АРХИМЕД

Научно-методический сборник

Выпуск 1

2005

Архимед

Научно-методический сборник

Выпуск 1

Москва 2005

Архимед. Научно-методический сборник. Вып. 1. В настоящем сборнике представлены тезисы докладов участников семинара «Интеграция основного и дополнительного физико-математического образования», проходившего 2 февраля 2005 года в ФМШ № 2007 ЮЗОУО г. Москвы, а также другие публикации, посвященные вопросам дополнительного физико-математического образования.

Ответственные за выпуск: А. Смирнов, П. Чулков, Т. Струков.

© 2005, AHO Институт логики.

© 2005, Редакция «Архимед».

Выпуск подготовили: А. Обрубов, Ф. Пчелинцев, Е. Шапарин, Е. Шершнев.

Изд. Лицензия ЛР № 066121 от 22.09.1998г. Подписано в печать 02.02.2005 Объем 6 п.л. Формат бумаги 60x90/16. бумага офсетная №1. Печать офсетная. Тираж 200 экз. Заказ №751 Издание Института Логики Когнитологии и Развития Личности Отпечатано в типографии ЕВСТИ, г. Москва, ул. 3-я Мытищинская 3

Ф.Т. Михайлов

Академик РАО

Мы были первыми его учениками...

Было это недавно и бесконечно давно... (Трудно удержаться от банальности, обращаясь к теперь уже почти былинным временам!) Уходил от нас 1943 год — третий год войны. Нет, не смогу заставить вошедших в жизнь свою после Победы пережить подсознательное инфернальное чувство отчаяния от нескончаемости безысходных дней войны! Ведь мы, в тот год тринадцатилетние, впервые стали осмысленно ощущать себя в свои одиннадцать лет вместе с первыми, поистине страшными её событиями...

А теперь представьте себе московскую окраину, в серые зимние дни промозгло холодную, а в ранние вечера и до позднего зимнего утра непроглядно тёмную. Утонувшие в сугробах ряды небольших домов и маленьких фабрик с чёрными прямоугольниками окон — маскировка! — тянутся с мягким изгибом до самой школы, за которой большой завод, небольшая круглая площадь, с расходящимися от неё дорогами в Измайлово, Немецкую слободу и Преображенку. Это — Большая Семёновская улица. Это наша средняя школа № 425. В школе тоже холодно: чернила замерзали в наших эрзац — чернильницах1.

Убирали классы и коридоры, мыли полы и протирали окна мы сами, школьники-подростки... За углём на грузовике ездили тоже мы. Мы его и грузили, и разгружали на заднем школьном дворе... Только что не топили сами.

А учителя наши, как я теперь понимаю, были очень хорошими. Классный руководитель, он же преподаватель биологии, — Алексей Аркадьевич, пожилой, чтобы не сказать старый (совсем скоро мы будем идти за его гробом), с лицом дореволюционного интеллигента, с аккуратно подстриженной седой бородкой... Учительница литературы — Александра Алексеевна. Высокая, с гладкой причёской и тугим пучком седых волос, с пухлыми круглыми щёчками, о которых принято говорить: как два печёных яблочка, всегда в строгом платье до скромных девичьих туфель, — наша словесница, она и до революции преподавала литературу. В женской гимназии.

В первой партии награждённых орденами учителей (по-моему, это было весной сорок четвертного года) Александра Алексеевна была удостоена ордена Ленина, и киношники сорвали нам все уроки, заставляя по много раз восторженно и с цветами прямо на улице встречать любимую учительницу... А мне она и вправду очень нравилась. В класс, неспособный успокоиться после шумной, драчливой перемены, вплывала она, высоко держа голову и всегда со словами: «покойно, дети, покойно». На уроке, посвященном творчеству Маяковского, Александра Алексеевна призна-

лась: «Мне трудно о нём рассказывать потому, что я его не люблю. Лучше я вам прочитаю Лермонтова. Вслушайтесь в пленительную музыку слов: «Русалка плыла по реке голубой, озарённая полной луной...». Лермонтовым и я бредил с десяти лет, но и Маяковского любил очень: «...Голова в курчёныховском аде. Может быть здесь, за окном, впервые, руки твои иступленный гладил...». Странно, но тогда подростком, чтобы не сказать ребёнком, я сочувственно сопереживал её верность своей поэзии и её... смелость.

Прокофий Евменьевич — учитель географии. Интеллигент и барин в одном лице, отстранённо строгий воспитатель, не упускавший случая вводить в географические пространства своих уроков историю России. Он довёл нас до 9 класса, в конце которого мы сдавали его предмет на аттестат зрелости. По экономгеографии мне досталась, кроме прочих стран, ещё и Турция... Не преминул и я вплести в свой ответ немного истории русско-турецких отношений, ибо учитель наш любил повторять: «Помните, у России нет более упорного врага, чем Турция».Ещё он любил рассказывать о том, как надо изучать иностранные языки (именно во множественном числе). Оставалось только завидовать тому удовольствию свободного общения с иноязычной культурой, которое он нам демонстрировал.

Кажется, я увлёкся воспоминаниями о хороших людях. Но не могу не вспомнить и Петра Кирилловича — шестидесятилетнего учителя физкультуры в нашей школе и руководителя школы гимнастов в районном Доме пионеров (на Журавлёвской площади).

Там он, выделяя и меня в группе перспективных гимнастов, раскрывал перед нами высокую культуру свободного, пластичного владения своим телом. Да и сам он, юношески стройный, во всех движениях своих удивительно гармоничный2, каждый вечер после занятий на снарядах учил нас танцевать бальные танцы.

Мы с нашими девочками-гимнастками танцевали все — от падекатра до мазурки. И, кажется, раз в месяц, у нас был торжественный, грандиозный бал с приглашением школьников и школьниц из ближайших школ нашего Сталинского района (напомню: школы тогда были раздельные)3. Хочется вспомнить и рассказать, готовя появление героя моих воспоминаний, и о директоре школы — о Вере (Марии?) Александровне Корнеевой, и о её сестре — Нине Александровне, отличной учительнице литературы, сменившей навсегда ушедшую от нас Александру Алексеевну... И о наших учителях-фронтовиках... (Кстати, учителей-мужчин было тогда больше чем учителей-женщин). Но, в конце-то концов, не мемуары я пишу... Лучше расскажу о нас, о тех, кто в начале следующего года не очень-то приветливо встретит своего нового математика и классного руководителя — Семёна Исааковича Шварцбурда.

Мы были тогда, что понятно из выше рассказанного, очень и очень разные. Разные и по возрасту, и по судьбе жизни-выживания. В шестом «А» классе было нас не мало — много более сорока человек. За партами сидели тринадцати, четырнадцати и аж шестнадцатилетние. Да, и такие переростки учились в шестом: у многих из нас не было возможности посещать школу в первые годы войны. Не стоит забывать и то, что Семёновские улицы — это в то время рабочая окраина Москвы, и население её — по-преимуществу женщины, большую часть суток работавшие на заводах, заводиках и фабричках этой самой окраины. Их дети воспитывались улицей. А улица и днём и ночью жила своей жизнью, вообразимой сегодня, увы, не с таким уж и трудом. Бандитским районом в то время заслуженно называли Марьину Рощу. Но мало чем отличался от неё и наш большой район, простиравший себя от Елоховской площади до Сокольников, Преображенки и Измайлова. Потому и у нас общение детей и подростков складывалось, если не прямо по воровским «законам», то уж точно по «нравам» приблатнённых переростков. Причём не только в уличной жизни, но и в самой школе.

Тем, кто жизнь свою начал много позже войны, хоть немного поможет приобщиться к тогдашнему нашему мироощущению разве что песня Владимира Высоцкого о детях войны. О тех детях старшин и майоров, что до высоких широт добрались, потому что из тех коридоров (а чаще всего — из подвалов) им казалось естественней вниз — в тюрьму... Об этом вся его песня — от первых до последних аккордов и строк.

Да, война... И в нашей мужской школе дети поджигали дымовые шашки, дым от которых плотно обволакивал всё здание школы, срывая уроки на весь день. Приносили в школу и патроны от трёхлинейной винтовки. Снаряжали их бумажными стабилизаторами и самодельными ударниками по капселю из острых гвоздей. Нежно разжимая пальцы, мои одноклассники отпускали это сооружение из окон четвёртого этажа в стремительный вертикальный полёт к тротуару, получая огромное удовольствие от сумасшедшего испуга прохожего, у ног которого оно взрывалось. Приносили даже боевые пистолеты. Как раз в тот год и автор этих строк со своим шестнадцатилетним одноклассником, расстрелянным чуть позже за бандитизм, испробовал на меткость немецкий «Парабеллум». Патроны от «TT» мы карандашом забивали в патронник. Стрельба велась из окна школьного чердака в глухую стену соседнего завода (МИЗ'а). Потом долгие годы её «украшали» пулевые отверстия, кучно окружавшие единственное маленькое окошечко, приютившееся под самой крышей. Или ещё: наш первый комсорг (позже тоже осуждённый за бандитский налёт) принёс в школу бельгийский браунинг и в уборной на третьем этаже открыл огонь по потолку. На четвёртом этаже (в уборной для младших школьников) случился

большой переполох: пули, пронзая хилое перекрытие, вонзались в потолок, никого из малышей, к счастью, не задев.

Пионеры и несоюзная молодёжь выясняли отношения между собой, угрожая друг другу не только заступничеством «паханов» семёновско-измайловской шпаны4, но и ножами, сделанными из напильников, с рукоятками трёхцветными, наборными, о которых пел в той же песне своей Владимир Высоцкий5...

Другой полюс равновеликих сил, творящих внутриклассный статус каждого из нас, образовался под влиянием небольшой группы ребят, внешне отличавшихся от «шпаны» лишь явной своей духовной одарённостью. Таких тоже было не мало: в довоенных приличных домах-новостройках, в тех, что выделялись среди старомосковских окраинных двухэтажек — на углу Электрозаводской и Большой Семёновской улиц, в Медовом переулке, в двух-трёх других закоулках, жили по-преимуществу интеллигентные семьи. Их дети чуть ли не с охотой, по крайней мере как должное, принимали все каноны уличной стратификации, отнюдь не отменяемой строгим распорядком школьной жизни... Но помимо их воли вокруг каждого из них ощутимо сгущалась иная атмосфера: талантливость, ум, яркие способности и — главное! — внутренняя интеллигентность. В каждом классе таких было не много, но весьма ощутимой была сила притяжения небольшой их массы. Что, как ни странно, не порождало опасной конфронтации полюсов.

Приведу пример. Вот наш бессменный до десятого класса староста — всеми нами нежно любимый, ярко талантливый Игорь Грандберг. Теперь, естественно, — Игорь Иванович — профессор МГУ, известный учёный... По школьной легенде 1942 года он для прокорма семьи разводил дома кроликов, за что и был прозван на все времена «Кроликом», хотя, честно признаться, этой легенде никто из нас не верил6. Но помнят все, как каждый день он в школьной столовой получал для всего класса и раздавал нам на большой перемене большие, фантастически вкусные белые бублики (между прочим: это в голодные-то годы, когда по карточкам даже рабочим выдавали на день 600 граммов мокро-чёрного!). Что стало причиной ещё одного, правда, уже не столь прилипчивого его псевдонима — «Бублик». Так вот, именно «Кролик» (он же «Бублик»), а на самом деле — Игорь Грандберг, он и Владик Грецов7, и другие, такие же совсем простые ребята, ничем, кроме креативной индивидуальности своей не отличавшиеся от всех прочих, определяли и поддерживали, если так можно сказать, интеллектуальный климат жизни нашего класса и всей школы. Они пользовались особым, внешне скрываемым, но тем более глубоким уважением даже у «приблатнённой» вольницы. Уважением, достигаемым отнюдь не авторитетом «заступников» типа того же Мызи, не дурной физической силой, а той свободной лёгкостью, с которой они, покоряя учителей и нас,

одинаково с блеском справлялись со всеми учебными предметами. А Игорь к тому же — и своей неукротимой одержимостью лыжами8... Но вот наступил подходящий момент для явления Учителя в этот наш шумный, пёстрый, непредсказуемый мир.

Начало 1944 года ничего не изменило в нашей жизни. Не замаячила даже надежда на окончание войны... Но перед переходом в седьмой класс — выпускной класс неполной средней школы, поляризация ведущих сил нашей «вольницы» явно обозначилась в ориентациях ребят: кто «учился», лишь бы дотянуть до весны, а там — через какой-то год — в ФЗУ, на завод, в спецшколы, а то, глядишь, и в техникум... Кто, напротив, поднапрягся и подтянулся, собираясь хорошо пройти весенние испытания, заявив о себе, как кандидате на десятилетку. Но и тем и другим главным было справится с математикой... Учителя (или учительницы) математики в шестом классе память моя не охранила. И о том сегодня не смогу сказать, как я сам отчитался по этому предмету весной и как прошли у нас первые уроки по алгебре и геометрии уже в седьмом классе... Но однажды утром взбудоражила всех весть нежданная: к нам идёт новый математик, и именно он будет нашим классным руководителем!

Кто-то у классной двери следил за коридором, чтобы предупредить — идёт! И, конечно же, — кто идёт.

Вдруг наш дозорный, прикрыв тихо дверь, голосом вроде бы радостным (сказалась роль первооткрывателя и источника сенсации), но явно испуганно, выкрикнул: «Вот это да! К нам ползёт какая-то каракатица!»).

Дверь класса открылась не сразу... Все встали и... замерли ошарашено: на детских костылях, сжимаемых двумя заметно сильными руками, вошел к нам и остановился у двери... Карлик? Нет! Это было нечто совсем другое: прежде всего — большая не по тельцу голова, оглядывающая нас яркими, чёрными, по особому выразительными, умнющими глазищами. А от головы вниз шло тело ребёнка, опиравшееся на костыли и... на едва касавшиеся пола, высохшие, будто детские ножки в явно детских же брюках. Голова и руки — вот что прежде всего бросалось в глаза в облике жертвы полиомиелита-детского церебрального паралича.

Мы — дети страшной войны, мы давно уже привыкли к безногим калекам, катящим своё, почти по пояс обрубленное тело на досках с зудящими и визжащими колесиками из подшипников... Костыли, инвалидные коляски... уродливые деревянные «протезы», пустые рукава, искореженные осколками лица... Улицы, рынки, магазины, электрички — всюду вас просьбами, жалобами встречали и провожали живые обрубки бравых солдат. Но несмотря на обыденность и привычность всего многообразия калек, каждый из них всегда хоть на краткий миг пробуждения нравственно-

го чувства будил острую жалось и чувство бессилия обернуться для него хоть на это вот мгновение... человеком.

Но наш новый классный руководитель и учитель математики с первого же мгновения как бы отсёк от себя возникшее было чувство сострадания и жалости. Урок математики начался сразу, тут же захватив нас неожиданностью мысли. Не опрос, не объяснение, не тоскливое ожидание вызова к доске и отметки... Непривычность обращения к нашей способности понять... нет, даже не правило, по которому надлежит решать замысловатые задачи без чисел, а именно смысл операции с условными величинами, её, операции, цель — вот что было новым, вот чем вдруг обернулась для нас математика. Это чувство рождалось как бы само собой и не чем иным, как удивительной манерой речи, её живой и всегда неожиданной артикуляцией, свободными движениями так обидно искажённого тела нашего нового учителя. Развернув движение смысла математических преобразований, сжав их заключительной формулой, Семён Исаакович (в дальнейшем — «Семён») обводил формулу чётким прямоугольником, неожиданно прикрепляя к нему снизу замысловатую петельку. При этом он обязательно улыбнётся. Улыбнётся живо, озорно и весело. Будто сделал что-то недозволенное учителю, но зато органично важное для него и для нас.

Но о математике — чуть позже. Важнее всего — личное, не в меньшей, если не в большей степени, проявлявшее себя в общении с нами вне уроков. Тут мне придётся вспомнить целый рад эпизодов нашей с ним общей истории. А начало их непрерывности оказалось почти драматическим...

Дело в том, что как раз с этого года стала набирать силу дурацкое время оказенивания школы. Вводились по примеру старой гимназии правила поведения, школьные билеты (удостоверения), единая школьная форма — всё то, что и до революции порождало Беликовых, превращая учителя и ученика — каждого на особый манер, но обязательно в «Человека в футляре». Иными словами — в казённого человека. Ведь государственный чиновник, самим своим статусом и исполнением своей служебной функции и по сей день воспроизводящий всего лишь иерархию властного управления подданными империи — управления не делом, а людьми9, обрекает своих подчинённых исключительно на лишь внешне целесообразный, репродуктивный, исполнительский труд. Что в школе тут же обернулось поголовным авторитарным администрированием. Учитель-администратор, пионервожатый — администратор, комсомольский секретарь — администратор, директор — главный администратор, но и он — только послушный исполнитель административных указаний высшего руководства. Даже старосты класса и прочие «выборные» руководители детских и юношеских оказёненных объединений во всю старались администрировать...

Наш «Семён» администратором не был и органично быть им не мог. Хотя партийная организация учителей и выбрала его своим секретарём, хотя и ему приходилось в некоторые моменты жизни нашей обращаться к нам от имени партии и её непререкаемого авторитета. Вот первый случай из таковых. Но, кажется, и последний. Сверху пришёл приказ: всех учеников до седьмого класса включительно подстричь под «О», и с каким-либо подобием иной растительности на голове до уроков не допускать. Я успел уже упомянуть, что в нашем классе учились не только четырнадцатилетние (в первый класс школы тогда принимали только с восьми лет). К тому же и в свои четырнадцать большинство из нас пережили и повидали такое, что и физически, и нравственно приблизило нас к вполне оформившимся выпускникам. Были среди нас и «ребятишки», успевшие вкусить запретную сладость весьма близкого знакомства с женщинами. Единицы, конечно, но были, и они своим опытом приближали более молодых к роли джентльменов, ищущих светских развлечений во дворах Большой и Малой Семёновских улиц, в кинотеатре «Родина» и в рабочих клубах на киносеансах с вполне взрослым содержанием. А тут вдруг — пожалуйста: наголо остриженные головы, сразу же выдающие истинный, так сказать, младенческий возраст юного джентльмена10.

Весь наш седьмой «А» дружно встал на защиту своей мужской чести — не будем стричься, хоть выгоняйте из школы! На следующий день военрук, стоя на страже у дверей школы, нас на уроки не пустил. Весь класс в полном составе оказался на улице. Посовещавшись, все разошлись с гордым чувством борцов за свободу. На следующее утро повторилось изгнание неподстриженных. Но на этот раз было решено в класс пробиться и устроить сидячую забастовку. Смяв слабое сопротивление (на этот раз — нянечки), мы проникли в свой класс и расселись по партам. Надо заметить, что к тому времени в нашем классе были выбраны три комсомольца (по инициативе и стараниями Семёна Исааковича). Ваш покорный слуга стал одним из них. И так случилось, что я сидел на первой от входа в класс парте. Вошёл он, наш классный руководитель и парторг школы.

— Что вы тут делаете? — грозно нахмурясь, спросил он, обращаясь ко мне, как к ответственному за передовую идеологию.

— Скучаем, — ответил я, чувствуя себя одновременно и членом союза непокорённых борцов за свободу и... одним из «администраторов» школы.

После гневных тирад и угроз (опять-таки — администратор, парторг; положение обязывает) Семён Исаакович сел (это простое действие давалось ему отнюдь не просто) и попросил поговорить с ним по-человечески. Мы, перебивая друг друга, объяснили ему наше особое положение: учимся мы в седьмом, но годами и опытом почти все — взрослые, мол, люди. Он нас понял. Более того, он торжественно обещал нам, что именно мы будем исключением из правила и на следующий день можем спокойно присту-

пать к занятиям с причёсками, но приведёнными в порядок, скромными, приличными. В том и дал нам... честное слово коммуниста. Удовлетворённые, обласканные пониманием и человеческим отношением, мы разошлись по парикмахерским приводить в порядок вихры и чубчики.

На следующее утро... Сам военрук снова встал нам на пути, грудью защищая дверь в раздевалку. Не помогли ссылки на обещание и честное слово парторга школы. Цербер был неумолим и что-то нелесное сказал в адрес нашего кумира. Упомянутый мною товарищ по стрельбе из «Парабеллума» (о дальнейшей судьбе его я также успел обмолвиться) запустил в него подвернувшийся ему под руку лом. Тяжёлый лом, дворник им лёд на тротуаре разбивает... Лом просвистел у самой головы военрука. Он отступил, мы дружно ворвались в свой класс и снова расселись по партам. Но к нам пришёл не «Семён», вошла бледная от гнева директор. Был строг и краток приказ её: «Все — вон. Соломахин из школы изгоняется и на него заводится уголовное дело за попытку убийства. Из школы будет с позором и с волчьим билетом исключён каждый, кто осмелится завтра придти в школу не подстриженным — всё». Директор повернулась и ушла. Это было поражение. Наше? Да, конечно, но и «Семёна»...

Самое интересное: может быть в глубине души все мы на него хотя и обиделись, но зла не затаили. Более того, раздавались восклицания типа: «Бедный Семён! Надо же — и его прижали». Мне и сегодня кажется, что трудно, очень, очень трудно было ему войти в наш класс после этого события. Помню, что встретили его молча. Молча встали, молча сели, молча начали выполнять свои задания... Молчал и наш классный. Лёд между нами со временем растопился: математика в его исполнении оставалась столь же увлекательной, а тут ещё добавилось нечто неожиданное. Семён Исаакович предложил нам послушать после уроков его чтение увлекательного романа об одном из героев гражданской войны...

Оставался почти весь класс, и день за днём, увлекаясь сам, он читал его нам. А потом даже на уроках, жертвуя временем математики, он вдруг начинал расспрашивать нас о самостоятельно прочитанных книгах. Кое-кто старался огорошить его своей исключительностью — количеством и качеством прочитанного. Приятель мой Исаев густым басом сообщил, что читает сейчас «Анти — Дюринг» Энгельса. «Ну и как, — спросил его наш учитель, — нравится?». «Очень! — не смущаясь оттенком издёвки, прозвучавшим в вопросе, воскликнул Исаев с неподдельным энтузиазмом. — Здорово Энгельс пишет! Поневоле захохочешь, читая, как он разделывает этого Дюринга». Потом Исаев признался мне, что прочитал в первой главе несколько страниц, соскучился и бросил.

Зато, когда я в том же году попросил разрешения на классном часе сделать доклад о победе Чичерина и нашей молодой дипломатии в Генуе (я

прочитал об этом в недавно тогда вышедшей «Истории дипломатии») то Семён Исаакович охотно согласился, а во время моего добросовестного пересказа прочитанного сам делал интересные дополнения и замечания, явно, как я теперь понимаю, подготовив себя к участию в столь неожиданной форме «внеклассной работы».

Что можно добавить к рассказанному о Семёне Исааковиче в седьмом классе? Только одно: подружились мы с ним. Стал он своим для всех, кто отзывчиво потянулся навстречу его способности быть во всём неожиданно интересным и человечным. Прежде всего, однако, именно в математике и для математики. Приведу лишь один из бесконечно многих примеров его математической и педагогической одарённости. Простите, но и этот пример из собственного опыта общения с Учителем в его предмете.

Дошли мы, наконец, до стереометрии... Тригонометрия стала средством и методой преображения заданных задачей образов пространственного умозрения. А на пороге уже маячили пределы (lim), бесконечно малые, дифференциалы, интегралы... путь в настоящую математику. Где-то в само начале учебного года, когда мы только познакомились с постулатами геометрии объёмных форм, Семён Исаакович вдруг поставил перед нами необычайное, неправдоподобное условие...

Смысл условия был таков: он раздал всем нам ровно пятьдесят задач по стереометрии, сказав: «Тот, кто решит из них сорок, получит пятёрку за четверть. Кто решит сорок девять — пятёрку за полугодие. И тех и других к доске за зачётные сроки я вызывать не буду. Если только кто сам захочет, то пожалуйста! Кто решит все пятьдесят (то есть, фактически, те из претендующих на пятёрку за полугодие, кто решит последнюю, пятидесятую задачу) — тот получит «пять» за весь год и вообще может не посещать уроки математики. Эту задачу никто не решит, разве только Грецов, Никифоров и Грандберг».

Естественно, что я, чуть ли не с младенчества живший пьянящим волшебством стихов и прозы, сроднившийся с героями Вильгельма Гауфа (до школы), а в первые годы войны — Пушкина и Лермонтова, Чехова и Диккенса, Ромена Роллана и многих других, любимых, математиком стать не мечтал, потому, мягко говоря, не блистал на уроках Семёна Исааковича. Настолько не блистал, что при переходе в восьмой класс, наш классный руководитель имел беседу с моей мамой, настойчиво рекомендуя забрать меня в другую школу, так как он оставляет в своём классе только особо способных к математике, намереваясь учить их всерьёз, готовя к профессиональной работе в данной области культуры. Маме моей как-то удалось уговорить его, и я остался, Как вы понимаете, надежда на то, что я решу хотя бы сорок задач у меня не было никакой. Но Семён Исаакович, ставя нам своё условие, сказал, между прочим взглянув на меня: «Ну а Феликсу и эти первые сорок не по плечу.. .Можешь не стараться». Согласитесь — обидно ведь!

Я и обиделся. Ничего не сказав даже самому близкому другу — Владику Грецову, я стал каждый вечер решать по две-три задачи. Задание такое себе дал. (Забыл сказать, что на решение всех задач нам был отведён ровно месяц. Как раз до конца первой четверти, так что не только у меня — ни у кого в классе не было опыта решения стереометрических задач). К моему удивлению сорок задач я решил довольно быстро: в основе способов их решения было всего два или три алгоритма. Со страхом божьим приступил к последнему десятку...

Тут дело пошло туго. Каждую задачку помногу раз приходилось прокручивать по разным вариантам подхода к ней и чаще всего безуспешно. Только лучше сказать сразу: в конце концов, за день или за два до окончания срока я уверенно решил сорок девять задач из пятидесяти. Весь месяц я ничем иным, кроме этих треклятых задач не интересовался, ни о чём другом не думал. Но к последней решил не подступаться. Я — не гений математики, не Владик Грецов, не Игорь Грандберг, не Арнольд Никифоров... Я ведь и так... не иначе как подвиг совершил. Баста. И всё же, согласитесь, интересно: что в ней, в этой последней, такое — совсем уж неразрешимое? Стал пробовать, благо не малый навык приобрёл сконцентрировано и, как оказалось, вполне продуктивно. Вот вроде бы и путь привычный намечается... Нет, неудача! Снова пытаюсь и снова не то! И так всю ночь до утра... Накануне «дня торжественной порки» я сообщил Владику Грецову, что решил сорок девять задач. Он, естественно, отрицал такую возможность, и мы договорились, что встретимся утром в классе и он быстро проверит мои решения. Не для исправления, конечно же, — для выбраковывания.

Утром последнего для мы, как и договорились, встретились в классе за полчаса до начала уроков. Первым делом я сообщил Владику, что и пятидесятую задачу я тоже решил. Мы тут же забыли о всех прочих. Я стал на доске восстанавливать весь ход решения пятидесятой задачи, Владик следил за каждым его шагом. Доска исписана... Владик: «Да, ты её решил. Но при этом два раза почему-то уходил в сторону, совершая лишние действия и только после них возвращался к верно найденному ходу». Он показал мне эти излишки, но ни я, ни он даже не подумали об их сокращении в отчётной тетради. А тут как раз класс наполняться стал нашими мальчишками... Прошёл к столу Семён Исаакович, я первый положил перед ним тетрадь с решёнными задачами... Он удивлённо посмотрел на меня: чего, мол, торопишься? Владик сказал громко: «Феликс все задачи правильно решил. Я проверил». Гробовая тишина... Семён Исаакович тут же открыл последние страницы моей тетради... Вдруг рассмеялся: «Я того и ждал, что ты разозлишься! Но рассчитывал, честно признаюсь, что ты решишь сорок, от силы сорок пять задач. Ведь пять последних — сверхтяжёлые для вашего брата. А в последней...». И тут он повторил диагноз Владика: ряд

совершенно лишних действий. Обращаясь к классу сказал: «Оказывается у Феликса абсолютные способности к математике!».

Но когда я всего через каких-то четыре года приехал к нему домой и с гордостью сообщил, что теперь и сам преподаю математику в школе, учитель мой стал настойчиво, страстно и убеждённо попросить меня немедленно бросить это дело. «Ты — не математик, нечего тебе детей калечить! Может быть в одном, хотя бы в одном из многих твоих седьмых есть талантливый мальчик... Ты своей «математикой» его непременно погубишь!».

Всё сказанное — не обо мне, хотя мои переживания и поступки вроде бы пытаются оттеснить главное в этом эпизоде. Но всё в нём — о Учителе. Что не требует никаких пояснений и объяснений: любой читатель, математик тем более, увидит в нём каким педагогом, каким учителем и каким воспитателем был для нас и для сотен последовавших за нами его учеников!

И каким другом — хочу добавить!

Сейчас перед внутренним взором моим сцена за сценой проходят события, к которым хочется вернуться, заговорив о них во весь голос.

Но так ведь целая книга получится. Становясь на горло собственной песне (цитировать Маяковского — так в каждой строчке!), приведу лишь два примера: один смешной, другой... другой тяжёлый, трудный для меня, до сердечной боли и невольных слёз трудный. Но и этот эпизод столь характерен для моего Учителя, что обойти его не смогу.

Итак, эпизод весёлый. Два последних года наша мужская школа и одна из женских школ нашего района подружились. Совместные вечера отдыха, самодеятельность (естественно — художественная), поездки на пароходиках по каналу и водохранилищам, спортивные соревнования и т.д., и т.п. Семён Исаакович и на пароходиках плавал, и во всех других совместных делах наших принимал самое горячее участие. Вот и в этот раз все сюрпризы мы готовили вместе с ним...

Учитель наш жил с мамой и сестрой на первом этаже школы, в квартире, по проекту строителей предназначавшейся её возможному директору. Все планы будущих событий тут и намечались, и обсуждались, и готовились. В этот раз мы вместе с ним задумали переодеть Игоря Грандберга в девочку... Мне было поручено ввести его (ее) в качестве моей подружки в наше смешенное высшее общество, которое должно было собраться к началу бала в верхнем актовом зале. Где-то (возможно, что у сестёр, не входящих в избранный круг) раздобыли мы все детали женского туалета, раздели Игоря и заново нарядили его, начиная с бюстгальтера, набитого ватой. Выглядел Игорь великолепно. «Ножки-то, ножки у меня!» — восклицал он, явно довольный своей женской ипостасью. Семён Исаакович живо, увлечённо участвовал в забаве, обнаруживая более подробное и тщатель-

ное знакомство с тонкостями женского туалета, чем наше, надо признаться, ограниченное тогда чисто внешними аксессуарами.

А как серьёзно хмурился он потом в зале, показательно негодуя, глядя на моё, достаточно вольное, обращение с моей новой подружкой. Зато как сразу и как восторженно захлопал в ладоши, когда во время нашего танца моя подружка в ответ на мою нахальную попытку её поцеловать закатила мне звонкую на весь зал и отнюдь не театральную пощёчину. Она разъярённая, вырвалась из моих объятий, и лишь после долгих извинений моих и уговоров (вокруг нас сгрудились все ребята и девчата) снисходительно согласилась на то, чтобы я проводил её до выхода из школы...

В нашей игре не было сценария, каждый шаг каждого действия рождался по наитию, но шуму моя «безобразная выходка» наделала много. Пока Игорь внизу переодевался, Семёну Исааковичу пришлось убеждать учительницу математики дружеской нам женской школы, что Феликс Михайлов не сошёл с ума, что он не негодяй и не вконец испорченный юноша. Так же и девочки наши, когда я предъявил им Игоря в мужском обличий, верить в это просто не захотели. Уж очень интересным вышел скандал в благородном семействе. Забавно было сыграно, согласитесь! И всё это при художественным и костюмерном руководстве математика С.И. Щварцбурда. Но и на нравы тех времён обратите внимание... А наш Семён Исаакович вскоре после этого женился. И женился он на учительнице математики той самой дружественной нам женской школы...

Теперь последнее.

Я уже успел сказать, что наше расставание со школой и с Семёном Исааковичем было тяжёлым... Прошу прощения, но не могу найти и не ищу слов. Скажу просто: в первый день экзаменов на аттестат зрелости мы — Владик Грецов, я и наши подруги — Дина Борисова и Нана Демурова11, решили отдохнуть от пережитых волнений в парке Измайлова. В нашем, как мы всегда говорили, парке. Чёрт дёрнул нас вместо парка пойти к Оленьему пруду... На крутом берегу пруда из кустов на нас вышли два типа. Один из них был с пистолетом. Девушки просто прошли вперёд...Нас остановили просьбой прикурить (мы не курили). Раздеваться и отдать часы мы отказались. Раздался выстрел, Владик, не сгибаясь, всем телом тяжело ударился о землю. Выстрелы в меня и так же почти в упор — почему-то мимо... Недалеко, в пределах прямой видимости обнаружил себя милиционер. Он на шоссе беседовал с девушкой. Побежал к нам с наганом в руке. Бандиты скрылись... Владику пуля пробила сердце.

Это убийство наделало много шума в Москве... Убийц нашли, судили. Это было позже. А пока в нашем классе продолжались экзамены. В день последний мы, получив аттестаты, пришли на выпускной вечер... В школьной столовой накрыты столы. Родители постарались: отметить

окончание школы было чем. Вина было много, но водка, естественно, исключалась. Семён Исаакович сидел во главе главного стола далеко от меня, праздника не ощущавшего, измотанного многосуточной бессонницей... Вдруг ко мне подошёл с бутылкой водки в одной руке и с уже полным стаканом в другой наш с Владиком «третий мушкетёр» (так нас иногда называли) — Коля Фролов. «Пойдём к Семёну!» — приказал и до краёв наполнил водкой мой стакан. Мимо столов, мимо замолчавших вдруг одноклассников прошли мы к нашему классному руководителю, давно уже ставшему для нас другом. «В память Владика!» — только и сказал Коля. Семён Исаакович встал, опираясь на свои костыли, сам налил себе полный стакан водки, мы не чокаясь одновременно выпили.12

Так и ушли мы, как говорится, во взрослую жизнь. Только ведь жизнь ребят нашего поколения изначально не была беззаботно юной. И если бы не наш «Семён» (так в грубоватом общении друг с другом, но про себя всегда — Семён Исаакович!), то ещё неизвестно, какой из двух кланов-полюсов победил бы в нашем классе: уличный военного времени или духовно трудящийся и живущий.

И совсем последнее:

Свой первый философский реферат (при поступлении в аспирантуру) я до представления его комиссии привёз Семёну Исааковичу. Тогда он жил ещё в школе... Он его весьма толково покритиковал. Когда у меня родилась дочка, то и её не мог не представить ему. И когда мы оба оказались причастны к Академии педагогических наук СССР — он как её член-корреспондент, я как завлаб Психологического института, то и тогда ряд общих проблем мы снова решали за столом. Правда, у него дома — лишь однажды. А жил он тогда с семьёй — женой и почти взрослой дочерью, уже в Измайлово, на одной из Парковых улиц...

Примечания.

1 Настоящих чернильниц у нас вообще не было. Их заменили металлические колпачки от взрывателей (бомбовых или минных — этого, естественно, не помню). Их целый мешок с благословения отца принёс в школу с его военного завода (отец работал мастером цеха). Они точно подошли к круглым отверстиям в столешнице парт, предназначенных для стандартных керамических чернильниц.

2 Летом на колхозном поле, где мы каждый год помогали собирать урожай, я увидел его впервые обнажённым до пояса. Со спины его можно было принять за молодого атлета. А однажды, когда на наш бал в Доме пионеров пыталась прорваться толпа приблатнённых героев улицы, он один вышел ей навстречу с гитарой в руках... От гитары мало что осталось, но и враг наш был разбит на голову.

3 На одном из таких праздников танца меня пригласила на танго видная, очень красивая девушка — Ангелина. Проникшие на бал парнишки в низких сапожках, пиджачках и с «фиксами» (очень похожие на «Промокашку» из фильма «Место

встречи изменить нельзя») во время танца не раз намекали мне, угрожая: оставь Ангелину. Но мы, естественно, продолжали танцевать. В привычной темноте московской ночи ударом по затылку они сбросили меня со ступенек крутой лестницы... Лежачего с усердием стали бить ногами... Отбили меня наши девочки-гимнастки. А Ангелину летом в Измайлове те же или такие же подонки изнасиловали и убили... Это я рассказал не о себе — о том времени.

4 Один из самых «влиятельных» — некто Мызя, затерявшийся вскоре на тюремных дорогах.

5 Эти «финки» я отлично помню, хотя у меня нож был другой — боевой, «выскакивающий» из рукоятки, если нажать на выступ у её вершины. Эти ножи для армии делали на том заводе, среди цехов которого в бывшей конторе моя семья прожила тридцать три года с года 1930-го.

6 Безмерно я был удивлён, когда моя жена, в 60-е годы лишь по университету знавшая профессора И.И. Грандберга, тоже называла его... «Кроликом».

7 21 мая 1948 года газета «Известия» в статье, посвященной выпускникам школы этого года, рассказала о нём как о будущем выдающемся математике... Только будущее его оборвалось накануне: Владислав Грецов в день первого экзамена на аттестат зрелости 20 мая в 20 часов 20 минут был застрелен бандитами на Оленьем пруду в Измайлове.

8 Не даром и во все последовавшие за тем временем годы он не раз занимал первые места в городских и более «высоких» лыжных соревнованиях. Странно, что вполне заслуженное им ещё одно прозвище — «Чемпион», не закрепилось за ним также надолго, как бессмысленный «Кролик».

9 Собственно, именно в этом и заключалась, этим и исчерпывалась суть его дела. Так было, так есть и так с необходимостью будет до тех пор, пока гражданские инициативы на будут «снизу» оформляться в деловые структуры земского типа, где деловые люди вместе со своими со-труд-никами в деле управляют делом, разрешая по-деловому постоянно возникающие задачи.

10 Не могу удержаться от реминисценции из будущего. Несколько лет спустя, а именно в 1952 году я преподавал в средней школе №374 (Сокольнический район) математику в седьмых классах (их было шесть), психологию — в девятых, логику — в десятых. Как-то вечером в вестибюле метро Сокольники я увидел своего ученика из девятого «А» — Крючковича. Он в длиннополом пальто с красивым поясом беседовал, мило улыбаясь, с молодой, но по виду взрослой, возможно, даже замужней женщиной. Увидев меня, он, смутившись на долю секунды, небрежно кивнул мне как знакомому и отвернулся. На следующий день на уроке извинился: «Ф.Т., простите меня, пожалуйста, но и поймите: я, можно сказать, усердно ухаживаю за женщиной, считающей меня солидным человеком, а тут вдруг вы. Ещё подойдёте и спросите, подготовил ли я урок по психологии». Ну и посмеялись мы вместе.

11 Сегодня — Нина Михайловна, профессор, доктор филологии, переводчик «Алисы» Льюиса Кэрролла.

12 Кстати, в те краткие минуты убийства он случайно оказался на шоссе рядом с милиционером. Когда меня и девушек увезли в милицию, он прибежал к моей маме и сообщил ей: «Феликса и Владика убили». Почему и меня? — Не знаю. Думаю, что ни за слова, ни за чувства свои он в этот момент не отвечал.

Ю.О. Головин

Александр Кисунько

Кисунько Александр Григорьевич родился в Ленинграде 19 марта 1947 года. В конце 40-х годов семья переехала в Москву. Ещё с детства он увлекался математикой. Рассказывают, что вместо обучения игре на баяне родители заставали его, с удовольствием читающего учебник по алгебре. В седьмом классе он поступил в школу №7 , где под руководством Н.Н.Константинова набирались математические классы. Окончив с отличием школу, Кисунько А.Г. поступил на механико-математический факультет МГУ им. Ломоносова. Студентом он занимался алгебраической геометрией и аналитической теорией чисел. На четвёртом курсе он самостоятельно занялся изучением дзета-функций. Удивительно, но более чем через 30 лет Кисунько А.Г. было суждено защитить кандидатскую именно на эту тему. В студенческие годы его научным руководителем был Манин Ю.И. Позже, в аспирантуре, его научными руководителями были И.И. Пятецкий-Шапиро и Ю.И Манин. Но жизнь сложилась таким образом, что кандидатская диссертация, написанная в аспирантские годы, осталась лежать в столе, а в 1999 году Александр Григорьевич стал кандидатом физ.-мат. наук без отрыва от работы и по другой тематике. Диссертация называлась "Дзета-функции и их приложение к решению некоторых задач математической физики", а научным руководителем был Вшивцев А.С.

В 1972 году Александр Григорьевич пришёл работать в МИРЭА. Здесь же начал развиваться его педагогический талант. Он много занимался подготовкой одаренных студентов к участию в олимпиадах. Это были годы, когда студенческая команда МИРЭА постоянно занимала 1-е место по Москве в своей группе. Он стоял у истоков преподавания математики в физико-математической школе МИРЭА. В дальнейшем Александр Григорьевич стал ее директором, и все свои силы отдавал на развитие этой школы и подбор новых педагогических кадров для работы в ней. Он являлся одним из организаторов секции математики первой региональной научно-практической конференции «Профессиональная ориентация и методика преподавания в системе школа-вуз», прошедшей в 2000 году в МИРЭА. В дальнейшем (2001—2002 г.), он уже самостоятельно организовывал работу секции математики. В 2001 году Александр

Григорьевич был включён в состав комиссии при министерстве образования.

Александр Григорьевич проработал в МИРЭА более 30-ти лет, из них последние 10 лет он являлся автором задач по математике для вступительных экзаменов в МИРЭА. Сборники с этими задачами регулярно публиковались в МИРЭА. Всего же Александр Григорьевич опубликовал более 110 статей и учебно-методических пособий. Самая значительная из опубликованных его педагогических работ — это учебное пособие «Алгебраические уравнения», вышедшая в издательстве МИРЭА в 2002 году.

Это был поразительно разносторонне развитый человек. В круг его интересов в разные годы входили психология, философия, литература. Он писал стихи, хотя в последнее время почти этим не занимался. Он говорил, что этот дар у него трансформировался в дар придумывание задач, которых он за последние 10 лет придумал тысячи. Можно с уверенностью утверждать, что и творческий и общественный расцвет этого человека был ещё впереди. Но скоропостижная смерть оборвала жизнь Александра Григорьевича. Осталась незавершённой почти полностью написанная докторская диссертация по педагогике. В планах была защита диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

Когда такие люди уходят от нас, поневоле становится очень грустно. Возникает чувство острой несправедливости, которое не проходит, а лишь несколько притупляется со временем. Хочется спросить «ну, почему»? Конечно, ответить на этот вопрос невозможно. Можно лишь благодарить судьбу за то, что нам посчастливилось общаться с этим человеком, узнать его и полюбить.

А.Г. Мякишев

Андрей Бучин

С Андреем я познакомился в конце 70-ых — мы тогда оба только поступили в МГУ, на мехмат, и учились на одном курсе.

Мы подружились, и с тех пор общались постоянно — вплоть до сентября 1998 г., когда жизнь Андрея трагически оборвалась.

Конечно, невозможно вместить в несколько фраз все воспоминания, оставшиеся после почти 20-летнего знакомства. Поэтому мне здесь придется ограничиться лишь некоторыми.

1. Главное, по-видимому, заключается в том, что Андрей имел ярко выраженное математическое дарование. Это обнаружилось еще в школьные годы — он неоднократно становился призером Московских Математических Олимпиад. И учеба в Университете давалась Андрею легко, быть может, слишком легко. Он был способен вникнуть в суть того или иного курса без видимого напряжения за пару дней, и затем на экзамене получить — совершенно справедливо — отличную отметку.

Немало примеров, свидетельствующих о глубине, яркости и быстроте мышления Андрея мог бы, наверное, привести его научный руководитель на старших курсах, а потом и в аспирантуре, В.П. Паламодов.

Мне врезался в память один такой эпизод, правда, к высшей математике отношения не имеющий, но к математике вообще — несомненно.

Однажды, играя в забавную компьютерную игрушку «Братья Пилоты», мой (тогда 8-летний) сын пожаловался, что никак не может одолеть следующую головоломку (привожу далее ее математическую формулировку — в оригинале речь шла о сейфе с ручками, которые все надо привести в одинаковое положение):

Имеется матрица 4×4, составленная из нулей и единиц. Выбрав («нажав») элемент, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, мы этим действием меняем нули на единицы и наоборот в этих строке и столбце. Нужно добиться того, чтобы, независимо от начальной расстановки цифр, матрица оказалась состоящая из одних только нулей. Я обещал подумать, а сам отправился прогуляться вместе с Андреем в «Парк Дружбы», что расположен близь метро «Речной вокзал» (это было излюбленное наше место), где и поделился с ним возникшей проблемой. Андрею потребовалось около минуты, чтобы найти решение.

Оказывается, выбрав произвольно элемент в i-ой строке и j-ом столбце, а потом «нажимая» на все элементы, стоящие в строке и столбце, по одному разу, мы добьемся того, что все элементы таблицы

останутся неизменными, и лишь выбранный нами с самого начала элемент изменится на противоположный.

2. Да, Андрей имел все необходимые задатки, чтобы вырасти в крепкого профессионального математика.

Увы, этого не случилось.

Булгаковский Воланд заметил как-то: «...что-то, воля ваша, недоброе таится в мужчинах, избегающих вина, игр, общества прелестных женщин, застольной беседы.»

К сожалению, Андрей в этом смысле был чересчур нормальным мужчиной — и зачастую в ущерб собственной научной деятельности.

Я прекрасно понимаю, что об иных вещах судить и дурно и глупо, но все же никак не могу отделаться от тяжкой мысли, а что, если страшная болезнь (меланома с метастазами в мозг), убившая Андрея — мстила ему за то, что он не сумел реализовать и раскрыть вполне свой дар.

3. Около 15-ти лет Андрей проработал в Лицее №1511 при МИФИ.

Он, безусловно, был хорошим учителем. В этой профессии он неукоснительно следовал трем принципам (не знаю вот только, можно ли их называть «методическими»):

глубокое знание и понимание предмета на творческом уровне; сильное и искреннее желание приобщить школьника именно к математике (что никак не сводится целиком к зазубриванию тех или иных формул);

стремление не унижать никогда человеческое достоинство — как учеников, так и свое собственное; Круг его знакомств хотя и был достаточно широк, однако при этом Андрей как-то ухитрялся практически не пересекаться со всякого рода «командно-административными», да и вообще с разными пустыми и неумными, людьми.

4. Последние два месяца жизни оказались мучительны. Андрей не мог самостоятельно передвигаться, его терзали постоянные головные боли. Он знал, что скоро умрет. Нас, его друзей, восхищали и поражали те воистину христианские стойкость и мужество, с которыми переносил он обрушившийся на него кошмар. (Не могу забыть, как Андрей, стараясь нас ободрить, с трудом — говорить ему было тяжело — произносит известную с детства из некогда популярной книжки фразу: — Мы еще помашем шашкой, старик Яков!)

... За несколько дней до смерти Андрей, странно улыбнувшись, неожиданно сказал: «Интересно, а там — возможна ли математика? Смогу ли я заниматься ею?»

О.Н. Шапарина

ФМШ №2007

Учитель истории в начале века.

Уровень школьного образования определяет учитель. В дореволюционной школе (март 1901 — февраль 1917 гг.) не хватало преподавателей. Каким было их материальное и юридическое положение?

На учительскую должность (в штат) гимназии можно было попасть только после окончания стажировки, которая длилась от четырех месяцев до года. Педагог, закончивший высшее учебное заведение за казенный счет, обязан был проработать в гимназии от года до шести лет.1 Воспитанники историко-филологических институтов, получавшие казенные стипендии, обязывались прослужить не менее 6 лет в ведомстве Министерства народного просвещения по назначению министра. Но эти обязательства не выполнялись. Об этом говорилось в «Правительственном распоряжении по вопросу о перемещении и увольнении преподавателей, окончивших курс в историко-филологических институтах» от 2 июля 1911 года. В документе отмечалось, что попечители учебных округов различно относились к вопросу об обязательности службы и поэтому, либо увольняли «институтцев» в отставку для перехода на службу в другие ведомства до окончания их срока обязательной службы, либо не разрешали им переход в другие округа на лучшие места.

Иногда имела место и следующая практика. Попечитель учебного округа мог направить в гимназию учителя-стажера сверх штата; ему давали нагрузку не менее 6 часов в неделю, но без жалованья. Если у гимназии были средства, ему могли заплатить за работу. Если такой учитель-стажер показывал себя с лучшей стороны, его при наличии вакансии, зачисляли в штат. В таком случае предыдущую работу зачисляли в выслугу (стаж).2

Учителям разрешалось вести несколько предметов (например, историю и географию). Практика совмещения преподавания предметов в основном и имела место.

При поступлении на службу необходимо было принести присягу на верность службе. При этом подписывался присяжный лист, который хранился в Сенате.

Каждый год директора гимназий отправляли попечителю сведения о преподавателях. В них указывалось на методику ведения урока данным преподавателем, взгляды учителя, реакцию его на замечания со стороны школьной администрации. Приведу примеры некоторых из них: 1) «Историю преподает в 3 и 8-м классах Сокольский. В течение трехлетней педагогической деятельности Сокольский в достаточной степени освоился с

приемами и методами преподавания, обладает хорошим знанием предмета и аккуратно подготовляясь к урокам, ведет их по заранее обдуманному плану. К делу относится с большим усердием, начинает приобретать уменье поддерживать дисциплину и внимание класса, хотя и до сих пор еще иногда уделяет слишком много времени на спрашивание отдельных учеников. При изложении исторических событий не увлекается новейшими теориями и течениями, в своих объяснениях стоит на объективной почве, стараясь воспитывать своих учеников в национальном духе; особенно это сказывается в речи, произнесенной им 28 марта по поводу исполнившегося в январе сего года 300-летия славной обороны Троицко-Сергиевской лавры.» (Директор Вяземской императора Александра III гимназии 4 мая 1910 г. его превосходительству Попечителю Московского учебного округа)3 2) «Преподаватель истории Захаров А.В. — отличается большими научными познаниями, следит за литературой предмета, выработал определенные взгляды на исторические события применительно к современному состоянию исторической науки. Объяснения его всегда дельны и интересны, но в требованиям к учащимся этот преподаватель излишне снисходителен, почему не достигает тех результатов, каких следовало бы ожидать по всем научным средствам его и усердию к учебному делу. Благодаря делаемым ему указаниям на этот счет, за последнее время Захаров стал более предъявлять требований к учащимся, и оценка знаний их приближается к нормальной. Дисциплина на уроках Захарова не всегда поддерживается благодаря недостатку энергии у него и слабохарактерности. Особенного влияния на учеников он не имеет. Ко всем советам и указаниям Захаров относится благожелательно». (Директор Владимирской гимназии 26 апреля 1910 г. его превосходительству Господину Попечителю Московского учебного округа)4

Характеристики педагогов отражены не только в отчетах директоров средних учебных заведений, но и в воспоминаниях гимназистов. Так, Н.М. Дружинин в «Воспоминаниях о Московской 5-ой гимназии» пишет: «Третьим выдающимся педагогом, который недолго, года два, преподавал нам историю, был Я.Я. Барсков. Умный и талантливый ученик В.О. Ключевского и П.Г. Виноградова, знаток русского масонства, сочинений Новикова и Радищева, он принадлежал к передовой плеяде московских учителей, убежденных последователей социологического метода. Четвертой незаурядной фигурой в сонме наших учителей был Н.Г. Тарасов, но это была двойственная и своеобразная натура, он был тоже учеником В.О. Ключевского и П.Г. Виноградова, однокашником А.А. Кизеветтера, М.М. Богословского и H.А. Рожкова. Из Университета он вынес сочувствующий интерес к историческому материализму и методике преподавания истории, но он был заражен духом чиновного карьеризма».5

В целом в гимназиях был недостаток преподавателей по истории. Открывались новые учебные заведения и курсы для подготовки учителей.

Касаясь правового положения учителей средней школы, в одной из статей журнала «Русский учитель» за 1912 год отмечалось, что учитель гимназии во всех отношениях — как чиновник, как человек, как член известной корпорации, как представитель знания и воспитатель, отовсюду был опутан законами, разъяснениями, циркулярами, предписаниями и добровольческим сыском. Помимо этого учебная администрация вторгалась во вне служебные отношения педагогов. Так, например, существовали очень суровые предписания, ограничивающие празднование юбилеев. На это нужно было соответствующее разрешение. Также было разработано положение о ношении форменной одежды, которое представляло собой целую конституцию в 30 параграфов с таким же числом примечаний.6 В мужских гимназиях существовал контроль за временем прихода учителя на первый урок. Директора в годовых отчетах по гимназии указывали кто, когда и насколько опоздал на урок. Например, в отчете Московской 10-й гимназии за 1903 год указывается, что учитель истории С.П. Моравский опоздал «14 октября на 15 минут, 16 октября на 10 минут, 28 октября на 15 минут, 4 ноября на 20 минут, 6 ноября на 20 минут, 13 ноября на 20 минут, и 18 ноября на 23 минуты».7

Учебная администрация выступала и против участия педагогов в политической жизни страны. По ее мнению: «Против этого следует бороться всеми силами, развить максимальную энергию, организуя все житейски доступные пути, долженствующие сохранить учителя на стезе целомудрия, смиренномудрия, терпения и любви».8

Заработная плата преподавателей, зачисленных в штат, включала жалованье (за 12 уроков), плату за дополнительные уроки (если учитель имел больше 12 уроков), плату за классное руководство, дополнительное жалованье. Иногда штатные учителя занимали должности секретарей Педагогического совета и библиотекарей гимназий — за эту работу они также получали деньги. Преподаватели, не входящие в штат, так называемые учителя «из платы по найму», получали плату за уроки, дополнительное жалованье и плату за работу секретарем Педагогического совета (если они брались за эту работу). На 1903 год по гимназиям и реальным училищам размер увеличения штатного оклада в зависимости от числа лет службы колебался от 90 рублей до 360 рублей в год. Помимо этого за дополнительные уроки увеличивалось поурочное вознаграждение. В общем, прибавка преподавателям в гимназиях составляла от 12 до 20% их прежнего содержания.9 Анализ данных о распределении заработной платы10 на 1910 год учителей истории Московского учебного округа приводит к выводу о том, что штатные преподаватели зарабатывали от 1150 руб. до 2810 руб. в

год или от 96 до 234 руб. в месяц (исключая директоров и инспекторов, преподававших историю — их заработок был выше), зарплата зависела от нагрузки (количество уроков колебалось от 12 до 31 часа в неделю). Жалованье за 12 часов (или оклад) составлял 750 руб., 900 руб. — для тех, кто отработал 5 лет в одной должности по ведомству Министерства народного просвещения и 1250 руб. — для работающих учителей-пенсионеров. Учителя из платы по найму получали за свою работу от 210 до 1190 руб. в год или от 17 руб. 5 коп. до 99 руб. 20 коп. в месяц, это также зависело от нагрузки (от 3 до 12 часов). Таким образом, при достаточно большой нагрузке преподаватели, входящие в штат гимназии относились к категории среднеобеспеченных граждан. На эту зарплату можно было жить с семьей, иметь хорошую квартиру с прислугой, учить детей, ходить в театры, покупать книги и прочее.11 Сложнее было положение учителей по найму. Вот как оценивалась экономическая зависимость преподавателей гимназии в журнале «Русский учитель» за 1912 год: «Юридически и материально несколько привилегированное положение как будто занимает так называемый штатный преподаватель: он имеет 12 обязательных недельных уроков. Но уроки сверх этой нормы он может иметь лишь тогда, когда его ценит непосредственное начальство, например, директор. Начальство их дает, оно же вправе их отнять, когда, по его представлению, того требует «польза дела». При этом не застрахована от внезапной потери как раз большая часть уроков, т.е. 18 (30—12) из 30 недельных часов, составляющих минимум нагрузки для преподавателя. Нечего говорить, что положение, так называемого, вольнонаемного преподавателя, еще хуже. Не имея даже вышеупомянутых 12 уроков, лучше оплачиваемых и совершенно забронированных от начальнического усмотрения, он от этого не только терпит материальный ущерб, но не в меру действительной величины последнего, лишается всякой служебной неприкосновенности перед лицом своего директора. С нештатным преподавателем можно отложить всякие церемонии. Итак, количество уроков, которое дает преподаватель, может подвергаться очень резким колебаниям, отражающимся на величине его заработка. Формы управления власти бывают разные. Самая обычная — письменное извещение в каникулярное летнее время, что с наступлением нового учебного года адресат может свободно располагать своим временем, так как его уроки переданы другому лицу. Возможен и более грубый способ: директор вывешивает во всеобщее сведение список фамилий преподавателей, с обозначением количества уроков, которое с осени будет предоставлено каждому из них. Кто не угоден директору, просто не находит своей фамилии в списке».12 Итак, нехватку педагогического персонала в гимназиях можно скорее объяснить не низкой заработной платой, а произволом учебной администрации. Хотя и для того, чтобы получать достойную зарплату надо

было иметь большую нагрузку. Если бы нагрузка была уменьшена, но хорошо оплачивалась, это давало бы преподавателю возможность подготовки к классной работе, возможность следить за педагогической и научной литературой, уделять больше внимания внеклассной работе13, но уменьшение числа недельных уроков было невозможно из-за нехватки кадров.

В начале XX века наравне с проектами реформирования учебной системы России, Министерство народного просвещения отдельно рассматривало вопрос подготовки учителей. Разделение научного и педагогического образования не давало комплексной подготовки: педагогические курсы и институты давали педагогическую подготовку, но не расширяли научную. Увеличение количества учебных заведений для подготовки преподавателей, привело к росту учителей-предметников в гимназиях. Но, тем не менее, учителям приходилось совмещать преподавание двух предметов, например, истории и географии, а это увеличивало недельную часовую нагрузку. Экономическое и правовое положение учителей во многом зависело от учебной администрации.

1 См.: Флит Н.В. Школа в России в конце XIX — начала XX в.: Государственные и частные гимназии, прогимназии, домашнее обучение, экстернат. — Л., 1991. С.7.

2 Там же. С.8—10.

3 ЦИАМ. Ф.459. 0.3. Д.5388. Л.7.

4 Там же. Л.39.

5 Дружинин Н.М. Избранные труды. М.,1990. Кн.4. С. 132.

6 Золотарев С. Правовое положение учителей средних школ// Русский учитель. 1912. №1. C10.

7 ЦИАМ. Ф.459. 0.3. Д.3869. Л.103.

8 О «политике» и циркулярной литературе// Вестник учителей. 1906. №1. С. 19.

9 Прибавка к жалованию учащим в учебных заведениях Министерства Народного Просвещения// Вестник воспитания. 1903. №9. С. 125.

10 ЦИАМ. Ф.371.О.1. Д.609; Ф.459.О.3. Д.5655,5656,5657,5659.

11 См.: Новейшая история Отечества. XX век. Т.1./ Под ред. А.Ф. Киселева, Э.М. Щагина. — М., 1998. С.34.

12 Лютш А. Экономическая зависимость преподавателей в казенных и частных учебных заведениях// Русский учитель. 1912. №2. С. 105—107.

13 ЦИАМ. Ф.459. О.3. Д.7882. Л.16

В.А. Колосов

СУНЦ МГУ

Одна пятая или одна девятая?

В замечательной антиутопии Олдаса Хаксли «А brave new world» рассказывается история будущего человечества, которое методом проб и ошибок на протяжении тысячелетий пришло к четко выдерживаемой пропорции между интеллектуальной элитой и основной массой населения: один к девяти. Эту элиту, как и прочие касты общества будущего, выращивают в инкубаторах, четко выдерживая наилучшие пропорции.

“Brave new world” отличается удивительно реалистическим взглядом на общественные явления. В этом отношении О. Хаксли (выпускник британских привилегированных учебных заведений) на голову выше других авторов великих антиутопий. Можно сказать, что если не конкретные выводы, к которым пришел автор, то развиваемые в этой книге представления о структуре общества имеют непреходящее значение.

Одна девятая часть населения часть населения — пропорция, характерная для стабильных обществ. Россияне в этом отношении выделяются среди других европейских народов. Исследования интеллекта старших школьников, показывают, с одной стороны, приблизительный паритет среди европейских народов, включая россиян, с другой стороны, они выявили удивительную неравномерность в развитии интеллекта среди россиян. Паритет с другими европейскими народами обеспечивается за счет замечательных достижений приблизительно одной пятой части испытуемых. Это — удивительный факт, из которого можно вывести очень многое, в частности, пути развития российской образовательной системы, о чем и пойдет речь в этой заметке.

Сам по себе этот факт не вызывает недоверия, опытные учителя из обычных школ могут его подтвердить: семь-восемь человек из обычного российского класса составляют основное его интеллектуальное богатство. Как сама советская образовательная система, так и ее уничтожение ориентированы на нереализованность интеллектуального потенциала нашей страны. Количество физматшкол и физматклассов соответствует как раз классической пропорции — один к девяти, половина будущих талантов так и не получает доступа к качественному образованию.

Увеличение в два-три раза количества качественных физматшкол в нашей стране дало бы новое качество российской образовательной систе-

ме. Это была бы массовая, а не элитарная школа. Имело бы смысл еще усилить ее, переведя нынешний первый курс технических университетов в старшее звено физматшкол (10, 11 и 12 классы), благо, что жизнь давно уже вынудила многих преподавателей университетов преподавать в физматшколах.

Опыт советских и российских физматшкол показал, что именно эти учебные заведения давали истинную российскую элиту. Тут возникает резонный вопрос: к чему может привести увеличение интеллектуальной элиты в обществе в два-три раза?

За примерами далеко ходить не надо: в начале 19 века только что образовавшаяся российская интеллектуальная элита очень быстро пришла к мысли об уничтожении государства, то есть собственной опоры в этом мире (российское общество всегда было гораздо слабее российского государства во всем, включая нахождение лучших стратегий развития). Это — закономерный этап развития интеллектуалов — попытка самоуничтожения. Нас должно утешать то, что за этим этапом есть много других, гораздо более продуктивных и пристойных.

Последний пример не случаен. Поясним его при помощи аналогий из другой сферы — из биологии. Точной аналогией общества с гипертрофированной интеллектуальной элитой в биологии служит раковая опухоль. Биологической особенностью раковых клеток служит чрезмерное увеличение ядра клетки (так сказать, мозга клетки) — с одной двадцатой части клетки у здоровых клеток до одной пятой части — у раковых клеток. Люди, изучавшие рак, пришли к интересным выводам насчет целеполагания у раковой опухоли как целого: если сопоставить все факты, о действиях этого образования, то можно сказать, что главной целью существования раковой опухоли служит самоубийство, так что слова «путь самурая — это смерть» можно отнести к элите не только социального уровня, но и биологического уровня тоже: доведя организм до необратимых последствий, раковая опухоль умирает (своеобразное харакири за несколько дней до смерти организма!). Эта аналогия наводит на мысль, что стоит сильно задуматься о путях реформации образовательной системы.

Попросту говоря, необходимо найти сферу деятельности для двух-трех десятков миллионов человек, иначе они переключатся на уничтожение российского мира. Внутри России невозможно найти работу для такого количества качественных специалистов — в условиях арктического климата невозможно развивать конкурентоспособную на мировом рынке экономику (в других местах земли с аналогичным российскому климатом плотность населения в десять раз меньше). Выбор одной пятой части насе-

ления в качестве интеллектуальной элиты, что соответствует естественной для России норме, означает экономику, ориентированную на оказание услуг на мировом рынке (а не на продажу природных ресурсов, как это практиковалось последние полвека).

Нарождающаяся ныне прослойка профессионалов нуждается в очень многих вещах, которых в России нет и никогда не было. Нужны традиции сословия профессионалов (причем не только интеллектуалов), нужна цель для его существования, не говоря уж о том, что нужна возможность для зарабатывания (а не перераспределения, как это принято в России) денег. Последняя материальная проблема решаема. Хорошим примером служит индийский вариант организации прослойки профессионалов в обществе — там организована масса филиалов крупнейших компьютерных фирм, в индии пишется огромная доля от мирового программного продукта. Россия вполне может осуществить такое же продвижение на рынке мировых интеллектуальных услуг. Что же касается первых дух условий, то здесь мы тягаться с индийской культурой и традицией не в состоянии.

Попытка придумать что-нибудь свое в этой сфере бессмысленна — западное научное сообщество потому так хорошо организованно, что его традиции продолжаются со средних веков. На пустом месте ничего значительного не построишь, нужно перенимать европейские традиции организации цехов профессионалов.

Эту работу нужно начинать со старших классов физматшкол. Можно сказать, что она уже ведется: интеллектуальные соревнования между учащимися лучших физматшкол уже стали традицией, которая закладывает фундамент для социальных отношений как внутри школ, так и между школами. Имеются организации выпускников лучших физматшкол, которые начинают играть все большую роль внутри нарождающейся прослойки профессионалов.

Если число хороших физматшкол увеличить в два-три раза и сохранить при этом их социальный микроклимат (то есть строить новые физматшколы по образцу старых), то получиться обратное воздействие массы новых людей на традиционную организацию физматшкольной жизни. Нам кажется, что в целом это воздействие будет благотворным. До сих пор физматшкольная среда живет во многом стереотипами, оставшимися с советских времен, восприятием мира, характерного для советской элиты. Главным недостатком этого восприятия мира является ориентация на внешние эффекты (то есть не в самом деле что-нибудь хорошо знать, а победить на олимпиаде или еще как-нибудь зарекомендовать себя в глазах окружающих). Масса новых людей поможет избавиться от этого.

Главным итогом такого увеличения доли хорошо образованных и приученных к систематическому труду людей будет организация социального слоя профессионалов в России. Если к тому времени сложится какая-нибудь стабильная политическая система в России, то этот слой сможет создать и политические организации, выражающие его интересы (пока что на эту роль может претендовать лишь партия «Яблоко»). Однако создание политических структур не очень существенно — для выражения интересов слоя профессионалов вполне можно использовать организациям выпускников технических университетов, которые пока не имеют такого значения как сообщества выпускников элитных школ. Можно сказать, что увеличение роли общества в нашей стране может проявиться как раз через организации выпускников престижных учебных заведений научно-технического профиля.

Укрепление слоя специалистов в России означает укрепление самой страны. В 60—70-е годы в Советском Союзе произошла «революция начальников», которые не захотели делиться властью со специалистами и опустили уровень доходов специалиста ниже среднего уровня жизни. В сталинское время слой специалистов имел определенные общественные позиции и уровень доходов, который превышал средний уровень доходов в несколько раз, «революция начальников» была направлена против этого слоя. «Хозяин», создававший стабильное общество (не будем обсуждать вопрос о том, насколько комфортно было жить в этом стабильном обществе) ушел, и его наследники, обладающие лишь тактическим мышлением, разрушили фундамент страны — средние классы. В итоге за четверть века страна была разрушена, не помогла финансовая подпитка «нефтедолларами».

Создание общественной силы, консолидирующей лучшую четверть российского общества, настолько укрепит положение России в мире, что советская эпоха будет восприниматься как подготовительный период к России 21 века, которая потеряла с распадом СССР большую часть удобных для проживания территорий, но сохранила главное — свои интеллектуальные богатства.

Таким образом, одна из самых важных задач для российского общества — реформа образовательной системы, направленная на создание аналога массовой ждановской десятилетки — новой российской физико-математической гимназии (точнее ее старшего звена). Ныне в России имеется около пяти сотен школ, которые дают некоторое физико-математическое образование. Необходимо создать еще тысячу физико-математических школ, а лучше сказать поднять уровень преподавания в уже имеющейся тысяче школ.

Самое важное, что можно сделать в этой области — это перейти на новые подходы к управлению образовательной системой. Поясним подробнее, что мы имеем в виду. Дело сдвинется с мертвой точки лишь с принятием конкретного подхода к организации системы образования. Это означает, что необходимо создать вторую систему управления, которая не издает никаких циркуляров, не вводит новых экзаменов вроде ЕГЭ, а исходит из того, что имеется полторы-две тысячи физматшкол, каждая из которых имеет в среднем по три сотни старшеклассников. Все эти школы занесены в компьютеры этого подразделения министерства образования и науки России, более того, более или менее подробная информация о каждом из этой половине миллиона старшеклассников занесена в компьютеры, которые отслеживают образовательный процесс (как справился с задачей номер три по сферической геометрии одиннадцатиклассник Коля Иванов из мичуринской гимназии в таком-то ежеквартальном срезе знаний). В этом подразделении должны работать опытные учителя и преподаватели университетов, которые должны уметь при помощи незначительных организационных мероприятий — создание учебных пособий, организация срезов знаний, интеллектуальных соревнований, летних школ, участие в приеме экзаменов — должны уметь направлять и контролировать образовательный процесс, подстраиваясь под любые циркуляры, нормативы и программы, издаваемые другими отделениями этого министерства.

Е.В. Юрченко

Заслуженный учитель РФ

Проблемы мотивации углубленного и профильного математического образования на современном этапе.

Еще пятнадцать — двадцать лет назад проблемы мотивации математического образования практически не возникало. Вполне достаточным стимулом изучения той или иной области математики (даже какой-то отдельной теоремы или задачи) было удовлетворение познавательного интереса или эстетического чувства. Совсем кратко — на вопрос: “Зачем это изучать?”, вполне достаточно было ответа: "это интересно» или «это красиво», или «это полезно».

Стремительные социально-политические изменения в стране привели к столь же стремительному размыванию моральных основ общества и замещению их вульгарно прагматическим критерием сиюминутной выгоды. Эти процессы существенно сказались на образовании в целом и на математическом образовании в частности. Теперь при знакомстве с любым новым разделом математики ученики обязательно задают вопрос: зачем нам это нужно? И если ответ учителя не будет хорош (с точки зрения ученика), то изучение данного раздела, скорее всего, будет обречено на провал.

Мы должны найти возможности существенного повышения мотивации углубленного изучения математики без каких-либо значительных изменений в его содержании, поскольку содержание отработано десятилетиями практического преподавания известными математиками и учителями математики в советских математических школах, и является общепризнанным мировым достижением.

Содержание профильного образования не является устоявшимся, поэтому при его формировании, при отборе и конструировании элективных курсов одним из первых должен стоять вопрос мотивации изучения предмета.

Опыт российских преподавателей, которые пытались заниматься рассматриваемым вопросом, а также опыт работы таких международных структур, как IB (International Baccalaureate) показывает, что заметно повышается уровень мотивации, когда в практической части курса есть достаточно много реальных задач, возникающих в обыденной жизни, экономике, науке, производстве. Причем здесь особенно важно, чтобы эти задачи действительно были реальны, а не «сконструированы» умозрительно.

Далее идут примеры подобных задач.

Очень интересным является также введение в содержание математического курса информации об использовании элементов данного курса в ис-

кусстве, архитектуре и т.д. В этом отношении важнейшими помощниками являются такие издания, как “Математика и искусство” Волошинова.

Вполне возможна ситуация, когда запланированный элективный курс или какой-либо раздел основного курса еще не даст возможности решать реальные практические задачи. Тогда первейшей обязанностью преподавателя является хотя бы краткое описание тех задач, которые решаются в рамках данного направления математики.

Назрела необходимость в создании серии задачников практической направленности. Такую работу может проводить, разумеется, только коллектив авторов. Думаю, что возглавить такой коллектив мог бы, например, А.К. Ковальджи.

В.И. Голубев

Резервы образования

(субъективные заметки на основе многолетней практики подготовки абитуриентов)

Основная причина капитуляции школьника перед проблемой овладения курсом математики в хаосе и «размазанности» во времени поступающей в период обучения информации.

Подобное положение обусловлено нищетой государства, которое не может себе позволить предоставить каждому ребенку условия, обеспечивающие эффективное развитие.

Общепризнанная научной средой «скорость» овладения «средним» ребенком не требующего новых знаний текста «средней» трудности — 5 стр. в час (под овладением информации понимается способность школьника излагать ее с любой степенью подробности).

Самая перспективная работа по овладения информации состоит в попытке все делать в уме (тетрадь, ручка — «костыли для мозгов»)

Главная проблема работы учителя в аудитории — однородность в ориентации слушателей, что во многом есть следствие неорганизованности в единый коллектив всего педагогического состава в школе (нет постоянного еженедельного семинара по «ликвидации собственной безграмотности, базы прекрасно расписанных классических задач повышенной трудности и т.д.)

Ни один школьный учебник в конце курса не дает краткого обзора с комментариями на перспективу за все прошедшие годы обучения данному предмету.

А. Тоом

Между детством и математикой: Текстовые задачи в математическом образовании

Как должны мы обучать наших детей, чтобы помочь им стать компетентными, продуктивными членами современного общества? Цель этих заметок — обсудить этот вопрос. Мы сконцентрируемся на том периоде жизни, который приходится примерно на средние и старшие классы школы, когда детство уже позади, но профессиональное использование математики ещё невозможно. Этот период, по-видимому, является критическим для успеха или неуспеха в строгом абстрактном мышлении: одни получают призы на олимпиадах, других математика только путает и пугает. Наш основной тезис заключается в том, что хорошее преподавание текстовых задач играет неоценимую роль в этот период.

Поскольку текстовые задачи — наш главный предмет, необходимо сначала определить, что мы имеем в виду. Чтобы держаться как можно ближе к точному смыслу слов, я предлагаю договориться, что нетекстовая задача — это задача, сформулированная с использованием только математических символов и технических выражений типа «Решите уравнение...». Соответственно, текстовая задача — это задача, использующая нематематические слова для передачи математического смысла. Поскольку на школьном уровне нет места для сложных формализмов профессиональной математики, нетекстовые задачи, имеющие дело с формализмами, сводятся к упражнениям, необходимым, но скучноватым. Неудивительно, что интересные задачи, доступные на этом уровне, — это по большей части текстовые задачи.

Есть важное сходство между детской игрой и всеми аспектами современной культуры: в обоих случаях необходимо творческое воображение. С одной стороны, вся жизнь ребёнка — это непрерывная игра воображения, с другой — все аспекты современной цивилизации включают воображение. Когда мы идём в театр или кино или в картинную галерею или читаем книгу, мы воображаем некоторые события, сознавая в то же время, что они нереальны. Современная математика — не исключение: воображение необходимо не только для того, чтобы её развивать, но уже для того только, чтобы её понимать. Разумеется, школа не должна прерывать то общее, что есть у детства и культуры, а именно творческую игру воображения. Когда учитель географии говорит своим ученикам «Сегодня мы будем путешествовать по Африке», все нормальные дети понимают, что эти слова не следует толковать буквально: это будет воображаемое путешествие. Аналогичное взаимопонимание имеет место, когда учитель литературы говорит

«Сегодня мы проведём урок в компании Гамлета» или учитель биологии говорит «Давайте заглянем внутрь живой клетки». Функция школы — расширять мир детей, вводить в него факты, образы, идеи, законы, явления выходящие за рамки их личного опыта и повседневного быта. В школе, не менее чем повсюду, ученики должны иметь воображение и применять его. Математика — не исключение из этого правила. Когда учитель говорит «У Пети было десять яблок, три из которых он дал Маше», все дети понимают, что это абстрактные Петя и Маша и абстрактные яблоки. Это понимание необходимо детям, чтобы изучать математику, науку об абстракциях. Теперь посмотрим на следующую задачу:

«Самолёт взлетает и направляется на восток со скоростью 350 миль в час. В то же время взлетает другой самолёт и направляется на запад со скоростью 400 мыль в час. Когда расстояние между ними достигнет 2000 миль?»

Я не вижу ничего порочного в этой лёгкой задаче. По-моему, она годится в классе и даже имеет некоторые достоинства. Например, её можно использовать для демонстрации идеи относительного движения, помогающей решить её без алгебры: в системе координат, связанной с одним самолётом, другой движется со скоростью 350 + 400 = 750 миль в час, поэтому время, необходимое, чтобы увеличить расстояние на 2000 миль равно 2000/750 часов = 2 часа 40 минут. Однако, несколько лет назад эта задача была упомянута в Учителе Математики (11) со следующим уничижительным комментарием: «Всякий нормальный ученик должен спросить: А кому это надо? Никому нет дела кроме учителя алгебры, задающего такие задачи, и ученика, которому нужна отметка. Наша программа и без того слишком перегружена, чтобы включать такие причуды» (12, с. 159). Меня очень беспокоит этот комментарий, и это дело принципа. Мы можем обойтись без этой или любой другой конкретной задачи, иногда необходимо что-то исключить из программы, но мы не должны одобрять вопросы типа «А кому это надо?» вместо умственного усилия, особенно на страницах журнала, посвященного образованию.

Согласно моему опыту, лишь немногие ученики спрашивают «А кому это надо?» вместо того, чтобы решить простую задачу, и эти немногие уже в беде: на учёте в психдиспансере или в милиции. Очевидно, тот «нормальный» ученик, который спрашивает «А кому это надо?», делает это потому, что не может её решить. А вот это уже по-настоящему страшно, особенно если мы вспомним, что этот ученик направляется в колледж. Я решительно не хочу, чтобы моих детей, да и любых детей учили подобным образом. Но быть может, вместо этой задачи нам предлагают другую, лучшую? Давайте посмотрим на следующую задачу, якобы показывающую, почему важно изучать алгебру (13, с.34):

«Игрок ударил бейсбольный мяч, когда он был в 3 футах от земли. Мяч прошёл на 4 фута выше другого игрока 6 футов ростом, находящегося в 60 футах от первого. Затем мяч был пойман третьим игроком на расстоянии 300 футов, в 5 футах над землёй. На каком расстоянии от первого игрока мяч достиг максимальной высоты, и какова эта максимальная высота?»

Чтобы решить эту задачу, мы должны предположить, что траектория мяча — парабола (то есть, пренебречь сопротивлением воздуха), ввести некоторую координатную систему и описать траекторию уравнением, например,

у (х) = k(х — b)2 + m,

где у — высота, х — расстояние от первого игрока по горизонтали и земля предполагается плоской. Тогда у(0) = 3, у (60) = 10 и у (300) = 5, откуда можно найти к, b и m. Эта задача труднее, чем предыдущая, но я не считаю, что она лучше. Уж во всяком случае, она не более реалистична. Как и всякая школьная задача, она создаёт воображаемую ситуацию, сообщает некоторые данные о ней и требует вывести ответ из этих данных. Как обычно, эта воображаемая ситуация не является реальной в буквальном смысле. Как все эти расстояния по горизонтали и вертикали были измерены в пылу игры? Зачем нам знать максимальную высоту и на каком расстоянии от первого игрока она была достигнута? Никакого ответа на эти вопросы не дано. Для традиционных текстовых задач это нормально и обычно, но в другой статье Залман Усыскин назвал традиционные текстовые задачи фальшивыми и сказал, что они не нужны, так как есть много «подлинных приложений» (11, с. 158, 159). Ему не следовало бы употреблять такое оскорбительное слово, даже если бы он был прав, но он и неправ к тому же. Идеализация реальности, сведение её к определённой формальной системе с конечным, чётко определённым набором параметров и отношений между ними и выяснение всевозможных вопросов об этой системе, — это суть научного моделирования и ничего фальшивого в этом нет. Что же касается «подлинных приложений», мы только что видели образчик.

Почему такая заурядная, даже несколько громоздкая задача была выбрана для такой обязывающей цели? Подождите немножко... заметьте, что это задача про бейсбол... многие дети любят играть в бейсбол... у меня есть догадка: вероятно, автор надеется убедить их, что алгебру важно изучать, потому что она им пригодится в игре в бейсбол! Другие задачи из той же статьи подтверждают эту догадку: все они на такие привлекательные темы, как кругосветное путешествие, марширующий оркестр и рок-музыка. Очевидно, по замыслу автора, это делает их интересными. В этом пункте я заявляю протест. Для меня математическая задача интересна и педагогически полезна благодаря её внутренней математической структуре. Я решительно возражаю против попытки привлечь учеников к математике, делая

вид, что она помогает играть в бейсбол, организовывать марширующие оркестры или наслаждаться рок-музыкой. Это лживое обещание.

Я придумал много задач и не делал секрета из того, что это математические задачи. Прежде всего, я заботился об их математическом содержании. В придачу к этому я мог сделать задачу забавной.

Например, следующую задачу я придумал для Российской Заочной Школы (4, задача 1—23):

«Математик шёл по берегу домой вверх по течению реки, держа в руках палку и шляпу. Он шёл со скоростью, в полтора раза превосходившей скорость течения. На ходу он бросил шляпу в воду, перепутав её с палкой. Скоро он заметил свою ошибку, бросил палку в воду и побежал назад со скоростью вдвое большей той, с которой он шёл вперёд. Как только он поравнялся со шляпой, он мгновенно достал её из воды и пошёл домой с прежней скоростью. Через 40 секунд после того, как он достал свою шляпу из воды, он поравнялся с палкой, плывущей по течению ему навстречу. Насколько раньше он пришёл бы домой, если бы не перепутал палку со шляпой?»

Эта задача понравилась некоторым ученикам и учителям, хотя она, очевидно, не является «подлинным приложением». Решить её можно так. Обозначим через v скорость течения и t время в минутах, которое он бежал назад. Тогда расстояние, которое он пробежал назад, равно 3vt, расстояние, которое он прошёл вперёд от того места, где он выудил шляпу, до того, где он встретил плывущую палку, равно 3/2v ⋅ 2/з = v и расстояние, которое проплыла палка, пока он её не встретил, равно v(t + 2/3). Следовательно, мы можем написать уравнение

где v сокращается и мы получаем, что t = 5/6 мин. Теперь посчитаем потерянное время. Оно состоит из двух частей, из которых первая (t) вдвое меньше второй (2t), так как одно и то же расстояние он прошел назад вдвое медленнее, чем бежал вперёд. Следовательно, общее потерянное время равно 3t = 2,5 мин.

У этой задачи, в отличие от предыдущей, есть вот какое интересное свойство: решая её, мы вынуждены были ввести одну лишнюю переменную, в данном случае v, значение которой невозможно найти, но зато эта переменная сокращается. Вместо этого мы могли бы ввести специальную единицу длины, чтобы сделать скорость течения равной единице. Другой класс задач, имеющих это полезное свойство, известен как задачи на работу. Вот пример:

Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, каждый в известное время, а именно А может выполнить эту работу в три недели, В — в три раза большую работу в 8 недель и С — в пять раз большую работу в 12 недель. Требуется узнать, за какое время они могут закончить эту работу совместно.

Ньютон включил эту задачу в свой учебник, а Пойа процитировал её (6, с. 71). Решение основано на хорошо известном (нереалистичном) предположении, что продуктивность каждого работника постоянна. Мы можем принять ту работу, о которой говорится в задаче за единицу, и назвать её «заданием». Тогда продуктивность А составляет 1/3 задания в неделю, продуктивность В равна 3/8 задания в неделю и продуктивность С равна 5/12 задания в неделю. Когда они работают вместе, продуктивности складываются и суммарная продуктивность равна

Тогда время, которое им понадобится, равно одному заданию делённому на 9/8 заданий в неделю, что даёт 8,9 недели. Почему Ньютон и Пойа считали такие задачи полезными? Вот ответ (6, с. 83):

Зачем нужны словесные задачи? Я надеюсь, что шокирую лишь немногих математиков, утверждая, что самая важная частная задача математического образования в средней школе — это научить составлять уравнения для решения словесных задач. В пользу высказанного мнения, безусловно, имеются сильные аргументы. При решении словесных задач с помощью уравнений учащийся осуществляет перевод реальной обстановки на математический язык и при этом убеждается на опыте, что математические понятия можно связать с действительностью, хотя эти связи и нужно тщательно разрабатывать.

Обратите внимание на то, что Пойа называет «реальной обстановкой», в буквальном смысле не реально. Очевидно, Пойа привык думать, что у всех есть воображение и высоко ценил традиционные текстовые задачи. Он был бы очень удивлён, если бы кто-то назвал их фальшивыми в его присутствии, и я полностью с ним согласен: я уверен, что традиционные текстовые задачи очень полезны.

Другая странная, но распространённая идея состоит в том, что текстовые задачи более однородны, чем нетекстовые. Например, влиятельные «стандарты» (18, сводка изменений в содержании и на чём делается упор в курсе математики 9—12 классов) рекомендуют уменьшить внимание «типовым текстовым задачам» и ни разу не упоминают типовые нетекстовые задачи или нетиповые текстовые задачи. Эта рекомендация показывает, что авторы чувствуют, что что-то неладно с преподаванием текстовых задач, но не в силах проанализировать, что именно. Они ни слова не уделяют тому, как их преподавать. Или, может быть, прилагательное «типовые» означает какую-то плохую манеру преподавания? Что же касается типов задач, то они повсюду. Дайте мне задачу, которую вы считаете нетиповой, и я сделаю её типовой, придумав десять похожих задач. Фактически, я часто делаю именно это в практике преподавания: сначала я решаю задачу на доске, затем я даю похожую задачу для решения в классе, затем я задаю

похожую задачу на дом, затем я даю похожую задачу на контрольной. Все эти этапы (часто их даже больше) необходимы, в противном случае многие студенты не усвоят метод.

Фактически, на школьном уровне гораздо больше различных текстовых эадач, чем нетекстовых. Текстовые задачи резко увеличивают разнообразие задач, решаемых в школе. В дополнение к тем немногим формализмам чистой математики, которые доступны в школе, текстовые задачи приносят с собой целый мир образов: монеты, пуговицы, спички и орехи, время и возраст, работу и производительность, расстояние и скорость, длину, ширину, периметр и площадь, поля, ящики, бочки, мячи и планеты, цены, проценты, долги и скидки, объёмы, массы и смеси, корабли и течения, самолёты и ветер, насосы и бассейны и многое другое. Для детей это неоценимый опыт — распознавать те формальные характеристики этих образов, которые следует принять во внимание, чтобы решить задачу.

По меньшей мере, столь же важно, на мой взгляд, то, что, решая текстовые задачи, дети должны уяснить себе и перевести на язык математики великое множество глаголов, наречий и прочих частей речи, обозначающих действия и взаимоотношения между объектами, таких как положить, дать, взять, принести, наполнить, опорожнить, двинуть, встретить, догнать, больше, меньше, позже, раньше, до, после, от, до, между, навстречу, прочь и т. п. Хотя я говорю «дети», я фактически имею в виду большой диапазон возрастов, включая студентов младших курсов колледжей и университетов, для которых всё это может быть совсем нелегко (10).

Как возникла эта странная идея об однородности текстовых задач? Я думаю, что некоторые педагоги и администраторы, будучи недостаточно компетентными, чтобы справиться с разнообразием текстовых задач, свели их к немногим типам, и этот вторичный феномен, порождённый некомпетентностью педагогов, а не потенциалом самих текстовых задач, противоположный самой их сути, был неоднократно ошибочно принят за неотделимое свойство текстовых задач.

Например, влиятельная «Программа действий» рекомендует (1, с. 3): «Определение того, что значит решить задачу, не должно быть ограничено конвенциональной манерой “текстовых задач”». Что подразумевали авторы под «конвенциональной манерой “текстовых задач”»? Быть может, ту удручающую манеру преподавания, которая всё ещё царит на многих уроках и которая порождена плохой подготовкой учителей? Кто знает? Во всяком случае, они выразили свои мысли в такой туманной форме, что никакое осмысленное действие не могло быть предпринято на основе их рекомендаций. Теперь уже не секрет, что некоторые учителя математики слишком плохо знают математику. В свете этого, одобрять высказывания

типа «А кому это надо?» особенно опасно, потому что некоторые учителя могут использовать это как предлог.

К сожалению, оскорбительное отношение к текстовым задачам проявляется не только в (11). Например, вторая глава в остальном здравой книги (2) наполнена грубыми насмешками в адрес текстовых задач. Очевидно, Моррис Клайн не стал бы так легкомысленно паясничать, если бы не был уверен заранее, что некоторым читателям это понравится. Не так давно член дискуссионной группы, переписывающейся по электронной почте, предложил определить текстовые задачи как такие, которые даются с целью вызвать коленный рефлекс у учеников. Когда я возразил, что лучше использовать термин «текстовые задачи» согласно смыслу слов, то есть применять его к задачам, содержащим слова, не являющиеся математическими терминами, этот профессиональный образователь очень удивился и признал, что моё предложение было новым для него.

Создаётся впечатление, что текстовые задачи почти всегда преподавались настолько плохо, что большинство учащихся не могли отделить сами текстовые задачи от отвратной манеры преподавания. Ральф Рейми — один из тех, кто сумел это сделать (7): «Я был послушным учеником и делал то, что мне велели, а велели мне помещать определённые числа в определённые клеточки таблицы и делали мы это для настолько ограниченного круга задач, что их можно было все запомнить. Это шло с трудом, и впоследствии я понял, как легки были эти задачи, но поскольку мне говорили, как их делать, и поскольку меня хвалили, я это и делал, без малейшего проблеска понимания. Понимание не возникло даже, как это бывает в изучении иностранных языков, когда составляешь из слов предложения и спрягаешь глаголы, постепенно овладевая языком. С алгеброй у меня так не получилось, и когда я одолел её впоследствии и увидел, какими идиотскими были мои школьные упражнения, это произошло не благодаря таблицам, которые я заполнял раньше. Беда была не в задачах, не в идее «типов». Беда была в преподавании».

Первые сорок лет моей жизни я провёл в России, где присутствие, даже обилие текстовых задач в математическом образовании всегда принималось как само собой разумеющееся. Сборник задач П.А. Ларичева для 6—8 классов (3), употреблявшийся, когда я учился в школе, содержит множество текстовых задач. В то время я думал, что это заурядный сборник задач. Теперь, после нескольких лет преподавания американским первокурсникам, многие из которых не могут справиться даже с простыми текстовыми задачами, я удивляюсь высокому уровню и качеству работы П.А. Ларичева. Если бы выпускники американских школ умели решать все задачи из его сборника, они были бы лучше подготовлены, чем многие из тех, кого в настоящих условиях допускают к калькулюсу. В частности,

книга П.А. Ларичева включает много исторических задач, например, такую (3, с. 37):

Летело стадо гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» — «Нас не сто гусей, — отвечает ему вожак стада, — если бы нас было столько, сколько теперь, да ещё столько, да полстолька, да четверть столька, да ещё ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей». Сколько было в стаде гусей?

Должен ли я пояснять, что мы решали эту задачу без калькуляторов и двумя способами — арифметически и алгебраически? Русские сборники для начальной школы тоже полны текстовых задач. Эти книги написаны так, чтобы подготовить детей к решению более трудных задач в последующие годы. Вот пример (5, с. 190):

При ремонте дома нужно покрасить 150 рам. Один маляр может это сделать за 15 дней, а другой — за 10 дней. За сколько дней могут выполнить эту работу оба маляра, работая вместе?

Эта задача может рассматриваться как подготовительная к задаче Ньютона. Из данных прямо следует, что первый маляр может покрасить 10 рам в день, а второй — 15 рам в день. Значит, вместе они покрасят 10 + 15 = 25 рам в день. Следовательно, им нужно 150:25 = 6 дней. Решающий момент здесь, как и во всех задачах на работу, это понять, какая величина аддитивна. Это одна причина того, почему задачи на работу полезны. Некоторые ученики наивно складывают 15 дней и 10 дней и получают в ответе 25 дней. Крайне важно, как учитель реагирует на такие неверные предложения. Он должен спокойно заметить, что этот ответ противоречит здравому смыслу, потому что когда два человека работают вместе, они закончат раньше, чем если бы работал только один. Здесь мы попадаем в область педагогического мастерства, которое определяется прежде всего тем, как учитель реагирует на неверные или частично неверные решения. Умелый учитель советует ученикам использовать здравый смысл, который таким образом постепенно превращается в профессионализм. В последующих классах ученики решают похожие, но более трудные задачи, так что их умения строятся одно на другом. В 6—8 классах уже предлагаются задачи, в которых данные обозначаются буквами, например (3, с. 166):

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить заказ в t дней. Первый рабочий может сделать эту работу в а дней. Во сколько дней мог бы выполнить заказ второй рабочий, работая один?

Если текстовые задачи так полезны в России, почему они не могут быть столь же полезны в Америке? Этому мешает определённая теория. Я назову её теорией непереноса. Согласно этой теории, дети не могут переносить идеи, методы и умения от одного задания, одной задачи, ситуации к другой и, следовательно, их стоит учить решать только такие задачи, которые

они встретят в ежедневной жизни. Американские специалисты в области образования слепо верят в эту фантастическую теорию, а всем прочим людям на земле она практически неизвестна. Эту теорию выдвинул Эдвард Торндайк примерно сто лет назад. В 1926 году он опубликовал книгу, имевшую большое влияние, в которой писал (9, с. 154): «Задачи решаются в школе ради их решения в жизни. При прочих равных условиях, задачи, в которых ситуация реальна, лучше, чем задачи, где она описана словами. При прочих равных условиях, задачи, которые могли бы действительно возникнуть в здравой и разумной жизни, лучше, чем задачи-подделки и простые головоломки».

Торндайк не приводит примеров «задач-подделок», но из его аргументации можно понять, что это уничижительное выражение относится ко всем задачам, не имеющим буквального подобия в ежедневной жизни. Но тогда вся современная математика — подделка! Следуя своим идеям, Торндайк включил в свою книгу главу под названием «Нереальные и бесполезные задачи», которую начал следующим образом (9, с. 258): «В предыдущей главе было показано, что примерно половина вербальных задач, даваемых в стандартных курсах, — не подлинные, поскольку в реальной жизни их ответ не понадобился бы. Очевидно, не следует, разве что ради количества, так связывать алгебраическую работу с никчёмностью».

Обратите внимание: Торндайк думал, что когда детям дают задачу, которую они не могут встретить в ежедневной жизни, они испытывают чувство никчёмности. Весь мой учительский опыт говорит мне, что интерес детей к математическим задачам не предопределён их прямой применимостью к ежедневной жизни. Он имеет гораздо более сложные причины. Нередко мои ученики с интересом решали задачи, чья формулировка была фантастической или шуточной. В этой связи давайте рассмотрим следующие две задачи.

У Маши в копилке сорок монет, некоторые однокопеечные, остальные пятикопеечные, на общую сумму один рубль. Сколько у неё монет каждого типа?

В клетке находятся кролики и фазаны; у всех у них вместе 100 ног и 36 голов. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?

Что делает эти задачи особенно полезными в преподавании, это то, что их можно решать разными способами, в том числе без алгебры. Например, задачу про копилку можно решить так. Сначала предположим, что все монеты однокопеечные. Тогда в копилке 40 коп., что на 60 коп. меньше, чем нужно. Теперь заметим, что каждый раз, когда мы заменяем одну однокопеечную монету на пятикопеечную, содержимое копилки увеличивается на 4 коп. Значит, чтобы увеличить его на 60 коп., надо такую замену произвести 60:4 = 15 раз. Значит, в копилке 15 пятикопеечных монет и 40—15

= 25 однокопеечных. Этот ответ можно проверить вычислением 25 + 15 5 = 100 коп. = 1 р.

Что касается задачи с кроликами и фазанами, она включена в (3, с. 90) как «старинная китайская задача». Пойа включил похожую задачу в (6, с. 46). От одного учителя я услышал очаровательный способ объяснять детям её решение. Вообразим, что все кролики стоят на задних лапках. Тогда число ног, стоящих на земле, равно удвоенному числу голов, а именно 72. Остальные 28 ног — это передние лапы кроликов. Значит, число кроликов вдвое меньше, а именно 14. Тогда число фазанов 36—14 = 22. Согласно всему моему опыту, нормальные дети любят такие задачи и не спрашивают «А кому это надо?» или «Когда же мы применим это к повседневной жизни?» Кроме того, все нормальные дети замечают, что, несмотря на различное оформление, задача про копилку и задача про кроликов и фазанов похожи и, если решил одну из них, то решать другую становится легче.

К чести Торндайка заметим, что он признаёт, что некоторые из тех задач, которые он называет нереальными и бесполезными, могут заинтересовать «учеников особенно способных и интересующихся математикой» (с. 259). Многие жемчужины математики могли бы послужить примерами этого, например иррациональность квадратного корня из двух или бесконечность множества простых чисел. Однако, Торндайк упоминает только несколько исторических задач, включая вот эту: «Есть кадамба цветок; на один лепесток пчёлок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла вся в цвету сименгда, и на ней третья часть поместилась. Разность их ты найди, трижды их ты сложи, на кутай этих пчёл посади. Лишь одна не нашла себе места нигде, всё летала то взад, то вперёд, и везде ароматом цветов наслаждалась. Назови теперь мне, подсчитавши в уме, сколько пчёлок всего здесь собралось?»

Я могу засвидетельствовать, что в этом Торндайк прав: есть ученики, интересующиеся такими задачами. Когда я спросил Юлия Ильяшенко, теперь профессора математики, как он заинтересовался математикой, он вспомнил эту задачу (включённую в (3, с. 167)).

Идеи Торндайка критиковались не раз. В частности, Выготский писал (14, с. 233): «... для опровержения гербартианской концепции Торндайк прибег к экспериментированию над крайне узкими, специализированными и притом элементарнейшими функциями. Он упражнял испытуемого в различении длины линейных отрезков и потом изучал, как это обучение влияет на умение различать величину углов. Само собой разумеется, что никакое влияние не могло быть здесь обнаружено».

Выготский провёл свои собственные эксперименты, которые показали, что, когда мы имеем дело с высшими умственными функциями, такими как изучение арифметики и родного языка, перенос имеет место. В этой

связи Выготский говорил о другом важном понятии: умственной дисциплине (которую он называл «формальной дисциплиной»). Понятия переноса и умственной дисциплины так тесно связаны, что практически невозможно принять одно и отвергнуть другое. Хорошо известно, что математика, преподаваемая в школе, по большей своей части не имеет буквального применения в ежедневной жизни. Поэтому, говоря о важности математического образования, мы не можем обойтись без понятия умственной дисциплины, охватывающего все небуквальные, непрямые и отдалённые результаты школьного образования. Критикуя Торндайка, Выготский писал (14, с. 231—232): «Отчасти неразработанность самой теории формальных дисциплин, а главным образом, несоответствие её практического осуществления задачам новейшей буржуазной педагогики привели к разгрому всего учения о формальной дисциплине в теории и практике. Идеологом здесь выступил Торндайк, который в ряде исследований пытался показать, что формальная дисциплина есть миф, легенда, что обучение не имеет никаких отдалённых влияний, никаких отдалённых последствий для развития. Торндайк пришёл в результате этого исследования к полному отрицанию существования тех зависимостей между обучением и развитием, которые верно предчувствовала, но в высшей степени карикатурно изобразила теория формальной дисциплины. Но положения Торндайка убедительны только в той мере, в какой они касаются карикатурных преувеличений и искажений этого учения. Ядра его они не затрагивают и тем более не уничтожают».

Концепции Торндайка и Выготского ведут к совершенно различным выводам для математического образования, включая роль текстовых задач в нём. Давайте перечислим некоторые из них.

1) Если Торндайк прав и умственной дисциплины не существует, то задачи, решаемые в школе, должны быть идентичны тем, которые ученики могут встретить в жизни в настоящем или будущем. Однако, профессии в наше время очень специализированы и невозможно предсказать, кто выберет какую профессию. Более того, если бы даже мы могли каким-то образом предсказать, что такой-то ученик станет, скажем, компьютерным программистом, мы всё же не могли бы учить его тому конкретному языку программирования, который он будет использовать, потому что этот язык наверняка ещё не придуман. Те, кого учили Бейсику, потом программировали на Паскале или Фортране, а те, кого учили Паскалю, теперь программируют на С+. Если бы умственная дисциплина была только мифом, то все годы их учёбы были бы потрачены зря, но многие считают, что это не так. Некоторые даже думают, что решение математических задач, скажем геометрических задач на построение, также полезно будущим программистам. Это можно понять только приняв понятие умственной дисциплины:

если она существует, то перенос возможен и продуктивен. Встретив новую задачу, дети могут воскликнуть: «Это похоже на задачу, которую мы уже решали, только с другими словами и числами». Иначе говоря, они способны замечать структурное сходство между задачами и переносить умения и идеи, развитые при решении одних, на другие, более сложные. Именно к этому я всегда стремлюсь как преподаватель.

2) Если умственная дисциплина не существует, то текстовые задачи должны восприниматься буквально, как утверждения о реальности. Например, задача с монетами имеет смысл только как прототип поведения в ситуации с реальными монетами, задача о кроликах и фазанах имеет отношение только к кроликам и фазанам и т.п. Данные задачи должны быть такими, какие имеются в реальности, и вопросы должны быть такими, на какие мы обычно должны отвечать в ежедневной жизни. В этом случае задачи группируются в типы согласно их оформлению: задачи с монетами, кроликами или работой. Если же, напротив, умственная дисциплина существует, то важнее всего внутренняя математическая структура задач, тогда как монеты, кролики и т. п. — это лишь поверхностное оформление. В этом случае мы хотим, чтобы дети научились решать задачи с произвольными данными и отвечать на произвольные вопросы, а не только те, которые они встречают в ежедневной жизни. В противном случае, дети не смогут совершить следующий шаг, от числовых данных к данным обозначенным буквами. Это означает также, что числовым данным нет нужды быть громоздкими, потому что им нет надобности выглядеть так, как будто они взяты из конкретной реальной ситуации.

3) Если перенос невозможен, то взаимодействие между математикой и другими школьными предметами, например физикой, невозможно и не стоит о нём заботиться. Именно это мы обычно наблюдаем в американских публичных школах, где предметы изолированы друг от друга. Если же, напротив, Выготский прав и различные школьные предметы взаимодействуют, то имеет смысл координировать программы по математике и физике, чтобы математические понятия применялись в физике и обратно. В русских школах это делается систематически.

Когда я читал «Психологию алгебры» Торндайка (9), у меня было странное впечатление.

С одной стороны, несомненны упорство и трудолюбие Торндайка. С другой стороны, он, по-видимому, не имел понятия о сущности математики. Все мои одноклассники, все мои ученики, все дети, которых я когда-либо встретил, знали, что яблоки из задачи — не то же самое, что реальные яблоки. Но Торндайк этого не знал! У меня такое впечатление, что, потратив много времени на эксперименты с животными, Торндайк проникся убеждением, что живые существа совершают усилия только ради

некоторой материальной награды и некритически перенёс эту идею на людей. Каждый родитель знает, что дети спонтанно любопытны и что у них есть фантазия, и что они любят волшебные сказки и фантастические истории, но Торндайк, по-видимому, не знал этого. Каждый родитель знает к тому же, что детям нравятся контрафактуальные утверждения и образы, часто (неточно) называемые «абсурдными» или «бессмысленными». Льюис Кэрролл и многие другие авторы разработали эту тему с большим успехом, но Торндайк рассуждает так, как будто он никогда об этом не слышал!

Сегодня те карикатурные преувеличения, связанные с понятием умственной дисциплины, которые упоминал Выготский, почти забыты. На смену им пришли столь же карикатурные преувеличения в противоположном направлении. Пример: в последние годы среди профессоров образования стало употребляться новое выражение: «задачи реального мира». Никто не знает, что в точности значит эта фраза, и разные авторы используют её в разных, подчас противоречащих друг другу смыслах. Во всяком случае, ясно, что «задачи реального мира» весьма далеки от той важной и хорошо известной части математики, которая традиционно называется «прикладной математикой». Прикладная математика нуждается в точности, потому что имеет дело с суровой реальностью, тогда как «задачи реального мира», предлагаемые в образовательной литературе, часто туманны и хаотичны и нам говорят, что у них много ответов (но никогда не говорят сколько). Чтобы работать в прикладной математике, умственная дисциплина ещё как необходима, тогда как разговоры о «задачах реального мира» часто сочетаются с отрицанием умственной дисциплины.

Что будущим математикам необходимо изучать математику, это очевидно. Давайте зададим другой вопрос: почему важно изучать математику тем, кто не станет математиком? Зачем нужна математическая грамотность? Одна причина в том, что мы читаем и пишем и считаем для своих ежедневных практических нужд. Есть, однако, и другая причина: грамотный человек — это иной тип человека, чем неграмотный. Грамотность и её аналоги, включая математическую грамотность, не просто удобные приспособления. Они открывают их владельцу новые перспективы. Грамотный человек, в частности математически грамотный человек, не только лучше отвечает на старые вопросы, но задаёт и новые вопросы. Математическая грамотность включает способность и привычку осуществлять абстрактные замыкания, выходящие за пределы сиюминутной нужды. Непрофессионалы часто считают математические абстракции трудными, и они по-своему правы, но абстракции не были бы нужны, если бы они не были лёгкими в некотором другом отношении. Действительно, решить абстрактную задачу легче (если вы на это способны), чем возиться с каждым

частным случаем. Этот контраст хорошо виден в случае текстовых задач. Для математиков они так легки, что некоторые (например, Моррис Клайн (2)) не понимают их важности. С другой стороны, для людей с неразвитым абстрактным мышлением (некоторые из которых к сожалению преподают математику) текстовые задачи невероятно трудны. Происходит это потому, что каждый тип текстовых задач — это маленькое замыкание: как только вы усвоили общую идею, вы можете применять её ко многим частным случаям. Таким образом, текстовые задачи дают попробовать вкус абстрактной работы каждому, кто может справиться с ними. Давайте учить всех детей решать их.

(1) An Agenda for Action. Recommendations for School Mathematics of the 1980s. NCTM, Reston, VA, 1980.

(2) Kline, M. Why Johnny can't add: the failure of the new math. New York, St. Martin Press, 1973.

(3) Ларичев П. А. Сборник задач по алгебре. Часть первая для 6—8 классов. Москва, Учпедгиз, 1961.

(4) Заочные математические олимпиады. Н. Васильев, В. Гутенмахер, Ж. Раббот, А. Тоом. 2-е издание, Москва, Наука, 1986.

(5) Математика 4. Учебник для четвёртого класса начальной школы. Под редакцией Ю. М. Колягина. Москва, Просвещение, 1992.

(6) Пойа, Д. Математическое открытие. Москва, Наука, 1970.

(7) Raimi, R. Частное сообщение по электронной почте.

(8) Curriculum and evaluation standards for school mathematics. NCTM, March 1989.

(9) Thorndike, E. The psychology of algebra. The Macmillan Company, New York, 1926.

(10) Тоом А. Как я учу решать текстовые задачи. М.: Математика. 2004, № 47 (перевод с португальского).

(11) Учитель математики — Mathematics teacher — главный журнал для преподавателей математики в старших классах школы в США.

(12) Usiskin Z. What should not be in the algebra and geometry curricula of average college-bound students? Mathematics Teacher, v. 88, n. 2. February 1995, pp. 156—164.

(13) Usiskin Z. Why is algebra important to learn? American Educator, v. 19, n. 1, Spring 1995, pp. 30—37.

(14) Выготский Л. Мышление и речь. Собрание сочинений в 6 томах. Москва, Педагогика. Том 2, 1982.

Комментарий автора для русского издания.

Оригинал статьи опубликован как Andre Toom. Between childhood and mathematics: word problems in mathematical education. Humanistic Mathematics network journal, Issue #20, July 1999, pp. 25—32, 44.

А. Тоом

Наблюдения математика над математическим образованием

Я — математик, интересующийся математическим образованием. Я вёл исследования и учил студентов два десятилетия в России, несколько лет в США и два года в Бразилии. В этой статье я хочу объяснить, почему я считаю, что математическое образование в начальных и средних школах России лучше, чем в США и Бразилии.

Несколько лет назад департамент образования США, при сотрудничестве аналогичных органов многих других стран, провёл Третье Международное Исследование по Математике и Науке (Third International Mathematics and Science Study — TIMSS) (1). Целью этого исследования было сравнение среднего качества математического и научного образования на разных уровнях в возможно большем числе стран. Результат этого исследования показал, что наибольших успехов достигают ученики нескольких восточно-азиатских стран, а вслед за ними — нескольких европейских стран, включая Россию. Школьники Соединённых Штатов значительно отстали от этих групп. Из всех стран Латинской Америки участвовала только Колумбия и оказалась в конце списка.

Теперь я сконцентрируюсь на нескольких недостатках американского образования, предоставляя читателю делать выводы в применении к Бразилии.

Первый недостаток — это предубеждение американских образователей против теории. Под теорией я не имею в виду ничего сверхтрудного. Например, когда я учился в школе, мы изучали геометрию как дедуктивную систему и доказывали теоремы. Хотя наши доказательства были не вполне строгими, сама идея была стимулирующей. В американском же образовании такие теоретические занятия могут считаться даже нежелательными. Откуда я знаю?

Десять лет назад Национальный Совет Учителей Математики (National Council of Teachers of Mathematics — NCTM), очень могущественная организация, начал публиковать так называемые «Стандарты» для математического образования в трёх томах. Сконцентрируем наше внимание на первом томе (2), потому что два

другие тома почти никогда не обсуждаются, так мало математики они содержат (3). Наиболее примечательная особенность этих «стандартов» — это отсутствие математики как системы. Они включают несколько хорошо известных математических фактов и несколько полезных задач, но все они вырваны из их естественного контекста. Например, теорема Пифагора упоминается в «стандартах» на с. 113—114 вместе с хорошо известным чертежом, который можно использовать для её доказательства; однако рекомендуется использовать эту фигуру только для того чтобы «открыть это соотношение путём исследования». Возможность доказать эту важную теорему даже не упоминается и само понятие доказательства избегается на протяжение всего документа.

Во введении к «стандартам» говорится (с. VI): «Следующие математические и научные органы едины с Национальным Советом Учителей Математики, способствуя видению школьной математики описанному в Программных и Оценочных Стандартах для Школьной Математики» (2), и за этим следует внушительный список, включающий Американское Математическое Общество (American Mathematical Society — AMS). Поскольку «Стандарты» казались поддержанными такими авторитетными организациями, неудивительно, что многие учителя заявили, что преподают в соответствии с этими стандартами. Когда у этих учителей спрашивали, почему они так считают, большинство из них отвечали: «Потому что мои ученики используют калькуляторы вместо вычислений с карандашом и бумагой». Это говорилось с гордостью, потому что «Стандарты» действительно полны рекомендаций уделить больше внимания технологии, включая калькуляторы, и уменьшить внимание вычислениям с карандашом и бумагой. «Стандарты» превратили использование калькуляторов в вопрос престижа и некоторые учителя начали чувствовать себя неадекватными и устарелыми если не употребляли их на своих уроках. Давались помпезные обещания, что благодаря калькуляторам у детей будет больше времени для развития «мыслительных умений высокого уровня», но на деле наблюдалось противоположное. Многие профессора университетов жаловались, что студенты разучились выполнять даже простейшие вычисления.

Затем произошло нечто действительно драматическое. В октябре 1999 года департамент образования Соединённых Штатов, руководимый

Ричардом У. Райли (Richard W. Riley), одобрил десять программ (4) по математике для начальной и средней школы, назвав пять из них «образцовыми» и остальные пять «обещающими». Это решение было основано на заключениях Экспертной панели, из членов которой только один был активен в математических исследованиях. На этот раз некоторые математики решили действовать. 18 ноября 1999 года газета Washington Post напечатала письмо, подписанное 200 математиками и другими учёными, призывая Райли отменить одобрение этих программ. NCTM немедленно выразил полную поддержку Райли с его одобрением этих программ, что неудивительно, поскольку Экспертная панель основывала свои критерии частично на «Стандартах». Райли в ответ на письмо математиков вновь подтвердил свою позицию. Таким образом, мы видим открытое противостояние математиков, учёных и родителей с одной стороны и государственных служащих и лидеров образования с другой. О чём спор?

Наиболее очевидный пункт разногласий — это должны ли дети выучивать алгоритмы арифметических операций и выполнять их с карандашом и бумагой или вместо этого они должны использовать калькуляторы. Разница в мнениях может быть проиллюстрирована двумя цитатами, обе из которых включены в письмо математиков. Одна из них взята из статьи, написанной одним членом Экспертной панели, опубликованной 9 февраля 1994 года и помещённой в Интернете: «Пора признать, что для многих учащихся подлинный математический потенциал с одной стороны и тренировка в применении вычислительных алгоритмов к многозначным числам с использованием карандаша и бумаги с другой — исключают друг друга. Фактически пора признать, что продолжать преподавать эти умения не только излишне, но и решительно опасно».

Другая цитата — из заявления, сделанного комиссией, назначенной AMS, чтобы представлять его в переговорах с NCTM: «Мы хотели бы подчеркнуть, что стандартные алгоритмы арифметики — это не просто «средства для получения ответа», потому что они имеют значение теоретическое, а не только практическое. Важно то, что все алгоритмы арифметики подготовляют учащихся к алгебре, потому что существуют (опять же, не случайно, а в силу устройства десятичной

системы) глубокие аналогии между арифметикой чисел и арифметикой многочленов». (5)

В России вычисления в уме и на бумаге всегда единодушно высоко ценились и считались необходимыми не только по практическим соображениям, но и для понимания этих операций.

Итак, «реформаторы» математического образования в Соединённых Штатах уже исключили из программы большую часть теории и теперь хотят исключить арифметические алгоритмы. Ради чего? Ради «решения задач». Программа Действий (Agenda for Action), которая 20 лет назад выражала мнения NCTM, предлагала поставить решение задач в центр внимания школьной математики (6). «Стандарты» полностью разделяют это мнение (с. 6) и начинают каждую из своих трёх частей (начальная школа, средние классы, старшие классы) с главы под названием «Математика как решение задач». По моему мнению, решать задачи действительно очень важно, поэтому моя первая реакция на все эти заявления была позитивной. Сомнения пришли ко мне лишь после того, как я заметил, что каждый раз, как эти образователи говорят о том, как они заботятся о решении задач, они стараются исключить что-нибудь из программы.

В этой статье я концентрирую внимание на трёх тенденциях в школьной математике, которые представляются мне особенно опасными: исключить теорию ради «непосредственного» (hands-on) подхода, исключить арифметические вычисления с карандашом и бумагой ради «мыслительных умений высокого уровня» (high level thinking skills) и исключить текстовые задачи ради «задач реального мира» (real-world problems). Мы уже проиллюстрировали первые две тенденции, теперь перейдём к третьей.

Русские задачники полны текстовых задач. Ключевая характеристика этих задач — это использование слов, не являющихся математическими терминами, как, например, автомобили и поезда; расстояние, время и скорость; корабли и течение; самолёты и ветер; ящики, банки и мячи; длина, ширина и высота; периметр, площадь и объём; трубы, насосы и бассейны; масса, процент и смеси; часы, стрелки часов, минуты и время дня; годы и возраст; деньги, цены, пени и скидки; и т. д. В России присутствие, даже обилие текстовых задач в математическом образовании

всегда было нормальным, но в Соединённых Штатах это совсем не так. Хотя американские образователи выражают внешнее почтение Джорджу Пойа, они сплошь и рядом игнорируют его советы. Пойа писал (7):

Зачем нужны словесные задачи? Я надеюсь, что шокирую лишь немногих математиков, утверждая, что самая важная частная задача математического образования в средней школе — это научить составлять уравнения для решения словесных задач. В пользу высказанного мнения безусловно имеются сильные аргументы. При решении словесных задач с помощью уравнений учащийся осуществляет перевод реальной обстановки на математический язык и при этом убеждается на опыте, что математические понятия можно связать с действительностью, хотя эти связи и нужно тщательно разрабатывать.

Когда я читал «Математическое открытие» Пойа живя в России, я думал что это просто хорошая книга. Только теперь я понимаю, как она полемична. Две её первые главы посвящены двум Золушкам американского образования: классической геометрии и текстовым задачам. В Америке текстовые задачи (word problems, verbal problems, story problems) считаются трудными и фрустрирующими. Есть карикатура в серии Фар Сайд (Far Side) под названием «Адская библиотека», изображающая библиотеку, полную сборников текстовых задач. Милдред Джонсон, опытный педагог, начинает свою книгу, посвященную текстовым задачам (по русским меркам, очень простым), таким образом: «Нет области в алгебре, вызывающей у учащихся больше затруднений, чем решение текстовых задач» (8).

Поскольку текстовые задачи трудны для некоторых учащихся и даже педагогов, было бы естественно уделить им больше внимания в пединститутах, Так и было сделано в России, но не в Соединённых Штатах. Вместо этого лидеры образования постарались создать впечатление, что сами текстовые задачи чем-то плохи. Например, «Учитель математики» (Mathematics teacher, главный американский журнал для учителей математики в старших классах) опубликовал статью Залмана Усыскина, влиятельного образователя, в которой написано: «Алгебра имеет так много подлинных приложений, что фальшивые традиционные текстовые задачи больше не нужны» (9, с. 158—159).

В предисловии редактора к этой статье говорится, что высказанные в ней положения близки к идеям «Стандартов». Почему Усыскин называет традиционные текстовые задачи фальшивыми? Он приводит задачу: «У одного человека в кошельке 20 монет, одни по 5 центов, другие по 10 центов на общую сумму в доллар и 75 центов. Сколько у него монет по 5 центов? Сколько по 10 центов?» Затем Усыскин пишет: «Поскольку монеты были сосчитаны, почему бы не сосчитать отдельно монеты в 5 центов и отдельно в 10 центов?» (с. 159)

В России (и, думаю, в огромном большинстве стран) этот странный аргумент был бы оставлен без внимания как неудачная шутка, но в Америке к нему относятся с большим почтением. Выверты в образовании, упомянутые выше, в худшем случае могут оставить детей без образования, но этот последний гораздо опаснее. Этот аргумент был первоначально выдвинут Торндайком, известным американским бихевиористом. Одна глава его книги (10) называется «Нереальные и бесполезные задачи». К таковым относятся все задачи, которые не могут встретиться буквально в том же виде в жизни. Торндайк считал, что такие задачи, будучи даны детям, вызывают у них чувство никчёмности и предложил исключить их из программы. Педагогические идеи Торндайка подвергались суровой критике. В частности, Лев Выготский, знаменитый русский психолог, резко критиковал Торндайка в своих работах (11) и (12).

Что позитивного предлагают «реформаторы» образования? Заглянем в список рекомендаций в третьей части «Стандартов», посвященной старшим классам школы. Возглавляет этот список рекомендация «увеличить внимание задачам реального мира, чтобы мотивировать и применять теорию» (с. 126). Что такое «задачи реального мира» и как отличить их от «традиционных фальшивых текстовых задач»? Никто не знает наверное. Чтобы проиллюстрировать, как запутано понятие «задач реального мира», сравним рекомендацию увеличить им внимание с помещённой на следующей странице рекомендацией «уменьшить внимание типовым текстовым задачам: с монетами, разрядами, работой». Поскольку невозможно увеличить и уменьшить внимание одному и тому же, мы заключаем, что задачи с монетами не являются задачами реального мира, откуда можно заключить, что монеты не существуют в реальном мире. Этот вывод кажется смешным, но это факт, что после публикации

«Стандартов» некоторые образователи уменьшили внимание задачам с монетами. Над этой практикой посмеивались, но никто не объяснил, как правильно следовать рекомендации.

Ещё одно странное последствие той же рекомендации: некоторые вообразили, что «задачи реального мира» — это те, в которых упоминаются названия фирм, выпускающих продукты. В некоторых учебниках появились задачи вроде следующей: «Печенье Орео — самое популярное из продающихся в упаковках. Диаметр печенья Орео — 1,75 дюйма. Выразите диаметр печенья Орео как несократимую дробь» (13).

Тем временем, образовательные войны продолжаются. 2 февраля 2000 было проведено совещание на тему «О роли федерального правительства в реформе преподавания математики в школе». На этом совещании, математик Джим Милграм (Jim Milgram) заявил о драматическом падении знаний учащихся, поступающих в университеты в последние годы. Думаю, что Милграм прав. Когда я читаю курс в университете, мне необходимо быть уверенным, что мои студенты хорошо обучены традиционной школьной математике, начиная с самых азов. Кто живёт на верхушке здания, должен заботиться обо всём здании.

(1) О TIMSS см. http://timss.bc.edu

(2) Программные и оценочные Стандарты для школьной математики. (Curriculum and evaluation Standards for school mathematics. National Council of Teachers of Mathematics, March 1989.)

(3) Уже опубликована новая версия «Стандартов» под названием «Принципы и Стандарты для Школьной Математики» (Principles and Standards for School Mathematics, NCTM, 2000), но она не отменяет «стандартов» 1989 года, поэтому наша критика остаётся актуальной.

(4) Оригинал этой статьи давал ссылки на адреса в Интернете, содержащие информацию об одобренных программах, список членов панели и т.п., но теперь большая часть этих адресов устарели. Впрочем, все эти материалы легко найти, используя google для поиска с ключевыми словами exemplary, promising, expert panel, fuzzy, Riley, Berriozabal, Leinwand, Milgram и т. п.

(5) American Mathematical Society NCTM2000 Association Research Group Second Report. June 1997. Notices of the AMS, February 1998, p. 275.

(6) Agenda for Action. Recommendations for School Mathematics of the 1980s. NCTM, Reston, VA, 1980, p. 4.

(7) Пойа, Д. Математическое открытие. Москва, Наука, 1970, с. 83.

(8) Johnson, M. How to solve word problems in algebra. A solved problem approach. Updated First Edition. McGraw-Hill, 1992, c. 3.

(9) Usiskin, Z. What should not be in the algebra and geometry curricula of average college-bound students? Mathematics Teacher, v. 88, n. 2. February 1995, pp. 156—164.

(10) Thorndike, E. The psychology of algebra. The Macmillan Company, New York, 1926.

(11) Выготский Л. С. Проблема развития в структурной психологии. Собрание сочинений, Москва, Педагогика, т. 1, 1992.

(12) Выготский Л. С. Мышление и речь. Собрание сочинений, Москва, Педагогика, т. 2, 1992.

(13) Hays, Constance. Math Textbook Salted With Brand Names Raises New Alarm. The New York Times, March 21, 1999. (Эта статья тоже есть на Интернете.)

Комментарий автора для русского издания. Оригинал статьи опубликован как André Toom. Observaçoes de um matemâtico sobre о ensino de matemâtica. Revista do professor de matemâtica 44, 2000, pp. 3—9.

А. Тоом

Краткая профессиональная автобиография

Я родился 12 апреля 1942 года в Ташкенте. С 1944 по 1989 год я жил в Москве. В 1949 году я пошёл в школу № 69 города Москвы и закончил её в 1959 году. Моим учителем математики в старших классах был знаменитый Александр Абрамович Шершевский. Он убедил меня участвовать в математических олимпиадах, организованных Московским университетом (на которых я получил одну третью премию и два похвальных отзыва), и ходить на математические кружки, которые вели студенты университета. Я выбрал кружок, где самым активным руководителем был Александр Моисеевич Олевский, которого мы звали Сашей. Большинство кружков занимались в основном решением задач олимпиадного типа (что совсем неплохо), но Саша был увлечён строгими доказательствами математического анализа (епсилон-дельта рассуждениями) и для меня это было как раз то, что надо. Я считаю, что именно на этом кружке я стал профессиональным математиком.

Сразу после окончания школы я участвовал в первой международной математической олимпиаде в Румынии и получил третью премию. В то же лето я поступил на механико-математический факультет МГУ. Следуя примеру профессоров, я считал своим почётным долгом с первого же курса вести кружок для школьников и участвовать в организации математических олимпиад.

Мне всегда нравилась дискретная математика. Особенно мне понравились лекции Олега Борисовича Лупанова с его ясным стилем и в 1962 году я попросил его стать моим научным руководителем. Он согласился и предложил мне несколько задач на выбор. В частности, он рассказал мне метод Карацубы, позволяющий уменьшить число действий необходимых для умножения двух многозначных чисел и предложил его улучшить. В тот же день у меня появилась идея, как это сделать и вскоре я написал статью, которая была опубликована в Докладах Академии Наук. Это была моя первая публикация в профессиональной математике. (До этого я выпустил только сборник подготовительных задач к олимпиаде.) Вы можете найти в интернете ссылки на метод Тоома-Кука или Тоом3 (Toom-Cook, Toom3). Андрей Николаевич Колмогоров, которому принадлежала постановка этой задачи, заинтересовался моей работой и приглашал участвовать в своих проектах.

Мне всегда хотелось работать на стыке математики с другими науками. Это желание привело меня на семинар под руководством Ильи

Иосифовича Пятецкого-Шапиро, я поступил в аспирантуру под его руководством и выполнил несколько работ по процессам с локальным взаимодействием, за которые в 1972 году получил премию Московского Математического Общества для молодых учёных, а в 1973 году — кандидатскую степень. Процессы с локальным взаимодействием и их применение к естественным наукам остаются моим главным предметом исследования до сих пор. В интернете вы можете найти ссылки на «правило Тоома» (Toom rule). Хотя это правило появилось в работе Пятецкого-Шапиро и Оли Ставской, я имею на него некоторое право, так как впервые доказал наиболее важное его свойство — неэргодичность при малом параметре шума. Впрочем, я продолжаю интересоваться и алгоритмами — в сочетании со случайными процессами.

Ещё не закончив аспирантуру, я поступил на работу в межфакультетскую лабораторию математических методов в биологии под руководством Израиля Моисеевича Гельфанда и под его влиянием стал помогать Заочной Математической Школе, для которой написал немало заданий и пособий. Лаборатория, руководимая И. М. Гельфандом, впоследствии стала отделом математических методов в более крупной биологической лаборатории имени Белозерского.

В начале семидесятых годов я прослушал доклад Володи Лефевра и был очарован его умением логически рассуждать в гуманитарной области и плодотворной идеей многократной рефлексии. Под его влиянием я опубликовал несколько работ на стыке психологии, теории игр и литературоведения.

В 1985 году я познакомился со Стёпой Пачиковым и как только он организовал клуб «Компьютер», стал его постоянным преподавателем. Работа в этом клубе дала мне богатую пищу для размышлений о том, как дети учатся.

Меня неоднократно приглашали посетить иностранные университеты, но в течение многих лет партком МГУ не дал мне принять ни одно из этих приглашений. Только в 1989 году мне неожиданно разрешили принять приглашение посетить университет в Риме. В январе 1990 года я направился из Рима в Ратгерский Университет в США, куда у меня было приглашение от Джоела Лебовица и провёл там почти полгода. Вслед за тем Петер Гач пригласил меня в Бостонский Университет, где я провёл 1990—1991 учебный год. Затем я был приглашён на 1991—1992 учебный год в Техасский Университет в Остине. С 1992 по 1997 год я преподавал в католическом Колледже, а впоследствии Университете Воплощённого Слова в Сан Антонио.

На основании опыта преподавания математики в университетах США я опубликовал несколько статей, резко критикующих американское математическое образование. Однако, мало-мальски приличного постоянного места работы я в США не нашёл. В то же время меня весьма радушно приглашали в Бразилию. С 1998 года я работаю в Бразилии — сначала в Университете Сао Пауло, а теперь — в Федеральном Университете Пернамбуко в городе Ресифе. Здесь есть талантливая молодёжь, остро нуждающаяся в научном руководстве, и среди моих публикаций появляется всё больше совместных работ с моими бразильскими учениками.

Думаю, что имею право включить сюда ещё один аспект моей деятельности. Моим дедом был известный поэт Павел Григорьевич Антокольский (1896—1978). Его поэма «Сын» выразила горе миллионов родителей, чьи сыновья погибли сражаясь на Отечественной войне. Благодаря мне архив поэта сохранён. Вместе с моей женой Аней мы продолжаем публиковать и Павла Антокольского и Леона Тоома (1921—1969) — моего отца, оставившего после себя немало талантливых стихов.

На моём сайте http://www.de.ufpe.br/~toom вы можете найти многие из моих статей, включая статьи на русском языке, а также полный список моих публикаций в двух вариантах: на английском и португальском языках. У меня есть два электронных адреса: toom@de.ufpe.br и andretoom(a)yahoo.com

М.И. Шабунин,

проф. МФТИ

Неравенства на вступительных экзаменах в ВУЗы.

Опыт проведения вступительных экзаменов в вузы свидетельствует о том, что многие абитуриенты допускают ошибки при решении неравенств. Эти ошибки обычно связаны с тем, что исходное неравенство заменяется неравносильным (это происходит, например, при возведении обеих частей неравенства в квадрат без учета их знаков).

Обратимся к примерам.

Пример 1. Решить неравенство

А Обычный путь решения (его можно назвать аналитическим) состоит в том, что числовая прямая разбивается на промежутки, на каждом из которых знак неравенства можно опустить. Этим методом данное неравенство решено в книге И.Ф. Шарыгина. Сборник задач по математике с решениями (10 кл., изд-во ACT, 2001, с. 56).

Однако, более эффективным является графический метод решения. Если

построить графики функций

найти абсциссы общих точек х1 и х2 этих графиков (в данном примере

то из рисунка, на котором изображены эти графики видно, что график функции у = f(x) расположен выше графики функции У = g(x) на отрезке [х1, х2].

Пример 2. Решить неравенство

А Многие абитуриенты потратили немало усилий, используя традиционный метод решения, связанный с разбиением числовой прямой на промежутки, избавляясь от знака модуля.

Значительно упрощается решение, если воспользоваться тем, что неравенство |f(x)| > |g(x)| равносильно каждому из неравенств f2(x) > g2(x),

а затем применить метод интервалов.

Пример 3. Решить неравенство

Обычно такое неравенство заменяют равносильной ему совокупностью двух систем неравенств с учетом ОДЗ и знаков левой и правой частей неравенства. Графический метод решения быстрее приводит к цели и сводится к нахождению корня уравнения х2—2х — 3 = (х — 2)2 и построению графиков функций

Ответ:

Пример 4. Решить неравенство

А Нет необходимости избавляться от знака модуля, рассматривая случаи X > 0 и X < 0 .

Положим |х| = t и воспользуемся тем, что функция у = loga х определена при X > 0, является возрастающей при а > 1 и убывающей при 0 < а < 1.

Тогда исходное неравенство равносильно каждому из следующих двойных неравенств

Далее можно применить метод интервалов.

Ответ: 4 < |x| < 6.

Замечание. Многие абитуриенты допустили ошибку, заменив неравенство

на неравенство z < 1, вместо того, чтобы записать 0 < z < 1.

Рассмотрим логарифмическое неравенство с переменным основанием вида logf(x) g(x) > 0.

Это неравенство можно заменить равносильной ему совокупностью двух систем неравенств

а также равносильной ему системой неравенств

Пример 5. Решить неравенство

Неравенство равносильно совокупности систем

Решив эти системы, найдем множество решений исходного неравенства.

Ответ:

Хотелось бы сделать одно замечание, связанное с употреблением знаков равносильности и совокупности, которые часто встречаются на страницах пособий для абитуриентов и в журналах математического профиля.

Употребляя упомянутые знаки, многие абитуриенты допускают ошибки, особенно при совместном употреблени знаков системы и совокупности. Основываясь на многолетнем опыте вступительных экзаменов в МФТИ, хотел бы посоветовать учителям воздержаться при обучении школьников от использования записей, содержащих одновременно знаки систем неравенств и их совокупности.

В заключение рассмотрим пример системы неравенств с параметром (эта задача была предложена абитуриентам МФТИ в 2004 г.)

Пример 6. Найти все значения а , при которых система неравенств

имеет единственное решение.

А Запишем данную систему в виде

и построим графики функций

Эти графики пересекаются в точках с абсциссами

причем

Поэтому система не имеет решений при а < -1 и

Если E1 и E2 — множества решений соответственно первого и второго неравенств системы, то:

а) при 0 < а < множества E1 и E2 не имеют общих точек;

б) при -1 < а < 0 множество E1 n E2 — отрезок;

в) при а = 0 и а = -1 множества E1 и E2 имеют единственную общую точку (х = 0 и X = 1 соответственно).

Ответ: а = 0 и а = -1.

А.В. Шевкин

Школа № 679

Текстовые задачи и школьное обучение

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место и это почти исключительно российский феномен, одна из причин которого заключается в том, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания с их решениями. Обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.).

Так было и в России.

В других странах никогда не были так озабочены обучением детей решению текстовых задач, хотя у этого способа обучения имелись общие для всех стран традиции, идущие от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников. Почему так происходило?

На наш взгляд, в России не только переняли и развили старинный способ передачи математических знаний и способов рассуждений с помощью текстовых задач, но и научились формировать с их помощью важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, постановкой вопросов и поиском условий, из которых можно получить на него ответ, проверкой полученного результата.

Такая работа с задачами способствовала общему развитию учащихся, развитию логического мышления и языка, это повышало эффективность обучения не только математике. Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения, и им отводилось так много времени при обучении математике в школе. Кроме того, решение текстовых задач требует владения широким спектром учебных умений, достаточного логического мышления, а эти качества личности существенны для дальнейшего обучения, они и проверяются при поступлении в вузы, а это, в свою очередь, повышает внимание школы к текстовым задачам.

К середине 50-х годов XX в. текстовые задачи были хорошо систематизированы, методика их применения в учебном процессе разработана, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к текстовым задачам изменилось. Традиционные для российской школы арифметические способы решения задач посчитали анахронизмом, и перешли к раннему использованию уравнений. Качество школьного математического образования от этого только пострадало.

Опытные учителя уже тогда говорили, что теперь пострадает и геомет-

рия, задачи которой чаще всего формулируются в виде текста, а для их решения нужны умения, формировавшиеся раньше при разумном обучении решению текстовых задач. Ведь важной частью процесса решения арифметической, алгебраической и геометрической задачи является перевод информации с «языка» текста на «язык» арифметических действий, уравнений, геометрических образов.

Текстовые задачи являются мостиком, по которому обучающиеся переходят от действий с конкретными предметами к абстракциям. Младшие школьники решают задачи о конкретных объектах, в основном, определяя их число по так или иначе сформулированным условиям. При этом арифметическое решение дает возможность контролировать ход решения, соотнося получаемые результаты с условиями задачи. Такой способ учебной деятельности отвечает возрастным возможностям младших школьников. В то время как раннее использование уравнения слишком рано переводит деятельность ребенка на абстрактный уровень манипуляций с «иксами», правильность которых ребенок не может оценить, соотнося получаемые результаты с условиями задачи.

Старшие школьники решают задачи, в которых более важную роль играют процессы, протекающие с участием тех или иных объектов. Эта сторона дела так освещена у А.Л.Тоома: «Подобно животным в баснях, «реальные объекты» в этих задачах не следует понимать буквально. Это аллегории, умственные манипулятивы или овеществления, прокладывающие детям дорогу к абстракциям. Например, монеты, орехи и пуговицы легко отделить друг от друга и сосчитать, и поэтому они удобны для представления отношений между целыми числами. Самым младшим детям нужны реальные предметы, которые можно потрогать, более старшие могут их себе представить — это уже следующий шаг в интеллектуальном развитии. ... Насосы и другие механические устройства легко вообразить работающими в постоянном режиме. Задачи на производительность и скорость должны быть (и в России являются) обычными уже в средней школе.

Поезда, автомобили и корабли так широко представлены в задачниках не потому, что все ученики собираются заниматься транспортным бизнесом, но по иной, гораздо более здравой, причине: эти объекты легко представить себе движущимися с постоянной скоростью, и поэтому они подходят для овеществления представления о постоянном движении, что, в свою очередь, может служить овеществлением линейной функции.

Таким образом, мы можем вести детей все дальше и дальше по пути деконкретизации, то есть — развивать абстрактное мышление». [1]

Текстовые задачи являются важным инструментом стимулирования и воспитания самостоятельного, активного мышления, инструментом, с помощью которого можно переводить обучаемых от конкретного мышления

к абстрактному. Они позволяют развивать мышление и язык обучаемых, что является важным вкладом в создание условий для эффективного обучения по всем предметам.

Между тем, в настоящее время традиции разумного применения текстовых задач в процессе обучения почти утрачены.

Многие молодые учителя, обучавшиеся в школьные годы по учебнику Н.Я. Виленкина и др., сами плохо представляют, что такое арифметические способы решения текстовых задач.

На наш взгляд, для повышения эффективности процесса обучения математике и другим предметам нужно использовать традиционную методику обучения решению текстовых задач, разумно совершенствуя ее. Элементы этой методики, опирающейся на лучшие традиции старых мастеров и богатейший отечественный опыт, описаны в книге [2] и наиболее полно реализованы в учебниках «Арифметика, 5—6» серии «МГУ — школе» [3], [4]. Они опробованы на практике и поддерживаются учителями.

Литература.

[1] Тоом. А.Л. Текстовые задачи: приложения или умственные манипулятивы. — М.: Математика, 2004, № 47.

[2] Шевкин А.В. Обучение решению текстовых задач в 5—6 классах. Книга для учителя. — М.: ООО «ТИД “Русское слово — PC”», 2002. — 208 с.

[3] Арифметика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. — М.: Просвещение, 1999—2004.-255 с.

[4] Арифметика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. — М.: Просвещение, 2000—2004. — 270 с.

А.Д. Блинков

Школа №218

Почему я не вызываю учеников к доске...

Я работаю учителем математики почти 30 лет, и за это время мои представления о том чему и как надо учить школьников многократно изменялись.

Первые 15 лет я преподавал математику по единой для всей страны общеобразовательной программе, затем стал работать в основном в классах углубленного изучения математики, но не в «элитной школе», где при наборе в математический класс конкурс составляет 10—15 человек на место и отбираются самые одаренные школьники, а в обычной средней общеобразовательной школе, где такие классы на три четверти комплектуются из своих учеников.

Поэтому, большинство моих учеников — школьники обычных способностей, а ведущий критерий отбора — желание учиться. В раннем возрасте легче заложить базу для дальнейшего серьезного изучения математики и пробудить интерес к предмету, поэтому, я люблю начинать работать с детьми с пятого или с шестого класса и учить большинство из них до окончания школы. Мне удалось сделать три таких «полных» выпуска (еще один предстоит через год) и от работы с этими школьниками я получал и получаю наибольшее удовлетворение. Конечно приходилось начинать работу и с восьмого класса, и даже с десятого, что, с моей точки зрения, наименее эффективно.

За долгий период работы сложилась определенная манера преподавания, сформировались какие-то приоритеты, сломались некоторые стереотипы. Уже в самом начале работы в школе мне очень не нравилась ситуация, характерная для системы всеобщего среднего образования, когда учитель заинтересован дать знания больше, чем ученик их получить. При этом никакие насильственные меры не приводили к улучшению ситуации: не помогали ни жесткий контроль за домашними заданиями, ни обязательные дополнительные занятия, ни выставление плохих оценок.

Постепенно я понял, что затертые казенные слова: «... урок — основная форма учебно-воспитательного процесса ...» несут в себе глубокий смысл. На первый взгляд парадоксально, но подготовка к урокам в последние годы у меня занимает гораздо больше времени, чем в начале учительской карьеры. Я должен очень четко и конкретно представлять себе чему я на данном уроке хочу научить, с какими знаниями и умениями с моего урока уйдут школьники. Ученикам должно быть интересно, но этот интерес должен достигаться не за счет внешних эффектов или искусственной за-

нимательности. Интересно должно быть математическое содержание урока, интересными для учеников должны быть результаты собственной деятельности.

В методике преподавания математики в школе (особенно в советский период) приходила и уходила мода: то на повальное использование технических средств обучения, то на всевозможные игры на уроках, мода на лекционно-семинарский метод сменялась модой на ежедневную самостоятельную работу с учебником, и т. д. В моей работе основными техническими средствами обучения являются доска, мел и тряпка. Лекций на уроках я читать не люблю, так как мне необходим постоянный диалог с учениками, хорошие учебники, которых, к сожалению, очень мало, они могут читать и не на уроках, а плохие — не стоит читать вообще.

Основным инструментом в обучении для поддержания интереса к математике, по моему убеждению, является логика. Это и логика изучения математики в целом, и логика изучения каждой отдельной темы, и логика построения каждого урока, и логика решения той или иной задачи. Такой подход требует тщательного отбора материала к каждому уроку. Искусство преподавателя состоит в том, чтобы достичь результата экономными средствами. Мне претят «экстенсивные способы обучения»: понятно, что можно научить решать, например, тригонометрические уравнения, если заставить школьника решить двести уравнений, но гораздо разумнее и интереснее отобрать существенно меньшее количество уравнений и добиться того же эффекта!

Для того, чтобы школьники ощущали «ценность» урока, он должен быть максимально насыщенным, эмоциональным. На хорошем уроке ученики чувствуют отношение учителя к тому, что он преподает, им передается его восхищение красивыми математическими фактами или изящным способом решения задачи.

Многое из того, что сказано, относится и к другим видам обучения математики — кружкам, факультативным занятиям (ими я также занимаюсь много лет), но эти формы работы со школьниками не ограничены жесткими временными рамками и не требуют обязательных результатов обучения. Обязательных дополнительных занятий, куда насильственно приглашаются слабоуспевающие ученики, я не провожу, но выделено время для консультаций (чаще всего до уроков, с утра), когда учащиеся могут прийти ко мне со своими вопросами.

Каждый урок в моем нынешнем представлении — маленький спектакль со своим вступлением, кульминацией и развязкой. Я привык его начинать точно со звонком, поэтому прихожу в класс с началом перемены, настраиваюсь и готовлю все необходимое. Все мои ученики, коллеги и админист-

рация школы давно привыкли к тому, что ко мне в класс нельзя войти во время урока или отвлечь меня каким-то иным образом. Это также невозможно, как войти в зрительный зал во время спектакля! Ученики моего первого выпуска до сих пор вспоминают, что за 7 лет моей работы с ними урок математики был отменен только один раз (ни они, ни я уже не помнят по какому поводу).

Уже много лет я не проверяю наличие домашних заданий и мои ученики знают, что любое домашнее задание они имеют право не делать или могут сделать только ту его часть, которую сочтут для себя необходимой. При этом каждый урок начинается с того, что я спрашиваю: «Какие у вас вопросы по домашней работе?» и все заданные ими вопросы обсуждаются. Каждое домашнее задание содержит также одну дополнительную задачу «олимпиадного уровня», как правило, тематически связанную с изучаемым материалом. Школьники, решившие такую задачу, могут перед началом урока предъявить свое решение в письменном виде. За каждые две решенные дополнительные задачи ученик получает пятерку.

На самом уроке все подчинено успешному освоению учебного материала, оценки на уроках не ставятся, поэтому нет необходимости вызывать учеников к доске. Для чего обычно вызывают к доске? Для того, чтобы ученик рассказал то, что он выучил или для того, чтобы он решил «с ходу» какую-то задачу. В первом случае неясно чем занимаются остальные школьники: если слушают, то это, как правило, малоэффективный вид работы, а если делают что-то другое, то зачем ученику у доски говорить вслух? Во втором случае, чаще всего из-за недостатка времени, учитель помогает ученику решить задачу, а затем ставит оценку за то, насколько быстро ученик улавливает ход мысли учителя! При этом, значительная часть класса не решает задачу, а переписывает ее с доски.

Решать задачу ученику гораздо комфортнее в тетради, сидя на своем месте. Если школьник хочет высказать свое суждение по обсуждаемому теоретическому вопросу или по решению задачи, то ему дается такая возможность, и он это делает, сидя на своем месте. При необходимости я сам могу воспроизвести на доске то, что говорит школьник, причем сделаю это четко, акцентируя внимание на существенные шаги решения и опуская ненужные подробности. Таким образом — я работаю на доске, а ученики — в тетрадях. При обсуждении теоретического материала, я стараюсь постепенно заполнять доску, ничего не стирая, так, чтобы к концу этой работы можно было по записям на доске восстановить всю логику рассуждений. Мои ученики привыкли, что центральная часть доски отводится под теорию; левое «крыло» — под вводные, устные задания; правое «крыло» — под задания, которые им предстоит выполнить на уроке. Если я хочу, что-

бы ученики после самостоятельного решения задачи проверили свои записи, то записываю решение задачи на обратной стороне «крыла».

Поскольку над школьниками на уроке не висит постоянный «призрак оценки», они — раскрепощены, не боятся высказывать свои суждения. За что же ставятся оценки? Прежде всего за текущие письменные самостоятельные работы. Они проводятся, в среднем, один раз в неделю, продолжительностью от 15 до 45 минут каждая. Для экономии времени, большая часть работ по геометрии проводится на заготовленных листах, где уже записаны условия задач и выполнены чертежи. Тексты остальных работ также выдаются учащимся в виде компьютерной распечатки. В случае, если самостоятельная работа написана учеником неудачно и на то есть объективные причины (болезнь, переутомление, случайный «срыв» хорошо успевающего ученика и пр.) оценка за работу в журнал не выставляется. При этом я являюсь противником, так называемого, «переписывания» самостоятельных и, тем более, контрольных работ, поскольку это снижает уровень ответственности школьников за свою подготовку.

В обязательном порядке выставляются все оценки за письменные контрольные работы по итогам темы. Эти работы содержат «многошаговые» задания, каждое из которых, в зависимости от сложности, оценивается определенным, оговоренным в тексте работы количеством баллов. Тем самым существует возможность оценить не только полное решение задачи, но и любое существенное продвижение. Максимальное количество баллов, которое может набрать школьник, выполняя каждую из таких работ, равно 40. Составление такой контрольной работы предусматривает одновременную разработку учителем критериев оценки (в баллах) каждого задания. Применение такой системы оценки знаний учащихся позволяет сделать эту оценку максимально объективной и дифференцированной. Последнее — особенно существенно, так как при оценке работы школьника по традиционной пятибалльной системе, гораздо труднее как сравнить между собой достижения разных учащихся, так и проследить динамику «роста» каждого из них. Сказанное не исключает выставление в классные журналы и дневники учащихся традиционных оценок за контрольные работы, которые определяются следующим образом: «5» — 38—40 баллов (выполнено верно — не менее 95% работы); «4» — 30—37 баллов (не менее 75%); «3» — 22—29 баллов (не менее 55%).

Каждая самостоятельная или контрольная работа обязательно содержит дополнительную (не обязательную часть), которая выполняется желающими при наличии времени и за которую выставляются только хорошие и отличные оценки. Часть этих заданий плавно «перекочевывают» в необязательное домашнее задание.

Помимо этого, в курсе геометрии (начиная с 8 класса) и в курсе алгебры и математического анализа (начиная с 10 класса) проводятся тематические зачеты по теории. Среди преподавателей математических школ и классов, комплектующихся за счет математически одаренных детей, преобладает точка зрения, что знания по теории учащиеся наиболее эффективно получают в процессе самостоятельного доказательства теорем и решения задач, содержащих важные математические факты, а поэтому их усвоение не требует какого-то дополнительного контроля (система, так называемых, «листочков»). Возможно для таких учащихся это и справедливо. Основной контингент моих учеников составляют учащиеся со средними способностями и не очень высокой степенью начальной подготовленности. Работать с ними по системе «листочков» — означает поставить многих школьников в ситуацию постоянного «неуспеха». Поэтому, в процессе уроков я достаточно подробно обсуждаю с учениками вводимые определения, доказательства теорем и решения базовых задач. Отмечу также, что из-за большой насыщенности программного материала время на уроках весьма дефицитно и вряд ли целесообразно тратить его на опрос отдельных школьников. К тому же, нельзя не учитывать большую нагрузку учащихся и различную скорость освоения ими программного материала, что (даже при наличии времени на уроке) вряд ли делает разумным опрос учащихся по всему материалу предыдущего урока.

Я категорически не приемлю проведение обязательных учебных мероприятий во внеурочное время, поэтому разработал следующую систему проведения зачетов. Не менее, чем за три недели до проведения зачета учащиеся получают список всех основных вопросов темы. За несколько дней до зачета организуются одна — две консультации для тех, кому они нужны. Эти консультации проводятся во внеурочное время, но обязательными ни в коей мере не являются! Непосредственно для проведения зачета класс делится на две подгруппы. Зачет проводится на сдвоенном уроке и совмещен по времени с контрольной работой по последнему из пройденных разделов этой же темы. На каждом из двух уроков одна подгруппа пишет контрольную работу, другая в это время сдает зачет. Таким образом, за один сдвоенный урок каждый ученик класса получает две оценки по теме. Естественно, что в одиночку я не в состоянии за два урока опросить весь класс. На помощь приходят коллеги-учителя математики школы, а также мои выпускники — студенты математических факультетов Вузов. Для проведения зачетов в 8—9 классах иногда привлекаются и старшеклассники.

Мною проводится предварительная работа с принимающими зачет: уточняется, на что прежде всего следует обращать внимание в процессе опроса учащихся и совместно составляется список дополнительных вопро-

сов творческого характера. Количество принимающих зачет должно быть таким, чтобы каждый из них опрашивал за 45 минут не более, чем двух-трех учеников. Сам я, как правило, не участвую непосредственно в опросе, чтобы иметь возможность организовывать работу в целом и решать спорные вопросы. Это, помимо прочего, повышает объективность оценки знаний школьников, так как у любого учителя в процессе обучения складывается представление об уровне знаний того или иного ученика, что мешает ему объективно оценить его конкретный ответ по конкретной теме.

Каждая карточка (билет) содержит два или три вопроса, часть из которых носит более прикладной характер. Содержание этих вопросов в той или иной степени разбиралось с учащимися в процессе изучения темы. Поэтому полное воспроизведение билета, как правило, обеспечивает оценку «4». Для получения пятерки, чаще всего, необходимо ответить и на дополнительный вопрос. Характер этих вопросов учащимся заранее неизвестен. Естественно, что дополнительные вопросы уточняющего характера могут быть заданы учащимся и в процессе их ответа на вопросы билета, если в этом возникает необходимость. Ученики, не сдавшие зачет, обязаны пересдать его уже во внеурочное время. Для повышения ответственности учащихся за свою подготовку пересдавать положительные оценки (с целью их повышения), как правило, не разрешается.

В последнее время, с появлением компьютерных технологий, появилась возможность сделать свою работу еще более эффективной. Ученики, пропустившие те или иные уроки, могут в любое время получить у меня подробные распечатки текстов этих уроков, а накануне зачета — все желающие могут получить (на дискету или по электронной почте) копии файлов всех уроков по теме.

Кроме того, с помощью коллег и выпускников созданы обучающие и диагностические тесты для ряда тем углубленного курса математики 8—9 класса. За несколько дней до проведения тематического зачета учащиеся имеют возможность пройти соответствующее компьютерное тестирование. В результате этого тестирования школьник получает оценку компьютера (которая никуда не заносится, а служит только для самоконтроля), распечатку своих ответов на вопросы и распечатку верных ответов. Такая работа позволяет школьникам выявить пробелы в своих знаниях и устранить их.

Об экзаменах: по окончании 7, 8 и 10 классов мои ученики сдают обязательные письменные экзамены по алгебре (алгебре и математическому анализу), которые я составляю по той же схеме, что и контрольные работы (в 9 и 11 классах предусмотрены соответствующие государственные экзамены).

По геометрии в 9 и 11 классах я провожу устный экзамен. Для части школьников он проходит в традиционной форме (по билетам), но в любом

классе у меня есть учащиеся, более «продвинутые» по сравнению со своими одноклассниками. Для этой категории учеников традиционная форма сдачи устных экзаменов не представляет каких-либо трудностей, следовательно, подготовка к ним не дает возможностей для их дальнейшего развития. Сама же традиционная форма экзамена оставляет им мало возможностей продемонстрировать глубину своих знаний по предмету. Поэтому этим школьникам я предлагаю сдавать экзамен по геометрии в форме «защиты реферата». Практика показывает, что в одиннадцатых классах учащихся, выбравших данную форму, оказывается больше, чем в девятых, так как подобная форма работы требует еще и достаточно высокой гуманитарной культуры.

Приведу несколько конкретных примеров тем экзаменационных рефератов. Планиметрия (9 класс): «Три загадочные точки в треугольнике», «Окружности, вписанные в сегменты, и касательные», «Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями», «Композиции геометрических преобразований на плоскости», «Инверсия на плоскости и ее приложения», «Биссектрисы и трисектрисы», «Аксиоматика и ее модели». Стереометрия (11 класс): «Описанные шары», «Вписанные шары», «Сечения в пространственных фигурах», «Геометрия на сфере», «Ортоцентрический тетраэдр, его свойства и признаки», «Равногранный тетраэдр, его свойства и признаки», «Правильная пирамида с совпадающими центрами вписанных и описанных шаров».

Независимо от темы, каждая работа включает в себя:

1) Введение, где показана значимость выбранной темы для ученика. Возможно описание предыстории некоторых классических задач и методов, которые встретятся в работе.

2) Основную часть, где даются все используемые в дальнейшем определения, рассматриваются доказательства теорем, приводятся примеры и т.п.;

3) Практическую часть, где показываются разнообразные применения теории и приводятся решенные задачи;

4) Заключение, где указывается место данной темы в курсе геометрии и возможные межпредметные связи;

5) Оглавление и список использованной литературы.

Темы, предлагаемые для рефератов можно условно разделить на три типа:

1) «классификационный», позволяющий его автору обобщить материал, изучаемый в различных разделах геометрии и в различное время;

2) «познавательный», позволяющий его автору изучить внепрограммный теоретический материал и показать его применение к решению задач основного курса;

3) «исследовательский», где основным содержанием реферата является цепочка задач, решаемых автором самостоятельно.

Реферат «классификационного» типа предполагает обоснование принципа выбора классификации, ее полноту и достаточно высокий уровень обобщения программного материала (желательно изложение и сравнение различных классификаций). В лучших рефератах этого типа прослеживается наличие внутренней связи между внешне далекими понятиями и хорошо видно место, которое в школьном курсе геометрии занимают основные объекты классификации.

Реферат «познавательного» типа подразумевает изучение его автором достаточно сложного теоретического материала, далеко выходящего за рамки программы. В итоге должны быть собраны воедино и доступно изложены основные положения изученного, приведены яркие и «выпуклые» примеры, иллюстрирующие характерные идеи и методы. Желательно, чтобы автор отметил возможность практического применения изложенных идей в областях, казалось бы, далеких от математики.

Реферат «исследовательского» типа требует от автора гораздо большего объема самостоятельной работы. Его основой является исследование свойств и признаков выделенного класса фигур. Материал излагается в виде логически связной цепочки задач, что и определяет глубину исследования. Заключительная часть работы должна содержать обоснование перспективы развития темы.

Необходимо подчеркнуть, что любой реферат, независимо от типа, должен обязательно содержать задачи, решенные его автором самостоятельно.

Работой школьников руководят консультанты: учителя математики или студенты.

Готовый вариант реферата отдается на рецензирование. Экзаменационная комиссия расширяется за счет приглашаемых специалистов и методистов. Экзамен является «открытым», на нем присутствуют желающие одноклассники, учителя школы, представителя вузов и т.д.

В процессе защиты ученик не воспроизводит полностью свою работу, а кратко излагает содержание реферата, подробно останавливаясь на наиболее существенных моментах, акцентируя при этом внимание на какой-либо проблеме, которую ему пришлось решать самостоятельно. По окончании сообщения автора зачитывается рецензия, после чего члены комиссии задают вопросы. Их цель — выяснить глубину освоения учеником материала и насколько свободно он в нем ориентируется. Защита реферата одним учеником занимает, как правило, от 30 до 45 минут.

Экзаменационная комиссия не ограничивается цифровой оценкой учащегося, а подробно характеризует достоинства и недостатки как самого реферата, так и процесса его защиты.

Совместную работу учеников, учителей и других участников процесса написания и защиты реферата, можно рассматривать как модель исследовательской деятельности в рамках общеобразовательной школы. При удачном осуществлении всех этапов этой работы, учащийся «поднимается» на качественно иной математический уровень, чего не происходит в случае традиционной формы подготовки и сдачи устного экзамена.

Многие мои ученики в дальнейшем выступали с этими же работами на различных научно-практических конференциях школьников.

Описав нетрадиционную форму экзамена по геометрии, я остановился только на одном аспекте внеурочной деятельности. Остальные формы работы более традиционны, это участие моих учеников, начиная с самого раннего возраста, во всевозможных олимпиадах, и математических конкурсах. Некоторые из этих олимпиад (математические регаты, весенний турнир Архимеда) были придуманы мною и моими коллегами для реализации прежде всего учебных целей и ориентированы они не на «особо одаренных», а на самых обычных школьников. Этим, в частности, объясняется и то, что названные соревнования являются командными. Многие школьники, которые еще не «созрели», чтобы решить несколько достаточно сложных задач на какой-то личной олимпиаде, с успехом работают в команде, решая задачи какой-то одной тематики, «генерируя» идеи, которые доводят до конца другие члены команды и т. д.

Групповую форму работы я применяю и в летнем математическом лагере, куда традиционно выезжают желающие старшеклассники нашей школы на протяжении последних восьми лет. Цель занятий в лагере — приобретение навыков решения олимпиадных задач, и, посредством этого, — углубление знаний учащихся в некоторых разделах математики.

На все время проведения занятий учащиеся разбиваются на постоянные команды по 4—5 человек, максимально равноценные по своим математическим возможностям. После объявления темы занятия и, если это необходимо, краткой вступительной беседы, каждая команда получает лист — задание, который содержит семь задач: 5 для «классной» и 2 для «домашней» работы. По каждой теме задачи подбираются так, чтобы в процессе их решения и в последующем обсуждении можно было затронуть наиболее существенные аспекты данной темы, а также продемонстрировать приемы, «типичные» для решения задач данной тематики. Задачи одного листа должны быть максимально разнообразны по трудности и содержанию. Условная «ценность» задач отмечается в баллах. Это позволяет чле-

нам команды распределить задачи между собой так, чтобы каждый решал то, что соответствует его реальным возможностям.

На решение задач командам отводится 75—90 минут, по истечении которых каждая команда подает «заявку» с номерами тех задач, которые его команда решила и готова рассказывать. Исходя из поданных заявок, преподаватель определяет для каждой команды задачи, на которые она имеет приоритет в изложении решения, стараясь предоставить всем максимальные возможности для выступления. На разбор остальных задач каждая команда имеет право выставить оппонента. В функции оппонента, как обычно, входит возможность задавать вопросы докладчику из другой команды, а также возможность опровергать неверные решения. Если одна и та же задача решена разными командами и способы решения принципиально различаются, то заслушиваются представители всех решивших её команд с сохранением за другими командами права на оппонирование. Как за рассказ решения задачи, так и за оппонирование, команда может получить баллы, исходя из объявленной ценности задачи. Если же задача не была решена ни одной из команд, то ее решение разбирает учитель, но и в этом случае командам могут быть начислены какие-то баллы за высказанные верные идеи.

В отличие от похожей процедуры на математическом бое, сумма баллов, полученных командами за одну задачу может превышать ее «ценность»: например, если задача «стоит» пять баллов, то одна команда может получить 4 балла за верное решение с некоторым недочетом, другая — 5 баллов за другой способ решения, а третья команда — 2 балла за грамотно поставленные вопросы, даже если на какие-то из них докладчики сумели ответить. Кроме того, на тематических занятиях жестко не ограничивается количество раз, которое один и тот же член команды может выступать в качестве докладчика или оппонента.

Решения домашних задач сдаются в письменном виде до начала следующего занятия, проверяются по критериям письменной олимпиадной работы, и за них также начисляются баллы. Перед началом каждого занятия подводится итог соревнования по предыдущей теме, то есть объявляется и награждается команда, набравшая наибольшее количество баллов. Аналогичные итоги подводятся по прошествии каждой недели, в конце которой проводится математическая регата, и по окончании лагерной смены (перед проведением итогового математического боя).

Отдельно остановлюсь на привлечении студентов-математиков к учебному процессу. Эта идея является традиционной для многих математических школ, особенно там, где действует система «листочков». В рамках такой системы студенты становятся преподавателями предмета, обычно

называемого «Дополнительная математика», причем иногда — ведущими. Такая практика мне представляется спорной, поскольку, на мой взгляд, решающую роль в обучении играет совокупность многих личных и профессиональных качеств учителя, которое обычно называют «мастерством». Приобретается оно постепенно, в том числе, и работой с различными категориями школьников (а не только с одаренными). В силу возраста и небольшого опыта, ограниченного, как правило, работой с одним классом, мало кто из студентов успевает это мастерство приобрести.

При этом сама идея общения школьников и студентов на «почве математики» является весьма плодотворной, и приносящей много пользы обеим сторонам. В частности, школьники лучше видят свою «ближайшую перспективу». В моей практике студенты, многие из которых являются моими выпускниками, выступают скорее в роли ассистентов: ведут математические кружки, принимают зачеты, консультируют школьников при подготовке исследовательской работы и пр.

В заключение хотелось бы подчеркнуть, что эти заметки — взгляд только одного из двух равноправных участников педагогического процесса — учителя. Понятно, что очень много в успешности процесса обучения зависит от ученика. Будучи молодым учителем, я придавал большое значение математической одаренности школьников, с годами — все больше ценю желание учиться и способность трудиться. В моей практике было множество примеров, когда успеха достигали не самые способные ученики, а те, кто больше этого хотели.

Свой долг я вижу в том, чтобы максимально помочь тем школьникам, которые хотят знать математику.

М.М. Галламов

Дополнительное математическое образование.

Представим себе всю элементарную математику в виде ареала, в котором работают ученики и учителя. Этот ареал очень разнообразен, в нем есть дикие неисследованные места (комбинаторная геометрия), благоустроенные скверики (квадратный трехчлен), обширные парки (геометрия треугольника), лесопарки (теория неравенств), игровые площадки (задачи на смекалку, математические игры), аттракционы (головоломки, ребусы, магические квадраты), спортивные площадки (олимпиадная математика). Имеются нахоженные тропинки (стандартные методы решения) и не очень (нестандартные методы), есть даже места, где «не ступала» мысль исследователя (если бы «ступала», остались бы следы — теоремы). То, что наиболее благоустроено, обжито и окультурено входит в школьную математику, а остальное — и есть дополнительное математическое образование (ДМО).

Теперь выясним, что же осталось от элементарной математики для ДМО? Много или мало? Если сравнить нынешнюю школьную математику с островом, то это очень небольшой островок (каких-то 20 тем!), причем основное содержание этих тем находится за пределами острова. К сожалению, для большинства школьников территория вне острова останется белым пятном с небольшими точками на всю жизнь. Эти точки появились как результат случайного посещения математического кружка, олимпиады, прочтения какой-нибудь книжки. Территория элементарной математики вне островка школьной все время расширяется, на ней имеется много белых пятен, недоказанных теорем, нерешенных задач.

Задача ДМО — помощь в освоении этой территории всем желающим или, по крайней мере, помощь в освоении карты. Изучение элементарной математики, «за пределами стандарта» дает настоящее (качественное) математическое образование, и, что даже важнее, формирует математическое мышление и культуру, творческие качества личности, развивает способности. А главная цель — подготовка для обучения (не поступления — с этим проблем не будет) в ведущих вузах страны, причем не только по математике, но и по другим, например, по гуманитарным специальностям, включая юридические, экономические и медицинские.

Перейдем теперь к описанию содержательной части ДМО, рассчитанной на учащихся 5—9 кл. Отметим, что каждый раздел плавно подводит обучаемого к материалу, изучаемому в высшей школе (либо к проблеме, пригодной для самостоятельного исследования).

Это следующие разделы: 1) арифметика; 2) числа; 3) дискретная математика; 4) алгебра; 5) анализ; 6) теория вероятностей и математическая статистика; 7) наглядная геометрия; 8) планиметрия; 9) комбинаторная геометрия; 10) дискретная геометрия; 11) топология; 12) математические рассуждения; 13) логика; 14) приложения математики; 15) история математики.

Для более полного представления распишем тематику некоторых разделов. Например, в разделе арифметика рассматриваются следующие темы: 1) системы счисления (формы записи чисел): позиционная (n-ичная), фибоначиева, факториальная; применение систем счисления к задачам теории информации (взвешивание и отгадывание числа), оптимизации и теории игр; 2) простые и составные числа (основная теорема арифметики, алгоритм Евклида и цепные дроби, совершенные и дружественные числа, числа Ферма и Мерсенна, фигурные числа, установление простоты числа, решето Эратосфена, генераторы простых чисел, некоторые методы решения диофантовых уравнений, основанные на делимости и т.д.; 3) Сравнения (арифметика сравнений по модулю, малая теорема Ферма, теорема Вильсона, применение сравнений к решению диофантовых уравнений, составление расписаний и магических квадратов, сравнения в лингвистике); 4) Диофантовы уравнения (линейные, нахождение пифагоровых троек, уравнения Пелля, методы решения: разложение на множители, остатков, сравнений, бесконечного спуска, цепных дробей); 5) Приложения; 6) Исследовательские задачи.

Раздел дискретной математики наиболее обширный и разнообразный, который включает в себя следующие темы: 1) четность; 2) комбинаторика; 3) принцип Дирихле; 4) графы; 5) игры; 6) раскраски; 7) конструкции; 8) целочисленные решетки; 9) магические квадраты; 10) рекуррентные соотношения; 11) многоугольные числа; 12) алгоритмы; 13) конечные геометрии; 14) головоломки; 15) числовые ребусы; 16) математика на шахматной доске. Этот список тем Вы можете пополнить с учетом пожеланий учащихся и Ваших интересов. Но также, не забудьте пополнить этот раздел темами: приложения и исследовательские задачи. Теперь Вы ощутили содержательную часть ДМО?

Но как это реализовать практически? В этой статье предлагается одна из форм реализации ДМО в виде воскресных математических школ (ВМШ) для средней школы.

Полный курс обучения в ВМШ — 5 лет, начиная с V и заканчивая IX классом. Дети одной параллели формируются в группы по 20—25 человек.

В ВМШ целесообразно набирать учащихся V—VIII классов (в IX класс уже поздно, так как одного года обучения мало). Занятия проходят, как

правило, на базе какой-нибудь школы по воскресеньям. Аудиторное занятие в V-VI классах длится два урока по сорок минут; первый — арифметика, начала алгебры и дискретной математики, второй — геометрия; занятие в VII—VIII классах — три урока по сорок минут, первые два — арифметика, начала алгебры и дискретной математики, третий — геометрия и топология.

Каждая тема изучается два-три занятия, послойно, что позволяет избежать нежелательных перегрузок (не забывайте, что дети занимаются в ВМШ в свой выходной день). После каждого занятия выдаются 2—3 задачки для домашней работы, а на предпоследнем занятии по теме выдаются индивидуальные задания. В V—VI классах всего 10—12 заданий, в VII—VIII классах — 15—18 заданий. Задания не обязательны: дети их выполняют по желанию. Посещение занятий свободное. Каждую неделю (обычно в четверг) принимаются индивидуальные задания (устно, 2—3 часа, по очереди). Прием индивидуальных заданий — важная часть работы, так как материал необычен и труден, особенно поначалу и обратная связь совершенно необходима, поскольку каждому ребенку, как правило, требуется помощь.

После изучения пяти-шести тем происходит «возвращение» к одной из старых тем, для изучения «нового слоя темы», причем старые темы комбинируются с новыми.

Мы познакомились с двумя формами работы ВМШ, а всего их пять.

Третья форма — это исследовательская и творческая работа, которая включает в себя изучение литературы, работу над исследовательскими задачами, подготовку докладов, рефератов и выступление на конференции.

Исследовательская и творческая формы работы — наиболее трудоемкие и индивидуальные. Как правило на первом году обучения идет только подготовка к этой форме работы, в основном, во время устного приема задач. Учебный план ВМШ в обязательном порядке должен включать проведение конференции, на которой учащиеся рассказывают о своих исследованиях и самостоятельном изучении литературы. Эту конференцию лучше всего приурочить ко дню науки (24 апреля). Темы исследовательских работ должны быть таковы, чтобы, была доступна необходимая литература, была возможность получить необходимую консультацию у специалиста и эти темы были бы Вам близки.

Четвертая форма — математические соревнования (олимпиады, турниры и т.д.). Турниры, осуществляются на каникулах в течении двух — трех дней. В турниры в обязательном порядке включается заключительная олимпиада за четверть в письменной форме. Другие виды турниров должны быть командными. Так, например, математическая регата, где дети объединяются в команды. Такие виды турниров не только улучшают эмо-

циональный и психологический климат в ВМШ, но и формируют единый коллектив. Этот фактор очень важен для ВМШ, так как дети из разных школ не знают друг друга.

Каждый вид работы оценивается в баллах, которые заносятся в специальный журнал. В конце четверти баллы суммируются и подводятся итоги.

Учебный год в ВМШ завершается летней математической школой (ЛМШ) — это пятая форма работы. О ней необходим отдельный разговор. Здесь только скажу, что лучше всего проводить выездную ЛМШ.

Итак мы познакомились с организационными формами обучения в ВМШ. Но какую же использовать методику преподавания при изложении столь сложного и объемного материала? Попытаемся ответить на этот вопрос с учетом личного опыта организации, преподавания и осуществления всех форм обучения в ВМШ.

Первая проблема преподавания в ВМШ как всё это донести до основной части учащихся в ВМШ, а не до избранных. С этой целью можно использовать методику погружения, основанную на наполнении понятий таким содержанием и создание таких образов, вследствие чего дети должны воспринимать изложенный материал как само собой разумеющееся, то есть естественно. В течение трех — четырех месяцев происходит погружение, осознание учащимися, того с чем они столкнулись. В этот период на первый план выходит наполнение содержанием понятий и образов, на второй план технические приемы и способы, методы решения и даже теоремы с доказательством. Дети должны «пропускать через себя» все встречающиеся понятия посредством подробнейшего разбора решений задач. При этом задачи выступают не в качестве средства закрепления и усвоения материала, а для формирования и пополнения содержания понятий и образов, а главное, в этом процессе раскрываются наиболее ярко индивидуальные особенности психики ребенка, что для преподавателя ВМШ наиболее важно. Чем глубже преподаватель увидит особенности ученика, тем проще ему излагать материал; ученик и преподаватель будут понимать друг друга с полуслова. При такой ситуации программа уже не будет сверхобъемной. Вспомните, как обучают первоклассников — их не сразу обучают складывать числа, а вначале знакомят с ними через счет и сложение предметов, и, когда числа и сложение стали для них родными, уже начинают совершать над ними математические операции.

Покажем, как метод погружения можно реализовать на примере чередования (чередование обычно относят к теме четность). Для изложения этого материала, поначалу кажется, нет необходимости в методе погружения — настолько все знакомо и часто встречающееся чередование — чередуются числа по четности, чередуются цвета на шахматной доске и, во-

обще, какая может быть здесь математика? Это первый вопрос, который говорит о необходимости наполнения определенным содержанием понятий и формирования соответствующих образов.

Начнем с анализа понятия четность. Вы скажете, что может быть проще этого понятия? Не торопитесь. Если на понятие четность взглянуть с точки зрения симметрии, которая Вам знакома из геометрии, то эта четность выглядит уже по другому. Напомним, что симметрия основана на том, что для каждой точки существует ей симметричная, т.е. на основании некоторого свойства точка (элемент) фигуры (множества) объединяется в пару с другой точкой (элементом) и эти точки (элементы) объявляются симметричными. Рассмотрим натуральный ряд. Все нечетные числа выпишем в столбец слева, а четные — справа. Правый столбец получается из левого прибавлением к каждому числу единицы. Исходя из аналогии с симметрией, числа 1 и 2, 3 и 4, и т.д. объявим «симметричными».

В задачах на чередование обычно рассматриваются процессы с периодическими повторяющимися состояниями системы. Не забывайте, что понятие процесса, периодичности состояний системы необходимо также пояснить посредством наглядных образов. Основная трудность в задачах такого сорта — установить характеристическое свойство системы, которое принимает ровно два значения и доказать, что при переходе системы из одного состояния в другое одно значение характеристического свойства сменяется другим значением, т.е. эти значения чередуются. Обозначим одно значение свойства через А, а другое — через В. Тогда этот процесс представим в виде диаграммы при четном числе шагов:

При нечетном числе шагов:

Тем самым мы свели чередование значений характеристического свойства системы к чередованию чисел: четное — нечетное. Обратите внимание, если мы рассмотрим «симметричные» числа и соответствующую им цепочку из диаграммы, то получим

Эта картинка ближе к понятию симметрии. Разберем несколько задач.

Задача 1. Может ли прямая не содержащая вершин пятиугольника пересечь все его стороны?

Решение состоит из двух обязательных частей в методе погружения.

Первая часть предполагает наполнение содержанием понятий и формулирование образов.

1. Отрезок как часть прямой, заключенная между двумя точками этой прямой. Сравнить с аналогичным понятием дуги на окружности.

2. Определение ломаной, вершины, звена, замкнутой ломаной дают сами ученики проговаривая то, как они изображают ломаную.

3. Прямая разбивает плоскость на 2 части. Точки расположены по одну сторону от прямой, если отрезок, соединяющий эти точки не пересекается прямой, в противном случае точки расположены по разные стороны прямой. Рассмотрите вместо прямой другие линии: окружность, параболу, гиперболу. Определите фигуры, лежащие по одну сторону.

4. Наиболее трудный и принципиально важный математический факт: замкнутая ломаная без самопересечений разбивает плоскость на 2 части: ограниченную и неограниченную. При изложении таких глубоких математических фактов рекомендации бесполезны. Здесь все определяется математической культурой преподавателя. Вы должны подобрать такие образы, обратиться к истории математики и примерам на сфере, цилиндре, торе, листе Мебиуса, чтобы дети на интуитивном уровне осознали, что этот факт требует доказательства, несмотря на его «очевидность» и наглядность. Имейте в виду, что этот математический факт можно дать в качестве исследовательской работы.

Вторая часть: решение.

Выберем на прямой такую точку М, что прямая, перпендикулярная к прямой а в этой точке не имеет общих точек с прямоугольником а. Следовательно, а лежит по одну сторону от b. Далее двигаемся по прямой а от M в направлении пятиугольника. При первом пересечении со стороной пятиугольника мы перейдем из внешней области во внутреннюю, при втором — во внешнюю. Тем самым мы установим характеристическое свойство системы и принадлежность точки, движущейся по прямой, к одной из частей плоскости, на которые пятиугольник разбивает плоскость. Это характеристическое свойство принимает только два значения — принадлежность к внутренней или внешней части плоскости; пересечение стороны прямоугольника соотетствует шагу процедуры. При каждом пересечении стороны пятиугольника значение характеристического свойства меняется. Если бы наша прямая пересекала все стороны пятиугольника то мы получили бы следующую диаграмму:

Видно, что после последнего, пятого шага, точка всегда будет находиться во внутренней части плоскости, которая ограничена. Вследствие

того, что расстояние от точки M постоянно увеличивается, точка выйдет за пределы внутренней части. Следовательно, мы пришли к противоречию. Значит прямая не может пересекать все пять сторон пятиугольника.

Замечание. Не забывайте прививать культуру математических обозначений и умение оперировать ими.

Задача 2 (для апробации метода погружения). Та же самая задача для замкнутой пятизвенной самопересекающейся ломаной.

Задача 3. Три кузнечика на прямой играют в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 2005 прыжков оказаться на своих местах?

Решение, часть 1.

1. Объяснить, что такое чехарда.

2. Поговорить о порядке расположения трех точек на прямой. Напомнить аксиому: среди трех точек одна и только одна лежит между двумя другими. (Не забывайте, что понятие «между» тоже нуждается в пояснении).

3. Рассмотреть трехэлементный набор перестановок: посчитать количество перестановок, количество циклических перестановок. Разбиение множества перестановок на два непересекающихся класса; каждый из классов определяется циклической перестановкой.

4. Задача для самостоятельного исследования: перестановки четырехэлементного набора.

Решение, часть 2.

Обозначим кузнечиков согласно их порядку на прямой А, В, С. Каждый прыжок кузнечика соответствует перестановке набора А, В, С. Правила чехарды для кузнечиков таковы, что их прыжки могут породить любое количество перестановок от 2 до 6. Выпишем классы, порожденные циклическими перестановками наборов ABC и ВАС.

I:АВС, ВСА,САВ

II:ВАС,АСВ,СВА

Методом перебора показываем, что после каждого прыжка кузнечика расположение кузнечиков будет переходить в другой класс, вне зависимости от количества перестановок порожденных прыжками кузнечиков. Тем самым мы установили характеристическое свойство системы (принадлежность расположения кузнечиков одному из классов), принимающее только два значения. Эти значения чередуются после каждого шага процедура (прыжка кузнечика). Этот факт изобразим в виде диаграммы

На последнем 2005 прыжке (шаге процедуры) кузнечики (система) будт находиться в одном из расположений, соответствующих перестановке из

класса II. Следовательно, ответ задачи: не могут, т.е. необходимое расположение кузнечиков принадлежит к классу I.

Задача 4 (для апробации метода погружения). Та же задача, только кузнечики сидят на окружности.

Задача 5. Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью, а каждые 15 минут поворачивает под прямым углом. Докажите, что улитка сможет попасть в исходную точку только спустя целое количество часов.

Первая часть решения.

Рассмотрим движение по замкнутому контуру на клетчатой бумаге. При этом на сколько клеток улитка поднялась (удалилась вправо), на столько придется и спуститься (вернуться влево) и наоборот.

Рассмотрим также количество поворотов влево-вправо, вверх-вниз, по часовой и против часовой стрелки.

Вторая часть решения.

Для каждого вида передвижения введем обозначение: Г, Г передвижение по горизонтали вправо, влево; ТВ, IB — по вертикали вверх, вниз, соответственно. Так как улитка должна вернуться в исходную точку, то количество передвижений влево (вниз) равно количеству передвижений вправо (вверх), т.е.

Где Кол() обозначает количество элементов соответствующего типа. Характеристическое свойство процесса (перемещение улитки) — это перемещение по стороне математического квадрата на клетчатой бумаге, шаг — это поворот на 90° в каждой вершине квадрата. Очевидно, что характеристическое свойство принимает два значения — перемещение по вертикали и перемещение по горизонтали. После каждого шага они чередуются. Изобразим этот процесс — перемещение улитки — в виде диаграммы:

Эта диаграмма завершается буквой В, т.е. в диаграмме четное число букв В в силу (1). Так же четное число букв Г. Заметим, что при любом перемещении улитки диаграмма соответствующая этому перемещению всегда будет завершаться буквой В. Вследствие чего Кол(Г) = Кол(В), а в силу (1) Кол(Г) = Кол(Ш). Отсюда получаем

Т.к. каждый тип передвижений занимает 15 минут, а общее число таких передвижений кратно четырем, то получим требуемое.

Упражнение 1. Найти другое характеристическое свойство для перемещений улитки из задачи 5 и посредством его решите эту задачу.

Задача 6. Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью. Каждые 20 минут она поворачивает на 120°. Докажите, что улитка сможет вернуться в исходную точку только через целое количество часов.

На этом пока остановимся. Заметьте, что между погружением в тот или иной материал для адекватного понимания условия и решения задачи требуется затронуть широкий круг вопросов и все это нужно рассказать детям на пальцах. Могут возникнуть непредвиденные ситуации — когда приходится излагать то, что не было учтено. С этой целью для занятия необходимо готовить задач двадцать. Тогда у Вас есть возможность варьировать не только изложение первой части решения, но сами условия задач и на ходу составлять необходимое. В особенности этому способствуют хорошо и глубоко продуманные задачи. Не забывайте, что цель Ваших занятий с использованием погружения — это, прежде всего, чтобы дети максимально «обвыклись» в мире новых понятий и образов.

А.Б. Слуцкий

ОМЦ ЮЗОУО

Несколько слов о проблемном методе обучения алгебре

Об этом методе говорят и пишут постоянно. Это и есть, наверное, тот метод, когда ученик не просто отрабатывает стандартные приемы решения стандартных задач, а пытается думать. Думать, как известно, современный ученик не любит. Поэтому учитель и должен ставить перед ним «проблемки», пусть и не очень сложные, но главное заставляющие задуматься над, казалось бы, абсолютно понятными с первого взгляда вещами. Как говаривал небезызвестный Козьма Прутков «Некоторые вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, а потому, что сами вещи не входят в круг наших понятий».

Пример 1. Решите устно два уравнения:

Предложим неверное решение: Используя основное логарифмическое тождество, получим, что первое уравнение приводится к виду , которое имеет два решения: х1 = 2, х2 = -1.

Правильно ли наше решение, а если нет, то почему?

Пример 2. Как бы вы стали решать следующее уравнение

Ответ: Его вообще не надо решать, так как левая часть, очевидно, число неотрицательное, а правая есть число отрицательное: так как 0 < cos X < 1 (исходя из определения косинуса и логарифма), поэтому

logcosx5<0.

Докажите теперь сами, что следующие уравнения не имеют решений:

Пример 3. Решить уравнение:

Решение. Разложим на множители подкоренные выражения:

Очевидно, что х = -1 корень данного уравнения. При х Ф -1 сократим на

и получим

Возводя дважды в

квадрат последнее уравнение, получим 7х — 26х — 45 = 0. Корни уравнения х1 = 5, х2 = ~ "g.

Проверка показывает, что х2 = — -g- — посторонний корень.

Опять возникает вопрос: правильно ли мы решили?

Ошибка безусловно есть и грубая. Дело в том, что

при

Поэтому мы обязаны были найти ОДЗ уравнения:

и рассмотреть еще одну систему :

Эта система не имеет решений (но может и иметь!!).

Пример 4. Решить систему уравнений:

Решение. Запишем первое уравнение в виде

Внесем х + у под знак корня, тогда получим

Пусть Тогда

Получим 4 пары (5;4), (5;-4), (-5;4), (-5;-4).

Где мы «наврали» тут? Ошибка заключается в том, что внося х + у под знак коря мы не учли, что при х + у > 0 наше решение правильное, только пары (-5;4), (-5;-4) не удовлетворяют этому условию. Однако возможно, что X + у < 0 , тогда

Обозначив

получим систему

следовательно, z = 4, тогда

откуда получим еще 2 решения:

Пример 5. Решить уравнение Перейдем к основанию х, тогда

Решим последнее уравнение:

Что мы сделали неправильно? Конечно, мы обязаны были сначала найти ОДЗ:

и перейти к основанию, например 2 (переходя к основанию х мы потеряли корень X = 1 ).

Получаем уравнение:

Аналогичных примеров можно привести еще много. Каждый опытный учитель, выпускавший профильные классы сможет сделать это. Учиться находить ошибки очень важно, потому что заблудиться можно и в трех соснах.

М.А. Соколовский

ФМШ №2007

Ученик и компьютер. Кто кого должен учить.

Правомерность использования компьютерных моделей в обучении. Компьютерные модели, а стало быть и их использование в школе, часто противопоставляются моделям естественным (особенно в естественных науках), и, как следствие, отрицаются за их искусственность. Тем не менее, для современного школьника информация, полученная с экрана монитора, оказывается часто более значимой, чем окружающая действительность. Поэтому разработка принципов использования компьютеров в школе и способов их реализации является на сегодняшний день актуальной задачей.

Направления использования компьютеров. Многие учителя используют компьютер для подготовки и проведения уроков. Однако, в этих случаях он используется не как «собственно компьютер», а как заменитель других приборов (например, печатной машинки или видеопроектора). Возможность использовать компьютер в качестве компаньона в учебной деятельности сосредоточена в настоящее время на уроках информатики. Но в большинстве случаев компьютер на этих уроках рассматривается в первую очередь, как средство реализации информационных технологий. Сюда, в основном, входит офисный сервис и работа с сетью Интернет. Использование компьютера в творческой деятельности всё больше отодвигается на задний план. Творчество на компьютере неразрывно связано с программированием.

Программирование — не цель, а средство развития ребёнка. Отношение к программированию, как «второй грамотности» реально вылилось к изучению «программирования ради программирования». Ценность такого изучения невелика, и изучение программирования постепенно вытесняется из школьной программы.

Другое направление было сформулировано классиком школьной компьютеризации С. Пейпертом: «обучая компьютер, ребёнок учится сам» (обучать компьютер — значит программировать). Многочисленными исследованиями, проведёнными под руководством О.М.Тихомирова, было показано, что деятельность ребёнка, связанная с обучением компьютера (которая является творческой, исследовательской), т.е. с программированием, развивает не только интеллектуальный потенциал ребёнка, но и его личностные качества. К сожалению, это направление не получило достаточного развития из-за многочисленных трудностей, некоторые из которых мы обсуждаем ниже.

Условия реализации развивающей функции компьютера. Наш опыт показывает, что осуществление развивающей функции компьютера возможно только при положительном эмоциональном отношении к деятельности, че-

рез которую она осуществляется. На практике же, уже на начальной стадии обучения программированию, у учеников часто появляется устойчивое отрицательное отношение к этому предмету. Избежать появления негативных эмоций можно, если ввести в обучения программированию элементы синергетического подхода. (Здесь мы под этим подразумеваем такие задания, в которых главным является не результат, который заранее не предопределён, а сам процесс выполнения работы).

Работа на компьютере должна носить творческий, исследовательский, проектный характер (в отличие от простых и необходимых упражнений). Только некоторым ученикам нравится программирование само по себе, и, поэтому, лишь незначительная часть учащихся способна на такую деятельность в узких рамках предмета информатики. При этом многие из учеников отдают предпочтение какому-либо школьному предмету, поэтому реально существенно расширить проблемное поле творческой компьютерной деятельности за счёт интеграций программирования и других учебных дисциплин.

Создание и использование учениками учебных программ практически нереально осуществить только за счёт учебного времени (уроков). Тратить своё личное время на работу с компьютером готовы далеко не все. Опыт показывает, что наилучшие результаты даёт соединение урочной и внеурочной деятельности. При этом, во-первых, осуществляется дифференцированный подход (где каждый ученик может найти себе работу по силам и интересам). Во-вторых, организуется коллективная деятельность за счёт разделения труда, когда один проект делают несколько учеников, каждый выполняя то, что может, и то, что ему нравится. Кроме того, даже в простых проектах бывают части, которые возможно выполнить только совместно с преподавателем. И, в-третьих, у всех детей возникает чувство причастности к выполненным проектам. Последнее оказывается очень важным при использовании созданных программ в учебной деятельности (на уроках).

Способы использования самодельных учебных программ. Нами на практике опробованы различные варианты использования программ, созданных совместно с учениками. Использование их на уроках эффективно при наличии достаточного числа компьютеров, в небольших учебных группах. Хорошие результаты даёт их использование во внеурочное время, однако при этом не все учащиеся могут принять в этом участие.

Среди множества трудностей, стоящих на пути реализации предлагаемого подхода, есть и неустранимые. К ним относится, в том числе и то, что любая исследовательская задача для ученика является такой же и для учителя.

О.Г. Царькова

ФМШ №2007

Различные формы дополнительного физического образования в ФМШ №2007

Наша школа открыла свои двери совсем недавно — в прошлом 2003 году. С начала образования школа была запланирована как физико-математическая, поэтому все свои идеи и помыслы по развитию физического образования в Юго-западном округе г. Москвы (а точнее, на самом юге Москвы), мы начали претворять в жизнь с первых дней работы.

1. Внешкольные мероприятия. Лекции выдающихся ученых.

Для реализации планов по подготовке научных кадров (начиная с базового развития в средней школе) был заключен Договор о совместной деятельности школы №2007 и Института общей физики им. А.М.Прохорова Российской академии наук (ИОФ РАН). В рамках Договора, в частности, Институт обязался привлекать ученых для чтения лекций или проведения презентаций, а также поставлять необходимое оборудование для физического практикума, проведения лабораторных работ и демонстраций, для организации музея физического оборудования или других нужд школы.

Институтом был организован курс лекций выдающихся ученых для учителей физики и старшеклассников ЮЗАО г. Москвы. В начале апреля 2004 года в актовом зале Физического института РАН (знаменитый ФИАН, частью которого в свое время был ИОФ РАН) прошла первая лекция — лекция Нобелевского лауреата Гинзбурга В.Л. «О проблемах современной физики». Подготовка к лекции происходила с большим волнением, причем, не столько со стороны академика, сколько со стороны организаторов: начиналось новое дело, необходимо было известить все школы округа о планируемом мероприятии и полностью заполнить, что гораздо проблематичнее, сам зал. На лекцию были приглашены несколько учителей из других округов с группами своих учеников, а также старшеклассники двух физико-математических школ — лицея «Вторая школа» и школы №2007. Из-за удаленности нашей школы от центра Москвы возникла необходимость заказать автобусы для перевозки учеников в Институт.

С того памятного дня прошло еще две лекции: член-корреспондента РАН директора Государственного института им. П.К. Штернберга (ГАИШ МГУ) Черепащука А.М. «Черные дыры во Вселенной» и академика РАН председателя комиссии РАН по борьбе со лженаукой и фальсификацией научных исследований зам. директора Института ядерной физики Сибирского

отделения Российской академии наук (НЯФ СО РАН) Круглякова В.Б. «Лженаука и современное общество».

Стоит заметить, что академик Кругляков В.Б. специально для этого приехал в Москву из центра сибирской науки — Новосибирска.

В учебном году планируется провести еще две лекции: член-корреспондента РАН профессора физического факультета МГУ Брагинского В.Б. «Гравитационные волны» и ведущего данное научно-образовательное мероприятие член-корреспондента РАН директора ИОФ РАН Щербакова И.В. «Применение физических методов в медицине». На «открытии сезона» в этом году начальник УО ЮЗАО г. Москвы Тихонов М.Ю. поздравил всех присутствующих и презентовал директору ИОФ РАН «Набор начальника», включающий в себя лупу, ручку и предмет, очень напоминающий шило. Это заметно оживило обстановку в зале.

Лекции выдающихся ученых вызывают большой неподдельный интерес не только у учителей, но и у самих учащихся. Множество людей (как учителей, так и их учеников) приходят с тетрадками и ручками. После того, как на все вопросы слушателей получен ответ, после ухода всех взрослых, школьники с нескрываемым интересом продолжают обсуждение проблемы с докладчиком у доски.

2. Внутришкольные мероприятия.

Поскольку наша школа работает только второй год, набор осуществляется во все классы, кроме выпускного класса.

К нам приходят ученики с совершенно разным уровнем подготовки.

Всем приходится преодолевать барьер из экзаменов физико-математического профиля, причем «высоту» барьера стараемся не снижать, несмотря на неполную наполняемость школы.

Поэтому качество образования, полученного поступившими школьниками «до», в большей степени зависит от колоссального разброса школьных программ по содержанию. Количество часов по физике в обычных школах катастрофически уменьшается, вследствие чего пропадает смысл изучать науку, «обрезанную», фактически, до определений и сухих формулировок основных законов.

«Конспектирование краткого справочника» действительно не нужно подавляющему количеству людей, и, более того, не пробуждает никакого интереса к основной науке об окружающем мире, а, наоборот, губит на корню.

Разговоры о перегруженности школьников приводят к тому, что поголовное количество детей так и не привыкают работать и прилагать хоть какие-нибудь усилия в достижении какой-либо цели.

В связи с этим приходится работать сразу в нескольких направлениях: проводить индивидуальные занятия с отстающими учениками, организо-

вывать дополнительные занятия по механике для десятых классов. Механику в старшей школе по нашей программе школьники проходят в девятом классе целый год, не возвращаясь к ее изучению в 10—11 классах. Некоторые из вновь пришедших учеников, за все время обучения так и не приступали к изучению этого курса физики. Знания другой части учащихся, как правило, также недостаточны. Почти все с такой формой обучения, как лабораторная работа, встречаются в первый раз у нас. Режим нашей школы как «школы полного дня» позволяет использовать дополнительные часы, отведенные под воспитательную работу, для повышения образовательного и интеллектуального уровней учащихся. Для контроля знаний по механике в десятых классах регулярно проводятся зачеты. Как правило, такое отношение заставляет вовремя задуматься о правильности сделанного выбора и самого ученика, и его родителей.

Для учеников, чей интерес к физике — «науке опытной» — не потерян, ведется «Курс юного физика-экспериментатора», позволяющий поработать руками, изучить какое-либо физическое явление или процесс. Ребята с увлечением занимаются, испытывая радость от того, что, сделав что-нибудь самостоятельно, смогут объяснить это с помощью своих знаний. Чтобы их труд не остался незамеченным, мы даем им первые уроки презентации своей работы: они по общепринятым правилам составляют статьи и готовят доклад для будущей общешкольной конференции по физике. В прошлом учебном году в качестве подобных презентаций мы использовали уже готовые результаты, которые школьники брали из печатных источников. Свои рефераты ребята оформляли в виде плакатов и в специально отведенное время излагали подготовленную тему для других учеников. Наиболее интересно представившие, а также наиболее красиво оформившие работу были отмечены большим количеством карточек для голосования. Таким образом, школьные товарищи сами выбирали лучшего докладчика. Для наших учеников такая форма работы была весьма непривычна и необычна, поэтому на прошлогоднюю “Неделю физики” в качестве образцов для подражания были приглашены и школьники лицея “Вторая школа”, представившие свои работы по физики и астрономии.

Кроме того, был и настоящий профессионал — астрофизик — зам. декана кафедры ФВПЭ московского физико-технического института (МФТИ) Родин А.В. Прослушав интересный доклад про последние исследования Марса, ребята поняли, что наука — это очень серьезно, а потом, увидев, что этим могут заниматься и их одногодки, воспряли духом и в головах некоторых из них появилась мысль: “да, я тоже это могу!”

Еще одна форма дополнительного образования прижилась у нас в школе. Это — обязательные для всех учеников школьные олимпиады по физике. Во время олимпиады ребята решают и вполне стандартные задачи, и задачи, требующие наличия интуиции, умения мыслить логически и, конечно же, наблюдательности — то, чем отличаются выдающиеся ученые — как современные, так и давно прошедших веков. Победители различных школьных мероприятий, в том числе и с физическим уклоном, награждаются грамотами и дипломами. Для многих-это первые грамоты в их жизни.

3. Заключение.

В статье было лишь кратко перечислено то, какими формами дополнительного образования по физике мы занимаемся со времени открытия нашей школы. Конечно, многое и гораздо большее по объему еще предстоит сделать. В планах у нас создание экспериментальной площадки как в стенах школы (физический практикум), так и вне школы (выездные всесезонные школы), позволяющие старшему поколению ученых передать свои знания и умения младшему поколению, еще только стоящему на пути своего профессионального выбора. Из-за государственных пертурбаций, происходивших в последние десятилетия, образовался ощутимый разрыв между поколениями ученых, и только непосредственно заинтересованные в устранении этого разрыва и развития российской науки могут что-либо изменить в лучшую сторону в сложившейся ситуации.

Н.Д. Выск

РГТУ им. К.Э.Циолковского (МАТИ)

Тезисы о работе с абитуриентами.

Уже много лет по роду своей работы мне приходится общаться и со студентами, и со школьниками-старшеклассниками. Опыт такого общения позволяет предложить свои ответы на вопрос, почему вузовские преподаватели занимаются подготовкой абитуриентов.

На мой взгляд, учеников средней школы по отношению к изучению математики можно разделить на три группы:

1) учащиеся, которые не собираются связывать свою профессиональную деятельность с техникой и точными науками и которым достаточно освоить самый минимальный объем знаний;

2) те, для кого математический аппарат является техническим средством для решения задач из других областей деятельности (техника, экономика и т.д.);

3) наконец, школьники, обладающие яркими математическими способностями и предполагающие в дальнейшем сделать математику своей профессией.

Очевидно, что в стенах одного школьного класса дать этим разным категориям требуемый для каждого объем знаний невозможно. Попытки организации профильных классов не всегда удаются. Поэтому основным видом дополнительной подготовки по математике на сегодняшний день являются различные подготовительные курсы — как в стенах вузов, так и непосредственно в школах.

Какие цели ставлю я, как преподаватель технического вуза, в работе с абитуриентами? Первая из них — «поставить технику», научить грамотно и по возможности быстро выполнять стандартные действия и операции. К сожалению, подобные навыки у современных школьников находятся на весьма низком уровне. Одну из причин этого я вижу в том, что школьная программа 10—11 класса по алгебре перегружена вопросами, связанными с исследованием функций (причем при почти полном отсутствии необходимого математического аппарата: теория пределов в школьную программу не входит, а производные изучаются позднее). В результате вместо серьезного изучения, например, методов решения тригонометрических уравнений школьники долго занимаются не вполне понятной для себя, почти схоластической

и явно неинтересной работой: описывают по заданной схеме алгебраические и тригонометрические функции. То, что подобная «деятельность» не приносит пользы, я могу утверждать с полной ответственностью: если в экзаменационной работе решение квадратного уравнения начинается со слов: «Рассмотрим функцию», то в девяти случаях из десяти корни будут найдены неверно, ибо все силы ушли на соблюдение формы. А при изучении курса высшей математики, даже в рамках технического вуза, предполагается, что техника алгебраических и тригонометрических преобразований хорошо освоена, поэтому студентам, не владеющим ею, столь же трудно учиться, как пытаться стать пианистом-виртуозом, не владея техникой игры на фортепиано.

Следующая цель работы со школьниками — научить их тем разделам элементарной математики, которые совсем выпали из школьной программы. Это, например, уравнения и неравенства с модулями, дробно-рациональные неравенства, иррациональные и тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции. Да и тригонометрические уравнения того уровня, которым ограничивается школьный учебник, — это только первая ступень в изучении этой темы. Еще раз повторю, что я не собираюсь критиковать школьную программу — будем предполагать, что она рассчитана на учащихся первой категории, тех, кому вполне достаточно минимума. Для тех же, кто собирается сначала сдавать вступительный экзамен по математике, а затем продолжать ее изучение, этого явно недостаточно. Замечу кстати, что часто раздающиеся претензии школьных учителей по поводу якобы чрезмерной сложности заданий вступительных экзаменов совершенно несправедливы (речь, повторяю, идет о технических вузах): те навыки и объем знаний, которые требуются для успешной сдачи экзамена, потребуются новоиспеченному студенту в самое ближайшее время для дальнейшей успешной учебы.

Особо следует сказать о крайне низком уровне большинства школьников по части решения геометрических задач. Здесь работу приходится начинать буквально «с нуля». А ведь геометрия — не только составная часть любого вступительного экзамена, но и прекрасная возможность для тренировки логического мышления, умения находить нестандартные решения, максимально использовать все имеющиеся данные — всего того, что развивает интеллект и требуется для любой умственной работы.

Этой же цели служат и так называемые задачи с параметрами (тоже, кстати, вызывающие негодование многих учителей). Да, отдельный такой

раздел в учебнике отсутствует. Но все подобные задачи не требуют никаких дополнительных фактических знаний, выходящих за рамки школьного курса. Другое дело, что эти знания требуется применить для миниисследования; это непростая, но интересная и творческая работа. Опять уточню, что достаточно широкой категории учащихся подобные навыки не требуются — а для тех, кому они нужны, помощь вузовского преподавателя необходима.

В МАТИ несколько раз предпринимались попытки организовать нечто вроде семинара или курсов для школьных учителей математики с целью помощи им по подготовке способных учеников к поступлению в вуз. Может быть, такая форма сотрудничества школы и вуза тоже полезна, но согласитесь, что подготовка к вузовскому экзамену выходит за рамки основной работы школьного учителя. Его главная задача — научить всех, вне зависимости от их способностей и, может быть, желания. Все мы прекрасно понимаем, насколько тяжелой и неблагодарной бывает подчас эта работа. Поэтому далеко не каждый учитель захочет взваливать на себя еще и дополнительный труд, и это вполне можно понять. Кстати, и далеко не каждый вузовский преподаватель хочет и может работать со школьниками. Те же, кому эта работа нравится и у кого она получается, могут и должны ею заниматься, дополняя тем самым работу школы.

Итак, работа с абитуриентами, проводимая вузами, — это отнюдь не попытка подменить школу. Мы хотим помочь повысить уровень своей математической подготовки тем, кому недостаточно уровня стандартного учебника, хотим добиться того, чтобы такие учащиеся смогли преодолеть растущую пропасть между требованиями выпускного экзамена в школе и вступительного в вузе; хотим, наконец, чтобы на студенческой скамье сидели молодые люди, готовые к нашим требованиям и способные справиться с программой. Хочется надеяться, что такая работа приносит пользу и заслуживает одобрения

А. Бучин

Задача о многочлене и прямой.

Задача 1. Дан многочлен Р4(х) = (5х — 3)(5х — 4)(5х — 6)(5х — 17).

Написать уравнение прямой, на которой график этого многочлена высекает три отрезка одинаковой длины.

Ответ: у = -1200х + 1224 .

Решение. Очевидно, требуемое в задаче соотношение будет выполняться тогда и только тогда, когда уравнение Р4 (х) = kx + b имеет четыре различных корня, так что расстояния между любой парой соседних корней равны друг другу; т.е. эти корни должны образовывать арифметическую прогрессию.

Пусть меньший корень х1, тогда х2 = х1 + d , х3 = х1 + 2d; х4 = х1 + 3d, где d — некоторое положительное число.

Из теоремы Виета следует, что сумма этих корней и сумма их попарных произведений должны совпадать с соответствующими суммами, составленными из корней уравнения Р4(х) = 0, которые известны:

, Поэтому приходим к системе:

или, с учетом того, что корни образуют арифметическую прогрессию, после упрощений:

Искомая прямая проходит через точки Отсюда легко находится ее уравнение.

А.В. Смирнов

Институт логики, Smi@logic.ru

Задача о мудрецах и колпаках.

Задача о трех мудрецах широко известна. Я встретился с ней еще в детстве и был очарован изяществом решения, но еще с тех пор осталось ощущение ловкого фокуса, когда понимаешь, что кролик не мог сам появиться в шляпе, но не успеваешь проследить за рукой фокусника. Недавно я решил попробовать записать решение в виде формального логического вывода, столкнулся с серьезными затруднениями и вынужден был заново ее обдумать. Напомню условие задачи.

Задача. Три мудреца поспорили, кто из них самый умный и обратились к четвертому, чтобы он их рассудил. Судья сообщил мудрецам, что у него есть три белых колпака и два черных, после чего надел каждому колпак на голову так, чтобы каждый видел только колпаки двух других мудрецов. Мудрецам требовалось угадать цвет колпака на собственной голове. Через некоторое время один из мудрецов сообщил, что у него на голове белый колпак и выиграл состязание. Как он смог догадаться!

Классическое решение. Если мудрец видит, что у его соперников черные колпаки (Ситуация 1), то он может смело утверждать, что у него — белый колпак, поскольку оба черных уже заняты.

Если мудрец видит на головах соперников черный и белый колпаки (ситуация 2), то он может рассудить так: «Если у меня на голове колпак черный, то мудрец в белом колпаке видит перед собой два черных колпака (находится в ситуации 1), и должен сообразить, что на нем колпак белый. Но он молчит, значит на мне белый колпак».

Наконец, увидев перед собой обоих соперников в белых колпаках (ситуация 3), мудрец мог рассудить: «если у меня черный колпак, то любой из моих соперников видит перед собой черный и белый колпаки (ситуация 2), и должен понять, что на нем колпак белый. Но он молчит, значит на мне белый колпак».

Решение это захватывает рекурсивным погружением, где на каждом шаге добавляется информация о рассуждениях противников, и это щекочущее гипнотическое погружение разрешается ощущением изящества и ясной целостности решения. Но давайте отвлечемся от поэзии решения и попробуем проанализировать использованную в нем математическую модель и ее адекватность условиям задачи. Прежде всего, давайте проверим ее на граничных условиях, например, определим, в каких случаях мудрец должен сделать вывод, что на нем черный колпак.

Всего случаев могло быть ровно три:

— на соперниках колпаки черные;

— на одном сопернике черный колпак, на другом — белый;

— на обоих соперниках колпаки белые.

Это как раз описанные выше Ситуации 1, 2 и 3. В каждой из этих ситуаций, в соответствии с приведенным выше решением, мудрец должен прийти к заключению, что у него на голове белый колпак.

Наша стройная конструкция рушится, как только мы осознаем, что перечисленные выше ситуация 1, ситуация 2 и ситуация 3 являются исчерпывающим списком возможных вариантов, то есть, действуя по описанному выше методу, мудрец в любом случае должен прийти к заключению, что колпак на нем белый. Значит, мудрец должен после начала испытания посмотреть на своих соперников и, независимо от увиденного, через некоторое время объявить, что на нем белый колпак. Правда, совершенно непонятно, через какой именно промежуток времени надо делать заявление.

В классическом решении неявно использованы очень сильные допущения, которые никак не вытекают из условий задачи:

1. Предполагается, что все три мудреца будут использовать один и тот же метод рассуждения. Предположение это тем более безосновательно, что мудрецы как раз отличаются оригинальностью мышления. Например, один из них мог попробовать определить цвет колпака по расположению звезд.

2. Предполагается, что мудрецы думают с примерно одинаковой, или, по крайней мере, с предсказуемой скоростью. Без такого допущения невозможно установить время, необходимое для соответствующей цепочки рассуждений. Считается, что если мудрец дошел в своих рассуждениях до некоторого вывода, то и остальные сделали то же. Предположение это очень сильное, но с ним кое-как можно смириться, — раз уж эти трое никак не могли решить, кто из них умнее.

3. Предполагается, что мудрецы приступают к решению задачи только после того, как на них надели колпаки, и не пытаются продумать варианты решения до начала испытания. Это очень странно, поскольку при испытании возможны только три описанные выше варианта, и представляется естественным продумать варианты ответа заранее. Но такая возможность радикально противоречит замыслу автора задачи, поскольку, стоит мудрецам заранее задуматься, как они отвергнут навязываемый им метод рассуждения.

4. Предполагается, что мудрец, догадавшись, какой колпак у него на голове, поспешит немедленно об этом сообщить. Если мудрец молчит, то считается, что он не догадался о цвете своего колпака. Но ведь его задача — не определить цвет колпака, а доказать свое умственное превосходство. Велика ли заслуга, увидев перед собой обоих соперников в черных колпаках, догадаться, что у тебя на голове — белый колпак? Этот мудрец просто

оказался в лучших условиях по сравнению с другими, и быстрый ответ не докажет превосходства. Вот если в такой ситуации промолчать, то один из соперников может воспользоваться методом, предложенным автором задачи, и ошибочно решит, что он находится в ситуации 3, даст неверный ответ и продемонстрирует свою глупость.

Из приведенных замечаний следует, что классическое решение опирается на произвольно принятые допущения и не может быть признано убедительным объяснением того, как же рассуждал победитель.

Осмелюсь предложить несколько вариантов объяснения.

Решение 1. Победителю повезло (ситуация б). Но это ставит под сомнение добросовестность судьи (он должен был поставить всех в равное положение), а во-вторых, не свидетельствует о наличии мудрости у победителя, — ведь ему повезло, поэтому Решение 1 нельзя признать удовлетворительным.

Решение 2. Обдумав заблаговременно ситуации 1—3-г, победитель мог заметить, что в любом случае, вскоре после начала состязания, он должен заявить, что на нем белый колпак. И тут важно было произнести это раньше других, иначе он все равно проиграет. Поэтому лучшим решением было сразу же после начала состязания заявить, что он в белом колпаке, чтобы успеть сделать это раньше других.

Заметим, что это решение предполагает «одинаковомыслие» мудрецов (но большую предусмотрительность победителя).

Кроме того, такой победитель способен на разумный риск, что только подтверждает его мудрость.

Решение 3. Как это бывает свойственно мудрецам, победитель мог посмотреть на ситуацию со стороны. Судья — если он мудр и справедлив — должен был поставить состязающихся в равные условия, а это возможно только в том случае, когда все они в одинаковых белых колпаках.

Мне это решение кажется самым мудрым и справедливым.

Решение 4. Победитель определил цвет колпака по расположению звезд.

Такая способность несомненно доказывает его мудрость, но для меня остается непостижимой.

Содержание

Воспоминания

Михайлов Ф.Т. МЫ БЫЛИ ПЕРВЫМИ ЕГО УЧЕНИКАМИ............3

Головин Ю.О. АЛЕКСАНДР КИСУНЬКО...................................17

Мякишев А.Г. ВОСПОМИНАНИЯ ОБ АНДРЕЕ БУЧИНЕ..............19

Образование: история и перспективы

Шапарина О.Н. . УЧИТЕЛЬ ИСТОРИИ В НАЧАЛЕ ВЕКА.............21

Колосов В.А. ОДНА ПЯТАЯ ИЛИ ОДНА ДЕВЯТАЯ?...................26

Юрченко Е.В. ПРОБЛЕМЫ МОТИВАЦИИ УГЛУБЛЕННОГО И ПРОФИЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ........31

Голубев В.И. РЕЗЕРВЫ ОБРАЗОВАНИЯ....................................32

Взгляд оттуда

Тоом А. МЕЖДУ ДЕТСТВОМ И МАТЕМАТИКОЙ: ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ........33

НАБЛЮДЕНИЯ МАТЕМАТИКА НАД МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОБРАЗОВАНИЕМ.....................47

КРАТКАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ АВТОБИОГРАФИЯ...55

Взгляд на преподавание

Шабунин М.И. НЕРАВЕНСТВА НА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ

ЭКЗАМЕНАХ В ВУЗЫ.....................................58

Шевкин А.В. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ И ШКОЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ .. 61

Блинков А.Д. ПОЧЕМУ Я НЕ ВЫЗЫВАЮ УЧЕНИКОВ К ДОСКЕ...64

Галламов М.М. ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ..............................................75

Слуцкий Л.Б. НЕСКОЛЬКО СЛОВ О ПРОБЛЕМНОМ МЕТОДЕ ОБУЧЕНИЯ АЛГЕБРЕ.........................................84

Соколовский М.В. УЧЕНИК И КОМПЬЮТЕР. КТО КОГО ДОЛЖЕН УЧИТЬ.........................................87

Царькова О.Г. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ФИЗИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ФМШ №2007.....89

Выск Н.Д. ТЕЗИСЫ О РАБОТЕ С АБИТУРИЕНТАМИ................. 93

Задачи и решения

Бучин А. ЗАДАЧА О МНОГОЧЛЕНЕ И ПРЯМОЙ........................96

Смирнов А.В. ЗАДАЧА О МУДРЕЦАХ И КОЛПАКАХ.................97