АРХИМЕД

Научно-методический сборник

Выпуск 3

2007

Архимед

Научно-методический сборник

Выпуск 3

Москва 2007

Архимед. Научно-методический сборник. Вып. 3. В настоящем сборнике представлены тезисы докладов участников семинара «Интеграция основного и дополнительного физико-математического образования», проходившего 31 января 2007 года в ФМШ № 2007 ЮЗОУО г. Москвы, а также другие публикации, посвященные вопросам дополнительного физико-математического образования.

Ответственные за выпуск: В. Бусев, А. Смирнов, П. Чулков, Т. Струков.

© 2007, АНО Институт логики.

© 2007, Редакция «Архимед».

Изд. Лицензия ЛР № 066121 от 22.09.1998г. Подписано в печать 31.01.2007 Объем 7 п.л. Формат бумаги 60×90/16. бумага офсетная №1. Печать офсетная. Тираж 200 экз. Заказ №302 Издание Института Логики Когнитологии и Развития Личности Отпечатано в типографии ЕВСТИ, г. Москва.

Памяти учителя

18 марта 2006 г. скоропостижно скончался учитель математики школы №1189 им. Курчатова Андрей Вячеславович Подобедов. Его смерть стала для школы большим ударом и невосполнимой потерей.

Андрей Вячеславович много лет проработал в школе имени Курчатова. Выпускник легендарной Второй школы и механико-математического факультета МГУ, он привнес в работу школы свойственную ему фундаментальность и основательность, свободу от устоявшихся штампов, глубокую заинте-ресованность в математической подготовке учеников. А.В. Подобедов внес большой вклад в то, что школа стала одним из лучших учреждений образования Москвы. Он был одним из тех людей, которые отдают детям все свои силы и профессиональные умения.

Хотя глубокая математическая подготовка позволяла ему успешно работать со старшеклассниками, подготавливая их к работе в высшей школе, ему доставляла особое удовлетворение работа с маленькими детьми. Он умел увидеть в маленьком человеке еще не очень заметный талант и бережно растил его. Будучи блестящим аналитиком он умел спрогнозировать развитие ребенка и практически безошибочно указать те средства, которые в наибольшей степени необходимы для совершенствования каждого ученика.

Философский склад ума Андрея Вячеславовича позволял ему не обращать внимания на те мелочи, которые зачастую отравляют нам жизнь, и всегда видеть главное, то, ради чего существует школа, ради чего учителя, даже получая скромную зарплату, отдают все силы любимому делу.

Для своих коллег он был хорошим другом, умным и культурным собеседником и очень приятным в общении человеком. Его эрудиция, мягкий юмор, заинтересованность во всем делали его очень заметным в коллективе школы человеком. Он был большим энтузиастом разного рода математических олимпиад, и ученики школы всегда принимали в них активное участие.

Много лет утверждалось, что незаменимых людей нет. Мне кажется, что эти слова глубоко ошибочны. Люди, подобные Андрею Вячеславовичу, уходя, заставляют нас остро почувствовать это.

И.Д. Азбель, И.Я. Винник, Н.А. Курдюмова, И.В. Ромашко,

Валерия Мечеславовна Винник в воспоминаниях коллег и учеников

Это было в теперь уже далеком 1952 году. Совсем молодая выпускница педагогического института Валерия Чиж пришла работать учителем математики в 23-ю школу, что на улице Усачева. Попасть в московскую школу сразу после окончания института было непросто. Тогда существовало распределение, и молодого учителя могли послать работать в любой уголок Советского Союза. Но Валерия Чиж осталась в Москве. Еще бы, ведь она не только с отличием окончила институт, но и была всем известна своей активностью, желанием участвовать во всем интересном, стремлением быть в гуще жизни.

Поступить в институт да еще и окончить его с отличием было нелегко — ведь пропали два школьных года обучения, дети не учились во время немецкой оккупации. В 41-м немцы захватили Могилев, где Валерия жила с родителями и сестрами. В первый день войны отец ушел на фронт. Двоюродного брата, который приехал погостить на лето, угнали в концлагерь. Мать с дочерьми выселили из дома, а когда наступала Красная Армия, немцы разрушили стену и поставили в проем орудия, из которых отстреливались... Оккупация была снята, через какое-то время возвратился брат. Отец не вернулся — пропал без вести в 44-м.

В 1948 году Валерия Чиж получила аттестат зрелости и поехала в Москву поступать в университет. Но жизнь распорядилась иначе: она поступила на физико-математический факультет педагогического, о чем впоследствии не жалела.

Ей повезло в студенческой жизни. Училась она у Елизаветы Савельевны Березанской, которая начинала свой педагогический путь еще в дореволюционной гимназии, затем двадцать лет преподавала в школе-коммуне и написала множество методических пособий. Кроме того, она пользовалась огромным авторитетом среди учительства, особенно среднего звена.

Педагогической практикой в группе, где училась Валерия Чиж, руководил виднейший методист Москвы в 50-х гг. прошлого века Константин Петрович Сикорский. Он умел видеть в человеке всё хо-

рошее и передал это умение своим студентам. Бывало, студент сам клянет себя за свой урок, а Константин Петрович обязательно найдет в этом неудавшемся уроке какие-то положительные стороны, подчеркнет их, выделит при методическом разборе, а потом более строгим голосом скажет: «А обратить внимание надо на следующее...» И это «следующее» уже не так удручало студента, хотелось просто лучше работать, а не бить себя в грудь за старые промахи.

При всем своем гуманизме Константин Петрович не терпел панибратства. Учеников к доске вызывал только по полному имени и фамилии (например: «К доске пойдет Иванова Мария»). Тому же учил и своих студентов, повторяя: «Запомните, в школе нет девочек Саши и Леры, есть учительницы Валерия Мечеславовна и Александра Матвеевна» (Александра Матвеевна Захарова стала потом директором школы № 23).

И вот теперь, после окончания института, Валерия пришла в знакомую уже по педагогической практике базовую школу МГПИ им. В.И. Ленина. И навсегда стала Валерией Мечеславовной.

23-я школа в 1950-е годы гремела по Москве. Здесь была необычная обстановка: педагогический коллектив с одной стороны состоял из опытных педагогов, с другой — было много молодежи. Через какое-то время здание школы отдали под интернат, а саму школу перевели с Усачевки на Комсомольский проспект. Тогда же пришел новый директор Виктор Михайлович Коротов, словесник и психолог. При нем школа стала еще интереснее, он был автором многих идей и начинаний. Учебный день в то время заканчивался около 14 часов, но большинство учителей, особенно молодых, находились в школе до шести-семи вечера. Собирались у Коротова, сидели не только на стульях, но и на его столе и говорили, спорили, придумывали. Затем реализовывали идеи на практике. Впоследствии В.М. Коротов стал заместителем министра просвещения СССР.

Кстати, всё делалось только на энтузиазме. Зарабатывали тогда учителя очень скромно, никаких доплат (например, за внеклассную работу) не было, только за проверку тетрадей и классное руководство. Впрочем, молодых учителей это мало волновало, просто хотелось работать. Важной наградой было признание творческих успехов школы. Так, 23-я школа заняла первое место среди школ Москвы по комсомольской работе. В театре Советской Армии педагогическому

коллективу торжественно вручили знамя комитета комсомола, которое учителя несли от самого театра до Комсомольского проспекта (!).

В этой атмосфере творческого энтузиазма и начинала свой путь Валерия Мечеславовна. Она не только вела уроки, но и ходила с детьми в турпоходы, участвовала в поисковой работе, занималась комсомольской работой. Школьники тех лет сохранили теплые воспоминания о годах учебы у Валерии Мечеславовны. Рассказывает ее ученица Н.А. Курдюмова.

«Семиклассники часто сталкиваются с такой проблемой: в классе, когда учитель объясняет, все кажется понятным и простым, а остаешься один, начинаешь делать уроки, как откуда ни возьмись, вылезают трудности, возникают вопросы, о которых на уроке и не помышлял. Но Валерия Мечеславовна не спешила все пояснить, все разжевать, она всегда давала ученику шанс что-то додумать самостоятельно. Однако учительница умела повернуть дело так, чтобы думать хотелось и легко «додумывалось».

Помню, как в шестом классе я жаловалась Валерии Мечеславовне на то, что не понимаю определения параллельных прямых: «Как это так: “Не пересекаются, сколько бы их ни продолжали?” Ведь продолжать можно до бесконечности, а кто знает, что там произойдет? Кто может поручиться за поведение прямых в бесконечности?» Валерия Мечеславовна только улыбалась на мои «ахи» и «охи». Но через год я сама себе разъяснила этот вопрос следующим образом: «Да, данные прямые, допустим, а и b, могут где-то в бесконечности пересечься. Тогда мы их не будем рассматривать, выберем другие, допустим, a' и b', которые действительно нигде не пересекаются. Дело как раз в том, что таковые прямые среди массы прямых в пространстве обязательно найдутся. Вот их-то и назовем параллельными».

Валерия Мечеславовна говорила не много, и не мало, а в самый раз, изъяснялась не тихо, и не громко, но так, чтобы все слышали. Никогда не кричала и вообще на ребят не гневалась. Никто её не боялся, но никому и в голову не приходило ослушаться. Если вдруг на уроке нарушалась дисциплина, в классе начинали шуметь, учительница замолкала, опускала свои всегда красивые руки, страдальчески наклоняла голову и молча пережидала, пока незапланированный взрыв не пойдет на убыль.

Только один раз в жизни я видела Валерию Мечеславовну в настоящем гневе. Это было, когда она случайно узнала, как во время

перемены по классу летал башмак одного из нас. Мальчишки-восьмиклассники, далеко не ангелы, да еще бесившиеся от усталости во второй смене, вдруг заполучили ботинок самого безропотного мальчика нашего класса. Они стали пинать этот ботинок, как футбольный мяч, так что предмет обуви достигал потолка, а его безропотный обладатель так и сидел неподвижно, втянув голову в плечи. Вот тогда, на следующий день (нашей классной руководительницы в день проступка в школе не было) я и услышала ее речь о человеческом достоинстве, о том, что беречь его должен не только сам каждый отдельный индивидуум, но и все окружающие».

Вскоре Валерия Мечеславовна сменила фамилию Чиж на Винник. Иосиф Яковлевич Винник преподавал литературу в той же школе № 23. Ее ученики с четвертого этажа школы (сверху далеко видно) с удовольствием подглядывали, как Валерия Мечеславовна и Иосиф Яковлевич идут от автобуса к школе под ручку, а за квартал до школы размыкают руки и шествуют просто рядом друг с другом, как чужие.

Когда у четы Винник родилась дочка Леночка, весь класс нагрянул к ним в маленькую комнатку огромной многонаселенной квартиры, чем, конечно, причинил в выходной день огромные неудобства Валерии Мечеславовне, помешав ей готовить обед. Но зато все с радостью наблюдали, как Иосиф Яковлевич играет со своей черноглазой крошкой.

В начале 60-х годов семья Винников получила квартиру на Ломоносовском проспекте. В 1968 году Валерии Мечеславовне предложили должность завуча в школе № 37 Гагаринского района. К этому моменту она проработала в школе уже шестнадцать лет и была известна среди учителей и методистов Москвы. Новая работа позволила широко развернуться ее творческой натуре. Одним из первых начинаний стала организация педагогической практики на базе школы. Это была ее идея. Видимо, помня о своих студенческих годах, о творческой молодежи 23-й школы, Валерия Мечеславовна решила создать синтез опыта учителей и студенческого новаторства на новом месте. По правилам в базовых школах должны были находиться методисты МГПИ, но она убедила главного методиста Москвы Полину Борисовну Ройтман в том, что у школы есть опытные методисты, и она вполне может обойтись своими силами. Практика проходила два раза в год, учителя говорили про это время: «Три месяца загублены». Но на самом деле студенты по-своему помогали учите-

лям. Они вносили в размеренный учебный процесс творчество, придумывали и проводили внеклассные мероприятия. Каждый студент был обязан посетить не менее 10 уроков математики в классе, где ему предстоит давать уроки, и еще несколько уроков в других классах. Это означало, что к учителю в любой момент мог прийти студент, и каждый урок превращался в открытый. Это очень дисциплинировало учителей.

После посещения уроков студенты давали пробные уроки, потом давали три зачетных урока. Валерия Мечеславовна решила, что давать нужно именно три урока: вдруг сразу что-то не получится и первый урок сорвется? Тогда есть второй, который пройдет лучше. А третий — для закрепления успеха. Сама она присутствовала на всех уроках. Затем урок подвергался обсуждению. Валерия Мечеславовна делала разбор очень деликатно, старалась найти в уроке хорошее (в этом сказалось влияние К.П. Сикорского).

Но уроки — только часть того, что требовалось для зачета по практике. Следующим этапом было проведение внеклассного мероприятия. Студенты готовили КВН, сочиняли сказки, выпускали стенгазеты. Именно тогда зародилась идея ежегодного проведения «Недели математики». На этой неделе каждым классом не только готовились математические газеты, но и уроки проходили иначе: на каждом из них 10—15 минут отводилось для решения головоломок, занимательных задач, сообщений по истории математики и т.п. На неделе математики также проводились школьные олимпиады.

Наконец, последняя часть практики — проведение зачета для учащихся. Составлялся большой список вопросов по пройденному материалу, который раздавался ученикам для подготовки. На зачете каждый из них получал по три задания из списка и в течение некоторого времени готовился к ответу. Отвечал учителям или студентам. Часто по тому, как студент принимает зачет, были видны его способности к учительской профессии.

По окончании практики устраивалась конференция студентов, на которой подводились итоги и выставлялись оценки. Валерия Мечеславовна старалась, чтобы у всех были хорошие результаты. На конференции она дарила студентам подарки — книги по математике, которые собственноручно подписывала. Возможно, эту традицию она унаследовала от методиста Сикорского: в 1976 году он подарил ей книгу С. Боброва «Волшебный двурог» с дарственной надписью: «На

добрую память дорогой Валерии Мечеславовне, хорошему человеку, отличной учительнице математики, умному педагогу от старого товарища по специальности». Спустя почти 30 лет ниже появились строки: «Дорогой и любимой ученице Ирине Валентиновне! Я очень рада, что ученица превзошла учителя. Мне есть, чем гордиться! Желаю дальнейших успехов. Так держать! Эстафета продолжается». (И.В. Ромашко училась в классе у Валерии Мечеславовны, стала учителем математики и пришла работать в ту же школу).

Организация педагогической практики — только одна грань неутомимого творчества Валерии Мечеславовны. Она, как говорилось выше, была завучем школы № 37. Вся ее работа была четко продумана и организована. Ей удалось создать в школе теплую атмосферу, которую чувствовали и дети, и учителя. Всегда за всем следила, всё знала и добивалась всех поставленных перед собой целей. Часто посещала уроки учителей. У Валерии Мечеславовны была большая тетрадь в клетку, с которой она и ходила на уроки. В эту тетрадь она записывала все свои замечания и пожелания. Затем приходила снова, проверяла, стремится ли учитель исправить ошибки. Валерия Мечеславовна никогда не навязывала своего мнения, относилась к учителям доброжелательно, и при этом сама стремилась узнать и применить новое, не отстать от жизни. И всё делала только отлично: она не могла себе позволить работать на «троечку». Находясь рядом с ней, нельзя было халтурить. Она зажигала окружающих своим энтузиазмом, постоянно что-то искала.

Стремление быть «на гребне волны» проявлялось не только в работе. Несмотря на то, что Валерия Мечеславовна была сильно загружена, она много читала, любила театр, старалась не пропустить ни одной премьеры. Ходила на выставки, в музеи, любила музыку. Много ездила по городам, объездила чуть не весь Союз. И обязательно делилась с окружающими своими впечатлениями от увиденного и услышанного.

Тяга ко всему новому проявилась и в ее самообразовании. В 80-х годах стали появляться классы с углубленным изучением математики. Валерия Мечеславовна загорелась и решила открыть такие классы в 37-й школе. Для учителей, желающих работать в «углублёнке», тогда еще не было никаких пособий, все материалы нужно было готовить самим. Так и происходило: учителя ходили на курсы слушать А.М. Гольдмана, а затем адаптировали материалы лекций для учеников и шли в класс. Валерия Мечеславовна, которая к тому времени

уже 35 лет работала в школе и была Заслуженным учителем, пошла учиться на курсы. И совершенно не стеснялась этого. Наоборот, зазывала всех, говоря: «Ты что! Параметры — это же так интересно!»

Тогда же, в конце 80-х, стал активно пропагандироваться лекционно-семинарский метод. И Валерия Мечеславовна не преминула его использовать. В 90-е осваивала групповую работу с учащимися, очень интересовалась дифференцированным обучением. Накопленный опыт был отражен на страницах журнала «Математика в школе». Когда в жизнь вошла компьютерная техника, Валерия Мечеславовна втайне от всех дома пыталась освоить компьютер.

Помимо учебной и воспитательной работы Валерия Мечеславовна активно участвовала в педагогической жизни Москвы: выступала с докладом на Городских педагогических чтениях (1963), принимала участие в подготовке и проведении Городской научно-практической конференции (1964). В этом же году была награждена значком «Отличник народного просвещения», а через год ей присвоили звание «Ударник коммунистического труда».

Во время перехода на новые программы в течение двух лет на общественных началах вела семинар для учителей математики 9—10-х классов. В 1972 году принимала участие в общем собрании Академии педагогических наук СССР, посвященному вопросам политехнического обучения. С 1980 года школа № 37 стала базовой для факультета повышения квалификации директоров и завучей МГПИ им. В.И. Ленина. Ежегодно в школе проводился семинар слушателей факультета, на котором выступала Валерия Мечеславовна.

Работа завучем предполагала и составление расписания. В те времена не существовало компьютерных программ, которые облегчают составление расписания, и всё приходилось делать вручную. Это было непросто, ведь нужно было угодить и ученикам, и учителям. Расписание обычно составлялось на квартире Винников: Иосиф Яковлевич был директором школы № 194 (Гагаринского района), и ему тоже приходилось заниматься составлением расписания. Расписание для одной школы лежало на столе в одной комнате, для другой школы — в соседней. На кухне у Винников иногда проходили и «малые педсоветы». Тогда в микрорайоне были только три школы — 37-я, 38-я и 194-я, которые «делили» всех учащихся между собой. Директором школы № 38 была А.Н. Сурудина, которая до 1973 года занимала

этот пост в школе № 37. Администрация «школ-соперниц» жила в одном доме, на двух этажах кирпичной девятиэтажки.

Валерия Мечеславовна много путешествовала со школьниками. Ездили не только по городам и республикам Советского Союза, он и за рубеж: в Прагу (1967), в ГДР (1970), во Францию (1989 и позже). Это были поездки «по безвалютному обмену учащимися»: наши школьники в течение некоторого времени жили в семьях иностранцев, а их дети — в семьях россиян.

В школе был создан музей имени А.С. Макаренко. После принятия в пионеры учеников принимали в ЮМы — юные макаренковцы. Каждому макаренковцу выдавалось красное удостоверение, куда вклеивалась фотография. Внутри были записаны «Законы юных макаренковцев», среди которых имелись такие: «Высшее наказание — за неуважение девочки», «Не пищать ни при каких обстоятельствах». Юные макаренковцы напоминали юных тимуровцев. Традицией школы стал Праздник труда и талантов, который проводился каждый год в день рождения А.С. Макаренко 17 марта. На праздник приезжали бывшие колонисты и рассказывали, как они жили и работали в колонии им. А.М. Горького. В этот день школа не училась, проводились конкурсы пирогов, моделей, поделок. На конкурс пирогов каждый класс готовил пирог или торт, но не обычный, а обязательно оригинальный. Чтобы победить в конкурсе, нужно было не только приготовить красивый пирог, но и суметь ярко представить его публике. Бессменным ведущим конкурса стала Валерия Мечеславовна.

Несмотря на всю многообразную деятельность, которой занималась Валерия Мечеславовна, в первую очередь она была учителем математики, талантливым педагогом, требовательным к себе и детям. Каждый свой урок она тщательно готовила. Причем, будучи уже педагогом с многолетним стажем, она продолжала писать конспекты уроков мелким каллиграфическим почерком. Выписывала журналы «Математика в школе», «Квант», газету «Математика», использовала их при подготовке к урокам. Сейчас для учителя выпускается очень много пособий, из которых можно брать материал к урокам, тогда их почти не было, и учитель, если хотел хорошо учить, просто обязан был быть талантливым.

Валерия Мечеславовна очень любила цветы: их всегда было много и дома, и в школе. В кабинете математики у нее были небольшие стенды «Сегодня на уроке», «Работы учащихся», «Учись учиться»,

«Из истории математики», «Пиши правильно». На уроках использовала кодоскоп и цветной мел. Мел тогда был плохой, и Валерия Мечеславовна привозила его из заграничных поездок. Чертила очень аккуратно, обязательно с чертежными инструментами. Всегда проверяла домашнее задание, но никогда не ходила для этого по классу. Просто вызывала к доске без тетради. В домашнем задании предлагались не только задачи из учебника, но и взятые из разных книг и журналов. Валерия Мечеславовна много спрашивала у доски, любила давать интересные вопросы на применение знаний в незнакомой ситуации. У нее были высокие требования к ученикам: простое воспроизведение материала — это только «три», на большую оценку уже нужно было потрудиться. Никогда не позволяла себе отложить проверку контрольных работ, это было первое, за что она бралась после уроков. Дети ее любили, на зачетах многие шли отвечать ей, поскольку Валерия Мечеславовна всегда старалась «вытянуть» ученика, даже если он совсем плохо знал материал.

Для многих своих учеников Валерия Мечеславовна стала не только учителем математики, но и другом. В течение многих лет она каждый год встречалась со своим первым выпуском 1957 года. Удивительно оптимистичный человек, готовый помочь всем, любящий и детей, и взрослых. Своим ученицам, ставшим ее коллегами, она говорила: «Девочки, улыбайтесь! Дети — это радость». Никогда от Валерии Мечеславовны было не услышать жалоб на жизнь. Неутомимый искатель нового, жизнелюб, помощник всем — такое впечатление, что внутри у нее был неиссякаемый запас энергии, мотор, который заставлял ее лететь вперед. Даже когда Валерия Мечеславовна была неизлечимо больна, она не падала духом, продолжала интересоваться происходящим вокруг. В апреле 2006 года ее не стало.

Уходя из жизни, человек все оставляет на этой земле. Валерия Мечеславовна оставила нас, своих учеников разных лет. Мы можем только надеяться, что так же достойно проведем свою жизнь, как она ее провела, так же выучим ребят, вырастим, детей и внуков, как она это сделала, и так же бесстрашно встретим смерть, как это удалось ей.

Записал В.М. Бусев

А.В. Жмулёва, С.И. Злобина, С.К. Нурутдинова, В.М. Бусев, С.А. Соколова

Лидия Леонидовна Степанова (1941—2004)

Л.Л. Степанова всю свою жизнь отдала математическому факультету МГПИ им. В.И. Ленина (теперь МПГУ). Она ушла от нас, когда ей было не много за шестьдесят. Загруженная работой, она отмахивалась от болезни. Потом, к сожалению, было слишком поздно... Ее уход из жизни — большая потеря. И не только для нас — ее коллег и учеников, но и для всего математического образования страны. Эти воспоминания — дань ее светлой памяти.

Лидия Леонидовна Степанова родилась в Москве 13 апреля 1941 г. Отец погиб в первые дни войны, и мама осталась одна с тремя детьми. Дети выросли и все получили высшее образование. Сестра Изабелла окончила авиационный институт, брат Анатолий — строительный, а Лидия, самая младшая, в 1959 году поступила на математический факультет Московского городского педагогического института им. В.П. Потемкина. В 1960 г. Потемкинский и Ленинский пединституты объединили, и Лидия Леонидовна стала студенткой Ленинского пединститута.

Училась она великолепно, состояла в студенческом научном обществе, была ленинским стипендиатом, ее фотография висела на стенде в главном здании института. Дипломная работа Л. Л. Степановой была посвящена популярному в те времена направлению в педагогике — «программированному обучению». В рамках работы над темой в московской школе № 454 проводился эксперимент, результаты которого опубликованы в журнале «Математика в школе» (1964, № 2).

Сразу после окончания института Лидия Леонидовна поступила в аспирантуру на очное отделение кафедры алгебры и теории чисел к В.И. Нечаеву, ставшему ее учителем и впоследствии близким другом, которому она помогала в самых тяжелых жизненных ситуациях. В предисловии к своей книге «Избранные главы теории чисел» Лидия Леонидовна писала: «На всем пути формирования содержания этой книги и программы курса неоценимы была поддержка и советы моего Учителя — Василия Ильича Нечаева, светлой памяти которого кланяюсь». Вместе они участвовали в разработке программ по курсу теории чисел для педвузов. Уже на втором курсе аспирантуры — в 1965 году — Лидию Леонидовну привлекли к преподаванию на родном факультете, где она и проработала всю жизнь.

Лидия Леонидовна принимала активное участие в жизни факультета. Она была куратором группы, состояла в профбюро факультета, разрабатывала учебные программы по курсу теории чисел для педвузов, была заместителем декана математического факультета. Впрочем, обо всем по порядку.

В те времена каждая группа имела своего куратора. Каждую неделю в институте проводились двухчасовые политзанятия. Один раз в месяц занятия были общими для всех групп, и на них читали лекции ведущие специалисты института США и Канады, института Азии и Африки и др. Остальные занятия проводили кураторы — каждый для своей группы. Тематика этих занятий могла быть разной, не обязательно политической. Лидия Леонидовна очень любила поэзию, хорошо в ней разбиралась и поэтому часто проводила интереснейшие занятия, посвященные поэзии. Любимым поэтом Лидии Леонидовны была Марина Цветаева. Она часто цитировала Цветаеву, хорошо знала историю ее жизни и даже свою дочь назвала Мариной в честь Цветаевой.

Лидия Леонидовна состояла в профбюро преподавателей математического факультета. Сотрудники профбюро оказывали материальную помощь преподавателям, доставали билеты на праздники, на елки детям, проводили дни книги, обсуждали трудовую дисциплину преподавателей и студентов.

Л. Л. Степанова была очень выдержанным человеком. А.В. Жмулева рассказывает, что не помнит случая, когда Лидия Леонидовна выходила из себя. Она всегда очень спокойно и тактично разговаривала с людьми, хотя любой другой человек на ее месте уже наверняка потерял бы контроль над собой.

В середине 80-х годов Л. Л. Степанова заняла должность заместителя декана. И стала проводить на работе все свое время. Ее всегда можно было найти на факультете, она оставалась здесь допоздна. Работа в деканате имеет определенную специфику — как говорила сама Лидия Леонидовна, для преподавателей «деканат всегда не прав». Поэтому когда преподаватель приходит в деканат, его надо обласкать и ненавязчиво убедить, что деканат прав.

Лидия Леонидовна была очень доброй, отзывчивой и чуткой. Когда ее подруга С.И. Злобина лежала в больнице, она навещала ее, несмотря на то, что работала с утра до вечера, и свободного времени почти не оставалось. Светлана Ивановна часто гостила у Лидии Леонидовны на даче. Из ее воспоминаний: «Лидия Леонидовна вставала

рано утром, садилась на веранду, открывала какую-нибудь книгу, чаще на французском языке, и выбирала оттуда интересные сведения, чтобы подготовить спецкурсы для студентов». У Лидии Леонидовны с мужем была огромная библиотека с редкими книгами: «они ели на книгах, спали на книгах, все было заставлено книгами».

Лидия Леонидовна долго работала на подготовительных курсах математического факультета. Благодаря ей многие школьники поступили в институт и успешно его окончили. Рассказывает ее ученик Василий Бусев.

«Впервые я увидел Лидию Леонидовну Степанову на подготовительных курсах при математическом отделении МПГУ. Мы, одиннадцатиклассники, плохо представлявшие себе, что такое институт, собрались в 206-й аудитории на втором этаже факультета и пугливо озирались по сторонам. Делать что-то в новое — всегда волнующе, особенно — прийти учиться в стены главного педагогического вуза страны. Как нас, несмышленых школьников, примут здесь? Что ждет нас в будущем?

Ровно в четыре Лидия Леонидовна вошла в аудиторию. На лице улыбка, в голубых глазах блеск. Она стала нам объяснять, как добраться до главного корпуса, где будут проходить занятия по русскому языку. И сразу внесла какую-то живую струю в наше знакомство, весело чертила на доске схему, поясняя: «Проходите мимо места, где троллейбусы спят... забыла, как называется!» — «Троллейбусный парк». — «Да-да, так вот вам туда пока не нужно, вам дальше!». Так, шутя и улыбаясь, она неспешно говорила, и мы успокоились — институт перестал казаться страшным.

Занятия на подготовительных курсах вела или сама Лидия Леонидовна, или Оля — магистрантка, которую Лидия Леонидовна нам ставила в пример. Слова «бакалавр», «магистр» и «аспирант» оказывали на нас магическое действие: подумать только — магистрантка! Бывало, Лидия Леонидовна входила и, хитро улыбаясь, спрашивала что-нибудь вроде: «А вы знаете, что такое теорема о трихотомии?» Мы, конечно, не знали и в смущении пожимали плечами. Выждав паузу, она произносила: «Вот дорастёте до третьего курса, узнаете! Но и сегодня мы немного поговорим об этой теореме». И начиналось занятие, посвященное свойствам неравенств.

Как я теперь понимаю, занятия проходили на весьма высоком уровне. Мы решали много задач, в числе которых были и весьма сложные (особенно логарифмические и тригонометрические уравне-

ния и неравенства, задачи по стереометрии). Вступительный экзамен оказался для нас намного проще, чем мы думали. На первых курсах стало понятно и то, что нас готовили к лекционно-семинарской форме работы — влиться в учебный процесс было нетрудно. Лидия Леонидовна даже устраивала нам зачеты по пройденному материалу. Это было не формальное действо (типа школьных контрольных, которые всегда можно «переписать»), а настоящий зачет с очень высокими требованиями. Примерно половина курсистов его не сдала. И это были отнюдь не бездельники. Просто Лидия Леонидовна, а вместе с ней и приглашенные студенты-третьекурсники, были к нам очень строги.

Год пролетел незаметно. Вся группа, за исключением нескольких человек, успешно сдали вступительные экзамены. Лидия Леонидовна была куратором нашего курса и часто приходила к студентам, особенно к нашей, по традиции пятой группе. Первый год, конечно, был непростым: далеко не все, как это обычно бывает, почувствовали ответственность за результаты своей учебы. Многие студенты были отчислены после первой же сессии, хотя требования были весьма либеральными — всегда была возможность пересдать предмет несколько раз. Наша группа, к счастью, осталась целой. Иногда у студентов возникали с Лидией Леонидовной конфликты, я не раз слышал недовольные отзывы о ней. Трудно сказать, кто был прав в том или ином случае. Но замечу, что у людей успевающих не было на нее каких-то обид. Очень часто бывало, что Лидия Леонидовна старалась вытянуть («спасти», по ее выражению) того или иного студента, добивалась возможности какой-то уже немыслимой по счету пересдачи. Но иногда она была непреклонна и могла настаивать на отчислении. Случалось, что отчисляли не совсем, а переводили в колледж («шарага», как его звали студенты). Через год или два, когда студент «одумается», его переводили на третий курс. Так вышло с одним моим приятелем (а теперь коллегой по работе), которого Лидия Леонидовна заподозрила в недобросовестном поступлении, блате. Недавно он сказал мне: «Знаешь, она меня, конечно, отчислила, но очень многим помогла...»

Вообще принципиальность в сочетании с большим уважением к студентам была главной ее чертой. Однако Лидия Леонидовна не могла терпеть двух вещей — лени и обмана. Вспоминает С.А. Соколова: «Помню, как одна моя однокурсница подложила Лидии Леонидовне контрольную работу после окончания срока сдачи. Она заметила это, и бы-

ло видно, насколько ей неприятен этот бесчестный поступок. С тех пор она относилась к этой студентке более чем прохладно». Из воспоминаний В. Бусева:

«...На третьем курсе Лидия Леонидовна стала читать для нас теорию чисел и вести семинары. Это было интересное время, ее занятия мне запомнились очень хорошо. У Лидии Леонидовны была своеобразная манера общения, а также чтения лекций. Она всегда была добродушна. Невысокая, немного сутулая, в серой вязаной кофте и синих брюках, она входила в аудиторию. Нет, даже не входила, а влетала! Удивительно голубые ее глаза всегда искрились; прищуриваясь, она бросала острые взгляды вглубь аудитории, оценивая обстановку. И всегда с улыбкой шла к доске. На занятиях часто подтрунивала над студентами, но всегда остроумно, к месту и обязательно по-доброму. Например, студент не выспался, сидит, зевает во весь рот, Лидия Леонидовна заметила, хитро улыбнулась, указывает на него и говорит: «Смотрите, он так зевает, что сейчас меня проглотит!»

На лекцию Лидия Леонидовна с собой никогда ничего не приносила, читала без бумажек и шпаргалок. Часто случалось, что она не помнила какого-то доказательства. Тогда она останавливалась и пыталась придумать его заново, прося при этом помочь аудиторию. Аудитория, понятно, далеко не всегда могла «придумать» доказательство, и обычно Лидия Леонидовна сама вспоминала или выводила результат. Тогда она улыбалась и как бы недовольно сквозь улыбку ворчала: «Ну что же вы! Я уже всё придумала, а вы нет». Такой стиль изложения материала заставлял всё время быть в некотором напряжении, следить за ходом мысли лектора. Многим студентам это не очень нравилось: гораздо удобнее, когда изложение идет стройно — нет необходимости задумываться, можно просто записывать. Я был сильно удивлен, узнав, что большинство студентов, как правило, пишут под диктовку, не вникая в суть выкладок.

На семинарах Лидия Леонидовна старалась больше слушать нас, чем говорить сама. Особенно это проявилось во время написания курсовых работ. Многие из нас взяли темы по теории чисел, и на семинарах мы делали доклады. Это были доклады не «для галочки», когда студент монотонно читает с листа, это были доклады с обсуждениями, с прерываниями на вопросы и комментарии. Не у всех получалось хорошо, и Лидия Леонидовна иногда останавливала докладчика и просила подготовиться к следующему разу лучше. Вообще

каждый доклад подвергался обсуждению с ее стороны. Темы были простые, литература доступна, и Лидию Леонидовну интересовала не столько математическая часть, сколько организационная: как держался докладчик, уложился ли по времени и т.д. Потом я понял, что это была подготовка к защите дипломных работ...»

Впрочем, математика была основным содержанием семинаров, и Лидия Леонидовна не давала в этом послаблений студентам. Вспоминает С.А. Соколова: «Как-то на семинаре она дала нам сложную нестандартную задачу. Никто ее не решил, и нам задали задачу на дом. Дома опять же никто не решил. И тогда Лидия Леонидовна сказала, что эта задача выносится на контрольную работу, причем без ее решения высший балл получить не удастся. Все студенты были очень возмущены — ведь никто же тогда не получит пятерку! Но потом мы вместе с однокурсником, немного подумав, решили задачу. И не такая уж сложная она была, эта задача, просто нестандартная, и требовала некоторых усилий. Теперь я понимаю, что Лидия Леонидовна дала эту задачу не из вредности и не для того, чтобы никто не получил «пять». Она знала, что мы способны решить ее, и хотела заставить нас думать».

Лидия Леонидовна всегда помогала библиотеке. Она провела большую работу со студентами по оказанию помощи библиотеке в приобретении литературы. Благодаря ее стараниям выпускники факультета несколько лет дарили библиотеке большое количество новой литературы. Это было в начале двухтысячных годов, когда библиотеке было очень трудно в связи с практически полным отсутствием финансирования. По инициативе Лидии Леонидовны студентами и выпускниками математического факультета было отксерокопировано 100 экземпляров учебника по высшей геометрии Л.С. Атанасяна, переплетено 50 экземпляров учебника А.А. Бухштаба по теории чисел, 50 экземпляров задачника Б.П. Демидовича.

Конечно, в библиотеке ныне хранятся не только книги, приобретенные или отреставрированные благодаря Л.Л. Степановой. Есть труды, написанные ею лично или в соавторстве с коллегами. Это, во-первых, книга «Арифметика. Практикум по решению задач» (М.: МГПИ, 1986; совместно с А.В. Жмулевой). По этому практикуму студенты математического факультета делали свои первые шаги в теории чисел. Здесь рассмотрены вопросы делимости чисел, простые числа и систематические числа. В ближайшее время в издательстве «Вербум-М» должен выйти обновленный, расширенный и дополненный вариант этой книги.

Во-вторых, это уже упомянутая книга «Избранные главы элементарной теории чисел» (М.: Прометей, 2001). Она написана на основе лекций, которые Лидия Леонидовна в течение нескольких лет читала студентам в рамках курса «Специальные главы элементарной математики». В предисловии сказано, что главную свою задачу автор видел в отборе материала, способствующего повышению арифметической культуры студентов, в первую очередь, будущих учителей математики. В книге рассмотрены вопросы, относящиеся к классическим вопросам теории чисел, такие как «Факторизация натуральных чисел», «Суммирование числовых последовательностей», «Решение неопределенных уравнений», «Средние значения арифметических функций». На страницах книги Лидия Леонидовна не только дает исторические справки, но и указывает современное состояние рассматриваемых вопросов.

Так же она вела и занятия (В. Бусев):

«Лидия Леонидовна старалась донести до нас красоту своей науки — теории чисел. На многих семинарах она рассказывала и о древних ученых, внесших вклад в развитие теории чисел (Пифагоре, Евклиде, Диофанте), и об ученых XVII—XVIII вв. (Ферма, Мерсенне, Эйлере и ее любимце Гауссе), и о современных отечественных математиках И.М. Виноградове, А.А. Бухштабе, В.И. Нечаеве (с последними двумя Лидия Леонидовна была знакома лично). Эти рассказы, вероятно, не планировались ею заранее, часто исторические сведения сообщались мимоходом, при решении той или иной задачи. Зная эту ее любовь к истории науки, мы подарили Лидии Леонидовне на день рождения книгу Г.П. Матвиевской «Неопубликованные материалы Л. Эйлера по теории чисел».

Эти непринужденные, как бы незапланированные экскурсы в историю арифметики сделали свое дело: многие студенты впоследствии писали бакалаврские работы по теории чисел.

Когда Л.Л. не стало, я написал стихотворение-некролог, которое теперь завалялось где-то среди бумаг. Почему-то из него я запомнил только эти строчки:

Архимед, Пифагор, Гаусс, Эйлер —

Всех ты, Лида, нам донесла.

И хотя мы не очень хотели,

Но нашлись, кого ты зажгла».

Н.А. Курдюмова

Былое

Воспоминания учительницы о Колмогоровской реформе

В 60-х гг. прошлого века «Колмогоровской реформой» называли такие нововведения в школьный курс математики, которые решительно поменяли не только содержание этого курса, но заставили изменить сам математический язык. Нововведения существенным образом отразились на методике преподавания математики. Для советской школы это были изменения огромной важности. В дальнейшем изложении для краткости будем называть их просто Реформой.

Основная цель Реформы состояла в том, чтобы интенсифицировать преподавание, приблизив его к проблемам, которые рассматривались математиками не в древности, а в исторические периоды, более близкие к современности. В частности, предполагалось завершить курс математики рассмотрением дифференциального и интегрального исчислений и теории вероятностей.

В то время развитие техники в СССР находилось на таком уровне, когда требовалось много инженеров, умеющих рассчитывать параметры космических объектов и других высокотехнологичных изделий. Математиков катастрофически не хватало, вычислительная техника только создавалась. В то время был популярен тезис, что «ценность каждого культурного человека как работника определяется тем, насколько он знает высшую математику, и, прежде всего, дифференциальное и интегральное исчисление». Это не преувеличение, это признание самих профессиональных математиков (Артищева Е.К., Гриценко В.А. «О целесообразности отделения начал анализа от курса элементарной математики»; Математика в школе, 1999, № 6).

Так что стремление найти царскую тропу в математику было продиктовано высшими соображениями о нуждах государства. Поэтому лозунг «Скорей к анализу!», хотя и не звучал физически, но практически владел умами многих людей и, прежде всего, умами профессиональных математиков и учителей математики.

А подобраться к анализу иначе, как через теорию множеств было никак невозможно, поскольку весь анализ именно на теории множеств основан. Поэтому первоначально все соглашались с тем, надо начинать Реформу с введения в школу элементов теории множеств.

В 60-е гг. прошлого века никто не знал и предположить не мог, что математики и физики, которые в основном занимались созданием вычислительной техники, роют... могилу для популярности своей профессии. Так называемые ЭВМ занимали тогда целые залы. А работали с этими вычислительными средствами «крутые» профессионалы.

Появившийся много позже и ставший распространенным в конце XX века персональный компьютер явился мощным интеллектуальным усилителем, который обесценил в конце концов святая святых — сам труд математика. А это обстоятельство немедленно отразилось на школьном курсе математики.

Например, раньше много внимания уделялось тождественным преобразованиям алгебраических дробей (надо было уметь не только быстро приводить их к общему знаменателю, но и представлять в в виде, удобном для интегрирования, т. е. преобразовывать некоторую алгебраическую дробь в сумму дробей). Но теперь появились программы, например «Математика 3», использование которых помогает получить нужный результат простым нажатием клавиш.

Новые информационные технологии обеспечили возможность применять практически всю прикладную мощь математики без весьма трудоемкого процесса усвоения ее технического аппарата. Так что предполагавшийся в начале Реформы значительный рост инженерных кадров не состоялся. Произошла трагическая ошибка: развитие общества опровергло разделяемый ранее всеми прогноз о роли математики в науке и технике.

Последствия этой ошибки почувствовали на себе миллионы людей. Многие жизни были принесены в жертву делу, которое через несколько десятилетий показалось уже не таким важным, а выбранная ранее дорога теперь представляется не самой правильной.

Но эти люди жили, боролись и мечтали о создании образованного общества. До сих пор не сказана вся правда о судьбах школы конца XX века и о тех, кто определял тенденции народного образования в те годы. Одни не знали как следует, что происходило, других останавливала боязнь кого-то обидеть. Теперь многие активные деятели Реформы уже ушли из жизни. Проанализировать их ошибки и неудачи, не замалчивать их, а извлечь из них важные уроки кажется мне сейчас делом чести и моего поколения, и того, которое идет нам на смену.

Вдохновителем и организатором реформы стал главный математик нашей страны академик Андрей Николаевич Колмогоров. Его

научные результаты были признаны во всем мире. Почти все европейские научные общества удостаивали академика Колмогорова почетными званиями. Правда, к 60-м гг. золотой дождь европейских признаний стал литься уже не столь мощным потоком, поскольку у академика Колмогорова закончился тот период, когда он получал свои самые глубокие, самые поразительные математические результаты. Но в СССР его слава не померкла. Он был одним из самых популярных деятелей науки, и одновременно самым доступным.

Андрей Николаевич Колмогоров по характеру был человеком открытым, доброжелательным. Рассказывают такой эпизод. Его аспиранты как-то собрались посетить любимого профессора у него на даче, где он творчески работал. Договорились заранее, что профессор встретит гостей на железнодорожной станции, прямо у вагона электрички. Но когда электричка подошла и двери открылись, профессор, вместо того, чтобы поприветствовать гостей на перроне, сам быстро вскочил в их вагон, чтобы проехать вместе с ними до следующей станции. Он хотел иметь удовольствие пройтись вместе с веселой молодой компанией 5 километров от следующей станции до своей дачи.

Неудивительно, что общительный человек, не связанный обязательствами секретности (он работал на оборону очень короткое время, только в период Великой отечественной войны) часто становился предметом внимания журналистов, а это увеличивало число публикаций о нем.

Его фотографии в полный рост публиковались в популярном иллюстрированном журнале «Огонек», на его лекциях полностью заполнялась самая большая аудитория Московского университета. А от одного перечисления правительственных наград и ответственных должностей, которые занимал А.Н. Колмогоров в СССР, способна закружиться голова.

Академики АН СССР сначала с некоторым удовлетворением увидели, что неудержимая энергия их коллеги полилась в другую, рутинную, совсем, казалось, бесперспективную сторону. Уж теперь-то они могли свалить на Колмогорова все дела, касающиеся школы, с которыми к ним то и дело приставали представители различных кругов, близких к правительственным. Академики спокойно занимались своими исследованиями, не опасаясь, что их будут привлекать к решению скучных, хлопотных, и, как правило, плохо оплачиваемых, школьных дел.

Это только потом, через 5—10 лет после начала Реформы оказалось, что учителя слушают Колмогорова, раскрыв рот. Оказалось также, что методисты пишут книги и диссертации только о том, что о услышали от А.Н. Колмогорова или о том, что осознали с его помощью. Но обиднее всего было поведение издательств. Ориентируясь на читательский спрос и учитывая многомиллионную аудиторию школьников и учителей, издательства печатали только те книги, которые обслуживали школьную реформу (учебники, методички, решебники и т. д.). Даже в математическом журнале напечатать что-либо без ведома Колмогорова было невозможно, поскольку в СССР существовало всего два математических журнала общесоюзного уровня: «Квант» (в нем А.Н.Колмогоров был заместителем главного редактора) и «Математика в школе» (главный редактор этого журнала — Р.С. Черкасов — был одним из соавторов А.Н. Колмогорова по учебнику геометрии для средней школы).

Короче, оправдалась в очередной раз поговорка: «Везет тому, кто сам везет». А многие заслуженные люди, опоздавшие во время впрячься в «школьный воз», вынуждены были наблюдать, как золотой дождь популярности, власти и денег, опять пролился мимо них, причем туда же, куда он уже проливался и ранее. Это было тем более обидно, что заслуженными могли себя считать многие советские математики и физики, но они работали на оборону, поэтому их труды оказались засекреченными.

В середине 70-х гг., когда пробуксовка реформы стала всем очевидной, в министерстве просвещения начали выяснять, а откуда, собственно, Реформа есть пошла. Занялись поисками каких-нибудь основополагающих материалов, критиковавших существовавшее положение дел в средней школе. Но ничего не нашли, кроме двух-трех абзацев в статьях А.Н. Колмогорова, посвященных «старым» учебникам.

Однако в начале 60-х гг. школьное содержание математического образования не критиковали разве что первоклашки. Говорили, что по алгебре школа едва доползла до начала XVII в. и то, только благодаря Виету. Что по анализу она вообще не продвинулась и находится много ниже Ньютона, что по геометрии она отстала на две тысячи лет и едва ли сможет понять, о чем толковал Евклид. Только по тригонометрии школа сделала приличный рывок в XVIII век — благодаря трудам великого Эйлера.

Повторять в печати такие слова Колмогорову было мало нужды, поскольку их твердили все лучшие методисты (от К.Ф. Лебединцева до А.Я. Хинчина) еще в начале XX века. Всем хотелось революции, хотя бы в области математического образования.

Великолепный учебник геометрии А.П. Киселева, выдержавший к началу 70-х гг. 31 издание, учителям просто... надоел. Всем хотелось крутых перемен! Можно сказать, что шквал революции, поднявшийся в 1917 г., к 60-м г. докатился и до школы. Все завидовали революционным временам, грезили о них, но мало кто вспоминал, что любая революция — это прежде всего трагедия народа.

Я пишу эти строки, а в ушах у меня звучит строка из популярной в 60-х гг. песни. В ней говорилось, что ее лирический герой хотел бы погибнуть в сражениях гражданской войны:

И если даже я умру лет через семьдесят,

Я все равно паду на той,

На той далекой, на гражданской,

И комиссары в пыльных шлемах

Склонятся молча надо мной...

В середине 60-х г. никто и помыслить не мог, что с началом Реформы начнется холодная гражданская война, в которую будут вовлечены и учителя математики, и ученые, и дети, и их родители. Война будет проходить под флагом усовершенствования школьной математики, но сам курс математики станет только полем битвы, в которой чувства детей по большому счету никого не интересовать не будут.

И эта война истребит лучшие силы педагогов и математиков, так что всё произойдет в соответствии с заказом: «паду на гражданской».

* * *

Интерес академика Колмогорова к школе педагогическая общественность восприняла сначала с благодарностью и радостным изумлением. Но потом простые смертные объяснили сами себе дело таким образом: «Человек, едва перешагнувший рубеж шестидесятилетия и никогда не имевший собственных детей, ищет молодые таланты, которые смогут так же плодотворно работать в области математики, как он сам когда-то работал. Более того, при надвигающейся старости, люди склонны идеализировать свою юность. Поэтому ученый постоянно вспоминает свой опыт преподавания, который он получил в школе девятнадцатилетним юношей, и, невольно идеализи-

руя этот опыт, полагает, что он так же хорошо знает школу, как и опытные учителя». Следует еще добавить: многие наверняка считали, что преподавательская работа привлекает ученого еще и тем, что питает человека такой психической энергией молодежи, которая способна отодвинуть старость и придать новый импульс интеллектуальным занятиям. Для всех этих рассуждений имелись свои основания.

Во-первых, академика Колмогорова всегда окружали ребята. Чаще всего это были победители математических олимпиад разного уровня. Олимпиадное движение возобновилось в СССР именно с подачи А.Н. Колмогорова и благодаря его авторитету и энергии процветало. Сохранилась фотография, на которой учащиеся окружили своего патрона так плотно, что его с трудом можно среди них разглядеть: так много места заняли они и так мало свободного пространства осталось для самого Андрея Николаевича.

Во-вторых, многие ныне известные ученые признавались, что именно общение с А.Н. Колмогоровым подсказало им направление собственных научных занятий и, в конечном счете, определило их творческую судьбу.

В-третьих, жизненная сила ученого поражала решительно всех. В 60—70 лет он совершал дальние пешеходные прогулки, плавал на байдарке (сохранилась соответствующая фотография), всегда был спортивен, динамичен, загорел и весел. Как тут не подумать о мистической передаче жизненных сил!

Реформа началась с переделки содержания образования в начальных классах. Созданием учебников для начальной школы руководил в то время видный советский математик, один из заместителей министра просвещения Алексей Иванович Маркушевич. Его имя было широко известно. Он написал ряд великолепных пособий для высшей школы. По инициативе А.И Маркушевича, А.Я. Хиничина и П.С. Александрова была создана «Энциклопедия элементарной математики», ставшая незаменимым пособием школьных учителей и вузовских преподавателей. А.И. Маркушевич много сделал для того, чтобы вышла в свет Детская энциклопедия, впоследствии так всем понравившаяся. Алексей Иванович написал для неё ряд прекрасных статей. Таким образом, он был всеми признан как великолепный популяризатор науки. Кроме того, москвичи знали А.И. Маркушевича как страстного библиофила. Было хорошо известно, что Алексей Иванович ничего не пожалеет ради редкой книги. Он даже с друзьями ссорился из-за этой своей страсти.

С давних пор завязалась дружба Алексея Ивановича Маркушевича и Ростислава Семеновича Черкасова. Маркушевич знал Черкасова как замечательного учителя и даже перевел в его школу своего сына (это было еще до войны). С Ростиславом Семеновичем дружил Константин Петрович Сикорский — один из лучших методистов Москвы середины XX века.

К.П. Сикорский воспитал многих московских учителей, например, В.М. Винник и А.М. Захарову, которая стала к 1963 году директором школы № 23 Ленинского района Москвы. Учителя этой школы выступали в печати с поддержкой Реформы. Для Винник и Захаровой слово Сикорского, конечно, имело огромный вес. Так что они высказывались за Реформу прежде всего потому, что ее поддерживал Сикорский. А этот последний следовал научным убеждениям Маркушевича и Черкасова, может быть, решительнее их самих. Все трое — Маркушевич, Сикорский, Черкасов — были соавторами учебника «Алгебра и элементарные функции» (1968). Эта книга, предназначавшаяся учащимся старших классов, оказалась провозвестником Реформы.

Если мы хотим понять решительное раскручивание Реформы в 60-е гг., то должны учесть такую вещь, как протекционализм. Это явление в Москве всегда было распространено. Издревле любой человек, рассчитывая на успех в делах, прежде всего учитывал свои дружеские связи, протекцию. Всегда вслух осуждаемый протекционизм играл в московском обществе своеобразную положительную роль. Во-первых, обращаясь к знакомым, проще было найти нужного человека на вакантное рабочее место. (Автора этих строк когда-то порекомендовал в редакцию К.П. Сикорский.) Во-вторых, «связи», давали возможность получить неофициальную характеристику человека, которая во многих случаях оказывалась точнее официальной. В-третьих, рекомендующий опасался продвигать по службе заведомого лентяя или подлеца, поскольку тогда тень от некрасивого поведения рекомендованного легла бы и на рекомендовавшего. Таким образом, протекционизм служил способом, которым культурная прослойка общества защищалась от людей случайных и неквалифицированных.

Но протекционизм ограждал москвичей от жителей всей остальной страны, ставя их в весьма щекотливую ситуацию и мешая притоку свежих сил. К тому же он становится опасен, когда общество в целом неверно оценивает историческую перспективу, а в данном случае так и случилось.

Мне вспоминается один гениальный телевизионный ролик: «Сидит в трюме большевик с наганом и готовится к жесткой обороне. Вдруг стук в дверь. Он спрашивает, насторожившись: «Кто там?» Ему отвечают из-за двери: «Технический прогресс». Вот так, за железным занавесом политики, который усиливался еще столичным протекционизм, мы едва не проворонили информационные технологии. Ведь во времена Н.С. Хрущева, т.е. в самой середине XX века, кибернетику чуть было не объявили лженаукой.

* * *

Алексей Иванович Маркушевич был известен как великолепный лектор. Еще с довоенных лет он часто по воскресеньям выступал в Московском университете для всех желающих. По одной из его лекций была написана брошюра «Площади и логарифмы», серия: «Популярные лекции по математике». Вообще в этой серии вышли четыре блистательные работы А.И. Маркушевича.

В Академии педагогических наук А.И. Маркушевич вел интересный семинар «Основные проблемы преподавания математики в средней школе», привлекавший немало слушателей. Они отмечали мудрость и простоту тех комментариев, которые давал на семинаре А.И. Маркушевич. Многие и на семинар-то ходили только за тем, чтобы после дежурных выступлений услышать комментарии Маркушевича, которые часто в неожиданном свете показывали все услышанное.

Масштаб личности А.И. Маркушевича невозможно верно оценить, если не учесть, что он был страстным библиофилом. Свою знаменитую во всей Москве библиотеку он собирал вместе с женой и часто тратил на книги большие деньги, отрывая их у семьи.

Здесь уместно сказать о том, что такое вообще коллекционирование. В свете последних событий в Эрмитаже оно представляется совсем не таким, каким виделось раньше. Как только официально объявили о масштабных хищениях в Эрмитаже, многие коллекционеры тем или иным способом вернули похищенные ценности. Понятно, никому не хочется опорочить дело своей жизни из-за одной-двух вещей. Коллекционерам часто приходится закрывать глаза на то, каким именно способом удалось раздобыть тот или иное приобретение. Но это вещи, изделия из золота и серебра, драгоценных камней, проследить «путь» которых не так и сложно. Иное дело книги, которые иногда «путешествуют» из рук в руки самым причудливым образом.

Теперь мы не станем удивляться неосторожности Алексея Ивановича Маркушевича, который когда-то приобрел книгу со штампом библиотеки им. В.И. Ленина. В Москве ходил слух, что эту книгу Маркушевичу подсунул один из его недобросовестных референтов. Вообще библиотека Маркушевича была известна по всей стране, поскольку собиратель часто о ней писал в различных изданиях. Значит, он не опасался относительно законности своих приобретений.

Трудно сказать, что погубило А.И. Маркушевича — его библиотека или усталость общества от Реформы, которую школа в целом просто не потянула. Но связь первого со вторым кажется мне теперь очевидной.

Такое ощущение, что в кругах особистов давно хотели свернуть Реформу, но не знали, как это сделать. Поэтому решили сначала скомпрометировать самого пылкого ее энтузиаста, человека острого на язык и поднаторевшего в дискуссиях разного рода — Алексея Ивановича Маркушевича. В честном споре с ним опасно было тягаться. Но все знают, что провокация всегда была первейшим оружием любых недоброжелателей — и древних, и современных.

В 1978 г. (не ручаюсь за дату) по Москве прополз слух, что в квартире Маркушевича состоялся обыск и была найдена книга со штампом библиотеки им. В.И. Ленина. Одновременно, в одном из центральных изданий появилась заметка, в насмешливом тоне рассказывающая о Маркушевиче (сама я эту заметку не читала, передаю с чужих слов). В результате Алексей Иванович слег в больницу с инфарктом. Он уже начинал поправляться, но перед самой выпиской у него началось воспаление легких, и он быстро скончался. Перед смертью, явно спасая свою честь, он успел подарить библиотеке им. В.И. Ленина свою ценнейшую коллекцию первопечатных книг.

Кому же стало лучше от того, что наше общество так жестоко расправилось с одним из благороднейших деятелей своей культуры? Зачем нужна была эта жестокость, с которой коллекционера приравнивали к мироеду, не желая видеть, с каким трудом он собирал то, что наше общество разбрасывало несколько раз в ходе столкновений и напряжений XX века?

Только после кончины Алексея Ивановича появились в печати резкие выступления против Реформы.

Блестящий ученый Алексей Иванович как-то признался Семену Алексеевичу Пономареву (заместителю главного редактора журнала

«Математика в школе», автору задачника для 5—6 классов), что дела начальной школы ему скучны, и он занимается ими лишь по обязанности. Эти слова не могли не запасть в душу такого энтузиаста школы и такого прирожденного учителя, каким был С.А. Пономарев. Недаром он пересказал их мне через много лет. А я пересказываю их только за тем, чтобы стала понятна общая нетерпеливость, которой грешили «проводники реформы». Мы же всегда торопимся поскорее покончить с нелюбимым делом!

Лучшим средством поскорее «покончить» со скучным преподаванием в начальной школе виделась возможность перейти с первых лет обучения к элементам алгебры, которые А.И. Маркушевич горячо отстаивал. Казалось, всё будет хорошо: раз, два — и появившееся уравнение сразу же решит задачу.

Итак, Реформа началась с того, что учащимся 8—10 лет стали излагать вопросы буквенной символики, вопросы решения простейших уравнений и неравенств. Вводились некоторые понятия из геометрии (точка, отрезок, ломаная). Вместе с появлением простейших уравнений изменилась и методика обучения решению текстовых задач. Раньше все задачи решали с вопросами. К каждому действию ученик обязан был сформулировать вопрос, обосновывающий необходимость появления той или иной математической операции. Вопросы эти были камнем преткновения не только для учащихся, но и для их родителей. Многие признавались, что знают, как решить задачу, но не в силах сформулировать нужные вопросы.

Теперь же, при переходе к уравнениям, интерес учителей к формулировке вопросов заметно ослаб. К ним стали относиться более снисходительно, например, разрешалось писать только короткий комментарий к результату действия. Допускалась и так называемая алгоритмическая запись решения, когда ученик записывал решение задачи в виде числового выражения и вовсе без комментариев.

Следует признать: алгебра, вошедшая в школу, позволяла решать многие задачи быстрей, как бы механически: стоило только верно выбрать неизвестное и правильно составить уравнение.

Такое нововведение, казалось, является волшебной палочкой, мигом снимавшей все трудности начальной школы. О такой палочке мечтали все, далеко не один Алексей Иванович. И не его вина, что он первым решился протянуть к ней руку, не ожидая, что волшебство обожжет так больно.

Ты, время, вступаешь со мной в рукопашную,

Пытаешь прозреньем, караешь презреньем,

Сегодня клеймишь за ошибки вчерашние,

И крепости рушишь — мои заблуждения.

Кто знал, что окажутся истины зыбкими?

Чего же смеешься ты, мстя и карая?

Ведь я ошибался твоими ошибками,

Восторженно слово твое повторяя!

Расул Гамзатов

* * *

Вместе с появлением элементов алгебры сразу же оказалось, что многие учащиеся не в силах определить, какую же величину нужно обозначить через х, и делают это во многом наугад. Действительно, выбор величины, которую будем считать неизвестной, основывается на соображениях целесообразности, до которых ребятам еще надо дорасти. Ученик IV класса часто не понимал, почему, например, сегодня нельзя обозначать через х число коробок конфет, если вчера учительница Мария Ивановна разрешала это делать. Такое соображение, что вчера искали число коробок конфет, а сегодня разыскиваем число пройденных поездом километров в опыте ученика ранее не встречалось, поэтому в его представления о целесообразности не входило.

Еще хуже дело обстояло, когда выбор неизвестной оказывался неудачным. Тогда надо отказаться от обозначения через х выбранной величины и обозначить через х другую величину. Психологически такой путь сродни выбору верной версии при расследовании какого-либо происшествия. Один следователь как-то говорил мне, что самые большие муки он испытывает, когда под давлением фактов вынужден отказаться от выбранной версии и искать другую. Учителя же, сами того не ведая, оставляли ребят один на один с сильными стрессами.

В 60-х г. я однажды слышала на педсовете, как учительница средних лет с восторгом отзывалась о работе по колмогоровским программам. Она говорила, что ей стало работать намного интереснее, что наконец-то пала рутина, так долго задерживавшая развитее ребят и тормозившая ее собственное педагогическое творчество.

Но другая, пожилая учительница, шептала мне потом в уютном уголке, что школа теперь не учит решению задач. Она говорила: «Раньше мы тратили на каждый вид задач по 5—6 уроков, а теперь

пробегаем их за один урок». Только настойчивым повторением, терпеливым разъяснением каждого вопроса, поставленного к решению, мы сможем добиться, чтобы большая часть наших учеников действительно будет учиться думать. Ведь это не шутки — научить думать, именно начальная школа этим и занимается по большому счету, а в средней школе полученное ранее умение думать только шлифуется. Человек учится думать в процессе своей речи. Когда же ребенок формулирует вопрос к каждому арифметическому действию, которое он выполняет по ходу решения, он еще и еще раз его оценивает, внутренне взвешивает, отвергает или принимает, — он думает самостоятельно. А теперь вместо вопросов мы даем формальные правила: перенести переменную х в одну часть уравнения, свободные члены — в другую, и т. д.

Обе учительницы были, во-первых, честны, во-вторых, правы. Но одна работала с сильными учащимися, другая — с «середнячками».

Одна из грубейших ошибок Реформы, по моему мнению, состояла в недооценке роли начальной школы. Даже число лет, отводимых на обучение в начальной школе, одно время пытались сократить до трех. И сокращали. У детей отбирали то уроки домоводства, то труда, то рисования. А между тем этого нельзя было делать. Когда дети ковыряются иголкой с ниткой, режут что-то ножницами или наоборот, что-то склеивают, у них развивается способность выполнять точные движения, а вместе с этими ручными манипуляциями начинают и «шарики с роликами» двигаться быстрее в голове. Иными словами, мелкая моторика пробуждает сознание. Причем это пробуждение тем эффективнее, чем больше учащиеся сочетают действия физические с действиями умственными. Поэтому ни в коем случае нельзя отрывать, допустим, уроки труда от уроков математики, уроки по эстетике от уроков русского языка и т.д. Сложившееся сочетание уроков в начальной школе нельзя было нарушать. А его нарушали не раз и самым решительным образом. Допускалось даже «перепрыгывание» из класса в класс. Допустим, дети учились в четвертом классе, а на следующий учебный год оказывались уже в шестом. Дело доходило до того, что ни дети, ни учителя не могли толком ответить, какая же возрастная группа в каком классе учится.

Деятели народного образования, ратовавшие за Реформу, были людьми гениальными. Они осознавали свою гениальность, поэтому ничего не хотели знать о своих предшественниках, не уважали их

достижений, которыми гордилась вся Россия. А ведь эти предшественники в своё время разработали и теорию, и практику русской начальной школы. В число учителей начальной школы входили такие личности, как писатель Лев Толстой, руководивший начальной школой, которую он создал в своем имении, педагог Петр Гурьев, разработавший теорию концентрического обучения. Следует упомянуть также профессора Московского университета С.А. Рачинского, который сначала преподавал в начальной школе в своем имении (где придумал много приемов устного счета), а потом стал организатором многих уездных сельских школ. (Он изображен на известной картине «Устный счет», которую написал его ученик, художник Богданов-Бельский.) Можно назвать и еще ряд выдающихся личностей России, оставивших нам богатейшее творческое наследие. Наша задача состояла только в том, чтобы этим наследием воспользоваться. Но мы и этого не сумели, занявшись революционной ломкой всех и вся.

Реформа осложнялась еще и тем, что, приняв решение о необходимости нововведений в школе, ЦК КПСС и правительство страны стали, как всегда, торопить с ее осуществлением. Авторам учебников были поставлены очень жесткие сроки, причем никаких грантов на написание учебных книг никто никому не давал. Чудное слово «грант» и в языке-то нашем появилось совсем недавно. Авторы учебников работали урывками, по субботам и воскресеньям, часто на свой страх и риск. Серьезные дяди, писавшие учебники тех лет, из далекой исторической перспективы кажутся энтузиастами-комсомолятами, спешившими отрапортовать об очередном рекорде («Даешь пятилетку в четыре года!»). Так и получилось: «Даешь начальную школу в три года»! Перекраивали, сужали, расширяли начальную школу, не понимая, что нарушают самые важные, самые главные законы — законы развития человеческой психики.

Во время встреч Андрея Николаевича Колмогорова с учителями я не раз слышала, как учителя говорили академику, что тот или иной вопрос в школе «не идет», все ученики суть дела постигнуть не могут. Академик спокойно отвечал, что если чего-то не могут понять все, то всех и не надо этому учить. Пусть они знают только самые начальные моменты, допустим, обозначения. А основная работа должна идти с теми, кто хочет и может понять. Такая безмятежность шла вразрез с официальными установками, и меня она всегда удивляла. Только через много лет я узнала, что академику Колмогорову

было еще в начале Реформы твердо обещано: в старших классах школы будут учиться только те, кто планирует поступление в вуз, а остальных ждут рабочие места на производстве.

Но в реальности правительственное решение оказалось прямо противоположным ожидаемому: было объявлено обязательное 10-летнее обучение. Решение было неподготовленным и явно утопическим. В нем чувствовался еще не погасший революционный пыл наших старых правителей, считавших, что «все равны», и подстригавших школу под этот лозунг.

В конце концов, многие опытные учителя не выдерживали двойного давления: реформирования содержания образования и обязательной десятилетки. Они уходили на пенсию, которая в ту пору была нищенской, что-то около 50 руб. в месяц. Конечно, академик Колмогоров этого не знал: тот, кто голодает, обычно не кричит о том, что голодает. Колмогоров вообще не очень замечал трудности в науке и не привык считаться с ними в обыденной жизни.

Но все трудности начальной школы показались цветочками, когда началось реформирование содержания образования в средней школе. А началось оно с введения понятия «множество» и с установления того, принадлежит ли данный элемент конкретному множеству или не принадлежит.

Всё было легко, пока говорили о конечных множествах. Однако скоро перешли к бесконечным и стали трактовать геометрические фигуры как бесконечные множества точек. Но тут оказалось, что детское сознание понятие бесконечности просто выталкивает. («Как это отрезок может состоять из бесконечного множества точек, когда я ясно вижу оба его конца?»). Ведь предупреждал же Пиаже, что детское сознание эгоцентрично («Нет никакой бесконечности, ведь Я же его никогда не видел», «Зачем вы мне говорите, что эти две прямые параллельны, а Я вот проведу их так, что они пересекутся»). Психологи говорили также, что сознание подростков метафизично. Например, в отрезке ученики прежде всего видят концы, а прямую или луч им представить гораздо труднее.

Но кто же слушал психологов в начале реформы!? О Пиаже в школе вообще не знали. С тем, что есть какие-то психологические барьеры, никто считаться не хотел. Казалось, что все взрослые, если возьмутся за дело вместе, легко сделают то, чего хочет Самый Главный Взрослый.

Одним из положительных результатов неудавшейся Реформы я считаю как раз то, что она побудила общество повернуться лицом к проблемам психологии и покончить (или почти покончить) с разными волюнтаристическими тенденциями в области образования.

Позволю себе сослаться на собственные школьные впечатления. В VI классе я долго не могла понять определение параллельных прямых. Ну что это значит: не пересекутся, сколько бы их ни продолжали? «Кто же может знать, как поведут себя прямые в бесконечности», — думала я. В конце концов я сама придумала объяснение: «если эти две конкретные прямые а и b пересекутся, то мы их не будем рассматривать, поищем другие, которые пересекаться не будут, и дело-то как раз в том, что такие две прямые в пространстве обязательно найдутся». Не знаю, удачно это объяснение или нет, но оно тогда меня успокоило.

Итак, в школьный курс математики ворвались бесконечные множества! А вместе с ними появились и парадоксы бесконечных множеств. Методисты уделяли много внимания этому вопросу, забивая голову учащимся тем, о чем думать им было совершенно рано. Вместо нормального изучения теорем и задач элементарной геометрии мы стали нагружать учащихся записями типа таких: А = [а, b] ⋂ {A, C}⋃{A, D, F}. И лучше было не ошибаться в форме и повороте скобок! Грубой ошибкой считалось, если скобка, которая должна была «замыкать» отрезок, его «размыкала», например, если было написано x ∈ [a, b[, а на самом деле надо было писать x ∈ [а, b].

Хорошо помню, как после письменного экзамена я собственноручно исправляла подобную ошибку в работе своей лучшей ученицы, чтобы она получила за экзаменационную работу 5 баллов, а не 4 балла. Потом целый год, до следующего экзамена, мучилась угрызениями совести. А на следующем экзамене увидела, как мои коллеги десятками исправляют в экзаменационных письменных работах своих учеников подобные ошибки. Все уже тогда понимали, что формальные записи просто подменяют трудности настоящих школьных задач сложностями мелочного копания в особенностях теоретико-множественного языка. Но без множеств вполне можно обойтись как в школьной алгебре, так и в геометрии.

Здесь я хочу на минуточку отвлечься и вспомнить одну поучительную историю о двух великих людях Франции — Лапласе и Наполеоне. Император Франции Наполеон очень уважал великого французского

математика Лапласа и назначил его на высокий пост в своем правительстве. Но через некоторое время Наполеон признал, что великий ученый оказался плохим администратором, поскольку «во всем видел бесконечно малую». Я понимаю эту фразу Наполеона так, что Лаплас искусственно умельчал проблему, копался в частностях, когда надо было забыть о них и прежде всего стремиться к Результату.

А теперь вернемся ко времени нашего повествования, т.е. к концу 60-х г. прошлого века. На одном из семинаров в присутствии Колмогорова кто-то из учителей обмолвился о строгости доказательства какой-то теоремы в ученике Киселева. А доказательство начиналось с того, что один из концов основания трапеции соединялся с серединой боковой стороны трапеции.

Колмогоров высмеял такое представление о строгости, сказав, что из него никак не видно, каким же образом нашли середину боковой стороны трапеции.

Начав преподавать геометрию в VI классе по колмогоровскому учебнику, я вдруг обнаружила, что не знаю... родную речь. Нельзя было сказать, что два отрезка равны, поскольку равными могут быть только числа, а не геометрические фигуры. Те отрезки, которые совпадали при наложении, надо было называть конгруэнтными. Произношение этого слова шло вразрез с фонетическими нормами славянского языка, и это обстоятельство сразу сделало многих родителей врагами того, что преподают детям в школе. Несчастная конгруэнтность быстро превратилась в жупел, которым пугали малограмотных пап и мам. В те годы вышла даже книжка В.Г. Болтянского и Г.Г. Левитаса со знаменательным названием: «Математика атакует родителей».

Но были моменты и похуже. Помню, как однажды я спросила у Р.С. Черкасова, скрывая робость: «Что такое радиус?» При этом кто-то прыснул со смеху за моей спиной, а он мгновенно понял меня и ответил быстро, серьезно и сочувственно: «Радиус — это и величина, и геометрическая фигура». Отсюда следует, что можно было написать: «радиус равен 5 см», но надо было писать: «Радиус одной окружности конгруэнтен радиусу другой окружности». В самом деле, в первом случае речь шла о величинах, а во втором — о геометрических фигурах. Но надо же было как-то выплывать из этих постоянных тонких различий, которые мешали сформулировать даже простую

задачу. Поэтому приходилось постоянно пользоваться «вольностями речи», вроде того, что допускался в термине «радиус».

Первым учебником по геометрии дл 6 класса был учебник, написанный авторским коллективом, в который вошли Ф.Ф. Нагибин, А.Д. Семушин и Р.С. Черкасов. Руководил коллективом А.Н. Колмогоров. Он очень интересовался этим изданием и даже в некоторых случаях сам вписывал формулы в типографскую рукопись. Когда книга была готова, титульный редактор решил показать ее своему ближайшему родственнику — математику. Этим математиком оказался его пасынок, профессор МГУ Олег Сергеевич Ивашев-Мусатов. Прочитав учебник, Олег Сергеевич не стал кривить душой, а честно высказал Андрею Николаевичу свой приговор: «Это в школе не пойдет». В результате два достойных человека поссорились так, что не захотели общаться друг с другом до самой смерти Андрея Николаевича.

Учебник, о котором только что шла речь, назывался «Геометрия 6» (1972). Он вызвал в школе настоящий шок и был страшно труден и для учителей, и для учащихся. Трудность и недоступность учебника состояла в его необычайной... простоте. Феномен сложности простого первой сформулировала видный методист, автор учебника, который были заменен колмогоровскими, Галина Герасимовна Маслова. Как-то при обсуждении «Геометрии 6» она сказала: «Это так просто, что невозможно постигнуть!»

Действительно, новый учебник отмел восходящие еще к Евклиду признаки равенства треугольников (ну, конечно, не исключил совсем, а принизил их значимость). Признаки с успехом заменяли рассуждения о перемещениях. Если при перемещении сохраняются расстояния и углы, то достаточно просто найти нужное перемещение, чтобы «уложить» треугольники друг на друга так, чтобы все их точки совпали. Установлением нужного перемещения и доказывалась конгруэнтность фигур. А устанавливать конгруэнтность элементов фигур вообще не было надобности, раз уж они друг на друга наложились.

Но трудность для детей состояла в том, что за перемещением они видели только слово, а самого процесса не ощущали. Движения, которое вошло в школьную геометрию вместе с перемещениями, юные метафизики из шестого класса не могли осознать. Поэтому они не могли усвоить тот метод рассуждения, который им предлагался. В 6 классе все мы уподобляемся Зенону Элейскому и подобно ему могли бы утверждать: «Движенья нет». Действительно, в сознании шести-

классника еще не сталкивались друг с другом противоречия, из которых и состоит осознание движения. У шестиклассников в головах еще всё линейно, последовательно, правильно. Они всё с удовольствием раскладывают по полочкам. И уж коли на полочку сознания что положено, то они не допустят никаких сомнений по поводу содержимого своей полочки! Только через год, в 7—8 классе подростки вступят в философский возраст и с удовольствием «скушают» все движения с их противоречиями, но в шестом классе рано говорить о перемещениях.

«Движенья нет», — сказал мудрец брадатый,

Другой смолчал, и стал пред ним ходить.

Сильнее бы не мог он возразить.

Хвалили все ответ замысловатый.

Но, господа, известный случай сей

Другой пример на память мне приводит:

Ведь каждый день пред нами Солнце ходит,

Однако ж прав упрямый Галилей.

А.С. Пушкин

* * *

Оказалось, что прежде, чем осознать феномен движения целиком, человек должен сначала изучать его этапы. Надо было сначала долго ползать по разным частностям, переходя от этапа к этапу: 1) установить по данным равным элементам равенство треугольников, увидеть стороны, противолежащие равным углам (или углы, противолежащие равным сторонам), 3) сделать вывод о равенстве сторон (или углов). Усвоение школьниками каждого из этих этапов было сопряжено с большими трудностями для учителей. Чего стоило, например, «запихнуть» в ребячьи головы представление о противолежащих элементах треугольника! Но учителя видели перспективу и знали, что в конце изучения темы они получат мощное средство решения задач. А в новом учебнике логическая цепочка оказалась разорванной.

Неподготовленность учителей к новому содержанию преподавания прекрасно понимали авторы учебника. Поэтому они всячески тормозили появление в печати критических отзывов на свою книгу, надеясь, что со временем учителя верно воспримут новую концеп-

цию. Но задержка критических отзывов дорого им стоила. Когда встал вопрос об издании уже переработанных учебников геометрии для 6—8 классов, авторам резонно заявили, что раз критических отзывов на эти учебники нет, то и издавать переработанный вариант не надо. Поэтому новый вариант этих учебников (я имею в виду книгу «Геометрия 6—8») вышел в свет только в 1979 году. Таким образом, если считать с 1974 года (когда вопрос о переиздании возник), то следует признать, что три самых решающих года были упущены!

Но мне кажется, что основная проблема преподавания состояла не в неподготовленности учителей, а в той легкости, с которой дети могли назвать нужное преобразование, вовсе не вникая в суть дела. «Ну хочет Мария Ивановна порассуждать о центральной симметрии, ну, пусть себе рассуждает, а мы пока похохочем», — вот типичное умозаключение шестиклассников. Совершенно нечем было их утихомирить, заставить думать. Нужны были трудности, причем трудности заметные, а их не было. Я помню, как стояла перед расшалившимся классом, тщетно ища в учебнике подходящее упражнение. Мне бы подошло такое задание, которое заставило моих учеников что-то писать, чтобы они делом занялись и утихомирились. Но среди заданий я прочла следующее: «Возьмите листок бумаги, капните на него чернилами, потом сложите листок вдвое, а затем разверните. Объясните, что получилось». Ясно, что никто из учителей не решился бы предложить классу подобную лабораторную работу, так как после нее в классе получились бы сорок чернильных негритят.

Я никогда не была талантливым учителем, но всегда была старательна, поэтому для меня явиться на урок без подготовки было делом невозможным. Но самая тщательная подготовка «проваливалась» из-за мгновенности действий учащихся и полной невозможности проследить, следуют ли за этими действиями нужные рассуждения. Чем лучше я готовилась, тем скорее заваливала урок, поскольку следовала не за ситуацией, сложившейся на уроке, а за своими планами. Мне, например, хотелось добиться понимания того, почему при осевой симметрии относительно оси с точкам перейдет в точку A1, и я мусолила: «проведем перпендикуляр от точки А до оси с, измерим расстояние от точки А до оси с, продолжим проведенный перпендикуляр и отложим на нем такое же расстояние...». Но если построения были выполнены верно, то учащиеся просто сразу видели суть дела, поэтому меня не слушали. Получалось, как в плохой пьесе: висевшее

на стене ружьё не выстреливало. Итак, за простотой рассуждений и точностью рисунков прятались серьёзные логические и практические трудности. Но осознать их ребята не успевали: учебник не давал для этого никаких шансов.

Гораздо эффективнее уроки получались тогда, когда кто-нибудь из учеников выполнял построения неверно: перпендикуляр никак не мог пересечь ось симметрии или никак не мог найти вожделенную точку А и опускался из любой наугад поставленной точки. Тогда приходилось много времени тратить на обучение способам опускания перпендикуляров из нужной точки или восстановления перпендикуляра к прямой, — короче, на построения циркулем и линейкой. Кстати, соответствующий материал потом занял существенное место в одном из «постколмогоровских» учебников геометрии для 6 класса.

Остановлюсь теперь немного на более позднем учебнике «Геометрия 6—8» того же авторского коллектива (1980).

Помню, как однажды два районных методиста почти в открытую смеялись над пожилой учительницей, которая (на открытом уроке!) посмела произнести: «Проведем вектор». К тому времени мне уже разъяснил В.И. Мишин, что если всю плоскость утыкать направленными отрезками одинаковой длины и направления, то это и будет вектор. Когда я впервые услышала это описание, мне показалось, что я вот прямо сейчас, на этом месте сойду с ума. Но в учебнике «Геометрия 6—8» понятие вектора разъяснялось так, что вообще ничего понять было нельзя, и это дало повод для многих дискуссий о том, что же такое вектор. Надо отметить, что в некоторых современных учебниках геометрии дается именно такая трактовка понятия «вектор», о которой когда-то говорил В.И. Мишин. И сейчас она мне кажется вполне наглядной.

Однажды Ростислав Семенович Черкасов пришел в редакцию в страшном гневе. Оказалось, что в одной из статей, которые я редактировала, было написано: «Перемещение — это вектор». Злополучные слова даже были выделены рамочкой, и автор статьи клялась, что здесь каждое слово десять раз выверено. А Ростиславу Семеновичу академик Колмогоров попенял за них, и главный редактор затем выругал меня. Я же так перепугалась, что не осмелилась попросить у Ростислава Семеновича разъяснений.

На стр. 56 учебника «Геометрия 6—8» помещено описание того, как можно задать отображение окружности на диаметр. Сказано:

«Каждой точке окружности соответствует одна точка диаметра». Эту фразу можно понять, как указание на то, что на отрезке и на диаметре помещаются одинаковые количества точек. Но учащиеся видят, что на окружности больше точек, чем на диаметре! Конечно, дети не понимают до конца, что такое точка (а мы-то сами это понимаем?). Но они вполне могут понять, что им продемонстрирован материальный пример того, что противоречит не только видимой реальности, но и воображаемым аспектам человеческого мышления. Значит, может существовать нечто, чего мы и представить себе не можем! А тогда почему наш бедный разум дерзает отрицать существование Бога? Итак, в этом месте и в других подобных мысль вполне может вступить на идеалистическую дорогу.

Объясняя по-своему неуспех Реформы, Р.С. Черкасов, высказывал в печати следующую мысль: немного раньше Колмогоровских инноваций, проводимых в России, началась реформа математического образования в странах Западной Европы. Европейские реформаторы находились под сильнейшим влиянием идей знаменитых французских математиков, выступавших по общим псевдонимом Николя Бурбаки. «Бурбакистская реформа», как и «Колмогоровская», в теоретическом плане основывалась на теории множеств. Одновременно в странах Западной Европы усилился интерес населения к религии. Отмечая этот религиозный всплеск, клерикальные круги на Западе объясняли его влиянием того, что в школах Европы стала распространяться теоретико-множественная концепция.

Итак, я рассказывала, как учащиеся воспринимали вопрос об отображении фигур. Этот же вопрос в 90-е гг. мне приходилось разъяснять взрослым людям. Причем мои слушатели были совсем не склонны лоботрясничать, они занимались очень прилежно. Но вопрос об отображениях им никак не давался. Они понимали суть дела, но усвоить её им никак не удавалось. Вот только что, казалось, человек всё понял и даже повторил, а через пять минут он снова путается... Причина, по-видимому, крылась в той торопливости, с какою подавался этот материал. Не успели учащиеся привыкнуть к непростому понятию отображение, как на них уже наваливается усложнение этого понятия — обратимое отображение, а далее следует обратное отображение. И всё это на одной странице 55 ранее упомянутого учебника. Это материал пришелся как раз на самую короткую и поэтому самую сложную вторую четверть учебного года в 6 классе.

С тех пор я для себя усвоила: людям можно разъяснить самые сложные вещи, но при этом к сложностям надо подползать постепенно, именно подползать, а не прыгать лошадиным галопом от одной сложности к другой.

Но авторы учебников часто стеснены разного рода условиями, в угоду сиюминутным интересам жертвуют качеством своих книг, надеясь, что исправят ошибки при переизданиях. Эти надежды иногда не сбываются. И детям всей страны приходится переживать разного рода трудности, которые на поверку часто оказываются отголоском авторских недоделок и закулисных стычек. Пора научиться работать спокойно, не надеясь на быструю отдачу, и воздерживаясь от превращения учебной книги в полигон собственного тщеславия.

Зачем кривить душой, когда не раз

Бывало так, что шли мы на уступки,

Нас время гнуло, время било нас,

Мы совершали мелкие поступки.

Пусть будет жизнь трудна и не сытна,

Бери меня в любые переделки,

Лишь одного, Великая Страна,

Не требуй от меня — поступков мелких..

Расул Гамзатов

* * *

Крушение Реформы произошло очень быстро, в историческом плане почти мгновенно. Всё началось с публикации в журнале «Коммунист» (1980, № 14) статьи академика Л.С. Понтрягина, содержавшей резкую критику положения дел в школе, которое сложилось в результате Реформы. Журнал «Коммунист» в 80-х гг. прошлого века был рупором практических и идеологических концепций Центрального Комитета Коммунистической партии Советского Союза — правящей партии нашей страны. Поэтому опубликованное в нем осуждение Реформы было для общества равносильно приказу. Действовал стереотип мышления, сложившийся еще в сталинские времена, когда мнение Сталина даже не обсуждали, а просто ему следовали, говоря: «Есть мнение». И точка.

Пыталась что-то возразить кафедра МГУ, руководимая Б.В. Гнеденко, недовольно высказывались академики Сибирского отделения АН СССР, но их протесты уже воспринимались всеми как обыкновенное фрондирование против власти, не более.

Общество почти единодушно поддержало главный вывод Л.С. Понтрягина о том, что Реформа нисколько не улучшила школьный курс, а, наоборот, ухудшила его. Академик писал, что теория множеств — это только язык, удобный для математиков-профессионалов, а школьникам он не нужен. Утверждалось также, что пора вернутся к серьезным школьным задачам, не тратя времени на то, что учащимся может никогда и не понадобиться, так как техника и технологи прекрасно развиваются без теории множеств. В этих рассуждениях звучала чистая правда, и многим она открыла глаза. Но статья была написана в такой раздраженной манере и так несправедливо поливала грязью труд многих людей, что и сейчас способна вызвать шок и возмущение.

Показательно то, что про академика Колмогорова в статье не было сказано ни слова, а обрушился Л.С. Понтрягин на людей менее заметных. Например, осуждалась трактовка понятия «вектор», принятая в учебнике геометрии для старших классов, который писали В.М. Клопский и М.И. Ягодовский, а титульным редактором выступал З.А. Скопец. Авторов этого учебника академик Понтрягин обвинял (с перечислением фамилий) в непрофессионализме, но при этом ни слова не было сказано о том, что их трактовка вектора и их изложение этого понятия просто повторяет точку зрения, выраженную в учебнике «Геометрия 6—8», который редактировался А.Н. Колмогоровым. Ясно, что авторы учебника для 10—11 классов, вынуждены были следовать тем трактовкам, которые были приняты ранее, в 6—8 классах.

После 1980 г. (точную дату не помню ) почти одновременно ушли из жизни авторы учебника «Геометрия 10—11» В.М. Клопский и М.И. Ягодовский. В ту пору из авторов этого учебника остался в живых только З.А. Скопец. Конечно, «не женскому уму решать вопросы долголетья», но мне все же кажется, что упреки Л.С. Понтрягина по нему били не столь сильно, как по его соавторам. Слишком популярен был З.А. Скопец в Ярославле, где он работал в пединституте. У него было огромное количество аспирантов, его статьи публиковались в журнале «Математика в школе» несколько раз в год, причем они всегда посвящались оригинальным или малоизученным вопросам математики. На этом фоне обвинения в непрофессионализме, которые позволил себе Л.С. Понтрягин, казались просто безответственными.

От академика Понтрягина досталось и учебникам по алгебре для 6—8 классов средней школы, хотя вряд ли на них кто-то жаловался — настолько добротно они были написаны. Это неудивительно, ведь эти учебники создавались сотрудниками АПН СССР, которые работали над ними практически всю свою жизнь (Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, С.Б. Суворова, Л.В. Кузнецова и др.).

О качестве этих книг говорит хотя бы тот факт, что и сейчас московские учащиеся занимаются по учебникам этого авторского коллектива. А конкуренция учебников с 1980 г. возросла необыкновенно. Сейчас никого из учителей не принудишь выбирать для преподавания ту или иную книгу. Всё решают сами учителя, и их решения оказались в пользу учебников Ю.Н. Макарычева и других.

Но после критики Л.С. Понтрягина из учебников по алгебре для средней школы даже слово «множество» исчезло. В педагогических кругах передавали анекдот, в виде вопроса к кроссворду: «Назовите нецензурное слово». Предполагался такой ответ: «Множество». В этом ответе заключался намек на следующую мысль: «Слово-то хорошее, но цензура его не пропустит».

Учебники по алгебре для средней школы были в срочном порядке переработаны, получили нового титульного редактора (С.А. Теляковского) и в таком виде просуществовали в средней школе до наших дней, но я об этом уже говорила.

Упрекал Л.С. Понтрягин и учебник «Математика 4» (Н.Я. Виленкин, К.И. Нешков, С. И. Шварцбурд, А.С. Чесноков, А.Д. Семушин) за то, что там понятие уравнения «обрушивается на бедные детские головы как «предложение с переменной». Сам критик признавался, что, наткнувшись на это определение, не мог понять, что оно означает. Значит, дело не в детских головах, а в том, что академик в этом месте столкнулся с неожиданностью и не захотел с нею примириться. Но если академик не мог понять, то это еще не говорит о том, что книга негодна, и его утверждение, что подобная трактовка уравнения не лежит в области интересов математики, совершенно несостоятельна. Эта несостоятельность особенно стала заметна в наши дни, когда математика вплотную подошла к задачам лингвистики. А эти задачи диктуются необходимостью общаться друг с другом для людей разных национальностей и для взаимопонимания человека и компьютера. Осмеливаясь высказать свое мнение, скажу, что учебник был на редкость удачен. От учителей не раз слышала благопри-

ятные и даже восхищенные отзывы об этой книге. Учителя отмечали только, что позднейшие переработки учебник ухудшили.

Судьба авторов этой книги оказалась различной. Н.Я. Виленкин мгновенно умер на рабочем месте. С.И. Шварцбурд уехал с семьей в Израиль и умер там. А.Д. Семушин умер на платформе электрички, когда ехал из дома отдыха. Про судьбу К.И. Нешкова ничего не знаю, но на какое-то время от отошел от дел, о чем жалели все его коллеги, почитая в нем учителя от Бога.

Так или иначе, статья Понтрягина прошлась по судьбам многих людей, хотя тех же результатов можно было бы, вероятно, добиться и без резких слов.

З.А. Скопец успел увидеть новое издание своего учебника по геометрии для 10—11 классов. Но тут появилась статья А.Д. Александрова «Об определении многогранника», в которой критиковалось не только определение многогранника, принятое у З.А. Скопеца, но и вся его книга. Залман Алтерович объяснял мне когда-то, что этого могло и не быть, помести он в своем учебнике одну сноску в две строчки. Но сноски не было, и появился повод для резкой критики. Через некоторое время педагогическая общественность оплакивала Залмана Алтеровича Скопеца.

Вообще создание учебника — это дело, как показала практика, не для спринтеров с коротким дыханием. Эта работа может потребовать всей жизни. Ведь работал же А.П. Киселев всю жизнь над своим учебником по геометрии. У него получилось так замечательно, что даже не видно, каких это стоило усилий.

В заключение хочу сказать, что давно надо отбросить нашу жестокую привычку не щадить оппонента во время спора. Как редактор я насмотрелась на многих «жестких» авторов, которые готовы человека в могилу свести, если считают его действия неверными. А чаще всего оказывается, что дело может решить одна сноска. Так давайте же быть терпимыми друг другу, помня, что, оберегая чувства других людей, мы сберегаем и собственные нервы.

Лояльное отношение ученых-математиков друг к другу поможет и нашему предмету занять в сознании общества ту высоту, с которой его согнала бесконечная перепалка между математиками.

О.Н. Куприкова

СГПУ, г.Смоленск

Словари по методике обучения математике

Проблема упорядочения и систематизации терминологии является важной для любой науки. Для всех педагогических дисциплин в силу особенностей их понятийно-терминологического аппарата эта проблема стоит наиболее остро. Что же говорить о такой дисциплине как методика обучения математике, которая вбирает в себя понятия и термины по педагогике, психологии, логике, математике, информатике, а также имеет свои специфические термины. Путаница царит не только в головах студентов, но и самих учителей, которые после окончания ВУЗа вряд ли обратятся за практической помощью к какому-либо учебнику по методике обучения математике. Особенно трудно в этой ситуации начинающим учителям.

Привыкнув за годы учебы к предельной точности математических терминов и определений, студенты не находят подобного в методике обучения математике. Это заставляет будущих учителей сомневаться в практической пользе этой дисциплины.

Не уделяется достаточного внимания формированию у студентов методических понятий, а ведь понятийный аппарат является тем каркасом, на котором строится здание всей науки. Неразвитость понятийно-терминологического аппарата может стать веским аргументом сомневающихся в научности самой дисциплины «методика обучения математике».

Осознавая проблему упорядочения терминологии методики обучения математике, в Смоленском государственном университете была предпринята попытка создания серии словарных произведений, призванных интегрировать имеющуюся информацию по методике, а также способствовать единству в понимании методических терминов. Подобный опыт характерен для представителей лингвистических дисциплин. Так, Э.Г. Азимовым и А.Н. Щукиным был выпущен «Словарь методических терминов (теория и практика преподавания языков)». Примеча-

тельным в этом словаре является то, что даже при описании таких базисных категорий методики, как цели, задачи, содержание, принципы обучения и др. авторы прибегают к примерам из теории и практики обучения языкам.

Первым в серии словарей по методике обучения математике, вышедших в Смоленском государственном университете стал «Краткий карманный словарь-справочник по общей методике обучения математике» Н.М. Тимофеевой и Г.Е. Сенькиной [3]. Основная задача этого словаря — объяснить современные базовые термины общей методики обучения математике. В качестве основания для классификации терминов было принято соответствие основным компонентам процесса обучения математике. Такими компонентами, и соответственно тематическими разделами словаря, стали: цели обучения математике, принципы обучения математике, содержание обучения математике, методы обучения математике, формы обучения математике. При отборе и описании терминов в настоящем издании использовались монографии, учебники, методические пособия, научные сборники и статьи из периодических изданий, относящиеся к области методики обучения математике, а также педагогические словари.

Требует осмысления и систематизации знаний и область частной методики обучения математике. Существующие учебники часто отражают авторские, иногда спорные концепции и мнения, причем вопросы частной методики рассматриваются лишь в некоторых из них и далеко не в полном объеме. Некоторые из учебников во многом устарели и не соответствуют современному содержанию школьного курса математики. Эти факторы обосновали необходимость создания А.Е. Самариной «Кратного словаря-справочника по теории и методике обучения математике» [2], в котором рассматриваются вопросы преподавания школьного курса алгебры. При составлении словаря авторы попытались: из различных источников собрать воедино информацию, посвященную частным методикам преподавания алгебры; систематизировать её на основе содержательно-методических линий школьного курса математики; дать по каждому из вопросов краткую справку методического характера. Справочный характер словаря определяется

наличием, кроме определений основных математических понятий, также сведений о методике их изучения в школьном курсе. В написании статей данного словаря, посвященных изучению конкретных тем школьного курса алгебры, авторы придерживались следующей схемы:

1) математические определения основных понятий или определения, принятые в школьном курсе;

2) существующие трактовки понятий, методические особенности их изучения;

3) развитие и трансформация понятия в процессе изучения.

При отборе терминов и составлении статей использовались учебники по методике преподавания математики, учебно-методические пособия для студентов и учителей.

Следующей словарной работой стал «Словарь-справочник по истории математического образования в России» [1], который представляет собой первый шаг на пути к созданию исторического словаря, отражающего генезис методических понятий. Информация, представленная в этом словаре, носит энциклопедический характер. Словарь-справочник содержит семь периодов развития математического образования в России, расположенных в хронологическом порядке. В данной работе история школьного математического образования рассмотрена в связи с эволюцией всей образовательной системы, что нашло свое отражение во включении в словарь достаточно большого количества статей о реформах образовательной системы в России.

Внутри каждого периода словарные статьи располагаются в соответствии со следующей тематической последовательностью:

— образовательные реформы; съезды и конгрессы;

— система народного образования, виды учебных заведений;

— программы по математике;

— учебники математики;

— методические пособия для учителей математики;

— периодические педагогические и методико-математические издания.

В некоторых периодах имеются словарные статьи, описывающие отдельные понятия методики обучения математике,

характерные для того времени, например, «метод целесообразных задач», «фуркация», что является первой попыткой по отражению в словарях генезиса методических понятий, которая в дальнейшем должна вылиться в отдельный исторический терминологический словарь по методике обучения математике.

К каждой словарной статье приводится список источников, в том числе и исторических, в которых можно найти более полное описание рассматриваемого вопроса.

В настоящее время продолжается работа по написанию исторического словаря, отражающего становление и развитие основных понятий методики обучения математике. Однако эта работа довольно длительная, так как история каждого такого понятия представляет собой отдельное маленькое исследование. Помимо систематизации знаний, необходимых для понимания внутренней логики развития науки, данный словарь выполняет ещё и культурно-историческую функцию, так как история эволюции каждого отдельного термина соотносится с историей материальной и духовной культуры народа. Знание истории науки раздвигает горизонты, как исследователя, так и учителя, позволяет сквозь призму генезиса понятий и терминов проследить, как в различные исторические периоды шло переосмысление целей, задач, содержания обучения математики, менялись методы и приемы. Только с течением времени становится ясно, какие системы и методы обучения привились, а какие, наоборот, отброшены жизнью как неэффективные.

Литература

1. Куприкова О.Н. Словарь-справочник по истории математического образования в России / О.Н. Куприкова, Р.З. Гушель; под ред. Г.Е. Сенькиной. — Смоленск: СмолГУ, 2006. — 106 с.

2. Самарина А.Е. Краткий словарь-справочник по теории и методике обучения математике: Алгебра / А.Е. Самарина; под ред. Г.Е. Сенькиной. — Смоленск: СГПУ, 2005. — 108 с.

3. Тимофеева Н.М. Краткий карманный словарь-справочник по общей методике обучения математике / Н.М. Тимофеева, Г.Е. Сенькина. — Смоленск: СГПУ, 2004. — 72 с.

В.М. Бусев

школа № 37

О сайте «Математическое образование: прошлое и настоящее» (www.mathedu.ru)

Идея создания сайта, посвященного математическому образованию, созрела давно. Однако решиться на это было непросто: ведь существуют ресурсы www.math.ru и www.mccme.ru. На них можно найти массу интересных материалов, в первую очередь, старых добрых книг по элементарной математике. Однако, практически не представлены книги и статьи по методике преподавания математики. Поэтому было решено восполнить этот пробел и создать электронную библиотеку по методике преподавания математики, а также по истории математического образования.

Основной раздел сайта — «Математика и ее преподавание». В его подразделах «Общая методика», «Арифметика», «Алгебра», «Геометрия» и т.д. в электронном виде представлены статьи и книги соответствующей тематики. В раздел помещены не только методические работы, но и математические (например, классическая книга Р. Дедекинда «Непрерывность и иррациональные числа»). Большинство материалов имеют солидный возраст — полвека и больше. Это объясняется высоким качеством методической литературы тех лет, при этом, содержание большинства представленных работ актуально и по сей день. Также свою роль в «возрастном цензе» играет и проблема авторских прав — не каждый современный автор захочет предоставить в бесплатное ипользование свои труды.

Следующие важные разделы сайта — «История математики» и «История образования». Многие учителя математики интересуются историей своей науки, используют исторические фрагменты при проведении уроков и внеклассных мероприятий. Хочется облегчить им возможность доступа к классической историко-математической литературе, которая, к сожалению, почти не переиздается сейчас. В разделе «История образования» представлены материалы, относящиеся, как правило, к истории математического образования, интерес к которой неуклонно возрастает. Со временем планируется разместить в этом разделе и работы по истории педагогики и народного

образования в целом. На открытие названных разделов повлияли не только соображения общего блага, но и определенная «корысть»: история математики и образования лежит в области профессиональных интересов автора сайта.

«Сообщество в лицах» и «Воспоминания» — два тесно связанных между собой раздела. В первом из них накапливаются биографические очерки о деятелях математического образования. На основе этих очерков, опубликованных в разное время и в разных изданиях, планируется создать биографический словарь — не только в электронном, но и в бумажном виде. Давно уже существуют аналогичные словари о выдающихся математиках, физиках и т.д., но о выдающихся педагогах-математиках есть только две книги такого рода: одна принадлежит перу В.Е. Прудникова, другая написана Н.В. Богомоловым. К сожалению, даже взятые вместе эти издания не охватывают многих наших соотечественников, успешно трудившихся в свое время на ниве математического просвещения.

Биографические очерки обычно преследуют одну цель — рассказать о герое и его вкладе в окружающий мир; иной характер носят воспоминания. В них люди рассказывают не только о человеке, но и о времени, в котором он жил. Воспоминания рисуют многоцветную картину прошлого, они эмоциональны и несут на себе отпечаток личности автора. Чрезвычайно важными представляются воспоминания учителей о своей работе. По этим материалам мы имеем возможность увидеть школу минувших лет вживую, а не в виде схем из учебника по истории педагогики. Интересные и сами по себе, воспоминания (как и вообще история образования) могут помочь нам в решении современных проблем школы. В разделе «Воспоминания» представлены воспоминания математиков, воспоминания о математиках и мемуары школьных учителей.

Раздел сайта «Библиография» предназначен в основном для студентов и аспирантов педагогических вузов. Представленные библиографические пособия охватывают период примерно 1924—1977 гг. Пока что большинство материалов представлены в виде, не пригодном для редактирования. Со временем планируется распознать тексты и создать электронную базу данных с возможностью поиска.

В постоянно обновляемом разделе «Ссылки» даны адреса наиболее значимых ресурсов сети Интернет с точки зрения учителя мате-

матики и историка образования. В последнем разделе «О проекте» коротко рассказано о задачах сайта и его авторе.

Материалы сайта представлены в DjVu-формате или в виде файлов MS Word. Формат DjVu очень удобен для хранения книг и журналов в электронном виде. Для работы с djvu-файлами требуется небольшая программа, которую можно скачать с главной страницы сайта.

В ближайшем будущем планируется открыть разделы «Образование в современном мире» и «Регионы». В первом будут представлены статьи, посвященные проблемам образования. Во втором хочется разместить материалы, в которых рассказано о том, как развивается математическое образование в разных уголках России (возможно, и за рубежом).

В настоящий момент сайт делается в основном усилиями одного человека (автора настоящей заметки). Если кто-то хочет поделиться своими материалами (или просто мыслями по поводу сайта), я буду рад. Адрес почты: vbusev@yandex.ru.

А. Тоом

Федеральный Университет Пернамбуко, Бразилия

Ох, уж эти средние!

В последние годы я много ездил по разным странам и всюду рекламировал русское математическое образование. Особенно я хвалил обилие текстовых задач в русской школе и то, как тщательно эти задачи сформулированы. В общем так оно и есть, но бывают досадные исключения. Вот об одном из них я хочу рассказать. Посмотрите на следующую задачу:

Директор предприятия часто ведёт международные переговоры по телефону. Одна минута разговора с Беларусью стоит 3 р. 30 к., с Францией — 13 р. 90 к., с Китаем — 15 р. 50 к. Сколько стоили его переговоры, если состоялось 5 разговоров с Белоруссией, 3 разговора с Францией и 2 разговора с Китаем? Продолжительность каждого разговора в среднем 3 мин.

Эта задача стала бы вполне хорошей, если бы из неё выкинули слова «в среднем». Однако, как говорится, из песни слова не выкинешь. Эта задача включена под номером 15 на стр. 16 в учебник математики для 4 класса, часть вторая, написанный М.И. Моро, М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой, С.В. Степановой и С.И. Волковой, изданный в Москве в издательстве «Просвещение» в 2004 году и рекомендованный Министерством образования Российской Федерации. Как видите, солидное издание и выкидывать из него слова по своему усмотрению мы не имеем никакого права. Раз ученики четвёртого класса должны решать эту задачу, давайте и мы попытаемся её решить.

Прежде всего, мы должны уяснить себе, что означает фраза «Продолжительность каждого разговора в среднем 3 мин».

На это любой статистик вам скажет, что надо сложить продолжительности всех разговоров за какой-то период времени и поделить эту сумму на число разговоров. Результат этого деления и составит среднюю продолжительность. Однако любой статистик добавит, что те или иные конкретные разговоры могут иметь продолжительность резко отличающуюся от средней. Так что знание средней продолжительности не говорит нам ничего о продолжительности тех конкретных разговоров, о которых говорится в задаче. Например, мы можем предположить, что директор — человек экономный и в течение года

тратил на каждый разговор ровно минуту, только вот те конкретные десять разговоров, о которых идёт речь в задаче, были настолько важны, что он потратил час на каждый из них. При этом средняя продолжительность одного разговора будет равняться трём минутам, если общее число разговоров равнялось 295. (Проверьте!) Общая стоимость перечисленных в условии разговоров в этом случае составит астрономическую сумму в 5352 р.

А можно предположить, что те десять разговоров, которые названы в условии — как раз самые короткие, типа «Привет! — Привет! — Как дела? — Всё нормально. — Ну, будь здоров. — Пока!» Пусть каждый из этих разговоров длился всего пол-минуты, а все остальные длились по четыре минуты. Тогда, если всего разговоров было 35, средняя продолжительность одного — ровно три минуты, а вот суммарная стоимость перечисленных выше разговоров — всего 44 р. 60 к. Делая разные предположения, совместимые с условием задачи, можно получить и много других ответов. Какой из них верный — неизвестно. А может быть, все верные.

Попробуем истолковать условие по-другому: предположим, что фраза «продолжительность каждого разговора в среднем» означает среднюю продолжительность именно тех разговоров, которые упомянуты в задаче. Однако, и в этом случае задача неразрешима, потому что продолжительности конкретных разговоров могут сильно отличаться друг от друга. Например, вполне могло быть так, что директор, в целях экономии, говорил с Францией и Китаем каждый раз только одну минуту, а с Беларусью позволил себе поболтать — говорил каждый раз пять минут. В этом случае продолжительность каждого разговора в среднем — 3 мин, а общая стоимость разговоров — 155 р. 20 к. Однако, возможно, что по каким-то причинам каждый разговор с Францией и Китаем длился пять минут, а с Беларусью — только одну минуту. В этом случае продолжительность каждого разговора в среднем тоже 3 мин, но стоимость его переговоров выше — 380 р. Какой из этих ответов правильный — неизвестно. А можно получить и много других ответов. Так чего же от нас хотят авторы и министерство? Не знаю. Я, профессор факультета статистики, не могу решить эту задачу. А десятилетние дети могут? Ясно, что в этом случае и авторы и рецензенты отнеслись безответственно к своему делу.

Впрочем, может быть эта странная задача — только досадная случайность? Оказывается, нет. Вот задача 132 на стр. 26 той же книги:

Два пловца спрыгнули одновременно с лодки и поплыли по реке в противоположных направлениях: первый со средней скоростью 90 м/мин, второй — 40 м/мин. Сколько метров проплывёт второй пловец, когда первый проплывёт 270 м?

Сделай чертёж и реши задачу, обратную данной.

Составь и реши обратную задачу.

Ну, во-первых, последние две строчки повторяют друг друга. Это к вопросу о внимательности авторов и рецензентов. Теперь о главном: что такое средняя скорость? Это каждый знает: средняя скорость — это весь путь, делённый на время затраченное, чтобы его проделать. Отсюда следует очень важный вывод: говорить о средней скорости можно только тогда, когда движение уже закончено. Поэтому говорить о том, что пловец поплыл с такой-то средней скоростью — бессмысленно. Средняя скорость появится только тогда, когда он куда-нибудь приплывёт. Так как же решать эту задачу? Кто знает... Обратите внимание, что нам предлагают к тому же ещё и сделать чертёж — очевидно, график, показывающий, где находятся пловцы в зависимости от времени. Но в том-то и дело, что сделать его невозможно. Если бы пловцы плыли с постоянными скоростями, такой график был бы возможен, и для каждого пловца это была бы прямая линия. Однако нам говорят, что пловцы плыли с такими-то средними скоростями, значит их движение могло быть неравномерным, следовательно линии, изображающие их движение, могут быть кривыми. Черти любые загогулины — не ошибёшься. Как видим, эта задача тоже показывает безответственнсть и авторов, и рецензентов.

Сделаем ещё одну отчаянную попытку понять эту задачу. Забудем на время, что речь идёт о четвёртом классе и назовём средней скоростью пловца в любой момент времени путь, проплытый к этому моменту времени, делённый на время, прошедшее от начала процесса до этого момента. В этом случае, поскольку нам дано, что средняя скорость постоянна, мы можем вывести, используя математический анализ, что и мгновенная скорость пловца (т.е. производная пути по времени) тоже постоянна. Тогда зачем было огород городить? Сказали бы с самого начала, что каждый пловец плывёт с такой-то скоростью, и была бы хорошая задача.

Сколько же в этой книге задач, испорченных бездумным употреблением слова «средний»? Я не считал, но знаю, что не один десяток. То и дело нам сообщают среднюю скорость лыжника (задача 78 на

стр. 14), поезда (задача 91 на стр. 20), мотоциклистов (задача 105 на стр. 22), самолёта (задача 121 на стр. 24), всадников (задача 144 на стр. 28), но не сообщают, к какому отрезку пути эта средняя скорость относится. Видимо, по мысли авторов средняя скорость — это что-то вроде волшебной палочки: она годится для любого участка пути. А что на самом деле происходит на уроках, которые ведутся по этой книге? Подозреваю, что и учителя и ученики просто мысленно выбрасывают эти «средние» и решают задачи так, как будто этих слов вовсе нет. Хорошо это или плохо? Это хорошо потому, что найден выход из безвыходного положения, в которое безответственные работники просвещения поставили учеников и учителей. А плохо потому, что дети приучаются невнимательно и неуважительно относиться к тексту. Сейчас в разных странах многие учителя очень озабочены тем, как неправильно ученики воспринимают подчас условия задач. Интересующимся советую почитать отличную статью (на английском языке) немецкого исследователя Кристофа Зельтера «Сколько лет капитану?» (Christoph Seiter, “How old is the captain?”), которую вы легко найдёте в интернете, используя Google для поиска по словам “selter old captain”. Пора бы озаботиться этой проблемой и в России.

И последний вопрос: зачем авторы так испортили свою собственную книгу, у которой есть и немалые достоинства? Почему бы им просто не вычеркнуть все эти «средние»? Я подозреваю, что они увлеклись модным стремлением сделать свои задачи более реалистичными, приблизить их к реальной жизни — любой ценой. Эта тенденция уже причинила немалый вред образованию во многих странах, особенно в США. Интересующиеся могут почитать мои статьи на русских сайтах и на моём сайте. Однако задачи, решаемые в школе, не могут быть реалистичными в буквальном смысле слова. Вы не можете принести в класс все те вертолёты, самолёты, ящики с морковью и многое другое, о чём говорится в текстовых задачах. В школе — да и вообще в науке — мы всегда говорим о моделях действительности. Некоторые из этих моделей очень ценны, например, понятие равномерного движения. Все модели упрощают действительность, но это не страшно. Главное то, что в пределах этих моделей мы должны быть честными: требовать от учеников только тех ответов, которые вытекают из условий. Если никакой конкретный ответ не вытекает из условия задачи, необходимо признать, что эта задача

неразрешима. А что на самом деле происходит в тех школах, где занятия ведутся по этой книге? Боюсь, что на практике большинство учеников приучается писать не то, что логически вытекает из условия задачи, а то, чего хочет учитель. Но это же явный вред! Одна из важнейших задач математического образования именно в том и состоит, чтобы тренировать детей в распознавании точного смысла слов. Теперь предположим, что найдётся особенно въедливый ученик (будущий Зенон или Гёдель), который заметит, что условие задачи, строго говоря, допускает много различных ответов и заявит об этом в классе. Согласится ли с ним учитель? Вряд ли. Помилуйте — на одной стороне какой-то настырный шкет, а на другой — учебник, рекомендованный самим Министерством! Всё ясно?

E-mail: toom@de.ufpe.br, andretoom@yahoo.com

Web site: http://www.de.ufpe.br/~toom/

В.И. Романовский

Без калькулятора, или Да здравствует свобода!

Вместо предисловия

Совсем немного времени минуло с той поры, когда даже простые арифметические расчеты считались привилегией избранных. Заметьте, что речь идет не об устных вычислениях (так далеко наши предки в своих мечтах не заходили), а о расчетах с записью. Техника вычислений существенно отличалась от нынешней. В литературе можно найти описания различных способов вычислений (главным образом, умножения и деления), применявшихся в старину, весьма хитроумных и столь же сложных. Вся история математики связана с попытками упростить технику вычислений, сделать их доступными для всех желающих. Работы шли по двум направлениям. С одной стороны, создавалась и совершенствовалась вычислительная техника (таблицы, счеты, арифмометр, логарифмическая линейка, счетно-вычислительные машины — от примитивных до современных ЭВМ). С другой стороны, совершенствовалось искусство устного счета. Немалая заслуга здесь принадлежит алгебре — именно алгебра помогла найти простые пути для выполнения целого ряда вычислений в уме.

Уместен вопрос: а зачем вообще нужны сегодня устные расчеты, если практически каждый член общества, разменявший второй десяток, имеет в своем распоряжении, по меньшей мере, микрокалькулятор? Счетные устройства ныне встроены в мобильные телефоны, в наручные часы, в настольные календари... Да мало ли куда может завести фантазия изобретателей, пекущихся о наших удобствах! Вопрос о целесообразности выполнения вычислений в уме задают, как ни странно, не только зеленые юнцы, но и обремененные степенями ученые мужи, для которых калькулятор, ЭВМ стали привычными инструментами, ускоряющими и облегчающими работу. За ответом далеко ходить не придется. Загляните в спортзал на тренировку тяжелоатлетов. Наверное, ни у кого не возникал вопрос о том, стоит ли напрягаться, поднимая тяжеленную штангу, если для подъема грузов созданы разнообразные приспособления — от простейших до самых сложных. Все понимают: хочешь быть сильным и красивым — трудись. Но ведь мозг человека — не менее важная часть организма, нежели мышцы. Как гласит народная мудрость, по одежке лишь встречают, но провожают по уму.

Что же дает нам устный счет? При выполнении операций умножения и деления все расчеты сводятся к перемножению однозначных чисел. Сложность заключается в том, что в процессе расчетов нужно удерживать в памяти результаты промежуточных вычислений (поневоле вспомнишь калькулятор!), а затем возвращаться к ним для получения окончательного результата. Награда за усилия — совершенствование памяти, выработка умения концентрировать внимание. Кто-то может усомниться в целесообразности расходовать силы ради достижения туманной и далекой цели. Сомневающимся можно посулить более близкую и реальную перспективу. Кому из нас не довелось ощутить острую нехватку времени при выполнении контрольных заданий по математике? Здесь важна каждая сэкономленная минута. И на помощь приходит устный счет. Решить квадратное уравнение, оценить порядок результата сложных вычислений, проверить выполненное решение — все эти операции занимают считанные секунды у тех, кто не стал рабом микрокалькулятора, идя на поводу у собственной лени. При сдаче экзамена по математике по американской системе, когда из нескольких ответов на вопрос нужно выбрать один верный, умение просчитать варианты в уме может оказать неоценимую помощь. Наконец (и это немаловажно!), приятно поразить воображение окружающих, сообщив ответ к задаче прежде, чем те успели извлечь из кармана калькулятор.

Известно много примеров поразительных счетных способностей эстрадных вычислителей. Всех их объединяет феноменальная память на числа. Например, известный немецкий вычислитель д-р Фред Браунс выучил наизусть число, состоящее из 504 цифр, менее чем за 13 минут! Разумеется, такой необычайной памятью наделены от природы единицы. Профессиональные счетчики, подвизающиеся на эстраде, не обладая прирожденной памятью на числа, помогают себе различными искусственными приемами. С некоторыми из таких приемов мы познакомимся. Что же касается памяти, то развить ее можно, как уже было сказано, практикуясь в устном счете, а также заучивая наизусть литературные произведения — стихи и прозу.

Для тех, кто решится постигнуть секреты устного счета, — замечание: не все предлагаемые в настоящей статье рецепты предназначены непосредственно для ускорения и упрощения вычислительных операций. Реализация некоторых рекомендаций позволит разнообразить процесс вычислений, придать им игровой характер. Решение, когда и какой способ использовать, остается за вами.

Сложение

Операции сложения в уме, в отличие от вычислений на бумаге, мы начинаем с высших разрядов, последовательно добавляя к полученному результату суммы более низких разрядов. Во многих случаях удобно заменить слагаемые ближайшими «круглыми» числами, а затем откорректировать полученный результат с учетом выполненных упрощений.

При суммировании нескольких близких по значению величин удобно выбрать некоторую базисную величину, умножить ее на число слагаемых, а затем добавить к полученному результату сумму отклонений каждого из слагаемых от базисной величины (с учетом знака отклонения).

Примеры:

Разложение на множители

С этой операцией приходится встречаться достаточно часто: приведение дробей к общему знаменателю, сокращение дробей, а также решение разного рода задач, когда можно достаточно просто получить ответ, не прибегая к помощи уравнений, на составление которых изначально была нацелена задача.

При разложении числа на множители рекомендуется придерживаться следующего порядка:

а) проверить делимость числа на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, используя табличные признаки делимости; в случае положительного результата разделить число на эти делители и перейти к разложению на множители полученного частного;

б) извлечь с точностью до целых корень квадратный из числа, не поддающегося разложению табличными методами; для быстрого выполнения этой операции рекомендуется запомнить таблицу квадратов чисел до 32 (это не сложнее, чем выучить таблицу умножения!); далее будут предложены рекомендации по извлечению корня квадратного из чисел, превышающих 322 =1024 .

Руководствуемся следующим очевидным правилом: по меньшей мере один простой делитель составного числа не больше корня квадратного из этого числа (количество простых делителей числа, превышающих корень квадратный из него, не может быть больше 1). Доказать это правило несложно методом «от противного».

Проверяем делимость исследуемого числа на все простые числа, предшествующие найденному корню, исключая числа 2, 3, 5, 11 — их мы проверили ранее.

Пример: Найти простые делители числа 3857.

Ближайший полный квадрат — 622 =3844 (приемы возведения во вторую степень см. ниже). Следовательно, один из возможных делителей данного числа не более 61. Начав проверку делимости с числа 7, мы сразу получаем положительный результат: 3857-^7 = 551. Ближайший меньший квадрат — 529 = 232. Проверив делимость числа 551 на 23, переходим к делителю 19 и завершаем проверку: 3857 = 7—19—29. Замечания.

1. Вы сможете сэкономить немало времени, исследуя делимость чисел, если выучите таблицу квадратов чисел до 32, а также таблицу простых чисел первой сотни.

2. Наибольший общий делитель двух «неподдающихся» чисел можно отыскать с помощью алгоритма Евклида. Делим большее число на меньшее, затем меньшее — на первый остаток от деления, первый остаток — на второй и т. д. Деление продолжаем до тех пор, пока не получим деления нацело. Последний из остатков и будет наибольшим общим делителем двух чисел. Разумеется, при исследовании одного числа этот метод неприменим.

Деление

При делении одного числа на другое используем распределительный закон. Разбиваем большее из чисел на два слагаемых, первое из которых (как можно большее) заведомо делится на меньшее число. Затем по тому же принципу разбиваем второе слагаемое и т. д. При тех порядках чисел, с которыми приходится работать школьникам, не требуется более 2—3-х разбиений. Пример:

8211 ^ 23 = 6900 ^ 23 +1311 — 23 = 300 +1150 — 23 +161 — 23 = 300 + 50 + 7 = 357 . Представленный способ подобен делению «в столбик», однако мы упрощаем себе работу, внося коррекцию в делимое на каждом этапе.

Особенно удобен этот прием в случае, когда нас интересует не результат деления, а лишь принципиальная возможность выполнения этой операции без остатка.

Умножение

В качестве универсального метода при выполнении операций умножения и деления можно рекомендовать использование распределительного закона (что мы и делаем, выполняя умножение и деление «в столбик»). Однако в ряде частных случаев можно использовать специальные, менее трудоемкие методы, которые мы здесь рассмотрим.

1. Выделение кратного сомножителя.

Больший из сомножителей представляем как сумму двух слагаемых, одно из которых кратно второму сомножителю, а другое — меньше его. Примеры:

Замечание. Приведенные примеры удобно решить и иным способом:

2. Умножение на числа, оканчивающиеся цифрой 5. Рассмотрим несколько возможных случаев.

Использованные приемы понятны из примеров.

3. Перемножение двузначных чисел одной четности.

Решение этой задачи в общем виде можно представить следующей формулой:

Рассмотрим применение формулы на примерах.

Замечание. Этот способ применим, с незначительным усложнением, и для перемножения чисел разной четности. Рассмотрим пример:

Применим здесь и иной прием:

Выбор удобного метода — дело вкуса.

4. Перемножение чисел, близких к 100. Здесь применим способ так называемых «дополнений». Пусть требуется найти произведение 92—96. «Дополнение» для 92 до 100 равно 8, для 96 равно — 4. Первые две цифры результата получаем вычитанием из множимого «дополнения» множителя, или наоборот: 92—4 = 96—8 = 88. К этому числу приписываем произведение дополнений 8—4 = 32. Окончательный результат — 8832.

Обоснуем использованный алгоритм с помощью алгебры. Пусть нужно перемножить числа х и у, близкие к 100. Представим эти числа так: х = 100 — а, y = 100-b . Тогда

5. Представление одного из сомножителей как суммы или разности двух чисел.

В приведенных примерах работает распределительный закон умножения, который мы забываем, едва с ним познакомившись.

Возведение в квадрат

1. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5. Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, умножают число его десятков на число десятков, увеличенное на 1, и к полученному результату приписывают 25 (т.е. умножают результат на 100 и прибавляют 25). Под числом десятков здесь следует понимать число, полученное из данного отбрасыванием цифры единиц. Законность такого метода подтверждает следующий расчет:

Примеры:

2. Применение формулы квадрата суммы (разности) двух чисел:

3. Применение формулы разности квадратов двух чисел.

4. Разложение возводимого в квадрат числа на множители:

Замечание. При решении первых двух примеров уместен и иной путь — замена возведения в степень умножением.

Извлечение квадратного корня

1. Если известно, что предложенное число — полный квадрат, операция извлечения корня выглядит проще, нежели возведение в степень. Пусть надо извлечь квадратный корень из числа 61009. Отбрасываем последние две цифры (т.е. находим целочисленный результат деления данного числа на 100) и замечаем, что квадратный корень из числа 610 лежит между 24 и 25 (мы уже говорили о том, что следует запомнить квадраты в пределах первой тысячи). Итак, первые две цифры искомого результата — 24. Последняя цифра данного числа (9) может быть получена, если последняя цифра искомого числа — 3, ли-

бо 7. Поскольку число 610 ближе к 252 =625, нежели к 242 =576, заключаем, что искомое число — 247.

Аналогично найдем:

Замечание. Разумеется, далеко не всегда нам известно, что данное число — полный квадрат. Так, например, решая квадратное уравнение, мы обычно не можем быть уверены в том, что корни его — рациональные числа. Поэтому, получив результат, необходимо проверить его возведением в квадрат. Поскольку дискриминант квадратного уравнения содержит не более четырех знаков (в школьных задачах), такая проверка достаточно проста.

Извлечение кубического корня

Извлечение кубического корня — операция не более сложная, чем извлечение корня квадратного (при условии, что корень можно извлечь нацело). Необходимо лишь запомнить таблицу кубов чисел от 1 до 10.

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n3

1

8

27

64

125

216

343

512

729

1000

Видим, что среди последних цифр кубов нет повторяющихся. Последние цифры кубов чисел 1, 4, 5, 6, 9 и 10 совпадают с этими числами. Последние же цифры кубов чисел 2, 3, 7 и 8 дополняют каждое из названных чисел до 10.

Предположим, надо извлечь кубический корень из числа 658503. Отбросив последние три цифры, определяем, что кубический корень из числа 658 лежит между 8 и 9. Первая цифра ответа — 8. Цифра единиц заданного числа — 3; следовательно, вторая цифра искомого кубического корня равна 7. Аналогично находим:

Приближенные методы извлечения корней

1. Извлечение квадратных корней способом последовательных приближений.

Способ этот употреблялся уже в древнем Вавилоне задолго до нашей эры. Применял его и александрийский математик Герон.

Пусть, например, надо извлечь квадратный корень из числа 28. Выберем какое-то приближенное значение этого корня, например x1 = 5 . Погрешность этого приближенного значения обозначим через а1, положив

Чтобы найти значение а}, возведем обе части этого равенства в квадрат. Получим (1). Итак, для щ получено квадратное уравнение, из которого следует:

Таким образом, точное определение a1 требует вычисления — мы вернулись к исходной проблеме. На помощь приходит следующее соображение. Погрешность a1 невелика, она заведомо меньше единицы. Еще меньше число a2. Поэтому попробуем найти приближенное значение а1 отбросив в равенстве (1) малое слагаемое a2. Получаем для a1 приближенное уравнение 10а1 -3—0, из которого следует, что a1 = 0,3. Отсюда √28 ~ 5,3 . При необходимости, для получения более точного значения √28 можно продолжить описанный процесс, предположив, что √28 = 5,3 + a2.

Описанный метод позволяет достаточно просто получить и точное значение квадратного корня, если подкоренное число — полный квадрат. Рассмотрим пример. Пусть требуется найти значение √1849 . Принимаем √849 = 40 + а1. Возведем обе части полученного равенства в квадрат. 1849 = 1600 + 80a1 + a2, откуда 80а1 ~ 249 , а1 ~ 3 и √ 849 = 43. Проверка показывает, что получено точное значение искомого корня, второе приближение не потребовалось.

Пример:

(вновь получено точное значение корня!).

2. Извлечение корней с натуральным показателем способом последовательных приближений.

Описанный выше метод извлечения квадратных корней можно применять и для извлечения корней с любым натуральным показате-

лем. Для этого потребуется формула возведения двучлена в n-ную степень (формула бинома Ньютона):

Предположим, что уже найдено некоторое приближение х1 для искомого корня Обозначим через а1 погрешность этого приближения, то есть предположим, что x1 + a1 = √а . Тогда (х1 + a1)n = а или х1n + nхn-1а1 +... = а, где точками обозначены члены, содержащие а12, а13 и т. д. Если выбранное приближение x1 было достаточно близко к √а , то погрешность а1 этого приближения мала, и поэтому можно пренебречь членами, содержащими высшие степени погрешности. Получаем приближенное равенство:

Из этого равенства следует:

Примеры:

Замечание. В представленных примерах мы ограничились первым приближением, поскольку нас интересует целая часть искомого результата. Последующая проверка показала, что в обоих случаях получены точные значения корней.

3. Применение дифференциала к вычислению квадратных корней.

Тем, кто уже познал азы математического анализа, можно предложить еще один метод приближенного извлечения квадратных корней.

Применение дифференциала к приближенному вычислению значений функции основано на замене приращения Δy = f(x0+Δx)-f(x0) более простым выражением f'(x0)dx, в отыскании которого и состоит дифференцирование. Для малых dx:

с малой относительной ошибкой.

Приняв Δy = dy, мы заменяем данную функцию у = f(x) линейной функцией: у= f(x0) + f(x0)(x-x0). Геометрически это равносильно

замене линии, являющейся графиком функции у = f(х), касательной к ней в точке (x0,f(x0)). Эта замена в достаточно малой окрестности точки x0 приводит к таким ошибкам, которыми можно пренебречь в данном случае; при dx → 0 относительная ошибка стремится к нулю.

Приближенное равенство (*) используется для решения следующей задачи.

Известны значения f(x0), f'(x0), dx; требуется вычислить приближенное значение f (x0 + dx).

Из соотношения (*) сразу получаем нужную формулу:

Применительно к расчету у = √х имеем:

В частности, при х = 1

В общем случае

Полученные приближенные формулы позволяют вычислять квадратные корни с хорошей точностью, если только значение |h| мало по сравнению с a2.

Примеры:

Точное значение корня равно 1,1; относительная ошибка составила менее 0,5%.

При х = 1 получаем приближенную формулу

Общая формула (при х = an, а > 0 ) выглядит так:

А.Г. Мякишев

Химический Лицей 1303

Элементарная геометрия и компьютер

1. Некоторые замечания о Геометрии и Компьютере вообще

Понятию «Элементарная Геометрия» (на плоскости) едва ли можно дать точное определение и заключить его в какие-то строгие рамки. С точки зрения большинства школьных учебников, это, повидимому, дисциплина, изучающая свойства объектов, которые можно построить циркулем и линейкой — причем изучающая «с точностью до подобий» (т.е. среди всех преобразований плоскости рассматриваются лишь движения и подобия).

Однако, если мы присоединим сюда конические сечения, аффинные и проективные преобразования, инверсию, изогональное и изотомическое сопряжения и даже некоторые кубические кривые, естественным образом возникающие при исследовании различных свойств треугольника (также представляющего собой «кубику») — выйдем ли мы за пределы того, что можно еще называть «Элементарная Геометрия»? Все же боязно в этом случае отбросить прилагательное «элементарная» или заменить другим — ведь в сравнении с такими разделами Геометрии, как, скажем, «Алгебраическая» или «Дифференциальная» очень уж скудными представляются применяемые здесь методы.1

1 Вот, кстати, высказывание известного ученого Станислава Улама, касающееся Элементарной Геометрии. Под ним, вероятно, подписались бы с удовольствием многие профессиональные математики. Фрагмент заимствован из книги «Приключения математика».НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Москва-Ижевск, 2001 Подозреваю, что упомянутый ниже «один французский геометр» — никто иной, как классик жанра Виктор Тебо, слово же «Belanglos» в переводе с немецкого означает «незначительный», «неважный».

«Наркотическое воздействие может оказать самая маленькая задача, хотя бы в ней с первого взгляда и распознавалась тривиальность или повторяемость. Можно втянуться, начав решать такие задачи. Я помню, как журнал “Mathematical Monthly” время от времени публиковал посылаемые одним французским геометром задачи, которые имели дело с банальными расположениями на плоскости окружностей, прямых и треугольников.

Как бы оно там ни было, в этой статье мы будем использовать термин «Элементарная Геометрия» скорее в «расширенном» смысле, а для краткости писать, где нужно, просто «Геометрия».

Многие учителя знают: Геометрия доставляет богатейший материал для развития логического мышления, фантазии и математической культуры их подопечных. Но при всем притом, зачастую, увы, сам предмет воспринимается, как нечто вполне завершенное и полностью сформированное, застывшее в своем развитии — нечто вроде мертвого языка, наподобие латыни. Такое представление совершенно не соответствует действительности.

Рождаются все новые интересные теоремы и конструкции (даря, как и положено, их созидателям, пожалуй, наивысшую радость, доступную человеку — радость Творчества). И порой сопоставимые с общепризнанными шедеврами, ставшими достоянием Мировой Культуры. (Такими, к примеру, как прямая или окружность Эйлера, теорема Морлея и т.д.) Более того, последние 10—15 лет Геометрия, можно сказать, находится на подъеме2.

И в этом огромную роль сыграл Компьютер. Во-первых, Интернет. У людей, разделенных тысячами километров, появилась возможность мгновенного общения друг с другом, доступа к различным книжным раритетам и объединения по интересам. В частности, любители Геометрии создали свой сайт:

http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/ — Гиацинты. На этом сайте можно получить авторитетную консультацию по любому вопросу, связанному с Геометрией — будь то ссылка на необходимую Вам литературу, степень новизны того или иного результата и т.д.

Появились и другие сайты, в той или иной мере связанные с Геометрией.

“Belanglos” — как говорят немцы, но тем не менее эти картинки могли увлечь вас сразу, как только вы начинали думать о том, как найти решение, даже если вместе с тем вы осознавали, что это решение едва ли повлечет за собой какие-нибудь более увлекательные и более общие вещи».

2 Подчеркнем, что речь не идет о повышении уровня преподавания Геометрии в мировом масштабе, или в масштабе нашей страны — скорее здесь наблюдается противоположная тенденция, что весьма печально. Имеется ввиду лишь количество новых результатов, найденных за эти годы.

Укажем некоторые адреса:

http://forumgeom.fau.edu/ — электронный журнал, публикующий новые теоремы или доказательства;

http://paideiaschool.org/TeacherPages/Steve_Sigur/geometryIndex.htm — страничка американского математика Стива Сигура;

http://fommgeom.fau.edu/faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.htm — электронная энциклопедия замечательных точек треугольника;

http://www.mccme.ru/ — Московский Центр Непрерывного Математического Образования;

http://www.etudes.ru/index.php — Математические Этюды.

Итак, компьютер подарил возможность практически неограниченного и высокоскоростного обмена информацией.

Во-вторых, были созданы чудо-программы, такие как канадская «The Geometer's Sketchpad» (примечательно, что русифицированная версия называется «Живая Геометрия») и французская «Cabri Geometry ». С их помощью можно проверять истинность всевозможных геометрических гипотез.

Для тех, кто с этими программами не знаком, поясним, как это происходит, на простом примере. Предположим, возникла необходимость выяснить, справедливо ли утверждение: «в любом треугольнике его медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины». Допустим далее, что по каким-то причинам мы не знаем, так ли это на самом деле, а поиск непосредственного доказательства считаем мероприятием рискованным, потому что вдруг это не так, и тогда как ни старайся — все равно ничего не докажешь. Выход из этой сложной ситуации, однако, имеется. Запустим «Живую Геометрию», нарисуем некоторый треугольник, проведем в нем медианы, и убедимся, что они пересекаются в одной точке и делятся ею в нужном отношении (программа с легкостью справляется с функцией циркуля и линейки, вычисляет отношения длин — будучи, конечно, способной и на гораздо большие подвиги). Теперь наступил ключевой момент: программа позволяет деформировать треугольник, смещая положения вершин и произвольным образом меняя длины сторон и величины углов. И мы видим, что исходное предположение выполняется, как бы мы не

деформировали треугольник.3 Таким образом мы можем не только моделировать ту или иную геометрическую конструкцию, но и наблюдать ее в динамике.

Понятно, что эти две (и подобные им) программы являются мощным оружием в руках геометров, жаждущих новых фактов. И теперь даже новичок, не слишком отягощенный бременем знаний, но зато со свежим восприятием предмета, имеет шанс открыть «что-нибудь эдакое». Естественно, у искушенного знатока, располагающего опытом и сильно развитой интуицией, таких шансов больше, но бывали случаи, когда и новичкам везло. (См. Пример 2 далее.)

Во второй части статьи мы приведем (без доказательств — читатель сможет при желании найти их, обратившись к соответствующим ссылкам) несколько примеров новых теорем, открытых с помощью компьютера. Все они родились в начале этого столетия.

А часть первую представляется уместным завершить цитатой из последней статьи выдающегося отечественного Геометра Игоря Федоровича Шарыгина (1937—2004)4:

«Заметным явлением сегодняшней цивилизации стал компьютер. И здесь особо следует сказать о взаимоотношениях между геометрией и компьютером. С одной стороны, геометрический тип рассуждений наименее поддается компьютеризации. (А отсюда, в частности, следует, что его сохранение и развитие особенно важно именно в настоящее время.) Геометрия остается одной из немногих сфер интеллектуальной деятельности, где человек еще не проиграл соревнова-

3 Учителю на заметку: подобные вещи в практику внедрять надо с крайней осторожностью. Сергей Маркелов рассказывал, что в свое время ему довелось побывать на уроке в одной из канадских школ (на родине отцов-основателей «The Geometer's Sketchpad»). Преподаватель как раз вышеописанным образом убеждал школьников в истинности теоремы о медианах — и убедил настолько глубоко, что после этого всякие разговоры о доказательстве сделались бессмысленными. Дети просто не могли понять — о чем тут еще можно говорить, если все и так видно? Таким образом, в результате непродуманных действий сама идея математического доказательства была уничтожена на корню — если, конечно, то не был изначально вполне сознательный и злой умысел.

4 Статья озаглавлена «Нужна ли школе 21-го века Геометрия?» и напечатана в журнале «Математическое просвещение», Третья серия, выпуск 8 — М: МЦНМО, 2004.

ние компьютеру.5 А с другой, — компьютер является очень полезным инструментом в геометрических исследованиях. С его помощью можно экспериментально обнаруживать новые интересные геометрические факты. Человеку же остается важнейшая роль — эти факты доказывать (всего лишь!)6. При этом в геометрическую деятельность с использованием компьютеров могут включаться школьники и сильные и слабые (с точки зрения математики), технари и гуманитарии. И получается, что первонаука, которой является геометрия, получила новый толчок к развитию, как образовательный предмет и как наука, благодаря самым современным компьютерным технологиям».

2. Некоторые примеры взаимоотношений

Пример 1. Окружность Ламуна.

Автор: Floor van Lamoen.

Центры окружностей, описанных около шести треугольников, на которые произвольный треугольник разбивается своими медианами, лежат на одной окружности.

Об истории открытия этой замечательной теоремы можно узнать из переписки между автором открытия и знаменитым математиком Джоном Конвеем.

Вот фрагмент (полный текст хранится в архивах Гиацинтов):

[JHC]: May I ask, Floor, whether you found this lovely theorem as a consequence of some theory, or whether it was just conjectured by “drawing the picture”, so to speak?

5 Например, в шахматах человек явно проиграл. Может быть, еще остались два-три супергроссмейстера, способных выдержать единоборство с такими монстрами, как “Fritz”, “Rybka”, “Junior” или “Hydra” — но очевидно, что это ненадолго. Компьютер доказал, что в сущности своей шахматы — игра не творческая. Чтобы хорошо играть в шахматы (человек против человека) нужны, разумеется, и фантазия и выдумка. Но, оказалось, чтобы отлично в них играть — достаточно тупого счета всевозможных продолжений. Человек пасует, когда глубина машинного перебора ходов достигает 6—8 ходов, и никакое позиционное мастерство уже не спасает.

6 Игорь Федорович, придумавший за свою жизнь несколько сотен задач — насколько мне известно, никогда (ну, или почти никогда) не использовал компьютер для этих целей. Вероятно, поэтому он забыл упомянуть, что сам поиск содержательной геометрической конструкции играет не менее важную роль, чем последующие доказательства. Этот поиск — основаный на опыте, интуиции и чувстве красоты и гармонии, и требующий порой немалых творческих усилий — осуществляется все еще человеком, а не компьютером.

[FVL]: It was an example that Clark Kimberling gave in TCCT7 as a conic in a “Cevasix” configuration. When I saw the figure with the six circumcenters, I thought that the conic could be a circle. So it was by drawing the picture. Then I tried to prove syntheticly, and that was not too difficult.

Фраза “by drawing the picture” подразумевает, «по умолчанию», очевидное продолжение: «рукою Железного Друга».

Доказательство самой теоремы (и обратной к ней) можно найти в статье А. Мякишева «Точка пересечения медиан треугольника», опубликованной в газете «Математика» (№№43,44,46,48 за 2003 год).

Пример 2. Прямая Эйлера четырехугольника.

Автор: Ярослав Ганин.

В произвольном четырехугольнике ABCD ортоцентр8 треугольника BCD обозначим На, треугольника CD А — Hh, треугольника DAB

7 “Triangle Centers and Central Triangles”, Congressus Numerantium, Vol. 129,Winnipeg, Canada.

8 Точка пересечения высот.

— Нс и треугольника ABC — Hd. Пусть Н — точка пересечения диагоналей четырехугольника HаНbHcНd. Рассматривая далее вместо ортоцентров — центроиды9 и центры описанных окружностей, аналогично построим точки G и О. Тогда точки H, G, О лежат на одной прямой и HG:GO=2:1.10

Ярослав обнаружил этот красивый факт в начале 2006 года, будучи тогда еще учащимся 11-го класса. Доказательство имеется в сборнике «Учим математике» (М.: МЦНМО, 2006) в статье А. Мякишева «О некоторых прямых, связанных с четырехугольником».

9 Точка пересечения медиан.

10 Напомним, что классическая прямая Эйлера треугольника содержит его ортоцентр H, центроид G , центр описанной окружности О и HG:GO=2:1.

Пример 3. Обобщение гиперболы Киперта.

Автор: Алексей Мякишев.

Как известно, если построить на сторонах произвольного треугольника равнобедренные треугольники с одним и тем же углом φ при основании (при положительных значениях угла проводим боковые стороны вовне, в противном случае — наоборот), а затем соединить их вершины с соответствующими вершинами исходного треугольника, то полученная тройка прямых всегда будет пересекаться в одной точке, а множество всех таких точек заметает некоторую гиперболу — т.н. гиперболу Киперта.

Попытки отыскать какие-то схожие утверждения привели к следующей, несколько тяжеловесной, конструкции:

В плоскости треугольника ABC выберем произвольную точку Р и рассмотрим прямые, соединяющие эту точку с соответствующими вершинами треугольника. Отметим точки пересечения прямых со сторонами (или продолжениями сторон) треугольника. Каждая такая точка разбивает сторону на два отрезка. Построим теперь на этих отрезках, как на основаниях, равнобедренные треугольники с одинаковым углом φ при основании.

Прямые, проходящие через пары соответствующих вершин этих треугольников, образуют новый треугольник, перспективный11 исходному. Более того, при фиксированной точке Р множество пер-

11 То есть, тройка прямых, проходящих через соответственные вершины, пересекаются в одной точке.

спекторов будет заметать гиперболу — свою для каждой точки. Если Р совпадает с ортоцентром H треугольника ABC, то получится гипербола Киперта.

Помнится, когда конструкция пришла в голову, я сильно сомневался в ее «прочности» — ведь меняется и угол φ, и положение точки Р. Но компьютер развеял все сомнения.

Доказательство можно прочитать, обратившись по адресу: http://fommgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200429index.html (в статье Darij Grinberg, Alexei Myakishev «A generalization of the Kiepert hyperbola»).

Следующие два примера своим появлением в настоящей публикации обязаны Алексею Заславскому. Он любезно согласился поделиться некоторыми памятными примерами: «Я вспомнил два факта, найденных с помощью компьютера. Правда, для первого нет геометрического доказательства, а для второго — вообще никакого. Первый факт обнаружил Акопян. Я умею доказывать его с помощью алгебраической геометрии, а кто-то из Гиацинтов нашел доказательство в комплексных числах, потом я обобщил его на случай, когда вписанная коника не окружность». Пример 4. Окружности Акопяна. Автор: Акопян.

Рассмотрим множество треугольников с данными описанной и вписанной окружностями и фиксированную точку Р. Тогда ГМТ, изогонально сопряженных Р относительно рассматриваемых треугольников — окружность.

То, что треугольник можно «вращать»12 относительно вписанной и описанной окружности, гарантировано теоремой Понселе, (см., например, задачу 615 в книжке И.Ф. Шарыгина «Геометрия, задачник 9 — 11» — М.: «Дрофа», 1996).

Приведем также, на всякий случай, определение изогонально-сопряженной точки: пусть три прямые, выходящие из вершин треугольника ABC, пересекаются в точке Р. Тогда прямые, им симметричные относительно соответствующих биссектрис треугольника, также пересекаются в одной точке. Эта точка PL называется точкой, изогонально сопряженной точке Р относительно треугольника ABC.

12 Выражаясь условно, так как треугольники при этом меняются

Пример 5. Равновеликие четырехугольники Брокара. Автор: Алексей Заславский.

Известно, что любой треугольник ABC имеет две точки Р и Q, такие, что: ∠РAB = ∠PBC = ∠PCА = ∠QBA = ∠QCB = ∠QAC, причем эти точки изогонально сопряжены друг с другом. Их называют, соответственно, первой и второй точкой Брокара. (О многих интересных свойствах точек Брокара можно прочитать в брошюре В.В.Прасолова «Точки Брокара и изогональное сопряжение» — М: МЦНМО, 2004). Алексей Заславский ввел понятие точек Брокара для трехзвенных ломанных.

Именно, пусть имеется трехзвенная ломаная ABCD. Ее первой точкой Брокара Р назовем точку, для которой ∠PAB = ∠PBC = ∠PCD. Второй же точкой Брокара Q назовем точку такую, что ∠QBA = ∠QCB = ∠QDC (несложно показать, что у любой трехзвенной ломаной точки Брокара всегда имеются).

Рассмотрим теперь произвольный четырехугольник ABCD. Естественным образом с ним связаны четыре первые и четыре вторые точки Брокара: Ра — первая точка Брокара для ломанной ABCD, Pb — для BCDA, Рс — для CDAB, и, наконец, Pd — для DABС. Четырехугольник PaPbPcPd назовем первым четырехугольником Брокара четырехугольника ABCD. Заменив первые точки Брокара вторыми, аналогично получим второй четырехугольник Брокара QaQbQcQd .

В этих терминах загадочная теорема, открытая Алексеем Заславским, может быть сформулирована следующим образом:

Для любого вписанного в окружность четырехугольника оба его четырехугольника Брокара равновелики.

В самом деле, не совсем понятно (точнее, совсем непонятно), с чем это может быть связано — ведь четырехугольники Брокара даже аффинно не эквивалентны!

Любители нерешенных геометрических проблем получили еще одну.

Пример 6. Изогональные окружности.

Авторы: Илья Богданов и Павел Кожевников. В заключение — изящная миниатюра. Думается, справившись с ее решением, читатель получит удовольствие.

Внутри угла АОВ выбраны точки Р и Q, так что ∠POA = ∠QOВ. Рассмотрим любые две пересекающиеся окружности, одна из которых касается лучей OA и OQ, а другая — ОР и OВ. Если С и D — точки пересечения окружностей, то ∠COA = ∠DOB.

alex_geom@mtu-net.ru

М.К. Потапов А.В. Шевкин

Несколько замечаний по критериям оценки работ ЕГЭ

В журнале «Математика в школе» (2/2006) опубликован демонстрационный вариант ЕГЭ-2006 по математике. Понятно, что составители текстов заданий должны предусмотреть единую систему проверки заданий разными экспертами, для чего и создаются критерии оценки выполнения заданий. Уже давно говорят, что ЕГЭ дает неверные ориентиры школьному математическому образованию, что стандартизация процедуры проверки работ бьет прежде всего по сильным, нестандартно мыслящим выпускникам, которые часто приводят решения, отличные от предусмотренных составителями тестов. Как будут оценивать такие решения эксперты? Как должны учить своих учащихся учителя — готовить к стандартизированным решениям или учить их думать самостоятельно?

Приведем ряд примеров из ЕГЭ-2006.

Задание C1 мы решаем в том же «телеграфном» стиле, что и в журнале, но не представляем левую часть уравнения в виде дроби, а умножаем обе части уравнения на функцию sin х, которая в условиях задания не обращается в нуль, так как уравнение содержит функцию ctg x.

Задание C1. Решите уравнение

Решение.

Ответ.

Из опубликованных в журнале критериев не видно, как эксперты должны оценивать приведенное выше решение, не идущее по стандартному пути, предполагаемому составителями критериев. Там предполагается первый шаг: представление левой части уравнения в виде дроби. В этом решении его нет.

Задание C2. При каких значениях х соответственные значения функций f(х) = log2 x и g(x) = log2 (3 — х) будут отличаться меньше, чем на 1?

Решение. Сравнивать значения функций f(x) и g (х) можно лишь для значений х из интервала (0;3) — пересечения областей определения этих функций. Для наглядности построим графики этих функций на интервале (0;3) (см. рис.).

1) В точке x = 2 значения функций отличаются на 1. Так как функция f(x) возрастающая, a g(x) — убывающая, то их значения в любой точке промежутка [2; 3) будут отличаться не меньше, чем на 1.

2) Аналогично рассуждая, получим, что в любой точке промежутка (0; 1] значения функций f(x) и g (х) также будут отличаться не меньше, чем на 1.

3) В любой точке интервала (1; 2) значения каждой из функций f(x) и g (х) принадлежат интервалу (0; 1) и поэтому будут отличаться меньше, чем на 1.

Итак, только для точек интервала (1; 2) соответствующие значения функций f(x) и g (х) будут отличаться меньше, чем на 1. Ответ. При x ∈ (1;2).

Заметим, что графики были использованы только для наглядности и упорядочивания решения. Нигде не было сказано «как видно из графиков...», хотя ответ, действительно, виден из графиков.

Критерии оценки выполнения этого задания предполагают обязательные шаги: 1) составление неравенства, содержащего модуль, и 2) решение неравенства. Из опубликованных критериев не видно, как эксперты должны оценивать приведенное решение.

Прежде чем перейти к геометрии, приведем еще одно алгебраическое задание из демонстрационного варианта ЕГЭ-2005.

Задание C1. Решите уравнение

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, перейдем к уравнению-следствию:

Проверка показывает, что все числа πk, k ∈ Z являются решениями исходного уравнения.

Ответ. πk, k ∈ Z.

Здесь критерии оценки выполнения задания предполагают обязательное рассмотрение двух случаев sinx>0 и sinx<0, которых в нашем решении нет (и решение от этого только выиграло!).

Теперь перейдем к геометрическому заданию из ЕГЭ-2006.

Задание C4. Основанием пирамиды FABC является треугольник ABC, в котором ∠AВС = 90°, АВ = 3, ВС = 4. Ребро AF перпендикулярно плоскости ABC и равно 4. Отрезки AM и AL являются соответственно высотами треугольников AFB и AFС. Найдите объем пирамиды AMLC.

Решение. 1) Объем пирамиды FABC равен

2) В прямоугольных треугольниках ABC, AFB, и AFC вычислим отрезки:

3) Если пирамиды имеют общую вершину, а их основания лежат в одной плоскости, то отношение объемов пирамид равно отношению площадей их оснований, Поэтому

Опустим из точек Ми В перпендикуляры МM1 и ВB1 на прямую FС. Из подобия треугольников FMM1 и FBB1 следует, что

Тогда

Но тогда

Ответ.

В приведенном решении отсутствует шаг «обоснование перпендикулярности AM плоскости BCF». Мы не доказали также, что FB⊥ВС, не вычисляли площадей треугольников ВСF и MCL, что сделано в эталонном решении. Решение задачи от этого только

выиграло. И здесь возникает вопрос: как эксперты на местах должны оценивать это решение?

На наш взгляд, очевидно, что предусмотреть все возможные решения, которые могут придумать выпускники невозможно, а попытка стандартизации решений опасна именно тем, что дает неверный ориентир учителям математики, школьникам, школьному математическому образованию в целом. Для нас очевидно, что на вступительном экзамене в вуз преподаватель только порадовался бы решениям, отступающим от общепринятого шаблона, решениям, демонстрирующим способность абитуриента нестандартно мыслить. Чему будут радоваться эксперты, обнаруживающие решения, отличные от предусмотренных составителями заданий, мы не знаем.

Работа выполнена при поддержке РГНФ (проект № 05—06—06423а).

А.В. Бунчук

ФМШ № 2007

Тесты с правильными и неправильными ответами

В последнее время контроль знаний в форме тестирования приобрел широкое распространение, в том числе, и по физике. Однако качество тестов в ряде случаев оставляет желать лучшего. Дело не только в том, что составление тестов является довольно трудной и еще далеко не освоенной задачей, но и в том, что, для школьников, изучающих физику, важно не подстраиваться под имеющийся ответ, доверяя ему больше, чем собственному рассуждению, а вырабатывать умение анализировать ситуацию, выстраивать логическое обоснование результатов анализа.

На практике же мышление учащегося зачастую оказывается более глубоким, чем рассчитывал автор теста, и среди приведенных ответов школьник не находит нужного. При тестовом контроле искусственно создается преимущество неглубоких, но прочных знаний на репродуктивном уровне перед творческим и глубоким, но более медленным мышлением. За время, отведенное на выполнение тестового задания, как правило, невозможно решить десятки предложенных заданий, можно лишь вспомнить решения и ответы.

К сожалению, имеющиеся тесты ориентируют учителей не на обучение собственно решению задачи, анализу и изложению своих рассуждений, а на натаскивание учащихся в решении типовых заданий.

Предлагаемые здесь тесты являются попыткой преодолеть сложившуюся тенденцию. Они отличаются от публиковавшихся до сих пор тем, что число правильных и неправильных ответов на каждый вопрос значительно увеличено. При этом формулировки как правильных, так и неправильных ответов подбирались похожими.

Практика использования этих тестов и общеобразовательных классах, и в классах с углубленным изучением предмета показала, что учащимся практически невозможно получить удовлетворительный результат методом случайного «тыка», поэтому надежда на получение объективной оценки их знаний возрастает.

Кроме того, наличие большого числа ответов позволяет значительно упростить процесс изготовления нескольких вариантов одного и того же теста, что достигается простой перестановкой как задаваемых вопросов, так и предлагаемых ответов на каждый из них.

9 класс

ФИЗИКА

Вариант № 1

1. ВНИМАТЕЛЬНО прочитав вопрос и ответы, обведите ВСЕ буквы, обозначающие правильные варианты ответа, даже если этих ответов несколько, и они частично дублируют друг друга.

2. Впишите обведенные БУКВЫ в таблицу на обороте листа.

3. За каждый незамеченный правильный вариант ответа оценка снижается.

4. Для черновика используйте место на обороте листа под таблицей.

1) Лодку тянут с крутого берега, выбирая канат через блок с постоянной скоростью D. Скорость V движения лодки относительно берега

А) V = vcosa; Б) V = vsina; В) V = v/cosa; Г) V = v/sina; Д) плавно возрастает; Е) плавно убывает; Ж) постоянна и равна v ; И) постоянна и меньше v ; К) постоянна и больше v.

2) Тело бросили вертикально вверх с поверхности земли из точки М. Тело поднялось до точки N и упало обратно. На рисунке справа показана зависимость расстояния L между этим телом и неподвижным наблюдателем от времени t. Наблюдатель находился в точке

А)1; Б) 2; В)3; Г) 4; Д) 5; Е) 6; Ж) правильное положение наблюдателя показано; Е) правильное положение наблюдателя не показано.

3) Ящик массой m от случайного прикосновения съезжает с вершины ледяной горки высотой h (см. рис.). Когда горку посыпали песком, ящик, съехав с горки, в точке А имеет скорость в два раза меньшую, чем на горке без песка. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы втащить неподвижный ящик из точки А на вершину по горке, посыпанной песком? Считать, что трения по чистому льду нет.

A) mgh; Б) 2mgh; B) 3mgh/4; Г) 5mgh/4; Д) 7mgh/4; E) 3mgh/2; Ж) коэффициент трения по горке с песком неизвестен, поэтому ответ найти нельзя; И) коэффициент трения по горке с песком неизвестен, но ответ найти можно.

4) Тело движется прямолинейно под действием силы F, направленной вдоль линии движения. На графике приведена зависимость модуля этой силы от времени. В течение каких интервалов времени скорость тела не изменялась?

А) 0—1; Б) 1—2; В)2—3; Г)1—2 и 3—4; Д) 0—1 и 2—3; Е) 3 — 4; Ж) скорость изменялась в течение всех интервалов.

5) Тело брошено вертикально вверх с поверхности земли. Какой буквой обозначен график, верно отражающий зависимость кинетической энергии Ек тела от квадрата его скорости v2 за все время полета до момента приземления? Сопротивлением воздуха пренебречь.

А) 1 ; Б) 2; В) 3; Г) 4; Д) 5; Е) 6; Ж) нужного графика нет.

6) Слева показано направление равнодействующей R всех сил, приложенных к телу, в некоторый момент времени. Какой цифрой справа обозначено возможное направление скорости тела в этот момент?

А) 4; Б) 3; В) 2; Г) 1; Д) направление скорости может быть любым; Е) все указанные направления возможны ; Ж) полный правильный ответ не дан ; И) полный правильный ответ приведен .

7) Два тела одновременно начинали равномерное движение по окружности радиусом 1 м из одной точки. Периоды их движения 2 с и 4 с. Через 3 с после начала движения модуль перемещения первого тела относительно второго равен

А) 9π/2 м ; Б) 3π/2 м; В) p/4 м; Г) 2√2 м; Д) 4 м; Е) 1 м; Ж) правильное значение не приведено.

8) На горизонтальном столе стопкой лежат книги массами m, 3m и 4m (см. рис.). На книгу массой 3m со стороны Земли массой M действует сила тяжести, равная 3mg, со стороны верхней книги — сила m g, а

стол на эту книгу не действует. Ускорение свободного падения равно g . На Землю со стороны книги массой 3m действует сила, равная

9) В вопросе № 8 чему равна равнодействующая всех сил, приложенных к нижней книге?

10) Брусок массой m с прикрепленной к нему невесомой пружинкой скользит по горизонтальному столу со скоростью и к неподвижному бруску (см. рис.). Трением брусков о стол пренебрегаем. Каким будет суммарный импульс этих брусков в тот момент столкновения, когда пружинка максимально сжата?

А) ответ зависит от массы неподвижного бруска; Б) 2mv; В) mv/2; Г) mv; Д) -mv; Е) 0; Ж) -2mv; И) -mv/2; К) ответ не зависит от массы неподвижного бруска.

11) Во время игры в волейбол при полете мяча модуль его ускорения с учетом сопротивления воздуха

А) на части траектории меньше, а на другой части — больше g;

Б) больше g ; В) равен g; Г) ответ зависит от массы мяча;

Д) до верхней точки траектории больше g ; Е) при снижении может быть меньше g ; Ж) ответ не зависит от массы мяча.

12) Кинетическая энергия тела равна 3 Дж, а квадрат модуля импульса тела равен 36 (кг м/с)2. Масса тела и модуль его скорости соответственно равны

А) 6 кг, 2 м/с; Б) 2 кг, 6 м/с; В) 1 кг, 3 м/с; Г) 3 кг, 1 м/с; Д) 1 кг, 6 м/с; Е) правильные значения не приведены.

13) Мячик бросили с поверхности земли вертикально вверх, сообщив кинетическую энергию 21 Дж. В верхней точке полета мячик имел потенциальную энергию 16 Дж относительно поверхности. Обозначим работу силы трения за время полета мячика до верхней

точки W1, а работу силы трения за время полета от верхней точки до земли W2. Работа W1 равна

А) работу W1 определить нельзя, т. е. она зависит от скорости движения мячика;

Б) работу W1 определить можно, хотя она зависит от скорости движения мячика;

В) 0Дж; Г)-5Дж; Д) 5 Дж; Е) 16Дж; Ж)-16Дж; И)-21Дж; К)21Дж; A) W1 > W2 ; M) W1 = W2 ; H) W1 < W2.

14) В вопросе № 8 стол, на котором лежат книги, мгновенно убирают. С какой по модулю силой действует нижняя книга на среднюю в момент исчезновения стола?

А) 9mg; Б) 5mg; В) 4mg; Г) 2mg; Д) 0 Н; Е) ответ зависит от массы Земли; Ж) правильный ответ приведен.

10 класс

ФИЗИКА

Вариант № 1

1. Внимательно прочитав вопрос и ответы, обведите ВСЕ буквы, обозначающие правильные варианты ответа, даже если этих ответов несколько, и они частично повторяются (ответ «правильное значение не приведено» может быть значимым).

2. Впишите обведенные БУКВЫ в таблицу на обороте листа.

3. За каждый правильный вариант ответа, не вписанный в таблицу, оценка снижается.

4. Для черновика можно использовать место на обороте листа под таблицей.

1) Во время игры в теннис при полете мяча с учетом сопротивления воздуха модуль его ускорения

А) меньше g; Б) больше g; В) равен g; Г) равен нулю; Д) может быть как больше, так и меньше g.

2) Из двух неконтактирующих тел первое имеет положительный заряд, второе — не заряжено. Внешних полей вокруг тел нет. Потенциал какого из тел выше?

А) первого; Б) второго; В) потенциалы тел равны; Г) при отсутствии внешнего поля ответ дать нельзя; Д) при отсутствии внешнего поля потенциалы тел равны;

3) Как изменилось показание амперметра сопротивлением 10 Ом, если параллельно ему подключили шунт сопротивлением 1 Ом, а общая сила тока в цепи после подключения шунта осталась прежней?

А) увеличится; Б) не изменится; В) уменьшится;

Г) увеличится в 10 раз; Д) уменьшится в 10 раз; Е) увеличится в 11 раз; Ж) уменьшится в 11 раз; И) увеличится в 9 раз; К) уменьшится в 9 раз.

4) Заряженный положительно шар индуцирует на незаряженном проводнике заряды «+» и «-» (см. рис.). Какой заряд получит проводник после кратковременного заземления конца А? конца В?

A) в первом случае положительный, во втором отрицательный; Б) в обоих случаях положительный;

B) в первом случае отрицательный, во втором положительный; Г) в обоих случаях отрицательный;

Д) общий заряд проводника останется равным нулю;

5) В чистом полупроводнике (в полупроводнике без примесей) электрический ток создается

А) только свободными электронами; Б) только связанными электронами; В) только «дырками»; Г) свободными и связанными электронами; Д) свободными электронами и «дырками»; Е) свободными электронами, связанными электронами и «дырками»; Ж) связанными электронами и «дырками» .

6) На каком из графиков 1) — 4) верно воспроизведен вид зависимости модуля силы взаимодействия двух точечных зарядов от квадрата расстояния между ними?

А)1; Б) 2; В)3; Г) 4; Д) ни на одном.

7) Какие из соотношений

справедливы только для одноатом-

ного идеального газа (<Е> — средняя кинетическая энергия поступательного движения атома)?

А)1; Б) 2; В)3; Г) 4; Д) 2 и 4; Е)1,2 и 3; Ж) 2, 3 и 4; И) 1 и 2; К) 3 и 4; A) все четыре.

8) Идеальный одноатомный газ № 1, состоящий из атомов с массой m1, оказывает на стенки сосуда давление p1. Идеальный одноатомный газ № 2, состоящий из атомов с массой m2 = 3m1, находится в таком же сосуде. Средние скорости теплового движения атомов и концентрации атомов обоих газов одинаковы (vcp1 = vcp2, n2 = n1). Давление p2 в сосуде с газом № 2

A)p2=p1; Б)р2 = 3р1; B) p2 = 1,5p1; Г) p2=р1/2; Д)р2 = 2р1/3; Е) p2=р1/3; Ж) правильного ответа не дано.

9) Процесс медленного сжатия газа в сосуде проводят

1) непрерывно подогревая сосуд 2) непрерывно охлаждая сосуд 3) в калориметре 4) в очень большом баке с водой, температура которой равна начальной температуре газа

В каких случаях процесс можно приближенно считать изотермическим?

А) в 1-ом; Б) во 2-м; В) в 3-м; Г) в 4-м; Д) во всех четырех; Е) и в 3-м, и в 4-м; Ж) и во 2-м, и в 3-м; И) только во 2-м, 3-м и 4-м.

10) Какие из следующих соотношений справедливы только для изобарного процесса, происходящего с твердым телом с поглощением теплоты (А — работа внешних сил)?

A) ΔU = А; Б ) ΔU = — А; В) ΔU = pΔV; Г) А = pΔV; Д) ΔU = Q; Е) Q = — А; Ж) Q = ΔU — А;

И) какие-то из соотношений могут быть верны, но только для газов; К) для твердого тела ни одно из приведенных соотношений не верно.

11) Процесс 1 → 2 нагревания газа, показанный на рисунке, происходил с поглощением теплоты. Каким являлся процесс нагревания 1 → 3, проведенный с тем же газом?

А) экзотермическим; Б) эндотермическим; В) адиабатическим; Г) теплота в процессе 1 → 3; могла как поглощаться, так и выделяться.

12) К батарейке подключены две лампочки, соединенные последовательно. Лампочка 1 горит ярче лампочки 2. Площадь сечения вольфрамовых нитей накала у лампочек одинакова. Каково соотношение между модулями напряженности Е электрического поля в нитях накала лампочек?

А) определенного соотношения между напряженностями не существует; Б) E1 = E2; В) E1 > E2; Г) E1 < E2;

13) Какие из следующих процессов не могут проходить без теплообмена тела с окружающей средой:

А) изотермическое сжатие; Б) изохорное нагревание; В) адиабатическое расширение; Г) изобарное охлаждение; Д) изотермическое расширение; Е) адиабатическое сжатие; Ж) все перечисленные процессы происходят только при наличии теплообмена с окружающей средой.

14) На рисунке показана схема, собранная из двух лампочек и двух диодов. При подключении источника с указанной полярностью будет гореть

А) только лампочка 1 ; Б) только лампочка 2; В) обе лампочки; Г) ни одна из лампочек гореть не будет.

Л.Б. Слуцкий

ОМЦ ЮЗОУО

Алгебра и геометрия «в одной тарелке»

Памяти Александра Григорьевича Кисунько

Я думаю, что почти каждому школьному учителю математики общеобразовательных классов приходилось слышать на уроках нечто подобное: «Так у нас алгебра или геометрия?» (или наоборот).

К сожалению, у многих учеников, оканчивающих школу, и даже занимающихся с репетиторами, не сформировано представление о методах и подходах к решению математических задач. Задания с параметрами, которые «наводнили» варианты вступительных экзаменов в вузы, кажутся большинству учащихся сложными и запутанными. Методы их решения кажутся не совсем понятными (или совсем непонятными).

В связи с вышесказанным, хотелось бы показать несколько несложных задач, в которых алгебра и геометрия тесно «соседствуют». Задачи эти разрабатываются на кафедре довузовской подготовки МИРЭА. Занятия на подготовительных курсах, где проводится разбор решения подобных задач, всегда проходят успешно и вызывают интерес у слушателей.

ЗАДАЧА № 1. Найти все значения параметра m, при которых система уравнений

имеет единственное решение.

Решение. Дадим геометрическую интерпретацию каждому из уравнений системы. Второе уравнение, очевидно, задает на координатной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом |m|, при m ≠ 0 .(При m=0, второе уравнение задает точку (0;0), координаты которой не удовлетворяют первому уравнению.) Преобразуем первое уравнение стандартным образом:

Опишем уравнение словесно: Расстояние от произвольной точки плоскости M (х;у) до точки А(-15 ; 0) плюс расстояние от той же точки до точки В(0 ; 8) равно 17. Легко подметить, что

поэтому АМ+МВ=АВ, а значит данное уравнение задает на координатной плоскости отрезок с концами в точках A и В. Осталось только ответить на вопрос: «Когда отрезок и окружность пересекаются в одной точке?».

Обратимся к следующим двум рисункам:

Рис1.

Рис. 2

Рисунку 1 соответствует случай, когда отрезок и окружность пересекаются в одной точке: 8< r < 15 , поэтому 8 < |m| < 15.

Рисунку 2 соответствует случай, когда отрезок касается окружности. В этом случае радиус равен высоте прямоугольного треугольника АОВ, поэтому

ЗАДАЧА №2. Найти все значения параметра р, при которых система уравнений

имеет ровно одно решение.

Решение: Очевидно, что при р ≠ 0 второе уравнение системы является уравнением прямой. А какое множество точек на плоскости задает первое уравнение?

Опишем его словесно: «Расстояние от произвольной точки М(х;у) до начала координат равно расстоянию от той же точки до точки до точки A(-12;-5) плюс 13. А так как АО = √122 +52 = 13, то МО = МА+АО, то есть точка А всегда лежит на отрезке ОМ. Таким образом, данное уравнение задает луч AM, лежащий на прямой OA. (рис. 3).

Рис. 3

Данный луч можно задать системой :

Уравнение прямой

преобразуем к виду

Прямая и луч пересекаются, поэтому

откуда

значит

Ответ:

ЗАДАЧА №3 Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости при помощи неравенства

Решение: Пусть

тогда рассматриваемое неравенство примет следующий вид:

поэтому

Фигура, заданная на координатной плоскости при помощи полученной системы неравенств, симметрична относительно осей координат, поэтому достаточно найти площадь той части, которая находится в первой четверти и умножить результат на 4.Рассматриваемая часть искомой фигуры изображена на рис. 4:

рис. 4

Предоставим читателю самому решить эту несложную задачу по геометрии и вычислить площадь заштрихованной фигуры убедившись, что она равна 2. Площадь искомой фигуры равна соответственно 8.

Задачи для самостоятельного решения:

1. При каких значениях параметра m система уравнений

имеет ровно три решения?

2. Найти площадь четырехугольника, координаты вершин которого удовлетворяют системе уравнении

3. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений

имеет 1)ровно одно решение; 2)ровно два решения..

А.И. Сгибнев Д.Э. Шноль

Исследовательские задачи при обучении математике в школе «Интеллектуал»

Математика — это человеческая деятельность; сравнительная ценность задач и правильный их выбор в математике гораздо более важны, чем способность совершать сложные действия в уме.

А.К. Звонкин. Малыши и математика

Что означает владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности.

Д. Пойа. Математическое открытие

Зачем нужны исследовательские задачи

При исследовании научной проблемы важен не только результат, «ответ» к данной задаче, но и изобретенный по ходу решения метод, которым иногда удаётся решить много других задач. Если повезёт, накопленные результаты и методы складываются в единое целое — новую математическую теорию.

Получаем цепочку развития реального исследования: задача — решение — метод — теория.

При обучении же в школе (да и в университете) последовательность, как правило, обратная: ученику излагают в готовом виде теорию, из неё выводят методы решения, а потом предлагают решить ряд задач для овладения методом и усвоения теории. Редко перед школьником или студентом сразу ставят новую задачу, метод решения которой ему неизвестен, еще реже просят ученика самому поставить новую задачу.

Итак, изучать материал можно в двух противоположных направлениях: «от задач» и «от теории». Сравним эти способы по нескольким параметрам.

Время. Способ «от теории» требует гораздо меньше времени на формальное овладение материалом, так как сразу отсекает ложные и тупиковые ходы.

Надёжность. Способ «от задач» срабатывает далеко не всегда и не со всеми, так как требует от ученика постоянной активности. Способ «от теории» гораздо надёжнее.

Системность. При изучении части законченной теории есть возможность сразу расставить верные акценты, выделить существенные связи. При самостоятельном построении теории «от задач», системные связи внутри теории не всегда сразу видны, пропорции важного/второстепенного могут быть нарушены.

Традиция также на стороне способа «от теории», достаточно посмотреть структуру любого учебника по математике.

Особняком стоит «метод листочков», при котором учитель не объясняет теоретический материал, и ученик изучает тему, самостоятельно решая заданную ему последовательность задач. «Метод листочков» имеет существенные преимущества перед традиционным обучением, однако и он отражает далеко не все стороны реального научного исследования.

Когда учёный строит новую теорию, большую роль играет его умение выбирать значимые факты и перспективные направления (Пуанкаре считал, что это умение основано на эстетическом чувстве). Когда теорию дают ученику в готовом виде, это умение не развивается, поскольку выбирать почти ничего не приходится. Обучая «от теории», мы воспитываем «пользователя» науки, который может успешно применять известные методы решения в известных ситуациях. Обучая «от задач» — воспитываем «творца» науки, способного изобретать новые методы решения, ставить новые задачи. Таким образом, для детей, одарённых в математике, появляется новая возможность: углубляться не за счёт пассивного изучения более сложной теории, а за счёт активного самостоятельного движения в том же самом материале. Т.е. углубление не за счёт материала, а за счёт способа его изучения.

По большому счёту, если ученик не освоил ни одной темы способом «от задач», нельзя сказать, что он понимает, как устроена математика. Если видел лес только с шоссе, то, войдя в него, тут же заблудишься.

Конечно, обучение «от задач» гораздо более индивидуально, чем обучение «от теории». Поэтому на урочных занятиях могут быть введены только некоторые элементы такого обучения (подробнее об

обучении «от задач» собственно на уроках см. Сгибнев А.И. «Как можно задавать вопросы», опубликованной в газете «Математика»).

Мы опишем особый жанр учебной работы, в котором реализуется способ обучения «от задач». Мы называем его так: жанр учебных исследовательских задач. Подчеркнём, что в нашем понимании работа над исследовательской задачей — не украшение, а существенная компонента математического образования одаренных школьников.

Исследовательские работы ведутся в школе «Интеллектуал» в течение трёх лет. В данной статье мы попытались суммировать и осмыслить свой опыт работы в этой области.

Как работает ученик

1. Ученик выбирает тему.

Темы (исследовательские задачи) вывешиваются в начале года, каждый может выбрать что-то из предложенного или предложить собственную тему (у нас это редкий случай). Если задача кажется ученику недостаточно ясной по формулировке, он находит учителей и задает им уточняющие вопросы (иногда его отсылают к автору задачи).

2. Ученик выбирает руководителя.

По некоторым темам руководитель объявляется сразу, тогда тема и руководитель выбираются учеником одновременно. По другим темам можно выбрать руководителя по вкусу. У нас очень часто в качестве руководителя дети выбирают НЕ своего учителя. Естественно, руководитель может не согласиться работать с пришедшим учеником по выбранной теме, хотя у нас таких случаев пока не было.

3. Ученик разбирается в задаче.

Задача почти всегда сформулирована так, чтобы можно было самостоятельно начать ее решать в некоторых частных случаях, при малых значениях параметра и т.д. При первой договоренности о сотрудничестве руководитель говорит примерно следующее: «Когда сделаешь в задаче всё, что сразу сможешь, придешь показать — обсудим».

4. Ученик читает литературу вокруг задачи.

Здесь всё зависит от решаемой задачи и от осведомленности руководителя. Иногда руководитель может порекомендовать книгу или статью, иногда ученик ищет необходимую литературу сам. Главное, что у него нет обязанности что-то изучить по теме, он обращается к литературе тогда, когда все собственные резервы исчерпаны, а решение не найдено.

5. Ученик решает задачу (часть задачи).

Самый индивидуальный пункт, это бывает очень по-разному. Об этом смотрите ниже несколько историй.

6. Ученик оформляет решение.

Для многих это трудная часть. Прекрасно, когда текст пишется по ходу работы и сразу обсуждается с руководителем. Такие случаи у нас бывали. Но более частый вариант такой: текст пишется в последние несколько дней, тогда руководитель читает и критикует его в спешном порядке. Иногда текст правится совместно учеником и руководителем — это тоже форма обучения.

7. Ученик готовится к устному выступлению.

Здесь роль руководителя очень велика. Как правило, создание плана выступления и его репетиция — это совместное творчество ученика и руководителя. Руководители рекомендуют ученикам еще прорепетировать свой доклад дома или в группе друзей, что часто и происходит.

8. Ученик выступает и отвечает на вопросы при отчете о своей работе.

Довольно часто при обсуждении работы слушатели выдвигают новые гипотезы или предлагают другие пути решения задачи. Автор работы с одной стороны получает эмоциональный заряд от заинтересованности коллег к его работе, с другой стороны в свете критических замечаний начинает по-другому видеть свою работу или сделанный им доклад.

Как работает руководитель

Во-первых, нужно описать, что руководитель НЕ делает.

1. Руководитель не подсказывает прямо хода решения, если этот ход ему известен.

2. Руководитель не мешает ученику двигаться в выбранном направлении решения, даже если руководителю кажется, что путь заведомо ложный (кстати, бывает, что руководитель в этом ошибается).

3. Руководитель не требует изучения определенного корпуса литературы, а только советует, что может ученику помочь.

4. Руководитель не ставит жестких промежуточных сроков и подстраивается под ритм работы, удобный ученику. Некоторые дети работают над темой регулярно, некоторые урывками, откладывая проблему на 2—3 недели; главное, чтобы ученик нашел свой ритм исследовательской работы.

Руководитель работает с учеником как с младшим коллегой, помогая ему, если есть просьба о такой помощи, и на равных обсуждая возникающие проблемы. Вести работу в таком стиле проще, если руководитель сам не знает полного решения задачи или хотя бы решения теми средствами, которыми владеет ученик.

Зачем нужны доклады

Желание поделиться своими открытиями — это очень естественное желание. При этом хорошо, когда тебя выслушивает человек заинтересованный и хорошо понимающий. Контрольная функция доклада по возможности должна быть сведена к минимуму. Доклад на секции — не экзамен, а награда. Не всякого допускают выступать на секции, но это не влечет за собой никаких отрицательных последствий. Тех, кто хорошо творчески поработал, нужно поощрить, остальных оставить в покое.

Тем не менее, работа над докладом — очень важная часть всей работы над исследовательской задачей. В докладе важно совместить две довольно разные вещи: увлекающий слушателей рассказ о собственных поисках, заблуждениях и удачах и строгое системное изложение полученных результатов и их доказательств. Нужно избегать обеих крайностей: как сухого изложения последовательности лемм и теорем, так и бессистемного рассказа «что я делал», в котором не подчеркнуты основные идеи и методы. Если до доклада ученик работает над своей задачей, и в этой работе у него есть свои особые внутренние связи, привычные обозначения, удобный ему лаконизм и набор методов, то теперь ему нужно изложить задачу другим: выстроить работу логически, подобрать понятные обозначения и термины, сделать необходимые акценты и пояснения. Многие люди (и дети и взрослые), решив задачу, достаточно быстро к ней остывают, поэтому для них написание текста и подготовка к докладу — важный этап обучения тому, что дело нужно довести до конца, даже если ты к нему уже остыл.

Время докладов на секции — это время сбора урожая. Поэтому чрезвычайно важно, чтобы это время всеми ощущалось как праздник. Это, конечно, в первую очередь зависит от настроя взрослых и их манеры ведения секции.

Откуда берутся темы

Помните: «Тиха украинская ночь»? Вот и задачи должны быть такими же.

А.Д. Александров

В некотором смысле темы исследовательских работ приходят сами. Бывает, что тема вырастает из кружковой или олимпиадной задачи, бывает, что она неожиданно возникает при подготовке к уроку или на самом уроке. Тема работы — это задача с перспективой, с продолжением, иными словами — это серия таких задач, которые естественно получаются из некоторой задачи обобщением, увеличением параметра и т.д. Обычно первые задачи из серии решаются сравнительно легко. Затем разные ученики доходят до разных степеней общности, каждый останавливается там, докуда смог добраться сам (а не там, куда его доставил на «вездеходе» учитель). В этом движении постоянно приходится выбирать направление следующего шага, то есть развивать важнейшее для математика умение (эстетическое чувство, о котором говорил Пуанкаре).

При таком движении активно используется индукция и аналогия: рассматриваем несколько частных случаев, угадываем закономерность, ставим аналогичную задачу. Здесь оказывается плодотворным взгляд на математику как науку экспериментальную, который практически игнорируется школьной традицией.

Заметим, что наши постановки задач, как правило, понятны ученику без предварительной подготовки — мы стараемся отталкиваться от известного.

Несколько конкретных историй

Чтобы передать дух и атмосферу работы над исследовательскими задачами, мы решили описать несколько конкретных историй.

Сгибнев А.И. Как возникали темы

Серёжа Злобин, 6 класс, на кружке долго не мог решить задачу о разрезании на полоски 1х3 квадрата 8×8 без угловой клетки. Дома он взялся за дело всерьёз и полностью исследовал разрезание квадрата 2nх2n без угловой клетки на такие полоски. Оказалось, что результат зависит от остатка при делении n на 3. Задача несложная, но при решении понадобились разнообразные методы — площадь, раскраска, перебор, и получились результаты, априори неочевидные. В итоге на докладах работа смотрелась очень неплохо. К тому же задачу ученик поставил сам.

Другая тема появилась в ходе обсуждения задачи о построении пятиугольника по серединам его сторон (непростой, но учебной). Аналогичная задача для треугольника была, что называется, «на слуху» — и так возникла тема проекта: восстановить многоугольник по серединам его сторон, исследовать количество решений. Это сделал Краснер Паша, 9 класс. Интересно, что результаты существенно разные для чётного и нечётного количества сторон.

Шноль Д. Э. Задача про «пифагоров кирпич».

В томе «Математика» энциклопедии издательства Аванта+ я прочел, что до сих пор неизвестно, существует ли «пифагоров кирпич»: прямоугольный параллелепипед с целыми ребрами, диагональю и диагоналями граней. Пример параллелепипеда, у которого нецелые только две диагонали боковых граней, легко найти (ребра 3; 4; 12): 132=32+42+122, при этом 32+42=52. Мне показалось, что было бы интересно поработать с такими параллелепипедами, а также попытаться найти те параллелепипеды, у которых диагональ только одной грани нецелая (мы их назвали «слабыми по одной грани»). В таком виде и была вывешена тема для исследовательской работы в начале года. Сам я в ней не разбирался, так что мог работать наравне с учеником, который ее выберет. К моему удивлению, ее выбрал пятиклассник Алеша Рухович и сумел за год существенно продвинуться. Во-первых, используя формулы для пифагоровых троек, Алеша вывел общую формулу для «пифагорова кирпича, слабого по двум граням». О пифагоровых тройках он сам прочитал в одной из популярных книг, а потом применил их на деле. Сделать это не сложно, но очень важна самостоятельность. Во-вторых, он написал программу, которая нашла несколько примеров «пифагорова кирпича, слабого по одной грани». Мы вместе всматривались в эти примеры, но особых закономерностей не обнаружили. Тогда Алеша снова использовал формулы для пифагоровых троек, получил некоторое уравнение 4-й степени в целых числах, решение которого и даёт ответ. Как решить такое уравнение, мы не знали, и, казалось, это был тупик. Тогда Алеша сам предложил попробовать поработать с делимостью. Известно, что во взаимно простых пифагоровых тройках одно число четное, а два других — нечетные. Алеша исследовал, какими могут быть взаимно простые целые числа, задающие ребра «пифагорова кирпича», с точки зрения делимости на степени двойки. Результат оказался довольно интересным: одно число должно быть нечетным,

второе — делиться на 4, но не делиться на 8, третье — делиться на 8. На этом закончился первый год исследований, при этом бывали длительные периоды (до месяца), когда исследование «буксовало». Во время работы над темой инициатива того или иного хода решения почти всегда исходила от ученика, я, как правило, выступал только как квалифицированный слушатель. Времени и сил, чтобы самому подробно разбираться в задаче, у меня не было, и это было только к лучшему: Алеша смог получить полное удовольствие от собственных открытий. Работа Алеши была принята к докладу на Колмогоровских чтениях, и он был отмечен как самый молодой участник.

Сгибнев А.И. Две исследовательские работы Я расскажу об одном проекте (или двух, как считать), показательном во многих отношениях. Всё началось с того, что шестиклассник Володя Иванов взял задачу об аликвотах — обыкновенных дробях с числителем 1. Древние египтяне использовали почему-то только такие дроби. Другие дроби представляли в виде сумм аликвот. Сохранился папирус Ахмеса, в котором дробь вида 2/(2n+1) представлялась в виде суммы двух, трёх или четырёх аликвот. Володя задался вопросом: любую ли дробь такого вида («папирусную») можно представить в виде суммы двух аликвот? Оказалось, что любую, да ещё несколькими вариантами. Всегда присутствует, во-первых, тривиальное разложение

(которое мы договорились даже не учитывать), во-вторых, ещё такое:

(можно проверить тождество непосредственно). Володя искал разложения численно на компьютере, и открыл, что для многих n есть и другие разложения. Этим закончилось первое полугодие, но тут наш коллега Андрей Олегович подкинул идею посмотреть частоты распределения количеств разложений. Володя обсчитал все дроби с n от 1 до 500. Оказалось, что вполне можно говорить о статистической закономерности: 1, 4, 7, 13 вариантов встречались стабильно больше остальных. Примерно в этот момент я понял, что нашу задачу можно сформулировать так: «Дано натуральное число h; сколько есть пар натуральных чисел а и b, для которых h является средним гармоническим?»

Новая формулировка задачи привела, во-первых, к тому, что мы стали исследовать и чётные знаменатели (для них закономерности оказались такие же). Во-вторых, была поставлена серия аналогичных задач: «Дано натуральное число r. Сколько существует пар натуральных чисел а, b, для которых r является 1) средним арифметическим? 2) средним геометрическим? 3) средним квадратичным?» За эти задачи взялся Миша Пядёркин (6 класс). Но вернёмся к Володе. За следующие полгода (третьи!) мы поняли, что количество вариантов разложения папирусной дроби в сумму двух аликвот однозначно определяется видом разложения её знаменателя на простые множители. Наконец, в четвёртом полугодии я смог по Володиным таблицам и классификациям угадать общую формулу для количества вариантов. Мне хотелось, чтобы Вова на майском докладе доложил этот результат, но сам он никак до формулы не догадывался, а лишать его открытия было нечестно... Он придумал формулу осенью, а в августе корейский учитель Kim Young Won, которому я рассказал нашу гипотезу как пример того, на что способна индукция в школьной математике, дал строгий и простой вывод формулы.

Тем временем Миша легко решил задачу о среднем арифметическом. Решение задачи о среднем геометрическом я знал, поэтому подсказал нужную комбинаторную идею. После этого мы на вторые полгода завязли в задаче о среднем арифметическом трёх чисел. Сложность была в том, что при подсчёте троек чисел мы вводили «ограничения» (как называл их Миша), то есть отождествляли все варианты, получаемые друг из друга перестановкой (например, 1+2+3 и 3+2+1 считали за 1 вариант). Поэтому надо было отдельно считать случаи, в которых все три числа различны, в которых два числа совпадают и в которых все три совпадают. Миша проделал всю работу сам с большим энтузиазмом (я только вылавливал ошибки и давал советы). Получились разные ответы для чётных и нечётных r.

В задаче о среднем квадратичном даже двух чисел просветов не было видно. Миша сделал для неё компьютерную таблицу разложений (как Вова когда-то), и на этом мы расстались на лето. В начале осени я посмотрел на таблицу и стал догадываться, что к чему. К сожалению, дальнейшее происходило при весьма слабом участии Миши, поэтому расскажу кратко: я опять угадал общую формулу и, кажется, могу теперь доказать, что количество вариантов не меньше, чем утверждает формула.

Удивительно, что дети могут плодотворно заниматься одной темой по два года и больше! Очевидно, это возможно не с любой задачей, а с задачей, допускающей постепенные продвижения, «вживание» (которого почти никогда не бывает на уроках). А в результате этого «вживания» со временем решаются задачи, к которым вначале совсем не видно подхода.

Стоит отметить и большую роль обсуждения задач с коллегами по ходу решения.

P.S. На научно-практической конференции школьников «Интел-Авангард» Миша получил диплом третьей степени, а Володя — похвальную грамоту.

Приложение 1

Формулировки некоторых исследовательских задач, выполнявшихся в школе «Интеллектуал»

1. (Задача Иосифа Флавия) По кругу расположены точки с номерами от 1 до n. Точки начинают вычёркивать через одну, считая от первой. Как узнать номер точки, которая останется последней? Что, если вычеркивать каждую третью точку?

2. Разбойники поймали мудрецов, выстроили их в колонну, надели на каждого чёрный или белый колпак и спрашивают каждого: какого цвета колпак на нём? Если ответил правильно — отпускают, если ошибся — убивают. Как надо действовать мудрецам, чтобы их спаслось как можно больше? (Мудрец видит только колпаки тех, кто стоит перед ним. Перед тем, как отгадывать цвет своего колпака, мудрецы могут о чем-то договориться.) Обобщить задачу на n цветов колпаков.

3. Есть 10-этажный дом и 2 кокоса, которые можно сбрасывать с любого этажа и можно подбирать. Помогите обезьяне определить, с какого этажа кокосы начинают разбиваться. Учтите, что обезьяна ленивая и хочет бросать кокосы как можно меньше раз. Обобщить на n этажей и m кокосов.

4. Число 15 можно тремя способами представить в виде суммы последовательных натуральных чисел: 15=7+8=4+5+6=1+2+3+4+5. А сколько таких способов для числа 101? Как найти количество способов для произвольного числа?

5. Дано натуральное число. Для скольких пар натуральных чисел оно является а) средним арифметическим; б) средним геометрическим; в) средним квадратичным; г) средним гармоническим.

6. Как восстановить многоугольник по серединам его сторон? Единственно ли решение? А если рассматривать также невыпуклые многоугольники? А если поделить стороны в отношении 1 \а!

7. Равносторонний четырехугольник (ромб) имеет две пары равных углов и перпендикулярные диагонали, равноугольный четырехугольник (прямоугольник) имеет две пары равных сторон и равные диагонали. Найдите и докажите свойства шестиугольников с равными углами, с равными сторонами, с равными соответствующими диагоналями, рассмотрите среди них вписанные и описанные шестиугольники.

8. Построить многочлен с целыми коэффициентами, имеющий корень х = √2+√3 . Построить многочлен наименьшей степени, обладающий этим свойством (доказать, что степень наименьшая). Обобщить на случай суммы трёх радикалов.

9. Исследовать, какие типы графиков могут получиться, если в числителе и в знаменателе дроби — многочлены степени не выше 2.

10.Последовательность an+2 = -an — an+1 (a1 =1, a2 = 1 ) является периодической. При каких ещё коэффициентах для последовательности an+2 = kan + man + 1 получается периодичность? Какой длины может быть период?

11.Если (an) — арифметическая прогрессия, то, зная только a2, можно найти a1+а2+а3, зная 3-й член, можно найти сумму первых пяти, и т.д. Оказывается, для последовательности Фибоначчи (un) (т.е. un + 2 = un + un +1) тоже есть такие свойства. А именно, сумма первых десяти членов однозначно выражается через седьмой член: u1 +и2 +... + u10 =11u7 (*), причём равенство верно для последовательностей с любыми начальными членами u1,u2. Вопросы: а) нельзя ли найти другие равенства типа (*) (т.е. с другими числами вместо 1, 10, 7, 11), верные для всех последовательностей Фибоначчи; если можно, то как связаны эти параметры; б) нельзя ли построить подобные равенства для других рекуррентных последовательностей (хотя бы вида un = kun-1 + kun-2); если можно, то как.

Приложение 2

Несколько аннотаций исследовательских работ школьников

1. Одна задача теории чисел

(Выполнила Безменова Александра, 6 класс. Руководитель Сгибнев А.И.)

Работа посвящена задаче о выразимости натуральных чисел через выражения вида ах+bу, где а и b — заданные взаимно простые числа, а x и у — целые неотрицательные числа. В первой части задача исследуется индуктивно: делается вывод, что все числа, большие ab-a-b, выражаются через комбинации вида ax+by, а само это число не выражается. Во второй части этот результат доказывается строго.

2. Построение многоугольника по точкам, делящим стороны в известном отношении

(Выполнил Краснер Павел, 9 класс. Руководитель Сгибнев А.И.)

Вначале решена частная задача: восстановить многоугольник по серединам его сторон. При решении возникают два случая:

1) Число сторон нечётно. Тогда решение существует и единственно для любого расположения исходных точек. Если исходные точки образуют многоугольник, то решение невырождено.

2) Число сторон четно. Тогда либо решение не существует, либо их бесконечно много (в зависимости от расположения исходных точек).

Общий случай исследован для треугольника. Показано, что решение существует и единственно (с точностью до вырожденности). Указан способ построения для рационального отношения. Выдвинута гипотеза, что решение существует и единственно для n-угольника с любым n, в том числе и с чётным. (Если это верно, то случай середин сторон является исключительным.)

3. Исследование числовых последовательностей, заданных линейным рекуррентным соотношением с постоянными коэффициентами. (Выполнил Власенко Дмитрий, 9 класс. Руководитель Шноль Д.Э.)

По аналогии с выводом формулы n-го члена последовательности Фибоначчи выведена формула n-го члена произвольной последовательности, заданной линейным рекуррентным уравнением второго порядка.

Введено понятие взаимно сопряженных последовательностей: таких последовательностей, у которых нечетные члены совпадают, а четные взаимно противоположны. Доказано достаточное условие того, что две последовательности являются взаимно сопряженными.

Найдено и доказано условие того, что последовательность является периодической. Доказано, что все члены периодической последовательности лежат на синусоиде, период которой явно выражен через коэффициенты уравнения.

Введено понятие суммы двух последовательностей, рассмотрены простейшие свойства этой операции.

Цитаты по теме, которые можно выносить «на поля» статьи

Школьник получает свою задачу в готовом виде от учителя или из учебника <...>. Между тем для математика выбор задачи является, возможно, самым важным шагом: он должен придумать, должен найти задачу, которая бы привлекала его и заслуживала бы его усилий, но в тоже время не оказалась для него непосильной.

Д.Пойа Математическое открытие стр. 351.

Как же мы должны выбирать тему исследования? Этот деликатный выбор является одной из наиболее важных сторон исследования — именно по этому выбору мы обычно судим о значении ученого.

Уже на этом выборе мы основываем наше суждение о начинающих исследователях. Студенты у меня часто консультировались по вопросу выбора темы; когда ко мне обращаются за советом, я его охотно даю, но должен признаться, что при этом (предварительно, конечно) я склонен считать спросившего человеком второго сорта.

Ж.Адамар «Исследование психологии процесса изобретения в области математики», МЦНМО — 2001 с. 98.

Каждый результат, каждое решение, которое становится ему (математику) известным, ставит перед ним новые проблемы.

Ж.Адамар «Исследование психологии процесса изобретения в области математики», МЦНМО — 2001, с. 103.

Отдельные законы и факты могут устареть и забыться, метод не забывается никогда, ибо им равно построяются и старые и новые законы и факты. Но метод не есть и нечто отдельное от опыта, от законов и фактов, могущее быть усвоенным независимо от них. Только в своей созидающей опыт действенности, в своем применении к данным опыта может быть опыт усвоен.

Гессен С.И. Основы педагогики стр. 244.

Если неизменна не истина, а присущий ей путь ее нахождения, если жизнь знания составляет его метод, то очевидно и задача обучения заключается в овладении методом науки как животворящим ее началом.

Гессен С.И. Основы педагогики стр. 244.

Характерной чертой наших задач является то, что они не имеют определенного законченного ответа, поскольку студент может по мере своих склонностей и способностей неограниченно углубиться в изучение поставленного вопроса. Ответы студента дают возможность оценить склонность и характер его научного мышления <...>. Самостоятельное решение такого рода задач дает студенту тренировку в научном мышлении и вырабатывает в нем любовь к научным проблемам.

П..Л. Капица «Физические задачи» в книге Эксперимент. Теория. Практика. Стр. 144.

Умению пользоваться консультацией ученому так же необходимо научиться, как и умению пользоваться литературой. При научной работе советы и беседы с товарищами и руководителями необходимы для успеха работы, и к этому тоже надо приучать с самого начала работы.

П..Л. Капица «Физические задачи» в книге Эксперимент. Теория. Практика. Стр. 145.

Мне думается, что при выработке методов преподавания решение задач-проблем <...> может быть широко использовано <...>. Перед тем, как решать крупную научную проблему, ученым надо уметь ее решать в малых формах.

П..Л. Капица «Физические задачи» в книге Эксперимент. Теория. Практика. Стр. 145.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ в рамках научно-исследовательского проекта РГНФ “Организация системы поискового самообучения в школе для одаренных детей”, проект 06—06—00427а.

Т.В. Афанасьева

Школа № 5 г. Москва

Развитие личности ребенка на уроках физики с учетом его индивидуальных способностей

Педагогика как область человеческой деятельности включает в свою структуру субъекты и объекты процесса. В традиционной педагогике ребенку отводится роль объекта, которому старшее поколение (учителя) передает опыт. Подготовить ребенка к жизни — это конечная цель системы. Современная педагогика все чаще обращается к ребенку как субъекту учебной деятельности, как к личности, стремящейся к самоопределению и самореализации. В связи с этим меняются цели обучения физики. Так, если до недавнего времени основной целью школьного физического образования считалось формирование у учащихся глубоких и прочных знаний основ физики, то сейчас на первое место выдвигается задача развития учащихся, их воспитания в процессе обучения. Расширяется и состав целей обучения физике: такие цели как формирование знаний о методах исследования в физике, подготовка учащихся в процессе обучения физике к выбору профессии, развитие творческих способностей учащихся, формирование мотивов учения, поставлены перед физическим образованием лишь в последнее время.

Всестороннее развитие личности, создание условий для реализации ее творческого потенциала при овладении знаниями — важная задача обучения на всех ступенях непрерывного образования. Вместе с накоплением и применением знаний в ходе обучения идет интенсивное развитие склонностей, способностей, интересов, жизненных потребностей каждого ученика.

1. Социально-личностный подход к заданию целей обучения физике.

Социально-личностный подход к заданию целей обучения исходит из того, что одной из основных задач образования в настоящее время является задача развития личности ребенка, который является центральным объектом учебно-воспитательного процесса.

Выявление и оценка индивидуальных возможностей, достигнутого уровня психического развития учащихся необходимы для оптимизации обучения в целях его дифференциации. Разнообразие форм, методов, путей обучения, оценки их эффективности во многом зави-

сят не только от разработки содержания образования, но и от психической готовности ученика к восприятию педагогических воздействий. Но для этого сами воздействия должны быть приспособлены к его познавательным возможностям, должны предоставлять ученику свободу выбора содержания учебного материала, подлежащего усвоению, способов его проработки, и видов интерпретации.

Единый базовый уровень образования — это общая стартовая площадка для всех учеников. А дальше каждый ученик с помощью учителя, исходя из своих познавательных возможностей, учебных интересов, должен получить возможность выбирать содержание, уровень, темп обучения. Ведь сложность того или иного учебного задания часто определяется не только объективной трудностью его содержания, но и психической готовностью ученика к его выполнению.

Под психической готовностью к усвоению знаний имеется в виду положительная мотивация и интерес к учению; исходный минимум знаний, являющийся необходимой базой для получения образования; наличие определенного уровня развития психических процессов, обеспечивающих усвоение знаний в заданном предметном содержании, индивидуальная изобретательность ученика к научной области познания.

В обучении учет индивидуальности означает раскрытие возможности каждого ученика, создание социокультурной ситуации развития, исходя из признания уникальности и неповторимости психологических особенностей ученика. Но чтобы индивидуально работать с каждым учеником, учитывая его психологические особенности, необходимо по-иному строить весь образовательный процесс. Технология личностно-ориентированного образовательного процесса предполагает специальное конструирование учебного текста, дидактического материала, методических рекомендаций к его использованию, типов учебного диалога, форм контроля за личностным развитием ученика в ходе овладения знаниями.

Социальные цели при этом определяются тем, что общество стремится к формированию у детей таких интеллектуальных, моральных, социальных и профессиональных качеств, которые позволят им служить обществу, и в то же время таких качеств, которые в наибольшей степени соответствуют их способностям, интересам и которые могли бы пригодиться им в жизни. В связи с этим цели обучения физике включают два аспекта — социальный и личностный. Социальный

аспект отражает требования общества к образованию, личностный аспект — потребности обучаемого.

Реализация социально-личностного подхода к заданию целей обучения требует анализа структуры личности. Разработанная модель структуры личности включает в себя статическую модель: опыт личности. Механизмы психики, типологические свойства личности и динамику личности. Исходя из этого и учитывая, что основная цель общего образования- всестороннее развитие личности, выделяют четыре группы социально- личностных целей общего образования:

— Усвоение личностью опыта предшествующих поколений;

— Развитие функциональных механизмов психики;

— Формирование обобщенных типологических свойств личности;

— Развитие положительных индивидуальных свойств личности — способностей, интересов, склонностей.

Выделенные группы целей представляют собой их классификацию и в рамках этих групп могут быть конкретизированы применительно к обучению физике.

Группа целей

Конкретные цели обучения физике

Усвоение личностью опыта предшествующих поколений

Формирование знаний основ физики: фактов, понятий, законов, теорий, физической картины мира. Формирование знаний о методах познания в физике.

Формирование знаний о научных основах техники и об основных направлениях научно- технического прогресса. Формирование экспериментальных умений, умений объяснять явления, применять знания к решению задач. Формирование научного мировоззрения. Формирование представлений о роли физики в жизни общества, о связи развития физики с развитием общества, техники, других наук.

Подготовка к практической деятельности, к выбору профессии.

Развитие функциональных механизмов психики

Развитие восприятия, памяти, речи, воображения. Развитие мышления.

Формирование обобщенных типологических свойств личности

Формирование самостоятельности. Развитие общих способностей. Формирование нравственных качеств личности.

Воспитание эстетического восприятия мира.

Формирование оценочных умений.

Развитие индивидуальных свойств личности

Развитие способностей к физике. Развитие интереса к физике. Формирование мотивов учения

Цели обучения физики связаны между собой. Так, цель развития мышления учащихся достигается при формировании у них умений применять знания к решению задач, при формировании у них мировоззрения и т.п.

Образование обеспечивает не только познание мира, но и развитие личности в ее индивидуальности, неповторимости, своеобразии. Это должно обеспечиваться образовательным процессом, основная функция которого — организация единого пространства познания и индивидуального развития. Основным принципом разработки личностно ориентированной системы обучения является признание индивидуальности ученика, создание необходимых и достаточных условий для его развития.

Индивидуальность рассматривается как неповторимое своеобразие каждого человека, осуществляющего свою жизнедеятельность в качестве субъекта развития в течении жизни. Это своеобразие определяется совокупностью черт и свойств психики, формируется под воздействием разнообразных факторов, обеспечивающих анатомо-физиологическую, психическую организацию любого человека.

Индивидуальность — обобщенная характеристика особенностей человека, устойчивое проявление которых, их эффективная реализация в игре, учении, труде, спорте определяет индивидуальный стиль

деятельности как личностное образование. Индивидуальность человека формируется на основе наследственных природных задатков в процессе воспитания и одновременно — и это главное для человека — в ходе саморазвития, самопознания, самореализации в различных видах деятельности.

2. Сравнительный анализ традиционного и личностно ориентированного урока.

Взрослого и ребенка в жизненном пространстве объединяют совместные занятия, в процессе которых через различные формы взаимодействия их участников может создаваться детско-взрослая общность. Под занятием обычно понимают дело, труд, работу, а также учебные упражнения, уроки, лекции и т.д. Школьные уроки являются организованным видом занятий, основным содержанием которых является выстраивание отношений участия субъектов в образовательной деятельности в целях личностного развития. Их субъективный опыт, конечно, во многом различен, однако, ситуация образования формально уравнивает его, поскольку ставит и взрослого, и ребенка в условия совместного поиска, свободного выбора и принятия решений.

Чтобы сделать ученика подлинным субъектом образовательного процесса, необходимо изменить всю технологию этого процесса, целью которого является не накопление знаний, умений, а постоянное обогащение опытом творчества, формирование у него механизма самоорганизации и самореализации через овладение программным материалом.

Основным элементом образовательного процесса в школе является урок. При проектировании личностно ориентированного урока можно опираться на следующие принципы его построения:

— приоритет индивидуальности;

— вариативность;

— открытость.

Теперь более подробно о каждом из этих принципов.

Принцип приоритета индивидуальности предполагает признание ученика основным субъектом образовательного процесса, носителем самоценного и личностно-значимого субъективного опыта. На уроке необходимо создать условия для самовыражения каждого ученика,

проявление его избирательности к учебному материалу, способу и форме репрезентации этого материала.

Принцип вариативности предполагает определенную позицию учителя, обеспечивающую самореализацию каждого ученика в обучении. Для этого необходимо оснастить урок специальными дидактическими материалами, чтобы предоставить всем учащимся возможность выбора типа, вида, формы задания, в соответствии с их личностными предпочтениями, особенностями мышления, интересами. Вариативность тесно связана с технологией проведения урока, предполагающей разнообразие видов работ, форм организации учащихся, гибкость и оперативность учителя в нестандартных ситуациях, которыми изобилует личностно ориентированный урок.

Принцип открытости предполагает использования на уроках разнообразных видов общения, совместный поиск истины путем выслушивания, взаимопринятия, взаимопонимания, через организацию учебного диалога.

Учебный процесс в школе состоит из системы конкретных уроков. За много лет сложилась классическая типологизация уроков, в основу которой положен взгляд на процесс обучения как процесс «передачи» знаний ученикам.

В традиционной («знаниево ориентированной») системе одни уроки преследуют цель формирования знаний (уроки изучения нового), другие — закрепления и совершенствования их, третьи — обобщения и систематизации, четвертые — проверки усвоения знаний, сформированности умений, навыков и т.д.

Каждый конкретный урок складывается из определенных этапов.

Например, урок изучения нового материала имеет следующие этапы:

— организационный;

— постановки целей;

— актуализации знаний;

— введение новых знаний;

— первичного обобщения;

— первичного усвоения знаний учащимися;

— оперирования знаниями;

— контроля усвоения;

— определения задания на дом и инструктажа по его выполнению.

Структура урока закрепления знаний сочетает этапы:

— организационный;

— проверки домашнего задания;

— постановки целей;

— обобщения знаний;

— оперирования знаниями и овладения способами деятельности в новых ситуациях;

— задания на дом.

— воспроизведение учащимися ранее полученных знаний и способов деятельности;

— контроля усвоения изученного и овладения способами деятельности;

Урок обобщения и систематизации знаний включает этапы:

— постановки цели;

— повторение изученного;

— подведения итогов усвоения.

— проверки домашнего задания;

— связи полученных знаний с практикой;

— обобщение и систематизация знаний;

Последовательность этапов урока обусловлена целями и логикой процесса обучения.

В описанном выше традиционном подходе реально видна пассивная роль ученика (обучаемого, «берущего» или «получающего» знания), отношение к нему как к объекту, на который направлены педагогические воздействия.

Основой личностно ориентированного урока (в отличие от традиционного) можно считать не этап, а учебную ситуацию. Организуя ее, необходимо отказаться от многих атрибутов традиционного педагогического мышления и четко осознать, что такая учебная ситуация не может преднамеренно вводиться в соответствии с планом урока. Она не имеет заранее заданного материала, однозначно предписанной методики организации урока, не подходит одновременно для всего класса.

Учитель обычно ориентируется на правильность ответа; на те или иные действия или поведение ученика. Организация же на уроке уважительного взаимодействия субъектов обучения, — сложная задача, решение которой требует от учителя не только профессионального инструментария, но и выражения сочувствия, открытости, преодоления стереотипов и заранее заданных установок.

Вхождение учителя и ученика в учебную ситуацию предполагает своеобразную инверсию всех параметров обучения: то, что было внешним по отношению к общению (цель, содержание материала и др.) задавалось внешними требованиями, меняет свой источник, становится внутренним стимулом, результатом их согласия и сотрудничества. Борьба мотивов, столкновение смыслов и ценностей становиться реальным полем межличностного общения на уроке.

Конструирование учебной ситуации предполагает использование трех базовых принципов:

— выявление субъективного опыта учащихся и работа с ними на уроке;

— разработка содержания учебной программы в виде специального дидактического материала;

— применение диалога как особой образовательной среды, обеспечивающей субъективно-смысловое общение, рефлексию, самореализацию ученика на уроке.

Реализация этих принципов, предложенных И.С. Якиманской (1996), обеспечивает базовый технологический комплекс, создающий ценностно-смысловое поле межсубъектного общения как органической составной части личностно ориентированного урока.

Сравнение общих оснований построения традиционного и личностно ориентированного урока.

В традиционном обучении субъективный опыт либо не признается полностью, либо признается несущественным, неверным, затрудняющим процесс так называемого «усвоения знаний». И в том и в другом случаях содержание субъективного опыта учащихся не используется учителем на уроках.

В личностно ориентированном образовании ученик изначально выступает носителем субъективного опыта. Этот опыт признается самобытным, самоценным, уникальным и личностно значимым. В процессе учения ученик как бы «пропускает» естественнонаучные понятия через призму субъективного опыта, превращая учебный материал в индивидуальные знания. На уроке субъективный опыт учащихся обязательно используется.

Какие же условия необходимы для эффективности этого процесса?

1) Не внедрять норматив, а, прежде всего, выявлять содержание субъективного опыта по изучаемой теме.

2) Корректно организовывать переосмысление собственного опыта учащихся.

3) Через пополнение и систематизацию субъективного опыта соединять логически существенные и личностно значимые признаки познаваемых объектов.

В результате происходит преобразование научной информации на основе собственного опыта и формирование субъективной модели познания у каждого учащегося.

Важным отличием личностно ориентированных уроков является организация учебного материала. Подбор дидактического материала к личностно ориентированному уроку требует от учителя не только учета его объективной сложности, но и знания индивидуальных предпочтений каждого ученика в работе с этим материалом. Он должен располагать набором дидактических карточек, позволяющих ученику работать с одним и тем же содержанием, предусмотренным программными требованиями, но передавать его словом, знаково-условным обозначением, рисунком и т.п.

Сравним организацию и предъявление дидактического материала по следующим параметрам:

а) содержание и структура материала;

б) особенности классификации;

в) доступность для ученика.

Представим в виде таблиц это сравнение.

а) Содержание и структура дидактического материала

Традиционный урок

Личностно ориентированный урок

Материал однотипный

Материал разного типа, вида и формы

Преобладают задачи и упражнения выполняемые по образцу (алгоритму)

Преобладают проблемные, неоднозначные задания

Материал практически не отражает различные источники получения информации и не стимулируют к самообразованию

Имеется специальный вид материала: справочно- информационный и самообразовательный

Доля творческих заданий очень мала (это дополнительный материал для «сильных» учеников)

Большое количество творческих заданий

Используется материал, рассчитанный на различные виды взаимодействия учащихся по ходу урока (при парной, групповой работе)

Разноуровневые задания для «сильных», «средних» и «слабых»

б) Особенности классификации дидактического материала

Традиционный урок

Личностно ориентированный урок

В зависимости от класса (возраста учащегося), темы, степени ее освоения

Материал различного типа вида и формы в рамках одной темы

в) Доступность материала для ученика

Традиционный урок

Личностно ориентированный урок

Право выбора материала принадлежит учителю

Право выбора задания из серии вариативного дидактического материала принадлежит ученику

В классе материал не доступен детям

Материал всегда находится в распоряжении детей

Ученики редко привлекаются (или не привлекаются совсем) к изготовлению дидактического материала

Ученики являются соавторами учителя в разработке материала и участвуют в его изготовлении

Особое внимание при разработке дидактического материала для личностно ориентированного урока следует обратить на формулировку заданий. Сравните:

— Выделите наиболее важную мысль...

— Что тебе кажется наиболее важным?

— Укажите причину...

— В чем, на твой взгляд причина?

— Почему...

— Как ты думаешь, почему?

— Запишите...

— Как, по-твоему, это лучше записать?

Важной особенностью личностно ориентированного урока является взаимодействие учителя и учащихся на уроке. При традиционном обучении большую часть урока учитель «берет на себя», оставляя для учеников лишь незначительную возможность для ответа во время фронтальной работы. Как построить на уроке учебное общение таким образом, чтобы ученик мог сам выбрать наиболее интересующее его задание по содержанию, виду и форме и тем самым проявить себя?

3. Урок физики, направленный на развитие личности ребенка с учетом его индивидуальных способностей.

Среди множества путей одним из эффективных, на мой взгляд, является организация игровой деятельности. Она позволяет разрешить противоречие между современными требованиями дидактики в

организации высокого уровня мотивации и формировании осознанной потребности в усвоении знаний и умений и традиционными формами организации учебных занятий. Основополагающей теорией личностно ориентированного обучения является теория педагогики сотрудничества. Игра — это один из преобладающих моментов педагогики сотрудничества.

Такие элементы игровой деятельности как новизна, неожиданность, несоответствие прежним представлениям, являются сильнейшими побудителями познавательного интереса, обостряющими эмоционально-мыслительные процессы, заставляющие пристальнее всматриваться в предмет, наблюдать, догадываться, вспоминать, сравнивать, искать в имеющихся знаниях объяснения, находить выход из создавшейся ситуации. Взаимоотношения педагога и учащихся в процессе игры должны быть свободными, доброжелательными. В игровой среде ученик не может быть объектом прямого воздействия учителя. Здесь нет строгой регламентации отношений, ограниченности ролевых позиций. Ученик выступает как активный участник, субъект организации игры.

При разработке и проведении уроков с элементами игры учитываю и активно использую жизненный опыт учащихся, межпредметные связи. В первые моменты все внимание учащихся сосредоточено на игровом действии. Нужно урок построить так, чтобы ученик незаметно для себя постепенно включался в процесс изучения материала. Важно создать такие условия, при которых интерес учащихся к игре как к занимательному занятию постепенно переключится на учебное занятие.

Урок в форме ролевой игры (итоговый урок) 7 класс

Суд над инерцией

Цели урока

Обучающие: закрепление знаний учащихся о явлении инерции, формирование представлений учащихся о роли и значении инерции в природе и повседневной жизни человека.

Воспитательные: убеждение учащихся в познаваемости окружающего мира, в ценности научных знаний для объяснения различных явлений, формирование умения выслушивать оппонента, отстаивать собственную точку зрения.

Развивающие: развитие умения учащихся применять теоретические знания на практике, систематизировать полученные знания, приводить нужные аргументы, работать с дополнительной литературой.

Ролевая игра

Ролевая игра — это импровизированный спектакль, в котором участвуют все ученики класса. Каждый ребенок выступает в интересной для него позиции. Игровую роль он выполняет без какого-либо внешнего воздействия. Она становиться для играющего внутренней необходимостью, а правила игры — внутренними правилами для самого себя. Наблюдается стремление и желание играющего к максимальному проявлению личных качеств и возможностей для выполнения требования роли. В процессе такой игры происходит повышение активности, самостоятельности, инициативы и творчества детей. Ролевая игра изменяет характер действия и поведение ребенка.

Подготовка к игре. За несколько дней до урока учащимся сообщается его тема и форма, предлагаются роли на свободный выбор. Учащимся, которые не получили ролей выдается список дополнительной литературы по данной теме, для того, чтобы в ходе урока они имели возможность дополнять своих одноклассников, помогать им объяснять изученное явление. В ходе суда количество свидетелей может увеличиваться. Класс делится на группы свидетелей защиты и свидетелей обвинения. Выбираются главный судья, народные заседатели, прокурор, адвокат, подсудимый и ученый секретарь суда.

Подбираются демонстрационные опыты, кадры диа- и кинофильмов, которые могли бы служить вещественными доказательствами и документальными кадрами правоты или обвинения подсудимого.

Подготавливаются материалы из истории физики, которые в речи подсудимого составят биографию физического явления, закона или физической величины. Кроме того, ученый секретарь суда готовит исторические документы, присланные в распоряжение суда от имени ученых, работавших в области обсуждаемой проблемы. Учащиеся готовят себе костюмы (по желанию).

Правила игры. На уроке идет соревнование между двумя группами свидетелей. Победитель определяется не столько степенью подготовки команд, сколько сущностью самого физического явления. Это должно найти отражение в решении суда.

По правилам игры выступление на суде является не правом, а обязанностью ее участников (отчетом о выполнении домашнего за-

дания). Если цель домашней работы — правильно объяснить учащимся, и они с желанием включились в игру, то эта игра в большей степени, чем любой опрос будет стимулировать творческую активность учащихся.

Арбитрами в ходе суда выступают судья и народные заседатели. В случае неверных или неполных объяснений свидетелей они задают уточняющие вопросы, дополняют, исправляют и т.д. (физический суд над инерцией прилагается).

Выводы

При использовании на уроках игровых технологий наблюдаются следующие результаты:

— формируются такие качества личности как терпение, настойчивость, ответственность, любознательность, стремление к познавательной деятельности;

— вырабатывается умение самостоятельно добывать знания и применять их на практике;

— создается положительный морально- психологический климат в классе для развития личности учащихся;

— повышается уровень развития коммуникативных навыков учащихся;

— развивается наблюдательность, умение видеть необычное в знакомых вещах.

Нередко победителями игр становятся слабоуспевающие дети. В ходе игровой деятельности у них проявляются терпение и настойчивость, то есть те качества, которых им не хватает для хорошей учебы.

Заключение

В своей работе мне хотелось показать, что во взаимоотношениях взрослых и детей нельзя исходить только из приоритета взрослых, обладающих, по сравнению с детьми, богатым жизненным опытом. Ребенок любого возраста тоже располагает своим опытом жизнедеятельности, опирается на него во взаимоотношениях с миром людей и вещей. Строя образовательное пространство, необходимо опираться на субъективный опыт ребенка, а он у каждого свой неповторимый. Надо использовать его содержание, уважительно к нему относиться. Необходимо раскрыть этот опыт, опереться на него, «окультурить» его, т.е. добиться сознательного принятия им правил поведения в обществе, а не требовать лишь беспрекословного подчинения. При этом нужна не назида-

тельная, а уважительная позиция по отношению к ребенку, как равноправному партнеру общения. Без этого любые обучающие воздействия будут малоэффективны. В своей работе с детьми нужно руководствоваться принципом: сначала люблю, потом учу. Реализация этого принципа требует высокого профессионализма, мудрости, такта, терпения в работе с детьми, но другого пути нет.

Приложение

Суд над инерцией

(итоговый урок по теме в форме ролевой игры 7 класс)

Главный судья. Сегодня слушается дело № 1 по обвинению Инерции. Она обвиняется в том, что по ее вине происходит много транспортных катастроф: мотоциклы, велосипедисты разбиваются на гонках, происходят крушения составов. Мы призываем сегодня обстоятельно разобраться в поставленном нами вопросе, со справедливостью и бесстрастием выслушать показания свидетелей и вынести справедливый приговор. Подсудимую ввести.

Установим личность подсудимой. Подсудимая, ваши фамилия, имя, отчество.

Инерция. Инерция физическая.

Главный судья. Ваши родители.

Инерция. Галилео Галилей и Исаак Ньютон.

Главный судья. Ваша биография.

Инерция. Древнегреческий ученый Аристотель считал, что движение тела, вызванное действием какого-либо другого тела, должно само прекратиться, так как именно покой является естественным состоянием физического тела и всем телам свойственно стремление к покою. Он поражался, почему камень, выпущенный из его руки, продолжает двигаться, отделившись от его руки. Ответ на этот вопрос был дан моим рождением спустя 2000 лет в Италии великим ученым Галилео Галилеем, а позднее в 1678 году его точнее сформулировал Исаак Ньютон.

Главный судья. Что вы собой представляете?

Инерция. Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, когда на тело не действуют другие тела. Главный судья. Есть ли вопросы к обвиняемой у обвинения?

Главный обвинитель. Нет.

Главный судья. У защиты?

Защитник. У меня есть вопрос к суду: будет ли приниматься во внимание тот факт, что родители Инерции были такие великие люди, как Галилео Галилей и Исаак Ньютон?

Главный судья. Суд рассмотрит все факты.

Защитник. У меня пока все.

Главный судья. Есть ли вопросы к подсудимой у заседателей?

Заседатель 1. Кому вы принадлежите?

Инерция. Всем телам, абсолютно всем.

Заседатель 2. Область применения ваших сил.

Инерция. Физика, техника, жизнь.

(Заседатели и ученый секретарь по очереди зачитывают телеграммы, поступившие в распоряжение суда.)

Телеграмма 1. Я, Аристотель, один из величайших мыслителей древности, заявляю, что суд этот считаю неправомерным. Все описанные вами заслуги и преступления не имеют никакого отношения к так называемой вами Инерции. После прекращения действия на тело других тел первое не должно двигаться.

Телеграмма 2. Я, Галилео Галилей, великий физик средних веков, приветствую ваш суд, ибо каждый, кто стремится постичь тайны природы, достоин уважения. Пусть наука даст вам мужество устоять перед любыми попытками мерзкой жестокой инквизиции. Успеха вам, друзья и коллеги!

Телеграмма 3. Я, сэр Исаак Ньютон, английский физик и математик, рад, что законы природы не оставили ваши души равнодушными. Спорьте: в споре родится истина, и если вы ее отыщите, то первый закон механики, закон инерции, откроет вам двери в чудесный мир науки.

Главный судья. Теперь переходим к заслушиванию свидетельских показаний. Свидетель 1, пожалуйста.

Свидетель 1. Я очень волнуюсь: я никогда не выступал в суде, но то, что я увидел было ужасно. И я не могу молчать. Дорогу переходила женщина. Внезапно из-за поворота появилась громадная машина МАЗ. Женщина была сбита машиной, потому что из-за инерции машину внезапно остановить нельзя.

Главный судья. Вызывается свидетель 2.

Свидетель 2. Я очень люблю спорт и часто по телевизору смотрю спортивные передачи. Недавно транслировались велогонки. Я видел,

как велосипедист, натолкнувшись на камень, случайно попавший на трассу, перелетел через руль велосипеда. Велосипед отлетел в другую сторону и попал на трассу. Остальные гонщики, не успев затормозить из-за инерции, налетели на него. Гонки были сорваны.

Главный судья. Я прошу всех сидящих в этом зале очень серьезно отнестись к этому вопросу, так как многие из вас страдали по вине обвиняемой, и вспомнить примеры из вашей жизни, изобличающие эту преступницу.

Свидетель 3. Я ехала в троллейбусе. Вдруг он внезапно затормозил. Люди по инерции продолжали двигаться, и многие из них упали. Я тоже не удержалась и налетела на впереди стоящего мужчину, наступила ему на ногу. Он отругал меня. Но виновата во всем инерция.

Свидетель 4. Меня мама просила накрыть на стол к обеду. Я несла тарелку с супом, поставила на стол, а суп по инерции выплеснулся на скатерть. Мама ругала меня, но ведь я не виновата.

Свидетель 5. Моя бабушка лежит в больнице со сломанной ногой. Она шла по дороге, а дорога была скользкой. Ноги бабушки поехали вперед, а сама она из-за инерции не могла двигаться так быстро, поэтому упала и сломала ногу.

Главный судья. Вызываются свидетели защиты. Свидетель 6, пожалуйста.

Свидетель 6. Меня мамам просила вытряхнуть ковер. Я палкой била по ковру. Он отходил в сторону, а пыль из-за инерции оставалась на месте. Если бы не инерция, то я не вычистила бы ковер.

Свидетель 7. Благодаря инерции велосипедисты не всегда крутят педали. Набрав скорость, они прекращают работать ногами, а велосипед продолжает ехать по инерции.

Главный защитник. Товарищи, сидящие в зале, постарайтесь вспомнить, сколько хорошего сделала для вас подсудимая, и сообщите эти факты суду.

Свидетель 4. Мой дядя — столяр. И мне много раз приходилось видеть, как он насаживает молоток на ручку. Он ударяет ручкой по столу, а молоток по инерции продолжает двигаться, насаживается прочно и надежно на ручку.

Свидетель 8. Инерция помогает в толкании ядра: спортсмен отталкивает ядро, и оно летит дальше по инерции.

(защитники приводят еще ряд фактов.)

Главный судья. Слово предоставляется главному обвинителю.

Главный обвинитель. Уважаемый суд! Дорогие товарищи! Зачем мы собрались? Ведь вина подсудимой очевидна. Я не могу понять, как здравомыслящий человек при всем своем уважении к защитнику может защищать эту закоренелую преступницу. Каждый из нас ощущал на себе издевательства подсудимой. Кто из нас не падал, споткнувшись? Не по ее ли вине сталкиваются машины, ударяются о причалы корабли? Посмотрите на нее. Ей стыдно! Она знает, сколько трудов понадобилось штурманам, чтобы точно рассчитать, где сбросить елочку полярникам на Новый год. А сколько по ее вине зарегистрировано травм? (для большей убедительности здесь приводим конкретные цифры по нашей школе). И кто-то еще пытается говорить о ее невиновности. Остановите это, товарищи!

Главный судья. Слово предоставляется главному защитнику.

Главный защитник. Если рассматривать поступки инерции с юридической точки зрения, то нужно заметить, что достоинств у инерции больше, чем недостатков, так как вышеуказанная используется как в быту, так и в технике. Приведем пример: очень хороший шофер благодаря инерции сохраняет литры бензина. Правда, если пешеход неосторожный, легкомысленный и чересчур задумчивый и к тому же не знает элементарных правил уличного движения, внезапно появляется перед движущейся машиной, то она после торможения, проезжая несколько метров (особенно в гололед), из — за инерции может сбить его. Но в приведенном выше примере виновата не инерция, а пешеход. Споткнувшийся человек обычно обвиняет инерцию, а не самого себя и свою неосторожность. А именно инерция в данном случае помогает человеку, заставляя его смотреть под ноги, быть внимательным, когда он идет по улице. Можно привести еще много примеров, часть из которых вы уже слышали, например, в спорте: трамплин, прыжки, метание. Это инерция устанавливает мировые рекорды. Именно инерция, а не что другое.

Более того, я считаю, что мы должны инерцию поблагодарить, так как, если бы вышеуказанная не существовала, все планеты сошли бы со своих орбит. Луна упала бы на Землю. А Земля, в свою очередь упала бы на Солнце. У меня все.

Главный судья. Суд удаляется на совещание (через некоторое время зачитывает решение суда). Наш суд был скорым и правым. Внимательно выслушав обе стороны, суд пришел к следующему решению. Учитывая некоторые отрицательные стороны деятельности

подсудимой, суд, тем не менее, полагаясь на свой собственный опыт, на речь уважаемой защиты и показания свидетелей защиты, считает большую часть обвинений преувеличенной, а посему постановляет: с учетом полезности положительных сторон действий инерции и вредности отрицательных сторон всемерно расширять использование положительных ее действий и вести борьбу с отрицательными. Для этого нужно изучать и глубоко осмысливать законы физики, проникать в тайны природы и ставить их на службу человеку.

Заседание суда считаю закрытым.

Литература

1. Каменский С.Е и др. Теория и методика обучения физики в школе. Общие вопросы — М. 2000.

2. Селевко Г.К Современные образовательные технологии — М. 1998.

3. Якиманская И.С Личностно- ориентированное обучение в современной школе — М. 2000.

4. Взрослые и дети в образовательном пространстве. Научно- методический сборник — М. 2001

5. Ланина И.Я. 100 игр по физике — М. 1995

А.И. Сгибнев

Экспериментальная математика

Когда я учился классе в пятом, то заметил такую закономерность: 2∙2-1 = 1∙3, 3∙3-1 = 2∙4, 4∙4-1 = 5∙3, ... Было очень интересно: бери любые соседние числа — и всё получится. Потом я узнал, что есть формула a2 -1 = (а-1)(а + 1). Но это объяснение не вызывало таких эмоций, как само открытие.

Эксперимент в математике

Математика — экспериментальная наука

В.И. Арнольд

Слова «эксперимент» и «математика», поставленные рядом, могут вызвать недоумение. Казалось бы, вот образец дедуктивной науки! Вспомним хотя бы «Начала» Евклида: аксиома — определение — формулировка теоремы — доказательство.

Давайте разберёмся: правда ли математики думают по такой же «схеме в четыре такта», по какой обычно пишут свои работы? Этому вопросу посвящена книга Дьердя Пойа (Polya) «Математика и правдоподобные рассуждения». Автор убедительно показывает, что «в своём творчестве математик так же пользуется наблюдением и обобщением, гипотезой и экспериментом, как это делает всякий естествоиспытатель» [1, стр. 6]. В настоящих научных проблемах всё не так гладко, как кажется при чтении. Если проблема слишком сложная и не поддаётся «прямым атакам», то полезно сравнить её с похожей задачей, которая уже решена, или рассмотреть несколько частных случаев и попытаться угадать стоящую за ними закономерность. Затем приходит пора строгого доказательства (или опровержения) уже установленного утверждения. При изложении результатов в статье или в учебнике обычно оставляют только фазу доказательства, а фазу поиска пропускают, как «несущественную». Однако в педагогическом отношении работа от этого часто теряет, поскольку читателю не показывают, как можно было додуматься до теоремы, хотя бы и строго доказанной потом.

Пойа подкрепляет свои положения выдержками из трудов крупнейшего математика XVIII века Леонарда Эйлера (Euler). Эйлер широко

пользовался наблюдением, индукцией и аналогией, например, в теории чисел. Свои открытия он часто излагал эвристически, прибавляя к ним «чистосердечное изложение идей, приведших его к этим открытиям» [1, стр. 115]. Из современных сторонников взгляда на математику как экспериментальную науку следует вспомнить Владимира Арнольда, автора эпиграфа. По мнению Арнольда, в математике идёт борьба «естествоиспытателей» с «аксиомофилами», рассматривающими всю математику как последовательное выведение следствий из системы аксиом, взятых из головы, не имеющих отношения к внешнему миру. «Я расскажу об экспериментальных числовых наблюдениях, которые подсказывают новые (поразительные) законы природы, но которые далеко не сразу превращаются в теоремы. Я думаю, что в некоторых случаях доказательств придётся ждать сотню-другую лет... хотя сами открытия новых законов могут быть доступны школьникам» [2].

Эксперимент в школьной математике

Вопросы важнее ответов.

А.К. Звонкин

Итак, эксперимент в науке математике использовали и используют. Но значит ли это что-нибудь для школы? Какие могут быть математические эксперименты на уроках?

1. Опытный учитель, задав вопрос, делает паузу и даёт детям подумать. Это же можно делать в больших масштабах. Как правило, теоретический материал также является ответом на некоторый обобщённый вопрос: облегчает решение задач, упорядочивает примеры, создавая стройную картину... Полезно в той или иной форме задать этот вопрос и дать ученикам его осознать.

В обычных классах. Введя понятия НОК и НОД, не будем сразу давать алгоритм их нахождения, а поищем один урок перебором. Во-первых, определение лучше усвоится и отделится от алгоритма, а во-вторых, дети смогут оценить преимущества нового способа.

Прежде чем формулировать основную теорему арифметики, спросим учеников: что получится, если раскладывать большое число, скажем 360, на простые множители в разном порядке? Попробуем. «Глядите-ка, получились одинаковые делители. Это не случайно. Есть такое утверждение...»

Перед введением числа n померяем длины и радиусы нескольких окружностей и посчитаем отношения.

Прежде чем выводить формулу для корней квадратного уравнения, порешаем уравнения выделением полного квадрата.

В физматклассах. Многочлен Тейлора естественно дать как решение локальной задачи аппроксимации (сначала линейной, потом квадратичной и т.д.). А уж потом можно переходить к ряду Тейлора, который без этого непонятно кому и зачем нужен. Формулу Ньютона-Лейбница осознают как великое открытие лучше, если до неё посчитать несколько квадратур вручную (площадь под параболой, под синусоидой).

Экспериментальная пауза позволяет ученику осознать вопрос как заданный ему, и последующее теоретическое разрешение воспринимается как ответ на его вопрос. При этом подходе легче понять, что теорию придумывают для облегчения жизни, а не для зубрёжки.

2. Отдельные задачи можно формулировать открыто, т.е. так, чтобы ученик, рассматривая описанную ситуацию, сам догадался до утверждения, которое нужно доказать [3,4].

«Через центр квадрата в его плоскости проведена прямая. При каком положении прямой сумма квадратов расстояний прямой до вершин квадрата будет наибольшей?» Ученик рисует пару положений, считает и обнаруживает, что сумма для них одинакова. Возникает догадка, что сумма не зависит от положения прямой. Это рассуждение по индукции. Дальше можно спросить, для какого треугольника может выполняться это утверждение. Наверно, этот треугольник должен обладать тем же свойством, которое выделяет квадрат среди всех четырёхугольников, т.е. быть правильным. Это рассуждение по аналогии. Доказательно? — Нет. Работает? — Очень часто.

Мне скажут: «Всё хорошо, но что это за игра в догадки? Великая роль математики в том, что она учит детей логике. А вы предлагаете их учить какому-то гаданию на кофейной гуще».

Тут всё не так просто, давайте разберёмся. Есть разная логика. Есть логика рассуждения, и математика действительно учит ей. Но есть ещё логика открытия, эвристика, которая не имеет доказательной силы, но двигает творчество. Пафос Пойа в том, что эвристика полезна, и на математическом материале ей можно научить не хуже, чем логике1. Мы пренебрегаем этой возможностью, когда пропускаем в обучении фазу поиска [3, 4] и отмахиваемся от нестрогих рас-

1 Пойа также считает, что на примере математики школьник хорошо можно осознать непростой вопрос о роли эксперимента в естественных науках.

суждений как якобы недостойных математика. А всего-то и надо, что честно объяснить ученикам: это не доказательство, а только способ догадаться, выдвинуть гипотезу, которую потом надо проверять. Очень точно выразил это Эйлер: наблюдения «будут вести нас к новым свойствам, которые позже мы будем стараться доказать. Этот вид знания... следует тщательно отличать от истины. ...мы должны пользоваться таким открытием как возможностью более точно исследовать эти открытые свойства и доказать их или опровергнуть; в обоих случаях мы можем научиться кое-чему полезному» [1, стр. 21].

Эвристика и логика действуют в науке рука об руку, и именно так усваиваются лучше всего2. Дело в том, что далеко не все ученики (даже одарённые) имеют способности и вкус к строгим теоретическим выкладкам, но практически все могут наблюдать, подмечать закономерности, проверять их. Таким образом, занимаясь математическим экспериментом, каждый ученик оказывается активным участником исследования. Сможет ли ученик доказать свои гипотезы сам или услышит доказательство от учителя — всё равно он уже включён, ориентируется в материале, это его гипотезы. Заметьте, что если дать предыдущую задачу в обычной формулировке: «Доказать, что сумма квадратов расстояний до вершин квадрата одинакова для любой прямой, проходящей через его центр», — этой фазы поиска не было бы. Мы выиграем время, но потеряем интерес и увлечённость. А непосильные абстракции только оттолкнут и от математики, и от логики.

Задача учителя — предлагать достойные темы, показывать методы исследования, побуждать к теоретическому обоснованию гипотез, выдержавших экспериментальные проверки. Не стоит сужать эксперимент до простой демонстрации уже открытых фактов (хотя сама по себе она тоже неплоха). С другой стороны, не стоит злоупотреблять экспериментами в области, которую ученики ещё не способны осмыслить теоретически (хотя небольшие «заделы» полезны).

Опыт реализации

Изложенные соображения автору удалось в большей или меньшей мере реализовать в нескольких педагогических ситуациях. К их описанию мы и переходим.

2 Да и разделить их не всегда просто. См. замечательную книгу Лакатос И. Доказательства и опровержения. — М.: Наука, 1967.

1. Математическая индукция Обычно решение задач по математической индукции сводится к отработке техники: дают готовое утверждение (формулу) Тк , нужно проверить, что 1) оно верно при к = 1 и 2) из Тк следует Тк+1. Как это утверждение найдено, обычно никого не интересует. На мой взгляд, это непроизводительная трата ресурсов. Можно на одном материале и отработать технику, и поучиться угадывать. В простых задачах можно просто выкинуть утверждение — пусть найдут по неполной3 индукции. В более сложных задачах стоит указать аналогию или дать указание, или привести частный случай и попросить обобщить. Действуя таким образом, я смог составить подборку задач по теме «Математическая индукция» для математической группы 9 класса, в большинстве которых утверждение не дано. Я привожу эти задачи здесь. (Использованы материалы из книги [5], а также задачник [6].)

1. Докажите формулу для суммы первых n натуральных чисел4. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение про сумму первых n чётных чисел; первых n нечётных чисел.

2. Подберите коэффициенты a,b,c,d так, чтобы сумма квадратов первых n натуральных чисел равнялась an3 +bn2 +cn + d (при любом n) и докажите полученную формулу.

3. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение про сумму 1∙2 + 2∙3 + ... + n(n+1).

4. Сформулируйте и решите задачу, аналогичную предыдущей, для суммы кубов первых n натуральных чисел.

5. Найдите и докажите формулу для суммы знакопеременной суммы 1—2 + 3 — 4 + 5...п (чётные числа с минусом, нечётные с плюсом).

6. Сформулируйте и решите задачу, аналогичную предыдущей, для знакопеременной суммы квадратов. Предложите общую гипотезу5.

3 Не воспринимать уничижительно. Называю так, чтобы отличить две вещи, обозначенные одним словом. Математическая индукция — приём доказательства последовательности утверждений. «Неполная» индукция — эвристический способ угадывать утверждения.

4 Считается, что формула уже известна (например, как сумма арифметической прогрессии).

5 Знакопеременная сумма к-х степеней выражается многочленом степени к.

7. Найдите и докажите формулу для суммы

(она имеет вид

для некоторых чисел а,b,с).

8. Найдите и докажите формулу для суммы

9. Найдите и докажите формулу для

(обобщение квадрата суммы).

10. Рассмотрим два числа a1 и a2, удовлетворяющие неравенствам 0 < a1 < 1, 0 < a2 < 1. Тогда, очевидно,

Обобщите это утверждение на n чисел и докажите своё обобщение.

11. Последовательность {bn} задана рекуррентно: b1=3,

Докажите, что

Найдите и докажите формулу n-го члена для последовательности

2. «Живая геометрия»

Подражая В.И. Арнольду, можно сказать, что с появлением этой программы6 школьная геометрия стала экспериментальной наукой.

Программу можно плодотворно использовать на уроках геометрии, предваряя или дополняя теоретический материал экспериментами. Обычно работа происходит в компьютерном классе, чтобы каждый ученик мог экспериментировать самостоятельно (это же самое интересное!). Теоремы переформулируются в виде открытых задач [3]. Факты, открытые экспериментально на одном уроке, можно строго доказать на следующем.

1. Через данную точку внутри окружности проходит хорда. Найдите положение хорды, при котором произведение её отрезков минимально. Сформулируйте и исследуйте аналогичную задачу для точки вне окружности.

6 Geometry Sketchpad; программу можно скачать на сайте разработчиков www.keypress.com/sketchpad.

2. Выясните, в каких пределах меняется величина

для произвольного четырёхугольника ABCD. Для какого вида четырёхугольников достигаются граничные значения? [Зафиксируйте три вершины и двигайте четвёртую.] (Теорема Птолемея.)

3. Инверсия: что будет образом прямой, что будет образом окружности?

Для красивых, но сложных теорем, не имеющих дальнейшего развития в курсе, можно ограничиться экспериментальным открытием с последующей формулировкой.

1. Через вершины треугольника проведены лучи, делящие каждый его угол на три равные части. Исследовать взаимное расположение точек пересечения этих лучей. (Теорема Морлея.)

2. Дан треугольник с углами 360 / 7 и 180/ 7. Исследовать взаимное расположение середин сторон и оснований высот. (Находятся в шести вершинах правильного семиугольника!)

3. Построение циклоид (астроиды, кардиоиды и других) — как ГМТ и как огибающих.

Если сложно сделать открытую задачу, можно всем классом попытаться сформулировать теорему по готовому динамическому чертежу (теорема о точке пересечения биссектрис, медиан и др., из более сложных — теоремы Паскаля, Понселе).

Беспроигрышный вариант — использовать «Живую геометрию» в задачах на построение.

3. Курс «Экспериментальная геометрия»

Курс почти целиком посвящен фазе поиска в решении открытых задач. Автор проводил его в летней школе интенсивного обучения «Интеллектуал» для учеников, окончивших 7 и 8 класс (большинство из провинции). Дети были разбиты на 4 группы по силам. В течение двух недель с каждой группой было проведено 5 полуторачасовых занятий. Вариант (1) давался двум более слабым группам, вариант (2) — двум более сильным. Занятие проводились в компьютерном классе с использованием программы «Живая геометрия».

Примерная схема занятия такова. Вначале мы вспоминали 2—3 задачи с предыдущего занятия, проговаривая ещё раз основные идеи (5—7 минут). Затем я разбирал характерную задачу из нового раздела (она

помечена нулём), выполняя в «Живой геометрии» построения, которые проецировались на экран для всего класса (10—20 мин). После этого дети включали компьютеры, получали распечатки задания на урок (см. ниже) и решали. Я консультировал в индивидуальном порядке, проверял решения, подсказывал, задавал дополнительные вопросы (см. комментарии к заданиям). В конце занятия в течение 3—5 мин все вместе обсуждали некоторые из решённых задач (чтобы оторвать детей от экспериментирования, приходилось давать команду погасить экраны).

Задания к курсу «Экспериментальная геометрия»

Рекомендуется следующая последовательность действий: Выполнить построение. Изучить результат. Выдвинуть гипотезу. Проверить её для других случаев.

Попытаться доказать теоретически (взяв ручку и бумагу!)

Помните, что любая гипотеза, полученная в ходе эксперимента и выдержавшая его, бросает нам вызов: доказать.

Пока гипотеза не доказана (или не опровергнута), вопрос нельзя считать закрытым!

Задачи на построение7

1. Постройте середину данного отрезка двумя способами — с помощью циркуля и линейки и с помощью функции «Живой геометрии». (1)

2. Постройте биссектрису данного угла теми же двумя способами. (1)

3. Постройте треугольник по трём сторонам. (1)

4. Постройте прямоугольный треугольник по двум катетам. (1, 2)

5. Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.(1,2)

6. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки. (2)

7. Постройте треугольник а) по трём сторонам; б) по трём медианам; в*) по трём высотам; г**) по трём биссектрисам. (2)

8. Постройте треугольник а) по основаниям медиан; б*) по основаниям высот; в**) по основаниям биссектрис. (2)

9. * Восстановите квадрат по четырём точкам, лежащим на его сторонах. (2)

7 Звездочкой (*) отмечены более трудные задания

Задачи на минимум и максимум

0. Дан выпуклый четырёхугольник. Найдите точку, для которой сумма расстояний до вершин четырёхугольника минимальна. А если он невыпуклый?

1. Задача Евклида. Параллелограмм называется вписанным в треугольник, если три вершины параллелограмма лежат на сторонах треугольника, а четвёртая совпадает с вершиной треугольника. Впишите в данный треугольник параллелограмм, так чтобы его площадь была наибольшая. [Зафиксируйте один из углов параллелограмма и исследуйте зависимость его площади от положения одной из вершин, лежащих на стороне этого угла.] Сформулируйте закономерность. (1)

2. Найдите в треугольнике точку, для которой сумма расстояний до сторон треугольника: а) минимальна, б) максимальна. *Обобщите на многоугольник. (1)

3. Дан квадрат. Через его центр проведена прямая (в его плоскости). Найти положение прямой, при котором сумма квадратов расстояний прямой до вершин квадрата: а) максимальна, б) минимальна (1, 2). Тот же вопрос для произвольной прямой в плоскости квадрата. (2)

4. Дан треугольник. Найдите точку, для которой сумма расстояний до вершин треугольника минимальна. Проверьте, для всех ли треугольников точка минимума суммы расстояний обладает свойством равенства углов? [Рассмотрите треугольник с очень большим углом8.] (2)

5. Рассмотрите отношение площади треугольника к квадрату его периметра (S/P2). Для какого треугольника достигается максимум?

8 В задаче о минимуме суммы расстояний до вершин треугольника замечательно то, что для угла, большего 120°, работает другое решение, которого никто не замечает. Это хороший пример того, как легко ошибиться, полагаясь только на эксперимент. В аналогичной задаче про четырёхугольник также различаются решения для выпуклого и невыпуклого. Кстати, задача про минимум в невыпуклом четырёхугольнике решается не так-то просто. В замечательной книге Д.О. Шклярского, Н.Н. Ченцова, И.М. Яглома «Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум» неверно не только доказательство, но и ответ. Они утверждают, что минимум будет на пересечении прямых, содержащих диагонали (т.е. та же точка, что и для выпуклого), тогда как «Живая геометрия» даёт вершину «входящего» угла. Этот результат смогли доказать ученики 8 класса школы «Интеллектуал» Илья Львов и Артём Зайцев.

Достигается ли минимум? Решите задачу для четырёхугольника; обобщите свои результаты на многоугольники. (2)

6. Найдите точку, для которой сумма квадратов расстояний а) до двух данных точек, б) до трёх данных точек — наименьшая. *Обобщите гипотезу на n точек. (2)

7. Впишите в данный треугольник ABC треугольник наименьшего периметра (так, чтобы на каждой стороне треугольника ABC лежала одна вершина треугольника). [Начните с простых частных случаев.] (2)

Геометрические места точек

Чем точнее опознаете линию, тем лучше. Например, сказать «окружность» лучше, чем «кривая», а понять какой радиус и где центр окружности — совсем хорошо.

0. В данный угол впишите квадрат, так чтобы две его вершины лежали на одной стороне угла и одна — на другой. Найдите множество четвёртых вершин квадрата.

1. В данный треугольник ABC вписывают всевозможные прямоугольники, у которых одна сторона лежит на прямой AВ. Найдите множество центров этих прямоугольников. (1)

2. На плоскости даны окружность и точка А на ней. Найдите множество середин отрезка AN, где N — произвольная точка данной окружности. Рассмотрите также случаи, когда точка N лежит внутри окружности и вне окружности. (1, 2)

3. Рассмотрим всевозможные треугольники ABC, у которых А и В — фиксированные точки окружности, а С — переменная точка окружности. Найдите множество: а) точек пересечения медиан; б) точек пересечения высот; в) точек пересечения биссектрис. (1, 2)

4. а) Лестница, стоявшая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз. По какой линии движется котёнок, сидящий на середине лестницы? [Математическая формулировка: «Дан прямой угол. Найдите множество середин всевозможных отрезков данной длины d, концы которых лежат на сторонах данного угла».]

б) По какой линии будет двигаться котёнок, если он сидит не на середине лестницы? (2)

5. У данной окружности хорда AB закреплена, а хорда CD перемещается, не меняя своей длины. По какой линии движется точка пересечения прямых a) AD и ВС, б) АС и BD? (2)

Зачёт (1)

1. Найдите в четырёхугольнике точку, для которой сумма расстояний до вершин наименьшая. Докажите.

2. На биссектрисе угла взята точка Р. Прямая, проходящая через точку Р, отсекает на сторонах угла отрезки с длинами а и b. Найдите положение прямой, при которых величина (1/a + 1/b) имеет 1) наименьшее, 2) наибольшее значение. То же для величины

3. Даны две точки А и В. Найдите множество оснований перпендикуляров, опущенных из точки А на всевозможные прямые, проходящие через точку В. Попробуйте доказать.

Зачёт (2)

1. Найдите на плоскости точку, для которой сумма расстояний до четырех данных точек минимальна. Докажите.

2. Концы отрезка данной длины скользят по сторонам прямого угла. Найдите траекторию середины отрезка. Докажите9.

3. Откройте в Живой геометрии файл «Эллипс»10 Скопируйте его в свой зачётный файл. С его помощью ответьте на следующие вопросы:

а) Можно ли получить из эллипса окружность? Отрезок?

б) Представьте себе, что эллипс зеркальный. Как пойдёт после отражения луч, вышедший из фокуса?

9 Задачи про минимум в четырёхугольнике и про котёнка имеют простые и наглядные доказательства, которые мы не упустили разобрать. На зачёте нужно было лишь воспроизвести их, но многие не смогли этого сделать; видимо, помешала установка на экспериментальность. Может быть, стоит оградить учеников от соблазна бездумного экспериментирования не только призывами, но и организационно: скажем, ученик должен доказать половину сформулированных им гипотез, иначе результат не засчитывается (или треть, или две трети — доля зависит от сложности темы и уровня ученика).

10 Решение по готовому чертежу — полезный приём, когда создание заготовки требует большой технической или теоретической подготовки. С помощью функции «Живой след» я построил эллипс; можно было двигать фокусы и менять касательную. См. на сайте разработчиков www.keypress.com/sketchpad интересные заготовки (впрочем, довольно бессистемные).

в) Найдите множество оснований перпендикуляров, проведённых из фокуса эллипса ко всем касательным к эллипсу.

г) Найдите положение касательной, для которой произведение расстояний до обоих фокусов 1) наибольшее, 2) наименьшее.

д) Найдите множество точек, симметричных фокусу эллипса относительно всех касательных к нему.

Комментарии к заданиям

Значительная часть задач на построение взята из брошюры [7], а задач на ГМТ — из книги [8]. Разумеется, формулировки изменялись нужным мне образом; при этом использовались приёмы, изложенные в статье [3].

Я исходил из того, что технические навыки лучше приобретать в процессе осмысленной деятельности. Разбирая «нулевую» задачу, я называл используемые функции (в задачах на минимум и максимум это измерение отрезков, площадей и углов, в задачах на ГМТ функция «оставлять след», «стирать след» и т.д.), а детям тут же приходилось применять их для решения содержательных задач. Таким образом, работать с программой учились по ходу дела, достаточно быстро.

Задачи можно было решать в любом порядке. Как правило, сильные дети успевали решить почти всё, слабые — примерно половину.

Полезно обсудить с ребёнком, решившим задачу, границы применимости, количество решений и т.д. Так, в задаче о построении треугольника по трём сторонам я спрашивал, при каком соотношении длин отрезков он исчезает и почему; в задаче о построении окружности через две точки — сколько бывает решений в зависимости от расположения точек. Давал время подумать; по «живому чертежу» соображали очень хорошо.

За все пять занятий ставилась одна оценка — за зачётное задание. Зачёт выполнялся на компьютере, как и все задания. Задачи записывались в один файл, который сохранялся в условленном месте под фамилией решающего. Оценивались работающие построения и гипотезы, сформулированные словами. Важна была конкретность гипотез, например, утверждение «это окружность» оценивалось в 1 балл, а утверждение «это окружность с центром в одном из фокусов и радиусом, равным сумме расстояний» — в 3 балла. Если ученик забывал в задаче о четырёхугольнике рассмотреть невыпуклый, то получал меньший балл. Специально я об этом на зачёте не напоминал. Самый хороший результат — 15 баллов из 15, самый плохой — 4 бал-

ла. (Я посчитал, что этого хватает на зачёт. Всё-таки человек научился в «Живой геометрии» строить, измерять...)

Чтобы выдвинуть адекватную гипотезу, детям постоянно приходилось ставить и решать вспомогательные задачи типа «Даны окружность и две точки на ней. Определить с их помощью ещё две точки». Простейшее симметричное решение — пересечение серединного перпендикуляра с окружностью — и даёт ответ. Другие вспомогательные задачи: «Через какие исходные данные можно выразить радиус полученной окружности, положение её центра» и т.д.

В течение курса я собирал лучшие решения, а потом вместе с программой «Живая геометрия» записал их на диск, который вручался каждому школьнику вместе с дипломом.

4. Вычислительная математика

Школьный предмет «математика» призван дать понятие о науке с тем же названием. Между тем многие важные тенденции науки математики даже близко не представлены в школьном курсе. Например, практически игнорируется вычислительная математика, которая имеет прямое отношение к нашей теме. «...Вся область собственно вычислительной математики состоит как бы из двух подобластей: малой подобласти, где рассматриваются сравнительно простые задачи и где результаты рассмотрения можно представить в виде серии теорем, и громадной подобласти, связанной с решением практических задач, где никаких теорем нет. Здесь успехи в решении задач связаны с проведением численных экспериментов. Придумаем модель. Посчитаем. Получилось — хорошо, не получилось — подумаем в чём дело, пересмотрим исходную модель и т.д. Такова стандартная схема работы современного вычислителя». [9, с. 7].

Простые задачи, идеи и методы вычислительной математики вполне могут стать достоянием физматклассов. Но, разумеется, не только и не столько в виде «серии теорем», сколько в виде вычислительного практикума.

Вот цели такого практикума.

1) Показать, что далеко не все задачи решаются аналитически. Из теперешней школьной математики это никак не увидишь.

2) Научить приближённым вычислениям.

Грамотно считать, округлять, брать нужное число знаков почти никто не умеет.

3) Заполнить пустоту между школьной информатикой и школьной математикой — одни учат Word, другие решают внутренние программистские задачи.

Наиболее естественно приурочить практикум к началам анализа в 10—11 классах.

Темы практикума по вычислительной математике

1. Изучение итерационных процессов, сходимости, точек покоя, их устойчивостт, зон притяжения;

2. Исследование сходимости рядов и нахождение суммы рядов с заданной точностью;

3. Асимптотическое нахождение коэффициентов степенного представления функций

(пропедевтика многочлена Тейлора);

4. Применение многочлена Тейлора для приближённых вычислений;

5. Построение графиков многочленов Тейлора небольших степеней

для многочленов и для функций

и других, определение области сходимости;

6. Построение простейших графиков функций двух переменных, нахождение линий уровня, изучение их перестройки с изменением «высоты»;

7. Построение интерполяционных многочленов для тестовых функций (например y = sinx, хе[0,π]) на равномерной и неравномерной сетке, сравнение погрешностей;

8. Построение интерполяционных многочленов и их графиков по экспериментальным точкам;

9. Сравнивнение точности различных квадратурных формул (прямоугольников, трапеций, Симпсона) для тестовых функций (у = xm, а также негладких);

10. Нахождение квадратуры (например, площади сегмента эллипсов) по различным квадратурным формулам;

11. Вычисление с заданной точностью интегралов, не берущихся аналитически;

12. Нахождение длин дуг кривых (например, эллипсов, парабол);

13. Решение уравненийя типа sinx = 0,5x, tgx = x и алгебраических уравнений высоких степеней (методом итераций, методом касательных Ньютона);

14. Составление таблицу синусов с шагом в 1 с помощью интерполяционного многочлена;

15. Вычисление n с большим числом десятичных знаков из разных представлений этого числа в виде предела периметров вписанных многоугольников, суммы ряда, бесконечного произведения, цепной дроби, статистики «бросания иголки» и т.д.; и аналогично число е ;

16. Численное решение дифференциальных уравнений методом Эйлера, применением разностных схем.

Темы исследовательских задач по математике, примыкающих к курсу анализа и вычислительному практикуму

1. Решение сложных уравнений методом итераций. «Зоны притяжения» начальных приближений.

2. Исследование устойчивости интерполяционного многочлена к погрешностям значений функции в узлах в зависимости от расположения узлов.

3. Приближение периодических функций тригонометрическими суммами. Приближение разрывных функций.

4. Расчёт движения ракеты с Земли на Луну.

5. Расчёт падения камня в атмосфере.

6. Экстраполяция как способ прогнозирования (расход топлива на корабле, денег на телефоне, время прибытия и т.д.).

Продолжение следует

Описанный опыт в целом оказался удачным. Это укрепило мою уверенность в теоретических соображениях, лежащих в его основе. Именно, традиционная евклидовская манера преподавания математики по схеме «аксиома — определение — теорема — доказательство» не является единственной адекватной математическому мышлению. Между тем, для многих учеников такая форма изложения усложняет восприятие материала. Положение можно улучшить, если «смягчить» дедуктивную манеру: предварять теоретические построения фазой эксперимента, поиска, «работы руками», которая включит ученика в материал, поможет осознать проблему и, как следствие, по достоинству оценить эти построения. Такая последовательность не только психологически облегчает восприятие материала, но во многих случаях отвечает историческому развитию науки. Не говоря уже о том, что фаза эксперимента даёт редкую возможность развить исследовательские умения [3,4].

Задания, подобные предложенным выше, естественным образом возникают во многих темах. Например, полезна экспериментальная пропедевтика темы «Пределы» (см. тема «Угадай предел», с. 43, 44 в книге [3]). Ждёт достойного воплощения в физматклассах практикум по вычислительной математике. Далеко не исчерпаны и возможности экспериментальной геометрии.

Призываю к сотрудничеству всех, кому интересна экспериментальная математика. Мой электронный адрес sgibnev@mccme.ru. Буду признателен за соображения, задачи.

Литература

[1] Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — М.: ИЛ — 1957. (G. Polya. Mathematics and plausible reasoning. Princeton, New Jersey, 1954.)

[2] Арнольд В.И. Динамика, статика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: Изд-во МЦНМО, 2005.

[3] Сгибнев А.И. Как можно задавать вопросы. «Математика», N...

[4] Сгибнев А.И. Исследуем на уроке и на проекте. / Сб. «Учим математике» (материалы открытой школы-семинара учителей математики). Под ред. А.Д. Блинкова, И.Б. Писаренко, И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2006.

[5] Задачи по математике, предлагавшиеся ученикам математического класса 57 школы (выпуск 2004 года, класс «Д») / Под ред. В. Доценко. — М.: МЦНМО, 2004.

[6] Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8—9 классов. М.: Просвещение, 1992.

[7] Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник. — М.: МЦНМО, 2003.

[8] Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. — М.: МЦНМО, 2004.

[9] Шноль Д.Э. Семь лекций по вычислительной математике. — Пущино, 1992.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ в рамках научно-исследовательского проекта РГНФ “Организация системы поискового самообучения в школе для одаренных детей”, проект 06—06—00427а.

И.М. Смирнова В.А. Смирнов

Комбинаторные задачи по геометрии

В последнее время интерес к комбинаторике в школьном курсе математики заметно возрос. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей включены в новые стандарты по математике для основной и профильной школ. Формирование комбинаторных представлений и развитие комбинаторного мышления школьников входит в число основных целей обучения математике.

Однако обычно, когда говорят об элементах комбинаторики, имеют в виду задачи алгебраического содержания. Здесь мы рассмотрим комбинаторные задачи по геометрии, решением которых можно заниматься, начиная с седьмого и по одиннадцатый класс. Часть из них имеется в учебниках [1], [2].

Одной из первых аксиом геометрии, относящейся к взаимному расположению точек и прямых на плоскости, является аксиома о том, что через любые две точки плоскости проходит единственная прямая. Учащимся можно предложить следующие задачи, идущие с нарастанием сложности.

1.1. Сколько прямых проходит через различные пары из трех точек, не лежащих на одной прямой?

Учащиеся рисуют в тетради три точки, не лежащие на одной прямой и, проводя прямые через различные пары из этих точек, убеждаются, что количество таких прямых равно трем.

1.2. Сколько прямых проходит через различные пары из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой? Ответ: 6.

1.3. Сколько прямых проходит через различные пары из пяти точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой? Ответ: 10.

Наконец, учащимся предлагается самая сложная задача из этой серии.

1.4*. Сколько прямых проходит через различные пары из n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?

Решение. Пусть даны точки A1, ..., Аn. Выясним, сколько прямых проходит через точку А1 и оставшиеся точки. Так как число оставшихся точек равно n—1 и через каждую из них и точку A1 проходит одна прямая, то искомое число прямых будет равно n-1. Заметим, что рас-

суждения, проведенные для точки A1, справедливы для любой точки. Поскольку всего точек n и через каждую из них проходит n— 1 прямая, то число посчитанных прямых будет равно n(n— 1). Конечно, этот ответ, который могут дать учащиеся, не является верным. Например, при n = 3 получаем n(n — 1) = 6, а число прямых на самом деле равно 3. Хорошо, если учащиеся сами догадаются, что при указанном выше подсчете мы каждую прямую посчитали дважды и поэтому число прямых, проходящих через различные пары из n данных точек, равно n(n — 1)/2.

Полученная формула числа прямых имеет большое значение, в дальнейшем будет появляться при решении различных комбинаторных задач и выражает число сочетаний из n по 2.

Следующая серия задач связана с числом попарных пересечений прямых на плоскости. Из сформулированной выше аксиомы непосредственно следует, что две прямые могут иметь не более одной общей точки. Учащимся можно предложить следующие задачи, идущие с нарастанием сложности.

2.1. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь три прямые?

Учащиеся изображают в тетради три прямые и выясняют, что наибольшее число точек попарных пересечений равно 3.

2.2. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь четыре прямые? Ответ: 6.

2.3. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь пять прямых? Ответ: 10.

Наконец, учащимся предлагается самая сложная задача из этой серии.

2.4*. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь n прямых?

Решение. Заметим, что наибольшее число точек попарных пересечений получается, если каждая прямая пересекается с каждой, и при этом никакие три прямые не пересекаются в одной точке. В этом случае каждая прямая имеет n— 1 точку пересечения с остальными прямыми, и мы находимся в ситуации, аналогичной ситуации задачи 1.4*. Число точек попарных пересечении будет равно n(n — 1)/2.

Можно обратить внимание учащихся на то, что формулировка и решение задачи 2.4* похожи на формулировку и решение задачи 1.4*.

Действительно, переформулируем утверждения этих задач.

Утверждение 1.4*. Число прямых, проходящих через различные пары из n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, равно

Утверждение 2.4*. Число точек попарных пересечений n попарно пересекающихся прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке, равно

Мы видим, что если слово «прямая» в утверждении 1.4* заменить на слово «точка», слово «точка» — на слово «прямая», прохождение прямой через две точки заменить на пересечение двух прямых, и принадлежность трех точек прямой — на пересечение трех прямых в одной точке, то получим утверждение 2.4*. Это же относиться и к доказательствам этих утверждений. Одно получается из другого указанной выше заменой. Такая аналогия называется двойственностью между точками и прямыми.

Еще одной аксиомой, относящейся к взаимному расположению прямых на плоскости, является аксиома о том, что прямая разбивает плоскость на две части. При этом, если две точки принадлежат разным частям, то отрезок, соединяющий эти точки, пересекается с прямой, а если точки принадлежат одной части, то отрезок, их соединяющий, не пересекается с прямой.

Учащимся можно предложить следующие задачи, идущие с нарастанием сложности.

3.1. На сколько частей разбивают плоскость две пересекающиеся прямые?

Учащиеся изображают в тетради две пересекающиеся прямые и выясняют, что число частей плоскости равно 4.

3.2. На сколько частей разбивают плоскость три попарно пересекающиеся прямые, не пересекающиеся в одной точке? Ответ: 7.

3.3. На сколько частей разбивают плоскость четыре попарно пересекающиеся прямые, никакие три из которых не пересекающиеся в одной точке? Ответ: 11.

Наконец, учащимся можно предложить самую сложную задачу из этой серии.

3.4*. На сколько частей разбивают плоскость n попарно пересекающихся прямых, никакие три из которых не пересекающиеся в одной точке?

Решение. Выясним, на сколько увеличивается число частей плоскости при добавлении новой прямой к данным. Это увеличение происходит за счет того, что какие-то части плоскости разбиваются новой прямой на меньшие части. Так, если имелось две пересекающиеся прямые, то при добавлении третьей прямой три из имеющихся четырех частей плоскости разбиваются на две части и общее число образованных частей равно 7 = 4 + 3. Заметим, что количество частей плоскости, которые разбиваются на две части новой прямой, равно количеству частей новой прямой, на которые она разбивается точками пересечения с имеющимися прямыми. Каждая такая часть новой прямой разбивает соответствующую часть плоскости на две части. Поскольку n-я прямая пересекается с n— 1 прямой, то она разбивается на n частей и поэтому число частей плоскости увеличивается на n. Таким образом, общее число частей, на которые n прямых разбивают плоскость, равно 4 + 3 +... + n.

Нахождение формулы для этой суммы может быть проведено чисто геометрическими методами. Укажем на один из них, позволяющий найти сумму 1 +2 + ...+77.

Рассмотрим квадрат (n + l)x(n +1). Число его клеток равно (n +1)2. Подсчитаем эти клетки по диагоналям. В первой диагонали имеется одна клетка. Во второй диагонали — 2. И так далее, в n-ой диагонали — n. Таким образом, общее число клеток в диагоналях, расположенных ниже (n + 1)-ой (большой) диагонали, равно 1+2 + ...+ n. Аналогично, общее число клеток в диагоналях, расположенных выше (n + 1)-ой (большой) диагонали, равно 1 + 2 + ... + n. Поскольку в большой диагонали (n+1) клеток, то общее число клеток в квадрате, подсчитанное по диагоналям равно 2(1 + 2 +... + n) + (n+1). Следовательно, имеем равенство

из которого получаем

Используя эту формулу, находим искомое число частей

При изучении многоугольников и их общих свойств учащимся можно предложить следующие комбинаторные задачи.

4.1. Сколько диагоналей имеет четырехугольник? Непосредственной проверкой убеждаемся, что число диагоналей равно 2.

4.2. Сколько диагоналей имеет пятиугольник? Ответ: 5.

4.3. Сколько диагоналей имеет шестиугольник? Ответ: 9.

Наконец, учащимся можно предложить самую сложную задачу из этой серии.

4.4*. Сколько диагоналей имеет n-угольник?

Решение. Зафиксируем какую-нибудь вершину n-угольника. Учитывая, что диагональю является отрезок, соединяющий не соседние вершины многоугольника, получаем, что через данную вершину проходит n — 3 диагонали. Поскольку общее число вершин равно n, через каждую из них проходит n-3 диагонали, и при таком подсчете каждая диагональ считается дважды, получаем, что общее число диагоналей равно

Приведем еще несколько комбинаторных задач на многоугольники.

4.5. Может ли многоугольник иметь 10 диагоналей?

Решение. По результатам задачи 15 шестиугольник имеет 9 диагоналей. По формуле, найденной в задаче 16) семиугольник имеет 14 диагоналей. Ясно, что многоугольники с большим числом сторон имеют большее число диагоналей. Поэтому многоугольник не может иметь 10 диагоналей.

4.6. Может ли прямая пересекать все стороны четырехугольника? Ответ: Да. Пример приведен на рисунке 1.

Рис. 1

Рис. 2

4.7. Может ли прямая пересекать все стороны 2n-угольника?

Ответ: Да. пример приведен на рисунке 2.

4.8*. Может ли прямая пересекать все стороны (2n +1)-угольника?

Докажем более общее утверждение о том, что прямая может пересекать только четное число сторон многоугольника.

Пусть прямая l пересекает стороны многоугольника. Условимся называть одну из полуплоскостей, на которые прямая l разбивает плоскость, верхней, а другую — нижней. Совершим обход ломаной, ограничивающей этот многоугольник, выйдя из некоторой ее точки верхней полуплоскости, и вернувшись в ту же точку (рис. 3).

Если по пути нам встретится точка пересечения с прямой l, то проходя через эту точку мы перейдем из верхней полуплоскости в нижнюю. Однако в нижней полуплоскости мы не можем остаться до конца обхода, поскольку в конце обхода мы возвращаемся в начальную точку верхней полуплоскости. Следовательно, где-то мы выйдем из нижней полуплоскости в верхнюю. Вход в нижнюю полуплоскость и выход из нее в верхнюю дают пару точек пересечения с прямой l. Если при дальнейшем движении по ломаной мы все время остаемся в верхней полуплоскости, то общее число точек пересечения будет равно двум. Если в какой-то точке мы снова перейдем из верхней полуплоскости в нижнюю, то найдется и парная ей точка, в которой мы из нижней полуплоскости переходим в верхнюю. Таким образом, число точек пересечения прямой l со сторонами многоугольника должно быть четным.

4.9. Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная с пятью сторонами?

Решение. Каждая сторона ломаной может пересекаться только с не соседними сторонами. Таких сторон у пятизвенной ломаной две. Значит, число точек самопересечения не превосходит — = 5. При-

Рис. 4

Рис. 3

мер замкнутой пятизвенной ломаной с пятью точками самопересечения дает пентаграмма (рис. 4).

4.10. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

Решение. Каждому внутреннему острому углу выпуклого многоугольника соответствует тупой внешний угол. Поскольку сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°, то тупых углов, а следовательно, и острых внутренних углов, не может быть больше трех.

4.11. Докажите, что в любом выпуклом 11-угольнике найдутся две диагонали, угол между которыми не превосходит 5°.

Решение. Согласно задаче 4.4 выпуклый 11-угольник имеет 44 диагонали. Проведем через фиксированную точку плоскости 44 прямых, параллельных этим диагоналям. Они разделяют угол в 360° на 88 частей, наименьшая из которых не превосходит 360°/88<5°.

Приведем несколько комбинаторных задач, относящихся к геометрии пространства.

5.1. Сколько плоскостей проходит через различные пары из трех параллельных прямых в пространстве, не лежащих в одной плоскости?

Задача аналогична задаче 1.1. Учащиеся рисуют в тетради три попарно параллельные прямые, и, проводя плоскости через различные пары из этих прямых, убеждаются, что количество таких плоскостей равно трем.

5.2. Сколько плоскостей проходит через различные пары из четырех параллельных прямых в пространстве, не лежащих в одной плоскости? Ответ: 6.

5.3. Сколько плоскостей проходит через различные пары из пяти параллельных прямых в пространстве, не лежащих в одной плоскости? Ответ: 10.

5.4*. Сколько плоскостей проходит через различные пары из n параллельных прямых в пространстве, не лежащих в одной плоскости? Ответ:

5.5. Какое наибольшее число прямых может получиться при попарных пересечениях трех плоскостей?

Решение. Задача аналогична задаче 2.1. Наибольшее число прямых получается, если каждая плоскость пересекается с двумя другими плоскостями. Ответ: 3.

5.6. Какое наибольшее число прямых может получиться при попарных пересечениях четырех плоскостей? Ответ: 6.

5.7. Какое наибольшее число прямых может получиться при попарных пересечениях пяти плоскостей? Ответ: 10.

5.8*. Какое наибольшее число прямых может получиться при попарных пересечениях n плоскостей? Ответ:

5.9. Сколько плоскостей проходит через различные тройки из четырех точек в пространстве, не лежащих в одной плоскости?

Учащиеся рисуют в тетради четыре точки и, проводя плоскости через каждые три из них, убеждаются, что число таких плоскостей равно четырем.

5.10. Сколько плоскостей проходит через различные тройки из пяти точек в пространстве, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Ответ: 10.

5.11*. В пространстве даны n точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Сколько плоскостей проходит через различные тройки из этих точек?

Решение. Поскольку плоскость однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой, то число плоскостей равно числу сочетаний из n по три, т.е. равно

5.12*. Сформулируйте и решите задачу, двойственную к задаче 5.11* (двойственными считать точки и плоскости).

Двойственной будет следующая формулировка. В пространстве даны n плоскостей, каждые три из которых пересекаются в одной точке и никакие четыре плоскости не имеют общей точки. Каково общее число точек пересечения?

Ответ:

5.13. На какое наибольшее число частей могут разбивать пространство две плоскости?

Задача аналогична задаче 3.1. Учащиеся изображают в тетради две плоскости и выясняют, что если плоскости параллельны, то

число частей пространства равно 3, если же плоскости пересекаются, то число частей пространства равно 4. Ответ: 4.

5.14. На какое наибольшее число частей могут разбивать пространство три плоскости?

Решение аналогично предыдущему. Наибольшее число частей пространства получается в случае, если плоскости имеют только одну общую точку. Ответ: 8.

5.15. На какое наибольшее число частей могут разбивать пространство четыре плоскости? Ответ: 15.

Наконец, учащимся можно предложить самую сложную задачу из этого цикла.

5.16*. На какое наибольшее число частей могут разбивать пространство n плоскостей?

Решение аналогично решению задачи 3.4*. Выясним, на сколько может увеличиваться число частей пространства при добавлении новой n-ой плоскости к уже имеющимся (n — 1) плоскости. Это увеличение происходит за счет того, что какие-то части пространства разбиваются новой плоскостью на меньшие части. Так, если имелось три плоскости, разбивающие пространство на 8 частей, то при добавлении четвертой плоскости семь из имеющихся восьми частей пространства разбиваются на две части и общее число образованных частей равно 15 = 8 + 7. Заметим, что количество частей пространства, которые разбиваются на две части новой плоскостью, равно количеству частей новой плоскости, на которые она разбивается линиями пересечения с имеющимися (n — 1)-ой плоскостью. Каждая такая часть новой плоскости разбивает соответствующую часть пространства на две части. Поскольку n-я плоскость пересекается с (n — 1)-ой плоскостью, то наибольшее число частей равно n(n — 1)/2 +1. Следовательно, наибольшее число частей пространства равно сумме

Попробуйте самостоятельно упростить полученное выражение. Приведем несколько комбинаторных задач на многогранники. Начнем с простых задач.

6.1. Может ли в пирамиде быть 21 ребро? Ответ: Нет. В пирамиде число ребер четно.

6.2. Может ли в призме быть 16 ребер?

Ответ: Нет. В призме число ребер делится на три. 6.3. Чему равно число диагоналей в n-угольной призме? Ответ: n(n — 3).

Рассмотрим также несколько более сложных задач.

6.4*. Докажите, что у любого многогранника число граней с нечетным числом ребер четно.

Решение. Предположим, что число граней с нечетным числом ребер нечетно. Тогда общее число ребер в этих гранях будет нечетным. Общее число ребер в гранях с четным числом ребер четно. Поэтому число ребер всех граней будет нечетно. Однако каждое ребро входит ровно в две грани, и при подсчете ребер, входящих в грани, мы считали каждое ребро дважды, т.е. одно должно быть четным. Противоречие. Следовательно, число граней с нечетным числом ребер должно быть четно.

6.5*. Докажите, что у любого многогранника число вершин, в которых сходится нечетное число ребер, четно.

Решение. Каждое ребро многогранника соединяет две его вершины. Поэтому суммарное число ребер, выходящих из каждой вершины многогранника, четно. Следовательно, число нечетных слагаемых в этой сумме должно быть четным.

6.6*. Докажите, что для числа вершин В, числа ребер Р и числа граней Г многогранника выполняются неравенства: 2Р > 3В, 2Р > 3Г.

Решение. В каждой вершине многогранника сходятся по крайней мере три ребра. Поэтому выполняется неравенство 2Р > 3В. Аналогично, каждая грань многогранника имеет по крайней мере три ребра. Поэтому выполняется неравенство 2Р > 3Г.

Решение большого класса комбинаторных задач по геометрии основывается на теореме Эйлера о числе вершин, ребер и граней выпуклого многогранника.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место соотношение

В — Р + Г = 2,

где В — число вершин, Р — число ребер и Г — число граней данного многогранника.

Доказательство. Представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим многоугольник, разбитый на Г-1

многоугольников (которые, по-прежнему, будем называть гранями), В вершин и Р ребер. Докажем, что этого разбиения многоугольника выполняется соотношение В — Р + Г = 1. Тогда для исходного многогранника будет иметь место требуемое соотношение В-Р+Г=2.

Докажем, что выражение В — Р + Г не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике разбиения провести диагональ. Действительно, после проведения такой диагонали число вершин не изменится, число ребер увеличится на единицу и число граней также увеличится на единицу. Следовательно, для нового разбиения будем иметь В-(Р + 1) + (Г+1) = В-Р + Г.

Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие входящие многоугольники на треугольники, и для полученного разбиения покажем выполнимость соотношения В — Р + Г = 1. Для этого будем последовательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника ABC требуется снять два ребра AB и ВС (рис. 5);

б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро MN (рис. 6).

В обоих случаях соотношение не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника число вершин уменьшится на единицу, число ребер — на два, число граней — на единицу: (В-1)-(Р+2) + (Г-1)= В-Р + Г.

Самостоятельно рассмотрите второй случай.

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет соотношение Эйлера. Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов, мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого разбиения В = 3, Р = 3, Г = 1 и,

Рис. 5 Рис. 6

следовательно, В — Р + Г= 1. Значит, соотношение имеет место и для исходного разбиения, откуда окончательно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо соотношение Эйлера. Приведем несколько задач на теорему Эйлера.

7.1. Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер?

Ответ: а) В = 6, Г=8; б) В = 7, Г=10.

7.2. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно: а) 12; б) 15?

Ответ: а) В = 8, Г=6; б) В=10, Г=7.

7.3. Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

Ответ: В = 8, Г = 6. Например, куб.

7.4. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

Ответ: В = 6, Г = 8. Например, октаэдр.

7.5*. Докажите, что в любом выпуклом многограннике есть треугольная грань или в какой-нибудь его вершине сходятся три ребра.

Решение. Обозначим Гп — число n-угольных граней, Bn — число вершин, в которых сходится n ребер. Предположим, что Г3 = 0, B3 = 0. Тогда 2Р = 4Г4 + 5Г5 + .. ⩾ 4Г, 2Р = 4B4 + 5B5 +... ⩾ 4В. Следовательно, будет выполняться неравенство 4В — 4P + 4Г ⩽ 0, что противоречит соотношению Эйлера. Поэтому или Г3≠0 или B3≠0.

7.6*. Докажите, что в любом выпуклом многограннике найдется грань, у которой менее шести ребер.

Решение. Предположим, что грани выпуклого многогранника имеют более пяти сторон. Тогда 2Р = 6Г6 + 7Г7 +... ⩾ 6Г 2Р = 3B3 + 4B4 +... ⩾ 3В. Следовательно, 6В — 6Р + 6Г ⩽ 2Р- 6Р + 4P = 0 что противоречит соотношению Эйлера.

7.7*. Дан выпуклый многогранник, все грани которого имеют 5, 6 или 7 ребер, и в каждой вершине сходятся по три ребра. Докажите, что число пятиугольных граней на 12 больше числа семиугольных.

Решение. Имеем, 2Р = 5Г5 + 6Г6 + 7Г7, 3В = 5Г5 + 6Г6 + 7Г7 Следовательно, 6В — 6Р + 6Г = 2(5Г5 + 6Г6 + 7Г7) — 3(5Г5 + 6Г6 + 7Г7) +

+ 6(Г5 + Г6 + Г7) = Г5 — Г7. В силу соотношения Эйлера, последняя разность равна 12.

7.8*. Докажите, что для числа вершин В и числа граней Г выпуклого многогранника выполняются неравенства В+4⩽2Г⩽4В-8.

Решение. В силу соотношения Эйлера, имеем 2Г = 4 — 2В + 2Р. Воспользуемся неравенствами 2Р⩾3В и 2Р⩾3Г из задачи 45. Получим 2Г = 4—2В + 2Р⩾4—2В + 3В = 4 + В; 2Г = 4—2В + 2Р⩾ 4—2В + 3Г и, следовательно, Г⩽2В-4.

Отметим также, что большое число комбинаторных задач связано с графами. Некоторые из них приведены в учебнике [1].

Литература

1. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7—9 классов общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2004.

2. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2003.

Е.Ф. Шершнев

МПГУ

Как провести тест-разминку

В данной статье тест-разминка рассматривается как небольшая проверочная работа на 5—10 минут, состоящая из 5 вопросов с вариантами ответов. Проводится тест обычно в начале урока, но возможны и другие варианты. Оценка производится по количеству правильных ответов [1].

К достоинствам такой формы контроля стоит отнести то, что на проведение, разбор и проверку такой работы требуется 20—25 минут. При этом во время разбора вариантов ответов происходит повторение пройденного материала и разминка перед работой учащихся с новым материалом урока.

К тому же разбор заданий сразу после тестирования позволяет ученикам осознать свои ошибки, лучше уяснить материал и улучшить свою оценку при выполнении подобных заданий последующих тестирований.

Но как провести объяснение ответов теста-разминки, чтобы этот этап урока был обновременно более эффективен? Ниже рассматриваются несколько способов организации разбора вариантов.

Первый способ.

Подготавливается четыре (или больше) варианта тестовых заданий. Во время урока тест проводится по двум вариантам. По окончании теста проводится разбор. Учащимся, желающим исправить свою оценку, впоследствии предлагаются другие варианты. Предполагается, что данная схема активизирует внимание учащихся перед началом содержательной части урока, улучшит самостоятельную подготовку к уроку учащихся, и обеспечит закрепление материала прошлых уроков, а так же обеспечивает самоанализ выполненной работы.

Но, как говорится, в теории все выглядит неплохо, а на практике все может быть иначе. Опыт показывает, что во время разбора теста учащиеся просто записывают варианты ответов, и на повторном тестировании надеются получить уже знакомый вариант. Соответственно, высокой эффективности данная схема в реальных условиях не показала. Также, при таком способе тестирования, для ученика остается непонятной логичность выбора того или другого варианта ответа.

Второй способ [2].

В этом случае также готовятся четыре (или более) варианта. Однако, тестовая работа проводится только по одному варианту. По окончании работы учитель вместе с учащимися на доске составляет

статистику распределения ответов на вопросы теста. Затем выделяется наибольшее количество ответов по каждому из вопросов, и составляется предполагаемая карта ответов. Следующий шаг — учащиеся, ответившие одинаково на конкретный вопрос теста доказывают правильность своего ответа. Учащиеся сделавшие другой выбор в ответе на этот вопрос, обосновывают свой вариант. Тут включается учитель, указывая на ошибки в рассуждениях той или иной стороны и показывает корректную логику решения задачи. (Ведь не обязательно что правильный выбор был сделан в результате правильного рассуждения, выбор мог быть сделан интуитивно). Весь разбор занимает около 10 минут. Так как при такой форме разбора теста ученики непосредственно вовлекаются в процесс обсуждения, то такая организация разбора является более эффективной. Что и было подтверждено результатами повторного выполнения работы учащимся по аналогичным вариантам

Подытожим результаты проведения теста-разминки по вышеизложенной методике:

1. Улучшение показателей при повторном тестировании, что свидетельствует об эффективности такого способа повторения и закрепления пройденного материала.

2. Повышение активности работы учащихся на уроке.

3. Сам процесс составления таблицы опроса, а также результаты опроса, демонстрируют учителю степень готовности учащихся к новому уроку, показывает, на какие моменты при изложении материала стоит повторно обратить внимание.

Таким образом обсуждение вариантов ответов с учениками более эффективно, чем объяснение правильного ответа учителем. Также представляется, что эффективность проведения тестов добивается поочередностью проведения рассмотренных выше методик.

Литература

1. Информатика. Тестовые задания..// Кузнецов А. А., Пугач В. И., Матвеева Н. В. — 2-е издание испр. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003.

2. Ковальджи А. К. Старинная задача про фальшивые 25 рублей // Архимед. Научно-методический сборник. Вып. 2. Москва 2006.

3. Шершнев Е. Ф. Тесты как элемент организации урока по информатики // Архимед. Научно-методический сборник. Вып. 2. Москва 2006.

А.В. Иванищук

Лицей 1511

Взгляд на параболу и гиперболу

Одно из определений параболы таково: парабола есть множество всех точек M плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки F (фокуса параболы) равно расстоянию до некоторой данной прямой d (директрисы). Рассмотрим параболу, заданную уравнением у=х2. Директрисой для нее является прямая у= -0,25, фокусом — точка F (0; 0,25). Интересно, что из любой точки директрисы парабола видна под прямым углом, то есть касательные к параболе, проведенные из произвольной точки директрисы, перпендикулярны между собой*. Действительно, рассмотрим однопараметрическое семейство прямых, проходящих через точку (x0;-0,25): у=к(х- x0)-0,25.(В таком виде задается любая прямая, проходящая через точку (x0;-0,25), кроме вертикальной, но она нас и не интересует). Будем искать среди них те, графики которых имеют только одну общую точку с графиком параболы у=х2. Уравнение x2=к(х-Хо)-0,25 должно иметь только одно решение, что будет при дискриминанте D = k2 -4кх0 -1 равным нулю. Произведение корней уравнения k2—4x0k-1=Q равно -1, что и означает перпендикулярность касательных.

Естественным образом возникает вопрос о геометрическом месте точек, из которых парабола у = x2 видна под каким-нибудь постоянным углом а. Пусть (хо;уо) одна из искомых точек. Прямые, проходящие через эту точку имеют вид у = к(х-хо)+уо. Уравнение x2 = к(х-хо) + ус должно иметь ровно одно решение, что будет при D = k2 — 4кх0 + 4у0 равном нулю. Теорема Виета для корней уравнения k2 — 4кхо + 4у0 = 0 дает соотношения: К1-к2 = 4у0; и k1 +к2=4хо. Для прямых, имеющих угловые коэффициенты k1 и k2, легко найти тангенс угла между ними

Пусть tga = а. Получаем уравнение

Чтобы избавиться от модуля, возведем уравнение в квадрат и преобразу-

* Не могу не упомянуть еще одного замечательного свойства прямой у=- 0,25 для параболы у = x2. Эта прямая является геометрическим местом ортоцентров треугольников, образованных тремя касательными к графику параболы у=х2.

ем к виду a2(1 +k1k2)2 = (k1+k2)2—4к1К2. Подстановка из теоремы Виета приводит к уравнению а(1 +4уо)2=16х02—16у0- В случае а = 0, то есть когда две касательные совпадают, уравнение дает саму параболу у=х2, как это и должно быть. В случае а≠0 уравнение задает гиперболу, но не в виде дробно-линейной функции

а в каноническом виде с уравнением

При увеличении а, то есть при а →90°, центр гиперболы G стремится к точке (0; -0,25), полуось по оси ординат стремится к 0, полуось по оси абсцисс стремится к 0,5. Вся гипербола приближается к директрисе параболы. При а=1 (а = 45°) получается равносторонняя гипербола, то есть гипербола, у которой асимптоты перпендикулярны Посмотрим, что будет происходить (см рис.).

«Посмотрев» на параболу, обратимся к стандартной «школьной» гиперболе у= — с той же задачей о геометрическом месте точек постоянного угла зрения. Известно, что из любой точки внутри параболы нельзя провести к ней касательные, из точки на параболе можно провести одну касательную, а из любой точки вне параболы можно провести ровно две касательные. Для гиперболы у= — все сохраняется, если мы будем считать, что из точек координатных осей можно провести две касательные, одна из которых касается гиперболы на бесконечности и совпадает с осью координат. Проделаем аналогичные действия: графики у=— и у=к(х-хо)+уо в случае касания должны иметь одну общую точку, что приводит к нулевому дискриминанту уравнения

Теорема Виета для корней k1,2 этого уравнения дает соотношения:

Условие перпендикулярности касательных k1к2=-1 выполняется при y02 = -хо2, что выполнено только для начала координат (0; 0), где обе касательные совпадают с координатными осями.

Зафиксируем острый угол а.

что опять же приводит к уравнению а(1 + k1-к2)2 = (k1+к2)2—4к1к2. Подставив сюды выражения k1 и k2 через x0 и y0, после преобразований получим a2(x02+уо2)2= 16—16хоyо. При a=0, то есть совпадении касательных, получается сама гипербола. При а ≠ 0 получается уравнение четвертой степени, и разрешить его относительно какой-либо из переменных практически нереально. Но фрагмент x02+у02 подталкивает ввести полярные координаты X = rcost, у = rsint, в которых уравнение приобретает вид a2(r2cos2t + r2sin2t)2 + 16r2sintcost -16 = 0. После преобразований биквадратное уравнение a21 + 8 sin2tr2 -16 = 0 дает зависимость

графиком которой является замкнутая центрально симметричная кривая вытянутая вдоль прямой у = — х. Эта

кривая пересекает координатные оси на равных расстояниях __ от начала координат. На прямой у=х точки кривой лежат на расстоянии на прямой у = -x — на расстоянии

Приведем чертеж для а = 45°(a= 1) и а = 60°(a= л/3 ). Из точек этой кривой, лежащих в первой и третьей четвертях, касательные проводятся к одной ветви гиперболы, а из точек второй и четвертой четвертей — к разным ветвям гиперболы.

Не очень сложные вычисления в рассмотренных случаях получаются потому, что при решении системы из уравнения функции (параболы или гиперболы) и уравнения прямой мы получали квадратные уравнения, у которых количество корней определяется дискриминантом.

Т.В. Клещева

Школа №5, г. Москва

Интегрированный урок

Проблема установления содержательной, понятийной, методической и ценностно-смысловой связи между учебными предметами ненова, напротив, ее можно отнести к числу традиционных, ставших уже классическими, проблем педагогики.

Кабинетная система при всех своих положительных результатах усложняет создание целостной картины мира в представлении ученика. Как часто учителя — практики сталкиваются с проблемой, когда ученики, во время урока физики, например, затрудняются применять знания, приобретенные ими же на уроках химии, биологии и даже математики. К тому же, современные программы составлены таким образом, что материал, изучаемый на уроках истории, литературы и других предметов гуманитарного цикла, не совпадают по времени и тем самым еще больше затрудняют восприятие. Стереотип мышления ребенка не позволяет, зачастую, увидеть взаимосвязь событий и явлений, изучаемых в рамках различных курсов школьной программы.

Исходя из реалий современной школы и особенностей образовательных программ мы, таким образом, практически не опираемся на уроках на так называемые межпредметные связи, позволяющие изучать физику, опираясь на знание математики, химию — используя данные, полученные на уроках биологии, а литературу — на основе представлений об особенностях той или иной исторической эпохи.

Некоторое время назад достаточно популярными были так называемые интегрированные курсы, объединяющие при изучении ряд близких предметов школьной программы и изучаемые учащимися в комплексе и взаимосвязи. Не рассматривая в рамках данной работы плюсы и минусы подобного подхода, отмечу лишь, что постепенно эти курсы стали исчезать из школьного расписания, причиной чего явились главным образом «технические трудности»: составление расписания, оплата работы учителей, несоответствие количества часов, позволяющих выставить оценку по каждому из изучаемых предметов.

В результате, количество предметов, изучаемых учащимися школы растет, количество часов, выделяемых на изучение основных предметов сокращается и как следствие этого — рост учебных уже не нагрузок, а перегрузок детей и снижения уровня качества их обученности.

В данной статье мы решили поделиться опытом работы учителей нашей школы, целью которой является:

способствовать формированию у учащихся целостной картины мира:

использовать межпредметные связи;

свести к минимуму учебную нагрузку и не допустить перегрузки в рамках изучения отдельной темы одновременно с точки зрения биологической и химической науки при максимальном положительном результате.

ИНТЕГРИРОВАННЫЙ УРОК БИОЛОГИЯ — ХИМИЯ

Тема: «Белки» (11 класс)

Цели урока:

1. Закрепить и углубить представления учащихся о природных полимерах на примере белков.

2. Познакомить одиннадцатиклассников с составом, строением, свойствами и функциями белков.

3. Расширить представление учеников о гидролизе на примере белков, дать понятие о денатурации и условиях ее вызывающих.

Оборудование:

1. Выставка литература по теме «Белки»

— В.Т. Иванов, А.Н. Шамин, «Путь к синтезу белков»

— И.К. Надиров, А.П. Попов, «Белок из нефти»

— Дж. Старз, «Молекулы жизни»

— Стаут, Грин «Биология»

2. Таблицы по теме «Белки»

— Первичная структура белка

— Вторичная структура белка

— Третичная структура белка

— Четвертичная структура белка

— Денатурация белков

Плакаты

— Гидролиз белков

— Строение аминокислот, выделенных из белков

— Формулы пенициллина, молока, гемоглобина

3. Кинофильм «Структура белков»

4. План урока (ксерокопия на каждый стол)

Метод: урок-лекция с элементами беседы, сообщениями учащихся, лабораторной и самостоятельной работой.

План урока:

1. Строение и состав белков.

2. Структура белков.

3. Классификация белков.

4. Свойства белков.

5. Функции белков.

6. Значение белков.

7. Вывод.

I урок

1. Проверка домашнего задания (проводиться таким образом, чтобы способствовать подготовке к восприятию нового материала): А) индивидуальный опрос по карточкам (у доски) 1 ученик Доказать амфотерные свойства аминокислот на примереаминопропионовой кислоты. Записать уравнение реакций взаимодействия с кислотами

с щелочами

2 ученик Доказать особые свойства аминокислот (взаимодействие друг с другом) на примере аминопропииновой кислоты. Записать уравнение реакции.

В) фронтальный опрос:

1. Какие вещества называются аминокислотами? Какие функциональные группы они содержат?

2. Какими свойствами обладают вещества, содержащие в своем составе аминогруппу?

3. Какими свойствами обладают вещества, содержащие карбоксильную группу?

4. К каким соединениям можно отнести аминокислоты?

5. В чем проявляются свойства аминокислот?

6. Каковы физические свойства аминокислот?

7. Где применяются аминокислоты?

8. Чем отличается одна аминокислота от другой?

2. Изучение нового материала.

Учитель биологии сообщает цели и знакомит с планом урока. Затем учитель ставит перед учащимися проблемные вопросы:

«Почему белки играют такую большую роль в жизни живых существ?»

«Почему многие люди отождествляют понятие «белок» с понятием «жизнь»? »

«Какова роль белков в жизни живых организмов?»

Сообщение учащегося

Белковые вещества являются главной составной частью всего живого, их функции в организме весьма многообразны и сложны. Со

свойствами белков связаны основные проявления жизни: способность к обмену веществ; наследственной передаче морфологических способностей живого; защитные функции организма. Все ферменты имеют белковую природу, а они катализируют все химические реакции в клетке. Переносчиком кислорода в организме является белок — гемоглобин. Белок является основным строительным материалом в организме: он входит в состав ядерных и цито-плазматических структур клеток. Белки обеспечивают все двигательные реакции в живой природе, и, в первую очередь, сокращение мышц. В составе клеток белки не могут быть заменены ни жирами, ни углеводами, ни нуклеиновыми кислотами, ни любыми другими веществами. Они совершенно необходимы для нормального функционирования клеток.

Учитель биологии

Белки — это сложные органические соединения, состоящие из углерода, водорода, кислорода и азота (в некоторых содержится и сера). Часть белков образует комплексы с другими молекулами, содержащими фосфор, железо, цинк и медь. Белки — это биополимеры, нерегулярные полимеры, мономерами которых являются аминокислоты. Белков в клетках больше, чем каких бы то ни было других органических соединений: на их долю приходится более 50% общей массы сухой клетки. Сравнительное содержание белков в % к сухой массе в мышцах — 80 %, в коже — 63 %, печени — 57 %, мозге — 45 %, костях — 28%.

Внимание учащихся обращается на формулы некоторых белков (на доске — плакат, учащиеся переписывают формулы в тетрадь): пенициллин — C6H18O4N2; молоко — C1864H3021O576N468S21; гемоглобин — C3o32H48160872N780S8Fe4, а так же, для сравнения, данные по молекулярной массе: этиловый спирт — 46, бензол — 78, белок куриного яйца — 36 000, белок мышц — 1 500 000.

На основании этих сравнений и сопоставлений делается вывод о необычайной сложности белков, о важнейшем значении их для жизнедеятельности всего живого на Земле.

Учитель химии

Белки — это сложные высокомолекулярные природные соединения, построенные из 20 аминокислот. Строение аминокислот, составляющих белки можно выразить общей структурной молекулой

(таблица на доске):

В составе радикала могут быть открытые цепи, циклы и различные функциональные группы. Именно радикалы аминокислот определяют свойства и функции белков. Группы — SH, — ОН, — СООН, — NH2 определяют химические свойства аминокислот. Аминокислоты в основном хорошо растворимы в воде. Аминогруппа придает аминокислотам основные свойства, в результате чего они могут взаимодействовать с кислотами, а в водном растворе проявлять амфотерные свойства. Благодаря этому они являются своеобразным буфером и противодействуют изменению среды в кислую или щелочную сторону. Больше половины (11) аминокислот из числа входящих в состав белка, могут синтезироваться в организме. Остальные 9 должны обязательно поступать в организм животного в виде пищи. Поэтому они получили название незаменимых аминокислот.

Как же аминокислоты образую белковую молекулу?

Вспомним одно из важнейших свойств аминокислот — образование пептидов в результате реакции поликонденсации.

Еще в 80-х годах позапрошлого (ХIХв.) столетия русский биохимик Данилевский А.А. указал на наличие пептидных групп в белковой молекуле. В начале XX века немецкий ученый Э. Фишер выдвинул полипептидную теорию, согласно которой молекулы белка представляют собой длинные цепи остатков аминокислот, соединенных пептидными (амидными) связями. Фишеру удалось синтезировать полипептиды, в молекулы которых входили различные аминокислотные остатки, соединенные пептидными связями. Полипептидная теория строения белка в настоящее время считается общепризнанной. Белок может представлять собой один или несколько полипептидов. Такие белки как казеин молока, миозин мышц, альбумин яйца, содержат набор всех 20 аминокислот, в белке — ферменте рибонук-

леазе их 19, в инсулине — 18, а в сальмине (белок из молок рыб) всего 7. В состав большинства белков входит 300—500 аминокислотных остатков, но есть и более крупные белки, состоящие из 1500 и более аминокислот.

Таким образом, белки различаются

— составом аминокислот

— числом аминокислотных звеньев

— порядком чередования их в полипептидной цепи

«Какова же структура белка?» — продолжает разговор учитель химии. Для того, чтобы разобраться в укладке (архитектонике) белковой макромолекулы, следует рассмотреть несколько уровней ее организации.

Сообщение учащегося

Первичная, самая простая структура — полипептидная цепь — нить аминокислотных остатков. Пептидные связи достаточно жесткие, они придают молекуле определенную стабильность.

Первым белком, первичную структуру которого удалось расшифровать, был инсулин быка. Это произошло в течение 1951—1953 гг. благодаря работам Ф. Сэнгера и сотрудников, за что в 1958 г. ему была присуждена Нобелевская премия. Следует так же отметить и то обстоятельство, что одна и та же аминокислота может повторяться в полипептидной цепочке несколько раз или даже несколько десятков раз. Порядок чередования аминокислотных звеньев в полипептидной цепи белковой молекулы строго индивидуален и он называется первичной структурой белковой молекулы, т.е. это химическое строение белка, передаваемое структурной формулой. Первичная структура белковой молекулы полностью установлена для целого ряда белков, в том числе миоглобина, трипсина, инсулина, рибонуклеазы и др.

Просмотр фильма о первичной структуре белка.

Вопросы к фильму:

1. Сколько аминокислот входит в состав белка?

2. В чем причины многообразия белков?

3. Что такое первичная структура?

Учитель химии диктует запись в тетрадь:

«Порядок чередования аминокислотных звеньев в полипептидной цепи белковой молекулы называется первичной структурой».

Далее учитель химии рассказывает о вторичной структуре белка.

В 1951 г. Полинг и Кори доказали, что благодаря образованию водородных связей между близко расположенными пептидными нитями происходит дальнейшая укладка белковой молекулы. В результате образуется спираль, для которой характерны:

— конфигурация в виде винтовой лестницы;

— регулярность витков в спирали;

— образование водородных связей между первым и четвертым аминокислотными остатками;

— боковые радикалы не участвуют в построении спирали.

В спирали все пептидные связи параллельны. За счет вторичной структуры длина полипептидной цепи сокращается в 4 раза.

Просмотр фильма о вторичной структуре белка.

Вопросы к фильму:

1. Какая конфигурация характерна для вторичной структуры белка?

2. Какие связи участвуют в построении спирали?

Запись в тетрадь:

«Вторичная структура белка характеризуется спиралеобразной конфигурацией.

Вторичная структура поддерживается водородными связями».

Учитель химии рассказывает о третичной структуре белка.

Это еще более компактная укладка молекулы в пространстве, в результате которой длина ее сокращается в 10 раз. Эта структура определяет форму молекулы белка. Она может быть глобулярной (форма клубка) или фибриллярной (вид длинных цепей). Такая

структура поддерживается взаимодействием разных функциональных групп полипептидной цепи. Так между атомами серы образуется дисульфидный мостик — S- S — (каучук) между — СООН и — ОН — сложноэфирный, между — СООН и — NH2 — солевой. Для этой структуры характерны и водородные связи. Эти связи определяют объемность и стабильность молекулы, обусловливают ее энергетическую насыщенность.

Просмотр фильма о третичной структуре белка.

Вопросы к фильму:

1. Что из себя представляет третичная структура белка?

2. Какие связи поддерживают эту структуру?

Запись в тетрадь:

«Третичная структура характеризуется как пространственная конфигурация спиралеобразной полипептидной цепи. Ее можно представить как спираль, которая свернута в клубок. Удерживается эта структура за счет дисульфидных, солевых, сложноэфирных мостиков и водородных связей».

Далее — рассказ учителя химии о четверичной структуре белка.

Существуют белки, в состав которых входит несколько полипептидных цепей. В свою очередь каждая такая цепь обладает третичной структурой. К таким белкам относятся белки соединительных и сократительных тканей волос, кожи, клеточных стенок растений.

Просмотр фильма о четверичной структуре белка.

Вопрос к фильму:

1. Как возникает четверичная структура белка?

Запись в тетрадь:

«Четвертичная структура — это полимерные образования, где мономером являются макромолекулы белка».

Учитель биологии подводит итоги первого урока:

Белки — совершенно исключительные вещества, без которых не может обойтись ни одно живое существо планеты. Их сложность и многообразие форм позволяют создавать все существующие разнообразия форм жизни, неповторимость организмов как в прошлом, так и в будущем. Разнообразие белков и их способность образовывать пространственные структуры объясняют тот факт, что белки выполняют в клетке и организме множество функций. Однако об этом мы поговорим на следующем уроке.

II урок

Рассказ учителя биологии:

Рассмотрим классификацию белков.

Одна из классификаций строится на основе структурной организации молекул. В соответствии с ней белки делятся на глобулярные и фибриллярные — этой классификацией вы познакомились, рассматривая белки с точки зрения химической науки. По химико-биологической же классификации белки делятся на простые и сложные и именно с этой точки зрения мы их сейчас рассмотрим и сами белки и, исходящие из их структуры, функции.

Простые белки. К ним относятся белки, при гидролизе которых образуются только аминокислоты. Выделяют несколько групп простых белков (примеры простых и сложных белков, выделенные в тексте курсивом, учащиеся записывают в тетрадь) .

1. Гистоны — тканевые белки многоклеточных организмов. Они связаны с ДНК, участвуют в стабилизации ее пространственной структуры и играют важную роль в передаче наследственной информации.

2. Протамины — это заменители гистонов, способствующие еще большей компактности ДНК, они входят в состав ДНК мужских половых клеток, икры рыб.

3. Проламины — растительные белки, не растворяются в воде, содержатся в клейковине семян злаков.

4. Альбумины и глобулины — белки кровяной плазмы. К глобулинам относится фибриноген, молекулы которого состоят из трех шаровидных частиц, соединенных пептидными нитями. При свертывании крови в результате сложного процесса фибриноген превращается в фибрин, состоящий из длинных нитей. Свертываясь эти нити образуют сгусток, останавливающий кровотечение. В превращении фибриногена в фибрин принимает участие другой белок, являющийся ферментом и носящий название тромбина. Тромбин в свою очередь получается из глобулинового белка протромбина, причем для протекания этого процесса требуется присутствие ионов кальция.

5. Протеноиды — фибриллярные белки опорных тканей (костей, хрящей, ногтей, волос). Рога, волосы, перья содержат другой прочный белок — кератин. В молекуле кератина много поперечных связей, дисульфидного характера. Поэтому это очень прочный и нерастворимый белок. Особенно много в нем цистина (из волос человека можно получить кератин с содержанием до 12 % цистина). В кератине, кроме дисульфидных связей, соединяющих вытянутые пептидные цепи, имеются еще и связи других типов (водородные, солевые мостики). При нагревании в воде шерсти, богатой кератином, до температуры, близкой к температуре кипения, эти менее прочные связи рвутся и цепи испытывают сокращение в продольном направлении- происходит «сверхсокращение» и обнаруживается тенденция к свертыванию цепей в клубок. Сжатие цепей необратимо и приводит к известному явлению, когда шерстяные вещи садятся при стирке.

Сложные белки. Образуют комплексы с другими органическими и неорганическими веществами. Они имеют большое значение для жизнедеятельности клетки. Например, углеводный компонент придает молекуле устойчивость к температурным изменениям и повышает ее специфичность.

Гликопротеиды выходят за пределы клетки, обеспечивая контакты между клетками. К этой группе относятся так же иммуноглобулины, некоторые ферменты и гормоны.

Липопротеиды входят в состав всех мембран, а так же содержатся в тканях, легких, скелетных мышцах, клетках растений и оболочке

нервов. Они выполняют транспортную функцию — переносят липиды, глицериды, фосфолипиды, стероиды.

К фосфопротеидам относится белок молока — казеин.

Металлопротеиды — комплексы белков с ионами металлов, ими являются некоторые ферменты.

Каковы же физико-химические свойства белка?

Учитель химии говорит о том, что при изменении структуры молекулы меняются физические свойства белка, а это имеет большое значение для биологических процессов (движения, сокращения, деления клеток). Например, мышечные белки (миозин и актин) обладают разными физико-химическими свойствами, но при сокращении мышцы эти белки образуют единый комплекс.

Белки имеют разную растворимость. Растворимые белки — глобулярные (белок куриного яйца), нерастворимые — фибриллярные (белки шерсти, волос). Водные растворы глобулярных белков устойчивы и не выпадают в осадок. Белок способен к набуханию, поэтому его водный раствор обладает коллоидными свойствами. Он вязкий и проявляет незначительную способность к диффузии.

I. Под действием различных факторов белки теряют свои физико-химические свойства, нарушается его структура (конформация) — этот процесс называется денатурацией. Факторы, способные вызвать денатурацию, делят обычно на две группы:

1. Физические (высокая температура и давление, механическое воздействие, ионизирующее излучение).

2. Химические действия кислот и щелочей, различных органических растворителей, тяжелых металлов, моющих средств.

Денатурация ведет к утрате белком биологических функций, восстановление которых происходит в процессе ренатурации после прекращения действия того или иного фактора.

II. Гидролиз белка — важное свойство белков. Гидролиз проводят под действием ферментов или путем нагревания с раствовром кислоты или щелочи.

Схема (плакат на доске)

При гидролизе образуются аминокислоты.

Какие полимеры дают реакции гидролиза? (крахмал, целлюлоза)

III. Для белков характерны цветные реакции, по которым их можно распознать среди других веществ:

А) Ксантопротеиновая реакция указывает на присутствие в молекулах белков аминокислот, содержащих ароматические ядра. Эту реакцию можно наблюдать на коже рук: при неосторожном обращении с азотной кислотой появляются желтые пятна на коже.

Б) Биуретова реакция — образование фиолетового окрашивания при действии на белок щелочи и нескольких капель раствора сульфата меди. Биуретову реакцию дает мочевина.

Проводится лабораторная работа по теме «Свойства белков»

Перед лабораторной работой проводится инструктаж по технике безопасности.

Опыт №1:

Налейте в пробирку 2—3 мл раствора куриного белка и доведите его до кипения. Запишите наблюдения. Когда содержимое пробирки

остынет, долейте 5—6 мл воды и попробуйте растворить образовавшийся осадок белка.

Запишите наблюдение, сделайте вывод об обратимости или необратимости свертывания белка при нагревании.

Опыт №2:

Налейте в три пробирки раствора белка и добавьте в них следующие вещества (по 1 мл) в первую пробирку — спирт, во вторую — концентрированную кислоту, в третью — раствор соли тяжелого метала (CuSO4 или CuC12). Запишите наблюдения.

Попробуйте добавить теперь в каждую пробирку по 1—2 мл воды.

Наблюдается ли при этом переход белка в раствор?

Опыт №3:

Налейте в пробирку 2 мл раствора белка и 1 мл (осторожно !!) концентрированной азотной кислоты. Слегка нагрейте смесь, до появления признаков реакции.

Запишите наблюдения. Объясните: почему при неаккуратном обращении с азотной кислотой на коже рук появляются желтые пятна.

Опыт №4:

Налейте 2 мл раствора яичного белка; добавьте в него столько же (по объему раствора) щелочи (NaOH или КОН) и несколько капель бледно-голубого раствора медного купороса. Смесь слегка нагрейте.

Запишите признаки реакции.

На следующем этапе урока учитель биологии рассказывает о функциях белков. Функции чрезвычайно разнообразны, но сейчас мы остановится на самой главной функции — ферментативной.

Рассказ учителя биологии.

Все ферменты содержат в своем составе белки, поэтому биохимические реакции находятся под контролем белков.

Академик И.П. Павлов назвал ферменты «возбудителями жизни и первым актом жизненной деятельности». Учение о ферментах выделяют в самостоятельную науку — энзимологию. Известно, что все ферменты имеют белковую природу, но далеко не все белки облада-

ют ферментативными свойствами. Термин «фермент» с латинского языка переводится как «закваска», энзим означает «в дрожжах». Белковая природа ферментов была доказана опытным путем Л. Пастером.

Доклад учащегося

В 1926 г. ученый Самнер впервые выделил фермент в высоко-очищенной кристаллической форме. Этим ферментов была уреаза, которая катализирует расщепление мочевины.

Для названия большинства ферментов характерен суффикс -аза, который чаще всего прибавляют к названию субстрата, с которым взаимодействует фермент. Так уреаза (лат. — мочевина) — фермент, который катализирует расщепление мочевины.

Каждый фермент обеспечивает одну или несколько реакций одного типа. Например, жиры в пищеварительном тракте расщепляются специальным ферментом — лепазой, который не действует на полисахариды (кразмал, гликоген) или на белки. В свою очередь, фермент, расщепляющий крахмал или гликоген, — амилаза не действует на жиры. Каждая молекула фермента способна осуществлять от нескольких тысяч, до нескольких миллионов операций в минуту. В ходе этих операций ферментный белок не расходуется. Он соединяется с реагирующими веществами, ускоряет их превращения и выходит из реакции неизменным. Известно более 2 000 ферментов, и количество их продолжает увеличиваться.

Учитель биологии дополняет информацию о ферментах, говоря о локализации их в клетке.

Ферменты располагаются и действуют в цитоплазме клетки или в определенных органоидах. Ферменты расщепления углеводов содержатся в цитоплазме, а окисления жирных кислот — в митохондриях. В ядре локализованы ферменты синтеза нуклеиновых кислот, а в хлоропластах содержатся ферменты, участвующие в синтезе углеводов. Выделенные из клетки ферменты не утрачивают каталитические свойства. На этом основано широкое использование их в народном хозяйстве. Так, ферменты, расщепляющие крахмал, используются в хлебопекарной, пивоваренной, спиртовой и текстильной промышленности. Ферменты, расщепляющие целлюлозу — в сокоморсовой, винодельческой, льноперерабатывающей промышленности. Ферменты, расщепляющие белки — в мясной, кожевенной, сыродельческой, косметической промышленности и в бытовой химии.

Следующая функция белков — гормональная.

Многие гормоны — белки. К ним относятся все гормоны, производимые в особых клетках мозга, находящихся в гипоталамической части его и в гипофизе. Это гормон роста, адренокортикотропный гормон (АКТГ), тиреотропный гормон (ТТГ). Белками являются и гормоны, производящиеся в специальных клетках поджелудочной железы, — инсулин и глюкагон.

Какое заболевания возникает при недостатке инсулина? (сахарный диабет)

Из-за недостатка этого гормона глюкоза из крови плохо переносится в клетки. Клетки человеческого тела при этом голодают, хотя в крови накапливается большой избыток глюкозы. Для лечения таких больных получают инсулин из поджелудочной железы животных. Поскольку строение бычьего инсулина несколько отличается по первичной структуре (по последовательности аминокислот) от человеческого гормона, то не все больные переносят его. Синтез человеческого инсулина генно-инженерными методами открыл новые возможности для лечения таких больных.

Белки-транспортеры.

В крови, наружных клеточных мембранах, в цитоплазме и ядрах клеток есть различные транспортные белки. В крови имеются белки-транспортеры, которые узнают и связывают опрделенные гормоны и несут их к определенным клеткам. Такие клетки оснащены рецепторами, узнающими эти гормоны. В цитоплазме и ядрах есть рецепторы гормонов, через которые они осуществляют свое действие. В наружных клеточных мембранах имеются белки-транспортеры, которые обеспечивают активный и строго избирательный транспорт внутрь и наружу клетки сахаров, различных веществ и ионов. Известны и другие белки-транспортеры.

«Какой белок в крови человека выполняет транспортную функцию?» (белок глобин+небелковая часть гем).

Белки — средства защиты организма.

Во внешней среде имеется множество бактерий и вирусов, способных повреждать живые клетки и размножаться за их счет, нередко вызывая таким образом тяжелые заболевания. Все живые организмы и клетки имеют защитные системы.

Вопрос: «Как называется защитная система, которая защищает животных и человека от бактерий и вирусов?» (иммунная)

В лимфоидных тканях (вилочковая железа, лимфатические железы, селезенка) производятся лимфоциты — клетки, способные синтезировать огромное разнообразие защитных белков — антител. Такие антитела носят название иммуноглобулинов. Антитела узнают чужеродные белки, связываются с ними и разрушают их оболочки.

Вопрос: «Как предупредить инфекционные заболевания?» (людям и животным вводят ослабленные или убитые бактерии (вакцины), которые не вызывают болезни, но стимулируют синтез антител против возбудителя заболевания. Если через некоторое время болезнетворная неослабленная бактерия или вирус попадают в организм, они встречают прочный защитный барьер из антител).

Миллионы человеческих жизней спасены вакцинацией против оспы, бешенства, полиомиелита, желтой лихорадки и других болезней. В клетках человека и животных синтезируется так же специальные противовирусные белки-интерфероны. Синтез таких белков начинается после встречи клетки с вирусной нуклеиновой кислотой.

Двигательная функция.

Обеспечивается специальными сократительными белками. Эти белки участвуют во всех движениях, к которым способны клетки и организмы: мерцание ресничек и биение жгутиков у простейших, сокращение мышц у многоклеточных животных, движение листьев у растений и т.д.

Строительная функция.

Белки участвуют в образовании всех клеточных мембран и органоидов клетки, а так же внеклеточных структур.

Доклад учащегося

Каждая особь данного вида (например, человек, организм которого содержит около 100 000 различных белков) может иметь «свои» белки. На самом деле между белками организмов одного и того же вида всегда имеются тонки е индивидуальные различия. Даже люди, являющиеся близкими родственниками, имеют не вполне одинаковый набор белков. Это обстоятельство не случайно — оно представля-

ет собой выражение глубокой зпкономерности. Индивидуальный химический состав обеспечивает химическую изоляцию и устойчивость. Клетки отвергают все другие белки, кроме тех, из которых состоит данный организм. Это до известной степени гарантирует слаженную работу всех механизмов и избавляет их от неожиданных химических воздействий чужих веществ. По-видимому, в упорном нежелании изменять набор белков кроется причина тканевой несовместимости.

Известно, что удачно выполненная пересадка органа (например, операции пересадки сердца) часто в конечном счете завершалась печально — пересаженный и, как-будто, уже прижившийся орган отторгался — организм отказался пизнать его своим. Такой результат закономерен; если бы можно было легко изменять белковые компоненты клеток, то изменялись бы и все характерные свойства организма, выработанные тысячелетиями борьбы за существование. При этом, конечно, уменьшились бы шансы на сохранение жизненной устойчивости. Вот почему так трудно преодолевать тканевую несовместимость — это в общем очень полезное свойство, обеспечивающее оптимальные химические условия устойчивости. Иногда даже незначительные изменения в порядке следования аминокислот способны привести к тяжким нарушениям нормальной работы систем организма.

Энергетическая функция.

Белки служат одним из источников энергии в клетке. При распаде 1 г белка до конечных продуктов выделяется около 17 кдж. Однако белки используются как источник энергии обычно когда истощаются истощаются иные источники, такие как углеводы и жиры.

Закрепление нового материала.

У каждого ученика на столе лежат тесты.

Тест №1 Выбери правильный ответ

1. В водных растворах аминокислоты проявляют свойства: А) кислот В) кислот и оснований Б) оснований Г) в одних случаях — кислот, в других — оснований

2. Образование пептидных связей между аминокислотами осуществляется за счет:

A) взаимодействия групп — СООН Б) взаимодействия групп — NH2

B) взаимодействия групп — СООН и — NH2

Г) образования дисульфидных мостиков — S-S-

3. Первичная структура белка определяется аминокислотными остатками:

А) числом В) числом и последовательностью

Б) последовательностью Г) видами

4. Первичную структуру белка поддерживают связи

А) пептидные В) дисульфидные

Б) водородные Г) гидрофобные

5. При денатурации белков разрушается их:

А) первичная структура В) третичная структура

Б) вторичная структура Г) их структура сохраняется

6. При гидролизе белков образуется:

А) углеводороды В) предельные карбоновые кислоты

Б) сахар Г) аминокислоты

7. При действии на раствор белка концентрированного раствора азотной кислоты:

A) раствор не изменяет своей окраски Б) выделяется газ

B) раствор приобретает желтую окраску Г) выпадает белый осадок

8. Укажите, с помощью каких веществ путем реакции поликонденсации можно получить белки:

А) кислот и аминов В) сахаров

Б) — аминокислот Г) углеводов

Тест №2 Выбери номера правильных суждений

1. В поддержании первичной структуры белка принимают участие пептидные водородные связи.

2. Вторичная структура белка определяется спирализацией полипептидной цепи и поддерживается водородными связями.

3. Пространственная конфигурация спирализованной полипептидной цепи бывает фибриллярнрой и глобулярной.

4. Физико-химические и биологические свойства белковой молекулы полностью определяются ее третичной и четвертичной структурами.

5. Ферменты по своей химической природе являются белками.

6. Белки выполняют в клетке в основном структурно-строительную функцию и служат главным источников энергии.

Тест №3 Завершите предложения, вписав вместо точек необходимые термины и понятия

1. Мономерами молекул белков являются..........

2. Часть молекулы аминокислоты, определяющая ее уникальные свойства — ..........

3. Аминокислоты, не синтезируемые в животном организме и получаемые только в готовом виде с пищей, называются.............

4. Соединение, образующиеся в результате реакции конденсации из двух аминокислот — ..............

5. Число и последовательность аминокислотных остатков в полипептидной цепи — ..........

6. Соседние аминокислотные остатки в полипептидной цепи соединены друг с другом при помощи...........

7. Аминокислотные остатки в смежных витках спирали полипептидной цепи соединены вместе при помощи..............

8. Первым белком, для которого удалось выяснить его аминокислотную последовательность был...............

9. Процесс утраты белковой молекулой своей природной структуры под воздействием различных факторов называется..........

10. Процесс спонтанного восстановления природной структуры у денатурированного белка называется.....

ВЫВОД. Сложность и многообразие форм белков позволяют создавать все существующее разнообразие форм жизни, неповторимость организмов как в прошлом, так и в будущем.

На дом биология — параграф 3

химия — параграф 44, ответить на вопросы:

1. Почему происходит уменьшение веса мяса и рыбы после ее тепловой обработки?

2. О чем свидетельствует образование хлопьев во время варки мяса?

Авторы разработки урока:

учитель биологии школы № 5 ЮЗАО г. Москвы

Рябова И.Л.

учитель химии школы № 5 ЮЗАО г. Москвы

Мехтиева И.В.

Е.М. Федулкина, Л.Е. Федулкин

Школа №40, г. Москва

Об одной стандартной задаче по геометрии

Стандартные задачи по геометрии в 7 классе редко имеют два различных решения, поэтому учителя обычно обращают особое внимание учащихся на такие задачи.

В связи с этим, хотелось бы обратить внимание на один достаточно важный момент, о котором не упоминается не только в учебнике под редакцией А.В. Погорелова, но и в большинстве дидактических материалов. Речь идёт о задачах на нахождение углов, получившихся при пересечении двух прямых. И в учебнике, и в большинстве дидактических материалов подразумевается, что рассматриваются только четыре угла, не являющиеся развёрнутыми. Но при пересечении двух прямых получается шесть углов — два развёрнутых и четыре неразвёрнутых.

Рассмотрим стандартную задачу, входящую и в самостоятельную, и в контрольную работы по теме “Углы”. «Один из углов, получившихся при пересечении двух прямых на 20° больше другого. Найдите все образовавшиеся углы». Эта задача имеет два различных решения.

1) Если больший из этих углов развёрнутый, то меньший равен 160°. Следовательно, угол, вертикальный меньшему, тоже 160°, а смежные с ним углы — по 20°. Ответ: два угла по 180°, два угла по 160° и два угла по 20°.

2) Если ни один из этих двух углов не является развёрнутым, то (стандартное решение) эти два угла либо вертикальные, либо смежные. Т.к. вертикальные углы равны, то данные два угла — смежные. Следовательно, их сумма 180°. Следовательно, меньший из них и вертикальный ему — по 80°, а больший из двух данных углов и вертикальный ему — по 100°.

Получаем ответ: два угла по 100°, два угла по 80° и два угла по 180° (вот этих то двух углов, получившихся при пересечении двух прямых, нет в ответе 99,9% учащихся).

Следовательно, необходимо либо разбирать с учащимися оба решения, либо формулировать задачу следующим образом: «Один из углов, получившихся при пересечении двух прямых, не являющийся развёрнутым, на 20° больше другого. Найдите все образовавшиеся углы, не являющиеся развёрнутыми».

Е.Д. Куланин

lucas03@mail.ru

Замечательный геометр

К 125-летию со дня рождения В.Тебо (1882—1960)

1. Биография

Виктор Мишель Жан-Мари Тебо (Victor Michel Jean-Marie Thebault) родился 6 марта 1882г. в Амбриер ле Гран (Ambrieres- le-Grand) французского департамента Майенн (Mayenne).* Его отец был ткачом. Учитель местной начальной школы, заметивший необыкновенные математические способности мальчика, добился для него стипендии в учительском колледже города Лаваль (Laval, Mayenne), где юноша обучался с 1898 по 1901 г. После окончания колледжа В.Тебо работал школьным учителем в Пре-эн-Пэйл Pre-en-Pail, Mayenne) в течение 1902—1905 гг. до тех пор, пока его не пригласили на должность профессора технической школы в Эрни (Ernee, Mayenne). В 1909 г. в результате победы на конкурсных экзаменах В.Тебо получил право на профессуру в колледжах для учителей.

Поскольку скромное жалование профессора не могло обеспечить его семью, в которой к тому времени было уже 6 детей, В.Тебо был вынужден отказаться от преподавания. С 1910 по 1923 г. он работал фабричным суперинтендантом в Эрни. В дальнейшем В.Тебо занимал пост Главного Страхового Инспектора в Ле Манс (Le Mans, Sarthe) и после выхода на пенсию в 1940 г. поселился в местечке Тен-ни (Tennie, Sarthe).

Все это время, несмотря на занятость на работе, он продолжал интенсивно и плодотворно заниматься математикой. Удивительно, как это ему удавалось, хотя справедливости ради следует заметить, что в истории математики все-таки были подобные примеры и даже в той же области деятельности — страховании. Так, страховщиками работали такие известные математики как Сильвестр (1814—1897) и Грам (1850—1916), прославившийся своим определителем. Грам даже стал в 1896 г. директором страхового общества и председателем Датского страхового совета.

* Все биографические сведения взяты из статьи [1].

Но все же по современным меркам В.Тебо был не профессионалом, а любителем математики, что, впрочем, нисколько не умаляет его заслуг, которые были замечены и по достоинству оценены во всем мире. Так, в 1932 г. В.Тебо стал членом Американской математической ассоциации. В том же году его назначили чиновником по образованию (Officier de l'Instruction Publique) по рекомендации академика Оканя. В рекомендации, в частности, говорилось: «Лично я считаю его достойным глубокого уважения за его выдающийся талант математика, проявившийся в многочисленных остроумных достижениях в области элементарной геометрии — неисчерпаемом источнике задач, решение которых требует совершенно особого дара изобретательности».

В 1935 г. В.Тебо стал Кавалером ордена бельгийской короны за его деятельность в Брюссельском научном обществе и сотрудничество с журналами этого общества: Annales и Mathesis.

В 1943 г. он установил премию Виктора Тебо. Согласно положению об этой премии она присуждается каждые два года Парижской Академией Наук авторам оригинальных исследований по геометрии или теории чисел, причем предпочтение должно отдаваться учителям средних или даже начальных школ.

2. Научная деятельность

За свою жизнь В.Тебо представил 15 сообщений только в Парижскую Академию Наук, написал сотни статей и мемуаров по геометрии треугольника и тетраэдра, а также теории чисел. Ещё большую известность он приобрел как автор оригинальных задач, 582 из которых напечатал только один журнал — American Mathematical Monthly. Всего же В.Тебо составил более 1000 задач и, вероятно, не имел равных себе соперников в этой области.

Научные интересы В.Тебо охватывали три раздела математики — геометрию треугольника и тетраэдра, а также теорию чисел. Он стал заниматься геометрией треугольника* в первом десятилетии XX века, т.е. в то время, когда закончился первоначальный период развития этой дисциплины, и она превратилась в обширную и детально разработанную область геометрии, привлекавшую внимание многих математиков. В.Тебо получил результаты практически во всех разделах

* Все сведения об этом взяты из статьи [2].

элементарной геометрии: он исследовал треугольники, четырехугольники, многоугольники, коники и кубики, связанные с треугольником, ортопол, изопол и многое тому подобное.

В самом начале своей деятельности В.Тебо удалось доказать такую теорему, которую J.L.Coolidge, автор знаменитого «Трактата об окружности и сфере» (1916), счел нужным включить в свой труд, несмотря, на то, что он узнал об этом результате после того, как соответствующая глава его книги уже была закончена.

В геометрии треугольника у В.Тебо существовали особо излюбленные темы, к которым он неоднократно возвращался. Одной из таких тем была теорема Фейербаха. В.Тебо исследовал точки Фейербаха в самой первой статье, напечатанной в Nouvelles Annales de Mathematiques (series 4, vol. 10, 1910, pp. 271—281).

Впоследствии он опубликовал полдюжины статей на эту тему, в которых выявил многочисленные свойства этих точек. В 1935 г. В.Тебо доказал следующую интересную теорему: в треугольнике ABC четыре треугольника с вершинами в точках Фейербаха треугольника ABC подобны четырем треугольникам с вершинами, совпадающими с основаниями соответствующих биссектрис треугольника ABС. Много результатов он получил также в геометрии тетраэдра. Выдающийся вклад В.Тебо в геометрию треугольника и тетраэдра позволил ему занять достойное место среди последователей Брокара, Лемуана и Нейберга — основателей геометрии треугольника и тетраэдра. Научная работа В.Тебо не прерывалась и в годы Второй мировой войны, несмотря на то, что на этот период ему пришлось эмигрировать в Испанию.

В.Тебо составлял также арифметические и теоретико-числовые задачи, в том числе занимательные, которые обычно относят к разряду математических развлечений. Интересно привести его ответ на упреки по поводу того, что он занимался такими пустяками: «Некоторые математики демонстрируют тенденцию, не свободную полностью от определенного презрения, видеть в таких задачах только незначительные пустяки. Пустяки, если угодно, но такие, решение которых часто требует не меньшей проницательности, изобретательности и тонкого искусства, чем многие вопросы, считающиеся значительно более важными. Кроме того, изучение элементарных утверждений требует немалых усилий, представляющих собой прекрасное интеллектуальное упражнение и приводящих, в конце концов, к

чему-то заслуживающему внимания» [3]. Далее В.Тебо замечает, что не все великие мастера науки проявляли подобное презрение к математическим развлечениям и цитирует Эйлера, Якоби и других крупных математиков.

3. Задачи В.Тебо и вокруг них.

Рассмотрим теперь несколько задач из необъятного задачного наследия В.Тебо. Самой знаменитой из них является, несомненно, задача 3887 о трех окружностях с коллинеарными центрами, условие которой было опубликовано в разделе «Задачи и решения» журнала American Mathematical Monthly в 1938 г [4].

Приведем формулировку этой задачи.

Задача 1. Пусть D — произвольная точка на стороне АС треугольника ABC, I1 — центр окружности, касающейся отрезков AD, BD и описанной окружности треугольника ABC; h — центр окружности, касающейся отрезков CD, BD и описанной окружности треугольника ABС. Тогда отрезок I1I2 проходит через центр I вписанной в треугольник ABC окружности, и при этом

Первые метрические решения этой задачи появились в Нидерландах в 1973 г., но не получили широкой известности. Поэтому журнал American Mathematical Monthly в 1983 г. дал в редакционном комментарии краткое изложение первого, как тогда казалось, метрического решения англичанина К.Тэйлора, рукопись которого насчитывала 24 страницы и содержала многочисленные формулы [5]. В 1986 г. в швейцарском журнале “Elemente der Mathematik” было опубликовано значительно более короткое метрическое решение Г.Турнвальда [6] и, наконец, в 1989 г. в том же журнале появилось первое синтетическое решение швейцарцского учителя Р.Старка[7].

С тех пор появилось несколько элементарных синтетических решений, одно из самых удачных из которых принадлежит В.Протасову* [8], а одно из самых последних — Д.Кодокостасу[9]. Ж.Айме, в статье которого [10] можно найти подробную историю и синтетическое решение этой задачи Тебо, обнаружил [10, с.226],

* Интересно отметить, что В.Протасов нашел это решение в то время, когда учился в IX классе средней школы г.Москвы.

что она является следствием теоремы, доказанной в 1905 г. преподавателем математики из Токио Савайяма [11].

На самом деле, теорема Тебо о трех окружностях с коллинеарными центрами справедлива и для вневписанных окружностей. Точнее, пусть D — произвольная точка на стороне АС треугольника ABC, I1 — центр окружности, касающейся прямых AD, BD и описанной окружности треугольника ABC внешним образом; I2 — центр окружности, касающейся прямых CD, BD и описанной окружности треугольника ABC внешним образом. Тогда отрезок I1l2 проходит через центр Ib вневписанной в треугольник ABC окружности, касающейся стороны АС.

Приведем еще формулировки двух задач, тесно связанных с задачей 3887.

Задача 2. Окружность касается продолжений сторон CA и СВ треугольника ABC, а также касается стороны AB этого треугольника в точке Р. Докажите, что радиус окружности, касающейся отрезков АР, CP и описанной около этого треугольника окружности, равен радиусу вписанной в этот треугольник окружности [12].

Задача 3. Дан треугольник ABC, К — точка касания вписанной в него окружности и стороны ВС. Рассмотрим две окружности, касающиеся прямой ВС. луча АК и окружности, описанной около треугольника ABС. Доказать, что их радиусы равны радиусу вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны ВС и продолжений сторон AB и АС [13].

Рассмотрим еще одну задачу В.Тебо. Это задача 4328, опубликованная в журнале American Mathematical Monthly в 1949 г [14].

Задача 4. Прямые Эйлера и окружность девяти точек. Дан треугольник ABC; АA1, ВB1 и CC1 — его высоты. Доказать, что прямые Эйлера треугольников AB1C1, A1BC1, A1B1C пересекаются в такой точке Р окружности девяти точек, для которой один из отрезков РA1, PB1, PC1 равен сумме двух других отрезков.

Элементарное синтетическое решение задачи 4328 приведено в статьях Е.Д.Куланина [15] и [16]. Точка Р пересечения прямых Эйлера треугольников AB1C1, A1BC1, A1B1C совпадает с центром равносторонней гиперболы, являющейся изогональным образом прямой Эйлера треугольника ABС. Эта гипербола называется гиперболой Джерабека (Jerabek). Будем тем не менее для краткости называть в этой статье точку пересечения прямых Эйлера треугольников AB1C1,

A1BC1, A1B1C точкой Тебо треугольника ABC и обозначать ее буквой Т. В статьях [15] и [16] доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть H — ортоцентр остроугольного треугольника ABC, H1, Н2, Н3 — основания его высот; Н'1Н'2Н'3 — треугольник, серединный треугольник которого совпадает с треугольником Н1Н2Н3. Тогда точки Тебо Т, Та, Ть, Тс треугольников ABC, ВНС, СНА, AHB соответственно совпадают с точками Фейербаха треугольника Н'1Н'2Н'3, причем точка Т совпадает с внутренней, а точки Та, Tb, Тс — с внешними точками Фейербаха треугольника H'1H'2H'3

Из приведенной теоремы сразу же следует, что точки Фейербаха произвольного треугольника обладают указанным свойством точек Тебо, а именно: наибольшее из расстояний от любой точки Фейербаха треугольника до середин сторон этого треугольника равно сумме расстояний от этой же точки Фейербаха до двух других середин сторон треугольника.

И, наконец, последняя задача, тесно связанная с предыдущей [17].

Задача 5 (4432). Окружности с центрами в серединах сторон треугольника проходят через основания соответствующих высот. Покажите, что окружность, ортогональная этим трем окружностям, касается окружности девяти точек данного треугольника в такой точке, расстояние от которой до основания одной из высот равно сумме расстояний от нее до оснований двух других высот.

В статье [16] показано, что на описанной окружности разностороннего треугольника существуют ровно четыре точки такие, что наибольшее расстояние от любой из них до вершин треугольника равно сумме расстояний от этой же точки до остальных двух вершин треугольника. Если через вершины треугольника провести прямые, параллельные его противоположным сторонам, то эти точки совпадут с точками Фейербаха полученного треугольника, а если через вершины треугольника провести прямые, перпендикулярные биссектрисам, выходящим из этих вершин, то эти точки совпадут с точками Тебо полученного треугольника. Из всего сказанного становится ясно, что в задачах 4328 и 4432 речь идет об одной и той же точке, которую мы в данной статье назвали точкой Тебо.

Литература

[1]. Col. W.E. Byrne. Victor Thebault — The man. Amer. Math. Month., 1947, 443—444.

[2]. N.A.Court. Thebault — the geometer. Amer. Math. Month., 1947, 445—446.

[3]. E.P.Starke. Thebault — the number theorist. Amer. Math. Month., 1947, 445.

[4] V.Thebault, Problem 3887, Three circles with collinear centers, American Mathematical Monthly, 45(1938), 482—483.

[5]. K.B.Taylor, Solution of Problem 3887, Amer. Math. Month., 90 (1983), 482—487.

[6] G.Turnwald, Uber eine Vermutung von Thebault, “Elemente der Mathematik”, 41(1986), 11—13.

[7]. R.Stark, Eine weitere Losung der Thebault'schen Aufgabe, “Elemente der Mathematik”, 41(1989), 130—133.

[8]. Факультативный курс по математике, Москва, «Просвещение», 1991,с.341—343.

[9]. Dimitrios Kodokostas, A really elementary proof of Thebault's theorem, Worcester Polytechnic Institute, USA.

[10]. Jean-Louis Ayme, Sawayama and Thebault's theorem, Forum Geometricorum, Vol. 3 (2003), 225—229.

[11]. Y. Sawayama, A new geometrical proposition, Amer. Math. Monthly, 12 (1905), 222—224.

[12]. Четвертая Соросовская олимпиада школьников 1997—1998, Москва, МЦНМО, 1998, с.102 и 112—113.

[13]. Математическое просвещение. Третья серия, выпуск 5, МЦНМО, Москва, 2001, с.218—219.

[14]. V.Thebault, Problem 4328, American Mathematical Monthly, 56(1949), 39.

[15]. Куланин Е.Д. Об одном свойстве точек Фейербаха // Приложение “Математика” к газете “Первое сентября”, №10, 1997.

[16]. Куланин Е.Д. О некоторых свойствах точек Фейербаха и Тебо // Приложение “Математика” к газете “Первое сентября”, №15, 2005.

[17]. V.Thebault, Problem 4432, American Mathematical Monthly, 58(1951), 195.

Содержание

Воспоминания

ПАМЯТИ А.В. ПОДОБЕДОВА............................................... 3

ВАЛЕРИЯ МЕЧЕСЛАВОВНА ВИННИК В ВОСПОМИНАНИЯХ КОЛЛЕГ И УЧЕНИКОВ.......................................................4

ЛИДИЯ ЛЕОНИДОВНА СТЕПАНОВА................................... 13

Образование: история и перспективы

Курдюмова Н.А. БЫЛОЕ......................................................20

Куприкова О.Н. СЛОВАРИ ПО МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ.......................................... 45

Бусев В.М. О САЙТЕ «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ» .... 49

Взгляд оттуда

Тоом А.Л. ОХ, УЖ ЭТИ СРЕДНИЕ!......................................... 52

Романовский В.И. БЕЗ КАЛЬКУЛЯТОРА ИЛИ ДА ЗДРАВСТВУЕТ СВОБОДА!.......................................57

Взгляд на преподавание

Мякишев А.Г. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕР . 68

Потапов М.К., Шевкин А.В. НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ ПО КРИТЕРИЯМ ОЦЕНКИ РАБОТ ЕГЭ..................... 81

Бунчук А.В. ТЕСТЫ С ПРАВИЛЬНЫМИ И НЕПРАВИЛЬНЫМИ ОТВЕТАМИ.................................................. 85

Слуцкий Л.Б. АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ В ОДНОЙ ТАРЕЛКЕ..... 93

Сгибнев А.И., Шноль Д.Э. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ....... 98

Афанасьева Т.В. РАЗВИТИЕ ЛИЧНОСТИ РЕБЕНКА НА УРОКАХ ФИЗИКИ С УЧЕТОМ ЕГО ИНДИВИДУАЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ............ 112

Сгибнев А.И. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА........... 130

Смирнова И.М., Смирнов В.А КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ ПО

ГЕОМЕТРИИ................................................. 146

Шершнев Е.Ф. КАК ПРОВЕСТИ ТЕСТ-РАЗМИНКУ.................. 159

Иванищук А.В. ВЗГЛЯД НА ПАРАБОЛУ И ГИПЕРБОЛУ............ 161

Клещева Т.В. ИНТЕГРИРОВАННЫЙ УРОК............................. 165

Федулкина Е.М., Федулкин Л.Е. ОБ ОДНОЙ СТАНДАРТНОЙ ЗАДАЧЕ ПО ГЕОМЕТРИИ............................... 186

История науки

Куланин Е.Д. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ГЕОМЕТР ВИКТОР ТЕБО........ 187