АРХИМЕΔ

Научно-методический сборник

Выпуск 4

2008

Архимед

Научно-методический сборник

Выпуск 4

Москва 2008

Ответственные за выпуск: А.Бунчук, В.Бусев, Т.Струков, П.Чулков, А.Шевкин

Архимед. Научно-методический сборник. Вып. 4. В настоящем сборнике представлены тезисы докладов участников семинара «Интеграция основного и дополнительного физико-математического образования», проходившего 30 января 2008 года в ФМШ № 2007 ЮЗОУО г. Москвы, а также другие публикации, посвященные вопросам дополнительного физико-математического образования.

© 2008, AHO Институт логики © 2008, Редакция «Архимед»

Ф.И. Матвеева

Воспоминания сельской учительницы1

Предлагаемые читателям воспоминания, записанные со слов учительницы математики, рассказывают о жизни сельской школы 1950-1980-х гг.

Об авторе

Матвеева (урожденная Крайнова) Фаина Ивановна, родилась 26 февраля 1932 г. в деревне Васильевка Небыловского (с 1961 г. Юрьев-Польского) района Владимирской области. Окончила Чёковскую семилетнюю школу (1947), Юрьев-Польское педагогическое училище (1951), физико-математический факультет Ивановского государственного педагогического института им. Д.А.Фурманова (1962, заочно). Учительница Ельтесуновской семилетней школы (1951-1952), инспектор отдела народного образования Небыловского района (1952-1955). Учитель Небыловской средней общеобразовательной школы (1952-1972, 1984-1987), директор (1972-1974) и завуч (1974-1982) этой же школы. Директор Семьинской восьмилетней школы Юрьев-Польского района (1982-1984). С 1987 г. на пенсии, вела общественную работу. В 1972-1987 гг. депутат Небыловского сельского совета и Юрьев-Польского районного совета. Отличник народного просвещения (1980), Ветеран труда (1984).

Учеба в школе и педучилище

В Чёковской семилетке мы учились плохо. Учителями были выпускники средней школы, дети ходили раздетыми, голодными, а в классе зимой было так холодно, что чернила в чернильницах замерзали, руки коченели и их приходилось отогревать в варежках. Хотя впоследствии я сделалась хорошим учителем математики, в школе я математики совсем не знала, боялась ее и выпускной экзамен написала на «2». Перед поступлением в Юрьев-Польское педагогическое училище со мной математикой позанимался учитель недельку перед летними каникулами, потом осенью немножко.

1 Текст подготовлен к публикации В.М.Бусевым и И.В.Зубковым

В педагогическое училище меня повезла тетя — инспектор районо Марья Ивановна. Я написала вступительный экзамен по математике только на «3». Кого-то приняли, кого-то — нет, а поскольку Марья Ивановна была знакома со всеми учителями, она попросила за меня: «У сестры-то четверо детей! Хоть одну бы выучить девочку, старшую, а то трудно-то как!» Может быть, я по баллам и не проходила, но меня приняли.

В училище математику преподавал Николай Александрович Коновалов. Вот это был патриот! И вообще, вспоминая учителей того времени, хоть в педучилище, хоть в Чёковской семилетке, скажу: такие патриоты были, так за детей душой болели! Сильно требовали, но сильно и помогали. Коновалов отвел 29-й кабинет для внеклассных занятий и, заметив, что кто-то что-то не знал, говорил: «Крайнова, сегодня в 29-й, Егорова, сегодня в 29-й». И на всех нас у него хватало души и времени. Он умел убедить нас: какими же вы будете учителями, если не будете знать математики? Кто вместо вас задачи решать станет? А задачи тогда были во много действий (до 6-ти), сейчас таких нет. И дело у меня пошло, на 3-м курсе я была уже одной из лучших в классе по математике. Если домашнюю работу кто-нибудь не делал, у меня просили списать, я же предпочитала объяснить ее. Было такое, что задачи не решались, тут уж отступиться было нельзя, не позволяла гордость. Трижды было так, что решение мне приходило во сне.

Учась в педучилище, я, как и другие, голодала. Нам давали паек: 200 г хлеба ежедневно. Все, больше ничего. В студенческой столовой можно было пообедать за небольшие деньги, но по талонам -для того, чтобы человек два раза не поел, так как все голодали. В столовой давали пюре, синее, на воде, с чайной ложечкой маргарина. И никакого тебе супа. А на ужин приходилось оставлять что-то от 200 г хлеба. Вот сидишь на уроке и думаешь: «Когда же урок кончится!» От голода некоторые падали в голодный обморок. Я не падала. Но в глазах начинало темнеть, и чтобы себя немножко вздернуть, я просилась выйти, пила воды и вроде чувствовала себя чуть лучше. Приходилось из Юрьев-Польского ходить пешком в Васильевку каждый выходной. Существующей ныне дороги Владимир — Юрьев-Польский не было, и мы ходили по берегу реки Колокша: через Симизино и Варварино (свыше 30 км). Я только и выжила в педучилище за счет этих походов. Каждый раз приносила

из дому пятилитровый бидон молока, чтобы его хватило на всю неделю. В комнате общежития нас было человек 5—8. Я всем наливала по чашечке молока: все голодные были, все друг друга как-то поддерживали. Картошку на себе из дому носили, огурцы. Несмотря на то, что время было тяжелое, воровства не было. Спали на топчанах из досок, матрацы набили соломой, подушки, одеяло, постельное белье приносили из дома. Стипендия (которая выдавалась тем, кто учился без «троек») первоначально составляла 30 рублей (это около 100 современных рублей; ботинки тогда стоили 300 рублей). Затем стипендию немного увеличили, открылись городские столовые; там, если голод особенно мучил, можно было поесть суп. А вот колхозникам в то время совсем мало платили. Трудно люди жили. Все дети работали. Я еще училище не окончила, а бригадир уже у моей матери спрашивал: «Настя, когда у тебя Фая-то придет?» Каждые рабочие руки нужны были. Мужчин всех почти положили на фронте, а многие из тех, что вернулись, были инвалидами или умирали через полгода от болезней и от ран. Остались одни женщины и дети. Они и поднимали послевоенную Россию. Люди много работали. И мы как-то быстро-быстро стали подниматься из пепла; к концу 1950-х гг. жизнь наладилась, следов войны не осталось.

Первые годы работы учителем

После окончания педучилища меня направили работать в Ельтесуновскую школу соседнего с Небыловским районом — Ставровского. Само здание Ельтесуновской школы еще строилось, строительством руководил директор Гритов. Мы с детьми занимались в клубе и других домах и на переменах перебегали из одного дома в другой. Учителей было больше 10 человек, но педсоветы не проводились: все вопросы, и хозяйственные и педагогические, решались на ходу, в перемену. Зато политзанятия с учителями проводились регулярно. Все постановления Совета министров, съездов КПСС -все изучались. А потом с этими материалами мы, учителя, шли к людям: все деревенские собирались в один дом, мы им рассказывали, как наше правительство заботится о нас, какие мы счастливые, что в Советском Союзе живем. Такие занятия мы вели не только в Ельтесунове, где жили, но и в других деревнях — в Ратмирове, Елховке, в Морозове. Когда я работала в Ельтесуново, голод еще

ощущался. Картошка была, а вот, к примеру, сливочного масла не было. Зарплату я отдавала маме, ей надо было помочь.

В Ельтесуново я заболела туберкулезом. После этого меня перевели в Небылое, инспектором районо. По району, по деревням по всем ходила, всех учителей узнала. До школ добиралась или пешком, особенно если идти было близко, километров восемь (в Лыково, Андреевское, Федоровское), или на лошади. Случалось, дорога вся заметена, а у нас по плану инспектирование школ, там нас ждут. Тогда заведующий районо просил в райкоме партии лошадку. Одновременно в Небыловской школе работала. Там я сначала преподавала то, что никто не брал, например, Конституцию — был такой предмет. Я любые предметы бралась преподавать, но не потому, что искала возможности денег побольше заработать, а хотелось все предметы самой узнать. Потом я стала вести в Небыловской школе чтение, природоведение, труд, пение и физкультуру в начальных классах за учительницу, которая прихварывала. Отдельного учителя пения не было. И я еще как пела! Я много разных предметов преподавала. В неделю у меня было 22 часа. Всегда хотелось еще какой-нибудь предмет взять! Что же, думаю, я астрономию-то не вела? Предмет трудный. И взяла. Темным вечером с учениками собирались у телескопа, на небо смотрели. Надо не лениться. Самому много читать, много знать.

Зарплата у нас была маленькая. Одевались мы, конечно, плохо. Вот я вспоминаю, мне мама сшила штапельную юбочку, и была у меня еще простенькая ситцевая кофточка, обе чистенькие. Зимнего пальто в первые годы работы у меня не было. Я ходила в плюшевой тужурочке. На зарплату я могла купить одни туфли, если ни пить, ни есть не буду. Поэтому на туфли мы долго копили. В год 2-3 обновки я могла себе позволить. Потом, что часть моей зарплаты уходила на уплату налогов с нашей семьи. Как я себя помню, учителям всегда завидовали, так как они деньги получали, а не трудодни (как колхозники до 1966 г.). Я, помню, в летний период по 140 трудодней зарабатывала — за день можно было выработать более одного трудодня. В счет трудодней то привозили воз соломы, то по 200 г гороху давали и зерна по 100 г на день. Деньги колхозникам брать было негде, а налоги были на все! За корову — плати, за смородину, за яблони, за землю — плати. Поэтому яблони вырубали, так как яблони не каждый год плодят, дорого их было иметь.

Страшное дело! За корову, которую мы держали, мы были обязаны 360 литров молока в год сдать государству. По 1 литру в день. Но она же ходит 4 месяца в году без молока. Ослабленная корова-то. Если она надаивала 5 литров на траве, так это замечательно! Государству сдавали молоко только летом. Мама утром надоит — кашку нам сварит. В полдни что надоит — все сдаст. И подумать никто не мог такое, чтобы при сдаче молока его разбавить водой, чтобы нести с собой воду на полдневную дойку и в воду доить, или в реке воды набрать! Нет, конечно! Кур колхозников заставляли держать: держишь — не держишь, а сдать яиц надо было, да много, в год, кажется, 200 яиц с одной курицы. А кур кормили только картошкой, зерна нам самим не хватало. Яйца мы редко ели. Мать накопит 30 яиц — понесет сдавать государству.

Комсомол

Всех молодых специалистов, приезжавших в Небылое, райком комсомола брал на учет и каждому давал задание. Мне поручили шефствовать над совхозной организацией. Это был самый трудный участок. Почему? — Да потом, что в совхозе вечно нужно дела делать. И делать-то их надо комсомольцам на общественных началах, бесплатно. Например, секретарь комсомола Лида Смирнова звонила мне и говорила: «Фаина Ивановна, собери свою шпану! Завтра утром на рассвете надо раскидывать удобрения, пока наст, снежок. Мы завезем часа в четыре утра, а вы к пяти или шести приходите». У меня по цепочке: тому скажут, тому скажут... И почти все являлись, утром рано вставали и приходили: мы галдели, смеялись, из ведер раскидывали удобрения по всему полю... Сейчас-то это все механизация делает, а тогда ручной труд был. Или, например, клевер убирали (а клевер убирают по ночам, иначе он весь осыпется): давали клич — и тут и не только наша совхозная комсомольская организация шла на ночную уборку клевера — поле-то огромное — а все комсомольцы Небылого шли. И, конечно, с песнями, с шутками, с играми, с баловством... Но работали хорошо. И весело вспомнить то время: никто никого не оскорблял, ребята при девочках матом не ругались, мальчики между собой при девочках не ссорились, все как-то вместе, все дружно, все весело... Ни одной недели не проходило, чтобы не было субботника какого-нибудь: то по уборке улиц, то по посадке деревьев, то по сбору металлолома,

дров старушкам (для этого нам давали транспорт, конечно). Придем, погрешим: «Дядя Вася! Н, что ты весь зарос крапивой, покоси!». Дядя Вася отвечает: «Фаина Ивановна, задыхаюсь, никак у меня здоровья нет. Что делать? Мальчишек давай своих». И говорю: «Сережа, Саша, бегите, берите косу». Они приходят и ему всю территорию покосят. А кого и поругаем: «Что вы хлам-то развели? Ведь самим-то противно ходить мимо этого. А людям как?» В общем, мы следили за чистотой улиц. Каждую суббот, то на одной улице, то на другой убирали. В воскресенье отдохнем, а потом опять работа: неделю-то работаем, каждый на своей работе. Вот так у нас действовал комсомол.

В 1954-1961 гг. я сама была секретарем райкома комсомола. Комсомол часто выполнял задания парторганизации. У нас секретарем районной парторганизации был Михаил Афанасьевич Абрамов, он приходил и говорил, к примеру, так: «Фаина Ивановна, срочно вот туда нужны два человека». И ребята шли и делали то, что надо. Ко мне матери ходили с жалобами на своих сыновей-комсомольцев: «Фаина Ивановна, да поговорите с ним, что ж Миша, ничего не помогает: вечером гуляет, утром еле разбужу на работу...» Тогда все работали. Нельзя было даже представить, чтобы парень не работал. И вот мама продолжала: «Придет с работы, я ему говорю: "Сделай то-то и то-то", а он скажет: "Меня там тот-то ждет. Мам, ладно, это потом"». А грядка не может терпеть: как же это потом? В таких случаях мы проводили воспитательную работу, виновного укоряли: «Эх ты, комсомолец! Надо нажаловаться на тебя. Разве это так делают?» И это сдерживало, так как комсомол уважали и руководители предприятий, и население. Комсомольцы устраивали интересные вечера. Читали много лекций на нравственные темы, например: «Моральный облик молодого человека», «Правила и культура поведения в общественных местах», «О доброте и скромности», «О трудолюбии», а также о видных людях, таких как, допустим, Киров, Куйбышев. Материал брали в библиотеках. Нам было трудно, но интересно, а молодежь была занята. На новогодние праздники устраивали маскарады. И комсомольские свадьбы проводили (нам для этого клуб давали). Такие свадьбы устраивали, как правило, с помпой: всех комсомольцев, живших в Небылом, на них приглашали, шумно было, весело, затейники игры устраивали... И никогда не было на праздниках драк, как это сей-

час часто бывает. Так что комсомол был для молодежи хорошей организацией.

Как-то у нас, молодых специалистов, образовалась компания. Мы уходили к лесу, пекли картошку, анекдоты рассказывали, лимонад пили. С нами и мальчишки были, присланные из техникумов. И никто не говорил, давайте, мол, бутылку, как это сейчас происходит, когда молодежь собирается. Алкоголизм стал распространяться в 1950-1960-е гг. А уж сейчас и говорить нечего, это страшное дело! У нас в селе столько молодых людей умерло от алкоголя! В пьяном виде умирали, то есть перепивали так, что уже умирали; пьяными тонули в озере. А сколько на себя руки накладывали из-за пьянства? За последние три года не менее 8 человек повесились. От души жалею молодежь. Она у нас сейчас брошенная. А в деревне — особенно. Мальчики и девочки школу оканчивают, а устроиться на работу некуда: специальности нет, учиться дальше не на что, получить работу можно только по знакомству... И они мотаются год, мотаются второй, а потом начинают пить. Погибли парни? — Погибли. Я человек наблюдательный, в селе всех знаю, потом, что у нас так село устроено: в одном конце чихнули, в другом кричат: «Будь здоров!» Много приезжих, но со временем они обживаются, и я уже несколько поколений знаю. И я к слову скажу: вымирание происходит в селе Небылое.

Годы директорства

Директором Небыловской школы с середины 1960-х гг. был Владимир Иванович Шикота, очень умный человек, родом с Украины. Шикота какую-то новую струю принес в школу. Комсомол стал лучше работать, он сам взял его под контроль. С учителями умел работать, понимал очень хорошо психологию, очень тактичный человек. Мы, учителя, народ податливый и если требования к нам предъявляются справедливые, мы их выполняем. Шикота педсовет проводил у нас по четыре часа! За это время он обстоятельно разбирал все трудности, недоразумения и т. д. Можно сказать, что он научил наш коллектив работать. И ответственность поднял, и совесть у всех к работе как-то пробудилась. С учениками много работал.

Но случилось так, что и этот умный человек заблудился. Он был женат (его жена, Александра Ивановна, у нас работала), но в Юрь-

ев-Польском встретил одну женщину, которая буквально повисла на нем. Про это узнали, на него начались гонения со стороны райкома партии — тогда партконтроль был... И в результате его сняли с работы, даже судили и приговорили к лишению права работать с детьми, потом, что он, якобы, — нравственный растлитель (какая-то похожая формулировка была). После этого начали срочно искать нового директора школы, никого в районе не нашли и привязались ко мне. Я отказывалась, говорила: «Я не буду, у меня четверо детей. Мне некогда этим заниматься». Потом меня уговорили: «Фаина Ивановна, возьми на год, потом мы другого директора подберем». Я отработала два года. Мы старались не потерять то, что было заложено Шикотой. Коллектив был дружный. Я держала эту школу в тонусе, обращала внимание учителей на нехорошие тенденции, призывала их поработать над этим. Но все это время, приезжая в районо, канючила: «Лидия Васильевна, нашли? Может, кто приехал, может, кого нашли?» А мне говорили: «Фаина Ивановна, да уж Вы два года работаете, привыкли, работайте дальше». -«Нет, — отвечаю, — меня хозяйственные вопросы очень мучают». У нас же в школе изучалось автодело, тракторное дело, была школьная ферма; школа самостоятельно ремонтировала дома учителей, они на балансе школы состояли. Учителя приходили и говорили: «У меня печь развалилась, а у меня доски провалились, у меня -отопление плохое». И так далее. И вот, школьный завхоз закупал материалы, организовывал ремонт. Все это денег стоило, районо денег не дает, и идешь в райисполком — уговаривать: не может учительница в таких условиях жить, дом к зиме не готов... Потом я поставила вопрос ребром: «Все, Лидия Васильевна, я не буду работать! Ищи за лето». И уехала в отпуск. И вот, приезжаю я с черноморского курорта, звоню: «Лидия Васильевна, нашла директора?» -«Ой, Фаина Ивановна, приезжайте скорее в районо, сейчас будем уговаривать Ивана Сергеевича Овсянникова». А Овсянников был директором Горкинской школы и в то время хотел уехать в Кабардино-Балкарию — летом у него в школьной котельной нашли труп мужчины, пьянчужечку, утонувшего в воде, которая в котельную натекла; стали директора обвинять в том, что он не закрывал котельную. У него нервы и сдали. И вот мы стали его уговаривать, доказывать ему, что в Небыловской школе коллектив хороший. Он согласился: «Я съезжу, погляжу. Но тогда Вы, Фаина Ивановна,

завучем будете». Я говорю: «Ладно, завучем-то я буду». Так я освободилась от должности директора. Он приехал, посмотрел, согласился, а я ему во всем, как и обещала, помогала. Он был молодой, моложе меня намного. Мы с завхозом специально для него построили дом.

В 1982 г. меня назначили директором Семьинской школы. Школа была старая, требовала ремонта. Как хорошо мне было в Семьинском! Мне дали хорошую двухкомнатную квартиру. В Семьинской школе я преподавала историю и математику. В классе было от 5 до 12 человек, мне это не нравилось, потом, что развернуться с разными методами работы трудно в таком маленьком классе. Вот когда у тебя 20 человек, ты и сама настраиваешься на то, что каждый из двадцати учеников должен урок понять. Это заставляет так разрабатывать урок, чтобы он был всем доступен. При многолюдных классах учитель и более внимателен: он должен видеть, что творится у каждого ученика.

Все уроки я готовила тщательно, читала дополнительную литературу. Однажды ко мне приехал инспектор из районо, Дмитрий Захарович Рачков, порядочный, умный, ой какой умный! Столько он знал! Например, приходит он в Дом пионеров, а там выставка о каких-то писателях. Он подойдет и скажет: «А его зовут Алексей Павлович, а не М.К.» Всех поправлял, всем советы давал, был ходячей энциклопедией. Так вот, когда он приехал, я разволновалась и говорю: «Дмитрий Захарович, Вы знаете, какой я историк-то...» А он отвечал: «Да ладно, Фаина Ивановна!» Когда я урок провела, он сказал: «Еще очко форы дашь историку любому!» Потом, что я очень ответственная во всех делах. Я не могу, когда дело сделано некачественно, переживаю, ночь не сплю. Я только тогда ложилась спать, когда я была полностью готова к урокам. Были моменты такие, когда я очень сильно уставала: дети-то малые, плачут ночами, на уроки ходила не спавши, а после уроков надо было тетрадей кучу проверить, планы уроков написать. Приду домой и... усну. Прямо голова ляжет. Тетрадки проверяла красной ручкой или карандашом, так когда голову роняла, то и проводила по тетрадке красную линию. Очнусь, а сил все равно нет. Ведь четверо детей, а зарплата маленькая! И только спасал огород, погреб, подпол. Все дети трудились. А в магазине — хлеб систематически покупать надо, а нас семеро: четверо детей, я, муж, старушка-мать. Это я уж так, к ело-

ву... Вот готовлюсь-готовлюсь — сплю! Очнусь, а не могу дальше-то работать. Лягу спать поперек кровати — так долго-то не проспишь. Если я укроюсь, я до утра просплю, а у меня еще план урока не готов. И вот так, неудобно устроившись, спала часа два, просыпалась в два часа ночи бодрая, садилась за работу и часов до четырех утра всю ее делала. Вот так жила.

Семьинскую школу я отремонтировала, мы с ребятами развели огороды при школе; исторические картины, сваленные в кучу, по стенам развесили, стеллажи сделали. Дети стали культурнее. Когда я приехала, то бывало, что во время школьных завтраков старшие у младших отбирали печенье или пряники. Много такого было, над чем надо было работать. Я все спрашивала у учителей: «Как же это вы так? Распустили! Неужели не понимают?» Я собрала линейку в коридоре и давай детей чистить, доказывать, как это мерзко, как это гадко. Заставила их выложить все, что они чужого взяли. Одного раза хватило, чтобы это прекратить. Только нужно с детьми работать, требовать, следить. Это такой труд, такой труд учительский! А директорский? Мало того, что на директоре лежат хозяйственные вопросы, он и воспитательные, и учебные вопросы решает, и учителями руководит. В Семьинской школе мне пришлось много с учителями работать. Вот, например, все они вели уроки сидя, даже молодые учительницы. Я на педсовете им сказала: «Вы, сидячие учителя, как можно! Присядьте, когда детям, к примеру, дали самостоятельную работу, но остальное время вы должны быть на ногах». Я все уроки стоя вела. Как русский язык можно преподавать сидя? Учитель на уроке должен почерк проверять и грамотность. Кроме этого, учителя в Семьинской школе, хоть их было и немного (восемь, кажется), ругались друг с другом, все друг другу что-то доказывали. Среди них хороший был только один Евгений Николаевич Валединский — умный, порядочный человек, из местных. Я его однажды спросила: «Что же Вы директором не стали, что же меня сюда прислали?» А он ответил: «Фаина Ивановна, с этими скандалистками я не справлюсь».

Как я учила математике

Хочу рассказать о том, как я учила математике — может быть, молодые учителя найдут что-то для себя, смогут применить в своей работе.

Когда я начинала работать, никаких методических разработок у нас не было, никаких! Не было у меня и наставника — так, чтобы я училась у какого-то опытного учителя. Я пользовалась только теми знаниями методики, которые получила в педучилище, и тем, что изобретала сама. Помогало посещение уроков других учителей, на каждом я что-то для себя узнавала — как держаться надо на уроке, каким тоном с детьми разговаривать.

Вот сижу над планом урока, думаю, думаю... Урок по трафарету проводить скучно. Нельзя проводить урок сегодня и завтра так же, как вчера. Это я поняла очень рано. Чтобы заинтересовать детей своим уроком, его нужно разнообразить. А каким образом? Иногда я задавала домашнее задание в начале урока. Скажу: «Ребята, вот такие-то и такие-то номера. Запишите. А теперь откройте учебник». С домашней работой математик должен знакомить ребят в классе. Открываем учебник. Прочитаем. «Как вы считаете, задача доступная?» «Да, решим! Такие мы решали!» А другой скажет: «Надо подумать». «Ну и хорошо. Я знаю, Витя, у тебя мозги хорошие, и ты решишь. Ну-ка, давайте разберем другой номер». А о другом примере или задаче дети скажут: «Фаина Ивановна, мы такие не решали». «Правильно. Мы сегодня будем их решать. Вот на уроке внимательно будете заниматься — все усвоите. И дома вам это покажется легко». Если не разобрать домашнюю работу в классе, то ребенок дома скажет: «Ой, я не решу, такое трудное — я не знаю». Вот так. И дальше решаем. Весь урок работаем, работаем. Когда предстояло изучение нового материала, урока за три до этого повторяли все нужное к нему. Потом, что математика — это цепочка, ни одного звена нельзя пропустить. Пропустишь — и все: прореха в голове у детей. И урок по новому материалу шел, как по маслу, потом, что дети к нему уже были готовы. А если объяснять без такой подготовки, когда многое из предыдущего уже забылось, дети мало что поймут. Они же не одной только математикой занимаются, это надо понимать. У них физика, химия, и все учителя от них требуют. Кто-то сидит на математике и думает: «Ох, меня сегодня по истории спросят, а я не выучил». Детей-то тоже нужно понимать. Если они не готовы к восприятию, они сидят и не понимают, а учитель начинает нервничать: «Да что это вы забыли, разве у нас этого не было, мы же встречали это, ну-ка, вспомните!» Ну, вот так далее и пошла ругань, а толку никакого. Никогда нельзя допускать

конфликта на уроке. Когда у детей нет восприятия на уроке, виноват в этом только учитель — только он не смог, не донес.

На уроке надо быть артистом, обязательно! Вот вхожу в класс -все встали. Я говорю: «Ой, дети, ой, дети, ой, как сегодня будет трудно! Ой, даже вот я — не знаю. Если вы мне не поможете, то я план не выполню. А знаете, что такое план не выполнить? На заводе ну-ка, попробуй, не выполни, не выдай детали, зарплату получит ли человек? Я ведь тоже работаю по плану. А вы — мой материал, от вас все зависит!» А когда так скажу: «Ну что, настроились? Сегодня с самого начала будет новый материал. Новый!» А к этому я их уже приготовила за 2-3 урока до этого. Но все равно продолжаю настраивать, а сначала немного их расслаблю: «У вас какой сейчас урок-то был? О, физика — тоже трудно! Вы, наверное, часть мозгов на физике оставили? Оставили ли мне чего-нибудь?» По-всякому. И скажу: «Все, напрягитесь. Сейчас надо работать с упорством. Дальше у вас будет физкультура, там расслабитесь. Итак, все готовы? Начинаем». Начинаю. Объясняю, объясняю. Вернусь: «Здесь как? Здесь почему? Почему я это так написала? Правильно, это из той теоремы следует. Ну-ка, прочитай теорему». И дальше, дальше. Всю теорему объясню, но она у меня развалилась на куски. Я же ее маленькими кусочками объясняла, а в целости — нет. «Так, вам все было сейчас понятно? А кто может доказать?» Никто. И я безотрывно, обосновывая каждый шаг, все сама докажу. «Вот если вы так будете доказывать, это будет отлично». И когда я в следующий раз спрошу, кто может доказать эту теорему, рук 5 или 7 поднимется. Знаю, что этот знает, тот знает, она знает, знает... А эта, гляди-ка, первый раз руку подняла, ее и вызываю отвечать. И она доказывает, хорошо доказывает! «Вот видите, как мы хорошо поработали, всю теорему усвоили на уроке». А слабых учеников предупрежу, что на следующем уроке с них тоже спрошу.

Готовя урок, всегда нужно думать о том, какими методами выполнить обучающую задачу, определить развивающую цель, воспитательный момент. Но как бы мы ни продумывали, иногда ситуация на уроке складывается так, что уведет куда-то, и урок часто идет не по плану, а начинается стихия. Я помню, что меня эта стихия захлестывала первые два-три года. Потом я поняла: нет, надо себя держать в рамках. Как бы там ситуация в классе ни сложилась, держи свою линию. Надо мне выполнить план вот этот сегодня — и

все примеры, все задачи подобрать так, чтобы они именно выполняли эту обучающую часть. Ну, а где обучающая, где развивающая -их даже трудно разграничить.

Урок начинать можно по-разному. Не обязательно сразу проверять домашнюю работу, как по шаблону многие учителя делают. Да Бог с ней, я часто ее и не проверяла, времени не теряла. Вместо этого выборочно брала тетради у 5-6 человек. Дети знают, что я такую проверку устрою, поэтому они делали домашнюю работу, даже те, кто на предыдущем уроке мне тетрадь предоставлял. И вот когда проверю эти несколько тетрадей, и увижу, что все 5-6 человек выполнили одно задание нерационально (например, длинным методом) или неправильно, я говорила: «Дети, вот этот пример мы сейчас быстро на доске решим». Кто-то там решает, а я направляю в новое русло, и говорю: «Вот так надо было сделать. Ну-ка откройте работу, у кого так было сделано?» Оказывается, так решили несколько человек, а остальные, значит, делали нерационально. В общем, домашнюю работу нужно держать под контролем, но это не значит, что на каждом уроке все 25 тетрадей надо собирать. А иногда и некогда проверять домашнее задание, ни одной тетради не возьму; но зато на другой день, перед выходными, все равно себя мучила: «Все тетради сдайте», — и за всю неделю их перелистывала. Погляжу, какие-то задачи решенные, какие-то нерешенные, а потом в классе говорю ученику: «А у тебя много нерешенных задач, ты не работал». Он отвечает: «Да, наверное, в другой тетради, Фаина Ивановна». — «Хорошо, завтра принеси другую». Он принесет, все решенные. А мне что надо? Чтобы решил, а не чтобы его поймать! Детей не надо терзать. А иногда бывало, что придет на урок мальчик и скажет: «Фаина Ивановна, не спрашивайте меня». «Я же тебя предупредила! Что же ты не выучил?» «Да папа вчера пьяный пришел». Ну, как я его спрошу? «Ладно, в другой раз». Или вдруг девочка заплакала. Спрашиваю, почему? А она отвечает: «Да папа всю ночь пел». «Как — пел?» — говорю. «Пришел пьяный, взял гармонь и пел. Мы не спали с мамой». Всякое бывает.

Во многих классах я проводила экспромтом маленькие контрольные работы и называла их «самоконтроль». Я на доске или пишу или (чаще) устно диктую примеры. Допустим, урок идет у малышей в 5-м классе: «Мать принесла и разрезала два яблока на троих, по сколько каждому досталось?» Они должны только ответ

записать — 2/3. Когда я продиктовала 8-10 таких примеров, я говорила: «Читай, Парамонов, свои ответы». Парамонов читает. «Ребята, у всех так?» — «А у меня во втором вот столько», — один говорит. Разберем. А потом уж они знают: если все 10 примеров правильно, они сами себе «пять» ставят и расписываются. Если 9 или 8 ответов правильные, я разрешала ставить «четыре». А если меньше — «тройка», если вообще только 3 ответа правильных — «двойка». «Поднимите руки, сколько пятерок?» Много пятерок — сердце радуется. «Сколько четверок? Где ты сделал ошибочку?» И вот на это уходит, скажем, 7 минут. Потом, что все это быстро и нетрудно, только важно, чтобы дети сущность понимали.

Почти на каждом уроке я проводила самостоятельную работу. Говорю: «Дети! Сейчас я объясняю новый материал. Но он вам доступен, вы подготовлены к тому, чтобы его воспринять и уложить в голове». Объясню, а потом закрепим. Обязательно новый материал надо закрепить практически, решить задачу. Сейчас существует много методических пособий, а тогда этого не было; учитель чутьем своим чувствовал, что это надо, иначе не пойдет материал. И часто, очень часто, я напоминала детям потихонечку, понемножечку, неназойливо, что все 45 минут они должны не отвлекаться ни на какие посторонние мысли и весь урок работать. Не будете так работать, вы математику не будете знать. Думаете, в жизни она не пригодится? И начинаю: строителю нужна, даже простому деревенскому плотнику, продавцу нужна. А вы думаете, повару не надо? А как математика нужна в прокуратуре, следователю, например. Если он математику не знает, он логически никогда не сумеет определить, кто преступник. Однажды мне одна девчонка сказала: «Фаина Ивановна, это правда. Я все просила папу подсказать мне, как решать задачу, а он никак не умеет решать, а он следователь, папа мой, и ни одно преступление не раскрыл». Потом, правда, узнали, что он взятки брал: кого раскроет, так вроде и не раскроет. Спрашивала у детей: «Назовите специальность, где математика не нужна?» И шутники всегда находились, говорили: «А на ферме работать, скоблить транспортеры, там не надо математики, Фаина Ивановна». Я говорю: «Правильно, математики не надо. Вот ты будешь скоблить, по углам гонять этот навоз туда-сюда, а ты напрямую — по гипотенузе, тоже надо математику знать, что это кратчайший путь». Вот так и выйду из положения.

Иногда, но не часто, я проводила математические диктанты. Беру тетрадь и гляжу: «гиометрия», «бисектриса»; слово «параллелепипед» вообще Бог знает как писали. Мы на педсоветах часто говорили: грамотности нужно учить на всех уроках. Если ошибки делают в биологических терминах, ты, Татьяна Николаевна, не научила. Так и грамотно писать математические термины должен научить учитель математики.

В 7 и 8-м классах я использовала хороший метод обучения математике, усиливающий контроль. Устраивала зачетную контрольную работу, своеобразный экзамен по материалу, пройденному за четверть (потом я стала делать «контроль» только два раза в год: за первое и за второе полугодие). К этой работе детей готовила, объясняла им, что нужно повторить, вспомнить, выучить, решала задачи. Контрольную работу принимали десятиклассники, человек 5-6 способных ребят. Они к десятому классу уже забывали многое, но я их консультировала. Дети тянули мной написанные карточки с 6-ю вопросами, как на экзамене. Потом каждый десятиклассник принимал ответ нескольких человек, за каждый правильный ответ начислял два балла. Я в одиночку такой экзамен принять бы не успела (в классе 25 человек, в последние годы было до 32), а ребятам интересно, все стараются, и десятиклассники тоже. Потом результаты мы вывешивали на обозрение всей школы: подойдут старшеклассники, прочитают: этот столько-то набрал, этот мало набрал. «Эх ты, что ж ты набрал 6 или 7 баллов!» Ему будет обидно. В следующий зачет результаты лучше. Детей такие экзамены очень стимулировали, они ждали их.

С детьми я разговаривала попросту, но не сходила на панибратство. Держать эту грань очень трудно. Я продумывала дома: как я сегодня с Толей поговорю, как его вдохновить и не обидеть, чтобы он начал работать. На уроках у меня не было полицейского режима, дети могли спрашивать что-то вслух, между собой что-то обсуждать — но только по делу. Нельзя допускать, чтобы они кричали или отвлекались.

Самое главное — чтобы дети чувствовали, что вы их любите, что вы для них стараетесь. Что вы никогда не опускаетесь до того, чтобы их оскорбить и унизить. А если случайно так получится, тут же прощения просите, это не позорно. Вот я однажды обидела одного парня. Он у меня плохо теоремы доказывал. Я его предупредила:

«Я спрошу тебя, Сережа, выучи эту теорему». Он на следующем уроке вышел, опять плохо. «Фаина Ивановна, я учил и читал...» Как у меня тут разорвалось! Отец у него застарелый алкоголик, я говорю: «Сережа, я сочувствую тебе, но, видимо, на твои мозги повлияло поведение отца». Вот как я его обидела, а потом просила прощения. В класс надо идти, конечно, со светлой душой, как к своим детям. Конечно, там есть и «перцы». Все там есть. И всех их надо любить. А вот этих, таких непослушных — особенно. А потом узнать, а что же он такой нервный, такой возбудимый, такой гордый, недисциплинированный. Я ходила к ученикам домой, смотрела, как они живут. И оказывалось: бедный ребенок! Дома-то отец всегда пьяный, мат сплошной. Мама с фермы приходит изнервничавшаяся. До ребенка ли ей! Дома война каждый день! Как же ему быть? И вот тогда приучаешь его к себе, простите, как собачку, ласкаешь его: «Андрейка, а ты сегодня домашнюю работу не сделал... Ну, ладно, ты сегодня останься после уроков, и эту работу мы с тобой вместе решим, и классную работу сделаем, а завтра ты придешь с готовой работой». А потом побеседую с ним. Даже до 8 или 9 класса бывало, что говорила: «Ну-ка, Женюшка, ты чего такой нервный, ну-ка, считай до 10 вслух. Один, два...» Я понимала психологию, умела доказать, что так в обществе жить нельзя. Так иные из армии мне даже писали: «Фаина Ивановна, в армии вашими методами пользуемся».

И учителям своим говорила: «Самое главное качество учителя -любить детей. Любить всякого: и сопливого, и вшивого». У нас ведь все это было. И грязного, и вонючего надо любить, потом, что не он виноват! Семья такая. Мама может быть загружена, другая нечистоплотная, не помоет и не постирает вовремя и ребенка в школу отправит и простуженного, и всякого. Почему дети слабо учатся? Не помогают дома родители. Непременно с 1-го по 4-й класс нужно помогать ребенку, контролировать его дневничок, тетрадочки.

Детей я часто водила в походы, устраивала 3-4 похода в год. С 4 и 5-м классами далеко не ходили. Придем в соседнюю деревню, в Косагово, к примеру, побеседуем с кем-нибудь, с кем я заранее договаривалась, что мы зайдем. Потом на конюшню сходим. Дети спрашивают: «Фаина Ивановна, а можно зайти вот в этот дом?» Окошечки маленькие... В доме живет старушка, вся укутанная,

одинокая, никого у ней нет. Престарелого-то дома нет. За ней ухаживает соседка. Уговорю сельсовет, чтобы ей хоть дров-то привезли. Потом дети узнают, что старушке дров привезли, а для ухода за ней кого-то наняли. Каждый поход должен нести что-то нравственное, познавательное. А то возила детей в Юрьев-Польский, в Суздаль, Владимир. Тогда рейсовых автобусов не было, людей возили в крытых кузовах грузовых машин. В совхозе была одна такая рабочая машина, лавочек в ней не было. В городах детей водила в художественные галереи, поэтому к 10-му классу они всех художников-галереечников у меня знали, и работы их понимали, знали и иностранных художников, Гойя, Пикассо, Пиросмани. Вообще, разбирались в живописи. Такие походы, экскурсии я сама очень люблю. Но на экскурсиях надо соблюдать меру, нельзя детей перегружать, водить их, например, сразу и на художественную выставку, и в исторический музей. После походов оформляли туристские альбомы. Я много детям рассказывала о своих дальних поездках (почти каждое лето куда-то уезжала). Всегда вела кружки, бесплатно. Раз в неделю с малышами, 4-5-й классы, на другой день 7-8-й, в третий день 9-10-й классы. Я не хвалюсь, я вообще не тщеславна, но я считалась лучшим учителем. И дети всегда вокруг меня вились, и родители ко мне очень хорошо относились, и я к родителям.

Родители учителям подарков не преподносили — мы этого не поощряли, боялись, что неправильно истолкуют. Вот почему люди нашего поколения не могут дать взятку. Не могут себя переломить. Знаю — этот берет. Я вот лучше как-то обойду его, пусть и промучаюсь лишнее с документами. Сейчас падение нравственное. Люди свое достоинство не берегут. Я слышала, сейчас сами учителя навязывают детям и родителям репетиторство. Когда я училась и работала, никаких репетиторов не было. Это же в высшей степени безнравственно! В селе с кого брать деньги? Семьи голодными сидят. Нас учили детям помогать, и никому и в голову не приходило за это брать с них деньги! Я человек мягкий, милосердный, но когда я директором была, я с учителей очень строго спрашивала, чтобы они ученика научили. «Научи!» — говорила. «Да он и не хочет», — отвечал мне кто-нибудь. «Сделай так, чтобы захотел». Ребенка надо приласкать, приголубить и убедить его.

Школы Смоленской губернии в 1922—1927 гг. (отчет инспектора губоно)

Предисловие

В региональных архивах России всегда имеются фонды, содержание которых отражает развитие народного образования в тот или иной исторический период. В этих фондах хранятся списки учителей и учащихся той или иной школы, протоколы заседаний педагогических и ученических советов, отчеты инспекторов о состоянии народного образования в губернии или уезде, школьные сочинения по литературе, контрольные работы по математике и многое-многое другое. Все эти кусочки прошлого, собранные воедино, позволяют с некоторой степенью уверенности судить о том, что же происходило в школе в весьма отдаленные времена.

Один из таких кусочков публикуется ниже. Это фрагмент отчета инспектора Смоленского губернского отдела народного образования М.Г.Андреева. В отчете дается анализ развития и состояния народного образования в Смоленской губернии в первые годы советской власти. Этот отчет примечателен не только тем, что автор весьма подробно рассматривает отдельные стороны жизни школы в их исторической перспективе, но и тем, что по ходу изложения дает оценки, подчас очень образные и точные. Достоверность излагаемого автором не вызывает сомнений: в любом исследовании по истории советской школы 1920-х гг., опубликованном после середины 1950-х гг., можно найти аналогичные описания ситуации, которая складывалась в образовании в первые 10 лет советской власти1.

Из текста инспектора М.Г.Андреева в большинстве случаев понятно, о чем идет речь. Тем не менее, публикацию отчета предварим кратким очерком истории советской школы 1920-х гг., который можно рассматривать как комментарий к публикуемому далее документу.

1 См., например: Балашов Е.М. Школа в российском обществе 1917-1927 гг.: становление «нового человека». СПб., 2003; Королев Ф.Ф. Очерки по истории советской школы и педагогики (1917-1920). М, 1958; Королев Ф.Ф., Корнейчик Т.Д., Равкин З.И. Очерки по истории советской школы и педагогики (1921-1931). М, 1961.

Советская школа в 1920-е гг.

Придя к власти, большевики решили разрушить прежнюю школу и построить взамен новую, организованную на других принципах. Школа должна была стать светской, доступной всем слоям населения (хотя в первую очередь, конечно, пролетариату и крестьянству); предполагалась преемственность различных ступеней системы образования: поступая в школу I ступени, ученик мог бы рассчитывать на обучение на II ступени, а затем на поступление в высшее учебное заведение (до революции преемственности не существовало). Школа стала называться единой и трудовой; первое предполагало единообразие типов учебных заведений, второе -проведение трудового принципа, согласно которому в центре школьной жизни детей должен был находиться труд.

В первые годы советской власти были отменены переводные экзамены, отметки, а также учебники и учебные программы. Наркомпрос дал лишь общие указания относительно изучения предметов, составление программ доверялось местам. Учителя, не привыкшие к такой свободе действий, оказались растерянными; не приняв этой свободы, большинство стало работать по старым программам и учебникам. С другой стороны, возникло множество местных программ, которые часто отличались не только в разных губерниях, но и в уездах и даже в волостях. К 1920 г. Наркомпрос понял, что необходимо централизовать программно-методическую работу, но работа эта шла медленно, и новые программы школа получила не ранее февраля 1922 г. Именно это время — 1918-1921 гг. -М.Г.Андреев называет «безпрограммным состоянием» и цитирует учителя, который сказал об этом времени так: «Была тоска по программам».

Программы 1920-1921 гг. несильно отличались от программ дореволюционной школы. По сути, программы зафиксировали, что семилетняя школа является обычной общеобразовательной школой, в которой уделяется повышенное внимание проблеме связи школьных предметов с жизнью. Однако не это было целью реформаторов школы во главе с наркомом просвещения А.В.Луначарским и Н.К.Крупской. Последняя возглавила работу по созданию новых программ.

Критикуя существующие программы семилетней школы, Н.К.Крупская указывала на отсутствие связей между предметами и

предлагала широко подходить к изучению труда людей. «Чтобы изучить трудовую деятельность людей, необходимо изучить объект этой деятельности — природу и ее силы, затем необходимо изучить способы воздействия человека на природу (технику) и, наконец, субъекта этой деятельности — человека»2. Именно эти указания Н.К.Крупской легли в основу новых программ, так называемых «схем ГУСа», которые начали обсуждаться уже в конце 1922 г.3 Весь материал, подлежащий изучению, разбивался на три колонки: Природа и человек, Труд, Общество. Приведем с небольшими сокращениями материал, который необходимо было проработать с детьми тринадцати лет4:

Природа и человек

Труд

Общество

Физика и химия, поскольку они нужны для понимания климата, жизни растений. Почва. Почвы России. Наблюдения за погодой. Метеорология. Климат России. Жизнь растений, зависимость от окружающих условий. Распределение растительности по СССР. Главнейшие типы животного царства и классы позвоночных животных, их строение и образ жизни.

Добывающая сельскохозяйственная промышленность, ее виды и формы. Характеристика земледельческих районов СССР. Обработка и удобрение почвы. Орудия труда в сельском хозяйстве. Уход за растениями. Культурные растения в сельском хозяйстве. Скотоводство, птицеводство и т.п. Мелкое и крупное хозяйство. Земледелие на Западе и Америке. Результаты применения науки к земледелию.

Крестьяне и помещики. Крепостное право. Борьба крестьян против помещиков. Дворянство и царь. Крымская война. Освобождение крестьян. Малоземелие и бесправие крестьян. Выкупные платежи. Крестьянское и помещичье хозяйство. Союз рабочих и крестьян. Завоевание власти. Закон о земле. Борьба крестьян в Западной Европе. Жакерии. Крестьянские войны. Великая Французская революция.

2 Крупская Н.К. К вопросу о программах // На путях к новой школе. 1922. №2. С. 4.

3 Новые программы для единой трудовой школы. М.-Пг., 1923.

4 Схема программы 1-го концентра 2-й ступени // Просвещение. Педагогический сборник. 1923. № 3. С. 110-111.

Согласно этим колонкам, учитель должен сначала рассказать о животных с точки зрения биологии, затем перейти к вопросам разведения домашних животных в крестьянских хозяйствах, а от них -к самим крестьянам, которые борются с помещиками. При этом детям сообщаются отрывочные сведения сразу из нескольких наук, объединенные лишь тем, что все они имеют некоторое отношение к сельскому хозяйству.

Такой принцип изучения разнородного материала одновременно получил название комплексного метода. Особенно широко его предлагалось использовать на I ступени школы. Учителя, впервые столкнувшиеся с необходимостью организовать обучение совершенно по-новому, снова оказались в растерянности. К тому же со временем стало ясно, что обучение русскому языку и математике плохо сочетается с комплексным методом. В самом деле, эти предметы предполагают выделение специального времени на формирование навыков письма и счета, а комплексная система обучения выделения такого времени не предполагала; считалось, что навыки должны приобретаться в ходе проработки того или иного комплекса.

В результате происходило следующее: либо учителя, пытаясь увязать комплексы и навыки, выделяли отдельное время для формирования последних, либо понимали комплексирование материала упрощенно, о чем красноречиво свидетельствуют примеры из отчета М.Г.Андреева.

Наряду с попыткой радикального изменения не только содержания, но и структуры программ в советской школе получили широкое распространение также различные методы обучения: исследовательский, экскурсионный, дальтон-план и его модификация — бригадно-лабораторный метод, при котором дети коллективно и самостоятельно изучали материал. Увлечение новыми методами началось еще до революции, но массовый характер это увлечение приняло в 1920-е гг. Эти перегибы ярко описывает в своем отчете М.Г.Андреев.

Принцип свободной школы породил явление, которое М.Г.Андреев называет «самоорганизацией». Оно заключалось в том, что учащиеся принимали активное участие в жизни школы. Степень самостоятельности ученических коллективов варьировалась: в трудовых школах-коммунах и детских домах она была больше, в обычных школах — меньше. Н.К.Крупская видела в самоорганизации средство преодоления «мелкособственнических» интересов населения и воспитания коллективизма.

Связь школы с жизнью понималась не только как изучение труда и участие детей в трудовых процессах в школе (например, работа на пришкольном участке). Разговор шел об общественно-полезной работе школы, которая должна была связать школу с окружающей жизнью, пробудить интерес учащихся к общественным явлениям. Н.К.Крупская привела пример такой работы: дети, видя разбитую грязную дорогу, должны осознать этот «беспорядок» и приложить усилия к его устранению. «Та школа хороша, которая умеет воспитать ребят таким образом, что им будет дело до всего общественного»5. Однако, как видно из отчета М.Г.Андреева, указаний Н.К.Крупской и программ ГУСа учителям оказалось недостаточно: главные вопросы так и остались не решенными.

Больным местом школы 1920-х гг. был вопрос об учебниках. Несмотря на официальную отмену дореволюционных учебников, учителя продолжали пользоваться ими (по крайней мере, в первые годы советской власти). Со временем необходимость учебников была осознана, и Госиздат стал активно издавать книги, рекомендованные ГУСом (правда, они носили не статус учебников, а учебных пособий). Постепенно учебные книги стали поступать в школы. Однако учителя испытывали затруднения при работе с ними, поскольку книги в большинстве своем не были приспособлены под программы ГУСа.

Один из главных лозунгов новой школы — «трудовая школа» -часто оставался лишь лозунгом. Превращение школы в трудовую требовало не только материальной поддержки, но и четких указаний учителю, мер по переподготовке учителей. Всего этого было явно недостаточно, чтобы школа стала по-настоящему трудовой, что и отмечает в своем отчете М.Г.Андреев.

Наконец, методическая работа учительства была далека от совершенства и требовала централизации в масштабах губерний и уездов. Только с организацией местных методических бюро методическая работа смогла развернуться более широко, в частности, скоординировать усилия учителей, работников политико-просветительных учреждений и учреждений профессионального образования.

5 Крупская Н.К. К вопросу об общественно необходимой работе школы // Собрание сочинений в десяти томах. Т. 3. М, 1959. С. 204.

Отчет инспектора Смоленского губоно М.Г. Андреева6

Программный вопрос

За истекшие 5 лет программный вопрос был одним из самых актуальных и претерпел в своем поступательном развитии много этапов и перипетий. В конечном счете, все эти видоизменения можно свести к следующим трем основным периодам.

1. 1922-23-1924 — так сказать «безпрограммное» состояние или -вернее — «самодельные» местные программы; местные не только в масштабе губернии, но и уезда (а часто и волости); причем понятие «местные» понимается и применяется не в смысле локализации, т.е. местного применения какого-то единообразного минимума к данным условиям, но практикуется «по вкусу» Уоно, школы, учителя (а иногда и «населения» — как в Бельском и Рославльском уездах, применявшим иногда «локализацию» к Закону божьему). Это был период скорее приспособляемости, чем локализации. Тут резко сказалось и непонимание идеи комплексности (например, «Коробка спичек», «Карандаш», «Шапка», «Поезд» и т.д.), и «необходимость» ее проведения; и неподготовленность методическая — и требование каких-то «активных» (исследовательских, трудовых, экскурсионных, исследовательско-экскурсионных, экскурсионно-исследовательских, лабораторных, активно-трудовых, книжно-словесных и пр.) методов в работе, и растерянность перед «увязкой-привязкой» формальных навыков с комплексами, и «нужность» их связки. А сверху шла директива: «Мы даем не программы, а лишь ориентировочный материал — применитесь к местным условиям!» И вот постепенно возникает вопрос о том, чтобы установить, наконец, программное единообразие — в целях ясности преподавания с одной стороны, и преемственности ступеней школы (принцип единства) — с другой. Требовались именно программы -в самом примитивном понимании дореволюционной школы. «Была тоска по программам», как выразился один из учителей на Съезде. Для удовлетворения этой нужды Губсоцвосом издаются «Программы пятилетней трудовой (без труда!) школы». Эти программы -типичные по структуре для прежней дореволюционной школы -

6 Государственный архив Смоленской области. Ф. 19. Оп. 2. Д. 79. Л. 27-35. Текст публикуется с незначительными изменениями редакционного характера.

конечно, без «Закона божия и истории», и, конечно, — с перегрузкой материалом. В этих же целях вырабатывается и минимум знаний для школ повышенного типа. Чувствуется все-таки программная неразбериха.

2. Наконец, в 1925 г. выходят «Новые программы единой трудовой школы», утвержденные ГУСом. Эти программы в течение 1925-26 гг. заняли особо важное место в теории и практике школы, особо взволновали умы учительства — и разделили его на два лагеря — «колоночников» и их антагонистов. Колонки «Природа-Труд-Общество» вызвали массу недоумений, недоразумений, решительных непониманий, уродливостей и даже — курьезов. Например, чтобы во что бы то ни стало заполнить все колонки, приходилось пускаться на многие ухищрения: в комплексе «Домашние животные» в колонку «Общество» ставится «общественное значение коровы»; в комплексе «22 января» заносится в колонку «Природа» «рождение Ленина»; в комплексе «Юные пионеры» в колонке «Природа» фигурирует «галстук» и т.д. В общем, процесс заполнения колонок ведется в начале так: заполняется сначала колонка «Природа» (например, по теме «Осенние работы» — «Листопад. Грязь. Птицы улетают» и т.д.); затем заполняется «Труд» («Молотьба. Выкапывание картофеля» и др.) и, наконец, что гораздо труднее, -«Общество» (Кто молотит. Общественные молотилки и пр.). Выясняется, что при таком механически-«вертикальном» наполнении теряется смысл комплекса — и устанавливается необходимость планировать «по горизонтали»: первая, основная, колонка — «Труд», природа подтягивается постольку, поскольку нужна, как материал для труда — и общественные отношения [неразборчиво] как следствия трудовых. И много-много еще выдвигается все новых практических проблем по новым программам: увязка навыков с комплексами (особо трудный вопрос), связь общественно-полезных работ с программным материалом, самоорганизация и программы, локализация и краеведение — 3 колонки или 10 — и т.д.

Таким образом, путем очень длительных потуг, дум перевариваются программы ГУСа. Но нужно сказать, что, несмотря на всю внешнюю иногда курьезность работы, учительство и Методбюро работают над ними очень серьезно: видно твердое прочное желание усвоить смысл программ; вьется настоящая творческая

мысль, мысль искренняя — завлекающая; есть действительная работа коллектива', путаемся — но ищем истину.

И в конце концов всплывают естественным порядком следующие вопросы:

1) Что такое «комплекс»? (юридически-обиходное понятие или действительный кусок жизни?).

2) С чего же начинать? (грамотность, сельскохозяйственные навыки, самоорганизация, общественно-полезная работа и пр.).

3) Что такое локализация и краеведение?

4) Сколько часов на «комплекс» и сколько часов на навыки (два предмета)!

5) Нужны ли «колонки»? — и сколько?

6) Что называется методом и сколько их?

7) Что такое организационно-методический план и программа?

8) Учебник — и рабочая книга?

9) Перегружены ли программы? И т.д.

Вот те главные вопросы, которые волнуют и Методбюро, и учительство. (Для характеристики их прилагается при этом «Состояние программного вопроса в райшколах Смоленской губернии в 1925/26 учебном году» — доклад на курсах заврайшколами 18-19 августа 1926 г. и «Состояние школ повышенного типа в 1925/26 учебном году»)7.

Губметодбюро и Убюро дают свои разъяснения на эти вопросы на курсах, съездах и т.п., но получается внешняя странность: многие даваемые директивы все-таки претворяются на местах в уродливые формы. В чем же причина? Видимо, не полная ясность вопросов вообще и неподготовленность работников (и аппаратных, и низовых).

3. Наконец, наступает третий период — издание программ ГУСа 1927 г. Как эти программы претворяются в жизнь — сказать трудно: нет опыта. По поверхностным же и совершенно не проверенным и недоказанным наблюдениям кажется: 1) что программы все-таки слишком обширны (в области формально-технических навыков); 2) очень хорошо, что нет «колонок»; 3) слишком «толсты» (выражение учителей одной из волостей Сычевского уезда); 4) много

7 В настоящей публикации эти материалы не приводятся.

хороших пожеланий и объяснений; 5) хорошо, что [есть] «стандартность». Как они реализуются — покажут годы.

Что касается методов работы при прохождении программ, то их по номенклатуре накопилось громадное количество — с трудно уловимыми иногда границами и оттенками того и другого метода. Это в значительной степени отразилось на теоретической переподготовке учительства, но не на его практической работе, т.к. последняя зависела от предыдущей общей подготовки. Школа пошла в отношении методическом по линии наименьшего сопротивления, т.е. стала особо культивировать экскурсии, диаграммы, иллюстрации. В любой почти школе и до сих пор нет, положим, песочного ящика, добытой углекислоты, самодельного прибора вообще, умения решать жизненные задачи; зато на стенах — и «лошадки», и «коровки», и «столбики», и «лозунги». Оказалось, что если в дореволюционной школе жизнь превращалась в «слова» (книга), то теперь она превратилась в «картины о жизни» (но не картины жизни).

Но в то же время нужно сказать, что очень много уделяется времени экскурсиям, исследованиям-обследованиям, самовыдуманным задачам и пр. Но, к сожалению, экскурсии похожи на прогулки, исследования — на слишком аксиомную (виденную-перевиденную) пассивную наглядность (например, «посмотрим, как копают картофель» или «Видали ли сад? — Видали. — Что в саду растет? — Яблони. — А на яблонях? — Яблоки» и т.д.), самодельные задачи похожи на «Ланкова»8, а не на местную реальную жизнь и т.д. Много можно привести примеров применения так называемых активных методов. Анализ показывает, что они еще очень пассивны, несмотря на внешнюю помпезность. Главная (и основная) причина в том, что и старый, и новый учитель недостаточно подготовлен к работе просто общеобразовательно (например, по естествознанию, обществоведению). Он умел и умеет (и то разучился) давать грамотность, но не знания.

Самоорганизация

От «самоуправства» 17-18-19 годов переходим (через «самоуправление») к «самоорганизации школьного коллектива». Этот

8 Имеются в виду арифметические задачи из сборников задач А.В. Ланкова.

вопрос, крайне серьезный, нигде и никогда не вызывал сомнения в том отношении, что учащиеся должны строить внутреннюю жизнь школы. Но очень много дебатов было о том — в какой степени, в каком масштабе возможно это участие детей в строительстве. Тут в течение 5 лет образовалось (и по сейчас существуют) два лагеря. Одни говорят: «Маленькие — это (по-своему) большие», а другие: «Маленькие есть маленькие». Отсюда: первые утверждают, что учащиеся только равновелико (но, конечно, не равноценно) принимают участие в строительстве школьной жизни, а вторые, — что самоорганизация лишь учебно-воспитательный прием (не больше!). Последние в последнее время преобладают.

Вообще, нужно сказать, что в течение 26/27 учебного года замечено падение, так сказать, «вкуса» со стороны учащихся к самоорганизации (например, в Духовщине заявили: «Ну, что там! Возьмите самоуправление в свои руки. Опасности нет, т.к. мы, учащиеся, в Советском Союзе все равно полноправны»). Объясняется это явление, в значительной степени, усилением академической работы («грамотности»), а, следовательно, усилением значения преподавателей (и отсутствием времени у учащихся — иначе «второй год»), а также и недоверием учащихся (по прошлому опыту) к своим силам. Много было за 5 лет переформации самоорганизации. В конце концов, последний тип, доминирующий по губернии, таков — звеньевая система в школе I ступени и неоформившееся — в школе повышенного типа. Лучше всего обстоит дело там, где есть особо выпуклые предпосылки к самоорганизации, как детские дома и ШКМ9. Размеры данного отчета не дают возможности сказать очень и очень многое о достижениях (и очень крупных) и недостатках (больше технических) самоорганизации.

Во всяком случае, самоорганизация и до сих пор является пробным камнем испытания адептов и антагонистов трудовой школы. Нужно еще много времени и усилий, чтобы окончательно закрепить смысл и сущность самоорганизации в условиях школы.

9 ШКМ (школа крестьянской молодежи) — тип сельской школы, которая наряду с общим образованием давала основы агрономических знаний, вела производственное обучение на базе сельскохозяйственного производства.

Общественная работа среди трудового населения «Общественно-политическая», «общественно-практическая», «общественная», «общественно-полезная» — такова номенклатура этого серьезнейшего вопроса. Это показывает неустойчивое понимание его. И, на самом деле: в течение времени с 1922 учебного года очень много копий переломано и «дум передумано». Что же такое, в конце концов, «общественно-» и т.д. «работа», нужно ли ее связывать с программами, не есть ли она сама органическая часть программ, посильна ли она ребятам, кто проводит, когда, перед кем, для кого, с какой целью и т.д.

Вопросы крайне серьезные — и нужно было их разрешать серьезно. И вот, в течение 5 лет почти каждое заседание Методбюро, каждое совещание курсов, конференции, съезды посвящали этому вопросу. Этот простой по формулировке, но очень сложный по сути вопрос, своей простотой запутывал мысли и руководящих работников, и учительства: «Нужна особая система», «Нужен показательный участок», «Нужны лаборатории и кабинеты», «Ребята делают доклады в избе-читальне», «Нужна связь с комплексами» и пр. и пр. А между тем забывали, что в школе живет и работает учитель — человек грамотный, газеты читает, в городском костюме ходит... Все это обязывает (естественно и неотвратимо) не отказать беременной бабе в совете, написать письмо красноармейцу, рассказать (по-простому!) что делается у нас и в других странах, показать электричество, научить (и доказать), что хозяйство можно вести по-другому, показать, что женщина — близкий и дорогой человек и т.д. — словом, делать конкретную политику партии и советской власти в деревне. Вместо этого во многих случаях имеют место случаи либо служебно-необходимого характера, либо особого «педагогического» обоснования того или иного вида общественной работы школы. В конце концов, кажется, договорились о том, что: 1) общественно-«полезная» работа — это общественная работа среди трудового населения и для него; 2) меньше «систематизировать» -больше (но не переоценивая сил) делать; 3) меньше формального понимания — больше фактической необходимости.

Учебники

С учебниками дело обстоит так. В 1922/23 году шел большой спор о том, нужен ли учебник (как таковой) или нет. Думали и так

и этак. Все-таки пришли к соглашению, что учебник нужен — как книга для механизации чтения, а в остальных моментах воспитания он должен быть заменен рабочей книгой. Это мнение в большинстве остается и сейчас, но все-таки имеется уклон в сторону «учебника». Причем при расценке последнего большинство думает, что нет настоящего, подходящего к программам ГУСа учебника, а все имеющиеся более или менее не подходящи, есть только лучшие и худшие, но не хорошие. Итак, вопрос об учебниках и до сих пор остается проблемой.

Труд в школе

Трудовое начало в школе (политехнизм) обстоит еще слабо: нет мастерских (элементарных, учебных), лишь очень немного начинают использоваться школьные сельскохозяйственные участки. По этому вопросу соцвосом проделана значительная руководящая работа, но результаты еще малы, так как нет материальных предпосылок к реализации этих указаний. Кроме того, неокончательно привилось понимание этой работы и сознание, что она по-настоящему и есть краеугольный камень закладки подлинной трудовой школы. Нет достаточного осознания, что только труд есть фундамент и источник и программного вопроса (в узком смысле), и общественной работы школы, и самоорганизации. В этом деле предстоит еще большая работа и в материальном, и в педагогическом отношениях.

Организация методической работы

В 1922/23 году в связи с возрастающем значением методработы были организованы и в губоно, и в уездах научно-методические советы, в задач, которых входило разрешение всех и принципиальных, и педагогических вопросов (на основе центральных направляющих указаний). Но ввиду того, что эти советы организовывались как бы «между делом», «между работой» — без выделения отдельных лиц — работа их была очень значительна по содержанию, но организационно слаба (нерегулярность, слабое привлечение массового учительства, не плановость и пр.). И только с организацией отдельного Методбюро (и губернского, и уездных) в 1924 г. работа крепнет — и указанные недостатки изживаются в значительной степени. И все же их еще много: недостаточная научность ра-

боты, некоторый отрыв от учительской массы, недостаточный учет опыта, разрешение слишком принципиально-высоких вопросов (даже уездами) и т.д. Но наряду с этим имеются крупные достижения: большая плановость в работе, координирование всей работы (соцвос, политпросвет, профобр и музей), выделение ее как признак обращения особого внимания на педработу, привлечение массового учителя, издание ряда печатных изданий, установление тесной связи с заинтересованными органами (Комсомол, Агитпроп ВКП(б), Университет, Союз Рабпрособр). В последнее время ввиду большей устойчивости [неразборчиво] неясных вопросов работа Методбюро несколько ослабела, и связь с организациями уменьшилась. Но зато увеличивается непосредственное живое инструкторское [неразборчиво]. В то же время ставится вопрос о целесообразности существования уездных методических центров.

14/IX.27.

Подготовка статьи к публикации, комментарии и примечания сделаны В.М.Бусевым

Ю.М. Колягин

академик РАО

Академик Осип Иванович Сомов

Вместо введения

В течение моей весьма богатой событиями жизни мне не раз приходилось встречать весьма именитых ученых-математиков, преподававших (а нередко и не преподававших) в высшей школе. Многие из них с жаром брались за написание учебников для средней школы, зная о ней по своим детским воспоминаниям, понаслышке или же не зная совсем.

Первая мысль о причине этого, казалось, странного явления представлялась мне очевидной: занятия математикой-наукой с возрастом стали бесплодными, и человек переключился на иное — то, что он считал для себя заведомо простым, но весьма престижным делом — за написание школьных учебников или же за их «научное» редактирование. При этом для многих из этих ученых амбиции превалировали над делом: «Математику я знаю хорошо, я защитил докторскую диссертацию (стал академиком); так чего же мне не написать учебник по элементарной (низшей) математике? Действующие учебники — полагал этот ученый, — не столь уж хороши (и это часто было правдой), а я заведомо напишу лучше, поскольку знаю математику на порядок лучше любого методиста, а тем более учителя».

Так я представлял себе ход мысли такого математика — и в беседах с некоторыми из них убеждался в том, что близок к правде. Увы, но это правда: на моей памяти не было написано ни одного школьного учебника, составленного такими «от математики учеными мужами» достойного, пригодного для массовой школы. Более того, неоднократно подготовленные известными учеными школьные учебники, которые к тому же благодаря их авторитету сразу внедрялись повсеместно в массовую школу, приносили ощутимый вред всей системе школьного (а, следовательно, и высшего) математического образования.

Одно подтверждение тому приведу. В 1958 г., когда я преподавал в сельской школе, в школу был введен новый учебник геометрии для 9 класса В.Г. Болтянского и И.М. Яглома, излагавший стереометрию

на векторной основе. Ровно год школа промучилась с этим учебником. В следующем году он был признан Министерством (!) непригодным и в школу вернули учебник геометрии А.П.Киселева. Справедливости ради следует иметь в виду и русскую поговорку «нет худа без добра» — сухой позитивный остаток от издания таких учебников со временем проявлялся: книга служила дополнительной литературой для учителя. Да и сам опыт с отрицательным результатом всегда имел немалую ценность.

Увы, никто тогда не считал (да и до сих пор не считает) всерьез, что педагогический эксперимент не имеет права на ошибку: дети не кирпичики, из которых складывается, например, печка — можно разобрать и заново ее переложить. Педагогические ошибки могут нанести (и часто наносят) непоправимый вред целому поколению молодых людей, сделать их ущербными, в нашем случае — математически неграмотными.

Занимаясь в последние годы проблемами отечественного школьного образования, я обнаружил, что вопрос об участии именитых ученых в делах средней школы более сложен. Были в нашем Отечестве случаи, когда написание пригодного для школы учебника математики удавалось кое-кому из крупных ученых-математиков.

Другое дело — учебники для высшей школы. Их, как правило, писали профессора, работавшие в вузах по многу лет, и им, как говорится, и «карты были в руки». Например, блестящий учебник по математическому анализу написал Н.Н.Лузин (начав с переработки учебника В.Грэнвиля). Но Н.Н.Лузин успешно преподавал в университете и был не только великим математиком, но и талантливым педагогом. А ученые-математики, предпринимавшие активные попытки внедрить свои идеи и учебники в среднюю школу (а иногда даже в начальную), в школе не преподавали (или преподавали, но очень недолго). Их имена были в свое время на слуху: П.С.Александров, В.Г.Болтянский, Н.Я.Виленкин, Н.А.Глаголев, А.Н.Колмогоров, А.И.Маркушевич, А.И.Фетисов, А.Я.Хинчин. Список можно и продолжить. То, что при этом многие из них состояли членами Академии педагогических наук, существа дела, конечно, не меняло.

Работая над проблемой школьного учебника математики и будучи сам одним из авторов вполне успешного и долго действующего учебника алгебры для средней школы, я обнаружил еще один

любопытный факт: до революции 1917 года число авторов учебников математики составляло не один десяток. Замечу, что и сейчас, в начале XXI века, число учебников по каждому учебному предмету непозволительно велико (при этом в школе учебников не хватает). Но тому есть весьма объективные причины и не об этом сейчас речь.

В процессе оценки опыта прошлого, возникают вопросы: «Кто эти учебники писал? Долго ли жили те или иные учебники? Почему сошли на нет, уступив пальму первенства (и очень надолго) учебникам А.П. Киселева? И какой сухой методический позитивный остаток от всех этих трудов можно усмотреть и использовать в современной школе?»

Для ответа на первый из перечисленных вопросов я решил сделать первый отсев: из множества имен авторов учебников XIX-начала XX вв. выделить имена известных ученых-математиков России, чей вклад в науку математику был признан весомым. Таким образом, тема «Ученые-математики и школьные учебники» является составной частью истории русского учебника математики.

Хотелось бы также ответить на поставленные вопросы не формально, а сущностно: просмотреть по биографическим материалам конкретного ученого сведения о том, где и у кого он учился, каким было влияние на него разных людей (семьи, учителей, общественности), что побудило его заняться не своим непосредственным делом, а побочным — написанием школьных учебников.

Для начала я избрал исследование «школьных дел» академика Петербургской Академии наук Осипа Ивановича Сомова — ученика М.В.Остроградского, соратника В.Я.Буняковского и П.Л.Чебышева. Его учебник «Начальная алгебра» (1862) в свое время был признан одним из лучших учебников алгебры для средних учебных заведений.

Приступая к методической оценке школьных дел О.И.Сомова, хочу оговориться, что я намеренно ограничусь лишь парой фраз о его научных заслугах как крупного отечественного математика и механика, и буду описывать и осмысливать только те факты, которые имеют отношение к поставленной мной историко-образовательной проблеме. Поэтому прежде чем переходить к творческой биографии О.И.Сомова как талантливого русского педагога-математика, приведем «официальную» выдержку с оценкой его трудов как ученого-математика и механика: «Для творчества

Сомова характерно применение результатов, полученных в аналитической механике, к вопросам геометрии; он ввел понятие об ускорениях высших порядков и применил их к изучению ряда геометрических свойств кривых и поверхностей» [6, с. 748].

Детские и юношеские годы. Учеба и учителя

Осип (Иосиф) Иванович Сомов родился 1(13) июня 1815 года в селе Отрада Клинского уезда Московской губернии в старинной дворянской семье. Его отец окончил Морской кадетский корпус, служил и, выйдя в отставку, поселился в своем имении. Однако хозяйствовал отец Осипа Ивановича неудачно, и поэтому быстро обеднел. Мать Осипа Ивановича была «скромной и обаятельной женщиной... В многочисленном семействе Сомовых (у них было 14 детей) всегда царили дружба, взаимная любовь и уважение» [7, с. 8]. Осипу Ивановичу прочили военную карьеру. Но, получив хорошее домашнее воспитание, он с 1827 г. стал учиться в частном пансионе Л.А.Лейбрехта и посещал одновременно и Московскую губернскую гимназию, где обратил на себя внимание учителя математики и физики П.Н.Погорельского, который считался одним из лучших педагогов Москвы того времени [3]. О Погорельском следует сказать особо, поскольку именно он, по всей видимости, заложил фундамент педагогических интересов О.И.Сомова. Судьба нередко бывает несправедлива к человеку (или нам кажется такой). Биографические сведения о Платоне Николаевиче Погорельском скудны. Приятное исключение составляет лишь глава о нем из книги В.Е.Прудникова [10, с. 385-387].

Платон Николаевич Погорельский родился в 1800 г. По окончании курса Московской губернской гимназии он поступил в Московский университет, в 1822 г. стал кандидатом физико-математических наук, в 1827 г. — магистром. Окончив университет, П.Н.Погорельский стал работать сначала учителем арифметики в Московском Благородном пансионе, затем — учителем математики и физики в Московской губернской гимназии, а с 1830/31 учебного года — в Московском университете. Здесь он учил студентов исчислению на счетах, повторяя некоторые части алгебры, читал прямолинейную тригонометрию и конические сечения [13, с. 548].

В 1839 г. П.Н.Погорельский стал первым директором 3-й Московской гимназии. Строгость и суровость Погорельского не меша-

ли воспитанникам любить своего наставника. Платон Николаевич был не только прекрасным учителем (учил математике И.С.Тургенева, привил любовь к математике П.Л.Чебышеву), но и хорошим организатором: устроил при гимназии богатую библиотеку, основал физический кабинет, привлекал к преподаванию лучших выпускников Московского университета, находил благотворителей [12, с. 50-51].

О педагогическом таланте П.Н.Погорельского ходили легенды. «Он излагал свой материал в предельно ясной и общедоступной форме, умение разъяснять предмет считал искусством. До последних своих дней Чебышев помнил его верные слова: «Спустись пониже, говори проще, если хочешь, чтобы тебя поняли» [5]. Многое, наверное, мог рассказать о нем и Осип Иванович Сомов.

Требовательность П.Н.Погорельского к себе и другим отразилась и в его деятельности, связанной с учебниками математики. Будучи неудовлетворенным качеством школьной учебной литературы того времени, он в начале 1830-х гг. перевел с французского «Курс чистой математики» (известный как курс Беллавеня). Перевод книги оказался столь удачным, что она на долгое время стала гимназическим учебником математики. Особенно удачным оказался авторский перевод раздела «Алгебра», на основе которого П.Н.Погорельский выпустил свой учебник алгебры, который до середины XIX в. был весьма популярен. «Учебники Погорельского, -пишет В.Е.Прудников, — удачно сочетали полноту содержания с ясностью и сжатостью изложения... бросается в глаза мастерство изложения и точность языка» [10, с. 398]. Забегая вперед, отметим: не удивительно, что учебники О.И.Сомова характеризовались аналогично (учитель воспитал ученика!).

Прожить Платону Николаевичу суждено было недолго — всего 52 года, а сделано было им во славу отечественного образования удивительно много.

Научно-педагогическая деятельность О.И.Сомова

По-видимому, под влиянием П.Н.Погорельского юный Сомов увлекся математикой и потому в 1832 г. поступил на физико-математический факультет Московского университета. Значительное влияние на молодого студента оказали два талантливых математика — Николай Ефимович Зернов и Николай Дмитриевич Браш-

ман, которые к концу обучения О.И.Сомова (в 1834 г.) пришли в университет. «Высокое педагогическое мастерство, начитанность и эрудиция, большая любовь к делу были отличительными чертами обоих» [7, с. 10]. Н.Е.Зернов приобщил Сомова к строгости математических рассуждений и правильному математическому мышлению, а Н.Д.Брашман фактически определил тему магистерской диссертации О.И.Сомова, которую тот защитил в 1841 г.

Вскоре после окончания университета О.И.Сомов женился, в 1840 г. у него родилась дочь, а затем и сыновья. Из них только Павел Иосифович Сомов (1852-1919) оставил заметный след в науке. Он пошел по стопам отца: в 1837 г. с отличием окончил физико-математический факультет Петербургского университета, в 1885 -защитил кандидатскую диссертацию, в 1888 — докторскую. Работал профессором Варшавского, а с 1903 года — Петербургского университета. Автор ряда серьезных работ по механике, Павел Иосифович завершил также последние труды своего отца по механике, редактировал издание учебника по аналитической геометрии.

Для содержания своей семьи О.И.Сомов начинает преподавать математику в Московском коммерческом училище (с 1839 г.) и в Московском дворянском институте (с 1840 г.). В училище он преподает коммерческую арифметику и физику, а в институте — математику.

По-видимому, специфика этих учебных заведений определила склонность О.И.Сомова к непременной прикладной направленности излагаемых им учащимся знаний. Об учительском опыте О.И.Сомова В.Е.Прудников писал следующее: «Пришлось ему преподавать и в низших классах средних учебных заведений. Он по собственному опыту знал, как трудно детскому уму усваивать слишком отдаленные истины и как необходима тщательная методическая отработка материалов при изложении геометрии и алгебры в классе и учебнике» [10, с. 450]. О.И.Сомов считал, что для того, чтобы учебник (и преподавание) математики были педагогически практичными, необходимы простота, ясность, отчетливость, логическая последовательность изложения в сочетании с полнотой содержания. Все эти важные педагогические принципы О.И.Сомов сумел воплотить во всех своих учебных руководствах как для средней, так и для высшей школы.

Итак, пусть и небольшой, но свой опыт преподаваний математики в средней школе у О.И.Сомова был.

К 1840 г. имя молодого математика становится известным благодаря его работе «Теория определенных алгебраических уравнений высших степеней» (1838), отмеченной Демидовской премией. В 1841 г. его приглашают в Петербургский университет на должность адъюнкта. В университете О.И.Сомов проработал 35 лет.

Активность педагогической, творческой и общественной деятельности О.И.Сомова поражает. Работая в полной мере в университете, он, кроме того, занимался следующим:

- инспектировал частные пансионы и школы Петербурга в течение 17 лет;

- долгое время был членом Учебного комитета при попечителе Петербургского учебного округа;

- участвовал в работе Ученого комитета Министерства народного просвещения, в комиссии для поступающих в университет гимназистов и в Особой учебной комиссии при военном ведомстве.

О.И.Сомов также читал лекции: в Институте горных инженеров (1849-1862), в Морской Академии (1849-1862), в Пажеском корпусе (1842-1849), в Институте инженеров путей сообщения (1848-1869).

По его инициативе были организованы педагогические занятия на физико-математическом факультете университета. Осип Иванович сам вел занятия: давал критический обзор русской учебной литературы, знакомил будущих педагогов с основами методики математики. Эти занятия посещали известные впоследствии математики-методисты В.А.Евтушевский, А.П.Киселев, В.А.Латышев.

Подчеркну важное: О.И.Сомов был хорошо знаком с положением дел в современной ему средней школе, в деталях знал недостатки математической подготовки выпускников средних школ. Важно и то, что он продолжал активную научную работу, писал учебники, издавал лекции. Его перу принадлежат 11 учебников и учебных пособий для высшей и средней школы, многие из них получили широкое распространение и переиздавались вплоть до начала XX века [7, с. 70].

Не лишним будет отметить и участие О.И.Сомова в создании в начале 1860-х гг. «Энциклопедического словаря, составленном русскими учеными и литераторами», главным редактором которого был педагог-математик П.Л.Лавров. Осип Иванович написал для

этого словаря 10 статей и заметок, в том числе статью «Алгебра», в которой дана краткая история развития алгебры. Словарь свидетельствует о том, что его авторы-математики В.Я.Буняковский, М.В.Остроградский, О.И.Сомов и П.Л.Чебышев глубоко интересовались историей своей науки, активно способствовали популяризации математических знаний [9].

Методические идеи О.И.Сомова

Какие же методические положения О.И.Сомов считал важными, стремился донести их будущим учителям и воплотить в своих учебниках? О.И.Сомов полагал, что каждое математическое положение необходимо сопровождать примерами его применения на практике, был сторонником принципа историзма в преподавании. Он находил нужным: учитывать возрастные особенности учащихся и цели преподавания математики на каждом этапе обучения; соблюдать принцип преемственности обучения; поддерживать интерес к изучению математики, обращать внимание на мотивацию изучаемого; создавать предпосылки для возможного самообразования.

Не чуждался Осип Иванович и конкретных методических рекомендаций. Вот, например, указания Сомова о том, как улучшить преподавание элементарной математики в Морском кадетском корпусе.

В подготовительном классе обратить внимание на вычислительные навыки; чтобы учащиеся «вычисляли скоро и верно», умели проверить свои вычисления, сократить выкладки), приучить учащихся к устному счету.

В младшем классе излагать теоретическую арифметику с доказательствами «простыми и наглядными»; изучить свойства пропорций и их применение к решению практических задач. Объяснить употребление букв для обозначения вычислений в общем виде; показать, как с помощью уравнений решаются те задачи, которые ранее решались арифметически; как формулой изображается «общий способ для решения всех вопросов одного рода». Такой переход от арифметики к алгебре — самый естественный и доступный для учащихся.

На среднем и старшем курсах ввести черчение частей различных сооружений и машин — подготовлять к изучению начертательной геометрии.

В первых двух гардемаринских классах «соединить рациональную часть начертательной геометрии с практической» (у каждого учащегося должна быть чертежная доска и инструменты); изучить теорию проекций [7, с. 21].

Фрагменты учебников алгебры

Откроем теперь учебники О.И.Сомова; сначала учебник алгебры, а затем геометрии. Итак, перед вами фрагмент текста учебника «Начальная алгебра» (1860, 1-е издание). Вот как в первой главе учебника автор делает переход от арифметики к алгебре (с. 2):

«Чтобы представить правило вычисления в общем и сокращенном виде, согласились означать действия над числами особыми знаками, как это уже было в Арифметике, а числа, над которыми должно произвести действия, означать буквами, преимущественно латинскими: а, b, с, d, ... х,у, z и греческими: а, ß, 7, ... со. Такое общее сокращательное изображение правила вычисления называют формулой.

Так: 1) я + й + с есть формула сложения. Здесь буквы: а, b, с -означают слагаемые ...».

А вот тот же фрагмент из 5-го издания (1880), отредактированный автором (с.1 ):

«В арифметике были изложены правила для сложения вычитания, умножения и деления целых и дробных чисел, потом решались помощью этих основных действий над числами различные задачи, в которых требовалось находить по заданным числам другие, неизвестные. При этом легко было заметить, что действия, которые должно было производить над данными числами, чтобы вычислить неизвестные, зависят от условий задачи, но не зависят от заданных чисел т.е. от числа единиц или долей единицы, содержащихся в каждом данном ЧИСЛЕ; так что если бы заданы были другие числа при тех же условиях задачи, то правило или способ решения остался бы без перемены, т.е. все задачи одного рода решаются по одному правилу или одним способом. Например:

1) Все задачи, в которых по трем данным членам геометрической пропорции требуется найти четвертый член, решаются по об-

щему правилу, названному тройным, а именно неизвестный член, рассматриваемый как крайний, получается перемножением средних членов и разделением полученного произведения на данный крайний член.

Выражение словами общего правила вычисления может быть затруднительно, когда задано много чисел и надобно производить над ними много действий; поэтому стали искать средство сокращенно выражать правила вычисления. Для этой цели согласились вместо слов: сложить, умножить, делить, употреблять знаки: +, -, х или ⋅ и :, а данные и искомые числа означать буквами, (преимущественно латинскими и греческими).

Общее, сокращенное, обозначение способа вычисления помощью знаков арифметических действий и букв называется формулой.

Например: 1) Формула сложения двух чисел есть а + b, где а и b означают всякие слагаемые...».

Почувствовали разницу? Усилена мотивация и логика изложения. Изложено просто и ясно и даже длинноты предложений текста не портят его логики. Авторская мысль «течет как ручей»: спокойно и непрерывно.

А теперь фрагмент текста из другой третьей главы первого издания (с. 67)1.

«Может случиться, что решая уравнения, выведенные из условий вопроса, мы получим для неизвестных числа, которые, удовлетворяя уравнениям, не удовлетворяют требованию вопроса. В таком случае или условия вопроса несообразны, или было сделано при составлении уравнения неверное предположение, или полученные числа представляют решение другого вопроса.

Пример: Отцу 41 год, а сыну 14; спрашивается, через сколько лет отец будет в четыре раза старше своего сына?

Означим через ле искомое число лет. По прошествии ле лет, отцу будет 41+ х лет, а сыну 14+ х, следовательно

41 + x = (14 + x)-4, (а) или 41 + х = 56 + 4х;

откуда х---= -5 .

1 В 5-м издании текст не изменялся.

Подставим — 5 вместо х в уравнение (а), получим 41-5 = (14-5)4 или 36 = 36;

следовательно найденное решение удовлетворяет уравнению; но оно не удовлетворяет вопросу, потом, что в вопросе требуется положительное число, которое должно прибавить к летам отца и сына. Очевидно, что нет такого числа; в противном случае, оно должно бы удовлетворять непременно уравнению (а) и уравнению -Зле = -15, из него выведенному. А это невозможно; потом, что никакое положительное число, подставленное вместо ле и помноженное на отрицательное число — 3, не может дать положительного произведения 15.

Подставив отрицательное решение в уравнение, из которого оно было выведено, вместо неизвестного, мы увидим, какие должно сделать перемены в вопросе, чтобы требования его были возможны. Так, в предыдущем примере, подставив -5 вместо х в уравнение (а), мы получим 41-5 = (14-5)4.

Это показывает, что из лет отца и лет сына должно вычесть по 5 лет, чтобы года отца были в 4 раза больше лет сына, т.е. пять лет тому назад отец был в четыре раза старше сына.

Итак, вместо предыдущего вопроса, можно предположить следующий: «отцу 41 год, а сыну 14; спрашивается, сколько лет тому назад отец был в четыре раза старше сына». Требования нового вопроса возможны. В самом деле, означив опять через ле искомое число, мы составим следующее уравнение:

41-х = (14-х)-4,

которое может быть выведено из уравнения (а) через перемену х на -Х. Решим новое уравнение, найдем положительное число х = 5 ».

Этот фрагмент, на наш взгляд, хорошо показывает, как ясность языка учебника О.И. Сомова сочетается с полнотой освещения вопроса.

Приведем еще один весьма показательный фрагмент текста 5-го издания учебника (с. 148-151)2.

«Всякая арифметическая задача состоит в том, что по нескольким известным величинам и по данным соотношения между этими известными величинами и другими, неизвестными, отыскиваются

2 В 1-м издании этот текст отсутствовал.

неизвестные. Алгебра дает особый способ для решения арифметических задач. Этот способ основан на том, что словесно выраженные условия арифметических задач могут быть переводимы на алгебраический язык, т.е. выражаемы посредством алгебраических формул.

Перевод словесно выраженных условий задачи на алгебраический язык вообще называется составлением формул.

Составить по условиям задачи уравнение с одним неизвестным значит так перевести эти условия на алгебраический язык, чтобы вся совокупность этих условий выразилась одним уравнением, содержащим одно неизвестное. Для этого необходимо, чтобы число отдельных независимых между собой условий задачи было бы равно числу подразумеваемых в ней неизвестных.

Вследствие чрезвычайного разнообразия задач приемы составления уравнений, соответствующих этим задачам чрезвычайно разнообразны. Общих правил для составления уравнений нет.

Но есть одно общее указание, которое руководит нашим рассуждением при переводе условий задачи на алгебраический язык и позволяет нам с самого начала рассуждения идти верным путем к достижению окончательной цели. Это общее указание или общий принцип составления уравнения мы выразим следующим образом:

Чтобы составить по условиям задачи уравнение с одним неизвестным нужно:

1) выбрать между неизвестными, которые в задаче или прямо указываются, или подразумеваются, какое-нибудь одно, принимаемое за первое, и обозначить это неизвестное какой-нибудь буквой, напр., х;

2) посредством этого обозначения и обозначений, данных в задаче, выразить все величины, о которых в задаче прямо говорится, или которые подразумеваются, наблюдая, чтобы при составлена таких выражений постепенно принимались во внимание все данные в задаче числа и все относящиеся к данным или к неизвестным величинам условия;

3) после такого применения всех условий разыскать между составленными или просто записанными выражениями два таких, которые в силу одного из данных условий должны быть равны между собою, и соединить эти выражения знаком равенства.

Применим этот принцип к решению задачи:

Задача. Число монет в одном кошельке вдвое меньше, чем в другом. Если выложить из первого шесть монет, а во второй прибавить восемь монет, то число монет в первом окажется в семь раз менее, чем во втором. Узнать, сколько монет в каждом кошельке?

В этой задаче указаны несколько известных и несколько неизвестных величин. Примем за первое неизвестное число монет первого кошелька и обозначим его через х. Затем займемся обозначением всех величин, к которым относятся условия задачи.

Число монет первого кошелька есть х. Отношение чисел монет во втором и первом кошельках 2. Значить число монет второго кошелька 2х. Из первого вынимают 6 монет. Поэтому в первом кошельке остается монет х-6. Во второй прибавляют 8 монет. Следовательно, во втором кошельке получится монет 2х + 8 . Новое отношение между числами монет второго и первого кошелька есть (2х + 8) : (х — 6). Оно также равно 7. На этом основании составляем уравнение (2х + 8) : (х — 6) = 7, решая которое, получим х = 10, после чего нетрудно определить другие неизвестные, о которых мы здесь упоминали.

Если бы мы приняли за первое неизвестное число монет второго кошелька и обозначили бы его для отличия от предыдущего обозначения через у, то, как легко убедиться, получилось бы другое уравнение, именно (у + 8) : (у/2-6) = 7, которое также разрешает задачу и дает ответ у = 20 .

Можно было бы принять за первое неизвестное число монет, оказавшееся в первом кошельке после выкладки из него 6 монет, тогда, обозначив это неизвестное через z идя тем же путем, каким мы шли при составлении первого уравнения, мы получили бы уравнение (2(z + 6) + 8) : z = 7, откуда z = 4 ».

Понятно, что учитель на уроке может изложить сказанное здесь короче, ограничившись и краткой записью, но О.И.Сомов таких смысловых длиннот не боится. Как уже упоминалось, он считал полезным и необходимым строить преподавание математики так, чтобы открыть возможность ученику для самообразования. Посмотрите на этот фрагмент под таким углом зрения, и вы убедитесь в том, что это возможно. Учебник «исполняет» обязанности учителя. Кроме того, молодой неопытный учитель может из текста легко усмотреть, как можно объяснять этот учебный материал.

На нашем современном языке сказали бы, что учебник начальной алгебры О.И.Сомова существенно ометодичен. В то время еще практически не было частных методик; не было, конечно, и так называемых «поурочных разработок» (они появились в 1950-х годах). Поэтому «ометодиченный» текст учебника был достаточно редкостью.

Отметим, что учебник алгебры О.И.Сомова конкурировал с учебником Н.Т.Щеглова3, который вполне соответствовал гимназической программе и использовался в практике преподавания. Сравните начало изложения курса алгебры Сомова, приведенное ранее, с началом того же курса из учебника Щеглова [14, с. 1-2]:

«1. Алгебра есть общая арифметика. Она показывает самые общие способы исчисления количеств, и общие способы решения вопросов, к ним относящихся4.

В ней числа, изображающие величины различных количеств, заменяются буквами французской либо греческой азбуки: а, b, с, х, у, z, а, ß, у, 8.... Каждая буква может представлять какое угодно число целое или дробь, отвлеченное или именованное.

Однородные, или чем-нибудь сходные количества, в алгебре очень часто пишутся одною буквою, а для различия их величины, ставятся знаки над этою буквою, либо малые цифры внизу ее с правой стороны, например, а\ аа'" ;... это выговаривается: а со знаком, с двумя знаками, с тремя знаками, и проч. Также пишут a1, а2, а3 ... и выговаривают: а один, а два, а три, и т.д.

Как для теоретического изложения алгебраических действий, так и для общего решения задач, можно брать какие угодно буквы вместо чисел. Следовательно, одна и та же буква в разнородных

3 Щеглов Николай Тихонович (1800-1870) — автор учебников по арифметике, физике и др.; обучался в Тульской семинарии, потом в педагогическом институте и Санкт-Петербургском университете; в 1823 г. назначен преподавателем физики, начертательной геометрии и химии при Санкт-Петербургском университете, а в 1829 г. утвержден адъюнктом. С 1836 г. был профессором в Александровском лицее. Основные труды Щеглова: «Арифметика» (СПб., 1832); «Начальные основания физики» (СПб., 1834); «Начальные основания алгебры» (СПб., 1853); «Химия» (СПб., 1841); «Таблицы Бригговых логарифмов» (1856).

4 До Р.Х. алгебра не была известна. Она появляется в IV веке после Р.Х. в творениях Диофанта, александрийского ученого, состоявших из 13 книг, из коих шесть дошли до нас. — Сноска Н. Т. Щеглова (прим. ред.)

задачах будет иметь различные значения; но, в одной и той же задаче каждая буква отдельно должна изображать какое-нибудь определенное количество, чем-нибудь различное от всякого другого.

2. Сложение, вычитание, умножение и деление между буквенными количествами в алгебре изображается теми же значками, что и в обыкновенной арифметике: +, -, х или (⋅), и -К

Таким образом, сумма из а, b, с, изображается через а + b + с, и выговаривается: а сложенное с b и с, или а плюс b плюс с.

Для вычитания b из а пишут: а — b, и выговаривают: а без й, или а минус b.

Деление а на b изображается через а : b, или — .

Умножение буквенных количеств делается так: пишутся эти количества одно подле другого, и между ними ставится знак х или (⋅), или короче: ставятся помножаемые буквы одна подле другой без знака. Например:

axbxc = а ⋅ b ⋅ с = abc ; этим и означено, что а помножено на b и на с.

Нельзя делать этого сокращения между числами. Например, 5×2 и 52 имеют совершенно различные значения».

После выхода учебника алгебры О.И.Сомова критики, естественно, сразу усмотрели его главное отличие от книги Н.Т.Щеглова -доступность, краткость и ясность. Это решило исход дела: в пяти из семи учебных округах учебник алгебры О.И.Сомова стал действующим [4, с. 84].

А вот как оценивали учебники, написанные О.И.Сомовым его современники. На учебник «Начальная алгебра» была помещена развернутая положительная рецензия [1], которая завершалась следующими словами: «...разбираемый учебник принадлежит к числу лучших, благодаря сжатому, систематическому изложению... дополнительные же статьи представляют весьма полезное прибавление ... для лиц, готовящихся к специальному математическому образованию».

Наконец, в 1838 г. вышли три учебных пособия по алгебре для университетов авторов Н.И.Лобачевского, М.В.Остроградского и О.И.Сомова. Из них книга О.И.Сомова была признана педагогической общественностью наилучшей в методическом отношении [1].

Учебники геометрии

Учебник «Аналитическая геометрия» вышел в 1857 г., он был написан по поручению начальника штаба военных учебных заведений России. Из гимназического курса аналитическая геометрия была исключена в 1845 г., но в программе по математике для кадетских корпусов сохранилась. Учебник составлен применительно к программам по аналитической геометрии старших юнкерских классов Николаевского инженерного и Михайловского артиллерийского училищ.

Вот краткое его содержание:

Отдел I.

Приложение начальной алгебры к решению определенных геометрических вопросов.

А. Предмет Аналитической Геометрии. Примеры на решение геометрических вопросов с помощью алгебры.

В.О проекциях.

Отдел II.

Приложение анализа к исследованию геометрических мест на плоскости.

А. Общие понятия о геометрических местах вообще.

В. Определение положения точки на плоскости. Уравнение прямой линии. Задачи на прямую линию и точку.

С. Перемена координат.

D. О плоских линиях вообще. Линии второго порядка.

Е. О касательных вообще. Касательная к линиям 2-го порядка.

F. Уравнения линий второго порядка в кратчайших и трилинейных координатах.

G. Обвертывающие линии. Тангенциальные координаты.

Н. Полярные координаты.

J. Конические сечения.

Отдел III.

Геометрические места в пространстве трех измерений.

А. Определение положения точки в пространстве. Уравнение поверхности и линии. Расстояние между двумя точками. Плоскость и прямая линия.

В. Перемена прямолинейных координат в прямолинейные. Полярные координаты.

С. О кривых поверхностях. Поверхности второго порядка.

D. Касательные плоскости и нормали к поверхностям.

Е. Сопряженные диаметры поверхностей 2-го порядка. Прибавления. Определители и приложение их к решению совокупных уравнений первой степени.

Сразу следует обратить внимание на то, что содержание учебника свидетельствует о явном превышении официальной программы по математике. Автор это понимал: дополнительные, необязательные для всех учащихся разделы набраны в тексте учебника мелким шрифтом. Да и само изложение не производит того яркого впечатления доступности, каковое возникает при чтении учебника алгебры. По-видимому, избыточная полнота содержания курса и более строгое его изложение отвечала задачам математической подготовки будущих военных инженеров и артиллеристов, уровень которой и должен был превышать уровень выпускников гимназий.

Несмотря на указанные особенности, учебник по аналитической геометрии М.В.Остроградский и В.Я.Буняковский оценивали как «сочинение образцовое как по строгости системы, по полноте при умеренном его объеме, по выбору способов и приемов доказательств, так равно по простоте и особенной ясности изложения, удовлетворяющего самым взыскательным педагогическим условиям» [8].

Для учащихся морского кадетского корпуса О.И.Сомов подготовил и опубликовал в 1861 г. «Начальные основания аналитической геометрии двух измерений». Предваряя его содержание, он писал: «В нем заключается только самое существенное из курса аналитической геометрии, необходимое для того, чтобы учащиеся укрепились в алгебре, через приложение его к решению геометрических вопросов ...» [10, с. 456]. В этом суть одного из важных методических воззрений О.И.Сомова — о значимости взаимосвязи и взаимопреемственности изучаемых разделов курса математики -арифметика плавно «переходит» в алгебру, которая столь же естественно «переходит» в геометрию. Кроме того, проявляется и стремление автора тесно связать изучение теории и практики. Так, далее О.И.Сомов пишет: «...и вместе с тем ознакомились с кривыми линиями, которые им могут встретиться в астрономии, навигации и механике» [там же, с. 456].

Приведем краткое содержание этого учебника:

Глава 1. Предмет аналитической геометрии. Примеры на решение геометрических вопросов с помощью алгебры. Однородность и построение формул.

Глава 2. Определения положения точки на плоскости. Уравнение прямой линии. Задачи на прямую линию и точку.

Глава 3. Линии второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.

Глава 4. Перемена координат. Полярные координаты.

Глава 5. Касательные. Дифференциал дуги. Угол смежности. Радиус кривизны. Развертка.

Глава 6. Замечательнейшие из кривых алгебраических высших порядков и трансцендентных: парабола Неля, прогрессика, синусоида, архимедова спираль.

Глава 7. Вычисления дуг кривых линий и криволинейных площадей. Вычисление поверхностей и объемов тел вращения.

В.Е. Прудников справедливо отмечает: «Все перечисленные вопросы излагаются сжато, ясно, причем изложение иллюстрируется многочисленными хорошо выполненными чертежами» [там же, с. 457] и — добавим от себя — большим числом конкретных примеров и практических задач, а также стремлением автора возбудить повышенный интерес у учащихся (о чем ярко свидетельствует содержание шестой главы учебника).

По-видимому, как автор учебников О.И.Сомов уже «набил руку» — эта книга вышла через год после издания удачного учебника алгебры. Об этом же говорят его следующие удачные учебные руководства: «Начертательная геометрия» (1862), «Теоретическая механика» (1872-1874), которая считалась лучшим учебником своего времени по этой дисциплине [2, с. 246].

Трудолюбие, энциклопедическая образованность, глубокое знание избранных им для исследования разделов математики и механики, понимание особенностей педагогики математики сочетались в личности О.И.Сомова со скромностью и «русской приветливостью», врожденной добротой и готовностью помочь каждому, кто в этом нуждается. При этом О.И.Сомов был непоколебим, отстаивая свои убеждения «внушенных ему совестью или чувством долга» [10, с. 460-461]. Таким он остался в памяти тех, кто его знал. Поверим в это и мы — его далекие потомки и воздадим должное его трудам.

Выводы

Подведем итог. Почему столь плодотворной и столь успешной была деятельность на поприще создания школьных учебников крупного ученого-математика О.И.Сомова, сделавшего себе заслуженную и достойную этих заслуг научную карьеру (академик Петербургской АН, заведующий кафедрой прикладной математики университета, почетный профессор университета), но взявшего на себя нелегкое (и часто неблагодарное) дело написания школьных учебников? Что побудило его, наряду с созданием учебников для высшей школы, обратиться к учебникам для школы средней?

Начнем с ответа на последний вопрос.

И современники О.И.Сомова, и историки образования отмечают неуклонное стремление этого ученого к распространению и развитию отечественного математического образования. Вероятно, это было связано с неудовлетворительной математической подготовкой выпускников средних учебных заведений различных видов (частных и государственных), которую О.И.Сомов наблюдал длительное время в силу своих общественных обязанностей. Свою роль в формировании такой позиции сыграли и недостатки учебных пособий, написанных для высшей и средней школы, которые О.И.Сомов неоднократно рецензировал, и уверенность в том, что он способен создать учебники лучше имеющихся.

Вернемся к первому вопросу — почему его деятельность как автора учебников оказалась успешной? О.И.Сомов был не только превосходным ученым, но и широко эрудированным человеком. Главное же заключается в том, что он обладал большим запасом педагогических знаний, постоянно держал руку на пульсе средней школы, знал ее нужды. И, конечно, будучи талантливым педагогом, использовал в полной мере и свой учительский опыт, и те опыт и знания, которые почерпнул у своих учителей и соратников (Н.Д.Брашман, В.Я.Буняковский, Н.Е.Зернов, М.В.Остроградский, П.Н.Погорельский, П.Л.Чебышев). Все те, у кого О.И.Сомов учился и те, кто с ним вместе работал, отчетливо понимали роль базовой математической подготовки в средней школе для получения качественного математического образования в высшей школе. И не только понимали, но и делали многое для улучшения математической подготовки в средней школе, в том числе, писали школьные учебники.

Литература

1. Гольденберг А.И. Обозрение русской учебной литературы по математике. М, 1872.

2. История отечественной математики. Киев: Наукова думка, 1967. Т. 2.

3. Константинова С. Критерий — практика // Изобретатель и рационализатор. 2006. № 6.

4. Крамар Ф.Д., Молюков И.Д. Иосиф Иванович Сомов (1815-1876). Математик, механик, педагог. Алма-Ата: КазГУ, 1965.

5. Лебедев С. Л. Человек насквозь я русский // История (Приложение к газете «Первое сентября»), 2005, № 16.

6. Математика. Большой энциклопедический словарь. М.: Большая Российская энциклопедия, 1998.

7. Никифорова Т.Р. Осип Иванович Сомов. — М.-Л.: Наука, 1964.

8. Прудников В.Е. В.Я. Буняковский — ученый и педагог. Учпедгиз, 1954.

9. Прудников В.Е. О статьях П.Л. Чебышева, М.В. Остроградского, В.Я. Буняковского и И.И. Сомова в «Энциклопедическом словаре, составленном русскими учеными и литераторами» // Историко-математические исследования. Вып. VI. 1953. С. 223-237.

10. Прудников В.Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков. М.: Учпедгиз, 1956.

11. Сомов О.И. Начальные основания аналитической геометрии двух измерений. СПб., 1861.

12. Христофорова Н.В. Российские гимназии XVIII-XX веков. М.: Греко-латинский кабинет, 2001.

13. Шевырев С.П. История Императорского Московского университета, написанная к его столетнему юбилею. 1755-1855. М.: Изд-во Московского университета, 1855.

14. Щеглов Н.Т. Начальные основания алгебры. СПб., 1853.

А. Тоом

Федеральный Университет Пернамбуко, Бразилия

Рецензия на книгу «Александр Сойфер. Математическая олимпиада в Колорадо: первые 10 лет и дальнейшие исследования»

Насколько мне известно, первая математическая олимпиада для старшеклассников была проведена в Венгрии в последней декаде 19 века. Однако страной, где математические олимпиады расцвели больше всего, стала Россия. Олимпиады, неформальные занятия, называемые «кружками», популярные лекции — всё это давало старшекласснику, жившему в Москве в 30-х, 50-х, 60-х, 70-х или 80-х годах, богатые возможности для развития и дало превосходный старт многим будущим математикам (включая Александра и меня). Дальнейшая судьба большинства была нелёгкой; вот почему многие из них (нас) эмигрировали на Запад и стали политически свободными. Однако, на этом наши неприятности не закончились: большинство из нас не получили возможности продолжать здесь такое же продуктивное сочетание исследований в математике и творческого её преподавания, как то, что так способствовало нашему развитию в России и остаётся скрытым источником энергии для столь многих из нас.

Александр Сойфер — счастливое исключение. Он не только привёз с собой семена Олимпиады, но также посадил и культивировал их и теперь Математическая Олимпиада в Колорадо — десятилетняя реальность. Конечно, другие люди также играли разные важные роли в этой истории, и Сойфер тщательно описывает их вклады (и сводит некоторые личные счёты) в своей книге. Я не буду пересказывать его интересные «Исторические заметки», их стоит прочесть в оригинале.

Всё же, наиболее интересная часть книги — это задачи первых десяти олимпиад и их решения. Я думаю, что главная функция математических олимпиад — это соблазнять ребят на путь мышления. Иными словами, хорошая олимпиада даёт её участникам такое непривычное и острое наслаждение, что некоторые подростки (впоследствии их назовут «талантливыми») уже не смогут обходиться без этого и думать станет их постоянной потребностью. С этой

точки зрения, не так уж важно, когда вы решили задачу — в отведённое время или на следующий день или ещё позже. Вы можете назвать это наслаждение «озарением», или сказать, что вас осенило или что некий бог надоумил вас. В любом случае, в хорошей олимпиадной задаче есть некий интеллектуальный сюрприз, как в шкатулке с секретом. Одно из наибольших удовольствий, которые я получил от книги Сойфера, было связано вот с этой задачей:

Задача 1.5. (А. Сойфер и С. Слободник) Сорок одна ладья стоит на шахматной доске размером 10×10. Докажите, что можно выбрать пять из этих ладей, которые не атакуют друг друга. (Мы говорим, что две ладьи атакуют друг друга если они находятся в одном ряду или в одном столбце.)

Решая эту задачу, я придумал сложное рассуждение, включавшее перебор нескольких случаев. Решение, которое имели в виду авторы, тоже довольно длинное. Однако, второе решение, данное в книге, найденное учениками, поистине красиво. Я не буду его приводить: читайте книгу или догадайтесь, но помните: в книге оно занимает только восемь строчек и не требует перебора.

Некоторые олимпиадные задачи могут служить прекрасным введением в профессиональную математику. Вот два примера таких задач.

Задача 5.1. У вас 80 монет. Семьдесят девять из этих монет весят одинаково, а одна, фальшивая, весит больше остальных. Используя только чашечные весы без гирь, опишите, как определить фальшивую монету, проделав только 4 взвешивания. Чашечные весы позволяют нагрузить монеты на две чашки и решить, какая тяжелее, но не позволяют определить, насколько тяжелее.

Эта задача принадлежит к хорошо известному классу, который можно назвать «теория информации для детей». Максимальное число монет, для которых задача разрешима, равно Зк, где к — число взвешиваний. Доказательство в одну сторону основано на том, что каждое взвешивание допускает только три возможных исхода. Доказательство в другую сторону — это фактическая схема взвешиваний, описанная в книге Сойфера (и во многих других).

Есть полезная игра в том же духе: я задумываю целое число между 1 и 30. Вы можете задавать мне любые вопросы, на которые я буду отвечать только «да» или «нет». (Например, вы не должны спрашивать «Какое это число?») Определите задуманное число,

задав только пять вопросов. (Здесь, поскольку есть только два возможных ответа, я должен задумывать число между 1 и 2к, где к -число вопросов.) Игры, развлечения и загадки в таком духе очень плодотворны и я уверен, что они очень способствуют интеллектуальному развитию детей. Интеллектуальная деятельность успешна, если она начинается с неформальных игр, непринуждённых развлечений или даже семейных шуток. Ещё один пример:

Задача 4.3. В каждом квадрате шахматной доски, бесконечной во всех направлениях, написано целое положительное число. Число в каждом квадрате равно среднему арифметическому чисел написанных в четырёх соседних квадратах, то есть расположенных непосредственно сверху, снизу, слева и справа от данного квадрата. Докажите, что числа во всех квадратах равны.

Главное условие этой задачи можно написать в виде

Fx,y = *А (Fx-i,y + Fx+iy + Fx>y.j + Fx>y+1), (*)

где переменные FX,y определены для всех целых х, у. В задаче 4.3 эти переменные — целые положительные числа, но мы можем рассмотреть и более общий случай, когда они принимают любые действительные значения. Тогда это дискретный аналог двумерного уравнения Лапласа

д2f/дх2 + d2f/dy2 = о.

Эти два уравнения имеют важные общие свойства, включая разные варианты принципа максимума, откуда можно почерпнуть идею решения задачи 4.3: рассмотреть наименьшее число. Я познакомился с дискретным уравнением Лапласа (*) будучи школьником, когда прослушал популярную лекцию под названием «Задача Дирихле». И лекция была вполне понятной! (Фамилию лектора я забыл.)

Перед тем, как изучать дифференциальные уравнения, очень полезно позаниматься их дискретными аналогами; но ни один американский университет, где я преподавал, не позаботился об этом. Американское образование напоминает мне скоростное шоссе, где большинство студентов гонят с максимальной скоростью прямо вперёд — к получению диплома. У них нет времени рассмотреть прекрасные ландшафты. Никаких живописных окрестностей, никаких зачарованных садов. Только стандартные дорожные знаки в виде контрольных и тестов. Всё, что можно опустить, опускается.

Если есть возможность чего-то не изучать, студенты её не упустят

(1).

Олимпиады представляют иной, даже противоположный подход. Они концентрируются на интеллектуальных трудностях вместо того, чтобы избегать их. Хотя решение задачи вроде 5.1 или 4.3 не заменяет курса информатики или диффуров, оно способствует глубокому пониманию чего-то такого, чего многие, даже прослушавшие курс, возможно, так и не поняли. И когда такой студент будет слушать следующие курсы, он поймёт ещё больше. Кто станет лучшим, более творческим учёным или инженером?

Задачи, даваемые на олимпиадах, не обязаны быть совершенно новыми (хотя нередко они действительно новые и многие придумал сам Сойфер); им достаточно быть новыми для участников. Это позволило Сойферу черпать из богатого запаса задач накопленного за многие годы олимпиадной деятельности в России. Однако, никто не знает, где и когда эти задачи впервые возникли. Например, Сойфер приписывает следующую задачу Табачникову и мне, потом, что он нашёл её в нашей книге (2, с. 6):

Задача 10.2. Четыре коня. В четырёх углах шахматной доски размером 3×3 клетки стоят четыре коня: наверху — чёрные, внизу -белые. За один ход разрешаете пойти любым конём, но только одним и только на свободное поле. Напомним, что шахматный конь ходит на две клетки в одном направлении и на одну — в другом. Можно ли после несколько ходов получить позицию, при которой кони попрежнему стоят в углах, но белые кони — в концах одной диагонали, а чёрные — в концах другой?

Поскольку включить эту задачу в (2) предложил я, позвольте мне сказать, чем я руководствовался. Я думал о том, как превращать «нестандартные» задачи в стандартные, то есть как учить ребят решать нестандартные задачи регулярным образом. (Многие мудрые люди говорили, что это невозможно.) Одна идея, казавшаяся мне плодотворной, состояла в том, чтобы тренировать студентов в переводе задач с одного «языка» на другой, то есть от одного средства выражения к другому. В применении к данной задаче это означает нарисовать граф, чьи вершины — клетки нашей шахматной доски, а рёбра — разрешённые ходы конём. Как только вы это сделали, всё становится видно. («Видно» в двух смыслах: наглядно и понятно.) Насколько я понимаю, по этим же причинам Рубинштейн

включил похожую задачу в свою книгу (3, с. 15 и 204). Я нашёл эту задачу (быть может, в другой редакции) в старом русском сборнике головоломок.

Роль решения задач в математическом образовании обсуждается в Америке уже много лет. Некоторые университеты и колледжи даже предлагают специальные курсы по «решению задач». (Хотел бы я знать, для чего тогда нужны остальные курсы?) Быть может, величайшая заслуга олимпиад для старшеклассников это демонстрация того, что подростки способны решать нестандартные математические задачи. В отсутствии такой неоспоримой демонстрации можно было бы думать, что это невозможно по каким-то «природным» причинам. Когда я говорю моим сегодняшним студентам, что будучи ещё учеником обычной средней школы решал многие из тех задач, которые они решают в колледже, они не реагируют. Может быть, они мне не верят и воображают, что Россия населена по премуществу медведями и агентами КГБ. Или, быть может, они думают, что Россия так далеко, что законы природы там могут быть другими. Если бы они участвовали в математической олимпиаде, будучи школьниками, они, возможно, считали бы иначе.

Некоторые образователи считают, что каждая задача, решаемая учащимися, должна иметь прямое практическое применение. Олимпиады ясно показывают смехотворность этого требования. Как правило, олимпиадные задачи описывают некоторую воображаемую ситуацию, по видимости очень далёкую от практических приложений. Организовывать олимпиады и участвовать в них -очень практично, но эта практичность — более высокого уровня, чем тот, что некоторые студенты и профессора образования способны распознать Я уверен, что большинство участников Олимпиады Колорадо станут полезными учёными, инженерами и, надеюсь, образователями, потом, что нам очень нужны образователи, умеющие решать задачи, нам их страшно нехватает.

Каждая рецензия должна содержать какую-то критику. Хота мне очень нравится деятельность Александра, я всё же думаю, что слишком уж многие задачи на Олимпиадах Колорадо отобраны в соответствии с его личным вкусом. Олимпиада должна давать равные шансы всем участникам, включая тех, чьи вкусы отличны от вкусов организаторов. На Московских олимпиадах задачи придумывались разными людьми и их вкусы уравновешивали друг друга.

Я надеюсь, что аналогичный баланс будет достигнут в Колорадо Спрингс.

О книге: кроме нескольких опечаток (например, в неравенствах на с. 150-151), она представляется мне вполне понятной. Я надеюсь, что она будет переведена на многие языки, потом, что это полезный пример успешного перенесения важного явления культуры из одной страны в другую.

(1) Нет нужды пояснять, что ситуация в канадском образовании немногим лучше. (Анди Лиу (Andy Liu), редактор).

(2) С. Л. Табачников и А. Л. Тоом, Поучительные игры: Методические разработки для учащихся ВЗМШ, Издательство Академии Педагогических Наук СССР, Москва, 1987.

(3) Moshe F. Rubinstein, Patterns of Problem Solving, Prentice-Hall, Inc., 1975.

Комментарий автора для русского издания. Оригинал статьи опубликован как Andrei Toom. Review of the book "Colorado Mathematical Olympiad: The First 10 Years and Further Explorations, by Alexander Soifer. Published by the Center for Excellence in Mathematical Education, Colorado Springs, 1994." Crux Mathematicorum (Calgary, Canada), 21, June 1995, pp. 198-201.

А.И. Сгибнев

Школа «Интеллектуал», г. Москва

Развитие творческих способностей школьников на уроках математики

Обычно на уроке все «нити» ведут к учителю. Между тем ясно, что всякий творческий процесс предполагает инициативу со стороны ученика. На этом пути бывают радостные находки, например когда восьмиклассник проводит хороший урок для товарищей. Но все знают и провалы в простых вещах, например когда ученик рвётся рассказать товарищам своё решение, делает это плохо и его не слушают. Задача учителя — на каждом этапе находить и давать ту степень свободы, которая ученикам по силам. Трудность в том, что эта мера своя у каждого возраста, класса и ученика.

Введение нового материала: диалог.

Традиционно новый материал излагается учителем в готовом виде: ученики записывают за ним определения, формулировки и доказательства. При таком подходе развивающим является только содержание урока; форма урока развивает разве что аккуратность. Конечно, наивно было бы ждать, что дети за ограниченное время смогут самостоятельно открыть, сформулировать и доказать всё то, что заготовил учитель. Однако если хорошо подбирать вопросы и примеры, то продвинуться в этом отношении можно довольно далеко.

Начинать можно с обсуждения кусочков сообщаемого материала.

Проходим с пятым классом взаимно простые числа. Я: Бывают ли числа, у которых общий делитель — только единица?

Маша: Например, простое число — и любое другое.

Я: Ага, 7 и 8.

Федя: Ну да! А 7 и 14?

В результате дети не только узнают о взаимно простых числах, но и научаются исследовательским приёмам: Маша выдвигает гипотезу, а Федя опровергает её с помощью контрпримера.

Когда класс привыкает к такому стилю работы, роль учителя в диалоге уменьшается. Простые вопросы удаётся выяснить вообще без его помощи. В сложных, как правило, удаётся вместе сформулировать гипотезу. После этого доказательство можно дать и в готовом виде — материал пройден с пользой для исследовательских умений [1]. К тому же дети учатся слушать друг друга.

Решение задач: выбор.

После введения нового материала обычно происходит решение задач. Традиционное решение стандартных задач стандартными приёмами также скорее развивает умение аккуратно действовать по алгоритму, чем творческие умения. Значит, нужны нестандартные задачи и нужна активизация роли ученика в решении задач.

Я перечислю некоторые технологизируемые приёмы такой активизации:

- выбор задач из избыточного списка;

- выбор из нескольких уровней сложности; разумный выбор вполне доступен даже пятиклассникам;

- выбор метода решения задачи; чтобы ученики могли сделать осознанный выбор, надо показывать разные методы, обсуждать их преимущества и недостатки, приучать делиться находками с товарищами;

- задания типа привести свой пример к данному утверждению, задать свой вопрос к данной конструкции, придумать свою задачу; вряд ли своя задача сразу будет очень содержательной, но хорошие своевременные примеры и вопросы надо всячески поощрять;

- формулировка открытых задач [1], в которых ученик может сам уточнить условие, выдвинуть гипотезу, задать свой вопрос, обобщить задачу и т.д. — фактически становится соавтором задачи.

В результате выбора возникает личное отношение ученика к задаче, а это — начало всякого творчества.

Оценка.

Вопрос оценивания творческих заданий очень деликатный. Согласимся, что ставить оценку справедливо только за «воспроизводимые» задачи — т.е. такие, в которых практика позволяет «набить руку». Творческие задачи к воспроизводимым не относятся: «озарит — не озарит» — не подвластно ученику и учителю. Поэтому

должно быть твёрдо установлено и известно детям, что зона плохих оценок кончается на воспроизводимых заданиях. За удачный «прыжок в незнаемое» можно получить «отл», за неудачный — ничего. Пограничной зоной можно сделать решение на оценку одной из нескольких творческих задач на выбор.

Отвлекаясь от формального оценивания, отмечу, что именно на творческих заданиях хорошо учить ребёнка самооценке и радости от хорошо сделанной работы.

Время.

У учителя жёсткие внутренние часы: за определённое время нужно пройти определённый материал. Между тем расход времени на творческие задания непредсказуем. Пятиклассник Тимоша выбрал сложную задачу и в течение 10 минут не смог сделать. Я: «Делай простую, что ты простаиваешь!» Тимоша: «Так интересно же!» Он совсем не простаивает.

Другой аспект: творческие задания часто требуют глубокого вдумывания, «вживания», которое может длиться днями и неделями. Федя писал окружную олимпиаду по математике и не справился с последней задачей: «Я потом уже понял, что можно взвешивать по две монеты. А тогда всё ясно...» В.И. Арнольд вспоминает, как в 5 классе учитель задал ему «задачу про старушек» (сложную задачу на движение). Он решил её только дома, после долгих размышлений и в первый раз испытал при этом чувство научного открытия.

Такие задачи можно выдавать, скажем, на неделю (ср. [2]), или совсем без ограничений времени — если решение не понадобится для нового материала.

Додумывать свои мысли — очень важное умение. Учебный процесс нужно строить так, чтобы он по возможности к этому приучал.

Заключение.

Задача учителя двойственна. С одной стороны, ему надо научить детей базовым знаниям и навыкам — и для этого надо жёстко спрашивать, давать ограниченное время и ставить оценки. С другой стороны, хочется на этом же материале развить творческие, исследовательские способности детей. И тут способы совсем другие (см.

выше), а главное — другая психологическая позиция: учитель сотрудничает с учеником, делится своими соображениями и выслушивает ученика на равных, точнее как старший товарищ. Нужно искусство, чтобы сочетать тот и другой подход.

Литература

[1] Сгибнев А.И. Исследуем на уроке и на проекте. / Сборник «Учим математике» (материалы открытой школы-семинара учителей математики). Под ред. А.Д. Блинкова, И.Б. Писаренко, И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2006. С. 59-71.

[2] Чулков П.В. Нестандартные задачи и обучение математике. / Сборник «Учим математике» (материалы открытой школы-семинара учителей математики). Под ред. А.Д. Блинкова, И.Б. Писаренко, И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2006. С. 11-14.

Работа выполнена при поддержке РГНФ (грант 06-06-00427а).

М.А. Ройтберг

ИМПБ РАН, г. Пущино

Пойди туда — не знаю куда. Принеси то — не знаю что

1. С чего все началось

У меня есть коллега — мама 6-летней дочки-первоклассницы. Она (мама) прислала мне задачу «для поступления в первый класс: кто решит — поступил, остальные — остаются в детском саду». Задача (в том виде, в котором мне ее прислали) выглядит так:

Оставим в стороне вопрос о разумности экзаменов в детском саду, посмотрим внимательнее на саму задачу. Подобные задачи типа «угадай закономерность» сейчас весьма популярны и часто трактуются как средство развития «творческого мышления» в математике. Настоящий текст — (предварительная) попытка на примере одной задачи выяснить, что происходит при «угадывании закономерностей», что именно тренируется.

Начну с себя. «Правильного» (т.е. того, на которое рассчитывали авторы) решения я не нашел (подумав минут 10-15). Хотя мама, которая дала мне эту задачу, сказала, что она сама эту задачу решила. И еще два ее знакомых решили (а многие не решили). Т.е. три человека, не сговариваясь, нашли здесь некоторую достаточно простую закономерность. Я эту закономерность не нашел (хотя и старался!). Зато нашел несколько других решений.

2. Решения

2.1. «Простые» решения — использование приема.

Решение 1. Все определяет последняя цифра. Ответ: 94-0

Решение 2. Все определяет бОльшая цифра (т.е. та из двух, которая больше). Ответ: 94-3

Комментарий. К этим решениям легко прийти, если разбить данные 6 примеров на группы с общим ответом: 0-54 1 -16,56 2-38, 85 3-89

Такой прием работы с данными — важен и полезен в разных ситуациях. Но проявление подобных приемов НИКОГДА не происходит при разборе задач на угадывание закономерностей.

2.2. Еще одно решение. Предположим, что...

Решение 3.

Попробуем как-то сузить класс закономерностей — угадать, что могут иметь в виду авторы. Например, предположим:

Наверное, каждая цифра приносит сколько-то очков. Тогда:

54-0 => 5 и 4 очков не дают;

85—2 => 8 дает 2 очка

56—1 => 6 дает 1 очко

38—2 => 3 очков не дает

89—3 => 9 дает 1 очко

16—1 => 1 очков не дает

Ответ: 94—1

3. Обсуждение решений.

3.1. Неполнота условия: не задача, а загадка. Фактически от нас (и 6-летнего ребенка ) требуют продолжить «по закономерности» функцию, которая переводит натуральные

числа (аргументы) в новые натуральные числа (значения функции). Понятно, что это можно сделать бесконечным количеством способов. Значит, — подразумеваются некоторые неявные ограничения. Какие именно ограничения имеются в виду — в задаче не сказано. Таким образом, это не задача, а загадка («сидит девица в светлице, коса наружу» — это морковка? петрушка? А может, — ведро в колодце и цепь, которая на вороте?). По моим наблюдениям, часть детей «чувствует» неполноту условия и отказывается решать подобные задачи.

Вообще, реакция детей на неполноту (некорректность) условия задачи, которую дети ощущают, но не могут вербализовать — по-моему, очень интересная тема. При этом неполнота условия может быть «объективной» (как в рассматриваемой задаче), так и субъективной (условие задачи «сколько будет два умножить на два?» неполно для тех, кто не знает, что такое «умножить»). С другой стороны, любое условие задачи (как и любой текст), КАК ПРАВИЛО, не полон, т.е. не самодостаточен. Всегда неявно подразумевается контекст, основанный на жизненном опыте читателя. И, при неадекватности такого опыта, происходит неудача с пониманием текста — будь то «Евгений Онегин», лекции по квантовой механике или задача из учебника для первого класса.

3.2. Какие же ограничения имеются в виду.

Тем не менее, некоторые люди независимо выдают одинаковые решения рассмотренной задачи (как и приведенной выше загадки). Значит, есть некоторые «естественные» и подразумеваемые (по крайней мере частью решающих) ограничения на класс допустимых функций. Попробуем описать эти ограничения.

Одна из возможностей — «минимизация» «сложности» описания функции. Здесь «минимизация» означает «хорошо бы попроще», а «сложность» включает, по-видимому, какие-то предположения о психологии и математической (а также «общечеловеческой») подготовке ребенка — для одних проще одно, для других — другое. Например, я думаю, что приведенные в п.2 решения, — сложны для детей (психологически), но не берусь это обосновать.

Это — не единственное ограничение. Например, все три приведенных решения, описывают функции, зависящие от параметров (значений этих функций на цифрах). Условия задачи не позволяют,

например, однозначно определить ответ для числа 77. Это (отсутствие единственного «продолжения») можно считать недостатком и попытаться сформулировать соответствующее ограничение.

Таким образом, центральная проблема в анализе задач «угадай закономерность» — максимально полно «проявить» неявный пласт ограничений на рассматриваемый класс функций, подразумеваемый (а) авторами (б) решающими — детьми разных возрастов и взрослыми.

4. Еще одно решение — новые задачи

Решение 4. Это решение я придумал, чтобы обосновать, сколько очков приносит каждая цифра. Простейшая (и стандартная для олимпиадных математических задач) идея — посмотреть на буквы в записи чисел словами. Оказалось, что приведенные ответы получаются, если учитывать количество букв В, M и Ш или В, О и Ш (а остальные не считать). Это решение, если забыть про необходимость выбора между (В, М, Ш) и (В, О, Ш), позволяет естественно определить значения искомой функции для чисел меньше миЛЛиона (неизвестно, нужно ли считать букву Л). Но — еще одно ограничение! — оно вряд ли доступно шестилеткам.

Вместо самого решения, я сформулирую новую задачу, которая мне нравится больше исходной. В отличие от исходной «загадки» она действительно является математической задачей.

Задача М1. У Васи есть любимые буквы. Вася стал считать -сколько его любимых букв есть в записи словами разных чисел. Получилось вот что:

85-2 любимых буквы;

56—1 любимая буква;

38 -2 любимых буквы;

54 — любимых букв нет;

98-3 любимых буквы; (если как было 89 -3, то появляется побочное решение)

16-1 любимая буква.

Сколько Васиных любимых букв в записи словами числа 94?

Решение. Запишем алфавит и будем вычеркивать те буквы, которые точно не являются любимыми. Отдельно будем записывать кандидатов в любимые буквы.

(для простоты я нелюбимые тоже буду давать списком).

54: нелюбимые: ПЯТЬДЕСЧЫР

56: Ш-любимая!

16: H А Ц — нелюбимые

85: среди В О M — 2 любимые буквы

38: И — нелюбимая

98: В и два О из слова «девяносто» должны давать одну любимую букву (из-за этого и заменили 89 на 98)

Вывод: В — любимая, О — нет. Значит (см. 85), M — любимая. Итак:

Любимые: В M Ш

Нелюбимые: АДЕИНОПРСТЦЧЫЬЯ

Неизвестно: ГЁЖЗКЛМУФХШЩЪЭЮ Ответ: в словах «девяносто четыре» 1 любимая буква.

Варианты:

Задача M2. У Васи есть три любимые буквы. Вася стал считать -сколько его любимых букв есть в записи словами разных чисел. Получилось вот что:

85-2 любимых буквы;

56—1 любимая буква;

38-2 любимых буквы;

54 — любимых букв нет;

98-3 любимых буквы; (если как было 89 -3, то появляется побочное решение)

16-1 любимая буква.

Сколько Васиных любимых букв в записи словами числа 94? Какие буквы Вася считает любимыми?

Задача М3 (продолжение предыдущей). Петя добавил к трем Васиным любимым буквам четвертую. После этого для некоторых чисел ответ изменился. Какую букву добавил Петя? Приведи пример числа, для которого ответ изменился.

Подводящие задачи.

Задача П1. Какие буквы используются в записи словами чисел от 1 до 3? Какие буквы не используются в записи этих чисел? Те же вопросы — для чисел от 1 до 10.

Задача П2. В радуге 7 цветов: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый. Какие буквы не используются в записи этих цветов?

А эту задачу («загадку») я придумал «в знак протеста». Итак. Задача Т1 .Угадай закономерность:

Потратьте, пожалуйста, на нее 1 мин (ну в крайнем случае -пять, больше — не стоит). В конце текста приведена подсказка.

4. «Правильное решение» или на всякого мудреца не накинешь платок

Когда я закончил писать первый вариант этого текста (дня через два после того, как получил задачу) — сообразил, что за решение имели в виду авторы задачи. С точки зрения математики — это решение 3. Но количество баллов, приписываемое каждой букве, обосновывается вовсе не так, как описано в разделе 4. Все проще: нужно считать «колечки» в цифрах. Тогда:

1, 2, 3, 4, 5, 7—0 баллов (нет колечек)

6, 9—1 балл (одно колечко)

8-2 балла (два колечка).

Остается неясным, как трактовать 0 — считать его одним колечком, двумя (потому, что в два раза больше) или вообще не считать (потому, что это не колечко, а вытянутый овал). Но вряд ли кто-то из детей по этому поводу задумается.

Что еще интересно в таком решении? Левые части исходных примеров (85, 56 и т.д.) можно трактовать тремя способами:

1) как числа в десятичной записи — что наиболее привычно для людей, начиная со второго класса (и для многих более юных);

2) как пару цифр — безотносительно к использованию десятичной системы записи чисел (как это сделано в решениях 1 и 2);

3) просто как рисунок (вариант — рисунок, состоящий из двух фигурок)

Оказывается, авторы имеют в виду именно третью трактовку! При этом для правых частей используется совсем другая (первая!) трактовка.

Хорошо ли проделывать с детсадовцами такие трюки?

Вот, собственно говоря, и все. В конце полагается делать выводы. Пока воздержусь.

Дополнения

1. Подсказка к задаче Т1. Автор родился 27 декабря.

2. PS Есть еще одна близкая тема — «угадай продолжение» (лучше — ассоциацию) в гуманитарных дисциплинах. Но об этом -в другой раз.

И.Б. Писаренко

Лицей №1557, г. Москва

Метод Пойа. Анализ цепочек

Общий подход к решению нестандартных задач был разработан Д. Пойа. Его ещё можно назвать методом вспомогательной задачи. Суть метода вспомогательной задачи заключается в том, что решение основной задачи происходит в три этапа: необходимо придумать, решить и использовать вспомогательную задачу. Способов придумывания вспомогательной задачи — несколько десятков, способов использования — два основных: мы используем либо результат вспомогательной задачи, либо метод её решения. Вспомогательная задача должна быть намного проще основной, а её решение очевидно сразу или после небольшого перебора. Для того, чтобы придумать вспомогательную задачу, мы должны выбрать самую большую трудность в основной задаче и работать с этой трудностью.

Сейчас я хочу остановиться на той ситуации, когда трудность основной задачи заключается в большом натуральном числе. Как правило, на олимпиадах это либо год проведения олимпиады, либо сотня, либо тысяча. Мы можем разумно упростить задачу, уменьшив это число, при этом другие параметры не меняются, либо мы должны знать, как их поменять. Задачи такого типа мы будем называть задачами на длинные цепочки. Большое натуральное число мы будем называть параметром цепочки или основным параметром.

Если мы считаем, что главная трудность именно в большом натуральном числе и рассматриваем эту задачу как задачу на цепочку, мы должны начинать решение с волшебной фразы: «Предположим, что задача решена». После этого мы должны попытаться, опираясь на гипотезу о том, что задача для данного значения параметра решена, попытаться решить задачу, в которой значение параметра цепочки в два раза больше, в три раза больше, и т.д. В дальнейшем, для краткости будем говорить, что нужно решить задачу в два раза больше, в три раза больше и т.д.

Этот приём назовем приёмом увеличения. Давайте рассмотрим ряд конкретных примеров.

Задача 1: Найти такой набор натуральных чисел, что сумма всех чисел в наборе равна 2005 и произведение всех чисел в наборе равно 2005.

Решение. Предположим, что такой набор найден, и задача решена. Можем ли мы решить задачу, которая будет в два раза больше, то есть найти такой набор чисел для числа 2 ⋅ 2005 ? Немного подумав, мы понимаем, что, добавив к старому набору чисел двойку и 2003 единицы, мы получим новый набор чисел, сумма и произведение которых равняется 4010. Наша задача допускает удвоение параметра цепочки. Следующий вопрос: а допускает ли наша задача увеличение параметра в три раза? Да, только теперь мы должны добавить тройку и 4007 единиц. Несложно понять, что эта задача допускает увеличение в любое количество раз. Но мы придумывали вспомогательные задачи не для того, чтобы увеличивать, а для того, чтобы двигаться в обратную сторону. Так как 2005 делится на пять, то нас интересует задача в пять раз меньшая. 2005 :5 = 401. Нет необходимости выяснять, простое число 401 или же его можно разложить на множители, потом, что уже понятно как составить набор чисел, сумма и произведение которых равны 2005. Это число 401, число 5 и 1599 единиц.

Задача 2: В правильном двадцатиугольнике отметили 9 вершин. Доказать, что найдётся равнобедренный треугольник с вершинами в отмеченных точках.

Решение. Тут у нас есть два числа, которые претендуют на роль главного параметра задачи. Это 9 и 20. Если мы будем уменьшать число отмеченных точек, будет ли задача становиться проще? Станет ли нам проще найти треугольник с вершинами в отмеченных точках? Нет, задача будет усложняться: чем меньше отмеченных точек, тем сложнее будет найти равнобедренный треугольник. Поэтому число 9 не может претендовать на роль основного параметра задачи. Главным параметром задачи в данном случае является число 20. Предположим, что мы нашли нужный треугольник. Возникает вопрос, сколько точек надо отметить в задаче про правильный сорокоугольник, чтобы нашёлся обязательно правильный двадцатиугольник, в котором отмечены девять точек? Несложно понять, что это 9 + 8 = 17 точек (Сорокоугольник можно разбить на два двадцатиугольника группируя вершины с четными и нечетными номерами).

То есть задача допускает увеличение с коэффициентом 2. А допускает ли она увеличение в три раза? Какое минимальное число точек мы должны отметить в 60-угольнике, чтобы можно было выделить правильный 20-угольник с девятью отмеченными точками? Несложно понять, что это 9 + 8 + 8 = 25 точек. Задача допускает увеличение и в 3, и в 4, и более раз. Однако мы это делали не для того, чтобы увеличивать параметр задачи, а для того, чтобы его уменьшить. Поэтому мы должны понять какую задачу мы должны решить, чтобы задача про 20-угольник с 9 отмеченными точками свелась к ней. Если мы уменьшаем задачу в два раза, то это 10-угольник, с 5 отмеченными точками. 20-угольник распадается на два 10-угольника и в каждом из них обязательно найдутся пять отмеченных точек. А задача про 10-угольник с пятью точками сведётся к 5-угольнику с тремя точками, потом, что если мы 10-угольник разбиваем на два пятиугольника, то в одном из них обязательно найдутся три отмеченных точки. Нам надо доказать, что если в правильном 5-угольнике мы отметили три точки, то найдётся равнобедренный треугольник с вершинами в выделенных точках. Эту задачу мы решаем простым перебором. Могут представиться две ситуации, в обеих из которых нужный нам равнобедренный треугольник найдётся: отмечены три соседние вершины правильного пятиугоьника, либо две соседние и одна не соседняя. Маленькая задача решена.

Можно было бы не выстраивать такую цепочку удвоения, а сразу (так как задача допускает любое увеличение) правильный 20-угольник свести к пятиугольнику: разобьём правильный 20-угольник на 4 правильных 5-угольника, для чего будем брать вершины каждого через три точки, тогда получим 4 сдвинутых правильных 5-угольника. Так как всего в 20-угольнике отмечено 9 точек, то в каком-то из 5-угольников будет отмечено три точки. (Если в каждом не более двух, а всего пятиугольников четыре, то отмечено было бы не более 8 точек.)

А раз так, то в этом 5-угольнике найдётся нужный нам равнобедренный треугольник с вершинами в отмеченных точках, значит, и первоначальная задача тоже будет решена.

Задача 3: Составить квадрат из 100 тетрамино в виде буквы Т. Решение. Сложность задачи заключается в том, что много фигур. Предположим, что задача решена, то есть мы научились со-

ставлять квадрат из 100 тетрамино в виде буквы Т. Сможем ли мы составить квадрат из 200 тетрамино?

Не понятно как. Из 300? Тоже не очень понятно. А вот из 400 терамино мы можем составить квадрат: возьмём квадратик из 4-х маленьких, каждый маленький составлен из 100 тетрамино, и нужная задача будет решена. Эта задача допускает увеличение с коэффициентом 4. Какие ещё коэффициенты масштабирования она допускает? Понятно, что 5,6,7,8 — не подойдут, а 9 подойдёт, следующий коэффициент будет 16, далее 25. Не сложно понять, что коэффициенты масштабирования этой задачи — это квадраты натуральных чисел. Мы это выясняли не для того, чтобы увеличивать задачу, а для того чтобы её уменьшить. На какой квадрат нужно разделить 100, чтобы получить как можно более маленькую задачу? Понятно, что если 100 мы разделим на 25, то мы получим 4, и перед нами стоит такая вспомогательная задача: как сложить квадрат из четырех тетрамино в виде буквы Т? Эту задачу решить довольно легко.

Далее этот квадратик мы тиражируем в пять строчек и в пять столбцов, и получаем в итоге большой квадрат, составленный из 100 тетрамино в виде буквы Т.

Задача 4: Делится ли число А = 11... 1 (666 семёрок) на 13?

Решение. Задача трудная, потом, что у нас много семёрок — их 666. Давайте посмотрим допускает ли она увеличение. Предположим, что мы доказали, что число А делится на 13. Будет ли число 2А делиться? Если мы напишем число из двух групп по 666 семёрок, то будет ли это число делиться на 13? Конечно, мы можем вынести группу в 666 семёрок за скобки, а мы знаем, что если один сомножитель делится на 13, то и всё произведение делится на 13. Эта задача допускает увеличение в два раза. Понятно, что она допускает увеличение и в три, и в четыре, и в более раз. Опять таки, мы это вывели не для того, чтобы увеличивать, а для ого, чтобы сжимать. Давайте выпишем делители 666: 1, 2, 3, 6, 9, ... Далее проверяем. Число из одной семёрки на 13 не делится. Число из 2-х семёрок на 13 не делится. Число из 3-х семёрок на 13 не делится, а вот число из 6 семёрок на 13 делится. Соответственно и число из 666 семёрок будет делиться на 13.

К сожалению, не все задачи на цепочки допускают увеличние основного параметра. Кроме того, иногда задача допускает увеличение параметра в 2 раза, но если у нас, например, параметр равен 101, то это нам ничего не дает. Поэтому надо попробовать другой подход: надо выяснить допускает ли задача сдвиг. Что значит сдвиг? Это значит, что мы опять говорим фразу «предположим, что задача решена», и переходм к задаче не в два раза большей, а к большей на единицу, то есть увеличиваем параметр задачи на единицу, двойку и так далее.

Задача 5: Как разрезать квадрат на 997 меньших квадратов, необязательно одинаковых?

Решение. Давайте проверим, допускает ли эта задача масштабирование, допустим в четыре раза. Если мы сможем разрезать маленький квадрат на 997 квадратиков, то квадрат, составленный из 4 маленьких, мы сможем разрезать на 4-997 . Эта задача допускает увеличение с коэффициентом, равным квадрату любого натурального числа, но это нам ничего не даёт, потом, что число 997, к сожалению, не делится квадрат натурального числа. Давайте попытаемся понять, если мы научились разрезать квадрат на 997, сможем ли мы разрезать квадрат на 998: допускает ли задача сдвиг на единицу? Понятно, что нет. Сдвиг на двойку? Тоже нет.

Она допускает сдвиг на тройку, так как любой квадрат легко разрезать на четыре меньших. Начнем уменьшать значение главного параметра задачи на тройки. Так как число 997 при делении на три даёт в остатке единичку, То в итоге мы придем к задаче, в которой требуется разрезать квадрат на один квадрат — это сам он и есть. Следующей задачей будет разрезать квадрат на 4 квадрата. Следующий шаг — на 7, и так далее, понятно, что мы дойдём до 997.

1 -4-7- 10- 13—16-.......-994-997

Первоначальный квадрат делим на 4 равные части, получаем четыре квадрата. Далее левый верхний делим на 4 равных, получаем семь квадратов и так далее.

Задача 6: В ряд выписаны числа от 1 до 2007. Расставьте между ними знаки + и — так, чтобы в итоге получился 0.

Решение. Предположим, что задача решена. Допускает ли эта задача удвоение? Не очень понятно. Давайте попробуем поработать со сдвигами. Если появится 2008-е число, сможем ли мы решить задачу? Нет, то есть сдвиг на единицу не допускается. 2008, 2009 сможем обнулить? Нет. 2008, 2009, 2010? Тоже нет. А вот если будет добавлено 4 числа: 2008, 2009, 2010 2011, то мы сможем обнулить: возьмем крайние 2008 и 2011 со знаками минус, а центральные 2009 и 2010 со знаками плюс. Таким образом, задача допускает сдвиг на 4. При делении на 4 число 2007 даёт в остатке 3. Задача в итоге свелась к тому, что нужно между тремя числами 1, 2, 3 расставить знаки + и — так, чтобы в итоге получился 0. Можем ли мы это сделать? Понятно, что да: ставим минусы перед единицей и двойкой, а перед тройкой ставим плюс. Далее мы разбиваем оставшиеся числа на четвёрки и два крайних числа в четвёрке берём со знаком минус, а два средних — со знаком плюс.

Задача 7: Придумайте десятизначное число, в записи которого нет нулей, чтобы при прибавлении к нему произведения его цифр, получилось число с таким же произведением цифр.

Решение. Допускает ли задача удвоения? Понятно, что не допускает. Если мы придумали такое десятизначное число, в записи которого нет нулей и при прибавлении к нему произведения его цифр получается число с таким же произведением цифр, можем ли мы придумать 11-значное число? Да, если допишем единичку впереди. Тогда произведение и сумма не изменяются, значит эта задача допускает сдвиг на единичку. Понятно, что такого однозначного числа мы не придумаем, потом, что произведения цифр просто-напросто не будет, значит надо придумать двузначное число, такое, что при добавлении произведения его цифр, получилось бы число с таким же произведением. Начинаем перебирать и рано или поздно мы дойдём до числа 28.

Оно обладает нужным нам свойством: 28 +16 = 44.

А как теперь сконструировать наше десятизначное число? Написать сначала 8 единичек и число 28, это число 1111111128.

Задача 8: Фальшивомонетчик Вася напечатал купюры в 4 и в 7 рублей. Доказать, что он может уплатить без сдачи сумму в 2005 рублей.

Решение. Давайте выясним, допускает ли эта задача увеличение в два раза. Да, допускает. Эта задача допускает увеличение в любое число раз, но так как 401 — простое число, то она всё равно сведётся к 401, а если мы возьмём масштаб, равный 401, то задача сведётся к 5 рублям, а их мы 4 и 7 рублями разменять никак не можем. Поэтому масштабирование нам не слишком помогает. Давайте попробуем проверить, какой сдвиг она допускает. Понятно, что на 4 или на 7. Давайте использовать сдвиг на 4. 2005 при делении на 4 даёт в остатке 1.

Выстроим ряд вспомогательных задач

1-5-9-13-17-21-.......- 2001—2005.

Единичку мы не сможем разменять четвёрками и семерками. Числа 5, 9, 13 и 17 мы тоже не сможем разменять, а 21 разменять тремя семёрками мы можем. Далее мы добавляем четверки до 2005.

Задача 9: Представить число 1 в виде 10 различных дробей с числителем 1.

Решение. Предположим, что мы нашли один десяток таких дробей. Давайте посмотрим, допускает ли задача удвоение, то есть, имея две задачи, можем ли мы придумать 20 чисел, в сумме дающих единицу? Несложно понять, что мы это можем сделать, надо просто поделить на два и сложить.

Заметим, что задача допускает только удвоения, но это ничего не даёт, потом, что нам надо решить задачу для двух пятёрок, что не так-то легко сделать. Давайте задумаемся над тем, допускает ли задача сдвиг. Если у нас есть 10 чисел, сумма которых равна единице, можем ли мы придумать 11 чисел, сумма которых тоже равна единице? Если действовать по аналогии с предыдущей ситуацией, то надо поделить на двойку, чтобы получилась единица, добавить —.

Данная задача допускает сдвиг на единицу, а раз так, то мы можем вернуться к начальным задачам. Мы можем придумать два различных числа так, чтобы в сумме была единичка. Давайте попытаемся сконструировать три числа так, чтобы их сумма была равна единице. Может ли наибольшее из них быть — ? Не может, потом, что остальные ещё меньше, и сумма будет меньше единицы. Поэтому среди дробей обязательно должна быть ^. Точно так же несложно понять, что большее из оставшихся не может быть меньше

поэтому должна быть

а оставшееся число

Три числа мы получили, а теперь, чтобы получить 10 чисел, нужно применить сдвиг несколько раз.

Задача 10. Есть 555 камней весом 1,2, ... 555. Можно ли их разложить на три кучки равного веса?

Решение. Давайте попытаемся сделать сдвиг. Если мы уже научились камни от 1 до 555 раскладывать на три кучки равного веса, то 556 камней разложить мы не сможем. 557, 558, 559, 560 — тоже не сможем, а 561 — сможем. Объединив 557 и 561, 558 и 560, 559 и 560, мы получим три группы камней равного веса и разложим их в три уже существующие кучки. Даная задача допускает сдвиг на 6. 555 при делении на 6 даёт в остатке 3. У нас получается следующий ряд задач:

3 -9- 15 -21 -...... 549-555.

Если у нас есть камни весом 1, 2, 3, то мы разложить их на кучки равного веса не сможем. Следующей задачей, которую мы рассмотрим, будет задача про 9 камней. Давайте поймём, какой общий вес имеют камни: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Вес каждой кучки будет 15, что мы и получим, сгруппировав камни весом 1 + 2 + 3 + 4 + 5, 6 + 9, 7 + 8, далее мы добавляем шестёрки камней до 555.

Задача 11: 137 человек участвовало в теннисном турнире по олимпийской системе: проигравший выбывает. Сколько необходимо провести игр, чтобы выявить победителя?

Решение. Пусть мы нашли число N игр для 137 человек. Попытаемся сдвинуться на единичку. Так как проигравший выбывает, то для того, чтобы среди 138 частников найти победителя, понадобится N + 1 игра: чтобы от 138 перейти к 137, человек должен выбыть, то есть проиграть. Задача допускает сдвиг на единицу и далее понятно, что если 137 — это N игр, 136 — это N- 1 и так далее, дойдём до двух человек, для которых нужно провести одну игру. Чтобы перейти от двух человек к 137, надо добавить 135 игр. 1 + 135 = 136 игр надо провести, чтобы выявить победителя среди 137 человек.

Задача 12: Найти такую систему из десяти отрезков, из любых трёх отрезков которой нельзя составить треугольник.

Решение. Предположим, что мы их нашли такие 10 отрезков. Как найти 20 таких отрезков — совершенно не понятно. Давайте попытаемся найти 11 таких отрезков. Мы должны добавить такой одиннадцатый отрезок, чтобы он не смог с любыми двумя другими составить треугольник. Пусть он будет равен сумме 10 этих отрезков. Задача допускает сдвиг на единичку, соответственно, нам надо придумать систему из трёх отрезков, которые треугольника не образуют: например, 1, 1 и 2. Далее берём сумму этих отрезков 1 + 1 + 2 = 4, далее сумму 1 + 1 + 2 + 4 = 8, 16, 32 и так далее. Любые три отрезка в этой системе треугольника образовывать не будут.

Иногда, к сожалению, задача не допускает ни увеличения, ни сдвига. Как же решать такие задачи? В таких задачах приходится искать общий метод решения. Если во время сдвига или увеличения мы использовали результат вспомогательной задачи, то сейчас приходится использовать метод.

В этом случае мы рассматриваем одну, две, три или четыре, сколько сможем начальных задач, пытаемся их решить единым способом и далее перенести этот единый способ на основную задачу.

Задача 13: Найти 1000 натуральных чисел, сумма которых равна их произведению.

Решение. Если мы найдём 1000 таких чисел, то 1 000n нам найти будет трудно, т.е. задача не допускает масштабирования, нетрудно понять, что сдвига она тоже не допускает.

Поэтому мы должны наблюдать.

Начинать с двух чисел, трёх, четырёх, пяти и дальше перейти на 1000.

Два числа, сумма которых равна их произведению, мы сможем найти?

Да, это 2 + 2 = 2-2 = 4.

Три числа? 1 + 2 + 3 = 1-2-3 = 6.

По аналогии можно предположить, что для четырех чисел получится:

Теперь несложно будет написать и для пяти:

Если у нас 1000 чисел, то должна быть двойка, пятьсот и 498 единиц:

Задача 14: Может ли число, записанное с помощью 100 единиц, 100 нулей и 100 двоек, быть точным квадратом?

Решение. Допустим, что мы нашли такое число. Как придумать число, состоящее из 200 нулей, 200 единиц и 200 двоек, которое тоже являлось бы полным квадратом, совершено не понятно. Сдвиг тоже не очевиден. Здесь нужно решать маленькую задачку и делать какие-то наблюдения. Рассмотрим числа, состоящие из 1 нуля, 1 двойки и 1 единицы.

Все такие числа мы можем записать: 012, 021, 102, 120, 201, 210.

Нетрудно заметить, что ни одно из них полным квадратом не является.

Такое решение перенести на задачу с 100 нулями, 100 единицами и 100 двойками не получится, поэтому необходимо какое-то теоретическое обоснование. Несложно заметить, что все эти числа делятся на 3, а если бы они были квадратами, то они должны были бы делиться ещё и на 9, но на 9 они не делятся, потом, что сумма цифр у всех чисел — 3. Она делится на 3 и не делится на 9. Поэтому числа: 012, 021, 102, 120, 201, 210 квадратами быть не могут.

Это рассуждение переносится на случай со ста нулями, единицами и двойками.

Сумма цифр нашего числа получается 300, а раз эта сумма делится на 3 и не делится на 9, то само число делится на 3 и не делится на 9, поэтому не является полным квадратом.

Замечание. Метод анализа цепочек тесно связан с методом математической индукции. И.С.Рубанов в своих статьях об индукции приводит следующий план решения задачи методом математической индукции.

1. Найдите в условии ряд однотипных утверждений — развернутый или свернутый в предложение с переменной. Переменная может быть замаскирована. Тогда выявите ее, переделав формулировку условия. Если цепочки нет, попробуйте вырастить ее так, чтобы задача оказалась в ее составе.

2. Докажите первое утверждение ряда.

3. Докажите, что при каждом натуральном n из справедливости 77-го утверждения ряда вытекает справедливость (n + 1)-го утверждения.

Анализ цепочек позволяет выращивать продуктивные цепочки и выбирать нужные начальные задачи. Но он работает не только для индукционных задач. В задачах, где коэффициент увеличения любой (или их достаточно много) мы не выстраиваем индукционных цепочек, а сразу переходим от разумно подобранной маленькой вспомогательной задачи к основной. Причем коэффициенты увеличения мы ищем среди делителей основного параметра задачи. Заметим также, что сдвиги допускают не только индукционные задачи.

Кое-что анализ цепочек позволяет сделать и в том случае, когда задача не допускает сдвигов и растяжений, и приходится искать общий метод решения.

С.П. Белая

Школа № 5, г. Москва

Оценочная деятельность учителя иностранного языка

Тема эксперимента, по которой работала наша школа в последние годы — «Педагогическая оценка, ее роль и функции в повышении эффективности образовательного процесса».

Основным аспектом этой темы является успешность обучения, создание обстановки для обучаемого субъекта, т.е. ученика наиболее комфортной, позволяющей ему усвоить обязательные знания.

Любой педагогический процесс — это применение образовательных технологий.

Технология, согласно толковому словарю, — это совокупность приемов, применяемых в каком-либо деле.

Педагогическая технология, по мнению академика Д.С. Лихачева — это совокупность психолого-педагогических установок; форм, методов, способов, приемов обучения, воспитательных средств.

Разные авторы по-разному определяют этот термин, но смысл остается одним — это техника реализации процесса обучения; модель организации и проведения учебного процесса с обеспечением комфортных условий для учащихся и учителя.

Технологии, применяемые нами в процессе обучения иностранному языку следующие:

1. технология коммуникативного обучения (на основе общения) — эта технология — сущность всех интенсивных технологий обучения иностранным языкам (разработки Лозанова, Китайгородской). По характеру и содержанию структуры она

• обучающая

• светская

• гуманистическая

• с культуроведческой направленностью;

допускающая любые организационные формы:

• индивидуальную

• уровнево-дифференцированную

• групповую

• диалоговую

• монологовую

• игровую

• проектную

2. здоровьесберегающий технология. Основной инструмент, которым мы пользуемся при обучении иностранному языку — это урок. Главными участниками процесса обучения на уроке являются учитель и ученик. Здесь происходит взаимное речевое партнерство. Речевая направленность — это обучение через общение; это практическая ориентация урока и каким оно будет, прежде всего, зависит от обстановки, в которой оно происходит: комфортно ли чувствует себя учащийся в ситуации, когда ему приходится напрягаться, пытаясь что-то сказать на чужом языке, когда не хватает слов и велика боязнь ошибиться, сказать неправильно, получить плохую оценку. Поэтому очень важен момент личностной ориентации обучения, ведь безликой речи не бывает. Учитель должен учитывать все личностные характеристики, так как только при таком подходе могут быть созданы условия для общения.

Как исправлять ошибки?

Фонетические ошибки отрабатываются не одновременно, а последовательно.

Пример: mild ho'tel

kind mu'seum

wild

mind

Если ученик сделал грамматическую ошибку, то стоит привлечь внимание всей группы, т.к. грамматика чаще всего вызывает неуверенность в речевой деятельности учащихся: «а как сказать?» ведь мы думаем по-русски.

Теперь настало время поговорить об оценочной деятельности учителя: зачем мы ставим оценки?

• Чтобы оценивать результат деятельности учителя (не ученика, а именно учителя)

• Что важно оценивать?

• Как лучше обеспечить объективность оценки?

В соответствии с современным содержанием учебного процесса важна прежде всего самооценка учащегося как залог успешности деятельности ученика. Мы оцениваем результат деятельности (ЗУН) — или факт усвоения государственной программы по двум основным параметрам, предусматривающим оценочную деятельность учителя и учащихся.

В работе педагога норма — применение индивидуальных эталонов;

Оценочная функция учащихся — готовность к самооценке полученного результат.

Пример. Начальное обучение в 5-ом классе нельзя оценивать на «2» — исчезнет мотивация, которая и так не слишком высока. Ведь когда мы ставим оценки на каждом уроке мы каждый урок превращаем в экзамен, что с точки зрения мотивации обучения и успешности не очень желательно, как и с точки зрения здоровьесбережения тоже. Следует изменять этот процесс, давая возможность слабым ученикам адаптироваться к тому или иному материалу; подойти индивидуально к каждому, особенно к слабомотивированному учащемуся. Еще в 1872 г. Фармаковский Р.И., специалист по начальному образованию, считал цифровые отметки неудовлетворительными. Особенно это чувствуется при оценке проектной деятельности. Если ученик сделал проект слабо, то не стоит его за это порицать, а нужно, объяснив слабые стороны работы, оценить его труд.

Как я уже сказала, основным аспектом, инструментом нашей деятельности является урок. Так как мы занимаемся и здоровьесберегающими технологиями, то урок нужно рассматривать с точки зрения этой технологии. Условия проведения занятий — это азы здоровьесбережения. Проводя урок учитель не должен забывать о:

1. соблюдении гигиенических норм и требований

2. не только соблюдении дисциплины и успешности выполнения заданий, но и психологическом состоянии школьника (например, учащиеся пришли на урок очень возбужденными после урока физкультуры, чем-то взволнованные, уставшие, апатичные или испытывающиеся нервозность и даже страх перед оценкой, учителем и т.п.). Особого внимания требуют дети группы риска по здоровью. В этом случае применяются индивидуальные педагогические технологии.

Ученик испытывает пресс (давление) и со стороны учителя и со стороны родителей. Когда дети начинают изучать иностранный язык (не важно, когда это происходит: в 5-ом или во 2-м классе), они как бы вновь возвращаются в 1-ый класс. Каждое негативное слово учителя отрицательно влияет на психику ученика. Он думает по-русски и не может мыслить на другом языке. Поэтому оценивать ответы учащихся нужно прежде всего с позитивной стороны. Даже если обучающийся сделал ошибку, не стоит сразу ставить «2», т.к. это резко снижает мотивацию ребенка к обучению.

К сожалению при помощи пятибалльной системы очень трудно отметить успешность ребенка, особенно если она медленная, постепенная, на первый взгляд незначительная (выучил и произнес правильно уже не два, а четыре слова из десяти — это несомненный прогресс, а с точки зрения школьной оценки результат все тот же неудовлетворительный).

В начальной школе приемлемо безотметочное обучение (во 2-м и 3-м классах). Уровень подготовки учащихся в этом случае можно проверять и на каждом уроке, фиксируя при этом степень понимания материала каждым учащимся. Затем, выявив слабые стороны (не все ученики усвоили материал, кто-то сделал это лучше, кто-то хуже и т.п.) можно дать возможность сильным ученикам ответить, затем спросить учащихся послабее; работать индивидуально и в группах. Так, при составлении, например, собственного диалога по модели («Чем вы занимались летом?»), сначала работают сильные учащиеся, затем пробуют ученики более слабые. Работа всех учеников оценивается: «молодцы», «хорошо, но нужно немного доработать» и т.д. при такой оценке работы учащихся создается комфортная обстановка на уроке, сохраняется мотивация обучения, стремление знать. Таким образом воспитывается самостоятельная оценка учащимися своей работы.

Оценивая, нельзя однако ограничиваться только проверкой знания и уровня ЗУН. Необходимо научить школьников умению проверять и контролировать себя; находить свои ошибки и самостоятельно исправлять их.

При обучении иностранному языка особенно важен объективный подход учителя к оценке ответов учащихся с учетом их индивидуальных особенностей. Способности к изучению языка у всех

детей разные, уровень мотивации обучения тоже абсолютно различен.

При оценке деятельности учащихся на уроке должны учитываться реальные возможности каждого учащегося в чтении, письме, коммуникативной деятельности, аударовании; должен реализовываться здоровьесберегающий подход (нельзя, например, снижать ребенку оценку из-за плохого произношения, особенно если этот ученик испытывает затруднения логопедического характера).

Этого требуют современные технологии обучения иностранному языку, о которых говорилось выше.

Основным принципом оценочной деятельности учителя должен быть «не навреди», создание ситуации успеха в процессе обучения.

Библиография

Битоянова М., Жить — значит оценивать

Ксензова Г., Оценочная деятельность учителя

Куликова, Как мы оцениваем учебные достижения школьников

Минеева П., Фролова Л., К вопросу о реабилитации 10-балльной системы оценки знаний по русскому языку

Селевко Г., Современные образовательные технологии

Т.Е. Фомина

Школа № 5, г. Москва

«Журнал успешности» как вариант контроля учебной деятельности в начальной школе

Отказ на начальном этапе обучения от выставления отметок означает, что педагог должен найти такие средства контроля за успеваемостью учащихся, которые помогли бы учителю и родителям видеть насколько успешно идет процесс обучения, что определяет их успехи и неудачи. Да и общение с родителями доказывает, что выставляемые со 2-го класса баллы не несут информационной нагрузки, позволяющей родителям увидеть пути реальной помощи сыну или дочери в обучении.

В ходе учебных занятий контроль за усвоением знаний учащихся осуществляется с помощью различного рода проверочных и контрольных работ, тестов, предусмотренных программой, которые используются по усмотрению учителя и по предложению администрации.

Все показатели фиксируются в тетради индивидуальных достижений ребенка, и на основе полученных данных корректируется образовательный процесс.

Продвижение детей с более низкого уровня на более высокий, свидетельствует об эффективном образовательном процессе.

Снижение уровня — тревожный сигнал, подчеркивающий необходимость срочного изменения форм и методов работы, концентрации деятельности учителя в том направлении, где показатели снижаются.

Подобный контроль позволяет педагогу предвидеть начало трудностей и предупредить их развитие.

В 1 классе учителями проводятся индивидуальные встречи с родителями в течение первого месяца, а затем — родительские собрания, на которых представляется «ведомость» (основанная на данных «Журнала успешности») достижений учащихся, которая позволяет родителям увидеть степень достижений своего ребенка и пробелы по каждому предмету.

Этот журнал помогает учителю общаться с родителями, обсуждать конкретные проблемы каждого ребенка, чтобы вместе искать пути и способы их решения.

Так, например, работая с третьеклассниками, составляется «журнал», в котором, в соответствии с графиком контрольных работ», предусматриваются следующие страницы:

• «словарные диктанта» (14 в год)

• «устный счет» (14 всего и 9 контрольных)

• «контрольные работы» по математике (10)

• «диктанты» (9)

• «контрольное списывание» (3)

• «проверка техники чтения»

• «развитие речи»

а так же необходимые виды разбора по русскому языку:

«разбор предложения»

«разбор по составу»

«словообразование и словоизменение» и.т.д.

и по математике

«таблица умножения и деления»

«порядок действий» «деление в столбик»

«сложение трехзначных чисел»

«вычитание трехзначных чисел»

«умножение на 1 число»

«нахождение S и Р» и т.д.

При этом в колонки таблицы выставляются не только отметки, но и выписываются ошибки, допущенные каждым ребенком:

Список учащихся

Словарный диктант № 1 (дата)

Словарный диктант №2 (дата)

Словарный диктант №3 (...)

Словарный диктант № ... (...)

1. Иванов

2. Петров

3. Сидоров

5

4-хокей 3 — шосе

4 — вдрук 5

3 — элек-

4.....

- фудбол

травоз

5.....

- енварь

6.....

7.

Перед подготовкой к уроку учитель открывает соответствующую страницу журнала и смотрит, в каких словах и кем из учеников были допущены ошибки. Затем включает их в какой-либо вид работы на уроке и вызывает к доске именно того ученика, кто не справился с правописанием именно этого слова, а так же проверяет, как этот ученик справляется с этими словами при выполнении домашней работы.

В следующий словарный диктант включаются слова, в которых было допущено больше всего ошибок во время выполнения предыдущей проверочной работы.

Аналогично ведется работа и по другим видам проверочных работ по всем остальным предметам.

На родительском собрании или при индивидуальных беседах с родителями, «Журнал успешности» не только позволяет анализировать ошибки ученика, но и всегда обращается внимание на то, что ребенок не понял во время объяснения на уроке, а что не выучил дома. Таким образом становится очевидным, на что нужно обратить внимание учителю, а что необходимо сделать дома с родителями.

Н.И. Гуторова

ФМШ №2007, г. Москва

Изучение курса механики на базе системы специально подобранных задач

В настоящее время получило всеобщее признание утверждение, что ведущей формой знаний является физическая теория. Усвоение отдельных компонентов теории и взаимосвязей между ними даёт возможность глубже понять логику науки, назначение отдельных понятий, связь теории с практикой.

Каждая теория включает в себя систему свойственных ей понятий. Понятия, отражающие общие, существенные и отличительные признаки предметов и явлений, связанные непосредственно или опосредованно между собой, являются теми основными «кирпичиками», из которых склеивается всякое научное знание. При их помощи происходит более полное и глубокое познание действительности, они служат средством постижения нового, ступеньками, ведущими к вершинам знаний. Без серьёзного изучения, без проникновения в физическую сущность понятий невозможно сознательное усвоение теории.

Понятия могут вводиться различными приёмами: в процессе объяснения, эвристической беседы, работы с книгой, выполнения экспериментальных заданий, решения физических задач. Репродуцирование готовых знаний не может являться основой непрерывного образования. Знания, полученные в процессе самостоятельного постижения сути, осознанного понимания необходимости введения того или иного понятия, характеристики того или иного физического процесса или явления, будут служить источником познавательной потребности. Поэтому знания лучше преподносить не в законченном виде, а в процессе их становления и формирования. Одним из вариантов такой активной познавательной деятельности является введение и развитие понятий через систему специально подобранных задач. Задачи должны удовлетворять следующим требованиям:

- решение задачи должно дать возможность в полной мере вскрыть определённую сторону характеристики изучаемого понятия;

- в систему задач полезно включать задачи, различные по содержанию, способу решения, способу выражения условия;

- процесс и результат решения задачи должен стать предметом для проведения эвристической беседы с учащимися, в ходе которой и вводится новый элемент знания.

Ниже приводится система специально подобранных задач для изучения элемента учебного знания:

«Ускорение — это величина, характеризующая быстроту изменения скорости движения тела и равная отношению изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло.

1. Введение понятия ускорения

Задача 1. Два шарика скатываются с двух плоскостей, имеющих разный угол наклона. В чём отличия в поведении шариков?

Дополнительные уточняющие вопросы: одинакова ли скорость шариков после скатывания? В каком случае она меняется быстрее? При каком угле она изменяется больше?

Задача 2. Начертить графики зависимости V(t) для первой задачи (на качественном уровне, без конкретных значений).

Задача 3. Используя график (рис.1), определить: а) на сколько изменилась скорость первого (второго) шарика за три секунды? б) на сколько изменилась скорость первого шарика за пять секунд?

В результате анализа полученных расчётов делается вывод о том, что сравнивать изменение скорости за различные промежутки

Рис.1.

времени нерационально. Нельзя ли подобрать определённую характеристику для изменения скорости?

Задача 4. Определить изменения скорости шариков за одну секунду в двух случаях: а) первый двигался в течение трёх секунд; б) первый двигался в течение пяти секунд (аналогично для второго). Какой вывод? Для решения использовать график.

Далее мы поясняем, что существенным является изменение скорости в единицу времени. Быстрота изменения скорости есть свойство процесса изменения скорости и представляет собой новую физическую величину — ускорение. Таким образом, сравнение, анализ, обобщение и произведённые вычисления позволили учащимся понять необходимость введения новой физической величины, характеризующей переменное движение. Теперь мы подготовили учеников для восприятия определения новой физической величины -ускорение.

Дальнейшее поэтапное углубление и расширение содержания понятия осуществляется нами в процессе решения системы задач.

2. Варьирование несущественных признаков

Задача 1. Сравнить значения ускорений на участках AB и CD (рис. 2). Как понимать результат подсчёта ускорения на участке ВС?

Задача 2. Может ли велосипедист иметь большее ускорение, чем космический корабль?

Задача 3. Анализируя предложенный график (рис. 3.), ответить на следующие вопросы: в чём отличие участков CD и ЕК от участ-

Рис. 2.

ков AB и CD? Как показать на графике значения скоростей в указанных точках? Как подсчитать ускорения на участках CD и ЕК?

Для выяснения физического смысла отрицательной проекции ускорения нами демонстрируется опыт по закатыванию шариков на наклонную плоскость с различными углами наклона или по торможению тележки, движущейся по горизонтальной плоскости.

Задача 4. По данному графику проекции скорости (рис. 4.) построить график проекции ускорения.

Задача 5. Два поезда идут навстречу друг другу, один ускоренно на север, другой — замедленно на юг. Как направлены векторы ускорения и векторы скорости поездов?

3. Количественная характеристика ускорения, единица его измерения

Задача 1. Автомобиль, движущийся со скоростью 36 км/ч, остановился при торможении в течение 5 с. С каким средним ускорением движется автомобиль при торможении?

Рис. 3

Рис. 4.

На последующих уроках мы предлагаем ученикам ситуативные вычислительные задачи с использованием основных уравнений механического движения, где происходит дальнейшее усвоение количественной характеристики ускорения. Для решения предлагаются и экспериментальные задачи по определению величины ускорения.

Задача 2. Тело движется равномерно по окружности. Направления вектора скорости в разные моменты времени показаны на рисунке 5. Изобразите векторы скорости, совместив их начала (используя правило параллельного переноса).

Задача 3. Используя рисунок 6, покажите векторы изменения скорости и определите сумму изменений скорости за время полного оборота. К чему будет стремиться сумма изменений скорости при увеличении числа векторов скорости? Чему она равна?

Законы движения

Далее приведены задачи на отработку учебного материала по теме «Законы движения».

На учебных занятиях по данной теме определяется связь ускорения с другими величинами, рассматриваются условия, при которых возникает ускорение, и зависимость ускорения от силы и массы.

Задача 1. На рисунках 7-9 изобразить векторы ускорения. Как движется каждое из указанных тел?

Рис. 5 Рис. 6

рис.7 рис.8 рис.9

Задача 2. По графику (рис. 10) зависимости модуля скорости тела от времени построить график зависимости величины силы, действующей на это тело, от времени и сравнить его с графиком зависимости модуля ускорения того же тела от времени.

Задача 3. Электровоз может развивать силу тяги F. В одном случае он ведёт состав массой m1, во втором — m2. Как будут выглядеть графики зависимостей модулей ускорения и скорости движения электровоза от времени для случая, когда масса первого состава меньше, чем второго?

С помощью предложенной системы задач нами формируются понятия об ускорении, силе, массе и их взаимосвязи (основные закономерности механики) на различных уровнях усвоения знаний учащимися.

Рис. 10

А.В. Шевкин

ФМШ №2007, г. Москва

Не спешите составлять систему

Известно, что при обучении математике полезно следовать принципу «лучше одну задачу решить несколькими способами, чем несколько задач решать одним и тем же способом». Возьмём для примера использование систем для решения текстовых задач -важный приём, который должны освоить школьники. Зачастую авторы учебников и статей ограничиваются изложением лишь одного способа решения задач, связанного с применением системы, и не рассматривают других приёмов решения тех же задач. А среди них могут оказаться и более простые.

Рассмотрим несколько примеров. Начнём с задач про подсчёт количества ступенек эскалатора. Приведём две такие задачи из статей [1] и [2].

1. Спускаясь по движущемуся эскалатору, пассажир проходит до его конца 40 ступеней. При движении против хода эскалатора, ему приходится преодолевать 120 ступенек. Сколько бы он прошёл ступенек, если бы спускался по неподвижному эскалатору?

2. Если человек с постоянной скоростью спускается по эскалатору, едущему вниз, то он проходит 30 ступенек эскалатора. Поднимаясь с той же скоростью по опускающемуся эскалатору, человек проходит 150 ступенек. Сколько ступенек при той же скорости движения человек пройдет по неподвижному эскалатору?

Обе задачи авторы статей решают с помощью системы уравнений. Например, решение задачи 2 приводится к системе двух уравнений с тремя неизвестными

которая получается, если и — скорость человека относительно ступеней эскалатора, v — скорость самого эскалатора, a s — длина эскалатора, измеренная в ступеньках.

Покажем теперь, как задачу 2 можно решить без системы и как можно подготовить учащихся к использованию приведённого способа решения.

Пусть относительно ступеней эскалатора человек движется со скоростью и, а скорость самого эскалатора v. Так как при подъёме против хода эскалатора человек прошёл в 150:30 = 5 раз больше ступенек, чем при спуске по ходу эскалатора, то скорость подъема человека (u — v) в 5 раз меньше скорости спуска (u + v). Составим уравнение:

u + v = 5(u — v), из которого получим, что u = 1,5v.

Так как при подъеме против хода эскалатора со скоростью u — v = 0,5v человек прошёл 150 ступеней, то при спуске по стоящему эскалатору со скоростью в 3 раза большей, чем 0,5v, он пройдёт в 3 раза меньше ступенек, т.е. 50 ступенек.

Ответ. 50 ступенек.

В ситуации, описанной в задаче 2, нужно считать, что количество ступенек, пройденных человеком при постоянной скорости движения относительно эскалатора, прямо пропорционально времени движения, что время движения человека при постоянной длине эскалатора обратно пропорционально его скорости относительно неподвижного предмета, например, фонаря освещения, что количество ступенек, пройденных человеком, обратно пропорционально его скорости относительно неподвижного предмета. Указанные связи между скоростью, временем движения и пройденным расстоянием проще понять на аналогичных задачах 3-4 на движение по реке, находя сначала время движения плота, а потом и катера в стоячей воде.

3. Моторная лодка проплывает расстояние между пристанями за 30 мин по течению реки или за 45 мин против течения. За сколько минут плот проплывёт то же расстояние?

Пусть собственная скорость моторной лодки и, а скорость течения реки v. Так как время движения моторной лодки по течению реки в 45:30 = 1,5 раза меньше, чем время движения против тече-

ния, то скорость моторной лодки по течению реки (u + v) в 1,5 раза больше её скорости против течения (u — v). Составим уравнение:

u + v = 1,5(u — v),

из которого получим, что u = 5v.

Так как скорость плота (v) в 4 раза меньше, чем скорость моторной лодки против течения реки (u — v = 4v), то время движения плота в 4 раза больше, чем время движения моторной лодки против течения реки (45 мин), то есть составляет 180 мин.

Ответ. За 180 мин.

4. Катер проплывает расстояние между пристанями за 20 мин по течению реки или за 60 мин против течения. За сколько минут катер проплывёт такое же расстояние по озеру?

Пусть собственная скорость катера и, а скорость течения реки v. Так как время движения катера против течения реки в 3 раза больше времени движения по течению (60:20 = 3), то скорость катера против течения реки (u — v) в 3 раза меньше его скорости по течению (u + v). Составим уравнение:

u + v = 3(u — v),

из которого получим, что и = 2v.

Так как собственная скорость катера (2v) в 2 раза больше, чем его скорость против течения реки (u — v = v), то на путь по озеру катер затратит в 2 раза меньше времени, чем на то же расстояние против течения реки, т. е. 30 мин.

Ответ. За 30 мин.

Приведем ещё один способ решения задачи 4, который применяется при обучении по учебнику «Арифметика, 5» (авторы Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В., 2005-2007).

Примем расстояние между пристанями за 1. Тогда за 1 мин катер проходит по течению —, а против течения — этого расстояния.

Дроби и выражают скорости катера по течению и против

течения реки в нестандартных единицах «часть расстояния за 1 мин». В тех же единицах выразим скорость течения реки:

а потом и скорость катера в озере:

Следовательно, расстояние между пристанями катер пройдет за 1:~ = 30 мин. Для упрощения этого решения можно было скорость катера в озере найти так:

Чтобы избежать использования упомянутой нестандартной единицы измерения скорости, видоизменим описанный способ решения задачи. Введём вспомогательное неизвестное: Пусть х км — расстояние между пристанями. Тогда км/мин — скорость катера по течению реки, км/мин — скорость катера против течения реки, а скорость катера в озере. Тогда на х км по озеру катер затратит = 30 мин. Неизвестное х в этом решении названо вспомогательным, так как его использование помогает найти ответ задачи, хотя от значения этого неизвестного ответ не зависит.

Мы начали с решения задач 1-2 на подсчёт ступенек эскалатора, перешли к подготовительным задачам 3-4 на движение по реке и озеру. Эти пары задач, безусловно, похожи, но аналогия не кажется очевидной, так как при решении задач 1-2 мы не вычисляли скоростей.

Рассмотрим ещё один способ решения задачи 2. На этот раз будем вычислять скорости. Но для этого придётся ввести вспомогательные неизвестные.

Пусть человек проходит n ступенек за 1 мин и длина эскалаторах м.

1огда он спускается по эскалатору, едущему вниз, за — мин, а поднимается по опускающемуся эскалатору за — мин. При этом скорость спуска равна х: — = — м/мин, а скорость подъема равна

Мы получили аналоги скорости движения по течению и против течения реки. Найдем теперь и аналог скорости движения в стоячей воде — скорость движения человека по стоящему эскалатору. Она равна

Тогда время спуска человека по стоящему эскалатору равно

Так как за 1 минуту человек насчитывает n ступенек, то за он насчитает ступенек.

Вот теперь мы нашли способ решения 1-2, похожий на способ решения задач 3-4. Он не проще разобранного ранее, но помогает подчеркнуть связь между задачами 1-2 и 3-4 и даёт приложение умению преобразовывать алгебраические выражения.

Рассмотрим ещё одну задачу. Она была включена в переводной экзамен по алгебре для учащихся 8 класса ФМШ № 2007 Москвы в 2007 г.

5. Пешеход вышел из пункта^ в пункт В. Через 45 минут из А в В выехал велосипедист. Когда велосипедист прибыл в пункт В, пешеходу оставалось пройти — всего пути. Сколько времени потратил пешеход на весь путь, если известно, что велосипедист догнал пешехода на половине пути из пункта А в пункт В, а скорости пешехода и велосипедиста постоянны?

Некоторые учащиеся решали эту задачу составлением системы уравнений так. Пусть время движения пешехода из А в В составляет X ч, а время движения велосипедиста из А в В составляет ^ ч. Тогда на половину пути пешеход затратил

Составим первое уравнение:

Так как при движении с постоянной скоростью пройденное расстояние пропорционально времени движения, то в тот момент, когда велосипедист прибыл в В, пешеход прошёл 1 — ^ = расстояния от А до В и затратил на это — ч, что равно [ у + — 1 ч. Составим второе уравнение:

Решив систему уравнений

найдем, что х = 2, у = 0,5. То есть время движения пешехода из А в В составляет 2 ч.

Система получилась несложная, но и без неё можно обойтись. Рассмотрим решение, которое предложил ученик 8 класса ФМШ 2007 Чечин С.

Так как скорости велосипедиста и пешехода постоянны, то и вторую половину пути велосипедист проедет на — ч быстрее, чем пешеход, то есть на — всего пути пешеход затратит — от времени, затраченного им на движение от пункта А до пункта В. Тогда — ч

составляют — от времени движения пешехода от пункта А до пункта В, которое составляет — : — = 2 ч. Ответ. 2 ч.

Рассмотрим теперь несколько задач, решаемых обычно с помощью систем, из более ранних источников. Вот задача из вступительного экзамена РЭА им. Г.В. Плеханова [3] и её алгебраическое решение.

6. Если i пути турист пройдет пешком, а у пути проедет на велосипеде, то затратит на весь путь 1,5 ч. Если же ^ пути он проедет на велосипеде, а — пути пройдет пешком, то затратит на весь путь 2 ч 15 мин. За какое время он пройдет весь путь пешком?

Эта задача имеет несложное алгебраическое решение. Пусть на весь путь пешком турист расходует — х мин, а на велосипеде - у мин. Тогда на ^ пути пешком и ^ пути на велосипеде турист расходует —I--мин, или 90 мин. А на — пути пешком и — пути на велосипеде турист расходует--I— мин, или 135 мин.

Составим систему уравнений

Она имеет единственное решение х = 180, у = 45. Следовательно, весь путь пешком турист пройдет за 180 мин = 3 ч.

Но задачу можно решить арифметически. Рассмотрим решение, предложенное учеником школы № 679 Д. Алексеевым.

Изобразим схематически условия задачи (рис. 1).

Рис. 1

Как видно из условий задачи, турист во второй раз вместо того, чтобы i пути проехать на велосипеде, прошел этот путь пешком.

Эта замена привела к увеличению времени движения на 45 мин.

Следовательно, если в следующий раз вместо того, чтобы -j пути проехать на велосипеде, турист пройдет этот путь пешком (то есть весь путь пройдет пешком), то время движения (135 минут) увеличится ещё на 45 мин и составит 180 мин = 3 ч.

Ответ: 3 ч.

Аналогичные задачи можно предложить учащимся для самостоятельного решения.

7. Если — бассейна наполнит первая труба, а затем--вторая, то бассейн будет наполнен за 5 ч. Если же — бассейна наполнит первая труба, а затем ^- — вторая, то бассейн будет наполнен за 7 ч. За какое время наполнит бассейн одна вторая труба?

8. Если — пути турист проедет на поезде, а — — на автобусе, то он затратит на весь путь 4 ч. Если же — пути он проедет на автобусе, а — — на поезде, то затратит на весь путь 4 ч 20 мин. За какое время он проедет весь путь на поезде?

На конкурсном экзамене в педагогический институт (МПГУ, математический факультет, 1992 г.) была предложена следующая задача.

9. На вспашке поля работали 4 гусеничных трактора одинаковой мощности. После того как они проработали 2 ч, к ним присоединились еще 2 колесных трактора, после чего работа была закончена за 2 ч. Если бы все тракторы начали работать одновременно, то поле было бы вспахано за 3 ч. Определите, за сколько часов могут вспахать поле 2 гусеничных трактора и 2 колесных трактора, работая одновременно.

Опубликованное решение задачи (Математика в школе, 1993, № 1) сводилось к решению системы уравнений

Очевидно, что система могла бы быть проще при ином выборе обозначений. Пусть g и k — части всей работы (принимаемой нами за 1), которую выполняет за 1 ч гусеничный и колесный тракторы соответственно. Так как 4 гусеничных трактора за 4 ч и 2 колесных трактора за 2 ч вспахали поле, то верно равенство 2-4g + 2(4g + 2k) = 1. Так как 4 гусеничных трактора и 2 колесных трактора за 3 ч совместной работы вспахали поле, то верно равенство 3(4g + 2k) = 1.

Решив систему уравнений

получим, что

Тогда 2 гусеничных трактора и 2 колесных трактора за 1 ч совместной работы выполняют всей работы, поэтому вспашут поле за

Приведем теперь ещё более простое решение этой задачи — без системы. Запишем в таблице время работы тракторов в двух случаях.

4 гусеничных трактора

2 колёсных трактора

I

II

3 ч

3 ч

Как видим, 1 ч работы четырех гусеничных тракторов заменяет 1 ч работы двух колёсных тракторов, то есть 4 гусеничных трактора можно заменить на 2 колёсных (а 2 гусеничных трактора — на 1 колёсный). Тогда 2 + 2 = 4 колёсных трактора могли вспахать поле за 3 ч, а 1 колёсный трактор мог бы вспахать поле за 3-4 = 12 ч.

Всё поле могли вспахать при совместной работе 2 гусеничных и 2 колёсных трактора за то же время, что и 3 колёсных трактора. Так как 1 колёсный трактор мог бы вспахать поле за 12 ч, то 3 колёсных трактора могли бы вспахать поле за 12:3 = 4 ч. Поэтому 2 гусеничных и 2 колёсных трактора вместе вспашут поле за 4 ч.

Ответ: За 4 ч.

Применить «метод замены» учащиеся могут при решении следующей задачи.

10. Пароход начали грузить 4 подъемных крана одинаковой мощности. После того как они проработали 2 ч, к ним присоединились еще 2 крана меньшей мощности, и после этого погрузка была окончена через 3 ч. Если бы краны начали работать одновременно, то погрузка была бы окончена за 4,5 ч. Определите, за сколько часов мог бы окончить погрузку один кран меньшей мощности. [4]

Итак, если учащиеся будут не только уметь применять системы для решения текстовых задач, но будут знакомы и с некоторыми другими способами их решения, то это только обогатит арсенал применяемых ими средств для решения текстовых задач, что окажет им пользу при написании контрольных, олимпиадных и экзаменационных работ.

Литература

1. Ерина Т.М. Задачи на движение. // Математика для школьников, 2005, №3.

2. Севрюков П.. Такие разные задачи на движение. // Математика, 2006, № 19.

3. Математика-2002: Варианты заданий по математике на вступительных экзаменах в РЭА им. Г.В. Плеханова в 2002 г. /Сост.: Андреянов П.А., Воробьёв Д.С., Гладких И.М., Ермаков В.И., Сагитов Р.В.-М., 2002.

4. Кордемски Б.А.й. Графики в задачах на равномерные процессы.//Квант, 1971, № 11.

Т.М. Вуколова, М.К. Потапов, А.В. Шевкин

Мнемонические правила при обучении математике

Под мнемоническим правилом понимают обычно такое правило, которое легко запоминается и по которому можно восстановить некоторый закон, правило действия, нужную информацию. Название правила происходит от греческого слова mnêmonikon (μνέμονικον), означающего искусство запоминания.

Мнемонические правила применяются в быту. Так для лучшего запоминания номера телефона иногда бывает полезно перегруппировать цифры номера. Например, чтобы запомнить номер телефона 311-31-12, его можно записать так: 311-311-2.

Многие люди с детства помнят, как определить число дней в том или ином месяце года. Для этого достаточно взглянуть на косточки рук двух сжатых кулаков (рис. 1). Месяцы, которым на этом рисунке соответствует выступ косточки кулака, имеют «большое» число дней — 31, а месяцы, которым соответствует впадина между косточками, имеют «маленькое» число дней — 30 (в феврале 28 или 29).

Рис. 1

Мнемонические правила иногда применяют и в школьной практике. Вспомним известную фразу -

«Каждый охотник желает знать, где сидит фазан».

С ее помощью нетрудно назвать все семь цветов радуги в их естественной последовательности — по первым буквам слов в этой фразе: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый. С помощью правила, правда, нельзя понять, почему цвета в радуге идут именно в такой последовательности — этот вопрос должен прояснить учебник физики. Назначение правила другое: дать внешнюю (не связанную с физикой) ассоциативную

рис. 2

рис. 3

связь для упорядочивания запоминаемой информации и последующего её извлечения из памяти.

В школьной математике тоже используются мнемонические правила. Начнём с более простых правил-стихов, помогающих запомнить некоторые формулы.

Площадь параллелограмма -

а на бэ на синус гамма.

С помощью этого стишка-правила легко запоминается формула площади параллелограмма S = absiny (рис. 2). Но доказательство этой формулы — отдельный вопрос, не связанный с техникой запоминания.

В лесу стоит большая ель -

Её поверхность пи эр эль.

Большая ель действительно напоминает конус, площадь боковой поверхности которого вычисляется по формуле S = К RI (рис. 3).

Доказательства той и другой формулы должны быть даны в своё время, и их не заменят никакие мнемонические правила.

Для восстановления нескольких первых цифр в десятичной записи числа К обычно предлагают запомнить фразу:

Кто и шутя, и скоро

стремится пи узнать,

число тот знает.

Количество букв в каждом слове из этой фразы и даёт первые 11 цифр числа К :

71 =3,1415926535... .

Если же изменить последние два слова в той же фразе: Кто и шутя, и скоро стремится пи узнать, число уже готово,

то получится приближение числа 71 с точностью до десятого знака после запятой с округлением: 71—3,1415926536.

Для восстановления нескольких первых цифр в десятичной записи числа е предлагают записать число 2,7, а потом два раза год рождения Л.Н. Толстого (1828):

е =2,718281828... .

Разумеется, совпадение восьми цифр в записи числа е с дважды повторенным годом рождения великого писателя — чистая случайность. Здесь важно подчеркнуть, число 1828 не является периодом иррационального числа е, которое, разумеется, вообще не имеет периода.

В тригонометрии для правильного воспроизведения формул приведения (формул приведения тригонометрических функций к аргументу а ) применяется известное мнемоническое правило:

Если первое слагаемое аргумента — или —, то в правой части формулы надо изменить наименование функции (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс). Если же первое слагаемое аргумента 71, то наименование функции менять не нужно.

Хорошо известен и менее формальный вариант этого правила, часто называемый «лошадиным правилом». Обычно учителя математики рассказывают такую историю.

В старые добрые времена жил рассеянный математик, который, желая вспомнить, менять или не менять наименование функции, смотрел на свою учёную лошадь, а она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежит точка единичной окружности, соответствующая первому слагаемому аргумента — ±а, 7Г±а, — ±а. Если лошадь кивала головой вдоль оси Oy, то математик считал, что получен ответ: «да, менять», если вдоль оси Ох, то: «нет, не менять».

Можно посоветовать учащимся, за неимением учёной лошади, самим кивать головой вдоль той оси координат, которой принадлежит точка, соответствующая первому слагаемому аргумента, тогда первую часть мнемонического правила они освоят быстро.

Останется научиться определять, в каких случаях в правой части формулы надо ставить знак «-». Знак «-» ставится тогда, когда левая часть этой формулы отрицательна для острого угла а. Отметим, что приведённое правило лишь помогает правильно записать формулу, но не доказывает её справедливость.

При переводе бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную часто применяется следующее мнемоническое правило:

Бесконечная периодическая дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой надо записать разность числа до второго периода и числа до первого периода, а в знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде, а затем столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

При первом чтении этого правила создаётся впечатление, что написана какая-то бессмыслица. Поэтому надо объяснить учащимся, как применять это правило.

Рассмотрим, например, бесконечную десятичную периодическую дробь

а = 0,002(75).

Для применения мнемонического правила лучше записать эту дробь, повторив период несколько раз: а = 0,002757575... .

Затем, если не обращать внимания на запятую и нули до первой значащей цифры, то до начала второго периода записано натуральное число 275. А от первой значащей цифры до начала первого периода записано число 2.

Следовательно, в числитель надо записать число 275—2. Так как в периоде 2 цифры, а между запятой и началом первого периода 3 цифры, то в знаменателе надо написать число 99000. Поэтому периодическая дробь а равна обыкновенной дроби

Отметим, что перевод периодической дроби в обыкновенную по мнемоническому правилу можно оформить способом, изложенным в учебнике «Арифметика, 6» (С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин).

Умножим число а сначала на 1000, потом на 100000 и из второго результата вычтем первый:

откуда

Подчеркнём, что приведённое мнемоническое правило лишь помогает найти искомую обыкновенную дробь, но не доказывает равенства соответствующих дробей.

Доказательство справедливости мнемонического правила перевода бесконечных десятичных периодических дробей в обыкновенные в общем виде достаточно громоздкое, поэтому в 9 классе школы дают его доказательство на конкретных примерах с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая к тому времени ещё не доказана (доказательство требует предельного перехода).

Вот ещё одно мнемоническое правило, которое учителя всегда хотят видеть записанным в выпускной экзаменационной работе при решении учащимся уравнения вида

(1)

Произведение двух множителей равно нулю, тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой имеет смысл.

Это правило тоже нуждается в «переводе» на более понятный язык, ибо его «прямое» прочтение не даёт алгоритма решения уравнения (1). На самом деле имеется в виду, что для решения уравнения (1) следует применить следующее

Утверждение 1. Уравнение (1) равносильно совокупности двух систем

(2)

И

(3)

где D(fj) — область существования функции ft(x), i = 1, 2, или, другими словами, множество решений уравнения (1) есть объединение множеств решений двух систем (2) и (3).

Подчеркнём, что мнемоническое правило есть условная форма записи утверждения 1.

Решим, например, уравнение

(4)

По мнемоническому правилу произведение двух множителей равно нулю, тогда и только тогда, когда либо первый множитель равен нулю, т. е. л]х-\ = 0, а второй множитель имеет смысл, т. е.

либо второй множитель равен нулю, т. е.

а первый множитель имеет смысл, т. е. х — 1 > 0. Это означает, что число X есть решение уравнения (4), тогда и только тогда, когда оно является решением хотя бы одной из следующих систем:

(5) (6)

Более точно всё это можно записать, используя утверждение 1: все решения уравнения (4) есть объединение всех решений двух систем (5) и (6).

Система (5) решений не имеет, а система (6) имеет решения xn — 2n, n Е N. Следовательно, уравнение (4) имеет серию решений xn = 2n, n Е N.

Отметим, что мнемоническое правило помогает воспроизвести утверждение 1, но оно не является обоснованием этого утверждения. Это доказательство учащиеся должны прочитать в учебнике или услышать от учителя. Приведём доказательство утверждения 1.

Пусть число а — решение уравнения (1), тогда справедливо числовое равенство

/,(а)-/2(а) = 0. (7)

Это означает, что имеют смысл числовые выражения f1(а) и f2 (а), т. е. ае D(fx) и ае D(f2), и равен нулю хотя бы один из числовых множителей f1 (а) и f2 (а), т. е. либо f1(а) = 0, либо f2(а)=0.

Следовательно, справедливо хотя бы одно из двух утверждений:

либо f1(a) = 0 и ае D(f2), (8)

либо f2(а) = 0 и ае, (9)

a это означает, что число a — решение либо системы (2), либо системы (3).

Следовательно, любое решение уравнения (1) есть решение совокупности систем (2) и (3).

Пусть наоборот число (X — решение совокупности систем (2) и (3), т. е. пусть справедливо хотя бы одно из утверждений (8) и (9), но тогда справедливо числовое равенство (7), т. е. число (X — решение уравнения (1).

Следовательно, любое решение совокупности систем (2) и (3) есть решение уравнения (1).

Итак, если уравнение (1) или совокупность систем (2) и (3) имеют решения, то они равносильны.

Если же уравнение (1) не имеет решений, то не имеет решений и совокупность систем (2) и (3). Действительно, если предположить, что совокупность систем (2) и (3) имеет решение, то, по доказанному выше, имеет решение и уравнение (1), а оно не имеет решений, поэтому предположение неверно.

Аналогично доказывается, что если совокупность систем (2) и (3) не имеет решений, то не имеет решений и уравнение (1).

Итак, если или уравнение (1), или совокупность систем (2) и (3) не имеют решений, то они равносильны.

Следовательно, утверждение 1 доказано полностью.

Подводя итог сказанному, повторим ещё раз: мнемонические правила не только можно, но и нужно применять при обучении математике, только не надо ограничиваться самими правилами. Надо дать возможность ученикам услышать от учителя или прочитать в учебнике формулы и факты, которые запоминаются с помощью мнемонических правил, но и их обоснование или доказательство. Особенно тогда, когда это касается углублённого изучения математики.

Работа поддержана РГНФ (проект № 08-06-00144а).

Н.А. Жевагина

МПГУ, ФМШ №2007, г. Москва

Об элективном курсе «Элементы сферической геометрии»

Элективные курсы являются одной из форм дифференциации обучения, важным средством построения индивидуальных образовательных траекторий учащихся, однако на данном этапе ощущается дефицит элективных курсов, а ведь учащимся должен быть предоставлен выбор. В статье речь пойдет об элективном курсе по геометрии, разработанном автором.

Для формирования у учащихся более полного представления о геометрии, развития интереса к предмету необходимо знакомить их не только с евклидовой геометрией, как это обычно делается в школе, но и давать определенное представление и о других геометриях: Лобачевского, Римана, или, например, геометрии на сфере.

Сферическая геометрия является одним из самых наглядных и доступных примеров неевклидовых геометрий.

Геометрия на сфере, входит в программу обучения многих специальностей: картография, геодезия, землеустройство, штурманское дело и т.д., поэтому содержание курса «Элементы сферической геометрии» может быть использовано при профильной дифференциации, что очень актуально на данном этапе развития российского образования.

Элективный курс «Элементы сферической геометрии» предназначен для учащихся 11 классов и рассчитан на одно полугодие. Курс рекомендуется для классов с углубленным изучением математики и классов физико-математического профиля, однако, вполне может быть интересен и доступен учащимся общеобразовательных классов, проявляющим интерес к математике; курс может быть адаптирован для учащихся биолого-географического профиля (при условии замены некоторых математических вопросов прикладными вопросами картографии или применения сферической геометрии в навигации).

Основные цели курса:

- знакомство учащихся с одной из неевклидовых геометрий -сферической геометрией;

- формирование знаний и умений по основным вопросам сферической геометрии, связанным с такими фигурами на сфере, как большие окружности, двуугольники, сферические треугольники;

- развитие логического мышления, пространственного воображения, критичности мышления, навыков исследовательской деятельности на материале сферической геометрии, развитие интереса учащихся к геометрии.

В курсе рассматриваются основные понятия сферической геометрии, а сам курс разделен на три смысловые части: трехгранные углы, основные фигуры на сфере (большие окружности, сферические отрезки, двуугольники), сферические треугольники.

В разделе «Трехгранные углы» рассматриваются основные свойства трехгранных углов (в том числе теоремы косинусов и синусов, двойственная теорема косинусов, признаки равенства трехгранных углов), которые затем будут перенесены на сферические треугольники.

Свойствам сферических треугольников отводится центральное место курса: сначала рассматриваются общие свойства треугольников на сфере и среди них аналоги неравенства треугольника, теоремы косинусов и синусов, признаки равенства, «замечательные свойства» сферических треугольников — теоремы Чевы, Менелая, Ван-Обеля и др.).

В отдельный раздел собраны некоторые свойства треугольников на сфере, связанные с медианами, биссектрисами, высотами (тут же рассматриваются свойства и признаки равнобедренных сферических треугольников).

Этот раздел содержит уроки-исследования, на которых учащиеся (под руководством учителя) сами могут открыть интересные и красивые математические факты, среди которых: медианы сферического треугольника, пересекаясь, не всегда делятся в постоянном отношении 2:1 (выявлены треугольники, для которых все медианы точкой пересечения делятся пополам, или делятся в разном отношении), приведены примеры треугольников, в которых медиана и биссектриса совпадают, но треугольник не является равнобедренным; если в треугольнике две медианы равны, то треугольник не обязательно равнобедренный и др.).

Главная задача курса, которая ставится перед учащимися: сравнение элементов плоской и сферической геометрии — прямых на плоскости и больших окружностей на сфере, плоских и сферических треугольников. Изучение под таким углом зрения элементов сферической геометрии, способствует повышению уровня осознанности и прочности получаемых учащимися знаний, интереса к изучаемому материалу.

Заключительным вопросом, который рассматривается в курсе, является рассмотрение некоторых прикладных задач, связанных с применением теории сферической геометрии в навигации.

Сферическая геометрия обладает большими возможностями для развития учащихся, реализуются эти возможности путем соответствующей работы с понятиями фигур на сфере, а также решением предлагаемых задач и проблемных, исследовательских вопросов по сферической геометрии.

При проведении курса рекомендуется использовать в учебном процессе проблемно-поисковые методы обучения, исследование, самостоятельную, групповую и творческую работу учащихся.

Данный элективный курс хотелось бы рекомендовать для ознакомления учителям математики, так как сегодня в некоторые учебники по геометрии (в том числе для углубленного изучения) в качестве дополнительного материала включены начальные сведения по сферической геометрии, а современной, находящейся в широком доступе, адаптированной для школьников дополнительной литературы по данной теме практически нет.

В.В. Бардушкин, О.С. Веретенникова, Т.П. Фадеичева

Векторно-координатный метод в стереометрических задачах (по материалам вступительных экзаменов в МГИЭТ (ТУ), г. Зеленоград)

Знание векторной алгебры составляет один из необходимых компонентов полноценного математического образования. С помощью векторов можно решать многие задачи элементарной геометрии, доказывать теоремы и т.д. Иногда введение векторов и рассмотрение соотношений между ними полезно даже в такой задаче, в условии которой про векторы нет ни слова. Однако практика сдачи вступительных экзаменов во многие вузы показывает, что векторно-координатный подход при решении задач применяется абитуриентами крайне редко. Это обусловлено рядом причин. Основная из них — слабая школьная подготовка по геометрии вообще («Зачем учить этот предмет, если на экзаменах из десятка задач лишь одна-две геометрические?» — думает старшеклассник). Но не менее важной причиной является, на наш взгляд, недостаточная популяризация этого метода со стороны учителей математики (нехватка часов для более детальной проработки данной темы, плохой подбор задач и т.п.). Многие преподаватели утверждают, что применение алгебры векторов приводит к громоздким вычислениям и потому неоправданно в условиях нехватки времени на экзамене. Однако это не совсем так, а согласиться можно лишь с некоторыми из подобных доводов.

В этой статье авторы проанализировали варианты вступительных экзаменов в Московский государственный институт электронной техники (г. Зеленоград) за последние годы. Были отобраны только те задачи по стереометрии, в которых векторно-координатный метод является или единственным, или более эффективным по сравнению с обычным геометрическим подходом.

Задача 1 (2001, №10). В правильной призме АВСA1B1C1 AB — ААХ = а . Точка M — середина ребра ВВ1, точка N — середина ребра СС1. Найти длину вектора AM + NB1.

Решение. Рассмотрим три различных способа решения задачи.

1-ый способ. Пусть точка Т- середина стороны АС (рис. 1). Тогда

В треугольнике МВТ

Следовательно,

Ответ: 2а.

Замечание. Решение задачи рассмотренным выше способом является, на взгляд авторов, наиболее простым. Однако очень многие абитуриенты выбрали способ решения, основанный на введении прямоугольной системы координат.

Далее приводится одно из возможных решений, использующих этот подход.

2-й способ. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке Т (рис. 2). Тогда точки А, В1, M, N имеют следующие координаты:

Следовательно, векторы AM и NB1 имеют координаты:

Рис. 1

Отсюда

Таким образом,

Ответ: 2а.

Замечание. При использовании последнего способа решения важным является то, насколько «удобно» выбирается прямоугольная система координат. От этого зависит сложность вычислений.

При решении многих задач удобно работать в некотором косоугольном базисе (напомним, что базисом в пространстве называют произвольную упорядоченную тройку некомпланарных векторов). Выбор подобного базиса определяется видом многогранника, рассматриваемого в условии задачи. Очень часто в качестве базиса выбираются векторы, изображаемые тремя некомпланарными ребрами многогранника, выходящими из одной его вершины. Удачный выбор базиса здесь также очень важен, поскольку позволяет свести к минимуму объем вычислений.

3-ий способ. Введем базисные векторы р=ВА, q = ВВ1, r = ВС (рис.3).

Тогда

Отсюда,

Вычислим скалярный квадрат вектора AM + NB1, воспользовавшись свойствами скалярного произведения и тем, что по условию задачи

Рис. 2

Рис. 3

Получим:

Поскольку pq = 0, qr = 0,

то

Таким образом,

Ответ: 2а.

В задаче 1 использование векторов определялось самим текстом задания. Однако в условии конкурсных задач по стереометрии про векторы обычно не говорится ни слова. Как правило, решать подобные задания можно, используя стандартный геометрический подход. Поэтому решение задачи 2 в статье дано двумя способами. Читатель сам сможет определить, какой подход предпочтительнее -векторно-координатный или геометрический.

Задача 2 (2001, №10). Все ребра пирамиды SABC равны между собой. Точки К и L — середины ребер AB и ВС соответственно. Найти угол между плоскостями ABS и KSL.

Решение. 1-ый способ. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке К, направив оси так, как это показано на рис. 4. Пусть, для удобства промежуточных вычислений, длина ребра пирамиды равна 6. Тогда

Значит, можно найти координаты точек

и векторов

Рис. 4

Найдем координаты векторов n1 и n2, перпендикулярных плоскостям ABS и KSL соответственно. Начнем с вектора щ ={а;b;с}. Его координаты ищутся из условий равенства нулю скалярных произведений щ с векторами KS и АК . Получаем систему

Эта система имеет бесконечное множество решений, т.к. векторов, перпендикулярных плоскости ABS, бесконечно много. Выберем из данного множества ненулевой вектор n1, положив с = 1.

Тогда

Найдем теперь координаты вектора n2 ={p;q;r}, перпендикулярного плоскости KSL. Его координаты ищутся из условий равенства нулю скалярных произведений n2 с векторами KS и KL . Получаем систему

Эта система имеет бесконечное множество решений, т.к. векторов, перпендикулярных плоскости KSL, бесконечно много. Выберем из данного множества ненулевой вектор n2, положив r = 1.

Тогда

Таким образом, косинус угла φ между плоскостями ABS и KSL равен

Следовательно, искомый угол φ между плоскостями ABS и KSL равен

Ответ:

2-ой способ. S и К- общие точки плоскостей ABS и KSL. Поэтому прямая SK — линия их пересечения. Чтобы найти угол между этими плоскостями, надо построить два перпендикуляра к прямой SK в плоскостях ABS и KSL соответственно. Одним из этих перпендикуляров, очевидно, является KB, другим — некоторая прямая КМ (рис. 5). Тогда угол φ = ∠BKM — искомый.

Рис. 5

Можно считать (для удобства промежуточных вычислений), что все ребра пирамиды равны 1. Значит,

Рассмотрим треугольник KSL. По теореме косинусов находим

Отсюда

Рассмотрим прямоугольный треугольник SKM, в нем

В треугольнике SMB по теореме косинусов

И, наконец, рассмотрев треугольник МВК, по теореме косинусов получим

Отсюда

Ответ:

Во всех остальных задачах будет приведен только один векторно-координатный способ решения. Для лучшего освоения данной темы авторы рекомендуют читателю дополнительно решить эти задания вторым способом, использующим стандартный геометрический подход.

Задача 3 (2003, №9).

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром а. На ребрах АА1, ВВ1 и СС1 взяты соответственно точки M, N, Р так,

что

Найти площадь

сечения куба плоскостью MNP.

Решение. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке В, направив оси так, как это показано на рис. 6. Тогда коор-

Рис. 6

динаты точек M, N и Р определяются легко:

Рассмотрим векторы

Найдем длины этих векторов:

Сечением куба плоскостью MNP, очевидно, является параллелограмм MNPQ. Его площадь равна

где а — угол между векторами NM и NР. Найдем вначале косинус этого угла, воспользовавшись формулами для вычисления скалярного произведения через координаты и через длины векторов и косинус угла между ними

Откуда

Тогда

Таким образом,

Ответ:

Задача 4 (2000, №9). Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Две сферы одинакового радиуса касаются друг друга, причем центр пер-

вой сферы совпадает с вершиной D, а центр второй расположен внутри куба, и она касается ребер трехгранного угла с вершиной А1. Определить радиус сфер.

Решение. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А1, направив ось абсцисс по направлению единичного вектора A1D1, ось ординат — по направлению A1B1, аппликат — по направлению АХА (рис. 7). Тогда координаты центра D первой сферы равны (1 ; 0; 1). Пусть R — радиус сфер. Поскольку вторая сфера касается ребер трехгранного угла с вершиной А1, то расстояния от ее центра — точки Е — до каждого из ребер этого угла также равны R. В силу симметрии точка Е лежит на диагонали А1С куба, причем ее координаты равны между собой. Поэтому достаточно найти абсциссу точки Е. Пусть М- ортогональная проекция точки Е на ось абсцисс. Тогда длина отрезка А1М является абсциссой точки Е. Отметим, что ААХМЕ — прямоугольный и EM-R. Поскольку грань DD1C куба перпендикулярна ребру A1D1 и диагональ DXC лежит в плоскости этой грани, то D1C LA1D1. Таким образом, AA1D1C — прямоугольный. Тогда АА1МЕ ~ AA1D1C по острому углу (∠AX — общий). Поэтому

Следовательно, абсцисса точки Е равна

а ее координаты

Сферы касаются друг друга, поэтому расстояние между их центрами — точками D и Е -равно 2R. Тогда по формуле расстояния между точками получим

Рис. 7

. Следовательно,

Откуда

(второй корень уравнения отрицателен).

Ответ:

Задача 5 (2001, №11). В пирамиде ABCD точки М и N — середины ребер АС и BD соответственно. На прямых AD и CN выбраны соответственно точки Р и Q так, что прямая PQ параллельна прямой ВМ. Найти длину отрезка PQ, если ВМ = а.

Решение. Введем базисные векторы а = CA, b — CD, с = СВ (рис. 8). Тогда

Получим разложения векторов PQ и ВМ по базису а, b, с :

По условию PQ||BM, поэтому PQ = XBМ. Значит,

Воспользуемся единственностью разложения вектора по базису a, b, с. Имеем систему уравнений

Решив эту систему, получим

Отсюда

Ответ:

Рис. 8

Задача 6 (2005, олимпиада, №8). Прямая а проведена через вершину В и середину ребра DD1 куба ABCDA1B1C1D1. Через

середину ребра В]С] проведена плоскость, перпендикулярная прямой а. Определить, в каком отношении эта плоскость делит отрезок ВС,.

Решение. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке В, направив оси координат так, как это показано на рис. 9. Для удобства промежуточных вычислений положим, что ребро куба равно 2. Тогда можно найти координаты точек М(2;2;1), Р(0;1;2), С1(0;2;2) и векторов ВМ = {2;2;1}, BC1 ={0; 2; 2 }. Составим уравнение плоскости а, проходящей через точку Р перпендикулярно прямой а (на рисунке — это прямая ВМ):

2x + 2y + z + d = 0,

где, напомним, коэффициенты при x, y, z уравнении плоскости а — это координаты некоторого ненулевого вектора, перпендикулярного плоскости (в нашем случае — вектора ВМ ). Неизвестный коэффициент d в уравнении плоскости а можно найти, подставив в него вместо переменных х, у, z координаты точки Р. Получим d = -4. Таким образом, уравнение плоскости а окончательно примет вид

2x + 2y + z-4 = 0.

Пусть плоскость а пересекает отрезок ВС, в некоторой точке Q. Найдем ее координаты. С этой целью рассмотрим BQ = ХВС1 коллинеарные векторы BQ и ВС, = {О; 2; 2}. Тогда, или BQ = (0;2X;2X}. Поскольку BQ — радиус-вектор, то координаты точки Q равны (0;2À,;2À,). Найдем коэффициент X из условия

Рис. 9

Qe а. Подставив координаты точки Q в уравнение плоскости а, получим

Таким образом,

Следовательно,

Ответ: 2:1.

Задачи для самостоятельного решения

1. В правильной пирамиде с вершиной S и основанием ABCD AB- SA-а. Точка M — центр грани SCD, О — центр основания.

Найти длину вектора ОМ + АС.

2. Все боковые грани правильной призмы ABCDEFA1В1C1D1E1F1 являются квадратами. Найти угол между плоскостями AFF1 и A1CF .

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 2, AD — b, АА1 =1. На ребрах AD, В1С1 и A1D1 взяты соответственно точки Р, M и К так, что AP:PD = 2:1, В1М :MC1=1:1, А1К : KD1= 1:2. Найти площадь сечения куба плоскостью РМК.

4. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. На ребре AD, как на диаметре, построена сфера. Вторая сфера, расположенная внутри куба, касается первой сферы и граней трехгранного угла с вершиной А1. Определить радиус второй сферы.

5. В призме АВСA1B1C1 точка Т — середина ребра В]СХ. На прямых AT и А1В выбраны соответственно точки M и N так, что прямая MN параллельна прямой В1С. Найти длину отрезка MN, если В1С — а .

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 через середину ребра C1D1 проведена плоскость, перпендикулярная прямой, соединяющей вершину D с центром грани АA1B1В. В каком отношении эта плоскость делит отрезок DB1?

Ответы

Ю.А. Блинков

ЦО №218, г. Москва

Математический кружок. Точка Микеля

Данное занятие ориентировано на учеников 9-10 класса. Для того, чтобы решать подобные задачи, ученикам необходимо знать основные факты, связанные с вписанными углами и иметь опыт в решении элементарных задач.

Первые три задачи достаточно простые и являются вспомогательными к задаче №8.

Задача №4 помогает вспомнить метод доказательства того, что несколько окружностей имеют общую точку.

Задачи №5 и №6 во-первых «освежают» в памяти конструкцию, связанную с прямой Симпсона, а во-вторых помогает при решении задачи №76.

Задачи №7а, б связаны с одной из замечательных точек — точкой Микеля.

И, наконец, задача №8 иллюстрирует применение результата задачи №7а.

1. Две равные окружности с центрами О1 и O2 пересекаются в точках А и В. Точки M и К принадлежат данным окружностям, причем А является серединой отрезка МК.

Докажите, что: а) прямые AB и МК перпендикулярны; 6)AM = O1O2.

Решение (см. рис. 1): а) Так как радиусы окружностей равны, то равные хорды AM и АК стягивают равные дуги, то есть, ∠MBA = ∠KBА. Следовательно, треугольник МВК — равнобедренный и AB перпендикулярен МК.

рис. 1

б) Так как прямые AB и МК перпендикулярны, то MB и ВК являются диаметрами окружностей, то есть, О1О2 — средняя линия треугольника МВК.

2. Две равные окружности с центрами О1 и O2 пересекаются в точках M и К. Через точку К проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках А и В, а вторую — в точках С и D соответственно. Докажите, что: а) AB = CD; б) треугольники AMC и BMD равнобедренные; в) треугольники АВМ и CDM равны; г) ∠AMC = ∠BMD = ∠O1MO2.

Решение (см. рис. 2): а) Так как радиусы окружностей равны, то равные углы АКВ и CKD опираются на равные дуги, которые стягивают равные хорды.

б) Дуги окружностей, стягиваемые хордой МК — равны.

в) Следует из предыдущих пунктов.

г) При повороте с центром в точке M на ∠AMC окружность с центром O1 переходит в окружность с центром O2.

3. Две окружности с центрами Oi и O2 пересекаются в точках M и К. На одной окружности взяты точки А и В, а на другой — С и D так, что треугольники АВМ и CDM оказались равными (точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD). Докажите, что точки А, К и С лежат на одной прямой и точки В, К и D лежат на одной прямой.

Решение (см. рис. 2): ∠MBA = ∠CDM как соответственные углы равных треугольников. Из того, что ∠AKM = ∠MBA (вписанные, опирающиеся на одну дугу) и что ∠CKM = 180 °- ∠CDM (вписанные, опирающиеся на дополняющие друг друга до окружности дуги) следует, что точки А, К и С лежат на одной прямой. Для точек В, К и D доказательство аналогично.

Отметим, что утверждение 3 является обратным к утверждению 2.

рис. 2

4. На сторонах ВС, CA и AB треугольника ABC взяты точки А1, В1 и С1 соответственно.

Докажите, что описанные окружности треугольников AB1C1, ВС1A1 и CA1В1 пересекаются в одной точке.

Решение: 1) Очевидно, что из углов треугольника хотя бы два острые, например А и В.

2) Пусть Р — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AB1C1 и BC1A1 отлична от C1 и лежит внутри треугольника ABC (см. рис. 3). Тогда сумма углов B1AC1 и B1PC1 равна 180° (вписанные, опирающиеся на дополняющие друг друга до окружности дуги). Аналогично, сумма углов C1BA1 и C1PA1 равна 180°. Следовательно, сумма углов B1CA1 и В1РА1 равна 180°, причем точки С и Р лежат в разных полуплоскостях относительно прямой А^^ (углы А и В — острые), то есть, окружность, описанная около треугольника CA1В1 проходит через точку Р.

2) Если точка Р лежит вне треугольника, например, в разных полуплоскостях с точкой С относительно прямой AB, то углы В1АС1 и В1PC1 будут опираться на одну дугу и поэтому будут равны. Аналогично, будут равны углы C1BA1 и C1PA1. Следовательно, сумма углов B1CA1 и B1PA1 равна 180°, причем точки С и Р лежат в разных полуплоскостях относительно прямой A1B1, то есть, окружность, описанная около треугольника CA1В1 проходит через точку Р.

5. (утверждение, обратное теореме о прямой Симпсона) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки Р на стороны треугольника или на их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка Р лежит на описанной окружности треугольника.

Решение: Заметим, что метод доказательства данного утверждения ничем не отличается от метода доказательства самой теоремы. Пусть точки М, К и L — основания перпендикуляров, опущенных из точки Р на прямые АС, AB и ВС, соответственно (см. рис. 4). Тогда четырехугольники АМКР и MPLC — вписанные. Следовательно, ∠APM = ∠AKM и ∠CPM =∠CLM (вписанные, опирающиеся на одну дугу).

рис. 3

Так как точки М, К и L лежат на одной прямой, то ∠AKM = ∠BKL как вертикальные. То есть, ∠APC =∠APM + ∠CPM = ∠BKL + ∠CLM = ∠ABC, откуда и следует утверждение задачи.

6. Точки А, В и С лежат на одной прямой, точка Р -вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников АВР, ВСР, АСР и точка Р лежат на одной окружности.

Решение: Пусть A1, B1 и C1 — середины отрезков РА, PB и PC; Оа, Оь и Ос -центры описанных окружностей треугольников ВСР, АСР и АВР (см. рис. 5). Точки А1, B1 и C1 являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки Р на стороны треугольника ОаОbОс (или на их продолжения). Точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой, поэтому точка Р лежит на описанной окружности треугольника ОаОbОс (см. 15).

7. Четыре прямые образуют четыре треугольника.

А) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля).

Б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

рис. 4

рис. 5

Решение: А) Пусть AD, DF, АЕ и BF — данные прямые (см. рис. 6). Пусть окружности, описанные около треугольников DAE и DBF пересекаются в точке Р, отличной от D. Тогда ∠ADP = ∠BDP = ∠BFP (вписанные, опирающиеся на одну дугу). С другой стороны, ∠ADP = ∠AEP (вписанные, опирающиеся на одну дугу). Следовательно, ∠CEP = ∠AEP= ∠BFP = ∠CFP, то есть, точки С, Р, Е и F лежат на одной окружности. Для точек В, А, С и Р доказательство аналогично.

Б) Согласно пункту А) описанные окружности треугольников ABC, ADE и BDF проходят через точку Р, поэтому их можно рассмотреть как описанные окружности треугольников АВР, ADP и BDР. Тогда их центры лежат на окружности, проходящей через точку Р (см. №6). Аналогично доказывается, что центры любых трех из данных окружностей лежат на одной окружности, проходящей через точку Р. Следовательно, все четыре центра лежат на одной окружности, проходящей через точку Р.

8. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, стороны ВС и AD которого равны, но не параллельны. Пусть Е и F — внутренние точки отрезков ВС и AD соответственно такие, что BE = DF. Прямые АС и BD пересекаются в точке Р, прямые BD и EF пересекаются в точке Q, прямые EF и АС пересекаются в точке R. Рассмотрим треугольники PQR, получаемые для всех таких точек Е и F. Докажите, что окружности, описанные около всех таких треугольников, имеют общую точку, отличную от Р.

Решение: Переформулируем условие задачи в удобном для нас виде. Рассмотрим прямые AD, АС, BD и EF (см. рис. 7). Они образуют четыре треугольника и следовательно, описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (см. №7). Аналогично для прямых ВС, BD, АС и EF. То есть, требуется доказать, что точки

рис. 6

Микеля у двух данных конструкций совпадают. Поскольку треугольники APD и ВРС (а, следовательно и описанные около них окружности) фиксированы, то достаточно будет доказать, что окружности, описанные около треугольников AFQ и CEQ проходят через точку пересечения окружностей, описанных около треугольников APD и ВРС, отличную от Р.

Пусть M — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников APD и ВРС, отличная от Р. Тогда AAMD = АВМС (см. №2), а значит AAMF = ACMЕ. Рассмотрим окружности, описанные около треугольников AFM и СЕМ. Пусть они пересекаются в точке Q'. Но так как окружности имеют одинаковый радиус и AAMF = ACME, то точки А, С и Q' лежат на одной прямой и точки Е, F и Q' лежат на одной прямой (см. №3), то есть, Q' совпадает с Q. Итак, окружности, описанные около треугольников AFQ и CEQ проходят через точку М, то есть, точка M является точкой Микеля для обоих семейств прямых. Следовательно, окружности, описанные около всех треугольников PQR, имеют общую точку, отличную от Р.

Доказанное утверждение позволяет дать другое определение точки Микеля:

Если дан четырехугольник с равными, но не параллельными противолежащими сторонами, то точкой Микеля называется центр поворота, при котором одна из равных сторон переходит в другую.

рис. 7

Е.С. Горская

г. Москва

Векторные способы доказательства неравенств

Занятие рассчитано на школьников 9 класса, которые уже были знакомы с неравенствами о средних и знающих определение вектора и скалярного произведения векторов.

Разминка + воспоминание о средних величинах для двух чисел.

1. Докажите неравенство: a +b >2ab для произвольных чисел а и b.

Решение. Перенесем все в левую часть. Тогда

Заметим, что мы только что доказали неравенство Коши между средним арифметическим и средним гармоническим для двух чисел.

2. Докажите неравенство а +b +с = аb + bс + са, для произвольных чисел а, b и с.

Решение. Умножим обе части неравенства на 2 и воспользуемся неравенством из первой задачи:

3. Докажите неравенство

для положительных х и у.

Решение. Эту задачу также можно свести к уже решенной первой задаче:

Но возможно и другое решение. Преобразуем неравенство следующим образом:

Последнее неравенство есть не что иное, как неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим.

Напоминание:

Величина

называется средним арифметическим чисел {a1, a2, ... an}.

Величина

называется средним геометрическим чисел {a1, a2, ... an}.

Величина

называется средним гармоническим чисел {a1, a2, ... аn}.

Величина

называется средним квадратичным чисел {a1, a2, an}

Напомним, что средние величины связаны между собой соотношением:

Комментарий: Вспомнить, как доказывали неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (индукция по степеням двойки, потом спуск к остальным). Вопрос: как теперь доказать неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим, (если доказано неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим) ? Когда достигается равенство в этих неравенствах?

Также заметим, что решая задачи из разминки мы «вручную» доказали неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, средним арифметическим и средним гармоническим для двух чисел. Возникает вопрос: откуда взялось среднее квадратичное и почему в этой цепочке неравенств оно «самое левое»?

Векторы

1. Пусть числа а, b, с и d таковы, что а +с = 1, b +d =1. Докажите, что ab + cd < 1.

Решение. Рассмотрим векторы u(а,с) и v(b,d). Запишем скалярное произведение этих векторов двумя способами: с одной стороны, uv =| u | ⋅ | v | cosa = yJa2 + с2 -yjb2 +d2 — cos ör, где a — угол между векторами, с другой стороны, u-v = ab + cd. Поскольку cos a < 1, то выполняется неравенство: | u | ⋅ | v |> u-v, то есть,

откуда и следует решение задачи 2. Придумайте векторные способы решения для первой и третьей задачи из разминки.

Решение. 1) Нужно рассмотреть векторы и(а,b) и v(b,a) .

3) Умножим обе части неравенства на х + у. Затем рассмотрим векторы

3. Докажите неравенство

для произвольных чисел а\, а2, an и b\9 Z>2> bn.

Решение. Рассмотрим следующие n векторов (аь b\), (ат bп). Тогда в левой части неравенства записана сумма модулей этих векторов, а в правой — модуль суммы.

4. Найдите наибольшее значение функции

Решение. Рассмотрим векторы

Тогда

следовательно, наибольшее значение функции не превосходит 3v2 . Осталось определить, достигается ли это значение.

Мы использовали неравенство между произведением модулей векторов и скалярным произведением, равенство в котором достигается, когда косинус угла между векторами равен 1, то есть когда вектора сонаправлены. В этом случае выполняется следующее соотношение между координатами векторов:

Решая уравнение, находим

5. Решите уравнение:

Решение. Рассмотрим векторы

Тогда

Равенство в данном неравенстве достигается, когда векторы сонаправлены, то есть,

откуда X = 3 .

6. Решите систему уравнений

Решение. Перейдем в трехмерное пространство, то есть, будем рассматривать вектора с тремя координатами. Тогда неравенство

UV < |w|-|v| для векторов u(a1,b1,c1) и v(a2,b2,c2) в координатах запишется так:

Для решения задачи рассмотрим вектора u(х2,у2,z2) и v(1,1,2) . Тогда система означает, что модуль первого вектора равен 1, а скалярное произведение этих векторов равно . Тогда

следовательно, система решений не имеет.

7. Найдите наибольшее значение выражения

Решение. Рассмотрим векторы

Тогда

Наибольшее значение л/3 достигается при

8. Докажите неравенство для положительных чисел а, b и с:

Решение. Рассмотрим векторы

Тогда

uv, откуда и следует доказываемое неравенство.

Заметим, что если бы мы могли обобщить понятие скалярного произведения на n-мерное пространство и если бы там выполнялось аналогичное неравенство uv < | u | ⋅ | v |, то рассмотрев векторы u(a1,a2,...,an) и v(1,...,1), мы бы получили следующее неравенство:

А это как раз и есть неравенство между средним квадратичным и средним арифметическим.

С.В. Дворянинов, А.В. Шевкин

Как доказать неравенство или составить новое

Когда б вы знали, из какого сора

Растут стихи, не ведая стыда...

А.С. Ахматова

Хорошо известно, что многие алгебраические неравенства допускают простую и наглядную геометрическую трактовку. Так, например, неравенство о среднем геометрическом и среднем арифметическом двух неотрицательных чисел

выражает тот факт, что в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С высота СН, опущенная на гипотенузу, не больше медианы СМ (рис. 1). Здесь длина АН равна а, длина ВН равна b, их полусумма равна медиане СМ.

Рассмотрение рисунка делает это классическое неравенство совершенно очевидным.

Доказываем неравенства

Решим задачу.

1. Докажите, что для любых чисел х и у из интервала (0; 1) справедливо неравенство х+у-ху< 1.

По условию 0<х<\,0<у<\. Сложив и перемножив эти неравенства, мы получим, что 0 < ху < 1, -1 < -ху < 0 и что X + у < 2. Сложение двух последних неравенств приводит к оценке X + у — ху < 2. Нам же требуется получить более точную оценку: X + у — ху < 1. Стало быть, предпринятые действия не позволили доказать данное неравенство.

Поступим по-другому. Преобразуем данное выражение:

Рис. 1

Так как х wy принадлежат интервалу (0; 1), то 1 — х > 0 и у — 1 < 0, поэтому (1 -х)(у — 1) < 0, но тогда справедливо требуемое неравенство.

Отметим, что тот же результат можно получить из геометрических соображений. Пусть сторона квадрата ABCD равна 1 (рис. 2), тогда если AM = х, MD = 1 — х, DN = у, то je + у — ху = х-1 + у( 1 — х) = АМАВ + DN-MD, что очевидно, меньше площади квадрата ABCD для любых X и у из интервала (0; 1). То есть справедливо неравенство х + у — ху < 1, что и требовалось доказать.

Еще одно доказательство получается, если для каждого уе (0;1) рассмотреть линейную функцию, зависящую от х: f(x) = х + у— ху, или f(x) = (1 — jOx + . Поскольку по условию угловой коэффициент к = 1 — у положителен, то эта функция возрастает. Так как /(1) = 1, то при X < 1 f(x) < 1, что и требовалось доказать.

Упражнение 1. Докажите, что для любых чисел х g (0; а) и у g (0; b) справедливо неравенство bх + ау — ху < ab.

Указание. Вместо квадрата со стороной 1 рассмотрите прямоугольник со сторонами а и b.

Рассмотрим аналогичную задачу для куба.

2. Докажите, что для любых чисел х, у и z из интервала (0; 1) справедливо неравенство x+y + z — xy—yz — zx< 1.

I способ. Пусть х, у, z — координаты некоторой точки M в прямоугольной системе координат в пространстве (рис. 3). Так как 0 < х<1,0<<1 и0<7<1,то точка M находится внутри куба с ребром 1. Преобразуем данное выражение:

Заметим, что

объемы прямоугольных параллелепипедов с диагоналями AB, АС, ВС соответственно (рис. 4). При любом положении точки M внутри куба верно неравенство V1 + V2 + v3 < 1. Следовательно, справедливо неравенство

Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Упражнение 2. а) Докажите, что для любых чисел х, у и z из интервала (0; 1) справедливо неравенство

xyz + x+ y + z-xy-yz-zx< 1.

б) Докажите, что для любых чисел х е (0; а), у е (0; о) и z g (0; с) справедливо неравенство аус + abz + xbc — хус — ayz — xbz < abc.

Указание к упражнению 2, б). Рассмотрите прямоугольный параллелепипед с рёбрами a, b и с.

Решим еще одну задачу.

3. Докажите, что для любых чисел х, у и z таких, что X + у + z = 1, справедливо неравенство

Заметим, что уравнение X + у + z = 1 задает плоскость ABC в системе координат Oxyz, где А (1; 0; 0), B(0; 1;0),С(0; 0; 1)(рис. 5). Если M (х; у; z) — «текущая» точка полоскости ABC, то

Рис. 5

есть квадрат расстояния ОМ. Вычислим наименьшее значение хА + у1 + z2, соответствующее точке Mo — основанию перпендикуляра ОM0 к плоскости ABC.

Так как OA = OB = OС = 1, то объем пирамиды ОАВС равен

С другой стороны, площадь треугольника ABC равна

поэтому объем пирамиды ОАВС равен

Приравняв объемы, найденные разными способами, вычислим высоту ОM0, равную

Так как для любой точки M плоскости ABC справедливо неравенство

то для нее справедливо неравенство

откуда и следует требуемое неравенство:

Замечание. OMq можно было найти, вычислив последовательно координаты точек

Тогда

Упражнение 3. Докажите, что для любых чисел X и у таких, что х + у = 1, справедливо неравенство

Получаем новые неравенства

Покажем, как такой геометрический подход позволяет не только доказывать алгебраические неравенства, но и получать новые.

Рассмотрим квадрат с длиной стороны 1. Впишем в этот квадрат (рис. 6) произвольный четырехугольник так, чтобы на каждой стороне квадрата лежала одна вершина нового четырехугольника.

Рис. 6

Стороны квадрата разделятся на отрезки, длины которых обозначим последовательно х и 1 —х, у и 1 —у, z и 1 и 1 — z, t и 1-t.

На рисунке можно увидеть четыре прямоугольных треугольника. Гипотенуза каждого из них находится по теореме Пифагора. Например, длина одной из гипотенуз (и тем самым длина одной из сторон вписанного четырехугольника) выражается формулой

Совершенно очевидно, что периметр вписанного четырехугольника меньше периметра квадрата. Тем самым получается геометрическое доказательство для такой задачи.

4. Для любых чисел х, у, z, t из интервала (0; 1) докажите неравенство

(1)

Далее можно сравнить площадь данного квадрата (равную, разумеется, единице) и сумму площадей четырех прямоугольных треугольников. Площадь одного из треугольников выражается формулой

В результате получаем такую задачу.

5. Для любых чисел х, у, z, t из интервала (0; 1) докажите неравенство

(2)

Итак, рассмотрение подходящих геометрических картинок позволяет доказывать (и составлять) неравенства.

Упражнение А. Для любых чисел x,ze(0;a) и t,ye(0;b) докажите неравенства:

Указание. Эти два неравенства похожи на неравенства (1) и (2). Вместо квадрата рассмотрите прямоугольник со сторонами а и b.

Рассмотрим теперь правильный треугольник со стороной 1 и впишем в него произвольный треугольник так, как показано на рисунке 7. Сравнивая теперь сумму площадей трех треугольников (вам понятно каких?) с площадью данного треугольника, получаем такую задачу.

6. Для любых чисел х, у и z из интервала (0; 1) докажите неравенство

(3)

Упражнение 5. Для любых чисел х, у и z из интервала (0; 1) докажите неравенство

Указание. Сравните периметр вписанного треугольника с периметром данного треугольника.

Неравенство (3) можно обобщить для произвольного треугольника со сторонами а, b и с следующим образом.

7. Пусть X g (0; а), у g (0; b) и z g (0; с). Докажите неравенство

Так как сумма площадей трех треугольников, отсекаемых от данного треугольника, меньше площади данного треугольника, то

Разделив обе части неравенства на sin а и воспользовавшись теоремой синусов, получим отсюда требуемое неравенство.

Упражнение 6. Для любых чисел а, b, с, d, е и f из интервала (0; 1) докажите неравенство

Указание. Рассмотрите правильный шестиугольник, каждая сторона которого разделена на два отрезка.

Рис. 7

8. Для любых чисел х, у, z, t и к из интервала (0;1) докажите неравенство

Указание. Рассмотрите ромб со стороной 1.

9. Для любых чисел а, b, с, d, z и t из интервала (0; 1) докажите неравенство

Рассмотрим правильный тетраэдр, каждое ребро которого имеет длину 1. Каждое ребро тетраэдра разделим на две части, длины которых равны X и 1 — X (х принимает шесть значений а, b, с, d, z, t). Пусть к одной вершине тетраэдра примыкают отрезки а, 1 — с, 1 — z, к другой вершине — отрезки й, 1 — d, z, к третьей вершине — отрезки с, 1 — й, и, наконец, к четвертой вершине примыкают отрезки d, 1 — а, 1 -1.

Сумма объемов четырех маленьких тетраэдров не превосходит объема данного тетраэдра. Именно последнее (с точностью до постоянного множителя) и выражает данное в этой задаче неравенство.

Замечание 1. При d → 0, b → 1, z —» 1 три маленьких тетраэдра сходят на нет, а четвертый тетраэдр перестает быть «маленьким». В пределе получаем равенство 1 = 1.

Замечание 2. Аналогичное неравенство можно написать для куба. Сколько переменных содержит это неравенство?

Д.В. Прокопенко

ФМШ №2007, г. Москва

Кружок по планиметрии для школьников 9—11-х классов

В нашей школе учителя столкнулись с проблемой отсутствия интереса к геометрии. Проблема эта довольно общая и характерна для школьного образования в целом. Как следствие, ученики не только не очень хорошо решают олимпиадные задачи по геометрии, но и часто неуверенно ориентируются в базовом курсе. Чтобы исправить ситуацию, в нашей школе в прошлом году организовали кружок по геометрии (планиметрии) для 9—11-х классов.

Основное время занятий отводится на решение листков с задачами (до 10 задач на каждом), объединенных по темам; внутри листка задачи располагаются по возрастанию сложности. Чтобы перейти к следующему листку, ученик должен сдать все задачи, кроме задач повышенной сложности, отмеченных звездочкой.

Задачи первых листков связаны с окружностями. На эту тему можно подобрать задачи любой сложности, с короткими и красивыми решениями, к тому же есть много ярких фактов.

Первое, что было заметно — это неумение сделать грамотный чертеж, который действительно помог бы решить задачу. Поэтому на первых занятиях приходилось долго обсуждать, как правильно построить чертеж, с чего начать. Типичная ситуация: в задаче сказано: «Вокруг треугольника описана окружность ...». Ученик рисует треугольник, потом начинает решать задачу на построение -описать окружность вокруг треугольника. Самые терпеливые берут в руки циркуль и тратят на это несколько минут. Однако, гораздо проще сделать наоборот — нарисовать окружность и вписать в нее треугольник. Или, например, в той же задаче необходимо провести биссектрису внутреннего угла. Можно, конечно, на глазок делить пополам угол, но гораздо точнее соединить вершину и середину противолежащей дуги, т.е. воспользоваться свойством вписанных углов — равные углы опираются на равные дуги. И таких деталей довольно много. Через некоторое время, после того как были «открыты» эти удобные правила, качество чертежей заметно улучшилось. Более того, стало возможным принимать неко-

торые задачи без подробной записи, если на чертеже был отображен весь ход решения, отмечены равные углы, стороны и т.д.

В начале занятия обычно 10-20 мин обсуждаем решение наиболее сложных задач. Если такой необходимости нет, доказываем разными способами теоремы школьного курса или красивые и простые геометрические факты, на подробный разбор которых во время школьных занятий учителю не хватает времени. Поскольку задачи простые, в их решении принимают активное участие практически все учащиеся. Различные методы доказательства позволяют связать данную теорему с другими, указать ее место в общем курсе, и даже установить новые для учащихся факты. Бывает и наоборот, в новой конструкции можно разглядеть знакомые очертания, тогда это повод для повторения и очередная тренировка в умении видеть чертеж.

Дополнительные построения часто выглядят для школьников как фокус, поэтому целесообразно уделять этому больше внимания и особенно эффективно это показывать в простых задачах. С этой целью можно рекомендовать книгу И.Кушнира «Альтернативные способы решения задач (геометрия)», изданную в Киеве в 2006 году, в Москве ее, к сожалению, пока нет в продаже.

Большой интерес на кружке вызвали задачи на степень точки относительно окружности. В задачах вводится и используется понятие радикальной оси (радикальной точки) двух (трех) пересекающихся окружностей как множества точек, степень которых относительно окружностей равны. В итоге мы получили мощный инструмент для доказательства того, что три точки лежат на одной прямой и три прямые проходят через одну точку.

В начале занятия по этой теме целесообразно повторить теорему о произведении отрезков секущей к окружности.

Рассмотрим задачи:

1. Степень точки А относительно окружности равна d2-R2. где d — расстояние от точки А до центра окружности, R — ее радиус.

2. Пусть степень точки имеет положительное значение t2. Дайте геометрическую интерпретацию длины t.

3. Две окружности пересекаются в точках А и В. Точка X лежит на прямой AB, вне окружностей. Докажите, что длины всех

касательных, проведенных из точки X к окружностям, равны.

4. Две окружности пересекаются в точках А и В; МК — общая касательная к ним. Докажите, что прямая AB делит отрезок МК пополам.

5. Дана окружность со и точки Р и К вне ее. Через точку Р проведена секущая к окружности со, пересекающая ее в точках А и В. Докажите, что вторая точка пересечения прямой PK с окружностью, проходящей через точки К, А, В, не зависят от выбора секущей AB.

6. Окружность делит каждую из сторон треугольника на три равные части. Докажите, что этот треугольник правильный.

7. В угол вписаны две окружности. Одна из них касается сторон угла в точках А и В, а другая в точках M и К. Докажите, что прямая АК высекает на этих окружностях равные хорды.

8*. Постройте на данной прямой точку, из которой данный отрезок виден под наибольшим углом.

9. Вневписанные окружности треугольника ABC, касающиеся сторон ВА и ВС, отразили относительно середин этих сторон.

Докажите, что общая хорда получившихся окружностей а) проходит через точку В; б*) делит периметр треугольника пополам.

10. В треугольнике ABC точки М и N — середины сторон AB и АС, АН — высота. Окружности, описанные вокруг треугольников BHN и СНМ, пересекаются вторично в точке Р. Докажите, что отрезок РН проходит через середину MN.

Когда большая часть учеников решит первые две задачи, мы обязательно обсуждаем решения вместе, объединяя их одной полезной идеей: у нас есть постоянная величина (произведение отрезков секущих), как ее посчитать, какой в ней геометрический смысл? Выберем наиболее удобные для расчета положения секущей. Это будет предельное положение, когда секущая переходит в касательную, а длины отрезков при этом будут равны и второе направление — вдоль оси симметрии. Задачи №9 и 10 взяты из Всероссийских олимпиад 2005 и 2007 годов, 10 и 9 класс соответственно.

Задачи разных листков обычно связаны между собой. Рассмотрим, например, две задачи о свойствах ортоцентра:

7. Доказать, что произведение длин отрезков, на которые ортоцентр разбивает высоты треугольника, одинаково для всех высот.

8. Если две окружности построены на двух чевианах как на диаметрах, то их точки пересечения и ортоцентр лежат на одно прямой.

В доказательстве задачи 7 используется задача 1 того же листка: Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны принадлежит описанной окружности а также факт, что искомое произведение в два раза меньше, чем степень ортоцентра относительно описанной окружности. В задаче 8 (с помощью задачи 7) надо доказать, что степень ортоцентра относительно этих окружностей равны. Тем, кто решил эти задачи, предлагается подумать, что будет в случае трех окружностей. Результат они должны сформулировать самостоятельно. На учеников производит сильное впечатление противоречие между сложностью задачи и тем, что они придумали и решили ее за несколько минут. Они при этом забывают, что сначала они решили целый листок на степень точки, а потом все задачи о свойствах ортоцентра. Мы надеемся, что такая эмоциональная составляющая занятий способствует повышению интереса к геометрии.

В 10 классе мы решаем задачи на преобразования. Это очень мощное средство, которое надо уметь применять. По возможности вводятся классические задачи, например, точка Торричелли, задача Фаньяно. В этом случае, конечно, уместно упомянуть авторов, историю задачи.

Последние занятия кружка в конце учебного года мы посвятили повторению. Например, доказывали теорему Птолемея с использованием прямой Симпсона и формулы для сторон педального треугольника; доказали, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, используя более привычное доказательство (его называют способ Гаусса) через серединный треугольник (пересечение серединных перпендикуляров) и через вневписанные окружности (пересечение биссектрис). В последнем случае повторили свойство биссектрис внутреннего и внешнего угла. Кроме того, поскольку вершины исходного треугольника являются основаниями высот треугольника с вершинами в центрах вневписанных окружностей, получили как следствие свойство ортотреугольника, что его стороны образуют равные углы со сторонами треугольника. Некоторым ученикам 9 класса это принесло пользу при подготовке и сдаче экзамена по геометрии.

Автор благодарен за П.В. Чулкову, А.Д. Блинкову за ценную критику, Ю.А. Блинкову за предоставленные материалы для проведения нескольких занятий кружка.

В.Л. Экелекян

МГУ им. М.В.Ломоносова, школа № 11, г. Москва

Задача о раскручивании резинового шнура

Задача: резиновый шнур длиной 0,8 м и массой 300 г имеет форму круглого кольца. Его положили на гладкую горизонтальную поверхность и раскрутили вокруг вертикальной оси так, что скорость каждого элемента цепочки равна 3 м/с. Найдите удлинение шнура, если его жесткость 30 Н/м.

Решение.

Когда резиновый шнур из-за вращения кольца удлиняется, в нем возникает упругая сила fynpr., величина которой определяется согласно закону Гука:

где удлинение шнура А1 определяется как разность новой и старой длин:

(2)

Сила упругости Т в любой точке нового шнура будет направлена по касательной и она по величине постоянная вдоль всего шнура.

В окружности с радиусом r вращающегося шнура рассмотрим малый центральный угол φ. В точках А и В по касательным направлениям действуют упругие силы Г, которые разложим по направлению линии AB и по перпендикулярному к ней направлению. Так как треугольник АОВ равнобедренный, то ∠AOC=∠BOC=

Сила Г с направлением AB составляет угол ф/2 согласно свойству двух углов, составленных из взаимно перпендикулярных сторон. Следовательно, вертикальные к AB составляющие упругих сил ТА и Тв будут равны

(3)

а их векторная сумма -

(4)

всегда смотрит в центр окружности.

Так как шнур вращается как окружность, то на каждый его элемент действует центробежная (как реакция центростремительной) сила Рцб. В качестве элемента шнура рассмотрим дугу ABC, которую тянет хорда AB, находящаяся перед центральным малым углом ф. Массу А/?? этого элемента найдем исходя из соображения однородности шнура — равные дуги шнура имеют одинаковую массу:

(5)

здесь были использованы формулы, выражающие связь между радианной мерой угла, длиной дуги и радиусом окружности, а также формула длины окружности.

Если угол φ мал, то дуга ABC также мала и ее можно рассматривать, как материальную точку. С учетом (5) напишем выражение центростремительной силы Рцс для маленького участка шнура массой Am, движущейся со скоростью v по окружности радиуса r:

(6)

Теперь воспользуемся основной идеей для решения данной задачи — роль центростремительной силы FlfC играет соответствующая составляющая результирующей упругой силы Fvnp рез :

(7)

Из курса математического анализа известно, что при малых углах (естественно, выраженных в радианах) синус тригонометрическая функция приблизительно равен углу и это приближение тем точнее, чем меньше угол:

(8)

Имея в виду это обстоятельство третью часть соотношения (7) перепишем как:

(9)

или с учетом (2) напишем квадратное уравнение по отношению удлинению A1:

(10)

решениями которого являются:

(11)

Откажемся от отрицательного корня и окончательно остановимся на положительном ответе — напишем ответ задачи:

(12)

Легко убедится, что полученный ответ (12) обладает размерностью длины. Анализ полученного ответа показывает, что чем больше масса шнура, тем больше удлинение, чем больше жесткость материала шнура, тем удлинение меньше.

Получим численный ответ:

Ответ: 10 см.

Литература

1. Перышкин А.В., Гутник Е.М. Физика. 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений, 8-е изд., — М: Дрофа, 2004

2. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика. Учебник для 10 классов общеобразовательных учреждений, изд 12-е 14-е. M Издательство «Просвещение». М.: — 2005.

3. Павленко Ю.Г. Начала физики. М., Изд-во Моск. ун-та, 1988.

4. Экелекян В.Л. Интегрированная лабораторная работа по информатике, математике и физике 2004 № 37 ИНФОРМАТИКА

5. Экелекян В.Л. Решение некоторых математических задач с помощью программ Microsoft Office 2004 № 45 ИНФОРМАТИКА, 2004 № 46 ИНФОРМАТИКА

6. Экелекян В.Л. Определение центра масс неправильного тела Физика № 48/04

7. Экелекян В.Л. Проверка уравнения теплового баланса Физика № 29/04

8. Экелекян.В.Л. Относительность движения Физика № 1/06

9. Экелекян В.Л. Основы информатики и вычислительной техники — учебно-методические лабораторные разработки-рекомендации для студентов и молодых научных работников-выпускников медицинских институтов Ереван 1988

В.М. Гуровиц

ФМШ № 2007, г. Москва

Комбинаторные задачи на уроках программирования

Комбинаторные задачи находятся на стыке математики и программирования. Поскольку даже в математических классах комбинаторика зачастую изучается крайне поверхностно, на уроках программирования при рассмотрении задач, связанных с генерацией комбинаторных объектов, приходится рассматривать и математическую составляющую темы. Ниже приводится возможный план изложения соответстующих тем и подборка задач, как математических, так и собственно программистких.

Размещения с повторениями

Рассмотрим последовательности из трех чисел, в которых каждый член — целое число в диапазоне от 0 до 2. Как перебрать все такие последовательности?

Для решения этой и подобных задач перебора всех объектов из некоторого множества часто применяют такой подход: сначала упорядочивают все элементы данного множества, а потом учатся переходить от одного элемента к следующему.

Как упорядочить все наши последовательности? Представим на минуту, что у нас есть не последовательности чисел, а наборы букв («слова»). Тогда один из естественных способов упорядочить их -воспользоваться алфавитом и расположить их в такой последовательности, в какой они встречаются в словаре (такой порядок называют лексикографическим). Теперь давайте вернемся к числам. Упорядочим их также «по алфавиту»: сначала будут идти последовательности, начинающиеся с нуля, затем — с единицы, и в конце -с двойки. Среди всех последовательностей, начинающихся с нуля, вначале будут идти последовательности, в которых второй член -0, затем те, у которых второй член — 1, и затем — 2. Вот как в итоге будет выглядеть полный список последовательностей:

000 001 002 010 011 012 020 021 022 100 101 102 110 111 112 120 121 122 200 201 202 210 211 212 220 221 222

Упорядочив все последовательности, мы можем перейти к следующему этапу решения задачи: научимся по данной последовательности получать следующую. Если последняя цифра данной последовательности — не 2, то для получения следующей последовательности достаточно просто увеличить последнюю цифру на 1 : например, 021 → 022. Если же последовательность заканчивается на 2, то нужно заменить последнюю двойку и все, стоящие перед ней, на 0, а самую правую цифру, отличную от 2, увеличить на 1 : например, 022 → 100.

Теперь, пользуясь изложенным, можно составить алгоритм для перебора всех размещений с повторениями (так называют такие последовательности: мы размещаем на заданных местах данные цифры, причем любая цифра может повторяться — встречаться несколько раз): берем первое размещение (000), и строим по нему следующее. Для вновь полученной последовательности строим следующую и т. д. Эту процедуру повторяем до тех пор, пока не дойдем до последнего размещения (222).

Заметим, что полученные последовательности можно трактовать как записи чисел в соответствующей системе счисления (в нашем примере — в троичной). Тогда операция перехода к следующей последовательности приобретает новый смысл: это прибавление к числу единицы.

Возникает справедливый вопрос: когда нужно остановиться? Напрашивающийся ответ "Когда дойдем до последовательности 222" не вполне удовлетворительный: ведь если взять более длинные последовательности, то на проверку всех членов на каждом шаге будет уходить слишком много времени.

Можно прибегнуть к такому трюку: добавим к последовательности слева еще одно число. Изначально оно будет нулем, и мы будем проверять только его. Тогда сигналом для остановки будет появление на этой позиции единицы: 0222 → 1000.

Есть и более простое решение: мы знаем общее количество размещений к чисел на n позициях (оно равно kn), поэтому мы заранее знаем, сколько шагов должен сделать наш алгоритм.

Задача 1. Напечатать все последовательности длины n из чисел в диапазоне от 0 до к—\ в лексикографическом порядке. Входные данные

Два числа -п и к (1<=и<=10, 2<=к<=\ О, п<=\ 0000). Выходные данные

В каждой строке вывести n чисел через пробел — запись соответствующего размещения с повторением.

Пример

Входной файл

Выходной файл

23

00

0 1

02

1 0

1 1

1 2

20

2 1

22

Задача 2. Подмножеством данного множества называют любой набор элементов из данного множества. При этом считается, что все элементы множества различны, и что порядок элементов в подмножестве не имеет значения (то есть (1,3} и {3,1} — это одно и то же подмножество множества {1,2,3}). Отметим, что у любого множества есть подмножество, в котором нет ни одного элемента: (} (его называют пустым), и подмножество, включающее все элементы данного множества.

Требуется напечатать все подмножества множества {1,2,...,и}, исключая пустое.

Входные данные

Одно число n — натуральное число, не превосходящее 10.

Выходные данные

В каждой строке вывести сначала количество чисел в соответствующем подмножестве, а затем сами эти числа. Выводить подмножества можно в любом порядке, в каждом подмножестве числа должны быть упорядочены по возрастанию.

Пример

Входной файл

Выходной файл

2

2 1 2 1 1 1 2

Домашнее задание

Задача 3. Напечатайте все последовательности из n натуральных чисел (возможно, с повторениями), в которых z-й член не превосходит /. Последовательности требуется вывести в лексикографическом порядке.

Входные данные

Одно число n — натуральное число, не превосходящее 8.

Выходные данные

В каждой строке вывести n чисел через пробел — запись соответствующего размещения с повторением.

Пример

Входной файл

Выходной файл

3

1 1 1

1 1 2

1 1 3

1 2 1

1 22

1 23

Комментарий: на первом месте может стоять только число 1, на втором — 1 или 2, на третьем -1,2 или 3, и т.д.

Задача 4. В написанном выражении ((((1 ? 2) ? 3) ? 4) ? 5) ? 6 вместо каждого знака ? вставить знак одной из 4 арифметических

операций +, -, *, : так, чтобы результат вычислений равнялся заданному целому числу n (при делении дробная часть отбрасывается).

Входные данные

Одно целое число n, не превосходящее 1000.

Выходные данные

Вывести одно число — количество различных решений задачи. Если решений нет, вывести 0.

Пример

Входной файл

Выходной файл

Комментарий

3

4

((((1+2)+3)+4)+5)+6 ((((1*2)+3)*4)-5)+6 ((((1*2)-3)+4)*5)+6 ((((1*2)*3)+4)+5)+6

28

0

решений нет

Комментарии к решениям задач

Задача 1. В этой задаче требуется реализовать алгоритм, подробно описанный выше.

Задача 2. Сопоставим каждому подмножеству множества (1,2,...набор из n нулей и единиц по следующему правилу: первая цифра показывает, встречается ли в подмножестве число 1 (0 -не встречается, 1 — встречается), вторая цифра показывает, встречается ли в подмножестве число 2, и т. д. Например, подмножеству {2,3,5} множества {1,2,3,4,5,6} соответствует последовательность 011010. Таким образом, каждому подмножеству соответствует некоторое размещение нулей и единиц, и обратно, каждому такому размещению соответствует некоторое подмножество. Таким образом, можно перебрать все размещения и напечатать для каждого соответствующее ему подмножество.

Нам еще требуется печатать количество чисел в каждом подмножестве — оно равно количеству единиц в соответствующем размещении.

Задача 3. Это тоже задача на перебор всех объектов из некоторого множества. Применим к ней тот же подход: упорядочим все объекты и научимся по данному объекту определять следующий. Порядок — лексикографический — нам уже указан в условии. Алгоритм перехода к следующей последовательности похож на алгоритм для размещений. Смотрим на последнюю цифру: если ее можно увеличить на 1, то увеличиваем ее, и получаем следующую последовательность. В противном случае заменяем ее единицей и переходим к числу слева от него. С ним проделываем ту же операцию и т. д. пока не найдем число, которое можно увеличить на 1.

Задача 4. Эта задача демонстрирует применение алгоритма перебора размещений с повторениями. На пять мест, отмеченных вопросительными знаками, можно поставить любой из знаков арифметических операций, то есть нужно перебрать все размещения с повторениями длины 5 из 4 символов, и для каждого такого размещения проверить значение получающегося при такой расстановке знаков арифметического выражения.

Перестановки

Перестановка — важнейший математический объект, возникающий в алгебре и комбинаторике. Поэтому рассказ о них будет разделен на три части. Первая часть посвящена определению перестановок и элементарным фактам о них. Во второй части рассказывается о том, как генерировать перестановки, и для чего они используются в программировании. Третья часть посвящена введению в алгебраическую теорию, связанную с перестановками и симметрическими группами.

1. Что такое перестановка

Представим себе, что у нас есть n разных предметов, и нам требуется выложить их в один ряд в некотором порядке. Сколькими способами это можно сделать? На первое место мы можем положить любой из n предметов, на второе — любой из n — 1 оставшихся, на третье — любой из n — 2 оставшихся и т.д. Итого получаем n ⋅ (n -1) ⋅ (n — 2) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1 = n! расположений. Такие расположения и называют перестановками. Например, если в качестве объектов взять

натуральные числа 1, 2, 3, то получатся вот такие 3-2-1=6 перестановок: 123, 132,213,231,312,321.

Упражнение 1. Сколько существует способов расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга? Ответ: 8!.

Упражнение 2. Сколько разных ожерелий можно составить из 17 бусин разных цветов? Ответ: 16 ! /2.

Упражнение 3. Найдите сумму всех чисел, которые получаются перестановками цифр из числа 12345.

Подсказка. Каждая цифра появляется в каждой позиции одинаковое количество раз.

Ответ: 3999960.

Решение. Всего имеется 5! =120 способов переставить цифры в числе 12345. Среди этих способов ровно в пятой части (т.е. в 24 случаях) цифра 1 стоит на первом месте. То же самое справедливо для любой цифры и любого места. Поэтому искомая сумма равна

Математики дают еще такое формальное определение перестановки: перестановкой множества {1,...,т?} называется взаимнооднозначное отображение этого множества на себя.

Как видите, теперь перестановка уже является отображением. Зачем это нужно? Теперь перестановки можно перемножать: произведению перестановок соответсвует композиция отображений.

Существуют два способа записи перестановок. Первый способ такой: запишем две строки чисел — в первой строке выпишем подряд числа от 1 до n, а под каждым из этих чисел числом запишем то число, в которое оно переходит при данной перестановке.

Например:

(1 переходит в 3,2 - в 4 и т. д.). Другой способ записать ту же перестановку — разбить ее на «циклы». 1 переходит в 3, 3-в5, 5 — в 1 : цикл замкнулся. Полученный цикл, записывают так: (135). Кроме того, 2 переходит в 4, а 4 — в 2: получили второй цикл: (24). Перестановку записывают, выписывая подряд все циклы, из которых она состоит: (135)(24).

Обратная перестановка

Тождественной называется перестановка, переводящая каждый элемент множества в себя:

Обратной к перестановке s называется такая перестановка (ее обозначают s-1), которая в композиции с s дает тождественную перестановку.

2. Как напечатать все перестановки

Перейдем от теории к практике — от математики к программированию. Попробуем написать программу, печатающую все перестановки из n элементов. Точнее, мы напишем две принципиально разные программы, решающие эту задачу. Условимся, что в обеих программах будет использоваться массив value[1..n] для хранения текущей перестановки, и процедура WritePerm для печати этой перестановки.

Программа первая: поиск всех гамильтоновых путей в полном графе

Эта программа — самая короткая из всех рассматриваемых. Идея алгоритма уже озвучена в заголовке. Возьмем полный граф на n вершинах, занумерованных числами от 1 до n, и будем искать в нем все гамильтоновы пути (то есть пути, проходящие через каждую вершину ровно по одному разу). Последовательность вершин в каждом таком пути и будет искомой перестановкой. Для поиска всех гамильтоновых путей воспользуемся поиском в глубину. Для этого напишем рекурсивную процедуру определения следующей вершины в пути. Эта процедура получает на вход один параметр к — но-

мер вершины, которую мы хотим посетить следующей, добавляет эту вершину в путь, и перебирает все вершины, не задействованные в уже построенном участке пути. Для каждой такой вершины процедура рекурсивно вызывает себя. Часть пути, которую мы определили, мы будем хранить, используя массив value: value[A:] -порядковый номер вершины к в данном пути. Вот как могла бы выглядеть такая процедура:

{Добавляем в конец пути вершину ?

{Если построили путь длины п - }

{ печатаем его, иначе } { перебираем все вершины и }

{ добавляем в путь по поочередно?

{ каждую не использованную ранее?

{Удаляем из пути вершину к }

Основная программа при этом выглядит так:

{Перебираем пути, начинающиеся в вершинах 1,

Давайте посмотрим на результат ее работы, скажем, при n = 4:

Обратите внимание на порядок, в котором печатаются перестановки: сначала генерируются все перестановки, у которых 1 стоит на первом месте, затем те, у которых 1 стоит на втором месте и т. д.

Задача 1 (евклидова задача коммивояжера). На плоскости отмечено n различных точек. Требуется найти кратчайший путь, проходящий через все эти точки.

Входные данные

В первой строке входного файла записано одно число n (2 < n < 10) -количество данных точек. В следующих n строках записано по два целых числа xh у, — координаты соответствующей точки (-100< xh ^<100).

Выходные данные

Вывести одно число — длину кратчайшего пути с точностью до 3 знаков после запятой.

Пример

Входной файл

Выходной файл

3

2.000

00

1 0

0 1

Программа вторая: лексикографический порядок (нерекурсивный вариант)

Для того чтобы перебрать все объекты из некоторого множества, полезно их некоторым образом упорядочить, и научиться по объекту находить следующий за ним. Как можно упорядочить перестановки? Представим себе, что элементы нашей перестановки -это буквы. Тогда получившиеся из этих букв слова-перестановки можно упорядочить по алфавиту, как это делают в словаре. Такой порядок на множестве объектов называется лексикографическим. Вот как будет выглядеть упорядоченный набор перестановок из 3-х объектов:

123 132 213 231 312 321

(сначала идут все перестановки, начинающиеся с цифры 1, затем -с цифры 2, затем — с цифры 3).

Пусть нам дана некоторая перестановка. Как найти следующую за ней? Для этого нам нужно увеличить число на некоторой позиции. При этом необходимо оставить неизменными как можно больший начальный кусок перестановки. Найдем в перестановке самое правое число, которое можно увеличить, не меняя числа слева от него. Это означает, что мы должны заменить его одним из чисел, стоящих справа от него. То есть справа от него должно стоять число, большее него. Рассмотрим, для примера, перестановку 7 3 4 6 5 2 1. Самое правое число, справа от которого есть большее число — это 4. Мы можем заменить ее либо на 5, либо на 6 (числа, большие 4 и стоящие справа от 4). Ясно, что нужно менять на наименьшее возможное, поскольку перестановка 7 4 5... идет «по алфавиту» раньше, чем 7 4 6... Итак, меняем местами 4 и 5: 7 3 5 6 4 2 1. Выделенную жирным часть мы трогать больше не будем. Теперь нам нужно получить самую первую (в алфавитном порядке) перестановку, которая начинается на 7 3 5. Для этого все остальные числа нам нужно расположить в порядке возрастания: 1 2 4 6. Задачу упрощает то, что до этого они уже были расположены в порядке убывания, и нам достаточно просто перевернуть «хвост» перестановки.

Итак, алгоритм генерации следующей перестановки состоит из 4-х шагов:

1. Просматриваем перестановку справа налево и ищем число, меньшее своего правого соседа:

2. Опять просматриваем перестановку справа налево и ищем самое первое число, которое больше выбранного нами на первом шаге

3. Меняем местами два найденных числа:

4. «Переворачиваем» «хвост» перестановки:

Если на первом шаге мы не сможем найти числа, удовлетворяющего условию, то это означает, что наша перестановка — последняя в списке: 7 6 5 4 3 2 1.

Задача 2. Требуется напечатать все перестановки n чисел в лексикографическом порядке

Входные данные

Во входном файле записано одно число n (2 < n < 10) — количество чисел в перестановке.

Выходные данные

Вывести все перестановки в лексикографическом порядке, каждую перестановку — с новой строки, числа в перестановке разделять пробелами.

Пример

Входной файл

Выходной файл

3

1 23

1 3 2

2 1 3

23 1

3 1 2

3 2 1

Е.А. Новодворская

ФМШ № 2007, г. Москва

Игра «Алгоритм» в 5 классе

Многие ученики пятых классов к моменту введения понятия алгоритм уже слышали это слово и приблизительно представляют, что оно значит.

Для того, чтобы сразу со введением этого понятия продемонстрировать детям, насколько четко надо все объяснять, чтобы их поняли, а также что от малейшей неточности результат может измениться, мы предлагаем эту игру. Она предлагается в пятом классе сразу после того, как было дано определение алгоритма.

Трое учеников выходят к доске. Причем один из них — «программист», поворачивается к доске спиной, а к классу лицом. Двое же других стоят спиной друг к другу и боком к доске так, чтобы не видеть действий друг друга. Программист задумывает предмет, который он хочет, чтобы нарисовали его одноклассники. При описании своих действий он может использовать команду «нарисуйте», а также слова: овал, круг, квадрат, прямоугольник, отрезок, точка и другие. Главное условие — не выдавать загаданного предмета.

Приведем пример того, как проходит игра.

«Программист» загадал медведя. Он дает «исполнителям» следующие команды:

1. Нарисуйте небольшой круг

2. Нарисуйте овал под кругом

3. Нарисуйте две палки сбоку

4. Нарисуйте два полкруга сверху над кругом

5. В круге нарисуйте две точки

«Исполнители» выполняют команды, рисуя на доске, а остальные дети внимательно записывают команды, которые отдает «программист», чтобы потом можно было разобрать, какую команду он дал неверно. На первом рисунке показано то, что нарисовал первый «исполнитель», на втором — работа второго «исполнителя», а на третьем — то, чего ждал от них «программист».

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

После этого с детьми по одной разбираются команды. Например, в первой команде непонятно, что значит «небольшой», во второй -как должен быть расположен овал, в третьей — что значит «сбоку», в четвертой и пятой — взаимное расположение полукругов и точек. И следующий вышедший к доске «программист», учтя ошибки предыдущего, получает рисунки, намного более близкие друг другу и к тому, что он задумал.

В этой игре обращается внимание детей на одно из основных свойств алгоритма, определённость алгоритма. Это свойство означает, что каждая команда алгоритма должна быть понятна исполнителю, не оставлять места для её неоднозначного толкования и неопределённого исполнения.

Дети же уверены, что одноклассники поймут их по их запутанным командам. И очень часто проблемой на начальных этапах программирования бывает именно эта уверенность.

В.Л. Экелекян

МГУ им. М.В.Ломоносова, школа № 11, г. Москва

Методика решения задач по информатике с помощью элементов логики и комбинаторики

Задача: Глаша, Артем, Даша, Боря и Дина ели мороженое разного цвета. У троих ребят брикеты были красного цвета, у кого-то -желтого, у кого-то белого. Какого цвета, — красного, желтого или белого, — было мороженое у Дины, если известно, что:

1) Артем и Глаша ели мороженое одного цвета;

2) у Глаши и Даши мороженое было разного цвета;

3) Даша и Боря ели мороженое разного цвета;

4) а у Бори было желтое мороженое?

Решение. Приведем таблицу полного распределения съеденного мороженого разного цвета по ребятам:

Из-за высказывания 1) для рассмотрения остаются строки, в которых Глаша и Артем ели мороженое одного цвета — а это может быть только красный:

Глаша Артем Даша Боря Дина

Из высказывания 1) еще следует, что Глаша точно ела мороженое красного цвета. А из высказывания 2) следует, что Даша не могла бы сесть мороженое красного цвета, т.е. из рассмотрения отпадают строки 19, 20, где Даша есть мороженое красного цвета:

Высказывания 3) и 4) учтем совместно, обращая внимание на то, что точно указан цвет мороженого съеденного Борей — желтый. Таким условиям удовлетворяет только 15-ая строка. Итак:

Ответ: у Дины было мороженое красного цвета.

Содержание

Воспоминания

Матвеева Ф.И. ВОСПОМИНАНИЯ СЕЛЬСКОЙ УЧИТЕЛЬНИЦЫ................................................................3

Образование: история и перспективы

ШКОЛЫ СМОЛЕНСКОЙ ГУБЕРНИИ В 1922-1927 ГГ.......................20

Колягин Ю.М. АКАДЕМИК ОСИП ИВАНОВИЧ СОМОВ.............33

Взгляд оттуда

Тоом А.Л. РЕЦЕНЗИЯ НА КНГУ А.СОЙФЕРА «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА В КОЛОРАДО»....................... 53

Взгляд на преподавание

Сгибнев А.И. РАЗВИТИЕ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ ШКОЛЬНИКОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ........... 59

Ройтберг М.А. ПОЙДИ ТУДА — НЕ ЗНАЮ КУДА. ПРИНЕСИ ТО — НЕ ЗНАЮ ЧТО..........................................................63

Писаренко И.Б. МЕТОД ПОЙА. АНАЛИЗ ЦЕПОЧЕК.................... 70

Белая С.П. ОЦЕНОЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯ ИНОСТРАННОГО ЯЗЫКА.............................................. 81

Фомина Т.Е. «ЖУРНАЛ УСПЕШНОСТИ» КАК ВАРИАНТ КОНТРОЛЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ.....................................................86

Гуторова Н.И. ИЗУЧЕНИЕ КУРСА МЕХАНИКИ НА БАЗЕ СИСТЕМЫ СПЕЦИАЛЬНО ПОДОБРАННЫХ ЗАДАЧ................................................................................. 89

Шевкин А.В. НЕ СПЕШИТЕ СОСТАВЛЯТЬ СИСТЕМУ...............95

Вуколова Т.М., Потапов М.К., Шевкин А.В. МНЕМОНИЧЕСКИЕ ПРАВИЛА ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ...................................................................106

Жевагина H.А. ОБ ЭЛЕКТИВНОМ КУРСЕ «ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ»..................................... 113

Материалы к занятиям

Бардушкин В.В., Веретенникова О.С, Фадеичева Т.П. ВЕКТОРНО-КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ............................. 116

Блинков Ю.А. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК. ТОЧКА МИКЕЛЯ.............................................................................128

Горская Е.С. ВЕКТОРНЫЕ СПОСОБЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВ....................................................................134

Дворянинов С.В., Шевкин А.В. КАК ДОКАЗАТЬ НЕРАВЕНСТВО ИЛИ СОСТАВИТЬ НОВОЕ............... 139

Прокопенко Д.В. КРУЖОК ПО ПЛАНИМЕТРИИ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ 9-11-Х КЛАССОВ................................ 146

Экелекян В.Л. ЗАДАЧА О РАСКРУЧИВАНИИ РЕЗИНОВОГО ШНУРА...............................................................................152

Информатика в школе

Гуровиц В.М. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ НА УРОКАХ ПРОГРАММИРОВАНИЯ................................................. 156

Новодворская Е.А. ИГРА «АЛГОРИТМ» В 5 КЛАССЕ.................. 168

Экелекян В.Л. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ИНФОРМАТИКЕ С ПОМОШЬЮ ЭЛЕМЕНТОВ ЛОГИКИ И КОМБИНАТОРИКИ.................................... 170

Изд. Лицензия ЛР № 066121 от 22.09.1998г. Подписано в печать 30.01.2008 Объем 6,5 п.л. Формат бумаги 60x90/16. бумага офсетная №1. Печать офсетная. Тираж 250 экз. Заказ №640 Издание Института Логики Когнитологии и Развития Личности Отпечатано в типографии ЕВСТИ, г. Москва.