АРХИМЕД

Научно-методический сборник

Выпуск 2

2006

Архимед

Научно-методический сборник

Выпуск 2

Москва 2006

Архимед. Научно-методический сборник. Вып. 2. В настоящем сборнике представлены тезисы докладов участников семинара «Интеграция основного и дополнительного физико-математического образования», проходившего 1 февраля 2006 года в ФМШ № 2007 ЮЗОУО г. Москвы, а также другие публикации, посвященные вопросам дополнительного физико-математического образования.

Ответственные за выпуск: В. Бусев, А. Смирнов, П. Чулков, Т. Струков.

© 2006, АНО Институт логики.

© 2006, Редакция «Архимед».

Выпуск подготовили: А. Обрубов, Е. Шапарин.

Изд. Лицензия ЛР № 066121 от 22.09.1998г. Подписано в печать 01.02.2006 Объем 7 п.л. Формат бумаги 60×90/16. бумага офсетная №1. Печать офсетная. Тираж 200 экз. Заказ №751 Издание Института Логики Когнитологии и Развития Личности Отпечатано в типографии ЕВСТИ, г. Москва, ул. 3-я Мытищинская 3

С. М. Никольский

Академик РАН

Я хочу, чтобы учителя были счастливы

Интервью с академиком Сергеем Михайловичем Никольским

В прошлом году исполнилось сто лет выдающемуся русскому математику, академику Сергею Михайловичу Никольскому. Он является признанным главой созданной им математической школы по теории функций и ее приложениям, имеет многочисленных учеников и последователей. Неоценим вклад Сергея Михайловича в дело образования в нашей стране. Он — преподаватель высшей школы, автор многих учебников по математике для вузов, средних общеобразовательных школ, которые пользуются заслуженной популярностью среди преподавателей и студентов, учителей и школьников.

Сергей Михайлович — почетный профессор многих университетов в нашей стране и за рубежом. Сегодня Сергей Михайлович продолжает работать, широта его научных интересов, исключительная доброжелательность, искренность, жизнерадостность привлекают к нему многих. Никольский любит общаться с молодежью, вокруг него постоянно много учеников. Когда Сергею Михайловичу исполнилось 90 лет, журналисты спрашивали: «Как это Вы дожили до таких лет?» Сергей Михайлович отвечал: «Не знаю, сам удивляюсь, знает, видимо, только один Господь Бог. Насчет еды я сразу же скажу, что до сих пор ем все — и жареное, и пареное, и сладкое. Конечно, я много в жизни двигался — ходил по лесам и горам, купался, много греб на лодке. Бегать я так и не полюбил — бежишь и все время думаешь, когда же это кончится. Ходьба мне более любезна. Я любил ходить подолгу, непрерывно. С одной остановкой, чтобы зажечь костер, сварить кашу и чай, побеседовать с компаньонами».

Сергей Михайлович, как Вы оцениваете нынешнее состояние российской науки? Можно ли отметить положительные изменения в отношении руководства страны к науке и ученым?

— До сих пор положение нашей науки в мире было достаточно высоким, и наша страна свободно соревновалась с другими государствами. В прошлом у нас всегда серьезно относились к науке и образованию, чего, к сожалению, я не могу сказать о сегодняшнем дне.

Особенно хочется сказать о судьбах математической науки. В последнее время, после того, как появились горбачевские и последующие

перестройки, появились и тенденции, большие тенденции, к снижению естественнонаучного образования, математики, в частности.

Общее отношение к математике у нас в России всегда было положительное. Кстати, историю нашего образования можно легко проследить уже со времен Петра Великого. С тех времен осталось много документов, на которые можно опираться в своих сужденияхю. Петр вводил, насильно даже, большие школы.

Мне подарила историк из Ростова довольно удачную книгу по истории математики конца XVIII — начала XIX века. Она пишет, что Петр, организуя эти школы, называл их «цифирными». В этих школах должны были учиться дети дворян, дети богатых купцов, но и... дети заслуженных солдат петровской армии!

Петр обязал всех дворян отдавать в эти школы своих сыновей. А так как дворяне часто жили далеко от таких школ, то, отдавая в школу своего мальчика, чадо приходилось отрывать от семьи и принуждать заниматься ненавистными дворянам науками. Считалось, что не дворянское дело — изучать науки, а нужно учиться воевать и управлять государством, а науками должны заниматься писари. Так вот эти дворяне взбунтовались, подняли шум перед Петром, и Петр смягчил указ. Также «рассердились» купцы. Сохранились письменные свидетельства, в которых они пишут: «...наши дети помогают нам в торговле с пятилетнего возраста, а Вы хотите забрать их у нас в школу. Этим понизится торговля. Просим изменить свое установление».

В школе остались солдатские дети, поэтому со временем они стали называться «солдатскими», а не «цифирными».

А «цифирными» называл Петр школы, так как считал, что математика имеет наибольшее значение в вопросе образования. Предполагалось, что дети, окончившие эти школы, сделаются потом инженерами, капитанами на кораблях, будут знакомы с астрономией, с математическими таблицами и так далее. Он все это хорошо понимал, был сам образованным человеком, и считал математику важнейшей дисциплиной школы. В царское время в наших учебных заведениях к математике всегда относились положительно, в том смысле, что понимали ее значение.

При Сталине, в советское время, в целом было то же самое. После смерти Сталина математическое образование в нашей школе было на одном из первых мест в мире. И весь мир вынужден был признать это, когда Гагарин первым облетел вокруг Земли. Американцы сразу

всполошились, что такое, в чем дело, почему «Советы» первые? И они поняли, что у нас очень высокое базовое образование. На свой американский лад они выделили большие деньги на улучшение ситуации в своей стране, другое дело, как у них это пошло.

А в наше время, должен заметить, (я говорил министру В.М. Филиппову об этом, говорил публично, на конференции), идет тенденция к умалению школьного математического образования и изучения родного языка.

Как Вы оцениваете решение о сокращении преподавания математики в так называемых гуманитарных классах, в которых вводится курс «математика» с 3 часами в неделю? Наверное, здесь невозможно обойти очень важный вопрос: значение и место изучения математики в общем образовании человека и особенно в научном образовании?

— Часы все не решают, но это очень важный вопрос! В период процветания наших школ на математику давали по учебным планам не менее часа ежедневно во всех классах, т. е. в неделю шесть часов или больше, а то и восемь в каких-нибудь математических классах! Везде, всегда!

В последнее время отношение к математике изменилось к худшему. Это проявляется, в том числе, и в количестве часов, отведенных на нее. В среднем стали давать в школе 5 часов математики в неделю. А потом стали готовить государственные стандарты образования, с которыми еще до сих пор не покончили.

Создание этих стандартов возглавил Э.Д. Днепров, человек, просто не любящий математику, откровенно выражающий это. Он является академиком РАО. Трудно себе представить, как это можно было такого малограмотного человека поставить на такое важное дело, как изменение программ в школе. Вы можете по Интернету на «Днепров» посмотреть, как он отстаивал свои стандарты на собрании. Можете почитать, какую оценку он там получил. Поэтому я говорю совершенно не голословно. Несмотря на критику, он продолжал в этих стандартах уменьшать значение математики. Результат такой: в средней, основной школе (1—9 классы), оставили 5 часов в неделю, а в начальной они поставили 4 часа.

Я хочу отметить, что как раз в это время, в начальной школе, учат арифметику. Очень важный предмет, нужный всем — и филологам, и биологам, и рабочим, и крестьянам, и инженерам, и «даже» экономистам!

А они оставили 4 часа! Что касается старших классов, они ввели так называемое профильное обучение.

Между прочим, хочу обратить Ваше внимание на то, что «профильное обучение» нравится всем, и академикам тоже. Правильно, мол, так и надо! Про профильное обучение говорят: «Незачем, де, всех учить одному и тому же, лучше это связать с каким-то определенным профилем». Но я обращаю внимание на следующее: подготовлены программы ряда профилей. Многие из этих профилей уже содержат в себе 3 часа в неделю на математику.

Так вот, я могу сказать, что при таком положении вещей уже нельзя обеспечить то, что мы называем средним математическим образованием. С другой стороны, нигде не сказано, что в одиннадцатилетней школе должен быть хотя бы один профильный класс, имеющий 6 часов математики в неделю! Не сказано нигде, то есть, иначе говоря, предусматривается, что большинство школ будут иметь 3 часа математики в неделю.

Сегодня всюду ведется какой-то разговор о том, что дети отсталые, (и при Колмогорове об этом говорили), делались проверки, международные в том числе. Выяснялось, что математические знания школьников у нас низки.

Но на самом деле я Вам хочу рассказать следующее: не так давно это было, не больше года тому назад, на конференции, посвященной юбилею Кудрявцева, В.М. Филиппов делал доклад. После этого я сказал ему: «Владимир Михайлович, у меня есть два вопроса к Вам. Первый: мне кажется, что большинство наших детей способно воспринять среднюю математику. Я не имею в виду, что это будущие Ньютоны, нет, но это будущие техники, инженеры, и т. д. Всем им помогает учитель. Если учитель скажет, что не надо складывать числитель с числителем и знаменатель со знаменателем при сложении дробей, то ученики не будут этого делать. Им расскажут про квадратные уравнения и логарифмы, что такое синус — и они будут в состоянии решать несложные задачи. Мне кажется, что таких детей большинство, что их много, их больше половины! Нельзя говорить, что их мало — их большинство! Я бы хотел спросить, Ваша статистика подтверждает это, или нет?

И второй вопрос: раз их большинство, то на них и надо строить программы. Это, конечно, не значит, что с отстающими не надо заниматься. Надо. Вот для них и надо устраивать всякие такие профили.

А ориентировать программы на отстающих детей — это значит понижать математический логический уровень молодых людей в стране. Страна уже от этого страдает. Снижается статус страны, ослабевает статус молодого человека. Он мог бы узнать и логарифмы, тригонометрические какие-то вещи, а ему этого не дают».

В. М. Филиппов согласился, что большинство ребят нормальные, а что программы нужно ориентировать на них, он не согласился. Правда, не знаю, что он хотел этим сказать, но не согласился. А другие, вроде Днепрова, считают, что математика — вещь, которая едва ли нужна и от нее только болеют! Я, например, не заметил, что ребенок болел бы от математики, не заметил.

Сергей Михайлович, Вы считаете, что математика является стержнем школьного образования человека?

— Да, сейчас многие возражают против занятий математикой, говорят: «Вы даете ему знания, которые ему не нужны! Надо повысить его общий культурный уровень».

Вы слышите: «Культурный уровень»! А я говорю, во-первых, математика — это часть культуры, и совершенно признанная ее часть. И надо бы добавить: вместе с языком. Основы логики человек берет из языка, и, как ни странно, не только из литературного, но и из примитивного просторечия.

Математика же признана обществом с давних времен, зачем спорить, когда все общества на протяжении всей истории всегда уделяли внимание математике, и всегда считали, что она является важной!

В общем, я могу сказать, что все как будто согласны с тем, что логический уровень молодого человека должен быть по возможности выше. Для того чтобы повысить его, чему его надо учить? Принято учить родному языку, литературе и математике с логарифмами, синусами и т.д. Принято! Нужны эти знания? — Нужны! Всем? — Ну, пусть не всем, но очень многим, понимаете, очень многим. Я бы сказал так: будущим техникам, инженерам, экономистам, менеджерам и пр.

Вот стоят в Москве очень высокие здания, насчитывающие до 70 этажей! Немало таких зданий. Я восхищаюсь инженерной мыслью: надо сделать фундамент, рассчитать, чтоб это не провалилось, не покосилось и т. д. Разве можно проектирование этого доверить человеку, который не знает настоящую среднюю математику? Нельзя! У нас происходят трагедии, бывает, что рушатся крыши. Тут возникает вопрос: может быть, там неграмотные инженеры работали. Я думаю,

скорее всего. Во всяком случае, если ошибки были не при строительстве, то за зданиями надо следить, закладывать резервы, учитывать тенденции, принимать меры. Для этого нужна вполне определенная квалификация. Не просто размахивание руками и крик, а настоящая квалификация. И эта квалификация обязательно связана с определенными знаниями математики, геометрии и т.д.

Что главное в преподавании математики в школе?

— Программы по математике создавались буквально тысячелетиями, даже не столетиями. Под влиянием развития математической науки менялся фундамент образования. Программы накапливались на протяжении тысячелетий по каплям. Причем эти капли вместе с развитием техники и развитием математики в целом, тоже сами по себе менялись. Но каждый раз математика представляла собой некоторую правильную логическую структуру, и что-то выкинуть из нее нельзя.

Никакой министр не может эти программы изменить. Есть научно-техническое сообщество, которое, в конце концов, должно диктовать эти программы. Если эти программы неправильно изменили, то эти изменения, в конце концов, отражаются на жизни общества! Общество в целом, и каждый человек отдельно, за тридцать — сорок лет жизни успевает в этом убедиться. Это касается, вероятно, любых наук, но математика — наука древняя, и к ней всегда было особое отношение.

Я бы охарактеризовал среднюю математику, как арифметику плюс изучение элементарных функций, плюс геометрию. Вот это все составляет элементарную математику.

Если говорить о началах математики, то начала математики — в арифметике. Считается, что если человек не знает арифметики (а она почти ушла из начальной школы), он просто бескультурен!

Сергей Михайлович, а что Вы скажете о значении учебников?

— Учитель должен уделять внимание простым понятиям, объяснять их так хорошо, чтобы уложить в голове ребенка, а потом уже приступать к каким-то сложным операциям с этими понятиями. Я могу это показать на примере учебника.

Учебник должен писаться не только для детей, но и для учителей, кстати, дети не очень заглядывают сейчас в учебники. Всякое бывает, дети могут не хотеть этого делать, хотя сейчас и учителя зачастую не хотят, чтобы дети заглядывали в учебники.

А ведь учитель, прочтя 1—2 странички учебника по какому-нибудь вопросу, должен понять, что конкретно он может дать из этого учеб-

ника ребенку. Возьмем, например, такие сложные вещи, как, скажем, окружность. Она имеет длину. При ее вычислении участвует число «пи». Это особое число, значит, что-то надо сказать о нем. Не только, что «оно равно 3,14 и там еще какие-то точки».

Нельзя заставлять учителя придумывать что-то, это для него трудная задача. Не учитель, а именно автор должен подумать, что на данной ступени развития ученика ему об этом числе сказать, и это должно быть написано на страницах учебника. Это будет служить помощью, указанием учителю, что он должен говорить на уроке. С другой стороны, и ученик сможет прочесть это и при желании сам во всем разобраться.

Сергей Михайлович! Вы особо отметили, что математическое знание собиралось по каплям тысячелетиями. Может быть, несколько слов Вы скажете о «каплях», внесенных русской математической школой?

— Чебышев просто официально считается великим русским математиком XIX столетия, наряду с Лобачевским. Я говорю официально, потому что был такой период, во времена Сталина, когда он дал указания ученым, чтобы они разобрались в своей истории, кто великий, а кто — нет. На высоком уровне и в институте Стеклова, и в Московском государственном университете, на Математическом обществе, этот вопрос разбирался. Конечно, считали, что великий русский математик восемнадцатого столетия — это Эйлер, который приехал из Швейцарии совсем молодым человеком. В Швейцарии он получил университетское образование, но затем переехал в Петербург, и на русских «харчах» сделался великим не только русским, но и мировым по значению математиком.

А в XIX веке великим был признан Чебышев, который окончил Московский университет, потом его выбрали в академики, и он переехал в Петербург, жил в Петербурге. Но сам Чебышев из помещиков Московской области. Это недалеко от Малого Ярославца. Я все время бываю там. Рядом с помещичьим домом на высоком месте стоит церковь, в этой церкви под полом находятся три гроба: Чебышева, его брата генерала артиллерии, третий — кого-то из родственников Чебышева, и они очень почитаются!

Из воспоминаний потомков я знаю, что Чебышевы — это Чебыши, татарского княжеского происхождения, но сугубо православного исповедания — дед Чебышева построил эту церковь.

У Вас богатый жизненный опыт, Вы были знакомы со многими великими людьми, поделитесь, пожалуйста, какая встреча оказала на Вас особенное влияние?

— Меня часто спрашивают, как я сделался ученым, математиком. Что явилось основой? Конечно, математические способности и с детства проявленный интерес к математике. Вторая причина — отец.

Дело в том, что я учился в царской гимназии, но успел пройти только три класса. В это время фронт надвигался, и в последние два года было немного уменьшенное образование. Так или иначе, я учился в гимназии до 1918 года.

После этого, до 1921 года, я фактически жил в дубовом лесу, так как отец был лесничим, управляющим довольно большим государственным массивом. Мой отец беспокоился о моем образовании, сам он неплохо знал элементарную математику (окончил реальное училище, в котором за семь лет успевали пройти даже элементы интегрального исчисления, потом Лесной институт). И от отца я все эти знания получил. Я бы сказал, именно это имело большое значение.

От отца я узнал среднюю математику, при этом отец считал, что я буду инженером. И я считал, что буду инженером. После гибели отца мне приходилось работать в разных учреждениях Чернигова, на разных работах, но я не забывал учиться, хотя и заочно: приходил только сдавать экзамены, так как посещать занятия не мог, был занят работой. И только в двадцать лет я твердо решил поехать в другой город, поступать в хорошее учебное заведение. Это я решил совершенно самостоятельно.

Я приехал в Киев, чтобы поступить в политехнический институт, но там меня не приняли и не экзаменовали. Нужны были определенные командировки (направления), которые я не мог получить. Но, все-таки, я получил командировку от своего профсоюза в Чернигове в университет в Екатеринослав. Я решил, что побуду там, на физмате, один год, и потом все равно переведусь в политехнический. Мне важно было стать инженером, а каким — неважно.

Я считал, что если буду кончать университет, то буду учителем, а я не хочу быть учителем, инженером — другое дело! В старые времена сельский учитель получал примерно 12—15 рублей в месяц, учитель гимназии после окончания университете — 150—200 рублей (он на извозчике мог ездить на работу), а инженер еще больше, в два раза больше, как губернатор. Так что я считал, что буду инженером.

Но я стал заниматься математикой и понял, что от математики уйти нельзя, это очень глубокая, интересная вещь, и что она мне дается, я стал ее изучать даже независимо от требований, которые предъявлялись к студентам.

А через год я понял, что мне не надо идти в инженеры! Вот и все. В университете был один профессор, звали его Грузинцев Григорий Алексеевич. В царское время он окончил Харьковский университет, ему дали государственную пенсию — стипендию в иностранной валюте, чтоб он ехал за границу и усовершенствовал себя в науках. Он поехал в Германию и посещал семинары знаменитого математика Гильберта. Когда началась война с немцами, ему удалось перебраться в Швейцарию, потом в Италию — всю войну он находился там в университетах. После революции он вернулся и сделался в Екатеринославском университете профессором. Я его слушал, и он оказал на меня определенное воздействие.

Но это не все. Определенные знания я получил в Днепропетровском университете. Но путь, которым идти в науке, мне указал Колмогоров.

Обучение математике является частью воспитания человека?

В математике утверждение считается истинным, если оно доказано, истина требует доказательств. Так что математика имеет особые свойства, которых нет у других наук.

Эти свойства, я бы сказал, идут в сторону повышения правдивости, следовательно, повышения нравственности. Занятия математикой способствуют укреплению нравственности, правдивости, т. е. в ней всегда идет поиск правды.

Мы заговорили о понятии нравственности. Как на Ваш взгляд, влияет христианская нравственность на жизнь государства в целом? На его силу, авторитет и целостность?

— Практика показывает, что очень влияет!

Сейчас Церковь отделена от государства, но она не отделена от российского общества. Есть вещи, например образование, которых Церковь обязательно должна касаться.

Судите сами, одно дело, когда у детей в силу каких-то причин уменьшаются логические способности в целом, а другое, когда есть властные учреждения, которые сверху стараются уменьшить логический, общекультурный уровень, уменьшить школьные программы и так далее. В таком вопросе Церковь, я думаю, тоже должна бы сказать

свое слово, в такие вопросы Церковь должна бы вмешиваться. Раньше она вмешивалась, а сейчас только и слышно: «.. .отделена от государства!»

Мое мнение, что может быть даже и лучше, что Церковь отделена от государства. Нехорошо, когда Церковь и государство возглавляет один человек. Мне кажется, что есть вопросы, касающиеся всего общества в целом, в том числе и религиозных людей и их детей, где Церковь могла бы более уверенно заявлять свое мнение.

Взаимоотношения государства и Церкви, взаимоотношения Православия и Образования, роль Церкви в воспитании детей — будущего страны, каковы они на Ваш взгляд сегодня?

— Думаю, что Церковь должна сближаться с государством в этих вопросах.

Я отвечу на это так: «Православие я поддерживаю». Православие связано с русским народом, и, конечно же, со всем российским народом, но, главным образом, русским. Это государствообразующий народ, и Православие оказалось очень сильным фактором в укреплении государственности.

Я еще от родителей, от отца привык быть человеком, который думает о государстве и очень страдает, когда оно разламывается, ослабевает — меня это очень беспокоит. Я теперь вижу, что была революция, и что угодно, а Православная Церковь все-таки выстояла, восторжествовала, и это мне нравится. Православие сможет укрепить государство.

У меня есть круг знакомых, ученых-физиков, которые очень сильно связывают себя с Церковью, посещают храм, являются церковными людьми.

Каково Ваше отношение к преподаванию русской духовной культуры? Что бы ни говорили о многонациональности, государственность России держится на русской культуре, а ее ядром является православие!

— Я полностью присоединяюсь к этому. Насчет обязательности Закона Божия я должен подумать (я же учил в гимназии Закон Божий и знаю, как учились в свое время в духовных училищах дети священников), — обязательность изучения предмета не всегда обеспечивает живую веру. Но вводить этот курс, тем более, что разговор-то идет о факультативном предмете, безусловно, было бы и правильно, и очень полезно!

Чего Вы хотели бы пожелать как русский ученый: правительству, преподавателям, студентам, школьникам?

— Во-первых, правительство должно давать на образование больше средств, чем оно дает сегодня. На образование и на науку! Учителям надо больше платить, это безусловно! Но это не все, сейчас есть миллионы детей, которые не учатся совсем! О них тоже надо подумать, иначе придется столкнуться с усилением преступности. Независимо от этого нельзя в школах уменьшать преподавание русского языка и естественных наук, понимаете, нельзя!

Они вводят какие-то предметы от культуры, так почему бы среди этих предметов не поставить «Основы православной культуры».

В педагогических институтах нужно серьезно подходить к преподаванию методики предмета, учить сравнивать учебники, готовить студентов — будущих учителей предметно так, чтобы были готовы к восприятию нового.

Учителям что пожелать? — Благоденствия! Ведь у них есть еще и личная жизнь, я хочу, чтобы они были счастливы!

Беседовала Ф.Н. Савельева Источник: православный образовательный портал СЛОВО

(http://www.portal-slovo.ru).

Научно-исследовательский семинар «Элементарная математика»

При кабинете методики преподавания математики кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством доцента В.В. Вавилова работает семинар (четверг, 18.00—20.00, 1 раз в две недели, ауд. 13-06), посвященный проблемам математического образования в целом, проблемам специализированного школьного обучения математике и научным исследованиям, проводимым в области так называемой элементарной математики. (Элементарная математика у каждого человека своя, а само деление математики на высшую и элементарную носит довольно условный характер).

В планы работы семинара включены доклады, основная цель которых состоит в обсуждении вновь полученных научных результатов из различных областей математики и которые в той или иной форме могут быть использованы в учебном процессе в вузе и в школе. Предполагается, что докладчики не обойдут стороной постановки задач для проведения новых исследований в школьной и вузовской среде, помогут участникам семинара ориентироваться в широком спектре ныне проводимых исследований как у нас в стране, так и за рубежом, станут научными руководителями школьников и студентов, проявившими интерес к научно-исследовательской работе.

На заседаниях семинара в сентябре — октябре 2004 года были заслушаны доклады доцента В.В. Вавилова «Математическое творчество школьников» и профессора механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова С.Б. Гашкова «Экстремальные свойства выпуклых многоугольников». В.В. Вавилов рассказал о конкретных результатах исследований, проведенных за последние несколько лет его учениками из школы им. А.Н. Колмогорова. С.Б. Гашков в своих двух докладах представил прямые доказательства целого ряда геометрических неравенств, связывающих между собой периметр, диаметр, ширину, внешний и внутренние радиусы выпуклого многоугольника.

На семинаре 11 ноября 2004 года состоялся доклад доцента механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова А.В. Устинова «Дискретное преобразование Фурье и правильные многоугольники на решетке», в котором было рассказано о том, что такое дискретное преобразование Фурье и о его приложениях к решению задач из

элементарной геометрии и теории решеток. Интересно, что началом для этой работы послужила одна из задач, которую планировалось включить в компьютерно-математический бой в период работы летней олимпиадной школы в июне 2004 года, организованной в школе им. А.Н. Колмогорова Московского университета.

Заседания семинара 18, 25 ноября и 2 декабря 2004 года были совмещены с семинаром для преподавателей математики курсов повышения квалификации учителей г. Москвы, которые ежегодно проводит кабинет методики преподавания математики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Все три семинара были посвящены теме «Методы решения задач с параметрами»; докладчик доцент В.В. Вавилов. На первом заседании главным моментом было выяснение той роли, которую играет параметр в задаче и вообще: что такое параметр? Исходя из того, что параметр — это такая же переменная как и неизвестное, были уточнены понятия ОДЗ, решения задачи и формы записи ответов, приведены примеры таких задач, решение которых использует изменение роли параметра («параметр как равноправная переменная») на каком-то этапе решения задачи. На втором заседании были на конкретных примерах обсуждены так называемые «Метод сечений» и «Метод областей (метод ОХА)», а также разумные границы их применения. Последнее заседание в этом цикле было посвящено «Методу парабол» («танцующей параболы», «переменной параболы» и т.п.). Основу изложения составило взаимно однозначное соответствие между двухпараметрическим семейством уравнений x2 + рх + q = 0 и точками фазовой плоскости Opq этого семейства. Были рассмотрены важнейшие примеры «угадывания теорем» и их доказательств, которые доставляют простые критерии для того или иного расположения корней квадратных уравнений на числовой прямой. Другими словами, изучалась «технология работы» с квадратичными функциями. На всех заседаниях для конкретных иллюстраций рассматривались задачи вступительных экзаменов в Московский университет прошлых лет. На заседаниях семинара присутствовали не только те участники семинара, для которых он в первую очередь предназначался, но и будущие абитуриенты — учащиеся Московских школ. Как показывает многолетний опыт, для изложения подобной темы в достаточно полном объеме и с желаемой эффективностью шести академических часов явно недостаточно.

На семинаре 9 декабря 2004 выступил доцент кафедры математики школы им. А.Н. Колмогорова В.Н. Дубровский с докладом «Интерактивные геометрические системы». Основу доклада составил рассказ о программах динамической геометрии (с конкретными компьютерными иллюстрациями) и, прежде всего, о программе “The Geometer's Sketchpad” (или «Живая геометрия») и их использовании в преподавании геометрии и математики вообще. Были предложены темы для разработок на основе этих программ. Во время доклада были проиллюстрированы те наработки, которые возникли у авторского коллектива при создании образовательного комплекса «Математика 5—11» (Москва: ЗАО «1С», АНО «Учебно-издательский центр «Интерактивная линия», Учреждение «Институт новых технологий», 2004), научным руководителем которого являлся докладчик.

На заседании семинара 17 февраля 2005 года выступил ассистент кафедры математики СУНЦ МГУ Г.И. Шарыгин с докладом «О гипотезе 13 шаров». Гипотеза 13 шаров появилась в конце XVII века как спор между Ньютоном и Грегори. Вкратце вопрос можно сформулировать так: сколько материальных шаров равных радиусов можно «прислонить» к фиксированному шару того же радиуса? Конфигурацию, в которой таких шаров 12, придумать несложно. Также несложно показать, что не существует конфигурации, содержащей 14 шаров. Однако вопрос о возможности (невозможности) прислонить 13 шаров оставался открытым до середины XX века. Первое полное решение, доказывающее невозможность такого явления (и тем самым подтверждающее правоту Ньютона), было получено Б.Л. Ван дер Варденом и К. Шютте в 1953 году. Доклад основан на коротком элементарном доказательстве, опубликованным Д. Личем в 1956 году в статье “The problem of the thirteen spheres” в журнале «The mathematical gazette».

3 марта 2005 года состоялся доклад старшего преподавателя кафедры математики СУНЦ МГУ, заведующего математическим отделом журнала «Квант» А.А. Егорова «Числа Пизо». В шестидесятых годах прошлого века на различных олимпиадах, а также в математической литературе для школьников была популярна следующая задача (и различные ее варианты):

Найдите первые n цифр после запятой в десятичной записи числа

Оказывается, что (в зависимости от четности n) эти цифры либо двойки, либо нули, то есть с ростом n расстояние от числа an до ближайшего целого числа стремиться к нулю. Более общий вопрос таков: для каких чисел а расстояние от числа on до ближайшего целого числа стремится к нулю с ростом n?

В докладе доказано, что алгебраическое число а обладает указанным свойством тогда и только тогда, когда а — число Пизо, то есть целое алгебраическое число, все сопряженные к которому по модулю меньше единицы.

Приглашаем преподавателей, студентов и школьников принять участие в работе семинара.

Замечания о работе семинара, предложения о выступлениях на его заседаниях и тематические заявки для возможных дальнейших обсуждений будут встречены со вниманием и большой благодарностью.

В список рассылки приглашений включены: Алексеев А.Д., Архипов Г.И., Бекларян А.С., Богатый С.А., Бородин П.А., Бутузов В.Ф., Галочкин А.С., Гашков С.Б., Герман О.Н., Довбыш С.А., Долбилин Н.П., Долгалева O.E., Дубровский В.Н., Евдокименко А.П., Егоров А.А., Егоров Ю.Е., Сергеев И.Н., Солодов А.П., Колосов В.А., Коровин И.Н., Комбаров А.П., Конягин СВ., Красников П.М., Макаров А.В., Мощевитин Н.Г., Мусин О.Р., Николаев Ю.П., Пономарев А.А., Подколзин CA., Рождественский В.В., Селиванова И. Ю., Скопенков А.Б., Степанов А.А., Тихомиров В.М., Ткачук Р. М., Торкхов Ю.А., Трещев Д.В., Устинов А.В., Часовских А.А, Чирский В.Г., Чубариков В.Н., Шавгулидзе Е.Т., Шарич В.З., Шарыгин Г.И., Швец А.Н., Шевкин А.В., Шивринская Е.В.

Для включения кого-либо в рассылочный список прошу сообщить электронный адрес В.В. Вавилову (например, через сайт школы им. А.Н. Колмогорова red@pms.ru или через Клуб ФМШ Колмогорова info@internat18club.ru ).

Материал предоставил А.В. Шевкин

Н.А. Курдюмова

Анатолий Михайлович Пышкало (1919—2000)

Имя Анатолия Михайловича Пышкало было хорошо известно математико-педагогической общественности в 60-х-70-х годах прошлого века. Он руководил рядом работ по совершенствованию системы средств обучения математике. Широкое распространение получили созданные им или под его руководством учебные кинофильмы, диафильмы, диапозитивы.

Сейчас этими средствами обучения никого не удивишь, но тогда приходилось доказывать их методическую необходимость. Оппоненты Пышкало говорили, что польза от киноуроков невелика, что во время их проведения трудно следить за дисциплиной учащихся, что работа с кино- и диафильмами может испортить детям зрение, что, наконец, киносредства слишком дороги для школы тех лет, в которой часто не хватало обыкновенных угольников или мела.

Нельзя сказать, что все эти доводы был несерьезны. Во многих из них звучала настоящая правда жизни. Доказывая свою правоту, А.М. Пышкало, не только разрабатывал содержание учебных кино- и диафильмов, но и разъяснял методику их применения, изыскивал финансовые и творческие возможности для того, чтобы сделать визуальные учебные средства по-настоящему интересными для юных зрителей.

В XXI веке значимость этих усилий не сразу и не всем понятна. Но стоит вспомнить, что с начала 60-х годов школа стала постепенно переходить от устаревших средств обучения (знаменитых счетов, линеек, угольников) к новым прогрессивным технологиям. В школах становились все более популярными кинопроекторы, диапроекторы, кодоскопы, приборы ЛЭТИ. Надо было научить учителей управлять этим всем этим. Прежде всего, необходимо было раскачать инертную учительскую массу, возбудить в ней интерес к новому, стремление вносить что-то прогрессивное в оборудование своих уроков. В 70-х годах некоторые школы СССР преобразились до неузнаваемости: их впору было считать небольшими комбинатами, в которых и действовали новые приборы, и трудились новые люди, живо интересовавшиеся всем, ранее невиданным. Эти-то новые школы-комбинаты и подготовленные в них учителя и ученики стали проводниками прогресса.

Прогресс, перед которым оказалась наша школа в конце XX века, со временем перерос в гораздо более кардинальные преобразования, чем нововведения, бывшие мечтой А.М. Пышкало. Мы имеем в виду появление в школе и в стране компьютерной техники. К этой сложнейшей технике многие прогрессивные учителя оказались психологически готовы. Они восприняли ее без сопротивления, постепенно учились работать с нею. Семена нового упали на уже подготовленную почву. Пусть трудно и не сразу, но информатика начала упорно прокладывать себе дорогу в школьную жизнь.

Особое место в исследованиях А.М. Пышкало занимали вопросы преподавания математики в начальной школе. В этой области он получил существенные результаты, которые применяются и в современных методических работах. А.М. Пышкало — автор более 350 публикаций, среди которых стабильные учебники, методические руководства, а также учебные пособия для педучилищ и педагогических вузов. Многие его работы переводились на иностранные языки.

Официальная биография Анатолия Михайловича поражает своей ординарностью. В нее трудно поверить читателю, знающему, какие испытания прошла наша Родина в XX веке. Анатолий Михайлович родился в Москве, в учительской семье. С 1960 года работал в научно-исследовательском институте АПН СССР. В Академии педагогических наук он прошел путь от младшего научного сотрудника до профессора, члена-корреспондента АПН СССР.

В этом безоблачном послужном списке диссонансом звучали бы упоминания об участии в войне с Финляндией и в Великой отечественной войне. Война перевернула жизнь целого поколения, а по судьбе Анатолия Михайловича она прошлась особо глубокой бороздой, хотя он оказался не из тех, кого война сломала. В конце концов, жизнь его восстановилась и протекала вполне успешно. Но о каких-то фактах своей биографии ему пришлось долго молчать.

А молчал он вот о чем. Во время отечественной войны А.М. Пышкало попал в плен. Его направили в концлагерь, который находился во Франции. Оттуда Анатолию Михайловичу удалось бежать. Он присоединился к одному из партизанских отрядов французского сопротивления. Когда во Франции высадились союзнические войска по антигитлеровской коалиции, французские партизанские отряды с оружием в руках присоединились к войскам своих союзников — американцев и англичан — и продолжили борьбу за окончательное осво-

бождение от фашизма своей родины и всей Европы. Вместе с ними воевал и Анатолий Михайлович. За героизм, проявленный во время штурма последних немецких укреплений, он был награжден одним из высоких американских боевых орденов. Но наступил мир, и всех советских граждан вернули на родину.

В послевоенной России широко была распространена сталинская точка зрения, согласно которой всех людей, побывавших в плену, автоматически относили к разряду трусов, а господствовавшая повсеместно шпиономания превращала американский орден из плюса к биографии молодого фронтовика в ее минус, причем минус очень весомый. Ему пришлось отвечать за то, в чем он совершенно не был виноват — и за плен, и за иностранный орден. О том, что переживала его семья в этот период, можно косвенным образом судить по крайней запуганности его вдовы: даже после смерти Анатолия Михайловича убитая горем женщина категорически запретила рассказывать в печати о его боевой биографии, боясь, что выплывет на свет история о плене и об американском ордене. В некрологе, посвященном памяти А.М. Пышкало («Математика в школе, 2000, № 5, с. 5) редакция сумела только в общих чертах упомянуть о событиях его героической жизни.

К сожалению, часто бывает, что родственники мешают рассказать правду о наших замечательных современниках, боясь чего-то постороннего и совершенно не способного запятнать память людей, определявших лицо своего времени. Эти люди большую часть с жизни вынуждались скрывать самые героические страницы своей биографии. Рассказ о них мог бы стать еще одним кирпичиком, положенным в нашу общую народную память. А теперь, пытаясь взломать печати молчания, которые на протяжении десятилетий уродовали нашу историю, мы по крупицам собираем недостающие данные о жизни наших научных дедов и прадедов.

Л.И. Мильграм

Некоторые соображения о реформе образования

В связи с развернувшейся бурной дискуссией о реформе образования (что вполне понятно — речь идет об одном из основополагающих параметров развития общества) испытываю острую потребность высказать мнение старого учителя-практика.

Российская школа действительно нуждается в реформировании, но не в компанейском, одноразовом и часто недостаточно продуманном, а в тщательно разработанном, многоэтапном, постепенном, с возможностью коррекции на основе учета результатов экспериментов, проб и ошибок.

Сегодня главное внимание общественности сосредоточено на проблемах ЕГЭ (большей частью негативных). Интерес понятен — в предлагаемом виде ЕГЭ (во всяком случае, две его первые ступени) дает представление не об интеллекте экзаменующихся, а скорее, о наличии лишь одной из функций человеческого мозга — памяти.

Эта система, во всяком случае, в том виде, как она имплантируется ныне, чужеродна и вряд ли может привиться. Представляется, что она может иметь место при выпуске из 9-х классов, а при выпуске из полной средней школы — только как документ при определенных результатах для допуска к сдаче экзамена в избранный ВУЗ по профильным предметам.

Вопрос о судьбе ЕГЭ закономерен, но чрезмерная концентрация только на нем уводит от постановки других, более существенных проблем реформирования образования.

Крайне беспокоит ослабление внимания к содержанию образования, содержанию, которое всегда было сильной стороной российской школы. Ошибочной является явная ориентация на опыт школьного образования на Западе и, прежде всего, на США, где уровень содержания школьного образования всегда был ниже, чем в России!

Вопрос содержания образования должен решаться на основе отбора необходимых понятийных представлений в каждой области научных знаний.

Представляется необходимым, чтобы прерогатива определения этого принадлежала РАН, чтобы академия и ее ведущие институты выступали не в качестве одного из экспертов, а изначально определяли ключевые позиции и понятия в школьных программах. Российская академия наук должна стать арбитром в неминуемых спорах при разработке образовательных стандартов и даже учебных планов. Недопустимо, например, резкое уменьшение часов по ведущим предметам:

сокращается количество часов по математике, литературе, преподавание биологии и географии сведено до одного урока в неделю.

Ученые РАН должны больше привлекаться к созданию и отбору учебников. Следует интенсифицировать непосредственные связи большой науки со школами. Примеры тому есть — созданная МГУ Колмогоровская школа, былая практика 2-й московской физмат школы, ряда других профильных школ.

Хотелось бы, чтобы РАН уделяла больше внимания проблемам школы, видела ее роль, как источник подпитки науки, ее будущего.

Важнейшей проблемой реформы должны стать изменения в структурировании образования. Представляется ошибочным стремление узаконить положение об обязательности полного среднего образования. Попахивает демагогией. Образование должно быть доступным — и это вытекает из положений действующей конституции, — включая его бесплатность, но заставить учиться всех в старших классах нельзя. Стоит посчитаться с тем, что наличие в классе хотя бы нескольких подростков, загнанных туда кнутом принудительности против их воли, значительно затрудняет и ослабляет познавательные возможности других учеников и неизбежно снижает уровень преподавания.

Известны, правда, адаптивные школы (я знаю только 109 школу-центр образования в Москве), но это явление скорее уникальное, реализация которого под силу лишь редчайшим талантам и не может быть принято за общедоступную форму педагогической деятельности. Во всяком случае, мне — человеку с немалым педагогическим опытом — участие в подобной форме обучения и воспитания было бы не по плечу. Наряду со старшими классами средней школы необходимо возродить в полном объеме учреждения профессионально-технического образования, состояние которых совершенно неадекватно сегодняшним потребностям, не говоря уж о возможности роста этой потребности завтра, при росте — стоит надеяться — других (кроме сырьевых) отраслей производства, требующих высококвалифицированных специалистов. Профессионально-техническое образование должно включать в себя необходимые объемы общего образования и быть полноправной ветвью среднего образования. Передача профессиональных учебных заведений органам образования при их крайне скудном финансировании не решит проблему. Этот путь может дать результаты только при крупномасштабном дополнительном вливании в бюджет образования, адекватном необходимости решения важнейшей и материальноемкой задачи. В ином случае серьезное возрождение профес-

сионально-технического образования возможно только при пробуждении — инициированном государством — заинтересованности в подготовке кадров соответствующих отраслевых ведомств и предприятий (включая частные). Каждый из этих двух путей дает некоторый шанс для возрождения не только учреждений проф-тех образования, но и обеспечения их привлекательности для потенциальных учащихся. Оптимальным является соединение этих двух путей. По существу, именно по этому варианту пошли Правительство Москвы и Департамент образования. Но возможности Москвы не безграничны, да и значимость проблемы далеко выходит за рамки столицы. Следовало бы создать государственную программу возрождения и развития профтехобразования, включающую в себя отдельную строку в федеральном бюджете. Совокупность федеральной программы и бюджетных ассигнований с решительными действиями регионов обеспечило бы решение важнейшей для страны проблемы.

Развитие ПТУ, колледжей и т.п. может и должно несколько сузить прием в 10—11 классы. Сегодняшний размах приема в 10—11 классы ориентированный на последующее чрезмерное, подчас повальное поступление в ВУЗы не соответствует потребности страны и приводит к тому, что, во-первых, значительно, мягко говоря, усредняет во многих ВУЗах уровень студенчества и, во-вторых, к тому, что, получив диплом, многие выпускники не работают по полученной специальности. Больше того, неадекватное потребностям страны количество выпускников ВУЗов неминуемо увеличивает количество уезжающих для трудоустройства за границу. Кстати, как правило, это отнюдь не худшие из выпускников.

Очевидна необходимость профильных классов и школ (гимназий, лицеев). Оптимально — в прямой связи с соответствующим ВУЗом. Набор в эти классы возможен только при условии конкурсного отбора. Желательно, как это имеет место в ряде школ, организовать подготовку желающих в форме дополнительного образования на уровне 8—9 классов (при бесплатном допуске к этим занятиям нуждающихся учащихся). Это дает возможность учащимся расширить и углубить знания в избранных предметах и избежать ошибок в дальнейшем выборе специальности.

Отбор в профилированные классы позволяет не только обеспечить более высокий уровень обучения, но и решить важнейшую задачу воспроизводства интеллигенции, что сегодня является одной из существенных задач общества. Уход старых лидеров интеллигенции — от Сахарова и Лихачева до Окуджавы и Гердта — практически обезгла-

вил российскую интеллигенцию. Молодые либералы не выдержали испытания деньгами и властью. Интеллигенция как социальное явление фактически растворяется и теряет свою роль общественного лидера. Задача образовательного комплекса — от школы до ВУЗа — восполнить эту потерю. Это в том числе означает восстановление имевшегося всегда в России высокого уровня обучения подлинных интеллектуалов; воспитание интеллигентов, т.е. людей, обладающих способностью ставить интересы общества не ниже индивидуальных, могущих поступиться собственным «я» ради других людей, наконец, заряженных способностью добросовестной, рациональной и продуктивной критики других людей и даже институтов общества и государства. Иначе говоря, без доминанты гиперболизировано понимаемого модного ныне либерализма, как исключительности индивидуума вне зависимости от интересов общества в целом и каждого его члена.

Вряд ли можно и стоит назвать истинным интеллигентом социального министра, вещающего с едва скрываемой усмешкой о законодательном серьезном ущемлении жизненных интересов ветеранов и инвалидов. Не трудно за внешней привлекательностью респектабельного министра разглядеть едва скрываемый цинизм по отношению к «вырождающемуся поколению».

В Москве, да думается и в стране, плодятся частные школы. Они, безусловно, имеют право на жизнь. Но, к сожалению, лишь малая часть из них соответствует требованиям хорошего качественного образования и особенно воспитания. Недаром многие интеллигентные родители, имеющие возможность учить детей в частной школе, переводят их в хорошие государственные школы. Как сказала когда-то Л. П. Кезина (правда, по другому поводу) «родители голосуют ногами». Нет слов, частная школа обеспечивает комфортные условия обучения, большее внимание каждому ученику и т. д. Но во многих из них законом бытия является девиз ученика — «мой папа платит деньги » (и, кстати, немалые). Уровень преподавания, особенно уровень требований, часто ниже, чем в государственной школе. Не говоря уж о социальном неравенстве, хотя контингент учащихся несколько нивелируется уровнем платы за учебу в той или иной школе.

Между тем на Западе, — на который нас призывают равняться наши реформаторы от просвещения — большинство частных школ отличается от государственных именно более высоким уровнем образования и требований и равенством перед этими требованиями всех учеников независимо от социального положения и материальных возможностей. Ученик 45-й московской гимназии, уехавший после 9-го класса учить-

ся в Итон (кстати, бесплатно — отлично сдал вступительные экзамены) и учившийся там одновременно с наследным принцем Англии, рассказывал о равенстве требований (учебных и дисциплинарных) для всех учащихся, включая принца. Так и хочется воскликнуть в адрес администраций наших частных школ: «Вы, нынешние, ну-тка». Разумеется, уровень знаний важен. Очень. Но выпускникам частных школ гарантировано в любом случае поступление в любой ВУЗ — есть ведь негосударственные ВУЗы и платные места в государственных. Однако, думается, низкие требования в сочетании с воспитанием чувства исключительности, связанным с материальными возможностями родителей, несут в себе заряд асоциальности, который может принести много бед самим сегодняшним выпускникам и обществу в целом.

Необходимо ужесточить лицензирование частных школ, основанное на имеющихся (учитывая сроки деятельности) результатах их работы. Может быть, стоит создать у нас (с помощью государства на первых порах) одну-две частные школы, способные реализовать вышеприведенные принципы частных школ на Западе, как достойную модель для подражания. Одновременно стоило бы разработать типовые уставные документы (регламент деятельности, кодекс поведения) для всех частных школ.

Внушает серьезное беспокойство проблема высшего образования — совершенно нерациональное количество ВУЗов, особенно частных. Упоминание о росте количества студентов, как о показателе уровня общества, представляется ошибочным как уже было сказано. Число студентов неадекватно потребностям государства. Значительная часть выпускников отнюдь не работает по полученной специальности. Важно только получить «корочки». Во многих ВУЗах — особенно частных — низок уровень обучения. Крайне необходимо резко повысить уровень лицензионных требований при систематичности самой процедуры лицензирования. Обращает на себя внимание и число народившихся университетов. Вызывает недоумение, когда рядом с МГУ и некоторыми другими головными лидерами не только обучения, но и первопроходства в науке, плодятся десятки, если не сотни ВУЗов, которые подчас кое-как справляются с обучением студентов, и совершенно далеки от исследований, но получают высокое звание российских университетов. Может быть, стоит дифференцировать уровень аттестационных и лицензионных требований, повысив максимально планку при аттестации и лицензировании ВУЗов, претендующих на звание университета. И непременно учитывать при

этом мнение Совета ректоров России. Университеты должны быть истинными флагманами воспроизводства и развития российской науки.

При отсутствии в стране планового начала, тем не менее, следовало бы стремиться лицензионным путем привести количество ВУЗов к ожидаемой потребности в каждой из отраслей жизни страны. С целью привлечения выпускников ВУЗов к деятельности по специальности (например, меньше половины выпускников педвузов идут в школу) пора решить проблему контрактов, заключаемых со студентами, при поступлении в ВУЗы.

При решении всех вопросов среднего образования, которые должна решать реформа школы, главной остается проблема учителя. Учителей, особенно хороших учителей, судорожно не хватает. И этот дефицит будет расти. И за счет естественной (возрастной) убыли, и за счет широкой возможности сегодня хорошему выпускнику педвуза найти лучшее по материальным критериям место в жизни, и потому, что хороший учитель часто стремится получить в школе минимальную нагрузку и догрузиться частными уроками. Москва, спасибо руководителям города и Департамента образования, старается поднять материальный статус учителя. Но ведь и отвлекающие возможности здесь выше. Во многих других регионах дело обстоит еще острее.

Между тем, прав был Ленин: о социальном уровне страны следует судить по материальному уровню жизни учителя и врача. Недостаток внимания сегодня высших этажей власти, видимо, проистекает от глубинного непонимания роли школы, как творца будущего страны. Это так. Сегодня мы имеем явную тенденцию к понижению — количественного и качественного — уровня учительства. Стоит задуматься о коренном изменении материального положения учительства и, кстати, связанного с этим престижа учительской профессии.

Отдельно следует сказать о фигуре директора школы. Проработав 42 года руководителем одной из московских школ, беру на себя смелость утверждать, что директорский корпус Москвы (думаю, что это касается не только Москвы) заметно снизил свой уровень. Директор школы должен быть, прежде всего, хорошим учителем. Я бы сказал — Учителем. Но и этого мало. Он должен быть интеллектуалом, интеллигентом и — обязательно — Личностью. Он должен — и это одно из главных его качеств — любить людей и, прежде всего, детей. Он должен уметь (больше того — хотеть!) полностью отдаваться нашему Делу, не считаясь с затратами времени, сил, собственным благополучием, он должен быть принимаемым лидером для своих коллег-

учителей и школа должна быть для него не службой, а служением. Наконец, он должен обладать (сегодня больше, чем когда бы то ни было) качествами менеджера. Такие лидеры есть и сегодня в московских школах. Но их становится все меньше. И это трагично. На Юго-Западе Москвы зародился опыт подготовки и отбора директоров школ. Дай бог успеха этой деятельности и пусть будет высокой планка отбора. Но ведь проблему надо решать на государственном уровне. Должность школьного директора должна замещаться на конкурсной основе. Это значит, прежде всего, создание для директора школы возможности реализации своего (и принятого коллективом) видения проблем образования и воспитания. Это значит, во-вторых, создание устойчивого материального положения директора (сегодня зарплата директора — в пределах 10000 рублей). Наконец, почему бы не придать директору школы статус госслужащего (на первых порах хотя бы избирательно), как это имело место в дореволюционной России.

Наконец, нельзя не сказать о материальном существовании школ, его скудности. Сегодняшняя школа требует изрядных затрат на оснащение и переоснащение учебного процесса, на создание современных спортивных комплексов (здоровье детей!) и т. д. В 90-х годах в Москве был закон, дающий возможность предпринимателям определенный процент начисленного налога направлять адресно школам. Отменили. А не худо было бы сделать это по всей России. Разумеется, не отказываясь при этом от бюджетного финансирования. Попытка переложить недостаток средств на плечи родителей (при этом на всех, не учитывая принципа добровольности) грозит, без преувеличения, возможностью краха школы, как общедоступного образовательного учреждения и, как следствие, потерей одного из социальных достижений страны — общего уровня образования россиян.

Суммируя, хочу сказать: российская школа ждет сегодня от тех, кто олицетворяет сегодняшнее государство, твердого курса на помощь в выживании (такова сегодня реальность), продуманном и серьезном реформировании и, главное, — помощи образованию России на каждой его ступени. Родное для нас Дело должно стать общим от Президента до учителя.

Можно приветствовать известную целепостановочную фразу Президента об удвоении ВВП, борьбе с бедностью, укреплении армии, но в конце стоило бы поставить не точку, а запятую. И добавить — образование и науку. Без этого у страны не может быть будущего.

В.В. Фирсов

Подводные камни ЕГЭ

1. Идея совмещения школьных выпускных и вузовских вступительных экзаменов с первого взгляда кажется безусловно привлекательной. Логика, лежащая в ее основании, довольно проста: в вузы надо принимать лучших по стране выпускников школы, а для их определения достаточно формализовать и унифицировать школьные выпускные оценки. Ведь многие университеты во всем мире принимают студентов без вступительных экзаменов на основе результатов школьных тестов.

Эта идея была впервые публично выражена В.П.Беспалько более тридцати лет тому назад в породившей большой общественный резонанс статье в «Литературной Газете». Статья широко обсуждалась в общей и профессиональной прессе. В ходе обсуждения высветились многие подводные камни предложенного подхода — простота оказалось обманчивой. Неясно было все — и что такое лучший выпускник школы, и станет ли он хорошим студентом, а тем более хорошим выпускником вуза, и как это связано с его отметками, и поддается ли этот подход хоть какой разумной формализации, и так ли уж нам подходит пресловутый западный опыт.

Старая дискуссия выявила и поле согласия. Достаточно быстро стало ясно, что на вступительных экзаменах в принципе решаются две разные задачи. Первая из них — отсеять те поступающих, которые недостаточно готовы к обучению в вузе. Вторая — отобрать наиболее подготовленных из оставшихся. Выяснилось, что по отношению к этим задачам разные вузы находятся в совершенно различном положении: одни вузы озабочены преимущественно решением первой задачи, тогда как другие вынуждены сосредоточиться на второй.

Между тем эти задачи следует решать совершенно разными методами, что многократно повторяют все специалисты в области педагогических измерений. Так вот, решение первой задачи в принципе возможно передоверить школе при условии применения определенных унифицирующих процедур, и это, видимо, удовлетворит многие вузы. В то же время решение второй задачи, если она возникает, следует всегда оставлять за вузами.

Кстати сказать, уже тогда был наработан определенный опыт унификации экзаменов посредством открытой публикации избыточных

перечней экзаменационных заданий по типу знаменитого сборника задач по математике под редакцией М.И.Сканави, по которому много лет проводились вступительные экзамены в большинстве технических вузов страны. Этот же опыт широко использовался и в школьной практике.

К сожалению, современные дискуссии об единых государственных экзаменах (ЕГЭ), которые ведутся на бумажных и виртуальных страницах в течение нескольких последних лет, протекают по хорошо накатанной схеме. В одной аудитории собираются, скажем, сторонники ЕГЭ. Они с увлечением критикуют очевидные недостатки традиционных экзаменов и превозносят достоинства ЕГЭ. В это же время в другой аудитории (чаще виртуальной) противники ЕГЭ столь же рьяно клеймят очевидные минусы ЕГЭ и подчеркивают плюсы традиционных экзаменов. Самое привлекательное в таких дискуссиях, что все участники всегда оказываются правы, а оппоненты — всегда неправы.

Впрочем, описанная выше симметрия — только кажущаяся. В подобных случаях к участникам, предлагающим инновации (в нашем случае — к сторонникам ЕГЭ), следует применять своеобразную презумпцию виновности: бремя доказательства целесообразности, реализуемости и эффективности нововведения лежит на них. В частности, именно они обязаны проанализировать возможные альтернативы предлагаемым решениям и оценить риски, неизбежно сопровождающие любые нововведения.

А риски, очевидно, есть. В некоторых случаях их можно устранить, подправив содержание и условия проведения ЕГЭ. В других случаях риски выглядят настолько опасными, что настоятельно диктуют необходимость поиска альтернативных решений. Подобные альтернативы, безусловно, существуют, и их отсутствие в эксперименте, возможно, является одним из самых серьезных его недостатков.

Перед создателями ЕГЭ была поставлены две главные задачи, направленные «вниз» и «вверх» соответственно — на школу и на вуз. Для средней школы предлагалось разработать систему объективной проверки общеобразовательной подготовки выпускников.

Исходя из полученных результатов, планировалось оценивать качество работы школ. Для вузов на основе тех же результатов предлагалось осуществлять отбор лучших выпускников для последующего получения высшего образования без традиционных вступительных экзаменов. При этом через систему государственных именных финансовых обязательств (ГИФО) планировалось напрямую связать индиви-

дуальные результаты ЕГЭ с размером участия государства в оплате высшего образования конкретного студента (некоторые критики не без оснований полагают, что именно в этом пункте и зарыта пресловутая собака, пробудившая дорогостоящую во всех смыслах эпопею ЕГЭ).

Естественно, что и анализ потенциальных рисков и возможных альтернатив уместно произвести также в отдельности для «школьного» и «вузовского» направлений.

Главная идея ЕГЭ, несомненно, — идея вузовская, идея упрощения громоздкой и неравноправной системы конкурсного отбора будущих студентов. Уже это вызывает определенные опасения: позволительно ли существенно перестраивать всю школьную систему для решения вопроса, относящегося лишь к части ее выпускников?

В интеллигентской «тусовке», обычно обсуждающей проблемы образования, сложился определенный стереотип неуважительного отношения к школе. Принято считать, что, мол, наша школа ужасна, тогда как вузы (обычно вспоминают несколько ведущих вузов класса МГУ или МФТИ) вполне соответствуют лучшему мировому уровню. Так и сравнивают: со стороны школы — немолодую, слабо подготовленную, замотанную и замороченную учительницу Марью Ивановну, со стороны вуза — гипотетического блестящего профессора, обладающего самой высокой квалификацией.

Я, напротив, полагаю, что сегодняшняя картина системы образования выглядит в точности наоборот: наша школа, несмотря на все беды и потери последних двадцати лет, еще вполне прилична, тогда как вузы (если не учитывать несколько ведущих вузов) весьма посредственны. И нищая идеалистка Мария Ивановна мне несравненно милей сытого деляги, осваивающего новые рыночные отношения на ниве вступительных экзаменов в какой-нибудь МУМУ (что-то вроде Международного Университета Менеджмента и Управления).

Благодаря самоотверженному и неблагодарному труду учителей школа сегодня остается, пожалуй, единственным стабильно работающим социальным институтом. Осознает ли наше государство и общество всю меру рисков, связанных с потенциальной деструкцией системы общего образования? В частности рисков для школы, связанных с введением ЕГЭ?

2. В многочисленных статьях противники ЕГЭ направляют острие критики в основном на недостатки ЕГЭ как средства конкурсного отбора в вузы. Мне представляется, что введение ЕГЭ как результирующей оценочной процедуры представляет наибольшую опасность именно для системы общего образования.

Этим актом окончательно закрепляется вузоцентристская ориентация школы, т.е. ее направленность на подготовку выпускников к получению высшего образования. Поступление в вуз конституируется как единственный успешный финал школьных лет. Нет сомнения, что школа адекватно оценит посылаемый ей сигнал: прагматичное «образование для» окончательно вытеснит самоценный процесс образования личности.

Конечно, для многих родителей, которые не мыслят будущего своих детей без высшего образования, вузоцентризм школы вполне естественен. Эту тягу заметно подпитывают недостаток качественных каналов получения начального профессионального образования, безработица молодежи, армейский беспредел и, не в последнюю очередь, снижение требований при поступлении в расплодившиеся сегодня вузы. Хуже всего, что со времен партийных постановлений 30-х г.г., определивших вузовскую ориентацию средней школы, она стала естественной для многих педагогов. Не случайно, что лучшей до сих пор является та школа, откуда больше детей поступают в вузы.

Неоднократно отмечалось, что ориентация на высокую вузовскую планку деформирует условия обучения для многих детей, формирует отрицательную мотивацию учения, создает перегрузку. У относительно менее успешных школьников формируются комплексы неполноценности, с которыми они отправляются во взрослую жизнь.

Можно возразить, что вузовская направленность относится прежде всего к полной средней школе, куда идут как раз те школьники, которые планируют последующее обучение в вузе. Мне, однако, подобное возражение не кажется состоятельным. Силовое поле вузоцентризма воздействует на всю школу, приводя, например, к определенному отбору содержания образования, в котором значительный объем отведен тем вопросам, которые не являются фундаментальными, не обладают общекультурной ценностью, но, безусловно, полезны для вступительных экзаменов (я намеренно не написал — полезны для получения высшего образования).

Силовое поле вузоцентризма порождает порочную практику селекции школьников по уровням общеобразовательной подготовки. Сегодня она начинается, несмотря на строжайшие запреты, при приеме ребенка в первый класс, продолжается во все больше распространяющейся антипедагогичной практике разведения детей по классам для «сильных», «средних» и «слабых» учащихся и, наконец, получает финальное завершение в отсеве слабо подготовленных детей при приеме в старшие классы. Последний шаг сейчас планируется легитимизировать посредством введения так называемого «малого ЕГЭ», по результатам которого будут отбираться лучшие школьники в профилируемую старшую школу.

Важнейший по значимости аргумент сторонников ЕГЭ — объективизация школьной оценки. Традиционная российская система школьных отметок плохо поддается унификации. Критерии выставления отметок весьма неопределенны и разными учителями воспринимаются по-разному — за одно и то же решение, один и тот же ответ можно получить и пятерку, и тройку. В значительной степени это связано с тем, что в традиционной системе отметка выставляется своеобразным методом «вычитания»: полное и исчерпывающее решение (ответ) оценивается пятеркой, а за большие или меньшие погрешности ученик штрафуется соответственно большим или меньшим снижением отметки. Здесь плохо формализуются оба принципиальных момента — и критерии правильного решения (что легко выполнимо лишь для самых простых заданий), и критерии ошибок, снижающих отметку.

Заметим тут же, что этот недостаток не так сильно проявляется в оценочной деятельности конкретного учителя, где единство требований обычно соблюдается, но в полную силу сказывается при сравнении отметок разных учителей. Иными словами, традиционная система отметок неплохо работает внутри класса и плохо приспособлена для использования за его пределами. Очень важное достоинство традиционной системы заключается в том, что учителя умеют работать с нею, а дети и родители адекватно ее понимают.

Чтобы стало возможным продуктивное использование школьных отметок, скажем, для приема в вузы, традиционная система должна быть унифицирована. Это можно осуществлять разными способами, и тот, который избран для проведения ЕГЭ — лишь один из ряда возможных, отличающийся, правда, сравнительной дешевизной. Посмотрим, однако, на иную, нематериальную цену, которую придется запла-

тить за предложенный вариант унификации. Она состоит в разрушении отечественной системы деятельностного контроля, представляющей немалую культурную ценность.

Система итогового контроля по образцу, применяемому на ЕГЭ, через некоторое время распространится «вниз», и традиционная система текущего оценивания, используемая в школе, окажется трансформированной. Это значит, что преимущественно будет контролироваться не правильность выполненного решения всей задачи, а правильность полученного ответа на поставленные вопросы. Однако, во многих задачах, возникающих в самых разных предметах, правильный ответ может быть найден в ходе неверного или неполного решения.

А для такого важного предмета, как математика, подобный подход представляется просто убийственным: из математики изымается ее сердцевина — логическое рассуждение. Общепризнанный авторитет отечественного математического образования в значительной степени обусловлен полноценной логической конструкцией математических курсов и систематической работой учителя над формированием у школьников навыков корректных логических рассуждений.

Замечу, что, в отличие от некоторых некомпетентных российских педагогов и журналистов, зарубежные специа-листы в области математического образования прекрасно понимают достоинства нашей отечественной системы и с юмором относятся к якобы катастрофическим для России результатам сравнительных международных исследований типа TIMSS или PISA: провести такие исследования по нашим материалам, пусть даже самым упрощенным, просто невозможно — зарубежные школьники просто не смогут приступить к выполнению многих заданий.

А уж проверку решений, общепринятую в России, не выдержит подавляющее большинство одногодков наших школьников. Введение ЕГЭ в его сегодняшнем варианте — весомый удар по этому нашему преимуществу. Стоит ли удивляться, что практически все отечественные математики единодушны в критике ЕГЭ?

Специалисты отмечают, что введение ЕГЭ усиливает роль механического натаскивания и запоминания в ущерб пониманию и применению. Глубоко не случайно, что уже сегодня обучение в старших классах подменяется «подготовкой к ЕГЭ».

Сторонники ЕГЭ напирают обычно на объективный характер контроля с помощью используемых процедур. Это, конечно, дело хорошее, но, рискну сказать, не самое существенное. Куда более значимо,

чтобы содержание контроля было адекватно целям общего образования, чего, как мы видим, не наблюдается.

Ради чего было затевать всю модернизацию образования, разрабатывать доктрины, концепции и стандарты, если используемая система контроля будет расходится с ними! В нормальной развивающейся системе образования лидирующим звеном является целевой компонент — ради чего мы учим детей. Цели образования отражаются в нормативных документах (читай — стандартах). Затем реализуются в программах и учебниках, в практике обучения.

Безусловно, важнейшую роль здесь играет система контроля. Существенный момент заключается в том, что через систему контроля нельзя ничего построить, но можно все сломать. Если содержание контроля адекватно целям и содержанию образования, контроль существенно помогает их реализации. Если же содержание контроля расходится с целями и содержанием образования, то последние будут игнорироваться, и роль лидирующего норматива будет исполнять содержание контроля.

Однако, поскольку проверять можно лишь то, чему обучались дети, система контроля всегда направлена назад, в прошлое. И если мы хотим внести какие-то изменения в работу системы, то делать это через изменение контроля недопустимо; придется пройти всю описанную выше цепочку. Поэтому система контроля не должна становиться определяющим, центральным звеном системы образования.

В нашем случае содержание ЕГЭ разрабатывалось вне связи с проектированием стандартов общего образования, что неминуемо должно при-вести к расхождениям между содержанием обучения и материалами экзамена. Как следствие, содержание ЕГЭ будет играть (и уже играет) роль стандарта, чем предопределяется глубокая консервация системы общего образования.

Говорят, однако, что с введением ЕГЭ система образования получит объективную картину качества подготовки школьников в стране. Однако, ограниченность тестовых процедур ЕГЭ позволяет поставить под сомнение валидность этой картины. Об этом же говорят, мягко выражаясь, и некоторые весьма сомнительные результаты уже проведенных ЕГЭ. К тому же оценки в ЕГЭ выставляются в зависимости от всего массива полученных результатов, так что, скажем, «тройка» одного года может заметно отличаться от «тройки» другого — это к вопросу об объективности картины. А вообще говоря, для решения

подобной задачи нет нужды ввергать сотни тысяч выпускников школы в экзаменационную деятельность, достаточно ограничиться вполне разработанными и более точными методами выборочного анализа.

Введение ЕГЭ заменит накопленную оценку учебных достижений школьника результатом одноразового испытания, проводимого в достаточно необычных и дискомфортных для школьника условиях. Результат этого испытания может сильно зависеть от случайных факторов, тем более что наши школьники не знакомы с процедурами тестовых испытаний и не обладают соответствующими специфическими навыками. Это тоже иллюстрирует объективность той картины, которую мы получим по результатам ЕГЭ.

К тому же не все школьники могут успешно показать себя в ограниченном по времени тесте. Например, среди них есть тугодумы, вроде троечника А.Эйнштейна. Есть «слишком» умные, обнаруживающие в предложенных заданиях такие глубины, которые не учитывали составители. Известно ведь, что один и тот же вопрос часто оказывается простым для дилетанта и сложным для профессионала.

В привычных условиях традиционного выпускного экзамена учитель, хорошо знающий своих учеников, мог бы смикшировать подобные флуктуации. Но нам говорят: как можно позволить учителю самому оценивать свою работу!

В этом возражении все вообще поставлено с ног на голову. Учитель оценивает не свою работу, а работу ученика. Это чиновник, не умея судить о качестве работы учителя, неправомерно оценивает эту работу по результатам ученика. Стоит подумать, не следует ли распространить этот подход не только на учителей, но и на чиновников!

Наконец, несколько соображений морально-этического и юридического характера. С одной стороны, каждый выпускник школы обязан подтвердить факт освоения им стандартов общего образования. Между тем критерии получения положительной оценки (например, через выделение заданий, отвечающие обязательному уровню общеобразовательной подготовки) ученику неизвестны. Школьнику предлагается избыточный набор заданий, разделенных не по уровням подготовки, а по формальным критериям представления решения: группа А — задания с выбором ответа, группа В — задания с конструируемым ответом, группа С — задания с полным описанием решения. Однако ученик имеет право, а не обязанность участия в испытаниях на уровнях, превышающих уровень обязательных требований стандартов. Поэтому участие школьника в ЕГЭ может быть исключительно добровольным.

Я отдаю себе отчет в том, что указанная этическая тонкость игнорируется сегодня и в традиционной практике. Мы, к сожалению, не привыкли уважать права школьников. Плохо то, что мы не имеем даже намерения это делать, игнорируя эти права и в стандартах, и в учебниках, и в содержании ЕГЭ. Но без уважения к ребенку и его правам все разговоры о гуманистической педагогике, о сотрудничестве учителя и ученика остаются пустой болтовней.

3. Представленные соображения представляют собой взгляд на ЕГЭ, так сказать, «снизу», — из школы. Не менее серьезные замечания находятся и у возможных потребителей ЕГЭ «сверху» — из высшей школы.

Вузы обоснованно возражают, что ЕГЭ предлагает им унифицированную механистическую процедуру взамен отбора будущего студента с учетом специфики конкретной профессиональной специализации. Для многих вузов подобный подход представляется принципиально неприемлемым. Это относится отнюдь не только к специальностям искусства или спорта. Разве при приеме будущего педагога не следует брать во внимание такие его качества как общительность и любовь к детям? А при приеме будущего офицера — психологическую устойчивость и физическую подготовку? Будущего инженера — изобретательность и «рукастость»?

Особо следует сказать об интересах ведущих вузов страны. Глубоко не случайно, что вступительные экзамены, скажем, по математике на механико-математический, физический, психологический или филологический факультеты МГУ, проводившиеся по одной программе, были непохожи один на другой, причем не за счет разницы в сложности заданий. Дело в том, что при подготовке профессионального математика, физика, психолога или лингвиста на первый план выходят различные аспекты математики, на которые обращается внимание соответствующих экзаменационных комиссий.

Очевидно, что разовое испытание ЕГЭ, проводимое по унифицированным тестем, все эти нюансы учесть не сможет. Это уже понимают самые рьяные сторонники ЕГЭ. Чтобы спасти положение, они предлагают узаконить «портфолио» — портфель достижений, в котором были бы отражены особенности и интересы школьника.

Эта, безусловно, полезная затея в нашем случае вряд ли окажется результативной. Портфолио еще труднее формализовать, чем содержание контрольной работы, портфолио легко подделать, портфолио практически невозможно использовать при решении формального

вопроса о зачислении студента. К тому же проблематичная инициатива с портфолио только-только разворачивается, на накопление портфелей уйдут годы, а принимаем мы школьников в вузы по результатам ЕГЭ уже сейчас, причем отнюдь не в экспериментальных объемах.

Значительно солиднее выглядит предложение учитывать при приеме результаты предметных олимпиад. Эту схему также трудно формализовать без коллизий и конфликтов, но в ее основе лежит хоть какая общественно контролируемая реальность. Правда, олимпиадный тип и стиль мышления весьма специфичен, и многие даже выдающиеся ученые не блистали на олимпиадах. Кроме того, мне немножко страшно за олимпиады. Получается, что в условиях реального конкурса альтернативы традиционному экзамену нет. Вуз должен сохранить свое право отбирать себе того студента, которого полагает лучшим.

Серьезные проблемы порождает и технологическая схема ЕГЭ. Так, разброс уровней подготовки выпускников школы не позволяет «уложить» их оценку в рамки одного испытания. Не случайно уже обсуждаются схемы проведения «единого» экзамена отдельно для гуманитариев и естественников, а также введения дополнительного испытания для «продвинутых» вузов.

С «продвинутыми» вузами вообще получается интересная картинка. Дело в том, что для поступления в эти вузы через ЕГЭ необходимо решать задачи из группы С. т.е. вполне традиционные по форме контрольные работы, с обычной полной записью решения и обычной системой проверки, слегка формализованной. Правда, эксперты отмечают, что, скажем, по математике школьникам надо бы предлагать 5—6 заданий этой группы. Ну, да не в этом суть дела. А в том, что создатели ЕГЭ тем самым возвращаются к традиционной системе оценки, без которой обойтись, ну, никак не удается!

Наконец, очень серьезные замечания (со всех сторон) высказываются в адрес конкретных материалов, по которым проводится ЕГЭ. Создатели ЕГЭ охотно признают несовершенство так называемых контрольно-измерительных материалов, которые, надо признать, год от года улучшаются. Тем не менее до сих пор среди этих материалов можно найти и сомнительные, и неточные, и некорректные задания. На мой взгляд, это во многом обусловлено неэффективной технологией подготовки контрольно-измерительных материалов, плохо защищенной от сбоев.

Неудачные задания и ошибки могут встретиться всегда. Даже на вступительных экзаменах на механико-математическом факультете МГУ, где работают самые квалифицированные специалисты, предлагались задачи, по существу требующие внепрограммных знаний (1967 г.), а то и просто неверные (1959 г.). Я хорошо помню последний случай: 45 лет тому назад я сдавал этот экзамен, причем мне как раз достался вариант с одной неверной задачей. Тогда руководство факультета аннулировало все отрицательные отметки и предложило всем желающим заново сдать письменную математику. Неприятно, конечно, но не смертельно, а главное, ограниченно по объему. А теперь представьте себе аналогичный эффект, затрагивающий не один вариант одного факультета конкретного вуза, а громадный поток сдающих ЕГЭ!

Мощным и эффективным способом предупреждения ошибок в контрольно-измерительных материалах и повышения их качества явилась бы открытая публикация избыточного перечня всех используемых материалов по образцу упомянутого выше задачника под редакцией М.И.Сканави. В этом случае с материалами работал бы не узкий круг привлеченных экспертов, как сегодня, а тысячи педагогов и школьников, которые моментально бы определили все неточности и ошибки.

Сегодня же мы утешаем себя тем, что нам удается улучшать задания и устранять их погрешности, правда, на следующий год после проведения экзамена. Слабое утешение для сдававших в этом году! Такими темпами процесс разработки качественных экзаменационных материалов затянется на долгие годы. Кстати сказать, опыт стран Запада (где также использовались закрытые базы задач) показывает, что формирование качественных оценочных материалов занимает десятилетия.

Критический анализ аргументов в защиту ЕГЭ показывает их несостоятельность, либо возможность применения других, более целесообразных схем. Так, главный аргумент сторонников ЕГЭ — утверждение о повышении доступности высшего образования, скажем, для талантливых сельских школьников — опровергается соображениями о невозможности обеспечить им высокий уровень подготовки в той же сельской школе. Альтернативный подход, который осуществляют ведущие вузы страны, заключается в адресной очной или заочной работе с одаренными детьми. Наверняка также возможны схемы адресной финансовой поддержки участия малоимущих школьников во вступительных экзаменах, затраты на которую окажутся несопоставимыми с тратами на проведение ЕГЭ.

И здесь мы подходим к болезненному вопросу об организации эксперимента по ЕГЭ. Следует со всей определенностью констатировать, что при его планировании оказались проигнорированы все законы жанра. Ответ был известен заранее, а цель эксперимента сводилась к отработке технических деталей. Руководителей эксперимента, казалось, больше волновали вопросы обеспечения секретности, нежели поиск оптимальных педагогических решений. Иначе трудно объяснить, почему проверялась лишь единственная достаточно жесткая схема проведения экзамена, почему ЕГЭ проводился в исключительно закрытом режиме, так что информацию о нем приходилось буквально выцарапывать, почему в столь беспрецедентных объемах использовался административный ресурс как по отношению к школам, так и к вузам.

4. Сегодня об эксперименте по ЕГЭ можно забыть, ибо нельзя считать экспериментальной ситуацию, в которой участвует большинство школьников. Корабль российского образования уже двинулся по курсу ЕГЭ, и теперь ему предстоят неприятные встречи с подводными камнями и рифами, о которых я говорил выше. Что же можно сделать, чтобы минимизировать негативные последствия будущих столкновений? Ключевым вопросом здесь является разделение итоговой аттестации учащихся на обязательном и повышенном уровнях общеобразовательной подготовки.

В соответствии с Законом РФ об образовании выпускники школы обязаны подтвердить факт освоения ими стандартов образования. Поэтому проверка освоения обязательного уровня общеобразовательной подготовки должна осуществляться в безусловном порядке. В то же время установление факта превышения минимальных требований стандартов может осуществляться только с добровольного согласия школьника. Целесообразно разделить эти две задачи и решать их в рамках различных процедур.

По самому смыслу вопрос о достижении школьником обязательного уровня общеобразовательной подготовки имеет два возможных ответа — «да» или «нет». Это означает, что установление факта достижения школьником обязательного уровня общеобразовательной подготовки может быть проверено в испытаниях зачетного типа, содержание которых отвечает этому уровню. Выбор проверяемых предметов, времени проведения и само проведение таких испытаний вполне естественно доверить непосредственно школе (оказавшей, разумеется, необходимую помощь путем разработки и публикации соответствую-

щих материалов). Документы об образовании, выдаваемые школой, подобно вузовским дипломам должны удостоверять лишь факт обязательного освоения стандартов. При этом они могут сопровождаться вкладышем типа вузовского, описывающим полученные в школе отметки (а в перспективе и данные портфолио школьника!).

Заслуживает внимание также предложение М.Р.Леонтьевой об установлении факта достижения школьником обязательного уровня общеобразовательной подготовки без проведения зачетов непосредственно по результатам школьных отметок. Возможны и комбинации этих двух подходов.

Для школьников, планирующих продолжение образования в вузе, целесообразно проводить единые государственные экзамены, которые тем самым становятся добровольными. Содержание ЕГЭ должно быть откорректировано с учетом направленности подобных ЕГЭ на проверку освоения повышенных уровней подготовки. При организации и проведении ЕГЭ целесообразно использовать успешный опыт централизованного тестирования.

Следует обязать вузы принимать полученные таким образом результаты ЕГЭ. Однако должно быть также обеспечено право вуза проводить дополнительные испытания по профильным для будущей специальности школьным предметам, о чем должно быть объявлено заблаговременно.

А.В. Шевкин

школа № 679, г. Москва

Перспективы математического образования России в зеркале зарубежного опыта

Россия не является первой страной, проводящей реформу образования под флагами гуманизации, демократизации, а с помощью Единого экзамена выступающей за унификацию требований к выпускникам школы и против коррупции в образовании. Не возражая против гуманизации и демократизации образования, подчеркнем, что сами эти идеи не имеют ничего общего с той реформой (модернизацией) образования, которая проводится в России. Убежден, что совершенствование образования не может сводиться к его удушению, как лечение головной боли не может сводиться к применению гильотины.

Уникальная особенность школьного российского математического образования заключается в том, что оно не удовлетворяется ответом на вопрос «как?», а приучает школьников искать ответ на вопрос «почему?». Российское образование — в лучших своих проявлениях — не ограничивается передачей фактов и алгоритмов, а учит школьников понимать смысл и назначение выполняемых ими действий, учит их рассуждать, выяснять истинность утверждений, доказывать свою правоту.

Тревожным звоночком для российского математического образования является то, что его реформирование доверили специалистам, которые видят только одну проблему в образовании — перегрузку учащихся, возникшую очень кстати как раз в тот момент, когда потребовалось обосновать необходимость растраты колоссальных средств, выделенных на реформирование образования. Большие суммы требуют коренной ломки, а ломать лучше у самого фундамента. Вот почему, не удовлетворившись «усечением» математики во всех параллелях, как минимум на 1 час в неделю, «реформаторы» предложили уменьшить недельную учебную нагрузку по математике в начальной школе с шести часов до четырех!

Если бы вы зачем-то захотели обрушить образование страны, то где бы вы установили мину? — Правильно, там, где закладываются основы этого образования, то есть в начальной школе. Они так и сделали. Злонамеренно или по недомыслию — не суть важно!

Заметим, что один из главных реформаторов школьного математического образования, желая обосновать свое предложение по сокращению учебной нагрузки по математике, спросил как-то на высоком собрании преподавателей вузов: «Скажите, кому из вас за последнее время пришлось хотя бы раз решать квадратное уравнение?» Тот же специалист (но в другой аудитории) спрашивал и про обыкновенные дроби. Если продолжить его логику, то скоро обнаружится, что при покупке баночки пива вовсе не требуются формулы тригонометрии или логарифмы... Но являются ли приведенные вопросы и жизненные наблюдения достаточным основанием для существенного сокращения программы по математике и учебного времени на ее изучение?

Известен и другой специалист, который со всех трибун и в печати заявляет, что школьники не усваивают 40 % информации, сообщаемой в школе. Он ломает через колено образование России, а не знает, что стопроцентное усвоение информации невозможно в принципе, поэтому и не предполагается! Он вряд ли понимает фразу великого А. Эйнштейна «Образование есть то, что остается после того, когда забывается все, чему учили», но, опираясь на свое открытие про 40 %, требует сократить программу по математике именно на 40 %. И это его требование имеет большую силу, так как он руководит реформированием образования в стране. Не буду вступать здесь в полемику с экс-министром образования России. Она уже состоялась — в Интернете доступен мой ответ ему под названием «Заметки на полях доклада академика Э.Д. Днепрова».

Так уж сложилось, что под фальшивыми лозунгами заботы о разгрузке, демократизации и гуманизации образования и т.п. «реформаторы» попросту лишают Россию основательного общедоступного образования. Злонамеренно или по недомыслию — не обсуждаем.

Теперь самое время представить, к чему мы придем через несколько лет, следуя за «реформаторами». В этом нам поможет описание опыта стран, в которых раньше нас принялись портить образование под теми же гуманными лозунгами.

Интересны в связи со сказанным наблюдения нашего соотечественника, работающего учителем в Швеции (Смирнов А. Избит, унижен, бесправен — значит, учитель // Русский Курьер. 30.08.2003); наблюдения выпускника МГУ, автора книг и задач для ЗМШ при МГУ, автора многочисленных статей для «Кванта» А. Л. Тоома (Математика, №№ 39, 40, 2004). Интересна статья В. С. Доценко «Пятое правило

арифметики» (Наука и жизнь, № 12, 2004), в которой он рассказал о своем опыте преподавания математики в Парижском университете. Остановимся на примерах из этой последней статьи.

«В этом учебном году я обнаружил, что среди пятидесяти моих учеников-первокурсников (у меня две группы) восемь человек считают, что три шестых (3/6) равны одной трети (1/3). Подчеркну: это молодые люди, которые только что сдали “научный БАК” [аналог нашего ЕГЭ. — А. Ш.], то есть тот, в котором приоритет отдается математике и физике. <...> Я их переучил на очередном занятии (темой которого вообще-то была производная функции): сделал небольшое отступление и сообщил, что 3/6 равны 1/2, а вовсе не 1/3, как считают некоторые из присутствующих. Реакция была такая: «Да? Хорошо...». Если бы я им сообщил, что это равно 1/10, реакция была бы точно такой же. <...>

Довольно долго я никак не мог понять, как с подобным уровнем знаний все эти молодые люди сумели сдать БАК, задачи в котором, как правило, составлены на вполне приличном уровне и решить которые (как мне казалось) можно, лишь обладая вполне приличными знаниями. Теперь я знаю ответ на этот вопрос. Дело в том, что практически все задачи, предлагаемые на ВАКе, можно решить с помощью хорошего калькулятора — они сейчас очень умные, эти современные калькуляторы: и любое алгебраическое преобразование сделают, и производную функции найдут, и график ее нарисуют. При этом пользоваться калькулятором при сдаче ВАКа официально разрешено. <...>

Каждый год упорно задаю своим ученикам один и тот же вопрос: кто может объяснить, почему синус 30 градусов равен 1/2? <...> Из двухсот пятидесяти моих учеников за все время на этот вопрос мне не ответил ни один человек. Более того, по их мнению, сам вопрос лишен смысла: то, чему равны все эти синусы и косинусы <...> — это просто некая данность, которую нужно запомнить. И вот, каждый год я, как последний зануда, пытаюсь их в этом разубеждать, пытаюсь рассказывать, что откуда берется, какое отношение все это имеет к миру, в котором мы живем, тужусь изо всех сил рассказывать так, чтобы было интересно, а они смотрят на меня, как на придурка, и терпеливо ждут, когда же я, наконец, угомонюсь и сообщу им, что, собственно, нужно заучить на память. <...>

Когда я только начинал работать в университете, некоторое время ходил на занятия моих коллег — других преподавателей, чтобы

понять что к чему. И таким образом я обнаружил, что на самом деле все намного-намного проще, чем нас когда-то учили. <...> Производная функции — это штрих, который ставится справа вверху от обозначения функции. Ей-богу, я не шучу — прямо так вот и учат. Нет, разумеется, это далеко не всё: требуется заучить свод правил, что произойдет, если штрих поставить у произведения функций и т.п. <...>

В этом учебном году на семестровой контрольной одной из задач была такая <...>: «Воздушный шар летит в одном направлении со скоростью 20 км/час в течение 1 ч и 45 мин. Затем направление движения меняется на заданный угол (60°), и воздушный шар летит еще 1 ч и 45 мин с той же скоростью. Найти расстояние от точки старта до точки приземления». Перед контрольной на протяжении двух недель среди преподавателей университета шла бурная дискуссия — не слишком ли сложна эта задача для наших студентов. В конце концов, решили рискнуть выставить ее на контрольную, но с условием, что те, кто ее решит, получат дополнительно несколько премиальных очков. Затем в помощь преподавателям, которые будут проверять студенческие работы, автор задачи дал ее решение. Оно занимало половину страницы и было неправильным. Когда я это заметил и поднял было визг, коллеги тут же успокоили меня очень простым аргументом: «Чего ты нервничаешь? Все равно эту задачу никто не решит...». И они оказались правы. Из полутора сотен студентов, писавших контрольную, ее решили только два человека (и это были китайцы). <...>

Или, к примеру, когда нужно было решить уравнение 5х + 3 = 0, один мой студент исписал целую страницу рассуждениями про структуру и счетность множества решений такого типа уравнений, но само уравнение решить так и не смог».

Хочется спросить: так ли обязательно в России допускать те же ошибки? Или мы сумеем сделать правильные выводы из чужих ошибок?

Полный текст каждой из упомянутых статей имеется на сайте «Математика. Школа. Будущее» (http://www.shevkin.ru).

В.М. Бусев

Школа № 37, г. Москва

О методико-математическом наследии и перспективах его использования

I. Краткий очерк развития учебно-методической книги по математике

Учебники XVIII — первой половины XIX веков. Возникновение математического образования в России принято связывать с началом XVIII века. Тогда по указу Петра I была создана Математико-навигацкая школа, где преподавал Л.Ф. Магницкий — автор знаменитой «Арифметики» (1703), которая стала одной из первых учебных книг по математике. После «Арифметики» издавались и другие пособия: например, «Приемы циркуля и линейки» (1708) и «Геометрия практика с фигурами» (1714) Я.В. Брюса. Однако качественно новый этап в развитии учебной книги по математике связан с открытием в 1724 году Академии наук и с приездом в Россию Леонарда Эйлера, перу которого, помимо чисто математических работ, принадлежат книги для учащихся — «Руководство к арифметике» (1740, 1760) и «Универсальная арифметика» (1768, 1769). Вторую из этих книг Эйлер рассматривал как пособие, по которому каждый желающий мог бы самостоятельно изучить алгебру.

Во второй половине XVIII — начале XIX веков продолжается развитие учебной математической книги. Целая плеяда известных математиков-методистов — учеников Эйлера — трудится в образовательных учреждениях России: в гимназии и университете при Академии наук, в Петербургской учительской семинарии, в Морской академии. Это Н.Г. Курганов, С.К. Котельников, С.Я. Румовский, Н.И. Фусс, М.Е. Головин. Каждый из них внес значительный вклад в дело развития математического образования в нашей стране. И каждый оставил после себя методическое наследие: учебники, размышления о преподавании математики, заметки о пользе математики для развития личности и др. В 1798 году вышла в свет книга русского академика С.Е. Гурьева «Опыт об усовершенствовании элементов геометрии». Известный историк математического образования Т.С. Полякова считает, что этот труд — первое методическое руководство по математике в Европе [8, с. 217—218]. Одной из основных методических идей Гурьева была идея о необходимости концентрического построения курса математики.

В XIX веке математическое образование развивалось далее. Соответственно этому эволюционировала методическая мысль, которая теперь часто облекалась в текст. Тексты обычно представляли собой книги (руководства для учителей), опубликованные речи (которые обычно произносились на торжественных собраниях ученых мужей); часто составители программ и уставов учебных заведений излагали свои мысли о преподавании в пояснительных записках. Появился и такой новый жанр как статьи в специальных методических журналах. Первый журнал для учителей математики назывался «Учебный математический журнал», он издавался в 1833—1835 годах К.Я. Купфером, преподавателем гимназии г. Ревеля (ныне Таллин).

Одним из самых известных деятелей математического образования XIX века является Н.И. Лобачевский. Кроме научной деятельности, которая принесла ему мировую славу создателя новой геометрии, Лобачевский много занимался вопросами образования: читал лекции в Казанском университете, писал учебники по элементарной математике, с 1820 года руководил физико-математическим отделением университета, с 1827 по 1846 был ректором, а с 1845 принимал участие в руководстве Казанским учебным округом.

Свои методические взгляды на преподавание математики Н.И. Лобачевский изложил в работе «Наставления учителям математики в гимназиях» (написана 16 августа 1830 года, издана в 1948 году). Характеризуя в «Наставлениях учителям» гимназический курс математики, Лобачевский предъявил к нему ряд требований: систематичность и научная строгость излагаемого материала, доступность его для учащихся, развитие мышления при изучении, учет преподавателем возрастных и индивидуальных особенностей учащихся. Эти идеи Н.И. Лобачевский активно претворял в жизнь. Еще в первый год ректорства он организовал комиссию по разработке программ для поступления в университет. В 1830 году Министерство народного просвещения поручило Казанскому университету составление программ обучения математике во всех государственных гимназиях и училищах.

Дореволюционные журналы для учителя математики. Во второй половине XIX века активно развивается научно-педагогическая периодика для учителей и любителей математики. В 1860—1863 годах издавался «Вестник математических наук». Его издателем был М.М. Гусев, астроном, помощник директора обсерватории в г. Вильно (ныне Вильнюс). Материалы, публиковавшиеся в журнале, были

в основном адресованы любителям математики, и потому журнал много места уделял популяризации физико-математических наук, научной хронике, печатал рецензии на новые книги; помимо этого, на страницах «Вестника» читателям предлагались задачи для решения.

Журнал «Педагогический сборник» издавался в 1864—1917 годах. Ряд лет (с 1882 по 1910) его редактором был известный методист-математик А.Н. Острогорский. Журнал публиковал статьи по всем учебным предметам, значительная часть их посвящена преподаванию математики. Со «Сборником» сотрудничали многие известные математики и методисты того времени: В.В. Бобынин, В.А. Евтушевский, А.П. Киселев, В.А. Латышев, Н.А. Шапошников, С.И. Шохор-Троцкий и др.

Известный математик В.П. Ермаков с 1884 по 1886 год издавал «Журнал элементарной математики», который предназначался для преподавателей, учеников старших классов и просто любителей математики. Редакция предполагала печатать статьи по вопросам математики, которые не входили в программы средних школ, но могли быть изложены элементарно (решение уравнений третьей и четвертой степени, некоторые вопросы теории чисел, теории вероятностей и др.). Поначалу публиковать материалы методического характера редакция не собиралась, считая, что «основной педагогический прием состоит в краткости и ясности изложения: поменьше теории и побольше упражнений и задач ... главные педагогические приемы уже установились, а на мелочах едва ли можно сойтись» [цит. по: 3, с. 15]. Однако в предисловии ко второму году издания мнение редактора изменилось — было решено ввести педагогический отдел.

С 1887 по 1917 годы издавался журнал «Вестник опытной физики и элементарной математики», который стал преемником «Журнала элементарной математики». Издателем его стал Э.К. Шпачинский, который до этого трудился в редакции журнала В.П. Ермакова. С 1902 года одним из редакторов журнала (а с 1904 и единственным) становится известный математик-геометр В.Ф. Каган. «Вестник» за время своего существования насчитывает 674 номера. Основными разделами журнала были: «Статьи», «Научная хроника», «Опыты и приборы», «Задачи», «Библиография». В них опубликованы несколько тысяч статей, заметок, задач, рецензий, авторами которых являются большинство ученых и методистов конца XIX-начала XX столетий.

До 1917 года издавалось множество других специальных и общих педагогических журналов. Среди специальных отметим: «Математи-

ческий листок» (1879—1882) А.И. Гольденберга, «Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем» (1885—1898) и «Физико-математические науки в ходе их развития» (1899—1904) В.В. Бобынина, «Математическое образование» (1912—1917) издавался Московским математическим кружком (редактор И.И. Чистяков). В последние предреволюционные годы выходили журналы «Математический вестник» (1914—1917), издаваемый Н.А. Извольским, и «Математический листок» (1915—1917), редактором которого был Н.А. Агрономов, известный тогда математик-педагог. Каждый из названных журналов преследовал цели совершенствования преподавания математики в школе. Помимо рассмотренного выше журнала «Педагогический вестник» существовало достаточное количество и других общепедагогических журналов, публиковавших материалы по преподаванию математики. Это «Семья и школа» (1871—1888), «Журнал для воспитания» (1857—1860), «Русский педагогический вестник» (1857—1861), «Учитель» (1860—1870), «Гимназия» (1888—1900) и др. К сожалению, в рамках статьи мы не имеем возможности подробно остановиться на математико-методическом содержании названных журналов; поэтому лишь укажем, что оно весьма богато и интересно для всякого человека, связанного с преподаванием математики. Читателя, интересующегося подробностями, отсылаем к работам [3; 9].

Частные издатели второй половины XIX века. В середине XIX века рынок учебной литературы начинают активно осваивать частные издатели и книгопродавцы. Как правило, история становления издателя была такова: еще будучи ребенком он начинал интересоваться книгами, обожал рыться на книжных развалах; к 14—15 годам понимал, что свяжет всю свою жизнь с книгами и поступал на службу к крупному издателю, у которого набирался знаний и опыта, а затем отделялся и заводил свое дело. Такова была судьба М.О. Вольфа, А.Ф. Маркса, А.С. Суворина, П.П. Сойкина, К.Л. Риккера (Санкт-Петербург), И.Д. Сытина (Москва). В условиях конкуренции издатели старались заниматься выпуском любой литературы, которая могла принести прибыль, и поэтому книгоиздательские фирмы не специализировались обычно на каком-то одном виде продукции.

Все (или почти все) крупные издатели второй половины XIX-начала XX века выпускали книги по математике. В основном это были учебники и задачники, рекомендованные Министерством народного просвещения для гимназий, духовных семинарий или коммерческих

училищ. Среди авторов учебных книг мы находим А.П. Киселева, Н.А. Рыбкина, П.К. Шмулевича, А.Ю. Давидова, А.Ф. Малинина, Н.К. Буренина, В.А. Евтушевского, Н.И. Билибина и др. Учебники и задачники издавать было выгодно, поскольку на них имелся устойчивый спрос. Это позволяло осуществлять многократные переиздания практически без изменений содержания (так, «Элементарная алгебра» А.П. Киселева вышла в 1919 году 30-м изданием). К действовавшим тогда задачникам активно выпускали решебники, которые по понятным причинам пользовались популярностью среди учащихся. Учебная литература по математике других жанров (занимательная математика, популярные очерки и т.п.) выпускалась гораздо меньшими объемами. Однако и здесь история сохранила для нас замечательные образчики творчества признанных классиков: «В царстве смекалки» Е.И. Игнатьева (1908), его же «Математическая хрестоматия» (1913, 1915), трехтомная «Энциклопедия элементарной математики» Г. Вебера и В. Вельштейна (1906, 1909, 1910), «Как преподавать математику?» Дж. В. А. Юнга (1912), «История элементарной математики» Ф. Кэджори (1910) и др.

Особой вехой в развитии физико-математической книги в России стала деятельность издательства «Матезис» («Mathesis»), которое было основано в 1905 году группой преподавателей Новороссийского университета в Одессе. Возглавлял издательство В.Ф. Каган, активное участие в написании, переводе и редактировании книг принимали СО. Шатуновский, И.Ю. Тимченко, К.А. Поссе и др. Издательство просуществовало почти двадцать лет (до 1924 года). За это время им выпущено множество книг по физике и математике, ориентированных на учителей, студентов математических факультетов, преподавателей вузов и просто любителей математики и физики. Вот только некоторые книги, изданные «Матезисом»: Р. Дедекинд «Непрерывность и иррациональные числа» (1909), Б. Больцано «Парадоксы бесконечности» (1911), Ф. Рудио «О квадратуре круга» (1911), Э. Борель «Элементарная математика» (1911, 1912), упомянутые уже «Энциклопедия» Вебера и Вельштейна и книга Ф. Кэджори. С 1919 по 1924 годы «Матезис» издал немного книг, в основном это были переиздания старых, хотя вышли и новые: «Природа математики» Ф. Журдэна (1923), «Введение в анализ» С.О. Шатуновского (1923). Книги, выпущенные издательством «Матезис», несомненно, составляют золотой фонд русскоязычной элементарной математики.

Первые издательства советской власти. События 1917 года затормозили развитие разносторонней книгоиздательской деятельности; частные издательства были национализированы и превращены в государственные типографии. С первых же дней революции советская власть активно взялась за сферу издания и продажи книг и периодики, делая попытки использовать имеющиеся ресурсы в своих целях. Одной из таких целей было построение новой школы, основные принципы которой изложены в «Положении о единой трудовой школе РСФСР» и «Декларации о единой трудовой школе» (1918). Труд рассматривался идеологами новой школы как основа и одновременно цель всего преподавания. Школа должна была, прежде всего, помочь учащимся овладеть полезными навыками для производственной или сельскохозяйственной деятельности. Связать знания из различных областей в единое целое предполагалось с помощью взаимодействия ребенка с внешним миром. С 1923 года было отменено предметное преподавание в школе, а взамен принята так называемая комплексная система построения школьных программ обучения.

Для такой радикальной перестройки потребовались и новые учебные пособия, поскольку старые были написаны для дореволюционных учебных заведений и обычно не годились. Например, практически все сюжеты арифметических задач (купцы, прибыль, проценты и т.д.) нужно было заменить, поскольку в нынешних условиях они оказались бесполезными. И такие новые пособия были созданы, их авторами стали Е.С. Березанская, И.И. Грацианский, И.Н. Кавун, А.Р. Кулишер, А.В. Ланков, К.Ф. Лебединцев, И.И. Чистяков и др. Поскольку специализированных учебно-педагогических издательств еще не было, книги для учителей и учащихся издавал или ГИЗ (Государственное издательство), или небольшие кооперативные издательства («Время», «Прибой», «Наука и школа» и др.). ГИЗ'ом были основаны серии «Пособия для трудовой школы», «Нормальные руководства для высшей школы» и некоторые другие. В рамках этих серий вышел ряд книг по элементарной и высшей математике. Книги по математике издавались и вне серий, особенно много так называемых «рабочих» книг по математике. Это были своего рода упрощенные дистанционные курсы ускоренной подготовки к технической профессии или в вуз. Книги писали достаточно молодые, тогда еще не очень известные авторы — А.А. Глаголев, Г.Б. Гуревич, И.Г. Петровский, И.И. Привалов, Г.М. Фихтенгольц, А.Я. Хинчин. Жанр книги («рабочая») и соот-

ветствующая аудитория (полуграмотные взрослые) определял стиль изложения: максимально доступное, живое, с прямыми обращениями к читателю (часто на «ты»), с упражнениями для самостоятельного решения в основном тексте. Эти книги, несомненно, обладают рядом педагогических достоинств, а потому представляют интерес и сегодня.

Двадцатые-тридцатые годы — золотой период в творчестве Я.И. Перельмана, известного популяризатора науки. Именно тогда появились книги, снискавшие автору мировую славу «доктора занимательных наук». Это: «Занимательная геометрия» (1925), «Занимательная арифметика» (1926), «Занимательная математика» (1927), «Занимательная алгебра» (1933), «Живая математика» (1934). Я.И. Перельман был приглашен на работу в Наркомпрос, где занимался разработкой программ по математике и физике. Он также входил в правление кооперативного издательства «Время», которое выпускало научно-популярную и художественную литературу (здесь издавался и сам Перельман). Помимо перечисленных Я.И. Перельман написал множество других книг по занимательной математике, также представляющих большой интерес сегодня. Однако его творчество не ограничивается только этим жанром; им создан ряд пособий для трудовой школы, подчеркивающих прикладную составляющую науки математики. Упомянем здесь две его работы: «Новый задачник по геометрии» и «Практические занятия по геометрии» (1923). В этих книгах учитель найдет систему геометрических задач с практическим, техническим, географическим содержанием. Крайне интересной и актуальной представляется статья Я.И. Перельмана «Как сделать изучение геометрии интересным и жизненным?» (опубликована во второй из указанных работ).

К концу 1920-х годов стало ясно, что комплексные программы, заменившие традиционное предметное преподавание, себя не оправдали. В результате 5 сентября 1931 года было опубликовано постановление ЦК ВКП(б) «О начальной и средней школе». В постановлении отмечался низкий уровень знаний учащихся, неготовность их к продолжению образования в вузах. Следующим шагом на пути создания советской школы стало постановление ЦК ВКП(б) от 25 августа 1932 года «Об учебных программах и режиме в начальной и средней школе». В частности, в нем предлагалось: основной формой организации работы в школе считать урок, обеспечить систематическое преподавание основ наук, укрепить дисциплину и порядок, организовать систематический учет знаний учащихся [6, с. 145—159].

Учебно-педагогическое издательство. Новое направление развития потребовало новых книг, в первую очередь качественных учебников. В 1931 году на базе педагогической секции ГИЗ'а создается Государственное учебно-педагогическое издательство (Учпедгиз), задачей которого становится издание книг для учителей и учащихся. Поскольку новым пособиям взяться было неоткуда, то вместе со старой системой вернулись и старые книги, переработанные соответствующим образом для нужд новой школы (авторов А.П. Киселева, Н.А. Рыбкина, Н.А. Шапошникова и Н.К. Вальцова). Эти учебники и задачники год от года практически не менялись, а потому назывались стабильными [6, с. 168]. Стабильные программы и учебники способствовали позитивному накоплению и обобщению опыта в преподавании математики. Естественным образом этот опыт нашел отражение в специальных изданиях Учпедгиза для учителей. Вот некоторые из них: В.Г. Чичигин «Методика преподавания арифметики» (1949), Н.М. Бескин «Методика преподавания геометрии» (1947), Е.С. Березанская «Методика преподавания арифметики» (1955). Учпедгизом также был издан ряд сборников статей по обмену опытом, была организована серия «Опыт передового учителя», а затем «Из опыта учителя». В этих сериях выходили брошюры, содержащие разработки каких-либо небольших вопросов методики.

В первые годы советской власти возникли новые периодические издания для учителей математики (все старые прекратили свое существование). Однако по-настоящему о периодичности изданий до 1934 года говорить не приходится — номера выходили нерегулярно, а порой издание оканчивалось вместе с выходом первого номера. В 1927 году вышел сборник «Физика, химия, математика, техника в трудовой школе», который стал прообразом журнала «Математика в школе» (окончательное название с 1937 года). Трудно переоценить роль и значение последнего в развитии математического образования в нашей стране. За все годы существования журналом накоплен огромный опыт в области преподавания математики, масса статей относится к «чистой» элементарной и высшей математике: это и теоремы, и задачи, и этюды на заданные темы, и занимательная математика. На страницах журнала неоднократно получали освещение все вопросы математики и ее преподавания — от арифметики до геометрии Лобачевского. Журнал также ценен тем, что отражает исторические коллизии развития математического образования.

Книги и журнал по элементарной математике для школьников. С начала 1950-х годов в СССР возникает новое направление в математической книгоиздательской деятельности — книги по элементарной математике. На самом деле это направление появилось еще до войны — с тех пор как в Ленинграде, а затем в Москве прошли первые олимпиады школьников (1934, 1935 годы соответственно). Тогда происходило становление системы работы с одаренными детьми, которую предложил в 1933 году Б.Н. Делоне. Создание системы кружков и олимпиад естественным образом вызвало к жизни соответствующие тексты — сборники задач, популярные лекции по математике и др. С 1950 года начала выходить «Библиотека математического кружка», первые выпуски которой отражали опыт работы кружков при МГУ с начала 1930-х годов. Серия просуществовала до 1989 года, за это время вышло 19 выпусков. С этого же года по инициативе А.И. Маркушевича начинает издаваться серия «Популярные лекции по математике». Если выпуски «Библиотеки маткружка» — настоящие книги (порой очень толстые), то выпуски «Лекций» — это брошюры, в основу каждой из которых положена лекция, прочитанная автором в лектории Московского университета школьникам. Серия просуществовала до 1992 года и насчитывает 62 выпуска. Книжки «Популярных лекций» посвящены как вопросам классической элементарной математики, так и популярному введению в современные ее области. Одной из известных серий стала «Библиотека физико-математической школы», которая выходила в 1965—1974 годах. Всего выпусков было 9 (5 в основной серии, 4 — в дополнительной). Каждый выпуск — небольшая книжка обычного формата, освещающая опыт работы авторов в специализированных школах (в частности, в Вечерней математической школе при МГУ). Некоторые выпуски выдержали не одно издание.

Помимо серий выходило немало отдельных книг по элементарной математике: занимательной, классической, современной и т.д. С 1931 по 1955 год Гостехиздатом было выпущено около 60 книг по элементарной математике, среди которых издания, ставшие классическими и переиздающиеся до сих пор; это книги Г.Н. Бермана («Приемы счета», «Циклоида», «Число и наука о нем»), С. И. Зетеля («Задачи на максимум и минимум»), Д.А. Крыжановского («Изопериметры»), В. Литцмана («Теорема Пифагора», «Великаны и карлики в мире чисел», «Где ошибка?»), Я.И. Перельмана, А.Я. Хинчина («Великая теорема Ферма», «Три жемчужины теории чисел» и др.). Гостехиздат

также издавал упомянутые выше серии «Библиотека математического кружка» и «Популярные лекции по математике». Недолго существовавший Физматгиз, а затем Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» продолжали выпускать книги по элементарной математике для школьников и учителей.

С 1970 года стал выходить новый физико-математический журнал «Квант» для школьников. Инициатива его появления принадлежала ученым П.Л. Капице, И.К. Кикоину, И.В. Обреимову, М.А. Лаврентьеву, А.Н. Колмогорову, П.С. Александрову. Они написали письмо в ЦК КПСС, в котором изложили соображения по поводу необходимости такого издания и его особенностей. Просьба ученых была удовлетворена — в 1969 году было принято решение о начале издания журнала «Квант». Главным редактором журнала стал физик И.К. Кикоин, заместителем редактора А.Н. Колмогоров. Основными рубриками журнала первоначально были: «Задачник “Кванта”», «Лаборатория “Кванта”», «Практикум абитуриента», «Математический кружок»; позднее появились разделы «Школа в “Кванте”», «Информатика и программирование», «“Квант” улыбается». В редколлегию журнала вошли известные ученые и педагоги: М.И. Башмаков, В.Г. Болтянский, Н.Б. Васильев, П.Л. Капица, А.И. Маркушевич, А.П. Савин и др. Издание выходило с периодичностью 12 номеров в год (1970—1992), в 1993 году вышло 4 сдвоенных номера, с 1994 года журнал выходит по 6 номеров в год.

С журналом «Квант» тесно связано другое периодическое издание — Библиотечка «Квант». Эта научно-популярная серия была организована по решению Президиума АН СССР. Для руководства ею была создана редколлегия, которую, так же как и журнал, возглавили академики И.К. Кикоин и А.Н. Колмогоров. Книги серии предназначались не только школьникам, но и учителям, студентам, преподавателям вузов и техникумов. Цели преследовались аналогичные целям журнала — пробуждение интереса к естественным наукам и оказание помощи в этих занятиях. Библиотечка «Квант» выходила с 1980 по 1992 год, всего за время ее существования вышло 84 выпуска, четверть которых относится к математике.

Книги по элементарной математике для учителей. Обсуждаемые до сих пор серии книг по элементарной математике в основном предназначены для школьников. Иной характер носит фундаментальная «Энциклопедия элементарной математики», которая вышла в 1951-

1966 годах по инициативе А.Я. Хинчина. Она была задумана как пособие для учителей математики средней школы и студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. Цель этого пособия — дать систематическое изложение научных основ школьного предмета математики. Первоначально планировалось издать 7 книг: «Арифметика», «Алгебра», «Анализ», «Геометрия-I», «Геометрия-II», «Различные вопросы», «Методология и история математики», однако на деле вышли лишь первые 5 книг. Редакция «Энциклопедии» привлекла к написанию статей первоклассных специалистов в своих областях — И.Г. Башмакову, А.П. Юшкевича, Л.Я Окунева, В.Л. Гончарова и др. Для книг IV и V статьи писали В.Г. Болтянский, И.М. Яглом, В.А. Рохлин, В.А. Ефремович, З.А. Скопец и другие известные математики-педагоги. «Энциклопедия» до сих пор занимает особое в истории отечественного математического образования.

Раз уж мы коснулись вопроса о книгах по элементарной математике для учителей, то вернемся немного назад, в 1930-е годы к работе Ф. Клейна «Элементарная математика с точки зрения высшей». Немецкий математик Ф. Клейн был одним из идеологов реформы школьного курса математики, он занимал пост главы Международной комиссии по математическому образованию, которая была создана в 1908 году. «Элементарная математика с точки зрения высшей» — это лекции, читанные автором зимой 1907/08 года в Геттингене учителям математики. Первый том лекций посвящен арифметике, алгебре и анализу, а второй геометрии. Лекции, прочитанные почти сто лет назад, актуальны и по сей день. Об этом, в частности, говорит и тот факт, что последнее издание «Элементарной математики...» было осуществлено совсем недавно — в 1987 году. Есть основание полагать, что идеи Ф. Клейна могут помочь в понимании процессов реформирования отечественного математического образования в 1960—1970-х годах.

К числу классических можно отнести книги по элементарной математике, созданные для учителей (в т.ч. будущих) к середине XX века в СССР. Это «Теоретическая арифметика» и «Теория чисел» И.В. Арнольда (1939), «Элементарная геометрия» Ж. Адамара (1948, 1951), «Курс элементарной геометрии» Д.И. Перепелкина (1948, 1949), «Геометрия» Б.В. Кутузова (1950), «Специальный курс элементарной алгебры» С. И. Новоселова (1951), его же «Специальный курс тригонометрии» (1953), «Алгебра» И.А. Гибша (1960) и др. Перечис-

ленные книги написаны профессионалами, некоторые из них неоднократно переиздавались. Эти издания преследовали те же цели, что и рассмотренная выше «Энциклопедия элементарной математики» — дать учителю возможность взглянуть на свой предмет с иных позиций, не замкнуться на школьном учебнике, не застыть на месте в своем развитии. Излагая основы классической элементарной математики, эти книги интересны и сегодня (хотя бы потому, что достойных аналогов им на русском языке позже не появилось).

Рассмотренные издания были в основном ориентированы на будущего учителя массовой школы. Между тем с начала 1960-х годов организуются первые физико-математические школы. Для учителей таких школ была организована серия «Проблемы математической школы», издававшаяся в 1965—1969 годах по инициативе Института общего и политехнического образования при АПН СССР. В серии вышло 4 сборника статей, составителем которых был С. И. Шварцбурд.

II. О сохранении и использовании печатного наследия

Мы рассмотрели основные этапы развития математической книги в России. По необходимости очерк получился несколько поверхностным, обзорным. Однако у нас не было цели излагать здесь подробную историю учебно-методической книги по математике, это задача отдельного очерка. Мы хотели лишь обратить внимание читателя на то великое наследие, которое оставили нам предыдущие поколения. Наследие это поистине огромно — сотни книг и тысячи статей по элементарной математике, по методике преподавания, по проблемам образования и по многим другим вопросам, относящимся к математике в школе. При изложении исторических сведений, делая краткие обзоры книг и журналов, мы старались показать, что многие тексты не устарели. Некоторые из них стали классическими и актуальны ныне в первозданном виде, другие нуждаются в определенной адаптации, третьи представляют лишь исторический интерес. Но как бы там ни было, это — наша история. Задача истории — делать нас умнее. Так принято в человеческих сообществах: на основе дня вчерашнего строить день сегодняшний и думать о дне завтрашнем. Поэтому мы должны бережно, с уважением отнестись к опыту, который накопили наши предшественники — учителя, методисты, ученые. Нужно сделать все, чтобы сохранить его, употребить во благо и передать будущим поколениям учителей. Посмотрим, что и как мы можем сделать на этом пути.

Пользование большинством книг и журналов затруднено — они выходили давно, не переиздавались, а потому доступны только в библиотеках или букинистических магазинах. Напрашивается мысль о переиздании отдельных книг по тем или иным вопросам. О необходимости переиздания старой методической литературы говорили уже в 1990 году: Ассоциация учителей математики выяснила мнение учителей о том, какие книги им необходимы для работы. Многие педагоги написали, что хотели бы иметь старые дореволюционные и довоенные учебники и задачники, а также давно не издававшиеся книги по популярной математике («Математика в школе», 1991, № 3, с. 75). Мысль о переиздании книг правильна, однако с большой долей уверенности можно сказать, что это не оправдает себя — переиздавать книги невыгодно. Большие тиражи раскупаться не будут, а маленькие стоят дорого. К тому же книги необходимо рассылать по стране, почтовые расходы увеличат стоимость издания. Учитывая сказанное, можно предположить, что немногие учителя смогут позволить себе приобрести такие книги.

Если книги нельзя сделать выгодными для всех в бумажном виде, их можно сделать выгодными в электронном виде. Например, создать серию компакт-дисков, на которых будут храниться отсканированные изображения книг и журналов. Современные компьютерные технологии позволяют на каждый такой диск поместить несколько десятков изданий. При этом стоимость компакт-диска относительно невелика (в пределах 300 рублей). Диски такого типа уже созданы и продаются. Можно создать не диск, а открытый электронный ресурс в сети Internet, на котором представить интересующие учителей книги. Тогда каждый сможет бесплатно скачать нужную ему книгу, журнал или статью. Понятно, что не у всех учителей есть компьютер и, тем более, доступ в Internet. Однако достаточно очевидно, что в скором времени пользование сетью Internet войдет в нашу жизнь так же прочно, как обычный телефон, радио или телевизор. Компьютер уже сделал это. Когда какая-то новая технология становится массовой, услуги на нее резко падают в цене. Так было с мобильной связью, так будет и с Internet.

Даже если будет решен вопрос о том, как конкретно сделать старые книги и журналы доступными всем желающим, встанет другой вопрос: чем заниматься в первую очередь, а что оставить на потом? Ведь накопленный материал огромен, потребуется не один год на то, чтобы его хотя бы полностью обозреть. Вероятно, нужно будет соз-

дать какую-то комиссию по отбору материалов для публикации. Эта комиссия, основываясь на мнении учителей и методистов, должна будет рекомендовать к публикации (бумажной или электронной) то или иное произведение.

Но прежде всего нужно решить другую задачу: как ориентироваться в безбрежном океане книг и периодики? Представляется естественным привести в порядок печатное наследие, как-то классифицировать все источники, разбить их на тематические или еще какие-то группы. Иными словами, требуется упорядоченный список всего того, что было некогда опубликовано в России по элементарной математике и методике ее преподавания. Этот список должен быть максимально полным, в него должны войти книги, журнальные статьи, статьи из всевозможных сборников, диссертации, публикации по проблемам математического образования, очерки о жизни и деятельности известных педагогов-математиков — словом, все, что так или иначе имеет отношение к математическому образованию. Такой список принято называть библиографией. Таким образом, мы ставим вопрос о создании методико-математической библиографии, куда вошли бы ссылки на все тексты, вышедшие в России с 1682 года по настоящее время.

III. Обзор библиографических пособий

Некоторые шаги в указанном направлении уже предприняты. Так, создан ряд библиографических пособий по математике и ее преподаванию. Первым таким указателем стала «Русская физико-математическая библиография», которую составил В.В. Бобынин, известный отечественный педагог и историк математики. Труд В.В. Бобынина охватывает период книгоиздания от XVI века до 1816 года и включает не только отдельные издания по физике и математике, но также и календари, и научную периодику. Библиографический указатель состоит из трех томов, которые выходили отдельными выпусками (1885—1900). На основе фундаментального труда В.В. Бобынина оренбургским преподавателем Д.В. Агаповым был составлен «Алфавитный каталог русских книг по математике, вышедших в России с начала книгопечатания до последнего времени. 1682—1908» (1908). К журналу «Педагогический сборник» существуют два указателя (1915, 1917), которые совместно обнимают период с 1864 по 1914 годы (составлены С.А. Переселенковым к 50-летию журнала). Отдел указателя по математике включает более 300 статей, в отделе рецензий собрано около 200 ссылок на отзывы о книгах по математике, выходивших в то время.

Крупнейшим библиографическим указателем советского периода является «Педагогическая библиография», которая охватывает годы с 1917 по 1949 включительно. В выпусках библиографии есть отдел «Математика», где собраны книги, журнальные статьи и материалы сборников, вышедшие за указанный период. Ряд указателей по методике преподавания математики был составлен Ф.М. Шустеф (5 пособий, 1963—1980). Во все указатели вошли как статьи из журналов, так и материалы сборников, и отдельные книги. Период времени, охватываемый указателями, длится примерно с 1945 по 1977 годы. Существует указатель диссертаций по методике преподавания математики, составленный В.А. Далингером и С.Т. Тхамафоковой (1980). В виде приложения к журналу вышел указатель «“Квант” за 30 лет» (составитель В.А. Тихомирова, 2000). Имеется указатель «Из истории математики и математического образования: Путеводитель по литературе» (составитель Р.З. Гушель, 1999). Содержание указателя включает ссылки на книги и статьи по истории математики, математического образования, биографические очерки.

К журналу «Математика в школе» существуют два указателя: Айзенберг А.К, Асимов К.У. Тематический указатель статей журнала «Математика в школе» (1937—1966). — Душанбе, 1970.

Бусев В.М. «Математика в школе» за 15 лет: Тематический указатель статей журнала за 1990—2004 годы. — Ярославль, 2005.

Второй указатель составлен автором настоящей заметки. На его примере мы хотели бы показать, как можно составить упомянутую выше общую библиографию по методике преподавания математики.

Указатель состоит из четырех разделов, каждый из которых делится на рубрики. В первом разделе собраны в основном официальные статьи (документы, выпускные экзамены, методические рекомендации к учебникам); второй раздел посвящен общим вопросам методики математики; третий — частным методикам; в четвертом собраны все остальные материалы (занимательная математика, история математики, рецензии на книги и др.). Часть статей аннотирована. Аннотация представляет собой пояснительный текст, который помещается в квадратных скобках после названия статьи. Статья аннотируется в двух случаях: если из ее названия невозможно понять, о чем она; или же для более полного раскрытия ее содержания.

В указателе принята сплошная нумерация статей, имеется система перекрестных ссылок. Наличие ссылок связано с тем, что часто публикация относится не к одному, а к двум или более тематическим разделам. Поэтому обычно статья помещается в одном разделе, а в другом (или других) дается ссылка на нее (указывается номер публикации). Важной частью навигации является список авторов, помещенный в конце указателя. Напротив каждой фамилии выписаны через запятую номера публикаций, в которых данное лицо принимало участие как автор или соавтор. Это позволяет по фамилии автора найти все статьи с его участием.

Нам кажется, что такая структура указателя достаточно удобна для поиска интересующей информации. Заметим, что очень похожую структуру имеет и рассмотренный выше указатель к журналу «Педагогический сборник». Возможно, описанное построение указателя могло бы быть использовано при создании общей методико-математической библиографии. Также представляется целесообразным сделать не единую библиографию (в виде одной книги), а систему указателей, каждый из которых включал бы материалы, близкие по теме или жанру (книга, статья, диссертация). Однако какой бы путь построения ни был принят, необходимо при составлении указателя неукоснительно соблюдать требование полноты; пособие не должно зависеть от личных предпочтений составителя: что одному покажется ненужным, неважным, неинтересным, может оказаться полезным для другого. Ведь мы не можем заранее знать, кто и по какой надобности будет пользоваться путеводителем по методико-математической литературе.

Библиография может послужить не только делу создания электронных версий старых книг, но быть полезной студентам и аспирантам педвузов, научным работникам и историкам образования.

Литература

1. Баренбаум И.Е. Книжный Петербург: Три века истории: Очерки изд. дела и кн. торговли. — Спб: КультИнформПресс, 2003. — 439 с, ил.

2. Больсен Е.М. Первое в России научное издательство физико-математической литературы // Математика в школе. 1977. № 1. С. 94.

3. Депман И.Я. Русские математические журналы для учителя // Математика в школе. 1951. № 6. С. 9—23.

4. История книги: Учебник для вузов / Под ред. А.А. Говорова и Т.Г. Куприяновой. — М.: Издательство МГУП «Мир книги», 1998. — 346 с.

5. История математического образования в СССР / Под ред. И.З. Штокало, А.Н. Боголюбова. — Киев: Наукова думка, 1975. — 384 с, ил.

6. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. — М.: Просвещение, 2001. — 318 с.

7. Мишкевич Г.И. Доктор занимательных наук (Жизнь и творчество Якова Исидоровича Перельмана). — М.: Знание, 1986. — 192 с.

8. Полякова Т.С. История математического образования в России. — М.: Изд-во МГУ, 2002. — 624 с.

9. Симонов Р.А. Первые русские математические журналы — носители прогрессивных методических идей // Математика в школе. 1955. №3. С. 13—20.

10. Юдин А.В. Учебно-педагогическое книгоиздание в 20—30-е годы XX столетия: Конспект лекций. — М.: Изд-во МГУП, 1999. — 29 с.

А. Н. Земляков

Психодидактические аспекты углубленного изучения математики в старших классах общеобразовательной средней школы

Около ста лет тому назад, в 1908 г., выдающийся немецкий математик и педагог Феликс Клейн писал, что в некой учебной книге того времени «элементарная математика систематически и логически развивается на зрелом математическом языке, доступном студенту, далеко продвинувшемуся в своих занятиях. <...> Между тем изложение в школе, выражаясь образно, должно быть психологическим, а не систематическим. [Сейчас бы мы сказали, «не догматическим», что наблюдается почти «сплошь да рядом». Что касается систематичности, то «систематичность систематичности рознь» — А.З.]. Учитель должен быть, так сказать, дипломатом; он должен учитывать душевные движения юноши, должен уметь возбудить его интерес...».

В этом высказывании — весь пафос нижеследующего повествования [в некоторых случаях — конспективно-тезисного изложения], характерные особенности которого суть следующие.

1. Большая часть излагаемых позиций при своем развертывании и/или переформулировке может быть отнесена ко многим, если не ко всем, изучаемым в школе курсам. Однако, при этом мы исходим из опыта преподавания математики в старших классах общеобразовательной школы.

2. Значительная часть высказываемых положений относится в равной мере как к общеобразовательному курсу математики (причем не только к старшим классам), так и к углубленному изучению математики. В основе наших позиций лежит конкретный опыт изучения математики в старших классах в той и другой ситуации.

3. Тем не менее, существенная часть выдвигаемых предложений и предположений относится именно к системе углубленного математического образования (далее УМО), ибо в силу специфики современного состояния преподавания математики в школе (неопределенность программ, учебников и стандартов; размытость и сдвинутость мотивационных моментов/акцентов; слабая готовность и мотивированность основного контингента учителей математики к новациям, к модификации своего стиля преподавания, к смене образовательной парадигмы) необходимая, назревшая (и перезревшая!) серьезная переори-

ентация математического образования возможна (а отчасти, и целесообразна, в качестве «прорывного» этапа) только в рамках УМО: от профильных классов до школ с углубленным изучением математики.

Математика как наука и как школьный предмет имеет важную специфику: именно, в математике (подобно классической механике или фундаментальной физике) самые конкретные объекты изучения являются абстрактными, теоретическими скорее, чем эмпирическими. (Например, числа, хотя бы только и целые — суть объекты весьма высокой степени абстракции.) Так что при обучении математике в школе очень короток период перехода от эмпирического мышления к теоретическому, и (в старших классах особенно) научение идет через передачу теоретических способов мышления, как раз через диалектическое «восхождение от абстрактному к конкретному» (Маркс; Ильенков). В этой связи ясно значение именно для математического образования психологических теорий развивающего образования и обучения (Эльконин, Давыдов и др.), важность психопедагогических и психодидактических подходов (Стоунс, Зинченко и др.) к конструированию процесса образования (от постановки целей до практики), выявления психологических аспектов в образовании.

Прежде чем переходить к психодидактическим аспектам УМО, сформулируем, минуя обсуждение, как мы понимаем основные цели углубленного изучения математики, или нашу (авторскую) концепцию УМО (т.е., углубленного математического образования).

Мы полагаем, что, особенно в настоящее время, важнее технологических и утилитарных целей образования (таких, как овладение учащихся теми или иными компетенциями, сколь бы ценны они не были) формулировать личностно-ориентированные цели образования, пусть для этого и используется пока (без)надежно забытый «высокий штиль».

Основная посылка состоит в том, что фундаментальной целью углубленного математического образования является не подготовка будущих математиков (физиков, инженеров, etc.), а формирование на основе углубленного обучения математике сознательной и гармонически развитой личности. Эта задача не исключает привлечения потенциала всех учебных предметов к ее решению, а напротив, усиливает роль, например, предметов гуманитарного цикла при углубленном математическом образовании. (Подробнее об этом см. ниже. Известно: «Специалист подобен флюсу»).

Далее приведем таксономию (иерархию приоритетов) целей образования.

Важнейшими целями УМО являются: воспитание интеллектуальных и моральных черт характера [«... Интеллектуальные привычки имеют свой моральный отголосок» — Анри Пуанкаре, очерк «Мораль и наука». А.Н.Уайтхед в своем очерке «Математика и добро» упоминает знаменитую лекцию Платона на тему «добра как такового», в которой лектор говорил почти исключительно о математике!], эстетического чувства; способствование формированию важнейших интеллектуальных умений и мышления, способностей ума; формированию сознания.

Далее, одна из основных целей УМО состоит в воспитании у школьников эстетического восприятия математики, формирования представления об исторически взаимообусловленном единстве математики с другими составляющими духовной культуры.

При УМО должна быть адекватным и доступным образом отражена математизация знаний и общественной практики.

Значительно должна быть усилена роль УМО в формировании научного мировоззрения — с этой целью в преподавание привносится знакомство с методологией математики, с математическим моделированием.

Наконец, УМО должно преследовать и традиционные социально-утилитарные цели, как то: развитие интересов, углубление и упрочение знаний и умений, подготовка к продолжению образования.

В этих формулировках собственно обучение не отрывается от развития и воспитания в процессе обучения, т.е. рассматривается как образование в целом. Поэтому перечисляемые ниже психодидактические аспекты углубленного изучения частично можно понимать и как психопедагогические предпосылки такового, в соответствии с нашей концепцией. С другой стороны, собственно концепция (таксономия целей) УМО структурирована в значительной степени с учетом следующих далее психодидактических аспектов.

* * *

Прежде, чем переходить к краткому связному изложению анонсированных психодидактических аспектов, обозначим на уровне ключевых слов основные линии (связки концептов), которые на настоящий момент представляются наиболее важными и доступными для реализации теми или иными средствами (содержательными, учебными и методическими):

Мотивация — интересность — значимость достижений — культурно-исторический дискурс.

Мотивация — деятельность — прикладные аспекты — поисковая активность — зона ближайшего развития.

Развитие — роль гуманитарной компоненты — Поисковая активность.

Развитие — культурно-исторический подход (Выготский) — культурно-исторический дискурс математики в обучении.

[Теоретическое мышление — компетентностный аспект — методологический подход].

Смена парадигмы — стиль обучения: деятельностная активность + мотивированность учения + развивающий подход.

* * *

Адекватная мотивация к обучению/развитию и ориентация на развитие способностей, в т.ч. на психическое развитие личности (в отношении тех качеств и интрапсихических факторов, как поисковая активность, креативность, теоретическое мышление и т.д.) суть две основные составляющие психодидактической парадигмы УМО (да и всего образования; см. вводное замечание 1).

Мотивация здесь рассматривается внутренняя, именно психическая по отношению к субъекту-обучающемуся, а не внешняя (типа оценки или материального стимула) по отношению к существу, процессу учения (хотя от внешней мотивации отказываться смысла не имеет). Главным рычагом такой мотивации является интерес к учению, который должен быть заложен в таких его качествах, как интересность содержания и процесса учения (здесь отражаются уже внешние предпосылки — такие, как содержание образования [программы, учебники] и принятая манера его преподнесения [образовательная парадигма и принятый стиль преподавания], методическая

поддержка процесса учения). Иными словами, нужно интересно «образовывать», а здесь важно, чему и как «образовывать» (кого — школьников, кому — учителям, зачем — см. цели).

По-другому, обучение должно обладать привлекательностью для учащихся. Привлекательность процесса учения во многом зависит от успешности достижений учащихся, которые должны испытывать чувство удовлетворения по изучении того или иного фрагмента предмета. Для этого у учащихся должны быть понятные цели как результаты их учебной деятельности, и это достигается ориентацией процесса учения от зоны актуального до зоны ближайшего (а при УМО — и проблемного) развития.

Итак, дидактические принципы доступности и наглядности в нашей парадигме предлагается заменить принципами интересности и привлекательности учения (разумеется, такой перенос акцентов не должен производиться за счет фундаментальности содержания образования; опыт показывает, что по крайней мере в системе УМО это достижимо: преподавать существенную математику можно и весело, и, одновременно, серьезно). («Все серьезные вещи нужно делать предельно весело\» — гласил лозунг студенческой революции в Париже, 1968.)

«Кто учит», субъективный фактор мотивированности учения, очень существен. Иной раз отношение к учителю, субъекту-обучающему, со стороны школьника, субъекта-обучаемого, может играть существенную роль. В 1930-е гг. Карл Густав Юнг, выдающийся психолог XX в., писал даже: «Если между ребенком и учителем установились хорошие личные отношения, то само по себе почти не имеет значения, насколько дидактические методы учителя соответствуют или не соответствуют новейшим требованиям. Ибо не в дидактическом методе кроется секрет успеха обучения...».

Но этот же «фактор» наиболее «консервативен», поэтому в первую очередь следует озаботиться «объективными факторами», отражением мотивации к учению в учебных и методических материалах, так что теперь мы рассмотрим основные резервы реализации мотивационного аспекта УМО через его содержание и целевые установки.

Мы видим два таких основных резерва — это историчность и прикладная направленность учебного повествования. Первый реализуется через культурно-исторический дискурс изучаемой математики и будет

рассмотрен далее. Второй резерв психологически и дидактически многоаспектен и, отчасти, связан с деятельностным подходом к обучению (А.Н.Леонтьев и др.), и его аспекты рассмотрим в первую очередь.

Экспериментальная психология и психологическая антропология позволяют утверждать, что в человеке от рождения заложены, в числе многого прочего, стремления к исследовательскому поведению, к активной деятельности (поисковой активности; Аршавский, Ротенберг), к познанию нового. И в младших/средних классах именно на этих врожденных качествах может быть основана «стратегия и тактика» в организации учебной деятельности: ученики, что называется, «схватывают с лёту» знания и хотят узнать еще больше. Но, не будучи эффективно подкрепленными, к старшим классам эти задатки постепенно утрачиваются или преобразуются — скажем, фактор поисковой активности в результате «неблагоприобретенного опыта» может превратиться в антагонистический фактор «обученной беспомощности» (Селигман). С другой стороны, к старшим классам возрастает роль таких факторов, как рефлексивность и критичность. Оба обстоятельства делают важной объективацию мотивации к обучению в содержании образования, особенно в старших классах.

Специфика прикладной направленности науки и предмета математики в том, что во многих случаях таковая направленность реализуется опосредованно, через другие науки/предметы. Стараясь относительно автономизировать математику, в ней рассматривают «чисто» математические модели (скажем, модель экспоненциального роста) и лишь конкретизируют их на внематематических примерах (например, моделями радиоактивного распада, линейного роста биологических популяций). Нет нужды особо объяснять, что подобного рода межпредметность математики работает собственно на сам предмет математики, существенно усиливая его мотивационный аспект.

С одной стороны, прикладные примеры показывают диалектику науки, движущие силы ее развития. С другой — анализ моделей дает как бы образцы научной деятельности на уровне учебной деятельности, способствуя культурному и мировоззренческому пониманию сущности предмета.

* * *

Цитировавшийся выше Феликс Клейн в начале XX в. писал, что ученика «нужно не только услаждать и поучать, но что в нем надо будить силы, которые вели бы его дальше, побуждать его к самостоятельной деятельности». По существу здесь содержится призыв к усилению внимания к поисковой активности, которая понимается как следующий концепт: эта активность есть активность субъекта, направленная на изменение ситуации, расцениваемой как неприемлемая (или своего отношения к ней), при отсутствии определенного прогноза результатов своей активности, но при постоянном учете этих результатов (Аршавский, Ротенберг).

Идеальная ситуация, в которой нужна поисковая активность — решение любой новой (для субъекта-обучаемого) задачи. Много других ситуаций, в которых необходима поисковая активность, дает повседневная жизнь, в т.ч. и школьников. Более широкий концепт исследовательской и творческой деятельности во многих ситуациях может быть отождествлен с рассматриваемым. Поисковая активность есть врожденный адаптогенный психический фактор, который в идеале всесторонне важен и должен поддерживаться и развиваться в течение всей человеческой жизни.

Заметим, что идея поисковой активности, важности поискового поведения восходит к Выготскому, который утверждал, что жизнь в педагогике будущего «раскрывается как система творчества, постоянного напряжения и преодоления, постоянного комбинирования и создания новых форм поведения. Таким образом, каждая наша мысль, каждое наше движение и переживание является стремлением к созданию новой действительности, прорывом вперед к чему-то новому» (Выготский Л.С. Воображение и творчество в детском возрасте. М., 1991). Творчество в разных его ипостасях есть неотъемлемый атрибут развивающего обучения, а главное и общее, наличествующее в творческих актах, есть способность человека «действовать в неопределенных ситуациях» (Асмолов, 1996.).

Мы уделяем сейчас и далее развитию фактора поисковой активности при УМО отнюдь не (только) потому, что он специфичен при решении математических задач. Через посредство математики появляется уникальная возможность развивать его на идеальных, абстрактных моделях — это раз. А два — так это способствование поисковой активности процессу усвоения теоретических, но «живых», т.е. при-

меняемых на практике (неважно, научной, творческой или просто повседневной) знаний. И здесь важно: поисковая, творческая, исследовательская активность, мышление предполагают многозначность, образность, целостность воспринятия проблемной ситуации. Математика же, со своей стороны, сама по себе как бы предполагает сугубо однозначный контекст мышления, его «логичность». Чтобы УМО не было односторонним, ограниченным лишь репродуктивным, однозначным мышлением, мы выдвигаем вместо классического дидактического принципа межпредметных связей тезис третий предлагаемой парадигмы УМО: о важности и необходимости продвинутого гуманитарного образования в параллель с образованием математическим. Обоснуем этот тезис, рассмотрев его вместе с принципом деятельностного подхода к УМО, ограничившись фактором активности в учебной (и прочей) деятельности (подчеркнем, вслед за Клейном: самостоятельной деятельности).

* * *

Внимание!!): сейчас пойдет речь о концепции лево/правополушарного мышления и выше упоминавшихся важных с точки зрения общего развития и образования концептах: психологического фактора поисковой активности (1980-е гг., В.С.Ротенберг и В.В.Аршавский, Россия; см. Ротенберг В.С., Аршавский В.В. Поисковая активность и адаптация. — М., 1984.) и антагонистического фактора обученной (выученной) беспомощности (1990-е гг., М.Е.Селигман, США). Здесь не уместно подробно обсуждать эти концепции, однако в силу их сугубой важности для системы УМО кратко обрисуем ситуацию.

Если изначально заложенное в человеке поисковое поведение тормозится, что чаще всего происходит при дефиците эмоциональных контактов в раннем детстве, то это часто приводит к одностороннему развитию ребенка. Здесь слово «одностороннее» имеет вполне определенный психофизиологический смысл. Еще в 1950-е гг. психофизиологи экспериментально обнаружили функциональную асимметрию мозга. Исследования последних десятилетий позволили довольно точно установить специфические функции левого и правого полушарий. В самом общем виде гипотеза, подтверждаемая многими экспериментами, выдвинутая в 1990-х гг. В.Ротенбергом гласит: левое полушарие оперирует с информацией, сводящейся к однозначному

контексту — отвечает за вербальное поведение, логическое (и математическое, а точнее — любое однозначное) мышление. Правое же полушарие способно целиком воспринимать многозначный контекст, интегрируя все многочисленные и даже противоречивые связи между объектами окружающего мира, оперируя с цельными образами окружающего. Совсем грубо, левополушарное мышление есть мышление логическое, однозначное, правополушарное есть мышление образное, многозначное.

Правое полушарие отвечает также за формирование многозначного «образа Я», соединяющего в себе все огромное множество представлений человека о самом себе и о своих отношениях к окружающему — миру, социуму. Оно ответственно за адаптацию человека к окружающему, и если образное восприятие оказывается нарушенным, возникает фактически клиническое состояние дезадаптации.

«Что же приводит к неполноценности образного мышления? Ведь человек рождается с высокими потенциальными предпосылками к такому мышлению. В раннем детстве преимущество в развитии на стороне правого полушария, и лишь постепенно и с большим трудом формируется доминантность логического мышления. И это вполне объяснимо — прежде всего младенцу необходимо воспринять мир целостно, объемно, непротиворечиво, и прежде всего он должен научиться реагировать на неопределенные, многозначные сигналы этого мира. Потому что эмоциональные реакции близких, любовь родителей — это многозначный контекст. Мы уже писали, что никаким анализом нельзя исчерпывающе определить, почему и как человек любит или не любит другого человека.

Но правое полушарие не только предуготовано к восприятию многозначности эмоциональной экспрессии — оно развивается и совершенствуется в своих функциях под влиянием этой экспрессии близких людей и под влиянием собственной эмоциональной экспрессии ребенка, проявляющейся в его двигательном, невербальном поведении. И поэтому дефицит эмоциональных контактов <...> и ограниченность эмоционального самовыражения <...> приводят к недоразвитию образного мышления, неспособности к созданию многозначного контекста, несформированности образа „Я“. А потом ребенок начинает развиваться в условиях все более активного давления нашей левополушарно ориентированной цивилизации, и в школе у него всеми способами активируют исключительно логическое мышление, и ком-

пъютерные игры продолжают эту тенденцию. И если уже сложившиеся эмоциональные контакты и художественные интересы и увлечения не противодействуют этим тенденциям, то образное мышление все более подавляется и возникают предпосылки для невротических и психосоматических расстройств». (Ротенберг, 2001;здесь и далее приведены ссылки на работу В.Ротенберга «Образ Я», которую можно найти в Интернете. С начала 1990-х гг. Вадим Ротенберг (г.р.1941) — профессор в Тель-Авиве.)

Таким образом, эмоциональные отношения, многозначные по своей природе, способствуют развитию многозначного, образного мышления. Напротив, по данным ведущих психоаналитиков у больных с психическими и психосоматическими заболеваниями выявляется систематический дефицит полноценных эмоциональных контактов в раннем детстве. Вся западная цивилизация и система образования также способствуют развитию левого полушария в ущерб правому и недостаточному формированию образного мышления.

«Если способность к формированию многозначного контекста не развивается и тем самым утрачены все преимущества этого способа адаптации к миру, естественной в нем интеграции — человек вынужден прибегать к другим механизмам адаптации. Он пытается восполнить свой дефект за счет все более выраженных усилий по упорядочиванию, структурализации действительности, т.е. за счет активации левого полушария. <...>

А в дополнение ко всему и сам человек, и все его окружение подталкивают левое полушарие к избыточной активности: убедившись, что ребенку или подростку легче даются точные науки, чем все то, что требует образного мышления, близкие вместо того, чтобы попытаться восполнить дефицит, начинают варварски эксплуатировать именно те способности и тенденции, которые и без того избыточны. И так до тех пор, пока левое полушарие, не уравновешенное трезвостью и жизненностью правого, не отрывается окончательно от реальности и не начинает парить в безвоздушном пространстве бредовых идей и галлюцинаций. Когда все поисковое поведение человека базируется только на возможностях однозначного контекста, он становится самодовлеющим и сам себя подстегивает» (там же).

Мы полагаем, что проделанный за последние десятилетия анализ и вытекающие из него выводы психологов и психофизиологов, касающиеся деформации в развитии функций — главным образом, логиче-

ской (левополушарной) за счет образной (правополушарной), — заслуживают самого внимательного отношения со стороны педагогической психологии и непосредственного учета при построении любых программ развивающего обучения, в том числе и УМО. Адаптация к окружающему требует формирования полноценной поисковой активности, и без адекватного отношения школы, учителей к этой проблеме многие и многие школьники обречены на дезадаптацию, на формирование выученной беспомощности.

Отметим, что особенно это относится к математике и в самой большой степени — к учащимся, выбравшим углубленное изучение данного предмета. Математика как фундаментальная наука и как учебный предмет подразумевает творческую деятельность, а таковая отнюдь не будет развита без специального внимания к образному восприятию и мышлению, к формированию эмоционально-личностного отношения к предмету.

В.С.Ротенберг описывает принципы воспитания и обучения с учетом фактора поисковой активности почти в терминах школы Л.С.Выготского. «С раннего детства необходимо формировать потребность в поиске, при котором сам процесс активного изменения ситуации не менее притягателен для человека, чем даже самый желанный результат деятельности. Удовольствие от процесса преодоления препятствия может стать мощным стимулом поиска, но для этого нужно, чтобы ребенок почувствовал вкус преодоления. А для этого задачи должны быть не слишком легки и не чересчур сложны: на каждом этапе развития они должны чуть-чуть превосходить наличные возможности ребенка, вынуждая его для достижения успеха все время как бы „ становиться на цыпочки“. И поощряться должен не столько конечный результат, сколько эта готовность не отступать в случае неудачи, все начинать сначала, отыскивать все новые способы решения проблемы, пусть даже недостаточно эффективные» (Вопр.психол., 1989, №6).

Противоположный поисковой активности интрапсихический фактор, внешне выражающийся как отказ от поиска в тех или иных проблемных ситуациях, называется обученной (выученной) беспомощностью. Наименование связано с тем, что отказ от поиска не присущ человеку (и животным, на которых был открыт феномен обученной беспомощности) изначально, а приобретается (может приобретаться) в результате разнообразного негативного опыта. Так, в младенчестве

недостаток эмоционального общения со взрослыми может привести к обученной эмоциональной беспомощности, что на следующем этапе приводит к задержке развития эмоционально-волевой сферы и, как следствие, к отставанию в развитии мотивационной сферы, навыков общения и даже речи. К обученной беспомощности приводит и авторитарное воспитание в детстве, и гиперопека родителей.

В более старшем возрасте ребенок (подросток, взрослый), получая опыт обученной беспомощности, не обязательно его генерализует, относит ко всем видам своей деятельности — беспомощность компенсируется в других областях деятельности, в которых сохраняется и узко направленная поисковая активность. Ребенку младшего возраста какая-либо компенсаторная деятельность вообще может быть незнакомой, его обученная беспомощность генерализуется, вытесняется по Фрейду в бессознательное и приводит либо к неврозам, либо к психосоматической симптоматике.

Конечно, в таком случае развитие личности в процессе обучения становится проблематичным — здесь нужен уже не педагог, а врач. И не следует допускать обученную беспомощность до подобной стадии, и не следует в процессе обучения ни в какой мере провоцировать ее. Это — азы (вернее, оборотная сторона) развивающего обучения.

Спрашивается, при чем здесь гуманитарное образование? Учить поисковому поведению, не допускать (или, по крайней мере, компенсировать) обученную беспомощность — и дело с концом. А вот здесь дело в том, что гуманитарное образование, способствуя развитию образного мышления, не только не позволяет доминировать одностороннему, только левополушарному мышлению, но и существенно способствует развитию творческого мышления, что весьма существенно, на наш взгляд, при профильном обучении (и не только математике!). Дальнейшее обсуждение в этом направлении мы пока опускаем.

* * *

Вопрос: а не может ли «сам предмет» математики в школе способствовать развитию у учащихся образного мышления, правого полушария, креативных способностей? — Наш опыт показывает, что действительно в рамках предмета математики возможно развитие как бы «правополушарного мышления»: взять хотя бы формирование геометрического воображения и пространственных представлений, привитие эвристических способов решения задач, каких-то интуитив-

ных и ассоциативных (многозначных) подходов, даже показ каких-то «иррациональных» приемов мышления (простейшие случаи работы интуиции, инсайта...)... Но этак мы далеко зайдем; к тому же многозначные контексты в алгебре или анализе указать довольно трудно (хотя они есть — например, аналогии между числовыми и прочими структурами, ассоциирование целых чисел и многочленов и др.). Но самое печальное — многозначность и образность мышления по сути своей входят в противоречие с традиционной парадигмой математического (и не только!) образования. Причем здесь следует не подновлять традиционную образовательную парадигму, а перейти к иной, развивающей, психодидактической парадигме.

Учитывая сложность нужного «поворота руля», а также возможные риски, было бы целесообразным (и левосторонне логичным!) перейти к новой парадигме и к формированию ее отражения в конкретном преподавании (т.е. стиля преподавания) в рамках только УМО. К рассмотрению образовательных парадигм и стилей преподавания мы и приступаем.

* * *

Самая главная идея рассматриваемой здесь концепции углубленного математического образования состоит в сочетании в учении (обучении) обучающего (образовательного) и воспитывающего аспектов. Методику, совокупность «рычагов» ее реализации в процессе преподавания курса мы называем стилем обучения, а непосредственно в учебных пособиях — стилем изложения. С точки зрения философии образования стиль обучения и изложения есть не что иное, как образовательная парадигма, т.е. принятая система принципов конструирования образовательного процесса. [Термин парадигма (от греч. paradeigma — «пример», «образец») у Платона означал идею как прообраз, первообраз реально существующего. В современной философии науки под парадигмой понимается принятая (нормативная) методология (Г.Бергман), модель постановки проблем и их решений (Т.Кун).] И коль скоро речь идет о предложении «собственной» парадигмы, проведем ее сопоставление с традиционной парадигмой математического образования, т.е. преимущественно применяемым на практике подходом к постановке процесса математического образования или, в нашей терминологии, общепринятым стилем преподавания математики.

Здесь в первую очередь следует рассматривать не идеи и концепции, высказываемые и выдвигаемые на сей счет математиками, методологами и методистами, а реально существующую практику, отраженную в учебниках. И здесь ведущим в преподавании математики — и в школе, и в вузах (университетах), — на протяжении, можно сказать, веков, является формально-дедуктивный подход. Несколько огрубляя в деталях весьма разнообразную картину, этот подход можно описать примерно так.

Учащимся (школьникам, студентам) без особых оснований или объяснений (по-нашему, без специальной мотивации) предъявляется некоторый список исходных понятий и положений (определений, аксиом, правил оперирования с введенными математическими объектами). Вслед за тем — опять-таки, без мотивирования, — формулируются и доказываются свойства «объектов изучения», устанавливаются (в смысле предъявляются) и обосновываются (доказываются) связи между ними. Таким образом, изучаемая математическая теория (арифметика, алгебра, геометрия, etc.) представляется как некий свод определений, постулатов и правил, теорем и других сопутствующих предложений (т.е. логически выводимых утверждений). Как правило, в параллель к выстраиванию теоретической системы осуществляется и дидактическая ее как бы поддержка в виде «системы» (часто — просто набора) каких-то упражнений, задач, направленных на тренировку в формально-логических действиях с изучаемыми объектами, в применении их свойств в стандартной или измененной ситуации. Такова общая традиция изучения математики.

Британский исследователь Лео Роджерс в примечательной работе «Историческая реконструкция математического знания» [журнал «Математическое образование», 2001, №1] возводит описанный «формалистский подход» к Христиану Вольфу (1679—1754), немецкому математику и философу, последователю Декарта и Лейбница (и одному из учителей М.В.Ломоносова!) [Роджерс, с.75]. Излагая свои педагогические идеи, Вольф писал: «...Мой способ обучения следует естественному образу мышления» (1724). Однако представляется, что истоки дедуктивного подхода к изложению математики гораздо более глубокие и древние — они идут еще от Аристотеля, а непосредственно в математике — от фундаментального компилятивного труда «Начала» Евклида (VI в. до н.э.). Касательно утверждения Вольфа Роджерс замечает: «Хотя в этой вере и содержатся серьез-

ные изъяны, всё же данная официальная догма является значимым “рабочим принципом ” для многих преподавателей математики» (там же). Отметим, что это было (и есть!) так не только «для преподавателей математики» — евклидов подход столь впечатляющ, что даже Спиноза свою «Этику» изложил «по Евклиду»! [Бенедикт (Барух) Спиноза (1632—1677) — голландский философ-материалист, один из самых выдающихся мыслителей всех времен. Критиковал Декарта, общался с Лейбницем. «Этика, доказанная в геометрическом порядке» (1675) — основной труд Спинозы.]

Главный и очевидный недостаток формально-дедуктивного стиля преподавания математики состоит в том, что — при его последовательном воплощении в практику обучения — полностью игнорируются вопросы «Почему?» и «Зачем?»: Почему выбраны те или иные определения? Зачем доказывать те или иные свойства? Почему математики выбрали для решения те или иные задачи! Иными словами, при таком подходе из процесса обучения оказывается изъятым существенный в воспитательном отношении момент мотивации. Выше мы отмечали, что этот («безмотивационный», «немотивированный») подход может быть вполне оправдан при изучении арифметики и формальной алгебры в младших и средних классах (с учетом психолого-возрастных факторов). То же во многом справедливо по отношению к изучению классической геометрии, в особенности стереометрии, даже в старших классах — в данном случае уже в силу большей конкретности предмета. Но этот же подход становится гораздо в меньшей степени оправданным при изучении абстрактных и алгебраических аспектов геометрии — преобразований, координат, векторов...; вопросы «зачем?» и «почему?» здесь являются уже вполне уместными. Наконец, формально-дедуктивный принцип обучения совсем мало приемлем при изучении алгебры и начал математического анализа в старших классах, и особенно — при углубленном изучении математики. Это так, опять же, по психолого-возрастным «соображениям» (но возраст и психология — иные!), а также из-за того, что указанные науки являются наиболее абстрактными. Основатель позитивизма французский филосо≠ 0гюст Конт (1798—1857) в своей «Иерархии позитивных наук» (1830) относил геометрию к предпоследней, а «прочую» математику («науку о величинах») — к последней (по Конту, седьмой) «ступени абстракции». Несмотря на качественное развитие математики и изменение воззрений на ее предмет после Конта, по отношению к элементарной, «школьной» математике его классификация наук осталась вполне правомерной.

Другой негативной, особенно для углубленного математического образования, стороной традиционной образовательной парадигмы является то, что математика предстает перед обучающимися как бы «в готовом виде», как «набор итоговых результатов и инструментальных техник» [Роджерс, с.74]. И далее: «Этот дедуктивный стиль объявляется сущностью математики, и хотя считается допустимым упоминать об открытии и создании новых идей по ходу дела, эти идеи редко рассматриваются в историческом контексте, поскольку считается, что любые новые идеи должны быть представлены студентам (student на английском — в том числе и школьник) сразу же в “строгой” манере» (там же, с.74—75). Мы полагаем, что, по крайней мере, при углубленном изучении математики, речь должна идти даже не об «историческом контексте» рассмотрения «идей», а о более широком и общем культурно-историческом дискурсе в контексте собственно математического образования.

Таким образом, кроме вышеуказанных принципов интересности и привлекательности, активности в деятельности и «правополушарности», мы в предлагаемую психодидактическую концепцию УМО считаем важным включить принцип культурно-исторической ориентированности УМО. Не следует думать, что здесь есть какая-то тождественность или сходство с «культурно-исторической» концепцией психического развития (Выготский), хотя «созвучность» наименований, на наш взгляд, не совсем случайна... Чтобы эти различие и сходство были виднее, нужно хотя бы кратко очертить суть использования культурно-исторического дискурса математики в преподавании математики, чем и закончим наш беглый обзор психодидактических аспектов углубленного изучения математики.

* * *

Культурно-исторический дискурс в (углубленном) математическом образовании понимается нами как практика постоянного и систематического вовлечения в процесс изучения собственно математики, т.е. математического содержания образования, сведений культурно-исторического ряда:

— привлечение конкретно-исторического материала, связанного с возникновением тех или иных конкретных математических содержаний: задач, понятий и определений, моделей, конструкций, подходов и идей, теорий и конкретных фактов (теорем, следствий, прочих утвер-

ждений), символики и терминологии (в частности, рассмотрение «математической этимологии»);

— использование относящихся к конкретному математическому содержанию сведений, касающихся конкретно-исторических общественных, культурных, политических обстоятельств, оказавших прямое или опосредствованное влияние на развитие математики;

— привлечение материалов историографического и биографического характера, показывающего роль личностных факторов и межличностных отношений, исторические особенности научных сообществ, имевших непосредственное отношение к развитию математики в его взаимосвязях с развитием других наук, искусств, культуры, техники, технологии...

Указанные здесь составляющие культурно-исторического дискурса представлены в соответствии с принятыми концепциями истории математики. Несмотря на пространное описание составляющих рассматриваемого дискурса, подразумевается, что весь относящийся к нему материал играет подчиненную, вспомогательную роль по отношению к основному математическому материалу.

Сам по себе термин «дискурс» [от лат. discursus — «беседа», «разговор»; другие значения этого слова: «бегание туда и сюда», «барахтанье», «круговорот», «беспрерывное мелькание»!] ввел в философский и культурологический оборот Мишель Фуко, французский философ и историк культуры (1926—1984), для обозначения «совокупностей высказываний», относящихся к тем или иным «деятельностным практикам» и составляющих философию. Иными словами, под дискурсом понимается «процесс получения нового знания на основе философски и научно состоятельных суждений, представленных в языковой форме» [Канке В.А. Философия. Исторический и систематический курс. — М.: Логос, 2001, с. 163].

Рассматриваемый нами культурно-исторический дискурс в математическом образовании предполагает использование суждений в адекватной целям собственно (углубленного) математического образования интерпретации. Для суждений относительно фактов истории математики это вполне естественно и общепринято, причем практикуются весьма разнообразные подходы к интерпретации; наши подходы диктуются воспитательным и образовательным аспектами процесса обучения математике.

Теперь о значении такого стиля преподавания математики, непосредственно о тех целях, которые могут быть достигнуты, которых мы желаем достичь посредством сочетания основного математического контекста процесса обучения и культурно-исторического дискурса.

Прежде всего, это демонстрация целесообразности (целесообразности!) построения (создания, развития) математических теорий — постановка вопросов «зачем?» и «почему?» в каждом (по возможности) принципиально важном случае, объяснение того, откуда берутся математические задачи, модели, теории.

Далее, такой дискурс позволяет показать сам предмет математики не в застывшем, «готовом» виде, а как развивающуюся науку, как систему взаимосвязанных теорий и различных подходов к решению тех или иных конкретных задач в их зарождении. Рассматривается не просто математика, а диалектика математики.

Третье: математика представляется не в изолированном виде, а как органичная и неотъемлемая часть всей системы научного познания мира, как важная составляющая культуры и цивилизации. Говоря словами бельгийского математика и педагога Вилли Сервэ, математика показывается как «культура в лоне культуры и техника в сердце техники»: «Мы <...> находимся сейчас <...> в высокой математической конъюнктуре, никогда прежде не достигавшейся. Больше, чем когда-либо, математика является одновременно культурой в лоне культуры и техникой в сердце техники» (1956).

Четвертое: показывается роль математиков, «Men of Mathematics)), личностей в развитии математики, в решении задач практики; роль математики и математиков, математических сообществ в общественной жизни, в становлении человеческой цивилизации, в развитии общечеловеческой культуры.

Что это дает непосредственно для образования? — Развитие интереса к предмету. Формирование правильного представления о предмете и о его роли. Общекультурное образование, к которому, вне сомнения, относится знание истории предмета. И как итог, важнейший в воспитательном отношении, — формирование личного, личностного, психологического отношения к предмету. Именно такое отношение поможет сориентироваться в выборе своего дальнейшего пути, сделает этот выбор свободным (или, по крайней мере, более свободным). Такой характер школьного образования позволит развиваться и дальше, при-

чем совсем не обязательно именно как будущему математику, а именно что как достаточно разносторонне образованному человеку...

Конечно, все это действительно достижимо... но только при условии адекватной поставленным целям организации процесса обучения.

Наилучшим способом реализации идеи культурно-исторического сопровождения курса математики было бы использование соответствующего материала непосредственно учителем в соответствии с конкретными потребностями — своими и обучаемого класса, в том числе психологическими. Однако это предполагает, во-первых, наличие адекватных указанной идее методических внутренних установок у учителя (можно сказать, переориентировка в стиле преподавания), во-вторых, что самое главное, владение учителем соответствующим материалом по истории математики (мы не говорим еще и о достаточном уровне педагогического мастерства, и об опыте проведения такого подхода — не на уровне «анекдотов», а в качестве серьезной и уместной компоненты уроков-лекций-диалогов: то и другое, как известно, дело наживное — был бы настрой!). И приходится признать дефицит нужных культурно-исторических знаний у значительной части учителей, а причина этого — не какие-то недостатки педагогического образования, а попросту «неподъемность» указанного пласта образования, в силу его обширности и в условиях отсутствия учебных или иных книг, хотя бы в какой-то мере охватывающих все культурно-исторические и философо-методологические аспекты развития математического знания. В этой связи отметим, что, тем не менее, при любой собственной концепции преподавания математики, самое полезное для учителя, для его и методического, и методологического (и общекультурного, и профессионального!) самообразования — это изучение как раз истории математики! Это, однако, всего лишь рекомендация (или, если угодно, благое пожелание), а как можно реально способствовать воплощению рассматриваемых педагогических установок в практике обучения?

Первое, что напрашивается: включение в учебно-методический комплект соответствующей книги, предназначенной учителю. Однако такое решение попросту нерационально: культурно-исторический «антураж» уместен и может принести действительную пользу лишь в том случае, если он непосредственно привязан к математическому образовательному контексту, т.е., попросту говоря, к конкретному математическому содержанию. Бессмысленно и лишено нужного

педагогического воздействия описание и даже упоминание тех или иных исторических обстоятельств и сведений вне непосредственной связи с изучаемым в данный конкретный момент материалом, так что по содержанию подобная книга одновременно должна быть и учебником математики. Учитывая, что любой учебник равно направлен (но по-разному!) и на обучающегося, и на обучающего, адресован как ученику, так и учителю, понятно, что нет необходимости в создании специальной книги для учителя, а нужно как-то интегрировать содержание культурно-исторического дискурса непосредственно в учебник. Но каким образом? И в чем тогда будет состоять миссия учителя? — На второй вопрос ответить проще: основная задача учителя — эффективное обучение предмету, а культурно-исторический дискурс — вспомогательное средство в процессе обучения, направленное на решение, главным образом, воспитательных задач. И учитель должен сориентировать своих учеников в предмете, в том числе, и в его культурно-историческом содержании, стимулировать самостоятельное использование учащимися культурно-исторического дискурса, привлечь первоначальный интерес учащихся к этому — общекультурному — аспекту математики. А как — по-разному, в зависимости от конкретных обстоятельств, от своей практики, опыта, стиля преподавания (вспомните слова Клейна: «Учитель должен быть, так сказать, дипломатом; он должен учитывать душевные движения юноши [и девушки, конечно, тоже! «Дискриминирующие» слова Клейна объясняются тем, что в Германии начала XX в. гимназическое образование получали по преимуществу юноши], должен уметь возбудить его интерес...».

Теперь о том, как в одной книге сочетать математическое содержание и культурно-исторический дискурс. В каком-то (очень бедном) смысле такое сочетание осуществляется и в действующих учебниках, скажем, алгебры и начал анализа: в конце каждой главы приведен совсем коротенький раздел «Сведения из истории». Даже если расширить эти разделы, подобная компоновка материала кажется нам неудовлетворительной: исторические сведения не привязаны к конкретным математически содержательным сведениям, и в итоге исторические рубрики остаются вне поля внимания учащихся. В некоторых книгах общекультурный и исторический материал имеет конкретную привязку, но дается в виде примечаний — хорошо, если подстрочных, а то и вынесенных (как то обычно делается в математиче-

ских монографиях и в некоторых учебниках по высшей математике) в конец главы или даже всей книги. Вынесенные примечания, как известно многим читателям даже поэзии или беллетристики, довольно неудобны (правда, в художественной литературе подстрочные комментарии — это вообще нонсенс; они уместны разве что для переводов иноязычных вставок и фрагментов). Подстрочные примечания лучше, но влекут значительные ограничения на объем — не может же книга, тем более, учебник, скажем, на 20% состоять из примечаний.

Есть (по-моему, единственная) удачная в отношении композиции математического и исторического содержания книга, которая может считаться учебной [можно указать еще на блестящий двухтомник Феликса Клейна: «Элементарная математика с точки зрения высшей», не так давно переизданный; но сей трактат по преимуществу методико-методологический, а не учебный] — это популярнейшая из почти популярных книга Р.Куранта и Г.Роббинса «Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов». Основной автор, один из крупнейших математиков XX в. Рихард Курант (1888—1972) — ученик Гильберта, эмигрировавший в 1934 г. из фашистской Германии в Соединенные Штаты Америки, — задумал книгу как раз такую, «читая которую, можно было бы '(войти в соприкосновение с самим содержанием живой математической науки"» [это цитата из «Предисловия к третьему изданию на русском языке» математика В.М.Тихомирова, который, в свою очередь, цитирует предисловие самого Куранта, 1941]. Этот свой труд Курант понимал как «попытку» «избежать всего слишком технического или искусственного, делая изложение математики в одинаковой степени свободным от духа школьной рутины и от мертвящего догматизма, отказывающегося от мотивировок и указания целей, — того самого догматизма, который представляет собой столь неприятное препятствие для честного усилия» [это уже непосредственно из «Предисловия к первому изданию» Р.Куранта]. Ведущий автор придавал книге большое значение именно как попытке (слово Куранта!) преодоления формально-дидактической парадигмы в изложении математики — задаче, тогда (да и посейчас) в США весьма злободневной [о драматической истории написания и издания книги Куранта и Роббинса см. в «Добавлении 2» к 3-му ее изданию на русском языке, с.544—550; в 2001 г. сразу два издательства переиздали эту книгу: Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» — 3-е изд., стереотипное (повторяющее 2-е изд., 1966) и Москва,

МЦНМО (Московский центр непрерывного математического образования) — 3-е изд., исправленное и дополненное; мы ссылаемся на последнее издание]. (Интересно, что на названии «Что такое математика?» Рихард Курант остановился по совету знаменитого немецкого писателя, тогда уже Нобелевского лауреата Томаса Манна (1875—1955), который в то время тоже проживал в США.)

Изложение в книге Куранта и Роббинса таково, что математика и сопутствующая ей история составляют единый текст. Язык и стиль изложения весьма удачны, так что книга легко читается и производит впечатление единого целого — задача показа «живой математической науки» в действительно «Элементарном очерке» далеко не всегда элементарных идей и методов (кроме математического анализа, можно назвать проективную, неевклидову и многомерную геометрии, элементы топологии, вариационного исчисления...) была решена, причем очень успешно.

Однако использованный подход к сочетанию образовательного математического и исторического текстов вряд ли можно считать приемлемым в учебной книге. Представляется, что в учебнике чисто учебный текст должен быть явно отделен от вспомогательного. При том, что вспомогательный текст, по замыслу, должен состоять из фрагментов, четко привязанных к конкретным частям учебного текста (к определениям, теоремам, следствиям, примерам, задачам...), возможны два варианта организации вспомогательного текста: в виде подстрочных примечаний — в том случае, если комментирующий фрагмент невелик по размерам (например, этимологическая или краткая биографическая справка, отсылка к иному источнику и т.п.), — или в виде полиграфически выделенных фрагментов «инородного» текста. Способ выделения — шрифтом, цветом, элементом оформления (типа «рамки» или иным) — это уже вопрос технологии полиграфического производства, и он не является принципиальным: важно только, чтобы во всей учебной книги можно было легко сориентироваться. Если бы речь шла об электронной книге, т.е. о соответствующем гипертексте, то организацию, взаимосвязь основного и вспомогательного материала можно осуществить через систему взаимных гиперссылок, причем они же обслуживали бы и систему «подстрочных примечаний». Но в таком случае возникает вопрос о достаточной эффективности гипертекстуальной реализации — о том, насколько значим будет психологический стимул использования гиперссылок; мы не будем обсуждать эти вопросы.

Памяти А.Н. Землякова

1 января 2005 г. безвременно ушел из жизни замечательный человек, талантливый преподаватель и выдающийся ученый, ведущий научный сотрудник лаборатории дифференциации образования ИОСО РАО Александр Николаевич Земляков.

Александр Николаевич родился 17 апреля 1950 г. в деревне Желниха Калининской области В 1965 г. он поступил в физико-математический интернат при МГУ, который окончил с золотой медалью. Будучи студентом и аспирантом мехмата МГУ, А.Н. Земляков занимался эргодической теорией под руководством акад. Я.Г. Синая. Впоследствии полученные им результаты вошли в книгу «Математические бильярды» («Наука», 1990), написанную совместно с Г.А. Гальпериным. Подлинным делом его жизни стала педагогика, преподавание математики. Около 15 лет он проработал в родной ФМШ, вернувшись в нее еще будучи студентом 2-го курса, а в 1972 г., по рекомендации академика А.Н. Колмогорова, был приглашен научным сотрудником для работы в Экспериментальной средней школе при Академии педагогических наук СССР в г. Черноголовка. Для своих учеников, — а среди них победители математических и физических олимпиад, выпускники ведущих ВУЗов мира, крупные ученые и общественные деятели, — он навсегда останется любимым Учителем. Более чем за четверть века научно-педагогической работы Александр Николаевич создал собственные курсы алгебры и анализа, написал несколько десятков учебных и методических пособий, сотни научных, научно-популярных и методических статей. Его научные интересы лежали прежде всего в области углубленного изучения математики, но особенно популярны его книги «Геометрия в 10 классе» и «Геометрия в 11 классе», ставшие настольными для учителей по всей стране.

Александра Николаевича отличали высочайший профессионализм, умение просто и интересно излагать сложные вещи, обаяние, разнообразие интересов (он был большим знатоком поэзии и музыки), исключительно теплые и дружеские отношения с учениками, продолжавшиеся и после их выпуска.

Александр Николаевич всегда будет жив в памяти его родных, учеников, друзей и коллег.

О.С. Ивашев-Мусатов

МГУ

О началах математического анализа в курсе средней школы

Общее впечатление от этого раздела в учебниках для базовых средних школ — опасение. Условно говоря, — давление и гипноз мехмата.

А между тем есть простой и наглядный образ, анализ которого подводит к формированию основных понятий. Это линия, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

Когда ее рисуют, движение карандаша не прерывается.

Поэтому такую линию и называют непрерывной.

Заодно и функцию, график которой на промежутке есть непрерывная линия, тоже называют непрерывной на этом промежутке. Так, линейная функция непрерывна на (—∞;∞) так как её график — прямая (это непрерывная линия). И функция у = x2 тоже непрерывна на (—∞;∞) так как её график — парабола, это траектория полёта снаряда (если пренебречь сопротивлением воздуха). Начнем анализ.

Как вычислить π2? Берём π2 ~ 3,142 или π2 ~ 3,14162, если нужна большая точность. И нет сомнения в том, что π2 можно вычислить с любой точностью — надо только поточнее выписать число π. В приведенном примере вычислялось значение непрерывной функции y = x2 при x = π.

При этом была уверенность в том, что вычисление можно провести с любой точностью.

Вот это свойство непрерывности функции и принимают за основу: функцию f называют непрерывной в точке x0, если приближенное равенство f(x) ~ f(x0) можно получить с любой точностью при x ~ x0 .

Есть ещё задачи, приводящие к аналогичным ситуациям. Например, малая дуга окружности и ее хорда почти сливаются, так как их длины почти равны. Пусть радиус окружности равен R, центральный угол дуги (в радианах) равен 2х. Тогда, если 0 < х < π/2, то:

Докажем, что это приближенное равенство можно получать с любой точностью при x ~ 0. Для этого берем угол х (см. рис.).

АС — касательная к окружности с центром О и радиусом R. Сравнивая площади треугольников и сектора получим при 0 < x < π/2 :

откуда следует, что

Следовательно, для погрешности приближенного равенства

имеем:

Следовательно, при 0 < х < 0,01 получаем

с точностью до 10-4, так как

Если же 0 < x < 0,001, то

с точностью до 10-6 так как

и так далее. Ясно, что приближенное равенство

можно получать с любой точностью при х ~ 0 и х ≠ 0.

Это очень похоже на непрерывность, но если бы функция была определена в 0 и имела бы там значение 1. Но этого нет. Тогда решили говорить: «функция six/x при x стремящемся к 0, имеет предел равный 1»:

Оказалось, что при решении многих задач (например, для нахождения скорости и ускорения) возникает аналогичное положение: для функции f можно указать число А такое, что f(x) = А можно получать с любой точностью при x ~ x0 и x ≠ x0 .

При этом говорят: «функция f при х стремящемся к x0, имеет предел, равный А » и пишут:

Пользуются также и такой формулировкой: «функция f(x) стремится к числу А при X, стремящемся к x0» и пишут f(x) → А при X → x0 (стрелка заменяет слово «стремится»).

Именно такое понимание предела вкладывается в учебники базовой средней школы при вычислении скорости, ускорения, площади криволинейной трапеции, объема тела, работы силы и т.п.

Я уверен, что большего в базовой средней школе и не надо.

Хочется только обратить внимание «ревнителей строгости» на то, что приведенная формулировка (с приближенными равенствами) по сути совпадает с традиционным «е-8» определением предела функции в точке. Разница только в том, что данная формулировка дана на «житейском» языке, который, в отличие от математического языка, всем понятен. Чтобы это обосновать, достаточно сделать «перевод» с языка «житейского» на язык математики. Итак, мы имеем два приближенных равенства. Точности каждого характеризуется положительным числом. Точность приближенного равенства f(x) ~ А характеризуется числом 8 > 0 (такова традиция). Точность приближенного равенства х ~ x0 характеризуется числом S > 0. При этом в формулировке «житейской» сказано «...f(x) ~ А» можно получать с любой точностью.... Это означает: число е > 0 можно задавать любым. А число 8 > 0 надо подбирать в зависимости от взятого числа 8 > 0 так, чтобы из неравенства | х- x0 | < 8 (т.е. х ~ x0 с точностью до 8 ) следовало бы автоматически неравенство | f(x) — А | < е (то есть f(x) ~ А с точностью до е).

Если кратко подытожить сделанный «перевод», то получим стандартное определение предела функции в точке:

М.К. Потапов, А.В. Шевкин

МГУ

Об учебниках математики для профильной школы

Всего пятнадцать лет назад отечественная школа была единой в том смысле, что все школы работали по единой программе, предусматривавшей два уровня обучения математике: в общеобразовательных классах с шестью недельными часами на математику и в классах с углубленным изучением математики с восемью недельными часами (иногда и с двенадцатью часами). А теперь намечается переход к профильной школе в старших классах, где в разных профилях предполагается иметь различное число часов на математику. При этом ряд вопросов учащиеся могут изучить, выбрав их как курсы по выбору.

В излагаемых ниже предложениях мы исходим из того, что профилизация старшей школы необходима, но считаем, что сейчас она проводится неправильно — за счет разрушения прежней общеобразовательной школы. А профильную школу надо строить не вместо общеобразовательной, а рядом с нею, то есть сначала в некоторых школах. Тогда мы будем иметь возможность оценить ее достоинства и недостатки в сравнении с обычной школой. В случае успеха профильной школы не потребуется ее насильственное насаждение одновременно по всей России. Дети и их родители проголосуют за нее «ногами» — будут стремиться в профильные школы, что заставит реформироваться остальные школы безо всяких указаний сверху. А в случае очень вероятного провала неправильно выстраиваемой профильной школы у нас будет куда отступать. Так надо поступить, если нам нужна стабильность образования в России, а не великие потрясения. Нельзя же, в самом деле, ставить необоснованные научно опыты, успех которых не гарантирован, сразу на всех детях страны!

Усложнение структуры школы ставит весьма актуальные вопросы: какая математика должна быть в каждом из профилей, число которых превышает 10, и как должны быть устроены учебники математики? Трудно предположить, что это будут 10 (или более) различных курсов математики (и еще больше учебников!), которые так или иначе приспособлены к целям обучения в своем профиле. Такое разнообразие учебников трудно реализовать физически, а издание большого числа малотиражных учебников приведет к их удорожанию. Скорее всего, более перспективными для профильной школы окажутся те учебники, которые будут пригодны для работы в нескольких про-

филях, то есть в классах с разными целями обучения и разным уровнем подготовки учащихся и разным числом часов на математику. Работа по таким учебникам может вестись в каждом профиле на своем уровне. Таким образом, профилизация старших классов средней школы ставит на повестку дня вопрос о создании многоуровневого учебника математики, позволяющего работать по нему на разных уровнях в классах с различными целями обучения.

Известно, что математика едина — нет отдельной математики для геолога и для биолога. Поэтому целей обучения математике в разных профилях можно достичь, имея один учебник, по которому курс математики может изучаться более или менее основательно в зависимости от наличия учебного времени и поставленной цели обучения. Но этот учебник должен быть устроен так, чтобы по нему можно было работать и в классе с углубленным изучением математики, и в обычном классе.

При этом в одном классе могут изучаться все пункты учебника и решаться все задачи, отмеченные как необязательные для остальных классов. В классах с меньшим числом недельных часов на математику, меньшими требованиями к математической подготовке выпускникат необязательные пункты и необязательные задачи можно не рассматривать, при этом целостность курса не должна нарушаться, а должен уменьшаться лишь уровень погружения в теоретические подробности, должно уменьшаться число доказываемых фактов, число технически или идейно сложных задач. Однако учебник должен позволять ученику, не имеющему возможности обучаться математике в нужном профиле (а такие непременно будут), изучить необходимый материал по нему самостоятельно или под руководством учителя. Уменьшение упомянутого уровня погружения в изучаемый материал может быть различным в различных по уровню подготовки классах, в классах с различными целями обучения. За счет курсов по выбору ученик может изучить дополнительные вопросы, не включенные в учебник и отражающие специфику профиля (например, какие-то специальные вопросы «математики для биолога»), а дидактические материалы и различные сборники конкурсных задач должны расширить задачный материал учебника и обеспечить тренинг, необходимый для поступления в вуз и обучения в нем.

Хочется отметить, что первые многоуровневые учебники математики, пригодные для работы в профильных классах, уже есть. Это учебники «Алгебра и начала анализа, 10—11» серии «МГУ — школе» (С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин, «Просвещение», 2001—2005). Они готовились как двухуровневые — для

общеобразовательных классов и для классов с углубленным изучением математики. Опыт их применения показал, что по ним можно работать и в классах с низким уровнем математической подготовки, ограничивая уровень полноты изложения материала при объяснении и уровень сложности заданий. Заложенная в учебниках схема развития учебного материала, логика построения курса успешно работают и в этом случае.

Теперь остановимся на том, должен ли многоуровневый учебник включать все новые темы, предлагаемые разработчиками реформы математического образования в РФ. Какие бы учебники ни были бы взяты за основу для создания многоуровневых учебников для профильной школы, они не могут включать в себя все новые вопросы, так как методика их преподавания не отработана, а «приживаемость» их в школе не гарантирована. Некоторые новые вопросы, изучаемые в ограниченном числе профилей, тем более в курсах по выбору, могут не входить в учебники. По ним должны быть изданы приложения к учебнику. Трудно ожидать, что во всех имеющихся учебниках будут приемлемо изложены вопросы, впервые вносимые в программу и по которым еще нет опыта преподавания в массовой школе. Особенно вопросы, относительно включения которых в стандарт все еще не достигнуто согласие в математическом сообществе.

Жаль, что в Министерстве образования и науки и этой простой истины не понимают. Там уже дали команду переделывать все существующие учебники математики под еще не утвержденный окончательно стандарт. Но даже если бы стандарт был принят, то надо непременно проявить осторожность и сначала издавать некоторые новые разделы как приложения к учебникам, нарабатывать методику их изложения в учебниках и на уроках, а после того, как станет ясно, что новые разделы освоены школой, требовать от авторов учебников в обязательном порядке включать их в учебник. Другой порядок введения нового материала в учебники не разумен.

Существует реальная опасность того, что министерство ограничит использование некоторых традиционных учебников, в которых не будет какого-то нового раздела и откроет широкую дорогу лишь тем учебникам, в которых этот раздел будет. Может случиться, что новый учебник окажется слабее традиционных учебников по остальным разделам. Тогда потрясения школы сначала от введения такого учебника, а потом от его выведения из школы принесут большой вред.

Кстати, опыт включения, а потом исключения нового материала из учебников математики для массовой школы у нас уже есть. Вспомним

элементы теории множеств, которые возносили до небес при проведении реформы конца 60-х годов. Вспомним элементы комбинаторики и теории вероятностей в двух старших классах конца 70-х годов. Их не смогла освоить школа, которая была в то время куда как лучше организована, обеспечена кадрами и финансированием, чем теперь. Разве сейчас у нас есть уверенность, что нынешняя школа — дезорганизованная и не обеспеченная ничем — успешно освоит новые разделы, если их число увеличилось, а учебного времени стало меньше? Такой уверенности нет. Заставляют задуматься и не очень успешные попытки введения нового содержания в учебники математики последних лет.

Есть у нас и пример введения, а потом выведения из школы учебника-победителя конкурса учебников по математике. В 1988 г. в части территории страны Министерство просвещения СССР ввело учебник Э.Р. Нурка и А.Э. Тельгмаа, оказавшийся, по мнению министерства, лучше учебников Н.Я. Виленкина и др. И что же? Вышел конфуз. Многие годы поддержки министерством этого учебника закончились исключением его из федерального комплекта. Надо ли повторять печальный опыт?

Вот еще один факт. Реформаторы математического образования в России сокращали содержание обучения основной школы — в стандартах и в собственных учебниках, перенося часть вопросов в старшие классы. В частности в старшую школу перенесли тригонометрию и корень степени n. Расчет был на 12-й класс. И что же? Изменения внесли в стандарты и в учебники, а двенадцатилетка не прошла. Исправлять положение министерство не торопится, а старшая школа работает с перегрузкой, хотя целью реформы было как раз уменьшение учебной нагрузки школьников.

Вот почему мы считаем, что нельзя призывать к революционным изменениям учебников математики, нельзя делать резких движений, которые могут обрушить существующую систему школьных учебников. Нельзя делать категоричным требование включить все новые вопросы во все учебники к заранее намеченному сроку и отразить в каждом учебнике требования еще не утвержденного окончательно стандарта.

Работа выполнена при поддержке РГНФ (проект № 05-06-06423а).

И.М. Смирнова, В.А. Смирнов

МПГУ

Сечения цилиндра и конуса в классах профильного уровня обучения

Тема «Сечения цилиндра и конуса» входит в новые стандарты по геометрии 10—11 классов профильного уровня обучения. Она содержит интересную историю, связанную с именами великих ученых [1]. Так древнегреческий ученый Менехм (IV в. до н. э.) пользовался коническими сечениями для решения знаменитой задачи удвоения куба. Исследовали свойства конических сечений Евклид (IV в. до н.э.) и Архимед (III в. до н.э.). Полное и систематическое учение об этих кривых было изложено Аполлонием Пергским (III—II вв. до н.э.) в восьмитомном труде «Конические сечения». Там он впервые показал, как можно получить эти кривые, рассекая один и тот же конус плоскостью под разными углами. Он же ввел термины «эллипс», «парабола» и «гипербола», означающие в переводе с греческого соответственно «недостаток», «приложение» и «избыток».

Приложения конических сечений относятся к самым разнообразным областям науки и техники [2]. Г. Галилей (1564—1642) установил, что тело, брошенное под углом к горизонту, двигается по параболе, а И. Кеплер сформулировал законы движения планет, согласно которым они описывают эллипсы. Позднее было установлено, что кометы и другие небесные тела движутся по эллипсам, параболам или гиперболам в зависимости от их начальной скорости.

Еще Архимед использовал оптические свойства конических сечений для изготовления параболических зеркал. Сейчас трудно себе представить современный мир без параболических антенн, зеркал, телескопов и т.д.

Формы конических сечений используются в архитектуре, скульптуре, живописи и т.д. [3].

Несмотря на важность данной темы в естественно-научном образовании молодого человека, методика ее изучения остается недостаточно разработанной.

Здесь мы предложим методические рекомендации по изучению сечений цилиндра и конуса в старших классах профильного уровня обучения в соответствии с содержанием, отраженным в учебниках [4], [5].

Знакомство учащихся старших классов с сечениями цилиндра плоскостью можно начинать после изучения параллельности прямых и плоскостей в пространстве в теме «Изображение фигур в параллельной проекции». По существу, сечения цилиндра плоскостью можно рассматривать как параллельную проекцию основания цилиндра на плоскость сечения в направлении образующей.

Выясним, какая фигура является параллельной проекцией окружности. Пусть F — окружность в пространстве, F — ее проекция на плоскость π в направлении прямой l. Если прямая l параллельна плоскости окружности или лежит в ней, то проекцией окружности является отрезок, равный диаметру окружности. Рассмотрим случай, когда прямая l пересекает плоскость окружности (рис. 1).

Пусть AB — диаметр окружности, параллельный плоскости π и А'В' его проекция на эту плоскость. Тогда АВ=А'B'. Возьмем какой-нибудь другой диаметр CD и пусть CD' — его проекция. Обозначим отношение C'D':CD через к. Так как при параллельном проектировании сохраняются параллельность и отношение длин параллельных отрезков, то для произвольной хорды C1D1, параллельной диаметру CD, ее проекция C1'D1' будет параллельна CvD', и отношение С1'D1':C1D1 будет равно k.

Таким образом, проекция окружности получается сжатием или растяжением окружности в направлении какого-нибудь ее диаметра в одно и то же число раз. Такая фигура на плоскости называется эллипсом. Например, на рисунке 2 изображен эллипс, полученный из окружности сжатием в направлении диаметра CD в два раза.

Точка, изображающая центр окружности, называется центром эллипса. Отрезки, изображающие диаметры окружности — диаметрами эллипса. Самый большой и самый маленький диаметры

Рис. 1 Рис. 2

эллипса называются соответственно большой и малой осями эллипса. Два диаметра эллипса, изображающие перпендикулярные диаметры окружности, называются сопряженными.

Сопряженные диаметры возникают во многих задачах, связанных с сечениями круглых тел. Укажем некоторые способы их построения.

Первый способ основан на восстановлении окружности, изображением которой является данный эллипс. А именно, пусть дан эллипс, О — центр, AB — диаметр (рис. 3). Требуется построить сопряженный диаметр. Проведем окружность с центром в точке О и диаметром, равным большой оси данного эллипса. Через точки А и В проведем прямые, параллельные малой оси эллипса и найдем их точки пересечения А' и В' с окружностью (рис. 4). Заметим, что диаметр AB эллипса получается сжатием диаметра А'В' окружности. Построим диаметр CD' окружности, перпендикулярный AB'. Через его концы проведем прямые, параллельные малой оси эллипса. Точки С, D их пересечения с эллипсом будут концами искомого сопряженного диаметра эллипса.

Второй способ основан на том, что середина отрезка при параллельном проектировании переходит в середину. А именно, пусть дан эллипс, О — центр, AB — диаметр (рис. 5). Требуется построить сопряженный диаметр. Проведем какую-нибудь хорду А1В1, параллельную AB и отметим ее середину O1. Тогда диаметр CD, проходящий через точки О, О1, будет искомым сопряженным диаметром.

Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6

Третий способ заключается в том, что мы проводим какую-нибудь прямую А1В1, параллельную данному диаметру AB, и сдвигаем ее параллельно до тех пор, пока она не коснется эллипса (рис. 6). Точка касания С будет одним из концов искомого сопряженного диаметра CD.

Упражнения

1. Нарисуйте эллипсы, полученные из окружности сжатием и растяжением: а) в 1,5 раза; б) в 2 раза; в) в 3 раза. Чему равны большая и малая ось эллипса, если радиус окружности равен R?

2. Для данного эллипса, постройте какие-нибудь два его сопряженных диаметра.

3. Изобразите параллельную проекцию квадрата: а) с вписанной в него окружностью; б) с описанной около него окружностью.

4. Дано изображение окружности. Постройте изображение правильного треугольника: а) вписанного в данную окружность; б) описанного около нее.

5. Изобразите параллельную проекцию правильного шестиугольника: а) с вписанной в него окружностью; б) с описанной около него окружностью.

6. Эллипс получен из окружности, заданной уравнением x2 + y2 = R2, сжатием в к раз в направлении оси Oy. Найдите: а) уравнение эллипса; б) большую и малую ось.

7. Докажите, что площадь эллипса, у которого большая и малая полуоси равны соответственно R, г, выражается формулой S = πR-r.

8. В цилиндре с радиусом основания R и высотой h проведено сечение, параллельное оси цилиндра. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно d (d < R). Изобразите сечение и найдите его площадь.

В последней задаче наиболее трудная часть связана с изображением (рис. 7).

Искомая площадь равна

Рис. 7

Рассмотрим теперь вопрос о построении сечения цилиндра плоскостью, проведенной к плоскости основания цилиндра под углом φ (рис. 8).

Построим несколько точек сечения боковой поверхности цилиндра. Пусть AB и CD — сопряженные диаметры (изображают два перпендикулярных диаметра).

Для нахождения точек Е, F, принадлежащих сечению, достаточно через точки С и D провести прямые, параллельные образующим цилиндра и найти их пересечения с прямой EF (рис. 9).

Возьмем теперь какую-нибудь точку на диаметре AB и проведем через нее хорду C1D1, параллельную CD, и прямую E1F1, параллельную EF. Через точки C1, D1 проведем прямые, параллельные образующим цилиндра и найдем их точки пересечения Е1, F1 с прямой E1F1. Они будут принадлежать сечению цилиндра. Таким же образом можно построить несколько точек, принадлежащих сечению. Соединяя их плавной кривой, получим искомое сечение цилиндра плоскостью (рис. 10).

Учащимся можно предложить самостоятельно выбрать диаметр AB и угол φ, а затем построить соответствующее сечение цилиндра плоскостью. Построения сечений можно проводить на бумаге или с помощью компьютерных графических редакторов [6].

Используя сечения цилиндра плоскостью можно доказать одно из основных свойств эллипса, называемое фокальным свойством.

Рис. 8

Рис.9 Рис.10

Теорема 1. (фокальное свойство эллипса). Внутри эллипса существуют такие точки F1 и F2, называемые фокусами эллипса, что сумма расстояний от любой точки А эллипса до этих точек есть величина постоянная.

Доказательство. Пусть эллипс получен в результате сечения цилиндрической поверхности плоскостью а. Впишем в эту поверхность две сферы, касающиеся плоскости а в некоторых точках F1, F2 и цилиндрической поверхности по окружностям C1, C2 (рис. 11).

Пусть А — произвольная точка эллипса. Проведем через нее образующую и обозначим через A1, A2 точки пересечения этой образующей с окружностями C1, C2 соответственно. Заметим, что прямая A1A2 является касательной к обеим сферам. Воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки, равны. Тогда AF1 = AA1, AF2 =АA2. Поэтому AF1 + AF2 = АA1 + АA2 = A1A2. Но длина отрезка А1A2 есть расстояние между плоскостями окружностей C1, C2. Поэтому оно не зависит от выбора точки А эллипса, т.е. является постоянной величиной.

Упражнения

1. Дан цилиндр, радиус основания которого равен 1, образующая — 2. Через центр О цилиндра проведено сечение под углом 45° к плоскости основания. Постройте это сечение. Найдите большую и малую оси эллипса.

2. В основании цилиндра круг радиуса R. Боковая поверхность цилиндра пересечена плоскостью. Найдите площадь сечения цилиндра этой плоскостью, если она образует с плоскостью основания угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°.

3. Дан цилиндр, радиус основания которого равен 3, высота — 4. Через диаметр верхнего основания и концы перпендикулярного ему диаметра нижнего основания проведены сечения. Постройте эти сечения. Найдите их площадь.

4. Докажите, что сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов равна длине большой оси эллипса.

Рис. 11

5. Докажите, что расстояния от концов малой оси эллипса до его фокусов равны половине большой оси.

6. Для эллипса с заданными большой и малой осями постройте его фокусы. В частности, для эллипса, полученного из окружности сжатием в два раза относительно данного диаметра, постройте фокусы эллипса.

Перейдем теперь к вопросу о построении сечений конуса плоскостью. Обычно в школьном курсе геометрии рассматриваются случаи, когда плоскость сечения параллельна плоскости основания конуса или проходит через вершину конуса. Мы рассмотрим другие случаи.

Построим сечение конуса плоскостью, проходящей через хорду основания и параллельной его высоте.

Возьмем какую-нибудь точку Р на хорде AB основания конуса (рис. 12). Из центра О окружности основания через эту точку проведем луч. Точку С пересечения этого луча с окружностью основания соединим с вершиной S конуса. Через точку Р проведем прямую, параллельную высоте S. Ее точка пересечения Q с образующей SC будет точкой сечения боковой поверхности конуса плоскостью.

Выбирая на хорде AB несколько точек и, повторяя построение, получим несколько точек сечения боковой поверхности конуса плоскостью. Соединяя их плавной кривой, получим искомое сечение конуса плоскостью (рис. 13).

На рисунке 14 показано построение сечения конуса плоскостью, проходящей через диаметр основания и параллельной образующей.

Рис. 12 Рис. 13

Рис. 14

На рисунке 15 показано построение сечения конуса плоскостью, пересекающей все образующие.

Докажем, что в последнем случае сечением конической поверхности является эллипс.

Теорема 2. Если плоскость образует с осью конуса угол, больший, чем угол между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается эллипс.

Доказательство. Докажем, что сечение удовлетворяет фокальному свойству эллипса: сумма расстояний от произвольной точки сечения до двух данных точек есть величина постоянная.

Впишем в коническую поверхность две сферы, касающиеся плоскости сечения в некоторых точках F1, F2 и конической поверхности по окружностям C1 и C2 соответственно (рис. 16).

Пусть А — произвольная точка сечения. Проведем образующую AS и обозначим через A1, A2 точки ее пересечения с окружностями C1, C2 соответственно. Заметим, что прямая AS является касательной к обеим сферам. Воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки, равны. Тогда AF1 = AA1, AF2 =АA2. Поэтому AF1 + AF2 =АA1+ АA2 =A1A2.

Но длина отрезка А1A2 не зависит от выбора точки А сечения. Она равна образующей соответствующего усеченного конуса. Поэтому сумма расстояний от точки А до точек F1, F2 будет постоянной.

Заметим, что доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1 и может быть предложено учащимся в качестве самостоятельной исследовательской работы.

Аналогичным образом, можно доказать, что в первом из рассмотренных выше случаев в сечении получается гипербола, а во втором — парабола.

Учащимся можно предложить самостоятельно построить несколько сечений конуса плоскостью и указать их вид.

Рис. 15

Рис. 16

Упражнения

1. Через диаметр основания конуса и середину перпендикулярной ему образующей проведена плоскость. Что представляет собой сечение конуса этой плоскостью?

2. Высота конуса равна радиусу основания. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, составляющей с осью угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°?

3. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной, равной единице. Через середину образующей проведено сечение конуса плоскостью, перпендикулярной этой образующей. Найдите площадь сечения.

Литература

1. Глейзер Г.И. История математики в школе. IX—X классы. — М.: Просвещение, 1983.

2. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. — М.: Просвещение, 1985.

3. Пидоу Д. Геометрия и искусство. — М.: Мир, 1979.

4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 10—11 классов естественно-научного профиля обучения. — М.: Просвещение, 2001.

5. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 10—11 общеобразовательных классов. — М.: Мнемозина, 2003.

6. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Изображение пространственных фигур с помощью «Adobe IIIustrator» // Математика в школе. 2002. № 10. С. 46.

О.Ф. Хачатурова

Центр образования № 109, г. Москва

Нестандартные задачи в школьном курсе

Трудно переоценить значение задач в школьном курсе математики: это и практическое приложение теоретических знаний, и первый опыт логических рассуждений, и получение первых «собственных» математических результатов и выводов, ведь, в конечном итоге, обучение математике — это обучение решению задач.

Однако слишком часто в процессе обучения математике происходит сужение математического кругозора учащихся, зажим их фантазии в рамки изучаемой темы, определенного типа задач.

Поэтому-то практически каждый учитель сталкивался с нежеланием учащихся думать самостоятельно, слышал от учащихся: «Мы таких задач не решали».

Предлагаемая ниже система работы может, на наш взгляд, в значительной степени снять комплекс «это мы не проходили», сделать процесс решения задач радостным и результативным для каждого учащегося.

Может возникнуть вопрос: «Для чего тратить время урока на решение нестандартных задач со всеми без исключения учащимися, когда на отработку типовых задач порой не хватает учебного времени?»

Аргументы в пользу выбранной методики следующие:

1. Решая трудные задачи, учитель тем самым облегчает себе работу над простыми. Ученики двигаются от более сложного к простому и поэтому могут это сделать уже самостоятельно без помощи учителя.

2. Разбор решения одной задачи не требует более 5 минут урока, причем уже через месяц работы этот разбор ведет не сам учитель, а кто-либо из удачно решивших учащихся.

3. Часто бывает так, что у учащегося сложился устойчивый негатив по отношению к математике как предмету догматичному, не требующему самостоятельных размышлений, задачи решаются только так, как сказано учителем. Такой ученик не пойдет в кружок, а, значит, не узнает всей красоты науки. С другой стороны, у некоторых складывается впечатление о своих прекрасных математических способностях в силу умения решать простые задачи (запомнить и повторить стандартный алгоритм). Таким детям тоже не понравится кружок, так как они сочтут нестандартные задачи «неважными», поскольку их нет на уроке, а значит они тоже не будут верно воспринимать математику.

4. С течением времени, проходя тот или иной материал на уроках, «вернувшись» к ранее решенным задачам, можно продемонстрировать полезность изучаемого, показав, как облегчается решение задач.

5. Работа над нестандартными задачами на уроке с условием их обязательного выполнения ставит учащихся в привычные рамки школьного урока, одновременно расширяя их математический кругозор и ломая стереотипы. За счет неожиданности, «перемещенности» ломался стереотип обучения: «проходим тему», «задачи по теме».

Нельзя сказать, что задачи сразу вызвали всеобщий интерес у учащихся и их родителей, на которых естественно ложится определенная нагрузка.

Поначалу, дети привыкшие к страху перед плохой оценкой создавали подчас панику в своих семьях, когда какие-то из задач оказывались им не по силам. Но так как отметка в журнал после проверки каждого задания не ставилась, а фиксировался только балл, который в дальнейшем можно было откорректировать, прекратилась погоня за «пятерками»: целью стало рано или поздно разобраться в решении, и лишь потом получить отметку. Обучение стало более сознательным.

Родители также оказались вовлечены в процесс решения, и несколько ошеломленные тем, что задачи для младших школьников им не под силу, стали с интересом участвовать в разборе задач.

В силу нестандартности и свободы в выборе решения даже слабоуспевающие учащиеся получили возможность проявить себя, самоутвердиться. Дети стали относиться к решению задач как к соревнованию, конкурсу, викторине.

За счет периодического повторения схожих задач, возникла типизация, но дети уже относили задачу к тому или иному типу самостоятельно, а не по указке учителя.

Это достигалось тем, что задачи не требовали специальной математической подготовки, поэтому позволяли проявить себя даже неуспевающим (слабоуспевающим), а, значит, заинтересовать их математикой. Опыт работы показал, что к середине года большинство учащихся решали 2—3 задачи сразу после того как они были розданы.

Задачи постепенно развивали творчество детей. Уже к концу первой четверти начали искать в дополнительной литературе посильные им задачи, приносили их на уроки, составляли собственные. Особенно увлекло их составление задач на разрезание. В классе был организован конкурс на лучшую подобную задачу. Это позволило в пятых классах не отводить на тему «Равенство фигур» отдельных уроков, при этом дети не только усвоили понятие равенства, но и прочувствовали отличие этого понятия от равновеликости.

П.В. Чулков

ФМШ №2007, г. Москва

Опыт работы в системе “ШКОЛА—ВУЗ”.

Переломный момент, который переживает сейчас система образования (в частности замена совмещенных экзаменов на ЕГЭ) заставляет осмыслить тот опыт, который накоплен в московских школах, работавших по системе «школа-вуз», и, возможно, учесть его при принятии дальнейших решений (хотя говорят, что опыт истории никого и ничему еще не научил). При написании тезисов учтен опыт сотрудничества московской школы №5 с техническими университетами «МАТИ» и «Станкин» и историческим факультетом МПГУ (в 1988—1995), а также Центра образования №109 с МИРЭА (1996—2003), а также опыт работы автора в качестве методиста ОМЦ ЮЗОУ г. Москвы.

Важно отметить, что успех в сотрудничестве «школа-вуз» достигался лишь в том случае, если оно проходило в определенной системе. Эта система естественным образом разбивается на несколько подсистем, каждая из которых может применяться отдельно от других, но эффективность их увеличивается, если удается реализовать их все — тогда они «подкрепляют» друг друга. В каждой из этих подсистем определенную роль играет взаимодействие «школа-вуз».

Первая подсистема. Меры и средства направленные на преодоление конфликтности в взаимоотношениях участников педагогического процесса и, прежде всего, учителя и ученика.

Например, если зачеты принимаются не тем учителем, который преподает в классе, а его коллегами и (очень важно!) преподавателями вуза (при участии аспирантов и студентов), то учитель уже не воспринимается, если пользоваться спортивной терминологией как «судья», а скорее как «тренер».

И, если на совмещенном экзамене, который представители вузовской приемной комиссии проводят честно (именно так, например, проходили экзамены с участием Ю.В. Селиванова (МАТИ) и Ю.О. Головина (МИРЭА)), ученики показывают хорошие результаты, то положение учителя становится психологически достаточно комфортным.

Участие в зачетах и экзаменах посторонних (причем доброжелательных посторонних) позволяет более объективно оценивать теку-

щую успеваемость учащихся, что создает благоприятные возможности для повышения квалификации учителей.

Вторая подсистема — включает в себя методические приемы и формы организации повторения. Она отличается тем, что материал повторяется на более высоком уровне трудности в связи с подготовкой к итоговым мероприятиям: семинарам, зачетам, экзаменам и олимпиадам. Методика такого рода повторения подробно разработана в методической литературе, посвященной преподаванию в математических школах.

Заметим, что при организации повторения активно использовались материалы экзаменов прошлых лет (благо, что экзаменационные традиции каждого вуза сохранялись).

При этом «вузовская математика» в последнее время подвергалась и продожает подвергаться критике. Мне кажется, что эта критика мало приложима к экзаменам МИРЭА, и, особенно, МАТИ (1991—1994). Сильным признаком интересного и поучительного экзамена является наличие хорошей геометрической задачи, что и присутствовало в этих экзаменах.

Третья подсистема — изучение теоретического материала крупными блоками, на основе разветвленного, открытого набора упражнений, задач, лабораторных работ. При разработке этого блока учитывались традиции вузовского преподавания. Был разработан курс «Практикум по решению задач» (5—11 кл.) для обучения общим приемам и методом решения задач.

Четвертая подсистема — предполагала включение в систему обучения мощного учебного и научного потенциала г. Москвы. Это работа преподавателей шефствующих вузов и научных учреждений: чтение лекций, прием зачетов, беседы с учащимися, совместная организация олимпиад, и, что не менее важно, активная работа учащихся (участие в кружках (малый мехмат), заочных школах при МГУ и МФТИ, олимпиадах, конкурсах. В тех случаях, когда эта работа поддерживалась администрацией и учителями, активность учащихся возрастала.

Подчеркнем, что активная, самостоятельная 4—5 часовая работа учащегося на окружной или городской олимпиаде с дальнейшим разбором задач с учителем — один из самых эффективных способов обучения учащихся.

Не менее важно общение учеников с вузовскими математиками, где бы оно не происходило: на зачете — многие выпускники начала девяностых с огромным удовольствием вспоминают общение на зачетах

с доц. Ю.В. Селивановым (математика) или проф. В.П. Поповым (история) — и на олимпиадах — Турнир Архимеда много лет проходит при сотрудничестве вузовских преподавателей.

Пятая подсистема — набор правил оценивания на основе «принципа открытых перспектив». При традиционном подходе низкая оценка остается в журнале даже тогда, когда ученик уже усвоил материал, за который он ее получил. Она не исправляется и сохраняет свое влияние на «отметочную психологию» учителя.

При реализации «принципа открытых перспектив» оценка ниже «5» ставится в журнал карандашом («2» до поры не ставится вообще). Ученик может пересдать материал на более высокую оценку, предварительно получив консультацию и выполнив дополнительное задание, то есть у него остается возможность начать «новую жизнь», и школа должна быть в этом заинтересована.

Эта перспектива открыта для него весь год, таким образом оценка выставленная за вторую четверть — это оценка за полгода, оценка за третью четверть — за три четверти, оценка за четвертую четверть — за год.

О результатах. Отмечу лишь, что результаты были неплохие и не сводились к «проталкиванию» в вуз (МИРЭА, МАТИ или МПГУ). Так, примерно 25% учеников автора тезисов поступили в МГУ и примерно столько же в шефствующие вузы, остальные — кто куда, но поступали практически все.

Е.Ф. Шершнев

МПГУ

Тесты как элемент организации урока по информатике

Тесты как форма контроля могут являться эффективным вспомогательным средством обучения.

Тесты помогают при решении следующих задач.

Контроль знаний, навыков умений учащихся и хорошая накопляемость оценок. За 10—15 минут можно провести работу, причем проверка и разбор заданий проводится сразу же. Таким образом, тесты являются хорошим способом проведения традиционного опроса учащихся в начале урока.

«Разминка» и опрос в начале урока. Небольшая работа по материалу прошлых занятий в начале урока подготавливает их к дальнейшей работе с новым материалом.

Обучение приемам и навыкам программирования. Можно использовать тестовые задания, в которые включены фрагменты уже рассмотренных задач, новые, еще не решавшиеся задачи (аналогичные решавшимся), а также задачи, используюущие какие-либо новые приемы.

Анализ какого-либо текста, в частности текста программы, нахождение ошибок или выбор из нескольких текстов программ одного правильного является одним из основных навыков при составлении программ. Другой полезный навык — получение результата уже написанной программы.

Стимулирование учащегося. Составление тестов из пяти заданий, оцениваемых по принципу «сколько решил, такова и твоя оценка», с учетом того, что три задания должны сделать все, должно стимулировать познавательную деятельность учащихся на уроках. Чтобы получить удовлетворительную оценку надо сделать не так много — только подготовиться к уроку, при этом шаг от тройки до более высокой оценки не такой уж большой, одно два задания.

Профилактика часто совершаемых ошибок. То есть составление текстов программ, содержащих распространенные ошибки. Таким образом, небольшие самостоятельные работы, проводимые в форме тестов, могут быть эффективным методическим инструментом учителя.

Приведем несколько примеров тестовых заданий, составленных для решения указанных задач.

Приводимые ниже задания составлены на языке Си. Выбор данного языка для проведения занятий по теме «Программирование» был сделан по следующим причинам:

1) язык Си является основополагающим для многих современных языков используемых профессиональными программистами: Java, JavaScript, С+;

2) данный язык является достаточно гибким;

3) поддерживает идеи структурного программирования.

Пример 1. Проверяется навык составления циклических программ, задания начальных и конечных условий, синтаксис языка.

2. Выберите программу, которая выводит на экран площадь треугольника по стороне и высоте, значения которых вводятся с клавиатуры.

3. Выберите программу, которая выводит на экран таблицу умножения на 2 от 2×1 до 2×10.

4. Выберите программу, которая выводит сумму 10 последовательных чисел, начиная с 3.

5. Укажите строки с ошибками в программе, которая сравнивает два различных числа, вводимых с клавиатуры, и выводит на экран результат:

Пример 2. Проверяется знание определения массива элементов, а также способы задания и перебора элементов массива при помощи циклической конструкции for.

1. Инструкция int b[11]; задает массив из:

а) 10 элементов;

б) 11 элементов;

в) 12 элементов;

г) другой ответ.

2. Инструкция long name[3]; задает следующую последовательность элементов:

а) name[l], name[2], name[3];

б) name[0], name[1], name[2];

в) name[0], name[1], name[2], name[3];

г) а[1],а[2],а[3].

3. Выберете инструкцию, которая печатает на экране элемент к[8] из массива объявленного инструкцией int k[20];

4. Найдите элемент а[5] после выполнения следующей программы:

5. Найдите пятый элемент массива после выполнения следующей программы:

А

Б

В

Г

0

5

14

другой ответ

Литература

Челышкова М.Б. Теория и практика конструирования педагогических тестов. — М., 2001.

И.В. Ширстова

Школа № 1511, г. Москва

Московский городской лицей № 1511 при МИФИ

ФМШ № 542 при МИФИ была открыта в 1982 году как первая в Советском Союзе в системе «Школа-ВУЗ». Школа получила статус лицея в 1990 году. Сначала лицей был физико-математическим, позднее было открыто гуманитарное отделение. Всего в лицее 24 класса по 15—16 человек в каждом, из них 4 гуманитарных. Ранее были только 10-е и 11-е классы, с этого учебного года появились 9-е классы. Обучение в лицее бесплатное. Поступающие на физико-математическое отделение сдают 3 письменных экзамена: математику, физику и русский язык (диктант). Вступительные экзамены организует и проводит приемная комиссия МИФИ.

День открытых дверей в 2004—2005 учебном году прошел 13 февраля, после этого — прием документов и весной экзамены.

На физико-математическом отделении углубленно изучаются физика, математика, информатика и химия. Эффективность работы обеспечивается хорошей материально-технической базой и высоким уровнем квалификации преподавательского состава. В лицее созданы 4 лаборатории физики, лаборатория химии, вычислительный центр, лекционная аудитория, библиотека и читальный зал.

Более двадцати преподавателей имеют звание Соросовский учитель, шестеро — звание «Заслуженный учитель России», 14 человек являются кандидатами наук, лектор по физике — доктор наук, профессор.

В лицее принята лекционно-семинарская система преподавания по математике, физике, химии, истории, географии и другим предметам. Лекции по физике и математике проводятся для потоков в актовом зале, по остальным предметам на лекции классы объединяются по два. По физике учащиеся имеют два двухчасовых семинара, одно двухчасовое занятие в физической лаборатории (предмет называется «Экспериментальная физика») и одну лекцию. На одной неделе лекция по физике длится 2 часа, по математике 1 час, на следующей неделе наоборот. По математике кроме лекций два двухчасовых семинара по алгебре и один двухчасовой семинар по геометрии.

Программа по математике нашего лицея является промежуточной между программой общеобразовательной школы и программой математических классов. По сравнению с общеобразовательной школой

по алгебре и началам анализа добавлены темы «Комплексные числа», «Многочлены», «Уравнения высших степеней», «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», по геометрии изучаются «Комбинации многогранников», «Комбинации круглых тел», «Комбинации многогранников с круглыми телами», остальные темы изучаются более глубоко.

Мы принимаем учащихся из разных школ Москвы и Подмосковья и поэтому много времени уделяем выравниванию, для этого повторяем и углубляем материал, изученный в 9-летней школе: тождественные преобразования, преобразования графиков, свойства квадратного трехчлена, планиметрия. Этому посвящается 1,5 месяца в начале 10 класса.

Кроме текущих контрольных и самостоятельных работ проводим поточные контрольные работы (ПКР). По алгебре и началам анализа по 4 работы в 10 и 11 классах, по геометрии одна работа в конце 10 класса и три работы в 11 классе. Поточные работы пишутся в актовом зале — три урока по текстам, которые составляет лектор данного потока. Далее работы шифруются и проверяются в тот же день всеми преподавателями, ведущими этот поток. ПКР являются хорошим средством контроля не только успеваемости, но и уровня преподавания. По алгебре на ПКР1 выносятся темы «Тождественные преобразования», «Комплексные числа», «Многочлены», на ПКР2 — «Уравнения высших степеней», «Системы уравнений», «Рациональные неравенства», «Иррациональные уравнения», на ПКРЗ — «Тригонометрия», «Иррациональные неравенства», на ПКР4 — «Тригонометрия», «Производная и ее применение».

В течение года учащиеся должны выполнить и защитить тематические задания по алгебре по темам: «Задачи на составление уравнений», «Тригонометрические преобразования», «Тригонометрические уравнения», «Применение производной к исследованию функций и построению графиков». По геометрии даются два тематических задания: одно в начале 10 класса по теме «Планиметрия», второе в начале 11 класса по теме «Многогранники».

Поточная контрольная работа по геометрии в конце 10 класса является итоговой, на ПКР2 выносится тема «Многогранники», на ПКРЗ «Комбинации круглых тел», на ПКР4 «Комбинации многогранников с круглыми телами», «Экстремальные задачи». В апреле в 11 классе проводится коллоквиум по геометрии. На коллоквиум выносятся по 16 вопросов по планиметрии и стереометрии с доказательствами.

Коллоквиум проводится одновременно на всем потоке силами преподавателей математики лицея и кафедры математики МИФИ.

В конце каждого полугодия проводятся зачеты. В конце 10 класса проводятся переводные экзамены: алгебра и начала анализа (письменно), физика (устно) и сочинение. Текст экзамена по алгебре составляет лектор данного потока. Экзамен длится 4 часа.

До прошлого года в конце 11 класса наши учащиеся сдавали выпускной и одновременно вступительный экзамен по математике по текстам МИФИ, который проводила приемная комиссия МИФИ.

В прошлом году выпускной экзамен в нашем лицее был проведен по текстам для физико-математических классов. Выпускной экзамен по геометрии сдает большинство учащихся среди экзаменов по выбору. На экзамен выносятся по 20 вопросов по планиметрии и стереометрии с доказательствами и задачи.

Приведу тексты некоторых поточных и экзаменационных работ.

Поточные работы.

Вариант Г21 (11 класс).

1. В основании призмы АВСA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC : ∠ACB = 90°, ВС = а , ∠BAC = а . Вершина B1 равноудалена от сторон треугольника ABС. Боковые ребра призмы наклонены к плоскости ABC под углом φ . На ребре СC1 взята точка Р так, что C1Р : PC = 3:2, К ∈ [ВB1], B1K : KB = 1:4. Проведено сечение призмы плоскостью АКР . Найти:

1) объем призмы АВСA1B1C1;

2) объемы тел, на которые плоскость сечения разбивает призму.

2. В основании пирамиды TABCD лежит прямоугольник ABCD. Все боковые ребра пирамиды равны, ВС = а, ∠ABD = ß, ∠TAB = φ . Точка M ∈ [DC], MD : MC = 2:1. Точка К лежит на высоте пирамиды ТО, TK : KO = 3:1. Проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной прямой (AB), проходящей через точки M и К . Найти:

1) объем пирамиды TABCD ;

2) объемы тел, на которые плоскость сечения разбивает пирамиду.

ПКР A11 ИВШ2004

Вариант 51

1. Решить уравнение

2. Решить уравнение

3. Решить неравенство

4. Решить неравенство

5. Решить систему уравнений

6.Найти f'(x) и f'(0),

7. При каких значениях параметра а уравнение

имеет два различных решения?

Экзамен по алгебре и началам анализа 29 июня 2004

1. Решите неравенство

2. Решите уравнение

3. Два трактора различной мощности, работая совместно, вспахали поле за 12 часов. Если бы сначала работал один первый трактор и вспахал бы половину поля, а затем один второй закончил бы работу, то тогда поле было бы вспахано за 25 часов. За какое время каждый трактор, работая отдельно, может вспахать все поле?

4. Исследуйте функцию и постройте её график

5. Найдите критические точки функции

А.В. Бунчук

ФМШ №2007, г. Москва

Роберт Гук и Исаак Ньютон

От составителя публикации. Я не помню, когда я впервые прочитал в Большой советской энциклопедии про спор между И. Ньютоном и Р. Гуком о приоритете открытия закона всемирного тяготения. Помню только, что был удивлен самим фактом упоминания этого спора в энциклопедии ввиду казавшегося мне очевидным неравенства спорящих сторон. О существе же спора я узнал значительно позже из книги В.И. Арнольда [1]. И хотя к тому времени я прочитал уже и другие книги (в частности, [2—4]), и понял, что у исследователей существуют разные точки зрения на позиции спорщиков, мне импонировала точка зрения В.И. Арнольда. Я придерживался ее и при составлении этого краткого сообщения о знаменитой, но малоизвестной истории.

«Иных богов не надо славить —

Они как равные с тобой,

И осторожною рукой

Позволено их переставить...»

О. Мандельштам.

В 1662 г. английский король Карл II специальной грамотой официально учредил существовавшее в стране уже несколько лет Общество для распространения физико-математических экспериментальных наук, присвоив ему наименование «Королевское общество» и даровав герб с девизом «Nullius in Verba» («Ничто словами»). Так возникла Английская академия наук. В ее первоначальный состав входило 40 человек — все те, кто помимо активного участия в работе общества обязался вносить в его фонд ежемесячные взносы в размере 40 фунтов стерлингов. В том же году куратором экспериментов Королевского общества был назначен 27-летний ученый Роберт Гук. В 1658 г. он изобрел и построил воздушный насос, экспериментируя с которым, открыл знаменитый закон газового состояния PV = const. Сообщение об этом законе с указанием имени автора было впервые опубликовано в 1660 г. Р. Бойлем в своей книге и, по-видимому, по этой

причине, войдя во все школьные и университетские курсы физики, называется теперь законом Бойля или законом Бойля-Мариотта, хотя и тот, и другой признавали авторство Гука и не претендовали на приоритет.

Гук имел самое прямое отношение и к открытию другого всеобъемлющего закона физики — закона всемирного тяготения, связанного теперь с именем великого И. Ньютона. Вообще к концу жизни Р. Гука насчитывалось около 500 научных и технических открытий, которые он успел сделать самостоятельно. Они составляют основу современной науки, но по разным причинам приписываются другим людям. К ним относятся, например, открытия клеточной структуры растений, красного пятна на поверхности Юпитера, волновой природы света. В силу особенностей характера и из-за чрезвычайно широкого круга интересов Гук часто не доводил свои открытия до конца и терял приоритет, по поводу которого часто спорил с Ньютоном, Гюйгенсом и другими научными авторитетами своего времени. В конце концов, такие потери и споры сделали его предельно замкнутым, сдержанным и неуживчивым. По существу, в современной классической физике Гук известен только как автор закона упругой деформации: «Сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна удлинению тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещений частиц тела при деформации». Сам Гук формулировал свое открытие короче: «Каково удлинение, такова и сила» (1660 г.).

История не очень-то лояльно обошлась с этим человеком. Достаточно сказать, что он является единственным членом Королевского общества, портрет которого не сохранился, и мы располагаем только словесным описанием его облика. Каким же был этот человек?

Роберт Гук родился 18 июля 1635 г. на одном из островов вблизи южного побережья Англии — туманного Альбиона. Он рос тщедушным и слабым ребенком, и, как Гук сам пишет в дневнике, родители даже не надеялись, что он выживет. Отец его был настоятелем местной церкви и мечтал сделать из Роберта священнослужителя. Но мечты эти пришлось оставить из-за слабого здоровья сына. Роберт и учиться начал довольно поздно. В четырнадцать лет по совету учителя он познакомился с математикой и, как говорят, в течение недели изучил первые шесть книг Евклида, а затем уже самостоятельно — философию и геометрию Декарта, которые были в то время новинкой. Кроме этого он выучил греческий и латинский языки и научился играть на органе. На этом общее образование Гука закончилось.

В 1653 г. Гук обосновался в Оксфорде, где устроился хористом в церкви. Оксфорд в жизни Гука занял важное место: здесь он впервые столкнулся с большой наукой и, главное, с наукой энциклопедической, больше отвечавшей и его характеру, и его интересам. В 1654 г. он стал работать ассистентом у физика Р. Бойля, бывшего на восемь лет старше его, и между ними возникла дружба, которой они оставались верны до конца жизни. Гук оказался прирожденным экспериментатором, и здесь для него открылось большое поле деятельности. Он много работал над проблемами математики и механики, совершенствовался в естественных науках, изучал астрономию. Однако, несмотря на несомненные математические способности, его главные интересы сводятся к механике, и уже в 1655—1656 гг. он приобрел в этой области широкую известность.

В 1663 г. Гук был избран членом Королевского общества, но, как уже говорилось, к этому времени он уже в течение года исполнял в нем обязанности куратора экспериментов. Что входило в его обязанности? Он должен был еженедельно докладывать на заседаниях о двух-трех новых научных открытиях в области естественных наук, сопровождая свои доклады демонстрацией экспериментов. Разумеется, в контракт не входило условие, что все демонстрируемые законы должны быть изобретены им самим. Ему разрешалось читать книги, переписываться с другими учеными, интересоваться их открытиями. Требовалось только проверять, справедливы ли их утверждения, и посредством демонстраций убеждать членов Королевского общества в том, что такой-то закон надежно установлен.

Трудно даже вообразить себе способности этого человека, если учесть, что свои еженедельные доклады он аккуратно делал в течение сорока лет! Сообщений о чужих достижениях не всегда хватало для полновесных докладов, и Гук восполнял их отсутствие сообщениями о своих открытиях. Ему было о чем рассказать: он был ими переполнен! Талантливейший экспериментатор и конструктор научных приборов, он вел биологические, географические, геологические и физические исследования и был в них одним из главных авторитетов своего времени. Он изобрел основные метеорологические приборы, установил зависимость барометрического давления от состояния погоды, впервые оценил высоту атмосферы. Как геолог и эволюционист Гук далеко перешагнул уровень науки своего времени, которая зачастую была всего лишь спекуляцией на темы библейских сказаний. Многие его изобре-

тения вошли в «золотой фонд» науки и техники, но его «изобретательская производительность» была так высока, что он не постарался или не успел обезопасить себя в этом отношении. Разнообразие интересов Гука не позволяло ему доводить до конца многие свои открытия и исследования. У него попросту не хватало для этого времени — на следующей неделе ему предстояло демонстрировать на очередном заседании общества новые эксперименты.

Вид Гука описать трудно. Он был чрезвычайно сгорблен, хотя до 16-летнего возраста оставался достаточно высоким и стройным. Но, начиная с этого времени, он начал горбиться из-за постоянной работы на токарном станке. В результате он стал казаться очень низкорослым, с почти горизонтальной шеей. Он всегда был очень бледен и худ, а позже — стал только кожа да кости. У него были серые глаза навыкате с острым умным взглядом, острый подбородок и высокий лоб. Он носил собственные волосы темно-каштанового цвета, очень длинные, не подрезанные и гладкие1).

Первые 35 лет Королевское общество жило трудами Гука, который не только написал его устав и составлял планы исследований и программы работ, но своими лекциями, экспериментами и докладами почти полностью заполнял часы и дни заседаний. Только после смерти Гука И. Ньютон, бывший на семь лет моложе его, согласился принять на себя обязанности президента Королевского общества, от которых постоянно отказывался при жизни своего великого соперника.

Ньютон родился в 1642 г. ровно через год после смерти Г. Галилея. Свой первый физический эксперимент Ньютон, как он его помнил, поставил в день смерти Оливера Кромвеля, правившего Англией в 1653—1658 гг. В этот день разыгралась сильная буря, длившаяся три дня. Ньютон учился в школе, был мальчиком неловким, неуклюжим, сверстники его не любили, считая скучным и хитрым. Ньютон всегда проигрывал им физические соревнования, но участвовал в них. В тот день прыгали в длину. Ньютон заметил, что, если подобрать момент прыжка, когда ветер достигает максимальной силы, то прыжок удается легче. Воспользовавшись этим, он выиграл соревнования.

1) По этому словесному описанию написан портрет, опубликованный на обложке книги [4] и воспроизведенный в газете.

В Кембридже наставником И. Ньютона был заведующий кафедрой математики профессор Барроу — филолог, физик и математик, автор знаменитой формулы тонкой линзы, известного интегрального соотношения, называемого теперь формулой Ньютона-Лейбница, а также метода решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. К этому времени относится запись Ньютона: «Фантазия усиливается пребыванием на свежем воздухе, постом, умеренным потреблением вина, но портится от пьянства, разврата и слишком усердного учения».

Пик творческой деятельности Ньютона пришелся на 1665—1667 годы. Он одновременно с Лейбницем, но независимо от него разработал основы математического анализа, начал эксперименты по оптике. Ньютон приобрел известность в 1673 г., спроектировав и собственноручно изготовив первую модель телескопа-рефлектора. За это он и был тогда же избран членом Королевского общества. После этого он оставил науку и занялся алхимией, которую к науке не причисляли. (Настоящей химии тогда еще не было. Она появилась только при Лавуазье). Как и все алхимики, Ньютон хотел получить золото (философский камень). Усилия, потраченные им на это, значительно превосходили все то, что он потратил на математику и физику. Говорят, что в тетрадях Ньютона (а он подробно описывал все опыты, чтобы можно было их повторить) есть запись: «Вонь ужасная. Видимо, я близок к цели».

В 1669 г. Ньютон принимает заведование кафедрой математики, оставленной ему Барроу. По свидетельству современников, Ньютон во многом подражал своему учителю и в тематике научных работ (теория цвета, телескопы, математический анализ), и во внешних привычках (Ньютон, как и Барроу, спал очень мало — не более 5—6 часов в день, был небрежен в одежде. Кстати, не больше спал и Гук. Им было жалко своего времени). Лекции, которые Ньютон читал по арифметике, географии, оптике и другим наукам, славились непонятностью. У него было три студента. С 1672 по 1684 гг. Ньютон, занимаясь алхимией, жил замкнуто. Он чрезвычайно серьезно относился к приоритетным вопросам, довольно рано сформулировав такой принцип: каждый ученый должен однажды сделать выбор — либо ничего не публиковать, либо потратить жизнь на публикации и борьбу за свой приоритет. Для себя Ньютон, по-видимому, выбрал и то, и другое: он почти ничего не публиковал и постоянно боролся за свой приоритет. Соперниками

были Лейбниц в области математики и Гук в области физики. Отношения между ними постоянно портились, поскольку Ньютон, вдобавок не выносил никакой критики в свой адрес.

Все, что делал Ньютон, он делал с исключительной добросовестностью и настойчивостью, и все у него получалось. Получалось, когда он шлифовал зеркало телескопа, и когда проводил опыты по оптике, и когда он занялся полемикой с Лейбницем, которой, по мнению некоторых исследователей его творчества, свел Лейбница в могилу. Во всяком случае известно, что в этой полемике, длившейся много лет, Ньютон вел себя некрасиво.

У Гука первое столкновение с Ньютоном произошло в 1673 г. по поводу природы света, которую Ньютон считал корпускулярной, а Гук — волновой (к слову сказать, знаменитые “кольца Ньютона” на самом деле открыты Гуком). И хотя потом по инициативе Гука произошло примирение, Ньютон результаты своих исследований по оптике опубликовал только после смерти Гука. В конце 1679 и в начале 1680 годов, когда Гук стал секретарем Королевского общества, между ним и Ньютоном произошел обмен письмами, в которых Гук изложил свою гипотезу тяготения и попросил Ньютона высказаться по этому поводу. Гук считал, что сила притяжения между двумя телами в соответствии с законами Кеплера должна быть обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Его последнее письмо датировано 6 января 1680 г. В нем он, в частности, писал: «Я предполагаю, что притяжение обратно пропорционально квадрату расстояния до центра, соответственно предположению Кеплера о зависимости скорости от расстояния. Галлей, вернувшись с острова св. Елены, рассказал мне, что маятник качается медленнее на вершине горы, чем у подножья, и не мог понять причины. Я сказал ему, что он решил давно занимавший меня вопрос об убывании тяготения с удалением от центра...» Получив это письмо, Ньютон переписку оборвал и больше Гуку никогда не писал. С этого фактически и началась история закона всемирного тяготения и связанная с ней полемика между этими учеными.

Спустя четыре года в гости к Ньютону, продолжавшему заниматься алхимией, приехал упоминавшийся Гуком известный астроном Э. Галлей, открывший в 1682 г. первую периодически появляющуюся на небосводе комету (названную впоследствии его именем), и попросил объяснить ему закон ее движения. Ньютон не был первым, к кому обратился Галлей, но оказался единственным человеком, который смог почти сразу же отве-

тить, что комета движется по эллиптической траектории. После этого по настоянию Галлея за 18 месяцев Ньютоном были написаны его знаменитые «Математические начала натуральной философии», — книга, в которой он создал всю современную механику. Именно создал, поскольку до этого никакой механики как науки не существовало.

По сути дела, книга Ньютона посвящена достижению одной единственной цели — выводу и доказательству закона всемирного тяготения. Из-за отсутствия на то время механики как таковой, Ньютону пришлось оформить доказательство в доступном всем виде. Это и потребовало сформулировать основные принципы, относящиеся к таким понятиям, как масса, сила, ускорение. Так появились «три закона Ньютона», на открытие которых он сам никогда не претендовал, считая, что первые два из них открыты Галилеем, а третий — Гюйгенсом и другими учеными. Ньютону, совсем не равнодушному к проблемам приоритета, и в голову не приходило, что в них есть что-то новое2). Зато на приоритет открытия закона всемирного тяготения Ньютон претендовал и претендовал весьма неаккуратно.

Первая публикация Гука о силе тяготения как о возможной причине эллиптичности орбит планет относится к 1666 г., а в 1674 г. в работе «Попытка доказать движение Земли наблюдениями» он изложил взгляды, весьма близкие к тем, которые затем были развиты Ньютоном в «Началах». Существует легенда о том, что еще во время чумы в 1665 г. Ньютон, сравнивая ускорение на орбите Луны с земным ускорением 9,81 м/с2, из-за неточного знания радиуса Земли получил расхождение около 16% и по этой причине ничего не публиковал о тяготении. Это мало правдоподобно и противоречит тому, что писал сам Ньютон 20 лет спустя. Он не считал и не должен был считать это расхождение серьезным. Проблема для него состояла в доказательстве закона о том, что сила притяжения пропорциональна 1/r2 (r — расстояние между телами) при любых r как вдали, так и вблизи поверхности Земли. Так или иначе Ньютон ничего не опубликовал ни в 1665 г., ни в 1679 г., когда переписка с Гуком побудила его вернуться к задаче о движении под действием силы притяжения и когда, по его собственным словам, он получил, что в поле такой силы тело должно двигаться по эллипсу.

2) Теперь, считая Ньютона автором этих трех законов, мы, по существу, признаем его автором открытия того, что именно эти три закона дают нам основу для решения любой задачи механики.

Фактом остается и то, что Ньютон, написав по инициативе Галлея свою книгу и сдав рукопись в печать в апреле 1686 г., о Гуке в ней вообще не упомянул. Галлей был другом и Ньютона, и Гука и знал предысторию открытия закона. Он убедил Ньютона сделать ссылку на Гука, и Ньютон в конце концов ее сделал, но в весьма оригинальной форме. Он написал, что идея об обратной пропорциональности силы притяжения квадрату расстояния принадлежит помимо него самого также Галлею (на его деньги печаталась книга), Рену (недавнему президенту Королевского общества) и Гуку. Галлей и Рен особого отношения к закону не имели, но против упоминания своих имен возражать не стали. Апелляции же Гука остались неудовлетворенными.

Кто прав в споре, которому в 2006 г. исполнится 320 лет? Если рассматривать формулировку основных принципов, необходимых для решения какой-либо проблемы, достаточной для суждения о приоритете, то право на него, несомненно, имеет Гук, ибо он передал Ньютону материал, нужный для его исследований. Такой и была точка зрения Гука. Если же рассматривать эту формулировку без сопровождающего ее математического доказательства недостаточной, то прав Ньютон, и такова была его точка зрения. И все же нельзя не признать, что Гук подсказал Ньютону основные идеи закона — закон обратных квадратов, центральный характер взаимодействия притягивающихся тел, закон инерции. При этом стиль мышления Гука был истинно физическим в современном толковании этих слов — он понимал физику «на пальцах». Его идеи были аналогичны идеям М. Фарадея, впервые предложившего и сформулировавшего понятие поля, но не оформившего это понятие в математической форме. Это сделал после него Д. Максвелл, и, тем не менее, автором понятия о поле мы считаем Фарадея.

При переписке с Галлеем, отвечая на его настоятельную просьбу упомянуть имя Гука, Ньютон писал о различии физиков (к которым он причислял Гука) и математиков (которым он считал себя): «Математики, которые все открывают, все устанавливают и все доказывают, должны довольствоваться ролью сухих вычислителей и чернорабочих. Другой же, который ничего не может доказать, а только на все претендует и все хватает на лету, уносит всю славу как своих предшественников, так и своих последователей... И вот я должен признать теперь, что я все получил от него, и что я сам только подсчитал, доказал и выполнил всю работу вьючного животного по изобретениям этого великого человека». В другом месте: «Гук имеет лишь отдаленное пред-

ставление о всемирном тяготении, основанное лишь на догадке. Одно дело изобретать гипотезы, другое — доказывать их... Гук имеет не большее право на закон обратных квадратов, чем Кеплер имеет право на закон эллипсов: догадки не считаются, а доказательств у Кеплера не было». Как видим, Ньютон отказывал в авторстве не только Гуку, но и Кеплеру, который вывел три своих закона на основе обобщения и обработки прямых экспериментальных измерений.

Исследователь творчества И. Ньютона академик С.И. Вавилов отметил: «Ньютон был, очевидно, не прав: скромные желания Гука имели полное основание. Написать “Начала натуральной философии” в XVII веке никто, кроме Ньютона, не мог, но нельзя оспаривать, что программа, план “Начал” был впервые набросан Гуком»3).

В литературе можно найти самые разные оценки Ньютона как человека. Со временем, т.е. по мере публикации обширных архивов Ньютона, эти оценки в среднем ухудшаются. Если биографы XIX века склонны к панегирикам в стиле «вся его жизнь была длительным размышлением», то современный биограф Ньютона Ф. Мануэль рисует для нас портрет злобного человека с патологически деформированной психикой. В частности, предполагается, что своей знаменитой фразой: «Если я видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов», Ньютон иронизировал над низкорослым сгорбленным Гуком. В 1688 г. Ньютона избирают в Английский парламент, и он на два года уезжает из Кембриджа в Лондон. Вернувшись, он уже не возвращался к научным занятиям, возможно, из-за тяжелого психологического заболевания не очень ясного характера. Может быть, оно было вызвано переутомлением в течение предыдущих лет, а может быть, и не связано с ним. Как отмечалось выше, Ньютон, при жизни считавшийся современниками величайшим и гениальным ученым, постоянно отказывался от предлагавшегося ему поста Президента Королевского общества и дал свое согласие на избрание только в 1703 г. — сразу же после смерти Гука. Одним из первых актов Ньютона на этом посту было уничтоже-

3) Впоследствии знаменитый немецкий философ Иммануил Кант по-новому подошел к доказательству закона обратных квадратов. Он задался вопросом о том, на основании каких фундаментальных законов природы мы можем сделать заключение о трехмерности окружающего нас пространства. Отвечая на него, он доказал, что трехмерность пространства следует именно из обратной пропорциональности силы притяжения квадрату расстояния.

ние всех инструментов, бумаг и портретов умершего, и именно по этой причине Королевское общество располагает портретами всех своих членов кроме одного.

Интересно, что работы Ньютона в области тяготения стали известны в Европе благодаря Вольтеру, который в последние годы жизни посетил Англию и, вернувшись на материк, пропагандировал новый закон, произведший на него большое впечатление. Он же поведал миру и о знаменитом яблоке, якобы упавшем на голову Ньютона и послужившим поводом к открытию (о яблоке ему рассказала любимая племянница Ньютона, в семье которой Ньютон жил последние двадцать лет жизни). В связи с этим злой Вольтер писал, что своей популярностью и карьере Ньютон обязан вовсе не научным трудам, а красоте племянницы.

На посту Президента Ньютон оставался до конца своих дней. В 1705 г. королева Англии Анна возвела Ньютона во дворянство, присвоив звание сэра. Надпись на памятнике Ньютона, сделанная его современниками, как известно, гласит: «...сэр Исаак Ньютон, дворянин, наделенный почти божественным разумом.»...

Литература

1. Арнольд В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. — М: Наука, 1989.

2. Кобзарев И.Ю. Ньютон и его время. — М.: Знание, 1978.

3. Вавилов С. И. Исаак Ньютон. — М: Изд-во АН СССР, 1961.

4. Боголюбов А.Н. Роберт Гук (1635—1703). — М.: Наука, 1984.

Е.Б. Гладкова

Школа № 192, г. Москва

История одной задачи

В 1857 году в журнале Nouvelles Annales de mathématiques была помещена задача: «Пусть m — целое положительное число. Показать, что наивысшей степенью 2, содержащейся в является 2m+1» (J.J. Sylvester). За прошедшее с тех пор время, идея решения этой задачи неоднократно использовалась в так называемой олимпиадной математике. Некоторые примеры приведены далее.

Числа n и k во всех задачах — натуральные, р — простое нечетное, квадратные скобки обозначают целую часть числа, фигурные — дробную.

1. А. Существует ли n, при котором

(Шклярский Д. О., Ченцов Н.Н., Яглом ИМ. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Ч. 1. № 205).

Б. Вычислить предел последовательности с общим членом

(Российская олимпиада, 1978).

2. Доказать, что первые 999 знаков после запятой в десятичной записи числа ((6 + V37)999 } равны 0 (Подготовительные задачи к 54-й Московской математической олимпиаде).

3. Доказать:

А. Число

нечетно при всех n (Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом ИМ. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Ч. 1. № 206а).

Б. Число

нечетно (Российская олимпиада, 1975).

4. Доказать:

(Шклярский ДО., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Ч. 1. № 207).

при всех n («Квант». 1981. № 6. С. 27).

5. Определить, какие цифры стоят в разрядах единиц и десятых

десятичной записи числа (олимпиада Финляндии, 1980). Найти наивысшую степень 2, на которую делится число (Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом ИМ. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Ч. 1. № 2066).

6. Доказать:

7. Доказать:

(«Квант». 1980. №2. С. 26).

А. К. Ковальджи

Лицей «Вторая школа»

Старинная задача про фальшивые 25 рублей

Задача. Пришел покупатель на базар и купил шапку за 10 рублей. Он дал продавцу 25-рублевую купюру. А у продавца не было сдачи. Пошел продавец к соседу и разменял эти 25 рублей, отдал покупателю сдачу с 25 рублей, и покупатель ушел. После этого прибежал сосед, бросил продавцу его 25-рублевую купюру и заявил: «Эта купюра фальшивая, — верни мне мои деньги!» Продавец отдал соседу настоящие 25 рублей, сел и задумался, сколько же всего денег он потерял на этой операции? (считаем, что шапка — это 10 рублей).

Чем хороша задача?

Задачу может решить школьник десяти лет, но может не решить и академик, то есть ответ и обоснование могут оказаться неверными. Бывает яркий эффект, когда решают задачу несколько человек (семья или целый класс).

Тогда происходит следующее: участники дают разные ответы (иногда 8 ответов). Ведущий выписывает ответы на доске в порядке поступления. Через 3 минуты ведущий спрашивает, все ли высказались, кто хотел? Если кто-то хочет подумать, то дается еще минута. Затем предлагается проголосовать за каждый ответ по порядку. Интересен еще один ответ в виде знака вопроса, по которым пишется число воздержавшихся, — это разность числа всех участников и числа голосовавших (лучше не спрашивать, кто воздержался, поскольку сумма голосов может не сойтись с числом участников, — некоторые не поднимут руку или голосуют дважды).

Самый популярный ответ обводится в кружок. Ведущий объявляет, что большинством голосов принят ответ такой-то, и делает паузу. Присутствующие явно не довольны и требуют сказать правильный ответ.

Тогда ведущий просит выступить тех, кто хочет убедить остальных в правильности своего ответа. Причем просит обращаться не к нему, а к аудитории, поскольку его убеждать не надо. Каждого выступающего надо просить сначала назвать ответ, за который он агитирует других.

Бывает поучительно для выступающего, когда он начинает доказывать один ответ, а прямо у доски приходит к другому.

Если дети плохо и тихо говорят, то ведущий может громко и четко повторить основную мысль выступающего и записать ее в виде формулы, например, 50 = 10 + 15 + 25.

Важно не подавать виду, какой ответ правильный или неправильный, то есть спокойно и деловито выписывать ответы, подсчитывать голоса, просить кого-то выступить.

Затем проводится повторное голосование, и самый популярный ответ обводится в кружок. Можно пошутить по поводу изменения числа голосов за тот или иной ответ.

Далее ведущий просит покритиковать решения коллег или задавать им вопросы. Эта просьба мягкая: если кто-то хочет рассказать свое доказательство, то пусть расскажет.

Затем проводится последнее голосование, и опять самый правильный ответ обводится в кружок. Весьма редко после третьего голосования правильный ответ набирает большинство голосов. За правильный ответ участников надо похвалить.

Ведущий отмечает, что даже при общем желании найти истину, демократические процедуры не всегда достигает цели, поскольку участники дискуссии бывают либо недостаточно компетентны, либо недостаточно культурны, чтобы отличить доказательные суждения от эмоциональных и авторитетных заявлений.

Эта задача мотивирует необходимость логической культуры:

• делает «прививку» от поспешных выводов;

• учит разбираться в чужих и своих ошибках;

• учит «правильно» и четко мыслить;

• учит с ходу отвечать на каверзные вопросы;

• учит доказывать свою точку зрения конкретным людям.

Пример 1 (7 класс, «Вторая школа», 14 чел., октябрь 2002)

Ответы

25

30

40

50

?

Голосование 1

5

6

2

2

Голосование 2

3

1

10

Голосование 3

3

7

4

Голосование 4

13

1

Все ответы набирали максимальное число голосов, и правильный ответ оказался последним.

Пример 2 (7 класс, «Вторая школа», 16 чел., октябрь 2002)

Ответы

0

10

15

25

35

40

50

?

Голосование 1

4

1

2

9

Голосование 2

1

2

2

4

7

Голосование 3

1

1

1

9

4

Правильный ответ так и не набрал большинства голосов. Ответ 50 рублей дважды набирал большинство голосов (зациклились). Меня поразил вопрос: «А может быть, здесь в принципе нет правильного ответа?»

Пример 3 (7 класс, «Вторая школа», 25 чел., октябрь 2002)

Ответы

10

15

20

25

35

40

50

?

Голосование 1

1

1

5

6

2

3

7

Голосование 2

1

5

2

1

13

3

Голосование 3

1

15

2

7

В начале было много воздержавшихся. Правильный ответ оказался последним.

Приведем пример тонкой ошибки в рассуждениях для ответа 15 руб.: +25 (взял у соседа), -10 (отдал шапку), -15 (отдал сдачу), -15 (вернул 25, но из них 10 руб. оставались от предыдущего размена). Где ошибка? По этой логике продавец и сдачу отдавал не своими деньгами, а тогда он вообще ничего не проиграл.

Пример 4 (пробный урок по математике в 7—8 классах, 27 чел., май 2005)

Ответы

5

10

15

20

25

35

40

50

?

Голосование 1

1

6

5

4

3

1

7

Голосование 2

7

4

3

1

5

5

2

Голосование 3

1

9

2

7

1

3

2

2

Последний пробный урок. Среди поступающих уже нет сильных ребят Такого еще не было в моей практике, чтобы ответ 15 все время лидировал.

— 15 = +25 — 15 — 25 (получил 25 от соседа, потерял сдачу 15, вернул 25 соседу, а шапку он компенсировал теми 10-ю рублями, что остались от размена). Где ошибка?

Пример 5 (Занятие ВМШ 6 класс, 28 человек, октябрь 2005)

Ответы

50

40

35

15

25

?

10

Голосование 1

4

4

9

1

2

4

Голосование 2

5

6

4

4

5

3

Голосование 3

8

10

1

4

3

3

Интересно, что сомневающиеся появились только в конце.

Пример 6 (ответы одного взрослого человека) Последовательность ответов: 50,35, 40, 50, 40, 15, 25. Было два повтора (50 и 40), но все же получил правильный ответ и сумел его обосновать.

Типичные ответы и ошибки

Ответ

Формула

Обоснование формулы и ответа

В чем ошибка

0

+ 25 — 10 — 15

Взял у соседа 25, отдал шапку —10, но сдачу отдал деньгами соседа, вернул соседу 25, но из них 10 оставались от размена.

Деньги соседа учли дважды: в прибыли +25, и когда «его» деньгами расплачивались.

—5

+ 25 + 10 — 15 — 25

Получил 25 от соседа, из них оставил 10 и отдал 15 сдачу, затем вернул 25 соседу.

Забыл про шапку и сделал двойной счет 10 руб.

—10

—10 + 25 — 25 —10

Только шапка, потому что сдача-деньги соседа.

Забыл про возврат денег соседу.

—15

+ 10 — 25

+ 25 — 15 — 25 (тонкая ошибка)

Осталось 10 рублей от размена и отдал обратно 25.

Получил 25 от соседа, отдал сдачу 15, 25 вернул соседу, а шапку он компенсировал теми 10-ю рублями, что оставались от размена.

Забыл про шапку

Шапку он не компенсировал, потому что 10 руб. вернул соседу.

—20

?

?

?

—25

— 10 — 15

Отдал шапку и отдал сдачу (случайно правильный ответ). См. решения в конце.

Почему другие действия не влияют? Куда пошли деньги от размена?

—30

—15 — 25 + 10

Отдал сдачу 15, вернул соседу 25, но 10 руб. осталось от размена

Сдачу отдал не из своих денег, 10 не осталось, забыл про шапку.

—35

—25 — 10

Вернул 25 соседу и потерял шапку 10 (сдача отдана из денег соседа)

Еще оставалось 10 руб от размена.

—40

—15 — 25 — 50 + 10

—10 — 15 — (25 — 10)

Отдал сдачу 15, вернул соседу 25 (за шапку остались 10 руб. от размена).

Отдал покупателю и соседу 50 руб, но 10 рублей остались от размена.

Отдал шапку 10 и сдачу 15, а соседу вернул 10 из его же денег и 15 своих.

Отдал сдачу деньгами соседа.

—50

—10 — 15 — 25

Отдал шапку 10, сдачу 15 и отдал соседу 25.

Забыл, что получал деньги от соседа.

?

?

Может быть, нет правильного ответа?

Отчаяние.

Иногда человек может дать правильный ответ случайно, опираясь на неверные рассуждения, поэтому надо задать ему типичные вопросы: «Как Вы получили это число?», «Почему другие действия не влияют на ответ?» и т.п.

Типичная методическая ошибка

Люди мыслят слишком конкретно, а в задаче, где много действий с разными знаками, легко запутаться. Некоторые люди не доверяют логике и пытаются проделать все действия руками: они рвут бумажки,

пишут на них рубли, «шапку», «фальшивку» и обмениваются бумажками. При этом они все равно путаются, спорят и редко находят правильный ответ.

Эта задача выявляет глубинное непонимание большинством людей счетных свойств денег: им кажется, что надо проследить движение каждого рубля, помня, кому он принадлежал, при этом они торопятся, что-то упускают или делают двойной счет.

Несколько красивых и поучительных решений

(названия решений условные, они связаны с профессиями людей, которые их придумали)

1. Решение «бухгалтера»

Рассмотрим отдельно «приход» и «расход» продавца. Он получил от соседа 25 руб., отдал шапку -10 руб., сдачу -15 руб. и вернул соседу 25 руб. В итоге он в минусе на 25 руб.

2. Решение «игрока»

Есть три участника. Сумма их выигрышей и проигрышей равна нулю. Сосед ничего не выиграл и не проиграл. Покупатель получил 25 руб. Значит продавец проиграл 25 руб.

3. Решение «математика»

Если бы купюра была настоящей, то все операции были бы честными, и никто ничего не потерял, но если она фальшивая, то потери понес тот кому она в итоге досталась.

4. Решение «экономиста»

У продавца была шапка. После размена и продажи у него остались 10 руб., т.е. он ничего не потерял. Когда он получил обратно фальшивку и отдал за нее 25 руб, то потерял 25 руб.

Сравнение решений

Решение «бухгалтера» наиболее универсальное, оно применимо для любого участника и любых взаимных расчетов.

Решение «игрока» использует идею сохранения суммы и описывает выигрыши всех участников.

Решение «математика» самое фундаментальное и короткое, оно не требует вникать в детали, а дает ответ без расчетов и сразу для всех участников.

Решение «экономиста» выделяет структуру процесса, рассматривает не каждый шаг, а определенные этапы.

Какое решение больше понравилось?

Решение

Бухгалтера

Игрока

Математика

Экономиста

6 класс, 28 чел

11

4

7

8

Статистика ответов

Голосование 1

Ответы

0

5

10

15

20

25

30

35

40

50

?

Частоты

4

0

2

10

6

12

6

28

11

8

20

4

1

2

9

5

6

2

2

1

1

5

6

2

3

7

1

6

5

4

3

1

7

1

2

9

4

4

4

Голосование 2

Ответы

0

5

10

15

20

25

30

35

40

50

?

Частоты

0

0

1

12

4

18

0

9

17

40

8

1

2

2

4

7

3

1

10

1

5

2

1

13

3

7

4

3

1

5

5

2

4

5

4

6

5

3

Голосование 3

Ответы

0

5

10

15

20

25

30

35

40

50

?

Частоты

0

1

3

15

2

28

0

3

23

23

13

1

1

1

9

4

3

7

4

1

15

2

7

1

9

2

7

1

3

2

2

3

4

3

1

10

8

Г.Е. Кузнецова

МПГУ

Билеты, приносящие счастье

Многие из нас когда-нибудь проверяли свой билетик, сравнивая сумму первых 3-х цифр с суммой последних 3-х, и непременно радовались, если эти самые суммы совпадали.

Но так ли редко «счастье»? Ясно, что всего различных 6-значных билетов около миллиона, сколько же среди них «счастливых»? Чтобы узнать это, оставим в стороне астрологию и обратимся к математике.

Обозначим искомую величину за X.

Определение 1. Билетом называется последовательность вида

Договоримся обозначать его как

Определение 2. Билет a1а2аъаАа5а6 называется счастливым, если

При этом число a1 + a2 + a3 (или a4 + a5 + a6) называется суммой этого счастливого билета и обозначается S . Заметим, что S < 27 .

Определение 3. Счастливым размещением называется такая последовательность a1,a2,a3,a4,a6,a6, что a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 = S

где ai неотрицательное целое число и i = 1,2,...,6. При этом S называется суммой размещения.

Найдем количество счастливых размещений с суммой S .

Рассмотрим все возможные тройки чисел a1,a2,a3 таких, что

Таким образом, количество возможных троек (a1,a2,a3), сумма которых равна S, равно 1 + 2 + ... + (S + 1) = 1/2(S + 1)(S + 2).

Количество возможных троек ( a4, a5, а6 ) также равно 1 + 2 + ... + (S + 1) Следовательно, всего счастливых размещений с суммой S, будет (1 + 2 + ... + (S + 1))2 . (*)

Пусть А = {a1а2а3а4а5а6 | = 0,1,...,9; i = 1,2,...,6; а1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 = S}- множество счастливых билетов с суммой 5 . Рассмотрим множество

В = {b1b2b3b4b5b6 | bi = 9 — ai; i = 1,2,...,6}

Очевидно, что | А |=| B |. Но В — множество счастливых билетов с суммой 27 — S. Следовательно, количество билетов с суммой S равно количеству билетов с суммой 27 — S. Поэтому, чтобы найти X, достаточно подсчитать количество билетов с суммой S < 13 и умножить на 2, т.е.

X = 2(Х0 + Х1 + ... + Х13), где Xs — количество билетов с суммой S, S = 0,1,...,13 .

Если S < 9 , то счастливое размещение является счастливым билетом. Следовательно, при таких S : Xs = (1 + 2 +... + (S + l))2 .

Чтобы получить количество счастливых билетов из количества счастливых размещений с суммой 10 < S < 13 нужно:

1) вычесть S — 9 первых слагаемых, стоящих под знаком квадрата (см. (*) ), которые соответствуют 10 < a1 < S :

2) вычесть из каждого слагаемого, которое в равенстве (*) соответствует a1 = k, величину 2(S — k — 9), где k < 10 , и S — k>10:

Используем, что S — k < 20 , т.е. если S — k > 20 , то слагаемое, соответствующее a1 = k, обнуляется)

Таким образом,

То есть, всего счастливых билетов 55252. Сумма цифр всех счастливых билетов равна

Содержание

Никольский С. М. Я ХОЧУ, ЧТОБЫ УЧИТЕЛЯ БЫЛИ СЧАСТЛИВЫ...................................................3

Информация

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА»......................................14

Воспоминания

Курдюмова Н.А. АНАТОЛИЙ МИХАЙЛОВИЧ ПЫШКАЛО.........18

Образование: история и перспективы

Мильграм Л.И. НЕКОТОРЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О РЕФОРМЕ ОБРАЗОВАНИЯ.............................................21

Фирсов В.В. ПОДВОДНЫЕ КАМНИ ЕГЭ..................................28

Шевкин А.В. ПЕРСПЕКТИВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИИ В ЗЕРКАЛЕ ЗАРУБЕЖНОГО ОПЫТА...................................41

Бусев В.М. О МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОМ НАСЛЕДИИ И ПЕРСПЕКТИВАХ ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ............ 45

Взгляд на преподавание

Земляков А.Н. ПСИХОДИДАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ УГЛУБЛЕНОНГО ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В СТАРШИХ КЛАССАХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ .. 62

ПАМЯТИ А.Н. ЗЕМЛЯКОВА............................84

Ивашев-Мусатов О.С. О НАЧАЛАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В КУРСЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ..............85

Потапов М.К., Шевкин А.В. ОБ УЧЕБНИКАХ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ПРОФИЛЬНОЙ ШКОЛЫ...........................88

Смирнова И.М., Смирнов В.А. СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА И КОНУСА В КЛАССАХ ПРОФИЛЬНОГО УРОВНЯ ОБУЧЕНИЯ...................................................92

Хачатурова О.Ф. НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ..........................................................101

Чулков П.В. ОПЫТ РАБОТЫ В СИСТЕМЕ «ШКОЛА-ВУЗ»..........103

Шершнев Е.Ф. ТЕСТЫ КАК ЭЛЕМЕНТ ОРГАНИЗАЦИИ УРОКА ПО ИНФОРМАТИКЕ.......................................106

Ширстова И.В. МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ЛИЦЕ № 1511 ПРИ МИФИ..........................................................112

История науки

Бунчук А.В. РОБЕРТ ГУК И ИСААК НЬЮТОН..........................116

Задачи и решения

Гладкова Е.Б. ИСТОРИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ................................126

Ковальджи А.К. СТАРИННАЯ ЗАДАЧА ПРО ФАЛЬШИВЫЕ 25 РУБЛЕЙ..................................................128

Кузнецова Г.Е. БИЛЕТЫ, ПРИНОСЯЩИЕ СЧАСТЬЕ..................135