «Я всю программу уже прошел!».

На это он мне спокойно ответил: «Молодец! Пройди еще раз!».

Таким образом, мы будем решать большое количество различных задач и постоянно повторять. Вот, скажем, русский язык в старшей школе лишь повторяют, а после этого сдают ЕГЭ. Почему же по математике для этой группы учащихся должно быть не так? И ведь при этом никакие права учащихся не нарушаются. Все получают текущие и итоговые оценки любого достоинства, но одновременно с этим мы не опускаем ниже плинтуса престиж изучаемого предмета, так как присутствует уточнение, например: Оценка «5», но по уровню «А». Ежегодное, по возможности независимое тестирование позволит выделять учащихся, желающих и имеющих возможность перейти на другой уровень, условно названный — «В». Программа, соответствующая этому уровню должна примерно соответствовать той программе по математике, включая алгебру, геометрию, начала анализа, основы теории вероятностей и мат. статистики, которая существует сегодня для общеобразовательных классов. Учителя математики, думаю, со мной согласятся в том, что незначительная часть нынешних выпускников девятых и одиннадцатых классов способна освоить в полном объеме этот курс! На сегодняшний день этот уровень вполне соответствует возможности успешной сдачи экзамена в форме ЕГЭ или «АНТИЕГЭ!» на уровне требований технического вуза, или вуза, где математика не является профилирующим предметом, но учитывается. Аналогично,

успешная сдача ГИА-9 на таком уровне должна позволять поступать на базе основной школы в престижные колледжи, связанные, например, с информационными технологиями или экономического профиля. И, наконец, остается группа учащихся мотивированных и одаренных. Они изучают математику по уровню — «С». Это и есть программа, примерно соответствующая нынешним программам для математических и профильных классов. Уж тут то система разработана и пока еще есть кому работать. Было бы желание и стремление.

Конечно, эта схема известна и реализуется успешно (а может и не всегда) в системе образования некоторых европейских стран. Более того, переход к подобной системе, конечно, требует серьезных размышлений над деталями и нюансами, для того, чтобы в очередной раз не наломать дров. Более умные люди, безусловно, способны выдумать что-либо более умное. Ясно одно, что так дальше продолжаться не может. К нулю мы фактически уже пришли. Нижний порог преодоления неуспешности при сдаче ЕГЭ мы определяем по трем правильно выполненным заданиям. И при этом еще достаточно большой процент оценки «Неудовлетворительно!» Дальше начнется отрицательный результат обучения. Это когда на вопрос: Сколько сырков по цене 7р50к можно купить на 700р? будут отвечать: «А сколько вам надо?». А это уже хуже, чем «Неудовлетворительно». Так давайте перестанем жить по принципу: «Не пугайте страуса, ведь пол бетонный!».

А.В. Шевкин

ФМШ № 2007, г. Москва

О проекте стандарта последнего поколения

Проект Федерального государственного стандарта основного общего образования был размещен в Интернете для обсуждения [1]. Этот документ надо рассматривать в контексте идеи перехода от «старых» образовательных программ к «новым» стандартам образования. Отметим, что «старые» программы раньше никак не мешали советской школе добиваться убедительных и неоспоримых, признанных во всем мире результатов в обучении и воспитании подрастающих поколений, а действующие стандарты периода переориентации школы с формирования широко образованной и воспитанной личности на оказание образовательных услуг никак не помогают остановить падение образования в России. Здесь важно начать с предыстории вопроса, которая позволит понять неочевидные последствия принятия обсуждаемого проекта стандарта «нового поколения» для образования России.

Мы хорошо помним, как разрабатывались стандарты «первого поколения», проваленные в Государственной думе после убедительной критики математиков. Вот что о них говорил академик В.И. Арнольд: «Обсуждаемый проект предусматривает беспрецедентное снижение уровня образования в стране. Вслед за неизбежным снижением интеллектуального и научного уровня населения осуществление этого плана повлекло бы за собой снижение индустриального уровня страны, а вслед за ним и довольно скорое оборонного уровня тоже. Страна без науки не имеет будущего. И принятие обсуждаемого проекта было бы преступлением против России». [2]

При переработке первого варианта стандартов после провала в Думе один из руководителей этого проекта бывший министр образования Э. Днепров требовал сокращения содержания обучения по всем предметам на 40 % потому, что будто бы именно 40 % содержания школьники не усваивают (автору этих строк довелось это услышать лично). Приведем ещё одну цитату из Э. Днепрова: «У нас понятий по физике за весь школьный курс 1300, в Англии — 600, в Штатах — 300. Нобелевских лауреатов по физике почему-то

больше в Соединенных Штатах. Нас, что — устраивает такое содержание образования? Оно предельно устарело». [3] И этот пассаж реформатора оставим без комментария. Дело в том, что при осуществлении тайной реформы против образования других аргументов, кроме демагогических, быть не может. То, что такая реформа проводилась, Э. Днепров подтвердит чуть позже.

Ситуация вокруг первой версии стандартов уже тогда наводила на мысль, что реформаторы сознательно снижали уровень образования в России, а смелость, с которой они это делали, говорила лишь об одном — это не было их самодеятельностью, это была реализация новой не провозглашенной публично политики государства, направленной на социальную селекцию в образовании, урезание его общедоступной части, замену лицеев, спецшкол и спецклассов профильными классами, введение платного образования для тех, кто «захочет и сможет платить». Кстати, эта политика следует требованиям Всемирного банка, который «требует чтобы мы отказались от спецшкол, гимназий и лицеев, так как это якобы не демократично, и свернули преподавание гуманитарных и фундаментальных наук, потому что для такой нищей страны, как Россия, это непозволительная роскошь. И, представьте себе, наше Министерство образования идет на поводу у этих советчиков. Все интересное, что есть сегодня в школах и вузах, развивается вопреки министерской политике, а не благодаря ей». [4]

Вот как описал А. Шкроб свой диалог в кулуарах одного обсуждения в «Новой газете» в 2001 г. с еще одним реформатором А. Пинским: «В перерыве я говорил с Пинским и понял, что он имел в виду... Они хотят не школу лучше, они хотят школу другую... А цель такая, что нам больше не нужна та школа, которая существует, и не потому, что там учат слишком много математике, а потому, что слишком много математики не нужно сейчас выпускникам. Им некуда приложить эту математику. Пинский сказал, что в постиндустриальном обществе, каким, например, является Америка, большая часть населения обслуживает меньшую часть. Понимается в сфере услуг... Я полагаю, что те школьники, которые сейчас пойдут в школу, должны будут восстанавливать, пользуясь старой терминологией, народное хозяйство, восстанавливать промышленность, которая разрушена за последние годы. И когда я ему

это сказал, он говорит: помилуйте, зачем, ведь есть же международная кооперация? Нам это не нужно больше». [3]

Откровеннее не скажешь! Целью реформирования и «усечения» образования является закрепление за Россией статуса второразрядного сырьевого придатка развитых стран. О других целях реформы, о которых мы тогда только догадывались, Э. Днепров написал в «Новой газете» после отстранения его от работы над стандартами. Фактически он признал, что А. Фурсенко и его Минобрнауки проводят засекреченную реформу против образования: «Надо сказать, что такое старательное и даже рискованное, с аппаратной точки зрения, уклонение руководства Минобрнауки от обсуждения подготавливаемых документов имело для него свои резоны. Во-первых, это позволяло оттянуть демонстрацию его девственной образовательной некомпетентности. И, во-вторых, давало возможность попридержать в министерских кабинетах вынашиваемые планы по социальной селекции в образовании, по его урезанию и коммерциализации. Это, правда, не всегда удавалось. Так, обнародование в «Новой газете» скрытых планов Минобрнауки по возврату к 10-летней школе, по введению платности школьного образования, а также скандально известных предложений по созданию «трудовой армии» вызвало буквально шок в обществе...» [5]

В другой статье Э. Днепров об этих предложения написал: «На совете Российского союза ректоров 25 октября с. г. был обнародован 18-страничный, с позволения сказать, документ под называнием «Стратегия Российской Федерации в области развития образования на период до 2008 г. (проект)»... Столь же лукавы, если не откровенно лживы, предложения «Стратегии» по якобы сокращению нагрузки в школе. Ее хотят сокращать не путем введения нового разработанного и принятого в декабре 2003 г. Министерством образования стандарта общего образования. Это сокращение предлагается провести за счет урезания на 25 % Базисного учебного плана. Непосвященным людям малопонятна суть данного предложения. Базисный учебный план — это документ, в соответствии с которым проводятся финансирование школы и начисление заработной платы учителям. Иными словами, и то и другое предлагается сократить на 25 %. С лукавым объяснением, что это позволит «расширить диверсификацию учебного процесса за счет дополнительных источников финансирования» (с. 7 «Стратегии»). То есть,

говоря по-русски, это позволит сделать обучение в школе платным даже в основной школе. Чего опять же нет ни в одной цивилизованной стране мира. И что категорически противоречит Конституции РФ». [6]

Эта информация, полученная из рук бывалого реформатора, поможет нам лучше понять написанное в проекте стандарта про возможность введения платного образования через разделение содержания образования на обязательное (75 %, оплачивается государством) и необязательное (25 %, оплачивается родителями учащихся).

Стандарты второго поколения готовила новая команда исполнителей. По той же министерской традиции («якобы обсуждать» принимаемые документы) уже проведено обсуждение проекта. Не для дела, конечно, а для отчета. Деньги потрачены, обсуждение проведено, документ, разумеется, поддержан педагогической, научной и родительской общественностью. Все довольны, все счастливы. Но это не полный комплект документов, он не имеет детализации, дающей представление о том, как именно он будет работать в школе.

Уже принят стандарт для начальной школы, о котором пусть напишут специалисты по начальной школе, а мы отметим только одну деталь: на изучение математики в начальной школе теперь отводится 4 недельных часа, а когда-то было 6! Только не надо говорить, что 4 часа в течение 4-х лет мало отличается от 6 часов в течение 3-х лет! Много отличается, если дети будут заниматься математикой в 1,5 раза реже 4 года подряд. Разрушительное влияние на формирование знаний, умений навыков, на общее развитие младших школьников больших, чем прежде, перерывов в занятиях обеспечено. Можно поздравить авторов стандарта, мина под математическое образование заложена удачно — у самого основания.

И это не удивляет. Новые стандарты являются новыми звеньями старого плана, о котором можно прочитать в Докладах методологического семинара ФИАН (выпуск 17): «В начале нового века на рубеже 2002-2003 годов было предпринято новое наступление на науку. Развернулась кампания по форсированному свертыванию научно-технического потенциала страны. Исполнителем этого заказа стала Правительственная комиссия по оптимизации бюджетных расходов (сокращенно КОБРа).

О деятельности этой КОБРы и отпоре научной общественности подробно говорится в выпуске докладов семинара. В конечном результате в то время проект уничтожения науки в России оказался нереализованным. Но это была только временная остановка. В конце 2004 года снова развертывается кампания по уничтожению науки в России. Во главе ее встало руководство Министерства образования и науки во главе с министром А.А. Фурсенко и его заместителем А.Г. Свинаренко. Их план по «реформированию» науки и образования подготовлялся в тайне и стал полной неожиданностью для научного сообщества». [7]

Идея оптимизации бюджетных расходов в образовании и здравоохранении, реализованная в подписанных Президентом РФ поправках в Законе «Об образовании» переполошила весной 2010 г. не только учителей и родителей учащихся, но и всех думающих людей. Опасения о введении платного образования были обоснованными, хотя министр А. Фурсенко пытался убедить общественность в обратном.

Тот факт, что работа новой команды точно укладывается в старые планы министерства по разрушению образования и науки в России не позволяет с доверием отнестись к представленному проекту. Теперь мы знаем, кто дал задание разрабатывать новые стандарты и на что они могли быть нацелены, поэтому нас не удивляет, что документ получился именно таким.

Пора поговорить и о содержании документа, вынесенного на обсуждение.

В разделе I. Общие положения написано, какие требования включает в себя стандарт:

• к результатам освоения (видимо, учащимися. — А. Ш.) основной образовательной программы основного общего образования;

• к структуре основной образовательной программы основного общего образования, в том числе требования к соотношению частей основной образовательной программы и их объему, а также к соотношению обязательной части основной образовательной программы и части, формируемой участниками образовательного процесса (т. е. необязательной, которая рискует стать платной. — А. Ш.);

• к условиям реализации основной образовательной программы основного общего образования, в том числе кадровым, финансовым, материально-техническим и иным условиям. (Какие кадры имеются в виду: в общеобразовательном учреждении, в управлениях образования, в минобрнауке?-А. Ш.)

Разве может проект стандарта быть таким неточным?

Далее в п. 3 встречаем утверждение: «Стандарт является основой для разработки системы объективной оценки уровня образования обучающихся на ступени основного общего образования». Вот это спорно, так как общие слова про компетентности и универсальные учебные действия, которые мы читаем в проекте стандарта, не могут быть основой для разработки какой-либо проверки. А указания на то, что проект стандарта будет дополнен документами, которые, возможно, дадут такую основу, в тексте проекта отсутствуют.

В п. 7 проекта читаем: «В основе Стандарта лежит системно-деятельностный подход, который предполагает: определение цели и основного результата образования как воспитание и развитие личности обучающихся, их готовности к саморазвитию и непрерывному образованию, отвечающих задачам построения российского гражданского общества, требованиям информационного общества и инновационной экономики». Далее в п. 7 много что перечислено, но больше ничего не добавлено про цели и «основной результат образования» (как-то режет слух это словосочетание), который, как мы видим, не содержат освоения основ наук и получения предметных знаний и умений. Помните: «помилуйте, ... нам это не нужно больше»?

В п. 9 раздела II. Требования к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования говорится: «Стандарт устанавливает требования к результатам обучающихся, освоивших основную образовательную программу основного общего образования:

• личностным, включающим готовность и способность обучающихся к саморазвитию, сформированность мотивации к обучению, познанию, выбору индивидуальной образовательной траектории, ценностно-смысловые установки обучающихся, отражающие их личностные позиции, социаль-

ные компетенции, сформированность основ гражданской идентичности;

• метапредметным, включающим освоенные обучающимися универсальные учебные действия (познавательные, регулятивные и коммуникативные), обеспечивающие овладение ключевыми компетенциями, составляющими основу умения учиться, и межпредметные понятия;

• предметным, включающим освоенный обучающимися в ходе изучения учебного предмета опыт специфической для данной предметной области деятельности по получению нового знания, его преобразованию и применению, а также систему основополагающих элементов научного знания, лежащую в основе современной научной картины мира.

Итак, стандарт устанавливает требования к результатам, достижение которых, видимо, будет проверяться, а иначе в чём смысл предъявления требований? Только кто и как будет проверять готовность и способность обучающихся к саморазвитию, сформированность мотивации к обучению и познанию, ... сформированность основ гражданской идентичности, освоенные обучающимися универсальные учебные действия и опыт специфической для данной предметной области деятельности по получению нового знания, его преобразованию и применению, а также систему основополагающих элементов научного знания, лежащую в основе современной научной картины мира? Заметьте, знания и умения как-то потерялись в этом наукообразном информационном шуме. Видимо, за ненадобностью.

В п. 10 Личностные результаты освоения основной образовательной программы основного общего образования говорится, что эти результаты должны отражать так много всего (целых 11 пунктов), что остаётся неясным, это просто декларация о том, что хорошо бы получить в результате обучения, или это те результаты, достижение которых нужно и можно проверить? Например, знание ... общемирового культурного наследия. Помилуйте, это требование к ученику? У нас есть взрослые люди, которые скажут о себе «я знаю мировое культурное наследие»? Интересно еще: входит ли, геометрия в мировое культурное наследие? Может быть, надо было определить, что понимают авторы под термином «мировое культурное наследие»?

В п. 11 Метапредметные результаты освоения основной образовательной программы основного общего образования содержат уже 14 пунктов того, что должны отражать эти результаты (сильно сокращаем):

1) сформированность целеполагания в учебной деятельности ...

2) умение планировать пути достижения целей на основе ...

3) умение осуществлять констатирующий и предвосхищающий контроль по результату и по способу действия на уровне произвольного внимания, вносить необходимые коррективы в исполнение и способ действия как в конце действия, так и по ходу его реализации (это достойно полного воспроизведения и восхищения! -А. Ш.);

4) формирование осознанной адекватной и критичной оценки

5) овладение основами волевой саморегуляции ...

6) осознанное владение логическими действиями определения и ограничения понятий ...

7) умение создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства ...

8) овладение системой операций, обеспечивающих понимание текста...

9) умение организовывать и планировать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками ...

10) умение работать в группе — владение навыками самопрезентации ...

11) формирование внутреннего умственного плана действий ...

12) умение адекватно использовать речевые средства для решения различных коммуникативных задач ...

13) формирование и развитие учебной и общепользовательской компетентности в области использования информационно-коммуникационных технологий ...

14) развитие навыков создания и поддержки индивидуальной информационной среды ...

Уверены ли авторы текста, что написанное понятно любому учителю и родителю? Если нет, то это написано для самовыражения авторов документа. И ещё: эти результаты будут проверяться? Если да, то как? Если нет, то зачем здесь демонстрация столь глубокой осведомлённости уважаемых учёных?

Из п. 12. Предметные результаты освоения основной образовательной программы основного общего образования выпишем без сокращений то, что, по мнению авторов проекта, должно обеспечивать успешное обучение математике на следующей ступени общего образования.

12.4. Математика и информатика: Математика. Алгебра. Геометрия:

1) формирование представления о математике как о части общечеловеческой культуры, форме описания и особого метода познания действительности; формирование представления об основных изучаемых понятиях (число, геометрическая фигура, уравнение, функция, вероятность) как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные процессы и явления;

2) развитие умений работать с учебным математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии и символики, проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения;

3) развитие представлений о числе и числовых системах от натуральных до действительных чисел; овладение навыками устных, письменных, инструментальных вычислений;

4) овладение символьным языком алгебры, приемами выполнения тождественных преобразований выражений, решения уравнений, систем уравнений, неравенств и систем неравенств; развитие умений использовать идею координат на плоскости для интерпретации уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств, моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат;

5) овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой; развитие умения использовать функционально-графические представления для решения различных математических задач, для описания и анализа реальных зависимостей;

6) овладение геометрическим языком; развитие умения использовать его для описания предметов окружающего мира; развитие пространственных представлений, изобразительных умений, навыков геометрических построений;

7) формирование систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах, представлений о простейших пространственных телах; развитие умений применять их для решения геометрических задач, моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин;

8) овладение основными способами представления и анализа статистических данных; формирование представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о простейших вероятностных моделях; развитие умений извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, описывать и анализировать массивы числовых данных с помощью подходящих статистических характеристик, использовать понимание вероятностных свойств окружающих явлений при принятии решений;

9) развитие умений применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;

10) создание основы для формирования интереса к дальнейшему расширению и углублению знаний и выбора математики и информатики как профильных предметов на ступени среднего полного образования, а в дальнейшем и в качестве сферы своей профессиональной деятельности.

11) понимание роли информационных процессов как фундаментальной реальности окружающего мира и определяющего компонента современной цивилизации; формирование способности выделять основные информационные процессы в реальных ситуациях, учитывать специфику протекания информационных процессов в биологических, технических и социальных системах, оценивать окружающую информационную среду и формулировать предложения по ее улучшению;

12) формирование умений использовать методы и средства информатики: моделирование, формализация и структурирование информации, компьютерный эксперимент при исследовании различных объектов, явлений и процессов; формирование умений использовать основные конструкции процедурного языка программирования, основные алгоритмические конструкции;

13) формирование умений записывать различные виды информации на естественном, формализованном и формальном языках, преобразовывать одну форму записи информации в другую, выбирать язык представления информации в соответствии с поставленной целью, определять формы представления информации, отвечающие данной задаче диалоговой или автоматической обработки информации (таблицы, схемы, графы, диаграммы; массивы, списки, деревья и др.).

Итак, в п. 12.4 рассматривается предметная область математика и информатика, а среди учебных предметов математика, алгебра, геометрия не упомянут предмет информатика. А задачи 11-13 решаются именно силами этого предмета. Да и дальше встречаются ИКТ-компетенции, ИКТ-технологии и прочее. Если оставить так, то учитель математики должен будет делать то, что до этого делал учитель информатики (а это не всегда одно и то же лицо). Очевидно, что тогда на занятия математикой в рамках уже уменьшенного числа учебных часов останется меньше учебного времени. Это ещё один способ добить школьную математику.

В п. 13 говорится, что предметом итоговой оценки освоения обучающимися основной образовательной программы основного общего образования должно быть достижение предметных и метапредметных результатов освоения основной образовательной программы основного общего образования, необходимых для продолжения образования.

Далее читаем: «При итоговой оценке освоения обучающимися основной образовательной программы основного общего образования должны учитываться сформированность навыков выполнения проектной деятельности и способность к решению учебно-практических и учебно-познавательных задач на основе:

• освоенной системы основополагающих элементов научного знания современной научной картины мира;

• способов действий в отношении к системе знаний, необходимых для обучения на последующей ступени общего образования;

• освоенных универсальных учебных действий и компетенций, составляющих основу умения учиться;

• приобретенного опыта получения, применения и преобразования знаний и способов действий.

Итоговая оценка результатов освоения основной образовательной программы основного общего образования включает две составляющие:

• результаты промежуточной аттестации обучающихся, отражающие динамику индивидуальных образовательных достижений обучающихся в соответствии с требованиями к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования;

• результаты государственной (итоговой) аттестации выпускников, характеризующие уровень достижения планируемых результатов освоения основной образовательной программы основного общего образования».

Это означает, что перечисленное в п. 11 и 12.4 должно быть как-то проверено. Поздравим себя, проверка достижения чего бы то ни было на основе обсуждаемого проекта невыполнима. Только знающие люди могут догадаться, что достижение планируемых результатов ... может быть проверено после публикации приложений к тексту проекта, среди которых, видимо, будут и «Планируемые результаты обучения». Но это наша догадка, она не следует из текста проекта! Тогда для чего вообще затеяно обсуждение, какого рода замечания и предложения планировалось получить? Или это сделано для проформы: работа сделана, обсуждение состоялось, деньги потрачены не зря?

Далее в проекте стандарта говорится: «К результатам индивидуальных достижений обучающихся, не подлежащим итоговой оценке, относятся:

• ценностные ориентации обучающегося;

• индивидуальные личностные характеристики, в том числе патриотизм, толерантность, гуманизм и др.

Это может означать только одно: всё, что обсуждалось до п. 13, действительно подлежит итоговой оценке.

В разделе III. Требования к структуре основной образовательной программы основного общего образования читаем удивительный пункт:

14. Основная образовательная программа основного общего образования определяет содержание и организацию образовательного процесса на ступени основного общего образования и направлена на формирование общей культуры, духовно-нравственное, социальное, личностное и интеллектуальное развитие обучающихся, саморазвитие и самосовершенствование, обеспечивающее социальную успешность, развитие творческих способностей, сохранение и укрепление здоровья обучающихся.

Программа не направлена на освоение основ наук. Авторы проекта так далеко уходят от «знаниевого» подхода, что вообще забывают говорить о знаниях! Освоение основ наук не планируется. Действительно, зачем это нищей стране? — Всё по рецептам Всемирного банка.

А следующий пункт читайте внимательно:

15. Основная образовательная программа основного общего образования содержит обязательную часть и часть, формируемую участниками образовательного процесса. Обязательная часть основной образовательной программы основного общего образования составляет 75%, а часть, формируемая участниками образовательного процесса, — 25% от общего объема основной образовательной программы основного общего образования.

Попробуйте в потоке повторяющихся слов уловить мысль: необязательная часть, стыдливо именуемая частью, формируемой участниками образовательного процесса, может оказаться платной. Вспомните 25 %, о которых писал Э. Днепров. Этого пока не объявляют, но мы помним о правительственной КОБРе и о майских (2010 г.) поправках в Закон «Об образовании». Принятие проекта стандарта с такой формулировкой позволит в дальнейшем выделять бюджетные деньги только на обязательную часть, а дополнительная часть на то и дополнительная — кто выбирает, тот и платит! Так что недемократические лицеи, спецшколы и спецклассы могут не получить бюджетные деньги на освоение своих программ в полном объёме.

Далее идут объёмные требования к шести программам: профессиональной ориентации обучающихся на ступени основного обще-

го образования (п. 19.7.), формирования культуры здорового и безопасного образа жизни (п. 19.8), формирования и развития ИКТ-компетентности обучающихся (п. 19.9), исследовательской и проектной деятельности обучающихся (п. 9.10), социальной деятельности обучающихся (п. 19.11), коррекционной работы (п. 19.12) и к системе оценки достижения планируемых результатов освоения основной образовательной программы основного общего образования.

Заключительная (и объёмная) часть документа — раздел IV. Требования к условиям реализации основной образовательной программы основного общего образования — кадровые, финансовые, материально-технические и иные, результатом реализации которых должно быть создание комфортной развивающей образовательной среды. Не будем здесь обсуждать санитарные, технические и иные подробности.

Итак, проект Федерального государственного стандарта основного общего образования — документ большого объёма, написанный в общих словах, которые каждый читающий будет наполнять своим смыслом. Складывается впечатление, что чем дальше разработчики стандартов уходят от привычных и понятных программ по общеобразовательным предметам прошлых лет, чем больше они используют терминологию, не являющуюся общедоступной и понятной учителям и родителям учащихся, чем больше функций они навешивают на стандарт, тем менее работоспособный и реализуемый на практике получается документ. Его чтение наводит на грустную мысль, что если всё это попытаться реализовать всерьёз, то стандарт второго поколения грозит стать стандартом последнего поколения, которое могло бы, но так и не будет обучено хорошо. А дальше по мере появления учителей, обученных по новому стандарту, надо ожидать полную деградацию математического образования, науки, обороноспособности со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Каков адресат документа? По-видимому, и учитель, и администрация школы, и руководители образованием всех уровней, и родители учащихся. При чтении проекта стандарта почему-то вспоминается старинная французская традиция писать непонятно -иначе скажут, что тут нет ничего нового. Похоже, что авторы документа сознательно писали на непонятном языке, так как в этом

случае и оспорить-то ничего нельзя, ведь сказанное можно трактовать по-разному, а про критика документа всегда можно сказать, что человек «не в теме», не является специалистом и не совсем (или совсем не) понимает написанного. Если так, то в этом не сила, а слабость документа, который должны читать и понимать не только узкие специалисты, но и неспециалисты тоже.

В представленном виде документ работать не будет именно потому, что он не имеет однозначной трактовки написанного. Авторы документа вогнали в него столько наукообразия, что автору этих строк — опытному учителю, кандидату педагогических наук, соавтору семи учебников математики порой трудно понять смысл написанного. То и дело приходится искать разъяснения терминов.

Знакомые всем знания, умения и навыки упоминаются в тексте редко. А жаль. Это понятные термины и все знают, как проверять их наличие. Вместо них и даже через запятую с ними упоминаются новомодные компетенции и компетентности (социальные, ключевые, возрастные, в решении моральных проблем на основе личностного выбора, коммуникативные, общепользовательские в области использования ИКТ-технологий, правовые). Это и есть наукообразие в старинном французском стиле. Что такое компетенции? Как проверить их наличие? Некоторые разъяснения находим не в обсуждаемом проекте, а в книжке, сопровождающей уже принятый стандарт для начальной школы: «Компетентностный подход возник в ответ на существующий в рамках «знаниевого» подхода разрыв между знаниями и умением их применять для решения жизненных задач... Компетенция понимается как результат когнитивного научения [это, видимо, понятно любой учительнице в начальной школе. — А. Ш.], а компетенция — как общая способность и готовность использовать знания, умения и обобщенные способы действий, усвоенные в процессе обучения, в реальной действительности... Компетенция означает способность человека устанавливать связи между знанием и реальной ситуацией». [8] Если это так, то нельзя ли было, оставаясь в рамках «знаниевого» подхода, принять меры к устранению упомянутого разрыва без «компетентностного» наукообразия? Но видно нельзя, так как многообразие компетентностей открывает широкое поле деятельности соискателям научных лавров и позволяет так расширить требования к учеб-

ному процессу, что собственно знаниями и умениями заниматься будет некогда. Что, видимо, и требуется.

Вот ещё «новояз» и смещение акцентов в обучении: универсальные учебные действия (вместо понятного «общеучебные умения»). А вот разъяснения на сайте министерства: ...универсальные учебные действия представляют собой и результат образовательного процесса, и условие усвоения знаний, умений и компетентностей». В том же источнике [8] находим виды универсальных учебных действий: личностные, регулятивные, познавательные и коммуникативные.

Интересный получается поворот: раньше требовали, например, знать, что такое уравнение, его корень, что значит решить уравнение, уметь решать уравнения определённых типов, применять их к решению практических задач. Что теперь будут требовать и проверять? И нуждаются ли перечисленные требования к знаниям и умениям по теме «уравнения» в переходе на язык компетентностей и универсальных учебных действий? Что теперь будем проверять: сформированные умения, что требует и умения применять их в практических ситуациях, или наличие в учебном процессе действий и овладение действиями, а также получение учащимися специфического опыта? Разве тем самым не смещаются акценты с содержания обучения (что изучаем) на способы действий (что делаем) при изучении того или иного материала?

Можно смело предположить, что многолетний труд по разработке стандартов второго поколения попадёт в корзину. Выполнять все требования стандарта, готовить под них документы, на основе которых будет работать каждая школа, невозможно или почти невозможно. А вот для произвола чиновников туманный стандарт открывает широкое поле деятельности. Думаю, что в любой школе легко будет отыскать несоответствие чего-нибудь смутным требованиям стандарта последнего поколения.

P.S. Со времени написания статьи прошло не так много времени. Уже появился стандарт для старшей школы, представление которого совпало во времени с предложением депутатов Госдумы и иных «специалистов» к резкому сокращению числа предметов в старшей школе. Хотят оставить несколько обязательных предметов, вот кандидаты: физкультура, ОБЖ, «гражданская зрелость» и «Россия в мире». Все остальные предметы — по выбору (не за от-

дельную ли плату?). Вот теперь ясно, почему стандарт для 5-9 классов написан так «мутно». Вот теперь маски сброшены. Манежная площадь до смерти перепугала «образованцев», исполняющих заказ на дебилизацию всей страны. Спорить с ними бесполезно, они договорились до того, что главная задача 10-11 классов — воспитание любви к Родине. Таким образом, мы получаем всё новые подтверждения заданности процесса, идущего под лозунгом «Образование в России должно быть разрушено, и оно будет разрушено!»

Источники

[1] http://feos.isiorao.ru

[2] Арнольд В.И. О проекте стандартов общего образования. Литературная газета. № 49, 11-17 декабря 2002.

http://www.lgz.ru/archives/html arch/lg492002/Tetrad/art117.htm

[3] Стенограмма конференции "Реформа школы: за и против". 22 февраля 2001 года. Новая газета, № 22, 29 марта 2001 г. http://2001.novayagazeta.ru/nomer/2001/22n/n22n-s21-3.shtml

[4] Белая Г.А. Филологи для рыночной экономики, Независимая газета. 23.06.2000.

http://life.ng.ru/education/2000-06-23/4_rggu.html

[5] Днепров Э. Министр без портфелей. Новая газета, № 65, 5.09.2005.

http://2005.novayagazeta.ru/nomer/2005/65n/n65n-s33.shtml

[6] Днепров Э. Налог на молодость. Новая газета, № 82, 4.11.2004.

http://www.demoscope.ru/weeklv/2004/0177/gazeta022.php

[7] Шелепин Л.А. Смысл и задачи «реформирования» науки /Доклады Методологического семинара ФИАН. Выпуск 17.

[8] Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе: от действия к мысли: пособие для учителя / [А.Г. Асмолов, Г.В. Бурменская, H.А. Володарская и др.] под ред. А.Г. Асмолова. -М.: Просвещение, 2008. — 151 с.

Е.С. Скляревский

Mytashkent.uz

Александр Петрович Доморяд1 (13.07.1907—23.07.1975)

Александр Петрович Доморяд родился в 1907 году в Ташкенте. В 1930 году окончил Среднеазиатский Государственный Университет. Еще в студенческие годы начал преподавательскую деятельность в ВУЗах Ташкента, а с 1931 года бессменно работал в Ташкентском Университете. За 45 лет педагогической деятельности на физико-математическом (потом механико-математическом) факультете Александр Петрович вложил огромный труд в построение курсов, которые он читал, в обучение студентов. Александр Петрович читал общие и специальные курсы высшей алгебры, теорию групп, математический анализ, теорию чисел, теорию геометрических построений, исчисление конечных разностей, теорию вероятностей, различные курсы по приближенным вычислениям, специальные курсы: начертательная геометрия, номография, элементарная геометрия и другие.

В связи с постановлением о развитии в ряде университетов СССР подготовки математиков-вычислителей Александр Петрович провел большую организационную работу по созданию на механико-математическом факультете ТашГУ специальности вычислительная математика. Еще задолго до создания кафедры вычислительной математики многие студенты писали под руководством Александра Петровича дипломные работы по различным вопросам вычислительной математики. Общее число дипломантов, которыми руководил Александр Петрович, измеряется многими десятками.

С 1959 по 1967 гг. он заведует кафедрой вычислительной математики, подготовивший в этот период около ста математиков-вычислителей.

Для всех курсов, которые читал Александр Петрович, характерны:

• Творческая инициатива в построении курса

• Богатство материала

1 Текст статьи размещен в интернете по адресу: http://mytashkent.uz/2010/10/24/matematik-a-p-domoryad/

• Методическая отработка курса, повышающая успешность его восприятии студентами

• Требовательность к студенту и справедливость в оценке.

Эта благородная педагогическая деятельность не могла не оставить положительных следов у тысяч математиков-выпускников ТашГУ, многие из которых стали отличными преподавателями, кандидатами и докторами наук.

Наряду с чтением лекций Александр Петрович уделял значительное внимание дополнительной работе со студентами: руководству студенческим математическими кружками, проведению студенческих математических конференций и конкурсов, выпуску студенческих математических газет.

В первые годы трудовой деятельности Александр Петрович совмещал работу в университете с преподаванием в различных вузах Ташкента. В частности, он в течение двух лет заведовал кафедрой математики в Среднеазиатском финансово-экономическом институте. В течение 20 лет, одновременно с работой в университете, преподавал в Ташкентском педагогическом институте и несколько лет заведовал там кафедрой математики. Даже потом не терял связей с пединститутом, интересуясь подготовкой учителей математики, участвуя в руководстве аспирантами, организуя спецкурсы и семинары по вопросам внеклассной работы по математике.

Научно-исследовательская деятельность Александра Петровича была посвящена, главным образом, вопросам вычислительной математики: приближенному решению алгебраических и трансцендентальных уравнений, систем уравнений, приближенному решению дифференциальных уравнений, приближенному интегрированию функций. Он внес значительный вклад в разработку и развитие приближенных методов анализа и алгебры. Его перу принадлежит более 30 научных работ и книг по теории и практике вычислительной математики.

Ряд научных трудов Александра Петровича адресован учителям математики. В частности, раздел «Численные и графические методы решения уравнений» в энциклопедии элементарной математики («Энциклопедия элементарной математики», книга вторая, 1951 г., переведена в 1952 г. на немецкий язык.), статья «Счетные приспо-

собления» в Детской Энциклопедии (том 3, издание второе), статья «Математические игры» в Большой Советской Энциклопедии.

Александр Петрович всегда был неравнодушен к занимательной математике. В итоге получилась прекрасная книга «Математические игры и развлечения» (1961 г.), которая стала пособием для организаторов внеклассной работы по математике. Об успехе книги говорит и то, что она была переведена на английский, немецкий, французкий, литовский и другие. Сейчас эта книга стала раритетом.

Александр Петрович обладал особым типом мышления: он всегда решал задачки с большим удовольствием. Прекрасный вычислитель, он в уме производил сложные подсчеты, применяя математические приемы быстрых вычислений, имел блестящее геометрическое видение. Свою увлеченность красотой математики он умел передавать своим ученикам и просто собеседникам. Но делал это с особым педагогическим тактом, стремясь активизировать мысленные процессы слушателя или читателя. Он был настоящим УЧИТЕЛЕМ, никогда не взирал равнодушно на учащихся, умело возбуждал интерес к теме и вызывал ответные мысли. Он был не только ученым-математиком, но и выдающимся ученым-методистом по математике. На досуге он любил играть в шахматы.

Александр Петрович был одним из активных членов Ташкентского физико-математического общества, созданного В.И.Романовским. С 1940 по 1955 гг. он был секретарем общества и фактически курировал в нем научно-методическую работу.

Александром Петровичем была организована школьная секция общества, которой он руководил в течение 10 лет. Еще в 1934 году он организовал при университете школьный математический кружок, к работе которого он привлек аспирантов, студентов, создавал материалы для занятий и регулярно, из воскресенья в воскресенье, проводил работу в кружке. Число участников кружка постоянно росло и исчислялось сотнями, и в итоге стало объединением кружков 7-х, 8-х, 9-х, 10-х классов на русском и узбекском языках. Многие школьники, участвующие в этом кружке, определили для себя будущую профессию — математику.

Александр Петрович — инициатор и организатор проведения математических олимпиад в Ташкенте. Он работал в оргкомитетах 24

олимпиад, являлся заместителем председателя 1 и 2 Республиканских Олимпиад. Во многом, именно его стараниями математические олимпиады стали традиционными в Республике.

Следует отметить, что вся работа: школьная секция математического общества, школьный математический кружок, проведение олимпиад, велась на общественных началах.

За большие заслуги в развитии математической науки и плодотворную педагогическую деятельность Александр Петрович был награжден медалью «За доблестный труд в ВОВ», а также знаком «Отличник народного просвещения УзССР».

Александр Петрович был всегда деликатен и воспитан, что не мешало ему быть человеком очень требовательным и принципиальным во всем. Он щедро делился своими знаниями, не требуя ничего взамен и был очень интересным собеседником для всех, не зависимо от возраста. Многие уже состоявшиеся люди до сих пор вспоминают интереснейшие беседы с ним на разные темы. Александр Петрович был всесторонне развитым, талантливым человеком.

С академиком Стародубцевым Сергеем Васильевичем (крайний слева) Александр Петрович был не только дружен, но и родственниками, они были женаты на сестрах (посередине жена Стародубцева Тимохина Юлия Ивановна). 1959 г.

С женой Тимохиной Ниной Ивановной, химиком, всю жизнь преподававшей на химфаке ТашГУ, которая при выборе профессии познакомилась с Александром Петровичем.

Информация к размышлению

Предлагаем вашему вниманию документ, заимствованный с сайта «Учительской газеты»1.

Этот документ служил в качестве объективного критерия для выставления оценок в Николаевской академии Генерального штаба» и был Высочайше утвержден 8 декабря 1834 года.

Положение для постоянного определения или оценки успехов в науках

1-я степень (успехи слабые). Ученик едва прикоснулся к науке, по действительному ли недостатку природных способностей, требуемых для успехов в оной, — или потому, что совершенно не радел при наклонности к чему-либо иному.

2-я степень (успехи посредственные). Ученик знает некоторые отрывки из преподанной науки; но и те присвоил одной памятью. Он не проник в ея основание и в связь частей, составляющих полное целое. Посредственность сия, может быть, происходит по некоторой слабости природных способностей, особливо от слабости того самомышления, которого он не смог заменить трудом или постоянным упражнением. Отличные дарования, при легкомыслии и праздности, влекут за собою то же последствие.

3-я степень (успехи удовлетворительные). Ученик знает науку в том виде, как она ему преподана; он постигает даже отношение всех частей к целому в изложенном ему порядке; но он ограничивается книгою или словами учителя; приходит в замешательство от соприкосновенных вопросов, предлагаемых на тот конец чтобы он сблизил между собой отдаленнейшие точки; даже выученное применяет он не иначе как с трудом и напряжением. На сей-то степени останавливаются одаренные гораздо более памятью, нежели самомышлением; но они прилежанием своим доказывают любовь науке.

1 http://www.ug.ru/method_article/56

Эту ступень можно назвать степенью удовлетворительных потому, что ученик, достигший оной, действительно в состоянии бывает следовать за дальнейшими развитиями науки и применять ее в случае надобности. Притом и размышление, всегда после памяти нас посещаемое, пробуждается часто среди этой даже механической работы.

4-я степень (успехи хорошие). Ученик отлично знает преподанное ученье; он умеет изъяснить все части из начал, постигает взаимную связь их и легко применяет усвоенные истины к обыкновенным случаям. Тут действующий разум ученика не уступает памяти, и он почитает невозможным выучить что-либо не понимая. Один недостаток прилежания и упражнения препятствует таковому ученику подняться выше. С другой стороны, и то правда, что самомышление в каждом человеке имеет известную степень силы, за которую черту при всех напряжениях перейти невозможно.

5-я степень (успехи отличные). Ученик владеет наукою: весьма ясно и определенно отвечает на вопросы, легко сравнивает различные части, сближает самые отдаленные точки учения, с проницательностью довольно изощренную упражнением, разбирает новые и сложные предлагаемые ему случаи, знает слабые стороны учения, места, где сомневаться, и что можно выразить против теории. Все сие показывает, что ученик сделал преподанную науку неотъемлемым своим достоинством, что уроки послужили ему только полем для упражнения самостоятельности, и что размышления при помощи книг, к той науке относящихся, распространила познания далее, нежели позволил нередко одностороннее учителя на вещи. Только необыкновенный ум, при помощи хорошей памяти, в соединении с пламенной любовью к наукам, а следовательно, и с неутомимым прилежанием, может подняться на такую высоту в области знаний.

Л.В. Аникина

ФМШ №2007, г. Москва

Учимся писать эссе

Одним из самых сложных видов учебной деятельности для учащихся при изучении иностранного языка является письменная речь. Кроме безусловного владения лексическим и грамматическим материалом, учащиеся должны обладать умением логически излагать свои мысли по заданной теме на иностранном языке в письменном виде.

Так как при проведении итоговой аттестации в виде ЕГЭ учащимся предлагается написать эссе на определённую тему, формирование навыков написания письменных сообщений необходимо начинать на самых ранних этапов обучения иностранному языку.

Учебник М.З. Биболетовой «Английский с удовольствием» предлагает разнообразные упражнения, направленные на формирование навыков письменной речи, основой которых являются слова и выражения по одной из изучаемых в данном классе тем. Учащимся предлагается выразить свою точку зрения за и против того или иного явления или события. Данный подход полностью соответствует форме выполнения письменного задания по ЕГЭ.

Работу по написанию эссе можно поделить на два этапа:

1. Подготовительный;

2. Основной, который включает самостоятельную работу по написанию эссе.

1. Подготовительный этап состоит из:

1) введение лексики по теме;

2) активизация лексики в структурах;

3) написание предложений, включающих преимущества и недостатки того или иного явления;

4) устное обсуждение темы;

5) составление вступления и заключения к теме (можно составить несколько вариантов);

2. Самостоятельное написание эссе дома с опорой на отработанные в классе структуры.

Вот несколько примеров:

Тема 5 класса «За что мы любим и не любим нашу школу» Основой для выполнения задания является упр. 13 стр.10 учебника М.З. Биболетовой, 5 класс. Учащиеся записывают в тетради слова и выражения с переводом. Кроме того, они записывают и другую лексику по теме «Школа и мы». Эта лексика может быть следующей: to go on an excursion, to go to sports clubs, to have a lot of afterschool activities, to discuss different problems, etc.

После записи лексики доска делится на две части, где пишутся два слова: advantages-disadvantages. Учащиеся по очереди заполняют эту таблицу, в которой записывают предложения с использованием лексики по теме.

ADVANTAGES

DISADVANTAGES

Our teachers are good.

We sometimes get bad marks

The food is nice at school canteen

We often get a lot of homework

We learn a lot of new things and get smarter

We miss old friends

We usually get good marks

Some lessons are dull, etc.

We enjoy school parties

We do not wear a school uniform ,etc.

После записи выражений на доске, ученики устно обсуждают плюсы и минусы школы, используя выражения: "I like school because..." , "I do not like school because...". Затем ученикам предлагается обдумать и предложить вступления и заключения к теме. Самые удачные варианты записываются на доске и в тетради учеников. После проведения подготовительной работы в классе, ученики получают задание написать эссе дома на тему :" What I like and what I do not like about my school ". Here is one of the variants:

In our country children begin to go to school at the age of six or seven. The school year starts in Russia on September, 1. As for me, I went to school at the of seven. I began studying at school 2007 in the year 2009. I like my school because our teachers are good and the lessons are interesting. We learn a lot of new things and get smarter.I usually get good marks and I am happy to learn a foreign language three times a week. Besides, I am glad to make new friends. We often go on

different excursions, take part in various competitions and sports events. We also enjoy school parties.I think some of them are really fantastic! But sometimes I miss my old friends. My bad marks upset me as well .We are often very busy, as we have to do a lot of homework.

In my opinion, it is rather difficult to study at our school. But I like our school very much because it is also interesting and enjoyable to study at it.

В 6 классе учащиеся писали эссе по нескольким темам: «Зоопарки и заповедники: за и против», «Плюсы и минусы телевидения», «Почему мы любим и не любим рекламу», «Плюсы и минусы радио» и по другим темам. При написании данных тем использовались этапы выполнения письменных заданий, подобные заданиям для учеников пятых классов.

Вот пример эссе ученика шестого класса на тему «Плюсы и минусы радио»:

Radio is one of the most important means of communication. We can get different information listening to the radio. Radio broadcasts news, interviews, discussions, music, sports events, adverts.

People can listen to the radio everywhere: at home, out-of-doors, when they drive a car. They spend much of their free time listening to their favourite programs on the radio.

Once radio broadcasting had the same entertaining role as television has today. From the 1920's to the early 1950's , in the Golden Age of Broadcasting people gathered around their radios every night. They listened to dramas, light comedies, music and other programs. This period ended with the rise of television.

Besides, radio is the main source of information for the blind, but it is not available for the deaf.

It is natural, that a lot of people cannot imagine their lives without radio.

Ещё один пример эссе на тему «Плюсы и минусы телевидения»: Many people watch television all over the world. Every person has it at home. Watching TV has advantages and disadvantages.

While watching TV I can rest and relax, but if I watch TV all the time, I will become lazy and gain weight. I can watch operas, ballets, shows and different performances sitting at home, but I can become too lazy to go to the cinema or to the theatre. If I watch TV 24 hours a day, I

will not be able to help my parents around the house or to do my homework. Thanks to television I can listen to classical and modern music, see and listen to famous people, but at the same time I have too much radiation in the room. I can study foreign languages watching TV, but I become too lazy to read books. Also, I can take part in shows and win prizes, buy things for the comfort of my home , travel around the world without wasting money. But if I watch TV too long, I can damage my eyes and sleep badly , I will have no time to see my friends and relatives. Television is a good friend for disabled and lonely people

Television gives us a lot of useful information , but many programs and shows are silly and boring.

Nowadays, many children prefer watching TV to reading, as television is one of the main means of mass media.

Интересен вариант написания эссе в поэтической форме с использованием лексики, данной в учебнике: TV

То rest, to relax, to receive information It's our life in front of TV.

We can watch cartoons, films about life situations

And listen to music free.

We can go to a fantastic trip

And the world will be seen by us full.

But there is a danger to become too lazy

And a bit of a poor fool.

Though TV is a friend for disabled

And for lonely people is core.

Don't forget about personal contact

And communicate with people more.

Большой интерес у учащихся вызвала тема «Реклама», как одна из самых актуальных тем современных средств массовой информации.

Advertising.

Advertisement has become part and parcel of our life. We can see ads everywhere: on TV, on the radio, in newspapers, in magazines, in the streets and even on the buildings. Ads can supply us with any kind of information, We can find out about commercial, financial and public

affairs, about different events and reports on education , sports, cultural life, entertainment, fashion, books and so on. If we want to rest, ads give us information about thousands of hotels in any country of the world.

Television provides a lot of information which can vary from simple to serious things. But we should remember that some ads may be false. Besides, they may be dull, annoying and get on our nerves. Sometimes ads misinform us and we buy useless things and waste our money.

But despite all drawbacks of advertisement, I think we cannot do without it.

Работа по подготовке написания эссе в 10—11-х классов на основе учебника М.З. Биболетовой «Английский с удовольствием» в основном строится на тех же принципах, что и в средних классах, но учащимся предлагается больше работать самостоятельно.

Так при изучении темы «Семейные проблемы» учащиеся получили задание выписать слова и выражения из текста «Why family rows are good for you» (учебник М.З. Биболетовой «Английский с удовольствием» для 10 класса), которые можно использовать при написании эссе на данную тему. Учащиеся выписали следующие выражения: to avoid conflicts, to ruin family relationships, arguments between parents and children, a sign of healthy relationship, constant stress, heated arguments, a way out of a problem, to keep your feelings to yourself, hidden feelings, to let out feelings, exchange heated words, to hide one's feelings, to bring smb a feeling of relief, etc.

После чтения и обсуждения данного текста и выполнения послетекстовых упражнений учащиеся получают домашнее задание: написать эссе на тему: «Как лучше решить семейные конфликты».

Здесь приводится один из лучших вариантов эссе на данную тему.

Why family rows are good for relationships.

We try to avoid conflicts because we don't think it is healthy. Most people think that conflicts can ruin relationships in a family. Is it really so?

According to Cambridge psychologists rows do have a purpose. A Cambridge University study suggests that arguments between mothers and their teenage daughters are actually a sign of healthy relationships. Rows are seen as part of a normal, constantly changing relationship and

teenagers show they are no longer little girls and boys, but are becoming mature.

We don't have to look too far to find a lot of examples of difficult parent-child relationships. But psychologists say that rows between parents and children are part of family life and, while they can be upsetting, there's nothing to worry about. It is the constant stress and anxiety caused by these rows that we don't want to have.

Although arguments can get a bit heated, if you reach some kind of conclusion and find a way out of a problem, they are worth having. A row is a kind of therapy, a kind of medicine. Psychologists point out that in families where there are no arguments, people are keeping their feelings to themselves. And that's unhealthy.

So, we are doing well if we row. Still there are those who believe we have got plenty of hidden feelings we are dying to let out. Why do people like soap operas so much? May be the answer is not so difficult as you might think.

Turn on any soap opera on TV and here is real life. It is unlikely you will have to wait long before the characters exchange heated words, often to the delight of millions of viewers.

People watch soaps because in real life they spend their time trying to avoid conflicts. They like turning on TV and seeing people saying all the things they don't dare to say to the people close to them.

In conclusion, I'd like to give advice to those who prefer hiding their feelings.

Talk to other people, ask and answer, tell them about your problems. You will be surprised to find out that they have similar problems. It will bring you a feeling of relief and help you to find a way out. Don't worry, be happy as often as possible.

Большой интерес у учащихся 10-х классов вызвала тема, посвящённая школьной форме. При подготовке написания эссе на тему «Школьная форма» учащиеся выполнили лексико-грамматические упражнения из раздела What's in? учебника М.З. Биболетовой «Английский с удовольствием» для 10 класса.

Advantages and disadvantages of introduction of a school uniform.

Introduction of a school uniform has many advantages. First of all, when students have a dress code in their school, they become disciplined and study better. On the contrary, some fashionable clothes may

distract students from their study. Secondly, not everybody can afford having trendy clothes or brand names.

Besides, compulsory uniform can make students equal.

As for me, school dress code helps me spend less time to get dressed for school because I have got a school uniform.

But introduction of a school uniform has disadvantages too. If all students wore a uniform, they would look the same. The majority of students want to have their own style, but compulsory uniform takes away this possibility and suppresses everybody's individuality.

To sum up, introduction of a school uniform is very good for students, but in reality it is not always, and very few people support this idea. So, school teachers, students and their parents have to decide if a dress code is necessary for their school.

Другая, очень важная для старшеклассников тема — эта тема рационального планирования времени. Этой теме посвящён раздел «Where does time go?». После тщательного изучения лексики и текстов, посвященных данной теме, учащиеся довольно успешно выполнили письменные задания. Вот один из вариантов эссе.

How to manage your time effectively.

It is too difficult to combine studies with hobbies and social events. It is a big problem which teenagers have to face. So, students who study in our school have this problem too. We have a lot of extra-curricular activities on different subjects and we need to have our own life out of school. We always try to find time for activities both at school and within the community.

When I come home from school, I am usually very tired, I feel sleepy and I can't do any assignments. That's why I want to make my life easier. I have to choose only activities that I am really interested in and manage my time effectively.

If I want to relax, I usually read my favourite books, listen to my favourite music or simply relax.

Managing time is an actual problem for people who work or study and everyone has to solve this problem himself.

Одной из самых интересных тем учебника для 10 класса является тема «Exploring your family». При изучении этой темы учащиеся провели большую исследовательскую работу, изучая исто-

рию своих семей. Результатом этого исследования явились интересные, творческие работы учащихся.

Family research.

Unfortunately, many of us know very little about our ancestors. I didn't know much about my family's history either. But I wanted to explore my family's past. It wasn't easy though. If several generations live in the same house for a long time, then you can discover a lot of fascinating things in the attic. But our family, like most families in our country, had moved from one place to another several times. As you know, moving to a new flat is a bit of a disaster. My people seem to have thrown away all the old things and pieces of furniture which belonged to my grandparents.

So, the only way to do some family research was to look through some old letters that my mother kept in a safe place. From those letters I found out that the Second World War had greatly affected our family history. They were my mother's uncles.

They were wounded but they were lucky to stay alive. It happened long ago, and they both died many years ago, but I felt proud of them when I learnt about their lives.

It was really exciting to look through old photos. Some of them were even a hundred years old! What I discovered actually gave me a sense of knowing who I was. I realized I looked like my grandparents and I was like them.

It is surprising what can be unknowingly handed down through a family. History does sometimes repeat itself. My great grandfather could paint very well. He liked to paint. So did my grandmother. She painted wonderful pictures. You can see one of them in my room hanging on the wall. People and even experts say she was a real painter.

I feel I have a direct connection with my ancestors, though they had lived and died a long time before I was born. I think it's important to know about previous generations. It adds to your identity. It gives you a sense of who you are and where you have come from. It puts you in context.

Тема «Охраны окружающей среды» охватывает большой круг проблем. Таких как: «Наука и техника», «Прогресс и развитие», «Природа и человек», «Городская среда» и т.п. Данные темы тре-

буют овладения большим лексическим материалом. Раздел учебника для 10 класса «Civilisation and progress» даёт возможность учащимся тщательно подготовиться к написанию эссе на основе изучения разнообразной лексики, выполнения упражнений и изучения тематических текстов. Проделанная подготовительная работа дала возможность учащимся успешно справиться с выполнением письменных заданий, а именно написанием эссе на актуальные темы, посвящённые охране окружающей среды.

Save our world

What is being done to avoid environmental damage? What is being done to save nature on our planet? What was the appearance of the Earth a thousand years ago? It was green and blue. It was a wonderful mysterious world of dark and unexplored forests, pure lakes and rivers, powerful oceans and seas. And how does the planet look like now?

We should raise money for environmental projects. "It's being done",-you'd say. But it is necessary to do much more! Ecologically-conscious decisions are needed. We should promote clean air and water. We should ban ozone-eating substances. Because it's our mother who is being killed. And it's our duty to save her life.

We should protect the atmosphere and soil from horrible human impact. We do not have the right to forget that we are not alone on the planet. Think of species extinction! We can prevent it and we must do it.

In conclusion, I would like to remind you that only concrete actions might be a success, only concrete actions can save our planet. We should join our efforts and save the future of the Earth and of our children.

И так, на основе текстов, послетекстовых лексико-грамматических упражнений, богатого лексического материала, учитель, который творчески подходит к обучению учащихся иностранному языку, может вполне успешно сформировать навыки письменной речи на основе учебника М.З. Биболетовой «Английский с удовольствием» для общеобразовательных школ.

С.В. Дворянинов

г. Москва

А.А. Гимелев

с. Красный Яр Самарской области1

К вопросу обновления школьного курса математики

Одним из направлений обновления школьного курса математики может быть расширение круга рассматриваемых прикладных задач. Об одном новом примере интеграции математики и физики рассказано ниже.

Хорошо известно, что треугольник — это жесткая фигура. Это следует из третьего признака равенства треугольников, а именно из равенства треугольников по трем сторонам. Угол, то есть геометрическая фигура, состоящая из двух лучей AB и АС, — нежесткая фигура. На этом свойстве угла основано использование циркуля и лестницы-стремянки. Стойки такой лестницы могут свободно раздвигаться до тех пор, пока они не будут зафиксированы перемычкой. А как еще можно использовать в технике нежесткость угла?

Простая геометрическая задача про расстояние

Согласно определению окружность — это множество точек на плоскости, равноудаленных от некоторой фиксированной точки этой плоскости, называемой центром окружности. Помните строки из поэмы А.С. Пушкина «Руслан и Людмила»:

У лукоморья дуб зеленый; Златая цепь на дубе том: И днем и ночью кот ученый Всё ходит по цепи кругом;...

1 Учитель физики высшей категории МОУ полного среднего образования, победитель конкурса «Наставник будущих ученых» фонда Дмитрия Зимина «Династия» 2006 и 2008 г.г., победитель окружного конкурса «Учитель года-2003».

Если теленочка на лугу привязать к колышку не слишком длинной веревкой, то к вечеру он съест всю траву в круге, радиус которого как раз равен длине веревки.

Рассмотрим сейчас такую задачу. Пусть точка M движется по окружности, радиус которой равен 1 (рис. 1). M— от английского слова movement (движение). С — произвольная точка внутри круга, не совпадающая с центром окружности. Как при этом меняется расстояние СМ?

Рис. 1.

Решение. Поместим окружность в систему координат. Пусть точка С имеет координаты (с;0), где се(0;1), точка M — (casa; sin а). Будем изучать квадрат расстояния о точки M до точки С, то есть величину d2(a) = (cosa -с)2 +sin2 a . Очевидно, что

Получилась очень простая функция. Вспоминая, как изменяется функция косинус, делаем выводы:

• ближайшая к точке С точка окружности — это точка К(\;0). Расстояние СМ при этом оказывается самым коротким.

• самая удаленная от точки С точка окружности — это точка ∠)(—1;0). Расстояние СМ оказывается при этом самым Длинным.

При движении точки M по верхней полуокружности от точки К к точке D величина расстояния СМ монотонно возрастает; при продолжении движения точки M по нижней полуокружности от точки D к точке К величина расстояния СМ монотонно уменьшается.

От математики переходим к механике

Пусть у нас имеется недеформированная пружина, — то есть пружина, которая не сжата и не растянута. Пусть ее концы совпадают с точками С и А (рис. 2). А — точка окружности, С — это фиксированная точка на диаметре, не совпадающая с центром окружности. Точка В симметрична точке А относительно диаметра ОС

Пусть теперь точка А движется по окружности, — будем при этом ее положение обозначать буквой М. Согласно формуле (1) длина отрезка СМ будет меняться. Это означает, что пружина будет деформироваться, то есть или растягиваться, или сжиматься. Треугольник ОСМ оказывается нежестким: две его стороны ОС и OA будут сохранять свою длину, длина третьей стороны СМ будет меняться. Когда точка M будет находиться на дуге окружности ADB, пружина будет растянута. Когда точка M будет находиться на дуге

Рис. 2

окружности АКБ, пружина будет сжата. Отрезок постоянной длины, равный радиусу окружности, на рис. 2 показан красным цветом.

Поясним, как сила сжатия (ли растяжения) пружины действует на точку М, лежащую на окружности. Ясно, что каждая из этих сил действуют вдоль отрезка С. М. Сила — величина векторная. Разложим этот вектор F = F (M) по двум направлениям — вдоль касательной к окружности в точке M и вдоль прямой ОМ. Ясно, что движение точки M по окружности вызывает первая составляющая силы F. Когда, при каком положении точки M эта составляющая равна нулю? Ответ очевиден: тогда, вектор F направлен вдоль радиуса окружности, идущем из центра О к точке М. Это равносильно тому, что вектор СМ имеет направление радиуса окружности ОМ. Это возможно лишь тогда, когда три точки — С, О, M— лежат на одной прямой. Точки С и О — фиксированы, поэтому последнее означает, что точка M совпадает или с точкой К, или с точкой D. Только в этих крайних положениях сила деформации пружины не приводит к движению точки M по окружности. Только эти две точки — К и D — являются точками покоя системы или положениями равновесия при деформированной пружине.

Устойчивость и неустойчивость положений равновесия

Напомним, что положение равновесия называют неустойчивым, если всякое малое отклонения системы от этого положения приводит к появлению силы, которая это отклонение увеличивает. Самый популярный и наглядный пример таков. Шарик находится на вершине холма и неподвижен (можно рассматривать маленький шарик, находящийся на «северном полюсе» большого шара). Всякое малое смещение малого шара или же придание ему сколь угодно малой скорости приведет к появлению скатывающей силы, удаляющей малый шарик от исходного положения равновесия или исходного положения покоя. Значит, и равновесие, и покой неустойчивы.

Если же при отклонении системы от положения равновесия появляется сила, возвращающая систему в исходное состояние, то это положение равновесия называют устойчивым. Примером служит шарик, находящийся в яме (или ложбине).

Хорошо известно, что для сжатия и растяжения пружины требуется совершить некоторую работу. Эта работа приводит к увеличению потенциальной энергии, накопленной пружиной. Деформированная пружина стремиться вернуться в исходное, недеформированное состояние, которому соответствует минимум потенциальной энергии. Из сказанного выше следует, положения А и В равновесия нашей механической системы являются устойчивыми. Это так потому, что всякой отклонение системы от состояний А и В приводит к появлению силы, которая стремится вернуть систему в исходное состояние.

Очень часто устойчивые и неустойчивые положения системы чередуются. Такое чередование мы наблюдаем и в механической системе на рис. 2. Если подвижный конец пружины находится либо в точке К, либо в точке D, то система также остается неподвижной, то есть оказывается в положении равновесия. При этом каждое из этих положений равновесия является неустойчивым.

Для нашей пружины малое смещение ее подвижного конца (то есть точки M ) из положения D приводит к возможности дальнейшего сжатия (сокращения) пружины, возвращения к одному из двух исходных состояний — CA или СВ.

Точно так же сколь угодно малое смещение подвижного конца пружины (то есть точки M ) из положения К или же придание точке M сколь угодно малой скорости, направленной по касательной к окружности в точке К, приводит к возможности дальнейшего распрямления (удлинения) пружины, возвращения пружины к одному из двух исходных состояний — CA или СВ.

Итак, точки покоя, или положения равновесия на окружности чередуются: А —устойчивая точка покоя, D — неустойчивая, В — устойчивая, К— неустойчивая.

Области притяжения (или области влияния) устойчивых точек таковы: для точки А областью притяжения служит верхняя полуокружность, для точки В областью притяжения служит нижняя полуокружность (разумеется, без точек К и D).

Это означает следующее. Если точку M (то есть подвижный конец пружины) поместить на верхнюю полуокружность и отпустить без начальной скорости, то пружина займет положение CА. Если точку M (то есть подвижный конец пружины) поместить на ниж-

нюю полуокружность и отпустить без начальной скорости, то пружина займет положение СВ.

Потенциальная яма

Положение движущейся по окружности точки M определяется величиной угла СОМ равной а. Деформация пружины связана с изменением длины пружины и поэтому является периодической функцией с периодом Г = 2x. Точки а = 0 и а = 71—точки максимума деформации пружины. Потенциальная энергия пружины П = П(a) связана с величиной деформации пружины, и для нее точки a = 0 и a = к также являются точками максимума. Минимум потенциальной энергии получается тогда, когда пружина не деформирован, то есть в при совпадении точки M с одной из точек А или В.

Графики 2к -периодических функций удобно изображать не на декартовой плоскости, а на поверхности цилиндра, радиус основания которого равен 1. Вот такой график и представляет на рис. 2 четырехзвенная ломаная линия. В действительности следовало бы изобразить гладкую кривую, без изломов. Два звена синего цвета соответствуют области притяжения точки А, два звена бирюзового цвета соответствуют области притяжения точки В. Эти пары звеньев образуют так называемую потенциальную яму. Обратите внимание: растяжению пружины на участке AD отвечает движение шарика вверх. Распрямлению пружины на участке КА соответствует движение шарика вниз!

Где применяют такие пружины

Подобные элементарные механические конструкции издавна используют на практике. Мы расскажем о двух примерах, другие вы легко найдете сами.

На деле используют не всю эту конструкцию целиком, а лишь некоторую ее часть, состоящую из пружины СМ и стержня ОМ. При этом точке M разрешено перемещаться не по всей окружности, а только по части GH дуги В А, содержащей точку К.

Рис.3.

На рис. 3 отрезок CK соответствует максимально сжатой пружине, в положениях CG и СН пружина также сжата, но в меньшей степени. Отрезки CG и СН длиннее отрезка CK.

При этих ограничениях положения пружины CG и СН являются устойчивыми. Рисунок 3 можно трактовать как схему электрического выключателя. Положение пружины СМ управляет положением отрезка ОМ. Пусть в положении OG электрическая цепь замкнута, во всех остальных, в частности, в положении ОН цепь разомкнута.

Если вначале цепь разомкнута и мы намерены ее замкнуть, то мы начинаем перемещать точку M из положения H по дуге окружности в положение G. На участке НК нам придется прикладывать усилия, чтобы, сжимая пружину, все более и более удалять ее от устойчивого положения равновесия OB (или ОН). Как только точка M перейдет через точку К, пружина окажется в области притяжения другого положения равновесия. Она начнет резко распрямляться уже безо всяких усилий с нашей стороны. При попадании точки M в точку G произойдет удар, который сопровождается хорошо слышимым щелчком. Итак, выключатель сработал как включатель. Размыкание цепи происходит при движении точки M из положения G в положение Н.

Еще раз подчеркнем практическую важность устойчивости положений СН и CG. Никакие слабые случайные возмущения этого устройства (то есть несильные толчки, сотрясения) не нарушат эти

положения: цепь останется либо замкнутой, либо нет, то есть будет функционировать устойчиво.

Еще одно применение схемы рис. 3 можно увидеть в трамваях -такую конструкцию имеют замки на трамвайных окошках. В положении пружины CG окно закрыто, в положении пружины СН окно открыто (рис. 4).

Рис. 4

Замечания

1. Если пружину заменить резиновой нитью, то легко изготовить левую половину схемы рис. 2. Ясно, что растяжение здесь возможно, а сжатие — нет. Для уменьшения трения на конце пружины (или резиновой нити) в точке M следует использовать кольцо, надетое на окружность. Трение уменьшится еще больше, если использовать небольшое колесико, движущееся по окружности как по рельсу.

2. При растяжении пружина остается прямолинейной. А вот сжатие пружины иногда приводит к ее «выпучиванию». Во избежание этого явления пружину помещают в обойму или патрон, который виден на рис. 4 и внутри которого находится пружина.

3. Выше мы рассмотрели последовательность элементарных математических задач (расстояние от произвольной точки окружности до фиксированной точки внутри круга, нахождение множества значений функции и исследование ее на экстремум, разложение вектора по двум взаимно перпендикулярным направлениям), показали новую для учеников возможность размещения графика периодической функции на поверхности цилиндра. Была дана физическая интерпретация рассматриваемой функции и изучена тем самым математическая модель реальной механической системы. В этой элементарной ситуации возможен анализ важного во многих областях науки и практики свойства — устойчивости и неустойчивости положений равновесия. Каждый из этих отдельных фрагментов может быть последовательно рассмотрен на уроках математики и физики. В итоге ученики получат достаточно полную картину функционирования простой, но распространенной механической конструкции. Данный материал можно использовать как основу реферата на школьной научно-практической конференции. Возможно также изготовление действующей модели или демонстрация имеющихся аналогичных механизмов.

Ю.В. Садовничий

мехмат МГУ, г. Москва

Несколько задач с параметром

Задача. Найти все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Доказательство. Рассмотрим функцию

и обратим внимание, что задача сводится к исследованию уравнения f(x) = 0. Функция f(х) убывает при х<1 и возрастает при х>1. Действительно, на участке хе при любом раскрытии модулей коэффициент при х будет отрицательным, а на участке X Е — положительным, так как число 9 больше суммы чисел 4,3 и 1. Следовательно, необходимым и достаточным условием существования хотя бы одного решения уравнения f(x) = 0 является условие f(x)< 0 . Имеем: -4 + |3-|1 + я|| < 0

Ответ: a е [-8;6].

1 Задача. Найти все значения параметра а, при которых система

имеет единственное решение.

Доказательство. Преобразуем данную систему следующим образом:

Пусть х + 2 = и, у — 1 = 1). Имеем:

Заметим, что если пара чисел (u,v) является решением этой системы, то пара (v,u) также является решением системы. Значит, необходимым условием единственности решения является равенство и = V . Получаем неравенство au1 — и + 3а +1 > 0 , которое попрежнему должно иметь единственное решение. Для этого необходимо и остаточно выполнение условий

откуда

Проверим теперь, что при а = — исходная система будет иметь единственное решение. Подставив а = —^- в систему (с переменными г/, V ), получим, что

Следовательно, а = — действительно является решением задачи.

Ответ:

2 Задача. Найти все значения а, при которых система

имеет единственное решение.

Доказательство. Обратим внимание, что на числовой прямой решение каждого из неравенств может представлять собой пустое множество, точку, отрезок, луч, два расходящихся луча. Поэтому

единственное решение системы возможно лишь в двух следующих случаях:

1) Решение одного из неравенств представляет собой точку, которая является также и решением другого неравенства.

2) Промежутки, являющиеся решением каждого из неравенств, имеют общую точку.

Необходимым условием выполнения первого случая является равенство нулю одного из дискриминантов. Имеем

При а— исходная система имеет вид

Значит, а- — является решением задачи. При а --2 получаем

Следовательно, а —2 не является решением задачи.

Во втором случае должна иметь решение система уравнений

Значит, а = — является решением задачи. При а- — получаем

Следовательно, а— не является решением задачи.

Ответ:

3 Задача. Найти все значения а, при каждом из которых сумма длин интервалов, составляющих решение неравенства

не меньше 1.

Доказательство. Пусть

Заметим, что f(0) = g(0) — —а + 2а — 3 < 0 при всех значениях а.

Кроме того, значение выражения f(x)-g(x)= [а2—7а + 1з)х положительно при X > 0 и отрицательно при х < 0, так кa1, a2 -7(2 + 13 > 0 при всех а. Значит, графики функций у — f(x) и у = g(x) расположены так, как показано на рисунке (рис.1).

Рис. 1.

Пусть х1 и х2 — корни квадратного уравнения f(x) = 0, а х3 и х4 — корни уравнения g(x) = 0 . Тогда решением неравенства будет

служить объединение промежутков хе (х1;х3)и(х2;х4). Сумма длин этих интервалов равна

поскольку х1 +х2 = -(2а2 + 6), а х3 +хА =-(а2 +1а-1) согласно теореме Виета. Имеем далее:

Ответ:

4 Задача. Найти все значения а, при каждом из которых расстояние между любыми двумя соседними корнями уравнения cosacos3x — sin 3acosx + 2sin 2acos2x = 3 sin a — cos3x

не превосходит

Доказательство. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Полученное уравнение при условии cos a ^ -1 является кубическим относительно переменной t — cosx и имеет относительно t не более трёх решений. Следовательно, решения х этого уравнения, будучи изображенными на тригонометрической окружности, представляют собой максимум шесть точек, попарно симметричных относительно оси абсцисс (рис. 2).

Рис. 2.

Условие задачи будет выполнено в том и только в том случае, когда эти шесть точек являются вершинами вписанного в окружность правильного шестиугольника (рис. 3).

Рис. 3.

Подставив вместо х числа —, —, — получим систему уравнении:

Если а = 27Ш, we∠, то исходное равнение принимает вид cos3a = 0 и имеет решение х = — +—,/ге ∠, т.е. а = 2пп является решением задачи. Если а = к + 2кп, n∈Z, то уравнение принимает вид 0 = 0. У этого уравнения нет соседних корней, тем более нет соседних корней, расстояние между которыми больше π/3 , значит, а = к + 2кп также является решением задачи. Ответ: а = 7Ш, n∈Z.

5 Задача. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система

имеет ровно два различных решения.

Доказательство. Преобразуем данную систему следующим образом:

где х1=х-а,У=у- — . Последняя (а значит, и исходная) система

имеет ровно два различных решения тогда и только тогда, когда окружность x12+y12 = bа2 +5а касается гиперболы x1y1=1 в точках (1;1) и (-1;-1) (см. рис. 4).

Рис. 4.

Радиус такой окружности равен

Ответ:

А.Г. Мякишев

Химический лицей 1303, г. Москва

Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора

Дмитрию Пантелеймоновичу Мавло -на его 60-летие

§ 1. Иного мира сотворенье в сердцах двоих. Обожествленье всего живого. Становленье союза нового. Рожденье иных высот и просветленье1.

Наверное, каждый ценитель элементарной геометрии при встрече с тем или иным изящным результатом нередко задается вопросами вроде следующих: А как же автор задачи сумел до всего этого додуматься? Неужто им двигало одно только озарение свыше?

Увы, сами авторы2 почему-то, как правило, не слишком любят делиться перед широкой публикой секретами ремесла3.

В этой статье я попробую, рассмотрев один конкретном пример, на эти и им подобные вопросы ответить4.

Начнем с некоторых общих предложений.

1 — Странное, однако, название параграфа для научно-популярной статьи по геометрии. С чего бы это? — вправе поинтересоваться изумленный (а то и возмущенный) читатель.

- Действительно, странное — будет ответ, — но, в данном случае, надеюсь, уместное. Дело в том, что заголовок и этого, и всех последующих разделов — строчки, заимствованные из стихотворений Д.П.Мавло. Круглая дата — прекрасный повод слегка нарушить сухую и казенную манеру изложения.

2 Самых выдающихся из которых справедливо было бы называть корифей, мэтр, маэстро, гроссмейстер (элементарной геометрии).

3 Встречаются, впрочем, и счастливые исключения. Сошлюсь, для примера, на статью великого Игоря Федоровича Шарыгина, которая так прямо и называется: Откуда берутся задачи? (см. [6]). Большое количество рецептов по приготовлению задач содержатся также в книжках воистину подвижника элементарной геометрии Исаака Аркадьевича Кушнира (см. [3], [4]).

4 Разумеется, применительно к данному примеру. Было бы безумием пытаться дать исчерпывающие ответы во всей полноте.

Естественно, как и в других творческих сферах деятельности, в геометрии, для того, чтобы придумывать новые задачи, необходимы и талант, и вдохновение и просто удача. Но, на 95 процентов5, это — труд, включающий в себя изучение классического наследия, современных достижений и практически непрерывные усилия, направленные на создание какой-нибудь оригинальной конструкции6. Нужно настроить мозг на геометрическую волну и не отвлекаться ни на что другое — т.е. блюсти своего рода аскезу (по крайней мере, периодически), умея отрешиться от суетных забот.

Если же говорить более определенно, то довольно часто свежий факт появляется на свет приблизительно так:

Вы сталкиваетесь с какой-то содержательной задачей, уже известной геометрическому сообществу. Задача понравилась и возникает желание, выражаясь возвышенно, постичь идеи, вдохнувшие в творение жизнь.

Вертите ее так и сяк, по разному разбирая на части и вновь складывая, пытаясь проникнуть как можно глубже в механизм. Случается, через какое-то время возникает желание одну детальку заменить, другую переделать, третью — дополнить и т.д. И внезапно Вы понимаете — вот оно, свершилось! Начальная конструкция, как по волшебству, преобразилась в иную, своеобразную, но тоже симпатичную и обогащенную совсем другими, в сравнении с отправными, идеями. В таких счастливых случаях исходную задачу будем называть задача-родитель, а ее трансформера — задача-отпрыск.

Причем, в отличие от распространенной поговорки «Яблоко от яблони не далеко падает», усмотреть стороннему наблюдателю внешнее (да и внутреннее) сходство геометрически кровных родственников бывает подчас крайне сложно.

И тут — самое время предъявить обещанный пример.

5 Таково, думается, процентное отношение для меня лично. У других, ясное дело, оно может быть другим.

6 И здесь уже в корзину отправляется 99,9 %. Как писал Маяковский: Поэзия — та же добыча радия. В грамм добыча, в год труды. Изводишь единого слова ради тысячи тонн словесной руды.

Задача 1. (родитель)

Среди трех дуг, которые отсекают стороны (или их продолжения) произвольного треугольника от его окружности Эйлера7, обязательно найдется одна, равная сумме двух других.

Так, для треугольника, изображенного на рис.1, выполняется равенство:

Рис.1

Задача 2. (отпрыск)

а) В произвольном треугольнике рассмотрим три прямые, каждая из которых проходит через середину высоты параллельно соответствующему радиусу описанной окружности, проведенному к вершине треугольника.

Тогда эти прямые конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке), см. рис.2.

7 Все же напомним, порядка ради, что окружностью Эйлера (или окружностью девяти точек) произвольного треугольника называют окружность, содержащую середины сторон и основания высот этого треугольника, а также середины отрезков, соединяющих ортоцентр (точку пересечения высот) с его вершинами.

б) Точка пересечения Т описанных выше прямых есть центр т.н. окружности Тейлора8, см. рис. 2.

Рис. 2

Сравним теперь формулировки обеих задачи. Пожалуй, следует признать, что (по крайней мере, на первый взгляд) между ними нет ничего общего, никаких вообще связей.

Но, как скоро убедимся, это впечатление — ложное.

Вообразим на секунду невероятное: кого-нибудь из многочисленных героев многочисленных бандо-менто сериалов, внимательно, с интересом и со знанием дела изучающего настоящие заметки.

Тогда, добравшись до конца предыдущего абзаца, он с полным правом мог бы воскликнуть:

- Вот с этого места, пожалуйста, поподробнее!9

8 Окружность Тэйлора произвольного треугольника — это окружность, проходящая основания перпендикуляров, опущенных из оснований высот на прямые, содержащие стороны треугольника (всего, стало быть, имеем шесть точек). Подробнее мы поговорим о ней в заключительном параграфе, а сейчас только отметим, что в отечественной геометрической литературе она практически не упоминается (хотя и остается желанной гостьей во многих зарубежных пособиях).

9 Фраза сия необычайно полюбилась сценаристам означенных сериалов. Или сценаристу? Сериалов-то много, но как-то не чувствуется, что сценарии к ним пишутся разными людьми.

§ 2. А. может, Вечность притаилась на кончике пера? Вот как все начиналось.

В мае 2006 мне довелось поучаствовать в семинаре для преподавателей математики г. Зеленограда. Семинар этот был не простой, а выездной и проходил на черноморском побережье в поселке Флуераш, сравнительно недалеко от Одессы. Для краткого знакомства с Жемчужиной у моря был выделен специальный день. Тогда-то и приобрел я в одном из местных книжных подлинную геометрическую жемчужину, а точнее, целое жемчужное ожерелье — см.[4].10

А одна из самых крупных и чистых отыскалась на стр. 265 (где воспроизводится статья Д.П.Мавло «Красивые свойства замечательных тел»11). Там речь как раз и идет о задаче 1.

Дадим ее более точную формулировку, сопроводив теперь надлежащим названием.

Теорема Мавло.

Среди трех дуг, которые отсекают стороны (или их продолжения) произвольного треугольника от его окружности Эйлера, обязательно найдется одна, равная сумме двух других.

Упорядочим углы треугольника в порядке возрастания. Если, к примеру, ∠C <∠A<∠B (или ∠B<∠A< ∠C ), то ыа=щ+ сос.

В случае тупоугольного треугольника дуги могут перекрываться, но равенство все равно остается в силе (см.рис.1).

Доказательство, впрочем, несложно — если только знать следующее свойство окружности Эйлера:

10 Признаюсь со стыдом — так состоялась моя первая встреча с творчеством до этого момента совершенно мне неведомого И.А.Кушнира. Однако достаточно было, еще стоя у прилавка, навскидку пробежать глазами пару произвольных страниц, чтобы понять: автор геометрию безумно любит, много о ней знает, и вообще, как нынче принято выражаться в инетовских пространствах, жжот. Книжку просто нельзя было не купить. Прибавлю, что прочитав ее, я стал форменным фаном Исаака Аркадьевича и усердным коллекционером его многочисленных произведений.

11 Опубликованная в украинском журнале «Математика в школi, №3, 2004 ([4], стр.265-269).

(Оно уже является хорошо известным, т.е. имеется, скажем, в классической книжке Коксетера — см.[2], стр.33, упр.5 и решение его на стр. 191. См. также [3], стр.324, з.14 и [7], 3.5.134)12.

Тогда, поскольку длина дуги есть произведение соответствующего центрального угла на радиус, то в случае, например, ∠C < ∠A < ∠B достаточно проверить, что

∠A1ЕA0 = ∠B1ЕB0 + ∠C, ЕC0

(где Е — центр окружности девяти точек). Поскольку центральный угол вдвое больше вписанного, все моментально сводится к тождеству:

2(∠B — ∠C) = 2(∠A — ∠C) + 2(∠B -∠A).

Тем не менее, хотелось бы подчеркнуть:

Окружность Эйлера и множество ее разнообразнейших свойств известны человечеству13 вот уже несколько столетий. И все же Д.П. посчастливилось подметить новую14 и яркую особенность окружности девяти точек, причем с простой и естественной формулировкой. Однажды познакомившись с теоремой Мавло, ее уже трудно позабыть.

Словом, как не крути, а результат впечатляющий. Правда, интуиция подсказывала мне, что он допускает некие продвижения. Окружность Эйлера — окружность номер один в геометрии треугольника, лидирует с большим отрывом — но она потому и одинокая такая. А хотелось понять, есть ли шанс отличиться (в указан-

12 У меня не было необходимости заглядывать во все эти книжки или изобретать что-то самому, поскольку как-то раз сильный геометр Евгений Дмитриевич Куланин объяснил мне, что этот факт немедленно вытекает из следующего: угол между высотой и радиусом описанной окружности, проведенных из одной и той же вершины, равен модулю разности углов при двух других вершинах. Затем следует рассмотреть гомотетию с центром в ортоцентре Я, и коэффициентом —, переводящую описанную окружность в окружность Эйлера.

13 Имеется ввиду, всему прогрессивному — т.е. несгибаемым любителям чистой геометрии. А также и некоторым другим культурным людям. Понятно, чем «навороченнее» свойство, тем уже круг компетентных лиц. Страшно ли далеки они от народа? Пожалуй.

14 Во всяком случае, пока что ни в каких более ранних источниках никому еще не удалось обнаружить какого-либо упоминания о теореме, открытой Мавло.

ном выше смысле) у какой-нибудь окружности позаурядней, с не столь внушительным послужным списком15. Или же найти какую-нибудь эквивалентную формулировку, уже не связанную с длинами дуг.

Но все не хватало времени (или особого желания) основательно взяться за это дело. Чувствовалось, что усилия могут потребоваться нешуточные. Однако не потребовались.

Помог случай16.

§3. Оставь мне случая улыбки, пусть даже если по ошибке он осчастливит невзначай.

В канун Рождества-2010 один мой хороший знакомый, Е.Д. Куланин, внезапно расщедрился и одарил подшивкой журналов The American Mathematical Monthly.

Перелистывая их, в одном из номеров (см. [8]) как-то раз я наткнулся на небольшую заметку Виктора Тебо17, озаглавленную «А Note on Orthopolar Triangles», где и обнаружились следующие две теоремы.

Теорема 1.

Даны два треугольника ABC и А1В1С1, оба вписанные в окружность со.

15 Сразу скажу — вопрос этот остается открытым. Найти какую-нибудь другую окружность, связанную с треугольником и обладающую аддитивным свойством, мне не удалось. Читатель, ау! откликнись: вся надежда только на тебя.

16 Вообще, если вдуматься, во всей этой истории много случайного, а стало быть, и загадочного. Цепочка случайных событий, достаточно протяженная, неумолимо ведет (как это ни смешно) к появлению на свет задачки 2. Настолько неумолимо, что вспоминается фраза из одного (весьма посредственного) детектива:

- Ваши случайности пидпорядку напевни закономерностям. (Ну, как-то так — на искаженном украинском.)

Можно вспомнить в этой связи и более серьезное произведение: «Мост короля Людовика Святого» Торнтона Уайлдера. Наверное, все же лучше не вдумываться в такие вещи.

17 Еще один, звездной величины, титан элементарной геометрии, опубликовавший только в Math. Monthly около 600 оригинальных задач.

Тогда, если стороны треугольника ABC имеют общий ортопол относительно треугольника A1B1C118, то и стороны треугольника A1B1C1 имеют общий ортопол относительно треугольника ABC, причем оба ортопола совпадают друг с другом и являются серединой отрезка, соединяющего ортоцентры обеих треугольников.

Теорема 2.

Два треугольника ABC и A1B1C1, вписанные в одну и ту же окружность со, взаимно ортополярны тогда и только тогда, когда сумма19 направленных дуг АА1, ВВ1, СС1 равна нулю:

cû.+cû,+cûc=0.20

- Сумма дуг равна нулю. Так-так-так, что-то знакомое. Это «жжж», как говаривал Винни — Пух, явно неспроста. Где-то я уже видел что-то подобное. Ага! Теорема Мавло! — вот что, помнится, подумалось. Слегка смущали только термины: ортопол, ортополярные треугольники. Помогла разобраться книжка [9] (Ее одиннадцатая глава так и называется: Orthopole). Там показана корректность нижеследующего определения, а также разбирается ряд красивых утверждений, связанных с этим понятием.

18 В таком случае говорят, что треугольник ABC ортополярен треугольнику A1B1C1.

19 Направленная длина дуги — приблизительно то же, что и направленная длина отрезка. Именно, зафиксируем направление обхода окружности, -например, против часовой стрелки. Длина дуги ААХ будет положительной, если сначала на пути попадется точка А, и затем — Ах. В противном случае длину считают отрицательной.

20 Согласно Тебо, автор Теоремы 1 — некто M.Absolome (1907 г.), а Теоремы 2 — R.Godeau (1927). (И потому можно смело утверждать, что Задача 1 дождалась-таки. своего Годо, т.е., в данном случае, эффектного в своей неожиданности переосмысления). Тебо также указывает, что обе теоремы имеют короткие синтетические (т.е. геометрические) доказательства. Я даже и не пытался их воспроизвести, т.е. мне нужно было лишь «навести мосты» между задачами, а спортивный интерес к поиску доказательств геометрических утверждений, не тобою открытых, с годами как-то поиссяк. Полагаю, однако, что доказательства не должны быть сложными и труднонаходимыми. Уверен — все необходимые определения и идеи содержатся в статье.

Определение ортопола.

Рис.3

Проведем в плоскости треугольника ABC произвольную прямую!. Пусть Ах- основание перпендикуляра, опущенного на эту прямую из вершины А. Точки В1, С1 определим аналогично. Затем проведем три перпендикуляра, опущенные: из точки A1 — на прямую ВС, из В1 — на CA и из С1 — на ВС. Тогда они пересекаются в некоторой точке Р, которая называется ортополом прямой 1 относительно треугольника ABC, см. рис.3.

Кстати, существование ортопола вытекает из более общей теоремы, т.н. теоремы Штейнера (см. [1], стр.240, [7], з. 5.126).

Скажем, что треугольник ABC ортологичен треугольнику A1B1C1 ( ААВС ⊥ АA1B1C1 ), если перпендикуляры из А — на прямую B1C1, из В — на C1A1 и из С — на B1C1 пересекаются в одной точке (ортологический центр).

Теорема Штейнера заключается в том, что:

В случае ортопола, проекции вершин треугольника ABC на прямую / — точки Ах, Вх, Сх — можно считать вершинами вырожденного треугольника, а параллельные перпендикуляры — пересекающимися в бесконечно удаленной точке (подробнее см. [5], стр.7).

Вот он и наступил, наконец, долгожданный момент истины. появление нового персонажа на сцене.

Задача 02 — а)

В произвольном треугольнике рассмотрим три перпендикуляра к сторонам его ортотреугольника, каждая из которых проходит через середину соответствующей высот. Тогда эти перпендикуляры конкурентны, см. рис.4.

Рис.4

В самом деле, из задачи 1 (она же — теорема Мавло) и теоремы 2 вытекает, что серединный и орто — треугольники данного треугольника взаимно ортополярны. Тогда, по теореме 1, соответствующие стороны серединного треугольника имеют общий ортопол относительно ортотреугольника. Но, очевидно, перпендикуляр, опущенный из вершины ортотреугольника на соответствующую среднюю линию, совпадает с высотой треугольника и пересекает среднюю линию в точке, совпадающей с серединой высоты. А пер-

пендикуляр, опущенный из этой середины на соответствующую сторону ортотреугольника, содержит ортопол этой средней линии. Утверждение доказано.

Правда, это не совсем еще задача 2 — а) (потому-то и поставлен нолик перед двойкой).

Задачу 2- а) получим, если воспользуемся тем, что радиус, проведенный в вершину треугольника, перпендикулярен антипараллелям к соответствующей стороне треугольника, а соответствующая сторона ортотреугольника как раз и будет одной из таких антипараллелей, см. рис.5.

Рис.5

Антипараллельность встретится нам и дальше, поэтому освежим в памяти некоторые факты, связанные с этим понятием.

Итак, говорят, что отрезок В1C1, где точки В1 и С1 лежат на лучах АС и AB (или, одновременно, на продолжениях этих лучей), антипараллен стороне ВС, если ∠AB1C1 = ∠ABC и ∠AC1B1 = ∠ACB .

Очевидно, что при симметрии относительно биссектрисы угла ВАС антипараллельный отрезок переходит в отрезок, параллельный стороне ВС . (Это — эквивалентное определение антипараллельности).

Далее, если ВВ1 и СС1 — высоты треугольника ABC, то отрезок B1C1 (сторона ортотреугольника) антипараллен стороне ВС, поскольку около четырехугольника ВC1B1С можно описать окружность (имеем два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой), а сумма противоположных углов во вписанном треугольнике равна 180°.

И, также, касательная к описанной окружности в вершине А будет параллельна соответствующей антипараллели, как это следует из теореме об угле между касательной и секущей и признаком параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов.

Отсюда вытекает, в свой черед, перпендикулярность радиуса описанной окружности, проведенного в вершину треугольника, соответствующей стороне его ортотреугольника.

§4. Здесь в каждом шаге откровенье, и глянец с таинств сорван вон.

В треугольнике ABC О — центр описанной окружности. Прямая а проходит через середину высоты треугольника, опущенной из вершины А, и параллельна OА. Аналогично определяются прямые b и с. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.

Именно в такой формулировке задача 2-а) была включена в шестую устную олимпиаду по геометрии (Москва, апрель, 2010г.).

Но прежде, чем ее куда-то включать, еще нужно было отыскать геометрическое решение, доступное школьникам и не особенно громоздкое.21 И такое решение нашлось, притом даже и не одно.

Начнем с авторского.22

21 Не имелось никаких сомнений: такое решение, не зависящее от теоремы 1 и теоремы 2, существует.

(Не говоря уже о том, что любое подобного рода утверждение легко пробивается барицентрическими координатами (см. [5], стр.17, [7], гл.14). Однако эти самые координаты — где-то все же не наши методы. В том смысле, что содержательная геометрическая задача взывает и к содержательному геометрическому решению, обходящемуся минимальным количеством выкладок алгебраического толка).

22 Как говорится, хоть маленький, убогенький — а свой.

Решение 1.

Только что мы освежили в памяти (см. заключительную часть предыдущего параграфа), что отрезки, соединяющие вершины треугольника с центром его описанной окружности, перпендикулярны соответствующим сторонам ортотреугольника. Значит, и прямые в условии обладают тем же свойством.

Рассмотрим треугольник A2B2C2 с вершинами в срединах отрезков, соединяющих центр описанной окружности с основаниями соответствующих высот. Тогда B2C2 — средняя линия треугольника ОC1B1 и потому параллельна прямой B1C1. С другой стороны, A0A2 — средняя линия треугольника ААхО, а значит, параллельна АО, т.е. совпадает с данной в условии прямой а и является высотой треугольника A2B2C2, опущенной из вершины A2. Аналогично, прямые b и с будут двумя другими высотами рассматриваемого треугольника. Поскольку высоты треугольника пересекаются в одной точке, наше утверждение доказано (см. рис.6). □

Рис.6

Решение 2.

Прямые а',b',с', проведенные через А1,В1,С1 параллельно соответственно ОА,ОВ,ОС, являются высотами треугольника A1B1C1; обозначим точку их пересечения через Н' (см. рис. 7). Пусть Т — середина отрезка ОН'. Прямая, параллельная АО, проходящая через Т, делит пополам любой отрезок с концами на параллельных прямых АО и а , в частности проходит через середину отрезка АА1, т.е.совпадает с прямой а. Таким образом, а проходит через Т . Аналогично, прямые b и с проходят через Т . □

Рис.7

Это доказательство принадлежит молодому московскому геометру Юрию Блинкову и оно получше будет, нежели чем авторское, ибо локализует местонахождение точки пересечения как середину отрезка с концами в известных точках, допускающих классическое описание23.

Но, как вскоре выясним, на самом деле эта точка Г, имеет и совсем уже замечательную геометрическую суть.

23 А поскольку центр описанной окружности О совпадает с ортоцентром серединного треугольника, то точка пересечения есть еще и середина отрезка, соединяющего ортоцентры двух ортополярных треугольников, вписанных в одну и ту же окружность (в нашем случае — в окружность Эйлера), как это и предсказывала теорема 1.

Здесь представляется уместным сказать несколько слов о замечательных точках треугольника вообще.

Строгого математического определения замечательной точки треугольника не существует.

Имеется, правда, вполне научное определение т.н. центральной точки (см. [5], стр. 23) — но, во-первых, под это определение не попадают многие точки, безусловно замечательные в интуитивном смысле, а во-вторых, попадают многие, которые скорее хотелось бы назвать ничем не примечательными. Говоря неформально, «степень замечательности» той или другой точки можно оценить дробью, в числителе которой — количество нетривиальных свойств, связанных с этой точкой, а в знаменателе -«сложность» ее построения.

Американский математик Кларк Кимберлинг уже многие годы собирает центральные точки. Свою коллекцию (Encyclopedia of Triangle centers, сокращенно ETC) он разместил на сайте — см. [10]. Точке там присваивается порядковый номер, даются ее барицентрические координаты и приводятся основные геометрические свойства.

Благодаря усилиям энтузиастов, без преувеличения можно сказать, всего мира (большое спасибо современным средствам связи и современным же геометрическим программам) в настоящее время24 количество центров в ETC достигло внушительной цифры 3587.

Возникает вполне естественный вопрос: а как все же проверить, значится ли потенциально новая точка в списках? Неужели сравнивать координаты с более чем 3500 других? Да и сами координаты не всегда так уж просто вычислить. Согласитесь, довольно удручающая вырисовывается перспектива: считали-считали, сосчитали, наконец — затем начали сравнивать — и вдруг, при сравнении эдак 3000-ом, обнаружили совпадение с известной точкой.

Но вот что придумал хитроумный Кимберлинг.

В его Энциклопедии каждой точке, помимо порядкового номера и координат, присвоено еще и некое число. Это число -расстояние от данной точки25 до прямой, содержащей сторону ВС треугольника ABC со сторонами ВС=6, CA =9,АВ=13.

24 По состоянию на июнь 2010 г.

25 Взятое со знаком «+», если точка находится «над» прямой ВС, и со знаком «-» в противоположном случае. Это расстояние — ничто иное, как нормированная трилинейная координата шоч/о^первая). Можно также показать, что центральная точка ей однозначно определяется.

К примеру, мы открыли, что медианы пересекаются в одной точке, но не знаем, есть ли такая в ETC.

Тогда вычислим соответствующее расстояние26 (см. рис.8) и заглянем в Энциклопедию.

Рис. 8

Мы увидим два столбца — в правом находится расстояние (таблица упорядочена именно по возрастанию расстояний), а в левом -порядковый номер. В нашем случае мы довольно быстро найдем нужную нам строчку:

|2 |2.629368792488

А затем уже открываем список точек по номерам, и усматриваем, что точка под номером 2 — т.н. центроид. (Если же, вдруг, найденное число в списках не значится, значит — точка новая и нужно срочно писать письмо Кимберлингу. Он с удовольствием добавит ее в коллекцию и, более того, окрестит Вашим именем.)

§5. Всем льстят победы дух и привкус новизны.

И когда возникло сильное желание разобраться с точкой Г, я поступил описанным выше способом, воспользовавшись ETС. Меня ожидал приятный сюрприз — точкой Г оказался центр окружности Тэйлора. На этой окружности лежат шесть оснований перпендику-

26 С помощью программы типа Geometrical Sketchpad или Cabri.

ляров, опущенных из оснований высот треугольника на прямые, содержащие пары остальных сторон. Теорема о точке Т.

Считая факт существования окружности Тэйлора известным, легко понять, что наша точка Т и есть ее центр. Доказательство:

В самом деле, рассмотрим хорду этой окружности B2C2, соединяющую основания перпендикуляров, опущенных на стороны из точки A1 — основания соответствующей высоты, (см. рис. 9)

Понятно, что серединный перпендикуляр к этой хорде проходит через центр окружности Тейлора Т. С другой стороны, он же проходит через точку Д, — середину высоты АА1, поскольку точка эта есть центр окружности, описанной около четырехугольника АC2А1B2, образованного двумя прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой АА1 и B2C2 — также хорда и этой окружности. Остается только заметить, что прямые B1C1 и B2C2 параллельны (получаются одна из другой соответствующей гомотетией с вершиной^ и коэффициентом k = ^-). А потому рассмотренный пер-

Рис.9

пендикуляр совпадает с прямой а. И аналогично для двух других прямых. □

Поговорим теперь об окружности Тэйлора подробнее — она того заслуживает.

Оказывается, можно показать, что она является частым случаем т.н. окружностей Тукера. В свой черед, окружность Тукера — это окружность, описанная около шестиугольника Тукера, который может быть построен следующим образом (см. рис. 10).

Рис.10

На стороне ВС (или ее продолжении) произвольного треугольника ABC выбираем случайным образом некую точку A1 и из нее проводим антипараллель27 (об антипараллелях — см. § 4) к стороне АС Пусть она пересекает сторону AB (или ее продолжение) в некоторой точке C2. Из этой точки проведем параллель к ВС и отметим точку B2 ее пересечения с АС Далее, чередуя антипараллели с параллелями, получим еще три точки на сторонах (или их продолжениях) треугольника ABC, причем шестой шаг обязательно вернет нас в исходную точку A1 (т.е. процесс замыкается на ней). Полученный шестиугольник и есть шестиугольник Тукера. Около него всегда можно описать окружность (разумеется, Тукера), а его три антипараллели обязательно равны друг другу.

27 Впрочем, начинать можно и с параллели. Затем пойдет антипараллель и т.д.

Обо всем этом и о многих других свойствах окружностей Тукера и Тэйлора — см. [1], стр. 169; [7], 3.5.159, 5.160, 5.161; [9], гл. 9.

Но приведенное ниже новое и поистине очаровательное доказательство (из тех, которые Хонсбергер называет a Real Gem) существования окружности Тэйлора в этих книгах (и, наверное, ни в каких других) не сыскать. Дело в том, что оно родилось буквально вот только что, весною 2010 г. и устанавливает неожиданную связь классической окружности Тэйлора с ее лишь недавно явившуюся свету коллегой: т.н. окружностью Конвея.

Автор доказательства — еще один молодой московский геометр Дмитрий Прокопенко.

Однако обо всем по порядку.

В 1998 году знаменитый математик Джон Конвей порадовал любителей элементарной геометрии следующей любопытной конструкцией (см. рис. 11).

Рис. 11

В произвольном треугольнике ABC на прямых и АС отложим (вовне относительно треугольника) от точки А отрезки, равные стороне ВС. Концы этих отрезков, отличные от вершины, дают две новые точки A1 и A2. Аналогично построим точки В1,B2,С1,C2. Несложно показать, что все шесть построенных таким образом точек лежат на одной окружности. Центр ее совпадает с центром вписанной в треугольник окружности, а радиус равен -yjr2 + s2 , rде r — радиус вписанной в треугольник окружности, a s — полупериметр. (Т.к. один из катетов выделенного на рисунке прямоугольного треугольника есть r, а второй равен (s — а) + а = s ). При этом три хорды окружности имеют одинаковую длину:

А1B2 =A2С1 =В1C2 =2s = a + b + c.

Обратим внимание на то, что центр вписанной в треугольник окружности имеет трех ближайших родственников — центры окружностей вневписанных. Точки, допускающие подобное «расщепление», Конвей предложил именовать «weak points», т.е. слабыми.28,

А поскольку только что рассмотренная окружность концентрична вписанной, возникает подозрение, что и у нее должны найтись три сестрицы — добавочные окружности Конвея, концентричные соответствующим вневписанным окружностям.

И так оно и есть на самом деле. К примеру, чтобы получить добавочную окружность Конвея с центром в Iа.

(вневписанной окружности, касающейся стороны ВС и продолжения двух других), нужно действовать следующим образом: из вершины А отложить на прямые, содержащие стороны треугольника, отрезки, равные противолежащей стороне, не вовне, а вовнутрь. При вершине В — один отрезок вовне, другой вовнутрь и аналогично при вершине С. Несложно убедиться в том, что получается окружность с центром в 1а и радиуса ^r2 + (s-af (где rа — радиус соответствующей вневписанной окружности). Также справедливо равенство А1B2 = A2С1 = В1C2 = 2(s — а) = b + с — а , см. рис. 12).

28 Как альтернативный вариант перевода, вполне возможно сочное слово квелый. Согласно Далю, Квелый (кволый, квилкий) — хилый, слабый, нежный, болезненный; болький, чувствительный; жалобный, писклявый, недотрога.

Рис. 12

Наконец, обещанный эксклюзив.

Теорема Прокопенко.

Если треугольник ABC — остроугольный, то его окружность Тэйлора совпадает с окружностью Конвея серединного треугольника ортотреугольника исходного треугольника (см. рис. 13). В случае тупоугольного треугольника окружность Тэйлора совпадает с соответствующей добавочной окружностью Конвея (см. рис. 14, где тупым выбран угол при вершине В).

Рис. 13

Рис. 14

Доказательство. (см. рис. 13)

Ограничимся случаем остроугольного треугольника ABC. (Для тупоугольного треугольника доказательство аналогично).

Пусть АХ|ВХ|СХ — середины сторон ортотреугольника АХ.,ВХ,СХ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АХA2СХ. Поскольку точка Вх — середина его гипотенузы A1C1, то

A2ВХ' = A1B1}=^A1C1 = A1C1 (как средняя линия).

Отсюда, в частности, следует, что треугольник A1B1A2 — равнобедренный. Кроме того, нам известно, что A1C1 — антипараллель к АС (см.окончание §4). Поэтому ∠BX'A2C = ∠BxyАХВ = ABAC .

Но, как было установлено при доказательстве теоремы о точке Г (см. начало §5), отрезок A2B3 есть антипараллель к стороне AB, и потому ∠B3A2C = ABAC . Антипараллелью к этой же стороне является отрезок A1B1, параллельный средней линии A1B1 .

Отсюда заключаем, что отрезок A2ВЪ содержит внутри себя отрезок A1B1. И, так как A2В1=A1C1\ то, стало быть, точка A2 принадлежит рассматриваемой окружности Конвея. Для остальных пяти точек окружности Тэйлора проходят те же рассуждения, нужно только циклически переставить в нужных местах буковки и индексы.

Итак, доказано, что из существования окружности Конвея вытекает существование окружности Тэйлора. □

Замечание — следствие:

Центр окружности Тейлора как точки Шпикера ортотреугольника.

Точкой Шпикера произвольного треугольника называют центр окружности, вписанной в его серединный.

Центры же вневписанных окружностей доставляют нам т.н. добавочные точки Шпикера.

Поскольку окружности Конвея концентричны с соответствующими вписанными-вневписанными окружностями, только что мы еще и доказали утверждение:

Если треугольник ABC — остроугольный, то центр окружности Тэйлора совпадает с точкой Шпикера его ортотреугольника.

В случае тупоугольного треугольника центр окружности Тэйлора совпадает с соответствующей добавочной точкой Шпикера его ортотреугольника. □

В заключение нашего путешествия давайте глянем, как представлено главное действующее лицо данного раздела в ETC29:

Х(389) = CENTER OF THE TAYLOR CIRCLE

Trilinears cos A — cos 2A cos(B — C) : cos В — cos 2B cos(C — A) : : cos С — cos 2C cos(A — B)

Barycentrics a[cos A — cos 2A cos(B — C)] : b[cos В -- cos 2B cos(C — A)] : c[cos С — cos 2C cos(A — B)] If ABC is acute then X(389) is the Spieker center of the orthic triangle. Peter Yff reports (Sept. 19, 2001) that since X(389) is on the Brocard axis, there must exist T for which X(389) is sin(A+T) : : sin(B+T) : sin(C+T), and that tan(T) = — cot A cot В cot C. Let H a be the A-altitude of triangle ABC, and let A' be the midpoint of segment AHA. Let LA be the line through A' parallel to AO, where О denotes the circumcenter. Define LB and Lc cyclically. The lines LA, LB, Lc concur in X(389). (Construction by Alexei Myakishev, March 24, 2010.) If you have The Geometer's Sketchpad, you can view X(389) X(389) lies on these lines:

3,6 4,51 24,184 30,143 54,186 115,129 217,232 517,950 X(389) = midpoint of X(l) and X(J) for these (I, J): (3,52),

(4,185), (974,1112)

X(389) = reflection of X(1216) in X(140) X(389) = inverse-in-Brocard-circle of X(578) X(389) = crosspoint of X(4) and X(54)

X(389) = crosssum of X(l) and X(J) for these (I,J): (3,5), (6,418)

29 Два «крайних» свойства — из трех, выделенные жирным курсивом, уже давно прописались в Энциклопедии. Именно их и доказали Прокопенко с Блинковым — очень, надо отдать должное, оригинальным и самобытным образом.

А «среднее», как видим, добавлено сравнительно недавно.

Список литературы.

1. Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, Матезис, 1902. В электронном виде книга доступна по адресу: htpp://mirror1.mccme.ru/ilib/djvu/ngt/ngt.htm

2. Г. Коксетер, С.Грейтцер. Новые встречи с геометрией. Москва-Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002.

3. И. Кушнир. Геометрия на баррикадах. Киев, Факт, 2009.

4. И. Кушнир. Триумф школьной геометрии. Киев, Наш час, 2005.

5. А. Мякишев. Элементы геометрии треугольника. (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 19). Москва, МЦНМО, 2009.

6. Игорь Федорович Шарыгин. К семидесятилетию со дня рождения. (Составители: А.Заславский, В.Протасов, Д.Шарыгин). Москва, МЦНМО, 2007.

7. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Москва, МЦНМО, 2007.

8. The American Mathematical Monthly .Volume 59, number 8, October, 1952.

9. Honsberger R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. (New Mathematical Library, issue 37). The Mathematical Association of America, 1995.

10. Kimberling C. Encyclopedia of Triangle Centers. -http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

Май 2006, Одесса — Июнь 2010, Москва

Г.Б. Филипповский

Русановский лицей, г. Киев

Лемма о медиане решает задачу

Назовем леммой о медиане следующую задачу.

Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Доказательство. I способ.

Пусть в ААВС медиана АМ1 = -^ВС (рис.1). Покажем, что в таком случае угол А = 90° . Обозначим: ∠1 = ∠2 = а и ∠3 = ∠4 = ß .

рис.1

Тогда, сложив все углы треугольника ABC, получим: 2a + 2ß = 180°, или a + ß = 90°. Но ∠1 + ∠3 и есть a + ß. Стало быть, .4 = ∠l + ∠3 = 90o.

II способ.

Окружность с центром М1 радиуса М1А-М1В-М1С проходит через все вершины ААВС . Тогда ВС — диаметр этой окружности и ABAC = 90° — вписанный, опирающийся на диаметр.

Поскольку данная задача претендует на роль леммы, необходимо показать ее эффективное (а порой и эффектное) применение при решении целого ряда задач. Покажем это.

Задача 1.

Окружности Oui и со2 касаются внешним образом в точке К. AB - их общая внешняя касательная (рис.2). Найдите величину угла АКБ.

рис.2

Решение.

Проведем через К общую касательную к соп и со2, которая пересекает AB в точке N Очевидно, NA = NK (касательные к cûj ) и NB = NK (касательные к со2 ). Таким образом, NK = NA = NB и, по лемме о медиане, ∠AKB = 90° .

Задача 2.

ВС — наибольшая сторона в треугольнике ABС. На продолжении ВС за точку В отложим отрезок NB = AB . Докажите, что угол CAN тупой. Доказательство.

Отложим на отрезке ВС отрезок ВТ = AB (рис.3). Поскольку ВС -наибольшая сторона, то точка Т находится между В и С. Соединим A и Т. Согласно лемме о медиане ∠TAN = 90° . Тогда ∠CAN > 90°, то есть тупой.

рис.3

Задача 3.

Высота АН и биссектриса BL треугольника ABC пересекаются в точке п. При этом BN = NL, a AN : NH = 2:1. Определите величину угла А. Решение.

По свойству биссектрисы BN в треугольнике АВН имеем: -=-= — (рис.4). Значит, ∠BAH = 30° (катет ВН равен половине гипотенузы AB). Тогда ∠ABN = ∠HBN = 30°. Поскольку yiTV = BN = ∠7V , то А = 90° (лемма о медиане).

рис.4

Задача 4.

На большем основании AD трапеции ABCD нашлась точка К такая, что каждый из отрезков АК и CK равен средней линии трапеции. Чему равен угол между диагоналями АС и BDI Решение.

Осуществим параллельный перенос диагонали BD: CN = BD (рис.5), очевидно, отрезок AN равен сумме оснований ВС и AD. В то же время отрезок АК равен полусумме оснований (по условию). Тогда АК = KN = CK и ∠ACN = 90° — по лемме о трапеции. Это и есть искомый угол между диагоналями, так как CN \ \ BD.

рис.5

Задача 5.

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС (рис.6) АВ-п и AD = BD = CD = q . Найти ^С.

Решение.

Проведем окружность со с центром в точке D радиуса DА. Согласно условию она пройдет также через точки В и С. Пусть AD при продолжении пересекает со в точке N Поскольку ABCN — равнобокая трапеция, то CN — AB — n . Кроме того, CD — DA — DN — q . Значит, ∠ACN = 90° (лемма о медиане) и по теореме Пифагора для AACN находим: АС = ^4q2 -п1 .

Задача 6.

В треугольнике ABC медиана АМХ = m равна половине стороны ВС. Найти расстояние между центром описанной окружности треугольника ABC и его ортоцентром.

Решение.

рис.6

рис. 7

По лемме о медиане (рис. 7) угол А равен 90° и точка А — ортоцентр в ААВС (M1А — M1В — М1С ). Тогда отрезок АМ1 — m как раз и являет собой расстояние между ортоцентром треугольника ABC и центром его описанной окружности.

Задача 7.

Дана прямая / и линейка с эталоном длины (она имеет две засечки). Пользуясь только этой линейкой, постройте какой-нибудь перпендикуляр к прямой /.

Решение.

Построим на прямой / отрезки AB — ВС, равные эталону длины. Проведем через В произвольно прямые кип. Отложим на них соответственно отрезки ВК и BN, также равные эталону длины (рис.8). По лемме о медиане ∠AKC = ∠ANC = 90° . Пусть прямые AN и CK пересекаются в точке Т. Поскольку АК и CN — высоты в ААТС, то точка Q их пересечения является ортоцентром в этом треугольнике. Следовательно, прямая AQ содержит третью высоту к AQU.

рис.8

Задача 8.

Дан угол с недоступной вершиной А и окружность со внутри угла (рис.9). Постройте с помощью циркуля и линейки доступную часть касательной, проведенной из А к окружности со.

рис.9

Решение.

Найдем центр Q окружности со (покажите, как это сделать). Проведем доступную часть прямой QА. Для этого через Q построим прямые перпендикулярно сторонам угла до пересечения с противоположными сторонами в точках В и С (рис.10). Затем построим QT ⊥ ВС . Прямая TQ, содержащая третью высоту ААВС, проходит через А. Вернемся к рис.9. Через Q проведем произвольный луч до пересечения с одной из сторон угла в точке п. Найдем середину QN- точку Е. Прямая, проведенная через Е параллельно этой же стороне угла, пересекает QA в точке К — середине QA (теорема Фалеса). Окружность (ü}(K;KQ) пересекает со в искомой точке L (или Ц ). Действительно, LK = КА = KQ и ∠ALQ = 90° (лемма о медиане). Поскольку ∠ALQ = 90° и LQ — радиус, то AL — касательная.

рис.10

Задача 9.

Точка N — середина хорды AB окружности со. CD — произвольная хорда в со, проходящая через N На CD как на диаметре по-

строена полуокружность cûj (рис.11). Перпендикуляр из N к CD пересекает щ в точке К. Найдите ∠AKB .

рис. 11

Решение.

∠CKD = 90° — вписанный, опирается на диаметр в cûj . Поэтому KN2 = CN ⋅ ND . Однако, CN ⋅ ND = AN ⋅ NB (теорема о произведении отрезков хорд для окружности со). Значит, KN2 = AN ⋅ NB = AN2 и KN = AN = NВ. Согласно лемме о медиане ∠AKB = 90° .

Задача 10.

В треугольнике ABC проведены медианы ВК = к и CN = n . Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что его медиана AT в полтора раза больше стороны ВС.

Решение.

Пусть медианы AT, ВК и CN пересекаются в точке М- центроиде ААВС (рис.12).

рис. 12

Так как AM : МТ = 2:1, то МТ — —AT —ВС . Следовательно, МТ = ВТ — CT и ∠BMC = 90° согласно лемме о медиане. Очевидно, ВМ—к и СМ = — п. Тогда SBMC = — — — к- — n, или SBMC=—kn. Известно, что SBMC=—SABC (покажите!). Значит,

Еще столько же задач с успешным применением леммы о медиане предложим вниманию читателей для самостоятельного решения.

Задача 11. В треугольнике ABC угол С равен 60° и ВС = -^АС.

Найдите остальные углы треугольника ABС. Задача 12. В трапеции ABCD (BC||AD) выполняются равенства:

ВС = AB = -^AD. Найдите величину угла ACD.

Задача 13. В трапеции ABCD (ВС || AD) точка К — середина CD.

Оказалось, что АК — биссектриса ∠BAD . Найдите ВК, если AB = n ; АК = к.

Задача 14. Кронциркуль — это циркуль с двумя иголками. Имея кронциркуль, карандаш и линейку, постройте две перпендикулярные прямые.

Задача 15. В окружность радиуса R вписана равнобокая трапеция, у которой большее основание в два раза больше каждой из остальных сторон. Найдите площадь трапеции.

Ю.О. Пукас

МОУ «Гимназия г. Троицка»

Две дюжины полезных задач с целыми числами

Разберем несколько интересных задач олимпиадного типа на свойства целых чисел, многие из этих задач малоизвестны. И хотя формулировки некоторых из них могут на первый взгляд показаться мудреными, их решения, порою очень трудно находимые, понятны и интересны многим. А ведь с каждой решенной или разобранной задачей приобретается какой-то новый опыт, расширяется арсенал технических приемов.

Игорь Федорович Шарыгин (13.02.1937—12.03.2004) в своих замечательных книгах выделял некоторые задачи, предваряя их условия буквами «В» — важная, «П» — полезная и «Т» — трудная. Некоторые задачи отмечались несколькими буквами сразу, например: «ВП», или «ПТ». Не ко всем из разбираемых далее задачам я бы поставил букву «Т», важные они или нет, вы решите сами, но знакомство с ними безусловно полезно.

1. Каково наименьшее возможное значение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел (ab-ab3) и (с3-с) при целых

а, b и с? (Олимпиада мехмата МГУ, 2009, 10 класс, первая в варианте.)

Заметим, что натуральное число с3 -с = (с-1)с(с + 1) > 6 и делится на 6, так как среди трех подряд идущих целых чисел одно обязательно делится на 3, а одно — на 2. Но ведь и натуральное число а3b-аb3 — ab(a-b)(a + b) делится на 6! В этом несложно убедиться.

Если среди чисел a и b есть хотя бы одно четное, то произведение ab(a — b)(a + b) делится на 2. Если же если оба числа нечетные, то четными будут их сумма и разность, то есть в любом случае произведение делится на 2. Оно будет делиться и на 3, если среди чисел а и b есть хотя бы одно число, делящееся на 3. Если же если оба числа не делятся на 3, но у них одинаковые остатки при деле-

нии на 3, то на 3 делится их разность а-b , а если остатки разные, то на 3 делится их сумма а + b, то есть в любом случае рассматриваемое произведение делится на 3. Следовательно, произведение аb(а-b)(а + b) делится на 6.

Поэтому при целых а, b и с наименьшее возможное значение наибольшего общего делителя двух натуральных чисел (a3b-ab3) и (с3 — с) равно 6.

2. Доказать, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел (например: 13 = 33+(-2)3+(-2)3+13+13). (А.В.Устинов, Олимпиада мехмата МГУ, 2003, 10 класс, пятая в варианте из шести задач.)

В том, что эта задача очень близка только что разобранной нами, можно убедиться, посмотрев авторское решение: «Воспользуемся тем, что n3 - n = (n-1)n(n + 1) = 6к , где к — целое. Имеем: n = n3 — (n — n) = n — 6к = n — (к +1)3 -(к-1)3 +к3 +к3». Теперь для любого целого n вычислим к = —— и выпишем сумму пяти кубов:

п3 +(-к-\)3 +(-£ + 1)3 +к3 +к3.

3. На доске написаны числа 1, 2, 2008. Над ними последовательно проделывают 2007 операций, причем n-я по счёту операция состоит в следующем: произвольные два числа а и b (из записанных на доске) стираются и дописывается одно число, равное а + b-п. Что останется на доске в конце? (А.С.Зеленский, Олимпиада мехмата МГУ, 2008, 8 класс.)

Сумма всех чисел на доске, первоначально равная 1 + 2 + 3 + ... + 2008, последовательно уменьшается на 1, 2, 3, 2007. Поэтому, когда на доске останется только одно число, оно будет равно 2008.

4. На доске написаны числа 1, 2, 2008. Над ними последовательно проделывают 2007 операций, причем n-я по счёту операция состоит в следующем: произвольные два числа а и b (из записан-

ных на доске) стираются и дописывается одно число, равное —.

Что останется на доске в конце? (А.С.Зеленский, Олимпиада мехмата МГУ, 2008, 9 класс.)

Произведение всех чисел на доске, первоначально равное 2008! (задачи с факториалами очень вероятны на ЕГЭ!), делится последовательно на 1, 2, 3, 2007. После 2007 операций на доске останется одно число, и оно будет равно-- = 2008 .

5. Аня нашла такое четырехзначное число, что сумма цифр кубического корня (целочисленного) из него равна кубическому корню из суммы его цифр. Боря, Витя и Гена также нашли каждый свое такое число. Могло ли случиться так, что хотя бы трое из них, или даже все четверо, нашли разные числа. (А.С.Зеленский, Олимпиада мехмата МГУ, 2008, 10 класс.)

Сумма цифр четырехзначного числа не превышает 36, а целочисленный кубический корень из этой суммы не больше трёх. Среди целых чисел от 10 до 21, а именно в этих пределах заключен целочисленный кубический корень из четырехзначного числа, только 5 имеют такую сумму цифр (10, 11, 12, 20 и 21), условиям задачи удовлетворяют лишь три из них: 103 =1000, 113 =1331 и 203 = 8000 . Поэтому, трое детей могли найти разные числа, а четверо — нет.

6. Найдите все натуральные числа, каждое из которых больше суммы своих цифр ровно на 54 (8 класс), и все натуральные числа, каждое из которых больше суммы своих цифр ровно на 1134 (9 класс). (А.И.Галочкин. Олимпиада мехмата МГУ, 2008.)

Ответ для 8 класса: Это числа 60, 61, 69. Действительно, пусть f(n) = n-S(n), где S(n) — сумма цифр натурального числа п. Тогда функция f(n) нестрого возрастает, причем f(59) < f(60) = f(61) =... = f(69) = 54 < f(70).

Задача 9-го класса решается так же, как и предыдущая. Ответ: 1140, 1141, 1149.

7. Для данного натурального m определим величину Q = Q(m) как количество различных простых делителей числа m. Доказать, что для любого натурального n существует такое натуральное m, что для каждого из n чисел m, 2m, Зт, ... , пт величина Q принимает одно и то же значение. (Олимпиада мехмата МГУ, 1999, 8 класс.)

Достаточно взять m-п\.

8. Пусть q и d — наименьшее общее кратное и, соответственно, наибольший общий делитель натуральных чисел х и у. Найти наименьшее значение величины — при условии 3x = Sy-29 . (Мехмат МГУ, устный экзамен, 2005.)

Итак, q = НОК(х, у), d = НОД(х, у). Тогда x-nd, у = md, где n и m — взаимно простые числа, и отношение к- — --= пт .

Найдем натуральные решения неопределенного уравнения 3x = 8>! — 29 . Это X = $р — 7, у = 3р + 1 где р — любое натуральное число. При р = 1 получаем к = 4, меньшего значения отношения к получить не удается. Так как к-пт, то перебрав случаи х — у (n = m = 1 ); у — 2х (n = 1, w = 2); х = 2у (m = 1, n = 2); х = 3у (n = 3, m = 1); у = 3х (n = 1, m = 3), убеждаемся, что других натуральных решений нет.

Ответ: 4.

9. Для каждого натурального m обозначим через Dm наименьшее общее кратное чисел 1,2, ... , m. Доказать, что для любых натуральных а, /3, n, удовлетворяющих неравенствам а < b < 2n , число DnD2n делится на ab . (Олимпиада мехмата МГУ, 1999, 9 класс.)

Если а<п,то число Dn разделится на а и число D2n разделится на b. Рассмотрим теперь случай, когда n < а < b < 2n. Пусть к = НОД(я,/3) — наибольший общий делитель а и b. Тогда a-km, b-кр, где тир взаимно простые числа, причем m < р . Понятно, что к < n, ведь иначе 2n < b . Но тогда число Dn разделится на к и

число D2n разделится на bm — крт. Следовательно, и в этом случае число DnD2n разделится на ab . Эту задачу на олимпиаде 99-го года никто не решил.

10. Целые числа m, n и к таковы, что:

к2 — m2 -n2 = 2(m -n)(к — m — n). Докажите, что число 2mn является точным квадратом. (С.Берлов. Санкт-Петербург, 1995.)

Рассмотрим равенство, данное в условии, как квадратное уравнение относительно к (часто используемый приём). Его дискриминант, равный 8mn, — точный квадрат. Тогда и 2mn — точный квадрат. Этот путь просто напрашивается. Но можно действовать и иначе, преобразовав исходное равенство к виду: 2mn = (к- m + n)2.

Следующие 14 задач, это задачи на тему «целые корни квадратных уравнений».

11. Корни уравнения х2+ш; + /3 + 1 = 0 являются натуральными числами. Доказать, что а1 +b2 — составное число. (Н.Н.Петров, «Математика в школе», 1999, № 6, с. 77.)

а +b = (x1+х2) + (ххх2-Х) =... = (x1 +1)(х2 +1). Каждый из двух множителей больше 1, так как x1 и х2 — натуральные, следовательно, а2+b2 —составное число.

12. Квадратный трехчлен х2 +ах + b имеет целые корни, по модулю большие 2. Докажите, что число а + b + 1 — составное. (Московская область, районный этап, 2000).

Пусть x1 и х2 — корни нашего трёхчлена. Тогда по теореме Виета а + b + 1 = -(хх + х2) + ххх2 +1 = (хх -\)(х2 -1). Из условия следует, что каждая скобка не равна 1, -1 или 0. То есть число а + /3 + 1 —составное.

Замечание. Так как для квадратного трехчлена f(x) = х2 + ах + b величина а + b +1 = f(1), то разложение f(1) = (хх -\)(х2 -1) можно

было получить для 1 = 1 из разложения приведённого квадратного трёхчлена на множители f(х) = (х-x1 )(х — х2 ) .

Следующая интересная задача была приведена разработчиками ЕГЭ в качестве примера задания C6 (олимпиадного типа):

13. Каждый из двух различных корней квадратного трехчлена f(x) = x2 +(3a + 10)x + 5b-14 и его значения при х = 1 являются простыми числами. Найдите а, b и корни трехчлена f(х). («Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году. Методические указания». МЦНМО, 2009.)

Воспользуемся только что приобретенным опытом (задача 12). Нам дано, что f(1), x1 и х2 являются простыми числами. Значит (x1 -1) и (х2 -1) — натуральные числа и меньшее из них должно быть равно 1 — иначе f(1) = (хх — ||х2 -1) не будет простым. Следовательно, X1 -1 = 1, откуда хх-2. Тогда f(1) = х2 -1 и х2 — два последовательных простых числа, что возможно только, если это числа 2 и 3. Теперь, зная корни хх=2, х2 =3, применим теорему Виета: 3а +10 = -5 , 5b -14 = 6, откуда а = -5, b = 4 .

Вы согласитесь, наверное, что основные трудности в решении задачи 13 начинаются уже после того, как найдено разложение f(ï) = (x1-1)(x2-l). Знание приемов помогает в решении, но одной техникой не обойтись. Две следующие задачи — из той же полезной книги, что и задача 13.

14. Квадратный трёхчлен f(x) = х1 +px + q имеет два различных целых корня. Один из корней трёхчлена и его значение в точке X = 11 являются простыми числами. Найдите корни трёхчлена. (Из тренировочных вариантов ЕГЭ-2010.).

Известно, что f(11) = (11 -x1)(\ 1 -х2) — простое число. Если простой (по условию) корень x1 = 2 , то f(11) = 9(11 — х2 ) — не простое число. Если x1 — нечётное простое число, то простое число f(11) — чётное, то есть равно 2. Это возможно только если x1 = 13 , х2 = 12.

15. Найдите все такие целые а и b, что корни уравнения X1 +(2<2 + 9)х + 3й + 5 = 0 являются различными целыми числами, а коэффициенты (2а+ 9) и (Зй + 5) — простыми числами. (Из тренировочных вариантов ЕГЭ-2010.)

Сумма корней — (2а+ 9) — число нечётное при любом целом а. Но тогда один из целых корней чётный, другой — нечётный, а их произведение чётное простое число: ххх2 = bЪ + 5 = 2 ; откуда b -1.

Если Х| = -1, х2 = -2, то 2а + 9 = 3, а = -3 .

Если x1 = 1, х2 = 2, то 2а + 9 = -3 , a это не простое число.

Ответ: а = -3, è = -1.

Замечание. Так как корни ^ и х2 — целые числа разной чётности, то они разные числа. Слово «различными» в условии задачи является лишним.

Мне очень нравятся три следующие (трудные и полезные) задачи.

16. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

(1 + а)х2 + (1-а)х-5а-b = 0

имеет, по крайней мере, один корень и все его корни являются целыми числами. (Социологический факультет МГУ, 2002.)

При а--\ уравнение имеет вид 2х + 2 = 0, его корень х--\. Если же а Ф -1, то надо подметить (в свое время я это заметил далеко не сразу), что (а -1) + (-5а — 3) = -(4а + 4), и поэтому хх +х2 +ххх2 = -4. Получаем (x1 +1)(х2 +1) = -3 . Так как корни являются целыми числами, то пара чисел (x1 + 1,х2 +1) совпадает либо с парой (1,-3), либо с парой (-1,3), а пара чисел (х1,х2) — либо с парой (0,-4), либо с парой (-2, 2) соответственно. Зная корни уравнения, находим соответствующие значения параметра:

Ответ:

17. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет, по крайней мере, один корень и все его корни являются целыми числами. (Социологический факультет МГУ, 2002.)

Ответ:

18. Найти все а > 0, при которых корнями уравнения а2х2 —ах + 1 -1а2 =0 являются целые числа. (Н.Н.Петров, «Математика в школе», 1999, № 6, с. 77.)

Так как а > 0, то данное уравнение квадратное, оно имеет корни, если дискриминант D-a2 -4а2(\-1а2) = а2(28а2 -3)>0. По теореме Виета хх+х2= —. Так как корни — целые числа, то а- —, где m — натуральное число. Так как я > 0, то 28 — Зш > 0 и m может принимать только значения 1, 2, 3. Соответственно: а — 1, а = ~> а~\' ПровеРкои убеждаемся, что при всех этих значениях корни являются целыми числами.

19. Найти все целые значения а, при каждом из которых X2 — Зах + 2а2 + 1 можно разложить в произведение (х + b)(х + с) двух множителей с целыми b и с. (ВМК МГУ, устный экзамен, 2003).

Так как корни данного квадратного трёхчлена — целые числа — b и -с, то его дискриминант D — точный квадрат:

D = а2—4 = n2, откуда а2 -п2 = 4 , получаем, что (а — n)(а + n) = 4. Это возможно лишь при целых n — 0 и а — ±2.

Ответ: а = ±2.

20. Найти все целые значения а, при каждом из которых X1 -(а + 5)х + 5а + 1 можно разложить в произведение (х + /3)(х + с) двух множителей с целыми b и с. (ВМК МГУ, устный экзамен, 1998).

Ответ: а — 3 ; 7.

Возможно, что две следующие задачи не были в 2006-м решены участниками олимпиады.

21. Для каких целых q уравнение х1 + рх + р = q имеет целый корень ровно при одном целом pi (П.А.Бородин. Олимпиада мехмата МГУ, 2006, 9 класс.)

Рассмотрим уравнение х1 + px + (p-q) = 0 . Для его корней верны равенства x1 +х2 = -р, ххх2 = p-q, поэтому

(хх +х2)+ххх2 + 1 = (хх +1)(х2 + 1) = 1-q.

Так как р = 2 — (хх +1)-(x2 +1), то количество различных целых значений р — это количество различных (с точностью до перестановки) способов разложения (\-q) на два множителя. Только для q = 2, то есть при l-q = -l, разложение единственно, и поэтому значение р определится однозначно, иначе разложений (и значений р) будет минимум два: 1 — q = к = 1 ⋅ к = (-1) ⋅ (—к).

Ответ: q = 2.

22. Для каких натуральных q уравнение х1 +px + p = q имеет целый корень ровно при двух целых pi (П.А.Бородин. Олимпиада мехмата МГУ, 2006, 10 класс.)

Для корней уравнения х2 + px + (p-q) = 0 имеет место соотношение: (хх +1)(х2 +1) = 1 -q , по условию q — натуральное. Если q = 1, то для любого целого р наше уравнение имеет целые корни. Случай q = 2 разобран в задаче 19. При q > 2 минимум два различных целых значения р мы получим, раскладывая (1-д) двумя способами: \-q--k+(-к) = (-1)⋅ к, где к — натуральное. Если же к — любое простое число, то других способов разложения

(1 -q) на два множителя нет. Итак, \-q--k, отсюда находим ответ: q — к +1, где к — любое простое число.

23. На доске написан квадратный трехчлен х2+9х + 47. Таня (по своему усмотрению) увеличивает или уменьшает на 1 коэффициент при X, после чего Ваня увеличивает или уменьшает на фиксированное число m свободный член, а далее эти действия повторяются. Как только написанный на доске многочлен имеет целый корень, Ваня получает оценку «пять». Может ли он обеспечить себе «пятерку» при любых действиях Тани, если а) //? = 2 ; б) m = 3 ? (МГУ, олимпиада «Ломоносов-2010», O2.05.2010.)

В двух других известных мне вариантах этой недавней олимпиады квадратные трёхчлены имеют вид х2+12х + 53 и x2 + 6х + 59. Числа 47, 53 и 59 дают остаток 2 при делении на 3. При m-b такой остаток будет сохраняться после каждого хода Вани. Это означает, что в случае целых корней такое их произведение может получиться только тогда, когда они будут иметь вид 3n + 1 и 3n + 2 , но в этом случае их сумма будет делиться на 3. Таня может придерживаться очень простой стратегии: два раза уменьшить (или увеличить) на 1 коэффициент при х, а затем чередовать эти действия, не допуская, чтобы коэффициент при х делился на 3.

Найти решение при m = 2 мне помогли воспоминания об одной задаче Н.Х.Агаханова с зонального этапа Всероссийской олимпиады 2001 г. Покажем, что Ваня всегда сможет получить трёхчлен, один из корней которого равен 1. Первоначально f(1) = 57. Если Ваня будет каждый раз уменьшать на 2 свой коэффициент, то (в зависимости от действий Тани) значение f(1) будет уменьшаться или на 1, или на 3 после каждых двух последовательных изменений коэффициентов. Тогда неизбежно наступит момент, когда после «хода» Вани f(1) примет одно из трех значений: 0, 1 или 2. В первом случае цель («пятерка») Ваней уже достигнута. Убедитесь сами, что достичь этой цели и в двух других случаях совсем несложно.

Завершим наш разговор еще одной мастерски составленной задачей. Замечали ли вы, что f(-а -х) = f(x), где f(x) = х2 + ах + b ?

Это действительно так, ведь точки (—а — х) и х расположены симметрично относительно вершины параболы х0 — Это нам сейчас пригодится.

24. Приведённый квадратный трехчлен с целыми коэффициентами в трёх последовательных целых точках принимает простые значения. Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере ещё в одной целой точке. (Н.Х.Агаханов, Окружной этап Всероссийской олимпиады, 2002.)

Пусть f(n — 1) = p1, f(n) = p2, f(n + 1) = ръ. Из равенства f(—a — x) = f(x), где f(x) = x2+ax + b — данный квадратный трехчлен, следует, что если в целочисленной точке х0 трёхчлен принимает простое значение, то и в целочисленной точке —а — х0 он также принимает простое значение. Получается, что f(—a — n + 1) = p}, f(-a-n) = p2, f(—a — n-1) = р3. Если точка К(n, f (n)) не является вершиной параболы у- f(x), то хотя бы одна из целочисленных точек (-а — n +1), (-а — ri) или (-а — n — 1), — это новая (четвёртая) точка, в которой квадратный трёхчлен принимает простое значение, совпадающее с одним из pt.

Если же K(n,f(n)) — вершина параболы, то тогда f(n±c) = f(n) + c2. Получается, что

Из простоты чисел f(n) и f(n + X) следует, что

f(n) = 2, f(n + 1) = 3. Но тогда f(n + 3) = f(n-3) = f(n) + 32 = 11 -простое число.

В.Л. Экелекян

физфак МГУ, ГОУ СОШ № 11, г. Москва

Л.В. Экелекян

ГОУ СОШ № 765, г. Москва

Исследование одной головоломки

В последнее время часто организуются разного рода конкурсы1 где, кроме прочего, достаточно часто предлагаются головоломки геометрического характера. Всемирная паутина, в свою очередь, пестрит материалами на эту тему. В настоящей работе предлагается одна такая головоломка, которую можно рассмотреть с учащимися 9-10 классов.

Рассматриваются две комбинации четырех фигур:

1. Прямоугольный треугольник с катетами 8 и 3 (фигура А, рис. 1);

2. Прямоугольный треугольник с катетами 5 и 2 (фигура Б, рис. 2);

Рис.2

1 Например Вторые Международные Интеллектуальные Игры для школьников России и зарубежных стран в рамках Международной Олимпиады «Эрудиты планеты». Москва, 01-04 ноября 2010 г. www.erudites.ru

3. Прямоугольник сторонами 5 и 2, у которого отсутствует уголок в виде прямоугольника со сторонами 3 и 1 (фигура В, рис. 3);

Рис. 3

4. Прямоугольник сторонами 5 и 2, у которого отсутствует уголок в виде прямоугольника со сторонами 2 и 1 (фигура Г, рис. 4).

Рис. 4

Эти фигуры между собой сочетаются согласно двум схемам, которые указаны на рисунках 5 и 6. В случае комбинации согласно первой схеме (рис. 5) на выходе образуется прямоугольный треугольник с катетами 13 и 5. Однако такой же прямоугольный треугольник образуется при реализации второй схемы (рис. 6), но в этом треугольнике появляется пустая клетка. Возникает вопрос: откуда взялась эта дырка?

Рис. 5

Рис. 6

Решение:

Убедимся, что гипотенузы треугольников А и Б, имеющие общую точку О в обеих схемах комплектации, не лежат на одной линии. Для этого вычислим тангенсы углов а и ß:

Соответствующие углы отличаются почти на 1° :

а их стороны образуют угол в почти 179°. Но весь вопрос в том, в какую сторону «смотрит» этот угол. Обозначим его буквой у и определим его значение, предварительно вычисляя значение его тангенса:

Построим треугольники со сторонами Сд и Сб и с тупым углом \|/ = к — у для первой и второй схем (на рис. 7 размеры сторон и углов преднамеренно изменены для наглядности)

Заметим, что в первой схеме треугольник со своей площадью вычитается из общей площади комбинации четырех фигур, тогда как во второй схеме такая же площадь суммируется, т.е. в целом площадь подвергается изменению в две площади тупоугольного

Рис. 7

треугольника со сторонами Сд, Сб и с углом \|/. Вычислим площадь этого треугольника по известной формуле:

где синус угла выразим через тангенс:

Для вычисления корня применим формулу приближенного счета

Это и есть площадь «дырки». В компактном расположении фигур при первой схеме площадь треугольника «незаметна», а при второй схеме она освобождается в виде «дырки» с площадью близкой к единице.

А.И. Сгибнев

Школа «Интеллектуал», г. Москва

Рождение одной задачи

Случай с подготовки Математического праздника-2010

1. Поиск идеи

- Друзья, у нас всё ещё нет пятой задачи в вариант шестого класса.

- У меня есть сюжет: циферблат с двенадцатью отметками и дырокол с тремя фиксированными стержнями. Ими пробивают дырки. Теперь надо что-то спросить. Пойду думать...

(Через 10 минут.)

- Придумала! Четыре раза пробивали, поворачивая каждый раз на новый угол — и пробили все двенадцать отметок. Сколько таких дыроколов может быть? Порешайте, не слишком просто для пятой задачи?

- Что-то я не понимаю, как это решать. Ты точно понимаешь?

-Теперь уже нет. Счет какой-то мутный. Ясно только, что стержни должны быть расположены особым образом. Кто-нибудь понимает, каким?

(Через 5 минут.)

- Новая версия! Тот же дырокол. Надо доказать, что у всех трёх стержней должны быть разные остатки при делении на 3.

(Через 5 минут.)

- По-моему это неверно. Вот контрпример.

- Ой, и правда... Ну ладно, надо доказать, что у всех трёх стержней должны быть или разные остатки при делении на 3, или одинаковые. Кто-нибудь понимает, это-то хоть верно?

- Верно. Кстати, в таком случае можно дырокол все время на 90 градусов поворачивать.

- А точно?

- Точно.

- Да, я теперь тоже могу доказать. И понимаю, что задача явно не для шестого класса. Приходится складывать остатки один раз в строке, другой в столбце.

(Через 5 минут.)

- Давайте сделаем два стержня — тогда должно быть достаточно чётности.

-Конечно! Стержни должны каждый раз ударять в дырки разной чётности.

- Но тогда с двенадцатью не получится. Смотри: берём стержни одинаковой чётности — через одну отметку. Выбиваем отметки так: первый и третий, потом пятый и седьмой, девятый и одиннадцатый. А потом второй и четвёртый, шестой и восьмой, десятый и двенадцатый. Всё получилось.

- Понятно. Получаются две группы по шесть, которые можно выбить по очереди. А если число дырок делится на два, но не делится на четыре, тогда должна быть разная чётность. Давайте восемнадцать сделаем.

- Восемнадцать мало. Вдруг перебором решат.

- Давайте две тысячи десять!

- Нет, это совсем испугает. Давайте пятьдесят.

- А как задать вопрос детям?

- Докажите, что можно было поворачивать каждый раз на один и тот же угол. Здорово! Для математика звучит интригующе. Теперь нужно облечь всё это в подходящий сюжет.

2. Поиск формулировки

(Через час.)

-У нас в варианте будет сказка! Про 50 девушек, которых превратили в лягушек, а Иван-царевич хочет всех расколдовать.

- Девушки уже были два года назад. И вообще, шестиклассникам про любовь не так интересно, как нам. Лучше про жизнь и смерть.

(Через час.)

Формулировка номер один. «Противоядие».

50 пленников посадили за круглый стол и перед каждым поставили чашу. В две чаши налили яд без вкуса и запаха, а в остальные — воду. Затем пленникам завязали глаза, стол повернули (не переставляя чаш) и велели каждому отпить глоток из оставшейся перед ним чаши. Эту операцию повторили 25 раз, а затем сказали пленникам так:

Выпившие хотя бы глоток яда к вечеру позеленеют. Завтра вы будете снова пить из тех же чаш, а стол будет вращаться 25 раз. Но в тех чашах, где сегодня был яд, завтра будет спасительное противоядие, а в остальных — по-прежнему вода. Кроме того, глаза у вас будут открыты, и вы сами будете решать, как именно поворачивать стол каждый раз. Выпившие и яд и противоядие останутся живы и будут отпущены на свободу.

К вечеру все пленники позеленели и опечалились. Вдруг один из них воскликнул: «Друзья, мы спасены! Завтра надо просто поворачивать стол каждый раз ровно через одну чашу».

Объясните, почему действительно все пленники обретут жизнь и свободу.

- Ну как?

- Пока дочитал до конца, забыл начало.

- Я не люблю задач, в которых до математического содержания надо долго продираться через сюжет. Давайте как-нибудь попрямее скажем.

- В правильном многоугольнике красим вершины в определённом порядке.

- Окружность разбита точками на равные дуги. Стержень фиксированной длины ездит и отмечает концы. ... Что-то задача стала мне казаться тривиальной. В чём идея-то?

- Задача о том, что если множество можно разбить на конгруэнтные подмножества, то они расположены регулярно.

- А... понятно. Ладно, думаем дальше. (Через час.)

- Придумали! Безумное чаепитие! (Ещё через час.)

Формулировка номер два. Безумное чаепитие

На круглом вращающемся столе через равные промежутки стоит 30 чашек с чаем. За столом напротив двух каких-то чашек (не обязательно соседних) сидят Соня и Мартовский Заяц и пьют из них чай. Допив, они поворачивают стол так, чтобы против каждого оказалась полная чашка. Выпив ещё по чашке, снова поворачивают стол (возможно, на другой угол) так, что против каждого опять оказывается по полной чашке, и так далее. Через некоторое время им удаётся опорожнить все чашки. Докажите,

что они могли бы таким образом выпить весь чай даже если бы всё время поворачивали стол на один и тот же угол — на 24°.

- Так гораздо лучше. Короче и понятнее.

- Берём.

- Только надо ли явно указывать угол?

- Можно просто сказать «на один и тот же».

- А можно сказать «на одну пятнадцатую полного оборота».

- А поймут про полный оборот?

... (Через две недели.) Итоговая формулировка.

На краю круглого вращающегося стола через равные промежутки стояли 30 чашек с чаем. Мартовский Заяц и Соня сели за стол и стали пить чай из каких-то двух чашек (не обязательно соседних). Когда они допили чай, Заяц повернул стол так, что перед каждым опять оказалось по полной чашке. Когда и эти чашки опустели, Заяц снова повернул стол (возможно, на другой угол), и снова перед каждым оказалась полная чашка. И так продолжалось до тех пор, пока весь чай не был выпит. Докажите, что если бы Заяц всегда поворачивал стол так, чтобы его новая чашка стояла через одну от предыдущей, то им бы тоже удалось выпить весь чай (т. е. тоже каждый раз обе чашки оказывались бы полными).

Решение. Раскрасим чашки через одну в синий и красный цвет. Пусть Мартовский Заяц вначале пил из красной чашки. Докажем, что вначале Соня пила из синей чашки. В самом деле, если бы она пила из красной, то после любого поворота стола опорожнялись бы две чашки одного цвета. Поскольку и тех, и других по 15, а выпиваются они парами, в конце остались бы две чашки разного цвета, которые никаким поворотом стола нельзя было бы одновременно поместить перед Соней и Мартовским Зайцем. Теперь ясно, почему Заяц мог всегда поворачивать стол, ставя перед собой чашку через одну от только что выпитой — при этом перед ним по очереди предстали бы все красные, а перед Соней — все синие чашки.

Содержание

Информация

ВСЕРОССИЙСКИЙ СЪЕЗД УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ..............3

Дискуссии

Слуцкий Л.Б. А ВЫ ВСЕ ПРО ЕГЭ, ГОСПОДА?..............................9

Шевкин А.В. О ПРОЕКТЕ СТАНДАРТА ПОСЛЕДНЕГО ПОКОЛОЕНИЯ.........................................................16

Воспоминания

Скляревский Е.С. АЛЕКСАНДР ПЕТРОВИЧ ДОМОРЯД................33

Образование: история и перспективы

ИНФОРМАЦИЯ К РАЗМЫШЛЕНИЮ...............................................38

Взгляд на преподавание

Аникина Л.В. УЧИМСЯ ПИСАТЬ ЭССЕ........................................40

Дворянинов С.В., Гимелев А.А. К ВОПРОСУ ОБНОВЛЕНИЯ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ....................49

Материалы к занятиям

Садовничий Ю.В. НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ...........58

Мякишев А.Г. ПРОГУЛКИ ПО ОКРУЖНОСТЯМ: ОТ ЭЙЛЕРА ДО ТЕЙЛОРА................................................................66

Филипповский Г.Б. ЛЕММА О МЕДИАНЕ РЕШАЕТ ЗАДАЧУ.....91

Пукас Ю.О. ДВЕ ДЮЖИНЫ ПОЛЕЗНЫХ ЗАДАЧ С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ................................................... 99

Задачи и решения

Экелекян В.Л., Экелекян Л.В. ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ ГОЛОВОЛОМКИ........................................................110

Сгибнев А.И. РОЖДЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ...................................115

Изд. Лицензия ЛР № 066121 от 22.09.1998г. Подписано в печать 15.01.2011 Объем 6 п.л. Формат бумаги 60x90/16. бумага офсетная №1. Печать офсетная. Тираж 200 экз. Заказ №290 Издание Института Логики, Когнитологии и Развития Личности Отпечатано в типографии ЕВСТИ, г. Москва.