АРХИМЕД

Научно-методический сборник

Выпуск 5

2009

Архимед

Научно-методический сборник

Выпуск 5

Москва 2009

Ответственные за выпуск: А.Бунчук, В.Бусев, Т.Струков, П.Чулков, А.Шевкин

Архимед. Научно-методический сборник. Вып. 5. В настоящем сборнике представлены тезисы докладов участников семинара «Интеграция основного и дополнительного физико-математического образования», проходившего 28 января 2009 года в ФМШ № 2007 ЮЗОУО г. Москвы, а также другие публикации, посвященные вопросам дополнительного физико-математического образования.

© 2009, AHO Институт логики © 2009, Редакция «Архимед»

В.М. Бусев

г. Москва

О научно-методическом журнале «Полином»

Уважаемые коллеги!

Начинает издаваться электронный журнал «Полином», посвященный вопросам преподавания математики, ее истории и истории народного образования. Основные особенности планируемого издания изложены ниже. Если у вас после прочтения нижеследующего текста возникнут какие-то соображения или вопросы, просьба написать редактору журнала Василию Михайловичу Бусеву на vbusev@yandex.ru.

Зачем?

Журнал «Полином» является научно-методическим журналом, ориентированным на широкую аудиторию лиц, имеющих отношение к преподаванию математики: учителей, методистов, преподавателей и учащихся педвузов, историков образования.

Основная цель журнала — знакомить читателей с исследованиями в области теории и практики обучения математике, работами по истории математики и истории народного образования.

Регулярно в печати появляются интересные материалы указанной тематики. К сожалению, за редким исключением они публикуются в малотиражных региональных сборниках статей или журналах, и потому практически недоступны широкой аудитории. Задача журнала «Полином» — собирать на своих страницах такие материалы с тем, чтобы всякий желающий мог с ними ознакомиться. Однако это не означает, что все содержание журнала будет являться перепечаткой уже опубликованного в бумажных изданиях, будут и оригинальные тексты.

Почему электронный?

Создать «с нуля» бумажный журнал в настоящее время представляется затруднительным или даже невозможным: поначалу тираж будет совсем не большим, и затраты на издание окупаться не будут. Электронное издание не требует практически никаких вложений: журнал легко верстается на домашнем компьютере, распро-

страняется через Интернет. Это позволяет избежать расходов на бумагу и на доставку, не беспокоиться об объеме и периодичности издания. Впрочем, последнее не означает, что журнал будет выходить каждый раз существенно разного объема и как попало по времени. Но главное, что позволяет электронная форма, — сделать журнал бесплатным. Именно таким и будет журнал «Полином».

О статусе и правах

Электронные издания пока еще непривычны: спокойнее и надежнее публиковать статьи в бумажных изданиях. На опубликованный таким образом текст можно ссылаться, его можно отыскать в библиотеке, он заведомо сохранится в истории на долгое время.

Очевидно, что со временем электронные издания войдут в жизнь людей так же прочно, как и бумажные. Первые шаги в этом направлении уже сделаны. Электронный журнал можно зарегистрировать как средство массовой информации, что влечет за собой соответствующие правовые следствия согласно закону «О средствах массовой информации». Кроме того, в России существует научно-технический центр «Информрегистр», куда издатели электронных журналов обязаны предоставлять экземпляр издания (некий аналог Российской книжной палаты для бумажных книг или Отдела диссертаций РГБ для диссертаций и авторефератов). Далее, поскольку в электронном издании публикуются произведения, являющиеся результатом творчества, то деятельность таких изданий подпадает под действие закона «Об авторском праве и смежных правах». Наконец, возможно существование электронных журналов, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией для публикации результатов научных исследований. Таким образом, созданы правовая, материальная и психологическая базы для того, чтобы электронные периодические издания стали полноценными изданиями наряду с привычными бумажными журналами и газетами.

Научно-методический журнал «Полином» зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере связи и массовых коммуникаций, а со временем будет зарегистрирован в научно-техническом центре «Информрегистр» и в Международном центре ISSN с присвоением соответствующего номера.

Таким образом, публикация в электронном журнале приравнивается к публикации в бумажном периодическом издании. При этом согласно статье 11 закона «Об авторском праве и смежных правах» права на статьи принадлежат их авторам (если иное не оговорено в авторском договоре), и они могут распоряжаться своими произведениями по собственному желанию, например, публиковать их в других изданиях. Это же касается бумажных изданий. Из сказанного следует, что перепечатка статей с согласия автора не нарушает авторские права составителей сборников, редакций и издателей.

Полиномиальная структура

Название журнала — «Полином» — выбрано неслучайно. За словом «полином» скрывается не только математический объект, рациональная функция, но нечто большее. Слово «полином» происходит от греческого πολύς — многочисленный, обширный и латинского nomen — имя, т.е. фактически «полином» означает «много имен». Такое толкование тесно связано с основной задачей журнала: собирать на своих страницах «много имен», много статей из разных уголков страны.

На данный момент журнал имеет следующие рубрики.

• Из истории науки (исследования по истории математики)

• Из истории просвещения (исследования по истории математического образования и народного образования в целом, публикации оригинальных текстов деятелей прошлых эпох, архивных источников)

• Живая история (воспоминания, дневниковые записи, протоколы заседаний и др. документы)

• Вокруг математики (научно-популярные статьи, заметки, задачи)

• Учим математике (статьи по методике обучения математике)

• Размышления (идеи, концепции, наблюдения по вопросам обучения математике, образования в современном мире)

• Дискуссия (обсуждение проблем современного образования, отклики на статьи)

• Математики-педагоги (биографические сведения об ученых и педагогах)

• События (заметки с конференций, семинаров)

• Обзор книг, статей, электронных ресурсов

• Информация (объявления о предстоящих семинарах, конференциях и других мероприятиях)

Со временем возможно появление других рубрик.

Обратим внимание, что в названии журнала присутствуют слова «научно-методический», поэтому журнал будет ориентироваться на публикацию материалов соответствующего уровня.

Как делается журнал

Периодичность выхода журнала — 1 раз в три месяца (4 номера в год).

Статьи в журнал подбираются и редактируются его редактором, который одновременно является учредителем журнала.

В журнале будет создана редколлегия, в которую войдет по 1-2 человека от разных регионов Российской Федерации. Участие в работе редколлегии исключительно добровольное и неоплачиваемое. Задача членов редколлегии — время от времени предлагать тексты, отражающие события, происходящие в регионе (например, информационные письма о предстоящих конференциях, заметки о прошедших мероприятиях и т.д.), а также предлагать интересные тексты своих коллег (или свои собственные) по математике, ее методике и истории. При наличии сомнений в целесообразности публикации того или иного материала редактор будет обращаться к членам редколлегии с просьбой выступить в качестве рецензентов.

Журнал будет представлять из себя файл в pdf-формате и распространяться путем рассылки информационного сообщения, содержащего ссылку на файл, который хранится на сайте редактора (www.mathedu.ru). Таким образом, читатель может получать уведомление о выходе очередного номера журнала по электронной почте. Разумеется, адреса электронной почты подписчиков будут использоваться редактором только для рассылки журнала.

Работа с авторами и требования к публикациям

Каждый желающий может предложить свой текст для публикации в журнале. Основные требования, которым должен удовлетворять текст: 1) быть потенциально интересным для читателей; 2) быть представленным в электронном виде (только текстовый редактор MS Word). Чертежи желательно изготовлять в програм-

мах Corel Draw или Adobe IIIustrator (чтобы редактору не приходилось делать рисунки заново).

Приведенная выше структура достаточно полно охватывает возможную тематику статей, поэтому каждый предлагаемый к публикации текст, хочется надеяться, найдет свою рубрику. Просьба к авторам, предлагая свою статью, указывать рубрику, в которую целесообразно поместить текст. От этого зависит возможное направление доработки статьи: ведь нередко приходится сталкиваться, например, с тем, что в статье о математике-педагоге наряду с биографическими сведениями приводится очерк истории методики математики, устанавливается связь с практикой сегодняшней школы и т.д. — вопросы, достаточно далекие друг от друга и требующие каждый отдельного рассмотрения.

В соответствии со статьей 42 закона «О средствах массовой информации» редакция (в данном случае — редактор) может отклонить предложенное для публикации произведение, и никто не вправе обязать редакцию опубликовать это произведение. При этом редакция не обязана отвечать на письма граждан, например, уведомлять об отказе в публикации и объяснять автору причины отказа. Несмотря на это, статьи, не принятые к публикации редактором журнала «Полином», в обязательном порядке рецензируются (редактором или членами редколлегии) с указанием причин отказа, и рецензия направляется автору.

Поскольку журнал распространяется бесплатно, то авторские гонорары не выплачиваются (публикация в журнале для авторов бесплатна).

Как ссылаться

На электронные ресурсы, как и на бумажные, необходимо ссылаться при цитировании. ГОСТ 7.0.5-2008 разъясняет, как организованы ссылки на электронные издания. Ориентируясь на требования, сформулированные в ГОСТе, можно предложить следующий вид ссылки на статью, опубликованную в электронном журнале «Полином»:

Иванов И.И. К вопросу о преподавании математики [Электронный ресурс] // Полином. 2009. № 1. С. 2-8. URL: http://www.mathedu.ru/polinom/polinom2009-1.pdf (дата обращения: 12.01.2008).

Первоначально планируемый состав редколлегии

И.Н. Власова (Пермь)

С.С. Демидов (Москва)

Ю.М. Колягин (Москва)

Т.С. Полякова (Ростов-на-Дону)

О.А. Саввина (Елец)

А.И. Сгибнев (Москва)

О.В. Тарасова (Орел)

П.В. Чулков (Москва)

А.И. Щетников (Новосибирск)

Заключительные соображения

Создание и развитие журнала (даже электронного) — дело сложное, причем не столько из-за технических и материальных трудностей, сколько из-за человеческого фактора: журнал должен быть интересным, но не всегда просто оценить, что интересно, а что нет. Кому-то интересно одно, кому-то другое. Кроме того, профессиональное сообщество состоит из людей, каждый из которых имеет свой взгляд на ту или иную проблему, каждый имеет свое отношение к коллегам и их идеям. Поэтому вполне понятно, что журнал всех и во всем устроить не сможет. Но зато он может (и должен) предоставить возможность высказываться и спорить. В связи с этим пожелание к читателям — откликаться на публикации, поскольку конструктивная критика — единственный способ приблизиться к истине.

В.А. Тестов

г. Вологда

С.Г. Губа — ученый-методист

Сергей Григорьевич Губа родился в рабочей семье 8 октября 1922 г. в Украине, в Черниговской области, там же окончил среднюю школу. В 1939 г. поступил в Киевский государственный университет на механико-математический факультет, где проучился два курса вплоть до начала Великой Отечественной войны. В 1941 г. попал в окружение и до конца войны находился в немецком лагере для военнопленных. В 1946 г. вслед за родителями переехал в Вологодскую область и поступил на 3-й курс физико-математического факультета Вологодского пединститута. После окончания института в 1948 г. был направлен на работу в среднюю школу г. Сокола Вологодской обл., где и работал учителем математики, а затем и завучем в течение 14 лет. В 1962 г. перешел на работу в Вологодский УКП Ленинградской лесотехнической академии в качестве ассистента кафедры высшей математики. С 1966 г. стал работать старшим преподавателем в Вологодском филиале Северо-западного политехнического института. Работая в высшей школе, С.Г.Губа никогда не прерывал связей со средней школой, проводил факультативы для школьников и руководил школьными математическими кружками.

Имея хорошую математическую подготовку и большой педагогический опыт, С.Г.Губа успешно занимался научно-методической работой, участвовал в конкурсе по решению задач, проводимом журналом «Математика в школе», помещал собственные задачи на страницах этого журнала. Особый интерес он проявил к задачам на доказательство и их роли в обучении математике. Им был составлен сборник задач на доказательство, опубликован по этой тематике целый ряд статей в журнале «Математика в школе». Его научными консультантами стали ярославские ученые проф. З.А.Скопец и доц. В.А.Жаров. Кандидатская диссертация С.Г.Губы «Варьирование задач на доказательство как средство активизации математической деятельности учащихся и развития у них интереса к предмету», успешно защищенная им в 1973 г. в Ярославле, до сих пор привлекает внимание исследователей.

В 1974 г. С.Г.Губа перешел работать в Вологодский государственный педагогический институт на должность доцента кафедры математики. Он разработал и неоднократно читал курсы теории вероятностей и методики обучения математике, добиваясь прочного и глубокого усвоения студентами учебного материала. Это были курсы, ориентированные на будущую профессиональную деятельность учителя математики, что лежит в русле современных требований к высшему образованию.

Большим авторитетом С.Г.Губа пользовался и среди учителей математики, для которых прочитал большое количество лекций на курсах повышения квалификации. Эта его деятельность проходила в трудный для школы период перехода на новые программы и учебники по математике. С.Г.Губа потратил много сил и времени для разъяснения учителям новых идей в математическом образовании.

С 1980 г. С.Г.Губа возглавил кафедру математического анализа и методики обучения математике. На этой должности он отдавал все свои силы совершенствованию подготовки учителей математики. Скончался С.Г.Губа 15 сентября 1988 г. Двое детей С.Г.Губы закончили МГУ им. М.В. Ломоносова, сын — В.С.Губа — стал известным российским алгебраистом, доктором физ.-мат. наук.

Список некоторых публикаций С.Г.Губы в журнале «Математика в школе»

О первых доказательствах [задачи на док-во для I-V кл.]. — 1971. № 5. С. 39-41.

Развитие у учащихся интереса к поиску и исследованию математических закономерностей [с помощью варьирования одной задачи]. -1972. №3. С. 19-22.

Решение геометрических задач на доказательство с помощью прямоугольной системы координат. — 1970. № 5. С. 48-51. Использование р-ичной системы счисления для решения некоторых комбинаторных задач. — 1966. № 5. С. 68.

Стандартные задачи с нестандартным решением [о пользе решения стандартных задач нестандартными методами при повторении]. -1987. №2. С. 18-20.

(совместно с Ю.В. Ломакиным) О некоторых формах приобщения учащихся старших классов к педагогической профессии. — 1980. № 5. С. 62-66.

В помощь решающим задачи [решение уравнений в натуральных числах].-1981. №5. С. 57.

Рецензия на книгу «Бартенев Ф.А. Нестандартные задачи по алгебре: Пособие для учителей» (М.: Просвещение, 1976). — 1978. № 1.С. 90-91.

Рецензия на книгу «Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах» (М.: Просвещение, 1984).- 1986. №6. С. 71-72.

Рецензия на книгу «Игнатьев Е.И В царстве смекалки» (М.: Просвещение, 1978). — 1979. № 2. С. 72-73.

Рецензия на книгу «Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой».М.: Просвещение, 1981). — 1982. № 6. С. 70-71.

Рецензия на книгу «Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел» (М.: Просвещение, 1986). — 1987. № 5. С. 78.

Рецензия на книгу «Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи» (М.: Наука, 1985). — 1986. № 6. С. 71-72.

Рецензия на книгу «Труднее В.П. Считай, смекай, отгадывай» (М.: Просвещение, 1980). — 1982. № 1. С. 69-70.

О некоторых причинах перегрузки учащихся при обучении математике. — 1985. № 6. С. 32-36.

Простые и составные числа [4 утверждения + 15 задач]. — 1983. № 2. С. 60.

Произведение двух последовательных натуральных чисел [5 утверждений + 14 задач]. — 1983. № 4. С. 51-52. Разностный метод суммирования. — 1982. № 2. С. 76.

В помощь решающим задачи [свойства натуральных чисел, являющихся полными квадратами]. — 1980. № 6. С. 57.

В помощь решающим задачи [решение уравнений в натуральных числах].-1981. №5. С. 57.

Е.А. Горин

МПГУ, г. Москва

П.В. Семенов

МПГУ, г. Москва

А.С. Симонов

ТГПУ, г. Тула

Леонид Моисеевич Лихтарников

Школы бывают разными. Есть общеобразовательная, основная, начальная, профильная и т.д. школы. Но есть и школы для уже вполне сложившихся математиков: профессоров, доцентов, аспирантов и т.п. Чаще всего, это Зимние или Летние математические школы, «индексируемые», как правило, традиционным местом их проведения. Между этими типами школ, разумеется, есть масса различий. Однако есть и весьма существенное общее обстоятельство. А именно, в школах учатся и общаются. Каждый, кто хотя бы раз имел отношение к конкретной школе, достаточно ясно может оценить объем и сложность организационных, методических, финансовых, научных и многих других вопросов, без разрешения которых невозможна адекватная работа школы.

От директора учебной (государственной или негосударственной) школы, в конечном счете, зависит очень многое. От организаторов школы для ученых успешность работы школы, определенно, находится в еще большей зависимости. Тут требуется и активность, и смелость, и точное знание и понимание цели, и умение преодолевать многочисленные бюрократические препоны, и неподдельный интерес и внимательность к людям, и многое-многое другое. Короче, здесь нужны подвижники. Таких людей немного. Наш рассказ сегодня посвящен одному из них.

29 декабря 2007 г. в городе Рочестер (штат Миннесота, США) скончался Л.М.Лихтарников, известный математик, выдающийся организатор математического образования в нашей стране, замечательный педагог и воспитатель научных и педагогических кадров.

Леонид Моисеевич родился в селе Суво Бурятской АССР 18 июня 1924 г. В 1941 г. он поступил на физико-математический факультет Иркутского университета, но уже в феврале 1942 г. прервал обучение и до марта 1944 г. участвовал в боях Великой Отечественной войны. Был ранен, награжден орденом Красной Звезды и медалями.

После демобилизации из армии он продолжил обучение в Иркутском университете, который и окончил в 1950 г. В следующем году Леонид Моисеевич поступил в аспирантуру к профессору В.В.Васильеву. В 1954 г. Л.М. Лихтарников защитил кандидатскую диссертацию на тему «Линейные интегральные уравнения с двумя параметрами». К этой области относится основная часть его научных интересов, но только ими она не исчерпывается. Его интересовали проблемы сходимости приближенных методов решения операторных уравнений, качественный анализ решений, аналог принципа максимума для операторных уравнений и многое другое.

Начиная с 1959 по 1971 г., Л.М.Лихтарников был доцентом Хабаровского педагогического института, долгое время заведовал созданной им кафедрой математического анализа и состоял в должности проректора по научной работе. Люди старшего поколения прекрасно понимают, какими деловыми качествами надо было обладать, чтобы успешно совмещать все эти виды деятельности.

Именно в этот период особенно ярко проявился его талант организатора. Тогда (как и сейчас) очень остро стоял вопрос о подготовке математических кадров высокой квалификации для работы в вузах Дальнего Востока, и Л.М.Лихтарникову удалось в удивительно короткий срок коренным образом изменить ситуацию.

Конечно, Леонид Моисеевич действовал не в одиночку. Существенную помощь ему оказал Селим Григорьевич Крейн, в то время профессор Воронежского университета. С.Г.Крейн был не только одним из выдающихся советских математиков, но и выдающимся организатором. По его инициативе с 1967 г. в Воронеже начали проходить знаменитые Воронежские зимние математические школы (ЗМШ). Цель этих школ (которые продолжают проходить по сей день) состояла в том, чтобы ликвидировать пробелы в тех на-

правлениях новой математики, в которых у нас образовалось заметное, иногда очень существенное, отставание от лучших образцов. Неслучайно эти школы начали работать вскоре после Московского конгресса математиков. В работе этих школ принимали участие не только маститые ученые, такие как Ю.М.Березанский, В.А.Ефремович, М.А.Красносельский (который до отъезда из Воронежа в Москву считался наряду с С.Г.Крейном одним из лидеров), Б.Я.Левин, А.Я.Повзнер, С.В.Фомин, Б.В.Шабат и многие другие, но и подрастающее поколение. В числе первых лекторов были В.И.Арнольд, А.А.Кириллов, С.П.Новиков. Однако, главным было привлечение в качестве слушателей и активных участников семинаров научной молодежи, включая студентов, со всех концов страны (теперь надо было бы сказать СНГ, Армении, Грузии, Прибалтики и т.д.).

Недавно вышла книга воспоминаний С.Г.Крейна и о нём*. Среди помещенных там текстов имеется и статья Л.М.Лихтарникова. Он пишет, что в 1963 г. оказался участником советско-американского симпозиума по уравнениям в частных производных, который проходил в новосибирском Академгородке, и что там он познакомился с С.Г.Крейном, которому и предложил почитать лекции в Хабаровском пединституте. Конечно, Леонид Моисеевич вначале был смущен, но Селим Григорьевич умел сделать так, чтобы его не боялись, но слушались (О Воронежской ЗМШ он как-то сказал: «В школе нет выборов, нет премий, нет демократии, поэтому работа проходит в спокойной творческой обстановке»).

С.Г.Крейн впервые приехал в Хабаровск в 1964 г. с лекциями по функциональному анализу. Содрудничество С.Г.Крейна и Л.М.Лихтарникова плодотворно развивалось не одно десятилетие, даже тогда, когда Леонида Моисеевича судьба перебросила из Хабаровска в Новгород Великий.

С.Г.Крейн посещал Дальний Восток еще несколько раз, и формы сотрудничества постоянно расширялись. Сначала это были научные консультации, затем приглашение в аспирантуру наиболее обещающих молодых преподавателей, причем не только из Хабаровска. Совместная деятельность С.Г.Крейна и Л.М.Лихтарникова, позволила организовать в 1966 г. межвузовскую физико-математи-

* С текстом можно ознакомиться на сайте http://mathedu.ru/memory/memory.html

ческую конференцию Дальнего Востока, которая проходила в Хабаровске. В ней не только были широко представлены вузы Дальнего Востока, но и многие научные центры «всея Руси великой».

Осенью 1968 г. в Хабаровске проходил советско-японский симпозиум по теории вероятностей и математической статистике. В работе симпозиума приняло участие около 100 известных ученых из обеих стран. Л.М.Лихтарников провел большую работу по подготовке и проведению этого симпозиума.

Разумеется, наиболее активная часть дальневосточной научной молодежи стала участвовать и в работе Воронежских ЗМШ. Используя модель этих школ, Л.М.Лихтарников организовал проведение Дальневосточных математических школ, которыми руководил в 1967-1971 гг. Поездки на Дальний Восток, с различными ознакомительными мероприятиями была очень интересной. Тем более, что, кроме чтения лекций в Школе, каждому гостю можно (и нужно) было (по выбору) почитать двухнедельный курс на Камчатке, Сахалине, в Магадане, и т.д.,. Это позволило Леониду Моисеевичу пригласить для чтения лекций и дальнейших деловых контактов многих известных математиков. Среди лекторов были В.И.Арнольд, М.Ш.Бирман, Ю.А.Брудный, Ю.Л.Далецкий, М.И.Кадец, Ю.И.Любич, Е.М.Семенов, С.В.Фомин, Б.В.Шабат и другие.

В результате деятельности Л.М.Лихтарникова и С.Г.Крейна для дальневосточных вузов через систему целевой аспирантуры была подготовлена большая группа специалистов по функциональному анализу, топологии, дифференциальным уравнениям и другим направлениям математики. В результате в общей сложности за десять лет только один Хабаровский пединститут направил в аспирантуру почти 150 человек, большинство из которых успешно защитили кандидатские диссертации, а четверо стали докторами физико-математических или педагогических наук (по методике преподавания математики) и профессорами.

Появление в Хабаровском пединституте активной (и «остепененной») научной молодежи приводила к смене приоритетов, и это, разумеется, нравилось далеко не всем, тем более, что молодежь не склонна к компромиссам. Леонид Моисеевич в упомянутой статье с горечью описывает, как его (а за одно и нескольких молодых доцентов) по существу вынудили покинуть Хабаровский пединститут. Стоит заметить, что бюрократия «на местах» традиционно для

России оказалась сильнее своих далеких московских коллег, которые посочувствовали, но посоветовали не ввязываться в драку.

Интересно, что «вирус просвещения» оказался сильнее бюрократов, и Дальневосточные математические школы, инициированные усилиями С.Г.Крейна и Л.М.Лихтарникова, продолжили существование.

С 1971 по 1998 г. Л.М.Лихтарников работал в Новгородском пединституте, сначала доцентом кафедры, а затем — заведующим кафедрой математического анализа. В это время он увлекся математической логикой и несколько лет читал студентам одноименный курс. Результатом этой работы стал набор занимательных логических задач в журнале «Квант», цикл популярных изданий по числовым ребусам (предназначенных как для учеников младших классов, так и для старшеклассников и учителей), сборник задач типа «задачи о мудрецах».

Таким образом, обстоятельства не сломили Леонида Моисеевича, он по-прежнему оставался активным просветителем и замечательным педагогом. Его глубокие и строгие лекционные курсы как и раньше неизменно привлекали к нему талантливую молодежь, которая не только приобретала настоящую математическую культуру, но и приобщалась к тем высоким жизненным идеалам, которые исповедовал Учитель.

Не оставил Леонид Моисеевич и идею привлечения к научным исследованиям молодых (и не очень молодых) преподавателей. Он всегда понимал, что к успеху в приобщении к научной работе приводит не «дистанционное» обучение, а в основном устная традиция, т.е. прямой контакт (кстати, так же обстоит дело, например, в театральном искусстве). Поэтому он проявлял удивительную настойчивость и использовал весь свой опыт и обширные научные связи для проведения серьезных научных конференций теперь уже в западной части нашей страны.

Леонид Моисеевич всегда принимал самое активное участие в работе со школьниками. Еще в Хабаровске по его инициативе было создано несколько школ с углубленным изучением математики. Как председатель областного педагогического общества, Л.М.Лихтарников много сделал для улучшения деятельности этого общества, для обобщения и распространения передового опыта в преподавании математики в школе.

В 1998 г. Л.М. Лихтарников и его жена Нонна Андреевна переехали к дочери в Рочестер (об этом городе с населением около 100 000 человек он говорил: «Best Small City in America»). Леонид Моисеевич писал воспоминания и скучал по сыну Андрею, хорошему математику, который остался в Санкт-Петербурге. Последние годы жизни Л.М.Лихтарникова были омрачены тяжелым недугом.

Мягкий и добрый человек, он никогда не прощал интеллектуальной нечистоплотности.

Трудолюбие, разносторонность интересов, сердечность и отзывчивость навсегда останутся в памяти тех, кому посчастливилось общаться с этим замечательным смелым человеком, который, несомненно, состоялся в весьма непростое время, отведенное ему судьбой, и сделал так много для отечественного математического просвещения и науки.

Список некоторых публикаций.

Л. М. Лихтарников и А. И. Поволоцкий.

[1] Дифференциальное исчисление функций одной переменной и неопределенный интеграл/ Ленингр. гос. пед. ин-т им. А. И. Герцена, ЛГПИ 1983 г

[2] Определенный интеграл. Ряды. Ленингр. гос. пед. ин-т им. А. И. Герцена, ЛГПИ 1984 г

[3] Метрические пространства. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Ленингр. гос. пед. ин-т им. А. И. Герцена, ЛГПИ 1985 г

[4] Интегральное исчисление функций нескольких переменных и дифференциальные уравнения/ Ленингр. гос. пед. ин-т им. А. И. Герцена, ЛГПИ 1986 г

[5] Элементы теории функций действительной переменной. Ленингр. гос. пед. ин-т им. А. И. Герцена, ЛГПИ 1987 г.

[6] Теория аналитических функций. Ленингр. гос. пед. ин-т им. А. И. Герцена, ЛГПИ 1988 г

[7] Введение в математический анализ, Ленингр. гос. пед. ин-т им. А. И. Герцена 79 с. ЛГПИ 1989 г

[8]Основы математического анализа (Кн. для учителей математики

ст. кл. сред, шк.), СПб. Лань 1997 г.

Л. М. Лихтарников.

[9] Логические задачи : (Кн. для учащихся 3-7-х кл.) Новгород Б. и. 1995

[10] Числовые ребусы и способы их решения: Для учащихся нач. шк. СПб. Лань МИК 1996

[11] Элементарное введение в функциональные уравнения : Кн. для начинающих изучать функциональные уравнения и для преподавателей. СПб. Лань 1997

[12] Первое знакомство с математической логикой: Кн. для начинающих изучать мат. логику и преподавателей. СПб. Лань 1997

Л. М. Лихтарников, Т. Г. Сукачева.

[13], Математическая логика. Курс лекций; Задачник-практикум и решения : [Учеб. пособие для вузов по мат. специальностям] СПб. Лань 1999 и переиздания до 2008.

[14] см. также

http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&perso

Э.Э. Шноль

г. Москва

Мой учитель — И.М.Гельфанд

Я ученик И.М.Гельфанда.

Первая встреча с ним состоялась, когда он читал на нашем курсе линейную алгебру. Он был нашим любимым лектором. Его книжка по линейной алгебре — это обработанные лекции, которые нам читались.

Потом я начал ходить на его семинар — с 4-го курса, это 1946-й год. Гельфанду было чуть больше 30 (он 1913 года рождения). Семинары Гельфанда продолжались несколько десятилетий, лет 40. Начинались они всегда в одно и то же время — по понедельникам в 19 часов. А оканчивались — в разное время. Участники семинара относились к нему очень серьезно. На моей памяти был случай, когда понедельник был 31 декабря. Кто-то предложил это заседание отменить. Но остальные возмутились: «Как это — отменить семинар?», и полноценное (не укороченное) заседание состоялось

Мы с моим однокурсником Молчановым начали ходить на семинар Гельфанда, и вначале я ничего не понимал. На этом семинаре была такая традиция — разделение присутствующих на две категории: гости и члены семинара. Член семинара имел право задавать вопросы, и пока ему не ответили, доклад не продолжался. Шло обсуждение, пока задавший вопрос не говорил: «Да, мне понятно». А гости таким правом не обладали. Где-то после полугода моего регулярного присутствия меня торжественно принимали в члены семинара.

Ещё был такой обычай, что время от времени Гельфанд сам брал слово и что-нибудь рассказывал — популярно, для гостей (это могли быть студенты или кто-то еще). Или, если докладчик что-нибудь объяснял заумно, он говорил: «Ну, подождите, сейчас я это расскажу» — и пересказывал этот вопрос. Довольно много вещей я узнал из этих его рассказов на семинаре. И ещё были прогулки после семинаров. Семинар кончался обыкновенно в районе десяти часов вечера. Гельфанд жил тогда на Шаболовке. Бывали случаи, когда мы с ним от старого здания МГУ ходили на Шаболовку пешком и в это время что-то обсуждали. Заряд от этого семинара у меня остался на всю жизнь.

Когда я кончил университет, я был рекомендован в аспирантуру к Гельфанду и должен быть сдавать вступительные экзамены по математике. Экзамен проходил так: была комиссия из нескольких человек и намечаемый руководитель (Израиль Моисеевич присутствовал). В комиссию входил Игорь Ростиславович Шафаревич, который тоже был в то время молод. И он мне задал вопрос: «Что такое риманова поверхность?» Я очень бодро начал, что риманова поверхность — это многообразие, которое локально гомеоморфно плоскости. И на этом кончил. Тогда они вдвоём, Шафаревич и Гельфанд, стали от меня требовать уточнений: «Ну что же, всякая поверхность?» — «Нет». — «А для чего эти римановы поверхности нужны?» Я что-то стал говорить об аналитических функциях. -«Так значит, надо, чтобы было можно задавать аналитическую функцию!» Короче, они заставили меня с подсказками сформулировать строгое определение римановой поверхности как одномерного комплексного аналитического многообразия. Сочли, что я вполне гожусь в аспирантуру и с этим отпустили; разъяснили, что такое риманова поверхность и отпустили. Экзамен по философии у меня тоже был сдан, я получил две пятёрки. Но в аспирантуру меня не взяли.

Очень долго длилась эта эпопея с моей аспирантурой. Дело в том, что Гельфанд начал работать в «Стекловке»1, в организуемом Отделении прикладной математики и решил, что меня и Молчанова надо туда взять как его будущих аспирантов. Институт закрытый, вывески на нём не было. Стали оформляться бумаги, полагающиеся для закрытого заведения. И я там написал, что у меня отец был посажен и умер в 1940-м году. И тогда началось: «Как так?! А почему вы этого не сообщили раньше?» И меня не взяли под этим предлогом. Меня даже в министерство вызывали и укоряли: «Что же это вы, молодой человек, скрывали?» — «Я ничего не скрывал. Когда меня спросили, я сообщил. А при поступлении в университет, когда отца уже три года нет на свете, мне и в голову не пришло, что я должен о нём написать». Длилось это очень долго, с полгода. Включились разные люди и хлопотали, чтобы меня всё-таки взяли. И пока мне делать было нечего, я сидел в кабинете математики в старом здании и занимался. Гельфанд мне велел, учитывая ход вступительного экзамена, прочитать книгу Германа

1 Математический Институт Академии наук им. В.А.Стеклова

Вейля на немецком языке, которая называется «Die Idee Der Riemannschen Fläche» («Идея римановой поверхности»). Что я и сделал. У меня, по-моему, до сих пор есть тетрадка, где я конспектировал Германа Вейля. С тех пор знаю, что такое риманова поверхность.

Затем я отсутствовал — я был в армии с 1949-го по 1953-й. Будучи в отпуске (дважды я приезжал в отпуск), я появлялся на семинаре Гельфанда.

Когда я служил в армии последнюю пару лет, я мог заниматься — у меня был более свободный режим, можно было размышлять, что-то писать и так далее. И вот я, будучи в командировке (это отдельный рассказ, что это за командировка), придумал некую теорему. И написал об этом Молчанову, с которым у меня была непрерывная переписка. Он это пересказал Гельфанду, реакция была мгновенной: «А! — говорит, — теперь у Шноля есть диссертация». Вот характерно для математика вообще, что диссертация не состоит в написании толстого труда, а состоит в получении результатов. Если есть один достойный, яркий результат, дальше к нему можно что-то добавить — и всё готово. Мне Молчанов пересказал (в письме) этот разговор. Такой отзыв Гельфанда был очень поучителен, и он меня, конечно, ободрил. Потом, по возвращении, я действительно защищал эту диссертацию. Это была довольно длинная эпопея, с Петровским я общался по этому поводу (см.: Э.Э.Шноль «Об И.Г.Петровском» // Математическое просвещение, третья серия, выпуск 6, 2002). Стараниями моих друзей, когда мне исполнилось 70 (а это произошло 9 лет тому назад), была написана юбилейная статья в «Успехи математических наук». Попросили Гельфанда её подписать. Гельфанд не просто подписал, а еще добавил: написал пару фраз про эту теорему — он её, оказывается, запомнил.

После того как я поработал в школе, Константин Иванович Бабенко, с подачи Молчанова, сделал попытку взять меня на работу в Институт прикладной математики (он тогда ещё назывался Отделение прикладной математики института имени Стеклова). И неожиданно, при всех сложностях анкеты, это получилось. Это, конечно, не получилось бы 2-3 года назад, а в 1956-м году это получилось. И с этого года я начал работать в этом Отделении прикладной математики, где Гельфанд заведовал отделом. Когда я попал в

ИПМ, Гельфанд однажды встретил меня в коридоре и сказал: «Я не пытался Вас взять, полагая, что это безнадёжно. А вот Константин Иванович не побоялся — и вот видите как...» С неким таким сожалением, что он сам не попытался, а то бы он взял меня к себе в отдел.

И вот однажды опять он меня встречает в коридоре Института прикладной математики, (это был 1963-й или 1964-й год) и спрашивает, не хочу ли я поработать в заочной школе. Я ему сказал, что нет, не хочу. «Ну, хорошо, говорит, а вот пособие для заочной школы написать очень нужно». — «Это я готов попробовать.» И тогда я познакомился (а может, был знаком немножко раньше) с Еленой Георгиевной Глаголевой. Когда Гельфанд устраивал эту заочную школу, надо было бегать по всевозможным начальникам самого разного ранга, в самые разные учреждения — в министерства, ещё куда-то. Вот она всё это делала. Идея была его, но всю организационную работу провела Е.Г.Глаголева.

Мы с ней взялись за написание брошюры; дали нам какой-то очень маленький срок, порядка полутора месяцев. Мы тогда жили в самом центре — нынешняя Мясницкая улица, а Елена Георгиевна жила на Маросейке. Я ходил к ней домой пешком, и мы с ней сидели очень плотно каждый день, что-то писали, а потом созванивались и встречались с Гельфандом. Подбор задач, тематика и т.д. — с ним обсуждались, но в детали он особенно не вникал. При этом две главные идеи были от него: во-первых, чтобы картинки были на полях, а во-вторых, предисловие должно быть живым. Он сказал, что наше традиционное предисловие слишком занудно и скучно: «Я напишу сам». Так что предисловие к этой книжке написано Гельфандом. Помню забавный случай: мы с Еленой Георгиевной решили поместить задачу о том, что все параболы подобны. Гельфанд при обсуждении удивился: «Разве все подобны?», но через секунду сообразил.

Параллельно с Еленой Георгиевной Глаголевой и Гельфандом писал брошюру А.А.Кириллов. Она называлась «Метод координат» и содержала раздел о четырехмерном кубе. Кроме основной, была дополнительная серия брошюр, в ней есть книжки Е.Б.Дынкина.

Вот так возникла наша книжечка «Функции и графики». Мы её очень быстро должны были сдать, и её издали — была тогда в изда-

тельстве рубрика «Молния», в которой выпускали без всякой очереди. Было сказано, что это задания, которые надо рассылать по всей стране. Тираж первого издания был какой-то немыслимый по нынешним временам — то ли 100 000, то ли 200 000. Книжка стоила всего 15 или 20 копеек, была быстро распродана, и через год-два вышли второе и третье издания. Дальше она длительное время стереотипно издавалась для этой школы. Затем, уже в поздние времена (2001) её напечатали в Московском центре непрерывного математического образования. Напечатали с ошибками. Попалась эта брошюра на глаза Владимиру Игоревичу Арнольду, и он о ней критически высказался (см. В.И. Арнольд «Что такое математика?» М., МЦМНО, 2004, сс. 3, 71; интересно, что он критикует нашу брошюру наряду с книгой Куранта и Роббинса — так мы попали в один ряд с классиками). И тогда мы с Еленой Георгиевной занялись этой книжкой снова. Был период, когда мы много этой книжкой занимались. Теперь оба жили на Юго-Западе, но опять в пешеходной досягаемости, и я снова к ней ходил. Она написала дополнительный раздел про многочлены, и мы довольно долго его переписывали. В результате появилось шестое издание. Конечно, Гельфанду какие-то материалы были посланы, но я не уверен, что он их внимательно читал — он много пишет и много занимается математикой. Вот такая история этой брошюры.

По непонятным мне причинам — отчасти потому что Гельфанд первый автор, отчасти потому что брошюра получилась не занудная, — она стала популярна. Время от времени со мной случались разные события, связанные с этой брошюрой. Как-то Отделение математики Академии наук решило составить полный список математиков России. У меня были вопросы: кого включать в математики? Я узнал, кто был главным в этом мероприятии, и обратился к нему с вопросом, кого надлежит включать в этот список. Я написал ему, что у нас в институте есть люди, которые, допустим, кончали мехмат, а сейчас занимаются нейронными сетями или кристаллографией. Как быть: включать или нет? Или наоборот, человек кончал, скажем, физтех, а защитил диссертацию по теории бифуркаций (был такой человек). Ответственный человек мне сказал, что включать надо максимально и процитировал Колмогорова, который считал, что чуть ли не 4/5 выпускников мехмата должны заниматься проблемами естествознания. Потом он добавил: «Я Вас знаю ещё со

времени брошюры "Функции и графики"». Он, может, тогда ещё школьником был, ведь много лет прошло. Такие вот совершенно неожиданные бывают отклики.

Опять-таки потому, что это Гельфанд, брошюру переводили на разные языки. На английский она была переведена при участии самого Гельфанда и по его инициативе — он ведь в Штатах тоже организовал заочную школу. (Он для английского издания написал предисловие и пообещал, что ещё напишет «Calculus».) Потом я, будучи в Берлине один раз, купил немецкое издание. Есть перевод на персидский и еще какие-то более редкие языки. Вот такова история брошюры «Функции и графики».

Мои научные контакты с Гельфандом непрерывными никогда не были. Он мне предлагал однажды написать вместе одну работу. Это было, когда они с Г.Е.Шиловым занимались обобщёнными функциями — была сначала статья в «Успехах», а потом различные тома замечательной серии книг про обобщённые функции. И был момент, когда Гельфанд хотел разобраться с теорией обобщённых случайных процессов и предложил мне с ним вместе этим заняться, но я уклонился. Я не умею быть младшим автором, а с Гельфандом это неизбежно. Поэтому у меня с ним никаких непосредственных научных действий никогда не было.

Последняя моя серьёзная встреча с Гельфандом была на моей докторской защите. Мой ученик по школе Лёня Хазин решил, что надо Гельфанда на мою защиту доставить. Он его пригласил, тот сказал: «Ну, вы меня привезёте — тогда я буду». Леня взял такси, привёз Гельфанда. Гельфанд взял слово и высказал мне похвалу в таких интересных терминах: «Я не понимаю, зачем понадобилось Эммануилу Эльевичу защищать две диссертации сразу». А там, действительно, два совершенно разных куска были: один касался обыкновенных дифференциальных уравнений, а второй касался газового шара и уравнений с частными производными. Защита прошла благополучно. (Я взялся за защиту очень поздно — я работал в Институте математических проблем биологии очень плотно; сил, и времени у меня ни на что не оставалось.) Вот это был последний случай, когда я с ним пересёкся, так сказать, на деловой почве. Потом мы с Гельфандом ещё случайно встречались — последние годы в Москве он жил на Юго-Западе.

Сейчас Гельфанд в Америке, уже довольно давно, и он попрежнему работает. Ему 94, и это замечательный пример научного долголетия. По-видимому, из ныне живущих математиков Гельфанд наиболее известен. Характерен он был всегда живой связью с физикой — В.И.Арнольд в этом смысле с ним солидарен. Правда, Гельфанд никогда не говорил, что математика — это часть физики, но некоторые его работы прямо инициированы знакомством с физиками и с их проблемами.

Гельфанд не кончал никакой институт. Но академик Колмогоров тогда имел возможность взять себе в аспирантуру, кого он захочет. Как они познакомились — этой истории я не знаю. Гельфанд был аспирантом Колмогорова, не имея высшего образования. Есть первая его работа, совместная с Колмогоровым, — про кольца непрерывных функций. И дальше Гельфанд в 25 лет защитил докторскую диссертацию на мехмате по теории нормированных колец, которые сейчас называются «Банаховы алгебры». Это был 1938-й год. После этого несколько лет он ничего не писал. А его следующая большая тема — это теория представлений некомпактных групп. У меня есть подаренный им оттиск 1944-го года — самая первая заметка в «Докладах» о теории представлений групп.

Гельфанд — поразительный математик и по широте того, чем он занимался, и по свежести подходов. Можно посмотреть список того, чем он занимался, в какой-нибудь юбилейной статье — несколько сот публикаций на чрезвычайно разные темы. Ну, и книг много. Он всегда пишет с соавторами, у него почти нет работ, написанных в одиночку. Это его стиль: он даёт некий замысел, а дальше надо работать; приходят, приносят вариант, обсуждают, улучшают, пробуют; если уткнулись во что-нибудь, пытаются разобраться. Скорее всего, похоже на то, как мы писали брошюру «Функции и графики».

В.М. Бусев

г. Москва

Методист-математик Д.Л.Волковский (к 140-летию со дня рождения)

Предисловие

Дмитрий Лукич Волковский (1869-1934) — известный в свое время методист начальной арифметики. Основное время его творчества приходится на первые два десятилетия XX века — время поисков и находок в отечественной и зарубежной педагогике. Как человек талантливый, трудолюбивый и преданный своей профессии, Д.Л.Волковский быстро включился в это движение. Результатом его деятельности стали собственные статьи и книги по методике обучения арифметике в начальной школе, а также перевод книг известных зарубежных педагогов Э. Бореля, В.А.Лая и др., с которыми он вел переписку.

Многолетняя кропотливая педагогическая и литературная деятельность принесла свои плоды: Д.Л.Волковский стал не просто рядовым методистом, а создал свое направление в методике начальной арифметики, своеобразное ответвление неогрубеизма «примиряющего» характера (об этом см. далее).

Несмотря на все эти заслуги, имя Д.Л.Волковского сегодня совершенно забыто. Трудно назвать хотя бы одну работу по истории математического образования, написанную за последние десятилетия, в которой освещался бы его вклад в теорию и практику обучения арифметике в начальной школе. До недавнего времени мы не располагали хоть какими-то сведениями биографического характера об этом незаурядном человеке. Нам посчастливилось обнаружить в Научном архиве Российской академии образования автобиографию Д.Л.Волковского (Ф. 28. Оп. 1. Д. 3). Публикуя данный документ, мы надеемся, что это послужит стимулом к началу серьезных исследований в области истории методики начальной арифметики, в которой фигура Дмитрия Лукича Волковского занимает видное место.

Автобиография Дмитрия Лукича Волковского

Я родился 11 февраля 1869 г. в деревне Юрасовке Сердобского уезда Саратовской губернии. Отец мой был учителем сперва в селе, потом в г. Петровске Саратовской губернии и, наконец, в Саратове. Первые три года своей жизни я провел в селе, следующие 5 лет в г. Петровске Саратовской губернии, а затем в Саратове.

Первоначальной грамоте учил меня отец по «Родному Слову» Ушинского. Эта книжка, благодаря умелому и талантливому руководству отца, произвела на меня сильнейшее впечатление.

Вследствие бедности семьи (кроме отца и матери в семье было нас три брата) мне с 16 лет приходилось помогать отцу репетировать учеников, а в старшем классе средней школы, после смерти отца, иметь самостоятельные уроки.

Преданность отца педагогическому делу, внушенная и мне, служила решающим моментом в выборе моей профессии: будучи 18 лет, я окончательно и бесповоротно решил посвятить себя педагогической деятельности, но только по окончании высшей школы, но вследствие бедности я не имел возможности тотчас же по окончании средней школы поступить в высшую и вынужден был несколько лет прослужить учителем в низшей школе в г. Петровске Саратовской губернии, чтобы заработать себе денег для продолжения образования.

Это учительство, сложившееся для меня счастливым образом, вместе с сильным влиянием на меня в детстве и юности отца, окончательно определили мою симпатию к низшей, народной школе, каковую к этой школе я питаю и доселе.

Будучи студентом, я имел уроки, чтобы заработать себе денег для окончания высшего образования. По окончании курса в высшей школе в 1896 г. я до сентября 1906 г. был преподавателем математики и методики арифметики в частных учебных заведениях г. Саратова.

С 1898 г. по 1901-й год я был слушателем летних педагогических курсов, устраиваемых Саратовским Губернским Земством для учащих народных школ. Здесь я слушал видных педагогов по всем предметам, читаемым на курсах. Но центром моего внимания была методика арифметики, которую вели известные методисты -А.И.Гольденберг, С.И. Шохор-Троцкий, К.П.Аржеников и Г.М.Вишневский, с которыми я вне курсов вел частые беседы, а с некоторы-

ми из них — А.И.Гольденбергом и С.И.Шохор-Троцким — переписывался. Из всех методистов по арифметике самое сильное впечатление произвел на меня А.И.Гольденберг. Он окончательно определил мою склонность заняться методикой арифметики. И уже в 1900 г., по его рекомендации, я был лектором по методике арифметики на летних педагогических курсах для учащих начальных школ в г. Камышине Саратовской губернии.

В 1903 г. я выступал в качестве лектора по методике арифметики на летних педагогических курсах в Саратове.

Мое увлечение методикой арифметики заставило меня серьезно и основательно изучить историю методики и самую методику арифметики в России......(с самого начала). Но так как в Саратове было весьма мало материала для этого, то я в течение нескольких лет по летним, рождественским и пасхальным каникулам ездил в Москву и Петроград, чтобы раздобыть себе источники и пособия по своей специальности. В результате этих поездок у меня образовалась ценная библиотека, в которой есть раритеты (редкие книги).

В Саратове же я занимался литературной деятельностью в качестве сотрудника почти всех местных газет и журнала «Саратовская Земская Неделя».

В газетах я поместил несколько фельетонов литературно-критического, публицистического, исторического и педагогического характера, а также немало библиографических обзоров и массу злободневных заметок, из которых некоторые сыграли большую роль в судьбе тех учреждений, где я служил, а также имели влияние на педагогические курсы и на съезды духовенства.

Из газетных статей я должен отметить большой фельетон «Литературные поминки», написанный мною по случаю 25-летия со дня смерти Ф.М.Достоевского.

Моя литературно-публицистическая работа в газетах послужила поводом к тому, что меня пригласили преподавателем русского языка в Саратовское музыкальное училище, преобразованное потом в консерваторию. Здесь я должен отметить свое публичное выступление 26 мая 1899 г. по случаю юбилейного чествования А.С.Пушкина в музыкальном училище с речью: «Отношение поэзии Пушкина к музыке», которая была предназначена к печати в петроградском журнале «Театр и Искусство», но, к большому сожалению, затеряна редакцией.

Работая в саратовской прессе, я в то же время сотрудничал в столичных журналах — «Педагогический сборник» (Петроград), «Русская школа» (Петроград), «Педагогический листок» (Москва) и в московской газете «Русские ведомости».

Из многих статей, здесь помещенных, стоит отметить:

1) «К вопросу о признаке делимости на 8» («Педагогический сборник», 1901 г., № 3);

2) «По поводу новой программы арифметики в начальной школе» («Русская школа», 1902 г., №№ 10, 11 и 12);

3) «Реформа в курсе арифметики средней школы» («Русская школа», 1903 г., №№ 5 и 6);

4) «Беседы по счислению А.И. Гольденберга» («Педагогический листок», 1903 г., кн. 1, 2, 4, 6, 7, 8; 1904 г. — во всех книжках);

5) «Памяти К.Д. Ушинского» («Педагогический листок», 1905 г., кн. 8);

6) «Арифметические сборники задач А.И. Гольденберга. К вопросу о реформе курса арифметики в средних учебных заведениях» («Русские ведомости», 1903 г., №№ 195 и 197);

7) «Памяти академика-математика В.Я. Буняковского» («Русские ведомости», 1904 г., № 336).

Кроме того, в «Русских Ведомостях» помещено несколько моих корреспонденции из Саратова по общественным вопросам.

По предложению Е.П. Гольденберг, вдовы педагога-математика, и Саратовского губернского земства, я принял на себя обязанность продолжать печатание «Бесед по счислению» А.И. Гольденберга. И в 1906 г. под моей редакцией вышла в издании Саратовского губернского земства книга: «А.И. Гольденберг. Беседы по счислению».

В 1906 г. вышла из печати в Москве в издании Думнова моя книжка — «Собрание арифметических упражнений для гимназий и реальных училищ. Курс 3-го класса. Дополнительный курс к «собранию арифметических упражнений для гимназий и реальных училищ А.И.Гольденберга», эта книжка составлена мною только потому, чтобы дать ход замечательным в свое время книгам А.И.Гольденберга «Собрание арифметических упражнений для гимназий и реальных училищ»: без дополнительного выпуска, удовлетворяющего официальным требованиям программ Министерства Народного Просвещения, Учебный комитет при Мин.

Нар. Просв. не допускал в средние школы упомянутые задачники А.И.Гольденберга. Если бы не это обстоятельство, я бы не стал выпускать в свет своего «Арифметического задачника для гимназий и реальных училищ».

В 1906 г. в журнале «Вестник опытной физики и элементарной математики» (№ 409) напечатана моя статья «Судьба русской математической журналистики».

Такова моя педагогическая и литературная деятельность за время моего пребывания в Саратове с 1896 по 1906-й год.

II

В 1906 г. я был приглашен известным московским педагогом Д.И.Тихомировым быть его помощником и секретарем по редакции издаваемых им журналов «Юная Россия» и «Педагогический листок» и целой серии разных книг. Эту обязанность я нес на себе с 21 сентября 1906 г. по февраль 1908 г.

В «Педагогическом листке» я вел отдел — «Среди книг и журналов», а также написал ряд статей, из которых стоит упомянуть: «Памяти Н.И.Пирогова, знаменитого врача и педагога» (1906 г., кн. 8), «Жизнь И. Христа Ренана» (1907 г.) и в каждой книжке поместил ряд библиографических и критических заметок.

Во время своего пребывания в Москве до октябрьской революции 1917 г. я состоял сотрудником журналов: «Вестник воспитания» (Москва), «Для народного учителя» (Москва), «Педагогическое обозрение» (Москва), «Вопросы и нужды учительства» (Москва), «Психология и дети» (Москва), «Вестник опытной физики и элементарной математики» (Одесса), «Математическое образование» (Москва), «Математический вестник» (Москва) и др. и сотрудником московских газет «Русские ведомости» и «Утро России».

Из журнальных статей за этот период стоит отметить:

1) в «Вестнике воспитания»: а) «Один из приемов обучения арифметике в американских школах» (1909 г., № 5); б) «Арифметика Л.Н. Толстого» (1913 г., № 3); в) «Значение картинок при первоначальном обучении арифметике» (1913 г., № 7);

2) в журнале «Для народного учителя»: а) «Как обучают дробям в начальных школах немецкой Швейцарии» (1912 г., №№ 14, 15, 16); б) «Очерки по методике арифметики» (1915 г., №№ 9 и 10); в)

«значение экспериментальной дидактики для обучения счислению и математике» (1915 г., №№ 11-15);

3) в «Педагогическом обозрении»: а) «Как обучают десятичным дробям в начальных школах немецкой Швейцарии» (1913 ., №№ 3-5); б) «Математика в начальных школах на 2-м Всероссийском съезде преподавателей математики» (1914 г., № 1);

4) в «Вопросах и нуждах учительства»: «Методические очерки по начальной арифметике» (выпуски IX-й и Х-й);

5) в «Вестнике опытной физики и элементарной математики»: «К истории Московского математического кружка» (1908 г., № 3);

6) в «Математическом образовании»: «Памяти А.И.Гольденберга» (1912 г., № 6);

7) в «Математическом вестнике»: а) «Значение числовых фигур при первоначальном обучении арифметике» (1914 г., № 1); б) «Особенности области чисел от 1 до 20» (1914 г., № 4).

Кроме того, во всех этих журналах, а также в газетах «Русские ведомости» и «Утро России» я поместил ряд библиографических заметок по математике, а в «Утро России» — и по другим областям знания, а также фельетон по общественным вопросам.

С переездом в Москву, работая главным образом в столичной прессе, я сотрудничал и в провинциальной печати — в саратовских газетах по общественно-политическим вопросам и в журнале «Кубанская школа» по вопросам педагогическим (1915 г., № 3 и др.).

По переезде из Саратова в Москву я решил изучить иностранную литературу по математике, главным образом, для народных школ, не найдя по данному вопросу никаких указаний в России, я непосредственно обратился за границу; и с этой целью завел переписку с известными педагогами и учеными: Лаем (Германия), Штеклином (немецкая Швейцария), профессором Борелем (Париж), Феликсом Мортелем (Париж), V. Brouet (Париж), проф. Д.Е.Смитом (Америка) и др.

Результатом этой переписки и изучения немецкой, французской и английской (американской) литератур явился перевод на русский язык по моей инициативе и под моей редакцией следующих книг:

1) В.А.Лай. Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических опытов. Пер. с нем. Москва. Издание Сытина. 1909 г., стр. VI+292. В 1916 г. вышло 5-е издание этой книги, переработанное. Изд. Думнова.

2) Борель. Арифметика. Пер. с франц. Москва. 1910 г. Изд. Сытина. Стр. 218+IV.

3) И. Штеклин. Методика арифметики. I—III тома. Пер. с нем. Москва. Изд. Сытина. 1911-1914 гг. I т., стр. XXIV+551; II т., стр. VIII+527; III m., стр. XII+528.

4) И. Штёклин. Арифметические задачники. Вып. I-VII. Пер. с нем. Москва. Изд. Сытина. 1913-1914 гг.

5) Уэнтуорт и Рид. Первоначальная арифметика. Пер. с англ. Москва. Изд. Сытина. Стр. XXVIII+222.

6) Ж. Таннери. Курс теоретической и практической арифметики, научный курс арифметики. Пер. с франц. Москва. 1913 г. Изд. Сытина. Стр. ХХ+672.

«Руководство к первоначальному обучению арифметике» Лая, «Методика арифметики» с «Арифметическими задачниками» Штёклина и «Первоначальная арифметика» Уэнтуорта и Рида имели и доселе имеют большое влияние на обучение арифметике в начальных школах России. Под влиянием этих книг создалось в России новое направление в области методики арифметики, которое, по меткому и верному выражению В.Г.Фридмана (см. его «Методику арифметики»), можно охарактеризовать словом «неогрубеизм». То есть некоторые методисты, отвергая изучение чисел в пределе 1-й сотни, на манер известных педагогов — немецкого Грубе и русского Евтушевского, стоят за то, чтобы в пределе первого десятка сохранить такое изучение. К этой характеристике следует добавить, что под влиянием этих книг в арифметике для начальных школ упрочилось концентрическое расположение всех отделов арифметики, а под влиянием «Первоначальной арифметики» Уэнтуорта и Рида проникла идея фузионизма (слияние арифметики, алгебры и геометрии между собою), хотя бы и в первой стадии своего развития.

Такое сильное влияние названных книг на нашу методическую литературу по математике не помешало тому, чтобы мне занять иное, самостоятельное, место в этом направлении. Стоя за так называемую методу изучения чисел в пределе первого десятка, только при восприятии чисел, в дальнейшем я держусь так называемой методы изучения действий. Таким образом, я примиряю методу изучения чисел с методой изучения действий, ибо такой характер обучения арифметике соответствует современным данным экспе-

риментальной психологии и дидактике по вопросу о развитии числовых представлений у детей.

В моих работах — «Руководство к «Детскому миру в числах» (ч. 1), в «Детском мире в числах» (ч. 1) и в «Математике для детей» (ч. 1) выявлена еще другая особенность: рассматривая понятие числа с психологической точки зрения, я примиряю три методических течения: теорию непосредственного восприятия чисел (при помощи так называемых числовых фигур), теорию счета и теорию измерения.

С 1913 г. стали выходить в свет мои собственные труды: 1) «Детский мир в числах», чч. I, II и III. Москва. Изд. Сытина. 1913-1916 гг. 2) «Руководство к «Детскому миру в числах», чч. I и II. Москва. Изд. Сытина. 194-1915 гг.

За время с 1907 г. по 1917 г. я состоял преподавателем методики арифметики в нескольких частных средних учебных заведениях и преподавателем математики в немецкой реформаторской школе ив театральном училище.

В июле 1912 г. был слушателем краткосрочных курсов, устроенных Московским учебным округом для учащих средних учебных заведений.

Был лектором по методике арифметики на летних педагогических курсах для учащих народных школ в Саратове в 1913 г., в Москве в 1916 г. и в том же году в г. Анапе Кубанской области. Получал много приглашений (до 20) на краткосрочные педагогические курсы для учащих народных школ в разные места России, но. к сожалению, вследствие усиленной занятости литературным делом приходилось отказываться от этих приглашений.

Выступал с докладами на Всероссийских съездах: на 1-м Всероссийском съезде преподавателей математики в Петрограде (с 27 декабря по 3 января 1912 г.), на 2-м Всероссийском съезде преподавателей математики в Москве (с 26 декабря 1913 г. по 3 января 1914 г.) и на 1-м Всероссийском съезде учащих начальных школ в Петрограде в декабре 1913 г.

С 1907 г. состою членом Московского математического кружка, где выступал с докладами.

Такова моя деятельность до Октябрьской революции 1917 г.

III

Со времени Октябрьской революции я был преподавателем математики в 1-й и 2-й ступени трудовой школы. В 1919 и в 1920 гг. я был лектором по методике математике в Институте народного образования университета имени Шанявского. В марте 1919 г. был избран преподавателем методики математики в Академию народного образования. В 1920 и 1921 гг. был лектором по методике математики на нескольких военных курсах по подготовке учителей по ликвидации неграмотности. В 1921-1922 гг. был преподавателем в техническом училище по эксплуатации железных дорог. С 1920 по 1924 гг. был преподавателем математики на двух рабфаках. В 1919, 1920 и 1921 гг. имел от 48 до 56 рабочих часов в неделю в учебных заведениях и на курсах.

В 1919 г. занимался изучением постановки обучение математике в училище для глухонемых.

В 1920 г. принимал участие в работах Комиссии при Наркомпросе по выработке новых программ для трудовой школы.

С декабря 1918 г. состоял одним из учредителей и членом правления одного из московских кружков лекторов-педагогов.

В 1922 г. внесен в список научных деятелей Московской комиссии по улучшению быта ученых (КУБУ).

Выступал в качестве лектора на краткосрочных педагогических курсах для учащих в начальных школах: летом 1918 г. в г. Елабуге и в г. Яранске Вятской губернии, в 1919 г. в январе в г. Зарайске Рязанской губернии и в Москве для учащих железнодорожных школ, весной в Москве на двух курсах; в июне в Москве на курсах, устраиваемых Академией народного образования, в июле в Москве для учащих в школах дефективных детей, в августе в г. Веневе Тульской губернии и в г. Рязани, в сентябре в г. Нерехте Костромской губернии, в октябре в г. Покрове Владимирской губернии, в декабре в Москве; в 1920 г. в мае в г. Ржеве Тверской губернии, в июне и июле в Москве в Институте для дефективных детей, в августе и сентябре на двух курсах на Кавказе в г. Пятигорске, в ноябре в Москве в Высшем педагогическом институте; в августе 1921 г. в г. Сызрани Симбирской губернии, летом 1923 г. в селе Болшеве Ярославской ж.д.

С 1922 г. я начал сотрудничать в журнале Московского отдела народного образования «Вестник просвещения», где помещена ста-

тья известного педагога Лая «первый год обучения арифметике», переведенная с немецкого под моей редакцией (1922 г., № 8, стр. 38-72). Эта статья в 1923 г. вышла отдельной брошюрой в издании «Работника просвещения». Кроме того, в журнале помещено 20 моих библиографических рецензий и заметка — «Памяти педагога-математика К.Ф.Лебединцева».

В московском журнале «Просвещение на транспорте» помещено несколько моих библиографических заметок.

В 1918 г. вышла моя книжка «Числа первого десятка» (для детей дошкольного возраста), а в 1919 г. — «Руководство» к этой книжке.

В 1920 г. петроградским Госиздатом (без моего ведома и разрешения) выпущены в свет 3 части «Арифметического задачника» И. Штеклина в моем переводе с немецкого.

В 1923 г. московским Госиздатом выпущены в переработанном виде мои книги: 1) «Детский мир в числах», чч.1, II и III; 2) «Руководство к «детскому миру в числах», чч. I и II; 3) «Числа первого десятка»; 4) Руководство к «Числам первого десятка».

В том же году тем же издательством выпущены в измененном виде под моей редакцией следующие книги: 1) Борель. Арифметика. Пер. с франц. 2) Уэнтуорт и Рид. Первоначальная арифметика. Пер. с англ. 3) А.И. Гольденберг. Беседы по счислению.

В 1925 г. за границей, в Латвии, вышли две мои книги — «Детский мир в числах», чч. I и II, в переработанном виде.

В настоящее время (с 1924 г.) я состою преподавателем методики математики в одном из московских педтехникоумов.

В настоящем году исполнилось 36 лет моей педагогической деятельности и 27 лет моей литературной деятельности.

Подводя итог своей деятельности, могу отметить: 1) что я состоял преподавателем в 22 учебных заведениях, из них в 3 низших, в 3 высших и в 16 средних учебных заведениях; 2) был лектором на 32 педагогических курсах; 3) сотрудничал в 17 журналах и 8 газетах; 4) мною написано: а) 10 собственных книг; б) под моей редакцией и отчасти в моем переводе 17 книг; в) до 60 журнальных статей; г) 10 газетных фельетонов; д) до 500 библиографических и других журнальных и газетных заметок.

В настоящее время подготовляю к печати 3-ю часть «Методики для детей»1 для 3-го года обучения в первой ступени. Москва. 1925 г. 18 ноября.

Д. Волковский

Заключение

Автобиография Д.Л.Волковского не охватывает еще 9 лет его жизни (1926-1934). Содержание и характер деятельности Д.Л. Волковского в эти годы еще предстоит установить. Сейчас же отметим несколько бесспорных фактов его дальнейшей биографии.

В 1920-е гг. Д.Л.Волковский не написал ни одной новой книги и в основном занимался переработкой книг, созданных им в предреволюционное десятилетие.

Д.Л.Волковский критически относился к комплексной системе обучения математике (о ней см. нашу публикацию в сборнике «Архимед», вып. 4, 2008), что не могло не повлиять на характер переработки учебников: они не были приспособлены к работе по этой системе.

Принимал ли Д.Л.Волковский участие в составлении программ для трудовой школы в 1923-1931 гг., пока неизвестно. Вероятнее всего, что нет: слишком разнились взгляды самого Д.Л.Волковского и те соображения, которые высказывались в объяснительных записках к программам. Однако его фамилия стоит под программой 1932 г. — первой программой, ориентированной на систематическое изучение арифметики (она появилась после известных постановлений ЦК ВКП(б) о средней школе).

По всей видимости, последнее, что было сделано Д.Л.Волковским — выпуск «Методики арифметики в начальной школе» (1934) и редактирование переводов книг Э.Л.Тондайка, посвященных психологии обучения арифметике и алгебре.

В некрологе на Д.Л.Волковского, помещенном в журнале «Математика и физика в школе» (1934, № 4), сказано следующее: «Смерть постигла его среди разносторонней и напряженной учебно-литературной работы». Прочитав его биографию, не приходится сомневаться, что так оно и было.

1 Это ошибка: имелась в виду «Математика для детей». — В.Б.

В заключение приведем небольшой список литературы, где можно почерпнуть некоторые сведения о вкладе Д.Л.Волковского в развитие теории и практики обучения арифметике в начальной школе.

Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. М.: Учпедгиз, 1951. С. 136.

Пчелко А.С. Хрестоматия по методике начальной арифметики. М.: Учпедгиз, 1940. С. 84-85.

Фридман В.Г. Учебник методики арифметики. М.-Пг., 1923. С. 104.

Штейнгардт Д.А. Основные вопросы развития методики начального обучения арифметике в советской школе (1917-1950 гг.). Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. М., 1952. С. 117-120,314-319.

С. Дворянинов

г. Самара

Легенда о функции Коши

Прежде чем начать наш рассказ, напомним формулу Тейлора. В учебнике [1] на с. 156 читаем: пусть функция f(x) имеет производные до порядка n включительно в некоторой окрестности точки X = 0 и пусть отрезок [0;а], а> 0, принадлежит этой окрестности. Тогда для любого ХЕ [0;а] выполняется равенство

(1)

где с — некоторое число, зависящее от х и n и принадлежащее интервалу (0;х).

Если функция f(x) имеет производные любого порядка (другими словами, это бесконечно дифференцируемая функция), то равенство (1) выполнятся при любом натуральном n.

В частности, функция f(x) = 0 удовлетворяет условиям этой теоремы. Все производные это функции (при любом значении х и, в частности, при х = 0) равны нулю, и формула (1) принимает вид 0 = 0.

А является ли верным обратное утверждение? А именно, пусть в условиях предыдущей теоремы

(2)

то есть в точке нуль функция f(x) и все её производные равны нулю. Следует ли отсюда, что f(x) = 0?

В свое время этот вопрос занимал умы великих математиков. Прежде чем дать на него ответ, заметим следующее.

При выполнении условий (2) из (1) получаем, что при любом натуральном п

На отрезке [0;а] функция f(n)(x) непрерывна, так как она по условию имеет производную. Следовательно, на этом отрезке эта функция f(n)(x) ограничена, и поэтому на этом отрезке

Если теперь рассмотреть отрезок

то на

этом отрезке

Последнее неравенство означает, что на этом отрезке функция f(x) растет не быстрее некоторой степенной функции. Поскольку

показатель является произвольным, то приходим к такому выводу:

при выполнении условий (2) для любого натурального n найдется отрезок [0;an], на котором |f(х)| < xn .

Будем вдобавок считать, что при неотрицательных х функция неотрицательна, и рассмотрим такую задачу: «Существует ли такая монотонно возрастающая функция f(x), что для любой степенной

функции xn найдется отрезок [0;ax[0;l), на котором выполняется неравенство 0 < f(x)<xn »?

Чтобы узнать ответ на этот вопрос перенесемся мысленно почти на двести лет назад...

...31 ноября 1813 года Огюст Коши вернулся к себе домой в предместье Парижа поздно. Он снял промокшие от дождя плащ и шляпу и зажег свечу. Подходил к концу нерадостный день. Хотя с утра он был наполнен приятным ожиданием предстоящей встречи с новой книгой! На днях он узнал новость, которую долго и с нетерпением ждал: из типографии в Академию Наук привезли «Теорию аналитических функций» — новое сочинение знаменитого Лагранжа. И сегодня, закончив уроки с учениками, он немедля отправился в Академию. Там секретарь Академии сообщил печальное известие: вчера Жозефа Луи Лагранжа не стало.

Последний раз Коши слушал доклад Лагранжа в Академии весной. Знаменитый 77-летний ученый говорил о многих математических и других задачах. Тихий неспешный голос собравшиеся слушали, затаив дыхание. Время неумолимо, и каждый понимал, что этот доклад может оказаться научным завещанием большого ученого. Потом было много вопросов. Коши тоже задал вопрос, и Лагранж ответил тогда, что об этом говорится в его новой книге. И

вот теперь Лагранжа нет... И ответы теперь можно найти только в книге... А суть вопроса может понять каждый школьник.

Рассмотрим графики двух функций у — х2 и у = х3 на интервале (0;1).

Здесь x2 > х3, поэтому на этом интервале квадратичная парабола лежит выше кубической. Вообще, для двух натуральных чисел m < n на интервале (0;1) xm > xn .

Рассмотрим степенные функции несколько более общего вида: у = ахm, у = bхn при m < n с положительными коэффициентами а и b. Решением неравенства bхп < ахт является интервал

Можно сделать такой вывод: для любых двух степенных функций вида у — ахт с натуральным показателем и положительным коэффициентом а существует интервал (0;а), на котором график функции с большим показателем лежит ниже графика с меньшим показателем.

Показатель степени характеризует скорость роста функции.

Например, 100-х3 < 0,01 -х2 при 0<х< 0,0001, и поэтому можно сказать, что кубическая парабола (или функция) растет медленнее квадратичной.

А как быстро растет, к примеру, в окрестности нуля функция

Легко проверить, что при 0 < х < 0,5 выполняются неравенства

Ясно, что растет эта функция не быстрее квадратичной.

Пусть некоторая монотонно возрастающая функция при хе [0;а] удовлетворяет неравенствам ахп < f(x) < bхп . В этом случае говорят, что функция f(x) растет как xn . Натуральное число n называют показателем роста функции f.

Если на том же промежутке выполняется неравенство 0 < f(x)< bхn , то говорят, что функция f(x) растет медленнее, чем степенная функция xn .

Так вот, минувшей весной, слушая последний доклад Лагранжа, Коши спросил вот о чем: существует ли такая монотонно возрастающая при неотрицательных х функция f(x), что для любой степенной функции xn найдется отрезок [0;an], на котором f(x) растет медленнее функции xn ?

- Знаем ли мы суждение на этот счет нашего учителя великого Леонарда Эйлера? — так начал свой ответ Лагранж. — Да, мнение это известно. Обратимся со вниманием к эйлерову «Дифференциальному исчислению». Там мы найдем замечание о том, что такой функции нет [2, с. 271].

- Многоуважаемый господин академик, — продолжал Коши, но это только мнение, — у Эйлера нет доказательства!

- Подождите, пожалуйста, — осенью выходит в свет моя новая книга, — там все подробно написано, — завершил дискуссию Лагранж.

И вот теперь эта книга лежит на столе. Коши пробежал глазами оглавление, потом перелистал страницы, один раз, другой. Ответа на вопрос о самой медленно растущей функции он не нашел. Коши теперь вчитывается более внимательно. Да, упоминание о вопросе есть. Есть и ответ: «некоторые геометры, видимо, допускают существование функции, которая растет медленнее любой степенной функции» [2, с. 300].

Что это значит? Несомненно, это означает, что Лагранж был согласен с Эйлером. Таких функций нет. А слова «некоторые геометры» относятся и к нему, к Коши. Коши ищет на страницах книги доказательство, подтверждающее высказывание Лагранжа, но не находит его. Еще раз вся книга просмотрена от корки до корки, — а читает Коши быстро, — доказательства нет. Да, великий Эйлер обладал фантастической, безошибочной интуицией, но почему же нет доказательства?

...Прошло пять лет. И все это время Коши помнил свой последний короткий диалог с Лагранжем. И все это время он пытался увидеть на декартовой плоскости XOY график такой положитель-

ной возрастающей функции, которая на некотором промежутке

меньше, чем х2, на другом промежутке меньше, чем х3 и так далее, и так далее — до бесконечности. Почему-то эти промежутки становились все короче и короче, казалось, что они стягиваются в одну точку х = 0, и никакой ненулевой функции не получалось... График ускользающей из вида функции все более и более сливался с осью абсцисс. Задача о нахождении функции, которая при каждом фиксированном значении показателя n удовлетворяла бы неравенству 0 < К(х) < xn на некотором промежутке 0 < х < an , не поддавалась решению.

Эти промежутки могут быть очень короткими... Их трудно увидеть. Необходимо своего рода увеличительное стекло, микроскоп. Аналог такого микроскопа в математике известен — это замена переменной. Пусть х = — . При этом любой сколь угодно короткий промежуток 0<х<ап переходит в неограниченный промежуток

На языке переменной t задача запишется так:

и последнее неравенство должно выполняться при каждом натуральном n при t > bn .

В чем суть последнего неравенства? Если правую часть обозначить как /(t), то неравенство

означает, что некоторая функция f(t) при достаточно больших значениях аргумента становится больше любой степенной функции. А есть ли такая функция? Да! Конечно, есть. Об этом знали еще в Индии в глубокой древности. Каждый школьник помнит историю о том, какую награду попросил себе изобретатель шахмат!

Вернемся сейчас на несколько минут в наши дни и из школьного учебника [1] извлечем следующее. На с. 157 для функции f(x) = ех приведена формула Тейлора (1) для n = 5 :

Пользуясь этой формулой, покажем, что при достаточно больших положительных значениях х выполняется неравенство ех >х3. Ясно, что последнее неравенство выполняется, если уже A это неравенство действительно выполняется при достаточно больших X, а именно при хе [4!; +∞).

Итак, мы показали, что ех > х3 при х > 4!. Очевидно, так же доказывается, что ех>хп при х>(n + 1)!. Это означает, что показательная функция при достаточно больших значениях аргумента становится больше любой степенной функции (это верно для любой показательной функции f(x) = ах при а > 1 ).

.. .Коши взял в руки новое перо, и на бумаге появилась равенство

Основанием здесь может служить любое число, большее единицы. Но пусть в честь великого Эйлера это будет число е . Иоганн Бернулли назвал своего ученика Эйлера «первым математиком» -«mathematicorum princeps» [3, с. 12]. Коши знал, что сейчас этот титул носит Гаусс, но первым его обладателем был именно Эйлер.

Итак,

Теперь следует найти функцию К. Для этого сначала вернемся в последнем уравнении к переменной х и получим, что

Отсюда следует, что

На бумаге появилось такое описание функции К(х) :

Сейчас мы можем сказать, что график этой функции похож на траекторию самолета, который сначала разгоняется по взлетной полосе, а потом отрывается от земли, причем этот отрыв происходит очень-очень плавно и медленно — высота над землей растет медленнее любой степенной функции. Но во времена Коши никаких самолетов еще не было, и математик сравнил предельно медленный рост этой функции с тем, как медленно и тягостно, словно нехотя, светает поздней осенью (рис. 1).

А можно рассмотреть непрерывную четную определенную на всей числовой прямой функцию

График этой функции напомнил Коши цветок, который, собрав все свои силы, смог распуститься, но потом его обессиленные лепестки поникли, словно придавленные асимптотой у — 1. Впрочем, здесь можно обойтись и без модуля, и тогда получится еще медленнее растущая функция

(3)

...Свеча в подсвечнике неожиданно погасла. Увлеченный расчетами Коши совсем на замечал ее прерывистого света. Впрочем,

Рис. 1

свеча уже не нужна. Ночь пролетела, за окном уже было утро! Он вновь и вновь проверил свои выкладки. Ошибки не было. Функция, которая растет медленнее любой степенной, была найдена. Коши понимал важность своего открытия. Он был потрясен: найденный им пример полностью разрушал концепцию Лагранжа [2, с.300] и опровергал соответствующее мнение Эйлера...

...Прошло еще пять лет. Весной 1823 года Огюст Коши делал свой доклад в Академии наук. Он рассказывал об открытой им функции, которая растет, но растет удивительно медленно. Были вопросы. Один молодой человек, в котором каждый безошибочно находил студента, поднял руку и поднялся с места:

- Мы убедились, что функция К(х) растет медленнее любой степенной. Но действительно ли все ее производные в точке х = 0 равны нулю? И как находить эти производные при х = 0 ?

Коши вспомнил, что происходило в этом зале десять лет назад, улыбнулся — все повторяется! — и ответил так:

- Для вычисления производной любого порядка следует воспользоваться ее определением. Так что действуйте согласно определению производной. И еще: осенью выходит в свет моя новая книга «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» — там есть все подробности! [2, с.300].

Упражнение. Докажите, пользуясь определением производной, что в точке X = 0 производные любого порядка функции К(х), определяемой формулами (3), равны нулю.

Решение. Для вычисления К'(0) рассмотрим отношение

Пусть

Представим здесь знаменатель по формуле Тейлора и найдем, что это отношение стремится к нулю.

В результате получим, что

Для вычисления второй производной K"(0) следует найти предел отношения при x —» 0. Здесь также следует выполнить замену и устремить t к +∞ . В результате получим, что K"(0) = 0 .

Равенство K(n)(0) = 0 доказывается по индукции (см. учебники по математическому анализу для университетов).

Литература

1. Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. — 6-е изд. — М.: Просвещение, 2007.

2. История математики. Том третий. Математика XVIII столетия. Под ред. А.П.Юшкевича. М., Наука, 1972.

3. И.Р.Шафаревич. Исследования Эйлера по теории чисел. Математическое образование. № 3(43), 2007.

А.В. Егоров

ГОУ СОШ №5 г. Москва

«Ученик пришел учиться, учитель — учить»

Желание понимать свои собственные чувства и действия обнаруживается очень рано, человеку свойственно размышлять над причинами своих поступков. Однако для многих поступков может не быть никаких сознательных мотивов. Поэтому для обычных действий подыскиваются вторичные объяснения, не касающиеся их исторического происхождения. Например, если мы начнем объяснять первокласснику, что он должен учиться, потому что во всем мире уважают образованных и трудолюбивых людей, приводить в пример великих, но неизвестных ребенку ученых, то вряд ли достигнем желаемого. В лучшем случае ребенок нас вежливо выслушает и быстренько выбросит из головы все наши речи, а в худшем -своими нравоучениями мы можем добиться прямо противоположного результата.

Но как же в таком случае быть, как научить ребенка осознанному и правильному поведению? Именно эту задачу и призвана решать рефлексивная деятельность, которую мы должны уметь организовывать не только на каждом уроке, но и на отдельных его этапах.

Большинство методов организации рефлексивной деятельности учащихся на уроке хорошо известны:

- каждый урок рассматривается в системе, учащиеся должны легко прослеживать взаимосвязь уже изученного и нового материала;

- в структуре урока выделяются основные этапы, а также знания и умения, которые должны усвоить или продемонстрировать учащиеся;

- на определенных этапах урока учащимся может быть предложено проанализировать свою работу (оценить в той или иной форме собственную работу или работу одноклассника);

- в конце урока подводятся итоги, дети вовлекаются в самоанализ: чему научились, какие знания использовали, какие умения проявили и т.п.

В результате этой деятельности ученики учатся выявлять причинно-следственные связи, приобретают навык оценки и самооценки, причем со временем эти навыки дети начинают использовать не только на уроках, но и в повседневной жизни, оценивая не только знания, но и поступки, что в конечном итоге способствует формированию гражданина.

Очень важно не только выработать у ребенка навык самооценки, но и создать для него ситуацию успеха, что является помимо всего прочего, еще и одним из важнейших факторов, способствующих сохранению здоровья наших детей.

С каким настроением идет ребенок на ваш урок: с удовольствием, со страхом или он совершенно равнодушен? Как он оценивает свои знания, хочется ли ему улучшить свой собственный результат? Иными словами, является ли учение осознанной потребностью?

Нами разработана такая система оценки учащихся, которая позволяет ребенку самостоятельно выбирать уровень сложности выполняемого задания, а значит и «самостоятельно» оценивать свой результат. В итоге, у учителя отпадает необходимость объяснять, почему поставлена та или иная отметка, то есть фактически устраняется субъективный фактор при оценке ученика.

Рассмотрим составляющие разработанной системы.

1. Обязательные контрольные работы составляются таким образом, что, например, выполнив из 14 обязательных заданий любые 7, ученик знает, может претендовать только на отметку «3», если выполнил 10 заданий — на «4», если выполнил 12 — на «5» (иногда каждое из заданий оценивается в определенное количество баллов, и тогда оценка зависит от количества набранных баллов, но принцип ее выставления остается тем же). Можно заметить, что отметка «5» ставится даже если ученик правильно выполнил не все обязательные задания. Делается это намеренно (своего рода «погрешность» на усталость, отсутствие времени, аналогичность некоторых заданий и т.п.). Выполнив определенное число заданий, ученик продемонстрировал все требуемые знания, умения и навыки и получил заслуженную пятерку. Другой, обладающий, возможно большими способностями, успевает за то же время справиться с заданием большего объема (что может принести ученику более вы-

сокий рейтинговый результат, если в данной теме учитываются т.н. «дополнительные баллы», или просто «моральное удовлетворение», порождая в нем дух соревнования и стремление к достижению более высокого результата).

2. Накопительные задания. Чтобы добиться устойчивого положительного результата при изучении точных наук, необходимо определенные навыки довести до автоматизма, а для этого недостаточно только регулярно выполнять домашние задания. Поэтому учитель предлагает учащимся в дополнение к традиционным домашним заданиям решить, некоторое количество задач, относящихся к изучаемой теме, определяя только объем задания, (в зависимости от возраста, уровня подготовленности детей и сложности изучаемого материала). Если ребенок соглашается на предложенные условия и выполняет дополнительные задания, то он получает «+» за каждую тему, проработанную таким образом (время сдачи работ ребенок определяет самостоятельно: по мере выполнения или же все одновременно. Единственное ограничение — за неделю до выставления рубежной или итоговой оценки). Эти плюсы учитываются при выставлении четвертной (триместровой или полугодовой) оценки по следующей схеме.

Отметка «5» ставится при условии, что:

- большинство контрольных работ написано на «5» (даже при условии, что ни одно из предложенных дополнительных заданий ребенок не сделал и не сдал) или

- хотя бы за одну контрольную стоит «5», а за все или почти за все (не менее 80%) дополнительных заданий получены «+»;

при этом обязательным условием получения пятерки являются, кроме письменных контрольных и письменных заданий на «дополнительный балл», устные ответы у доски.

(остальные оценки — «4» и «3» — выставляются аналогично).

3. Личный экзамен — это своего рода «последний шанс», предоставляемый ученику в конце года, если он изъявил желание повысить свою итоговую оценку, несмотря на то, что по каким-то причинам не смог выполнить условия о которых говорилось выше. Имея, например одну «5» («4» или «3») за контрольную работу и все или почти все (до 80 %) «+» за дополнительные задания, уче-

ник имеет право сдать «личный экзамен». Учащийся составляет его содержание самостоятельно, ориентируясь на предложенные учителем:

• список вопросов, который охватывает все темы программы этого класса;

• список литературы, из которой можно выбрать задания; предполагается, что ученик может выбрать задания любого уровня сложности (наиболее успешным ученикам, если они высказывают подобное желание, предлагается выбрать здания повышенной трудности).

Составляя работу, ребенок не только выбирает задания по темам (не менее трех, по каждой из тем), но и демонстрирует известные ему способы их решения (таким образом осуществляется и повторение, и подготовка собственно к экзамену).

Готовить свой вариант «экзамена» ученик может в течение последнего месяца учебного года (примерно с 25 апреля по 25 мая), после чего он сдает учителю подобранные задачи (оформляется произвольно: набирается на компьютере, пишется от руки и т.п.) и на отдельных страницах — решения. Затем наступает сам экзамен, во время которого учитель предлагает ученику для решения подобранные им же задачи или аналогичные, составленные кем-то из учащихся. Ученик должен решить заранее оговоренное количество заданий.

Оценка за работу выставляется по принятой в этом классе схеме. Полученная оценка не должна понижать полученный результат, а только может его повысить!

Как видно из всего вышеизложенного, предложенная система работы создает условия, благоприятные для достижения учащимися успешности. Успешность обучения способствует в свою очередь выполнению поставленной изначально задачи, — формированию у детей осознанной потребности учиться, так как чаще всего именно достигнутый успех способствует возникновению у ребенка желания добиться большего.

Данную систему работы можно использовать не только на уроках математики, но и на любых других, в том числе и гуманитарного цикла.

Отметим, что составляющие системы не должны с течением времени сильно меняться. Они могут лишь усложняться и, возмож-

но, ужесточаться, но никак не зависеть от настроения учителя. Именно их стабильность гарантирует тот положительный результат, который выражается, прежде всего, в желании ребенка учиться не ради отметки или из страха перед родителями или учителями, а ради расширения и совершенствования собственных представлений о мире и обществе.

В заключении приведем варианты личных экзаменов, составленных моими учениками.

ЛИЧНЫЙ ЭКЗАМЕН

Воробьевой Анастасии, ученицы 5 «А» класса

Содержание

1. Действия с дробями.

2. Уравнения всех видов.

3. «Упростить и вычислить».

4. Задачи простые.

5. Задачи геометрические.

6. Задачи с обыкновенными дробями.

7. Уравнения с обыкновенными дробями.

8. Задачи с десятичными дробями.

9. Задачи на проценты.

1. Вычислить:

2. Решить уравнение:

Найти значение выражения:

4. Решить задачи (4-6):

а) У Коли несколько монет по 5 рублей и по 10 рублей. Всего 120 рублей. Монет по 5 рублей у него столько же, сколько и по 10 рублей, сколько монет по 5 рублей?

б) В бассейн требуется налить 3888 литров воды. Одна труба может заполнить бассейн за 9 часов, вторая за 12 часов, а третья за 18 часов. За сколько часов заполняет бассейн все 3 трубы, открытые одновременно?

5. а) Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 48 дм, 16 дм и 12 дм.

б) В четырехугольнике ABCD стороны AB и ВС равны, и стороны AD и CD равны, ВС = 34 см, a CD больше AB на 12 см. Найдите периметр этого четырехугольника.

6. а) Для выпечки хлеба отсыпали — мешка муки, а после еще у. Осталось 28 килограммов. Сколько килограммов муки было первоначально в мешке?

б) Когда прочитали — книги да еще 9 страниц, то остались 9 непрочитанными 55 страниц. Сколько в книге страниц?

7. Решить уравнение:

8. а) На пошив 4 пододеяльников, 2 простыней и 6 наволочек израсходовали 25,6 метра полотна. На 1 наволочку израсходовали 0,7 метра, что в 3 раза меньше, чем на 1 простыню. Сколько метров ушло на 1 пододеяльник?

б) В пяти корзинках находились ягоды: малина, черника, брусника, смородина и ежевика. Массы этих ягод были 3,25 кг, 3,08 кг, 3,3 кг, 3,2 кг, 3,15 кг. Известно, что (по массе) ежевики было больше черники, но меньше брусники, а малины было меньше смородины, но больше брусники. Найдите массу каждой из этих ягод.

9. а) При обработке 80 т риса получили 60 т. Найдите процент выхода при обработке риса.

б) Утром рыбак поймал 35 карасей, что составило 28% улова карасей за день. Сколько всего карасей поймал рыбак за день?

в) Аня подсчитала, что цена юбки составляет 80% всех ее денег, а цена блузки 60% ее денег. Если дедушка даст ей еще 96 рублей, то она сможет купить обе вещи. Сколько стоит юбка и блузка?

г) В зоопарке обезьяны ежедневно съедают 60 кг фруктов и овощей. Известно, что 27% фруктов и овощей составляют бананы, 33% — морковь, а остальное яблоки. Сколько килограммов яблок съедают обезьяны?

д) В классе учатся 35 человек, из них 60% занимаются в математическом кружке. Сколько человек посещают математический кружок?

е) У учеников класса 93 книги. В первый раз в библиотеку сдали 44 книги, второй раз 50% от количества книг, сданных в первый раз. Сколько процентов всех книг сдали?

ж) Отрезок увеличился на 25%. На сколько процентов надо уменьшить новый отрезок, чтобы получить первоначальный?

з) Отрезок уменьшился на 20%. На сколько процентов надо увеличить новый отрезок, чтобы получился первоначальный?

ЛИЧНЫЙ ЭКЗАМЕН

Григоряна Роберта, ученика 6 «Б» класса

1. Вычислить:

2. Упростить:

3. а) Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

б) Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъемностью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?

4. а) Сначала продали 40% привезенного картофеля, а потом 30% остатка. Сколько процентов привезенного картофеля осталось?

б) Лес занимает 420 га. Ели занимают 63,5% этой площади, а сосны — 29%. На сколько гектаров площадь, занятая елями, больше площади, занятой соснами?

в) Было решено прорыть траншею для водопровода за четыре дня. В первый день прорыли 35,5% всей длины траншеи, во второй день 23% и в третий день 27%. В четвертый день прорыли оставшиеся 2,61 км. Какова длина всей траншеи?

5. Решить уравнения:

6. Решить задачи:

а) Турист ехал на автобусе 1— часа и на поезде 4— часа. Всего этими видами транспорта турист проехал 456 км. При этом на автобусе он проехал — того пути, который он проехал на поезде. С какой скорость турист ехал на автобусе и с какой — на поезде?

б) Автомобиль прошел в 1-й час — всего пути, во 2-й час - I оставшегося пути, а в 3-й час остальной путь. Известно, что в третий час он прошел на 40 км меньше, чем во второй час. Сколько километров прошел автомобиль в третий час?

7. Выполните задания:

а) Изобразите на координатной плоскости точки Д-2;2), С(0;0), D(1;1), Е(2;2). Проверьте с помощью линейки, лежат ли эти точки на одной прямой и лежит ли на прямой точка М(-5;5).

б) Даны координаты: (-9;1), (-8;0), (-8;-1), (-7;-2), (-4;-2), (-3;1), (-2;-1), (-1;-2), (4;-2), (5;-1), (6;-1), (7;-2), (10;-2), (10;0), (8;1), (5;1), (2;3)5 (-3;3), (-4;2), (-4;1), (-9;1). Соедините последовательно точки заданные этими координатами. Что за фигура получилась?

в) Нарисуйте ломаные и отрезки, заданные этими наборами координат. Какие из них пересекаются?

8. Решить задачи:

а) Пифагора спросили: «Который час?» Пифагор ответил: «До конца суток осталось дважды две пятых того, что уже прошло от начала». Который был час?

б) В классе 13 детей. У мальчиков столько же зубов, сколько у девочек пальцев на руках и ногах. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?

ЗАДАЧИ К ЗАЧЕТУ

Екатерина Покровская, ученица 6 «Б» класса

1) За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил 20%, затем за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел или поправился Обломов?

2) 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешаны с 4 литрами 20% сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

3) Известно, что монеты в 1, 2, 3 и 5 копеек весят соответственно 1, 2, 3 и 5 г. Среди четырех монет по одной

каждого достоинства) одна — бракованная. Отличается весом от других. Как с помощью взвешивая на чашечных весах определить бракованную монету?

4) Из 9 монет одна фальшивая (более легкая). Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

5) Как имея 2 сосуда емкостью 5 и 9 литров, набрать из водоема ровно 3 литра?

6) Можно ли, имея лишь 2 сосуда емкостью 3 и 5 литра набрать из водопроводного крана 4 литра воды?

7) Перед нами три островитянина А, В, С, о каждом из который известно, что он либо рыцарь, либо лжец. (Рыцари всегда говорит правда, лжецы всегда лгут). Пусть А и В высказывают следующие утверждения: А: Мы все лжецы. В: Ровно один из нас лжец. Кто такой B? Кто такой С?

8) Перед нами два племени «Рыцари» и «Лжецы» (Рыцари всегда говорит правда, лжецы всегда лгут). Перед нами три островитянина А, В, С и каждый из них либо Рыцарь либо Лжец. А и В высказывают следующие утверждения: А: Мы все лжецы. В: Один из нас рыцарь. Кто из трех островитян А, В, С рыцарь а кто лжец?

9) Докажите, что сумма 1 + 2 + 3 + 4 + .. . + 1993 делится на 1993

10) Докажите, что сумма n последовательных чисел делится на n.

А.И. Сгибнев

Школа «Интеллектуал», г. Москва

Приближённые измерения и вычисления. 5-7 класс

Вычисление должно производиться с той степенью точности, которая необходима для практики, причём всякая неверная цифра составляет ошибку, а всякая лишняя цифра — половину ошибки.

А.Н. Крылов

Курс приближений и округлённых вычислений в школьной математике находится в положении Золушки. Дети его не понимают, учителя сокращают до 2-3-х уроков. Причины этого понятны. Во-первых, почти вся школьная математика использует точные значения величин и школьникам трудно привыкнуть к мысли, что в математике бывает что-то кроме них, и тем более различать, где надо считать точно, а где приближённо. Во-вторых, по теме «Приближенные вычисления» почти нет содержательных задач, а есть только формальные упражнения на применение правил, мало проясняющих суть дела. В-третьих, имея калькулятор, школьникам проще сделать вычисления с восемью знаками, чем подумать о точности.

В настоящей статье предложена подборка задач по приближённым вычислениям на материале 5-7-х классов. Сюжеты задач содержат наглядные жизненные ситуации, которые позволяют сделать формальные правила из учебника более понятными (теория приближённых вычислений вырастала из практики и лучше всего может быть понята через практику).

1. У вас есть электронные весы, которые показывают массу с точностью до 1 г, и одинаковые монетки. Одну монетку весы «не чувствуют» (т.е. она легче 1 г). Как возможно более точно определить массу монетки?

2. Игорь делит 257— на 18—. Как можно быстро проверить его ответ?

Числитель примерно равен 260, а знаменатель 20. Значит, ответ должен быть около 13.

3. В паспорте квадратного земельного участка написано, что его площадь равна 520 кв.м. Чему равна сторона участка (в метрах): а) с избытком; б) с недостатком; в) с округлением?

4. Объём кубического бака равен 800 куб.м. Найдите ребро бака (в метрах): а) с избытком; б) с недостатком; в) с округлением.

(Если длина измеряемого объекта заключена между а м и (а + 1) м, то говорят, что длина равна а м с недостатком и а + 1 мс избытком. Ту из этих двух величин, которая ближе к истинному значению, называют ещё «приближение с округлением». См. [2, п. 2.2]).

Задачи 3 и 4 доступны и тем ученикам, которые ещё не знают, что такое квадратный и кубический корень — они могут использовать таблицы квадратов и кубов.

5. На карте Российских Железных Дорог написано, что от Москвы до станции Тюкан Амурской области 8004 км, а до станции Дежневка — 8485 км. Ясно, что это приближенные расстояния. Как ты думаешь, каким на самом деле может быть расстояние до Тюкана? На сколько расстояние до Дежневки может быть больше, чем расстояние до Тюкана (считаем, что карта составлена без ошибок)?

Для того чтобы можно было бы из самой записи приближённого числа судить о степени его точности, академик А.Н.Крылов предложил следующее правило: «Писать число так, чтобы в нём все значащие цифры, кроме последней, были верны и лишь последняя цифра была бы сомнительна и притом не более как на одну единицу» [1]. Таким образом, расстояния до Тюкана и Дежневки указаны на карте с точностью 1 км. Т.е. по этим данным мы можем утверждать, что расстояние до Тюкана лежит в пределах от 8003,5 до 8004,5 км, а расстояние до Дежневки — от 8484,5 до 8485,5 км. Тем самым разница расстояний может быть от 480 до 482 км.

6. Округлите величины из предыдущей задачи с точностью до 1000 км.

При округлении до 1000 км мы получим одно и то же значение 8000 км. По этой записи не видно, за какие цифры в числе мы ручаемся, т.е. округлили мы до десятков или до тысяч. Если важно различать: 8000 — это 8000 ±5 или 8000 ±500, то можно явно указать интервал, как мы сейчас это сделали. Чтобы различать эти случаи, не указывая интервалов, подчёркивают первую сомни-

тельную цифру: 8000 и 8000 — первое число знаем с точностью до десятков километров, а второе — с точностью до тысяч. В случае записи числа в стандартном виде поступают ещё проще: пишут 8,00 ⋅ 103 и 8 ⋅ 103. В первой записи указаны три значащие цифры, во второй — одна. Подробнее см. [4, п. 8.3].

7. Запишите величины из задачи 5 с точностью до 100 км, до 10 км.

8. «Да ты вымахал сантиметров на 5!» — воскликнула бабушка, увидев Мишу после годовой разлуки. — «Дай-ка я померяю тебя на ростомере» (она медсестра). Получилось 163 см 7 мм. «Значит, год назад во мне было 158 см 7 мм», — подумал Миша. Прав ли он?

9. Серёжа взвесился на японских электронных весах, забыв снять рюкзак. Весы показали 42 кг 312 г. Серёжа считает, что его рюкзак весит килограмм пять. Что можно сказать о весе Серёжи без рюкзака?

Обратите внимание на формулировку: не «найдите», а «что можно сказать»! Этот вопрос рассчитан на устное обсуждение в классе, когда учитель приучает детей к разумным уточнениям вопроса. Подразумевается, что мы хотим извлечь из даных наибольшую доступную точность.

10. Вася едет на велосипеде со спидометром, который показывает 4,21 м/с. Данила идёт навстречу со скоростью примерно 2 м/с. Какова скорость их сближения?

Задачи 8-10 поясняют следующее правило: чтобы найти приближённо сумму или разность двух чисел, известных с разной точностью, нужно предварительно округлить их с одинаковой точностью (до одного и того же разряда). Чтобы получить наибольшую доступную точность результата, просто округляют число, в котором известно больше разрядов, с точностью до последнего разряда другого числа (а другое не трогают). См. [3, п. 4.11 ; 4, п. 3.5].

11. Маша собирается поехать летом в Глазов по железной дороге через Нижний Новгород. Она узнала по атласу расстояние от Москвы до Глазова по железной дороге — 1163,1 км. Дедушка сказал ей, что от Москвы до Нижнего Новгорода примерно 400 км. Каково расстояние от Нижнего Новгорода до Глазова?

12. Даша узнала по справочнику массу Земли — 5,9725х1024 кг. Из статьи она узнала, что за год на Землю падают метеориты об-

щей массой в среднем 20 т. Она округлила и сложила эти величины по правилу из учебника, и обнаружила, что масса Земли за год не меняется. Что это значит?

13. Сторона квадратного участка примерно равна 35 м. Что можно сказать о его площади?

Казалось бы, надо просто посчитать 352 = 1225, но за все ли четыре цифры мы можем ручаться? Ведь сторона может быть и 34,5 м и 35,5 м (последняя цифра сомнительна!). 34,52=1190,25; 35,52=1260,25. Поэтому только первая цифра площади определена достоверно; площадь приближенно равна 1200 кв.м или 1, кв.м.

14. Андрей помнит, что свет доходит от Солнца до Земли примерно за 8 минут. Он посмотрел в справочнике скорость света в вакууме: известное на сегодня значение равно 299 792,458 км/с. С какой точностью он может узнать расстояние от Солнца до Земли? Какое значение скорости света нужно взять для расчётов?

Если на самом деле свет идёт от Солнца до Земли 7,5 минут, то расстояние получится 134906606,10 км, а если 8,5 мин — то 152894153,58 км. Совпадает в этих ответах только первая цифра, значит, мы можем ручаться лишь за неё. Про вторую цифру можно утверждать, что она равна 3, 4 или 5. Остальные девять цифр никакой информации не несут! Писать их — значит вводить читателя в заблуждение (не говоря уже о том, что это лишняя работа). Итак, можно утверждать лишь, что расстояние от Солнца до Земли порядка 140 000 000 = 1,4-108 км. Заметим, что для получения этого ответа вовсе не надо знать скорость света с девятью значащими цифрами! Достаточно помнить, что она примерно равна 300 000 км/с — хватит одной значащей цифры.

Задачи 13 и 14 поясняют следующее правило: чтобы найти приближённо произведение (или частное) двух чисел, нужно предварительно округлить их до одной и той же значащей цифры, перемножить (или разделить) и результат округлить до той же значащей цифры. Чтобы получить наибольшую доступную точность результата, округляют число, известное с большим количеством значащих цифр, с точностью до последней значащей цифры другого числа (а другое не трогают). См. [3, п. 4.11; 4, п. 3.5].

15. Программисту Денису в конце месяца заплатят 1321 доллар. Курс доллара порядка 24 руб. На какую сумму в рублях может рассчитывать Денис?

16. В течение зимней спячки медведь теряет около 30% веса. Осенью Ярослав ходил в зоопарк и прочитал на клетке медведя Потапыча, что он весит 231 кг. Сколько будет весить Потапыч весной?

17. Весной Ярослав снова сходил в зоопарк и узнал, что медведица Маша после спячки весит 156 кг. Сколько она весила осенью?

18. Данила на глазок прикинул, что длина прямоугольника — порядка 1 м. Саша с помощью линейки измерила ширину прямоугольника и получила величину 33 см 5 мм. Что по этим данным можно сказать о периметре прямоугольника? О его площади? Нужно ли было Саше измерять длину линейкой или достаточно было тоже прикинуть?

Эта задача пример показывает, что если часть измерений выполнена грубо, то слишком точно выполнять остальные уже нет смысла — только лишние хлопоты, а итоговую точность всё равно не повысишь. Если же большая точность всё-таки требуется (например, учителю), то придётся выполнять с нею все измерения (то есть Даниле тоже придётся поработать линейкой).

19. Велика или мала погрешность в 1 см?

Данных недостаточно. Если вы измеряете длину спичечного коробка, то велика. А если расстояние от поверхности Земли до поверхности Луны, то очень мала. Ясно, что надо (абсолютную) погрешность соотносить с измеряемой величиной. Частное этих величин называется относительной погрешностью. См. [5, п. 9.3].

20. Даша знает, что её масса 40 кг ± 1 кг. Она считает, что знает свою массу с большей точностью, чем массу Земли (см. задачу 12). Права ли Даша?

К нашей теме естественным образом примыкают задачи на прикидки. Для грубой прикидки обычно хватает одной-двух значащих цифр.

21. Какова ширина часового пояса?

На границах часового пояса разница времени составляет 1 час. Строго говоря, вопрос некорректен: ширина зависит от широты — у экватора самая большая, у полюса обращается в 0. Длина экватора Земли 40 000 км, часов в сутках 24, то есть примерно 20. Полу-

чаем величину порядка 2 тысяч километров на 1 час — на экваторе. А на широте Москвы... ну, раза в 2 меньше — тысячу километров. (И действительно, в Глазове, куда собирается ехать Маша из задачи 11, время на час опережает московское.)

22. Сколько весят все жители Земли?

23. Вспомните легенду об изобретателе шахмат, который попросил за своё открытие положить на первую клетку шахматной доски одно зёрнышко, на вторую два, на третью четыре, на четвёртую восемь, и так далее. Сколько вагонов понадобилось бы, чтобы перевезти всё зерно?

1 + 2 + 4 + ... + 263 ~ 264 зёрнышек. 1 зёрнышко весит, допустим, 0,1г.

Объём вагона примерно 3 ⋅ 2 ⋅ 20 = 100 куб.м. Считая плотность зерна равной плотности воды, получим, что в вагон помещается порядка 100 т = 108 г зерна.

Значит, понадобится примерно 1010 вагонов.

Для подобных прикидок не нужны ни справочник, ни калькулятор — их можно делать в уме, когда вы гуляете в лесу или едете в электричке. Вообще, такие величины, как количество жителей Земли, длина экватора, скорость света стоит помнить (хотя бы по порядку величины). Если же под рукой есть хороший справочник, то круг легко оцениваемых величин расширяется.

До 7 класса (когда появляется физика) математика — единственный в школе предмет, оперирующий количественными характеристиками. Важно в этом возрасте дать понимание о том, что все величины, кроме количества предметов, известны приближённо, и проводить вычисления с ними надо по особым правилам. Мотивировать эти правила лучше всего примерами из практики.

В 8-11-х классах открывается простор для вычислительного практикума: приближённые формулы, нахождение квадратных корней методом Герона, линеаризация, решение кубических уравнений методом Ньютона, разные способы интерполяции, задачи с неустойчивостью, в которых малые возмущения приводят к большим изменениям ответа (например, вырожденная система линейных уравнений или квадратное уравнение с одним корнем), разго-

воры о том, как вычисляет компьютер и т.д. О таком практикуме мы постараемся рассказать в следующий раз.

Благодарю за полезные обсуждения темы Э.Э.Шноля, Д.Э.Шноля, М.А.Ройтберга и А.В.Шевкина.

Литература

[1] А.Н.Крылов. Лекции о приближённых вычислениях. М.-Л. 1950.

[2] С.М.Никольский и др. Арифметика-5. М., 2005.

[3] С.М.Никольский и др. Арифметика-6. М., 2006.

[4] С.М.Никольский и др. Алгебра-7. М., 2003.

[5] С.М.Никольский и др. Алгебра-9. М., 2006.

Ответы и указания

3. а) 23 м; б) 22 м; в) 23 м.

4. а) 10 м; б) 9 м; б) 9 м.

7. 8000 = 8,0-103 км, 8500 =8,5-103 км; 8000 =8,00-103 км, 8480= 8,48-103 км.

8. Вероятно, в прикидке бабушки сомнительна уже первая цифра, тогда получим 164—5 = 159 (см).

9.42-5 = 37 (кг).

10. Примерно 6 м/с.

11. 1600 км.

12. Масса метеоритов, падающих за год на Землю, пренебрежимо мала по сравнению с массой Земли.

15.31000 руб.

16, 17. В этих задачах прикидка получается грубая, т.е. в потере веса сомнительна уже первая цифра. Медведь будет весить порядка 200 кг, и медведица весила примерно столько же.

20. Смотря что понимать под точностью. Если абсолютную погрешность — то права. Но ясно, что в другом смысле — неправа. Ведь она знает свою массу с двумя значащими цифрами, а массу Земли — с пятью. Когда важнее второй смысл, используют понятие относительной погрешности.

22. 50-6-109 = 3-1011 (кг).

А.В. Шевкин

ФМШ № 2007, г. Москва

Краткий комментарий к изменениям в ЕГЭ по математике1

Многолетний эксперимент под названием «ЕГЭ по математике» провален. Об этом предупреждали заранее. Но кто же у нас слушает людей, способных делать мысленные эксперименты? «Реформаторам» подавай многозатратное действо на несколько лет, да чтобы без отчета по его окончании и всякой там личной ответственности!

Под напором чиновников от образования и под впечатлением от провальных результатов, полученных в ходе эксперимента, ЕГЭ по математике претерпел серьезные изменения.

Во-первых, «реформаторы» давно обещали «осчастливить родителей, сделав их детей-двоечников отличниками, меняя не уровень их знаний и умений, а просто уровень требований к ним»2. Подвернулся удобный случай — и обещание исполнено.

Во-вторых, министр образования и науки России спит и видит: как бы российское образование устроить на западный манер. Он хочет ЕГЭ приблизить к жизни. По его мнению, задания по математике надо приблизить к заданиям международных тестов PISA. И не важно, что эти тесты предназначены для более нежного возраста обучающихся. Главное, чтобы как у них, чтобы с трескотней о компетенциях и т.п.

Вдумаемся в уровень аргументации наших министров образования. «В нашем веке цифр нельзя бояться. Нас окружают цифровые телефоны, цифровое телевидение, а школьники не знают математику!» — сетовал на днях министр образования и науки РФ Андрей Фурсенко.

А вот более ранний пример.

1 Работа поддержана РГНФ (проект № 08-06-00144а).

2 Разговор «реформаторов» с академиком В.И.Арнольдом приведен в статье «Достойны ли мы богатства, которое пока что имеем?» http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=217

Однажды академик РАН В.И.Арнольд рассказал министру образования В.М.Филиппову, что выпускники американских школ не умеют складывать дроби, то есть не знают, сколько будет плюс |. А в России-то это знает любой шестиклассник! И Владимир Михайлович во время очередного визита в США, встречаясь с американскими студентами и рекламируя лучшее в мире российское образование, не преминул пересказать эту байку. Тогда один из студентов задал ему вопрос: «Господин министр, у вас в жизни возникали ситуации, когда нужно было сложить i и j ?» Филиппов поразмыслил и честно сказал, что, конечно же, не возникали. Студент обратился к остальным присутствующим: «Кому хоть раз приходилось прибавлять к ?» Никому не приходилось. «И зачем же, — обратился студент к министру, — в российских школах это изучают?»3

Министр-математик не смог вспомнить, что изучал когда-то алгебраические дроби, не смог хотя бы отшутиться, приведя такой пример: тренировка пловца включает работу с тяжестями вовсе не потому, что пловцу придется плыть с гантелями или штангой. Работа с этими предметами тренирует те группы мышц, которые помогут пловцу быть конкурентоспособным на его дистанции. Не будем объяснять, для чего на самом деле надо складывать упомянутые дроби, хотя теперь нет уверенности, что их умеет складывать каждый одиннадцатиклассник. Это и есть результат работы министров-реформаторов.

Если раньше ЕГЭ проверял то, чему учили, на что был нацелен стандартом процесс обучения в школе, то теперь, получив до 25 % «двоек» на выходе из школы и не разобравшись в причинах провала, «реформаторы» с радостью исполняют свое давнее обещание осчастливить родителей детей-двоечников. Теперь проверяют уровень общего развития. Не знания и умения, а сформированность

3 Старцев Б. Математики с большой дороги. http://www.opec.ru/print.aspx?ob_no=87625

мифических «компетенций». После 11-го класса проверяют то, что должны были бы проверить после 6-го, 7-го, 8-го, 9-го классов.

Вот несколько задач демонстрационной версии ЕГЭ-2009.

1В Билет на автобус стоит 15 рублей. Объявлено повышение цены билета на 20%. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены?

2В На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток, начиная с 0 ч 13 августа. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат — значение температуры в градусах. Определите по графику наибольшую температуру воздуха 15 августа. Ответ дайте с точностью до одного градуса.

5В Велосипедист собирается проехать из пункта А в пункт Е, в который ведут три маршрута: через В, через С и через D. Расстояния в километрах между соседними городами показаны на схеме. Известно, что если ехать через В, то средняя скорость будет равна 16 км/ч, если ехать через D, то средняя скорость будет равна 18 км/ч, а если ехать через С, то средняя скорость будет равна 20 км/ч. Исходя из этих данных, велосипедист выбрал маршрут так, чтобы доехать до Е за наименьшее время. Сколько минут он планирует пробыть в пути?

7В В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13, а один из катетов равен 12 (см. рисунок). Найдите площадь этого треугольника.

9В Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень, от времени (пока он не упал на Землю) описывается формулой h(t) = -5t2 +18t (h — высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

12С Двое рабочих, работая совместно, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет столько работы, сколько второй — за три дня?

Задачу 1В должен уметь решать любой 6-классник, но у него забрали по часу в неделю в 5 и 6 классах, по 2 часа в неделю в каждом классе начальной школы. Дальше еще заберут часы у обучения математике. Теперь мы не можем ожидать, что шестиклассники умеют решать эту задачу. Зато человек, умеющий решать только 5 задач из приведенного списка, будет иметь обещанную «тройку» за

ЕГЭ и будет считаться пригодным к обучению в вузе — на экономиста, летчика — где там у нас еще мало катастроф?

Задачи 2В и 5В тоже по программе 6 класса, задачи 7В, 9В и 12С — по программе 7-9-х классов.

23.10.2008 была проведена тренировочная работа. Она включает не менее интересные задачи на вычисление сдачи с 50 рублей, если куплено 5 булок по 7 рублей каждая, на вычисление площади прямоугольного треугольника по клеткам (совсем недавно этот прием осваивали в начальной школе) и другие задачи.

Если бы я не знал исполнителей этой работы, к которым отношусь с уважением, то я посчитал бы эти варианты дурной шуткой с доведением идеи ЕГЭ до абсурда. Но, к сожалению, это не шутка. Это всерьёз. Но надолго ли? Причина появления таких уникальных задач в экзамене для выпускников 11 класса мне понятна: в 10-11-х классах полно детей, которые пришли не учиться, а переждать до наступления половой зрелости и юридической ответственности. Они согласились пойти в школу, потому что родители их и так кормят, а потом устроят куда надо. Они не брали на себя обязательств учиться в школе. Они бурно возразят, если кто-то нарушит по ходу дела правила игры «вы делаете вид, что учитесь, мы делаем вид, что положительно оцениваем вашу работу». Что правило «плюс 1 балл» отменят, их предупреждали, но вот уже 40 лет предупреждают, что дадут справку об окончании 11 классов вместо аттестата, а дают в исключительно редких случаях4.

Справедливости ради отметим, что среди предложенных 17 задач демоверсии ЕГЭ по математике есть и хорошие задачи, которые позволят отобрать детей для обучения в вузе со средними требованиями по математике, а вузы с более высокими требованиями кроме ЕГЭ по математике (или вместо ЕГЭ?) попросят предъявить результаты участия в олимпиадах (по разным оценкам до 15 % абитуриентов могут поступить в такие вузы фактически без ЕГЭ).

В связи с этим изменения содержания вариантов ЕГЭ по математике не кажутся мне трагическими. Но огорчает полное отсутствие комментариев, объясняющих причины появления таких задач в новой версии ЕГЭ по математике, и отсутствие предупреждения,

4 Токарева Д. ЕГЭ-2009 будут сдавать по новым правилам, Комсомольская правда, 16.10.2008, http://www.kp.ru/daily/24182.4/390770/

что через два года (когда школу покинут ученики, не способные решить на экзамене за 11 класс 5 задач из приведенного списка) задачи типа 1В (и какие еще?) будут заменены более сложными.

Надеюсь, что мы еще услышим мнение математического и педагогического сообщества. Если же проведенные изменения всерьёз и надолго, то это полная катастрофа школьного математического образования. Тогда неспособные к освоению школьного курса дети окончательно сядут на шею учителю. Им будет доказан важный ориентир: «Не парьтесь, ребята! Научитесь типа решать 5 задач из приведенного списка. И вы будете считаться получившими математическое образование». На таком общем уровне еще ниже упадет обучение в спецклассах, в вузах, упадет математическая наука. Россия повторит эксперимент, проведенный Адольфом Гитлером, который разогнал передовые математические школы Германии. Эти школы, как считают математики, не могут восстановиться до сих пор.

Но нам отрицательный опыт других стран не интересен. Мы на себе хотим испытать последствия бездумного реформирования образования. Мы же любим героически преодолевать трудности, которые сами себе создаем!

А. Димиев

г. Хьюстон, США

Из книги «Классная Америка»1

Перед вами выдержки из книги, кардинально отличающейся от всего написанного ранее о США российскими авторами. Вероятно, она в определенной степени поменяет ваше представление об Америке, особенно если у читателя нет собственного опыта длительного проживания в этой стране. По большому счету, все, что мы знаем о США, — это миф, имеющий так же мало общего с действительностью, как и представления американцев о России.

Что они знают о нашей стране? Что Россия — это Сибирь, мороз, медведи бродят по заснеженным городам; это цыгане, матрешки и водка, которую бородатые русские пьют в огромных количествах; еще это русская мафия, Ленин и Сталин. Наиболее продвинутые назовут имена Владимира Путина и Марии Шараповой. И, пожалуй, все. Это кажется смешным, но наши знания о реальной Америке не многим больше. Впечатления о США навеяны главным образом американскими же фильмами вкупе с репортажами наших журналистов. Все это не позволяет понять суть американского образа жизни, систему взглядов и ценностей, которыми американцы руководствуются и которые закладываются с детства, со школьной скамьи.

Надо сказать, что тема школьного образования, раскрываемая в этой книге, никого ранее особо и не интересовала. С другой стороны, мало кому из российских граждан приходилось сталкиваться со школьной Америкой.

Мне же довелось несколько лет проработать рядовым учителем в обычной американской школе. Америка, которую я увидел из школьного класса, повергла меня в шок — настолько открывшаяся реальность отличалась от моих представлений об этой стране. Среди всего прочего, эта работа позволила мне лучше понять американский социум, так как школа в любой стране является важнейшим социальным институтом, где закладываются основы личности и в какой-то степени — основы государственности. Поэтому значительная часть этой книги посвящена обычной общеобразователь-

1 Димиев А. Классная Америка. — Казань, Изд. дом «Парадигма». — 208 с.

ной школе, так называемой Public School, где учатся около 90 процентов юных граждан США.

Идея написать эту книгу пришла ко мне еще в 2003 г., когда мой приятель, главный редактор одной из татарстанских республиканских газет, попросил меня подготовить цикл статей об американской школе. Статьи вышли в газете «Восточный экспресс» осенью 2003 г. Они были написаны в виде путевых заметок. Этот материал, представленный в первых одиннадцати главах, и лег в основу книги.

В американском среднем образовании действительно много того, чему стоило бы поучиться, и что можно было бы перенять. Читатель увидит и оценит эти моменты. К сожалению, в ходе нынешней реформы перенимаются подчас далеко не самые лучшие и сильные стороны американской системы. А разрушается как раз то, чем наша школа славилась, что нарабатывалось десятилетиями. Возможно, эта книга поможет читателю лучше понять, к чему мы идем, подвергая нашу систему образования столь кардинальным перестройкам.

Книга получилась в определенной степени критической по отношению к системе образования США. Это не значит, что автор превозносит Россию, противопоставляя ее Америке. Будучи патриотом своей страны, я отдаю себе отчет в том, что отрицательного в России пока гораздо больше, чем в Штатах. Имея возможность сравнивать, я прекрасно вижу и понимаю все наши недостатки. Но это видят и понимают все. А вот портрет школьной системы США, написанный с натуры, думаю, для многих может стать новым открытием Америки.

На страже конституции

Отправной идеологической точкой американского образования является постулат о равных возможностях, являющийся наряду с постулатом о неприкосновенности частной собственности одним из столпов американской Конституции. Будучи приложенным к институту образования, этот постулат декларирует, что все дети в стране имеют равные возможности на получение образования независимо от уровня доходов, социального положения, национальности и пр. По сути дела, это попытка претворить (или сделать видимость претворения) в жизнь сугубо коммунистического принципа в исключительно капиталистической стране.

Второй постулат не прописан в Конституции, зато им пестрит педагогическая литература: «Несмотря на различные природные способности (английский аналог русского понятия "умственные способности" в американской педагогике отсутствует — Авт.), каждый ученик способен учиться». Другая версия этого утверждения: «Все имеют одинаковые способности, просто они выражены по-разному».

Совершенно логично, что если все дети в стране имеют одинаковые шансы на образование и одинаковые способности, то они должны иметь и одинаковые знания как результат реализации этих шансов. На практике люди понимают, что шансы совсем не равные, а способности и подавно. Между тем продекларированные принципы требуют постоянного подтверждения своего претворения в жизнь. Как это можно сделать? Очень просто: заменив два уже приведенных постулата третьим: «Каждый ученик способен учиться и каждый ученик в американской школе может и должен достичь успеха (success)».

Американцы очень любят это слово success, делая акцент на том, что успех в школе — это начало успеха в большой жизни. Здесь происходит завуалированная подмена понятий: право на качественное образование подменяется правом на success. Якобы это одно и то же. Мол, какая разница, у кого какие возможности и способности, если в итоге у всех одинаковый success?

Ответственность за выполнение этого принципа возлагается на школу, то есть на директора и учителей. В том, что ученик не успевает, виноваты не он сам и даже не его семья, а учитель и школа, так как априори считается, что сила американского государства настолько велика, что может из любого ученика сделать преуспевающего члена общества.

Этим утверждением о равенстве возможностей и способностей американская педагогика сама себя загоняет в тупик. Ведь что из него следует? А то, что высокий процент неуспевающих детей свидетельствует о недоработке государства, а точнее, тех чиновников, которые поставлены государством на столь ответственный пост -следить за выполнением этого принципа. Такого в демократическом государстве быть не должно. Только представьте себе, как далеко здесь можно зайти... Ведь сразу может возникнуть вопрос: а какие дети наиболее успевающие и какие — наименее? Возникнут попытки анализа и классификации. Что если окажется, что белые

успевают лучше черных? Представляете, что из этого может вырасти?! Это же, извините, расизм какой-то. А вдруг выяснится зависимость между социальным положением родителей и успеваемостью их детей? Тогда вообще беда! Ведь под сомнение попадает главный постулат о равенстве возможностей.

Нужно ли говорить, что американская педагогика, будучи обремененной этими идеологическими установками, сильно отличается от нашей. Ее суть невозможно понять, если пытаться это делать с позиций российского менталитета, нашей системы жизненных ценностей, да и просто с точки зрения здравого смысла. Если попытаться объяснить ее суть нашему человеку, то единственной реакцией будут слова: «Что за бред?».

Приведу пример. Знаете, что должен сделать настоящий педагог, если у него в классе безобразничает ученик? Никогда не догадаетесь — настоящий педагог в данной ситуации должен спросить себя: «А что же я делаю неправильно, что заставляет ученика так себя вести в моем классе?»

И действительно, в американской школе в центр вселенной поставлен его величество ученик, а все остальное вращается вокруг него (student-centered instruction). Учитель же является по сути дела обслугой, нанятой для процесса обучения. Для нас это кажется диковатым, тем не менее сами американцы в эту систему свято верят и считают ее единственно верной. Правда, не все американцы. Скажем так, что на этом настаивают педагоги-теоретики и чиновники от образования. Рядовые же учителя, особенно их старшее поколение, весьма критически высказываются об этой системе. Они еще помнят то время, когда в школах не было сегодняшнего абсурда.

Методология

Понятно, что существующие идеологические установки находят свое отражение и в принятой в стране методологии.

Основной подход к образованию в Америке заключается в том, что процесс обучения должен быть удовольствием. Американские ученики ходят в школу, чтобы получать удовольствие. То have fun -как они сами это называют. Образовательный процесс должен быть увлекательным, интересным и ненапряженным. Противное считается насилием над ребенком.

Понятно, что усиленный мыслительный процесс не может быть «фаном». Это американским ученикам противопоказано. Если же в процессе обучения мыслительного процесса нельзя избежать совсем, то он должен быть сведен до минимума, а за ним обязательно должно следовать поощрение в виде высокой оценки за решенную задачу. Очень популярны и более простые и понятные способы поощрения учеников, например, в виде конфетки за правильный ответ с места. В противном случае в глазах американского школьника пропадает смысл обучения, так как знания сами по себе не являются ценностью. Учебный процесс без вознаграждения за труд перестает быть «фаном».

Думаю, что одна из главных целей упрощения образовательного процесса и низведения его до примитивного игрового уровня как раз и состоит в том, чтобы завуалировать разницу в уровне подготовки и умственных способностях школьников. На самом деле эта разница огромная, величиной с пропасть. Поэтому учитель вынужден давать такое задание, с которым заведомо справятся все. Очень часто это либо игра, либо какая-нибудь поделка на уровне урока труда в четвертом классе. В результате все остаются довольны, а ученики даже не успевают осознать, каким примитивом занимаются. Они не понимают, что не получают реальных знаний по изучаемому предмету...

В отношении методологии существует огромная разница в преподавании точных наук. В России мы делаем акцент на теории и фактическом материале. Мы даем ученикам теорему и способ ее доказательства. Для умственной деятельности даем задачи и примеры. Чем больше, тем лучше. Американцы считают более важным привить навыки решения сугубо практических задач — real life problems. Считается, что если учащийся умеет решать поставленные задачи, то фактический материал всегда можно найти в литературе.

Это, конечно, не лишено смысла. Общеизвестно, что российское образование слишком теоретизировано и что неплохо бы приблизить его к практике. Но если фактических знаний полный ноль, то алгоритмы решения задач просто не к чему приложить.

Например, в России на уроках естествознания мы сначала в достаточно большом объеме даем эмпирический материал, который впоследствии обобщается в правила, теории и законы. Таким образом, наше образование выстроено в полном соответствии с истори-

ческим развитием науки. Американцы же, наоборот, сразу вываливают глобальную теорию или закон при минимальном количестве рассмотренных в подтверждение примеров.

По сути дела, они запрягают телегу впереди лошади, или, точнее, вообще без лошади. Без конкретных примеров общие законы не могут быть поняты и усвоены. Занимаясь этим каждый день и имея возможность сравнивать, я очень хорошо вижу и понимаю это.

О программе

Будучи обусловлен критерием «фановости» и всеобщего успеха, учебный процесс максимально упрощен. Наиболее четко это прослеживается на примере таких «нефановых» предметов, как математика, физика или химия. Это упрощение сразу же заметно при первом взгляде на школьную программу. Например, по математике их программа отстает от российской примерно на три года. Физика отсутствует как таковая. По химии преподается примитив, имеющий очень мало общего с российской программой.

Особо нужно остановиться на математике. Более-менее нормальная математика начинается в восьмом классе. Я не оговорился -не алгебра и геометрия, а именно математика, так как никакой алгеброй там еще не пахнет.

Год начинается с изучения отрицательных чисел, и решаются примеры на уровне:

5 + (-8) = ?

Причем сидят ученики на этом очень долго, так как их воображение отказывается воспринимать отрицательные числа. У них нет чувства чисел. Наиболее сложное для них — вычесть отрицательное число:

5+3) = ? Или сложить два отрицательных:

-5 + (-3) = ?

Решая последний пример, они получают либо 2, либо -2, но только не -8.

После этого начинается изучение дробей и действий с дробями. Наиболее сложным заданием по этой теме является пример типа нижеследующего:

Справляются с этим заданием не более 30 процентов учащихся.

Следующий этап — уравнения. Самые простейшие, типа 25х = 100 . Что интересно, они решают такие уравнения не так, как в России. Я сам неоднократно наблюдал это. Мы, чтобы найти х, делим 100 на 25, что кажется нам вполне логичным. Ведь х в 25 раз меньше, чем 100. Американцы делают это гораздо круче. Чтобы найти х, они делят обе части уравнения на 25. В результате слева остается х, а справа 4.

Это может показаться очень грамотным с математической точки зрения, но совершенно не способствует пониманию учеником сути производимых действий. Они не успевают осознать, что х в 25 раз меньше 100, механически выполняя показанные учителем операции.

Следующий этап — проценты. Около месяца они учатся рассчитывать, сколько процентов составляет, например, 15 от 60. Причем опять-таки делают это чисто механически. Они не делят 15 на 60, чтобы осознать, что 15 составляет одну четверть от 60. Большинство из них и поделить-то это не могут без калькулятора. Просто механически выполняют операции по данному учителем шаблону.

Будучи практически ориентированными, на математике они учатся строить разные графики. Нет, не функции, которые даются не ранее девятого класса. Просто учатся откладывать точки с экспериментальными данными на оси координат. Наиболее сложным является построение так называемого Circle Graph, круга, где процентное содержание составляющих компонентов представлено в виде секторов (круговые диаграммы). Для выполнения этого задания им нужно рассчитать, сколько градусов приходится на каждый сектор, путем умножения процентной доли на 360 градусов. Несмотря на очевидную простоту, далеко не все восьмиклассники справляются с этим заданием.

Вся вышеперечисленная программа рассчитана на полгода. Апофеозом этого курса является решение следующего уравнения:

5(х + 3)-7=3х + 12.

Но это уже является для них высшим пилотажем, и справляются с этим заданием не более 10 процентов ее учеников.

По словам моего коллеги Камиля Сафина, преподающего математику в Fonville Middle School, ни один из его учеников даже при наличии в руках калькулятора не способен ответить на вопрос — сколько яблок можно купить на восемь долларов, если стоимость одного яб-

лока 1 доллар 53 цента. Если бы одно яблоко стоило два доллара, то есть числа делились без остатка, то ученики знали бы ответ. А вот реальный вопрос с реальными числами вводит их в полнейший ступор.

Закончив обучение в Middle School, ученики переходят в High School, где еще раз выясняется, что математики они не знают.

Могу поклясться чем угодно, что более половины моих учеников в девятом классе Westbury High School не могли выполнить простейшего действия типа

47 +(-68) = ?

Что касается математики, то программа High School не сильно отличается от программы Middle School. Теоретически самым верхом в обязательной программе по математике являются логарифмы и решение квадратных уравнений. На практике же большинство школ и учителей просто отказываются от этого материала.

Научиться решать квадратные уравнения среди учеников обычных классов могут процентов 10-20. Таких предметов, как тригонометрия или дифференциальное исчисление, в обязательной программе не предусмотрено совсем.

Однако главное даже не в том, что американские ученики проходят, а в том, что они усваивают. Более половины учеников обычных классов не могут справиться даже с элементарными математическими заданиями, несмотря на то что проходили это неоднократно, начиная с класса шестого и кончая одиннадцатым. А это уже говорит о том, что дело здесь не только и не столько в программе, сколько в методике и методологии обучения.

Методика

Основной целью обучения на уровне начальной и средней школы не является выработка каких-либо навыков и умения мыслить. Задача — дать общее представление о материале, суть которого сразу же после написания контрольной работы благополучно забывается. Вместо скучного логического мышления ученикам даются игровые шаблоны-схемы, с помощью которых они должны решать те или иные примеры и задачи. Никакого понимания производимых действий при этом нет. Впоследствии для решения другого типа задач им даются другие шаблоны. Эти шаблоны наслаиваются один на другой. В результате в головах обучаемых образуется ка-

кая-то дикая смесь обрывочных знаний и отдельных кусков всех этих схем-шаблонов.

Например, каждый американский ученик с начальной школы знает поговорку «Please Excuse My Dear Aunt Sally». Этот шаблон подсказывает порядок выполнения математических операций. Первое слово please начинается на ту же букву, что и parentheses, что означает «скобки». Это означает, что в первую очередь нужно делать то, что в скобках. Далее следует степень, потом умножение, деление, сложение и вычитание. Зазубрил эту поговорку — и никакой тебе скучной логики. При этом они не понимают, что для умножения и деления важен порядок следования действий в записи числового выражения (аналогично для сложения и вычитания). Если они видят пример:

6:3×5=?

то они сначала умножат 3 на 5, а потом разделят 6 на 15 и получат ответ 0,4 в строгом соответствии с шаблоном-поговоркой.

Думать же логически и разбираться в задаче они не приучены. Таких любимых нами в детстве задач, как «Из пункта А в пункт Б вышел поезд...» в их учебной программе нет совсем. Я очень сомневаюсь, что даже американские ученики старших классов смогут решить такие задачи.

Вместо логического мышления дети в школе обучаются играм и манипуляциям. Они на сравнительно короткий срок (как правило -до конца урока, в лучшем случае — до ближайшей контрольной) обучаются простым операциям-схемам, суть которых — что куда и как перенести или передвинуть. Вот, например, как их учат переводить метры в сантиметры.

Перед учениками шкала, на которой расположены приставки единиц измерения, начиная от меньших слева, заканчивая крупными справа:

милли, санти, деци, один, дека, гекто, кило. Каждой единице соответствует ячейка. Таким образом, между метром и сантиметром две ячейки. Чтобы записать, например, 5,372 метра в сантиметрах нужно перенести запятую на две ячейки. Теперь самое главное — нужно решить, в какую сторону переносить. Инструкция такова — все время переноси в сторону, обратную движению. По нашей шкале от метров к сантиметрам мы движемся справа налево, значит, запятую нужно перенести слева направо.

Получаем 537,2 см. Осознать, что в метре 100 см и соответственно значение, выраженное в см, будет в сто раз больше, для них слишком сложно. Очень немногие могут понять это и использовать на практике.

Читатель мне не поверит, но большинство учеников 11 класса постоянно путаются, переводя граммы в килограммы и наоборот. Если они перепутали, в какую сторону перенести запятую, то вполне могут написать:

34,5 г = 34500 кг,

совершенно не смутившись полученным результатом.

Так они и переносят знаки слева направо и справа налево, не понимая смысла выполняемых операций. Учителя даже и не пытаются объяснить студентам, в чем истинный смысл этих действий. Отчасти потому, что многие учителя в свое время сами обучались по подобным методикам.

Рабочие тетради и работа в группах

Расскажу еще об одном «гениальном» изобретении американской педагогической мысли. Кстати, эта заразная вещь в последние годы стала активно проникать в школы российские — родители, будьте начеку! Американские учителя, особенно гуманитарных и естественных наук, очень любят использовать так называемый worksheet, что в дословном переводе означает «рабочий листок». В России это называют рабочими тетрадями. Эти рабочие листки прилагаются как дидактический материал к любому изданию учебника. Для учителя они хороши тем, что не болит голова, какие составить вопросы и задачи — все уже продумано за него.

Рабочий листок разработан для каждого отдельного параграфа учебника и содержит от десяти до двадцати пунктов по теме каждого урока. Каждый пункт есть какое-либо утверждение, но в этих утверждениях пропущены отдельные ключевые слова или целые фразы, которые учащиеся должны вписать.

По замыслу ученик, видимо, должен прочитать материал по учебнику, понять его, запомнить, а потом заполнить пробелы в рабочем листке. Американские студенты очень любят такую работу, особенно когда им разрешается выполнять эту работу в составе небольших групп. Я, будучи начинающим американским учителем,

тоже иногда прибегал к этой форме обучения. Дал задание, и они его делают чуть ли не весь урок.

Как-то моя собственная дочь, учась в седьмом классе Johnston Middle School, принесла домой такой worksheet в качестве домашнего задания по истории. Для выполнения этого задания ей предстояло прочесть в учебнике параграф объемом одиннадцать страниц. Это был только третий месяц ее пребывания в Америке, английского языка до приезда в страну она не знала, и на тот момент только-только начинала что-то понимать.

Задание было для нее невыполнимое, текст учебника оказался сложным даже для меня. Тем не менее я предложил ей поработать для начала самостоятельно, педагогично рассудив, что детей нужно приучать самостоятельно преодолевать трудности. Каково же было мое удивление, когда через часик она протянула мне практически полностью заполненный worksheet! Причем более половины задания было сделано правильно. Я задал ей пару наводящих вопросов, из чего мне стало понятно, что она по-прежнему почти ничего не понимает из текста. Тем не менее, задание выполнено — листок заполнен!

В чем же дело? А в том, что предложения в рабочем листке идентичны с предложениями в тексте учебника. Необходимо только найти соответствующее предложение в учебнике и отыскать в нем пропущенное слово...

Нужно ли говорить, уважаемый читатель, что и американские ученики поступают совершенно так же, как это сделала моя дочь. За очень редким исключением они не понимают того, что написано в учебнике. (Вам кажется это утверждение абсолютно голословным? Тогда вот, пожалуйста, — данные Национального центра образовательной статистики Америки. Согласно им, 70% выпускников американских школ не понимают письменный текст средней сложности. Другими словами, не понимают того, что читают.)

Подавляющее большинство учеников не могут подобрать правильного слова, если предложение в рабочем листке сформулировано несколько иначе, чем в тексте. Причем в этом случае совершенно не важно, что вопрос очень простой и для ответа не нужно даже знать предмета, что достаточно всего лишь иметь здравый смысл. Многие из них не смогут написать, что вода — это жидкость, а кислород — газ, если не найдут идентичного предложения в тексте учебника. Но авторы учебника — люди понимающие, и потому тексты в рабочем листке и в учебнике сходятся на 90 процентов.

Это еще не все. Для пущей эффективности студенты могут заполнять эти рабочие листки не индивидуально, а в составе небольшой рабочей группы из трех-четырех человек. Американцы очень гордятся такой системой обучения (group work) и считают, что она гораздо эффективнее традиционной, где каждый выполняет свое задание в одиночку. Считается, что в группе обучаемые помогают друг другу усваивать материал. Они делятся мыслями, идеями, что-то друг другу подсказывают и пр. Согласен, в самой идее что-то есть. В определенных условиях такая методика может дать результат. Например, если мотивация обучаемых очень высока, то по такой системе можно предложить решать сложные многоступенчатые задачи. Также система хороша в выполнении лабораторных работ.

В условиях же обычной американской школы это совершенно не работает. Я заметил, что даже в моем самом продвинутом классе, где мотивация учащихся неимоверно высока, реально в работе участвуют один или двое членов группы — те, что быстрее соображают. Остальные просто не могут угнаться за ходом мыслей лидеров. В лучшем случае они успевают понять, как лидеры решили задачу. Но понять — еще не значит научиться. Как известно, решенное другим человеком недолго задерживается в памяти.

В обычных же классах происходит следующее. Если ученики настроены работать, а учитель стоит над ними, то лидер выполняет задачу, а остальные просто бездумно списывают с него. В худшем же случае они болтают на посторонние темы, попутно что-то там пописывая на своих листочках. Читать написанное, как правило, нет никакого смысла.

Эта форма работы хороша тем, что в результате все справляются с заданием. Неважно, что один делал, а трое списывали, все -четверо получают одинаковую хорошую оценку. Вот она, успеваемость, вот они, показатели! Вот оно, торжество американской системы образования, где every student can learn, every one can be successful!!!

Устный счет на калькуляторе

Ученики 11 и 12 классов, успешно закончившие курсы Algebra-1 и Algebra-2, не могут разделить десять в шестой степени на десять во второй. Причем они послушно зазубрили правило (чувствуется, что это вдалбливалось достаточно долго и упорно): «умножаем -

складывай степени, делим — вычитай». Но вот произвести эти действия правильно могут единицы. Как вы думаете, что они делают, чтобы произвести эти вычисления? Догадались? Достают калькуляторы. Нет, они не набирают шесть нулей после единицы. Это продвинутые дети, и у них продвинутые калькуляторы, где есть кнопочка для работы с экспонентами! Они используют эту кнопочку и... все как один получают неправильный результат...

Оценить же полученный результат они не в состоянии. Могут, к примеру, поделить десять в третьей степени на десять во второй (то бишь тысячу на сто) и предъявить ответ: десять в пятой. То, что полученное число больше первоначального, их нисколько не смущает. К тому же многие из них просто не понимают, что десять в пятой степени — это сто тысяч, да и просто не в состоянии осознать величину этого числа. Многие не понимают, что тысяча — это десять сотен. И если большинство все же слышали, что миллион — это тысяча тысяч, то представить миллион как сто раз по десять тысяч способны лишь единицы.

Устный счет не развит совершенно. Любой набор цифр повергает их в шок.

Как-то в начале своей работы в американской школе на уроке химии в одиннадцатом классе показываю классу решение задачи на доске. После того как собственно химическая часть решения задачи закончилась путем постановки в формулу всех необходимых значений, получилась большая дробь: два числа в числителе, три в знаменателе, несколько экспонент.

Я предлагаю им самостоятельно завершить вычисления, справедливо полагая, что это уже дело техники, и ученики 11 класса справятся с этим легко. Наивный! Бедные учащиеся растерянно смотрят на эту дробь, не зная, какую цифру первой ввести в калькулятор и главное — как это сделать, ведь обычные числа чередуются со степенями. Я им предлагаю решить это без калькуляторов. По классу проходит смешок. Они думают, что учитель так нестандартно шутит.

Тогда я приступаю к решению и начинаю с сокращения чисел. Числа простые, специально подобранные для облегчения счета. Студенты понимают каждое мое отдельное действие и кивают головами. Более того, начинают подсказывать, что сократить на следующем этапе. Через какое-то время мы вместе с ними получаем

ответ, и по классу прокатывается гул восторга. Они обалдело улыбаются и смотрят на меня как на факира. Дэвид Копперфилд отдыхает! И тут я понимаю, что за все одиннадцать лет учебы в школе я первый учитель, кто показал им пример устного счета.

Это все происходит в моей образцово-показательной школе, где успевающие ученики. Они очень хотят понять, как это делается. Это прекрасные милые молодые люди с приятными лицами, и я искренне хочу научить их чему-нибудь. Поэтому начинаю им объяснять математику, хоть это и не моя работа. Прошу их отложить в сторону калькуляторы и пытаюсь задействовать их логику — не работает. Бьюсь над этим минут десять, заходя к проблеме со всех сторон — не доходит!

Тогда начинаю объяснять то же самое по американской схеме -большая половина класса тут же улавливает суть, и весь остаток урока нормально решает задачи. Но на следующий урок повторить то же самое могут уже лишь единицы. И это понятно — схема не может сидеть в голове долгое время.

Полный ноль

За несколько лет преподавания химии я заметил один интересный и очень показательный факт. Абсолютное большинство американских студентов совершенно не понимает категории «плотность». Учащиеся одиннадцатого класса не могут написать простейшей формулы:

Плотность = Масса / Объем

Они не в состоянии понять самой идеи плотности вещества как массы на единицу объема. Вместо понимания им предлагается зрительно запомнить картинку в виде круга, поделенного на три части. В верхней части находится масса, а в двух нижних плотность и объем. Запомнить это, разумеется, невозможно, поэтому они постоянно путаются.

В ходе недавней подготовки к государственному тесту ученики десятого класса должны были ответить на вопрос: «Если деревянный брусок распилить пополам, чему будет равна плотность каждой половинки?» Только 20 процентов ответили, что плотность останется та же, 60 процентов ответили, что плотность каждой половинки будет в два раза меньше начальной. Еще 20 процентов ответили, что плотность будет в два раза больше...

Даже если дать им вышеприведенную формулу, то они не способны на этом основании выразить массу или объем через две другие переменные. Это свидетельствует о полном отсутствии логического мышления. В принципе уже только за одно это можно смело ставить «неуд.» всей американской системе образования.

Основная проблема американских студентов заключается в отсутствии базы — минимума знаний и навыков, необходимых для усвоения более сложного материала. Все точные науки, как известно, уже на школьном уровне используют математические модели и соответствующий математический аппарат для описания физических или химических явлений. Не зная элементарной математики, невозможно усвоить ни более сложную математику, ни физику, ни химию.

Знаний все меньше, оценки все выше

А как же контроль над полученными учениками знаниями? -спросите вы. Должен же кто-то его осуществлять?! Контроль очень своеобразный. Администрацию школы интересуют лишь оценки. И чтобы все были довольны — и ученики, и их родители. То же самое, по большому счету, интересует и администрацию учебного округа. Я был просто потрясен, когда понял, что работу учителя в этом плане никто не проверяет. Отсутствует не то чтобы контроль — нет даже какой-либо попытки поинтересоваться: а что учителя там преподают у себя в классах? Государственная программа вроде бы существует, но по сути каждый учитель волен делать то, что хочет. Наверное, это связано с тем, что если требовать от учителя преподавания программного материала, то логично проверять и усвоение этого материала учениками. Если на это пойти, то успеваемость по основным предметам будет не выше 10 процентов.

Единственной формой контроля знаний учеников является сдача государственного экзамена, причем не в конце учебного года, а почему-то в апреле месяце.

В 2002 году в области государственного контроля в Техасе произошли некоторые изменения. Прежде всего изменили название теста с TAAS на TAKS и одновременно несколько усложнили вопросы, но до сих пор они достаточно просты по сравнению с российской программой. Чтобы убедиться в этом, можно просто взглянуть на предлагаемые задания и вопросы. Было бы очень уто-

мительно приводить их в этой книге. Интересующиеся могут сами ознакомиться с содержанием тестов, заглянув в Интернет по следующей ссылке:

www.state.tx.us/student.assessment/resources/release/taks/index.html или же просто набрав ключевые слова TAKS — test release в поисковике Google.

Нужно ли говорить, что форма всех тестов — Multiple Choice, где студенты должны просто выбрать один ответ из четырех предложенных. Тесты по естествознанию удивляют тем, что все вопросы очень общие и не требуют особых знаний предмета. Они вроде бы по предмету, но в то же время и не по предмету. Большинство представляют собой, как это называют сами американцы, common sense, что значит «здравый смысл». Вопросы составлены так, что любой более-менее развитый ученик может легко ответить на 70 процентов вопросов.

Сами посудите, нужны ли какие-либо особые знания химии, физики или биологии, чтобы ответить на вопрос: «Что станет с рыбой, если в воде сократится содержание кислорода?» Или как вам следующий вопрос: «Вода зимой в водоеме не промерзает до дна, потому что лед, образуемый на поверхности, обладает свойствами: а) интерференционными, b) теплоизолирующими, с) электропроводными, d) магнитоотталкивающими?» Интересно, какой ответ может выбрать любой человек, если он не абсолютный кретин? Еще больше подобных вопросов вы можете увидеть сами на вышеприведенном сайте. Все, что вам нужно для получения этого удовольствия, — знание английского.

В.Б. Гундырев

МИЭТ, г. Москва

Методы проверки результатов в системе инженерного подхода к решению задач по физике

Если рассматривать процесс решения задач как элемент подготовки к инженерному творчеству, то наряду с такими их общими элементами как построение модели, определения задачи, оптимизации решения и ряда других, необходимо подчеркнуть важность этапа проверки решения. Зачем нужны проверки? Самый простой ответ — для того чтобы сэкономить время, а возможно и средства. Одна маленькая небрежность, неосторожность, запятая не на том месте — и пропущено великое открытие или наоборот, деньги вложены в проект, который заведомо обречен на неудачу. Рассказывают, что король Густав Ваза решил сделать самый богатый, самый красивый и самый грозный корабль. Это ему удалось — корабль поражал мощью пушек и блеском золота. Красивые обводы корпуса говорили о том, что корабль полетит по волнам, словно птица. Однако, как только корабль спустили на воду, он тут же перевернулся и затонул. Так и лежал бы он на дне морском как памятник ошибке, сделанной на этапе инженерного анализа, да нашлись инженеры, подняли корабль в 1961 году. И хотя во времена короля Густава такого понятия как инженерный анализ не было, но корабли-то строить умели! Впрочем, возможно, что ошибка была на этапе принятия решения — политические аргументы часто перевешивают научные обоснования.

Проверка решения нужна всегда, причем не только в конце процесса вычислений. Проверка промежуточных этапов поможет, как минимум, сберечь время, чернила и бумагу. А уж о проверке в конце процесса решения говорить, наверное, нет необходимости -такая проверка обязательна всегда. Дальнейший текст будет относиться только к школьным задачам по физике. Мы разберем несколько методов проверки, но сразу укажем на одну важную особенность — любая проверка нужна не для того, чтобы доказать правильность решения, а для того, чтобы доказать его ошибочность. Иными словами, если один из методов проверки показывает нарушение физического смысла, то решение неверно, но если

ни один из методов не обнаружил несоответствия решения физическому смыслу, нельзя утверждать, что решение правильно, хотя вероятность этого возрастает с каждой проверкой. Окончательным судьей может быть только один вид проверки — экспериментальный, так как только опыт — критерий истины. Для того, чтобы понять, как проверять, надо разобраться в том, что проверять, иными словами, надо понять, какие ошибки могут быть допущены при решении задач. Можно выделить три группы ошибок:

1. Физические ошибки;

2. Ошибки в арифметических или алгебраических операциях;

3. Ошибки в операциях высшей математики.

Из операций высшей математики в школе используются, да и то очень мало, только дифференцирование и интегрирование, поэтому на ошибках этого вида мы останавливаться не будем и рассмотрим только ошибки первой и второй группы. В таблице указанны способы проверок как для числовых, так и для символьных результатов (уравнений).

Вид ошибки

Числовые результаты

Символические результаты (уравнения)

Физические ошибки

Проверка порядка величины (проверка на «здравый смысл»). Проверка соответствия результата с имеющимися данными.

Проверка соответствия результата с экспериментом.

Проверка размерности. Проверка симметрии. Проверка предельных и особых случаев. Проверка тенденций изменения

Ошибки в результатах арифметических или алгебраических операций

Повторение последовательности операций. Обращение последовательности операций. Применение другого способа получения результата.

Тому, как проверять арифметические и алгебраические действия, учат в школе начиная с младших классов, а вот тому, как на-

ходить физические ошибки практически не учат. Вообще говоря, два основных метода проверки решения физической задачи, которым учат в школе — проверка размерности в конце решения и сверка с ответом. Оба метода нужны и важны (необходимы), но совершенно не достаточны. Однако, прежде чем более подробно говорить о способах проверки, выясним, чем отличаются числовые и символические результаты. Рассмотрим простенький пример: первый автомобиль проехал на 60 км больше, чем второй, а вместе они проехали 160 км. Требуется найти расстояние, которое проехал первый автомобиль. Эту задачу можно решить по действиям, проводя на каждом этапе арифметические расчеты.

Такой способ очень важен и полезен при обучении, но имеет ряд недостатков, основные из которых следующие:

• Мы не можем проверить окончательное решение, не проверив все промежуточные этапы;

• Мы не можем получившийся результат распространить на другие подобные задачи, так как все этапы надо будет проходить заново. Иначе говоря, мы не можем ввести в компьютер формулу, которая позволит нам получать ответ при любых значения суммы и разности путей автомобилей, а для инженера это может оказаться важным фактором.

Эту же задачу можно решить уравнением. Пусть разница пройденных путей будет AS = 60 км, а суммарный пройденный путь S = 160 км. Надо найти путь S1 первого автомобиля. Уравнение будет иметь вид:

откуда получаем

Это выражение можно анализировать и проверять. Так, например, сразу видно, что размерности его левой и правой частей одинаковы. Кроме того, это выражение, введенное в компьютер, позволит легко вычислять путь первого автомобиля, не зависимо от изменения величин S и AS. Поэтому мы настоятельно рекомендуем во всех задачах получать сначала алгебраическое выражение, а уже затем подставлять в него числовые значения.

А вот теперь можно более подробно поговорить о способах проверки физического смысла результата.1

С проверкой размерности знакомят в школьном курсе физики, поэтому приведем только некоторые рекомендации.

1. Проверку размерности имеет смысл проводить не только на конечном, но и на промежуточных этапах.

2. Для удобства анализа размерности ответ желательно записывать в блочной форме, так, чтобы блоки были либо безразмерными величинами, либо имели размерность известной величины. Например, в задаче о бруске, въезжающем на горизонтальный шероховатый участок, для переменной силы трения получим выражение

Для удобства анализа его лучше записать в виде

В этой формуле блоки отделены друг от друга знаками умножения. Видно, что мы имеем произведение двух безразмерных блоков на блок, имеющий размерность силы. Никакой подстановки основных единиц не требуется — все ясно с одного взгляда.

3.Размерности левой и правой частей ответа должны быть одинаковы.

4. Если в ответе есть сумма или разность нескольких физических величин, то все эти величины должны иметь одинаковую размерность.

5. Показатель степени — величина всегда безразмерная.

6. Аргументы тригонометрической и логарифмической функции всегда безразмерны.

Главное при проверке методом размерности — знать, какая физическая величина какой буквой обозначена в решении.

Проверка задачи на симметрию менее универсальна. Во-первых, этот вид проверки требует знания условия задачи, а во-вторых, далеко не во всех задачах присутствует какой-либо вид симметрии. Правило проверки на симметрию таково: если объек-

1 Часть материала взята из книги А.С. Овчинникова и Б.М. Орлова. Сборник задач по физике и методы их решения. М: МИЭТ, 1978.

ты или физические явления удовлетворяют требованиям симметрии, то и ответ тоже должен удовлетворять этим требованиям. Поясним сказанное примером. На рисунке 1 приведена схема цепи: лампа с сопротивлением R и два источника ЭДС E1 и E2 с внутренним сопротивлением r1 и r2. Определить силу тока I, текущего в цепи. Приведем четыре ответа, удовлетворяющие соображениям размерности.

Из рисунка в условии задачи видно, что источники ЭДС расположены симметрично, то есть, если поменять их местами, результат не должен изменяться ни по величине, ни по знаку. Поменять источники местами означает изменить индексы в ответе 1 на 2 и 2 на 1. Второе и третье выражение не удовлетворяют проверке на симметрию, следовательно, они не верны. Про первое и четвертое уравнение мы пока ничего конкретного сказать не можем.

Если из условия задачи нельзя увидеть симметрию, то такой способ проверки невозможен.

Проверка пределов и особых случаев может быть проведена довольно просто и в некоторой степени заменяет экспериментальную проверку. Это связанно с тем, что любой, самый полный опыт можно расчленить на ряд частных. А результат частного опыта иногда бывает так прост и нагляден, что его можно вспомнить или представить себе, не проделывая сам опыт. В нашем примере можно представить себе некоторые особые ситуации, которые мы знаем и можем убедительно предсказать. Если общий ответ в этих частных случаях совпадает с нашим предвидением,

Рис.1.

то вероятность того, что общий ответ верен, возрастает. Эти особые ситуации следующие: одна или обе ЭДС равны нулю или бесконечности, их сопротивления равны нулю или бесконечности, и, наконец, ЭДС и их сопротивления могут быть равны друг другу.

Пусть, например, сопротивление второго источника ЭДС будет равно бесконечности, то есть r2 = °о .Это равносильно разрыву участка цепи там, где включено это сопротивление. Формулы будет удобнее анализировать, если числитель и знаменатель разделить на r2:

Так как любое число, деленное не бесконечность, равно нулю, то из второй формулы следует, что ток определяется вторым источником ЭДС, в то время как первый не играет никакой роли. Однако, мы понимаем, что бесконечно большое сопротивление -это ни что иное, как разрыв цепи, и, следовательно, ситуация обратная — ток создается первым источником ЭДС, а второй отключен от цепи. Таким образом, второй ответ однозначно неверен, а вероятность того, что первый верен возросла.

Рассмотрим еще один пример. Напряженность электростатического поля, создаваемая кольцом радиуса R, равномерно заряженным зарядом Q на оси кольца на расстоянии d от его центра определяется соотношением:

Мы можем угадать ответ для трех особых случаев. В центре кольца, когда d = 0, напряженность поля должна быть равной нулю. Формула удовлетворяет этому требованию. На очень большом расстоянии, когда d=oo, напряженность будет нулевой. И этому требованию формула удовлетворяет. Интересен также случай, когда расстояние достаточно велико, то есть выполняется условие d>>2R, но поле еще можно обнаружить. В этом случае радиусом кольца можно пренебречь по сравнению с расстоянием

до точки наблюдения, и мы имеем точечный заряд, создающий поле на расстоянии d .

Рассмотрим на этом же примере применение метода анализа тенденций изменения.

Ясно, что при увеличении заряда Q напряженность поля в данной точке будет возрастать. Понятно также, что с увеличением радиуса кольца заряд удаляется от данной точки, и напряженность будет уменьшаться. Анализ зависимости напряженности от расстояния d немного сложнее, так как это расстояние входит и в числитель, и в знаменатель. Здесь удобно воспользоваться графиком, изображенным на рисунке 2 и соображениями, о которых говорилось в предыдущем примере. Ясно, что при малых значениях d напряженность мала и близка к нулю. По мере удаления от центра кольца напряженность растет почти прямо пропорционально d, так как в знаменателе этим расстоянием можно пренебречь по сравнению с радиусом. На графике этот участок показан жирным пунктиром. На бесконечности напряженность так же равна нулю, и, по мере приближения к кольцу растет, причем по известному закону Е ~ . На графике этот участок — жирная сплошная линия. «Угаданные» нами части графика совпадают с зависимостью, заданной формулой

изображенной тонкой линией.

Совпадение «угаданных» кусков с частью линии графика повышает шансы того, что ответ верен.

Рис.2.

В заключение скажем несколько слов о «здравом смысле» как методе проверки числового результата.

Здравый смысл хорошо помогает ориентироваться в обычной жизни, но мало пригоден для научной деятельности. Ведь, если бы люди руководствовались только здравым смыслом, не было бы ни теории относительности Эйнштейна, ни самолетов или кораблей с металлическим корпусом — ведь металл тонет в воде и тяжелее воздуха! Однако, иногда, на него можно положиться.

Приведем примеры. Скорость автомобиля 2-108 м/c не только противоречит смыслу научному — ведь это две третьих скорости света, но и здравому — такой автомобиль за две десятых секунды объедет Землю вдоль экватора! Причина может быть как в том, что мы просто ошиблись при выполнении арифметических действий, так и в том, что мы применили физические законы в условиях, где они не применимы. Так, например, нельзя использовать второй закон Ньютона F = ma , где m = const для тел, скорость которых сравнима со скоростью света. Второй пример. Отрицательное сопротивление или время полета камня могут быть как следствием ошибки в расчетах, так и того, что «слишком» аккуратно было решено квадратное уравнение и не отброшен его лишний корень.

Таким образом, представляется достаточно важным и полезным, при обучении школьников процессу решения задач уделить внимание методам текущего контроля решения и проверки окончательного результата. Особенно важно это в классах физико-математического профиля, учащиеся которых имеют значительную мотивацию на дальнейшую научную или инженерную карьеру.

Т.М. Вуколова

М.К. Потапов

А.В. Шевкин

г. Москва

Об уравнениях вида f(x)φ(x) = g(x)

На вступительных экзаменах в некоторые вузы иногда предлагается решить уравнение вида

(1)

где и f(x) и φ (х) — функции, не являющиеся константами.

Многие считают, что, когда предлагаются уравнения вида (1), то имеется в виду только те корни уравнения (1), для каждого из которых f(x) > 0, и объясняют это так: «Так как возводить в любую степень можно только положительное число, то должно выполняться условиеf(x) > 0».

В ответ другие говорят, что это требование не обязательно: «Разве число (-1) не является корнем уравнения x1 = -1, — ведь (-1)1 = -1? Разве число 0 не является корнем уравнения xcosx = х, — ведь 0cos0 = 0?»

Конечно, для школьника более приемлема первая точка зрения, поэтому часто в пособиях для школьников и отыскиваются только те корни уравнений вида (1), для которых f(x) > 0.

Не обсуждая вопрос: «Можно ли предлагать уравнения вида (1) на вступительных экзаменах в вузы или нет?», рассмотрим, как надо решать такие уравнения, если встать на вторую точку зрения. В этом случае решение уравнений вида (1) должно основываться на известных всем правилах возведения в степень числа.

1. Если а > 0, то число аа определено для любого числа а е R.

2. Если а = 0, то число аа определено только для любого положительного числа а, причём 0a=0.

3. Если а < 0, то число аа определено только для любого целого числа a (a g Z).

Поэтому при решении уравнения вида (1) надо рассмотреть 3 случая, т. е. рассмотреть решение уравнения (1):

1) на множестве M1 тех х, для каждого из которых f(x) > 0;

2) на множестве M2 тех х, для каждого из которых f(x) = 0;

3) на множестве M3 тех х, для каждого из которых f(x) < 0,

и в каждом из них воспользоваться своим правилом возведения в степень числа.

Приведём примеры решения уравнений вида (1), исходя из второй точки зрения, при этом в каждом примере будем рассматривать решение уравнения вида (1) последовательно на множествах М1, M2 и M3.

При решении уравнений на множестве M1 часто используется следующая теорема.

Теорема. Пусть фиксированное число а таково, что а > 0 и а ≠ 1 и пусть в каждой точке множества M обе функции f(x) и g(x) положительны, тогда в каждой точке множества M равносильны уравнения

Пример 1. Решим уравнение

(2)

Рассмотрим уравнение (2) на множествах М1 = {х : х > 0}, M2 = {х:х = 0}, М3 ={х:х<0}.

Для каждого х е M1 имеем: x1 > 0, т. е. xx ≠ -1, поэтому на множестве M1 нет корней уравнения (2).

На множестве M2 левая часть уравнения (2) имеет вид 0°, так как запись 0° не имеет смысла, то на множестве M2 также нет корней уравнения (2).

На множестве M3 выражение x1 имеет смысл лишь для х = -к, к G N. В этом случае уравнение (2) имеет вид

Ему удовлетворяет лишь к = 1. Поэтому на множестве M3 уравнение (2) имеет единственный корень x1 = -1.

Следовательно, и на множестве R уравнение (2) имеет единственный корень -1.

Ответ: -1.

Пример 2. Решим уравнение

(3)

Рассмотрим уравнение (3) на множествах Мх = {х:х + 2>0}, M2 = {х : X + 2 = 0}, M3 = {х : х + 2 <0}.

На множестве M1 выражение (х + 2) имеет смысл и положительно, так как х + 7 > 0 для всех х g M1. Поэтому получим (по теореме), что на множестве М1 уравнение (3) равносильно уравнению

которое имеет только один корень х0 = — 1, принадлежащий множеству M1. Следовательно, на множестве M1 уравнение (3) имеет единственный корень х0 = — 1.

На множестве M2 левая часть уравнения (3) имеет вид 0^ , значит, уравнение (3) не имеет решений на множестве M2.

На множестве M3 должно выполняться условие √x + 7 g Z. Так как X + 2 < 0, а правая часть равенства (3) положительна, то √х + 7 = 2к, где к е N и {0}, т. е. х = 4к2—1 и так как х + 2 < 0, то должно выполняться неравенство 4k2—7 < -2, т. е. k2 < —, а этому условию удовлетворяют лишь k1 = 0, k2 = 1 и k3 = -1. Из этих чисел лишь числа 0 и 1 принадлежат множеству N и(0}, поэтому на множестве M3 уравнение (3) имеет два корня: x1 = -1 и х2 = -3.

Объединяя корни, найденные на множествах М1, M2 и M3, получаем, что уравнение (3) имеет три корня -7; -3; -1.

Ответ: -7; -3; -1.

Пример 3. Решим уравнение

хх + 2=х5. (4)

Рассмотрим уравнение (4) на множествах М1 — {х : х > 0}, M2 = {х : X = 0}, M3 = {х : х < 0}.

На множестве М1 уравнение (4) равносильно (по теореме) уравнению (x + 2)lgx = 5lgx, имеющему два корня х1 = 1 и х2 = 3, которые принадлежат множеству М1. Следовательно, уравнение (4) имеет на множестве M1 два корня: х1 = 1 и х2 = 3.

На множестве M2 уравнение (4) примет вид 00+2 = 05, значит, число х3 = 0 — корень уравнения (4) на множестве M2.

На множестве M3 должно выполняться условие х + 2 g Z, но тогда и X g Z, и поскольку X < 0, то X = где к е N. Поэтому урав-

нение (4) можно переписать в виде (—к) =(~к) или (так как k ≠ 0) в виде (-к)3+к = 1, где к е N, ясно, что ему удовлетворяет лишь к = 1. Следовательно, уравнение (4) на множестве M3 имеет один корень х4 = -1.

Объединяя корни, найденные на множествах M1, M2 и M3, получаем, что уравнение (4) имеет четыре корня -1; 0; 1; 3.

Ответ: -1; 0; 1; 3.

Пример 4. Решим уравнение

(5)

На множестве М1 уравнение (5) равносильно (по теореме) уравнению

Рассмотрим уравнение (5) на множествах

имеющему на множестве М1 решения:

где к Е N (так как х > —). Они и только они и будут решениями уравнения (5) на множестве М1.

На множестве M2 уравнение (5) примет вид

Так как

то число — есть корень уравнения (5). Следовательно, уравнение (5) имеет единственный корень — на множестве M2.

На множестве M3 должно выполняться условие sin х е Z, что возможно только в трёх случаях: a) sin х = -1 ; б) sin х = 0; в) sin х = 1.

В случае а), т.е. в случае х = — + 2кп, к е Z, учитывая, что X < —, получаем, что х =---2пп, где n g 7Vu{0}. Но тогда

ни для одного n g TV u {0}.

В случае б), т. е. в случае х = кп, к g Z, учитывая, что х < —, получаем, что х = -тп, где m е 7Vu(0}. Но тогда (-тп)° = 1 Ф -тп ни для одного m е N, и запись 0° лишена смысла для m = 0 .

В случае в), т. е. в случае х = — + 2кп, к е Z, учитывая, что X < —, получаем, что х =--21n, где / g N. Но тогда

для каждого I g N.

Следовательно, все решения уравнения (5) на множестве M3 составляют серию.

Объединяя решения, найденные на множествах М1, M2 и M3, получаем, что уравнение (5) имеет решения

Ответ:

Пример 5. Решим уравнение

(6)

Рассмотрим уравнение (6) на множествах

На множестве М1 уравнение (6) равносильно (по теореме) уравнению cos X lg sin X = 0 , решения которого на множестве М1 есть серия Хк = — + 2кк, k е Z.

На множестве M2 левая часть уравнения (6) примет вид 0coskn ? и она либо равна 0 (при к чётном), либо она не имеет смысла (при к нечётном). Поэтому уравнение (6) не имеет решений на множестве M2.

На множестве M3 должно выполняться условие cos х е Z, что возможно в трёх случаях: a) cos х = 1 ; б) cos х = —1; в) cos х = 0. В случаях а) и б) нет х, удовлетворяющих условию sin х < 0.

В случае в), т. е. в случае х = — + кп, к е Z, учитывая, что sin х < 0, получим, что

Но тогда

для каждого n е Z.

Следовательно, все решения уравнения (6) на множестве M2 составляют серию

Объединяя решения, найденные на множествах M1, M2 и M3, получаем, что уравнение (6) имеет единственную серию решений

Ответ:

Пример 6. Решим уравнение

(7)

Рассмотрим уравнение (7) на множествах

На множестве М1 уравнение (7) имеет решения только среди X, удовлетворяющих условию 3 + 2х — х2 > 0, т. е. среди хе [-1; 3].

На множестве М1 =М1п[-1;3] уравнение (7) равносильно (по теореме) уравнению

которое равносильно совокупности систем

Уравнение первой системы имеет два корня

Поэтому первая система имеет единственное решение

Уравнение второй системы имеет серию решений xn = 2пп, n g Z. Так как неравенство системы можно переписать в виде -1 < X < 3, то из решений xn в этот промежуток попадает лишь х0 = 0 . Поэтому вторая система имеет единственное решение 0.

Так какх0 g Мх и x1 g Мх, то уравнение (7) имеет на множестве М1 лишь два корня: х0 = 0 и х1 = 1 — √3 .

На множестве M2 уравнение (7) имеет решения только среди X, удовлетворяющих условию

Поэтому все эти решения совпадают с решениями системы

Уравнение этой системы имеет серию решений

k g Z. Из них неравенству системы удовлетворяет лишь одно число —. Следовательно, уравнение (7) имеет на множестве M2 единственный корень —.

На множестве M3 уравнение (7) имеет решения только среди X, удовлетворяющих условию

Так как

то для тех X, для которых имеет

смысл

Поэтому или n = 0, или n = 1, или n = 2 .

Значит, в этом случае решение уравнения (7) есть объединение решений трёх систем

Очевидно, что первая и третья системы не имеют решений, а вторая имеет единственное решение

Следовательно, уравнение (7) имеет на множестве M3 единственный корень

Объединяя решения, найденные на множествах M1, M2 и M3, получаем, что уравнение (7) имеет четыре корня

Ответ:

Отметим, что иногда при решении уравнений вида (1) можно не рассматривать три случая, если из каких-либо условий на функции f(x), φ (х), g (х) следует, что надо рассмотреть лишь один из этих случаев.

Пример 7. Решим уравнение

(8)

Все корни уравнения (8) содержатся среди тех х, для каждого из которых определена функция g(x) = , т. е. среди тех х, для которых справедливо неравенство х-1 > 0. Следовательно, все корни уравнения (8) содержатся в множестве М = (1; +°о). Поэтому рассмотрим решение уравнения (8) только на этом множестве. В каждой точке множества M функция f(x) = (х-1) > 0. По теореме уравнение (8) равносильно на множестве М уравнению

Решения последнего уравнения

и будут решениями уравнения (8).

Ответ:

Упражнения

Решите уравнение.

Ответы.

Работа поддержана РГНФ (проект № 08-06-00144а).

И.Б. Писаренко

Лицей № 1557, «Интеллектуал», г. Москва

Обучение с помощью серий задач на уроках и кружках

«Это не простое собрание задач на одну тему. Их расположение должно побудить читателя к самостоятельной работе и привить ему навыки творческого мышления».

Д.Пойа Задачи и теоремы анализа.

Идею обучения анализу с помощью серий задач впервые выдвинул венгерский математик Д.Пойа и реализовал ее, совместно с Г.Сеге, в знаменитом двухтомнике задач.

В этой статье я попытаюсь обосновать полезность применения идеи Д.Пойа к школьной математике.

Детская серия:

1) Как в три приема положить в холодильник слона? (Открыть холодильник. Положить туда слона. Закрыть холодильник.)

2) Как в четыре приема положить в холодильник жирафа? (Открыть холодильник. Достать оттуда слона. Положить жирафа. Закрыть холодильник.)

3) Слона и жирафа заставили бежать стометровку. Кто победит? (Конечно слон, ведь жираф сидит в холодильнике.)

Эта шуточная серия хорошо иллюстрирует одну характерную особенность серий задач, которую отметил еще Д.Пойа: «Многие задачи, которые, будучи предложены изолированно, были бы неприступны, здесь окружены задачами подготовительного и пояснительного характера и преподнесены в такой связи, что без особого труда могут быть осилены самостоятельно».

В российской педагогической литературе широко описан метод листочков. Особенно часто он применяется на кружках. Ребята получают листочек с несколькими задачами на заданную тему и до конца занятия должны их самостоятельно решить и сдать преподавателю. Причем порядок решения задач не имеет большого значе-

ния, и решение одной задачи не очень облегчает решение другой. В этом состоит различие метода листочков и метода серий. В серии порядок следования задач очень важен. Первая задача серии должна быть очень легкой для решения. И если ученик решил предыдущую задачу серии, он должен иметь возможность легко решить следующую задачу.

В правильно составленной серии большинство учащихся должно решить самостоятельно большую часть задач, лишь изредка прибегая к помощи преподавателя. С помощью серий задач мы можем формировать и закреплять формальные и неформальные навыки по решению математических задач. Приведем некоторые серии для формирования теоретических навыков и прокомментируем их.

Серия: «Перевод бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь».

1) х = 0,3333333.....

2) x = 0,7777777.....

3) x = 0,98989898...

4) x = 0,4252525.....

5) x = 5,2766666.....

6) Сформулируйте правило перевода десятичной дроби в обыкновенную дробь.

Комментарий: Первая задача служит для создания иллюзии у учащихся, что они все могут сами.

Критическая трудность — во второй задаче, детям тяжело работать с бесконечностью. Подсказка учителя: «Если бы мы знали у = 7,777..... смогли бы мы найти х?» Со всеми остальными переходами учащиеся могут справиться самостоятельно. Если нет, мы им немного поможем. В итоге у учащихся создается иллюзия, что они сами вывели правило (ну помог учитель немного в одном или двух местах). А правило, которое вывел и сформулировал сам, уже тяжело забыть.

Серия: «Формула корней квадратного уравнения».

Образец:

Решить:

Комментарий. Обучающая серия должна решать только одну задачу, не отвлекаясь на дополнительные сложности. Поэтому все коэффициенты в серии хорошие, корней всегда два, и до шестой задачи они рациональные, а до четвертой — целые. Задач в серии должно быть, с одной стороны, как можно меньше, а с другой стороны, все переходы должны быть доступны учащимся.

Все это проверяется экспериментально. Сначала делаем рабочую серию, при необходимости добавляя промежуточные вспомогательные задачи; для более слабых детей должна быть разработана система подсказок. Далее оптимизируем серию, выбрасывая ту или иную задачу, и наблюдая за решаемостью.

Серия: «Формула суммы геометрической прогрессии». Задача: Мы должны научиться находить суммы членов геометрических прогрессий.

Докажите последнюю формулу.

Контрольный вопрос: Sn =b1 +b1-q + b1-q2 +.....+ ? = ?

Комментарий. Критическая задача в этой серии, — задача о вычислении Sn при q = 3 .

Подсказка такая: «Мы хотим, чтобы Sn=3n-1 т.е. S1=2, S2 = 8, S3 = 26. А у нас?»

Серии задач можно использовать не только для получения новых формул, но и для закрепления и отработки навыков применения этих формул для решения задач. Для этого нужно придумать и предложить учащимся учебные серии. Каким образом их составлять? Прежде всего, в большом навыке мы должны выделить ряд поднавыков. В навыке «применение формулы для корней квадратного уравнения» я, например, выделил такие поднавыки: «коэффициенты»,

«дискриминант», «неполные», «перенос влево» (3x2 -1 = 4 + х — 6х2 ), «иррациональные корни и коэффициенты», «почти квадратные» «дроби» «идея замены», «биквадратные», «квадратичная замена» «модуль», «параметр», «четный большой b».

Для отработки элементарного поднавыка предлагаю использовать серию из четырех задач следующих типов:

а) образец;

б) аналог образца (отличается от образца лишь числами);

в) усложнение-1 (легко сводится к образцу);

г) усложнение-2 (для сведения к образцу требуется некоторое усилие).

Для домашнего задания рекомендую давать аналоги б) и в).

Приведу несколько конкретных примеров: Серия: «коэффициенты».

Серия: «идея замены».

Серия: «биквадратные».

Список поднавыков можно получить анализируя тексты учебников и задачников. По каждой теме выделяем набор серий и порядок их следования. Далее каждый преподаватель сам выбирает тот

набор серий, которые должны выполнить его ученики. Если класс слабый, преподаватель может детализировать серию, разбив ее на ряд подсерий, уменьшив шаг между задачами и увеличив число повторов. Если класс сильный, то можно объединить некоторые серии, уменьшив число задач и увеличив тем самым сложность перехода от одной к другой.

Таким образом производится подстройка серий под конкретный класс. Возможна подстройка и под конкретного учащегося. Допустим, учащийся не смог самостоятельно в биквадратной серии перейти от задачи б) к задаче в); в таком случае можно немного подсказать учащемуся, дав промежуточную задачу t4 -13t2 + 36 = 0 , а для контроля понимания сгенерировать аналогичную серию. Для учащегося, который освоил навык, никаких проблем она представлять не будет, а для того, кто не освоил, это будет совершенно новая задача. Тем самым, даже у слабого ученика мы сможем создать иллюзию успешного обучения. Из трех задач он не решает только одну. Мы же, не выдавая секрета, можем снова и снова возвращать его к проблемному месту, варьируя подсказки до тех пор, пока он не преодолеет барьер.

Серии задач легко использовать для формирования неформализуемых навыков (например нвыков решения логических задач). Поэтому их удобно применять на кружках, формируя те или иные умения по решению нестандартных задач.

Приведем несколько примеров.

Серия: «Мудрецы».

Задача 1. В поезде едут два мудреца. Внезапно поезд въезжает в туннель, и после того, как становится светло, каждый из мудрецов видит, что лицо его коллеги испачкано сажей, влетевшей в окна вагона. Они начинают смеяться друг над другом, однако внезапно самый сообразительный мудрец догадывается, что его лицо тоже испачкано. Как ему это удалось?

Задача 2. В поезде едут три мудреца.

Задача 3. В поезде едут пять мудрецов.

Задача 4. В поезде едут 100 мудрецов.

Комментарий. Первую задачу серии решить довольно легко. Вторую саму по себе уже нет, а вот сведением к первой просто. Третья задача напрямую к второй не сводится, надо рассматривать

промежуточную задачу про четырех мудрецов. Для того, чтобы аккуратно решить последнюю задачу, надо рассмотреть переход от произвольного количества мудрецов к количеству, на единицу большему. В этой серии мы неявно формируем навыки сведения одной задачи к другой, навык использования метода математической индукции.

Серия: «Кучки монет».

Задача 1. Имеются две кучки монет. В каждой кучке по две монеты. В одной кучке все монеты фальшивые. Настоящая монета весит 10 грамм, а фальшивая — на один грамм меньше. Как с помощью одного взвешивания на пружинных весах, показывающих вес в граммах, определить кучку с фальшивыми монетами?

Задача 2. Имеются десять кучек монет. В каждой кучке по десять монет. В одной кучке все монеты фальшивые. Настоящая монета весит 10 грамм, а фальшивая — на один грамм меньше. Как с помощью одного взвешивания на пружинных весах, показывающих вес в граммах, определить кучку с фальшивыми монетами?

Задача 3. Имеются десять мешков монет. В некоторых мешках все монеты фальшивые. Настоящая монета весит 10 грамм, а фальшивая — на один грамм меньше. Как с помощью одного взвешивания на пружинных весах, показывающих вес в граммах, определить все мешки с фальшивыми монетами?

Задача 4. Имеются десять мешков монет. В одном мешке все монеты фальшивые. Все фальшивые монеты имеют один вес, а все настоящие — другой, разность этих весов неизвестна. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах, показывающих разность веса на чашках в граммах, определить мешок с фальшивыми монетами?

Комментарий. Критический переход в этой серии — это переход от первой задачи ко второй. Не все решения первой задачи переносятся на вторую. Чтобы найти нужное решение, надо перебрать все решения первой задачи.

Серия: Магические квадраты.

1. Можно ли составить магический квадрат 3 на 3 из девяти первых натуральных чисел?

2. Можно ли составить магический квадрат 6 на 6 из тридцати шести первых простых чисел?

3. Два игрока играют в такую игру: каждый игрок по очереди берет карточки с числами от 1 до 9. Выигрывает тот игрок, у кого на любых трех карточках в сумме получится 15. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

4. Можно ли составить магический квадрат 5 на 5 по произведению из 25 первых натуральных чисел?

Комментарий. Помимо всего прочего эта серия служит для разрушения вредной привычки сводить все к последней решенной задаче. Здесь третья задача сводится к первой, а не ко второй, а четвертая аналогична второй, а не третьей. Дети должны быть готовы использовать любую из решенных ранее задач.

По моему мнению серии задач — это удобный и универсальный способ формирования того или иного навыка. Серии задач не перегружены информацией, при решении ученик не должен помнить внешних, навязанных ему правил. Наоборот, в процессе решения задач он естественно формирует свои правила, так как ему удобно, поэтому и проблем с запоминанием не возникает. Жесткое внешнее управление учебной деятельностью, заменяется мягким, через подбор задач, и у учащегося возникает очень полезная иллюзия, что он до всего догадался сам. Серии задач позволяют резко сократить число упражнений, необходимых для формирования и автоматизации того или иного навыка. Если вы самостоятельно научились решать квадратные уравнения, то и через десять лет вы сможете восстановить этот навык. Серии задач годятся как для формирования навыков, так и для их автоматизации и закрепления. Кроме того, их можно использовать и для формирования исследовательских умений и навыков на уроках и на кружках.

П.В. Чулков

ФМШ №2007, г. Москва

Мелочи с урока

Всегда полезно показать ученикам несколько решений одной и той же задачи. Приятно, когда эти решения предложены учениками непосредственно на уроке. Предлагая учащимся следующую задачу, обычно рассчитывают показать геометрическое решение (см., например, Решение 1).

Задача. Найдите положительные решения системы уравнений:

Решение 1. Предположим, (x,y,z) — положительное решение данной системы. Вычислим стороны треугольника ABC, в котором углы АОВ, ВОС и СОА равны 180°, а ОА = х, OB = у, ОС = 2.

Из теоремы косинусов для треугольников АВО, ВСО и АСО следует, что AB = 2, ВС = 6 , АС = 3 . Но треугольника с такими сторонами не существует, а, следовательно, система уравнений положительных решений не имеет.

При обсуждении было отмечено, что неплохо иметь чисто алгебраическое решение. Было предложено следующее

Решение 2:

Из условия задачи следует, что y2 <4, z2 <9, а также у<2, z < 3 , откуда у z < 6.

Сложим полученные неравенства: z2 +zy + у2 <19. Противоречие.

А как решать данную систему, если не считать х, у и z положительными числами? Было предложено следующее

Решение 3:

Будем рассматривать уравнение х2 +ху + у2 -4 = 0 как квадратное относительно х. Тогда D = у2 - 4у +16 > 0, откуда

Аналогично х2 + xz + z2 -9 = 0. Следовательно, D=z2- 4z2 + 36 > 0,

откуда

Противоречие. Решений нет.

Возможно ли более или менее «обычное» решение? Да, например, так

Решение 4.

Заметим, что системы равносильны. Действительно если, например, X = у , то уравнения х2 + xz + z2 = 9 и z2 + zy + у2 = 36 одновременно выполняться не могут. Аналогично, рассматриваются случаи X = z и у = z.

Далее: сложим уравнения: 4(х — у) + 9(z — х) + 36(y — z) = 0, откуда — 5х + 32y — 27z = 0 , 5х = 32у — 27z .

После чего систему уравнений методом подстановки можно свести к системе уравнений с двумя неизвестными с однородным уравнением и т.д.

Д.А. Волков

МОУ «Гимназия г. Троицка»

Отрицательные цифры в позиционных системах счисления

Мы привыкли считать, что цифры, используемые при записи натурального числа, задают некоторые положительные числа, суммой которых и является это число. Например, число 5302 есть сумма пяти тысяч, трёх сотен и двух единиц. Наряду с традиционными цифрами (назовём их положительными) можно рассматривать и отрицательные цифры, задающие то или иное отрицательное число, в зависимости от места, занимаемого этими цифрами в записи.

Например, в записи числа 5302 цифра 3 («минус три») означает отрицательное число минус триста, а цифра 2 («минус два») означает отрицательное число минус два. Итого, 5302 — это 5000 + (-300) + (-2) = 4698.

Введение отрицательных цифр в запись позиционного числа позволяет рационализировать вычислительный процесс.

Так, при нахождении суммы целых чисел знак минус перед отрицательными слагаемыми можно убрать, заменив при этом каждую положительную цифру этих слагаемых на противоположную ей отрицательную, а затем выполнить суммирование цифр поразрядно.

Например:

Если при суммировании цифр одного разряда получается отрицательное число, к нему надо прибавить один или несколько десятков, взяв соответствующее количество единиц из соседнего старшего разряда (цель этой операции — получить в ответе нормальную цифру).

Имея в виду разобранный ранее прием, сумму, слагаемыми которой являются не только числа, но и произведения, можно найти в столбик, не находя отдельно значения каждого из имеющихся произведений. Например

Числа, записанные во 2-ой и 3-ей, а также 5-ой и 6-ой строках (отсчёт номеров строк ведётся сверху) — это промежуточные произведения, полученные при умножении — 263 на 12 и 378 на 22

Весьма интересен приём возведения в степень двузначного числа, у которого а десятков и b единиц, причём количество единиц может быть и отрицательным. Например, возведение в куб такого числа выполняется так: записываем друг под другом значения выражений а3, За2b , Заb2, bъ (то есть тех выражений, которые имеются в формуле куба суммы), сдвигая при этом на один разряд вправо каждый следующий результат относительно предыдущего, и производим суммирование.

Пусть требуется возвести в куб число 39. Так как 39 = 41 , то а = 4, b = -1, тогда а3 =64, Зя2b = -48 = 48, 3аb2 =12, b3 =-1=1. А теперь записываем и суммируем:

Аналогично можно выполнять возведение в любую натуральную степень. При возведение же в квадрат, запись решения можно порою выполнять и в одну строку, например, 292 = 312 = 961 = 841. А поэтому подобные решения лучше выполнять вообще устно.

Находя произведение многозначных натуральных чисел, можно большие положительные цифры множителей заменить на небольшие по модулю отрицательные цифры или нули, а затем выполнить

умножение. Например, возводя 28719 в квадрат, предварительно замечаем, что 28719 = 3 1 321 , а затем вычисляем:

Аналогично можно поступать, выполняя умножение в позиционной системе счисления с натуральным основанием к, отличным от десяти. Однако вместо того, чтобы использовать готовые таблицы умножения и сложения для этой системы счисления, рекомендуется выписывать произведения цифр множителей полностью и в десятичной системе счисления, а суммируя промежуточные произведения по каждому разряду, производить деление полученного результата на к, оставляя в данном разряде остаток от деления (неотрицательное число) и перенося частное от деления в соседний старший разряд, и затем суммировать его с другими промежуточными произведениями из этого разряда.

Продемонстрируем описанную выше процедуру на примере умножения двенадцатеричных чисел 83А,В и 55ВB1А (напомню, что в позиционных системах счисления с основанием к, большим десяти, для записи чисел 10, 11, 12, и т.д., не превышающих к-\, используются заглавные буквы латинского алфавита А, В, С, и т.д.), предварительно вводя в запись множителей отрицательные цифры:

Ответ:

Сосредоточив внимание на вычислениях, мы не рассмотрели не менее важный вопрос: как быстро от положительных цифр в записи позиционного числа переходить к отрицательным и наоборот.

Чтобы отдельно взятую положительную цифру в записи позиционного числа заменить на отрицательную, нужно из нее вычесть к (где к — основание системы счисления), а к соседней старшей цифре (она может быть любой, в том числе отрицательной) прибавить единицу. Для того чтобы производить такую замену в группе из подряд идущих положительных цифр и нулей (нули не должны стоять в конце группы) можно воспользоваться следующим приёмом: 1) цифру, предшествующую группе, увеличить на единицу; 2) из всех цифр группы, кроме последней, вычесть к-1 ; 3) из последней цифры группы вычесть к.

Замена отрицательных цифр в записи позиционного числа на положительные выполняется по правилам, обратным к данным.

Если при выполнении арифметических действий получилось число со старшей отрицательной цифрой, то, значит, окончательный ответ будет отрицательным, а для преобразования полученного числа к стандартному виду, надо сначала избавиться от положительных цифр в его записи. Например, десятичное число

преобразуется к стандартному виду так

Число же со старшей положительной цифрой, если имеет в своей записи отрицательные цифры, в окончательном итоге преобразуется в положительное, достаточно лишь избавиться от отрицательных цифр в его записи.

Из известных ученых по крайней мере двое: О. Коши и И. В. Арнольд обращали внимание на полезность использования отрицательных цифр в десятичной системе счисления с целью экономии вычислительного труда. Оба отмечали, что, вводя отрицательные цифры, можно ограничить таблицу умножения пределами до 5×5. И. В. Арнольд в своей книге «Отрицательные числа в курсе алгебры» (М.-Л., изд-во АПН РСФСР, 1947) рассматривает также возможность использования отрицательных цифр при делении.

Не смотря на это отрицательные цифры до сих пор не получили сколько-нибудь широкого применения в ручных вычислениях, может быть потому, что отсутствуют публикации по данному вопро-

су, а если ранее таковые и были, то остались незамеченными. Между тем не вызывает сомнения, что изложенные в данной работе приемы вполне эффективны, доступны для человека средних математических способностей и вряд ли для их усвоения понадобится много времени и сил.

Задача об оптимальном разновесе.

Уделив внимание применению отрицательных цифр в вычислительном процессе, рассмотрим теперь чисто практическую задачу, опубликованную в книге Баше де Мезирака в XVII веке, решение которой подводит к введению отрицательных цифр: «Какой наиболее оптимальный набор гирь нужно иметь, чтобы взвесить любой груз от 1 до 40 г, если гири можно класть на обе чашки весов (необходимо иметь в виду, что в наборе не должно быть двух и более гирь одного веса)?». Оптимальным оказался набор 1, 3, 9, 27 г. Например, если мы взвешиваем груз массой 22 г, то так как 22 = 27—9 + 3 +1, то на чашу весов, где лежит груз, придётся положить гирю массой 9 г, а на противоположную чашу весов — гири массой 27, 3 и 1 г. В общем случае задача о взвешивании груза массой n г сводится к представлению числа n в виде 21 а3 + 9а2 + 3а1 + а0, где коэффициенты аi есть числа 0, 1 или -1 (i = 0,1, 2,3 ). Нетрудно видеть, что, так как массы в выбранном наборе гирь есть степени числа 3, то задача сводится к представлению числа n в троичной системе счисления с цифрами 1,01 (такая система счисления получила название уравновешенной из-за симметричного расположения цифр относительно нуля). Тогда, к примеру, для уравновешивания груза массой 16 г, мы сначала переводим десятичное число 16 в обычную троичную систему счисления, получается 121 или 0121; теперь средние цифры (1 и 2) заменяем на отрицательные, получается 1111 (если только цифру 2 заменить на отрицательную, то снова получим в записи числа цифру 2: 0211). Таким образом, данный груз можно уравновесить, если на одну с ним чашу весов положить гири массами 3 и 9 г, а на другую чашу — гири массами 27 и 1 г.

Приведённый вывод можно обобщить: для того чтобы взвесить на выше обозначенных условиях любой груз массой от 1

до (3n-1)/2 г, достаточно иметь гири массой 1, 3, 9, 3n-1 г. С арифметической точки зрения решение задачи сводится к представлению десятичного натурального числа, выражающего массу груза, в уравновешенной троичной системе счисления.

Более строгое решение задачи об оптимальном разновесе приведено в книге С.Б.Гашкова «Системы счисления и их применение» (М.: МЦНМО, 2004). В этой книге, впрочем, излагается также много других интересных задач и вопросов, связанных с системами счисления.

Однозначность представления чисел в системах счисления с отрицательными цифрами.

Представление натурального числа в системе счисления, в которой кроме традиционных цифр используются ещё и отрицательные, перестаёт быть однозначным. Например, десятичное число 124788 может быть записано в этом случае по-разному: 135228, 285212 и т.д. С точки зрения тех приёмов для ручных вычислений, о которых говорилось ранее в данной работе, тут нет никакой проблемы, так как вычислитель сам выбирает удобный лично для него способ представления числа в цифрах разного знака для выполнения действий, а окончательный ответ всё равно будет записан в обычных цифрах. Но для компьютера, в отличие от человека, такой творческий подход неприемлем, во всяком случае, пока. Поэтому надо сформулировать чёткий критерий, при помощи которого можно будет для каждой системы счисления определять такие наборы (назовём их базовыми), содержащие отрицательные и положительные цифры, в которых натуральное число представимо однозначным образом. Приведу лишь окончательный вывод по данному вопросу, не вдаваясь в доказательства.

В системе счисления с натуральным основанием к, не меньшим трёх, существует 2к-2—1 базовых наборов, содержащих каждый по к цифр, среди которых обязательно присутствуют цифры 0, 1 и хотя бы одна отрицательная. Сумма модулей двух любых цифр разного знака из одного набора не должна быть равна основанию системы счисления.

Например, в пятеричной системе счисления существует 25-2—1 = 7 базовых наборов. Вот они:

Пятеричное число 2430142 при помощи цифр 2-ого набора записывается как 12020212, а при помощи цифр 4-ого или 5-ого наборов как 12021303 .

Базовые наборы 2-ой и 3-ий принято называть симметричными в связи с симметричным расположением цифр относительно нуля. Однако первый из них всё же является более предпочтительным, так как модули цифр в этом наборе меньше, да и расположены цифры по одну сторону от нуля без пропусков. Число, представленное в симметричном базовом наборе, легко превращается в ему противоположное путём изменения знаков его цифр. Так отрицательное пятеричное число -2430142 при помощи цифр 2-ого набора записывается как 12020212.

О системах счисления с симметричными базовыми наборами цифр достаточно подробно и понятно написано в книге «Программирование и алгоритмические языки» (М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979). Авторы: Криницкий Н. А., Миронов Г. А., Фролов Г. Д.

Ю.О. Пукас

МОУ «Гимназия г. Троицка»

Легко ли решать олимпиадные задачи

Осенью 2007 года корреспондент Троицкого телевидения беседовал с Федором Ивлевым, выигравшем в том году Всероссийскую математическую олимпиаду. Корреспонденты — они как дети, их интересуют совершенно неожиданные вещи. Был задан вопрос: «Легко ли решать олимпиадные задачи?», на что Федор ответил, что главное — это уловить идею задачи, ее тему. Очень ценный совет профессионала, попробуем им воспользоваться, решая следующие задачи.

1. У правильного 5000-угольника покрашена 2001 вершина. Докажите, что можно выбрать три покрашенные вершины, которые являются вершинами равнобедренного треугольника. (Московская областная олимпиада, 2001, районный этап, 10-11 классы)

2. На стороне ВС треугольника ABC взята такая точка К, что ВК : КС = 1:3 , а на отрезках АК, АС, и КС — такие точки L, M и N соответственно, что LM||AB, LN||AC и MN||AК. Найти отношение площадей треугольников LMN и ABC. (Мехмат МГУ, март 2003)

3. На плоскости даны n векторов, длина каждого не превосходит 1. Докажите, что можно выбрать а и повернуть все векторы на угол а (некоторые — по часовой стрелке, а некоторые — против) так, чтобы длина суммы векторов нового набора не превосходила 1. (Московская областная олимпиада, 2008, первый тур, 11 класс)

4. Может ли ладья обойти все клетки шахматной доски 10×10, побывав на каждой клетке ровно по разу, чередуя ходы длиной в одну и в две клетки? (Считается, что, делая ход в две клетки, ладья не проходит по промежуточной клетке.) (Московская областная олимпиада, 2008, второй тур, 10-11 классы)

5. Можно ли покрыть шахматную доску 10×10 прямоугольными плитками размером 4×1 ? (Заочный конкурс Шестого турнира Архимеда, 1997)

Среди этих задач есть и очень известные, над другими вы успеете немного подумать, прежде чем я доберусь до них в нашем разговоре. Сделайте это. Почувствуйте «сопротивление материала».

Не знаю, о какой конкретной задаче подумал Федор, отвечая на вопрос корреспондента; я же, слушая его ответ и с ним в принципе соглашаясь, вспомнил о задаче № 1. В свое время, решая ее, я не сразу догадался, что она на принцип Дирихле. Похоже, что и во время самой олимпиады 2001 года мало кто из участников уловил эту идею. Во всяком случае, Н.Х.Агаханов и О.К.Подлипский в своих книгах помечают эту задачу звездочкой как особо трудную. Но как только тема раскрыта, трудность исчезает. Вместо правильного 5000-угольника рассматриваем тысячу правильных пятиугольников, в одном из которых будет не менее трех покрашенных вершин, а в правильном пятиугольнике любые три вершины являются вершинами равнобедренного треугольника. Что и требовалось доказать.

Задача № 2 малоизвестна. Она предлагалась в марте 2003 года на тестировании мехмата МГУ. Школьники, успешно его преодолевшие, допускались на письменный экзамен. В этой задаче главное выяснить, где расположена точка К. Поняв, что отрезок ВК — медиана треугольника ABC, мы обязательно доведем решение до численного ответа (1:10).

Далеко не всегда после нахождения идеи все складывается так же просто и гладко, как в предыдущих задачах. При решении некоторых задач главные трудности возникают в тот момент, когда идея найдена (или ясна с самого начала), а вот что делать дальше?

Здесь я собирался в качестве примера не очень простой реализации очевидной идеи показать свое решение задачи № 3, начав со слов: «Понятно, что эту задачу надо решать методом математической индукции»... Однако, набирая текст этой статьи, обнаружил ошибку в своем доказательстве. Подправить то решение не удалось, но я даже рад этому, так как совершенно неожиданно нашел другой путь, с индукцией никак не связанный. Авторское решение надеюсь когда-нибудь увидеть в следующем издании прекрасной книги Н.Х.Агаханова и О.К.Подлипского «Математические олимпиады Московской области», а сейчас покажу свое.

Условие задачи предписывает повернуть соответствующим образом все векторы на выбранный угол а, a затем найти сумму нового набора. Заметим, что тот же самый результат получится, если мы сначала найдем отдельно суммы тех векторов, которые будут повернуты по часовой стрелке, и тех, которые будут повернуты в противоположном направлении, а затем, после соответствующего поворота уже этих двух векторов на тот же самый угол а , найдем их сумму.

Покажем теперь, что если на плоскости даны n векторов (длина каждого не превосходит 1), то их можно разделить на две группы так, что их суммы будут отличаться по длине не более чем на 1, а такие два вектора соответствующим поворотом всегда можно сделать противоположно направленными, достигая требуемого в задаче результата.

Разделение на две группы будем осуществлять следующим образом. Включим в первую группу все векторы и найдем длину их суммы S1 =S0, при этом вторая группа пока пуста, и S2=0. Если S1 не превосходит 1, то результат достигнут, и угол поворота а = 0 . В противном случае (тогда S1 > S2 ) начинаем по одному переводить векторы из первой группы во вторую. На каждом таком шаге S1 и S2 будут изменяться не более чем на 1, а так как после n шагов уже S1<S2 (S1 = 0 , S2=S0), то неизбежно на каком-то шаге хотя бы раз возникала ситуация, когда длины S1 и S2 отличались не более чем на 1. Что и требовалось доказать.

Не исключено, что на выбор мною в задаче с векторами ошибочного пути решения, связанного с методом индукции, повлияло то, что буквально за один день до областной олимпиады, на которой эта задача встретилась, я показывал ученикам известную задачу, в которой n разбойников делят добычу, а там без индукции никак не обойтись.

В последние годы победители математической олимпиады Московской области по 11-м классам определяются по результатам только второго тура, на котором участникам предлагается решить пять задач. В этом году призеров было очень много — 36, хотя, на мой взгляд, лишь 12 участников (среди них семеро из московских школ: по одному представителю от лицея «Вторая школа» и гим-

назии № 1543, и пятеро из моего родного СУНЦа) показали приемлемый результат. А задачи вроде бы не такие и сложные, четвертая в нашем списке — последняя в том варианте (под последним номером она и в варианте 10 класса) и именно ей и будет теперь уделено основное внимание в нашем разговоре. Ее решили шесть учеников 11 класса и три ученика из 10 (двое из СУНЦа).

Скорее всего, мое осознанное знакомство с задачами такого типа (на раскраску) началось со статьи П.В.Чулкова в газете «Математика» (№22 /1997), в которой подводились итоги Заочного конкурса Шестого турнира Архимеда. Участниками того конкурса для решения задачи № 5 из нашего списка было предложено восемь различных раскрасок шахматной доски 10×10. Мне запомнились и сама та задача, и первая из рассмотренных в той статье раскрасок (рис. 1). Если раскрасить доску в 4 цвета так, как показано на этом рисунке, то каждый прямоугольник 4×1 будет закрывать по одной клетке каждого цвета. Поэтому, если бы мы смогли покрыть нашу доску 25-ю прямоугольниками 4×1, то на доске должно было бы быть по 25 клеток каждого цвета, однако клеток 2-го цвета 26 (клеток 4-го цвета 24, остальных двух по 25). Противоречие. (Такое же решение задачи № 5 приведено и в уже упоминавшейся книге «Математические олимпиады Московской области» в разделе «Классические задачи олимпиадной математики».)

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

Рис. 1

Поначалу казалось, что такая раскраска поможет решить и задачу № 4. Действительно, если начинать ходом на две клетки, то получается такое же противоречие, как в задаче № 4, так как цепочки

из ста ходов (первым ходом мы ставим ладью на любое поле) разделяются на 25 групп по четыре, в результате которых ладья побывает на полях всех четырех цветов. Например:

... , здесь знаком «=» обозначен ход ладьей на две клетки, а знаком «-» — на одну. Но если начинать с короткого хода, то как доказать невозможность скажем такой цепочки:

Здесь клеток 2-го цвета 26, а 4-го цвета — 24. Где противоречие?

Время шло, а у меня ничего не получалось. Возможно, что эту задачу кто-то без труда решит методом Пойа, рассмотрев вспомогательную задачу для меньшей доски, скажем, 2×2, а на ней так легко получить противоречие, ведь ход ладьей на две клетки здесь в принципе неосуществим. Но я этим методом не владею, а в трудных ситуациях больше полагаюсь на озарение свыше. Мартин Гарднер в книге «Есть идея!» цитирует своего коллегу Мориса Клайна, сказавшего в 1955 году: «Творческий процесс нельзя по желанию довести до наивысшей точки... Он проистекает особенно успешно, когда разум предается праздности и воображение свободно расправляет крылья». Так и в этом случае, готовое решение неожиданно возникло в голове в тот момент, когда со словами «довольно, хватит мучиться» я решительно вставал из-за стола. Десятых долей секунды хватило свободному подсознанию, чтобы завершить работу.

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

1

4

1

4

1

4

1

4

1

4

Рис. 2

Если раскрасить доску так, как показано на рис. 2 (и такая раскраска есть в статье Павла Викторовича, но это я обнаружу, уже

решив задачу), то клеток каждого цвета будет по 25 (нечетное число!). Делая длинный ход, мы оказываемся на поле того же цвета, что и исходное поле, затем переходим на соседнюю клетку другого цвета, сохраняя уже этот цвет при следующем длинном ходе... Поэтому, если первый ход делается на две клетки, то все цвета должны быть представлены четным количеством клеток. А если же мы начинаем с короткого хода, то кроме, возможно, первой и сотой клеток, остальные должны будут идти парами одного цвета, что неосуществимо.

Мне кажется, что участники олимпиады просто не добрались до этой задачи, пытаясь решить ту, которая шла в варианте под вторым номером, однако это удалось сделать лишь девятерым. Вот эта задача: «Для натурального n обозначим через f(n) количество его натуральных делителей, десятичная запись которых оканчивается на 1 или на 9, а через g(n) — количество его натуральных делителей, десятичная запись которых оканчивается на 3 или на 7. Найдите все n, для которых g(n) не больше, чем f(n)». Я эту задачу еще не решал, так как, раздобыв вариант олимпиады, после первой сразу перепрыгнул на третью, условие которой напоминало несколько известных мне задач, а затем занялся шахматной доской 10×10 . Будем считать, что это наше с вами домашнее задание.

Ю.О. Пукас

МОУ «Гимназия г. Троицка»

Живая математика

Встречаются задачи, которые легко и приятно объяснять ученикам, поскольку их решения интересны, просты и всем понятны. Но, слушая объяснения или читая авторские решения, не всегда даже заподозришь, насколько задача трудна, как порой непросто разглядеть очевидное. То, что на вступительных экзаменах и на олимпиадах эти задачи идут далеко не под первыми номерами, говорит о том, что составители вариантов знают им настоящую цену и предвидят нашу «несообразительность». Если вы еще не встречали таких задач или не обращали на них внимания, тогда, чтобы лучше понимать меня, попробуйте решить, например, эту: «Может ли сумма шести различных положительных чисел равняться их произведению?» (Пятая Соросовская олимпиада, седьмой класс, второй тур).

«Найдите все тройки (x;y;z) целых чисел, удовлетворяющих неравенству:

попросили в 1990 году абитуриентов, поступающих на мехмат МГУ. Года через два к поиску целочисленных троек подключился и я. Сразу бросилась в глаза взаимосвязь между аргументами всех трех логарифмических функций. Сложив (с тайной надеждой получить противоречие) три очевидных неравенства

я нашел, что 3 > 0 , и не сразу понял смысл этого результата. Задачу решает простая фраза: «Сумма трех натуральных чисел равна трем», — откуда следует, что все они равны единице, и тогда их логарифмы равны нулю. После чего остается лишь аккуратно отобрать целочисленные решения. Запоминающаяся задача. Не случайно, что не так давно она приглянулась и организаторам Первого заочного творческого конкурса учителей математики.

Мне интересна каждая новая встреча с такими задачами, затруднения при их решении вызывают во мне не чувство досады, а всплеск положительных эмоций. И во время одной из таких встреч припомнились мне слова замечательного шахматиста и литератора Савелия Григорьевича Тартаковера (9.02.1887—5.02.1956). Посмотрите, как гроссмейстер, побывавший не один раз в ситуациях, подобных тем, о которых мы сейчас говорим, выразил свое восхищение и очарование великой игрой, созданной фантазией человека:

«Шахматному игроку приходится иметь дело отнюдь не с бездумными деревяшками, а с живыми, тонко чувствующими и готовыми на самопожертвование товарищами и помощниками: каждое поле живет и дышит, каждая фигура борется и умирает, каждый темп рискует и ждет, — и часто только сам игрок сидит деревянной куклой, не умея верно понять и использовать внутреннюю жизнь "мертвых вещей"...»

«Красота, дремлющая под тонким покровом», — так мне хочется сказать, чуть переделав фразу Арона Нимцовича о задаче Ф.Л.Бахарева, которая была предложена в 2002 году девятиклассникам во втором туре Санкт-Петербургской олимпиады (последняя в варианте):

«На стороне АС треугольника ABC отмечена точка К такая, что АК = 2КС, и угол АВК вдвое больше угла КВС. F — середина стороны AC, L — проекция А на ВК. Докажите, что прямые FL и ВС перпендикулярны.».

Многое известно о данном треугольнике. Но с чего начать? Понятно, что надо провести биссектрису угла АВК, раз уж он вдвое больше, чем угол КВС. Понятно, что тогда и ВК будет биссектрисой, но в каком треугольнике?

Проведи я три года назад перпендикуляр из точки С к продолжению отрезка ВК, эта статья не появилась бы. Но я его не провел. Сейчас мне трудно понять, почему я этого не сделал. Не так уж много возможностей, их можно просто перебрать. Или, действуя сознательно, спросить себя: «Все ли я использую из того, что дано?». И тогда, присмотревшись к условию АК = 2КС, можно было бы разглядеть его смысл: «Расстояние от точки А до прямой ВК (то есть AL) вдвое больше, чем от точки С до той же прямой». После этих слов нельзя не провести из точки С перпендикуляр к прямой

ВК и не продолжить его до пересечения в точке R с биссектрисой угла АВК, и тогда события начинают развиваться стремительно.

Оказывается, что AL = RC, отрезки AL и RC равны и параллельны, ARCL — параллелограмм и точка F — середина его диагоналей, а точки R, F и L лежат на одной прямой. Из того, что AR = LC и RL = LC следует, что AR =RL. Немного потрудившись, находим, что точки A, R, L и В лежат на одной окружности с диаметром AB, но тогда угол ARB — прямой. AR и LC параллельны, поэтому и LC перпендикулярно BR, а точка L — ортоцентр треугольника RBС. И вот тогда прямая RL (она же FL) перпендикулярна прямой ВС. Что и требовалось доказать.

Уже говорилось, что именно впечатления от этой замечательной задачи Ф.Л.Бахарева послужили поводом для моего выступления. Но как его завершить? Очень хотелось привести еще один, особенно яркий, пример, и это, как мне кажется, удалось:

«Испанский король решил перевесить по-своему портреты своих предшественников в круглой башне замка. Однако он хочет, чтобы за один раз меняли местами только два портрета, висящие рядом, причем это не должны быть портреты двух королей, один из которых царствовал сразу после другого. Кроме того, ему важно лишь взаимное расположение портретов (два расположения, отличающиеся поворотом круга, он считает одинаковыми). Доказать, что, как бы сначала ни висели портреты, король может по этим правилам добиться любого нового их расположения».

Это задача моего детства, мало кто решил ее весной 1967 года на Московской математической олимпиаде. Но до чего же просто решение, когда в нем разберешься!

Указание: докажите, что портреты королей всегда можно расположить в том порядке, в котором они правили.

Подсказка: если осуществима какая-то перестановка портретов, осуществим и обратный порядок действий — возвращение в исходное состояние.

Желаю успеха!

В.Л. Экелекян

МГУ им. М.В.Ломоносова школа № 11, г. Москва

Л.В. Экелекян

гимназия «Раджонеж» школа №765, г. Москва

Давайте пожонглируем немножко!

Жонглер бросает вертикально вверх шарики с одинаковой скоростью через равные промежутки времени. При этом пятый шарик жонглер бросает в тот момент, когда первый шарик возвращается в точку бросания. Найти максимальное расстояние S между первым и вторым шариками, если начальная скорость шариков v0 = 5 м/с. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задачу решим, исходя из законов кинематики равноускоренного прямолинейного движения, а более точно, применяя уравнения движения для свободного падения. Для этого выберем начало отсчета точку бросания первого шарика, ось х отправим вертикально вверх, а время t будем считать с начала первого броска. Общие уравнения для проекции перемещения х и для проекции скорости Vx на ось х будут иметь вид:

где х0 — проекция начального перемещения, которая в нашей задаче равняется нулю, v0x — проекция начальной скорости, которую для краткости обозначим буквой v0. Тогда, учитывая значение ускорения свободного падения ах = -g, получим уравнения:

(1)

(3)

Так как подъем первого шарика длится время m, а в верхней точке подъема шарик останавливается, по формуле (2) получим v0 = g ⋅ 2m или

(4)

Сейчас вычислим координаты первого и второго шариков через время t после броска первого шарика:

(5)

причем t>T. (6)

Тогда расстояние s между первым и вторым шариками будет вычисляться формулой

Знак модули в выражении s учитывает тот факт, что во время движения у шариков наблюдается как подъем, так падение.

(2)

Промежуток времени, через который бросаются шарики, обозначим греческой буквой m. Тогда из условия задачи о том, что пятый шарик жонглер бросает в тот момент, когда первый шарик возвращается в точку бросания, следует, что первый шарик в полете будет за время 4m, причем первое время 2m первый шарик поднимается до своей верхней точки Hmax = h, а за время 2m. С другой стороны, величину h определим по известной формуле V2 — V02 =2а1, связывающей начальную, конечную скорости v0,v равноускоренного движения с ускорением а и пройденным путем l. В нашем случае v = 0 (в верхней точке шарик останавливается, чтобы после свободно падать), a- -g (подъем шарика есть равнозамедленное движение) и l = h . Итак,

Учитывая (3) и (4), получим зависимость расстояния s от времени t :

(7)

Введя безразмерную величину времени t* = —, безразмерное расстояние s* = — и пользуясь выражением (3) придем к зависимости:

(8)

Практически решение поставленной физической задачи мы свели к решению математического линейного уравнения, содержащего модуль [2, 3]. Аналитическое и графическое решение этого уравнения показывает, что максимальное значение функция s* принимает при двух значениях аргумента t* : когда t* = 1 или t* = 4 и это значение равняется s = —. Переходя к размерным величинам, можем утверждать, что максимальное расстояние между первым и вторым шариками достигается дважды: первый раз при броске второго шарика и второй раз, когда бросается пятый шарик, или, что то же самое, когда первый шарик окончательно падает вниз. Это расстояние равняется

Итак, подытожим: первый и второй шарики осуществляют равнопеременное движение с ускорением свободного падения. Проекция перемещения при таком движении есть квадратная функция от времени, а расстояние между ними есть модуль разности. При вычислении этой разности квадратичная зависимость от времени исчезает и остается зависимость линейная, где время находится под знаком модуля. И если просто линейная зависимость не предполагает наличие экстремума, то такая зависимость с учетом модуля (абсолютное значение) приводит к возникновению максимального расстояния, причем дважды — в начале и в конце движения первого шарика.

Сейчас решим ту же задачу, на этот раз на основе одной теоремы, которая приводится в учебнике физики 9-го класса общеобразовательной школы [1]:

пути, пройденные за любые равные промежутки времени при равноускоренном прямолинейном движении без начальной скорости относятся как первые нечетные натуральные числа -

(9)

Докажем эту теорему. Предположим, что равноускоренное движение с ускорением а , с нулевой начальной нулевой скоростью v0 = 0 и что промежуток времени, за которое рассматривается движение, равняется m. Сделаем также обозначения: пути, пройденные за равные промежутки m обозначим буквой Si9 так что Sx — это путь, пройденный за первый промежуток времени m, S2 — за второй, a Sn — путь, пройденный за n-и промежуток времени m. Пути же, пройденные за времена / = m, / = 2m, / =3m и т.д. t = (n-Y)T и t-m обозначим буквами l1, l2, l3 и т.д., ln-1 и ln. Эти движения все стартуют с нулевой начальной скоростью.

Сначала вычислим пути

а пути Si найдем как разность

то есть

По поводу доказанной теоремы сделаем три замечания:

1) выбор протяженности времени m не играет роли;

2) значение ускорения а не играет роли;

3) нулевое значение начальной скорости v0=0 важное обстоятельство для изящной формы утверждения.

Применим доказанную теорему для устного решения поставленной задачи. Рассмотрим движение первого шарика во время его подъема. Он двигается за время 2m и поднимется на высоту

Это расстояние в силу доказанной теоремы следует делить на четыре равные части, три из которых шарик поднимается за первый промежуток времени m, и одну четвертую часть шарик поднимается за второй промежуток времени m (чтобы теорема сработала полностью — условие v0=0, мы на движение смотрим с конца к началу). Но когда кончается первое время m и начинается работа второго времени m, к движению первого шарика присоединяется второй, который к началу броска находится от первого ша-

рика на расстоянии

В дальнейшем это расстояние может лишь уменьшаться, так как шарики начинают двигаться навстречу. Следовательно, указанное расстояние и есть максимальное.

И, наконец, когда через время 2m после броска второго шарика он окажется на максимальном уровне подъема и начнет падение без начальной скорости, тогда как в это время первому шарику останется спускаться на последнюю одну четвертую часть максимальной высоты (он уже двигался за время Зт ). В этот момент расстояние между первым и вторым шариками опять будет максимальным s = ——, так как в течение последнего промежутка времени для первого шарика это расстояние может только уменьшаться.

Решенная задача является хорошей иллюстрацией и демонстрацией квантования пространства в классической механике: при нечетном числе шариков устанавливается устойчивое распределение координат и скоростей шариков (в так называемом фазовом пространстве [2]).

Наконец, обратим внимание на сам аттракцион жонглирования. Теоретическое рассмотрение, приведенное выше, показывает, что имеет прямой смысл жонглировать нечетным количеством шариков (или любых других объектов). Следует регулировать начальную скорость броска так, чтобы половина минус один шариков спускалась с вышей точки, другая половина минус один шарик поднималась, а средний шарик находился на верхней точке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Перышкин А.В., Гутник Е.М. Физика. 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений, 8-е изд., — М: Дрофа, 2004

2. Павленко Ю.Г. Начала физики. М, Изд-во Моск. ун-та, 1988.

3. В.Л.Экелекян. Интегрированная лабораторная работа по информа-тике, математике и физике 2004 № 37 ИНФОРМАТИКА / В.Л.Экелекян. Решение некоторых математических задач с помощью программ Microsoft Office 2004 № 45 ИНФОРМАТИКА,

2004 № 46 ИНФОРМАТИКА / В.Л.Экелекян. Определение центра масс неправильного тела Физика № 48/04 / В.Л.Экелекян. Проверка уравнения теплового баланса Физика № 29/04 / В.Л.Экелекян. Относительность движения Физика № 1/06 / В.Л.Экелекян. Основы информатики и вычислительной техники -учебно-методические ла-бораторные разработки-рекомендации для студентов и молодых научных ра-ботников-выпускников медицинских институтов Ереван 1988 / В.Л.Экелекян. Интегрированная лабораторная работа по информатике, математике и физике 2004 № 37 ИНФОРМАТИКА

4. Борис БУЯНОВ Жонглирование и метание в начальной школе http://festival.1september.ru/

5. Как научиться жонглировать: www.znaikak.ru/sport.html

И.Д. Ремизов

Мехмат МГУ, ivremizov@yandex.ru.

Математическая теория комаров

История вопроса. Комары досаждали человечеству, повидимому, еще в каменном веке. Проблема подсчета связанных с комарами социально значимых числовых величин была поставлена и решена автором статьи одним июльским вечером в 2006 году у себя дома в Н.Новгороде из чисто практических соображений личного характера.

Автор не берет на себя смелость заявлять о научной новизне или ценности обсуждаемых понятий и результатов.

Введение. Всем знакомы комары обыкновенные (лат. culex pipiens), обитающие в больших количествах почти на всей территории России, подробнее см. в [1] и [2]. Их основные роли в жизни простого россиянина таковы.

1. Кусать человека на открытом воздухе, мешая наслаждаться общением с природой; кусать человека в закрытых жилых помещениях, мешая человеку спать по ночам.

2. Оставлять на стенах кровавые пятна в качестве доказательства того, что сидевший на стене комар был убит человеком уже после того, как комар отведал чьей-то крови.

3. Откладывать в воду стоячих водоемов яйца, из которых выводятся личинки комаров (называемые мотылем), используемые людьми в качестве наживки при ловле мелкой рыбы на удочку, а также в качестве корма для некоторых видов аквариумных рыбок.

Постановка задачи. Пусть по каким-то причинам спальня содержит некоторое количество комаров, а аэрозольные (типа Дихлофоса) или электрофумигационные (типа Фумитокса) инсектицидные средства либо хотя бы репелленты в наличии не имеются.

Планируется провести ночь в комнате, но комары, ясное дело, будут мешать спать. Если было бы достоверно известно, сколько комаров находится в комнате, можно было бы принять ту или иную стратегию поведения. Например, если комар в комнате один, то его легко игнорировать или физически уничтожить. А если комаров около 20, то они не дадут спать всю ночь, потому что перебить их всех разом не получится: комары прячутся в незаметных местах и тем самым избегают смерти во время первой, второй, третьей и т.д.

попытки очистить помещение от комаров и наконец-то заснуть. В этом случае нужно искать другую комнату для сна или доставать где-то инсектицид. В общем, ясно, что знание — сила, предупрежден — значит вооружен, то есть чем больше доступной информации, тем больше шансов принять правильное решение. Таким образом, ставится

Задача. Получить как можно больше информации о комарах в комнате за минимальное время, т.е. не тратя всю ночь на охоту на комаров.

Построение модели. Жизнь сложнее схем, и именно поэтому схемы, модели и прочие упрощения и идеализации применяют для изучения жизни, а не наоборот.

Во-первых, мы предполагаем, что число комаров в комнате в начальный момент времени равно N и измениться может только от того, что человек убьет некоторых из них. Это означает, что поток комаров через границу комнаты равен нулю. То есть если один комар из комнаты вылетел, то один комар немедленно в нее влетает с улицы. Если один комар случайно в комнату влетел, тут же один комар покидает комнату. Очевидно, что поток комаров через границу комнаты равен нулю и в том случае, когда комната комарино-изолирована, то есть когда комары не могут улететь из комнаты или прилететь в нее вовсе: граница комнаты непроницаема для комаров. На практике это означает, что дверь комнаты герметична, а на форточке закреплена специальная противокомариная сеточка.

Во-вторых, будем считать, что если комары в комнате есть, то какое-то их количество всегда видно, а какое-то — всегда не видно. То есть часть комаров спокойно сидит на стенах и потолке, а часть -прячется за шкафом и под кроватью. Число видимых в начальный момент времени комаров будем обозначать буквой n.

В-третьих, будем считать, что охота на комара не представляет особого труда, то есть если человек видит комара и решил его убить, то комар очень быстро и гарантированно погибает, то есть не может улететь или спрятаться от человека, если человек его заметил. Это сомнительное предположение, но на практике для более-менее ловкого человека оно выполняется.

Все это, конечно, очень мило, но этого для построения теории мало. Нам потребуется сделать ни на чем (кроме легендарной «физической интуиции») не основанную гипотезу о взаимосвязи обсу-

ждаемых величин. В физике словом «анзац» называют предположение, либо основанное на малом числе экспериментов, либо сомнительное по другим причинам, но многообещающее, в силу чего имеет смысл подумать: а что будет, если анзац верен. По сути, анзац — это не до конца проверенная гипотеза. Мы сейчас тоже примем некоторый анзац, на котором будут основываться все наши дальнейшие построения.

Анзац. Отношение числа n видимых комаров к числу N всех комаров в комнате не зависит от самих этих чисел:

и мало меняется для данной комнаты за ночь. Это отношение а называется коэффициентом заметности комаров данной комнаты.

Непосредственно из определения коэффициента заметности а следует, что 0 < а < 1. Если а = 0 , то заметность комаров минимальная: сколько бы комаров в комнате ни находилось, все они незаметны. Аналогично при а = 1 заметность максимально высока: заметны все без исключения находящиеся в комнате комары. Реальные значения коэффициента заметности для бытовых спальных помещений лежат где-то между 0 и 1. Например, коэффициент заметности комаров для комнаты автора текста летом 2006 года был около 0,3, если автору не изменяет память.

Попробуем понять, от чего же зависит коэффициент а, раз уж он не зависит от числа комаров. Несомненно, что а зависит от внутренней геометрии комнаты, и в первую очередь — от наличия в комнате мебели. В абсолютно пустой (например, только что после ремонта) комнате комару негде спрятаться, и у такой комнаты будет а = 1. Еще, судя по всему, а зависит от температуры и влажности воздуха, от освещенности помещения: например, комар постарается не сидеть на стене комнаты, если стена залита палящим солнцем. Кроме того, поскольку острота зрения и внимательность у людей не одинаковая, а может получиться немного разным у разных экспериментаторов.

Описание методики проведения эксперимента и простейшая математическая обработка его результатов. Предлагается поступать следующим образом:

1. Приходим в комнату и убиваем в ней всех комаров, которых видим.

При этом их считаем. Таким образом получено число n видимых комаров в начальный момент времени.

2. Ложимся в постель и гасим лампу, но не засыпаем до конца, а терпеливо ждем 5-10 минут, чтобы дать комарам время повылезать из мест, где они спрятались1.

3. После этого резко включаем свет (тогда комары сядут на стены, а не на потолок) и быстро убиваем всех вновь замеченных комаров.

При этом опять-таки считаем свежие трупы, число n1 которых равно числу видимых комаров в момент после включения света.

Этих данных уже достаточно, чтобы провести некоторые осмысленные выкладки. Во-первых, в начальный момент времени

Затем во время первой охоты n комаров было убито, и в комнате осталось N — n комаров. Далее, во время второй охоты из N — n комаров a(N — n) сидели на видных местах и поэтому простились с жизнью.

Но мы знаем, что во время второго рейда зачистки комнаты от комаров было убито в точности n1 комаров, поэтому n1 — a(N — n).

Решая систему уравнений

в которой n и n1 известны, а N и а неизвестны, находим, что

По этим формулам можно сразу же вычислить коэффициент заметности а и общее число комаров в комнате N .

1 Замечание (Андрей Горшков). Тут предполагается, что комары будут вылезать из своих укрытий, что, конечно, верно не всегда. Но мы можем смело считать, что это так, ибо если комар не летает по комнате, а сидит неподвижно в укрытии, то он не причиняет никакого вреда. И вообще, прилипшие к шкафу комары могут рассматриваться как часть мебели.

Интерпретация результата. Попробуем на основе полученных формул сделать еще какие-нибудь практически полезные умозаключения.

Во-первых, видно, что формула для N имеет особенность при n-n1: знаменатель обращается в ноль. Если n близко к n1, то число комаров в комнате велико, а коэффициент заметности мал. Это может свидетельствовать, например, о том, что в комнате и правда очень много комаров и они отлично прячутся.

Кроме того, огромное число комаров и мизерный коэффициент заметности могут косвенно сообщать нам, что модель не соответствует реальности, а именно, поток комаров через границу комнаты не равен нулю. Короче говоря, комары имеют возможность прилетать в комнату с улицы.

И то и другое на практике означает, что спать в такой комнате нельзя: если не принять каких-то дополнительных мер, то придется всю ночь вставать и бить мешающих спать комаров.

Во-вторых, если n1 много меньше n (например n = 10, а n1=2), то комары (даже если их много) прячутся из рук вон плохо, поэтому есть хорошие шансы за два-три «сезона охоты» их всех быстренько перебить и спокойно уснуть.

В третьих, попробуем вычислить число битв с комарами, необходимое для окончательной победы над ними. Пусть Nk — общее число комаров в комнате после попытки их перебить с номером к . N0 = N — в самом начале никто комаров не бил.

Во время первой охоты было убито aN комаров, а осталось N — aN = (1 — a)N = N1 комаров. После второй охоты в живых будут (1-a)((1-a)N) = N2 комаров, и в общем случае после к вставаний за ночь в комнате находится Nk = (1 — a)kN живых комаров.

Разумно считать, что все комары перебиты после к сезонов охоты, если Nk < 1. Таким образом, к находится из неравенства

Логарифмируя левую и правую часть неравенства (натуральный логарифм — возрастающая функция, поэтому знак неравенства не меняется), получаем

Отсюда

Данное неравенство будет выполняться при всех значениях к, больших критического значения

Именно К и описывает, сколько же раз за ночь придется вставать, чтобы бить надоедливых писклявых комаров.

Из приведенной формулы следует, что К пропорционально логарифму начального количества комаров, а коэффициент пропорциональности зависит от особенностей комнаты:

Видно, что если а мало, то С(а) велико. Это вполне логично: если комары хорошо прячутся (коэффициент заметности мал), то бить их придется долго.

Логарифм числа комаров растет довольно медленно с ростом числа комаров N, поэтому много в комнате комаров или очень много — практически неважно. Это обстоятельство не слишком сильно отразится на том, сколько раз за ночь придется встать. Просто придется за каждый раз убивать больше комаров.

Через экспериментальные данные: n — число первоначально замеченных (и убитых) комаров в комнате и n1 — число убитых комаров после небольшой паузы, число вставаний за ночь выражается следующим образом:

Поскольку вычисленное по приведенным формулам К скорее всего окажется нецелым, а как-то неестественно предлагать человеку встать 3,57857859 раз за ночь, требуется при окончательной записи ответа числовое значение для К округлить. За округленное значение нужно принять наименьшее целое число, превосходящее К. То есть ближайшее к К сверху целое число.

Наиболее очевидные проблемы, возникающие при попытке практического применения изложенной теории.

1.Числа n и N— целые, поэтому основной анзац (в той формулировке, в какой он приведен) почти всегда неверен. В самом деле, пусть N = 5, n = 1. Тогда

Чему же будет равно n1 ? Видно, что n1 не целое число. Трактовать нецелые значения числа убитых комаров можно по-разному. Гипотеза состоит в том, что хотя анзац неверен практически для любой комнаты и для практически любого числа комаров в ней, тем не менее, он верен в среднем. Вопрос о способе усреднения заслуживает отдельного обсуждения.

2. Что делать, если получилось n1>n? Такое может быть из-за ошибки в подсчете числа комаров или из-за случайных флуктуаций плотности распределения комаров в комнате. Видимо, надо опять призывать на помощь усреднение в некотором смысле.

Замечание (Алексей Савватеев). Важен случай, когда имеет место экспоненциальный (Пуассонов?) поток комаров в комнату или палатку, т.е. случай, когда полной герметичности помещения нет. Параметр Пуассонова распределения тогда можно точно оценить, сделав замер n2.

Список литературы

[1] Горностаева Р. М., Данилов А. В. Комары Москвы и Московской области. — М.: КМК Scientific Press, 1999.

[2] Википедия, статья «Комары».

Содержание

Информация

Бусев В.М. О НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКОМ ЖУРНАЛЕ «ПОЛИНОМ»..................................................3

Воспоминания

Тестов В.А. С.Г.ГУБА — УЧЕНЫЙ-МЕТОДИСТ..............................9

Горин Е.А., Семенов П.В., Симонов А.С. ЛЕОНИД МОИСЕЕВИЧ ЛИХТАРНИКОВ.................................................. 12

Шноль Э.Э МОЙ УЧИТЕЛЬ — И.М.ГЕЛЬФАНД..........................19

Бусев В.М. МЕТОДИСТ-МАТЕМАТИК Д.Л.ВОЛКОВСКИЙ......26

История математики

Дворянинов С. ЛЕГЕНДА О ФУНКЦИИ КОШИ................................38

Взгляд на преподавание

Егоров А.В. «УЧЕНИК ПРИШЕЛ УЧИТЬСЯ, УЧИТЕЛЬ — УЧИТЬ»..47

Сгибнев А.И. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ. 5-7 КЛАСС................................57

Шевкин А.В. КРАТКИЙ КОММЕНТАРИЙ К ИЗМЕНЕНИЯМ В ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ.......................................64

Взгляд оттуда

Димиев А. ИЗ КНИГИ «КЛАССНАЯ АМЕРИКА»..........................70

Материалы к занятиям

Гундырев В.Б. МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ РЕЗУЛЬТАТОВ В СИСТЕМЕ ИНЖЕНЕРНОГО ПОДХОДА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ...............................86

Вуколова Т.М., Потапов М.К., Шевкин А.В. ОБ УРАВНЕНИЯХ ВИДА f(x)ф(x) = g(x)........................................................94

Писаренко И.Б. ОБУЧЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ СЕРИЙ ЗАДАЧ НА УРОКАХ И КРУЖКАХ.................................................... 103

Чулков П.В. МЕЛОЧИ С УРОКА..................................................... 111

Внеклассная работа

Волков Д.А. ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦИФРЫ В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ.................................. 113

Пукас Ю.О. ЛЕГКО ЛИ РЕШАТЬ ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ... 120

Задачи и решения

Пукас Ю.О. ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА.................................... 126

Экелекян В.Л., Экелекян Л.В. ДАВАЙТЕ ПОЖОНГЛИРУЕМ НЕМНОЖКО!.....................................................................129

Математики шутят

Ремизов И.Д. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОМАРОВ......... 136

Изд. Лицензия ЛР № 066121 от 22.09.1998г. Подписано в печать 14.01.2009 Объем 6,5 п.л. Формат бумаги 60x90/16. бумага офсетная №1. Печать офсетная. Тираж 200 экз. Заказ №22 Издание Института Логики Когнитологии и Развития Личности Отпечатано в типографии ЕВСТИ, г. Москва.